Revisão dos conteúdos de anos anteriores
Faça as atividades no caderno.
Para o capítulo 1: Números inteiros
A reta numérica e os números naturais
Os números naturais podem ser representados em uma reta numérica, na qual cada ponto está associado a um número. Confira a seguir.
• Traçamos uma reta e marcamos o ponto O (origem):
• À direita de O, marcamos pontos consecutivos com a mesma medida da distância entre eles, obtendo os pontos a, B, C, D, reticências.
• Aos pontos óh, a, B, C, D, reticências. fazemos corresponder os números naturais 0, 1, 2, 3, 4, reticências, respectivamente.
1. Em seu caderno, trace uma reta numérica e represente os números 12, 5 e 7.
2. Para cada item, escreva em seu caderno os números naturais correspondentes aos pontos indicados pelas letras.
a)
b)
c)
3. Qual das representações a seguir está correta?
a)
b)
c)
4. Quais são os números naturais correspondentes aos pontos representados pelas letras M e N na reta numérica a seguir?
Algumas propriedades da adição
Propriedade comutativa
Em uma adição de números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma.
985 + 321 = 321 + 985
Propriedade associativa
Em uma adição de três ou mais números naturais, podemos associar as parcelas de diferentes modos sem alterar a soma.
a) abre parênteses190 + 28fecha parênteses + 255 = 218 + 255 = 473
b) 190 + abre parênteses28 + 255fecha parênteses = 190 + 283 = 473
Elemento neutro
O zero, quando adicionado a outro número natural qualquer, resulta sempre nesse outro número. Ou seja, o zero como parcela da adição não altera o valor da soma.
Por isso, ele é chamado de elemento neutro da adição.
632 + 0 = 632
0 + 265 = 265
5. Identifique a propriedade aplicada em cada caso.
a) 715 + 0 = 715
b) 65 + 981 = 981 + 65
c) abre parênteses15 + 150fecha parênteses + 5 = 15 + abre parênteses150 + 5fecha parênteses
d) 219 + 0 + 8 = 8 + 219
6. Copie cada sentença em seu caderno e complete-as aplicando a propriedade comutativa.
a) 26 + 52 =
+ 26
b) 150 + 63 = 63 +
c) 100 + 98 =
+
d) 89 +
= 52 +
7. Em qual das sentenças a propriedade associativa foi utilizada?
a) 56 + 12 + 13 = 13 + 12 + 56
b) 56 + 12 + 13 = 56 + 13 + 12
c) abre parênteses56 + 12fecha parênteses + 13 = 56 + abre parênteses12 + 13fecha parênteses
Respostas e comentários
1.
2. a) a: 28; B: 29
2. b) C: 11; D: 21
2. c) E: 25; F: 30; G: 35
3. alternativa b
4. M: 50 e N: 70
5. a) elemento neutro
5. b) comutativa
5. c) associativa
5. d) elemento neutro e comutativa
6. a) 52
6. b) 150
6. c) 98; 100
6. d) 52; 89
7. sentença do item c
Revisão dos conteúdos de anos anteriores
A reta numérica e os números naturais
Ao realizar a revisão sobre a representação dos números naturais na reta numérica, espera-se que os estudantes compreendam que os números devem sempre estar em ordem crescente, da esquerda para a direita, e que a medida da distância entre pontos consecutivos deve ser a mesma.
• A atividade 1 envolve a construção de uma reta numérica, então oriente os estudantes a utilizar régua e, caso tenham dificuldade, explique a eles que devem escolher a medida da distância entre pontos consecutivos e marcar todos os pontos necessários respeitando essa medida da distância.
• Nas atividades 2 e 4, oriente os estudantes a darem atenção à escala utilizada em cada uma das retas numéricas apresentadas. Se necessário, questione: “Os números estão crescendo de quanto em quanto?”; “Os números estão crescendo de 1 em 1?”.
• Para encontrar a representação correta na atividade 3, peça aos estudantes que identifiquem os erros dos itens incorretos. Espera-se que observem que, no item a, o erro é a ordem decrescente dos números e, no item c, é a variação da medida da distância entre números consecutivos.
Algumas propriedades da adição
No momento de relembrar as propriedades da adição, solicite aos estudantes que apresentem exemplos de cada propriedade descrita, o que permitirá identificar se compreendem as propriedades ou não. Esta revisão pode inclusive facilitar os cálculos por meio do uso das propriedades.
• A atividade 5 propõe aos estudantes que identifiquem a propriedade da adição aplicada em cada item. Após realizarem a atividade, mostre como a aplicação das propriedades pode facilitar o cálculo mental.
• As atividades 6 e 7 exploram, respectivamente, as propriedades comutativa e associativa. Se os estudantes tiverem dificuldade nessas atividades, confira se não estão confundindo propriedades e retome-as na lousa, apresentando outros exemplos ou usando os exemplos apresentados por eles anteriormente.
Algumas propriedades da multiplicação
Propriedade comutativa
Em uma multiplicação de números naturais, a ordem dos fatores não altera o produto.
12 ⋅ 150 = 150 ⋅ 12
Propriedade associativa
Em uma multiplicação com mais de dois números naturais, podemos associar os fatores de modos diferentes sem alterar o produto.
a) abre parênteses5 ⋅ 16fecha parênteses ⋅ 101 = 80 ⋅ 101 = .8080
b) 5 ⋅ abre parênteses16 ⋅ 101fecha parênteses = 5 ⋅ .1616 = .8080
Elemento neutro
O número 1, quando multiplicado por outro número natural qualquer, resulta sempre nesse outro número. Ou seja, o 1 como fator da multiplicação não altera o valor do produto. Por isso, ele é chamado elemento neutro da multiplicação.
a) 1 ⋅ 543 = 543
b) .2022 ⋅ 1 = .2022
Propriedade distributiva
Para multiplicar um número natural por uma adição abre parêntesesou subtraçãofecha parênteses com dois ou mais termos, podemos multiplicar esse número por cada um dos termos da adição (ou da subtração) e adicionar (ou subtrair) os resultados obtidos.
a) 12 ⋅ abre parênteses60 + 45fecha parênteses = 12 ⋅ 60 + 12 ⋅ 45 = 720 + 540 = .1260
b) 34 ⋅ abre parênteses141 menos 10fecha parênteses = 34 ⋅ 141 menos 34 ⋅ 10 = .4794 menos 340 = .4454
8. Escreva em seu caderno as palavras que completam cada frase.
a) O elemento neutro da multiplicação é o número
.
b) Segundo a propriedade
da multiplicação, podemos alterar a ordem dos fatores sem alterar o produto.
c) Quando temos uma multiplicação com 3 fatores, podemos usar a propriedade
.
9. Resolva as multiplicações aplicando a propriedade distributiva.
a) 2 ⋅ abre parênteses91 + 12fecha parênteses
b) 15 ⋅ abre parênteses9 + 10fecha parênteses
c) 10 ⋅ abre parênteses20 + 180fecha parênteses
10. Copie cada sentença em seu caderno e coloque os parênteses adequadamente com base na propriedade associativa.
a) 7 ⋅ abre parênteses50 ⋅ 12fecha parênteses = 7 ⋅ 50 ⋅ 12
b) abre parênteses14 ⋅ 10fecha parênteses ⋅ 5 = 14 ⋅ 10 ⋅ 5
c) 120 ⋅ abre parênteses3 ⋅ 5fecha parênteses = 120 ⋅ 3 ⋅ 5
Potenciação com números naturais
Para representar uma multiplicação em que todos os fatores são iguais, podemos usar a potenciação.
De modo geral, na potenciação com números naturais, a base é o fator que se repete na multiplicação, o expoente indica a quantidade de vezes que o fator se repete e a potência é o resultado da operação.
• Quando o expoente é 1, a potência é igual à base.
a) 7elevado a 1 = 7
b) 99elevado a 1 = 99
c) 500elevado a 1 = 500
• Quando o expoente é zero e a base é diferente de zero, a potência é igual a 1.
a) 7elevado a 0 = 1
b) 99elevado a 0 = 1
c) 500elevado a 0 = 1
11. Escreva em seu caderno as multiplicações em fórma de potência.
a) 51 ∙ 51 ∙ 51 ∙ 51
b) 10 ∙ 10 ∙ 10
12. Copie as frases em seu caderno e complete-as com uma das palavras a seguir:
a) Em 29ao quadrado o número 2 é chamado de
.
b) O número 6 é
de 6elevado a 5.
c) O resultado de 3ao quadrado é chamado de
.
13. Associe cada potência ao seu resultado.
a. 2elevado a 5 B. 5ao quadrado C. 15elevado a 1 D. 1elevado a 15 ê. 0elevado a 9 F. 12ao quadrado
um. 0 dois. 1 três. 15 quatro. 32 cinco. 25 seis. 144
Respostas e comentários
8. a) um
8. b) comutativa
8. c) associativa
9. a) 2 ⋅ 91 + 2 ⋅ 12 = 182 + 24 = 206
9. b) 15 ⋅ 9 + 15 ⋅ 10 = 135 + 150 = 285
9. c) 10 ⋅ 20 + 10 ⋅ 180 = 200 + .1800 = .2000
10. a) 7 ⋅ abre parênteses50 ⋅ 12fecha parênteses = abre parênteses7 ⋅ 50fecha parênteses ⋅ 12
10. b) abre parênteses14 ⋅ 10fecha parênteses ⋅ 5 = 14 ⋅ abre parênteses10 ⋅ 5fecha parênteses
10. c) 120 ⋅ abre parênteses3 ⋅ 5fecha parênteses = abre parênteses120 ⋅ 3fecha parênteses ⋅ 5
11. a) 51elevado a 4
11. b) 10ao cubo
12. a) expoente
12. b) base
12. c) potência
13. a – quatro; B – cinco; C – três; D – dois; E – um; F – seis
Algumas propriedades da multiplicação
Do mesmo modo que foi feito com as propriedades da adição, na revisão das propriedades da multiplicação, incentive os estudantes a apresentar exemplos para cada propriedade e a compará-las com o que já sabem sobre as propriedades da adição, buscando similaridades e diferenças.
• Na atividade 8, os estudantes vão completar frases relacionadas às propriedades da multiplicação. Esse é o momento oportuno para verificar se compreenderam a propriedade comutativa e associativa e, também se reconhecem que o elemento neutro da multiplicação é o número 1.
• As atividades 9 e 10 exploram, respectivamente, as propriedades distributiva e associativa. Caso os estudantes tenham dificuldade nessas atividades, confira se não estão confundindo propriedades e retome-as na lousa, apresentando outros exemplos ou usando os exemplos apresentados por eles anteriormente.
Se considerar necessário, na atividade 9, peça aos estudantes que façam o item a e corrija-o na lousa, indicando por flechas que o 2 deve multiplicar primeiro o número 91 e, depois o número 12.
Potenciação com números naturais
A revisão desse tema é realizada a fim de que o estudante relembre como se representa uma potenciação, seus elementos e a relação com a multiplicação. Se possível, antes de propor as atividades, solicite que calculem outras potências, inclusive de expoente 1 e de expoente zero (com base diferente de zero), com números pequenos, apenas para verificar se operam de modo correto.
• A atividade 11 não envolve cálculo, mas o uso da relação que existe entre potenciação e multiplicação de fatores iguais. Se ainda houver dúvidas, mostre à turma a diferença, por exemplo, entre 2elevado a 5 e 5ao quadrado.
• A atividade 12 também não envolve cálculo, mas a identificação dos elementos de uma potenciação (base, expoente e potência).
• Na atividade 13, o estudante deverá realizar os cálculos de potenciação para associar cada potência com seu resultado. Caso algum estudante não consiga fazer alguma associação, peça a ele que apresente os cálculos para que seja possível identificar o ponto crítico que pode ser a relação entre potenciação e multiplicação ou erros de cálculos.
Para o capítulo 2: Múltiplos e divisores
Múltiplos de um número natural
Um número natural é múltiplo de outro quando o primeiro é obtido multiplicando-se o segundo por um número natural qualquer.
25 é múltiplo de 5, pois 5 ∙ 5 = 25
42 é múltiplo de 6 e de 7, pois 6 ∙ 7 = 42
• Todo número natural é múltiplo de 1 e dele mesmo.
• Não existe o maior múltiplo de um número natural não nulo. A sequência dos múltiplos de um número natural, diferente de zero, é infinita.
• O zero só tem um múltiplo: o próprio zero.
a) 0 ∙ 100 = 0
b) 0 ∙ 5 = 0
c) 0 ∙ 28 = 0
• O zero é múltiplo de todos os números.
a) 7 ∙ 0 = 0 abre parênteses0 é múltiplo de 7fecha parênteses
b) 95 ∙ 0 = 0 abre parênteses0 é múltiplo de 95fecha parênteses
14. Em seu caderno, escreva os 5 menores múltiplos de:
a) 6
b) 10
c) 9
d) 15
15. Escreva em seu caderno os números que faltam em cada frase.
a) 10 é múltiplo de
, 2, 5 e
.
b) 18 é múltiplo de
,
,
,
, 9 e 18.
c) 12 é múltiplo de 1, 2,
, 4, 6 e
d) 32 é múltiplo de 1,
,
,
, 16 e 32.
16. Quais afirmações são verdadeiras?
a) Qualquer número natural é múltiplo de 1.
b) Qualquer número natural é múltiplo de 0.
c) 3 é múltiplo de 6.
d) 1 é múltiplo de 5.
e) 0 é múltiplo de 100.
f) 25 é múltiplo de 100.
Divisores de um número natural
Um número natural é divisor ou fator de outro, caso a divisão do segundo pelo primeiro seja exata.
3 é divisor de 12, pois 12 : 3 = 4 (divisão exata).
5 não é divisor de 12, pois a divisão de 12 por 5 não é exata.
• O zero não é divisor de nenhum número natural, pois não existe divisão por zero.
• Todo número natural diferente de zero tem como divisor ele mesmo.
• O número 1 é divisor de todos os números naturais.
17. Usando os números 1, 2, 3, 4 e 5, complete as frases com os números que as tornam verdadeiras. (Observação: Um mesmo número pode ser usado em mais de uma frase e uma mesma frase pode ser completada com mais de um número.)
a)
é divisor de 15.
b)
é divisor de 24.
c)
é divisor de 21.
d)
é divisor de 27.
18. Em seu caderno, escreva os divisores de:
a) 10
b) 16
c) 17
d) 33
Critérios de divisibilidade
Critério de divisibilidade por 2: Um número natural é divisível por 2 quando é par, ou seja, quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Critério de divisibilidade por 3: Um número natural é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3.
Critério de divisibilidade por 4: Um número natural, maior ou igual a 100, é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.
Critério de divisibilidade por 5: Um número natural é divisível por 5 quando termina em 0 ou em 5.
Respostas e comentários
14. a) 0, 6, 12, 18, 24
14. b) 0, 10, 20, 30, 40
14. c) 0, 9, 18, 27, 36
14. d) 0, 15, 30, 45, 60
15. a) 1, 10.
15. b) 1, 2, 3, 6.
15. c) 3, 12.
15. d) 2, 4, 8.
16. itens a, e
17. a) Possibilidades: 1, 3 ou 5
17. b) Possibilidades: 1, 2, 3 ou 4
17. c) Possibilidades: 1 ou 3
17. d) Possibilidades: 1 ou 3
18. a) 1, 2, 5 ,10
18. b) 1, 2, 4, 8, 16
18. c) 1, 17
18. d) 1, 3, 11, 33
Múltiplos de um número natural
O foco desta retomada será o conceito de múltiplo de um número natural, além do destaque ao número zero, pois ele é múltiplo de todos os números, mas tem apenas ele mesmo como múltiplo.
• A atividade 14 envolve a identificação de alguns múltiplos. Oriente os estudantes a escrever esses múltiplos em ordem crescente, uma vez que são pedidos os 5 menores múltiplos. Verifique se consideram o número zero.
• Na atividade 15, os estudantes devem determinar, por exemplo, no item a, os números que têm 10 como múltiplo, ou seja, devem fazer o oposto do que fizeram na atividade 14. Como são espaços a ser preenchidos, eles devem ficar atentos à quantidade de números em cada item. Caso tenham dúvidas, faça questionamentos, como: “Quais multiplicações com números naturais têm resultado 10?”; “Qual número pode ser multiplicado por 9 para obter 18?”; “Qual número multiplicado por 1 dá 12 como resultado?”.
Divisores de um número natural
Esta retomada tem como objetivo tratar dos divisores de um número natural por meio de seu conceito e de exemplos. Os números 1 e zero são destacados e merecem atenção especial.
• Na atividade 18, os estudantes deverão escrever todos os divisores de 4 números diferentes. Destaque a eles que é interessante escrever os divisores em ordem crescente para compreender melhor que sempre começam com o número 1 e terminam com o próprio número.
• Na atividade 18, espera-se que os estudantes identifiquem quais dos números do enunciado são divisores dos números nos itens. Caso tenham dificuldade, escolha um dos itens e desenvolva juntamente com eles, testando todos os números do enunciado e lembrando que há mais de uma resposta possível.
Critérios de divisibilidade
Esta revisão sobre critérios de divisibilidade deve relembrar os estudantes de que nem sempre é preciso realizar a operação de divisão para saber se um número é divisível por outro. Além disso, conhecer esses critérios enriquece o repertório de cálculos dos estudantes.
Critério de divisibilidade por 6: Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e também por 3.
Critério de divisibilidade por 8: Um número natural, maior ou igual a .1000, é divisível por 8 quando termina em 000 ou quando o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.
Critério de divisibilidade por 9: Um número natural é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9.
Critério de divisibilidade por 10, 100 e .1000: Um número natural é divisível por 10 quando termina em 0, é divisível por 100 quando termina em 00 e é divisível por .1000 quando termina em 000.
19. Considere os números a seguir:
Em seu caderno, escreva os números do quadro que são divisíveis por:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
f) 9
20. Copie em seu caderno apenas os números que são divisíveis por 3.
21. Quais são as afirmações verdadeiras?
a) 100 é divisível por 2 e por 5.
b) 21 é divisível por 3 e por 6.
c) 32 é divisível por 2 e por 4.
d) 25 é divisível por 5 e por 10.
e) .2000 é divisível por 4 e por 8.
22. Considere os números a seguir.
Quais são os números desse quadro:
a) divisíveis por 10?
b) divisíveis por 100?
c) divisíveis por .1000?
Números primos e compostos
Número primo
Um número é primo quando tem somente dois divisores naturais distintos: o número 1 e o próprio número.
a) 7 é um número primo, pois é divisível apenas por 1 e por 7.
b) 31 é um número primo, pois é divisível apenas por 1 e por 31.
Número composto
Um número, diferente de zero, é composto quando tem mais de dois divisores distintos.
a) 8 é um número composto, pois tem 4 divisores: 1, 2, 4 e 8.
b) 27 é um número composto, pois tem 3 divisores: 1, 3 e 9.
23. Quais afirmações são verdadeiras?
a) O número 2 é composto.
b) O número 33 é primo.
c) O número 45 é composto.
d) O número 17 é primo.
24. Em seu caderno, escreva todos os divisores de cada número.
a) 42
b) 41
c) 36
d) 35
e) 53
25. Agora, escreva em seu caderno quais números da atividade anterior são:
a) primos.
b) compostos.
Para o capítulo 3: Retas e ângulos
Semirreta e segmento de reta
Semirreta
Observe a reta r contida no plano α e os pontos a, óh e B, distintos, pertencentes a ela:
Respostas e comentários
19. a) 12, 14, 16, 18, 20
19. b) 12, 15, 18
19. c) 12, 16, 20
19. d) 15, 20
19. e) 12, 18
19. f) 18
20. 102, 204, 312
21. afirmações dos itens a, c, ê
22. a) 80, 90, 150, 200, 300, 650, .1500, .2000
22. b) 200, 300, .1500, .2000
22. c) .2000
23. afirmações dos itens c e d
24. a) 1, 2, 3, 6, 7, 21, 42
24. b) 1, 41
24. c) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18, 36
24. d) 1, 5, 7, 35
24. e) 1, 53
25. a) 41, 53
25. b) 42, 36, 35
• Nas atividades 19 e 20, os estudantes devem identificar, entre os números dados, aqueles que são divisíveis por 2, 3, 4, 5, 6 e 9 aplicando os critérios de divisibilidade. Se achar conveniente, explique a eles, ao longo das resoluções, que números que não apareceram no item a também não aparecerão nos itens c, e; e números que não apareceram no item b também não aparecerão no item f. Caso os estudantes tenham dificuldade, retome os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6 e 9 e mostre-os na lousa a partir de alguns exemplos.
• A atividade 21 trata da interpretação de algumas frases, sendo importante frisar que a afirmação será verdadeira apenas quando todas as informações forem corretas. Por exemplo, se o estudante considerar, de fórma equivocada, o item d verdadeiro, é preciso que fique claro que “25 é divisível por 5, mas 25 não é divisível por 10”, o que torna a afirmação falsa.
• A atividade 22 foca na divisibilidade por 10, 100 e .1000. Ao final da atividade, chame a atenção para o fato de que todo número divisível por 100 é também divisível por 10 e que todo número divisível por .1000 é também divisível por 100 e consequentemente por 10. Você pode justificar isso com base nos critérios de divisibilidade.
Números primos e compostos
Agora, retomamos os números primos e os números compostos: conceitos desenvolvidos a partir dos divisores de um número natural. Se necessário, lembre novamente esse conceito.
• Para encontrar as afirmações verdadeiras na atividade 23, é necessário identificar os divisores dos números 2, 33, 45 e 17 para classificá-los como primos ou compostos. Se possível, sugira aos estudantes que utilizem os critérios de divisibilidade para encontrar os possíveis divisores para esses números.
• Nas atividades 24 e 25, os estudantes deverão primeiro encontrar os divisores para, depois, agrupar os números em primos ou compostos. Caso tenham dificuldade na atividade 24, incentive-os a verificar, em ordem crescente, os divisores dos números dados; seguir uma ordem garante que eles não se esqueçam de testar algum divisor.
Semirreta e segmento de reta
Nessa etapa, será realizada uma retomada de alguns conceitos e representações geométricas com os estudantes, especialmente de semirreta e segmento de reta.
O ponto O determina duas semirretas em r: a semirreta de origem em O que passa pelo ponto a e a semirreta de origem em O que passa pelo ponto B podem ser representadas, respectivamente, por
Símbolo. Letras maiúsculas OA com uma seta para direita sobre elas.e
Símbolo. Letras maiúsculas OB com uma seta para direita sobre elas..
Segmento de reta
Considere novamente a reta r contida no plano α e os pontos a e bê, distintos, pertencentes a ela. A parte da reta compreendida entre esses dois pontos, incluindo-os, é chamada segmento de reta. O segmento de reta limitado por a e bê pode ser representado por
Símbolo. Letras maiúsculas AB com um traço sobre elas.ou
Símbolo. Letras maiúsculas BA com um traço sobre elas..
a e bê são chamados de extremidades desse segmento de reta.
26. Quais afirmações são verdadeiras?
a) Uma semirreta tem duas extremidades.
b) Um segmento de reta tem duas extremidades.
c) Um segmento de reta tem apenas um ponto de origem.
d) Uma semirreta tem começo, mas não tem fim.
27. Trace em seu caderno:
a) semirreta
CD..
b) segmento de reta
M N.
c) semirreta
P Q.
d) em uma mesma reta: semirreta
A Ce segmento
B C.
Ângulos
Ângulo é a união de duas semirretas que têm a mesma origem, com uma das regiões do plano limitada por elas.
a)
b)
• Os dois ângulos podem ser indicados por
Símbolo. Letras maiúsculas AOB, sobre a letra O um símbolo que lembra o acento circunflexo.(lemos “ângulo AOB”) ou
Símbolo. Letras maiúsculas BOA, sobre a letra O um símbolo que lembra o acento circunflexo.ou
Símbolo. Letra maiúscula O e sobre ela um símbolo que lembra o acento circunflexo..
• A origem O é o vértice do ângulo.
• As semirretas
Símbolo. Letras maiúsculas OA com uma seta para direita sobre elas.e
Símbolo. Letras maiúsculas OB com uma seta para direita sobre elas.são os lados do ângulo.
Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso
Um ângulo é reto quando sua medida da abertura é igual a 90graus.
Um ângulo é agudo quando sua medida da abertura é maior que 0grau e menor que 90graus.
Um ângulo é obtuso quando sua medida da abertura é maior que 90graus e menor que 180graus.
28. Em qual dos itens está representado corretamente o ângulo
Símbolo. Ângulo CAB.?
a)
b)
29. Quais afirmações são verdadeiras?
a) A medida da abertura de um ângulo reto é maior que a medida da abertura de um ângulo obtuso.
b) Um ângulo com abertura medindo 75graus é um ângulo agudo.
c) A abertura de um ângulo reto sempre mede 90graus.
d) A abertura de um ângulo obtuso pode medir 180graus.
e) A abertura de um ângulo agudo pode medir 91graus.
Respostas e comentários
26. afirmações dos itens b e d.
27. a) Exemplo de resposta:
27. b) Exemplo de resposta:
27. c) Exemplo de resposta:
27. d) Exemplo de resposta:
28. item a
29. afirmacões dos itens b, c
• Na atividade 26, espera-se que os estudantes consigam identificar os conceitos de semirreta e segmento de reta. Caso confundam esses conceitos, na lousa, represente uma semirreta e um segmento de reta a partir das indicações da turma, fazendo as devidas correções.
• Na atividade 27, ao traçar o que se pede, o estudante precisará utilizar tanto os conceitos geométricos quanto as regras de representação de semirreta e segmento de reta. Se necessário, questione as respostas obtidas para refinar os conceitos e as representações. Além disso, solicite o uso de régua na atividade.
Ângulos
O foco dessa retomada são os ângulos: conceito, representação e classificação segundo a medida da abertura.
• A atividade 28 envolve apenas a representação de um ângulo. É preciso observar se os estudantes compreenderam que a ordem em que os pontos estão representados em
Símbolo. Ângulo CAB.determina que a é o vértice. Ao final da atividade, se possível, questione a turma: “Qual é o ângulo representado no item b?”. Espera-se que eles respondam que está representado o ângulo
Símbolo. Ângulo ABC..
• Na atividade 29, estão envolvidas as ideias de ângulo agudo, reto e obtuso, ou seja, o estudante deverá saber classificar ângulos segundo suas medidas de abertura. Caso algum estudante tenha dificuldade, relembre com a turma essas classificações. Se possível, represente diferentes ângulos em um software de geometria dinâmica e projete-os para que os estudantes possam classificá-los de acordo com a medida de abertura.
Retas paralelas e retas perpendiculares
Duas retas em um mesmo plano são paralelas quando elas não possuem nenhum ponto em comum. Quando duas retas se cruzam, nós a chamamos de retas concorrentes; além disso, quando esse cruzamento fórma um ângulo reto (ângulo cuja medida da abertura mede 90graus), afirmamos que as retas são perpendiculares.
30. Em seu caderno, trace as seguintes retas, considerando as informações dadas.
a) p e q são retas paralelas.
b) m e n são retas concorrentes, mas não perpendiculares.
c) x e y são perpendiculares e x e t são paralelas.
31. Por que a afirmação a seguir é falsa?
“Duas retas perpendiculares não são concorrentes.”
Para o capítulo 4: Frações
Fração
Uma fração pode representar uma parte de um inteiro.
A figura foi dividida em 7 partes iguais.
2 sétimosda figura está coloria de amarelo.
Em uma fração, o denominador é o número abaixo do traço e representa a quantidade de partes iguais em que o todo foi dividido. Já o número acima do traço, o numerador, indica a quantidade de partes consideradas do todo.
Leitura de frações
Na leitura de uma fração, lemos inicialmente o numerador e, em seguida, o denominador, que recebe nomes especiais.
Frações com denominador de 2 a 9
|
Denominador |
Leitura |
|---|---|
|
2 |
meio |
|
3 |
terço |
|
4 |
quarto |
|
5 |
quinto |
|
6 |
sexto |
|
7 |
sétimo |
|
8 |
oitavo |
|
9 |
nono |
a)
Fração 2 sobre 5← Lemos: “dois quintos”.
b)
Fração 7 sobre 9← Lemos: “sete nonos”.
Frações cujo denominador é uma potência de base 10
|
Denominador |
Leitura |
|---|---|
|
10 |
décimo |
|
100 |
centésimo |
|
1.000 |
milésimo |
|
10.000 |
décimo de milésimo |
|
... |
... |
a)
Fração 5 sobre mil.← Lemos: “cinco milésimos”.
b)
Fração 12 sobre 100← Lemos: “doze centésimos”.
Frações com outros denominadores
Lemos o numerador e, depois, o denominador seguido da palavra “avos”.
a)
Fração 5 sobre 12.← Lemos: “cinco doze avos”.
b)
Fração 3 sobre 20.← Lemos: “três vinte avos”.
Respostas e comentários
30. a) Exemplo de resposta:
30. b) Exemplo de resposta:
30. c) Exemplo de resposta:
31. Exemplo de resposta: porque se as duas retas são perpendiculares, elas necessariamente se encontram em um ponto; logo, serão concorrentes também.
Retas paralelas e retas perpendiculares
Após relembrar a classificação de ângulos conforme a medida de abertura, principalmente o ângulo reto, retomamos retas paralelas e retas perpendiculares.
• A atividade 30 possibilita diferentes respostas, já que há infinitas representações dentro das condições apresentadas. A atividade exige que os estudantes façam adequadamente as representações das retas paralelas, concorrentes e perpendiculares. Com a diversidade de respostas, é interessante dar um tempo para que eles comparem suas respostas com as dos colegas e, assim, sanem possíveis dúvidas.
• A atividade 31 envolve a ideia de que duas retas perpendiculares são necessariamente concorrentes. Se achar conveniente, questione a turma se a frase dada é verdadeira ou falsa. Caso algum estudante responda que é verdadeira, na lousa, tente esboçar as retas que a representem a partir das orientações da turma, e assim percebam que não é possível.
Fração
A intenção dessa retomada é relembrar alguns pontos no estudo de fração: representação e leitura.
Número misto
Quando um número é composto de uma parte inteira e de uma parte fracionária ele é chamado de número misto.
32. Em seu caderno, escreva as frações usando algarismos.
a) Cinco oitavos
b) Dez milésimos
c) Um quinto
d) Três doze avos
33. Associe cada fração ao modo como ela é lida.
A.
Fração. 3 sobre 10B.
Fração. 5 sobre 13C.
Fração. 1 sobre 7D.
Fração. 1 sobre 4E.
Fração. 8 sobre 9um oito nonos
dois três décimos
três um quarto
quatro. um sétimo
cinco. cinco treze avos
34. Em seu caderno, escreva o número misto correspondente a cada fração.
a)
Fração. 3 meiosb)
Fração. 11 quintosc)
Fração. 7 terçosd)
Fração. 17 terçosFrações equivalentes e simplificação
Frações que representam a mesma parte de um inteiro são chamadas de frações equivalentes.
e
3 sextossão frações equivalentes
Multiplicando ou dividindo o numerador e o denominador de uma fração qualquer por um mesmo número natural diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração inicial.
Simplificação de frações
Simplificar uma fração significa obter uma fração equivalente com o numerador e o denominador menores que os da primeira fração.
35. Associe as frações equivalentes.
A.
Fração. 5 quinze avosB.
Fração. 3 doze avosC.
Fração.14 vinte e um avosD.
Fração. 5 décimosE.
Fração. 9 quinze avosum.
I) Fração. 2 terçosdois.
II) Fração. 1 terçotrês.
II) Fração. 18 trinta avosquatro.
IV) Fração. 50 centésimoscinco.
V) Fração. 1 quarto36. Simplifique as frações.
a)
Fração. 16 quarenta avosb)
Fração. 9 trinta e três avosc)
Fração. 50 quarenta e oito avos
d)
Fração. 4 vinte avosPara o capítulo 5: Números racionais
Comparação de frações
• Quando duas ou mais frações têm o mesmo denominador, a maior delas é a que tem maior numerador.
Sentença matemática. 5 nonos maior que 2 nonos• Quando duas ou mais frações têm o mesmo numerador, a maior delas é a que tem menor denominador.
Sentença matemática. Sete terços maior que sete quintos• Quando duas ou mais frações têm numeradores e denominadores diferentes, podemos determinar frações equivalentes de mesmo denominador para as frações iniciais e, depois, compará-las.
3 quintose
2 terçossão equivalentes a
Fração. 9 quinze avose
10 quinze avosrespectivamente. Assim:
Sentença matemática. 9 quinze avos menor que 10 quinze avos, ou seja,
Sentença matemática. 3 quintos menor que 2 terçosComparação de números decimais
Podemos acrescentar ou retirar zeros à direita da parte decimal de um número decimal sem alterá-lo.
0,02 = 0,020 = 0,0200
1º caso: quando as partes inteiras são diferentes. Nesse caso, o maior número é o que tem a maior parte inteira.
12,25 > 11,14
2º caso: quando as partes inteiras são iguais. Nesse caso, o maior número é o que tem a maior parte decimal.
12,45 < 12,001
37. Copie as sentenças em seu caderno e complete-as com os sinais de > ou <.
a)
a) 11 quinze avos
b)
8 quintos,
c)
Fração um meio.
d)
Fração. 3 sobre 10
e) 29,52
29,45
f) 10,57
11,2
g) 1,004
1,01
h) 100,45
100,4
Respostas e comentários
32. a)
Fração. 5 sobre 832. b)
Fração. 10 milésimos32. c)
Fração. 1 quinto32. d)
Fração. 3 doze avos.33. a – dois; B – cinco; C – quatro; D – três; E – um
34. a)
Número misto 1 inteiro e 1 meio34. b)
Número misto 2 inteiros e 1 quinto34. c)
Número misto 2 inteiros e 1 terço34. d)
Número misto 5 inteiros e 2 terços35. a – dois; B – cinco; C – um; D – quatro; E – três
36. a)
a) Fração. 2 quintos.36. b)
b) Fração. 3 onze avos.36. c)
c) Fração. 25 vinte e quatro avos36. d)
d) Fração. 1 quinto37. a) >
37. b) >
37. c) <
37. d) <
37. e) >
37. f) <
37. g) <
37. h) >
• As atividades 32 e 33 exploram a associação entre a representação numérica e o modo como se lê uma fração. Caso ainda haja dúvidas, a partir de exemplos na lousa, retome com a turma a leitura de frações com denominador de 2 a 9, com denominador potência de base 10 e com outros denominadores.
• Na atividade 34, espera-se que os estudantes sejam capazes de escrever um número misto para cada fração. Se tiverem dificuldade, apresente algumas frações como exemplos na lousa e, seguindo as indicações da turma, identifique a parte inteira e, depois, a parte fracionária para escrever o número misto.
Frações equivalentes e simplificação
Em continuidade à revisão sobre frações, o foco agora serão as frações equivalentes e a simplificação de frações, assuntos diretamente relacionados, uma vez que simplificar uma fração é encontrar uma fração equivalente à fração original.
• Na atividade 35, é necessário associar uma fração com sua fração equivalente entre aquelas apresentadas. Caso os estudantes tenham dúvidas, faça questionamentos como estes para o item a: “Por quanto o numerador 5 deve ser multiplicado ou dividido para que o resultado seja igual a 1?”; “Se essa operação for feita no denominador, qual será o número obtido?”; “A fração obtida é uma das indicadas por números romanos?”.
• Para resolver a atividade 36, os estudantes devem simplificar as frações dadas. Se tiverem dificuldade, chame a atenção para o fato de que em cada item deve ser identificada uma fração equivalente com o numerador e o denominador menores que os da fração dada, ou seja, devem dividir o numerador e o denominador por um mesmo número.
Comparação de frações
Nessa retomada a respeito de comparação de números racionais, haverá uso de duas representações desses números: fracionária e decimal. Destaque a existência de estratégias diferentes para fazer essas comparações, de acordo com a representação do número racional.
• A atividade 37 envolve a comparação de dois números racionais e o uso dos sinais de menor que (<) ou maior que (>). É interessante acompanhar a resolução de cada um dos itens, circulando entre os estudantes, pois os itens apresentam diferentes situações: no item a, os denominadores das frações são iguais; no item b, os numeradores das frações são iguais; nos itens c e d, os numeradores e os denominadores das frações são diferentes; nos itens e, g e h, as partes inteiras dos números decimais são iguais; no item f, as partes inteiras dos números decimais são diferentes. Se necessário, retome as estratégias que devem ser usadas para fazer a comparação em cada situação.
38. Em seu caderno, coloque em ordem crescente os números de cada item a seguir.
a)
6 décimos, 6 treze avos, 6 quintos.b)
5 décimos, 1 décimo e 7 décimosc) 0,25; 0,025; 0,205
d) 1,68; 16,8; 0,168
Adição e subtração com frações
• Em uma adição (ou subtração) com frações cujos denominadores são iguais, adicionamos (ou subtraímos) os numeradores e conservamos os denominadores.
Sentença matemática. 8 quinze avos mais 2 quinze avos é igual a fração de numerador 8 mais 2 e denominador 15 que é igual a fração 10 quinze avos.• Em uma adição (ou subtração) com frações cujos denominadores são diferentes, determinamos frações equivalentes às iniciais, com um mesmo denominador, e em seguida adicionamos (ou subtraímos) os numeradores (conservando o denominador).
Sentença matemática. 3 quintos menos 1 meio é igual a 6 décimos menos 5 décimos é igual a fração de numerador 6 menos 5 e denominador 10 que é igual a fração 1 décimo.Adição e subtração com número decimais
Podemos também efetuar uma adição (ou uma subtração) com números decimais escrevendo vírgula embaixo de vírgula e cada algari smo exatamente abaixo do algarismo de mesma ordem. Em seguida, adicionamos (ou subtraímos) milésimos com milésimos, centésimos com centésimos, décimos com décimos, unidades com unidades e assim por diante.
39. Calcule o resultado das operações e simplifique quando possível.
a)
a) Sentença matemática. 5 nonos mais 10 nonosb)
3 treze avos menos 1 treze avosc)
c) Sentença matemática. 5 vinte e quatro avos mais 5 doze avosd)
d) Sentença matemática. 1 terços menos 4 trinta avos.40. Efetue as operações.
a) 0,03 + 11,2
b) 45,6 menos 13,02
c) 123,01 + 0,98
d) 56,95 menos 12,1
Multiplicação com frações
O produto de duas ou mais frações é uma fração que tem como numerador o produto dos numeradores e como denominador o produto dos denominadores.
Multiplicação com números decimais
Para multiplicar um número decimal por outro número decimal, devemos:
• multiplicar os números como se fossem números naturais;
• colocar a vírgula no resultado, de modo que a quantidade de casas decimais seja igual à soma da quantidade de casas decimais dos fatores.
41. Determine os produtos, simplificando o resultado quando possível.
a)
Sentença matemática. 3 sétimos vezes 1 quintosb)
Sentença matemática. 2 nonos vezes 2 nonosc)
Sentença matemática. 1 meio vezes 2 sétimosd)
Sentença matemática. 3 décimos vezes 342. Associe cada operação com seu resultado.
A. 9,5 ⋅ 0,3
B. 12,1 ⋅ 0,01
C. 3,004 ⋅ 2
D. 14,2 ⋅ 0,6
um. 8,52
dois. 6,008
três. 2,85
quatro. 0,121
Divisão com frações
Na divisão de uma fração por outra, multiplicamos a primeira fração pela fração inversa da segunda.
Sentença matemática. Cinco oitavos divididos 3 quintos é igual 5 oitavos vezes 5 terços, é igual a fração de numerador 5 vezes 5 e denominador 8 vezes 3 que é igual a 25 vinte e quatro avos.Divisão com números decimais
Divisão por um número natural diferente de zero
20,3 : 5
Respostas e comentários
38. a)
6 treze avos,
6 décimos,
6 quintos.38. b)
1 décimo,
Fração. 5 décimos,
7 décimos.38. c) 0,025; 0,205; 0,25
38. d) 0,168; 1,68; 16,8
39. a)
5 terços,39. b)
Fração 2 13 avos.39. c)
Cinco oitavos39. d)
1 quintos40. a) 11,23
40. b) 32,58
40. c) 123,99
40. d) 44,85
41. a)
a) Fração.3 trinta e cinco avos41. b)
b) Fração. 4 oitenta e um avos41. c)
c) Fração. 2 quatorze avos=
um sétimo41. d)
d) Fração. Nove décimos42. A – três; B – quatro; C – dois; D – um
• Na atividade 38, acompanhe a resolução como na atividade 37 e destaque as características comuns dos números presentes em cada item: no item a, os numeradores das frações são iguais; no item b, os denominadores das frações são iguais; no item c, as partes inteiras dos números decimais são iguais; no item d, as partes inteiras dos números decimais são diferentes.
Caso os estudantes tenham dificuldade no item c, na lousa, escreva um número abaixo do outro, alinhados pela vírgula, para que possam comparar as ordens decimais mais facilmente.
Adição e subtração com frações
Nesse momento, o foco estará nas operações de adição e subtração envolvendo números racionais. Mais uma vez, é importante destacar que cada representação (decimal e fracionária) terá suas regras para a realização dos cálculos.
• A atividade 39 envolve cálculos com números racionais na fórma fracionária. Se os estudantes tiverem dificuldade nos itens c e d, questione-os sobre o que precisa ser feito antes de adicionar (ou subtrair) os numeradores das frações quando os denominadores são diferentes.
• Na atividade 40, permita que os estudantes utilizem diferentes estratégias para efetuar as operações e acompanhe-os na resolução da atividade, perguntando se os resultados obtidos fazem sentindo e auxiliando-os caso seja necessário reformular as estratégias. Se algum estudante utilizar o algoritmo, destaque a necessidade de alinhar as vírgulas.
Multiplicação com frações
Ao relembrar a multiplicação de números racionais, reforce como se faz com os números quando estão na fórma de fração e quando estão na fórma decimal, sendo esta última mais próxima do que já se fazia com números naturais.
• Na atividade 41, os estudantes deverão multiplicar frações. Caso algum estudante não tenha feito a simplificação do item c, releia o enunciado com a turma, destacando que deve ser feita a simplificação dos resultados quando possível.
• Verifique as respostas obtidas na atividade 42 e sugira que os estudantes confiram a localização da vírgula em cada multiplicação, fazendo a contagem das casas decimais novamente.
Divisão com frações
Encerrando a retomada das operações com números racionais, relembramos a divisão com números racionais tanto na fórma fracionária quanto na fórma decimal.
Divisão por um número decimal
3,42 : 0,5
43. Efetue as divisões, simplificando o resultado quando possível.
a)
a) Sentença matemática. 1 sétimo dividido por 2 quintosb)
b) Sentença matemática. 5 oitavos dividido por 3 oitavosc)
c) Sentença matemática. 1 meio dividido por 3 décimosd)
d) Sentença matemática. 5 quartos dividido por 644. Efetue as divisões.
a) 15,6 : 5
b) 73,2 : 12
c) 10,24 : 1,25
d) 34,5 : 0,03
Para o capítulo 6: Linguagem algébrica e regularidades
Sentenças matemáticas
Sentença matemática é aquela escrita com símbolos matemáticos (números, sinais etcétera) e que pode ser expressa por relações de igualdade, de desigualdade, entre outras.
Uma sentença matemática pode ser verdadeira ou falsa.
a) 72 + 5 > 100 é uma sentença falsa.
b) 62 ⋅ 2 = 124 é uma sentença verdadeira.
c)
c) Sentença matemática. 32 mais 100 é diferente de 100.é uma sentença verdadeira.
45. Quais das sentenças a seguir são verdadeiras?
a) 2 ⋅ 3 ⋅ 4 > 2 + 3 + 4
b) 23 ⋅ 1 + 9 = 230
c) 15 ⋅ 3 ≠ 5 ⋅ 3 ⋅ 3
d) 140 : 14 < 140 : 10
46. Copie as sentenças em seu caderno e complete-as com o sinal (=, > ou <) que falta de modo a torná-las verdadeiras.
a) 57 menos 30
5 ⋅ 10
b) 2 ⋅ 8 ⋅ 9
2 + 8 + 9
c) 100 + 20 + 5
25 ⋅ 5
Igualdades
Toda sentença matemática que apresenta sinal de igual (=) é chamada de igualdade. Em uma igualdade, chamamos a expressão à esquerda do sinal de igual de 1º membro e a expressão à direita desse sinal de 2º membro.
Propriedade da igualdade
A relação de igualdade não se altera quando:
• adicionamos ou subtraímos um mesmo número de seus membros;
• multiplicamos seus membros por um mesmo número ou dividimos seus membros por um mesmo número diferente de zero.
a) 21 + 8 = 29
21 + 8 + 5 = 29 + 5
34 = 34
b) 100 + 7 = 107
100 + 7 menos 5 = 107 menos 5
102 = 102
c) 16 + 3 = 9 + 10
abre parênteses16 + 3fecha parênteses · 3 = abre parênteses9 + 10fecha parênteses · 3
57 = 57
d) 8 + 4 + 2 = 14
abre parênteses8 + 4 + 2fecha parênteses : 2 = 14 : 2
4 + 2 + 1 = 7
7 = 7
47. Em seu caderno, escreva uma igualdade em:
a) que o 1º membro seja 23 + 9 e que o 2º membro seja 4 ⋅ 8;
b) que o 1º membro seja 8 + 1 + 3;
c) que o 2º membro seja 80 menos 20.
48. Observe a seguinte igualdade:
33 menos 3 = 30
Usando essa igualdade como ponto de partida, efetue em seu caderno as operações indicadas e obtenha outras igualdades.
a) Adicione 12 a cada membro.
b) Subtraia 5 de cada membro.
c) Multiplique cada membro por 3.
d) Divida cada membro por 3.
Respostas e comentários
43. a)
a) Fração. 5 quatorze avos43. b)
b) Fração. 5 terços43. c)
c) Fração. 5 terços43. d)
d) Fração. 5 vinte e quatro avos44. a) 3,12
44. b) 6,1
44. c) 8,192
44. d) 1 150
45. Sentenças dos itens a e d.
46. a) <
46. b) >
46. c) =
47. a) 23 + 9 = 4 ⋅ 8
47. b) Exemplo de resposta: 8 + 1 + 3 = 10 + 2
47. c) Exemplo de resposta: 2 ⋅ 30 = 80 menos 20
48. a) 42 = 42
48. b) 25 = 25
48. c) 90 = 90
48. d) 10 = 10
• A atividade 43 apresenta divisões com frações. Se necessário, no item d, relembre a turma de que o inverso de 6 é
Fração. Um sexto.
• Na atividade 44, os estudantes farão divisões envolvendo números na fórma decimal. Caso tenham dificuldade nos itens c e d,chame a atenção deles para o fato de que devem multiplicar dividendo e divisor por 100.
Sentenças matemáticas
Na revisão de sentenças matemáticas, os estudantes terão exemplos de sentenças, sendo uma falsa e duas verdadeiras. Se possível, registre na lousa algumas sentenças dadas por eles e avalie se são verdadeiras ou falsas.
• Na atividade 45, espera-se que os estudantes identifiquem as sentenças verdadeiras. Incentive a utilização de diversas estratégias, inclusive permitindo que não efetuem as operações em alguns casos, como no item d, em que é possível identificar que 140 : 14 é menor que 140 : 10 porque o divisor 14 é maior que o divisor 10.
• Caso os estudantes apresentem dificuldades para fazer a atividade 46, oriente-os, em cada item, a calcular o valor das expressão que está à esquerda e o valor da expressão que está à direita de
.
Igualdades
O estudo das igualdades é essencial para o trabalho com Álgebra, e a retomada nesse momento é focada na propriedade da igualdade.
• A atividade 47 envolve o reconhecimento dos membros e a escrita de igualdades. Nos itens b e c há diversas possibilidades de resposta, então oriente os estudantes a compartilhar com os colegas as igualdades que escreveram.
• Na atividade 48, os estudantes devem fazer as operações pedidas, sempre nos dois membros para que a igualdade se mantenha. Caso algum estudante não obtenha uma igualdade após efetuar as operações, verifique seu cálculo e confira se ele identifica onde houve um equívoco.
Para o capítulo 7: Porcentagem e juro simples
Frações e porcentagem
Uma fração com denominador igual a 100 pode ser escrita na fórma de porcentagem:
a)
a) Fração. 16 centésimos é igual a 16 por centob)
b) Fração. 230 centésimos é igual a 230 por centoEm alguns casos podemos obter frações equivalentes com denominador igual a 100 para depois escrevê-la na fórma de porcentagem.
a)
a) Fração. 3 milésimos é igual a 3 centésimos é igual a 3 por cento
b)
b) Fração. 10 vinte avos é igual a 50 centésimos é igual a 50 por cento49. Associe as frações às porcentagens.
A.
Fração 12 centésimos.B.
Fração. 120 centésimosC.
Fração. 4 centésimosD.
Fração. 40 centésimosum. 40%
dois. 12%
três. 120%
quatro. 4%
50. Escreva em seu caderno as frações na fórma de porcentagem.
a)
Fração. 3 décimosb)
Fração. 27 centésimosc)
Fração. 1 quartod)
Fração. 60 duzentos avosPorcentagem escrita na fórma decimal
Uma porcentagem pode ser escrita na fórma de um número decimal. Para isso, transformamos a porcentagem em uma fração com denominador 100 e efetuamos a divisão do numerador pelo denominador.
a)
45 por cento é igual a Fração 45 centésimos é igual a zero, virgula, 45b)
10 por cento é igual a Fração 10 centésimos é igual a zero, virgula 1.c)
120 por cento é igual a Fração 120 centésimos é igual a 1 virgula 2.51. Em seu caderno, escreva as porcentagens na fórma decimal:
a) 66%
b) 166%
c) 1,25%
d) 100%
52. Qual dos itens está correto?
a) 28% = 2,8
b) 32% = 0,032
c) 6,3% = 0,063
d) 131% = 13,1
Porcentagem de um valor
a) 72% de 300 →
72 centésimos vezes 300 é igual a 216b) 45% de 60 → 0,45 ∙ 60 = 27
53. Calcule em seu caderno.
a) 55% de 60
b) 28% de 10
c) 30% de 300
d) 90% de 15
54. Quais são as afirmações verdadeiras?
a) 10% de 66 é igual a 6,6.
b) 15% de 200 é igual a 30.
c) 75% de 120 é igual a 75.
d) 82% de 12 é igual a 10.
Porcentagem de figuras
Dividindo uma figura em partes iguais e selecionando algumas dessas partes, conseguimos determinar a porcentagem correspondente às partes selecionadas.
a) Dividindo o quadrado em duas partes iguais e pintando uma, dizemos que 50% dela foi pintada.
b) Dividindo o círculo em 4 partes iguais e pintando uma, dizemos que 25% dela foi pintada.
c) Dividindo o retângulo em 10 partes iguais e pintando quatro, dizemos que 40% dela foi pintada.
Respostas e comentários
49. a – dois; B – três; C – quatro; D – um
50. a) 30%
50. b) 27%
50. c) 25%
50. d) 30%
51. a) 0,66
51. b) 1,66
51. c) 0,0125
51. d) 1
52. item c
53. a) 33
53. b) 2,8
53. c) 90
53. d) 13,5
54. Afirmações dos itens a e b.
Frações e porcentagem
A retomada deste assunto possibilita que os estudantes relembrem a relação entre a fórma fracionária e a fórma percentual de um número. Exponha os exemplos e, se necessário, peça-lhes que indiquem mais exemplos dessa relação.
• A atividade 49 apresenta todas as frações com denominador igual a 100, então, a relação com a fórma percentual é bastante direta.
• Na atividade 50, apenas uma das frações tem denominador 100; então, os estudantes devem determinar as frações equivalentes com denominador 100 para relacioná-las com a fórma percentual. Caso tenham dificuldade, auxilie-os usando perguntas. Por exemplo, para o item d: “Por qual número devo multiplicar ou dividir o número 200 para obter 100?”.
Porcentagem escrita na fórma decimal
Esta revisão relaciona as formas decimal e percentual de um número, usando a relação entre fórma decimal e fórma fracionária.
• Nas atividades 51 e 52, espera-se que os estudantes identifiquem a fórma decimal de cada porcentagem dada. Caso tenham dúvidas por causa da vírgula no item c da atividade 51 e no item c da atividade 52, oriente-os a determinar frações equivalentes em que o denominador seja uma potência de 10 e o numerador seja um número natural; assim, a quantidade de zeros do denominador será a quantidade de casas decimais do número.
Porcentagem de um valor
Esta retomada explora cálculos de porcentagem de um valor numérico. É interessante que os estudantes observem que podem utilizar em seus cálculos tanto a fórma fracionária quanto a fórma decimal.
• As atividades 53 e 54 envolvem o cálculo de porcentagens. Caso os estudantes tenham dificuldade, questione-os no item c da atividade 53, por exemplo: “30% de 300 será maior ou menor que a metade de 300?”. Espera-se que os estudantes percebam que 30% é menos da metade; então, deverão encontrar um valor necessariamente menor que 150.
Porcentagem de figuras
Para concluir essa revisão sobre porcentagem, o foco será a porcentagem de figuras, ou seja, da mesma maneira que podemos encontrar a fração de uma figura, podemos encontrar uma porcentagem.
55. Que porcentagem de cada figura está pintada, considerando que elas estão divididas em partes iguais?
a)
b)
c)
d)
56. Em qual dos itens a seguir menos de 50% da figura está pintada?
a)
b)
c)
d)
Para o capítulo 8: Proporcionalidade
Uma das ideias da multiplicação
Em algumas situações que envolvem proporcionalidade, podemos utilizar a multiplicação. Acompanhe a situação.
Todos os dias uma confeitaria doa 15 bolos a uma creche. Quantos bolos ela doa em 5 dias? E em 12 dias?
Ou seja, são doados 75 bolos em 5 dias e 180 bolos em 12 dias.
57. Uma caixa de bombons tem 250 gramas. Quantos gramas tem 3 caixas iguais a essa? E 9 caixas?
58. Copie o quadro em seu caderno e complete-o.
|
Número de cadernos |
Valor a pagar |
|---|---|
|
1 |
R$ 12,00 |
|
2 |
R$ 24,00 |
|
5 |
|
|
10 |
|
|
15 |
|
|
100 |
R$ 1.200,00 |
Para o capítulo 9: Transformações geométricas
Plano cartesiano
O plano cartesiano é composto de duas retas numéricas perpendiculares, chamadas eixos, que, em geral, indicamos por x (eixo horizontal) e y (eixo vertical). O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas.
Par ordenado
Um par ordenado (x, y) é dado pelas coordenadas x e y, sendo x a abscissa e y a ordenada. No plano cartesiano a seguir, para indicar a posição do ponto P, usamos o par ordenado (2, 4).
Representação de um polígono
Para representar um polígono no plano cartesiano, podemos associar seus vértices a pares ordenados, unir esses pontos com segmentos de reta e, por fim, pintar o interior da figura.
Observe a representação do polígono a bê cê dê com vértices a(2, 2), bê(5, 5), cê(5, 3) e dê(4, 1) no plano cartesiano.
Respostas e comentários
55. a) 25%
55. b) 75%
55. c) 50%
55. d) 25%
56. itens c e d.
57. 750 gramas; .2250 gramas
58. Resposta em Orientações.
• As atividades 55 e 56 se complementam: na atividade 55, os estudantes devem indicar a porcentagem pintada em cada figura; na atividade 56, devem identificar as figuras que tiverem menos de 50% de suas partes pintadas. Permita que utilizem as estratégias que preferirem na resolução das atividades. Se considerar necessário, destaque que há relações que são mais comuns e muito utilizadas, como metade corresponde a 50% e metade da metade corresponde a 25%.
Uma das ideias da multiplicação
Ao revisar proporcionalidade como uma das ideias da multiplicação, desenvolvemos uma noção importante para trabalhar com razão e proporção.
• A atividade 57 envolve multiplicações simples, mas a finalidade é o estudante identificar o uso dessa operação em uma situação de proporcionalidade.
• A atividade 58 possibilita abordar diferentes comparações entre os valores do quadro. Caso os estudantes tenham dificuldade, podem ser feitas algumas indagações: “Vocês observaram que a partir do preço de 5 cadernos, podemos determinar o preço de 10 cadernos?” (espera-se que verifiquem que, se a quantidade dobra, o preço também dobra); “Se já sabemos o preço de 100 cadernos, como podemos determinar o preço de 10 cadernos?” (espera-se que observem que, se dividimos a quantidade de cadernos por 10, então o preço também será dividido por 10).
Resposta da atividade 58.
|
Número de cadernos |
Valor a pagar |
|---|---|
|
1 |
R$ 12,00 |
|
2 |
R$ 24,00 |
|
5 |
R$ 60,00 |
|
10 |
R$ 120,00 |
|
15 |
R$ 180,00 |
|
100 |
R$ 1.200,00 |
Para as atividades 59, 60 e 61 considere este plano cartesiano e os pontos nele representados.
59. Responda em seu caderno.
a) Quais são as coordenadas dos pontos a, B e C?
b) Quais pontos têm a mesma abscissa?
c) Quais pontos têm a mesma ordenada?
d) Qual ponto corresponde ao par ordenado abre parênteses3, 4fecha parênteses?
60. Um polígono tem vértices nos pontos ê, F e C. Que polígono é esse?
61. Em seu caderno, represente um polígono que tenha como vértices 5 dos pontos indicados.
Ampliação e redução de figuras planas no plano cartesiano
Para reduzir um polígono representado no plano cartesiano, podemos dividir as coordenadas de cada vértice por um mesmo número e, para ampliá-lo, podemos multiplicar as coordenadas de cada vértice por um mesmo número. Esse número, em ambos os casos, deve ser maior que 1.
Observe uma redução e uma ampliação do triângulo á bê cê.
Para as atividades 62 e 63, considere este plano cartesiano e o triângulo á bê cê nele representado.
62. Quais serão as coordenadas dos vértices do triângulo quando:
a) as coordenadas de cada vértice do triângulo á bê cê forem multiplicadas por 2?
b) as coordenadas de cada vértice do triângulo á bê cê forem divididas por 2?
63. Em seu caderno, desenhe no mesmo plano cartesiano, a ampliação e a redução do triângulo ABC, indicadas na atividade anterior.
Para o capítulo 10: Grandezas e medidas
Grandeza área
Unidades de medida de área
Observe a seguinte figura:
A medida da área dessa figura pode ser expressa utilizando diferentes unidades. Por exemplo:
No Sistema Internacional de Unidades abre parêntesesésse Ífecha parênteses, a unidade-padrão de medida de área é o metro quadrado abre parêntesesême 2 sobrescritofecha parênteses. O metro quadrado corresponde à medida da área de um quadrado cujos lados medem 1 metro de comprimento.
Respostas e comentários
59. a) aabre parênteses0,2fecha parênteses; Babre parênteses1,3fecha parênteses e Cabre parênteses4,3fecha parênteses
59. b) ê e F
59. c) a e ê; B e C
59. d) F
60. triângulo
61. Exemplo de resposta em Orientações.
62. a) abre parênteses4, 14fecha parênteses, abre parênteses16, 14fecha parênteses e abre parênteses10, 4fecha parênteses
62. b)
abre parênteses, 1, 7 meios, fecha parênteses.,
abre parênteses, 4, 7 meios, fecha parênteses.e
abre parênteses, 5 meios, 1 fecha parênteses.63. Resposta em Orientações.
Plano cartesiano
• A atividade 59 trabalha a identificação e a escrita das coordenadas de pontos marcados em um plano cartesiano. Se os estudantes tiverem dificuldade, relembre que o par ordenado é dado pelas coordenadas x e y, nessa ordem, sendo x a abscissa e y a ordenada.
• Nas atividades 60 e 61, os estudantes terão que identificar e representar polígonos no plano cartesiano. Se possível, leve papel quadriculado para que façam seu plano cartesiano e a representação da atividade 61.
Exemplo de resposta da atividade 61.
Ampliação e redução de figuras planas no plano cartesiano
Retoma-se a ideia de ampliação e redução de polígonos com foco na relação entre as coordenadas cartesianas do polígono original e da redução abre parêntesese ou ou ampliaçãofecha parênteses desse polígono.
• Ao resolver as atividades 62 e 63, os estudantes devem reconhecer o que ocorre com as coordenadas dos vértices do polígono original a cada transformação indicada, além de fazer a representação desses polígonos no plano cartesiano. Oriente-os, explicando que as ampliações e as reduções não devem apresentar distorções na fórma quando comparadas à figura inicial. Caso isso ocorra, auxilie-os a identificar o equívoco: pode estar na identificação das novas coordenadas ou na representação dos novos vértices no plano cartesiano.
Resposta da atividade 63.
Grandeza área
Com base na medição da área de uma figura dada usando duas unidades de medida de área diferentes e na revisão dos cálculos das medidas das áreas de um retângulo, de um quadrado e de um triângulo retângulo, retomamos noções básicas relacionadas à medida da área de figuras.
Medida da área de um retângulo
A medida da área de um retângulo é o produto das medidas de comprimento da base e da altura.
O quadrado é um caso particular de retângulo cujos lados têm a mesma medida de comprimento. Portanto, calculamos a medida da área de um quadrado da mesma maneira que calculamos a medida da área de um retângulo.
Medida da área de um triângulo retângulo
A medida da área de um triângulo retângulo é a metade do produto das medidas de comprimento da base e da altura.
64. Observe a figura:
a) Qual é a medida da área da figura considerando o
como unidade?
b) Qual é a medida da área da figura considerando o
como unidade?
65. Em seu caderno, calcule a medida da área das seguintes figuras.
a)
b)
Grandeza volume
Unidade de medida de volume
Para calcular a medida do volume de um objeto, devemos considerar uma unidade de medida de volume e contar quantas vezes essa unidade cabe em seu interior.
No Sistema Internacional de Unidades, a unidade-padrão de medida de volume é o metro cúbico (ême 3 sobrescrito), que corresponde ao espaço ocupado por um cubo cujas arestas medem 1 metro de comprimento.
Medida do volume de um paralelepípedo reto-retângulo
A medida do volume de um paralelepípedo é igual ao produto das medidas do comprimento, da largura e da altura.
66. Considerando o
como unidade de medida de volume, determine a medida do volume dos blocos a seguir.
a)
b)
Respostas e comentários
64. a) 5
64. b) 10
65. a) 25 centímetros quadrados
65. b) 24 centímetros quadrados
66. a) 12
66. b) 16
• Na atividade 64, espera-se que os estudantes notem que a medida da área depende da unidade considerada. Além disso, é fundamental que observem que, se uma unidade de medida equivale à metade da outra, a medida da área com a unidade menor será o dobro da medida da área obtida com a unidade maior.
• Na atividade 65, os estudantes devem calcular as medidas das áreas dos polígonos apresentados. Em caso de dúvidas, junto com a turma, classifique a figura de cada item e relembre como pode ser calculada sua medida de área.
Grandeza volume
De maneira similar à revisão feita com a grandeza área, relembramos como usar uma unidade de medida para medir volume e como calcular a medida de volume de um paralelepípedo reto-retângulo, retomando aspectos básicos dessa grandeza.
• Na atividade 66, os estudantes devem fazer a contagem dos cubinhos para determinar a medida do volume de cada paralelepípedo. Se necessário, esclareça que existem cubinhos não visíveis que devem ser considerados na contagem. Essa atividade auxilia-os a compreender a ideia de medida de volume antes de utilizar fórmulas.
67. Calcule a medida do volume dos seguintes paralelepípedos reto-retângulos:
a)
b)
Para o capítulo 11: Figuras geométricas planas
Polígonos
Uma linha poligonal fechada simples com sua região interna fórma uma figura geométrica plana chamada de polígono.
Elementos de um polígono
Classificação dos polígonos
Os polígonos recebem o nome de acordo com o número de lados ou ângulos internos.
68. Observe o seguinte polígono:
Escreva em seu caderno os elementos desse polígono indicados em cada item.
a) C e F
b)
Segmento de reta AB.e
Segmento de reta ED.c)
Símbolo. Ângulo ABC.d)
Segmento de reta FC.e
Símbolo. Segmento de reta FB.69. Dê o nome dos polígonos a seguir de acordo com sua quantidade de lados.
a)
b)
c)
d)
Triângulos
De acordo com a medida de comprimento dos lados, os triângulos podem ser classificados em equilátero, escaleno ou isósceles.
Triângulo equilátero
Os três lados têm medidas de comprimento iguais.
Triângulo escaleno
Os três lados têm medidas de comprimento diferentes.
Triângulo isósceles
Dois lados têm medidas de comprimento iguais.
De acordo com a medida da abertura de seus ângulos internos, os triângulos podem ser classificados em acutângulo, obtusângulo ou retângulo.
Triângulo acutângulo
Os três ângulos internos são agudos.
Respostas e comentários
67. a) 140 métros cúbicos
67. b) 15,625 centímetros cúbicos
68. a) vértices
68. b) lados
68. c) ângulo interno
68. d) diagonais
69. a) eneágono
69. b) decágono
69. c) pentágono
69. d) hexágono
• Na atividade 67, os estudantes devem calcular as medidas de volume de paralelepípedos. Caso escrevam o número sem a unidade de medida de volume, reforce a importância desse registro e como uma unidade é específica para a grandeza.
Polígonos
Na revisão sobre polígonos, oriente os estudantes a ter maior atenção com os elementos de um polígono indicados na figura e, se achar necessário, represente cada elemento separadamente na lousa para dar ainda mais destaque.
• A atividade 68 trabalha a identificação dos elementos de um polígono. Se considerar necessário, apresente outros polígonos para esclarecer eventuais dúvidas sobre esses elementos.
• Na atividade 69, os estudantes devem nomear os polígonos de acordo com o número de lados. Caso apresentem dificuldade, na lousa, apresente um quadro relacionando o número de lados de alguns polígonos com o radical de sua classificação. Por exemplo, o radical “hepta” para o polígono de 7 lados.
Triângulos
Nesta revisão serão retomadas as classificações de triângulos em relação às medidas de comprimento dos lados e em relação às medidas de abertura dos ângulos internos.
Triângulo obtusângulo
Um ângulo interno é obtuso e dois ângulos internos são agudos.
Triângulo retângulo
Um ângulo interno é reto e dois ângulos internos são agudos.
70. Observe os triângulos seguintes:
Quais afirmações são verdadeiras?
a) Um triângulo é retângulo e o outro é obtusângulo.
b) Os dois triângulos são isósceles.
c) Um triângulo é equilátero e o outro é escaleno.
d) Um triângulo é obtusângulo e o outro acutângulo.
71. Classifique cada triângulo com base nas medidas apresentadas.
a)
b)
c)
Para o capítulo 12: Probabilidade e estatística
Probabilidade
A probabilidade é a medida da chance de um resultado ocorrer.
• A probabilidade pode ser indicada por uma fração, por um número na fórma decimal ou por uma porcentagem.
• A probabilidade é um número que varia de 0 a 1.
• O cálculo da probabilidade é feito para resultados de experimentos aleatórios.
Estatística
A Estatística é o ramo da Matemática que envolve a coleta e a organização de dados referentes a diversos fenômenos, para depois analisá-los e interpretá-los. As tabelas e os gráficos que encontramos nos meios de comunicação, como jornais e revistas, resultam do processo estatístico, que, em geral, é realizado em várias etapas, como:
1. planejamento e coleta dos dados;
2. organização dos dados;
3. exposição dos dados em tabelas e ou ou gráficos e conclusões.
72. Um “dado honesto” de 6 faces numeradas de 1 a 6 foi lançado. Responda:
a) Qual é a probabilidade de sair um número par?
b) Qual é a probabilidade de sair um número primo?
c) Qual é a probabilidade de sair um número menor ou igual a 2?
73. Procure em jornais (impressos ou sites) um ou mais gráficos e escreva em seu caderno:
a) o(s) tema(s) desse(s) gráfico(s);
b) a(s) fonte(s) desse(s) gráfico(s);
c) o que podemos afirmar a partir desse(s) gráfico(s).
Respostas e comentários
70. Afirmações dos itens c e d.
71. a) acutângulo
71. b) escaleno
71. c) retângulo e isósceles
72. a)
Fração um meio.72. b)
Fração um meio.72. c)
Fração. 1 terço73. Comentário em Orientações.
• Nas atividades 70 e 71, espera-se que os estudantes classifiquem os triângulos em relação às medidas de comprimento dos lados e em relação às medidas de abertura dos ângulos. Se eles tiverem dificuldade na atividade 70, sugira-lhes que escrevam a classificação de cada um dos triângulos para que fique mais claro quais frases são verdadeiras ou não.
Probabilidade e estatística
A revisão destes assuntos trata da noção de probabilidade por meio da relação com a chance de algo acontecer. Além disso, alguns aspectos da estatística são retomados.
• Na atividade 72, os estudantes devem calcular a probabilidade de alguns resultados ocorrerem. Se eles tiverem dificuldade na resolução, destaque que todas as faces de um “dado honesto” têm a mesma chance de sair e, seguindo as indicações da turma, anote os resultados possíveis e os resultados que satisfazem a condição de cada item.
• A atividade 73 leva os estudantes a pesquisar gráficos em jornais para verificar o tema e a fonte e interpretá-los. Se achar conveniente, você ou a turma pode definir um tema ou uma fonte para a pesquisa dos gráficos.
Ao final da atividade, oriente os estudantes a compartilhar os gráficos e as respostas com um colega para que um auxilie na correção do outro.
Unidade 1
Capítulo 1 Números inteiros
Capítulo 2 Múltiplos e divisores
Capítulo 3 Retas e ângulos
Respostas e comentários
Abertura da Unidade
Bê êne cê cê:
• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).
• Competências específicas 3 e 8 (as descrições estão na página sete).
• Habilidade ê éfe zero sete ême ah zero seis.
Tema contemporâneo transversal:
Objetivos:
• Motivar a turma a estudar os conteúdos da Unidade 1.
• Levantar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre os números inteiros.
• Verificar se os estudantes reconhecem a necessidade de conservar os alimentos a uma medida de temperatura adequada.
Pergunte aos estudantes se eles procuram ter uma alimentação saudável. Reserve um tempo para ouvir as experiências deles. Se for pertinente, aproveite para abordar a pirâmide alimentar, lembrando a importância dos grupos alimentares. Aproveite para questioná-los se os alimentos estão sendo conservados corretamente em suas casas e explique que, além da medida de temperatura, cada alimento tem seu período de validade para ser armazenado e consumido.
Pergunte aos estudantes qual é o significado do sinal de menos em menos18 graus Célsius e em menos20 graus Célsius. Reserve um tempo para ouvi-los. Espera-se que alguns deles respondam que o sinal de menos indica que essas medidas são menores do que zero.
O contexto da abertura promove a relação entre as Unidades temáticas Números e Grandezas e medidas, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 3. A conversa proposta promove a interação entre os estudantes, de fórma a respeitar o modo de pensar dos colegas e a aprender com eles, possibilitando o desenvolvimento da competência geral 9 e da competência específica 8.
No capítulo 1, serão estudados os números inteiros e as operações envolvendo esses números. No capítulo 2, será retomado o estudo dos conceitos de múltiplos e divisores. Por fim, no capítulo 3, será feito o estudo de retas, ângulos e relações entre as medidas das aberturas dos ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.
Na seção É hora de extrapolar, os estudantes realizarão uma pesquisa sobre os hábitos de uma alimentação saudável e construirão cartazes informativos. Realizarão também uma pesquisa e uma análise da conservação dos alimentos. Por fim, farão uma campanha pela promoção de alimentos saudáveis.
(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.
Capítulo 1 Números inteiros
Trocando ideias
Em julho de 2021, uma massa de ar frio de origem polar fez com que parte do país registrasse medidas de temperatura extremamente baixas. Segundo especialistas, esse frio extremo tem relação com o aquecimento globalglossário .
▸
Quais são as principais atividades humanas que causam o aquecimento global? O que podemos fazer para combater o aquecimento global?
▸
A medida da temperatura registrada em Urupema (Santa Catarina) no dia 30 de julho de 2021 é maior ou menor do que 0 grau Célsius? Como você sabe?
Muitas medidas ou contagens que fazemos são representadas por números negativos. Eles costumam aparecer, por exemplo, em medidas de temperatura, dados de extrato bancárioglossário e saldos de gols.
Neste capítulo, você estudará um novo conjunto numérico: o conjunto dos números inteiros.
Gire o seu dispositivo para a posição vertical
Respostas e comentários
Trocando ideias: primeiro item: comentário em Orientações; segundo item: menor. Espera-se que os estudantes respondam que sabem que é menor por causa da presença do sinal de menos.
CAPÍTULO 1 – NÚMEROS INTEIROS
Trocando ideias
Bê êne cê cê:
• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).
• Competência específica 8 (a descrição está na página sete).
Objetivos:
• Levantar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre os números negativos.
• Discutir sobre o aquecimento global.
Tema contemporâneo transversal:
Forme uma roda de conversa com os estudantes para falar sobre a onda de frio extrema que atingiu o Brasil em julho de 2021. Se achar oportuno, antecipe a leitura do texto da seção Lendo e aprendendo do capítulo 5. Depois, peça a eles que conversem sobre as questões propostas no primeiro item. Após deixá-los trocar ideias, comente que entre as principais atividades humanas que causam aquecimento global estão a queima de combustíveis fósseis (derivados de petróleo, carvão mineral e gás natural) para a geração de energia, atividades industriais, transportes, agropecuária, descarte de resíduos sólidos (lixo) e desmatamento. Enfatize que todas essas atividades emitem grande quantidade de C0₂ e de gases formadores do efeito estufa. Diga também que o aquecimento global pode ser combatido diminuindo o desmatamento, incentivando o uso de fontes de energias renováveis e a reciclagem, investindo no reflorestamento e na conservação de áreas naturais etcétera
Após essa conversa inicial, peça a eles que observem a medida de temperatura indicada no termômetro da foto e respondam às questões do segundo item. Tais questões permitem verificar se os estudantes reconhecem que os números negativos são menores do que zero e como são registrados. Você pode ampliar a proposta e apresentar outras situações em que números negativos estão presentes e discutir com a turma os diferentes significados/ideias.
A competência geral 9 e a competência específica 8 têm seu desenvolvimento favorecido neste Trocando ideias, uma vez que o diálogo e a interação entre os estudantes são incentivados. Além disso, esta roda de conversa também será responsável por estimular o convívio social republicano no âmbito escolar.
1 Os números inteiros
Os números estão presentes em diferentes situações do nosso cotidiano, como será possível notar a seguir.
Leia este texto.
O dia 30 de julho foi um dos mais frios de 2021. Segundo o Instituto Nacional de Meteorologia (inmét), a região Sul foi a que registrou medidas de temperatura mais baixas; a cidade de General Carneiro, no Paraná, chegou a bater menos7,3 graus Célsius e Vacaria, no Rio Grande do Sul, menos4 graus Célsius. Já na região Norte, as medidas de temperatura se mostraram mais elevadas, como 12,8 graus Célsius em Rio Branco (capital do Acre).
Dados obtidos em: https://oeds.link/VHDkNV. Acesso em: 9 maio 2022.
Observe que, para indicar a medida da temperatura nas cidades General Carneiro (Paraná) e Vacaria (Rio Grande do Sul) usamos o sinal negativo (menos), mas para indicar a medida da temperatura em Rio Branco (Acre), que foi positiva (acima de zero), não utilizamos nenhum sinal. Isso ocorre porque, na representação de valores positivos, o uso do sinal (+) junto do número é optativo, enquanto, na representação dos valores negativos, o uso do sinal (menos) deve, obrigatoriamente, acompanhar o número a que se refere.
Para a representação do número zero (0), não usamos nenhum dos sinais, pois ele não é positivo nem negativo. O número zero serve como referência na classificação dos números em positivos ou negativos.
Respostas e comentários
Os números inteiros
Bê êne cê cê:
Habilidade ê éfe zero sete ême ah zero quatro.
Objetivos:
• Reconhecer os diferentes significados dos números inteiros.
• Representar números inteiros na reta numérica.
• Compreender os conceitos de módulo e de números opostos ou simétricos de número inteiro.
Justificativa
Inúmeras situações do cotidiano envolvem números inteiros, como medidas de temperatura, fuso horário, medidas de altitude, valores positivos e negativos em extratos bancários, saldo de gols em campeonatos, entre outras. Reconhecer os diferentes significados dos números inteiros contribui para a compreensão dessas situações.
Representar números inteiros na reta numérica, por sua vez, possibilita aos estudantes compreender que o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais e também oferece um recurso para que comparem números inteiros quaisquer: o menor deles é o que está localizado à esquerda do outro na reta numérica.
A compreensão dos conceitos de módulo e de números opostos será muito útil ao estudo das operações com números inteiros.
Mapeando conhecimentos
Faça perguntas para a turma sobre os números negativos e em que situações eles podem ser utilizados. Verifique se sabem representar os números negativos.
Para as aulas iniciais
Exiba para os estudantes imagens em que números negativos estejam presentes e incentive-os a verbalizar o significado desses números em cada imagem. Procure exibir imagens nas quais se observam medidas de temperatura negativas registradas em termômetros, extratos bancários, tabelas de campeonatos com saldo de gols etcétera
Na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores, retoma-se como representar números naturais na reta numérica. Faça essa revisão com os estudantes e explore com eles as atividades de 1 a 4.
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
Agora, verifique a representação do conjunto de números a seguir.
= {reticências, menos5, menos4, menos3, menos2, menos1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, reticências}
Esse conjunto é chamado de conjunto dos números inteiros, e é representado pelo símbolo
, originário da palavra Zahl, que em alemão significa “número”.
As reticências são utilizadas para indicar que o conjunto dos números inteiros é infinito nos dois sentidos: no dos números positivos e no dos números negativos.
Os números 30, 2021 e menos4 presentes no texto são exemplos de números inteiros.
Agora, acompanhe algumas outras situações em que os números negativos são utilizados.
Dados de extratos bancários
Observe a reprodução de um extrato bancário.
Os valores negativos nos extratos bancários correspondem aos débitos e são representados com o sinal de menos à direita. Nesse exemplo, os débitos no extrato são: transferência de dinheiro (TRANSF) para outra conta, pagamento (PAGTO) de uma conta, saque e uso do cartão (GASTO C DÉBITO).
Esses valores são subtraídos do saldo da conta bancária, fazendo-o diminuir. Observe que, no dia 15, o saldo era de R$ 1.661,00mil seiscentos e sessenta e um reais e, no dia 25, R$ 365,00trezentos e sessenta e cinco reais.
A expressão “saldo negativo” é utilizada quando debitamos da conta um valor maior do que o saldo existente, ou seja, um valor maior do que aquele de que dispomos em conta.
Respostas e comentários
O tópico Dados de extratos bancários inicia a discussão sobre operações de adição e subtração com números inteiros, favorecendo o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah zero quatro.
Proponha aos estudantes que conversem sobre o significado de alguns termos utilizados nesses tipos de transações:
• saque: retirada de certa quantia da conta bancária;
• débito: quando se retira um valor da conta bancária, podendo ser uma transferência de valores para outra conta bancária, pagamento de faturas (água, energia elétrica etcétera), pagamento de tarifas bancárias, entre outros;
• crédito: quando se deposita uma quantia na conta bancária, podendo ser um depósito em espécie na agência bancária, uma transferência entre contas, entre outros;
• saldo: diferença entre o total de créditos e o total de débitos lançados em uma conta bancária.
Comente com os estudantes que o saldo negativo ocorre quando o débito é maior que o crédito. Nesse caso, alguns bancos oferecem crédito ao cliente, porém, cobram por esse empréstimo um acréscimo chamado juro.
Saldo de gols
Observe a seguir a classificação de alguns times no Campeonato Brasileiro de Futebol da série a em 2021.
|
Classificação |
Clube |
Pontos |
Gols marcados |
Gols sofridos |
Saldo de gols |
|---|---|---|---|---|---|
|
1º |
Atlético Mineiro |
84 |
67 |
34 |
33 |
|
2º |
Flamengo |
71 |
69 |
36 |
33 |
|
3º |
Palmeiras |
66 |
58 |
43 |
15 |
|
4º |
Fortaleza |
58 |
44 |
45 |
−1 |
|
17º |
Grêmio |
43 |
44 |
51 |
−7 |
|
18º |
Bahia |
43 |
42 |
51 |
−9 |
|
19º |
Sport |
38 |
24 |
37 |
−13 |
|
20º |
Chapecoense |
15 |
27 |
67 |
−40 |
Dados obtidos em: https://oeds.link/LApJb3. Acesso em: 9 maio 2022.
O número que representa o saldo de gols é obtido pela diferença entre o número de gols marcados e o número de gols sofridos de cada time. Observe que o saldo de gols de alguns times é negativo. Isso ocorre porque o número de gols marcados é menor que o número de gols sofridos.
Medidas de altitude
Os números negativos também são usados para indicar medidas de altitude.
Nesse caso, o nível do mar é o ponto de referência, que indica zero metro; as medidas que correspondem a altitudes acima do nível do mar são indicadas por números positivos, e as medidas que correspondem a altitudes abaixo do nível do mar são indicadas por números negativos.
O Cristo Redentor (Rio de Janeiro) é um monumento situado no topo do Morro do Corcovado, a 709 metros acima do nível do mar. A medida da sua altitude pode ser indicada por +709 ême (lemos: “mais setecentos e nove metros”).
O poço pioneiro de extração de petróleo da Bacia de Campos (Rio de Janeiro) foi o de Garoupa, a 100 metros abaixo do nível do mar. A medida da sua altitude pode ser indicada por menos100 ême (lemos: “menos cem metros”).
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
Respostas e comentários
Pergunte aos estudantes como pode ser feito o desempate, caso dois ou mais times estejam com o mesmo número de pontos na tabela de determinado campeonato de futebol.
Sugestão de atividade extra
Explore curiosidades referentes a situações envolvendo medidas de altitude e profundidade. Peça aos estudantes que realizem uma pesquisa, em livros ou sites especializados, de modo a responder a perguntas como: “Quais problemas um ser humano pode enfrentar se estiver a uma medida de altitude superior a .3000 metros? E a 200 metros de medida de profundidade?”; “Qual seria o limite seguro para a prática de mergulho?”.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
1. Observe os números a seguir e responda:
a) Quais deles são positivos?
b) Quais são negativos?
c) O número zero é positivo ou negativo?
2. Represente, com números inteiros, cada uma das situações a seguir.
a) Débito de R$ 3.000,00três mil reais.
b) Lucro de R$ 1.200,00mil duzentos reais.
c) Elevação de .2300 métros.
d) Depressão de 500 métros.
3. Letícia pegou o elevador no 3º subsolo e subiu até o 10º andar. Quantos andares ela percorreu?
4. Observe a classificação das seleções da América do Sul nas eliminatórias para a Copa do Mundo da Fifa 2022 e escreva no caderno os números inteiros que representam o saldo de gols de cada seleção.
|
Seleção |
Gols marcados |
Gols sofridos |
|---|---|---|
|
1º Brasil |
40 |
5 |
|
2º Argentina |
27 |
8 |
|
3º Uruguai |
22 |
22 |
|
4º Equador |
27 |
19 |
|
5º Peru |
19 |
22 |
|
6º Colômbia |
20 |
19 |
|
7º Chile |
19 |
26 |
|
8º Paraguai |
12 |
26 |
|
9º Bolívia |
23 |
42 |
|
10º Venezuela |
14 |
34 |
Dados obtidos em: https://oeds.link/th8PYi. Acesso em: 1º agosto 2022.
5. Em 20/1, o saldo da conta bancária de Roberta era R$ 1.560,00mil quinhentos e sessenta reais. Nos três dias seguintes, ela efetuou estas operações financeiras:
• em 21/1
retirou a metade do saldo;
• em 22/1
depositou R$ 180,00cento e oitenta reais;
• em 23/1
retirou R$ 300,00trezentos reais.
Copie no caderno o quadro a seguir substituindo cada
de acordo com as operações financeiras efetuadas.
|
Dia |
Saldo anterior |
Crédito |
Débito |
Saldo |
|---|---|---|---|---|
|
21/1 |
||||
|
22/1 |
||||
|
23/1 |
6.
Crie um problema que contenha as palavras “extrato” e “saldo negativo”. Em seguida, troque-o com o de um colega e resolva o problema que ele criou. Por fim, conversem sobre os resultados obtidos.
7. Em um dia de muito frio na cidade de São Joaquim (Santa Catarina), a medida da temperatura esteve em menos1 grau Célsius. À noite, ela chegou a menos6 graus Célsius. Do dia para a noite, a medida da temperatura diminuiu quantos graus Celsius?
8. Certo dia, Emília viajou de Berlim (Alemanha) para Berna (Suíça). Quando saiu de Berlim, a medida da temperatura era de menos2 graus Célsius e, ao chegar a Berna, a medida da temperatura era de menos8 graus Célsius. Em que cidade a medida da temperatura era menor: Berlim ou Berna?
Respostas e comentários
1. a) +7, +4, +18, +76, +25
1. b) menos3, menos9, menos36
1. c) Não é positivo nem negativo.
2. a) menosR$ 3.000,00 três mil reais
2. b) +R$ 1.200,00 mil duzentos reais
2. c) +.2300 métros
2. d) menos500 métros
3. 13 andares
4. 35, 19, 0, 8, menos3, 1, menos7, menos14, menos19 e menos20
5. Resposta em Orientações.
6. Exemplo de resposta: “Carlos olhou o extrato de sua conta e descobriu que estava com saldo negativo de 53 reais. Quanto ele tem de depositar para ficar com saldo zero na conta?” (Resposta: 53 reais.)
7. 5 graus Célsius
8. Berna
• Para as atividades 5 e 6, é conveniente discutir e sanar eventuais dúvidas que ainda existam sobre o significado de palavras como “saldo”, “saque”, “depósito”, ”extrato”, ”lucro”, entre outras, estimulando a compreensão de expressões usadas em situações diárias.
• Resposta da atividade 5:
|
Dia |
Saldo anterior |
Crédito |
Débito |
Saldo |
|---|---|---|---|---|
|
21/1 |
R$ 1.560,00 |
R$ 780,00 |
R$ 780,00 |
|
|
22/1 |
R$ 780,00 |
R$ 180,00 |
R$ 960,00 |
|
|
23/1 |
R$ 960,00 |
R$ 300,00 |
R$ 660,00 |
• Os estudantes podem apresentar dificuldades durante a interpretação e a resolução da atividade 8. Uma sugestão para sanar eventuais dúvidas é solicitar que façam o esboço de um termômetro e sua graduação. A visualização das graduações das medidas de temperatura no termômetro auxiliará na contagem das unidades entre menos2 graus Célsius e menos8 graus Célsius.
Representação dos números inteiros na reta numérica
Podemos representar os números inteiros em uma reta numérica. Para isso, traçamos uma reta r e sobre ela marcamos o ponto O, chamado origem, que corresponde ao número zero.
Usando a mesma unidade de medida de comprimento, assinalamos pontos consecutivos à direita da origem e, para cada ponto, fazemos corresponder um número inteiro positivo.
Repetimos esse procedimento para representar pontos situados à esquerda da origem, aos quais fazemos corresponder os números inteiros negativos.
Observe:
Podemos reunir em uma só reta numérica os números inteiros positivos e negativos.
Dessa fórma, estabelecemos uma correspondência entre os números inteiros e os pontos marcados na reta.
Observações
1. A reta numérica não precisa ser representada necessariamente na posição horizontal.
2. Cada número inteiro está associado a um único ponto da reta numérica, mas nem todo ponto da reta numérica está associado a um número inteiro.
Respostas e comentários
Balão de fala: Espera-se que os estudantes percebam que, repetindo o procedimento, representaríamos os pontos situados abaixo da origem na reta r e associaríamos a eles os números inteiros negativos.
Representação dos números inteiros na reta numérica
Pode-se enriquecer o conteúdo expondo que um ponto associado a um número inteiro na reta também é chamado de imagem geométrica. Por exemplo, na reta numérica apresentada no texto, o ponto a é a imagem geométrica de +1, assim como H é a imagem geométrica de menos3. Podemos dizer ainda que +1 é a abscissa do ponto a e que menos3 é a abscissa do ponto H.
Comente com os estudantes que os pontos da reta numérica que não estão associados a um número inteiro estão associados a outros números. Esses números pertencem a conjuntos numéricos que serão estudados mais adiante.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
9. Observe a reta numérica e responda às questões.
a) Que número corresponde ao ponto B?
b) Qual é o ponto correspondente ao número menos4?
c) Qual é o ponto correspondente ao número +5?
d) Qual é o ponto que corresponde ao número +2?
e) O ponto E corresponde a que número?
10. Em seu caderno, trace uma reta numérica e represente nela os pontos indicados em cada item.
a) a, que corresponde a menos3;
b) C, que corresponde a menos5;
c) B, que corresponde a +5;
d) D, que corresponde a 0.
11. Em seu caderno, trace uma reta numérica e represente nela os números inteiros maiores ou iguais a menos2 e menores que 5.
12. Um ponto é deslocado, a partir do zero, seis unidades sobre uma reta numérica no sentido positivo e, em seguida, 10 unidades no sentido negativo. Determine o número inteiro correspondente ao ponto após esse percurso.
13. O gráfico a seguir representa o desempenho de uma microempresa durante o 1º semestre de 2023.
Dados obtidos pela microempresa no 1º semestre de 2023.
a) Em que mês o prejuízo foi de 40 mil reais?
b) Qual foi o saldo do mês de março?
c) Durante esses seis meses, a microempresa teve lucro ou prejuízo? De quanto?
Módulo de um número inteiro
A medida da distância de um ponto na reta numérica até a origem O é chamada de módulo ou valor absoluto do número associado a esse ponto. Representamos o módulo de um número colocando-o entre duas barras verticais: | |.
Observe os exemplos a seguir.
a) A medida da distância do ponto a à origem O é 4 unidades.
O módulo de menos4 é 4. Indicamos: |menos4| = 4 (lemos: “módulo de menos quatro é igual a quatro”)
b) A medida da distância do ponto B à origem O é 6 unidades.
O módulo de +6 é 6. Indicamos: |+6| = 6 (lemos: “módulo de mais seis é igual a seis”)
Respostas e comentários
9. a) menos1
9. b) ponto a
9. c) ponto D
9. d) ponto C
9. e) +6
10.
11.
12. menos4
13. a) fevereiro
13. b) 35 mil reais
13. c) lucro; 45 mil reais
• As atividades 10 e 11 têm o objetivo de estimular os estudantes a fazer a conversão do registro em linguagem materna para o registro gráfico. O caminho inverso também pode ser estimulado. Para isso, proponha a eles que desenvolvam algum tipo de descrição para os números localizados na reta numérica. Por exemplo, represente em uma reta numérica os pontos correspondentes aos números inteiros 10, 11, 12, 13, reticências, 19 e 20 e, em seguida, proponha que escrevam no caderno uma frase associada a essa representação. Nesse caso, um exemplo de resposta seria: “Números inteiros maiores que 9 e menores ou iguais a 20”.
• A atividade 13 envolve leitura e interpretação de um gráfico de barras verticais. Os gráficos auxiliam no tratamento de informações e estão presentes no cotidiano dos estudantes. Por esse motivo, saber lê-los e interpretá-los contribui para a formação deles como cidadãos. Auxilie na identificação do que representam os dados do eixo horizontal e do eixo vertical e o significado das barras com valores negativos. Espera-se que os estudantes verifiquem que essas barras representam os meses em que a empresa obteve prejuízo. Você também pode solicitar que identifiquem o mês em que a microempresa teve maior lucro ou maior prejuízo.
Módulo de um número inteiro
Faça a leitura coletiva do texto com a turma e, se julgar necessário, apresente mais exemplos. Considere antecipar a realização de alguns itens da atividade 16.
Números opostos ou simétricos
Observe os pontos a e bê localizados na reta numérica, que representam os números menos4 e 4, respectivamente.
A medida da distância do ponto a até a origem é de 4 unidades, assim como a medida da distância do ponto B até a origem é de 4 unidades. Os pontos a e bê estão à mesma medida de distância da origem, porém situados em lados opostos da reta numérica (em relação ao zero). Por isso, podemos dizer que menos4 e 4 são números opostos ou simétricos.
Observe outros exemplos a seguir.
a) 15 é o oposto ou simétrico de menos15, pois 15 = menos(menos15).
b) menos17 é o oposto ou simétrico de 17, pois menos17 = menos(+17).
c) 10 é o oposto ou simétrico de menos10, pois 10 = menos(menos10).
d) menos.1000 é o oposto ou simétrico de +.1000, pois menos.1000 = menos(+.1000).
Atividades
Faça as atividades no caderno.
14. Determine:
a) o oposto de menos6;
b) o oposto de 100;
c) o oposto de menos7;
d) o oposto de 8.
15. Escreva no caderno o valor absoluto de:
a) +13
b) +50
c) menos21
d) menos116
16. Determine.
a) |menos16|
b) |menos20|
c) |+35|
d) |menos1|
e) |0|
f) |menos14|
g) |+239|
h) |menos524|
17. Responda às questões.
a) Qual é o módulo de menos13?
b) Qual é o oposto de menos318?
c) Quais são os números inteiros que têm valor absoluto igual a 17?
18. Quantos números inteiros apresentam:
a) módulo menor que zero?
b) módulo igual a zero?
c) módulo maior que zero?
19.
No caderno, copie e complete a frase, tornando-a verdadeira.
Que tipo de número pode ser usado para completar essa frase? Converse com o professor e os colegas.
Respostas e comentários
Balão de fala: Espera-se que os estudantes percebam que como o ponto de origem corresponde ao próprio número zero, então a medida da distância entre eles será zero. Logo, ∣0∣ = 0.
14. a) +6
14. b) menos100
14. c) +7
14. d) menos8
15. a) 13
15. b) 50
15. c) 21
15. d) 116
16. a) 16
16. b) 20
16. c) 35
16. d) 1
16. e) 0
16. f) 14
16. g) 239
16. h) 524
17. a) 13
17. b) +318
17. c) +17 e menos17
18. a) nenhum
18. b) um número, o próprio zero
18. c) infinitos
19. Espera-se que os estudantes percebam que qualquer número inteiro positivo pode ser usado para completar a frase.
Números opostos ou simétricos
É importante que os estudantes compreendam que os números inteiros negativos podem ser conceituados pela ideia de simetria em relação aos números inteiros positivos na reta numérica. Por esse motivo, chamamos os números −4 e 4 de números simétricos (ou opostos), pois o ponto A é simétrico ao ponto B em relação à origem da reta.
• Nas atividades de 14 a 19, o uso da reta numérica pode auxiliar os estudantes na visualização do valor do módulo ou do simétrico de um número inteiro.
Se achar conveniente, desafie-os a resolver a atividade 19 usando apenas o raciocínio lógico-matemático (indução, dedução, abdução ou raciocínio por analogia) e, em seguida, oriente-os a usar uma reta numérica para conferir o raciocínio e as respostas.
2 Comparação de números inteiros
Ricardo olhou a medida da temperatura no termômetro em dois dias diferentes e teve uma dúvida:
Para responder à dúvida de Ricardo, precisamos determinar qual dos números é maior: menos4 ou 3. Para compará-los, podemos utilizar a reta numérica, marcando os pontos associados a esses números.
O número menos4 é menor que 3, pois o ponto que o representa está localizado à esquerda do que representa o 3 na reta numérica.
Indicamos: menos4 < 3 (lemos: “menos quatro é menor que três”).
Considere os exemplos a seguir.
a) +3 é maior que 0, ou seja, 3 > 0 (lemos: "três é maior que zero");
b) menos6 é menor que menos1, ou seja, menos6 < menos1 (lemos: "menos seis é menor que menos um");
c) menos5 é menor que 2, ou seja, menos5 < 2 (lemos: "menos cinco é menor que dois");
d) 0 é maior que menos2, ou seja, 0 > menos2 (lemos: "zero é maior que menos dois");
De modo geral, dados dois números inteiros quaisquer, o maior deles será aquele cujo ponto que o representa estiver à direita do ponto que representa o outro na reta numérica.
Observações
1. De maneira geral:
• qualquer número negativo é menor que zero;
• qualquer número positivo é maior que zero;
• todo número positivo é maior que qualquer número negativo.
2. Dado um número inteiro qualquer representado por um ponto na reta numérica, o ponto “vizinho” à sua direita representa seu sucessor, e o ponto “vizinho” à sua esquerda representa seu antecessor.
Respostas e comentários
Comparação de números inteiros
Bê êne cê cê:
Habilidade ê éfe zero sete ême ah zero três.
Objetivo:
Comparar e ordenar números inteiros.
Justificativa
A comparação e a ordenação de números inteiros estão presentes em diversas situações cotidianas, por exemplo, nas comparações de medidas de temperatura, de saldo de gols, de saldo em contas bancárias, entre outras. Além disso, esse é um objetivo importante para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah zero três.
Mapeando conhecimentos
Organize a turma em grupos e peça que comparem medidas de temperatura, saldo de gols, saldo de contas bancárias e ou ou medidas de altitude. É importante que as medidas envolvam números inteiros positivos e negativos. Observe as estratégias que empregam ao fazer as comparações e as dificuldades apresentadas.
Para as aulas iniciais
Escreva na lousa alguns pares de números inteiros e peça aos estudantes que verifiquem qual é o maior número, utilizando a reta numérica como apoio. Explore números inteiros de sinais iguais ou diferentes e números que têm mesmo valor absoluto e sinais diferentes, como 5 e menos5.
Para explorar o tópico Comparação de números inteiros, é interessante que o estudante já tenha se apropriado da compreensão da associação dos números com pontos da reta numérica. Em geral, os estudantes não apresentam dificuldades na comparação de números inteiros positivos, porém, na comparação de números negativos, é muito frequente que digam que, por exemplo, menos6 é maior que menos2. Isso ocorre por se aterem ao valor absoluto do número. Por esse motivo, devido ao apelo visual, é importante estimulá-los a recorrer, sempre que necessário, à representação da reta numérica ao fazer comparações entre esses tipos de números. Outro modo de auxiliar os estudantes na compreensão do conteúdo é utilizar como ferramenta o termômetro e propor os seguintes questionamentos: “Qual medida representa a temperatura mais quente, menos1 grau Célsius ou menos9 graus Célsius? E entre 0 grau Célsius ou menos7 graus Célsius?”. Com esses exemplos, os estudantes perceberão que a maior medida de temperatura está representada pela medida cujo valor numérico tem o menor módulo.
(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
20. Represente os números a seguir em uma reta numérica:
menos1, 3, menos4, 7, 0, menos2, menos6, 2
Agora, responda às questões.
a) Qual é o maior desses números?
b) Qual é o menor desses números?
c) Qual é o número inteiro situado entre menos4 e menos2?
21. Escreva no caderno os números inteiros a seguir, em ordem decrescente, usando o sinal >.
menos4, 7, menos8, 3, menos1, 0, 6
22. Usando os sinais > ou <, compare os seguintes pares de números inteiros:
a) +3
+2
b) menos5
‒6
c) menos4
+4
d) 0
menos1
e) +2
0
f) menos2
menos1
g) menos3
menos4
h) 0
menos10
23. Determine:
a) o número inteiro antecessor de menos9;
b) o número inteiro sucessor de menos14;
c) os três primeiros números inteiros menores que +1;
d) o número inteiro sucessor de menos13.
24. Imaginando que Pitágoras tenha nascido no ano 580 antes de Cristo e Tales de Mileto, no ano 624 antes de Cristo, pergunta-se:
a) Quem nasceu primeiro?
b) Qual era a diferença entre as datas de nascimento desses dois homens?
25. Responda às questões.
a) Qual é o maior número inteiro menor que menos50?
b) Qual é o menor inteiro de três algarismos?
3 Adição com números inteiros
Acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
Ana está com alguns problemas financeiros. Mesmo com o saldo da conta bancária em R$ 200,00duzentos reais negativos, ela fez uma retirada de R$ 400,00quatrocentos reais. Qual é o saldo da conta de Ana após a retirada?
Pelos dados do enunciado, temos:
• saldo inicial: menos200
• retirada: menos400
Observe a representação dessa operação na reta numérica:
Dessa fórma, temos: (menos200) + (menos400) = menos600
Portanto, a conta de Ana ficou com R$ 600,00seiscentos reais de saldo negativo após a retirada.
Respostas e comentários
20.
20. a) 7
20. b) menos6
20. c) menos3
21. 7 > 6 > 3 > 0 > menos1 > menos4 > menos8
22. a) +3 > +2
22. b) menos5 > menos6
22. c) menos4 < +4
22. d) 0 > menos1
22. e) +2 > 0
22. f) menos2 < menos1
22. g) menos3 > menos4
22. h) 0 > menos10
23. a) menos10
23. b) menos13
23. c) 0, menos1 e ‒2
23. d) menos12
24. a) Tales de Mileto
24. b) 44 anos
25. a) menos51
25. b) menos999
• Na atividade 24, os estudantes terão que trabalhar com datas referentes a fatos ocorridos antes do nascimento de Cristo antes de Cristo. Em diversas situações do cotidiano, especialmente nas aulas de História, eles precisarão lidar com datas expressas dessa fórma e estabelecer comparações entre elas. Comente que atualmente o calendário utilizado por nós é chamado de gregoriano e que ele adota o ano de nascimento de Cristo como ano 1. Os anos antes de Cristo são indicados por a cê, e os depois de Cristo por dê cê A representação gráfica pode auxiliar na compreensão desse tipo de atividade.
Adição com números inteiros
Bê êne cê cê:
Habilidade ê éfe zero sete ême ah zero quatro.
Objetivo:
Calcular a adição entre números inteiros e compreender as propriedades dessa operação.
Justificativa
Calcular a adição entre números inteiros amplia os procedimentos de cálculo estudados para os números naturais e possibilita aos estudantes resolver e elaborar problemas que envolvam essa operação, o que favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah zero quatro.
Mapeando conhecimentos
Proponha algumas adições envolvendo números inteiros na lousa e peça aos estudantes que as resolvam utilizando suas estratégias pessoais. Deixe-os à vontade para conversar e estabelecer conjecturas.
Para as aulas iniciais
Retome as mesmas adições da dinâmica inicial e mostre como podem ser resolvidas por meio de “deslocamentos” na reta numérica. Depois, proponha outras adições para que efetuem utilizando a reta numérica como apoio.
Revise as propriedades da adição com números naturais presentes na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e solicite que façam as atividades de 5 a 7. Faça a correção dessas atividades coletivamente.
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
Situação 2
O saldo bancário da conta de Liana em 4 de outubro era R$ 350,00trezentos e cinquenta reais negativos. No dia seguinte, ela fez um depósito de R$ 600,00seiscentos reais em sua conta bancária. Após esse depósito, com que saldo ficou a conta de Liana?
Pelos dados do enunciado, temos:
• saldo inicial: menos350
• depósito: +600
Observe a representação dessa operação na reta numérica:
Dessa fórma, temos: (menos350) + (+600) = +250
Portanto, a conta de Liana ficou com saldo de R$ 250,00duzentos e cinquenta reais após o depósito.
▸
Reúna-se com 3 colegas. Cada um, em seu caderno, vai escrever quatro adições com números inteiros: uma com dois números positivos, uma com dois números negativos; uma com um número positivo e outro negativo; e outra em que um dos números é zero. Depois respondam as questões.
a) Os resultados das adições de números positivos foram positivos ou negativos?
b) E os resultados das adições de números negativos?
c) Os resultados das adições em que uma das parcelas é zero foram positivos ou negativos?
d) E os resultados das adições de um número positivo e um número negativo?
Respostas e comentários
Item:
a) positivos
b) negativos
c) Espera-se que os estudantes percebam que o resultado de uma adição em que uma das parcelas é zero será:
• positivo se a outra parcela for positiva;
• negativo se a outra parcela for negativa;
• zero se a outra parcela for igual a zero.
d) Os resultados podem ser positivos, negativos ou iguais a zero. Espera-se que os estudantes percebam que o sinal do resultado é o mesmo do número de maior módulo ou que, se um número é o oposto do outro, o resultado é igual a zero.
É recomendável, ao trabalhar adições com números inteiros, explorar a ideia de que, quando juntamos dois prejuízos, obtemos um prejuízo; quando juntamos dois lucros, obtemos um lucro; e, quando juntamos um prejuízo com um lucro, o resultado dependerá do valor absoluto de cada um. Incentive os estudantes a estimar resultados antecipando se o sinal da operação será positivo ou negativo. Trata-se de uma maneira de associar estimativas a técnicas de cálculo. Aproveite a oportunidade e converse sobre as vantagens de fazer previsões de resultados e o quanto isso é usado em situações do cotidiano.
Sugira aos estudantes que resolvam as operações mostradas nas situações dadas como exemplos com o auxílio da reta numérica.
Propriedades da adição com números inteiros
Para a adição com números naturais, são válidas a propriedade comutativa, a propriedade associativa e a existência do elemento neutro. Essas propriedades, além da existência do elemento oposto, são válidas também para a adição com números inteiros.
Propriedade comutativa
Em uma adição com números inteiros, a ordem das parcelas não altera a soma. Observe os exemplos a seguir.
a) (menos6) + (+5) = menos1 e (+5) + (menos6) = menos1
b) (menos19) + (menos8) = menos27 e (menos8) + (menos19) = ‒27
Propriedade associativa
Em uma adição com números inteiros com mais de duas parcelas, podemos associar essas parcelas de diferentes maneiras sem alterar a soma. Observe os exemplos a seguir.
a)
b)
Elemento neutro
Em uma adição com duas parcelas em que uma delas é zero, o resultado é igual à outra parcela. O zero é o elemento neutro da adição. Observe os exemplos a seguir.
a) (+6) + 0 = 0 + (+6) = +6
b) (menos5) + 0 = 0 + (menos5) = menos5
Elemento oposto
Em uma adição em que as duas parcelas são números opostos, a soma é zero. Observe os exemplos a seguir.
a) (menos7) + (+7) = 0
b) (+26) + (menos26) = 0
Atividades
Faça as atividades no caderno.
26. Calcule.
a) (+5) + (+3)
b) (menos7) + (menos10)
c) 0 + (menos8)
d) (+5) + (menos20)
e) (menos40) + (+13)
f) (menos8) + (menos17)
27. Uma pessoa tinha saldo positivo de R$ 600,00seiscentos reais em sua conta bancária. Sabendo que ela retirou R$ 1.000,00mil reais, o saldo passou a ser positivo ou negativo? Qual é o novo saldo da conta?
Respostas e comentários
26. a) +8
26. b) menos17
26. c) menos8
26. d) menos15
26. e) menos27
26. f) menos25
27. negativo; menosR$ 400,00quatrocentos reais
Propriedades da adição com números inteiros
Explique aos estudantes que essas propriedades podem ser demonstradas matematicamente, mas que essas demonstrações não serão feitas neste momento.
28. Um avião está a uma medida de altitude de .8000 métros. Se ele subir .3000 métros e, em seguida, descer .4500 métros, qual será sua medida de altitude após a descida?
29. Nas quatro primeiras semanas de fevereiro, a empresa Gama apresentou o seguinte demonstrativo.
|
1ª semana |
lucro |
R$ 5.680,00 |
|
2ª semana |
prejuízo |
R$ 1329,00 |
|
3ª semana |
lucro |
R$ 2.400,00 |
|
4ª semana |
prejuízo |
R$ 4.260,00 |
a) Qual foi o saldo final da empresa no período considerado?
b) Devemos representar o saldo por um número positivo ou negativo?
30.
Elabore um problema cujo resultado seja menos25. Junte-se a um colega e verifiquem se os problemas estão corretos.
31. Escreva no caderno as propriedades utilizadas em cada caso.
a) (+35) + 0 = 0 + (+35) = +35
b) (+8) + (menos9) = (menos9) + (+8)
c) (+6) + (menos6) = 0
d) [(menos3) + (menos8)] + (+2) = (menos3) + [(menos8) + (+2)]
32. Observe como Rita, Maísa e Ilda calcularam o valor da expressão numérica a seguir.
(menos14) + (menos8) + (menos43) + 0 + 22 + 8 + 43 + 14
a) Alguma delas errou o cálculo?
b) Qual delas fez um procedimento mais prático? Por quê?
c) Use um dos procedimentos anteriores para calcular:
(menos18) + 101 + 9 + (menos101) + (menos38) + 22 + 18 + 38
Respostas e comentários
28. .6500 métros
29. a) R$ 2.491,00 dois mil quatrocentos e noventa e um reais
29. b) positivo
30. Exemplo de resposta: “No último campeonato, meu time marcou 3 gols e sofreu 28. Qual foi o saldo de gols do meu time?”
31. a) elemento neutro e comutativa
31. b) comutativa
31. c) elemento oposto
31. d) associativa
32. a) não
32. b) Espera-se que os estudantes respondam que foi Ilda porque ela aplicou a propriedade do elemento oposto.
32. c) 31
• Na atividade 32, proponha aos estudantes que identifiquem, nos procedimentos apresentados por Rita, Maísa e Ilda, qual propriedade foi utilizada em cada resolução. Em seguida, chame a atenção deles para o fato de que conhecer as propriedades das operações pode facilitar e agilizar a realização dos cálculos de um problema.
4 Subtração com números inteiros
Observe a classificação dos quatro primeiros colocados no grupo a da 1ª fase da Liga Nacional de Futsal 2021.
|
Classificação |
Clube |
Gols marcados |
Gols sofridos |
Saldo de gols |
|---|---|---|---|---|
|
1º |
Sorocaba |
42 |
27 |
15 |
|
2º |
Joaçaba |
37 |
31 |
6 |
|
3º |
São José |
27 |
31 |
‒4 |
|
4º |
Santo André |
30 |
20 |
10 |
Dados obtidos em: https://oeds.link/zcUo77. Acesso em: 25 maio 2022.
• Qual foi a diferença entre o saldo de gols das equipes Joaçaba e São José?
Com base na tabela, temos:
Saldo de gols da equipe Joaçaba: +6
Saldo de gols da equipe São José: menos4
Localizando os pontos correspondentes aos números +6 e menos4 na reta numérica, temos:
A diferença entre o saldo das equipes Joaçaba e São José pode ser determinada calculando o valor da expressão:
(+6) menos (menos4)
Observe que menos(menos4) é o simétrico do número menos4, ou seja, é igual a +4. Assim:
Portanto, a diferença entre o saldo de gols das equipes Joaçaba e São José foi de 10.
• Quantos gols faltavam para o São José alcançar o saldo de gols do Santo André?
Com base na tabela, temos:
Saldo de gols da equipe São José: menos4
Saldo de gols da equipe Santo André: +10
Localizando os pontos correspondentes aos números menos4 e +10 na reta numérica, temos:
A diferença entre o saldo de gols das equipes São José e Santo André pode ser determinada calculando o valor da expressão:
(menos4) menos (+10)
Observe que menos(+10) é o simétrico do número +10, ou seja, é igual a menos10. Assim:
Respostas e comentários
Subtração com números inteiros
Bê êne cê cê:
Habilidade ê éfe zero sete ême ah zero quatro.
Objetivos:
• Calcular a subtração entre números inteiros.
• Calcular o valor de expressões numéricas com adições e subtrações.
Justificativa
Calcular a subtração entre números inteiros amplia os procedimentos de cálculo estudados para os números naturais e possibilita aos estudantes resolver e elaborar problemas que envolvam essa operação, o que favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah zero quatro.
Mapeando conhecimentos
Proponha aos estudantes que resolvam o seguinte problema: “A medida da temperatura no interior de um freezer é menos9 graus Célsius e a medida da temperatura fóra do freezer é 22 graus Célsius. Qual é a diferença entre as medidas da temperatura interna e a externa do freezer?”. Verifique se todos compreenderam o problema e incentive-os a traduzi-lo por meio de uma sentença matemática. Espera-se que eles concluam que, para resolver o problema, devem calcular 22 menos (menos9). Observe como procedem para fazer esse cálculo.
Para as aulas iniciais
Mostre como calcular 22 menos (menos9) por meio de “deslocamentos” na reta numérica. Depois, proponha que calculem (menos7) menos (+1), (+2) menos (+11) e (menos8) menos (menos6) utilizando a reta numérica como apoio.
Ao trabalhar a subtração de números inteiros, é fundamental diferenciar o sinal do número e o sinal da operação, indicados pelo símbolo “menos”. Essa diferenciação é o primeiro passo para que os estudantes compreendam como essas subtrações são efetuadas e em que situações podem ser utilizadas.
Nas operações com números negativos, é importante que o estudante entenda que toda subtração pode ser transformada em uma soma adicionando-se o primeiro número ao oposto do segundo.
Se achar necessário, aprofunde a discussão sobre os sinais, comparando as seguintes sentenças:
(menos1) menos (+3) = menos4
(menos1) + (menos3) = menos4
Em seguida, chame a atenção dos estudantes para o fato de que, apesar de as duas sentenças apresentarem o mesmo resultado, na segunda, o sinal que aparece antes do 3 não é o operador de subtração, mas, sim, o indicador de que o 3 é um número negativo.
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
Portanto, a diferença entre o saldo de gols das equipes São José e Santo André foi de menos14, ou seja, faltavam 14 gols para o São José alcançar o saldo de gols do Santo André.
• Qual é a diferença entre o saldo de gols de uma equipe que tem menos3 gols de saldo e outra que tem menos1 gol de saldo?
Localizando os pontos correspondentes aos números menos3 e menos1 na reta numérica, temos:
A diferença entre o saldo de gols das equipes pode ser determinada calculando o valor da expressão:
(menos3) menos (menos1)
Observe que menos(menos1) é o simétrico do número menos1, ou seja, é igual a +1. Assim:
Portanto, a diferença entre o saldo de gols das equipes é igual ao valor absoluto obtido pela diferença, ou seja, 2 gols.
Observações
1. Podemos eliminar os parênteses no registro e no cálculo de adições e de subtrações com números inteiros. Confira como:
• Quando, antes dos parênteses, o sinal for “+” (que pode não estar explícito, ou seja, pode não aparecer), manteremos os sinais dos números que estão no interior dos parênteses. Observe os exemplos:
a) +(+6) = +6 = 6
b) +(menos15) = menos15
c) (menos28) = menos28
d) (+10) = +10 = 10
• Quando o sinal que antecede os parênteses for “menos”, trocaremos os sinais dos números que estão no interior dos parênteses. Observe os exemplos:
a) menos(+7) = menos7
b) menos(menos5) = +5 = 5
c) menos(6) = menos6
d) menos(menos8) = +8 = 8
2. O registro e o cálculo das adições e das subtrações com números inteiros podem ser simplificados quando eliminamos os parênteses. Analise os exemplos:
a) (+3) + (+4) = +7, ou 3 + 4 = 7
b) (+5) + (menos2) = +3, ou 5 menos 2 = 3
c) (menos7) + (+4) = menos3, ou menos7 + 4 = menos3
d) (menos3) + (menos10) = menos13, ou menos3 menos 10 = menos13
e) (+8) menos (+4) = (+8) menos 4 = +4, ou 8 menos 4 = 4
f) (menos9) menos (menos5) = (menos9) + 5 = menos4, ou menos9 + 5 = menos4
g) (+5) menos (menos3) = (+5) + 3 = 8, ou 5 + 3 = 8
h) (menos6) menos (+4) = (menos6) menos 4 = menos10, ou menos6 menos 4 = menos10
▸
Reúna-se com um colega e copiem no caderno as afirmações verdadeiras.
umSubtrair um número inteiro é o mesmo que adicionar o oposto ou simétrico desse nú mero.
doisAo subtrair um inteiro negativo de outro, o resultado nunca será um número inteiro positivo.
três O resultado de uma subtração de números inteiros pode ser obtido adicionando o primeiro número ao oposto do segundo.
quatro. O resultado da subtração entre dois números inteiros nunca será igual a zero.
Respostas e comentários
Item: afirmações dos itens um e três.
Chame a atenção dos estudantes para o fato de que no conjunto dos números naturais nem sempre a subtração é possível, mas no conjunto dos números inteiros a subtração sempre é possível. Por exemplo, 3 menos 7 é possível no conjunto dos inteiros, pois o resultado (menos 4) é um número inteiro não natural, ou seja, um número inteiro negativo.
Na análise das afirmações, permita que os estudantes conversem e estimule a argumentação. Após identificarem as afirmações verdadeiras, peça a eles que justifiquem o porquê de as afirmações dois e quatro serem falsas. Para justificar ambas, eles podem apresentar contraexemplos.
Expressões numéricas com adições e subtrações
Acompanhe diferentes formas de calcular o valor da expressão numérica (menos8) + (+10) menos (menos3) + (menos4):
• Escrevemos as subtrações na fórma de adição e calculamos as adições na ordem em que aparecem.
Sugestão de leitura
GUELLI, Oscar. Números com sinais: uma grande invenção! São Paulo: Ática, 2000. (Coleção Contando a história da Matemática).
Esse livro traz temas da história da Matemática, como o surgimento dos sinais de adição e de subtração, e jogos e passatempos envolvendo números positivos e negativos, os sinais de maior e menor etcétera
• Eliminamos todos os parênteses antes de iniciar os cálculos. Analise dois modos de resolver:
Agora, confira alguns exemplos de como calcular o valor de expressões numéricas com os sinais de associação, que devem ser eliminados nesta ordem: parênteses, colchetes e chaves.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
33. Efetue.
a) (menos8) menos (+7)
b) (menos30) menos (+70)
c) (menos72) menos (+30)
d) (menos3) menos (+7)
e) (+10) menos (+30)
f) (+80) menos (menos15)
34. Calcule.
a) (menos650) menos (+300)
b) (menos850) menos (menos850)
c) (+.1300) menos (menos.1100)
35.
Carlos aprendeu que, na calculadora, ao digitar a tecla
após um número, ela atribui um valor negativo a esse número. Observe as teclas que ele digitou:
a) Usando uma calculadora, responda: qual foi o resultado que Carlos obteve?
b) No caderno, escreva a expressão e resolva-a, verificando o resultado obtido no item a.
Respostas e comentários
33. a) menos15
33. b) menos100
33. c) menos102
33. d) menos10
33. e) menos20
33. f) +95
34. a) menos950
34. b) 0
34. c) +.2400
35. a) 5
35. b) menos10 menos (menos 15) = 5
Expressões numéricas com adições e subtrações
Comente com os estudantes que o procedimento para eliminar colchetes ou chaves é o mesmo que adotamos para os parênteses.
Antes de solicitar a resolução das atividades, chame a atenção para os dois principais pontos que devem ser compreendidos para resolver expressões numéricas: a ordem em que as operações aparecem e a ordem de eliminação dos parênteses, colchetes e chaves.
• A atividade 35 exige uma calculadora que possua a tecla
. Explique que essa tecla muda o sinal do número que foi digitado antes, ou seja, modifica o número para o oposto do número que está no visor. Portanto, é conveniente pedir aos estudantes que digitem e analisem alguns valores antes de realizar a atividade.
36. Calcule
a) (+ 8) + (menos7) + (menos3)
b) (+ 2) + (+5) menos (+3)
c) (+ 10) menos (menos20) menos (+30)
37. Calcule o valor das expressões numéricas.
a) menos76 menos (7 menos 18) + [70 menos (49 menos 81)]
b) {[(73 menos 64) + 20] menos (40 menos 31)} + (menos3)
38. Determine o valor de cada
.
a)
+ (menos8) menos (menos3) = +7
b) (+8) + (
) + (menos3) = menos5
c) (+48) menos (menos36) + (menos40) menos (
) = menos75
39. A medida da temperatura em uma cidade pela manhã era 18 graus Célsius. À noite, ela caiu para menos5 graus Célsius. Qual é a diferença, em grau Celsius, entre as medidas das temperaturas registradas nesses dois momentos?
40. Podemos obter o saldo da balança comercial de um país, em determinado ano, calculando a diferença entre a quantia recebida com as exportações e a quantia gasta com as importações. Suponha que o Brasil, em determinado ano, tenha recebido 160 bilhões de dólares com as exportações e tenha gastado 120 bilhões de dólares com as importações. Qual foi o saldo da balança comercial do Brasil nesse determinado ano?
5 Multiplicação com números inteiros
Vamos estudar a multiplicação com dois números inteiros acompanhando os exemplos a seguir.
a) Vamos calcular (+4) ⋅ (+3).
Utilizando a ideia de adição de parcelas iguais, temos:
(+4) ⋅ (+3) = 4 ⋅ (+3) =(+3) + (+3) + (+3) + (+3) = +12
▸
Em seu caderno, multiplique outros números inteiros positivos. O que os resultados obtidos por você sugerem?
b) Vamos calcular (+2) ⋅ (menos5).
Utilizando a ideia de adição de parcelas iguais, temos:
(+2) ⋅ (menos5) = 2 ⋅ (menos5) = (menos5) + (menos5) = ‒ 10
▸
Em seu caderno, multiplique outros números inteiros, sendo o primeiro um número inteiro positivo e o segundo, um número inteiro negativo. O que os resultados obtidos por você sugerem?
c) Vamos calcular (menos3) ⋅ (+2).
(menos3) é o oposto de +3. Então:
(menos3) ⋅ (+2) = menos(+3) ⋅ (+2) = menos (+6) = menos6
▸
Em seu caderno, multiplique outros números inteiros, sendo o primeiro um número inteiro negativo e o segundo, um número inteiro positivo. O que os resultados obtidos por você sugerem?
d) Vamos calcular 0 ⋅ (menos11).
Assim como na multiplicação com números naturais, quando um dos fatores da multiplicação de números inteiros é zero, o produto é zero. Assim:
0 ⋅ (menos11) = (menos11) ⋅ 0 = 0
Respostas e comentários
36. a) menos2
36. b) menos6
36. c) 0
37. a) +37
37. b) +17
38. a) +12
38. b) menos10
38. c) +119
39. 23 graus Célsius
40. 40 bilhões de dólares (saldo positivo)
Primeiro item: Espera-se que os estudantes respondam que os resultados obtidos sugerem que, quando multiplicamos dois números inteiros positivos, o resultado que obtemos é positivo. Enfatize que essa afirmação é verdadeira, mas não será demonstrada.
Segundo item: Espera-se que os estudantes respondam que os resultados obtidos sugerem que, quando multiplicamos dois números inteiros, um positivo e outro negativo, o resultado que obtemos é negativo. Enfatize que essa afirmação é verdadeira, mas não será demonstrada.
Terceiro item: Espera-se que os estudantes respondam que os resultados obtidos sugerem que, quando multiplicamos dois números, um negativo e outro positivo, o resultado que obtemos é negativo. Enfatize que essa afirmação é verdadeira, mas não será demonstrada.
Multiplicação com números inteiros
Bê êne cê cê:
Habilidade ê éfe zero sete ême ah zero quatro.
Objetivo:
Calcular a multiplicação entre números inteiros e compreender as propriedades dessa operação.
Justificativa
Calcular a multiplicação entre números inteiros amplia os procedimentos de cálculo estudados para os números naturais e possibilita aos estudantes resolver e elaborar problemas que envolvam essa operação, o que favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah zero quatro.
Mapeando conhecimentos
Reproduza o quadro a seguir na lousa e peça aos estudantes que o copiem no caderno.
|
× |
+2 |
+1 |
0 |
‒1 |
‒2 |
|---|---|---|---|---|---|
|
+2 |
+4 |
+2 |
0 |
‒2 |
‒4 |
|
+1 |
+2 |
+1 |
0 |
‒1 |
‒2 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
‒1 |
‒2 |
‒1 |
0 |
+1 |
+2 |
|
‒2 |
‒4 |
‒2 |
0 |
+2 |
+4 |
Depois, você pode orientá-los a completar o quadro aos poucos. Proponha que comecem pela região laranja, depois pela azul, em seguida, pela amarela e, por último, pela roxa. Os estudantes devem concluir o que ocorre com o sinal do resultado da multiplicação em relação aos sinais dos fatores envolvidos.
Para as aulas iniciais
Amplie o quadro feito na dinâmica inicial até que todos consigam perceber que:
• se um fator é zero, o resultado da multiplicação é zero;
• o produto de dois números inteiros com sinais iguais tem sempre sinal positivo;
• o produto de dois números inteiros com sinais contrários tem sempre sinal negativo.
Em seguida, solicite que multipliquem alguns números inteiros.
Revise as propriedades da multiplicação com números naturais presentes na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e solicite que façam as atividades de 8 a 10. Faça a correção dessas atividades coletivamente.
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
e) Vamos calcular (menos2) ⋅ (menos5).
Considere a sequência de multiplicações a seguir e seus resultados.
Essa sequência de multiplicações segue um padrão: o primeiro fator vem decrescendo em 1 unidade e o produto vem crescendo em 5 unidades (menos20, menos15, menos10, menos5, 0). Dessa maneira, podemos escrever:
(menos1) ⋅ (menos5) = 5
(menos2) ⋅ (menos5) = 10
▸
Em seu caderno, multiplique outros números inteiros negativos. O que os resultados obtidos por você sugerem?
Propriedades da multiplicação com números inteiros
As propriedades que veremos a seguir podem simplificar os cálculos com números inteiros.
Propriedade comutativa
Em uma multiplicação com dois ou mais números inteiros, a ordem dos fatores não altera o produto.
Observe os exemplos a seguir.
a) (+4) ⋅ (menos5) = menos20
(menos5) ⋅ (+4) = menos20
b) (menos11) ⋅ (menos3) = +33
(menos3) ⋅ (menos11) = +33
c) (menos9) ⋅ (+2) ⋅ (menos5) = +90
(menos5) ⋅ (menos9) ⋅ (+2) = +90
(+2) ⋅ (menos5) ⋅ (menos9) = +90
(menos9) ⋅ (menos5) ⋅ (+2) = +90
Propriedade associativa
Em uma multiplicação com três ou mais números inteiros, podemos associar esses números de maneiras diferentes sem alterar o produto.
Observe os exemplos a seguir.
a)
b)
Elemento neutro
Em uma multiplicação com dois números inteiros em que um deles é igual a 1, o resultado é igual ao outro número inteiro.
O número +1 é o elemento neutro da multiplicação.
Observe os exemplos a seguir.
a) (+8) ⋅ (+1) = (+1) ⋅ (+8) = +8
b) (+1) ⋅ (menos62) = (menos62) ⋅ (+1) = menos62
Respostas e comentários
Item: Espera-se que os estudantes respondam que os resultados obtidos sugerem que, quando multiplicamos dois números inteiros negativos, o resultado que obtemos é positivo. Enfatize que essa afirmação é verdadeira, mas não será demonstrada.
Propriedades da multiplicação com números inteiros
Ao trabalhar multiplicações com números inteiros, é importante usar exemplos que permitam aos estudantes compreender o fundamento das regras de sinais para evitar que sejam memorizadas sem qualquer significado. A compreensão efetiva dessas regras é fundamental para que assimilem também, futuramente, o comportamento dos sinais em uma divisão de números inteiros, uma vez que é a operação inversa da multiplicação. Portanto, não fará sentido indicar, logo de início, que as regras de sinais para multiplicação e divisão são as mesmas. Essa deverá ser uma conclusão dos estudantes.
Propriedade distributiva
O produto da multiplicação de um número inteiro pela soma (ou pela diferença) de outros números inteiros pode ser obtido multiplicando o primeiro número por cada uma das parcelas e adicionando (ou subtraindo) os resultados obtidos.
Observe os exemplos a seguir.
a)
b)
Observação
A propriedade distributiva pode ser empregada para o cálculo mental de um produto. Exemplo:
Atividades
Faça as atividades no caderno.
41. Calcule os produtos.
a) (+11) ⋅ (+3)
b) (menos1) ⋅ (menos5)
c) (+9) ⋅ (menos7)
d) (menos7) ⋅ (menos7)
e) 0 ⋅ (menos10)
f) (menos11) ⋅ (+7)
g) (menos12) ⋅ (+23)
h) (menos16) ⋅ (menos6)
i) (menos12) ⋅ (12)
j) (menos20) ⋅ (+15)
42.
Para cada item, obtenha mentalmente o sinal do resultado. Em seguida, calcule os produtos e anote-os no caderno.
a) (menos7) ⋅ (menos8) ⋅ (+3)
b) (menos4) ⋅ (+2) ⋅ (menos11)
c) (+7) ⋅ (+2) ⋅ (+3) ⋅ (menos1)
d) (+4) ⋅ (menos7) ⋅ (+9) ⋅ (menos11)
e) (+8) ⋅ (menos6) ⋅ (menos5) ⋅ (+3) ⋅ (+2)
f) (menos5) ⋅ (menos6) ⋅ (menos3) ⋅ (menos2) ⋅ (menos1)
43. Calcule o produto dos quatro maiores números inteiros negativos.
44. Podemos afirmar que o elemento neutro da multiplicação dos números inteiros é o menos1? Justifique sua resposta.
45. Calcule o produto da soma dos números menos9, +6, menos2, +8 e menos15 pelo simétrico da diferença entre menos6 e menos3.
46. Escreva no caderno a propriedade aplicada em cada caso.
a) 2 ⋅ [(+19) ⋅ (menos4)] = [2 ⋅ (+19)] ⋅ (menos4)
b) (menos2) ⋅ (+3) = (+3) ⋅ (menos2)
c) (menos7) ⋅ (+1) = (+1) ⋅ (menos7) = menos7
d) menos5 ⋅ (4 + 2) = menos5 ⋅ 4 + (menos5) ⋅ 2
47. Aplique a propriedade distributiva para calcular o resultado de cada item.
a) (menos3) ⋅ (menos20 + 7)
b) (25 menos 18) ⋅ (menos5)
c) 2 ⋅ (menos7 + 5)
d) (8 menos 3) ⋅ (menos4)
Respostas e comentários
41. a) +33
41. b) +5
41. c) menos63
41. d) 49
41. e) 0
41. f) menos77
41. g) menos276
41. h) +96
41. i) menos144
41. j) menos300
42. a) +168
42. b) +88
42. c) menos42
42. d) +.2772
42. e) +.1440
42. f) menos180
43. +24
44. Não, porque, ao multiplicar (menos1) por qualquer número inteiro não nulo, o produto será o oposto desse número.
45. menos36
46. a) associativa
46. b) comutativa
46. c) elemento neutro
46. d) distributiva
47. a) 39
47. b) menos35
47. c) menos4
47. d) menos20
Mostre aos estudantes as multiplicações propostas nos exemplos da propriedade distributiva, de fórma que eles possam comparar os cálculos. A princípio, faça sem aplicar a propriedade distributiva, respeitando as operações entre os colchetes e, depois, as multiplicações. Em seguida, realize os cálculos aplicando a propriedade. Comente com os estudantes que aplicar a propriedade distributiva pode ser um facilitador em várias situações, incluindo a realização de cálculos mentais.
• Na atividade 42, é importante explicar aos estudantes que, dependendo da maneira como associamos os fatores, os cálculos com números inteiros tornam-se mais simples. Portanto, o uso das propriedades da multiplicação como estratégia nos cálculos mentais pode desenvolver esquemas que ampliem o repertório para a realização dos cálculos.
• Na atividade 43, é conveniente usar uma reta numérica para ilustrar quais são os quatro maiores números inteiros negativos. É uma boa oportunidade para a retomada de assuntos abordados anteriormente, tal como a comparação entre números inteiros.
48.
Existem 12 multiplicações de números inteiros que têm como produto 12. Uma delas é 3 ⋅ 4; outra é 4 ⋅ 3. Quais são as demais?
49.
Aplique a propriedade distributiva para calcular mentalmente o produto de (menos7) ⋅ 421.
50. Calcule o valor de cada expressão numérica sabendo que as multiplicações devem ser feitas antes das adições e subtrações.
a) menos30 menos 5 ⋅ abre colchete abre parêntesemenos1) ⋅ abre parênteses15 menos 3 ⋅ 6fecha parênteses + 9 menos 3 ⋅ 4fecha colchete
b) menos5 + abre colchete abre parêntesemenos20) ⋅ abre parêntesesmenos15 + 30fecha parênteses ⋅ (menos1)]
c) 18 + 4 ⋅ [menos6 menos 4 ⋅ (menos5 + 6)]
51.
No caderno, elabore um problema que possa ser resolvido calculando-se o valor da seguinte expressão numérica: 2 ⋅ abre parêntesesmenos50fecha parênteses + 60
Depois, troque de caderno com um colega e resolva o problema criado por ele.
O colega resolveu corretamente o seu problema? Qual é a solução do problema?
6 Divisão exata com números inteiros
A divisão exata é a operação inversa da multiplicação. Em uma divisão exata, o quociente é o número que, multiplicado pelo divisor, tem como resultado o dividendo. Observe os exemplos:
a) 20 : 5 = 4, porque 4 ⋅ 5 = 20
b) 8 : 4 = 2, porque 2 ⋅ 4 = 8
Essa mesma ideia pode ser aplicada a outras divisões.
a) abre parênteses+30fecha parênteses : abre parênteses+6) = +5, porque abre parênteses+5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+6fecha parênteses = +30
b) abre parênteses+30fecha parênteses : abre parêntesesmenos6) = menos5, porque abre parêntesesmenos5fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos6fecha parênteses = +30
c) abre parêntesesmenos30fecha parênteses : abre parêntesesmenos6) = +5, porque abre parênteses+5fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos6fecha parênteses = menos30
d) abre parêntesesmenos30fecha parênteses : abre parênteses+6) = menos5, porque abre parêntesesmenos5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+6fecha parênteses = menos30
Observação
A divisão exata entre dois números inteiros não nulos nem sempre pode ser realizada no conjunto
dos números inteiros.
Por exemplo: abre parêntesesmenos7fecha parênteses: abre parênteses+2fecha parênteses ou abre parênteses+9fecha parênteses: abre parêntesesmenos4fecha parênteses não são divisões exatas em
, pois o quociente não é um número inteiro.
Você saberia dizer quando o quociente de uma divisão é um número positivo ou negativo?
Para estudar o sinal do quociente entre dois números inteiros, é preciso aplicar a ideia da divisão como operação inversa da multiplicação.
▸
Em seu caderno, divida dois números inteiros que tenham o mesmo sinal. O que os resultados obtidos por você sugerem?
▸
Em seu caderno, divida dois números inteiros que tenham sinais contrários. O que os resultados obtidos por você sugerem?
Observação
Não existe divisão por zero em
, nem em qualquer outro conjunto numérico.
Respostas e comentários
48. 1 ⋅ 12; 12 ⋅ 1; 2 ⋅ 6; 6 ⋅ 2; menos1 ⋅ (‒12fecha parênteses; menos12 ⋅ (‒1fecha parênteses; menos2 ⋅ (‒6fecha parênteses; menos6 ⋅ (‒2fecha parênteses; menos3 ⋅ (‒4fecha parênteses; menos4 ⋅ (‒3fecha parênteses
49. menos.2947
50. a) menos30
50. b) +295
50. c) menos22
51. Respostas pessoais.
Segundo item: Espera-se que os estudantes respondam que os resultados obtidos sugerem que, em uma divisão de números inteiros, se o dividendo e o divisor tiverem sinais contrários, o quociente será um número negativo. Enfatize que essa afirmação é verdadeira mas não será demonstrada.
Primeiro item: Espera-se que os estudantes respondam que os resultados obtidos sugerem que, em uma divisão de números inteiros, se o dividendo e o divisor tiverem os mesmos sinais, o quociente será um número positivo. Enfatize que essa afirmação é verdadeira, mas não será demonstrada.
Divisão exata com números inteiros
Bê êne cê cê:
Habilidade ê éfe zero sete ême ah zero quatro.
Objetivo:
Calcular divisões exatas com números inteiros.
Justificativa
Calcular a divisão exata entre números inteiros amplia os procedimentos de cálculo estudados para os números naturais e possibilita aos estudantes resolver e elaborar problemas que envolvam essa operação, o que favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah zero quatro.
Mapeando conhecimentos
Peça aos estudantes que efetuem as seguintes divisões:
abre parênteses+ 8fecha parênteses : abre parênteses+ 2fecha parênteses
abre parênteses+ 10fecha parênteses : abre parênteses+ 2fecha parênteses
abre parênteses+ 6fecha parênteses : abre parêntesesmenos 2fecha parênteses
abre parênteses+ 9fecha parênteses : abre parêntesesmenos 3fecha parênteses
abre parêntesesmenos 12fecha parênteses : abre parênteses+4fecha parênteses
abre parêntesesmenos 15fecha parênteses : abre parênteses+3fecha parênteses
abre parêntesesmenos 21fecha parênteses : abre parêntesesmenos7fecha parênteses
abre parêntesesmenos 36fecha parênteses : abre parêntesesmenos4fecha parênteses
Observe os procedimentos adotados e verifique se eles percebem o que ocorre com o sinal do resultado da divisão exata em relação aos sinais do dividendo e do divisor. Incentive-os a utilizar a multiplicação para verificar se obtiveram o resultado correto em cada caso.
Para as aulas iniciais
Coletivamente, construa o quadro de sinais a seguir. Se achar necessário, proponha aos estudantes que realizem mais cálculos, inclusive com o auxílio de calculadoras.
|
Sinal do dividendo |
Sinal do divisor |
Sinal do quociente |
|---|---|---|
|
+ |
+ |
+ |
|
‒ |
+ |
‒ |
|
‒ |
‒ |
+ |
|
+ |
‒ |
+ |
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
52. Calcule o resultado das operações.
a) abre parênteses+6fecha parênteses : abre parênteses+3fecha parênteses
b) abre parênteses+10fecha parênteses : abre parêntesesmenos5fecha parênteses
c) abre parêntesesmenos32fecha parênteses : abre parêntesesmenos4fecha parênteses
d) abre parêntesesmenos1fecha parênteses : abre parênteses+1fecha parênteses
e) 0 : abre parêntesesmenos1fecha parênteses
f) abre parêntesesmenos63fecha parênteses : abre parêntesesmenos21fecha parênteses
g) abre parênteses+.1296fecha parênteses : abre parêntesesmenos48fecha parênteses
53.
Calcule mentalmente:
a) o dobro de 12.
b) a metade de menos38.
c) o oposto do dobro de 15.
d) a metade do oposto de menos60.
e) a terça parte de menos36.
54. Calcule o valor de cada expressão numérica.
Lembre-se de que se deve calcular o resultado das operações dos parênteses antes de dividir.
a) abre parênteses16 menos 30 + 48fecha parênteses : abre parêntesesmenos2fecha parênteses
b) abre parêntesesmenos15 + 20 + 40fecha parênteses : abre parênteses+5fecha parênteses
c) abre parêntesesmenos5 + 7 menos 35fecha parênteses : abre parêntesesmenos11fecha parênteses
55. Escreva no caderno o valor de cada
.
a)
: abre parêntesesmenos5fecha parênteses = 8
b) abre parêntesesmenos30fecha parênteses :
= menos6
c)
: abre parêntesesmenos7fecha parênteses = 0
d) abre parêntesesmenos20fecha parênteses :
= menos1
56. Calcule o valor de cada expressão numérica a seguir.
a) menos2 + abre chavemenos1 + abre colchete5 menos 3 ⋅ abre parênteses10 + 1fecha parênteses : 3fecha colchete menos 5 ⋅ 7fecha chave
b) menos5 menos abre colchete3 ⋅ abre parênteses7 menos 5 menos 3fecha parênteses menos 22 : 11fecha colchete
c) 2 menos abre parênteses5 ⋅ 10 + 6fecha parênteses menos 5 ⋅ 20 : abre parêntesesmenos17 + 13fecha parênteses
d) 3 menos abre chave30 : 5 menos abre colchetemenos7 ⋅ abre parênteses5 menos 2fecha parênteses + 3fecha colchete : 6fecha chave
57. Determine o quociente entre dois números inteiros não nulos quando esses números são:
a) iguais.
b) opostos.
7 Potenciação em que a base é um número inteiro
Acompanhe a situação a seguir.
Lúcia é dona de uma oficina de carros. Em um dia, havia 4 carros na oficina. Sabendo que cada carro tem 4 rodas, que cada roda tem 4 parafusos e que um dos mecânicos usa uma parafusadeira automática que permite tirar um parafuso em 4 segundos, calcule quanto tempo esse mecânico gastou para retirar todos os parafusos de todos os carros.
Logo, o mecânico gastou 256 segundos para retirar todos os parafusos.
Respostas e comentários
52. a) +2
52. b) menos2
52. c) +8
52. d) menos1
52. e) 0
52. f) +3
52. g) menos27
53. a) 24
53. b) menos19
53. c) menos30
53. d) 30
53. e) menos12
54. a) menos17
54. b) +9
54. c) +3
55. a) menos40
55. b) 5
55. c) 0
55. d) 20
56. a) menos44
56. b) 0
56. c) menos29
56. d) menos6
57. a) 1
57. b) menos1
• A atividade 53 apresenta uma boa oportunidade para reforçar a relação existente entre a língua materna e a linguagem matemática. Se achar conveniente, retome o significado de “dobro”, “triplo”, “quádruplo”, “terço”, “quarto”, entre outros termos, antes de iniciar a atividade.
Potenciação em que a base é um número inteiro
Bê êne cê cê:
Habilidade ê éfe zero sete ême ah zero quatro.
Objetivo:
Calcular a potenciação em que a base é um número inteiro.
Justificativa
Calcular a potenciação em que a base é um número inteiro amplia o significado da potenciação em que a base é um número natural e, além disso, possibilita aplicar o que foi estudado na multiplicação com números inteiros. A habilidade ê éfe zero sete ême ah zero quatro também tem o seu desenvolvimento favorecido por meio desse objetivo, uma vez que muitos problemas demandam o cálculo de potências para serem resolvidos.
Mapeando conhecimentos
Proponha as seguintes questões para os estudantes: “Qual é o resultado de (menos4)2? E de (menos3)5?”. Permita que utilizem estratégias pessoais para encontrar os resultados. Espera-se que eles se recordem de que a potenciação é uma maneira simplificada de escrever uma multiplicação de fatores iguais e que calculem as potências apresentadas, mobilizando os conhecimentos anteriores sobre potências em que a base é um número natural e, também, a multiplicação com números inteiros.
Para as aulas iniciais
Solicite aos estudantes que façam a leitura da revisão de potenciação com números naturais presente na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e façam as atividades de 11 a 13. Tire as dúvidas remanescentes.
As regras para a potenciação em que a base é um número inteiro, bem como as propriedades dessa operação, devem ser justificadas com base na própria definição de potenciação (multiplicação de fatores iguais).
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
Na potenciação com números naturais, a potência é um produto de fatores iguais à base. Observe o exemplo:
No estudo da potenciação em que a base é um número inteiro e o expoente é um número natural, vale a mesma ideia, ressaltando os cuidados que devemos ter com os sinais, como veremos a seguir.
Se o expoente for um número par, a potência será um número inteiro positivo.
Observe os exemplos a seguir.
a) abre parênteses+5fecha parêntesesao quadrado = abre parênteses+5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+5fecha parênteses = +25
b) abre parêntesesmenos2fecha parênteseselevado a 4 = abre parêntesesmenos2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos2fecha parênteses = +16
Se o expoente for um número ímpar, a potência terá o mesmo sinal da base.
Observe os exemplos a seguir.
a) abre parênteses+5fecha parêntesesao cubo = abre parênteses+5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+5fecha parênteses = +125
b) abre parêntesesmenos3fecha parêntesesao cubo = abre parêntesesmenos3fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses = menos27
Observações
1. Toda potência de expoente 1 que tem um número inteiro como base é igual à própria base. Confira os exemplos:
a) abre parênteses+5fecha parênteseselevado a 1 = +5
b) abre parêntesesmenos3fecha parênteseselevado a 1 = menos3
2. Toda potência de expoente zero que tem um número inteiro não nulo como base é igual a 1. Analise os exemplos:
a) abre parênteses+5fecha parênteseselevado a 0 = +1
b) abre parêntesesmenos3fecha parênteseselevado a 0 = +1
3. Ao escrever uma potência com base negativa, sempre utilizamos parênteses. Verifique o exemplo:
abre parêntesesmenos3fecha parêntesesao quadrado = abre parêntesesmenos3fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses = +9
Se não colocarmos os parênteses, o expoente é aplicado somente à base. Observe:
menos3ao quadrado = menosabre parênteses3fecha parêntesesao quadrado = menosabre parênteses3 ⋅ 3fecha parênteses = menos9
Propriedades da potenciação em ℤ
1ª propriedade: Produto de potências de mesma base.
abre parêntesesmenos3fecha parêntesesao quadrado ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parêntesesao cubo = abre parêntesesmenos3fecha parêntesesao quadrado + ao cubo = abre parêntesesmenos3fecha parênteseselevado a 5
2ª propriedade: Quociente de potências de mesma base.
abre parêntesesmenos4fecha parênteseselevado a 7 : abre parêntesesmenos4fecha parênteseselevado a 5 = abre parêntesesmenos4fecha parênteseselevado a 7 – elevado a 5 = abre parêntesesmenos4fecha parêntesesao quadrado
3ª propriedade: Potência de potência.
abre colchete abre parêntesemenos7fecha parêntesesao cubofecha colcheteelevado a 5 = abre parêntesesmenos7fecha parêntesesao cubo ⋅ elevado a 5 = abre parêntesesmenos7fecha parênteseselevado a 15
4ª propriedade: Potência de um produto ou de um quociente.
abre colchete abre parêntese+2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos4)]ao cubo = abre parênteses+2fecha parêntesesao cubo ⋅ abre parêntesesmenos4fecha parêntesesao cubo
abre colchete abre parêntesemenos12fecha parênteses : abre parênteses+3)]elevado a 4 = abre parêntesesmenos12fecha parênteseselevado a 4 : abre parênteses+3fecha parênteseselevado a 4
Respostas e comentários
Balão de fala: Espera-se que os estudantes cheguem à conclusão de que 01 é igual a 0 e que 00 é impossível de calcular, já que toda potência de expoente zero tem que ter base não nula, ou seja, diferente de zero.
Propriedades da potenciação em
Antes de apresentar as propriedades aos estudantes, proponha que façam algumas experimentações até perceberem que são válidas. Você pode propor que se reúnam em duplas para incentivar o compartilhamento de ideias.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
58. Calcule as potências.
a) abre parênteses+2fecha parêntesesao cubo
b) abre parêntesesmenos7fecha parênteseselevado a 4
c) abre parêntesesmenos9fecha parêntesesao cubo
d) abre parênteses+3)ao quadrado
e) abre parêntesesmenos17fecha parênteseselevado a 0
f) abre parêntesesmenos11)ao quadrado
g) abre parêntesesmenos35fecha parênteseselevado a 1
h) abre parêntesesmenos1fecha parêntesesao cubo
i) abre parênteses+.1992fecha parênteseselevado a 0
59. Considerando a potenciação em que a base é um número inteiro e o expoente é um número natural, responda às questões.
a) Quando a base é um número inteiro positivo, qual é o sinal da potência?
b) Quando a base é um número inteiro negativo, qual é o sinal da potência?
60. Calcule:
61. Observe o esquema a seguir.
Quantos bisavós cada pessoa tem? E quantos trisavós? Dê as respostas na forma de potência.
62. Calcule o valor das expressões sabendo que devemos, obrigatoriamente, calcular as potenciações antes das multiplicações e das divisões.
a) abre parêntesesmenos4fecha parênteses menos abre colchete abre parêntesemenos8fecha parênteses : abre parênteses+2)]ao quadrado menos 6
b) abre parênteses+20fecha parênteses : abre parêntesesmenos1fecha parênteseselevado a 4 menos 2ao quadrado + abre parêntesesmenos2fecha parênteseselevado a 5 : abre parênteses+2fecha parênteseselevado a 4 menos 5elevado a 0
c) abre parêntesesmenos576fecha parênteses : abre parêntesesmenos12)ao quadrado menos abre parêntesesmenos125fecha parênteses : abre parêntesesmenos5)ao quadrado
63.
Com um colega, calcule.
a) abre parênteses5 + 3)ao quadrado
b) 5ao quadrado + 3ao quadrado
c) abre parênteses2 menos 4)ao cubo
d) 2ao cubo menos 4ao cubo
• Agora, responda: sendo a e b números inteiros e n um número natural maior que 1, é possível dizer que abre parêntesesa + b)elevado a n = aelevado a n + belevado a n ou que abre parêntesesa menos b)elevado a n = aelevado a n menos belevado a n ?
64. Lúcio escreveu sua idade na primeira linha de uma folha de caderno. Na linha seguinte, ele escreveu uma subtração de dois números inteiros cuja diferença era sua idade. Na linha seguinte, substituiu esses dois números, respectivamente, por uma multiplicação de outros três números inteiros e por uma divisão do quadrado de um número inteiro pelo triplo de outro. Na linha seguinte, substituiu o primeiro número da linha anterior por uma subtração e o segundo, por uma adição.
Assim, ele obteve uma expressão numérica, sabendo antecipadamente seu valor. Confira o que ele fez:
15 = 24 menos 9 = abre parêntesesmenos2fecha parênteses ⋅ 4 ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses menos abre colchete9ao quadrado : abre parênteses3 ⋅ 3)] =
= abre parênteses11 menos 13fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos8 + 12fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses menos abre colchete9ao quadrado : abre parênteses3 ⋅ 3)]
a)
Calcule mentalmente o valor da expressão de Lúcio.
b)
Invente duas expressões com cinco operações diferentes com números inteiros e troque-as com as de um colega, sem que ele saiba o número que você pensou, para que cada um calcule o valor das expressões do outro. Depois, destroquem as expressões para corrigi-las.
Respostas e comentários
58. a) +8
58. b) +.2401
58. c) menos729
58. d) +9
58. e) +1
58. f) +121
58. g) menos35
58. h) menos1
58. i) 1
59. a) Positivo, independentemente de o expoente ser par ou ímpar.
59. b) Positivo se o expoente for par, e negativo se o expoente for ímpar.
60. +1
61. bisavós: 2ao cubo = 8; trisavós: 2elevado a 4 = 16
62. a) menos26
62. b) 13
62. c) +1
63. a) 64
63. b) 34
63. c) menos8
63. d) menos56
63. item: não
64. a) 15
64. b) Resposta pessoal.
• Caso considere conveniente, organize os estudantes em duplas ou trios e promova uma gincana utilizando o item b da atividade 64 como modelo.
8 Raiz quadrada exata de números inteiros
Qual é a raiz quadrada de 25?
Observe que:
• abre parêntesesmenos5)² = abre parêntesesmenos5fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos5fecha parênteses = 25
• abre parênteses+5)² = abre parênteses+5fecha parênteses ⋅ abre parênteses+5fecha parênteses = 25
Embora abre parêntesesmenos5)² = 25 e abre parênteses+5)² = 25, consideramos a raiz quadrada de 25 única e não negativaglossário , ou seja, apenas o número +5. Assim:
Ao descobrir que o número 5 é a raiz quadrada de 25, a operação que realizamos foi a radiciação. Dizemos que extraímos a raiz quadrada de 25.
A raiz quadrada de um número inteiro a é um número não negativo b que, elevado ao quadrado, resulta em a.
Assim:
Raiz quadrada de a.= b, se bao quadrado = a com b ⩾ 0
O oposto do número
Raiz quadrada de 25, com índice da raiz 2.é
Menos raiz quadrada de 25, com índice da raiz 2.. Então:
Menos raiz quadrada de 25, com índice da raiz 2.= ‒5
Desse modo, quando o radical é precedido do sinal negativo, indicamos o oposto da raiz quadrada.
Observe os exemplos a seguir.
a) Como
Raiz quadrada de 16, com índice da raiz 2.= 4 e o oposto do número
Raiz quadrada de 16, com índice da raiz 2.é
Menos raiz quadrada de 16, com índice da raiz 2., então:
Menos raiz quadrada de 16, com índice da raiz 2.= menos4
b) Como
raiz quadrada de 100= 10 e o oposto de
raiz quadrada de 100é
menos raiz quadrada de 100, então:
menos raiz quadrada de 100= menos10
Observações
1. Quando o índice da raiz é 2, podemos omiti-lo. Assim:
Raiz quadrada de 25, com índice da raiz 2.=
Raiz quadrada de 25.;
Raiz quadrada de 16, com índice da raiz 2.=
Raiz quadrada de 16..
2. A raiz quadrada de zero é zero:
raiz quadrada de 0= 0, pois 0ao quadrado = 0.
3. Chamamos de números inteiros quadrados perfeitos aqueles que podem ser escritos como potência de base inteira e expoente 2. Os números 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 e 64 são exemplos de números inteiros quadrados perfeitos.
A raiz quadrada de um número que não é número inteiro quadrado perfeito não é um número inteiro. Por exemplo,
Raiz quadrada de 5.não é número inteiro, pois 5 não é um número inteiro quadrado perfeito.
4. A raiz quadrada de um número inteiro negativo não é um número inteiro, pois o quadrado de um número inteiro nunca é negativo. Logo, não existe número inteiro cujo quadrado seja, por exemplo, o número menos25.
Verifique que
raiz quadrada de menos 25não é um número inteiro, mas
menos raiz quadrada de 25é um número inteiro:
menos raiz quadrada de menos 25 é igual a menos 5Respostas e comentários
Raiz quadrada exata de números inteiros
Bê êne cê cê:
Habilidade ê éfe zero sete ême ah zero quatro.
Objetivos:
• Calcular a raiz quadrada exata de números inteiros.
• Calcular o valor de expressões numéricas com números inteiros.
Justificativa
O cálculo de raízes quadradas exatas de números inteiros, bem como o de valor de expressões numéricas, favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah zero quatro, uma vez que contribui para a resolução e a elaboração de problemas.
Mapeando conhecimentos
Proponha aos estudantes que respondam às seguintes questões:
• Que número inteiro elevado ao quadrado é igual a menos25?
• Que número inteiro representa a raiz quadrada de 10?
É importante deixar os estudantes à vontade para levantar hipóteses e argumentar. Espera-se que alguns deles respondam que o quadrado de um número inteiro nunca é negativo e que 10 não é quadrado de nenhum número inteiro, pois 3ao quadrado = 9 e 4ao quadrado = 16; como não há nenhum número inteiro entre 3 e 4, podemos concluir que não é possível obter a raiz quadrada de 10 em
.
Para as aulas iniciais
Proponha que calculem algumas raízes quadradas exatas de números inteiros. Depois, você pode propor que elaborem problemas que possam ser resolvidos por meio dessas raízes.
Comente com os estudantes que um número inteiro quadrado perfeito pode ser identificado por meio da aplicação de dois métodos diferentes: o geométrico e o da fatoração.
No método geométrico, um número inteiro quadrado perfeito corresponde à medida de área de um quadrado cujas medidas de comprimento dos lados são indicadas por números naturais. Desenhe alguns quadrados de medidas de comprimento dos lados 1, 2, 3, e assim sucessivamente, e proponha aos estudantes que calculem as medidas de área, formando a sequência 1, 4, 9, 16, 25, reticências
No método da fatoração, se todos os fatores apresentarem expoente par, o número decomposto será um número inteiro quadrado perfeito.
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
Sugestão de leitura
O site Clubes de Matemática da ó bê mépi, no texto Sala de Estudo: Quadrados perfeitos, disponibiliza dois estudos interessantes sobre outras propriedades dos números quadrados perfeitos.
Expressões numéricas com números inteiros
Nas expressões numéricas envolvendo operações com números inteiros, as operações devem ser efetuadas na seguinte ordem:
1º) potenciações e radiciações abre parêntesesna ordem em que aparecemfecha parênteses;
2º) multiplicações e divisões abre parêntesesna ordem em que aparecemfecha parênteses;
3º) adições e subtrações abre parêntesesna ordem em que aparecemfecha parênteses.
Para os sinais de associação, também seguimos uma ordem: parênteses abre parênteses fecha parênteses, colchetes abre colchete fecha colchete e, por último, chaves abre chave fecha chave.
Observe os exemplos a seguir.
a)
Abre chave, abre parêntese, menos 2 mais 8, fecha parêntese, elevado a 2, menos 3, vezes, abre colchete, abre parêntese, raiz quadrada de 16, mais a raiz quadrada de 4, fecha parêntese, dividido por 3, fecha colchete, fecha chave, dividido por, abre parêntese menos 5 fecha parêntese, igual a.
= {(+6fecha parêntesesao quadrado menos3 ⋅ abre colchete abre parêntese4 + 2fecha parênteses : 3]} : abre parêntesesmenos5fecha parênteses =
= abre chave+36 menos 3 ⋅abre colchete6 : 3]} : abre parêntesesmenos5fecha parênteses =
= abre chave+ 36 menos 3 ⋅ 2fecha chave : abre parênteses menos5fecha parênteses =
= abre chave36 menos 6fecha chave : abre parênteses menos5fecha parênteses =
= 30 : abre parênteses menos5fecha parênteses =
= menos6
b)
6 menos abre chave, abre colchete, abre parêntese, raiz quadrado de 25, menos, raiz quadrada de 49, fecha parêntese, elevado a 2, vezes 3 elevado a 2, menos 6 vezes 4, fecha colchete, dividido por 2, fecha colchete, igual a.
= 6 menos {[(5 menos7fecha parêntesesao quadrado ⋅ 3ao quadrado menos 6 ⋅ 4fecha colchete : 2fecha chave =
= 6 ‒{[(‒2)ao quadrado ⋅ 3ao quadrado menos6 ⋅ 4fecha colchete : 2fecha chave =
= 6 menos {[4 ⋅ 3ao quadrado menos 6 ⋅ 4fecha colchete : 2fecha chave =
= 6 menos {[4 ⋅ 9 menos 6 ⋅ 4fecha colchete : 2fecha chave =
= 6 menos {[36 menos 24fecha colchete : 2fecha chave =
= 6 menos abre chave12 : 2fecha chave = 6 menos 6 = 0
Sugestão de leitura
RAMOS, Luzia Faraco. História de sinais. São Paulo: Ática, 2008. (Coleção A descoberta da Matemática).
A história de Alexandre e Milena envolve romance, intrigas, ciúmes e conteúdos matemáticos, como operações com sinais e cálculo de expressões numéricas. Além disso, o livro traz um minialmanaque com curiosidades, desafios e passatempos matemáticos.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
65. Determine.
a)
raiz quadrada de 36b)
raiz quadrada de 0c)
menos raiz quadrada de 196d)
menos raiz quadrada de 10066. Calcule o valor de cada expressão numérica a seguir.
a)
Raiz quadrada de 81, menos raiz quadrada de 100, mais raiz quadrada de 64.b)
Menos raiz quadrada de 36, menos raiz quadrada de 121, mais raiz quadrada de 64.c)
Raiz de quadrada de 1, mais raiz de quadrada de 4, mais raiz de quadrada de 9, mais raiz de quadrada de 16, mais raiz de quadrada de 49, mais raiz de quadrada de 64.67. Qual é o valor da expressão numérica?
Expressão numérica. Abre chave, abre colchete, raiz quadrada de 49, fim da raiz, mais, abre parêntese, 2 elevado a quarta potência, menos 1, fecha parêntese, fecha colchete, vezes, raiz quadrada de 64, fecha chaves, mais raiz quadrada de 1024.
68. A medida da área de um terreno de formato quadrado é 400 métros quadrados. Qual é a medida, em metro, do comprimento do lado desse terreno?
69. Determine o valor da raiz quadrada.
Raiz quadrada do produto: menos 2 entre parênteses, vezes mais 4 entre parênteses, elevado a 2, vezes menos 8 entre parênteses, fim da raiz quadrada.
70. Entre os números
raiz quadrada de 4,,
Raiz quadrada de 5.,
raiz quadrada de 9,
raiz quadrada de 10,
raiz quadrada de 36,
raiz quadrada de 121e
raiz quadrada de 200,, quais não são números inteiros?
71.
Com um colega, calculem e observem a diferença entre os resultados das expressões em cada item.
a)
Raiz quadrada da soma: 16 mais 9, fim da raiz quadrada.
b)
Raiz quadrada da soma: 16 mais 9, fim da raiz quadrada.c)
Raiz quadrada da diferença: 100 menos 36, fim da raiz quadrada.d)
Raiz quadrada da diferença: 100 menos 36, fim da raiz quadrada.• Agora, respondam: a raiz quadrada da soma de dois números é igual à soma das raízes quadradas de cada um desses números?
72.
Junte-se a um colega, copiem no caderno o quadro a seguir e completem-no, sabendo que o produto dos números de cada coluna vertical, de cada linha horizontal e das duas diagonais é igual a .8000.
|
−10 |
100 |
|
|
20 |
||
73.
Elabore um problema que possa ser resolvido calculando a raiz quadrada exata de um número inteiro. Depois, troque de problema com um colega e resolva o problema proposto por ele.
Respostas e comentários
65. a) 6
65. b) 0
65. c) menos14
65. d) menos10
66. a) 7
66. b) menos9
66. c) 25
67. 208
68. 20 métros
69. 16
70.
Raiz quadrada de 5.,
raiz quadrada de 10e
raiz quadrada de 200,71. a) 5
71. b) 7
71. c) 8
71. d) 4
71. item: não
72. Resposta em Orientações.
73. Resposta pessoal.
• Atividades como a 72 não são incomuns para os estudantes, uma vez que muitos deles já tiveram contato com esse tipo de desafio que estimula o raciocínio lógico-matemático abre parêntesesindução, dedução, abdução ou raciocínio por analogiafecha parênteses. Alerte-os quanto aos sinais dos números necessários para obter o produto igual ao número positivo .8000.
Resposta da atividade 72.
|
−10 |
−8 |
100 |
|
−200 |
20 |
−2 |
|
4 |
−50 |
−40 |
Sugestão de atividade extra
Os quadrados mágicos constituem uma ferramenta de aprendizagem para o desenvolvimento do raciocínio lógico dos estudantes, contribuindo para a formação do senso de organização e da estratégia de cálculo na busca de resultados predeterminados. Essa ferramenta de trabalho pode ser facilmente encontrada na internet, assim como diferentes jogos com essa temática. Um exemplo de jogo é o Quadrado mágico aditivo do portal M³ Matemática Multimídia, que, apesar de ser uma atividade proposta para o Ensino Médio, pode ser adaptado à faixa etária em questão.
Resolvendo em equipe
Faça a atividade no caderno.
(Enem) Um executivo sempre viaja entre as cidades A e B, que estão localizadas em fusos horários distintos. O tempo de duração da viagem de avião entre as duas cidades é de 6 horas. Ele sempre pega um voo que sai de a às 15 horas e chega à cidade B às 18 horas (respectivos horários locais).
Certo dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade a, no máximo, até as 13 horas do dia seguinte (horário local de a).
Para que o executivo chegue à cidade a no horário correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à ou às:
a) 16 horas
b) 10 horas
c) 7 horas
d) 4 horas
e) uma hora
|
Interpretação e identificação dos dados |
• Leia o enunciado da questão e verifique se o horário da cidade B está adiantado ou atrasado em relação ao da cidade A. |
|---|---|
|
Plano de resolução |
• Considerando as informações fornecidas pelo enunciado, elabore um esquema que represente um possível processo de resolução do problema. |
|
Resolução |
• Junte-se a dois colegas. |
|
Verificação |
• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas. |
|
Apresentação |
• Façam uma pesquisa sobre fusos horários. Em seguida, confeccionem um cartaz explicando o tema estudado e propondo desafios aos colegas. |
Respostas e comentários
Resolvendo em equipe: alternativa d
Interpretação e identificação dos dados:
primeiro item: O horário da cidade B está com 3 horas de atraso em relação ao da cidade a.
segundo item: a) vinte e uma horas
b) 3 horas
Plano de resolução: Resposta pessoal.
Resolução: Espera-se que os estudantes determinem que, se o executivo precisa estar às 13 horas na cidade a, os relógios em B estarão marcando 10 horas (3 horas a menos). Como o voo dura 6 horas, é preciso, então, sair às 4 horas.
Resolvendo em equipe
Bê êne cê cê:
• Competências gerais 2, 4, 9 e 10 (as descrições estão na página seis).
• Competências específicas 2, 3 e 5 (as descrições estão na página sete).
Esta seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os estudantes. Além de favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências específicas 2, 3 e 5, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações.
O esquema de resolução apresentado pode ser explorado constantemente durante as aulas, e não apenas nesta situação. É importante que o estudante, individual ou coletivamente, tenha clareza a respeito de como proceder para interpretar, resolver e verificar a validade da solução de um problema matemático.
Nesta seção, auxilie os estudantes solicitando que, a princípio, descubram qual é a diferença de horários entre as cidades A e B. O problema nos informa que um executivo sai de a às 15 horas e, 6 horas depois, chega à cidade B às 18 horas (horário local de B). Ou seja, após 6 horas, são vinte e uma horas (15 + 6) em a e 18 horas em B, como já informado. Logo, temos uma diferença de 3 horas. Agora, precisamos determinar a que horas ele deve sair de B para chegar em a às 13 horas. Quando for 13 horas em a, serão 10 horas em B; logo, deve-se sair 6 horas antes (tempo de viagem) das 10 horas; portanto, 4 horas (10 − 6).
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Faça as atividades no caderno.
Os números inteiros
Conjunto dos números inteiros:
= {reticências, menos5, menos4, menos3, menos2, menos1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, reticências}
Representação dos números inteiros na reta numérica
Módulo de um número inteiro
A medida da distância de um ponto na reta numérica até a origem óh é chamada de módulo ou valor absoluto do número associado a esse ponto. Representamos o módulo de um número colocando-o entre duas barras verticais: | |.
Números opostos ou simétricos
São números cujos pontos estão situados em lados opostos em relação à origem e estão a uma mesma medida da distância dela.
Na figura anterior, os números menos1 e +1 são opostos, assim como os números menos3 e +3.
1. Observe os números a seguir.
a) Quais deles são positivos?
b) Quais são negativos?
2. Observe a reta numérica e responda às questões.
a) Que número corresponde ao ponto a?
b) Qual é o ponto correspondente ao número menos3?
c) O ponto C corresponde a que número?
d) Qual é o ponto correspondente ao número +3?
e) Que número corresponde ao ponto ê?
3. No caderno, trace uma reta numérica e represente nela os números inteiros maiores ou iguais a menos4 e menores que 3.
4. Determine:
a) o oposto de menos8.
b) o oposto de 85.
c) o módulo de menos2.
d) o módulo de menos1.
e) o oposto de +15.
f) o oposto de menos75.
5. Determine.
a) |menos19|
b) |+36|
c) |+16|
d) |menos120|
e) |0|
f) |menos212|
Comparação de números inteiros
Vamos comparar os números menos4 e menos1. Considere os pontos correspondentes a esses números na reta numérica a seguir.
O número menos4 é menor que menos1, pois o ponto que o representa está localizado à esquerda do que representa o menos1 na reta numérica.
Indicamos: menos4 < menos1 (lemos: “menos quatro é menor que menos um”).
De modo geral, temos que:
• qualquer número negativo é menor que zero;
• qualquer número positivo é maior que zero;
• todo número positivo é maior que qualquer número negativo.
6. No caderno, represente os números a seguir em uma mesma reta numérica e escreva-os em ordem crescente usando o sinal <.
menos2, 4, menos5, 0, 2, 3, menos3
7. Usando os sinais > ou <, compare cada par de números inteiros a seguir.
a) (+4)
(+6)
b) (menos6)
(menos5)
c) (+5)
(menos5)
d) (+10)
0
e) (menos14)
(+1)
f) (+35)
(+25)
8. Determine.
a) o número inteiro antecessor de menos15.
b) o número inteiro antecessor de +9.
c) o número inteiro sucessor de menos99.
d) o número inteiro sucessor de menos36.
Respostas e comentários
1. a) +27, +91, +15
1. b) menos12, menos4, menos8, menos59, menos18
2. a) menos4
2. b) B
2. c) 1
2. d) D
2. e) 5
3.
4. a) +8
4. b) menos85
4. c) 2
4. d) 1
4. e) menos15
4. f) +75
5. a) 19
5. b) 36
5. c) 16
5. d) 120
5. e) 0
5. f) 212
6. menos5 < menos3 < menos2 < 0 < 2 < 3 < 4
7. a) <
7. b) <
7. c) >
7. d) >
7. e) <
7. f) >
8. a) menos16
8. b) +8
8. c) menos98
8. d) menos35
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Os números inteiros
• Na atividade 1, espera-se que os estudantes identifiquem os números positivos e os números negativos. Eles podem realizar a atividade levando em consideração os números maiores ou menores do que zero ou, ainda, observando a presença dos sinais de + (mais) ou menos (menos) na frente dos números.
• As atividades 2 e 3 trabalham com a reta numérica, identificando pontos e números nela e construindo-a a partir de um intervalo numérico dado, respectivamente. Caso os estudantes tenham dúvidas na atividade 3, solicite que escrevam todos os números inteiros maiores ou iguais a ‒4 e menores que 3. Depois, fale para colocarem em ordem crescente e indicarem os pontos correspondentes a esses números na reta numérica, começando pelo menor.
• Na atividade 4, se necessário, destaque aos estudantes que o oposto de um número corresponde a um número com mesmo valor absoluto e sinal oposto, ou seja, caso um número seja positivo, seu oposto é negativo com mesmo valor absoluto, e vice-versa. Nos itens c e d, caso algum estudante tenha dúvidas, relembre a turma de que o módulo de um número corresponde à medida da distância desse número ao zero (origem da reta numérica), então sempre será um número não negativo.
• Na atividade 5, espera-se que os estudantes calculem o módulo de cada número inteiro dado. Se necessário, represente uma reta numérica na lousa para auxiliar a turma a identificar o módulo de zero no item ê e questione qual é a medida de distância de zero à origem da reta. Os estudantes devem afirmar que o zero é a origem e, portanto, a medida de distância é zero.
Comparação de números inteiros
Na lousa, represente uma reta numérica e dê alguns números para os estudantes colocarem em ordem na reta. Leve-os a perceber que números que estão à direita são maiores que os da esquerda.
Nas atividades 6 e 7, os estudantes devem usar os sinais de maior que (>) e menor que (<) para ordenar e para comparar números inteiros, respectivamente. Por isso, caso tenham dúvidas, retome o significado desses sinais e dê alguns exemplos a partir das indicações da turma.
• Na atividade 8, se achar conveniente, relembre os significados dos termos “antecessor” e “sucessor”. Para auxiliar os estudantes, principalmente nos itens que envolvem números negativos (itens a, c e d), oriente-os a representar uma reta numérica para cada item.
Adição com números inteiros
• Quando adicionamos números inteiros de mesmo sinal, o sinal se mantém.
• Quando adicionamos números inteiros de sinais contrários, e um não é oposto do outro, o sinal do resultado é o mesmo do número de maior módulo
(menos12) + (+18) = +6
O sinal do número (+18), que é o de maior módulo, é positivo.
Propriedades da adição com números inteiros
Propriedade comutativa:
(‒9) + (+5) = menos4 e (+5) + (menos9) = menos4
Propriedade associativa:
Elemento neutro: (+13) + 0 = 0 + (+13) = +13
Elemento oposto: (menos18) + (+18) = 0
9. Calcule.
a) abre parênteses+12fecha parênteses + abre parênteses+11fecha parênteses
b) abre parêntesesmenos15fecha parênteses + abre parêntesesmenos20fecha parênteses
c) 0 + abre parênteses+18fecha parênteses
d) abre parênteses+9fecha parênteses + abre parêntesesmenos12fecha parênteses
e) abre parêntesesmenos21fecha parênteses + abre parênteses+21fecha parênteses
f) abre parêntesesmenos7fecha parênteses + abre parêntesesmenos17fecha parênteses
10. Escreva no caderno a propriedade utilizada em cada caso.
a) abre parênteses+47fecha parênteses + 0 = 0 + abre parênteses+47fecha parênteses = +47
b) abre parênteses+110fecha parênteses + abre parêntesesmenos110fecha parênteses = 0
c) abre colchete abre parêntesemenos10fecha parênteses + abre parênteses‒5)] + abre parênteses+8fecha parênteses = abre parêntesesmenos10fecha parênteses + abre colchete abre parêntesemenos5fecha parênteses + abre parênteses+8)]
d) abre parênteses+21fecha parênteses + abre parêntesesmenos11fecha parênteses = abre parêntesesmenos11fecha parênteses + abre parênteses+21fecha parênteses
11. João estava com saldo negativo de R$ 238,00duzentos e trinta e oito reais em sua conta bancária. Após fazer um depósito de R$ 250,00duzentos e cinquenta reais, qual é o saldo, em reais, da conta bancária de João?
12. Em um jogo de videogame, Ana fez 25 pontos na primeira rodada, perdeu 18 na segunda, ganhou 11 pontos na terceira rodada e perdeu 22 na quarta. Qual é o saldo de pontos de Ana até agora?
Subtração com números inteiros
Para subtrair um número inteiro de outro, adicionamos o oposto do subtraendo ao minuendo. Analise o exemplo.
13. Calcule.
a) abre parêntesesmenos15fecha parênteses menos abre parênteses+12fecha parênteses
b) abre parênteses+82fecha parênteses menos abre parênteses+31fecha parênteses
c) abre parêntesesmenos74fecha parênteses menos abre parênteses+44fecha parênteses
d) abre parêntesesmenos19fecha parênteses menos abre parêntesesmenos12fecha parênteses
e) abre parêntesesmenos12fecha parênteses menos abre parênteses+45fecha parênteses
f) abre parênteses+77fecha parênteses menos abre parêntesesmenos25fecha parênteses
14. Calcule o valor de cada expressão numérica a seguir.
a) abre parêntesesmenos18fecha parênteses menos abre parênteses15 menos 19fecha parênteses + abre colchete94 menos abre parênteses75 menos 86)]
b) {[(25 menos 67fecha parênteses + 12fecha colchete menos abre parênteses40 menos 16)} + abre parêntesesmenos27fecha parênteses
15. Lúcia viajou para um país onde faz muito frio. Durante o dia, a medida da temperatura registrada foi de menos2 graus Célsius. À noite, a medida da temperatura registrada foi de menos8 graus Célsius. Qual foi a diferença, em grau, entre as medidas de temperatura registradas?
Multiplicação com números inteiros
• Quando multiplicamos dois números inteiros positivos, o resultado que obtemos é positivo.
• Quando multiplicamos dois números inteiros, um positivo e outro negativo, o resultado que obtemos é negativo.
• Quando multiplicamos dois números inteiros, um negativo e outro positivo, o resultado que obtemos é negativo.
• Quando multiplicamos dois números inteiros negativos, o resultado que obtemos é positivo.
Propriedades da multiplicação com números inteiros
Propriedade comutativa:
abre parênteses+7fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos8fecha parênteses = menos56 e abre parêntesesmenos8fecha parênteses ∙ abre parênteses+7fecha parênteses = menos56
Propriedade associativa:
Respostas e comentários
9. a) +23
9. b) menos35
9. c) +18
9. d) menos3
9. e) 0
9. f) menos24
10. a) elemento neutro e comutativa
10. b) elemento oposto
10. c) associativa
10. d) comutativa
11. +R$ 12,00 doze reais
12. menos4 pontos
13. a) menos3
13. b) +51
13. c) menos118
13. d) menos7
13. e) menos57
13. f) +102
14. a) 91
14. b) menos81
15. 6 graus Célsius
Adição com números inteiros
Se achar conveniente, mostre que uma reta numérica pode ser usada para auxiliar em adições com números inteiros.
Ao relembrar as propriedades, pode ser interessante solicitar à turma que use a língua materna para explicar o que ocorre em cada propriedade.
• Na atividade 9, os estudantes devem efetuar algumas adições com números inteiros. Incentive-os a utilizar as estratégias que preferirem, podendo inclusive usar um método diferente em cada item. Ao final da atividade, oriente-os a compartilhar suas resoluções com a turma, possibilitando correções ou complementações se necessário. Por exemplo, você pode complementar as estratégias mostrando que os itens c e e poderiam ser calculados usando, respectivamente, as propriedades do elemento neutro e do elemento oposto.
• Na atividade 10, os estudantes devem identificar as propriedades da adição que foram usadas em cada item. Caso eles não consigam explicar as propriedades na língua materna, pode ser um indicativo da necessidade da retomada de alguns conteúdos relacionados a este conteúdo.
• Na atividade 11, leia a questão com os estudantes e mostre a eles que, no começo, o saldo era negativo e, ao fazer um depósito, foi adicionado dinheiro na conta; como o saldo era negativo, esse valor será abatido pelo depósito.
• Na atividade 12, oriente os estudantes a anotar a pontuação obtida em cada rodada, representando pontos ganhos por números positivos e pontos perdidos por números negativos. Assim, espera-se que consigam resolver o problema adicionando essas pontuações.
Subtração com números inteiros
• Na atividade 14, caso haja dúvidas, diga aos estudantes para calcular os parênteses, os colchetes e as chaves, exatamente nessa ordem.
• Na atividade 15, leia o enunciado com a turma e questione qual subtração representa a diferença entre as medidas de temperatura. Espera-se que os estudantes identifiquem a subtração (‒2) ‒ (‒8).
Elemento neutro:
abre parênteses+12fecha parênteses ∙ abre parênteses+1fecha parênteses = abre parênteses+1fecha parênteses ∙ abre parênteses+12fecha parênteses = +12
Propriedade distributiva:
abre parênteses+2) ∙ [(‒3fecha parênteses + abre parênteses+6)] = abre parênteses+2fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos3fecha parênteses + abre parênteses+2fecha parênteses ∙ abre parênteses+6fecha parênteses
16. Calcule os produtos.
a) abre parênteses+11fecha parênteses ∙ abre parênteses+4fecha parênteses
b) abre parêntesesmenos5fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos12fecha parênteses
c) abre parêntesesmenos14fecha parênteses ∙ abre parênteses+20fecha parênteses
d) abre parêntesesmenos10fecha parênteses ∙ abre parênteses+15fecha parênteses
e) abre parêntesesmenos9fecha parênteses ∙ abre parênteses+25fecha parênteses
f) abre parênteses+12fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos6fecha parênteses
17. Escreva no caderno a propriedade utilizada em cada caso.
a) abre parênteses+9fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos17fecha parênteses = abre parêntesesmenos17fecha parênteses ∙ abre parênteses+9fecha parênteses
b) abre parêntesesmenos81fecha parênteses ∙ abre parênteses+1fecha parênteses = abre parênteses+1fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos81fecha parênteses
c) menos3 ∙ abre parênteses12 + 9fecha parênteses = menos3 ∙ 12 + abre parêntesesmenos3fecha parênteses ∙ 9
d) 5 ∙ abre colchete abre parêntese+21fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos8)] = [5 ∙ abre parênteses+21)] ∙ abre parêntesesmenos8)
18. Aplique a propriedade distributiva para calcular o resultado de cada item.
a) abre parêntesesmenos4fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos10 + 8fecha parênteses
b) abre parênteses15 menos 9fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos10fecha parênteses
c) 7 ∙ abre parêntesesmenos11 + 7fecha parênteses
d) abre parênteses15 menos 7fecha parênteses ∙ abre parênteses+6fecha parênteses
19. Calcule o valor de cada expressão numérica a seguir.
a) 22 + 9 ∙ [menos15 menos 2 ∙ abre parêntesesmenos9 + 11)]
b) [(‒25fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos11 + 45fecha parênteses ∙ abre parêntesesmenos9)]
c) menos 8 ∙ [(‒12fecha parênteses ∙ abre parênteses28 menos 4 ∙ 10fecha parênteses + 15 menos 7 ∙ 8fecha colchete
20. Aplique a propriedade distributiva para calcular mentalmente o produto de abre parêntesesmenos8fecha parênteses ∙ 342.
Divisão exata com números inteiros
• Em uma divisão, se o dividendo e o divisor tiverem os mesmos sinais, o quociente será um número positivo.
• Em uma divisão, se o dividendo e o divisor tiverem os sinais contrários, o quociente será um número negativo.
21. Calcule o resultado das operações.
a) abre parênteses+12fecha parênteses : abre parênteses+2fecha parênteses
b) abre parêntesesmenos36fecha parênteses : abre parêntesesmenos9fecha parênteses
c) (‒15fecha parênteses : abre parênteses+15fecha parênteses
d) 0 : abre parênteses+11fecha parênteses
e) abre parêntesesmenos66fecha parênteses : abre parênteses+33fecha parênteses
f) abre parêntesesmenos369fecha parênteses : abre parêntesesmenos3fecha parênteses
22. Escreva no caderno o valor de cada
.
a)
: abre parêntesesmenos6fecha parênteses = +9
b) abre parênteses+225fecha parênteses :
= menos15
c)
: abre parêntesesmenos12fecha parênteses = menos16
d) abre parênteses+120fecha parênteses :
= menos1
Potenciação em que a base é um número inteiro
Para calcular a potência em que a base é um número inteiro e o expoente é um número natural, utilizamos a ideia de produto de fatores iguais à base, tomando os devidos cuidados com os sinais.
• Se o expoente for um número par, a potência será um número inteiro positivo.
abre parêntesesmenos3fecha parênteseselevado a 4 = abre parêntesesmenos3fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos3fecha parênteses = +81
• Se o expoente for um número ímpar, a potência terá o mesmo sinal da base.
abre parêntesesmenos2fecha parêntesesao cubo = abre parêntesesmenos2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos2fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos2fecha parênteses = menos8
Temos ainda que:
• Toda potência de expoente 1 que tem como base um número inteiro é igual à própria base.
• Toda potência de expoente zero que tem como base um número inteiro não nulo é igual a 1.
23. Calcule as potências.
a) abre parênteses+8fecha parêntesesao quadrado
b) abre parêntesesmenos7fecha parêntesesao cubo
c) abre parêntesesmenos5fecha parênteseselevado a 4
d) abre parêntesesmenos12fecha parênteseselevado a 1
e) abre parênteses+.1000fecha parênteseselevado a 0
f) abre parêntesesmenos12fecha parêntesesao quadrado
Raiz quadrada exata de números inteiros
A raiz quadrada de um número inteiro a é um número não negativo b que, elevado ao quadrado, resulta em a.
Assim:
Raiz quadrada de a.= b, se bao quadrado = a com b ⩾ 0.
24. Determine.
a)
Raiz quadrada de 16.b)
Menos raiz quadrada de 144.c)
Raiz quadrada de 400.d)
Menos raiz quadrada de 121.e)
Menos raiz quadrada de 81.
f)
Raiz quadrada de 484.
25. Calcule o valor da expressão.
Sentença matemática. Abre chaves, abre colchetes, raiz quadrada de 64 mais, abre parênteses, 3 ao cubo, menos 10, fecha parênteses, fecha colchetes, vezes raiz quadrada de 100, fecha chaves menos raiz quadrada de 900.
26. A medida da área de um terreno com formato quadrado é 144 métros quadrados. Qual é a medida do comprimento, em metro, do lado desse terreno?
Respostas e comentários
16. a) +44
16. b) +60
16. c) menos280
16. d) menos150
16. e) menos225
16. f) menos72
17. a) comutativa
17. b) elemento neutro
17. c) distributiva
17. d) associativa
18. a) +8
18. b) menos60
18. c) menos28
18. d) +48
19. a) menos149
19. b) +.7650
19. c) menos824
20. menos.2736
21. a) +6
21. b) +4
21. c) menos1
21. d) 0
21. e) menos2
21. f) +123
22. a) menos54
22. b) menos15
22. c) +192
22. d) menos120
23. a) +64
23. b) menos343
23. c) +625
23. d) menos12
23. e) 1
23. f) +144
24. a) 4
24. b) menos12
24. c) 20
24. d) menos11
24. e) menos9
24. f) 22
25. 220
26. 12 métros
Multiplicação com números inteiros
• Na atividade 16, oriente os estudantes a escrever o sinal resultante e, depois, calcular as multiplicações dos fatores para evitar erros nos sinais dos produtos.
• Nas atividades 17, 18 e 20, espera-se que os estudantes tenham entendido as propriedades da multiplicação com números inteiros para identificar as propriedades usadas nos itens da atividade 17 e para aplicar a propriedade distributiva nas atividades 18 e 20.
• Se achar conveniente, retome essas propriedades e, como indicado nas propriedades da adição com números inteiros, solicite à turma que use a língua materna para explicar o que ocorre em cada propriedade.
Nas atividades 18 e 20, explique aos estudantes que é possível realizar os cálculos usando estratégias diversas, mas que eles devem usar a propriedade distributiva por ter sido indicada nos enunciados. Caso tenham dificuldade na atividade 20, oriente-os a decompor o número 342 da maneira que considerarem mais conveniente para calcular o produto obtido pela propriedade distributiva.
• Na atividade 19, lembre aos estudantes que, em uma expressão numérica, deve-se calcular primeiro os parênteses, depois os colchetes e, por último, as chaves abre parêntesesse houverfecha parênteses.
Divisão exata com números inteiros
• Na atividade 22, se os estudantes tiverem dificuldade, mostre que o primeiro fator é o dividendo, o segundo fator é o divisor e, após a igualdade, temos o quociente. Peça que montem a divisão, pois isso facilita o cálculo do fator correto.
Potenciação em que a base é um número inteiro
• Na atividade 23, se os estudantes tiverem dúvidas para calcular diretamente as potências, oriente-os a multiplicar a base por ela mesma tantas vezes quanto o expoente indicar.
Raiz quadrada exata de números inteiros
• Na atividade 25, relembre os estudantes a ordem em que devem efetuar os cálculos. Faça a correção coletiva após todos concluírem.
• Caso os estudantes tenham dificuldade para resolver a atividade 26, relembre que a medida da área de um quadrado é calculada pela medida de comprimento do lado elevada ao quadrado; assim, para determinar a medida do comprimento do lado do terreno é necessário calcular uma raiz quadrada. Em seguida, pergunte a eles qual número positivo multiplicado por ele mesmo resulta 144. Ao final, lembre-os de indicar a unidade de medida de comprimento abre parêntesesmetrofecha parênteses.
Glossário
- Aquecimento global
- : É o aumento da medida da temperatura média dos oceanos e da camada de ar próxima à superfície da Terra que pode ser consequência de causas naturais e de atividades humanas.
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- Extrato bancário
- : É um relatório que contém informações sobre a movimentação e o saldo de uma conta bancária.
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- Não negativa
- : Que pertence ao conjunto dos números inteiros positivos incluindo o zero: abre chave0, 1, 2, 3, 4, 5, ...fecha chave abre parêntesesconjunto dos números naturaisfecha parênteses.
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