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Capítulo 3 Retas e ângulos

Trocando ideias

Sinalização horizontal é aquela que é feita sobre o pavimento das vias para controlar o fluxo de veículos e o de pedestres, controlar e orientar os deslocamentos e complementar os sinais das placas. Aparecem na cor branca quando direcionam fluxos no mesmo sentido e na amarela para fluxos opostos.

Confira, no quadro a seguir, alguns exemplos de sinalização horizontal utilizados:

Ilustração. Vista de cima de quatro ruas com faixas de pedestres. As ruas se cruzam.

Quadro. Exemplos de linha de divisão de fluxos opostos. Sinalização. Simples seccionada. Ilustração de faixa horizontal preta com linha de traços na cor amarela. Exemplo de aplicação: ultrapassagem permitida para os dois sentidos. Ilustração de faixa horizontal preta com linha de traços na cor amarela com seta para direita abaixo e esquerda acima. Sinalização: dupla contínua. Ilustração de faixa horizontal preta com duas linhas de na cor amarela. Exemplo de aplicação: ultrapassagem proibida para os dois sentidos. Ilustração de faixa horizontal preta com duas linhas na cor amarela com seta para direita abaixo e esquerda acima. Sinalização: dupla contínua/seccionada. Ilustração de faixa horizontal preta com linha de traços e linha contínua acima na cor amarela. Exemplo de aplicação: ultrapassagem permitida somente no sentido B. Ilustração de faixa horizontal preta com linha de traços e linha contínua abaixo na cor amarela com seta A para direita abaixo e seta B para esquerda acima. Exemplos de linha de divisão de fluxo de mesmo sentido. Contínua. Sinalização. Ilustração de faixa horizontal preta com linha contínua branca. Seccionada. Ilustração de faixa horizontal preta com linha tracejada. Exemplos de aplicação: proibida a ultrapassagem e a transposição entre A-B-C. Permitida a ultrapassagem e a transposição de faixa entre D-E-F. Ilustração de faixa horizontal preta com três linhas brancas contínuas acima A, B e C. Setas para direita. Linha amarela com linha abaixo curvada e três linhas contínuas brancas abaixo, D, E, F. Setas para esquerda.

▸

Quais dessas sinalizações se parecem com partes de retas paralelas?

▸

Cada uma das partes das linhas seccionadas se parece com qual figura geométrica plana: semirreta ou segmento de reta?

Neste capítulo, vamos estudar as retas e os ângulos, retomando definições e relações já vistas em anos anteriores e conhecendo as relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

Respostas e comentários

Trocando ideias: primeiro item: a sinalização denominada Dupla contínua de divisão de fluxos opostos; segundo item: segmento de reta.

CAPÍTULO 3 – RETAS E ÂNGULOS

Trocando ideias

Bê êne cê cê:

• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).

• Competência específica 8 (a descrição está na página sete).

Objetivos:

• Verificar se os estudantes reconhecem retas, semirretas e segmentos de reta.

• Verificar se os estudantes reconhecem a representação de retas paralelas.

• Mostrar a importância de respeitar a sinalização horizontal de trânsito.

Tema contemporâneo transversal:

A proposta desse Trocando ideias é possibilitar aos estudantes conhecer algumas sinalizações horizontais presentes nas vias do país. Pergunte a eles se conhecem o Código de Trânsito Brasileiro e se, na opinião deles, é importante conhecê-lo. Depois, convide-os a pensar no Código de Trânsito Brasileiro e na responsabilidade coletiva por um trânsito mais seguro. Enfatize a importância de respeitar as leis de trânsito e ter comportamento solidário, pois, ao adotar essa postura, diminui-se as ocorrências de lesões, sequelas e até mortes provocadas por acidentes. Depois, dê um tempo para que observem as sinalizações presentes nesta página e tire eventuais dúvidas. Se achar oportuno, amplie a proposta e explore outras sinalizações horizontais. Para isso, você pode consultar o Manual Básico de Segurança no Trânsito produzido pela Associação Nacional dos Fabricantes de Veículos (Anfavea).

Em seguida, proponha a eles que respondam às questões. Para responder ao primeiro item, eles podem apontar com o dedo a sinalização que se parece com partes de retas paralelas. Verifique se todos se recordam que retas paralelas são aquelas que não têm ponto em comum. Peça a alguns deles que representem pares de retas paralelas na lousa.

No segundo item, enfatize que a questão se refere a cada uma das partes da “linha tracejada”. Espera-se que eles respondam que essas partes se parecem com segmentos de reta, pois são limitadas nos dois sentidos. Caso os estudantes tenham dificuldades, relembre os conceitos de semirreta e de segmento de reta e represente alguns exemplos na lousa.

Este Trocando ideias favorece o desenvolvimento da competência geral 9 e da competência específica 8, uma vez que o diálogo e a interação entre os estudantes são incentivados.

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1 Retas

Uma reta é formada por infinitos pontos distintos, dispostos em uma única direção, e suas extremidades indicam que ela se prolonga infinitamente nos dois sentidos. Na reta a seguir, destacamos os pontos aêbê.

Ilustração. Linha reta com flechas nas duas extremidades, para a esquerda e para a direita, denominada reta r. Há dois pontos sobre a reta. À esquerda, o ponto indicado pela letra A e, à direita, o ponto indicado pela letra B.

reta r ou

\overset{\leftrightarrow}{A B}

Os pontos aêbê pertencem à reta r .

Semirreta e segmento de reta

Considere a reta r e os pontos a, B e óh indicados:

Ilustração. Linha reta com flechas nas duas extremidades, para a esquerda e para a direita, denominada reta r. Há três pontos sobre a reta. À esquerda, o ponto indicado pela letra A, no centro, o ponto indicado pela letra O, e, à direita, o ponto indicado pela letra B.

O ponto óh divide a reta r em duas semirretas de origem em O: uma passa pelo ponto a e a outra passa pelo ponto B. A reta r é chamada de reta suporte dessas semirretas. Confira as duas semirretas a seguir.

• Semirreta de origem óh que passa pelo ponto a. Também podemos indicar como:

\vec{O A}

(lemos: “semirreta ó á”).

Ilustração. Linha reta com flecha na extremidade esquerda e um ponto O na extremidade direita. Há um ponto sobre a reta, à esquerda do ponto O, indicado pela letra A.

• Semirreta de origem O que passa pelo ponto B. Também podemos indicar como:

\vec{O B}

(lemos: “semirreta ó bê ”).

Ilustração. Linha reta com flecha na extremidade direita e um ponto O na extremidade esquerda. Há um ponto sobre a reta, à direita do ponto O, indicado pela letra B.

Considere, novamente, a reta r e os pontos aêbê, distintos, pertencentes a r :

Chamamos de segmento de reta a parte da reta compreendida entre dois de seus pontos, incluindo esses pontos. Denominamos, nesse caso, os pontos aêbê de extremidades de

\overline{A B}

(lemos: “segmento de reta A bê ”). A reta r é chamada de reta suporte desse segmento.

Ilustração. Linha reta pontos nas duas extremidades: à esquerda, ponto A, à direita, ponto B.

Segmento de reta de extremidades aêbê

(\overline{A B})

Respostas e comentários

Retas

Objetivos:

• Reconhecer e representar retas, semirretas e segmentos de reta.

• Reconhecer retas paralelas e concorrentes.

• Construir retas paralelas e perpendiculares usando régua e esquadro.

Justificativa

Retas, semirretas e segmentos de reta são conceitos básicos da Geometria que estão presentes em muitas figuras. Por exemplo, os lados de um ângulo são semirretas, e os lados de um polígono são segmentos de reta.

Reconhecer retas paralelas e concorrentes é um pré-requisito para, por exemplo, compreender as relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

A construção de retas paralelas e perpendiculares com régua e transferidor possibilita que os estudantes representem polígonos com ao menos um par de lados paralelos e ou ou com lados formando ângulo reto.

Mapeando conhecimentos

Pergunte para a turma o que é reta, semirreta e segmento de reta e peça que as representem no caderno.

Distribua algumas folhas de papel quadriculado e solicite que representem pares de retas paralelas e concorrentes. Verifique se utilizam as linhas da malha para representar as retas paralelas.

Por fim, pergunte como fariam para construir duas retas paralelas e garantir que são de fato paralelas.

Para as aulas iniciais

Retome com a turma os conceitos de semirreta e segmento de reta presentes na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e peça que façam as atividades 26 e 27.

Para o desenvolvimento deste capítulo, é essencial que sempre estejam disponíveis réguas, transferidores, esquadros e compassos, se possível, em quantidade suficiente, pois são propostas diversas atividades que utilizam esses materiais. É importante justificar as construções realizadas à luz dos conceitos trabalhados, pois isso ajuda os estudantes a atribuir significado aos procedimentos das construções.

Comente com eles que, nas notações utilizadas para a reta r, poderíamos também incluir

\overset{\leftrightarrow}{B A}

Semirreta e segmento de reta

Explique aos estudantes que poderíamos usar também a notação

\overline{B A}

para o segmento de reta

\overline{A B}

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Posições relativas entre duas retas

Duas ou mais retas contidas em um mesmo plano podem ser classificadas em:

• retas paralelas: quando não possuem pontos em comum.

Ilustração. Plano alfa com duas retas paralelas na diagonal, retas s e r.

Indica-se: r //s

(lemos: “érre é paralela a ésse”).

• retas concorrentes: quando possuem um único ponto em comum.

Ilustração. Plano beta com duas retas, m e n que se cruzam no centro, no ponto O.

Indica-se: r × s

(lemos: “érre é concorrente a ésse”).

As ruas de uma cidade se parecem com partes de retas paralelas ou retas concorrentes. Observe a imagem de parte da cidade de Belém (Pará), situada na região Norte do Brasil, captada por um satélite em 2021.

Fotografia. Imagem de satélite de parte de uma cidade. À direita, construções e uma praça. À esquerda, o mar. Ruas: Avenida Marechal Hermes, Avenida Castilho Franca, Rua Santo Antônio. Rua Gaspar Viana, Senador Manoel Barata, Rua Vinte e Oito, Rua O de Almeida, Rua Aristides Lobo, Oswaldo Cruz. Ruas verticais à direita: Travessa Piedade, Av. Assis de Vasconcelos. — Imagem de satélite de parte da cidade de Belém (Pará). Foto de 2021.

▸

Na imagem anterior, você consegue identificar ruas que são paralelas em alguns trechos? E ruas que se cruzam? Converse com os colegas.

Respostas e comentários

Item: Espera-se que os estudantes identifiquem pares de ruas paralelas, como a rua Aristides Lobo e a rua Oswaldo Cruz, e pares de ruas que se cruzam, como a rua Vinte e Oito e a avenida Assis de Vasconcelos.

Posições relativas entre duas retas

Se julgar pertinente, comente a existência de retas reversas, para convidá-los a pensar em retas que estejam em planos diferentes.

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Observação

Retas concorrentes que formam quatro ângulos retos (ângulos cuja abertura mede 90graus) são chamadas retas perpendiculares.

Ilustração. Plano alfa com duas retas, r e s que se cruzam no centro, formando 4 ângulos retos (sinal indicativo de ângulo reto).

Indica-se: r ⊥ s

(lemos: “r é perpendicular a s ”).

Construção de retas paralelas com régua e esquadro

Observe como podemos construir retas paralelas usando uma régua e um esquadro.

1º) Alinhamos o esquadro com a reta r e apoiamos a régua em um dos lados do esquadro, mantendo-a fixa.

Ilustração. Reta vertical r. Sobre a reta, esquadro e abaixo, uma régua. Seta para direita.

2º) Deslizamos o esquadro pela régua e traçamos uma nova reta s.

Ilustração. Reta vertical r. à direita da reta, esquadro com um lápis e abaixo, uma régua.

3º) A reta s traçada será paralela à reta r.

Ilustração. Duas retas paralelas, r e s.

r // s

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Na figura, as retas a, b, c e d são retas suportes dos lados do paralelogramo ême êne ó pê.

Observe a figura e identifique no caderno:

a) dois pares de retas paralelas;

b) dois pares de retas concorrentes.

Ilustração. Plano alfa com retas c e d na horizontal. Reta a e b na vertical. Reta e na diagonal. Ponto M com reta a e c. Ponto N com reta b e c. Ponto P com reta a e d. Ponto O com reta b e d.

2. Observe a figura a seguir e indique os pares de retas perpendiculares.

Ilustração. Duas retas verticais, v e u. Três retas diagonais: r, s e t. Em destaque, 4 ângulos retos formados pelas retas r e v, 4 ângulos retos formados pelas retas u e s e 4 ângulos retos formados pelas retas u e t.

3. Desenhe uma reta r e um ponto P não pertencente a essa reta. Com uma régua e um esquadro, trace uma reta s paralela à r pelo ponto P.

4. Desenhe no caderno uma reta r e, com uma régua e um esquadro, trace uma reta s perpendicular à r.

Respostas e comentários

1. a) aêbê; c e d

1. b) Exemplo de resposta: a e c; bêêê

2. r e v; u e s; u e t.

3. Comentário em Orientações.

4. Comentário em Orientações.

Comente que, na construção de retas paralelas, pode-se utilizar, além da régua e do esquadro, conforme sugerido, um par de esquadros.

Nas atividades, oriente os estudantes a serem precisos com os traçados.

• Para resolver a atividade 3, trace a reta r e marque o ponto P não pertencente à reta. Posicione o esquadro alinhado com a reta r e apoiado na régua (conforme mostra a figura do tópico Construção de retas paralelas com régua e esquadro), deslize o esquadro até o encontro do ponto P. Trace a nova reta que passa pelo ponto P, a qual chamaremos de s. A reta s é paralela à reta r.

• Na atividade 4, podemos fazer o seguinte: trace uma reta r qualquer e mantenha a régua fixa. Em seguida, posicione um dos lados do ângulo reto do esquadro apoiado na régua e trace a reta s percorrendo o outro lado do ângulo reto do esquadro. A reta s será perpendicular à reta r.

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Lendo e aprendendo

Grafismosglossário e pinturas corporais marcam a identidade do povo Kayapó

Fotografia. Destaque para o rosto de uma mulher virado para o lado com desenhos de linhas pretas. Ao lado, mulher com haste fina desenha as linhas no rosto da mulher. — Pintura facial com jenipapo em criança da etnia Kayapó da aldeia Moikarakô, em São Félix do Xingu (Pará). Foto de 2016.

Pintura corporal revela a identidade dos nossos povos ancestrais

Os traços adotados nos rostos e corpos identificam etnias, famílias, status social e são essenciais durante as festas e rituais.

Arte na pele, a pintura corporal não é apenas uma questão estética, ou apenas para proteção contra insetos e raios solares. Cada povo retrata sua identidade cultural por meio de traços que revelam toda uma simbologia. Há pinturas específicas para festividades, para identificação das famílias, para apontar o estado civil ou status social. É possível identificar os povos do Tocantins somente pela observação das pinturas.

De acordo com a antropóloga e professora da Universidade Federal do Pará, Jane Beltrão, a pintura ritualística é uma fórma de expressar os mais delicados valores culturais. “A arte indígena é um sofisticado meio de comunicação estética, que informa aos demais sobre a diferença da qual emana fórça, autenticidade e valores das nações indígenas”, diz, enfatizando que exibir marcas tribais é uma fórma de resistência.

reticências

Além de privilegiar traços geométricos, a pintura corporal pode representar figuras simbólicas de animais como pássaros, peixes e répteis. É o caso do povo Iny (Karajá, Javaé, Xambioá).

Juntamente com as pinturas corporais, geralmente feitas com tintura natural extraída de plantas como urucum e o jenipapo, além de carvão misturado à resina de algumas árvores, há uma série de elementos agregados aos mais variados momentos e celebrações, como o corte de cabelo, o uso de enfeites de cabeça e a emplumação dos corpos.

Respostas e comentários

Lendo e aprendendo

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 3, 7 e 9 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 3 e 8 (as descrições estão na página sete).

Objetivos:

• Reconhecer a descrição da construção de traços que se parecem com retas concorrentes.

• Reconhecer grafismos.

• Pesquisar sobre a influência da cultura indígena na formação do povo brasileiro.

Tema contemporâneo transversal:

Faça a leitura coletiva do texto da seção com os estudantes e, depois, apresente mais exemplos de grafismos presentes na pintura corporal ou no artesanato de outros povos indígenas brasileiros. Você pode encontrar esses exemplos na internet e projetar para eles, caso a escola tenha equipamento disponível.

É importante falar um pouco sobre o povo Kayapó com a turma. Diga que esse povo vive em uma extensa área localizada nos estados do Mato Grosso e do Pará, ao longo dos afluentes do rio Xingu e que as principais atividades são a caça, a pesca e a agricultura. Caso queira mais informações sobre os Kayapó, acesse o povo Mebêngôkre Kayapó no site dos Povos Indígenas no Brasil.

Depois, reserve um momento da aula para conversar com os estudantes sobre a importância dos indígenas na formação do povo brasileiro e sua influência em nossa cultura. Se achar necessário, antecipe a atividade 4 com eles. Esse pode ser um momento oportuno para trabalhar o assunto junto com as aulas de História e desenvolver a competência geral 3 e a competência específica 3.

Debates como este, que exploram as diferenças culturais entre as pessoas, também podem promover um melhor convívio social entre os estudantes.

Aproveite a oportunidade e alerte os estudantes para os riscos de realizarem pinturas no rosto como mostra a foto que abre esta seção. Diga, que podem se machucar com objetos pontiagudos ou ainda, dependendo da tinta, podem sofrer algum tipo de irritação na pele ou nos olhos.

Sugestão de atividade para combater o bullying

Alguns estudantes indígenas podem ter sofrido, ou ainda sofrem, algum tipo de discriminação na escola. É possível ainda que alguns deles tenham medo de assumir sua identidade para não serem alvo de discriminação dos colegas de turma. Para minimizar o problema, é importante que se promova o diálogo. Converse sobre como essas práticas discriminatórias podem afetar negativamente a vida das vítimas. Na medida do possível, traga à tona, seja por meio de conversas ou por ações na escola, a presença intrínseca dos indígenas na cultura brasileira, do vocabulário aos hábitos.

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Lendo e aprendendo

Emplumar é colar penas diretamente no corpo, o que ocorre nas aldeias em situações festivas/ritualísticas. É uma tradição entre os povos indígenas brasileiros, com variações que identificam cada grupo étnico. Entre o povo Krahô, no Ketuwayê, as crianças têm seu primeiro contato com a ritualística do mundo adulto desta fórma. Durante o ritual, as crianças são emplumadas e realizam um desfile em torno da aldeia, abatendo animais domésticos, para representar a primeira “caçada”.

FONTES, Seleucia. Pintura corporal revela a identidade dos nossos povos ancestrais. Secretaria da Cultura e Turismo do Governo do estado do Tocantins.

Atividades

1. Responda no caderno.

a) No povo Iny (Karajá, Javaé e Xambioá), a pintura corporal pode ser representada por quais figuras?

b) Qual é o objetivo da arte corporal para o povo indígena?

c) O que os indígenas utilizam para produzir suas tintas?

2. A pintura corporal indígena privilegia traços geométricos. Quando são feitos dois traços que se cruzam em um único ponto, mas não formam um ângulo reto, podemos afirmar que se parecem com:

a) retas concorrentes

b) retas paralelas

c) retas perpendiculares

d) retas coincidentes

3. As faixas a seguir foram criadas com base em grafismos indígenas.

Ilustração. Seis faixas horizontais com desenhos geométricos. De cima para baixo. Faixa amarela com triângulos pretos. Faixa quadriculada preta e vermelha. Faixa preta com linhas coloridas em ziguezague. Faixa com triângulos marrons e amarelos. Faixa com parte amarela e linhas pretas e abaixo, quadrados vermelhos. Faixa vermelha com losangos pretos.

Inspirado pelas imagens anteriores, crie um grafismo em uma folha de papel quadriculado.

Reúna-se com 3 colegas e pesquisem sobre a influência da cultura indígena na formação do povo brasileiro. Depois, compartilhem com a turma o que encontraram.

Respostas e comentários

1. a) Além de traços geométricos, pode ser representada por figuras simbólicas de animais como pássaros, peixes ou répteis.

1. b. Expressar seus valores culturais e podem ser relacionadas com fórça, autenticidade e valores de suas nações.

1. c) Plantas como urucum e o jenipapo, além de carvão misturado à resina de algumas árvores.

2. alternativa a.

3. Resposta pessoal.

4. Comentário em Orientações.

• Na atividade 1, os estudantes vão responder a algumas questões sobre o texto. Após terminarem, faça a correção oralmente. Amplie a proposta dessa atividade e solicite a eles que elaborem questões com base no texto. Depois, eles podem trocar as questões com um colega e responder às questões propostas por ele.

• A atividade 2 envolve a transição entre os registros em língua materna e figural, o que contribui para o desenvolvimento da competência específica 6. Espera-se que os estudantes reconheçam que o fato de os traços se cruzarem em um único ponto sem formar um ângulo reto nos permite associá-los com a ideia de retas concorrentes.

• A atividade 3 pode ser um momento oportuno para trabalhar o assunto junto com as aulas de Arte e desenvolver a competência específica 3. Alerte aos estudantes que eles não devem copiar os grafismos da atividade na folha de papel quadriculado, e sim utilizá-los como inspiração para a criação de outros. Após concluírem a atividade, exponha os grafismos da turma em um mural.

• Na atividade 4, os estudantes vão realizar uma pesquisa sobre a influência da cultura indígena no povo brasileiro. Oriente-os a fazer a pesquisa em fontes confiáveis. É importante que eles reconheçam que essa cultura teve influência em nossa culinária (beiju de mandioca, pamonha, pirão etcétera), nas artes (pintura corporal, cestaria, arte plumária etcétera), na língua (influência em palavras ligadas à flora e à fauna, como abacaxi, tatu, mandioca, caju etcétera) e em outros costumes, como o de dormir em redes e andar descalço. Caso ache necessário, convide o professor de História para que realizem essa atividade juntos.

Em atividades assim, os estudantes tiram conclusões com base em informações e dados confiáveis e, além disso, exercitam a empatia e o diálogo, o que favorece o desenvolvimento das competências gerais 7 e 9 e da competência específica 8.

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2 O ângulo e seus elementos

Aplicações dos conceitos de ângulo estão presentes, hoje, na Engenharia Civil (construção de estradas, rampas), nos transportes (em rotas de orientação), em máquinas, nos projetos espaciais (em lançamento de foguetes), nas cartas geográficas (nos meridianos e paralelos da Terra), entre outras áreas. Observe os exemplos a seguir, em que destacamos os ângulos em um brinquedo de parque de diversões e em uma rota de gê pê ésse em um smartphone.

Fotografia. Vista frontal de barco Viking. O barco está do lado esquerdo e dois ângulos estão destacados, a e b. O ângulo a é formado a partir da haste à esquerda que segura o barco e outra haste principal da estrutura maior, também à esquerda. O ângulo b é formado entre as duas hastes principais da estrutura, uma à esquerda e outra à direita.

Barco váiquin em Leipzig na Alemanha. Foto de 2020. Destacamos os ângulos

\hat{a}

\hat{b}

Ilustração. Smartphone na horizontal mostrando um guia de ruas com a informação: A 50 metros, vire à esquerda. As ruas tem ângulos a, b e c. Seta de localização entre ângulo b e a.

No cruzamento das ruas, destacamos os ângulos

\hat{a}

\hat{b}

\hat{c}

Traçando duas semirretas de mesma origem, determinamos, em um plano, duas regiões. Cada uma dessas regiões, incluindo as semirretas, é chamada de ângulo.

As semirretas

\vec{O A}

\vec{O B}

de origem no ponto O e os dois ângulos formados por elas.

Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem, com uma das regiões do plano limitada por elas.

Respostas e comentários

O ângulo e seus elementos

Objetivos:

• Compreender o conceito de ângulo.

• Identificar os elementos de um ângulo.

Justificativa

Compreender o conceito de ângulo e identificar seus elementos é importante para medir a abertura de ângulos, classificá-los em retos, agudos e obtusos, identificar ângulos congruentes e compreender conceitos como os de ângulos consecutivos, adjacentes, opostos pelo vértice, entre outros.

Mapeando conhecimentos

Peça aos estudantes que mencionem situações em que a ideia de ângulo esteja presente. Depois, pergunte se sabem definir e representar um ângulo. Incentive-os a verbalizar o que sabem.

Para as aulas iniciais

Retome o conceito de ângulo e seus elementos presentes na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e peça aos estudantes que façam a atividade 28.

Antes de explorar este tópico, é interessante deixar que os estudantes tragam seus conhecimentos, uma vez que esse assunto já foi parcialmente visto no 6º ano.

Chame a atenção para as notações de ângulo e de semirreta. É importante que os estudantes reconheçam as diferenças. Ajude-os a perceber que, para os ângulos, é utilizada uma notação de uma ou três letras, nunca duas; já para retas, segmentos de reta e semirretas, sempre duas letras. É comum algum estudante achar que é permitido o uso de três letras para representações de retas ou partes de retas.

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Os lados de um ângulo são as semirretas que o determinam, e o vértice é a origem comum dessas semirretas.

O ângulo de vértice óh e lados

\vec{O A}

\vec{O B}

é indicado por:

A \hat{O} B

B \hat{O} A

\hat{O}

Ilustração. Duas semirretas OA (lado) e OB (lado) partindo da mesma origem, o ponto O (vértice). Destaque para o ângulo interno.

Imagem. A O com circunflexo B. Lemos: ângulo AOB. Seta no O com circunflexo para indicar a letra que corresponde ao vértice deve ficar entre as outras duas .

Agora, observe dois casos em que duas semirretas de mesma origem têm a mesma reta suporte.

• As semirretas

\vec{O A}

\vec{O B}

são coincidentes. Temos um ângulo nulo (ângulo cuja abertura mede 0grau) e um ângulo de uma volta (ângulo cuja abertura mede 360graus).

Ilustração. Semirreta com três pontos. Ponto O à esquerda e à direita os pontos A e B. Legenda: ângulo nulo. Ao lado, semirreta com três pontos. Ponto O à esquerda e à direita os pontos A e B. Destaque para ângulo ao redor de O. Legenda: Ângulo de uma volta.

• As semirretas

\vec{O A}

\vec{O B}

têm sentidos opostos. Temos um ângulo raso ou ângulo de meia-volta (ângulo cuja abertura mede 180graus).

Ilustração. Duas semirretas OA e OB partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para o ângulo em O.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

5. No caderno, indique, para cada item, o ângulo, seu vértice e seus lados.

Ilustração. Duas semirretas OA e OB partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para o ângulo interno.

Ilustração. Duas semirretas SR e ST partindo da mesma origem, o ponto S. Destaque para o ângulo interno.

Ilustração. Duas semirretas BA e BC partindo da mesma origem, o ponto B. Destaque para o ângulo interno

Ilustração. Duas semirretas QP e QR partindo da mesma origem, o ponto Q. Destaque para o ângulo em Q.

6. Desenhe um ângulo raso e um ângulo nulo. Em seguida, observe os lados dos ângulos e responda:

a) São semirretas?

b) Têm a mesma reta suporte?

c) São coincidentes?

Respostas e comentários

5. a) ângulo:

A \hat{O} B

B \hat{O} A

; vértice: óh; lados:

\vec{O A}

\vec{O B}

5. b) ângulo:

R \hat{S} T

T \hat{S} R

; vértice: S; lados:

\vec{S R}

\vec{S T}

5. c) ângulo:

A \hat{B} C

C \hat{B} A

; vértice: B; lados:

\vec{B A}

\vec{B C}

5. d) ângulo:

P \hat{Q} R

R \hat{Q} P

; vértice: Q; lados:

\vec{Q P}

\vec{Q R}

6. a) sim

6. b) sim

6. c) Os lados do ângulo raso não são coincidentes; já os lados do ângulo nulo são.

• Faça a correção coletiva das atividades 5 e 6. Em relação à atividade 6, peça que compartilhem as representações que fizeram dos ângulos raso e nulo.

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3 Medida da abertura de um ângulo

Ao medir um ângulo, consideramos a abertura entre seus lados. Podemos utilizar como unidade de medida da abertura de ângulo o grau.

Se dividirmos um ângulo de uma volta em trezentas e sessenta partes iguais, determinamos 360 ângulos com aberturas medindo 1 grau (1grau).

Ilustração. Semirreta com três pontos. Ponto O à esquerda e à direita os pontos A e B. Destaque para ângulo ao redor de O. — ângulo de uma volta (ângulo cuja abertura mede 360graus)

Ilustração. Pequena abertura entre duas semirretas com ponto O na origem, à esquerda. — ângulo cuja abertura mede 1grau

Para medir a abertura de ângulos, podemos utilizar o transferidor, que já vem graduado de 1grau em 1grau. Observe a seguir um transferidor de 180graus e outro de 360graus.

Ilustração. Transferidor de 180 graus em formato de semicírculo. Na base inferior, centro.

Ilustração. Transferidor de 360 graus em formato circular. Na haste central, centro.

A unidade de medida grau tem submúltiplos: o minuto e o segundo. Indicamos 1 minuto por 1’ e 1 segundo por 1”.

• 1 minuto é

\frac{1}{60}

do grau, ou seja, 1 grau é igual a 60 minutos:

1grau = 60minutos

• 1 segundo é

\frac{1}{60}

do minuto, ou seja, 1 minuto é igual a 60 segundos:

1’ = 60segundos

Respostas e comentários

Medida da abertura de um ângulo

Objetivos:

• Medir a abertura de ângulos utilizando o transferidor.

• Classificar ângulos em agudos, retos e obtusos.

• Construir ângulos utilizando o transferidor ou um par de esquadros.

Justificativa

Vários conceitos e propriedades que serão estudados no capítulo envolvem medidas de abertura de ângulos: ângulos congruentes, ângulos complementares, ângulos suplementares, propriedade dos ângulos opostos pelo vértice, relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal etcétera Medir a abertura de ângulos e classificá-los quanto à medida da abertura é um passo importante para a compreensão desses conteúdos.

A construção de ângulos, por sua vez, explora o uso do transferidor ou dos esquadros e amplia o repertório de construções dos estudantes.

Mapeando conhecimentos

Reúna os estudantes em grupos e distribua, para cada grupo, folhas com representações de ângulos e alguns transferidores. Em seguida, peça a eles que meçam a abertura dos ângulos utilizando o transferidor. Observe se posicionam corretamente o transferidor sobre os ângulos e como registram as medidas obtidas. Caso não tenham encontrado dificuldades para realizar essa tarefa, você pode ampliá-la apresentando algumas medidas de abertura de ângulo para que eles representem no caderno utilizando o transferidor. Em seguida, verifique se conseguem classificar os ângulos representados em agudos, retos ou obtusos.

Para as aulas iniciais

Solicite aos estudantes que revisem os conceitos de ângulo agudo, reto e obtuso da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e, depois, façam a atividade 29. Após identificarem as afirmações verdadeiras, incentive-os a justificar o porquê das afirmações dos itens a, dê e ê serem falsas.

É fundamental que os estudantes efetuem medições e construam ângulos utilizando um transferidor. Chame a atenção deles para o fato de que o transferidor é graduado nos dois sentidos e que, por esse motivo, é importante prestar atenção no sentido com o qual querem identificar a medida do ângulo.

Comente com eles que as medidas de abertura de ângulos seguem um sistema sexagesimal, assim como o sistema horário.

Página 75

Como medir a abertura de um ângulo utilizando o transferidor

Para medir a abertura de um ângulo

A \hat{O} B

qualquer utilizando o transferidor, usamos o seguinte procedimento:

1º) O centro marcado no transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo (ponto óh).

2º) A linha do transferidor, que passa pelo centro e pelo zero, deve estar posicionada sobre um dos lados que formam o ângulo

A \hat{O} B

(por exemplo, semirreta

\vec{O A}

3º) Verificamos a medida da abertura do ângulo na escala graduada por onde passa o outro lado (semirreta

\vec{O B}

Ilustração. Transferidor de 180 graus virado para esquerda. No centro, ponto O. Semirreta vertical OA em 0 grau e outra semirreta OB em 30 graus. — A medida da abertura de A

A medida da abertura de

A \hat{O} B

é 30graus.

Indicamos: medida de(

A \hat{O} B

) = 30graus

Ilustração. Transferidor de 180 graus. No centro, ponto O. Semirreta horizontal OA em 0 grau e outra semirreta OB em 60 graus. — A medida da abertura de A

A medida da abertura de

A \hat{O} B

é 60graus.

Indicamos: medida de(

A \hat{O} B

) = 60graus

Observe, a seguir, indicações de algumas medidas de abertura de ângulo e como as lemos.

a) 30graus

lemos: “trinta graus”.

b) 45° 50’

lemos: “quarenta e cinco graus e cinquenta minutos”.

c) 30° 48’ 36”

lemos: “trinta graus, quarenta e oito minutos e trinta e seis segundos”.

Veja que interessante

Faça a atividade no caderno.

Instrumentos de navegação

A navegação é uma das atividades humanas mais antigas, praticada desde os povos ancestrais. Com o passar do tempo, com o uso de instrumentos náuticos para guiar as navegações e com a melhora das embarcações, as distâncias navegadas se tornaram mais longas, já que antes procurava-se navegar sem perder as terras de vista. Graças a esses avanços, aconteceram as grandes navegações a partir do século quinze. Alguns dos instrumentos usados foram o quadrante náutico (1), o astrolábio (2) e a balestilha (3). Mais tarde, surgiram o octante (4) e o sextante (5). Todos eles serviam para medir abertura de ângulos, os dois últimos de fórma mais precisa que os primeiros. Hoje há instrumentos mais precisos para a navegação, como o radar e o gê pê ésse.

Fotografias. 1. Instrumento dourado em formato de setor circular. 2. Objeto redondo com haste e inscrições. 3. Haste vertical com três hastes na horizontal de tamanhos diferentes. 4. Instrumento arredondado na parte inferior com três hastes. 5. Instrumento com base arredondada dourada e haste com círculos acima.

Atividade

Realize uma pesquisa e verifique para que esses instrumentos eram utilizados pelos navegadores.

Respostas e comentários

Veja que interessante: Comentário em Orientações.

Como medir a abertura de um ângulo utilizando o transferidor

Para ajudar os estudantes quanto ao uso do transferidor, oriente-os a imaginar a colocação de um alfinete no centro do transferidor. Esse alfinete deve ser sempre fixado no vértice do ângulo, sendo possível somente girar o transferidor.

No boxe Veja que interessante, incentive os estudantes a realizarem a pesquisa em mais de um site. Assim, podem identificar mais de uma versão sobre o uso dos instrumentos. Espera-se que identifiquem que:

• o quadrante náutico e o astrolábio eram utilizados para medir uma distância percorrida a partir da medida da abertura do ângulo de inclinação de uma estrela e para medir a latitude de um local;

• a balestilha era utilizada para medir a distância entre uma estrela e o horizonte e para medir a distância entre dois astros;

• o octante e o sextante eram utilizados para medir a distância entre uma estrela e o horizonte e para medir uma distância entre dois locais.

Página 76

Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso

Um ângulo pode ser classificado quanto à medida de sua abertura.

• Ângulo reto: é aquele que tem medida de abertura igual a 90graus.

Ilustração. Duas semirretas OA e OB partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para ângulo interno, representado por um quadrado com um ponto dentro: sinal indicativo de ângulo reto.

O ângulo

A \hat{O} B

é reto.

• Ângulo agudo: é o ângulo que tem medida de abertura maior que 0grau e menor que 90graus.

Ilustração. Duas semirretas OC e OD partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para ângulo interno com medida de abertura igual a 30 graus.

O ângulo

C \hat{O} D

é agudo.

• Ângulo obtuso: é o ângulo que tem medida de abertura maior que 90graus e menor que 180graus.

Ilustração. Duas semirretas OE e OF partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para ângulo interno com medida de abertura igual a 135 graus.

O ângulo

E \hat{O} F

é obtuso.

Construção de um ângulo com o transferidor

Observe a sequência utilizada na construção de um ângulo cuja abertura mede 50graus.

1º) Traçamos uma semirreta

\vec{A B}

2º) Posicionamos o transferidor de modo que seu centro coincida com o ponto a e a marca de 0grau esteja sobre a semirreta

\vec{A B}

. Depois, marcamos o ponto C, alinhado com a marca de 50graus.

Ilustração. Transferidor de 180 graus. No centro, ponto A. Semirreta horizontal AB em 0 grau e uma marcação do ponto C em 50 graus.

3º) Traçamos com a régua a semirreta

\vec{A C}

, obtendo, assim, o ângulo

B \hat{A} C

, cuja abertura mede 50graus.

Ilustração. Duas semirretas AC e AB partindo da mesma origem, o ponto A. Destaque para ângulo interno com medida de abertura igual a 50 graus.

Respostas e comentários

Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso

Sugestão de atividade extra

Escreva as medidas da abertura de alguns ângulos na lousa e peça aos estudantes que realizem a construção desses ângulos no caderno.

Página 77

Construção de alguns ângulos com um par de esquadros

Podemos usar um par de esquadros para construir alguns ângulos. Em um dos esquadros, encontramos um ângulo de abertura medindo 90graus e dois ângulos de abertura medindo 45graus, e, no outro esquadro, ângulos cujas aberturas medem 30graus, 60graus e 90graus.

Ilustração. Dois esquadros, um ao lado do outro. O esquadro do lado esquerdo tem dois ângulos de 45 graus e um ângulo de 90 graus. O esquadro à direita tem um ângulo de 30 graus, um ângulo de 90 graus e um ângulo de 60 graus.

Utilizando as medidas de abertura dos ângulos dos esquadros, conseguimos construir alguns ângulos, como os ângulos cujas aberturas medem 30graus, 45graus, 60graus e 90graus. Para construir ângulos com outras medidas de abertura, podemos adicionar ou subtrair essas medidas. Observe os exemplos a seguir.

a) 30graus + 45graus = 75graus

Ilustração. Duas semirretas partindo da mesma origem. Ângulo interno formado pela adição das medidas de abertura dos ângulos dos esquadros, 30 graus e 45 graus.

b) 45graus menos 30graus = 15graus

Ilustração. Duas semirretas partindo da mesma origem. Ângulo interno formado pela subtração das medidas de abertura dos ângulos dos esquadros, 45 graus e 30 graus.

Determinando a medida da abertura de um ângulo

Considere a figura a seguir.

Ilustração. Três semirretas OA, OB e OC, partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, a medida da abertura do ângulo BOC, à direita, igual a 105 graus.

Agora, vamos determinar a medida da abertura do ângulo

A \hat{O} B

, ou seja, medida de(

A \hat{O} B

Pela figura, temos que:

m e d (B \hat{O} C) = 105 °

Como

m e d (A \hat{O} C)

é igual a 180graus, pois

A \hat{O} C

é um ângulo raso, então:

m e d (A \hat{O} B)

= 180graus menos 105graus = 75graus

Logo, a medida de abertura do ângulo

A \hat{O} B

é igual a 75graus.

Respostas e comentários

Construção de alguns ângulos com um par de esquadros

Comente com os estudantes o nome dos esquadros (esquadro de 45graus e esquadro de 30graus). E indique a eles qual é qual, com o auxílio das imagens apresentadas.

Determinando a medida da abertura de um ângulo

Antes de ler o texto do livro, reproduza a figura na lousa usando esquadros e peça aos estudantes que determinem a medida da abertura do ângulo

A \hat{O} B

. Deixe que utilizem estratégias pessoais e incentive o diálogo. Espera-se que eles concluam que a medida da abertura do ângulo

A \hat{O} B

é igual a 75graus. Amplie essa proposta e solicite que determinem a medida da abertura de outros ângulos que você representar na lousa.

Página 78

Atividades

Faça as atividades no caderno.

7. Escreva no caderno as medidas das aberturas dos ângulos usando os símbolos de grau, minuto e segundo.

a) 60 graus

b) 90 graus

c) 102 graus e 35 minutos

d) 110 graus, 32 minutos e 48 segundos

8. Determine as medidas das aberturas dos ângulos representados a seguir.

Ilustração. Transferidor de 180 graus. No cento, ponto O e semirretas: OA: 160 graus; OB: 130 graus; OC: 90 graus; OD: 70 graus; OE: 50 graus; OF: 30 graus e OG: 0 grau.

a) medida de(

G \hat{O} F

)

b) medida de(

G \hat{O} E

)

c) medida de(

D \hat{O} C

)

d) medida de(

G \hat{O} D

)

e) medida de(

A \hat{O} D

)

f) medida de(

A \hat{O} E

)

g) medida de(

A \hat{O} G

)

h) medida de(

C \hat{O} F

)

9. Com um transferidor, meça e registre no caderno a medida da abertura de cada um dos ângulos.

Ilustração. Duas semirretas HG e HI partindo da mesma origem, o ponto H. Destaque para o ângulo interno.

Ilustração. Duas semirretas OM e ON partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para o ângulo interno.

Ilustração. Duas semirretas TU e TS partindo da mesma origem, o ponto T. Destaque para o ângulo interno.

Ilustração. Duas semirretas ED e EF partindo da mesma origem, o ponto E. Destaque para o ângulo interno.

Ilustração. Duas semirretas QP e QR partindo da mesma origem, o ponto Q. Destaque para o ângulo interno.

10. Com o auxílio de uma régua e de um transferidor, construa no caderno os ângulos pedidos e, depois, classifique-os em agudo, obtuso, reto ou raso.

a) ângulo

A \hat{O} B

cuja abertura mede 65graus

b) ângulo

C \hat{O} D

cuja abertura mede 150graus

c) ângulo

M \hat{N} P

cuja abertura mede 90graus

d) ângulo

D \hat{E} F

cuja abertura mede 180graus

11. Com um par de esquadros, trace um ângulo cuja abertura mede:

a) 105graus

b) 150graus

c) 120graus

d) 135graus

e) 165graus

f) 15graus

12. Um hexágono regular é uma figura formada por seis lados de medidas de comprimento iguais e seis ângulos internos de medida de abertura igual a 120graus, conforme a figura a seguir.

Ilustração. Hexágono azul de lados iguais e seis ângulos internos com medida de abertura igual a 120 graus cada. A medida do comprimento de cada lado é 1,5 centímetros.

No caderno, com o auxílio de uma régua e de um transferidor, construa um hexágono regular cujos lados medem 3 centímetros de comprimento.

13. (enêm) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a:

a) uma volta completa.

b) uma volta e meia.

c) duas voltas completas.

d) duas voltas e meia.

e) cinco voltas completas.

Versão adaptada acessível

9. Desenhe 6 ângulos de aberturas de medidas variadas. Depois, com um transferidor, meça suas aberturas.

Orientação para acessibilidade

Respostas

Dependem dos ângulos desenhados.

Respostas e comentários

7. a) 60graus

7. b) 90graus

7. c) 102graus 35minutos

7. d) 110graus 32minutos 48segundos

8. a) 30graus

8. b) 50graus

8. c) 20graus

8. d) 70graus

8. e) 90graus

8. f) 110graus

8. g) 160graus

8. h) 60graus

9. a) 45graus

9. b) 40graus

9. c) 100graus

9. d) 110graus

9. e) 135graus

9. f) 170graus

10. a) agudo

10. a) Exemplo de resposta:

Ilustração. Duas semirretas OA e OB partindo da mesma origem, o ponto O, formando o ângulo de 65 graus.

10. b) obtuso

10. b) Exemplo de resposta:

Ilustração. Duas semirretas OC e OD partindo da mesma origem, o ponto O, formando o ângulo de 150 graus.

10. c) reto

10. c) Exemplo de resposta:

Ilustração. Duas semirretas NM e NP partindo da mesma origem, o ponto N, formando o ângulo de 90 graus.

10. d) raso

10. d) Exemplo de resposta:

Ilustração. Duas semirretas ED e EF partindo da mesma origem, o ponto E, formando o ângulo de 180 graus.

11. a) Um exemplo de resposta está na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do professor.

11. b) Exemplos de resposta estão na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do professor.

11. c) Exemplos de resposta estão na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do professor.

11. d) Exemplos de resposta estão na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do professor.

11. e) Um exemplo de resposta está na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do professor.

11. f) Exemplos de resposta estão na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do professor.

12. Comentário em Orientações.

13. alternativa d

• Na atividade 9, se julgar oportuno, peça aos estudantes que, em uma folha vegetal, reproduzam os ângulos, para poderem prolongar os seus lados, facilitando a medição das aberturas.

• Para resolver a atividade 11, os estudantes devem se lembrar de que o esquadro de 45graus tem dois ângulos com medida de abertura de 45graus e um com medida de abertura de 90graus; e o esquadro de 30graus tem um ângulo com medida de abertura de 30graus, um com medida de abertura de 60graus e um com medida de abertura de 90graus.

• Para resolver a atividade 12, podemos representar um ângulo com medida de abertura de 120graus, construir dois lados do hexágono com medida de comprimento de 1,5 centímetro nos lados desse ângulo, representar um ângulo de medida de abertura de 120graus de modo que um dos lados traçados seja lado desse novo ângulo e, sucessivamente, repetir a construção do lado do hexágono com medida de comprimento de 1,5 centímetro e do ângulo com medida de abertura de 120graus até obter o hexágono regular pedido.

• Na atividade 13, mostre aos estudantes que: 900graus = 360graus + 360graus + 180graus

Página 79

Transformação de unidades

O grau é uma unidade de medida de abertura de ângulo, sendo o minuto e o segundo seus submúltiplos. Além disso, 1 grau equivale a 60 minutos e 1 minuto equivale a 60 segundos.

Ilustração. Menino de cabelo castanho, camiseta vermelha segura um transferidor de 360 graus. À frente, mesa com estojo e caderno. Ao lado da ilustração, um retângulo com a informação: 1 grau é igual a 60 minutos; 1 minuto é igual a 60 segundos

Agora, observe, nos exemplos a seguir, como efetuar transformações de unidades de medida de abertura de ângulos.

a) 30graus em minutos

30graus = 30 ⋅ 1grau = 30 ⋅ 60minutos = .1800minutos

Logo: 30graus = .1800minutos

b) 3graus 35minutos em segundos

3graus = 3 ⋅ 1grau = 3 ⋅ 60minutos = 180minutos

180minutos + 35minutos = 215minutos

215minutos = 215 ⋅ 1’ = 215 ⋅ 60segundos = .12900segundos

Logo: 3graus 35minutos = .12900segundos

c) 130minutos em grau e minuto

Algoritmo da divisão. O dividendo é 130 minutos, o divisor é 60, o quociente é 2 graus e o resto é 10 minutos.

Logo: 130minutos = 2graus 10minutos

d) 150segundos em minuto e segundo

Algoritmo da divisão. O dividendo é 150 segundos, o divisor é 60, o quociente é 2 minutos e o resto é 30 segundos.

Logo: 150segundos = 2minutos 30segundos

e) 5graus 35minutos em minutos

5graus = 5 ⋅ 1grau = 5 ⋅ 60minutos = 300minutos

300minutos + 35minutos = 335minutos

Logo: 5graus 35minutos = 335minutos

f) 2graus 20minutos 40segundos em segundos

2graus = 2 ⋅ 1grau = 2 ⋅ 60minutos = 120minutos

120minutos + 20minutos = 140minutos

140minutos = 140 ⋅ 1’ = 140 ⋅ 60segundos = .8400segundos

.8400segundos + 40segundos = .8440segundos

Logo: 2graus 20minutos 40segundos = .8440segundos

g) .26138segundos em grau, minuto e segundo

Esquema. Algoritmo da divisão. O dividendo é 26 mil e 138 segundos, o divisor é 60, o quociente é 435 minutos e o resto é 38 segundos. Seta laranja partindo do quociente 435 minutos, indicando outra divisão. Algoritmo da divisão. O dividendo é 435 minutos, o divisor é 60, o quociente é 7 graus e o resto é 15 minutos.

Logo: .26138segundos = 7graus 15minutos 38segundos

Respostas e comentários

Transformação de unidades

Se achar conveniente, para explicar a conversão de grau para minuto, aumente gradativamente as quantidades em graus para transformar em minutos, ou seja, vá induzindo o aumento até que se chegue à conclusão de que, para essa conversão, basta multiplicar por 60. O mesmo pode ser feito na conversão de minutos para segundos.

Comente que a conversão de segundos para graus normalmente é feita convertendo primeiro os segundos para minutos; então, os minutos resultantes, se forem mais de 60, serão convertidos para graus. Não costumamos fazer a conversão direta de segundos para graus, mesmo sendo possível. Caso considere interessante, explique que 1grau equivale a .3600segundos, já que é comum os estudantes acharem que, de graus para minutos, podem multiplicar por 120, o que é um erro.

Explique as conversões quando a medida de abertura, em grau, apresenta parte decimal. Mostre que a multiplicação por 60 continua valendo. Chame a atenção para o fato de que 0,5grau não é 50minutos, e sim 30minutos, e sobre a possibilidade de utilizar números decimais na representação de medidas de abertura em graus. Por exemplo, 45graus 30minutos equivale a 45,5graus.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

14.

Ícone de atividade com Calculadora e softwares.

Usando calculadora, transforme as medidas indicadas de acordo com o pedido de cada item:

a) 27graus em minuto;

b) 13graus 13minutos 13segundos em segundo;

c) 12graus 57minutos em minuto;

d) 213minutos em grau e minuto;

e) 36graus em segundo;

f) 310minutos em grau e minuto;

g) 17graus 12minutos em segundo;

h) .214317segundos em grau, minuto e segundo.

15. Observe este veículo.

Fotografia. Veículo elétrico composto por uma barra no centro e duas rodas abaixo. — Este veículo elétrico de duas rodas é um meio de transporte que funciona com o equilíbrio do condutor.

Na posição de descanso, o eixo vertical fórma um ângulo cuja medida da abertura corresponde a 112% da medida da abertura de um ângulo reto, em relação à base. Descubra a medida da abertura desse ângulo, em grau e minuto.

4 Operações com medidas de abertura de ângulos

Vamos analisar algumas situações que envolvem operações com medidas de abertura de ângulos.

Adição

Traçados os ângulos

A \hat{O} B

B \hat{O} C

conforme a ilustração, qual é a medida da abertura do ângulo

A \hat{O} C

Ilustração. Três semirretas OA, OB e OC, partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, as medidas das aberturas dos ângulos AOB, igual a 30 graus e 18 minutos e BOC, igual a 45 graus e 30 minutos.

Para responder a essa pergunta, devemos adicionar as medidas das aberturas dos ângulos

A \hat{O} B

B \hat{O} C

m e d (A \hat{O} C) = 30 ° 18 ’ + 45 ° 30 ’

Algoritmo usual da adição envolvendo medidas de abertura de ângulos em grau e minuto.
Na primeira linha, 30 graus e 18 minutos.
Abaixo, à esquerda, o sinal de adição e à direita, 45 graus e 30 minutos,
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, 75 graus e 48 minutos.

Observe que adicionamos minutos com minutos e graus com graus.

Portanto, a medida da abertura do ângulo

A \hat{O} C

é 75graus 48minutos.

Agora, analise outro exemplo: 10graus 36minutos 30segundos + 23graus 45minutos 50segundos

Nesse caso, devemos adicionar segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus.

Esquema. Algoritmo da adição envolvendo medidas de abertura de ângulos em grau e minuto.
Na primeira linha, 10 graus e 36 minutos e 30 segundos.
Abaixo, à esquerda, o sinal de adição e à direita, 23 graus e 45 minutos e 50 segundos,
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, 33 graus, 81 minutos e 80 segundos.

Se 1’ = 60segundos, então 80segundos = 1’ 20segundos; assim:

33graus 81minutos 80segundos = 33graus 82minutos 20segundos

Se 1grau = 60minutos, então 82minutos = 1grau 22minutos; assim:

33graus 82minutos 20segundos = 34graus 22minutos 20segundos

Respostas e comentários

14. a) .1620minutos

14. b) .47593segundos

14. c) 777minutos

14. d) 3graus 33minutos

14. e) .129600segundos

14. f) 5graus 10minutos

14. g) .61920segundos

14. h) 59graus 31minutos 57segundos

15. 100,8graus = 100graus 48minutos

• Na atividade 15, retome a explicação da conversão de números decimais em grau, minuto e segundo. Se julgar interessante, proponha outras conversões de medidas de abertura em grau com números decimais para minutos e segundos.

Operações com medidas de abertura de ângulos

Objetivo:

Efetuar operações com medidas de abertura de ângulos.

Justificativa

Possibilita aos estudantes se familiarizarem com os submúltiplos do grau e ampliar o que estudaram sobre os algoritmos das operações.

Mapeando conhecimentos

Proponha aos estudantes que realizem adições, subtrações, multiplicações e divisões envolvendo medidas de abertura de ângulos expressas em graus, minutos e segundos. Primeiro, solicite cálculos que não demandem reagrupamentos ou trocas. Depois, proponha cálculos em que reagrupamentos e trocas sejam necessários. Observe os procedimentos adotados.

Para as aulas iniciais

Retome os cálculos propostos na dinâmica inicial e mostre como realizar alguns deles. Depois, convide alguns estudantes para que expliquem como fizeram para realizar seus cálculos.

Adição

Após a explicação desse tópico, dê um exemplo de adição com medidas de abertura de ângulos no qual, ao adicionar os minutos (ou os segundos), ocorra a necessidade de reagrupamento, para chamar a atenção em relação a esse cuidado. É muito comum os estudantes terem dúvidas ou se confundirem com esse tipo de adição.

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Subtração

Considere os ângulos

B \hat{O} C

A \hat{O} B

a seguir.

Qual é a diferença entre as medidas das aberturas dos ângulos

B \hat{O} C

A \hat{O} B

Para responder a essa pergunta, devemos subtrair 30graus 18minutos de 45graus 30minutos.

m e d (B \hat{O} C) - m e d (A \hat{O} B) = 45 ° 30 ’ - 30 ° 18 ’

Esquema. Algoritmo da subtração envolvendo medidas de abertura de ângulos em grau e minuto.
Na primeira linha, 45 graus e 30 minutos.
Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e à direita, 30 graus e 18 minutos,
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, 15 graus e 12 minutos.

Observe que subtraímos minutos de minutos e graus de graus.

Portanto, a diferença entre as medidas das aberturas dos ângulos

B \hat{O} C

A \hat{O} B

é 15graus 12minutos.

Agora, analise outro exemplo.

80graus 48minutos 30segundos ‒ 70graus 58minutos 55segundos

Nesse caso, podemos trocar graus por minutos e minutos por segundos para poder efetuar a subtração.

Observe que:

Esquema. Igualdade na horizontal, 80 graus, 48 minutos e 30 segundos, igual, 80 graus, 47 minutos e 90 segundos, igual, 79 graus, 107 minutos e 90 segundos. Fio laranja em 80 graus, 47 minutos e 90 segundos com a indicação: Retiramos 1 minuto dos 48 minutos e adicionamos 60 segundos aos 30 segundos já existentes. Fio laranja em 79 graus, 107 minutos e 90 segundos com a indicação: Retiramos 1 grau dos 80 graus e adicionamos 60 minutos aos 47 minutos já existentes.

Assim:

Esquema. Algoritmo da subtração envolvendo medidas de abertura de ângulos em grau e minuto.
Na primeira linha, 79 graus, 107 minutos e 90 segundos.
Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e à direita, 70 graus, 58 minutos e 55 segundos,
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, 9 graus, 49 minutos e 35 segundos.

Portanto: 80graus 48minutos 30segundos ‒ 70graus 58minutos 55segundos = 9graus 49minutos 35segundos

Multiplicação

Para multiplicar um número natural pela medida da abertura de um ângulo, devemos multiplicar esse número pelos segundos, pelos minutos e pelos graus dessa medida. Depois, se necessário, devemos fazer as transformações de unidades. Confira os exemplos a seguir:

a) 4 ⋅ (15graus 12minutos 10segundos)

Esquema. Algoritmo da multiplicação 15 graus, 12 minutos e 10 segundos vezes 4 igual a 60 graus, 48 minutos e 40 segundos.
Na primeira linha, 15 graus, 12 minutos e 10 segundos.
Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 4.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, 60 graus, 48 minutos e 40 segundos.

b) 5 ⋅ (12graus 36minutos 40segundos)

Esquema. Algoritmo da multiplicação 12 graus, 36 minutos e 40 segundos vezes 5 é igual a 60 graus, 180 minutos e 200 segundos.
Na primeira linha, 12 graus, 36 minutos e 40 segundos.
Abaixo, à esquerda, o sinal de multiplicação e à direita, o número 5.
Abaixo, traço horizontal.
Abaixo, 60 graus, 180 minutos e 200 segundos (em destaque). Seta laranja saindo dessa linha e indo para a próxima linha com a indicação: Como 200 segundos é igual a 3 minutos e 20 segundos, adicionamos 3 minutos aos 180 minutos já existentes.
Abaixo, 60 graus, 183 minutos (em destaque) e 20 segundos. Seta laranja saindo dessa linha e indo para a próxima linha com a indicação: Como 183 minutos é igual a 3 graus e 3 minutos, adicionamos 3 graus aos 60 graus já existentes.
Abaixo, 63 graus, 3 minutos e 20 segundos.

Respostas e comentários

Subtração

Reproduza os dois exemplos na lousa e desenvolva-os com a participação da turma. Se achar conveniente, mostre como realizar outras subtrações com medidas de abertura de ângulos.

Multiplicação

Chame a atenção dos estudantes para o fato de que devem transformar segundos em minutos e minutos em graus caso obtenham mais de 60 unidades de medida, como no exemplo b.

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Divisão

Os raios da roda da frente de uma bicicleta formam 20 ângulos consecutivos de mesma medida de abertura; para determinar a medida da abertura do ângulo formado por dois raios consecutivos, é necessário dividir 360graus por 20.

Ilustração. Bicicleta virada para esquerda. Destaque para a roda da frente com linhas diagonais. Cada linha corresponde ao raio da roda.

Então:

Esquema. Algoritmo da divisão. O dividendo é 360 graus, o divisor é 20, o quociente é 18 graus e o resto é 0.

Logo, a medida da abertura do ângulo formado por dois raios consecutivos é igual a 18graus.

Para dividir a medida da abertura de um ângulo por um número natural, devemos dividir inicialmente os graus, depois os minutos e, por fim, os segundos da medida da abertura desse ângulo por esse número. Quando necessário, devemos fazer as transformações de unidades. Verifique os exemplos a seguir.

a) (40graus 20minutos) : 2

Esquema. Algoritmo da divisão. O dividendo é 40 graus e 20 minutos, o divisor é 2, o quociente é 20 graus e 10 minutos e o resto é 0.

b) (45graus 20minutos 16segundos) : 4

Esquema. Algoritmo da divisão. Na primeira linha, 45 graus, 20 minutos e 16 segundos e dentro da chave o número 4.
Abaixo da chave, 11 graus. À esquerda, abaixo de 45 graus, 1 grau (cortado por um fio laranja). À direita, embaixo da chave do lado direito de 11 graus, 20 minutos. À esquerda, abaixo de 20 minutos, sinal de adição e 60 minutos. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, 80 minutos. Abaixo, 0. À direita, embaixo da chave do lado direito de 20 minutos, 4 segundos. À esquerda, abaixo de 16 segundos, Abaixo, 0.
Seta laranja saindo de 1 grau cortado, indicando 60 minutos.

c) (50graus 17minutos 30segundos) : 6

Esquema. Algoritmo da divisão. Na primeira linha, 50 graus, 17 minutos e 30 segundos e dentro da chave o número 6.
Abaixo da chave, 8 graus. À esquerda, abaixo de 50 graus, 2 graus (cortado por um fio laranja). À direita, embaixo da chave do lado direito de 8 graus, 22 minutos. À esquerda, abaixo de 17 minutos, sinal de adição e 120 minutos. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, 137 minutos. Abaixo, 5 minutos (cortado por um fio laranja). À direita, embaixo da chave do lado direito de 22 minutos, 55 segundos. À esquerda, abaixo de 30 segundos, sinal de adição e 300 segundos. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, 330 segundos. Abaixo, 0.
Seta laranja saindo de 2 graus cortado, indicando 120 minutos.
Seta laranja saindo de 5 graus cortado, indicando 300 segundos.

d) (13graus 32minutos 33segundos) : 3

Esquema. Algoritmo da divisão. Na primeira linha, 13 graus, 32 minutos e 33 segundos e dentro da chave o número 3.
Abaixo da chave, 4 graus. À esquerda, abaixo de 13 graus, 1 grau (cortado por um fio laranja). À direita, embaixo da chave do lado direito de 4 graus, 30 minutos. À esquerda, abaixo de 32 minutos, sinal de adição e 60 minutos. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, 92 minutos. Abaixo, 2 minutos (cortado por um fio laranja). À direita, embaixo da chave do lado direito de 30 minutos, 51 segundos. À esquerda, abaixo de 33 segundos, sinal de adição e 120 segundos. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, 153 segundos. Abaixo, 0.
Seta laranja saindo de 1 grau cortado, indicando 60 minutos.
Seta laranja saindo de 2 graus cortado, indicando 120 segundos.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

16. Efetue os cálculos.

a) 25graus 12minutos + 37graus 20minutos

b) 86graus 52minutos 50segundos + 39graus 43minutos 20segundos

c) 45graus 12minutos 37segundos + 47graus 49minutos 38segundos

d) 42graus 30minutos + 47graus 30minutos

e) 75graus 21minutos ‒ 49graus 33minutos

f) 47graus 39minutos 25segundos ‒ 29graus 31minutos 45segundos

g) 80graus 49minutos 32segundos ‒ 73graus 51minutos 46segundos

h) 90graus ‒ 35graus 49minutos 46segundos

Respostas e comentários

16. a) 62graus 32minutos

16. b) 126graus 36minutos 10segundos

16. c) 93graus 2minutos 15segundos

16. d) 90graus

16. e) 25graus 48minutos

16. f) 18graus 7minutos 40segundos

16. g) 6graus 57minutos 46segundos

16. h) 54graus 10minutos 14segundos

Divisão

Comente com os estudantes que a divisão de medidas de abertura de ângulos em grau, minuto e segundo pode ser pensada como se fossem três divisões feitas sucessivamente: uma para grau, uma para minuto e uma para segundo.

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17. Observe a figura a seguir e, depois, responda às questões.

Ilustração. Cinco semirretas OA, OB, OC, OD e OE partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, as medidas das aberturas dos ângulos AOB, igual a 46 graus e 30 minutos, BOC, igual a 112 graus, 15 minutos e 20 segundos e COD, igual a 21 graus, 14 minutos e 40 segundos.

a) Qual é a medida da abertura do ângulo

A \hat{O} C

b) Qual é a medida da abertura do ângulo

B \hat{O} D

c) Qual é a medida da abertura do ângulo

A \hat{O} D

d) Qual é a medida da abertura do ângulo

A \hat{O} E

m e d (E \hat{O} D) = 133 ° 30 ’

18. Efetue os cálculos.

a) 6 ⋅ (45graus 12minutos)

b) 4 ⋅ (12graus 30minutos)

c) 7 ⋅ (1grau 10minutos 13segundos)

d) 5 ⋅ (45graus 12minutos 56segundos)

e) 8 ⋅ (25graus 20minutos 20segundos)

f) (98graus 56minutos) : 2

g) 15graus : 8

h) (84graus 40minutos 20segundos) : 2

i) (39graus 11minutos 40segundos) : 2

j) (42graus 35minutos 20segundos) : 8

19. Calcule.

a) O triplo de 47graus 29minutos.

b) O quádruplo de 23graus 19minutos 15segundos.

c) O sêxtuplo de 20graus 15minutos 20segundos.

d) A metade de 97graus.

e) A terça parte de 98graus 54minutos.

f) A quarta parte de 60graus 40minutos 20segundos.

20. Observe a figura e efetue os cálculos no caderno.

Ilustração. Quatro semirretas OA, OB, OC e OD partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, as medidas das aberturas dos ângulos AOB, igual a 36 graus e 20 minutos, BOC, igual a 99 graus, 20 minutos e 40 segundos e COD, igual a 44 graus, 19 minutos e 20 segundos.

m e d (A \hat{O} B) : 4

2 \cdot m e d (B \hat{O} C)

3 \cdot m e d (C \hat{O} D)

m e d (A \hat{O} C) : 8

5 Ângulos congruentes

Observe os ângulos a seguir.

Ilustração. Duas semirretas OA e OB partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, a medida da abertura do ângulo AOB, igual a 30 graus.

m e d (A \hat{O} B) = 30 °

Ilustração. Duas semirretas PC e PD partindo da mesma origem, o ponto P. Em destaque, a medida da abertura do ângulo CPD, igual a 30 graus.

m e d (C \hat{P} D) = 30 °

Observe que

A \hat{O} B

C \hat{P} D

têm a mesma medida de abertura. Dizemos, então, que

A \hat{O} B

C \hat{P} D

são ângulos congruentes e indicamos:

A \hat{O} B ≅ C \hat{P} D

(lemos: “ângulo á ó bê é congruente ao ângulo CPD").

Ângulos congruentes são aqueles que têm a mesma medida de abertura.

Respostas e comentários

17. a) 158graus 45minutos 20segundos

17. b) 133graus 30minutos

17. c) 180graus

17. d) 46graus 30minutos

18. a) 271graus 12minutos

18. b) 50graus

18. c) 8graus 11minutos 31segundos

18. d) 226graus 4minutos 40segundos

18. e) 202graus 42minutos 40segundos

18. f) 49graus 28minutos

18. g) 1grau 52minutos 30segundos

18. h) 42graus 20minutos 10segundos

18. i) 19graus 35minutos 50segundos

18. j) 5graus 19minutos 25segundos

19. a) 142graus 27minutos

19. b) 93graus 17minutos

19. c) 121graus 32minutos

19. d) 48graus 30minutos

19. e) 32graus 58minutos

19. f) 15graus 10minutos 5segundos

20. a) 9graus 5minutos

20. b) 198graus 41minutos 20segundos

20. c) 132graus 58minutos

20. d) 16graus 57minutos 35segundos

Ângulos congruentes

Objetivo:

Reconhecer ângulos congruentes.

Justificativa

Explorar o conceito de ângulos congruentes amplia a noção de segmentos de reta congruentes e é um pré-requisito importante para os conceitos de semelhança e de congruência entre polígonos.

Mapeando conhecimentos

Peça aos estudantes que se reúnam com um colega. Depois, distribua para cada dupla uma folha de papel vegetal e uma folha com as seguintes representações de ângulos:

• dois ângulos com medida de abertura de 48graus em posições diferentes;

• um ângulo com medida de abertura de 56graus;

• dois ângulos com medida de abertura de 75graus em posições diferentes;

• um ângulo com medida de abertura de 82graus.

Coloque os ângulos fóra de ordem. Na sequência, peça que identifiquem os ângulos com mesma medida de abertura. Oriente-os a copiar os ângulos para o papel vegetal e a tentar sobrepor aos outros ângulos.

Para as aulas iniciais

Defina ângulos congruentes e peça aos estudantes que identifiquem os pares de ângulos congruentes da dinâmica inicial. Proponha uma atividade similar à inicial, mas, desta vez, solicite a eles que utilizem o transferidor para identificar os pares de ângulos congruentes.

Na explicação de ângulos congruentes, relembre com os estudantes o símbolo de congruência adotado nesta obra: ≅

Ainda na explicação de congruência, comente que esse conceito pode ser aplicado a outras figuras, como os polígonos.

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Construção, com régua e compasso, de um ângulo congruente a outro ângulo dado

Dado o ângulo

E \hat{O} F

, vamos construir o ângulo

G \hat{H} I

congruente a ele. Observe os passos a seguir.

Ilustração. Duas semirretas OE e OF partindo da mesma origem, o ponto O.

1º) Traçamos uma semirreta de origem H.

2º) No ângulo

E \hat{O} F

, centramos o compasso em óh e, com uma abertura qualquer, determinamos os pontos M e N sobre as semirretas

\vec{O E}

\vec{O F}

, respectivamente.

Ilustração. Duas semirretas OE e OF partindo da mesma origem, o ponto O.
Sobre ponto O, compasso com ponta seca traça um arco e determina o ponto M sobre a semirreta OE e o ponto N sobre a semirreta OF.

3º) Com a mesma abertura anterior, centramos o compasso em H e traçamos um arco determinando o ponto ih sobre a semirreta.

Ilustração. Semirreta de origem H.
Sobre ponto H, compasso com ponta seca traça um arco e determina o ponto I sobre a semirreta.

4º) Em seguida, centramos o compasso em ihe, com abertura igual à distância entre M e N, traçamos um novo arco determinando o ponto G, como mostra a figura. Traçamos a semirreta

\vec{H G}

, obtendo, assim, o ângulo

G \hat{H} I

Ilustração. Duas semirretas HI e HG partindo da mesma origem, o ponto H. Compasso aberto sobre arco GI.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso nas atividades 22 e 24.

21. Com o auxílio de um transferidor, meça a abertura dos ângulos da figura. Depois, indique os pares de ângulos congruentes.

Ilustração. Sete semirretas OA, OB, OC, OD, OE, OF e OG partindo da mesma origem, o ponto O.

A \hat{O} B

B \hat{O} C

C \hat{O} D

D \hat{O} E

E \hat{O} F

F \hat{O} G

A \hat{O} C

E \hat{O} A

F \hat{O} C

E \hat{O} B

Respostas e comentários

21. a) 30graus

21. b) 50graus

21. c) 30graus

21. d) 50graus

21. e) 35graus

21. f) 35graus

21. g) 80graus

21. h) 160graus

21. i) 115graus

21. j) 130graus

21. os ângulos congruentes são:

A \hat{O} B ≅ C \hat{O} D

;

B \hat{O} C ≅ D \hat{O} E

;

E \hat{O} F ≅ F \hat{O} G

Construção, com régua e compasso, de um ângulo congruente a outro ângulo dado

Na construção de ângulos congruentes com régua e compasso, alerte os estudantes sobre a necessidade de tomar cuidado ao manusear o compasso e, em seguida, pergunte-lhes os diferentes usos desse instrumento de desenho. Comumente, eles sabem que é usado para traçar circunferências. Explique, então, que o compasso também é usado para transportar segmentos de reta e que eles verão como transportar ângulos.

• Na atividade 21, se necessário, peça que reproduzam a figura em papel vegetal, a fim de prolongar os lados dos ângulos, facilitando o uso do transferidor para a medição das aberturas dos ângulos.

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22. Observe a figura e, utilizando régua e compasso, construa um ângulo

E \hat{D} F

congruente a

B \hat{A} C

e um ângulo

D \hat{F} E

congruente a

A \hat{C} B

23. Verifique, com um transferidor, se o triângulo á bê cê é um triângulo isósceles.

24. Construa, com o transferidor, um ângulo

P \hat{O} Q

obtuso. Em seguida, utilizando régua e compasso, construa um ângulo

B \hat{A} C

congruente a

P \hat{O} Q

25. Com o auxílio de um transferidor, determine no caderno os pares de ângulos congruentes.

Ilustração. Duas semirretas VS e VT partindo da mesma origem, o ponto V. Em destaque, o ângulo SVT.

Ilustração. Duas semirretas SR e ST partindo da mesma origem, o ponto S. Em destaque, o ângulo RST.

Ilustração. Duas semirretas OM e ON partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, o ângulo NOM.

Ilustração. Duas semirretas QP e QR partindo da mesma origem, o ponto Q. Em destaque, o ângulo PQR.

Ilustração. Duas semirretas KY e KZ partindo da mesma origem, o ponto K. Em destaque, o ângulo KYZ.

Ilustração. Duas semirretas OP e OQ partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, o ângulo POQ.

Versão adaptada acessível

23. Explique como verificar se determinado triângulo é isósceles usando uma régua.

Orientação para acessibilidade

Resposta

Espera-se que os estudantes expliquem que se o triângulo tiver pelo menos dois lados de mesma medida de comprimento, pode ser classificado como isósceles.

6 Ângulos consecutivos e adjacentes

Observe na figura os ângulos

A \hat{O} C

C \hat{O} B

A \hat{O} B

Os ângulos

A \hat{O} C

C \hat{O} B

têm em comum o vértice óh e o lado

\vec{O C}

. Os ângulos

A \hat{O} C

C \hat{O} B

são ângulos consecutivos.

Ângulos consecutivos são aqueles que têm em comum o vértice e um dos lados.

Observe ainda que os ângulos

A \hat{O} C

C \hat{O} B

não têm pontos internos comuns. Por isso, eles também são chamados ângulos adjacentes.

Dois ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns são chamados ângulos adjacentes.

Note que a medida da abertura de

A \hat{O} B

é igual à soma das medidas das aberturas de

A \hat{O} C

C \hat{O} B

m e d (A \hat{O} B) = m e d (A \hat{O} C) + m e d (C \hat{O} B)

Respostas e comentários

22. Comentário em Orientações.

23. o triângulo á bê cê é isósceles.

24. Comentário em Orientações.

25.

S \hat{V} T ≅ P \hat{O} Q

;

R \hat{S} T ≅ N \hat{O} M ≅ K \hat{Y} Z

• Nas atividades 22 e 24, alerte os estudantes sobre a necessidade de tomar cuidado ao manusear o compasso.

• Na atividade 22, trace uma semirreta

\vec{D E}

; posicione a ponta seca do compasso em A e faça um arco que determine os pontos P₁ e Q₁, respectivamente, sobre os segmentos de reta

\overline{A C}

\overline{A B}

; com a mesma abertura do compasso, posicione a ponta seca em D e trace um arco que determine o ponto P₂ sobre a semirreta

\vec{D E}

; abra o compasso com a mesma distância de P₁ a Q₁ e, com a ponta seca em P₂, trace um novo arco que determine o ponto F sobre o arco feito anteriormente; por fim, trace uma semirreta com origem em D e que passe por F. O ângulo

E \hat{D} F

obtido é congruente ao ângulo

B \hat{A} C

. Para a outra congruência solicitada e para a resolução da atividade 24, basta seguir o algoritmo da atividade 22 de maneira análoga.

• Na atividade 23, lembre os estudantes de que triângulo isósceles é aquele que tem dois lados congruentes.

Ângulos consecutivos e adjacentes

Objetivo:

Reconhecer ângulos consecutivos e adjacentes.

Justificativa

Reconhecer ângulos consecutivos e adjacentes é importante, entre outras coisas, para que os estudantes compreendam a demonstração da propriedade dos ângulos opostos pelo vértice e também algumas relações entre ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

Mapeando conhecimentos

Pergunte para os estudantes o que eles entendem por “ângulos consecutivos” e peça a eles que façam um desenho que represente um exemplo. Faça o mesmo com “ângulos adjacentes”. Observe se eles fazem alguma distinção entre esses conceitos. Se achar conveniente, peça a eles que pesquisem no dicionário o significado de “consecutivo” e “adjacente”.

Para as aulas iniciais

Defina ângulos consecutivos e adjacentes. Depois, peça aos estudantes que representem, no caderno, ângulos consecutivos e adjacentes e ângulos consecutivos que não sejam adjacentes. Incentive-os a compartilhar suas representações e as justificar.

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Observações

1. Retas concorrentes determinam ângulos adjacentes. Confira:

Ilustração. Reta AC e reta BD se cruzam no centro em O. Destaque para os ângulos BOA, AOD, DOC e COB. São pares de ângulos adjacentes: ângulos AOB e BOC; ângulos BOC e COD; ângulos COD e DOA; ângulos DOA e AOB.

2. Dos pares de ângulos consecutivos, apenas alguns são adjacentes.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

26. Observe a figura a seguir e indique pares de ângulos adjacentes.

Ilustração. Cinco semirretas OA, OB, OC, OD e OE partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, os ângulos AOB, BOC, COD e DOE.

27. Observe a figura e indique:

a) dois ângulos adjacentes ao ângulo

A \hat{O} B

;

b) dois ângulos adjacentes ao ângulo

D \hat{O} E

Ilustração. Reta AD, reta BE e reta CF se cruzam no centro em O.

28. Determine:

a) a medida de abertura do ângulo

A \hat{O} B

sabendo que

m e d (A \hat{O} E) = 27 °

e que

m e d (E \hat{O} B) = 23 °

;

Ilustração. Três semirretas OA, OE e OB partindo da mesma origem, o ponto O.

b) a medida de abertura do ângulo

E \hat{O} D

sabendo que

m e d (C \hat{O} D) = 75 °

e que

m e d (C \hat{O} E) = 38 °

Ilustração. Três semirretas OC, OE e OD partindo da mesma origem, o ponto O.

7 Ângulos complementares

Observe os ângulos

A \hat{O} B

B \hat{O} C

na figura.

lustração. Três semirretas OA, OB e OC partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, os ângulos AOB, 30 graus, e BOC, 60 graus.

m e d (A \hat{O} B) + m e d (B \hat{O} C) = 90 °

Dizemos que

A \hat{O} B

B \hat{O} C

são ângulos complementares.

Dois ângulos são complementares quando a soma das medidas de suas aberturas é igual a 90graus.

Também podemos dizer que

A \hat{O} B

é o complemento de

B \hat{O} C

e que

B \hat{O} C

é o complemento de

A \hat{O} B

Respostas e comentários

26. Exemplos de resposta:

A \hat{O} B

B \hat{O} C

B \hat{O} C

C \hat{O} D

C \hat{O} D

D \hat{O} E

A \hat{O} D

D \hat{O} E

A \hat{O} C

C \hat{O} D

A \hat{O} C

C \hat{O} E

27. a) Exemplo de resposta:

A \hat{O} F

C \hat{O} B

b) Exemplo de resposta:

D \hat{O} B

A \hat{O} E

28. a) 50graus

28. b) 37graus

• Na atividade 26, reproduza a imagem na lousa e destaque cada região angular com cores diferentes, constatando com os estudantes que, quando os ângulos são adjacentes, as cores não se sobrepõem.

• Na atividade 28, sugira a eles que esbocem as figuras no caderno a fim de indicar as medidas de abertura dadas.

Ângulos complementares

Bê êne cê cê:

Habilidade ê éfe zero sete ême ah dois quatro.

Objetivo:

Reconhecer ângulos complementares.

Justificativa

Possibilita resolver diferentes problemas em Geometria e compreender demonstrações. Além disso, esse conceito é fundamental para o estudo das razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Mapeando conhecimentos

Peça aos estudantes que se organizem em duplas e distribua a cada dupla uma folha com alguns ângulos representados. Os ângulos podem ter as seguintes medidas de abertura: 20graus, 70graus, 100graus, 35graus, 65graus e 30graus. Em seguida, solicite que meçam a abertura desses ângulos utilizando um transferidor e identifiquem aqueles cuja soma das medidas de abertura é igual a 90graus. Verifique se alguém da turma sabe definir esses ângulos como complementares.

Para as aulas iniciais

Defina ângulos complementares e peça aos estudantes que identifiquem os ângulos complementares da dinâmica inicial. Depois, peça que determinem o complemento de alguns ângulos e registre-os na lousa. Reserve um momento para fazer a correção coletiva.

Comente que os ângulos

A \hat{O} B

B \hat{O} C

são adjacentes e complementares e que, portanto, podem ser chamados de ângulos adjacentes complementares.

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180graus.

Página 87

Atividades

Faça as atividades no caderno.

29. Determine a medida da abertura do complemento de cada um dos ângulos cuja medida da abertura está indicada a seguir.

a) 76graus

b) 0grau

c) 38graus

d) 90graus

e) 36graus 48minutos

f) 82graus 50minutos

30. Com régua e transferidor, desenhe um triângulo retângulo qualquer. Em seguida, meça a abertura dos ângulos agudos desse triângulo. Os ângulos agudos são ângulos complementares?

31. Calcule a medida de abertura do ângulo

B \hat{O} C

Ilustração. Três semirretas OA, OB e OC partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, o ângulo BOC, ângulo AOC 90 graus e o ângulo AOB, 68 graus.

32. Dois ângulos são adjacentes complementares, e a abertura de um deles mede 78graus. Determine a medida da abertura do outro ângulo.

33. Dois ângulos são adjacentes complementares, e a abertura de um deles mede 48graus 36minutos 28segundos. Calcule a medida da abertura do outro ângulo.

8 Ângulos suplementares

Observe os pares de ângulos

A \hat{O} B

B \hat{O} C

D \hat{E} F

H \hat{I} J

nas figuras a seguir.

Ilustração. Três semirretas OA, OB e OC partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, os ângulos AOB, 30 graus, e BOC, 150 graus.

Ilustração. Duas semirretas ED e EF partindo da mesma origem, o ponto E. Em destaque, o ângulo DEF, 138 graus.

Ilustração. Duas semirretas IH e IJ partindo da mesma origem, o ponto I. Em destaque, o ângulo HIJ, 42 graus.

m e d (A \hat{O} B) + m e d (B \hat{O} C) = 180 °

m e d (D \hat{E} F) + m e d (H \hat{I} J) = 180 °

Dizemos que

A \hat{O} B

B \hat{O} C

são ângulos suplementares. Os ângulos

D \hat{E} F

H \hat{I} J

também são ângulos suplementares.

Dois ângulos são suplementares quando a soma das medidas de suas aberturas é igual a 180graus.

Nos exemplos anteriores, também podemos dizer que:

•

A \hat{O} B

é o suplemento de

B \hat{O} C

B \hat{O} C

é o suplemento de

A \hat{O} B

•

D \hat{E} F

é o suplemento de

H \hat{I} J

H \hat{I} J

é o suplemento de

D \hat{E} F

Respostas e comentários

29. a) 14graus

29. b) 90graus

29. c) 52graus

29. d) 0grau

29. e) 53graus 12minutos

29. f) 7graus 10minutos

30. Sim, são complementares.

31.

m e d (B \hat{O} C) = 22 °

32. 12graus

33. 41graus 23minutos 32segundos

• A atividade 30 dialoga com a habilidade ê éfe zero sete ême ah dois quatro, que será aprofundada no capítulo 11. Como um triângulo retângulo tem um ângulo reto, basta traçar um segmento de reta

\overline{A B}

qualquer e, com o centro do transferidor em a, marcar o ponto C₂ correspondente à medida de abertura de 90graus. Em seguida, trace o segmento de reta

\overline{A C}

(o qual deve passar por C₂) e, por fim, trace o segmento de reta

\overline{C B}

. Usando o transferidor, determinamos as medidas de abertura dos ângulos

C \hat{B} A

A \hat{C} B

, de modo que a soma dessas medidas resulta em 90graus (ângulos complementares).

Ângulos suplementares

Objetivo:

Reconhecer ângulos suplementares.

Justificativa

O conceito de ângulos suplementares está presente na demonstração da propriedade dos ângulos opostos pelo vértice e também em algumas relações entre ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal. Além disso, reconhecer ângulos suplementares possibilita resolver inúmeros problemas em Geometria.

Mapeando conhecimentos

Peça aos estudantes que se organizem em duplas e distribua a cada uma delas uma folha com alguns ângulos representados. Os ângulos podem ter as seguintes medidas de abertura: 120graus, 60graus, 40graus, 170graus, 140graus e 30graus. Em seguida, solicite que meçam a abertura desses ângulos utilizando um transferidor e identifiquem aqueles cuja soma das medidas de abertura é igual a 180graus. Verifique se alguém da turma sabe definir esses ângulos como suplementares.

Para as aulas iniciais

Defina ângulos suplementares e peça aos estudantes que identifiquem os ângulos suplementares da dinâmica inicial. Depois, peça que determinem o suplemento de alguns ângulos que você vai registrar na lousa. Reserve um momento para fazer a correção coletiva.

Comente que os ângulos

A \hat{O} B

B \hat{O} C

são adjacentes e suplementares, podendo ser chamados de ângulos adjacentes suplementares.

Página 88

Atividades

Faça as atividades no caderno.

34. Calcule a medida da abertura do suplemento de cada ângulo cuja medida da abertura está indicada a seguir.

a) 76graus

b) 30graus

c) 0graus

d) 136graus 48minutos

e) 90graus 30segundos

35. Dois ângulos são adjacentes suplementares e a abertura de um deles mede 106graus. Determine a medida da abertura do outro ângulo.

36. Calcule a medida da abertura do ângulo

B \hat{O} C

Ilustração. Três semirretas OA, OB e OC partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, o ângulos AOB, 130 graus.

9 Ângulos opostos pelo vértice

Considere os ângulos

A \hat{O} B

C \hat{O} D

formados pelas retas concorrentes

\overset{\leftrightarrow}{C A}

\overset{\leftrightarrow}{D B}

que se interceptam no ponto óh.

Os ângulos

A \hat{O} B

C \hat{O} D

têm o mesmo vértice, que é o ponto óh, e as semirretas

\vec{O A}

\vec{O B}

(lados do ângulo

A \hat{O} B

) são opostas, respectivamente, às semirretas

\vec{O C}

\vec{O D}

(lados do ângulo

C \hat{O} D

Nesse caso, dizemos que

A \hat{O} B

C \hat{O} D

são ângulos opostos pelo vértice (indicamos ó pê vê).

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

Verifique que as retas

\overset{\leftrightarrow}{C A}

\overset{\leftrightarrow}{D B}

também definem os ângulos

D \hat{O} A

C \hat{O} B

. Esses ângulos têm o vértice óh em comum, e as semirretas

\vec{O D}

\vec{O A}

são opostas, respectivamente, às semirretas

\vec{O B} e \vec{O C}

. Então, os ângulos

D \hat{O} A

C \hat{O} B

também são opostos pelo vértice.

Ilustração. Reta AC e reta BD se cruzam no centro em O. Em destaque, os ângulos DOA e COB.

Respostas e comentários

34. a) 104graus

34. b) 150graus

34. c) 180graus

34. d) 43graus 12minutos

34. e) 89graus 30minutos

35. 74graus

36. medida de(

B \hat{O} C

) = 50graus

• Chame a atenção para o fato de que na atividade 36 não se deve fazer uso do transferidor.

Ângulos opostos pelo vértice

Objetivos:

• Reconhecer ângulos opostos pelo vértice.

• Compreender que dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Justificativa

Reconhecer ângulos opostos pelo vértice e compreender que são congruentes auxilia na resolução de diferentes problemas em Geometria. Além disso, essa propriedade dos ângulos opostos pelo vértice é utilizada na demonstração de algumas relações entre ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

Mapeando conhecimentos

Represente na lousa duas retas concorrentes, indique o ponto de intersecção delas pela letra V e os ângulos formados por

\hat{a}

\hat{b}

\hat{c}

\hat{d}

. Depois, pergunte aos estudantes quais dos ângulos representados são opostos pelo vértice.

Para as aulas iniciais

Defina ângulos opostos pelo vértice; depois, peça que se reúnam em duplas e dê para cada dupla uma folha com ângulos opostos pelo vértice representados nela. Em seguida, peça às duplas que meçam as aberturas dos ângulos utilizando um transferidor. Por fim, pergunte se as medidas obtidas sugerem a validade de alguma propriedade.

Se achar oportuno, retome o conceito de retas concorrentes, antes de iniciar este tópico.

Página 89

Tecnologias digitais em foco

Ângulos opostos pelo vértice

Nesta seção, você vai utilizar o GeoGebra, ou outro software de geometria dinâmica que seu professor indicar, para construir duas retas concorrentes, identificar os pares de ângulos opostos pelo vértice determinados por essas retas e explorar uma propriedade importante relacionada a esses ângulos.

Construa

Siga os passos a seguir para construir e determinar dois pares de ângulos opostos pelo vértice.

1º) Utilize a ferramenta

Ilustração. Botão quadrado com uma reta com dois pontos.

e trace uma reta

\overset{\leftrightarrow}{A B}

2º) Utilize a ferramenta

e trace uma reta

\overset{\leftrightarrow}{C D}

cruzando a reta

\overset{\leftrightarrow}{A B}

3º) Utilize a ferramenta

Ilustração. Botão quadrado com duas linhas que se cruzam e um ponto vermelho no cruzamento dessas linhas.

e marque o ponto óh, intersecção das retas

\overset{\leftrightarrow}{A B}

\overset{\leftrightarrow}{C D}

Captura de tela. Software de geometria dinâmica. Na parte superior, botões de comandos. Destaque para botão com a letra A e um ponto com aba destacada: intersecção de dois objetos. Abaixo, na tela, reta vertical com ponto C acima e ponto D abaixo. No centro, ponto O. Reta na diagonal com ponto A à esquerda e ponto B à direita cruza reta CD em O.

Explore

a) Quais pares de ângulos são opostos pelo vértice?

b) Usando a ferramenta

Ilustração. Botão quadrado com duas semirretas formando ângulo alfa.

, meça a abertura dos pares de ângulos indicados no item anterior. O que podemos observar em relação às medidas das aberturas dos ângulos opostos pelo vértice? Movimente os pontos móveis na construção e verifique o que acontece com as medidas das aberturas dos ângulos.

Respostas e comentários

Explore: a) Considerando a disposição dos pontos como na figura (o ponto óh entre aêbê e entre C e D), os pares de ângulos opostos pelo vértice são:

A \hat{O} D

B \hat{O} C

;

D \hat{O} B

C \hat{O} A

b) Os ângulos

A \hat{O} D

B \hat{O} C

possuem a mesma medida de abertura, ou seja, são congruentes; o mesmo acontece com os ângulos

D \hat{O} B

C \hat{O} A

. Movimentando os pontos móveis de fórma a alterar a configuração inicial da construção, as medidas das aberturas dos ângulos se modificam também, porém, os ângulos opostos pelo vértice continuam congruentes.

Tecnologias digitais em foco

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 2 e 5 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 2 e 5 (as descrições estão na página sete).

Objetivo:

Utilizar software de geometria dinâmica para identificar ângulos opostos pelo vértice.

Ângulos opostos pelo vértice

Nesta seção, foram indicadas construções usando o GeoGebra para investigar que dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, mas elas podem ser feitas utilizando outro software de geometria dinâmica. Além disso, não sendo possível o uso de um computador, a proposta pode ser adaptada para a realização com papel e instrumentos de desenho e medida.

No Construa, os estudantes deverão construir duas retas concorrentes. Oriente-os sobre quais ferramentas podem ser utilizadas em cada passo e como fazer isso. Peça que nomeiem as figuras construídas de acordo com o comando de cada passo.

No Explore, os estudantes deverão medir as aberturas dos dois pares de ângulos opostos pelo vértice e, por meio de investigações, ao movimentar a figura, perceber que dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida de abertura, isto é, são congruentes, o que favorece o desenvolvimento das competências gerais 2 e 5 e das competências específicas 2 e 5.

Enfatize aos estudantes que a movimentação dos pontos móveis, possibilitada pela geometria dinâmica, auxilia na observação das propriedades, porém não configura uma demonstração matemática.

Página 90

Propriedade dos ângulos opostos pelo vértice

Observe a figura a seguir.

Ilustração. Reta AC e reta BD se cruzam no centro em O. Em destaque, os ângulos AOB, AOD, DOC e COB.

Sabemos que:

m e d (A \hat{O} B) + m e d (A \hat{O} D) = 180 °

Ilustração. Seta apontada para a esquerda

ângulos adjacentes suplementares

m e d (C \hat{O} D) + m e d (A \hat{O} D) = 180 °

ângulos adjacentes suplementares

Então:

m e d (A \hat{O} B) + m e d (A \hat{O} D) = m e d (C \hat{O} D) + m e d (A \hat{O} D)

Logo:

m e d (A \hat{O} B) = m e d (C \hat{O} D)

Os ângulos

A \hat{O} B

C \hat{O} D

têm a mesma medida de abertura e são opostos pelo vértice (ó pê vê). De maneira análoga, podemos verificar que

m e d (A \hat{O} D) = m e d (C \hat{O} B)

, e estes ângulos também são ó pê vê

Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida de abertura, isto é, são congruentes.

Os ângulos

A \hat{O} B

E \hat{O} F

, na figura, são opostos pelo vértice e

indica uma medida de abertura de ângulo (em grau). Utilizando a propriedade dos ângulos opostos pelo vértice, podemos determinar o valor do

. Assim:

+ 5graus = 35graus

+ 5graus ‒ 5graus = 35graus ‒ 5graus

= 30graus

Ilustração. Reta AF e reta BE se cruzam no centro em O. Em destaque, os ângulos AOB, 35 graus e EOF, quadradinho laranja mais 5 graus.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

37. Observe a figura e determine três pares de ângulos opostos pelo vértice e três pares de ângulos adjacentes suplementares.

38. Reescreva no caderno as sentenças verdadeiras.

a) Dois ângulos opostos pelo vértice nunca são suplementares.

b) Dois ângulos adjacentes e suplementares formam um ângulo raso.

c) O suplemento de um ângulo reto é um ângulo reto.

39. Nas figuras a seguir,

indica uma medida de abertura de ângulo (em grau). Determine o valor do

em cada caso.

Ilustração. Duas retas que se cruzam. Em destaque, dois ângulos. A medida de abertura do ângulo acima é 150 graus e a medida de abertura do ângulo abaixo é 90 graus mais quadradinho laranja.

Ilustração. Duas retas que se cruzam. Em destaque, dois ângulos. A medida de abertura do ângulo do lado esquerdo é 80 graus e a medida de abertura do ângulo do lado direito é quadradinho laranja mais 30 graus.

Respostas e comentários

37. Exemplo de resposta: ângulos o.p.v.:

D \hat{O} E e B \hat{O} A

E \hat{O} F e C \hat{O} B

D \hat{O} C e F \hat{O} A

; ângulos suplementares:

D \hat{O} E e E \hat{O} A

C \hat{O} B e B \hat{O} F

F \hat{O} A e A \hat{O} C

38. alternativas b, c

39. a)

= 60graus

39. b)

= 50graus

Propriedade dos ângulos opostos pelo vértice

Se julgar conveniente, refaça, na lousa, a demonstração de que ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida de abertura.

• Na atividade 37, relembre que, quando dizemos ângulo

D \hat{O} E

, nos referimos ao menor ângulo formado pelas semirretas

\vec{O D}

\vec{O E}

• Na atividade 38, a sentença do item a é a única que está errada; uma maneira de mostrar que ela é falsa seria dar um contraexemplo, ou seja, um caso em que ângulos opostos pelo vértice seriam suplementares. Para isso, basta tomar ângulos opostos pelo vértice que tenham medida de abertura de 90graus.

Página 91

10 Ângulos formados por duas retas cortadas por uma transversal

Observe as retas a seguir.

Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando as retas r e s, a reta t.

Como todas elas se cruzam, podemos dizer que são concorrentes. Observe que a reta t cruza as retas r e s; dessa fórma, dizemos que a reta t é transversal a r e s.

Toda reta transversal corta duas ou mais retas em pontos distintos.

No encontro das duas retas com a transversal, ficam determinados oito ângulos com vértices nos pontos de intersecção. Analise este exemplo, em que t é transversal às retas r e s.

Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, ângulos formados pelas retas t e r: a, b, c e d. E ângulos formados pelas retas t e s: e, f, g e h.

De acordo com a posição que ocupam, esses ângulos são classificados, dois a dois, com nomes especiais.

Ângulos alternos internos

•

\hat{c}

\hat{e}

•

\hat{d}

\hat{f}

Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, o ângulo c, formado pelas retas t e r, e o ângulo f, formado pelas retas t e s.

Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, abaixo da reta r e à esquerda da reta t, o ângulo d, formado pelas retas t e r. Acima da reta s e à direita da reta t, o ângulo f, formado pelas retas t e s.

Respostas e comentários

Ângulos formados por duas retas cortadas por uma transversal

Bê êne cê cê:

Habilidade ê éfe zero sete ême ah dois três.

Objetivo:

Reconhecer ângulos formados por duas retas cortadas por uma transversal.

Justificativa

Reconhecer ângulos alternos internos, alternos externos, correspondentes, colaterais externos e colaterais internos é um pré-requisito para compreender as relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal e, assim, desenvolver o que preconiza a habilidade ê éfe zero sete ême ah dois três.

Mapeando conhecimentos

De um lado da lousa represente ângulos alternos internos, alternos externos, correspondentes, colaterais externos e colaterais internos (sem nomeá-los dessa fórma). Do outro lado, escreva ÂNGULOS CORRESPONDENTES, ÂNGULOS ALTERNOS EXTERNOS, ÂNGULOS COLATERAIS INTERNOS, ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS e ÂNGULOS COLATERAIS EXTERNOS. Depois, convide um estudante por vez para associar a representação à classificação correspondente. Incentive os demais estudantes a validarem ou refutarem a associação feita pelo colega, apresentando argumentos.

Para as aulas iniciais

Proponha aos estudantes que representem ângulos alternos internos, alternos externos, correspondentes, colaterais externos e colaterais internos no caderno. Depois, reserve um momento para que compartilhem as representações que fizeram com os colegas.

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

Página 92

Ângulos alternos externos

•

\hat{a} e \hat{g}

•

\hat{b} e \hat{h}

Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, acima da reta r e à esquerda da reta t, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta s e à direita da reta t, o ângulo g, formado pelas retas t e s.

Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, acima da reta r e à direita da reta t, o ângulo b, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta s e à esquerda da reta t, o ângulo h, formado pelas retas t e s.

Ângulos correspondentes

•

\hat{a}

\hat{e}

•

\hat{b}

\hat{f}

•

\hat{c} e \hat{g}

•

\hat{d} e \hat{h}

Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, abaixo da reta r e à direita da reta t, o ângulo c, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta s e à direita da reta t, o ângulo g, formado pelas retas t e s.

Ângulos colaterais externos

•

\hat{a} e \hat{h}

•

\hat{b} e \hat{g}

Ângulos colaterais internos

•

\hat{c} e \hat{f}

•

\hat{d} e \hat{e}

Ilustração. Reta horizontal s. Acima, reta diagonal r. Cortando essas retas, a reta t. Em destaque, o ângulo d, formado pelas retas t e r, e o ângulo e, formado pelas retas t e s.

Respostas e comentários

Durante a explicação, se julgar oportuno, comente os significados dos nomes, facilitando a compreensão e a identificação dos ângulos classificados. Por exemplo, “externos” porque são os ângulos de “fóra”, “alternos” porque são os ângulos de “lados diferentes” etcétera

Página 93

Atividades

Faça as atividades no caderno.

40. Na figura a seguir, a reta t é transversal às retas r e s.

Ilustração. Retas r e s cortadas pela reta t. Em destaque, acima da reta t e à esquerda da reta s, o ângulo m, formado pelas retas t e s. Acima da reta t e à direita da reta s, o ângulo n, formado pelas retas t e s. Acima da reta t e à direita da reta r, o ângulo c, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta t e à esquerda da reta r, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta t e à direita da reta r, o ângulo b, formado pelas retas t e r.

Agora, identifique:

a) dois ângulos opostos pelo vértice;

b) dois ângulos alternos internos;

c) dois ângulos correspondentes;

d) dois ângulos colaterais externos;

e) dois ângulos alternos externos.

41. Com o auxílio de um transferidor, meça a abertura dos ângulos formados pelas retas paralelas r e s cortadas pela transversal t.

Ilustração. Retas r e s paralelas, cortadas pela reta t. Em destaque, os ângulos a, b, c e d formados pelas retas t e r, e os ângulos e, f, g e h formados pelas retas t e s.

Agora, responda às questões no caderno.

a) Quais deles têm a mesma medida de abertura?

b) O que você pode afirmar sobre as medidas de abertura dos ângulos correspondentes?

c) O que você pode afirmar sobre as medidas de abertura dos ângulos alternos?

d) Nesse caso, qual é a relação entre os ângulos colaterais?

42. Observe a representação de um bairro com algumas ruas destacadas.

Ilustração. Vista de cima de um bairro com quarteirões e árvores. Em destaque, na horizontal: Avenida Matemática. Na diagonal, a Rua Geografia, a Rua História e a Rua Ciências cortadas pela Avenida Matemática. — Representação esquemática de um bairro.

Considerando as ruas destacadas, qual é o nome da via transversal às ruas Geografia, História e Ciências?

Versão adaptada acessível

41. Desenhe um par de retas paralelas r e s cortadas por uma transversal t. Depois, com a ajuda de um transferidor, meça a abertura dos ângulos formados por essas retas e identifique os pares de ângulos correspondentes, alternos internos, alternos externos, colaterais internos e colaterais externos.

Agora, responda às questões.

a) Quais deles têm a mesma medida de abertura?

b) Quais pares de ângulos são suplementares?

Orientação para acessibilidade

Respostas

a) Os pares de ângulos alternos internos, alternos externos e correspondentes.

b) Os pares de ângulos colaterais internos e colaterais externos.

Procure auxiliar os estudantes na atividade. Se julgar necessário, disponibilize material concreto para representar as retas paralelas e transversais.

Relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal

Ângulos correspondentes

Considere as retas r e s paralelas entre si e uma transversal t que as intercepta, conforme a figura a seguir.

Ilustração. Retas r e s paralelas, na horizontal, cortadas pela reta t. Em destaque, acima da reta r e à direita da reta t, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Acima da reta s e à direita da reta t, o ângulo b, formado pelas retas t e s.

r⫽s

t : transversal

Os ângulos

\hat{a}

\hat{b}

são correspondentes.

Respostas e comentários

40. a)

\hat{c} e \hat{a}

40. b)

\hat{n} e \hat{a}

40. c)

\hat{c} e \hat{n}

40. d)

\hat{c} e \hat{m}

40. e)

\hat{b} e \hat{m}

41. a) a = c = ê = g = 60graus; b = d = f = h = 120graus

41. b) Têm a mesma medida de abertura.

41. c) Têm a mesma medida de abertura.

41. d) São suplementares.

42. avenida Matemática

• Na atividade 41, comente que a validade dos itens b, c e d é verificada em função do paralelismo entre as retas r e s. Essa atividade introduz o próximo assunto: relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

Página 94

Tecnologias digitais em foco

Relação entre ângulos correspondentes

Vamos utilizar o GeoGebra, ou outro software de geometria dinâmica que seu professor indicar, para investigar a relação entre as medidas das aberturas dos ângulos correspondentes formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

Construa

Siga os passos a seguir para construir duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

1º) Utilize a ferramenta

e trace uma reta

\overset{\leftrightarrow}{A B}

2º) Utilize a ferramenta

Ilustração. Botão quadrado com duas linhas paralelas, uma azul e outra vermelha com um ponto azul.

e trace uma reta

\overset{\leftrightarrow}{C D}

paralela a

\overset{\leftrightarrow}{A B}

3º) Utilize a ferramenta

e trace uma reta

\overset{\leftrightarrow}{E F}

que cruze as retas paralelas

\overset{\leftrightarrow}{A B}

\overset{\leftrightarrow}{C D}

4º) Utilize a ferramenta

e marque o ponto G, intersecção das retas

\overset{\leftrightarrow}{A B}

\overset{\leftrightarrow}{E F}

5º) Utilize a ferramenta

e marque o ponto H, intersecção das retas

\overset{\leftrightarrow}{C D}

\overset{\leftrightarrow}{E F}

Captura de tela. Software de geometria dinâmica. Na parte superior, botões de comandos. Destaque para botão com uma reta e dois pontos com aba destacada: Reta. Abaixo, na tela, duas retas paralelas: AB e CD. Cortando essas retas, a reta EF.Ponto G na intersecção das retas AB e EF.Ponto H na intersecção das retas CD e EF.

Explore

a) Identifique os pares de ângulos correspondentes obtidos na construção anterior.

b) Utilize a ferramenta

e meça a abertura dos pares de ângulos correspondentes que você identificou no item anterior. O que você pode afirmar sobre as medidas das aberturas dos pares de ângulos correspondentes?

c) Movimente os pontos móveis da construção alterando a posição das retas e observe o que acontece com as medidas das aberturas dos ângulos. As relações percebidas na atividade anterior continuam válidas quando mudamos a posição das retas e, consequentemente, as medidas das aberturas dos ângulos?

Respostas e comentários

Explore: a) Considerando a disposição dos pontos como na figura (o ponto G entre a ê bê e o ponto H entre C e D), os pares de ângulos correspondentes são:

E \hat{G} B

G \hat{H} D

B \hat{G} H

D \hat{H} F

A \hat{G} E

C \hat{H} G

H \hat{G} A

F \hat{H} C

b) Espera-se que os estudantes tenham percebido que as medidas das aberturas dos pares de ângulos correspondentes são iguais.

c) Espera-se que os estudantes percebam que as relações continuam válidas.

Tecnologias digitais em foco

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 2 e 5 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 2 e 5 (as descrições estão na página sete).

• Habilidade ê éfe zero sete ême ah dois três.

Objetivo:

Utilizar software de geometria dinâmica para identificar as relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortados por uma transversal.

Relação entre ângulos correspondentes

Nesta seção, foram indicadas construções usando o GeoGebra para investigar as relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, mas elas podem ser feitas utilizando outro software de geometria dinâmica. Além disso, não sendo possível o uso de um computador, a proposta pode ser adaptada para a realização com papel e instrumentos de desenho e medida.

No Construa, os estudantes deverão construir um par de retas paralelas cortadas por uma reta transversal. Oriente-os sobre como e quais ferramentas do software eles podem utilizar em cada passo. Peça que nomeiem as figuras construídas de acordo com o comando de cada passo.

No Explore, os estudantes deverão identificar e medir as aberturas de todos os ângulos formados a partir das intersecções das retas, para investigar, por meio de diferentes movimentos feitos na figura construída, as relações entre as medidas das aberturas desses ângulos, o que favorece o desenvolvimento das competências gerais 2 e 5 e das competências específicas 2 e 5.

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

Página 95

Agora, observe como Júlio fez para verificar que ângulos correspondentes são congruentes.

1º) Júlio usou um papel vegetal e fez um decalque do ângulo

\hat{a}

2º) Colocou o decalque sobre o ângulo

\hat{b}

e percebeu que os dois possuem a mesma medida de abertura.

Com a sobreposição, é possível perceber que os ângulos

\hat{a}

\hat{b}

são congruentes.

Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, determinam ângulos correspondentes congruentes.

A recíproca também é verdadeira: se os ângulos correspondentes forem congruentes, as retas r e s serão paralelas.

Ângulos alternos internos e ângulos alternos externos

Observe a figura a seguir, em que os ângulos

\hat{c}

\hat{b}

são ângulos alternos internos.

Sendo r⫽s, temos:

•

\hat{a} ≅ \hat{b}

, pois são ângulos correspondentes;

•

\hat{c} ≅ \hat{a}

, pois são ângulos o.p.v.

Logo, podemos afirmar que

\hat{c} ≅ \hat{b}

Agora, analise a figura a seguir, em que os ângulos

\hat{a}

\hat{c}

são ângulos alternos externos.

Ilustração. Retas r e s paralelas, n horizontal, cortadas pela reta t. Em destaque, acima da reta r e à direita da reta t, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Abaixo da reta s, à esquerda da reta t, o ângulo c, formado pelas retas t e s. Acima da reta s, à direita da reta t, o ângulo b, formado pelas retas t e s.

Sendo r⫽s, temos:

•

\hat{a} ≅ \hat{b}

, pois são ângulos correspondentes;

•

\hat{c} ≅ \hat{b}

, pois são ângulos o.p.v.

Logo, podemos afirmar que

\hat{c} ≅ \hat{a}

Duas retas paralelas, interceptadas por uma transversal, determinam ângulos alternos (internos ou externos) congruentes.

Respostas e comentários

Comente com os estudantes que o decalque que Júlio fez é uma verificação, e não uma demonstração.

Na demonstração da relação dos ângulos alternos internos e alternos externos, foi utilizada a propriedade transitiva da congruência, segundo a qual: se

\hat{a} ≅ \hat{b}

\hat{b} ≅ \hat{c}

, então

\hat{a} ≅ \hat{c}

Página 96

Ângulos colaterais internos e ângulos colaterais externos

Observe a figura a seguir, em que os ângulos

\hat{a}

\hat{c}

são colaterais internos.

Ilustração. Retas r e s paralelas, na horizontal, cortadas pela reta t. Em destaque, abaixo da reta r e à direita da reta t, o ângulo a, formado pelas retas t e r. Acima da reta s, à esquerda da reta t, o ângulo b, formado pelas retas t e s. Acima da reta s, à direita da reta t, o ângulo c, formado pelas retas t e s.

Sendo r⫽s, temos:

•

\hat{a} ≅ \hat{b}

, pois são ângulos alternos internos;

•

m e d (\hat{b}) + m e d (\hat{c}) = 180 °

, pois são ângulos adjacentes suplementares.

Logo, podemos afirmar que

\hat{a}

\hat{c}

são suplementares.

Agora, de acordo com a figura a seguir, temos que os ângulos

\hat{a}

\hat{c}

são colaterais externos.

Sendo r⫽s, temos:

•

\hat{a} ≅ \hat{b}

, pois são ângulos correspondentes;

•

m e d (\hat{b}) + m e d (\hat{c}) = 180 °

, pois são ângulos adjacentes suplementares.

Logo, podemos afirmar que

m e d (\hat{a}) + m e d (\hat{c}) = 180 °

Duas retas paralelas, interceptadas por uma transversal, determinam ângulos colaterais (internos ou externos) suplementares.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

43. Podemos afirmar que as retas r e s são paralelas? Por quê?

Ilustração. Duas retas paralelas, r e s. Régua na horizontal cortando as retas. Abaixo da régua, dois esquadros. O esquadro da esquerda está com o lado maior coincidindo com a reta r e o esquadro da direita está com o lado maior coincidindo com a reta s.
Ambos esquadros formam ângulos com medida de abertura de 60 graus com a régua.

Respostas e comentários

43. Sim, pois os ângulos formados pelas retas r e s com a régua são correspondentes.

• Após os estudantes resolverem a atividade 43, questione-os: “Se um dos esquadros fosse de 45grau, as retas ainda seriam paralelas?”.

Página 97

44. Na figura a seguir, r e s são paralelas e t e u são transversais. Quais são as medidas a, b, c e d das aberturas dos ângulos a seguir.

Ilustração. Retas r e s paralelas, cortadas pelas retas t e u. As retas t e u cortam a reta r no mesmo ponto. Em destaque, abaixo da reta r, o ângulo a (menor que 90 graus) formado pelas retas r e t, o ângulo b (menor que 90 graus) formado pelas retas r, t e u, e o ângulo de 40 graus formado pelas retas r e u. Acima da reta s, o ângulo de 70 graus formado pelas retas t e s e os ângulos c (menor que 90 graus) e d (maior que 90 graus) formados pelas retas u e s.

45. Sendo r⫽s, determine as medidas a, b e c das aberturas dos ângulos a seguir.

Ilustração. Retas r e s paralelas, cortadas pela reta t. Em destaque, o ângulo de 60 graus formado pelas retas t e r, e o ângulo a (menor que 90 graus) e b (maior que 90 graus) formados pelas retas t e s.

Ilustração. Retas r e s paralelas, cortadas pela reta t. Em destaque, os ângulos a e 134 graus formados pelas retas t e r, e os ângulos b (menor que 90 graus) e c (maior que 90 graus) formados pelas retas t e s.

46. Na figura a seguir, as retas u, v e w são paralelas cortadas por uma transversal t. Determine, em grau, as medidas x, y e s das aberturas dos ângulos.

Ilustração. Retas u, v e w paralelas, cortadas pela reta t. Em destaque, o ângulo z (maior que 90 graus) formado pelas retas t e u, o ângulo de 50 graus formado pelas retas t e v e os ângulos x e y (menores que 90 graus), opostos pelo vértice, formados pelas retas t e w.

47. Sabendo que as retas r e s são paralelas, determine as medidas x e y das aberturas dos ângulos de cada item.

Ilustração. Retas r e s paralelas. Acima, reta r cortada por segmento de reta. Em destaque, o ângulo x (menor que 90 graus) formado pela reta r e o segmento de reta.
Abaixo, reta s cortada por outro segmento de reta. Em destaque, os ângulos opostos pelo vértice y e 40 graus formados pela reta s e esse segmento de reta.
Os dois segmentos de retas que cortam as retas r e s, tem origem comum entre as duas retas e o ângulo formado pelos segmentos de reta é de 85 graus.
Uma linha tracejada e paralela às retas r e s passa pela origem dos segmentos de reta.

Ilustração. Retas r e s paralelas. À esquerda, reta r cortada por segmento de reta. Em destaque, os ângulos x e 50 graus formados pela reta r e o segmento de reta.
À direita, reta s cortada por outro segmento de reta. Em destaque, o ângulo de 38 graus formado pela reta s e esse segmento de reta.
Os dois segmentos de retas que cortam as retas r e s, tem origem comum entre as duas retas e o ângulo formado pelos segmentos de reta é y.
Uma linha tracejada e paralela às retas r e s passa pela origem dos segmentos de reta.

48. As retas u, r e s são paralelas cortadas por uma transversal t. Quais são as medidas x e y das aberturas dos ângulos a seguir?

Ilustração. Retas u, r e s paralelas, cortadas pela reta t. Em destaque, acima da reta t, o ângulo x (menor que 90 graus) formado pelas retas t e u, o ângulo y (maior que 90 graus) formado pelas retas t e r. Abaixo da reta t, o ângulo de 50 graus formado pelas retas t e s.

Respostas e comentários

44. a = 70°, b = 70°, c = 40° e d = 140°

45. a) a = 60°; b = 120°

45. b) a = 46°; b = 46°; c = 134°

46. x = 50°, y = 50° e z = 130°

47. a) x = 45°, y = 40°

47. b) x = 130°, y = 88°

48. x = 50°, y = 130°

• Na atividade 44, peça aos estudantes que reproduzam a figura no caderno e marquem os ângulos. Um caminho possível para a resolução seria marcar o ângulo correspondente de 70graus no cruzamento das retas r e t e, a partir daí, concluir que 70graus + 40graus + b = 180graus, determinando a medida b.

• A atividade 47 tem como objetivo ajudar os estudantes a compreender a possibilidade de incluir uma reta paralela auxiliar. Comente com eles que normalmente essa reta paralela é oculta.

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Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Retas

Uma reta é formada por infinitos pontos distintos, dispostos em uma única direção, e suas extremidades indicam que ela se prolonga infinitamente nos dois sentidos.

Ilustração. Reta r com pontos A e B. — Reta r ou

Reta r ou

\overset{\leftrightarrow}{A B}

Semirreta e segmento de reta

Semirreta

\vec{O A}

Segmento de reta

\overline{A B}

Posições relativas entre duas retas em um mesmo plano

Retas paralelas: quando não possuem pontos em comum.

Ilustração. Plano alfa com duas retas paralelas r e s. — Retas paralelas

Retas concorrentes: quando possuem um único ponto em comum.

lustração. Plano alfa com duas retas r e s que se cortam em O. — Retas concorrentes

Retas perpendiculares: retas concorrentes que formam quatro ângulos retos.

1. Observe a figura a seguir.

Ilustração. Retas paralelas, r e s cortadas por duas retas t e u. Em destaque, 4 ângulos retos formados pelas retas t e r e 4 ângulos retos formados pelas retas t e s.
Os ângulos formados pelas retas u e r e os ângulos formados pelas retas u e s não são retos.

Agora, identifique e escreva no caderno:

a) um par de retas paralelas;

b) dois pares de retas concorrentes;

c) dois pares de retas perpendiculares.

2. No caderno, desenhe a representação de um par de retas paralelas e a representação de um par de retas perpendiculares.

O ângulo e seus elementos

Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem com uma das regiões do plano limitada por elas.

Os lados de um ângulo são as semirretas que o determinam, e o vértice é a origem comum dessas semirretas.

3. Para cada um dos itens a seguir, indique no caderno o ângulo, seu vértice e seus lados.

Ilustração. Duas semirretas OG e OD partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para o ângulo interno.

Respostas e comentários

1. a) r e s

1. b) Exemplo de resposta: u e r ; u e s

1. c) t e r ; t e s

2. Um exemplo de resposta está na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do professor.

3. a) ângulo:

A \hat{O} B

B \hat{O} A

, vértice: óh, lados:

\vec{O A}

\vec{O B}

3. b) ângulo:

G \hat{O} D

D \hat{O} G

, vértice: óh, lados:

\vec{O G}

\vec{O D}

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Retas

• No item a da atividade 1, os estudantes devem identificar um par de retas paralelas. É possível que alguns estudantes digam que as retas t e u sejam paralelas. Caso isso ocorra, oriente-os a reproduzir a figura no caderno e prolongar estas retas para verificar que elas são concorrentes. No item b, aproveite a oportunidade para verificar se reconhecem que retas perpendiculares são também concorrentes. No item c, você pode solicitar aos estudantes que confirmem, com o auxílio de um transferidor, que as retas t e r, e t e s são perpendiculares.

• Após a realização da atividade 2, circule entre os estudantes e certifique-se de que as construções estão corretas, pois as possibilidades de resposta são infinitas.

O ângulo e seus elementos

Reproduza a figura do ângulo na lousa e recorde os elementos de um ângulo com a turma.

• Aproveite a atividade 3 para verificar se os estudantes se apropriaram dos elementos de um ângulo. Você pode ampliar a proposta desta atividade ao descrever ângulos e pedir a eles que representem esses ângulos no caderno.

Página 99

Medida da abertura de um ângulo

Podemos utilizar como unidade de medida da abertura de um ângulo o grau (grau).

A unidade de medida grau tem submúltiplos: o minuto e o segundo. Indicamos 1 minuto por 1’ e 1 segundo por 1”.

• 1 minuto é

\frac{1}{60}

do grau, ou seja, 1 grau é igual a 60 minutos:

1grau = 60minutos

• 1 segundo é

\frac{1}{60}

do minuto, ou seja, 1 minuto é igual a 60 segundos:

1’ = 60segundos

Como medir a abertura de um ângulo utilizando o transferidor

Ilustração. Transferidor de 180 graus. No centro, ponto O. Semirreta horizontal OB em 0 grau e outra semirreta OA em 65 graus.

m e d (A \hat{O} B) = 65 °

Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso

Ângulo reto: é aquele que tem medida de abertura igual a 90graus.

Ângulo agudo: é o ângulo que tem medida de abertura maior que 0grau e menor que 90graus.

Ângulo obtuso: é o ângulo que tem medida de abertura maior que 90graus e menor que 180graus.

4. Com um transferidor, meça e registre no caderno a medida da abertura de cada um dos ângulos.

Ilustração. Duas semirretas de mesma origem. Destaque para o ângulo interno.

5. Com o auxílio de uma régua e de um transferidor, construa no caderno os ângulos solicitados e, depois, classifique-os em agudo, obtuso, reto ou raso.

a) Ângulo

A \hat{O} B

cuja abertura mede 50graus.

b) Ângulo

C \hat{O} D

cuja abertura mede 120graus.

c) Ângulo

E \hat{O} F

cuja abertura mede 180graus.

d) Ângulo

G \hat{O} H

cuja abertura mede 90graus.

6. Transforme as unidades das medidas indicadas de acordo com o pedido de cada item:

a) 32graus em minuto;

b) 15graus 30minutos em segundo;

c) 192minutos em grau e minuto;

d) 25graus 18minutos em segundo;

e) .180318segundos em grau, minuto e segundo;

Operações com medidas de abertura de ângulos

Adição

30graus 18minutos + 45graus 30minutos

Subtração

45graus 30minutos ‒ 30graus 18minutos

Multiplicação

4 ∙ (15graus 12minutos)

Divisão

(40graus 20minutos) : 2

7. Efetue os cálculos.

a) 35graus 18minutos + 42graus 15minutos

b) 75graus 32minutos 41segundos + 56graus 48minutos 35segundos

c) 68graus 46minutos ‒ 51graus 39minutos

d) 89graus ‒ 76graus 36minutos 12segundos

e) 4 ∙ (28graus 15minutos)

f) 7 ∙ (12graus 45minutos 17segundos)

g) (72graus 45minutos 15segundos) : 3

h) (48graus 45minutos 20segundos) : 8

Respostas e comentários

4. a) 48graus

4. b) 115graus

5. a) A resposta está na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do professor.

5. b) A resposta está na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do professor.

5. c) A resposta está na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do professor.

5. d) A resposta está na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do professor.

6. a) .1920minutos

6. b) .55800segundos

6. c) 3graus 12minutos

6. d) .91080segundos

6. e) 50graus 5minutos 18segundos

7. a) 77graus 33minutos

7. b) 132graus 21minutos 16segundos

7. c) 17graus 7minutos

7. d) 12graus 23minutos 48segundos

7. e) 113graus

7. f) 89graus 16minutos 59segundos

7. g) 24graus 15minutos 5segundos

7. h) 6graus 5minutos 40segundos

Medida da abertura de um ângulo

• Nas atividades 4 e 5, podem surgir dúvidas quanto ao uso do transferidor. Oriente os estudantes a posicionar corretamente o transferidor para medir as aberturas dos ângulos (atividade 4) e construir ângulos (atividade 5). Você pode ampliar as propostas dessas atividades, solicitando aos estudantes que meçam a abertura de outros ângulos ou pedindo que construam ângulos com outras medidas de abertura estabelecidas por você.

• Após os estudantes realizarem as transformações solicitadas na atividade 6, incentive-os a comparar com um colega as medidas obtidas e a identificar possíveis equívocos nos cálculos efetuados.

Operações com medidas de abertura de ângulos

• A atividade 7 propõe aos estudantes que efetuem diferentes cálculos com medidas de abertura de ângulos. Para os itens de a a d, oriente-os a alinhar segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus antes de realizarem os cálculos. Alguns itens podem ser feitos por meio de cálculo mental, por exemplo o item g, em que 72, 45 e 15 são divisíveis por 3.

Página 100

Ângulos congruentes

Ângulos congruentes são aqueles que têm a mesma medida de abertura.

Ilustração. Duas semirretas OA e OB partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para o ângulo interno de 70 graus.

Ilustração. Duas semirretas OM e ON partindo da mesma origem, o ponto O. Destaque para o ângulo interno de 70 graus.

A \hat{O} B ≅ M \hat{O} N

8. Com o auxílio de um transferidor, determine as medidas das aberturas dos ângulos

A \hat{O} B

B \hat{O} C

C \hat{O} D

D \hat{O} E

A \hat{O} C

A \hat{O} D

C \hat{O} E

. Depois, indique os ângulos congruentes.

Ângulos consecutivos e adjacentes

Ângulos consecutivos são aqueles que têm em comum o vértice e um dos lados.

Os ângulos

A \hat{O} C

C \hat{O} B

são consecutivos.

Dois ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns são chamados ângulos adjacentes.

Os ângulos

A \hat{O} C

C \hat{O} B

são ângulos adjacentes.

9. Observe a figura e indique três pares de ângulos adjacentes.

Ilustração. Quatro semirretas OA, OB, OC e OD partindo da mesma origem, o ponto O. Em destaque, os ângulos AOB, BOC e COD.

Ângulos complementares

Dois ângulos são complementares quando a soma das medidas de suas aberturas é igual a 90grau.

Ilustração. Duas semirretas BA e BC partindo da mesma origem, o ponto B. Destaque para o ângulo interno de 35 graus.

Ilustração. Duas semirretas KJ e KL partindo da mesma origem, o ponto K. Destaque para o ângulo interno de 55 graus.

m e d (A \hat{B} C) + m e d (J \hat{K} L) = 35 ° + 55 ° = 90 °

10. Determine a medida da abertura do complemento de cada um dos ângulos cuja medida da abertura está indicada a seguir.

a) 46grau

b) 65grau

c) 35grau 18’

d) 62grau 18’

e) 75grau 22’

f) 18grau 50’

11. Dois ângulos são adjacentes complementares, e a abertura de um deles mede 46grau18’ 39”. Determine a medida da abertura do outro ângulo.

Ângulos suplementares

Dois ângulos são suplementares quando a soma das medidas de suas aberturas é igual a 180grau.

Ilustração. Duas semirretas ED e EF partindo da mesma origem, o ponto E. Destaque para o ângulo interno de 140 graus.

Ilustração. Duas semirretas SR e ST partindo da mesma origem, o ponto S. Destaque para o ângulo interno de 40 graus.

m e d (D \hat{E} F) + m e d (R \hat{S} T) = 140 ° + 40 ° = 180 ° .

12. Determine a medida da abertura do suplemento de cada um dos ângulos cuja medida da abertura está indicada a seguir.

a) 62grau

b) 80grau

c) 118grau 50’

d) 29grau 18’

e) 125grau 48’ 42”

f) 90grau 30’ 12”

Ângulos opostos pelo vértice

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

Respostas e comentários

B \hat{O} C ≅ C \hat{O} D

A \hat{O} C ≅ D \hat{O} E

A \hat{O} D ≅ C \hat{O} E

9. Exemplos de resposta:

A \hat{O} B

B \hat{O} C

C \hat{O} C

C \hat{O} D

A \hat{O} C

C \hat{O} D

10. a) 44grau

10. b) 25grau

10. c) 54grau 42’

10. d) 27grau 42’

10. e) 14grau 38’

10. f) 71grau 10’

11. 43grau 41’ 21”

12. a) 118grau

12. b) 100grau

12. c) 61grau 10’ícone de altura

12. d) 150grau 42’ícone de altura

12. e) 54grau 11’ 18”ícone de altura

12. f) 89grau 29’ 48”

Ângulos congruentes

• Na atividade 8, caso haja dificuldade, peça aos estudantes que reproduzam a figura no caderno para conseguirem prolongar os lados dos ângulos, facilitando o uso do transferidor para medir a abertura dos ângulos. Ao reproduzir a figura no caderno, peça que façam marcações sobre os ângulos, facilitando seu entendimento.

Ângulos consecutivos e adjacentes

• Se os estudantes apresentarem dificuldades para fazer a atividade 9, reproduza a figura na lousa e destaque cada ângulo com cores diferentes, verificando com eles que, quando os ângulos são adjacentes, as cores não se sobrepõem.

Ângulos complementares

Na atividade 10, incentive os estudantes a determinarem mentalmente a medida da abertura do complemento dos ângulos de alguns itens. Reserve um momento para fazer a correção coletiva.

• Na atividade 11, questione-os como seria a representação da situação descrita no enunciado. Esse pode ser o momento oportuno para verificar se compreenderam o conceito de ângulos adjacentes.

Ângulos suplementares

• Na atividade 12, incentive os estudantes a determinarem mentalmente a medida da abertura do suplemento dos ângulos de alguns itens. Reserve um momento para fazer a correção coletiva.

Página 101

Propriedade dos ângulos opostos pelo vértice

Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida de abertura, isto é, são congruentes.

Na figura deste tópico, podemos observar que:

m e d (A \hat{O} B) = m e d (C \hat{O} D)

m e d (A \hat{O} D) = m e d (C \hat{O} B)

13. Observe a figura e identifique três pares de ângulos opostos pelo vértice.

14. Determine o valor de

em cada figura.

Ilustração. Duas retas que se cruzam. Em destaque, dois ângulos opostos pelo vértice. A medida de abertura do ângulo acima é 155 graus e a medida de abertura do ângulo abaixo é 120 graus mais quadradinho laranja.

Ilustração. Duas retas que se cruzam. Em destaque, dois ângulos opostos pelo vértice. A medida de abertura do ângulo à esquerda é 110 graus e a medida de abertura do ângulo à direita é quadradinho laranja mais 35 graus.

Ângulos formados por duas retas cortadas por uma transversal

Toda reta transversal corta duas ou mais retas em pontos distintos.

No encontro das duas retas com a transversal, ficam determinados oito ângulos com vértices nos pontos de intersecção.

De acordo com a posição que ocupam, esses ângulos são classificados, dois a dois, com nomes especiais.

Ângulos alternos internos:

\hat{a}

\hat{g}

;

\hat{b}

\hat{h}

Ângulos alternos externos:

\hat{d}

\hat{f}

;

\hat{c}

\hat{e}

Ângulos correspondentes:

\hat{a}

\hat{e}

;

\hat{b}

\hat{f}

;

\hat{c}

\hat{g}

;

\hat{d}

\hat{h}

Ângulos colaterais externos:

\hat{d}

\hat{e}

;

\hat{c}

\hat{f}

Ângulos colaterais internos:

\hat{a}

\hat{h}

;

\hat{b}

\hat{g}

Relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal

• Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, determinam ângulos correspondentes congruentes.

• Duas retas paralelas, interceptadas por uma transversal, determinam ângulos alternos (internos ou externos) congruentes.

• Duas retas paralelas, interceptadas por uma transversal, determinam ângulos colaterais (internos ou externos) suplementares.

15. Na figura a seguir, r e s são retas paralelas e t e u são retas transversais. Quais são as medidas a, b, c e d das aberturas dos ângulos a seguir.

Ilustração. Retas r e s paralelas, cortadas pelas retas t e u. As retas t e u cortam a reta r no mesmo ponto. Em destaque, abaixo da reta r, o ângulo c (menor que 90 graus) formado pelas retas r e t, o ângulo d (menor que 90 graus) formado pelas retas r, t e u, e o ângulo de 50 graus formado pelas retas r e u. Abaixo da reta s, o ângulo de 80 graus formado pelas retas t e s. Acima da reta s, os ângulos a (menor que 90 graus) e b (maior que 90 graus) formados pelas retas u e s.

16. Sabendo que as retas r e s são paralelas, determine as medidas x e y das aberturas dos ângulos de cada item.

Ilustração. Retas r e s paralelas, cortadas pela reta t. Em destaque, o ângulo y (maior que 90 graus) formado pelas retas s e t, o ângulo x (menor que 90 graus) formado pelas retas s e t e o ângulo de 154 graus formado pelas retas r e t.

Ilustração. Retas r e s paralelas. Acima, reta r cortada por segmento de reta. Em destaque, o ângulo y (menor que 90 graus) formado pela reta r e o segmento de reta.
Abaixo, reta s cortada por outro segmento de reta. Em destaque, os ângulos opostos pelo vértice x e 30 graus formados pela reta s e esse segmento de reta.
Os dois segmentos de retas que cortam as retas r e s, tem origem comum entre as duas retas e o ângulo formado pelos segmentos de reta é de 66 graus.

Respostas e comentários

13. Exemplo de resposta:

A \hat{O} B

D \hat{O} E

B \hat{O} C

E \hat{O} F

C \hat{O} D

A \hat{O} F

14.a) 35graus

14.b) 75graus

15. a = 50graus, b = 130graus, c = 80graus e d = 50graus

16.a) x = 26graus e y = 154graus

16.b) x = 30graus e y = 36graus

Ângulos opostos pelo vértice

• Na atividade 13, após os estudantes identificarem os pares de ângulos opostos pelo vértice, peça-lhes que, com o auxílio de um transferidor, verifiquem que são congruentes.

• Se os estudantes tiverem dificuldade na resolução da atividade 14, questione-os: “Quanto falta em 120graus para chegar a 155graus?”; “Quanto falta em 25graus para chegar a 110graus?”. Incentive-os a fazer os cálculos mentalmente.

Ângulos formados por duas retas cortadas por uma transversal

• Caso julgue conveniente, faça a atividade 15 na lousa com a participação da turma.

• Na atividade 16, peça aos estudantes que reproduzam as figuras no caderno para marcar os ângulos. No item b, caso seja necessário, peça que representem uma reta auxiliar, paralela às retas r e s.

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É hora de extrapolar

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso na atividade 6.

Faça as atividades no caderno.

Você considera sua alimentação saudável?

Uma boa nutrição é fundamental para a saúde, o bem-estar e a qualidade de vida de todos. É importante escolher os alimentos que serão consumidos de fórma consciente e equilibrada. Na adolescência, os bons hábitos alimentares são essenciais para o desenvolvimento físico e mental, além de contribuírem para uma vida adulta saudável. Assim, nessa fase, alimentar-se bem deve ser prioridade.

Objetivos: Pesquisar sobre a composição e os hábitos de uma alimentação saudável, elaborar cartazes com informações e incentivos e realizar campanha na comunidade escolar para a promoção do consumo de alimentos saudáveis.

Etapa 1: Pesquisa sobre a composição e os hábitos de uma alimentação saudável

1. Reúnam-se em grupo e anotem, em uma lista, as ideias iniciais do que vocês consideram ser hábitos alimentares saudáveis.

2. Pesquisem em sites, em livros especializados em alimentação ou nutrição ou em revistas sobre saúde o que constitui uma alimentação saudável. A pesquisa deve contemplar tipos de nutrientes que devem ser consumidos, quantidades necessárias, alimentos que fornecem esses nutrientes e hábitos que devem ser adotados.

3. Comparem o resultado da pesquisa feita na atividade 2 com a lista elaborada na atividade 1.

a) Alguma informação obtida na pesquisa não estava na lista das ideias iniciais? Se sim, qual ou quais?

b) Algum item da lista das ideias iniciais não pode ser considerado parte de bons hábitos alimentares?

4. Uma pesquisa realizada com estudantes do 7º ano em fevereiro de 2023 apresentou dados sobre seus hábitos alimentares, conforme consta no gráfico a seguir.

Gráfico em barras verticais. PORCENTAGEM DE ESTUDANTES DO 7º ANO QUE CONSOMEM ALIMENTOS COM MARCADORES DE ALIMENTAÇÃO SAUDÁVEL E NÃO SAUDÁVEL. No eixo x, alimentos. Eixo y, escala de 0 a 70%. OS dados são: MAS (marcadores de alimentação saudável). Feijão: 60%. Legumes: 38%. Frutas frescas: 32%. MANS (marcadores de alimentação não saudável). Salgados fritos: 15%. Guloseimas: 42%. Refrigerantes: 28%. Ultraprocessados salgados: 31%. — Dados obtidos pela direção da escola em fevereiro de 2023.

Analisem o gráfico e façam o que se pede.

a) Nessa pesquisa, os alimentos considerados marcadores de alimentação não saudável são:

• salgados fritos: coxinha de galinha, quibe, pastel, acarajé, batata frita (exceto batata de pacote);

• guloseimas: doces em geral, como balas, chocolates, chicletes, bombons e pirulitos;

• refrigerantes;

• ultraprocessados salgados: hambúrguer, presunto, mortadela, salame, linguiça, salsicha, macarrão instantâneo, salgadinho de pacote, biscoitos salgados.

Pesquisem o motivo pelo qual esses alimentos são considerados não saudáveis, destacando o que acontece em caso de consumo excessivo.

b) Muitas pessoas consomem os alimentos listados no item a em excesso mesmo sabendo que são considerados não saudáveis. Por que isso acontece?

Etapa 2: Pesquisa e análise de dados sobre a conservação de alimentos Pesquisa e análise de dados sobre a conservação de alimentos

5. Além da escolha de alimentos, é importante que eles sejam conservados e preparados de modo correto. O resfriamento e o congelamento são formas muito utilizadas para aumentar o tempo de conservação dos alimentos.

a) Pesquisem os motivos pelos quais o resfriamento e o congelamento ajudam a conservar os alimentos.

Respostas e comentários

1. Resposta pessoal.

2. Comentário em Orientações.

3. a) Respostas pessoais.

3. b) Resposta pessoal.

4. a) Comentário em Orientações.

4. b) Comentário em Orientações.

5. a) O resfriamento diminui a reprodução de microrganismos, enquanto o congelamento impede sua proliferação.

É hora de extrapolar

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 4, 7 e 9 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 4, 7 e 8 (as descrições estão na página sete).

A seção propõe o fechamento da unidade por meio de um trabalho colaborativo que explora a pesquisa, a comunicação e a elaboração de cartazes, que serão compartilhados com a comunidade escolar.

Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem:

• Entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado.

• Pesquisa coletiva.

• Elaboração, em grupo, dos cartazes.

• Apresentação e exposição dos cartazes.

• Reflexão e síntese do trabalho.

As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser realizadas extraclasse. Verifique o perfil dos estudantes e oriente-os quanto ao prazo, aos materiais e a outros aspectos necessários à realização do trabalho.

A seção também favorece o desenvolvimento das competências gerais 4, 7 e 9 e das competências específicas 4, 7 e 8, procurando mobilizar conteúdos estudados nos capítulos que integram a unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção depois de estudar os capítulos, mas, se preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os capítulos forem estudados, atente para os conhecimentos prévios necessários.

Solicite aos estudantes que reflitam sobre a pergunta que dá título à seção e a respondam com “sim”, “mais ou menos” ou “não”, e represente graficamente as respostas da turma.

• Na atividade 2, incentive os estudantes a realizarem a pesquisa em mais de uma fonte, principalmente se buscarem em sites. Assim, podem identificar mais de uma versão sobre as informações procuradas, ou identificar o que é afirmado por fontes confiáveis.

• No item a da atividade 4, leve a turma a compreender que esses alimentos são considerados não saudáveis por causa das quantidades excessivas de açúcar e gorduras não saudáveis, do perfil nutricional desequilibrado e da grande concentração de aditivos e de substâncias com efeito incerto sobre a saúde, o que pode causar, com o consumo excessivo, obesidade, hipertensão, diabetes, doenças cardiovasculares, osteoporose, câncer, entre outros problemas.

• No item b da atividade 4, promova a compreensão de que muitos dos elementos presentes nos alimentos não saudáveis causam sensação de prazer e que, sem excessos, podem ser consumidos sem comprometer a saúde.

Sugestão de atividade para combater o bullying

A gordofobia é a aversão à gordura e às pessoas que estão acima do “pêso” e é possível que estudantes estejam sendo vítimas de gordofobia na escola. Caso tenha presenciado algo ou saiba de algum caso ocorrido na escola, discuta o tema com a turma. Comente com os estudantes que o comportamento gordofóbico pode causar uma série de danos psíquicos às vítimas, como depressão, ansiedade e até suicídio. Conscientize-os da importância de evitar e de combater esses atos.

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b) Observem a tabela a seguir.

Medidas de temperatura para armazenagem de produtos
Tipo de armazenagem	Tipo de alimento	Medida da temperatura
Congelamento	Qualquer alimento	Menor ou igual a ‒18 °C
Refrigeração	Hortifrúti, leite e derivados	Até 10 °C
	Carne	Até 4 °C
	Pescados	Até 2 °C

Dados obtidos em: https://oeds.link/0p9hiu. Acesso em: 12 maio 2022.

Representem as medidas de temperatura em uma reta numérica, indicando os intervalos correspondentes a cada tipo de alimento e considerando que os alimentos refrigerados ficam a medidas de temperatura maiores que 0 grau Célsius.

Você já sabe responder às questões feitas na abertura desta Unidade? Converse com os colegas.

Etapa 3: Elaboração de cartazes

6. Analisem as imagens a seguir, que mostram qual deve ser a proporção entre os alimentos em uma refeição considerada saudável.

Fotografia. Vista de cima de um prato redondo. Metade do prato tem legumes e verduras. Um quarto do prato tem arroz e o outro um quarto está dividida em carne e feijão. No canto superior direito, duas fatias de abacaxi.

Gráfico de setores. Metade do gráfico corresponde a legumes e verduras. Um quarto do gráfico corresponde a carboidratos. Um oitavo corresponde a proteína vegetal e um oitavo corresponde a proteína animal. No canto superior direito, círculo pequeno que corresponde a fruta.

Dados obtidos em: https://oeds.link/N6EGG0. Acesso em: 20 junho2022.

a) Considerando que “legumes e verduras” devem corresponder à metade da medida da área do prato, “carboidratos”, a um quarto da medida da área do prato, e as “proteínas animal e vegetal”, a um oitavo cada, determinem a medida da abertura dos ângulos centrais que correspondem a cada um desses setores e classifiquem-nos em agudo, reto, obtuso ou raso.

b) Elaborem um cartaz utilizando régua, compasso e transferidor. Preencham os setores com imagens dos alimentos e coloquem informações sobre a composição escolhida (o que determina que essa composição seja interessante e saudável) e como incentivar as pessoas a buscar uma alimentação equilibrada.

Etapa 4: Campanha pela promoção de alimentos saudáveis

7. Disponibilizem os cartazes criados na etapa anterior para que a turma analise a escolha dos alimentos e opinem a respeito das informações apresentadas.

8. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas.

9. Depois dos ajustes necessários, criem um título para uma campanha pela promoção da alimentação saudável na escola e façam uma exposição dos cartazes para a comunidade escolar.

Etapa 5: Síntese do trabalho realizado

10. Algumas questões devem ser discutidas.

a) Após a realização das pesquisas, vocês pretendem fazer alguma mudança em seus hábitos alimentares? Se sim, qual ou quais? Se não, por quê?

b) Você acredita que uma campanha pode contribuir para que as pessoas busquem hábitos alimentares mais saudáveis?

11. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo nas etapas 3 e 4.

Respostas e comentários

5. b)

Ilustração. Reta numérica com pontos de menos 24 a 12. Menor ou igual a 18 graus: congelados. De 0 a 4 graus: carne. De 0 a 2 graus: pescados e de 0 a 10 graus: hortifrúti, leite e derivados.

5. c) Resposta pessoal.

6. a) Resposta em Orientações.

6. b) Resposta pessoal.

Etapa 4: Comentário em Orientações.

10. a) Respostas pessoais.

10. b) Resposta pessoal.

11. Comentário em Orientações.

Verifique se os estudantes já haviam reparado que a parte inferior interna da geladeira tem medida de temperatura mais elevada que a parte superior e, por isso, os hortifrútis costumam ficar embaixo.

• O item c da atividade 5 retoma as questões da abertura desta Unidade. Aproveite-o para comparar os conhecimentos da turma naquele momento e agora.

• Considerando a ilustração a seguir, temos para o item a da atividade 6:

α = 90graus, ângulo reto;

β = 180graus, ângulo raso;

γ = 45graus, ângulo agudo;

δ = 45graus, ângulo agudo.

• No item b da atividade 6, alerte os estudantes sobre a necessidade de tomar cuidado ao manusear o compasso para elaborar o cartaz.

• Na etapa 4, oriente os estudantes a respeitarem o trabalho e a opinião dos colegas, criticando de maneira respeitosa e opinando para que o trabalho de todos possa ser melhorado. A proposta dessa etapa favorece o desenvolvimento da competência geral 9.

Se achar conveniente, essa campanha pode ser divulgada de modo digital. Explore com os estudantes as possibilidades de divulgação digital que eles conhecem e eleja um meio para a exposição dos materiais produzidos por eles.

• Após a resolução da atividade 10, para verificar se os estudantes mudaram de opinião sobre a própria alimentação após as informações que coletaram, repita a pergunta inicial: “Você considera sua alimentação saudável?”. Então, monte outro gráfico, comparando-o com o feito inicialmente. Peça que compartilhem suas aprendizagens.

Na atividade 11, acompanhe a escrita do texto e, se necessário, relembre processos importantes que você acompanhou e que os estudantes estejam esquecendo de descrever no texto.

Sugestão de leitura

A Pesquisa Nacional de Saúde do Escolar, realizada em 2019 pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística em parceria com o Ministério da Saúde e o apoio do Ministério da Educação, apresenta comentários analíticos sobre a realidade local e a situação da saúde dos escolares.

Glossário

grafismos: : desenhos que representam figuras geométricas ou imagens de pessoas e de animais.; Voltar para o texto

1 Retas

Lendo e aprendendo

2 O ângulo e seus elementos

3 Medida da abertura de um ângulo

4 Operações com medidas ﻿de abertura de ângulos

5 Ângulos congruentes

6 Ângulos consecutivos e adjacentes

7 Ângulos complementares

8 Ângulos suplementares

9 Ângulos opostos pelo vértice

Tecnologias digitais em foco

10 Ângulos formados por duas retas cortadas por uma transversal

Tecnologias digitais em foco

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Glossário

4 Operações com medidas de abertura de ângulos