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Capítulo 5 Números racionais

Trocando ideias

O saldo negativo, também chamado de saldo devedor, é o valor gasto além do que existia de saldo disponível em conta. Em casos assim, quanto mais tempo a conta fica negativa, mais a dívida cresce devido à cobrança de juros.

Ilustração. Celular sendo manuseado pelos polegares de duas mãos. Na tela do celular, na parte superior há uma faixa laranja com o escrito em branco: Conta digital. Abaixo da faixa, à esquerda, saldo da conta. A direita, ocultar. Abaixo, R$ 187,56 -. À direita, de cima para baixo, há os botões: extrato, transferência, pagamentos.

▸

Em sua opinião, o que as pessoas precisam fazer para não ficar com saldo negativo em suas contas? Converse com os colegas.

▸

O titular da conta anterior depositou R$ 200,00duzentos reais para regularizar a situação. Ele atingiu esse objetivo? Por quê?

Neste capítulo, vamos estudar os números racionais e suas operações. O número menos187,66 é um exemplo de número racional.

Respostas e comentários

Trocando ideias: primeiro item: resposta pessoal; segundo item: sim, porque R$ 200,00duzentos reais é um valor maior do que a quantia devida (R$ 187,66cento e oitenta e sete reais e sessenta e seis centavos).

CAPÍTULO 5 – NÚMEROS RACIONAIS

Trocando ideias

Bê êne cê cê:

• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).

• Competência específica 8 (a descrição está na página sete).

Objetivos:

• Levantar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre a adição envolvendo números racionais.

• Refletir sobre a importância de organizar o orçamento e consumir de maneira consciente.

Tema contemporâneo transversal:

Inicie a aula comentando com os estudantes os motivos que levam muitas pessoas a ter saldo negativo em suas contas bancárias, como compras por impulso e/ou pagamentos atrasados. Comente que quanto mais tempo o titular da conta demora para regularizar a situação, maior a dívida fica por causa da cobrança de juros. Em seguida, convide-os a refletir sobre a questão proposta no primeiro item e estimule a troca de experiências entre eles. Espera-se que eles percebam a necessidade de:

• evitar as compras por impulso;

• organizar o orçamento;

• cortar gastos desnecessários;

• pesquisar antes de comprar etcétera

No segundo item, espera-se que os estudantes percebam que não só o titular vai regularizar a situação como passará a ter saldo positivo em sua conta. Se achar conveniente, proponha que determinem o valor do saldo da conta após o depósito de R$ 200,00duzentos reais. Espera-se que concluam que o valor do saldo será de R$ 12, 34doze reais e trinta e quatro centavos (menos187,66 + 200,00 = 12,34).

Esse é um momento oportuno para verificar os conhecimentos prévios dos estudantes em relação à adição de números racionais.

A competência geral 9 e a competência específica 8 têm o seu desenvolvimento favorecido neste Trocando ideias, uma vez que o diálogo e a interação entre eles são estimulados.

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1 Os números racionais

Todo número inteiro pode ser escrito na fórma de fração. Considere os exemplos:

‒ 3 = ‒ \frac{3}{1}

+ 7 = + \frac{7}{1}

c) 0 =

\frac{0}{1}

Existem números que não são classificados como números inteiros e que podem ser escritos na forma de fração. Observe:

3, 5 = \frac{35}{10}

0, 66 ... = \frac{2}{3}

‒ 0, 75 = ‒ \frac{3}{4}

Sugestão de leitura

IMENES, L. M.; JAKUBOVIC, J. abre parêntesesJakubofecha parênteses; LELLIS, M. Frações e números decimais. São Paulo: Atual, 2011. abre parêntesesColeção Pra que serve Matemática?fecha parênteses.

Esse livro explica números racionais nas formas de fração e decimal e seus usos no dia a dia. Além disso, traz fatos curiosos, brincadeiras e situações interessantes e desafiadoras sobre o assunto.

Os números que podem ser escritos na forma de fração, ou seja, na forma

\frac{a}{b}

, em que a ê bê são números inteiros e b ≠ 0, são chamados números racionais.

Todo número que pode ser escrito na fórma fracionária, com denominador e numerador inteiros e denominador diferente de zero, pertence ao conjunto dos números racionais, que indicamos por

Letra Q, símbolo do conjunto dos números Racionais.

= \{\frac{a}{b}, s e n d o a e b n ú m e r o s inteiros e b \neq 0\}

Outros exemplos de números racionais:

20 = \frac{20}{1}

‒ 17 = ‒ \frac{17}{1}

4, 47 = \frac{447}{100}

‒ 1, 2 = ‒ \frac{12}{10}

Agora, acompanhe algumas situações em que os números racionais são usados.

• Daniela comeu

\frac{3}{8}

de uma pizza. Quantos pedaços ela comeu?

Ilustração. 1 fatia de pizza. Abaixo um oitavo, abre parênteses ou 0 vírgula 125 fecha parênteses, de uma pizza. Ao lado, ilustração de duas fatias de pizza. Abaixo dois oitavos, abre parênteses ou 0 vírgula 25 fecha parênteses, de uma pizza. Ao lado, ilustração de 3 fatias de pizza. Abaixo três oitavos, abre parênteses ou 0 vírgula 375 fecha parênteses, de uma pizza. Reticências. Ao lado, ilustração de 1 pizza inteira de 8 pedaços. Abaixo oito oitavos, abre parênteses ou 1 fecha parênteses, de uma pizza, abre parênteses um inteiro fecha parênteses.

Portanto, Daniela comeu 3 pedaços de pizza.

Respostas e comentários

Os números racionais

Bê êne cê cê:

Habilidade ê éfe zero sete ême ah um zero.

Objetivos:

• Reconhecer os números racionais.

• Localizar números racionais na reta numérica.

Justificativa

O conjunto dos números inteiros não dá conta de expressar algumas medidas de comprimento, massa, temperatura, capacidade, tempo etcétera e, para isso, é necessário recorrer aos números racionais positivos e negativos, o que justifica a importância de reconhecê-los. Além disso, o estudo do conjunto dos números racionais amplia o que os estudantes sabem a respeito dos conjuntos

Letra N, símbolo do conjunto dos números Naturais.

Letra Z, símbolo do conjunto dos números Inteiros.

A localização dos números racionais na reta numérica possibilita aos estudantes reconhecer que, entre quaisquer dois números racionais, sempre existe outro número racional e, também, ampliar os conceitos de módulo e oposto de números racionais.

Mapeando conhecimentos

Reúna os estudantes em grupos e peça a eles que meçam o comprimento de alguns objetos ou elementos presentes na sala de aula, usando régua, trena ou fita métrica. Depois, oriente-os a registrar as medidas de comprimento obtidas em um quadro como o da referência a seguir:

Objeto	Medida de comprimento

Observe como eles registraram as medidas nos quadros. Depois, pergunte quais números que escreveram para expressar as medidas são ou não inteiros. Aproveite a oportunidade e verifique se reconhecem que todos os números que registraram são racionais.

Para as aulas iniciais

Explique aos estudantes o que são números racionais e comente que, diferentemente dos conjuntos

, em que é possível escrever números consecutivos, no conjunto

isso não é possível, pois, entre quaisquer 2 números racionais, sempre existe outro número racional. Depois disso, faça uma reta numérica na lousa e peça aos grupos que representem nela os números que escreverem em seus respectivos quadros.

abre parêntesesê éfe zero sete ême ah um zerofecha parênteses Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

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• De acordo com o marcador, qual é a situação do tanque de combustível do automóvel?

Ilustração. Marcador de combustível dividido em 4 partes. Da esquerda para a direita, na primeira marca, 0. Na marca central, meio. Na última marca, 1. O ponteiro está apontando para a marca 1. A fração meio está circulada. Dela sai um fio laranja indicando o texto: Indica que o tanque de combustível está com metade da medida da capacidade, abre parênteses meio ou 5 décimos (em decimal) fecha parênteses.

O tanque de combustível está completo.

▸ Se fôssemos representar o valor do tanque cheio por uma fração, que fração seria?

Observação

Existem infinitos números que não são racionais, ou seja, que não podem ser escritos na forma

\frac{a}{b}

, em que a ê bê são números inteiros e b ≠ 0. Observe alguns exemplos:

\sqrt{2} = 1, 414213562. ..

\sqrt{3} = 1, 732050807. ..

c) π = 3,141592653reticências

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Copie para o caderno as afirmações verdadeiras.

a) 0,3 é um número racional.

b) menos17 é um número natural.

\frac{2}{5}

é um número inteiro.

‒ \frac{3}{5}

é um número racional.

e) Zero é um número racional.

‒ \frac{1}{2}

é um número inteiro.

g) +0,01 é um número racional.

h) menos4,1 é um número natural.

2. Represente os números racionais a seguir na forma decimal.

‒ \frac{1}{4}

\frac{70}{50}

\frac{7}{100}

\frac{3}{5}

‒ \frac{1}{8}

‒ \frac{5}{8}

\frac{27}{200}

‒ \frac{36}{20}

3. Represente os números racionais de cada item na forma de fração.

a) +6,4

b) menos2,25

c) menos0,08

d) +0,54

4. Responda às questões.

a) Quantos números naturais existem entre 4 e 12?

b) Quantos números racionais existem entre 1 e 2?

c) O número racional

\frac{13}{4}

está situado entre quais números naturais?

d) O número racional

‒ \frac{11}{2}

está situado entre quais números inteiros?

5. Represente estes números na forma de fração irredutível.

a) 0,8

b) menos1,5

c) 8,5

d) menos1,4

e) +6,84

f) menos3,45

6. Cite duas situações cotidianas em que você usa a ideia de fração.

Respostas e comentários

Item: Espera-se que os estudantes respondam que qualquer fração em que o numerador e o denominador são iguais representa uma unidade.

1. afirmações verdadeiras a, d, ê, g

2. a) menos0,25

2. b) 1,4

2. c) 0,07

2. d) 0,6

2. e) menos0,125

2. f) menos0,625

2. g) 0,135

2. h) menos1,8

3. a) Exemplo de resposta:

+ \frac{64}{10} = + \frac{32}{5}

3. b) Exemplo de resposta:

‒ \frac{225}{100} = ‒ \frac{9}{4}

3. c) Exemplo de resposta:

‒ \frac{8}{100} = ‒ \frac{2}{25}

3. d) Exemplo de resposta:

+ \frac{54}{100} = + \frac{27}{50}

4. a) 7

4. b) infinitos

4. c) entre 3 e 4

4. d) entre menos6 e menos5

5. a)

\frac{4}{5}

5. b)

‒ \frac{3}{2}

5. c)

\frac{17}{2}

5. d)

‒ \frac{7}{5}

5. e)

\frac{171}{25}

5. f)

‒ \frac{69}{20}

6. Resposta pessoal.

Ao mostrar que há números, como

\sqrt{2}, \sqrt{3}

, π etcétera, que não podem ser escritos na fórma de fração, é importante salientar que os valores fornecidos pela calculadora ou pelo computador para cada um deles são uma aproximação, e não o valor exato. Se o valor mostrado pela calculadora fosse, de fato, o valor exato do número, então ele poderia ser escrito na fórma de fração e seria, portanto, racional. Essa reflexão é relevante para que os estudantes evitem construir ideias equivocadas a respeito dos números irracionais (que serão estudados posteriormente) e não confundam esses números com uma de suas aproximações.

• Amplie a atividade 1, pedindo aos estudantes que reescrevam as frases falsas, corrigindo-as.

• Na atividade 3, eles podem obter como resposta qualquer fração equivalente às apresentadas.

• As ideias propostas na atividade 4 contribuem para que estabeleçam referenciais, como, por exemplo, perceber a densidade entre os números do conjunto dos racionais. Amplie a atividade com o auxílio da reta numérica. Represente-a na lousa e marque os pontos associados aos números 4 e 12 abre parêntesesitem afecha parênteses. Em seguida, peça aos estudantes que digam todos os números naturais entre 4 e 12 e marquem os pontos correspondentes na reta. Faça outra reta numérica para o item b e peça que marquem os pontos associados aos números racionais entre 1 e 2, constatando que há infinitos números nesse intervalo.

• Como exemplos de respostas para a atividade 6, temos:

\frac{1}{2}

quilograma de carne moída,

\frac{1}{4}

quilograma de pó de café,

\frac{3}{4}

de xícara de leite, entre outras situações.

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Representação dos números racionais na reta numérica

Assim como foi feito para os números naturais e os números inteiros, podemos estabelecer uma correspondência entre os números racionais e os pontos na reta numérica.

Observe alguns exemplos a seguir.

a) O ponto que corresponde ao número

+ \frac{1}{3}

, por exemplo, está localizado entre os pontos correspondentes aos números 0 e +1. Podemos dividir o intervalo de 0 a 1 em três partes iguais e marcar o primeiro ponto no sentido positivo abre parêntesesponto afecha parênteses, conforme mostramos a seguir.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 2, menos 1, 0, mais 1 e mais 2. À direita de 0, o ponto A. À direita de A, a fração mais 2 terços. Seta partindo de A para baixo e indicando a fração mais 1 terço.

Repare que o ponto a corresponde ao número racional

+ \frac{1}{3}

b) O ponto que corresponde ao número

‒ \frac{7}{4}

, que equivale a

‒ 1 \frac{3}{4}

, está localizado entre os pontos correspondentes aos números menos2 e menos1. Podemos dividir o intervalo de menos2 a menos1 em quatro partes iguais e marcar o primeiro ponto no sentido positivo abre parêntesesponto Bfecha parênteses, conforme mostramos a seguir.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 2, menos 1, 0, mais 1 e mais 2. À direita de menos 2, o ponto B. À direita de B, a fração menos 6 quartos. À direita a fração menos 5 quartos.
Seta partindo de B para baixo e indicando a igualdade: menos 7 quartos é igual a menos 1 inteiro e 3 quartos, que é igual a menos 1 inteiro e 75 centésimos.

Repare que o ponto B corresponde ao número racional

‒ \frac{7}{4}

c) O ponto que corresponde ao número

\frac{14}{5}

, que equivale a

2 \frac{4}{5}

, está localizado entre os pontos correspondentes aos números +2 e +3. Podemos dividir o intervalo de 2 a 3 em cinco partes iguais e marcar o quarto ponto no sentido positivo abre parêntesesponto Cfecha parênteses, conforme mostramos a seguir.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 1, 0, mais 1 e mais 3. À direita de mais 2, as frações: 11 quintos, 12 quintos, 13 quintos. À direita de 13 quintos, o ponto C. Seta partindo de C para baixo e indicando a igualdade: 14 quintos é igual a 2 inteiros e 4 quintos.

Repare que o ponto C corresponde ao número racional

\frac{14}{5}

Atividades

Faça as atividades no caderno.

7. Observe a reta numérica e responda às questões.

Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2 e mais 3. À direita de menos 3, ponto C. À direita de menos 2, ponto E. À direita de menos 1, ponto D. Sobre o número 1, ponto A. À direita de 2, ponto B.

a) Que ponto está destacado entre os números inteiros menos3 e menos2?

b) Que ponto tem como correspondente o número

\frac{5}{2}

? E qual corresponde ao número 1?

Respostas e comentários

7. a) ponto C

7. b) ponto B; ponto a

Representação dos números racionais na reta numérica

Antes de iniciar o trabalho de representação dos números racionais na reta numérica, o estudante deve compreender que o conjunto dos números racionais também é utilizado para representar números associados a frações de unidade. Com isso, a sua localização na reta numérica ficará entre as marcas que representam unidades inteiras. Trabalhar essa representação pode contribuir para a percepção da diferença fundamental entre esses números e os números inteiros. Enquanto entre dois números inteiros consecutivos não há outro número inteiro, entre dois números racionais quaisquer, por menor que seja a diferença entre ambos, sempre há infinitos números racionais. Não é possível, portanto, no conjunto dos números racionais, estabelecer um sucessor ou um antecessor para um de seus elementos.

Se julgar necessário, relembre com os estudantes o significado de um número representado na fórma mista.

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c) Que número corresponde ao ponto D ? E ao ponto ê ?

8. Desenhe uma reta numérica e represente os pontos:

a) a, que corresponde a menos0,6;

b) B, que corresponde a

‒ \frac{7}{2}

;

c) C, que corresponde a

5 \frac{1}{3}

;

d) D, que corresponde a

\frac{5}{4}

9. Localize em uma reta numérica o ponto M, que corresponde a

‒ \frac{3}{8}

, o ponto N, que corresponde a

\frac{5}{7}

, e o ponto Q, que representa o número 2.

10.

Reúna-se com um colega e fale três números racionais para que ele os coloque no local apropriado de uma reta numérica. Em seguida, verifique o lugar em que ele colocou os pontos. Ele também falará três números para que você faça o mesmo. Depois, junte os pontos indicados das duas retas numéricas em apenas uma.

Módulo de um número racional

Chamamos de módulo abre parêntesesou valor absolutofecha parênteses de um número racional a medida da distância do ponto, que corresponde a esse número, até a origem da reta numérica abre parêntesesponto que representa o zerofecha parênteses.

Representamos o módulo de um número colocando-o entre duas barras verticais: | |

Analise os exemplos a seguir.

a) Módulo do número racional

+ \frac{4}{3}

A medida da distância entre o ponto que corresponde ao número

\frac{4}{3}

e a origem é de

\frac{4}{3}

da unidade.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 2, menos 1, 0, mais 1 e mais 2. A distância entre mais 1 e mais 2 está dividida em 3 partes. À direita de mais 1, na primeira parte está localizada a fração 4 terços. Cota de 0 a 4 terços, indicando 4 terços da unidade.

O módulo de

+ \frac{4}{3} é \frac{4}{3}

Indicamos:

|+ \frac{4}{3}| = \frac{4}{3}

b) Módulo do número racional

‒ \frac{4}{3}

A medida da distância entre o ponto que corresponde ao número

‒ \frac{4}{3}

e a origem é de

\frac{4}{3}

da unidade.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 2, menos 1, 0, mais 1 e mais 2. A distância entre menos 1 e menos 2 está dividida em 3 partes. À esquerda de menos 1, na primeira parte está localizada a fração menos 4 terços. Cota de 0 a menos 4 terços, indicando 4 terços da unidade.

O módulo de

‒ \frac{4}{3} é \frac{4}{3}

Indicamos:

|‒ \frac{4}{3}| = \frac{4}{3}

Respostas e comentários

7. c)

‒ \frac{1}{2}

;

‒ \frac{3}{2}

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, estão localizados os pontos menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, mais 1, mais 2, mais 3, mais 4, mais 5, mais 6. O ponto B está localizado à direita do menos 4 e à esquerda do menos 3. O ponto A, está localizado à direita do menos 1 e à esquerda do 0. O ponto D, está localizado à direita do mais 1 e à esquerda do mais 2. O ponto C está localizado à direita do mais 5 e à esquerda do mais 6.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, estão localizados os pontos menos 1, 0, mais 1 e mais 2. O ponto M, representado pela fração menos 3 oitavos, está localizado à direita do menos 1 e à esquerda do 0, com distância de 3 partes do total de 8, a partir do 0. O ponto N, representado pela fração mais 5 sétimos, está localizado à direita do 0 e à esquerda do mais 1, com distância de 5 partes do total de 7, a partir do 0. O ponto Q está localizado sobre o número mais 2.

10. Resposta pessoal.

• Alguns estudantes podem apresentar dificuldade com a representação, na reta numérica, de números racionais na fórma de fração, principalmente quando os denominadores dessas frações são diferentes, como no caso da atividade 8. Nesse caso, a passagem da notação fracionária para a notação decimal pode auxiliar os estudantes na localização desses números na reta numérica. Nessa etapa, seria conveniente revisar a representação e a interpretação de expressões do tipo

\frac{a}{b}

, lembrando que a é o numerador da fração e b, o denominador. Reforce que o denominador indica em quantas partes se deve dividir a unidade, enquanto o numerador determina quantas dessas partes compõem a fração.

Módulo de um número racional

Como o módulo de um número inteiro foi objeto de estudo no capítulo 1, antes de iniciar a abordagem deste tópico, para um número racional, é conveniente relembrar que o módulo de um número está associado à ideia de distância do ponto associado a esse número até a origem da reta numérica e fazer os estudantes atentarem para o fato de que distância é uma medida não negativa.

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Oposto ou simétrico de um número racional

Considere os pontos correspondentes aos números racionais

+ \frac{3}{2}

‒ \frac{3}{2}

, situados na reta numérica a seguir.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, estão localizados os pontos menos 2, menos 1, 0, mais 1 e mais 2. A distância entre menos 1 e menos 2 está dividida em 2 partes. À esquerda de menos 1, na primeira parte está localizada a fração menos 3 meios. Cota de 0 a menos 3 meios, indicando 3 meios da unidade. A distância entre mais 1 e mais 2 está dividida em 2 partes. À direita de mais 1, na primeira parte está localizada a fração mais 3 meios. Cota de 0 a mais 3 meios, indicando 3 meios da unidade.

Os pontos correspondentes aos números racionais

+ \frac{3}{2}

‒ \frac{3}{2}

estão à mesma medida de distância da origem. Esses números são chamados de números opostos ou simétricos e, para obtê-los, a partir da origem percorremos a mesma medida de distância em sentidos opostos da reta numérica.

A seguir, temos alguns exemplos.

a) 243 e menos243 são números racionais opostos ou simétricos.

b) 0,5 e menos0,5 são números racionais opostos ou simétricos.

‒ \frac{2}{5}

\frac{2}{5}

são números racionais opostos ou simétricos.

\frac{7}{10}

‒ \frac{7}{10}

são números racionais opostos ou simétricos.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

11. Determine:

a) o valor absoluto de 8;

b) o módulo de

‒ \frac{1}{7}

;

c) o oposto de menos2,6;

d) o simétrico de

\frac{13}{9}

12. Dois números diferentes podem ter o mesmo módulo? Dê exemplos para justificar sua resposta.

13. Responda às questões a seguir no caderno.

a) Qual é o oposto de menos3?

b) Qual é o oposto do oposto de menos3?

14.

Com um colega, analise as afirmações a seguir e corrija as falsas no caderno.

a) O oposto de um número negativo é um número negativo.

b) O simétrico de um número positivo é um número negativo.

c) O oposto do oposto de um número é o próprio número.

15. Desenhe uma reta numérica e localize um número racional nessa reta. Peça a um colega que localize o oposto desse número na reta.

16. Indique quais números racionais cada letra representa, considerando o módulo.

|R| = \frac{4}{7}

|T| = \frac{7}{9}

|S| = 0, 3

|V| = ‒ 0, 75

Respostas e comentários

11. a) 8

11. b)

\frac{1}{7}

11. c) 2,6

11. d)

‒ \frac{13}{9}

12. Sim. Exemplos de resposta: |menos3,5 | = |+3,5 | = 3,5; |menos5 | = |+5 | = 5;

|‒ \frac{4}{5}|

|+ \frac{4}{5}|

\frac{4}{5}

13. a) 3

13. b) menos3

14. a) Falsa. Possível correção: “O oposto de um número negativo é um número positivo”.

14. b) verdadeira

14. c) verdadeira

15. Resposta pessoal.

16. a)

‒ \frac{4}{7}

+ \frac{4}{7}

16. b)

‒ \frac{7}{9}

+ \frac{7}{9}

16. c) menos0,3 ou +0,3

16. d) Não existe número vê.

Oposto ou simétrico de um número racional

• A atividade 12 deve ser bem compreendida pelos estudantes, porque a ideia de que para cada valor de módulo há um par de números opostos associados será mobilizada em diferentes situações durante a trajetória escolar.

Pode-se utilizar a ideia de frações equivalentes para enriquecer essa atividade. Por exemplo:

|\frac{- 12}{3}|

e |4|. Ambos têm como resultado 4. Na atividade 16, item d, reforce o fato de que não há medida de distância negativa; portanto, não pode existir um módulo que tenha como resultado um valor negativo.

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2 Comparação de números racionais

Podemos comparar alguns números racionais por meio de figuras. Analise, por exemplo, como comparamos os números racionais

\frac{1}{4}

\frac{2}{3}

Esquema. Figuras geométricas. Retângulo dividido em 3 partes iguais com duas partes pintadas de laranja. À direita, fração dois terços. Abaixo do retângulo, outro retângulo dividido em 4 partes iguais com uma parte pintada de laranja. À direita, fração um quarto.

Portanto,

\frac{2}{3} > \frac{1}{4}

Outra maneira de comparar números racionais é utilizando a reta numérica.

Observe os pontos correspondentes a alguns números racionais representados na reta numérica, cuja seta indica a orientação crescente da esquerda para a direita:

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, estão localizados os pontos menos 3, menos 2, menos 1, 0, mais 1, mais 2 e mais 3. À direita de menos 3 e à esquerda de menos 2, está localizado o decimal menos 2 inteiros e 6 décimos. À direita de 0 e à esquerda de mais 1, está localizada a fração mais dois quintos. À direita de mais 1 e à esquerda de mais 2, está localizada a fração mais quatro terços. À direita de mais 3, está localizado o decimal mais 3 inteiros e 5 décimos.

Pode-se perceber que o número menos2,6 é menor que menos2 e maior que menos3, pois o ponto correspondente a menos2,6 está localizado à esquerda de menos2 e à direita de menos3 na reta numérica.

Analogamente, o número +3,5 é maior que

+ \frac{2}{5}

, pois o ponto correspondente a +3,5 está localizado à direita do ponto correspondente a

+ \frac{2}{5}

na reta numérica.

Pode-se fazer outras relações utilizando a simbologia adequada.

• menos3 < menos1

Lemos: “menos 3 é menor que menos 1”.

•

\frac{2}{5} > 0

Lemos: “dois quintos é maior que zero”.

•

\frac{4}{3} < 3, 5

Lemos: “quatro terços é menor que três vírgula cinco”.

Dados dois números racionais quaisquer, o menor deles estará sempre representado por um ponto à esquerda do ponto que representa o maior na reta numérica.

Agora, como exemplo, vamos comparar os números racionais menos1,3 e

‒ \frac{3}{2}

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 3, menos 2, menos 1, 0, mais 1 e mais 2. À direita de menos 2, ponto verde claro com seta partindo para cima e indicando a igualdade: menos 3 meios é igual a menos 1 inteiro e 5 décimos. À direita, outro ponto verde com seta partindo para baixo e indicando o número menos 1 inteiro e 3 décimos.

Observe que menos1,5 < menos1,3; então,

‒ \frac{3}{2}

< menos1,3.

Respostas e comentários

Comparação de números racionais

Bê êne cê cê:

Habilidade ê éfe zero sete ême ah um zero.

Objetivo:

Comparar e ordenar números racionais.

Justificativa

Em muitas situações do dia a dia, os estudantes precisam comparar preços e medidas relacionadas a diferentes grandezas, o que justifica a pertinência do objetivo anterior.

Mapeando conhecimentos

Na lousa, escreva dois números racionais: um na fórma de fração e outro na fórma decimal. Em seguida, solicite aos estudantes que os comparem, utilizando a estratégia que acharem mais conveniente. Observe as estratégias empregadas por eles. Eles podem representá-los por meio de figuras, utilizando a reta numérica ou, ainda, transformando os dois números em frações ou em decimais. Incentive o diálogo e o compartilhamento de ideias.

Para as aulas iniciais

Na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores há um tópico que trata da comparação de números na fórma de fração e decimal. Peça aos estudantes que façam a leitura e realizem as atividades 37 e 38. Faça a correção coletiva das atividades.

O equívoco mais comum quando são comparados números racionais na fórma fracionária é dizer, por exemplo, que

\frac{1}{4}

é maior que

\frac{1}{3}

por considerar que 4 é maior que 3 ou, ainda, que

\frac{1}{2}

. Esse tipo de erro indica que o estudante ainda não se apropriou desse conceito matemático.

Verifique a necessidade de retomar a comparação de números fracionários e números inteiros.

No caso de dois números racionais escritos na fórma de fração, retome, se achar necessário, o conceito de frações equivalentes, associando-o a uma representação visual.

Esquema. Figuras geométricas. Retângulo dividido em 3 partes iguais com duas partes pintadas de cinza. À direita, fração dois terços. Abaixo do retângulo, outro retângulo dividido em 6 partes iguais com 4 partes pintadas de cinza. À direita, fração quatro sextos.

\frac{2}{3}

\frac{4}{6}

são frações equivalentes.

Esquema.
Figura geométricas. Quadrado dividido em 2 partes iguais com uma das partes pintadas de cinza. Abaixo, fração um meio. À direita do quadrado, outro quadrado dividido em 4 partes iguais com 2 partes pintadas de cinza. Abaixo, fração dois quartos.

\frac{1}{2} e \frac{2}{4}

são frações equivalentes.

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

Página 124

Atividades

Faça as atividades no caderno.

17. Utilizando o sinal <, escreva em ordem crescente os seguintes números racionais:

+ \frac{3}{5}, ‒ \frac{5}{3}, 1, + \frac{10}{5}, ‒ \frac{2}{8}

18. Com o auxílio da reta numérica, escreva os números racionais a seguir em ordem decrescente. Utilize o sinal >.

+ 3, ‒ \frac{1}{5}, 0, ‒ \frac{9}{4}, + \frac{4}{5}

19. Identifique as sentenças verdadeiras e, no caderno, corrija as falsas.

a) menos5,7 < menos3,2

\frac{2}{5} < \frac{1}{3}

c) 0 > menos0,15

‒ \frac{3}{5} > ‒ 0, 5

20. (Enem) Num projeto da parte elétrica de um edifício residencial a ser construído, consta que as tomadas deverão ser colocadas a 0,20 métro acima do piso, enquanto os interruptores de luz deverão ser colocados a 1,47 métro acima do piso. Um cadeirante, potencial comprador de um apartamento desse edifício, ao ver tais medidas, alerta para o fato de que elas não contemplarão suas necessidades. Os referenciais de altura (em metros) para atividades que não exigem o uso de fôrça são mostrados na figura seguinte.

Ilustração. Homem, branco de cabelos loiros, vestido de terno cinza e camisa branca, cadeirante. O homem está levantando o braço esquerdo. À direita, há marcações de alguma alturas do braço. Na vertical, de baixo para cima: 0,40, indicando mínimo. Acima, 0,80 e acima 1,00. Entre estas últimas medidas, indicação de confortável. Acima de 1,00, 1,20. Acima, 1,35, com indicação de máximo.

Uma proposta substitutiva, relativa às alturas de tomadas e interruptores, respectivamente, que atenderá aquele potencial comprador é:

a) 0,20 métro e 1,45 métro.

b) 0,20 métro e 1,40 métro.

c) 0,25 métro e 1,35 métro.

d) 0,25 métro e 1,30 métro.

e) 0,45 métro e 1,20 métro.

21. Douglas e Mel fizeram um acordo: quem gastar menos com o almoço pagará a sobremesa. Se Douglas gastou R$ 32,50trinta e dois reais e cinquenta centavos, e Mel, R$ 33,15trinta e três reais e quinze centavos, quem pagará a sobremesa?

22. Em certo dia, foram registradas as medidas de temperatura mínima de 1,6 grau Célsius em Campos do Jordão (São Paulo), 14 graus Célsius em Triunfo (Pernambuco), menos7,4 graus Célsius em Urupema (Santa Catarina) e menos0,5 grau Célsius em Canela (Rio Grande do Sul). No caderno, escreva essas medidas de temperatura em ordem crescente.

23. Lucas faz parte do time de basquete do bairro onde mora. Em dezembro de 2023, ele coletou algumas informações sobre todos os jogadores e organizou-as na tabela a seguir.

Informações sobre jogadores de basquete do time de Lucas
Nome	Medida da altura (m)	Posição
Lucas	1,91	Armador
Marcelo	2,08	Ala/Armador
Anderson	2,11	Pivô
Vitor	1,85	Armador
Leandro	1,88	Ala/Armador

Dados obtidos por Lucas em dezembro de 2023.

Com base nas informações da tabela, responda:

a) Qual é o nome do jogador mais alto?

b) Em que posição joga o jogador mais baixo?

c) No caderno, escreva as medidas das alturas em ordem decrescente.

24.

Elabore um problema que envolva a medida de massa de duas frutas distintas, sendo que uma delas é maior do que a outra.

Respostas e comentários

17.

‒ \frac{5}{3} < ‒ \frac{2}{8} < + \frac{3}{5} < 1 < + \frac{10}{5}

18.

+ 3 > + \frac{4}{5} > 0 > ‒ \frac{1}{5} > ‒ \frac{9}{4}

19. a) verdadeiro

19. b) falsa;

\frac{2}{5} > \frac{1}{3}

19. c) verdadeira

19. d) falsa;

‒ \frac{3}{5} < ‒ 0, 5

20. alternativa ê

21. Douglas

22. menos7,4 graus Célsius < menos0,5 grau Célsius < 1,6 grau Célsius < 14 graus Célsius

23. a) Anderson

23. b) armador

23. c) 2,11 métros > 2,08 métros > 1,91 métro > 1,88 métro > 1,85 métro

24. Resposta pessoal.

• Na atividade 17, os estudantes podem comparar os números racionais localizando os pontos correspondentes na reta numérica ou, nesse caso, reescrevendo as frações, determinando frações equivalentes de mesmo denominador.

• Na atividade 19, lembre aos estudantes que há outras maneiras de verificar as sentenças; uma delas é dispor os números na reta numérica.

Página 125

Lendo e aprendendo

Ícone do tema Formação Cidadã. Ícone do tema Meio Ambiente. Ícone do tema Saúde.

Onda de frio extrema derruba temperaturas no Brasil

As regiões Sul, Sudeste e Centro-Oeste foram as atingidas

Uma massa de ar frio de origem polar fez com que parte do país registrasse temperaturas extremamente baixas no fim de julho. A frente fria, que chegou ao Brasil pelo Rio Grande do Sul, em 26 de julho, foi se espalhando de fórma intensa pelas regiões Sul, Sudeste e Centro-Oeste, até perder força no início de agosto. Entenda o que houve e confira o que ocorreu nos estados mais fortemente atingidos.

Fotografia. Uma pessoa caminhando na rua, vestida de blusa de frio bege, cachecol preto, com um copo de isopor e uma sacola nas mãos. Acima dela termômetro marcando 7 graus Celsius e umidade do ar, boa. Ao fundo, um ônibus circular. O dia está nublado. — Pessoa caminhando pelas ruas de São Paulo (São Paulo). Foto de 2021.

Por que fez tanto frio no fim de julho?

reticências Amanda Rehbein, coordenadora do Grupo de Estudos Climáticos da Universidade de São Paulo (GREC-USP), disse que o frio extremo no Brasil tem relação com o aquecimento global, processo em que a temperatura média do planeta aumenta e provoca eventos climáticos extremos em todo o mundo.

A pesquisadora explica que o aquecimento global está intensificando as trocas de calor entre a região tropical (onde fica o território brasileiro) e os polos. “A região tropical recebe maior quantidade de radiação solar do que os polos. Isso faz com que essa região fique mais aquecida e redistribua esse calor. Dessa fórma, o calor da área tropical avança em direção à região polar. Ao mesmo tempo, o frio polar avança em direção à região tropical. A partir dessa circulação, as ondas de frio e de calor são geradas”, diz. “O aquecimento global intensifica as trocas de energia entre os trópicos e os polos, forçando a atmosfera dos polos a enviar mais frio para regiões como a em que o Brasil está localizado.”

Rehbein afirma que, embora não seja possível acabar com o aquecimento global, podemos diminuir seus efeitos reduzindo a emissão de gases poluentes que são lançados na atmosfera.

reticências

Respostas e comentários

Lendo e aprendendo

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 7 e 9 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 7 e 8 (as descrições estão na página sete).

• Habilidade ê éfe zero sete ême ah um zero.

Objetivos:

• Desenvolver a competência leitora.

• Comparar números racionais.

• Criar um texto publicitário para uma campanha de arrecadação de agasalhos e cobertores.

Temas contemporâneos transversais:

O texto dessa seção é de uma matéria de jornal sobre uma onda de frio que atingiu o Brasil no final do mês de julho de 2021. Antes de propor aos estudantes a leitura, alerte-os para o ano em que ele foi publicado. Depois, peça a eles que leiam o texto individualmente e reserve um tempo para comentar o que mais lhes chamou a atenção.

É importante que os estudantes tenham ciência que fenômenos climáticos inesperados têm ocorrido com maior frequência em diferentes lugares do mundo, muitos deles causados pelo aquecimento global. Esses fenômenos dizem respeito a temporais fóra de época, ondas de calor intenso, períodos de grande estiagem, tornados frequentes etcétera Proponha a eles que pesquisem em jornais, revistas ou na internet notícias sobre fenômenos climáticos atípicos que ocorreram recentemente.

Aborde também as possíveis ações que o ser humano pode tomar para diminuir os efeitos do aquecimento global, como a redução da emissão de gases poluentes que são lançados na atmosfera. Caso seja possível, convideo professor ou a professorade Ciências da Natureza para abordar o assunto com a turma.

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

Página 126

Lendo e aprendendo

Goiás (Goiás)

Em Goiânia, capital, fez em torno de 10 graus Célsius – a mínima em julho costuma ser 16 graus Célsius. Foi mais frio em cidades do interior, como em Jataí, que chegou a 4 graus Célsius.

Mato Grosso do Sul (Mato Grosso do Sul)

Na capital, Campo Grande, a temperatura chegou a ficar em torno dos 5 graus Célsius, com sensação de 2 graus Célsius (a mínima em julho costuma ser de 16 graus Célsius). Além disso, 35 municípios tiveram geada e pelo menos cinco cidades atingiram registros negativos: em Santa Rita do Pardo, os termômetros marcaram menos0,7 grauC em 30 de julho.

Minas Gerais (Minas Gerais)

Belo Horizonte, a capital, registrou, no dia 30 de julho, 7,5 graus Célsius, a menor temperatura desde 2006. Em outras cidades mineiras, nessa data, o frio chegou a registros negativos: em Monte Verde, fez menos4,5 graus Célsius.

Rio de Janeiro (Rio de Janeiro)

Na capital, os termômetros chegaram a 10,6 grausC (a mínima em julho costuma ser 18 grausC). Porém, a temperatura mais fria do ano continua sendo a de 8,4 graus Célsius, de 20 de julho. Outros municípios tiveram os menores registros do ano em 30 de julho – caso de Carmo, que chegou a 4,5 grausC.

São Paulo (São Paulo)

A cidade de São Paulo teve a menor temperatura dos últimos cinco anos na madrugada de 30 de julho: média de 4 grausC. Nessa data, em alguns bairros da capital e em outras cidades do estado, os termômetros chegaram a ficar abaixo de 0 grauC. O município de Rancharia, por exemplo, atingiu menos4,1 grausC.

Paraná (Paraná)

Curitiba, a capital, teve, em 29 de julho, a temperatura mais baixa do ano: menos 0,8 grauC, com sensação de menos3 grausC – o mês costuma ter mínima de 10 grausC. Pelo menos mais 14 cidades tiveram as temperaturas mais baixas do ano. General Carneiro atingiu menos 5,4 grausC, o registro mais frio do estado.

Santa Catarina (Santa Catarina)

Em 29 de julho, a capital, Florianópolis, teve a madrugada mais fria do ano, com 4,4 grausC (em julho, a mínima costuma ser de 14 grausC). Nevou em pelo menos 28 cidades. Em Urupema, uma das mais frias do país, fez menos8 grausC.

Rio Grande do Sul (Rio Grande do Sul)

A capital, Porto Alegre, que costuma ter mínima de 10 grausC em julho, chegou a 4 grausC com sensação de até 1,1 grauC devido à intensidade dos ventos. Nevou em 13 cidades, incluindo Gramado, famosa pelas baixas temperaturas.

Fontes: Agência Brasil, Agora São Paulo, Centro de Gerenciamento de Emergências Climáticas Climatempo, Gazeta do Povo, G1, Governo do estado do Mato Grosso do Sul, Governo do estado do Paraná, Instituto Nacional de Meteorologia, Hora 1, MetSul Meteorologia, Veja Rio e Zero Hora.

reticências

CATALDO, J. Onda de frio extrema derruba temperaturas no Brasil. Jornal Joca, número174, página 3, 9 a 23 de agosto de 2021.

Atividades

1. Responda às questões no caderno.

a) Em que edição do jornal a matéria anterior foi publicada?

b) Quais regiões do Brasil foram mais atingidas pela onda de frio em julho de 2021?

c) Em que dia a frente fria chegou ao Brasil?

d) Qual é a principal causa do frio extremo que atingiu o Brasil no final de julho de 2021?

2. Escreva, no caderno, os números racionais que aparecem no texto.

3. Copie as afirmações verdadeiras no caderno.

a) No dia 30 de julho de 2021, a medida da temperatura mínima em Monte Verde (Minas Gerais) foi menor do que em Santa Rita do Pardo (Mato Grosso do Sul).

b) No dia 30 de julho de 2021, a medida da temperatura mínima no município de Carmo (Rio de Janeiro) foi menor do que no município de Rancharia (São Paulo).

c) No dia 29 de julho de 2021, a medida da temperatura mínima em General Carneiro (Paraná) foi inferior a menos6 graus Célsius.

d) No dia 29 de julho de 2021, a medida da temperatura mínima em General Carneiro (Paraná) foi superior à de Urupema (Santa Catarina).

Todos os anos, no período do inverno, as pessoas em situação de rua sofrem muito com as baixas medidas de temperatura, que chegam a provocar a morte de seres humanos nas calçadas. Pensando nisso, reúna-se com 3 colegas e criem um texto publicitário para uma campanha de arrecadação de agasalhos e cobertores.

Respostas e comentários

1. a) Na edição 174.

1. b) Regiões Sul, Sudeste e Centro-Oeste.

1. c) No dia 26 de julho de 2021.

1. d) O aquecimento global.

2. Todos os números que aparecem no texto são racionais. Espera-se que os estudantes escrevam todos eles no caderno.

3. As afirmações dos itens a e dê são as verdadeiras.

4. Comentários em Orientações.

• Na atividade 1, os estudantes vão responder a algumas questões sobre o texto. Depois disso, faça a correção coletiva. Amplie a proposta da atividade e proponha outras perguntas, como: “Em que mês a frente fria perdeu fórça? Como é possível diminuir os efeitos do aquecimento global? Podemos dizer que nevou em algumas cidades do Brasil no final de julho de 2021?”.

• A atividade 2 pode ser um momento oportuno para você avaliar se algum estudante tem dificuldade para identificar números racionais. É possível que alguns deles não considerem os números inteiros que aparecem no texto como números racionais. Caso isso ocorra, mostre que esses números podem ser escritos na fórma de fração. Se julgar necessário, proponha que escrevam os números em ordem crescente. Oriente-os a utilizar a reta numérica, caso perceba que estão enfrentando alguma dificuldade.

• Na atividade 3, os estudantes vão avaliar algumas afirmações. Para identificar quais delas são verdadeiras, eles terão de comparar números racionais. Ao fazer a correção dessa atividade, incentive-os a justificar o porquê de determinada afirmação ser verdadeira ou falsa.

• Na atividade 4, os estudantes vão criar um texto publicitário para uma campanha de arrecadação de agasalhos e cobertores. Antes que realizem a tarefa, mostre a eles cartazes e banners de diferentes campanhas de agasalhos. Exponha essas campanhas de maneira que todos possam visualizá-las. Nesse caso, é possível imprimir e colar na lousa ou entregar cópias a cada grupo. Depois, proponha as seguintes questões: “Qual é a mensagem que cada campanha está transmitindo? Quem está transmitindo essa mensagem? Para quem ela foi escrita? O slogan é a única parte da campanha? A imagem está de acordo com o slogan? O que mais chama a atenção em cada cartaz ou banner?”. Espera-se que a reflexão sobre essas questões direcione o trabalho que farão. Caso ache pertinente, convide o professor ou a professora de Língua Portuguesa para ajudar na condução da tarefa.

A competência geral 7 da Bê êne cê cê tem o seu desenvolvimento favorecido, uma vez que promove os direitos humanos com base em dados e informações confiáveis sobre a realidade dos moradores de rua. A competência geral 9 também tem seu desenvolvimento favorecido, porque os estudantes devem exercitar a empatia e o diálogo durante toda a tarefa proposta. Como o projeto dos estudantes tem como foco um tema de urgência social, e eles precisam trabalhar de maneira cooperativa, as competências específicas 7 e 8 também têm o seu desenvolvimento favorecido.

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3 Adição e subtração com números racionais

Observe as situações a seguir, que envolvem adição e subtração de números racionais.

Situação 1

Ilustração. Celular sendo segurado por uma mão. Na tela do celular, acima faixa azul com o escrito Banco, simbolo cifrão, DINDIN. Abaixo, fundo verde, a mensagem:
Olá José!
Ag. 1111
Conta 22111-1
Abaixo, linha horizontal azul.
Abaixo, Conta corrente, abaixo Saldo, abaixo, R$ 856,75-.

José verificou que sua conta bancária tinha saldo negativo de R$ 480,50quatrocentos e oitenta reais e cinquenta centavos. No dia seguinte, ele fez pagamentos no valor total de R$ 376,25trezentos e setenta e seis reais e vinte e cinco centavos. Após efetuar esses pagamentos, como ficou a conta bancária de José?

Para responder à pergunta, podemos realizar o seguinte cálculo:

(‒480,50fecha parênteses + (‒376,25fecha parênteses = menos856,75

Portanto, após efetuar os pagamentos, a conta bancária de José ficou com saldo negativo de R$ 856,75oitocentos e cinquenta e seis reais e setenta e cinco centavos.

Situação 2

No início de certa noite, em São Joaquim (Santa Catarina), foi registrada a medida de temperatura de menos7,6 graus Célsius. Já no início da manhã seguinte, houve aumento de 5,5 graus Célsius na medida da temperatura. Qual foi a medida da temperatura registrada em São Joaquim no início da manhã?

Para determinar a medida da temperatura no início da manhã, calculamos:

(‒7,6fecha parênteses + abre parênteses+5,5fecha parênteses = menos2,1

Portanto, a medida da temperatura registrada em São Joaquim no início da manhã foi de menos2,1 graus Célsius.

Situação 3

Na 1ª etapa de uma expedição submarina, Júlio mergulhou a menos20,5 métros de medida de profundidade. Durante a 2ª etapa, ele desceu mais alguns metros, atingindo menos27,3 métros de medida de profundidade. Quantos metros Júlio desceu a mais na 2ª etapa da expedição?

Para responder à pergunta, podemos fazer: (‒27,3fecha parênteses menos (‒20,5fecha parênteses

Observe que ‒(‒20,5fecha parênteses é o simétrico do número menos20,5; ou seja, é igual a +20,5. Assim:

(‒27,3fecha parênteses menos (‒20,5fecha parênteses = (‒27,3fecha parênteses + abre parênteses+20,5fecha parênteses = menos6,8

Portanto, Júlio desceu 6,8 métros a mais na 2ª etapa da expedição.

Observação

As propriedades da adição com números inteiros também são válidas para a adição com números racionais que não são inteiros.

Observe como podemos adicionar e subtrair outros números racionais:

(+ \frac{1}{2}) ‒ (‒ \frac{3}{4}) = + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2 + 3}{4} = + \frac{5}{4}

(‒ \frac{3}{2}) + (‒ \frac{2}{7}) + (+ \frac{5}{2}) = ‒ \frac{3}{2} ‒ \frac{2}{7} + \frac{5}{2} = \frac{‒ 21 ‒ 4 + 35}{14} = + \frac{10}{14} = + \frac{5}{7}

Respostas e comentários

Adição e subtração com números racionais

Bê êne cê cê:

Habilidades ê éfe zero sete ême ah zero seis e ê éfe zero sete ême ah um dois.

Objetivo:

Calcular adições e subtrações com números racionais.

Justificativa

Calcular adições e subtrações com números racionais possibilita aos estudantes ampliar o que já sabem a respeito dessas operações com números inteiros e perceber o que continua ou não válido. Além disso, contribui para a resolução e elaboração de problemas que envolvam essas operações, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah um dois.

Mapeando conhecimentos

Reproduza as atividades 39 e 40 da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores na lousa e peça aos estudantes que as façam no caderno. Depois, peça que se reúnam com um colega para que comparem os resultados obtidos e as estratégias que utilizaram. Caso perceba que alguns deles tiveram dificuldades, oriente-os a ler a revisão presente na mesma seção.

Proponha também que efetuem algumas adições e subtrações envolvendo números negativos na fórma de fração e na fórma decimal.

Para as aulas iniciais

Peça a eles que elaborem fluxogramas que expliquem como calcular adições e subtrações com números racionais. Eles podem elaborar mais de um fluxograma. A ideia é que reconheçam que problemas que tenham a mesma estrutura podem ser resolvidos pelos mesmos procedimentos, o que ajuda a desenvolver a habilidade ê éfe zero sete ême ah zero seis. Incentive-os a compartilhar os fluxogramas elaborados.

A elaboração de um fluxograma exige decompor o problema para solucioná-lo, conhecer o algoritmo que se deseja transcrever e distinguir o que há de comum em situações distintas para que o fluxograma se aplique a outras situações. Essas habilidades estão associadas ao desenvolvimento tanto do raciocínio lógico-matemático quanto do pensamento computacional.

Antes de iniciar o trabalho de operações com números racionais, retome, se possível, os principais pontos discutidos no estudo das operações com frações, com números decimais e com números inteiros, enfatizando os fundamentos dessas operações, nunca a memorização de regras e procedimentos.

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

25. Efetue as adições e as subtrações.

(‒ \frac{2}{3}) + (+ \frac{1}{4})

(‒ \frac{4}{7}) + (‒ \frac{2}{6})

(+ \frac{4}{3}) ‒ (+ \frac{3}{5})

d) abre parêntesesmenos2,1fecha parênteses + abre parênteses+3,25fecha parênteses

e) abre parênteses+5,5fecha parênteses menos abre parênteses+8,13fecha parênteses

f) (‒4,72fecha parênteses menos (‒0,28fecha parênteses

g) menos1,17 menos (‒1,17fecha parênteses

1, 81 + 1, 81 ‒ 1, 81 + (‒ 1, 81) + \frac{1}{2}

26. Calcule o valor de cada expressão.

‒ \frac{3}{2} + \frac{5}{6} + \frac{1}{3}

1, 5 ‒ \frac{3}{8} ‒ \frac{6}{5}

\frac{3}{7} ‒ 1 + \frac{4}{3}

1, 7 + (\frac{2}{3} ‒ 0, 25) ‒ \frac{1}{4}

\frac{1}{5} ‒ (\frac{4}{5} + 1, 2) + 40

\frac{1}{3} ‒ \frac{1}{3} ‒ (\frac{1}{5} ‒ \frac{2}{10})

27.

Escreva a sequência de teclas que Beatriz deverá apertar em uma calculadora para determinar o valor de abre parênteses+4,2fecha parênteses menos abre parêntesesmenos3,7fecha parênteses. Qual será o resultado? Lembre-se de que empregamos o ponto para indicar a vírgula de um número decimal.

28. Em certo mês, uma cidade do Sul do país teve medida de temperatura máxima de 14,5 graus Célsius e medida de temperatura mínima de menos2,8 graus Célsius. Qual foi a diferença entre as medidas de temperatura máxima e mínima registradas nesse mês, nessa cidade?

29.

Invente um problema que possa ser resolvido por meio da seguinte operação:

menos 35,50 menos (‒42,75fecha parênteses = 7,25

30. Vítor gastou, em maio,

\frac{1}{3}

do seu salário com alimentação e

\frac{1}{2}

com entretenimento, sobrando-lhe ainda R$ 315,00trezentos e quinze reais. Qual foi o salário de Vítor nesse mês?

31. O Brasil subiu ao pódio na Paralimpíada de Tóquio, na modalidade de salto em distância categoria T11. Silvânia Costa de Oliveira, medalhista de ouro, alcançou a marca de 5,00 métros, e Yuliia Pavlenko conquistou a medalha de bronze, com a marca de 4,86 métros. Considere o quadro a seguir.

Medalhistas no salto em distância da classe T11
País	Atleta	Medida da distância (m)
Brasil	Silvânia Costa de Oliveira	5,00
Uzbequistão	Asila Mirzayorova	4,91
Ucrânia	Yuliia Pavlenko	4,86

Dados disponíveis em: https://oeds.link/dNUBlH. Acesso em: 16 maio 2022.

a) Qual é a diferença, em metro, entre a marca da primeira e a da terceira colocada?

b) Sabendo que a medida da distância alcançada pela quarta colocada foi 9 centímetros menor que a da terceira colocada, qual foi a marca alcançada por ela?

32.

Copie o enunciado do problema a seguir em seu caderno e complete-o com valores adequados, depois, peça a um colega que o resolva.

Ilustração. Texto manuscrito. Vitor estava com saldo negativo no valor de quadradinho cinza em sua conta bancária e sacou uma cédula de quadradinho cinza. Quanto ficou de saldo na conta bancária de Vitor após esse saque?

Respostas e comentários

25. a)

‒ \frac{5}{12}

25. b)

‒ \frac{19}{21}

25. c)

\frac{11}{15}

25. d) 1,15

25. e) menos2,63

25. f) menos4,44

25. g) 0

25. h)

\frac{1}{2}

26. a)

‒ \frac{1}{3}

26. b)

‒ \frac{3}{40}

26. c)

\frac{16}{21}

26. d)

\frac{28}{15}

26. e)

\frac{191}{5}

26. f) 0

27.

Ilustração. Botões da calculadora: 4, símbolo da multiplicação, 2, menos, 3, símbolo da multiplicação, 7, botão mais ou menos, igual, ponto e vírgula, 7 inteiros e 9 décimos.

28. 17,3 graus Célsius

29. Resposta pessoal.

30. R$ 1.890,00 mil oitocentos e noventa reais

31. a) 0,14 métro

31. b) 4,77 métros

32. Resposta pessoal.

No decorrer do capítulo serão propostas atividades que envolvem, ao mesmo tempo, cálculos com números racionais escritos na fórma decimal e na fórma fracionária. Esses cálculos devem ser explorados de fórma cuidadosa, uma vez que diferentes maneiras de representar um mesmo número não devem se tornar um obstáculo no processo de aprendizagem envolvendo o tema em questão.

Sugestão de atividade extra

Como ferramenta auxiliar no trabalho com os números racionais, sugerimos as atividades da lista “Números racionais e exercícios” do Portal da Matemática – ó bê mépi, que traz atividades introdutórias, de fixação, aprofundamento e exames. Se explorados de maneira cuidadosa, crítica e planejada, podem contribuir para a aprendizagem dos estudantes.

• Antes de iniciar a resolução da atividade 26, retome com os estudantes as regras para resolução de expressões numéricas. Alerte-os de que a eliminação dos parênteses é a primeira operação a ser efetuada na atividade proposta dos itens d, e, f. Uma sugestão para resolver a atividade é, primeiro, transformar todos os valores para a fórma decimal. Para a verificação dos cálculos, peça que os efetuem novamente, transformando os valores para a fórma fracionária, finalizando com uma análise e uma comparação dos resultados obtidos em ambos os procedimentos de cálculo.

• Antes de propor a atividade 27, explore livremente as teclas de uma calculadora com o objetivo de que todos se familiarizem minimamente com ela. Em seguida, explique que a tecla

Ilustração. Tecla de calculadora com com os sinais de adição e subtração.

da calculadora muda o sinal do número que foi digitado anteriormente, ou seja, mostra o oposto do número que está no visor. Portanto, mesmo que não seja necessário o uso da calculadora, é conveniente pedir aos estudantes que analisem a digitação de alguns valores, antes de resolver a atividade.

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4 Multiplicação com números racionais

Acompanhe a situação a seguir.

Ilustração.
Barraca de feira de maçãs, mesa verde e toldo laranja. Atrás da barraca há dois homens. Um deles moreno, de cabelos castanhos, vestido com ma camiseta verde de mangas listradas em azul e branco. O outro, branco de cabelos e barba ruiva, vestido com camiseta amarela. Entre eles há uma balança para pesar as maçãs.

Rodrigo comprou 2,7 quilogramas de maçã ao preço de R$ 5,90cinco reais e noventa centavos o quilograma. Quanto ele gastou nessa compra?

Para resolver esse problema, calculamos 2,7 ⋅ 5,90:

2,7 \cdot 5, 90 = \frac{27}{10} \cdot \frac{590}{100} = \frac{15 930}{1 000} = 15, 930 = 15, 93

Portanto, Rodrigo gastou R$ 15,93quinze reais e noventa e três centavos nessa compra.

Também podemos calcular 2,7 × 5,90 utilizando o algoritmo.

Para fazer os cálculos, transformamos os números racionais em números inteiros, multiplicando 5,90 por 100 e 2,7 por 10.

Esquema. Algoritmo usual da multiplicação. 590. Abaixo sinal da multiplicação 27. Abaixo traço horizontal. Abaixo 4 mil 130. Abaixo sinal da adição, 11 mil 800. Abaixo traço horizontal. Abaixo 15 mil 930. À direita de 590, chega uma seta indicando o resultado da multiplicação 5 inteiros e 90 centésimos vezes 100. À direita de 27, chega uma seta indicando o resultado da multiplicação 2 inteiros e 7 décimos vezes 10.

Como um fator foi multiplicado por 100 e outro por 10, o resultado ficou multiplicado por .1000. Para recuperar o resultado da conta original, devemos dividi-lo por .1000.

.15930 : .1000 = 15,930

Note que o número de casas decimais do produto é igual à soma do número de casas decimais dos fatores.

Esquema. Algoritmo usual da multiplicação. 5 inteiros e 90 centésimos. Abaixo sinal da multiplicação 2 inteiros e 7 décimos. Abaixo traço horizontal. Abaixo 4 mil 130. Abaixo sinal da adição, 11 mil 800. Abaixo traço horizontal. Abaixo 15 inteiros 930 milésimos. À direita de 5 inteiros e 90 centésimos, chega uma seta indicando fator com 2 casa decimais. À direita de 2 inteiros e 7 décimos, chega uma seta indicando fator com 1 casa decimal. À direita de 15 inteiros 930 milésimos, chega uma seta indicando produto com 3 casas decimais abre parênteses, 2 mais 1 é igual a 3, fecha parênteses. Abaixo de 15 inteiros e 930 milésimos, linha vermelha horizontal, desta sai outra linha vermelha para baixo e à direita, indicando a sentença 15 inteiros 930 milésimos é igual a 15 inteiros e 93 centésimos.

De maneira prática, podemos efetuar a multiplicação de dois ou mais números racionais desconsiderando a vírgula dos fatores. Em seguida, acrescentamos a vírgula ao resultado, de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma do número de casas decimais dos fatores.

Observe alguns exemplos de como podemos multiplicar números racionais.

a) 2 ⋅ (menos1,02) = menos1,02 + (menos1,02) = menos1,02 menos 1,02 = menos2,04

(+ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{3}{4}) = \frac{(+ 1) \cdot (‒ 3)}{2 \cdot 4} = \frac{‒ 3}{8} = ‒ \frac{3}{8}

(‒ \frac{49}{20}) \cdot (‒ \frac{2}{7}) = \frac{(‒ 49) \cdot (‒ 2)}{20 \cdot 7} = \frac{(‒ 7) \cdot (‒ 1)}{(10) \cdot (1)} = \frac{7}{10}

d) (‒0,1fecha parênteses ⋅ abre parênteses+1,4fecha parênteses

Respostas e comentários

Multiplicação com números racionais

Bê êne cê cê:

Habilidades ê éfe zero sete ême ah zero seis e ê éfe zero sete ême ah um dois.

Objetivo:

Calcular multiplicações com números racionais.

Justificativa

Calcular multiplicações com números racionais contribui para a resolução e elaboração de problemas que envolvam essa operação e possibilita aos estudantes ampliar o que já sabem a respeito da multiplicação com números inteiros, bem como o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah um dois.

Mapeando conhecimentos

Reproduza as atividades 41 e 42 da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores na lousa e peça aos estudantes que as façam no caderno. Depois, solicite que se reúnam com um colega a fim de comparar os resultados obtidos e as estratégias que utilizaram. Caso perceba que alguns deles tiveram dificuldades, oriente-os a ler a revisão presente na mesma seção.

Proponha também que efetuem algumas multiplicações envolvendo números negativos na fórma de fração e na fórma decimal. Caso ache necessário, explique que os procedimentos adotados devem ser os mesmos das atividades 41 e 42, porém devem atentar-se aos sinais.

Para as aulas iniciais

Peça aos estudantes que elaborem fluxogramas que expliquem como calcular multiplicações com números racionais. Eles podem elaborar mais de um fluxograma. Assim como na adição e subtração, essa proposta visa desenvolver a habilidade ê éfe zero sete ême ah zero seis. Incentive-os a compartilhar os fluxogramas elaborados.

Antes de utilizar o algoritmo para a multiplicação de números racionais, ressalte aos estudantes a resolução da situação por meio da transformação de números decimais em frações. Se julgar conveniente, explore outros exemplos desse tipo com eles.

Comente que as regras de sinais, bem como as propriedades da multiplicação de números racionais, são as mesmas que foram estudadas no capítulo 1, em multiplicação de números inteiros.

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

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1º modo:

(‒ \frac{1}{10}) \cdot (+ \frac{14}{10}) = \frac{(‒ 1) \cdot (+ 14)}{10 \cdot 10} = \frac{‒ 14}{100} = ‒ 0, 14

2º modo:

Esquema. Algoritmo usual da multiplicação. 1 décimo. Abaixo sinal da multiplicação 1 inteiro e 4 décimos. Abaixo traço horizontal. Abaixo 4 . Abaixo sinal da adição, 10. Abaixo traço horizontal. Abaixo 14 décimos.
À direita de 1 décimo, chega uma seta indicando fator com 1 casa decimal.
À direita de1 inteiro e 4 décimos, chega uma seta indicando fator com 1 casa decimal.
À direita de14 centésimos, chega uma seta indicando fator com 2 casas decimais.

O resultado de abre parêntesesmenos0,1fecha parênteses ⋅ abre parênteses+1,4fecha parênteses é menos0,14.

Como os fatores têm sinais diferentes, o produto é um número negativo.

Observação

O sinal de um produto entre dois números racionais não inteiros é determinado pelo mesmo procedimento utilizado para determinar o sinal do produto entre números inteiros.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

33.

Calcule o valor de cada expressão. Em seguida, confira o resultado utilizando uma calculadora.

a) abre parêntesesmenos3,85fecha parênteses ⋅ abre parênteses+2,4fecha parênteses

b) abre parênteses+1,4fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos0,5fecha parênteses

c) abre parêntesesmenos2,5fecha parênteses ⋅ 30

d) abre parêntesesmenos0,3fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos0,01fecha parênteses

34. Efetue as multiplicações.

(‒ \frac{4}{5}) \cdot (‒ \frac{7}{4})

(+ \frac{4}{9}) \cdot (‒ \frac{16}{81})

(+ \frac{5}{8}) \cdot (‒ \frac{4}{3})

(+ \frac{4}{5}) \cdot 0

(‒ \frac{15}{11}) \cdot 1

(+ 3) \cdot (‒ \frac{3}{9}) \cdot (+ \frac{18}{6})

35. Isadora vai revestir uma das paredes de seu quarto com um papel decorativo. Essa parede tem 4,35 métros de medida de comprimento por 2,80 métros de medida de largura. Quantos metros quadrados de papel decorativo serão necessários para cobri-la?

36. Determine o produto dos números menos40 e menos0,025.

37. Catarina almoça todos os dias no mesmo restaurante. Ela pode optar por escolher a comida e medir a massa do prato, pagando R$ 32,00trinta e dois reais por quilograma, ou comer à vontade, pagando R$ 14,50quatorze reais e cinquenta centavos.

a) Na segunda-feira, ela optou por pagar em relação à medida de massa de seu prato, que foi igual a 0,350 quilograma. Quanto Catarina pagou?

b) Na sexta-feira, ela estava com muita fome e optou por comer à vontade. Para ter certeza de que escolheu a opção mais econômica, decidiu medir a massa do seu prato. A balança marcou 0,525 quilograma. Você acha que Catarina fez a opção correta? Por quê?

Respostas e comentários

33. a) menos9,24

33. b) menos0,7

33. c) menos75

33. d) 0,003

34. a)

\frac{7}{5}

34. b)

‒ \frac{64}{729}

34. c)

‒ \frac{5}{6}

34. d) 0

34. e)

‒ \frac{15}{11}

34. f) menos3

35. 12,18 métros quadrados

36. (menos40) ⋅ (menos0,025) = 1

37. a) R$ 11,20 onze reais e vinte centavos

37. b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes tenham percebido que, por mais de 0,5 quilograma de comida, Catarina pagaria mais de R$ 16,00dezesseis reais; logo, ela fez a melhor opção.

• A atividade 33 utiliza a calculadora como ferramenta de contrôle e verificação de resultados, permitindo, assim, que os estudantes desenvolvam a autonomia na correção dos cálculos. O uso da calculadora possibilita que investiguem propriedades, desenvolvam habilidades de raciocínio lógico-matemático e verifiquem possibilidades de manipulação, além de auxiliá-los na tomada de decisões em diferentes contextos.

• Incentive-os a utilizar a simplificação nas multiplicações da atividade 34.

Página 131

38. Calcule, no caderno, o valor da expressão:

(‒ \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{81} + 0, 3) \cdot (‒ \frac{3}{4})

39. Em uma sessão de cinema, foram vendidos 328 ingressos, sendo 80 meias-entradas. Calcule o valor arrecadado nessa sessão, sabendo que o preço do ingresso inteiro é R$ 16,50dezesseis reais e cinquenta centavos.

40. Pedro comprou uma moto. Ele pagou

\frac{3}{10}

de entrada e dividiu o restante em 20 parcelas iguais de R$ 217,70duzentos e dezessete reais e setenta centavos. Qual foi o valor da moto?

41. (ó bê ême) Laurinha tinha em sua carteira somente notas de 10 reais e moedas de 10 centavos. Ela pagou uma conta de 23 reais com a menor quantidade possível de moedas. Quantas moedas ela usou?

a) 3

b) 6

c) 10

d) 23

e) 30

42.

Com o auxílio de uma calculadora, multiplique alguns números racionais e registre os cálculos que você fez no caderno. Depois, multiplique os mesmos números, mas em outra ordem, e também registre os cálculos no caderno. O que os resultados obtidos por você sugerem? Converse com os colegas.

43.

Com o auxílio de uma calculadora, multiplique alguns números racionais por 1. O que os resultados obtidos por você sugerem? Converse com os colegas.

44.

Será que as propriedades associativa e distributiva válidas para a multiplicação com números inteiros também são válidas para a multiplicação com números racionais? Reúna-se com um colega e façam algumas investigações com o auxílio de uma calculadora. Depois, compartilhem suas conclusões com a turma.

45. Durante a aula de Matemática, a professora Luciana escreveu no quadro uma expressão e pediu aos estudantes que a resolvessem. Isabela e Marcelo resolveram a expressão da seguinte forma:

Ilustração.
Folha de papel pautada com os escritos:
Na primeira linha, Isabela.
Abaixo a expressão: Abre parênteses um meio mais 3 quartos, fecha parênteses, vezes 16 20 avos, igual.
Abaixo, igual abre parênteses 2 quartos mais 3 quartos fecha parênteses vezes 16 20 avos, igual.
Abaixo, igual 5 quartos vezes 16 20 avos, igual a 80 80 avos, igual a 1.

Ilustração.
Folha de papel pautada com os escritos:
Na primeira linha, Marcelo.
Abaixo a expressão: Abre parênteses um meio mais 3 quartos, fecha parênteses, vezes 16 20 avos, igual.
Abaixo, meio vezes 16 20 avos mais 3 quartos vezes 16 20 avos, igual.
Abaixo, igual 16 40 avos mais 24 40 avos, igual a 40 40 avos, igual a 1.

Embora tenham resolvido de maneiras diferentes, Isabela e Marcelo obtiveram o mesmo resultado.

a) Explique, passo a passo, como Isabela resolveu a expressão.

b) Quais são as propriedades envolvidas em cada resolução?

c) Como você resolveria? Por quê?

46.

Complete o enunciado do problema a seguir e depois peça a um colega que o resolva.

Ilustração. Texto manuscrito. Paula comprou quadradinho cinza caixas de piso cerâmico, cada uma delas com quadradinho cinza metros quadrados de piso. Qual é o valor total dessa compra, sabendo que o metro quadrado desse piso custa quadradinho cinza?

Respostas e comentários

38.

‒ \frac{41}{360}

39. R$ 4.752,00 quatro mil setecentos e cinquenta e dois reais

40. R$ 6.220,00 seis mil duzentos e vinte reais

41. alternativa ê

42. Espera-se que os estudantes percebam que os resultados sugerem que a propriedade comutativa é válida para a multiplicação com números racionais. Depois, confirme que a propriedade é válida, mas não será demostrada nesta coleção.

43. Espera-se que os estudantes percebam que os resultados sugerem que todo número racional multiplicado por 1 é igual a ele mesmo (existência do elemento neutro). Depois, confirme que a propriedade é válida, mas não será demostrada nesta coleção.

44. Espera-se que os estudantes percebam que as investigações realizadas sugerem que as propriedades associativa e distributiva, válidas para a multiplicação com números inteiros, também valem para a multiplicação com números racionais. Depois, confirme que as propriedades são válidas, mas não serão demostradas nesta coleção.

45. a) Resposta pessoal.

45. b) Isabela adicionou os números entre parênteses primeiro, multiplicando o resultado por

\frac{16}{20}

. Marcelo utilizou a propriedade distributiva.

45. c) Respostas pessoais.

46. Resposta pessoal.

• Antes de iniciar a resolução da atividade 38, retome com os estudantes as regras para a resolução de expressões numéricas e, em seguida, alerte-os para o fato de que o primeiro passo a ser seguido é efetuar as operações dentro dos parênteses, lembrando-os de que as multiplicações prevalecem sobre as adições e as subtrações.

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47.

Junte-se a um colega e façam o que se pede.

a) Calculem os produtos.

•

(‒ \frac{2}{9}) \cdot (‒ \frac{9}{2})

•

(+ \frac{15}{4}) \cdot (+ \frac{4}{15})

•

(‒ \frac{1}{19}) \cdot (‒ \frac{19}{1})

b) Respondam: Por qual fração devemos multiplicar

(‒ \frac{6}{5})

para obter 1?

c) Escrevam três frações e troquem-nas entre si. Cada um de vocês deve obter as frações que, multiplicadas pelas frações dadas pelo colega, resultem em 1.

d) Dada a fração

\frac{a}{b}

, com a ê bê números inteiros diferentes de zero, respondam: Por qual fração devemos multiplicar

\frac{a}{b}

para obter 1 como resultado?

e) Pares de frações cujo produto é 1, como

(‒ \frac{2}{9})

(‒ \frac{9}{2})

(+ \frac{15}{4})

(+ \frac{4}{15})

(\frac{1}{19})

(\frac{19}{1})

, são chamados de inversos multiplicativos. Escrevam dois pares de frações que sejam inversos multiplicativos e passem-nos para outra dupla verificar se o produto deles é 1.

5 Divisão com números racionais

Acompanhe as situações a seguir.

Situação 1

Ilustração. Fachada de uma loja de brinquedos. Acima, BRINQUEDOS.
À esquerda, entrada da loja. À direita, vitrine com um saco de bolas de futebol brancas com detalhes pretos. Acima do saco, cartaz com o escrito: Promoção! Abaixo do preço de custo.

Lúcio comprou 180 bolas de um mesmo modelo para revendê-las em sua loja e pagou R$ 675,00seiscentos e setenta e cinco reais por elas. No entanto, por causa da concorrência de lojas vizinhas, precisou vendê-las com desconto, de modo que só conseguiu recuperar R$ 450,00quatrocentos e cinquenta reais. Qual foi o prejuízo de Lúcio em cada bola?

Para calcular o prejuízo de Lúcio, devemos resolver a expressão: abre parênteses450 menos 675fecha parênteses : 180

Ou seja, efetuar a divisão: abre parêntesesmenos225fecha parênteses : 180

Observe, a seguir, a divisão de 225 por 180:

Esquema. Algoritmo da divisão. À esquerda, 225 (Acima do 2, indicação C, acima do outro 2 indicação D e acima do 5, indicação U). Dentro da chave, 180. Abaixo de 225, menos 180. Abaixo, linha horizontal. Abaixo, 450. Abaixo de 450 , menos 360. Abaixo, linha horizontal. Abaixo, 900. Abaixo de 900, menos 900. Abaixo, linha horizontal. Abaixo, 0. Abaixo da chave, quociente 1 décimo e 25 centésimos (abaixo do 1 indicação U, abaixo do 2, indicação d, abaixo do 5, indicação c)

Temos que 225 : 180 = 1,25 e, portanto: abre parêntesesmenos225fecha parênteses : 180 = menos1,25

Logo, Lúcio teve um prejuízo de R$ 1,25um reais e vinte e cinco centavos em cada bola.

Respostas e comentários

47. a) Primeiro item: 1; segundo item: 1; terceiro item: 1.

47. b)

‒ \frac{5}{6}

47. c) Resposta pessoal.

47. d)

\frac{b}{a}

47. e) Resposta pessoal.

Divisão com números racionais

Bê êne cê cê:

Habilidades ê éfe zero sete ême ah zero seis, ê éfe zero sete ême ah um um e ê éfe zero sete ême ah um dois.

Objetivo:

Calcular divisões com números racionais.

Justificativa

Calcular divisões com números racionais contribui para a resolução e elaboração de problemas que envolvam essa operação e possibilita aos estudantes ampliar o que já sabem a respeito da divisão com números inteiros, bem como o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero sete ême ah um um e ê éfe zero sete ême ah um dois.

Mapeando conhecimentos

Reproduza as atividades 43 e 44 da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores na lousa e peça aos estudantes que as façam no caderno. Depois, peça a eles que se reúnam com um colega para que comparem os resultados obtidos e as estratégias que utilizaram. Caso perceba que alguns deles tiveram dificuldades, oriente-os a ler a revisão presente na mesma seção.

Além disso, proponha que efetuem algumas divisões envolvendo números negativos na fórma de fração e na fórma decimal. Incentive-os a utilizar a relação entre multiplicação e divisão para conferir os resultados obtidos.

Para as aulas iniciais

Com o intuito de favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah zero seis, peça que elaborem fluxogramas que expliquem como calcular divisões com números racionais. Incentive-os a compartilhar os fluxogramas elaborados.

Retome as divisões que calcularam na dinâmica inicial e proponha que confiram os resultados obtidos em cada uma, utilizando a relação entre multiplicação e divisão.

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

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Situação 2

Ilustração.
Garota, branca de cabelos castanhos presos, vestida com uma camiseta verde. À frente dela, há 3 garrafões encima de uma mesa. À esquerda, dela há 3 garrafas menores. Ela tem nas mãos uma garrafa dessas menores e está enchendo com o conteúdo de um dos garrafões.

Regina distribuiu o conteúdo de 3 garrafões de 20 litros em garrafas com medida de capacidade de

\frac{6}{10}

de litro, enchendo-as completamente. Quantas garrafas foram utilizadas?

Para resolver esse problema, podemos calcular o valor da expressão: (3 ⋅ 20) :

\frac{6}{10}

Esquema. Sentença matemática.
60 dividido por 6 décimos (em fração), igual a 60 vezes 10 sextos, igual a 100 sobre 1, igual a 100.
Na segunda parte da igualdade, o 60 foi cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 10. Ao mesmo tempo, o 6 também foi cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 1.

Portanto, foram utilizadas 100 garrafas de

\frac{6}{10}

de litro.

Na sequência, temos mais exemplos de divisões de números racionais na fórma de fração.

Esquema. Sentença matemática.
Abre parênteses, mais meio fecha parênteses, dividido por, abre parênteses, menos 3 quartos, fecha parênteses igual a, abre parênteses, mais meio fecha parênteses, vezes abre parênteses, menos 4 terços, fecha parênteses , igual a menos 2 terços.
Na segunda parte da igualdade, o 2 foi cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 1. Ao mesmo tempo, o 4 também foi cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 2.

(+ \frac{7}{5}) : (+ 4) = (\frac{7}{5}) \cdot (\frac{1}{4}) = + \frac{7}{20}

Esquema. Sentença matemática.
Abre parênteses, menos 2 terços fecha parênteses, dividido por, abre parênteses, menos 8 terços, fecha parênteses igual a, abre parênteses, menos 2 terços fecha parênteses, vezes abre parênteses, menos 3 oitavos, fecha parênteses , igual a mais 1 quarto. Na segunda parte da igualdade, o 2 foi cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 1. Ao mesmo tempo, o 8 também foi cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 4. Os dois números 3 também estão cortados com um alinha laranja e acima deles há o número 1.

Sentença matemática. Abre parênteses menos 49 20 avos, fecha parênteses, dividido por abre parênteses, menos 2 sétimos, fecha parênteses, dividido por abre parênteses, mais 14 quintos, fecha parênteses, igual. Abaixo, igual a, abre colchetes, abre parênteses menos 49 20 avos, fecha parênteses, vezes abre parênteses, menos 7 meios, fecha parênteses, fecha colchetes, vezes abre parênteses, mais 5 14 avos, fecha parênteses, igual. Abaixo, igual a, abre parênteses mais 343 40 avos, fecha parênteses, vezes abre parênteses, mais 5 14 avos, fecha parênteses, igual. O número 343 esta cortado com uma linha laranja, e acima dele há o número 49. O número 40 também está cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 8. O número 5 esta cortado com uma linha laranja, e acima dele há o número 1. O número 14 também está cortado com uma linha laranja e acima dele há o número 2. Abaixo, igual a, 49 vezes 1 sobre, 8 vezes 1, igual a mais 49 16 avos.

Ilustração. Homem moreno de cabelos e cavanhaque preto, cadeirante, vestido com uma camiseta verde, calça verde-claro e tênis vermelho. Com os braços levantados gesticulando enquanto fala. Dois números não nulos são inversos quando seu produto é igual a 1. Para obter o inverso de uma fração, invertemos o numerador e o denominador. De todos os números racionais, o único que não tem inverso é o zero, pois não existe divisão por zero.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

48.

Calcule o valor das expressões e, depois, confira o resultado utilizando uma calculadora.

a) menos27,6 : 1,5

b) abre parêntesesmenos4,9fecha parênteses : abre parêntesesmenos0,98fecha parênteses

Respostas e comentários

48. a) menos18,4

48. b) 5

Para os estudantes, a divisão de números racionais pode não apresentar problemas na fórma fracionária, porém requer mais atenção quando efetuada na fórma decimal, pois não é incomum que muitos deles ainda não tenham consolidado o algoritmo da divisão com os números inteiros.

Lembre-os de que, para efetuar a operação de divisão de números racionais na fórma fracionária, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, e, na fórma decimal, igualar as casas decimais e dividir como se os números fossem inteiros.

Ressalte a importância da utilização das regras para a resolução das expressões numéricas, além da aplicação das simplificações e dos inversos multiplicativos.

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49. Calcule.

a) abre parêntesesmenos200fecha parênteses : abre parênteses+0,5fecha parênteses

b) abre parênteses+16,2fecha parênteses : (‒3,6fecha parênteses

c) abre parêntesesmenos81,64fecha parênteses : abre parêntesesmenos6,5fecha parênteses

d) abre parênteses+12,6fecha parênteses : abre parêntesesmenos0,25fecha parênteses

50. Efetue as divisões.

(+ \frac{7}{6}) : (‒ \frac{1}{7})

(+ \frac{3}{7}) : (+ \frac{21}{49})

(‒ \frac{4}{7}) : (‒ \frac{8}{7})

(‒ \frac{3}{5}) : (‒ \frac{9}{15})

(‒ \frac{4}{9}) : (+ \frac{16}{81})

(‒ \frac{5}{2}) : (+ 8)

(+ 16) : (‒ \frac{3}{8})

(‒ \frac{3}{5}) : (+ 0, 1)

51. Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa. Dê um exemplo para cada verdadeira e corrija cada falsa.

a) Dividir por 0,5 equivale a multiplicar por 2.

b) Para resolver uma multiplicação por 5, pode-se multiplicar por 10 e, em seguida, dividir por 2.

c) Multiplicar por

\frac{3}{4}

equivale a dividir por 0,75.

52. (Obmep) A professora Luísa observou que o número de meninas de sua turma dividido pelo número de meninos dessa mesma turma é 0,48. Qual é o menor número possível de alunos dessa turma?

a) 24

b) 37

c) 40

d) 45

e) 48

6 Potenciação de números racionais

Ilustração. Garota parda de cabelo curto preto, vestida de camiseta branca, calça azul e tênis branco com detalhes azul-claro. Ela está jogando uma bolinha laranja para um cachorrinho de pequeno porte, branco com coleira vermelha. è mostrado a trajetória da bolinha que bate duas vezes no chão. A primeira queda da bolinha, tem uma cota h, distância da bolinha ao chão.

Floc não consegue pegar a bolinha que sua dona deixa cair de uma medida de altura h. Cada vez que a bola toca o chão, ela sobe até

\frac{3}{5}

da medida da altura anterior. Que fração da medida da altura inicial (h) a bolinha de Floc atingirá após bater pela terceira vez no chão? Escreva essa fração da medida da altura na fórma de potência.

Para resolver o problema, vamos verificar passo a passo as medidas das alturas que a bolinha atinge.

• Inicial: h

• Após a 1ª batida no chão:

\frac{3}{5}

de h ou

\frac{3}{5} h

• Após a 2ª batida no chão:

\frac{3}{5}

\frac{3}{5} h

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} h = {(\frac{3}{5})}^{2} h

• Após a 3ª batida no chão:

\frac{3}{5}

{(\frac{3}{5})}^{2} h

\frac{3}{5} \cdot {(\frac{3}{5})}^{2} h = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} h = {(\frac{3}{5})}^{3} h

Respostas e comentários

49. a) menos400

49. b) menos4,5

49. c) 12,56

49. d) menos50,4

50. a)

‒ \frac{49}{6}

50. b) 1

50. c)

\frac{1}{2}

50. d) 1

50. e) menos

\frac{9}{4}

50. f)

‒ \frac{5}{16}

50. g)

‒ \frac{128}{3}

50. h) menos6

51. a) Exemplo de resposta:

\frac{3}{0, 5}

= 3 ⋅ 2 = 6

51. b) Exemplo de resposta: 4 ⋅ 5 = 4 ⋅

(\frac{10}{2})

\frac{40}{2}

= 20

51. c) Falsa, pois multiplicar por

\frac{3}{4}

equivale a multiplicar por 0,75.

52. alternativa b

Potenciação de números racionais

Bê êne cê cê:

Habilidades ê éfe zero sete ême ah zero seis e ê éfe zero sete ême ah um dois.

Objetivo:

Calcular potência de números racionais.

Justificativa

Possibilita aos estudantes ampliar o estudo de potenciação e contribui para a resolução e a elaboração de problemas, além de desenvolver a habilidade ê éfe zero sete ême ah um dois.

Mapeando conhecimentos

Proponha aos estudantes que calculem algumas potências com número racional na base e número inteiro não negativo no expoente. A ideia é que eles mobilizem o que sabem sobre o cálculo de potências com números inteiros e multiplicação com números racionais. Convide alguns deles para que venham à lousa e expliquem aos demais como fizeram alguns cálculos.

Para as aulas iniciais

Com o intuito de favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah zero seis, peça a eles que elaborem fluxogramas que expliquem como calcular potências com número racional na base e número inteiro não negativo no expoente. Reserve um momento para que todos possam compartilhar os fluxogramas elaborados.

A situação apresentada nesse tópico exige dos estudantes a conversão de registros em língua materna para o numérico. Sempre que possível, explore situações desse tipo, uma vez que esse processo é fundamental em Matemática e, em geral, eles têm dificuldade em realizá-lo.

Leve os estudantes a observar a regularidade das alturas atingidas pela bolinha, após cada batida no chão.

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

Página 135

Após a terceira vez que bater no chão, a bolinha atingirá

{(\frac{3}{5})}^{3}

\frac{27}{125}

da medida da altura inicial.

Nessa situação, foi possível recordar que a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.

Assim, para um número racional a com expoente natural n maior que 1, definimos:

Esquema.
a elevado a n, é igual a a vezes a, vezes a, vezes, reticências, vezes a.
Linha laranja abaixo dos fatores a, com seta para baixo indicando, n fatores.

Considere mais alguns exemplos de potências de números racionais.

{(‒ \frac{1}{2})}^{5} = (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) = ‒ \frac{1}{32}

{(+ \frac{2}{5})}^{3} = (+ \frac{2}{5}) \cdot (+ \frac{2}{5}) \cdot (+ \frac{2}{5}) = + \frac{8}{125}

c) (‒0,4)elevado a 4 = (‒0,4fecha parênteses ⋅ (‒0,4fecha parênteses ⋅ (‒0,4fecha parênteses ⋅ (‒0,4fecha parênteses = +0,0256

d) (‒1,2)elevado a 2 = (‒1,2fecha parênteses ⋅ (‒1,2fecha parênteses = +1,44

Observações

1. Para todo número racional a com expoente 1, temos: aelevado a 1 = a

Alguns exemplos:

{(‒ \frac{7}{4})}^{1} = ‒ \frac{7}{4}

{(\frac{2}{5})}^{1} = \frac{2}{5}

c) (‒0,32)elevado a 1 = menos0,32

2. Para todo número racional a não nulo, com expoente igual a zero, temos: aelevado a 0 = 1

Alguns exemplos:

{(+ \frac{2}{3})}^{0} = 1

{(‒ \frac{4}{5})}^{0} = 1

c) (‒0,47)elevado a 0 = 1

Clique no play e acompanhe as informações do vídeo.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

53. Calcule as potências.

{(‒ \frac{1}{3})}^{4}

b) abre parênteses0,01)elevado a 2

{(‒ \frac{17}{20})}^{0}

{(‒ \frac{1}{2})}^{4}

e) abre parênteses1,2)elevado a 2

f) menos0,5elevado a 1

54. Sabe-se que a medida da área do quadrado é dada pelo quadrado da medida de comprimento do lado.

a) Qual é a medida da área de um quadrado cujos lados medem 4,2 centímetros de comprimento?

b) Qual é a medida da área de um quadrado cujo comprimento dos lados mede m?

55. Sabendo que

a = \frac{1}{2}

b = \frac{3}{4}

, calcule:

a) aelevado a 2 + belevado a 2

b) abre parêntesesa + b)elevado a 2

56. A população de um tipo de bactéria aumenta 10% a cada semana, ou seja, corresponde a

\frac{110}{100}

\frac{11}{10}

da população da semana anterior.

Ilustração em 3D. Bactérias, em formato cilíndrico laranja. — Ilustração em 3D, em cores fantasia, de bactérias lactobacilos (ampliação de 15.000 vezes). Algumas dessas bactérias são utilizadas na fabricação de produtos lácteos, como o iogurte.

Respostas e comentários

53. a)

\frac{1}{81}

53. b) 0,0001

53. c) 1

53. d)

\frac{1}{16}

53. e) 1,44

53. f) menos0,5

54. a) 17,64 centímetros quadrados

54. b) ême ao quadrado

55. a)

\frac{13}{16}

55. b)

\frac{25}{16}

• A atividade 54 estabelece conexão entre os assuntos potência, radiciação, figura geométrica e área. Seria interessante revisar o cálculo da medida da área de um quadrado, antes de solicitar aos estudantes que a resolvam. Essa atividade pode servir de introdução ao assunto do tópico “Raiz quadrada de números racionais”.

• Para ampliar a abordagem da atividade 56, solicite aos estudantes que pesquisem a taxa de crescimento de bactérias.

Página 136

Se um biólogo contou duas.000 bactérias em uma colônia, quantos indivíduos terá essa população após três semanas da contagem?

57. (ó bê ême) Podemos afirmar que 0,1elevado a 2 + 0,2elevado a 2 é igual a:

\frac{1}{20}

\frac{1}{10}

\frac{1}{5}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

7 Raiz quadrada de números racionais

Observe as situações a seguir.

Situação 1

Um quadrado tem 0,4 decímetro de medida de comprimento do lado.

Figura geométrica. Quadrado azul com os 4 ângulos retos indicados e comprimento do lado de 0,4 dm.

Calculando a medida da área desse quadrado, temos:

0,4 decímetro ⋅ 0,4 decímetro = abre parênteses0,4 ⋅ 0,4fecha parênteses decímetro quadrado = 0,16 decímetro quadrado

O número racional 0,16 é um quadrado perfeito e 0,4 é a raiz quadrada desse número.

Chamamos de quadrados perfeitos os números racionais que podem ser escritos como potência de base racional e expoente 2.

Então: abre parênteses0,4)elevado a 2 = 0,16

A raiz quadrada de um quadrado perfeito é o número racional não negativo cujo quadrado é igual ao número dado.

Então:

\sqrt{0, 16} = 0, 4

, pois abre parênteses0,4)elevado a 2 = 0,16.

Situação 2

Um quadrado tem

\frac{3}{5}

decímetro de medida de comprimento do lado.

Figura geométrica. Quadrado azul com os 4 ângulos retos indicados e comprimento do lado de 3 quintos de dm.

Calculando a medida da área desse quadrado, temos:

\frac{3}{5} d m \cdot \frac{3}{5} d m = (\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}) d m^{2} = \frac{9}{25} d m ²

O número racional

\frac{9}{25}

é um quadrado perfeito e

\frac{3}{5}

é a raiz quadrada desse número.

Ou seja:

\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}

Respostas e comentários

56. .2662 indivíduos

57. alternativa a

Raiz quadrada de números racionais

Bê êne cê cê:

Habilidade ê éfe zero sete ême ah um dois.

Objetivo:

Calcular raiz quadrada de números racionais não negativos.

Justificativa

Possibilita aos estudantes ampliar o que já estudaram a respeito dessa operação, e resolver e elaborar problemas que envolvam essa operação, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah um dois.

Mapeando conhecimentos

Proponha aos estudantes que calculem raízes quadradas de números racionais não negativos. Observe como procedem e as dificuldades apresentadas.

Para as aulas iniciais

Solicite que resolvam alguns problemas que demandem o cálculo de raízes quadradas de números racionais não negativos. Incentive-os a dialogar. Depois, reserve um momento para que expliquem como fizeram. Amplie essa proposta solicitando a eles que elaborem problemas cuja solução necessite do cálculo de raízes quadradas de números racionais não negativos.

Explore com os estudantes algumas características da raiz quadrada de números racionais. Mostre que a raiz quadrada de um número inteiro positivo sempre será um número menor ou igual a ele, e que nem sempre isso ocorre com um número racional.

Por exemplo:

\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}

\sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10}

Comente que, assim como para os números inteiros, a raiz quadrada de números racionais é única e não negativa. Então, embora (−0,4)elevado a 2 = 0,16 e abre parênteses+0,4)elevado a 2 = 0,16, apenas o +0,4 é considerado raiz quadrada de 0,16.

abre parêntesesê éfe zero sete ême ah um doisfecha parênteses Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

Página 137

Observe outros exemplos:

\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}

,  pois  

{(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}

\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}

, pois

{(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{16}

\sqrt{\frac{25}{64}} = \frac{5}{8}

, pois

{(\frac{5}{8})}^{2} = \frac{25}{64}

\sqrt{0, 04} = 0, 2

, pois abre parênteses0,2)² = 0,04.

e) z

\sqrt{0, 36} = 0, 6

, pois abre parênteses0,6)² = 0,36.

\sqrt{0, 49} = 0, 7

, pois abre parênteses0,7)² = 0,49.

Observações

1. A raiz quadrada de números racionais negativos não é um número racional, porque não existe um número racional que, elevado ao expoente 2, resulte em um número negativo.

Por exemplo,

\sqrt{‒ \frac{1}{25}}

não é um número racional, pois não existe número racional que, multiplicado por ele mesmo, resulte em

‒ \frac{1}{25}

Note que:

‒ \sqrt{\frac{1}{64}}

é um número racional

Esquema. Sentença matemática.
Menos a raiz quadrada de 1 64 avos é igual a - 1 oitavo.
Sai seta do sinal de menos da raiz quadrada de 1 64 avos, para baixo, para à direita e para cima, indicando o sinal de menos da fração 1 oitavo.

‒ \sqrt{0, 25}

é um número racional

Esquema. Sentença matemática.
Menos a raiz quadrada de 25 centésimos (em decimal) é igual a menos a raiz quadrada de 25 centésimos (em fração), fecha raiz, igual a menos 5 décimos (em fração), igual a menos 5 décimos (em decimal).
Sai seta do sinal de menos da raiz quadrada de 25 centésimos (em fração), para baixo, para à direita e para cima, indicando o sinal de menos da fração 5 décimos.

2. A raiz quadrada de um número que não é um quadrado perfeito não é um número racional.

•

\sqrt{2, 5}

não é um número racional, pois 2,5 não é um quadrado perfeito.

•

\sqrt{\frac{36}{47}}

não é um número racional, pois

\frac{36}{47}

não é um quadrado perfeito.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

58. Calcule, se possível, as raízes quadradas.

\sqrt{\frac{100}{9}}

\sqrt{1, 96}

‒ \sqrt{0, 01}

\sqrt{6, 25}

\sqrt{\frac{‒ 81}{64}}

\sqrt{144}

59. Qual é o valor das expressões?

\sqrt{\frac{4}{25}} ‒ \sqrt{\frac{1}{9}} + \sqrt{\frac{9}{25}} ‒ \sqrt{\frac{4}{9}}

\sqrt{\frac{25}{16}} ‒ \sqrt{\frac{36}{81}} ‒ (‒ \sqrt{\frac{49}{100}}) + \sqrt{\frac{4}{9}}

60.

Junte-se a um colega e desenhem no caderno uma reta numérica, localizando os números racionais

A = \sqrt{2, 25}

;

B = \sqrt{9}

;

C = \sqrt{20, 25}

;

D = \sqrt{12, 25}

;

E = \sqrt{25}

;

F = \sqrt{18, 49}

61. Identifique os números racionais que não têm raiz quadrada exata.

a) 81

\frac{1}{144}

\frac{13}{17}

\frac{1}{64}

\frac{14}{18}

\frac{169}{225}

62. Responda às questões.

a) Um quadrado tem medida de área igual a 23,04 métros quadrados. Qual é a medida do comprimento do lado desse quadrado?

b) Qual é o número maior:

\sqrt{40}

ou 6,3?

O número 5 não tem raiz exata. Converse com um colega e respondam: Entre quais números inteiros

\sqrt{5}

está localizado na reta numérica?

Respostas e comentários

58. a)

\frac{10}{3}

58. b) 1,4

58. c) menos0,1

58. d) 2,5

58. e) Essa raiz quadrada não está definida no conjunto dos números racionais.

58. f) 12

59. a) 0

59.b)

\frac{351}{180} = \frac{39}{20}

60.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, estão localizados os pontos 0, mais 1, mais 2, mais 3, mais 4 e mais 5. O ponto A está localizado à direita de mais 1 e à esquerda de mais 2. O ponto B, está localizado sobre mais 3. O ponto D, está localizado à direita do mais 3 e à esquerda do mais 4. O ponto F está localizado à direita do mais 4 e à direita do ponto F está localizado o ponto C, que está à direita de mais 5. O ponto E, está localizado sobre mais 5.

61. alternativas c, e

62. a) 4,8 métros

62. b)

\sqrt{40}

62. c) 2 e 3

Solicite aos estudantes que utilizem uma calculadora para obter as raízes quadradas da segunda observação e que verifiquem a afirmação: “A raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito não é um número racional.”

Muitos estudantes, por apresentar dificuldades no algoritmo da radiciação, costumam recorrer à calculadora a fim de agilizar os cálculos. Para minimizar essa situação, se achar oportuno, apresente a técnica de decomposição em fatores primos. Por exemplo, vamos determinar a raiz quadrada do número

\frac{25}{196}

\sqrt{\frac{25}{196}} = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2} \cdot 7^{2}}} =

= \frac{5}{2 \cdot 7} = \frac{5}{14}

Esse raciocínio pode ser empregado, por exemplo, nos cálculos da atividade 60:

A = \sqrt{2, 25} = \sqrt{\frac{225}{100}} =

= \sqrt{\frac{3^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2} \cdot 5^{2}}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1, 5

C = \sqrt{2 025} = \sqrt{\frac{2 025}{100}} =

= \sqrt{\frac{3^{4} \cdot 5^{2}}{2^{2} \cdot 5^{2}}} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2} = 4, 5

D = \sqrt{12, 25} = \frac{1 225}{100} =

= \sqrt{\frac{5^{2} \cdot 7^{2}}{2^{2} \cdot 5^{2}}} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2} = 3, 5

F = \sqrt{18, 49} = \sqrt{\frac{1 849}{100}} =

= \sqrt{\frac{43^{2}}{10^{2}}} = \frac{43}{10} = 4, 3

Página 138

63. A sala da casa de Ronaldo tem o formato de um quadrado com medida de área igual a 24 métros quadrados. Calcule, por meio de tentativa, a medida aproximada do comprimento do lado dessa sala, sabendo que ela se situa entre 4 métros e 5 métros.

64.

Utilizando uma calculadora, mas sem usar a tecla

tecla de calculadora. Símbolo da raiz quadrada.

, determine a raiz quadrada de .15129. Registre no caderno suas tentativas.

Expressões numéricas com números racionais

Na resolução de expressões numéricas envolvendo números racionais, valem os mesmos procedimentos utilizados nas expressões com números inteiros. Observe os exemplos:

Expressão numérica. Abre parênteses, 7 quintos sobre 14 quartos, menos 15 centésimos (em decimal), fecha parênteses dividido por abre parênteses 1 menos 3 vezes 4 décimos (em decimal), fecha parênteses igual. Abaixo, igual a abre parênteses, 7 quintos dividido por 14 quartos, menos 15 centésimos (em decimal), fecha parênteses dividido por abre parênteses 1 menos 1 inteiro e 2 décimos (em decimal), fecha parênteses igual. Abaixo, igual a abre parênteses, 7 quintos vezes 4 14 avos, menos 15 centésimos (em decimal), fecha parênteses dividido por abre parênteses menos 2 décimos (em decimal), fecha parênteses igual. O numerador 7, foi cortado por uma linha laranja inclinada e acima dele está o número 1. O denominador 14, foi cortado por uma linha laranja inclinada e acima dele está o número 2. Abaixo, igual a abre parênteses, 4 décimos (em fração), menos 15 centésimos (em decimal), fecha parênteses dividido por abre parênteses menos 2 décimos (em decimal), fecha parênteses igual. Abaixo, igual a abre parênteses, 4 décimos (em decimal), menos 15 centésimos (em decimal), fecha parênteses dividido por abre parênteses menos 2 décimos (em decimal), fecha parênteses igual. Abaixo, igual a abre parênteses, mais 25 centésimos (em decimal), fecha parênteses dividido por abre parênteses menos 2 décimos (em decimal), fecha parênteses igual. Abaixo, igual a menos 1 inteiro e 25 centésimos.

Expressão numérica. Abre parênteses, menos 1 terço, fecha parênteses ao quadrado menos raiz quadrada de 1 16 avos, fecha raiz, vezes abre colchetes, 3 quartos menos abre parênteses menos 2 mais 3 meios, fecha parênteses, ao quadrado, fecha colchetes é igual. Abaixo, igual a 1 nono, menos 1 quarto vezes abre colchetes, 3 quartos menos abre parênteses menos 2 sobre 1 mais 3 meios, fecha parênteses, ao quadrado, fecha colchetes é igual. Abaixo, igual a 1 nono, menos 1 quarto vezes abre colchetes, 3 quartos menos abre parênteses menos 1 meio, fecha parênteses, ao quadrado, fecha colchetes é igual. Abaixo, igual a 1 nono, menos 1 quarto vezes abre colchetes, 3 quartos menos abre parênteses mais 1 quarto, fecha parênteses, fecha colchetes é igual. Abaixo, igual a 1 nono, menos 1 quarto vezes abre colchetes, 3 quartos menos 1 quarto, fecha colchetes é igual. Abaixo, igual a 1 nono, menos 1 quarto vezes 2 quartos é igual. O numerador 2 foi cortado por uma linha inclinada laranja e acima dele está o número 1. O denominador 4 foi cortado por uma linha inclinada laranja e abaixo dele está o número 2. Abaixo, igual a 1 nono menos 1 oitavo é igual. Abaixo, igual a 8 72 avos menos 9 72 avos é igual a menos 1 72 avos.

Ilustração. Garota branca, de cabelos pretos e faixa branca na cabeça, está vestida de camiseta rosa, calça branca, meias brancas e chinelos rosa. Está deitada de barriga para baixo, lendo e escrevendo em livros, com um lápis na mão esquerda e a outa mão apoiada em um livro à sua frente. Há outros livros espalhados no chão.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

65. Calcule o valor numérico de cada expressão.

(- 2 - \frac{2}{5}) \cdot {(- \frac{3}{4})}^{2}

1 - {(\frac{1}{3})}^{3} : {(\frac{1}{2} - 1)}^{2}

{(5 - \frac{1}{2})}^{2} : {(\frac{1}{2} - 2)}^{3}

\frac{3 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{2}{5}}

66. Calcule o valor da expressão a seguir.

{(\frac{2}{5})}^{0} \cdot {(0, 01)}^{2} \cdot \sqrt{0, 25}

67. Calcule o valor numérico das expressões.

a) 2x menos 9y, sendo:

x = ‒ \frac{1}{4}

y = ‒ \frac{1}{3}

b) 2x elevado a 2 menos 4y + 8, sendo:

x = \frac{1}{2^{2}}

y = \frac{1}{2^{3}}

c) y elevado a 2 + 7x, sendo:

x = {(\frac{2}{5})}^{2}

y = \frac{1}{3}

d) 4x elevado a 3 + 3y elevado a 2, sendo:

x = \frac{1}{2}

y = \frac{4}{3}

68.

Junte-se a um colega. Cada um deve elaborar um problema em que seja preciso montar uma expressão numérica para resolvê-lo. Em seguida, troque de problema com o colega para que um resolva a situação criada pelo outro. Por fim, corrijam os problemas.

Respostas e comentários

63. aproximadamente 4,9 métros

64. 123

65. a)

‒ \frac{27}{20}

65. b)

\frac{23}{27}

65. c) menos6

65. d)

\frac{55}{28}

66. 0,00005

67. a)

\frac{5}{2}

67. b)

\frac{61}{8}

67. c)

\frac{277}{225}

67. d)

\frac{35}{6}

68. Resposta pessoal.

Expressões numéricas com números racionais

Se achar necessário, retome, mais uma vez, as regras utilizadas para a resolução de expressões numéricas.

• Na atividade 68, oriente os estudantes a elaborar expressões mais simples, respeitando as ordens das operações. Só então, se for o caso, introduza os parênteses, os colchetes e as chaves, explicando que esses símbolos tornam as expressões mais complexas.

Página 139

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Os números racionais

Q = \{\frac{a}{b}, sendo a e b n ú m e r o s inteiroseb\neq0\}

Representação dos números racionais na reta numérica

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 2, menos 1, 0 e mais 1. À direita de menos 2, ponto verde claro com seta partindo para cima e indicando a igualdade: menos 3 meios é igual a menos 1 inteiro e 5 décimos (em decimal). À direita, outro ponto verde com seta partindo para baixo e indicando o número menos 1 inteiro e 3 décimos (em decimal).

1. Escreva no caderno os números racionais a seguir na fórma decimal.

‒ \frac{5}{4}

\frac{8}{100}

\frac{15}{50}

‒ \frac{32}{200}

‒ \frac{12}{300}

\frac{350}{1 000}

2. Escreva no caderno os números racionais a seguir na fórma de fração.

a) +8,1

b) menos3,58

c) menos0,12

d) +10,5

e) menos0,97

f) +1,65

3. Observe a reta numérica a seguir e, depois, responda às questões.

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, mais 1, mais 2, mais 3 e mais 4. À direita de menos 3 e à esquerda de menos 2, o ponto A. À direita de menos 1, na primeira parte de quatro até zero, o ponto D. À direita de mais 1 e à esquerda de mais 2, o ponto B. À direita de mais 3 e à esquerda de mais 4, o ponto C.

a) Que ponto corresponde ao número

+ 3 \frac{1}{2}

‑?

b) Qual é o número que corresponde ao ponto a?

c) Qual é o número que corresponde ao ponto B?

d) Qual é o ponto que corresponde ao número

‒ \frac{3}{4}

4. No caderno, trace uma reta numérica e localize:

a) o ponto a, que corresponde a +0,8;

b) o ponto B, que corresponde a

+ \frac{8}{3}

;

c) o ponto C, que corresponde a menos2,25;

d) o ponto D, que corresponde a

‒ \frac{1}{2}

Comparação de números racionais

Dados dois números racionais quaisquer, o menor deles estará sempre representado por um ponto à esquerda do ponto que representa o maior na reta numérica.

Comparação dos números menos1,2 e

‒ \frac{8}{5}

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 2, menos 1, 0 e mais 1. À direita de menos 2, ponto verde claro partindo seta para cima indicando a igualdade menos 8 quintos igual a menos 1 inteiro e 6 décimos (em decimal). À direita deste ponto e à esquerda de menos 1, outro ponto partindo seta para baixo, indicando menos 1 inteiro e 2 décimos (em decimal).

Observe que menos1,6 < menos1,2; então,

‒ \frac{8}{5} < ‒ 1, 2

5. Utilizando o sinal <, escreva em ordem crescente os números racionais a seguir.

+ \frac{4}{10}; + \frac{3}{2}; ‒ 0, 3; ‒ \frac{5}{2}; ‒ \frac{6}{5}

6. Com auxílio de uma reta numérica, escreva os números racionais a seguir em ordem decrescente. Utilize o sinal >.

+ 2, + \frac{12}{5}, ‒ \frac{9}{5}, ‒ \frac{7}{10}, + \frac{8}{5}

7. Usando os sinais > ou <, no caderno, complete as comparações entre cada par de números racionais a seguir.

a) menos8,5

menos12,7

\frac{3}{8}

‒ \frac{1}{2}

‒ \frac{7}{20}

d) +4,7

menos4,7

\frac{1}{5}

0,1

‒ \frac{5}{9}

menos0,4

Adição e subtração com números racionais

Alguns exemplos:

(+ \frac{1}{2}) + (‒ \frac{1}{4}) = + \frac{1}{2} ‒ \frac{1}{4} = \frac{2}{4} ‒ \frac{1}{4} = + \frac{1}{4}

abre parêntesesmenos0,75fecha parênteses menos abre parênteses+0,25fecha parênteses = menos0,75 menos 0,25 = menos1

8. Efetue as operações.

(+ \frac{3}{4}) + (‒ \frac{2}{5})

(+ \frac{3}{7}) ‒ (+ \frac{4}{5})

c) abre parênteses+7,9fecha parênteses menos abre parênteses+11,5fecha parênteses

d) (‒5,78fecha parênteses menos (‒3,29fecha parênteses

Respostas e comentários

1. a) menos1,25

1. b) +0,08

1. c) +0,3

1. d) menos0,16

1. e) menos0,04

1. f) +0,35

2. a)

+ \frac{81}{100}

2. b)

‒ \frac{358}{100}

2. c)

‒ \frac{12}{100}

2. d)

+ \frac{105}{10}

2. e)

‒ \frac{97}{100}

2. f)

+ \frac{165}{100}

3. a) C

3. b) menos2,5

3. c) 1,5

3. d) D

Ilustração. Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 3, menos 2, menos 1, 0, mais 1, mais 2, mais 3. À direita de menos 3, o ponto C. À direita de menos 1, o ponto D. À direita de 0 e à esquerda de mais 1, o ponto A . À direita de mais 2 e à esquerda de mais 3, o ponto B.

‒ \frac{5}{2} < ‒ \frac{6}{5} < ‒ 0, 3 < + \frac{4}{10} < + \frac{3}{2}

+ \frac{12}{5} > + 2 > + \frac{8}{5} > ‒ \frac{7}{10} > ‒ \frac{9}{5}

7. a) >

7. b) >

7. c) <

7. d) >

7. e) >

7. f) <

8. a)

+ \frac{7}{20}

8. b)

‒ \frac{13}{35}

8. c) menos3,6

8. d) menos2,49

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Os números racionais

• A atividade 1 solicita aos estudantes que escrevam alguns números racionais na fórma decimal. Você pode orientá-los a primeiro determinar frações equivalentes que tenham o denominador igual a 10, 100 ou .1000 para, depois, escrever os números na fórma decimal.

• Na atividade 2, oriente os estudantes, em cada item, a observar a quantidade de casas decimais após a vírgula. Essa quantidade está associada à quantidade de zeros do denominador da fração correspondente.

• Se julgar pertinente, reproduza a reta numérica da atividade 3 na lousa e faça a atividade coletivamente.

• Na atividade 4, é importante que os estudantes determinem uma unidade conveniente para a reta numérica que vão traçar. Por exemplo, se considerarem que a unidade mede 1 centímetro, o ponto a vai estar a 0,8 centímetro do ponto que corresponde ao número 0, o ponto B a, aproximadamente 2,7 centímetros e assim por diante.

Comparação de números racionais

• Na atividade 5, proponha aos estudantes que avaliem os sinais e identifiquem os números racionais negativos ou positivos. Depois, oriente-os a identificar os números racionais que são menores ou maiores que um inteiro. Você pode também pedir para que representem os números da atividade em uma reta numérica.

• Na atividade 6, espera-se que os estudantes representem uma reta numérica como a da referência a seguir:

Reta numérica. Da esquerda para a direita, localizado os pontos menos 2, menos 1, 0, mais 1, mais 2, mais 3. À direita de menos 2, a fração menos 9 quintos. À direita de menos 1, a fração menos 7 décimos. À direita de mais 1 e à esquerda de mais 2, a fração 8 quintos. À direita de mais 2 e à esquerda de mais 3, a fração mais 12 quintos.

• Na atividade 7, é importante que os estudantes se atentem aos sinais dos números. Caso tenham dificuldades nos itens e e f, oriente-os a escrever ambos os números na fórma de fração ou na fórma decimal. Eles também podem recorrer à reta numérica.

Adição e subtração com números racionais

• Na atividade 8, solicite aos estudantes que estimem o sinal do resultado antes de adicionarem ou subtraírem os números racionais. Isso pode auxiliá-los a perceber se cometeram algum equívoco ao efetuar os cálculos. Reserve um momento para corrigir a atividade coletivamente.

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9. Calcule o valor de cada expressão.

\frac{1}{2} ‒ \frac{1}{5} + \frac{5}{8}

b) menos0,05 + 1,4 + 0,25

10. Um mergulhador saiu de uma medida de profundidade de 20,6 métros para chegar à de 27,5 métros. Nesse caso, ele desceu ou subiu? Quantos metros?

11. Jorge e André vão pintar o muro do quintal da casa deles. Jorge já pintou

\frac{3}{8}

do muro e André pintou

\frac{4}{7}

. Qual fração representa a parte do muro que ainda falta pintar?

Multiplicação com números racionais

Alguns exemplos:

(+ \frac{4}{5}) \cdot (‒ \frac{6}{7}) = ‒ \frac{24}{35}

abre parêntesesmenos1,5fecha parênteses ⋅ abre parêntesesmenos2,4fecha parênteses = +3,6

12. Efetue as multiplicações.

(+ \frac{7}{8}) \cdot (‒ \frac{4}{5})

(‒ \frac{9}{15}) \cdot (‒ \frac{30}{18})

(‒ \frac{100}{99}) \cdot 1

(+ \frac{4}{9}) \cdot (‒ \frac{27}{28})

13. No açougue, Mariana comprou 2,3 quilogramas de carne bovina. Se cada quilograma custa R$ 49,50quarenta e nove reais e cinquenta centavos, quantos reais ela gastou?

14. Rogério vai reformar o piso da cozinha da casa dele. A cozinha tem formato retangular medindo 6,8 métros de comprimento e 5,4 métros de largura. Quantos metros quadrados tem o piso dessa cozinha?

Divisão com números racionais

Alguns exemplos:

(+ \frac{7}{12}) : (+ 5) = (+ \frac{7}{12}) \cdot (+ \frac{1}{5}) = + \frac{7}{60}

(‒ \frac{4}{7}) : (‒ \frac{4}{5}) = (‒ \frac{4}{7}) \cdot (‒ \frac{5}{4}) = + \frac{5}{7}

15. Efetue as divisões.

a) (menos150) : (+1,5)

(‒ \frac{32}{35}) : (‒ 8)

c) (+25,6) : (menos2,5)

(‒ \frac{5}{12}) : (‒ \frac{4}{9})

16. Mário e Carlos terminaram uma partida de tênis. Mário acertou 15 dos 20 saques. Carlos acertou 72% dos saques. Quem sacou melhor? Que porcentagem dos saques efetuados por Mário representa seus acertos?

17. Podemos afirmar que dividir por 0,125 é o mesmo que multiplicar por 8? Justifique sua resposta.

18. Calcule o valor numérico das expressões.

(‒ 0, 3) \cdot \frac{1}{10} + 5, 4 ‒ \frac{13}{20}

(\frac{5}{8} + \frac{5}{4} + \frac{5}{2}) : (‒ \frac{5}{8})

[(‒ \frac{3}{2}) \cdot (0, 2) ‒ \frac{1}{2}] + (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ 0, 5)

Potenciação de números racionais

Para um número racional a com expoente natural n maior que 1, definimos:

a^{n} = \underset{n fatores}{\underset{⏟}{a \cdot a \cdot a \cdot . . . \cdot a}}

19. Calcule as potências.

{(‒ \frac{1}{4})}^{4}

b) (0,5)elevado a 3

c) (1,4)elevado a 0

{(\frac{1}{10})}^{4}

20. Calcule.

{(1 ‒ \frac{2}{5})}^{2}

{(‒ \frac{1}{5} + 1)}^{4}

{(0, 3 ‒ \frac{1}{2})}^{3}

{(9, 93 ‒ 9, 92)}^{3}

Raiz quadrada de números racionais

A raiz quadrada de um número racional a não negativo é um número racional não negativo que, elevado ao quadrado, resulta em a.

21. Calcule, se possível, as raízes quadradas.

\sqrt{\frac{25}{81}}

\sqrt{3, 24}

\sqrt{‒ \frac{4}{25}}

‒ \sqrt{0, 04}

22. Qual é a medida do perímetro de um terreno quadrado cuja área mede 806,56 métros quadrados?

Respostas e comentários

9. a)

\frac{37}{40}

9. b) 1,6

10. desceu; 6,9 métros

11.

\frac{3}{56}

12. a)

‒ \frac{7}{10}

12. b) 1

12. c)

‒ \frac{100}{99}

12. d)

‒ \frac{3}{7}

13. R$ 113,85 cento e treze reais e oitenta e cinco centavos

14. 36,72 métros quadrados

15. a) menos100

15. b)

+ \frac{4}{35}

15. c) menos10,24

15. d)

+ \frac{15}{16}

16. Mário; 75%

17. sim; considerando que ▪ representa um número racional, temos:

▪ : \frac{125}{1.000} = ▪ \cdot \frac{1.000}{125} = ▪ \cdot 8

18. a)

\frac{118}{25}

18. b) menos7

18. c)

‒ \frac{11}{20}

19. a)

\frac{1}{256}

19. b) 0,125

19. c) 1

19. d)

\frac{1}{10 000}

20. a)

\frac{9}{25}

20. b)

\frac{256}{625}

20. c) menos0,008

20. d) 0,000001

21. a)

\frac{5}{9}

21. b) 1,8

21. c) Não é um número racional, porque não existe um número racional que, elevado ao expoente 2, resulte em um número negativo.

21. d) menos0,2

22. 113,6 métros

• Se os estudantes tiverem dificuldades para fazer a atividade 10, oriente-os a fazer um esquema para ilustrar a situação.

• Na atividade 11, espera-se que os estudantes reconheçam que precisam calcular o valor da expressão numérica 1 menos

(\frac{3}{8} + \frac{4}{7})

para resolver o problema proposto.

Multiplicação com números racionais

• Na atividade 12, solicite aos estudantes que estimem o sinal do resultado antes de multiplicarem os números racionais.

• Na atividade 13, espera-se que os estudantes reconheçam que devem calcular 2,3 ⋅ 49,5 para resolver o problema. Deixe-os à vontade para utilizar a estratégia que julgarem pertinente para fazer esse cálculo. Depois, incentive-os a compartilhá-la com a turma.

• A atividade 14 envolve o cálculo de medida de área de uma região retangular. Espera-se que os estudantes percebam que devem multiplicar a medida do comprimento pela medida da largura para resolver o problema. Você pode ampliar a proposta e pedir para reescreverem o problema alterando um ou mais dados e, em seguida, trocar o problema modificado com um colega para resolvê-lo.

Divisão com números racionais

• Na atividade 15, solicite aos estudantes que estimem o sinal do resultado antes de dividirem os números racionais.

• Na atividade 16, espera-se que os estudantes percebam que a informação de que Mário acertou 15 dos 20 saques é equivalente a dizer que ele acertou 75% dos saques, pois:

\frac{15}{20} = \frac{75}{100} = 75 %

Portanto, Mário sacou melhor que Carlos.

• Na atividade 17, espera-se que os estudantes primeiro representem 0,125 na fórma de fração:

0, 125 = \frac{125}{1 000} = \frac{1}{8}

Em seguida, eles podem argumentar que ao dividir um número por uma fração, devemos multiplicar esse número pelo inverso da fração. Nesse caso, dividir um número por

\frac{1}{8}

é o mesmo que multiplicar por 8.

• Na atividade 18, caso seja necessário, relembre a ordem em que as operações devem ser efetuadas em uma expressão numérica.

Potenciação de números racionais

• Na atividade 19, incentive os estudantes a determinarem os sinais das potências antes de efetuarem os cálculos.

• Observe a estratégia empregada pelos estudantes para fazer a atividade 20. Eles podem fazer os cálculos indicados entre parênteses e, depois, elevar o resultado ao expoente ou aplicar a ideia de multiplicação de fatores acompanhada da propriedade distributiva. Incentive a troca de ideias e o compartilhamento de estratégias.

Raiz quadrada de números racionais

• É possível que alguns estudantes concluam, erroneamente, que o resultado da raiz do item c da atividade 21 é igual a

\frac{2}{5}

‒ \frac{2}{5}

. Caso isso ocorra, enfatize que a raiz quadrada de números racionais negativos não é um número racional, porque não existe um número racional que, elevado ao expoente 2, resulte em um número negativo.

• Para fazer a atividade 22, espera-se que os estudantes primeiro determinem a medida do comprimento do lado do terreno, calculando

\sqrt{806, 56}

. Depois, eles devem multiplicar essa medida por 4 para obter a medida do perímetro.