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Capítulo 8 Proporcionalidade

Trocando ideias

De acordo com o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (í bê gê É), em 2060, uma em cada 3 pessoas no Brasil terá idade superior a 60 anos. Uma das maiores conquistas dessa parcela da população foi o Estatuto do Idoso (Lei número 10.741/2003), que trata dos principais direitos dos idosos e dos deveres da sociedade, da família e do Poder Público para com eles.

Fotografia: Um idoso branco, de camisa branca e bermuda jeans e uma idosa branca, de camiseta cinza e calça preta, caminham em um parque. O homem está um pouco à frente da mulher. A mulher passeia com um cachorro amarrado na guia. À direita da pista de caminhada tem um gramado, com árvores e bancos de concreto. À esquerda, um lago. O dia está ensolarado com algumas nuvens no céu. — Casal de idosos passeando com cachorro no Parque das Águas, em Cambuquira (Minas Gerais). Foto de 2021.

▸

Você conhece algum direito dos idosos? Se sim, qual? Converse com os colegas a respeito disso.

Sabendo que a razão entre dois números, aêbê, com b ≠ 0, nessa ordem, é dada por

\frac{a}{b}

, em seu caderno, escreva:

▸ na fórma de fração a razão entre o número de idosos e o número total de habitantes no Brasil em 2060.

▸ na fórma de porcentagem a razão entre o número de idosos e o número total de habitantes no Brasil em 2060.

Neste capítulo, vamos estudar razão, proporção e grandezas diretamente e inversamente proporcionais.

Respostas e comentários

Trocando ideias: primeiro item: resposta pessoal; segundo item:

\frac{1}{3}

; terceiro item: aproximadamente 33,33%

CAPÍTULO 8 – PROPORCIONALIDADE

Trocando ideias

Bê êne cê cê:

• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).

• Competência específica 8 (a descrição está na página sete).

Objetivos:

• Introduzir o conceito de razão.

• Conscientizar os estudantes sobre a importância de respeitar e valorizar os idosos.

Tema contemporâneo transversal:

Proponha aos estudantes que formem uma roda de conversa para debater o tema explorado neste Trocando ideias. Pergunte a eles: “Quais são as dificuldades e limitações que os idosos enfrentam? Como os idosos são tratados no Brasil? Vocês acham importante existirem leis que assegurem os direitos dos idosos?”. Reserve um tempo para discutirem cada uma dessas questões. Para aqueles que têm idosos na família, convide-os a falar um pouco sobre as dificuldades enfrentadas por esses idosos e sobre como a família lida com a situação.

Solicite que conversem sobre a questão proposta no primeiro item. Após trocarem ideias, comente alguns direitos dos idosos, como atendimento preferencial, medicamentos gratuitos, gratuidade no transporte etcétera Aproveite a oportunidade e verifique se a turma já viu alguma das placas a seguir e se costuma respeitá-las:

Ilustração: placa azul de atendimento preferencial. Na parte de cima, da esquerda para a direita, pictograma que representa pessoa com deficiência, idoso, pessoa com criança de colo, gestante e autistas. Abaixo dos símbolos, a indicação "atendimento preferencial".

Ilustração: placa de atendimento preferencial. Na parte de cima, da esquerda para a direita, pictograma que representa pessoa obesa, gestante, pessoa com criança de colo, idosos e pessoas com deficiência. Abaixo a indicação, "assento preferencial para obesos, gestantes, pessoas com bebê ou crianças de colo, idosos e pessoas com deficiência. Ausentes pessoas nessas condições, o uso é livre".

Ilustração: Da esquerda para a direita, placa de indicação de vaga preferencial para pessoas com deficiência. À direita, placa de vaga preferencial para pessoas com mais de sessenta anos.
Abaixo das placas a indicação "vaga preferencial".

Ao debater esse assunto de urgência social, é desenvolvida a competência geral 9 e a competência específica 8 da Bê êne cê cê.

Após essa conversa inicial, introduza o conceito de razão e peça aos estudantes que respondam aos dois últimos itens. Eles possibilitam verificar como os estudantes lidam com as diferentes representações de uma razão. Amplie a proposta e peça a eles que citem outros exemplos em que o conceito de razão pode ser utilizado, por exemplo, em receitas culinárias.

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1 Razão

A palavra “razão” tem origem no latim ratio, que significa “divisão”. Podemos expressar a razão na fórma de fração, de porcentagem ou de número decimal.

Analise os exemplos a seguir:

a) Leia a orientação de uso no rótulo desta garrafa de suco concentrado.

Ilustração: Uma embalagem roxa de suco de uva. No rótulo está escrito "Suco de Uva" e tem um desenho de um cacho de uva roxa. À direita da embalagem, um círculo destaca uma parte do rótulo, com a indicação "1 porção de suco para 5 porções iguais de água".

De acordo com a orientação do rótulo, podemos dizer que para cada litro de suco concentrado devem ser colocados 5 litros de água na mistura.

• A razão entre a quantidade de suco concentrado e a quantidade de água é:

\frac{1}{5}

= 0,20 =

\frac{20}{100}

= 20%

• A razão entre a quantidade de água e a quantidade de suco concentrado é:

\frac{5}{1} = \frac{500}{100}

= 500%

b) De 100 pessoas convidadas para determinada cerimônia, 75 eram mulheres.

A razão entre o número de mulheres e o número de convidados é:

Esquema: Da esquerda para a direita, setenta e cinco sobre cem, igual a três sobre quatro.
Acima da fração setenta e cinco sobre cem uma seta alaranjada vai até a fração três sobre quatro. No meio dessa seta a indicação divisão por 25.
Abaixo da fração setenta e cinco sobre cem uma seta alaranjada vai até a fração três sobre quatro. No meio dessa seta a indicação divisão por 25.
À direita, zero, vírgula setenta e cinco, igual a setenta e cinco sobre cem, igual a setenta e cinco por cento.

A razão indica que, em cada grupo de 4 convidados, 3 eram mulheres.

Essa razão também pode ser expressa em porcentagem. Se havia 75 mulheres entre 100 convidados, 75% dos convidados eram mulheres.

A razão entre dois números, aêbê, com b ≠ 0, nessa ordem, é dada por

\frac{a}{b}

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Escreva, no caderno, uma razão entre os números ou medidas presentes em cada uma das frases.

a) Um corretor de imóveis recebe R$ 5,00cinco reais de comissão para cada R$ 100,00cem reais em imóveis vendidos.

b) Um time de futebol feminino venceu 15 dos 22 jogos que disputou.

c) Melissa acertou 17 das 20 questões de uma prova de Matemática.

d) No Brasil, o combustível usado nos carros movidos a gasolina tem sido, na verdade, um composto em que para 4 litros do combustível há 1 litros de álcool anidro.

Respostas e comentários

1. a) Exemplo de resposta:

\frac{5}{100}

\frac{1}{20}

ou 5%

1. b) Exemplo de resposta:

\frac{15}{22}

1. c) Exemplo de resposta:

\frac{17}{20}

1. d) Exemplo de resposta:

\frac{1}{4}

Razão

Bê êne cê cê:

Habilidade ê éfe zero sete ême ah zero nove.

Objetivo:

Compreender o conceito de razão.

Justificativa

O conceito de razão está presente nas porcentagens, na comparação entre duas quantidades e é amplamente utilizado em diversas áreas do conhecimento, sendo que algumas razões recebem nomes especiais, como a escala (quociente entre a medida do comprimento de uma representação qualquer e a medida do comprimento real correspondente), a medida de velocidade média, a densidade demográfica, entre outras. Compreender esse conceito contribui para entender essas situações e, também, favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah zero nove, que tem esse conceito como foco.

Mapeando conhecimentos

Peça aos estudantes que têm animal de estimação que levantem a mão. Depois, conte os estudantes que ergueram a mão e registre essa quantidade na lousa. Em seguida, peça à turma que determine a razão entre o número de estudantes que têm animal de estimação e o total de estudantes da turma. Peça também que determinem a razão entre o número de estudantes que não têm animal de estimação e o total de estudantes da turma. Em ambos os casos, observe o registro deles e se identificam os termos de uma razão.

Para as aulas iniciais

Defina o conceito de razão e peça que pesquisem em jornais ou revistas a aplicação do conceito. Depois, reserve uma aula para que compartilhem o que pesquisaram e para que algumas razões trazidas por eles sejam exploradas.

Verifique se os estudantes percebem que, para determinar uma razão, devemos observar a ordem em que os dados são apresentados. Por exemplo: a razão entre 2 e 3 é

\frac{2}{3}

, enquanto a razão entre 3 e 2 é

\frac{3}{2}

Um aspecto que pode ser explorado se refere às diferentes formas de representar uma razão. Sendo a razão uma divisão entre dois números, ela pode ser representada de várias formas: número inteiro, fração ou número decimal.

(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração

\frac{2}{3}

para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

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2. Carlos e Antônio brincaram de cobrar pênaltis. Carlos cobrou 8 pênaltis e fez 5 gols. Antônio cobrou 10 pênaltis e fez 7 gols.

a) Escreva, na fórma de fração irredutível, a razão entre o número de pênaltis cobrados por Carlos e o número de pênaltis cobrados por Antônio.

b) Escreva, na fórma de porcentagem, a razão entre o número de gols feitos e o número de pênaltis cobrados por Antônio.

c) Escreva, na fórma decimal, a razão entre o número de gols feitos e o número de pênaltis cobrados por Carlos.

3. Em uma classe com 30 estudantes, 24 foram aprovados nas provas finais.

Ilustração: uma professora branca, de camiseta rosa, saia azul e jaleco branco está em pé em uma sala de aula, segurando um livro. À sua direita tem uma mesa e uma cadeira, sobre a mesa um livro aberto. À sua esquerda, a porta da sala. Atrás da professora, uma lousa verde. À frente da professora, 30 alunos estão sentados, em 5 fileiras com 6 alunos cada. Sobre as mesas dos alunos está uma folha de papel.

Determine a razão entre o número de estudantes:

a) aprovados e o total de estudantes;

b) reprovados e o total de estudantes;

c) aprovados e reprovados.

4. Escreva na fórma de fração irredutível a razão entre cada par de medidas, na ordem apresentada.

a) 5 centímetros e 10 centímetros

b) 200 gramas e 40 gramas

c) 7 quilogramas e 10,5 quilogramas

d) 14 litros e 35 litros

5. Em uma prova com 80 testes, a razão entre o número de testes que Daniele acertou e o número total de testes foi de 2 para 5.

a) Represente essa razão na fórma de fração irredutível, de número decimal e de porcentagem.

b) Calcule o número de testes que Daniele acertou.

Ilustração: Menina negra, de cabelos encaracolados pretos, óculos de grau, camiseta branca e calça rosa, ela está sentada em uma cadeira escrevendo em um papel branco, que está sobre uma mesa. Sobre a mesa, além do papel, há uma borracha.

6. Ivan e Sílvio caminham no parque todos os dias. Ontem, Ivan caminhou .2000 métros e Sílvio, .3500 métros. Determine a razão entre as medidas das distâncias percorridas por Ivan e Sílvio.

7. Um terreno tem 750 métros quadrados de medida de área total e 500 métros quadrados de medida de área construída. Qual é a razão entre a medida da área construída e a medida da área livre?

2 Proporção

Em carros com motor bicombustível (flex), é possível utilizar como combustível uma mistura de etanol e gasolina.

Vamos supor que, no tanque de 50 litros de um carro, tenham sido colocados 10 litros de etanol e 40 litros de gasolina. Já o tanque de 60 litros de outro carro foi preenchido com 12 litros de etanol e 48 litros de gasolina.

Observe as razões entre a quantidade de etanol e a de gasolina nos dois tanques:

• tanque de 50 litros

\frac{10}{40} = \frac{1}{4}

• tanque de 60 litros

\frac{12}{48} = \frac{1}{4}

Verificamos que as duas razões são iguais; nesse caso, dizemos que as duas razões formam uma proporção. Essa proporção é assim indicada:

\frac{10}{40} = \frac{12}{48}

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Respostas e comentários

2. a)

\frac{4}{5}

2. b) 70%

2. c) 0,625

3. a) Exemplo de resposta:

\frac{4}{5}

3. b) Exemplo de resposta:

\frac{1}{5}

3. c) Exemplo de resposta:

\frac{4}{1}

4. a)

\frac{1}{2}

4. b) 5

4. c)

\frac{2}{3}

4. d)

\frac{2}{5}

5. a)

\frac{2}{5}

; 0,4; 40%

5. b) 32 testes

\frac{4}{7}

7. 2

• Na atividade 4, alerte os estudantes para o fato de que a razão entre as medidas de duas grandezas de mesma natureza deve ser realizada com a mesma unidade de medida.

Proporção

Bê êne cê cê:

Habilidades ê éfe zero sete ême ah zero nove e ê éfe zero sete ême ah um três.

Objetivos:

• Compreender o conceito de proporção.

• Compreender a propriedade fundamental das proporções.

Justificativa

É importante compreender o conceito de proporção, uma vez que está presente em todas as ciências e no cotidiano de qualquer indivíduo. Além disso, muitos conceitos da própria Matemática envolvem proporção, como o de semelhança de figuras.

A compreensão da propriedade fundamental das proporções, por sua vez, possibilita resolver diferentes problemas.

Mapeando conhecimentos

Reproduza a seguinte situação na lousa:

Um automóvel consome 1 litro de combustível a cada 8 quilômetros rodados.

Medida da distância percorrida (em km)	Consumo de combustível (em litro)
8	1
16	2
24	3
. . .	. . .

Depois, proponha aos estudantes que respondam às seguintes questões:

• Quantos litros de combustível serão consumidos se o automóvel percorrer 40 quilômetros? E 56 quilômetros? E 80 quilômetros? (Respostas: 5 litros, 7 litros, 10 litros).

• Se o automóvel consumiu 104 litros de combustível, qual foi a medida da distância que ele percorreu? (Resposta: 832 quilômetros).

Observe as estratégias empregadas pelos estudantes para responder às questões. Permita que trabalhem em duplas, caso julgue necessário.

Para as aulas iniciais

Retome a ideia de proporcionalidade da multiplicação presente na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e peça aos estudantes que façam as atividades 57 e 58. Após concluírem, discuta as atividades coletivamente.

Você também pode retomar a situação e as questões da dinâmica inicial para discuti-las com a turma. Peça a alguns estudantes que compartilhem como fizeram. Em seguida, apresente algumas estratégias para respondê-las.

Pergunte aos estudantes: “Como vocês interpretam a razão

\frac{1}{4}

obtida nesta situação?”. Espera-se que eles respondam que tanto no tanque de 50 litros como no de 60 litros, para cada 1 litro de etanol colocado, foram colocados 4 litros de gasolina.

Ao definir proporção como uma igualdade entre duas razões, lembre-se de que não basta igualar duas razões quaisquer para obter uma proporção. A construção da noção de proporcionalidade envolve também a capacidade de reconhecer situações em que ela não está presente.

(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração

\frac{2}{3}

para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

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A proporção

\frac{10}{40} = \frac{12}{48}

também pode ser indicada assim: 10 : 40 = 12 : 48

Dados quatro números não nulos, a, b, c e d, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

(lemos: “a está para b, assim como c está para d ” ).

Os termos de uma proporção são assim denominados:

Esquema: a sobre b igual a c sobre d. Uma seta alaranjada parte da letra a e da letra d com a indicação: extremo. Uma seta verde parte da letra b e da letra c, com a indicação: meio.

Esquema: Na horizontal, a dividido por b, igual a c dividido por d. Uma seta alaranjada parte da letra a e da letra d com a indicação: extremos. Uma seta verde parte da letra b e da letra c com a indicação: meios.

Por exemplo, na proporção

\frac{3}{4} = \frac{27}{36}

, os extremos são 3 e 36, e os meios, 4 e 27.

Um pouco de história

A ideia de proporção na história da Matemática

A ideia de proporção é atribuída a Pitágoras (cêrca de 580 antes de Cristo-500 antes de Cristo), embora haja dúvida sobre isso. Na Antiguidade, o estudo das proporções presumivelmente fazia parte da Aritmética ou da teoria pitagórica dos números.

Eudoxo de Cnido, discípulo de Platão, matemático e filósofo grego que viveu entre 408 antes de Cristo e 355 antes de Cristo, deu nova definição para os teoremas relacionados a proporções. Essa definição foi exposta no Livro cinco de Os elementos, de Euclides (330 a.C.-?), e é a que conhecemos e usamos hoje em dia.

Fonte: BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher/êduspi, 1974. página 34, 61, 66.

Ilustração: caricatura de Eudoxo de Cnido, representado como um homem de barba, usando uma touca na cabeça e vestindo uma túnica. — Caricatura de Eudoxo de Cnido.

Atividade

Reúna-se com três colegas e pesquisem um pouco mais sobre como a ideia de proporção se desenvolveu ao longo da história da Matemática. Vocês podem consultar livros, revistas ou páginas da internet.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

8. Por que podemos afirmar que

\frac{2}{7}

\frac{8}{28}

formam uma proporção?

9. Escreva, no caderno, como se leem as proporções, identificando os meios e os extremos de cada uma delas

\frac{3}{5} = \frac{9}{15}

\frac{7}{8} = \frac{14}{16}

10. Observe estas razões:

Esquema: da esquerda para a direita, razões em quadros laranjas. Um vírgula cinco sobre três vírgula cinco; dois sobre três; três sobre cinco; vinte vírgula um sobre trinta e três vírgula cinco; três sobre sete; dois vírgula cinco sobre três vírgula setenta e cinco.

Indique os pares de razões que formam proporções.

Respostas e comentários

Um pouco de história: Comentários em Orientações.

8. Porque

\frac{2}{7} = \frac{8}{28}

9. a) três está para cinco assim como nove está para quinze; meios: 5 e 9; extremos: 3 e 15

9. b) sete está para oito assim como catorze está para dezesseis; meios: 8 e 14; extremos: 7 e 16

10.

\frac{1, 5}{3, 5} = \frac{3}{7}

;

\frac{20, 1}{33, 5} = \frac{3}{5}

;

\frac{2, 5}{3, 75} = \frac{2}{3}

No boxe Um pouco de história, devem realizar uma pesquisa, na internet ou em livros da biblioteca (se houver uma na escola), a respeito do desenvolvimento da ideia de proporção ao longo da história da Matemática, visando aprofundar as informações apresentadas e levá-los a perceber que a Matemática foi sendo desenvolvida até chegar ao que conhecemos atualmente. Nessa pesquisa, deve-se dar ênfase especial às contribuições de Eudoxo para o estudo das proporções. A análise da definição de proporção proposta pelo matemático fornecerá elementos que, posteriormente, serão essenciais para que os estudantes compreendam a noção de número irracional.

• Para as atividades 8 e 10, caso os estudantes tenham dúvidas sobre o procedimento para verificar se duas razões formam uma proporção, retome as ideias de simplificação de frações para ajudá-los a responder com maior clareza.

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11. Observe os retângulos a seguir e responda às questões.

Ilustrações. À esquerda, retângulo que mede 3 centímetros de comprimento e 1 centímetro de altura e à direita um retângulo que mede 6 centímetros de comprimento e 2 centímetros de altura

a) Qual é a razão entre as medidas do comprimento da largura dos dois retângulos?

b) Qual é a razão entre as medidas do comprimento dos dois retângulos?

c) Podemos afirmar que as medidas de comprimento correspondentes das figuras são proporcionais? Justifique sua resposta.

Propriedade fundamental das proporções

A nau Santa Maria era uma das embarcações da esquadra comandada por Cristóvão Colombo (1451-1506) na viagem em que os europeus chegaram ao continente americano, em 1492. Em um museu, há uma miniatura dessa nau que mede 56 centímetros de comprimento. Sabendo que cada 1 centímetro de comprimento na miniatura corresponde a 65 centímetros de comprimento na embarcação real, qual era a medida do comprimento real da embarcação?

Ilustração: Um barco a velas. O casco do barco é marrom, e as velas são bege com um símbolo vermelho que se assemelha a uma cruz. — Miniatura da nau Santa Maria.

Para responder a essa questão, vamos indicar por x a medida, em centímetro, do comprimento real da embarcação; portanto, x é diferente de 0. Assim, podemos escrever a seguinte proporção:

Esquema: um sobre sessenta e cinco igual a cinquenta e seis sobre x. À direita, traço alaranjado. À direita do traço, a indicação: 1 centímetro está para sessenta e cinco centímetros assim como cinquenta e seis centímetros está para x centímetros.

Para determinar o valor de x, podemos multiplicar ambos os membros dessa igualdade por x e, em seguida, por 65. Assim, temos:

\frac{1}{65} = \frac{56}{x}

Sentença matemática. um sobre sessenta e cinco vezes x igual a cinquenta e seis sobre x (há um traço alaranjado sobre o x) vezes x (há um traço alaranjado sobre o x). À direita, traço horizontal alaranjado. À direita do traço, a indicação 'ao multiplicar os dois membros de uma igualdade por um mesmo número, diferente de zero, obtemos outra igualdade'.

\frac{1 \cdot x}{65} = 56

Sentença matemática. um vezes x sobre sessenta e cinco (há um traço alaranjado sobre o 65) vezes sessenta e cinco (há um traço alaranjado sobre o 65) igual a cinquenta e seis vezes sessenta e cinco.

1 ⋅ x = 56 ⋅ 65

x = .3640

Portanto, a medida do comprimento real da embarcação era .3640 centímetros ou 36,40 métros.

Ao desenvolver os cálculos para obter o valor de x nessa proporção, podemos observar uma igualdade entre o produto dos meios e o produto dos extremos:

\frac{1}{65} = \frac{56}{x}

⇒ 1 ⋅ x = 56 ⋅ 65

Respostas e comentários

11. a)

\frac{1}{2}

\frac{2}{1}

11. b)

\frac{3}{6}

\frac{6}{3}

11. c) sim, pois:

\frac{1}{2} = \frac{3}{6}

\frac{2}{1} = \frac{6}{3}

Propriedade fundamental das proporções

A situação explorada neste tópico trabalha a ideia de escala (1 centímetro na miniatura corresponde a 65 centímetros na embarcação real, ou seja, escala de 1 : 65). Neste momento, o conceito será trabalhado indiretamente.

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Essa propriedade é válida para todas as proporções. Acompanhe a demonstração a seguir.

Demonstração

Considere

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, em que a, b, c e d representam números racionais não nulos.

Esquema: de cima para baixo, a sobre b igual a c sobre d.
Abaixo, a sobre b vezes d (alaranjado) igual a c sobre d vezes d (alaranjado). Há uma seta alaranjada que liga a sobre b da primeira linha com a sentença a sobre b vezes d da segunda linha. No meio dessa seta, a indicação de multiplicação por d. Há uma seta alaranjada que liga a fração c sobre d da primeira linha com a sentença c sobre d vezes d da segunda linha. No meio dessa seta, a indicação de multiplicação por d.
Abaixo, a vezes d sobre b igual a c vezes d (com um traço alaranjado sobre o d) sobre d (com um traço alaranjado sobre o d).
Abaixo, a vezes d sobre b igual a c vezes um.
Abaixo, a vezes d sobre b igual a c.
Abaixo, b (alaranjado) vezes a vezes d sobre b igual a b (alaranjado) vezes c.
Há uma seta alaranjada que liga a linha acima com a linha abaixo, com a indicação multiplicado por b.
Abaixo, b (com um traço alaranjado sobre o b) vezes a vezes d sobre b (com um traço alaranjado sobre o b) igual a b vezes c.
Abaixo, um vezes a vezes d igual b vezes c.
Abaixo, a vezes d igual b vezes c.

Ilustração: Um menino negro, de cabelos castanhos, camiseta branca e calça azul está sentado em uma cadeira escrevendo. Sobre a mesa que está a sua frente, um caderno e um estojo azul. O menino diz: "como a, b, c e d representam números racionais quaisquer, diferentes de zero, essa propriedade é válida para toda proporção".

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, ou seja, dados a, b, c e d racionais não nulos, com

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, temos: a ⋅ d = b ⋅ c

Denominamos essa propriedade de propriedade fundamental das proporções.

Podemos empregar a propriedade fundamental das proporções para resolver diversos problemas, sejam puramente matemáticos ou contextualizados. Acompanhe os exemplos a seguir.

a) Sabendo que 5 está para 8, assim como 15 está para x, qual é o valor de x?

Para determinar o valor de x, inicialmente escrevemos a proporção:

\frac{5}{8} = \frac{15}{x}

Em seguida, aplicamos a propriedade fundamental das proporções e resolvemos a equação encontrada:

Esquema: De cima para baixo, cinco vezes x igual a oito vezes quinze.
Abaixo, cinco x igual a cento e vinte.
Abaixo, cinco x (com um traço alaranjado sobre o 5) vezes um quinto (com um traço alaranjado sobre o 5) igual a cento e vinte vezes um quinto. Há uma seta alaranjada ligando a linha de cima com a de baixo. No meio da seta, a indicação multiplicado por um quinto.
Abaixo, x igual a cento e vinte quintos.
Abaixo, x igual a vinte e quatro.

Portanto, o valor de x é 24.

Respostas e comentários

Acompanhe o passo a passo da demonstração com os estudantes e reforce que o denominador de uma fração nunca pode ser zero, pois nenhum número é divisível por zero.

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b) Em uma salina, de cada .1000 decímetros cúbicos de água salgada são retirados 40 decímetros cúbicos de sal. Para obter 800 decímetros cúbicos de sal, quantos decímetros cúbicos de água salgada são necessários?

(A quantidade de sal retirada é proporcional à medida do volume de água salgada.)

Indicando por x a quantidade, em decímetros cúbicos, de água salgada a ser determinada, podemos escrever a seguinte proporção:

\frac{1 000}{40} = \frac{x}{800}

Fotografia: Ao fundo de um terreno, montes de sal. Há uma passagem para que o sal chegue até esse monte. O dia está ensolarado. — Extração de sal em Macau (Rio Grande do Norte). Foto de 2019.

Em seguida, aplicamos a propriedade fundamental das proporções e resolvemos a equação encontrada:

Esquema: De cima para baixo, quarenta vezes x igual a oitocentos vezes mil.
Abaixo, um sobre quarenta (alaranjado) vezes quarenta (com um traço alaranjado sobre o 40) vezes x igual a um sobre quarenta (alaranjado) vezes oitocentos mil. Há uma seta laranja ligando a linha de cima com a de baixo. No meio da seta, a indicação multiplicado por um sobre quarenta.
Abaixo, x igual a oitocentos mil sobre quarenta.
Abaixo, x igual a vinte mil.

Portanto, são necessários .20000 decímetros cúbicos de água salgada para obter 800 decímetros cúbicos de sal.

Observações

1. Nos problemas que acabamos de resolver, a letra x representa um valor desconhecido em uma igualdade obtida por meio da propriedade fundamental das proporções. Nesse contexto, a letra x assume o papel de incógnita da equação obtida.

2. Quando não estiver explícito, vamos assumir que o conjunto universo das equações encontradas por meio das proporções é o conjunto dos números racionais.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

12. Copie no caderno apenas as razões que formam proporções.

\frac{3}{11}

\frac{15}{44}

\frac{4}{0, 2}

\frac{2}{40}

\frac{\frac{1}{2}}{5}

\frac{3}{30}

\frac{10}{500}

\frac{4}{200}

13. No caderno, determine o valor de x nas proporções.

\frac{x}{5} = \frac{21}{35}

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{5}} = \frac{90}{x}

\frac{9}{13} = \frac{x}{26}

\frac{1}{7} = \frac{x ‒ 6}{49}

\frac{2 x + 1}{10} = ‒ \frac{21}{30}

\frac{3 x + 2}{x + 3} = ‒ \frac{40}{25}

14. No caderno, determine o valor de w na proporção

w : 2, 5 = \frac{3}{4} : 0, 25

15. No caderno, determine o valor de k, sabendo que os números 4k ‒ 1, 50, k + 5 e 20 formam uma proporção nessa ordem.

16. Em um restaurante, de cada dez sucos vendidos seis são de maracujá. Em um domingo, foram vendidos 500 sucos. Quantos sucos de maracujá foram vendidos?

17. Um relógio atrasa 5 minutos a cada 8 horas. Quanto tempo ele atrasará em 4 dias?

Respostas e comentários

12. alternativas c, d

13. a) 3

13. b) 24

13. c) 18

13. d) 13

13. e) ‒ 4

13. f) ‒

\frac{34}{23}

14. 7,5

15. 9

16. 300 sucos de maracujá

17. 60 minutos ou 1 hora.

Pergunte aos estudantes se lembram o que indica a unidade de medida decímetros cúbicos. Se não se lembrarem, retome as unidades de medida de volume e de capacidade, explicando que 1 decímetro cúbico equivale a 1 litro.

• Caso os estudantes apresentem dificuldade na atividade 12, explique a eles que, para verificar se um par de razões representa uma proporção, pode ser analisado se o produto dos seus meios é igual ao produto dos seus extremos.

• Caso considere necessário, solicite aos estudantes que formem duplas para resolver e discutir a atividade 17. Essa atividade incentiva o raciocínio lógico-matemático (indução, dedução, abdução ou raciocínio por analogia).

Página 191

Sequências de números diretamente proporcionais

Fotografia: Impressora 3D está imprimindo um boneco laranja, estilo super-herói. — Impressão de brinquedo em 3-D utilizando resíduos de plástico reciclado. Almaty, Cazaquistão. Foto de 2017.

Uma impressora 3-D produz, em duas horas, 40 bonecos. Em 3 horas, essa mesma impressora produz 60 bonecos, em 4 horas, 80 bonecos, e, em 5 horas, 100 bonecos.

Calculando a razão entre o número de bonecos produzidos e a medida do tempo de produção, observamos uma igualdade.

Sentença matemática: quarenta sobre dois igual a sessenta sobre três igual a oitenta sobre quatro igual a cem sobre cinco, igual a vinte (alaranjado).

O quociente de cada número da sequência (40, 60, 80, 100) (número de bonecos produzidos) pelo número correspondente da sequência (2, 3, 4, 5) (número de horas de produção da impressora) é sempre o mesmo que denominamos constante de proporcionalidade.

Portanto, dizemos que os números 40, 60, 80 e 100 são diretamente proporcionais aos números 2, 3, 4 e 5, nessa ordem. Dizemos ainda que o número de bonecos produzidos é diretamente proporcional à medida do tempo de produção, pois, conforme aumenta a medida do tempo, aumenta, na mesma proporção, a produção de bonecos.

Quando duas sequências de números são diretamente proporcionais, ao dobrar o número de uma delas, o correspondente da outra também dobra; ao reduzir pela metade o número de uma, o correspondente da outra também se reduz pela metade; e assim por diante.

Agora, acompanhe outra situação.

Simone dividiu 30 pitangas entre seus sobrinhos de 2, 3 e 5 anos de idade. Qual foi a quantidade de pitangas que cada um deles recebeu, sabendo que a divisão foi diretamente proporcional à idade de cada sobrinho?

Vamos indicar por a, b e c, respectivamente, as quantidades de pitangas recebidas pelos sobrinhos de 2, 3 e 5 anos. Assim:

Esquema: Na horizontal, a mais b mais c igual a trinta. Abaixo do a, temos um traço alaranjado com a indicação: quantidade de pitangas recebidas pelo sobrinho de 2 anos. Acima do b, seta alaranjada com a indicação: quantidade de pitangas recebidas pelo sobrinho de 3 anos. Abaixo do c, traço alaranjado com a indicação: quantidade de pitangas recebidas pelo sobrinho de 5 anos.

Respostas e comentários

Sequências de números diretamente proporcionais

Comente com os estudantes que não basta que duas sequências de números cresçam (ou diminuam) simultaneamente no mesmo sentido para que elas sejam diretamente proporcionais. Para que isso ocorra, é necessário que a razão entre elas seja sempre uma constante, que recebe o nome de constante de proporcionalidade.

Página 192

As quantidades de pitangas a, b e c são diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. Então:

Esquema: a sobre dois igual a b sobre três igual a c sobre cinco igual a k (alaranjado). À direita, uma seta alaranjada. À direita da seta, a indicação 'constante de proporcionalidade'.

Agora, observe as igualdades:

\frac{a}{2} = k

a = 2k (um)

\frac{b}{3} = k

b = 3k (dois)

\frac{c}{5} = k

c = 5k (três)

Substituindo a por 2k, b por 3k e c por 5k na equação a + b + c = 30, temos:

a + b + c = 30

2k + 3k + 5k = 30

10k = 30

k = 3

Então, substituindo k por 3 em um, dois e três, obtemos:

a = 2k

a = 2 ⋅ 3

a = 6

b = 3k

b = 3 ⋅ 3

b = 9

c = 5k

c = 5 ⋅ 3

c = 15

Assim, dividimos o número 30 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

Portanto, os sobrinhos de 2, 3 e 5 anos receberam 6, 9 e 15 pitangas, respectivamente.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

18. Verifique se os números 15, 20 e 30 são diretamente proporcionais aos números 24, 32 e 48.

19. Divida o número 600 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

20. Divida o número 23,8 em partes diretamente proporcionais a 5 e 9.

21. Os números a, b e c são diretamente proporcionais a 3, 5 e 9, e o fator de proporcionalidade é 16. Determine a, b e c.

22. Mário dividiu R$ 60.000,00sessenta mil reais entre sua irmã Ana, de 56 anos, e seus sobrinhos Paula, de 24 anos, e Carlos, de 16 anos. Essa divisão foi diretamente proporcional à idade de cada um deles. Quanto cada um recebeu?

23. Um sítio de 120 hectares foi repartido entre Karine (24 anos), Kátia (26 anos) e Cristina (30 anos) em partes diretamente proporcionais à idade de cada uma. Que parte, em hectare, coube a Karine?

24. Uma mistura com 300 mililitros é formada por duas substâncias, A e B, tomadas em quantidades proporcionais a 3 e 7, respectivamente. Quantos mililitros de cada substância são utilizados para formar a mistura?

25. Um prêmio de R$ 16.200,00dezesseis mil duzentos reais foi dividido em partes proporcionais à quantidade de pontos obtidos pelos dois primeiros colocados em uma competição. O primeiro colocado obteve 220 pontos, e o segundo, 140 pontos. Quanto recebeu cada um?

Respostas e comentários

18. sim

19. 120, 180 e 300

20. 8,5 e 15,3

21. 48, 80 e 144

22. Ana: R$ 35.000,00trinta e cinco mil reais; Paula: R$ 15.000,00quinze mil reais; Carlos: R$ 10.000,00 dez mil reais

23. 36 hectares

24. a: 90 mililitros; B: 210 mililitros

25. primeiro: R$ 9.900,00nove mil novecentos reais; segundo: R$ 6.300,00seis mil trezentos reais

Estas atividades têm como objetivo avaliar a capacidade de reconhecer e ou ou resolver situações que envolvam a proporcionalidade direta e sua constante de proporcionalidade.

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Sequências de números inversamente proporcionais

Um pedreiro constrói um muro em 12 dias; dois pedreiros poderiam construir o mesmo muro em 6 dias; três pedreiros precisariam de 4 dias, e assim por diante.

Podemos escrever esses dados como igualdades de razões:

Sentença matemática: um sobre a fração um doze avos igual a dois sobre a fração um sexto igual a três sobre a fração um quarto igual a quatro sobre a fração um terço igual a doze (alaranjado).

O quociente de cada número da sequência (1, 2, 3, 4) (número de pedreiros) pelo inverso do número correspondente da sequência (12, 6, 4, 3) (número de dias necessários para a construção do muro) é sempre o mesmo, que chamamos de constante de proporcionalidade.

Portanto, dizemos que os números 1, 2, 3 e 4 são inversamente proporcionais aos números 12, 6, 4 e 3, nessa ordem.

Note que 1, 2, 3 e 4 são diretamente proporcionais aos inversos de 12, 6, 4 e 3, nessa ordem.

Agora, acompanhe outro exemplo.

Vamos dividir o número 310 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 5.

Indicando por a, b e c os números procurados, temos:

a + b + c = 310

Sabendo que a, b e c são inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 5 respectivamente, então:

Esquema: a sobre fração um meio igual b sobre fração um terço igual c sobre fração um quinto igual a k alaranjado. À direita, uma seta alaranjada. À direita da seta, a indicação 'constante de proporcionalidade'.

Agora, observe que:

\frac{a}{\frac{1}{2}} = k \Rightarrow a = \frac{1}{2} \cdot k = \frac{k}{2}

\frac{b}{\frac{1}{3}} = k \Rightarrow b = \frac{1}{3} \cdot k = \frac{k}{3}

\frac{c}{\frac{1}{5}} = k \Rightarrow c = \frac{1}{5} \cdot k = \frac{k}{5}

Substituindo a por

\frac{k}{2}

, b por

\frac{k}{3}

e c por

\frac{k}{5}

na equação a + b + c = 310, obtemos:

a + b + c = 310

\frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{5} = 310

(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}) \cdot k = 310

(\frac{15}{30} + \frac{10}{30} + \frac{6}{30}) \cdot k = 310

\frac{31}{30} \cdot k = 310

Abaixo, trinta sobre trinta e um vezes trinta e um sobre trinta, vezes k. Há traços alaranjados sobre os números trinta e trinta e um. Acima dos números, à esquerda, o número um. Igual a trinta sobre trinta e um vezes trezentos e dez. Há traços alaranjados sobre o trinta e um e sobre o trezentos e dez. Abaixo do número trinta e um, à esquerda, o número um. Acima do número trezentos e dez, à direita o número dez.

1 · k = 30 · 10

k = 300

Sabendo que k é igual a 300, obtemos os valores de a, b e c:

a = \frac{1}{2} \cdot k = \frac{1}{2} \cdot 300 = 150

b = \frac{1}{3} \cdot k = \frac{1}{3} \cdot 300 = 100

c = \frac{1}{5} \cdot k = \frac{1}{5} \cdot 300 = 60

Portanto, 150, 100 e 60 são inversamente proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente.

Respostas e comentários

Sequências de números inversamente proporcionais

Reproduza a situação inicial na lousa e pergunte à turma: “O que acontece conforme o número de pedreiros aumenta? Qual é a diferença dessa situação para a situação da impressora 3-D?”. Incentive-os a verbalizar o que pensam.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

26. Verifique se os números 3, 4 e 5 são inversamente proporcionais aos números 60, 45 e 36.

27. Verifique se os números 10, 8 e 6 são inversamente proporcionais aos números 30, 38 e 50.

28. Os números a, b e c são inversamente proporcionais a 2, 5 e 7, e a constante de proporcionalidade é 70. Determine a, b e c.

29. Divida o número 340 em partes inversamente proporcionais a 2, 4 e 10.

30. Divida 182 em partes inversamente proporcionais a

\frac{1}{3}

\frac{1}{4}

\frac{1}{6}

31. Uma herança no valor de R$ 60.000,00sessenta mil reais deverá ser dividida em valores inversamente proporcionais às idades de três herdeiros. Sendo 20, 30 e 60 anos a idade de cada um deles, qual será o valor recebido por cada um?

32. Lúcio dividiu duzentas e sessenta laranjas em três caixas, em quantidades inversamente proporcionais a 2, 3 e 4. Quantas laranjas foram colocadas em cada caixa?

Ilustração: um homem branco, de camisa quadriculada de azul e branco, calça azul e chapéu de palha, está com um balde com laranjas na mão. No chão ,há três caixas. Da esquerda para a direita, a primeira caixa está cheia de laranjas, na segunda caixa, o homem despeja as laranjas do balde. A terceira caixa está vazia.

33. Rosa resolveu dividir 33 livros entre Beto, Ana e Vera em partes inversamente proporcionais às suas faltas à escola durante o mês. Quantos livros recebeu cada um deles, sabendo que Beto, Ana e Vera tiveram uma, duas e três faltas, respectivamente?

3 Grandezas e proporcionalidade

No dia a dia são comuns situações em que relacionamos duas ou mais grandezas.

Considere os exemplos a seguir.

a) Na produção de metais fundidos, como o alumínio, utilizam‑se fornos para gerar o calor necessário à fusãoglossário . Quanto maior for a medida do tempo de uso do forno, maior a medida da massa de alumínio produzida. As grandezas, nesse caso, são tempo e massa.

Fotografia: Um homem com uma roupa especial cinza está de costas olhando para uma máquina de fundição de alumínio. — Fundição de alumínio em indústria de reciclagem, em Pindamonhangaba (São Paulo). Foto de 2018.

b) Já em uma corrida de quilômetro contra o relógioglossário , quanto maior a medida da velocidade, menor a medida do tempo gasto na prova. As grandezas, nesse caso, são velocidade e tempo.

Fotografia: Atleta mulher está pedalando bicicleta em uma pista profissional azul e verde. A atleta veste um macacão azul, um capacete cinza e óculos escuros. — A francesa Mathilde Gors, competindo na final dos 500 métros contra o relógio feminino durante a Copa das Nações de Ciclismo em Pista realizada em 2021, em Cali, na Colômbia.

Respostas e comentários

26. sim

27. não

28. a = 35, b = 14 e c = 10

29. 200, 100 e 40

30. 42, 56 e 84

31. R$ 30.000,00trinta mil reais, R$ 20.000,00vinte mil reais e R$ 10.000,00 dez mil reais

32. primeira caixa: 120 laranjas; segunda caixa: 80 laranjas; terceira caixa: 60 laranjas

33. Beto: 18 livros; Ana: 9 livros; Vera: 6 livros

• Na situação da atividade 33, quanto menos faltas, mais livros a pessoa ganha, ou seja, “número de faltas” e “número de livros” são inversamente proporcionais.

Grandezas e proporcionalidade

Bê êne cê cê:

Habilidades ê éfe zero sete ême ah um três e ê éfe zero sete ême ah um sete.

Objetivo:

• Reconhecer grandezas direta ou inversamente proporcionais.

• Elaborar e resolver problemas que envolvam grandezas direta ou inversamente proporcionais.

Justificativa

Os objetivos anteriores são importantes para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah um sete, que envolve o raciocínio proporcional por meio da resolução e da elaboração de problemas nos quais a medida de uma grandeza possa variar em função da medida de outra de maneira direta ou inversa. Além disso, essa habilidade prevê que os estudantes expressem as regularidades percebidas por meio de uma sentença matemática.

Mapeando conhecimentos

Reproduza estes quadros na lousa:

Medida de comprimento do lado do quadrado (em cm)	Medida do perímetro do quadrado (em cm)
2	8
3	12
4	16

Medida da velocidade (em km/h)	Medida de tempo (em h)
20	4
40	2
80	1

Medida da velocidade

(em km/h)

Medida de tempo
(em h)

Proponha estes questionamentos:

• O que podemos afirmar sobre as medidas de comprimento do lado e do perímetro de um quadrado? Como podemos expressar a relação entre essas medidas usando uma sentença matemática?

• O que podemos afirmar sobre as medidas da velocidade e do tempo? Como podemos expressar a relação entre essas medidas usando uma sentença matemática?

Para as aulas iniciais

Explore com a turma as situações da dinâmica inicial. Na primeira situação, oriente-os a escrever as razões entre as medidas de comprimento do lado e do perímetro do quadrado para que percebam que essas razões são sempre iguais a

\frac{1}{4}

e, portanto, o comprimento do lado e o perímetro do quadrado são diretamente proporcionais. Na segunda situação, peça que calculem a razão entre as medidas de velocidade e o inverso das medidas de tempo para que percebam que essas razões são sempre iguais a 80 e, portanto, a velocidade e o tempo são inversamente proporcionais.

Caso julgue oportuno, peça que deem outros exemplos de grandezas direta e inversamente proporcionais e desafie-os a pensar e a relacionar medidas dessas grandezas por meio de sentenças matemáticas.

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

Página 195

Entendemos por grandeza tudo o que pode ser medido ou contado. O comprimento, a área, o volume, a massa, a capacidade, a velocidade, o tempo, a temperatura, a produção ou o custo são alguns exemplos de grandeza.

Em algumas situações, duas ou mais grandezas podem estar relacionadas. Essa relação pode ser direta ou inversamente proporcional. Há casos também em que não há proporcionalidade entre as grandezas.

Grandezas diretamente proporcionais

Vamos, agora, explorar a situação da produção de metais fundidos. Observe no quadro a seguir as medidas das grandezas referentes à produção de alumínio fornecidas por uma metalúrgica.

Medida do tempo (min)	Medida da massa de alumínio produzido (kg)
5	100
10	200
15	300
20	400
25	500

De acordo com os dados, podemos observar que:

• quando duplicamos a medida do tempo, a medida da massa de alumínio produzido também duplica.

Esquema: De cima para baixo, cinco minutos. À direita, seta alaranjada. À direita da seta, cem quilos.
Na linha de baixo, dez minutos. À direita, seta alaranjada. À direita da seta, duzentos quilos.
Há uma seta alaranjada que liga cinco minutos a dez minutos. No meio da seta, a indicação multiplicado por dois.
Há uma seta alaranjada que liga cem quilos com duzentos quilos. No meio da seta, a indicação multiplicado por dois.

• quando triplicamos a medida do tempo, a medida da massa de alumínio produzido também triplica.

Esquema: De cima para baixo, cinco minutos. À direita, seta alaranjada. À direita da seta, cem quilos.
Na linha de baixo, quinze minutos. À direita, seta alaranjada. À direita da seta, trezentos quilos.
Há uma seta alaranjada que liga cinco minutos a quinze minutos. No meio da seta, a indicação multiplicado por três.
Há uma seta alaranjada que liga cem quilos a trezentos quilos. No meio da seta, a indicação multiplicado por três.

Nesse exemplo, verifique que a razão entre duas medidas de uma grandeza (tempo) é igual à razão entre as duas medidas correspondentes da outra grandeza (massa de alumínio produzido). Dizemos, então, que essas grandezas são diretamente proporcionais.

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre dois valores quaisquer da primeira é igual à razão entre os valores correspondentes da segunda.

Tomando, ao acaso, 5 e 15 na coluna referente à medida da grandeza tempo e seus correspondentes na coluna referente à medida da grandeza massa de alumínio produzido, temos:

Esquema: do lado esquerdo: cinco sobre quinze igual a um terço; abaixo, cem sobre trezentos igual a um terço; que correspondem a cinco sobre quinze igual a cem sobre trezentos igual a um terço, que estão do lado direito do esquema

Como as grandezas são diretamente proporcionais, podemos escrever proporções com suas medidas e determinar a constante de proporcionalidade.

Por exemplo, no caso da metalúrgica, podemos obter a seguinte igualdade de razões:

\frac{5}{100} = \frac{10}{200} = \frac{15}{300} = \frac{20}{400} = \frac{25}{500} = \frac{1}{20}

Respostas e comentários

Grandezas diretamente proporcionais

Uma das características para que haja proporcionalidade entre duas grandezas é que deve existir dependência entre elas.

Outro aspecto a ser destacado é que, para verificar se uma situação envolve ou não proporcionalidade direta, não basta verificar se as medidas das grandezas crescem ou decrescem no mesmo sentido; para que a proporcionalidade seja direta, é preciso que o aumento da medida de uma grandeza seja proporcional ao aumento da medida da outra, ou seja, se uma delas dobrar de medida, a outra também deve dobrar de medida.

É importante também que os estudantes atentem para o fato de que, na proporcionalidade direta, a razão entre as medidas das grandezas comparadas resulta sempre em um valor constante, que é a constante de proporcionalidade; para representar essa constante, usaremos k.

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Essas proporções nos permitem encontrar uma sentença algébrica que relaciona as medidas das duas grandezas. Como exemplo, podemos relacionar a constante de proporcionalidade com a razão

\frac{t}{p}

, em que t representa a medida do tempo (em minuto) e p, a medida da massa de alumínio produzido (em quilograma), supondo que ambas sejam, sempre, diferentes de zero:

\frac{1}{20} = \frac{t}{p}

Pela propriedade fundamental das proporções, temos:

p = 20 ⋅ t

Essa sentença algébrica nos permite calcular a medida p da massa de alumínio produzido para qualquer medida t do tempo e vice-versa. Observe no quadro como podemos obter p para um t conhecido.

t (min)	p (kg)
3	20 ⋅ t = 20 ⋅ 3 = 60
7	20 ⋅ t = 20 ⋅ 7 = 140
9	20 ⋅ t = 20 ⋅ 9 = 180
50	20 ⋅ t = 20 ⋅ 50 = 1.000

Observação

Note que as letras t e p, na sentença algébrica p = 20 ⋅ t, têm o papel de variáveis, pois podem assumir qualquer medida possível para as grandezas tempo e massa de alumínio produzido. Se quisermos calcular a medida da massa de alumínio produzido a partir da medida do tempo, poderemos fazê-lo para qualquer medida de tempo possível. O mesmo vale se quisermos calcular a medida do tempo a partir da medida da massa de alumínio produzido.

Grandezas inversamente proporcionais

Considere a situação a seguir.

Uma ciclista faz um treino para uma prova de .1000 metros contra o relógio. Mantendo em cada volta uma medida da velocidade constante, ela obtém uma medida do tempo correspondente, conforme o quadro a seguir.

Medida da velocidade (m/s)	Medida do tempo (s)
5	200
8	125
10	100
16	62,5
20	50

Observe que:

• quando duplicamos a medida da velocidade, a medida do tempo fica reduzida à metade.

Esquema: De cima para baixo, cinco metros por segundo. À direita, seta alaranjada. À direita da seta, duzentos segundos.
Na linha de baixo, dez metros por segundo. À direita, seta alaranjada. À direita da seta, cem segundos.
Há uma seta alaranjada que liga cinco metros por segundo a dez metros por segundo. No meio da seta, a indicação multiplicado por dois.
Há uma seta alaranjada que liga duzentos segundos a cem segundos. No meio da seta, a indicação dividido por dois.

• quando quadruplicamos a medida da velocidade, a medida do tempo fica reduzida à quarta parte.

Esquema: De cima para baixo, cinco metros por segundo. À direita, seta alaranjada. À direita da seta, duzentos segundos.
Na linha de baixo, vinte metros por segundo. À direita, seta alaranjada. À direita da seta, cinquenta segundos.
Há uma seta alaranjada que liga cinco metros por segundo a vinte metros por segundo. No meio da seta a indicação multiplicado por quatro.
Há uma seta alaranjada que liga duzentos segundos com cinquenta segundos. No meio da seta a indicação dividido por quatro.

Respostas e comentários

Explique aos estudantes que a sentença p = 20 · t também poderia ser obtida pela aplicação do princípio multiplicativo das igualdades. Podemos obter tanto t a partir de p quanto p a partir de t. Caso julgue conveniente, comente que, na sentença p = 20 · t, o número 20 representa a constante de proporcionalidade k. Observe:

\frac{p}{t} = 20 = k

(constante).

Grandezas inversamente proporcionais

No estudo da proporcionalidade inversa, assim como na proporcionalidade direta, a primeira característica a ser observada pelos estudantes é se há dependência entre as grandezas analisadas. Na proporcionalidade inversa, as medidas das grandezas variam em sentidos opostos, ou seja, quando uma cresce, a outra decresce, e vice-versa. Assim, quando uma grandeza dobra de medida, a outra terá a medida reduzida pela metade.

Página 197

Nesse exemplo, podemos verificar que a razão entre duas medidas de uma grandeza (velocidade) é igual ao inverso da razão entre as duas medidas correspondentes da outra grandeza (tempo). Dizemos, então, que essas grandezas são inversamente proporcionais.

Observe.

Esquema: da esquerda para a direita. dez sobre dezesseis igual a cinco oitavos. À direita, cem sobre sessenta e dois vírgula cinco igual a oito quintos. Há uma seta alaranjada que parte da fração cinco oitavos e chega à fração oito quintos. No meio da seta, há a indicação:razão inversa.

Esquema: À direita, um traço preto na vertical.
À direita do traço, oito sobre vinte igual a dois quintos. À direita, cento e vinte e cinco sobre cinquenta igual a cinco sobre dois. Há uma seta alaranjada que parte da fração dois quintos e chega à fração cinco sobre dois. No meio da seta, há a indicação: razão inversa.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre dois valores quaisquer da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da segunda.

Da mesma fórma que fizemos com as grandezas diretamente proporcionais, podemos escrever proporções com as medidas das grandezas inversamente proporcionais, determinando a constante de proporcionalidade. Assim, no exemplo da ciclista, temos:

\frac{5}{\frac{1}{200}} = \frac{8}{\frac{1}{125}} = \frac{10}{\frac{1}{100}} = \frac{16}{\frac{1}{62, 5}} = \frac{20}{\frac{1}{50}} = 1 000

Agora, vamos determinar a sentença algébrica que relaciona as medidas dessas grandezas. Para isso, vamos escrever uma proporção com a constante de proporcionalidade representando a medida do tempo pela letra t (em segundo) e a medida da velocidade pela letra v (em metro por segundo), supondo que ambas sejam, sempre, diferentes de zero:

\frac{t}{\frac{1}{v}} = 1 000

Pela propriedade fundamental das proporções, temos

t = \frac{1 000}{v}

Essa sentença algébrica nos permite, por exemplo, calcular a medida t do tempo para qualquer medida v da velocidade conhecida, como podemos observar no quadro.

v (m/s)	t (s)
2	$divisão de 1000 sobre V igual a divisão de 1000 sobre 2 igual a 500$
4	$divisão de 1000 sobre V igual a divisão de 1000 sobre 4 igual a 250$
25	$divisão de 1000 sobre V igual a divisão de 1000 sobre 25 igual a 40$
2.000	$divisão de 1000 sobre V igual a divisão de 1000 sobre 2000 igual a 0,5$

Ilustração: Um menino branco, de cabelo loiro e camiseta vermelha diz: há algo estranho na última linha do quadro. O que você acha? Converse com um colega sobre as medidas encontradas.

Observação

Há situações em que não há proporcionalidade direta e nem inversa entre as grandezas. Por exemplo:

a) Um aluno com 10 anos mede 1,50 métro de altura. É lógico que, com 20 anos, ele não medirá 3,00 métros de altura.

b) Um jogador fez 10 cestas de três pontos em dois jogos. Não podemos garantir que ele fará 20 cestas de três pontos em quatro jogos.

Respostas e comentários

Comentário: Espera-se que os estudantes percebam que a medida da velocidade .2000 métros por segundo é muito rápida para um ciclista. Se julgar necessário, faça uma intervenção com relação a isso.

Comente com os estudantes que, na proporcionalidade inversa, o produto entre as medidas das duas grandezas deve resultar em um valor constante, ou seja, esse valor obtido deve ser sempre o mesmo (constante de proporcionalidade k, com k ≠ 0).

Explique que a sentença também poderia ser

v = \frac{1 000}{t}

, obtida com a aplicação do princípio multiplicativo das igualdades. Podemos obter tanto v a partir de t quanto t a partir de v.

Comente com os estudantes que uma medida de velocidade de .2000 métros por segundo é quase 6 vezes a medida de velocidade do som. Isso significa que essa medida de velocidade não poderia ser desenvolvida por um ciclista.

Chame a atenção dos estudantes para o fato de que a noção de proporcionalidade envolve também a capacidade de reconhecer as situações em que ela não está presente. No exemplo apresentado, a altura do estudante não é proporcional à sua idade.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

34. Em cada item, classifique as grandezas envolvidas em diretamente ou inversamente proporcionais.

a) Medida da distância entre duas cidades e medida do tempo gasto no deslocamento entre elas.

b) Número de operários para a construção de um muro e medida do tempo para construí-lo.

c) Medida do comprimento do lado de um quadrado e a medida de seu perímetro.

d) Medida do tempo para realizar uma terraplenagem (conjunto de operações que preparam um terreno para uma construção) e número de tratores utilizados.

e) Medida da área de um retângulo e medida do seu comprimento, sendo a medida da largura constante.

f) Número de máquinas e medida do tempo necessário para asfaltar um trecho de uma avenida.

Fotografia: Um homem, com roupa laranja, está utilizando uma máquina para asfaltar o trecho de uma rua. O dia está ensolarado, ao fundo da imagem, prédios e árvores. — Recapeamento do asfalto da avenida Ayrton Senna, em Londrina (Paraná). Foto de 2020.

35. Leia estas afirmações.

• Cinco canetas custam R$ 35,00trinta e cinco reais.

• Dez canetas custam R$ 70,00setenta reais.

a) O número de canetas e o respectivo custo são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais? Justifique.

b) Encontre uma sentença algébrica que relacione a quantidade (q) e o custo (c) das canetas.

c) No caderno, crie um quadro relacionando a quantidade de canetas e o custo delas com as informações fornecidas anteriormente, acrescentando mais duas linhas. Em uma delas, calcule o custo de 11 canetas. Na outra, calcule quantas canetas se pode comprar com R$ 98,00noventa e oito reais.

36. Um prêmio de R$ 60.000,00sessenta mil reais vai ser dividido entre os funcionários de uma empresa. Leia as afirmações a seguir.

• Se houver 24 funcionários, cada um receberá R$ 2.500,00dois mil quinhentos reais.

• Se houver 32 funcionários, cada um receberá R$ 1.875,00mil oitocentos e setenta e cinco reais.

Agora, responda:

a) Qual é a razão entre as quantidades de funcionários?

b) Qual é a razão entre os valores recebidos?

c) A quantidade de funcionários e o valor recebido são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

37. O quadro a seguir mostra a relação entre a medida do tempo de funcionamento de uma máquina e a quantidade de parafusos produzidos por ela. Observe.

Medida do tempo	Quantidade de parafusos produzidos
5 horas	1.000 parafusos
8 horas	1.600 parafusos

a) Qual é a razão entre as medidas de tempo?

b) Qual é a razão entre as quantidades de parafusos produzidos?

c) A quantidade de parafusos produzidos e a medida do tempo de funcionamento da máquina são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

d) Obtenha uma sentença algébrica que relacione a medida do tempo de funcionamento (t ) e a quantidade de parafusos produzidos (p) por essa máquina.

e) Quantos parafusos serão produzidos se a máquina funcionar por 36 horas?

38. Choveu em cinco dos dez primeiros dias de março. Com base nesse fato, é possível afirmar que nos próximos 20 dias de março choverá por 10 dias? Justifique sua resposta.

Respostas e comentários

34. a) diretamente proporcionais

34. b) inversamente proporcionais

34. c) diretamente proporcionais

34. d) inversamente proporcionais

34. e) diretamente proporcionais

34. f) inversamente proporcionais

35. a) diretamente proporcionais;

\frac{5}{10} = \frac{35}{70} = \frac{1}{2}

35. b) c = 7 ⋅ q

35. c) Resposta em Orientações.

36. a)

\frac{3}{4}

36. b)

\frac{4}{3}

36. c) inversamente proporcionais

37. a)

\frac{5}{8}

37. b)

\frac{1 000}{1 600}

\frac{5}{8}

37. c) diretamente proporcionais

37. d) p = 200 ⋅ t

37. e) .7200 parafusos

38. Não, nada garante essa possibilidade, pois o número de dias em que chove e o número de dias do mês não são direta nem inversamente proporcionais.

Estas atividades têm como objetivo avaliar se os estudantes reconhecem, entre as diversas situações, se há ou não relação de proporcionalidade entre duas grandezas.

• Na atividade 34, nos itens d e f, ressalte que a proporcionalidade só existe para quantidades “razoáveis” de tratores e máquinas (em comparação com o tamanho do terreno/trecho da estrada). Acima de certo número, os tratores (ou as máquinas) vão se “atrapalhar mutuamente” e a proporcionalidade deixa de existir.

• Nas atividades 35, 36 e 37, é importante orientar os estudantes que não basta que as medidas das duas grandezas cresçam ou decresçam juntas para que sejam diretamente proporcionais, ou seja, é preciso que o aumento das medidas de uma delas seja proporcional ao aumento das medidas da outra.

Resposta do item c da atividade 35:

Quantidade de canetas	Custo (em R$)
5	35
10	70
11	77
14	98

• A proporcionalidade está presente em variados contextos do cotidiano. Na atividade 38, comente com os estudantes que não é possível prever se a variação numérica apresentada no problema vai acontecer.

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Regra de três simples

Quando um problema tem duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais, podemos resolvê-lo utilizando um procedimento chamado regra de três simples.

Acompanhe os exemplos a seguir.

a) Ana comprou 3 cadernos de um mesmo modelo por R$ 36,00trinta e seis reais. Quanto ela gastaria para comprar 9 cadernos desse modelo?

Perceba como Ana resolveu essa questão usando a Aritmética.

Ilustração: Um senhor branco calvo, de bigode e camisa azul, está atrás de um balcão. Sobre o balcão há um computador. Atrás do senhor, uma estante com cadernos e porta-canetas. Uma mulher branca, de camiseta rosa, está em frente ao balcão entregando três cadernos para o senhor. A mulher diz: 'Como 36 dividido por 3 é igual a 12, cada caderno custa 12 reais. Se eu levar 9 cadernos, então: 12 vezes 9 é igual a 108. Gastaria 108 reais'.

Agora, vamos resolver usando a Álgebra. Para isso, representamos o valor desconhecido (preço total de 9 cadernos) por uma letra, por exemplo, c. E, assim, organizamos as informações no quadro a seguir.

Quantidade de cadernos	Preço (em R$)
3	36
9	c

Verificando que a quantidade de cadernos e o preço sejam diretamente proporcionais, temos a seguinte proporção:

\frac{3}{9} = \frac{36}{c}

Agora, aplicamos a propriedade fundamental das proporções e resolvemos a equação.

3 ⋅ c = 9 ⋅ 36

3c = 324

c =

\frac{324}{3}

= 108

Portanto, Ana gastaria R$ 108,00cento e oito reais para comprar 9 cadernos.

b) O Maglev (Magnetic levitation transport), trem de levitação magnética, ao se deslocar a uma medida de velocidade média de 400 quilômetros por hora, faz determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo esse trem faria o mesmo percurso se a medida de velocidade fosse de 480 quilômetros por hora?

Construímos inicialmente um quadro em que x representa a medida do tempo, em hora, gasto pelo trem para cumprir o percurso a uma medida de velocidade de 480 quilômetros por hora.

Medida de velocidade média (km/h)	Medida do tempo (h)
400	3
480	x

Fotografia: Trem de alta velocidade sobre trilho. Às margens do trilho, um rio. O dia está ensolarado, sem nuvens no céu. Na paisagem há árvores e uma construção ao fundo. — Maglev em Xangai, China. Foto de 2021.

Respostas e comentários

Regra de três simples

Diga aos estudantes que o quadro poderia ser montado também desta fórma:

Quantidade de cadernos	3	9
Preço (em R$)	36	c

Também podemos montar a proporção da seguinte maneira:

\frac{3}{36} = \frac{9}{c}

Peça aos estudantes que expliquem por que tanto faz montar a proporção assim:

\frac{3}{36} = \frac{9}{c}

\frac{3}{9} = \frac{36}{c}

Eles devem aplicar a propriedade fundamental das proporções para fazer a verificação.

•

\frac{3}{36} = \frac{9}{c}

3c = 9 ⋅ 36

c = 108

•

\frac{3}{9} = \frac{36}{c}

3c = 36 ⋅ 9

c = 108

Página 200

Verifique que, ao dobrar a medida da velocidade média do trem, a medida do tempo utilizado no percurso fica reduzida à metade; ao triplicar a medida de velocidade média do trem, a medida do tempo utilizado fica reduzida à terça parte, e assim por diante. Dessa fórma, as grandezas velocidade média e tempo são inversamente proporcionais. Então, podemos escrever a proporção:

\frac{400}{480} = \frac{x}{3}

Invertemos a razão.

Em seguida, aplicamos a propriedade fundamental das proporções e resolvemos a equação:

480 ⋅ x = 400 ⋅ 3

480x = .1200

x = \frac{1200}{480} = 2, 5

Portanto, o trem faria o mesmo percurso em 2,5 horas (2 horas e 30 minutos) se a medida da velocidade fosse 480 quilômetros por hora.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

39. Três escavadeiras transportam 200 métros cúbicos de areia. Para transportar .1600 métros cúbicos de areia, quantas escavadeiras iguais a essas seriam necessárias?

40. Um aparelho em alta medida de velocidade irriga 2 hectares em 40 minutos. Quantos hectares seriam irrigados por esse aparelho em duas horas, mantendo a mesma medida de velocidade?

41. Usando 10 litros de óleo de copaíba, árvore nativa da Amazônia, um caminhão que trafega a uma medida de velocidade média de 60 quilômetros por hora percorre 80 quilômetros. Quantos litros seriam utilizados em um percurso de 200 quilômetros na mesma medida de velocidade?

42. De uma amostra de 100 gramas de um minério, foi extraído 0,2 grama de ouro. Quantos gramas de ouro podem ser extraídos de 1 quilograma desse minério?

43. O supertrem que liga Londres a Paris, através do Eurotúnel, tem medida de velocidade média de 160 quilômetros por hora e leva 40 minutos para atravessar o Canal da Mancha. Se a medida de velocidade média fosse aumentada para 200 quilômetros por hora, em quanto tempo o trem atravessaria o túnel?

44. Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou uma obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço fosse reduzido para 5 horas por dia, em que prazo essa equipe faria o mesmo trabalho?

45. Em uma empresa trabalham 3 telefonistas; cada uma atende, em média, 125 ligações diárias. Aumentando para 5 o número de telefonistas, quantas ligações, em média, cada uma atenderá por dia?

46.

Em uma folha, crie uma lista com 10 pares de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais e não proporcionais. Deixe uma linha entre cada par para que um colega possa anotar se as grandezas são diretamente, inversamente ou não proporcionais.

47.

Elabore um problema para cada item a seguir.

a) Envolvendo duas grandezas diretamente proporcionais.

b) Envolvendo duas grandezas inversamente proporcionais.

• Agora, troque um problema de cada vez com um colega para que ele o resolva enquanto você resolve o dele. Por fim, analisem as resoluções em conjunto e discutam as estratégias que adotaram para solucionar os problemas.

Respostas e comentários

39. 24 escavadeiras

40. 6 hectares

41. 25 litros

42. 2 gramas

43. 32 minutos

44. 32 dias

45. 75 ligações

46. Resposta pessoal.

47. a) Resposta pessoal.

47. b) Resposta pessoal.

Mostre na lousa como montar esse cálculo de outra fórma:

\frac{400}{\frac{1}{3}} = \frac{480}{\frac{1}{x}}

400 ⋅ 3 = 480 ⋅ x

x = \frac{1200}{480} = 2, 5

Página 201

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Razão

A razão entre dois números, aêbê, com b ≠ 0, nessa ordem, é dada por

\frac{a}{b}

1. Escreva na fórma de fração irredutível a razão entre cada par de medidas apresentadas, na ordem dada.

a) .64000 quilogramas de .2000 quilogramas

b) 5 litros e 25 litros

c) 4 centímetros e 100 centímetros

d) 2 métros cúbicos e 8 métros cúbicos

2. Em um jogo de basquete, Marcelo acertou 20 dos 28 arremessos que fez. Qual foi a razão entre os números de arremessos e de cestas?

3. A razão entre o número de médicos e o número de habitantes de uma cidade é

\frac{1}{3000}

. Determine a população dessa cidade sabendo que há 42 médicos.

Proporção

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Os termos de uma proporção são:

Propriedade fundamental das proporções

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, ou seja, dados a, b, c e d racionais não nulos, com

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, temos: a ⋅ d = b ⋅ c

4. Determine o valor de x em cada proporção.

\frac{x}{10} = \frac{14, 4}{12}

\frac{7}{14} = \frac{3, 5}{x}

, com x ≠ 0

5. Copie no caderno apenas as razões que formam proporções.

\frac{10}{5}

\frac{20}{10}

\frac{0, 5}{25}

\frac{\frac{1}{4}}{12}

\frac{25}{1, 5}

\frac{50}{3}

\frac{\frac{1}{2}}{40}

\frac{0, 5}{20}

6. Um reservatório contém .12000 litros de água. Um produto químico deve ser misturado à água na razão de 40 gramas para cada 320 litros de água. Quantos pacotes de 100 gramas desse produto químico deverão ser adicionados ao reservatório?

7. Em um canal de televisão, são intercalados 25 minutos de programação com 7 minutos de anúncios comerciais. Em um filme de 70 minutos, quantos minutos, aproximadamente, deveriam ser reservados para os anúncios?

Grandezas e proporcionalidade

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre dois valores quaisquer da primeira é igual à razão entre os valores correspondentes da segunda.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre dois valores quaisquer da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da segunda.

8. Três sócios investiram os valores indicados neste quadro para montar uma empresa.

Sócio	Investimento
A	R$ 20.000,00
B	R$ 35.000,00
C	R$ 45.000,00

A empresa, porém, foi à falência, causando um prejuízo de R$ 42.000,00quarenta e dois mil reais. Sabendo que o prejuízo foi diretamente proporcional ao investimento, calcule a parcela de prejuízo de cada sócio.

9. Se 15 homens podem fazer um serviço em 40 dias, em quanto tempo o mesmo serviço será feito empregando-se mais 10 homens com o mesmo rendimento dos outros?

10. Doze marujos pintaram o casco de um navio em 4 dias e 4 horas. Quantos marujos, com o mesmo rendimento de trabalho, serão necessários para pintar o mesmo casco em 6 dias e 6 horas?

Respostas e comentários

1. a) 32

1. b)

\frac{1}{5}

1. c)

\frac{1}{25}

1. d)

\frac{1}{4}

\frac{7}{5}

3. .126000 habitantes

4. a) 12

4. b) 7

5. alternativas a, c

6. 15 pacotes

7. 19,6 minutos

8. a: R$ 8.400,00oito mil quatrocentos reais; B: R$ 14.700,00quatorze mil setecentos reais; C: R$ 18.900,00 dezoito mil novecentos reais

9. 24 dias

10. 8 marujos

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Razão

• Amplie a proposta da atividade 1 e faça estes questionamentos para a turma: “Qual é a razão entre o número de estudantes que usam óculos e o total de estudantes da turma?”; “Qual é a razão entre o número de estudantes que praticam atividades físicas regularmente e os que não praticam?”. Você pode pedir aos estudantes que elaborem algumas questões.

• Amplie a proposta da atividade 2 e faça os seguintes questionamentos para a turma: “Qual é a razão entre o número de cestas e o total de arremessos feitos por Marcelo? Como vocês determinaram essa razão?”; “Qual é a razão entre o número de arremessos errados e o total de arremessos feitos por Marcelo? Como vocês determinaram essa razão?”. Espera-se que os estudantes concluam que a primeira razão é

\frac{5}{7}

, que pode ser determinada dividindo o número de cestas pelo total de arremessos ou invertendo a razão determinada na atividade. Espera-se também que concluam que a segunda razão é

\frac{2}{7}

, que pode ser determinada dividindo o número de arremessos errados pelo total de arremessos ou fazendo 1 ‒

\frac{5}{7}

• Na atividade 3, para determinar a população da cidade, os estudantes devem calcular 42 ⋅ .3000. Você pode ampliar a proposta da atividade solicitando que elaborem problemas inspirados nessa atividade.

Proporção

• Na atividade 4, para determinar o valor de x, os estudantes podem fazer cálculos mentais. Chame a atenção para o fato de que, no item b, x ≠ 0, pois está no denominador da fração.

• Na atividade 6, espera-se que os estudantes montem a seguinte proporção para determinar a quantidade de produto químico que deve ser colocado em .12000 litros de água:

\frac{40}{320} = \frac{x}{12000}

, em que x indica a medida de massa de produto químico a ser colocada em .12000 litros de água.

É importante que eles estejam atentos ao fato de que o problema solicita a quantidade de pacotes de 100 gramas do produto químico, ou seja, a situação não está resolvida após a determinação de x.

Grandezas e proporcionalidade

• Antes que resolvam o problema proposto na atividade 9, pergunte à turma: “O que se espera que aconteça com a duração do serviço aumentando a quantidade de empregados que vão trabalhar com o mesmo rendimento dos outros?”. Espera-se que eles reconheçam que a duração do serviço vai diminuir.

• Caso os estudantes tenham dificuldade para fazer a atividade 10, oriente-os a organizar os dados do problema em um quadro. Após resolverem, faça a correção coletiva.

Glossário

Fusão: : transformação da matéria do estado sólido para o estado líquido.; Voltar para o texto

Quilômetro contra o relógio: : modalidade em que cada ciclista larga sozinho na pista, em intervalos de 90 segundos de diferença em relação aos demais competidores.; Voltar para o texto