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Capítulo 11 Figuras geométricas planas

Trocando ideias

Entre 2021 e 2022, ocorreu em São Paulo a exposição “Sombras Milenares – O Mundo de HYBYCOZO”. Conhecido por aliar tecnologia ao estudo da Geometria e pela materialização das sombras como manifestação artística, o duo HYBYCOZO, formado pela artista visual ucraniana Yelena Filipchuk e pelo designer industrial canadense Serge Beaulieu, trouxe para a exposição nove obras e instalações: Trocto, Rhombi, Ivov, Icozo, Dodi, Illuminati, Cylinder, Sunscope e a obra em larga escala Star.

Fotografia: Dentro de uma sala, há uma escultura semelhante a uma figura geométrica espacial. As faces aparentes são um losango no meio, e dois quadrados de cada lado. A escultura é vazada, com várias formas padronizadas em suas faces. Dentro da escultura há uma iluminação. Essa iluminação dá o efeito de sombras nas paredes da sala. — As esculturas da exposição “Sombras Milenares – O Mundo de HYBYCOZO” são iluminadas por dentro e seus padrões são projetados nas paredes e no chão da sala.

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Com quais figuras geométricas planas se parecem algumas partes das esculturas da foto anterior?

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As sombras projetadas no chão e nas paredes se parecem com quais figuras geométricas planas?

Neste capítulo, vamos estudar as figuras geométricas planas e suas propriedades.

Respostas e comentários

Trocando ideias: primeiro item: espera-se que os estudantes identifiquem diversos polígonos, como triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos etcétera; segundo item: espera-se que os estudantes identifiquem os mesmos polígonos do primeiro item e círculos.

CAPÍTULO 11 – FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

Trocando ideias

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 3 e 9 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 4 e 8 (as descrições estão na página sete).

Objetivos:

• Verificar se os estudantes reconhecem figuras geométricas planas em obras de arte.

• Relacionar a Geometria a outras áreas do conhecimento, em particular à Arte, desenvolvendo o senso estético e artístico.

Inicie a aula comentando com a turma a exposição “Sombras Milenares – O Mundo de HYBYCOZO” e solicitando aos estudantes que observem a imagem apresentada. Se possível, mostre a eles imagens de outras obras presentes na exposição ocorrida em São Paulo. Dê um tempo para que conversem sobre o que conseguem identificar e, depois, peça que respondam às questões propostas.

Ao abordar a primeira questão, verifique se eles percebem que algumas partes das esculturas se parecem com diversos polígonos, como triângulos, quadriláteros, pentágonos e hexágonos etcétera, ou seja, com polígonos que têm três, quatro, cinco ou seis lados. No caso das partes que são parecidas com quadriláteros, é possível que alguns respondam “paralelogramo” ou “quadrado”. Caso isso ocorra, incentive-os a justificar o porquê de terem chegado a essas conclusões.

Você também pode perguntar se os pentágonos e os hexágonos que eles identificaram são regulares. Esse pode ser o momento oportuno para levantar os conhecimentos prévios deles sobre polígonos regulares.

No segundo item, espera-se que eles reconheçam que as sombras projetadas são parecidas com os mesmos polígonos identificados no primeiro item e também com círculos. Amplie a proposta e peça a eles que citem algumas características dessas figuras e anote-as na lousa.

Neste Trocando ideias, a competência geral 3 da Bê êne cê cê tem o seu desenvolvimento favorecido porque os estudantes são incentivados a valorizar uma manifestação artística. Ao investigar essa manifestação para produzir argumentos, o desenvolvimento da competência específica 4 é favorecido. Os momentos de diálogo e interação promovidos contribuem para o desenvolvimento da competência geral 9 e da competência específica 8.

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1 Circunferência e círculo

Circunferência

Na tela a seguir, o artista russo vaciíli candinsqui (1866 - 1944) faz uma composição com figuras que se parecem com circunferências, círculos e retas.

Conheça mais

No site do Museu Guggenheim de Nova York (Estados Unidos da América), é possível conhecer mais obras de vaciíli candinsqui.

Circunferência é a figura formada por todos os pontos de um plano que estão à mesma medida da distância de um ponto fixo desse plano. O ponto fixo é chamado centro da circunferência.

Na representação, o ponto óh é o centro da circunferência.

a, B, C e D são alguns pontos da circunferência.

Figura geométrica: circunferência azul. O centro da circunferência é O, Há a indicação do diâmetro da circunferência, que é a reta que liga os pontos A e B, passando pelo centro O. Há também a indicação de um raio da circunferência, representado pela reta que liga o centro O ao ponto C. Há uma marcação de um ponto D na circunferência.

Todo segmento de reta que une o centro óh a um ponto qualquer da circunferência é chamado raio. Os segmentos de reta

\overline{O A}, \overline{O B} e \overline{O C}

, por exemplo, são raios da circunferência.

O segmento de reta que tem duas extremidades na circunferência e que passa pelo centro dela é chamado diâmetro. O segmento

\overline{A B}

é um diâmetro da circunferência.

Construção de uma circunferência com compasso

Observe, a seguir, a construção da circunferência de centro óh e raio medindo 1,5 centímetro de comprimento.

1º) Usando uma régua, abrimos o compasso em 1,5 centímetro.

Ilustração: Uma régua milimetrada de 5 centímetros. Uma mão branca segura um compasso. A ponta seca do compasso está sobre o número 0 na régua. A ponta com grafite está sobre o 1,5 centímetros da régua.

2º) Marcamos o centro óh e, em seguida, com a ponta-seca no centro óh e abertura de 1,5 centímetro, seguramos a parte superior do compasso e giramos até completar uma volta inteira.

Ilustração: Circunferência de centro O. Uma mão branca segura um compasso. A ponta seca do compasso está sobre o centro O e a ponta com grafite está sobre um ponto na circunferência.

Respostas e comentários

Circunferência e círculo

Bê êne cê cê:

• Competência geral 3 (a descrição está na página seis).

• Competência específica 1 (a descrição está na página sete).

• Habilidades ê éfe zero sete ême ah dois dois e ê éfe zero sete ême ah três três.

Objetivo:

Compreender a diferença entre os conceitos de circunferência e círculo.

Justificativa

Circunferências e círculos estão presentes não só na Matemática como nas Artes, Engenharia, Arquitetura, Astronomia, entre outras áreas do conhecimento. Distinguir esses conceitos auxilia os estudantes a entender suas diferentes aplicações e é um passo importante para que as habilidades ê éfe zero sete ême ah dois dois e ê éfe zero sete ême ah três três tenham o seu desenvolvimento favorecido.

Mapeando conhecimentos

Peça aos estudantes que em uma folha de papel representem uma circunferência. Após fazerem as representações, pergunte se sabem identificar e definir o raio e o diâmetro e a relação entre as medidas de comprimento deles.

Para as aulas iniciais

Explique para eles como manusear um compasso, alertando-os para ter cuidado com esse material, e peça que tracem diferentes circunferências. Depois, peça que façam o que se pede a seguir:

• representem um diâmetro e um raio em cada uma das circunferências;

• meçam o comprimento do raio e do diâmetro de cada circunferência;

• comparem as medidas do comprimento do raio e do diâmetro.

Depois, verifique se percebem que a medida de comprimento de todos os diâmetros de uma circunferência é o dobro da medida de comprimento dos raios.

Inicie a explicação de circunferência explorando a reprodução da tela Circles in a circle de vaciíli candinsqui. O autor da obra era pintor e teórico de arte russa. Comente que ele é um dos 20 artistas mais famosos do século vinte e tem esse crédito por ter sido um dos primeiros a trabalhar com arte abstrata.

Peça aos estudantes que listem as características das circunferências. Para aprofundar a discussão, compare as características listadas com um polígono qualquer.

Construção de uma circunferência com compasso

Comente que o uso do compasso é facilitado se as pontas estiverem alinhadas e o grafite, apontado; a construção é feita com os dedos polegar e indicador sobre o pino, sendo a haste de apoio a que possui a ponta-seca. Reforce que a qualidade do traçado está relacionada à precisão nas construções. Peça aos estudantes, quando forem abrir o compasso no tamanho da medida de comprimento do raio, que façam marcações para se certificar de que o grafite está na abertura correta. Se julgar necessário, solicite que pratiquem o uso do compasso em folhas de papel rascunho.

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

(EF07MA33) Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

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Circunferência como lugar geométrico

Lucas fixou um lápis em uma das extremidades de um barbante que estava preso a um alfinete fixado em uma mesa, como mostra a figura. Maíra, usando um software de geometria dinâmica, construiu um segmento de reta

\overline{O A}

de medida de comprimento fixa.

Ilustração: Um menino negro, de cabelos cacheados, camiseta verde e calça azul está em pé. O menino está com a mão esquerda sobre uma folha de papel branco, e a mão direita está segurando um lápis, amarrado a um barbante, que está amarrado em um ponto fixo sobre o centro da folha. À direita do menino, uma menina branca, de cabelos pretos e camiseta rosa está sentada, em frente a um computador que está sobre a mesa. Na tela do computador, de cima para baixo, a indicação "Geometria dinâmica", e as representações das ferramentas ponto, segmento de reta, polígono e circunferência. À direita, a indicação da construção de segmento de reta com extremidades O e A.

Girando o lápis em torno do alfinete, Lucas traçou o caminho percorrido pelo lápis. Maíra utilizou o software, habilitando a opção de rastrear, e movimentou o ponto a, extremidade móvel do segmento de reta, traçando o caminho percorrido por esse ponto.

Note que, nas duas situações, o caminho traçado é o conjunto dos pontos do plano que têm uma propriedade em comum: estão todos a uma mesma medida da distância de um ponto fixo. Em Geometria, costumamos chamar conjuntos de pontos que têm uma ou mais propriedades em comum de lugar geométrico.

Circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à mesma medida da distância de um ponto fixo desse plano.

Respostas e comentários

Circunferência como lugar geométrico

Reproduza na lousa a construção de uma circunferência com o auxílio de um barbante, como mostrado neste tópico. Na lousa, para fixar a extremidade do barbante que coincidirá com o centro da circunferência, utilize uma borracha ou uma ventosa.

É importante que neste momento os estudantes tenham clareza da definição de circunferência como o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo. Explique a eles o que é lugar geométrico, pois a boa compreensão desse conceito os ajudará em estudos futuros – por exemplo, sobre a mediatriz de um segmento de reta no 8º ano ou sobre a elipse e a esfera no Ensino Médio.

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Medida do perímetro ou do comprimento de uma circunferência

A medida do perímetro corresponde à medida de comprimento do contorno de uma figura geométrica. Para calcular a medida do perímetro de um quadri látero, podemos medir o comprimento dos quatro lados com uma régua e adicionar as medidas obtidas.

Ilustração: menina negra, de cabelo cacheado amarrado, com camiseta rosa, está sentada em frente a uma mesa. Sobre a mesa há uma folha de papel branca, um estojo com lápis, uma borracha e um lápis verde. Na folha há a indicação do algoritmo usual da adição, 5 mais 4 mais 2 mais 3 igual a 14. A menina segura uma régua e mede um dos lados de um quadrilátero.

Para medir o perímetro de uma circunferência, ou seja, medir o comprimento dela, podemos, por exemplo, utilizar uma fita métrica ou contorná-la com um fio de barbante e medir seu comprimento.

Observe as medidas do comprimento, representadas por C, de três pratos que Lara e João obtiveram.

Ilustração: Sobre uma mesa, da esquerda para a direita. Um prato, com a indicação de diâmetro igual a 27 centímetros e comprimento da circunferência igual a 84 centímetros. À direita, um prato, com a indicação de diâmetro igual a 19,5 centímetros e comprimento da circunferência igual a 61,5 centímetros. À direita, Um prato, com a indicação de diâmetro igual a 16 centímetros e comprimento da circunferência igual a 50,5 centímetros. Uma menina negra, de cabelo cacheado amarrado, de camiseta laranja e um menino branco, de cabelo preto e camiseta azul, estão em pé com uma fita amarela passando em volta do terceiro prato, o menor.

Se dividirmos cada medida do comprimento dos pratos pelas medidas do comprimento dos diâmetros, representadas por d, obteremos os valores aproximados 3,11; 3,15 e 3,16, respectivamente.

Na verdade, a razão entre a medida C do comprimento de qualquer circunferência e a medida d do comprimento do diâmetro é uma constante indicada pela letra grega π (pi), ou seja,

\frac{C}{d} = π

. Usualmente, utilizamos π = 3,14, mas esse é um valor aproximado.

Um pouco de história

Faça as atividades no caderno.

O número π

É provável que os primeiros valores para π tenham sido obtidos por meio de medidas. O papiro de Rhind (documento egípcio escrito por volta de 1650 antes de Cristo) apresenta a razão entre a medida do comprimento de uma circunferência e a medida de comprimento do diâmetro dela como 3,1604, uma aproximação para o número π.

Mais tarde, o matemático grego Arquimedes (287 antes de Cristo - 212 antes de Cristo) apresentou um cálculo para essa razão que resultou em um número entre

\frac{223}{71}

\frac{22}{7}

Conta-se que, somente no início do século quinze, o matemático britânico Willian Jones adotou a letra grega π para o que hoje chamamos de número pi, por corresponder à letra P, que se refere ao perímetro da circunferência. O uso dessa letra grega foi popularizado por Leonhard Euler.

Ilustração: Caricatura de Leonhard Euler. — Caricatura de Leonhard Euler.

Atividades

1. Meça o comprimento de um objeto circular (prato, copo, bacia etc.) e o comprimento do diâmetro desse objeto e determine a razão entre essas medidas. Por que a razão obtida não éexatamente igual a π?

2. O número π teve diversas aproximações ao longo da história. Pesquise aproximações que não estão indicadas no texto.

Respostas e comentários

Um pouco de história: 1. Resposta pessoal.

2. Resposta pessoal.

Medida do perímetro ou do comprimento de uma circunferência

Este tópico busca o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah três três.

Verifique os conhecimentos prévios dos estudantes quanto ao conceito de perímetro, visto em anos anteriores para os polígonos. Provavelmente, eles dirão que perímetro é a “soma das medidas de comprimento dos lados de um polígono”. Neste momento, retome a ideia de que perímetro é o contorno da figura e faça o contraponto entre polígonos e circunferência: “Se a circunferência não tem lados, como é possível medir o seu comprimento?”.

Repare que não foi formalizada a fórmula da medida do comprimento da circunferência. O principal a ser entendido neste momento é que a experimentação em fazer a razão da medida do comprimento da circunferência pela medida do comprimento do diâmetro resultou em aproximadamente 3, ou seja, a medida do comprimento da circunferência é aproximadamente o triplo da medida do comprimento do diâmetro. Enfatize que é aproximadamente.

O boxe Um pouco de história continua abordando a habilidade ê éfe zero sete ême ah três três e visa contribuir para o desenvolvimento da competência específica 1 da Bê êne cê cê.

Sugestão de atividade extra

Peça aos estudantes que tragam de casa objetos em formato circular (copos de plástico, carretéis etcétera). Organize-os em trios e solicite que, com o auxílio de barbantes, meçam o comprimento do contorno dos objetos. Peça que meçam também o comprimento do diâmetro, com o auxílio da régua, e, com base nas medidas, calculem as razões das medidas de comprimento dos contornos pelas medidas de comprimento dos diâmetros.

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Círculo

Círculo é uma figura geométrica plana formada por uma circunferência e toda sua região interna.

A partir da definição de círculo, podemos dizer que uma circunferência corresponde ao contorno de um círculo.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso na atividade 2.

1. Com uma régua, determine, em centímetro, as medidas de comprimento do raio e do diâmetro de cada uma das circunferências a seguir e registre.

Figura geométrica. Duas circunferências. Circunferência verde de centro O e diâmetro AB. Ao lado direito, circunferência roxa com centro O e diâmetro CD. A circunferência roxa tem o dobro da medida de comprimento do diâmetro da circunferência verde.

2. Com um compasso, trace uma circunferência de centro óh e medida de comprimento do diâmetro de 5 centímetros.

3. Descreva a diferença entre círculo e circunferência.

4. Copie as frases no caderno, completando‑as.

a) O comprimento do raio de uma circunferência mede 5 centímetros; então, o comprimento do diâmetro mede

b) Uma circunferência cujo comprimento do diâmetro mede 16 centímetros tem

de medida de comprimento do raio.

Organizem-se em duplas e façam, em uma folha de papel sulfite ou cartolina, uma releitura da obra Circles in a circle, de candinsqui, que aparece no tópico Circunferência. A releitura é uma obra nova, inspirada na anterior; nela, podemos dar o nosso toque pessoal.

6. Na circunferência de centro óh a seguir, destacamos 3 pontos, a, B e C, pertencentes a ela. É correto afirmar que:

Figura geométrica: circunferência de centro O, com marcação dos pontos A, B e C sobre a circunferência.

a) A medida da distância entre os pontos aêcê é igual à medida da distância entre os pontos B e C.

b) As medidas da distância do centro óh aos pontos a, B e C são iguais.

c) Não podemos afirmar nada sobre as medidas das distâncias entre os pontos porque não foram fornecidas essas medidas.

d) A medida da distância entre os pontos aêbê é a mesma medida da distância entre os pontos óh e C.

7. Se o comprimento do raio de uma circunferência mede 5 centímetros, o comprimento dessa circunferência mede:

a) 15,7 centímetros.

b) 10 centímetros.

c) 31,4 centímetros.

8. Em qual das figuras geométricas a seguir todos os pontos estão à mesma medida da distância do ponto a?

Figura geométrica: circunferência de centro A.

Figura geométrica: Contorno de um quadrado com um ponto A marcado no seu centro.

Figura geométrica: Contorno de um triângulo com um ponto A marcado no seu centro.

Versão adaptada acessível

1. Com um compasso, represente uma circunferência em um papel. Depois, meça a medida do comprimento do seu diâmetro e de seu raio.

Qual é a relação entre essas duas medidas?

Orientação para acessibilidade

Resposta

Espera-se que os estudantes concluam que a medida do comprimento do raio é a metade da medida do comprimento do diâmetro.

Respostas e comentários

1. r = 1 centímetro, d = 2 centímetros; r = 2 centímetros, d = 4 centímetros

2. Resposta em Orientações.

3. O círculo tem uma região interna limitada por uma circunferência. A circunferência é apenas uma linha.

4. a) 10 centímetros

4. b) 8 centímetros

5. A produção é pessoal.

6. alternativa b

7. alternativa c

8. alternativa a

Círculo

Após definir círculo, mostre aos estudantes imagens que contenham elementos parecidos com círculos. Você pode explorar reproduções de obras de arte, bandeiras de países ou fotos de elementos da natureza.

• Nas atividades 2 e 5, alerte os estudantes a ter cuidado no manuseio do compasso.

• Resposta da atividade 2:

Figura geométrica: circunferência de centro O.

• A atividade 5 contribui para o desenvolvimento da competência geral 3, que se refere à valorização de diferentes manifestações artísticas, participando de produção artístico-cultural.

• Na atividade 6, não é necessário fazer nenhuma medição para chegar à alternativa correta. No entanto, pode-se pedir aos estudantes que verifiquem com a régua que os pontos a, B e C são equidistantes do centro óh.

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2 Polígonos

O mosaico ilustrado a seguir é composto de diversos polígonos convexos que se encaixam perfeitamente, cobrindo toda a área.

Ilustração: um mosaico formado por vários polígonos coloridos. Há uma simetria entre o lado direito e esquerdo do mosaico.

Polígono é uma linha poligonal fechada simples com sua região interna. Um polígono é convexo quando, ao se unir dois pontos quaisquer de sua região interna, obtém-se um segmento de reta integralmente contido nessa região. Caso contrário, o polígono será não convexo. Considere os exemplos a seguir.

Figura geométrica: polígono azul de quatro lados. Dentro do polígono, um segmento de reta vermelho, com os pontos A e B em suas extremidades.

Ilustração. Polígono verde de 7 lados, que se parece com uma bandeira típica de festa junina virada para cima. Há um segmento de reta vermelho, com os pontos A e B em suas extremidades. Esse segmento de reta tem os pontos A e B dentro do polígono e uma de suas partes é fora do polígono.

Observação

Quando não há especificação sobre o tipo, o polígono considerado é convexo.

Elementos de um polígono

Podemos identificar os seguintes elementos no polígono á bê cê dê é a seguir:

Figura geométrica: um polígono lilás com 5 lados. Dentro do polígono há um pentagrama amarelo. Os vértices do pentagrama encostam nos vértices do polígono. Nos vértices do polígono há a indicação A, B, C, D e E, letras maiúsculas e sobre elas o símbolo que se parece com o acento circunflexo. Nos ângulos internos do polígono há a indicação a, b, c, d e e, letras minúsculas e sobre elas o símbolo que se parece com o acento circunflexo. Em cada um dos lados, há um prolongamento, com a indicação dos ângulos externos do polígono.

• lados: segmentos de reta que formam o contorno do polígono;

\overline{A B}, \overline{B C}, \overline{C D}, \overline{D E}, \overline{E A}

• vértices: pontos de encontro de dois lados consecutivos;

a, B, C, D, ê

• diagonais: segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos;

\overline{A C}, \overline{A D}, \overline{B D}, \overline{B E}, \overline{C E}

• ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos;

\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}, \hat{d}, \hat{e}

• ângulos externos: ângulos formados por um lado do polígono e pelo prolongamento do lado consecutivo a ele.

\hat{a_{1}}

\hat{b_{1}}

\hat{c_{1}}

\hat{d_{1}}

\hat{e_{1}}

Respostas e comentários

Polígonos

Bê êne cê cê:

Habilidade ê éfe zero sete ême ah dois sete.

Objetivos:

• Compreender o conceito de polígono.

• Reconhecer polígonos regulares.

Justificativa

Compreender o conceito de polígono mobiliza os conhecimentos previamente adquiridos pelos estudantes sobre pontos, segmentos de reta e ângulos e contribui para que entendam suas diferentes propriedades.

Reconhecer polígonos regulares favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah dois sete, que tem esses polígonos como eixo central.

Mapeando conhecimentos

Pergunte aos estudantes o que é um polígono. Após responderem, represente um polígono qualquer na lousa e peça que identifiquem alguns de seus elementos: lados, vértices, diagonais, ângulos internos e ângulos externos.

Em um segundo momento, mapeie o que sabem sobre a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um polígono e sobre os polígonos regulares.

Para as aulas iniciais

Na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores, retoma-se o conceito de polígono, seus elementos e classificação de acordo com o número de lados. Faça a leitura coletiva dessa revisão com a turma e peça que façam as atividades 68 e 69.

Caso julgue oportuno, proponha que determinem, experimentalmente, a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de alguns polígonos. Eles podem fazer isso representando polígonos no papel e decompondo-os em triângulos ou construindo polígonos em um software de geometria dinânima e adicionando as medidas das aberturas de seus ângulos internos após obter essas medidas com as ferramentas do software.

Em relação aos polígonos regulares, você pode propor que construam alguns no software de geometria dinâmica e verifiquem que as medidas dos comprimentos dos lados são iguais, assim como as medidas das aberturas dos ângulos internos. Você pode até desafiá-los a encontrar uma regra para determinar a medida das aberturas dos ângulos internos de qualquer polígono regular.

Elementos de um polígono

É comum os estudantes apresentarem dificuldade na identificação dos ângulos externos de um polígono. Diante disso, comente que o prolongamento feito para determinar e identificar o ângulo externo de um polígono pode se dar por qualquer uma das extremidades, mas somente uma. Chame a atenção para que eles percebam que o ângulo externo não é o ângulo raso formado após o prolongamento realizado.

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

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Soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um polígono

Para obter a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um polígono, vamos começar pela soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo qualquer.

Considere o triângulo á bê cê, cujas aberturas dos ângulos internos medem a, b e c. Traçamos uma reta s, paralela à reta suporte do lado

\overline{A B}

, passando pelo vértice C.

Figura geométrica: polígono alaranjado de 3 lados, com seus vértices marcados com pontos A, B e C. Há a indicação dos ângulos internos, a, b e c. Sobre o vértice C do polígono, há uma reta s verde traçada. Essa reta formam dois ângulos externos C1 e C2 com o polígono.

Nessa figura, podemos notar que:

centésimo₂ + centésimo₁ + c = 180graus

Como:

• centésimo₁ = b (ângulos alternos internos)

• centésimo₂ = a (ângulos alternos internos)

temos que:

a + b + c = 180graus

Então:

A soma das medidas de abertura dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180graus.

Agora, confira que o quadrilátero representado a seguir foi decomposto em triângulos a partir de uma das diagonais que partem de um vértice.

Observe que a diagonal

\overline{A C}

divide o quadrilátero a bê cê dê em 2 triângulos. Como a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo é 180graus, a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero é 2 ⋅ 180graus, ou seja, 360graus.

Figura geométrica: polígono roxo de 4 lados, com seus vértices marcados com pontos A, B, C e D. Há um segmento de reta pontilhada, ligando os vértices A e C do polígono. — Quadrilátero decomposto em 2 triângulos.

Então:

A soma das medidas de abertura dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é sempre 360graus.

Observação

Ao traçarmos todas as diagonais que partem de um único vértice, decompomos um polígono na quantidade mínima de triângulos.

Respostas e comentários

Soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um polígono

Para a demonstração da soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo, se julgar necessário, retome os conceitos de ângulos formados em retas paralelas cortadas por transversais e as propriedades de ângulos alternos internos.

Repare que se partiu da soma das medidas de abertura dos ângulos internos do triângulo para introduzir a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de qualquer polígono, uma vez que um polígono sempre pode ser decomposto em triângulos.

Para introduzir esse tema, solicite aos estudantes que desenhem um polígono qualquer e, a partir das diagonais que têm extremidades em um mesmo vértice, verifiquem a divisão do polígono em triângulos. Peça que destaquem, com cores diferentes, os ângulos internos dos triângulos, certificando que esses ângulos são formados a partir de um dos vértices do polígono.

Se julgar oportuno, comente que a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de qualquer polígono é determinada pela quantidade de triângulos internos em que o polígono foi decomposto.

A intenção, neste momento, é fazer com que os estudantes compreendam as articulações realizadas para determinar a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um triângulo, sem o foco da introdução de fórmulas.

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Agora, analise este pentágono.

Figura geométrica: polígono azul de 5 lados, com seus vértices marcados com os pontos A, B, C, D e E. Há um segmento de reta tracejado ligando os vértices A e D e um segmento de reta tracejado ligando os vértices A e C. — Pentágono decomposto em 3 triângulos.

As diagonais traçadas,

\overline{A C}

\overline{A D}

, dividem o pentágono á bê cê dê é em 3 triângulos, então a soma das medidas de abertura dos ângulos internos do pentágono é 3 ⋅ 180graus, ou seja, 540graus.

Seguindo esse método, podemos determinar a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de qualquer polígono: traçamos todas as diagonais que partem de um único vértice, decompondo o polígono em triângulos, e multiplicamos a quantidade de triângulos por 180graus (soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo).

Polígono regular

Um polígono é regular quando todos os ângulos internos têm mesma medida de abertura e todos os lados têm mesma medida de comprimento. Dessa fórma, o triângulo equilátero é um polígono regular, assim como o quadrado, o pentágono regular, o hexágono regular, entre outros.

Figura geométrica: polígono alaranjado de 3 lados. Há a indicação de que os 3 lados possuem a mesma medida. Figura geométrica: polígono verde de 4 lados. Há a indicação de que os 4 lados possuem a mesma medida e que os 4 ângulos internos são retos. Figura geométrica: polígono azul de 5 lados. Há a indicação de que os 5 lados possuem a mesma medida. Figura geométrica: polígono vermelho de 6 lados. Há a indicação de que os 6 lados possuem a mesma medida.

Ângulos internos de um polígono regular

A soma das medidas de abertura dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180graus. Como os ângulos internos de um polígono regular têm a mesma medida de abertura, para descobrir a medida de abertura de cada ângulo interno de um triângulo equilátero, dividimos 180graus por 3, que resulta em 60graus.

Figura geométrica: um polígono alaranjado de 3 lados. Há a indicação de que cada ângulo interno mede 60°.

Ilustração: uma menino branco de cabelo ruivo e camiseta verde está com um lápis escrevendo num quadro na parede. No quadro, há desenhado um polígono de 4 lados, indicando que cada ângulo interno mede 90 graus. O menino diz: "Ah! No quadrado é só dividir 360° por 4!".

Respostas e comentários

Polígono regular

Verifique se todos os estudantes compreendem as indicações feitas nos polígonos. Caso seja necessário, explique a eles que símbolos (quantidade de tracinhos ou arcos) iguais indicam a mesma medida.

Com a introdução do polígono regular, se julgar conveniente, incentive-os a obter a expressão da soma das medidas das aberturas dos ângulos internos do polígono com n lados: ésse minúsculoi = (n − 2) · 180graus, uma vez que essa soma é o produto da quantidade de triângulos formados a partir das diagonais de um dos vértices do polígono por 180graus (soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um triângulo).

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Ângulos externos de um polígono regular

Os ângulos internos e externos dos polígonos são suplementares, ou seja, a soma das medidas de abertura de um ângulo interno e de um ângulo externo é 180graus.

Por isso, conhecendo a medida de abertura de um ângulo interno de qualquer polígono regular, podemos calcular a medida de abertura de um ângulo externo dele.

Analise as medidas de abertura dos ângulos indicados nesse triângulo equilátero e nesse quadrado.

Figura geométrica. Triângulo amarelo, com prolongamento em um dos lados da sua base. No ângulo externo desse prolongamento a indicação de 120° e no ângulo interno a indicação de 60°.

Figura geométrica. Quadrado azul, com prolongamento em um dos lados da sua base. Há a indicação de ângulo de 90° no prolongamento e no ângulo interno a ele.

Construindo mosaicos

Um mosaico é uma composição de peças ou figuras que preenche totalmente uma superfície sem haver buracos ou sobreposições.

Para construir um mosaico de quadrados congruentes, no lugar do ângulo externo de um quadrado, podemos encaixar outro quadrado, e depois outro e mais outro, de fórma que, ao redor de um mesmo vértice, a soma das medidas de abertura dos ângulos internos dos quadrados encaixados seja 360graus.

Esquema: Um quadrado rosa dividido em 4 quadrados menores e iguais. No centro do quadrado há um ponto preto. Há uma seta preta chegando ao ponto central, com a indicação: os quadrados foram encaixados em torno desse vértice.

Para construir um mosaico, a soma das medidas de abertura dos ângulos em torno de um mesmo vértice deve ser 360graus.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

9. Entre estas figuras, quais são polígonos?

Figura geométrica: figura plana azul, que se assemelha a planificação de um cone.

Ilustração. Linha poligonal aberta formada por 4 segmentos de reta.

Figura geométrica: uma figura azul com formato de elipse.

Figura geométrica: figura plana azul com 8 lados.

Ilustração. Linha poligonal aberta formada por 5 segmentos de reta.

10. No caderno, identifique os lados, os vértices e as diagonais destes polígonos.

Figura geométrica: polígono azul de 4 lados, com seus vértices marcados com as letras, A, B, C e D. As duas diagonais do polígono estão traçadas.

Figura geométrica: polígono alaranjado de 6 lados, com seus vértices marcados com as letras, A, B, C, D, E e F e todas as suas diagonais traçadas.

11. Este polígono é um eneágono (polígono com 9 lados).

Figura geométrica: polígono amarelo de 9 lados, com seus vértices marcados com os pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I.

a) Quantos são seus ângulos internos?

b) Quantos são seus vértices?

12. Luana quer construir um hexágono regular usando uma régua e um transferidor. Para isso, ela precisa saber a medida de abertura de um ângulo interno desse polígono. Como Luana pode descobrir essa medida?

13. É possível construir um mosaico usando somente triângulos equiláteros? Justifique sua resposta.

14. É possível construir um mosaico usando somente pentágonos regulares? Justifique sua resposta.

Respostas e comentários

9. alternativas a, ê

10. a) lados:

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D A}

;

vértices: a, B, C, D;

diagonais:

\overline{A C}

\overline{B D}

10. b) lados:

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D E}

\overline{E F}

\overline{F A}

;

vértices: a, B, C, D, ê, F;

diagonais:

\overline{A C}

\overline{A D}

\overline{A E}

\overline{B D}

\overline{B E}

\overline{B F}

\overline{C E}

\overline{C F}

\overline{D F}

11. a) 9

11. b) 9

12. Resposta pessoal.

13. Sim, pois a soma das medidas de abertura dos 6 ângulos de triângulos equiláteros em torno de um mesmo vértice é 360graus.

14. Não, pois a medida de abertura de cada ângulo interno de um pentágono regular é 108graus, não sendo possível obter 360graus pela adição de medidas iguais a essa.

Se necessário, relembre o conceito de ângulos suplementares.

No tópico Construindo mosaicos, comente que a característica que torna possível a construção do mosaico é que a medida de abertura do ângulo interno do polígono escolhido deve ser um divisor de 360 ou que 360 deve ser múltiplo da medida de abertura do ângulo interno. Essa relação só é válida para a construção de mosaicos com um mesmo polígono. Caso queira relacionar polígonos diferentes, a soma das medidas das aberturas dos ângulos em torno de um mesmo vértice deve ser igual a 360graus.

• Na atividade 12, que favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah dois sete, Luana pode dividir o hexágono regular em triângulos. Como a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de cada triângulo é 180graus, a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos do hexágono regular, composto de quatro triângulos, é 720graus. Como o hexágono regular tem seis ângulos internos com medidas de abertura iguais, conclui-se que a medida de abertura do ângulo interno de um hexágono regular é igual a 120graus.

Página 260

Tecnologias digitais em foco

Mosaicos

Nesta seção, utilizaremos o software de geometria dinâmica GeoGebra (ou outro software de geometria dinâmica que seu professor pode indicar) para construir mosaicos de polígonos regulares. Para isso, os polígonos precisam ter pelo menos um vértice em comum e se encaixar perfeitamente, de modo que não se sobreponham nem haja espaços entre eles.

Construa

Siga os passos a seguir para construir mosaicos de polígonos regulares. Para a construção de cada polígono, use a ferramenta

Print da ferramenta Geogebra Classic: comando que tem formato de um polígono de 5 lados.

, selecione dois pontos quaisquer e escolha a quantidade de lados do polígono regular desejado.

Mosaico de quadrados

1º) A partir de dois pontos quaisquer, construa um quadrado.

2º) Selecione dois vértices consecutivos do quadrado construído e construa outro quadrado.

3º) Construa outros quadrados a partir de dois vértices consecutivos de um quadrado já existente até formar o mosaico desejado.

Print da ferramenta Geogebra Classic: na parte superior está o nome Geogebra Classic. Abaixo, há um menu, com as algumas ferramentas descritas. A ferramenta que tem o formato de um polígono de cinco lados está selecionada. Na tela está desenhada uma figura composta oito quadrados. De cima para baixo, dois quadrados, abaixo, três quadrados, abaixo, dois quadrados, e abaixo um quadrado.

Mosaico de triângulos equiláteros

1º) A partir de dois pontos quaisquer, construa um triângulo equilátero.

2º) Selecione dois vértices consecutivos do triângulo construído e construa outro triângulo equilátero.

3º) Construa outros triângulos equiláteros a partir de dois vértices consecutivos de um triângulo já existente até formar o mosaico desejado.

Mosaico de hexágonos regulares

1º) A partir de dois pontos quaisquer, construa um hexágono regular.

2º) Selecione dois vértices consecutivos do hexágono construído e construa outro hexágono regular.

3º) Construa outros hexágonos regulares a partir de dois vértices consecutivos de um hexágono já existente até formar o mosaico desejado.

Respostas e comentários

Tecnologias digitais em foco

Bê êne cê cê:

Competência geral 5 (a descrição está na página seis).

Objetivo:

Construir mosaicos com polígonos regulares usando software de geometria dinâmica.

Mosaicos

Nesta seção, foram indicadas construções de mosaicos de polígonos regulares usando o GeoGebra para investigar que é possível construir mosaicos com alguns polígonos regulares, desde que a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos dos polígonos que ficam ao redor de um vértice seja 360graus.

Para alcançar os objetivos desta seção, podem ser utilizados quaisquer softwares de geometria dinâmica. Além disso, na falta do computador, a proposta pode ser adaptada para que os estudantes utilizem papel e instrumentos de desenho e medida.

Os mosaicos, além de ser uma fonte de exploração de conceitos geométricos, também têm função artística. Atividades como essa em que os estudantes utilizam tecnologias digitais para produzir conhecimento contribuem para que exerçam protagonismo, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 5 da Bê êne cê cê.

No Construa, os estudantes vão construir mosaicos com um polígono regular (quadrados, triângulos equiláteros e hexágonos regulares) e outro composto de dois polígonos regulares diferentes. Oriente-os sobre as ferramentas do software que podem utilizar em cada passo.

Na construção de um polígono regular, a ordem de seleção dos vértices determina o lado para o qual o polígono será construído. Caso um polígono se sobreponha a outro, oriente os estudantes a desfazer a construção do polígono sobreposto e modificar a ordem de seleção dos vértices.

Página 261

Tecnologias digitais em foco

Mosaico composto de dois polígonos regulares diferentes

Para compor um mosaico, também podemos combinar dois ou mais polígonos regulares. Siga os passos a seguir e construa um mosaico formado por octógonos regulares e quadrados.

1º) A partir de dois pontos quaisquer, construa um quadrado.

2º) Selecione dois vértices consecutivos do quadrado construído e construa um octógono regular.

3º) Alterne a construção de octógonos e quadrados seguindo o padrão mostrado nesse mosaico até formar o mosaico desejado.

Explore

Faça o que se pede utilizando as ferramentas do software.

a) Movimente os pontos móveis dos mosaicos construídos, modificando a medida de comprimento dos lados. O que acontece com as medidas de abertura dos ângulos internos dos polígonos quando modificamos as medidas de comprimento dos lados dos polígonos?

b) Se em um dos três primeiros mosaicos construídos escolhermos um vértice de um polígono cercado por polígonos, a soma das medidas de abertura dos ângulos internos dos polígonos ao redor desse vértice será 360graus.

Print de recortes da tela da ferramenta Geogebra Classic, da esquerda para a direita, um mosaico com figuras que se assemelham com quadriláteros. À direita, um mosaico com figuras que se assemelham com triângulos. À direita, um mosaico com figuras que se assemelham com polígonos.

Considerando essa informação, calcule a medida da abertura do ângulo interno do triângulo equilátero e do hexágono regular.

c) Observe o mosaico construído com octógonos regulares e quadrados e responda: Como podemos descobrir a medida da abertura do ângulo interno do octógono regular? Qual é essa medida?

Print de recortes da tela da ferramenta Geogebra Classic. Um mosaico rosa formado por polígonos de oito lados e quadrados. Os vértices dos polígonos de oito lados são comuns aos dos quadrados. Os vértices estão marcados com pontos pretos.

Respostas e comentários

Explore: a) As medidas de abertura dos ângulos internos dos polígonos regulares não mudam.

b) Triângulo equilátero: 60graus; hexágono regular: 120graus.

c) Do mosaico, teremos ao seu redor dois octógonos e um quadrado. Como a abertura do ângulo interno de um quadrado mede 90graus, temos que a medida da abertura de dois ângulos do octógono é 360graus – 90graus, que é igual a 270graus. Então, para descobrir a medida da abertura de um ângulo interno do octógono, basta calcular a metade de 270graus, que é 135graus.

Incentive os estudantes a trabalhar com cores e polígonos regulares diferentes para construir composições. De modo geral, os softwares de geometria dinâmica permitem que as cores dos polígonos sejam modificadas. Peça a eles que pintem alguns polígonos e variem as fórmas utilizadas para obter diferentes padrões de mosaicos.

No Explore, os estudantes deverão calcular as medidas das aberturas dos ângulos internos de alguns polígonos regulares sem o uso de fórmulas. Para isso, eles devem fazer uso das ferramentas do software e manipular a figura construída. Atividades como essa, em que a tecnologia digital é utilizada para resolver problemas ou investigar propriedades, contribuem para o desenvolvimento da competência específica 5 da Bê êne cê cê.

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3 Triângulo

Triângulo é o polígono de três lados.

Podemos usar a notação △á bê cê para identificar o triângulo com vértices a, B e C.

Figura geométrica: um triângulo azul, com as marcações dos vértices A, B e C.

Principais elementos de um triângulo

Nesta figura, destacamos alguns elementos do triângulo á bê cê.

Figura geométrica: triângulo alaranjado, com os vértices identificados com as letras A, B e C. Os ângulos internos estão com as indicações de A, B e C. Há prolongamentos dos 3 lados do triângulo, com as indicações dos ângulos externos x, y e z.

• vértices: a, B e C

• lados:

\overline{A B}, \overline{A C} e \overline{B C}

• ângulos internos:

\hat{A}, \hat{B} e \hat{C}

• ângulos externos:

\hat{x}, \hat{y} e \hat{z}

Observações

1. Podemos representar os ângulos

\hat{A}, \hat{B} e \hat{C}

por

B \hat{A} C, A \hat{B} C e A \hat{C} B

, respectivamente.

2. Na figura anterior, os lados

\overline{A B}, \overline{A C} e \overline{B C}

são, respectivamente, opostos aos vértices C, B e a.

3. O triângulo não tem diagonais.

4. Cada ângulo externo é suplementar do ângulo interno adjacente, ou seja, a soma das medidas de abertura do ângulo externo e do ângulo interno adjacente é 180graus.

m e d (\hat{A}) + m e d (\hat{x}) = 180 °

m e d (\hat{B}) + m e d (\hat{y}) = 180 °

m e d (\hat{C}) + m e d (\hat{z}) = 180 °

5. Considerando o △pê quê érre a seguir, podemos indicar as medidas de abertura dos ângulos internos e as medidas de comprimento dos lados, da seguinte fórma:

Figura geométrica: triângulo verde, com vértices identificados com as letras P, Q e R maiúsculas. Os ângulos internos estão com a marcação p, q e r minúsculas. O lado oposto ao vértice R está identificado com a letra s. O lado posto ao vértice P está identificado com a letra t. O lado oposto ao vértice Q, está identificado com a letra u.

m e d (\hat{P}) = p

m e d (\hat{Q}) = q

m e d (\hat{R}) = r

m e d (\overline{P Q}) = P Q = s

m e d (\overline{P R}) = P R = u

m e d (\overline{Q R}) = Q R = t

6. A medida do perímetro de um triângulo é a soma das medidas de comprimento dos lados.

No triângulo PQR anterior, temos:

PQ + PR + QR = s + t + u

Respostas e comentários

Triângulo

Bê êne cê cê:

Habilidades ê éfe zero sete ême ah dois quatro, ê éfe zero sete ême ah dois cinco e ê éfe zero sete ême ah dois seis.

Objetivos:

• Reconhecer triângulos e identificar seus elementos.

• Construir triângulos utilizando régua e compasso.

Justificativa

Em Geometria, são estudadas inúmeras propriedades dos triângulos. Reconhecê-los e identificar seus elementos é o primeiro passo para que essas propriedades sejam assimiladas e aplicadas.

A construção de triângulos utilizando régua e compasso permite aos estudantes investigar a condição de existência de triângulos relacionada às medidas dos comprimentos de seus lados e, também, a resolver problemas envolvendo construções geométricas.

Mapeando conhecimentos

Proponha aos estudantes que construam um triângulo que tenha as seguintes medidas de comprimento de lado: 7 centímetros, 5 centímetros e 3 centímetros. Observe os procedimentos empregados por eles. Após construírem o triângulo, verifique se identificam seus elementos (vértices, lados, ângulos internos e ângulos externos).

Depois, solicite que construam um triângulo que tenha as seguintes medidas de comprimento de lado: 1 centímetro, 2 centímetros e 4 centímetros. Verifique se percebem, nesse caso, que não é possível construir o triângulo. Depois, questione-os o porquê dessa impossibilidade. É importante estimular que façam outras experimentações e que levantem hipóteses.

Para as aulas iniciais

Na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores, há uma revisão sobre triângulo e como são classificados de acordo com a medida do comprimento dos seus lados e, também, de acordo com a medida da abertura de seus ângulos internos. Solicite aos estudantes que leiam a revisão e façam as atividades 70 e 71. Faça a correção dessas atividades coletivamente.

Discuta com eles o fato de o triângulo ser um polígono; logo, ele tem todos os elementos de um polígono, com exceção das diagonais.

Principais elementos de um triângulo

Após apresentar os principais elementos de um triângulo, reproduza um triângulo qualquer na lousa e convide alguns estudantes para que destaquem nele os vértices, os lados, os ângulos internos e os ângulos externos.

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180graus.

(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

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Veja que interessante

Faça as atividades no caderno.

Rigidez de um triângulo

As figuras a seguir representam estruturas de varetas fixadas com pinos.

Ilustração: da esquerda para a direita, três varetas formando uma figura semelhante a um triângulo. À direita, quatro varetas formando uma figura semelhante a um quadrilátero. À direita, cinco varetas formando uma figura semelhante a um polígono de cinco lados.

Observe que, caso seja exercida certa pressão nessas estruturas, a que tem formato triangular não se deforma, mas as que se parecem quadriláteros ou pentágonos podem se deformar e adquirir outros formatos.

Ilustração: da esquerda para a direita, quatro varetas formando uma figura semelhante a um triângulo. À direita, cinco varetas formando uma figura semelhante a um polígono de cinco lados.

A “rigidez” dos triângulos é responsável por sua frequente utilização nas construções e em estruturas, como pontes e torres.

Fotografia: Uma ponte de ferro, sobre uma baía. Sobre a água, uma embarcação. Ao fundo, uma construção com telhados brancos. O dia está nublado. — A ponte da Baía de Sydney liga o centro financeiro da cidade à costa norte, residencial e comercial. Sydney, Austrália. Foto de 2020.

Atividades

1. Como poderíamos transformar as estruturas com fórma de quadrilátero ou de pentágono em estruturas rígidas?

2. Cite exemplos de estruturas ao seu redor em que você percebe a presença da "rigidez" dos triângulos.

Respostas e comentários

Veja que interessante:

1. Para fixar as estruturas do quadrilátero e do pentágono, é preciso decompor esses polígonos em triângulos, firmando suas diagonais. 2. Resposta pessoal.

Na Arquitetura e na Engenharia é muito comum o uso de estruturas com formato triangular, principalmente em telhados, prédios e pontes. Isso acontece devido à rigidez geométrica dos triângulos, que é o foco do boxe Veja que interessante. Essa seção favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah dois cinco.

Explique aos estudantes que, diferente dos triângulos, os outros polígonos podem sofrer deformações, pois é possível alterar a medida das aberturas de seus ângulos internos sem mudar a medida do comprimento de seus lados.

Se achar conveniente, reúna-os em duplas e distribua palitos de sorvete e tachinhas. Depois, com cuidado e sob sua supervisão, oriente-os a prender as pontas dos palitos de modo a formar armações que se pareçam com o contorno de triângulos, quadriláteros, pentágonos etcétera Espera-se que essa atividade permita a eles verificar experimentalmente a rigidez triangular.

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Construção de triângulos

Agora, vamos ver como construir triângulos utilizando régua e compasso. Acompanhe as três situações a seguir.

1ª situação: construir um triângulo conhecendo as medidas de comprimento dos três lados

Indicando as medidas de comprimento dos lados do triângulo á bê cê por x, y e z, temos:

Ilustração: uma reta com as extremidades identificadas com as letras B e C. No meio da reta tem a indicação da letra x. Ilustração: uma reta menor que a primeira com as extremidades identificadas com as letras A e C. No meio da reta tem a indicação da letra y. Ilustração: uma reta menor que as duas primeiras, com as extremidades identificadas com as letras A e B. No meio da reta tem a indicação da letra z.

Para construir um triângulo com as medidas indicadas, realizamos os seguintes passos.

1º) Traçamos a reta suporte r, marcamos o ponto B em r e, com o auxílio de um compasso, transportamos a medida x de comprimento do segmento de reta

\overline{B C}

, a partir do ponto B, traçando um arco que corta a reta r. Então, marcamos o ponto C (intersecção da reta r com a marca feita com o compasso).

Ilustração. Uma mão branca segura um compasso, que está sobre uma reta r. A ponta-seca do compasso está sobre o ponto B da reta e a ponta com grafite está sobre o ponto C. A letra x entre os pontos B e C representa a medida do segmento de reta.

2º) Transportamos agora a medida y de comprimento do segmento de reta

\overline{A C}

, a partir do ponto C, traçando um arco com o compasso.

Ilustração. Uma mão branca segura um compasso. A ponta-seca está sobre o ponto C da reta r, que possui a marcação de dois pontos, B e C, e medida x. A ponta com grafite do compasso está construindo um arco fora da reta r.

3º) Transportamos a medida z de comprimento do segmento de reta

\overline{A B}

, a partir do ponto B, traçando um arco que cruze o arco traçado no passo anterior. Então, marcamos o ponto a, intersecção dos dois arcos.

Ilustração. Uma mão branca segura um compasso. A ponta-seca do compasso está sobre o ponto B da reta r. A ponta com grafite está sobre o ponto A fora da reta r. A medida x está entre os pontos B e C.

4º) Com uma régua, unimos o ponto a ao ponto B e o ponto a ao ponto C. Em seguida, colorimos o interior da figura, formando um triângulo com as medidas fornecidas.

Ilustração. Um triângulo ABC alaranjado, com a base formada pelo segmento de reta BC que tem a reta r como suporte. Há a indicação dos lados x, y e z.

Respostas e comentários

Construção de triângulos

Antes de iniciar este tópico, ressalte a necessidade de ter um material de desenho geométrico adequado e organizado, como um compasso com ponta e hastes estáveis. Além disso, alerte-os a ter cuidado ao manipular um compasso, evitando acidentes.

Caso seja necessário, oriente-os sobre como transportar a medida de comprimento de um segmento de reta com o auxílio do compasso.

Instigue a turma a justificar por que a construção descrita está correta usando o conceito de circunferência como lugar geométrico. Espera-se que os estudantes percebam que o vértice a, por ser a intersecção de duas circunferências – a circunferência de centro C e medida de comprimento do raio y e a circunferência de centro B e medida de comprimento do raio z –, está a uma medida de distância y do ponto C e a uma medida de distância z do ponto B.

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2ª situação: construir um triângulo conhecendo as medidas de abertura de dois ângulos e a medida de comprimento do lado compreendido entre eles

Vamos construir o △á bê cê, sendo

\hat{B}

\hat{C}

os ângulos dados do triângulo, e x, a medida de comprimento do lado compreendido entre esses ângulos.

Ilustração. Segmento de reta, com extremidades identificadas com as letras B e C. No centro desse segmento de reta a letra x. Ao lado, ponto B que é origem de duas semirretas que formam um ângulo de medida de 30 graus. Ao lado, ponto C que é origem de duas semirretas que formam um ângulo de medida 60 graus.

Para construir um triângulo com as medidas indicadas, realizamos os seguintes passos.

1º) Traçamos a reta suporte r, marcamos o ponto B em r e transportamos, com o auxílio de um compasso, a medida x de comprimento do segmento de reta

\overline{B C}

, a partir do ponto B, marcando o ponto C em r.

2º) Com qualquer abertura de compasso, apoiamos a ponta-seca sobre o ponto B do ângulo dado e traçamos um arco que passe por suas duas semirretas. Sem alterar a abertura do compasso, apoiamos a ponta-seca no ponto B da figura que estamos desenhando e também traçamos um arco.

Ilustração: a ponta seca está sobre o ponto B da reta r, que possui a marcação dois pontos B e C e medida x. A ponta com grafite do compasso está construindo um arco. Ao lado há outro compasso, sobre a abertura de um ângulo de 30 graus.

3º) Usamos a abertura do compasso para medir a distância entre as intersecções do arco traçado com o ângulo dado e transportamos essa medida para o arco traçado na figura que estamos construindo e determinamos a reta s.

Ilustração: uma mão branca segura um compasso. A ponta seca do compasso está sobre a reta r. A ponta com grafite forma um arco com a reta r. Acima há outra mão branca com um compasso que forma um arco na abertura de um ângulo de 30 graus.

4º) Transportamos o ângulo

\hat{C}

, seguindo o 2º e o 3º passo, determinando a reta t.

Ilustração: uma mão branca segura um compasso. A ponta seca do compasso está sobre a reta r e a ponta de grafite forma um arco com essa reta. Há uma reta s concorrente a reta r.

Respostas e comentários

Oriente os estudantes sobre como transportar a medida de abertura de um ângulo com o auxílio do compasso.

Comente que a construção do ângulo em situações cotidianas também pode ser feita com o auxílio do transferidor. Se necessário, relembre como usá-lo.

A partir da construção do triângulo conhecendo dois ângulos e a medida de comprimento do lado compreendido entre eles, espera-se que eles concluam que a soma das medidas das aberturas dos dois ângulos dados não pode ser igual ou maior que 180graus.

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5º) Marcamos o ponto a na intersecção das retas s e t. Em seguida, colorimos o interior da figura, formando um triângulo com as medidas fornecidas.

Figura geométrica: um triângulo verde, com vértices indicados pelas letras A, B e C. Os lados do triângulos são as retas r, s e t. No triângulo há a indicação dos ângulos de 30 graus e de 60 graus.

3ª situação: construir um triângulo conhecendo as medidas de comprimento de dois lados e a medida de abertura do ângulo formado por esses lados

As medidas de comprimento de dois lados conhecidos do triângulo ABC são x e y, e

\hat{B}

é o ângulo formado por esses lados.

Ilustração. Segmento de reta, com extremidades identificadas com as letras B e C. No centro desse segmento de reta a letra x. Ao lado, segmento de reta, com extremidades identificadas com as letras A e B. No centro desse segmento de reta a letra y. Ao lado, ponto B que é origem de duas semirretas que formam um ângulo de medida 60 graus.

Para construir um triângulo com as medidas indicadas, realizamos os seguintes passos.

1º) Traçamos a reta suporte r, marcamos o ponto B em r e transportamos, com o auxílio de um compasso, a medida x de comprimento do segmento de reta

\overline{B C}

, a partir do ponto B, marcando o ponto C em r.

2º) Transportamos o ângulo

\hat{B}

, tomando como vértice o ponto B da reta r, determinando a reta s.

Ilustração. Uma mão branca segura um compasso. A ponta-seca está sobre a reta r, que possui a marcação de dois pontos, B e C, e letra x indica o lado formado pelos pontos A e B. A ponta com grafite do compasso está construindo um arco.

3º) Transportamos a medida y de comprimento do segmento

\overline{A B}

, a partir do ponto B, marcando o ponto a em s.

Ilustração: Uma mão branca segura um compasso. A ponta seca do compasso está sobre o ponto B da reta r. A ponta com grafite está sobre o ponto A da reta s, que forma um ângulo agudo com a reta r.

4º) Traçamos

\overline{A C}

e, em seguida, colorimos o interior da figura, formando um triângulo com as medidas fornecidas.

Ilustração. Um triângulo ABC roxo. Há a indicação do ângulo de medida igual a sessenta graus.

Respostas e comentários

Peça aos estudantes que reproduzam os passos descritos no livro. Você pode também pedir a eles que descrevam por meio de um fluxograma os passos para a construção de um triângulo nas condições da 3ª situação.

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Desigualdade triangular

Ilustração: um menino branco, de cabelo preto com traços orientais, de camiseta roxa, está conversando com um menino negro, de camiseta amarela. O menino branco diz: Se eu tiver três medidas de comprimento quaisquer, sempre conseguirei construir um triângulo?. O menino negro diz: Não, em alguns casos, não é possível formar um triângulo.

▸ No caderno, tente construir triângulos usando cada trio de medidas de comprimento a seguir.

a) 10 centímetros, 8 centímetros e 6 centímetros;

b) 10 centímetros, 6 centímetros e 4 centímetros;

c) 10 centímetros, 6 centímetros e 2 centímetros.

Para ser possível construir um triângulo, é necessário que a medida de comprimento do lado maior seja menor que a soma das medidas de comprimento dos outros dois lados. É o que chamamos de desigualdade triangular.

Em um triângulo, a medida de comprimento de qualquer um dos lados é menor que a soma das medidas de comprimento dos outros dois lados.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso nas atividades 19, 21 e 22.

15. Observe esta figura e, no caderno, escreva:

Figura geométrica: triângulo roxo, com marcações das letras F, G e H nos vértices. Há prolongamentos nos três lados do triângulo. No prolongamento do vértice F, tem a marcação do ângulo externo x. No prolongamento do vértice H, tem a marcação do ângulo externo y. No prolongamento do vértice G, tem a marcação do ângulo externo z.

a) os vértices do triângulo;

b) os lados do triângulo;

c) os ângulos internos do triângulo;

d) os ângulos externos do triângulo;

e) o lado oposto ao ângulo

\hat{F}

16. No caderno, determine a medida do perímetro dos triângulos com lados cujas medidas de comprimento são:

a) 5 centímetros, 6 centímetros e 7 centímetros

b) 6 centímetros, 8 centímetros, 10 centímetros

c) 8 milímetros, 15 milímetros, 17 milímetros

d) 20 decímetros, 21 decímetros, 29 decímetros

17. No caderno, desenhe um triângulo cujas medidas de comprimento dos lados sejam:

a) 6 centímetros, 9 centímetros e 12 centímetros;

b) 7 centímetros, 5 centímetros, 10 centímetros;

c) 4 centímetros, 2 centímetros, 5 centímetros;

d) 2 centímetros, 7 centímetros e 8 centímetros.

18.

Escolha as medidas de comprimento dos lados de um triângulo equilátero e troque com um colega para que um represente o triângulo do outro no caderno.

Respostas e comentários

Item a: É possível. Figura em Orientações.

Item b: Não é possível. Figura em Orientações.

Item c: Não é possível.Figura em Orientações.

15. a) F, G e H

15. b)

\overline{F H}, \overline{F G} e \overline{H G}

15. c)

\hat{F}, \hat{G} e \hat{H}

15. d)

\hat{x}, \hat{y} e \hat{z}

15. e)

\overline{H G}

16. a) 18 centímetros

16. b) 24 centímetros

16. c) 40 milímetros

16. d) 70 decímetros

17. As orientações estão na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do Professor.

18. Resposta pessoal.

Desigualdade triangular

Para o desenvolvimento deste tópico, visando à compreensão do conteúdo, disponha para os estudantes linha (barbante) e canudos. Peça que, em duplas, recortem pedaços do canudo de medidas de comprimento 10 centímetros, 8 centímetros, 6 centímetros, 4 centímetros e 2 centímetros. Unindo os pedaços, três a três, com a ajuda da linha, solicite que verifiquem a possibilidade da construção de triângulos e que expliquem, com suas palavras, quando não foi possível realizar a construção. Sugira também aos estudantes que indiquem outras medidas, sem cortar os canudos, e verifique se eles conseguem prever as situações em que será formado um triângulo ou não. Essa ação desenvolve habilidades relacionadas ao pensamento lógico matemático por indução.

Se necessário, comente que a desigualdade triangular pode ser demonstrada, mas que isso não será feito neste momento, pois será objeto de estudo no Ensino Médio.

Antes das atividades deste tópico, alerte os estudantes para ter cuidado ao utilizar o compasso nas construções.

• As atividades 16, 17 e 18 favorecem o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero sete ême ah dois quatro.

• Na atividade proposta no item do tópico, espera-se que os estudantes obtenham figuras parecidas com as das referências a seguir (figuras representadas sem as medidas reais de comprimento dos lados):

Figura geométrica: triângulo alaranjado com lados medindo 10 centímetros, 8 centímetros e 6 centímetros.

Ilustração: Segmento de reta verde com a indicação de medida de 10 centímetros. Abaixo, segmento de reta dividido em duas partes, uma parte em azul com indicação de medida de 6 centímetros. A outra parte, em vermelho, com indicação de medida 4 centímetros.

Ilustração: Segmento de reta verde na horizontal, com indicação de medida 10 centímetros. Na ponta esquerda do segmento, um segmento de reta azul que desce na diagonal, com indicação de medida 6 centímetros. Na ponta direita, um segmento de reta vermelho que desce na diagonal concorrente ao segmento de reta azul, com indicação de medida 2 centímetros.

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19. Com régua e compasso, reproduza, no caderno, o ângulo

A \hat{O} B

Ilustração: Ângulo com origem no ponto O, abertura de medida alfa. Há os pontos A e B marcados sobre as semirretas que formam o ângulo.

20. Em cada caso, analise se é possível construir um triângulo com lado

\overline{B C}

medindo 5 centímetros de comprimento e com as medidas de abertura dos ângulos indicadas.

m e d (\hat{B}) = 110 °

m e d (\hat{C}) = 50 °

m e d (\hat{B}) = 110 °

m e d (\hat{C}) = 70 °

m e d (\hat{B}) = 110 °

m e d (\hat{C}) = 90 °

21. Utilizando régua e compasso, construa no caderno os triângulos a seguir, sendo conhecidos dois lados e o ângulo formado por esses lados.

a) Dois lados:

Ilustração: Dois segmentos de reta vermelhos, paralelos. O segmento de reta de cima tem medida de comprimento menor que a medida do segmento de baixo.

Ângulo formado pelos lados dados:

Ilustração: ângulo com abertura de 50 graus.

b) Dois lados:

Ilustração: Dois segmentos de reta verdes, paralelos. O segmento de reta de cima tem medida de comprimento menor que a medida do segmento de baixo.

Ângulo formado pelos lados dados:

Ilustração: ângulo com abertura de 30 graus.

22. Utilizando régua e compasso, construa os triângulos a seguir, sendo conhecidos dois ângulos e o lado compreendido entre eles.

a) Dois ângulos:

Ilustração: da esquerda para a direita, um ângulo de abertura 55 graus. À direita, um ângulo com abertura de 45 graus.

Lado compreendido entre os ângulos dados:

b) Dois ângulos:

Ilustração: da esquerda para a direita, um ângulo de abertura 60 graus. À direita, um ângulo com abertura de 60 graus.

Lado compreendido entre os ângulos dados:

23. Construa um quadrado a partir de dois triângulos retângulos. Descreva como fez a construção.

24. Em cada caso, analise se é possível construir um triângulo com as medidas de comprimento dos lados indicadas em centímetros.

a) 6, 10 e 18

b) 3, 10 e 7

c) 8, 4 e 6

d) 3, 4 e 5

25. Quais são as medidas de comprimento possíveis para o terceiro lado dos triângulos a seguir?

a) Um triângulo tem dois lados de medida de comprimento 11 centímetros e 6 centímetros.

b) Um triângulo tem dois lados de medida de comprimento 21 centímetros e 221 centímetros.

Respostas e comentários

19. As orientações estão na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do Professor.

20. a) sim

20. b) não

20. c) não

21. a) As orientações estão na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do Professor.

21. b) As orientações estão na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do Professor.

22. a) As orientações estão na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do Professor.

22. b) As orientações estão na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do Professor.

23. Resposta pessoal.

24. a) não

24. b) não

24. c) sim

24. d) sim

25. a) 5 centímetros < medida de comprimento do 3º lado < 17 centímetros

25. b) 200 centímetros < medida de comprimento do 3º lado < 242 centímetros

• Nas atividades 19, 21 e 22, peça aos estudantes que reproduzam os segmentos de reta e os ângulos no caderno para realizar a construção com régua e compasso.

• Na atividade 25, peça a eles que pensem em cada uma das possibilidades para a medida de comprimento do maior lado do triângulo – vamos chamar a medida de comprimento do 3º lado de x. Por exemplo, no item a, se 11 for a medida de comprimento do maior lado do triângulo em questão, então 11 < 6 + x; portanto, x tem que ser maior que 5 cm. Agora, se considerarmos que x é a medida de comprimento do maior lado, teremos x < 11 + 6 ou x < 17.

Concluímos, assim, que a medida de comprimento do 3º lado deve ser maior que 5 centímetros e menor que 17 centímetros.

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Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Circunferência e círculo

Circunferência é a figura formada por todos os pontos de um plano que estão à mesma medida da distância de um ponto fixo desse plano. O ponto fixo é chamado centro da circunferência.

A razão entre a medida do comprimento de qualquer circunferência e a medida de comprimento do diâmetro é indicada por π, ou seja,

\frac{C}{d}

= π.

Costumamos aproximar o valor de π para 3,14.

Círculo é uma figura geométrica plana formada por uma circunferência e toda sua região interna.

1. Identifique em cada item se a figura é uma circunferência ou um círculo.

2. Todos os pontos de uma circunferência estão à mesma medida da distância:

a) do centro da circunferência.

b) de um ponto externo à circunferência.

c) de qualquer outro ponto da circunferência.

d) de qualquer ponto interno à circunferência.

3. Uma pista circular tem diâmetro medindo 100 métros de comprimento. Quantas voltas completas um atleta precisa percorrer nessa pista para correr pelo menos .1000 métros?

Polígonos

Polígono é uma linha poligonal fechada simples com sua região interna. São elementos de um polígono:

• lados: segmentos de reta que formam o contorno do polígono;

• vértices: pontos de encontro de dois lados consecutivos;

• diagonais: segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos;

• ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos;

• ângulos externos: ângulos formados por um lado do polígono e pelo prolongamento do lado adjacente a ele.

4. Observe o polígono e, em seguida, identifique:

Figura geométrica: polígono alaranjado com 4 lados. Seus vértices estão marcados com as letras A, B, C e D. As duas diagonais estão tracejadas. Há um prolongamento dos lados, indicando o ângulo externo e o ângulo interno a esse ângulo.

a) os lados;

b) os vértices;

c) os ângulos internos;

d) os ângulos externos;

e) as diagonais.

5. Qual é o polígono que não tem diagonais?

Triângulo

Triângulo é o polígono de três lados.

Desigualdade triangular

Em um triângulo, a medida de comprimento de qualquer um dos lados é menor que a soma das medidas de comprimento dos outros dois lados.

6. Podemos construir um triângulo de medidas de comprimento dos lados de 5,5 métros, 3 métros e 1,5 métro? Justifique sua resposta.

7. No caderno, desenhe um triângulo cujas medidas de comprimento dos lados sejam:

a) 6 centímetros, 5 centímetros e 7 centímetros;

b) 4 centímetros, 5 centímetros e 8 centímetros;

c) 9 centímetros, 12 centímetros e 8 centímetros;

d) 3 centímetros, 7 centímetros e 9 centímetros.

Respostas e comentários

1. a) circunferência

1. b) círculo

2. alternativa a

3. 4 voltas

4. a)

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D A}

4. b) a, B, C, D

4. c)

\hat{a}

\hat{b}

\hat{c}

\hat{d}

4. d)

\hat{a_{1}}

\hat{b_{1}}

\hat{c_{1}}

\hat{d_{1}}

4. e)

\overline{A C}

\overline{B D}

5. triângulo

6. Não, pois: 5,5 métros > 3 métros + 1,5 métro

7. Resposta em Orientações.

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Circunferência e círculo

• Represente uma circunferência e um círculo na lousa e pergunte aos estudantes qual é a diferença entre as duas figuras. Pergunte o que mais eles sabem a respeito da circunferência. Essa proposta auxiliará na resolução da atividade 1.

• A atividade 2 permite verificar se os estudantes compreenderam o conceito de circunferência como lugar geométrico.

• Na atividade 3, espera-se que percebam que, com a medida de comprimento do diâmetro, é possível determinar a medida aproximada do comprimento da pista:

C = (100 métros) ⋅ π ≃ 314 métros

Dessa maneira, para saber quantas voltas completas o atleta precisa percorrer para correr pelo menos .1000 métros, eles devem calcular .1000 métros : 314 métros.

Polígonos

• É possível ampliar a proposta da atividade 4 solicitando aos estudantes que identifiquem lados, vértices, ângulos internos, ângulos externos e diagonais de outros polígonos que você represente na lousa.

• Na atividade 5, se os estudantes apresentarem dificuldades, oriente-os a representar hexágonos, pentágonos, quadriláteros, triângulos etcétera e traçar suas diagonais. Espera-se que, ao fazer isso, percebam que o triângulo não tem diagonais.

Triângulo

• Na atividade 6, enfatize aos estudantes que a medida de comprimento de qualquer um dos lados deve ser menor que a soma das medidas de comprimento dos outros dois lados. Isso é importante, porque alguns deles podem concluir erroneamente que é possível construir o triângulo após verificarem que 1,5 métro < 5,5 métros + 3 métros ou 3 métros < 1,5 métro + 5,5 métros.

• Na atividade 7, antes que construam os triângulos, peça que analisem as medidas de comprimento dos lados de cada item, verificando que a medida do comprimento de qualquer um dos lados é menor que a soma das medidas de comprimento dos outros dois lados. Espera-se que eles obtenham triângulos parecidos com os das referências a seguir (triângulos representados sem as medidas reais de comprimento dos lados):

Figura geométrica: um triângulo azul, com lados de medidas 7 centímetros, 6 centímetros e 5 centímetros.

Figura geométrica: um triângulo verde, com lados de medidas 8 centímetros, 5 centímetros e 4 centímetros.

Figura geométrica: um triângulo roxo, com lados de medidas 12 centímetros, 9 centímetros e 8 centímetros.

Figura geométrica: um triângulo alaranjado, com lados de medidas 9 centímetros, 7 centímetros e 3 centímetros.