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Unidade 1

Capítulo 1 Conjuntos numéricos

Capítulo 2 Potenciação e radiciação

Capítulo 3 Sistemas de equações do 1º grau

Esquema. Fotografia de uma mulher negra de cabelo escuro e liso. Ela está utilizando camisa branca e máscara de proteção branca. Está segurando uma caneta e uma prancheta. Sobreposto à fotografia está um infográfico intitulado Vida pública e tomada de decisão. À esquerda, dados sobre mulheres entre vereadores eleitos em 2 mil e 20. Representação de 42 vereadores, 21 do lado esquerdo e 21 do lado direito, sendo que 7 deles estão mais destacados que os demais. Acima a porcentagem de 16 por cento. Abaixo desta representação duas informações: Maior: 21 vírgula 8 por centro no Rio Grande do Nortes. Menor: 9 vírgula 8 por cento no Rio de Janeiro. à direita dados sobre cargos gerenciais em 2 mil e 20. 62 vírgula 6 por cento ocupados por homens contra 37 vírgula 7 por cento ocupados por mulheres. Abaixo desses dados a representação de uma mesa de reunião com 4 gerentes homens e 3 gerentes mulheres.

Infográfico disponível em: https://oeds.link/rf7LPR. Acesso em: 4 jul. 2022.

As condições de vida e de trabalho são iguais para homens e mulheres? O que é possível afirmar com base no infográfico anterior? Ao final do estudo desta Unidade, você responderá a essa e a outras questões.

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Capítulo 1 Conjuntos numéricos

Trocando ideias

O Brasil é o país em que mais caem raios no mundo. Segundo o Grupo de Eletricidade Atmosférica (ilá), são 78 milhões de raios todos os anos.

Fotografia. Vista noturna de uma cidade em uma noite com raios. Dois raios descem do céu. Algumas árvores estão próximas. — Raios caindo em Passo Fundo (Rio Grande do Sul). Foto de 2021.

A probabilidade de uma pessoa ser atingida por um raio é de 0,000001, porém, se a pessoa estiver em uma área descampada, essa probabilidade aumenta para 0,001.

▸

Em dias chuvosos, o que devemos fazer para nos proteger dos raios? Converse com os colegas.

▸

Podemos afirmar que o número ..78000000 é um número inteiro? E racional?

▸

Podemos afirmar que os números 0,000001 e 0,001 são números inteiros? E racionais?

▸

Você conhece algum número que não seja racional? Qual?

Neste capítulo, vocês vão estudar os números irracionais. Antes, porém, vamos retomar alguns conceitos e propriedades dos conjuntos numéricos já estudados.

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1 Números naturais

Para contar uma quantidade de objetos, pessoas, animais etcétera, usamos os números naturais. O conjunto dos números naturais representado por

é dado por:

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, reticências}

O zero é o menor número natural. Todo número natural tem um sucessor; desse modo, dizemos que a sequência dos números naturais é infinita. Todo número natural, com exceção do zero, tem um antecessor.

Observe:

Ilustração. À esquerda está uma menina de cabelo vermelho comprido uma camiseta amarela e calça azul. Ela está sentada no chão e fala: Para determina o sucessor de um número natural qualquer, basta adicionar 1 a esse número. O sucessor de 999 é 1000 (999 mais 1 é igual a mil). À direita, menino de cabelos castanhos curto com camiseta branca e colete marrom, calça rosa e tênis branco com azul. Ele está em pé e fala: Para determinar o antecessor de uma número natural qualquer, com exceção do zero, basta subtrair 1. O antecessor de 999 é 998 (999 menos 1 é igual a 998).

Os números naturais estão presentes em diversas situações e têm diferentes funções.

Podem indicar a posição de alguém em uma competição, a quantidade de objetos em um local, um número de telefone, um dia do mês no calendário etcétera.

Sequência numérica

Uma sequência numérica é uma sequência cujos elementos são números escritos em certa ordem. A sequência pode ser infinita, na qual usamos reticências para indicar que ela continua indefinidamente. Ou pode ser finita, na qual listamos todos os elementos. Cada um dos elementos da sequência é chamado de termo da sequência.

Podemos expressar algebricamente uma sequência numérica por meio da sua lei de formação, que é uma regra que mostra como a sequência progride ou é formada. Analise os exemplos.

a) Uma sequência infinita na qual á₁ = 0 e á_n_{+ 1} = á_nícone de altura+ 3, para todo n inteiro positivo.

Para n = 1, temos: á_{1 + 1} = á₁ + 3 ⇒ á₂ = 0 + 3 = 3

Para n = 2, temos: á_{2 + 1} = á₂ + 3 ⇒ á₃ = 3 + 3 = 6

Para n = 3, temos: á_{3 + 1} = á₃ + 3 ⇒ á₄ = 6 + 3 = 9

Para n = 4, temos: á_{4 + 1} = á₄ + 3 ⇒ á₅ = 9 + 3 = 12

Essa lei de formação gera a sequência (0, 3, 6, 9, 12, reticências), que é a sequência de múltiplos de 3.

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b) Uma sequência infinita na qual á₁= 0 e á_{n + 1} = á_n+ 7, para todo n inteiro positivo.

Para n = 1, temos: á_{1 + 1}= á₁+ 7 ⇒ á₂= 0 + 7 = 7

Para n = 2, temos: á_{2 + 1}= á₂+ 7 ⇒ á₃= 7 + 7 = 14

Para n = 3, temos: á_{3 + 1}= á₃+ 7 ⇒ á₄= 14 + 7 = 21

Para n = 4, temos: á_{4 + 1}= á₄+ 7 ⇒ á₅= 21 + 7 = 28

Essa lei de formação gera a sequência (0, 7, 14, 21, 28, ...), que é a sequência de múltiplos de 7.

Ilustração. Homem de cabelo castanho e barba com uma camisa branca de gola azul diz: O símbolo implica significa que, se as afirmações à sua esquerda são verdadeiras, então as afirmações à sua direita também serão verdadeiras.

Eventualmente são dados os primeiros termos de uma sequência, mas não a sua lei de formação, e, mesmo assim, podemos determinar os demais termos dessa sequência. Observe a situação a seguir.

Ilustração. Homem de cabelo castanho e barba com uma camisa branca de gola azul diz: Esta é a sequência de Fibonacci. Como desafio, proponho a vocês determinar o décimo termo da sequência. Ao lado quadro verde e escrito em giz branco: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 e reticências. Na frente do quadro uma menina branca com cabelos pretos e camiseta branca e dois meninos, um branco ruivo com camiseta branca e outro preto com cabelo preto, observam.

Para expor ao professor a maneira como pensaram, os estudantes montaram este fluxograma.

Fluxograma. Início. O próximo termo da sequência já está definido? Não. Determine o próximo termo adicionando os dois termos imediatamente anteriores. Avance uma posição. Chegou ao termo desejado? Sim. Fim. Não. Retorne ao início. O próximo termo da sequência já está definido? Sim. Avance uma posição. Chegou ao termo desejado? Sim. Fim.

Após exporem o fluxograma para o professor, eles disseram que bastaria fazer o que é solicitado para determinar a sequência até o termo desejado.

▸ Usando o fluxograma, determine os 10 primeiros termos da sequência de Fibonacci.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Escreva o antecessor e o sucessor de cada número.

a) 17

b) 999

c) .1000

d) .12989

2. Responda às questões no caderno.

a) Quais números naturais são maiores que o sucessor de 3 e menores que o antecessor de 10?

b) Existe algum número natural maior que o sucessor de 10 e menor que o antecessor de 3?

3. Em cada sequência numérica, determine os termos que faltam representados por

a) 2, 4, 6,

reticências , na qual a ₁ = 2, a indice de 2 = 4 e a indice de n = a n menos 2 + a ₙ ₋ ₁, em que n > 2

b) 1, 5, 9, 13, 17, 21,

reticências , na qual a ₁ = 1,

a indice de 2 = 5 e a n = a ₁ + (n menos 1) ⋅ (a n menos 1 menos a n menos 2 ), em que n > 2

No caderno, escreva os cinco primeiros termos de uma sequência numérica recursiva e troque com um colega para que ele construa um fluxograma que determine a sequência até o 10º termo. Faça o mesmo com a sequência dele.

2 Números inteiros

Fotografia. Imagem de um termômetro em frente a uma igreja, algumas pessoas agasalhadas e no termômetro marca menos 2 graus célcios. — Turistas em São Joaquim, no inverno de 2021. O termômetro registrou uma medida de temperatura abaixo ou acima de zero grau?

No fim da tarde de determinado dia de julho, a medida de temperatura na cidade de São Joaquim (Santa Catarina) era 5 graus Célsius. No início da noite, essa medida de temperatura caiu 8 graus Célsius. Qual foi a medida de temperatura registrada após essa queda?

Para responder a essa pergunta, podemos fazer a seguinte subtração:

5 menos 8 = menos3

Isso significa que a medida da temperatura chegou a três graus Celsius abaixo de zero, sendo indicada por um número negativo (menos3). O menos3 é um exemplo de número inteiro.

O conjunto dos números inteiros representado por

é dado por:

= {reticências, menos5, menos4, menos3, menos2, menos1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, reticências}

Observe que todo número natural é também um número inteiro. Todo número inteiro tem um sucessor e um antecessor; por exemplo, menos3 é o sucessor de menos4 e menos1 é o antecessor de 0.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

5. Considere os números a seguir e responda às questões.

5; menos8; 0; 14; menos100; 57; menos18;

\frac{2}{3}

; menos0,4; menos1

a) Quais são números naturais?

b) Quais são números inteiros?

c) Todo número natural é um número inteiro?

6. Avalie as afirmações a seguir e copie as verdadeiras em seu caderno.

a) Há sempre um número inteiro entre dois números inteiros.

b) A diferença de dois números inteiros é sempre um número inteiro.

c) Existe número natural que não é número inteiro.

7. Escreva o que se pede:

a) os cinco menores números naturais ímpares;

b) os números inteiros negativos maiores que menos5;

c) três números inteiros menores que menos20;

d) os números naturais maiores que menos3 e menores que 7.

8. Responda às questões a seguir considerando a sequência dos números inteiros.

a) Qual é o sucessor de 100?

b) Qual é o sucessor de menos30?

c) Se n é um número inteiro, qual é a expressão que representa seu sucessor?

d) Se a é um número inteiro, qual é a expressão que representa seu antecessor?

9. O saldo bancário da conta de Pedro estava negativo em R$ 380,00trezentos e oitenta reais. Ele fez um depósito e o novo saldo passou a ser R$ 970,00novecentos e setenta reais. Qual foi o valor do depósito realizado por Pedro?

10. Considere a sequência dos números inteiros a seguir:

reticências, menos5, menos4, menos3, menos2, menos1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, reticências

a) Há quantos números inteiros entre menos5 e 3?

b) Qual é o maior número inteiro negativo dessa sequência?

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3 Números racionais

Acompanhe a situação a seguir.

Uma peça de tecido medindo 75 metros de comprimento vai ser dividida em 10 partes iguais.

Fotografia. Destaque para a mão de uma pessoa cortando um tecido azul com uma tesoura.

Quantos metros terá cada uma dessas partes?

Para responder a essa pergunta, podemos efetuar a divisão:

75 : 10 = 7,5

Portanto, cada uma dessas partes terá 7,5 metros de medida de comprimento.

Os números obtidos pela divisão de dois números inteiros, em que o divisor é diferente de zero, podem ser escritos na fórma de fração ou na fórma decimal. Confira estes exemplos:

\frac{75}{10} = 7, 5

- \frac{3}{8} = ‒ 0, 375

\frac{4}{2} = 2

\frac{13}{3} = 4, 333. ..

- \frac{1}{25} = ‒ 0, 04

- \frac{45}{9} = - 5

Números que podem ser escritos na fórma de fração, com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero, são chamados de números racionais.

O conjunto dos números racionais é indicado por

Símbolo. Conjunto dos números racionais.

e pode ser representado da seguinte maneira:

= \{\frac{a}{b}, em que a e b são números inteiros e b \neq 0\}

Observações

1. Todo número inteiro é um número racional, ou seja, pode ser escrito na fórma

\frac{a}{b}

, em que ei e b são números inteiros e b ≠ 0. Analise estes exemplos.

3 = \frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{9}{3} = \frac{12}{4}

- 5 = - \frac{5}{1} = - \frac{20}{4} = - \frac{35}{7}

0 = \frac{0}{1} = \frac{0}{2} = \frac{0}{3} = \frac{0}{4}

2. Os números racionais podem ser representados por pontos na reta numérica.

Ilustração. Reta numérica com os pontos: menos 3, a fração menos 5 sobre 2, menos 2, menos 1,3, menos 1, menos 0,4, 0, a fração 1 sobre 4, 1, a fração 5 sobre 3, 2 e 2,8.

3. Entre dois números racionais quaisquer sempre existe outro número racional. Por exemplo, entre 1,4 e 1,6 há infinitos números racionais. Alguns deles são: 1,45; 1,48; 1,5; 1,52 e 1,555.

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Representação decimal dos números racionais

Os números racionais na fórma de fração podem ser representados na fórma decimal.

Observe os exemplos a seguir.

\frac{4}{5} = 4 : 5

Esquema. Algoritmo da divisão. Na primeira linha, à esquerda o número 4, à direita, na chave o número 5. Abaixo da chave o número 0 vírgula 8, à esquerda, o número 40, Abaixo o número 0.

Portanto:

\frac{4}{5} = 0, 8

\frac{7}{10} = 7 : 10

Esquema. Algoritmo da divisão. Na primeira linha, à esquerda o número 7, à direita, na chave o número 10. Abaixo da chave o número 0 vírgula 7, à esquerda, o número 70, Abaixo o número 0.

Portanto:

\frac{7}{10} = 0, 7

\frac{22}{8} = 22 : 8

Esquema. Algoritmo da divisão. Na primeira linha, à esquerda o número 22, à direita, na chave o número 8. Abaixo da chave o número 2 vírgula 75, à esquerda, o número 60, Abaixo o número 40 com o 4 alinhado com o algarismo 0 do número 60. Abaixo do 40 o número 0.

Portanto:

\frac{22}{8} = 2, 75

\frac{7}{3}

= 7 dividido por 3

Esquema. Algoritmo da divisão. Na primeira linha, à esquerda o número 7, à direita, na chave o número 3. Abaixo da chave o número 2 vírgula 333 reticências, à esquerda, o número 10, Abaixo o número 10 com o 1 alinhado com o algarismo 0 do número 10. Abaixo o número 10 com o 1 alinhado com o algarismo 0 do número 10. Abaixo, o número 1.

Portanto:

\frac{7}{3} = 2, 333. ..

Na divisão de 7 por 3, o algarismo 3 do quociente continuará se repetindo infinitamente. O número decimal 2,333reticências é uma dízima periódica e o algarismo 3 que se repete é chamado de período.

A dízima 2,333reticências é uma dízima periódica simples, pois o período (3) aparece logo após a vírgula. Podemos também representar a dízima 2,333reticências colocando um traço sobre o período, ou seja: 2,333reticências =

2, \overline{3}

Agora, observe um exemplo em que o período da dízima periódica se inicia a partir do algarismo da segunda casa decimal.

\frac{29}{90} = 29 : 90

Conta de divisão na chave. À esquerda, número 29. Dentro da chave, 90. Abaixo de 29, número 290. Abaixo, 200. Em seguida, 200. Abaixo, 20 Abaixo da chave, quociente 0,322...

Portanto:

\frac{29}{90} = 0, 322. ..

Na divisão de 29 por 90, o algarismo 2 do quociente continuará se repetindo infinitamente. O número decimal 0,3222reticências é uma dízima periódica e o período é o algarismo 2 (algarismo que se repete).

A dízima 0,3222reticências é uma dízima periódica composta, uma vez que, entre a vírgula e o período (2), existe uma parte não periódica, o algarismo 3.

Podemos representar a dízima 0,3222reticências por

0,3 \overline{2}

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Um pouco de história

Faça a atividade no caderno.

Matemática e música

O matemático e filósofo grego Pitágoras (c.glossário 570 antes de Cristo-c.glossário 496 antes de Cristo) traçou uma ligação direta entre Matemática e música ao construir, com uma corda e dois cavaletes, um instrumento que ficou conhecido como “monocórdio de Pitágoras”. Com base em observações, ele percebeu que o som (as notas musicais) dependia da medida de comprimento da corda que o produzia.

A divisão da corda em medidas de comprimento diferentes possibilitou, posteriormente, a criação de uma escala com sete notas: dó, ré, mi, fá, sol, lá e si, que formam a escala pitagórica.

Dó	Ré	Mi	Fá	Sol	Lá	Si	Dó
1	$divisão de 8 sobre 9$	$divisão de 64 sobre 81$	$divisão de 3 sobre 4$	$divisão de 2 sobre 3$	$divisão de 16 sobre 27$	$divisão de 128 sobre 243$	$divisão de 1 sobre 2$

Atividade

Com o auxílio de uma calculadora, escreva em seu caderno os números desse quadro na fórma decimal. Nas dízimas periódicas em que o período é maior do que a quantidade de dígitos mostrados na calculadora, escreva o valor aproximado com oito casas decimais.

Cálculo de porcentagem

Em nosso cotidiano, usamos porcentagem em diversas situações. Confira alguns exemplos.

Ilustração. Televisão. Na tela, imagem de uma mulher de cabelo castanho e casaco marrom apontando para um carro branco com laço vermelho. Ela fala: Apenas hoje! Este carro de R$ 20.000,00 terá um desconto de 20%. Não perca! Ilustração. Jornal dobrado com manchete: PIB brasileiro cresce 1%. e embaixo um gráfico de linhas. Ilustração. Mulher de cabelo castanho, bolsa amarela e roupa rosa. Ela está de frente para alguns televisores. Ao lado, placa escrita: TV EM PROMOÇÃO: DE R$ 1.200,00 POR R$ 600,00. À esquerda, homem de cabelo castanho, óculos, bigode e camisa azul diz: Nesta semana, a televisão está sendo vendida pela metade do preço!

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Uma porcentagem indica a parte de um todo que contém 100 partes iguais. Por exemplo, representar 13% é o mesmo que se referir a 13 partes de 100 que formam o todo.

Uma porcentagem pode ser escrita na fórma de fração, ou seja, 13% pode ser escrito como

\frac{13}{100}

Quando queremos calcular, de maneira rápida, o valor referente à porcentagem de um total, basta multiplicar a porcentagem (ou sua fração equivalente) pelo valor total. Analise os exemplos a seguir.

• Para calcular 13% de 730, basta multiplicar 730 por 13%, ou seja, multiplicar 730 por

\frac{13}{100}

730 \cdot \frac{13}{100} = \frac{9 490}{100} = 94,9

Dessa forma, concluímos que 13% de 730 é 94,9.

• No início do estudo foi citada a promoção de um carro. Podemos calcular o desconto de 20% concedido na compra do carro que custa R$ 20.000,00vinte mil reais da seguinte maneira:

\frac{20}{100} \cdot 20 000 = \frac{400 000}{100} = 4 000

Dessa forma, concluímos que o desconto é de R$ 4.000,00quatro mil reais e que o preço do carro será de R$ 16.000,00dezesseis mil reais após aplicado o desconto.

• Para determinarmos a porcentagem de desconto na promoção da televisão, comparamos o preço após o desconto com o preço inicial. Assim:

\frac{600}{1 200} = \frac{50}{100} = 50 %

Dessa forma, concluímos que a televisão realmente está sendo vendida pela metade do preço.

Agora, acompanhe a situação.

Marcos trabalha em uma empresa que compra e vende móveis usados. Para impulsionar as vendas, ele e a gerente prepararam um evento para a exposição dos móveis.

Ilustração. Homem loiro de óculos, camisa verde, calça azul e sapato marrom está sentado de frente para uma mesa com computador. Na tela do computador aparece uma planilha. Em pé uma mulher de cabelo ruivo preso em um coque, camisa rosa e saia azul e sapato rosa. Ela está com uma prancheta nas mãos e diz: Marcos, precisamos acrescentar 17 por cento ao valor que pagamos por cada um. Aqui está a lista. O homem responde: Como determinaremos o valor de venda desses móveis que chegaram?

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Para fazer tudo em tempo hábil, Marcos resolveu dispor todos os valores em uma planilha eletrônica. Ele organizou os dados em 4 colunas, da seguinte maneira:

• Na primeira coluna (coluna a), ele colocou os valores pagos por cada móvel (valores de compra).

Ilustração. Parte de uma planilha eletrônica com colunas A a D e linhas de 1 a 10. Linha 1: Valor da compra; porcentagem para o aumento; valor do aumento; valor da venda Linha 2: 100 reais, célula, vazia, célula vazia, célula vazia. Linha 3: 80 reais, célula, vazia, célula vazia, célula vazia. Linha 4: 50 reais, célula, vazia, célula vazia, célula vazia. Linha 5: 70 reais, célula, vazia, célula vazia, célula vazia. Linha 6: 134 reais, célula, vazia, célula vazia, célula vazia. Linha 7: 128 reais, célula, vazia, célula vazia, célula vazia. Linha 8: 154 reais, célula, vazia, célula vazia, célula vazia. Linha 9: 85 reais, célula, vazia, célula vazia, célula vazia. Linha 10: 40 reais, célula, vazia, célula vazia, célula vazia.

• Na segunda coluna (coluna B), ele colocou a porcentagem a ser aumentada em cada preço, conforme a gerente havia orientado, na célula B2 e arrastou-a para baixo até a célula B10. Assim, Marcos não precisou reescrever a mesma porcentagem nas outras células da coluna.

• Na terceira coluna (coluna C), ele multiplicou a porcentagem a ser aumentada pelo valor de compra e, assim, obteve o valor do aumento. Após montar a fórmula na célula C2, Marcos arrastou-a para baixo de modo a aplicar a mesma fórmula até a célula C10.

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• Por último, na quarta coluna (coluna D), ele adicionou o valor de compra ao valor do aumento. Após montar a fórmula na célula D2, Marcos arrastou-a para baixo de modo a aplicar a mesma fórmula até a célula D10.

Dessa forma, Marcos conseguiu calcular o preço de venda dos novos móveis a tempo de expô-los no evento.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

11. Avalie as afirmações a seguir e copie as verdadeiras em seu caderno.

a) Todo número inteiro é racional.

b) Todo número racional é inteiro.

c) Todo número racional é natural.

d) Entre dois números racionais existe sempre outro número racional.

•

Para as afirmações falsas, dê um exemplo que justifique tal classificação. Depois, converse com os colegas e o professor sobre os diferentes exemplos apresentados.

12. Indique um número situado entre:

a) 3,457 e 3,459;

b) 1,05 e 1,06.

•

Converse com o professor e os colegas para comparar os números indicados em cada caso e responda: Há somente uma resposta para cada item ou há infinitas respostas? Justifique.

13. Escreva, no caderno, a representação decimal de cada um dos números racionais a seguir.

\frac{6}{5}

\frac{157}{100}

\frac{7}{3}

\frac{13}{11}

- \frac{5}{8}

- \frac{15}{90}

\frac{1}{55}

- \frac{3}{4}

• Quais desses números racionais têm dízima periódica como representacão decimal?

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14. Identifique o período das dízimas periódicas a seguir, classificando-as em simples ou compostas.

a) ‒3,4777reticências

b) 0,333reticências

- 0,0 \overline{5}

d) ‒0,323232reticências

15. Um dos benefícios do trabalhador brasileiro é o décimo terceiro salário, pago pelos empregadores no fim do ano. Para quem trabalhou o ano inteiro, o valor a ser pago corresponde ao salário mensal e, para quem trabalhou menos de um ano, o valor a ser pago é proporcional à quantidade de meses trabalhados.

a) Se uma pessoa foi admitida em uma empresa no dia 1º de maio, quantos meses ela trabalhou nesse ano? Esse período corresponde a que fração de um ano?

b) Sabendo que o salário mensal dessa pessoa é R$ 2.514,50dois mil quinhentos e quatorze reais e cinquenta centavos, qual foi o valor do décimo terceiro salário recebido?

16.

Alguém queria determinar, usando uma calculadora, quanto gastaria ao pagar duas contas nos valores de R$ 329,18trezentos e vinte e nove reais e dezoito centavos e de R$ 2.231,11dois mil duzentos e trinta e um reais e onze centavos. Após apertar a tecla

Ilustração. Tecla da função igual de uma calculadora.

, o resultado que apareceu no visor foi:

Ilustração. Visor de uma calculadora com o número 35 mil 149 vírgula 11.

a) O resultado obtido está correto? Caso não esteja, explique o que pode ter acontecido.

b) Qual é o valor correto a pagar por essas duas contas?

17. Calcule a porcentagem dos valores a seguir.

a) 12% de 144

b) 25% de .1024

c) 1% de ..123587600

d) 24% de 72

18.

Retome a situação de Marcos, que compra e vende móveis usados. A gerente pediu a ele que elaborasse outra planilha, reproduzida a seguir.

Ilustração. Parte de uma planilha eletrônica com colunas A a D e linhas de 1 a 4 Linha 1: Valor da compra; porcentagem para o aumento; valor do aumento; valor da venda Linha 2: 60 reais; 23 por cento; retângulo cinza; retângulo cinza. Linha 3: 80 reais; retângulo cinza;; retângulo cinza; retângulo cinza. Linha 4: 100 reais; retângulo cinza;; retângulo cinza; retângulo cinza. Símbolo de modelo.

a) Junte-se com um colega e comparem a situação de Marcos apresentada anteriormente com a da planilha anterior. Que semelhanças e diferenças vocês identificam?

b) Reproduzam, em uma planilha eletrônica, os valores de compra e a porcentagem para o aumento. Em seguida, obtenham o valor do aumento e o valor de venda para cada imóvel, em real, obtido com a venda desses três móveis.

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Lendo e aprendendo

Cai a expectativa de vida no Brasil

Indicador mostra quantos anos, em média, uma pessoa vive em determinado país

A expectativa de vida dos brasileiros caiu de 76,7 anos para 74,8 anos em 2020. A redução foi resultado do alto número de mortes por causa da côvid dezenóveno último ano. O indicador é o mais baixo desde 2013.

O número foi apontado em um estudo feito por uma equipe de pesquisadores da Faculdade de Saúde Pública da Universidade Harvard, em parceria com a Universidade Federal de Minas Gerais.

reticências

A expectativa de vida é um importante indicador social e de saúde. Esse número mostra o tempo que a população vive, em média. Outra fórma de entender esse número é imaginar que os bebês nascidos em 2020 irão viver, em média, quase dois anos a menos do que aqueles que nasceram em 2019. Os dados oficiais do Brasil ainda serão consolidados pelo IBGE.

Apesar de alguns outros países também terem tido muitas mortes, a queda da expectativa de vida não foi tão alta. Nos Estados Unidos, por exemplo, os americanos perderam 1,13 ano de expectativa de vida.

Como base de comparação, a mais alta expectativa de vida no mundo é a do Japão — 84,6 anos, e a mais baixa é a da República Centro-Africana — 53,3 anos.

CABRAL, M. C. Cai a expectativa de vida no Brasil. Qualé, São Paulo, edição 28, página 12, 3 a 17 de maio de 2021.

Atividades

1. Responda às questões no caderno.

a) Em que mês e ano a matéria anterior foi publicada?

b) O que é a expectativa de vida?

c) Qual era a expectativa de vida dos brasileiros em 2020? E em 2019?

d) Por que a expectativa de vida no Brasil caiu?

e) Qual era o país cuja população tinha a expectativa de vida mais alta em 2020? E o que tinha a expectativa de vida mais baixa?

2. Copie as afirmações no caderno e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.

a) (

) Todos os números que aparecem no texto são números racionais.

b) (

) Os números 2013, 2019 e 2020 não são números racionais.

c) (

) Em 2020, a expectativa de vida da população do Japão superava a da população da República Centro-Africana em mais de 30 anos.

d) (

) No texto, não aparece nenhum número inteiro.

3. Em 2020, trabalhar de casa era uma das recomendações para se proteger da côvid dezenóve. Analise estes dados da pesquisa realizada pela FGV Social e responda as questões no caderno.

Infográfico. Mulher negra de cabelo preto e blusa laranja está de frente para um notebook junto com uma xícara, porta lápis e luminária. Na parede uma quadro com 3 papéis em branco. Acima, a informação: QUEM CONSEGUE TRABALHAR DE CASA. Na parte inferior, POR RENDA; Classes A e B: 27 porcento. Classe C: 10 porcento. Classes D e E: 8 porcento . POR ESCOLARIDADE. Com nível superior: 34 porcento. Fundamental completo: 6 porcento.

CABRAL, M. C. Cai a expectativa de vida no Brasil. Qualé, São Paulo, edição 28, página 12, 3 a 17 de maio de 2021.

a) Na sua opinião, o que os dados revelam?

b) Seus pais ou responsáveis tiveram que trabalhar durante a pandemia? Como eles fizeram para se proteger da côvid dezenóve?

Página 37

Fração geratriz de uma dízima periódica

Podemos determinar a fração que gera uma dízima periódica. Essa fração é chamada de fração geratriz. Observe os exemplos a seguir.

a) Vamos determinar a fração geratriz da dízima 0,777reticências

Indicamos a dízima periódica 0,777reticências por x.

x = 0,777reticências

Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 10 para obter outro número com a mesma parte decimal.

10x = 7,777reticências

Subtraímos, membro a membro,

, eliminando a parte decimal.

Esquema. Na linha de cima: 10x igual a 7 vírgula 777 reticências. Do lado direito o número 2 em algarismos romanos. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e a direita x igual a 0 vírgula 777 reticências. Do lado direito o número 1 em algarismos romanos. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, 9x igual a 7.

Assim:

x = \frac{7}{9}

Portanto,

\frac{7}{9}

é a fração geratriz de 0,777reticências

b) Vamos determinar a fração geratriz da dízima 4,151515reticências

Indicamos a dízima periódica 4,151515reticências por x.

x = 4,151515reticências

Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 100 para obter outro número com a mesma parte decimal.

100x = 415,151515reticências

Subtraímos, membro a membro,

, eliminando a parte decimal.

Esquema. Na linha de cima: 100x igual a 415 vírgula 151515 reticências. Do lado direito o número 2 em algarismos romanos. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e a direita x igual a 4 vírgula 151515 reticências. Do lado direito o número 1 em algarismos romanos. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, 99x igual a 411.

Assim:

x = \frac{411}{99}

Portanto,

\frac{411}{99}

é a fração geratriz de 4,151515reticências

c) Vamos determinar a fração geratriz da dízima 0,04777reticências

Indicamos a dízima periódica 0,04777reticências por y.

y = 0,04777reticências

Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 100 para obter uma dízima periódica simples.

100y = 4,777reticências

Multiplicamos os dois membros da igualdade

por 10 para obter outro número com a mesma parte decimal do segundo membro da igualdade

.1000y = 47,777reticências

Subtraímos, membro a membro,

, eliminando a parte decimal.

Esquema. Na linha de cima: mil vezes y igual a 47 vírgula 777 reticências. Do lado direito o número 2 em algarismos romanos. Abaixo, à esquerda, o sinal de subtração e a direita 100y igual a 4 vírgula 777 reticências. Do lado direito o número 1 em algarismos romanos. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, 900y igual a 43.

Assim:

y = \frac{43}{900}

Portanto,

\frac{43}{900}

é a fração geratriz de 0,04777reticências

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

19. Determine a fração geratriz de cada uma das dízimas periódicas a seguir.

0, \overline{8}

b) 3,151515reticências

c) 0,05222reticências

d) 0,007007007reticências

e) 2,4777reticências

f) 0,1444reticências

20.

Calcule mentalmente e registre no caderno os resultados de:

a) 5 + 0,777reticências

b) 8 + 0,333reticências

c) 0,6 + 0,222reticências

d) 1,5 + 0,555reticências

21. Efetue as operações a seguir.

a) 0,5 + 0,555reticências

2, \overline{7}

⋅ 0,06

22.

Utilizando uma calculadora, determine o resultado de:

a) .8000 : .9000

b) 80 : 90

c) 16 : 18

d) 30 : 110

e) .3000 : .11000

f) 9 : 33

• Que regularidade você observou ao realizar essas divisões? Por que você acha que isso ocorreu?

4 Números irracionais

Luciano queria determinar o valor de

\sqrt{2}

, ou seja, encontrar o número que elevado ao quadrado desse como resultado 2.

Inicialmente, ele verificou que

\sqrt{2}

é um número decimal situado entre 1 e 2.

Esquema. 1 menor que raiz quadrada de 2 menor que 2. Fio abaixo do número 1 indicando a sentença: 1 ao quadrado igual a 1. Fio abaixo de raiz quadrada de 2, indicando a sentença: raiz quadrada de 2 ao quadrada igual a 2. Fio abaixo de 2, indicando a sentença: 2 ao quadrado igual a 4.

Ilustração. Menino branco e ruivo. Ele pensa: Raiz quadrada de 2 é maior que 1 e menor que 2 reticências.

A seguir, verificou que

\sqrt{2}

é um número decimal situado entre 1,4 e 1,5:

Esquema. 1 vírgula 4 menor que raiz quadrada de 2 menor que 1 vírgula 5. Fio abaixo do número 1 vírgula 4 indicando a sentença: 1 vírgula 4 ao quadrado igual a 1 vírgula 96. Fio abaixo de 1 vírgula 5, indicando a sentença: 1 vírgula 5 ao quadrado igual a 2 vírgula 25.

Luciano continuou buscando o valor de

\sqrt{2}

e verificou que é um número situado entre 1,41 e 1,42.

Esquema. 1 vírgula 41 menor que raiz quadrada de 2 menor que 1 vírgula 42. Fio abaixo do número 1 vírgula 41 indicando a sentença: 1 vírgula 41 ao quadrado igual a 1 vírgula 9881. Fio abaixo de 1 vírgula 42, indicando a sentença: 1 vírgula 42 ao quadrado igual a 2 vírgula 0164.

Ele avançou mais algumas etapas na busca da

\sqrt{2}

, encontrando:

Esquema. 1 vírgula 414 menor que raiz quadrada de 2 menor que 1 vírgula 415. Fio abaixo do número 1 vírgula 414 indicando a sentença: 1 vírgula 414 ao quadrado igual a 1 vírgula 999396. Fio abaixo de 1 vírgula 415, indicando a sentença: 1 vírgula 415 ao quadrado igual a 2 vírgula 002225.

Esquema. 1 vírgula 4142 menor que raiz quadrada de 2 menor que 1 vírgula 4143. Fio abaixo do número 1 vírgula 4142 indicando a sentença: 1 vírgula 4142 ao quadrado igual a 1 vírgula 99996164. Fio abaixo de 1 vírgula 4143, indicando a sentença: 1 vírgula 4143 ao quadrado igual a 2 vírgula 00024449.

Luciano prosseguiu com esse raciocínio, mas não encontrou um número que, elevado ao quadrado, resultasse exatamente em 2. Desse modo, Luciano se perguntou:

Será que existe um número que, ao ser elevado ao quadrado, resulte em 2?

Página 39

Após muitos cálculos e estudos, os matemáticos provaram que

\sqrt{2}

não é racional, isto é, não pode ser expresso como decimal exato ou dízima periódica.

Números que têm infinitas casas decimais e não são periódicos são chamados de números irracionais.

Os matemáticos mostraram que existem infinitos números irracionais. Os números

\sqrt{2}

\sqrt{3}

\sqrt{5}

\sqrt{7}

\sqrt{11}

\sqrt{13}

\sqrt{17}

e seus simétricos são alguns exemplos de números irracionais.

Veja que interessante

Faça a atividade no caderno.

O número π (pi)

O número cujo valor corresponde ao quociente da medida do comprimento de qualquer circunferência pela medida de comprimento de seu diâmetro (dobro da medida de comprimento do raio), na mesma unidade, é chamado de número π (pi).

Ilustração. à esquerda, circunferência vermelha e seta circular preta. Acima está escrito medida do comprimento da circunferência (C). no meio, ilustração Circunferência vermelha com reta horizontal de um lado a outro. Acima está escrito: Medida de comprimento do diâmetro da circunferência (d). à direita, fração Medida do comprimento da circunferência sobre Medida de comprimento do diâmetro da circunferência é igual a pi.

Determinar o valor de π foi, durante séculos, um desafio para os matemáticos. Eles provaram que o número π tem infinitas casas decimais e não apresenta período; portanto, é um número irracional. Confira a seguir o número π com 20 casas decimais.

3,14159265358979323846reticências

O número π causa um fascínio tão grande em determinadas pessoas que elas se dedicam a calcular mais e mais casas decimais. O professor Yasumasa Kanada, da Universidade de Tóquio, no Japão, é conhecido por bater vários recordes mundiais, entre 1981 e 2002, no cálculo de casas decimais do π. Nessa busca, em 2002, ele empregou um supercomputador durante mais de seiscentas horas, atingindo 1,241 trilhões de casas.

Em 2011, Shigeru Kondo, engenheiro japonês, obteve o número π com cêrca de 10 trilhões de casas decimais após usar um programa de computador que calcula trilhões de dígitos durante 371 dias, ou seja, mais de um ano.

Atividade

Os recordes de casas decimais do π são quebrados frequentemente. Por isso, pesquise qual é o recorde atual.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

23. Escreva, em seu caderno, os números que são irracionais.

a) 0

\sqrt{2}

c) ‒3,14

\sqrt{5}

e) 0,777reticências

f) π

g) 1,73

h) 0,54

\sqrt{4}

\frac{3}{900}

- \sqrt{3}

\sqrt{49}

24.

Utilizando uma calculadora, determine, com aproximação de duas casas decimais, o valor de:

\sqrt{2} + \sqrt{3}

π - 2 \sqrt{3}

\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}

\sqrt{3} - \sqrt{2}

Página 40

25.

Com uma calculadora, determine o valor aproximado, com cinco casas decimais, de:

\sqrt{10}

{(\frac{4}{3})}^{4}

\frac{22}{7}

\frac{13 \sqrt{146}}{50}

\sqrt{2} + \sqrt{3}

\frac{355}{113}

• Quais desses valores são mais próximos do valor de π?

26. Represente na reta numérica os números a seguir.

\sqrt{2}

- \sqrt{2}

2 \sqrt{2}

- 2 \sqrt{2}

27. Coloque em ordem crescente os números a seguir.

\sqrt{3}; –1,2; \frac{10}{3}; 2 \sqrt{2}; \frac{4}{3}; 0,5

5 Números reais

Os números naturais e os números inteiros são também números racionais. Se juntarmos em um só conjunto os números racionais e os números irracionais, obteremos o conjunto dos números reais, cujo símbolo é

Esquema. Conjunto retangular dos Números Reais. Dentro, à esquerda, conjunto dos números racionais. Dentro, conjunto dos números inteiros e dentro, conjunto dos números naturais. À direita, conjunto dos números irracionais.

Portanto, todos os números que estudamos até agora pertencem ao conjunto dos números reais.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

28. Analise estes números.

‒35;

\sqrt{3}

;

\frac{40}{5}

; 1,222; π; 0,444reticências;

- \sqrt{2}

;

\frac{1}{7}

a) Quais deles são números naturais?

b) Quais deles são números inteiros?

c) Quais deles são números racionais?

d) Quais deles são números irracionais?

e) Quais deles são números reais?

f) Apresente-os em ordem crescente.

29. Dê um exemplo de:

a) número racional e não inteiro maior que 2;

b) número real e não racional maior que 3;

c) número inteiro e não natural maior que 4.

30. Escreva em seu caderno os números que pertencem ao conjunto dos números reais.

\frac{0}{5}

\sqrt{0}

c) ‒0,005

\sqrt{64}

- \sqrt{36}

\sqrt{1}

g) 11 111

h) ‒π

31. Em cada item, escreva três números:

a) inteiros maiores que ‒15 e menores que ‒11;

b) racionais maiores do que

- \frac{3}{4}

e menores que

- \frac{1}{2}

;

c) irracionais maiores que 1,3010010001;

• Apresente as respostas anteriores em ordem decrescente.

32. Avalie as sentenças a seguir e copie as verdadeiras no caderno.

a) Todo número inteiro é racional.

b) Todo número real é racional.

c) Toda dízima periódica é número racional.

d) Todo número irracional é real.

e) Todo número que tem infinitas casas decimais é irracional.

f) Todo número real é irracional.

g) O número zero é real, inteiro e racional.

Página 41

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Números naturais

O conjunto dos números naturais é dado por:

= {0, 1, 2, 3, 4, reticências}

Todo número natural tem um sucessor e todo número natural, com exceção do zero, tem um antecessor.

Sequência numérica

É a sequência cujos elementos são números escritos em certa ordem. Cada elemento dela é chamado de termo da sequência.

A lei de formação é uma regra que mostra como a sequência progride ou é formada.

Por exemplo, na sequência (0, 3, 6, 9, 12, reticências), a lei de formação é á₁ = 0 e á_{n + 1} = 3 + á_n.

1. Escreva no caderno a afirmação verdadeira.

a) 9 é um número natural.

b) ‒5 é um número natural.

\frac{1}{4}

é um número natural.

2. Indique o antecessor e o sucessor dos números a seguir.

a) 211

b) 199

c) 300

3. No caderno, escreva os seis primeiros termos de uma sequência numérica na qual á₁ = 2, á₂ = 5 e á_n = á_{n ‒ 2} + á_n ‒ 1, em que n > 2.

Números inteiros

O conjunto dos números inteiros é dado por:

= {reticências, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3, reticências}

4. Escreva em seu caderno o que se pede.

a) Os números inteiros entre 7 e 12.

b) Os números inteiros entre ‒11 e ‒8.

5. Uma conta estava com saldo negativo de R$ 610,00seiscentos e dez reais. Após um depósito de R$ 3.200,00três mil duzentos reais, qual será o novo saldo?

Números racionais

O conjunto dos números racionais pode ser dado por:

= \{\frac{a}{b}, em que a e b são números inteiros e b \neq 0\}

Fração geratriz de uma dízima periódica

Na divisão de 7 por 3, o algarismo 3 do quociente 2,333reticências continuará se repetindo infinitamente; chamamos esse quociente de dízima periódica.

A fração que gera uma dízima periódica é chamada de fração geratriz. Por exemplo,

\frac{7}{9}

é a fração geratriz de 0,777reticências

6. Quais números a seguir são racionais?

a) ‒4

b) 0

\sqrt{3}

\frac{1}{4}

7. Escreva a representação decimal de:

\frac{1}{2}

\frac{3}{5}

\frac{123}{100}

‒ \frac{10}{9}

8. Escreva a fração geratriz destas dízimas.

0, \overline{5}

b) 0,1333reticências

c) 1,232323reticências

d) 0,02444reticências

Números irracionais

Os números irracionais têm infinitas casas decimais e não são periódicos.

9. Escreva no caderno as sentenças verdadeiras.

a) 3,2 é um número racional

\sqrt{16}

é um número irracional

- \sqrt{3}

é um número inteiro

- \sqrt{7}

é um número irracional

Números reais

A união do conjunto dos números racionais e dos conjunto dos números irracionais forma o conjunto dos números reais, cujo símbolo é

10. Analise os números a seguir.

- 12; \sqrt{7}; \frac{15}{3}; 1, 88; π; \frac{3}{7}

• Agora, no caderno, indique a qual conjunto numérico cada um deles pertence (naturais, inteiros, racionais, irracionais e ou ou reais).

Glossário

c.: : abreviação do latim circa, que significa “por volta de”. Antes de um ano, indica que a data apontada é aproximada.; Voltar para o texto