Unidade 2

Capítulo 4 Ângulos e transformações geométricas

Capítulo 5 Polígonos

Capítulo 6 Probabilidade

No site do Museu Paraense Emílio Goeldi, há um catálogo com diversos exemplares da cerâmica marajoara no livro digital Cerâmica marajoara: a comunicação do silêncio, de Lilian Bayma de Amorim.

Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem, com uma das regiões do plano limitada por elas.

Faça as atividades no caderno.

1. Classifique os ângulos a seguir em nulo, raso, de uma volta, reto, agudo ou obtuso.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2. Classifique cada ângulo destacado nos quadriláteros a seguir em agudo, reto ou obtuso.

a)

b)

Bissetriz de um ângulo é a semirreta interna a esse ângulo com origem no vértice ­do ângulo que o divide em dois ângulos congruentes.

2º) Centramos o compasso em C e em D e traçamos arcos que se cruzam na região interna do ângulo, obtendo um ponto Eê.

Bissetriz

Nesta seção, vamos utilizar o GeoGebra ou outro software de geometria dinâmica que seu professor pode indicar, para construir a bissetriz de um ângulo e realizar algumas investigações.

Construa

Siga os passos a seguir para construir a bissetriz de um ângulo.

 1º) Construa um ângulo

$$A\hat{O}B$$

AOB

qualquer. Para isso, utilize a ferramenta

e trace duas semirretas de mesma origem Oóh:

$$\overrightarrow{OA}$$

Semirreta OA.

e

$$\overrightarrow{OB}$$

Semirreta OB.

Utilize a ferramenta

para construir circunferências que podem ter qualquer medida de comprimento do raio.

Utilize a ferramenta

para construir circunferências que têm uma medida de comprimento do raio definida.

Explore

Faça o que se pede usando as ferramentas do GeoGebra.

b) Marque um ponto D qualquer na semirreta

$$\overrightarrow{OC}$$

Semirreta OC

. Utilize a ferramenta

e trace uma reta r, perpendicular a

$$\overrightarrow{OA}$$

Semirreta OA.

passando por D, e uma reta s, perpendicular a

$$\overrightarrow{OB}$$

Semirreta OB.

passando por D. Depois, marque Eê e F, intersecções das perpendiculares com os lados do ângulo.

Note que nessa imagem “escondemos” algumas construções. Você pode fazer o mesmo clicando com o botão direito do mouse sobre a construção e desabilitando a opção “Exibir Objeto”. É interessante utilizar esse recurso e esconder alguns traçados, permitindo melhor visualização nas investigações.

Mediatriz é a reta perpendicular a um segmento de reta que passa pelo ponto médio desse segmento.

2º) Centramos o compasso em B e, com a mesma abertura, traçamos outro arco que cruze o primeiro. Com isso, obtemos os pontos C e D.

Mediatriz e ponto médio

Nesta seção, vamos utilizar o GeoGebra ou outro software de geometria dinâmica que seu professor pode indicar, para construir a mediatriz e o ponto médio de um segmento de reta e realizar algumas investigações.

Construa

Siga os passos seguintes para construir a mediatriz e o ponto médio de um segmento de reta.

 1º) Utilize a ferramenta

e construa um segmento de reta

$$\overline{AB}$$

Segmento de reta AB.

.

Explore

Faça o que se pede usando as ferramentas do GeoGebra.

a) Utilize a ferramenta

e meça o comprimento dos segmentos de reta

$$\overline{AM}$$

Segmento de reta AM.

 e 

$$\overline{MB}$$

Segmento de reta MB.

. Depois, utilize a ferramenta

e meça a abertura dos ângulos formados entre m e o segmento de reta

$$\overline{AB}$$

Segmento de reta AB.

. Por fim, movimente a construção por meio dos pontos móveis (Aa eê B). Que relação podemos identificar em relação às medidas obtidas?

b) Marque um ponto P qualquer sobre a reta m e, utilizando a ferramenta

, meça o comprimento dos segmentos de reta

$$\overline{AP}$$

Segmento de reta AP.

 e 

$$\overline{PB}$$

Segmento de reta PB.

. Depois, movimente o ponto P ao longo da reta m. Que relação podemos identificar?

Faça as atividades no caderno.

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso nas atividades 6, 7, 11 e 12.

6. Construa no caderno, com o auxílio de um transferidor, um ângulo cuja abertura meça 80°graus. Em seguida, utilizando régua e compasso, determine a bissetriz desse ângulo e escreva a medida da abertura de cada ângulo obtido.

7. No caderno, utilizando régua e compasso:

a) construa um ângulo qualquer;

b) divida o ângulo em quatro ângulos congruentes.

10. Na figura seguinte, R, S e T são os pontos ­médios dos segmentos de reta

$$\overline{AB}$$

Segmento de reta AB.

, 

$$\overline{BC}$$

Segmento de reta BC.

 e 

$$\overline{CD}$$

Segmento de reta CD.

, respectivamente.

Determine:

a) a medida de comprimento de

$$\overline{RS}$$

Segmento de reta RS.

;

b) a medida de comprimento de

$$\overline{ST}$$

Segmento de reta ST.

;

c) a medida de comprimento de

$$\overline{SD}$$

Segmento de reta SD.

;

d) a medida de comprimento de

$$\overline{RD}$$

Segmento de reta RD.

.

2º) Centramos o compasso em B e, com a mesma abertura, traçamos um arco cruzando o arco anterior, determinando o ponto C.

Ângulo de medida da abertura de 60°graus

Nesta seção, vamos utilizar o GeoGebra ou outro software de geometria dinâmica que seu professor pode indicar, para construir um ângulo cuja abertura mede 60°graus e realizar algumas investigações.

Construa

Siga os passos a seguir para construir um ângulo de medida da abertura de 60°graus.

 1º) Utilize a ferramenta

e construa uma semirreta

$$\overrightarrow{AB}$$

semirreta AB

.

Explore

a) Utilize a ferramenta

e meça a abertura do ângulo

$$B\hat{A}D$$

Ângulo BAD.

. Depois, movimente os pontos móveis. O que você pode concluir?

b) Utilize a ferramenta

e construa o triângulo cujos vértices sejam os pontos Aa, C e D .

Agora, utilize a ferramenta

e meça o comprimento dos lados desse triângulo. O que você pode concluir?

c) Por que podemos garantir que a abertura do ângulo construído mede 60°graus?

3º) Centramos o compasso em D e, com a mesma abertura do passo anterior, traçamos um arco, cruzando o arco anterior e determinando o ponto Eê.

Na construção do ângulo de medida da abertura de 90°graus, determinamos dois pontos (C e D) equidistantesglossário do vértice do ângulo (Aa) e, com isso, repetimos os mesmos passos da construção da mediatriz.

1º) Traçamos a reta s e marcamos um ponto Oóh qualquer em s. Centramos o compasso em Oóh e traçamos um arco que intercepta s em Aa e em B.

3º) Traçamos t ⫽ s passando por M e por N.

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso nas atividades.

Faça as atividades no caderno.

14. No caderno, construa um ângulo reto utilizando as construções passo a passo do ângulo de medida da abertura de 60°graus e da bissetriz.

15. Dos ângulos de medida de abertura de 30°graus, 45°graus, 100°graus, 125°graus e 150°graus, quais podem ser construídos com régua e compasso usando as construções que aprendemos até aqui? Construa, no caderno, aqueles que forem possíveis.

16. Desenhe, em seu caderno, uma reta r e um ponto P externo a essa reta. Em seguida, construa, com régua e compasso, uma reta s paralela à r, passando pelo ponto P.

Lugar geométrico é a figura formada por todos os pontos do plano que têm em comum uma determinada propriedade.

Circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um­ ponto fixo.

Mediatriz é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de dois­ pontos fixos dados (extremidades de um segmento de reta).

Reta paralela é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de uma reta dada.

A medida da distância entre um ponto Oóh e uma reta r é dada pela medida de comprimento do segmento de reta perpendicular a r, com uma extremidade no ponto Oóh e a outra extremidade no ponto O'ó linha, na intersecção do segmento com a reta r.

Bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam dos lados desse ângulo.

Faça as atividades no caderno.

17. O lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de dois pontos fixos é denominado:

a) semirreta.

b) ponto médio.

c) mediatriz.

d) bissetriz.

18. A afirmação a seguir é verdadeira? Justifique.

A medida da distância entre a rua das Américas e a dos Eucaliptos é a mesma em qualquer ponto, pois elas são paralelas.

19. Na figura a seguir, as mesas de madeira no centro são denominadas tribunas. Qual delas o palestrante deve ocupar para que esteja à mesma medida de distância de cada poltrona de uma mesma fileira da plateia?

Faça as atividades no caderno.

21. Em uma malha quadriculada, copie estas figuras e as translade de acordo com o vetor.

a)

b)

1º) Centramos o compasso no ponto Oóh e traçamos um arco passando pelo ponto Aa, outro passando por B e um terceiro passando por C.

3º) Unimos os pontos A'á linha, B'bê linha e C ', obtendo a rotação do triângulo ABCá bê cê de um ângulo de medida da abertura de 40°graus no sentido anti-horário em torno do ponto Oóh.

Faça as atividades no caderno.

22. Em uma malha quadriculada, copie as figuras a seguir e obtenha as rotações de centro Oóh :

a) do ponto Aa, com um giro de 90°graus, no sentido horário;

b) do ponto D, com um giro de 45°graus, no sentido horário;

23. Copie as figuras seguintes em uma malha quadriculada e obtenha as rotações:

a) de centro P, no sentido horário, com uma rotação de um giro de 90°graus;

b) de centro Oóh, no sentido anti-horário, com uma rotação de um giro de 180°graus;

c) de centro P, no sentido anti-horário, com uma rotação de um giro de 45°graus.

Máscaras

As máscaras africanas tradicionais são um dos elementos da grande arte africana que mais evidentemente influenciou a Europa e a arte ocidental em geral no século XXvinte.

São representações ou manifestações de forças normalmente invisíveis, usadas em ritos agrários, funerários ou de iniciaçãoglossário , rememorando mitos e outras tradições, através de suas formasfórmas, movimentos, cores e materiais. Às vezes, as máscaras têm pouca semelhança com a aparência humana, para deixar claro que um indivíduo ao usá-las, introjeta um personagem do mundo sobrenatural, tornando visível a presença desse personagem no mundo natural e humano. Habitualmente, são consideradas máscaras apenas objetos faciais e os adornos de cabeça esculpidos, sem levar em conta o traje que os acompanha. Do ponto de vista africano, porém, a máscara é todo um conjunto: a máscara é o próprio mascarado quando se põe em movimento.

Museu Afro Brasileiro (MAFRO). Disponível em: https://oeds.link/mDJmis. Acesso em: 4 jul.julho 2022.

Atividades

1. Responda às questões no caderno.

a) Em que ocasiões as máscaras africanas são utilizadas?

b) As máscaras africanas sempre têm aparência humana? Por quê?

c) O que é a máscara para os africanos?

2. Estas imagens foram criadas tomando como inspiração algumas máscaras africanas.

a) Que tipo de simetria está presente nestas imagens? Justifique.

b) Em uma folha de papel sulfite, desenhe uma máscara inspirada em uma máscara africana, aplicando o que você aprendeu sobre as transformações geométricas no plano.

3.

Reúna-se com os colegas e façam uma pesquisa sobre a influência da cultura africana na formação do povo brasileiro.

Faça as atividades no caderno.

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso na atividade 25.

24. Em uma malha quadriculada, copie a figura seguinte. Depois, obtenha os pontos A'á linha, B'bê linha e C'cê linha simétricos aos pontos Aa, B e C em relação à reta r.

25. Em uma malha quadriculada, utilize o compasso para copiar os círculos seguintes. Depois, construa o simétrico de cada círculo em relação à reta r.

26. Em uma malha quadriculada, copie o polígono seguinte. Depois, construa o simétrico desse polígono em relação à reta r.

27. Em uma malha quadriculada, copie a figura seguinte. Depois, construa o polígono A'B'C'D'E'F'á linha bê linha cê linha dê linha é linha éfe linha simétrico do polígono ABCDEFá bê cê dê é éfe em relação ao ponto Oóh.

Composição de translações

Nesta seção, vamos verificar experimentalmente, por meio do GeoGebra ou outro software de geometria dinâmica que seu professor pode indicar, uma propriedade da composição de translações.

Construa

Siga os passos seguintes para transladar sucessivamente um polígono qualquer.

 1º) Utilize a ferramenta

e construa um polígono qualquer. Pode ser, por exemplo, um triângulo ABCá bê cê.

 2º) Use a ferramenta

e construa dois vetores quaisquer.

 3º) Clique na ferramenta

. Depois, clique sobre o triângulo ABCá bê cê e sobre o vetor vermelho. O polígono que aparecerá na tela (triângulo A'B'C'á linha bê linha cê linha ) é a imagem da translação pelo vetor vermelho.

 4º) Clique na ferramenta

. Depois, clique sobre o triângulo A'B'C'á linha bê linha cê linha e sobre o vetor azul. O polígono que aparecerá na tela (triângulo A"B"C"á duas linhas bê duas linhas cê duas linhas ) é a imagem da translação pelo vetor azul.

Explore

É possível obter o triângulo A"B"C"á duas linhas bê duas linhas cê duas linhas por meio de uma única translação do triângulo ABCá bê cê. Descubra o vetor dessa translação e represente-o no GeoGebra.

Composição de reflexões em relação a retas

Nesta seção, vamos utilizar o GeoGebra ou outro software de geometria dinâmica que seu professor pode indicar, para explorar propriedades da composição de reflexões em relação a retas.

Construa

Siga os passos seguintes para refletir um polígono qualquer.

 1º) Utilize a ferramenta

e construa um polígono qualquer. Pode ser, por exemplo, um quadrilátero ABCDa bê cê dê.

 2º) Use a ferramenta

e construa uma reta r.

 3º) Use a ferramenta

e construa uma reta s paralela à reta r.

 4º) Clique na ferramenta

. Depois, cli­que sobre o polígono e sobre a reta r. O polígono que aparecerá na tela (quadrilátero A'B'C'D'á linha bê linha cê linha dê linha ) é a imagem da reflexão pela reta r.

 5º) Clique na ferramenta

. Depois, clique sobre o quadrilátero A'B'C'D'á linha bê linha cê linha dê linha e sobre a reta s. O polígono que aparecerá na tela (quadrilátero A"B"C"D"á duas linhas bê duas linhas cê duas linhas dê duas linhas ) é a imagem da reflexão pela reta s.

Explore

a) É possível obter o quadrilátero A"B"C"D"á duas linhas bê duas linhas cê duas linhas dê duas linhas por meio de uma translação do quadrilátero ABCDa bê cê dê. Represente o vetor dessa translação no GeoGebra.

b) Faça o que se pede.

 1º) Utilize a ferramenta

e trace uma reta que seja perpendicular às retas r e s e que intercepte r no ponto P e s no ponto Q.

 2º) Utilize a ferramenta

e meça a distância entre as retas r e s.

 3º) Utilize a ferramenta

e meça a distância entre os pontos Aa e A". Ao que corresponde essa medida? Movimente o quadrilátero ABCDa bê cê dê e verifique o que ocorre.

c) O que podemos afirmar em relação à medida de comprimento do vetor da translação que leva ABCDa bê cê dê a A"B"C"D"á duas linhas bê duas linhas cê duas linhas dê duas linhas?

d) E se as retas r e s não fossem paralelas? Seria possível obter o quadrilá­tero A"B"C"D"á duas linhas bê duas linhas cê duas linhas dê duas linhas por meio de uma única transformação geométrica do quadrilátero ABCDa bê cê dê? Investigue e escreva sua conclusão no caderno. Dica: Meça a abertura do ângulo formado pelas retas r e s.

Composição de rotações em torno de um mesmo ponto

Nesta seção, vamos utilizar o GeoGebra ou outro software de geometria dinâmica que seu professor pode indicar, para explorar propriedades da composição de rotações em torno de um mesmo ponto.

Construa

Siga os passos seguintes para realizar rotações sucessivas de um polígono qualquer em torno de um mesmo ponto.

 1º) Construa um polígono qualquer, utilizando a ferramenta

. Pode ser, por exemplo, um pentágono ABCDEá bê cê dê é.

 2º) Marque um ponto Oóh qualquer utilizando a ferramenta

. Esse ponto será o centro da rotação.

 3º) Clique na ferramenta

. Depois, clique sobre o polígono e sobre o ponto Oóh. Por fim, escolha a medida da abertura do ângulo e o sentido da rotação. O polí­gono que aparecerá na tela (pentágono A'B'C'D'E'á linha bê linha cê linha dê linha é linha ) é a imagem da rotação.

 4º) Clique na ferramenta

. Depois, clique sobre o pentágono A'B'C'D'E'á linha bê linha cê linha dê linha é linha e sobre o ponto Oóh. Por fim, escolha a medida da abertura do ângulo. O sentido da rotação deve ser o mesmo do 3º passo. O polígono que aparecerá na tela (pentágono A"B"C"D"E"á duas linhas bê duas linhas cê duas linhas dê duas linhas é duas linhas ) é a imagem da rotação.

Explore

a) É possível obter o pentágono A"B"C"D"E"á duas linhas bê duas linhas cê duas linhas dê duas linhas é duas linhas por meio de uma única transformação geométrica do pentágono ABCDEá bê cê dê é? Se sim, descreva essa transformação.

b) O que a investigação feita por você, no item anterior, sugere?

Faça as atividades no caderno.

28. Em uma malha quadriculada, copie a figura seguinte e a translade utilizando primeiro o vetor azul e, depois, o vetor verde.

29. Em uma malha quadriculada, copie novamente a figura da atividade 28 e a translade primeiro utilizando o vetor verde e, depois, o vetor azul.

30. Copie a figura a seguir em uma malha quadriculada e faça 3 rotações sucessivas em torno do ponto C, no sentido horário, com um giro de 90°graus.

31.

Analise a figura a seguir.

a) No caderno, elabore duas questões que possam ser respondidas observando as transformações geométricas.

b) Troque de caderno com um colega e responda às questões criadas por ele.

c) Analise as respostas do colega e dê um retorno a ele, dizendo o que ele respondeu corretamente e onde ele se equivocou.

Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem, com uma das regiões do plano limitada por elas.

Classificação de ângulos

De acordo com a medida da abertura, um ângulo pode ser classificado em:

Ângulo nulo

Ângulo de uma volta

Ângulo reto

Ângulo raso ou de meia-volta

Ângulo agudo

Ângulo obtuso

Ângulos congruentes

Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida de abertura.

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo é a semirreta interna a esse ângulo com origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos congruentes.

Mediatriz de um segmento

Mediatriz é a reta perpendicular a um segmento de reta que passa pelo ponto médio desse segmento.

Lugar geométrico é a figura formada por todos os pontos do plano que têm em comum uma determinada propriedade.

Circunferência

Circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo.

Mediatriz

Mediatriz é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de dois pontos fixos dados (extremidades de um segmento de reta).

Retas paralelas

Reta paralela é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de uma reta dada.

Bissetriz

Bissetriz de um ângulo é o lugar ­geométrico dos pontos do plano que equidistam dos ­lados desse ângulo.

Translação é o deslocamento de uma figura dado por um vetor.

Rotação é o giro de uma figura em torno de um centro de rotação, em determinado sentido (horário ou anti-horário), segundo um ângulo de rotação.

Reflexão é a transformação geométrica que reflete todos os pontos de uma figura em relação a uma reta (simetria axial) ou a um ponto (simetria central), mantendo cada ponto da figura à mesma medida da distância do eixo de simetria ou do centro de reflexão, respectivamente.

Composição de transformações

Podemos compor transformações realizando as mesmas transformações geométricas sucessivas vezes, ou combinar transformações diferentes.