Página quarenta e três

Resoluções e comentários das atividades

Parte 1

Revisão dos conteúdos de anos anteriores

Para o capítulo 1 – Conjuntos numéricos

Página 10

1. Para identificar os números naturais e inteiros em cada item, os estudantes devem levar em consideração os sinais e a representação de cada número.

a) Número natural: 5; números inteiros: 5 e –5.

b) Não há número natural; números inteiros: ‒2, 0.

c) Número natural: 10 e 12; números inteiros: todos.

d) Nenhum número natural; nenhum número inteiro.

2. a) A = 6; C = – 3

Esquema. Reta numérica, crescente para a direita com 13 marcas equidistantes. Terceira marca: menos 3. Quinta marca: menos 1. Sexta marca: 0. Sétima marca: 1. Décima segunda marca: 6.

b) X = – 34; Y = –33

Esquema. Reta numérica, crescente para a direita com sete marcas equidistantes. Terceira marca: menos 34. Quarta marca: menos 33. Sexta marca: menos 31. Sétima marca: menos 30.

c) W = – 20; Z = 0

Esquema. Reta numérica, crescente para a direita com 7 marcas equidistantes. Primeira marca: menos 20. Terceira marca: menos 10. Quarta marca: menos 5. Quinta marca: 0.

d) M = – 60; N = 0

Esquema. Reta numérica, crescente para a direita com 7 marcas equidistantes. Segunda marca: menos 100. Terceira marca: menos 80. Quarta marca: menos 60. Sétima marca: 0.

3. a) Falsa, ‒12 é menor que 5.

b) Verdadeira.

c) Falsa, ‒12 é menor que ‒5.

d) Verdadeira.

4. a) Verdadeira.

b) Falsa, ‒7 é um número inteiro e também é um número racional

(p o d e s e r e s c r i t o c o m o - \frac{7}{1})

c) Falsa, 8,8 não é inteiro, mas é racional, pois

8, 8 = \frac{88}{10}

d) Verdadeira.

Apenas as afirmações dos itens a e d são verdadeiras.

5. a) – 12 < 5

b) 2,7 > – 5

c) – 2,2 < – 2,1

- \frac{1}{5} > - \frac{1}{2}

Esquema. Reta numérica, crescente para a direita com 6 marcas equidistantes correspondentes aos números 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Entre 1 e 2, marca para meio. Entre 2 e 3, marca para nove quartos. Entre 4 e 5, marca para nove meios.

A: 4. A letra A representa o ponto que corresponde ao número 4.

\frac{1}{2}

. O número correspondente ao ponto B é maior que 0 e menor do que 1. O único número nestas condições presente no quadro é o

\frac{1}{2}

. Portanto, o ponto B corresponde ao número

\frac{1}{2}

\frac{9}{4} .

O número correspondente ao ponto C é maior que 2 e menor do que 3. O único número do quadro nestas condições é o

\frac{9}{4}

. Portanto, o ponto C corresponde ao número

\frac{9}{4}

\frac{9}{2} .

O número correspondente ao ponto D é maior que 4 e menor do que 5. O único número que sobrou nestas condições é o

\frac{9}{2}

. Portanto, o ponto D corresponde ao número

\frac{9}{2}

Para o capítulo 2 – Potenciação e radiciação

Páginas 11 e 12

7. Temos que:

a) (‒25)10 > 0, pois o expoente é um número par.

b) (+15)1 = 15 > 0

c) (300)12 > 0, pois o expoente é um número par.

d) (‒29)63 < 0, pois o expoente é um número ímpar e a potência terá o mesmo sinal da base, que é negativo.

e) (‒0,25)9 < 0, pois o expoente é um número ímpar e a potência terá o mesmo sinal da base, que é negativo.

{(\frac{15}{8})}^{15} > 0

, pois o expoente é um número ímpar e a potência terá o mesmo sinal da base, que é positivo.

g) (‒0,36)0 = 1 > 0

h) (‒200, 1)55 < 0, pois o expoente é um número ímpar e a potência terá o mesmo sinal da base, que é negativo.Portanto, as potências que têm resultados positivos são as dos itens a, b, c, f e g.

{(- 6)}^{4} = (- 6) \cdot (- 6) \cdot (- 6) \cdot (- 6) = + 1 296

{(+ 6)}^{3} = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216

{(- 3)}^{6} = (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) = + 729

2^{6} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64

{(- 1, 1)}^{3} = (- 1, 1) \cdot (- 1, 1) \cdot (- 1, 1) = - 1, 331

{(- \frac{1}{2})}^{3} = (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8}

g) 0,34 = 0,3 ⋅ 0,3 ⋅ 0,3 ⋅ 0,3 = 0,0081

{(\frac{1}{2})}^{5} = (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) = \frac{1}{32}

Página quarenta e quatro

9. a)

\sqrt{64} = 8

, pois 82 = 64.

- \sqrt{81} = - 9

, pois ‒92 = ‒81.

\sqrt{100} = 10

, pois 102 = 100.

- \sqrt{16} = - 4

, pois ‒42 = ‒16.

\sqrt{49} = 7

, pois 72 = 49.

- \sqrt{4} = - 2

, pois ‒22 = ‒4.

10. Calculando as raízes, temos as associações:

\sqrt{0, 0001} = \sqrt{\frac{1}{10 000}} = \frac{1}{100} = 0, 01 \to A - I I

\sqrt{1, 44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{12}{10} = 1, 2 \to B - I

\sqrt{0, 81} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10} = 0, 9 \to C - I V

\sqrt{0, 25} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{5}{10} = 0, 5 \to D - I I I

11. a)

\sqrt{\frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{2^{2}}{5^{2}}} = \frac{2}{5}

\sqrt{\frac{9}{64}} = \sqrt{\frac{3^{2}}{8^{2}}} = \frac{3}{8}

- \sqrt{\frac{100}{4}} = - \sqrt{\frac{10^{2}}{2^{2}}} = - \frac{10}{2} = - 5

\sqrt{\frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{1^{2}}{4^{2}}} = \frac{1}{4}

12. a) Verdadeira, pois 102 = 100.

b) Falsa, pois 0 é um quadrado perfeito: 02 = 0.

c) Falsa, pois não existe número inteiro ao quadrado que resulte em

\frac{35}{10}

d) Verdadeira, pois 0,4 não é um quadrado perfeito.

13. a)

\sqrt{W} = 4

, logo

W = 4^{2} = 16

\sqrt{X} = 9

, logo

X = 9^{2} = 81

\sqrt{Y} = 8

, logo

Y = 8^{2} = 64

\sqrt{Z} = 0, 04

, logo

Z = {(0, 2)}^{2} = 0, 04

Para o capítulo 3 – Sistemas de equações do 1º grau

Página 12

14. Observando o plano cartesiano, temos M (2, 5); N (‒3, 1); P (0, ‒6) e Q (4, ‒6).

15.

Plano cartesiano. Eixo x de menos 5 a 5, eixo y de menos 4 ao 4. Destacados os pares ordenados: A (menos 5, 2), B (menos 1, menos 3), C (0, menos 2), D (4, 0).

Para o capítulo 4 – Ângulos e transformações geométricas

Páginas 12 a 14

16. a) Falsa. A abertura de um ângulo reto mede 90graus.

b) Verdadeira. Dois ângulos retos têm a mesma medida de abertura (90º). Portanto, são sempre congruentes.

c) Verdadeira. A medida de abertura de um ângulo obtuso é maior que 90graus.

d) Falsa. A medida de abertura de um ângulo agudo é menor que 90graus.

17. Observando a figura, temos que os ângulos

E \hat{O} D

D \hat{O} C

têm a mesma medida de abertura, assim como os ângulos

C \hat{O} D

B \hat{O} A

. Portanto,

A \hat{O} D ≅ D \hat{O} C

C \hat{O} B ≅ B \hat{O} A

18. a) Reflexão, pois as figuras são congruentes e os pontos correspondentes estão a uma mesma medida de distância da reta r.

b) A reta r é o eixo de simetria.

19. a)

Figura geométrica. Malha quadriculada. À direita, pentágono laranja ABCDE, com lados de medidas diferentes. Tomando o lado do quadradinho da malha como unidade de medida, a uma unidade para baixo e 10 unidades para a esquerda, pentágono laranja A linha B linha C linha D linha E linha, congruente ao pentágono ABCDE.

Figura geométrica. Malha quadriculada. À esquerda, na parte superior, triângulo verde ABC. Na parte inferior direita, triângulo A linha B linha C linha, congruente ao triângulo ABC. C e C linha são o mesmo ponto, os triângulos estão refletidos em relação a ele.

Para o capítulo 5 – Polígonos

Páginas 15 e 16

20. Exemplo de resposta.

Figura geométrica. Pentágono ABCDE. Segmento BD está traçado e com um fio indicando: diagonal. Os ângulos BAE e BCD estão traçados e com um fio em cada indicando: ângulo interno. No prolongamento do lado BC, o ângulo externo relativo ao vértice B está traçado e com um fio indicando: ângulo externo.

Página quarenta e cinco

21. a) x + 75graus + 43graus = 180graus

x + 118graus = 180graus

x = 180graus – 118graus

x = 62graus

b) 2x + 130graus + 2x + 130graus = 2 ⋅ 180graus

4x + 260graus = 360graus

4x = 360graus – 260graus

4x = 100graus

x = \frac{100 °}{4}

x = 25graus

c) x + 90graus + 98graus + 90graus + 152graus = 3 ⋅ 180graus

x + 430graus = 540graus

x = 540graus – 430graus

x = 110graus

22. O polígono do item a, pois todos os ângulos internos têm mesma medida de abertura e todos os lados têm mesma medida de comprimento.

23. a) Se cada ângulo interno mede 90º, a soma das medidas dos ângulos internos é 360º, então concluímos que este polígono pode ser decomposto em 2 triângulos. Portanto, este polígono regular é um quadrilátero, ou seja, um quadrado.

b) Se cada ângulo externo mede 120º, cada ângulo interno mede 60º . Como a soma das medidas dos ângulos internos é 180º, o polígono regular é um triângulo equilátero.

Para o capítulo 6 – Probabilidade

Página 16

24. a) Falsa, as chances são iguais pois a moeda é "honesta".

b) Verdadeira.

c) Verdadeira, pois em um "dado honesto" com as faces numeradas de 1 a 6, não há uma face com número maior que 6. Portanto, a probabilidade de sair um número maior que 6 é igual a 0.

25. a) A probabilidade é de 2 em 12 ou

\frac{2}{12} = \frac{1}{6}

b) A probabilidade é de 3 em 12 ou

\frac{3}{12} = \frac{1}{4}

c) A probabilidade é de 6 em 12 ou

\frac{6}{12} = \frac{1}{2}

d) A probabilidade é de 1 em 12 ou

\frac{1}{12} .

Para o capítulo 7 – Triângulos e quadriláteros

Páginas 16 e 17

26. Exemplo de resposta.

Figura geométrica. Triângulo azul PQR com três ângulos diferentes.

27. a) Verdadeira.

b) Falsa,

\overline{M J}

é um lado do triângulo IMJ.

c) Verdadeira.

d) Falsa, J é vértice do triângulo IMJ.

28. a) Trapézio, pois tem apenas um par de lados paralelos.

b) Outro quadrilátero, pois não apresenta lados paralelos.

c) Paralelogramo, pois tem dois pares de lados paralelos.

d) Trapézio, pois tem apenas um par de lados paralelos.

29. a) Verdadeira, pois os 4 ângulos internos de um quadrado são retos.

b) Falsa, nem todo retângulo tem lados com a mesma medida de comprimento.

c) Verdadeira.

d) Verdadeira.

e) Falsa, todos os losangos têm os quatro lados congruentes.

f) Falsa, nem todo retângulo tem lados com a mesma medida de comprimento. Portanto, nem todo retângulo é um quadrado.

Apenas as afirmações dos itens a, c e d são verdadeiras.

Para o capítulo 8 – Área, volume e capacidade

Páginas 17 e 18

30. a)

A = \frac{(28 c m + 15 c m) \cdot 16 c m}{2} = \frac{43 c m \cdot 16 c m}{2} =

= \frac{688 c m^{2}}{2} = 344 c m^{2}

A = \frac{10 c m \cdot 21 c m}{2} = \frac{210 c m}{2} = 105 c m^{2}

A = 9, 5 c m \cdot 15 c m = 142, 5 c m^{2}

A = \frac{5 c m \cdot 2, 9 c m}{2} = \frac{14, 5 c m^{2}}{2} = 7, 25 c m^{2}

31. V = 5 centímetros ⋅ 15 centímetros ⋅ 7 centímetros = 525 centímetros cúbicos

A medida do volume do paralelepípedo é igual a 525 centímetros cúbicos.

32. A medida do volume de um cubo é obtida calculando o cubo da medida de comprimento de uma de suas arestas. Assim:

V = {(12 c m)}^{3} = 1728 c m^{3}

V = {(0, 4 m)}^{3} = 0, 064 m^{3}

V = {(9 c m)}^{3} = 729 c m^{3}

Para o capítulo 9 – Equações do 2º grau

Páginas 18 a 20

33. A sentença do item b não é uma equação, pois não tem incógnita. A sentença do item d também não é uma equação, pois não é uma igualdade. Portanto, somente as sentenças dos itens a e c são equações.

34. a) Falsa, pois não é uma igualdade.

b) Verdadeira. É um equação do 1º grau na incógnita t.

c) Falsa, apesar ser uma equação, 4 não é uma incógnita.

d) Verdadeira.

e) Verdadeira, pois o expoente da incógnita k é 3 (é uma equação de 3º grau).

São verdadeiras as afirmações dos itens b, d e e.

Página quarenta e seis

35. Substituindo x por ‒1 nas equações, teremos:

a) – 3 = 5 ⋅ (– 1) – 2 ⋅ (– 1)

‒3 = ‒5 + 2

‒3 = ‒3 (sentença verdadeira)

Sul = {‒1} é o conjunto solução da equação ‒3 = 5x ‒ 2x.

b) 8 ⋅ (– 1) – 10 ≠ – 2

‒8 ‒ 10 = ‒2

‒18 = ‒2 (sentença falsa)

Sul = {‒1} não é o conjunto solução da equação 8x ‒ 10 = ‒2.

c) 5 ⋅ (– 1) – 14 ≠ 12 ⋅ (– 1)

‒5 ‒ 14 = ‒12

‒19 = ‒12 (sentença falsa)

Sul = {‒1} não é o conjunto solução da equação 5x ‒ 14 = 12x.

- \frac{1}{2} - 2 = - \frac{5}{2}

- \frac{5}{2} = - \frac{5}{2}

(sentença verdadeira)

Sul = {‒1} é o conjunto solução da equação

\frac{x}{2} - 2 = - \frac{5}{2}

36. – 8x + 23 = 23 + x

0 = 9x

x = 0

Como 0 é um número real e é raiz da equação, temos que Sul = {0}.

Alternativa a.

37. a) 5x + 10 = – 10

5x = – 10 – 10

5x = – 20

x = - \frac{20}{5}

x = – 4

Como ‒4 é um número real e é raiz da equação, então Sul = {‒4}.

b) x – 12 = 29

x = 29 + 12

x = 41

Como 41 é um número real e é raiz da equação, então Sul = {41}.

c) 2x = – 2 + 6x

2 = 6x – 2x

2 = 4x

x = \frac{2}{4}

x = \frac{1}{2}

Como

\frac{1}{2}

é um número real e é raiz da equação, então

S = \{\frac{1}{2}\}

38. a) Verdadeira. Resolvendo a equação, encontramos:

2x + 3 = – 8 + x

x = – 11

Como ‒11 não é um número natural, então Sul = ∅.

b) Falsa. Substituindo x por 10 na equação, temos:

9 + 5 ⋅ 10 = 5,9

9 + 50 = 5,9

50 = 5,9 (sentença falsa)

Portanto, Sul = {10} não é o conjunto solução da equação 9 + 5x = 5,9.

c) Verdadeira. Substituindo x por 12 na equação, temos:

‒ 48 = 3 ⋅ 12 ‒ 7 ⋅ 12

‒48 = 36 ‒ 84

‒48 = ‒48 (sentença verdadeira)

Portanto, Sul = {12} é o conjunto solução da equação ‒48 = 3x ‒ 7x.

Para o capítulo 10 – Grandezas e proporcionalidade

Páginas 20 e 21

39. a)

\frac{30}{3} = 10

\frac{3}{30} = \frac{1}{10}

\frac{90}{123} = \frac{30}{41}

40. a) Existe proporção, pois 11 ⋅ 18 = 22 ⋅ 9 = 198.

b) Não apresenta proporção.

c) Existe proporção, pois 36 ⋅ 600 = 100 ⋅ 216 = 21 600.

d) Não apresenta proporção.

41. Utilizando a propriedade fundamental das proporções, temos:

x = \frac{3 \cdot 10}{2} = 15

x = \frac{15 \cdot 8}{4} = 30

x = \frac{100 \cdot 13}{26} = 50

42. a)

X	Y
5	12
10	24
2,5	6
15	36

X e Y são diretamente proporcionais. Assim:

\frac{2, 5}{15} = \frac{6}{x}

2,5x = 15 ⋅ 6

2,5x = 90

x = 36

X	Y
0,2	16
1	80
10	800
0,1	8

X e Y são diretamente proporcionais. Assim:

\frac{0, 2}{1} = \frac{16}{y}

0,2y = 16 ⋅ 1

y = 16 : 0,2 = 80

43. 24 ⋅ 4 = 96 ⋅ 1

Assim, valor de N será 96 quando M for 1.

Para o capítulo 11 – Medidas de tendência central e pesquisa estatística

Página 21

44.

\frac{R $ 36, 80 + R $ 42, 90 + R $ 39, 90 + R $ 31, 80 + R $ 40, 00}{5} =

= \frac{R $ 191, 40}{5} = R $ 38, 28

Página quarenta e sete

O preço médio desse produto será R$ 38,28trinta e oito reais e vinte e oito centavos.

45.

A = \frac{2 \cdot 7 + 3 \cdot 8 + 1 \cdot 7}{2 + 3 + 1} = \frac{14 + 24 + 7}{6} = \frac{45}{6} = 7, 5

B = \frac{2 \cdot 8 + 3 \cdot 7 + 1 \cdot 7}{2 + 3 + 1} = \frac{16 + 21 + 7}{6} = \frac{44}{6} ≃ 7, 3

Pontuação média da marca a: 7,5. Pontuação média da marca B ≃ 7,3.

Para o capítulo 12 – Gráficos estatísticos

Página 22

46. Espera-se que os estudantes interpretem: do gráfico de barras, que o equipamento mais usado para acessar a internet é o celular; do gráfico de segmentos, que os salários das mulheres são muito menores que os salários dos homens; do gráfico de setores, que a maior parte do consumo de energia elétrica no Brasil é industrial, mas que o percentual do consumo residencial também é elevado.

Unidade 1

Capítulo 1 – Conjuntos numéricos

Trocando ideias – Página 24

• Resposta pessoal. Espera–se que os estudantes citem: ficar dentro de casa, procurar refúgio em edifícios, ficar longe de áreas descampadas, afastar-se de árvores isoladas, entre outras.

• Sim, ..78000000 é um número inteiro e um número racional.

• 0,000001 e 0,001 não são números inteiros, mas são racionais.

(0, 000001 = \frac{1}{1 000 000} e 0, 001 = \frac{1}{1 000}) .

• Resposta pessoal. Os estudantes podem citar o número Pi (π)

\sqrt{2}

\sqrt{3}

\sqrt{5}

, etcétera

Atividades – Página 27

1. Para determinar o antecessor de um número, subtraímos 1 do número e, para determinar o sucessor, adicionamos 1 ao número. Assim:

a) antecessor: 16 (17 ‒ 1 = 16) e sucessor: 18 (17 + 1 = 18).

b) antecessor: 998 (999 ‒ 1 = 998) e sucessor: .1000 (999 + 1 = .1000).

c) antecessor: 999 (.1000 ‒ 1 = 999) e sucessor: .1001 (.1000 + 1 = .1001).

d) antecessor: 12 988 (.12989 ‒ 1 = .12988) e sucessor: .12990 (.12989 + 1 = .12990).

2. a) Os números devem ser maiores que 4 e menores que 9; são: 5, 6, 7, 8.

b) Não existe um número maior que 11 e menor que 2 ao mesmo tempo.

3. a) á₄ = á₂ + á₃ = 4 + 6 = 10;

á₅ = á₃ + á₄ = 6 + 10 = 16;

á₆ = á₄ + á₆ = 10 + 16 = 26.

Logo, os termos faltantes são: 10, 16 e 26.

a_{7} = 1 + (7 - 1) \cdot (21 - 17) = 1 + 6 \cdot 4 = 25

a_{8} = 1 + (8 - 1) \cdot (25 - 21) = 1 + 7 \cdot 4 = 29

Logo, os termos faltantes são: 25 e 29.

4. Resposta pessoal. Exemplo de resposta.

2, 5, 8, 11, 14, reticências

Questão proposta na legenda – Página 27

Como a medida de temperatura indicada no termômetro tem o sinal de menos e as pessoas da imagem estão agasalhadas, espera-se que os estudantes respondam que a medida de temperatura registrada é abaixo de zero grau.

Atividades – Página 28

5. a) São números naturais: 0, 5, 14, 57.

b) São números inteiros: ‒100, ‒18, ‒8, ‒1, 0, 5, 14, 57.

c) Sim, todo número natural é um número inteiro.

6. a) Falsa. Por exemplo, não há um número inteiro entre 3 e 2.

b) Verdadeira.

c) Falsa. Todo número natural é também um número inteiro.

7. a) 1, 3, 5, 7 e 9.

b) ‒4, ‒3, ‒2 e ‒1.

c) Exemplo de resposta: ‒21, ‒22, ‒23.

d) Somente naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

8. a) O sucessor de 100 é o número 101, pois 100 + 1 = 101.

b) O sucessor de ‒30 é o número ‒29, pois ‒30 + 1 = ‒ 29.

c) n + 1, em que n é um número inteiro.

d) a – 1, em que a é um número inteiro.

9. Para descobrir o valor do depósito realizado, fazemos:

R$ 970,00novecentos e setenta reais + R$ 380,00trezentos e oitenta reais = R$ 1.350,00mil trezentos e cinquenta reais

Pedro realizou um depósito de R$ 1.350,00mil trezentos e cinquenta reais.

10. a) Há sete números inteiros: ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1 e 2.

b) O maior inteiro negativo desta sequência é o ‒1. Os estudantes podem utilizar a reta numérica como auxílio para realizar a atividade.

Um pouco de história – Página 31

Os estudantes devem dividir o numerador pelo denominador das frações com o auxílio de uma calculadora. Os resultados podem ser registrados de maneira aproximada.

DÓ	RÉ	MI	FÁ	SOL	LÁ	SI	DÓ
1	0,888…=0, $8 ̅$	0,79012346	0,75	0,666…=0, $6 ̅$	0, 592592…=0, $592 ̅$	0,52674897	0,5

Atividades – Página 34

11. a) Verdadeira, todo número inteiro é racional, pois pode ser representado como uma fração cujo denominador é igual a 1.

b) Falsa, nem todo número racional é um número inteiro. Por exemplo, 0,1 é um número racional, mas não é um número inteiro.

c) Falsa, nem todo número racional é um número natural. Por exemplo, 0,25 é racional e não é natural.

d) Verdadeira, entre dois racionais existem infinitos números racionais.

Página quarenta e oito

12. a) Exemplo de resposta: 3,4588.

b) Exemplo de resposta: 1,05123.

• Há infinitas respostas, pois entre dois números racionais há infinitos números racionais.

13. a)

\frac{6}{5} = 1, 2

Esquema. divisão na chave Dividendo 6. Dentro da chave, divisor 5. Abaixo do 6, 1. À direita do 1, zero, Abaixo do 0, zero. Abaixo da chave, quociente 1 vírgula 2.

\frac{157}{100} = 1, 57

\frac{7}{3} = 2, 333 . . . = 2, \overline{3}

Esquema. divisão na chave Dividendo 7. Dentro da chave, divisor 3. Abaixo do 7, 1. À direita do 1, zero. Abaixo do 0, 1. À direita do 1, zero. Abaixo do 0, 1. Abaixo da chave, quociente 2 vírgula 33.

\frac{13}{11} = 1, 181818 . . . = 1, \overline{18}

Esquema. divisão na chave Dividendo 13. Dentro da chave, divisor 11. Abaixo do 3, 2. À direita do 2, zero. Abaixo do 0, 9. À direita do 9, zero. Abaixo do 0, 2. À direita do 2, zero, Abaixo do zero, 9. À direita do 9, zero. Abaixo da chave, quociente 1 vírgula 18 18.

- \frac{5}{8} = - 0, 625

Esquema. divisão na chave Dividendo 5. Dentro da chave, divisor 8. À direita do 5, zero, Abaixo do 0, 2. À direita do 2, zero. Abaixo do 0, 4. À direita do 4, zero. Abaixo do 0, 0. Abaixo da chave, quociente 0 vírgula 625.

- \frac{15}{90} = - 0, 166666 . . . = - 0, 1 \overline{6}

Esquema. divisão na chave Dividendo 15. Dentro da chave, divisor 90. À direita do 15, zero, Abaixo do 5, 6. À direita do 6, dois zeros. Abaixo do zero da esquerda, 6. À direita do 6, dois zeros. Abaixo dos dois zeros, 60. Abaixo da chave, quociente 0 vírgula 166.

\frac{1}{55} = 0, 0181818 . . . = 0, 0 \overline{18}

Esquema. divisão na chave Dividendo 1. Dentro da chave, divisor 55. À direita do do 1, dois zeros. Abaixo dos dois zeros, 45. À direita do 45, zero. Abaixo do 5, 1. À direita do 1, dois zeros. Abaixo dos dois zeros, 45.

- \frac{3}{4} = - 0, 75

Esquema. divisão na chave Dividendo 3. Dentro da chave, divisor 4. À direita do 3, zero, Abaixo do 0, 2. À direita do 2, 0. Abaixo do zero, 0. Abaixo da chave, quociente 0 vírgula 75.

• São dízimas periódicas:

\frac{7}{3}

\frac{13}{11}

- \frac{15}{90}

\frac{1}{55}

14. a) Período 7, dízima periódica composta, pois entre a vírgula e o período existe uma parte não periódica, o algarismo 4.

b) Período 3, dízima periódica simples, pois o período aparece logo após a vírgula.

c) Período 5, dízima periódica composta, pois entre a vírgula e o período existe uma parte não periódica, o algarismo 0.

d) Período 32, dízima periódica simples, pois o período aparece logo após a vírgula.

15. a) De maio a dezembro temos 8 meses. Corresponde a

\frac{8}{12}

de um ano.

8 \cdot \frac{R $ 2514, 50}{12} = \frac{R $ 20116, 00}{12} ≃ R $ 1676, 33

O valor do décimo terceiro salário recebido foi R$ 1.676,33mil seiscentos e setenta e seis reais e trinta e três centavos.

16. a) Não; exemplo de explicação: a pessoa se esqueceu de apertar a tecla

Ilustração. Botão de ponto da calculadora.

. para indicar a vírgula no valor R$ 329,18trezentos e vinte e nove reais e dezoito centavos.

b) R$ 329,18trezentos e vinte e nove reais e dezoito centavos + R$ 2.231,11dois mil duzentos e trinta e um reais e onze centavos = R$ 2.560,29dois mil quinhentos e sessenta reais e vinte e nove centavos

O valor correto seria R$ 2.560,29dois mil quinhentos e sessenta reais e vinte e nove centavos.

17. a)

\frac{12}{100} \cdot 144 = \frac{1 728}{100} = 17, 28

\frac{25}{100} \cdot 1 024 = \frac{25 600}{100} = 256

\frac{1}{100} \cdot 123 587 600 = 1 235 876

\frac{24}{100} \cdot 72 = \frac{1 728}{100} = 17, 28

18. a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que a planilha é a mesma, e as diferenças estão nos valores e percentuais para o aumento.

Ilustração. Planilha eletrônica. Destaque para as linhas 1 a 4 e colunas A, B, C e D. Coluna A, linha 1: Valor de compra Coluna A, linha 2: 60 reais Coluna A, linha 3: 80 reais Coluna A, linha 4: 100 reais Coluna B, linha 1: Porcentagem para o aumento Coluna B, linha 2: 23 por cento Coluna B, linha 3: 23 por cento Coluna B, linha 4: 23 por cento Coluna C, linha 1: Valor do aumento Coluna C, linha 2: 0 vírgula 23 vezes 60 reais igual 13 reais e 80 centavos Coluna C, linha 3: 0 vírgula 23 vezes 80 reais igual 18 reais e 40 centavos Coluna C, linha 4: 0 vírgula 23 vezes 100 reais igual 23 reais Coluna D, linha 1: Valor de venda Coluna D, linha 2: 60 reais mais 13 reais e 80 centavos igual 73 reais e 80 centavos Coluna D, linha 3: 80 reais mais 18 reais e 40 centavos igual 98 reais e 40 centavos Coluna D, linha 4: 100 reais mais 23 reais igual 123 reais

Lendo e aprendendo – Página 36

1. a) Em maio de 2021.

b) É um indicador social e de saúde que mostra o tempo que a população de determinado local vive, em média.

c) De acôrdo com o texto, em 2020 era de 74,8 anos, enquanto em 2019 era de 76,7 anos.

d) De acôrdo com o texto, a expectativa de vida do brasileiro caiu porque houve um alto número de mortes causadas pela Covid-19.

e) Segundo o texto, o Japão tinha a expectativa de vida mais alta em 2020, enquanto a República Centro-Africana tinha a expectativa de vida mais baixa no mesmo período.

Página quarenta e nove

2. a) Verdadeira, todos os números são racionais.

b) Falsa, os números 2013, 2019 e 2020 são números racionais.

c) Verdadeira, enquanto a expectativa de vida dos japoneses era de 84,6 anos, a da população da República Centro-Africana era de 53,3 anos.

d) Falsa, os números 2020, 2013 e 2019 aparecem no texto e são números inteiros.

3. a) Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes observem que o acesso ao trabalho remoto foi maior para classes com maior renda (a e B) e maior escolaridade.

b) Respostas pessoais. Os estudantes responderão sôbre as questões da pandemia de suas famílias.

Atividades – Página 38

19. a)

sentença matemática 0 vírgula 8 com barra horizontal acima de 8 igual a 8 nonos. Esquema. Subtração de sentenças matemáticas. Primeira linha: 10x igual 8 vírgula 8 com barra horizontal acima do 8 após a vírgula. Segunda linha: menos x igual 0 vírgula 8 com barra horizontal acima do 8. Abaixo, traço horizontal. Terceira linha: 9x igual 8. sentença matemática x igual 8 nonos

sentença matemática 3 vírgula 15 com barra horizontal acima de 15 igual a 312 sobre 99Esquema. Subtração de sentenças matemáticas. Primeira linha: 100x igual 315 vírgula 15 com barra horizontal acima do 15 após a vírgula. Segunda linha: menos x igual 3 vírgula 15 com barra horizontal acima de 15. Abaixo, traço horizontal. Terceira linha: 99x igual 312. sentença matemática x igual 312 sobre 99

sentença matemática 0 vírgula 0 52 com barra horizontal acima de 2 igual a 47 sobre 900Sentenças matemática. x igual 0 vírgula 0 52 com barra horizontal acima de 2.Esquema. Subtração de sentenças matemáticas. Primeira linha: mil x igual 52 vírgula 2 com barra horizontal acima do 2 após a vírgula. Segunda linha: menos 100x igual 5 vírgula 2 com barra horizontal acima de 2. Abaixo, traço horizontal. Terceira linha: 900x igual 47. sentença matemática x igual 47 sobre 900

sentença matemática 0 vírgula 0 0 7 com barra horizontal acima de 0 0 7 igual a 7 sobre 999Esquema. Subtração de sentenças matemáticas. Primeira linha: mil x igual 7 vírgula 0 0 7 com barra horizontal acima de 0 0 7. Segunda linha: menos x igual 0 vírgula 0 0 7 com barra horizontal acima de 0 0 7. Abaixo, traço horizontal. Terceira linha: 999x igual 7.sentença matemática x igual 7 sobre 999

sentença matemática 2 vírgula 47 com barra horizontal acima de 7 igual a 223 sobre 90Sentença matemática. x igual 2 vírgula 47 com barra horizontal acima de 7.Esquema. Subtração de sentenças matemáticas. Primeira linha: 100 x igual 247 vírgula 7 com barra horizontal acima do 7 após a vírgula. Segunda linha: menos 10x igual 24 vírgula 7 com barra horizontal acima de 7. Abaixo, traço horizontal. Terceira linha: 90x igual 223.sentença matemática x igual 223 sobre 90

sentença matemática 0 vírgula 14 com barra horizontal acima de 4 igual a 13 sobre 90Sentença matemática. x igual 0 vírgula 14 com barra horizontal acima de 4.Esquema. Subtração de sentenças matemáticas. Primeira linha: 100 x igual 14 vírgula 4 com barra horizontal acima do 4 após a vírgula. Segunda linha: menos 10x igual 1 vírgula 4 com barra horizontal acima de 4. Abaixo, traço horizontal. Terceira linha: 90x igual 13.sentença matemática x igual 13 sobre 90

20. a) 5 + 0,777 reticências = 5,777 reticências

b) 8 + 0,333reticências = 8,333reticências

c) 0,6 + 0,222 reticências = 0,8222 reticênciasponto

d) 1,5 + 0,555 reticências = 1 + 0,5 + 0,555 reticências =

= 1 + 1,0555 reticências = 2,0555 reticências

21. a) 0,5 + 0,555reticências = 1,0555reticências

b) 27 ⋅ 6 = 162 ⇒ 2,7 ⋅ 0,06 = 0,162

277 ⋅ 6 = 1 662 ⇒ 2,77 ⋅ 0,06 = 0,1662

2 777 ⋅ 6 = 16 662 ⇒ 2,777 ⋅ 0,06 = 0,16662

Logo,

2, \overline{7} \cdot 0,06 =

0,16666reticências

22. Utilizando uma calculadora, os estudantes encontrarão os resultados apresentados a seguir:

a) 0,8888reticências

b) 0,8888reticências

c) 0,8888reticências

d) 0,272727reticências

e) 0,272727reticências

f) 0,272727reticências

• Espera–se que os estudantes percebam que os itens a, b e c têm o mesmo resultado e que isso ocorre porque essas divisões, se fossem escritas na fórma de fração, seriam frações equivalentes. O mesmo ocorre com os itens d, e e f.

Veja que interessante – Página 39

A resposta dependerá do período que a pesquisa foi feita. Porém, em abril de 2022, o recorde era da Universidade de Ciências Aplicadas de Graubünden, na Suíça, por determinar 62,8 trilhões de casas decimais de π em agosto de 2021.

Atividades – Páginas 39 e 40

23. São irracionais o número π e as raízes que não podem ser expressas como decimal exato ou dízima periódica. Portanto, são irracionais os números dos itens b, d, f e k.

24. Os estudantes deverão realizar os cálculos em uma calculadora, adaptando-os conforme o tipo utilizado (científica ou comum).

a) 3,15

b) –0,32

c) 2,45

d) 0,32

25. Os estudantes deverão realizar os cálculos em uma calculadora, adaptando-os conforme o tipo utilizado (científica ou comum).

a) 3,16228

b) 3,16049

c) 3,14286

d) 3,14159

e) 3,14626

f) 3,14159

• Os valores mais próximos de π são dados por

\frac{355}{113}

\frac{13 \sqrt{146}}{50}

26. Os pontos correspondentes aos números

\sqrt{2}

- \sqrt{2}

são simétricos em relação à origem, assim como os pontos correspondentes aos números

2 \sqrt{2}

- 2 \sqrt{2}

. Além disso, a medida da distância do ponto que corresponde a

2 \sqrt{2}

à origem é igual ao dôbro da medida da distância do ponto que corresponde a

\sqrt{2}

à origem. O mesmo ocorre com os pontos correspondentes a

- 2 \sqrt{2}

- \sqrt{2}

Reta numérica. Com origem e destacados 4 pontos, em ordem da esquerda para direita. menos 2 raiz quadrada de 2, menos raiz quadrada de 2, 0, raiz quadrada de 2, 2 raiz quadrada de 2.

27. Sabendo que

2 \sqrt{2} ≃ 2, 8

;

\sqrt{3} ≃ 1, 7

;

\frac{10}{3} ≃ 3, 3

\frac{4}{3} ≃ 1, 3

; temos:

‒1,2; 0,5;

\frac{4}{3}

;

\sqrt{3}

;

2 \sqrt{2}

;

\frac{10}{3}

Atividades – Página 40

28. a)

\frac{40}{5}

é um número natural, pois

\frac{40}{5} = 8

Página cinquenta

\frac{40}{5}

e ‒35 são números inteiros.

\frac{40}{5}

; ‒35; 1,222reticências; 0,444reticências e

\frac{1}{7}

são números racionais.

d) π,

\sqrt{3}

- \sqrt{2}

são números irracionais.

e) Todos são números reais.

f) ‒35;

- \sqrt{2}

;

\frac{1}{7}

; 0,444reticências; 1,222reticências;

\sqrt{3}

; π;

\frac{40}{5}

29. a) Exemplo de resposta: 2,1.

b) Exemplo de resposta: π.

c) Não existe número inteiro e não natural maior que 4, pois todo inteiro maior que 4 é um número natural.

30. Todos os números pertencem ao conjunto dos números reais.

31. a) ‒14, ‒13 e ‒12.

b) Exemplo de resposta:

- \frac{7}{10}

;

- \frac{6}{10}

- \frac{55}{100}

c) Exemplo de resposta:

\sqrt{2}

;

\sqrt{3}

\sqrt{5}

d) A resposta dependerá das respostas dos itens anteriores. Exemplo de resposta:

\sqrt{5}

;

\sqrt{3}

;

\sqrt{2}

;

- \frac{55}{100}

;

- \frac{6}{10}

;

- \frac{7}{10}

; ‒12; ‒13 e ‒14.

32. a) Verdadeira, todo número inteiro é racional, pois pode ser representado por uma fração cujo denominador é igual a 1.

b) Falsa, nem todo número real é um número racional. Por exemplo,

\sqrt{2}

é um número real que não é racional.

c) Verdadeira, toda dízima periódica tem uma fração geratriz. Logo, é um número racional.

d) Verdadeira, todo número irracional é um número real por definição.

e) Falsa, as dízimas periódicas têm infinitas casas decimais e são números racionais.

f) Falsa, nem todo número real é irracional.

g) Verdadeira, o 0 pertence ao conjunto dos números reais, inteiros e racionais.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – Página 41

1. Os estudantes devem copiar apenas a afirmação do item a. A afirmação do item b é falsa, pois –5 é um inteiro negativo.

2. a) antecessor: 210 (211 ‒ 1 = 210); sucessor: 212 (211 + 1 = 212).

b) antecessor: 198 (199 ‒ 1 = 198); sucessor: 200 (199 + 1 = 200).

c) antecessor: 299 (300 ‒ 1 = 299); sucessor: 301 (300 + 1 = 301).

a_{3} = a_{1} + a_{2} = 2 + 5 = 7

a_{4} = a_{2} + a_{3} = 5 + 7 = 12

a_{5} = a_{3} + a_{4} = 7 + 12 = 19

a_{6} = a_{4} + a_{5} = 12 + 19 = 31

Logo, a sequência é dada por: 2, 5, 7, 12, 19, 31,reticências

4. a) 8, 9, 10, 11

b) ‒10 e ‒9

5. ‒R$ 610,00seiscentos e dez reais + R$ 3.200,00três mil duzentos reais = R$ 2.590,00dois mil quinhentos e noventa reais

O novo saldo da conta bancária de Marcos é R$ 2.590,00dois mil quinhentos e noventa reais.

6. ‒4, 0 e

\frac{1}{4}

são números racionais.

7. a)

\frac{1}{2} = 0, 5

Esquema. Divisão na chave. Dividendo 1. Dentro da chave, divisor 2. À direita do 1, zero. Abaixo do zero, 0. Abaixo da chave, quociente 0 vírgula 5.

\frac{3}{5} = 0, 6

Esquema. Divisão na chave. Dividendo 3. Dentro da chave, divisor 5. À direita do 3, zero. Abaixo do zero, 0. Abaixo da chave, quociente 0 vírgula 6.

\frac{123}{100} = 1, 23

- \frac{10}{9} = - 1, 111 \dots = - 1, \overline{1}

Esquema. Divisão na chave. Dividendo 10. Dentro da chave, divisor 9. Abaixo do 0, 1. À direita do 1, zero. Abaixo do zero, 1. À direita do 1, zero. abaixo do zero, 1. Abaixo da chave, quociente 1 vírgula 11.

8. a)

sentença matemática 0 vírgula 5 com barra horizontal acima de 5 igual a 5 sobre 9. Esquema. Subtração de sentenças matemáticas. Primeira linha: 10 x igual 5 vírgula 5 com barra horizontal acima do 5 após a vírgula. Segunda linha: menos x igual 0 vírgula 5 com barra horizontal acima de 5. Abaixo, traço horizontal. Terceira linha: 9x igual 5. Sentença matemática x igual 5 sobre 9

sentença matemática 0 vírgula 13 com barra horizontal acima de 3 igual a 12 sobre 90Sentença matemática. x igual 0 vírgula 13 com barra horizontal acima de 3.Esquema. Subtração de sentenças matemáticas. Primeira linha: 100 x igual 13 vírgula 3 com barra horizontal acima do 3 após a vírgula. Segunda linha: menos 10 x igual 1 vírgula 3 com barra horizontal acima de 3. Abaixo, traço horizontal. Terceira linha: 90 x igual 12. x igual 12 sobre 90

sentença matemática 1 vírgula 23 com barra horizontal acima de 23 igual a 122 sobre 99Esquema. Subtração de sentenças matemáticas. Primeira linha: 100 x igual 123 vírgula 23 com barra horizontal acima do 23 após a vírgula. Segunda linha: menos x igual 1 vírgula 23 com barra horizontal acima de 23. Abaixo, traço horizontal. Terceira linha: 99 x igual 122. sentença matemática sentença matemática x igual 122 sobre 99 x igual 122 sobre 99

0 vírgula 0 24 com barra horizontal acima de 4 igual a 22 sobre 900 Sentença matemática. x igual 0 vírgula 0 24 com barra horizontal acima de 4.Esquema. Subtração de sentenças matemáticas. Primeira linha: mil x igual 24 vírgula 4 com barra horizontal acima do 4 após a vírgula. Segunda linha: menos 100 x igual 2 vírgula 4 com barra horizontal acima de 4. Abaixo, traço horizontal. Terceira linha: 900 x igual 22.sentença matemática x igual 22 sobre 900

9. a) Verdadeira. Como

3, 2 = \frac{32}{10}

, então 3,2 é um número racional.

b) Falsa,

\sqrt{16} = 4

e 4 é um número racional.

c) Falsa,

- \sqrt{3}

é um número irracional.

d) Verdadeira,

- \sqrt{7}

é um número irracional.

10. a)

\frac{15}{3}

pertence ao conjunto dos números naturais, pois

\frac{15}{3} = 5

b) ‒12 e

\frac{15}{3}

pertencem ao conjunto dos números inteiros.

\frac{15}{3}

; ‒12; 1,88 e

\frac{3}{7}

pertencem ao conjunto dos números racionais.

\sqrt{7}

e π pertencem ao conjunto dos números irracionais.

e) Todos os números pertencem ao conjunto dos números reais.

Capítulo 2 – Potenciação e radiciação

Trocando ideias – Página 42

Resposta pessoal. Os estudantes relatarão a experiência que tem com armazenamento em nuvem.

Aproximadamente ...15000000000 bytes ou 1,5 · 1010 bytes.

Página cinquenta e um

Atividades – Página 46

1. a)

2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

{(\frac{1}{2})}^{- 3} = 2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

2^{- 3} = {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

{(\frac{1}{5})}^{3} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{125}

{(- 4)}^{3} = (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) = - 64

10^{3} = 1000

{(0, 1)}^{- 2} = {(\frac{1}{10})}^{- 2} = 10^{2} = 100

{(- \frac{3}{7})}^{- 2} = {(- \frac{7}{3})}^{2} = \frac{49}{9}

10^{- 3} = {(\frac{1}{10})}^{3} = \frac{1}{1000}

{(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}

0^{10} = 0

0, 1818 \dots = \frac{18}{99} = \frac{2}{11}

; assim, temos:

{(0, 181818 \dots)}^{2} = {(\frac{2}{11})}^{2} = \frac{4}{121}

2. a)

3 \cdot {(- 1)}^{3} - 2 \cdot {(- 1)}^{2} - (- 1) + 5 =

= 3 \cdot (- 1) - 2 \cdot 1 + 1 + 5 = - 3 - 2 + 1 + 5 = 1

{(- 1)}^{8} - 3 \cdot {(- 1)}^{5} + {(- 1)}^{16} = 1 - 3 \cdot (- 1) + 1 =

= 1 + 3 + 1 = 5

2^{6} - 2^{5} + 2^{4} - 2^{3} + 2^{2} - 2^{1} + 2^{0} =

= 64 - 32 + 16 - 8 + 4 - 2 + 1 = 43

3. Não, pois

{(- 9)}^{2} = (- 9) \cdot (- 9) = 81

, enquanto

- 9^{2} = - (9) \cdot (9) = - 81

4. a)

5 400 = 5, 4 \cdot 10^{3}

0, 0025 = 2, 5 \cdot 10^{- 3}

300 000 000 = 3, 0 \cdot 10^{8}

0, 00000637 = 6, 37 \cdot 10^{- 6}

A = {(\frac{1}{1})}^{- 2} + {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} + {(\frac{1}{4})}^{2} + {(\frac{1}{5})}^{- 2} =

= 1^{2} + \frac{1}{4} + 3^{2} + \frac{1}{16} + 5^{2} =

= 1 + \frac{1}{4} + 9 + \frac{1}{16} + 25 = 35 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = 35 + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} =

= 35 + \frac{5}{16} = 35 \frac{5}{16}

B = {(\frac{1}{1})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{4})}^{- 2} + {(\frac{1}{5})}^{2} =

= 1^{2} + 2^{2} + \frac{1}{9} + 4^{2} + \frac{1}{25} =

= 1 + 4 + \frac{1}{9} + 16 + \frac{1}{25} = 21 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} = 21 + \frac{25}{225} + \frac{9}{225} =

= 21 + \frac{34}{225} = 21 \frac{34}{225}

O valor de a é maior que o valor de B.

6. Substituindo g por 10 métros por segundo² e t por 12 segundos na fórmula, teremos:

\frac{10 {m/s}^{2} \cdot {(12 s)}^{2}}{2} = \frac{10 {m/s}^{2} \cdot 144 s^{2}}{2} = \frac{1 440 m}{2} = 720 m

O paraquedista percorre 720 métros em queda livre durante os 12 primeiros segundos.

MEDIDAS DAS DISTÂNCIAS MÉDIAS DE ALGUNS PLANETAS ATÉ O SOL
Planeta	Medida da distância média ao Sol (km)	Medida expressa em notação científica (km)
Saturno	1.429.400.000	1,4294 ⋅ 109
Vênus	108.200.000	1,082 ⋅ 108
Urano	2.870.990.000	2,87099 ⋅ 109
Mercúrio	57.910.000	5,791 ⋅ 107

Dados obtidos em: https://oeds.link/YMiTC6. Acesso em: 4 julho 2022.

Atividades – Página 48

8. a)

2^{3} \cdot 2^{4} \cdot 2^{5} \cdot 2^{6} = 2^{3 + 4 + 5 + 6} = 2^{18}

{(2^{3})}^{2} = 2^{3 \cdot 2} = 2^{6}

{(6 : 3)}^{3} = 2^{3}

10^{3} \cdot 10 \cdot 10 = 10^{3 + 1 + 1} = 10^{5}

{(3^{4})}^{- 3} = 3^{4 \cdot (- 3)} = 3^{- 12}

6^{4} : 6^{2} = 6^{4 - 2} = 6^{2}

{(2 \cdot 3)}^{3} = 6^{3}

7^{15} : 7^{10} = 7^{15 - 10} = 7^{5}

10^{- 1} \cdot 10^{2} \cdot 10^{- 1} = 10^{- 1 + 2 - 1} = 10^{0}

9. a)

\frac{2^{4} \cdot 2^{10} \cdot 2^{3}}{2^{5} \cdot 2^{6}} = \frac{2^{17}}{2^{11}} = 2^{6} = 64

{(7 \cdot 4)}^{2} = 28^{2} = 784

{(\frac{1}{4})}^{3} = \frac{1^{3}}{4^{3}} = \frac{1}{64}

{[{(- \frac{1}{2})}^{3}]}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{6} = \frac{1}{64}

10. Temos que:

Esquema. Subtração de sentenças matemáticas. Primeira linha: 16 vírgula 6 6 6 igual 10 x. Segunda linha: 1 vírgula 6 6 6 6 igual x. À direita, sinal de menos. Abaixo, traço horizontal. Terceira linha: 15 igual 9 x. sentença matemática. 15 nonos igual 5 terços igual x

Assim:

{(1, 6666 \dots)}^{- 1} + \frac{{(3^{10} \cdot 3^{- 5})}^{3}}{9^{8}} = {(\frac{5}{3})}^{- 1} + \frac{{(3^{5})}^{3}}{{(3^{2})}^{8}} =

= \frac{3}{5} + \frac{3^{15}}{3^{16}} = \frac{3}{5} + 3^{- 1} = \frac{3}{5} + \frac{1}{3} = \frac{9}{15} + \frac{5}{15} = \frac{14}{15}

Página cinquenta e dois

11. a)

3^{2} \cdot 4^{1} - 2^{0} + 3^{1} \cdot 3^{2} \cdot 3^{3} = 9 \cdot 4 - 1 + 3^{6} =

= 36 – 1 + 729 = 764

{(- 2)}^{- 6} \cdot 8^{2} + 3^{0} = {(- \frac{1}{2})}^{6} \cdot 64 + 1 =

= \frac{1}{64} \cdot 64 + 1 = 1 + 1 = 2

6^{1} \cdot 3^{- 2} + 4^{- 1} - 4 \cdot 7^{0} = 6 \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{4} - 4 \cdot 1 = \frac{6}{9} + \frac{1}{4} - 4 =

= \frac{2}{3} + \frac{1}{4} - 4 = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} - \frac{48}{12} = - \frac{37}{12}

8^{4} \cdot 8^{3} \cdot 8^{4} : 8^{8} = 8^{11} : 8^{8} = 8^{3} = 512

12. a) Temos que:

(2 ⋅ 5)3 = 103 = .1000 e 23 ⋅ 53 = 8 ⋅ 125 = .1000.

Portanto, a sentença é verdadeira.

b) Temos que:

(2 + 5)3 = 73 = 343 e 23 + 53 = 8 + 125 = 133.

Portanto, a sentença é falsa.

c) Temos que:

(17 – 1)2 = 162 = 256 e 172 – 12 = 289 – 1 = 288.

Portanto, a sentença é falsa.

Atividades – Página 52

13. a)

\sqrt{81} = \sqrt{9^{2}} = 9

\sqrt{0} = 0

\sqrt{\frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{2^{2}}{5^{2}}} = \frac{2}{5}

\sqrt{144} = \sqrt{12^{2}} = 12

\sqrt{1} = 1

\sqrt{\frac{64}{169}} = \sqrt{\frac{8^{2}}{13^{2}}} = \frac{8}{13}

\sqrt{\frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{1^{2}}{4^{2}}} = \frac{1}{4}

\sqrt{225} = \sqrt{15^{2}} = 15

\sqrt{0, 49} = \sqrt{0, 7^{2}} = 0, 7

14. a) Como

6 < \sqrt{40} < 7

, vamos calcular os quadrados de alguns números situados entre 6 e 7, com uma casa decimal:

{(6, 1)}^{2} = 37, 21

{(6, 2)}^{2} =

38,44

{(6, 3)}^{2} =

39,69

{(6, 4)}^{2} =

40,96

Portanto,

\sqrt{40} ≃ 6,3.

b) Como

8 < \sqrt{65} < 9

, temos:

82 = 64

{(8, 1)}^{2} = 65, 61

Portanto,

\sqrt{65} ≃ 8, 1

c) Como

9 < \sqrt{85} < 10

, vamos calcular os quadrados de alguns números situados entre 9 e 10, com uma casa decimal:

{(9, 1)}^{2} = 82, 81

{(9, 2)}^{2} = 84, 64

{(9, 3)}^{2} = 86, 49

Portanto,

\sqrt{85} ≃ 9, 2

d) Como

9 < \sqrt{93} < 10

, vamos calcular os quadrados de alguns números situados entre 9 e 10, com uma casa decimal:

{(9, 5)}^{2} = 90, 25

{(9, 6)}^{2} = 92, 16

{(9, 7)}^{2} = 94, 09

Portanto,

\sqrt{93} ≃ 9, 6 .

e) Como

11 < \sqrt{122} < 12

, temos:

112 = 121

{(11, 1)}^{2} = 123, 21

Portanto,

\sqrt{122} ≃ 11, 0 .

f) Como

11 < \sqrt{140} < 12

, vamos calcular os quadrados de alguns números situados entre 11 e 12, com uma casa decimal:

{(11, 9)}^{2} = 141, 61

{(11, 8)}^{2} = 139, 24

Portanto,

\sqrt{140} ≃ 11, 8 .

g) Como

28 < \sqrt{800} < 29

, vamos calcular os quadrados de alguns números situados entre 28 e 29, com uma casa decimal:

{(28, 1)}^{2} = 789, 61

{(28, 2)}^{2} = 795, 24

{(28, 3)}^{2} = 800, 89

(28,4)2 = 806,56

Portanto,

\sqrt{800} ≃ 28, 3 .

h) Como

30 < \sqrt{940} < 31

, vamos calcular os quadrados de alguns números situados entre 30 e 31, com uma casa decimal:

{(30, 5)}^{2} = 930, 25

{(30, 6)}^{2} = 936, 36

{(30, 7)}^{2} = 942, 49

{(30, 8)}^{2} = 948, 64

Portanto,

\sqrt{940} ≃ 30, 7 .

i) Como

31 < \sqrt{1010} < 32

, vamos calcular os quadrados de alguns números situados entre 31 e 32, com uma casa decimal:

{(31, 9)}^{2} = 1 017, 61

{(31, 8)}^{2} = 1 011, 24

{(31, 7)}^{2} = 1 004, 89

Portanto,

\sqrt{1 010} ≃ 31, 8 .

j) Como

32 < \sqrt{1 050} < 33

, vamos calcular os quadrados de alguns números situados entre 32 e 33, com uma casa decimal:

{(32, 5)}^{2} = 1056, 25

{(32, 3)}^{2} = 1043, 29

{(32, 4)}^{2} =

1 049,76

Portanto,

\sqrt{1 050} ≃ 32, 4 .

15. Decompondo os números, teremos:

\sqrt{1 225} = \sqrt{7^{2} \cdot 5^{2}} = 35

Esquema. Decomposição do número mil 225 em fatores primos. mil 225 dividido por 5 dá 245, que dividido por 5 dá 49, que dividido por 7 dá 7, que dividido por 7 dá 1.

\sqrt{2 401} = \sqrt{7^{2} \cdot 7^{2}} = 49

Esquema. Decomposição do número 2 mil 401 em fatores primos. 2 mil 401 dividido por 7 dá 343, que dividido por 7 dá 49, que dividido por 7 dá 7, que dividido por 7 dá 1.

Página cinquenta e três

\sqrt{3 136} = \sqrt{2^{6} \cdot 7^{2}} =

= \sqrt{{(2^{3} \cdot 7)}^{2}} = 56

Esquema. Decomposição do número 3 mil 136 em fatores primos. 3 mil 136 divide 2 dá mil 568, que divide 2 dá 784, que divide 2 e dá 392 que divide 2 e dá 196, que divide 2 e dá 98 que divide 2 e dá 49, que divide 7 e dá 7 que divide 7 e dá 1.

\sqrt{6 561} = \sqrt{3^{8}} =

= \sqrt{{(3^{4})}^{2}} = 81

Esquema. Decomposição do número 6 mil 561 em fatores primos. 6 mil 561 divide 3 dá 2 mil 187, que divide 3 dá 729, que divide 3 e dá 243 que divide 3 e dá 91, que divide 3 e dá 37 que divide 3 e dá 9, que divide 3 e dá 3 que divide 3 e dá 1.

\sqrt{6 400} = \sqrt{64 \cdot 100} =

= \sqrt{8^{2} \cdot 10^{2}} = 80

\sqrt{7 744} = \sqrt{2^{6} \cdot 11^{2}} =

= \sqrt{{(2^{3} \cdot 11)}^{2}} = 88

Esquema. Decomposição do número 7 mil 744 em fatores primos. 7 mil 744 divide 2 dá 3 mil 872, que divide 2 dá mil 936, que divide 2 e dá 968 que divide 2 e dá 484, que divide 2 e dá 242 que divide 2 e dá 121, que divide 11 e dá 11 que divide 11 e dá 1.

16. a)

\sqrt{1, 44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{12}{10} = 1, 2

\sqrt{12, 96} = \sqrt{\frac{1 296}{100}} = \frac{36}{10} = 3, 6

\sqrt{30, 25} = \sqrt{\frac{3 025}{100}} = \frac{55}{10} = 5, 5

\sqrt{72, 25} = \sqrt{\frac{7 225}{100}} = \frac{85}{10} = 8, 5

\sqrt{39, 69} = \sqrt{\frac{3 969}{100}} = \frac{63}{10} = 6, 3

\sqrt{94, 09} = \sqrt{\frac{9 409}{100}} = \frac{97}{10} = 9, 7

17. Os estudantes utilizarão uma calculadora para obter os resultados e depois devem arredondar os valores obtidos para apresentar o resultado com duas casas decimais.

\sqrt{30} ≃ 5, 48

\sqrt{8, 6} ≃ 2, 93

\sqrt{77} ≃ 8, 77

\sqrt{110} ≃ 10, 49

\sqrt{95} ≃ 9, 75

\sqrt{50, 8} ≃ 7, 13

\sqrt{150} ≃ 12, 25

\sqrt{86, 25} ≃ 9, 29

\sqrt{94} ≃ 9, 70

\sqrt{125} ≃ 11, 18

18. a)

\sqrt{2} + \sqrt{3} ≃ 1, 4 + 1, 7 = 3, 1

\sqrt{5} + \sqrt{7} ≃ 2, 23 + 2, 64 ≃ 4, 87 ≃ 4, 9

\sqrt{3} + \sqrt{5} ≃ 1, 73 + 2, 23 = 3, 96 ≃ 4, 0

\sqrt{7} + \sqrt{11} ≃ 2, 64 + 3, 32 = 5, 96 ≃ 6, 0

19. Temos que:

360 = 36 ⋅ 10

36 é um quadrado perfeito.

Multiplicando os dois lados da igualdade por 10, temos:

36 ⋅ 10 ⋅ 10 = 36 ⋅ 100 = 3 600

Como 36 e 100 são quadrados perfeitos, então .3600 é também um quadrado perfeito.

Portanto, o menor número é o 10.

20.

\sqrt{43 + \sqrt{31 + \sqrt{21 + \sqrt{13 + \sqrt{7 + \sqrt{3 + \sqrt{1}}}}}}} =

= \sqrt{43 + \sqrt{31 + \sqrt{21 + \sqrt{13 + \sqrt{7 + \sqrt{4}}}}}} =

= \sqrt{43 + \sqrt{31 + \sqrt{21 + \sqrt{13 + \sqrt{9}}}}} =

= \sqrt{43 + \sqrt{31 + \sqrt{21 + \sqrt{16}}}} = \sqrt{43 + \sqrt{31 + \sqrt{25}}} =

= \sqrt{43 + \sqrt{36}} = \sqrt{49} = 7

21. x é maior que 6. Vamos calcular os quadrados de alguns números maiores que 6, com uma casa decimal:

(6,1)2 = 37,21

(6,2)2 = 38,44

Portanto,

x ≃ 6, 1

22. Temos que:

\sqrt{4} = 2

\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}

\frac{4}{5} = 0, 8

\frac{7}{2} = 3, 5

Assim,

\frac{4}{5} < \sqrt{4} < \sqrt{8} < \frac{7}{2}

23. Este número é 225, pois

\sqrt{225} = 15

24. Como

7 \sqrt{60} < 8

, vamos calcular os quadrados de alguns números situados entre 7 e 8, com uma casa decimal:

{(7, 9)}^{2} = 62, 41

{(7, 8)}^{2} = 60, 84

{(7, 7)}^{2} = 59, 29

Para uma maior aproximação, podemos calcular os quadrados de números de duas casas decimais situados entre 7,7 e 7,8:

{(7, 75)}^{2} = 60, 06

{(7, 74)}^{2} = 59, 91

Portanto,

\sqrt{60} ≃ 7, 75 .

A medida do comprimento do lado do quadrado é de aproximadamente 7,75 centímetros.

Atividades – Página 53

25. Sabemos que

\sqrt[3]{216} = 6

, então:

7^{3} = 343

Assim, o número procurado é 343.

26. Como

5 \sqrt[3]{200} < 6

, vamos calcular os cubos de alguns números situados entre 5 e 6, com uma casa decimal:

{(5, 9)}^{3} = 205, 379

{(5, 8)}^{3} = 195, 112

Portanto,

\sqrt[3]{200} ≃ 5, 8 d m .