Página cinquenta e quatro

Parte 2

27. a)

\sqrt[3]{64} = 4, pois {(4)}^{3} = 64 .

\sqrt[3]{- 27} = - 3, p o i s {(- 3)}^{3} = - 27 .

\sqrt[6]{64} = 2, p o i s {(2)}^{6} = 64 .

\sqrt[3]{0, 343} = \sqrt[3]{\frac{343}{1 000}} = \frac{7}{10} = 0, 7

\sqrt[5]{243} = 3, p o i s {(3)}^{5} = 243 .

\sqrt[4]{\frac{16}{625}} = \frac{2}{5}, p o i s {(\frac{2}{5})}^{4} = \frac{16}{625}

Veja que interessante – Página 54

0, 1 6^{\frac{1}{2}} - 0, 02 7^{\frac{1}{3}} = \sqrt{0, 16} - \sqrt[3]{0, 027} = 0, 4 - 0, 3 = 0, 1

b) Exemplo de resposta:

\sqrt[6]{64} = 6 4^{\frac{1}{6}}

c) Exemplo de resposta:

a) Escrevendo como potência de expoente fracionário:

\sqrt{625} = \sqrt{5^{4}} = 5^{\frac{4}{2}} = 5^{2} = 25

Utilizando a decomposição em fatores primos e as propriedades da potenciação:

Esquema. Decomposição do número.625 em fatores primos. 625 divide 5 dá 125, que divide 5 dá 25, que divide 5 e dá 5 que divide 5 e dá 1.

\sqrt{625} = \sqrt{5^{2} \cdot 5^{2}} =

= \sqrt{5^{2}} \cdot \sqrt{5^{2}} =

= 5 \cdot 5 = 25

b) Escrevendo como potência de expoente fracionário:

\sqrt{81} = \sqrt{3^{4}} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2} = 9

Utilizando a decomposição em fatores primos e as propriedades da potenciação:

Esquema. Decomposição do número 81 em fatores primos. 81 divide 3 dá 27, que divide 3 dá 9, que divide 3 e dá 3 que divide 3 e dá 1.

\sqrt{81} = \sqrt{3^{2} \cdot 3^{2}} =

= \sqrt{3^{2}} \cdot \sqrt{3^{2}} =

= 3 \cdot 3 = 9

c) Escrevendo como potência de expoente fracionário:

\sqrt{121} = \sqrt{11^{2}} = 1 1^{\frac{2}{2}} = 11

Utilizando a decomposição em fatores primos e as propriedades da potenciação:

Esquema. Decomposição do número 121 em fatores primos. 121 divide 11 dá 11, que divide 11 e dá 1.

\sqrt{121} = \sqrt{11^{2}} = 11

Revisão dos conteúdos deste capítulo – Páginas 55 e 56

1. a)

3^{3} = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27

- 2^{2} = - 2 ⋅ 2 = - 4

{(- 2)}^{2} = (- 2) ⋅ (- 2) = 4

{(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{2}{3} ⋅ \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

{(- \frac{4}{5})}^{- 2} = {(- \frac{5}{4})}^{2} = (- \frac{5}{4}) ⋅ (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{16}

5^{0} = 1

{(- 1)}^{3} = (- 1) ⋅ (- 1) ⋅ (- 1) = - 1

2^{1} = 2

2. a)

3 ⋅ {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{- 1} + 2 = 3 ⋅ 1 - {(- 1)}^{1} + 2 = 3 + 1 + 2 = 6

{(- 1)}^{2} - 3 ⋅ {(- \frac{1}{2})}^{- 2} = 1 - 3 ⋅ {(- 2)}^{2} = 1 - 3 ⋅ 4 = 1 - 12 = - 11

2^{0} + 4^{2} ⋅ 3^{1} : (\frac{1}{2}) = 1 + 16 ⋅ 3 ⋅ \frac{2}{1} = 1 + 96 = 97

3. a)

0, 27 = 2, 7 ⋅ 10^{- 1}

895 = 8, 95 ⋅ 10^{2}

3 600 = 3, 6 ⋅ 10^{3}

0, 0012 = 1, 2 ⋅ 10^{- 3}

50 000 000 = 5, 0 ⋅ 10^{7}

0, 000000044 = 4, 4 ⋅ 10^{- 8}

4. Aplicando as propriedades de potenciação, temos:

3^{2} ⋅ 3^{4} ⋅ 3^{3} ⋅ 3^{9} = 3^{2 + 4 + 3 + 9} = 3^{18}

{(5^{2})}^{3} = 5^{2 \cdot 3} = 5^{6}

{(2^{3})}^{- 2} = 2^{3 ⋅ (- 2)} = 2^{- 6}

8^{3} : 8^{5} = 8^{3 - 5} = 8^{- 2}

2^{1} ⋅ 4^{1} ⋅ 4^{2} ⋅ 4^{0} = 2^{1} ⋅ {(2^{2})}^{1} ⋅ {(2^{2})}^{2} ⋅ {(2^{2})}^{0} = 2^{1} ⋅ 2^{2} ⋅ 2^{4} ⋅ 2^{0} = 2^{7}

5. a)

4^{4} : 4^{3} + 3 ⋅ 3^{2} = 4^{1} + 3^{3} = 4 + 27 = 31

{(2^{3})}^{2} - {(2^{3})}^{2} = 2^{6} - 2^{6} = 0

{(- 1)}^{3} + 3^{4} : 3^{4} = - 1 + 3^{0} = - 1 + 1 = 0

3^{0} + 5^{3} : 5^{2} = 1 + 5^{1} = 1 + 5 = 6

{(2^{4})}^{2} : 4^{1} + 3^{0} - 3^{2} = 2^{8} : {(2^{2})}^{1} + 1 - 9 = 2^{8} : 2^{2} + 1 - 9 =

= 2^{6} + 1 - 9 = 64 + 1 - 9 = 56

6. a)

\sqrt{49} = \sqrt{7^{2}} = 7

\sqrt{25} = \sqrt{5^{2}} = 5

\sqrt{169} = \sqrt{13^{2}} = 13

\sqrt{225} = \sqrt{15^{2}} = 15

\sqrt{\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{2^{2}}{3^{2}}} = \frac{2}{3}

\sqrt{\frac{16}{49}} = \sqrt{\frac{4^{2}}{7^{2}}} = \frac{4}{7}

\sqrt{\frac{121}{100}} = \sqrt{\frac{11^{2}}{10^{2}}} = \frac{11}{10}

\sqrt{\frac{4}{169}} = \sqrt{\frac{2^{2}}{13^{2}}} = \frac{2}{13}

7. Os estudantes utilizarão uma calculadora para obter os resultados e depois devem arredondar os valores obtidos para apresentar o resultado com duas casas decimais.

\sqrt{27} ≃ 5, 20

\sqrt{300} ≃ 17, 32

\sqrt{6} ≃ 2, 45

\sqrt{2, 5} ≃ 1, 58

8. a) Como

8 < \sqrt{75} < 9

, vamos calcular os quadrados de alguns números situados entre 8 e 9, com uma casa decimal:

{(8, 5)}^{2} = 72, 25

{(8, 6)}^{2} = 73, 96

{(8, 7)}^{2} = 75, 69

Portanto,

\sqrt{75} ≃ 8, 7

b) Como

2 < \sqrt{7} < 9

, vamos calcular os quadrados de alguns números situados entre 2 e 9, com uma casa decimal:

{(2, 5)}^{2} = 6, 25

{(2, 6)}^{2} = 6, 76

{(2, 7)}^{2} = 7, 29

Portanto,

\sqrt{7} ≃ 2, 6

Página cinquenta e cinco

c) Como

1 < \sqrt{3, 57} < 2

, vamos calcular os quadrados de alguns números situados entre 1 e 2, com uma casa decimal:

{(1, 9)}^{2} = 3, 61

{(1, 8)}^{2} = 3, 24

Portanto,

\sqrt{3, 57} ≃ 1, 9

d) Como

22 < \sqrt{500} < 23

, vamos calcular os quadrados de alguns números situados entre 22 e 23, com uma casa decimal:

{(22, 5)}^{2} = 506, 25

{(22, 4)}^{2} = 501, 76

{(22, 3)}^{2} = 497, 29

Portanto,

\sqrt{500} ≃ 22, 4

9. a)

\sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5

\sqrt{1, 21} + \sqrt{1, 44} + \sqrt{0, 49} + \sqrt{0, 16} + \sqrt{0, 36} =

= 1,1 + 1,2 + 0,7 + 0,4 + 0,6 = 4

\sqrt{16} + \sqrt{\frac{1}{9}} + \sqrt{\frac{1}{4}} + 7^{1} - 12^{0} = 4 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 7 - 1 =

= 10 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{60}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{65}{6}

10. a) O menor quadrado perfeito de cinco algarismos é .10000 (1002 = .10000); logo 992 = .9801é o maior número inteiro quadrado perfeito de quatro algarismos.

b) Para descobrir a raiz quadrada de .11236, vamos calcular o quadrado de alguns números maiores que 100:

{(105)}^{2} = 11 025

{(106)}^{2} = 11 236

Logo,

\sqrt{11 236} = 106

Outra possibilidade é decompor .11236 em fatores primos e perceber que .11236 = 22 · 532.

c) Temos que:

\frac{\sqrt{x}}{3} = 12

, em que x é um número real positivo.

Assim:

\sqrt{x} = 36

Portanto, x = 362 = 1 296.

11. a)

\sqrt[3]{- 729} = \sqrt[3]{{(- 9)}^{3}} - 9

\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2

\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{9^{2}} = \sqrt[4]{{(3^{2})}^{2}} = \sqrt[4]{3^{4}} = 3

\sqrt[6]{\frac{729}{4 096}} = \sqrt[6]{\frac{3^{6}}{4^{6}}} = \frac{3}{4}

12.

\frac{\sqrt[2]{\sqrt{16} + 5 \sqrt[3]{1 000} + 10^{1}}}{\sqrt[3]{- 343}} = \frac{\sqrt[2]{4 + 5 ⋅ 10 + 10}}{- 7} = \frac{\sqrt[2]{64}}{- 7} = - \frac{8}{7}

Capítulo 3 – Sistemas de equações do 1º grau

Trocando ideias – Página 57

• Espera-se que os estudantes reconheçam que as vagas reservadas para veículos que transportam pessoas com alguma deficiência física ou visual facilitam o dia a dia delas, porque, além da garantia de que vão conseguir estacionar seus veículos, essas vagas ficam próximas de entradas e acesso a rampas, escadas rolantes e elevadores.

Vagas reservadas e não reservadas:

a) x + y = 500

b) Valores naturais, porque x e y correspondem ao número de vagas de estacionamento.

c) Para determinar y é preciso calcular 2% de 500:

0,02 · 500 = 10

Logo, y = 10.

Substituindo y por 10 em x + y = 500, determinamos o valor de x:

x + 10 = 500

x = 500 – 10 = 490

São 10 vagas reservadas para veículos que transportam pessoas com alguma deficiência física ou visual e 490 vagas não reservadas.

Atividades – Página 59

1. Observando o gráfico, temos:

A(3, 2);

B(1, 3);

C(0, 1);

D(–3, 4);

E(– 4, 3);

F(–2, 1);

G(–2, –2);

H(–5, –3);

I(4, –1);

J(2, – 4).

Plano cartesiano com malha quadriculada. Eixo x, de menos 3 a 3. Eixo y, de menos 2 a 5. Pares ordenados destacados: A abscissa 0 e ordenada menos 2 B abscissa menos 3 e ordenada 4 C abcissa 0 e ordenada 0 D abscissa 2 e ordenada menos 0 E abscissa menos 2 e ordenada 3 F abscissa 1 e ordenada 3 G abcissa 3 e ordenada 3 H abscissa menos 1 e ordenada 2 I abscissa menos 1 e ordenada 0 J abscissa menos 1 e ordenada 1

3. Exemplo de respostas:

a) A1 (5, 5); A2 (6, 6); A3 (7, 7); A4 (8, 8); A5 (9, 9);

b) B1 (–1, 1); B2 (–2, 2); B3 (–3, 3); B4 (– 4, 4); B5 (–5, 5);

c) C1 (3, 0); C2 (3, 1); C3 (3, 2); C4 (3, 3); C5 (3, 4);

d) D1 (–3, 0); D2 (–3, 1); D3 (–3, 2); D4 (–3, 3); D5 (–3, 4);

e) E1 (1, 2); E2 (2, 2); E3 (3, 2); E4 (4, 2); E5 (5, 2);

f) F1 (5, –1); F2 (6, –1); F3 (7, –1); F4 (8, –1); F5 (9, –1).

Plano cartesiano com malha quadriculada. Eixo x, de menos 6 a 10. Eixo y, de menos 1 a 10. A1 abscissa 5 e ordenada 5 A2 abcissa 6 e ordenada 6 A3 abscissa 7 e ordenada 7 A4 abscissa 8 e ordenada 8 A5 abcissa 9 e ordenada 9 B1 abscissa menos 1 e ordenada 1 B2 abscissa menos 2 e ordenada 2 B3 abcissa menos 3 e ordenada 3 B4 abscissa menos 4 e ordenada 4 B5 abscissa menos 5 e ordenada 5 C1 abscissa 3 e ordenada 0 C2 abscissa 3 e ordenada 1 C3 abscissa 3 e ordenada 2 C4 abscissa 3 e ordenada 3 C5 abscissa 3 e ordenada 4 D1 abscissa menos 3 e ordenada 0 D2 abcissa menos 3 e ordenada 1 D3 abscissa menos 3 e ordenada 2 D4 abscissa menos 3 e ordenada 3 D5 abscissa menos 3 e ordenada 4 E1 abscissa 1 e ordenada 2 E2 abscissa 2 e ordenada 2 E3 abscissa 3 e ordenada 2 E4 abscissa 4 e ordenada 2 E5 abscissa 5 e ordenada 2 F1 abscissa 5 e ordenada menos 1 F2 abcissa 6 e ordenada menos 1 F3 abscissa 7 e ordenada menos 1 F4 abscissa 8 e ordenada menos 1 F5 abscissa 9 e ordenada menos 1

Página cinquenta e seis

4. a) Sim, por dois pontos passa uma reta.

b) São retas perpendiculares.

Plano cartesiano em malha quadriculada. Eixo x, pontos de menos 3 a 6. Eixo y, pontos de menos 1 a 6 em escala unitária. Reta d na vertical sobre menos 3 do eixo x. Reta c na vertical sobre ponto 3 do eixo x.

c) São retas paralelas.

Plano cartesiano em malha quadriculada. Eixo x, pontos de menos 3 a 6. Eixo y, pontos de menos 1 a 6 com escala unitária. Reta horizontal e sobre 2 do eixo y e reta horizontal f sobre menos 1 do eixo y.

Atividades – Página 60

5. a) 28x + 30y = 300

b) 4x + y = 75

6. a) 2x + 2y = 48

b) x = y + 9

c) x + y = 20

d) 5x – 3y = 68

7. 2x + 4y = 140

Atividades – Página 62

Valor atribuído a x	Equação em y	Valor de y	Par ordenado (x, y)
−1	−1 + 2y = 16	8,5	(−1; 8,5)
−3	−3 + 2y = 16	9,5	(−3; 9,5)
1	1 + 2y = 16	7,5	(1; 7,5)
8	8 + 2y = 16	4	(8, 4)
6	6 + 2y = 16	5	(6, 5)

Exemplo de construção de gráfico.

Gráfico. Plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 4 a 16. Eixo y, pontos de 0 a 10 em escala unitária. Pares ordenados:
abscissa 16 ordenada 0
abscissa 10 ordenada 3
abscissa 8 ordenada 4
abscissa 6 ordenada 5
abscissa 4 ordenada 6
abscissa 2 ordenada 7
abscissa 1 ordenada 7 e meio
abscissa 0 ordenada 8
abscissa menos 1 ordenada 8 meio
abscissa menos 2 ordenada 9
abscissa menos 3 ordenada 9 e meio
abscissa menos 4 ordenada 10
Segmento de reta passa por esses pares ordenados.

Sim, todos os pontos estão alinhados.

9. a)

Gráfico. Eixo x e eixo y. Pares ordenados: abscissa 3 ordenada 0 abscissa 0 ordenada 3 3 0, 0 3. Reta passa por esses pares ordenados.

Gráfico. Eixo x e eixo y. Par ordenado:
abscissa 3 ordenada 3 Reta passa pelo par ordenado e pela origem do sistema

Gráfico. Eixo x e eixo y. Pares ordenados: abscissa 0 ordenada 1 abscissa 4 ordenada 0 Reta passa por esses pares ordenados.

Gráfico. Eixo x e eixo y. Pares ordenados:
abscissa 6 ordenada 0 abscissa 0 ordenada menos 6 Reta passa por esses pares ordenados.

Página cinquenta e sete

Gráfico. Eixo x e eixo y. Pares ordenados: abscissa 2 ordenada 0 abscissa 0 ordenada menos 4 Reta passa pelos pares ordenados.

Gráfico. Eixo x e eixo y. Pares ordenados: abscissa menos 5 ordenada 0 abscissa 0 ordenada menos 5 Reta passa pelos pares ordenados.

Gráfico. Eixo x e eixo y. Gráfico. Eixo x e eixo y. Pares ordenados: abscissa menos 2 ordenada 2 Reta passa pelo pare ordenado e pelo 0

Gráfico. Eixo x e eixo y. Pares ordenados: abscissa 0 ordenada 6 abscissa 6 ordenada 0 Reta passa pelos pares ordenados.

Atividades – Páginas 65 e 66

10. a) Valores naturais, porque x e y correspondem ao número de vitórias do time de Cássio e do time de Leonardo, respectivamente.

b) Atribuindo valores para x e y, os estudantes deverão encontrar x = 5 e y = 7. Substituindo estes valores nas duas equações, obtemos sentenças verdadeiras:

Substituindo x por 5 e y por 7 em y – 1 = x + 1, temos:

7 – 1 = 5 + 1 (sentença verdadeira)

Substituindo x por 5 e y por 7 em y + 1 = 2(x – 1), temos:

7 + 1 = 2(5 – 1) (sentença verdadeira)

11.

\{\begin{array}{c} x - y = - 5 \\ 2 x + 3 y = 10 \end{array}

esquema em 3 partes
primeira parte
x menos y igual menos 5
x mais 5 igual y
segunda parte
2x mais 3 abre parênteses x mais 5 fecha parênteses igual 10
2x mais 3 x mais 15 igual 10
5x igual 10 menos 15
x igual menos 5 quintos
x igual menos 1
terceira parte
x mais 5 igual y
menos 1 mais 5 igual y
4 igual y

Sim, a solução também é o par ordenado (–1, 4).

12. a)

\{\begin{array}{c} x + y = - 2 \\ 2 x - y = 26 \end{array}

Aplicando o método da substituição, temos:

esquema em 3 partes
primeira parte
x mais y igual menos 2
x igual menos 2 menos y
segunda parte
2x menos y igual 26
2 abre parênteses menos 2 menos y fecha parênteses menos y igual 26
menos 4 menos 2y menos y igual 26
menos 4 menos 3y igual 26
menos 4 menos 26 igual 3y
menos 30 sobre 3 igual y
menos 10 igual y
terceira parte
x igual menos 2 menos abre parênteses menos 10 fecha parênteses
x igual menos 2 mais 10
x igual 8

Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (8, –10).

\{\begin{array}{c} 3 x - y = - 11 \\ x + 2 y = 8 \end{array}

Aplicando o método da substituição, temos:

Esquema em 3 partes
primeira parte
x mais 2y igual 8
x igual 8 menos 2 y
segunda parte
3x menos y igual menos 11
24 menos 6y menos y igual menos 11
24 menos 7 y igual menos 11
24 mais 11 igual 7y
32 sobre 8 igual y
5 igual y
terceira parte
x igual 8 menos 2y
x igual 8 menos 2 vezes 5
x igual 8 menos 10
x igual menos 2

Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (–2, 5).

\{\begin{array}{c} 2 x + 2 y = 4 \\ 3 x - 2 y = 1 \end{array}

Aplicando o método da substituição, temos:

esquema em 3 partes
primeira parte
2x mais 2y igual 4
2y igual 4 menos 2x
segunda parte
3x menos 2y igual 1
3x menos abre parênteses 4 menos 2x fecha parênteses igual 1
5x igual 1 mais 4
5x igual 5
x igual 5 quintos
x igual 1
terceira parte
2y igual 4 menos 2x
2y igual 4 menos 2 vezes 1
2y igual 2
y igual 1

Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (1, 1).

\{\begin{array}{c} 2 x + 3 y = 9 \\ 4 x - 5 y = 7 \end{array}

Aplicando o método da substituição, temos:

Esquema em 3 partes
primeira parte
2x mais 3y igual 9
2x igual 9 menos 3y
x igual fração de numerador 9 menos 3 y e denominador 2
segunda parte
4x menos 5y igual 7
4 vezes abre parenteses 9 menos 3y sobre 2 fecha parenteses menos 5 y igual 7
2 vezes abre parênteses 9 menos 3y fecha parênteses menos 5y igual 7
18 menos 6y menos 6y igual 7
18 menos 11y igual 7
18 menos 7 igual 11y
11 sobre 11 igual y
1 igual y
terceira parte
x igual 9 menos 3y sobre 2
x igual 9 menos 3y vezes 1 sobre 2
x igual 6 sobre 2
x igual 3

Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (3, 1).

13. Podemos indicar por x a idade de Ronaldo, e por y a idade de Pedro. Assim:

\{\begin{array}{c} x = 2 y - 4 \\ x - 10 = 3 (y - 10) \end{array}

esquema em 2 partes
primeira parte
x menos 10 igual 3 abre parênteses y menos 10 fecha parênteses
2y menos 4 menos 10 igual 3y menos 30
2y menos 14 igual 3y menos 30
30 menos 14 igual 3y menos 30
30 menos 14 igual 3y menos 2y
16 igual y
segunda parte
x igual 2y menos 4
x igual 2 vezes 16 menos 4
x igual 32 menos 4
x igual 28

Ronaldo tem 28 anos, e Pedro tem 16 anos.

Página cinquenta e oito

14. Podemos indicar a quantidade de tiros acertados por x, e a quantidade de tiros errados por y. Assim:

\{\begin{array}{c} x + y = 20 \\ 5 x - 3 y = 68 \end{array}

esquema em 3 partes
primeira parte
x mais y igual 20
x igual 20 menos y
segunda parte
5x menos 3y igual 68
5 abre parênteses 20 menos y fecha parênteses menos 3y igual 68
100 menos 5y menos 3y igual 68
100 menos 8y igual 68
100 menos 68 igual 8y
32 igual 8y
32 sobre 8 igual y
4 igual y
terceira parte
x igual 20 menos y
x igual 20 menos 4
x igual 16

Julinho acertou 16 tiros.

15. Sendo x a quantidade de automóveis no estacionamento, e y a de bicicletas, temos:

\{\begin{array}{c} x + y = 32 \\ 4 x + 2 y = 88 \end{array}

esquema em 3 partes
primeira parte
x mais y igual 32
x igual 32 menos y
segunda parte
4x mais 2y igual 88
4 abre parênteses 32 menos y fecha par~enteses mais 2y igual 88
128 menos 4y mais 2y igual 88
128 menos 2y igual 88
128 menos 88 igual 2y
40 igual 2y
40 sobre 2 igual y
20 igual y
terceira parte
x igual 32 menos y
x igual 32 menos 20
x igual 12

O estacionamento tem 12 automóveis e 20 bicicletas.

16. a) Indicando por x o número de vitórias do time Boa Esperança e por y o número de vitórias do time Camisa Verde, temos:

\{\begin{array}{c} y - 1 = x \\ y + 1 = 2 x \end{array}

esquema em 3 partes
primeira parte
y menos 1 igual x
segunda parte
y mais 1 igual 2x
y mais 1 igual 2 vezes abre parênteses y menos 1 fecha parênteses
y mais 1 igual 2y menos 2
1 mais 2 igual 2y menos y
3 igual y
terceira parte
y menos 1 igual x
3 menos 1 igual x
x igual 2

O time Boa Esperança teve duas vitórias, enquanto o time Camisa Verde teve 3 vitórias.

17. Indicando por x o valor do ingresso infantil e y o valor do ingresso adulto, temos:

\{\begin{array}{c} 6 x + y = 71 \\ 7 x + 4 y = 131 \end{array}

esquema em 3 partes
primeira parte
6x mais y igual 71
y igual 71 menos 6x
segunda parte
7x mais 4y igual 131
7x mais 4 vezes abre parênteses 71 menos 6x fecha parênteses igual 131
7x mais 284 menos 24x igual 131
284 menos 17x igual 131
284 menos 131 igual 17x
153 igual 17x
153 sobre 17 igual x
9 igual x
terceira parte
y igual 71 menos 6x
y igual 71 menos 6 vezes 9
y igual 71 menos 54
y igual 17

O ingresso infantil tem valor R$ 9,00nove reais e o ingresso adulto tem valor R$ 17,00dezessete reais.

18. Indicando por x o número de avestruzes e por y o número de coelhos, temos:

\{\begin{array}{c} x + y = 35 \\ 2 x + 4 y = 110 \end{array}

esquema em 3 partes
primeira parte
x mais y igual 35
x igual 35 menos y
segunda parte
2x mais 4y igual 110
2 abre parênteses 35 menos y fecha parênteses mais 4y igual 110
70 menos 2y mais 4y igual 110
2y igual 110 menos 70
2y igual 40
y igual 40 sobre 2
y igual 20
terceira parte
x igual 35 menos y
x igual 35 menos 20
x igual 15

15 avestruzes e 20 coelhos.

19. Exemplo de problema que pode ser elaborado: Joaquim fez uma retirada no caixa eletrônico de R$ 230,00duzentos e trinta reais. Sacou 7 cédulas. Sabendo que nesse caixa eletrônico só tinha cédulas de R$ 20,00vinte reais e R$ 50,00cinquenta reais, quantas cédulas de cada valor Joaquim sacou?

x → indica a quantidade de cédulas de 20 reais

y → indica a quantidade de cédulas de 50 reais

\{\begin{array}{c} x + y = 7 \\ 20 x + 50 y = 230 \end{array}

esquema em 3 partes
primeira parte
x mais y igual 7
x igual 7 menos y
segunda parte
20x mais 50y igual 230
20 abre parênteses 7 menos y fecha parênteses mais 50y igual 230
140 menos 20y mais 50y igual 230
140 mais 30y igual 230
30y igual 230 menos 140
y igual 90 sobre 30
y igual 3
terceira parte
x igual 7 menos y
x igual 7 menos 3
x igual 4

São 4 cédulas de 20 reais e 3 cédulas de 50 reais.

20. Exemplo de problema que pode ser elaborado: Os primos Alberto e João têm idades diferentes, a soma de suas idades é 34 e a diferença entre elas é 2. Qual a idade deles?

x → indica a idade do primo mais velho

y → indica a idade do primo mais novo

\{\begin{array}{c} x + y = 34 \\ x - y = 2 \end{array}

esquema em 3 partes
primeira parte
x menos y igual 2
x igual 2 mais y
segunda parte
x mais y igual 34
abre parênteses 2 mais y fecha parênteses mais y igual 34
2 mais y mais y igual 34
2y igual 34 menos 2
y igual 16
terceira parte
x igual 2 mais y
x igual 2 mais 16
x igual 18

Portanto, a idade dos primos é 16 e 18 anos.

Tecnologias digitais em foco – Páginas 68 e 69

• Possível e determinado, porque as retas que representam as soluções de cada uma das equações são concorrentes.

• Impossível, porque as retas que representam as soluções de cada uma das equações são paralelas.

• As retas ficaram coincidentes.

Página cinquenta e nove

Atividades – Página 70

21. a) Sistema possível e indeterminado

x − 5y = 10
x	y	(x, y)
0	−2	(0, −2)
10	0	(10, 0)

2x − 10y = 20
x	y	(x, y)
0	−2	(0, −2)
10	0	(10, 0)

Plano cartesiano com malha quadriculada. Eixo x, de menos 3 a 10. Eixo y, de menos 2 a 2, escala unitária. Pares ordenados: abscissa 0 ordenada menos 2 abscissa 10 ordenada0 Por esses pontos passam as reta de equação 2x menos 10y igual 20 e x menos 5y igual 10.

b) Sistema impossível

2x − 3y = 12
x	y	(x, y)
0	− 4	(0, −4)
6	0	(6, 0)

4x − 6y = 14
x	y	(x, y)
−1	−3	(−1, −3)
5	1	(5, 1)

Plano cartesiano com malha quadriculada.
Eixo x, de menos 2 a 8.
Eixo y, de menos 5 a 4, escala unitária.
Pares ordenados destacados:
abscissa menos 2 ordenada menos 3
abscissa 1 ordenada menos 1
Por esses pontos passam uma reta .
abscissa 0 ordenada menos 4
abscissa 6 ordenada 0
Por esses pontos passam outra reta

c) Sistema possível e indeterminado

2x − 4y = 10
x	y	(x, y)
1	−2	(1, −2)
5	0	(5, 0)

x − 2y = 5
x	y	(x, y)
1	−2	(1, −2)
5	0	(5, 0)

Plano cartesiano com malha quadriculada. Eixo x, de menos 3 a 8. Eixo y, de menos 4 a 3, escala unitária. Pares ordenados destacados: abscissa 1 ordenada menos 2 abscissa 0 ordenada 5 Por esses pontos passam as reta de equação 2x menos 4y igual 10 e x menos 2y igual 5.

d) Sistema possível e determinado, (2, 4).

2x + y = 8
x	y	(x, y)
4	0	(4, 0)
0	8	(0, 8)

x − 2y = −6
x	y	(x, y)
−6	0	(−6, 0)
0	3	(0, 3)

Plano cartesiano com malha quadriculada. Eixo x, de menos 7 a 8. Eixo y, de menos 1 a 9, escala unitária. Par ordenado destacado: abscissa menos 6 ordenada 0 abscissa 0 ordenada 3 Por esses pontos passa a reta de equação x menos 2y igual menos 6 Par ordenado destacado abscissa 4 ordenada 0 abscissa 0 ordenada 8 Por esses pontos passa a reta de equação 2x mais y igual 8 Essas duas retas se cruzam no ponto de abscissa 2 ordenada 4

e) Sistema impossível

2x − y = 7
x	y	(x, y)
2	−3	(2, −3)
1	−5	(1, −5)

6x − 3y = 15
x	y	(x, y)
2	−1	(2, −1)
0	−5	(0, −5)

Plano cartesiano com malha quadriculada. Eixo x, de menos 2 a 7. Eixo y, de menos 7 a 3, escala unitária. Par ordenado destacado: abscissa 2 ordenada menos 1 abscissa 0 ordenada menos 5 Por esses pontos passa a reta de equação 6x menos 3y igual 15 Par ordenado destacado abscissa 1 ordenada menos 5 abscissa 2 ordenada menos 3 Por esses pontos passa a reta de equação 2x menos y igual 7

f) Sistema possível e determinado, (4, 2).

x + y = 6
x	y	(x, y)
0	6	(0, 6)
6	0	(6, 0)

x − y = 2
x	y	(x, y)
0	−2	(0, −2)
2	0	(2, 0)

Plano cartesiano com malha quadriculada. Eixo x, de menos 2 a 8. Eixo y, de menos 3 a 7, escala unitária. Par ordenado destacado: abscissa 0 ordenada menos 1 abscissa 2 ordenada 0 Por esses pontos passa a reta de equação x menos y igual 2 Par ordenado destacado abscissa 6 ordenada 0 abscissa 0 ordenada 6 Por esses pontos passa a reta de equação x mais y igual 5 Essas duas retas se cruzam no ponto de abscissa 4 ordenada 2