Página sessenta

Parte 3

22. O sistema um, porque o par ordenado correspondente ao ponto (1, 1) da resolução gráfica é solução de ambas as equações do sistema.

\{\begin{array}{c} 2 x + 2 y = 4 \\ x - y = 0 \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{c} 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 4 \\ 1 - 1 = 0 \end{array}

\{\begin{array}{c} 2 x + 2 y = 4 \\ - 3 x + 6 y = 12 \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{c} 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 4 \\ - 3 \cdot 1 + 6 \cdot 1 \neq 12 \end{array}

23. O gráfico dois, porque o par ordenado correspondente ao ponto (0, 2) da resolução gráfica é solução de ambas as equações do sistema.

\{\begin{array}{c} 4 x - 2 y = - 4 \\ - 4 x - 2 y = - 4 \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{c} 4 \cdot 0 - 2 \cdot 2 = - 4 \\ - 4 \cdot 0 - 2 \cdot 2 = - 4 \end{array}

24. a) Indicando por x o número de cédulas de R$ 10,00dez reais e por y o número de cédulas de R$ 50,00cinquenta reais, podemos representar a situação pelo seguinte sistema de equações:

\{\begin{array}{c} x + y = 24 \\ 10 x + 50 y = 640 \end{array}

b) Vamos traçar em um mesmo plano cartesiano as retas que representam as soluções das equações.

x + y = 24
x	y	(x, y)
12	12	(12, 12)
10	14	(10, 14)

10x + 50y = 640
x	y	(x, y)
14	10	(14, 10)
4	12	(4, 12)

Plano cartesiano com malha quadriculada. Eixo x, de menos 4 a 22. Eixo y, de 0 a 20, escala duas unidades. Par ordenado destacado: abscissa 4 ordenada 12 abscissa 14 ordenada 10 Por esses pontos passa a reta de equação 10 x mais 50 y igual 640 Par ordenado destacado abscissa 10 ordenada 14 abscissa 12 ordenada 12 Por esses pontos passa a reta de equação x mais y igual 24 Essas duas retas se cruzam no ponto de abscissa 14 ordenada 10

Nesse caso, as retas são concorrentes e o par ordenado (14, 10) é a única solução do sistema. Portanto, o sistema é possível e determinado.

c) Observando o gráfico, a solução é (14, 10). Logo, Joana tinha 14 cédulas de R$ 10,00dez reais e 10 cédulas de R$ 50,00cinquenta reais.

Resolvendo em equipe – Página 71

Indicando por xis a medida da massa do prego, por y a medida da massa do parafuso e por z a medida da massa do gancho. Assim:

\{\begin{array}{c} x + 3 y + 2 z = 24 \\ 2 x + 5 y + 4 z = 44 \\ 12 x + 32 y + 24 z = P \end{array}

Para determinar a massa de um parafuso, podemos tomar as duas primeiras equações e resolver:

\{\begin{array}{c} x + 3 y + 2 z = 24 \\ 2 x + 5 y + 4 z = 44 \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{c} 2 x + 6 y + 4 z = 48 \\ 2 x + 5 y + 4 z = 44 \end{array} \Rightarrow y = 4

Portanto, a medida da massa de um parafuso é 4 gramas.

Seguindo os passos indicados no Plano de resolução, temos:

\{\begin{array}{c} x + 3 y + 2 z = 24 \cdot (12) \\ 2 x + 5 y + 4 z = 44 \\ 12 x + 32 y + 24 z = P \cdot (- 1) \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{c} 12 x + 36 y + 24 z = 288 \\ - 12 x - 32 y - 24 z = - P \end{array}

Somando a 1ª equação com a 3ª equação, temos:

4y = 288 – P

Assim, se a medida da massa de um parafuso é 4 gramas, temos:

y = 4 ⇒ 4 ⋅ 4 = 288 – P ⇒ P = 288 – 16 ⇒ P = 272.

Alternativa d.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – Página 72

Plano cartesiano com malha quadriculada. Eixo x, de menos 3 a 4. Eixo y, de menos 3 a 5, escala duas unidades. Pares ordenados destacados: A abscissa menos 2 ordenada 3 B abscissa 1 ordenada 1 C abscissa 3 ordenada 5 D abscissa menos 2 ordenada 3 E abscissa 3 ordenada menos 3

2. Indicando por x o número de cédulas de R$ 5,00cinco reais e por y o número de cédulas de R$ 10,00dez reais, podemos representar a situação pelo seguinte sistema de equações:

\{\begin{array}{c} x + y = 20 \\ 5 x + 10 y = 140 \end{array}

Dividindo a equação 5x + 10y = 140 por (–5), obtemos coeficientes opostos para x.

\{\begin{array}{c} x + y = 20 \\ 5 x + 10 y = 140 \div (- 5) \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{c} x + y = 20 \\ - x - 2 y = - 28 \end{array}

Adicionando membro a membro as equações x + y = 20 e –x –2y = –28, temos:

–y = –8 ⇒ y = 8

Substituindo y por 8 na equação x + y = 20, determinamos o valor de x:

x + y = 20

x + 8 = 20

x = 12

Portanto, há 12 cédulas de R$ 5,00cinco reais e 8 cédulas de R$ 10,00dez reais.

3. a) Método da substituição:

\{\begin{array}{c} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{array}

Isolando x na equação x – y = 1, temos:

x = 1 + y

Página sessenta e um

Substituindo x por 1 + y na equação x + y = 5, temos:

x + y = 5

1 + y + y = 5

2y = 5 – 1

2y = 4

y = 2

Substituindo y por 2 em uma das equações, obtemos o valor de x:

x – y = 1

x – 2 = 1

x = 3

Método da adição:

\{\begin{array}{c} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{array}

Adicionando membro a membro as equações x + y = 5 e x – y = 1, temos:

2x = 6

x = 3

Substituindo x por 3 na equação x + y = 5, determinamos o valor de y:

x + y = 5

3 + y = 5

y = 2

Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (3, 2).

b) Método da substituição:

\{\begin{array}{c} x + y = 3 \\ 2 x - y = - 6 \end{array}

Isolando x na equação x + y = 3, temos:

x = 3 – y

Substituindo x por 3 – y na equação 2x – y = – 6, temos:

2x – y = – 6

2(3 – y) – y = – 6

6 – 2y – y = – 6

– 3y = – 6 – 6

– 3y = – 12

y = 4

Substituindo y por 4 em uma das equações, obtemos o valor de x:

x + y = 3

x + 4 = 3

x = – 1

Método da adição:

\{\begin{array}{c} x + y = 3 \\ 2 x - y = - 6 \end{array}

Adicionando membro a membro as equações x + y = 3 e 2x – y = – 6, temos:

3x = – 3

x = – 1

Substituindo x por –1 na equação x + y = 3, determinamos o valor de y:

x + y = 3

– 1 + y = 3

y = 4

Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (–1, 4).

c) Método da substituição:

\{\begin{array}{c} x + y = 9 \\ x - y = 3 \end{array}

Isolando x na equação x – y = 3, temos:

x = 3 + y

Substituindo x por 3 + y na equação x + y = 9, temos:

x + y = 9

3 + y + y = 9

2y = 6

y = 3

Substituindo y por 3 em uma das equações, obtemos o valor de x:

x – y = 3

x – 3 = 3

x = 6

Método da adição:

\{\begin{array}{c} x + y = 9 \\ x - y = 3 \end{array}

Adicionando membro a membro as equações x + y = 9 e x – y = 3, temos:

2x = 12

x = 6

Substituindo x por 6 na equação x + y = 9, determinamos o valor de y:

x + y = 9

6 + y = 9

y = 3

Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (6, 3).

d) Método da substituição:

\{\begin{array}{c} x = 2 + y \\ y = 6 - x \end{array}

Substituindo y por 6 – x na equação x = 2 + y, temos:

x = 2 + y

x = 2 + 6 – x

2x = 8

x = 4

Substituindo x por 4 em uma das equações, obtemos o valor de y:

y = 6 – x

y = 6 – 4

y = 2

Método da adição:

\{\begin{array}{c} x = 2 + y \\ y = 6 - x \end{array} \Rightarrow \{\begin{array}{c} x - y = 2 \\ x + y = 6 \end{array}

Adicionando membro a membro as equações x – y = 2 e y + x = 6, temos:

2x = 8

x = 4

Substituindo x por 4 na equação y + x = 6, determinamos o valor de y:

y + x = 6

y + 4 = 6

y = 2

Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (4, 2).

Página sessenta e dois

É hora de extrapolar – Páginas 73 a 75

1. a) Os estudantes farão a leitura do relatório Estatística de gênero: indicadores sociais das mulheres no Brasil, disponível em: https://oeds.link/rf7LPR Acesso em: 2 agosto 2022.

b) Os estudantes, em grupo, deverão escolher um dos cinco domínios do relatório e elaborar um resumo sôbre o domínio escolhido.

c) Os grupos deverão compartilhar os documentos e elaborar um documento único com todas as informações coletadas.

2. a) É preciso aplicar a porcentagem de 15,2% ao total de 513 deputados. O resultado obtido foi 77,976 deputadas.

15, 2 % d e 513 = 15, 2 \cdot \frac{513}{100} = 77, 976

b) Espera-se que os estudantes respondam que não é conveniente porque o número obtido não é inteiro.

c) Exemplo de resposta: h = 45 + 5m, sendo h o número de homens e m o número de mulheres. O número de deputadas era m = 78.

3. a) Os estudantes, em grupo, elaborarão uma lista com ações que consideram importantes para combater a desigualdade de gênero.

b) Os grupos deverão compartilhar as listas, discutir e elaborar uma única lista para a turma.

4. a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que são a diferença salarial por um mesmo cargo, ocupação nos cargos menos valorizados, entre outros.

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam afirmativamente, pois todos, homens ou mulheres, devem ter as mesmas oportunidades. A competência não pode depender do gênero.

5. Resposta pessoal. Os estudantes responderão quais mulheres apresentadas eles conhecem e porque são consideradas mulheres de destaque.

6. Resposta pessoal. Os estudantes realizarão uma pesquisa da biografia e desafios enfrentados por uma das mulheres apresentadas no item anterior. Poderão realizar a pesquisa nos sites:

• https://oeds.link/1wRCkg

• https://oeds.link/nMkyYO

• https://oeds.link/tFlBb4.

• https://oeds.link/zVXmgP

• https://oeds.link/zEuibH Acessos em: 2 agosto 2022.

7. a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que é um conteúdo em áudio, disponibilizado por meio de um arquivo ou streaming.

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que pode ser produzido e reproduzido utilizando a internet em computadores, smartphones, tablets, entre outros dispositivos.

c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que a vantagem é poder ouvir quando desejar.

8. Os estudantes elaborarão um roteiro para a produção do podcast.

9. Os estudantes escolherão um único nome para o podcast e uma única vinheta para iniciar.

10. Os estudantes devem analisar o roteiro elaborado pelos colegas e os recursos sonoros que pretendem utilizar.

11. Os estudantes devem anotar dúvidas, opiniões e sugestões para os colegas.

12. Os estudantes devem fazer os ajustes apontados pelos colegas e ensaiar o roteiro.

13. Os estudantes farão a gravação do podcast.

14. Divulgação do podcast para a comunidade escolar.

15. a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam afirmativamente. Conhecer as histórias dessas mulheres é conhecer nosso passado e tomar novos posicionamentos para mudar nossa sociedade, tornando-a mais igualitária.

b) Resposta pessoal. Os estudantes opinarão sôbre medidas que devem ser tomadas pela sociedade para que as mulheres conquistem mais espaço no mercado de trabalho.

16. Os estudantes deverão produzir um texto descrevendo o processo de análise de informações sôbre a participação feminina na sociedade e sôbre a pesquisa e o planejamento para a produção de um podcast.

Capítulo 4 – Ângulos e transformações geométricas

Trocando ideias – Página 77

• Resposta pessoal. Os estudantes realizarão uma pesquisa sôbre a arte marajoara. Espera-se que identifiquem o surgimento dessa arte com os indígenas que ocuparam a região da ilha do Marajó, no Pará, em meados dos anos 400 e 1400. Os traços da cerâmica marajoara são detalhistas, com aplicação de técnicas de combinação de cores; os indígenas extraíam as cores de elementos da natureza, como urucum, caulim, jenipapo, carvão e fuligem.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Translações, rotações e reflexões.

Atividades – Página 79

1. a) Ângulo agudo, por ter medida de abertura menor que 90graus e maior que 0grau.

b) Ângulo nulo, por ter medida de abertura igual a 0grau.

c) Ângulo reto, por ter medida de abertura igual a 90graus.

d) Ângulo obtuso, por ter medida de abertura menor que 180graus e maior que 90graus.

e) Ângulo raso, por ter medida de abertura igual a 180graus.

f) Ângulo de uma volta, por ter medida de abertura igual a 360graus.

2. a) Os ângulos

\hat{A}

\hat{C}

são agudos, pois têm medida de abertura menor que 90graus e maior que 0grau, e os ângulos

\hat{B}

\hat{D}

são obtusos, pois têm medida de abertura menor que 180graus e maior que 90graus.

b) O ângulo

\hat{D}

é agudo, pois tem medida de abertura menor que 90graus e maior que 0grau, o ângulo

\hat{C}

é obtuso, pois tem medida de abertura menor que 180graus e maior que 90graus e os ângulos

\hat{A}

\hat{B}

são retos, pois têm medida de abertura igual a 90graus.

Página sessenta e três

3. Se

A \hat{O} B

M \hat{N} P

são congruentes, eles têm mesma medida de abertura. Assim, podemos fazer:

\frac{2 a}{3} + 30 ° = \frac{3 a}{4} + 27 °

\frac{2 a}{3} - \frac{3 a}{4} = - (30 °) + 27 °

\frac{2 a}{3} - \frac{3 a}{4} = - 3 °

\frac{8 a}{12} - \frac{9 a}{12} = - \frac{36 °}{12}

8a – 9a = – 36graus

– 1 ⋅ (– 1) = – 36graus ⋅ (– 1)

a = 36graus

Portanto o valor de a é 36graus.

Tecnologias digitais em foco – Páginas 80 e 81

a) As medidas são iguais.

b) As medidas das distâncias entre o ponto D e a semirreta

\vec{O A}

e entre D e a semirreta

\vec{O B}

respectivamente.

c) Espera-se que os estudantes percebam que DE = DF, ou seja, que as medidas das distâncias entre D e cada lado do ângulo são iguais.

Tecnologias digitais em foco – Página 83

a) As medidas de comprimento dos segmentos de reta

\overline{A M}

\overline{M B}

são iguais, e a abertura de ângulos formados entre m e

\overline{A B}

mede 90graus.

b) Espera-se que os estudantes percebam que AP = BP independentemente da posição do ponto P.

Atividades – Página 84

4. a) Se

\vec{O B}

é bissetriz de

A \hat{O} C

, logo os ângulos

A \hat{O} B

B \hat{O} C

são congruentes. Então:

m e d (A \hat{O} B) = m e d (B \hat{O} C) = 35 °

b) Se

\vec{O D}

é bissetriz de

C \hat{O} E

, logo os ângulos

C \hat{O} D

D \hat{O} E

são congruentes. Então:

m e d (C \hat{O} D) = m e d (D \hat{O} E) = 25 °

c) Será a soma das medidas das aberturas dos ângulos que compõem

D \hat{O} A

, assim:

25graus + 35graus + 35graus = 95graus

5. Se

\vec{O C}

é bissetriz de

A \hat{O} B

, logo os ângulos

A \hat{O} C

B \hat{O} C

são congruentes. Então:

m e d (A \hat{O} C) = m e d (B \hat{O} C) = 25 °

Como a bissetriz divide um ângulo em dois ângulos de mesma medida, para determinar a medida de abertura

A \hat{O} B

, basta multiplicar por dois a medida de abertura de

A \hat{O} C

ou de

B \hat{O} C

m e d (A \hat{O} B) = 2 \cdot m e d (B \hat{O} C) = 2 \cdot 25 ° = 50 °

Portanto,

m e d (A \hat{O} B) = 50 °

m e d (B \hat{O} C) = 25 °

6. Os ângulos têm medida de abertura igual a 40graus. Exemplo de construção que pode ser feita pelos estudantes.

Figura geométrica. ângulo com vértice em B, com lados definidos pelas semirretas BC e BD, a bissetriz traçada divide o ângulo em dois ângulos alfa igual 40 graus

7. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

Figura geométrica. Ângulo de vértice em C, que tem lados definidos pelas semirretas CB e CD

b) Os estudantes deverão construir 3 bissetrizes.

Figura geométrica. Ângulo com vértice em C com lados definidos pelas semirretas CB e CD. A semirreta CE define a bissetriz do ângulo BCD, e cada um dos dois ângulos também tem suas bissetrizes traçadas.

8. Se

\vec{O B}

é bissetriz de

A \hat{O} C

, logo os ângulos

A \hat{O} B

B \hat{O} C

são congruentes. Então:

med (B \hat{O} C) = \frac{med (A \hat{O} C)}{2} = \frac{80 °}{2} = 40 °

\vec{O D}

é bissetriz de

C \hat{O} E

, logo os ângulos

D \hat{O} E

C \hat{O} D

são congruentes. Então:

med (C \hat{O} D) = \frac{med (C \hat{O} E)}{2} = \frac{60 °}{2} = 30 °

Para determinar a medida deida de

B \hat{O} D

, podemos fazer:

med (B \hat{O} D) = med (B \hat{O} C) + med (C \hat{O} D) = 40 ° + 30 ° = 70 °

9. Observe que

med (\overline{M N}) = med (\overline{M B}) + med (\overline{B N})

. Se M é ponto médio de

\overline{A B}

, para calcular

med (\overline{M B})

, podemos fazer:

med (\overline{M B}) = \frac{med (\overline{A B})}{2} = \frac{10 cm}{2} = 5 cm

Se N é ponto médio de

\overline{B C}

, para calcular

med (\overline{B N})

, podemos fazer:

med (\overline{B N}) = \frac{med (\overline{B C})}{2} = \frac{8 cm}{2} = 4 cm

Assim, temos:

med (\overline{M N}) = med (\overline{M B}) + med (\overline{B N}) = 5 cm + 4 cm = 9 cm

Portanto,

med (\overline{M N}) = 9 cm .

10. a. Observe que

med (\overline{R S}) = med (\overline{R B}) + med (\overline{B S})

. Se R é ponto médio de

\overline{A B}

, para calcular

med (\overline{R B})

, podemos fazer:

med (\overline{R B}) = \frac{med (\overline{A B})}{2} = \frac{4 cm}{2} = 2 cm

Se S é ponto médio de

\overline{B C}

, para calcular

med (\overline{B S})

, podemos fazer:

med (\overline{B S}) = \frac{med (\overline{B C})}{2} = \frac{2 cm}{2} = 1 cm

Assim, temos:

med (\overline{R S}) = med (\overline{R B}) + med (\overline{B S}) = 2 cm + 1 cm = 3 cm

Portanto,

med (\overline{R S}) = 3 cm .

b) Observe que

med (\overline{S T}) = med (\overline{S C}) + med (\overline{C T})

. Se S é ponto médio de

\overline{B C}

, então:

med (\overline{S C}) = med (\overline{B S}) = 1 cm