Página LXXIV

Parte 5

b) x + 2x + 4x + 5x = 360graus

12x = 360graus

x = \frac{360 °}{12} = 30 °

c) x + 90graus + 120graus + 80graus = 360graus

x = 70graus

16. Considerando que, em um quadrilátero convexo, a soma das medidas de abertura dos ângulos internos é igual a 360graus, temos:

x + 2x + 3x + 4x = 360graus

10x = 360graus

x = \frac{360 °}{10} = 36 °

Substituindo o valor de x em cada expressão que representa as medidas de abertura dos ângulos internos, teremos 36graus, 72graus, 108graus e 144graus.

17. Considerando que, em um quadrilátero convexo, a soma das medidas de abertura dos ângulos internos é igual a 360graus, temos:

x + 20graus + x + 40graus x + 50graus + x – 10graus = 360graus

4x = 260graus

x = \frac{260 °}{4} = 65 °

Substituindo o valor de x, temos:

x + 20graus = 65graus + 20graus = 85graus

x + 40graus = 65graus + 40graus = 105graus

x + 50graus = 65graus + 50graus = 115graus

x – 10graus = 65graus – 10graus = 55graus

18. Traçando a diagonal

\overline{B D}

no quadrilátero ABCD, podemos notar que a figura fica decomposta em dois triângulos. Como a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual 180graus, temos que:

S_{A B C D} = S_{A B D} + S_{B C D} = 180 ° + 180 ° = 360 °

Concluímos que, para todo quadrilátero ABCD não convexo, a soma das medidas de abertura dos ângulos internos é igual a 360graus.

Tecnologias digitais em foco – Páginas 153 e 154

a) Espera-se que os estudantes observem que os lados opostos de qualquer paralelogramo são congruentes.

b) Espera-se que os estudantes observem que os ângulos internos opostos de qualquer paralelogramo são congruentes.

c) Considerando as medidas encontradas, espera-se que os estudantes notem que ei ém = emi dê e BM = êmi sí, ou seja, ême é o ponto médio das duas diagonais. Assim, essa exploração indica que as diagonais de um paralelogramo se cruzam em seus respectivos pontos médios.

Atividades – Páginas 156 e 157

19. a) No paralelogramo a bê cê dê, temos que

\overline{A D} // \overline{B C}

\overline{A B} // \overline{D C}

; logo, á dê = bê cê e A bê = dê cê. Portanto, x = 4 centímetros e y = 2 centímetros.

b) O ∆BCD é isósceles, então:

m e d (C \hat{B} D) = m e d (C \hat{D} B) = x = y

2x + 90graus = 180graus

x = 45graus

c) O ∆á bê dê é isósceles, então

m e d (A \hat{D} B) = m e d (A \hat{B} D) = 30 °,

e pela soma das medida deidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo, temos que

m e d (B \hat{A} D) = 120 °

. No paralelogramo a bê cê dê,

m e d (B \hat{C} D) = m e d (B \hat{A} D) = 120 °

m e d (C \hat{D} A) = m e d (C \hat{B} A) = x + 30 °

; usando a soma das medidas de abertura dos ângulos internos do paralelogramo, temos que:

2 · 120graus + 2(x + 30graus) = 360graus

2x + 60graus = 120graus

x = 30graus

Como

m e d (C \hat{D} A) = m e d (C \hat{B} A) = 60 °

m e d (B \hat{C} A) = m e d (B Â C) = y

(∆á bê cê é isósceles), e utilizando a soma das medidas de abertura dos ângulos internos no △á bê cê, temos que:

m e d (C \hat{B} A) + m e d (B \hat{A} C) + m e d (B \hat{C} A) = 180 °

60graus + y + y = 180graus

y = 60graus

20. Roteiro: Traçar o segmento

\overline{A B}

cujo comprimento mede 4 centímetros e, em seguida, construir na extremidade B o ângulo de medida de abertura de 60graus.

Figura geométrica.
Segmento de reta AB medindo 4 centímetros de comprimento, ângulo de abertura medindo 60 graus com vértice em B.

Na extremidade a, construir um ângulo de medida de abertura de 120graus, porque ângulos consecutivos em um paralelogramo são suplementares. Com um compasso com abertura medindo 8 centímetros de comprimento e com a ponta-seca em B, e depois em a, marcar respectivamente os pontos C e D nos lados dos ângulos construídos.

Figura geométrica.
Segmento de reta AB medindo 4 centímetros de comprimento, ângulo de abertura medindo 60 graus com vértice em B.
Segmento de reta BC faz 60 graus com o segmento de reta AB.
Ângulo de abertura medindo 120 graus com vértice em A. Em um dos lados desse ângulo está representado o ponto D, de modo que o segmento de reta AD mede 8 centímetros de comprimento.

Página LXXV

Unir os pontos C e D, completando o paralelogramo a bê cê dê.

Figura geométrica. Paralelogramo verde ABCD com medida BC de 8 centímetros de comprimento e AB de 4 centímetros de comprimento. Em A, ângulo de 120 graus e em B, ângulo de 60 graus.

21. Sendo a diferença entre as medidas de comprimento dos seus lados igual a 14, denominamos a medida de comprimento de um lado como x e a medida de comprimento do outro lado como xis + 14:

2 x + 2 (x + 14) = 66

x + x + 14 = 33

x = 9, 5

Assim, x + 14 = 23,5.

Logo, as medidas de comprimento dos lados são: 9,5 centímetros, 23,5 centímetros, 9,5 centímetros e 23,5 centímetros.

22. Como em um paralelogramo os ângulos opostos são congruentes, temos

m e d (C Â B) = m e d (B \hat{D} C) e m e d (A \hat{C} D) = m e d (D \hat{B} A)

Figura geométrica. Paralelogramo ABCD com ângulo externo em A de 64 graus

m e d (C \hat{A} B) + 64 ° = 180 °

m e d (C Â B) = 116 °

m e d (C \hat{A} B) + m e d (A \hat{C} D) = 180 °

m e d (A \hat{C} D) = 180 ° - 116 ° = 64 °

Portanto, as medidas de abertura dos ângulos são:

116graus, 64graus, 116graus e 64graus

23. Usando a soma das medidas de abertura dos ângulos internos no ∆bê cêD:

m e d (B \hat{C} D) + 38 ° + 54 ° = 180 °

m e d (B \hat{C} D) = 88 °

No paralelogramo a bê cê dê, os ângulos opostos são congruentes, então

m e d (B \hat{C} D) = m e d (B \hat{A} D) = 88 °

Note que

m e d (A \hat{D} B) = m e d (C \hat{B} D) = 38 °

por serem ângulos alternos internos. Assim:

m e d (A \hat{D} C) = m e d (A \hat{D} B) + m e d (C \hat{D} B) = 38 ° + 54 ° = 92 °

Em síntese, temos:

m e d (\hat{C}) = m e d (\hat{A}) = 88 ° e m e d (\hat{B}) = m e d (\hat{D}) = 92 °

24. No paralelogramo a bê cê dê, os ângulos consecutivos são suplementares; logo,

m e d (D \hat{C} B) + m e d (C \hat{B} A) = 180 °

; então,

m e d (C \hat{B} A) = 110 °

Sendo

\vec{B M}

\vec{C M}

, respectivamente, as bissetrizes dos ângulos

A \hat{B} C

B \hat{C} D

, temos

m e d (M \hat{C} B) = 35 ° e m e d (M \hat{B} C) = 55 °

Usando a soma das medidas de abertura dos ângulos internos no ∆BCM:

m e d (M \hat{C} B) + m e d (B \hat{M} C) + m e d (M \hat{B} C) = 180 °

m e d (B \hat{M} C) = 180 ° - 35 ° - 55 ° = 180 ° - 90 ° = 90 °

25. Estando x representando a medida de abertura de um ângulo interno do paralelogramo, a medida de abertura do ângulo consecutivo pode ser representada por (x + 80graus)

x + (x + 80graus) = 180graus

2x = 100graus

x = 50graus

x + 80graus = 130graus

Como os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes, podemos afirmar que as aberturas dos outros dois medem 50graus e 130graus

Atividades – Página 159

26. As alternativas corretas são: a, b, c, d, f.

a) Verdadeira.

b) Verdadeira.

c) Verdadeira.

d) Verdadeira.

e) Falsa, todo losango é um paralelogramo.

f) Verdadeira.

g) Falsa, nem todo paralelogramo é um retângulo.

27. As alternativas corretas são: a, b, c, d, f.

a) Verdadeira, as diagonais de um losango são perpendiculares.

b) Verdadeira, pois são ângulos alternos internos.

c) Verdadeira, pois as diagonais se interceptam em seus respectivos pontos médios.

Página LXXVI

d) Verdadeira.

e) Falsa, as diagonais de um losango não são necessariamente congruentes.

f) Verdadeira.

g) Falsa,

\overline{A C}

não é congruente a

\overline{A B}

\overline{B C}

28. Sendo a bê cê dê um losango e

\vec{A C}

\vec{B D}

bissetrizes, por consequência, a = b = e = f e c = d = g = h, teremos:

m e d (B \hat{A} D) = 100 °

2a = 100graus

a = 50graus

Se dois ângulos consecutivos são suplementares, temos que:

100graus + 2c = 180graus

c = 40graus

Portanto, teremos:

a = b = e = f = 50graus, c = d = g = h = 40graus.

29. A diagonal de um losango é a bissetriz de um ângulo; se a abertura do ângulo formado pelo lado e pela diagonal mede 36graus, então a abertura do ângulo desse vértice mede 72graus. Para descobrir a medida de abertura do ângulo consecutivo a ele, basta subtrair 72graus de 180graus; logo, a abertura desse ângulo mede 108graus.

Como os ângulos opostos de um losango são congruentes, podemos afirmar que as aberturas dos outros dois medem 72graus e 108graus.

30. Somando as medidas de abertura dos ângulos internos do triângulo, temos que:

2x + 114graus = 180graus

x = 33graus

Sendo a bê cê dê retângulo, então

m e d (A \hat{D} C) = 90 °

; assim:

x + y = 90graus

33graus + y = 90graus

y = 57graus

31.

m e d (D \hat{C} B) + 140 ° 30' = 180 °

m e d (D \hat{C} B) = 39 ° {30'}^{}

Em um losango, a soma das medidas de abertura dos ângulos consecutivos é suplementar; assim, temos que:

m e d (D \hat{C} B) + m e d (C \hat{B} A) = 180 °

m e d (C \hat{B} A) = 180 ° - 39 ° 30' = 140 ° 30'

Como os ângulos opostos são congruentes, então os maiores ângulos são

C \hat{B} A

C \hat{D} A

32. A abertura do ângulo formado entre o lado e a bissetriz mede 64graus; dessa maneira, a abertura do ângulo desse vértice mede 128graus. Em um losango, dois ângulos consecutivos são suplementares; logo, a abertura do outro ângulo mede 52graus. Assim, como os ângulos opostos de um losango são congruentes, as medidas de abertura dos ângulos internos são 52graus, 52graus, 128graus e 128graus.

33. O

∆ B E C

é isósceles de base

\overline{E C}

, então

m e d (B \hat{E} C) = m e d (B \hat{C} E) = x

. a bê cê dê é um quadrado, logo

m e d (A \hat{B} E) + m e d (C \hat{B} E) = 90 °

. Como o △á bê é é equilátero, então as aberturas de todos os ângulos internos medem 60graus. Assim, temos que:

m e d (B \hat{E} C) + m e d (B \hat{C} E) + m e d (C \hat{B} E) = 180 °

2x + 30graus = 180graus

x = 75graus

Atividades – Página 162

34. Como a soma das medidas das aberturas de um ângulo externo e de um ângulo interno relativos ao mesmo vértice é igual a 180graus. Seja x a medida de abertura do ângulo interno desse vértice, temos que:

100graus 40minutos + x = 180graus

x = 180graus – 100graus 40minutos

x = 79graus 20minutos

Em um trapézio isósceles, os ângulos adjacentes às mesmas bases são congruentes e os ângulos consecutivos que não estão na mesma base são suplementares; sendo assim, as aberturas dos ângulos medem 100graus 40minutos; 100graus 40minutos; 79graus 20minutos e 79graus 20minutos.

35. Em um trapézio isósceles, os ângulos adjacentes às mesmas bases são congruentes e os ângulos consecutivos que não estão na mesma base são suplementares, então os ângulos obtusos são congruentes entre si e os ângulos agudos também são congruentes entre si. Utilizando a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero e chamando de x a medida de abertura do ângulo agudo, teremos:

250graus + 2x = 360graus

2x = 360graus ‒ 250graus

x = \frac{110 °}{2}

x = 55graus

Logo, as aberturas dos ângulos agudos medem 55graus e 55graus.

36. Como a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de todo quadrilátero é 360graus e considerando que y é a medida de abertura de cada ângulo da base maior, temos que:

m e d (D \hat{A} B) + m e d (A \hat{B} C) + m e d (B \hat{C} D) + m e d (C \hat{D} A) = 360 °

100graus + 100graus + y + y = 360graus

2y = 160graus

y = \frac{160 °}{2} = 80 °

Como

\overline{B E} e \overline{E C}

são bissetrizes,

m e d (E \hat{B} C) = m e d (B \hat{C} E) = \frac{80 °}{2}

; utilizando a soma das medida deidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo, que é 180graus, temos que:

m e d (E \hat{B} C) + m e d (B \hat{E} C) + m e d (B \hat{C} E) = 180 °

x = 180graus – 80graus = 100graus

37. a) Traçando as diagonais do quadrilátero azul, obtemos 2 pares de triângulos isósceles congruentes (1 e 2; 3 e 4).

Figura geométrica. Paralelogramo verde composto por 16 paralelogramos congruentes. No centro, losango azul dividido em 4 triângulos isósceles: 1 oposto ao 2, 3 oposto ao 4. Os ângulos da base do triângulo 1 são congruentes aos ângulos da base do triângulo 2. O mesmo ocorre com os ângulos da base dos triângulos 3 e 4.

Página LXXVII

Como cada ângulo interno do quadrilátero tem a mesma medida de abertura, essa medida é:

\frac{360 °}{4} = 90 °

Portanto, o quadrilátero azul é um retângulo.

b) A figura a seguir representa a situação.

Figura geométrica. Trapézio reto ABCD verde.
Os ângulos retos estão no vértice A e D.
A bissetriz do ângulo B divide o ângulo em dois de medida y.
O encontro da semirreta que sai do vértice A com a bissetriz do ângulo B definem o ponto E, na parte interna do trapézio. Triângulo AEB é formado e a medida do ângulo E é 110 graus.

A soma das medidas de abertura dos ângulos internos do triângulo ∆AEB é 180º.

45graus + 110graus + y = 180graus

y = 180graus – 155graus = 25graus

Somando as medidas de abertura dos ângulos do trapézio, teremos:

90 ° + 90 ° + 50 ° + m e d (B \hat{C} D) = 360 °

m e d (B \hat{C} D) = 360 ° - 230 ° = 130 °

Então, a medida de abertura do suplemento do maior ângulo é 50º.

38. a) Trapézio retângulo e escaleno, pois possui dois ângulos retos e as medidas de comprimento dos seus lados não paralelos não são iguais.

b) Trapézio isósceles, pois os triângulos BHC e AID são congruentes, logo os lados não paralelos são congruentes.

c) Trapézio escaleno, pois seus lados não paralelos não são congruentes.

d) Trapézio retângulo e escaleno, pois possui dois ângulos retos e as medidas de comprimento dos seus lados não paralelos não são iguais.

e) Trapézio escaleno, pois seus lados não paralelos não são congruentes.

f) Trapézio isósceles, pois os lados não paralelos são congruentes.

39. Trapezoide é todo quadrilátero convexo que não tem lados paralelos, enquanto o trapézio apresenta um par de lados paralelos.

40. Exemplo de resposta:

Trapézio retângulo.

Trapézio isósceles.

Resolvendo em equipe – Página 163

Interpretação e identificação dos dados

Observe a figura.

Figura geométrica. Triângulo ABG.
Ponto H está no lado AB. Ponto F está no lado AG.
No triângulo AFH o ângulo A mede alfa.
O quadrilátero definido por BGFH, tem ângulo em B medindo beta e ângulo em F medindo delta.
O prolongamento do lado BG e do lado FH se encontram no ponto C que tem ângulo interno gama.
HCB é um triângulo CFG é um triângulo.

O triângulo formado pelos ângulos de medidas de abertura α e β e o formado pelos ângulos de medidas de aberturas β e γ têm duas medidas de abertura conhecidas.

As medidas das aberturas dos terceiros ângulos podem ser determinadas com base na soma das medidas de abertura dos ângulos internos de qualquer triângulo ser igual a 180graus.

Plano de resolução e resolução

A soma das medidas de abertura dos ângulos internos do ∆ABG é:

α + β + m e d (B \hat{G} F) = 180 °

m e d (B \hat{G} F) = 180 ° - (54 ° + 39 °) = 87 °

A soma das medidas de abertura dos ângulos internos do ∆CHB é:

β + γ + m e d (C \hat{H} B) = 180 °

m e d (C \hat{H} B) = 180 ° - (39 ° + 36 °) = 105 °

No quadrilátero FGBH

, a soma das medidas de abertura dos ângulos internos é igual a 360graus.

β + δ + m e d (B \hat{G} F) + m e d (C \hat{H} B) = 360 °

δ = 360 ° - (87 ° + 105 ° + 39 °) = 129 °

Logo, a alternativa e é a correta.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – Páginas 164 e 165

1. Sabendo que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180graus e que x = y, podemos escrever que:

x + x + 90graus = 180graus ⇒ x = 45graus

Assim, no △bê cê dê temos:

m e d (\hat{B}) = 45 °

m e d (\hat{D}) = 45 °

m e d (\hat{C}) = 90 °

Página setenta e oito

2. três-A, um-B e dois-C

3. ∆á bê dê ≅ ∆CBD pelo caso éle á éle, pois

\overline{A B} ≅ \overline{B C}

, α = β e

\overline{B D}

é lado comum, então

\hat{C} ≅ \hat{A}

4. Pelo caso á éle á , temos que

∆ A B M ≅ ∆ D C M

, porque

A \hat{B} M ≅ D \hat{C} M

\overline{C M} ≅ \overline{M B}

B \hat{M} A ≅ C \hat{M} D

(ângulos opostos pelo vértice); então

\overline{A M} ≅ \overline{M D}

5. A soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360graus, reescrevendo as equações dadas em função de b, temos que:

a = \frac{b}{2}

d = \frac{b}{2} + 2 b = \frac{5 b}{2}

a + b + c + d = 360 °

\frac{b}{2} + b + 2 b + \frac{5 b}{2} = 360

graus

\frac{b + 2 b + 4 b + 5 b}{2} = \frac{720 °}{2}

12b = 720graus

b = 60graus

Logo a = 30graus, b = 60graus, c = 120graus e d = 150graus.

6. As afirmações corretas são a, c e d.

a) Verdadeira.

b) Falsa, o losango tem obrigatoriamente os lados congruentes.

c) Verdadeira.

d) Falsa, nem todo retângulo é quadrado.

e) Verdadeira.

7. Sejam a, b, c e d as medidas das aberturas dos ângulos internos do paralelogramo, a e c sendo as medidas das aberturas dos ângulos opostos, temos que:

a = c e b = d

a – b = 108graus, então a = 108graus + b

Substituindo o valor de a na expressão a + b = 180graus (ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares), teremos:

108graus + b + b = 180graus

b = 36graus

Voltando a substituir o valor encontrado, teremos:

a = 108graus + 36graus = 144graus

Logo, as medidas de abertura dos ângulos são 144graus e 36graus.

Figura geométrica. Quadrilátero ABED com diagonais AE e DB.
Ângulo EAB mede X e o ângulo EAD mede y.
A diagonal DB cruza a diagonal AE e no ponto F. O ângulo EFB mede 84 graus.

Como a figura é um retângulo, suas diagonais são congruentes e interceptam-se em seus pontos médios, então os quatro triângulos presentes na figura são isósceles.

Sendo

m e d (B \hat{A} F) = x, m e d (E \hat{A} D) = y, m e d (B \hat{F} E) = 84 °

, então temos que:

∆FAB é isósceles e a

m e d (A \hat{F} B) = 96 °

, suplemento de

B \hat{F} E

, cuja abertura mede 84graus.

Temos que:

2x + 96graus = 180graus

x = 42graus

∆FAD é isósceles e

m e d (A \hat{F} D) = 84 °

, oposto pelo vértice com

B \hat{F} E,

temos que:

2y + 84graus = 180graus

y = 48graus

Logo, x = 42graus e y = 48graus.

9. a) Como os ângulos opostos em um losango são congruentes, temos que

m e d (A \hat{D} C) = m e d (A \hat{B} C) \Rightarrow x = 40 °

. Como á dê cê é isósceles, temos que:

2y + 40graus = 180graus

y = 70graus

\vec{B D}

  é a bissetriz de

A \hat{B} C

e assim

m e d (A \hat{B} D) =

= m e d (C \hat{B} D) \Rightarrow x = 35 °

∆á bê dê é isóceles de base

\overline{B D}

m e d (D \hat{B} A) = m e d (B \hat{D} A)

, então:

m e d (B \hat{A} D) + 35 ° + 35 ° = 180 °

m e d (B \hat{A} D) = 110 °

\vec{A C}

é a bissetriz de

B \hat{A} D

, log o y = 55graus.

10. No trapézio isósceles, os lados não paralelos são congruentes; sendo assim, temos:

2x + 25 + 5 = 64

2x = 34

x = 17

Logo, o comprimento de cada um dos outros lados mede 17 centímetros.

Capítulo 8 – Área, volume e capacidade

Trocando ideias – Página 166

• Parecem com quadrados, triângulos e paralelogramos.

• É esperado que os estudantes percebam que, como as figuras são formadas com as mesmas 7 peças, todas as figuras terão a mesma medida de área.

Atividades – Páginas 170 e 171

1. Um campo de futebol tem formato retangular. Então, para calcular a quantidade de grama que será necessária para a reforma do gramado, calculamos a medida de área de um retângulo:

Aretângulo = b · h = 105 métros · 68 métros = .7140 métros quadrados

2. Como o quadrado também é um losango, podemos dizer que a medida de área do quadrado pode ser calculada como a medida de área do losango, ou seja:

A_{q u a d r a d o} = A_{l o s a n g o} = \frac{D \cdot d}{2}

A_{q u a d r a d o} = \frac{5 c m \cdot 5 c m}{2} = 12, 5 c m^{2}

Página LXXIX

3. Calculando a medida de área do paralelogramo, temos:

Aparalelogramo = b · h = 7 centímetros · 5 centímetros = 35 centímetros quadrados

Sejam as novas medidas das dimensões do paralelogramo: b = 3,5 centímetros e h = 10 centímetros, temos que:

Aparalelogramo = b · h = 3,5 centímetros · 10 centímetros = 35 centímetros quadrados

Logo, essa nova figura tem a mesma medida de área da figura inicial.

4. Para calcular a medida da área total das paredes que serão pintadas nos três quartos, podemos expressar da seguinte maneira:

A_{t o t a l} = 3 \cdot (2 \cdot A_{p a r e d e} + A_{p j a n e l a} + A_{p p o r t a})

, sendo:

• Aparede é a medida de área da parede que não tem porta nem janela (há 2 paredes assim);

• Apjanela é a medida de área da parede que tem janela;

• Apporta é a medida de área da parede que tem porta.

Nessas condições, temos que:

Aparede = 3,2 métros · 2 métros = 6,4 métros quadrados

Apjanela = (2,745 métros · 2 métros) – (1,50 métro · 1,50 métro) = 3,25 métros quadrados

Apporta = (2,745 métros · 2 métros) – (1,90 métro · 0,85 métro) =

= 5,49 métros quadrados – 1,615 métro quadrado = 3,875 métros quadrados

Logo, a medida de área total será:

A_{t o t a l} = 3 \cdot (2 \cdot 6, 4 m^{2} + 3, 25 m^{2} + 3, 875 m^{2}) = 59, 775 m^{2}

A_{q u a d r a d o} = a \cdot a = 2 c m \cdot 2 c m = 4 c m^{2}

A_{t r i â n g u l o} = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{2 c m \cdot 2 c m}{2} = 2 c m^{2}

Podemos notar que a medida de área do quadrado é o dobro da medida de área do triângulo.

b) Os estudantes podem desenhar, por exemplo, um triângulo retângulo com catetos de medida de comprimento 2 centímetros e 4 centímetros. Espera-se que eles percebam que há várias maneiras de desenhar um triângulo com a medida do comprimento da base igual a 4 centímetros e medida de comprimento da altura igual a 2 centímetros e respondam negativamente.

6. Observando as figuras, podemos calcular a medida de área decompondo a figura em polígonos que conseguimos calcular a medida de área. Assim, calculamos a medida de área de cada polígono e adicionamos essas medidas para obter a medida de área da figura.

Esquema. Malha quadriculada composta por 8 linhas e 9 colunas. Dentro dela, há uma figura verde, um polígono de 8 lados.
O primeiro vértice da figura está localizado no vértice direito inferior do primeiro quadradinho da terceira linha, de cima para baixo, da malha quadriculada. O segundo vértice se encontra no vértice direito inferior do terceiro quadradinho da primeira linha, de cima para baixo, da malha quadriculada. O terceiro vértice está localizado no vértice direito inferior do sexto quadradinho da primeira linha, de cima para baixo, da malha quadriculada.
O quarto vértice está localizado no vértice direito inferior do sexto quadradinho da terceira linha, de cima para baixo, da malha quadriculada.
O quinto vértice está localizado no vértice direito inferior do oitavo quadradinho da quarta linha, de cima para baixo, da malha quadriculada.
O sexto vértice está localizado no vértice direito inferior do oitavo quadradinho da sétima linha, de cima para baixo, da malha quadriculada.
O sétimo vértice está localizado no vértice direito inferior do quarto quadradinho da sétima linha, de cima para baixo, da malha quadriculada.
O oitavo vértice está localizado no vértice direito inferior do primeiro quadradinho da sexta linha, de cima para baixo, da malha quadriculada.
A primeira linha tracejada liga o primeiro vértice ao quarto vértice da figura.
A segunda linha tracejada sai verticalmente do sétimo vértice e encontra a primeira linha tracejada no canto direito inferior do quarto quadradinho da terceira linha.
A terceira linha tracejada sai verticalmente do quarto vértice e encontra um lado do polígono no canto direito inferior do sexto quadradinho da sétima linha.

A = \frac{(5 + 3) \cdot 2}{2} + \frac{(4 + 3) \cdot 3}{2} +

+ 2 \cdot 4 + \frac{(4 + 3) \cdot 2}{2}

A = 33,5

Logo, a área mede 33,5 centímetros quadrados.

Esquema. Malha quadriculada composta por 8 linhas e 9 colunas. Dentro dela, há uma figura verde, um polígono de 7 lados.
O primeiro vértice da figura está localizado no vértice direito inferior do primeiro quadradinho da primeira linha, de cima para baixo, da malha quadriculada. O segundo vértice se encontra no vértice direito inferior do terceiro quadradinho da segunda linha, de cima para baixo, da malha quadriculada. O terceiro vértice está localizado no vértice direito inferior do oitavo quadradinho da segunda linha, de cima para baixo, da malha quadriculada.
O quarto vértice está localizado no vértice direito inferior do oitavo quadradinho da quinta linha, de cima para baixo, da malha quadriculada.
O quinto vértice está localizado no vértice direito inferior do quinto quadradinho da quinta linha, de cima para baixo, da malha quadriculada.
O sexto vértice está localizado no vértice direito inferior do terceiro quadradinho da sétima linha, de cima para baixo, da malha quadriculada.
O sétimo vértice está localizado no vértice direito inferior do primeiro quadradinho da sétima linha, de cima para baixo, da malha quadriculada.
A primeira linha tracejada liga o segundo vértice ao sexto vértice da figura.
A segunda linha tracejada sai verticalmente do quinto vértice e encontra um lado do polígono no canto direito inferior do quinto quadradinho da segunda linha.

A = \frac{(6 + 5) \cdot 2}{2} + \frac{(5 + 4) \cdot 2}{2} +

+ 3 ⋅ 3

A = 29

Logo, a área mede 29 centímetros quadrados.

A = \frac{5 \cdot 1}{2} + \frac{(5 + 3) \cdot 1}{2} +

+ \frac{(6 + 4) \cdot 3}{2} + 3 \cdot 2

A = 27,5

Logo, a área mede 27,5 centímetros quadrados.

A = \frac{(3 + 1) \cdot 7}{2} + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2

A = 24

Logo, a área mede 24 centímetros quadrados.

7. a)

A_{l a r a n j a} = A_{ret â ngulo} - A_{l o s a n g o} = b \cdot h - \frac{D \cdot d}{2} =

= 40 \cdot 30 - \frac{40 \cdot 30}{2} = 600

Logo, a área da parte pintada de laranja mede 600 centímetros quadrados.

A_{l a r a n j a} = A_{q u a d r a d o} - A_{l o s a n g o} = a \cdot a - \frac{D \cdot d}{2} =

= 5 \cdot 5 - \frac{5 \cdot 3}{2} = 17, 5

Logo, a área da parte pintada de laranja mede 17,5 centímetros quadrados.

8. Resposta pessoal, depende do desenho de cada estudante. Espera-se que consigam fazer a representação do cômodo e as medições necessárias.

Atividades – Páginas 174 e 175

A = π \cdot r^{2} = π \cdot {(9 m)}^{2} = 81 π m^{2}

10.

A_{s e t o r} = \frac{α \cdot π \cdot r^{2}}{360 °} = \frac{108 ° \cdot π \cdot {(8 c m)}^{2}}{360 °} =

= 0, 3 \cdot π \cdot 64 c m^{2} = 19, 2 c m^{2}

11.

A_{c o r o a} = π \cdot (R^{2} - r^{2}) = π [{(5 c m)}^{2} - {(2 c m)}^{2}] = 21 π c m^{2}

12.

A_{c o r o a} = π \cdot (R^{2} - r^{2}) = π [{(8 c m)}^{2} - {(5 c m)}^{2}] = 39 π c m^{2}

13.

A = π r^{2}

28, 26 = 3, 14 \cdot r^{2}

r = \sqrt{\frac{28, 26}{3, 14}} = \sqrt{9} = 3

d = 2r = 2 ⋅ 3 = 6

Logo, a medida do comprimento do diâmetro dessa piscina é 6 métros.

14. a) Para calcular a quantidade QA de adubo a, basta obter a medida da área do círculo.

A = π \cdot r^{2} = 3, 14 \cdot {(5 m)}^{2} = 78, 5 m^{2}

Portanto, QA = 78,5 quilogramas.

Para calcular a quantidade QB de adubo B, é necessário calcular a medida da área da coroa circular.

A_{c o r o a} = π \cdot (R^{2} - r^{2}) = 3, 14 \cdot [{(9 m)}^{2} - {(5 m)}^{2}] =

= 3, 14 \cdot 56 m = 175, 84 m

Portanto, QB = 175,84 quilogramas.

Página LXXX

b) Custo = R$ 10,00dez reais ⋅ QuantidadetipoA + R$ 7,00sete reais · QuantidadetipoB = 10 · R$ 78,5setenta e oito reais e cinquenta centavos + 7 ⋅ R$ 175,84cento e setenta e cinco reais e oitenta e quatro centavos = .2015,88

Portanto, Fabiana gastará R$ 2.015,88dois mil quinze reais e oitenta e oito centavos em adubo.

Atividades – Página 178

15. a. Vparalelepípedo = 14,6 métros · 2 métros · 3,1 métros = 90,52 centímetros cúbicos

b. Vparalelepípedo = 5,6 centímetros · 7,1 centímetros · 5,6 centímetros = 222,656 centímetros cúbicos

16. Vparalelepípedo = 96 milímetros · 12 milímetros · 12 milímetros = .13824 milímetros cúbicos

17. Vparalelepípedo = 15 centímetros · 15 centímetros · 20 centímetros = .4500 centímetros cúbicos

Como 1 decímetro cúbico = 1 litro, temos que 1 litro = 1 000 centímetros cúbicos. Assim, a medida de capacidade desse vaso é de 4,5 litros.

Se colocarmos água até um terço de sua medida da altura, teremos

\frac{1}{3} \cdot 4, 5 L = 1, 5 L

de água.

18. Como 1 métro quadrado = .1000 litros, então Vpiscina = .22500 litros = 22,5 métros cúbicos.

Como Vparalelepípedo = a ⋅ b ⋅ h, então:

22,5 = 3 ⋅ 5 ⋅ h

h = \frac{22, 5}{15} = 1, 5

Portanto, a profundidade da piscina medirá 1,5 métro.

19. a) Resposta pessoal. Algumas possibilidades para as medidas de comprimento das arestas do paralelepípedo:

4 centímetros, 6 centímetros e 9 centímetros

8 centímetros, 3 centímetros e 9 centímetros

5 centímetros, 2 centímetros e 21,6 centímetros

b) Uma possível resposta é que seja um cubo cujo comprimento da aresta mede 6 centímetros.

Lendo e aprendendo – Páginas 179 a 181

1. a) No dia 9 de setembro de 2021.

b) R$ 4.000,00quatro mil reais.

c) R$ 280,00duzentos e oitenta reais.

d) Porque as termoelétricas tiveram que ser acionadas para compensar o déficit de energia diante da baixa dos reservatórios.

2. Alternativa d.

3. Espera-se que os estudantes respondam que a intenção é transmitir a ideia de que a situação dos reservatórios é muito crítica (reservatórios operando com níveis muito abaixo do normal) e que, portanto, seria necessário um dilúvio para melhorar o nível desses reservatórios.

4. Espera-se que os estudantes respondam que ele quis dizer que o racionamento de energia vivido pelo Brasil em setembro de 2021 era feito com base em pequenas ações adotadas pelas famílias e que vinham sendo motivadas pelo aumento do preço da energia elétrica.

5. Alternativa c.

6. Respostas pessoais.

7. Respostas pessoais.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – Página 182

1. a = b · h = 15 centímetros · 8 centímetros = 120 centímetros quadrados

2. a) Aquadrado = a · a = 8 centímetros · 8cm = 64 centímetros quadrados

A_{t r i â n g u l o} = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{6 c m \cdot 6 c m}{2} = \frac{36 c m^{2}}{2} = 18 c m^{2}

A_{a z u l} = A_{r e t â n g u l o} - A_{l o s a n g o}

A_{a z u l} = b \cdot h - \frac{D \cdot d}{2} = 100 \cdot 40 - \frac{100 \cdot 40}{2} = 4 000 - 2 000 = 2 000

Logo, a área pintada de azul mede

2000 c m^{2} .

A_{c o r o a} = π (R^{2} - r^{2})

A_{c o r o a} = π (100 c m^{2} - 16 c m^{2})

A_{c o r o a} = 84 π c m^{2}

A_{s e t o r} = \frac{α}{360 °} \cdot π r^{2} = \frac{30 °}{360 °} \cdot π {(5 c m)}^{2} ≃ 2, 08 π c m^{2}

6. Vparalelepípedo = 10 centímetros · 10 centímetros · 30 centímetros = .3000 centímetros cúbicos

Como a água não preenche a caixa por completo, podemos fazer:

\frac{V_{p a r a l e l e p í p e d o}}{6} = \frac{3 000 c m^{3}}{6} = 500 c m^{3}

= 0,5 litro.

Capítulo 9 – Equações do 2º grau

Trocando ideias – Página 183

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes que tenham algum desses animais reconheçam a importância da vacinação.

Podemos calcular o valor de x, sabendo que:

x \cdot \frac{23}{32} x

= 2 944

\frac{23}{32}

x2 = 2 944

\frac{23}{32}

x2 · 32 = 2 944 · 32

23x2 = 94 208

23x2 : 23 = 94 208 : 23

x2 = 4 096

Para descobrir as soluções da equação, os estudantes podem decompor 4 096 em fatores primos e concluir que x = 64 ou x = –64. Porém, como x é uma medida, então x > 0. Portanto, x = 64.

Logo, as medidas das dimensões do cartaz oficial são 64 centímetros e 46 centímetros

(\frac{23}{32} \cdot 64 cm = 23 \cdot 2 cm = 46 cm) .

Atividades – Página 185

1. Como sabemos que A = x(x + 13) = 420, então a equação será:

x^{2} + 13 x = 420

x^{2} + 13 x - 420 = 0

, sendo conjunto universo =

2. São equações do 2º grau as que estão nos itens b, c, d e f. Nos itens a e d, temos equações do 1º grau.

3. a)

a = - 3, b = 6 e c = 0

a = 3, b = 0 e c = - 12

a = 1, b = - 10 e c = 25

a = (k + 1), b = - 2 k e c = 0

Página LXXXI

4. a)

5 x^{2} - x = 0

4 x^{2} - 9 = 0

0, 2 x^{2} + x + 0, 5 = 0

625 = x^{2}

x^{2} - 625 = 0

, com conjunto universo =

6. a) Equação incompleta.

b) Equação incompleta.

c) Equação completa.

d) Equação incompleta.

e) Equação completa.

7. Para ser uma equação de 2º grau, precisamos que a ≠ 0, ou seja, nesse caso:

3m – 2 ≠ 0

3m ≠ 2

m \neq \frac{2}{3}

Portanto, o conjunto universo deverá ser conjunto universo =

- \{\frac{2}{3}\}

8. Fazemos:

5 - \frac{(x - 3)}{4} = 2 x - {(x - 2)}^{2}

\frac{20 - (x - 3)}{4} = \frac{8 x - 4 {(x - 2)}^{2}}{4}

20 - x + 3 = 8 x - 4 x^{2} + 16 x - 16

4 x^{2} - 25 x + 39 = 0

Atividades – Página 187

9. Verificando cada valor na equação

- 2 x^{2} + 8 = 0

, temos:

Para x = – 4:

(- 2) \cdot {(- 4)}^{2} + 8 = 0

– 32 + 8 = 0

– 24 = 0 → sentença falsa

Para x = –2:

(- 2) \cdot {(- 2)}^{2} + 8 = 0

– 8 + 8 = 0 → sentença verdadeira

Para x = –1:

(- 2) \cdot {(- 1)}^{2} + 8 = 0

– 2 + 8 = 0 → sentença falsa

Para x = 0:

(- 2) \cdot {(0)}^{2} + 8 = 0

8 = 0 → sentença falsa

Para x = 1:

(- 2) \cdot {(1)}^{2} + 8 = 0

– 2 + 8 = 0 → sentença falsa

Para x = 2:

(- 2) \cdot {(2)}^{2} + 8 = 0

– 8 + 8 = 0 → sentença verdadeira

Para x = 4:

(- 2) \cdot {(4)}^{2} + 8 = 0

– 32 + 8 = 0 → sentença falsa

Portanto, – 2 e 2 são raízes da equação.

10. Substituindo x por

- \frac{1}{2}

na equação

(\frac{3 k}{2}) x^{2} - \frac{5}{2} = 0

, teremos:

(\frac{3 k}{2}) {(‒ \frac{1}{2})}^{2} ‒ \frac{5}{2}

= 0

(\frac{3 k}{2}) (\frac{1}{4}) = \frac{5}{2}

\frac{3 k}{8} = \frac{5}{2}

3 k = \frac{40}{2}

k = \frac{20}{3}

11. a)

x^{2} + 9 = 0

Para

x = - 0, 2

{(- 0, 2)}^{2} + 9 = 0

0,04 + 9 = 0 → sentença falsa, não é raiz dessa equação.

125 x^{2} - 5 = 0

Para

x = - 0, 2

125 \cdot {(- 0, 2)}^{2} - 5 = 0

5 – 5 = 0 → sentença verdadeira, é raiz dessa equação.

12. a) Exemplos de resposta:

x^{2} = 0

2 x^{2} - x = 0

\frac{x^{2}}{5} = 0

b) Exemplos de resposta:

x^{2} + 1 = 0

12 x^{2} + 5 = 0

- 7 x^{2} - 6 = 0

Veja que interessante – Página 188

1. Observando somente o í ême cê, o homem com 82 quilogramas de medida de massa e 1,85 métro de medida da altura tem o í ême cê ideal, pois obtivemos í ême cê de aproximadamente 23,96.

Caso a medida de massa passe a ser 105 quilogramas, fazemos:

I M C = \frac{105}{{(1, 85)}^{2}} = \frac{105}{3, 4225} ≃ 30, 68

Nesse caso, ele será classificado como portador de obesidade de grau 1.

2. Resposta pessoal.

Atividades – Página 189

13. a)

{(x - 2)}^{2} + 4 x = 4

x^{2} - 4 x + 4 + 4 x - 4 = 0

x^{2} = 0

x = 0

2 x^{2} - \frac{3}{4} = x^{2} + \frac{1}{4}

2 x^{2} - x^{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}

x^{2} = \frac{4}{4}

x^{2} = 1

x = \pm \sqrt{1}

x = 1 ou x = – 1

\frac{x - 3}{2} + \frac{2 x - 3}{4} = x^{2} + x - \frac{17}{2}

\frac{2 x - 6}{4} + \frac{2 x - 3}{4} = \frac{4 x^{2}}{4} + \frac{4 x}{4} - \frac{34}{4}

2 x - 6 + 2 x - 3 = 4 x^{2} + 4 x - 34

4 x^{2} - 25 = 0

x^{2} = \frac{25}{4}

x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}

x = \frac{5}{2} o u x = - \frac{5}{2}

Página LXXXII

3 m^{2} + 2 = 4 m^{2} + 2

4 m^{2} - 3 m^{2} = 2 - 2

m^{2} = 0

m = 0

(\frac{x}{5} - 5) \cdot (\frac{x}{5} + 5) = 0

\frac{x^{2}}{25} - 25 = 0

\frac{x^{2}}{25} = 25

x^{2} = 625

x = \pm \sqrt{625}

x = 25 ou x = – 25

14. a)

x^{2} - 64 = 0

x^{2} = 64

x = \pm \sqrt{64}

x = 8 ou x = – 8

Como ‒8 e 8 são raízes da equação e pertencem ao conjunto universo, então S = {– 8, 8}.

3 x^{2} + 7 = 0

3 x^{2} = - 7

x^{2} = - \frac{7}{3}

Como não existe um numero real que, elevado ao quadrado, seja igual a

- \frac{7}{3}

, dizemos que a equação não tem raízes reais ou não tem solução em

. Ou seja, S. Ou seja, S = ∅

9 x^{2} - 16 = 0

9 x^{2} = 16

x^{2} = \frac{16}{9}

x = \pm \sqrt{\frac{16}{9}}

x = - \frac{4}{3} o u x = \frac{4}{3}

Como

- \frac{4}{3}

\frac{4}{3}

são raízes da equação e pertencem ao conjunto universo, então

S = \{- \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\}

3 x^{2} = 0

x^{2} = 0

x = 0

S = {0}

15. a)

A_{q u a d r a d o} = a \cdot a

64 = x^{2}

Como x indica uma medida de comprimento, então x é um número real maior do que 0. Assim:

x = \sqrt{64} = 8

O comprimento do lado do quadrado mede 8.

P_{q u a d r a d o} = 4 \cdot 8 = 32

P_{r e t â n g u l o} = 2 \cdot (\frac{5}{8} \cdot 8) + 2 \cdot (1, 6 \cdot 8) = 10 + 25, 6 = 35, 6

16.

x^{2} - 4 = 140

x^{2} = 144

x = \pm \sqrt{144}

x = 12 ou x = – 12

Atividades – Página 190

Indicando por x o número (x > 0), temos:

17.

x \cdot \frac{x}{4} = 100

x^{2} = 400

Como x > 0, temos:

x = \sqrt{400} = 20

Portanto, o número é 20.

18.

A_{t r i â n g u l o} = \frac{b \cdot h}{2}

72 = \frac{h^{2}}{2}

h^{2} = 144

Como h > 0, temos:

h = \sqrt{144} = 12

Portanto, a medida da altura do triângulo é igual a 12 centímetros.

19.

A_{t r a p é z i o} = \frac{(B + b) \cdot h}{2}

18 = \frac{h^{2}}{2}

h^{2} = 36

Como h > 0, temos:

h = \sqrt{36} = 6

Portanto, a medida do comprimento da altura do trapézio é 6 centímetros.

20.

(x - 2) \cdot (x + 2) = 60

x^{2} - 4 = 60

Como x > 0, temos:

x = \pm \sqrt{64} = 8

Como é um número positivo, temos que x = 8.

21. Se x é a medida do comprimento, então a medida da largura será 2x, dessa fórma teremos:

A_{c h i q u e i r o} = x \cdot 2 x

32 = 2 x^{2}

x^{2} = 16

x = \pm \sqrt{16}

x = 4 ou x = – 4

As dimensões do chiqueiro medirão: 4 métros e 8 métros.

Atividades – Página 193

22. a) 2

b) 6

c) 9

d) 31

e) 3,5

f) 327

23. Resposta pessoal.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – Página 194

1. a) Não é do 2º grau, pois o maior expoente da incógnita é 1.

b) Sim.

c) Sim.

d) Não é do 2º grau, pois simplificando a equação ela será do 1º grau.

e) Sim.

f) É do 2º grau, mas tem duas incógnitas (x e y).

2. a)

2 x^{2} - 3 x + 7 = 0

- 3 x^{2} + x + 5 = 0

3 x^{2} + 3 x + 3 = 0

- 2 x^{2} + 4 = 0

x^{2} + 6 x = 0

f) 3x2 = 0

Página LXXXIII

A_{q u a d r a d o} = x^{2}

144 = x^{2}

x^{2} - 144 = 0

, com

U = ℝ_{+}^{*}

4. a) Incompleta.

b) Completa.

c) Incompleta.

d) Completa.

5. a) Não, pois

4 \cdot {(3)}^{2} - 16 = 36 - 16 = 20 .

b) Não, pois

4 \cdot {(4)}^{2} - 16 = 64 - 16 = 48

c) Sim, pois

4 \cdot {(2)}^{2} - 16 = 16 - 16 = 0

d) Sim, pois

4 \cdot {(- 2)}^{2} - 16 = 16 - 16 = 0

e) Não, pois

4 \cdot {(0)}^{2} - 16 = 0 - 16 = - 16

6. Considerando a equação

x^{2} - 5 x + 6 = 0

, podemos substituir x pelos valores apresentados:

Para x = – 3:

{(- 3)}^{2} - 5 \cdot (- 3) + 6 = 0

9 + 15 + 6 = 0 → sentença falsa

Para x = – 2:

{(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2) + 6 = 0

4 + 10 + 6 = 0 → sentença falsa

Para

x = - 1

{(- 1)}^{2} - 5 \cdot (- 1) + 6 = 0

1 + 5 + 6 = 0 → sentença falsa

Para x = 0:

{(0)}^{2} - 5 \cdot (0) + 6 = 0

0 + 0 + 6 = 0 \to

sentença falsa

Para x = 1:

{(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 6 = 0

1 – 5 + 6 = 0 → sentença falsa

Para x = 2:

{(2)}^{2} - 5 \cdot 2 + 6 = 0

4 – 10 + 6 = 0

10 – 10 = 0 → sentença verdadeira

Para x = 3:

{(3)}^{2} - 5 \cdot 3 + 6 = 0

9 – 15 + 6 = 0 → sentença verdadeira

Logo, são raízes da equação os números 2 e 3.

7. Podemos substituir x por 1 em cada uma das equações e verificar se resulta ou não em zero:

1^{2} - 4 \cdot 1 - 4 = 1 - 8 = - 7

1^{2} - 1 = 1 - 1 = 0

1^{2} + 1 - 2 = 2 - 2 = 0

(- 2) \cdot 1^{2} + 16 \cdot 1 = - 2 + 16 = 14

Portanto, 1 é raiz das equações dos itens b e c.

8. a)

x^{2} - 49 = 0

x^{2} = 49

x = \pm \sqrt{49}

x = - 7 o u x = 7

Como ‒7 e 7 são raízes da equação e pertencem ao conjunto universo, então S = {– 7 , 7}.

- x^{2} = 0

x = 0

Como a equação tem duas raízes reais iguais a zero e 0 pertence ao conjunto universo, então S = {0}.

4 - x^{2} = 0

- x^{2} = - 4

x^{2} = 4

x = \pm \sqrt{4}

x = - 2 o u x = 2

Como ‒2 e 2 são raízes da equação e pertencem ao conjunto universo, então S = {–2, 2}.

5 x^{2} + 8 = 0

5 x^{2} = - 8

x^{2} = - \frac{8}{5}

Como não existe um numero real que, elevado ao quadrado, seja igual a

- \frac{8}{5}

, dizemos que a equação não tem raízes reais ou não tem solução em

. Ou seja, S = { } ou S = ∅.

9. a)

x^{2} - 8 = 41

x^{2} = 49

x = \pm \sqrt{49}

x = – 7 ou x = 7

x^{2} + 10 = 74

x^{2} = 64

x = \pm \sqrt{64}

x = – 8 ou x = 8

10. Indicando por x o número (x > 0), temos:

x \cdot \frac{x}{6} = 24

\frac{x^{2}}{6} = 24

x^{2} = 144

Como x > 0, temos:

x = \pm \sqrt{144} = 12

Logo, o número é igual a 12.

11. Para calcular a medida do perímetro de um retângulo, devemos adicionar todas as medidas de comprimento dos lados. De acôrdo com o enunciado, a área desse retângulo mede 243 centímetros quadrados e a medida do comprimento é o triplo da medida da largura. Seja x a medida da largura e 3x a medida de comprimento, podemos fazer:

x · 3x = 243 centímetros quadrados

3x2 = 243 centímetros quadrados

x2 = 81 centímetros quadrados

x = 9 centímetros

Logo, a medida da largura é 9 centímetros e a medida do comprimento é 27 centímetros (3 ⋅ 9 = 27).

Calculando a medida do perímetro desse retângulo, temos:

9 centímetros + 27 centímetros + 9 centímetros + 27 centímetros = 72 centímetros

Portanto, a medida do perímetro desse retângulo é 72 centímetros.

É hora de extrapolar – Páginas 195 e 196

1. a) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal.

2. a) A pesquisa aponta o aumento no número de pessoas que se reconheceram como indígenas, principalmente nas áreas urbanas do país.

b) A afirmativa é falsa.

3. a)

A = 3, 14 \cdot {(30 m)}^{2} = 2 826 m^{2}

b) Não, a medida da área da aldeia cuja medida do comprimento do raio é de 40 métros será o quádruplo da medida da área da aldeia cuja medida do comprimento do raio é 20 métros, pois:

Se r = 20 métros, teremos

A = 3, 14 \cdot {(20 m)}^{2} = 1 256 m^{2}

Se r = 40 métros, teremos

A = 3, 14 \cdot {(40 m)}^{2} = 5 024 m^{2}

E .5024 = 4 · .1256.

4. Exemplos de respostas: polígonos, linhas poligonais e linhas curvas.