Capítulo 2 Potenciação e radiciação
Trocando ideias
Armazenamento em nuvem é a tecnologia que permite a usuários e empresas armazenar, manter e acessar dados via internet. A “nuvem” é um ambiente virtual em que podem ser armazenados os arquivos (textos, fotos, vídeos, músicas, planilhas etcétera) de modo que não ocupem o celular, o computador, o tablet ou qualquer outro dispositivo pessoal. Além disso, a nuvem possibilita ao usuário acessar esses arquivos a qualquer momento de qualquer lugar por meio da internet.
Alguns serviços de armazenamento na nuvem disponibilizam 15 GBglossário de espaço gratuito para os usuários.
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Você já armazenou algum arquivo na nuvem? O que você pensa a respeito dessa tecnologia? Converse com os colegas.
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Aproximadamente, quantos bytes alguns serviços de armazenamento na nuvem disponibilizam para os usuários?
Neste capítulo, vamos ampliar os conhecimentos sobre operações nos diversos conjuntos numéricos, fazendo uso da potenciação e da radiciação.
Respostas e comentários
Trocando ideias: primeiro item: respostas pessoais; segundo item: aproximadamente ...15000000000 bytes ou 1,5 ⋅ 1010 bytes.
CAPÍTULO 2 – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
Trocando ideias
Bê êne cê cê:
• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).
• Competências específicas 3 e 8 (as descrições estão na página sete).
Objetivos:
• Levantar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre potenciação e notação científica.
• Introduzir as unidades de medida de armazenamento byte e gigabyte.
• Conhecer mais sobre o armazenamento de arquivos na nuvem.
Tema contemporâneo transversal:
Inicie a aula explicando para a turma o que é o armazenamento na nuvem. Explique aos estudantes que a nuvem pode ser entendida como uma rede global de servidores, ou seja, dispositivos espalhados por todo o mundo que armazenam, executam aplicativos e fornecem serviços aos usuários. É importante que eles compreendam que salvar um arquivo na nuvem é o mesmo que arquivá-lo em um computador que pode estar a quilômetros de distância. Se achar oportuno, convide-os a pensar sobre as questões do primeiro item. Você pode organizar a turma em pequenos grupos em um primeiro momento e, após dialogarem, solicitar que um representante de cada grupo sintetize o que foi conversado.
Reserve também um momento para falar sobre as unidades de medida de armazenamento. Diga que o bit é a menor unidade de medida de informação que pode ser armazenada ou transmitida e que um conjunto de 8 bits corresponde a 1 byte (1 bê), que é a unidade de medida. Comente também que assim como outras unidades de medida de outras grandezas, a unidade de medida byte também tem múltiplos, como o gigabyte.
Chame a atenção deles para o fato de a quantidade de informação armazenada utilizar o sistema binário (base 2), assim:
1 gigabyte ( gê bê) é igual a 230 báites ou ...1073471824 báites
No entanto, podemos utilizar potências de base 10 para expressar valores aproximados para os múltiplos do byte. Ou seja:
1 gigabyte ( gê bê) é aproximadamente igual a ...1000000000 bytes ou 109 bytes.
Após essa explicação, proponha que respondam à segunda questão. Esse é o momento oportuno para verificar como lidam com potências e com notação científica.
As questões incentivam a interação e o diálogo, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 9 e da competência específica 8 da Bê êne cê cê. Além disso, os estudantes mobilizam conceitos das unidades temáticas Números e Grandezas e Medidas, favorecendo, assim, o desenvolvimento da competência específica 3.
1 Potenciação
Quando um objeto é abandonado no vácuoglossário ou quando desconsideramos a ação do ar sobre esse objeto, ele cai em direção vertical, caracterizando um movimento chamado queda livre.
Um objeto em queda livre, a partir do repouso e durante uma medida de tempo (t ), em segundo, percorre uma medida de distância (d ), em metro. Para representar esse movimento, utiliza-se a seguinte fórmula:
Sentença matemática. d igual a fração de numerador g vezes t ao quadrado e denominador 2., em que g é a medida da aceleração da gravidade a que um objeto está submetido; considerando que esse objeto esteja próximo à superfície terrestre, essa medida é da ordem de 10 metros por segundo ao quadrado.
Considere a situação a seguir.
Se soltássemos uma esfera metálica de uma altura de medida igual a 320 métros (a mesma medida da altura da Torre Eiffel), a medida da distância aproximada percorrida pela esfera após 2 segundos de queda seria:
Sentença matemática. d igual a fração de numerador 10 metros por segundo ao quadrado vezes t ao quadrado e denominador 2. Essa fração é igual a fração de numerador 10 metros por segundo ao quadrado vezes abe parênteses 2 segundos, fecha parênteses, elevado a 2 e denominador 2. Essa fração é igual a fração de numerador 10 metros por segundo ao quadrado vezes 4 segundos ao quadrado e denominador 2. Essa fração é igual a 20 metros.
Portanto, a esfera teria percorrido, aproximadamente, 20 métros após 2 segundos.
No cálculo realizado, para encontrar a medida da distância percorrida, utilizamos as operações de multiplicação, potenciação e divisão.
Vamos retomar o estudo da potenciação considerando os casos a seguir, em que a base da potência é um número real e o expoente é um número inteiro.
Observe esta sequência de figuras.
Qualquer potência de base real e expoente inteiro maior que 1 é produto dessa base por ela mesma tantas vezes quantas indica o expoente. Assim, sendo a um número real e n um número inteiro maior que 1, temos:
Respostas e comentários
Potenciação
Bê êne cê cê:
• Competência específica 3 (a descrição está na página sete).
• Habilidades ê éfe zero oito ême ah zero um e ê éfe zero oito ême ah zero dois.
Objetivos:
• Calcular potências de base real e expoente inteiro.
• Compreender a escrita de números usando notação científica.
Justificativa
Ampliar os conhecimentos adquiridos pelos estudantes sobre o cálculo de potências com base racional e expoente natural, inteiro negativo ou fracionário.
Compreender a escrita de números em notação científica possibilita aos estudantes simplificar e operar com números com muitos algarismos e favorece o desenvolvimento das habilidades ê éfe zero oito ême ah zero um e ê éfe zero oito ême ah zero dois.
Mapeando conhecimentos
Proponha aos estudantes que calculem, no caderno, potências de base real e expoente natural e de base real e expoente inteiro negativo. Inclua potências cujo expoente seja igual a 1 e 0. Observe os procedimentos empregados por eles.
Para as aulas iniciais
• Recorde o cálculo de potências de base racional e expoente natural presente na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores. Depois, peça aos estudantes que façam as atividades 7 e 8. Corrija as atividades na lousa.
Reúna os estudantes em grupos e distribua para cada um deles textos científicos em que estejam presentes números expressos em notação científica. Proponha que discutam o significado desses números e escrevam-nos com todos os algarismos. Reserve um momento para que os grupos possam compartilhar o que entenderam sobre os textos e suas conclusões sobre os números.
O foco da situação apresentada não é explorar os conceitos físicos de aceleração, velocidade e distância, e sim exemplificar uma aplicação da potenciação em uma situação que apresenta uma modelagem da realidade.
Sugerimos que a justificativa do conceito de que todo número não nulo elevado a zero é igual a 1 seja apresentada aos estudantes após o trabalho com as propriedades de potência.
( ê éfe zero oito ême ah zero um) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.
( ê éfe zero oito ême ah zero dois) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.
• Qualquer potência de base real e expoente 1 é igual à própria base. Assim, sendo a um número real, temos:
a elevado a 1 = a
• Qualquer potência de base real não nula e expoente zero é igual a 1. Assim, sendo a um número real, temos:
a elevado a 0 = 1, a ≠ 0
Confira estes exemplos.
a) 2 elevado a 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
b) ( menos7) elevado a 2 = ( menos7) ⋅ ( menos7) = 49
c)
Sentença matemática. Abre parênteses, menos 1 sobre 5, fecha parênteses, elevado a 4, igual, abre parênteses, menos 1 sobre 5, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 1 sobre 5, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 1 sobre 5, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 1 sobre 5, fecha parênteses, igual, 1 sobre 625.d) (0,1) elevado a 3 = (0,1) ⋅ (0,1) ⋅ (0,1) = 0,001
e)
Sentença matemática. Abre parênteses, menos 5 sobre 8, fecha parênteses, elevado a 1, igual, menos 5 sobre 8.f) (0,666...) elevado a 1 = 0,666...
g) (0,232323...) elevado a 0 = 1
h)
Sentença matemática. Abre parênteses, 3 sobre 4, fecha parênteses, elevado a 0, igual, 1.Considere, agora, esta sequência.
Podemos escrever esses números na fórma de potências de base 5. Como cada termo é o termo anterior dividido por 5, os expoentes das potências de base 5 diminuirão uma unidade a cada termo.
Analise as potências com expoentes negativos que obtivemos no quadro anterior.
Sentença matemática. 5 elevado a menos 1, igual, 1 dividido por 5, igual, 1 vezes 1 sobre 5, igual, 1 sobre 5.
Sentença matemática. 5 elevado a menos 2, igual, 1 sobre 5, fim da fração, dividido por 5, igual, 1 sobre 5,fim da fração, vezes, 1 sobre 5, igual, abre parênteses, 1 sobre 5, fecha parênteses, elevado a 2.
Sentença matemática. 5 elevado a menos 3, igual, abre parênteses, 1 sobre 5, fecha parênteses, elevado a 2, dividido por 5, igual, 1 sobre 5, fim da fração, vezes, 1 sobre 5, fim da fração, vezes, 1 sobre 5, igual, abre parênteses, 1 sobre 5, fecha parênteses, elevado a 3.
Qualquer potência de base real não nula e expoente inteiro negativo é igual à potência do inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado. Assim, sendo a um número real não nulo e menosn um expoente inteiro negativo, temos:
Verifique mais alguns exemplos.
a)
Sentença matemática. 2 elevado a menos 2, igual, 1 sobre 2 elevado a 2, igual, 1 sobre 4.b)
Sentença matemática. Abre parênteses, menos 3, fecha parênteses, elevado a menos 4, igual, 1 sobre, abre parênteses, menos 3, fecha parênteses, elevado a 4, igual, 1 sobre 81.c)
Sentença matemática. Abre parênteses, 2 sobre 3, fecha parênteses, elevado a menos 2, igual, 1 sobre, abre parênteses, 2 sobre 3, fecha parênteses, elevado a 2, igual, 1 sobre 4 nonos, igual, 9 sobre 4.Respostas e comentários
Caso julgue necessário, apresente outros exemplos para a turma ou convide alguns estudantes para que apresentem exemplos para os colegas.
Reproduza os quadros desta página na lousa e complete-os com a participação dos estudantes.
Retome a definição
Sentença matemática. a elevado a menos 1, igual, 1 sobre a.e pergunte aos estudantes: por que motivo se faz a restrição a ≠ 0? Espera-se que eles observem que a não pode ser zero pois é o denominador de uma fração e a divisão por zero não existe.
Notação científica
Considere as potências de 10 a seguir.
Note que cada potência de 10, com expoente natural, é igual a um número representado por 1 seguido de zeros. Assim:
As potências de 10 são utilizadas para expressar números excessivamente grandes ou extremamente pequenos, como nos exemplos a seguir.
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
Os números 5,972 ⋅ 10 elevado a 24, 5 ⋅ 10 elevado a menos 8 e 2 ⋅ 10 elevado a menos 7 estão representados em notação científica. Nesse tipo de representação, o número que multiplica a potência de base dez deve estar entre o número 1 e o 10.
Um número escrito em notação científica apresenta o formato a ⋅ 10 elevado a bê, em que b é um expoente inteiro e a pertence ao intervalo 1 < a < 10.
Confira mais alguns exemplos.
a) ...3000000000 = 3 ⋅ ...1000000000 = 3 ⋅ 10 elevado a 9 (a = 3 e b = 9)
b) .....476000000000000000 = 4,76 ⋅ .....100000000000000000 = 4,76 ⋅ 10 elevado a 17 (a = 4,76 e b = 17)
c) 0,00000008 = 8 ⋅ 0,00000001 = 8 ⋅ 10 elevado a menos 8 (a = 8 e b = −8)
d) 0,0000032 = 3,2 ⋅ 10 elevado a menos 6 (a = 3,2 e b = −6)
Respostas e comentários
Notação científica
Comente com os estudantes que a notação científica é uma importante aplicação de potenciação e é bastante usada por cientistas como astrônomos, físicos, biólogos, químicos, entre outros.
Embora não seja o foco das atividades do 8º ano, seria interessante recordar aqui as noções de ordem dos números (unidade, dezena, centena reticências) e associar a notação científica ao reconhecimento da ordem dos números. No 9º ano, fala-se em ordem de grandeza e essa já é uma aproximação.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
1. Calcule as potências a seguir.
a) 2 elevado a 4
b)
Sentença matemática. Abre parênteses, 1 meio, fecha parênteses, elevado a menos 3.c) 2 elevado a menos 3
d)
Sentença matemática. Abre parênteses, 1 quinto, fecha parênteses, elevado a 3.e) abre parênteses menos4 fecha parênteses elevado a 3
f) 10 elevado a 3
g) abre parênteses0,1 fecha parênteses elevado a menos 2
h)
Sentença matemática. Abre parênteses, menos 3 sétimos, fecha parênteses, elevado a menos 2.i) 10 elevado a menos 3
j)
Sentença matemática. Abre parênteses, 2 terços, fecha parênteses, elevado a 2.k) 0 elevado a 10
l) abre parênteses0,181818...) elevado a 2
2. Calcule o valor de:
a) 3x elevado a 3 menos 2x elevado a 2 menos x + 5, para x = menos1
b) abre parênteses menos1 fecha parênteses elevado a 8 menos 3 ⋅ abre parênteses menos1 fecha parênteses elevado a 5 + abre parênteses menos1 fecha parênteses elevado a 16
c) 2 elevado a 6 menos 2 elevado a 5 + 2 elevado a 4 menos 2 elevado a 3 + 2 elevado a 2 menos 2 elevado a 1 + 2 elevado a 0
3. Os resultados de menos 9 entre parênteses elevado a 2 e menos9 elevado a 2 são iguais? Justifique sua resposta.
4. Escreva os números a seguir em notação científica.
a) .5400
b) 0,0025
c) ..300000000
d) 0,00000637
5. Qual expressão tem maior valor: a ou B ?
ei =
Sentença matemática. A, igual, abre parênteses, 1 sobre 1, fecha parênteses, elevado a menos 2, fim do expoente, mais abre parênteses, 1 sobre 2, fecha parênteses, elevado a 2, fim do expoente, mais abre parênteses, 1 sobre 3, fecha parênteses, elevado a menos 2, fim do expoente, mais abre parênteses, 1 sobre 4, fecha parênteses, elevado a 2, fim do expoente, mais abre parênteses, 1 sobre 5, fecha parênteses, elevado a menos 2.B =
Sentença matemática. B, igual, abre parênteses, 1 sobre 1, fecha parênteses, elevado a 2, fim do expoente, mais abre parênteses, 1 sobre 2, fecha parênteses, elevado a menos 2, fim do expoente, mais abre parênteses, 1 sobre 3, fecha parênteses, elevado a 2, fim do expoente, mais abre parênteses, 1 sobre 4, fecha parênteses, elevado a menos 2, fim do expoente, mais abre parênteses, 1 sobre 5, fecha parênteses, elevado a 2.6. A partir do repouso, um corpo em queda livre percorre, no vácuo, uma medida de distância d (em metro) que corresponde a
Sentença matemática. d igual a fração de numerador g vezes t ao quadrado e denominador 2., em que g é a medida da aceleração da gravidade (considere g = 10 metros por segundo ao quadrado).
Desprezando a resistência do ar, que medida de distância percorre um paraquedista em queda livre durante os 12 primeiros segundos?
7. Copie o quadro no caderno e complete com as medidas expressas em notação científica.
Planeta |
Medida da distância média ao Sol (km) |
Medida expressa em notação científica (km) |
---|---|---|
Saturno |
1.429.400.000 |
|
Vênus |
108.200.000 |
|
Urano |
2.870.990.000 |
|
Mercúrio |
57.910.000 |
Dados obtidos em: https://oeds.link/rWdxPJ. Acesso em: 4 julho 2022.
Respostas e comentários
1. a) 16
1. b) 8
1. c)
Sentença matemática. 1 sobre 8.1. d)
Sentença matemática. 1 sobre 125.1. e) menos64
1. f) .1000
1. g) 100
1. h)
Sentença matemática. 49 sobre 9.1. i)
Sentença matemática. 1 sobre mil.1. j)
Sentença matemática. 4 sobre 9.1. k) 0
1. l)
Sentença matemática. 4 sobre 121.2. a) 1
2. b) 5
2. c) 43
3. não, pois menos 9 entre parênteses elevado a 2 = abre parênteses menos9 fecha parênteses ⋅ abre parênteses menos9 fecha parênteses = 81 e menos9 elevado a 2 = menos9 ⋅ 9 = menos81
4. a) 5,4 ⋅ 10 elevado a 3
4. b) 2,5 ⋅ 10 elevado a menos 3
4. c) 3,0 ⋅ 10 elevado a 8
4. d) 6,37 ⋅ 10 elevado a menos 6
5. o valor de
Sentença matemática. A igual 35 inteiros e cinco 16 avos.é maior que
Sentença matemática. B igual 21 inteiros e trinta e quatro e 225 avos.6. 720 métros
7. Resposta em Orientações.
• Faça a correção de cada item da atividade 1 com os estudantes.
• O item a da atividade 2 mobiliza procedimentos das unidades temáticas Números e Álgebra, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 3 da Bê êne cê cê. Nesse item os estudantes devem calcular o valor numérico de uma expressão algébrica. Para calcular esse valor, os estudantes devem calcular potências de base real e expoente inteiro. Caso tenham dificuldades para fazer os itens b e c, oriente-os a primeiro calcular as potências para depois efetuar as adições e subtrações.
• Antes que realizem a atividade 3, verifique se todos os estudantes perceberam a diferença entre as expressões menos 9 entre parênteses elevado a 2 e menos9 elevado a 2. Depois, enfatize a importância dos parênteses em expressões numéricas e algébricas.
• A atividade 6 também favorece o desenvolvimento da competência específica 3 da Bê êne cê cê.
• Resposta da atividade 7:
Planeta |
Medida da distância média ao Sol (km) |
Medida expressa em notação científica (km) |
---|---|---|
Saturno |
1.429.400.000 |
1,4294 × 109 |
Vênus |
108.200.000 |
1,082 × 108 |
Urano |
2.870.990.000 |
2,87099 × 109 |
Mercúrio |
57.910.000 |
5,791 × 107 |
Dados obtidos em: https://oeds.link/rWdxPJ. Acesso em: 4 julho. 2022.
Uma vez que as distâncias são transformadas, podemos conversar com os estudantes sobre aproximações por arredondamento ou por truncamento.
É possível ampliar a proposta da atividade 7 e solicitar aos estudantes que pesquisem números ou medidas expressas com muitos algarismos em textos científicos e expressem esses números em notação científica.
Propriedades da potenciação para potências de base real e expoente inteiro
Todas as propriedades da potenciação são válidas para as potências de base real e expoente inteiro, desde que as condições para a existência das potências sejam obedecidas.
Produto de potências de mesma base
Em uma multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e adicionamos os expoentes.
Considere mais alguns exemplos.
a) (0,15) elevado a 2 ⋅ (0,15) elevado a 3 = (0,15) elevado a 2 mais 3 = (0,15) elevado a 5
b) (0,777 reticências) elevado a menos 1 ⋅ (0,777 reticências) elevado a 5 = (0,777 reticências) elevado a menos 1 mais 5 = (0,777 reticências) elevado a 4
De modo geral: a elevado a m ⋅ a elevado a n = a elevado a m mais n, em que ei é um número real não nulo e m e n são números inteiros.
Quociente de potências de mesma base
Em uma divisão de potências de mesma base não nula, conservamos a base e subtraímos os expoentes.
Analise mais alguns exemplos.
a) (0,19) elevado a 6 : (0,19) elevado a 2 = (0,19) elevado a 6 menos 2 = (0,19) elevado a 4
b)
Sentença matemática. Fração de numerador 5 elevado a 7 e denominador 5 elevado a menos 3. Essa fração é igual a 5 elevado ao expoente 7 menos abre parênteses menos 3 fecha parênteses, igual a 5 elevado a 10.De modo geral: a elevado a m : a elevado a n = a elevado a m menos n, em que ei é um número real não nulo e m e n são números inteiros.
Potência de uma potência
Uma potência elevada a um expoente pode ser escrita mantendo-se a base e multiplicando-se os expoentes.
abre parênteses4 elevado a 2 fecha parênteses elevado a 4 = 4 elevado a 2 ⋅ 4 elevado a 2 ⋅ 4 elevado a 2 ⋅ 4 elevado a 2 = 4 elevado a 2 mais 2 mais 2 mais 2 = 4 elevado a 8 = 4 elevado a duas vezes 4
Verifique mais alguns exemplos.
a) abre colchete abre parênteses0,32 fecha parênteses elevado a 3 fecha colchete elevado a 2 = abre parênteses0,32 fecha parênteses elevado a 3 vezes 2 = abre parênteses0,32 fecha parênteses elevado a 6
b)
Sentença matemática. Abre colchetes, abre parênteses, menos 1 sobre 5, fecha parênteses, elevado a 3, fecha colchetes, elevado a 5, igual, abre parênteses, menos 1 sobre 5, fecha parênteses, elevado a 3 vezes 5, igual, abre parênteses, menos 1 sobre 5, fecha parênteses, elevado a 15.De modo geral: (a elevado a m) elevado a n = a elevado a m vezes n, em que a é um número real não nulo e m e n são números inteiros.
Respostas e comentários
Propriedades da potenciação para potências de base real e expoente inteiro
Para justificar o conceito de que todo número não nulo elevado a zero é igual a 1, basta considerar que podemos escrever uma potência com expoente igual a zero como uma potência de mesma base e expoente igual a 1 menos 1, e daí utilizar a propriedade do quociente de potências de mesma base para verificar que o resultado é 1. Utilizando a linguagem matemática, temos:
• Seja a um número real qualquer diferente de zero. Assim:
Sentença matemática. a elevado a zero, igual a, início da potência a elevado ao expoente 1 menos 1, fim da potência, igual a fração de numerador a elevado 1 e denominador a elevado a 1 que é igual a fração a sobre a que é igual a 1.
É possível também justificar a propriedade do quociente de potências de mesma base a partir da propriedade do produto de potências de mesma base e do conceito de potência com expoente inteiro negativo.
• Seja a um número real qualquer diferente de zero e m e n números inteiros. Assim:
Sentença matemática. 1 sobre a elevado a n, igual, a elevado a menos n.
a elevado a m dividido por a elevado a n = a elevado a m ⋅ a elevado a menos n
Pela propriedade do produto de potências de mesma base, temos:
a elevado a m mais, abre parênteses, menos n, fecha parênteses = a elevado a m menos n
Tais justificativas podem ser oferecidas aos estudantes assim que se perceber que eles amadureceram seus conhecimentos sobre as propriedades de potência. Isso também poderá ajudá-los a se convencer da validade dessas propriedades e da relação que estabelecem com as demais.
Potência de um produto
Em uma multiplicação de dois ou mais fatores elevados a um mesmo expoente, podemos elevar cada um desses fatores a esse mesmo expoente.
(2 ⋅ 5) elevado a 3 = (2 ⋅ 5) ⋅ (2 ⋅ 5) ⋅ (2 ⋅ 5) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2 elevado a 3 ⋅ 5 elevado a 3
Verifique mais alguns exemplos.
a) (2 ⋅ 5)⁻ elevado a 3 = 2⁻ elevado a 3 ⋅ 5⁻ elevado a 3
b)
Sentença matemática. Início da potência, abre parênteses, 3 sobre 5, fim da fração, vezes, 1 sobre 2, fecha parênteses, elevado a menos 2, fim da potência, igual, início da potência, abre parênteses, 3 sobre 5, fecha parênteses, elevado a menos 2, fim da potência, vezes, início da potência, abre parênteses, 1 sobre 2, fecha parênteses, elevado a menos 2, fim da potência.De modo geral: (a ⋅ b)m = am ⋅ bm, em que a ê b são números reais não nulos e m é um número inteiro.
Potência de um quociente
Em uma divisão elevada a um expoente, podemos elevar o dividendo e o divisor a esse mesmo expoente.
Sentença matemática. Início da potência, abre parênteses, 7 dividido por 6, fecha parênteses, elevado a 2, fim da potência, igual, início da potência, abre parênteses, 7 sobre 6, fecha parênteses, elevado a 2,, fim da potência, igual a abre parênteses 7 sobre 6, fecha parênteses, vezes. abre parênteses 7 sobre 6, fecha parênteses igual a fração de numerador 7 ao quadrado e denominador 6 ao quadrado.
Verifique mais alguns exemplos.
a) (8 : 3) elevado a 2 = 8 elevado a 2 : 3 elevado a 2
b)
Sentença matemática. Início da potência, abre parênteses, 4 sobre 3, fim da fração, vezes, 3 sobre 16, fecha parênteses, elevado a menos 3, fim da potência, igual, início da potência, abre parênteses, 4 sobre 3, fecha parênteses, elevado a menos 3, fim da potência, dividido por, início da potência, abre parênteses, 3 sobre 16, fecha parênteses, elevado a menos 3, fim da potência.De modo geral: (a : b)m = am : bm, em que a ê b são números reais não nulos e m é um número inteiro.
Observação
Confira atentamente estas desigualdades.
• 2 elevado a 3 + 2⁴ ≠ 2 elevado a 3 ⁺ elevado a 4, pois: 24 ≠ 128
• 2 elevado a 3 menos 2⁴ ≠ 2 elevado a 3 ⁻ ⁴, pois:
Sentença matemática. menos 8 diferente de meio.•
Sentença matemática. Abre parênteses, 5 elevado a 2 terços, fecha parênteses, elevado a 3, igual a, 5 elevado ao expoente 2 terços vezes 3, igual a 5 ao quadrado., pois: 5 elevado a 6 ≠ 5 elevado a 8
• (5 + 3) elevado a 2 ≠ 5 elevado a 2 + 3 elevado a 2, pois: 64 ≠ 34
• (5 menos 3) elevado a 2 ≠ 5 elevado a 2 menos 3 elevado a 2, pois: 4 ≠ 16
Atividades
Faça as atividades no caderno.
8. Indique sob a fórma de uma só potência.
a) 2 elevado a 3 ⋅ 2 elevado a 4 ⋅ 25 ⋅ 26
b) (2 elevado a 3) elevado a 2
c) (6 : 3) elevado a 3
d) 10 elevado a 3 ⋅ 10 ⋅ 10
e) (3 elevado a 4) elevado a menos 3
f) 6 elevado a 4 : 6 elevado a 2
g) (2 ⋅ 3) elevado a 3
h) 7 elevado a 15 : 7 elevado a 10
i) 10 elevado a menos 1 ⋅ 10 elevado a 2 ⋅ 10 elevado a menos 1
9. Calcule o valor de cada potência usando as propriedades da potenciação.
a)
fração de numerador 2 a quarta vezes 2 a décima potência vezes 2 ao cubo e denominador 2 a quinta potência vezes 2 a sexta potênciab) (7 ⋅ 4)2
c)
Sentença matemática. Abre parênteses, 1 sobre 4, fecha parênteses, elavado a terceira.d)
Sentença matemática. Abre colchetes, abre parênteses, menos 1 sobre 2, fecha parênteses, elevado a 3, fecha colchetes, elevado a 2.10. Determine o valor da expressão numérica:
Sentença matemática. Início da potência, abre parênteses, 1 vírgula seis seis seis reticências, fecha parênteses, elevado a menos 1, fim da potência, mais, fração de numerador abre parênteses, início da potência, 3 elevado a 10, fim da potência, vezes, início da potência, 3 elevado a menos 5, fim da potência, fecha parênteses, elevado a 3 e denominador 9 elevado a 8.
11. Calcule o valor das expressões numéricas.
a) 3 elevado a 2 ⋅ 4 elevado a 1 menos 2 elevado a 0 + 3 elevado a 1 ⋅ 3 elevado a 2 ⋅ 3 elevado a 3
b) ( menos2) elevado a menos 6 ⋅ 8 elevado a 2 + 30
c) 6 elevado a 1 ⋅ 3 elevado a menos 2 + 4 elevado a menos 1 menos 4 ⋅ 7 elevado a 0
d) 8 elevado a 4 ⋅ 8 elevado a 3 ⋅ 8 elevado a 4 : 8 elevado a 8
12. Em seu caderno, avalie cada sentença como verdadeira ou falsa.
a) (2 ⋅ 5) elevado a 3 = 2 elevado a 3 ⋅ 5 elevado a 3
b) (2 + 5) elevado a 3 = 2 elevado a 3 + 5 elevado a 3
c) (17 ‒ 1) elevado a 2 = 17 elevado a 2 menos 1 elevado a 2
Respostas e comentários
8. a) 218
8. b) 26
8. c) 23
8. d) 105
8. e) 3‒12
8. f) 62
8. g) 63
8. h) 75
8. i) 100
9. a) 64
9. b) 784
9. c)
Fração. 1 sobre 64.9. d)
Fração. 1 sobre 64.10.
Fração. 14 sobre 15.11. a) 764
11. b) 2
11. c)
Fração. menos 37 sobre 12.11. d) 512
12. a) verdadeira
12. b) falsa
12. c) falsa
Comente com os estudantes a importância das propriedades de potenciação para a simplificação dos cálculos.
• Na atividade 10, os estudantes vão aplicar algumas das propriedades estudadas. Mostre aos estudantes que na expressão dada há uma dízima periódica que cuja fração geratriz é
Fração. 15 sobre 9..
2 Radiciação
No movimento de queda livre de um objeto a partir do repouso apresentado no início do tópico Potenciação, indicamos que esse objeto percorre, durante uma medida de tempo (t ), em segundo, uma medida de distância (d ), em metro, que corresponde aproximadamente a:
Sentença matemática. d igual a fração de numerador g vezes t ao quadrado e denominador 2., em que g é a medida da aceleração da gravidade a que um objeto está submetido, correspondendo a 10 metros por segundo ao quadrado para um objeto próximo à superfície terrestre.
Se soltássemos uma esfera metálica de uma altura medindo, por exemplo, 320 métros (a mesma medida da altura da Torre Eiffel), desprezando a resistência do ar, após 2 segundos, a esfera teria percorrido aproximadamente 20 métros.
Agora, vamos determinar a medida aproximada do tempo que essa esfera demoraria para chegar ao solo.
10 ⋅ t2 = 640
t 2 = 64
Sabemos que t representa a medida do tempo da queda e, por isso, t > 0. Para obter o número positivo que elevado ao quadrado resulta em 64, fazemos:
Logo:
t = 8
Portanto, a esfera metálica levaria aproximadamente 8 segundos para chegar ao solo.
Nesses cálculos realizados para encontrar a medida aproximada do tempo de queda da esfera metálica, utilizamos as operações de multiplicação, divisão e radiciação.
Nesse exemplo, vimos que
Sentença matemática. Raiz quadrada de 64 igual a 8., pois 8 elevado a 2 = 64.
Além da raiz quadrada
símbolo de raiz quadrada sem o índice 2. símbolo de raiz quadrada com o índice 2, temos também as raízes cúbicas
símbolo de raiz cúbica, quartas
símbolo de raiz quarta, quintas
símbolo de raiz quinta, entre outras. Os números 2, 3, 4 e 5 nesses símbolos são chamados índices.
Raiz quadrada
A raiz quadrada de um número real positivo x é um número não negativo que, elevado ao quadrado, resulta em x.
Confira alguns exemplos.
a)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 36 igual a 6., pois: 62 = 36 b)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 16 igual a 4., pois: (0,4) elevado a 2 = 0,16 c)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 49 sobre 81 igual a 7 nonos., pois:
Sentença matemática. Abre parênteses, 7 nonos, fecha parênteses, elevado a 2 igual a 49 sobre 81.Observação
Há dois números que, elevados ao quadrado, resultam em 64:
8 elevado a 2 = 64 e (‒8) elevado a 2 = 64
Porém, pela definição, a raiz quadrada é um número não negativo. Logo,
Sentença matemática. Raiz quadrada de 64 igual a 8..
Respostas e comentários
Radiciação
Bê êne cê cê:
• Competências específicas 3 e 5 (as descrições estão na página sete).
• Habilidade ê éfe zero oito ême ah zero dois.
Objetivos:
• Calcular a raiz enésima de um número real.
• Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação.
Justificativa
Calcular a raiz enésima de um número real amplia os conhecimentos dos estudantes sobre raízes quadradas e favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero dois.
Mapeando conhecimentos
Proponha o seguinte questionamento para a turma: “Calcular a raiz quadrada é a operação inversa de qual operação? Qual é o valor de
Sentença matemática. Raiz quadrada de 36.? E de
Sentença matemática. Raiz quadrada de 121.?”. Deixe-os à vontade para conjecturar e calcular as raízes quadradas utilizando suas estratégias pessoais. Depois, proponha a seguinte questão: “Qual é a medida do comprimento da aresta de um cubo que tem 27 centímetros cúbicos de medida de volume? Como você fez para descobrir? Você conhece alguma operação que permita determinar diretamente a medida do comprimento dessa aresta? Se sim, qual?”. Caso os estudantes não apresentem dificuldades para responder a essas questões, pergunte se já ouviram falar em raízes quartas, quintas e assim por diante.
Para as aulas iniciais
Na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores, retoma-se a raiz quadrada de números racionais. Faça a leitura coletiva dessa revisão com a turma e solicite aos estudantes que façam as atividades de 9 a 13 da seção, em duplas. Reserve um momento para tirar as dúvidas e discutir coletivamente as atividades nas quais apresentaram mais dificuldades.
Retome as questões da dinâmica inicial em que tiveram mais dificuldades e ajude-os a respondê-las. Após sanar possíveis dúvidas sobre o cálculo da medida do comprimento da aresta do cubo, desafie-os a calcular a raiz cúbica de outros números.
Comente com os estudantes que a radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Enquanto a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais, a radiciação busca descobrir que fatores são esses, dando o resultado dessa multiplicação.
( ê éfe zero oito ême ah zero dois) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.
Raiz quadrada exata
Considere as operações:
• 1 ⋅ 1 = 1 elevado a 2 = 1
• 2 ⋅ 2 = 2 elevado a 2 = 4
• 3 ⋅ 3 = 3 elevado a 2 = 9
• 4 ⋅ 4 = 4 elevado a 2 = 16
• 5 ⋅ 5 = 5 elevado a 2 = 25
• 6 ⋅ 6 = 6 elevado a 2 = 36
• 7 ⋅ 7 = 7 elevado a 2 = 49
• 8 ⋅ 8 = 8 elevado a 2 = 64
• 9 ⋅ 9 = 9 elevado a 2 = 81
• 10 ⋅ 10 = 10 elevado a 2 = 100
• 11 ⋅ 11 = 11 elevado a 2 = 121
• 12 ⋅ 12 = 12 elevado a 2 = 144
Os números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 e 144 são exemplos de quadrados perfeitos, pois podem ser escritos como uma potência de base racional e expoente 2.
Se x for um número racional e for quadrado perfeito,
Sentença matemática. Raiz quadrada de x.será um número racional. Em casos assim, podemos obter a raiz quadrada exata desses números.
Assim:
•
Sentença matemática. Raiz quadrada de 1 igual a 1.•
Sentença matemática. Raiz quadrada de 4 igual a 2.•
Sentença matemática. Raiz quadrada de 9 igual a 3.•
Sentença matemática. Raiz quadrada de 0 vírgula 16 igual a 0 vírgula 4.•
Sentença matemática. Raiz quadrada de 25 igual a 5.•
Sentença matemática. Raiz quadrada de 36 igual a 6.•
Sentença matemática. Raiz quadrada de 49 igual a 7.•
Sentença matemática. Raiz quadrada de 64 igual a 8.•
Sentença matemática. Raiz quadrada de 81 igual a 9.•
Sentença matemática. Raiz quadrada de 100 igual a 10.•
Sentença matemática. Raiz quadrada de 121 igual a 11.•
Sentença matemática. Raiz quadrada de 144 igual a 12.Para determinar a raiz quadrada de números quadrados perfeitos, podemos utilizar a decomposição em fatores primos.
Analise os exemplos.
a) Vamos determinar a raiz quadrada de .1296.
Inicialmente, decompomos .1296 em fatores primos.
.1296 = 24 ⋅ 34
.1296 = (22 ⋅ 32)2 = 362
Portanto,
Sentença matemática. Raiz quadrada de mil 296 igual a 36., pois 362 = .1296.
b) Vamos determinar a raiz quadrada de 10,89.
Inicialmente, transformamos o número decimal 10,89 na fração decimal
Fração. Mil e 89 centésimos..
Em seguida, decompomos em fatores primos o numerador e o denominador. Confira:
Sentença matemática. mil e 89 centésimos é igual a fração de numerador 3 ao quadrado vezes 11 ao quadrado e denominador 2 ao quadrado vezes 5 ao quadrado. Essa fração é igual a fração de numerador abre parênteses 3 vezes 11, fecha parênteses, elevado a 2 e denominador, abre parênteses, 2 vezes 5, fecha parênteses, elevado a 2. Essa fração é igual a 33 ao quadrado sobre 10 ao quadrado que é igual a, abre parênteses, 33 sobre 10, fecha parênteses, elevado 2, que é igual a 3 virgula 3 ao quadrado.
Portanto,
Sentença matemática. Raiz quadrada de 10 vírgula 89 é igual a raiz quadrada de 33 sobre 10 ao quadrado que é igual a 33 décimos que é igual a 3 vírgula 3., pois (3,3)2 = 10,89.
Respostas e comentários
Se possível, apresente aos estudantes o método geométrico para representar os números quadrados perfeitos, no qual utilizamos a figura do quadrado e associamos o número à sua medida de área. Esse entendimento favorece o desenvolvimento da competência específica 3.
Observação
Se x for um número não negativo e não for quadrado perfeito,
Sentença matemática. Raiz quadrada de x.será um número com infinitas casas decimais não periódicas, ou seja, será um número irracional.
Verifique os exemplos.
a) 3 não é um quadrado perfeito e
Sentença matemática. Raiz quadrada de 3.é um número irracional.
b)
Fração, 1 sobre 11.não é um quadrado perfeito e
Sentença matemática. Raiz quadrada de 1 sobre 11.é um número irracional.
Raiz quadrada aproximada
Podemos calcular a raiz quadrada de qualquer número real não negativo, mas, se ela for um número irracional, não será exata. Nesse caso, podemos obter um valor aproximado, ou seja, uma raiz quadrada aproximada.
Acompanhe a situação.
Jonas comprou um terreno quadrado que tem medida de área igual a 500 métros quadrados. Qual é a medida de comprimento do lado desse terreno?
Considerando a como a medida de comprimento do lado do quadrado que representa o terreno, temos:
a ⋅ a = 500 ⇒ a2 = 500 ⇒
Sentença matemática. a igual a raiz quadrada de 500.Portanto, a medida de comprimento do lado do terreno é
Sentença matemática. Raiz quadrada de 500.metros. Mas qual é o valor de
Sentença matemática. Raiz quadrada de 500.?
Com o auxílio de uma calculadora, poderíamos facilmente determinar o valor aproximado de
Sentença matemática. Raiz quadrada de 500.. Porém, como nem sempre podemos contar com uma calculadora, vamos aprender a estimar esse valor por meio do uso de quadrados perfeitos.
Note que o número 500 situa-se entre os quadrados perfeitos 484 e 529.
Como
Sentença matemática. Raiz quadrada de 484 igual a 22.e
Sentença matemática. Raiz quadrada de 529 igual a 23.,
Sentença matemática. Raiz quadrada de 500.é um número que está entre 22 e 23.
Calculamos os quadrados de alguns números situados entre 22 e 23, com uma casa decimal. Confira:
Assim, 22,4 corresponde a uma aproximação de
Sentença matemática. Raiz quadrada de 500.com uma casa decimal.
Respostas e comentários
Ao trabalhar o cálculo de raízes quadradas de números reais que têm raiz exata, incentive os estudantes a decompor o número em fatores primos ou, caso o número não seja inteiro, solicite a eles que obtenham, antes de calcular a raiz quadrada, a forma fracionária. Ambas as estratégias não só retomam os conteúdos que já foram trabalhados, como também facilitam os cálculos de extração da raiz quadrada.
No cálculo de raízes quadradas aproximadas é fundamental que os estudantes conheçam os quadrados perfeitos ou a raiz quadrada exata de alguns números (mesmo que não sejam quadrados perfeitos) para realizar as aproximações. Incentive-os a utilizar a calculadora para dar mais significado a esses cálculos, favorecendo, assim, o desenvolvimento da competência específica 5.
Se julgar oportuno, comente com os estudantes que há um método chamado dicotomia que permite calcular a raiz quadrada aproximada de um número real. Se necessário, pode-se propor aos estudantes que, em grupos, pesquisem esse método e depois compartilhem com os demais colegas o que entenderam dele.
Para uma maior aproximação, podemos calcular os quadrados de números de duas casas decimais situados entre 22,3 e 22,4. Verifique:
Assim, 22,36 corresponde a uma aproximação de
Sentença matemática. Raiz quadrada de 500.com duas casas decimais.
Logo, o comprimento do lado desse terreno mede aproximadamente 22,36 metros.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
13. Determine o valor das raízes quadradas.
a)
raiz quadrada de 81b)
raiz quadrada de 0c)
raiz quadrada da fração 4 sobre 25d)
raiz quadrada de 144e)
raiz quadrada de 1f)
raiz quadrada da fração 64 sobre 169g)
raiz quadrada da fração 1 sobre 16h)
raiz quadrada de 225i)
raiz quadrada de 0,4914. Determine a raiz quadrada dos números com aproximação de uma casa decimal.
a) 40
b) 65
c) 85
d) 93
e) 122
f) 140
g) 800
h) 940
i) .1010
j) .1050
15. Sabendo que os números a seguir são quadrados perfeitos, determine a raiz quadrada de cada um deles.
a) .1225
b) .2401
c) .3136
d) .6561
e) .6400
f) .7744
16. Determine a raiz quadrada dos números a seguir.
a) 1,44
b) 12,96
c) 30,25
d) 72,25
e) 39,69
f) 94,09
17.
Utilizando uma calculadora, determine a raiz quadrada destes números, com aproximação de duas casas decimais.
a) 30
b) 8,6
c) 77
d) 110
e) 95
f) 50,8
g) 150
h) 86,25
i) 94
j) 125
18. Determine o valor das adições, com aproximação de uma casa decimal.
a)
raiz quadrada de 2 mais raiz quadrada de 3b)
raiz quadrada de 5 mais raiz quadrada de 7c)
raiz quadrada de 3 mais raiz quadrada de 5d)
raiz quadrada de 7 mais raiz quadrada de 1119. Determine o menor número inteiro não nulo pelo qual devemos multiplicar 360 para obter como resultado um quadrado perfeito.
20.
Faça os cálculos mentalmente, começando pela raiz quadrada de 1.
Abre raiz quadrada de 43 mais abre raiz quadrada de 31 mais abre raiz quadrada de 21 mais abre raiz quadrada de 13 mais abre raiz quadrada de 7 mais abre raiz quadrada de 3 mais abre raiz quadrada de 1
21. Determine o valor de x, com uma casa decimal, que satisfaça
Sentença matemática. Raiz quadrada de 36 menor que x menor que raiz quadrada de 38..
22. Coloque em ordem crescente os números
Sentença matemática. Raiz quadrada de 8.,
Sentença matemática. Raiz quadrada de 4.,
4 sobre 5e
7 sobre 2.
23. A raiz quadrada de um número natural compreendido entre 200 e 250 é um número inteiro. Que número é esse?
24. Um quadrado tem medida de área igual a 60 centímetros quadrados. Qual é a medida de comprimento do lado desse quadrado, com aproximação de duas casas decimais?
Respostas e comentários
13. a) 9
13. b) 0
13. c)
2 sobre 513. d) 12
13. e) 1
13. f)
8 sobre 1313. g)
1 sobre 413. h) 15
13. i) 0,7
14. a) 6,3
14. b) 8,1
14. c) 9,2
14. d) 9,6
14. e) 11,0
14. f) 11,8
14. g) 28,3
14. h) 30,7
14. i) 31,8
14. j) 32,4
15. a) 35
15. b) 49
15. c) 56
15. d) 81
15. e) 80
15. f) 88
16. a) 1,2
16. b) 3,6
16. c) 5,5
16. d) 8,5
16. e) 6,3
16. f) 9,7
17. a) 5,48
17. b) 2,93
17. c) 8,77
17. d) 10,49
17. e) 9,75
17. f) 7,13
17. g) 12,25
17. h) 9,29
17. i) 9,70
17. j) 11,18
18. a) 3,1
18. b) 4,9
18. c) 4,0
18. d) 6,0
19. 10
20. 7
21. 6,1
22.
Sentença matemática. 4 quintos menor que raiz quadrada de 4 menor que raiz quadrada de 8 menor que 7 meios.23. 225
24. aproximadamente, 7,75 centímetros
As atividades propostas exploram procedimentos matemáticos para o cálculo da raiz quadrada não exata e têm por intenção colaborar para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero dois.
As atividades desta página oferecem muitas oportunidades de exploração da relação entre potenciação e radiciação, incluindo a habilidade de realizar estimativas e a aplicação das propriedades já apresentadas. Se for interessante, a atividade 15 pode ser realizada logo em seguida.
• Na atividade 13, é importante que os estudantes reconheçam os números quadrados perfeitos.
• Para a atividade 14, peça aos estudantes que estimem, inicialmente, entre quais números naturais se encontra a raiz quadrada pedida; dessa fórma, a parte inteira já fica determinada.
• A atividade 16 pode ser realizada segundo várias estratégias; então, deixe que os estudantes formulem suas resoluções, que podem incluir estimativas, reconhecimento de quadrados perfeitos e a confirmação com a calculadora. Compartilhe todas as resoluções.
• A atividade 17 oferece oportunidade de se explorar as habilidades de aproximação por arredondamento ou truncamento.
• Não deixe de aproveitar a atividade 19 para retomar a decomposição em fatores primos e as propriedades da potenciação.
Raiz enésima
O processo usado para obter o valor de outras raízes é similar ao utilizado para obter o valor das raízes quadradas.
A raiz enésima de um número real a, que tem como índice um número natural n ⩾ 2, é assim representada:
O cálculo da raiz enésima pode ser analisado considerando-se dois casos: o índice n par e o índice n ímpar.
• A raiz enésima de índice par de um número real a (a ⩾ 0) é o número real b (b ⩾ 0) tal que b elevado a n = a. Assim, temos:
Sentença matemática. Raiz enésima de a igual a b.
se, e somente se, b elevado a n = a e b ⩾ 0
Analise os exemplos.
a)
Sentença matemática. Raiz quarta de 0 vírgula 0081 igual a 0 vírgula 3., pois 0,3 elevado a 2 = 0,0081 e 0,3 > 0.
b)
Sentença matemática. Raiz sexta de 64 igual a 2., pois 2 elevado a 6 = 64 e 2 > 0.
Observação
Se a for um número real negativo, a raiz enésima de a, com n par, não será um número real. Dessa forma,
Sentença matemática. Raiz quadrada de menos 0,25, fim da raiz.e
Sentença matemática. Raiz de índice 6 de menos 1, fim da raiz.não são números reais. Isso ocorre porque não existe um número real que, elevado a um expoente par, resulte em um número negativo.
• A raiz enésima de índice ímpar de um número real a é o número real b tal que b elevado a n = a. Assim, temos:
Sentença matemática. Raiz enésima de a igual a b.
se, e somente se, b elevado a n = a
Analise os exemplos.
a)
Sentença matemática. Raiz cúbica de menos 125 igual a menos 5., pois: (‒5) elevado a 3 = ‒125
b)
Sentença matemática. Raiz quinta de mil e 24 igual a 4., pois: (4) elevado a 5 = .1024
Atividades
Faça as atividades no caderno.
25. A raiz cúbica de um número natural compreendido entre 200 e 400 é um número ímpar. Que número é esse?
26. A medida V de volume de um cubo é 200 decímetros cúbicos. Qual é a medida a de comprimento da aresta desse cubo com aproximação de uma casa decimal sabendo que V = a elevado a 3?
27. Determine as raízes dos números a seguir.
a)
raiz cúbica de 64b)
raiz cúbica de menos 27c)
raiz sexta de 64d)
raiz cúbica de 0,343e)
raiz quinta de 243f)
raiz quarta da fração 16 sobre 625Respostas e comentários
25. 343
26. aproximadamente 5,8 decímetros.
27. a) 4
27. b) ‒3
27. c) 2
27. d) 0,7
27. e) 3
27. f)
Fração. 2 quintos.Raiz enésima
Verifique se os estudantes reconhecem os termos de um radical e compreendem as condições de existência. Após apresentar os exemplos desta página, explore outros com a turma.
• Após os estudantes realizarem a atividade 25, incentive-os a compartilhar como fizeram.
• Faça a correção de cada item da atividade 27 com os estudantes; essa é outra oportunidade de retomar as propriedades da potenciação e da decomposição em fatores primos.
Veja que interessante
Faça as atividades no caderno.
Potência com expoente fracionário
Estudamos potências de base real e expoente inteiro, mas o expoente de uma potência também pode ser um número na fórma de fração. Por exemplo:
a)
Sentença matemática. 3 elevado a meio.b)
Sentença matemática. 5 elevado a 2 terços.c)
Sentença matemática. 0 vírgula 25 elevado a 3 quintos.d)
Sentença matemática. Um virgula 3 elevado a 1 sétimo.As propriedades de potências com expoentes inteiros continuam válidas quando o expoente é um número racional e a base é um número real positivo.
Assim, aplicando a propriedade da potência de uma potência e a definição de raiz enésima, temos:
a)
Sentença matemática. Abre parênteses, 3 elevado a meio, fecha parênteses, elevado a 2, igual a, 3 elevado ao expoente meio vezes 2, igual a 3 elevado a 1.Como
Sentença matemática. Abre parênteses, 3 elevado a meio, fecha parênteses, elevado a 2, igual a, 3 elevado ao expoente meio vezes 2, igual a 3 elevado a 1.e
Sentença matemática. 3 elevado a meio maior que zero., então:
Sentença matemática. Raiz quadrada de 3 elevado a 1 igual a 3 elevado a meio.b)
Sentença matemática. Abre parênteses, 5 elevado a 2 terços, fecha parênteses, elevado a 3, igual a, 5 elevado ao expoente 2 terços vezes 3, igual a 5 ao quadrado.Como
Sentença matemática. Abre parênteses, 5 elevado a 2 terços, fecha parênteses, elevado a 3, igual a, 5 elevado ao expoente 2 terços vezes 3, igual a 5 ao quadrado., então:
Sentença matemática. Raiz cúbica de 5 ao quadrado igual a 5 elevado a 2 terços.c)
Sentença matemática. Abre parênteses, 0 vírgula 25 elevado a 3 quintos. fecha parênteses, elevado a 5, igual a, 0 vírgula 25 elevado ao expoente 3 quintos vezes 5, igual a 0 vírgula 25 ao cubo.Como
Sentença matemática. Abre parênteses, 0 vírgula 25 elevado a 3 quintos. fecha parênteses, elevado a 5, igual a, 0 vírgula 25 ao cubo., então:
Sentença matemática. Abre parênteses, 0 vírgula 25 elevado a 3 quintos. fecha parênteses, elevado a 5, igual a, 0 vírgula 25 elevado ao expoente 3 quintos vezes 5, igual a 0 vírgula 25 ao cubo, igual a 0 vírgula elevado a 3 quintos.d)
Sentença matemática. Abre parênteses, 1 vírgula 3 elevado a 1 sétimo. fecha parênteses, elevado a 7, igual a, 1 vírgula 3 elevado ao expoente 1 sétimos vezes 7, igual a mais 1 vírgula 3.Como
Sentença matemática. Abre parênteses, 1 vírgula 3 elevado a 1 sétimo. fecha parênteses, elevado a 7, igual a, 1 vírgula 3 elevado a 1., então:
Sentença matemática. Raiz sétima de 1 vírgula 3 elevado a 1 igual a 1 vírgula 3 elevado a 1 sétimo.Da mesma maneira, podemos escrever outras potências de expoente fracionário como raiz.
De modo geral, para todo número real positivo a, número inteiro m e número natural n e n ⩾ 2, temos:
Sentença matemática. a elevado a m sobre n igual a raiz enésima de a elevado a m.
Atividades
a) Calcule
Sentença matemática. Início da potência, 0 vírgula 16 elevado a meio, fim da potência, menos, início da potência, 0 vírgula 027 elevado a um terço, fim da potência.b)
Escreva uma raiz em uma folha avulsa. Em seguida, troque de folha com um colega e escreva a raiz indicada por ele como potência de expoente fracionário. Confira se a representação do seu colega está correta.
c)
Junte-se a um colega e escreva três raízes quadradas exatas. Em seguida, peça a ele que calcule os valores dessas três raízes, escrevendo-as como potências de expoente fracionário e utilizando a decomposição em fatores primos e as propriedades de potenciação. Por fim, verifique se as representações e os cálculos que seu colega fez estão corretos.
Respostas e comentários
Veja que interessante: a) 0,1
b) Resposta pessoal.
c) Resposta pessoal.
O boxe Veja que interessante favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero dois, uma vez que explora a representação de raízes como potências de expoente fracionário. Antes de abordar o conteúdo do boxe com a turma, pergunte: “Qual é o significado de uma potência com expoente fracionário?”. Verifique as hipóteses levantadas por eles. Depois, escreva na lousa a potência
Sentença matemática. 3 elevado a meio.e peça aos estudantes que elevem essa potência ao quadrado. Oriente-os a aplicar a propriedade da potência de uma potência. Espera-se que todos obtenham como resultado o número 3. Depois, recorde que
Raiz quadrada de 3elevado ao quadrado também é igual a 3 e verifique se concluem que
Sentença matemática. 3 elevado a meio igual a raiz quadrada de 3.. Repita o mesmo procedimento com outras potências de expoente fracionário e explore os exemplos da página.
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Faça as atividades no caderno.
Potenciação
• Qualquer potência de base real e expoente inteiro maior que 1 é produto dessa base por ela mesma tantas vezes quantas indica o expoente. Assim, sendo a um número real e n um número inteiro maior que 1, temos:
• Qualquer potência de base real e expoente 1 é igual à própria base. Assim, sendo a um número real, temos:
a elevado a 1 = a
• Qualquer potência de base real não nula e expoente zero é igual a 1. Assim, sendo a um número real, temos:
a elevado a 0 = 1, a ≠ 0
• Qualquer potência de base real não nula e expoente inteiro negativo é igual à potência do inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado. Assim, sendo a um número real não nulo e ‒n um expoente inteiro negativo, temos:
Sentença matemática. a elevado a menos n, igual, 1 sobre a elevado a n, igual, abre parênteses, 1 sobre a, fecha parênteses, elevado a n, a diferente de zero.
Notação científica
Um número escrito em notação científica apresenta o formato a ⋅ 10 elevado a bê, em que b é um expoente inteiro e a é um número racional que pertence ao intervalo 1 < a < 10.
1. Calcule as potências a seguir.
a) 3 elevado a 3
b) ‒2 elevado a 2
c) (‒2) elevado a 2
d)
Sentença matemática. Abre parênteses, 2 terços, fecha parênteses, elevado a 2.e)
Sentença matemática. Abre parênteses, menos 4 quintos, fecha parênteses, elevado a menos 2.f) 5 elevado a 0
g) (‒1) elevado a 3
h) 2 elevado a 1
2. Calcule o valor das expressões.
a) 3x elevado a 2 ‒ x elevado a menos 1 + 2, para x = ‒1
b)
Sentença matemática. Abre parênteses, menos 1, fecha parênteses, elevado a 2, fim do expoente, menos 3 vezes, abre parênteses, menos meio, fecha parênteses, elevado a menos 2.
c)
Sentença matemática. 2 elevado a zero, fim do expoente, mais, 4 elevado ao quadrado vezes 3, dividido, abre parênteses, meio, fecha parênteses.3. Escreva os números a seguir em notação científica.
a) 0,27
b) 895
c) .3600
d) 0,0012
e) ..50000000
f) 0,000000044
Propriedades da potenciação para potências de base real e expoente inteiro
Produto de potências de mesma base
a elevado a m ⋅ a elevado a n = a elevado a m mais n, em que a é um número real não nulo e m e n são números inteiros.
Quociente de potências de mesma base
a elevado a m : a elevado a n = a elevado a m menos n, em que a é um número real não nulo e m e n são números inteiros.
Potência de uma potência
abre parêntesesa elevado a m fecha parênteses elevado a n = a elevado a m vezes n, em que a é um número real não nulo e m e n são números inteiros.
Potência de um produto
abre parêntesesa ⋅ b fecha parênteses elevado a m = a elevado a m ⋅ b elevado a m, em que a ê b são números reais não nulos e m é um número inteiro.
Potência de um quociente
abre parêntesesa dividido por b fecha parênteses elevado a m = a elevado a m dividido por b elevado a m, em que a ê b são números reais não nulos e m é um número inteiro.
4. Indique cada item como uma só potência.
a) 3 elevado a 2 ⋅ 3 elevado a 4 ⋅ 3 elevado a 3 ⋅ 3 elevado a 9
b) abre parênteses5 elevado a 2 fecha parênteses elevado a 3
c) abre parênteses2 elevado a 3 fecha parênteses elevado a menos 2
d) 8 elevado a 3 : 8 elevado a 5
e) 2 elevado a 1 ⋅ 4 elevado a 1 ⋅ 4 elevado a 2 ⋅ 4 elevado a 0
Respostas e comentários
1. a) 27
1. b) ‒4
1. c) 4
1. d)
Fração. 4 nonos.1. e)
Fração. 25 dezesseis avos.1. f) 1
1. g) ‒1
1. h) 2
2. a) 6
2. b) ‒11
2. c) 97
3. a) 2,7 ⋅ 10 elevado a menos 1
3. b) 8,95 ⋅ 10 elevado a 2
3. c) 3,6 ⋅ 10 elevado a 3
3. d) 1,2 ⋅ 10 elevado a menos 3
3. e) 5 ⋅ 10 elevado a 7
3. f) 4,4 ⋅ 10 elevado a menos 8
4. a) 3 elevado a 18
4. b) 5 elevado a 6
4. c) 2 elevado a menos 6
4. d) 8 elevado a menos 2
4. e) 2 elevado a 7
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Potenciação
• Na atividade 1, os estudantes podem calcular as potências mentalmente ou por meio da aplicação da ideia de multiplicação de fatores iguais. Dê maior atenção aos itens b e c para reforçar que seus resultados são diferentes por causa do uso dos parênteses. No item b, espera-se que eles percebam que ‒2 elevado a 2 = ‒2 ⋅ 2 = ‒4. Já no item c, espera-se que eles concluam que abre parênteses‒2 fecha parênteses elevado a 2 = abre parênteses‒2 fecha parênteses ⋅ abre parênteses‒2 fecha parênteses = 4. Faça a correção coletiva dos demais itens.
• A atividade 2 propõe o cálculo do valor de algumas expressões numéricas. É importante que os estudantes primeiro calculem as potências presentes em cada expressão para depois efetuar as demais operações. Caso seja necessário, retome com a turma a ordem em que as operações devem ser realizadas em uma expressão numérica.
• Na atividade 3, é solicitado aos estudantes que escrevam alguns números em notação científica. É possível que alguns deles reconheçam que um número escrito em notação científica apresenta o formato a ⋅ 10 elevado a bê, em que b é um expoente inteiro, mas não levem em consideração que a é um número racional maior que 1 e menor do que 10. Dessa fórma, podem, por exemplo, no caso do item b, escrever erroneamente 895 como 89,5 ⋅ 10. Alerte-os para esse detalhe caso seja necessário.
• A atividade 4 explora as diferentes propriedades da potenciação para potências de base real e expoente inteiro. Ao realizar a correção coletiva da atividade, incentive-os a verbalizar quais propriedades empregaram em cada item.
5. Calcule o valor das expressões numéricas.
a) 4 elevado a 4 : 4 elevado a 3 + 3 ⋅ 3 elevado a 2
b) abre parênteses2 elevado a 3 fecha parênteses elevado a 2 ‒ abre parênteses2 elevado a 3 fecha parênteses elevado a 2
c) abre parênteses‒1 fecha parênteses elevado a 3 + 3 elevado a 4 : 3 elevado a 4
d) 3 elevado a 0 + 5 elevado a 3 : 5 elevado a 2
e) abre parênteses2 elevado a 4 fecha parênteses elevado a 2 : 4 elevado a 1 + 3 elevado a 0 ‒ 3 elevado a 2
Radiciação
Raiz quadrada
A raiz quadrada de um número real positivo x é um número não negativo que, elevado ao quadrado, resulta em x.
Raiz quadrada exata
Os números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 e 144 são exemplos de quadrados perfeitos, pois podem ser escritos como uma potência de base racional e expoente 2.
Se x for um número racional e for quadrado perfeito,
Sentença matemática. Raiz quadrada de x.será um número racional. Em casos assim, podemos obter a raiz quadrada exata desses números.
Raiz quadrada aproximada
Se x for um número não negativo e não for quadrado perfeito,
Sentença matemática. Raiz quadrada de x.será um número com infinitas casas decimais não periódicas, ou seja, será um número irracional.
Nos casos em que a raiz é um número irracional, podemos obter um valor aproximado, ou seja, uma raiz quadrada aproximada.
6. Determine os valores das raízes quadradas.
a)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 49
b)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 25.
c)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 169.
d)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 225.e)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 4 nonos.
f)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 16 sobre 49.g)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 121 centésimos.h)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 4 sobre 169.i)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 25 sobre 225.7.
Utilizando uma calculadora, determine a raiz quadrada dos números, com aproximação de duas casas decimais.
a)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 27.b)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 300.c)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 6.d)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 2 vírgula 5.8. Calcule as raízes a seguir com aproximação de uma casa decimal.
a)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 75.b)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 7c)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 3 vírgula 57.d)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 500.9. Calcule o valor das expressões.
a)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 13 ao quadrado menos 12 ao quadrado.b)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 1 virgula 21, fim da raiz, mais, raiz quadrada de 1 vírgula 44, fim da raiz, mais, raiz quadrada de zero vírgula 49, fim da raiz, mais, raiz quadrada de zero vírgula 16, fim da raiz, mais, raiz quadrada de zero vírgula 36.c)
Sentença matemática. Raiz quadrada de 16, fim da raiz, mais, raiz quadrada de 1 nono, fim da raiz, mais, raiz quadrada de 1 quarto, fim da raiz, mais, 7 elevado a 1, fim do potência, menos, 12 elevado a zero.10. Responda às questões.
a) Qual é o maior número inteiro quadrado perfeito de quatro algarismos?
b) Qual é a raiz quadrada do número .11236?
c) A terça parte da raiz quadrada de um número x é igual a 12. Qual é o valor de x ?
Raiz enésima
A raiz enésima de um número real a, que tem como índice um número natural n ⩾ 2, é assim representada:
O cálculo da raiz enésima pode ser analisado considerando-se dois casos: o índice n par e o índice n ímpar.
• A raiz enésima de índice par de um número real a (a ⩾ 0) é o número real b (b ⩾ 0) tal que b elevado a n = a. Assim, temos:
Sentença matemática. Raiz enésima de a igual a b.
se, e somente se, b elevado a n = a e b ⩾ 0
• A raiz enésima de índice ímpar de um número real a é o número real b tal que b elevado a n = a. Assim, temos:
Sentença matemática. Raiz enésima de a igual a b.
se, e somente se, b elevado a n = a.
11. Determine as raízes dos números a seguir.
a)
Sentença matemática. Raiz cúbica de menos 729.b)
Sentença matemática. Raiz quinta de 32.c)
Sentença matemática. Raiz quarta de 81.d)
Sentença matemática. Raiz sexta de 729 sobre 4 mil e 96.12. Simplifique a expressão a seguir.
Sentença matemática. Numerador da fração: Raiz quadrada de raiz quadrada de 16, fim da raiz, mais, 5 vezes, raiz cúbica de mil, fim da raiz, mais 10 elevado a 1. Denominador da fração: Raiz cúbica de menos 343.
Respostas e comentários
5. a) 31
5. b) 0
5. c) 0
5. d) 6
5. e) 56
6. a) 7
6. b) 5
6. c) 13
6. d) 15
6. e)
Fração. 2 sobre 3.6. f)
Fração. 4 sétimos.6. g)
Fração. 11 décimos.6. h)
Fração. 2 treze avos.6. i)
Fração. 1 quinto.7. a) 5,20
7. b) 17,32
7. c) 2,45
7. d) 1,58
8. a) 8,7
8. b) 2,6
8. c) 1,9
8. d) 22,4
9. a) 5
9. b) 4
9. c)
Fração. 65 sextos.10. a) .9801
10. b) 106
10. c) .1296
11. a) ‒9
11. b) 2
11. c) 3
11. d)
Fração. 3 quartos.12.
Menos 8 sétimos.• Na atividade 5, os estudantes devem aplicar as propriedades da potenciação para calcular o valor de algumas expressões numéricas. Oriente-os a fazer os cálculos passo a passo. Depois, faça a correção coletiva de cada item na lousa.
Radiciação
• Na atividade 6, incentive os estudantes a determinar as raízes quadradas mentalmente. Espera-se que eles reconheçam que os radicandos são quadrados perfeitos.
• Na atividade 7, os estudantes devem utilizar a tecla
de uma calculadora para determinar a raiz aproximada de alguns números racionais. Verifique se eles percebem que, diferente da atividade 6, os radicandos não são quadrados perfeitos.
• A atividade 8 solicita aos estudantes que calculem raízes quadradas com aproximação de uma casa decimal. Eles podem utilizar a estratégia que quiserem. Ao final, peça a alguns estudantes que compartilhem como fizeram. Isso pode ajudá-los a ampliar o seu repertório de cálculo e favorece o desenvolvimento da competência geral 9 da Bê êne cê cê.
• A atividade 9 propõe aos estudantes o cálculo do valor de expressões numéricas envolvendo raízes quadradas. Você pode realizar os itens coletivamente, caso ache pertinente.
• A atividade 10 propõe questões para os estudantes responderem. Para responder à questão do item a, eles podem adotar diferentes estratégias. Uma delas é a da tentativa e erro. No item b, para determinar a raiz quadrada de .11236, oriente-os a decompor esse número em fatores primos. Para responder à questão proposta no item c, incentive-os a traduzir o enunciado para a linguagem algébrica:
Sentença matemática. Raiz quadrada de x sobre 3, igual a 12.
, em que x é um número racional maior do que zero.
Manipulando a equação anterior, os estudantes devem obter que:
Sentença matemática. Raiz quadrada de x igual a 36.
Ao chegar nesta etapa, oriente-os a determinar o número racional positivo x cuja raiz quadrada é igual a 36. Espera-se que eles percebam que x = 36 elevado a 2 = .1296.
• Na atividade 11, os estudantes vão calcular algumas raízes enésimas. É importante que eles estejam atentos ao sinal do radicando e também à paridade do índice. Após chegarem aos resultados, incentive-os a verificar se estão corretos realizando a operação inversa.
• A atividade 12 propõe a simplificação de uma expressão numérica. Caso os estudantes tenham dificuldade, oriente-os a simplificar as expressões do numerador e denominador separadamente e, depois, calcular a razão entre elas.
Glossário
- GB
- : símbolo utilizado para representar a unidade de medida de armazenamento gigabyte; 1 gigabyte (GB) é aproximadamente igual a ...1000000000 bytes ou 109 bê
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- vácuo
- : na prática, utilizamos esse termo para nos referir a um espaço no qual a maior parte do ar ou de outro gás foi retirada e no qual a pressão é extremamente pequena.
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