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Capítulo 3 Sistemas de equações do 1º grau

Trocando ideias

O Artigo 25 do Decreto Federal nº 5.296/04 que regulamenta a Lei Federal nº 10.098/00, também consolidada na Resolução 304/08, estabelece a obrigatoriedade de reservar 2% do total de vagas regulamentadas de estacionamento para veículos que transportem pessoas com alguma deficiência física ou visual.

Fotografia. Estacionamento para automóveis com várias vagas ocupadas. Há vagas para pessoas com deficiência e para motos. — Estacionamento localizado na cidade de Salvador (Bahia). Foto de 2021.

▸

Em sua opinião, por que é importante que os estacionamentos tenham vagas reservadas para veículos que transportam pessoas com alguma deficiência física ou visual? Converse com os colegas.

▸

Considere que um estacionamento tem quinhentas vagas, que x indica a quantidade de vagas que não são reservadas para veículos que transportam pessoas com alguma deficiência física ou visual e que y indica a quantidade de vagas reservadas a esse público. Então, faça o que se pede.

a) Escreva, em seu caderno, uma equação que relacione x e y.

b) Que valores x e y podem assumir?

c) Calculem a quantidade de vagas reservadas e não reservadas para veículos que transportam pessoas com alguma deficiência física ou visual nesse estacionamento.

Neste capítulo, vamos estudar a resolução de problemas envolvendo sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas.

Respostas e comentários

Trocando ideias: primeiro item: resposta pessoal; segundo item: a) x + y = 500; b) valores naturais, porque x e y correspondem ao número de vagas de estacionamento; c) y = 10 e x = 490

CAPÍTULO 3 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Trocando ideias

Bê êne cê cê:

• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).

• Competências específicas 5, 6 e 8 (as descrições estão na página sete).

Objetivos:

• Conscientizar os estudantes sobre a importância das vagas reservadas nos estacionamentos para veículos que transportam pessoas com alguma deficiência física ou visual.

• Verificar se os estudantes conseguem resolver problemas por meio de uma equação do 1º grau com duas incógnitas.

Tema contemporâneo transversal:

Inicie o trabalho com a seção Trocando ideias perguntando para os estudantes: “Vocês já viram que, em alguns estacionamentos, há vagas reservadas para veículos que transportam pessoas com alguma deficiência física ou visual? Vocês conhecem alguém que utiliza essas vagas? Onde essas vagas costumam estar localizadas nos estacionamentos? Como elas são sinalizadas?”. Dê um tempo para que conversem sobre as questões anteriores e, depois, convide-os a trocar ideias sobre a questão proposta no primeiro item. Espera-se que eles reconheçam que as vagas reservadas facilitam o dia a dia das pessoas com alguma deficiência, porque, além da garantia de que vão conseguir estacionar seus veículos, essas vagas ficam próximas de entradas e acesso a rampas, escadas rolantes e elevadores.

Agora, proponha que resolvam o problema. No item a, eles vão traduzir a situação por meio de uma equação do 1º grau com duas incógnitas. Após determinarem a equação, no item b, questione as duplas sobre os valores que x e y podem assumir. Espera-se que eles percebam que x e y podem assumir valores naturais entre 0 e 500. Depois, peça que façam o item c. Para realizar esse item, eles primeiro devem determinar o valor de y, calculando 2% de 500, ou seja: 0,02 ⋅ 500 = 10.

Logo, y = 10.

Substituindo y por 10 em x + y = 500, calcula-se o valor de x:

x + 10 = 500

x = 500 – 10 = 490

Portanto, no estacionamento, há 10 vagas reservadas para veículos que transportam pessoas com alguma deficiência física ou visual e 490 vagas não reservadas.

As questões incentivam a interação e o diálogo, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 9 e da competência específica 8 da Bê êne cê cê. Além disso, os estudantes devem enfrentar e resolver um problema utilizando uma ferramenta matemática: a linguagem algébrica. Isso contribui para o desenvolvimento das competências específicas 5 e 6 da Bê êne cê cê.

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1 Pares ordenados e plano cartesiano

Em Matemática, a localização de pontos em um plano é feita com o auxílio de duas retas numéricas perpendiculares, chamadas de eixos. Esses eixos determinam o plano cartesiano. Observe a figura a seguir.

Plano cartesiano. Retas numéricas perpendiculares que se intersectam no ponto zero. Na reta numérica horizontal estão representados os números menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4 e ela está identificada com a letra x. Na reta numérica vertical estão representados os números menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4 e ela está identificada com a letra y. No plano cartesiano, está representado o ponto P que corresponde ao par ordenado (3,4). Do número 3 representado no eixo das abscissas, parte uma linha vertical tracejada. Do número 4 representado no eixo das ordenadas parte uma linha horizontal tracejada. As duas linhas tracejadas se encontram no ponto P.

• A reta horizontal é o eixo x ou eixo das abscissas.

• A reta vertical é o eixo y ou eixo das ordenadas.

• O ponto de intersecção entre as retas que representam esses eixos é denominado origem e corresponde ao ponto cujo par ordenado é (0, 0).

Para localizar um ponto no plano cartesiano, usamos dois números. Esses números são expressos na fórma de um par ordenado. Esse par de números é assim chamado porque existe uma ordem predeterminada para escrevê-lo.

Os elementos desses pares são chamados de coordenadas cartesianas dos pontos. Em cada par ordenado, a primeira coordenada é a abscissa do ponto, e a segunda é a ordenada do ponto. Então, para o ponto P representado, temos:

Esquema. Par ordenado, abre parênteses, 3 vírgula 4, fecha parênteses. À direita, 3 setas laranja. À direita da primeira seta, lemos: '4 é a ordenada do ponto P.' À direita da segunda seta, lemos: '3 e 4 são as coordenadas do ponto P.' À direita da terceira seta, lemos: '3 é a abscissa do ponto P.'

Agora, analise a representação no plano cartesiano dos pontos a(3, 2), B(menos 4, 1), C(menos3, menos3), D(5, 1), ê(2, 0), F(0, menos2) e G(menos5, menos4).

Respostas e comentários

Pares ordenados e plano cartesiano

Objetivo:

Recordar os conceitos de plano cartesiano e par ordenado.

Justificativa

Recordar os conceitos de plano cartesiano e par ordenado é importante para que os estudantes possam representar graficamente as soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas e, também, analisar graficamente a solução de alguns sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas.

Mapeando conhecimentos

Distribua folhas de papel quadriculado para os estudantes e peça que representem nessa folha um plano cartesiano e identifiquem o eixo das abcissas, o eixo das ordenadas e a origem desse plano. Depois, escreva alguns pares ordenados na lousa e peça que representem os pontos correspondentes no plano cartesiano. Circule pela sala e verifique se os estudantes apresentam dificuldades para realizar as tarefas propostas.

Para as aulas iniciais

Retome o conceito de plano cartesiano da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e solicite aos estudantes que façam as atividades 14 e 15. Acompanhe os estudantes durante a realização dessas atividades e tire as eventuais dúvidas.

Comente com os estudantes que cada par ordenado está associado a um único ponto do plano e que cada ponto do plano corresponde a um único par ordenado. Peça a eles que identifiquem a localização do ponto Q(4, 3) e o comparem com a do ponto P(3, 4) que foi representado no plano. Apesar de os elementos serem iguais, a ordem em que eles se apresentam modifica a localização do ponto.

No exemplo, observe se os estudantes compreendem a representação dos pontos E e F, que se localizam em um dos eixos. Se necessário, dê outros exemplos similares.

Se achar necessário, antes da realização das atividades a seguir, pergunte aos estudantes quantos pontos distintos são necessários para determinar uma reta. Caso não consigam responder, comente que dois pontos distintos determinam uma única reta. Além disso, retome o conceito de retas perpendiculares, assim como a construção dessas retas.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Determine as coordenadas de cada um dos pontos indicados no plano cartesiano a seguir.

Plano cartesiano. Retas numéricas perpendiculares que se intersectam no ponto 0. Na reta numérica horizontal estão representados os números menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3 e 4 e ela está identificada com a letra x. Na reta numérica vertical estão representados os números menos 7, menos 6, menos 5, menos 4, menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e ela está identificada com a letra y. No plano estão representados os pontos A de abscissa 3 e ordena 2, B de abscissa 1 e ordenada 3, C de abscissa 0 e ordenada 1, D de abscissa menos 3 e ordenada 4, E de abscissa menos 4 e ordenada 3, F de abscissa menos 2 e ordenada 1, G de abscissa menos 2 e ordenada menos 2, H de abscissa menos 5 e ordenada menos 3, I de abscissa 4 e ordenada menos 1 e J de abscissa 2 e ordenada menos 4. De todos os pontos saem linhas tracejadas até as retas.

2. Trace um plano cartesiano no caderno. Em seguida, represente os pontos a, B, C, D, ê, F, G, H, ih e J, cujas coordenadas são:

a(0, menos2)

B (menos3, 4)

C (0, 0)

D (2, 0)

ê (menos2, 3)

F (1, 3)

G (3, 3)

H (menos1, 2)

ih (menos1, 0)

J (menos1, 1)

Reúna-se com um colega e, no caderno, tracem duas retas numéricas perpendiculares entre si, determinando o plano cartesiano. Em seguida, representem cinco pontos cujos pares ordenados tenham:

a) coordenadas iguais;

b) coordenadas opostas;

c) abscissa igual a 3;

d) abscissa igual a menos3;

e) ordenada igual a 2;

f) ordenada igual a menos1.

Considerando as respostas dadas na atividade anterior, respondam às questões.

a) Em cada item, se unirmos os pontos, a linha formada se parecerá com uma reta?

b) Em relação ao eixo x, qual é a posição da reta que contém os pontos do item c? E da reta que contém os pontos do item d?

c) Em relação ao eixo x, qual é a posição da reta que contém os pontos do item ê? E da reta que contém os pontos do item f?

2 Equação do 1º grau com duas incógnitas

Considere a situação a seguir.

Emília comprou uma caneta e dois lápis por R$ 10,00dez reais.

Ilustração. Garota branca de cabelos castanhos, camiseta amarela e camisa xadrez de rosa e azul por cima, segurando na mão esquerda uma caneta e dois lápis na mão esquerda. Ela está na frente de um balcão de papelaria. Atrás do balcão está um homem branco de camisa verde e óculos

Indicando por x o preço de uma caneta e por y o preço de um lápis, podemos representar a situação da seguinte maneira:

x + 2y = 10

Esse é um exemplo de equação do 1º grau com duas incógnitas.

Denominamos equação do 1º grau com duas incógnitas (x e y) aquela que pode ser reduzida a uma equação do tipo ax + by = c, em que a, b e c são números reais, chamados coeficientes, com a ≠ 0 e b ≠ 0.

Respostas e comentários

1. a(3, 2); B(1, 3); C(0, 1); D(menos3, 4); ê(menos4, 3); F(menos2, 1); G(menos2, menos2); H(menos5, menos3); I(4, menos1); J(2, menos4)

2. Resposta em Orientações.

3. a) Resposta pessoal.

3. b) Resposta pessoal.

3. c) Resposta pessoal.

3. d) Resposta pessoal.

3. e) Resposta pessoal.

3. f) Resposta pessoal.

4. a) sim

4. b) perpendicular; perpendicular

4. c) paralela; paralela

• Resposta da atividade 2:

• Para responder à atividade 3, os estudantes devem perceber que:

• no item a, os pontos devem ter abscissas e ordenadas de mesmo valor: (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) etcétera;

• no item b, os pontos devem ter abscissas e ordenadas opostas: (1, −1), (−1, 1), (2, −2), (−2, 2) etcétera;

• no item c, os pontos devem pertencer à reta perpendicular ao eixo x, no ponto (3, 0). Logo: (3, 0), (3, 1), (3, −1) etcétera;

• no item d, os pontos devem pertencer à reta perpendicular ao eixo x, no ponto (−3, 0). Logo: (−3, 0), (−3, 1), (−3, −1) etcétera;

• no item e, os pontos devem pertencer à reta perpendicular ao eixo y, no ponto (0, 2). Logo: (0, 2), (1, 2), (−1, 2) etcétera;

• no item f, os pontos devem pertencer à reta perpendicular ao eixo y, no ponto (0, −1). Logo: (0, −1), (1, −1), (−1, −1) etcétera

Equação do 1º grau com duas incógnitas

Bê êne cê cê:

Habilidades ê éfe zero oito ême ah zero seis e ê éfe zero oito ême ah zero sete (as descrições estão na página oito).

Objetivos:

• Reconhecer uma equação do 1º grau com duas incógnitas.

• Representar graficamente as soluções de uma equação de 1º grau com duas incógnitas.

Justificativa

Reconhecer uma equação do 1º grau com duas incógnitas e representar graficamente suas soluções, ampliam os conhecimentos previamente adquiridos sobre equações e preparam os estudantes para o estudo de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas. A representação gráfica das soluções, em particular, contribui para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero oito ême ah zero sete.

Mapeando conhecimentos

Proponha aos estudantes que reflitam sobre o seguinte problema: “Bruno comprou um caderno e um estojo e pagou R$ 30,00trinta reais por essa compra. Quanto custou o caderno? E o estojo?”.Oriente-os a indicar por x o valor do caderno e por y o valor do estojo e tentar resolver o problema. Depois, indague: “A qual conjunto numérico x e y pertencem? Por quê? É possível traduzir o problema por meio de uma equação? Qual? O que essa equação tem que as outras que você estudou não tem? Quantas respostas são possíveis para esse problema?”.

Para as aulas iniciais

Escreva na lousa a equação que traduz o problema proposto na dinâmica inicial: x + y = 30. Depois, oriente-os a atribuir um valor qualquer a uma das incógnitas e a determinar o valor da outra incógnita. Por fim, explore com a turma a solução gráfica do problema.

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Observe alguns exemplos de equações do 1º grau com duas incógnitas.

0, 5 x ‒ \sqrt{2} y = 10

\frac{x}{7} + 1, 3 = 5 y

‒ x + \frac{y}{5} = \sqrt{21}

d) 500 + 33y = x

Podemos verificar se um par ordenado (x, y) é solução de uma equação do 1º grau com duas incógnitas substituindo as incógnitas pelos valores numéricos correspondentes. Se a sentença obtida for verdadeira, o par ordenado é solução da equação. Caso contrário, não é solução.

Por exemplo, o par ordenado (1; 4,5) é solução da equação x + 2y = 10, pois:

x + 2y = 10

1 + 2 ⋅ 4,5 = 10

1 + 9 = 10

10 = 10 (sentença verdadeira)

▸ A equação x + 2y = 10 tem infinitas soluções, mas a situação descrita no início do tópico impõe algumas condições para os valores de x e de y. Quais são essas condições?

Atividades

Faça as atividades no caderno.

5. No quadro a seguir indicamos os Valores Diários de Referência (VDR) de um café da manhã que contenha um pão com margarina e um suco de laranja.

	Porção de pão com margarina(50 g+ 14 g)	Porção de suco(200 mL)	VDR
Carboidratos (g)	28	30	300
Proteínas (g)	4	1	75

Indicando por x a quantidade de porções em grama de pão com margarina e por y a quantidade de porções de suco em mililitro, responda:

a) Que equação relaciona as quantidade de porções em grama de pão e em mililitro de suco que poderiam ser consumidas em um dia, tendo em vista o VDR de carboidratos?

b) Qual é a equação que relaciona as quantidades x e y com o valor de proteínas?

6. Escreva uma equação para representar cada uma das situações a seguir.

a) A medida do perímetro de um retângulo com lados de medidas x e y é 48 centímetros.

b) A medida x do comprimento de um retângulo excede a medida de sua largura y em 9 centímetros.

c) De um total de 20 lançamentos de dardos, Julinho acertou no alvo x lançamentos e errou y lançamentos.

d) No tiro ao alvo, Julinho ganhou 5 pontos em cada um dos x tiros acertados e perdeu 3 pontos em cada um dos y tiros errados.

7. No sítio de Pedro, há x galinhas e y porcos, em um total de 140 pés. Escreva uma equação que represente essa situação.

Respostas e comentários

Item: x e y não podem ser negativos, nulos, iguais a 10 ou maior que 10.

5. a) 28x + 30y = 300

5. b) 4x + y = 75

6. a) 2x + 2y = 48

6. b) x = y + 9

6. c) x + y = 20

6. d) 5x menos 3y = 68

7. 2x + 4y = 140

• Na atividade 5, a medida de massa de carboidratos no pão com manteiga pode ser escrita como 28x, porque 28 gramas é a medida de massa de carboidratos em uma porção de pão com manteiga e x é a quantidade de porções. Do mesmo modo, 30y é a medida de massa de carboidratos no suco, porque cada porção de suco contém 30 gramas de carboidratos e y é o número de porções de suco. Assim, para atender os VDR de carboidrato nesse café da manhã, devemos ter 28x + 30y = 300.

Pensando de maneira análoga, para atingir os VDR de proteína no café da manhã, devemos ter 4x + y = 75.

• Na atividade 6, nos itens a e b, estimule os estudantes a construir os retângulos, indicando as medidas das dimensões correspondentes. Antes da construção da equação, é importante que eles visualizem as representações algébricas que irão desenvolver.

• Para que os estudantes tenham clareza quanto ao significado de cada incógnita, é importante que organizem os dados fornecidos. Por exemplo, mostre essa organização nos itens c e d da atividade 6. Uma sugestão é escrever:

• x: números de acertos;

• y: número de erros.

Os dados da atividade 7 também podem ser organizados assim:

• x: quantidade de galinhas;

• y: quantidade de porcos.

Se eles se acostumarem a organizar os dados para a resolução de problemas, não terão dúvidas quanto à designação dos valores encontrados após as resoluções.

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Representação gráfica das soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas

Considere a equação do 1º grau com duas incógnitas x + 2y = 16.

É possível representar no plano cartesiano as soluções (pares ordenados) dessa equação. Para isso, primeiro atribuímos alguns valores a x, calculamos os valores correspondentes de y e organizamos os dados em um quadro. Depois, localizamos no plano cartesiano os pontos que representam os pares e traçamos a reta que passa por eles.

Obtenção de algumas soluções da equação x + 2y = 16
Valor atribuído a x	Equação em y	Valor de y	Par ordenado (x, y)
−4	−4 + 2y = 16	10	(−4, 10)
−2	−2 + 2y = 16	9	(−2, 9)
0	0 + 2y = 16	8	(0, 8)
2	2 + 2y = 16	7	(2, 7)
4	4 + 2y = 16	6	(4, 6)
10	10 + 2y = 16	3	(10, 3)
16	16 + 2y = 16	0	(16, 0)

Observe que os pontos que representam os pares do quadro estão alinhados. Podemos demonstrar que o conjunto de todas as soluções de x + 2y = 16, em que x e y são números reais, é representado por uma reta.

O conjunto de soluções de qualquer equação do 1º grau com duas incógnitas, sendo estas números reais, é representado no plano cartesiano por uma reta.

O conjunto das soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas pode ter nenhum elemento, finitos ou infinitos elementos, dependendo da equação e dos números que as incógnitas podem assumir.

Sugestão de leitura

RAMOS, Luzia Faraco. Encontros de primeiro grau. São Paulo: Ática, 2008. (Coleção A descoberta da Matemática).

Contextualizado pelo sumiço da filha do protagonista, o livro é uma aventura que busca apresentar equações de maneira interessante por meio das situações que Wang precisa passar para encontrar sua filha.

Respostas e comentários

Representação gráfica das soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas

Ao trabalhar a representação gráfica das soluções, explique aos estudantes que, para verificar se um par ordenado é solução de uma equação do 1º grau, basta substituir os valores de x e y na equação e verificar se a igualdade é verdadeira. Caso ela seja falsa, esse par ordenado não é solução dessa equação.

Caso os estudantes tenham dúvida de que existem infinitas soluções para a equação x + 2y = 16, destaque a eles que os pontos correspondentes aos pares ordenados, ou seja, às soluções dessa equação, formam uma reta, que é constituída de infinitos pontos. Portanto, essa equação tem infinitas soluções.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

8. Copie a representação no plano cartesiano das soluções da equação x + 2y = 16. Depois, na equação, substitua x por cinco outros números e calcule os valores correspondentes de y. Localize no plano os pontos que representam os pares (x, y) obtidos. Os novos pontos estão alinhados com os pontos anteriores?

9. Represente graficamente as soluções das equações:

a) x + y = 3

b) y = x

c) x + 4y = 4

d) x ‒ y = 6

e) 2x ‒ y = 4

f) x + y = menos5

g) x + y = 0

h) x + y = 6

3 Sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas

Considere a situação a seguir.

Ilustração. Duas mulheres, uma negra com cabelo preto amarrado, blusa azul e a outra com cabelo ruivo e blusa amarela, Estão em frente a uma banca de frutas, uma segura uma manga e fala: Precisamos comprar 12 frutas. Ao lado delas, está um homem de cabelo preto e camiseta vermelha, ele segura um abacaxi. Na banca de frutas, vemos abacaxis e mangas, e as placas: Manga 3 reais e Abacaxi 5 reais.

Um grupo de amigos foi a uma mercearia e gastou R$ 44,00quarenta e quatro reais na compra de mangas e abacaxis para uma sobremesa.

Vamos indicar por x a quantidade de mangas e por y a quantidade de abacaxis. Assim, podemos representar essa situação em linguagem algébrica da seguinte fórma:

x + y = 12

O grupo comprou 12 frutas.

3x + 5y = 44

O grupo gastou R$ 44,00quarenta e quatro reais.

Temos, portanto, duas equações do 1º grau com as mesmas duas incógnitas, x e y, que formam um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas.

Indicamos o sistema de equações assim:

\{\begin{cases} x + y = 12 \\ 3 x + 5 y = 44 \end{cases}

Assim como as equações do 1º grau com duas incógnitas, o sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas pode ter nenhuma, uma ou infinitas soluções. Se tiver solução, cada uma das soluções será um par ordenado (x, y).

A seguir, vamos estudar métodos de resolução de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas.

Respostas e comentários

8. sim

9. As respostas estão na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do Professor.

• Espera-se que, na atividade 9, os estudantes percebam que, a partir de dois pontos, é possível representar a reta que corresponde à solução gráfica de cada equação. Esses pontos podem ser determinados de fórma conveniente considerando, por exemplo, x = 0. Dessa fórma, é possível determinar y. Pode-se também fazer o contrário: igualar o y a zero e achar o valor de x.

Sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas

Bê êne cê cê:

Habilidade ê éfe zero oito ême ah zero oito.

Objetivos:

• Compreender o conceito de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas utilizando diferentes estratégias.

Justificativa

Diferentes problemas cotidianos e de diversas áreas da Matemática podem ser resolvidos por meio de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas. Por esse motivo, é importante que os estudantes compreendam e saibam aplicar esse conceito, conforme preconiza a habilidade ê éfe zero oito ême ah zero oito.

Mapeando conhecimentos

Proponha aos estudantes o seguinte problema: “Uma loja vende skates e bicicletas. São 35 brinquedos e 100 rodas ao todo. Quantos skates e bicicletas há nessa loja?”. Proponha aos estudantes que resolvam o problema por tentativa e erro. Caso tenham dificuldades, oriente-os a construir quadros. Caso a turma conclua que há 15 skates e 20 bicicletas, proponha que traduzam o problema para a linguagem algébrica.

Para as aulas iniciais

Retome o problema proposto na dinâmica inicial e oriente os estudantes a indicar a quantidade de skates por s e a quantidade de bicicletas por b. Em seguida, proponha que escrevam duas equações do 1º grau nas incógnitas s e b. Comente que as equações formam um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas e questione a qual conjunto numérico s e b pertencem e sobre como resolveriam este sistema. Avalie mostrar como este sistema pode ser resolvido pelo método da substituição e da adição.

Investigue, com os estudantes, as etapas para a construção do sistema de equações, retomando a importância da organização dos dados.

(ê éfe zero oito ême ah zero oito) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1º grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.

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Resolução de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas

Acompanhe a situação a seguir.

Jonas possui R$ 130,00cento e trinta reais em cédulas de R$ 10,00dez reais e R$ 20,00vinte reais, em um total de 9 cédulas. Quantas cédulas de cada espécie Jonas possui?

Indicando por x o número de cédulas de R$ 10,00dez reais e por y o número de cédulas de R$ 20,00vinte reais, podemos representar essa situação por meio de um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas em que x e y representam números naturais.

\{\begin{cases} x + y = 9 \\ 10 x + 20 y = 130 \end{cases}

A solução do sistema deve satisfazer as duas equações.

Na busca dessa solução, podemos testar alguns valores para x e para y e verificar se as soluções encontradas estão de acordo com os dados do problema. Assim:

Soma x + y	Valor atribuído a x	Valor de y	Valor de 10x + 20y
9	2	7	10 ⋅ 2 + 20 ⋅ 7 = 160
9	3	6	10 ⋅ 3 + 20 ⋅ 6 = 150
9	4	5	10 ⋅ 4 + 20 ⋅ 5 = 140
9	5	4	10 ⋅ 5 + 20 ⋅ 4 = 130

Observe que x = 5 e y = 4, ou seja, o par ordenado (5, 4) é uma solução do sistema, pois satisfaz as duas equações.

Resolvemos esse sistema pelo método da tentativa e erro. A desvantagem desse método é que ele não nos garante que vamos achar uma solução, nem que essa solução, se encontrada, seja única. Assim, precisamos de métodos mais sistemáticos que possam nos garantir a existência ou não de soluções e a quantidade de soluções (quando existir). Nesse sentido, vamos estudar agora os métodos da substituição e da adição para resolver um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas.

Método da substituição

Considere o sistema:

\{\begin{cases} x - y = - 5 \\ 2 x + 3 y = 10 \end{cases}

Para resolver esse sistema pelo método da substituição, inicialmente escolhemos uma das equações e isolamos uma das incógnitas. Isolando x na equação x menos y = menos5, temos:

x = menos5 + y

Em seguida, substituímos x por menos5 + y na equação 2x + 3y = 10 para obter uma equação com apenas a incógnita y.

2x + 3y = 10

2(menos5 + y) + 3y = 10

menos10 + 2y + 3y = 10

5y = 20

y = 4

Depois, substituímos y por 4 em uma das equações, determinando x :

x = menos5 + y

x = menos5 + 4

x = menos1

Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (menos1, 4).

Respostas e comentários

Resolução de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas

Resolver um sistema de equações com duas incógnitas, x e y, é o mesmo que encontrar todos os pares (x, y) que satisfazem simultaneamente as equações do sistema.

Ressalte para os estudantes que foram usados apenas números naturais na situação de Jonas, pois o problema trata de uma quantidade de cédulas e não podemos ter uma quantidade de cédulas negativa, ou não inteiras.

Ao apresentar o método da tentativa e erro, deixe claro que pode não ser a fórma mais eficaz de chegar à solução do sistema. Exemplifique utilizando o par de equações −3x + 7y = 17 e 8x + 2y = 11 e espere que os estudantes comentem sobre possíveis soluções. Nesse caso, encontrar o par ordenado apenas por tentativas pode ser mais difícil, já que a solução é dada pelo par ordenado

(\frac{43}{62}, \frac{169}{62})

Comente sobre o método da substituição, abordando o isolamento de uma incógnita em determinado membro de uma equação. Explique que isso é feito a partir de operações em ambos os membros da igualdade, assim como feito no estudo de equações do 1º grau. Exemplifique na lousa, se necessário.

Proponha as seguintes questões aos estudantes: “Você acha que há outras maneiras de resolver esse sistema sem substituir x pela expressão −5 + y? Se fosse escolhida a segunda equação para isolar uma das incógnitas, o resultado seria o mesmo?”.

Espera-se que os estudantes percebam que é possível isolar y na primeira equação, substituir a expressão obtida na segunda e assim obter x = −1 e que, escolhendo a segunda equação, o resultado também seria o mesmo. Se julgar conveniente, peça que resolvam o mesmo sistema escolhendo a segunda equação para isolar uma das incógnitas.

Após analisar o método da tentativa e erro e o método da substituição, solicite aos estudantes que resolvam o sistema que soluciona o problema da mercearia apresentado no tópico Sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas. Espera-se que concluam que foram compradas 8 mangas e 4 abacaxis.

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Método da adição

Considere o sistema:

\{\begin{cases} x + y = 16 \\ x - y = 2 \end{cases}

Adicionando essas equações membro a membro, obtemos uma equação com apenas a incógnita x. Resolvendo-a, obtemos o valor de x.

Homem de cabelo preto, camiseta laranja, calça azul e tênis azul, usando um jaleco branco, em pé com uma mão levantada e a outra segurando papéis, fala: "Observe que as equações desse sistema apresentam uma incógnita ,abre parênteses, y, fecha parênteses, com coeficientes opostos, mais 1 e menos 1."

À esquerda, adição de sentenças matemáticas. Na parte de cima. x mais y igual a 16 com um traço laranja sobre o mais y. Abaixo, x menos y igual a 2, com um traço laranja sobre menos y. Abaixo, traço horizontal. Abaixo, 2x mais 0y igual a 18. À direita, 2x igual a 18. Abaixo, x igual a 18 meios. Abaixo, x igual a 9.

Substituindo x por 9 em uma das equações, determinamos o valor de y :

x + y = 16

9 + y = 16

y = 16 ‒ 9

y = 7

Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (9, 7).

Agora, observe como podemos determinar a solução do sistema:

\{\begin{cases} x + 5 y = - 28 \\ 2 x + 3 y = - 7 \end{cases}

Observe que nenhuma das incógnitas tem os coeficientes opostos.

Para aplicar o método da adição, é preciso preparar uma das equações, multiplicando-a por um número, de modo que as equações fiquem com coeficientes opostos para uma das incógnitas.

Multiplicando a equação x + 5y = ‒28 por (‒2), obtemos coeficientes opostos para x.

Sistema de duas equações com uma equação abaixo da outra. Abre chave, primeira linha: menos 2 x menos 10 y é igual a menos 56. Segunda linha: 2 x mais 3 y é igual a menos 7. Esquema. Soma de duas equações. Na primeira linha temos: 2 x menos 10 y é igual a 56, com um traço laranja em cima do menos 2 x. Na segunda linha temos: mais 2 x mais 3 y é igual a menos 7, com um traço laranja em cima do 2 x. Traço. Na terceira linha temos 0 x menos 7 y é igual a 49. Na quarta linha temos: y é igual a menos 7.

Adicionando membro a membro as duas equações, temos:

Esquema. Soma de duas equações. Na primeira linha temos: 2 x menos 10 y é igual a 56, com um traço laranja em cima do menos 2 x. Na segunda linha temos: mais 2 x mais 3 y é igual a menos 7, com um traço laranja em cima do 2 x. Traço. Na terceira linha temos 0 x menos 7 y é igual a 49. Na quarta linha temos: y é igual a menos 7.

Substituindo y por ‒7 na equação x + 5y = ‒28, determinamos o valor de x :

x + 5 ⋅ (‒7) = ‒28

x ‒ 35 = ‒28

x = 7

Portanto, a solução do sistema é o par ordenado (7, ‒7).

Respostas e comentários

Explique aos estudantes que “preparar” uma equação significa produzir uma nova equação, equivalente à anterior, com coeficientes opostos para uma incógnita. Comente que a soma de coeficientes opostos pode ocorrer com qualquer uma das incógnitas.

No segundo sistema, explique aos estudantes que também é possível multiplicar ambos os membros das equações por outros números e obter, nas duas novas equações, coeficientes de y opostos. Se julgar conveniente, proponha aos estudantes que encontrem um número pelo qual podemos multiplicar a primeira equação e o número pelo qual devemos multiplicar a segunda equação, de modo que os coeficientes de y em ambas sejam opostos. Uma possibilidade é multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda equação por −5.

Sugestão de atividade extra

Após a leitura e a aplicação do método da adição, proponha aos estudantes que resolvam a seguinte atividade.

Problema: Há duas balanças em equilíbrio: na primeira, há dois vasos iguais de um lado e uma bandeja do outro; na segunda balança, há cinco vasos e uma bandeja de um lado e um peso de 7 quilogramas de medida de massa do outro.

Resolução: Ao adicionar as duas equações, verificamos que sete vasos e uma bandeja têm a mesma medida de massa que uma bandeja mais o peso de 7 quilogramas, ou seja, a medida de massa de sete vasos é 7 quilogramas. Com isso, cada vaso tem 1 quilograma de medida de massa, e cada bandeja, 2 quilogramas de medida de massa.

Sugestão de leitura

Sugerimos a leitura da dissertação de Gilmar Tolentino intitulada Situações-problemas aplicadas na aprendizagem de equações e sistemas de equações do primeiro grau com duas variáveis. Nesse trabalho, o autor tem como objetivo mostrar a importância da aplicação de situações-problema para a aprendizagem de equações e sistemas por estudantes do Ensino Fundamental, com o uso de balança de dois pratos.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

10. Observe a situação a seguir em que Cássio e Leonardo conversam sobre os jogos de basquete na escola em que estudam.

Ilustração. Em um parque onde há um prédio próximo, dois meninos estão na quadra de basquete. Um menino branco de regata azul e bermuda branca e outro menino preto com faixa vermelha no cabelo, regata vermelha e bermuda branca. O menino de regata azul fala: 'Leonardo, seu time não é tão melhor que o meu! Se uma de suas vitórias fosse nossa, estaríamos com o mesmo número de vitórias no campeonato.' Então o menino de regata vermelha responde: 'É Cássio, reticências, Mas se uma de suas vitórias fosse nossa, estaríamos com o dobro do número de vitórias.'

Indicando por x o número de vitórias do time de Cássio e por y o número de vitórias do time de Leonardo, podemos montar o seguinte sistema de equações:

Esquema. Informação de Cássio. Sentença matemática. y menos 1 é igual a x mais 1. Saindo uma seta laranja de baixo de 'y menos 1' e outra seta saindo de baixo de 'x mais 1'. Na primeira seta temos: Time de Leonardo cede uma vitória. Na segunda seta temos: Time de Cássio recebe uma vitória.

Esquema. Informação de Leonardo. Sentença matemática. y mais 1 é igual a 2, abre parênteses, x menos 1, fecha parênteses. Saindo uma seta laranja de baixo de 'y mais 1' e outra seta saindo de baixo de '2, abre parênteses, x menos 1, fecha parênteses.'. Na primeira seta temos: Time de Leonardo recebe uma vitória. Na segunda seta temos: Time de Cássio cede uma vitória.

Agora, reúnam-se em duplas para discutir e respondam:

a) Que valores x e y podem assumir? Por quê?

b) Por tentativas, atribuindo valores a x e a y, determine a quantidade de vitórias de cada time.

11. Resolva novamente o sistema apresentado ao estudar o método da substituição, mas agora isolando a incógnita y na equação x ‒ y = 5. A solução também é o par ordenado (‒1, 4)?

12. Determine a solução dos sistemas aplicando os métodos da substituição e da adição. Considere que x e y podem ser qualquer número real.

\{\begin{cases} x + y = - 2 \\ 2 x - y = 26 \end{cases}

\{\begin{cases} 3 x - y = - 11 \\ x + 2 y = 8 \end{cases}

\{\begin{cases} 2 x + 2 y = 4 \\ 3 x - 2 y = 1 \end{cases}

\{\begin{cases} 2 x + 3 y = 9 \\ 4 x - 5 y = 7 \end{cases}

13. Hoje, Ronaldo tem o dobro menos quatro anos da idade de Pedro. Há dez anos, a idade de Ronaldo era o triplo da idade de Pedro. Quantos anos eles têm hoje?

14. Julinho está brincando de tiro ao alvo. A cada tiro que acerta no alvo, ele ganha cinco pontos, e a cada tiro que erra, perde três pontos. Ele já deu 20 tiros e ganhou 68 pontos. Quantos tiros Julinho acertou até agora?

15. Em um estacionamento há automóveis e bicicletas, totalizando 32 veículos e 88 pneus. Determine o número de veículos de cada tipo.

Respostas e comentários

10. a) Valores naturais, porque x e y correspondem ao número de vitórias do time azul e do time vermelho, respectivamente.

10. b) x = 5 e y = 7

11. sim

12. a) (8, ‒10)

12. b) (‒2, 5)

12. c) (1, 1)

12. d) (3, 1)

13. Ronaldo tem 28 anos, e Pedro, 16 anos.

14. 16 tiros

15. 12 automóveis e 20 bicicletas.

• A atividade 10 explora a resolução de sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas pelo método da tentativa e erro. Sempre que possível, valorize o uso dessa estratégia, principalmente na resolução de problemas envolvendo números naturais.

• A atividade 11 possibilita aos estudantes perceberem que a solução para o sistema não depende da estratégia empregada. Se achar conveniente, você pode propor aos estudantes que resolvam o mesmo sistema utilizando o método da adição.

• Faça a correção coletiva de cada item da atividade 12 com a turma.

• Nas atividades 13, 14 e 15, oriente os estudantes a verificar o conjunto numérico a qual pertencem as incógnitas das equações dos sistemas que traduzem cada um dos problemas.

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16. Os times de basquete Boa Esperança e Camisa Verde estão disputando a final de um campeonato. Até o momento, o time Boa Esperança só tem uma vitória a menos do que o time Camisa Verde. Porém, se o vencedor da partida final for o Camisa Verde, eles terão, ao todo, o dobro de vitórias do time adversário.

Com base nas informações do texto, faça o que se pede.

a) Determine um sistema de equações que represente a situação.

b) Quantas vitórias cada time teve até o momento?

17. Em um circo eram cobrados valores de ingresso: um para os adultos e outro para as crianças. Um grupo, de seis crianças e um adulto, pagou R$ 71,00setenta e um reais pelos ingressos. Outro grupo, de sete crianças e quatro adultos, pagou R$ 131,00cento e trinta e um reais. Qual era o preço de cada ingresso?

18. Tenho avestruzes e coelhos, totalizando 35 cabeças e 110 pés. Calcule o número de avestruzes e o de coelhos.

Fotografia. Avestruz, grande ave de penas marrom e pescoço branco, ao lado, está um coelho marrom e branco, ele é muito menor que a ave.

19.

Elabore um problema no qual uma pessoa precisa sacar determinada quantia em dinheiro em um caixa eletrônico. Entretanto, o caixa eletrônico só possui notas de R$ 20,00vinte reais e R$ 50,00cinquenta reais. Informe no problema a quantidade total de notas que saíram do caixa eletrônico. A resolução deve envolver um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas. Sente-se em dupla, troque seu problema com o do colega e resolva o que ele propôs. Em seguida, corrijam as resoluções um do outro e conversem caso discordem de algum passo da resolução.

20.

Elabore um problema sobre a idade de dois primos, um mais novo e um mais velho, cuja solução envolva um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas. Sente-se em dupla, troque seu problema com o do colega e resolva o que ele propôs. Em seguida, corrijam as resoluções um do outro e conversem caso discordem de algum passo da resolução.

Análise da solução por meio da representação gráfica

Vamos analisar graficamente a solução de alguns sistemas em que x e y são números reais.

a) Considere o sistema:

\{\begin{cases} x + y = 5 \\ 2 y - x = 4 \end{cases}

Inicialmente vamos determinar a reta que representa as soluções de cada uma das equações.

Para traçar uma reta, basta conhecer dois pontos distintos dela. Assim, atribuímos dois valores a uma das incógnitas e calculamos os valores correspondentes da outra, obtendo, assim, pares ordenados que são coordenadas de dois dos pontos de cada reta.

Respostas e comentários

16. a)

\{\begin{cases} y - 1 = x \\ y + 1 = 2 x \end{cases}

, sendo x o número de vitórias do Boa Esperança e y o número de vitórias do Camisa Verde

16. b) Boa Esperança: duas; Camisa Verde: 3

17. criança: R$ 9,00nove reais; adulto: R$ 17,00 dezessete reais

18. 15 avestruzes e 20 coelhos

19. Resposta pessoal.

20. Resposta pessoal.

• As situações propostas nas atividades de 16 a 20 mobilizam uma série de habilidades, que passam pela competência leitora, pela transposição da linguagem materna para a notação matemática e pela escrita do sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas. Todas essas etapas precedem a resolução do sistema e requerem do estudante maturidade no enfrentamento de situações-problema, que vai sendo adquirida à medida que novas situações se apresentam e se dá oportunidade de discuti-las em grupo, conhecendo estratégias e soluções dos colegas.

• A experiência se adquire não apenas resolvendo problemas, mas também elaborando e propondo problemas aos colegas. Além das propostas das atividades 19 e 20, convide os estudantes a novas elaborações sempre que houver oportunidade.

Análise da solução por meio da representação gráfica

Se tiver oportunidade, trabalhe a solução gráfica de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas utilizando um software de construção de gráficos. Ilustre os casos dos exemplos deste tópico e peça aos estudantes que alterem os coeficientes das incógnitas, observando, por exemplo, os efeitos da mudança de sinal nas incógnitas x. Eles devem perceber que essa alteração muda a inclinação da reta no plano cartesiano.

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x + y = 5
x	y	(x, y)
0	5	(0, 5)
5	0	(5, 0)

2y − x = 4
x	y	(x, y)
0	2	(0, 2)
−4	0	(−4, 0)

Ilustração. Retas 2y menos x igual a 4 e x mais y igual a 5 representadas em um mesmo plano cartesiano. A reta 2y menos x igual a 4 passa pelos pontos correspondentes aos pares ordenados (menos 4, 0) e (0, 2) e a reta x mais y igual a 5 passa pelos pontos correspondentes aos pares ordenados (0, 5) e (5 ,0). As retas se intersectam no ponto P de abscissa 2 e ordenada 3.

As coordenadas do ponto de intersecção das retas formam o par ordenado que é a solução do sistema. Resolvendo esse sistema por qualquer um dos métodos estudados, obtemos como solução o par ordenado (2, 3).

Nesse caso, as retas são concorrentes e o par ordenado (2, 3) é a única solução do sistema. Assim, dizemos que o sistema é possível e determinado, pois tem uma única solução.

b) Vamos analisar graficamente o sistema:

\{\begin{cases} x + 2 y = 4 \\ 2 x + 4 y = - 8 \end{cases}

Inicialmente, traçamos em um mesmo plano cartesiano as retas que representam as soluções das equações.

x + 2y = 4
x	y	(x, y)
0	2	(0, 2)
4	0	(4, 0)

2x + 4y = −8
x	y	(x, y)
0	−2	(0, −2)
−4	0	(−4, 0)

Ilustração. Retas x mais 2y igual a 4 e 2x mais 4y igual a menos 8 representadas em um mesmo plano cartesiano. A reta x mais 2y igual a 4 passa pelos pontos correspondentes aos pares ordenados (0, 2) e (4, 0) e a reta 2x mais 4y igual a menos 8 passa pelos pontos correspondentes aos pares ordenados (menos 4, 0) e (0, menos 2). As retas são paralelas.

Como as retas são paralelas, não há ponto cujas coordenadas satisfaçam as duas equações. Logo, o sistema não tem solução. Esse é um exemplo de sistema impossível.

Respostas e comentários

Na primeira situação, pode não ficar evidente em um primeiro momento o que significa a intersecção das retas. Por isso, oriente os estudantes a obter as coordenadas do ponto comum às duas retas e a aplicá-las em ambas as equações. Após obterem igualdades, leve-os a perceber que esse é o único ponto dessas duas retas em que serão obtidas igualdades ao aplicar as coordenadas nessas equações.

Pergunte aos estudantes se há pontos em comum na segunda situação. Nesse momento, aproveite para retomar o conceito de retas paralelas, mostrando que não há uma solução que satisfaça ambas as equações, ou seja, a solução do sistema é impossível.

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Analise a resolução do sistema pelo método da adição:

Sistema de duas equações com uma equação abaixo da outra. Abre chave, primeira linha: x mais 2 y é igual a 4 vezes abre parênteses, menos 2, fecha parênteses. Segunda linha: 2 x mais 4 y é igual a menos 8. símbolo de implica. Esquema. Soma de duas equações. Na primeira linha temos: menos 2 x menos 4 y é igual a menos. Na segunda linha temos: mais 2 x mais 4 y é igual a menos 8. Traço. Na terceira linha temos 0 x mais 0 y é igual a menos 16.

Na igualdade 0x + 0y = ‒16 obtida, temos uma sentença falsa, pois 0x e 0y serão iguais a zero para quaisquer valores de xis e y. Logo, 0x + 0y é igual a zero, e não a ‒16.

Portanto, o sistema é impossível, como já tínhamos visto na solução gráfica.

c) Vamos analisar graficamente o sistema:

\{\begin{cases} x + y = 3 \\ 8 x + 8 y = 24 \end{cases}

Inicialmente, traçamos em um mesmo plano cartesiano as retas que representam as soluções das equações.

x + y = 3
x	y	(x, y)
0	3	(0, 3)
3	0	(3, 0)

8x + 8y = 24
x	y	(x, y)
0	3	(0, 3)
3	0	(3, 0)

Ilustração. Retas x mais y igual a 3 e 8x mais 8y igual a 24 representadas em um mesmo plano cartesiano. Ambas passam pelos pontos (0, 3) e (3, 0). As retas são coincidentes.

Como as retas são coincidentes, têm infinitos pontos comuns. Logo, o sistema tem infinitas soluções. Esse é um exemplo de sistema possível e indeterminado. Para obter qualquer uma dessas infinitas soluções, basta, em uma das equações, atribuir um valor para uma das incógnitas e calcular o valor correspondente da outra.

Observando as equações, percebemos que, ao multiplicar cada termo da primeira equação por 8, obtemos a segunda equação. Assim, as equações são equivalentes, isto é, têm as mesmas soluções.

Tecnologias digitais em foco

Análise da solução de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas por meio da representação gráfica

Nesta seção, você vai utilizar um software de construção de gráficos para representar graficamente as soluções de uma equação do tipo ax + by = c. Além disso, você vai utilizar esse software para analisar quando um sistema possui uma, infinitas ou nenhuma solução.

Respostas e comentários

Após apresentar os tipos de solução de um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas, retome rapidamente o significado da reta que representa uma equação no plano. Verifique se os estudantes, de fato, compreenderam que uma reta no plano representa todas as possíveis soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas. Neste momento, eles devem ser capazes de explicar que a solução do sistema só existe quando há pelo menos um ponto do plano que pertence às retas correspondentes às equações do sistema. Nesse caso, elas são concorrentes, e o sistema é possível (isto é, existe solução) e determinado (isto é, a solução é única). Quando há mais de um ponto no plano que pertence simultaneamente às duas retas, essas retas que representam as equações do sistema são, necessariamente, coincidentes; assim o sistema é possível (isto é, existe solução) e indeterminado (isto é, há infinitas soluções).

Tecnologias digitais em foco

Objetivo:

Analisar graficamente as soluções de sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas.

Análise da solução de sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas por meio da representação gráfica

Nesta seção, os estudantes deverão representar graficamente, com o auxílio de um software de construção de gráficos, por exemplo, Winplot, GeoGebra, calculadoras gráficas ou os próprios navegadores, que produzem as curvas se a lei de formação for digitada na janela, as soluções de sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas.

Na falta do computador, a proposta dessa seção pode ser adaptada para que os estudantes utilizem papel e instrumentos de desenho e medida.

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Tecnologias digitais em foco

CONSTRUA

Para obter a representação gráfica das soluções de uma equação do tipo ax + by = c, basta digitarmos a equação no campo apropriado.

1º) Construa a representação gráfica das soluções da equação x + 2y = 2.

2º) Construa a representação gráfica das soluções da equação 2x ‒ y = 4.

Ilustração. Tela de software. À esquerda, equação. Abaixo, cor vermelha: x + 2y = 2. Cor azul: 2x menos y = 4. À direita, na tela, malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 6 a 6. Eixo y, pontos de menos 2 a 8. Reta x + 2y = 2 e reta 2x menos y = 4 se cruzam em 2, 0.

• O sistema

\{\begin{cases} x + 2 y = 2 \\ 2 x - y = 4 \end{cases}

é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível?

3º) Construa a representação gráfica das soluções da equação x + y = 3.

4º) Construa a representação gráfica das soluções da equação x + y = 0.

Ilustração. Tela de software. À esquerda, equação. Abaixo, cor vermelha: x + y = 3. Cor verde: x + y = 0. À direita, na tela, malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 6 a 6. Eixo y, pontos de menos 2 a 8. Reta diagonal x + y = 3 e reta diagonal x + y = 0. Elas são paralelas.

• O sistema

\{\begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 0 \end{cases}

é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível?

EXPLORE

Construa a representação gráfica das soluções de cada uma das equações de um sistema possível e indeterminado qualquer. Como ficaram as retas que você construiu?

Respostas e comentários

Primeiro item: Possível e determinado, porque as retas que representam as soluções de cada uma das equações são concorrentes.

Segundo item: Impossível, porque as retas que representam as soluções de cada uma das equações são paralelas.

Explore: As retas ficaram coincidentes.

No Explore, leve os estudantes a perceber que, quando as equações forem equivalentes, o sistema será possível e indeterminado e a representação gráfica dessas equações serão retas coincidentes. Se julgar necessário, retome a ideia de equações equivalentes com a turma.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

21. Represente graficamente cada sistema, em que x e y são números reais. Em seguida, classifique cada um dos sistemas em possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.

\{\begin{cases} x - 5 y = 10 \\ 2 x - 10 y = 20 \end{cases}

\{\begin{cases} 2 x - 3 y = 12 \\ 4 x - 6 y = 14 \end{cases}

\{\begin{cases} 2 x - 4 y = 10 \\ x - 2 y = 5 \end{cases}

\{\begin{cases} 2 x + y = 8 \\ x - 2 y = - 6 \end{cases}

\{\begin{cases} 2 x - y = 7 \\ 6 x - 3 y = 15 \end{cases}

\{\begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = 2 \end{cases}

22. Observe o gráfico.

Ilustração. Retas concorrentes representadas em um mesmo plano cartesiano. Uma delas passa pela origem. A outra pela pelos pontos (0, 2) e (2, 0).

Agora, verifique qual dos sistemas de equação a seguir está de acordo com o gráfico.

Sistema um:

\{\begin{cases} 2 x + 2 y = 4 \\ x - y = 0 \end{cases}

Sistema dois:

\{\begin{cases} 2 x + 2 y = 4 \\ - 3 x + 6 y = 12 \end{cases}

23. Observe o sistema de equações a seguir.

\{\begin{cases} 4 x - 2 y = - 4 \\ - 4 x - 2 y = - 4 \end{cases}

Agora, verifique qual dos gráficos a seguir pode ser uma representação do sistema de equações anteriores.

Gráfico um

Gráfico dois

24. Joana tem uma oficina mecânica e, no final de um dia de trabalho, observou que arrecadou R$ 640,00seiscentos e quarenta reais em cédulas de R$ 10,00dez reais e R$ 50,00cinquenta reais. Sabendo que, no total, ela recebeu 24 cédulas, faça o que se pede.

a) Determine um sistema de equações para representar a situação.

b) Construa um plano cartesiano no caderno e represente as equações do sistema indicado como resposta no item anterior. Esse sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível?

c) Quantas cédulas de R$ 10,00dez reais Joana recebeu? E de R$ 50,00?cinquenta reais

Respostas e comentários

21. Respostas em Orientações.

22. Sistema um

23. Gráfico dois

24. a)

\{\begin{cases} x + y = 24 \\ 10 x + 50 y = 640 \end{cases}

24. b) Resposta em Orientações.

24. c) 14 cédulas de R$ 10,00dez reais e 10 cédulas de R$ 50,00cinquenta reais

• Respostas da atividade 21:

a) Possível e indeterminado.

b) Impossível.

c) Possível e indeterminado.

d) Possível e determinado; (2, 4)

e) Impossível.

f) Possível e determinado; (4, 2)

• Resposta do item b da atividade 24:

Possível e determinado; (14, 10)

Plano cartesiano. Retas numéricas perpendiculares que se intersectam no ponto 0. Na reta numérica horizontal estão representados os números 0, 1 até 30, de dois em dois, e ela está identificada com a letra x. Na reta numérica vertical estão representados os números menos 2, 0, 1, até 26, de dois em dois, e ela está identificada com a letra y. Reta diagonal azul que passa pelo par ordenado (0, 13). Reta diagonal laranja que passa pelo par ordenado (0, 24) e o par ordenado (24, 0).

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Resolvendo em equipe

Faça a atividade no caderno.

(ó bê ême) Numa loja de ferragens, vários produtos são vendidos pelo peso [massa]. Um prego, três parafusos e dois ganchos pesam 24 gramas. Dois pregos, cinco parafusos e quatro ganchos pesam 44 gramas. Juquinha comprou 12 pregos, 32 parafusos e 24 ganchos. Quanto pesou sua compra?

a) 200 gramas

b) 208 gramas

c) 256 gramas

d) 272 gramas

e) 280 gramas

Interpretação e identificação dos dados	• Analise as informações do enunciado e anote aquelas que julgar relevantes para a resolução do problema. • Se um prego, três parafusos e dois ganchos tem medida de massa igual a 24 g, quanto mede a massa de dois pregos, seis parafusos e quatro ganchos? • Com a informação obtida no item anterior, associada à informação dada no enunciado de que dois pregos, cinco parafusos e quatro ganchos têm medida de massa igual a 44 g, é possível encontrar a medida da massa de um parafuso. Determine-a.
Plano de resolução	• Escreva três equações com as informações do respectivo enunciado. • Monte um sistema com as três equações. • Multiplique a primeira equação por 12 e relacione-a com a terceira equação. Que conclusões você obteve?
Resolução	• Reúna-se com mais dois colegas. • Mostre a eles seu plano de resolução e verifique se há ideias em comum entre vocês. • Discutam quais são as diferenças e as semelhanças de cada plano e escolham um dos planos para a execução do processo de resolução. • Verifique, com seus colegas, qual é o plano de resolução que alcança o objetivo de maneira mais eficiente e adequada. Observação Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual no caderno.
Verificação	• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.
Apresentação	• Cada grupo deverá criar duas novas situações de compra na loja de ferragens, buscando sempre quantidades de pregos, parafusos e ganchos que sejam múltiplas das quantidades originais. Em seguida, deverão escrever as equações que permitem responder às questões formuladas. Essas novas situações devem ser apresentadas na forma de cartazes e explicadas para toda a turma.

Respostas e comentários

Resolvendo em equipe: alternativa d

Interpretação e identificação dos dados:

segundo item: 48 gramas

terceiro item: 4 gramas

Plano de resolução:

primeiro item: Indicando por x a medida da massa, em grama, do prego, por y a medida da massa, em grama, do parafuso e por z a medida da massa, em grama, do gancho, temos: x + 3y + 2z = 24, 2x + 5y + 4z = 44 e 12x + 32y + 24z = P

Plano de resolução: segundo item:

\{\begin{cases} x + 3 y + 2 z = 24 \\ 2 x + 5 y + 4 z = 44 \\ 12 x + 32 y + 24 z = P \end{cases}

Plano de resolução: terceiro item:

Sistema de duas equações com uma equação abaixo da outra. Primeira linha: 12 x mais 36 y mais 24 z é igual a 288. Segunda linha: 12 x mais 32 y mais 24 z é igual a P vezes, abre parênteses, menos 1, fecha parênteses. Sistema. Soma de equações. Primeira linha: 12 x mais 36 y mais 24 z é igual a 288. Segunda linha: menos 12 x menos 32 y menos 24 z é igual a menos P. Traço. Terceira linha: 4 y é igual a 288 menos P.

Considerando a medida da massa do parafuso, é possível responder à questão proposta.

Resolução: Se a medida da massa do parafuso é 4 gramas, temos:

4y = 288 ‒ P

4 ⋅ 4 = 288 ‒ P

P = 272

Apresentação: Uma nova situação poderia levar, por exemplo, à seguinte questão: Qual é a medida da massa de 7 pregos, 15 parafusos e 14 ganchos? Resposta: 144 gramas

Resolvendo em equipe

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 2, 4, 9 e 10 (as descrições estão na página seis.

• Competências específicas 2 e 3 (as descrições estão na página sete.

A seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os estudantes. Além de favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências específicas 2 e 3, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações.

Para a resolução desta atividade, organize a turma em grupos de 4 ou 5 estudantes. Observe as diferentes estratégias utilizadas pelos grupos. Eles poderão utilizar imagens, analisar as proporções, encontrar equações equivalentes, e assim por diante. Por fim, solicite que socializem as estratégias para que os estudantes possam descobrir diferentes formas de resolução.

Página 72

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Pares ordenados e plano cartesiano

Em um plano, traçamos duas retas com orientação crescente, x e y, perpendiculares entre si, para fazer a representação geométrica de pares ordenados. Analise a figura a seguir.

1. Construa um plano cartesiano em seu caderno e, depois, marque os pontos indicados a seguir.

a(‒2, 3); B(1, 1); C(3, 5); D(‒2; ‒3); ê(3, ‒3)

Equação do 1º grau com duas incógnitas

Representação gráfica das soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas

O conjunto de soluções de qualquer equação do 1º grau com duas incógnitas, sendo estas números reais, é representado no plano cartesiano por uma reta.

2. Lana possui cédulas de R$ 5,00cinco reais e R$ 10,00dez reais. São 20 cédulas que totalizam R$ 140,00cento e quarenta reais. Há quantas cédulas de cada valor?

Sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas

Duas equações do 1º grau com as mesmas duas incógnitas, x e y, formam um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas. Indicamos esse sistema organizando as equações em uma chave. Observe um exemplo:

\{\begin{cases} x + y = 12 \\ 3 x + 5 y = 44 \end{cases}

Análise da solução por meio da representação gráfica

• Um sistema é possível e determinado quando tem apenas uma solução. As retas que representam as soluções das equações de um sistema possível e determinado são concorrentes, ou seja, interceptam-se em um único ponto.

• Um sistema é impossível quando não tem solução. As retas que representam as soluções das equações de um sistema impossível são distintas e paralelas, não têm ponto comum.

• Um sistema é possível e indeterminado quando tem infinitas soluções. As retas que representam as soluções das equações de um sistema possível e indeterminado são coincidentes.

3. Determine a solução dos sistemas aplicando os métodos da substituição e da adição. Considere que x e y podem ser qualquer número real.

\{\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}

\{\begin{cases} x + y = 3 \\ 2 x - y = - 6 \end{cases}

\{\begin{cases} x + y = 9 \\ x - y = 3 \end{cases}

\{\begin{cases} x = 2 + y \\ y = 6 - x \end{cases}

Respostas e comentários

1. Resposta em Orientações.

2. 12 cédulas de R$ 5,00cinco reais; 8 cédulas de R$ 10,00 dez reais

3. a) (3, 2)

3. b) (‒1, 4)

3. c) (6, 3)

3. d) (4, 2)

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Pares ordenados e plano cartesiano

• Na atividade 1, os estudantes vão representar pontos em um plano cartesiano. É importante que eles estejam atentos aos sinais das coordenadas e consigam identificar em que quadrante cada ponto está localizado. Espera-se que eles obtenham uma representação similar a esta:

Equação do 1º grau com duas incógnitas

• Na atividade 2, espera-se que os estudantes percebam que precisam escrever duas equações do 1º grau com duas incógnitas para resolver o problema. Indicando por x a quantidade de cédulas de R$ 5,00cinco reais e por y a quantidade de cédulas de R$ 10,00dez reais, temos que:

x + y = 20

5x + 10y = 140

É importante que eles percebam que x e y são números naturais. Para determinar a quantidade de cédulas de cada valor, eles devem resolver o sistema formado por essas equações. Incentive a aplicação de estratégias pessoais.

Sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas

• Na atividade 3, os estudantes vão resolver sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas aplicando dois métodos: substituição e adição. Amplie a proposta dessa atividade ao pedir aos estudantes que representem graficamente cada sistema. É importante que eles percebam que a solução encontrada, em cada item, corresponde ao par ordenado do ponto de intersecção das retas que representam as equações do sistema.

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É hora de extrapolar

Faça as atividades no caderno.

As condições de vida e de trabalho são iguais para homens e mulheres?

Nos últimos séculos, as mulheres conseguiram conquistar vários direitos e espaços, especialmente no Ocidente, mas, ainda hoje, as perspectivas das mulheres em relação ao trabalho, à autonomia e à representação política não atingiram a igualdade desejada. Um dos objetivos da Agenda 2030 da ONU é a igualdade de gênero, que, para ser atingida, depende dos esforços de toda a sociedade.

Quadrado vermelho com os escritos: 5 igualdade de gênero. Em branco o símbolo de feminino junto com o símbolo de masculino e um sinal de igualdade no meio. — Alcançar a igualdade de gênero e empoderar todas as mulheres e meninas é o que determina o Objetivo de Desenvolvimento Sustentável (ó dê ésse) número 5 da ONU. No total, são 17 objetivos para transformar o mundo.

Objetivos: Analisar dados sobre a desigualdade de gênero; pesquisar a biografia de mulheres de destaque; produzir e divulgar um póde kést com a biografia da personalidade escolhida.

Etapa 1: Análise de dados sobre a desigualdade de gênero no país.

1. A turma deverá se organizar em cinco grupos e ler o trecho a seguir sobre o Índice de Desigualdade de Gênero.

O Relatório de Desenvolvimento Humano de 2020, publicado pelo Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento (penúdi), traz a classificação de 189 países em relação ao Índice de Desenvolvimento Humano (í dê agá) para o ano de 2019, com o Brasil ocupando a 84a posição. Além dos valores de í dê agá, há valores que se referem ao Índice de Desigualdade de Gênero (í dê gê), cuja definição é:

O Índice de Desigualdade de Gênero (í dê gê) reflete desigualdades com base no gênero em três dimensões – saúde reprodutiva, autonomia e atividade econômica. A saúde reprodutiva é medida pelas taxas de mortalidade materna e de fertilidade entre as adolescentes; a autonomia é medida pela proporção de assentos parlamentares ocupados por cada gênero e a obtenção de educação secundária ou superior por cada gênero; e a atividade econômica é medida pela taxa de participação no mercado de trabalho para cada gênero. O í dê gê reticências mostra a perda no desenvolvimento humano devido à desigualdade entre as conquistas femininas e masculinas nas três dimensões do IDG. penúdi Brasil. O que é í dê agá.

Disponível em: https://oeds.link/J95YLG. Acesso em: 4 julho 2022.

Quando o í dê gê é analisado, constata-se uma piora na classificação do Brasil no ranking publicado pelo penúdi em 2018, pois o país passou a ocupar a 95a posição. As altas taxas de mortalidade materna, as desigualdades salariais entre homens e mulheres e a baixa representação feminina na política são fatores que contribuem para que o valor do í dê gê brasileiro seja baixo.

a) Leiam o relatório Estatísticas de gênero: indicadores sociais das mulheres no Brasil, produzido pelo í bê gê É, que traz dados estatísticos sobre alguns indicadores que tratam das diversidades sociais entre o sexo feminino ou o masculino. Para ler o relatório, consulte: https://oeds.link/rf7LPR (acesso em: 5 julho 2022).

b) Cada grupo deverá escolher um dos cinco domínios do relatório em que os indicadores foram organizados:

• estruturas econômicas, participação em atividades produtivas e acessos e recursos;

• educação;

• saúde e serviços relacionados;

• vida pública e tomada de decisões;

• direitos humanos das mulheres e meninas.

Elaborem um resumo sobre os dados do domínio escolhido, identificando aqueles que se referem às dimensões consideradas para o cálculo do í dê gê.

c) Compartilhem o resumo elaborado com os colegas e montem um único documento que englobe todas as informações coletadas sobre os domínios abordados no relatório. Inclua no resumo afirmações sobre o infográfico da abertura desta Unidade.

2. Em novembro de 2021, o Brasil ficou na 142a posição no ranking da União Interparlamentar (UIP) que avalia 193 países e informa a quantidade de homens e mulheres atuantes na política. Um dos fatores relevantes para que o Brasil ocupasse essa colocação, a última posição entre os países da América do Sul, é que apenas 15,2% dos deputados federais são mulheres.

Respostas e comentários

1. Comentários em Orientações.

É hora de extrapolar

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 4, 5 e 9 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 5, 6 e 7 (as descrições estão na página sete).

A seção propõe o fechamento da unidade por meio de um trabalho colaborativo que explora a pesquisa, a comunicação e a elaboração de um produto final (podcast ou seminário), que será compartilhado com a comunidade escolar.

Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem:

• entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado;

• pesquisa coletiva;

• elaboração, em grupo, do produto proposto;

• apresentação e exposição do produto;

• reflexão e síntese do trabalho.

As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser realizadas extraclasse. Verifique o perfil dos estudantes e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspectos necessários à realização do trabalho.

A seção também favorece o desenvolvimento das competências gerais 4, 5 e 9 e das competências específicas 5, 6 e 7, procurando mobilizar conteúdos estudados nos capítulos que integram a Unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção depois de estudar os capítulos, mas, se preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os capítulos forem estudados, atente para os conhecimentos prévios necessários.

Se achar oportuno, trabalhe esta seção em parceria com o professor de História. Os estudantes podem aprofundar a pesquisa e o debate sobre os momentos históricos em que ocorreram marcos da participação das mulheres na sociedade, incluindo uma pesquisa sobre o Dia Internacional da Mulher.

• Na atividade 1, incentive os estudantes a ler o relatório Estatísticas de gênero: indicadores sociais das mulheres no Brasil, produzido pelo í bê gê É, como pedido no item a, para que possam escolher um dos domínios desse relatório com algum conhecimento sobre o assunto no item b. Se achar conveniente, os domínios podem ser sorteados entre os grupos ou a formação dos grupos pode ser feita com base na escolha dos domínios pelos estudantes.

• O item c da atividade 1 retoma a pergunta feita na abertura dessa Unidade. Aproveite-a para comparar os conhecimentos da turma naquele momento e agora.

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Sabendo que, em 2021, havia 513 deputados federais no Brasil, respondam às questões.

a) Qual é o cálculo que precisamos realizar para determinar a quantidade de deputadas federais na Câmara dos Deputados? Qual foi o resultado obtido?

b) É conveniente utilizar o número obtido para representar o número de deputadas federais mulheres? Por quê?

c) Em 2021, o número de deputados do sexo masculino correspondia a 45 mais o quíntuplo do número de deputados do sexo feminino. Representem a relação entre o número de deputados do sexo feminino e o número de deputados do sexo masculino e determinem o número de cadeiras da Câmara de Deputados que foi ocupado por mulheres.

3. Agora, vocês vão se organizar em novos grupos.

Cada novo grupo será composto de, no mínimo, um integrante de cada grupo que elaborou o resumo para um dos domínios do relatório Estatísticas de gênero: indicadores sociais das mulheres no Brasil.

a) Elaborem uma lista com ações que consideram importantes para combater a desigualdade de gênero nos diversos aspectos sociais apresentados.

b) Apresentem a lista para os demais colegas e promovam uma discussão coletiva, a fim de criar uma lista única para a turma.

Etapa 2: Pesquisa e análise de informações sobre a participação feminina na sociedade.

As projeções da ó í tê reunidas no relatório intitulado “Perspectivas Sociais e do Emprego no Mundo: Tendências 2021” (“World Employment and Social Outlook: Trends 2021 ”– WESO Trends) indicam que o déficit de empregos resultante da crise global chegará a 75 milhões em 2021, antes de cair para 23 milhões em 2022. [reticências]

A crise também atingiu as mulheres de fórma desproporcional. Em 2020, a [não] contração do emprego feminino foi de 5%, em comparação com 3,9% do emprego masculino. O percentual de mulheres que ficaram de fóra do mercado de trabalho e passaram para a inatividade também foi maior. Por outro lado, o aumento das responsabilidades domésticas resultante do confinamento devido à crise aumentou o risco de um “retorno à tradicionalização” no que diz respeito aos papéis de gênero.

[reticências]

Disponível em: https://oeds.link/LvSpZw. Acesso em: 4 julho 2022.

Agora, respondam às questões.

a) Na opinião de vocês quais são os impactos das desigualdades de gênero no mercado de trabalho?

b) Vocês acham importante que homens e mulheres sejam contratados na mesma proporção? Por quê?

5. Observem os nomes e as fotos das mulheres mostradas a seguir e respondam: quais delas vocês conhecem? Por que são consideradas mulheres de destaque?

Pintura. Mulher de cabelo castanho enrolado nas laterais e tiara dourada na cabeça. Ela usa roupa escura e olha para o lado. — Ada lóvleice

Fotografia em preto e branco. Mulher de cabelo curto, olhos pequenos e casaco escuro. — Amelia Earhart

Fotografia. Mulher de cabelo preto e lenço roxo sobre a cabeça. — Malala iuçáfizái

Pintura. Mulher de cabelo escuro, chapéu com detalhes dourados e casaco verde com faixa na transversal. — Maria Quitéria

Fotografia em preto e branco. Mulher de cabelo escuro preso para trás, óculos e casaco escuro. — Rosa Parcs

Fotografia. Mulher de cabelo castanho, olhos azuis e casaco azul. — mariam mirzacãni

Fotografia. Mulher de cabelos curtos e grisalhos na frente com casaco marrom e gola clara. — Valentina Tereshcôva

Fotografia. Mulher de cabelo escuro preso para trás, brincos compridos e blusa vermelha. Ela olha para o lado. — Tarsila do Amaral

Respostas e comentários

2. a) 15,2% de 513; 77, 976

2. b) Espera-se que os estudantes respondam que não é conveniente porque o número obtido não é inteiro.

2. c) Exemplo de resposta: h = 45 + 5 ⋅ m, em que h indica o número de homens e m o número de mulheres; m = 78.

3. a) Resposta pessoal.

4. a) Resposta pessoal.

4. b) Resposta pessoal.

5. Resposta pessoal.

• No item b da atividade 2, faça um levantamento dos dados identificados pelos estudantes e anote-os em fórma de um esquema. Esse esquema pode ser feito na lousa ou usando algum software específico para a elaboração de mapas mentais.

• Na atividade 3, se possível, disponha as carteiras em u ou em roda para que todos os estudantes possam se ver durante o debate.

• O assunto abordado na atividade 4 pode ser aprofundado com a leitura do artigo Mulheres ainda são menos propensas a atuar no mercado de trabalho do que os homens na maior parte do mundo, diz OIT, disponível em: https://oeds.link/p1HdEX. (acesso em: 4 agosto 2022).

Se achar conveniente, promova um debate sobre a participação das mulheres nas ciências. Pergunte aos estudantes por que eles acham que essa participação é baixa e quais são as dificuldades encontradas por elas. Sugira o filme Estrelas além do tempo (drama/ficção histórica, 2 horas 7 minutos, Fox Film, 2016, classificação indicativa livre) que relata a história de três cientistas afro-americanas que trabalharam na NASA e tiveram atuação de destaque durante a corrida espacial na década de 1960.

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6. Escolham uma das mulheres apresentadas e pesquisem sua biografia e os desafios enfrentados por ela em seu campo de atuação. Façam também uma pesquisa sobre as conquistas ou os desafios enfrentados pela população feminina na sociedade da época em que essa mulher viveu.

Etapa 3: Pesquisa e planejamento para a produção de um podcast.

7. Façam uma pesquisa que tenha como objetivo responder às seguintes questões:

a) O que são podcasts?

b) Como os podcasts são produzidos e reproduzidos?

c) Indiquem uma vantagem de se consumir podcasts.

8. Organizem e elaborem um roteiro para a produção de um podcast sobre a personalidade feminina pesquisada.

O objetivo do podcast é divulgar a história dessas mulheres de destaque para a comunidade escolar, trazendo dados biográficos e desafios vividos, e informar uma conquista ou um desafio enfrentado pela população feminina na época em que essas mulheres viveram.

Analisem as dicas a seguir.

• Estudem bem o assunto, pois é importante que se tenha domínio sobre o que se vai falar.

• Criem uma lista com o planejamento de todo o conteúdo que vai entrar no episódio com a divisão das tarefas para a produção.

• Usem a criatividade. Mesmo que o podcast não seja visível, criem cenários com a voz, sempre priorizando o entendimento do público.

• Elaborem um roteiro visando à organização do conteúdo que será apresentado. O roteiro pode conter: vinheta de início, apresentação dos locutores, rápida introdução do tema, abordagem do tema, preparação para o fechamento e encerramento.

• Guardem uma cópia da gravação original, evitando possíveis problemas com erros de edição do áudio.

9. Com a turma, escolham um único nome para os podcasts, como se fizessem parte de um programa. Todos os podcasts devem iniciar com a mesma vinheta.

Etapa 4: Análise dos roteiros e gravação do podcast.

10. Disponibilizem o roteiro elaborado para que os demais colegas comentem a clareza das informações e os recursos sonoros que o grupo pretende utilizar.

11. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas.

12. Depois dos ajustes necessários, ensaiem algumas vezes antes do momento da gravação.

13. Gravem o podcast. Lembrem-se de escolher um local sem ruídos e cuidem para que os áudios sejam captados de fórma clara.

14. Divulguem o produto para a comunidade escolar. Vocês podem organizar um momento para executar o áudio na própria escola, por exemplo, durante o intervalo.

Etapa 5: Síntese do trabalho realizado.

15. Algumas questões devem ser discutidas.

a) Vocês acham importante que as pessoas conheçam as histórias dessas mulheres? Por quê?

b) O que pode ser feito pela sociedade para garantir uma maior igualdade de gênero no mercado de trabalho?

16. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo nas etapas 2 e 3.

Respostas e comentários

6. Resposta pessoal.

15. a) Respostas pessoais.

15. b) Respostas pessoais.

• Na atividade 6, faça um levantamento para verificar qual personalidade foi escolhida por cada grupo. Se houver repetições, converse com os grupos para solicitar que escolham outra personalidade para que a pesquisa apresente diversidade. Caso seja necessário, proponha um sorteio.

• Na atividade 8, se não for possível gravar o podcast, os estudantes podem preparar seminários para apresentar para a turma e para a comunidade escolar.

Verifique com os grupos que optaram por mulheres contemporâneas qual conquista ou desafio da população feminina de modo geral foi escolhido por eles. Se houver repetição, sugira que selecionem outra informação da pesquisa feita na atividade 6 para compartilhar.

Se achar oportuno, estabeleça uma parceria com o professor de Língua Portuguesa para auxiliar os estudantes na escolha do tipo de texto (reportagem, entrevista, narração etcétera) e elaboração desses textos.