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Unidade 3

Capítulo 7 Triângulos e quadriláteros

Capítulo 8 Área, volume e capacidade

Capítulo 9 Equações do 2º grau

Fotografia. Seis remos de madeira cada um pintado com um tipo de grafismo indígena. — Remos de madeira decorados da etnia Pataxó, em Porto Seguro (Bahia). Foto de 2019.

O artesanato indígena, com sua diversidade de cores e formatos, representa a preservação da cultura e a valorização da ancestralidade indígena.

O que você sabe sobre a diversidade cultural dos povos indígenas no Brasil? As figuras presentes no artesanato indígena se parecem com quais figuras geométricas planas? Ao final desta Unidade, você responderá a essas e outras questões.

Respostas e comentários

Abertura da Unidade

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 3 e 9 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 3 e 8 (as descrições estão na página sete).

Objetivos:

• Motivar os estudantes para estudar os conteúdos da Unidade 3.

• Verificar se os estudantes reconhecem figuras geométricas planas em objetos ou imagens do cotidiano.

• Discutir com os estudantes a diversidade cultural dos povos indígenas.

Tema contemporâneo transversal:

Pergunte aos estudantes se já viram algum artesanato feito por comunidades indígenas. Reserve um tempo para ouvir as experiências deles. Depois, comente que esse tipo de artesanato é passado de geração para geração e pode ser realizado por meio de diferentes técnicas e empregando diversos materiais, como folhas de árvores, palhas, penas, fibras de plantas, entre outros. Os cestos eram utilizados inicialmente como utensílio doméstico e, depois, passaram a ser considerados artigos de decoração.

Ao questioná-los sobre o que sabem sobre a diversidade cultural dos povos indígenas, espera-se que alguns deles citem suas habitações, modos de vida, culinária etcétera. Nesse momento, você não precisa se aprofundar muito no assunto porque ele será retomado na seção É hora de extrapolar, proposta ao final desta Unidade.

Ao perguntar sobre as figuras geométricas planas que reconhecem nos cestos da imagem, peça para que justifiquem suas respostas. Você pode aproveitar a oportunidade para verificar o que sabem sobre essas figuras.

O contexto dessa abertura possibilita aos estudantes relacionar Matemática e Arte, o que permite o desenvolvimento da competência específica 3 de Matemática. As questões propostas, por sua vez, incentivam o diálogo e a interação favorecendo o desenvolvimento da competência geral 9 e da competência específica 8.

No capítulo 7, serão estudadas a congruência dos triângulos e a classificação dos quadriláteros. Já no capítulo 8, o foco são as medidas de área, volume e capacidade. Por fim, no capítulo 9, serão estudadas as equações do 2º grau com uma incógnita.

Na seção É hora de extrapolar, os estudantes vão analisar dados sobre a população indígena, pesquisar e analisar informações sobre os tipos de habitação dos povos indígenas e sobre a arte da cerâmica e da cestaria indígenas e realizar uma exposição de painéis para a comunidade escolar.

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Capítulo 7 Triângulos e quadriláteros

Trocando ideias

Pieter Cornellis Mondrian (1872-1944), também conhecido como Piête Môndrian, foi um pintor holandês. Suas obras se caracterizam pela presença de linhas retas e de figuras retangulares, nas cores vermelha, azul, amarela, preta e branca, que ele considerava as cores elementares do Universo. Analise esta reprodução de uma de suas obras.

Fotografia. Reprodução de obra de arte composta por linhas retas e de figuras retangulares, nas cores vermelha, azul, amarela, preta e branca, — MONDRIAN, Piet. Composição com vermelho, amarelo, azul e preto, óleo sobre tela, 59,5 centímetros × 59,5 centímetros, 1921.

Conheça mais

No site do Museu de Arte Moderna de Nova York (Estados Unidos da América), é possível conhecer mais obras de Piet Mondrian.

▸

Cite duas características dos retângulos.

▸

Reúna-se com um colega e pesquisem obras de arte em que é possível identificar figuras que se parecem com triângulos e quadriláteros. Depois, compartilhem com a turma o que encontraram.

Neste capítulo, vamos estudar os triângulos e os quadriláteros.

Respostas e comentários

Trocando ideias: primeiro item: exemplo de resposta: têm dois pares de lados paralelos e seus quatro ângulos internos são retos; segundo item: resposta pessoal.

CAPÍTULO 7 – TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS

Trocando ideias

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 2, 3, 6 e 9 (as descrições estão na página seis).

• Competência específica 8 (a descrição está na página sete).

Objetivos:

• Levantar os conhecimentos previamente adquiridos pelos estudantes sobre os retângulos.

• Verificar se os estudantes identificam triângulos e quadriláteros em obras de arte.

Antes de iniciar o trabalho com o Trocando ideias, se possível, mostre algumas obras de Piête Môndrian (1872-1944) para a turma e incentive-os a verbalizar o que mais lhes chamou atenção. Pergunte a eles se conseguem perceber algo em comum entre as obras. Após dar um tempo para que respondam, comente que essas são reproduções de obras de arte do artista holandês Pieter Cornellis Mondrian e que elas se caracterizam pela presença de linhas retas e de figuras retangulares, nas cores primárias (vermelho, azul e amarelo), que ele considerava as cores elementares do Universo. Em seguida, reserve um tempo para que analisem a reprodução da obra Composição com grande plano vermelho, amarelo, preto, cinza e azul presente na página e peça que façam as atividades propostas.

No primeiro item, eles devem citar duas características dos retângulos. Conforme eles forem dando suas respostas, registre-as na lousa. Eles podem citar que os retângulos têm dois pares de lados paralelos, tem quatro ângulos internos retos, têm lados opostos de mesma medida de comprimento, têm duas diagonais com mesma medida de comprimento etcétera. Esse é o momento oportuno para verificar o que sabem a respeito dessa figura.

No segundo item é solicitada uma pesquisa, a qual pode ser realizada na escola (em classe com livros ou na sala de informática) ou em casa. Oriente-os a investigar as obras de Rubem Valentim (1922-1991), vaciíli candinsqui (1866-1944) ou Luiz Sacilotto (1924-2003). Se julgar necessário, convide o professor ou a professora de Arte para participar da condução desse trabalho. Reserve um momento para que compartilhem o que pesquisaram e discuta com eles algumas propriedades dos triângulos e quadriláteros que, eventualmente, conhecem.

Neste Trocando ideias, os estudantes são convidados a apreciar obras de arte, a valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e a exercitar a imaginação, o que favorece o desenvolvimento das competências gerais 2, 3 e 6 da Bê êne cê cê. Além disso, os estudantes realizam uma pesquisa, colocando em prática o espírito coletivo e a empatia com o próximo, o que possibilita o desenvolvimento da competência geral 9 e da competência específica 8 de Matemática.

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1 Triângulos

O triângulo é um polígono de três lados.

O formato triangular é muito utilizado na arquitetura e na engenharia pela rigidez que a estrutura triangular apresenta. Além disso, podemos observar o formato triangular em obras de arte, em revestimentos e em diferentes artigos de artesanato.

Vamos destacar alguns elementos deste triângulo á bê cê.

• Vértices: a, B e C.

• Lados:

\overline{A B}, \overline{A C} e \overline{B C}

• Ângulos internos:

\hat{A}, \hat{B} e \hat{C}

• Ângulos externos:

\hat{x}, \hat{y} e \hat{z}

Classificação de triângulos

Os triângulos podem ser classificados quanto às medidas de comprimento dos lados e quanto às medidas de abertura dos ângulos.

Quanto às medidas de comprimento dos lados

• Equilátero: os três lados são congruentes.

Figura geométrica. Triângulo ABC com os 3 lados com mesma medida de comprimento.

\overline{A B} ≅ \overline{B C} ≅ \overline{C A}

• Isósceles: dois lados são congruentes.

Figura geométrica. Triângulo ABC. Os lados AB e AC têm a mesma medida de comprimento.

\overline{A B} ≅ \overline{A C}

• Escaleno: não tem lados congruentes.

Figura geométrica. Triângulo ABC com os 3 lados com medidas de comprimento diferentes.

Ilustração. Menina amarela sentada à uma mesa desenhando um triângulo isósceles. Sobre a mesa estão também uma borracha e uma régua. A menina diz: 'Vamos combinar: em um triângulo, os lados (ou os ângulos) marcados com a mesma quantidade de tracinhos têm a mesma medida de comprimento, ou seja, os lados (ou os ângulos) são congruentes.'

Observações

1. No triângulo isósceles á bê cê anterior:

•

\overline{B C}

é a base;

•

\hat{B} e \hat{C}

são os ângulos da base e, para qualquer triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes

(\hat{B} ≅ \hat{C})

;

•

\hat{A}

é o ângulo do vértice oposto à base.

2. Em qualquer triângulo equilátero, todos os ângulos são congruentes.

Respostas e comentários

Triângulos

Objetivos:

• Classificar triângulos.

• Reconhecer os pontos notáveis de um triângulo.

Justificativa

Classificar triângulos possibilita aos estudantes reconhecer que existem triângulos com diferentes características e os ajuda a desenvolver as capacidades de comparação e análise.

Reconhecer os pontos notáveis de um triângulo oferece aos estudantes a oportunidade de mobilizar diferentes conceitos como o de mediana, altura, bissetriz e mediatriz. Além disso, poderão explorar propriedades geométricas que envolvam esses pontos e resolver problemas aplicando essas propriedades.

Mapeando conhecimentos

Reproduza as atividades 26 e 27 da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores na lousa e peça para que os estudantes as façam. Essas atividades servem para diagnosticar se recordam os principais elementos de um triângulo.

Em seguida, organize os estudantes em duplas e peça para que façam as seguintes atividades:

1. Construam um triângulo qualquer em uma folha de papel e tracem a mediana relativa a um dos lados desse triângulo. Depois, pergunte: “Quantas medianas tem um triângulo? Em quantos pontos elas se interceptam?”.

2. Construam um triângulo qualquer em uma folha de papel e tracem a bissetriz relativa a um dos ângulos desse triângulo. Depois, pergunte: “Quantas bissetrizes há nos ângulos internos de um triângulo? Em quantos pontos elas se interceptam?”.

Para as aulas iniciais

Retome as atividades da dinâmica inicial. Espera-se que eles percebam que, em um triângulo, há três medianas e três bissetrizes. É possível que alguns deles, por meio de experimentações, tenham percebido que as medianas de um triângulo se interceptam em um único ponto e as bissetrizes também. Caso tenham apresentado dificuldades, oriente-os a traçar as outras duas medianas no caso da atividade 1 e as outras duas bissetrizes no caso da atividade 2. A proposta da atividade 1, pode ser ampliada com a seguinte atividade: “Meçam a distância entre o ponto de intersecção das medianas e os pontos médios dos lados e a distância entre o ponto de interseção e os vértices. O que vocês podem concluir?”. Após discutirem essa questão, você pode explorar a intersecção das alturas e mediatrizes de um triângulo.

Classificação de triângulos

Leia com o grupo a classificação de triângulos quanto às medidas do comprimento dos lados. Pergunte aos estudantes se o triângulo equilátero pode ser considerado isósceles. É importante destacar que para um triângulo ser isósceles basta que dois lados sejam congruentes, ou seja, um triângulo equilátero também pode ser considerado isósceles, pois tem os três lados congruentes.

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Quanto às medidas de abertura dos ângulos

• Acutângulo: os três ângulos internos são agudos.

Figura geométrica. Triângulo ABC com os 3 ângulos internos com aberturas medindo menos do que 90 graus.

m e d (\hat{A}) < 90 °, m e d (\hat{B}) < 90 ° e m e d (\hat{C}) < 90 °

• Retângulo: tem um ângulo interno reto.

Figura geométrica. Triângulo retângulo DEF, Os ângulos internos com vértices em D e F tem aberturas medindo menos do que 90 graus e o ângulo interno com vértice em E tem abertura medindo 90 graus.

m e d (\hat{E}) = 90 °

• Obtusângulo: tem um ângulo interno obtuso.

Figura geométrica. Triângulo MNO. Os ângulos internos com vértices em M e O têm aberturas medindo menos do que 90 graus e o ângulo interno com vértice em N tem abertura medindo mais do que 90 graus.

m e d (\hat{N}) > 90 °

Observação

A soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo é 180graus. Assim, em um triângulo retângulo, há um ângulo reto e dois ângulos agudos, pois a soma das medidas de abertura dos outros dois ângulos deve ser 90graus. O mesmo acontece com um triângulo obtusângulo: há um ângulo de medida de abertura maior que 90graus; logo, os outros dois ângulos também são agudos, pois a soma de suas medidas de abertura é menor que 90graus.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Classifique cada um dos triângulos a seguir quanto às medidas de comprimento dos lados e às medidas de abertura dos ângulos.

Figura geométrica. Triângulo com os 3 lados medindo 5 centímetros de comprimento e com os 3 ângulos internos com abertura medindo 60 graus.

Figura geométrica. Triângulo com os 2 lados medindo 4 centímetros de comprimento e 1 lado medindo 4 vezes raiz quadrada de 3 centímetros de comprimento. As medidas das aberturas dos ângulos internos opostos aos lados que medem 4 centímetros, são de 30 graus. A medida da abertura do ângulo opostos ao lado que mede 4 vezes raiz quadrada de 3 centímetros de comprimento é de 120 graus.

Figura geométrica. Triângulo cuja medida do comprimento dos lados está indicada pelas letras a, b e c. A medida da abertura do ângulo oposto ao lado que mede c tem 30 graus. A medida da abertura do ângulo oposto ao lado que mede a tem 20 graus. A medida da abertura do ângulo oposto ao lado que mede b tem 120 graus.

2. É possível construir um triângulo que tenha dois ângulos obtusos? Justifique sua resposta.

Respostas e comentários

1. a) equilátero e acutângulo

1. b) isósceles e obtusângulo

1. c) escaleno e obtusângulo

2. Não, pois a soma das medidas de abertura de dois ângulos obtusos é maior que 180graus (soma das medidas de abertura dos ângulos internos de qualquer triângulo).

Relembre que a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um triângulo é 180graus. Aproveite para destacar que o triângulo equilátero tem todos os ângulos internos com abertura medindo 60graus, e o triângulo isósceles tem pelo menos dois ângulos congruentes.

• Caso os estudantes encontrem dificuldades para resolver a atividade 2, sugira que utilizem três lápis e imaginem como seria o triângulo (caso fosse possível construí-lo). É esperado que eles percebam que, com dois ângulos obtusos, será impossível construir um triângulo.

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Cevianas notáveis: mediana, altura e bissetriz

Agora, vamos estudar a mediana, a altura e a bissetriz de um triângulo, que são chamadas de cevianas.

Ceviana é qualquer segmento de reta com uma extremidade em um vértice de um triângulo e a outra extremidade na reta suporte do lado oposto a esse vértice.

Reta suporte de um segmento de reta é a reta que contém esse segmento.

No triângulo á bê cê a seguir,

\overline{A D}

é uma ceviana relativa ao lado

\overline{B C}

Figura geométrica. Triângulo ABC. Sobre o lado BC está representada uma reta r. Há um ponto D representado entre os pontos B e C. Há também um segmento de reta com extremidades no ponto A e ponto D.

r (ou

\overset{\leftrightarrow}{B C}

) é a reta suporte do lado

\overline{B C}

Medianas de um triângulo

As medianas de um triângulo são as cevianas que têm uma extremidade em um dos vértices do triângulo e a outra extremidade no ponto médio do lado oposto a esse vértice.

No triângulo á bê cê a seguir,

\overline{A M}

é a mediana relativa ao lado

\overline{B C}

. Como M é ponto médio de

\overline{B C}

\overline{B M} e \overline{M C}

são congruentes.

Figura geométrica. Triângulo ABC. Sobre o lado BC está representado o ponto M, de modo que a medida do comprimento do segmento de reta BM é igual a medida do comprimento do segmento de reta MC. Está representado também um segmento de reta com extremidades no ponto A e M.

BM = MC

Em um triângulo, podemos traçar uma mediana relativa a cada lado.

A intersecção das medianas de um triângulo determina um ponto chamado baricentro (G).

A seguir, temos que o ponto G é o baricentro do triânguloá bê cê, e pode-se provar que ele divide a medida do comprimento das medianas na razão de 1 para 2, ou seja:

Figura geométrica. Triângulo ABC. Estão representados por M1, M2 e M3 os pontos médios dos lados BC, AC e AB, respectivamente. Também estão representadas as medianas AM1, BM2 e CM3. As medianas se intersectam no ponto G.

\frac{M_{1} G}{A G} = \frac{M_{2} G}{B G} = \frac{M_{3} G}{C G} = \frac{1}{2}

Observação

O baricentro de um objeto qualquer é considerado seu centro de gravidade (ou centro de massa). Isso quer dizer que, se apoiarmos um objeto em seu baricentro, ele ficará em equilíbrio.

Respostas e comentários

Cevianas notáveis: mediana, altura e bissetriz

Aproveite a imagem para ilustrar a afirmação “O ponto G é o baricentro do triânguloABC e divide as medianas na razão de 1 para 2”. Adote, como exemplo, a medida do comprimento de

\overline{{AM}_{1}}

como 9 centímetros. Assim,

\overline{A G}

terá 6 centímetros de comprimento e

\overline{{G M}_{1}}

terá 3 centímetros. Cite outros valores para que eles calculem as medidas correspondentes.

Sugestão de leitura

Sugerimos a leitura das seções “Introdução”, “Centro de gravidade” e “Equilíbrio no cotidiano” presentes no site de Ensino de Física On-line da USP, que explora conceitos de centro de gravidade e centro de massa a partir de uma perspectiva da Física.

Disponível em: https://oeds.link/vMqFQt. Acesso em: 12 agosto 2022.

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Alturas de um triângulo

As alturas de um triângulo são as cevianas que têm uma extremidade em um dos vértices do triângulo e a outra extremidade na reta suporte do lado oposto ao vértice, formando um ângulo cuja abertura mede 90graus com essa reta.

Figura geométrica. Triângulo ABC. Sobre o lado BC está representada uma reta. Há um ponto H representado entre os pontos B e C. Há também um segmento de reta com extremidades no ponto A e ponto H que forma um ângulo de 90 graus com o lado BC.

\overline{A H}

é a altura relativa ao lado

\overline{B C}

Figura geométrica. Triângulo DEF. Sobre o lado EF está representada uma reta. Há um ponto H linha representado à direita do ponto F, na reta. Há também um segmento de reta tracejado com extremidades no ponto D e ponto H linha que forma um ângulo de 90 graus com a reta.

\overline{D H'}

é a altura relativa ao lado

\overline{E F}

A intersecção das retas suporte das três alturas determina um ponto chamado ortocentro (H).

Figura geométrica. Triângulo OPQ acutângulo. Estão representados sobre o triângulo 3 retas. Uma reta passa pelo ponto O e pelo ponto H1 que está no lado PQ, formando com o lado PQ um ângulo de 90 graus. A outra reta. passa pelo ponto P e pelo ponto H2 que está no lado OQ, formando com o lado OQ um ângulo de 90 graus. Já a outra reta, passa pelo ponto Q e pelo ponto H3 que está no lado OP, formando com o lado OP um ângulo de 90 graus. As três retas se intersectam no interior do triângulo no ponto H.

H é o ortocentro do triânguloOPQ.

Figura geométrica. Triângulo KLM obtusângulo.. Estão representados sobre o triângulo 3 retas. Uma reta passa pelo ponto K e pelo ponto H2 linha que está no prolongamento do lado LM, formando com o prolongamento deste lado um ângulo de 90 graus. A outra reta. passa pelo ponto M e pelo ponto H3 linha que está no lado KL, formando com o lado KL um ângulo de 90 graus. Já a outra reta, passa pelo ponto L e pelo ponto H1 linha e forma 90 graus com o prolongamento do lado KM. As três retas se intersectam no ponto H linha, exterior ao triângulo.

H’ é ortocentro do triânguloKLM.

Observações

1. No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo.

2. No triângulo retângulo, o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto.

3. No triângulo obtusângulo, o ortocentro é externo ao triângulo.

Bissetrizes de um triângulo

As bissetrizes internas de um triângulo são as cevianas que têm uma extremidade em um dos vértices do triângulo e a outra extremidade no lado oposto a esse vértice, dividindo cada ângulo interno em dois ângulos congruentes.

Neste triângulo á bê cê,

\overline{A D}

é a bissetriz interna relativa ao ângulo

B \hat{A} C

Figura geométrica. Triângulo ABC. Sobre o lado BC está representado o ponto D, Está representado também um segmento de reta com extremidades no ponto A e D, de modo que a medida da abertura do ângulo BAD é igual a medida da abertura do ângulo DAC.

m e d (B \hat{A} D) = m e d (D \hat{A} C)

Respostas e comentários

Comente com os estudantes sobre a necessidade da construção de retas suportes para traçarmos algumas alturas. Verifique se eles percebem essa necessidade ao traçar alturas em triângulos obtusângulos.

Pergunte aos estudantes se, ao traçarmos a bissetriz

\overline{A D}

, os segmentos

\overline{B D}

\overline{D C}

são congruentes. Espera-se que eles percebam que não, então aproveite para questionar se há algum caso particular em que isso poderia acontecer. A resposta a esse questionamento é sim, pois se o triângulo fosse isósceles, com AB = AC, ou se o triângulo fosse equilátero, a bissetriz em questão coincidiria com a mediana.

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O ponto de intersecção das três bissetrizes de um triângulo é denominado incentro (I).

A bissetriz equidista dos lados que formam um ângulo; então, como o incentro é a intersecção das bissetrizes, esse ponto é equidistante dos três lados do triângulo, ou seja, a medida da distância entre o incentro e qualquer um dos lados do triângulo é sempre a mesma.

Essa propriedade permite traçar uma circunferência de centro I que intercepta cada lado do triângulo em um único ponto (dê linha em

\overline{B C}

, é linha em

\overline{A C}

e éfe linha em

\overline{A B}

). Essa circunferência é inscrita ao triângulo.

Figura geométrica. Triângulo ABC. Estão representadas as bissetrizes AD, BE e CF. As bissetrizes se intersectam no ponto I que é interior ao triângulo. Também está representada uma circunferência de centro I que tangencia o lado AB no ponto F linha, o lado AC no ponto E linha e o lado BC no ponto D linha.

ih é o incentro do triânguloá bê cê,

\overline{I D'} ≅ \overline{I E'} ≅ \overline{I F'}

Observações

1. As mediatrizes de um triângulo são as mediatrizes de seus lados, ou seja, são as retas perpendiculares às retas suporte dos lados que passam pelo ponto médio do lado correspondente.

2. As mediatrizes dos lados de um triângulo se interceptam em um ponto chamado circuncentro (O).

3. A mediatriz equidista dos extremos de um segmento de reta; então, como o circuncentro é a intersecção das mediatrizes, esse ponto é equidistante dos três vértices do triângulo, ou seja, a medida da distância entre o circuncentro e qualquer um dos vértices do triângulo é sempre a mesma. Essa propriedade permite traçar uma circunferência de centro O que passa pelos três vértices do triângulo. Essa circunferência é circunscrita ao triângulo.

4. Em alguns triângulos, assim como ocorre com o ortocentro, o circuncentro pode ser interno ou externo ao triângulo.

5. O baricentro, o ortocentro, o incentro e o circuncentro são chamados de pontos notáveis de um triângulo.

Figura geométrica. Triângulo ABC. Estão representadas as 3 mediatrizes. que intersectam no ponto O, interior ao triângulo. Também está representada uma circunferência de centro O e que passam pelos pontos A, B e C.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso nas atividades 3, 4 e 6.

3. Utilizando régua e compasso, copie este triângulo no caderno, trace suas medianas e determine seu baricentro.

4. Utilizando régua e compasso, construa, no caderno, um triângulo cujos lados tenham medidas de comprimento iguais a 6 centímetros, 5 centímetros e 8 centímetros. Em seguida, trace suas bissetrizes e determine seu incentro.

5. No caderno, desenhe um triângulo cujos lados tenham medidas de comprimento iguais a 7 centímetros, 4 centímetros e 6 centímetros. Em seguida, determine o encontro das alturas desse triângulo (ortocentro).

6. No caderno, desenhe um triângulo cujos lados tenham medidas de comprimento iguais a 6 centímetros, 7 centímetros e 8 centímetros. Depois, faça o que se pede.

a) Trace as mediatrizes dos lados, determinando o circuncentro do triângulo. Então, com o auxílio de um compasso, trace uma circunferência que circunscreva esse triângulo.

b) Trace as bissetrizes dos ângulos, determinando o incentro do triângulo. Então, com o auxílio de um compasso, trace uma circunferência inscrita nesse triângulo.

Respostas e comentários

3. Comentário em Orientações.

4. Comentário em Orientações.

5. Comentário em Orientações.

6. Comentário em Orientações.

Enfatize aos estudantes que uma circunferência está inscrita em um polígono convexo quando tangencia internamente todos os lados do polígono. Peça a eles que observem que os pontos D, E e F não coincidem com os pontos dê linha, é linha e éfe linha.

Destaque aos estudantes que uma circunferência está circunscrita a um polígono quando todos os vértices do polígono pertencem à circunferência.

• Caso os estudantes tenham dificuldade para traçar as medianas solicitadas na atividade 3, retome o tópico “Mediana de um triângulo”. Faça com que notem que, para determinar o baricentro de qualquer triângulo, basta traçar as medianas de dois lados quaisquer do triângulo.

• Na atividade 4, sugira aos estudantes que representem a circunferência inscrita no triângulo. Se tiverem dificuldades, comente que, para determinar uma circunferência, é preciso conhecer seu centro e a medida do comprimento do seu raio. O centro é o ponto de intersecção das bissetrizes e, para determinar o raio é preciso traçar uma reta perpendicular a um dos lados do triângulo, passando pelo incentro. Lembre-os de que basta traçar as bissetrizes internas de dois ângulos internos quaisquer do triângulo para determinar seu incentro.

• Se julgar conveniente, proponha a realização da atividade 5 utilizando um software de Geometria dinâmica. Basta traçar as alturas relativas a dois lados quaisquer do triângulo para determinar seu ortocentro.

• A seguir, apresentamos as construções esperadas para a atividade 6. As medidas dos lados dos triângulos estão proporcionais ao solicitado no enunciado da atividade.

• Para o item a:

Figura geométrica. Triângulo HIK. Estão representadas as 3 mediatrizes. que se intersectam no ponto N, interior ao triângulo. Um intersecta o lado KH no ponto J, a outra o lado IK no ponto L e a outra o lado HI no ponto M. Também está representada uma circunferência de centro N e que passam pelos pontos H, I e K

• Para o item b:

Figura geométrica. Triângulo KLM. Estão representadas as bissetrizes que se intersectam no ponto I que é interior ao triângulo. Também está representada uma circunferência de centro I que tangencia o lado KM no ponto D. A circunferência também tangencia os outros dois lados em pontos que não estão identificados.

Oriente os estudantes quanto aos cuidados no manuseio do compasso a fim de evitar acidentes.

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Tecnologias digitais em foco

Pontos notáveis de triângulos isósceles e equiláteros

Nesta seção, vamos utilizar o GeoGebra ou outro software de geometria dinâmica que seu professor pode indicar, para explorar propriedades dos pontos notáveis de triângulos isósceles e equiláteros.

Construa

Siga os passos seguintes para construir um triângulo isósceles.

1º) Utilize a ferramenta

Ilustração. Botão da ferramenta Segmento do software GeoGebra.

e trace um segmento de reta

\overline{A B}

qualquer.

2º) Utilize a ferramenta

Ilustração. Botão da ferramenta Circunferência dado centro e um ponto do software GeoGebra.

e trace a circunferência com centro em a passando por B.

3º) Escolha um ponto C qualquer na circunferência e, com a ferramenta

Ilustração. Botão da ferramenta Polígono do software GeoGebra.

, construa o triângulo com vértices nos pontos a, B e C.

Print. Tela do software GeoGebra. Na parte superior, há uma barra com diversos botões. Da esquerda para a direita, os botões correspondem às ferramentas: mover, ponto, reta, reta perpendicular, polígono, circunferência, elipse, ângulo, reflexão, controle deslizante e mover janela.. O botão polígono aparece selecionado e abaixo deste botão aparecem, de cima para baixo, os botões que correspondem às seguintes ferramentas: Polígono; Polígono Regular; Polígono Rígido e Polígono semideformável.
No canto superior direito aparecem os botões minimizar, maximizar e fechar.
Na tela está representada uma circunferência de centro A e um triângulo ABC, sendo B e C, pontos da circunferência. — O triângulo á bê cê é isósceles, pois A bê = á cê (medidas de comprimento dos raios da circunferência).

4º) Utilize as ferramentas

Ilustração. Botão da ferramenta Ponto médio ou Centro do software GeoGebra.

e trace as medianas do triângulo. Depois, determine o baricentro (G).

5º) Esconda as construções, deixando visíveis apenas a mediana relativa à base e o baricentro.

6º) Utilize as ferramentas

Ilustração. Botão da ferramenta Reta perpendicular do software GeoGebra.

e trace as alturas do triângulo. Depois, determine o ortocentro (H).

7º) Esconda as construções, deixando visíveis apenas a altura relativa à base e o ortocentro.

8º) Utilize as ferramentas

Ilustração. Botão da ferramenta Bissetriz do software GeoGebra.

e trace as bissetrizes dos ângulos internos do triângulo. Depois, determine o incentro (ih ).

9º) Esconda as construções, deixando visíveis apenas a bissetriz relativa ao ângulo oposto à base e o incentro.

10º) Utilize a ferramenta

Ilustração. Botão da ferramenta Mediatriz do software GeoGebra.

e trace as mediatrizes dos lados do triângulo. Depois, determine o circuncentro (óh).

Respostas e comentários

Tecnologias digitais em foco

Bê êne cê cê:

• Competência geral 5 (a descrição está na página seis).

• Competência específica 2 (a descrição está na página sete).

• Habilidade ê éfe zero oito ême ah um cinco.

Objetivo:

Explorar as propriedades dos pontos notáveis de triângulos isósceles e equiláteros.

Pontos notáveis de triângulos isósceles e equiláteros

Nesta seção, os estudantes deverão construir, no GeoGebra, um triângulo isósceles e, depois, as suas medianas, alturas, bissetrizes, mediatrizes e, em seguida, identificar os pontos notáveis (baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro). Oriente-os a realizar os passos de 1 a 11. Após realizarem o 5º, 7º, 9º e 11º passos, dê uma pausa para que possam comparar as construções realizadas e tecer comentários.

As atividades propostas nesta seção podem ser realizadas com qualquer software de geometria dinâmica. Na falta de acesso a computadores, a proposta pode ser adaptada para ser realizada com a utilização de papel e instrumentos de desenho (régua, compasso, transferidor etcétera).

No item a do Explore, na página seguinte, os estudantes vão movimentar os vértices do triângulo construído e verificar experimentalmente que a mediatriz, a altura e a mediana relativas à base e a bissetriz do ângulo oposto à base coincidem e estão contidas na reta que é a mediatriz relativa à base. No item b, eles devem observar que os pontos notáveis estão alinhados. Já no item c, os estudantes são convidados a construir um triângulo equilátero, determinar todos os pontos notáveis dele e movimentar os vértices desse triângulo para verificar experimentalmente que os pontos notáveis coincidem. É importante enfatizar que as investigações realizadas apenas sugerem que essas propriedades são válidas e que elas serão demonstradas após o estudo da congruência de triângulos.

Esse uso do GeoGebra contribui de fórma significativa para o desenvolvimento da competência geral 5 da Bê êne cê cê. Além disso, a atividade proporciona aos estudantes desenvolver o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 2 de Matemática.

(ê éfe zero oito ême ah um cinco) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90graus, 60graus, 45graus e 30graus e polígonos regulares.

Página 142

11º) Esconda as construções, deixando visíveis apenas a mediatriz relativa à base e o circuncentro.

Explore

a) Movimente os vértices do triângulo isósceles construído a fim de modificar sua configuração. O que acontece com a mediatriz, a altura e a mediana relativas à base

\overline{B C}

e com a bissetriz relativa ao ângulo oposto a essa base?

b) Os pontos notáveis do triângulo isósceles construído estão alinhados? Isso acontece mesmo quando você movimenta os vértices do triângulo?

c) Construa um triângulo equilátero e determine seus pontos notáveis (baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro). Depois, movimente os vértices do triângulo. O que você nota em relação aos pontos notáveis?

2 Congruência de triângulos

Analise estes triângulos.

Figura geométrica. Triângulos ABC e A linha, B linha e C linha. Lado AB congruente ao lado A linha B linha. Lado AC congruente ao lado A linha C linha. Lado BC congruente ao lado B linha C linha. Ângulo A congruente ao ângulo A linha; ângulo B congruente ao ângulo B linha; ângulo C congruente ao ângulo C linha.

Note que esses triângulos têm três pares de lados congruentes e três pares de ângulos congruentes. Se os recortássemos, poderíamos sobrepor um ao outro sem sobras ou faltas. Nesse caso, dizemos que esses triângulos são congruentes entre si. Podemos escrever:

\overline{A B} ≅ \overline{A' B'}

\hat{A} ≅ \hat{A}'

\overline{A C} ≅ \overline{A' C'}

\hat{B} ≅ \hat{B}'

\overline{B C} ≅ \overline{B' C'}

\hat{C} ≅ \hat{C}'

Respostas e comentários

Explore:

a) A altura, a mediana e a bissetriz coincidem e estão contidas na reta que é a mediatriz relativa à base.

b) Espera-se que os estudantes percebam que, em um triângulo isósceles, os pontos notáveis estão sempre alinhados.

c) Espera-se que os estudantes percebam que os pontos notáveis coincidem.

Congruência de triângulos

Bê êne cê cê:

• Competência específica 2 (a descrição está na página sete).

Objetivos:

• Compreender o conceito de congruência de triângulos.

• Reconhecer triângulos congruentes segundo um dos casos: éle á éle, á éle á , éle éle éle e LAAo.

Justificativa

Compreender o conceito de congruência de triângulos amplia os conhecimentos dos estudantes sobre congruência de segmentos de reta e congruência de ângulos.

O reconhecimento de triângulos congruentes segundo um dos casos, éle á éle, á éle á , éle éle éle e LAAo, ajuda a identificar triângulos congruentes sem a necessidade de verificar as seis congruências: três entre lados e três entre ângulos. Esse conhecimento, aliado à compreensão do conceito de congruência, é de grande valia também para demonstrar diferentes propriedades já estudadas e justificar algumas construções com régua e compasso que já realizaram.

Mapeando conhecimentos

Organize a sala em grupos e distribua para cada grupo uma folha de papel com três triângulos reproduzidos: dois deles devem ser congruentes e o outro não. Depois, oriente os grupos a reproduzir os três triângulos em uma folha de papel vegetal, recortar essas figuras e tentar sobrepor umas às outras. Depois, questione-os: “É possível sobrepor essas figuras? Quais delas?”. Depois, solicite que analisem os ângulos e os lados dos triângulos que coincidiram e pergunte: “O que podemos afirmar sobre a medida do comprimento dos lados correspondentes desses triângulos? E sobre as medidas das aberturas dos ângulos internos correspondentes?”.

Para as aulas iniciais

Explique aos estudantes que, quando os três lados e os três ângulos de dois triângulos são congruentes, esses triângulos são congruentes e que, quando dois triângulos são congruentes, os lados e os ângulos deles são congruentes. Depois, peça a eles que representem triângulos congruentes em uma folha de papel e compartilhem as representações feitas com um colega para que possam verificar se os lados e os ângulos correspondentes dos triângulos feitos pelo colega são congruentes. Certifique-se de que todos tenham régua e transferidor para realizar a tarefa.

Página 143

Logo, o triângulo á bê cê é congruente ao triângulo á linha bê linha cê linha. Indicamos essa congruência assim:

triânguloá bê cê ≅triânguloá linha bê linha cê linha

Dois triângulos são congruentes quando os lados correspondentes e os ângulos correspondentes são congruentes.

Podemos concluir que dois triângulos são congruentes mesmo sem conhecer todas as medidas de comprimento dos lados e as medidas de abertura dos ângulos. Verifique a seguir os casos de congruência de triângulos.

1º caso de congruência: éle á éle (Lado-Ângulo-Lado)

Dois triângulos são congruentes quando dois lados e o ângulo compreendido entre eles são, respectivamente, congruentes.

Confira os triângulos á bê cê e á linha bê linha cê linha.

Figura geométrica. Triângulo ABC ao lado do triângulo A linha, B linha, C linha. Lado AB congruente ao lado A linha B linha. Ângulo B congruente ao ângulo B linha. Lado BC congruente ao lado B linha C linha. Implica que triângulo ABC é congruente ao triângulo A linha B linha C linha.

Temos:

Ilustração. Mulher amarela, cabelo preto, jaleco de professora, dizendo que O símbolo representado por uma seta significa que, se as afirmações à sua esquerda são verdadeiras, então as afirmações à sua direita também são verdadeiras.

2º caso de congruência: á éle á (Ângulo-Lado-Ângulo)

Dois triângulos são congruentes quando um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado são, respectivamente, congruentes.

Analise os triângulos á bê cê e á linha bê linha cê linha.

Figura geométrica. Triângulo ABC ao lado do triângulo A linha, B linha, C linha. Ângulo B congruente ao ângulo B linha. Lado BC congruente ao lado B linha C linha. Ângulo C congruente ao ângulo C linha. Implica que triângulo ABC é congruente ao triângulo A linha B linha C linha.

Temos:

Respostas e comentários

Comente com os estudantes que, para a congruência de triângulos, valem as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.

• Reflexiva: todo triângulo é congruente a si mesmo.

• Simétrica: se um triângulo ABC é congruente a um triângulo a linha bê linha cê linha, então o triângulo a linha bê linha cê linha é congruente ao triângulo ABC.

• Transitiva: se um triângulo ABC é congruente a um triângulo DEF, e o triângulo DEF é congruente a um triângulo a linha bê linha cê linha, então o triângulo ABC é congruente ao triângulo a linha bê linha cê linha.

Ao propor as atividades de verificação sugeridas a seguir, oriente os estudantes quanto aos cuidados no manuseio do compasso a fim de evitar acidentes.

1º caso de congruência: éle á éle (Lado-Ângulo-Lado)

Antes de apresentar o caso de congruência éle á éle, proponha aos estudantes que utilizem régua e compasso para construir, em uma folha de papel, um triângulo no qual um dos ângulos tenha medida de abertura igual a 30graus e esse ângulo seja formado por lados de medida de comprimento iguais a 6 centímetros e 4 centímetros. Depois, peça a eles que comparem os triângulos que fizeram com o dos colegas e verifiquem se são todos congruentes. Espera-se que concluam que sim.

Depois, faça a leitura coletiva do texto do livro com a turma. Desenvolva o exemplo na lousa se achar necessário. Chame a atenção deles para o modo como representamos dois triângulos que são congruentes (triânguloá bê cê ≅ triânguloa linha bê linha cê linha). Esclareça que essa representação indica que o vértice a corresponde ao vértice á linha, o vértice B corresponde ao vértice bê linha e o vértice C corresponde ao vértice cê linha.

2º caso de congruência: á éle á (Ângulo-Lado-Ângulo)

Solicite que construam dois triângulos. Ambos devem ter um lado com a mesma medida de comprimento e os dois ângulos adjacentes a esse lado devem ter a mesma medida de abertura. Verifique se percebem que os triângulos construídos são congruentes. Incentive-os a trocar ideias com os colegas.

Após o estudo do caso á éle á , exiba um exemplo de triângulos que apresentam dois ângulos correspondentes congruentes e que tenham um dos lados com a mesma medida de comprimento, porém este lado não está compreendido entre os ângulos congruentes correspondentes. Pergunte para a turma se podemos afirmar que esses triângulos são congruentes. Espera-se que eles respondam que não.

Página 144

3º caso de congruência: éle éle éle (Lado-Lado-Lado)

Dois triângulos são congruentes quando os três lados são, respectivamente, congruentes.

Verifique os triângulos á bê cê e á linha bê linha cê linha.

Figura geométrica. Triângulo ABC ao lado do triângulo A linha, B linha, C linha. Lado AB congruente ao lado A linha B linha. Lado AC congruente ao lado A linha C linha. Lado BC congruente ao lado B linha C linha. Implica que triângulo ABC é congruente ao triângulo A linha B linha C linha.

Temos:

4º caso de congruência: éleaAo (Lado-Ângulo-Ângulo oposto)

Dois triângulos são congruentes quando um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado são, respectivamente, congruentes.

Confira os triângulos á bê cê e á linha bê linha cê linha.

Figura geométrica. Triângulo ABC ao lado do triângulo A linha, B linha, C linha. Lado BC congruente ao lado B linha C linha. Ângulo B congruente ao ângulo B linha. Ângulo A congruente ao ângulo A linha. Implica que triângulo ABC é congruente ao triângulo A linha B linha C linha.

Temos:

Atividades

Faça as atividades no caderno.

7. Em cada item, verifique se os triângulos são congruentes e, em caso afirmativo, indique o caso correspondente.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC ao lado de triângulo retângulo DEF. Comprimento do lado AB medindo 3 vírgula 2 centímetros; comprimento do lado AC medindo 3 vírgula 6 centímetros. Comprimento do lado DE medindo 3 virgula 2 centímetros; comprimento do lado EF medindo 3 vírgula 6 centímetros.

Figura geométrica. Triângulo ABC ao lado de triângulo DEF. Abertura do angulo A medindo 70 graus, abertura do angulo C medindo 30 graus e comprimento do lado AC medindo 3 centímetros. Abertura do ângulo D medindo 30 graus, abertura do ângulo F medindo 70 graus e comprimento do lado DF medindo 3 centímetros.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC ao lado de triângulo retângulo DEF. Abertura do ângulo A medindo 60 graus, abertura do ângulo C medindo 30 graus. Abertura do ângulo D medindo 31 graus, ângulo F medindo 59 graus.

Figura geométrica. Triângulo ABC acima do triângulo DEF. Abertura do ângulo A medindo 30 graus, comprimento do lado AB medindo 5 centímetros e comprimento do lado AC medindo 5 centímetros. Abertura do ângulo D medindo 30 graus, comprimento do lado DE medindo 5 centímetros e comprimento do lado DF medindo 5 centímetros.

Respostas e comentários

7. a) sim; éle á éle

7. b) sim; á éle á

7. c) não

7. d) sim; éle á éle

3º caso de congruência: éle éle éle (Lado-Lado-Lado)

Antes de apresentar o caso de congruência éle éle éle, proponha aos estudantes que utilizem régua e compasso para construir, em uma folha de papel, um triângulo com lados de medida de comprimento 7 centímetros, 4 centímetros e 6 centímetros. Depois, peça a eles que comparem os triângulos que fizeram com o dos colegas e verifiquem se são todos congruentes. Espera-se que concluam que sim.

Depois, faça a leitura coletiva do texto do livro com a turma. Desenvolva o exemplo na lousa se achar necessário.

4º caso de congruência: LAAo (Lado-Ângulo-Ângulo oposto)

No 4º caso de congruência, utilizando as imagens como exemplo, comente que, quando falamos de ângulo oposto, estamos nos referindo ao ângulo formado no único vértice que não pertence ao segmento de reta

\overline{B C}

, que nesse caso foi considerado o lado (L).

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Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC ligado pelo vértice C ao triângulo retângulo CDE. Lado BC medindo 5 centímetros. Lado CD medindo 5 centímetros.

8. Os triângulos de cada item são congruentes. Indique qual caso garante a congruência e quais são os ângulos e lados correspondentes que justificam o caso de congruência.

a) triânguloá dê bê e triânguloCBD

Figura geométrica. Triângulo ABD unido ao triângulo CBD pelo lado BD. Lado BC congruente ao lado AD. Ângulo B congruente ao ângulo D.

b) triânguloCAD e triânguloCBD

Figura geométrica. Triângulo CAD retângulo em D unido ao triângulo CBD, retângulo em D, pelo lado CD. Ângulo C com mesma medida em ambos os triângulos.

9. Por que podemos afirmar que

\overline{A M} ≅ \overline{M B}

Figura geométrica. Triângulo ACM retângulo em A unido pelo vértice M ao triângulo BDM retângulo em B. Lado CM congruente ao lado DM.

10. No quadrado a bê cê dê, M é o ponto médio de

\overline{A B}

. Prove que

\overline{M C} ≅ \overline{M D}

Figura geométrica. Quadrado ABCD. No lado AB, ponto M do qual saem dois segmentos de reta, um até o vértice D, formando o triângulo ADM, e outro até o vértice C, formando o triângulo BCM. Também forma-se o triângulo CDM.

11. Justifique a congruência dos triângulos na figura a seguir.

Figura geométrica. Segmento AD e segmento BC concorrentes no ponto M. Formam-se os triângulos AMB e CMF na cor lilás. Os lados BM, do triângulo AMB, e DM, do triângulo CMD, são congruentes e os ângulos B, do triângulo AMB, e D do triângulo CMD, são congruentes.

3 Justificativas de algumas propriedades e construções com régua e compasso

Demonstração da propriedade dos ângulos internos de um triângulo equilátero

Vamos demonstrar que, em qualquer triângulo equilátero, os três ângulos internos são congruentes, com 60graus de medida de abertura cada um.

Considere o triângulo equilátero á bê cê a seguir e a mediana

\overline{C M}

relativa ao lado

\overline{A B} .

Figura geométrica. Triângulo ABC, sendo CM a mediana ao lado AB, de modo que AM é congruente ao lado MB.

Temos que:

•

\overline{C M}

é lado comum.

•

\overline{M A} ≅ \overline{M B}

, pois M é ponto médio de

\overline{A B}

•

\overline{C A} ≅ \overline{C B}

, pois triânguloá bê cê é um triângulo equilátero.

Logo, pelo caso éle éle éle: triângulocê ême á ≅ triânguloCMB.

Portanto,

\hat{A} ≅ \hat{B}

(um)

Respostas e comentários

7. e) sim; á éle á

8. a) caso éle á éle

\overline{A D} ≅ \overline{B C}

A \hat{D} B ≅ C \hat{B} D

\overline{D B}

(lado comum aos dois triângulos)

8. b) caso á éle á

A \hat{C} D ≅ B \hat{C} D

\overline{C D}

(lado comum aos dois triângulos)

\hat{D}

(ângulos retos)

\overline{A M} ≅ \overline{M B}

, pois: triânguloá cê ême ≅ triânguloBDM (caso LAAo )

10.

\overline{M C} ≅ \overline{M D}

, pois: triânguloá ême dê ≅ triângulobê ême cê (caso éle á éle)

11. triânguloá ême bê ≅ triânguloCMD (caso á éle á )

• Para a atividade 10, explique aos estudantes que uma prova é diferente de apenas mostrar ou enunciar uma propriedade. Devemos utilizar fatos previamente conhecidos para provar que alguma propriedade enunciada é verdadeira. Eventualmente, há mais de um caminho para chegarmos a essa conclusão. Portanto, os estudantes devem construir uma argumentação consistente e matematicamente verdadeira a partir das informações: a bê cê dê é quadrado e M é ponto médio de

\overline{A B}

para chegar à conclusão de que

\overline{M C} ≅ \overline{M D}

Justificativas de algumas propriedades e construções com régua e compasso

Objetivo:

Justificar algumas propriedades e construções com régua e compasso.

Justificativa

É importante que os estudantes percebam que propriedades, teoremas e procedimentos que estudam na Matemática podem ser demonstrados. Justificar propriedades e construções com régua e compasso permite a eles mobilizar conceitos e perceber como os raciocínios são encadeados. Nesse âmbito, eles podem perceber que a Matemática não é uma disciplina que se resume a um conjunto de fórmulas e regras que devem aplicar de fórma acrítica.

Mapeando conhecimentos

Forme uma roda de conversa com a turma e pergunte quem sabe demonstrar ou justificar alguma propriedade da Matemática. Convide os estudantes que responderam que sabem para explicar aos demais colegas e fazer os registros da demonstração ou justificativa na lousa. Observe se distinguem as hipóteses e a tese e se conseguem encadear as ideias.

Para as aulas iniciais

Retome as demonstrações da dinâmica inicial e tire as eventuais dúvidas.

Propriedade dos ângulos internos de um triângulo equilátero

Nesta página e na seguinte, demonstra-se que os três ângulos de um triângulo equilátero são congruentes e medem 60graus cada um. Recorde com a turma que a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180graus e comente que esse resultado será utilizado na demonstração que vão estudar.

Desenvolva a demonstração do livro na lousa e complete-a com a participação da turma. É importante que eles identifiquem os triângulos semelhantes e argumentem com base nos critérios estudados anteriormente. Deixe que avaliem quando precisarão utilizar o fato de que a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180graus.

Página 146

Considere agora a mediana

\overline{B N}

relativa ao lado

\overline{C A} .

Figura geométrica. Triângulo ABC, mediana BN dividindo o lado AC em duas partes congruentes.

Temos que:

•

\overline{B N}

é lado comum.

•

\overline{N C} ≅ \overline{N A}

, pois N é ponto médio de

\overline{A C}

•

\overline{C B} ≅ \overline{A B}

, pois triânguloá bê cê é um triângulo equilátero.

Logo, pelo caso éle éle éle: triânguloBNC ≅ triânguloBNAponto

Portanto,

\hat{C} ≅ \hat{A}

(II)

De um e dois, temos:

\hat{A} ≅ \hat{B} ≅ \hat{C}

Como

m e d (\hat{A}) + m e d (\hat{B}) + m e d (\hat{C}) = 180 °

, temos que:

m e d (\hat{A}) = m e d (\hat{B}) = m e d (\hat{C}) = 60 °

Assim, demonstramos que os ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes e medem, cada um, 60graus de abertura.

Justificativa da construção da bissetriz

A bissetriz do ângulo

A \hat{O} B

foi construída seguindo o procedimento apresentado no capítulo 4.

Figura geométrica. Semirreta OA forma ângulo com a semirreta OB. Semirreta OE é bissetriz do ângulo AOB. Na semirreta OA está o ponto C e na semirreta OB está o ponto D. Há um arco que passa por C e D. No ponto E há um cruzamento de dois pequenos arcos.

Vamos verificar que, de fato, com os passos realizados,

\vec{O E}

é a bissetriz do ângulo

A \hat{O} B

Considere o triânguloDOE e o triânguloCOE.

Com base na construção realizada, temos que

\overline{O D} ≅ \overline{O C}

\overline{D E} ≅ \overline{C E}

\overline{O E}

é lado comum aos triângulos.

Logo, pelo caso éle éleéle: triânguloDOE ≅ triânguloCOEponto

Então,

B \hat{O} E ≅ A \hat{O} E

e, portanto,

\vec{O E}

é a bissetriz do ângulo

A \hat{O} B

Respostas e comentários

Justificativa da construção de bissetriz

Nesta página, justifica-se a construção com régua e compasso da bissetriz de um ângulo. Antes de apresentar essa justificativa, recorde o procedimento apresentado no capítulo 4.

Oriente os estudantes quanto aos cuidados no manuseio do compasso a fim de evitar acidentes.

É importante que a justificativa desse procedimento seja feita com a participação da turma. Por isso, peça a eles que façam um levantamento das informações que sabem de antemão com base na construção realizada. Depois, pergunte: “Com base nessas informações, vocês conseguem identificar triângulos congruentes? Se sim, por qual critério? O que falta para concluir que

\vec{O E}

é a bissetriz de

A \hat{O} B

?”.

Página 147

Demonstração da propriedade dos ângulos da base de um triângulo isósceles

Vamos demonstrar que, em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes.

Considere o triângulo isósceles á bê cê a seguir com

\overline{C A} ≅ \overline{C B}

, sendo

\overline{C I}

a bissetriz relativa ao ângulo

\hat{C}

Figura geométrica. Triângulo ABC. Segmento de reta CI, dividindo o ângulo C em dois congruentes entre si. Ponto I no segmento de reta AB. Lado AC congruente ao lado BC.

Temos que:

•

\overline{C I}

é lado comum.

•

I \hat{C} A ≅ I \hat{C} B

, pois

\overline{C I}

é bissetriz.

•

\overline{C A} ≅ \overline{C B}

, pois triânguloá bê cê é um triângulo isósceles.

Logo, pelo caso éle á éle: triânguloCIA ≅ triângulocê í bêponto

Portanto,

\hat{A} ≅ \hat{B}

Assim, concluímos que os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Justificativa da construção do ângulo de medida da abertura de 60graus

O ângulo de medida da abertura de 60graus da figura a seguir foi construído seguindo o procedimento apresentado no capítulo 4.

Figura geométrica. Abertura de ângulo medindo 60 graus. Os lados do ângulo são compostos pelas semirretas OA e OC. Há um ponto B sobre a semirreta OA. Há um arco que passa pelo pontos B e C.

Vamos verificar que, de fato, com os passos realizados, a abertura de

B \hat{O} C

mede 60graus.

Considere o triânguloó bê cê.

Figura geométrica. Abertura de ângulo feita com semirretas OA e OC, ângulo em O. Arco BC, sendo B em OA. Segmento de reta liga os pontos B e C, formando o triângulo OBC, de modo que todos os lados dele são congruentes entre si.

Com base na construção realizada, temos que

\overline{O C} ≅ \overline{O B} ≅ \overline{C B}

Logo, o triânguloó bê cê é equilátero e, portanto, seus ângulos internos medem 60graus de abertura.

Então,

m e d (B \hat{O} C) = 60 °

Respostas e comentários

Demonstração da propriedade dos ângulos da base de um triângulo isósceles

Ao demonstrar que os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes, relembre que triângulos isósceles têm dois lados congruentes. Em seguida, faça com a turma a demonstração da propriedade. Após traçar a bissetriz relativa ao ângulo oposto à base do triângulo, deixe que os estudantes identifiquem que os triângulos formados são congruentes pelo caso éle á éle e, consequentemente, concluam que os ângulos da base do triângulo isósceles são congruentes.

Justificativa da construção do ângulo da medida de abertura de 60graus

Explique aos estudantes que eles vão verificar como se justifica a construção do ângulo de medida de abertura igual a 60graus apresentado no capítulo 4. Recorde esse procedimento com eles.

Antes de apresentar a justificativa para a turma, desafie-os a tentar argumentar sozinhos. Caso tenham dificuldades, dê a dica de considerar um triângulo equilátero.

Página 148

Justificativa da construção do triângulo equilátero

O triângulo equilátero a seguir foi construído seguindo o procedimento apresentado no capítulo 5.

Figura geométrica. Triângulo ABC inscrito a uma circunferência. Dos vértices saem semirretas que se encontram no ponto O, centro da circunferência e interno ao triângulo.

Vamos verificar que, de fato, com os passos realizados, o triângulo construído é equilátero.

Com base na construção realizada, sabemos que a abertura de cada ângulo central mede 120graus (360graus : 3 = 120graus), ou seja,

m e d (A \hat{O} B) = m e d (B \hat{O} C) = m e d (C \hat{O} A) = 120 °

Além disso,

\overline{A O} ≅ \overline{B O} ≅ \overline{C O}

, pois esses segmentos de reta correspondem a raios da circunferência e, portanto, têm a mesma medida de comprimento.

Logo, pelo caso éle á éle: triânguloá ó bê ≅ triângulobê ó cê ≅ triânguloCOAponto

Assim:

\overline{A B} ≅ \overline{B C} ≅ \overline{C A}

e, portanto, o triânguloá bê cê é um triângulo equilátero.

Justificativa da construção do quadrado

O quadrado a seguir foi construído seguindo o procedimento apresentado no capítulo 5.

Figura geométrica. Quadrado ABCD inscrito a uma circunferência. Diagonal BD se encontra com diagonal AC no ponto O, centro da circunferência e interno ao quadrado. Internos ao quadrado, há 4 triângulos: AOD, DOC, COB e BOA

Vamos verificar que, de fato, com os passos realizados, o quadrilátero obtido é um quadrado.

Com base na construção realizada, sabemos que a abertura de cada ângulo central mede 90graus (360graus : 4 = 90graus), ou seja,

m e d (A \hat{O} D) = m e d (D \hat{O} C) = m e d (C \hat{O} B) = m e d (B \hat{O} A) = 90 °

Além disso,

\overline{A O} ≅ \overline{D O} ≅ \overline{C O} ≅ \overline{B O}

, pois esses segmentos de reta correspondem a raios da circunferência e, portanto, têm a mesma medida de comprimento.

Logo, pelo caso éle á éle: triânguloAOD ≅ triânguloDOC ≅ triângulocê ó bê ≅ triânguloBOA

Assim:

\overline{A D} ≅ \overline{D C} ≅ \overline{C B} ≅ \overline{B A}

e, portanto, o quadrilátero a bê cê dê é um quadrado.

Respostas e comentários

Justificativa da construção de um triângulo equilátero

Recorde com a turma o procedimento para a construção de um triângulo equilátero apresentado no capítulo 5 e comente que agora eles vão estudar a justificativa desse procedimento. Caso julgue necessário, proponha que tentem justificar sozinhos antes de explorar a justificativa com eles.

Você pode reproduzir a demonstração do livro na lousa e completá-la com a participação da turma. É importante que eles identifiquem os triângulos semelhantes pelo caso éle á éle.

Justificativa da construção do quadrado

Recorde com a turma o procedimento para a construção de um quadrado apresentado no capítulo 5. Em seguida, peça aos estudantes que se inspirem na justificativa do procedimento para a construção de um triângulo equilátero e justifiquem o procedimento para a construção do quadrado. Incentive-os a argumentar e compartilhar ideias. Depois, você pode convidar alguns estudantes para que expliquem aos demais como fizeram.

Página 149

Demonstração da propriedade da mediana, altura e bissetriz de um triângulo isósceles

Vamos demonstrar que, em qualquer triângulo isósceles, a mediana e a altura relativas à base coincidem com a bissetriz relativa ao ângulo oposto à base.

Considere o triângulo isósceles á bê cê a seguir com

\overline{A B} ≅ \overline{A C}

e mediana

\overline{A M}

relativa à base

\overline{B C}

Figura geométrica. Triângulo ABC. Segmento de reta AM, sendo o ponto M no segmento de reta BC, dividindo o triângulo em outros dois: ABM e ACM, sendo o lado AM comum aos dois. Lado AB congruente ao lado AC. Lado BM congruente ao lado CM.

Primeiro, vamos demonstrar que

\overline{A M}

também é a bissetriz relativa ao ângulo

\hat{A}

Considerando os triângulos á ême bê e á ême cê, temos que:

•

\overline{A M}

é lado comum.

•

\overline{B M} ≅ \overline{C M}

, pois M é ponto médio de

\overline{B C}

•

\overline{A B} ≅ \overline{A C}

, pois △á bê cê é um triângulo isósceles.

Logo, pelo caso éle éle éle: △á ême bê ≅ △á ême cêponto

Assim:

M \hat{A} B ≅ M \hat{A} C

e, portanto,

\overline{A M}

é a bissetriz relativa ao ângulo

\hat{A}

Agora, vamos demonstrar que

\overline{A M}

também é a altura relativa à base

\overline{B C}

Como △á ême bê ≅ △á ême cê, temos:

A \hat{M} B ≅ A \hat{M} C

Além disso,

A \hat{M} B e A \hat{M} C

são ângulos suplementares, ou seja,

m e d (A \hat{M} B) + m e d (A \hat{M} C) = 180 °

Dessa forma, temos:

2 \cdot m e d (A \hat{M} B) = 180 °

, ou seja,

m e d (A \hat{M} B) = 90 °

Portanto,

\overline{A M}

é a altura relativa à base

\overline{B C}

Atividades

Faça a atividade no caderno.

12.

A mediatriz do segmento de reta

\overline{A B}

foi construída seguindo o procedimento apresentado no capítulo 4.

Figura geométrica. Segmento de reta AB com pontos C e D acima e abaixo dele, respectivamente. Pontos C e D ligados por uma reta, que corta perpendicularmente o segmento AB no ponto M

Reúna-se com um colega e verifiquem que, de fato, com os passos realizados,

\overset{\leftrightarrow}{C D}

é a mediatriz do segmento de reta

\overline{A B}

Dica: Considere os triângulos á cê dê e BCD e os triângulos A cê bê e á dê bê.

Respostas e comentários

12. Resposta em Orientações.

Demonstração da propriedade da mediana, altura e bissetriz de um triângulo isósceles

Recorde com os estudantes que na seção Tecnologias digitais em foco das páginas 141 e 142, eles tiveram a oportunidade de verificar por meio de experimentações que, em qualquer triângulo isósceles, a mediana e a altura relativas à base coincidem com a bissetriz relativa ao ângulo oposto à base. Reforce que a atividade que fizeram no GeoGebra apenas sugere que a propriedade é verdadeira, mas não garante sua validade e que, por isso, é importante demonstrá-la nesse momento.

Desenvolva a demonstração do livro na lousa e complete-a com a participação da turma. É importante que eles identifiquem os triângulos congruentes, que concluam que a mediana é também a bissetriz relativa ao ângulo oposto à base e, por fim, que a mediana também é a altura relativa à base.

• A atividade 12 é, na verdade, uma demonstração. Os arcos com centro em a e em B têm a mesma medida de comprimento de raio; portanto, as medidas das distâncias á cê , BC, BC e BD são iguais. Assim,

△A cê bê é isósceles de base

\overline{A B}

, com

C \hat{A} B

≅

C \hat{B} A

△á cê dê é isósceles de base

\overline{C D}

, com

A \hat{C} D

≅

A \hat{D} C

Ora, △ACD ≅ △BCD (éle éle éle); então,

A \hat{C} M ≅ B \hat{C} M

, ou seja,

\overset{\leftrightarrow}{C M}

(ou

\overset{\leftrightarrow}{C D})

é a reta suporte da bissetriz de

A \hat{C} B

Como sabemos que a bissetriz do ângulo do vértice de um triângulo isósceles é também mediana e mediatriz da base, está demonstrado que

\overset{\leftrightarrow}{C D}

é a mediatriz de

\overline{A B}

Página 150

4 Quadriláteros

O quadrilátero é um polígono de quatro lados. Verifique alguns elementos do quadrilátero a bê cê dê a seguir.

Figura geométrica. Quadrilátero ABCD com 4 ângulos demarcados e diagonais AC e BD traçadas.

• Vértices: a, B, C e D.

• Lados:

\overline{A B}, \overline{B C}, \overline{C D} e \overline{D A}

• Diagonais:

\overline{A C} e \overline{B D}

• Ângulos internos:

\hat{A}, \hat{B}, \hat{C} e \hat{D}

Ilustração. Mulher loira, branca, com jaleco de professora dizendo: Dois ângulos são adjacentes quando, ao contornarmos o polígono, um ângulo vem em seguida do outro. Por exemplo, no quadrilátero ABCD, ângulo A e ângulo B , ângulo B e ângulo C são pares de ângulos adjacentes.

Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não adjacentes são chamados opostos. Então, no quadrilátero a bê cê dê, temos:

•

\overline{A B} e \overline{C D}, \overline{B C} e \overline{D A}

são pares de lados opostos;

•

\hat{A} e \hat{C}, \hat{B} e \hat{D}

são pares de ângulos opostos.

Assim como qualquer outro polígono, um quadrilátero pode ser convexo ou não convexo. Para ser convexo, é necessário que todos os segmentos de reta, com extremidades no interior do quadrilátero, tenham todos os seus pontos situados no interior desse quadrilátero. Uma consequência disso é que a medida de abertura de qualquer ângulo interno de um quadrilátero convexo é menor que 180graus.

Figura geométrica. Quadrilátero MNOP convexo.

Figura geométrica. Quadrilátero QRST não convexo. Segmento de reta AB passando pelos lados TS e SR e tendo alguns de seus pontos externos ao quadrilátero.

Vamos estudar apenas os quadriláteros convexos.

Respostas e comentários

Quadriláteros

Objetivos:

• Reconhecer os elementos de um quadrilátero.

• Verificar que a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360graus.

Justificativa

Para estudar os quadriláteros e suas propriedades é importante que os estudantes reconheçam seus elementos (vértices, lados, diagonais e ângulos internos).

Mais importante do que saber que a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360graus, é entender o porquê de essa propriedade ser válida para qualquer quadrilátero convexo. Lidar com essas verificações ajuda os estudantes a atribuírem significado a essa propriedade.

Mapeando conhecimentos

Desenhe um quadrilátero qualquer na lousa e peça a alguns estudantes que identifiquem seus vértices, lados, diagonais e ângulos internos. Depois, pergunte: “Qual é a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos desse quadrilátero? Como vocês justificam essa afirmação?”. Esse é o momento oportuno para mapear os conhecimentos previamente adquiridos por eles sobre os conteúdos que serão estudados no tópico.

Para as aulas iniciais

Proponha aos estudantes que representem um quadrilátero convexo qualquer em uma folha de papel, marquem seus ângulos internos com cores diferentes e, depois, recortem-no e juntem os pedaços conforme as figuras desta página (não deixe que tenham acesso à página nesse momento). Espera-se que identifiquem o valor total de 360graus.

Relembre alguns dos elementos dos quadriláteros e pergunte quais são os quadriláteros convexos que os estudantes conhecem. Espera-se que eles comentem sobre trapézios, retângulos, quadrados e outros paralelogramos.

Página 151

Atividades

Faça as atividades no caderno.

13. Analise este quadrilátero ême êne ó pê.

Figura geométrica. Quadrilátero convexo MNOP. Diagonais NP e MO.

Agora, no caderno, identifique:

a) os vértices;

b) os lados;

c) o lado oposto ao lado

\overline{M P}

;

d) as diagonais;

e) o ângulo oposto ao ângulo

\hat{P}

14.

Desenhe dois quadriláteros não convexos e dois quadriláteros convexos. Em seguida, troque os desenhos com um colega e verifique como ele fez os dele.

Soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero convexo

A soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360graus.

Podemos verificar essa relação desenhando um quadrilátero, marcando seus ângulos e recortando-o, como mostrado a seguir.

Ilustração. Mesmo quadrilátero ABCD em 3 situações diferentes. Na primeira, quadrilátero ABCD com 4 ângulos demarcados, cada um de uma cor: ângulo em A verde; ângulo em B amarelo; ângulo em C azul; ângulo em D roxo. Na segunda, quadrilátero ABCD com os mesmos ângulos coloridos, agora identificados como a (verde), b (amarelo), c (azul) e d (roxo) e tesouras demonstrando dois cortes no quadrilátero: um na horizontal e outro na vertical. Na região onde os cortes se encontram, há uma circunferência demonstrando os ângulos formados pelos cortes. Os cortes dividiram o quadrilátero ABCD em quatro outros menores. Na terceira situação, os quadriláteros menores recortados foram reorganizados, de modo que os ângulos a, b, c e d formassem uma circunferência.

a + b + c + d = 360graus

Observações

1. A fórmula geral para determinar a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de qualquer polígono convexo é:

S_i = (n ‒ 2) · 180graus, em que n é o número de lados do polígono.

Como, no caso dos quadriláteros, n = 4, temos:

S_i = (4 ‒ 2) · 180graus = 2 · 180graus = 360graus

2. A soma das medidas de abertura dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360graus.

S_e = 360graus

Respostas e comentários

13. a) M, N, O e P

13. b)

\overline{M N}, \overline{N O}, \overline{O P} e \overline{M P}

13. c)

\overline{N O}

13. d)

\overline{M O} e \overline{P N}

13. e)

\hat{N} ou M \hat{N} O

14. Resposta pessoal.

• Antes de propor a realização da atividade 13, retome com os estudantes o fato de que, no início deste capítulo, falamos sobre a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um triângulo. Então, peça a eles que reflitam sobre traçar uma das diagonais do quadrilátero. Em seguida, questione-os sobre a relação desse experimento com a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos do quadrilátero. Espera-se que percebam que formarão dois triângulos. Como a soma das medidas dos ângulos internos de cada um é 180graus, então, teremos 360graus, o que equivale à soma da medida das aberturas dos ângulos internos de qualquer quadrilátero.

• Na atividade 14, pergunte aos estudantes como eles podem identificar se o quadrilátero é convexo ou não. Espera-se que digam que, dados dois pontos quaisquer no interior desse quadrilátero, A e B, o segmento

\overline{A B}

está sempre contido no interior do quadrilátero e que qualquer ângulo interno de um quadrilátero convexo tem medida de abertura menor que 180graus.

Soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero convexo

Após a leitura das observações 1 e 2, você pode mostrar aos estudantes como demonstrar essa propriedade decompondo um quadrilátero convexo em triângulos, conforme mostra a figura a seguir:

Figura geométrica. Trapézio ABCD. Diagonal BD tracejada. Em D, ângulos z e w, Em B, ângulos x e y. Em A, ângulo a. Em C, ângulo c.

Comente com a turma que, considerando o triângulo ABD, temos que a soma das medidas das aberturas dos ângulos

\hat{a}, \hat{x} e \hat{z}

é igual a 180graus. Analogamente, no triângulo BCD, a soma das medidas das aberturas dos ângulos

\hat{y}, \hat{c} e \hat{w}

é 180graus.

a + x + z = 180graus e y + c + w = 180graus

Para saber a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos do quadrilátero, adicionamos as medidas das aberturas dos ângulos internos dos dois triângulos que o formam:

a + x + z + y + c + w = 180graus + 180graus

a + x + z + y + c + w = 360graus

Como x + y = b e z + w = d, temos:

a + b + c + d = 360graus

Portanto, a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos do quadrilátero é igual a 360graus.

Página 152

Atividades

Faça as atividades no caderno.

15. Em cada caso, determine o valor de x, em grau, indicado nos quadriláteros.

Figura geométrica. Quadrilátero ABCD. Ângulos: em A, x; em B 110 graus; em C 80 graus; em D 60 graus.

Figura geométrica. Quadrilátero ABCD. Ângulos: em A, x; em B, 4x; em C, 5x; em D, 2x.

Figura geométrica. Quadrilátero ABCD. Ângulos: em A, 90 graus; em B 80 graus; em C 120 graus; em D x.

16. Sabendo que as aberturas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo medem, em grau, x, 2x, 3x e 4x, determine essas medidas.

17. Em um quadrilátero convexo, as aberturas dos ângulos internos medem, em grau, x + 20graus, x + 40graus, x + 50graus e x ‒ 10graus. Calcule as medidas de abertura dos ângulos desse quadrilátero.

18. Considere este quadrilátero não convexo a bê cê dê. Mostre que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos, tal como nos quadriláteros convexos, também é igual a 360graus.

Figura geométrica. Quadrilátero não convexo ABCD.

Versão adaptada acessível

18. Seu professor vai lhe fornecer um modelo de quadrilátero não convexo para realizar esta atividade.

Mostre que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos, tal como nos quadriláteros convexos, também é igual a 360 graus.

Orientação para acessibilidade

Respostas

Espera-se que os estudantes percebam que podem dividir o modelo em dois triângulos e assim concluam que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos, tal como nos quadriláteros convexos, também é 360 graus.

5 Classificação dos quadriláteros

Os quadriláteros podem ser classificados em paralelogramos, trapézios e trapezoides.

Observe o diagrama a seguir.

Esquema. No primeiro nível, aparece a palavra Quadriláteros. Dela, 3 outras aparecem no segundo nível: paralelogramos, trapézios e trapezoides. Em paralelogramos, estão as palavras retângulo, losango e quadrado. Em Trapézios, estão trapézio isósceles, trapézio escaleno e trapézio retângulo.

Essa classificação é feita de acordo com algumas características em comum. Vamos estudar essas características e algumas propriedades.

Respostas e comentários

15. a) x = 110graus

15. b) x = 30graus

15. c) x = 70graus

16. 36graus, 72graus, 108graus e 144graus

17. 85graus, 105graus, 115graus e 55graus

18. Traçar diagonal

\overline{B D}

SABCD = SABD + SBCD = 180graus + 180graus = 360graus

Classificação dos quadriláteros

Objetivos:

• Classificar paralelogramos em losangos, retângulos e quadrados.

• Classificar trapézios em isósceles, escaleno e retângulo.

Justificativa

Classificar paralelogramos e trapézios permite aos estudantes reconhecer que existem paralelogramos e trapézios com diferentes características e amplia os conhecimentos adquiridos por eles sobre esses quadriláteros. Além disso, lidar com essas classificações favorece o cálculo da medida da área dessas figuras.

Mapeando conhecimentos

• Reproduza as atividades 28 e 29 da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores na lousa e solicite aos estudantes que as realizem em duplas. Incentive as duplas a justificar suas respostas em cada item das duas atividades.

Para as aulas iniciais

Faça a leitura coletiva da revisão de quadriláteros presente na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e verifique se ficou alguma dúvida remanescente das atividades 28 e 29. Aproveite a oportunidade e proponha que construam paralelogramos e trapézios de diferentes tipos no GeoGebra. A atividade pode ser realizada no laboratório de informática da escola, caso tenha um disponível, ou pode ser feita como tarefa para casa.

Aproveite o diagrama para fazer, como atividade oral, um levantamento dos conhecimentos prévios dos estudantes sobre as propriedades dos quadriláteros.

Página 153

Paralelogramos

Paralelogramo é o quadrilátero convexo que tem os dois pares de lados opostos paralelos.

Confira o paralelogramo a bê cê dê a seguir.

Figura geométrica. Paralelogramo ABCD. De A, linha tracejada perpendicularmente ao lado BC, encontrando-o em F. Diagonais BD e AC identificadas.

\overline{A B} / / \overline{C D}

\overline{A D} / / \overline{C B}

Temos que:

• Os lados opostos

\overline{A B}

\overline{C D}

são paralelos.

• Os lados opostos

\overline{A D}

\overline{C B}

são paralelos.

• Qualquer lado pode ser considerado base.

•

\overline{A F}

é uma altura relativa à base

\overline{B C}

• Os segmentos de reta

\overline{B D}

\overline{A C}

são as diagonais do quadrilátero.

• Os ângulos internos

A \hat{B} C

A \hat{D} C

são opostos.

• Os ângulos internos

B \hat{A} D

D \hat{C} B

são opostos.

• A soma das medidas de abertura dos ângulos internos é 360graus.

Tecnologias digitais em foco

Propriedades dos paralelogramos

Nesta seção, vamos utilizar o GeoGebra ou outro software de geometria dinâmica que seu professor pode indicar, para explorar algumas propriedades dos paralelogramos.

Construa

Siga os passos seguintes para construir um paralelogramo.

1º) Utilize a ferramenta

e trace um segmento de reta

\overline{A B}

qualquer.

2º) Com a ferramenta

Ilustração. Botão da ferramenta Ponto do software GeoGebra.

, marque um ponto C qualquer, tal que C não pertença a

\overline{A B}

3º) Utilize a ferramenta

Ilustração. Botão da ferramenta Reta paralela do software GeoGebra.

e trace a reta r, paralela ao segmento de reta

\overline{A B}

, passando por C.

4º) Utilize a ferramenta

e trace o segmento de reta

\overline{A C}

5º) Utilize a ferramenta

e trace a reta s, paralela ao segmento de reta

\overline{A C}

, passando por B.

6º) Com a ferramenta

Ilustração. Botão da ferramenta Intersecção de dois objetos do software GeoGebra.

, marque o ponto D, intersecção das retas r e s.

7º) Construa o paralelogramo á bê dê cê utilizando a ferramenta

Respostas e comentários

Paralelogramos

Apresente o conceito de paralelogramo e, em seguida, peça aos estudantes que representem alguns paralelogramos em uma folha de papel. Depois, peça a eles que comparem as representações que fizeram com as dos colegas. Com essa proposta, espera-se que percebam que os paralelogramos não são todos iguais; por exemplo, retângulos e quadrados são tipos específicos de paralelogramos, mas provavelmente os estudantes não farão essa descoberta nesse momento.

Tecnologias digitais em foco

Bê êne cê cê:

• Competência geral 5 (a descrição está na página seis).

• Competência específica 2 (a descrição está na página sete).

Objetivo:

Explorar algumas propriedades dos paralelogramos.

Propriedades dos paralelogramos

Nesta seção, os estudantes vão verificar experimentalmente que:

• os lados opostos de um paralelogramo são congruentes;

• os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes;

• as diagonais de um paralelogramo se cruzam em seus respectivos pontos médios.

Assim, como nos outros casos, comente que as atividades realizadas apenas sugerem que essas propriedades são válidas e que elas serão demonstradas, nas páginas seguintes, por meio da congruência de triângulos. Propostas como essa favorecem o desenvolvimento da competência geral 5 da Bê êne cê cê e da competência específica 2 de Matemática, pois promovem o espírito investigativo.

Oriente-os a realizar cada um dos passos do Construa. Convém, sempre que possível, permitir que comparem suas construções com as dos colegas.

Página 154

8º) Esconda todas as construções auxiliares e trace, com a ferramenta

, os segmentos de reta

\overline{A D}

\overline{B C}

, diagonais do paralelogramo.

9º) Com a ferramenta

, marque o ponto M, intersecção das diagonais.

Explore

a) Com a ferramenta

Ilustração. Botão da ferramenta Distância/Comprimento do software GeoGebra.

, meça o comprimento dos lados do paralelogramo e movimente-o. O que você pode verificar em relação a essas medidas?

b) Com a ferramenta

Ilustração. Botão da ferramenta Ângulo do software GeoGebra.

, meça a abertura dos ângulos internos do paralelogramo e movimente-o. O que você pode verificar em relação a essas medidas?

c) Meça agora o comprimento dos segmentos de reta

\overline{A M} e \overline{M D}

, faça o mesmo com os segmentos de reta

\overline{B M} e \overline{M C}

e movimente o paralelogramo. O que é possível verificar?

Respostas e comentários

Explore:

a) Espera-se que os estudantes percebam que os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

b) Espera-se que os estudantes percebam que os ângulos internos opostos de um paralelogramo são congruentes.

c) Com base nessas medidas, os estudantes vão verificar que ei ém = MD e BM = MC. Isso sugere que M é o ponto médio das duas diagonais. Assim, a exploração feita sugere que as diagonais de um paralelogramo se cruzam em seus respectivos pontos médios.

Ao fazerem os itens a, b e c do Explore, é importante que movimentem as construções após realizarem as medidas utilizando as ferramentas do software. A ideia é que percebam que a propriedade continua sendo válida, independentemente da configuração da construção. Esse é o momento oportuno para incentivar o diálogo, a experimentação e o estabelecimento de conjecturas.

Página 155

Algumas propriedades do paralelogramo

Considere um paralelogramo a bê cê dê qualquer. Traçando a diagonal

\overline{A C}

, obtemos os triângulos á dê cê e cê bê á.

Figura geométrica. Paralelogramo ABCD. Diagonal AC dividindo o paralelogramo em dois triângulos, sendo triângulo ABC, com ângulos a1 em A e c1 em C; e triângulo ACD, com ângulo a2 em A e c2 em C.

Comparando esses triângulos, podemos observar que:

• a1 = c2 (ângulos alternos internos formados por paralelas têm a mesma medida de abertura).

•

\overline{A C}

é o lado comum aos triângulos á dê cê e cê bê á.

• a2 = c1(ângulos alternos internos).

Assim, pelo caso á éle á , temos que △á dê cê ≅ △cê bê á. De maneira análoga, traçando a diagonal

\overline{B D}

, concluímos que △bê á dê ≅ △dê cê bê.

Como os triângulos á dê cê e cê bê á são congruentes, assim como os triângulos BAD e DCB, podemos concluir que:

\overline{A B} ≅ \overline{C D}

\overline{D A} ≅ \overline{B C}

), e, portanto, os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

Figura geométrica. Paralelogramo ABCD. Ângulo A congruente ao ângulo C e ângulo B congruente ao ângulo D. Lado AB congruente ao lado CD e lado AD congruente ao lado BC.

Da congruência dos triângulos á dê cê e cê bê á, concluímos também que

m e d (\hat{D}) = m e d (\hat{B}

) e, da congruência dos triângulos BAD e DCB, concluímos que

m e d (\hat{A}) = m e d (\hat{C})

Portanto, os ângulos internos opostos de um paralelogramo são congruentes.

Ao traçar as diagonais

\overline{A C} e \overline{B D}

do paralelogramo a bê cê dê, verificamos que as diagonais se encontram no ponto M e obtemos os triângulos á ême dê e CMB. Confira.

Figura geométrica. Paralelogramo ABCD. Diagonal AC e Diagonal BD se encontram no ponto M, formando 4 triângulos: triângulo ABM, triângulo CDM, triângulo AMD, com ângulos a2 em A e d2 em D; e triângulo BCM, com ângulo b2 em B e c1 em C.

Comparando esses triângulos, podemos notar que:

• a2 = c1 (ângulos alternos internos).

•

\overline{A D} ≅ \overline{C B}

(lados opostos de um paralelogramo).

• b2 = d2 (ângulos alternos internos).

Respostas e comentários

Bê êne cê cê:

• Habilidade ê éfe zero oito ême ah um quatro.

Nesta página, demonstram-se as propriedades investigadas pelos estudantes na seção Tecnologias digitais em foco anterior. Desenvolva as demonstrações na lousa e complete-as com a ajuda da turma. Assim como nas outras demonstrações estudadas no capítulo, é importante que eles identifiquem ângulos congruentes em retas paralelas cortadas por transversais, os triângulos congruentes e argumentem utilizando os casos de congruência estudados.

(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

Página 156

Assim, pelo caso á éle á , temos que △á ême dê ≅ △CMB e, portanto,

\overline{A M} ≅ \overline{C M}

\overline{B M} ≅ \overline{D M}

. Isso significa que M é o ponto médio de

\overline{A C}

e de

\overline{B D}

. Assim, concluímos que as diagonais de um paralelogramo se cruzam nos respectivos pontos médios.

Ilustração. Dois meninos, um negro de calça azul e camiseta laranja e outro ruivo, branco de camisa rosa e bermuda verde, carregando um quadro em que se lê: Em um paralelogramo, temos: cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes; os lados opostos são congruentes; os ângulos internos opostos são congruentes; os ângulos consecutivos são suplementares; as diagonais interceptam-se em seus pontos médios. O menino ruivo diz: Agora, tenho um desafio para você: Por que os ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares?

Atividades

Faça as atividades no caderno.

19. Analise os paralelogramos a seguir e, em cada caso, determine x e y.

Figura geométrica. Paralelogramo ABCD. Lado AB mede 4 centímetros, lado BC mede y, lado CD tem medida igual a x, lado AD mede 2 centímetros.

Figura geométrica. Quadrado ABCD. Diagonal BD dividindo-o em dois triângulos: ABD e BCD. No triângulo BCD, ângulo em C igual a 90 graus, em B igual a y e em D igual a x.

Figura geométrica. Paralelogramo ABCD. Lados AB, BC, CD e DA congruentes entre si. Diagonal BC e diagonal BD dividindo o paralelogramo em quatro triângulos. ângulo em D dividido em 30 graus e x. ângulo em A, formado pelo lado AB e a digonal AC igual a y.

20. Construa um paralelogramo a bê cê dê tal que: BC = 8 centímetros, AB = 4 centímetros e

m e d (A \hat{B} C) = 60 °

21. A medida de perímetro de um paralelogramo é igual a 66 centímetros. Calcule as medidas de comprimento dos lados, sabendo que a diferença entre elas é de 14 centímetros.

22. A abertura de um ângulo externo de um paralelogramo mede 64graus. Faça um esboço da figura e calcule as medidas de abertura dos ângulos internos.

23. No paralelogramo a bê cê dê, a diagonal

\overline{B D}

fórma com o lado

\overline{B C}

um ângulo cuja abertura mede 38graus e com o lado

\overline{C D}

, um ângulo cuja abertura mede 54graus. Calcule as medidas de abertura dos ângulos internos desse paralelogramo.

Figura geométrica. Quadrilátero ABCD. Diagonal BD dividindo-o em dois triângulos: ABD e BCD. No triângulo BCD, ângulo em B igual a 38 graus, em C igual a 54 graus.

Respostas e comentários

19. a) x = 4 centímetros, y = 2 centímetros

19. b) x = y = 45graus

19. c) x = 30graus, y = 60graus

20. Resposta em Orientações.

21. 23,5 centímetros; 23,5 centímetros; 9,5 centímetros e 9,5 centímetros

22. 116graus, 116graus, 64graus e 64graus

23.

m e d (\hat{C}) = m e d (\hat{A}) = 88 °, m e d (\hat{B}) = m e d (\hat{D}) = 92 °

Peça aos estudantes que respondam à pergunta proposta pela personagem: “Por que os ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares?”. A resposta pode ser construída em fórma de demonstração. Peça a eles que elaborem essa demonstração no caderno.

Um dos caminhos é por meio da congruência de triângulos. Utilize como modelo a segunda figura da página 155, o paralelogramo ABCD com a diagonal

\overline{A C}

. Explique que é suficiente demonstrarem que

m e d (\hat{B}) + m e d (\hat{A}) = 180 °

m e d (\hat{A}) + m e d (\hat{D}) = 180 °

, supondo, sem perda de generalidade, que vale para todos os pares, afinal

\hat{B} ≅ \hat{D}

\hat{A} ≅ \hat{C}

• Na atividade 19, amplie a exploração dos itens b e c, perguntando aos estudantes quais são as características em comum entre as diagonais do quadrado e as do losango. Espera-se que eles percebam que as diagonais estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.

• Resposta da atividade 20:

Figura geométrica. Paralelogramo ABCD. Lado AB igual a 4 centímetros, lado BC igual a 8 centímetros, lado CD igual a 4 centímetros, lado AD igual a 8 centímetros. Ângulo A igual a 120 graus, ângulo B igual a 60 graus, ângulo C igual a 120 graus e ângulo D igual a 60 graus.

Passos da construção:

• Construir um ângulo com 60graus de medida de abertura com vértice B e lados BA = 4 centímetros e BC = 8 centímetros;

• Traçar uma reta r paralela a

\overline{A B}

passando por C;

• Traçar uma reta s paralela a

\overline{B C}

passando por A;

• Na intersecção de r e s está o vértice D.

Justificativa da construção:

O paralelogramo ABCD é tal que AB = CD = 4 centímetros e BC = AD = 8 centímetros;

m e d (A \hat{B} C) = m e d (C \hat{D} A) = 60 °

m e d (B \hat{C} D) = m e d (D \hat{A} B) = 120 °

Após a construção da figura solicitada na atividade 20, retome as propriedades do paralelogramo estudadas nas páginas anteriores, pedindo aos estudantes que as observem na figura construída.

Página 157

24. No paralelogramo a seguir, temos:

m e d (\hat{C}) = 70 °, \vec{C M}

é bissetriz do ângulo

D \hat{C} B

, e

\vec{B M}

é bissetriz do ângulo

A \hat{B} C

. Determine a medida de abertura do ângulo

B \hat{M} C

Figura geométrica. Quadrilátero ABCD. Semirretas saindo dos vértices B e C se cruzam no ponto M internamente ao quadrilátero.

25. A diferença entre as medidas de abertura de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é 80graus. Quais são as medidas de abertura, em grau, dos ângulos desse quadrilátero?

A seguir, estudaremos alguns paralelogramos que podem ser classificados em retângulos, losangos ou quadrados, por apresentarem propriedades particulares.

Retângulo

Retângulo é o paralelogramo que tem os quatro ângulos internos retos.

Dado um retângulo a bê cê dê qualquer, temos:

Figura geométrica. Retângulo ABCD. Diagonais AC e BD

m e d (\hat{A}) = m e d (\hat{B}) = m e d (\hat{C}) = m e d (\hat{D}) = 90 °

Como o retângulo é um paralelogramo, são válidas as propriedades do paralelogramo. Além disso, podemos afirmar que, em todo retângulo, as diagonais são congruentes (

\overline{A C} ≅ \overline{B D}

Vamos demonstrar que em todo retângulo as diagonais são congruentes.

Considerando os triângulos equiláteros á bê cê e DCB, temos que:

•

\overline{A B} ≅ \overline{D C}

, pois o retângulo é um paralelogramo e seus lados opostos são congruentes.

•

A \hat{B} C ≅ D \hat{C} B

, pois são ângulos retos.

•

\overline{B C}

é lado comum.

Logo, pelo caso éle á éle: △á bê cê ≅ △dê cê bê.

Portanto,

\overline{A C} ≅ \overline{D B}

, ou seja, as diagonais do retângulo são congruentes.

Observação

A recíproca da propriedade demonstrada anteriormente não é verdadeira. Isto significa que existem quadriláteros que têm as diagonais congruentes mas não são retângulos.

Respostas e comentários

Bê êne cê cê:

• Habilidade ê éfe zero oito ême ah um quatro.

Para exemplificar a observação de que “existem quadriláteros que têm diagonais congruentes mas não são retângulos”, mostre aos alunos a imagem de um trapézio isósceles, que será apresentado ainda neste capítulo.

(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

Página 158

Losango

Losango é o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes.

Como o losango é um paralelogramo, são válidas as propriedades dos paralelogramos.

Também podemos afirmar que, em todo losango, as diagonais são perpendiculares entre si e estão contidas nas respectivas bissetrizes dos ângulos internos.

Figura geométrica. Losango ABCD. Estão representadas as diagonais AC e BD que são perpendiculares entre si. As diagonais se cruzam no ponto M. Os ângulos DAC e BAC são congruentes. Os ângulos ADB e CDB também são congruentes.

Então, dado um losango a bê cê dê qualquer, temos:

\overline{A B} ≅ \overline{B C} ≅ \overline{C D} ≅ \overline{A D}

Vamos demonstrar essas propriedades.

Considerando os triângulos á ême dê e CMD, temos que:

•

\overline{A D} ≅ \overline{C D}

, pois são lados do losango.

•

\overline{A M} ≅ \overline{C M}

, pois M é ponto médio de

\overline{A C}

•

\overline{M D}

é lado comum.

Logo, pelo caso éle éle éle: △á ême dê ≅ △cê ême dê.

Assim,

A \hat{D} M ≅ C \hat{D} M

e, portanto,

\overline{D B}

é bissetriz de

A \hat{D} C

De maneira análoga, pelo caso éle éle éle, △á ême bê ≅ △CMB, △á ême bê ≅ △á ême dê e △cê ême dê ≅ △CMB.

Assim,

A \hat{B} M ≅ C \hat{B} M

B \hat{A} M ≅ D \hat{A} M

D \hat{C} M ≅ B \hat{C} M

Portanto,

\overline{D B}

é bissetriz de

A \hat{B} C

\overline{A C}

é bissetriz de

B \hat{A} D

B \hat{C} D

Além disso,

\overline{A C}

\overline{B D}

são perpendiculares, pois

A \hat{M} D

C \hat{M} D

são congruentes e suplementares, ou seja, são ângulos retos.

Observação

Também podemos enunciar que todo quadrilátero cujas diagonais estão contidas nas respectivas bissetrizes dos ângulos internos e são perpendiculares entre si é um losango. Essa afirmação pode ser demonstrada, mas não o faremos aqui.

Quadrado

Quadrado é o paralelogramo que tem os quatro ângulos internos retos e os quatro lados congruentes.

O quadrado é um paralelogramo e um caso particular de retângulo e de losango; assim, valem, além das propriedades do paralelogramo, todas as propriedades dos retângulos e dos losangos:

• As diagonais são congruentes.

• As diagonais são perpendiculares entre si.

• As diagonais estão contidas nas respectivas bissetrizes dos ângulos internos.

Figura geométrica. Quadrado ABCD. Estão representadas as diagonais AC e BD que são perpendiculares entre si. As diagonais são bissetrizes dos ângulos internos do quadrado.

Então, dado um quadrado a bê cê dê qualquer, temos:

m e d (\hat{A}) = m e d (\hat{B}) = m e d (\hat{C}) = m e d (\hat{D}) = 90 °

\overline{A B} ≅ \overline{B C} ≅ \overline{C D} ≅ \overline{D A}

\overline{A C} ≅ \overline{B D}

Respostas e comentários

Bê êne cê cê:

• Habilidade ê éfe zero oito ême ah um quatro.

Defina losango e apresente a propriedade dos losangos: as diagonais de um losango são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango. Faça a demonstração dessa propriedade na lousa com a participação da turma.

Antes do estudo do quadrado, faça os seguintes questionamentos para os estudantes: “Podemos afirmar que o quadrado é um losango? Por quê? O que podemos afirmar sobre as diagonais de um quadrado?”. Deixe os estudantes à vontade para fazer desenhos, conjecturar e compartilhar suas ideias. Após esse momento, faça a leitura coletiva do texto do livro com eles.

Após explorar com a turma a classificação dos quadriláteros, faça afirmações e peça aos estudantes que discutam e validem se são verdadeiras ou falsas. Por exemplo: “Todo quadrado é um paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é um quadrado.”; “Todo retângulo é um quadrado, mas nem todo quadrado é um retângulo.”; “Todo retângulo é um paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é um retângulo.”.

(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

Página 159

Atividades

Faça as atividades no caderno.

26. Quais das sentenças a seguir são verdadeiras?

a) Todo quadrado é um losango.

b) Existem retângulos que são losangos.

c) Todo paralelogramo é um quadrilátero.

d) Todo quadrado é um retângulo.

e) Um losango pode não ser um paralelogramo.

f) Em um losango, os quatro lados são sempre congruentes.

g) Todo retângulo é um paralelogramo e todo paralelogramo é um retângulo.

27. Quais das sentenças a seguir são verdadeiras?

Figura geométrica. Quadrilátero ABCD. Todos os lados congruentes. Diagonais AC e BD tracejadas que se encontram no ponto O.

m e d (B \hat{O} C) = 90 °

m e d (D \hat{A} C) = m e d (B \hat{C} A)

c) AO = OC

d) BO = OD

e) AC = BD

f) △bê cê dê é isósceles

g) △á bê cê é equilátero

28. Sabendo que a abertura do ângulo

B \hat{A} D

mede 100graus, determine, em grau, as medidas de abertura indicadas pelas letras no losango a bê cê dê.

Figura geométrica. Quadrilátero ABCD. Diagonais AC e BD, que dividem os ângulos assim: em A, a e b; em B c e d; em C, e e f; em D, g e h.

29. Uma diagonal de um losango fórma com um lado um ângulo cuja abertura mede 36graus. Calcule, em grau, as medidas de abertura dos ângulos desse losango.

30. As diagonais de um retângulo formam um ângulo cuja abertura mede 114graus. Determine as medidas de abertura, em grau, dos ângulos que essas diagonais formam com os lados do retângulo.

Figura geométrica. Retângulo ABCD. Diagonais AC e BD. Um dos triângulos formados pelas diagonais têm ângulos de medidas x, no vértice A, x, no vértice D, 114 graus, no encontro das diagonais. No vértice D, a outra parte do ângulo mede y.

31. A abertura de um ângulo externo de um losango mede 140graus 30minutos. Qual é a medida de abertura, em grau, do maior de seus ângulos internos?

Figura geométrica. Losango ABCD. Prolongamento do lado BC forma um ângulo de 140 graus e 30 minutos

32. A bissetriz de um ângulo obtuso de um losango forma, com um dos lados, um ângulo cuja abertura mede 64graus. Determine a medida de abertura, em grau, de cada ângulo desse losango.

33. Na figura a seguir, temos um quadrado a bê cê dê e um triângulo equilátero á bê é. Sabendo que o triângulo BEC é isósceles, determine a medida de abertura do ângulo

B \hat{E} C

Figura geométrica. Quadrado ABCD. Internamente ao quadrado, triângulo ABE, cujo lado AB é o mesmo do quadrilátero. Do ponto E há um segmento de reta traçado até C, formando um ângulo x em E.

Respostas e comentários

26. alternativas a, b, c, d, f

27. alternativas a, b, c, d, f

28. a = b = e = f = 50graus, c = d = g = h = 40graus

29. 72graus, 72graus, 108graus e 108graus

30. x = 33graus, y = 57graus

31.

m e d (\hat{B}) = m e d (\hat{D}) = 140 ° 30 ’

32. 128graus, 128graus, 52graus e 52graus

33. 75graus

• Na atividade 26, peça aos estudantes que justifiquem as afirmativas falsas. Caso encontrem dificuldades, retome os conceitos explorados nas páginas anteriores. Amplie a atividade e peça aos estudantes que reescrevam as sentenças falsas tornando-as verdadeiras.

Página 160

Trapézios

Trapézio é todo quadrilátero convexo que tem apenas um par de lados paralelos.

A partir deste trapézio a bê cê dê, temos:

Figura geométrica. Trapézio ABCD. Diagonais AC e BD. Altura AE, perpendicular a BC.

\overline{A D} / / \overline{B C}

• Base maior:

\overline{B C}

• Base menor:

\overline{A D}

•

\overline{A E}

é uma altura do trapézio.

• Pares de ângulos suplementares:

A \hat{B} C e B \hat{A} D

;

A \hat{D} C e D \hat{C} B

• Diagonais:

\overline{A C}

\overline{B D}

Os trapézios são classificados em trapézio retângulo, trapézio isósceles e trapézio escaleno.

Trapézio retângulo

Trapézio retângulo é aquele que tem dois ângulos retos.

\overline{A D} / / \overline{B C}

m e d (\hat{A}) = m e d (\hat{B}) = 90 °

Trapézio isósceles

Trapézio isósceles é aquele em que os lados não paralelos são congruentes.

Considere um trapézio isósceles a bê cê dê qualquer.

Figura geométrica. Trapézio ABCD. Segmento de reta AD paralelo ao segmento de reta BC. Segmento de reta AB congruente ao segmento de reta DC. Há um ponto E no segmento de reta BC. Segmento de reta DE tracejado, de modo que o ângulo DCE seja congruente ao ângulo DEC. Os ângulos ABE e DEC são congruentes e ângulo DCE congruente ao ângulo ABE.

Confira que, traçando pelo vértice D uma reta paralela a

\overline{A B}

, determinamos o ponto ê na base maior, obtendo o triângulo DEC e o paralelogramo ADEB.

Dessa forma, temos que:

•

\overline{A B} ≅ \overline{D E}

(lados opostos de um paralelogramo).

•

\overline{A B} ≅ \overline{D C}

(trapézio isósceles).

Como

\overline{A B} ≅ \overline{D E}

\overline{A B} ≅ \overline{D C}

, concluímos que

\overline{D E} ≅ \overline{D C}

e, assim, o triângulo é dê cê é isósceles.

Temos ainda que:

•

D \hat{C} E ≅ D \hat{E} C

(ângulos da base do triângulo isósceles).

•

A \hat{B} E ≅ D \hat{E} C

(ângulos correspondentes).

Como

D \hat{C} E ≅ D \hat{E} C

A \hat{B} E ≅ D \hat{E} C

, concluímos que

D \hat{C} E ≅ A \hat{B} E

, ou seja, os ângulos adjacentes à base maior são congruentes.

Respostas e comentários

Trapézios

Pergunte aos estudantes se é possível construir um trapézio retângulo com apenas um ângulo reto. É esperado que eles percebam que não, pois não haveria um par de lados paralelo, o que é característica do trapézio.

Sugestão de leitura

BONGIOVANNI, Vincenzo. As diferentes definições dos quadriláteros notáveis. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, número 55, página 29‑32, 2004.

Página 161

B \hat{A} D

C \hat{D} A

são ângulos colaterais internos, respectivamente, a

A \hat{B} E

D \hat{C} E

. Como

A \hat{B} E ≅ D \hat{C} E,

seus suplementares são congruentes, ou seja,

B \hat{A} D ≅ C \hat{D} A

. Portanto, os ângulos adjacentes à base menor também são congruentes.

Assim, se um trapézio é isósceles, os ângulos adjacentes às mesmas bases são congruentes.

Traçando as diagonais

\overline{A C}

\overline{B D}

, obtemos os triângulos BAD e CDA, que são congruentes pelo caso éle á éle de congruência de triângulos. Podemos, assim, concluir que as diagonais do trapézio isósceles são congruentes.

Figura geométrica. Trapézio ABCD. Diagonais AC e BD. AD paralelo a BC. AB congruente a EC. ângulo A congruente a ângulo D. ângulo B congruente a ângulo C.

\overline{A B} ≅ \overline{D C}

m e d (\hat{A}) = m e d (\hat{D})

m e d (\hat{B}) = m e d (\hat{C})

\overline{A C} ≅ \overline{D B}

Trapézio escaleno

Trapézio escaleno é aquele em que os lados não paralelos não são congruentes.

\overline{A B}

não é congruente a

\overline{D C}

Observação

Todo trapézio retângulo é escaleno.

Trapezoides

Trapezoide é todo quadrilátero convexo que não tem lados paralelos.

Figura geométrica. Quadrilátero ABCD.

Segmento de reta AB não paralelo a segmento de reta DC

Segmento de reta AD não paralelo a segmento de reta BC

Respostas e comentários

Trapezoides

Convide alguns estudantes para que representem trapezoides na lousa. Esse é o momento oportuno para verificar se compreenderam o conceito.

Página 162

Atividades

Faça as atividades no caderno.

34. Em um trapézio isósceles, a abertura de um dos ângulos externos mede 100° 40’. Determine as medidas de abertura dos ângulos internos desse trapézio.

35. Em um trapézio isósceles, a soma das medidas de abertura dos ângulos obtusos é 250graus. Quanto medem as aberturas dos ângulos agudos?

36. A abertura de um dos ângulos obtusos de um trapézio isósceles mede 100graus. Determine, em grau, a medida x de abertura do ângulo

\hat{E}

formado pelas bissetrizes dos ângulos internos da base maior.

Figura geométrica. Trapézio ABCD. Segmentos de reta que saem dos vértices B e C se encontram no ponto E e formam o triângulo BCE. ângulo em E igual a x. ângulos em B divididos em dois congruentes entre si; ângulos em C divididos em dois congruentes entre si. ângulo em A igual a 100 graus e ângulo em D igual a 100 graus.

37.

Reúna-se com um colega e resolvam as questões a seguir.

a) O quadrilátero da figura a seguir é formado por losangos idênticos. O quadrilátero azul, no centro, é um retângulo. Justifiquem essa afirmação.

Figura geométrica. Quadrilátero verde formado por 16 losangos dispostos em 4 linhas e 4 colunas. 4 diagonais de 4 losangos formam um retângulo azul no meio do quadrilátero verde. O retângulo está dividido em 4 triângulos, em que cada um tem 2 ângulos internos congruentes entre si e esses ângulos dos triângulos 1 e 2 também são congruentes entre si, assim como os ângulos dos triângulos 3 e 4 também são congruentes entre si.

b) Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto fórma com a bissetriz do ângulo agudo do trapézio um ângulo cuja abertura mede 110graus. Determinem a medida de abertura do suplemento do maior ângulo do trapézio.

38.

Identifique cada figura a seguir como trapézio retângulo, isósceles ou escaleno. Em seguida, junte-se a um colega e converse com ele sobre o porquê de sua resposta.

Figura geométrica. Trapézio com dois ângulos de 90 graus e lados com medidas diferentes entre si.

Figura geométrica. Trapézio ABCD. Segmento de reta AI, com I em DC, e segmento de reta BH, perpendicular a DC, com H em DC. Quadrilátero ABHI dentro do trapézio. Triângulo retângulo BHC, com ângulos de 90 graus em H, 45 graus em B e 45 graus em C. AB medindo 9, IH medindo 9, DI medindo 4 e HC medindo 4

Figura geométrica. Trapézio PQRS com lados de medidas diferentes entre si.

Figura geométrica. Trapézio com dois ângulos de 90 graus.

Figura geométrica. Trapézio com lados de medidas diferentes entre si.

Figura geométrica. Trapézio ABCD com lados não paralelos congruentes entre si e ângulos A e D congruentes entre si.

39. Qual é a diferença entre um trapézio e um trapezoide?

40. Desenhe, em seu caderno, um trapézio retângulo e um trapézio isósceles. Faça, quando necessário, as marcações para indicar congruência de lados e de ângulos.

Respostas e comentários

34. 100graus 40minutos, 100graus 40minutos, 79graus 20minutos e 79graus 20minutos

35. 55graus e 55graus

36. x = 100graus

37. a) Traçando as diagonais do quadrilátero azul, obtemos 2 pares de triângulos isósceles congruentes (1 e 2; 3 e 4).

Como cada ângulo interno do quadrilátero tem a mesma medida de abertura, essa medida é:

\frac{360 °}{4} = 90 °

. Portanto, o quadrilátero azul é um retângulo.

37. b) 50graus

38. a) trapézio retângulo ou escaleno

38. b) trapézio isósceles

38. c) trapézio escaleno

38. d) trapézio retângulo ou escaleno

38. e) trapézio escaleno

38. f) trapézio isósceles

39. Espera-se que os estudantes respondam que um trapézio tem dois lados paralelos, enquanto um trapezoide não tem lados paralelos.

40. Comentário em Orientações.

• Na atividade 37, destaque que os ângulos da base de um trapézio isósceles, assim como os de um triângulo isósceles, são congruentes.

• Exemplo de resposta para a atividade 40:

Trapézio retângulo

Trapézio isósceles

Página 163

Resolvendo em equipe

Faça a atividade no caderno.

As quatro retas da figura a seguir formam alguns ângulos.

Figura geométrica. 4 retas que se cruzam entre si e formam ângulos. Duas retas à esquerda formam o ângulo alfa. Uma das retas que formou o ângulo alfa, em junção com outra reta forma o ângulo beta. A reta que formou beta forma gama com outra reta. a reta que formou gama e a reta que formou alfa formam o ângulo delta. O encontro dessas retas também formam triângulos. Um deles tem como ângulos alfa e beta. Outro tem como ângulos beta e gama.

Considerando que α = 54graus, β = 39graus e γ = 36graus, qual é a medida de abertura δ?

a) 99graus

b) 105graus

c) 121graus

d) 126graus

e) 129graus

Interpretação e identificação dos dados	• Analise as informações do enunciado e anote as que você julgar relevantes para a resolução do problema. • Na figura, há contornos de triângulos com duas medidas de abertura de ângulos internos dadas? Se sim, podemos determinar a medida de abertura do terceiro ângulo?
Plano de resolução	• Conhecidas as medidas de abertura dos três ângulos do enunciado e as medidas de abertura dos ângulos determinados anteriormente, qual é o procedimento para encontrar a medida de abertura δ? • Que conceito sobre triângulos e quadriláteros é fundamental para a resolução deste problema? • Determine a medida de abertura δ.
Resolução	• Reúna-se com dois colegas. • Mostre a eles seu plano de resolução e verifique se há ideias em comum entre vocês. • Discutam as diferenças e as semelhanças entre cada plano e escolham um deles para a execução do processo de resolução. Observação Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual no caderno.
Verificação	• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.
Apresentação	• Elaborem uma síntese, por meio de cartazes, sobre triângulos e quadriláteros. Triângulos: classificação de triângulos quanto às medidas de comprimento dos lados e quanto às medidas de abertura dos ângulos; pontos notáveis; casos de congruência; soma das medidas de abertura dos ângulos internos. Quadriláteros: classificação e elementos de paralelogramos e trapézios; soma das medidas de abertura dos ângulos internos; propriedades dos paralelogramos, dos retângulos, dos losangos e dos quadrados; propriedades dos trapézios.

Respostas e comentários

Interpretação e identificação dos dados:

primeiro item: Resposta pessoal.

segundo item: Sim, o triângulo formado pelos ângulos de medidas de abertura α e β e o formado pelos ângulos de medidas de abertura β e γ. As aberturas dos terceiros ângulos medem 87graus e 105graus, respectivamente.

Plano de resolução:

primeiro item: Analisar o quadrilátero formado pelos dois ângulos com as medidas de abertura calculadas e os ângulos com medidas de abertura β e δ.

segundo item: A soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180graus. A soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360graus.

terceiro item: δ = 129graus

Resolvendo em equipe: alternativa e

Resolvendo em equipe

Bê êne cê cê:

• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).

• Competências específicas 3 e 8 (as descrições estão na página sete).

Objetivos:

A seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com e pelos estudantes. Além de favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2 e 10 e da competência específica 2 de Matemática, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações.

Para esta atividade, organize a turma em grupos de quatro ou cinco integrantes. Peça aos estudantes que relacionem os ângulos apresentados na imagem e fundamentem suas ideias com argumentos. Dê um tempo para que eles discutam e produzam um cartaz. Comente que esses cartazes poderão ser um material de consulta para todos do grupo nas próximas aulas. Feito isso, solicite a eles que socializem as estratégias para que os grupos possam descobrir diferentes modos de resolução.

Página 164

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Triângulos

O triângulo é um polígono de três lados. Vamos destacar alguns elementos deste triângulo.

• Vértices: a, B e C.

• Lados:

\overline{A B}, \overline{A C} e \overline{B C}

• Ângulos internos:

\hat{A}, \hat{B} e \hat{C}

• Ângulos externos:

\hat{x}, \hat{y} e \hat{z}

A soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo é 180graus.

Cevianas notáveis: mediana, altura e bissetriz

Ceviana é qualquer segmento de reta com uma extremidade em um vértice de um triângulo e a outra extremidade na reta suporte do lado oposto a esse vértice.

1. Em um quadrado a bê cê dê, traçamos a diagonal

\overline{D B}

e obtemos o triângulo BCD.

Figura geométrica. Quadrado ABCD. Diagonal BD dividindo o quadrado em 2 triângulos, de modo que os ângulos do triângulo BCD são 90 graus, x e y.

Sabendo que x = y, determine as medidas de abertura dos ângulos internos do triângulo BCD.

2. Associe cada ceviana à sua definição.

um. Medianas dois. Alturas três. Bissetrizes

A. Cevianas que têm uma extremidade em um dos vértices do triângulo e a outra extremidade no lado oposto a esse vértice, dividindo cada ângulo interno em dois ângulos congruentes.

B. Cevianas que têm uma extremidade em um dos vértices do triângulo e a outra extremidade no ponto médio do lado oposto a esse vértice.

C. Cevianas que têm uma extremidade em um dos vértices do triângulo e a outra extremidade na reta suporte do lado oposto ao vértice, formando um ângulo cuja abertura mede 90graus com essa reta.

Congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes quando os lados correspondentes e os ângulos correspondentes são congruentes. Há quatro casos de congruência de triângulos.

1º caso de congruência: éle á éle (Lado-Ângulo-Lado)

Dois triângulos são congruentes quando dois lados e o ângulo compreendido entre eles são, respectivamente, congruentes.

2º caso de congruência: á éle á (Ângulo-Lado-Ângulo)

Dois triângulos são congruentes quando um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado são, respectivamente, congruentes.

3º caso de congruência: éle éle éle (Lado-Lado-Lado)

Dois triângulos são congruentes quando os três lados são, respectivamente, congruentes.

4º caso de congruência: éle á áo (Lado-Ângulo-Ângulo oposto)

Dois triângulos são congruentes quando um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado são, respectivamente, congruentes.

3. Sabendo que

α = β e \overline{A B} ≅ \overline{B C}

, prove que

\hat{A} ≅ \hat{C}

Figura geométrica. Triângulos ABD e BDC unidos pelo lado BD. Ângulo ABD igual a alfa e ângulo CBD igual a beta

4. Sabendo que

\overline{C M} ≅ \overline{M B}

\hat{B} ≅ \hat{C}

, prove que

\overline{A M} ≅ \overline{M D}

Figura geométrica. Triângulos ABM e DCM unidos pelo vértice M. Ângulo B congruente a ângulo C.

Respostas e comentários

1. 45graus, 45graus, 90graus

2. três-A, um-B e dois-C

3. △á bê dê ≅ △cê bê dê (caso éle á éle); portanto:

\hat{A} ≅ \hat{C}

4. △á bê ême ≅ △DCM (caso á éle á ); portanto:

\overline{A M} ≅ \overline{M D}

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Triângulos

• A atividade 1 descreve a decomposição de um quadrado em triângulos. Espera-se que os estudantes percebam que a diagonal

\overline{D B}

divide o quadrado em dois triângulos retângulos e isósceles. Como x = y e x + y = 90graus, então x = y = 45graus.

• A atividade 2 é de caráter conceitual. Nela os estudantes devem relacionar as cevianas às suas respectivas definições. Amplie a atividade e peça a eles que representem as medianas, alturas e bissetrizes de um triângulo qualquer.

Congruência de triângulos

• A atividade 3 propõe aos estudantes que provem que dois ângulos são congruentes. Caso tenham dificuldades, oriente-os a reproduzir a figura no caderno, destacar os segmentos que têm mesma medida de comprimento e identificar triângulos congruentes. Espera-se que eles percebam que os triângulos

A \hat{B} D

C \hat{B} D

são congruentes pelo caso éle á éle. Portanto, o ângulo com vértice em a é congruente ao ângulo com vértice em C.

• A atividade 4 propõe aos estudantes que provem que dois segmentos de reta são congruentes. Espera-se que eles concluam que os triângulos são congruentes pelo caso á éle á , pois:

A \hat{B} M ≅ D \hat{C} M

(hipótese)

\overline{C M} ≅ \overline{M B}

(hipótese)

A \hat{M} B ≅ D \hat{M} C

(ângulos opostos pelo vértice)

Oriente-os a reproduzir a figura no caderno e a destacar com uma mesma cor os ângulos e segmentos de reta congruentes.

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Quadriláteros

O quadrilátero é um polígono de quatro lados. Verifique alguns elementos deste quadrilátero.

• Vértices: a, B, C e D.

• Lados:

\overline{A B}, \overline{B C}, \overline{C D} e \overline{D A}

• Diagonais:

\overline{A C} e \overline{B D}

• Ângulos internos:

\hat{A}, \hat{B}, \hat{C} e \hat{D}

Um quadrilátero pode ser convexo ou não convexo. Para ser convexo, é necessário que todos os segmentos de reta, com extremidades no interior do quadrilátero, tenham todos os seus pontos situados no interior desse quadrilátero.

A soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360graus.

5. As medidas de abertura dos ângulos de um quadrilátero convexo são indicadas por a, b, c e d. Sabendo que b = 2a, c = 2b e d = a + c, determine as medidas de abertura a, b, c e d, em grau.

Classificação dos quadriláteros

Paralelogramos

Paralelogramo: quadrilátero convexo que tem os lados opostos paralelos; seus lados opostos e ângulos opostos são congruentes; seus ângulos consecutivos são suplementares; suas diagonais interceptam-se nos pontos médios.

Retângulo: paralelogramo que tem os quatro ângulos internos retos; todas as propriedades do paralelogramo são válidas para ele; suas diagonais são congruentes.

Losango: paralelogramo que tem os quatro lados congruentes; todas as propriedades do paralelogramo são válidas para ele; suas diagonais são perpendiculares entre si e estão contidas nas respectivas bissetrizes dos ângulos internos.

Quadrado: paralelogramo que é um caso particular de retângulo e de losango; todas as propriedades do paralelogramo, do retângulo e do losango são válidas para ele.

Trapézios

Trapézio: todo quadrilátero convexo que tem apenas um par de lados paralelos.

Trapézio retângulo: tem dois ângulos retos.

Trapézio isósceles: os lados paralelos são congruentes.

Trapézio escaleno: os lados não paralelos não são congruentes.

6. Copie as afirmações verdadeiras no caderno.

a) Retângulo é o paralelogramo que tem os quatro ângulos internos retos.

b) Losango é o paralelogramo que tem os quatro ângulos internos retos e os quatro lados congruentes.

c) Os lados opostos e os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.

d) Todo retângulo é um quadrado.

e) As diagonais de um paralelogramo interceptam-se em seus pontos médios.

7. A diferença entre as medidas de abertura de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é 108graus. Calcule as medidas de abertura desses ângulos, em grau.

8. Neste retângulo, determine xis e y, em grau.

Figura geométrica. Retângulo com as duas diagonais traçadas. Um dos vértices do retângulo tem ângulos de medidas y e e x. A intersecção das diagonais forma um ângulo de 84 graus.

9. Nos losangos a seguir, determine x e y, em grau.

Figura geométrica. Losango ABCD. Diagonal AC. Ângulo ACD tem medida y, ângulo ADC mede x, ângulo ABC mede 40 graus.

Figura geométrica. Losango ABCD. Diagonais AC e BD. ângulo ABD igual a x; ângulo DBC igual a 35 graus; ângulo CAD igual a y.

10. Em um trapézio isósceles, as bases medem 25 centímetros e 5 centímetros de comprimento, respectivamente, e o perímetro mede 64 centímetros. Quanto mede o comprimento de cada um dos outros lados?

Respostas e comentários

5. a = 30graus, b = 60graus, c = 120graus e d = 150graus

6. afirmações a, c, e.

7. 144graus e 36graus

8. x = 42°, y = 48°

9. a) x = 40graus, y = 70graus

9. b) x = 35graus, y = 55graus

10. 17 centímetros

Quadriláteros

• Para realizar a atividade 5, os estudantes precisam traduzir o enunciado para a linguagem algébrica e lembrar que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360graus. Espera-se que eles escrevam e façam as seguinte relações entre as sentenças algébricas:

a + b + c + d = 360graus

c = 2b = 2 · (2a) = 4a

d = a + c = a + 4a = 5a

a + 2a + 4a + 5a = 360graus

12a = 360graus

a = 30graus

Assim, b = 60graus, c = 120graus e d = 150graus.

Classificação dos quadriláteros

• A atividade 6 propõe aos estudantes que avaliem afirmações relacionadas aos quadriláteros e suas propriedades. Incentive-os a justificar o porquê das afirmações serem verdadeiras ou falsas. Espera-se que eles percebam que a afirmação do item b é falsa, porque o losango tem os quatro ângulos congruentes mas não necessariamente estes ângulos são retos. A afirmação do item d também é falsa, uma vez que nem todo retângulo é um quadrado. Você pode apresentar exemplos de retângulos que não sejam quadrados para a turma. Vale ressaltar que a recíproca da afirmação do item d é verdadeira, ou seja, todo quadrado é um retângulo. Comente isso com a turma.

• Para realizar a atividade 7, os estudante devem se lembrar de que, em um paralelogramo, os ângulos consecutivos são suplementares. Assim, se indicarem por x e y as medidas de abertura dos ângulos consecutivos, devem obter as seguintes equações:

x + y = 180graus

x − y = 108graus

Resolvendo o sistema formado pelas equações anteriores, espera-se que concluam que x = 36graus e y = 144graus.

• Na atividade 8, os estudantes devem se lembrar de que, como o quadrilátero é um retângulo, suas diagonais interceptam-se em seus pontos médios. Dessa fórma, os quatro triângulos presentes na figura são isósceles. Utilizando o fato de que, em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes e também que a soma das medidas de abertura dos ângulos internos de um triângulo é 180graus, os estudantes conseguem determinar x e y. Retome algum conceito caso seja necessário.

• Para determinar x e y em cada item da atividade 9, os estudantes precisam mobilizar o conceito de losango, lembrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si e reconhecer congruências entre triângulos. Ao realizar cada item, incentive a argumentação.

• Na atividade 10, verifique se todos os estudantes compreendem que trapézio isósceles é aquele em que os lados paralelos são congruentes. Em seguida, incentive-os a traduzir o problema em uma equação. Indicando por x a medida do comprimento de cada um dos outros lados, temos que um exemplo de equação é:

30 + 2x = 64, em que x é um número racional maior que zero.

Ao resolver a equação, espera-se que os estudantes concluam que x = 17 centímetros. Portanto, cada um dos outros lados mede 17 centímetros.