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Revisão dos conteúdos de anos anteriores

Faça as atividades no caderno.

Para o capítulo 1: Potenciação e radiciação com números reais

Números racionais

Os números racionais (conjunto representado por

) podem ser escritos na fórma de fração, com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero.

Os números naturais (conjunto representado por

Símbolo representado pela letra N, do conjunto dos números naturais.

) e os números inteiros (conjunto representado por

Símbolo representado pela letra Z, do conjunto dos números inteiros.

) são também números racionais.

Números irracionais

Os números irracionais têm infinitas casas decimais e não são periódicos. Os números

\sqrt{2}

2 \sqrt{3}

‒ \sqrt{5}

e π são exemplos de números irracionais.

Números reais

Se juntarmos em um só conjunto os números racionais e os números irracionais, obteremos o conjunto dos números reais, cujo símbolo é

Ilustração. Conjunto R. Dentro do conjunto R, à esquerda, conjunto Q. Dentro do conjunto Q, conjunto Z e dentro do conjunto Z, conjunto N. À direita, conjunto dos números irracionais.

1. Em seu caderno, indique as sentenças verdadeiras e as falsas.

a) 7,3 é um número irracional.

\sqrt{12}

é um número real.

‒ \frac{3}{4}

é um número irracional.

d) 0,333reticências é um número racional.

2. Escreva, em seu caderno, os números que não são racionais.

\sqrt{16}

b) 1,29

‒ \sqrt{3}

d) menos7,777reticências

‒ \sqrt{81}

\frac{2}{\sqrt{2}}

\frac{8}{21}

4 \sqrt{2}

Propriedades da potenciação

Considerando que a é um número real não nulo e que m e n são números inteiros, temos:

Produto de potências de mesma base:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Quociente de potências de mesma base:

a^{m} : a^{n} = a^{m ‒ n}

Potência de uma potência:

{(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}

Potência de um produto:

{(a \cdot b)}^{m} = a^{m} \cdot b^{m}

Potência de um quociente:

{(a : b)}^{m} = a^{m} : b^{m}

3. Escreva, em seu caderno, em fórma de uma única potência:

a) 117 ⋅ 1112

{(‒ \frac{1}{2})}^{10} \cdot {(‒ \frac{1}{2})}^{15}

c) 3115 : 3114

{(\frac{3}{5})}^{20} : {(\frac{3}{5})}^{12}

4. Quais sentenças estão corretas? Anote-as em seu caderno.

3^{10} = 3^{8} + 3^{2}

5^{9} : 5^{3} = 5^{3}

7^{5} \cdot 7^{6} = 7^{11}

d) 100¹² : 100¹¹ = 100

Raiz quadrada

A raiz quadrada de um número real positivo x é um número não negativo que, elevado ao quadrado, resulta em x.

Raiz quadrada exata

Os números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 e 144 foram obtidos de um produto de dois fatores iguais. Chamados quadrados perfeitos, esses números têm como raiz quadrada o fator que os originou.

Raiz quadrada aproximada

Quando um número real não negativo não é um quadrado perfeito, sua raiz quadrada não é exata, mas podemos obter um valor aproximado para ela. Vamos considerar como exemplo

\sqrt{150}

Para começar, procuramos entre quais quadrados perfeitos está o 150: entre 144 e 169.

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Como

\sqrt{144} = 12

\sqrt{169} = 13

\sqrt{150}

está entre 12 e 13.

Calculamos os quadrados de alguns números situados entre 12 e 13, com uma casa decimal:

12,1² = 146,41

12,22 = 148,84 (<150)

12,32 = 151,29 (>150)

Assim, 12,2 corresponde a uma aproximação de

\sqrt{150}

com uma casa decimal.

5. Decomponha estes números em fatores primos e, se possível, determine a raiz quadrada exata de cada um deles.

a) 2 116

b) 625

c) 972

d) 784

6. Escreva entre quais quadrados perfeitos estão os seguintes números.

a) 51

b) 93

c) 190

d) 388

7. Agora, calcule a raiz aproximada dos números da atividade anterior com uma casa decimal.

a) 51

b) 93

c) 190

d) 388

Para o capítulo 2: Matemática financeira

Porcentagem

Uma porcentagem indica a parte de um todo que contém 100 partes iguais. Por exemplo, 27% representa 27 partes de 100 ao todo.

Uma porcentagem póde ser escrita na fórma de fração ou na fórma decimal:

27 % = \frac{27}{100} = 0,27

Para calcular o valor referente à porcentagem de um total, multiplicamos a porcentagem (ou sua fração equivalente) pelo valor total.

8. Em seu caderno, calcule:

a) 42% de 50;

b) 16% de 160;

c) 60% de 32;

d) 95% de 8;

e) 120% de 68.

9. Um produto custa R$ 900,00novecentos reais. Calcule o novo valor caso esse produto tenha um:

a) aumento de 15%;

b) aumento de 10%;

c) desconto de 20%;

d) desconto de 1%.

Para o capítulo 3: Segmentos proporcionais e semelhança

Razão e proporção

A razão entre dois números, a e b, com b ≠ 0, nessa ordem, é dada por

\frac{a}{b}

Proporção é uma igualdade entre duas razões. Por exemplo,

\frac{15}{2} = \frac{30}{4}

Propriedade fundamental das proporções

Em toda proporção, dados a, b, c e d não nulos, com

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, temos a ⋅ d = b ⋅ c.

10. Aplicando a propriedade fundamental das proporções, identifique quais pares de razões são proporções.

\frac{5}{4} = \frac{10}{8}

\frac{1}{3} = \frac{2}{4}

\frac{18}{3} = \frac{6}{1}

\frac{7}{5} = \frac{10}{14}

Para o capítulo 4: Fatoração e equações do 2º grau

Expressões algébricas

Uma expressão matemática formada por números e letras ou somente por letras é chamada de expressão algébrica.

Em expressões algébricas, as letras são chamadas de variáveis.

Valor numérico é o resultado das operações efetuadas em uma expressão algébrica após a substituição das variáveis por números.

Adição e multiplicação de termos algébricos

Cada parcela de uma expressão algébrica é um termo algébrico, que é formado por duas partes: a parte numérica, denominada coeficiente, e a parte com letras, denominada parte literal.

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Para adicionar termos algébricos que têm a mesma parte literal, devemos adicionar os coeficientes e conservar a parte literal.

Para multiplicar dois termos algébricos, devemos:

• multiplicar os coeficientes numéricos entre si;

• multiplicar as partes literais entre si.

11. Determine o valor numérico de cada expressão algébrica considerando x = menos 1.

a) 45 + 43x

\frac{12 x ‒ 1}{10 x}

2 x^{2} ‒ x

12. Calcule as adições algébricas.

a) 6a menos 9b + 12b menos a

\frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{6}

c) 2y menos 9 + 8y + 9

13. Determine os produtos algébricos.

22 \cdot (9 + 3 x ‒ 2 y)

a \cdot b \cdot (‒ 3 b)

\frac{b}{4} \cdot (‒ \frac{a}{3})

Equação do 2º grau com uma incógnita

Equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade que apresenta pelo menos um valor desconhecido representado por uma letra denominada incógnita.

Uma equação do 2º grau na incógnita x pode ser reduzida a uma equação do tipo

a x^{2} + b x + c = 0

, em que a, b e c são números reais, com a ≠ 0; chamamos a, b e c de coeficientes da equação do 2º grau.

Uma equação do 2º grau com uma incógnita, na fórma

a x^{2} + b x + c = 0

, é considerada completa quando tem todos os coeficientes (a, b, c) diferentes de zero; quando b ou c ou os dois coeficientes são iguais a zero, dizemos que a equação do 2º grau

a x^{2} + b x + c = 0

, na incógnita x, é incompleta.

14. Entre os itens a seguir, quais são equações do 2º grau? Nos casos afirmativos, escreva se a equação é completa ou incompleta.

5 x^{2} + x = 0

‒ {5 x}^{2} + 25 = 0

c) 2x + 13 = 0

{\frac{x}{2}}^{2} + x + 1 = 0

15. Escreva, em seu caderno, uma equação do 2º grau seguindo as orientações de cada item:

a) completa com todos os coeficientes iguais a 5;

b) incompleta com a = 9 e b = menos1;

c) incompleta com a = 9 e c = menos1.

Raiz de uma equação do 2º grau

Raiz de uma equação é um número que, ao substituir a incógnita, torna a sentença verdadeira.

Por exemplo, vamos verificar se 0 e menos8 são raízes da equação

{2 x}^{2} ‒ 128 = 0

Para x = 0:

2 \cdot 0^{2} ‒ 128 = 0

menos 128 = 0

sentença falsa

Para x = menos8:

2 ⋅ 64 menos 128 = 0

sentença verdadeira

Logo, 0 não é raiz dessa equação e menos8 é raiz dessa equação.

16. Identifique as sentenças verdadeiras e as falsas.

a) 0 não é raiz da equação

{2 x}^{2} ‒ 5 x = 0

b) 0 é raiz da equação

x^{2} + \frac{x}{2} = 0

c) 1 é raiz da equação

x^{2} ‒ x + 5 = 0

d) 2 não é raiz da equação

x^{2} ‒ 2 x + 1 = 0

17. Qual dos números é raiz da equação

x^{2} + 2 x ‒ 3 = 0

a) menos3

b) 0

c) 1

d) 2

Para o capítulo 5: Função afim

Representação da relação entre grandezas no plano cartesiano

É possível relacionar os valores de duas grandezas por meio de quadros e sentenças algébricas, mas também por meio de gráficos no plano cartesiano.

Para grandezas diretamente proporcionais, se os valores da grandeza do eixo das abscissas podem ser somente números naturais, o gráfico da relação entre os valores não é uma linha contínua, mas pontos alinhados; se os valores dessa grandeza podem ser qualquer número real, o gráfico é uma linha contínua.

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Confira essa situação.

Para relacionar o número de ingressos e o valor total a pagar por esses ingressos, foi feito este quadro.

Número de ingressos (n)	1	4	6	10
Total a pagar em R$ (t)	20	80	120	200

Como as grandezas são diretamente proporcionais e o número de ingressos só póde ser um número natural, os valores das grandezas são representados como pontos alinhados no plano cartesiano.

Gráfico. Eixo horizontal n, traços de 0 a 12. Eixo vertical t, traços em 0, 50, 100, 150, 200 e 250. Em n igual a 1, t igual a 20. Em n igual a 4, t igual a 80. Em n igual a 6, t igual a 120. Em n igual a 10, t igual a 200.

18. Considerando que os valores das grandezas são quaisquer números reais positivos ou nulos, relacione cada quadro com o respectivo gráfico.

x	0	5	10	15
y	0	15	30	45

x	5	10	15	20
y	2,5	5	7,5	10

x	2	3	4	5
y	9	13,5	18	22,5

um)

Gráfico. Eixo horizontal x, traço em 0, 5, 10, 15 e 20. Eixo vertical y, traço em 0, 2, 4, 6, 8, 10 e 12. Reta passa por (0, 0) e (20, 10).

dois)

Gráfico. Eixo horizontal x, traço em 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Eixo vertical y, traço em 0, 5, 10, 15, 20 e 25. Reta passa por (0, 0) e (4, 18).

três)

Gráfico. Eixo horizontal x, traço em 0, 5, 10 e 15. Eixo vertical y, traço em 0, 10, 20, 30, 40 e 50. Reta passa por (0, 0) e (10, 30).

Para o capítulo 6: Função quadrática

Grandezas não proporcionais

Muitas situações no cotidiano envolvem grandezas que não têm proporcionalidade direta nem inversa entre elas.

Confira um exemplo dessas grandezas na situação a seguir.

Em um lançamento de 10 métros feito por um jogador de futebol, foram registradas as medidas da distância entre a bola e o jogador (representada por d) e da altura da bola (representada por h), em metro, no quadro a seguir.

d (m)	0	2	5	10
h (m)	0	1,6	2,5	0

Nessa situação, a relação entre as grandezas não é direta nem inversamente proporcional, mas é possível relacionar as medidas pela sentença algébrica

h = ‒ \frac{d^{2}}{10} + d

, em que d é um número real tal que 0 ⩽ dê ⩽ 10.

19. Este quadro apresenta as medidas de comprimento do lado de um quadrado (representadas por a), em centímetro, e as respectivas medidas de área da figura (representadas por y), em centímetro quadrado. Analise-o e, depois, faça o que se pede.

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a (cm)	1	2	3	4
y (cm2)	1	4	9	16

a) Relacione essas medidas por meio de uma sentença algébrica.

b) Calcule a medida de área do quadrado cujo comprimento do lado mede 3,5 centímetros.

c) Calcule a medida de comprimento do lado do quadrado cuja área mede 64 centímetros quadrados.

Para o capítulo 7: Relações métricas no triângulo retângulo

Triângulo retângulo

Um triângulo retângulo é um polígono de três lados que tem um ângulo interno reto, ou seja, com medida de abertura de 90graus.

20. No caderno, represente a figura indicada em cada item ê, depois, decomponha-a em triângulos retângulos.

a) Um triângulo isósceles.

b) Um quadrado.

Para o capítulo 8: Circunferência, arcos e ângulos

Circunferência

Circunferência é a figura formada por todos os pontos de um plano que estão à mesma medida da distância de um ponto fixo desse plano. O ponto fixo é chamado centro da circunferência.

Nesta circunferência representada, o ponto O é o centro da circunferência.

Figura geométrica. Circunferência com centro O. Os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência. Segmento de reta AB indicado, passando por O. Segmento OC indicado.

a, B, C e D são alguns pontos da circunferência.

O raio é um segmento de reta que une o centro óh a um ponto qualquer da circunferência, como

\overline{O A}

\overline{O B}

\overline{O C}

O diâmetro é um segmento de reta que tem duas extremidades na circunferência e que passa pelo centro da circunferência, como

\overline{A B}

21. Analise esta circunferência de centro C e, no caderno, indique quais afirmações são verdadeiras.

Figura geométrica. Circunferência com centro C. Os pontos A e B pertencem à circunferência. Os segmentos CA e CB estão indicados, e cada um tem medida de comprimento 4 centímetros.

a) Os pontos a e B equidistam de C.

b) C é o centro dessa circunferência.

c) O segmento de reta

\overline{B C}

é raio da circunferência e sua medida de comprimento é 4 centímetros.

d) O segmento de reta

\overline{A C}

é diâmetro da circunferência e sua medida de comprimento é 8 centímetros.

Para o capítulo 9: Polígonos regulares

Um polígono regular tem todos os lados com a mesma medida de comprimento e todos os ângulos com a mesma medida de abertura.

Medidas das aberturas do ângulo interno e do ângulo externo de um polígono regular

Em um polígono regular de n lados, indicando a medida da abertura do ângulo interno por ái , a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos por ésse minúsculoi , a medida da abertura do ângulo externo por áe e a soma das medidas das aberturas dos ângulos externos por ésse minúsculoe , temos:

a_{i} = \frac{S_{i}}{n}

a_{i} = (n ‒ 2) \cdot {\frac{180^{o}}{n}}^{}

a_{e} = \frac{S_{e}}{n}

a_{e} = {\frac{360^{o}}{n}}^{}

22. Em seu caderno, determine a medida da abertura do:

a) ângulo interno de um pentágono regular;

b) ângulo interno de um octógono regular;

c) ângulo externo de um decágono regular;

d) ângulo externo de um hexágono regular.

Ângulo central de um polígono regular

Todo polígono regular póde ser inscrito em uma circunferência. Ângulo central de um polígono regular é aquele cujo vértice é o centro da circunferência e cujos lados passam por dois vértices consecutivos do polígono.

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Neste pentágono regular á bê cê dê é, ác é um dos ângulos centrais.

Figura geométrica. Circunferência com centro O. Pentágono regular laranja ABCDE inscrito na circunferência. Ângulos centrais indicados com destaque para o o ângulo DOC, com medida de abertura indicada por a c subscrito.

Sendo óh o centro de um polígono regular, a soma das medidas das aberturas de todos os ângulos centrais é 360graus (uma volta completa).

Em um polígono de n lados, a medida da abertura do ângulo central, indicada por ác , é:

a_{c} = {\frac{360 º}{n}}^{}

23. Calcule, em seu caderno, a medida da abertura do ângulo central de um triângulo equilátero.

24. Em seu caderno, escreva a medida da abertura do ângulo

G \hat{O} H

do polígono regular inscrito na circunferência de centro óh a seguir.

Figura geométrica. Circunferência com centro O. Octógono regular azul ABCDEFGH inscrito. Diâmetro vertical AE e diâmetro horizontal GC.

25. Qual destes polígonos é um polígono regular que tem a medida da abertura do ângulo central igual a 60graus?

Figura geométrica. Triângulo verde inscrito em uma circunferência.

Figura geométrica. Quadrado verde inscrito em uma circunferência.

Figura geométrica. Pentágono roxo inscrito em uma circunferência.

Figura geométrica. Hexágono roxo inscrito em uma circunferência.

Para o capítulo 10: Vistas ortogonais e volume

Medida de volume

A medida de volume de um paralelepípedo é obtida multiplicando-se as medidas de comprimento (a), largura (b) e altura (h).

Vparalelepípedo = a ⋅ b ⋅ h

26. Em seu caderno, copie este quadro e complete com as medidas que faltam. Considere as medidas de comprimento, altura e largura em centímetro e a medida de volume em centímetro cúbico.

Medida do comprimento	Medida da altura	Medida da largura	Medida do volume
	2	6	120
0,5		0,2	0,3
1	5		30
2	2	2

Para o capítulo 11: Construção de gráficos estatísticos

Gráficos estatísticos

Gráfico de barras

Esse tipo de gráfico é utilizado principalmente para comparar informações. Podemos ter gráficos de barras verticais ou barras horizontais.

Gráfico de setores

Esse tipo de gráfico é usado quando queremos representar partes de um total.

Gráfico de segmentos

Esse tipo de gráfico é usado quando queremos analisar a variação de algum fato ao longo do tempo.

27. Na tabela a seguir, Brenda registrou as vendas de sua loja em 2023.

Vendas da loja de Brenda em 2023
Produto	Unidades vendidas
A	150
B	200
C	620
D	400

Dados obtidos por Brenda em 2023.

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Esses dados foram representados em dois gráficos diferentes:

Gráfico de setores. Título: VENDAS DA LOJA DE BRENDA EM 2023. Os dados são: Setor vermelho A: 11 por cento. Setor amarelo B: 15 por cento. Setor verde C: 45 por cento. Setor azul D: 29 por cento.

Dados obtidos por Brenda em 2023.

Gráfico de barras verticais. Título: VENDAS DA LOJA DE BRENDA EM 2023. Eixo x, produto. Eixo y, unidades vendidas. Os dados são: A: 150. B: 200. C: 620. D: 400.

Dados obtidos por Brenda em 2023.

Em seu caderno, responda

a) Qual é o tipo de cada gráfico?

b) Qual desses gráficos é mais adequado a essa situação?

28. Em dezembro de 2023, Camila organizou as informações sobre uma exposição de arte e fez um gráfico para representar o número de visitantes por mês.

Gráfico de barras horizontais. Título: NÚMERO DE VISITANTES. Eixo x, número de visitantes. Eixo y, mês. Os dados são: janeiro: 254. Fevereiro: 124. Março: 301. Abril: 306.

Dados obtidos por Camila em dezembro de 2023.

Em seu caderno, represente as informações desse gráfico em um gráfico de segmentos.

Para o capítulo 12: Probabilidade e estatística

Possibilidades

Um experimento aleatório é uma situação em que conhecemos os resultados possíveis, mas em que não podemos assegurar o resultado final.

O espaço amostral de um experimento aleatório é composto de todos os resultados possíveis no experimento.

Princípio multiplicativo

Considere que um acontecimento ocorra em duas etapas sucessivas, a e B. Se a ocorrer de m maneiras e se, para cada uma delas, B póde ocorrer de n maneiras, o número de maneiras em que o acontecimento póde ocorrer é

m \cdot n

Probabilidade

Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.

A probabilidade P da ocorrência de um evento é uma medida que pode assumir um valor de 0 a 1 e é dada pela razão:

P (e v e n t o) = \frac{n ú m e r o d e c a s o s f a v o r á v e i s d o e v e n t o}{n ú m e r o d e e l e m e n t o s d o e s p a ç o a m o s t r a l}

29. Para abrir um cadeado, usa-se uma senha de 4 dígitos.

a) Quantas possibilidades de senha existem?

b) Se a senha começar com 34, quantas possibilidades de senha existem?

c) Se a senha tiver apenas algarismos ímpares, quantas possibilidades de senha existem?

30. Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas, 5 roxas e as restantes, brancas.

Uma bola dessa urna é retirada ao acaso. Calcule, em seu caderno, a probabilidade de essa bola ser:

a) vermelha;

b) roxa;

c) branca.

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Unidade 1

Capítulo 1 Potenciação e radiciação com números reais

Capítulo 2 Matemática financeira

Capítulo 3 Segmentos proporcionais e semelhança

Ilustração. Mulher de cabelo escuro e cacheado, camiseta amarela e saia azul de bolinhas. Ela segura uma bandeja acima de sua cabeça com objetos como: caixas, tênis, abajur, sacolas, entre outros. No centro, o texto CONSUMO CONSCIENTE.

O que é consumo consciente? Será que você consome de fórma consciente? O que podemos fazer para praticar o consumo consciente? Ao final desta Unidade, você responderá a essas e outras questões.

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Parte 1

Capítulo 1 Potenciação e radiciação com números reais

Trocando ideias

Os fractais são figuras com autossimilaridade, ou seja, eles contêm, dentro de si, cópias menores deles mesmos; essas cópias, por sua vez, contêm cópias ainda menores e, assim, sucessivamente. Os fractais podem ser encontrados na natureza ou ser produzidos por equações matemáticas e programas de computador.

Fotografia. Fractal composto por linhas coloridas com peças iguais prateadas formando um espiral à direita. — Exemplo de fractal.

O triângulo de Sierpinski é um exemplo de fractal. Confira como ele póde ser construído.

Ilustração. Triângulo preto. Seta para: triângulo preto com triângulo branco dentro virado para baixo. Seta para: triângulo preto com triângulo branco dentro virado para baixo e três menores ao redor. Seta para: triângulo preto com triângulo branco dentro virado para baixo, três menores ao redor com três bem menores ao redor de cada. Seta para: triângulo preto com triângulo branco dentro virado para baixo, três menores ao redor com três bem menores ao redor de cada. Ao redor, mais três menores. Seta para: triângulo preto com triângulo branco dentro virado para baixo, três menores ao redor com três bem menores ao redor de cada. Ao redor, mais três menores com mais três menores.

▸

Qual é o número de triângulos com fundo preto presentes em cada uma das figuras anteriores? Como essas quantidades podem ser representadas na fórma de potência?

▸

Reúna-se com um colega e pesquisem em livros ou na internet outros exemplos de fractais. Depois, compartilhem com a turma o que encontraram.

Neste capítulo, vamos estudar a potenciação e a radiciação com números reais.

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1 Números reais

O conjunto dos números reais é composto do conjunto dos números racionais e do conjunto dos números irracionais.

Um número racional póde ser escrito na fórma

\frac{a}{b}

, com a e b inteiros e b diferente de zero, e sua representação decimal póde ser um decimal exato ou uma dízima periódica. Um número irracional tem uma representação decimal infinita e não periódica.

Sugestão de leitura

GUELLI, Oscar. A invenção dos números. São Paulo: Ática, 1996. (Coleção Contando a história da Matemática).

O livro traz como surgiu a ideia de número, como os povos antigos contavam, como surgiram os números irracionais e muitas outras curiosidades sobre números.

Localização de um número real na reta numérica

Acompanhe esta situação.

A professora de Jean solicitou que a turma localizasse os pontos que representam os números

\sqrt{3}

\sqrt{4}

\sqrt{5}

em uma reta numérica.

Jean traçou a reta numérica e, admitindo que

\sqrt{4}

é igual a 2, já fez essa indicação como aparece a seguir.

Ilustração. Reta numérica com os pontos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Seta saindo de raiz quadrada de 4 e apontando para o ponto 2.

Para localizar os pontos correspondentes aos números

\sqrt{3}

\sqrt{5}

, percebeu que não poderia fazer isso com exatidão. Então, como somente um quadrado perfeito tem raiz quadrada exata (

\sqrt{1} = 1

\sqrt{4} = 2

\sqrt{9} = 3

etcétera), Jean resolveu encontrar aproximações para

\sqrt{3}

\sqrt{5}

partindo dos quadrados perfeitos e, depois, fazendo aproximações melhores.

Analise como ele fez as aproximações.

Ilustração. Folha de papel com as informações: Para raiz quadrada de 3. Como 1 elevado ao quadrado igual 1 e 2 elevado ao quadrado igual 4, raiz quadrada de 3 está entre raiz quadrada de 1 e raiz quadrada 4. Ou seja: 1 menor que raiz quadrada 3 menor que 2.
Como 1 vírgula 7 elevado ao quadrado igual 2 vírgula 89 e 1 vírgula 8 elevado ao quadrado igual 3 vírgula 24, raiz quadrada 3 está entre raiz quadrada 2 vírgula 89 e raiz quadrada 3 vírgula 24. Ou seja: 1 vírgula 7 menor que raiz quadrada 3 menor que 1 vírgula 8.
Como 1 vírgula 73 elevado ao quadrado igual 2 vírgula 9929 e 1 vírgula 74 elevado ao quadrado igual 3 vírgula 0276, raiz quadrada 3 está entre raiz quadrada 2 vírgula 9929 e raiz quadrada 3 vírgula 0276. Ou seja: 1 vírgula 73 menor que raiz quadrada 3 menor que 1 vírgula 74.
Para raiz quadrada 5.
Como 2 elevado ao quadrado igual 4 e 3 elevado ao quadrado igual 9, raiz quadrada 5 está entre raiz quadrada 4 e raiz quadrada 9. Ou seja: 2 menor que raiz quadrada 5 menor que 3.
Como 2 vírgula 2 elevado ao quadrado igual 4 vírgula 84 e 2 elevado a 3 igual 5 vírgula 29, raiz quadrada 5 está entre raiz quadrada 4 vírgula 84 e raiz quadrada 5 vírgula 29. Ou seja: 2 vírgula 2 menor que raiz quadrada 5 menor que 2 vírgula 3. Como 2 vírgula 23 elevado ao quadrado igual 4 vírgula 9729 e 2 vírgula 24 elevado ao quadrado igual 5 vírgula 0176, raiz quadrada 5 e raiz quadrada 5 vírgula 0176. Ou seja: 2 vírgula 23 menor que raiz quadrada 5 menor que 2 vírgula 24.

Com isso, ele fez a representação na reta numérica da seguinte fórma:

Ilustração. Reta numérica com os pontos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Seta saindo de raiz quadrada de 3 e apontando para o ponto aproximadamente 1 vírgula 73. Seta saindo de raiz quadrada de 4 e apontando para o ponto 2. Seta saindo de raiz quadrada de 5 e apontando para o ponto aproximadamente 2 vírgula 23.

Observações

1. Ao fazer uma aproximação por tentativa e erro, póde ser necessário tentar alguns valores que sejam descartados. Por exemplo, para encontrar uma aproximação com uma casa decimal para

\sqrt{3}

, é necessário calcular: 1,1elevado a 2 = 1,21; 1,2elevado a 2 = 1,44; 1,3elevado a 2 = 1,69; 1,4elevado a 2 = 1,96; 1,5elevado a 2 = 2,25; 1,6elevado a 2 = 2,56; 1,7elevado a 2 = 2,89; 1,8elevado a 2 = 3,24. Como 1,7elevado a 2 é o maior valor menor que 3 e 1,8elevado a 2 é o menor valor maior que 3, a aproximação mais exata para

\sqrt{3}

com uma casa decimal está nesse intervalo.

2. Na situação de Jean, foram feitas aproximações de até duas casas decimais, mas poderiam ser feitas aproximações para um número maior ainda de casas decimais, uma vez que os números são irracionais, ou seja, têm uma representação decimal infinita e não periódica.

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Representação geométrica de um número irracional

É possível representar, geometricamente, alguns números irracionais na reta numérica. Acompanhe a representação geométrica de

\sqrt{2}

Considerando dois quadrados cujos lados medem 1 centímetro de comprimento, temos que a medida de área de cada um deles é 1 centímetro quadrado.

Recortando os dois quadrados por uma das diagonais, obtemos quatro triângulos. Com esses triângulos, podemos montar um novo quadrado com 2 centímetroselevado a 2 de medida de área.

Confira:

Ilustração. Dois quadrados com indicação no centro que a área mede 1 centímetro quadrado e cotas indicando que os comprimentos dos lados medem 1 centímetro. Seta para: os mesmos quadrados divididos na diagonal em quatro triângulos: 1, 2, 3 e 4. Seta para quadrado composto pelas 4 partes e indicação de medida de área no centro de 2 centímetros quadrados.

Um quadrado cujo comprimento do lado mede a tem medida de área aelevado a 2. Assim, um quadrado cuja área mede 2 centímetroselevado a 2 tem a medida de comprimento do lado que elevada ao quadrado tem como resultado 2 centímetros quadrados, ou seja,

\sqrt{2} c m

Agora, podemos transportar, com o auxílio de um compasso, a medida de comprimento do lado do quadrado para a reta numérica e determinar os pontos

\sqrt{2}

e seu simétrico,

‒ \sqrt{2}

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso.

Ilustração. Reta numérica com os pontos: menos 3, menos 2, menos raiz quadrada de 2, menos 1, 0, 1, raiz quadrada de 2, 2, 3. quadrado de lado 0 até raiz quadrada de 2. Compasso com ponta seca em 0 traçando arco de menos raiz quadrada de 2 até raiz quadrada de 2.

▸ Se posicionar a ponta-sêca sobre esses pontos determinados e mantiver a mesma abertura do compasso, que outros números você vai localizar na reta numérica? Esses números são irracionais?

Demonstração da irracionalidade de

\sqrt{2}

Vamos supor que

\sqrt{2}

seja um número racional. Assim, podemos representá-lo da seguinte maneira:

\sqrt{2} = \frac{p}{q}

, sendo p e q números inteiros, com q diferente de zero, e sendo

\frac{p}{q}

uma fração irredutível.

Elevando ao quadrado os dois lados da igualdade, temos:

{(\sqrt{2})}^{2} = {(\frac{p}{q})}^{2} \Rightarrow 2 = \frac{p^{2}}{q^{2}} \Rightarrow 2 q^{2} = p^{2}

• Como q é inteiro, então qelevado a 2 também é inteiro e 2qelevado a 2 é um número par, pois, multiplicando 2 por um número inteiro, obtemos um número par. Assim, pelevado a 2 é par.

• p também é par, pois um número par multiplicado por um número par resulta em um número par (quando multiplicamos um número ímpar por um número ímpar, obtemos um número ímpar).

Se p é par, podemos escrevê-lo como 2k, sendo k um número inteiro, diferente de zero.

Assim, temos:

Esquema. Sentença matemática. 2q ao quadrado igual a, abre parênteses, 2k, fecha parênteses, ao quadrado. Sobre o 2k indicação: p igual a 2k. Tudo isso implica em, 2q ao quadrado igual a 4k ao quadrado implica em, q ao quadrado igual a, 2k ao quadrado.

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2kelevado a 2 é um número par, então qelevado a 2 é par e, consequentemente, q é par.

Mas, se p e q são números pares, então

\frac{p}{q}

não é irredutível, o que contraria a suposição inicial. Assim, chegamos a um absurdo, ou seja,

\sqrt{2}

não póde ser chamado de racional. Logo,

\sqrt{2}

é irracional.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Localize os números a seguir em uma reta numérica. Se necessário, utilize aproximações.

Sentença matemática. Raiz quadrada de 9.
Sentença matemática. Raiz quadrada de 13.
Sentença matemática. Raiz quadrada de 17.
Sentença matemática. Raiz quadrada de 25.

2. Verifique quais números são irracionais e quais não são.

\sqrt{1}

\sqrt{2}

\sqrt{3}

\sqrt{4}

\sqrt{5}

3. Identifique quais afirmações são verdadeiras e quais são falsas.

a) Todo número em fórma de raiz é irracional.

b) A representação decimal de um número irracional é infinita e não periódica.

\sqrt{120}

é um número irracional.

2 Potência de um número real com expoente inteiro

Vamos determinar o valor da potência de um número real a quando o expoente inteiro for maior que 1, igual a 1, nulo ou negativo. Analise os casos a seguir.

• Expoente maior que 1

Esquema. a elevado a n igual a, a vezes a vezes a vezes, reticências, vezes a. Fio saindo do segundo membro indicando n fatores. com n inteiro tal que n maior que 1.

Confira alguns exemplos.

Esquema. Sentença matemática. 2 elevado a 4 igual a 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 igual a 16. Abaixo das multiplicações por 2 indicação: 4 fatores.

Esquema. Sentença matemática. Abre parênteses, menos fração 1 meio, fecha parênteses, ao quadrado, igual a, abre parênteses, menos fração 1 meio, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos fração 1 meio, fecha parênteses igual a i quarto. Abaixo das multiplicações das frações menos 1 meio indicação: 2 fatores.

Esquema. Sentença matemática. 3 elevado a 5 igual a 3 vezes 3 vezes 3 vezes 3, vezes 3, igual a 243. Abaixo das multiplicações por 3 indicação: 5 fatores.

Esquema. Sentença matemática. Abre parênteses, menos 0 vírgula 5, fecha parênteses, ao cubo, igual a, abre parênteses, menos 0 vírgula 5, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 0 vírgula 5, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 0 vírgula 5, fecha parênteses, igual a, menos 0 vírgula 125. Abaixo das multiplicações por menos 0 vírgula 5 indicação: 3 fatores.

• Expoente 1

a elevado a 1 = a

Confira alguns exemplos.

a) 7elevado a 1 = 7

{(‒ \frac{3}{5})}^{1} = ‒ \frac{3}{5}

c) (1,3756)elevado a 1 = 1,3756

d) (menos0,01)elevado a 1 = menos0,01

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• Expoente zero, com base não nula

a elevado a 0 = 1, com a ≠ 0

Confira alguns exemplos.

a) 5elevado a 0 = 1

{(‒ \frac{8}{9})}^{0} = 1

c) (101,54)elevado a 0 = 1

d) (menos0,0001)elevado a 0 = 1

• Expoente inteiro negativo, com base não nula

a^{‒ n} = \frac{1}{a^{n}} = {(\frac{1}{a})}^{n}

, com a ≠ 0 e menosn inteiro negativo

Confira alguns exemplos.

5^{‒ 1} = \frac{1}{5}

(‒ 7)^{‒ 2} = {(‒ \frac{1}{7})}^{2} = \frac{1}{49}

{(‒ \frac{3}{4})}^{‒ 1} = ‒ \frac{4}{3}

{(‒ \frac{2}{3})}^{‒ 3} = {(‒ \frac{3}{2})}^{3} = ‒ \frac{27}{8}

Observações

1. Quando a base é negativa, o sinal da potência é:

• positivo, se o expoente é par. Por exemplo:

(menos0,1)elevado a 2 = (menos0,1) ⋅ (menos0,1) = 0,01

• negativo, se o expoente é ímpar. Por exemplo:

{(‒ \frac{1}{2})}^{3} = (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) = ‒ \frac{1}{8}

Convenciona-se que menos 2 elevado a 4 representa menos, abre parênteses, menos 2 elevado a 4, fecha parênteses, igual a menos, abre parênteses, 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2, fecha parênteses. igual a menos 16, ao passo que, abre parênteses, menos 2, fecha parênteses, elevado a 4 (fio saindo dessa potência com indicação, menos 2 é a base) igual a, abre parênteses, menos dois, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos dois, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos dois, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos dois, fecha parênteses, igual a 16.

Logo: menos2elevado a 4 ≠ (menos2)elevado a 4

Ilustração. Rapaz de cabelo preto, camisa azul, segurando um giz, diz: Consideraremos que a potência zero elevado a zero não está definida.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

4. Calcule as potências a seguir.

a) 0elevado a 7

b) menos5elevado a 2

c) menos(1,2)elevado a 2

d) (menos5)elevado a 2

e) menos(0,3)elevado a 0

{(‒ \frac{2}{3})}^{3}

‒ {(\frac{2}{5})}^{3}

{(1 \frac{2}{3})}^{2}

5. Calcule as potências de expoente negativo.

a) 7elevado a menos um

{(\frac{1}{5})}^{‒ 2}

{(\frac{5}{9})}^{‒ 1}

{(‒ \frac{3}{8})}^{‒ 1}

e) (menos3)elevado a menos três

f) 10elevado a menos dois

g) (menos1)elevado a menos cinco

{(\frac{1}{100})}^{‒ 1}

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6. No caderno, escreva cada item na fórma de potência com expoente inteiro negativo.

\frac{1}{10^{4}}

\frac{1}{5^{7}}

\frac{1}{2^{3}}

\frac{1}{7^{5}}

7. No caderno, escreva os números a seguir como potência de base 2.

a) 64

\frac{1}{32}

c) 256

\frac{1}{64}

8. Calcule o valor das expressões a seguir.

a) abre parêntesesmenos3fecha parênteseselevado a 2 + abre parêntesesmenos3fecha parênteseselevado a 3

b) menosabre parêntesesmenos2fecha parênteseselevado a 4 + abre parêntesesmenos2fecha parênteseselevado a 5 ⋅ 4elevado a menos três

c) abre parênteses4elevado a 0 : 4elevado a menos umfecha parênteses dividido por abre parênteses4elevado a menos um dividido por 4elevado a menos doisfecha parênteses

\frac{{(‒ 1)}^{5}}{{(‒ 2)}^{‒ 2} + {(0, 1)}^{‒ 2}}

{(‒ \frac{1}{3})}^{2} ‒ {(‒ \frac{1}{3})}^{‒ 2}

Propriedades das potências com expoentes inteiros

Vamos estudar as propriedades do cálculo com potências de expoente inteiro e base real não nula.

• Produto de potências de mesma base

aelevado a ême ⋅ aelevado a n = a elevado a m mais n

Analise alguns exemplos.

a) 2elevado a 2 ⋅ 2elevado a 3 = abre parênteses2 ⋅ 2fecha parênteses ⋅ abre parênteses2 ⋅ 2 ⋅ 2fecha parênteses = 2elevado a 5 ou 2elevado a 2 ⋅ 2elevado a 3 = 2elevado a 2 mais 3 = 2elevado a 5

{(\frac{1}{2})}^{‒ 3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{‒ 2} = {(\frac{1}{2})}^{‒ 3 + (‒ 2)} = {(\frac{1}{2})}^{‒ 5}

c) 5elevado a m menos 1 ⋅ 5² ⁺ ᵐ = 5elevado a m menos 1 mais 2 mais m = 5elevado a 2m mais 1

• Quociente de potências de mesma base

aelevado a ême : aelevado a n = aelevado a m menos n

Observe alguns exemplos.

a) 2elevado a 3 dividido por 2elevado a 2 =

\frac{(2 \cdot 2 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)}

= 2 ou 2elevado a 3 dividido por 2elevado a 2 = 2elevado a 3 menos 2 = 2elevado a 1 = 2

\frac{{(0, 3)}^{5}}{{(0, 3)}^{2}} = (0, 3)^{5 ‒ 2} = (0, 3)^{3}

c) 5elevado a menos dois dividido por 5elevado a menos quatro = 5elevado a menos 2 menos, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses = 5elevado a menos 2 mais quatro = 5elevado a 2

d) 3elevado a 2m menos 1 dividido por 3elevado a 1 menos m = 3²ᵐ ⁻ ¹ ⁻ ⁽¹ ⁻ elevado a ême⁾ = 3elevado a 2m menos 1 menos 1 mais m = 3elevado a 3m menos 2

• Potência de potência

abre parêntesesa elevado a êmefecha parênteseselevado a n = a elevado a ême ⋅ elevado a n

Analise alguns exemplos.

a) abre parênteses2²)³ = abre parênteses2 ⋅ 2)³ = abre parênteses2 ⋅ 2fecha parênteses ⋅ abre parênteses2 ⋅ 2fecha parênteses ⋅ abre parênteses2 ⋅ 2fecha parênteses = 2elevado a 6 ou abre parênteses2²)³ = 2elevado a 2 ⋅ ³ = 2elevado a 6

b) abre parênteses10elevado a 5fecha parênteseselevado a menos dois = 10elevado a 5 ⋅ ⁽⁻²⁾ = 10 elevado a menos dez

c) abre parênteses2elevado a xisfecha parênteseselevado a xis ⁻ ¹ = 2elevado a xis ⋅ ⁽elevado a xis ⁻ ¹⁾ =

2^{x^{2} ‒ x}

• Potência de um produto ou de um quociente

abre parêntesesa ⋅ bfecha parênteseselevado a ême = a elevado a ême ⋅ b elevado a ême

abre parêntesesa dividido por bfecha parênteseselevado a ême = a elevado a ême dividido por b elevado a ême

Analise alguns exemplos.

a) abre parênteses3 ⋅ 5fecha parênteseselevado a menos dois = 3elevado a menos dois ⋅ 5elevado a menos dois

{(\frac{3}{5})}^{‒ 2} = \frac{3^{‒ 2}}{5^{‒ 2}}

Observação

Atenção para as desigualdades a seguir, com bases reais não nulas e expoentes inteiros.

• aelevado a ême + aelevado a n ≠ aelevado a ême ⁺ ⁿ

• aelevado a ême menos aelevado a n ≠ aelevado a ême ⁻ ⁿ

•

(a^{m})^{n} \neq a^{m^{n}}

, com a, m e n ≠ 1

• abre parêntesesa + bfecha parênteseselevado a n ≠ aelevado a n + belevado a n, com a ≠ menosb; a, b e n ≠ 1

• abre parêntesesa menos bfecha parênteseselevado a n ≠ aelevado a n menos belevado a n, com a ≠ b

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Veja que interessante

Faça as atividades no caderno.

Calculadora científica

A calculadora científica possibilita a resolução de cálculos básicos, fracionários, de porcentagem, científicos e estatísticos. Nos smartphones, como o da imagem, você póde usar uma calculadora científica escolhendo um aplicativo de calculadora que inclua essa funcionalidade.

Confira agora alguns exemplos de cálculos que utilizam as teclas

Ilustração. Tecla de calculadora: x elevado a y.

Ilustração. Tecla de calculador: x elevado ao quadrado

a) 2elevado a 3

Ilustração. Sequência de teclas de calculadora: 2, x elevado a y, 3, igual

b) 2elevado a menos três

Ilustração. Sequência de teclas de calculadora: 2, x elevado a y, 3, mais ou menos, igual

c) abre parêntesesmenos2fecha parênteseselevado a menos três

Ilustração. Sequência de teclas de calculadora: 2, mais ou menos, x elevado a y, 3, mais ou menos, igual

d) 9elevado a 2

Ilustração. Sequência de teclas de calculadora: 9, x elevado a 2

e) abre parêntesesmenos9fecha parênteseselevado a 2

Ilustração. Sequência de teclas de calculadora: 9, mais ou menos, x elevado a 2

Atividade

Analise as sequências de teclas de cada exemplo anterior e identifique os resultados que aparecem no visor de uma calculadora científica. Em seguida, se possível, utilize uma calculadora científica para conferir os resultados.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

9. Aplique as propriedades e expresse os resultados na fórma de uma única potência.

a) 3elevado a 5 ⋅ 3elevado a menos dois

b) melevado a 5 ⋅ melevado a menos seis, com m ≠ 0

c) abre parênteses0,1fecha parênteseselevado a menos três ⋅ abre parênteses0,1fecha parênteseselevado a 3

10. Transforme as expressões em uma única potência.

a) abre parênteses5elevado a 2fecha parênteseselevado a menos quatro

b) abre parêntesesnelevado a menos cincofecha parênteseselevado a 4, com n ≠ 0

c) abre parênteses5elevado a 2fecha parênteseselevado a n

\frac{x^{3}}{x^{‒ 2}}

, com x ≠ 0

11. Aplique as propriedades das potências de um produto ou de um quociente.

a) abre parênteses3 ⋅ 7fecha parênteseselevado a 4

b) abre parênteses2elevado a 4 ⋅ aelevado a menos trêsfecha parênteseselevado a menos um, com a ≠ 0

c) abre parêntesesaelevado a 3elevado a xis dividido por belevado a xis fecha parênteseselevado a menos quatro , com a ≠ 0 e b ≠ 0

12. Determine o valor das potências

2^{3^{2}}

e (2elevado a 3)elevado a 2.

13. Escreva, na fórma fracionária, a expressão (3elevado a menos quatro)elevado a 5.

14. Sendo a = 10elevado a menos quatro, b = 10elevado a menos cinco e c = 10elevado a 3, determine:

a) a dividido por belevado a 2

b) a dividido por abre parêntesesb ⋅ cfecha parênteses

15. Simplifique cada expressão a seguir.

\frac{x^{10} \cdot {(x^{2})}^{4}}{x^{23} : x^{2}}

, com x ≠ 0

\frac{5^{3 x ‒ 2} \cdot 5^{x ‒ 1}}{5^{x ‒ 5}}

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Veja que interessante

Faça as atividades no caderno.

Os prefixos mais conhecidos

Confira estas afirmações.

• A medida do comprimento do armário é 80 centímetros.

• Quero comprar 5 quilogramas de carne.

• A usina termoelétrica produzia 17 megawatts de energia.

As partes destacadas das palavras – centi, quilo e mega – são denominadas prefixos. Cada prefixo corresponde a uma potência de base 10.

Neste quadro estão os prefixo mais conhecidos.

Nome do prefixo	Símbolo do prefixo	Potência de base 10 correspondente ao prefixo	Significado do prefixo na forma decimal
tera	T	10 elevado a 12	1.000.000.000.000 (trilhão)
giga	G	10 elevado a 9	1.000.000.000 (bilhão)
mega	M	10 elevado a 6	1.000.000 (milhão)
quilo	k	10 elevado a 3	1.000 (mil)
hecto	h	10 elevado a 2	100 (cem)
deca	da	10 elevado a 1	10 (dez)
deci	d	10 elevado a -1	0,1 (décimo)
centi	c	10 elevado a -2	0,01 (centésimo)
mili	m	10 elevado a -3	0,001 (milésimo)
micro	μ	10 elevado a -6	0,000001 (milionésimo)
nano	n	10 elevado a -9	0,000000001 (bilionésimo)
pico	p	10 elevado a -12	0,000000000001 (trilionésimo)

Quando falamos sobre medida de armazenamento de dados, geralmente usamos o termo byte com as devidas variações de prefixo. No entanto, o bit é a menor unidade de medida de informação que póde ser armazenada ou transmitida; um conjunto de 8 bits corresponde a 1 byte (1 báite), que é a unidade-padrão de medida de armazenamento de dados.

Como a quantidade de informação armazenada utiliza o sistema binário (base 2), os fatores de multiplicação para a obtenção das unidades de medida são potências de 2. Analise alguns exemplos:

a) 1 quilobyte (cá bê) é igual a 2elevado a 10 báites ou 1 024 báites;

b) 1 megabyte (ême bê) é igual a 2elevado a 20 báites ou 1 048 576 báites;

c) 1 gigabyte (gê bê) é igual a 2elevado a 30 báites ou 1 073 741 824 báites.

Podemos utilizar potências de base 10 para expressar valores aproximados para os múltiplos do byte. Assim:

a) 1 quilobyte (cá bê) é aproximadamente igual a 1 000 báites ou 10elevado a 3 báites;

b) 1 megabyte (ême bê) é aproximadamente igual a 1 000 000 báites ou 10elevado a 6 báites;

c) 1 gigabyte (gê bê) é aproximadamente igual a 1 000 000 000 báites ou 10elevado a 9 báites.

Atividade

Compare os resultados de 2elevado a 10 e 10elevado a 3; 2elevado a 20 e 10elevado a 6; e 2elevado a 30 e 10elevado a 9. Verifique quão próximos estão.

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Lendo e aprendendo

Ícone do tema Ciência e tecnologia. Ícone do tema Formação cidadã. Ícone do tema Saúde.

cinco gê no Brasil

Governo anuncia chegada da tecnologia para o ano que vem. Veja perguntas e respostas sobre a nova geração de internet móvel

O governo brasileiro anunciou para o ano que vem a chegada ao país do cinco gê. A nova geração de internet móvel, que já é utilizada em algumas partes do mundo, promete revolucionar diversos setores. Algumas pessoas, no entanto, criticam o fato de tanto dinheiro ser investido na nova tecnologia enquanto parte dos brasileiros não tem nenhum tipo de acesso à rede.

Há outras críticas? Quais os desafios para a implementação? O que vai mudar na prática? Quais são as vantagens tecnológicas? Verifique as respostas a essas e outras dúvidas:

O quatro gê vai acabar?

Não. Todas as outras gerações de internet vão continuar funcionando.

O que é o cinco gê?

É a nova tecnologia de rede de internet móvel, mais potente e veloz, com menor tempo de resposta dos comandos. É uma evolução do quatro gê. A letra “gê” significa geração, ou seja, mostra a evolução dessas tecnologias.

O que vai mudar na prática?

O engenheiro e mestre em tecnologia Eduardo Tude explica que a velocidade maior e a latênciaglossário menor vão permitir uma série de aplicações não suportadas pelo quatro gê. “Abre um leque grande de possibilidades”, diz.

Ele cita como exemplo a internet das coisas, não só com os celulares conectados, mas geladeiras, máquinas de lavar, televisores e uma infinidade de aparelhos eletrônicos. Cidades e casas inteligentes também poderão ser uma realidade. Testes com automóveis totalmente autônomos, inclusive, já estão avançados em várias partes do mundo. Outro setor que deve se beneficiar é o da saúde, com telemedicina e diagnósticos muito mais avançados, além de cirurgias feitas remotamente.

Ah, e claro, a vida de quem joga no celular também deve mudar bastante para melhor, por causa da velocidade do cinco gê.

Ilustração. Esquema de alguns elementos de uma cidade como se estivesse saindo de forma tridimensional da tela de um smartphone. Ao fundo 5G escrito grande um chip grande de celular. Um fio sai de um carro e aponta a para o texto TRANSPORTE: veículos autônomos. Outro fio sai da tela de um celular e aponta para o texto STREAMING: retransmissões de Full HD em qualquer local. Um fio sai da tela de um notebook e ponta para o texto JOGOS: novas experiências mobile. Um fio sai de um relógio inteligente e leva ao texto SAÚDE: envio de exames de alta resolução e procedimentos cirúrgicos remotos, entre outras inovações. Um fio sai de uma das ruas e aponta para o texto SMART CITIES: semáforos e transportes públicos interligados. Um fio sai de um ícone grande de localização e aponta para o texto NOVAS TECNOLOGIAS. Realidade virtual e realidade aumentada. Em uma nuvem mais acima o texto DADOS: armazenamento em meganuvem.

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Lendo e aprendendo

[reticências]

A polêmica da desigualdade

A principal delas diz respeito à desigualdade de acesso à internet no país. Apesar de crescente, pesquisa do í bê gê É mostrou que um em cada quatro brasileiros ainda não está conectado. De um lado, alguns acham que a proposta do governo para o cinco gê vai piorar esse cenário. Do outro, dizem que o modelo proposto para a implementação da nova tecnologia vai ajudar a diminuir essa diferença de conectividade. Verifique dois argumentos:

Ilustração. À esquerda: Contrário à proposta do governo. Para Flávia Lefèvre, o início da discussão sobre
o 5G não levou em conta a desigualdade de acesso da maneira adequada. Segundo ela, poucas pessoas vão ser beneficiadas, principalmente as de alta renda. “Do ponto de vista do equipamento, também há um risco da exclusão de um grande número de pessoas com condições de adquirir novos aparelhos. Depois, temos uma realidade com relação ao acesso de internet móvel muito desigual, o que deve aumentar ainda mais”, ressalta. Versus. À direita, Favorável. O engenheiro Eduardo Tude argumenta que a implementação da nova geração da internet deve, necessariamente, caminhar com a instalação do 4G em lugares que ainda não contam com essa tecnologia. Ele lembra que o governo exige que as empresas que forem instalar o 5G ampliem o alcance de redes como um todo, principalmente para a parcela menos atingida hoje. “Ou seja, vai beneficiar todo mundo”, acredita.

Qualquer celular terá acesso?

Não. Será preciso ter um aparelho compatível com a tecnologia cinco gê. Essa, inclusive, é outra crítica ao modelo, pois hoje o aparelho mais barato à venda que suporta a nova geração de internet custa por volta de três mil reais. Para Tude, no entanto, a tendência é que os preços diminuam com o tempo.

[reticências]

Como funciona?

Por meio de antenas que transmitem ondas (ou frequências) de rádio, assim como as outras redes móveis. A ideia é que as da nova rede sejam acopladas às já existentes. Claro, novas antenas também devem ser instaladas para alcançar distâncias maiores.

Qual é a diferença em relação ao quatro gê?

A velocidade da rede cinco gê póde chegar a 10 gigabytes por segundo, que póde ser até 100 vezes mais rápida do que a quatro gê. Isso significa, por exemplo, que um filme de alta definição poderá ser baixado em uma fração de segundos, o que leva cérca de uma hora com as redes quatro gê atuais.

Já a latência da tecnologia cinco gê deve ser entre 1 e 2 milissegundosglossário . No caso do quatro gê, esse intervalo é de 35 a 52 milissegundos. Outra diferença é que, com o cinco gê, será possível conectar mais dispositivos simultaneamente. Além disso, espera-se que a nova geração de internet seja mais sustentável, com uma redução de cérca de 90% do consumo de energia.

É fake!

Pouco depois do início da pandemia, uma mensagem circulou nas redes sociais dizendo que as ondas de transmissão do cinco gê poderiam “carregar” o vírus da côvid dezenóve, aumentando assim a transmissão da doença. Porém, não há uma evidência científica sobre isso. A Organização Mundial da Saúde (ó ême ésse), inclusive, já negou que os vírus possam viajar em ondas de rádio e redes móveis.

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Lendo e aprendendo

Há risco para a saúde?

Algumas pessoas alertaram sobre a possibilidade de as ondas de frequência fazerem mal à saúde. De acôrdo com a ó ême ésse, a classificação de toda radiação de radiofrequência (da qual os sinais de celular fazem parte) é de “possivelmente cancerígenas”. Na prática, isso quer dizer que não há evidências concretas sobre o assunto. Para se ter uma ideia, comer legumes em conserva ou usar talco em pó, por exemplo, são classificados com o mesmo nível de risco. Já a ingestão de bebidas alcoólicas e o consumo de carne processada são classificados com riscos maiores.

A evolução da tecnologia

Fazer uma videochamada, mandar mensagem de texto, ouvir música, trabalhar... Hoje, podemos realizar inúmeras tarefas com nossos celulares. Mas nem sempre foi assim. Observe como tudo começou.

Linha do tempo. 1990. Ilustração de um telefone fixo. 1 G. Início da primeira geração de conexão sem fio, a 1 G. Qualidade de chamada muito ruim, com bastante interferência. Aparelhos pesavam 1 quilograma e tinham baterias com pouca duração. 1990. Ilustração de um celular retangular com antena à esquerda. 2 G. Além de melhorar a qualidade das ligações, a tecnologia 2 G permitiu o envio de SMS. Começou a possibilitar que imagens e sons fossem baixados nos aparelhos (ainda com limites grandes de tamanho). Celulares começam a ficar menores. 2000. Ilustração de um smartphone. 3 G. O 3 G revolucionou os celulares, que passaram a ser chamados de smartphones. Possibilitou o acesso rápido à internet, com transmissão de vídeos em tempo real e acesso a serviços de streaming. Uso de TVs pelo celular e chamadas de vídeo. Android e Iphone foram lançados na segunda metade dessa década. 2010. Ilustração de uma nuvem. 4 G. Início do 4 G, aumentando ainda mais as possibilidades. Jogos muito mais complexos e serviços em nuvem. 2020. Ilustração de um globo interligado. 5 G. Chegada do 5 G em alguns países. Mudanças ainda estão sendo implementadas. O que será que vem por aí?

CABRAL, M. C. cinco gê no Brasil. Qualé, São Paulo, edição 38, p. 6-9, 1º a 15 de novembro de 2021.

Atividades

1. Responda às questões no caderno.

a) Em que mês e ano a matéria anterior foi publicada?

b) De acôrdo com o í bê gê É, qual era a porcentagem de brasileiros, em 2021, que não estava conectada à internet?

2. Qual é, aproximadamente, a medida de velocidade a que a rede cinco gê póde chegar?

Dica: bê é o símbolo utilizado para representar a unidade de medida báite.

a) 10elevado a 10 báites por segundo

b) 10elevado a 9 báites por segundo

c) 10elevado a 6 báites por segundo

d) 10elevado a onze báites por segundo

3. Em relação à polêmica que diz respeito à desigualdade de acesso à internet no país, você concorda com a opinião de Flávia Lefèvre ou com a de Eduardo Tude? Escreva um pequeno texto para justificar sua resposta.

Vivemos em um mundo em que há muitas informações circulando. São tantas fontes e pessoas produzindo e compartilhando informação que fica difícil realmente saber o que é e o que não é verdade. Por isso se fala muito em fake news: publicações com informações comprovadamente falsas que costumam viralizar nas redes sociais. O texto apresenta um exemplo de fake news relacionado à chegada do cinco gê. Alguma vez você desconfiou de uma publicação divulgada na tê vê ou na internet? Você checou essa publicação? Como você fez para saber se era verdadeira ou falsa? Converse com os colegas sobre o assunto.

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Notação científica

Números muito grandes ou muito próximos de zero podem ser escritos por meio de uma multiplicação da forma x ⋅ 10elevado a bê, em que:

• x pertence ao intervalo 1 < x < 10;

• b é um número inteiro.

Chamamos essa representação de notação científica. Confira alguns exemplos.

•

Esquema. Sentença matemática. 5760 igual a 5,76 vezes 10 elevado a 3. Indicação saindo de 760: 3 casas, indicação saindo do expoente 3: expoente 3.

•

Esquema. Sentença matemática. 36480 igual a 3 vírgula 648 vezes 10 elevado a 4. Indicação saindo de 6480: 4 casas, indicação saindo do expoente 4: expoente 4.

•

Esquema. Sentença matemática. 520000 igual a 5 vírgula 2 vezes 10 elevado a 5. Indicação saindo de 20000: 5 casas, indicação saindo do expoente 5: expoente 5.

•

Esquema. Sentença matemática. 0 vírgula 00075 igual a 7 vírgula 5 vezes 10 elevado a menos 4. Indicação saindo de 0007: 4 casas, indicação saindo do expoente menos 4: expoente menos 4.

•

Esquema. Sentença matemática. 0,000008 igual a 8 vezes 10 elevado a menos 6. Indicação saindo de 000008: 6 casas, indicação saindo do expoente menos 6: expoente menos 6.

•

Esquema. Sentença matemática. 0 vírgula 000000457 igual a 4 vírgula 57 vezes 10 elevado a menos 7. Indicação saindo de 0000004: 7 casas, indicação saindo do expoente menos 7: expoente menos 7.

Analise, agora, alguns valores que usualmente representamos com notação científica.

a) Medida da distância aproximada da Terra ao Sol: ..150000000 quilômetros = 1,5 ⋅ 10elevado a 8 quilômetros;

b) Medida da velocidade da luz: .300000 quilômetros por segundo = 3 ⋅ 10elevado a 5 quilômetros por segundo

c) Medida aproximada de 1 ano-luz: ....9460000000000 quilômetros = 9,46 ⋅ 10elevado a 12 quilômetros;

Fotografia. Vista parcial da Terra com o Sol do lado inferior direito. — Representação artística da Terra no espaço.

d) Medida de comprimento do diâmetro da molécula da água: 280 picômetros = 0,000000000280 métro = 2,8 ⋅ 10elevado a menos dez métro;

e) Medida de comprimento do diâmetro de um elétron: 0,000000000000000001 métro = 1 ⋅ 10elevado a menos dezoito métro;

f) Femtossegundoglossário : 0,000000000000001 segundo = 1 ⋅ 10elevado a menos quinze segundo.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

16. No caderno, escreva os números em notação científica.

a) .85700

b) ...945000000000

c) 0,0000002

d) ..13000000

e) ...1080000000

f) 0,00000000013

17. Uma pessoa adulta tem cérca de 5 litros de sangue. Em uma pessoa saudável, 1 milímetro cúbico de sangue possui, aproximadamente:

• 5 milhões de glóbulos vermelhos ou hemácias;

• 8 mil glóbulos brancos ou leucócitos.

Escreva, em notação científica, quantas hemácias e quantos leucócitos possui, aproximadamente, um adulto.

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18. O físico italiano Avogadro (1776-1856) mostrou que, em 18 gramas de água, há cérca de 6,02 ⋅ 10elevado a 23 moléculas. No caderno, escreva em notação científica o número aproximado de moléculas contidas em 1 miligrama de água.

19.

Junte-se a um colega e escreva dois números conforme as indicações a seguir para que ele os reescreva em notação científica.

• O primeiro número deve ser da ordem do trilhão. Seu colega deverá arredondá-lo de fórma que, em notação científica, fique com duas casas decimais.

• O segundo número deve estar entre 0 e 1 e ter mais de cinco casas decimais após a vírgula. Seu colega deverá arredondá-lo de fórma que, em notação científica, fique com duas casas decimais.

3 Raiz enésima de um número real

Podemos escrever a raiz quadrada de um número real positivo como potência de expoente fracionário.

\sqrt[2]{a^{m}} = a^{\frac{m}{2}}

, em que m é inteiro

Confira alguns exemplos a seguir.

\sqrt{64} = \sqrt[2]{64^{1}} = 64^{\frac{1}{2}}

\sqrt{77} = \sqrt[2]{77^{1}} = 77^{\frac{1}{2}}

\sqrt{7^{3}} = \sqrt[2]{7^{3}} = 7^{\frac{3}{2}}

16^{‒ \frac{1}{2}} = \sqrt[2]{16^{‒ 1}} = \sqrt[]{\frac{1}{16}}

A raiz enésima de um número real a, sendo n um número natural e n ⩾ 2, póde ser representada assim:

Esquema. Sentença matemática. Raiz enésima de a, seta saindo de índice até o n e seta saindo de radicando até o a.

Analise os dois exemplos a seguir.

Esquema. Raiz cúbica de 64 igual a 4. Fio com indicação raiz cúbica de 64 é o radical. 3 é o índice do radical. 64 é o radicando. 4 é a raiz. Lemos: raiz cúbica de sessenta e quatro.

Esquema. Raiz quinta de menos 243 igual a menos 3. Fio com indicação raiz quinta de menos 243 é o radical. 5 é o índice do radical. Menos 243 é o radicando. Menos 3 é a raiz. Lemos: raiz quinta de menos duzentos e quarenta e três.

Sugestão de leitura

RAMOS, Luzia Faraco. Uma raiz diferente. São Paulo: Ática, 2001. (Coleção A descoberta da Matemática).

O livro une as questões das raízes familiares do jovem personagem à raiz diferente citada no título: raiz quadrada e raiz cúbica. Há também desafios e atividades para prender a atenção do leitor.

Observações

1. Podemos omitir o índice 2 da raiz quadrada. Assim:

•

\sqrt[2]{16} = \sqrt{16}

•

\sqrt[2]{25} = \sqrt{25}

•

\sqrt[2]{\frac{49}{169}} = \sqrt{\frac{49}{169}}

2. Sendo n um número natural, com n ⩾ 2, temos:

\sqrt[n]{0} = 0

3. O termo radical é também nome do símbolo

\sqrt{0}

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

20. Como se leem os radicais a seguir?

\sqrt{7}

\sqrt[3]{13}

\sqrt[4]{17}

\sqrt[6]{42}

21. Na expressão

\sqrt[3]{343} = 7

, identifique:

a) a raiz;

b) o radicando;

c) o radical;

d) o índice do radical.

22.

Escreva quatro radicais (dois racionais e dois irracionais). Em seguida, peça a um colega que identifique quais são racionais e quais são irracionais.

Determinação da raiz enésima de um número real

Na determinação da raiz enésima de um número real a, ou seja,

\sqrt[n]{a}

, podem ocorrer os casos a seguir.

• 1º caso: a ⩾ 0 e n um número natural maior ou igual a 2.

Analise os exemplos a seguir.

\sqrt{16} = 4 \Leftrightarrow 4^{2} = 16

\sqrt[4]{81} = 3 \Leftrightarrow 3^{4} = 81

\sqrt[3]{125} = 5 \Leftrightarrow 5^{3} = 125

\sqrt[5]{32} = 2 \Leftrightarrow 2^{5} = 32

Sendo a um número real, a ⩾ 0 e n um número natural maior ou igual a 2, temos que

\sqrt[n]{a}

corresponde ao número real não negativo b, tal que belevado a n = a. Assim:

\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^{n} = a

• 2º caso: a < 0 e n um número natural ímpar maior que 2.

Analise os exemplos a seguir.

\sqrt[3]{‒ 1.000} = ‒ 10

\sqrt[5]{‒ 1 . 024} = ‒ 4

\sqrt[3]{‒ 27} = ‒ 3

Sendo a um número real, a < 0 e n um número natural ímpar maior que 2, temos que

\sqrt[n]{a}

corresponde ao número real negativo b, tal que b elevado a n = a. Assim:

\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^{n} = a

• 3º caso: a < 0 e n um número natural par diferente de zero.

Como determinar

\sqrt{‒ 4}

no conjunto dos números reais?

\sqrt{‒ 4}

não é um número real, pois nenhum número real elevado ao quadrado é igual a menos4.

Sendo a um número real, a < 0 e n um número natural par diferente de zero, temos que

\sqrt[n]{a}

não representa um número real.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

23. Determine o valor de:

\sqrt{100}

\sqrt[4]{256}

\pm \sqrt{25}

‒ \sqrt{144}

\sqrt[3]{‒ 8}

3 \sqrt{16}

24. Determine o valor das expressões a seguir.

‒ \sqrt{81} ‒ \sqrt[3]{‒ 27}

\sqrt[3]{0} + \sqrt[3]{‒ 1} + \sqrt{0,25}

25. Em cada caso, determine o valor de a.

\sqrt{a} = 100

\sqrt[3]{a} = ‒ 6

\sqrt[4]{a} = 5

26. Identifique os radicais que representam números reais.

\sqrt{0}

\sqrt{‒ 1}

\sqrt{1}

\sqrt[3]{‒ 1}

\sqrt[6]{‒ 1}

\sqrt[16]{‒ 1}

27. Em cada caso, determine o valor de x.

\sqrt{2 x} = 6

, para x ⩾ 0

\sqrt[3]{x + 1} = 2

, para x ⩾ menos1

\sqrt{x + 2} = 5

, para x ⩾ menos2

28. Sendo a = 64 e b = 36, determine:

\sqrt{a} + \sqrt{b} ‒ (\sqrt{a + b})

29. Determine o valor de x.

x = \sqrt{21 + \sqrt{13 + \sqrt{7 + \sqrt{4}}}}

Propriedades dos radicais

As propriedades dos radicais podem ser usadas na simplificação dos cálculos.

1ª propriedade

Analise as igualdades:

Sentença matemática. 64 igual a 4 elevado a 3.

Substituindo dois em um, temos:

\sqrt[3]{4^{3}} = 4

Dados

a

um número real e n um número natural, temos:

• se n é ímpar e maior que 2,

\sqrt[n]{a^{n}} = a

;

• se n é par, não nulo,

\sqrt[n]{a^{n}} = |a|

Confira mais alguns exemplos.

\sqrt{13^{2}} = |13| = 13

\sqrt{{(‒ 2)}^{2}} = |‒ 2| = 2

\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2

\sqrt[3]{{(‒ 3)}^{3}} = ‒ 3

2ª propriedade

Analise as igualdades:

Sentença matemática. Raiz quadrada de 4 vezes 9 igual a, raiz quadrada de 36, igual a 6.

Sentença matemática. Raiz quadrada de 4 vezes a raiz quadrada de 9 igual a, 2 vezes 3, igual a 6.

Igualando um a dois, temos:

\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9}

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Dados a e b números reais não negativos e n um número natural maior ou igual a 2, temos:

\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}

Confira mais alguns exemplos.

\sqrt{3 \cdot 7} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}

\sqrt[4]{2 \cdot 3 \cdot 7} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{7}

\sqrt[3]{5 \cdot 17} = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{17}

\sqrt[5]{2^{3} \cdot x \cdot {y^{}}^{3}} = \sqrt[5]{2^{3}} \cdot \sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[5]{y^{3}}

, com x ⩾ 0 e y ⩾ 0

3ª propriedade

Analise as igualdades:

Sentença matemática. Raiz quadrada de 4 sobre 9 igual a 2 terços.

Sentença matemática. Raiz quadrada de 4 sobre raiz quadrada de 9 igual a 2 terços.

Igualando um a dois, temos:

\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}

Dados a e b números reais não negativos, com b diferente de 0, e n um número natural maior ou igual a 2, temos:

\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

Confira mais alguns exemplos.

\sqrt{\frac{3}{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}

\sqrt[3]{\frac{a^{5}}{b^{3}}} = \frac{\sqrt[3]{a^{5}}}{\sqrt[3]{b^{3}}} = \frac{\sqrt[3]{a^{5}}}{b}

, com a ⩾ 0 e b > 0

\sqrt[3]{\frac{5}{17}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{17}}

\sqrt[5]{\frac{a^{3}}{7 b}} = \frac{\sqrt[5]{a^{3}}}{\sqrt[5]{7 b}}

, com a ⩾ 0 e b > 0

4 ª propriedade

Analise a igualdade:

Sentença matemática. Raiz cúbica de 5 elevado a 3 igual a 5.

Multiplicando o índice do radical e o expoente do radicando por 2, obtemos:

Sentença matemática. Raiz 3 vezes 2 de 5 elevado a 3 vezes 2 igual a, raiz sexta de 5 elevado a 6, igual a 5.

Igualando um a dois, temos:

\sqrt[3]{5^{3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^{3 \cdot 2}}

Glossário

latência: : tempo que demora para a transferência de informações dentro da rede. Por isso, quanto menor for essa medida, mais rápido vai chegar o pacote de dados de um ponto a outro.; Voltar para o texto

milissegundo: : milésima parte do segundo.; Voltar para o texto

femtossegundo: : unidade de medida de tempo que corresponde a 10elevado a menos quinze segundos.; Voltar para o texto