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Parte 4

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Potência de um número real com expoente inteiro

Considere a um número real.

• Expoente maior que 1

Esquema. Sentença matemática. a elevado a n igual a, a vezes, a vezes, reticências, vezes a, com n número inteiro tal que n > 1. Há uma indicação saindo das multiplicações por a: n fatores.

• Expoente 1

aelevado a 1 = a

• Expoente zero, com base não nula

aelevado a 0 = 1, com a ≠ 0

• Expoente inteiro negativo, com base não nula

$a^{‒ n} = \frac{1}{a^{n}} = {(\frac{1}{a})}^{n}$

, com a ≠ 0 e ‒n número inteiro negativo

Propriedades das potências com expoentes inteiros

Considere que a e b são números reais não nulos e que m e n são números inteiros.

• Produto de potências de mesma base

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$

• Quociente de potências de mesma base

$a^{n} : a^{m} = a^{n ‒ m}$

• Potência de potência

${(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}$

• Potência de um produto ou de um quociente

${(a \cdot b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$

${(a : b)}^{n} = a^{n} : b^{n}$

1. Efetue as potências de números reais com expoentes inteiros.

${(‒ 4)}^{0}$

${(‒ 4)}^{3}$

${(‒ \frac{5}{8})}^{‒ 2}$

$‒ {(0, 2)}^{‒ 3}$

2. Aplique as propriedades de potências e expresse os resultados na fórma de única potência.

$3^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3^{0}$

$(2^{8} : 2^{5}) \cdot 2^{‒ 3}$

$[{(4^{3})}^{2}] : 4^{‒ 5}$

${[{(‒ 4)}^{2} \cdot 2]}^{3}$

3. Determine o valor das expressões numéricas.

${[{(‒ 4)}^{0} ‒ 3^{0} + {(‒ 2)}^{0} ‒ 1^{0}]}^{10}$

${(2 \cdot 3)}^{2} : {(‒ \frac{1}{2})}^{‒ 2}$

${(3^{0})}^{2} \cdot {(2^{2})}^{0}$

${(0^{5} \cdot 1^{4})}^{20} \cdot (2^{3} ‒ 3^{2}) + {(4^{1} : 5^{0})}^{2}$

Raiz enésima de um número real

Podemos escrever a raiz quadrada de um numero real positivo como potência de expoente fracionário.

$\sqrt[2]{a^{m}} = a^{\frac{m}{2}}$

, em que m é inteiro

Determinação da raiz enésima de um número real

Na determinação da raiz enésima de um numero real a, ou seja,

$\sqrt[n]{a}$

, podem ocorrer os casos a seguir.

1º caso: a ⩾ 0 e n um número natural maior ou igual a 2. Por exemplo:

$\sqrt[]{25} = 5 \Leftrightarrow 5^{2} = 25$

$\sqrt[3]{64} = 4 \Leftrightarrow 4^{3} = 64$

2º caso: a < 0 e n um número natural ímpar maior que 2. Por exemplo:

$\sqrt[3]{‒ 1.000} = ‒ 10$

$\sqrt[5]{‒ 1} = ‒ 1$

3º caso: a < 0 e n um número natural par diferente de zero.

Sendo a um número real, a < 0 e n um número natural par diferente de zero, temos que

$\sqrt[n]{a}$

não representa um número real.

4. Determine o valor das expressões numéricas.

$\sqrt[3]{27} + \sqrt[5]{‒ 32} ‒ \sqrt[10]{1}$

$\sqrt[3]{343} - \sqrt[10]{1 024}$

$\sqrt[]{25} - \sqrt[3]{1 000} + \sqrt[5]{- 1 024}$

$\sqrt[]{100} \cdot \sqrt[3]{‒ 216}$

$\frac{\sqrt[5]{‒ 243}}{\sqrt[7]{‒ 128}}$

Propriedades dos radicais

1ª propriedade

Dados a um número real e êne um número natural, temos:

• se êne é ímpar e maior que 2,

$\sqrt[n]{a^{n}} = a$

;

• se êne é par, não nulo,

$\sqrt[n]{a^{n}} = |a|$

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2ª propriedade

Dados a e b números reais não negativos e n um número natural maior ou igual a 2, temos:

$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

3ª propriedade

Dados a e b números reais não negativos, com

$b \neq 0$

, e n um número natural maior ou igual a 2, temos:

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

4ª propriedade

Dados a um número real não negativo, n um número natural maior ou igual a 2 e m e p números naturais diferentes de zero, temos:

$\sqrt[n]{a^{m}} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}}$

Dados a um número real não negativo, n um número natural maior ou igual a 2 e m e p números naturais diferentes de zero, sendo p divisor comum a m e n, temos:

$\sqrt[n]{a^{m}} = \sqrt[n : p]{a^{m : p}}$

5ª propriedade

Dados a um número real não negativo e m e n números naturais maiores ou iguais a 2, temos:

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$

5. Aplique as propriedades e determine os valores dos radicais.

$\sqrt[3]{‒ 216}$

$\sqrt[6]{{(\frac{3}{8})}^{6}}$

$\sqrt[]{\sqrt[]{1 296}}$

$\sqrt[]{8} \cdot \sqrt[]{6} \cdot \sqrt[]{3}$

$\frac{\sqrt[]{\sqrt[5]{\sqrt[]{2^{4}}}} \cdot \sqrt[5]{\sqrt[4]{2}}}{\sqrt[]{\sqrt[10]{32}}}$

$\frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{256}}}}{\sqrt{\sqrt[4]{7^{8}}}}$

Operações com radicais

Adição e subtração de radicais

1º caso: Todos os radicais têm o mesmo índice e o mesmo radicando, ou seja, são semelhantes. Efetuamos as adições e as subtrações dos fatores externos e mantemos o mesmo radical. Por exemplo:

$\sqrt[]{3} + 5 \sqrt[]{3} - 2 \sqrt[]{3} = (1 + 5 - 2) \sqrt[]{3} = 4 \sqrt[]{3}$

2º caso: Todos os radicais podem ser reescritos como radicais semelhantes. Por exemplo:

$\sqrt[]{7} - \sqrt[]{175} + \sqrt[]{28} = \sqrt[]{7} - \sqrt[]{5^{2} \cdot 7} + \sqrt[]{2^{2} \cdot 7} =$

$= \sqrt[]{7} - 5 \sqrt[]{7} + 2 \sqrt[]{7} = (1 - 5 + 2) \sqrt[]{7} = - 2 \sqrt[]{7}$

3º caso: Apenas alguns radicais são semelhantes. Efetuamos as adições e as subtrações dos radicais semelhantes e repetimos os radicais não semelhantes. Por exemplo:

$\sqrt[]{50} + 2 \sqrt[]{6} - \sqrt[]{8} = \sqrt[]{5^{2} \cdot 2} + 2 \sqrt[]{6} - \sqrt[]{2^{2} \cdot 2} =$

$= 5 \sqrt[]{2} + 2 \sqrt[]{6} - 2 \sqrt[]{2} = (5 - 2) \sqrt[]{2} + 2 \sqrt[]{6} =$

$= 3 \sqrt[]{2} + 2 \sqrt[]{6}$

6. Efetue as adições e as subtrações a seguir.

$3 \sqrt[]{7} + 4 \sqrt[]{7} - \sqrt[]{7}$

$\sqrt[3]{256} - 2 \sqrt[3]{4}$

$\sqrt[]{54} + 2 \sqrt[]{6} - \sqrt[]{72}$

$\sqrt[]{8} - \sqrt[]{52} + \sqrt[]{18} - \sqrt[]{117}$

Multiplicação de radicais

• Se os radicais têm mesmo índice, basta usar a 2ª propriedade dos radicais. Por exemplo:

$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{3 \cdot 4} = \sqrt[3]{12}$

• Se os radicais tiverem índices diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e, depois, efetuar a multiplicação. Por exemplo:

$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[]{5} = \sqrt[6]{3^{2}} \cdot \sqrt[6]{5^{3}} = \sqrt[6]{3^{2} \cdot 5^{3}} = \sqrt[3]{1 125}$

• Em alguns casos, usamos a propriedade distributiva. Por exemplo:

$\sqrt[]{3} (\sqrt[]{5} + \sqrt{7}) = \sqrt[]{3} \cdot \sqrt[]{5} + \sqrt[]{3} \cdot \sqrt{7} =$

$= \sqrt[]{3 \cdot 5} + \sqrt[]{3 \cdot 7} = \sqrt[]{15} + \sqrt{21}$

Esquema. Sentença matemática. Abre parênteses, raiz quadrada de 2 menos raiz quadrada de 3, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, raiz quadrada de 5 mais raiz quadrada de 2, fecha parênteses. Há duas setas saindo da raiz quadrada de 2 do primeiro parênteses, indo até a raiz quadrada de 5 e a outra indo até a raiz quadrada de 2 no segundo parênteses. Há ainda outras duas setas saindo da raiz quadrada de 3 do primeiro parênteses indo até a raiz quadrada de de 5 do segundo parênteses e a outra indo até a raiz quadrada de 2.

$= \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt[]{3} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} =$

$= \sqrt{10} + \sqrt{4} - \sqrt[]{15} - \sqrt{6} =$

$= 2 + \sqrt{10} - \sqrt{15} - \sqrt{6}$

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Divisão de radicais

• Se os radicais têm mesmo índice, basta usar a 3ª propriedade dos radicais. Por exemplo:

$\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

$\leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}}$

• Se os radicais tiverem índices diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e, depois, efetuar a divisão. Por exemplo:

$\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt[6]{6^{2}}}{\sqrt[6]{2^{3}}} = \sqrt[6]{\frac{6^{2}}{2^{3}}} = \sqrt[6]{\frac{36}{8}} = \sqrt[6]{\frac{9}{2}}$

7. Efetue as multiplicações e as divisões com radicais.

$\sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$

$\frac{\sqrt[3]{‒ 8}}{\sqrt[3]{4}}$

$\sqrt[5]{5} \cdot \sqrt{3}$

$\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \sqrt[4]{4}$

$2 \sqrt{2} \cdot (2 \sqrt{5} + \sqrt{2})$

$(\sqrt{7} ‒ \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + 2 \sqrt{3})$

Potenciação e radiciação de radicais

Potenciação de radicais

Dados a um número real positivo, m um número natural maior ou igual a 2 e n um número inteiro, temos:

${(\sqrt[m]{a})}^{n} = \sqrt[m]{a^{n}}$

Radiciação de radicais

Dados a um número real maior ou igual a zero e m e n números naturais maiores ou iguais a 2, temos:

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$

8. Efetue e simplifique quando possível as potenciações e as radiciações a seguir. Considere que a e b são números reais positivos.

${(\sqrt[]{3})}^{6}$

${(\sqrt[3]{5})}^{2}$

${(\sqrt[4]{b^{2}})}^{2}$

$\sqrt{\sqrt[3]{5}}$

$\sqrt{\sqrt{\sqrt{a}}}$

$\sqrt{\sqrt[3]{b^{9}}}$

Racionalização de denominadores

Quando temos uma fração com denominador irracional, multiplicamos o numerador e o denominador por um radical ou uma expressão com radical, a fim de obter uma fração equivalente com denominador racional.

1º caso: O denominador é um radical de índice 2. Por exemplo:

$\frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2 \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

2º caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Por exemplo:

$\frac{2}{\sqrt[3]{5}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{5^{2}}}{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5^{2}}} = \frac{2 \cdot \sqrt[3]{5^{2}}}{\sqrt[3]{5^{3}}} = \frac{2 \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

3º caso: O denominador é uma adição ou uma subtração de dois termos, em que pelo menos um deles é uma raiz quadrada não exata (irracional). Por exemplo:

$\frac{2}{\sqrt{5} + 3} = \frac{2 \cdot (\sqrt{5} - 3)}{(\sqrt{5} + 3) \cdot (\sqrt{5} - 3)} =$

$= \frac{2 \cdot (\sqrt{5} ‒ 3)}{\sqrt{5^{2}} ‒ 3^{2}} = \frac{2 \cdot (\sqrt{5} ‒ 3)}{5 ‒ 9} =$

$= \frac{2 \cdot (\sqrt{5} ‒ 3)}{‒ 4} = \frac{3 ‒ \sqrt{5}}{2}$

9. Racionalize os denominadores de cada uma das expressões a seguir.

$\frac{5}{\sqrt{5}}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{2^{2}}}$

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[5]{5}}$

$\frac{3}{\sqrt{2} - 1}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{7}}$

$\frac{5 \sqrt{3}}{10 + \sqrt{5}}$