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Unidade 2

Capítulo 4 Fatoração e equações do 2º grau

Capítulo 5 Função afim

Capítulo 6 Função quadrática

Fotografia. Vista parcial do monitor de um notebook aparecendo 9 janelas de conversa com pessoas, sendo uma no centro e 8 ao redor. — Como as tecnologias influenciam a vida das pessoas? De que fórma a Matemática está presente nos recursos tecnológicos que utilizamos no dia a dia? Ao final desta Unidade, você responderá a essas questões e produzirá modelos que expliquem o funcionamento de inventos tecnológicos.

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Capítulo 4 Fatoração e equações do 2º grau

Trocando ideias

A Influenza é uma infecção viral aguda, que afeta o sistema respiratório e é de alta transmissibilidade. A Campanha Nacional de Vacina contra a Influenza ocorrida em 2021 tinha por objetivo prevenir o surgimento de complicações decorrentes da doença, óbitos, internações e sobrecarga nos serviços de saúde.

Cartaz. Fundo verde com as informações: EU VOU! #VACINA GRIPE. 12 de abril a 10 de maio. À direita, 5 imagens com pessoas e legenda abaixo de cada imagem: mulher grávida com cabelo escuro e comprido, ela veste uma blusa branca, casaco bege e calça azul, com legenda gestantes; mulher com o cabelo amarrado, blusa azul e com bebê no colo, com legenda mães com até 45 dias após o parto; menina de cabelo cacheado e blusa vermelha, com legenda crianças de 6 meses a menores de 6 anos; mulher de cabelo comprido escuro, camiseta amarela e colar azul, com legenda povos indígenas; homem de cabelo curto e jaleco branco, com legenda profissionais da saúde. Todas as pessoas estão de máscara de proteção cobrindo o nariz e a boca. Abaixo, texto e logotipo do SUS, MOVIMENTO VACINA BRASIL. gov.br/saúde. — Reprodução do cartaz oficial da etapa 1 da Campanha Nacional de Vacina contra a Influenza em 2021.

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A medida da área do cartaz oficial da campanha é de .2944 centímetros quadrados e o comprimento dos lados medem x e x + 18. Em seu caderno, escreva uma equação que possibilite determinar a medida do comprimento dos lados do cartaz oficial. O que você pode dizer sobre esta equação?

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Você sabe resolver a equação que obteve no item anterior? Se sim, explique aos colegas.

Neste capítulo, vamos estudar monômios, polinômios, fatoração e como resolver equações completas do 2º grau por fatoração e outros métodos.

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1 Expressões algébricas, monômios e polinômios

Neste capítulo, retomaremos brevemente a ideia de expressões algébricas, a partir das quais estudaremos monômios e polinômios.

Expressões algébricas

Acompanhe a situação a seguir.

Uma fábrica produz embalagens de leite.

Ilustração. 3 caixas de leite em cores diferentes: azul e branco; verde e branco; vermelho e branco.

	Sem defeito	Com defeito
	Quantidade de embalagens produzidas nos três primeiros meses de 2023
Janeiro	90 mil	2,5 mil
Fevereiro	68 mil	3,2 mil
Março	75 mil	1,8 mil

Dados obtidos pelo gerente comercial da fábrica nos três primeiros meses de 2023.

Cada embalagem sem defeito gera um ganho de x reais, e cada uma das defeituosas, um prejuízo de y reais. Observe, na tabela, a produção da fábrica nos três primeiros meses de 2023.

O gerente comercial concluiu que o lucro da fábrica, no 1º trimestre de 2023, poderia ser expresso da seguinte maneira:

(.90000 + .68000 + .75000) ⋅ x menos (.2500 + .3200 + .1800) ⋅ y = .233000x menos .7500y

A expressão .233000x menos .7500y é um exemplo de expressão algébrica e representa o lucro da fábrica no 1º trimestre de 2023.

Expressões algébricas são aquelas que indicam operações matemáticas que contêm números e letras ou somente letras.

Se o ganho com cada embalagem sem defeito fosse de R$ 0,26zero reais e vinte e seis centavos e o prejuízo com cada embalagem com defeito fosse de R$ 0,15zero reais e quinze centavos, o lucro no 1º trimestre de 2023 da fábrica seria de R$ 59.455,00cinquenta e nove mil quatrocentos e cinquenta e cinco reais, pois:

.233000 ⋅ R$ 0,26zero reais e vinte e seis centavos menos .7500 ⋅ R$ 0,15zero reais e quinze centavos = R$ 59.455,00cinquenta e nove mil quatrocentos e cinquenta e cinco reais

Nessa situação, empregamos letras (x e y) para representar os valores referentes ao ganho e ao prejuízo. Essas letras são denominadas variáveis da expressão.

Acompanhe outra situação.

Vamos determinar a expressão algébrica correspondente à medida da área da parte verde da figura a seguir.

Figura geométrica. Retângulo verde de medida b por c. Dentro, quadrado amarelo de medida 10 por 10. Em ambas as figuras, os quatro ângulos retos estão indicados.

Aamarela = 10 ⋅ 10 = 10elevado a 2 = 100

Atotal = b ⋅ c

Averde = (Atotal) menos (Aamarela) = bc menos 100

Portanto, a medida da área da parte verde será representada pela expressão algébrica bc ‒ 100.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Determine uma expressão algébrica que representa a medida do perímetro de cada figura.

Figura geométrica. Quadrado verde com medida a em cada lado e 4 ângulos retos indicados.

Figura geométrica. Figura semelhante a uma escada de três degraus. A base mede x, a altura mede y e todos os ângulos são retos e estão indicados.

Figura geométrica. Triângulo verde com medidas dos lados x, x mais 2 e x mais 1.

Figura geométrica. Retângulo verde com medidas dos lados b e h e 4 ângulos retos indicados.

2. Responda, com uma expressão algébrica, às perguntas a seguir.

a) Quantos meses há em x anos?

b) Quantos anos há em y dias? (Considere o ano não bissexto.)

3. Qual é a expressão algébrica que representa a medida da área de cada figura?

Figura geométrica. Quadrado vermelho com medida a em cada lado e 4 ângulos retos indicados.

Figura geométrica. Losango com medida D maiúsculo da maior diagonal e d minúsculo da menor diagonal.

4. Qual é a expressão algébrica que representa a medida do volume de cada paralelepípedo representado a seguir?

Figura geométrica. Cubo laranja com medidas das dimensões a por a por a.

Figura geométrica. Paralelepípedo amarelo com medidas das dimensões c por w por h.

Monômio

Analise as expressões algébricas utilizadas em cada situação a seguir.

• A medida do perímetro de um quadrado cujo comprimento de cada lado mede a.

Figura geométrica. Quadrado laranja com medida a em cada lado e 4 ângulos retos indicados.

4 ⋅ a ou 4a

• A medida da área de um quadrado cujo comprimento de cada lado mede x.

Figura geométrica. Quadrado vermelho com medida x em cada lado e 4 ângulos retos indicados.

x ⋅ x ou xelevado a 2

• A medida do volume de um paralelepípedo retângulo cujos comprimento, largura e altura medem, respectivamente, a, b e c.

Figura geométrica. Paralelepípedo rosa com medidas das dimensões a por b por c.

á bê cê

As expressões 4a, xelevado a 2 e á bê cê são exemplos de monômio.

Um monômio é um número ou uma expressão algébrica formada pela multiplicação de um número por uma ou mais letras. Essas letras devem sempre ser expressas na fórma de potência com expoentes naturais.

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Observe, a seguir, alguns exemplos de monômios.

a) 16

b) x

c) a elevado a 3b elevado a 2

\frac{1}{2} x^{3} y^{2}

e) menos5nelevado a 2

Em geral, podemos identificar duas partes nos monômios: o coeficiente e a parte literal.

• coeficiente: corresponde à parte numérica;

• parte literal: corresponde às variáveis, incluindo seus expoentes.

Observe os exemplos a seguir.

Esquema. Menos 13 x elevado ao quadrado, fim do expoente, y elevado ao quadrado. À direita, uma chave laranja. À direita da chave, coeficiente: menos 13 e parte literal: x elevado ao quadrado, fim do expoente, vezes y elevado ao quadrado

Esquema. Menos a elevado a 3, fim do expoente, b elevado a 5. À direita, uma chave laranja. À direita da chave, coeficiente: menos 1 e parte literal: a elevado a 3, fim do expoente, b elevado a 5.

Esquema. Fração 1 meio x elevado a 4, fim do expoente, y elevado a 3. À direita, uma chave laranja. À direita da chave, coeficiente: fração 1 meio e parte literal: x elevado a 4, fim do expoente, y elevado a 3.

Esquema. 2 vírgula 5 vezes m elevado ao quadrado, fim do expoente, n. À direita, uma chave laranja. À direita da chave, coeficiente: 2 vírgula 5 e parte literal: m elevado ao quadrado, fim do expoente, vezes n.

Observações

1. O monômio que tem coeficiente zero representa o número real zero e é chamado de monômio nulo. Analise os exemplos:

a) 0x ou 0

b) 0a elevado a 2b elevado a 3 ou 0

c) 0m elevado a 5n elevado a 4 ou 0

2. Todo número real é um monômio sem a parte literal. Observe os exemplos:

a) 12

b) menos5

\frac{3}{4}

d) menos0,6

3. Quando um monômio é formado apenas por uma variável ou por uma multiplicação de variáveis, o coeficiente é igual a 1. Por exemplo:

a) y ou 1y

b) x elevado a 3yz elevado a 2 ou 1x elevado a 3yz elevado a 2

c) xy ou 1xy

d) x elevado a 4z elevado a 3 ou 1x elevado a 4z elevado a 3

Atividades

Faça as atividades no caderno.

5. Escreva no caderno o coeficiente e a parte literal dos monômios.

\frac{1}{5} a^{3} b^{4}

b) menosa elevado a 2bc elevado a 3

\frac{3}{2} x^{3}

- 5 \sqrt{3} m n^{2}

\frac{a^{2} \cdot b^{3} \cdot c^{4}}{5}

f) xis ípsilon zê

g) menosxis ípsilon

\frac{4 π r^{3}}{3}

6. Identifique, entre as expressões algébricas a seguir, as que são monômios.

a) menos8

b) a + 2b

\frac{5}{b}

d) 16á bê cê

e) x elevado a 5

\frac{2 a}{3}

g) menosá ípsilon

h) menosa + a elevado a 2

i) x elevado a 2y

\frac{x + y}{2}

k) 1 000

l) menos0,06b

Converse com o professor e os colegas sobre o porquê de as outras expressões não serem classificadas como monômios.

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7. Represente com um monômio o que se pede em cada item.

a) a medida da área do retângulo;

Figura geométrica. Retângulo roxo com lados de medidas a e b e 4 ângulos retos indicados.

b) a medida do perímetro do hexágono regular;

Figura geométrica. Hexágono com lado de medida y.

c) a medida da área da parte pintada de azul da figura;

Figura geométrica. Retângulo dividido em três fileiras e 5 colunas. Cada quadradinho mede a por a. Há oito quadradinhos pintados de azul.

d) a medida do volume do cubo.

Figura geométrica. Cubo com medidas das dimensões a por a por a.

Monômios semelhantes

Monômios que apresentam a mesma parte literal são chamados monômios semelhantes.

Assim, são exemplos de monômios semelhantes:

a) 5a elevado a 3b elevado a 2 e

- \frac{1}{2} a^{3} b^{2}

b) 12,

\sqrt{3}

- \frac{3}{4}

\sqrt{2} a^{5} b^{2}

- \frac{3}{7} a^{5} b^{2}

d) 3m elevado a 2n e

- \frac{4}{9} m^{2} n

Observação

Observe atentamente os monômios a seguir.

a) 2x elevado a 4,

\frac{3}{4} x^{5}

e ‒7x elevado a 6

b) 20a elevado a 2b elevado a 5 e

- \frac{1}{3} a^{3} b^{5}

Em ambos os casos, a parte literal parece a mesma, mas perceba que os expoentes são diferentes. Tanto em um caso quanto no outro, os monômios não são semelhantes.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

8. Identifique as alternativas que apresentam monômios semelhantes.

a) 6xelevado a 2 e menos5xelevado a 2

b) 15xy e 30x

c) menos8, 10 e menos15

d) 5belevado a 2 e menos7a

\frac{30 x^{2}}{41}

e menos2xelevado a 2

f) 8melevado a 2n e 6mnelevado a 2

\frac{x}{5}

e 6

h) xelevado a 2 e

\frac{1}{x^{2}}

9. Escreva, no caderno, um monômio semelhante a:

- \frac{2}{3} a^{5} b^{7} c^{9}

10. Escreva, no caderno, dois monômios semelhantes cujos coeficientes sejam números inversos.

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Adição e subtração de monômios

Uma expressão algébrica em que todos os monômios são semelhantes pode ser simplificada adicionando ou subtraindo os coeficientes. Analise os dois exemplos a seguir.

a) Qual é a expressão algébrica que representa a medida da área do retângulo á cê dê éfe?

Figura geométrica. Retângulo ACDF composto por retângulo ABEF e retângulo BCDE. Retângulo ABEF com lados que medem 4b e a, e área mede 4ab. Retângulo BCDE com com lados que medem 3b e a, e área mede 3ab.

As expressões algébricas que representam as medidas das áreas dos retângulos á bê é éfe e BCDE são, respectivamente, 4A bê e 3A bê.

A medida da área do retângulo á cê dê éfe é obtida adicionando as medidas das áreas dos retângulos á bê é éfe e BCDE, ou seja, 4A bê + 3A bê. Acompanhe como podemos fazer esse cálculo:

4ab + 3ab = (4 + 3)ab = 7ab

Portanto, a medida da área do retângulo á cê dê éfe é representada pelo monômio 7A bê.

b) Sabendo que a medida da área do retângulo á cê dê éfe é representada pelo monômio 9xy, qual é a expressão algébrica que representa a medida da área do retângulo BCDE?

Figura geométrica. Retângulo ACDF composto por retângulo ABEF e retângulo BCDE. Retângulo ABEF com lados que medem 5y e x, e área mede 5xy.

A medida da área do retângulo BCDE é obtida subtraindo da medida da área de á cê dê éfe a medida da área do retângulo á bê é éfe, ou seja, calculando 9xis ípsilon menos 5xis ípsilon. Acompanhe como podemos fazer esse cálculo.

9xy menos 5xy = (9 menos 5)xy = 4xy

Portanto, a medida da área do retângulo BCDE é representada pelo monômio 4xy.

Se uma expressão tem monômios semelhantes e não semelhantes, efetuamos a adição ou a subtração dos semelhantes e conservamos os demais. Nesse caso, dizemos que foi efetuada uma redução de termos semelhantes. Acompanhe os exemplos:

Esquema. 6 a elevado a 3, fim do expoente, mais 5xy mais 5x mais 2 a elevado a 3, fim do expoente, menos 2xy mais a elevado a 3, fim do expoente, é igual a 6 a elevado a 3, fim do expoente, mais 2 a elevado a 3, fim do expoente, mais a elevado a 3, fim do expoente, mais 5xy menos 2xy mais 5x é igual a 9 a elevado a 3, fim do expoente, mais 3 xy mais 5x. Fio relacionando a sentença 6 a elevado a 3, fim do expoente, mais 2 a elevado a 3, fim do expoente, mais a elevado a 3, fim do expoente, à sentença 9 a elevado a 3, fim do expoente. Fio relacionando a sentença 5xy menos 2xy à sentença 3 xy.

Esquema. 6 a elevado ao quadrado, b mais 3 m elevado ao quadrado menos 3 a elevado ao quadrado, b mais a elevado ao quadrado, b menos 10 m elevado ao quadrado é igual a 6 a elevado ao quadrado, b menos 3 a elevado ao quadrado, b mais a elevado ao quadrado, b mais 3 m elevado ao quadrado menos 10 m elevado ao quadrado é igual a 4 a elevado ao quadrado, b menos 7 m elevado ao quadrado. Fio relacionando a sentença 6 a elevado ao quadrado, b menos 3 a elevado ao quadrado, b mais a elevado ao quadrado, b à sentença 4 a elevado ao quadrado, b. Fio relacionando a sentença 3 m elevado ao quadrado menos 10 m elevado ao quadrado à sentença menos 7 m elevado ao quadrado.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

11. Observe a figura e responda às questões.

Figura geométrica. Figura composta por retângulo 1 e retângulo 2. Retângulo 1 com lados que medem 3 a e b. Retângulo 2 com lados que medem 7 a e b.

a) Que monômio representa a medida da área do retângulo um? E do retângulo dois?

b) Que monômio representa a medida da área total da figura?

c) Sendo a = 0,85 centímetro e b = 0,75 centímetro, qual é a medida da área total da figura?

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12. Simplifique as expressões:

a) 5xy + 15xy menos 12xy + 2xy

(- \frac{1}{3} x y) + (+ \frac{4}{9} x y) + (- \frac{1}{9} x y)

c) 9x elevado a 4y elevado a 3 menos 18x elevado a 4y elevado a 3 menos 10x elevado a 4y elevado a 3 + 2x elevado a 4y elevado a 3

13. Que monômio devemos adicionar à expressão menos3á bê cê para obter 5á bê cê?

14. Dada a expressão algébrica

\frac{4}{3} x^{2} y ‒ \frac{3}{8} x^{2} y + \frac{4}{9} x^{2} y ‒ \frac{1}{4} x^{2} y

, determine o seu valor numérico para x = menos1 e y = 2.

Multiplicação de monômios

Inicialmente, vamos recordar que: a elevado a m ⋅ a elevado a n = a elevado a m ⁺ⁿ, sendo a um número real não nulo e m e n números inteiros. Agora, observe os exemplos a seguir.

a) Qual é a expressão algébrica que representa a medida da área do retângulo a bê cê dê?

Figura geométrica. Retângulo ABCD com lados que medem 5x e 2y.

A medida da área do retângulo a bê cê dê é dada pela multiplicação dos monômios 5x e 2y:

5x ⋅ 2y = (5 ⋅ 2) ⋅ (x ⋅ y) = 10xy

Portanto, o monômio 10xy representa a medida da área desse retângulo.

b) Qual é a expressão algébrica que representaa medida do volume V do paralelepípedo reto-retângulo a seguir?

Figura geométrica. Bloco retangular com medidas das dimensões 2ab por 3b por c.

A medida do volume desse paralelepípedo reto-retângulo é determinada multiplicando-se os monômios 2ab, 3b e c:

2ab ⋅ 3b ⋅ c = (2 ⋅ 3 ⋅ 1) ⋅ (a ⋅ b ⋅ b ⋅ c) = 6abelevado a 2c

Portanto, o monômio 6abelevado a 2c representa a medida do volume desse paralelepípedo.

A multiplicação de monômios é efetuada multiplicando-se os coeficientes e as partes literais entre si. Observe mais alguns exemplos:

Esquema. 3 x elevado ao quadrado, y vezes 15xy é igual a, abre parênteses, 3 vezes 15, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, x ao quadrado, y vezes xy, fecha parênteses, é igual a 45 x elevado a 3, fim do expoente, y elevado ao quadrado. Fio relacionando o número 3 e o número 15 à sentença 3 vezes 15. Fio relacionando a sentença x elevado ao quadrado, y e a sentença xy à sentença x ao quadrado, y vezes xy.

Esquema. Menos 3 a elevado ao quadrado, b vezes 7c elevado a 4 é igual a, abre parênteses, menos 3 vezes 7, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a elevado ao quadrado, b vezes c elevado a 4, fecha parênteses, é igual a menos 21 a elevado ao quadrado, b, c elevado a 4. Fio relacionando o número menos 3 e o número 7 à sentença menos 3 vezes 7. Fio relacionando a sentença a elevado ao quadrado, b e a sentença c elevado a 4 à sentença a elevado ao quadrado, b vezes c elevado a 4.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

15. Determine os produtos.

a) x elevado a 7 ⋅ x elevado a 8

b) (+3x) ⋅ (menos8x)

c) (menos2x elevado a 2y) ⋅ (+7xy)

d) (+4ab elevado a 2) ⋅ (menos2abc)

16. Qual é o monômio que representa a medida da área de cada figura?

Figura geométrica. Quadrado com lados que medem 2 k.

Figura geométrica. Retângulo com lados que medem 6y e 3x.

17. Efetue as multiplicações.

a) x elevado a 2 ⋅ x elevado a 4 ⋅ x elevado a 13

(\frac{1}{10} y k) \cdot (\frac{10}{7} x) \cdot (14 z)

c) (menos0,4a elevado a 2b) ⋅ (+0,01b) ⋅ (menos0,02a elevado a 2b elevado a 3)

d) (menos3mnp) ⋅ (+mp) ⋅ (menos18mn)

18. Sabendo que a ⋅ B = C + D, determine o monômio D, sendo a = 2x elevado a 2y elevado a 3, B = menos4xy e C = menos14x elevado a 3y elevado a 4.

19. Dê um exemplo de dois monômios tais que o seu produto seja 6p elevado a 3q.

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20. Observe a figura e responda às questões.

Figura geométrica. Figura retangular dividida em três partes. Retângulo verde com lados que medem 5y e x. Retângulo branco com lados que medem 5y e x. Retângulo rosa com lados que medem 5y e 2x.

a) Qual é o monômio que representa a medida da área da parte verde da figura? E a medida da área da parte rosa?

b) Qual é o monômio que representa a medida da área total da figura?

Divisão de monômios

Inicialmente, vamos recordar que:

a elevado a m dividido por a elevado a n = a elevado a m ^‒ⁿ, sendo a um número real não nulo e m e n dois números inteiros.

Agora, acompanhe como podemos dividir monômios.

(20 x^{5}) : (4 x^{3}) = \frac{20 x^{5}}{4 x^{3}} = 5 x^{5 ‒ 3} = 5 x^{2}

(- \frac{1}{2} a^{5} b^{2}) : (3 a^{3} b) = \frac{- \frac{1}{2} a^{5} b^{2}}{3 a^{3} b} = (- \frac{1}{2} : 3) \cdot (\frac{a^{5} b^{2}}{a^{3} b}) = - \frac{1}{6} a^{5 - 3} {b^{2}}^{- 1} = - \frac{1}{6} a^{2} b

(‒ 30 x^{4} y^{3} z^{2}) : (‒ 6 x y^{3} z) = \frac{- 30 x^{4} y^{3} z^{2}}{- 6 x y^{3} z} = 5 x^{4 ‒ 1} y^{3 ‒ 3} z^{2 ‒ 1} = 5 x^{3} z

A divisão de monômios com divisor diferente de zero é efetuada dividindo coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

21. Qual é o monômio que representa o resultado de cada divisão?

a) (16x elevado a 7) dividido por (4x elevado a 3)

b) (menos60a elevado a 5b elevado a 3) dividido por (menos15a elevado a 2b)

c) (menos125a elevado a 5b elevado a 3c elevado a 7) dividido por (menos25a elevado a 4b elevado a 3c elevado a 2)

d) (18x elevado a 5y elevado a 4) dividido por (‒9x elevado a 5y elevado a 3)

(- \frac{3}{5} x y z^{2}) : (0, 2 y z)

f) (0,2x elevado a 2y elevado a 4) dividido por (0,25xy elevado a 2)

g) (b elevado a 2m elevado a 2) dividido por (‒5bm)

h) (menos250x elevado a 3) dividido por (50x elevado a 3)

i) (18x elevado a 4) dividido por (3x elevado a 2)

j) (menos10x elevado a 3) dividido por (menos2x elevado a 2)

22. Responda às questões.

a) Por qual monômio devemos dividir

\frac{2}{3} x^{2} y^{3}

para obter

- \frac{1}{5} x y

b) Qual é o monômio que, multiplicado por 10ab elevado a 3, tem como resultado 15a elevado a 2b elevado a 5?

c) Qual é o monômio que devemos multiplicar por menos2xy para obter

\frac{3}{4} x^{2} y^{3}

23. Efetue as divisões a seguir.

a) (menos30a elevado a 4b elevado a 6) dividido por (menos6ab elevado a 5)

b) (x elevado a 4y elevado a 4z elevado a 4) dividido por (x elevado a 2y elevado a 3z elevado a 4)

c) (6x elevado a 6) dividido por (menos3xelevado a 4)

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Polinômio

Acompanhe a situação.

Márcia faz salgados e doces, por encomenda, para vender.

Ilustração. Mulher de touca, camiseta azul e avental amarelo. À frente dela, mesa com caixas e doces ao lado.

Os salgados são vendidos a R$ 0,45zero reais e quarenta e cinco centavos a unidade, e os doces, a R$ 0,35zero reais e trinta e cinco centavos a unidade. Quanto Márcia cobrará por uma encomenda de x salgados e y doces?

Podemos representar o total, em reais, arrecadado com a venda dos salgados pelo monômio 0,45x e o total, em reais, arrecadado com a venda dos doces pelo monômio 0,35y. Assim, para representar o total, em reais, arrecadado pelas vendas de salgados e doces, devemos adicionar os monômios:

Esquema. 0 vírgula 45 x mais 0 vírgula 35 y. Abaixo da sentença matemática toda, uma chave laranja com a indicação: Expressão algébrica que representa o total, em reais, arrecadado por Márcia com a venda de salgados e doces.

Expressões algébricas formadas por um monômio ou pela adição e ou ou subtração de monômios denominam-se polinômios.

Considere os exemplos a seguir.

a) 5x + 8 é um polinômio de dois termos, também chamado de binômio.

b) y elevado a 2 menos 7y + 10 é um polinômio de três termos, também chamado de trinômio.

c) a elevado a 3 + 5a elevado a 2b + 6ab elevado a 2 + b elevado a 3 é um polinômio de quatro termos.

Observações

1. Um polinômio cujos coeficientes são todos iguais a zero é denominado polinômio nulo. Por exemplo:

0x elevado a 3 + 0x elevado a 2 + 0x

2. Um monômio é um polinômio de um termo.

3. O termo do polimônio que não apresenta variáveis (letras) é chamado de termo independente. Nos exemplos anteriores, o termo independente do primeiro polinômio é 8 e o do segundo é 10. No exemplo do item c, não há termo independente.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

24. Foram colocadas x caixas de laranjas e y caixas de maçãs em uma embarcação. Determine o polinômio que representa o total de frutas colocadas na embarcação, sabendo que cada caixa de laranjas contém 120 unidades e cada caixa de maçãs, 80 unidades.

Ilustração. À esquerda, caixa com laranjas. À direita, caixa com maçãs.

25. Na figura a seguir, os lotes a, B e C têm medidas de áreas iguais. Determine um polinômio que expresse a medida da área de cada lote.

Ilustração. Quadrado com lados que medem 100 metros. O quadrado está decomposto em um retângulo horizontal e três retângulos verticais. O retângulo horizontal tem a indicação rua e lados que medem 100 metros e x. Os retângulos verticais têm as indicações: lote A, lote B e lote C.

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Grau de um polinômio

Considere o polinômio x elevado a 4y menos x elevado a 5y elevado a 3 + 3x elevado a 2yz e os termos que o compõe.

O grau de cada termo é dado pela soma dos expoentes da parte literal. Comprove:

Esquema. x elevado a 4, fim de expoente, y menos x elevado a 5, fim de expoente, y elevado a 3, fim de expoente, mais 3 x elevado ao quadrado, yz. Abaixo de x elevado a 4, fim de expoente, y, chave laranja com indicação: quinto grau (4 mais 1 é igual a 5). Abaixo de x elevado a 5, fim de expoente, y elevado a 3, fim de expoente, chave laranja com indicação dentro de um quadro: oitavo grau (5 mais 3 é igual a 8). Abaixo de 3 x elevado ao quadrado, yz, chave laranja com indicação: quarto grau (2 mais 1 mais 1 é igual a 4).

O grau de um polinômio é determinado pelo termo de maior grau.

Portanto, o polinômio x elevado a 4y menos x elevado a 5y elevado a 3 + 3x elevado a 2yz é do 8º grau, já que o termo de maior grau é xelevado a 5yelevado a 3.

Também é possível estabelecer o grau de um polinômio em relação a determinada variável. Nesse caso, o grau do polinômio corresponde ao maior expoente com que a variável figura em um dos termos não nulos do polinômio.

Observe alguns exemplos.

a) O polinômio x elevado a 4 menos 3x elevado a 2y elevado a 3 + 5x elevado a 3y é do 4º grau em relação a x e do 3º grau em relação a y.

b) O polinômio a elevado a 6b elevado a 4 + 10bc é do 6º grau em relação a a, do 4º grau em relação a b e do 1º grau em relação a c.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

26. Determine o grau dos polinômios.

a) 5a elevado a 2 + b elevado a 3

b) 4x elevado a 2 + 2x elevado a 2y elevado a 3 + 5y elevado a 4

c) 5m elevado a 2 + 6mn + 4n elevado a 3

d) 16ab elevado a 3 + 7a elevado a 2 + 5b elevado a 2

e) menos7x elevado a 4y + x elevado a 2y menos 2x elevado a 3y elevado a 4

f) x elevado a 4y elevado a 2 menos 2xy elevado a 3

g) 4a elevado a 2b elevado a 3 + 5a elevado a 5

27. Determine o grau de cada polinômio em relação à variável x e à variável y, respectivamente.

a) 2x elevado a 2 + 5xy elevado a 3

b) x elevado a 5y menos x elevado a 3y elevado a 4

c) 2x elevado a 2y elevado a 2 menos 5x elevado a 3y

d) ax elevado a 3 menos bx elevado a 2 + 2abxy elevado a 2

e) 3x elevado a 2y + 5xy elevado a 2 menos y elevado a 4

f) x elevado a 2 + 2xy + y elevado a 3

Adição de polinômios

Observe os polígonos a bê cê dê e ême êne ó.

Figura geométrica. Retângulo ABCD com lados que medem x elevado ao quadrado mais 3 e 5 x elevado ao quadrado mais 1.

Figura geométrica. Triângulo MNO com lados que medem 12x mais 10, 12 x mais 10 e 10 x mais 5.

Sabendo que a bê cê dê representa um retângulo e ême êne ó, um triângulo isósceles, como podemos determinar a medida do perímetro de cada polígono?

Página 96

Temos que as medidas dos comprimentos dos lados do retângulo a bê cê dê são indicadas por x elevado a 2 + 3 e 5x elevado a 2 + 1. Desse modo, podemos representar a medida do perímetro da seguinte maneira:

(x elevado a 2 + 3) + (5x elevado a 2 + 1) + (x elevado a 2 + 3) + (5x elevado a 2 + 1)

Agrupando os termos semelhantes e reduzindo-os, obtemos:

x elevado a 2 + 5x elevado a 2 + x elevado a 2 + 5x elevado a 2 + 3 + 1 + 3 + 1 = 12xelevado a 2 + 8

Assim, 12x elevado a 2 + 8 representa a medida do perímetro do retângulo a bê cê dê.

Agora, para determinar a medida do perímetro do triângulo isósceles ême êne ó, cujas medidas dos comprimentos dos lados são indicadas por 12x + 10, 12x + 10 e 10x + 5, fazemos:

Esquema. Primeira linha: abre parênteses, 12x mais 10, fecha parênteses, mais, abre parenteses, 10x mais 5, fecha parênteses, mais, abre parênteses, 12x mais 10, fecha parênteses. Seta laranja da primeira para a segunda linha e a indicação: Agrupamos os termos semelhantes. Segunda linha: 12x mais 10x mais 12x mais 10 mais 10 mais 5. Seta laranja da segunda para a terceira linha e a indicação: Reduzimos os termos semelhantes. Terceira linha: 34x mais 25.

Logo, 34x + 25 representa a medida do perímetro do triângulo isósceles ême êne ó.

Observação

Quando adicionamos um polinômio a outro e obtemos como resultado um polinômio nulo, dizemos que eles são opostos. Por exemplo, o polinômio menosx elevado a 2 + 5x menos 4 é oposto ao polinômio x elevado a 2 menos 5x + 4, pois:

(menosx elevado a 2 + 5x menos 4) + (x elevado a 2 menos 5x + 4) = menosx elevado a 2 + x elevado a 2 + 5x menos 5x menos 4 + 4 = 0

Subtração de polinômios

Vamos determinar a diferença entre os polinômios 5x elevado a 3 menos 4x + 8 e 2x elevado a 3 + 6x elevado a 2 menos 2, ou seja:

(5xelevado a 3 menos 4x + 8) menos (2x elevado a 3 + 6x elevado a 2 menos 2)

Na subtração de polinômios, podemos adicionar o primeiro polinômio ao oposto do segundo. Assim:

Esquema. Abre parênteses, 5 x elevado a 3, fim do expoente, menos 4x, mais 8, fecha parênteses, mais, abre parênteses, menos 2 x elevado a 3, fim do expoente, menos 6 x elevado ao quadrado, mais 2, fecha parênteses, é igual a 5 x elevado a 3, fim do expoente, menos 4x mais 8 menos 2 x elevado a 3, fim do expoente, menos 6 x elevado ao quadrado, mais 2. Abaixo de menos 2 x elevado a 3, fim do expoente, menos 6 x elevado ao quadrado, mais 2, chave laranja com indicação: oposto do polinômio 2 x elevado a 3, fim do expoente, mais 6 x elevado ao quadrado, menos 2.

Agora, podemos agrupar os termos semelhantes e reduzi-los:

5x elevado a 3 menos 2x elevado a 3 menos 6x elevado a 2 menos 4x + 8 + 2 = 3x elevado a 3 menos 6x elevado a 2 menos 4x + 10

Portanto, 3x elevado a 3 menos 6x elevado a 2 menos 4x + 10 representa a diferença entre os polinômios 5x elevado a 3 menos 4x + 8 e 2x elevado a 3 + 6x elevado a 2 ‒ 2.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

28. Efetue as operações reduzindo os termos semelhantes.

a) (menos3x elevado a 2 + 5x menos 8) + (6x elevado a 2 menos 4x menos 3)

b) (8ab menos 7bc + 3ac) + (menos5bc + 3ab menos ac)

(- \frac{3 x}{2} - \frac{y}{3}) + (\frac{x}{5} - \frac{y}{4}) + (2 x + y)

(\frac{a}{2} + b - 6) + (\frac{2 a}{3} + 2 b - 5)

Página 97

29. Escreva no caderno, na fórma reduzida, o polinômio que representa a medida doperímetro da figura a seguir.

Figura geométrica. Trapézio com lados que medem: 2x mais 1; 3x mais 3; fração 3x sobre 2, fim da fração, mais 1; x mais 2.

30. Em uma partida de tênis, Roberta deu x saques e acertou 45% deles. Luísa, sua adversária, deu y saques e acertou 60% menos 2. Nessas condições, determine o polinômio que representa a quantidade de saques que as duas acertaram juntas.

31. Dado o polinômio menosx elevado a 3 + 2x elevado a 2 menos 4x + 5, responda às questões.

a) Qual é o oposto desse polinômio?

b) Qual é o resultado da adição desse polinômio com seu oposto?

32. Efetue as operações reduzindo os termos semelhantes.

a) (6a elevado a 2 menos 7ab + 8b elevado a 2) menos (8ab + 5a elevado a 2 menos 7b elevado a 2)

b) (5x elevado a 3 menos 4x elevado a 2 + 6x + 8) menos (7x elevado a 3 + 8x elevado a 2 menos 10x)

c) (5m menos 2mn + 7n) menos (2m menos 8mn menos 10n)

(\frac{x}{3} + \frac{x y}{2} - \frac{y}{5}) - (\frac{3 y}{2} - \frac{2 x y}{5} + \frac{x}{4})

e) (5x elevado a 2 menos 4x + 9) menos (8x elevado a 2 menos 6x + 3)

33. Sendo a = 6x elevado a 2 menos 3x menos 8, B = 5x elevado a 2 + 4x menos 3 e C = x elevado a 2 menos 10x, determine:

a) a menos B

b) B menos a

c) a + B menos C

d) a menos (B + C )

34. Determine o polinômio que, adicionado a 6a elevado a 2 menos 7ab + 8b elevado a 2 menos 5a elevado a 2b elevado a 2, tem como resultado 2ab menos a elevado a 2 + 2b elevado a 2 + 3a elevado a 2b elevado a 2.

Multiplicação de polinômios

Acompanhe a situação.

Na casa de Pedro, o escritório fica ao lado do quarto, conforme o esquema.

Figura geométrica. Retângulo vertical correspondente ao quarto com lados que medem 2 a e 3 a. Ao lado, retângulo vertical correspondente ao escritório com lados que medem b e 3 a.

Que expressão algébrica representa a medida da área total desses dois cômodos?

Podemos determinar essa expressão algébrica de dois modos:

1º) Multiplicando a medida do comprimento pela medida da largura dos dois ambientes juntos.

Ilustração. Retângulo dividido em quarto e escritório. Os lados do retângulo medem 2 a mais b e 3 a. Abaixo da ilustração, 3a vezes, abre parênteses, 2a mais b, fecha parênteses. Abaixo de 3a, fio com indicação: medida da largura. Abaixo de 2a mais b, fio com indicação: medida do comprimento. À direita, indicação: expressão 1

2º) Adicionando a medida da área do quarto e do escritório.

Figura geométrica. Retângulo vertical correspondente ao quarto com lados que medem 2 a e 3 a. Figura geométrica. Retângulo vertical correspondente ao escritório com lados que medem b e 3 a. Esquema. 3a vezes 2a, mais 3a vezes b.
À direita, indicação: expressão 2.
Abaixo de 3a vezes 2a, fio com indicação: medida da área do quarto.
Abaixo de 3a vezes b, fio com indicação: medida da área do escritório.

Página 98

De um e dois, verificamos que 3a ⋅ (2a + b) = 3a ⋅ 2a + 3a ⋅ b. Observe que, ao aplicarmos a propriedade distributiva em 3a ⋅ (2a + b), obtemos 3a ⋅ 2a + 3a ⋅ b:

Esquema. 3a vezes, abre parênteses, 2a mais b, fecha parênteses, é igual a 3a vezes 2a, mais 3a vezes b, é igual a 6 a elevado ao quadrado mais 3ab. Acima, duas setas saem de 3a: uma para 2a e outra para b.

Portanto, o polinômio 6a elevado a 2 + 3ab representa a medida da área total desses cômodos.

Na multiplicação de um monômio por um polinômio, usamos a propriedade distributiva, multiplicando o monômio por todos os termos do polinômio e adicionando, em seguida, os resultados.

Acompanhe outra situação.

O esquema a seguir mostra as dimensões do apartamento de Luís.

Ilustração. Rapaz de cabelo castanho, camisa vermelha e calça azul. Atrás dele, muro e prédio de três andares.

Figura geométrica. Os 4 cômodos da figura anterior foram separados. Os lados da cozinha medem x e a. Os lados do banheiro medem y e a. Os lados da sala medem x e b. Os lados do quarto medem y e b.

Considerando que todos os cômodos do apartamento são retangulares, que expressão algébrica póde representar a medida da área total do apartamento?

Podemos determinar a expressão algébrica da medida da área total de dois modos:

1º) Multiplicando as medidas da largura e do comprimento do apartamento.

Figura geométrica. Em relação à figura anterior, foram indicadas as medidas dos lados do retângulo maior: x mais y e a mais b. Esquema. Abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, x mais y, fecha parênteses.
À direita, indicação: expressão 1.
Abaixo de a mais b, fio com indicação: medida da largura.
Abaixo de x mais y, fio com indicação: medida do comprimento.

2º) Adicionando as medidas das áreas de cada um dos quatro cômodos.

Página 99

De um e dois, verificamos que (a + b) ⋅ (x + y) = ax + ay + bx + by. Observe que, aplicando a propriedade distributiva em (a + b) ⋅ (x + y), obtemos ax + ay + bx + by:

Esquema. Abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, x mais y, fecha parênteses, igual a a vezes x mais a vezes y mais b vezes x mais b vezes y igual a ax mais ay mais bx mais by. Acima, duas setas saem de a: uma para x e outra para y. Abaixo, duas setas saem de b: uma para x e outra para y.

Portanto, o polinômio ax + ay + bx + by representa a medida da área total do apartamento.

Na multiplicação de dois polinômios, utilizamos a propriedade distributiva, multiplicando cada termo de um polinômio por todos os termos do outro, e, em seguida, adicionamos os novos termos obtidos.

Considere alguns exemplos.

Esquema. 5x vezes, abre parênteses, 2x menos 3, fecha parênteses, igual a 5x vezes 2x mais 5x vezes, abre parênteses, menos 3, fecha parênteses, igual a 10 x elevado ao quadrado menos 15x. Acima, duas setas saem de 5x: uma para 2x e outra para menos 3.

Esquema. Menos x elevado ao quadrado, vezes, abre parênteses, x elevado a 3, fim do expoente, menos 2 x elevado ao quadrado, mais 1, fecha parênteses, é igual a, abre parênteses, menos x elevado ao quadrado, vezes x elevado a 3, fecha parênteses, menos x elevado ao quadrado, vezes, abre parênteses, menos 2 x elevado ao quadrado, fecha parênteses, menos x elevado ao quadrado vezes 1. é igual a menos x elevado a 5, fim do expoente, mais 2 x elevado a 4, fim do expoente, menos x elevado ao quadrado. Acima, 3 setas saem de menos x elevado ao quadrado: uma para x elevado a 3, outra para menos 2 x elevado ao quadrado e outra para 1.

Esquema. Abre parênteses, 5x mais 2, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, 3x menos 1, fecha parênteses, igual a 5x vezes 3x mais 5x vezes, abre parênteses, menos 1, fecha parênteses, mais 2 vezes 3x mais 2 vezes, abre parênteses, menos 1, fecha parênteses, igual a. Acima, duas setas saem de 5x: uma para 3x e outra para menos 1. Abaixo, duas setas saem de 2: uma para 3x e outra para menos 1. Sentença matemática. Igual a 15 x elevado ao quadrado, menos 5x, mais 6x, menos 2 igual a. Sentença matemática. Igual a 15 x elevado ao quadrado, mais x, menos 2.

Esquema. Abre parênteses, x elevado ao quadrado menos 3, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, x elevado ao quadrado menos 2x mais 1, fecha parênteses, é igual a x elevado ao quadrado vezes x elevado ao quadrado, mais x elevado ao quadrado vezes, abre parênteses, menos 2x, fecha parênteses, mais x elevado ao quadrado vezes 1 menos 3 vezes x elevado ao quadrado menos 3 vezes, abre parênteses, menos 2x, fecha parênteses, menos 3 vezes 1, é igual. Acima, 3 setas saem de x elevado ao quadrado: uma para x elevado ao quadrado, outra para menos 2x e outra para 1. Abaixo, 3 setas saem de menos 3: uma para x elevado ao quadrado, outra para menos 2x e outra para 1. Sentença matemática. É igual a x elevado a 4, fim de expoente, menos 2 x elevado a 3, fim de expoente, mais x elevado ao quadrado, menos 3 x elevado ao quadrado, mais 6x, menos 3, é igual. Sentença matemática. É igual a x elevado a 4, fim de expoente, menos 2 x elevado a 3, fim de expoente, menos 2 x elevado ao quadrado, mais 6x, menos 3.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

35. Efetue os produtos.

a) 5 ⋅ (6x menos 2)

b) m elevado a 2 ⋅ (m menos n)

c) (6a elevado a 2 + 10ab + b elevado a 2) ⋅

(- \frac{3}{4} a)

\frac{a^{2} b}{2} \cdot (\frac{b^{2}}{3} - \frac{a^{2}}{4})

36. Determine o polinômio que representa a medida da área do retângulo a seguir.

Figura geométrica. Retângulo roxo com medidas dos lados 3x mais 1 por 2x.

37. Qual é o polinômio que representa a medida da área da região azul da figura?

Figura geométrica. Retângulo com retângulo azul menor à esquerda, dividido em dois retângulos horizontais. A altura do retângulo superior mede x e do inferior mede 2y. A distância do retângulo azul até o retângulo externo mede y. A medida do lado maior do retângulo externo é 4x.

38. Efetue as operações reduzindo os termos semelhantes.

a) (3x + 2) ⋅ (x menos 3)

b) (3a elevado a 2 + 2a + 4) ⋅ (menosa menos 3)

c) (menos2x + 5) ⋅ (6x elevado a 2 + 4x + 3)

d) (5x elevado a 2 + 2x menos 1) ⋅ (x menos 3)

e) (a + b) ⋅ (a menos b)

Página 100

39. Sendo a = x + 5, B = x elevado a 2 + 2x + 1 e C = 2x elevado a 2 menos 4, determine:

a) a ⋅ B

b) bê ⋅ cê

c) a ⋅ B ⋅ cê

40. Determine o polinômio que representa a medida do volume de cada figura.

Figura geométrica. Cubo com medida de cada dimensão x menos a.

Figura geométrica. Bloco retangular com medidas das dimensões: x menos 1 por 4x mais 2 por 2x menos 3.

Divisão de polinômio por monômio

Considere o retângulo a bê cê dê e as expressões algébricas que representam a medida do comprimento da altura e a medida de sua área.

Figura geométrica. Retângulo ABCD com lado AD de medida 2x.

Medida da área do retângulo a bê cê dê: 12x elevado a 4 menos 8x elevado a 3 + 6x elevado a 2

Medida do comprimento da altura: 2x

Qual é a expressão algébrica que representa a medida do comprimento da base desse retângulo?

Para determinar a expressão que representa a medida do comprimento da base do retângulo a bê cê dê, temos que dividir o polinômio 12x elevado a 4 menos 8x elevado a 3 + 6x elevado a 2 (medida da área do retângulo) pelo monômio 2x (medida do comprimento da altura do retângulo).

(12 x^{4} ‒ 8 x^{3} + 6 x^{2}) : (2 x) = \frac{12 x^{4}}{2 x} - \frac{8 x^{3}}{2 x} + \frac{6 x^{2}}{2 x} = 6 x^{4 ‒ 1} ‒ 4 x^{3 ‒ 1} + 3 x^{2 ‒ 1} = 6 x^{3} ‒ 4 x^{2} + 3 x

Portanto, a medida do comprimento da base desse retângulo póde ser representada por 6x elevado a 3 menos 4x elevado a 2 + 3x.

O quociente de um polinômio por um monômio não nulo é obtido dividindo-se cada termo do polinômio pelo monômio e adicionando os novos termos obtidos.

Observe mais alguns exemplos de divisão de polinômios por monômios.

(6 x^{5} + 2 x^{3}) : x = \frac{6 x^{5}}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} = 6 x^{5 ‒ 1} + 2 x^{3 ‒ 1} = 6 x^{4} + 2 x^{2}

(24 a^{2} b^{3} ‒ 18 a^{3} b^{4} ‒ 6 a b^{5}) : 3 a b^{3} = \frac{24 a^{2} b^{3}}{3 a b^{3}} - \frac{18 a^{3} b^{4}}{3 a b^{3}} - \frac{6 a b^{5}}{3 a b^{3}} =

= 8a elevado a 2 ⁻ ¹b elevado a 3 ⁻ elevado a 3 menos 6a elevado a 3 ⁻ ¹b elevado a 4 ⁻ elevado a 3 menos 2a elevado a 1 ⁻ ¹b elevado a 5 ⁻ elevado a 3 = 8a menos 6a elevado a 2b menos 2b elevado a 2

(4 a^{2} b^{3} ‒ 2 a^{3} b^{4}) : 6 a b^{2} = \frac{4 a^{2} b^{3}}{6 a b^{2}} - \frac{2 a^{3} b^{4}}{6 a b^{2}} = \frac{2}{3} a^{2 ‒ 1} b^{3 ‒ 2} ‒ \frac{1}{3} a^{3 ‒ 1} b^{4 ‒ 2} = \frac{2}{3} a b ‒ \frac{1}{3} a^{2} b^{2}

Atividades

Faça as atividades no caderno.

41. Efetue as divisões.

a) (10x elevado a 6 + 12x elevado a 5) dividido por (2x elevado a 3)

b) (30a elevado a 2 + 60ab + 90b elevado a 2) dividido por (30)

c) (menos6ab + 9a elevado a 2b + 12ab elevado a 2) dividido por (3ab)

(\frac{5}{6} x^{2} - \frac{3}{4} x) : (- \frac{2}{3} x)

e) (m elevado a 5 + m elevado a 3) dividido por (menosm elevado a 2)

f) (m elevado a 2n elevado a 3 + mn elevado a 4 + m elevado a 5n elevado a 2) dividido por (menosmn)

Página 101

42. O produto de um monômio por um polinômio é 20a elevado a 2b elevado a 5 + 30a elevado a 3b elevado a 7. Sendo o monômio 5a elevado a 2b elevado a 3, determine o polinômio.

43. A medida da área de um retângulo é representada por b elevado a 2x elevado a 2 + 2bx. Sendo bx a medida do comprimento da altura, determine a expressão algébrica que representa a medida do comprimento da base do retângulo.

44. Determine o quociente de 10x elevado a 2y elevado a 3 menos 20x elevado a 3y elevado a 5 + 30x elevado a 4y elevado a 6 pelos monômios:

a) 10xy

b) menos20xy elevado a 3

c) 5x elevado a 2y elevado a 2

d) menos10x elevado a 2y

2 Produtos notáveis

Quadrado da soma de dois termos

O quadrado da soma de dois termos, a e b, é indicado por (a + b)elevado a 2. Desenvolvendo esse produto, obtemos:

Esquema Abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, elevado ao quadrado, é igual a, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, é igual a, a elevado ao quadrado mais ab, mais ba, mais b elevado ao quadrado. Acima, duas setas saem do a do primeiro, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade: uma para a e outra para b, ambos do segundo, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade. Abaixo, duas setas saem do b do primeiro, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade: uma para a e outra para b, ambos do segundo, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade. Sentença matemática. Abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, elevado ao quadrado, é igual a a elevado ao quadrado mais 2ab, mais b elevado ao quadrado.

Ou seja:

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto dos dois termos mais o quadrado do segundo termo.

Ilustração. Mulher de cabelo castanho, camisa vermelha, calça verde e óculos. Ao lado do quadro branco, ela fala: A expressão a elevado ao quadrado mais 2 a b mais b elevado ao quadrado apresenta três termos e é denominada trinômio quadrado perfeito. No quadro branco, a sentença: abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, elevado ao quadrado é igual a a elevado ao quadrado mais 2 a b mais b elevado ao quadrado.

Observe alguns exemplos.

a) (x + y) elevado a 2 = x elevado a 2 + 2xy + y elevado a 2

{(\frac{a}{5} + 3 b)}^{2} = {(\frac{a}{5})}^{2} + 2 \cdot \frac{a}{5} \cdot 3 b + {(3 b)}^{2} = \frac{a^{2}}{25} + \frac{6 a b}{5} + 9 b^{2}

Representação geométrica

Vamos representar geometricamente o quadrado da soma de dois termos, a e b, que indicamos por (a + b)elevado a 2, admitindo os números a e b positivos.

Considere o quadrado a bê cê dê cuja medida do comprimento do lado é representada por a + b.

Figura geométrica. Quadrado dividido em 4 figuras: quadrado a por a e área a elevado ao quadrado; retângulo horizontal a por b e área a b; retângulo vertical a por b e área ab; e quadrado b por b e área b elevado ao quadrado. Os lados do quadro maior medem a + b por a + b.

Página 102

Determinando a medida da área a do quadrado de duas maneiras, obtemos:

•

Esquema. Área, é igual a, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, é igual a, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, elevado ao quadrado.
Abaixo de, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, fio com indicação: Multiplicando as medidas dos comprimentos dos lados do quadrado ABCD.

•

Esquema. Área é igual a a elevado ao quadrado mais ab, mais ab, mais b elevado ao quadrado, é igual a a elevado ao quadrado mais 2ab, mais b elevado ao quadrado. Abaixo de a elevado ao quadrado mais ab, mais ab, mais b elevado ao quadrado, fio com indicação: Adicionando a medida das áreas das figuras em que o quadrado ABCD é dividido.

Portanto, as expressões (a + b)elevado a 2 e a elevado a 2 + 2ab + b elevado a 2 representam a mesma medida de área, ou seja:

(a + b) elevado a 2 = a elevado a 2 + 2ab + b elevado a 2

Um pouco de história

Faça a atividade no caderno.

A Álgebra na Antiguidade

A Álgebra geométrica grega é apresentada de fórma muito interessante na obra Os elementos, de Euclides. No livro dois dessa obra, encontramos o conceito de produtos notáveis e, na proposição 4, o seguinte texto:

Ilustração. Folha de papel marrom enrolado nas extremidades com a informação: Se uma reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda (1) é igual aos quadrados sobre as duas partes (2), junto com duas vezes o retângulo que as partes contêm (3).

Ilustração. Gravura em preto e branco. Homem de touca, barba volumosa e manto sobre os ombros. Ele segura um objeto semelhante a um compasso aberto sobre um papel. — Caricatura de Euclides, matemático grego, autor de Os elementos.

Nessa proposição, vemos como os problemas que envolviam Álgebra eram concebidos e apresentados na Antiguidade. O uso de figuras era extremamente importante para o melhor entendimento dos textos. Na figura a seguir estão representados os itens 1, 2 e 3 dessa proposição de Euclides, sendo:

(1) o quadrado a bê cê dê;

(2) os quadrados de medida de áreas a elevado a 2 e b elevado a 2;

(3) os retângulos de medida de áreas A bê.

Atividade

Represente geometricamente o quadrado cuja medida da área é representada por xelevado a 2 +10x + 25.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

45. Desenvolva algebricamente cada quadrado da soma de dois termos.

a) (x + 1)elevado a 2

b) (2x + 10)elevado a 2

{(x y + \frac{1}{3})}^{2}

d) (x + 5)elevado a 2

e) (xelevado a 5 + 2xelevado a 3)elevado a 2

f) (6 + x)elevado a 2

g) (2x + xy)elevado a 2

h) (xelevado a 2 + 1)elevado a 2

i) (x + 2y) elevado a 2

{(x^{3} + \frac{1}{3})}^{2}

46. Simplifique as expressões.

a) x ⋅ (2x menos 1) + x ⋅ (1 menos 3x)

b) (a + 5) ⋅ (a + 5) menos (a + 5)elevado a 2

c) y ⋅ (y + 2)) menos 2y ⋅ (3 menos y)

d) (2 + x)elevado a 2 menos (x + 2)elevado a 2

47. Dados os polinômios a = 2xelevado a 2 + 3 e B = xelevado a 2 + 4, determine:

a) Aelevado a 2

b) B elevado a 2

c) (a + B)elevado a 2

48.

Observe como Pedro utilizou a ideia de produtos notáveis para calcular o quadrado de 41:

41elevado a 2 = (40 + 1)elevado a 2 = 40elevado a 2 + 2 ⋅ 40 ⋅ 1 + 1elevado a 2 = 1 600 + 80 + 1 = 1 681

Agora, calcule mentalmente os quadrados e registre o raciocínio no caderno.

a) 12elevado a 2

b) 61elevado a 2

c) 33elevado a 2

d) 92elevado a 2

49. Sabendo que a elevado a 2 + b elevado a 2 = 34 e (a + b) elevado a 2 = 64, calcule o valor de 6ab, sendo a > 0 e b > 0.

50. Desenvolva o produto (x + 3y) elevado a 2 e justifique geometricamente.

51. Sendo (x + y)elevado a 2 = 256 e x elevado a 2 + y elevado a 2 = 136, determine xy.

52. Observe a figura a seguir e responda às questões.

Figura geométrica. Quadrado dividido em 4 figuras: quadrado 1 medindo a por a; retângulo vertical 2 medindo a por 3; quadrado 3 medindo 3 por 3; retângulo horizontal 4 medindo a por 3.

a) Qual é a expressão algébrica que representa a medida da área do quadrado maior?

b) Quais são as expressões algébricas que representam as áreas das figuras um, dois, três e quatro?

Quadrado da diferença de dois termos

O quadrado da diferença de dois termos, a e b, é indicado por (a menos b) elevado a 2. Desenvolvendo esse produto, obtemos:

Esquema. Abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, elevado ao quadrado, é igual a, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, é igual a a elevado ao quadrado menos ab, menos ba, mais b elevado ao quadrado. Acima, duas setas saem do a do primeiro, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade: uma para a e outra para menos b, ambos do segundo, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade. Abaixo, duas setas saem do menos b do primeiro, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade: uma para a e outra para menos b, ambos do segundo, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade. Sentença matemática. Abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, elevado ao quadrado, é igual a a elevado ao quadrado menos 2ab, mais b elevado ao quadrado.

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Ou seja:

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto dos dois termos mais o quadrado do segundo termo.

Observe dois exemplos.

a) (x menos y)elevado a 2 = x elevado a 2 menos 2xy + y elevado a 2

{(\frac{a}{3} - 2 b)}^{2} = (\frac{a}{3})^{2} - 2 \cdot \frac{a}{3} \cdot 2 b + {(2 b)}^{2} = \frac{a^{2}}{9} - \frac{4 a b}{3} + 4 b^{2}

Representação geométrica

Considere o quadrado a bê cê dê, cuja medida dos comprimentos dos lados é indicada por a (figura 1). Vamos diminuir a medida do comprimento do lado e determinar o quadrado á bê linha cê linha dê linha, cuja medida do comprimento dos lados mede (a menos b) (figura 2). Observe:

Esquema. Figura 1. Quadrado azul ABCD a por a e área a elevado ao quadrado. Seta da figura 1 para a figura 2. Figura 2. Quadrado ABCD dividido em 4 partes. Quadrado azul A, B linha, C linha, D linha de lados a menos b por a menos b e área medindo, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Retângulo 1 de lados b por a menos b e área medindo b, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses. Retângulo 2 de lados b por a menos b e área medindo b, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses. Quadrado 3 de lados b por b e área medindo b elevado ao quadrado.

Determinando a medida da área A do quadrado de duas maneiras, obtemos:

•

Esquema. Área é igual a, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, é igual a, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, elevado ao quadrado.
Abaixo de, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, fio com indicação: Multiplicando as medidas dos comprimentos dos lados do quadrado A B linha C linha D linha.

•

Esquema. Área é igual a, a elevado ao quadrado, menos b, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, menos b, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, menos b elevado ao quadrado, é igual a a elevado ao quadrado, menos 2ba mais 2 b elevado ao quadrado, menos b elevado ao quadrado, é igual a a elevado ao quadrado, menos 2ab, mais b elevado ao quadrado. Abaixo do a elevado ao quadrado no segundo membro da igualdade, fio com indicação: medida da área do quadrado ABCD. Abaixo de b, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, fio com indicação: medida da área do retângulo 1. Abaixo de b, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, fio com indicação: medida da área do retângulo 2. Abaixo do b elevado ao quadrado no segundo membro da igualdade, fio com indicação: medida da área do quadrado 3.

Portanto, as expressões (a menos b)elevado a 2 e a elevado a 2 menos 2ab + b elevado a 2 representam a mesma medida de área, ou seja:

(a menos b)elevado a 2 = a elevado a 2 menos 2ab + b elevado a 2

Ilustração. Mulher de cabelo castanho, óculos e camisa vermelha diz: A expressão a elevado ao quadrado menos 2 a b mais b elevado ao quadrado também é denominada trinômio quadrado perfeito.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

53. Desenvolva algebricamente cada quadrado da diferença de dois termos.

a) (x menos 3)elevado a 2

{(\frac{x}{3} - 2)}^{2}

c) (9x elevado a 2 menos 2)elevado a 2

d) (x elevado a 3 menos y elevado a 3)elevado a 2

e) (x elevado a 2 menos y elevado a 2)elevado a 2

f) (menosx menos y)elevado a 2

g) (xy menos z)elevado a 2

{(\frac{x}{2} - \frac{y}{3})}^{2}

54.

Ana utilizou a ideia de produtos notáveis para calcular o quadrado de 16, observe como ela registrou:

16elevado a 2 = (20 menos 4)elevado a 2 = 20elevado a 2 menos 2 ⋅ 20 ⋅ 4 + 4elevado a 2 = 256

Agora, calcule mentalmente os quadrados e registre o raciocínio no caderno.

a) 17elevado a 2

b) 19elevado a 2

c) 14elevado a 2

55. Qual é o polinômio que representa a medida da área do quadrado verde?

Figura geométrica. Figura composta por 4 figuras. Um retângulo roxo m por n. Dois quadrados laranjas medindo n cada lado. Um quadrado verde com medida m menos n cada lado.

56. Sabendo que (a menos b)elevado a 2 = 16 e a elevado a 2 + b elevado a 2 = 106, calcule o valor de

\frac{a b}{3}

, sendo a > 0 e b > 0.

57. Sabendo que a elevado a 2 + b elevado a 2 = 52 e A bê = 24, calcule o valor de (a menos b)elevado a 2.

58. A figura a seguir foi utilizada por um professor, em sala de aula, para mostrar a igualdade:

4ab + (a menos b)elevado a 2 = (a + b)elevado a 2 em que a e b são números positivos.

Figura geométrica. Quadrado dividido em um quadrado verde escuro e 4 retângulos congruentes em verde claro.

a) Copie a figura no caderno e indique os segmentos cuja medida do comprimento é indicada por a e b.

Reúna-se com um colega e, juntos, mostrem que essa igualdade é verdadeira usando as medidas das áreas dos retângulos e dos quadrados. Depois, expliquem para o professor e os demais colegas da classe como vocês resolveram a atividade.

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Produto da soma pela diferença de dois termos

O produto da soma pela diferença de dois termos, a e b, é indicado por (a + b) ⋅ (a menos b). Desenvolvendo esse produto, obtemos:

Esquema. Abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, é igual a a elevado ao quadrado, menos a b, mais b a, menos b elevado ao quadrado. Acima, duas setas saem do a de, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses: uma para a e outra para menos b, ambos de, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses. Abaixo, duas setas saem do b de, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses: uma para a e outra para menos b, ambos de, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses. Abaixo, esquema. Abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, é igual a a elevado ao quadrado, menos b elevado ao quadrado.

Ou seja:

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Observe alguns exemplos.

a) (x + y) ⋅ (x menos y) = x elevado a 2 menos y elevado a 2

b) (bx + 5) ⋅ (bx menos 5) = (bx)elevado a 2 menos (5)elevado a 2 = b elevado a 2x elevado a 2 menos 25

(\frac{k^{2}}{3} + 1) \cdot (\frac{k^{2}}{3} - 1) = {(\frac{k^{2}}{3})}^{2} - {(1)}^{2} = \frac{k^{4}}{9} - 1

Representação geométrica

Considere os quadrados a seguir.

Figura geométrica. Quadrado verde com área a elevado ao quadrado e com medida a cada lado. Figura geométrica. Quadrado laranja com área b elevado ao quadrado e com medida b cada lado.

Retirando do quadrado verde uma superfície igual à do quadrado laranja, obtemos uma figura com medida de área a igual a a elevado a 2 menos b elevado a 2.

Esquema. Figura composta por retângulo a por a menos b e retângulo b por a menos b. Seta para a direita com indicação: Podemos decompor essa figura e compor um retângulo. À direita, acima, retângulo a por a menos b e, abaixo, retângulo b por a menos b. Ao lado do retângulo superior, contorno de retângulo tracejado com seta para retângulo inferior.

No retângulo obtido, temos:

• medida do comprimento da base: a menos b

• medida do comprimento da altura: a + b

• A = (a menos b) ⋅ (a + b)

Como as duas figuras têm a mesma medida de área, verificamos que: a elevado a 2 menos b elevado a 2 = (a + b) ⋅ (a menos b).

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

59. Desenvolva algebricamente os produtos.

a) (x + 1) ⋅ (x menos 1)

b) (3x + y) ⋅ (3x menos y)

c) (x + 5) ⋅ (x menos 5)

d) (2x + 5) ⋅ (2x menos 5)

60. Simplifique a expressão algébrica a seguir.

(x + 1)elevado a 2 + (x menos 1)elevado a 2 + 2(x + 1)(x menos 1)

61. Determine os produtos.

(x - \frac{1}{x}) \cdot (x + \frac{1}{x})

(x - \frac{y}{3}) \cdot (x + \frac{y}{3})

c) (x elevado a 2 + 1) ⋅ (x elevado a 2 menos 1)

d) (xy elevado a 2 menos z elevado a 2) ⋅ (xy elevado a 2 + z elevado a 2)

62.

Observe como Roberta calculou o produto de 41 por 39:

41 ⋅ 39 = (40 + 1) ⋅ (40 menos 1) = 40elevado a 2 menos 1elevado a 2 = 1 599

Agora, calcule mentalmente os produtos e registre o raciocínio no caderno.

a) 57 ⋅ 63

b) 52 ⋅ 48

c) 42 ⋅ 34

63.

Sabendo que a + b = 13 e aelevado a 2 menos belevado a 2 = 39, reúna-se com um colega e, juntos, determinem o valor de a. Depois, escrevam um texto explicando como vocês chegaram a esse valor. Apresentem o texto para o professor e os demais colegas da turma.

3 Fatoração

Podemos escrever o número 100 como o produto de dois ou mais números.

• 100 = 4 ⋅ 25

• 100 = 10 ⋅ 10

• 100 = 2 ⋅ 50

• 100 = 2 ⋅ 2 ⋅ 25

• 100 = 2 ⋅ 5 ⋅ 10

• 100 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5

Nesses casos, escrevemos o número 100 na fórma fatorada.

Fatorar um número é escrevê-lo como o produto de dois ou mais fatores.

Além de números, podemos fatorar polinômios, isto é, escrevê-los como o produto de dois ou mais polinômios. Acompanhe o exemplo.

Figura geométrica. Octógono com medidas: a, c, b, c, a, c, b, c.

As medidas dos comprimentos dos lados do polígono são indicadas por a, b e c.

A medida de seu perímetro póde ser representada por:

a + a + b + b + c + c + c + c = 2a + 2b + 4c

Podemos também escrever esse polinômio da seguinte fórma:

2(a + b + 2c)

O polinômio 2(a + b + 2c) é uma fórma fatorada de 2a + 2b + 4c.

Agora, vamos estudar alguns processos utilizados para fatorar uma expressão algébrica.

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Fatoração com um fator comum em evidência

A figura a seguir é formada por dois retângulos.

Figura geométrica. Retângulo composto de retângulo a por x com área a x, e retângulo x por b com área bx.

A medida da área total da figura póde ser obtida se adicionarmos as medidas das áreas dos retângulos que a compõem:

ax + bx

Também podemos determinar a medida da área dessa figura calculando a medida da área do retângulo cuja medida do comprimento da base é indicada por (a + b) e a medida do comprimento da altura é indicada por x:

x ⋅ (a + b)

Assim:

ax + bx = x(a + b)

O polinômio x(a + b) é uma fórma fatorada do polinômio ax + bx. Nesse caso, colocamos o fator comum (x) em evidência, obtendo uma fórma fatorada da expressão.

Observe alguns exemplos em que fatoramos alguns polinômios.

Sentença matemática. a elevado a 3, fim do expoente, mais 2a é igual a, a vezes, abre parênteses, a elevado ao quadrado mais 2, fecha parênteses. Seta laranja para a, lemos: fator comum. Seta laranja para a elevado ao quadrado, lemos: a elevado a 3, fim do expoente, dividido por a. Seta laranja para 2, lemos: 2a dividido por a.

Sentença matemática. km mais 2kn mais k elevado ao quadrado, é igual a k, vezes, abre parênteses, m mais, 2n, mais k, fecha parênteses. Seta laranja para k, lemos: fator comum. Seta laranja para m, lemos: km dividido por k. Seta laranja para 2n, lemos: 2kn dividido por k. Seta laranja para k, lemos: k elevado ao quadrado dividido por k.

Sentença matemática. 12 a elevado a 4, fim do expoente, b elevado a 6, fim do expoente, menos 20 a elevado a 5, fim do expoente, b elevado a 8, fim do expoente, mais 8 a elevado a 3, fim do expoente, b elevado ao quadrado, é igual a 4 a elevado a 3, fim do expoente, b elevado ao quadrado, vezes, abre parênteses, 3a, b elevado a 4, fim do expoente, menos 5 a elevado ao quadrado, b elevado a 6, fim do expoente, mais 2, fecha parênteses. Seta laranja para 4 a elevado a 3, fim do expoente, b elevado ao quadrado, lemos: fator comum. Seta laranja para 3a, b elevado a 4, fim do expoente, lemos: 12 a elevado a 4, fim do expoente, b elevado a 6, fim do expoente, dividido por 4 a elevado a 3, fim do expoente, b elevado ao quadrado. Seta laranja para 5 a elevado ao quadrado, b elevado a 6, fim do expoente, lemos: 20 a elevado a 5, fim do expoente, b elevado a 8, fim do expoente, dividido por 4 a elevado a 3, fim do expoente, b elevado ao quadrado. Seta laranja para 2, lemos: 8 a elevado a 3, fim do expoente, b elevado ao quadrado, dividido por 4 a elevado a 3, fim do expoente, b elevado ao quadrado.

Sentença matemática. Abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, mais, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, x, é igual a, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, menos, abre parênteses, 1 mais x, fecha parênteses. Seta laranja para, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, lemos: fator comum. Seta laranja para 1, lemos: abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, dividido por, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses. Seta laranja para x, lemos: abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, x, dividido por, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

64. Escreva os números na fórma fatorada.

a) 36

b) 450

c) 120

d) 500

65. Colocando os fatores comuns em evidência, fatore:

a) ax + ay

b) 16x elevado a 2 + 20y elevado a 2

c) 5x + 15y menos 10z

d) menos5x elevado a 3y + 20x elevado a 2y elevado a 2

66. Fatore as expressões.

a) ax elevado a 3 + bx elevado a 2 menos cx

b) 12a elevado a 3x elevado a 2 + 6a elevado a 2x elevado a 3 menos 8ax elevado a 4

\frac{a b}{8} + \frac{a^{2} b}{4} - \frac{a b^{2}}{2}

67. Escreva os polinômios a seguir na fórma de um produto:

a) x elevado a 5 + x elevado a 4 menos 2x elevado a 2

b) 6x + 3xy + 12xyz

c) 6x elevado a 2y menos 18xy elevado a 3

d) 15x elevado a 7 menos 3yx elevado a 4

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Fatoração por agrupamento

Considere a figura a seguir.

Figura geométrica. Retângulo dividido em 4 figuras: retângulo a por x com área ax; retângulo x por b com área bx; retângulo a por y com área ay; e retângulo b por y com área by.

A medida da área total da figura póde ser obtida adicionando a medida das áreas dos retângulos menores:

ax + bx + ay + by

Ou póde ser obtida pelo cálculo da medida da área do retângulo cuja medida do comprimento da base é indicada por (a + b) e a medida do comprimento da altura é indicada por (x + y):

(a + b) ⋅ (x + y)

Assim:

ax + bx + ay + by = (a + b) ⋅ (x + y)

Podemos escrever ax + bx + ay + by na fórma (a + b) ⋅ (x + y), usando a fatoração:

(ax + bx) + (ay + by)

Agrupamos os termos com fatores comuns.

x(a + b) + y(a + b)

Colocamos o fator comum de cada grupo em evidência.

(a + b) ⋅ (x + y)

Colocamos o polinômio comum (a + b) em evidência.

Portanto, (a + b) ⋅ (x + y) é uma fórma fatorada do polinômio ax + bx + ay + by.

Observe alguns exemplos.

a) 3a menos 6y + ab menos 2by = 3a + ab menos 6y menos 2by =

= a(3 + b) ‒ 2y(3 + b) =

= (3 + b) ⋅ (a menos 2y)

b) x elevado a 4 + x elevado a 3 + x elevado a 2 + x = x elevado a 3(x + 1) + x(x + 1) =

= (x + 1) ⋅ (x elevado a 3 + x)

c) ax elevado a 2 menos abx + b elevado a 2 menos bx = ax(x ‒ b) + b(b menos x) =

= ax(x menos b) menos b(x menos b) =

= (x menos b) ⋅ (ax ‒ b)

d) mx elevado a 3 menos mx elevado a 2 + x elevado a 4 menos x elevado a 3 = mx elevado a 2(x menos 1) + x elevado a 3 (x menos1) =

= (x menos 1)(mx elevado a 2 + x elevado a 3) =

= (x menos 1)x elevado a 2(m + x) =

= x elevado a 2(x menos 1)(m + x)

Página 110

Atividades

Faça as atividades no caderno.

68. Fatore as expressões por agrupamento.

a) xy + x menos 2y menos 2

b) 6x + 6y + ax + ay

c) 2x menos 2 + yx menos y

d) 2a + 2b + ax + bx

69. Fatore as expressões.

a) 7x + 7y + bx + by

b) ax menos ay menos bx + by

c) 6x elevado a 2 + 15x menos 4xy menos 10y

d) 2ax menos 2ay menos 3bx + 3by

70. Transforme as expressões em produtos.

a) 3(x menos 1) + a(x ‒ 1) + a elevado a 2(x menos 1)

b) ax + bx + ay + by + az + bz

c) (x + y)elevado a 2 menos 2(x + y)

d) ax menos a +

\frac{m x}{3} - \frac{m}{3}

71. Agrupe os termos das expressões e fatore-as.

a) ax menos ay + x menos y

b) abx elevado a 2 + aby elevado a 2 + cx elevado a 2 + cy elevado a 2

c) x elevado a 4 + 9x elevado a 3 menos 6x menos 54

d) ax menos 2ay + 5bx menos 10by + 11cx menos 22cy

Fatoração da diferença de dois quadrados

De um quadrado cuja medida do comprimento do lado é indicada por a, retirou-se um quadrado cuja medida do comprimento do lado é indicada por b, com b < a, obtendo a figura a seguir:

Figura geométrica. Quadrado a por a do qual foi retirado um quadrado b por b. A figura obtida é composta de retângulo a por a menos b e, ao lado, retângulo b por a menos b. Trata-se da figura 1. Esquema. Área é igual a a elevado ao quadrado menos b elevado ao quadrado. Abaixo de a elevado ao quadrado, lemos: medida da área do quadrado cuja medida do comprimento do lado é indicada por a. Acima de b elevado ao quadrado, lemos: medida da área do quadrado cuja medida do comprimento do lado é indicada por b.

A medida da área da figura 1 é a elevado a 2 menos b elevado a 2, que corresponde a uma diferença de dois quadrados.

Podemos decompor a figura 1 conforme indicado a seguir (figura 2) e, depois, compor um retângulo (figura 3).

Esquema. Em relação à figura anterior, a figura 2 apresenta o retângulo b por a menos b está sendo deslocado para baixo do retângulo a por a menos b. Seta para a direita. À direita, na figura 3, o retângulo b por a menos b está abaixo do retângulo a por a menos b, formando um retângulo maior.

A medida da área da figura 1, representada por a elevado a 2 menos b elevado a 2, é igual à medida da área da figura 3, que póde ser representada por (a + b) ⋅ (a menos b).

Página 111

Assim, justificamos geometricamente a igualdade:

a elevado a 2 menos b elevado a 2 = (a + b) ⋅ (a menos b)

Portanto, (a + b) ⋅ (a menos b) é uma fórma fatorada do polinômio aelevado a 2 menos b elevado a 2.

Observe alguns exemplos.

Esquema. a elevado ao quadrado menos 25, é igual a, abre parênteses, a mais 5, fecha parênteses, abre parênteses, a menos 5, fecha parênteses. Abaixo de a elevado ao quadrado, lemos: abre parênteses, a, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Abaixo de 25, lemos: abre parênteses, 5, fecha parênteses, elevado ao quadrado.

Esquema. Fração a elevado ao quadrado sobre 4, fim da fração, menos fração b elevado ao quadrado sobre 16, fim da fração, é igual a, abre parênteses, fração a sobre 2, fim da fração, mais fração b sobre 4, fim da fração, fecha parênteses, abre parênteses, fração a sobre 2, fim da fração, menos fração b sobre 4, fim da fração, fecha parênteses. Abaixo da fração a elevado ao quadrado sobre 4, lemos: abre parênteses, fração a sobre 2, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Abaixo da fração b elevado ao quadrado sobre 16, lemos: abre parênteses, fração b sobre 4, fecha parênteses, elevado ao quadrado.

Esquema. 9 a elevado ao quadrado, b elevado ao quadrado, menos 16 x elevado a 4, fim do expoente, y elevado a 6, é igual a, abre parênteses, 3ab, mais 4 x elevado ao quadrado, y elevado a 3, fecha parênteses, abre parênteses, 3ab, menos 4 elevado ao quadrado, y elevado a 3, fecha parênteses. Abaixo de 9 a elevado ao quadrado, b elevado ao quadrado, lemos: abre parênteses, 3ab, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Abaixo de 16 x elevado a 4, fim do expoente, y elevado a 6, lemos: abre parênteses, 4 x elevado ao quadrado, y elevado a 3, fecha parênteses, elevado ao quadrado.

Esquema. m elevado a 4, fim do expoente, menos 1, é igual a, abre parênteses, m elevado ao quadrado mais 1, fecha parênteses, abre parênteses, m elevado ao quadrado menos 1, fecha parênteses, é igual a, abre parênteses, m elevado ao quadrado mais 1, fecha parênteses, abre parênteses, m mais 1, fecha parênteses, abre parênteses, m menos 1, fecha parênteses. Abaixo de m elevado a 4, lemos: abre parênteses, m elevado ao quadrado, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Abaixo do 1 da expressão m elevado a 4, fim do expoente, menos 1, lemos: abre parênteses, 1, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Abaixo do m elevado ao quadrado da expressão, abre parênteses, m elevado ao quadrado menos 1, fecha parênteses, lemos: abre parênteses, m, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Abaixo do 1 da expressão, abre parênteses, m elevado ao quadrado menos 1, fecha parênteses, lemos: abre parênteses, 1, fecha parênteses, elevado ao quadrado.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

72. Fatore as expressões.

a) x elevado a 2 menos 49

b) 9a elevado a 2 menos 4b elevado a 2

c) 1 menos x elevado a 2

d) 4x elevado a 2 menos 25y elevado a 2

e) 4x elevado a 2 menos 25

f) x elevado a 2y elevado a 2 menos 1

\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{9}

x^{2} - \frac{1}{x^{4}}

73. Decomponha as expressões em produtos de fatores.

a) (x + y)elevado a 2 menos 1

b) 1 menos 9a elevado a 2

c) 4x elevado a 2 menos y elevado a 2

d) x elevado a 2 menos (y + 1)elevado a 2

74.

Roberto registrou o cálculo do produto de 21 por 19:

21 ⋅ 19 = (20 + 1) ⋅ (20 menos 1) = 20elevado a 2 menos 1elevado a 2 = 400 menos 1 = 399

Agora, calcule mentalmente os produtos e registre o raciocínio no caderno.

a) 81 ⋅ 79

b) 42 ⋅ 38

c) 101 ⋅ 99

75. Agrupe convenientemente os termos e fatore as expressões.

a) aelevado a 3 + aelevado a 2 menos 4a menos 4

b) aelevado a 2belevado a 2 menos aelevado a 2 menos belevado a 2 + 1

76.

A seguir temos como Melissa calculou a diferença dos quadrados dos números 100 e 90:

Ilustração. Folha de caderno com as informações: 100 elevado ao quadrado menos 90 elevado ao quadrado igual a, abre parênteses, 100 mais 90, fecha parênteses, abre parênteses, 100 menos 90, fecha parênteses, igual a 190 vezes 10 igual a 1900.

Agora, calcule da mesma fórma que Melissa:

a) 500elevado a 2 menos 400elevado a 2

b) .1000elevado a 2 menos 900elevado a 2

77. Demonstre, no caderno, que a soma de dois números inteiros e consecutivos é igual à diferença dos seus quadrados.

Fatoração do trinômio quadrado perfeito

Observe o quadrado cuja medida do comprimento do lado é indicada por a + b.

A medida da área desse quadrado póde ser indicada por:

a elevado a 2 + ab + ab + b elevado a 2 = a elevado a 2 + 2ab + b elevado a 2

(a + b) ⋅ (a + b) = (a + b)elevado a 2

Figura geométrica. Quadrado decomposto em 4 figuras: quadrado a por a com área a elevado ao quadrado; retângulo vertical a por b com área ab; retângulo horizontal a por b com área ab; e quadrado b por b com área b elevado ao quadrado.

Página 112

Verificamos, então, que:

a elevado a 2 + 2ab + b elevado a 2 = (a + b)elevado a 2

Portanto, a fórma fatorada de a elevado a 2 + 2ab + b elevado a 2 é (a + b)elevado a 2.

Vimos em produtos notáveis que:

(a ‒ b)elevado a 2 = a elevado a 2 ‒ 2ab + belevado a 2

Então:

a elevado a 2 menos 2ab + b elevado a 2 = (a menos b)elevado a 2

Portanto, a fórma fatorada de a elevado a 2 menos 2ab + b elevado a 2 é (a menos b)elevado a 2.

Observe os exemplos.

a) 4x elevado a 2 + 12x + 9 = (2x)elevado a 2 + 2 ⋅ (2x ⋅ 3) + 3elevado a 2 = (2x + 3)elevado a 2

b) 4melevado a 2nelevado a 2 menos 4mnc + c elevado a 2 = (2mn)elevado a 2 menos 2 ⋅ (2mn ⋅ c) + c elevado a 2 = (2mn menos c)elevado a 2

Atividades

Faça as atividades no caderno.

78. Fatore os polinômios.

a) x elevado a 2 + 6x + 9

b) x elevado a 2 menos 16x + 64

c) 9x elevado a 2 + 30xy + 25y elevado a 2

d) x elevado a 2 menos 2ax + a elevado a 2

e) 1 + 9m elevado a 2 menos 6m

\frac{1}{4}

a elevado a 2 menos 5ab + 25b elevado a 2

79. Quais dos polinômios a seguir são trinômios quadrados perfeitos?

a) a elevado a 2 + 6ab + 9b elevado a 2

b) a elevado a 2 + b +

\frac{1}{4}

c) 16x elevado a 2 menos 24xy + 9y elevado a 2

d) 4x elevado a 2 menos 4x + 1

80. Escreva a fórma fatorada dos polinômios.

a) x elevado a 2 menos 6x + 9

b) 1 menos 6x + 9xelevado a 2

c) x elevado a 2 menos 10x + 25

d) x elevado a 3 menos 2x elevado a 2 + x

e) x elevado a 4 + 2x elevado a 3 + x elevado a 2

\frac{1}{5}

x 2 ‒

\frac{4}{5}

x +

\frac{4}{5}

81. Escreva as expressões como um produto de polinômios.

a) a elevado a 2 + 2ab + b elevado a 2 menos c elevado a 2

b) (a elevado a 2 + b elevado a 2)elevado a 2 menos 4a elevado a 2b elevado a 2

c) (a elevado a 2 + b elevado a 2)elevado a 2 menos 2(a elevado a 2 + b elevado a 2) + 1

82. Considere um jardim com o formato de um quadrado de lado medindo x metros. Devem-se aumentar as dimensões em 2 metros, de acôrdo com a imagem.

Figura geométrica. Quadrado dividido em 4 figuras: quadrado x por x; retângulo x por 2; retângulo 2 por x; e quadrado 2 por 2.

a) Indique, na fórma de um trinômio e na fórma fatorada, a nova medida de área do jardim.

b) Escreva uma expressão algébrica simplificada que indique a diferença entre as medidas de área nova e área antiga.

c) Se a diferença entre as medidas de área é de 42 métroselevado a 2, qual era aqui inicialmente a medida do lado do jardim?

Página 113

4 Resolução de equações do 2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa encontrar as raízes dessa equação que pertencem ao conjunto universo dela.

Toda equação do 2º grau póde ser escrita na fórma axelevado a 2 + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.

• Quando todos os coeficientes (a, b e c) são diferentes de zero, dizemos que a equação é completa.

• Quando b ou c ou os dois coeficientes são iguais a zero, dizemos que a equação é incompleta.

Resolução de equações do 2º grau incompletas

Acompanhe a resolução de algumas equações de 2º grau incompletas.

a) Vamos resolver a equação 4xelevado a 2 menos 36 = 0, considerando U =

Símbolo. Conjunto dos números racionais.

4xelevado a 2 menos 36 = 0

4xelevado a 2 menos 36 + 36 = 0 + 36

Adicionamos 36 a ambos os membros da equação.

4xelevado a 2 = 36

4xelevado a 2 dividido por 4 = 36 dividido por 4

Dividimos os dois membros por 4.

xelevado a 2 = 9

x = \sqrt{9} = 3

x = - \sqrt{9} = - 3

Como menos3 e 3 são raízes da equação e pertencem ao conjunto universo, então

S = \{‒ 3, 3\}

b) Sendo U =

, vamos resolver a equação 2xelevado a 2 + 10 = 0.

2xelevado a 2 + 10 menos 10 = 0 menos 10

Subtraímos 10 de ambos os membros da equação.

2xelevado a 2 = menos10

2xelevado a 2 dividido por 2 = menos10 dividido por 2

Dividimos os dois membros por 2.

xelevado a 2 = menos5

Não existe número real que, elevado ao quadrado, seja igual a menos5. Portanto, S = ∅.

c) Agora, vamos resolver a equação

- 7 x^{2} = 0

, considerando U =

menos7xelevado a 2 dividido por menos7 = 0 dividido por menos7

Dividimos os dois membros por menos7.

xelevado a 2 = 0

x = menos0 = 0 ou x = +0 = 0

Como a equação tem duas raízes reais iguais a zero e 0 pertence ao conjunto universo, então

S = \{0\}

Sugestão de leitura

GUELLI, Oscar. História da equação do 2º grau. São Paulo: Ática, 1999. (Coleção Contando a história da Matemática).

O livro conta a história das equações do 2º grau desde seu primeiro registro e passa pela evolução das representações até chegar ao uso de símbolos. Além disso, o livro traz vários desafios intrigantes para resolver.

Página 114

d) Sendo U =

, vamos resolver

2 x^{2} - 32 x = 0

Uma fórma de resolver essa equação é colocar o fator comum 2x em evidência:

2x (x menos 16) = 0

Como o produto dos fatores 2x e (x menos 16) é zero, então pelo menos um deles é zero. Assim:

• 2xis = 0

xis = 0

• (x menos 16) = 0

xis menos 16 = 0

xis = 16

Como 0 e 16 são raízes da equação e pertencem ao conjunto universo, então S = {0, 16}.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

83. Resolva as equações considerando U =

a) x elevado a 2 menos 81 = 0

b) x elevado a 2 menos 3 = 0

c) x elevado a 2 + 24 = 0

d) 16x elevado a 2 menos 25 = 0

e) 5x elevado a 2 = 0

f) x elevado a 2 menos 5x = 0

g) menos2x elevado a 2 menos 10x = 0

\frac{3 x^{2}}{4} ‒ 5 x = 0

i) 6x elevado a 2 = 5x

j) (x + 2)elevado a 2 = 4

84. Considerando U =

, resolva cada equação.

a) (2x menos 3)elevado a 2 + 12x = 9

b) x ⋅ (x + 2) = 4x

c) 3 ⋅ (x menos 2)elevado a 2 = 12

2 x^{2} ‒ \frac{3}{4} = x^{2} + \frac{1}{4}

85. Resolva as equações, considerando U =

a) 7m elevado a 2 + 3 = 8m elevado a 2 + 3

(\frac{x}{7} - 11) \cdot (\frac{x}{7} + 11) = 0

86. O retângulo e o quadrado a seguir têm a mesma medida de área. Observe atentamente as figuras e responda às questões.

Figura geométrica. Retângulo 5 por 1 vírgula 6 x. Figura geométrica. Quadrado x por x.

a) Qual é a medida do comprimento do lado do quadrado?

b) Qual é a medida do perímetro do quadrado? E o do retângulo?

c) Qual é a medida da área do retângulo e do quadrado?

87. Determine os possíveis valores de x em cada caso.

a) O quadrado de x é igual a 144.

b) O quadrado de x é igual a 169.

c) O dôbro do quadrado de x é igual ao triplo de x.

Página 115

Resolução de equações do 2º grau completas

Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi, matemático árabe do século nove, em seu livro Al-jabr Wa’l muqabalah, apresentou regras para encontrar as raízes positivas de equações do 2º grau. Em suas soluções, ele usava apenas palavras, sem empregar símbolos.

Uma das equações apresentadas e resolvidas por Al-Khowarizmi foi: x elevado a 2 + 10x = 39.

Como podemos encontrar as raízes dessa equação? A seguir, vamos estudar a resolução de equações do 2º grau completas, como a estudada por Al-Khowarizmi.

Fotografia. Vista frontal de escultura de um homem em pé entre quatro pilares. Acima, estrutura em meio círculo. Ao fundo, construção com diversos pilares enfileirados. — Monumento de Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi em frente ao edifício da administração da Câmara Municipal da cidade de Urgench, no Uzbequistão. Foto de 2021.

Resolução por fatoração

Vamos usar o que já foi estudado sobre fatoração e produtos notáveis para resolver algumas equações do 2º grau completas. Acompanhe alguns exemplos.

a) Vamos resolver a equação x elevado a 2 menos 10x + 25 = 0, considerando U =

Temos que xelevado a 2 menos 10x + 25 é um trinômio quadrado perfeito.

Ilustração. Menino negro de cabelo castanho, óculos, camisa verde. Ele diz: Lembre que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes os produtos dos termos mais o quadrado do segundo termo.

Assim:

Esquema. Primeira linha: x elevado ao quadrado, menos 10x, mais 25, é igual a 0. Segunda linha: x elevado ao quadrado, menos 2 vezes x vezes 5, mais 5 elevado ao quadrado, é igual a 0. Entre a primeira e a segunda linha, há 3 fios. Um fio ligando x elevado ao quadrado na primeira linha a x elevado ao quadrado na segunda linha. Um fio ligando 10x na primeira linha a 2 vezes x vezes 5 na segunda linha. Um fio ligando 25 na primeira linha a 5 elevado ao quadrado na segunda linha. Esquema. Abre parênteses, x menos 5, fecha parênteses, elevado ao quadrado é igual a 0. Seta laranja para a direita com a indicação: abre parênteses, x menos 5, fecha parênteses, elevado ao quadrado, é a forma fatorada do trinômio.

Como (x menos 5)elevado a 2 = (x menos 5) ⋅ (x menos 5), temos:

(x menos 5) ⋅ (x menos 5) = 0

Os dois fatores da multiplicação são iguais e o produto dos fatores é zero, portanto:

(x menos 5) = 0 ⇒ x = 5

Como a equação tem duas raízes reais iguais a 5 e 5 pertence ao conjunto universo, então S = {5}.

b) Vamos resolver a equação 16x elevado a 2 + 24x = menos9, considerando U =

Adicionando 9 a ambos os membros da equação, obtemos:

Esquema. 16 x elevado ao quadrado, mais 24x, mais 9, é igual a menos 9 mais 9, implica em 16 x elevado ao quadrado, mais 24x, mais 9 é igual a 0. Em ambos os membros da primeira equação, a expressão "mais 9" está em destaque. Abaixo de 16 x elevado ao quadrado, mais 24x, mais 9, fio com indicação: trinômio quadrado perfeito.

Esquema. Primeira linha: 16 x elevado ao quadrado, mais 24x, mais 9 é igual a 0. Segunda linha: abre parênteses, 4x, fecha parênteses, elevado ao quadrado, mais 2 vezes 4x vezes 3, mais 3 elevado ao quadrado, é igual a 0. Entre a primeira e a segunda linha, há 3 fios. Um fio ligando 16 x elevado ao quadrado na primeira linha a, abre parênteses, 4x, fecha parênteses, elevado ao quadrado na segunda linha. Um fio ligando 24x na primeira linha a 2 vezes 4x vezes 3 na segunda linha. Um fio ligando 9 na primeira linha a 3 elevado ao quadrado na segunda linha.

Esquema. Abre parênteses, 4x mais 3, fecha parênteses, elevado ao quadrado é igual a 0. Seta laranja para a direita com a indicação: abre parênteses, 4x mais 3, fecha parênteses, elevado ao quadrado, é a forma fatorada do trinômio.

(4x + 3) ⋅ (4x + 3) = 0

Ilustração. Menina branca de cabelo castanho e blusa rosa. Ela diz: Lembre que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes os produtos dos termos mais o quadrado do segundo termo.

Página 116

Como (4x + 3)elevado a 2 = (4x + 3) ⋅ (4x + 3), temos:

(4x + 3) ⋅ (4x + 3) = 0

Os dois fatores da multiplicação são iguais e o produto dos fatores é zero, portanto:

(4x + 3) = 0

x = - \frac{3}{4}

Como a equação tem duas raízes reais iguais a

‒ \frac{3}{4}

‒ \frac{3}{4}

pertence ao conjunto universo, então

S = \{‒ \frac{3}{4}\}

c) Agora, vamos determinar a raiz positiva da equação x elevado a 2 + 10x = 39, apresentada por Al-Khowarizmi.

Observe que o 1º membro da equação (x elevado a 2 + 10x) não é um trinômio quadrado perfeito. Para resolvê-la, devemos encontrar uma equação equivalente a ela, cujo 1º membro seja um trinômio quadrado perfeito.

Observe a explicação de Dênis sobre como ele determinou essa equação equivalente.

Ilustração. Menino de cabelo preto e blusa azul. Ele fala: Primeiro considerei x elevado ao quadrado a medida da área de um quadrado com lado de medida de comprimento x. À direita, quadrado x por x. Ilustração. Menino de cabelo preto e blusa azul diz: Depois, interpretei 10x como a medida da área de dois retângulos com medida de área igual a 5x. Juntei os retângulos ao quadrado e obtive uma figura com medida de área igual a x elevado ao quadrado mais 10x.
À esquerda, figura composta por quadrado x por x, retângulo vertical 5 por x e retângulo horizontal 5 por x.
Ilustração. Menino de cabelo preto e blusa azul conclui: Então, ao adicionar 25 a ambos os membros da equação x elevado ao quadrado mais 10x é igual a 39, obtive uma equação equivalente a esta, cujo primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito. Ilustração. Menino de cabelo preto e blusa azul continua: Por fim, completei a figura acrescentando um quadrado cuja medida do comprimento do lado é igual a 5. Obtive um quadrado com lado de medida de comprimento igual a x mais 5, em que a medida da área é representada pelo trinômio quadrado perfeito x elevado ao quadrado mais 10x mais 25. À direita, quadrado composto por quadrado x por x, retângulo vertical 5 por x, retângulo horizontal 5 por x e quadrado 5 por 5.

Página 117

Agora, podemos resolver a equação inicial mais facilmente.

Esquema. Primeira linha: x elevado ao quadrado, mais 10x, mais 25, é igual a 39 mais 25. Em ambos os membros dessa equação, a expressão "mais 25" está em destaque. Segunda linha: x elevado ao quadrado, mais 2 vezes x vezes 5, mais 5 elevado ao quadrado, é igual a 64. Entre a primeira e a segunda linha, há 3 fios. Um fio ligando x elevado ao quadrado na primeira linha a x elevado ao quadrado na segunda linha. Um fio ligando 10x na primeira linha a 2 vezes x vezes 5 na segunda linha. Um fio ligando 25 na primeira linha a 5 elevado ao quadrado na segunda linha.

(x + 5)elevado a 2 = 64

(x + 5) = \sqrt{64} = 8

x = 3

Portanto, 3 é a raiz positiva da equação x elevado a 2 + 10x = 39.

Ilustração. Mulher de cabelo castanho e blusa roxa fala: Esta forma de resolução é conhecida como método de completar quadrados. Era esse o método que Al-Khowarizmi utilizava para resolver as equações de segundo grau.

▸ Qual é a outra raiz da equação x elevado a 2 + 10x = 39? Por que essa raiz não poderia ser determinada pelo método de Al-Khowarizmi?

Fórmula de resolução de uma equação do 2º grau

Considerando a equação do 2º grau ax elevado a 2 + bx + c = 0, em que a, b e c são coeficientes reais com a ≠ 0, vamos obter, por meio da generalização do método de completar quadrados, uma fórmula para calcular suas raízes. Acompanhe:

1º) Multiplicamos ambos os membros da equação por 4a:

4a ⋅ (ax elevado a 2 + bx + c) = 0 ⋅ 4a

4a elevado a 2x elevado a 2 + 4abx + 4ac = 0

2º) Subtraímos 4ac de ambos os membros da equação:

4a elevado a 2x elevado a 2 + 4abx + 4ac menos 4ac = 0 menos 4ac

4a elevado a 2x elevado a 2 + 4abx = menos4ac

3º) Adicionamos b elevado a 2 a ambos os membros da equação:

Esquema. 4 a elevado ao quadrado, x elevado ao quadrado, mais 4abx mais b elevado ao quadrado é igual a menos 4ac mais b elevado ao quadrado. Em ambos os membros da equação, a expressão "mais b elevado ao quadrado" está em destaque. Abaixo de 4 a elevado ao quadrado, x elevado ao quadrado, mais 4abx mais b elevado ao quadrado, fio com indicação: trinômio quadrado perfeito.

4a elevado a 2x elevado a 2 + 4abx + b² = ‒4ac + belevado a 2

4º) Fatoramos o 1º membro:

(2ax + b)elevado a 2 = b elevado a 2 ‒ 4ac

5º) Considerando b elevado a 2 ‒ 4ac ⩾ 0, extraímos a raiz quadrada dos dois membros:

Esquema. Primeira linha: 2ax mais b é igual a mais, início da raiz quadrada, b elevado ao quadrado menos 4 a c, fim da raiz. Segunda linha: ou Terceira linha: 2ax mais b é igual a menos, início da raiz quadrada, b elevado ao quadrado menos 4 a c, fim da raiz. À direita, uma chave entre a primeira e a terceira linha, com a indicação: 2ax mais b é igual a mais ou menos, início da raiz quadrada, b elevado ao quadrado menos 4 a c, fim da raiz.

6º) Isolamos x:

2 a x = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Ilustração. Mulher de cabelo preto, blusa azul e colete marrom. Ela fala: Você sabe por que consideramos b elevado ao quadrado menos 4 a c maior ou igual a 0?

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Assim, encontramos a fórmula resolutiva de equações do 2º grau ax elevado a 2 + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais com a ≠ 0.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

A fórmula resolutiva de equações do 2º grau é conhecida como fórmula de báscara, que permite determinar as raízes de uma equação quando conhecemos os seus coeficientes.

Assim, concluímos que as raízes da equação do 2º grau ax elevado a 2 + bx + c = 0 são:

x_{1} = \frac{‒ b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Vamos resolver, por exemplo, a equação 7x elevado a 2 + 13x menos 2 = 0 considerando U =

Aplicando a fórmula resolutiva para a = 7, b = 13 e c = menos2, temos:

x = \frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 7}

x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 56}}{14}

x = \frac{- 13 \pm \sqrt{225}}{14}

Esquema. x é igual a fração de numerador menos 13 mais ou menos 15, e denominador 14. Fio à direita com indicação em duas linhas. Primeira linha: x1 é igual a fração de numerador menos 13 mais 15, e denominador 14, fim da fração, igual a fração 2 sobre 14, fim da fração, igual a fração 1 sobre 7. Segunda linha: x2 é igual a fração de numerador menos 13 menos 15, e denominador 14, fim da fração, igual a menos fração 28 sobre 14, fim da fração, igual a menos 2.

Como menos2 e

\frac{1}{7}

são raízes da equação e pertencem ao conjunto universo, então

S = \{‒ 2, \frac{1}{7}\}

Sugestão de leitura

ROSA, Ernesto. As mil e uma equações. São Paulo: Ática, 2008. (Coleção A descoberta da Matemática).

Kamal, améd e Najla descobrem um plano para assassinar o emir e desvendam os segredos das equações do 2º grau nessa história divertida e interessante que se passa nos reinos muçulmanos do século nove. No final do livro, há também um minialmanaque com desafios e enigmas para resolver.

Clique no play e acompanhe a reprodução do Áudio.

Transcrição do áudio

Fórmula de Bhaskara?

Duração: 4:17min. Página: 118.

>> [Locutora] Fórmula de Bhaskara?

Vinheta.

Fundo musical.

>> [Locutora] Hoje, vamos falar sobre um matemático de quem você provavelmente já ouviu falar: Bhaskara. Esse nome é familiar?

>> [Locutora] Caso não seja, só para você saber, quando alguém precisa resolver problemas com equações quadráticas, geralmente acaba usando uma fórmula que, popularmente aqui no Brasil, é conhecida como fórmula de Bhaskara.

>> [Locutora] Tá! Mas quem é esse moço? E por que damos o nome dele para tal fórmula?

>> [Locutora] Bhaskara nasceu na Índia e foi um dos mais importantes matemáticos do século XII. Também foi diretor do maior centro de pesquisas astronômicas e matemáticas da Índia, na época: o Observatório de Ujjain. Dentre os livros que escreveu, dois ficaram famosos: Lilavati e Bijaganita. O livro Bijaganita trata de álgebra e possui muitos problemas sobre equações lineares e quadráticas.

>> [Locutora] Diferente dos dias atuais, em que costumamos resolver equações por meio de letras e números, antigamente, os problemas, as regras e as soluções eram escritas com palavras. As fórmulas só apareceram muito tempo depois, por volta de 1 600 anos depois de Cristo.

>> [Locutora] Só como curiosidade, no livro Lilavati, do Bhaskara, existem problemas que foram enunciados de uma forma bem peculiar, com linguagem poética. [Tom animado] Isso mesmo! Veja um exemplo!

>> [Locutora] [Tom de narrativa] “Linda donzela de olhos resplandecentes, uma vez que entendeis o método de inversão correto, dizei-me: qual é o número que, multiplicado por 3, depois acrescido de três quartos do produto, depois dividido por 7, diminuído de um terço do quociente, multiplicado por si mesmo...” E por aí vai.

>> [Locutora] É importante destacar que, antes de Bhaskara, outros povos já conheciam, estudavam e resolviam equações quadráticas.

>> [Locutora] Mesopotâmicos, por volta de 1 700 anos antes de Cristo, já conheciam problemas com equações quadráticas. Os gregos, cerca de 300 anos antes de Cristo, também lidavam com essas equações, mas as resolviam de forma diferente, utilizando métodos geométricos. Os árabes, no século quatro [sic] depois de Cristo, também resolveram problemas que envolviam equações quadráticas, mas utilizavam um método chamado de completamento de quadrados.

Pausa com fundo musical.

>> [Locutora] Bhaskara, apesar de conhecer maneiras de resolver equações quadráticas, [tom enfático] não desenvolveu o método para a resolução da equação de segundo grau [tom enfático] e nem escreveu a fórmula como a conhecemos hoje! Mesmo porque as fórmulas surgiram mais de quatro séculos depois dele. Então, por que chamamos a fórmula para resolução da equação de segundo grau de fórmula de Bhaskara?

>> [Locutora] Pois é, o Brasil é o único país do mundo que relaciona essa fórmula ao nome desse importante matemático. A origem dessa associação é incerta, mas, a partir da década de 1960, o uso do termo “fórmula de Bhaskara” passou a ser comum no Brasil. Mas saiba que Bhaskara nada teve a ver com isso!

Fundo musical.

Vinheta.

Créditos

Todos os áudios inseridos neste conteúdo são da Free Sound.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

88. Resolva as equações, considerando U =

a) x elevado a 2 + 5x + 6 = 0

b) 6x elevado a 2 menos x menos 2 = 0

x^{2} ‒ 2 \sqrt{5} x + 4 = 0

d) x elevado a 2 menos 14x + 49 = 0

89. A soma de um número real com seu quadrado é 42. Determine esse número.

90. Subtraindo o inverso de um número real qualquer (diferente de zero) desse mesmo número, obtemos

\frac{3}{2}

. Determine esse número.

91.

Com base no retângulo a seguir, elabore um problema sobre medidas de área no qual seja necessário encontrar o valor da incógnita x. Troque de problema com um colega. Conversem a respeito da resolução e verifiquem se os procedimentos efetuados foram adequados para encontrar a resposta. Caso tenham dúvidas, conversem com o professor.

Figura geométrica. Retângulo com lados de medida x por x mais 3 e área de 270 metros quadrados.

92.

Elabore um problema envolvendo a idade de duas pessoas. A equação que resolve o problema deve ser uma equação do 2º grau que póde ser resolvida por algum método de fatoração. Troque de problema com um colega. Em seguida, conversem a respeito da resolução e verifiquem se os procedimentos efetuados estavam corretos.

Página 119

Discriminante

A expressão b elevado a 2 menos 4ac é chamada de discriminante da equação do 2º grau ax elevado a 2 + bx + c = 0 e é representada pela letra grega Δ (delta).

Então, a fórmula de báscara póde ser escrita assim:

x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}

Analisando essa fórmula, podemos verificar se uma equação tem ou não raízes reais e obter uma relação entre os coeficientes e as raízes de uma equação do 2º grau.

• Quando Δ > 0,

\sqrt{Δ}

é um número real e a equação possui duas raízes reais diferentes.

x_{1} = \frac{‒ b + \sqrt{Δ}}{2 a}

x_{2} = \frac{‒ b ‒ \sqrt{Δ}}{2 a}

• Quando Δ = 0,

\sqrt{Δ}

é nulo e a equação tem duas raízes reais iguais.

x_{1} = x_{2} = ‒ \frac{b}{2 a}

• Quando Δ < 0,

\sqrt{Δ}

não é um número real, pois qualquer número real elevado ao quadrado é igual a um número positivo ou nulo. Dizemos, então, que a equação não tem raízes reais.

Para, por exemplo, determinar os valores de m em que a equação 3x elevado a 2 + 6x + m = 0 possui duas raízes reais, temos:

a = 3, b = 6 e c = m

Para que a equação tenha duas raízes reais diferentes, temos que ter Δ > 0. Portanto, como Δ = belevado a 2 ‒ 4ac, temos:

Sentença matemática. b elevado ao quadrado menos 4ac, é maior que 0. Sentença matemática. 6 elevado ao quadrado menos 4 vezes 3, vezes m é maior que 0. Sentença matemática. 36 menos 12m é maior que 0. Esquema. Primeira linha: Menos 12m é maior que menos 36. Segunda linha: 12m é menor que 36. Flecha à direita, da primeira para a segunda linha, com indicação: Multiplicamos ambos os membros por menos 1 e invertemos o sentido da desigualdade. O termo menos 1 está em destaque. Sentença matemática. m é menor que 3.

Assim, os valores de m devem ser menores que 3 para que a equação tenha duas raízes reais diferentes.

Observe que, se m = 3, a equação tem duas raízes reais iguais, e que, se m > 3, a equação não tem raízes reais.

Em outro exemplo, para determinar o valor de k para a equação xelevado a 2 menos2x + k = 0 sabendo que possui duas raízes reais e iguais. Nesse caso, sabemos que ∆ = 0.

a = 1, b = menos2 e c = k

(menos2)elevado a 2 menos 4 ⋅ 1 ⋅ k = 0

4 menos 4k = 0

4 = 4k

1 = k

Assim, k é igual a 1, para que a equação xelevado a 2 menos2x + k = 0 tenha duas raízes reais e iguais.

Página 120

Atividades

Faça as atividades no caderno.

93. Calcule o discriminante e indique se a equação tem raízes reais.

a) x elevado a 2 menos 10x + 21 = 0

b) x elevado a 2 menos 2x + 1 = 0

c) 4x elevado a 2 menos 4x + 1 = 0

d) 3x elevado a 2 + 6x + 4 = 0

94. Determine o valor de p na equação x elevado a 2 menos 6x + p menos 5 = 0, de incógnita x, de modo que suas raízes:

a) sejam reais e iguais;

b) sejam reais e diferentes;

c) não sejam reais.

95. Determine o valor de k para que a equação 3x² ‒ 5x + 2k = 0 não tenha raízes reais.

96. Determine os valores de a em cada uma das equações a seguir, de modo que:

a) a equação x elevado a 2 menos 7x + a = 0 tenha duas raízes reais diferentes;

b) a equação x elevado a 2 menos ax + 9 = 0 tenha duas raízes reais iguais;

c) a equação x elevado a 2 menos 3x + a = 0 não tenha raízes reais.

fórma fatorada de uma equação do 2º grau

Considere a equação ax elevado a 2 + bx + c = 0, com a ≠ 0 e suas raízes:

x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

Adicionando e multiplicando as raízes da equação, obtemos:

•

x_{1} + x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- b - b + \sqrt{Δ} - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a}

Esquema. Sentença matemática. x1 vezes x2 é igual a fração de numerador menos b mais raiz quadrada de delta, fim da raiz, e denominador 2a, fim da fração vezes fração de numerador menos b menos raiz quadrada de delta, fim da raiz, e denominador 2a, fim da fração, é igual a fração de numerador, abre parênteses, menos b, fecha parênteses, elevado ao quadrado, menos, abre parênteses, raiz quadrada de delta, fecha parênteses, elevado ao quadrado, e denominador 4 a elevado ao quadrado, fim da fração, é igual a fração de numerador b elevado ao quadrado menos delta, e denominador 4 a elevado ao quadrado, fim da fração, é igual a fração de numerador b elevado ao quadrado, menos, abra parênteses, b elevado ao quadrado menos 4ac, fecha parênteses, e denominador 4 a elevado ao quadrado, fim da fração, é igual a fração c sobre a. Seta indo de fração de numerador menos b mais raiz quadrada de delta, fim da raiz, e denominador 2a, fim da fração vezes fração de numerador menos b menos raiz quadrada de delta, fim da raiz, e denominador 2a, fim da fração, para fração de numerador, abre parênteses, menos b, fecha parênteses, elevado ao quadrado, menos, abre parênteses, raiz quadrada de delta, fecha parênteses, elevado ao quadrado, e denominador 4 a elevado ao quadrado, fim da fração, com a indicação: produto da soma pela diferença.

Colocando a em evidência no 1º termo da equação axelevado a 2 + bx + c = 0, temos:

Esquema. a, abre parênteses, x elevado ao quadrado, mais fração b sobre a, fim da fração, x, mais fração c sobre a, fecha parênteses, é igual a 0. Abaixo da fração b sobre a, fio com indicação: menos, abre parênteses, x1 mais x2, fecha parênteses, é igual a menos, abre parênteses, menos fração b sobre a, fecha parênteses, é igual a fração b sobre a. Abaixo da fração c sobre a, fio com indicação: x1 vezes x2 é igual a fração c sobre a.

Assim:

Esquema. a, abre colchete, x elevado ao quadrado, menos x1 vezes x menos x2 vezes x mais, x1 vezes x2, fecha colchete, é igual a 0. Abaixo de x elevado do quadrado menos x1 vezes x, fio com indicação: x é fator comum. Abaixo de x2 vezes x, mais x1 vezes x2, fio com indicação: x2 é fator comum.

Esquema. a, abre colchete, x vezes, abre parênteses, x menos x1, fecha parênteses, menos x2 vezes, abre parênteses, x menos x1, fecha parênteses, fecha colchete, é igual a 0. Abaixo das duas ocorrências de x menos x1, fio com indicação: fator comum.

a ⋅ (x menos xis₁) ⋅ (x₁ menos xis₂) = 0

Portanto, a fórma fatorada da equação do 2º grau á xiselevado a 2 + bx + c = 0, cujas raízes são xis₁ e xis₂, é:

a ⋅ (x menos xis₁) ⋅ (x menos xis₂) = 0

Página 121

Observe alguns exemplos:

a) Vamos escrever, na fórma fatorada, a equação xiselevado a 2 menos 5x + 6 = 0.

Temos que as raízes xis₁ e xis₂ da equação xiselevado a 2 menos 5x + 6 = 0 são 2 e 3, respectivamente.

Sendo a = 1, xis₁ = 2 e xis₂ = 3, a fórma fatorada de xiselevado a 2 menos 5x + 6 = 0 póde ser escrita como:

(x menos 2) (x menos 3) = 0

b) Vamos determinar uma equação do 2º grau cujas raízes sejam 3 e 4.

Usando a fórma fatorada para a = 1, temos:

(x menos 3)(x menos 4) = 0

Agora, aplicamos a propriedade distributiva:

xiselevado a 2menos 4x menos 3x + 12 = 0

xiselevado a 2 menos 7x + 12 = 0

Logo, a equação procurada é xiselevado a 2 menos 7x + 12 = 0.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

97. Obtenha a fórma fatorada das equações.

a) xiselevado a 2 menos 64 = 0

b) 2xiselevado a 2 menos 7x + 3 = 0

c) 4xiselevado a 2 menos 12x + 9 = 0

d) xiselevado a 2 + 2mx menos 3êmeelevado a 2 = 0

e) 3xiselevado a 2 menos 2xp +

\frac{p^{2}}{3}

= 0

98. Fatore os trinômios.

a) 2xiselevado a 2 menos 4x + 2

b) 8xiselevado a 2 menos 6x + 1

c) 6xiselevado a 2 + x menos 1

d) xiselevado a 2 + 5x menos 24

\frac{x^{2}}{2} ‒ \frac{3}{2}

x menos 14

99. Determine uma equação do 2º grau que tenha:

a) duas raízes reais iguais a 7;

b) menos3 e 8 como raízes;

c) menos1 e menos5 como raízes e o coeficiente de xiselevado a 2 igual a 2;

d) nenhuma raiz real.

Resolução de problemas

Para resolver problemas que envolvam equações do 2º grau com uma incógnita, podemos:

um) encontrar a equação que representa matematicamente o problema;

dois) determinar as raízes da equação;

três) interpretar o valor das raízes, verificando a compatibilidade com os dados do problema, levando em consideração o universo em questão.

Podemos representar as etapas anteriores em um fluxograma:

Fluxograma. Início. Encontrar a equação que representa matematicamente o problema. Determinar as raízes da equação. Verificar se as raízes encontradas satisfazem as condições do problema. Fim.

Agora, acompanhe a resolução de alguns problemas utilizando uma equação do 2º grau.

Página 122

Problema 1

Sebastião tem um terreno com as seguintes medidas: 26 métros de comprimento e 16 métros de largura.

Figura geométrica. Retângulo marrom. Dentro, retângulo verde com medidas dos lados 16 metros por 26 metros. A diferença das medidas de cada lado do retângulo maior para o retângulo menor é x.

Ele deseja aumentar a medida da área desse terreno para 816 métroselevado a 2, acrescentando faixas de mesma medida de comprimento de largura a um dos lados e ao fundo. Qual deve ser a medida do comprimento da largura dessas faixas?

Sabendo que a nova medida de área do terreno será 816 métroselevado a 2, escrevemos a seguinte equação:

(x + 16)(x + 26) = 816, com U =

Símbolo. Conjunto dos números reais positivos e não nulos.

Observação

Como x, da equação anterior, corresponde à medida do comprimento da largura, temos que o conjunto universo da equação é U =

Resolvemos a equação para determinar a medida x, em metro:

(x + 16)(x + 26) = 816

x elevado a 2 + 26x + 16x + 416 = 816

x elevado a 2 + 42x menos 400 = 0

Resolvendo a equação, obtemos: x₁ = menos50 e x₂ = 8.

Como menos50 e 8 são raízes da equação, mas só 8 pertence ao conjunto universo, então S = {8}.

Logo, a medida do comprimento da largura das faixas é 8 métros.

Problema 2

Uma empresa de loteamento vai cercar três terrenos próximos, retangulares e de mesmas dimensões. A medida do comprimento é 20 métros maior que a medida da largura do terreno. Os três lotes têm, juntos, .8775 métroselevado a 2 de medida de área. Quais são as dimensões de cada lote?

Figura geométrica. Três retângulos com lados medindo x por x mais 20 metros cada um.

A equação que representa essa situação é:

3(x)(x + 20) = .8775, com U =

Resolvendo a equação para determinar a medida x em metro, temos:

3(x elevado a 2 + 20x) = 8 775

3x elevado a 2 + 60x = 8 775

3x elevado a 2 + 60x menos 8 775 = 0

É possível obter, a partir da equação, as raízes:

x_{1} = 45

x_{2} = - 65

Como menos 65 e 45 são raízes da equação, mas só 45 pertence ao conjunto universo, então S = {45}.

Portanto, as dimensões de cada lote são 45 métros e 65 métros.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

100. A metade do quadrado de um número inteiro positivo é igual ao dôbro desse número mais 6. Calcule-o.

101. O quadrado de um número natural é igual a seu dôbro adicionado com 24. Determine esse número.

102. O dôbro do quadrado de um número é igual ao produto desse número por 7, menos 3. Qual é o número?

103. O quadrado da idade de Camila subtraído da metade dessa idade é igual a 14 anos. Calcule a idade de Camila.

104. A soma dos quadrados de dois números inteiros positivos e consecutivos é 25. Calcule-os.

105. Determine a medida do comprimento do lado do quadrado em que o número que representa a medida da área excede o número que representa a medida do perímetro em 5.

106. Determine três números inteiros, positivos e consecutivos, tais que o quadrado do menor seja igual à diferença dos outros dois.

107. A medida da área da parte roxa da figura é 94 métroselevado a 2. Calcule a medida x em metro.

Figura geométrica. Retângulo roxo com medidas dos lados x por x mais 10 metros. Dentro, retângulo com medidas dos lados 10 metros por 5 metros.

Veja que interessante

Faça as atividades no caderno.

Equações biquadradas

Perto do ano 2000 antes de Cristo, os babilônios não só resolviam as equações do 2º grau, como também discutiam a resolução de algumas equações de 3º grau e de um tipo especial de equação de 4º grau: as equações biquadradas.

De modo geral, uma equação na incógnita x é chamada de biquadrada quando póde ser escrita na fórma:

ax elevado a 4 + bx elevado a 2 + c = 0, com a ≠ 0

Um exemplo de equação biquadrada é x elevado a 4 menos 13x elevado a 2 + 36 = 0. Observe que podemos escrevê-la da seguinte fórma: (x elevado a 2)elevado a 2 menos 13x elevado a 2 + 36 = 0

Substituindo x elevado a 2 por uma incógnita auxiliar y, obtemos a equação: y elevado a 2 menos 13y + 36 = 0

Dessa fórma, reduzimos a equação biquadrada x elevado a 4 menos 13x elevado a 2 + 36 = 0 à equação do 2º grau y elevado a 2 menos 13y + 36 = 0 de incógnita y. Resolvendo essa equação, obtemos: y ₁ = 4 e y ₂ = 9. Como x elevado a 2 = y, temos:

• Para y = 4, temos x elevado a 2 = 4, ou seja, x = ±2

• Para y = 9, temos x elevado a 2 = 9, ou seja, x = ±3

Logo, as raízes da equação x elevado a 4 menos 13x elevado a 2 + 36 = 0 são menos3, menos2, 2 e 3.

Atividade

Resolva, no caderno, as seguintes equações biquadradas:

a) x elevado a 4 menos 5x elevado a 2 + 4 = 0

b) 2x elevado a 4 menos 16x elevado a 2 = 18

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Resolvendo em equipe

Faça a atividade no caderno.

1. (ó bê ême) Qual é o valor da expressão ..20112011elevado a 2 + ..20112003elevado a 2 menos 16 × ..20112007?

a) 2 × 20112007elevado a 2

b) 2 × 20112003elevado a 2

c) 2 × 20112007

d) 2 × 20112003

e) 2 × 20112011elevado a 2

Interpretação e identificação dos dados	• Analise as informações do enunciado e anote no caderno as que você julgar relevantes para a resolução do problema. • Se chamarmos o número 20.112.007 de x, como poderemos representar os números 20.112.011 e 20.112.003?
Interpretação e identificação dos dados
Plano de resolução	• Reescreva a expressão numérica dada, considerando 20.112.007 igual a x. • Desenvolva os produtos notáveis.
Plano de resolução
Resolução	• Junte-se a três colegas. • Mostre a eles seu plano de resolução e observe o deles. • Discutam as diferenças e as semelhanças entre os planos e escolham um para a execução do processo de resolução. Observação Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual no caderno.



Verificação	• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.
Apresentação	• Organizem a apresentação da resolução, explicitando cada etapa e justificando a escolha do número 20.112.007 como x.

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Revisão dos conteúdos deste capítulo

Produtos notáveis

Quadrado da soma de dois termos

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}

Quadrado da diferença de dois termos

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2}

Produto da soma pela diferença de dois termos

(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}

1. Desenvolva os produtos notáveis.

{(3 x + 1)}^{2}

{(2 m - 5)}^{2}

(6 a b + 1) \cdot (6 a b - 1)

{(5 a b - 7)}^{2}

(2 x + 5) \cdot (2 x - 5)

2. Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes.

{(x + 2 y)}^{2} + {(2 x - y)}^{2}

{2 (m - 2)}^{2} - 3 (m + 1) \cdot (m - 1)

{(a + b)}^{2} - {(a}^{2} + b^{2})

{(2 a - 3 b)}^{2} + (a - 5 b) (a + 5 b)

3. Sendo

x^{2} + y^{2} = 56

e x ⋅ y = 22, qual é o valor de x + y?

Utilize o quadrado da soma ou da diferença para calcular os quadrados a seguir.

a) 27elevado a 2

b) 43elevado a 2

c) 104elevado a 2

d) 297elevado a 2

Utilize o produto da soma e da diferença de dois termos para resolver os produtos a seguir.

a) 95 ⋅ 105

b) 202 ⋅ 198

c) 54 ⋅ 46

d) 1 001 ⋅ 999

6. Observe a figura e responda.

Figura geométrica. Quadrado composto por 4 figuras: quadrado x por x; retângulo x por 3; retângulo 3 por x; e quadrado 3 por 3.

a) Quais expressões algébricas representam as medidas de área e do perímetro da figura?

b) Se x = 2 centímetros, determine as medidas de área e de perímetro.

Fatoração

Fatoração com um fator comum em evidência

a x + b x = x (a + b)

Fatoração por agrupamento

a x + b x + a y + b y = (a + b) \cdot (x + y)

Fatoração por diferença de dois quadrados

a^{2} - b^{2} = (a + b) \cdot (a - b)

Fatoração do quadrado perfeito

a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

7. Fatore as expressões e escreva o caso de fatoração utilizado.

7 x^{2} + 7 y^{2}

x^{2} y^{2} - 169 z^{2}

c) 30 + 10x menos 12a menos 4ax

5 x^{2} - x^{3}

16 a^{2} - 8 a + 1

8. Fatore as expressões algébricas:

{(a + 3)}^{2} - 9

y x^{3} - x y^{3}

y^{3} - y^{2} - 9 y + 9

12 x^{2} - 48 y^{2}

6 x^{2} - 12 x + 6

Encontre os resultados das expressões numéricas a seguir, utilizando o caso de fatoração diferença de quadrados.

a) .2013elevado a 2 menos .2010elevado a 2

b) 475elevado a 2 menos 474elevado a 2

10. Complete as expressões algébricas, sabendo que elas representam quadrados perfeitos.

{4 y}^{2} + ▪ + 49

▪ - 2 m + 1

{9 n}^{2} + 6 n + ▪

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Resolução de equações do 2º grau

Resolução de equações do 2º grau incompletas

Observe como resolver algumas equações do 2º grau incompletas.

a) xelevado a 2 menos 4 = 0, considerando U =

xelevado a 2 = 4

x = \pm \sqrt{4}

x = 2 ou x = menos2

Como menos2 e 2 são raízes da equação e pertencem ao conjunto universo, então

S = \{‒ 2, 2\}

b) 2xelevado a 2 + 3 = 0, considerando U =

x ⋅ (2x + 3) = 0

x = 0 ou 2x + 3 = 0

2x = menos3

x = ‒ \frac{3}{2}

Como

\frac{‒ 3}{2}

e 0 são raízes da equação e pertencem ao conjunto universo, então

S = \{\frac{‒ 3}{2}, 0\}

Resolução de equações do 2º grau completas

A fórmula resolutiva de equações do 2º grau axelevado a 2 menos bx + c = 0, em que a, b e c são números reais com a ≠ 0, é dada por:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Discriminantes

A expressão belevado a 2 ‒ 4ac é chamada de discriminante e representada pela letra grega

∆

Analisando a fórmula resolutiva, podemos verificar se uma equação tem ou não raízes reais e obter uma relação entre os coeficientes e as raízes (x₁ e x₂) de uma equação do 2º grau.

•

∆ > 0 \to x_{1} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} e x_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}

•

∆ = 0 \to x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}

• ∆ < 0 → não existem raízes reais.

11. Resolva as equações considerando U =

x^{2} - 9 = 0

x^{2} + 8 x + 15 = 0

m^{2} - \sqrt{2} m = 0

x^{2} + 10 x + 25 = 0

x^{2} - 6 x - 7 = 0

16 y^{2} - 121 = 0

{3 x}^{2} + 2 x + 8 = 0

12. Resolva as equações considerando U =

{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 160

b) xelevado a 2 menos 11x = menos 28

4 x^{2} + 2 x + 2 = 1

x^{2} + 7 x = 35 - 5 x

13. A diferença entre o quadrado de um número e o seu triplo é igual a 10. Qual é esse número?

14. O quadrado de certo número diferente de zero é igual ao seu quádruplo. Que número é esse?

15. Uma empresa construirá um galpão em um terreno quadrado cuja medida, em metro, do comprimento do lado é indicada por y. Esse galpão será retangular com medidas de comprimento iguais a (y menos 30) métros e (y menos 40) métros. Sabe-se que a medida da área construída será de 1 200 métros quadrados. Qual deve ser a medida y em metro?

Figura geométrica. Quadrado com medidas dos lados y por y. Dentro, retângulo amarelo com área 1200 metros quadrados. As medidas dos lados do retângulo são: abre parênteses, y menos 30, fecha parêneses, metros por, abre parênteses, y menos 40, fecha parêneses, metros.

16. Determine o valor de p na equação xelevado a 2 + px + 4 = 0, para que ela tenha duas raízes reais e iguais.

17. Determine o valor de m na equação xelevado a 2 menos 6x + m = 0, para que a equação não apresente raízes reais.

18. Quais valores k póde assumir na equação x elevado a 2 menos 4x + k = 0, de fórma que a equação apresente duas raízes reais?