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Unidade 3

Capítulo 7 Relações métricas no triângulo retângulo

Capítulo 8 Circunferência, arcos e ângulos

Capítulo 9 Polígonos regulares

Fotografia. À esquerda, carro prata parado em via pública, à direita, placa octogonal na cor vermelha com a palavra PARE em branco escrito no centro. Ao fundo moto vermelha estacionada e um carro cinza escuro estacionado. Ao redor há várias arvores e casas. — Veículos parados na cidade de Holambra (São Paulo). Observe que a placa "Pare" não é uma indicação de estacionamento. Foto de 2018.

O que você conhece sobre trânsito seguro? Você sabe o que significa a placa que aparece na imagem? Essa placa se parece com qual polígono? No fim desta Unidade, você responderá a essas e outras questões.

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Capítulo 7 Relações métricas no triângulo retângulo

Trocando ideias

O metalúrgico é o profissional responsável pelos projetos de tratamento e de produção de metais e ligas metálicasglossário . Em seu dia a dia, ele precisa ler e interpretar projetos de peças tanto para fabricá-las como para conferir suas medidas.

Ilustração. Homem negro de capacete, óculos e avental está olhando para um papel com figuras geométricas desenhadas, à frente um equipamento industrial com alavancas e manivelas e uma parede com um painel com um botão vermelho. Esquema. À esquerda, prisma triangular, fio indicando: Parte da frente da peça, correspondente a uma das bases triangulares. À direita, acima a descrição: vista frontal, abaixo, triângulo retângulo com o ângulo reto indicado. Cotas indicando as medidas de comprimentos dos lados: vertical, 3 centímetros, horizontal 4 centímetros, diagonal, 5 centímetros. À direita, acima a descrição: vista lateral, abaixo, retângulo com os ângulos retos indicados. Cotas indicando as medidas de comprimentos dos lados: horizontal, 2 centímetros; vertical, 3 centímetros. À direita, acima a descrição: vista superior, abaixo, retângulo com os ângulos retos indicados. Cotas indicando as medidas de comprimentos dos lados: horizontal, 2 centímetros; vertical, 4 centímetros.

▸

Em sua opinião, por que é importante que profissionais como os metalúrgicos utilizem equipamentos de proteção individual? Converse com os colegas.

▸

Como podemos classificar o triângulo correspondente à vista frontal da peça? Por quê?

▸

Como as medidas de comprimento 3 centímetros, 4 centímetros e 5 centímetros dos lados da parte frontal da peça podem ser relacionadas? Converse com os colegas.

Neste capítulo, vamos estudar as relações métricas e trigonométricas de triângulos retângulos.

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1 Projeções ortogonais

Considere um ponto P e uma reta r. Se traçarmos por P uma reta s perpendicular a r, obteremos na intersecção de s e érre um ponto pê linha, denominado projeção ortogonal do ponto P sobre a reta r.

Figura geométrica. Retas perpendiculares, a reta r está inclinada horizontalmente e a reta tracejada s, está inclinada verticalmente. Na intersecção entre as duas retas há o ponto P linha e a indicação do ângulo reto. Sobre a reta s, há o ponto P.

Quando o ponto P pertence à reta r, ele coincide com sua projeção ortogonal sobre ela.

Agora, considere um segmento de reta

\overline{A B}

e a reta r. Denominamos projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{A B}

sobre a reta r o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos do segmento de reta

\overline{A B}

sobre r.

Figura geométrica. Segmento de reta AB levemente inclinado horizontalmente. Abaixo, reta r horizontal contendo o segmento de reta A linha B linha. Fio tracejado de A até A linha com o ângulo reto indicado. Fio tracejado de B a B linha, com o ângulo reto indicado.

Logo,

\overline{A ’ B ’}

é a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{A B}

sobre a reta r.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Copie as figuras no caderno e determine:

a) a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{E F}

sobre a reta r ;

Ilustração. Reta horizontal r e segmento de reta EF vertical acima. Ao lado, ícone com selo modelo.

b) a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{C D}

sobre a reta r .

Ilustração. Reta r com ponto C representado nela e segmento de reta CD com D não pertencente a r. Ao lado, ícone com selo modelo.

Versão adaptada acessível

1. Faça o que se pede em cada caso.

a) Represente uma reta r e um segmento de reta fora dela posicionado perpendicularmente a ela. Determine a projeção ortogonal desse segmento de reta sobre a reta r.

b) Represente uma reta r e um segmento de reta de modo que C pertença à essa reta e D esteja fora dela. Esse segmento não deve ser perpendicular à reta r. Determine a projeção ortogonal desse segmento de reta sobre a reta r.

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2. Observe as figuras e determine:

a) a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{B C}

sobre

\overset{\leftrightarrow}{A B}

;

Figura geométrica. Segmento de reta BC inclinado. Segmento de reta AB. ABC formam o triangulo ABC escaleno, com ângulo maior do que 90 graus em A. Uma reta passa por AB. Um segmento de reta tracejado vai de C ao ponto D, pertencente a reta que passa por AB. Este segmento é perpendicular reta

b) a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{A B}

sobre

\overset{\leftrightarrow}{B C}

e a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{A C}

sobre

\overset{\leftrightarrow}{B C}

;

Figura geométrica. Triângulo azul ABC acutângulo. Uma reta passa pelo lado BC. Um segmento tracejado vai de A ao ponto D, pertencente ao lado BC. AD é perpendicular é BC.

c) a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{A C}

sobre

\overset{\leftrightarrow}{C B}

;

Figura geométrica. Retângulo ABCD com os ângulos retos indicados. Uma reta passa pelo lado BC. Diagonal AC tracejada

d) a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{A D}

sobre

\overset{\leftrightarrow}{D C}

e a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{B D}

sobre

\overset{\leftrightarrow}{B C}

Figura geométrica. Retângulo roxo com os ângulos retos indicados. Uma reta passa pelo lado CD e outra pelo lado BC. A diagonal BD está representada

2 Triângulo retângulo

Em um triângulo retângulo, chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes a esse ângulo de catetos.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC. Fio indicado o lado BC como hipotenusa. Fio indicando o lado AB como cateto. Fio indicando o lado AC como cateto.

No triângulo retângulo á bê cê,

\overline{C B}

é a hipotenusa e

\overline{A C}

\overline{A B}

são os catetos.

Elementos de um triângulo retângulo

Considere os triângulos retângulos á bê cê e a linha bê linha cê linha.

Figura geométrica. Triângulo retângulo lilás ABC, reto no vértice A. Segmento de reta tracejado do vértice A ao ponto H maiúsculo, pertencente ao lado BC do triângulo, com o ângulo reto e a medida de comprimento h minúsculo indicados. A medida de comprimento de BH é n e a de HC é m. As medidas de comprimento dos lados são: de AB, c minúsculo; de AC, b minúsculo; e de BC, a minúsculo.

Figura geométrica. Triângulo retângulo amarelo A linha B linha C linha, reto no vértice A linha. Segmento de reta tracejado do vértice A linha ao ponto H maiúsculo linha, pertencente ao lado B linha C linha do triângulo, com o ângulo reto e a medida de comprimento h minúsculo linha indicados. A medida de comprimento de B linha H linha é n linha e a de H linha C linha é m linha. As medidas de comprimento dos lados são: de A linha B linha, c minúsculo linha; de A linha C linha, b minúsculo linha; e de B linha C linha, a minúsculo linha.

Representamos por letras minúsculas as medidas de comprimento dos segmentos de reta dos triângulos.

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Assim:

• para o triânguloá bê cê, temos:

BC, igual, a, seta indicando, medida de comprimento da hipotenusa. Abaixo, sentença matemática, AC, igual, b. Abaixo, sentença matemática, AB, igual, c. Fio saindo dessas duas sentenças matemáticas, seta indicando medidas de comprimentos dos catetos. Abaixo, sentença matemática, AH, igual, h, seta indicando medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa. Abaixo, sentença matemática, HC, igual, m, seta indicando medida de comprimento da projeção ortogonal do segmento de reta AC sobre a hipotenusa. Abaixo, sentença matemática, HB, igual, n, seta indicando medida de comprimento da projeção ortogonal do segmento de reta AB sobre a hipotenusa.

• para o triânguloa linha bê linha cê linha, temos:

B linha C linha, igual, a linha, seta indicando, medida de comprimento da hipotenusa. Abaixo, sentença matemática, A linha C linha, igual, b linha. Abaixo, sentença matemática, A linha B linha, igual, c linha. Fio saindo dessas duas sentenças com seta indicando medidas de comprimentos dos catetos. Abaixo, sentença matemática, A linha H linha , igual, h linha, seta indicando medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa. Abaixo, sentença matemática, H linha C linha , igual, m linha, seta indicando medida de comprimento da projeção ortogonal do segmento de reta A linha C linha sobre a hipotenusa. Abaixo, sentença matemática, H linha B linha , igual, n linha, seta indicando medida de comprimento da projeção ortogonal do segmento de reta A linha B linha sobre a hipotenusa.

Relações métricas no triângulo retângulo

Considere o triângulo retângulo á bê cê.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado ABC, reto no vértice A. Segmento de reta tracejado do vértice A ao ponto H maiúsculo, pertencente ao lado BC do triângulo, com o ângulo reto e a medida de comprimento h minúsculo indicados. A medida de comprimento de BH é n e a de HC é m. As medidas de comprimento dos lados são: de AB, c minúsculo; de AC, b minúsculo; e de BC, a minúsculo.

Traçando a altura

(\overline{A H})

relativa à hipotenusa, podemos destacar três triângulos retângulos: triânguloá bê cê, triânguloagá bê á e triânguloagá á cê.

Vamos mostrar que esses triângulos são semelhantes entre si:

• triânguloá bê cê ∼ triânguloagá bê á

Ilustrações. À esquerda, o triângulo retângulo ABC com o ângulo reto em A. A medida do comprimento do cateto AB está representada por c. A medida do comprimento do cateto AC está representada por b. A medida do comprimento da hipotenusa BC está representada por a. O Ângulo ABC está marcado com um arco e dois traços. O ângulo ABC está marcado com um arco. À direita, triângulo retângulo HBA com reto em H. A medida do comprimento do cateto AH está representada por h. A medida do comprimento do cateto BH, está representada por n. A medida do comprimento da hipotenusa AB está representada por c. O ângulo HAB está marcado com um arco. O ângulo ABH está marcado com um arco e e dois traços.

Observe que

B \hat{A} C ≅ B \hat{H} A

, pois são ângulos retos, e

A \hat{B} C ≅ H \hat{B} A

, pois são ângulos comuns aos dois triângulos.

Então, pelo caso á á, temos: triânguloá bê cê ∼ triânguloagá bê á.

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• triânguloá bê cê ∼ triânguloagá á cê

Esquema. À esquerda, o triângulo retângulo ABC com o ângulo reto em A. A medida do comprimento do cateto AB está representada por c. A medida do comprimento do cateto AC está representada por b. A medida do comprimento da hipotenusa BC está representada por a. O Ângulo ACB está marcado com um arco e um traço.
À direita, triângulo retângulo HAC, com o ângulo reto em H. A medida do comprimento do cateto AH está representada por h. A medida do comprimento do cateto CH, está representada por m. A medida do comprimento da hipotenusa AC está representada por b. O ângulo ACH está marcado com um arco e um traço.

Observe que

B \hat{A} C ≅ A \hat{H} C

, pois são ângulos retos, e

A \hat{C} B ≅ H \hat{C} A

, pois são ângulos comuns aos dois triângulos.

Então, pelo caso á á, temos: triânguloá bê cê ∼ triânguloagá á cê.

Como triânguloá bê cê ∼ triânguloagá bê á e triânguloá bê cê ∼ triânguloagá á cê, podemos afirmar que: triânguloagá bê á ∼ triânguloagá á cê.

Portanto, os triângulos á bê cê, agá bê á e agá á cê são semelhantes entre si.

Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa determina dois outros triângulos retângulos semelhantes entre si e também ao triângulo dado.

Em triângulos semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais. Assim, podemos escrever as seguintes proporções em relação aos pares de triângulos:

• triânguloá bê cê e triânguloagá bê á

Ilustração. Triângulo retângulo ABC com o ângulo reto em A. A medida do comprimento do cateto AB está representada por c. A medida do comprimento do cateto AC está representada por b. A medida do comprimento da hipotenusa BC está representada por a. O Ângulo ABC está marcado com um arco e dois traços. O ângulo ACB está marcado com um arco e um traço.

Ilustração. Triângulo retângulo HBA, com o ângulo reto em H. A medida do comprimento do cateto AH está representada por h. A medida do comprimento do cateto HB, está representada por n. A medida do comprimento da hipotenusa AB está representada por c. O ângulo HAB está marcado com um arco e um traço. O ângulo ABH está marcado com um arco e dois traços.

Como triânguloá bê cê ∼ triânguloagá bê á, então:

Esquema. a sobre c é igual a c sobre n, implica que c elevado a 2 é igual a a vezes n. Há um contorno em c elevado a 2 igual a a vezes n.

• triânguloá bê cê e triânguloagá á cê

Ilustração. Triângulo retângulo HAC com o ângulo H, de 90 graus indicado. A medida do comprimento do cateto AH está representada por h. A medida do comprimento do cateto HC, está representada por m. A medida do comprimento da hipotenusa AC está representada por b. O ângulo ACH está marcado com um arco e um traço. O ângulo HAC está marcado com um arco e dois traços.

Como triânguloá bê cê ∼ triânguloagá á cê, então:

Esquema. a sobre b é igual a b sobre m, implica que b elevado a 2 é igual a a vezes m. Há um contorno em b elevado a 2 é igual a a vezes m.

O quadrado das medidas de comprimento de cada um dos catetos é igual ao produto da medida de comprimento da hipotenusa pela medida de comprimento da projeção ortogonal do cateto considerado sobre a hipotenusa.

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• triânguloagá bê á e triânguloagá á cê

Ilustração. Triângulo retângulo HAC com o ângulo reto em H. A medida do comprimento do cateto AH está representada por h. A medida do comprimento do cateto HC, está representada por m. A medida do comprimento da hipotenusa AC está representada por b. O ângulo HCA está marcado com um arco e um traço. O ângulo HAC está marcado com um arco e dois traços.

Como triânguloagá bê á ∼ triânguloagá á cê, então:

Esquema. n sobre h é igual a h sobre m, implica que h elevado a 2 é igual a m vezes n. Há um contorno na expressão h elevado a 2 é igual a m vezes n.

O quadrado da medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas de comprimento das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

• triânguloá bê cê e triânguloagá ahC

Como triânguloá bê cê ∼ triânguloagá ahC, então:

Esquema. a sobre b é igual a c sobre h, implica que b vezes c é igual a, a vezes h
Há um contorno na expressão 'b vezes c é igual a, a vezes h'.

O produto das medidas de comprimento dos catetos é igual ao produto da medida de comprimento da hipotenusa pela medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa.

Analise como podemos aplicar algumas relações métricas no triângulo retângulo.

a) O comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo á bê cê mede 52 centímetros, e o comprimento da projeção ortogonal do maior cateto sobre ela mede 37 centímetros. Vamos determinar a medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC com o ângulo A de 90 graus indicado. A medida do comprimento do cateto AB está representada por c. A medida do comprimento do cateto AC está representada por b. A medida do comprimento da hipotenusa BC está representada por a igual a 52. Segmento de reta tracejado do vértice A ao ponto H, pertencente à hipotenusa BC. O segmento é perpendicular à BC. A medida do comprimento de AH está representada por h. As medida do comprimento do segmento BH está representada por n e a do segmento HC por m igual a 37

m + n = a ⇒ n = a ‒ m

Substituindo os valores dados:

n = 52 ‒ 37 = 15

Pela relação métrica helevado a 2 = m ⋅ n, temos:

helevado a 2 = 37 ⋅ 15 = 555

Como h > 0, temos:

h = \sqrt{555} ≃ 23, 6

Portanto, o comprimento da altura relativa à hipotenusa mede aproximadamente 23,6 centímetros.

b) Vamos determinar a medida de comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo á bê cê em que o comprimento do cateto

\overline{A C}

mede 24 centímetros, e o comprimento da sua projeção ortogonal sobre a hipotenusa (

\overline{H C}

), 13 centímetros.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC com o ângulo A de 90 graus indicado. A medida do comprimento do cateto AC está representada por b, igual a 24. A medida do comprimento da hipotenusa BC está representada por a. Segmento de reta tracejado, do vértice A ao ponto H pertencente à hipotenusa BC. AH é perpendicular à BC. A medida do comprimento do segmento HC está representada por m, igual a 13.

Considerando os dados apresentados, temos:

belevado a 2 = a ⋅ m

576 = a ⋅ 13

a = \frac{576}{13} = 44, 3

Portanto, o comprimento da hipotenusa

\overline{B C}

mede aproximadamente 44,3 centímetros.

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3 Teorema de Pitágoras e aplicações

Na figura a seguir, representamos o triângulo retângulo á bê cê, cujos lados medem 3 u, 4 u e 5 u de comprimento, sendo u a unidade de medida de comprimento, e três quadrados construídos sobre cada um dos lados do triângulo.

Figura geométrica. Triângulo retângulo lilás ABC. O lado AC mede 3 unidades de comprimento, o lado AB mede 4 unidades de comprimento e o lado BC mede 5 unidades de comprimento. Estão representados 3 quadrados, sendo que cada um deles tem um de seus lados comum a cada lado do triângulo. Assim, há um quadrado amarelo com lado AC e, portanto, medindo 3 unidades de comprimento; um quadrado verde com lado AB e, portanto, medindo 4 unidades de comprimento e um quadrado azul com lado CB e, portanto, medindo 5 unidades de comprimento. O quadrado amarelo é formado por 9 quadradinhos, o verde por 16 e o azul por 25. Estão indicadas cotas para a medida de uma unidade de comprimento.

Esses quadrados estão divididos em quadradinhos com lados de medida uma unidade de comprimento, ou seja, cada um desses quadradinhos tem área medindo uma u². Portanto:

• a área do quadrado amarelo mede 9 unidadeselevado a 2;

• a área do quadrado verde mede 16 unidadeselevado a 2;

• a área do quadrado azul mede 25 unidadeselevado a 2.

Observe que a medida da área do quadrado azul corresponde à soma das medidas de área dos outros dois quadrados, pois:

25 unidadeselevado a 2 = 16 unidadeselevado a 2 + 9 unidadeselevado a 2

Associando essa relação às medidas de comprimento dos lados do triângulo á bê cê, temos:

25 unidadeselevado a 2 = 16 unidadeselevado a 2 + 9 unidadeselevado a 2 ⇒ (5 unidades)elevado a 2 = (4 unidades)elevado a 2 + (3 unidades)elevado a 2

Observe que o quadrado da medida de comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas de comprimento dos catetos.

Será que essa relação é válida para todos os triângulos retângulos? Vamos verificar!

Considere um triângulo retângulo á bê cê qualquer.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado ABC com ângulo reto em A. Segmento de reta tracejado do vértice A ao ponto H, pertencente ao lado BC do triângulo com o ângulo reto indicado. A medida de comprimento de BH está representada por n. A medida de comprimento de HC está representada por m. A medida de comprimento do lado AB está representada por c, a medida de comprimento do lado AC está representada por b, a medida de comprimento do lado AC está representada por a.

Temos que:

bêelevado a 2 = a ⋅ m e cêelevado a 2 = a ⋅ n

Adicionando as sentenças membro a membro, obtemos:

belevado a 2 + celevado a 2 = am + an

Esquema. b ao quadrado mais c ao quadrado é igual a, a, abre parêntese, m mais n, fecha parêntese. Fio alaranjado abaixo de m mais n indicando ‘m mais n é igual a a’.

belevado a 2 + celevado a 2 = a ⋅ a

belevado a 2 + celevado a 2 = aelevado a 2

Esquema. Portanto, um quadro com a expressão matemática 'a ao quadrado igual a b ao quadrado mais c ao quadrado.'

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Assim, concluímos que:

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida de comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas de comprimento dos catetos.

Essa é a relação métrica no triângulo retângulo mais conhecida, denominada teorema de Pitágoras.

Vamos realizar outra demonstração do teorema de Pitágoras. Podemos comparar as medidas de área de figuras geométricas. Para isso, considere o triângulo retângulo á bê cê a seguir.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado ABC. A medida de comprimento do lado AB está representada por c, a medida de comprimento do lado AC está representada por b, a medida de comprimento do lado BC está representada por a.

Precisamos demonstrar que aelevado a 2 = belevado a 2 + celevado a 2.

Isso será feito com base nas seguintes figuras.

Figura geométrica. Quadrado DEFG de lado a, interno ao quadrado HIJK de lado c mais b. Cada um dos vértices do quadrado interno pertence a um lado do quadrado externo. Quatro triângulos retângulos formados: DEH de lados a, b e c, EFI de lados a, b e c, FGJ de lados a, b e c, GDK de lados a, b e c.

Figura geométrica. Quadrado QRST de lado b mais c, formado pelo quadrado MQNU de lado b, o quadrado PUOS de lado c, o retângulo UNRO, de lados b e c, o retângulo MUPT de lados b e c. Os retângulos são formados por triângulos retângulos de de lados a, b e c.

Os quadrados agá í jóta cá e kê érre ésse tê têm a mesma medida de área, pois seus lados têm a mesma medida de comprimento (b + c):

• a medida de área do quadrado agá í jóta cá é igual à soma da medida de área do quadrado dê é éfe gê e das medidas de área dos quatro triângulos, ou seja:

Sentença matemática. a ao quadrado mais 4 vezes fração com numerador b vezes c e denominador 2. À direita, um em algarismo romano, em destaque.

• a medida de área do quadrado kê érre ésse tê é igual à soma da medida de área do quadrado kê êne ú ême, da medida de área do quadrado ú ó ésse pê e das medidas de área dos quatro triângulos, ou seja:

Sentença matemática. b ao quadrado mais c ao quadrado mais 4, vezes, fração com numerador b vezes c, e denominador 2. À direita, dois em algarismos romanos, em destaque.

Como as medidas de área dos quadrados agá í jóta cá e kê érre ésse tê são iguais, podemos igualar

Símbolo. Um, em algarismo romano, em destaque.

Símbolo. Dois, em algarismos romanos, em destaque.

a^{2} + 4 \cdot \frac{b \cdot c}{2} = b^{2} + c^{2} + 4 \cdot \frac{b \cdot c}{2}

Subtraindo

4 \cdot \frac{b \cdot c}{2}

dos dois membros, temos:

aelevado a 2 = belevado a 2 + celevado a 2

Assim, demonstramos o teorema de Pitágoras.

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Agora, vamos analisar um exemplo da aplicação do teorema de Pitágoras para determinar as medidas de comprimento desconhecidas de um triângulo retângulo.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC, o ângulo B, de 90 graus está indicado. A medida de comprimento do cateto AB está representada por c. A medida de comprimento do cateto BC está representada por b. A medida de comprimento da hipotenusa AC é 20.

O comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo á bê cê mede 20 centímetros, e a razão entre as medidas de comprimento dos catetos é

\frac{3}{4}

. Vamos determinar as medidas de comprimento b e c, respectivamente, dos catetos

\overline{B C}

\overline{B A}

Pelo teorema de Pitágoras, temos: 20elevado a 2 = belevado a 2 + celevado a 2 ⇒ 400 = belevado a 2 + celevado a 2

De acôrdo com o enunciado, sabemos que:

\frac{b}{c} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{9}{16} \Rightarrow b^{2} = \frac{9}{16} c^{2}

Substituindo

, obtemos:

Esquema. 9 16 avos de c ao quadrado, mais, c ao quadrado é igual a 400, implica que, fração com numerador 9 c ao quadrado, mais 16 c ao quadrado, e denominador 16, é igual a 400, implica que, 25 16 avos de c ao quadrado, é igual a 400, implica que, c ao quadrado, é igual a 256, implica que c é igual a 16. Cota, c maior que 0, sobre o último sinal ‘implica’.

Como c = 16, então:

\frac{b}{c} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{b}{16} = \frac{3}{4} \Rightarrow b = 12

Portanto, os catetos medem 12 centímetros e 16 centímetros de comprimento.

Um pouco de história

Pitágoras

Pitágoras (aproximadamente 580 antes de Cristo-500 antes de Cristo) fundou a Escola Pitagórica, em Crotona (colônia grega situada ao sul da Itália), que constituía um centro de estudos de Matemática, Filosofia e Ciências Naturais. Como os ensinamentos eram orais e era costume atribuir todas as descobertas ao fundador da escola, várias delas foram atribuídas a Pitágoras, embora não se saiba ao certo se realmente foram realizadas por ele ou por outros membros do grupo.

Ilustração. Caricatura de um homem com barba e vestimentas que remetem à Grécia antiga, com um braço apoiado em uma coluna e tem na outra mão um papel com uma marcação de dobra — Caricatura do filósofo e matemático grego Pitágoras.

Pitágoras é lembrado até hoje, principalmente pelo teorema que leva seu nome e estabelece uma relação entre as medidas de comprimento dos lados de um triângulo retângulo. Sabe-se, atualmente, que os babilônios, mais de um milênio antes de Pitágoras, já tinham conhecimento de tal relação para casos particulares, porém sua primeira demonstração póde ter sido dada por Pitágoras. Hoje são conhecidas cêrca de 370 demonstrações desse teorema.

Fotografia. Imagem de uma descrição ao redor de um desenho com 3 quadrados conectados formando um triângulo retângulo. — O teorema de Pitágoras em uma tradução árabe da obra Os elementos, de Euclides.

Atividades

a) Identifique alguma superfície que se pareça com um triângulo retângulo em sua sala de aula ou em casa e verifique a validade do teorema de Pitágoras.

Em grupo, pesquise outro modo de verificar ou demonstrar o teorema de Pitágoras.

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Tecnologias digitais em foco

Verificando a validade do teorema de Pitágoras

Nesta seção, utilizaremos o GeoGebra, ou outro software de geometria dinâmica que seu professor indicar, para construir um triângulo e três quadrados sobre os lados desse triângulo e para comparar a medida de área do quadrado maior com a soma das medidas de área dos quadrados menores.

Construa

Siga os passos a seguir para construir um triângulo e três quadrados sobre os lados dele.

1º) Construa um triângulo á bê cê qualquer.

2º) Sobre o lado

\overline{A B}

, construa o quadrado á bê dê é externo ao triângulo.

3º) Da mesma maneira, construa o quadrado BCFG sobre o lado

\overline{B C}

e o quadrado á cê í agá sobre o lado

\overline{A C}

Captura de tela. Tela do software GeoGebra. À direita, a construção do triângulo ABC e a partir de cada lado do triângulo foi construído um quadrado. Nas opções na parte superior há um botão com ícone de botão selecionado e, entre as opções, a ferramenta Polígono regular selecionada.

Explore

a) Meça as aberturas dos três ângulos internos do triângulo á bê cê e, usando a ferramenta

Ilustração. Quadrado com ícone de polígono dentro e acima escrito "centímetro quadrado".

, determine as medidas de área dos quadrados á bê dê é, BCFG e á cê í agá. Movimente os vértices do triângulo construído de modo a obter um triângulo acutângulo. Compare a medida de área do quadrado maior com a soma das medidas de área dos quadrados menores. O que você observa?

b) Movimente, agora, os vértices do triângulo de modo a obter um triângulo obtusângulo. Compare a medida de área do quadrado maior com a soma das medidas de área dos quadrados menores. O que você observa?

c) Desta vez, movimente os vértices do triângulo de modo a obter um triângulo retângulo. Compare a medida de área do quadrado maior com a soma das medidas de área dos quadrados menores. O que você observa?

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

3. Determine o valor de x nos triângulos retângulos.

Figura geométrica. Triângulo retângulo roxo. A hipotenusa tem como medida de comprimento 15 mais 5. A altura em relação à hipotenusa tem como medida de comprimento x.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul cujos catetos tem como medidas de comprimento 30 e 40. A altura em relação à hipotenusa tem como medida de comprimento x.

Figura geométrica. Triângulo retângulo roxo. A hipotenusa tem como medida de comprimento 18. A altura traçada em relação à hipotenusa forma o triângulo retângulo de cateto 8 (pertencente à hipotenusa do triângulo maior) e hipotenusa x.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado. A medida de comprimento dos catetos são x e 6. A medida de comprimento da hipotenusa é raiz quadrada de 38.

4. Determine os valores de x, y e z.

Figura geométrica. Figura geométrica composta por 3 triângulos retângulos. No primeiro triângulo retângulo os catetos tem medidas de comprimento 8 e x e a hipotenusa tem medida de comprimento de 16. A partir do cateto de medida de comprimento x, o segundo triângulo retângulo cujos catetos tem medidas de comprimento x e 12 e a hipotenusa tem medida de comprimento y. A partir da hipotenusa do segundo triângulo, o terceiro triângulo retângulo, cujos catetos tem medidas de comprimento 4 e z e a hipotenusa tem como medida de comprimento z.

5. Em um triângulo retângulo, o comprimento da hipotenusa mede 40 métros, e o comprimento da altura relativa a ela, 19,2 métros. Calcule as medidas de comprimento dos catetos.

6. O comprimento de uma escada mede 4 métros e tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro. A outra extremidade dista 2,4 métros da base do muro. Determine a medida da altura do muro.

7. Em um trapézio retângulo, as bases medem 16 centímetros e 4 centímetros de comprimento, respectivamente. O comprimento do maior lado não paralelo mede 13 centímetros. Quanto mede o perímetro do trapézio?

8. Determine as medidas de comprimento dos catetos e da hipotenusa deste triângulo retângulo, em metro.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul. As medidas de comprimento dos catetos são x e x mais 7. A medida de comprimento da hipotenusa é x mais 14.

9. O comprimento da hipotenusa de um triângulo mede 40 centímetros, e a razão entre as medidas de comprimento dos catetos é

\frac{3}{4}

Calcule as medidas de comprimento dos catetos.

10. Neste triângulo retângulo, b é o dôbro de c. Determine

\frac{m}{n}

11. Qual é a razão entre as medidas de comprimento da hipotenusa e de um cateto de um triângulo retângulo isósceles?

12. Uma empresa foi encarregada de construir uma piscina em um terreno. Como o terreno tinha formato irregular, só foi possível construir uma piscina com formato parecido com um triângulo com as seguintes características:

m e d (\hat{A}) = 2 \cdot m e d (\hat{B}), a = 2 \sqrt{3} m

e b = 2 métros. Determine

m e d (\hat{A}), m e d (\hat{B})

e c.

Ilustração. Piscina no formato de um triângulo retângulo. Os ângulos agudos A e B estão indicados, assim como o ângulo reto. A medida de comprimento da hipotenusa está representada por c. A medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo A está representada por a minúsculo. A medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo B está representada por b minúsculo.

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Aplicações do teorema de Pitágoras

Agora, vamos estudar duas importantes aplicações do teorema de Pitágoras: uma no quadrado e outra no triângulo equilátero.

Diagonal de um quadrado

Considere este quadrado a bê cê dê, em que:

• a é a medida de comprimento do lado;

• d é a medida de comprimento da diagonal.

Figura geométrica. Quadrado ABCD de lado a e diagonal d.

Observe que a diagonal

\overline{B D}

divide o quadrado a bê cê dê em dois triângulos retângulos congruentes (triângulobê á dê ≅ triângulobê cê dê).

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo BCD, obtemos:

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC, cujos catetos tem como medida de comprimento a e a hipotenusa tem como medida de comprimento d.

(BD )elevado a 2 = (CD )elevado a 2 + (BC )elevado a 2

delevado a 2 = aelevado a 2 + aelevado a 2

delevado a 2 = 2aelevado a 2

Como d > 0 e a > 0, temos:

d = a

\sqrt{2}

Portanto, em um quadrado com lados de medida de comprimento x, a medida de comprimento da diagonal é x

\sqrt{2}

Altura de um triângulo equilátero

Considere este triângulo equilátero á bê cê, em que:

• a é a medida de comprimento do lado;

• h é a medida de comprimento da altura.

Figura geométrica. Triângulo equilátero ABC de lado a e altura h. Ponto H maiúsculo divide o lado BC em dois segmentos de reta com mesma medida de comprimento igual a a sobre 2.

Observe que a altura

\overline{A H}

divide o triângulo equilátero á bê cê em dois triângulos retângulos congruentes (triânguloá bê agá ≅ triânguloá cê agá).

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo á cê agá, obtemos:

Figura geométrica. Triângulo retângulo ACH. A medida de comprimento do cateto AH é h. A medida de comprimento do cateto HC é a sobre 2. A medida de comprimento da hipotenusa AC é a.

(AC )elevado a 2 = (AH )elevado a 2 + (CH )elevado a 2

a^{2} = h^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} \Rightarrow a^{2} = h^{2} + \frac{a^{2}}{4} \Rightarrow

\Rightarrow h^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} \Rightarrow h^{2} = \frac{3 a^{2}}{4} \overset{h > 0}{\Rightarrow}

\Rightarrow h = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4}} \overset{a > 0}{\Rightarrow}

h =

\frac{a \sqrt{3}}{2}

Portanto, em um triângulo equilátero com lados de medida de comprimento x, a medida de comprimento da altura é

\frac{x \sqrt{3}}{2}

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

13. Determine a medida de comprimento da diagonal de um quadrado cujos lados medem 17 centímetros de comprimento.

14. Determine a medida de comprimento da diagonal de um quadrado com 400 centímetroselevado a 2 de medida de área.

15. O comprimento da diagonal de um quadrado mede 10 centímetros. Determine a medida de comprimento do lado desse quadrado.

16. Qual é a medida de comprimento da diagonal de um quadrado cujo perímetro mede 10

\sqrt{2}

centímetros?

17. Qual é a medida de comprimento da diagonal de um retângulo cuja medida de comprimento x da altura tem um terço da medida de comprimento da base?

18. Determine a medida de comprimento da altura de um triângulo equilátero cujo comprimento do lado mede 8 centímetros.

19. O perímetro de um triângulo equilátero mede 12 centímetros. Determine a medida de comprimento da altura desse triângulo.

20. Quanto mede o perímetro de um triângulo equilátero cujo comprimento da altura mede 4

\sqrt{5}

centímetros?

21. Mostre que a área do quadrado ê éfe gê agá mede (b ‒ c)elevado a 2.

Figura geométrica. Quadrado ABCD de lado a, interno ao quadrado ABCD, o quadrado HEFG formado pelos triângulos retângulos GAB, FBD, EDC e HCA, cujos catetos tem como medidas de comprimento b e c e a hipotenusa tem como medida de comprimento a.

22. Observe o paralelepípedo reto-retângulo representado e calcule a medida de comprimento dos segmentos de reta

\overline{E G} e \overline{E C}

Esquema. Paralelepípedo de vértices ABCDEFGH. As diagonais do paralelepípedo formam o triângulo retângulo ECG de catetos CG e EG e hipotenusa EC. Cota horizontal, 2 vírgula 4 metros. Cota vertical de 1 metro. Cota diagonal de 1 vírgula 8 metros.

23.

Cada aresta deste cubo mede 2 centímetros de comprimento. Observe-o e faça o que se pede.

Figura geométrica. Cubo verde de vértices ABCDEFGH.

• No caderno, elabore duas questões relacionadas com a figura, sendo que pelo menos uma possa ser respondida utilizando o teorema de Pitágoras.

• Troque de caderno com um colega e responda às questões elaboradas por ele.

• Analise a resposta do colega e dê um retorno a ele, dizendo o que respondeu corretamente e em que pontos ele se equivocou.

4 Razões trigonométricas no triângulo retângulo

A palavra trigonometria vem do grego trígono, que significa “triangular”, e metria, que significa “medida”.

Entre os povos antigos, a Trigonometria surgiu como elemento de apôio na solução de problemas práticos de astronomia, agrimensura e navegação.

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Hiparco (190 antes de Cristo-125 antes de Cristo) – astrônomo grego famoso por ter catalogado aproximadamente .1000 estrelas e calculado a medida da distância da Terra à Lua com erro inferior a 10% – teria sido o primeiro a utilizar as relações entre as medidas de comprimento dos lados e de abertura dos ângulos de um triângulo. É considerado o precursor da Trigonometria.

Atualmente, a Trigonometria tem vasta aplicação na topografia, na aviação e nos diversos ramos da engenharia.

Seno de um ângulo agudo

Considere os triângulos retângulos ABC, ABindice de 1Cindice de 1, ABindice de 2Cindice de 2 e ABindice de 3Cindice de 3.

Esquema. Triângulo retângulo ABC de catetos AB e BC, hipotenusa AC e ângulo agudo alfa. Triângulo retângulo AB1C1 de catetos AB1 e BC1, hipotenusa AC1 e ângulo agudo alfa. Triângulo retângulo AB2C2 de catetos AB2 e B2C2, hipotenusa AC2 e ângulo agudo alfa. Triângulo retângulo AB3C3 de catetos AB3 e B3C3, hipotenusa AC3 e ângulo agudo alfa. Todos os triângulos retângulos compartilham o mesmo vértice A. Seta indicando o texto ‘os pontos C1, C2 e C3 estão localizados no prolongamento de segmento de reta AC.’ Seta indicando o texto ‘os pontos B1, B2 e B3 estão localizados no prolongamento de segmento de reta AB.’

Os triângulos retângulos ABindice de 1Cindice de 1, ABindice de 2Cindice de 2 e ABindice de 3Cindice de 3 são semelhantes ao triângulo á bê cê, pois têm em comum o ângulo

\hat{A}

e o ângulo reto (caso á á). Assim, podemos escrever:

• triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 1Cindice de 1

\frac{A C}{A C_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C_{1}}

• triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 2Cindice de 2

\frac{A C}{A C_{2}} = \frac{B C}{B_{2} C_{2}}

• triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 3Cindice de 3

\frac{A C}{A C_{3}} = \frac{B C}{B_{3} C_{3}}

A partir disso, temos:

•

\frac{B_{1} C_{1}}{A C_{1}} = \frac{B C}{A C_{}}

•

\frac{B_{2} C_{2}}{A C_{2}} = \frac{B C}{A C}

•

\frac{B_{3} C_{3}}{A C_{3}} = \frac{B C}{A C}

Observe que:

\frac{B_{1} C_{1}}{A C_{1}} = \frac{B_{2} C_{2}}{A C_{2}} = \frac{B_{3} C_{3}}{A C_{3}} = \frac{B C}{A C} = \frac{m e d i d a d e c o m p r i m e n t o d o c a t e t o o p o s t o a o â n g u l o \hat{A}}{m e d i d a d e c o m p r i m e n t o d a h i p o t e n u s a}

Podemos traçar infinitos triângulos retângulos semelhantes ao triângulo á bê cê, com vértice a e lado oposto ao vértice A formado por segmento de reta paralelo a

\overline{B C}

com vértices situados nos prologamentos de

\overline{A B} e \overline{A C}

A razão que relaciona a medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo

\hat{A}

com a medida de comprimento da hipotenusa, em todos esses triângulos, é constante e recebe o nome de seno do ângulo de medida de abertura a. Assim:

Esquema. Seno de a, é igual a, fração com numerador 'medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo de medida de abertura a' e denominador 'medida de comprimento da hipotenusa.' Fio alaranjado saindo de seno de a, indicando o texto 'seno do ângulo de medida de abertura a; lemos: seno de a.

Em todo triângulo retângulo, denominamos seno de um ângulo agudo a razão entre a medida de comprimento do cateto oposto a esse ângulo e à medida de comprimento da hipotenusa.

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Confira mais um exemplo.

Vamos calcular o seno do ângulo

\hat{A}

no triângulo retângulo á bê cê.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC, de catetos BC com medida de comprimento 6 e BA com medida de comprimento 8 e hipotenusa CA com medida de comprimento 10.

Esquema. Seno de a, é igual a, BC, sobre AC, é igual a, 6 décimos, é igual a, 3 quintos. Seta alaranjada indicando BC com legenda "medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo A." Seta alaranjada indicando AC com legenda "medida de comprimento da hipotenusa."

Cosseno de um ângulo agudo

Considere os triângulos retângulos á bê cê, abitindice de 1centésimoindice de 1, abitindice de 2centésimoindice de 2 e abitindice de 3centésimoindice de 3, já apresentados.

Esquema. Triângulo retângulo ABC de catetos AB e BC, hipotenusa AC e ângulo agudo a. Triângulo retângulo AB1C1 de catetos AB1 e BC1, hipotenusa AC1 e ângulo agudo a. Triângulo retângulo AB2C2 de catetos AB2 e B2C2, hipotenusa AC2 e ângulo agudo a. Triângulo retângulo AB3C3 de catetos AB3 e B3C3, hipotenusa AC3 e ângulo agudo a. Todos os triângulos retângulos compartilham o mesmo vértice A.

triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 1Cindice de 1

triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 2Cindice de 2

triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 3Cindice de 3

Assim, podemos escrever:

•

\frac{A C}{A C_{1}} = \frac{A B}{A B_{1}}

•

\frac{A C}{A C_{2}} = \frac{A B}{A B_{2}}

•

\frac{A C}{A C_{3}} = \frac{A B}{A B_{3}}

A partir disso, temos:

•

\frac{A B_{1}}{A C_{1}} = \frac{A B}{A C}

•

\frac{A B_{2}}{A C_{2}} = \frac{A B}{A C}

•

\frac{A B_{3}}{A C_{3}} = \frac{A B}{A C}

Observe que:

\frac{A B_{1}}{A C_{1}} = \frac{A B_{2}}{A C_{2}} = \frac{A B_{3}}{A C_{3}} = \frac{A B}{A C} = \frac{medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo \hat{A}}{medida de comprimento da hipotenusa}

A razão que relaciona a medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo

\hat{A}

com a medida de comprimento da hipotenusa, em todos esses triângulos, é constante e recebe o nome de cosseno do ângulo de medida de abertura a. Assim:

Esquema. Cosseno de a, é igual a, medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo de medida de abertura a, sobre, medida de comprimento da hipotenusa. Fio alaranjado saindo de cosseno de a, indicando o texto ‘cosseno do ângulo de medida de abertura a; lemos: 'cosseno’ de a.

Em todo triângulo retângulo, denominamos cosseno de um ângulo agudo a razão entre a medida de comprimento do cateto adjacente a esse ângulo e à medida de comprimento da hipotenusa.

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Analise mais alguns exemplos.

a) Vamos calcular o cosseno do ângulo

\hat{A}

no triângulo retângulo á bê cê.

Esquema. cosseno de a, é igual a, AB, sobre AC, é igual a, 8 décimos, é igual a, 4 quintos. Seta alaranjada indicando AB como medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo A. Seta alaranjada indicando AC como medida de comprimento da hipotenusa

b) Vamos determinar o cosseno do ângulo

\hat{M}

no triângulo retângulo ême êne ó.

Figura geométrica Triângulo retângulo MNO, de cateto MN com medida de comprimento 2 raiz quadrada de 2, hipotenusa MO com medida de comprimento 5 raiz quadrada de 2, sobre 2 e ângulo alfa no vértice M.

Esquema. cosseno de alfa, é igual a, 2 raiz quadrada de 2, sobre, início da fração 5 raiz quadrada de 2,sobre 2, fim da fração, é igual a, 4 quintos. Seta alaranjada indicando 2 raiz quadrada de 2 como medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo M. Seta alaranjada indicando 5 raiz quadrada de 2,sobre 2 como medida de comprimento da hipotenusa.

Tangente de um ângulo agudo

Considere, mais uma vez, os triângulos retângulos ABC, AB₁C₁, ABindice de 2Cindice de 2 e ABindice de 3Cindice de 3, já apresentados.

Esquema. Triângulo retângulo ABC de catetos AB e BC, hipotenusa AC e ângulo agudo a. Triângulo retângulo AB1C1 de catetos AB1 e B1C1, hipotenusa AC1 e ângulo agudo a. Triângulo retângulo AB2C2 de catetos AB2 e B2C2, hipotenusa AC2 e ângulo agudo a. Triângulo retângulo AB3C3 de catetos AB3 e B3C3, hipotenusa AC3 e ângulo agudo a. Todos os triângulos retângulos compartilham o mesmo vértice A.

triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 1Cindice de 1

triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 2Cindice de 2

triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 3Cindice de 3

Assim, podemos escrever:

•

\frac{A B}{A B_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C_{1}}

•

\frac{A B}{A B_{2}} = \frac{B C}{B_{2} C_{2}}

•

\frac{A B}{A B_{3}} = \frac{B C}{B_{3} C_{3}}

A partir disso, temos:

•

\frac{B_{1} C_{1}}{A B_{1}} = \frac{B C}{A B}

•

\frac{B_{2} C_{2}}{A B_{2}} = \frac{B C}{A B}

•

\frac{B_{3} C_{3}}{A B_{3}} = \frac{B C}{A B}

Observe que:

\frac{B_{1} C_{1}}{A B_{1}} = \frac{B_{2} C_{2}}{A B_{2}} = \frac{B_{3} C_{3}}{A B_{3}} = \frac{B C}{A B} = \frac{medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo \hat{A}}{medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo \hat{A}}

A razão que relaciona a medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo

\hat{A}

com a medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo

\hat{A}

, em todos esses triângulos, é constante e recebe o nome de tangente do ângulo de medida de abertura a. Assim:

Esquema. Tangente de a, é igual à, medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo de medida de abertura a, sobre, medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo de medida de abertura a.
Fio alaranjado saindo de tangente de a, indicando , tangente do ângulo de medida de abertura a, ponto e vírgula, lemos, dois pontos, tangente de a.

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Em todo triângulo retângulo, denominamos tangente de um ângulo agudo a razão entre a medida de comprimento do cateto oposto a esse ângulo e à medida de comprimento do cateto adjacente a esse ângulo.

Verifique mais alguns exemplos.

a) Vamos calcular a tangente do ângulo

\hat{A}

no triângulo retângulo á bê cê.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC, de catetos BC com medida de comprimento 6, BA com medida de comprimento 8 e hipotenusa CA com medida de comprimento 10.

Esquema. Tangente de a, é igual a, BC, sobre AB, é igual a, 6 oitavos, é igual a, 3 quartos.
Seta alaranjada indicando BC como medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo A.
Seta alaranjada indicando AB como medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo A.

b) Com base no triângulo retângulo á bê cê, vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos

\hat{B} e \hat{C}

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC de catetos BA de medida de comprimento 12 e AC de medida de comprimento 9 e hipotenusa BC de medida de comprimento 15 e ângulos b e c indicados.

•

s e n b = \frac{A C}{B C} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}

•

cos b = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}

•

t g b = \frac{A C}{A B} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}

•

s e n c = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}

•

cos c = \frac{A C}{B C} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}

•

t g c = \frac{A B}{A C} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}

A tangente de um ângulo agudo também póde ser obtida como a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo. Dado um triângulo á bê cê qualquer, temos:

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC, sendo A o ângulo reto e b o ângulo A B C.

• seno de b =

\frac{A C}{B C}

⇒ AC = BC ⋅ seno de b

• cosseno de b =

\frac{A B}{B C}

⇒ AB = BC ⋅ cosseno de b

Como

t g b = \frac{A C}{A B}

, temos:

Esquema. Tangente de b, é igual a, AC sobre AB, é igual a BC vezes seno de b, sobre, BC vezes cosseno de b. BC do numerador e do denominador estão cortados. Um fio alaranjado relaciona AC à BC vezes seno de b e outro fio alaranjado relacionando AB com BC vezes cosseno de b. Igual a Seno de b, sobre cosseno de b, implica que, tangente de b, é igual a, seno de b, sobre, cosseno de b, sendo esta última equação em destaque com contorno alaranjado.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

24. Determine as razões trigonométricas solicitadas em cada item.

a) seno de c, cosseno de b, tangente de b;

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul, ABC com ângulo reto em A e outros ângulos com medidas de abertura de b e c. A medida de comprimento do cateto AC é 5 e do cateto AB é 12 e a medida de comprimento da hipotenusa BC é 13.

b) seno de b, cosseno de b, tangente de c;

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul ABC, com ângulo reto Em A e os outros ângulos com medida de abertura b e c. A medida de comprimento do cateto AB é 1, do cateto AC, raiz quadrada de 2, e da hipotenusa BC, raiz quadrada de 3.

c) seno de b, cosseno de b, tangente de b;

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul ABC com ângulo reto em A e os outros ângulos com medidas de abertura de b e c. A medida de comprimento do cateto AC e do cateto AB é 5 e a medida de comprimento da hipotenusa BC é 5 raiz quadrada de 2.

d) seno de x, cosseno de z, tangente de x;

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado, XYZ com ângulo reto em Y e os outros ângulo com medida de abertura de x e z. A medida de comprimento do cateto XY é 4 e do cateto YZ é 8 e a medida de comprimento da hipotenusa XZ é 4 raiz quadrada de 5.

e) seno de o, cosseno de p, tangente de p;

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado NOP com ângulo reto em N e os outros ângulo com medidas de abertura o e p. A medida de comprimento do cateto NO é 12 e do cateto NP é 16 e a medida de comprimento da hipotenusa OP é 20.

f) seno de r, cosseno de t, tangente de t.

Figura geométrica. Triângulo retângulo RST, com ângulo reto em S e os outros ângulos com medida de abertura r e t. A medida de comprimento do cateto RS é de 1 vírgula 2 e do cateto TS é 1 vírgula 6 e a medida de comprimento da hipotenusa RT é 2.

25. A medida da inclinação de uma rampa corresponde à tangente do ângulo adjacente à base e oposto à altura dessa rampa.

Figura geométrica. Triângulo retângulo marrom, com ângulo reto e um ângulo agudo com medida de abertura beta. As medidas de comprimento dos catetos são: a e h, sendo que h é oposto ao ângulo beta.
Fio alaranjado indicando que beta é a medida de abertura do ângulo de inclinação dessa rampa.

Assim, para calcular a medida da inclinação (tangente de β), devemos dividir a medida da altura da rampa (agá) pela medida do afastamento (a). Caso o resultado encontrado seja menor ou igual a 0,0833 (8,33%), a rampa é segura e segue os padrões de acessibilidade. Esse cálculo é necessário na construção de rampas de acesso para pessoas com deficiência de mobilidade.

Agora, com base nessa informação, responda:

a) Qual deve ser a medida da altura máxima de uma rampa que mede 2,5 métros de afastamento?

b) Qual deve ser a medida mínima de afastamento se uma rampa mede 25 centímetros de altura?

Página 193

As razões trigonométricas dos ângulos de medidas de abertura de 30graus, 45graus e 60graus

Considere o quadrado a bê cê dê e o triângulo equilátero á bê cê a seguir.

Figura geométrica. Quadrado amarelo ABCD de lado a, e diagonal com medida de comprimento de a raiz quadrada de 2. A diagonal do quadrado forma dois triângulos retângulos ACD e ABC, cujos catetos tem medidas de comprimento a e as hipotenusas tem medidas de comprimento a raiz quadrada de 2. Os ângulos DAC, BAC, BCA e DCA têm medidas de abertura de 45 graus.

• medida de comprimento do lado do quadrado a bê cê dê: a

• medida de comprimento da diagonal do quadrado a bê cê dê:

a \sqrt{2}

Figura geométrica. Triângulo equilátero ABC, a medida de abertura dos ângulos internos é 60 graus e a medida de comprimento dos lados é a. A altura traçada do vértice C ao ponto H no lado AB tem medida de comprimento a raiz quadrada de 3, sobre 2, forma dois triângulos retângulos AHC e BHC, cujos catetos têm medidas de comprimento a sobre 2 e a raiz quadrada de 3, sobre 2, e medida de comprimento das hipotenusas, a. Os ângulos ACH e BCH têm medida de abertura de 30 graus. No triângulo AHC, o ângulo A tem medida de abertura de 60 graus. No triângulo BHC, o ângulo B tem medida de abertura de 60 graus.

• medida de comprimento do lado do triângulo equilátero á bê cê: a

• medida de comprimento da altura do triângulo equilátero á bê cê:

\frac{a \sqrt{3}}{2}

As medidas de comprimento das diagonais de um quadrado e das alturas de um triângulo equilátero podem ser determinadas pelo teorema de Pitágoras.

Agora, vamos usar essas figuras para determinar o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos de medidas de abertura de 30graus, 45graus e 60graus.

Seno, cosseno e tangente do ângulo de medida de abertura de 30graus

Observe o triânguloBHC e a aplicação das definições de seno, cosseno e tangente para o ângulo de medida de abertura de 30graus:

Figura geométrica. Triângulo equilátero ABC, a medida de abertura dos ângulos é 60 graus e a medida de comprimento dos lados é a.
A altura traçada do vértice C ao ponto H no lado AB com medida de comprimento a raiz quadrada de 3, fim da fração, sobre 2, forma dois triângulos retângulos AHC e BHC, cujos catetos tem medidas de comprimento a sobre 2 e a raiz quadrada de 3, sobre 2, e medida de comprimento das hipotenusas, a. Os ângulos ACH e BCH têm medida de abertura de 30 graus.
No triângulo AHC, o ângulo A tem medida de abertura de 60 graus.
No triângulo BHC, o ângulo B tem medida de abertura de 60 graus.

s e n 30 ° = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{2}

cos 30 ° = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}

t g 30 ° = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Página 194

Seno, cosseno e tangente do ângulo de medida de abertura de 45graus

Observe o triânguloá bê cê e a aplicação das definições de seno, cosseno e tangente para o ângulo de medida de abertura de 45graus:

s e n 45 ° = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{a \cdot 1}{a \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

cos 45 ° = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{a \cdot 1}{a \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

t g 45 ° = \frac{a}{a} = 1

Seno, cosseno e tangente do ângulo de medida de abertura de 60graus

Observe o triânguloBHC e a aplicação das definições de seno, cosseno e tangente para o ângulo de medida de abertura de 60graus:

s e n 60 ° = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}

cos 60 ° = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{2}

t g 60 ° = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{a} = \sqrt{3}

Ilustração. Mulher branca, cabelo comprido ruivo, vestindo camiseta amarela e calça azul, ela segura um livro nas mãos e diz: Confira os resultados obtidos organizados neste quadro.

x	30°	45°	60°
sen x	$divisão de 1 sobre 2$	$divisão de raiz de 2 fecha raiz sobre 2$	$divisão de raiz de 3 fecha raiz sobre 2$
cos x	$divisão de raiz de 3 fecha raiz sobre 2$	$divisão de raiz de 2 fecha raiz sobre 2$	$divisão de 1 sobre 2$
tg x	$divisão de raiz de 3 fecha raiz sobre 3$	1	$raiz de 3 fecha raiz$

Página 195

Analise mais alguns exemplos.

a) Vamos determinar o valor de x no triângulo retângulo á bê cê.

Figura geométrica. Triângulo retângulo verde ABC com ângulo reto em A e ângulo B com medida de abertura de 30 graus. A medida de comprimento do cateto AC é x e a medida de comprimento da hipotenusa CB é 26.

s e n 30 ° = \frac{A C}{C B}

s e n 30 ° = \frac{x}{26}

x = 26 ⋅ seno de 30graus

x = 26 \cdot \frac{1}{2} = 13

Portanto, o valor de x é 13.

b) Dado o triânguloá bê cê, vamos determinar o valor de y.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado ABC com ângulo reto em A e ângulo B com medida de abertura de 60 graus. A medida de comprimento do cateto AB é y, e a medida de comprimento da hipotenusa BC é 37.

cos 60 ° = \frac{A B}{B C}

cos 60 ° = \frac{y}{37}

y = 37 ⋅ cosseno de 60graus

y = 37 \cdot \frac{1}{2} = 18, 5

Portanto, o valor de y é 18,5.

c) Vamos determinar o valor de z para o triângulo retângulo á bê cê.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC verde, com ângulo reto em A e ângulo B com medida de abertura de 45 graus. As medidas de comprimento dos catetos são: AB, 12, e AC, z.

t g 45 ° = \frac{A C}{A B}

t g 45 ° = \frac{z}{12}

z = 12 ⋅ tangente de 45graus

z = 12 ⋅ 1 = 12

Portanto, o valor de z é 12.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

26. Calcule o valor de x e y nestes triângulos retângulos.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul com ângulo reto e ângulo com medida de abertura de 45 graus. As medidas de comprimento dos catetos são: x (cateto oposto ao ângulo de 45 graus) e 20 e a medida de comprimento da hipotenusa é y.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul com ângulo reto e ângulo com medida de abertura de 60 graus. As medidas de comprimento dos catetos são: x (cateto oposto ao ângulo de 60 graus) e y, e a medida de comprimento da hipotenusa, 100.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul com ângulo reto e ângulo com medida de abertura de 30 graus. As medidas de comprimento dos catetos são: 2 (cateto oposto ao ângulo de 30 graus) e y, e a medida de comprimento da hipotenusa é x.

Página 196

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

27. Determine o valor de m, n, h e x no triângulo retângulo a seguir.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em A. O lado BC tem medida de comprimento x, o lado AB tem medida de comprimento 80.
o ângulo C tem medida de abertura de 30 graus, o ângulo B tem medida de abertura de 60 graus.
Altura h do vértice A ao ponto D no lado BC. Os comprimentos dos segmentos de reta CD e DB são, respectivamente, m e n.

28. Calcule a medida de comprimento do lado

do quadrado a bê cê dê, em metro, e a medida de comprimento da altura

\overline{C H}

do triângulo á bê cê, em centímetro.

Figura geométrica. Quadrado ABCD. A diagonal AC tem medida de comprimento 6 raiz quadrada de 2. A diagonal AC divide o quadrado em dois triângulos retângulos, ABC e ADC, a medida de abertura do ângulo BAC do triângulo ABC é de 45 graus.

Figura geométrica. Triângulo ABC, o lado BC tem medida de comprimento 5 centímetros e o ângulo B têm medida de abertura de 60 graus. Altura do vértice C ao ponto H no lado AB, formando dois triângulos retângulos HBC e HAC. O ângulo HCB do triângulo HBC tem medida de abertura de 30 graus.

29. Determine a medida de comprimento h da altura deste triângulo retângulo.

Figura geométrica. Triângulo retângulo vermelho ACD com a medida de abertura do ângulo A de 30 graus e o ângulo reto em C. A medida de comprimento do lado CD é h. Linha diagonal do vértice D ao lado AC, formando o triângulo ABD e o triângulo retângulo BCD. A medida de comprimento do lado AB é 600 metros e o ângulo DBC do triângulo BCD tem abertura de 45 graus.

Tabela de razões trigonométricas

Na resolução de diversos problemas envolvendo razões trigonométricas, necessitamos dos valores do seno, do cosseno e da tangente de alguns ângulos com medidas de abertura diferentes de 30graus, 45graus e 60graus.

Por exemplo, o que você faria se precisasse do seno de 39graus para resolver um problema? Ou se precisasse do cosseno de 50graus? E da tangente de 81graus?

Por isso, há alguns séculos, matemáticos calcularam e organizaram os valores aproximados do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos agudos cujas medidas de abertura variam de 1grau a 89graus.

Observe a seguir os valores com aproximação de milésimos.

x	sen x	cos x	tg x
1°	0,017	1,000	0,017
2°	0,035	0,999	0,035
3°	0,052	0,999	0,052
4°	0,070	0,998	0,070
5°	0,087	0,996	0,087
6°	0,105	0,995	0,105
7°	0,122	0,993	0,123
8°	0,139	0,990	0,141
9°	0,156	0,988	0,158
10°	0,174	0,985	0,176
11°	0,191	0,982	0,194
12°	0,208	0,978	0,213
13°	0,225	0,974	0,231
14°	0,242	0,970	0,249
15°	0,259	0,966	0,268
16°	0,276	0,961	0,287
17°	0,292	0,956	0,306
18°	0,309	0,951	0,325
19°	0,326	0,946	0,344
20°	0,342	0,940	0,364
21°	0,358	0,934	0,384
22°	0,375	0,927	0,404
23°	0,391	0,921	0,424
24°	0,407	0,914	0,445

Página 197

x	sen x	cos x	tg x
25°	0,423	0,906	0,466
26°	0,438	0,899	0,488
27°	0,454	0,891	0,510
28°	0,469	0,883	0,532
29°	0,485	0,875	0,554
30°	0,500	0,866	0,577
31°	0,515	0,857	0,601
32°	0,530	0,848	0,625
33°	0,545	0,839	0,649
34°	0,559	0,829	0,675
35°	0,574	0,819	0,700
36°	0,588	0,809	0,727
37°	0,602	0,799	0,754
38°	0,616	0,788	0,781
39°	0,629	0,777	0,810
40°	0,643	0,766	0,839
41°	0,656	0,755	0,869
42°	0,669	0,743	0,900
43°	0,682	0,731	0,933
44°	0,695	0,719	0,966
45°	0,707	0,707	1,000
46°	0,719	0,695	1,036
47°	0,731	0,682	1,072
48°	0,743	0,669	1,111
49°	0,755	0,656	1,150
50°	0,766	0,643	1,192
51°	0,777	0,629	1,235
52°	0,788	0,616	1,280
53°	0,799	0,602	1,327
54°	0,809	0,588	1,376
55°	0,819	0,574	1,428
56°	0,829	0,559	1,483
57°	0,839	0,545	1,540
58°	0,848	0,530	1,600
59°	0,857	0,515	1,664
60°	0,866	0,500	1,732
61°	0,875	0,485	1,804
62°	0,883	0,469	1,881
63°	0,891	0,454	1,963
64°	0,899	0,438	2,050
65°	0,906	0,423	2,145
66°	0,914	0,407	2,246
67°	0,921	0,391	2,356
68°	0,927	0,375	2,475
69°	0,934	0,358	2,605
70°	0,940	0,342	2,747
71°	0,946	0,326	2,904
72°	0,951	0,309	3,078
73°	0,956	0,292	3,271
74°	0,961	0,276	3,467
75°	0,966	0,259	3,732
76°	0,970	0,242	4,011
77°	0,974	0,225	4,332
78°	0,978	0,208	4,705
79°	0,982	0,191	5,145
80°	0,985	0,174	5,671
81°	0,988	0,156	6,314
82°	0,990	0,139	7,115
83°	0,993	0,122	8,144
84°	0,995	0,105	9,514
85°	0,996	0,087	11,430
86°	0,998	0,070	14,301
87°	0,999	0,052	19,081
88°	0,999	0,035	28,636
89°	1,000	0,017	57,290

Analise a seguir alguns exemplos do uso da tabela de razões trigonométricas.

x	sen x	cos x	tg x
31°	0,515	0,857	0,601
32°	0,530	0,848	0,625
33°	0,545	0,839	0,649
34°	0,559	0,829	0,675
35°	0,574	0,819	0,700

Ilustração. Homem amarelo de camiseta vermelha e verde e calça azul, ele está sentado em uma banqueta alta com os pés sobre o apoio e segura nas mãos uma calculadora.

a) Vamos localizar o valor aproximado do cosseno de 33graus.

Primeiro, localizamos 33graus e, então, na coluna “cosseno de x”, encontramos 0,839.

Esquema. Portanto: Cosseno de 33 graus é aproximadamente 0 vírgula 839. Fio alaranjado indicando o texto: O cosseno de 33 graus é aproximadamente 0 vírgula 839.

Página 198

b) Vamos determinar a medida de abertura do ângulo cuja tangente é aproximadamente igual a 1,6.

Localizamos, na coluna “tangente de x”, o valor 1,6 e encontramos a medida de abertura do ângulo correspondente a esse valor.

x	sen x	cos x	tg x
56°	0,829	0,559	1,483
57°	0,839	0,545	1,540
58°	0,848	0,530	1,600
59°	0,857	0,515	1,664
60°	0,866	0,500	1,732

Portanto, a medida de abertura do ângulo procurado é 58graus.

c) Qual é a medida de abertura do ângulo cujos seno e cosseno têm valores iguais?

Para responder a essa pergunta, localizamos, nas colunas “seno de x” e “cosseno de x”, valores iguais. Depois, encontramos a medida de abertura do ângulo correspondente a esses valores.

x	sen x	cos x	tg x
43°	0,682	0,731	0,933
44°	0,695	0,719	0,966
45°	0,707	0,707	1,000
46°	0,719	0,695	1,036
47°	0,731	0,682	1,072

Portanto, a medida de abertura do ângulo procurado é 45graus.

Observação

A calculadora científica é um recurso útil e poderá ajudar no cálculo das razões trigonométricas dos ângulos.

Fotografia. Calculadora científica com o visor apagado.

Para a realização dos cálculos, utilize as teclas

Ilustração. Tecla de calculadora com a abreviação S I N.

para seno,

Ilustração. Tecla de calculadora com a abreviação C O S.

para cosseno e

Ilustração. Tecla de calculadora com a abreviação T A N.

para tangente e verifique se a calculadora científica está no modo DEG (grau = degree).

Vamos fazer um teste? Digite a sequência de teclas a seguir e confirme o resultado no visor.

•

Esquema. Sequências de Teclas de calculadora.
Sequência de teclas da calculadora: 4, 0, S I N. Visor com o número 0,6428

•

Esquema. Sequências de Teclas de calculadora: 3, 6, C O S. Visor com o número 0,8090.

•

Abaixo, Sequência de teclas da calculadora: 7, 0, T A N. Visor com o número 2,7475

Lembre-se de que calculadoras diferentes, por vezes, requerem distintos procedimentos para os cálculos.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

30.

Utilizando uma calculadora científica ou a tabela de razões trigonométricas, determine, com aproximação de três casas decimais, os valores de:

a) seno de 17graus

b) cosseno de 2graus

c) tangente de 26graus

d) seno de 43graus

e) cosseno de 38graus

f) tangente de 50graus

g) cosseno de 14graus

h) tangente de 88graus

31. Utilizando a tabela de razões trigonométricas, determine a (em grau), sabendo que:

a) seno de a = 0,122

b) cosseno de a = 0,342

c) tangente de a = 0,7

d) seno de a = 0,829

e) tangente de a = 0,176

f) seno de a = 0,988

g) cosseno de a = 0,777

h) tangente de a = 1,732

32. Calcule o valor de x e y nestes triângulos retângulos.

Figura geométrica. Triângulo retângulo roxo.
A medida de comprimento da hipotenusa é x e as medidas de comprimento dos catetos são 5 e y.
O ângulo com medida de abertura de 25 graus é oposto ao cateto de medida de comprimento 5.

Figura geométrica. Triângulo retângulo verde.
A medida de comprimento da hipotenusa é 2 e as medidas de comprimento dos catetos são x e y.
O ângulo oposto ao lado com medida de comprimento x, tem medida de abertura de 40 graus.

Página 199

5 Resolução de problemas

Neste tópico, vamos estudar alguns problemas que envolvem aplicações das razões trigonométricas estudadas.

Problema 1

De um posto de observação situado a 100 métros de um prédio, vê-se o ponto mais alto desse prédio sob um ângulo de medida de abertura de 44graus. Determine a medida da altura do prédio, sabendo que o posto está a 1 métro do solo. (Utilize: seno de 44graus = 0,70; cosseno de 44graus = 0,72; tangente de 44graus = 0,97.)

Esquema. À direita, prédio com altura do chão ao topo com medida h. À esquerda, à 100 metros de distância, um ponto de observação. O ponto de observação está um metro acima do chão. Desse ponto de observação sai uma linha tracejada horizontal até o prédio e outra linha tracejada diagonal até a parte superior do prédio, com ângulo de medida de abertura 44 graus, e descrição "linha de visão". A altura do ponto de observação até o topo do prédio mede x. — Representação esquemática fora de escala.

Como x corresponde à medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo de medida de abertura de 44graus, podemos escrever:

t g 44 ° = \frac{x}{100 m}

x = 100 métros ⋅ tangente de 44graus

x = 100 métros ⋅ 0,97

x = 97 métros

Então:

h = x + 1 métro

h = 97 métros + 1 métro = 98 métros

Portanto, a medida da altura do prédio é 98 métros.

Problema 2

Um avião, a uma medida da altura de .2000 métros, é visto por dois observadores que estão nos pontos a e B, sob ângulos de medidas de abertura de 28graus e 40graus, respectivamente. Qual é a medida da distância aproximada entre esses dois observadores? (Utilize: seno de 28graus = 0,47; cosseno de 28graus = 0,88; tangente de 28graus = 0,53; seno de 40graus = 0,64; cosseno de 40graus = 0,77; tangente de 40graus = 0,84.)

De acôrdo com o esquema a seguir, temos os triângulos retângulos BVC e á vê cê, com um dos catetos comum (

\overline{V C}

). A medida da distância entre os dois observadores é representada por x, que corresponde a uma parte da medida de comprimento do cateto

\overline{A C}

do triângulo á vê cê.

Esquema. Avião com a cabine para a direita no ponto V.
Abaixo, uma reta horizontal, representando o chão, com os pontos A, B e C. O comprimento de AB mede x e o de BC mede y. À direita, reta vertical do ponto C ao avião, ponto V, com medida de comprimento 2 mil metros.
Do ponto A sai uma linha tracejada diagonal até o avião, ponto V, formando o ângulo de 28 graus.
Do ponto B sai uma linha tracejada diagonal até o avião, ponto V, formando o ângulo de 40 graus. — Representação esquemática fóra de escala.

Do triângulo BVC, temos:

t g 40 ° = \frac{2 000 m}{y}

y = \frac{2 000 m}{t g 40 °}

y = \frac{2 000 m}{0, 84}

y ≃ .2380,95 métros

E, do triângulo á vê cê, temos:

g 28 ° = \frac{2 000 m}{x + y}

x + y = \frac{2 000 m}{t g 28 °}

x + y = \frac{2 000 m}{0, 53}

x + y ≃ .3773,58 métros

x ≃ .3773,58 métros ‒ .2380,95 métros

x ≃ .1392,63 métros

Portanto, a medida da distância aproximada entre os dois observadores é .1392,63 métros.

Página 200

Problema 3

Há situações em que não podemos utilizar uma trena para medir determinado comprimento, como a largura de um rio. Nesses casos, é comum utilizar um instrumento ótico chamado teodolito, que mede a abertura de um ângulo. Então, por meio da Trigonometria, é possível descobrir a medida desejada.

Observe esta situação representada. Determine a medida r da largura do rio.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

Ilustração. Margens de um rio. Na margem superior há duas árvores e na margem inferior, há um homem. Um segmento de reta indica a distância entre as margens do rio e sua medida é r. Este segmento corresponde ao cateto de um um triângulo, sendo o outro cateto pertencente à margem, com medida de 20 metros de comprimento. O homem está posicionado em um dos vértices do triângulo não pertencente e r, e o ângulo interno nesse vértice é 55 graus. — Representação esquemática fóra de escala.

(Utilize: seno de 55graus = 0,82; cosseno de 55graus = 0,57; tangente de 55graus = 1,43.)

Do triângulo representado, temos:

t g 55 ° = \frac{r}{20 m}

r = 20 métros ⋅ tangente de 55graus

r = 20 métros ⋅ 1,43 = 28,6 métros

Logo, a largura do rio mede 28,6 métros.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

33. Um observador, distante 80 métros do mastro de uma bandeira, vê seu ponto mais alto sob o ângulo de medida de abertura de 38graus. A distância dos olhos dele ao chão mede 1,70 métro. Qual é a medida aproximada da altura do mastro?

Esquema. À esquerda, bandeira do Brasil hasteada. À direita, homem de 1,70 metros. Da bandeira até o homem tem a distância de 80 metros. Linha tracejada horizontal da cabeça do homem até a bandeira e linha tracejada diagonal até o topo formam ângulo de 38 graus. — Representação esquemática fóra de escala.

34. Do alto de uma torre que mede 50 métros de altura, localizada em uma ilha, avista-se a praia sob um ângulo de medida de abertura de 45graus em relação à horizontal. Quanto mede a distância da torre à praia?

35. Observe o esquema e calcule a medida da distância (x) a que o garoto deve estar da tela.

Esquema. À esquerda, segmento representando a tela de cinema com 5 metros a 1 metro e 20 centímetros do chão. À direita, pessoa sentada com altura de 1 metro e 20 centímetros. Da tela até a cadeira, medida x. Linha tracejada horizontal, da pessoa sentada até a parte inferior da tela e linha tracejada diagonal da pessoa sentada até o topo da tela, formando o ângulo de 30 graus. — Representação esquemática fóra de escala.

36. Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo, sob um ângulo de medida de abertura de 30graus. A que medida da altura estará o foguete após percorrer 8 quilômetros em linha reta?

Ilustração. Foguete lançado na diagonal em um ângulo de 30 graus.

Página 201

37. Determine a medida do comprimento da sombra projetada por uma torre que mede

40 \sqrt{3}

métros de altura, sob ângulo de elevação de medida de abertura de 60graus em relação ao Sol.

Esquema. Ilustração. À esquerda. torre com medida de altura 40, raiz quadrada de 3 metros. À direita, a projeção da sombra da torre com medida de comprimento x. Linha tracejada da extremidade da sombra até o topo da torre, com ângulo entre o chão e a linha de 60 graus. — Representação esquemática fóra de escala.

38.

Uma das preocupações dos engenheiros de uma cidade litorânea é verificar as medidas das inclinações α, em relação à vertical, dos prédios situados na orla marítima. Essas inclinações podem ocorrer em razão de problemas nas fundações construídas sobre o solo arenosoglossário . Os valores aceitos, segundo os engenheiros, devem satisfazer esta condição: tangente de α ⩽ 0,052.

Reúna-se com um colega e determinem a medida da inclinação máxima aceita pelos engenheiros em um prédio situado à beira-mar.

Fotografia. Prédio inclinado para a direita, ao redor há outros prédios e pessoas na areia da praia. — Construções tortuosas na orla da praia de Santos (SP) causadas por problemas de fundação. Foto de 2021.

6 Plano cartesiano

O plano cartesiano é composto de um eixo horizontal e um vertical, chamados de eixo das abscissas (eixo x) e eixo das ordenadas (eixo y), respectivamente, e podemos representar pontos ou polígonos em um plano.

Analise a representação dos pontos a, B, C e D, cujos pares ordenados são (2, 3), (‒1, 2), (‒2, ‒1) e (3, ‒1), respectivamente.

Em um plano cartesiano:

• os pontos (x, y) do 1º quadrante têm abscissas e ordenadas positivas (x > 0 e y > 0);

• os pontos (x, y) do 2º quadrante têm abscissas negativas e ordenadas positivas (x < 0 e y > 0);

• os pontos (x, y) do 3º quadrante têm abscissas e ordenadas negativas (x < 0 e y < 0);

• os pontos (x, y) do 4º quadrante têm abscissas positivas e ordenadas negativas (x > 0 e y < 0).

Esquema. Plano cartesiano, no primeiro quadrante há o ponto A representando o par ordenado (2, 3).
No segundo quadrante há o ponto B representando o par ordenado (menos 1, 2).
No terceiro quadrante, há o ponto C representando o par ordenado (menos 2, menos 1).
No quarto quadrante há o ponto D representando o par ordenado (3, menos 1).
Linha tracejada do eixo x ao ponto A, linha tracejada do eixo y ao ponto A.
Linha tracejada do eixo x ao ponto B, linha tracejada do eixo y ao ponto B.
Linha tracejada do eixo x ao ponto C, linha tracejada do eixo y ao ponto C.
Linha tracejada do eixo x ao ponto D, linha tracejada do eixo y ao ponto D.

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Observe, agora, o quadrilátero a bê cê dê representado no plano cartesiano. Os pontos a(1, 3), B(2, 0), C(4, 1) e D(4, 3) correspondem aos vértices do polígono.

Conhecendo as coordenadas dos vértices de um polígono, além de localizá-lo no plano cartesiano, podemos calcular as medidas de comprimento de seus lados.

Plano cartesiano. O eixo x vai de 0 a 4 e o eixo y vai de 0 a 3.
No plano cartesiano há o quadrilátero ABCD cujo os vértices são os pares ordenados, A(1, 3), B(2, 0), C(4, 1) e D(4, 3).
Linhas tracejadas dos eixos até os pares ordenados C e A.

Medidas de comprimento dos lados de um polígono

Continuando com o exemplo do quadrilátero a bê cê dê, verifique que:

Plano cartesiano. O eixo x vai de 0 a 4 e o eixo y vai de 0 a 3.
No plano cartesiano há o quadrilátero ABCD cujos vértices são os pares ordenados, A(1, 3); B(2, 0); C(4, 1); e D(4, 3). O lado DA é igual a 3. O lado CD é igual a 2.
Linhas tracejadas dos eixos até os pontos C e A.

• as ordenadas dos pontos a e D têm o mesmo valor (3). Isso significa que o segmento de reta

\overline{D A}

é paralelo ao eixo x;

• as abscissas dos pontos C e D, que determinam o lado

\overline{C D}

, são iguais (4). Isso significa que

\overline{C D}

é paralelo ao eixo y.

Para determinar a medida de comprimento de

\overline{D A}

(paralelo ao eixo x), calculamos a diferença entre as abscissas dos pontos D e a:

Esquema. D A é igual a 4 menos 1 é igual a 3. Fio alaranjado indicando 4 como abscissa do ponto D. Fio alaranjado indicando 1 como abscissa do ponto A.

Assim, a medida de comprimento de

\overline{D A}

é 3 unidades de medida de comprimento.

Da mesma maneira, podemos determinar a medida de comprimento do lado

\overline{C D}

(paralelo ao eixo y), calculando a diferença entre as ordenadas dos pontos D e C:

Esquema. CD é igual a 3 menos 1 é igual a 2. Fio alaranjado indicando 3 como ordenada do ponto D. Fio alaranjado indicando 1 como ordenada do ponto C.

Assim, a medida de comprimento de

\overline{C D}

é duas unidades de medida de comprimento.

Como os outros dois lados do quadrilátero (

\overline{A B}

\overline{B C}

) não são paralelos aos eixos x e y, para determinar suas medidas de comprimento, podemos usar o teorema de Pitágoras.

Considere os pontos que determinam o lado

\overline{A B}

, A(1, 3) e B(2, 0), e o ponto ê de coordenadas (1, 0), obtendo, assim, o triângulo retângulo á bê é, como indicado a seguir.

Nesse caso, temos:

Plano cartesiano. O eixo x vai de 0 a 4 e o eixo y vai de 0 a 3.
No plano cartesiano há o quadrilátero verde ABCD cujos vértices são os pares ordenados, A(1, 3); B(2, 0); C(4, 1); e D(4, 3) e um triângulo vermelho cujos vértices são os pontos A e B, comuns ao do quadrilátero e E com coordenadas (1, 0).
Linhas tracejadas dos eixos até os pontos C e A.

EA = 3 ‒ 0 = 3

BE = 2 ‒ 1 = 1

Aplicando o teorema de Pitágoras no triânguloá bê é, determinamos a medida de comprimento de

\overline{A B}

ABelevado a 2 = EAelevado a 2 + BEelevado a 2

ABelevado a 2 = 3elevado a 2 + 1elevado a 2 = 9 + 1 = 10

A B = \sqrt{10}

Portanto, a medida de comprimento de

\overline{A B}

\sqrt{10}

unidades de medida de comprimento.

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De modo análogo, determinamos a medida de comprimento de

\overline{B C}

. Para isso, consideramos os pontos B e C, o ponto F de coordenadas (4, 0) e o triângulo retângulo BCF. Assim:

CF = 1 ‒ 0 = 1

FB = 4 ‒ 2 = 2

Plano cartesiano. O eixo x vai de 0 a 4 e o eixo y vai de 0 a 3.
No plano cartesiano há o quadrilátero verde ABCD cujos vértices tem coordenadas A(1, 3); B(2, 0); C(4, 1); e D(4, 3) e um triângulo vermelho cujos vértices são os pontos B e C, comuns ao do quadrilátero e F com coordenadas (4, 0).
Linhas tracejadas dos eixos até os pontos C e A.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triânguloBCF, determinamos a medida de comprimento de

\overline{B C}

BCelevado a 2 = CFelevado a 2 + FBelevado a 2

BCelevado a 2 = 1elevado a 2 + 2elevado a 2 = 1 + 4 = 5

B C = \sqrt{5}

Portanto, a medida de comprimento de

\overline{B C}

\sqrt{5}

unidades de medida de comprimento.

Observações

1. Calcular a medida de comprimento do segmento de reta

\overline{A B}

equivale a calcular a medida da distância entre os pontos a e B.

2. É importante lembrar que a medida da distância é dada em módulo; assim, para um segmento de reta

\overline{E F}

de coordenadas ê(‒8, ‒1) e éfe(‒3, ‒1), a medida da distância entre os pontos ê e F é |‒8 ‒ (‒3)|, que resulta em 5 unidades de medida de comprimento.

Esquema. Plano cartesiano. No terceiro quadrante há o segmento de reta EF, sendo que E tem coordenadas (menos 8, menos 1)e F tem coordenadas (menos 3, menos 1).
Cota horizontal abaixo do segmento, 5 unidades de medida de comprimento.

Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta

Acompanhe a situação a seguir.

Sejam os pontos a(1, 1) e B(5, 4) extremidades do segmento de reta de reta

\overline{A B}

. Vamos determinar as coordenadas (x, y) de M, o ponto médio de

\overline{A B}

Para auxiliar na resolução, vamos representar o segmento de reta

\overline{A B}

no plano cartesiano e considerar o ponto C de coordenadas (5, 1), de modo a obter o triângulo retângulo ABC.

Consideramos M o ponto médio de

\overline{A B}

, e o ponto D pertencente a

\overline{A C}

, de modo que á ême dê seja um triângulo retângulo.

Plano cartesiano. Eixo x vai de 0 a 5 e o eixo y vai de 0 a 4.
No plano cartesiano há um triângulo alaranjado ABC, cujos vértices têm coordenadas: A (1, 1); B(5, 4); C(5, 1). O ponto M pertence ao lado AB e tem coordenadas (x, y) e o ponto D pertence ao lado AC e tem coordenadas (x, 1).

\overline{D M} // \overline{C B}

\overline{C B}

é paralelo ao eixo y.

\overline{D M}

é paralelo ao eixo y.

Observe que, como o ponto D pertence a

\overline{A C}

, sua ordenada é 1, ao passo que sua abscissa é x, a mesma do ponto M, pois

\overline{D M}

é paralelo ao eixo y.

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Pelo caso á á, com o ângulo reto e o ângulo

\hat{A}

em comum, os triângulos á ême dê e á bê cê são semelhantes. Logo, as medidas de comprimento de seus lados são proporcionais. Desse modo, podemos escrever:

Esquema. Razão. AB sobre AM é igual a AC sobre AD. À direita, um em algarismo romano em destaque.

Como M é ponto médio de

\overline{A B}

, então:

Esquema. AB sobre 2, é igual a AM, implica que, AB é igual a 2AM. À direita, dois em algarismos romanos em destaque.

Substituindo

, obtemos:

\frac{2 A M}{A M} = \frac{A C}{A D} \Rightarrow A C = 2 A D

Sabemos que: AC = 5 ‒ 1 e AD = x ‒ 1. Logo:

5 ‒ 1 = 2(x ‒ 1)

4 = 2x ‒ 2

x = 3

Para determinar y, podemos escrever:

\frac{A B}{A M} = \frac{B C}{M D} \Rightarrow \frac{2 A M}{A M} = \frac{B C}{M D} \Rightarrow B C = 2 M D

Como BC = 4 ‒ 1 e MD = y ‒ 1, então:

4 ‒ 1 = 2(y ‒ 1)

3 = 2y ‒ 2

y = 2,5

Assim, concluímos que as coordenadas do ponto médio M são (3; 2,5).

Atividades

Faça as atividades no caderno.

39. Em cada caso, calcule a medida da distância entre os pontos a e B.

Plano cartesiano. O eixo x vai de menos 1 a 4, o eixo y vai de 0 a 4.
No primeiro quadrante há o ponto B (3, 1).
No segundo quadrante há o ponto A (menos 1, 1).

Plano cartesiano. O eixo x vai de menos 1 a 3, o eixo y vai de menos 3 a 3.
No eixo x há ponto A (menos 1, zero). No terceiro quadrante há o ponto B(menos 1, menos 2).

Plano cartesiano. O eixo x vai de menos 1 a 2, o eixo y vai de menos 2 a 2.
No segundo quadrante há o ponto A (menos 1, 1).
No quarto quadrante há o ponto B(2, menos 2).

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40. As coordenadas dos vértices do quadrilátero a bê cê dê são a(‒1, ‒1), B(‒1, 3), C(2, 3) e D(2, ‒1).

a) Represente esse quadrilátero em um plano cartesiano.

b) Como podemos classificar esse quadrilátero?

c) Calcule a medida de perímetro desse quadrilátero.

41. Determine a medida de comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo a seguir.

Plano cartesiano. O eixo x vai de 0 a 6 e o eixo y vai de 0 a 6. No primeiro quadrante há os pontos A(1, 1); B(5, 5); e C(5, 1). Os pontos A B e C são vértices do triângulo retângulo roxo ABC.

42. Considere o quadrilátero a bê cê dê representado no plano cartesiano a seguir.

Plano cartesiano. O eixo x vai de 0 a 3 e o eixo y vai de 0 a 4.
No primeiro quadrante há os pontos A(0, 3); B (2, 4); C(3, 2); e D(1, 1).
Os pontos A B C e D são vértices do quadrilátero roxo ABCD.

a) Quais são as coordenadas dos vértices desse quadrilátero?

b) Determine as medidas de perímetro e de área desse quadrilátero.

43. Em um plano cartesiano, represente:

• um ponto a distante 5 unidades de medida de comprimento do eixo das abscissas;

• um ponto B distante 5 unidades de medida de comprimento do eixo das ordenadas;

• um ponto C de coordenadas (5, 3);

• um ponto D de coordenadas (2, 5).

a) Que coordenadas a póde assumir de modo que a medida de comprimento do segmento de reta

\overline{A D}

seja de 3 unidades de medida de comprimento?

b) Que coordenadas B póde assumir de modo que a medida de comprimento do segmento de reta

\overline{B C}

seja de 6 unidades de medida de comprimento?

c) Que coordenadas os pontos a e B podem assumir de modo a obter um trapézio isósceles a bê cê dê?

44. Determine a medida da distância do ponto P(5, ‒dois):

a) à origem;

b) ao eixo das abscissas;

c) ao eixo das ordenadas.

45. Quais são as coordenadas do ponto médio de cada um dos segmentos de reta representados a seguir?

Plano cartesiano sobre malha quadriculada. O eixo x vai de menos 2 a 5 e o eixo y vai de menos 2 a 4.
No plano cartesiano há o segmento de reta vertical EF e o segmento de reta horizontal CD. As coordenadas das extremidades dos segmentos de reta são: C(1, menos 2); D(4, menos 2); E(menos 2, 3); e F(menos 2, menos 1).

46.

Utilizando um software de geometria dinâmica, construa um quadrado a bê cê dê de modo que cada um de seus vértices esteja localizado em quadrantes diferentes de um plano cartesiano. Depois, responda:

a) Quantos quadrados podem ser construídos obedecendo essa indicação?

b) O que poderia ser acrescentado no enunciado do problema de modo que a construção do quadrado:

• tenha resposta única;

• tenha duas respostas possíveis;

• não tenha solução.

Converse com um colega e comparem as alterações propostas no item b. Verifiquem se há mais de uma maneira de fazer essas alterações no enunciado.

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Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Triângulo retângulo

a → medida de comprimento da hipotenusa

b, c → medidas de comprimento dos catetos

h → medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa

m, n → medidas de comprimento das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa

Relações métricas no triângulo retângulo

c^{2} = n \cdot a

h^{2} = m \cdot n

b^{2} = m \cdot a

a \cdot h = b \cdot c

1. Determine o valor desconhecido nos triângulos retângulos a seguir.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul.
A medida da hipotenusa é igual a 8 centímetros e a medida de um dos catetos é 6 centímetros.
Linha tracejada indicando a altura relativa à hipotenusa dividindo o triângulo em outros dois. O que tem o lado de 6 centímetros em comum tem um cateto medindo y de comprimento.

Figura geométrica. Triângulo retângulo lilás.
A medida da hipotenusa é igual a 25 centímetros.
A altura relativa à hipotenusa, indicada por uma linha tracejada, com medida de comprimento y. A altura divide o triângulo maior em outros dois triângulos retângulos, sendo o menor deles com catetos cujas medidas de comprimento são 9 centímetros e y.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado.
A medida da hipotenusa é igual a x e a medida de um dos catetos é 12 centímetros.
A altura relativa à hipotenusa é indicada por uma Linha tracejada que divide o triângulo maior em outros dois menores. Um deles tem hipotenusa com medida 12 centímetros e um dos catetos 9 centímetros.

2. Sabendo que, em um triângulo retângulo, o comprimento da hipotenusa mede 25 centímetros e o comprimento de um dos catetos mede 7 centímetros, determine:

a) as medidas de comprimento das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa;

b) a medida de comprimento do outro cateto;

c) a medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa.

Teorema de Pitágoras e aplicações

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida de comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas de comprimento dos catetos. Assim, seja a a medida de comprimento da hipotenusa e b e c as medidas de comprimento dos catetos, temos:

aelevado a 2 = belevado a 2 + celevado a 2

Aplicações do teorema de Pitágoras

Diagonal de um quadrado

Em um quadrado com lados de medida de comprimento x, a medida de comprimento da diagonal é

x \sqrt{2}

Altura de um triângulo equilátero

Em um triângulo equilátero com lados de medida de comprimento x, a medida de comprimento da altura é

\frac{x \sqrt{3}}{2}

3. Calcule os valores de x e de y indicados nas figuras.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado.
A medida da hipotenusa é igual a x e a medida dos catetos são 15 e 8.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul
A medida da hipotenusa é igual a 8 e a medida dos catetos são 4 e y.

4. Uma escada de 2,5 métros de medida de comprimento é encostada em uma parede com o pé afastado 1,5 métro da parede. Quanto mede a altura que a escada atinge?

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5. Calcule:

a) a medida de comprimento da diagonal de um retângulo, cujos lados medem 8 centímetros e 15 centímetros de comprimento;

b) a medida de comprimento da diagonal de um quadrado cujo lado mede 20 métros de comprimento;

c) a medida de comprimento da altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 8 centímetros de comprimento.

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

s e n a = \frac{m e d i d a d e c o m p r i m e n t o d o c a t e t o o p o s t o a o â n g u l o d e m e d i d a d e a b e r t u r a a}{m e d i d a d e c o m p r i m e n t o d a h i p o t e n u s a}

cos a = \frac{m e d i d a d e c o m p r i m e n t o d o c a t e t o a d j a c e n t e a o â n g u l o d e m e d i d a d e a b e r t u r a a}{m e d i d a d e c o m p r i m e n t o d a h i p o t e n u s a}

t g a = \frac{medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo de medida de abertura a}{medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo de medida de abertura a}

x	30°	45°	60°
sen x	$divisão de 1 sobre 2$	$divisão de raiz de 2 fecha raiz sobre 2$	$divisão de raiz de 3 fecha raiz sobre 2$
cos x	$divisão de raiz de 3 fecha raiz sobre 2$	$divisão de raiz de 2 fecha raiz sobre 2$	$divisão de 1 sobre 2$
tg x	$divisão de raiz de 3 fecha raiz sobre 3$	1	$raiz de 3 fecha raiz$

6. Determine o valor desconhecido nos triângulos retângulos a seguir:

Figura geométrica. Triângulo retângulo verde com o ângulo reto e o ângulo de 30 graus indicados.
A medida da hipotenusa é igual a x e a medida cateto adjacente ao ângulo de 30 graus é igual a 2 raiz quadrada de 3.

Figura geométrica. Triângulo retângulo roxo com o ângulo de 45 graus e o ângulo reto indicados.
A medida do cateto oposto ao ângulo de 45 graus é igual a x e a medida cateto adjacente ao ângulo de 45 graus é igual a 3 vírgula 5.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul com o ângulo reto e o ângulo de 60 graus indicados.
A medida da hipotenusa é igual a 8 e a medida cateto oposto ao ângulo de 60 graus é igual a x.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado o ângulo de 60 graus e o ângulo reto indicados.
A medida da hipotenusa é igual a x menos 3 e a medida cateto adjacente ao ângulo de 60 graus é igual a 7.

7. A pipa de Joaquim ficou presa em uma árvore. A linha da pipa ficou esticada, formando com o chão um ângulo de medida de abertura de 45graus. O comprimento da linha da pipa mede 8,5 métros. Determine a medida da altura da pipa em relação ao solo. (Utilize:

\sqrt{2} = 1,4) .

8. Um avião está a .1300 métros de medida de altura quando começa um movimento de descida para a pista de aterrissagem, em uma linha imaginária que fórma um ângulo de medida de abertura de 30graus com o solo. Qual será a medida da distância percorrida pelo avião até tocar o solo?

9. Observe o triângulo a seguir e determine:

Plano cartesiano. O eixo x vai de 0 a 13 e o eixo y vai de 0 a 6.
No plano há o triângulo retângulo azul cujos vértices são os pontos A(3, 5), B(3, 1) e C(12, 1).
O ponto D de abscissa x e ordenada 3 é o ponto médio do lado AC e o ponto P de abscissa x e ordenada 1 é ponto médio do lado BC.

a) as coordenadas dos vértices;

b) as medidas de comprimento dos lados do triângulo em u, unidade de medida de comprimento;

c) a abcissa x do ponto médio D do lado

\overline{A C}

Glossário

Liga metálica: : Mistura formada por dois ou mais elementos, sendo pelo menos um deles um metal.; Voltar para o texto

Solo arenoso: : Tipo de solo com pouca umidade, com teor de areia superior a 70%.; Voltar para o texto