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Capítulo 8 Circunferência, arcos e ângulos

Trocando ideias

Wassily Wassilyevich Kandinsky (1866-1944) foi um artista russo. No início de sua carreira, retratou a arte popular russa e paisagens. No entanto, suas obras ganharam destaque quando ele se dedicou à arte abstrataglossário . Observe a seguir a reprodução de uma de suas obras.

Pintura. Quadro com fundo amarelo, composto por círculos, triângulos, quadrados e retângulos coloridos sobrepostos entre retas e linhas curvas de tamanhos diferentes. — KANDINSKY, Wassily. Composição oito, óleo sobre tela, 140 centímetros por 201 centímetros, 1923.

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Na obra Composição oito, é possível notar figuras que se parecem com circunferências e arcos de circunferência. O que você sabe sobre essas figuras geométricas planas? Converse com os colegas.

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Reúna-se com um colega e pesquisem obras de arte em que é possível identificar figuras que se parecem com circunferências e arcos de circunferência. Depois, compartilhem com a turma o que encontraram.

Conheça mais

No site da Galeria Lenbachhaus de Munique (Alemanha), podem ser vistas diversas obras de candinsqui.

Neste capítulo, vamos ampliar os conhecimentos sobre circunferência e estudar arcos e ângulos central e inscrito a uma circunferência.

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1 Circunferência

Analisamos uma obra de arte em que é possível identificar figuras que lembram circunferências.

Em Geometria:

Circunferência é a figura formada por todos os pontos de um plano que estão à mesma medida da distância de um ponto fixo desse plano. O ponto fixo é chamado de centro da circunferência.

Considere esta figura.

Ilustração. Circunferência com pontos A, P e R pertencentes à circunferência. No centro, ponto O. Raio r indicado, partindo de O e chegando em cada um dos pontos.

• O ponto óh é o centro da circunferência (ponto fixo).

• Os pontos a, P e R estão a uma medida de distância r do centro da circunferência (ponto óh), ou seja, são pontos da circunferência.

• Os segmentos de reta

\overline{O A}

\overline{O P}

\overline{O R}

são raios da circunferência e têm medida de comprimento r.

Raio de uma circunferência

Temos que:

• raio é o segmento de reta que tem uma extremidade no centro da circunferência e a outra em qualquer ponto pertencente à circunferência;

Ilustração. Circunferência com pontos A, B, C, D, E, F pertencentes à circunferência. No centro, ponto O. Raio r partindo de O e chegando em cada ponto.

O: centro da circunferência

a, B, C, D, ê, F: pontos da circunferência

\overline{O A}

\overline{O B}

\overline{O C}

\overline{O D}

\overline{O E}

\overline{O F}

: raios da circunferência

• em uma circunferência, podemos traçar infinitos raios e todos serão congruentes;

\overline{O A} ≅ \overline{O B} ≅ \overline{O C} ≅ \overline{O D} ≅ \overline{O E} ≅ \overline{O F} ≅ ...

OA = OB = OC = OD = OE = OF = ... = r

• quando duas circunferências têm raios com a mesma medida de comprimento, dizemos que as circunferências são congruentes.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Raio r de O até ponto P. Ao lado, circunferência com ponto O linha no centro. Raio r1 de O até ponto P linha.

Temos:

Esquema. Primeira sentença matemática: OP igual a r. Abaixo, segunda sentença matemática: O linha P linha igual a r1. Linha laranja sai das duas sentenças e indica r igual a r1.

Como r = érre minúsculo₁, então a circunferência de centro O é congruente à circunferência de centro ó linha.

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Corda e diâmetro de uma circunferência

A corda e o diâmetro são dois importantes elementos relativos a uma circunferência.

Corda é o segmento de reta com extremidades em dois pontos distintos de uma circunferência.

Considere a seguinte figura.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Os pontos A, B, C, D, E e F pertencem à circunferência. Segmentos de reta AB, CF e DE de tamanhos diferentes e não se cruzam.

\overline{A B}

\overline{C F}

\overline{D E}

são exemplos de cordas da circunferência.

Diâmetro é o segmento de reta com extremidades em dois pontos distintos de uma circunferência, passando sempre pelo centro.

Na figura a seguir, os segmentos de reta

\overline{A C}

\overline{B D}

são diâmetros da circunferência de centro O.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência. Segmentos de reta AC e BD se cruzam e passam pelo centro da circunferência em O.

Podemos observar que, em uma circunferência qualquer com centro O e diâmetro com extremidades em A e P, temos:

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Os pontos A e P pertencem à circunferência. Segmento de reta AP passa pelo centro O. A medida de AO é r, a medida de OP é r e a medida de AP é D.

•

\overline{A O}

é raio de medida de comprimento r;

•

\overline{O P}

é raio de medida de comprimento r;

•

\overline{A P}

é diâmetro de medida de comprimento D.

Assim, verificamos que:

á pê = á ó + ó pê

D = r + r = 2r

Logo, a medida de comprimento do diâmetro (D) é igual ao dôbroda medida de comprimento do raio (r ).

Observações

1. O diâmetro é a maior corda da circunferência.

2. Em uma circunferência, podemos traçar infinitos diâmetros e todos serão congruentes. Nesta figura, temos:

AF = BG = CH = dê í = é jóta = ... = 2r

Ilustração. Circunferência verde. Os pontos A, B, C, D, E, F, G, H, I e J pertencem à circunferência. Segmentos de reta AF, BG, CH, DI e EJ se cruzam e passam pelo centro da circunferência. A medida da metade de cada segmento é r.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Na figura a seguir, o contorno do relógio se parece com uma circunferência. Considere que a medida de comprimento do diâmetro desse relógio é 40 centímetros.

Ilustração. Relógio redondo de ponteiros com um contorno vermelho que se parece com uma circunferência. Os pontos A, B, C, D e E pertencem à circunferência. O segmentos de reta AB passa pelo centro do relógio, o segmento CD não cruza o segmento AB. Do centro até o ponto E, um segmento de reta roxo.

a) Determine a medida de comprimento do raio desse relógio.

b) Identifique duas cordas na figura.

c) Identifique um diâmetro na figura.

d) Identifique um raio na figura.

2. Em uma circunferência, a medida de comprimento do diâmetro é 1,44 métro. Quanto mede o comprimento do raio dessa circunferência?

3. Copie os itens no caderno, substituindo cada

por uma palavra correspondente, tornando a sentença verdadeira.

é o segmento de reta que une o centro a qualquer ponto da circunferência.

b) Em uma circunferência, podemos traçar infinitos

. Todos eles são

c) Duas circunferências são

quando os raios têm a mesma medida de comprimento.

d) A maior corda da circunferência é o

4. Observe a figura e responda às questões.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Os pontos A, C, P e M pertencem à circunferência. O segmento AP passa por O e o segmento CM não cruza o segmento AP. A medida de comprimento do segmento OP é 2 centímetros.

a) Qual é a medida de comprimento de

\overline{O P}

b) Qual é a medida de comprimento de

\overline{A P}

c) A medida de comprimento de

\overline{C M}

é maior que 4 centímetros ou menor? Justifique sua resposta.

5. Determine:

a) a medida de comprimento do diâmetro de uma circunferência cujo comprimento do raio mede 4,5 centímetros;

b) a medida de comprimento do raio de uma circunferência cujo comprimento do diâmetro mede 17 centímetros.

6. Observe a circunferência de centro O a seguir e responda às questões.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Os pontos A, B, C, D, E, F, P pertencem à circunferência. Há o segmento de reta OP, os segmentos de reta AD e BF passam por O e os segmentos CE, DE e AC que não passam por O.

a) Quais são os segmentos de reta que representam os raios?

b) Quais são os segmentos de reta que representam as cordas?

c) Quais são os segmentos de reta que representam os diâmetros?

7. Considere a circunferência de centro óh e classifique o triângulo á ó bê quanto às medidas de comprimento dos lados. Depois, determine quanto medem as aberturas dos ângulos

O \hat{A} B

O \hat{B} A

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro e pontos A e B pertencentes à ela. Triângulo AOB com ângulo de 110 graus em O.

8. Considerando a circunferência de centro óh, mostre que as cordas

\overline{A C}

\overline{B D}

são congruentes.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro e pontos A, B, C e D pertencentes à ela. Triângulo AOC com ângulo AOC medindo 50 graus e triângulo BOD com ângulo BOD medindo 50 graus.

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Lendo e aprendendo

Marte, o planeta vermelho

Em 2021, diversas missões espaciais pretendem estudar Marte. Veja o que já se sabe sobre o planeta vizinho da Terra e o que os cientistas ainda querem descobrir

Sondas enviadas para Marte

Agências espaciais dos Estados Unidos, Rússia, Índia, China, Europa e Emirados Árabes Unidos já enviaram sondas para analisar o planeta vizinho. Esses robôs tiram fotos, coletam amostras de solo e rochas, fazem medidas do território, entre outras funções. Além das sondas, cientistas estudam o planeta por meio da observação e de outras técnicas.

Os objetivos dos estudos são…

… reunir mais informações sobre a história, clima e formação de Marte. Acredita-se que o planeta vermelho possa nos ajudar a entender melhor como o Sistema Solar foi constituído e como os planetas passaram por transformações ao longo do tempo.

… descobrir se já existiram ou ainda existem seres vivos em Marte. Já se sabe que, no passado, o planeta tinha rios e lagos. Como a água é essencial para haver vida, isso póde ser uma pista de que Marte tenha abrigado fórmas de vida antigamente.

… estudar a possibilidade de, no futuro, enviar seres humanos para Marte. Até hoje, a humanidade só foi capaz de mandar sondas até o planeta vermelho.

Temperaturas médias

Terra: 14 graus Célsius

Marte: 63 graus Célsius

Diâmetro da Terra: .12755,66 quilômetros

Diâmetro de Marte: .6791,43 quilômetros

A Terra é o terceiro planeta mais próximo do Sol. Ela só fica atrás de Mercúrio e Vênus.

[reticências]

Ficha técnica

Posição no sistema solar: quarto planeta mais próximo do Sol.

Duração de um ano (tempo que leva para dar uma volta ao redor do Sol): equivalente a 687 dias terrestres.

Temperatura média: 63 graus Célsius.

Luas: Fobos e Deimos.

Fontes: Náza e Nature.

Marte, o planeta vermelho. Jornal Joca, número 165, página 7, 1 a 15 de março de 2021.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Copie as afirmações no caderno e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.

a) (

) As sondas que foram enviadas para Marte já encontraram seres vivos.

b) (

) Seres humanos já foram enviados para Marte.

c) (

) Estudar Marte é importante para entender como o Sistema Solar foi constituído.

d) (

) A medida de comprimento do diâmetro da Terra é maior que a medida de comprimento do diâmetro de Marte.

O diâmetro de uma esfera é o segmento de reta com extremidades em dois pontos distintos da esfera, passando sempre pelo centro. Supondo que os planetas Terra e Marte se parecem com uma esfera, use uma calculadora para determinar:

a) a medida de comprimento do raio da Terra;

b) a medida de comprimento do raio de Marte.

Na sua opinião, qual é a importância de estudos como os que estão sendo realizados em Marte? Converse com os colegas.

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2 Posições de um ponto em relação a uma circunferência

Observe a figura.

Ilustração. Plano alfa com circunferência com ponto O no centro, ponto I do lado esquerdo de O, na parte interna e ponto P, que pertence à circunferência. Ponto E fora da circunferência. Raio r de O até P. Segmento I dentro da circunferência partindo de O. Segmento OE até parte superior fora da circunferência.

A circunferência está contida no plano α, e os pontos P, ê e ih desse plano são, respectivamente, pertencente, externo e interno à circunferência.

Dizemos que:

• considerando um ponto P e uma circunferência de centro óh, se a medida da distância entre O e P for igual à medida de comprimento do raio (ó pê = r), o ponto P pertence à circunferência;

• considerando um ponto ê e uma circunferência de centro óh, se a medida da distância entre O e ê for maior que a medida de comprimento do raio (ó é > r), o ponto ê é externo à circunferência;

• considerando um ponto ih e uma circunferência de centro óh, se a medida da distância entre O e ih for menor que a medida de comprimento do raio (ó í < r), o ponto ih é interno à circunferência.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso nas atividades 10 e 11.

9. Observe os pontos desta figura e indique:

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Dentro, pontos A, B, H. Pertencem à circunferência os pontos C, E, G. Do lado de fora, pontos D, I, J, F.

a) os pontos pertencentes à circunferência;

b) os pontos externos à circunferência;

c) os pontos internos à circunferência.

10. Desenhe, no caderno, uma circunferência com:

a) medida de comprimento do raio igual a 2 centímetros;

b) centro óh ;

c) pontos a, B e C pertencentes à circunferência;

d) pontos D, ê e F externos à circunferência;

e) pontos G, H, ih e J internos à circunferência.

11. Com uma régua, meça o comprimento dos raios érre minúsculo₁ e érre minúsculo₂ das circunferências C₁ e C₂, respectivamente. Em seguida, copie esta figura no caderno e desenhe:

Ilustração. Circunferência C1 com ponto O no centro com raio r1. Ao redor, circunferência C2, com o mesmo centro O e com raio r2 que é maior que r1.

• os pontos a, B e C, externos à C₂;

• os pontos D, ê e F, externos à C₁ e internos à C₂;

• os pontos G, H e ih, internos à C₁.

Agora, responda:

a) Todos os pontos de C₁ são internos à C₂?

b) Todos os pontos de C₂ são internos à C₁?

Versão adaptada acessível

9. Explique como podem ser identificados os pontos de uma circunferência, os pontos externos e os internos a ela. Você pode usar representações concretas, caso queira.

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3 Posições de uma reta em relação a uma circunferência

Em relação à circunferência, uma reta póde ser: secante, tangente ou externa. A seguir, vamos estudar cada uma dessas possibilidades.

Reta secante

Uma reta é secante a uma circunferência quando corta a circunferência em dois pontos distintos.

A palavra secante vem de seccionar, que significa “cortar”.

Na figura a seguir, a reta s é secante à circunferência C de centro óh.

Ilustração. Circunferência C com ponto O no centro e pontos A e B, que pertencem à circunferência. Reta s sobre ponto AB na parte superior. Segmento de reta d de O até reta s formando ângulo de 90º. Segmento OB mede r e forma triângulo retângulo com reta s e segmento d.

Observe que a medida da distância (d ) do centro (óh) à reta s é menor que a medida de comprimento do raio (r ):

d < r

Propriedade em relação à reta secante

Toda reta que passa pelo centro de uma circunferência e é perpendicular a uma secante passa pelo ponto médio da corda determinada por essa secante.

Analise a figura.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro, pontos A e B, que pertencem à circunferência, e M na parte interna da circunferência, alinhado aos pontos A e B. Reta s sobre pontos A, B e M na parte superior. Reta sobre reta s passa no ponto O e ponto M entre AB. Triângulo AOB. Retas se cruzam em M, formando ângulo de 90º.

Temos

\overset{\leftrightarrow}{A B}

perpendicular a

\overset{\leftrightarrow}{O M}

e o triângulo á ó bê é isósceles, pois

\overline{O A}

\overline{O B}

são raios da circunferência.

Então, pelo caso éle á áo , temos: triânguloá ó ême ≅ triângulobê ó ême

Assim: ême á = MB e, portanto, M é ponto médio de

\overline{A B}

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Reta tangente

Uma reta é tangente a uma circunferência quando tem apenas um ponto em comum com ela.

A palavra tangente vem de tanger, que significa “tocar”.

Na figura a seguir, a reta t é tangente à circunferência C₁, e a é denominado ponto de tangência (“ponto de contato”).

Ilustração. Circunferência C1 de raio r com ponto O no centro. Reta t diagonal, à direita, encostando na circunferência no ponto A. A medida de O a A é d.

Observe que a medida da distância (d ) do centro (óh) à reta t é igual à medida de comprimento do raio (r):

d = r

Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular a um raio dessa circunferência no ponto de tangência.

Ilustração. Circunferência C2 com ponto O no centro. Reta s à esquerda, encostando na circunferência no ponto B e reta r à direita, encostando na circunferência no ponto A. Segmento B até O e de O até A com medida r cada lado.

s é tangente à circunferência C2 e é perpendicular a

\overline{O B}

em B.

t é tangente à circunferência C2 e é perpendicular a

\overline{O A}

em a.

Reta externa

Uma reta é externa a uma circunferência quando não tem nenhum ponto em comum com ela.

Observe na figura a seguir que a reta k é externa à circunferência C.

Ilustração. Circunferência C de raio r com ponto O no centro. Reta k à direita da circunferência com ponto A dividindo a reta ao meio. De O até reta k com ponto A, medida é d.

Note que a medida da distância (d ) do centro (óh) à reta k é maior que a medida de comprimento do raio (r):

d > r

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso na atividade 12.

12. Represente, em seu caderno, um ponto P que dista 10 centímetros do centro óh de uma circunferência cujo comprimento do raio mede 5 centímetros. Depois, trace uma reta passando por P que seja:

a) tangente à circunferência;

b) secante à circunferência;

c) externa à circunferência.

13. Sendo d a medida da distância de uma reta t ao centro de uma circunferência, qual é a posição de t em relação a essa circunferência quando:

a) d = 8 e r = 7?

b) d = 6 e r = 9?

c) d = 10 e r = 10?

14. Em uma circunferência qualquer, toda reta perpendicular a um dos raios é tangente a essa circunferência? Justifique sua resposta.

15. Toda reta que fórma um ângulo reto com outra reta, que seja tangente a uma circunferência, passa pelo centro dessa circunferência? Justifique sua resposta.

16. Sabendo que o comprimento do raio de uma circunferência mede 10 centímetros, responda: A que medida da distância d do centro deveriam estar as retas r e s, paralelas, para que fossem, respectivamente, tangente e externa à circunferência?

4 Posições relativas de duas circunferências

De acôrdo com a posição relativa que apresentam, duas circunferências podem ser: tangentes exteriores, tangentes interiores, secantes, externas ou internas.

Para facilitar nosso estudo, vamos adotar as seguintes notações:

• O₁: centro da circunferência C₁;

• O₂: centro da circunferência C₂;

• d : medida da distância entre os centros O₁ e O₂;

• érre minúsculo₁: medida de comprimento do raio da circunferência C₁ ;

• érre minúsculo₂: medida de comprimento do raio da circunferência C₂;

• érre minúsculo₁ > érre minúsculo₂.

Circunferências tangentes exteriores

Duas circunferências são tangentes exteriores quando têm apenas um ponto comum e suas regiões internas não têm pontos comuns.

A medida da distância d entre os centros das duas circunferências tangentes exteriores é igual à soma das medidas de comprimento dos raios dessas circunferências.

Ilustração. Circunferência C1 com ponto O1 no centro e raio r1. Ao lado, circunferência C2 com centro O2 e raio r2, encostando na circunferência C1 no ponto T. Distância d entre O1 e O2.

d = érre minúsculo₁ + érre minúsculo₂

T : ponto de tangência

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Circunferências tangentes interiores

Duas circunferências são tangentes interiores quando têm apenas um ponto comum e uma é interna à outra.

A medida da distância d entre os centros das duas circunferências tangentes interiores é igual à diferença das medidas de comprimento dos raios dessas circunferências.

d = érre minúsculo₁ ‒ érre minúsculo₂

Ilustração. Circunferência C1 com centro O1. Dentro, à direita, circunferência C2 com centro O2, encostando em C1 no ponto T. Distância entre O1 a O2 é d. Distância de O1 até a linha da circunferência é r1. Distância de O2 até a linha da circunferência é r2. — T : ponto de tangência

Circunferências secantes

Duas circunferências são secantes quando têm dois pontos em comum.

Os pontos a e B são intersecções entre as circunferências. A medida da distância d entre os centros das duas circunferências secantes é dada pela seguinte desigualdade:

érre minúsculo₁ ‒ érre minúsculo₂ < d < érre minúsculo₁ + érre minúsculo₂

Ilustração. Circunferência C1 com centro O1. À direita, circunferência C2 com centro O2, interceptando C1 nos pontos A e B. A distância de O1 a O2 é d. Distância de O1 até A é r 1. A distância de O2 até A é r 2.

Circunferências externas

Duas circunferências são externas quando não têm ponto comum e suas regiões internas não têm pontos comuns.

A medida da distância d entre os centros das duas circunferências externas é maior que a soma das medidas de comprimento dos raios dessas circunferências.

d > érre minúsculo₁ + érre minúsculo₂

Ilustração. Circunferência C1 com centro O1 e raio r 1. Ao lado, circunferência C2 com centro O2 e raio r 2. As circunferências não se interseccionam. Distância de O1 a O2 é d.

Circunferências internas

Duas circunferências são internas quando não têm ponto comum e uma é interna à outra.

A medida da distância d entre os centros das duas circunferências internas é menor que a diferença das medidas de comprimento dos raios dessas circunferências.

d < érre minúsculo₁ ‒ érre minúsculo₂

Ilustração. Circunferência C1 com centro O1 e raio r1. Dentro dela, circunferência C2 com centro O2 e raio r2. Distância entre O1 e O2 é d.

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Observações

1. Quando duas ou mais circunferências têm o mesmo centro e uma é interna à outra, são denominadas circunferências concêntricas.

Esquema ponto O1, símbolo com 3 traços paralelos, que significa é coincidente ao ponto O2

Ilustração. Circunferência C1 com centro em O 1 e raio r 1. Dentro dela, circunferência C2 com centro em O2 e raio r2. O Centro O1 e O2 coincidem.

2. No caso das circunferências tangentes exteriores e das circunferências tangentes interiores, os centros O₁ e O₂ e o ponto de tangência T estão sempre alinhados.

Ilustração. À esquerda, esquema 1 com duas circunferências. A primeira com centro O1, raio r 1 e ponto T pertencente à ela. Ao lado direito, encostada no ponto T, uma circunferência menor com centro O2 e raio r 2.
Abaixo desse esquema, texto: circunferências tangentes exteriores
À direita, esquema 2 com outras duas circunferências. Uma delas grande com centro O1, raio r1 e ponto T pertencente à ela. Dentro dela, uma circunferência menor com centro O2 e raio r2, encostando na circunferência maior no ponto T.
Abaixo desse esquema, texto: circunferências tangentes interiores

Atividades

Faça as atividades no caderno.

17. Sendo érre minúsculo₁ e érre minúsculo₂ as medidas de comprimento dos raios de duas circunferências C₁ e C₂, respectivamente, e d a medida da distância entre os centros, determine as posições relativas em cada caso.

a) érre minúsculo₁ = 2 centímetros, érre minúsculo₂ = 5 centímetros e d = 10 centímetros

b) érre minúsculo₁ = 4 centímetros, érre minúsculo₂ = 2 centímetros e d = 2 centímetros

c) érre minúsculo₁ = 3 centímetros, érre minúsculo₂ = 7 centímetros e d = 10 centímetros

d) érre minúsculo₁ = 3 centímetros, érre minúsculo₂ = 10 centímetros e d = 4 centímetros

e) érre minúsculo₁ = 5 centímetros, érre minúsculo₂ = 5 centímetros e d = 8 centímetros

f) érre minúsculo₁ = 6 centímetros, érre minúsculo₂ = 4 centímetros e d = 9 centímetros

18. Determine a relação entre a medida da distância entre os centros (d ) e as medidas de comprimento dos raios de duas circunferências (érre minúsculo₁ e érre minúsculo₂, com érre minúsculo₁ > érre minúsculo₂) que são:

a) tangentes exteriores;

b) secantes;

c) externas;

d) concêntricas.

19. São dadas duas circunferências com medidas de comprimento dos raios érre minúsculo₁ = 13 centímetros e érre minúsculo₂ = 7 centímetros. Sendo d a medida da distância entre os centros dessas circunferências, quanto mede d para que essas circunferências sejam tangentes interiores?

Ilustração. Menino branco pensando, sentado. Na sua frente há uma folha sobre uma mesa e ele segura um lápis com a mão direita.

20. Dadas duas circunferências, C₁ e C₂, com medidas de comprimento dos raios érre minúsculo₁ e érre minúsculo₂, identifique as afirmações verdadeiras a seguir, considerando d como a medida da distância entre os centros dessas circunferências.

a) As duas circunferências são concêntricas quando d = 0.

b) As duas circunferências, com érre minúsculo₁ > érre minúsculo₂, são secantes quando érre minúsculo₁ ‒ érre minúsculo₂ < d < érre minúsculo₁ + érre minúsculo₂.

c) As duas circunferências são tangentes quando têm dois pontos comuns.

d) As duas circunferências são externas quando d > érre minúsculo₁ + érre minúsculo₂.

21. As circunferências da figura a seguir, de centros O₁ e O₂, têm raios medindo 2 centímetros de comprimento. Responda:

a) Quais são as medidas de comprimento de

\overline{A O_{1}}

\overline{B O_{2}}

b) Quanto mede o comprimento de cada lado do triângulo AO1O2?

c) Qual é a medida da abertura do ângulo

O ₁ \hat{A} O ₂

d) Qual é o nome do quadrilátero AO₂BO₁?

Ilustração. Circunferência com centro O1. À direita, circunferência com centro O2. C 1 e C 2 se interseccionam nos pontos A e B. Os pontos O 1, A, O 2 e B formam um losango com reta horizontal de O1 até O2.

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5 Segmentos de reta tangentes

Observe a figura.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Acima, ponto A e abaixo, ponto B com medida r. Ponto P fora da circunferência. Retas de A a P e de B a P. Segmento pontilhado de O a P.

O ponto P é externo à circunferência de centro óh e cujo comprimento do raio mede r, e os segmentos de reta

\overline{P A} e \overline{P B}

são tangentes à circunferência.

Analisando os triângulos retângulos ó á pê e OBP, temos:

•

\overline{O A} ≅ \overline{O B}

raios da circunferência

•

\overline{O P} ≅ \overline{O P}

lado comum

•

m e d (O \hat{A} P) = m e d (O \hat{B} P) = 90 °

Pelo caso de congruência do triângulo retângulo, temos: △ó á pê ≅ △OBP

Portanto,

\overline{P A} ≅ \overline{P B}

Os segmentos de reta tangentes traçados de um mesmo ponto exterior a uma circunferência são congruentes.

Observação

Dois triângulos retângulos que têm a hipotenusa e um cateto respectivamente congruentes são congruentes.

Analise estes exemplos.

Vamos determinar o valor de x, sabendo que

\overline{P A}

\overline{P B}

\overline{Q B}

\overline{Q C}

são tangentes às circunferências.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro, pontos A e B na circunferência. Acima, ponto A e abaixo, ponto B. De A parte uma reta com medida x e de B uma reta com medida 3 vírgula 5, as retas vão até ponto P que é externo a circunferência.

Temos: PA = PB

Logo:

x = 3,5

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro e pontos A e B pertencentes à circunferência. Acima, ponto A e abaixo, ponto B. De A, parte uma reta com medida 4x menos 4 e de B uma reta com medida 12, as retas vão até o ponto P À direita, fora da circunferência.

Temos: PA = PB

Logo:

4x ‒ 4 = 12

4x = 12 + 4

4x = 16

x = 4

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Ilustração. Circunferência com ponto O no centro e pontos A e B na circunferência. Acima, ponto A e, abaixo, ponto B. De A parte uma reta com medida 5x menos 14 e de B, parte uma reta com medida 2x + 10, as retas passam pelo ponto P à direita, que fica fora da circunferência.

Temos: PA = PB

Logo:

5x ‒ 14 = 2x + 10

5x ‒ 2x = 10 + 14

3x = 24

x = 8

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro, pontos A, B e C na extremidade. À esquerda, ponto A, à direita, ponto B e abaixo, ponto C. De A parte uma reta medindo x que vai até o ponto P, externo à circunferência. De C, parte uma reta com medida 5 vai até o ponto Q à direita, fora da circunferência. Reta y de B até Q. A medida PQ é 12.

Como PA = PB, temos:

PB = x

Como QB = QC, temos: y = 5

Assim: PQ = PB + QB

12 = x + 5

x = 7

Polígonos circunscritos a uma circunferência

Um polígono está circunscrito a uma circunferência quando todos os seus lados são tangentes à circunferência.

Triângulo circunscrito

Confira esta figura.

O triânguloá bê cê está circunscrito à circunferência de centro óh, e os pontos M, N e P são os pontos de tangência.

Ilustração. Triângulo ABC com circunferência dentro com centro no ponto O. Circunferência encostra no triângulo nos pontos M, N e P.

Analise este exemplo.

Observe o triânguloá bê cê circunscrito à circunferência na figura a seguir. Vamos determinar o valor de x.

Ilustração. Triângulo ABC com circunferência dentro com centro no ponto O. Circunferência encosta no triângulo nos pontos M, N e P. A medida de PB é 25, de BM é b, de MA é a, de BA é x, de AN é 10.

Como á êne = ei ém e MB = BP, temos:

á êne = a e BP = b

Então: a = 10 e b = 25

Sendo A bê = ei ém + MB, temos:

x = 10 + 25

x = 35

Página 221

Quadrilátero circunscrito

Observe a figura a seguir.

Ilustração. Quadrilátero ABCD com circunferência dentro, com centro no ponto O. Circunferência encostra no quadrilátero nos pontos M, N, P, Q.

O quadrilátero a bê cê dê está circunscrito à circunferência de centro óh, e os pontos M, N, P e Q são pontos de tangência.

A soma das medidas de comprimento de dois lados opostos de um quadrilátero circunscritível a uma circunferência é igual à soma das medidas de comprimento dos outros dois.

Considere as medidas de comprimento x, y, z e w indicadas no quadrilátero a bê cê dê circunscrito à circunferência.

Ilustração. Quadrilátero ABCD com circunferência dentro, com centro no ponto O. Circunferência encostra no quadrilátero nos pontos M, N, P, Q.
A medida dos segmentos PA e AN é x, de NB e BM é y, de MC e CQ é z, de QD e DP é w.

M, N, P e Q são pontos de tangência.

Como á êne = á pê = x, BM = BN = y, CQ = CM = z e DP = DQ = w, temos:

A bê + CD = x + y + z + w

á dê + BC = x + w + y + z

Logo:

A bê + CD = á dê + BC

Observações

1. A recíproca é verdadeira: em um quadrilátero, se a soma das medidas de comprimento de dois lados opostos é igual à soma das medidas de comprimento dos outros dois, o quadrilátero é circunscritível a uma circunferência.

2. Podemos dizer que os polígonos estão circunscritos às circunferências ou que as circunferências estão inscritas nos polígonos.

Página 222

Atividades

Faça as atividades no caderno.

22. Determine o valor de x, sabendo que os segmentos de reta são tangentes às circunferências.

Ilustração. Circunferência com ponto no centro, pontos A e B pertencentes à circunferência. Acima, ponto A e abaixo, ponto B. De A, parte uma reta com medida 20 e de B, parte uma reta com medida x. Elas vão até o ponto P à direita, fora da circunferência.

23. Determine o valor de x nos casos a seguir.

Ilustração. Triângulo formado por três retas e uma circunferência dentro que encosta nas retas em um ponto. Base do triângulo mede x, do vértice do triângulo até o ponto em que encosta na circunferência, medida 10. Do outro lado, do vértice do triângulo até o ponto em que encosta na circunferência, medida 8.

Ilustração. Triângulo formado por três retas e uma circunferência dentro que encosta nas retas em um ponto. Lateral do triângulo mede x, do vértice do triângulo até o ponto em que encosta na circunferência, medida 3. Do outro lado, do vértice do triângulo até o ponto em que encosta na circunferência, medida 5.

Ilustração. Triângulo formado por três retas e uma circunferência dentro que encosta nas retas em um ponto. Lateral do triângulo mede 7, do vértice do triângulo até o ponto em que encosta na circunferência, medida 4. Do outro lado, do vértice do triângulo até o ponto em que encosta na circunferência, medida x.

24. Determine o valor de x em cada caso.

Ilustração. Quadrilátero com lados medindo 2x, 8, 10, x. Dentro, circunferência com centro O, tocando o quadrilátero em cada lado em um ponto.

Ilustração. Quadrilátero com lados medindo x + 2, x + 8, 8, x. Dentro, circunferência com centro O, tocando o quadrilátero em cada lado em um ponto.

Ilustração. Quadrilátero com lados medindo x, 8, 10, 12. Dentro, circunferência com centro O, tocando o quadrilátero em cada lado em um ponto.

25. O ponto D é o ponto de tangência da circunferência inscrita com o lado

\overline{A B}

do triângulo á bê cê. Sabendo que á cê = 39 centímetros, A bê = 80 centímetros e BC = 89 centímetros, determine BD.

Ilustração. Triângulo ABC com circunferência dentro, tocando o triângulo em cada lado em um ponto. O ponto em que a circunferência encosta no lado AB do triângulo é D.

26. Na figura,

\overset{\leftrightarrow}{P A}

\overset{\leftrightarrow}{P B}

\overset{\leftrightarrow}{D E}

são tangentes à circunferência. Calcule a medida de perímetro do triângulo pê dê é, sendo pê á = 8 centímetros.

Ilustração. Ponto P à direita. Partindo dele, duas retas. Uma reta cruza as duas primeiras nos pontos D e E, formando o triângulo D P E. Uma circunferência com centro em O, fora do triângulo e entre as três retas, encosta em cada reta nos pontos A, C e B. Os pontos A e D estão sobre a mesma reta, assim como os pontos B e E.

Página 223

6 Arco de circunferência e ângulo central

Arco de circunferência

A parte da circunferência compreendida entre dois de seus pontos é denominada arco de circunferência.

Ilustração. Circunferência com centro O, e pontos A e B pertencentes a ela. Uma seta para a direita mostra duas partes dessa circunferência, limitadas pelos pontos A e B. A primeira parte, figura denominada arco maior, é a maior parte da circunferência, limitada pelos pontos A e B. A outra parte, figura denominada arco menor, é a menor parte da circunferência, limitada pelos pontos A e B.

Notação: AB, representada pelas letras A e B maiúsculas, com um arco levemente flexionado em cima delas. Uma seta indica a leitura da notação. Lemos: arco A B.

Chamamos os pontos a e B de extremos do arco

\overset{⌢}{A B}

Para distinguir o arco menor do arco maior, indicamos

\overset{⌢}{A B}

para o menor e utilizamos mais um ponto da circunferência para o maior. Observe as figuras.

Notação:

\overset{⌢}{A M B}

Notação:

\overset{⌢}{A B}

Quando os extremos a e B do arco coincidem com as extremidades de um diâmetro, cada um dos arcos formados é denominado semicircunferência.

Ilustração. Circunferência com segmento AB na horizontal passando pelo seu centro. A metade superior está indicada como semicircunferência e a metade inferior indicada como semicircunferência.

Página 224

Ângulo central

O ângulo cujo vértice é o centro de uma circunferência é denominado ângulo central.

Observe na figura que

A \hat{O} B

é um ângulo central e

\overset{⌢}{A B}

é o arco correspondente.

Um arco póde ter medida angular ou medida de comprimento. Aqui usaremos apenas a medida angular, que indicaremos por medida do arco.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. De O, parte uma diagonal com ponto A e uma diagonal com ponto B formando um ângulo em O. À esquerda, sobre a circunferência, ponto M.

A \hat{O} B

: ângulo central

\overset{⌢}{A B}

: arco correspondente ao ângulo

A \hat{O} B

A medida da abertura do ângulo central é igual à medida do arco correspondente.

Assim:

m e d (A \hat{O} B) = m e d (\overset{⌢}{A B})

Confira estes exemplos.

a) Vamos determinar a medida de

\overset{⌢}{A M B}

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. De O, parte uma diagonal com ponto A e uma diagonal com ponto B formando um ângulo de 80 graus em O. À esquerda, sobre a circunferência, ponto M.

Como

m e d (\overset{⌢}{A B}) = m e d (A \hat{O} B) = 80 °

, temos:

m e d (\overset{⌢}{A M B}) = 360 ° - m e d (\overset{⌢}{A B})

m e d (\overset{⌢}{A M B}) = 360 ° - 80 °

m e d (\overset{⌢}{A M B}) = 280 °

b) Observando a figura, vamos determinar as medidas de

\overset{⌢}{A B}, \overset{⌢}{A C}, \overset{⌢}{A D} e \overset{⌢}{A M D}

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. De O, saem retas diagonais que cruzam a circunferência nos pontos A, B, C, D. O ângulo DOC mede 70 graus, COB mede 50 graus, o ângulo BOA mede 60 graus. Sobre a circunferência, do lado oposto aos pontos, há um ponto M.

•

m e d (\overset{⌢}{A B}) = m e d (A \hat{O} B) = 60 °

•

m e d (\overset{⌢}{A C}) = m e d (\overset{⌢}{A B}) + m e d (\overset{⌢}{B C})

m e d (\overset{⌢}{A C}) = m e d (\overset{⌢}{A B}) + m e d (B \hat{O} C)

m e d (\overset{⌢}{A C}) = 60 ° + 50 ° = 110 °

•

m e d (\overset{⌢}{A D}) = m e d (\overset{⌢}{A C}) + m e d (\overset{⌢}{C D})

m e d (\overset{⌢}{A D}) = m e d (\overset{⌢}{A C}) + m e d (C \hat{O} D)

m e d (\overset{⌢}{A D}) = 110 ° + 70 ° = 180 °

•

m e d (\overset{⌢}{A M D}) = 360 ° ‒ m e d (\overset{⌢}{A D})

m e d (\overset{⌢}{A M D}) = 360 ° ‒ 180 ° = 180 °

Página 225

Atividades

Faça as atividades no caderno.

27. Dadas as figuras seguintes, determine as medidas dos arcos:

\overset{⌢}{M N}

\overset{⌢}{N P}

\overset{⌢}{M P}

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. De O, saem retas diagonais que cruzam a circunferência nos pontos M, N, P. O ângulo PON mede 80 graus, e o ângulo MON mede 60 graus.

\overset{⌢}{B C}

\overset{⌢}{A B}

\overset{⌢}{A C}

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. De O, saem retas diagonais que cruzam a circunferência nos pontos C, B e A. O ângulo COB mede 75 graus e o ângulo COA mede 90 graus.

28. Quantos graus mede o arco

\overset{⌢}{A M B}

da figura?

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Ao redor, circunferência com pontos A, B e M pertencentes à circunferência. Medida do arco A B é 6 x + 10 graus, Arco B M mede 5x - 5 graus, arco A M mede 3x + 5 graus.

29. Em uma circunferência, os arcos

\overset{⌢}{M N}

\overset{⌢}{M A N}

formam o giro de uma volta. Determine a medida de abertura x quando:

m e d (\overset{⌢}{M A N}) = 3 x

m e d (\overset{⌢}{M N}) = x + 30 °

m e d (\overset{⌢}{M A N}) = x + 120 °

m e d (\overset{⌢}{M N}) = x

m e d (\overset{⌢}{M A N}) = 2 x + 80 °

m e d (\overset{⌢}{M N}) = \frac{3 x}{2}

30. Calcule a medida de abertura α de cada ângulo a seguir.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. De O, partem duas retas diagonais que cruzam a circunferência nos pontos A e B, formando um ângulo alfa. Segmento A B mede 85 graus.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. De O, partem duas retas diagonais que cruzam a circunferência nos pontos A e C, formando um ângulo alfa. A reta que passa em A se prolonga e cruza a circunferência no ponto B. Segmento C B mede 150 graus.

Ilustração. Duas retas cruzam uma circunferência de centro em O em dois pontos. Uma delas nos pontos A e C e outra nos pontos D e B. Arco AB mede 70 graus.

31. Nesta figura, o ponto C é o centro da circunferência e o triângulo á bê cê é equilátero. Qual é a medida do arco

\overset{⌢}{A B}

Ilustração. Circunferência com ponto C no centro, pontos A e B pertencentes à circunferência. Triângulo ABC na parte superior. Na parte inferior, sobre a circunferência, ponto M.

32. Prove que, em uma circunferência, ângulos centrais congruentes determinam cordas congruentes.

Ilustração. Circunferência com centro em O e pontos A, B, C e D pertencentes à circunferência. Triângulo OCD e triângulo OAB. dentro da circunferência, os ângulos AOB e AOD são iguais.

Página 226

7 Ângulo inscrito

Ângulo inscrito a uma circunferência é todo ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados são secantes a essa circunferência.

Podemos estabelecer uma relação entre a medida da abertura do ângulo inscrito e a medida do arco da circunferência por ele determinado.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Acima, na circunferência, ponto V. De V, saem duas retas que cruzam a circunferência nos pontos A e B, formando ângulo AVB em destaque.

A \hat{V} B

é um ângulo inscrito que determina o arco

\overset{⌢}{A B}

na circunferência.

Ilustração. Notebook aberto com sinal de conexão wi-fi e uma lupa à frente.

Tecnologias digitais em foco

Ângulos central e inscrito a uma circunferência

Nesta seção, utilizaremos o GeoGebra, ou outro software de geometria dinâmica que seu professor indicar, para construir um ângulo inscrito a uma circunferência e o ângulo central correspondente e para investigar a relação entre as medidas das aberturas desses ângulos.

Construa

Siga os passos a seguir para construir os ângulos.

1º) Construa uma circunferência C de centro óh.

2º) Marque três pontos distintos, a, B e V, na circunferência.

3º) Trace as semirretas

\vec{O A}

\vec{O B}

\vec{V A}

\vec{V B}

O ângulo

A \hat{V} B

é um ângulo inscrito e

A \hat{O} B

é o ângulo central correspondente.

Captura de tela. Software de geometria. Na parte superior, botões de comandos. Destaque para botão com uma semirreta e dois pontos sobre ela. Aba selecionada em Semirreta. Na tela, circunferência com ponto O no centro. De O, tem origem uma reta que cruza a circunferência no ponto A e outra reta que cruza a circunferência no ponto B. Ponto V sobre a circunferência e do lado oposto do arco AB. De V saem duas retas cruzando a circunferência nos pontos A e B.

Página 227

Explore

a) Meça as aberturas dos ângulos

A \hat{V} B

A \hat{O} B

. É possível perceber alguma relação entre essas medidas?

b) Movimente os pontos móveis da construção, modificando a configuração inicial. A relação observada é válida em diferentes configurações?

Nesta figura,

A \hat{V} B

é um ângulo inscrito e

\overline{V B}

é um diâmetro da circunferência, sendo a a medida da abertura do ângulo inscrito

A \hat{V} B

e b a medida da abertura do ângulo central

A \hat{O} B

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Acima, ponto V sobre a circunferência. De V saem duas retas. Uma delas passa por O e cruza a circunferência no ponto B, a outra não passa por O e cruza a circunferência no ponto A. Os ângulos OVA e VAO são iguais a 'a'. O ângulo BOA é igual a b.

Como

\overline{O V}

\overline{O A}

são raios da circunferência, o triângulo AOV é isósceles. Assim, os ângulos da base do triângulo AOV são congruentes:

m e d (O \hat{V} A) = m e d (O \hat{A} V) = a

No triângulo AOV, temos

m e d (V \hat{O} A) = 180 ° ‒ 2 a

, pois a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um triângulo é 180graus. Observe que

V \hat{O} A

B \hat{O} A

formam um ângulo raso (estão sobre

\vec{V B}

), assim:

m e d (V \hat{O} A) + m e d (B \hat{O} A) = 180 °

180 graus, cortado com traço vermelho, menos 2a mais b igual 180 graus, cortado com traço vermelho, implica que b igual a 2a implica que a é igual a b sobre 2

Logo:

m e d (A \hat{V} B) = \frac{m e d (A \hat{O} B)}{2} o u m e d (A \hat{V} B) = \frac{m e d (\overset{⌢}{A B})}{2}

A medida da abertura do ângulo inscrito em uma circunferência é a metade da medida do arco que ele determina na circunferência.

Esse resultado vale também para outras configurações, mas não faremos a demonstração disso aqui.

Analise estes exemplos.

a) Vamos determinar a medida de abertura x do ângulo nesta figura.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Acima, ponto V sobre a circunferência. De V saem duas retas. Uma delas cruza a circunferência no ponto B, a outra cruza a circunferência no ponto A. O ângulo AVB é x e o arco AB mede 100 graus.

Como

m e d (A \hat{V} B) = \frac{med (\overset{⌢}{A B})}{2}

, temos:

m e d (A \hat{V} B) = \frac{100 °}{2}

m e d (A \hat{V} B) = 50 °

Portanto:

x = m e d (A \hat{V} B) = 50 °

Página 228

b) Nesta figura, qual é a medida de

\overset{⌢}{A B}

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. À esquerda, ponto V sobre a circunferência. De V saem duas retas que cruzam a circunferência nos pontos A e B. O ângulo A V B é 65 graus.

Como

m e d (A \hat{V} B) = \frac{med (\overset{⌢}{A B})}{2}

, temos:

65 ° = \frac{med (\overset{⌢}{A B})}{2} \Rightarrow m e d (\overset{⌢}{A B}) = 65 ° \cdot 2 \Rightarrow m e d (\overset{⌢}{A B}) = 130 °

c) Sabendo que a, B e C são pontos de uma circunferência e que a abertura do ângulo central

A \hat{O} B

mede 70graus, quais são as medidas de

\overset{⌢}{A B}

e da abertura do ângulo inscrito

A \hat{C} B

Como

m e d (\overset{⌢}{A B}) = m e d (A \hat{O} B)

, temos:

m e d (\overset{⌢}{A B}) = 70 °

Como

m e d (A \hat{C} B) = \frac{m e d (\overset{⌢}{A B})}{2}

, temos:

m e d (A \hat{C} B) = \frac{70 °}{2}

m e d (A \hat{C} B) = 35 °

Observações

1. O ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Segmento horizontal tracejado AB passa em O. Triângulo de base AB e vértice tocando a circunferência, cujo ângulo teta mede 90 graus.

θ = \frac{med (\overset{⌢}{A B})}{2} = \frac{180 °}{2} = 90 °

Ilustração. Jovem de cabelo castanho, blusa laranja e calça escura segura um livro e diz: A medida do arco que representa qualquer semicircunferência é igual a 180 graus.

2. Ângulos inscritos que determinam o mesmo arco são congruentes.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. dois pontos sobre ela, de cada um deles parte duas retas que cruzam a circunferência nos pontos A e B. Os ângulos alfa e beta, referentes aos pontos de partida da reta, estão voltados para o arco AB.

α = β = \frac{med (\overset{⌢}{A B})}{2}

Página 229

Atividades

Faça as atividades no caderno.

33. Encontre o valor de α, em grau, em cada figura.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Duas retas diagonais que partem de um ponto sobre a circunferência formam ângulo alfa e arco de 60 graus. Uma das retas passa por O.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Duas retas diagonais que partem de um ponto sobre a circunferência formam ângulo alfa. Uma das retas passa por O. De O, parte uma reta e cruza a circunferência no mesmo ponto que uma das retas diagonais, formando um ângulo de 39 graus.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Duas retas diagonais que partem de um ponto sobre a circunferência formam um ângulo de 80 graus e o arco alfa.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Duas retas se cruzam no centro e cada uma delas cruza a circunferência em dois pontos. Dois segmentos unem os pontos, de forma que haja um triângulo maior partido ao meio, dividido em 2 triângulos. Na base do triângulo maior, há o ponto O. Um ângulo do triângulo interno mede alfa e um ângulo do outro triângulo interno mede 50 graus.

34. Um triângulo á bê cê está inscrito em uma circunferência, e o arco

\overset{⌢}{A C}

mede 100graus. Calcule a medida da abertura do ângulo

C \hat{A} B

, sabendo que a abertura de

B \hat{C} A

mede 60graus.

35. Calcule a medida da abertura, em grau, dos ângulos assinalados.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Dentro, figura de 4 lados, formada por duas retas que partem do ponto O e duas retas que partem de um ponto sobre a circunferência, acima do ponto O, cujo ângulo é 4x. Em O, o ângulo é 6x + 30 graus.

36. Determine a e b, em grau, na figura a seguir sabendo que a + 2b = 127graus.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Dentro, triângulo MNP com ângulos a em N e b em M.

37. Sabendo que

\vec{B E}

é bissetriz de

A \hat{B} C

, determine a medida do arco

\overset{⌢}{E C B}

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Dentro, triângulo BC com ângulo de 55 graus em A e 57 graus em C. Reta diagonal de B cruzando a circunferência em E.

38.

Utilizando um software de geometria dinâmica, faça uma construção geométrica de acôrdo com os passos a seguir.

1º) Construa uma circunferência C₁ de centro em a e raio

\overline{A B}

2º) Construa uma circunferência C₂ de centro em B e raio

\overline{A B}

3º) Marque C, uma das intersecções entre as circunferências C₁ e C₂.

4º) Trace a reta

\overset{\leftrightarrow}{C A}

5º) Marque D, intersecção da circunferência C₁ com a reta

\overset{\leftrightarrow}{C A}

, D ≠ C.

6º) Trace a semirreta

\vec{A B}

7º) Trace a semirreta

\vec{D B}

Agora faça o que se pede:

a) Utilizando as ferramentas do software, analise a construção realizada e indique a relação entre as medidas das aberturas dos ângulos

C \hat{A} B

C \hat{D} B

b) No caderno, elabore uma questão sobre a construção realizada de maneira que um colega possa responder utilizando os recursos disponíveis no software de geometria dinâmica.

Troque de caderno com um colega e responda à questão elaborada por ele. Em seguida, troquem as descobertas que fizeram com a construção e a investigação dos passos descritos.

Página 230

Resolvendo em equipe

Faça a atividade no caderno.

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso.

(ó bê mépi) Desenhe duas circunferências de mesmo centro, uma de raio medindo 1 centímetro e a outra de raio medindo 3 centímetros. Na região exterior à circunferência de 1 centímetro de raio e interior à de 3 centímetros de raio, desenhe circunferências que sejam, simultaneamente, tangentes às duas circunferências, como mostrado na figura dada.

Ilustração. Circunferência com três circunferências menores dentro, encostando umas nas outras em um ponto. Duas encostam na circunferência maior.

a) Qual deve ser o raio dessas circunferências?

b) Qual é o número máximo dessas circunferências que podem ser desenhadas, sem que elas se sobreponham?

Interpretação e identificação dos dados	• Analise as informações do enunciado e anote no caderno as que você julgar relevantes para a resolução do problema. • Copie a figura em seu caderno e analise-a considerando as duas circunferências desenhadas inicialmente (concêntricas). Depois, determine a medida de comprimento r dos raios das circunferências tangentes. • Una os centros das circunferências menores. Que figura geométrica você obtém? Justifique.
Plano de resolução	• Quais são as medidas das aberturas dos ângulos internos da figura encontrada no item anterior?
Resolução	• Junte-se a dois colegas. • Comparem os planos de resolução e verifiquem se eles contêm ideias comuns. • Discutam as diferenças e as semelhanças de cada plano e escolham um deles para a execução do processo de resolução. Observação Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individualmente no caderno.
Verificação	• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.
Apresentação	• Apresentem a figura dada no problema e sua solução, construídas com régua e compasso, em uma folha de papel sulfite.

Página 231

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Circunferência

Corda e diâmetro de uma circunferência

Sendo óh, centro da circunferência, temos:

Ilustração. Circunferência com segmentos AB e CD que se cruzam. Os pontos A, B, C e D estão sobre a circunferência. No centro, ponto O.

•

\overline{A B}

\overline{C D}

são cordas;

•

\overline{C D}

é um diâmetro;

•

\overline{O D}

\overline{O C}

são raios.

Posições de uma reta em relação a uma circunferência

Em cada circunferência C, considere d a medida da distância da reta ao centro óh da circunferência e r a medida de comprimento do raio da circunferência.

Reta secante

Uma reta é secante a uma circunferência quando corta a circunferência em dois pontos distintos.

Ilustração. Circunferência C com ponto O no centro. Pontos A e B sobre a circunferência, com reta s passando por eles. Segmento OB medindo r e segmento partindo de O e chegando em s com ângulo de 90 graus.

Nesse caso, temos: d < r

Reta tangente

Uma reta é tangente a uma circunferência quando tem apenas um ponto em comum com ela.

Ilustração. Circunferência C com ponto O no centro. Ponto A na circunferência, com reta t passando por ele. Segmento r, partindo de O e chegando em A medindo d.

Nesse caso, temos: d = r

Reta externa

Uma reta é externa a uma circunferência quando não tem nenhum ponto em comum com ela.

Ilustração. Circunferência C com ponto O no centro. Reta k que não intercepta a circunferência com ponto A sobre ela. Segmento saindo de O e chegando em A com ângulo de 90 graus, medindo d. Distância de O à circunferência medindo r.

Nesse caso, temos: d > r

Posições relativas de duas circunferências

Nas circunferências C₁ e C₂, considere d a medida da distância entre O₁ e O₂ (respectivamente, centros das circunferências C₁ e C₂) e érre minúsculo₁ e érre minúsculo₂ as medidas de comprimento dos raios, respectivamente, das circunferências C₁ e C₂, tal que érre minúsculo₁ > érre minúsculo₂.

Circunferências tangentes exteriores

Duas circunferências são tangentes exteriores quando têm apenas um ponto comum e suas regiões internas não têm pontos comuns.

Nesse caso, temos:

d = érre minúsculo₁ + érre minúsculo₂

T: ponto de tangência

Ilustração. Circunferências C 1 e C 2 tangentes em um ponto t. O centro de C 1 é o ponto O 1 e o centro de C 2 é o ponto O 2. A medida do comprimento do raio de C 1 é indicada por r 1 e a medida do comprimento do raio de C 2 é indicada por r 2. Na figura há uma cota indicando que r 1 mais r 2 é igual a d

Circunferências tangentes interiores

Duas circunferências são tangentes interiores quando têm apenas um ponto comum e uma é interna à outra.

Ilustração. Circunferência C1 com centro O1 e raio r1. Dentro dela, à direita, circunferência C2 com centro O2 e raio r2 intercepta a C1 no ponto T. De O1 a O2 a distância é d.

Nesse caso, temos:

d = érre minúsculo₁ ‒ érre minúsculo₂

T: ponto de tangência

Circunferências secantes

Duas circunferências são secantes quando têm dois pontos em comum.

Ilustração. Circunferências C 1 e C 2 secantes. Elas se intersectam nos pontos A e B. O centro de C 1 é o ponto O 1 e o centro de C 2 é o ponto O 2. A medida do comprimento do raio de C 1 é indicada por r 1 e a medida do comprimento do raio de C 2 é indicada por r 2. Na figura há uma cota indicando que a medida da distância entre os centros é d. Há também o contorno de um triângulo de vértices nos pontos A, O 1 e O 2.

Nesse caso, temos:

érre minúsculo₁ ‒ érre minúsculo₂ < d < érre minúsculo₁ + érre minúsculo₂

A e B: intersecções entre as circunferências.

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Circunferências externas

Duas circunferências são externas quando não têm ponto comum e suas regiões internas não têm pontos comuns.

Nesse caso, temos: d > érre minúsculo₁ + érre minúsculo₂

Ilustração. Circunferência C1 com centro O1 e raio r1. À direita, circunferência C2 com centro O2 e raio r2. C1 e C2 não se interceptam. Distância de O1 a O2 é d.

Circunferências internas

Duas circunferências são internas quando não têm ponto comum e uma é interna à outra.

Nesse caso, temos: d < érre minúsculo₁ ‒ érre minúsculo₂

Ilustração. Circunferência C1 com centro O1 e raio r 1. Dentro dela, circunferência C2 com centro O2 e raio r 2. C1 e C2 não se interceptam. Distância de O1 a O2 é d.

1. Observe a figura e indique um segmento de reta que seja:

Ilustração. Circunferência de centro E com os pontos F, G, H, I, J na circunferência. Segmentos FI, FG, EH, FJ. O segmento FJ passa por E.

a) raio

b) corda

c) diâmetro

2. Considere uma circunferência de centro óh e raio de medida de comprimento r. Indicando por d a medida da distância entre uma reta e o centro da circunferência, determine a posição da reta em relação à circunferência para:

a) d = 4 centímetros e r = 4 centímetros;

b) d = 8 centímetros e r = 5 centímetros;

c) d = 11 centímetros e r = 16 centímetros;

d) d = 5 centímetros e r = 5 centímetros.

3. A medida da distância entre os centros de duas circunferências tangentes interiores é 7 centímetros. As medidas de comprimento dos raios são 2x ‒ 3 e x + 1. Qual é a medida de comprimento do raio de cada circunferência, considerando que o raio de maior medida de comprimento mede 2x ‒ 3?

4. Os centros de duas circunferências tangentes exteriores estão distantes 55 centímetros, e as medidas de comprimento dos raios são expressas por 3x + 1 e 5x ‒ 2. Qual é a medida de comprimento do raio de cada circunferência?

5. Qual é a posição relativa de duas circunferências cujos raios medem 7 centímetros e 4 centímetros de comprimento e a distância entre seus centros mede 10 centímetros?

Segmentos de reta tangentes

Os segmentos de reta tangentes traçados de um mesmo ponto exterior a uma circunferência são congruentes.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Acima, ponto A e, abaixo, ponto B. De A e de B, retas vão até P à direita, fora da circunferência. AP = BP.

6. Determine o valor de x em cada caso sabendo que os segmentos de reta são tangentes às circunferências.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Acima, ponto A e, abaixo, ponto B. De A, sai uma reta com medida 3x + 5 e de B, sai uma reta com medida 7x menos 15 que vai até P à direita, fora da circunferência.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Acima, ponto C e, abaixo, ponto D. De C, sai uma reta com medida 3x sobre 2 menos 5 e de D, sai uma reta com medida 4x sobre 3 + 4 que vai até Q à esquerda, fora da circunferência.

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7. Em cada figura a seguir, temos uma circunferência inscrita em um triângulo. Determine as medidas de comprimento x.

Ilustração. Triângulo PQR com circunferência dentro, interceptando o triângulo em três pontos. A medida do segmento de P até o ponto que intercepta a circunferência é 22 centímetros, a medida de PQ é x e a medida de Q até o ponto que intercepta a circunferência é 7 centímetros.

Ilustração. Triângulo SUT com circunferência dentro, interceptando o triângulo em quatro pontos. A medida do segmento de U até o ponto que intercepta a circunferência é x, a medida de UT é 25 centímetros e a medida de T até o ponto que intercepta a circunferência é 16 centímetros.

8. Calcule a medida de perímetro deste quadrilátero circunscrito à circunferência.

Ilustração. Quadrilátero ABCD com circunferência dentro, interceptando cada lado do quadrilátero em um ponto. A medida do segmento que vai de A até o ponto que intercepta a circunferência é 1 centímetro e meio. A medida do segmento que vai de B até o ponto que intercepta a circunferência é 1 centímetro e meio. A medida do segmento que vai de C até o ponto que intercepta a circunferência é 2 centímetros e meio. A medida do segmento CD é 5 centímetros.

Arco de circunferência e ângulo central

Arco de circunferência

A parte da circunferência compreendida entre dois de seus pontos é denominada arco de circunferência.

Ângulo central

O ângulo cujo vértice é o centro de uma circunferência é denominado ângulo central.

A medida da abertura do ângulo central é igual à medida do arco correspondente.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. De O, saem duas retas diagonais que cruzam a circunferência, uma no ponto A e outra no ponto B. Ângulo AOB mede 80 graus e ponto M está do lado oposto ao arco AB.

Como

m e d (\overset{⌢}{A B}) = m e d (A \hat{O} B)

, temos:

m e d (\overset{⌢}{A B}) = 80 °

m e d (\overset{⌢}{A M B}) = 280 °

Ângulo inscrito

Ângulo inscrito a uma circunferência é todo ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados são secantes a essa circunferência.

A medida da abertura do ângulo inscrito em uma circunferência é a metade da medida do arco que ele determina na circunferência.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. Acima, ponto V. De V saem duas retas diagonais que cruzam a circunferência nos pontos A e B.

m e d (A \hat{V} B) = \frac{m e d (\overset{⌢}{A B})}{2}

9. Determine a medida x, em graus, e a medida da abertura de cada ângulo central em destaque.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. De O, duas retas diagonais formam ângulo 3x. Arco maior, formado pelas retas ao cruzar a circunferência, tem 291 graus.

Ilustração. Circunferência com ponto O no centro. De O, duas retas diagonais forma ângulo x elevado ao quadrado e arco 5x + 24 graus.

10. Determine as medidas x e y das aberturas dos ângulos nas circunferências a seguir.

Ilustração. Circunferência com duas retas que se cruzam no centro da circunferência, formando quatro ângulos, dois maiores e dois menores. Um dos ângulos maiores é y. Segmento que une os pontos em que a circunferência se encontra com as retas à direita formam um triângulo com o centro, com um ângulo x.

Ilustração. Circunferência com duas retas que se cruzam dentro da circunferência, e cada uma cruza a circunferência em dois pontos. Segmento que une os pontos em que a circunferência se encontra com as retas forma dois triângulos. Um possui um ângulo x e o outro um ângulo de 38 graus.

11. Se a medida da abertura de um ângulo inscrito em uma circunferência é 84graus e o arco da circunferência compreendido entre seus lados mede 5x + 8graus, qual é a medida da abertura x?

12. Qual é a medida x, em grau, nesta figura?

Ilustração. Circunferência com ponto no centro. Dentro, figura de 4 lados, formada por duas retas que partem do centro e duas retas que partem de um ponto sobre a circunferência, acima do centro, cujo ângulo é 5x. Em O, o ângulo é 170 graus.

Glossário

Arte abstrata: : arte que não procura elaborar uma representação visual precisa da realidade.; Voltar para o texto