Unidade 4

Capítulo 10 Vistas ortogonais e volumes

Capítulo 11 Construção de gráficos estatísticos

Capítulo 12 Probabilidade e estatística

Ícone do tema PLURALIDADE CULTURAL.
Fotografia. Grupo de pessoas de camisetas e calças brancas jogando capoeira em uma rua.
Roda de capoeira em Salvador (Bahia). Foto de 2022.

A roda de capoeira é uma manifestação cultural brasileira, herança africana que se difundiu por todo o Brasil, com elementos de arte marcial, esporte, cultura, dança e música.

Quais são as regras da capoeira? O que você conhece da cultura afro-brasileira? Qual era a porcentagem da população negra no Brasil de 2014 a 2019? Ao final desta Unidade, você responderá a essas e outras questões.

Capítulo 10  Vistas ortogonais e volume

Trocando ideias

Ícone do tema CIÊNCIA E TECNOLOGIA.

O modelador 3 dê é o profissional que desenvolve a representação de objetos tridimensionais, por meio de softwares. Os modelos criados podem ser usados por cientistas, arquitetos, médicos e engenheiros. Além disso, muitos modeladores 3 dê trabalham para a indústria cinematográfica, de games ou no mercado publicitário.

Fotografia. Vista de trás de um homem negro de cabelo curto e blusa azul. Ele está de frente para um monitor com a imagem de uma peça em 3D com as projeções em representadas em planos.
Modelador 3 dê trabalhando no protótipo de uma peça automotiva.

Ícone de atividade em dupla.

Reúna-se com um colega e, inspirados na imagem anterior, desenhem as projeções do paralelepípedo nos planos Alfa, Beta e gama

.

Figura geométrica. Planos alfa, beta e gama ortogonais entre si. Plano alfa à esquerda, beta à direita e gama abaixo. Um paralelogramo está posicionado entre os planos.

Ícone de atividade oral.

 

Ícone de atividade em grupo.

Em sua opinião, qual é a importância do trabalho dos modeladores 3 dê para a Medicina? E para a Engenharia? Converse com os colegas.

Neste capítulo, vamos estudar as vistas ortogonais de figuras espaciais e as medidas de volume de prismas e cilindros retos.

1 Vistas ortogonais

Projeção ortogonal

Analise as projeções ortogonais de um ponto sobre uma reta e de um segmento de reta sobre uma reta.

Figura geométrica. Representação da reta r um pouco inclinada. Na parte de cima da reta r há o ponto P, não pertencente a r, e, uma reta tracejada s perpendicular a r passa por P. O ponto de intersecção entre r e s é P'.

A projeção ortogonal do ponto P sobre a reta r é o ponto pê linha.

Figura geométrica. Representação da reta r horizontal. Na parte de cima de r há um segmento de reta inclinado, não pertencente a r, com extremidades A e B. Na reta r estão projetados os pontos A' e B', sendo A', determinado pela intersecção de r com uma reta perpendicular a ela passando por A, e B', determinado pela intersecção de r com uma reta perpendicular a ela, passando por B.

A projeção ortogonal do segmento de reta

Segmento de reta AB.

 sobre a reta r é o segmento de reta

Segmento de reta A linha B linha.

Agora, vamos estudar as projeções ortogonais sobre um plano.

Considere o ponto P e o plano α representados a seguir.

Esquema. Sequência de figuras geométricas. Primeiro a representação do plano alfa na horizontal e do ponto P na parte de cima, não pertencente à alfa. Uma seta aponta para uma figura igual a anterior, porém com a projeção ortogonal de P no plano alfa, representada por P', que corresponde à intersecção de uma reta que passa por P e é perpendicular à alfa.

O ponto pê linha é a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano α. Considerando uma reta perpendicular ao plano α, que contém o ponto P, o ponto pê linha é a intersecção dessa reta com o plano.

Projeção ortogonal de figuras sobre um plano

A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos dessa figura sobre esse plano.

Considere alguns exemplos.

Figura geométrica. Representação do plano alfa na horizontal e acima uma pirâmide de base quadrada não pertencente a alfa. A base da pirâmide é ortogonal ao plano. Algumas flechas ortogonais a alfa mostram a projeção ortogonal da pirâmide no plano alfa: um triângulo.
O triângulo é a projeção ortogonal dessa pirâmide, nessa posição, sobre o plano α.
Figura geométrica. Representação do plano beta na horizontal e acima um cubo não pertencente a beta. Uma face do cubo é paralela ao plano. Algumas flechas ortogonais a beta mostram a projeção ortogonal do cubo no plano alfa: um quadrado.
O quadrado é a projeção ortogonal desse cubo, nessa posição, sobre o plano β.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Identifique a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano Alfa.

Figura geométrica. Representação do plano alfa na horizontal e do ponto P na parte de cima, não pertencente à alfa. No plano alfa estão representados os pontos A, B, C e D e os segmentos tracejados PA, OB, PB, PC e PD. O segmento PC é ortogonal à alfa.

2. Que figura plana representa a projeção ortogonal do cilindro a seguir, nessa posição, sobre o plano Alfa?

Figura geométrica. Representação do plano alfa na horizontal e acima um cilindro não pertencente a alfa. A base do cilindro é paralela ao plano.

3. Analise o exemplo anterior da projeção ortogonal da pirâmide sobre o plano Alfa. Ao mudar a posição dessa pirâmide, a projeção ortogonal sobre o plano sempre continuará sendo um triângulo? Explique sua resposta.

4. Represente, no caderno, a projeção ortogonal de um prisma de base hexagonal em relação a um plano Alfa. Considere que uma das faces do prisma esteja contida em um plano Beta paralelo a Alfa. Depois, responda:

a) A projeção ortogonal será sempre a mesma, independentemente da posição do prisma em relação ao plano?

b) Supondo que seja um prisma hexagonal regular e reto, se uma face lateral for paralela ao plano Alfa, que figura representará a projeção ortogonal do prisma sobre o plano Beta?

Vistas ortogonais

Carlos trabalha em uma metalúrgica. Para confeccionar algumas peças, ele usa as especificações que estão em um manual de instruções.

Ilustração. Homem branco de bigode com capacete amarelo, óculos de proteção, blusa azul de mangas compridas e luvas amarelas. Ele está com as mãos em uma peça metálica.

Estas são as imagens do manual de instruções.

Esquema. Representação de uma peça em formato de cubo e três saídas arredondadas: indicação das cotas A na parte de acima, B à esquerda e C na parte de trás. Ao lado, a representação de uma das vistas ortogonais da peça, sendo composta por um retângulo, cujo lado maior está na horizontal mede 44 milímetros de comprimento. Abaixo, há um retângulo centralizado verticalmente e justaposto ao anterior. Seu lado maior está na horizontal e mede 54 milímetros de comprimento. Do lado esquerdo há um retângulo justaposto e do lado direito outro igual, também justaposto, sendo os três centralizados horizontalmente. Os lados menores desses retângulos iguais medem 14 milímetros de comprimento e são horizontais. O comprimento de seus lados maiores são menores do que o retângulo central. À direita, há a representação de outra vista ortogonal da peça. Um quadrado com lados medindo 50 milímetros de comprimento. No centro do quadrado há uma circunferência cujo diâmetro mede 26 milímetros. Outra circunferência, concêntrica a essa, é apresentada e seu diâmetro mede 40 milímetros.  Justaposto ao quadrado, há um retângulo centralizado verticalmente a ele. Seu lado menor mede 12 milímetros de comprimento e é vertical. O outro lado, justaposto ao quadrado tem  medida de comprimento menor que a do lado do quadrado. A altura total da figura, lados do quadrado e do retângulo juntos, mede 62 milímetros. Há um retângulo tracejado com lados medindo 30 e 20 milímetros de comprimento, posicionado na parte de cima da figura.

Neste exemplo, podemos identificar a imagem da peça a ser confeccionada e a representação de duas de suas vistas ortogonais. Essas vistas correspondem à projeção ortogonal da peça a dois planos distintos.

Ilustração. Representação da peça da página anterior. Ao lado esquerdo há um plano com a projeção ortogonal, correspondente a uma das figuras do esquema da página anterior e, ao lado direito há outro plano, ortogonal ao plano anterior, com a projeção ortogonal correspondente a outra figura do esquema da página anterior.

A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é chamada de vista ortogonal.

As vistas são obtidas em planos perpendiculares entre si e paralelos dois a dois. Nas ilustrações a seguir, temos a representação de um cubo e as projeções ortogonais de suas faces sobre os planos numerados de 1 a 6.

Esquema. Cubo colorido em que é possível ver três faces: uma amarela com a letra A, uma alaranjada com a letra B e outra verde com a letra C. Abaixo, a legenda cubo. À esquerda, o mesmo cubo colorido no centro de seis planos perpendiculares entre si. As projeções ortogonais das faces do cubo aparecem nos planos. A face amarela com a letra A é projetada  no plano 3 de trás à direita; a face alaranjada com a letra B é projetada no plano 1 de trás à esquerda; a face verde com a letra C é projetada no plano 2 inferior; a face oculta lilás com a letra D é projetada no plano 4 da frente à esquerda; a face oculta vermelha com a letra E e projetada no plano 6 da frente à direita e a face oculta azul com a letra F é projetada no plano 5 acima do cubo. À esquerda estão apresentadas as vistas ortogonais do cubo nos planos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Neste caso, consideraremos a vista sobre o plano 1 como a vista frontal do cubo; logo, teremos seis vistas ortogonais do cubo: frontal (1), posterior (6), superior (2), inferior (5), lateral esquerda (3) e lateral direita (4).

Observações

1. Quando as arestas não são visíveis na vista ortogonal considerada, usamos linhas tracejadas para indicá-las. Considerando que a vista ortogonal da face laranja, na figura a seguir, corresponde à vista frontal da figura, temos:

Esquema. Figura geométrica espacial, semelhante a uma escada de dois degraus. Dois vértices A e B e a aresta AB estão destacados. Ao lado direito estão representadas a vista ortogonal frontal: figura alaranjada em formato de L invertido verticalmente; a vista ortogonal lateral esquerda: dois quadrados verdes na vertical; a vista ortogonal superior: dois quadrados amarelos lado a lado na horizontal; a vista ortogonal posterior: figura vermelha em formato de L; a vista ortogonal lateral direita: dois quadrados roxos na vertical; a vista ortogonal inferior: dois quadrados azuis lado a lado na horizontal.

 Observe que a aresta

Segmento de reta AB.

, visível somente nas vistas superior e lateral esquerda, foi representada por uma linha tracejada nas vistas inferior e lateral direita.

2. Não existe uma regra para determinar a frente de uma figura e, consequentemente, sua vista frontal. Uma vez escolhida a frente, esta é tomada como referência para obtermos as outras vistas da figura.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

5. Entre as imagens a seguir, qual não representa uma das vistas ortogonais da peça a seguir?

Figura geométrica. Sólido geométrico roxo composta por um paralelepípedo embaixo e um em cima com base quadrada, semelhante a dois degraus de uma escada.

a)

Figura geométrica. Retângulo horizontal com quadrado acima, alinhado à esquerda.

b)

Figura geométrica. Retângulo horizontal com quadrado acima, alinhado à direita.

c)

Figura geométrica. Dois retângulos horizontais.

d)

Figura geométrica. Dois retângulos horizontais. O lado comum é pontilhado.

6. Represente, no caderno, as seis vistas ortogonais de cada um dos sólidos.

a)

Figura geométrica. Sólido geométrico composto por um prisma de base quadrada azul e uma pirâmide de base quadrada verde com base coincidente à do prisma.

b)

Figura geométrica. Tronco de pirâmide alaranjada.

7. Márcia desenhou duas vistas ortogonais de uma peça de metal.

Esquema. Peça de metal com uma abertura retangular acima e um botão de cada lado. Ao lado direito, a representação da vista ortogonal superior da peça: um retângulo com um círculo de cada lado e legenda "Vista ortogonal superior". Ao lado esquerdo, a vista ortogonal frontal: um retângulo com uma parte acima aberta para dentro e a legenda "Vista ortogonal frontal".

a) Desenhe, no caderno, uma possível vista lateral dessa peça.

b)

Ícone de atividade em grupo.

Há mais de um modo de desenhar essa vista? Converse com o professor e os colegas.

8. Considerando que a vista ortogonal da face verde, na figura a seguir, corresponde à vista frontal da figura, represente no caderno as vistas frontal, superior e lateral esquerda.

Figura geométrica. Sólido geométrico com formato de prisma. A base é verde e é um polígono não convexo que lembra o formato achatado da letra I maiúscula.

Depois, responda às questões.

a) Qual é a relação entre a vista ortogonal frontal e posterior, entre a vista ortogonal superior e inferior, e entre a vista ortogonal lateral esquerda e direita?

b) Para que, a partir das vistas, possamos imaginar a figura tridimensional, precisamos desenhar as seis vistas? Converse com o professor e os colegas.

Representação de figuras

Acompanhamos, anteriormente, como representar as vistas ortogonais de figuras não planas ou de objetos. Nesse momento, vamos estudar uma técnica para representar, no plano, uma figura ou um objeto a partir de suas vistas ortogonais.

Fotografia. Destaque para as mãos de uma pessoa: uma mão segura uma caixa de embalagem e a outra mão desenha a caixa e uma folha de papel. Há algumas representações da caixa desenhadas na folha. A mesa tem várias folhas embaixo com desenhos e outros moldes de caixas espalhados.
Em diferentes profissões, como em arquitetura, engenharia, design etcétera, usam-se diversas técnicas para representar um objeto no plano.

Para fazer essa representação, não é necessário conhecer todas as vistas. Geralmente, são usadas três vistas ortogonais: lateral esquerda, superior e frontal.

Considere o exemplo.

A seguir, apresentamos três vistas ortogonais de uma figura não plana.

Esquema. Malha quadriculada com figuras geométricas representadas. A primeira com a legenda 'Vista ortogonal lateral esquerda' é alaranjada em formato de L, sendo composta por 4 quadradinhos da malha. A segunda, à esquerda, com legenda 'Vista ortogonal superior' é um retângulo verde composto por seis quadradinhos da malha, sendo 3 de largura e dois de altura. E a terceira à direita, com a legenda 'Vista ortogonal frontal' é um quadrado lilás composto por  quadradinhos da malha, cujo lado corresponde ao de 3 lados dos quadradinhos da malha.

Vamos representar essa figura no plano, utilizando uma malha triangular. Nesse caso, considere, nas respectivas malhas, que o lado do quadradinho tem mesma medida de comprimento do lado do triângulo.

1º) Representamos a vista ortogonal lateral esquerda.

Figura geométrica. Malha triangular, com figura alaranjada em formato de L.

2º) Representamos a vista ortogonal superior.

Figura geométrica. Sequência da figura anterior. Malha triangular com figura alaranjada em formato de L e dois paralelogramos verdes.

3º) Representamos a vista ortogonal frontal.

Figura geométrica. Sequência da figura anterior. Malha triangular com figura alaranjada em formato de L, dois paralelogramos verdes e dois retângulos roxos.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

9. Em uma malha triangular, represente a figura correspondente a cada conjunto de vistas.

a)

Esquema. Malha quadriculada com retângulos verdes. Vista ortogonal lateral esquerda: retângulo verde formado por quatro quadradinhos da malha um abaixo do outro. Vista ortogonal superior: retângulo verde na horizontal formado por 3 quadradinhos da malha na horizontal um ao lado do outro. Vista ortogonal frontal: retângulo verde com lados medindo quatro quadradinhos na vertical por 3 na horizontal.

b)

Esquema. Malha quadriculada com figuras roxas. Vista ortogonal lateral esquerda: figura semelhante à uma escada: três quadradinhos da malha na horizontal, acima dois na horizontal e acima um, alinhados à esquerda. Vista ortogonal superior: quadrado roxo com lado de três quadradinhos. Vista ortogonal frontal quadrado roxo com lado de três quadradinhos.

c)

Esquema. Malha quadriculada com figuras alaranjadas. Vista ortogonal lateral esquerda: retângulo com dois quadradinhos de largura (horizontal) por três de comprimento (vertical). Vista ortogonal superior: figura semelhante a uma escada: dois quadradinhos lado a lado na horizontal e um acima alinhada à esquerda. Vista ortogonal frontal: retângulo igual ao da Vista ortogonal lateral esquerda.

10. Associe cada conjunto de vistas ortogonais ao objeto correspondente.

Esquema. Conjunto de figuras 1. Três figuras azuis: a primeira é composta por um retângulo e um polígono não convexo; a segunda, ao lado direito, por um retângulo dividido ao meio por um segmento tracejado e, a terceira, abaixo, por um retângulo maior e um menor centralizado. Esquema. Conjunto de figuras 2. Três figuras azuis: a primeira é composta por um retângulo e um trapézio; a segunda, ao lado direito, é um retângulo dividido em três trapézios e outro polígono com formato de T invertido; e, a terceira, abaixo, é um retângulo dividido em um trapézio ao centro e depois triângulos. Esquema. Conjunto de figuras 3. Três figuras azuis: a primeira é um retângulo dividido por um fio que forma dois outros polígonos de 5 lados; a segunda, ao lado direito, é um retângulo dividido em três retângulos, sendo dois congruentes; e, a terceira, abaixo, é um retângulo dividido em quatro retângulos, sendo 3 congruentes. Esquema. Conjunto de figuras 4. Três figuras azuis: a primeira é composta por um retângulo e um trapézio; a segunda, ao lado direito, é um retângulo dividido ao meio por um segmento de reta; e, a terceira, abaixo, é um retângulo dividido em outros 5 retângulos. Esquema. Sólido geométrico A: composto por um paralelepípedo e outro prisma com formato de rampa. Esquema. Sólido geométrico B: composto por um paralelepípedo na base e outro prisma bases no formato de trapézio. Esquema. Sólido geométrico C: composto por um paralelepípedo na base e um tronco de pirâmide acima. Esquema. Sólido geométrico D: composto por um poliedro não convexo em formato de U invertido e um paralelepípedo pequeno em cima.

11.

Ícone de atividade em dupla.

 

Ícone de resposta pessoal.

Pense em um sólido geométrico e represente três vistas ortogonais dele. Peça a um colega que identifique o sólido geométrico a partir das vistas desenhadas.

12.

Ícone de atividade em dupla.

 

Ícone de resposta pessoal.

Imagine um objeto e represente, em uma malha quadriculada, as vistas ortogonais: frontal, superior e lateral esquerda. Depois, faça o que se pede.

a) Entregue seu desenho a um colega e peça a ele que represente seu objeto em uma malha triangular. Você também deverá representar o objeto que ele imaginou.

b) Depois, confiram os desenhos elaborados e verifiquem se as vistas ortogonais desenhadas estavam adequadas, permitindo a representação correta do objeto.

Ilustração. Lupa com um olho aumentado.

Veja que interessante

A perspectiva na arte

Houve um período em que as imagens eram retratadas sem a utilização de técnicas para criar a noção de profundidade e volume.

Fotografia. Reprodução em mosaico de pedras do mapa de uma cidade. O formato é semelhante ao de um círculo achatado e o fundo é amarelado. É possível observar uma espécie de entrada, à esquerda, uma rua central horizontal e telhados e casas.
Reprodução do mapa de Madaba, também conhecido como mosaico de Madaba. Datada do século seis dê cê, essa é a representação mais antiga de Jerusalém, Israel.

Com o passar do tempo, os artistas foram desenvolvendo e aperfeiçoando fórmas de retratar o aspecto da realidade em suas obras.

No século quinze, o escultor e arquiteto Filippo Brunelêsqui (1377-1446) percebeu que, ao olhar paisagens, construções ou outros elementos distantes, todas as linhas convergiam para um ponto no horizonte. Ele também percebeu que essas linhas marcavam a diminuição da medida de comprimento dos objetos quanto mais distantes se encontravam de nosso olhar. Esse ponto no horizonte é chamado ponto de fuga.

Com isso, foi desenvolvida uma perspectiva que se caracterizava pelo uso do ponto de fuga, para o qual converge uma série de linhas (linhas de fuga), tornando possível a representação de objetos tridimensionais.

Confira o seguinte desenho de um trabalho de Brunelêsqui e a construção finalizada.

Fotografia. Desenho preto e branco em perspectiva do interior de uma igreja. É possível observar pilares do lado direito e do lado esquerdo que formam arcos na parte superior e uma parte do teto. Há também algumas pessoas circulando.
Filippo Brunelêsqui, Desenho em perspectiva para a Igreja do Espírito Santo, Florença, Itália, 1428.
Fotografia. Vista de baixo para cima do do interior da igreja representada no desenho anterior. É possível observar pilares do lado direito e do lado esquerdo que formam arcos na parte superior. Uma parte do teto aparece bem nítida com desenhos em formato circular.
Vista interna da Igreja do Espírito Santo, Florença, Itália. Foto de 2020.

Atividade

Ícone de atividade em dupla.

Pesquise obras de arte em que seja possível notar a presença de um ou mais pontos de fuga. Depois, compartilhe com um colega as obras que você encontrou e analise as obras dele enquanto ele analisa as suas.

Clique no play e acompanhe a reprodução do Áudio.

Transcrição do áudio

Matemática na Arquitetura

Duração: 11:10min. Página: 263.

>> [LOCUTORA] Matemática na Arquitetura

>> [LOCUTORA] A Matemática é essencial para a Arquitetura, servindo como base para criar as estruturas das construções. Além disso, serve como inspiração para as formas dos prédios e como ferramenta para calcular os custos das obras.

>> [LOCUTORA] Conversamos com o arquiteto David Moreno Sperling sobre a presença da Matemática no dia a dia dos arquitetos e a importância da Geometria e da perspectiva para esses profissionais. Também falamos sobre o papel da disciplina em questões importantes, como a preservação do meio ambiente.

>> [LOCUTORA] David já teve seu próprio escritório de Arquitetura e hoje dá aula para pós-doutorandos na Universidade de São Paulo.

>> [LOCUTORA] Oi, David. Você pode contar um pouco sobre como a Matemática apareceu, durante a sua graduação?

>> [DAVID MORENO SPERLING] No... no curso de graduação, ela... a Matemática, ela está presente desde o seu princípio, não é? Ela influencia as disciplinas que são posteriores, como as disciplinas de estruturas, de conforto ambiental, todas as disciplinas que nós chamamos técnicas, não é?, elas têm uma base tanto na Matemática, que considerando aí a Matemática não só a dimensão, a parte algébrica, mas também a parte geométrica, como também essas disciplinas têm uma... uma forte base na Física. Então, Matemática e Física, elas têm uma articulação, uma proximidade muito grande no curso de Arquitetura.

>> [LOCUTORA] Você poderia falar sobre como um arquiteto cria um projeto? De que maneira a Geometria auxilia no desenho de formas e de objetos em perspectiva?

>> [DAVID MORENO SPERLING] No campo do projeto e também da visualização das formas, não é?, é fundamental que utilizemos alguns desenhos, não é? E há alguns desenhos que comumente são chamados de plantas, de cortes, e há aqueles, que talvez estejam dentre os mais interessantes, que são chamadas [sic] de perspectivas, né? São aquelas que têm o poder de nos situar dentro de determinadas paisagens... ou de determinados espaços, como se nós estivéssemos dentro deles, né? Essa... essas perspectivas, elas estão dentro de um campo da Geometria, chamado geometria projetiva, e que estuda as relações entre os objetos reais e a sua imagem projetada ou, num certo sentido, como nós vemos as coisas. E aqui de... de início tem algo muito interessante, né?, que nos coloca a distinção entre o real e a percepção... e que, com certeza, traz reflexões muito importantes, não é?, entre o que é o real e a percepção. Então, nem sempre aquilo que é o real é aquilo que... como nós vemos, não é? Por exemplo, então, se citamos um trilho de trem, sabemos que ele é feito por duas linhas paralelas, não é? Isso é inegável. Por outro lado, dependendo da posição onde nós nos encontramos diante desse trilho, parece que essas duas linhas não são paralelas, mas elas são concorrentes, isto é, elas se encontrariam, né?, num ponto. Agora, um experimento interessante para fazermos em relação ao trilho do trem é imaginarmos uma imagem aérea desse mesmo trilho, não é?, que desconstrói rapidamente a primeira percepção. Então vejam só, se estamos posicionados no trilho, essas linhas parecem ser concorrentes e, se estamos sobrevoando esse trilho, na verdade elas recompõem a sua posição... na percepção de linhas paralelas. Então, nessas chamadas perspectivas cônicas, ou essas que têm um ponto de fuga, né?, que esse ponto para onde todas as linhas convergem, há uma relação direta entre distância e dimensão do que vemos. Significa aquilo que está mais perto é maior e aquilo que está mais distante é menor. Esses objetos com essa variação de percepção, né?, elas... na verdade, essa variação não está no objeto em si mesmo, mas na nossa percepção sobre esse objeto e que nós chamamos comumente de ilusão de ótica, não é? Há um campo das perspectivas na geometria projetiva que resolveu esse problema, vamos dizer assim, que são as chamadas perspectivas paralelas ou, então, as perspectivas cavaleiras, não é?, que, ao invés de representarem o mundo a partir desse ponto de fuga único, não é?, procura preservar a grandeza dos objetos. Então, são objetos que todos os seus lados, né?, preservam as suas dimensões, mas, num certo sentido, ao não privilegiarem, não é?, essa chamada ilusão de ótica, eles parecem um pouco estranhos para nós porque eles não se encaixam dentro desse cone visual ao qual estamos acostumados por conta da nossa percepção, não é?, e é uma percepção que, não só a Matemática estuda, mas novamente também a Física estuda a partir do campo da ótica.

>> [LOCUTORA] Conhecer bem os assuntos da Matemática ajuda a minimizar o impacto das obras no meio ambiente? Como?

>> [DAVID MORENO SPERLING] Claramente, a Arquitetura, ela está vinculada também com os impactos no meio ambiente. Talvez seja uma das atividades humanas que mais impactam o meio ambiente atualmente, não é? E a Matemática tem um papel-chave para pensarmos alguns aspectos vinculados a esses desafios. Então, por exemplo... dois exemplos acho que são significativos, não é? É... um vindo da necessidade do nosso entendimento tanto geométrico quanto algébrico das formas, e por outro, como na Arquitetura nós lidamos com formas que possuem matéria, elas estão sujeitas também às leis da Física, e as leis da Física que têm essa inter-relação com a... com a Matemática.

>> [DAVID MORENO SPERLING] Então vamos ver. No primeiro caso, nós podemos pensar numa obra que tenha uma maior área com menor gasto de material. Vamos pensar no seguinte: numa relação entre comprimento dos lados e a área de um polígono. Vamos imaginar o seguinte: se eu tenho um quadrado de lado 2, então, vamos fazer a somatória dos metros lineares de parede para fechar esse quadrado. Então, nós teríamos 2 + 2 + 2 + 2 igual a 8 metros lineares de parede. Vamos pensar, então, quais... qual é a área desse quadrado: lado 2, 2 x 2, nós temos 4 metros quadrados. Pois bem, vamos pensar, então, uma outra forma, uma forma que tenha os mesmos 8 metros lineares de parede. Por exemplo, um retângulo que é feito dos lados 1 + 3 + 1 + 3. Então, nós temos 8 metros lineares de parede. Por outro lado, se nós fizermos o cálculo da área desse retângulo, nós teremos o lado 3, de comprimento 3, e o lado de comprimento 1. Então, 3 x 1, nós temos 3 metros quadrados. Então, percebemos o seguinte: que, com os mesmos 8 metros lineares de parede, né?, nós podemos ter uma obra com mais área ou menos área. Vamos imaginar, então, que nós teríamos o mesmo gasto de tijolos para preencher essas paredes nos dois casos, mas, no primeiro caso, nós teríamos uma eficiência maior no seguinte sentido: eu tenho uma obra maior com o mes.... com o mesmo gasto de tijolo da obra... da segunda obra, que tem uma área menor.

>> [DAVID MORENO SPERLING] No segundo caso, não é?, esse que eu estava dizendo sobre a inter-relação da Matemática, com a Arquitetura e as leis da Física, exatamente porque as formas que produzimos na arquitetura, elas possuem matéria, não é?, há claramente inter-relações nas escolhas que os arquitetos fazem entre matérias, as formas e a posição no espaço que essa arquitetura... essas arquiteturas são posicionadas, né?, em relação, por exemplo, aos pontos cardiais e ventos predominantes, né? Essas relações, então, entre matéria, forma e posição no espaço, elas alteram claramente o conforto ambiental de uma edificação. Há formas e mesmo... relações entre formas, por exemplo, quando escolhemos relações entre poliedros, que facilitam o escoamento do vento, por exemplo. Então, nós podemos ter uma obra que tem um maior conforto ambiental e obras que têm menor conforto ambiental, exatamente por essas escolhas entre... e articulações, né?, vínculos entre materiais, formas e as posições no espaço.

>> [DAVID MORENO SPERLING] Isso se tratamos de arquitetura numa pequena escala, mas essas questões são válidas para escala urbana e estamos diante agora de fenômenos urbanos... é... fantásticos, mas ao mesmo tempo desafiadores e com sérios problemas, não é? Vamos pensar as grandes metrópoles e a necessidade de pensarmos em cidades mais compactas, não é?, que usam menos energia e requerem menores distâncias para os transportes.

>> [DAVID MORENO SPERLING] Então, como pensar, por exemplo, tanto em relação ao primeiro caso, não é?, de maiores áreas com menores gastos de material ou, no segundo caso, com conforto ambiental mais adequado, quando pensamos em termos de grandes metrópoles. Claramente, a questão da energia e de um menor uso de energia é chave para a nossa sobrevivência no planeta. Então, nesse sentido, a Matemática tem claros instrumentos para auxiliar os arquitetos nesses desafios.

Vinheta.

Créditos

Studio Núcleo de Criação

2 Medidas de volume

Agora, vamos estudar as medidas de volume de prismas e cilindros retos. Antes de iniciar esse estudo, é necessário relembrar as características dessas figuras geométricas.

Prismas e cilindros

Os prismas são poliedros com duas bases paralelas que são polígonos congruentes; as demais faces são paralelogramos.

Ilustração. Prisma de base quadrada verde. Ilustração. Prisma de base triangular alaranjado. Ilustração. Prisma de base hexagonal lilás.

Observações

1. O prisma de base retangular e faces também retangulares é denominado bloco retangular ou paralelepípedo reto-retângulo.

2. O cubo é o paralelepípedo reto-retângulo que tem todas as faces quadradas.

Os cilindros são corpos redondos que têm duas bases circulares congruentes.

Ilustração. Cilindro azul. As bases estão na posição horizontal. Ilustração. Cilindro lilás. As bases estão na posição vertical.

Medida do volume de um paralelepípedo reto-retângulo

Para estudar a medida do volume dos outros prismas e dos cilindros, vamos relembrar o cálculo da medida do volume de um bloco retangular.

A medida do volume de um paralelepípedo reto-retângulo é calculada da maneira a seguir.

Ilustração. Paralelepípedo azul com as cotas a indicando o comprimento; b indicando a largura; e c indicando a altura.
Esquema. Quadro com a fórmula: V paralelepípedo, igual a a vezes b vezes c. de a sai a cota indicando medida do comprimento; de b sai a cota indicando medida da largura e de c sai a cota indicando medida da altura.

Considerando as medidas do comprimento (a) e da largura (b) como medidas das dimensões da base de um paralelepípedo reto-retângulo, podemos escrever:

Esquema. Quadro com a fórmula: V paralelepípedo, igual a A base vezes c. de A base sai a cota indicando medida da área da base; de c sai a cota indicando medida da altura.

Considere este exemplo.

Uma piscina, que tem o formato de um bloco retangular, ocupa uma área cuja medida é igual a 20 métros quadrados. Foi colocada água até 1,5 métro de medida de altura. Quantos litros de água foram colocados nessa piscina? (Lembre que 1 métro cúbico = .1000 litros)

piscina = abase h = 20 métros quadrados 1,5 métro = 30 métros cúbicos

Como 1 métro cúbico = .1000 litros, temos:

30 métros cúbicos = .30000 litros

Portanto, foram colocados .30000 litros de água na piscina.

Medida do volume de um prisma triangular reto

Considere que um paralelepípedo reto-retângulo, como o representado, foi decomposto em dois prismas triangulares idênticos, cujas bases são triângulos retângulos.

Esquema. Paralelepípedo azul com diagonais das bases traçadas. Estão indicadas as cotas das dimensões da base a e b e da altura c. Abaixo o paralelepípedo está decomposto em dois prismas de base triangular iguais.
Esquema. Paralelepípedo azul com diagonais das bases traçadas. Estão indicadas as cotas das dimensões da base a e b e da altura c. Abaixo o paralelepípedo está decomposto em dois prismas de base triangular iguais.

A medida do volume de um paralelepípedo reto-retângulo é calculada pelo produto:

Vparalelepípedo = a b c

Como esse paralelepípedo foi decomposto em dois prismas triangulares idênticos, a medida do volume de cada prisma triangular corresponde à metade da medida do volume do paralelepípedo.

Medida do volume do prisma de base triangular é igual a metade da medida do volume do paralelepípedo que é igual a metade de a vezes b vezes c. À direita a expressão o número 1 em algarismo romano.
Ilustração. número 1 em algarismo romano.

A medida da área da base do paralelepípedo é igual a:

Abase do paralelepípedo = a b

A medida da área da base de cada prisma triangular é metade da medida da área da base do paralelepípedo. Então:

Medida da área da base dos prisma triangular é igual a metade da medida da área da da base do paralelepípedo que é igual a metade de a vezes b. À direita a expressão o número 2 em algarismo romano.
Ilustração. número 2 em algarismo romano.

De

Ilustração. número 1 em algarismo romano.

e

Ilustração. número 2 em algarismo romano.

, podemos escrever:

Vprisma triangular = A base do prisma triangular c

Ou seja:

Esquema. Sentença matemática V prisma triangular, igual A base do paralelepípedo igual a meio vezes c. De A sai um fio para a cota medida da área da base e de c sai um fio para a cota medida de altura.

Medida do volume de um prisma reto

Qualquer prisma regular póde ser dividido em prismas triangulares idênticos. A quantidade de prismas triangulares formados será igual ao número de lados da base desse prisma regular.

Por exemplo, o prisma pentagonal regular póde ser decomposto em 5 prismas triangulares idênticos.

Figura geométrica. Prisma de base pentagonal regular. Os pentágonos das bases estão divididos em 5 triângulos congruentes cujo centro do pentágono é um vértice comum a todos. A altura c está indicada.

Logo, a medida do volume desse prisma póde ser calculada assim:

Vprisma pentagonal = 5 Vprisma triangular

Medida do volume do prisma de base pentagonal é igual a 5 vezes a medida da área da base do prisma de base triangular vezes c. Há uma cota para letra c indicando: medida da altura

Observe que a medida da área da base do prisma pentagonal corresponde à soma das medidas das áreas das bases dos prismas triangulares, ou seja, A base do prisma pentagonal = 5 A base do prisma triangular. Assim, podemos escrever:

Esquema. Sentença matemática. V prisma pentagonal igual a A base do prisma pentagonal vezes c. De c sai um fio indicando a cota 'medida da altura'.

Esse processo descrito para o prisma pentagonal regular póde ser adaptado para qualquer prisma reto.

De modo geral, a medida do volume de qualquer prisma reto póde ser calculada multiplicando-se a medida da área da base pela medida da altura.

Esquema. Quadro com sentença matemática. V prisma igual a V base vezes c. De c sai um fio indicando a cota 'medida da altura'.

Acompanhe estes exemplos.

a) A altura do prisma triangular mede 10 centímetros, e a base é um triân­gulo equilátero cujo comprimento do lado mede 7 centímetros e o comprimento da altura mede 6centímetros.

Figura geométrica. Prisma de base triangular. Os triângulos das bases são equiláteros, com altura medindo 6 centímetros e lados 7 centímetros de comprimento. A altura do prisma mede 10 centímetros de comprimento.

Qual é a medida do volume desse prisma?

Inicialmente, calculamos a medida da área da base:

 

Sentença matemática. A base igual a fração 7 centímetros vezes 6 centímetros sobre 2 igual a 21 centímetros quadrados.

Logo, a medida do volume do prisma é:

Vprisma = 21 centímetros quadrados 10 centímetros = 210 centímetros cúbicos

b) Um prisma reto de base hexagonal regular tem 10 centímetros de medida de altura e base de medida de área igual a 15 centímetros quadrados.

Figura geométrica. Prisma de base hexagonal regular com altura medindo 10 centímetros de comprimento.

Qual é a medida do volume desse prisma?

Vprisma = 15 centímetros quadrados 10 centímetros = 150 centímetros cúbicos

Portanto, a medida do volume do prisma é 150 centímetros cúbicos.

Medida do volume de um cilindro reto

Ao dividir um círculo em n setores, sendo n um número muito grande, cada um dos setores circulares se aproxima do formato de um triângulo.

Figura geométrica. Círculo alaranjado divido em 20 setores iguais.

Do mesmo modo, dado um cilindro, a medida da área da sua base póde ser aproximada pela medida da área de n triângulos. Assim, a medida do volume de um cilindro reto poderá ser aproximada pela medida do volume de n prismas triangulares com a mesma medida da altura do cilindro.

Esquema. Cilindro alaranjado. Seta para a a direita. À direita o mesmo cilindro com a dividido em 20 partes iguais, seguindo a divisão dos setores da base da ilustração anterior.

A medida do volume de um cilindro reto póde ser calculada multiplicando-se a medida da área da base pela medida da altura:

Esquema. Quadro com sentenças matemáticas. V cilindro igual a A base vezes c. Ou V cilindro igual a pi vezes r ao quadrado igual a c. Das variáveis c das duas sentenças matemáticas saem fios que levam à cota medida da altura.

Acompanhe o exemplo.

Uma lata se parece com um cilindro reto, conforme mostra a imagem.

Esquema. Fotografia de uma lata metálica em formato cilíndrico. Estão indicadas as medidas do comprimento do raio da base, 4 centímetros, e da altura da lata, 13 centímetros.

Sabendo que a medida da capacidade interna da lata corresponde a 90% da medida do volume total, quantos mililitros, aproximadamente, cabem nessa lata?

Inicialmente, calculamos a medida da área da base. Para isso, vamos considerar pi = 3,14:

Abase = pi érre2 = 3,14 (4 centímetros)2 = 3,14 16 centímetros quadrados = 50,24 centímetros quadrados

Logo, a área da base mede 50,24 centímetros quadrados.

Agora, determinamos a medida do volume da lata:

Vcilindro = Abase c = 50,24 centímetros quadrados 13 centímetros = 653,12 centímetros cúbicos

Portanto, o volume da lata mede 653,12 centímetros cúbicos.

Para determinar a medida da capacidade interna da lata, consideramos 90% da medida do volume total.

653,12 centímetros cúbicos 0,9 = 587,808 centímetros cúbicos

Como 1 centímetro cúbico = 1 mililitro, concluímos que cabem aproximadamente 588 mililitros nessa lata.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

13. Calcule a medida do volume dos seguintes paralelepípedos.

a)

Figura geométrica. Paralelepípedo lilás com dimensões de medidas: 4 centímetros de largura, 5,3 centímetros de comprimento e 6,5 centímetros de altura.

b)

Figura geométrica. Paralelepípedo amarelo com dimensões de medidas: 2 centímetros de largura, 10,25 centímetros de comprimento e 2 centímetros de altura.

c)

Figura geométrica. Paralelepípedo vermelho com dimensões de medidas: 2,8 centímetros de largura, 4 centímetros de comprimento e 9,75 centímetros de altura.

14. Calcule a medida do volume dos prismas a seguir.

a)

Figura geométrica. Prisma de base triangular amarelo com altura medindo 12 centímetros. O triângulo das bases é retângulo e os lados que formam o ângulo reto tem medidas de comprimento 4 centímetros e 3 centímetros.

b) Considere que o triângulo da base é equilátero.

Figura geométrica. Prisma de base triangular vermelho com altura medindo 8 centímetros. O triângulo das bases é equilátero e tem altura medindo 5,2 centímetros e lados com comprimento medindo 6 centímetros.

15. Considere um prisma octogonal regular, que foi decomposto em oito prismas triangulares idênticos. A medida da área da base desse prisma octogonal é 32 centímetros quadrados e a medida da altura é 5 centímetros.

a) Calcule a medida do volume do prisma octogonal.

b) Calcule a medida do volume de cada prisma triangular.

16. Considere os cilindros a seguir.

Esquema. Cilindro 1 verde, com altura medindo 3 centímetros e comprimento do diâmetro da base medindo 4 centímetros. Ao lado direito, cilindro 2 verde, com altura medindo 5 centímetros e comprimento do diâmetro da base medindo 4 centímetros. Ao lado direito, cilindro 3 verde, com altura medindo 5 centímetros e comprimento do diâmetro da base medindo 6 centímetros.

a) Sem efetuar os cálculos, indique qual dos cilindros tem maior medida de volume e qual tem menor medida de volume. Justifique sua resposta.

b) Calcule a medida do volume de cada um dos cilindros. Considere pi = 3,14.

17. Considere um prisma pentagonal reto em que a altura mede 5 centímetros e sua base é um pentágono regular cujo comprimento do lado mede 3 centímetros (considere que o comprimento do apótema mede 2,1 centímetros). Qual é a medida do volume desse prisma?

18. Neste recipiente, colocou-se água até

Ilustração. Dois terços.

da medida de altura.

Ilustração. Recipiente em formato de paralelipípedo com dimensões de medidas: 20 centímetros de largura, 20 centímetros de comprimento e 36 centímetros de altura. O recipiente contém dois terços de água.

a) Qual é a medida do volume de água que foi colocada nesse recipiente?

b) Quantos mililitros de água ainda poderiam ser colocados nesse recipiente?

19. Márcia pretende embalar alguns bombons para entregar a um cliente. Ela já embalou, anteriormente, essa mesma quantidade em uma caixa cujo volume media 900 centímetros cúbicos. Para esses novos bombons, ela tem as seguintes caixas:

Ilustração. Caixa em formato de paralelepípedo com dimensões de medidas: 10 centímetros de largura, 20 centímetros de comprimento e 5 centímetros de altura. Ao lado, uma caixa em formato cúbico. As arestas medem 10 centímetros de comprimento.

a) Considerando somente a medida do volume, Márcia poderá utilizar as caixas disponíveis? Justifique.

b) Além da medida do volume, o que Márcia poderia considerar na escolha da caixa?

c)

Ícone de resposta pessoal.

Indique uma informação que poderia ser acrescentada no enunciado, de modo que torne ambas as caixas inadequadas para Márcia.

20.

Ícone de resposta pessoal.

 

Ícone de atividade em dupla.

Elabore um problema envolvendo o cálculo da medida do volume de um cilindro reto qualquer. Escolha adequadamente o cilindro e suas medidas.

Em seguida, troque seu problema com o de um colega para que um resolva o problema criado pelo outro. Depois, confiram as resoluções e verifiquem se as informações contidas nos problemas foram suficientes para resolvê-los.

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

Vistas ortogonais

A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é chamada de vista ortogonal.

Quando as arestas não são visíveis na vista ortogonal considerada, usamos linhas tracejadas para indicá-las, como a aresta

Segmento de reta AB.

está indicada nas vistas inferior e lateral direita.

Esquema. Figura geométrica espacial, semelhante a uma escada de dois degraus. Dois vértices A e B e a aresta AB estão destacados. Ao lado direito estão representadas a vista ortogonal frontal: figura vermelha em formato de L invertido verticalmente; a vista ortogonal lateral esquerda: dois quadrados alaranjados na vertical; a vista ortogonal superior: dois quadrados lilás lado a lado na horizontal. Abaixo, a vista ortogonal posterior: figura verde em formato de L; a vista ortogonal lateral direita: dois quadrados azuis na vertical; a vista ortogonal inferior: dois quadrados verdes lado a lado na horizontal.

1. Considerando que a frente da figura é a face azul, represente a vista ortogonal superior, lateral esquerda e frontal destes sólidos geométricos.

a)

Figura geométrica. Malha triangular com a representação de um sólido geométrico em formato de T invertido.

b)

Figura geométrica. Malha triangular com a representação de um sólido geométrico em formato de L.

2. Represente a vista ortogonal frontal, lateral esquerda e superior desta pirâmide de base quadrada representada na malha triangular.

Figura geométrica. Malha triangular com a representação de uma pirâmide de base quadrada verde.

3. Escreva o poliedro que tenha as vistas ortogonais indicadas em cada item.

a)

Ilustração. Representação da vista ortogonal superior. Retângulo lilás com um segmento ao meio (vertical) e dois outros tracejados paralelos ao do meio, mas próximos aos lados do retângulo. Ao lado, representação da vista ortogonal frontal. Pentágono lilás.

b)

Ilustração. Representação da vista ortogonal superior. Hexágono lilás dividido em 6 triângulos. O centro do hexágono é um vértice comum a todos triângulos. Ao lado, representação da vista ortogonal frontal. Triângulo lilás.

Medidas de volume

Medida do volume de um prisma reto

Esquema. Quadro com sentença matemática. V prisma igual a V base vezes c. De c sai um fio indicando a cota 'medida da altura'.

Medida do volume de um cilindro reto

Esquema. Quadro com sentenças matemáticas. V cilindro igual a A base vezes c. Ou V cilindro igual a pi vezes r ao quadrado igual a c. Das variáveis c das duas sentenças matemáticas saem fios que levam à cota medida da altura.

4. Determine a medida do volume destes sólidos geométricos. Considere pi = 3,14.

a)

Figura geométrica. Paralelepípedo alaranjado com dimensões de medidas: 2,5 centímetros de largura, 2,5 centímetros de comprimento e 15 centímetros de altura.

b)

Figura geométrica. Cilindro azul, com altura medindo 12 centímetros e comprimento do raio da base medindo 4 centímetros.

5. Quantos metros cúbicos de água são necessários para encher uma piscina retangular com 25 métros de medida do comprimento, 10 métros de medida da largura e 1,8 métro de medida da profundidade?

6. Um aquário tem o formato de um prisma de base triangular. Sabe-se que o triângulo da base é retângulo com catetos com medidas de comprimento de 50 centímetros e 40 centímetros e que a medida da altura do aquário é 20 centímetros. Determine:

a) a medida do volume do aquário em centímetros cúbicos;

b) quantos litros de água cabem nesse aquário. (Lembre-se: 1 litro = .1000 centímetros cúbicos)

7. Uma caixa-d’água cilíndrica será esvaziada completamente para limpeza. Ela tem 2,4 métros de medida de comprimento do diâmetro e 1 métro de medida da altura. Considerando pi = 3, determine:

a) a medida do volume da caixa-d’água em métro cúbico;

b) quantos litros de água cabem nessa caixa. (Lembre-se: 1 litro = .1000 centímetros cúbicos)

8. Calcule a medida do volume de um prisma de base hexagonal, sabendo que o hexágono da base é regular com lados medindo 3 centímetros de comprimento e que a medida da altura do prisma é 8 centímetros.