Página quarenta e seis

Resoluções e comentários das atividades

Parte 1

REVISÃO DOS CONTEÚDOS DE ANOS ANTERIORES

Para Capítulo 1 – Potenciação e radiciação com números reais

Páginas 10 e 11

1. a) Falsa, pois 7,3 é um número racional, que pode ser representado como

\frac{73}{10}

b) Verdadeira, pois

\sqrt{12}

é um número real.

c) Falsa, pois

‒ \frac{3}{4}

é um número racional.

d) Verdadeira, pois

0,33 3 \dots = \frac{1}{3}

, ou seja, é um número racional.

2. Como

\sqrt{16} = 4

‒ \sqrt{81} = ‒ 9

, os números dos itens a e e são racionais. O número do item b é um decimal exato, o do item d e uma dízima periódica e o do item g é um número na fórma de fração, portanto são também números racionais.

Os números dos itens c, f e h não são racionais, porque a representação decimal destes números tem infinitas casas decimais e não é periódica (são números irracionais).

3. a)

11^{7} \cdot 11^{12} = 11^{7 + 12} = 11^{19}

{(‒ \frac{1}{2})}^{10} \cdot {(‒ \frac{1}{2})}^{15} = {(‒ \frac{1}{2})}^{10 + 15} = {(‒ \frac{1}{2})}^{25}

31^{15} : 31^{14} = 31^{15 - 14} = 31^{1}

{(\frac{3}{5})}^{20} : {(\frac{3}{5})}^{12} = {(\frac{3}{5})}^{20 - 12} = {(\frac{3}{5})}^{8}

4. a) Incorreta, pois

3^{10} = 3^{8 + 2} = 3^{8} \cdot 3^{2}

b) Incorreta, pois

5^{9} : 5^{3} = 5^{9 - 3} = 5^{6}

c) Correta, pois

7^{5} \cdot 7^{6} = 7^{5 + 6} = 7^{11}

d) Correta, pois

100^{12} : 100^{11} = 100^{12 - 11} = 100^{1} = 100

5. a) 2 116 = 2elevado a 2 ⋅ 23elevado a 2

\sqrt{2 116} = 2 \cdot 23 = 46

b) 625 = 5elevado a 4

\sqrt{625} = 5^{2} = 25

c) 972 = 2elevado a 2 ⋅ 3elevado a 5

972 não tem raiz exata

d) 784 = 2elevado a 4 ⋅ 7elevado a 2

\sqrt{784} = 2^{2} \cdot 7 = 28

6. a) Entre 49 (7elevado a 2) e 64 (8elevado a 2).

b) Entre 81 (9elevado a 2) e 100 (10elevado a 2).

c) Entre 169 (13elevado a 2) e 196 (14elevado a 2).

d) Entre 361 (19elevado a 2) e 400 (20elevado a 2).

7. Utilizando as respostas da atividade anterior:

a) Calculamos os quadrados dos números entre

7 (\sqrt{49} = 7)

8 (\sqrt{64} = 8)

, com uma casa decimal:

7,1elevado a 2 = 50,41 (< 51)

7,2elevado a 2 = 51,84 (> 51)

Assim, 7,1 é a aproximação para

\sqrt{51}

b) Calculamos os quadrados dos números entre

9 (\sqrt{81} = 9)

10 (\sqrt{100} = 10)

, com uma casa decimal:

9,5elevado a 2 = 90,25 (< 93)

9,6elevado a 2 = 92,16 (< 93)

9,7elevado a 2 = 94,09 (> 93)

Assim, 9,6 é a aproximação para

\sqrt{93}

c) Calculamos os quadrados dos números entre

13 (\sqrt{169} = 13)

e 14

(\sqrt{196} = 14)

, com uma casa decimal:

13,5elevado a 2 = 182,25 (< 190)

13,6elevado a 2 = 184,96 (< 190)

13,7elevado a 2 = 187,69 (< 190)

13,8elevado a 2 = 190,44 (> 190)

Assim, 13,8 é a aproximação para

\sqrt{190}

d) Calculamos os quadrados dos números entre

19 (\sqrt{361} = 19)

20 (\sqrt{400} = 20)

, com uma casa decimal:

19,5elevado a 2 = 380,25 (< 388)

19,6elevado a 2 = 384,16 (< 388)

19,7elevado a 2 = 388,09 (> 388)

Assim, 19,7 é a aproximação para

\sqrt{388}

Para Capítulo 2 – Matemática financeira

Página 11

8. a) 0,42 ⋅ 50 = 21

b) 0,16 ⋅ 160 = 25,6

c) 0,6 ⋅ 32 = 19,2

d) 0,95 ⋅ 8 = 7,6

e) 1,2 ⋅ 68 = 81,6

9. a) 0,15 ⋅ 900 = 135

Então, o novo valor será R$ 1.035,00mil trinta e cinco reais, pois 900 + 135 = .1035.

b) 0,1 ⋅ 900 = 90

Então, o novo valor será R$ 990,00novecentos e noventa reais, pois 900 + 90 = 990.

c) 0,2 ⋅ 900 = 180

Então, o novo valor será R$ 720,00setecentos e vinte reais, pois 900 menos 180 = 720.

d) 0,01 ⋅ 900 = 9

Então, o novo valor será R$ 891,00oitocentos e noventa e um reais, pois 900 menos 9 = 891.

Para Capítulo 3 – Segmentos proporcionais e semelhança

Página 11

10. Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:

\frac{5}{4} = \frac{10}{8}

5 ⋅ 8 = 4 ⋅ 10 ⇒ 40 = 40 (sentença verdadeira)

Nesse caso, formam uma proporção.

\frac{1}{3} = \frac{2}{4}

1 ⋅ 4 = 3 ⋅ 2 ⇒ 4 = 6 (sentença falsa)

Nesse caso, não formam uma proporção.

\frac{18}{3} = \frac{6}{1}

18 ⋅ 1 = 3 ⋅ 6 ⇒ 18 = 18 (sentença verdadeira)

Nesse caso, formam uma proporção.

\frac{7}{5} = \frac{10}{14}

7 ⋅ 14 = 5 ⋅ 10 ⇒ 98 = 50 (sentença falsa)

Nesse caso, não formam uma proporção.

Logo, os pares de razões dos itens a e c formam uma proporção.

Página quarenta e sete

Para Capítulo 4 – Fatoração e equações do 2º grau

Páginas 11 e 12

11. a) Substituindo x por menos1 em 45 + 43x, temos:

45 + 43 ⋅ (menos 1) = 45 menos 43 = 2

b) Substituindo x por menos1 em

\frac{12 x - 1}{10 x}

, temos:

\frac{12 \cdot (‒ 1) - 1}{10 \cdot (‒ 1)} = \frac{‒ 12 - 1}{‒ 10} = \frac{‒ 13}{‒ 10} = 1,3

c) Substituindo x por menos1 em 2xelevado a 2 menos x, temos:

2 ⋅ ( menos 1)elevado a 2 menos (menos 1) = 2 ⋅ 1 + 1 = 2 + 1 = 3

12. a) 6a menos 9b + 12b menos a = 5a + 3b

\frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{6} = \frac{6 x}{12} + \frac{4 x}{12} + \frac{2 x}{12} = \frac{12 x}{12} = x

c) 2y menos 9 + 8y + 9 = 10y

13. a) 22 ⋅ (9 + 3x menos 2y) = 22 ⋅ 9 + 22 ⋅ 3x + 22 ⋅ (menos 2y) =

= 198 + 66x menos 44y

b) a ⋅ b ⋅ (menos 3b) = menos 3a belevado a 2

\frac{b}{4} \cdot (‒ \frac{a}{3}) = ‒ \frac{a b}{12}

14. a) Equação do 2º grau incompleta, pois c = 0.

b) Equação do 2º grau incompleta, pois b = 0.

c) Não é uma equação do 2º grau, pois o maior expoente da incógnita é 1.

d) Equação do 2º grau completa.

15. a) 5xelevado a 2 + 5x + 5 = 0

b) 9xelevado a 2 menos x = 0

c) 9xelevado a 2 menos 1 = 0

16. a) Falsa, pois, se substituirmos x por 0 na equação 2xelevado a 2 menos 5x = 0, teremos:

2 ⋅ 0elevado a 2 menos 5 ⋅ 0 = 0 ⇒ 0 = 0 (sentença verdadeira)

Logo, 0 é raiz dessa equação.

b) Verdadeira, pois, se substituirmos x por 0 na equação

x^{2} + \frac{x}{2} = 0

, teremos:

0^{2} + \frac{0}{2} = 0 \Rightarrow 0 = 0

(sentença verdadeira)

Logo, 0 é raiz dessa equação.

c) Falsa, pois, se substituirmos x por 1 na equação xelevado a 2 menos x + 5 = 0, teremos:

1elevado a 2 menos 1 + 5 = 0 ⇒ 5 = 0 (sentença falsa)

Logo, 1 não é raiz dessa equação.

d) Verdadeira, pois, se substituirmos x por 2 na equação xelevado a 2 menos 2x + 1 = 0, teremos:

2elevado a 2 menos 2 ⋅ 2 + 1 = 0 ⇒ 1 = 0 (sentença falsa)

Logo, 2 não é raiz dessa equação.

17. Substituindo o número de cada item na equação xelevado a 2 + 2x menos 3 = 0, teremos:

a) ( menos3)elevado a 2 + 2 ⋅ (menos 3) menos 3 = 0 ⇒ 9 menos 6 menos 3 = 0 ⇒

⇒ 0 = 0 (sentença verdadeira)

Então, –3 é raiz da equação.

b) 0elevado a 2 + 2 ⋅ 0 menos 3 = 0 ⇒ menos 3 = 0 (sentença falsa)

Então, 0 não é raiz da equação.

c) 1elevado a 2 + 2 ⋅ 1 menos 3 = 0 ⇒ 1 + 2 menos 3 = 0 ⇒

⇒ 0 = 0 (sentença verdadeira)

Então, 1 é raiz da equação.

d) 2elevado a 2 + 2 ⋅ 2 menos 3 = 0 ⇒ 4 + 4 menos 3 = 0 ⇒

⇒ 5 = 0 (sentença falsa)

Então, 2 não é raiz da equação.

Para Capítulo 5 – Função afim

Páginas 12 e 13

18. Comparando os valores obtidos em cada quadro com as escalas dos eixos de cada gráfico, temos a seguinte correspondência: A-três; B-um; C-dois.

Para Capítulo 6 – Função quadrática

Páginas 13 e 14

19. a) Como a medida da área corresponde ao quadrado da medida do comprimento do lado do quadrado, podemos escrever y = aelevado a 2, em que a é um número real maior que 0.

b) Se a = 3,5 centímetros, então:

y = (3,5 centímetros)elevado a 2 = 12,25 centímetros quadrados

Nesse caso, a medida da área do quadrado será 12,25 centímetros quadrados.

c) Se y = 64 centímetros², então:

64 centímetros quadrados = aelevado a 2 ⇒ a = 8 centímetros, pois a > 0.

Nesse caso, a medida de comprimento do lado do quadrado será 8 centímetros.

Para Capítulo 7 – Relações métricas no triângulo retângulo

Página 14

20. Exemplo de resposta:

Figura geométrica. Triângulo isósceles, com sua altura representada por um segmento de reta tracejado e o Ângulo reto demarcado.

Figura geométrica. Quadrado com 2 ângulos retos opostos demarcado e uma diagonal representada por um segmento de reta tracejado.

Para Capítulo 8 – Circunferência, arcos e ângulos

Página 14

21. a) Verdadeira, pois C é o centro da circunferência e os pontos A e B pertencem à circunferência.

b) Verdadeira.

c) Verdadeira.

d) Falsa, pois o segmento de reta

\bar{A C}

é um raio da circunferência, com medida de comprimento igual a 4 centímetros.

Para Capítulo 9 – Polígonos regulares

Páginas 14 e 15

22. Para calcular a medida de abertura do ângulo interno (a_i) e a medida de abertura do ângulo externo (a_e) de um polígono regular utilizamos, respectivamente, as relações:

Página quarenta e oito

a_{i} = \frac{(n - 2) \cdot 180 °}{n}

a_{e} = \frac{360 °}{n}

, em que n é o número de lados do polígono regular.

a_{i} = \frac{(5 - 2) \cdot 180 °}{5} = 3 \cdot 36 ° = 108 °

a_{i} = \frac{(8 - 2) \cdot 180 °}{8} = 6 \cdot 22,5 ° = 135 °

a_{e} = \frac{360 °}{10} = 36 °

a_{e} = \frac{360 °}{6} = 60 °

23. Como a medida da abertura do ângulo central de um polígono regular é dada por

a_{c} = \frac{360 °}{n}

, em que n é o número de lados do polígono regular, então a medida da abertura do ângulo central de um triângulo equilátero é dada por:

a_{c} = \frac{360 °}{3} = 120 °

24.

G \hat{O} H

é um dos ângulo centrais de um octógono regular. Então, a medida de sua abertura é dada por:

m e d (G \hat{O} H) = \frac{360 °}{8} = 45 °

25. Devemos descobrir o número de lados n do polígono regular, sabendo que a medida da abertura de um dos seus ângulos centrais é igual a 60º, ou seja,

60 ° = \frac{360 °}{n}

. Assim:

n = \frac{360 °}{60 °} = 6

Assim, o polígono é um hexágono regular (polígono de 6 lados), o que corresponde ao item d.

Para Capítulo 10 – Vistas ortogonais e volumes

Página 15

26. Sabendo que Vparalelepípedo = a ⋅ b ⋅ h, fazemos os cálculos para cada linha do quadro:

120 c m ³ = a \cdot 2 c m \cdot 6 c m \Rightarrow a = \frac{120 c m ³}{12 c m ²} = 10 c m

0,3 {c m}^{3} = 0,5 c m \cdot 0,2 c m \cdot h \Rightarrow h = \frac{0,3 {c m}^{3}}{0,1 {c m}^{2}} = 3 c m

30 c m = 1 c m \cdot b \cdot 5 c m \Rightarrow b = \frac{30 {c m}^{3}}{5 {c m}^{2}} = 6 c m

Vparalelepípedo = 2 centímetros ⋅ 2 centímetros ⋅ 2 centímetros = 8 centímetros cúbicos

Considerando as medidas de comprimento, altura e largura em centímetro e a medida de volume em centímetro cúbico, o quadro completo ficará:

Medida do comprimento	Medida da altura	Medida da largura	Medida do volume
10	2	6	120
0,5	3	0,2	0,3
1	5	6	30
2	2	2	8

Para Capítulo 11 – Construção de gráficos estatísticos

Páginas 15 e 16

27. a) O 1º é um gráfico de setores e o 2º é um gráfico de barras.

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes observem que os dois gráficos estão corretos e que o gráfico de setores, nesse caso, não informa a quantidade vendida de cada produto, apenas o percentual de venda de cada produto em relação ao total vendido pela loja em 2023. Então, dependendo do que se procura informar, um tipo específico de gráfico pode ser mais adequado.

28. Exemplo de resposta:

Gráfico de linha. NÚMERO DE VISITANTES. Eixo horizontal: mês. Eixo vertical: número de visitantes. Os dados são: Janeiro: 254. Fevereiro: 124. Março: 301. Abril: 306. — Dados obtidos por Camila em dezembro de 2023.

Para Capítulo 12 – Probabilidade e estatística

Página 16

29. a) Como são 4 dígitos e para cada dígito temos 10 escolhas (algarismos de 0 a 9), teremos .10000 possibilidades, pois, pelo princípio multiplicativo, temos: 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1.0000.

b) Como a variação ocorrerá apenas nos dois últimos dígitos, teremos 100 possibilidades, pois 10 ⋅ 10 = 100.

c) Como há 5 algarismos ímpares (1, 3, 5, 7 e 9), serão 625 possibilidades, pois 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 25 ⋅ 25 = 625.

30. a)

\frac{10}{30} = \frac{1}{3}

\frac{5}{30} = \frac{1}{6}

\frac{15}{30} = \frac{1}{2}

CAPÍTULO 1 – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO COM NÚMEROS REAIS

Trocando ideias – página 18

A quantidade de triângulos com fundo preto triplica em relação à quantidade na figura anterior. Assim, essa quantidade em cada figura na fórma de potência ficará:

• 1 = 3⁰; 3 = 3¹; 9 = 3elevado a 2; 27 = 3elevado a 3; 81 = 3elevado a 4; 243 = 3elevado a 5

• Resposta pessoal. Sugira aos estudantes que realizarem a pesquisa em diferentes sites que apresentem boas referências.

Representação geométrica de um número irracional – página 20

• menos

2 \sqrt{2}

2 \sqrt{2}

. Espera-se que os estudantes identifiquem que esses números são irracionais, pois não podem ser escritos como frações compostas por numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero.

Atividades – página 21

1. Considerado

\sqrt{9} = 3

;

\sqrt{13} ≃ 3, 6

;

\sqrt{17} ≃ 4, 12

; e

\sqrt{25} = 5

, temos:

Gráfico. Reta numérica com os pontos: 0, 1, 2, 3 igual à raiz quadrada de 9, raiz quadrada de 13, 4, raiz quadrada de 17, 5 igual à raiz quadrada de 25, e 6.

2. a. Não é irracional, pois

\sqrt{1} = 1

b) É irracional.

c) É irracional.

Página quarenta e nove

d) Não é irracional, pois

\sqrt{4} = 2

e) É irracional.

3. a) Falsa, por exemplo,

\sqrt{81} = 9

, portanto, não é irracional.

b) Verdadeira, essa é a característica de qualquer número irracional.

c) Verdadeira, pois

\sqrt{120} = \sqrt{2^{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5} = 2 \sqrt{30}

que é irracional.

Atividades – páginas 22 e 23

4. a) 0elevado a 7 = 0

b) menos 5elevado a 2 = menos(5 ⋅ 5) = menos 25

c) menos (1,2)elevado a 2 = menos(1,2 ⋅ 1,2) = menos 1,44

d) ( menos 5)elevado a 2 = (menos 5) ⋅ (menos 5) = 25

e) menos (0,3)elevado a 0 = menos 1

{(‒ \frac{2}{3})}^{3} = (‒ \frac{2}{3}) \cdot (‒ \frac{2}{3}) \cdot (‒ \frac{2}{3}) = ‒ \frac{8}{27}

‒ {(\frac{2}{5})}^{3} = ‒ (\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}) = ‒ \frac{8}{125}

{(1 \frac{2}{3})}^{2} = {(\frac{5}{3})}^{2} = \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{9}

5. a)

7^{‒ 1} = {(\frac{1}{7})}^{1} = \frac{1}{7}

{(\frac{1}{5})}^{‒ 2} = 5^{2} = 25

{(\frac{5}{9})}^{‒ 1} = {(\frac{9}{5})}^{1} = \frac{9}{5}

{(‒ \frac{3}{8})}^{‒ 1} = {(‒ \frac{8}{3})}^{1} = ‒ \frac{8}{3}

{(‒ 3)}^{‒ 3} = {(‒ \frac{1}{3})}^{3} = (‒ \frac{1}{3}) \cdot (‒ \frac{1}{3}) \cdot (‒ \frac{1}{3}) = ‒ \frac{1}{27}

10^{‒ 2} = {(\frac{1}{10})}^{2} = (\frac{1}{10}) \cdot (\frac{1}{10}) = \frac{1}{100}

{(‒ 1)}^{‒ 5} = {(‒ \frac{1}{1})}^{5} = ‒ 1

{(\frac{1}{100})}^{‒ 1} = 100^{1} = 100

6. a)

\frac{1}{10^{4}} = 10^{‒ 4}

\frac{1}{5^{7}} = 5^{‒ 7}

\frac{1}{2^{3}} = 2^{‒ 3}

\frac{1}{7^{5}} = 7^{‒ 5}

7. a. 64 = 2elevado a 6

\frac{1}{32} = \frac{1}{2^{5}} = 2^{‒ 5}

c) 256 = 2elevado a 8

\frac{1}{64} = \frac{1}{2^{6}} = 2^{‒ 6}

8. a)

{(‒ 3)}^{2} + {(‒ 3)}^{3} = 9 - 27 = ‒ 18

‒ {(‒ 2)}^{4} + {(‒ 2)}^{5} \cdot 4^{‒ 3} = ‒ 16 - 32 \cdot {(\frac{1}{4})}^{3} = ‒ 16 - 32 \cdot \frac{1}{64} =

= ‒ 16 - \frac{1}{2} = ‒ \frac{32}{2} - \frac{1}{2} = ‒ \frac{33}{2}

(4^{0} : 4^{‒ 1}) : (4^{‒ 1} : 4^{‒ 2}) = (1 : \frac{1}{4}) : (\frac{1}{4} : \frac{1}{16}) = (1 \cdot 4) : (\frac{1}{4} \cdot 16) = 4 : 4 = 1

\frac{{(‒ 1)}^{5}}{{(‒ 2)}^{‒ 2} + {(0,1)}^{‒ 2}} = \frac{‒ 1}{{(\frac{1}{‒ 2})}^{2} + 10^{2}} = \frac{‒ 1}{\frac{1}{4} + 100} = \frac{‒ 1}{\frac{401}{4}} =

= ‒ 1 \cdot \frac{4}{401} = ‒ \frac{4}{401}

{(‒ \frac{1}{3})}^{2} ‒ {(‒ \frac{1}{3})}^{‒ 2} = \frac{1}{9} - {(‒ 3)}^{2} = \frac{1}{9} - 9 = \frac{1}{9} - \frac{81}{9} = ‒ \frac{80}{9}

Veja que interessante – página 24

Realizando os cálculos conforme orientado, temos:

a) 8

b) 0,125

c) menos0,125

d) 81

e) 81

Atividades – página 24

9. a)

3^{5} \cdot 3^{‒ 2} = 3^{5 + (‒ 2)} = 3^{3}

m^{5} \cdot m^{‒ 6} = m^{5 + (‒ 6)} = m^{‒ 1}

, com m ≠ 0.

{(0,1)}^{‒ 3} \cdot {(0,1)}^{3} = {0,1}^{‒ 3 + 3} = {0,1}^{0}

10. a)

{(5^{2})}^{‒ 4} = 5^{2 \cdot (‒ 4)} = 5^{‒ 8}

{(n^{- 5})}^{4} = n^{- 5 \cdot 4} = n^{- 20}

, com n ≠ 0.

c) (5elevado a 2)ⁿ = 5elevado a 2ⁿ

\frac{x^{3}}{x^{‒ 2}} = x^{3 - (‒ 2)} = x^{5}

, com x ≠ 0.

11. a)

{(3 \cdot 7)}^{4} = 3^{4} \cdot 7^{4}

{(2^{4} \cdot a^{‒ 3})}^{‒ 1} = 2^{‒ 4} \cdot a^{3}

, com a ≠ 0.

{(a^{3 x} : b^{x})}^{‒ 4} = a^{‒ 12 x} : b^{‒ 4 x}

, com a ≠ 0 e b ≠ 0.

12.

2^{3^{2}} = 2^{9} = 512

(2elevado a 3)elevado a 2 = 2elevado a 6 = 64

13.

{(3^{- 4})}^{5} = 3^{- 20} = \frac{1}{3^{20}}

14. a)

10^{‒ 4} : {(10^{- 5})}^{2} = 10^{‒ 4} : 10^{‒ 10} = 10^{‒ 4 - (‒ 10)} = 10^{6}

10^{‒ 4} : (10^{‒ 5} \cdot 10^{3}) = 10^{‒ 4} : (10^{‒ 5 + 3}) = 10^{‒ 4} : 10^{‒ 2} =

= 10^{‒ 4 ‒ (‒ 2)} = 10^{‒ 2}

15. a)

\frac{x^{10} \cdot {(x^{2})}^{4}}{x^{23} : x^{2}} = \frac{x^{10} \cdot x^{8}}{x^{21}} = \frac{x^{18}}{x^{21}} = x^{‒ 3}

, com x ≠ 0.

\frac{5^{3 x - 2} \cdot 5^{x - 1}}{5^{x - 5}} = 5^{3 x - 2 + x - 1 - (x - 5)} = 5^{3 x + 2}

Veja que interessante – página 25

• 2elevado a 10= .1024 e 10elevado a 3 = .1000;

• 2elevado a 20 = .104.8576 e 10elevado a 6 = .100.0000;

• 2elevado a 30 = .107.374.1824 e 10elevado a 9 = .100.000.0000.

Espera-se que os estudantes identifiquem que os resultados desses números são bem próximos.

Lendo e aprendendo – página 28

1. a) Em novembro de 2021.

b) Segundo o í bê gê É, um em quatro brasileiros não estava conectado à internet em 2021. Escrevendo essa razão em fórma de fração e de porcentagem, temos:

\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 25 %

Portanto, 25% dos brasileiros não estavam conectados à internet em 2021.

2. Como a medida de velocidade da rede 5G pode chegar a 10 gigabytes por segundo, temos:

10 gigabáites ≃ 10 ⋅ 10elevado a 9 báites = 10elevado a 10 báites

Alternativa a.

3. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes consigam observar as diferentes opiniões expressas no texto, formulando argumentos em um pequeno texto que exponha suas opiniões sobre o assunto.

4. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes possam discutir um pouco sobre as vivências relacionadas ao tema fake news, de grande importância para o exercício da cidadania.

Página cinquenta

Atividades – páginas 29 e 30

16. a)

8,57 \cdot 10^{5}

9,45 \cdot 10^{11}

2 \cdot 10^{‒ 7}

1,3 \cdot 10^{7}

1,08 \cdot 10^{9}

1,3 \cdot 10^{‒ 10}

17. Conhecemos a quantidade aproximada de hemácias e de leucócitos em 1 milímetro cúbico de sangue. Para determinar as quantidades em 5 litros de sangue, fazemos a correspondência:

5 litros = 5 decímetros cúbicos = .500.0000 milímetros cúbicos = 5 ⋅ 10elevado a 6 milímetros cúbicos

Se em 1 milímetro cúbico de sangue, há aproximadamente 5 ⋅ 10elevado a 6 hemácias, em 5 litros de sangue, temos a seguinte quantidade de hemácias:

5 ⋅ 10elevado a 6 ⋅ 5 ⋅ 10elevado a 6 = 25 ⋅ 10elevado a 12 = 2,5 ⋅ 10elevado a 13

Se em 1 milímetro cúbico de sangue, há aproximadamente 8 ⋅ 10elevado a 3 leucócitos, em 5 litros de sangue, temos a seguinte quantidade de leucócitos:

8 ⋅ 10elevado a 3 ⋅ 5 ⋅ 10elevado a 6 = 40 ⋅ 10elevado a 9 = 4 ⋅ 10elevado a 10

Portanto, um adulto tem aproximadamente 2,5 ⋅ 10elevado a 13 hemácias e 4 ⋅ 10elevado a 10 leucócitos.

18. 18 gramas = 1.8000 miligramas = 1,8 ⋅ 10elevado a 4 miligramas

Então:

6,02 ⋅ 10elevado a 23 : (1,8 ⋅ 10)elevado a 4 ≃ 3,34 ⋅ 10elevado a 19

Portanto, em 1 miligrama de água, há aproximadamente 3,34 ⋅ 10elevado a 19 moléculas.

19. Respostas pessoais. Exemplos de resposta:

1º número: ....25100000000000 = 2,51 · 10elevado a 13

2º número: 0,0000501 = 5,01 · 10⁻⁵

Atividades – página 31

20. a) Raiz quadrada de sete.

b) Raiz cúbica de treze.

c) Raiz quarta de dezessete.

d) Raiz sexta de quarenta e dois.

21. a) 7

b) 343

\sqrt[3]{343}

d) 3

22. Resposta pessoal. Exemplos de resposta:

Racionais:

\sqrt[3]{216}

\sqrt[7]{1}

Irracionais:

\sqrt[3]{9}

\sqrt[6]{40}

Atividades – página 32

23. a)

\sqrt{100} = \sqrt{10^{2}} = 10

\sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{4^{4}} = 4

\pm \sqrt{25} = \pm \sqrt{5^{2}} = \pm 5

‒ \sqrt{144} = ‒ \sqrt{12^{2}} = ‒ 12

\sqrt[3]{‒ 8} = \sqrt[3]{{(‒ 2)}^{3}} = ‒ 2

3 \sqrt{16} = 3 \sqrt{4^{2}} = 3 \cdot 4 = 12

24. a)

‒ \sqrt{81} - \sqrt[3]{‒ 27} = ‒ 9 - (‒ 3) = ‒ 9 + 3 = ‒ 6

\sqrt[3]{0} + \sqrt[3]{‒ 1} + \sqrt{0,25} = 0 - 1 + 0,5 = ‒ 0,5

á = 25. a) á = 100elevado a 2 = .10000

b) á = (menos6)elevado a 3 = menos216

c) á = 5elevado a 4 = 625

26. a)

\sqrt{0} = 0

, então é número real.

b) Não é número real, pois nenhum número real elevado ao quadrado é igual a menos1.

\sqrt{1} = 1

, então é número real.

\sqrt[3]{‒ 1} = ‒ 1

, então é número real.

e) Não é número real, pois nenhum número real elevado à sexta potência é igual a menos1.

f) Não é número real, pois nenhum número real elevado à décima sexta potência é igual a menos1.

27. a)

2 x = 6^{2} \overset{x ⩾ 0}{\Rightarrow} x = \frac{36}{2} \Rightarrow x = 18

x + 1 = 2^{3} \Rightarrow x = 8 - 1 \Rightarrow x = 7

x + 2 = 5^{2} \overset{x ⩾ ‒ 2}{\Rightarrow} x = 25 - 2 \Rightarrow x = 23

28.

\sqrt{64} + \sqrt{36} - (\sqrt{100}) = 8 + 6 - 10 = 4

29.

x = \sqrt{21 + \sqrt{13 + \sqrt{7 + \sqrt{4}}}} = \sqrt{21 + \sqrt{13 + \sqrt{7 + 2}}} =

= \sqrt{21 + \sqrt{13 + \sqrt{9}}} = \sqrt{21 + \sqrt{13 + 3}} = \sqrt{21 + \sqrt{16}} =

= \sqrt{21 + 4} = \sqrt{25} = 5

Logo, x = 5.

Atividades – páginas 34 e 35

30. a)

\sqrt{7^{2}} = 7

\sqrt[3]{11^{3}} = 11

\sqrt{x^{2}} = | x |

\sqrt[5]{6^{5}} = 6

\sqrt[3]{{(a + b)}^{3}} = a + b

\sqrt[3]{a^{3} \cdot b^{3}} = a b

31. a)

\sqrt{25} = \sqrt{5^{2}} = 5

\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^{4}} = 3

\sqrt[8]{256} = \sqrt[8]{2^{8}} = 2

\sqrt[3]{343} = \sqrt[3]{7^{3}} = 7

\sqrt{121} = \sqrt{11^{2}} = 11

\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^{4}} = 5

32. a)

\sqrt{5 \cdot 17} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{17}

\sqrt[4]{5 \cdot 7 \cdot 11} = \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{11}

\sqrt[5]{2 \cdot x^{4}} = \sqrt[5]{2} \cdot \sqrt[5]{x^{4}}

, com x ⩾ 0.

\sqrt[3]{10 \cdot 20} = \sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{20}

\sqrt[3]{3 \cdot 7} = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{7}

\sqrt[3]{7 \cdot a^{2} \cdot b} = \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{a^{2}} \cdot \sqrt[3]{b}

, com a ⩾ 0 e b ⩾ 0.

33. a)

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}

\frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{11}}

\frac{\sqrt[4]{10}}{\sqrt[4]{17}}

\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}

, com a ⩾ 0 e b > 0.

\frac{\sqrt[5]{2 x}}{\sqrt[5]{5 y^{2}}}

\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}

34. Simplificando os radicais, temos:

\sqrt[4 : 2]{3^{2 : 2}} = \sqrt{3}

\sqrt[5 : 5]{7^{10 : 5}} = 7^{2}

\sqrt[8 : 2]{7^{6 : 2}} = \sqrt[4]{7^{3}}

\sqrt[12 : 3]{2^{3 : 3} \cdot a^{6 : 3}} = \sqrt[4]{2 \cdot a^{2}}, c o m a ⩾ 0.

\sqrt[15 : 5]{5^{10 : 5}} = \sqrt[3]{5^{2}}

\sqrt[6 : 2]{a^{2 : 2} \cdot b^{2 : 2}} = \sqrt[3]{a \cdot b}

, com a ⩾ 0 e b ⩾ 0.

35. a)

\sqrt[8]{64} = \sqrt[8]{2^{6}} = \sqrt[8 : 2]{2^{6 : 2}} = \sqrt[4]{2^{3}}

\sqrt[10]{625} = \sqrt[10]{5^{4}} = \sqrt[10 : 2]{5^{4 : 2}} = \sqrt[5]{5^{2}}

\sqrt[20]{243} = \sqrt[20]{3^{5}} = \sqrt[20 : 5]{3^{5 : 5}} = \sqrt[4]{3}

\sqrt[14]{128} = \sqrt[14]{2^{7}} = \sqrt[14 : 7]{2^{7 : 7}} = \sqrt{2}

Página cinquenta e um

36. a)

\sqrt[2 \cdot 2]{5} = \sqrt[4]{5}

\sqrt[5 \cdot 2]{13} = \sqrt[10]{13}

\sqrt[3 \cdot 2]{7} = \sqrt[6]{7}

\sqrt[5 \cdot 6]{11} = \sqrt[30]{11}

\sqrt[3 \cdot 2 \cdot 5]{4} = \sqrt[30]{4}

\sqrt[2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2]{x} = \sqrt[16]{x}

, com x ⩾ 0.

37. a)

\sqrt[15]{2^{10}} = \sqrt[x]{2^{2}}

, em que x é um número natural maior ou igual a 2.

\sqrt[15 : 5]{2^{10 : 5}} = \sqrt[x]{2^{2}}

\sqrt[3]{2^{2}} = \sqrt[x]{2^{2}}

x = 3

\sqrt[6]{13^{9}} = \sqrt{13^{x}}

, em que x é um número natural maior ou igual a 2.

\sqrt[6 : 3]{13^{9 : 3}} = \sqrt{13^{x}}

\sqrt[]{13^{3}} = \sqrt{13^{x}}

x = 3

\sqrt[x]{\sqrt[3]{7}} = \sqrt[15]{7}

, em que x é um número natural maior ou igual a 2.

\sqrt[x \cdot 3]{7} = \sqrt[15]{7}

x ⋅ 3 = 15 ⇒ x = 15 : 3 ⇒ x = 5

\sqrt[9]{6^{6}} = \sqrt[3]{6^{x}}

, em que x é um número natural maior ou igual a 2.

\sqrt[9 : 3]{6^{6 : 3}} = \sqrt[3]{6^{x}}

\sqrt[3]{6^{2}} = \sqrt[3]{6^{x}}

x = 2

38. a)

\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{15}

\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{11} = \sqrt[3]{7 \cdot 11} = \sqrt[3]{77}

\sqrt[]{2} \cdot \sqrt[]{5} \cdot \sqrt[]{7} = \sqrt[]{2 \cdot 5 \cdot 7} = \sqrt[]{70}

\sqrt[12]{5} \cdot \sqrt[12]{10} = \sqrt[12]{5 \cdot 10} = \sqrt[12]{50}

\frac{\sqrt{12} \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{12 \cdot 15}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{180}{8}} = \sqrt{\frac{45}{2}}

\frac{\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{12} \cdot \sqrt[3]{15}} = \frac{\sqrt[3]{9 \cdot 10}}{\sqrt[3]{12 \cdot 15}} = \sqrt[3]{\frac{90}{180}} = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}

\frac{\sqrt[6]{4} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{10}}}{\sqrt[6]{120}} = \frac{\sqrt[6]{4} \cdot \sqrt[6]{10}}{\sqrt[6]{120}} = \frac{\sqrt[6]{40}}{\sqrt[6]{120}} = \sqrt[6]{\frac{40}{120}} = \sqrt[6]{\frac{1}{3}}

39. Simplificando cada item, temos:

\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{24}} = \sqrt{\frac{20}{24}} = \sqrt{\frac{5}{6}}

\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{18}} = \sqrt[3]{\frac{10}{18}} = \sqrt[3]{\frac{5}{9}}

\frac{\sqrt[4]{30}}{\sqrt[4]{24}} = \sqrt[4]{\frac{30}{24}} = \sqrt[4]{\frac{5}{4}}

\frac{\sqrt[5]{16}}{\sqrt[5]{20}} = \sqrt[5]{\frac{16}{20}} = \sqrt[5]{\frac{4}{5}}

40. a) Verdadeira.

b) Falsa. Um contra-exemplo é

\sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5

, em que

\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \neq 5 .

c) Falsa. Um contra-exemplo é

\sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}

, em que

2 + 3 = 5 \neq \sqrt{13} .

d) Verdadeira.

e) Verdadeira.

f) Falsa. Um contra-exemplo é

\sqrt{3^{2} - 2^{2}} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}

, em que

\sqrt{3^{2}} - \sqrt{2^{2}} = 3 - 2 = 1 \neq \sqrt{5}

Atividades – página 36

41. Efetuando as operações, temos:

\sqrt{7} - 5 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} = (1 - 5 + 2) \sqrt{7} = ‒ 2 \sqrt{7}

2 \sqrt[5]{2} + \sqrt[5]{64} = 2 \sqrt[5]{2} + \sqrt[5]{2^{5} \cdot 2} = 2 \sqrt[5]{2} + 2 \sqrt[5]{2} = 4 \sqrt[5]{2}

2 \sqrt{16} + 3 \sqrt[3]{16} + 4 \sqrt[4]{16} + \sqrt[6]{16} =

= 2 \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2} + 4 \cdot 2 + \sqrt[6]{2^{4}} =

= 8 + 3 \cdot 2 \sqrt[3]{2} + 8 + \sqrt[6 : 2]{2^{4 : 2}} = 16 + 6 \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}

(3 \sqrt{2} + 7 \sqrt{3}) + (6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) = (3 + 6) \sqrt{2} + (7 - 2) \sqrt{3} =

= 9 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3}

\sqrt{32} - 2 \sqrt{12} - \sqrt{75} + 3 \sqrt{72} =

= \sqrt{16 \cdot 2} - 2 \sqrt{4 \cdot 3} - \sqrt{25 \cdot 3} + 3 \sqrt{36 \cdot 2} =

= 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + 3 \cdot 6 \sqrt{2} =

= (4 + 18) \sqrt{2} + (‒ 4 - 5) \sqrt{3} = 22 \sqrt{2} - 9 \sqrt{3}

42. Simplificando as expressões, temos:

3 \sqrt[3]{2} - 7 \sqrt[3]{2} - 6 \sqrt[3]{2} = (3 - 7 - 6) \sqrt[3]{2} = ‒ 10 \sqrt[3]{2}

\sqrt{12} - \sqrt[4]{9} - \sqrt[6]{27} - \sqrt[8]{81} =

= 2 \sqrt{3} - \sqrt[4 : 2]{3^{2 : 2}} - \sqrt[6 : 3]{3^{3 : 3}} - \sqrt[8 : 4]{3^{4 : 4}} =

= 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} = (2 - 3) \sqrt{3} = - \sqrt{3}

2 \sqrt{150} - 4 \sqrt{54} + 6 \sqrt{24} = 2 \sqrt{25 \cdot 6} - 4 \sqrt{9 \cdot 6} + 6 \sqrt{4 \cdot 6} =

= 2 \cdot 5 \sqrt{6} - 4 \cdot 3 \sqrt{6} + 6 \cdot 2 \sqrt{6} = (10 - 12 + 12) \sqrt{6} = 10 \sqrt{6}

7 \sqrt{32} - 5 \sqrt{2} + \sqrt{8} = 7 \sqrt{16 \cdot 2} - 5 \sqrt{2} + \sqrt{4 \cdot 2} =

= 7 \cdot 4 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = (28 - 5 + 2) \sqrt{2} = 25 \sqrt{2}

43. Para calcular a medida do perímetro das figuras, precisamos adicionar as medidas dos comprimentos dos lados. Assim, temos:

\sqrt{45} + \sqrt{125} + \sqrt{80} = \sqrt{9 \cdot 5} + \sqrt{25 \cdot 5} + \sqrt{16 \cdot 5} =

= 3 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} + 4 \sqrt{5} = 12 \sqrt{5}

2 \sqrt{150} + 2 \sqrt{54} = 2 \sqrt{25 \cdot 6} + 2 \sqrt{9 \cdot 6} =

= 2 \cdot 5 \sqrt{6} + 2 \cdot 3 \sqrt{6} = 16 \sqrt{6}

44. Começamos simplificando a expressão:

y = \sqrt{200} + \sqrt{300} + \sqrt{800} + \sqrt{1 200} =

= \sqrt{100 \cdot 2} + \sqrt{100 \cdot 3} + \sqrt{400 \cdot 2} + \sqrt{400 \cdot 3} =

= 10 \sqrt{2} + 10 \sqrt{3} + 20 \sqrt{2} + 20 \sqrt{3} =

= (10 + 20) \sqrt{2} + (10 + 20) \sqrt{3} = 30 \sqrt{2} + 30 \sqrt{3} = 30 (\sqrt{2} + \sqrt{3})

Agora, podemos usar os valores aproximados de

\sqrt{2}

e de

\sqrt{3}

y = 30 \cdot (1,41 + 1,73) = 30 \cdot 3,14 = 94,2 0

Atividades – página 37

45. a)

\sqrt{90} = 3 \sqrt{10}

12 \sqrt[5]{30}

\sqrt{1} = 1

\sqrt[3]{77}

6 \sqrt[3]{6}

f) 1

46. a) Medida do perímetro:

2 \cdot (3 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}) = 2 \cdot 7 \sqrt{3} = 14 \sqrt{3}

Medida da área:

3 \sqrt{3} \cdot 4 \sqrt{3} = 12 \cdot 3 = 36

b) Medida do perímetro:

4 \cdot (6 - \sqrt{7}) = 24 - 4 \sqrt{7}

Medida da área:

(6 - \sqrt{7}) \cdot (6 - \sqrt{7}) = 36 - 6 \sqrt{7} - 6 \sqrt{7} + 7 = 43 - 12 \sqrt{7}

47. a)

\sqrt[5]{2 \cdot 3 \cdot 50} = \sqrt[5]{300}

3. \sqrt[3]{8} \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{8} = 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt[3]{3}}{8} = \frac{3}{4} \sqrt[3]{3}

48. a)

\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^{2}} \cdot \sqrt[2 \cdot 3]{2^{3}} = \sqrt[6]{9 \cdot 8} = \sqrt[6]{72}

\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[]{2^{3}} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[2 \cdot 2]{2^{3 \cdot 2}} = \sqrt[4]{2 \cdot 2^{6}} = 2 \sqrt[4]{2^{3}}

\sqrt[4]{2^{3}} \cdot \sqrt[4]{2^{2}} \cdot \sqrt{2} = \sqrt[4]{2^{3}} \cdot \sqrt[4]{2^{2}} \cdot \sqrt[4]{2^{2}} = \sqrt[4]{2^{3} {\cdot 2^{2} \cdot 2}^{2}} = 2 \sqrt[4]{2^{3}}

\sqrt[8]{5} \cdot \sqrt[6]{5} = \sqrt[8 \cdot 3]{5^{3}} \cdot \sqrt[6 \cdot 4]{5^{4}} = \sqrt[24]{5^{3} \cdot 5^{4}} = \sqrt[24]{5^{7}}

Página cinquenta e dois

\sqrt{10} \cdot \sqrt[5]{12} \cdot \sqrt[3]{30} = \sqrt{2 \cdot 5} \cdot \sqrt[5]{2^{2} \cdot 3} \cdot \sqrt[3]{2 \cdot 3 \cdot 5} =

= \sqrt[2 \cdot 3 \cdot 5]{2^{15} \cdot 5^{15}} \cdot \sqrt[2 \cdot 3 \cdot 5]{2^{2 \cdot 6} \cdot 3^{6}} \cdot \sqrt[2 \cdot 3 \cdot 5]{2^{10} \cdot 3^{10} \cdot 5^{10}} =

= \sqrt[30]{2^{15 + 12 + 10} \cdot 3^{6 + 10} \cdot 5^{15 + 10}} = \sqrt[30]{2^{37} \cdot 3^{16} \cdot 5^{25}} =

= 2 \sqrt[30]{2^{7} \cdot 3^{16} \cdot 5^{25}}

\sqrt[3]{0,04} \cdot \sqrt[6]{625} = \sqrt[3 \cdot 2]{{0,04}^{2}} \cdot \sqrt[6]{625} =

= \sqrt[6]{0,0016 \cdot 625} = \sqrt[6]{1} = 1

49. a)

\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} - \sqrt{7} = 7 - \sqrt{7}

\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - \sqrt{5} - 3 = 5 + 2 \sqrt{5} - 3 = 2 + 2 \sqrt{5}

\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2 + 2 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} - 3 - 2 = 3 \sqrt{3} - 5

\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{10} + \sqrt{15}

4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 4 - 2 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} - 4 + 4 = 2 \sqrt{2}

\sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} - 2

Atividades – página 38

50. a)

\sqrt[3]{128 : 2} = \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{2^{6}} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^{2} = 4

\sqrt[5]{3^{5} : 3^{2}} = \sqrt[5]{3^{3}}

\sqrt{\frac{10}{3} : \frac{5}{6}} = \sqrt{\frac{10}{3} \cdot \frac{6}{5}} = \sqrt{\frac{60}{15}} = \sqrt{4} = 2

\frac{8}{4} \cdot \sqrt{\frac{75}{3}} = 2 \sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10

51. a)

\sqrt[3 \cdot 2]{8^{2}} : \sqrt[2 \cdot 3]{2^{3}} = \sqrt[6]{64 : 8} = \sqrt[6]{2^{3}} = 2^{\frac{3}{6}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}

\sqrt[8]{2^{4}} : \sqrt[12]{2^{6}} = 2^{\frac{4}{8}} : 2^{\frac{6}{12}} = 2^{\frac{1}{2}} : 2^{\frac{1}{2}} = 1

\sqrt[4]{6} : \sqrt[2 \cdot 2]{2^{2}} = \sqrt[4]{6 : 4} = \sqrt[4]{\frac{6}{4}} = \sqrt[4]{\frac{3}{2}}

\sqrt[3 \cdot 2]{10^{2}} : \sqrt[2 \cdot 3]{2^{3}} = \sqrt[6]{100 : 8} = \sqrt[6]{\frac{100}{8}} = \sqrt[6]{\frac{25}{2}}

\sqrt[5 \cdot 6]{7^{6}} : \sqrt[6 \cdot 5]{7^{5}} = \sqrt[30]{\frac{7^{6}}{7^{5}}} = \sqrt[30]{7}

\sqrt[4 \cdot 2]{8^{2}} : \sqrt[8]{8} = \sqrt[8]{8^{2} : 8} = \sqrt[8]{8}

Atividades – página 39

52. a)

{(2 \sqrt{3})}^{3} = 2^{3} \cdot \sqrt{3^{3}} = 8 \cdot 3 \sqrt{3} = 24 \sqrt{3}

{(2 \sqrt{2})}^{7} = 2^{7} \cdot \sqrt{2^{7}} = 2^{7} \cdot 2^{3} \sqrt{2} = 1 024 \sqrt{2}

{(\sqrt[3]{a b})}^{4} = \sqrt[3]{a^{4} b^{4}} = a b \sqrt[3]{a b}

, em que a > 0 e b > 0.

{(2 \sqrt[7]{a^{5} b^{2}})}^{3} = 2^{3} \sqrt[7]{a^{15} b^{6}} = 8 a^{2} \sqrt[7]{a b^{6}}

, em que a > 0 e b > 0.

{(\frac{x}{y} \cdot \sqrt{\frac{y}{x}})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}} \cdot \frac{y}{x} = \frac{x}{y}

, em que x > 0 e y > 0.

{(\sqrt[5]{y^{3}})}^{2} = \sqrt[5]{y^{6}} = y \sqrt[5]{y}

, em que y > 0.

53. a)

\sqrt[7]{\sqrt[4]{7}} = \sqrt[7 \cdot 4]{7} = \sqrt[28]{7}

\sqrt{\sqrt[4]{512}} = \sqrt[2 \cdot 4]{512} = \sqrt[8]{2^{9}} = 2 \sqrt[8]{2}

54. a)

{(\sqrt{2})}^{6} + {(2 \sqrt{3})}^{4} + {(‒ 3 \sqrt{7})}^{2} + {(\sqrt{\frac{1}{2}})}^{‒ 2} =

= \sqrt{2^{6}} + 2^{4} \sqrt{3^{4}} + 9 \cdot 7 + 2 = 2^{3} + 16 \cdot 3^{2} + 63 + 2 = 217

{(\sqrt[3]{\sqrt{64}})}^{2} = {(\sqrt[3]{8})}^{2} = \sqrt[3]{8^{2}} = \sqrt[3]{2^{6}} = 2^{2} = 4

55.

\frac{\sqrt{2} \cdot {(\sqrt[5]{2})}^{2}}{{(\sqrt[10]{2})}^{4}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[5]{2^{2}}}{\sqrt[10]{2^{4}}} = \frac{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{4}{10}}} = \frac{2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} =

= 2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{5} ‒ \frac{2}{5}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}

Logo, a alternativa c é a correta.

Atividades – página 41

56. a)

\frac{7 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{7 \sqrt{2}}{2}

\frac{6 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{6 \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2}

\frac{1 \cdot \sqrt[5]{8^{4}}}{7 \sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{8^{4}}} = \frac{\sqrt[5]{8^{4}}}{7 \cdot 8} = \frac{\sqrt[5]{2^{12}}}{56} = \frac{2^{2} \sqrt[2]{2^{2}}}{56} = \frac{\sqrt[5]{4}}{14}

\frac{1 \cdot \sqrt[3]{7^{2}}}{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{7^{2}}} = \frac{\sqrt[3]{49}}{7}

57. a)

\frac{1 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) \cdot (\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}

\frac{3 \cdot (5 + \sqrt{7})}{(5 - \sqrt{7}) \cdot (5 + \sqrt{7})} = \frac{3 \cdot (5 + \sqrt{7})}{18} = \frac{5 + \sqrt{7}}{6}

\frac{4 \sqrt{3} \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{4 \sqrt{6} - 4 \cdot 3}{2 - 3} = \frac{4 \sqrt{6} - 12}{- 1} = 12 - 4 \sqrt{6}

\frac{(\sqrt{2} - 1) \cdot (2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2}) \cdot (2 + \sqrt{2})} = \frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 - \sqrt{2}}{4 - 2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

58.

\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot 2}} - \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{3 \sqrt{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{2}} =

= \frac{6 + 2 - 3}{6 \sqrt{2}} = \frac{5}{6 \sqrt{2}} = \frac{5 \cdot \sqrt{2}}{6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{5 \sqrt{2}}{6 \cdot 2} = \frac{5 \sqrt{2}}{12}

Logo, a alternativa ê é a correta.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – páginas 42 a 44

1. a)

{(‒ 4)}^{0} = 1

{(‒ 4)}^{3} = (‒ 4) \cdot (‒ 4) \cdot (‒ 4) = ‒ 64

{(‒ \frac{5}{8})}^{‒ 2} = {(‒ \frac{8}{5})}^{2} = \frac{64}{25}

‒ {(0,2)}^{‒ 3} = {‒ (\frac{2}{10})}^{‒ 3} = {‒ (\frac{10}{2})}^{3} = ‒ \frac{1 000}{8} = ‒ 125

2. a)

3^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3^{0} = 3^{4 + 2 + 0} = 3^{6}

(2^{8} : 2^{5}) \cdot 2^{- 3} = 2^{8 - 5} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} = 2^{3} \cdot \frac{1}{2^{3}} = 2^{0}

[{(4^{3})}^{2}] : 4^{‒ 5} = 4^{6} : 4^{‒ 5} = 4^{6 - (‒ 5)} = 4^{11}

{[{(‒ 4)}^{2} \cdot 2]}^{3} = {[16 \cdot 2]}^{3} = {[2^{4} \cdot 2]}^{3} = 2^{15}

3. a)

{{[(- 4)}^{0} - 3^{0} + {(- 2)}^{0} - 1^{0}]}^{10} =

= {[1 - 1 + 1 - 1]}^{10} = 0^{10} = 0

{(2 \cdot 3)}^{2} : {(‒ \frac{1}{2})}^{‒ 2} = 6^{2} : {(‒ 2)}^{2} = 36 : 4 = 9

{(3^{0})}^{2} \cdot {(2^{2})}^{0} = 1^{2} \cdot 4^{0} = 1

{(0^{5} \cdot 1^{4})}^{20} \cdot (2^{3} - 3^{2}) + {(4^{1} : 5^{0})}^{2} = 0 + 4^{2} = 16

4. a)

\sqrt[3]{27} + \sqrt[5]{‒ 32} - \sqrt[10]{1} = \sqrt[3]{3^{3}} + \sqrt[5]{{(‒ 2)}^{5}} - \sqrt[10]{1} = 3 - 2 - 1 = 0

\sqrt[3]{343} - \sqrt[10]{1 024} = \sqrt[3]{7^{3}} - \sqrt[10]{2^{10}} = 7 - 2 = 5

\sqrt{25} - \sqrt[3]{1 000} + \sqrt[5]{‒ 1 024} = \sqrt{5^{2}} - \sqrt[3]{10^{3}} + \sqrt[5]{‒ 2^{10}} =

= 5 menos 10 menos 2elevado a 2 = menos 5 menos 4 = menos 9

Página cinquenta e três

\sqrt{100} \cdot \sqrt[3]{‒ 216} = \sqrt{10^{2}} \cdot \sqrt[3]{{‒ (2}^{3} \cdot 3^{3})} = 10 \cdot (‒ 6) = ‒ 60

\frac{\sqrt[5]{‒ 243}}{\sqrt[7]{‒ 128}} = \frac{\sqrt[5]{(‒ {3)}^{5}}}{\sqrt[7]{(‒ {2)}^{7}}} = \frac{‒ 3}{‒ 2} = \frac{3}{2} = 1,5

5. a)

\sqrt[3]{‒ 216} = \sqrt[3]{‒ 2^{3} \cdot 3^{3}} = ‒ 2 \cdot 3 = ‒ 6

\sqrt[6]{{(\frac{3}{8})}^{6}} = \frac{3}{8}

\sqrt{\sqrt{1 296}} = \sqrt[2 \cdot 2]{2^{4} \cdot 3^{4}} = 2 \cdot 3 = 6

\sqrt{8} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{8 \cdot 6 \cdot 3} = \sqrt{144} = 12

\frac{\sqrt{\sqrt[5]{\sqrt{2^{4}}}} \cdot \sqrt[5]{\sqrt[4]{2}}}{\sqrt{\sqrt[10]{32}}} = \frac{\sqrt[2 \cdot 5 \cdot 2]{2^{4}} \cdot \sqrt[5 \cdot 4]{2}}{\sqrt[2 \cdot 10]{32}} = \frac{\sqrt[20]{2^{5}}}{\sqrt[20]{2^{5}}} = 1

\frac{\sqrt{\sqrt[]{\sqrt{256}}}}{\sqrt{\sqrt[4]{7^{8}}}} = \frac{\sqrt[2 \cdot 2 \cdot 2]{2^{8}}}{\sqrt[2 \cdot 4]{7^{8}}} = \frac{2}{7}

6. a)

(3 + 4 - 1) \sqrt{7} = 6 \sqrt{7}

\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2^{3} \cdot 2^{2}} - 2 \sqrt[3]{2^{2}} = 2 \cdot 2 \sqrt[3]{4} - 2 \sqrt[3]{4} = (4 - 2) \sqrt[3]{4} = 2 \sqrt[3]{4}

\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 3^{2}} + 2 \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{2 \cdot 2^{2} \cdot 3^{2}} =

= 3 \sqrt{6} + 2 \sqrt{6} - 2 \cdot 3 \sqrt{2} = 5 \sqrt{6} - 6 \sqrt{2}

\sqrt{4 \cdot 2} - \sqrt{4 \cdot 13} + \sqrt{9 \cdot 2} - \sqrt{9 \cdot 13} =

= 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{13} + 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{13} = 5 \sqrt{2} - 5 \sqrt{13} = 5 (\sqrt{2} - \sqrt{13})

7. a)

\sqrt{7 \cdot 5} = \sqrt{35}

\sqrt[3]{\frac{‒ 8}{4}} = \sqrt[3]{‒ 2}

\sqrt[5 \cdot 2]{5^{2}} \cdot \sqrt[2 \cdot 5]{3^{5}} = \sqrt[10]{25 \cdot 243} = \sqrt[10]{6.0 75}

\frac{\sqrt[4]{3 \cdot 4}}{\sqrt[3]{6}} = \frac{\sqrt[4 \cdot 3]{12^{3}}}{\sqrt[3 \cdot 4]{6^{4}}} = \sqrt[12]{\frac{1 728}{1 296}} = \sqrt[12]{\frac{4}{3}}

2 \cdot 2 \sqrt{2 \cdot 5} + 2 \sqrt{2 \cdot 2} = 4 \sqrt{10} + 4 = 4 (\sqrt{10} + 1)

7 + 2 \sqrt{7 \cdot 3} - \sqrt{3 \cdot 7} - 2 \cdot 3 = 1 + \sqrt{21}

8. a)

\sqrt{3^{6}} = 3^{3} = 27

\sqrt[3]{5^{2}} = \sqrt[3]{25}

\sqrt[4]{b^{4}} = b

, em que b > 0.

\sqrt[2 \cdot 3]{5} = \sqrt[6]{5}

\sqrt[2 \cdot 2 \cdot 2]{a} = \sqrt[8]{a}

, em que a > 0.

\sqrt[3 \cdot 2]{b^{9}} = \sqrt[6]{b^{6} \cdot b^{3}} = b \sqrt[6 : 3]{b^{3 : 3}} = b \sqrt[]{b}

, em que b > 0.

9. a)

\frac{5 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5 \sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}

\frac{1 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^{2}} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}

\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[5]{5^{4}}}{\sqrt[5]{5} \cdot \sqrt[5]{5^{4}}} = \frac{\sqrt[2 \cdot 5]{3^{5}} \cdot \sqrt[5 \cdot 2]{5^{4 \cdot 2}}}{5} = \frac{\sqrt[10]{3^{5} \cdot 5^{8}}}{5}

\frac{3 \cdot (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} ‒ 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)} = \frac{3 (\sqrt{2} + 1)}{2 ‒ 1} = 3 (\sqrt{2} + 1)

\frac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{7})}{(\sqrt{3} + \sqrt{7}) (\sqrt{3} - \sqrt{7})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{14}}{3 - 7} = ‒ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{14}}{4}

\frac{5 \sqrt{3} \cdot (10 - \sqrt{5})}{(10 + \sqrt{5}) \cdot (10 - \sqrt{5})} = \frac{50 \sqrt{3} - 5 \sqrt{15}}{100 - 5} =

= \frac{5 (10 \sqrt{3} - \sqrt{15})}{95} = \frac{10 \sqrt{3} - \sqrt{15}}{19}

CAPÍTULO 2 – MATEMÁTICA FINANCEIRA

Trocando ideias – página 45

Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes apresentem ideias criativas sem se preocupar com certo ou errado, pois a intenção é apenas dar início ao assunto. Dependendo do interesse da turma, incentive a realização de pesquisas sobre startups brasileiras ou a busca de relatos de profissionais sobre as experiências com esse modelo de negócios.

Atividades – páginas 47 e 48

P V = 700 + \frac{2,5}{100} \cdot 700 = 700 + 17,5 = 717,5

O objeto deve ser vendido por R$ 717,50setecentos e dezessete reais e cinquenta centavos.

P V = 272 + \frac{15}{100} \cdot 272 = 272 + 40,8 = 312,8

O produto deve ser vendido por R$ 312,80trezentos e doze reais e oitenta centavos.

P V = 500 - \frac{15}{100} \cdot 500 = 500 - 75 = 425

O aparelho de Blue-Ray foi vendido por R$ 425,00quatrocentos e vinte e cinco reais.

4. Seja PC o preço de custo, temos:

1 584 = P C - \frac{12}{100} \cdot P C

.1584 = (1 menos 0,12)pê cê

P C = \frac{1 584}{0,88} = 1 800

O preço de custo da mercadoria era R$ 1.800,00mil oitocentos reais.

P V = 1 113 - \frac{6}{100} \cdot 1 113

PV = .1113 menos 66,78 = .1046,22

O preço de venda foi R$ 1.046,22mil quarenta e seis reais e vinte e dois centavos.

6. Seja PC o preço de custo, temos:

7 2 788,8 = P C - \frac{3}{100} \cdot P C

7.2788,8 = (1 menos 0,03)PC

P C = \frac{7 2 788,8}{0,97} = 75 040

Se o preço de custo foi R$ 75.040,00setenta e cinco mil quarenta reais e o preço de venda foi R$ 72.788,80setenta e dois mil setecentos e oitenta e oito reais e oitenta centavos, então o prejuízo foi de R$ 2.251,20dois mil duzentos e cinquenta e um reais e vinte centavos, pois R$ 75.040,00setenta e cinco mil quarenta reais – R$ 72.788,80setenta e dois mil setecentos e oitenta e oito reais e oitenta centavos = R$ 2.251,20dois mil duzentos e cinquenta e um reais e vinte centavos.

7. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes tenham curiosidade em ter noções de orçamento, verificando os tipos de gastos que vão compor seu orçamento e seus valores. É interessante pesquisar valores de referência para definir os gastos, como valores de compras em mercado, custos em combustíveis e/ou transporte público, entre outros. Se possível, peça aos estudantes que comparem os valores em diferentes épocas, por exemplo, checando a evolução do valor necessário para se comprar uma cesta básica, comentando sobre aspectos relacionados à inflação.

Atividades – páginas 52 e 53

8. Nesse caso, temos:

C = R$ 20.000,00vinte mil reais

t = 8 meses

i = 0,8% (taxa mensal)

M = ?

j = ?

Para chegar aos valores pedidos, fazemos:

j = C ⋅ i ⋅ t

j = 2.0000 ⋅ 8 ⋅ 0,008

j = .1280

M = C + j

M = 2.0000 + .1280 = 2.1280

Logo, o juro foi R$ 1.280,00mil duzentos e oitenta reais e o montante R$ 21.280,00vinte e um mil duzentos e oitenta reais

9. Nesse caso, temos:

C = R$ 4.000,00quatro mil reais

t = 2 anos e 6 meses ou 30 meses