Página cinquenta e quatro

Parte 2

i = 1,5% (taxa mensal)

M = ?

Para chegar ao montante, fazemos:

j = C ⋅ i ⋅ t

j = .4000 ⋅ 30 ⋅ 0,015

j = .1800

M = C + j

M = .4000 + .1800 = .5800

Logo, o montante é R$ 5.800,00cinco mil oitocentos reais

10. Nesse caso, temos:

C = R$ 2.000,00dois mil reais

i = 2% (taxa mensal)

j = R$ 800,00oitocentos reais

t = ?

Para calcular o intervalo de tempo, fazemos:

j = C ⋅ i ⋅ t

800 = 2 000 ⋅ t ⋅ 0,02

\frac{800}{40} = t \Rightarrow t = 20

Logo, o intervalo de tempo é de 20 meses (ou 1 ano e 8 meses).

11. Nesse caso, temos:

C = R$ 10.000,00dez mil reais

t = 3 meses

j = R$ 300,00trezentos reais

i = ?

Para calcular a taxa, fazemos:

j = C ⋅ i ⋅ t

300 = 1.0000 ⋅ i ⋅ 3

\frac{300}{30 000} = i \Rightarrow i = 0,01 = 1 %

Logo, a taxa cobrada foi de 1% ao mês

12. Nesse caso, temos:

i = 12% (taxa anual) ou 1% (taxa mensal)

M = R$ 1.296,00mil duzentos e noventa e seis reais

t = 8 meses

C = ?

Como sabemos que

j = C ⋅ i ⋅ t e M = C + j ⇒ j = M ‒ C

Portanto, podemos igualar essas expressões e teremos:

C ⋅ i ⋅ t = M ‒ C

Agora, podemos substituir o que já conhecemos para chegar ao valor de C que está sendo pedido:

C ⋅ 0,01 ⋅ 8 = .1296 ‒ C

0,08C + C = .1296

C = \frac{1 296}{1,08} = 1 200

Logo, o capital é R$ 1.200,00mil duzentos reais.

13. Vamos considerar as duas situações:

Situação 1:

C = x

i = 0,5% (taxa mensal)

t = 10 meses

Situação 2:

C = x

i = ?

tê = 25 meses

Como são aplicações equivalentes e sabemos que j = C ⋅ i ⋅ t, teremos:

x ⋅ 0,005 ⋅ 10 = x ⋅ i ⋅ 25

0,005 ⋅ 10 = 25ih

\frac{0,05}{25} = i \Rightarrow i = 0,002 = 0,2 %

A taxa será de 0,2% ao mês.

14. Temos as seguintes informações:

C = R$ 3.000,00três mil reais

i = 12% (taxa anual)

t = \frac{200}{360} a n o = \frac{5}{9} a n o

M = ?

Como j = C ⋅ i ⋅ t, então:

j = 3 000 \cdot 0,12 \cdot \frac{5}{9} = 360 \cdot \frac{5}{9} = 200

Com base nisso, temos:

M = .3000 + 200 = .3200

O valor do montante será R$ 3.200,00três mil duzentos reais.

15. Oriente os estudantes no uso das planilhas eletrônicas para a resolução das atividades indicadas. Para cada item, temos os seguintes cálculos:

a) C = R$ 12.000,00doze mil reais

i = 1,5% (taxa mensal)

t = 10 meses

j = ?

Como j = C ⋅ i ⋅ t, então:

j = 1.2000 ⋅ 0,015 ⋅ 10 = .1800

Logo, o juro será R$ 1.800,00mil oitocentos reais.

b) C = R$ 15.000,00quinze mil reais

i = 1,8% (taxa mensal)

t = 20 meses

j = ?

Como j = C ⋅ i ⋅ t, então:

j = 1.5000 ⋅ 0,018 ⋅ 20 = .5400

Logo, ela pagará R$ 5.400,00cinco mil quatrocentos reais de juro.

Atividades – página 56

16. No 1º mês, a aplicação rendeu 0,69% (i = 0,0069).

j = R$ 25.000,00vinte e cinco mil reais · 0,0069 · 1 = R$ 172,50cento e setenta e dois reais e cinquenta centavos

M = R$ 25.000,00vinte e cinco mil reais + R$ 172,50cento e setenta e dois reais e cinquenta centavos = R$ 25.172,50vinte e cinco mil cento e setenta e dois reais e cinquenta centavos.

Logo, ao final do 1º mês, o montante é de R$ 25.172,50vinte e cinco mil cento e setenta e dois reais e cinquenta centavos.

No 2º mês, temos:

j ≃ R$ 173,69cento e setenta e três reais e sessenta e nove centavos; M = .25346,19

No 3º mês, temos:

j ≃ R$ 174,89cento e setenta e quatro reais e oitenta e nove centavos; M = .25521,08

Portanto, o montante ao final dos três meses é de R$ 25.521,08vinte e cinco mil quinhentos e vinte e um reais e oito centavos.

17. No 1º ano, o capital rendeu 20% (i = 0,2).

j = R$ 20.000,00vinte mil reais · 0,2 ⋅ 1 = R$ 4.000,00quatro mil reais

M = R$ 20.000,00vinte mil reais + R$ 4.000,00quatro mil reais = R$ 24.000,00vinte e quatro mil reais

Logo, ao final do 1º ano, o montante é de R$ 24.000,00vinte e quatro mil reais.

No 2º ano:

j = R$ 24.000,00vinte e quatro mil reais · 0,2 ⋅ 1 = R$ 4.800,00quatro mil oitocentos reais

M = R$ 24.000,00vinte e quatro mil reais + R$ 4.800,00quatro mil oitocentos reais = R$ 28.800,00vinte e oito mil oitocentos reais

Bruna obteve de juro um total de R$ 8.800,00oito mil oitocentos reais (.4000 + .4800 = .8800).

18. No 1º mês, a aplicação rendeu 1% (i = 0,01).

j = R$ 30.000,00trinta mil reais · 0,01 · 1 = R$ 300,00trezentos reais

M = R$ 30.000,00trinta mil reais + R$ 300,00trezentos reais = R$ 30.300,00trinta mil trezentos reais

Logo, ao final do 1º mês, o montante é de R$ 30.300,00trinta mil trezentos reais

No 2º mês, temos:

j = R$ 303,00trezentos e três reais; M = R$ 30.603,00trinta mil seiscentos e três reais

No 3º mês, temos:

j = R$ 306,03trezentos e seis reais e três centavos; M = R$ 30.909,03trinta mil novecentos e nove reais e três centavos

O juro total dessa aplicação foi R$ 909,03novecentos e nove reais e três centavos (300 + 303 + 306,03 = 909,03).

19. a) Nesse caso, usando que j = C ⋅ i ⋅ t, teremos:

j = 10.0000 ⋅ 0,008 ⋅ 4 = .3200

O valor total do juro em regime de juro simples é de R$ 3.200,00três mil duzentos reais.

b) No 1º mês, a aplicação rendeu 0,8% (i = 0,008).

j = R$ 100.000,00cem mil reais ⋅ 0,008 ⋅ 1 = R$ 800,00oitocentos reais

M = R$ 100.000,00cem mil reais + R$ 800,00oitocentos reais = R$ 100.800,00cem mil oitocentos reais

No 2º mês, temos:

j = R$ 806,04oitocentos e seis reais e quatro centavos; M = R$ 101.606,40cento e um mil seiscentos e seis reais e quarenta centavos

No 3º mês, temos:

j ≃ R$ 812,85oitocentos e doze reais e oitenta e cinco centavos; M = R$ 102.419,25cento e dois mil quatrocentos e dezenove reais e vinte e cinco centavos

No 4º mês, temos:

j ≃ R$ 819,35oitocentos e dezenove reais e trinta e cinco centavos; M = R$ 103.238,60cento e três mil duzentos e trinta e oito reais e sessenta centavos

Portanto, o valor total do juro em regime de juro composto é de R$ 3.238,60três mil duzentos e trinta e oito reais e sessenta centavos.

Página cinquenta e cinco

20. Fazendo a cada mês:

Janeiro

j = 10.0000 ⋅ 0,0099 = 990

M = 10.0000 + 990 = 10.0990

Fevereiro

j = 10.0990 ⋅ 0,0091 ≃ 919,01

M = 10.0990 + 919,01 = 10.1909,01

Março

j = 10.1909,01 ⋅ 0,0088 ≃ 896,8

M = 10.1909,01 + 896,8 = 10.2805,81

Após 3 meses, o valor será de R$ 102.805,81cento e dois mil oitocentos e cinco reais e oitenta e um centavos.

21. O investimento inicial foi de x reais e será aplicado por 3 meses a uma taxa de juro composto de 3% ao mês

Como Felipe quer ter um montante de R$ 700,00setecentos reais, espera-se que os estudantes obtenham a seguinte equação:

1,092727x = 700

Resolvendo-a, temos:

x = \frac{700}{1,092727} ≃ 640,60

Felipe deve investir, no mínimo, R$ 640,60seiscentos e quarenta reais e sessenta centavos.

22. No 1º ano:

j = R$ 950,00novecentos e cinquenta reais ⋅ 0,105 ⋅ 1 = R$ 99,75noventa e nove reais e setenta e cinco centavos

M = R$ 950,00novecentos e cinquenta reais + R$ 99,75 = R$ 1.049, 75mil quarenta e nove reais e setenta e cinco centavos

No 2º ano:

j ≃ R$ 110,22cento e dez reais e vinte e dois centavos; M = R$1.159,97mil cento e cinquenta e nove reais e noventa e sete centavos

No 3º ano:

j ≃ R$ 121,80cento e vinte e um reais e oitenta centavos; M = R$ 1.281,77mil duzentos e oitenta e um reais e setenta e sete centavos

Ela deverá pagar um total de R$ 1.281,77mil duzentos e oitenta e um reais e setenta e sete centavos.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – páginas 57 e 58

1. Considerando que o lucro deve ser de 32%, podemos fazer:

Vestido florido: PV = 97 + 97 ⋅ 0,32 = 97 + 31,04 = 128,04

Saia lisa preta: PV = 74 + 74 ⋅ 0,32 = 74 + 23,68 = 97,68

Short listrado: PV = 49 + 49 ⋅ 0,32 = 49 + 15,68 = 64,68

Blusa lisa azul: PV = 36 + 36 ⋅ 0,32 = 36 + 11,52 = 47,52

2. PV = .3278 ‒ .3278 ⋅ 0,62 = .3278 ‒ .2032,36 = .1245,64

Guilherme vendeu o celular por R$ 1.245,64mil duzentos e quarenta e cinco reais e sessenta e quatro centavos.

3. Considerando 100 gramas de trufas:

PV = 15 + 15 ⋅ 0,4 = 15 + 6 = 21

Considerando 250 gramas de trufas:

Como 250 gramas = 2,5 · 100 gramas, então o custo é 15 ⋅ 2,5 = 37,5. Logo, podemos calcular:

PV = 37,5 + 37,5 ⋅ 0,4 = 37,5 + 15 = 52,5

Assim, ela deve vender a caixa de 100 gramas por R$ 21,00vinte e um reais e a de 250 gramas por R$ 52,50cinquenta e dois reais e cinquenta centavos.

4. Considerando que 12 quilogramas de laranja tem um custo de R$ 18,00dezoito reais, fazemos:

PV = 18 + 18 ⋅ 0,5 = 18 + 9 = 27

Se 12 quilogramas devem ser vendidos por R$ 27,00vinte e sete reais, para encontrar o preço de venda de 1 quilograma, fazemos 27 : 12 = 2,25; logo, o preço de venda de 1 quilograma será R$ 2,25dois reais e vinte e cinco centavos.

5. PV = 22.0000 ‒ 22.0000 ⋅ 0,12 = 22.0000 ‒ 2.6400 = 19.3600

Ele pagará R$ 193.600,00cento e noventa e três mil seiscentos reais pelo lote.

6. Se indicarmos por x o percentual de lucro, podemos escrever:

.5000 = .4000 + .4000 ⋅ x

\frac{1 000}{4 000} = x \Rightarrow x = \frac{1}{4} = 25 %

O lucro foi de 25%.

7. Temos:

C = R$ 89.200,00oitenta e nove mil duzentos reais

t = 3 meses

i = 1,3% (taxa mensal)

M = ?

Para chegar ao montante, fazemos:

j = C ⋅ i ⋅ t

j = 8.9200 ⋅ 0,013 ⋅ 3

j = .3478,8

M = C + j

M = 8.9200 + .3478,8 = 9.2678,8

Logo, o montante será de R$ 92.678,80noventa e dois mil seiscentos e setenta e oito reais e oitenta centavos.

8. Temos:

C = R$ 5.600,00cinco mil seiscentos reais

t = 5 meses

i = 12% (taxa mensal)

j = ?

Para chegar ao juro, fazemos:

j = C ⋅ i ⋅ t

j = .5600 ⋅ 0,12 ⋅ 5

j = .3360

Ele pagará R$ 3.360,00três mil trezentos e sessenta reais de juro.

9. Temos:

C = x

t = ?

i = 8% (taxa mensal)

M = 3x (triplicar o capital)

Pelos dados, podemos fazer as relações:

M = C + j

3x = x + j

j = 2x

j = C ⋅ i ⋅ t

2x = x ⋅ 0,08 ⋅ t

2 = 0,08 ⋅ t

t = \frac{2}{0,08} = 25

Logo, serão necessários 25 meses.

10. No 1º mês, a aplicação rendeu 2,5% (i = 0, 025).

j = R$ 80oitenta reais.000,00zero reais ⋅ 0,025 ⋅ 1 = R$ 2.000,00dois mil reais

M = R$ 80.000,00oitenta mil reais + R$ 2.000,00dois mil reais = R$ 82.000,00oitenta e dois mil reais

No 2º mês, temos:

j = R$ 2.050,00dois mil cinquenta reais; M = R$ 84.050,00oitenta e quatro mil cinquenta reais

No 3º mês, temos:

j = R$ 2.101,25dois mil cento e um reais e vinte e cinco centavos; M = R$ 86.151,25oitenta e seis mil cento e cinquenta e um reais e vinte e cinco centavos

a) Juro de R$ 6.151,25seis mil cento e cinquenta e um reais e vinte e cinco centavos (basta fazer .2000 + .2050 + .2101,25).

b) Sim, pois conseguiu R$ 6.151,25seis mil cento e cinquenta e um reais e vinte e cinco centavos e precisava de R$ 5.000,00cinco mil reais.

11. Espera-se que os estudantes obtenham os seguintes valores de juro e montante:

1º mês: j = R$ 6.000,00seis mil reais; M = R$ 106.000,00cento e seis mil reais

2º mês: j = R$ 6.060,00seis mil sessenta reais; M = R$ 112.360,00cento e doze mil trezentos e sessenta reais

3º mês: j = R$ 6.741,60seis mil setecentos e quarenta e um reais e sessenta centavos; M = R$ 119.101,60cento e dezenove mil cento e um reais e sessenta centavos

4º mês: j ≃ R$ 7.146,10sete mil cento e quarenta e seis reais e dez centavos; M = R$ 126.247,70cento e vinte e seis mil duzentos e quarenta e sete reais e setenta centavos

5º mês: j ≃ R$ 7.574,86sete mil quinhentos e setenta e quatro reais e oitenta e seis centavos; M = R$ 133.822,56cento e trinta e três mil oitocentos e vinte e dois reais e cinquenta e seis centavos

6º mês: j ≃ R$ 8.029,35oito mil vinte e nove reais e trinta e cinco centavos; M = R$ 141.851,91cento e quarenta e um mil oitocentos e cinquenta e um reais e noventa e um centavos

O valor total da dívida de Fernando é de R$ 141.851,91cento e quarenta e um mil oitocentos e cinquenta e um reais e noventa e um centavos.

Página cinquenta e seis

12. Espera-se que os estudantes obtenham os seguintes valores de juro e montante:

1º mês: j = R$ 17.500,00dezessete mil quinhentos reais; M = R$ 267.500,00duzentos e sessenta e sete mil quinhentos reais

2º mês: j = R$ 18.725,00dezoito mil setecentos e vinte e cinco reais; M = R$ 286.225,00duzentos e oitenta e seis mil duzentos e vinte e cinco reais

3º mês: j = R$ 20.035,75vinte mil trinta e cinco reais e setenta e cinco centavos; M = R$ 306.260,75trezentos e seis mil duzentos e sessenta reais e setenta e cinco centavos

4º mês: j ≃ R$ 21.438,25vinte e um mil quatrocentos e trinta e oito reais e vinte e cinco centavos; M = R$ 327.699,00trezentos e vinte e sete mil seiscentos e noventa e nove reais

a) Juro de R$ 77.699,00setenta e sete mil seiscentos e noventa e nove reais (basta fazer 1.7500,00 + 1.8725,00 + 2.0035,75 + 2.1438,25).

b) O valor máximo do imóvel é R$ 327.699,00trezentos e vinte e sete mil seiscentos e noventa e nove reais.

13. Espera-se que os estudantes obtenham os seguintes valores de juro e montante:

1º mês: j = R$ 800,00oitocentos reais; M = R$ 10.800,00dez mil oitocentos reais

2º mês: j = R$ 864,00oitocentos e sessenta e quatro reais; M = R$ 11.664,00onze mil seiscentos e sessenta e quatro reais

3º mês: j = R$ 933,12novecentos e trinta e três reais e doze centavos; M = R$ 12.597,12doze mil quinhentos e noventa e sete reais e doze centavos

4º mês: j ≃ R$ 1.007,77mil sete reais e setenta e sete centavos; M = R$ 13.604,89treze mil seiscentos e quatro reais e oitenta e nove centavos

Paulo deverá deixar o dinheiro investido por 4 meses.

Vale destacar que não é necessário fazer os cálculos referentes ao 4º mês, pois, ao final do 3º mês, ele já terá um valor muito próximo do esperado, então certamente no 4º mês atingirá o objetivo.

14. a) Espera-se que os estudantes obtenham a seguinte inequação:

1,124864x ⩾ .1500

Resolvendo-a, temos:

x ⩾ \frac{1 500}{1,124864}

x ⩾ .1333,50

Portanto, Marcela deve investir no mínimo R$ 1.333,50mil trezentos e trinta e três reais e cinquenta centavos.

b) Para determinar quantos meses a mais ela deve deixar o dinheiro aplicado para obter o montante de R$ 1.700,00mil setecentos reais, basta prosseguir com os cálculos:

Espera-se que os estudantes obtenham os seguintes valores de juro e montante:

1º mês: j ≃ R$ 53,34cinquenta e três reais e trinta e quatro centavos; M = .1386,84

2º mês: j ≃ R$ 55,47cinquenta e cinco reais e quarenta e sete centavos; M = .1442,31

3º mês: j ≃ R$ 57,69cinquenta e sete reais e sessenta e nove centavos; M = .1500,00

4º mês: j ≃ R$ 60,00sessenta reais; M = .1560,00

5º mês: j = R$ 62,40sessenta e dois reais e quarenta centavos; M = .1622,40

6º mês: j ≃ R$ 64,90sessenta e quatro reais e noventa centavos; M = .1687,30

7º mês: j ≃ R$ 67,49sessenta e sete reais e quarenta e nove centavos; M = .1754,79

A aplicação de Marcela atingirá o montante de R$ 1.700,00mil setecentos reais no sétimo mês. Portanto, o valor deverá ser aplicado por mais 4 meses.

15. No 1º mês:

j = R$ 40.000,00quarenta mil reais · 0, 015 · 1 = R$ 600,00seiscentos reais

M = R$ 40.000,00quarenta mil reais + R$ 600,00seiscentos reais = R$ 40.600,00quarenta mil seiscentos reais

No 2º mês:

j = R$ 40.quarenta reais.600,00seiscentos reais · 0, 012 · 1 = R$ 487,20quatrocentos e oitenta e sete reais e vinte centavos

M = R$ 40.600,00quarenta mil seiscentos reais + R$ 487,20quatrocentos e oitenta e sete reais e vinte centavos = R$ 41.087,20quarenta e um mil oitenta e sete reais e vinte centavos

a) O rendimento do primeiro mês foi de R$ 600,00seiscentos reais; o do segundo, R$ 487,20quatrocentos e oitenta e sete reais e vinte centavos.

b) O montante no final do período foi de R$ 41.087,20quarenta e um mil oitenta e sete reais e vinte centavos.

CAPÍTULO 3 – SEGMENTOS PROPORCIONAIS E SEMELHANÇA

Trocando ideias – página 59

• Exemplos de resposta: vacinação, distanciamento social, lavagem das mãos, cobrir nariz e boca com o antebraço ao tossir ou espirrar, manutenção de ambientes limpos e ventilados etcétera.

• Vejamos a relação entre as medidas de comprimento correspondentes:

\frac{9 c m}{12 c m} = 0,75

\frac{6 c m}{8 c m} = 0,75

Ou seja, as medidas de comprimento do molde para máscara infantil correspondem a 75% das medidas de comprimento correspondentes do molde para máscara de adulto. Isso significa que a taxa de redução do molde da máscara infantil em relação ao molde da máscara de adulto foi de 25%.

Atividades – página 61

1. a)

\frac{8}{10} = \frac{4}{5}

\frac{‒ 2}{3} = ‒ \frac{2}{3}

\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

\frac{10}{2} = 5

2. a) 5 ⋅ 5 = 6 ⋅ 6

25 = 36

A sentença é falsa, logo os pares de razões não formam uma proporção.

b) (‒ 10) ⋅ 6 = 3 ⋅ 20

‒ 60 = 60

A sentença é falsa, logo os pares de razões não formam uma proporção.

c) 12 ⋅ 5 = 15 ⋅ 4

60 = 60

A sentença é verdadeira, logo os pares de razões formam uma proporção.

\frac{1}{2} \cdot 30 = 5 \cdot 3

15 = 15

A sentença é verdadeira, logo os pares de razões formam uma proporção.

Atividades – página 62

\frac{x}{20 c m} = \frac{2}{5} \Rightarrow 5 x = 40 c m \Rightarrow x = \frac{40 c m}{5} = 8 c m

Logo, x = 8 centímetros.

4. Observando a figura e utilizando as informações dadas, podemos afirmar que:

\frac{y}{y + 16} = \frac{3}{7}

3 (y + 16) = 7 y \Rightarrow 3 y + 48 = 7 y \Rightarrow

\Rightarrow 3 y - 7 y = ‒ 48 \Rightarrow y = \frac{‒ 48}{‒ 4} = 12

Como x = y + 16, teremos x = 12 + 16 = 28.

Portanto, x = 28 centímetros e y = 12 centímetros.

5. Se indicarmos a medida de comprimento de

\bar{A B}

por x, teremos que a medida de comprimento de

\bar{C D}

será (40 – x) e poderemos escrever a proporção:

Página cinquenta e sete

\frac{x}{40 - x} = \frac{3}{5}

3(40 ‒ x) = 5x

120 ‒ 3x = 5x

120 = 8x

\frac{120}{8} = x \Rightarrow x = 15

Logo, (40 ‒ x) = 40 ‒ 15 = 25

Portanto, AB = 15 centímetros e CD = 25 centímetros.

6. A fotografia original é de 30 milímetros por 40 milímetros.

Ampliação de 100%:

30 + 100% ⋅ 30 = 30 + 30 = 60

40 + 100% ⋅ 40 = 40 + 40 = 80

Novas medidas: 60 milímetros por 80 milímetros.

Redução de 50%:

30 ‒ 50% ⋅ 30 = 30 ‒ 15 = 15

40 ‒ 50% ⋅ 40 = 40 ‒ 20 = 20

Novas medidas: 15 milímetros por 20 milímetros.

Tecnologias digitais em foco – página 67

a) Respostas pessoais.

b) Comparando as razões

\frac{A B}{B C}

com

\frac{P Q}{Q R}

\frac{A C}{A B}

com

\frac{P R}{P Q}

, verificamos que elas são iguais, o que nos leva a conjecturar que, em um feixe de retas paralelas cortado por duas retas transversais, os segmentos de reta determinados sobre a primeira transversal são proporcionais a seus correspondentes determinados sobre a segunda transversal.

c) A relação verificada continua válida, independentemente da configuração apresentada.

Atividades – página 67

7. a)

\frac{3}{x} = \frac{6}{12} \Rightarrow 6 x = 36 \Rightarrow x = 6

\frac{2 x + 2}{8} = \frac{4 x - 12}{12} \Rightarrow 12 (2 x + 2) = 8 (4 x - 12) \Rightarrow

⇒ 24x + 24 = 32x ‒ 96 ⇒

⇒ 24x ‒ 32x = ‒ 96 ‒ 24 ⇒ ‒ 8x = ‒ 120 ⇒ x = 15

\frac{x}{8} = \frac{3}{6} \Rightarrow 6 x = 24 \Rightarrow x = 4

8. Uma possível resolução:

\frac{x}{3, 3} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3 x = 6, 6 \Rightarrow x = 2, 2

\frac{y}{3, 3} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3 y = 3, 3 \Rightarrow y = 1, 1

\frac{2}{1} = \frac{3, 2}{z} \Rightarrow 2 z = 3, 2 \Rightarrow z = 1, 6

9. Uma possível resolução:

\frac{x}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = 2

\frac{7}{1} = \frac{7}{y} \Rightarrow y = 1

10. a) Nesse caso, temos que x + y = 27 ⇒ y = 27 ‒ x. Assim, podemos escrever:

\frac{x}{27 - x} = \frac{4}{5} \Rightarrow 5 x = 4 (27 - x) \Rightarrow 5 x = 108 - 4 x \Rightarrow

\Rightarrow x = \frac{108}{9} \Rightarrow x = 12

Voltando à relação y = 27 ‒ x, teremos:

y = 27 ‒ 12 ⇒ y = 15

\frac{x}{8} = \frac{4}{4} \Rightarrow x = 8

\frac{4}{2} = \frac{8}{y} \Rightarrow 4 y = 16 \Rightarrow y = 4

11. A partir do segmento de reta

\bar{A B}

transposto no caderno, traçamos, com auxílio de uma régua, uma semirreta

\vec{A M}

qualquer. Sobre a semirreta

\vec{A M}

, com auxílio de um compasso, marcamos quatro pontos (N, O, P e Q), de modo que êne á = êne ô = OP = PQ.

Então, traçamos

\overset{\leftrightarrow}{Q B}

e, em seguida, uma paralela a

\overset{\leftrightarrow}{Q B}

, passando por P, determinando um ponto C em

\bar{A B}

de modo que

\frac{A Q}{A P} = \frac{4}{3}

, com

\bar{Q B} // P C

Por fim, pelo teorema de Tales, temos:

\frac{A P}{A Q} = \frac{A C}{A B} = \frac{3}{4}

12. Considerando que 16 métros + 28 métros + 36 métros = 80 métros, teremos:

\frac{a}{16} = \frac{100}{80} \Rightarrow 80 a = 16 \cdot 100 \Rightarrow a = \frac{16 \cdot 100}{80} = 20

\frac{b}{28} = \frac{100}{80} \Rightarrow 80 b = 28 \cdot 100 \Rightarrow b = \frac{28 \cdot 100}{80} = 35

\frac{c}{36} = \frac{100}{80} \Rightarrow 80 c = 36 \cdot 100 \Rightarrow a = \frac{36 \cdot 100}{80} = 45

Portanto, a = 20 métros, b = 35 métros e c = 45 métros.

13. a)

\frac{O A}{O B} = \frac{O A'}{O B'}

\frac{O B}{O C} = \frac{O A'}{O B'}

c) Aplicando a propriedade transitiva da igualdade nas relações obtidas nos itens anteriores, temos:

\frac{O A}{O B} = \frac{O A'}{O B'} = \frac{O B}{O C}

Invertendo essas razões, temos:

\frac{O B}{O A} = \frac{O C}{O B}

Atividades – página 69

14. Indicando a medida AQ por x, temos:

\frac{x}{5} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2 x = 15 \Rightarrow x = 7, 5

Logo AQ = 7,5.

15. Um esboço dessa situação:

Pelo teorema de Tales, valem as relações:

\frac{k}{4} = \frac{k + 4}{6} \Rightarrow 6 x = 4 (k + 4) \Rightarrow 6 k = 4 k + 16 \Rightarrow

⇒ 2k = 16 ⇒ k = 8

Como a medida de comprimento de

\bar{A B}

é dada por k + k + 4, temos: 8 + 8 + 4 = 20. Assim, AB = 20.

16.

\frac{2}{x} = \frac{2,8}{4,76} \Rightarrow 2,8 x = 2 \cdot 4,76 \Rightarrow x = \frac{9,52}{2,8} = 3,4

Atividades – página 73

17. a) Sim, pois os ângulos correspondentes têm a mesma medida de abertura (90graus) e a razão de semelhança é

\frac{5}{2}

, pois

\frac{25}{10} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}

b) Não, pois os ângulos correspondentes têm medidas das aberturas diferentes.

18. a)

\frac{x}{25} = \frac{12}{30} \Rightarrow 30 x = 12 \cdot 25 \Rightarrow x = \frac{12 \cdot 25}{30} = 10

\frac{y}{8} = \frac{30}{12} \Rightarrow 12 y = 8 \cdot 30 \Rightarrow y = \frac{8 \cdot 30}{12} = 20

\frac{x}{18} = \frac{24}{36} \Rightarrow 36 x = 24 \cdot 18 \Rightarrow x = \frac{24 \cdot 18}{36} = 12

\frac{y}{18} = \frac{36}{24} \Rightarrow 24 y = 18 \cdot 36 \Rightarrow y = \frac{18 \cdot 36}{24} = 27

Página cinquenta e oito

19. Para que seja feita a construção do triângulo Abit’centésimo’ semelhante ao triângulo á bê cê, tal que

\frac{A B'}{A B} = \frac{A C'}{A C} = \frac{B' C'}{B C} = \frac{2}{3}

, seguimos os seguintes passos:

• Traçamos, com o auxílio de uma régua, uma semirreta que passe por qualquer um dos lados do triânguloá bê cê. Neste caso, vamos escolher o lado

\bar{A B}

para traçar a semirreta

\vec{A B}

• Sobre a semirreta

\vec{A B}

, com auxílio do compasso, marcamos três pontos (N, óh e P ), de modo que: êne á = êne ô = OP

• Traçamos uma reta

\overset{\leftrightarrow}{P C}

e uma nova reta paralela a

\overset{\leftrightarrow}{P C}

que passe pelo ponto O, determinando o ponto centésimo’ em

\bar{A C}

de modo que

\frac{A O}{A P} = \frac{2}{3}

com

\bar{P C} / / \bar{O C}

. E, dessa fórma, aplicando o teorema de Tales, temos:

\frac{A O}{A P} = \frac{A C'}{A C} = \frac{2}{3}

• Para finalizar a construção, podemos traçar uma reta

\overset{\leftrightarrow}{B' C'}

, paralela à

\overset{\leftrightarrow}{B C}

. Segue do teorema de Tales que:

\frac{A B'}{A B} = \frac{2}{3}

Assim, obtemos o triângulo Abit’centésimo’.

20. a)

\frac{x}{90} = \frac{60}{100} \Rightarrow x = \frac{90 \cdot 60}{100} \Rightarrow x = 54

\frac{y}{51} = \frac{100}{60} \Rightarrow y = \frac{51 \cdot 100}{60} \Rightarrow y = 85

b) x = 120graus, já que a medida da abertura de ângulos correspondentes em figuras semelhantes é a mesma.

\frac{y}{30} = \frac{33}{55} \Rightarrow y = \frac{33 \cdot 30}{55} \Rightarrow y = 18

Atividades – página 74

21. a) Observando a correspondência entre os ângulos, podemos dizer que os triângulos á bê cê e PRQ são semelhantes e poderemos fazer:

\frac{x}{24} = \frac{10}{20}

x = \frac{10 \cdot 24}{20} \Rightarrow x = 12

\frac{y}{30} = \frac{10}{20} \Rightarrow y = \frac{10 \cdot 30}{20} \Rightarrow y = 15

b) Os triângulos á bê cê e NOM são semelhantes, então:

\frac{x}{15} = \frac{12}{18} \Rightarrow x = \frac{12 \cdot 15}{18} \Rightarrow x = 10

\frac{y}{20} = \frac{18}{12} \Rightarrow y = \frac{20 \cdot 18}{12} \Rightarrow y = 30

22. Os triângulos a agá bê e CHA são semelhantes, então:

\frac{x}{11,1} = \frac{8,5}{13,1} \Rightarrow x = \frac{8,5 \cdot 11,1}{13,1} \Rightarrow x ≃ 7,2

\frac{y}{13,1} = \frac{8,5}{11,1} \Rightarrow y = \frac{8,5 \cdot 13,1}{11,1} \Rightarrow y ≃ 10

23. Temos que:

\frac{x}{3} = \frac{8}{2} \Rightarrow x = \frac{3 \cdot 8}{2} \Rightarrow x = 12

Logo, a medida da altura do poste é 12 métros.

Um pouco de história – página 76

Espera-se que os estudantes percebam que, teorema fundamental da semelhança de triângulos, os triângulos á bê agá e GFH são semelhantes e, por isso, as medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais. Assim, pode-se escrever:

\frac{A B}{G F} = \frac{B H}{F H} = \frac{A H}{G H}

Atividades – página 76

24. a)

\frac{8}{8 + x} = \frac{16}{24} \Rightarrow 16 (x + 8) = 8 \cdot 24 \Rightarrow x + 8 = \frac{(8 \cdot 24)}{16} \Rightarrow

⇒ x + 8 = 12 ⇒ x = 4

\frac{y}{y + 6} = \frac{16}{24} \Rightarrow 24 y = 16 y + 96 \Rightarrow 8 y = 96 \Rightarrow y = 12

\frac{12}{12 + y} = \frac{10}{30} \Rightarrow 10 (12 + y) = 30 \cdot 12 \Rightarrow

⇒ 12 + y = 36 ⇒ y = 24

\frac{x}{12 + x} = \frac{10}{30} \Rightarrow 30 x = 10 (12 + x) \Rightarrow

⇒ 3x = 12 + x ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6

25. Sejam BC = x e DC = y, temos:

\frac{5}{y} = \frac{13}{13 + 12} \Rightarrow y = \frac{5 \cdot 25}{13} \Rightarrow y = \frac{125}{13}

\frac{x + 16}{16} = \frac{12 + 13}{13} \Rightarrow x + 16 = \frac{16 \cdot 25}{13}

x = \frac{400}{13} ‒ 16 \Rightarrow x = \frac{400}{13} - \frac{208}{13} \Rightarrow x = \frac{192}{13}

Portanto,

B C = \frac{192}{13} m

D C = \frac{125}{13} m

Atividades – páginas 78 e 79

26.

\frac{A B}{M O} = \frac{A C}{M N} \Rightarrow \frac{18}{27} = \frac{28}{42} e m e d (B \hat{A} C) = m e d (O \hat{M} N) = 40 °

, então ΔABC ∼ ΔMON pelo caso LAL.

\frac{X Y}{T S} = \frac{X Z}{T R} = \frac{Y Z}{S R} \Rightarrow \frac{1, 8}{3} = \frac{3}{5} = \frac{2, 4}{4}

, então ΔXYZ ~ ΔTSR pelo caso LLL.

m e d (E \hat{D} F) = m e d (G \hat{I} F) = 35 ° e m e d (E \hat{F} D) = m e d (G \hat{H} I) = 60 °

, então ΔDEF ∼ ΔIGH pelo caso AA.

27. Sim, são semelhantes pelo caso á á, já que ambos possuem ângulos retos correspondentes

(A \hat{D} G ≅ G \hat{C} F)

D \hat{A} G ≅ C \hat{G} F

, já que esses ângulos são correspondentes considerando as retas paralelas

\overset{\leftrightarrow}{G F}

\overset{\leftrightarrow}{D E}

(lados do quadrado) e a transversal

\overset{\leftrightarrow}{A C}

. Assim, ΔADG ~ ΔGCF.

28. a. éle á éle

b) éle á éle ou éle éle éle

c) á á

29. Exemplo de resposta: ∆ DBE~∆ ABC (AA).

30. a)

Ilustração. Triângulo retângulo APQ dividido em: um triângulo retângulo laranja escuro ABC, em que o comprimento de AB mede 2,4 metros, comprimento de BC mede 1,8 metros e o comprimento de AC mede 3 metros e um quadrilátero BCQP, em que o comprimento BC mede 1,8 metros e o comprimento de BP mede 1,6 metros. O comprimento PQ é paralelo ao comprimento BC

Aplicando o teorema de Tales no triângulo, temos:

\frac{2,4 m}{1,6 m} = \frac{3 m}{C Q} \Rightarrow C Q = \frac{3 m \cdot 1,6 m}{2,4 m} \Rightarrow C Q = 2 m

Portanto, a medida do comprimento da escada é 5 métros, pois 3 métros + 2 métros = 5 métros.

b) Os ângulos correspondentes dos triângulos são congruentes, pois:

A \hat{B} C ≅ A \hat{P} Q

(ângulos retos)

B \hat{A} C ≅ P \hat{A} Q

(ângulo comum aos dois triângulos)

Página cinquenta e nove

B \hat{C} A = P \hat{Q} A

(a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um triângulo é 180graus e a medida das aberturas dos outros dois ângulos internos correspondentes dos dois triângulos são iguais).

Os triângulos não têm lados correspondentes com a mesma medida de comprimento.

A bê = 2,4 métros, bê cê = 1, 8 métro, cê á = 3 métros, á pê = 4 métros, PQ > 1,8 métro e QA = 5 métros.

c) Sim, como os triângulos têm ângulos correspondentes congruentes, eles são semelhantes pelo caso á á.

31. Se indicarmos por x a medida da altura do prédio, em metros, podemos fazer:

\frac{x}{1,6} = \frac{8}{0,4} \Rightarrow x = \frac{8 \cdot 1,6}{0,4} \Rightarrow x = 32

A medida da altura do prédio é 32 metros.

32. Respostas pessoais.

33. a)

\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{3}{4}

Portanto, as medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais.

m e d (A \hat{B} C) = m e d (E \hat{D} F) = 45 °

Portanto, um dos ângulos de cada triângulo tem a mesma medida de comprimento.

c) Espera-se que os estudantes respondam que não, pois os ângulos que têm a mesma medida de abertura nos dois triângulos não estão compreendidos entre os lados que têm medidas de comprimento proporcionais.

Resolvendo em equipe – página 80

Interpretação e identificação dos dados

• Resposta pessoal.

• Sim, os triângulos á bê cê e FBE são semelhantes pelo caso á á, pois ambos têm um ângulo reto e compartilham o ângulo

\hat{B}

• Triângulos á bê dê e AFE também são semelhantes pelo caso á á, pois ambos têm um ângulo reto e compartilham o ângulo

\hat{A}

Plano de resolução e resolução

• Considerando que

∆ F B E ~ ∆ A B C

, teremos:

\frac{F B}{A B} = \frac{E B}{B C} = \frac{F E}{A C}

Como á cê = 4, então:

\frac{F B}{A B} = \frac{E B}{B C} = \frac{F E}{4}

Considerando que

∆ A F E ~ ∆ A B D

, teremos:

\frac{A F}{A B} = \frac{A E}{A D} = \frac{F E}{B D}

Como bê dê = 6, então:

\frac{A F}{A B} = \frac{A E}{A D} = \frac{F E}{6}

• Considerando as relações obtidas, temos:

\frac{F B}{A B} = \frac{F E}{4} \Rightarrow \frac{A B - A F}{A B} = F E \Rightarrow F E = \frac{4 (A B - A F)}{A B}

\frac{A F}{A B} = \frac{F E}{6} \Rightarrow F E = \frac{6 A F}{A B}

dois

De dois e dois, temos:

\frac{6 A F}{A B} = \frac{4 (A B - A F)}{A B} \Rightarrow 4 A B = 10 A F \Rightarrow A B = \frac{5}{2} A F

• Sabendo que:

\frac{F B}{A B} = \frac{F E}{4}

\frac{A F}{A B} = \frac{F E}{6}

Podemos fazer:

\frac{F B}{A B} + \frac{A F}{A B} = \frac{F E}{4} + \frac{F E}{6}

\frac{F B + A F}{A B} = \frac{3 F E + 2 F E}{12}

Como, pela figura, podemos afirmar que FB + AF = AB, teremos:

\frac{A B}{A B} = \frac{5 F E}{12} \Rightarrow 1 = \frac{5 F E}{12} \Rightarrow F E = \frac{12}{5} \Rightarrow F E = 2, 4

Assim, obtemos 2,4 métros para a medida de comprimento de

\bar{E F}

e a alternativa c é a correta.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – páginas 81 e 82

1. a)

\frac{2}{3} = \frac{1,5}{x} \Rightarrow x = \frac{1,5 \cdot 3}{2} \Rightarrow x = 2,25

\frac{3,6}{x} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{3,6 \cdot 4}{3} \Rightarrow x = 4,8

2. a)

\frac{10}{12} = \frac{45}{12 + x} \Rightarrow 12 + x = \frac{45 \cdot 12}{10} \Rightarrow

⇒ x = 54 ‒ 12 ⇒ x = 42

\frac{5}{6} = \frac{13}{6 + x} \Rightarrow 6 + x = \frac{6 \cdot 13}{5} \Rightarrow

⇒ x = 15,6 ‒ 6 ⇒ x = 9,6

3. Indicando por x a medida do comprimento do muro do lote 6 com a Rua dos Sabiás e por y a medida do comprimento do portão do lote 5, temos:

\frac{9,5}{x} = \frac{10}{12} \Rightarrow x = \frac{9,5 \cdot 12}{10} \Rightarrow x = 11,4

Logo, esse muro deverá ter medida de comprimento igual a 11,4 métros.

\frac{y}{10} = \frac{13,3}{9,5} \Rightarrow y = \frac{13,3 \cdot 10}{9,5} \Rightarrow y = 14

O portão deverá medir 14 métros de comprimento.

\frac{2}{5} \cdot 4 m = \frac{8}{5} m = 1,6 m

\frac{2}{5} \cdot 3 m = \frac{6}{5} m = 1,2 m

Logo, as novas dimensões medem 1,6 métro por 1,2 métro.

\frac{2,4}{1, 6} = \frac{5, 1}{x} \Rightarrow x = \frac{1,6 \cdot 5,1}{2,4} \Rightarrow x = 3,4

\frac{2,6}{y} = \frac{1, 6}{2,4} \Rightarrow y = \frac{2,4 \cdot 2,6}{1,6} \Rightarrow y = 3,9

Assim, x = 3,4 métros e y = 3,9 métros.

6. Teremos as relações:

\frac{x}{1, 5} = \frac{8}{0,6} \Rightarrow x = \frac{8 \cdot 1,5}{0,6} \Rightarrow x = 20

Logo, a medida da altura do prédio é 20 métros.

7. a) Caso á á, pois temos ângulos retos correspondentes e ângulos opostos pelo vértice.

\frac{x}{6 c m} = \frac{5 c m}{7,5 c m} \Rightarrow x = \frac{6 c m \cdot 5 c m}{7,5 c m} \Rightarrow x = 4 c m

\frac{y}{3 c m} = \frac{7, 5 c m}{5 c m} \Rightarrow y = \frac{3 c m \cdot 7,5 c m}{5 c m} \Rightarrow y = 4,5 c m

b) Caso á á, pois temos os ângulos correspondentes com medida de abertura α e ângulos opostos pelo vértice.

\frac{x}{6, 6 c m} = \frac{2, 5 c m}{5 c m} \Rightarrow x = \frac{6,6 c m \cdot 2,5 c m}{5 c m} \Rightarrow x = 3,3 c m

\frac{y}{3, 2 c m} = \frac{5 c m}{2,5 c m} \Rightarrow y = \frac{3,2 c m \cdot 5 c m}{2,5 c m} \Rightarrow y = 6,4 c m

Página sessenta

É hora de extrapolar – páginas 83 e 84

1. Resposta pessoal.

2. Resposta pessoal.

3. Respostas pessoais.

4. a) 0,15 ⋅ 3.6000 = .5400

3.6000 ‒ .5400 = 3.0600

Pagará R$ 30.600,00trinta mil seiscentos reais.

b) (3.6000 : 2) : 24 = 1.8000 : 24 = 750

Cada parcela será de R$ 750,00setecentos e cinquenta reais.

c) 48 ⋅ .1050 = 5.0400

O total será de R$ 50.400,00cinquenta mil quatrocentos reais.

d) Diferença de R$ 14.400,00quatorze mil quatrocentos reais (pois 5.0400 ‒ 3.6000 = 1.4400)chamada de juro.

e) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes estejam atentos aos altos valores de juro, considerando que na maior parte das vezes é mais interessante poupar para depois comprar.

5. a)

66 70 0 0 00 = 6,67 \cdot 10^{7}

7 9 1 0 0 0 00 = 7,9 1 \cdot 10^{7}

1 2 4 0 0 0 00 = 1,24 \cdot 10^{7}

379,2 = 3,792 \cdot 10^{2}

b) Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes tenham algumas ideais sobre como separar lixo orgânico e reciclável, consumir com consciência etcétera.

6. Respostas pessoais.

7. a) Algumas vantagens: redução do uso de materiais para a produção das embalagens; custos mais baixos para realizar o transporte; diminuição do uso de água e de produtos químicos na fabricação; facilidade de armazenamento nas casas; custo mais baixo para o consumidor.

b) Nesse caso, teremos:

\frac{30}{h} = \frac{16}{10} \Rightarrow 16 h = 300 \Rightarrow h = \frac{300}{16} \Rightarrow h = 18,75

Logo, a altura da embalagem da versão concentrada mede 18,75 centímetros.

13. a) Espera-se que os estudantes citem, principalmente, a preservação do meio ambiente para a sociedade atual e para as gerações futuras.

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes discutam estratégias para resolver a equação obtida no primeiro item.

CAPÍTULO 4 – FATORAÇÃO E EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Trocando ideias – página 86

• x ⋅ (x + 18) = .2944

x2 + 18x ‒ .2944 = 0

É uma equação do 2º grau.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes discutam estratégias para resolver a equação obtida no primeiro item.

Atividades – página 88

1. a) a + a + a + a = 4a

b) 2x + 2y

c) x + x + 1 + x + 2 = 3x + 3

d) b + b + h + h = 3b + 2h

2. a) Como em um 1 ano há 12 meses, então em x anos há 12x meses.

b) Basta dividir a quantidade y de dias por 365, ou seja,

\frac{y}{365}

3. a)

a \cdot a = a^{2}

b) b ⋅ h

\frac{D \cdot d}{2}

4. Em todos os itens, podemos fazer o produto entre as medidas do comprimento da largura e da altura; assim:

a \cdot a \cdot a o u a^{3}

b) c ⋅ w ⋅ h

Atividades – páginas 89 e 90

5. Nas respostas escrevemos, nesta ordem: o coeficiente e a parte literal.

\frac{1}{5}

; a3b4

‒ 1

;

a2bc3

\frac{3}{2}

;

‒ 5 \sqrt{3}

; mn2

\frac{1}{5}

;

a2b3c4

f) 1

; xyz

‒ 1

; xy

\frac{4 π}{3}

; r3

6. a. Sim.

b) Não, pois não é composto apenas por multiplicações de números por letras.

c) Não, pois o expoente da parte literal não é um número natural.

d) Sim.

e) Sim.

f) Sim.

g) Sim.

h) Não, pois não é composto apenas por multiplicações de números por letras.

i) Sim.

j) Não, pois não é composto apenas por multiplicações de números por letras.

k) Sim.

l) Sim.

Espera-se que os estudantes percebam que os monômios são expressões algébricas formadas apenas por multiplicações e que os expoentes da parte literal só podem ser números naturais.

7. a) ab

b) 6y

c) 8a2

d) a3

Atividades – página 90

8. Alternativas a, c, ê, g, pois os monômios desses itens possuem partes literais idênticas.

9. Exemplos de resposta:

a5b7c9

‒a5b7c9

25a5b7c9

\frac{a^{5} b^{7} c^{9}}{10}

10. Exemplo de resposta: 2ab e

\frac{1}{2}

Atividades – páginas 91 e 92

11. a) Retângulo um: 3ab; retângulo dois: 7ab.

b) 3ab + 7ab = 10ab

c) Substituindo no monômio encontrado no item anterior, teremos:

10 ⋅ 0,85 ⋅ 0,75 = 6,375

Logo, a medida da área total é 6,375 centímetros quadrados.

Página sessenta e um

12. a) (5 + 15 ‒ 12 + 2)xy = 10xy

(- \frac{1}{3} + \frac{4}{9} - \frac{1}{9}) x y = (- \frac{3}{9} + \frac{3}{9}) x y = 0

(9 - 18 - 10 + 2) x^{4} y^{3} = - 17 x^{4} y^{3}

13. Podemos calcular:

5abc ‒ (‒3abc) = [5 ‒ (‒3)]abc = [5 + 3]abc = 8abc

Devemos adicionar 8abc.

14. Podemos, primeiro, simplificar a expressão:

(\frac{4}{3} - \frac{3}{8} + \frac{4}{9} - \frac{1}{4}) x^{2} y = (\frac{96 - 27 + 32 - 18}{72}) x^{2} y = (\frac{83}{72}) x^{2} y

Substituindo x por ‒1 e y por 2, temos:

(\frac{83}{72}) \cdot {(- 1)}^{2} \cdot 2 = \frac{83}{36}

Atividades – páginas 92 e 93

15. a) xelevado a 7⁺elevado a 8 = xelevado a 15

b) (+3) ⋅ (‒8) ⋅ (xelevado a 1 + 1) = ‒24 xelevado a 2

c) (‒2)(+7)(xelevado a 2 + 1 ⋅ yelevado a 1 + 1) = ‒14 xelevado a 3 yelevado a 2

d) (+4) ⋅ (‒2) ⋅ (aelevado a 1 + 1 ⋅ belevado a 2 + 1 ⋅ c) = ‒84 aelevado a 2 belevado a 3 c

16. a)

2 k \cdot 2 k = 4 k^{2}

b) 3x ⋅ 6y = 18xy

17. a) xelevado a 2 + 4 +13 = xelevado a 19

\frac{1}{10} \cdot \frac{10}{7} \cdot 14 \cdot y k x z = 2 y k x z

(- 0,4) \cdot (0,01) \cdot (- 0,02) a^{2 + 2} \cdot b^{1 + 1 + 3} = 0,00008 a^{4} b^{5}

(- 3) \cdot 1 \cdot (- 18) m^{1 + 1 + 1} n^{1 + 1} p^{1 + 1} = 54 m^{3} n^{2} p^{2}

18. Sabendo que A ⋅ B = C + D, temos: D = A ⋅ B ‒ C.

Podemos começar calculando A ⋅ B:

2 x^{2} y^{3} \cdot (‒ 4 x y) = 2 \cdot (‒ 4) \cdot x^{2 + 1} y^{3 + 1} = ‒ 8 x^{3} y^{4}

Agora, fazemos A ⋅ B ‒ C:

‒ 8 x^{3} y^{4} - (‒ 14 x^{3} y^{4}) = (‒ 8 + 14) x^{3} y^{4} = {6 x}^{3} y^{4}

Portanto, D = 6xelevado a 3yelevado a 4.

19. Exemplos de resposta:

pelevado a 3 e 6q

‒ 6 e ‒pelevado a 3q

2pq e 3pelevado a 2

20. a. Parte verde: x ⋅ 5y = 5xy

Parte rosa: 2x ⋅ 5y = 10xy

b) Parte branca: x ⋅ 5y = 5xy

Total: 5xy + 10xy + 5xy = 20xy

Atividades – página 93

21. a)

\frac{{16 x}^{7}}{{4 x}^{3}} = {4 x}^{4}

\frac{- {60 a}^{5} b^{3}}{- {15 a}^{2} b} = 4 a^{3} b^{2}

\frac{- 125 a^{5} b^{3} c^{7}}{{- 25 a}^{4} b^{3} c^{2}} = 5 a c^{5}

\frac{{18 x}^{5} y^{4}}{{- 9 x}^{5} y^{3}} = - 2 y

\frac{- \frac{3}{5} x y z^{2}}{0,2 y z} = - 3 x z

\frac{{0,2 x}^{2} y^{4}}{{0,25 x y}^{2}} = 0,8 x y^{2}

\frac{b^{2} m^{2}}{- 5 b m} = - \frac{1}{5} b m

\frac{{- 250 x}^{3}}{{50 x}^{3}} = - 5

\frac{{18 x}^{4}}{3 x^{2}} = 6 x^{2}

\frac{{- 10 x}^{3}}{{- 2 x}^{2}} = 5 x

22. a) Seja A o monômio procurado, sabemos que:

\frac{\frac{2}{3} x^{2} y^{3}}{A} = - \frac{1}{5} x y

Logo, temos:

A = \frac{\frac{2}{3} x^{2} y^{3}}{- \frac{1}{5} x y} = \frac{2}{3} \cdot (- 5) x y^{2} = - \frac{10}{3} x y^{2}

b) Seja A o monômio procurado, sabemos que:

A \cdot 10 a b^{3} = 15 a^{2} b^{5}

Logo, temos:

A = \frac{15 a^{2} b^{5}}{10 {a b}^{3}} = \frac{3}{2} {a b}^{2}

c) Seja A o monômio procurado, sabemos que:

A \cdot (- 2 x y) = \frac{3}{4} x^{2} y^{3}

Logo, temos:

A = \frac{\frac{3}{4} x^{2} y^{3}}{- 2 x y} = - \frac{3}{8} x y^{2}

23. a)

\frac{- 30 a^{4} b^{6}}{- 6 a b^{5}} = 5 a^{3} b

\frac{x^{4} y^{4} z^{4}}{x^{2} y^{3} z^{4}} = x^{2} y

\frac{6 x^{6}}{{- 3 x}^{4}} = - 2 x^{2}

Atividades – página 94

24. Representamos a situação por: 120x + 80y.

25. Exemplo de resposta:

\frac{100 (100 - x)}{3}

Atividades – página 95

26. Observando o termo de maior grau nos polinômios, temos:

a) 3º grau.

b) 5º grau.

c) 3º grau.

d) 4º grau.

e) 7º grau.

f) 6º grau.

g) 5º grau.

27. As respostas estão, respectivamente, em relação a x e a y:

a) 2º grau; 3º grau.

b) 5º grau; 4º grau.

c) 3º grau; 2º grau.

d) 3º grau; 2º grau.

e) 2º grau; 4º grau.

f) 2º grau; 3º grau.

Atividades – páginas 96 e 97

28. a)

(‒ {3 x}^{2} + 6 x^{2}) + (5 x - 4 x) + (‒ 8 - 3) = 3 x^{2} + x - 11

b) (8ab + 3ab) + (‒ 7bc ‒ 5bc) + (3ac ‒ ac) = 11ab ‒ 12bc + 2ac

(‒ \frac{3 x}{2} + \frac{x}{5} + 2 x) + (‒ \frac{y}{3} - \frac{y}{4} + y) =

= (\frac{‒ 15 x + 2 x + 20 x}{10}) + (\frac{‒ 4 y - 3 y + 12 y}{12}) = \frac{7 x}{10} + \frac{5 y}{12}

(\frac{a}{2} + \frac{2 a}{3}) + (b + 2 b) + (‒ 6 - 5) = (\frac{3 a + 4 a}{6}) + 3 b - 11 =

= \frac{7 a}{6} + 3 b ‒ 11

29. Adicionando as medidas dos comprimentos dos lados da figura, temos:

(2 x + 1) + (x + 2) + (3 x + 3) + (\frac{3 x}{2} + 1) =

= (2 x + x + 3 x + \frac{3 x}{2}) + (1 + 2 + 3 + 1) =

= (\frac{4 x + 2 x + 6 x + 3 x}{2}) + 7 = \frac{15 x}{2} + 7