Página sessenta e dois

Parte 3

30.

\frac{45}{100} x + \frac{60}{100} y - 2 = 0,45 x + 0,6 y - 2

31. a) Escrevendo o oposto, temos:

‒ (‒ x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 5) =

= x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 5

b) (‒x3 + 2x2 ‒ 4x + 5) + (x3 ‒ 2x2 + 4x ‒ 5) = ‒x3 + x3 + 2x2 ‒

‒ 2x2 ‒ 4x + 4x + 5 ‒ 5 = 0

32. a)

(6 a^{2} - 5 a^{2}) + (‒ 7 a b - 8 a b) + (8 b^{2} + 7 b^{2}) = a^{2} - 15 a b + 15 b^{2}

(5 x^{3} - 7 x^{3}) + (‒ 4 x^{2} - 8 x^{2}) + (6 x + 10 x) + 8 =

= ‒ 2 x^{3} - 12 x^{2} + 16 x + 8

(5 m - 2 m) + (‒ 2 m n + 8 m n) + (7 n + 10 n) = 3 m + 6 m n + 17 n

(\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) + (\frac{x y}{2} + \frac{2 x y}{5}) + (‒ \frac{y}{5} - \frac{3 y}{2}) =

= (\frac{4 x - 3 x}{12}) + (\frac{5 x y + 4 x y}{10}) + (\frac{‒ 2 y - 15 y}{10}) =

= \frac{1}{12} x + \frac{9}{10} x y - \frac{17}{10} y

(5 x^{2} - 8 x^{2}) + (‒ 4 x + 6 x) + (9 - 3) =

= ‒ 3 x^{2} + 2 x + 6

33. a)

(6 x^{2} - 3 x - 8) ‒ (5 x^{2} + 4 x - 3) =

= (6 x^{2} - 5 x^{2}) + (‒ 3 x - 4 x) + (‒ 8 + 3) =

= x^{2} - 7 x - 5

(5 x^{2} + 4 x - 3) - (6 x^{2} - 3 x - 8) =

= (5 x^{2} - 6 x^{2}) + (4 x + 3 x) + (‒ 3 + 8) =

= {‒ x}^{2} + 7 x + 5

(6 x^{2} - 3 x - 8) + (5 x^{2} + 4 x - 3) - (x^{2} - 10 x) =

= (6 x^{2} + 5 x^{2} - x^{2}) + (‒ 3 x + 4 x + 10 x) + (‒ 8 - 3) =

= {10 x}^{2} + 11 x - 11

6 x^{2} - 3 x - 8 - [(5 x^{2} + 4 x - 3) + (x^{2} - 10 x)] =

= (6 x^{2} - 6 x^{2}) + (‒ 3 x + 6 x) + (‒ 8 + 3) = 3 x - 5

34. Seja a o monômio procurado, sabemos que:

6 a^{2} - 7 a b + 8 b^{2} - 5 a^{2} b^{2} + A = 2 a b - a^{2} + 2 b^{2} + 3 a^{2} b^{2}

Logo,

A = 2 a b ‒ a^{2} + 2 b^{2} + 3 a^{2} b^{2} ‒ (6 a^{2} ‒ 7 a b + 8 b^{2} ‒ 5 a^{2} b^{2}) =

= (2 a b + 7 a b) + (‒ a^{2} - 6 a^{2}) + (2 b^{2} - 8 b^{2}) + (3 a^{2} b^{2} + 5 a^{2} b^{2}) =

= - 7 a^{2} - 6 b^{2} + 8 a^{2} b^{2} + 9 a b

Atividades – páginas 99 e 100

35. Aplicando a propriedade distributiva, temos as seguintes respostas:

a. 30x ‒ 10

m^{3} - m^{2} n

6 \cdot (‒ \frac{3}{4}) a^{3} + 10 \cdot (‒ \frac{3}{4}) a^{2} b + (‒ \frac{3}{4}) a b^{2} =

= - \frac{9 a^{3}}{2} - \frac{15 a^{2} b}{2} - \frac{3 a b^{2}}{4}

\frac{a^{2} b^{3}}{6} - \frac{a^{4} b}{8}

36. Podemos encontrar a medida da área por meio do produto das medidas da largura pelo comprimento, ou seja:

2 x \cdot (3 x + 1) = 6 x^{2} + 2 x

37. Por meio da figura, concluímos que as medidas de comprimento dos lados são (x + 2y) e (4x ‒ y). Assim, temos:

(x + 2 y) \cdot (4 x - y) = 4 x^{2} - x y + 8 x y - 2 y^{2} = 4 x^{2} + 7 x y - 2 y^{2}

38. Aplicando a propriedade distributiva, temos:

3 x^{2} - 9 x + 2 x - 6 = 3 x^{2} - 7 x - 6

- 3 a^{3} - 9 a^{2} - 2 a^{2} - 6 a - 4 a - 12 = - 3 a^{3} - 11 a^{2} - 10 a - 12

- 12 x^{3} - 8 x^{2} - 6 x + 30 x^{2} + 20 x + 15 =

= - 12 x^{3} + 22 x^{2} + 14 x + 15

5 x^{3} - 15 x^{2} + 2 x^{2} - 6 x - x + 3 = 5 x^{3} - 13 x^{2} - 7 x + 3

a^{2} - a b + a b - b^{2} = a^{2} - b^{2}

39. a)

(x + 5) \cdot (x^{2} + 2 x + 1) = x^{3} + 2 x^{2} + x + 5 x^{2} + 10 x + 5 =

= x^{3} + 7 x^{2} + 11 x + 5

(x^{2} + 2 x + 1) \cdot (2 x^{2} - 4) = 2 x^{4} - 4 x^{2} + 4 x^{3} - 8 x + 2 x^{2} ‒ 4 =

= 2 x^{4} + 4 x^{3} - 2 x^{2} - 8 x - 4

c) Podemos usar algum dos resultados dos itens anteriores, por exemplo:

(x^{3} + 7 x^{2} + 11 x + 5) \cdot (2 x^{2} - 4) =

= 2 x^{5} - 4 x^{3} + 14 x^{4} - 28 x^{2} + 22 x^{3} - 44 x + 10 x^{2} - 20 =

= 2 x^{5} + 14 x^{4} + 18 x^{3} - 18 x^{2} - 44 x - 20

40. a)

(x - a) \cdot (x - a) \cdot (x - a) = (x^{2} - a x - a x + a^{2}) \cdot (x - a) =

= (x^{2} - 2 a x + a^{2}) \cdot (x - a) = x^{3} - a x^{2} - 2 a x^{2} + 2 a^{2} x + a^{2} x - a^{3} =

= x^{3} - 3 a x^{2} + 3 a^{2} x - a^{3}

(x - 1) \cdot (2 x - 3) \cdot (4 x + 2) = (2 x^{2} - 3 x - 2 x + 3) \cdot (4 x + 2) =

= (2 x^{2} - 5 x + 3) \cdot (4 x + 2) =

= 8 x^{3} + 4 x^{2} - 20 x^{2} - 10 x + 12 x + 6 =

= 8 x^{3} - 16 x^{2} + 2 x + 6

Atividades – páginas 100 e 101

41. a)

\frac{10 x^{6}}{2 x^{3}} + \frac{12 x^{5}}{2 x^{3}} = 5 x^{3} + 6 x^{2}

\frac{30 a^{2}}{30} + \frac{60 a b}{30} + \frac{90 b^{2}}{30} = a^{2} + 2 a b + 3 b^{2}

\frac{‒ 6 a b}{3 a b} + \frac{9 a^{2} b}{3 a b} + \frac{12 a b^{2}}{3 a b} = ‒ 2 + 3 a + 4 b

\frac{\frac{5}{6} x^{2}}{(- \frac{2}{3} x)} + \frac{(- \frac{3}{4} x)}{(- \frac{2}{3} x)} = \frac{5}{6} x \cdot (- \frac{3}{2}) + (- \frac{3}{4}) \cdot (- \frac{3}{2}) = - \frac{5}{4} x + \frac{9}{8}

\frac{m^{5}}{(- m^{2})} + \frac{m^{3}}{(- m^{2})} = {- m}^{3} - m

\frac{m^{2} n^{3}}{(- m n)} + \frac{m n^{4}}{(- m n)} + \frac{m^{5} n^{2}}{(- m n)} = - m n^{2} - n^{3} - m^{4} n

42. Seja P o polinômio não conhecido, temos:

5 a^{2} b^{3} \cdot P = 20 a^{2} b^{5} + 30 a^{3} b^{7}

Logo, podemos fazer:

P = \frac{20 a^{2} b^{5} + 30 a^{3} b^{7}}{5 a^{2} b^{3}} = \frac{20 a^{2} b^{5}}{5 a^{2} b^{3}} + \frac{30 a^{3} b^{7}}{5 a^{2} b^{3}} = 4 b^{2} + 6 {ab}^{4}

43. A expressão pode ser calculada assim:

\frac{b^{2} x^{2} + 2 b x}{b x} = \frac{b^{2} x^{2}}{b x} + \frac{2 b x}{b x} = b x + 2

44. a)

\frac{10 x^{2} y^{3} - 20 x^{3} y^{5} + 30 x^{4} y^{6}}{10 x y} =

= \frac{10 x^{2} y^{3}}{10 x y} - \frac{20 x^{3} y^{5}}{10 x y} + \frac{30 x^{4} y^{6}}{10 x y} =

= x y^{2} - 2 x^{2} y^{4} + 3 x^{3} y^{5}

\frac{10 x^{2} y^{3} - 20 x^{3} y^{5} + 30 x^{4} y^{6}}{(- 20 x y^{3})} =

= \frac{10 x^{2} y^{3}}{(- 20 x y^{3})} - \frac{20 x^{3} y^{5}}{(- 20 x y^{3})} + \frac{30 x^{4} y^{6}}{(- 20 x y^{3})} =

= - \frac{x}{2} + x^{2} y^{2} - \frac{3 x^{3} y^{3}}{2}

Página sessenta e três

\frac{10 x^{2} y^{3} - 20 x^{3} y^{5} + 30 x^{4} y^{6}}{5 x^{2} y^{2}} =

= \frac{10 x^{2} y^{3}}{5 x^{2} y^{2}} - \frac{20 x^{3} y^{5}}{5 x^{2} y^{2}} + \frac{30 x^{4} y^{6}}{5 x^{2} y^{2}} =

= 2 y - 4 x y^{3} + 6 x^{2} y^{4}

\frac{10 x^{2} y^{3} - 20 x^{3} y^{5} + 30 x^{4} y^{6}}{(- 10 x^{2} y)} =

= \frac{10 x^{2} y^{3}}{(- 10 x^{2} y)} - \frac{20 x^{3} y^{5}}{(- 10 x^{2} y)} + \frac{30 x^{4} y^{6}}{(- 10 x^{2} y)} =

= ‒ y^{2} + 2 x y^{4} - 3 x^{2} y^{5}

Um pouco de história – página 102

Como

x^{2} + 10 x + 25 = (x + 5) \cdot (x + 5)

, uma representação geométrica seria:

Figura geométrica. Quadrado dividido em 4 figuras: quadrado x por x e área x elevado ao quadrado; retângulo horizontal x por 5 e área 5x; retângulo vertical x por 5 e área 5x; e quadrado 5 por 5 e área 25. A medida do lado do quadrado maior é x mais 5.

Atividades – página 103

45. a) x2 + 2 ⋅ x ⋅ 1 + 12 = x2 + 2x + 1

b) (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 10 + 102 = 4x2 + 40x + 100

{(x y)}^{2} + 2 \cdot x y \cdot \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} = x^{2} y^{2} + \frac{2}{3} x y + \frac{1}{9}

d) x2 + 2 ⋅ x ⋅ 5 + 52 = x2 + 10x + 25

{(x^{5})}^{2} + 2 \cdot x^{5} \cdot 2 x^{3} + {(2 x^{3})}^{2} = x^{10} + 4 x^{8} + 4 x^{6}

6^{2} + 2 \cdot 6 \cdot x + x^{2} = {36 + 12 x + x}^{2}

(2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x y + (x y)^{2} = 4 x^{2} + 4 x^{2} y + x^{2} y^{2}

(x^{2})^{2} + 2 \cdot x^{2} \cdot 1 + 1^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 y + (2 y)^{2} = x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}

{(x^{3})}^{2} + 2 \cdot (x^{3}) \cdot \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} = x^{6} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{1}{9}

46. a)

{2 x}^{2} - x + x - 3 x^{2} = - x^{2}

a^{2} + 10 a + 25 - (a^{2} + 10 a + 25) = 0

y^{2} + 2 y - 6 y + 2 y^{2} = 3 y^{2} - 4 y

4 + 4 x + x^{2} - (x^{2} + 4 x + 4) = 0

47. a)

{(2 x^{2} + 3)}^{2} = 4 x^{4} + 12 x^{2} + 9

{(x^{2} + 4)}^{2} = x^{4} + 8 x^{2} + 16

c) (2x2 + 3 + x2 + 4)2 = (3x2 + 7)2 =

= (3x2)2 + 2 ⋅ 3x2 ⋅ 7 + 72 = 9x4 + 42x2 + 49

48. a)

{(10 + 2)}^{2} = 10^{2} + 2 \cdot 10 \cdot 2 + 2^{2} = 100 + 40 + 4 = 144

{(60 + 1)}^{2} = 60^{2} + 2 \cdot 60 \cdot 1 + 1^{2} = 3600 + 120 + 1 = 3721

{(30 + 3)}^{2} = 30^{2} + 2 \cdot 30 \cdot 3 + 3^{2} = 900 + 180 + 9 = 1089

{(90 + 2)}^{2} = 90^{2} + 2 \cdot 90 \cdot 2 + 2^{2} = 8100 + 360 + 4 = 8464

49. Sabemos que:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Como

a^{2} + b^{2} = 34

{(a + b)}^{2} = 64

, então:

34 + 2ab = 64 ⇒ 2ab = 30 ⇒ 6ab = 90

50.

{(x + 3 y)}^{2} = x^{2} + 6 x y + {9 y}^{2}

Para justificar geometricamente, podemos construir a figura a seguir:

Figura geométrica. Quadrado dividido em 4 figuras: quadrado x por x e área x elevado ao quadrado; retângulo horizontal x por 3y e área 3xy; retângulo vertical x por 3y e área 3xy; e quadrado 3y por 3y e área 9 y elevado ao quadrado.

51. Sabemos que:

{(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}

Como

{(x + y)}^{2} = 256

x^{2} + y^{2} = 136

, então:

136 + 2xy = 256 ⇒ 2xy = 120 ⇒ xy = 60

52. a) Exemplo de resposta:

(a + 3)^{2} = a^{2} + 6 a b + 9

b) Exemplo de resposta: um : a2; dois : 3a; três : 9; quatro : 3a

Atividades – página 105

53. a) x2 ‒ 2 ⋅ x ⋅ 3 + 32 = x2 ‒ 6x + 9

{(\frac{x}{3})}^{2} - 2 \cdot (\frac{x}{3}) \cdot 2 + 2^{2} = \frac{x^{2}}{9} - \frac{4 x}{3} + 4

c) (9x2)2 ‒ 2 ⋅ 9x2 ⋅ 2 + 22 = 81x4 ‒ 36x2 + 4

d) (x3)2 ‒ 2 ⋅ x3 ⋅ y3 + (y3)2 = x6 ‒ 2x3 y3 + y6

e) (x2)2 ‒ 2 ⋅ x2 ⋅ y2 + (y2)² = x4 ‒ 2 x2 y2 + y4

f) (‒x ‒ y)2 = (x + y)2 = x2 + 2 ⋅ x ⋅ y + y2 = x2 + 2xy + y2

g) (xy)2 ‒ 2 ⋅ xy ⋅ z + z2 = x2 y2 ‒ 2xyz + z2

{(\frac{x}{2})}^{2} - 2 \cdot (\frac{x}{2}) \cdot (\frac{y}{3}) + {(\frac{y}{3})}^{2} = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x y}{3} + \frac{y^{2}}{9}

54. Exemplos de resposta:

{(20 - 3)}^{2} = 20^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 3 + 3^{2} = 400 - 120 + 9 = 289

{(20 - 1)}^{2} = 20^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 1 + 1^{2} = 400 - 40 + 1 = 361

{(20 - 6)}^{2} = 20^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 6 + 6^{2} = 400 - 240 + 36 = 196

55.

{(m - n)}^{2} = m^{2} - 2 m n + n^{2}

56. Como:

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

{(a - b)}^{2} = 16

a^{2} + b^{2} = 106

, então:

106 - 2 a b = 16 \Rightarrow - 2 a b = - 90 \Rightarrow a b = 45 \Rightarrow \frac{a b}{3} = 15

57. Como:

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

a^{2} + b^{2} = 52

ab = 24, então:

{(a - b)}^{2} = 52 - 2 \cdot 24 = 52 - 48 = 4

Página sessenta e quatro

58. a)

Figura geométrica. Quadrado dividido em um quadrado cinza escuro e 4 retângulos congruentes em cinza claro. A medida de cada lado do quadrado cinza escuro é a menos b. As medidas dos lados de cada retângulo cinza claro são b por a. A medida da área de cada retângulo cinza claro é indicada por A maiúsculo.

b) (a + b)2 = 4A + (a ‒ b)2

(a + b)2 = 4ab + (a ‒ b)2

(a + b)2 = 4ab + a2 ‒ 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Atividades – página 107

59. a) x2 ‒ 12 = x2 ‒ 1

b) (3x)2 ‒ y2 = 9x2 ‒ y2

c) x2 ‒ 52 = x2 ‒ 25

d) (2x)2 ‒ 52 = 4x2 ‒ 25

60.

x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x^{2} - 1) =

= 2 x^{2} + 2 + 2 x^{2} - 2 = 4 x^{2}

61. a)

x^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2} = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}

x^{2} - {(\frac{y}{3})}^{2} = x^{2} - \frac{y^{2}}{9}

(x^{2})^{2} - 1^{2} = x^{4} - 1

(x y^{2})^{2} - (z^{2})^{2} = x^{2} y^{4} - z^{4}

62. a)

(60 - 3) \cdot (60 + 3) = 60^{2} - 3^{2} = 3 600 - 9 = 3 591

(50 + 2) \cdot (50 - 2) = 50^{2} - 2^{2} = 2 500 - 4 = 2 496

(38 + 4) \cdot (38 - 4) = 38^{2} - 4^{2} = 1 444 - 16 = 1 428

63. Podemos fazer:

(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}

Como a + b = 13 e

a^{2} - b^{2} = 39

, teremos:

13 \cdot (a - b) = 39 \Rightarrow a - b = \frac{39}{13} \Rightarrow

⇒ a ‒ b = 3 ⇒ b = a ‒ 3 um

Usando a + b = 13, teremos que b = 13 – a um

Igualando um e dois, teremos:

a ‒ 3 = 13 ‒ a ⇒ 2a = 16 ⇒ a = 8

Atividades – página 108

64. Decompondo os números em fatores primos, temos:

36 = 2^{2} \cdot 3^{2}

450 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}

120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5

500 = 2^{2} \cdot 5^{3}

65. Colocando os fatores comuns em evidência, teremos:

a (x + y)

4 (4 x^{2} + 5 y^{2})

5 (x + 3 y - 2 z)

5 x^{2} y (- x + 4 y)

66. a)

x (a x^{2} + b x - c)

2 a x^{2} (6 a^{2} + 3 a x - 4 x^{2})

\frac{a b}{2} (\frac{1}{4} + \frac{a}{2} - b)

67. a)

x^{2} (x^{3} + x^{2} - 2)

3 x (2 + y + 4 y z)

6 x y (x - 3 y^{2})

3 x^{4} (5 x^{3} - y)

Atividades – página 110

68. a)

x (y + 1) - 2 (y + 1) = (y + 1) (x - 2)

6 (x + y) + a (x + y) = (x + y) (6 + a)

2 (x - 1) + y (x - 1) = (x - 1) (2 + y)

2 (a + b) + x (a + b) = (a + b) (2 + x)

69. a)

7 (x + y) + b (x + y) = (x + y) (7 + b)

a (x - y) - b (x - y) = (x - y) (a - b)

3 x (2 x + 5) - 2 y (2 x + 5) = (2 x + 5) (3 x - 2 y)

2 a (x - y) - 3 b (x - y) = (x - y) (2 a - 3 b)

70. a)

(x - 1) (3 + a + a^{2})

x (a + b) + y (a + b) + z (a + b) = (x + y + z) (a + b)

(x + y) [(x + y) - 2]

a (x - 1) + \frac{m}{3} (x - 1) = (x - 1) (a + \frac{m}{3})

71. a)

a (x - y) + (x - y) = (x - y) (a + 1)

a b (x^{2} + y^{2}) + c (x^{2} + y^{2}) = (x^{2} + y^{2}) (a b + c)

x^{3} (x + 9) - 6 (x + 9) = (x + 9) (x^{3} - 6)

a (x - 2 y) + 5 b (x - 2 y) + 11 c (x - 2 y) = (x - 2 y) (a + 5 b + 11 c)

Atividades – página 111

72. Fatorando as expressões, temos:

(x + 7) (x - 7)

(3 a + 2 b) (3 a - 2 b)

(1 + x) (1 - x)

(2 x + 5 y) (2 x - 5 y)

(2 x + 5) (2 x - 5)

(x y + 1) (x y - 1)

(\frac{x}{2} + \frac{1}{3}) (\frac{x}{2} - \frac{1}{3})

(x + \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x^{2}})

73. a)

(x + y + 1) (x + y - 1)

(1 + 3 a) (1 - 3 a)

(2 x + y) (2 x - y)

(x + y + 1) (x - y - 1)

74. a)

(80 + 1) (80 - 1) = 80^{2} - 1^{2} = 6 400 - 1 = 6 399

(40 + 2) (40 - 2) = 40^{2} - 2^{2} = 1 600 - 4 = 1 596

(100 + 1) (100 - 1) = 100^{2} - 1^{2} = 10 000 - 1 = 9 999

75. a)

(a^{3} - 4 a) + (a^{2} - 4) = a (a^{2} - 4) + (a^{2} - 4) =

= (a^{2} - 4) (a + 1) = (a + 2) (a - 2) (a + 1)

a^{2} b^{2} - a^{2} - b^{2} + 1 = a^{2} (b^{2} - 1) - (b + 1) (b - 1) =

{= a}^{2} ((b + 1) (b - 1)) - (b + 1) (b - 1)

(b + 1) (b - 1) (a^{2} - 1)

= (b + 1) (b - 1) (a + 1) (a - 1)

76. a) (500 + 400)(500 ‒ 400) = 900 ⋅ 100 = 9.0000

b) (.1000 + 900)(.1000 ‒ 900) = .1900 ⋅ 100 = 19.0000

77. Vamos considerar um número inteiro n e seu consecutivo n + 1.

Soma desses números: n + n + 1 = 2n + 1

Diferença dos quadrados desses números:

{{(n + 1)}^{2} - n}^{2} = n^{2} + 2 n + 1 - n^{2} = 2 n + 1

Logo, a soma de dois números inteiros e consecutivos é igual à diferença dos seus quadrados.

Atividades – página 112

78. Fatorando, temos:

x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = {(x + 3)}^{2}

x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2} = {(x - 8)}^{2}

(3 x)^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot 5 y + (5 y)^{2} = {(3 x + 5 y)}^{2}

Página sessenta e cinco

d) x2 ‒ 2 ⋅ x ⋅ a + a2 = (x ‒ a)2

e) (3m)2 ‒ 2 ⋅ 3m ⋅ 1 + 12 = (3m ‒ 1)2

{(\frac{1}{2} a)}^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} a \cdot 5 b + (5 b)^{2} = {(\frac{1}{2} a - 5 b)}^{2}

79. Alternativas a, c, d:

80. a) (x ‒ 3)2

b) (1 ‒ 3x)2

c) (x ‒ 5)2

d) x(x2 ‒ 2x + 1) = x (x ‒ 1)2

e) x2(x2 + 2x + 1) = x2 (x + 1)2

\frac{1}{5} (x^{2} - 4 x + 4) = {\frac{1}{5} (x - 2)^{2}}^{}

81. a) (a + b)2 ‒ c2 = (a + b + c) ⋅ (a + b ‒ c)

{(a^{2} + b^{2})}^{2} - {(2 a b)}^{2} =

= (a^{2} + b^{2} + 2 a b) (a^{2} + b^{2} - 2 a b) =

= {(a + b)}^{2} \cdot {(a - b)}^{2}

c) ( a2 + b2 ‒ 1)2

82. a) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2

b) (x + 2)2 ‒ x2 = x2 + 4x + 4 ‒ x2 = = 4x + 4

c) Se 4x + 4 = 42, então:

4x = 38

x = 9,5

Logo, inicialmente a medida do lado do jardim era de 9,5 métros.

Atividades – página 114

83. a) x2 = 81

x = \sqrt{81} = 9

x = ‒ \sqrt{81} = ‒ 9

S = {‒ 9, 9}

x^{2} = 3

x = \sqrt{3}

x = ‒ \sqrt{3}

S = \{‒ \sqrt{3}, \sqrt{3}\}

c) x2 = ‒ 24

x = \sqrt{‒ 24}

(não existe raiz real)

x = ‒ \sqrt{‒ 24}

(não existe raiz real)

S = ∅

{16 x}^{2} = 25

x^{2} = \frac{25}{16}

x = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}

x = ‒ \sqrt{\frac{25}{16}} = ‒ \frac{5}{4}

S = \{‒ \frac{5}{4}, \frac{5}{4}\}

e) x2 = 0

x = 0

S = 0

f) x(x ‒ 5) = 0

x = 0

x ‒ 5 = 0

x = 5

S = {0, 5}

g) ‒ 2x(x + 5) = 0

‒ 2x = 0

x = 0

x + 5 = 0

x = ‒ 5

S = {‒ 5, 0}

x (\frac{3 x}{4} - 5) = 0

x = 0

\frac{3 x}{4} - 5 = 0

\frac{3 x}{4} = 5

x = 5 \cdot \frac{4}{3} = \frac{20}{3}

S = \{0, \frac{20}{3}\}

i) 6 x2 ‒ 5x = 0

x(6x ‒ 5) = 0

x = 0

6x ‒ 5 = 0

6x = 5

x = \frac{5}{6}

S = \{0, \frac{5}{6}\}

j) x2 + 4x + 4 ‒ 4 = 0

x2 + 4x = 0

x(x + 4) = 0

x = 0

x + 4 = 0

x = ‒ 4

S = {‒ 4, 0}

84. a) 4x2 ‒ 12x + 9 + 12x = 9

4x2 = 0

x2 = 0

x = 0

S = {0}

b) x2 + 2x ‒ 4x = 0

x2 ‒ 2x = 0

x(x ‒ 2) = 0

x = 0

x ‒ 2 = 0

x = 2

S = {0, 2}

c) 3(x2 ‒ 4x + 4 ‒ 12) = 0

3 x2 ‒ 12x + 12 ‒ 12 = 0

3 x2 ‒ 12x = 0

3x(x ‒ 4) = 0

3x = 0

x = 0

x ‒ 4 = 0

x = 4

S = {0, 4}

2 x^{2} - \frac{3}{4} - x^{2} - \frac{1}{4} = 0

x^{2} - \frac{4}{4} = 0

x2 ‒ 1 = 0

x2 = 1

x = \sqrt{1} = 1

x = ‒ \sqrt{1} = ‒ 1

, porém, não pertence ao conjunto dos números naturais; assim:

S = {1}

85. a) 7 m2 + 3 ‒ 8 m2 ‒ 3 = 0

‒ m2 = 0

m = 0

S = {0}

{(\frac{x}{7})}^{2} - {(11)}^{2} = 0

\frac{x^{2}}{49} - 121 = 0

\frac{x^{2}}{49} = 121

x2 = 49 ⋅ 121

x2 = 72 ⋅ 112

x = \sqrt{7^{2} \cdot 11^{2}}

x = 7 ⋅ 11 = 77

x = ‒ \sqrt{7^{2} \cdot 11^{2}}

x = ‒ 7 ⋅ 11 = ‒ 77

S = {‒ 77, 77}

86. a) Como as duas figuras têm a mesma medida de área, então podemos escrever a relação:

5 ⋅ 1,6x = x ⋅ x

Logo, basta resolver a equação, lembrando que, nesse caso, x > 0,pois representa uma medida.

8x ‒ x2 = 0

x(8 ‒ x) = 0

x = 0

8 ‒ x = 0

x = 8

Nesse caso, a medida de comprimento do lado do quadrado é 8 unidades de medida de comprimento.

Página sessenta e seis

b) Quadrado: 8 + 8 + 8 + 8 = 4 ⋅ 8 = 32, ou seja, 32 unidades de medida de comprimento.

Retângulo: (5 + 5) + (1,6 ⋅ 8 + 1,6 ⋅ 8) = 10 + 25,6 = 35,6, ou seja, 36 unidades de medida de comprimento.

c) Como as duas figuras têm a mesma medida de área, basta calcular para uma delas.

Quadrado:

8 \cdot 8 = 64

, ou seja, 64 unidades de medida de área.

87. a) x2 = 144

x = \sqrt{144}

x = 12

x = ‒ \sqrt{144}

x = ‒ 12

b) x2 = 169

x = \sqrt{169}

x = 13

x = ‒ \sqrt{169}

x = ‒ 13

c) 2x2 = 3x

2x2 ‒ 3x = 0

x(2x ‒ 3) = 0

x = 0

2x ‒ 3 = 0

2x = 3

x = \frac{3}{2}

Atividades – página 118

88. a)

x = \frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}

x_{1} = \frac{- 5 + 1}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2

x_{2} = \frac{- 5 - 1}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3

S = {‒ 3, ‒ 2}

x = \frac{‒ (‒ 1) \pm \sqrt{{(‒ 1)}^{2} ‒ 4 \cdot 6 \cdot (‒ 2)}}{2 \cdot 6} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{12} =

= \frac{1 \pm \sqrt{49}}{12}

x_{1} = \frac{1 - 7}{12} = \frac{- 6}{12} = - \frac{1}{2}

x_{2} = \frac{1 + 7}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

S = \{‒ \frac{1}{2}, \frac{2}{3}\}

x = \frac{‒ (‒ 2 \sqrt{5}) \pm \sqrt{({‒ 2 \sqrt{5})}^{2} ‒ 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} =

= \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{20 ‒ 16}}{2} = \frac{2 \sqrt{5} \pm \sqrt{4}}{2}

x_{1} = \frac{2 \sqrt{5} - 2}{2} = \frac{2 (\sqrt{5} - 1)}{2} = \sqrt{5} - 1

x_{2} = \frac{2 \sqrt{5} + 2}{2} = \frac{2 (\sqrt{5} + 1)}{2} = \sqrt{5} + 1

S = \{\sqrt{5} - 1, \sqrt{5} + 1\}

x = \frac{‒ (‒ 14) \pm \sqrt{{(‒ 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1} =

= \frac{14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2} = \frac{14 \pm 0}{2}

x_{1} = x_{2} = \frac{14}{2} = 7

S = {7}

89. A equação que representa essa situação é:

x + x2 = 42

x2 + x ‒ 42 = 0

x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{2}

x_{1} = \frac{- 1 - 13}{2} = - 7

x_{2} = \frac{- 1 + 13}{2} = 6

Esse número é –7 ou 6.

90. A equação que representa essa situação é:

x - \frac{1}{x} = \frac{3}{2}

, com x ≠ 0

Desenvolvendo, teremos:

\frac{{2 x}^{2}}{2 x} - \frac{2}{2 x} = \frac{3 x}{2 x}

Como x ≠ 0, teremos:

2 x2 ‒ 2 ‒ 3x = 0

2 x2 ‒ 3x ‒ 2 = 0

x = \frac{‒ (‒ 3) \pm \sqrt{{(‒ 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (‒ 2)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}

x_{1} = \frac{3 - 5}{4} = ‒ \frac{2}{4} = ‒ \frac{1}{2}

x_{2} = \frac{3 + 5}{4} = 2

Esse número é

‒ \frac{1}{2}

ou 2.

91. Exemplo de resposta:

Sabendo que x é a medida, em m, do comprimento do retângulo representado a seguir, encontre o valor de x.

Figura geométrica. Retângulo laranja com as medidas: x por x mais 3. A medida da área é 270 metros quadrados.

Resolução:

A equação correspondente a essa situação é:

x ⋅ (x + 3) = 270

Logo, podemos fazer:

x2 + 3x ‒ 270 = 0

x = \frac{‒ 3 \pm \sqrt{3^{2} ‒ 4 \cdot 1 \cdot (‒ 270)}}{2 \cdot 1} = \frac{‒ 3 \pm \sqrt{9 + 1 080}}{2} =

= \frac{‒ 3 \pm \sqrt{1 089}}{2}

x_{1} = \frac{‒ 3 - 33}{2} = ‒ \frac{36}{2} = ‒ 18

x_{2} = \frac{‒ 3 + 33}{2} = \frac{30}{2} = 15

Como x é uma medida, não convém um valor negativo; logo, o valor será 15.

92. Resposta pessoal. Exemplo de elaboração:

“Pedro tem 2 anos a mais que Laura e o produto entre suas idades é igual a 120. Quantos anos tem cada um?”

Atividades – página 120

93. a) ∆ = ( ‒10)2 ‒ 4 ⋅ 1 ⋅ 21 = 100 ‒ 84 = 16

Sim, tem raízes reais.

b) ∆ = ( ‒2)2 ‒ 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 4 ‒ 4 = 0

Sim, tem raízes reais.

Página sessenta e sete

c) ∆ = ( ‒4)2 ‒ 4 ⋅ 4 ⋅ 1 = 16 ‒ 16 = 0

Sim, tem raízes reais.

d) ∆ = 62 ‒ 4 ⋅ 3 ⋅ 4 = 36 ‒ 48 = ‒ 12

Não tem raízes reais.

94. Para essa equação, temos:

∆ = ( ‒ 6)2 ‒ 4 ⋅ 1 ⋅ (p ‒ 5) = 36 ‒ 4p + 20 = 56 ‒ 4p

a) ∆ = 0, então:

56 ‒ 4p = 0

‒ 4p = ‒ 56

p = \frac{56}{4} \Rightarrow p = 14

b) ∆ > 0, então:

56 ‒ 4p > 0

‒ 4p > ‒ 56

p < \frac{56}{4} \Rightarrow p < 14

c) ∆ < 0, então:

56 ‒ 4p < 0

‒ 4p < ‒ 56

p > \frac{56}{4} \Rightarrow p > 14

95. ∆ = (‒5)2‒ 4 ⋅ 3 ⋅ 2k = 25 ‒ 24k

Para que não tenha raízes reais, ∆ < 0; logo:

25 ‒ 24k < 0

‒ 24k < ‒ 25

k > \frac{25}{24}

96. a) ∆ = ( ‒7)2 ‒ 4 ⋅ 1 ⋅ a = 49 ‒ 4a

Para que tenha duas raízes reais diferentes, ∆ > 0; logo:

49 ‒ 4a > 0

‒ 4a > ‒ 49

a < \frac{49}{4}

b) ∆ = ( ‒a)2 ‒ 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = a2 ‒ 36

Para que tenha duas raízes reais iguais, ∆ = 0; logo:

a2 ‒ 36 = 0

a2 = 36

a = \pm \sqrt{36}

a = ‒ 6 ou a = 6

c) ∆ = ( ‒ 3)2 ‒ 4 ⋅ 1 ⋅ a = 9 ‒ 4a

Para que não tenha raízes reais, ∆ < 0; logo:

9 ‒ 4a < 0

‒ 4a < ‒ 9

a > \frac{9}{4}

Atividades – página 121

97. a) x2 ‒ 64 = 0

x2 = 64

x = \pm \sqrt{64}

x1 = ‒ 8 ou x2 = 8

Logo, a fórma fatorada será:

(x + 8)(x ‒ 8) = 0

b) 2x2 ‒ 7x + 3 = 0

∆ = ( ‒7)2 ‒ 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 49 ‒ 24 = 25

x = \frac{‒ (‒ 7) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}

x_{1} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

x_{2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3

Logo, a fórma fatorada será:

2 (x - \frac{1}{2}) (x - 3) = 0

c) 4x2 ‒ 12x + 9 = 0

∆ = ( ‒12)2 ‒ 4 ⋅ 4 ⋅ 9 = 144 ‒ 144 = 0

x_{1} = x_{2} = \frac{‒ (‒ 12) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}

Logo, a fórma fatorada será:

4 (x - \frac{3}{2}) (x - \frac{3}{2}) = 0

4 {(x - \frac{3}{2})}^{2} = 0

d) x2 + 2mx ‒ 3m2 = 0

∆ = (2m)2 ‒ 4 ⋅ 1 ⋅ (‒ 3 m)2 = 4 m2 + 12 m2 = 16 m2

x = \frac{‒ 2 m \pm \sqrt{16 m^{2}}}{2 \cdot 1} = \frac{‒ 2 m \pm 4 m}{2}

x_{1} = \frac{‒ 2 m - 4 m}{2} = ‒ \frac{6 m}{2} = ‒ 3 m

x_{2} = \frac{‒ 2 m + 4 m}{2} = \frac{2 m}{2} = m

Logo, a fórma fatorada será:

(x + 3m)(x ‒ m) = 0

3 x^{2} - 2 x p + \frac{p^{2}}{3} = 0

∆ = {(‒ 2 p)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot \frac{p^{2}}{3} = 4 p^{2} - 4 p^{2} = 0

x_{1} = x_{2} = \frac{‒ (‒ 2 p) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 3} = \frac{2 p}{6} = \frac{p}{3}

Assim, a fórma fatorada será:

3 (x - \frac{p}{3}) (x - \frac{p}{3}) = 0

3 {(x - \frac{p}{3})}^{2} = 0

98. Utilizando o conhecimento sobre fatoração de equações do 2º grau, igualaremos cada trinômio a zero, localizaremos as raízes e, assim, fatoraremos o trinômio indicado.

x = \frac{‒ (-4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{4}

x_{1} = x_{2} = \frac{4}{4} = 1

A fórma fatorada será: 2 (x ‒ 1)2

x = \frac{‒ (‒ 6) \pm \sqrt{{(‒ 6)}^{2} ‒ 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8} = \frac{6 \pm \sqrt{36 ‒ 32}}{16} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{16}

x_{1} = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}

x_{2} = \frac{6 + 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}

A fórma fatorada será:

8 (x - \frac{1}{4}) (x - \frac{1}{2})

Página sessenta e oito

x = \frac{‒ 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (‒ 1)}}{2 \cdot 6} = \frac{‒ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12} = \frac{‒ 1 \pm \sqrt{25}}{12}

x_{1} = \frac{‒ 1 - 5}{12} = ‒ \frac{6}{12} = ‒ \frac{1}{2}

x_{2} = \frac{‒ 1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

A fórma fatorada será:

6 (x + \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3})

x = \frac{‒ 5 \pm \sqrt{{(+ 5)}^{2} ‒ 4 \cdot 1 \cdot (‒ 24)}}{2 \cdot 1} = \frac{‒ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2} =

= \frac{‒ 5 \pm \sqrt{121}}{2}

x_{1} = \frac{‒ 5 - 11}{2} = ‒ \frac{16}{2} = ‒ 8

x_{2} = \frac{‒ 5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3

A fórma fatorada será: (x + 8)(x ‒ 3)

x = \frac{‒ (‒ \frac{3}{2}) \pm \sqrt{{(‒ \frac{3}{2})}^{2} ‒ 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (‒ 14)}}{2 \cdot \frac{1}{2}} =

= \frac{\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 28}}{1} =

= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9 + 112}{4}} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{121}{4}} = \frac{3}{2} \pm \frac{11}{2}

x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{11}{2} = \frac{14}{2} = 7

x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{11}{2} = \frac{‒ 8}{2} = ‒ 4

A fórma fatorada será:

\frac{1}{2} (x - 7) (x + 4)

99. Respostas pessoais. Alguns exemplos de respostas:

a) x2 ‒ 14x + 49 = 0

b) (x + 3)(x ‒ 8) = 0

x2 ‒ 5x ‒ 24 = 0

c) 2(x + 1)(x + 5) = 0

2 x2 + 12x + 10 = 0

d) x2 + 1 = 0

Atividades – página 123

100. Se x é o número procurado, teremos:

\frac{x^{2}}{2} = 2 x + 6

Então:

\frac{x^{2}}{2} = 2 x + 6

x = \frac{‒ (‒ 2) \pm \sqrt{(‒ 2)^{2} ‒ 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (‒ 6)}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{1} = 2 \pm \sqrt{16}

x1 = 2 ‒ 4 = ‒ 2

x2 = 2 + 4 = 6

Como o número é inteiro e positivo, ele é igual a 6.

101. Sendo x o número a ser determinado, podemos escrever que:

x2 = 2x + 24

x2 ‒ 2x ‒ 24 = 0

x = \frac{‒ (‒ 2) \pm \sqrt{{(‒ 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (‒ 24)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} =

= \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2}

x_{1} = \frac{2 - 10}{2} = ‒ 4

x_{2} = \frac{2 + 10}{2} = 6

Como é um número natural, ele é igual a 6.

102. Nesse caso, a equação será:

2x2 = 7x ‒ 3

2x2 ‒ 7x + 3 = 0

x = \frac{‒ (- 7) \pm \sqrt{{(‒ 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4}

x_{1} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

x_{2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3

Esse número pode ser

\frac{1}{2}

ou 3

103. Se chamarmos de x a idade de Camila, teremos:

x^{2} - \frac{x}{2} = 14

x^{2} - \frac{x}{2} - 14 = 0

x = \frac{‒ (‒ \frac{1}{2}) \pm \sqrt{{(‒ \frac{1}{2})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (‒ 14) 0}}{2 \cdot 1} =

= \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 56}}{2} = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{225}{4}}}{2}

x_{1} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{15}{2}}{2} = \frac{‒ 14}{2} \cdot \frac{1}{2} = ‒ \frac{7}{2}

x_{2} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{15}{2}}{2} = \frac{16}{2} \cdot \frac{1}{2} = 4

A raiz

\frac{‒ 7}{2}

não satisfaz a condição do problema, visto que não existe idade negativa. Logo, Camila tem 4 anos.

104. Sejam x e x + 1 os dois números inteiros positivos e consecutivos.

x2 + (x + 1)2 = 25

x2 + x2 + 2x + 1 ‒ 25 = 0

2 x2 + 2x ‒ 24 = 0

x = \frac{‒ 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (‒ 24)}}{2 \cdot 2} = \frac{‒ 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{4} = \frac{‒ 2 \pm \sqrt{196}}{4}

x_{1} = \frac{- 2 - 14}{4} = \frac{- 16}{4} = ‒ 4

(não convém, pois deve ser positivo)

x_{2} = \frac{‒ 2 + 14}{4} = \frac{12}{4} = 3

Logo, o primeiro número é 3 e o segundo, 4.

105. Se chamarmos de x o número que representa a medida do comprimento do lado desse quadrado, teremos:

x2 = 4x + 5

x2 ‒ 4x ‒ 5 = 0

x = \frac{‒ (‒ 4) \pm \sqrt{{(‒ 4)}^{2} ‒ 4 \cdot 1 \cdot (‒ 5)}}{2 \cdot 1} =

= \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}

x_{1} = \frac{4 + 6}{2} = 5

x_{2} = \frac{4 - 6}{2} = ‒ 1

(não convém; deve ser positivo)

Logo, a medida do comprimento do lado do quadrado é igual a 5.

106. Sejam x, x + 1 e x + 2 os três números inteiros positivos e consecutivos.

x2 = (x + 2) ‒ (x + 1)

x2 = x + 2 ‒ x ‒ 1

x2 = 1

x1 = 1

x2 = ‒ 1 (Não convém, pois é negativo.)

Logo, os números procurados são 1, 2 e 3.

Página sessenta e nove

107. A equação que representa a situação é:

x(x + 10) ‒ 5 ⋅ 10 = 94

x2 + 10x ‒ 50 ‒ 94 = 0

x2 + 10x ‒ 144 = 0

x = \frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (‒ 144)}}{2 \cdot 1} = \frac{‒ 10 \pm \sqrt{100 + 576}}{2} =

= \frac{‒ 10 \pm \sqrt{676}}{2}

x_{1} = \frac{‒ 10 + 26}{2} = 8

x_{2} = \frac{‒ 10 - 26}{2} = ‒ 18

(não convém, pois é negativo)

Logo, x = 8 métros.

Veja que interessante – página 123

a) x4 ‒ 5x2 + 4 = 0

Substituindo x2 pela incógnita auxiliar y, teremos:

y2 ‒ 5y + 4 = 0

y = \frac{‒ (‒ 5) \pm \sqrt{{(‒ 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2}

y_{1} = \frac{5 - 3}{2} = 1

y_{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4

Como x2 = y, temos:

• Para y = 1, temos x2 = 1, ou seja, x = ± 1

• Para y = 4, temos x2 = 4, ou seja, x = ± 2

Logo, as raízes da equação x4 ‒ 5x2 + 4 = 0 são –2, –1, 1 e 2.

b) 2x4 ‒ 16x2 = 18

Substituindo x2 pela incógnita auxiliar y, teremos:

2 y2 ‒ 16y = 18

2 y2 ‒ 16y ‒ 18 = 0

y = \frac{‒ (‒ 16) \pm \sqrt{{(‒ 16)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (‒ 18)}}{2 \cdot 2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 144}}{4}

= \frac{16 \pm \sqrt{400}}{4}

y_{1} = \frac{16 - 20}{4} = ‒ 1

y_{2} = \frac{16 + 20}{4} = 9

Como x2 = y, temos:

• Para y = ‒ 1, temos x2 = ‒ 1, ou seja, não existe

x real nessas condições.

• Para y = 9, temos x2 = 9, ou seja, x = ± 3

Logo, as raízes da equação 2x4 ‒ 16x2 = 18 são –3 e 3.

Resolvendo em equipe – página 124

Interpretação e identificação dos dados

• Poderemos representar, respectivamente, por (x + 4) e por (x ‒ 4).

Plano e resolução

• (x + 4)2 + (x ‒ 4)2 ‒ 16x

• x2 + 8x + 16 + x2 ‒ 8x + 16 ‒ 16x

2 x2 ‒ 16x + 32

2(x2 ‒ 8x + 16)

2 (x ‒ 4)2

Resolução

2 (x ‒ 4)2 = 2 ⋅ (2.011.2007 ‒ 4)2 = 2 ⋅ (2.011.2003)2

Logo, a alternativa correta é a b.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – páginas 125 e 126

1. a) 9x2 + 6x + 1

b) 4m2 ‒ 20m + 25

c) 36a2 b2 ‒ 1

d) 25a2 b2 ‒ 70ab + 49

e) 4x2 ‒ 25

2. a) x2 + 4xy + 4y2 + 4x2 ‒ 4xy + y2 = 5x2 + 5y2

b) 2(m2 ‒ 4m + 4) ‒ 3(m2 ‒ 1) = 2m2 ‒ 8m + 8 ‒ 3m2 + 3 =

= ‒ m2 ‒ 8m + 11

c) a2 + 2ab + b2 ‒ a2 ‒ b2 = 2ab

d) 4a2 ‒ 12ab + 9a2 + a2 ‒ 25b2 = 5a2 ‒ 12ab ‒ 16b2

3. Sabemos que:

x2 + y2 = 56 e x ⋅ y = 22

Com essas informações, ao desenvolvermos o produto notável (x + y)2, chegaremos ao valor numérico da expressão x + y.

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 = x2 + y2 + 2xy

Substituindo pelos valores já conhecidos, teremos:

x + y2 = 56 + 2 ⋅ 22

x + y2 = 100

x + y = \sqrt{100} = 10

4. a) 272 = (20 + 7)2 = 202 + 2 ⋅ 20 ⋅ 7 + 72 =

= 400 + 280 + 49 = 729

b) 432 = (40 + 3)2 = 402 + 2 ⋅ 40 ⋅ 3 + 32 =

= .1600 + 240 + 9 = .1849

c) 1042 = (100 + 4)2 = 1002 + 2 ⋅ 100 ⋅ 4 + 42 =

= 1.0000 + 800 + 16 = 1.0816

d) 2972 = (300 ‒ 3)2 = 3002 ‒ 2 ⋅ 300 ⋅ 3 + 32 =

= 9.0000 ‒ .1800 + 9 = 8.8209

5. a) (100 ‒ 5) ⋅ (100 + 5) = 1002 ‒ 52 = 1.0000 ‒ 25 = .9975

b) (200 + 2) ⋅ (200 ‒ 2) = 2002 ‒ 22 = 4.0000 ‒ 4 = 3.9996

c) (50 + 4) ⋅ (50 ‒ 4) = 502 ‒ 42 = .2500 ‒ 16 = .2484

d) (100 + 1) ⋅ (.1000 ‒ 1) = .10002 ‒ 12 =

= .100.0000 ‒ 1 = 99.9999

6. a) Medida de área: (x + 3)2 = x2 + 6x + 9

Medida de perímetro: 4 ⋅ (x + 3) = 4x + 12

b) Se x = 2 centímetros, teremos:

Medida de área: 22 + 6 ⋅ 2 + 9 = 25. Logo, a medida de área é 25 centímetros quadrados.

Medida de perímetro: 4 ⋅ 2 + 12 = 20. Logo, a medida de perímetro é 20 centímetros.

7. a) Fator comum

7x2 + 7y2 = 7( x2 + y2)

b) Diferença de quadrados

x2 y2 ‒ 169z2 = (xy)2 ‒ (13z)2 = (xy + 13z)(xy ‒ 13z)

c) Agrupamento

30 + 10x ‒ 12a ‒ 4ax = 10(3 + x) ‒ 4a(3 + x) =

= (10 ‒ 4a)(3 + x)

d) Fator comum

5x2 ‒ x3 = x2(5 ‒ x)