Página setenta

Parte 4

e) Trinômio quadrado perfeito

16a2 ‒ 8a + 1 = (4a)2 ‒ 2 ⋅ 4a ⋅ 1 + 12 = (4a ‒ 1)2

8. a) (a + 3)2 ‒ 9 = a2 + 6a + 9 ‒ 9 = a2 + 6a = a(a + 6)

b) y x3 ‒ x y3 = xy(x2 ‒ y2) = xy(x + y)(x ‒ y)

c) y3 ‒ y2 ‒ 9y + 9 = y2(y ‒ 1) ‒ 9(y ‒ 1) = (y2 ‒ 9)(y ‒ 1) = (y + 3)(y ‒ 3)(y ‒ 1)

d) 12x2 ‒ 48y2 = 12(x2 ‒ 4y2) = 12(x + 2y)(x ‒ 2y)

e) 6x2 ‒ 12x + 6 = 6(x2 ‒ 2x + 1) = 6 (x ‒ 1)2

9. a) .20132 ‒ .20102 = (.2013 + .2010) ⋅ (.2013 ‒ .2010) =

= .4023 ⋅ 3 = 1.2069

b) 4752 ‒ 4742 = (475 + 474) ⋅ (475 ‒ 474) = 949 ⋅ 1 = 949

10. a) 4y2 + 2 ⋅ 2y ⋅ 7 + 49 = 4y2 + 28y + 49

b) m2 ‒ 2m + 1

c) 9n2 + 6n + 1

11. a) x2 = 9

x = \sqrt{9}

x = ‒ \sqrt{9}

x1 = ‒ 3

x2 = 3

S = {‒ 3, 3}

b) x2 + 8x + 15 = 0

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}

x_{1} = \frac{- 8 - 2}{2} = ‒ 5

x_{2} = \frac{- 8 + 2}{2} = ‒ 3

S = {‒ 5, ‒ 3}

m^{2} - \sqrt{2} m = 0

m (m - \sqrt{2}) = 0

m = 0

m - \sqrt{2} = 0

m = \sqrt{2}

S = \{0, \sqrt{2}\}

d) x2 + 10x + 25 = 0

x = \frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1} = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2} =

= \frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}

x_{1} = x_{2} = \frac{- 10}{2} = - 5

S = {‒ 5}

e) x2 ‒ 6x ‒ 7 = 0

x = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} =

= \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2}

x_{1} = \frac{6 - 8}{2} = - 1

x_{2} = \frac{6 + 8}{2} = 7

S = {‒ 1, 7}

f) 16y2 ‒ 121 = 0

16y2 = 121

y^{2} = \frac{121}{16}

y = \pm \sqrt{\frac{121}{16}}

y_{1} = - \frac{11}{4}

y_{2} = \frac{11}{4}

S = \{- \frac{11}{4}, \frac{11}{4}\}

g) 3x2 + 2x + 8 = 0

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 96}}{6} = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 92}}{6}

Como não existe

\sqrt{- 92}

, então não existem raízes reais para essa equação.

S = ∅

12. a) x2 + 8x + 16 + x2 ‒ 8x + 16 ‒ 160 = 0

2x2 ‒ 128 = 0

x^{2} = \frac{128}{2}

x = \pm \sqrt{64}

x1 = ‒ 8

x2 = 8

S = {‒ 8, 8}

b) x2 ‒ 11x + 28 = 0

x = \frac{- (- 11) \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 112}}{2} =

= \frac{11 \pm \sqrt{9}}{2}

x_{1} = \frac{11 - 3}{2} = 4

x_{2} = \frac{11 + 3}{2} = 7

S = {4, 7}

c) 4x2 + 2x + 2 ‒ 1 = 0

4x2 + 2x + 1 = 0

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{8} = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{8}

Como o discriminante é menor que zero, então não existem raízes reais.

S = ∅

d) x2 + 7x ‒ 35 + 5x = 0

x2 + 12x ‒ 35 = 0

x = \frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1} =

= \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 140}}{2} = \frac{- 12 \pm \sqrt{284}}{2}

x_{1} = \frac{- 12 - \sqrt{284}}{2} = \frac{- 12 - 2 \sqrt{71}}{2} = - 6 - \sqrt{71}

x_{2} = \frac{- 12 + 2 \sqrt{71}}{2} = - 6 + \sqrt{71}

S = \{- 6 - \sqrt{71}, - 6 + \sqrt{71}\}

Página setenta e um

13. A equação que representa essa situação é:

x2 ‒ 3x = 10

x2 ‒ 3x ‒ 10 = 0

x = \frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} =

= \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2}

x_{1} = \frac{3 - 7}{2} = - 2

x_{2} = \frac{3 + 7}{2} = 5

Nesse caso, o número é –2 ou 5.

14. A equação que representa essa situação é:

x2 = 4x, sendo x ≠ 0

x2 ‒ 4x = 0

x(x ‒ 4) = 0

x1 = 0 (Não convém, de acôrdo com o enunciado.)

x2 = 4

Portanto, esse número é o 4.

15. De acôrdo com as informações apresentadas, teremos:

(y ‒ 30) ⋅ (y ‒ 40) = .1200

y2 ‒ 40y ‒ 30y + .1200 = .1200

y2 ‒ 70y = 0

y(y ‒ 70) = 0

y1 = 0 (não convém, pois é uma medida)

y2 = 70

Logo, a medida do comprimento do lado do quadrado deve ser de 70 métros.

16. Para que a equação tenha duas raízes reais e iguais, devemos ter ∆ = 0, ou seja:

p2 ‒ 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 0

p2 ‒ 16 = 0

p2 = 16

p = \pm \sqrt{16}

p = ‒ 4 ou p = 4

17. Para que a equação não apresente raízes reais e iguais, deveremos ter ∆ < 0, ou seja:

( ‒6)2 ‒ 4 ⋅ 1 ⋅ m < 0

36 ‒ 4m < 0

36 < 4m

\frac{36}{4} < m

9 < m

m > 9

18. Para que a equação tenha duas raízes reais, deveremos ter ∆ > 0, ou seja:

( ‒ 4) 2 ‒ 4 ⋅ 1 ⋅ k > 0

16 ‒ 4k > 0

‒ 4k > ‒ 16

k < \frac{- 16}{- 4}

k < 4

Capítulo 5 – Função afim

Trocando ideias – página 127

• Fusão do gelo: 0 grau Célsius; ebulição da água: 100 graus Célsius.

• Substituindo éfe por 109 na fórmula éfe = 1,8 cê + 32, teremos:

109 = 1,8 cê + 32

109 ‒ 32 = 1,8 cê

C = \frac{77}{1,8} ≃ 42,8

Aproximadamente 42,8 graus Célsius.

• Resposta pessoal.

Atividades – página 129

1. a) Como são seiscentas embalagens por hora, em 10 horas serão 6 000 embalagens, pois 600 ⋅ 10 = .6000.

b) Como .4800 : 600 = 8, serão necessárias 8 horas para produzir 4.oitocentas embalagens.

c) Sim; porque cada hora corresponde a uma única quantidade produzida.

d) Se representarmos a quantidade de embalagens por y e o tempo em hora por t, teremos a seguinte lei: y = 600 ⋅ t.

2. A lei será A = a ⋅ a, ou seja, A = a2.

A medida da área é a variável dependente e a medida do comprimento do lado é a variável independente.

Atividades – página 130

3. Considerando que f(x) = 5x + 2, teremos:

a) f(0) = 5 ⋅ 0 + 2 = 2

b) f(‒ 1) = 5 ⋅ (‒ 1) + 2 = ‒ 3

c) f(‒ 2) = 5 ⋅ (‒ 2) + 2 = ‒ 8

f (\frac{3}{4}) = 5 \cdot \frac{3}{4} + 2 = \frac{15 + 8}{4} = \frac{23}{4}

4. Considerando que f(x) = 5x ‒ 2, teremos:

5 x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5}

5 x - 2 = 3 \Rightarrow x = \frac{5}{5} \Rightarrow x =

5 x - 2 = - 10 \Rightarrow x = - \frac{8}{5}

5 x - 2 = 13 \Rightarrow x = \frac{15}{5} \Rightarrow x = 3

5. Sendo

f (x) = \frac{1}{2} x - \frac{3}{4}

, podemos calcular o que se pede em cada item.

f (0) = \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{3}{4} = - \frac{3}{4}

f (1) = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{3}{4} = \frac{2 - 3}{4} = - \frac{1}{4}

f (2) = \frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{3}{4} = \frac{4 - 3}{4} = \frac{1}{4}

\frac{f (0) - f (1)}{f (2)} = \frac{- \frac{3}{4} - (- \frac{1}{4})}{\frac{1}{4}} = (- \frac{2}{4}) \cdot 4 = - 2

\frac{f (2) \cdot f (1)}{f (0)} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{4})}{- \frac{3}{4}} = (- \frac{1}{16}) \cdot (- \frac{4}{3}) = \frac{1}{12}

6. a) f(x) = 2x

f (- \frac{1}{5}) = 2 \cdot (- \frac{1}{5}) = - \frac{2}{5}

2 x = \frac{7}{2} \Rightarrow x = \frac{7}{4}

Página setenta e dois

Representação gráfica de uma função – páginas 132 e 133

Situação 1

A lei de formação é q = 7t, sendo t ⩾ 0.

Situação 2

A lei de formação é

y = \frac{1}{x}

, sendo xis ≠ 0.

Situação 3

A lei de formação é p = 2n, sendo n um número natural maior ou igual a 1.

Atividades – páginas 133 e 134

7. a) y = 0,5x, com x ∈

b) Gráfico A. Espera-se que os estudantes percebam que o gráfico dessa função não é uma linha contínua, pois a quantidade de fotos só pode ser representada por números naturais.

8. Nesse caso, teremos:

x \cdot y = 3 \cdot 5 \Rightarrow y = \frac{15}{x}, c o m x \neq 0

9. As grandezas densidade e medida da área são inversamente proporcionais; as grandezas densidade e população são diretamente proporcionais.

10. A função f representa grandezas inversamente proporcionais, então as alternativas a e d estão descartadas. Como x > 0 então não pode ser a alternativa c. Portanto, o gráfico correspondente a essa função é o da alternativa b.

Lendo e aprendendo – páginas 135 e 136

1. a) No dia 2 de dezembro de 2020.

b) Coronavírus é uma família de vírus que causa infecções respiratórias.

c) Covid-19.

d) Exemplo de resposta: Com os modelos matemáticos, é possível saber a relação entre a medida do tempo e o número de infectados por essas doenças e, desta fórma, é possível, por exemplo, planejar medidas de proteção e prever a quantidade de indivíduos que devem ser vacinados para erradicar a doença.

2. Gráfico da alternativa a, pois quanto maior for o valor de t, maior será o valor da função exponencial.

Gráfico. Eixo horizontal com indicação t (tempo), de 0 a 3. Eixo vertical com indicação f (número de infectados), de 0 a 5. Linha f curvada crescente no primeiro quadrante, saindo da ordenada 1 do eixo vertical.

4. Respostas pessoais.

5. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes respondam que verificam se a publicação tem data, se a fonte é confiável, se leem toda a publicação e não apenas a manchete ou o título, pesquisam sobre o autor da publicação e as informações divulgadas em outras fontes.

Atividades – página 140

11. São leis de função afim as alternativas a, b, c, e.

As alternativas d e f não representam uma função afim, pois têm a variável independente elevada ao quadrado.

12. Para a elaboração dos gráficos, procuraremos alguns pontos pertencentes a função e realizaremos a construção.

x	y = 2	(x, y)
0	2	(0, 2)
1	2	(1, 2)

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x de menos 2 a 2. Eixo y de menos 2 a 2. Reta horizontal y é igual a 2, em vermelho, passa pela ordenada 2 do eixo y.

x	y = 3x	(x, y)
0	3 ⋅ 0 = 0	(0, 0)
1	3 ⋅ 1 = 3	(1, 3)

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x de menos 2 a 2. Eixo y de menos 3 a 3. Reta diagonal y é igual a 3, em roxo, passa pela origem e pelo ponto com coordenadas (1, 3).

x	$y igual a menos divisão de 2 sobre 3 x$	(x, y)
0	$menos divisão de 2 sobre 3 vezes 0 igual a 0$	(0, 0)
3	$menos divisão de 2 sobre 3 vezes 3 igual a menos 2$	(3, −2)

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x de menos 6 a 6. Eixo y de menos 3 a 3. Reta diagonal y é igual a menos fração 2 sobre 3, em laranja, passa pela origem e pelo ponto com coordenadas (3, menos 2).

x	y = x + 3	(x, y)
0	0 + 3 = 3	(0, 3)
−3	−3 + 3 = 0	(−3, 0)

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x de menos 3 a 2. Eixo y de menos 3 a 3. Reta diagonal y é igual a x mais 3, em verde, passa pelos pontos de coordenadas (menos 3, zero) e (zero, 3).

x	y = 1 − 2x	(x,y)
0	1 − 2 ⋅ 0 = 1	(0, 1)
2	1 − 2 ⋅ 2 = −3	(2, −3)

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, de menos 3 a 2. Eixo y de menos 3 a 5. Reta diagonal y é igual a 1 menos 2 x, em azul, passa pelos pontos de coordenadas (0, 1) e (2, menos 3).

x	y = $divisão de 1 sobre 3$ x − 2	(x, y)
0	$divisão de 1 sobre 3$ ⋅ 0 − 2 = −2	(0, −2)
3	$divisão de 1 sobre 3$ ⋅ 3 − 2 = −1	(3, −1)

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x de menos 3 a 9. Eixo y de menos 3 a 5. Reta diagonal y é igual a fração 1 sobre 3 fim da fração vezes x menos 2, em amarelo. Passa pelos pontos com coordenadas (0, menos 2) e (3, menos 1).

Página setenta e três

13. a) V = 60 ⋅ t, em que t é um número real positivo.

b) Se t = 10, então V = 60 ⋅ 10 = 600. Portanto, terá 600 litros de água após 10 minutos.

c) Se V = 900, então 900 = 60 ⋅ t ⇒ t = 15. Ou seja, são necessários 15 minutos para a piscina ficar com 900 litros de água.

14. São verdadeiras:

a) Função afim é toda função cuja lei pode ser escrita na fórma ípsilon = á xis + bê, em que a e b são números reais e x pode ser qualquer número real.

d) O gráfico da função dada por g (x) = 6, para qualquer x real, é uma reta paralela ao eixo x.

15. Temos que:

x	h(x) = x	(x, h(x))
0	0	(0, 0)
1	1	(1, 1)

x	m(x) = −x	(x, (m(x))
0	0	(0, 0)
1	−1	(1, −1)

x	f(x) = −x + 3	(x, f(x))
−2	−( −2) + 3 = 5	(−2, 5)
0	0 + 3 = 3	(0, 3)

x	g(x) = 2x − 3	(x, (g(x))
1	2 ⋅ 1 − 3 = −1	(1, −1)
0	2 ⋅ 0 − 3 = −3	(0, −3)

x	p(x) = $divisão de x sobre 2$ +1	(x, p(x))
−1	$divisão de abre parênteses menos 1 fecha parênteses sobre 2$ +1= $divisão de 1 sobre 2$	(−1, $divisão de 1 sobre 2$ )
4	$divisão de 4 sobre 2$ +1= $3$	(4, 3)

x	q(x) = x − 1	(x, (q(x))
−1	−1 − 1 = −2	(−1, −2)
4	4 − 1 = 3	(4, 3)

Assim, construindo as funções no mesmo plano, temos:

a) Ponto de encontro: (0, 0)

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x de menos 4 a 4. Eixo y de menos 4 a 4. Reta diagonal m de x é igual a menos x, em vermelho, passando pela origem (0, 0) e por (1, menos 1) e reta diagonal h de x é igual a x, em verde, passando pela origem (0, 0) e por (menos 1, 1). Elas se cruzam na origem (0, 0).

b) Ponto de encontro: Q(2, 1)

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x de menos 4 a 6. Eixo y de menos 4 a 5. Reta diagonal f de x é igual a menos x mais 3, em roxo, passando por Q(2, 1) e por (3, 0); e reta diagonal g de x é igual a 2x menos 3, em laranja, passando por Q(2, 1) e (0, menos 3). As retas se cruzam em Q.

c) Ponto de encontro: S(4, 3)

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x de menos 4 a 8. Eixo y de menos 4 a 5. Reta diagonal p de x é igual a fração x sobre 2 fim da fração mais 1, em vermelho, passando por S(4, 3) e por (0, 1); e reta diagonal g de x é igual a x menos 1, em verde, passando por S(4, 3) e por (0, 1). Elas se cruzam em S.

Atividades – página 141

16. a)

- 4 x + 8 = 0 \Rightarrow 4 x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{4} \Rightarrow x = 2

Portanto, 2 é o zero da função.

- 3 x - 21 = 0 \Rightarrow - 21 = 3 x \Rightarrow x = \frac{- 21}{3} \Rightarrow x = - 7

Portanto,

‒7 é o zero da função.

2 - 8 x = 0 \Rightarrow 2 = 8 x \Rightarrow x = \frac{2}{8} \Rightarrow x = \frac{1}{4}

Portanto,

\frac{1}{4}

é o zero da função.

d) 7 ‒ x = 0 ⇒ x = 7

Portanto, 7 é o zero da função.

- 4 x - 64 = 0 \Rightarrow - 64 = 4 x \Rightarrow x = \frac{- 64}{4} \Rightarrow x = - 16

Portanto, ‒16 é o zero da função.

- 6 x + 18 = 0 \Rightarrow 18 = 6 x \Rightarrow x = \frac{18}{6} \Rightarrow x = 3

Portanto, 3 é o zero da função.

3 x - 9 = 0 \Rightarrow 3 x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{3} \Rightarrow x = 3

Portanto, 3 é o zero da função.

4 x - 20 = 0 \Rightarrow 4 x = 20 \Rightarrow x = \frac{20}{4} \Rightarrow x = 5

Portanto, 5 é o zero da função.

17. Se o zero da função f é igual a 4, teremos

f (4) = 0

, então:

3 ⋅ 4 + m ‒ 2 = 0 ⇒ 12 + m ‒ 2 = 0 ⇒ 10 + m = 0 ⇒ m = ‒ 10

18. Considere uma função afim do tipo

f (x) = a x + b

, em que a e b são números reais e a ≠ 0. Segundo as informações do enunciado, temos que:

f (1) = 0 \Rightarrow a + b = 0

f (- 1) = 2 \Rightarrow - a + b = 2

Assim, temos o seguinte sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas:

\{\begin{array}{c} a + b = 0 \\ - a + b = 2 \end{array}

Adicionando as duas equações, temos:

2b = 2

b = 1

Se a + b = 0 e b = 1, então a = ‒ 1.

Portanto, temos que f(x) = ‒ x + 1.

Tecnologias digitais em foco – páginas 144 e 145

Explore

a) Espera-se que os estudantes observem que cada ponto do gráfico de y = x + 1 tem ordenada igual a uma unidade a mais que a ordenada do ponto de mesma abscissa no gráfico de y = x. Ou seja, o gráfico de y = x + 1 é uma reta paralela ao gráfico de y = x, pois houve uma translação vertical de uma unidade para cima.

b) Espera-se que os estudantes observem que:

• o gráfico de y = x ‒ 1 corresponde a uma translação na vertical de uma unidade para baixo do gráfico de y = x;

• o gráfico de y = x + 2 corresponde a uma translação vertical de duas unidades para cima do gráfico de y = x;

• o gráfico de y = x + 3 corresponde a uma translação vertical de 3 unidades para cima do gráfico y = x.

c) Os estudantes devem responder que a investigação anterior sugere que a reta que é gráfico de uma função afim do tipo y = x + b corresponde a uma translação vertical de b unidades para cima (se b > 0) ou para baixo (se b < 0) do gráfico de y = x.

Página setenta e quatro

d) Espera-se que os estudantes observem que cada ponto do gráfico de y = 2x tem ordenada igual ao dôbro daquela do ponto de mesma abscissa no gráfico de y = x. Ou seja, o gráfico de y = 2x é uma reta que tem inclinação igual ao dôbro da inclinação de y = x.

e) Espera-se que os estudantes observem que cada ponto do gráfico de

y = \frac{1}{3} x

y = \frac{1}{2} x

e y = 3x tem ordenada igual à metade, à terça parte e ao triplo, respectivamente, daquela do ponto de mesma abscissa no gráfico de y = x .

f) Construindo o que se foi pedido, temos:

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 2 a 2. Eixo y, pontos de menos 2 a 2. Reta diagonal y é igual a x, em verde, e reta diagonal y é igual a menos x, em laranja, se cruzam em 0.

Espera-se que os estudantes consigam perceber que as funções indicadas têm como ponto de encontro a origem do plano, sendo diagonais de cada um dos quadrantes. Além disso, as funções podem ser classificadas como reflexões uma da outra em relação aos eixos.

Os estudantes podem construir os gráficos dos seguintes pares de funções afim:

• y = 2x e y = ‒2x

• y = 3x + 1 e y = ‒3x + 1

•

y_{} = \frac{1}{4}

‒ 5 e

y_{} = - \frac{1}{4}

‒ 5

h) Espera-se que os estudantes obtenham os gráficos a seguir:

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 4 a 4. Eixo y, pontos de menos 2 a 6. Reta diagonal laranja y é igual a 3x menos 2 e reta diagonal vermelha y é igual a meio x mais 2 se cruzam em um ponto. Reta diagonal vermelha y é igual a meio x mais 2 e reta diagonal verde y é igual x se cruzam em um ponto.

Atividades – página 146

19. a.

x	f(x) = 4x − 20	(x, f(x))
0	4 ⋅ 0 − 20 = −20	(0, −20)
5	4 ⋅ 5 − 20 = 0	(5, 0)

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 10 a 10. Eixo y, pontos de menos 25 a 5. Reta diagonal azul passa pelos pontos 0 e menos 20 e 5 e 0 (zero da função).

O gráfico da função intercepta o eixo x no ponto (5, 0). Portanto, 5 é o zero da função.

A função é crescente, pois a = 4 e 4 > 0.

x	f(x) = 7x − 21	(x,f(x))
0	7 ⋅ 0 − 21 = −21	(0, −21)
3	7 ⋅ 2 − 21 = −7	(3, −7)

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 2 a 4. Eixo y, pontos de menos 22 a 2. Reta diagonal roxa passa pelos pontos 0 e menos 22 e 3 e 0 (zero da função).

O gráfico da função intercepta o eixo x no ponto (3, 0). Portanto, 3 é o zero da função.

A função é crescente, pois a = 7 e 7 > 0.

x	f(x) = −4x + 1	(x,f(x))
0	−4 ⋅ 0 + 1 = 1	(0, 1)
$divisão de 1 sobre 4$	−4·( $divisão de 1 sobre 4$ ) + 1 =0	$abre parênteses divisão de 1 sobre 4 ; 0 fecha parênteses$

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 2 a 2. Eixo y, pontos de menos 3 a 2. Reta diagonal laranja passa pelos pontos 0 e 1 e 1 quarto e 0 (zero da função).

O gráfico da função intercepta o eixo x no ponto

(\frac{1}{4}, 0)

. Portanto,

\frac{1}{4}

é o zero da função.

A função é decrescente, pois a = ‒4 e ‒4 < 0.

x	f(x) = x − 3	(x,f(x))
0	0 − 3 = −3	(0, −3)
3	3 − 3 = 0	(3, 0)

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 2 a 4. Eixo y, pontos de menos 4 a 2. Reta diagonal verde passa pelos pontos 0 e menos 3 e 3 e 0 (zero da função).

O gráfico da função intercepta o eixo x no ponto (3, 0). Portanto, 3 é o zero da função.

A função é crescente, pois a = 1 e 1 > 0.

20. a) Zero da função: 2x ‒ 6 = 0 ⇒ x = 3

Como a função é crescente, teremos:

Para x = 3, a função é nula.

Para x > 3, a função é positiva.

Para x < 3, a função é negativa.

Página setenta e cinco

b) Zero da função: ‒ 8 + x = 0 ⇒ x = 8

Como a função é crescente, teremos:

Para x = 8, a função é nula.

Para x > 8, a função é positiva.

Para x < 8, a função é negativa.

c) Zero da função: ‒ x + 11 = 0 ⇒ x = 11

Como a função é decrescente, teremos:

Para x = 11, a função é nula.

Para x > 11, a função é negativa.

Para x < 11, a função é positiva.

d) Zero da função: ‒ 2x ‒ 4 = 0 ⇒ x = ‒ 2

Como a função é decrescente, teremos:

Para x = ‒2, a função é nula.

Para x > ‒2, a função é negativa.

Para x < ‒2, a função é positiva.

21. Pelas informações apresentadas, para uma função afim do tipo y = ax + b, em que a e b são números reais e a ≠ 0, temos que:

Para x = 2, y = 0, ou seja, 2 é o zero da função. Assim: 2a + b = 0 ⇒ b = ‒ 2a

A função é crescente, logo a > 0.

Nessas condições, temos as seguintes funções afim:

y = x ‒ 2

y = 3x ‒ 6

y = \frac{x}{2} - 1

22. Para uma função afim crescente:

Para

x = - \frac{b}{a}

, a função é nula.

Para

x > - \frac{b}{a}

, a função é positiva.

Para

x < - \frac{b}{a}

, a função é negativa.

Para uma função afim decrescente:

Para

x = - \frac{b}{a}

, a função é nula.

Para

x < - \frac{b}{a}

, a função é positiva.

Para

x > - \frac{b}{a}

, a função é negativa.

Atividades – páginas 147 e 148

23. São inequações as sentenças dos itens b, d, e, f. A sentença do item a é uma igualdade e a sentença do item c é uma equação.

24. a) 2x + 5 < 8

x - \frac{x}{5} ⩽ 4

5 x - \frac{x}{3} < 2

3 x - \frac{x}{4} ⩾ 7

25. A inequação é:

x - 5 < \frac{x}{2}

26. São inequações do 1º grau com uma incógnita as sentenças dos itens b, d, f, h. A sentença do item a é uma inequação do 1º grau com duas incógnitas, a sentença do item c é uma inequação do 2º grau, a sentença do item e é uma inequação do 3º grau e a sentença do item g é uma inequação do 1º grau com duas incógnitas.

27. a) Como o prato da esquerda tem maior medida de massa do que o prato da direita, então a inequação que representa é x > 5.

b) x + 100 > 5 + 100 ou x + 100 > 105

Atividades – página 150

28. Sim, são inequações equivalentes, pois, subtraiu-se 10 de cada membro da inequação x

<

15, obtemos uma inequação equivalente a ela (princípio aditivo das desigualdades).

29. a) ‒ 7 ⋅ 4 < 5x ⋅ 4 ⇒ ‒ 28 < 20x

\frac{- 28}{- 1} > \frac{20 x}{- 1} \Rightarrow 28 > - 20 x

c) 28 ‒ 3 > ‒ 20x ‒ 3 ⇒ 25 > ‒ 20x ‒ 3

d) 25 ‒ (‒ 2) > ‒ 20x ‒ 3 ‒ (‒ 2) ⇒ 27 > ‒ 20x ‒ 1

30. Partindo da inequação a < b, buscamos em cada item verificar a validade da expressão dada.

a) a + 7 < b + 7 (sentença verdadeira, pelo princípio aditivo das desigualdades)

\frac{a}{5} < \frac{b}{5}

(sentença verdadeira, pelo princípio multiplicativo das desigualdades)

c) 3 ⋅ a > 3 ⋅ b (sentença falsa, pois 3a < 3b pelo princípio multiplicativo das desigualdades)

d) a ‒ 10 < b ‒ 10 (sentença verdadeira, pelo princípio aditivo das desigualdades)

e) ‒ 2a < ‒ 2b (sentença falsa, pois ‒2a > ‒2b pelo princípio multiplicativo das desigualdades)

f) ‒a > ‒ b (sentença verdadeira, pelo princípio multiplicativo das desigualdades)

31. ‒ 10x < ‒ 12

‒ 10x ⋅ (‒ 1) > ‒ 12 ⋅ (‒ 1)

10x > 12

Atividades – página 151

32. a) (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) ⩽ 1

3x + 9 ⩽ 1

3x ⩽ ‒ 8

x ⩽ - \frac{8}{3}

S = \{x \in Q | x ⩽ - \frac{8}{3}\}

b) 4 ‒ 2x > 3 ‒ 3x

4 + x > 3

x > ‒ 1

S = {x ∈

| x > ‒ 1}

c) x ‒ 5 ⩽ 1 ‒ x

2x ‒ 5 ⩽ 1

2x ⩽ 6

x ⩽ 3

S = {x ∈

| x ⩽ 3}

- 2 x - \frac{1}{2} < \frac{5}{2}

- 2 x < \frac{6}{2}

x > - \frac{3}{2}

S = \{x \in Q | x > - \frac{3}{2}\}

33. Resolvendo a inequação:

3 (x - \frac{1}{5}) + \frac{2 x}{3} < 8

3 x + \frac{2 x}{3} < \frac{40 + 3}{5}

\frac{9 x + 2 x}{3} < \frac{43}{5}

11 x < \frac{129}{5}

x < \frac{129}{55}

x < 2,34

Como x é um número natural, ele pode ser 0, 1 ou 2.