Página setenta e seis

Parte 5

34. Resolvendo:

\frac{x - 10}{5} < 0

x − 10 < 0

x < 10

Assim, o maior número inteiro que satisfaça a inequação é o 9.

35. Indicando por x o número inteiro procurado, temos duas inequações:

3x + 5 < 2 e

\frac{x}{3} + 4 > 3

Resolvendo a inequação 3x + 5 < 2, temos:

3x < − 3

x < − 1

Resolvendo a inequação

\frac{x}{3} + 4 > 3

, temos:

\frac{x}{3} > - 1

x > − 3

Como x é um número inteiro, x < − 1 e x > − 3, temos que x = − 2.

36. Medida do perímetro do retângulo (em centímetros):

2y + 2y + y + y ou 6y

Medida do perímetro do triângulo (em centímetros): 3 ⋅ 16 = 48

Relação entre essas medidas:

6y > 48

\frac{6 y}{6} > \frac{48}{6}

y > 8

O menor valor inteiro nessas condições é 9.

Atividades – página 153

37. a) 3x + 4 > 2x + 2

3x − 2x > 2 − 4

x > − 2

b) 0,5x + 1 < x

0,5x − x < − 1

− 0,5x < − 1

x > 2

c) 20x + 5 ⩾ 15x − 5

20x − 15x ⩾ −5 − 5

5x ⩾ − 10

x ⩾ − 2

d) 7x + 7 ⩽ 2x + 2

7x − 2x ⩽ 2 − 7

5x ⩽ − 5

x ⩽ − 1

38. a)

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 2 a 2. Eixo y, pontos de menos 2 a 2. Reta diagonal g de x é igual a 0,5 x, em laranja, passa em menos 2 do eixo x, 1 do eixo y. Reta f de x é igual a 2x menos 2, em roxo, passa em menos 2 do eixo y, 1 do eixo x e cruza com reta g de x em 2, 2.

b) 2x − 2 > 0,5x + 1

2x − 0,5x > 1 + 2

1,5x > 3

x > \frac{3}{1, 5}

x > 2

39. Pela comparação dos gráficos, temos que:

a) x = − 2

b) S = {x ∈

 | x > − 2}

c) S = {x ∈

 | x ⩽ − 2}

40. Resposta pessoal.

41. Resposta pessoal. Independentemente da situação criada, os estudantes devem obter um gráfico, como este da referência:

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de 0 a 4. Eixo y, pontos de 0 a 11. Pares ordenados: (0, 2), (1, 5), (2, 8), (3, 11).

Resolvendo em equipe – página 154

Interpretação e identificação dos dados

Primeiro item: Resposta pessoal.

Segundo item: V(x) = 40 + 0,45x, em que x é um número real positivo.

Terceiro item: 68 quilômetros + 68 quilômetros = 136 quilômetros

Quarto item: V(136) = 40 + 0,45 ⋅ 136 ⇒ V(136) = 101,20

Logo, foram gastos R$ 101,20cento e um reais e vinte centavos na viagem de Aracaju até a

Praia do Saco em um dia.

Plano de Resolução

Primeiro item: R$ 171, 80cento e setenta e um reais e oitenta centavos − R$ 101, 20cento e um reais e vinte centavos = R$ 70, 60setenta reais e sessenta centavos. Sobram, do total pago, R$ 70,60setenta reais e sessenta centavos.

Segundo item: 70,60 = 40 + 0,45x

\frac{30, 60}{0, 45} = x

68 = x

Portanto, o valor calculado no item anterior corresponde a 68 quilômetros percorridos.

Terceiro item: 68 quilômetros : 2 = 34 quilômetros. Portanto, a medida da distância entre Aracaju e Pirambu é de 34 quilômetros.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – páginas 155 e 156

1. a) p = 5x, em que x é um número real positivo.

b) Se x = 7,2 centímetros, então p = 5 · 7,2 centímetros = 36 centímetros. Ou seja, a medida do perímetro é igual a 36 centímetros.

2. a) y = x + 5, em que x é um número real positivo.

b) Se x = 3,6, então y = 3,6 + 5 = 8,6. Assim, a medida do comprimento do retângulo será 8,6 métros.

S = 1 200 + \frac{15}{100} x

S = 1 200 + 0,15 x

, em que x é um número natural.

4. a) f(− 2) = 2 ⋅ (− 2) + 9 = 5

b) f(5) = 2 ⋅ 5 + 9 = 19

f (\frac{3}{2}) = 2 \cdot \frac{3}{2} + 9 = 12

d) f(− 1) ⋅ f(0) = [2 ⋅ (− 1) + 9] ⋅ [2 ⋅ 0 + 9] = 7 ⋅ 9 = 63

\frac{f (- 3) + f (2)}{f (- \frac{1}{2})} = \frac{[2 \cdot (- 3) + 9] + [2 \cdot 2 + 9]}{2 \cdot (- \frac{1}{2}) + 9} = \frac{3 + 13}{8} = 2

Página setenta e sete

5. a)

x	y = 2x + 1	(x, y)
0	2 ⋅ 0 + 1 = 1	(0, 1)
1	2 ⋅ 1 + 1 = 3	(1, 3)

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 2 a 3. Eixo y, pontos de 0 a 3. Reta diagonal laranja y igual a 2x mais 1 passa pelos pontos 0 e 1 e 1 e 3.

x	y = −3x + 2	(x, y)
0	−3 ⋅ 0 + 2 = 2	(0, 2)
1	−3 ⋅ 1 + 2 = −1	(1, −1)

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 3 a 2. Eixo y, pontos de menos 1 a 3. Reta diagonal laranja y igual a menos 3x mais 2 passa pelos pontos 0 e 2 e 1 e menos 1.

x	y = x	(x, y)
0	0	(0, 0)
1	1	(1, 1)

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 1 a 2. Eixo y, pontos de 0 a 2. Reta diagonal laranja y igual a x passa pelos pontos 0 e 0 e 1 e 1.

x	y = −2x	(x,y)
−1	−2 ⋅ (− 1) = 2	(−1, 2)
0	−2 ⋅ 0 = 0	(0, 0)

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 3 a 1. Eixo y, pontos de 0 a 2. Reta diagonal laranja y igual a menos 2x passa pelos pontos menos 1 e 2 e 0 e 0.

x	y = 6	(x, y)
−1	6	(−1, 6)
0	6	(0, 6)
1	6	(1, 6)

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 3 a 5. Eixo y, pontos de 0 a 6. Reta horizontal laranja y igual a 6 passa pelos pontos menos 1 e 6, 0 e 6 e 1 e 6.

x	y = 5x − 3	(x, y)
0	5 ⋅ 0 − 3 = −3	(0, −3)
1	5 ⋅ 1 − 3 = 2	(1, 2)

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 1 a 3. Eixo y, pontos de menos 3 a 3. Reta diagonal laranja y igual a 5x menos 3 passa pelos pontos 0 e menos 3 e 1 e 2.

6. a) Representa uma função linear, pois é uma reta que passa pela origem do plano cartesiano.

b) Representa uma função constante, pois é uma reta paralela ao eixo das abscissas.

7. a) y = 10,5x + 23, em que x é um número natural maior ou igual a 1.

b) y = 10,5 ⋅ 120 + 23 ⇒ y = .1283

Assim, o valor pago por Carlos por 120 capas é de R$ 1.283,00mil duzentos e oitenta e três reais.

8. a) (0, − 1)

b) (1,0)

c) Considerando uma função afim do tipo y = ax + b, em que a e b são números reais e a ≠ 0. Como y = –1, quando x = 0. temos:

− 1 = a ⋅ 0 + b ⇒ b = − 1

Como y = 0, quando x = 1, temos:

0 = a ⋅ 1 − 1 ⇒ a = 1

Dessa fórma, a lei de formação será y = x − 1, em que x é um número real.

d) 0 = x − 1

1 = x

Portanto, 1 é o zero da função.

9. a) x + 3 = 0 ⇒ x = − 3

Portanto, − 3 é o zero da função.

- 2 x + 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{2} \Rightarrow x = 4

Portanto, 4 é o zero da função.

c) − 5x = 0 ⇒ x = 0

Portanto, 0 é o zero da função.

2 x + 5 = 0 \Rightarrow x = - \frac{5}{2}

Portanto,

\frac{- 5}{2}

é o zero da função.

10. a) 7 − 3 (2x + 1) ⩽ −x − 11

7 − 6x − 3 ⩽ −x − 11

−6x + x ⩽ −11 − 4

−5x ⩽ −15

x ⩾ \frac{15}{5}

x ⩾ 3

S =  {x ∈

| x ⩾ 3}

b) 3 (x − 2) + 15 > 2 (x + 1)

3x − 6 + 15 > 2x + 2

3x − 2x > 2 − 9

x > − 7

S =  {x ∈

| x > − 7}

c) 5x − 3 ⩽ 3 ⋅ (2x − 5)

5x − 3 ⩽ 6x − 15

5x − 6x ⩽ − 15 + 3

x ⩾ 12

S = {x ∈

| x ⩾ 12}

d) 7x − 1 > 12x + 7

7x − 12x > 7 + 1

− 5x > 8

x < - \frac{8}{5}

S = \{x \in Q | x < - \frac{8}{5}\}

Capítulo 6 – Função quadrática

Trocando ideias – página 157

a) S = −t2 + 10t

Se t = 2, então:

S = −22 + 10 ⋅ 2 = −4 + 20 = 16

Se t = 4, então:

S = −42 + 10 ⋅ 4 = −16 + 40 = 24

Portanto, no instante t = 2 segundos, a posição era 16 métros; no instante t = 4 segundos, a posição era 24 métros.

b) Nesse caso, quando a pedra atinge o solo, teremos S = 0; então, temos a seguinte equação −t2 + 10t = 0.

t(−t + 10) = 0

t = 0

−t + 10 = 0 ⇒ t = 10

Portanto, a pedra atingirá o solo após 10 segundos.

Página setenta e oito

Atividades – página 158

1. Observando cada função, temos:

a) a = 1, b = 0 e c = − 25

b) a = − 3, b = − 6 e c = 9

c) a = 1, b = 0 e c = − 18

d) a = − 5, b = 13 e c = 0

e) a = 1, b = − 10 e c = 25

f) a = 3, b = − 4 e c = 75

2. Sendo éfe de xis = 2 x2 − 6, teremos:

a) f(5) = 2 ⋅ 52 − 6 = 50 − 6 = 44

b) f(0) = 2 ⋅ 02 − 6 = − 6

c) f(− 2) = 2 ⋅ (− 2)2 − 6 = 8 − 6 = 2

f (\sqrt{11}) = 2 \cdot {(\sqrt{11})}^{2} - 6 = 22 - 6 = 16

3. éfe de xis = 0 quando x é uma das raízes da equação associada; assim, resolvendo a equação:

x2 − 5x + 6 = 0

x = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}

x_{1} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3

x_{2} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = 2

Portanto, x = 2 ou x = 3.

4. Podemos fazer:

y = (5 + x) ⋅ (3 + x)

y = 15 + 5x + 3x + x2

y = x2 + 8x + 15, sendo x um número real maior que zero.

Atividades – páginas 160 e 161

5. Quando o coeficiente a é maior que zero, a parábola tem concavidade voltada para cima, quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. Portanto, éfe de xis pode estar relacionada com o Gráfico dois e gê de xis com o Gráfico um.

6. São aquelas que têm o coeficiente a maior que zero, ou seja, as funções dos itens b, c, d, i. Vejamos os itens em que precisamos realizar cálculos para encontrar o coeficiente a.

y = (\frac{x}{7} + 6) (- x + 2)

y = - \frac{x^{2}}{7} - 6 x + \frac{2 x}{7} + 12

, ou seja, a função do item h representa uma parábola com concavidade voltada para baixo, já que a < 0.

y = {(\frac{5}{9} x + 3)}^{2}

y = \frac{25}{81} x^{2} + \frac{10}{3} x + 9

, ou seja, o item i possui concavidade voltada para cima, pois a > 0.

7. Como éfe de xis = (m − 7) x2 − 3x − 2, precisamos analisar o coeficiente a, que nesse caso é igual a (m – 7). Para que o gráfico da função f tenha a concavidade voltada para baixo, (m – 7) deve ser menor que zero. Portanto:

(m − 7) < 0 ⇒ m < 7

8. Para que o gráfico da função g tenha a concavidade voltada para baixo,

(\frac{p}{2} + 3)

deve ser menor que zero. Portanto:

\frac{p}{2} + 3 < 0 \Rightarrow \frac{p}{2} < - 3 \Rightarrow p < - 6

9. a.

MEDIDA DA DISTÂNCIA PERCORRIDA (EM METRO)	MEDIDA DA ALTURA (EM METRO)
100	− $divisão de 100 elevado a 2 sobre 900$ + $divisão de abre parênteses 2 vezes 100 fecha parênteses sobre 3$ = $divisão de 500 sobre 9$
200	− $divisão de 200 elevado a 2 sobre 900$ + $divisão de abre parênteses 2 vezes 200 fecha parênteses sobre 3$ = $divisão de 800 sobre 9$
300	100
400	− $divisão de 400 elevado a 2 sobre 900$ + $divisão de abre parênteses 2 vezes 400 fecha parênteses sobre 3$ = $divisão de 800 sobre 9$
600	0

b) Com base no gráfico, a medida da altura máxima atingida pelo projétil é 100 metros (esse é o maior valor que y assume).

c) Quando y = 100, temos que x = 300; logo, foram percorridos 300 metros na horizontal.

d) Com base no gráfico, quando o projétil retorna ao solo (em y = 0), x = 600; então, ele percorre 600 metros.

Atividades – página 164

10. a) 6x2 = 0

x = 0

Zero da função: 0

b) x2 − 4 = 0

x2 = 4

x = \pm \sqrt{4}

x = − 2 ou x = 2

Zeros da função: –2 e 2.

c) − x2 + 1 = 0

− x2 = − 1

x2 = 1

x = \pm \sqrt{1}

x = − 1 ou x = 1

Zeros da função: –1 e 1.

d) 5x2 + 10x = 0

5x(x + 2) = 0

5x = 0 ou x + 2 = 0

x = 0 ou x = − 2

Zeros da função: 0 e –2.

e) − x2 + 2x − 5 = 0

∆ = 22 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ (− 5)

∆ = 4 − 20 = − 16

Essa equação não tem raízes reais.

Portanto, a função não tem zeros reais.

f) 3x2 − 5x + 2 = 0

∆ = (− 5)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2

∆ = 25 − 24 = 1

x = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}

x_{1} = \frac{6}{6} = 1

x_{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Zeros da função: 1 e

\frac{2}{3}

g) − 9x2 − 6x − 1 = 0

∆ = (−6)2 − 4 ⋅ (− 9) ⋅ (− 1)

∆ = 36 − 36 = 0

x_{1} = x_{2} = \frac{- (- 6)}{2 \cdot (- 9)} = - \frac{1}{3}

Zero da função:

- \frac{1}{3}

Página setenta e nove

h) x2 + 5x + 8 = 0

∆ = 52 − 4 ⋅ 1 ⋅ 8

∆ = 25 − 32 = − 7

Essa equação não tem raízes reais.

Portanto, a função não tem zeros reais.

i) − 3x2 + 2x − 1 = 0

∆ = 22 − 4 ⋅ (− 3) ⋅ (− 1)

∆ = 4 − 12 = − 8

Essa equação não tem raízes reais.

Portanto, a função não tem zeros reais.

11. Em cada caso, devemos encontrar os valores de x para os quais y é igual a zero.

a) −3 x2 + 12x = 0

3x( −x + 4) = 0

3x = 0 ⇒ x = 0

− x + 4 = 0 ⇒ x = 4

Portanto, a parábola intercepta o eixo x nos pontos(0, 0) e (4, 0).

b) x2 − 4 = 0

x = \pm \sqrt{4}

x = − 2 ou x = 2

Portanto, a parábola intercepta o eixox nos pontos (–2, 0)e (2, 0).

c) x2 − 8x + 15 = 0

∆ = ( − 8)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 15

∆ = 64 − 60 = 4

x = \frac{- (- 8) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 2}{2}

x_{1} = \frac{6}{2} = 3

x_{2} = \frac{10}{2} = 5

Portanto, a parábola corta o eixo x nos pontos (3, 0) e (5, 0).

12. Verificando as afirmações, temos.

a) Falsa, pois pode ter, no máximo, dois zeros reais e distintos.

b) Verdadeira, pois ∆ = 02 − 4ac = − 4ac, ou seja, ∆ < 0 quando 4ac > 0, o que significa que a função não tem zeros reais e a parábola não intercepta o eixo das abscissas.

c) Verdadeira, pois se a x2 + bx = 0, então:

x(ax + b) = 0

x = 0 ou

x = - \frac{b}{a}

d) Falsa, pois p(0) = a ⋅ 0 = 0, logo tangencia o eixo das abscissas apenas no ponto (0, 0).

Assim, são verdadeiras as alternativas b, c.

13. Sendo agá de xis = − x2 + 30x, podemos encontrar o valor de x para o qual agá de xis é nula:

− x2 + 30x = 0

x( −x + 30) = 0

x = 0 ou x = 30

Logo, ele atingirá o solo após percorrer 30 metros.

14. Verificando a representação gráfica, temos:

a) a > 0 (concavidade da parábola para cima) e ∆ > 0 (parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos distintos).

b) a < 0 (concavidade da parábola para baixo) e ∆ < 0 (parábola não intercepta o eixo das abscissas).

c) a > 0 (concavidade da parábola para cima) e ∆ = 0 (parábola intercepta o eixo das abscissas em um ponto).

d) a < 0 (concavidade da parábola para baixo) e ∆ = 0 (parábola intercepta o eixo das abscissas em um ponto).

Atividades – página 166

15. Nesse caso, para que o vértice da parábola pertença ao eixo x, a função deve ter apenas um zero, ou seja, ∆ = 0. Logo, teremos:

{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot k = 0 \Rightarrow k = \frac{64}{4} \Rightarrow k = 16

16. a)

x_{v} = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2

yv = f(2) = 22 − 4 ⋅ 2 + 3 = − 1

Logo, V(2, − 1).

x_{v} = \frac{- 6}{2 \cdot (- 1)} = 3

yv = f(3) = − 32 + 6 ⋅ 3 − 9 = 0

Logo, V(3, 0).

x_{v} = \frac{- 2}{2 \cdot (- 1)} = 1

yv = f(1) = − 12 + 2 ⋅ 1 = 1

Logo, V(1, 1).

x_{v} = \frac{- 2}{2 \cdot 1} = - 1

yv = f(− 1) = (−1)2 + 2 ⋅ (− 1) + 3 = 2

Logo, V( −1, 2).

x_{v} = \frac{- (- 1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}

y_{v} = f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1 - 2 - 8}{4} = - \frac{9}{4}

Logo,

V (\frac{1}{2}, - \frac{9}{4})

x_{v} = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}

y_{v} = f (\frac{2}{3}) = {3 \cdot (\frac{2}{3})}^{2} - 4 \cdot \frac{2}{3} = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} = - \frac{4}{3}

Logo,

V (\frac{2}{3}, - \frac{4}{3})

17. No gráfico, temos que:

x_{v} = \frac{1}{3}

y_{v} = \frac{5}{3}

Logo, teremos:

\frac{- b}{2 a} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \frac{- 3 b}{2}

E como

f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{3}

, vale que:

a \cdot ({\frac{1}{3})}^{2} + b \cdot \frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}

\frac{a}{9} + \frac{b}{3} = \frac{5}{3} - 2

Usando um:

(\frac{- 3 b}{2}) \cdot \frac{1}{9} + \frac{b}{3} = \frac{5 - 6}{3}

\frac{- b}{6} + \frac{b}{3} = - \frac{1}{3}

\frac{- b + 2 b}{6} = - \frac{1}{3}

b = - \frac{6}{3} \Rightarrow b = - 2

Voltando a um:

a = \frac{(- 3) \cdot (- 2)}{2} \Rightarrow a = 3

Logo, a = 3 e b = − 2.

Página oitenta

Atividades – página 167

18. a) éfe de xis = − x2

x_{v} = \frac{- 0}{2 \cdot (- 1)} = 0

yv = − 02 = 0

V(0, 0)

Concavidade voltada para baixo

x	y	(x, y)
−3	−9	(−3, −9)
−2	−4	(−2, −4)
0	0	(0, 0)
2	−4	(2, −4)
3	−9	(3, −9)

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 3 a 3. Eixo y, pontos de menos 9 a 0. Parábola com a concavidade virada para baixo passa pelos pares: (menos 3, menos 9), (menos 2, menos 4), (0, 0), (2, menos 4), (3, menos 9).

b) gê de xis = x2 − 9

x_{v} = \frac{- 0}{2 \cdot 1} = 0

yv = 02 − 9 = − 9

V(0, − 9)

Concavidade voltada para cima

x	y	(x, y)
−2	−5	(−2, −5)
−1	−8	(−1, −8)
0	−12	(0, −9)
1	−8	(1, −8)
2	−5	(2, −5)

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 4 a 4. Eixo y, pontos de menos 10 a 0. Parábola com a concavidade virada para cima passa pelos pares: (menos 2, menos 5), (menos 1, menos 8), (0, menos 9), (1, menos 8), (2, menos 5).

c) agá de xis = − x2 + 4

x_{v} = \frac{- 0}{2 \cdot (- 1)} = 0

yv = 02 + 4 = 4

V(0, 4)

Concavidade voltada para baixo

x	y	(x, y)
−2	0	(−2, 0)
−1	3	(−1, 3)
0	4	(0, 4)
1	3	(1, 3)
2	0	(2, 0)

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 2 a 2. Eixo y, pontos de 0 a 4. Parábola com a concavidade virada para baixo passa pelos pares: (menos 2, 0), (menos 1, 3), (0, 4), (1, 3), (2, 0).

d) s(x) = x2 − 4x

x_{v} = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 1} = 2

yv = (2)2 − 4 ⋅ 2 = − 4

V(2, −4)

Concavidade voltada para cima.

x	y	(x, y)
0	0	(0, 0)
1	−3	(1, −3)
2	−4	(2, −4)
3	−3	(3, −3)
4	0	(4, 0)

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 2 a 4. Eixo y, pontos de menos 4 a 4. Parábola com a concavidade virada para cima passa pelos pares: (0, 0), (1, menos 3), (2, menos 4), (3, menos 3), (4, 0).

e) tê de xis = x2 − 6x + 10

x_{v} = \frac{- (- 6)}{2 \cdot 1} = 3

yv = 32 − 6 ⋅ 3 + 10 = 1

V(3, 1)

Concavidade voltada para cima.

x	y	(x, y)
1	5	(1, 5)
2	2	(2, 2)
3	1	(3, 1)
4	2	(4, 2)
5	5	(5, 5)

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de 0 a 6. Eixo y, pontos de 0 a 10. Parábola com a concavidade virada para cima passa pelos pares: (1, 5), (2, 2), (3, 1), (4, 2), (5, 5).

f) u(x) = − x2 + 4x − 5

x_{v} = \frac{- 4}{2 \cdot (- 1)} = 2

yv = − 22 + 4 ⋅ 2 − 5 = − 1

V(2, − 1)

Concavidade para baixo

x	y	(x, y)
2	−5	(0, −5)
1	−2	(1, −2)
2	−1	(2, −1)
3	−2	(3, −2)
4	−5	(4, −5)

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de 0 a 4. Eixo y, pontos de menos 6 a 0. Parábola com a concavidade virada para baixo passa pelos pares: (0, menos 5), (1, menos 2), (2, menos 1), (3, menos 2), (4, menos 5).

19.

x	y	(x, y)
−2	4	−4
−1	1	−1
0	0	0
1	1	−1
2	4	−4

Página oitenta e um

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 2 a 2. Eixo y, pontos de menos 4 a 4. Parábola f com a concavidade virada para cima e parábola g com a concavidade virada para baixo, os vértices de ambas passam em 0.

As funções são simétricas em relação ao eixo x.

20. Podemos representar as funções em um mesmo plano conforme indicado a seguir:

Ilustração. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 3 a 3. Eixo y, pontos de menos 2 a 4. De hora para dento, no centro dos eixos, parábolas com as concavidades viradas para cima: b, t, f, h, m.

Espera–se que os estudantes observem que o valor de c faz com que o gráfico éfe de xis = x2 seja deslocado verticalmente para cima (quando c > 0) ou para baixo (quando c < 0).

Atividades – páginas 168 e 169

21. a)

x_{v} = \frac{- 5}{2 \cdot (- 2)} = \frac{5}{4}

x_{v} = \frac{- 11}{2 \cdot (- 1)} = \frac{11}{2}

22. Podemos observar se a função terá valor máximo ou mínimo por meio do valor do coeficiente a.

x_{v} = \frac{0}{2 \cdot 1} = 0

f(xverdadeirofecha parênteses = f(0) = 02 − 64 = − 64

a > 0, assim, valor mínimo: − 64

x_{v} = \frac{- 4}{2 \cdot (- 4)} = \frac{1}{2}

f (x_{v}) = f (\frac{1}{2}) = - 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 = - 1 + 2 - 1 = 0

a < 0, assim, valor máximo: 0

x_{v} = \frac{- 3}{2 \cdot (- 1)} = \frac{3}{2}

f (x_{v}) = f (\frac{3}{2}) = {- (\frac{3}{2})}^{2} + 3 \cdot \frac{3}{2} = - \frac{9}{4} + \frac{9}{2} = \frac{- 9 + 18}{4} = \frac{9}{4}

a < 0, assim, valor máximo:

\frac{9}{4}

x_{v} = \frac{- (- 1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}

f (x_{v}) = f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1 - 2 - 24}{4} = - \frac{25}{4}

a > 0, assim, valor mínimo:

- \frac{25}{4}

x_{v} = \frac{- 5}{2 \cdot (- 1)} = \frac{5}{2}

f (x_{v}) = f (\frac{5}{2}) = - {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 \cdot \frac{5}{2} - 7 = \frac{- 25 + 50 - 28}{4} = - \frac{3}{4}

a < 0, assim, valor máximo:

- \frac{3}{4}

x_{v} = \frac{- 5}{2 \cdot 2} = - \frac{5}{4}

f (x_{v}) = f (- \frac{5}{4}) = {2 \cdot (- \frac{5}{4})}^{2} + 5 \cdot (- \frac{5}{4}) = \frac{25}{8} - \frac{25}{4} =

= \frac{25 - 50}{8} = - \frac{25}{8}

a > 0, assim, valor mínimo:

- \frac{25}{8}

23. Se xv = 2, então:

\frac{- (k + 1)}{2 \cdot (- 4)} = 2

Logo, teremos:

− k − 1 = 2 ⋅ (− 8) ⇒ − k = − 16 + 1 ⇒ k = 15

24.

x_{v} = \frac{- (- 2)}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}

f (x_{v}) = 3 \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} - 2 \cdot \frac{1}{3} + p

f (x_{v}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + p

f (x_{v}) = - \frac{1}{3} + p

Como queremos que

f (x_{v}) = \frac{5}{3}

, teremos:

- \frac{1}{3} + p = \frac{5}{3} \Rightarrow p = \frac{6}{3} \Rightarrow p = 2

25. a. O alcance será dado pelo valor de x onde o projétil retorna ao solo, ou seja, uma raiz da função; assim, temos:

100x − 2 x2 = 0 ⇒ x(100 − 2x) = 0

Assim:

x = 0 (momento do lançamento) ou 100 − 2x = 0 ⇒

⇒ 2x = 100 ⇒ x = 50 (momento da queda).

Assim, o alcance do lançamento é de 50 métros.

b) Se y = 100x − 2x2, então:

x_{v} = \frac{- 100}{2 \cdot (- 2)} = 25

Quando x = 25, teremos:

y = 100 ⋅ 25 − 2 ⋅ (25)2 ⇒ y = .2500 − .1250 ⇒ y = .1250

A medida da altura máxima será de .1250 métros.

26. a) Se g(t) = t2 – 4t + 3, então para saber quais valores de t em que g(t) = 0, fazemos:

t2 – 4t + 3 = 0

t = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}

t_{1} = \frac{4 - 2}{2} = 1

t_{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3

A medida da temperatura é igual a 0° C em dois momentos: após uma hora e 3 horas que a câmara é ligada.

b) Para encontramos a menor medida da temperatura, fazemos:

t_{v} = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 1} = 2

Então, calculamos g(tverdadeirofecha parênteses:

g(2) = 22 − 4 ⋅ 2 + 3 = 4 − 8 + 3 = − 1

Portanto, a menor medida da temperatura é –1° C.

Página oitenta e dois

27. Considerando a função N(t) = 280 + 120t − 10t2, teremos:

t_{v} = \frac{- 120}{2 \cdot (- 10)} = 6

N(6) = 280 + 120 ⋅ 6 − 10 ⋅ 62 = 280 + 720 − 360 = 640

Como norteabre parênteses tfecha parênteses corresponde a milhares de pessoas, a maior quantidade foi de .640000 infectados.

b) Para que N(t) = 0, teremos:

280 + 120t − 10 t2 = 0

t = \frac{- 120 \pm \sqrt{120^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 280}}{2 \cdot (- 10)} =

= \frac{- 120 \pm \sqrt{14 400 + 11 200}}{- 20} =

= \frac{- 120 \pm \sqrt{25 600}}{- 20} = \frac{- 120 \pm 160}{- 20}

t_{1} = \frac{- 120 - 160}{- 20} = \frac{- 280}{- 20} = 14

t_{2} = \frac{- 120 + 160}{- 20} = \frac{40}{- 20} = - 2

Como o número de semanas só pode ser positivo, a epidemia foi controlada depois de 14 semanas.

28. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes elaborem um problema que envolva uma função quadrática que represente um lançamento oblíquo de um objeto.

29. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes sigam as orientações para elaboração dos problemas a serem resolvidos nas diferentes duplas. Pode-se orientar os estudantes a utilizarem softwares de construção de gráficos para esquematizar funções afim e funções quadráticas que satisfaçam as necessidades pedidas para a elaboração do problema, gerando gráficos com diferentes visualizações de escala para utilização no enunciado.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – páginas 170 e 171

1. a) f(− 1) = ( −1)2 − 3 ⋅ (− 1) + 2 = 6

b) éfe de três = 32 − 3 ⋅ 3 + 2 = 2

c) f(0) = 02 − 3 ⋅ 0 + 2 = 2

f(− 2) = (− 2)2 − 3 ⋅ (− 2) + 2 = 12

f(0) + f(− 2) = 2 + 12 = 14

d) f(1) = 12 − 3 ⋅ 1 + 2 = 0

f(2) = 22 − 3 ⋅ 2 + 2 = 0

f(0) = 02 − 3 ⋅ 0 + 2 = 2

Logo, teremos:

\frac{f (1) + f (2)}{f (0)} = \frac{0 + 0}{2} = 0

2. Para que éfe de xis = 3, devemos ter:

x2 − 4x + 3 = 3

x2 − 4x = 0

x(x − 4) = 0

x = 0 ou x = 4

3. Com essas medidas das dimensões, teremos:

A(x) = (x + 4)(x − 3)

A(x) = x2 + x − 12

Sendo x um número real tal que x > 3.

4. a)

y = \frac{(x - 1) (2 x + 2)}{2}

y = \frac{{2 x}^{2} - 2}{2} \Rightarrow y = \frac{2 (x^{2} - 1)}{2}

y = x2 − 1, x é um número real tal que x > 1.

b. Para x = 7, teremos:

y = 72 − 1 = 48

Logo, a medida da área será de 48 métros quadrados.

5. Para que tenha a concavidade voltada para cima, será necessário que:

2p + 8 > 0 ⇒ p > − 4

6. Para que tenha a concavidade voltada para baixo, será necessário que:

5 - 3 q < 0 \Rightarrow - q < - \frac{5}{3} \Rightarrow q > \frac{5}{3}

7. a) x2 − 8x + 7 = 0

x = \frac{- (- 8) \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2}

x_{1} = \frac{8 - 6}{2} = 1

x_{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7

Os zeros da função são 1 e 7.

b) x2 − 36 = 0

x^{2} = 36 \Rightarrow x = \pm \sqrt{36}

x1 = − 6 e x2 = 6

Os zeros da função são –6 e 6.

c) x2 − 3x = 0

x(x − 3) = 0

x1 = 0 e x2 = 3

Os zeros da função são 0 e 3.

d) − x2 − 8x − 16 = 0

x = \frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{8 \pm \sqrt{0}}{- 2} = \frac{8}{- 2} = - 4

x1 = x2 = −4

O zero da função é −4.

8. a) ∆ = ( − 6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 36 − 20 = 16

Como ∆ > 0, a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos.

b) ∆ = 62 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ (− 16) = 36 − 64 = − 28

Como ∆ < 0, a parábola não corta o eixo x.

c) ∆ = ( − 2)2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ (− 1) = 4 − 4 = 0

Como ∆ = 0, a parábola tangencia o eixo x em um único ponto.

d) ∆ = 62 − 4 ⋅ 1 ⋅ 8 = 36 − 32 = 4

Como ∆ > 0, a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos.

9. a)

x_{v} = \frac{- 4}{2 \cdot 1} = - 2

f(− 2) = (− 2)2 + 4 ⋅ (− 2) + 1 = 4 − 8 + 1 = − 3

Coordenadas do vértice: (− 2, − 3)

x_{v} = \frac{- 0}{2 \cdot 1} = 0

f(0) = 02 − 25 = − 25

Coordenadas do vértice: (0, − 25)

x_{v} = \frac{- (- 3)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}

f (\frac{3}{2}) = {(\frac{3}{2})}^{2} - 3 \cdot \frac{3}{2} + 2 = \frac{9 - 18 + 8}{4} = - \frac{1}{4}

Coordenadas do vértice:

(\frac{3}{2}, - \frac{1}{4})

Página oitenta e três

x_{v} = \frac{- (- 4)}{2 \cdot (- 1)} = - 2

f(−2) = − (−2)2 −4 ⋅ (−2) − 4 = −4 + 8 − 4 = 0

Coordenadas do vértice: (−2, 0)

10. Pelo gráfico, observamos alguns pontos que pertencem a essa função. Por exemplo, (3, 0), (− 1, 0), (0, − 3), (1, − 4).

De outra fórma, podemos escrever que:

éfe de três = 0

f(− 1) = 0

f(1) = − 4

Então, podemos utilizar essas informações para encontrar os coeficientes que são desconhecidos.

Se f(3) = 0, então:

a ⋅ 32 + b ⋅ 3 − 3 = 0 ⇒ 9a + 3b − 3 = 0 um

Se f(− 1) = 0, então:

a ⋅ (− 1)2 + b ⋅ (− 1) − 3 = 0 ⇒ a − b − 3 = 0 dois

Comparando um e dois, podemos escrever que:

9a + 3b − 3 = a − b − 3

9a − a = − b − 3b ⇒ 8a = − 4b ⇒ − 2a = b três

Sabemos também que f(1) = − 4, logo:

a ⋅ 12 + b ⋅ 1 − 3 = − 4

a + b = − 1 ⇒ b = − 1 − a quatro

Igualando três e quatro, teremos:

− 2a = − 1 − a ⇒ − a = − 1 ⇒ a = 1

Assim, podemos encontrar o valor de b:

b = − 2 ⋅ 1 = − 2

Portanto, y = x2 − 2x − 3.

11. Como

x_{v} = \frac{- b}{2 a}

x_{v} = \frac{7}{2}

, teremos que:

\frac{- b}{2 a} = \frac{7}{2} \Rightarrow - 2 b = 14 a \Rightarrow b = - 7 a (I)

Sabemos também que, para

x = \frac{7}{2}

, teremos

y = - \frac{1}{4}

, logo é válido que:

- \frac{1}{4} = a \cdot {(\frac{7}{2})}^{2} + b \cdot \frac{7}{2} + 12

Usando um, teremos:

- \frac{1}{4} = a \cdot {(\frac{7}{2})}^{2} + (- 7 a) \cdot \frac{7}{2} + 12

- \frac{1}{4} - 12 = \frac{49 a}{4} - \frac{49 a}{2}

\frac{- 1 - 48}{4} = \frac{49 a - 98 a}{4}

\frac{- 49}{4} = \frac{- 49 a}{4} \Rightarrow a = 1

Como b = − 7a, então b = − 7 e a função será

y = x2 − 7x + 12.

12. a) um. Zeros da função

x2 − 8x + 15 = 0

x = \frac{- (- 8) \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2}

x_{1} = \frac{8 - 2}{2} = 3

x_{2} = \frac{8 + 2}{2} = 5

dois. Vértice

x_{v} = \frac{- (- 8)}{2 \cdot 1} = 4

yv = 42 − 8 ⋅ 4 + 15 = 16 − 32 + 15 = − 1

V(4, − 1)

três. Ponto que corta o eixo das ordenadas

Se x = 0, y = 02 − 8 ⋅ 0 + 15 = 15

Ponto (0, 15)

quatro. Gráfico

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de 0 a 7. Eixo y, pontos de menos 1 a 5.
Parábola com a concavidade virada para cima corta o eixo x em 3 e 5.

b) um. Zeros da função

− x2 + 10x − 24 = 0

x = \frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)} = \frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{- 2} = \frac{- 10 \pm 2}{- 2}

x_{1} = \frac{- 10 - 2}{- 2} = 6

x_{2} = \frac{- 10 + 2}{- 2} = 4

dois. Vértice

x_{v} = \frac{- 10}{2 \cdot (- 1)} = 5

y_{v} = {- 5}^{2} + 10 \cdot 5 - 24 = 1

V(5, 1)

três. Ponto que corta o eixo das ordenadas

Se x = 0, y = −02 + 10 ⋅ 0 − 24 = −24

Ponto (0, − 24)

quatro. Gráfico

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de 0 a 7. Eixo y, pontos de menos 3 a 2. Parábola com a concavidade virada para baixo corta o eixo x em 4 e 6.

c) um. Zeros da função

x2 − 2x = 0

x(x − 2) = 0

x1 = 0 e x2 = 2

dois. Vértice

x_{v} = \frac{- (- 2)}{2 \cdot 1} = 1

y_{v} = 1^{2} - 2 \cdot 1 = - 1

V(1, − 1)

três. Ponto que corta eixo das ordenadas

Se x = 0, y = 02 − 2 ⋅ 0 = 0

Ponto (0, 0)