Página oitenta e quatro

Parte 6

quatro. Gráfico

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 2 a 3. Eixo y, pontos de menos 1 a 5. Parábola com a concavidade virada para cima corta o eixo x em 0 e 2.

d) um. Zeros da função

‒ x2 + 4 = 0

‒ x2 = ‒ 4

x2 = 4

x_{1} = ‒ \sqrt{4} = ‒ 2

x_{2} = \sqrt{4} = 2

dois. Vértice

x_{v} = \frac{‒ 0}{2 \cdot (‒ 1)} = 0

y_{v} = {‒ 0}^{2} + 4 = 4

V(0, 4)

três. Ponto que corta eixo das ordenadas

Se x = 0, y = ‒02 + 4 = 4

Ponto (0, 4)

quatro. Gráfico

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 3 a 3. Eixo y, pontos de menos 2 a 4. Parábola com a concavidade virada para baixo corta o eixo x em menos 2 e 2.

13. a)

x_{v} = \frac{‒ (‒ 6)}{2 \cdot (‒ 1)} = ‒ 3

f (‒ 3) = ‒ (‒ 3)2 ‒ 6 ⋅ (‒ 3) + 7 = 16

a < 0, então f tem valor máximo 16.

x_{v} = \frac{0}{2 \cdot (‒ 1)} = 0

f (0) = ‒ 02 + 121 = 121

a < 0, então f tem valor máximo 121.

x_{v} = \frac{‒ (‒ 20)}{2 \cdot 1} = 10

f (10) = 102 ‒ 20 ⋅ 10 = ‒ 100

a > 0, então f tem valor mínimo ‒100.

x_{v} = \frac{‒ (‒ 12)}{2 \cdot 1} = 6

f (6) = 62 ‒ 12 ⋅ 6 + 36 = 0

a > 0, então f tem valor mínimo 0.

14. Como f(x) = ‒ 3 x2 + (2k + 7)x + 2 e xv = 4, teremos:

\frac{‒ (2 k + 7)}{2 \cdot (‒ 3)} = 4

2k + 7 = 4 ⋅ 6 = 24

2k = 17 ⇒ k = 8,5

15. a) Se f(x) = ‒ x2 + 104x + 120, teremos:

x_{v} = \frac{‒ 104}{2 \cdot (‒ 1)} = 52

Logo, para atingir a receita máxima, o número de passageiros deve ser igual a 52.

b) Calculamos f(52):

f (52) = ‒ 522 + 104 ⋅ 52 + 120 = ‒ .2704 + .5408 + 120 = .2824

A receita máxima é R$ 2.824,00dois mil oitocentos e vinte e quatro reais.

É hora de extrapolar – páginas 172 e 173

1. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes, por meio dos questionamentos dos três itens, reflitam a respeito do papel da tecnologia nas suas vidas e nos seus contextos sociais.

2. a) Sim, são exemplos de tecnologia.

b) Resposta pessoal.

c) Respostas pessoais; dependem das respostas anteriores.

3. Espera-se que os estudantes apresentem as linhas do tempo construídas. Auxilie e oriente as apresentações, fazendo comentários sobre os inventos escolhidos.

4. Exemplo de resposta: a Matemática está presente nas medidas (medidas de tempo, de capacidade de armazenamento, de voltagem etcétera), no formato dos aparelhos e também em seus softwares, uma vez que muitos deles são desenvolvidos por meio de algoritmos escritos em determinada linguagem de programação e que levam em consideração as ideias de função e de variável.

5. Respostas pessoais. Espera-se que os alunos respondam afirmativamente.

6. a) Como h(x) = ‒ x2 + 3x, então:

‒ x2 + 3x = 2

‒ x2 + 3x ‒ 2 = 0

x = \frac{‒ 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (‒ 1) \cdot (‒ 2)}}{2 \cdot (‒ 1)} = \frac{‒ 3 \pm \sqrt{1}}{‒ 2} = \frac{‒ 3 \pm 1}{‒ 2}

x_{1} = \frac{‒ 3 + 1}{‒ 2} = 1

x_{2} = \frac{‒ 3 - 1}{‒ 2} = 2

A altura mede 2 metros em dois momentos: após 1 segundo do lançamento e após 2 segundos do lançamento.

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 2 a 5. Eixo y, pontos de menos 2 a 3. Gráfico com a concavidade virada para baixo toca o eixo x em 0 e 3.

x_{v} = \frac{‒ 3}{2 \cdot (‒ 1)} = \frac{3}{2} = 1,5

h(1,5) = ‒ (1,5)2 + 3 ⋅ 1,5 = 2,25

Portanto, ele atingirá a medida de altura máxima de 2,25 metros após 1,5 segundo do lançamento.

7. Os estudantes devem escolher um invento tecnológico da atividade 2 e em grupos realizar uma pesquisa. Essa pesquisa deve conter: explicações sobre o funcionamento, período e autor do invento e a utilidade do invento.

Página oitenta e cinco

8. Os estudantes deverão fazer o planejamento da construção de um modelo do invento, podendo utilizar materiais diversos, como sucata.

9. Os estudantes deverão realizar a construção do modelo do invento e elaborar um texto com as informações obtidas na pesquisa.

10. Os grupos devem fazer parceria de dois em dois a fim de apresentarem seu modelo de invento e as informações sobre ele e assistir à apresentação do grupo parceiro, analisando as informações e a qualidade do modelo.

11. Oriente os alunos a fazer as anotações de dúvidas, opiniões e sugestões dos grupos.

12. Os estudantes poderão fazer os ajustes pertinentes no modelo e nas informações e todos farão a apresentação para a turma.

13. Oriente os estudantes a organizarem uma exposição dos modelos e dos textos para a comunidade escolar.

14. a. Resposta pessoal.

b) Respostas pessoais.

15. Oriente os alunos a construir um texto descrevendo o processo de pesquisa do invento tecnológico, planejamento e produção do modelo e análise e divulgação do modelo.

Capítulo 7 – Relações métricas no triângulo retângulo

Trocando ideias – página 175

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes verifiquem que os equipamentos de proteção individual (ê pê í) protegem metalúrgicos de acidentes diversos, que podem gerar danos a longo prazo para a saúde.

• Respostas possíveis: Triângulo escaleno (as medidas dos comprimentos dos lados são diferentes) ou triângulo retângulo (tem um ângulo interno cuja medida da abertura é igual a 90graus).

• Espera-se que os estudantes identifiquem que (3 centímetros)2 + (4 centímetros)2 = (5 centímetros)2.

Atividades – páginas 176 e 177

1. a)

Ilustração. Reta horizontal r com ponto A linha à esquerda. Acima de A linha, segmento de reta vertical com ponto E na parte superior e ponto F na parte inferior. Tracejado liga o segmento de reta à reta r no ponto A linha. Ângulo reto em A linha é formado pelo tracejado e a reta r. O ponto A linha é a projeção ortogonal procurada.

O ponto á' é a projeção ortogonal procurada.

Ilustração. Reta diagonal r com ponto C e D linha. Ponto D fora da reta r. Segmento de reta liga os pontos C e D. Linha tracejada liga os pontos D e D linha. Ângulo reto em D linha é formado pelo tracejado e a reta r.
O segmento C D linha é a projeção ortogonal procurada.

O segmento

\bar{C D ’}

é a projeção ortogonal procurada.

2. Observando as representações, temos como respostas:

\bar{B D}

b) Respectivamente

\bar{B D}

\bar{C D}

\bar{C B}

d) Respectivamente D e

\bar{B C} .

Um pouco de história – página 183

a) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes utilizem diferentes tipos de suporte para pesquisa, como livros e consultas à internet, para responder ao que se pede.

Tecnologias digitais em foco – página 184

a) A medida de área do quadrado maior é menor que a soma das medidas de área dos quadrados menores.

b) A medida de área do quadrado maior é maior que a soma das medidas de área dos quadrados menores.

c) A medida de área do quadrado maior é igual à soma das medidas de área dos quadrados menores, ou seja, vale o teorema de Pitágoras.

Atividades – página 185

3. Utilizando as relações métricas no triângulo retângulo, podemos calcular o que se pede em cada item:

a) x2 = 5 ⋅ 15

Como x > 0, temos:

x = \sqrt{3 \cdot 5^{2}} \Rightarrow x = 5 \sqrt{3}

b) Seja a a medida do comprimento da hipotenusa, teremos:

a2 = 302 + 402

Como a > 0, temos:

a = \sqrt{2500} \Rightarrow a = 50

30 ⋅ 40 = 50 ⋅ x

x = \frac{30 \cdot 40}{50} \Rightarrow x = 24

c) x2 = 18 ⋅ 8

Como x > 0, temos:

x = \sqrt{144} \Rightarrow x = 12

{(\sqrt{38})}^{2} = 6^{2} + x^{2}

x2 = 38 ‒ 36

Como x > 0, temos:

x = \sqrt{2}

4. Podemos utilizar o teorema de Pitágoras para determinar os valores de x, y e z. Como correspondem a medidas de comprimento, todos são positivos.

162 = 82 + x2

x2 = 256 ‒ 64 = 192

Como x > 0, então:

x = \sqrt{2^{6} \cdot 3} \Rightarrow x = 8 \sqrt{3}

y^{2} = 12^{2} + {(8 \sqrt{3})}^{2}

y^{2} = 144 + 192 = 336

Como y > 0, então:

y = \sqrt{2^{4} \cdot 3 \cdot 7} \Rightarrow y = 4 \sqrt{21}

{(4 \sqrt{21})}^{2} = 4^{2} + z^{2}

z² = 336 ‒ 16 = 320

Como z > 0, então:

z = \sqrt{2^{6} \cdot 5} \Rightarrow z = 8 \sqrt{5}

Página oitenta e seis

5. Sejam x e (40 ‒ x) as medidas de comprimento das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa, temos:

Figura geométrica. Triângulo retângulo com lados cujos comprimentos medem a, b, e 40. Há um segmento de reta tracejado, perpendicular ao lado 40, indicando a altura do triângulo, cuja medida é 19 vírgula 2. O segmento de reta divide o lado cujo comprimento mede 40 em duas partes, uma cujo comprimento mede x e uma cujo comprimento mede 40 menos x.

Então, podemos escrever a seguinte relação:

19,22 = x ⋅ (40 ‒ x)

x2 ‒ 40x + 368,64 = 0

x = \frac{40 \pm \sqrt{1 6 00 ‒ 1 4 74,56}}{2} \Rightarrow x = \frac{40 \pm 11,2}{2}

x_{1} = \frac{40 + 11,2}{2} \Rightarrow x_{1} = 25,6

x_{2} = \frac{40 - 11,2}{2} \Rightarrow x_{2} = 14,4

Assim, se x = 25,6, temos:

Figura geométrica. Triângulo retângulo igual ao anterior. Agora com a medida x substituída por 25 vírgula 6 e a medida 40 menos x substituída por 14 vírgula 4.

Então, teremos as mesmas medidas no caso de x = 14,4.

Logo, podemos encontrar os valores de a e de b, usando as relações:

a2 = 19,22 + 25,62

a2 = .1024

Como a > 0, temos: a = 32

b2 = 19,22 + 14,42

b2 = 576

Como b > 0, temos: b = 24

Portanto, as medidas de comprimento dos catetos são 32 métros e 24 métros.

6. Indicando por h a medida da altura do muro, temos:

42 = h2 + 2,42

h2 = 16 ‒ 5,76 = 10,24

Como h > 0, então: h = 3,2

O muro mede 3,2 métros de altura.

7. Indicando por x a medida de comprimento do lado do trapézio perpendicular às bases, temos:

x2 + 122 = 132 ⇒ x2 = 25

Como x > 0, então: x = 5

Para calcular a medida do perímetro, fazemos:

5 + 4 + 13 + 16 = 38

Assim, o perímetro mede 38 centímetros.

8. (x + 14)2 = x2 + (x + 7)2

x2 + 28x + 196 = x2 + x2 + 14x + 49

x2 ‒ 14x ‒ 147 = 0

x = \frac{14 \pm \sqrt{784}}{2}

x1 = ‒ 7 e x2 = 21

Como x > 0, consideramos apenas x = 21.

Portanto, as medidas de comprimento x, x + 7 e x + 14 serão,

respectivamente, 21 métros, 28 métros e 35 métros.

9. Indicando por a e b as medidas de comprimento dos catetos, temos:

\frac{b}{a} = \frac{3}{4} \Rightarrow b = \frac{3 a}{4}

Então, podemos utilizar o teorema de Pitágoras:

40^{2} = a^{2} + {(\frac{3 a}{4})}^{2}

1600 = \frac{16 a^{2} + 9 a^{2}}{16}

Como a > 0, temos:

a = \sqrt{\frac{1 600 \cdot 16}{25}} \Rightarrow a = 32

Assim, o comprimento de um cateto mede 32 centímetros e o do outro, 24 centímetros, pois

b = \frac{3}{4} \cdot 32 = 24

10. Nesse triângulo, valem as relações:

b^{2} = a \cdot m \Rightarrow m = \frac{b^{2}}{a}

c^{2} = a \cdot n \Rightarrow n = \frac{c^{2}}{a}

Assim, como queremos saber o valor de

\frac{m}{n}

, fazemos:

\frac{m}{n} = \frac{\frac{b^{2}}{a}}{\frac{c^{2}}{a}} \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{b^{2}}{c^{2}}

Como sabemos que b = 2c, teremos:

\frac{m}{n} = \frac{{(2 c)}^{2}}{c^{2}} \Rightarrow \frac{m}{n} = 4

11. Indicando por h a medida do comprimento da hipotenusa e por a a medida do comprimento de cada cateto, temos:

h2 = a2 + a2 = 2a2

Como h > 0, então:

h = a \sqrt{2}

Logo, a razão

\frac{h}{a}

é:

\frac{a \sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}

12. Com o teorema de Pitágoras, teremos:

c^{2} = 2^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2} = 4 + 12

Como c > 0, então:

c = \sqrt{16} \Rightarrow c = 4

Considerando que, em um triângulo, a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos é igual a 180graus, teremos:

90 ° = 2 \cdot m e d (\hat{B}) + m e d (\hat{B}) \Rightarrow m e d (\hat{B}) = 30 °

Como

m e d (\hat{A}) = 2 \cdot m e d (\hat{B})

, então

m e d (\hat{A}) = 2 \cdot 30 ° = 60 °

Assim, teremos c = 4 centímetros,

m e d (\hat{A}) = 60 °

m e d (\hat{B}) = 30 °

Atividades – página 187

13.

d = 17 \sqrt{2} c m

14. Se o quadrado tem 400 centímetros quadrados de medida de área, então a medida do comprimento do seu lado é de 20 centímetros.

Logo,

d = 20 \sqrt{2}

centímetros.

15. Sendo d a medida do comprimento da diagonal de um quadrado e a a medida do comprimento de seu lado, como já sabemos que d = 10, fazemos:

10 = a \sqrt{2}

a = \frac{10}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \Rightarrow a = \frac{10 \sqrt{2}}{2} \Rightarrow a = 5 \sqrt{2}

Assim, o comprimento do lado desse quadrado mede

5 \sqrt{2} c m

16. Se o perímetro mede

10 \sqrt{2}

centímetros, podemos afirmar que o comprimento do lado do quadrado mede

\frac{5 \sqrt{2}}{2}

centímetros, então:

d = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} \Rightarrow d = \frac{10}{2} \Rightarrow d = 5

Logo, o comprimento da diagonal mede 5 centímetros.

Página oitenta e sete

17. Indicando por d a medida do comprimento da diagonal do retângulo, temos:

d 2 = x2 + (3x)2 = 10 x2

Como d > 0 e x > 0, temos:

d = x \sqrt{10}

;

18.

h = \frac{8 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow h = 4 \sqrt{3}

Logo, o comprimento da altura desse triângulo mede

4 \sqrt{3} c m

19. Se o perímetro mede 12 centímetros, o comprimento de cada lado medirá 4 centímetros; encontramos a medida de comprimento da altura fazendo:

h = \frac{4 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow h = 2 \sqrt{3}

Ou seja, o comprimento da altura desse triângulo mede

2 \sqrt{3} c m

20. Seja a a medida de comprimento do lado do triângulo equilátero, temos:

4 \sqrt{5} = \frac{a \sqrt{3}}{2}

a = \frac{8 \sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \Rightarrow a = \frac{8 \sqrt{15}}{3}

Então, o perímetro desse triângulo, em centímetros, medirá:

3 \cdot \frac{8 \sqrt{15}}{3} = 8 \sqrt{15}

21. Exemplo de resposta:

Chamando a a medida da área do quadrado EFGH, podemos verificar que:

A = a^{2} ‒ 4 \cdot \frac{b \cdot c}{2}

Pelo teorema de Pitágoras, temos:

A = (b2 + c2) ‒ 2bc

A = (b ‒ c)2

22. Considerando EG = x e EC = y, teremos:

x^{2} = {2,4}^{2} + {1,8}^{2} \Rightarrow x^{2} = 9 \overset{x > 0}{\Rightarrow} x = 3

y^{2} = 3^{2} + 1^{2} \overset{y > 0}{\Rightarrow} y = \sqrt{10}

Portanto, EG = 3 métros e

E C = \sqrt{10} m

23. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

• Quantas diagonais podemos traçar na superfície do cubo e em seu interior?

Resposta esperada: 12 diagonais na superfície e 4 diagonais internas.

• As medidas de comprimento das diagonais

\bar{A H}

\bar{A D}

são iguais? Calcule-as.

Resposta esperada: Não são iguais;

A H = 2 \sqrt{2} c m

, e

A D = 2 \sqrt{3} c m

Atividades – página 192

24. a)

s e n c = \frac{A B}{C B} = \frac{12}{13}

cos b = \frac{A B}{C B} = \frac{12}{13}

t g b = \frac{A C}{A B} = \frac{5}{12}

s e n b = \frac{A C}{B C} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

cos b = \frac{A B}{B C} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

t g c = \frac{A B}{A C} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

s e n b = \frac{A C}{B C} = \frac{5}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

cos b = \frac{A B}{B C} = \frac{5}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

t g b = \frac{s e n b}{\cos b} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1

s e n x = \frac{Y Z}{X Z} = \frac{8}{4 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}

cos z = \frac{Y Z}{X Z} = \frac{8}{4 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}

t g x = \frac{Y Z}{X Y} = \frac{8}{4} = 2

s e n o = \frac{N P}{O P} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}

cos p = \frac{N P}{O P} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}

t g p = \frac{O N}{N P} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}

s e n r = \frac{T S}{R T} = \frac{1,6}{2} = 0,8

cos t = \frac{T S}{R T} = \frac{1,6}{2} = 0,8

t g t = \frac{R S}{S T} = \frac{1,2}{1,6} = 0,75

25. Segundo as informações, devemos ter

\frac{h}{a} ⩽ 0,0833

\frac{h}{2,5} ⩽ 0,0833 \Rightarrow h ⩽ 0,20825

Assim, a altura máxima deve medir 0,20825 métros.

\frac{25}{a} ⩽ 0,0833 \Rightarrow \frac{25}{0,0833} ⩽ a o u

a ⩾ 300,12 centímetros = 3,0012 métros

Assim, a medida mínima de afastamento deve ser 3,0012 métros.

Atividades – página 195

26. a)

t g 45 ° = \frac{x}{20} \Rightarrow 1 = \frac{x}{20} \Rightarrow x = 20

cos 45 ° = \frac{20}{y} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{20}{y} \Rightarrow

\Rightarrow y = \frac{40}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \Rightarrow y = 20 \sqrt{2}

s e n 60 ° = \frac{x}{100} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{100} \Rightarrow

\Rightarrow x = \frac{100 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = 50 \sqrt{3}

cos 60 ° = \frac{y}{100} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{y}{100} \Rightarrow y = 50

s e n 30 ° = \frac{2}{x} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{2}{x} \Rightarrow x = 4

t g 30 ° = \frac{2}{y} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{y} \Rightarrow y = \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \Rightarrow y = 2 \sqrt{3}

27.

s e n 60 ° = \frac{h}{80} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{80} \Rightarrow h = 40 \sqrt{3}

t g 30 ° = \frac{h}{m} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{40 \sqrt{3}}{m} \Rightarrow m = \frac{3 \cdot 40 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \Rightarrow m = 120

cos 60 ° = \frac{n}{80} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{n}{80} \Rightarrow n = 40

x = m + n ⇒ x = 160

Página oitenta e oito

28. No quadrado a bê cê dê, seja CB = x:

s e n 45 ° = \frac{x}{6 \sqrt{2}} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{x}{6 \sqrt{2}} \Rightarrow x = 6

No triângulo á bê cê, seja CH = y:

s e n 60 ° = \frac{y}{5} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{y}{5} \Rightarrow y = \frac{5 \sqrt{3}}{2}

Logo, a medida do comprimento do lado do quadrado a bê cê dê mede 6 métros e o comprimento da altura

\bar{C H}

do triângulo á bê cê mede

\frac{5 \sqrt{3}}{2}

centímetros.

29. Considerando CB = x, teremos no △bê cê dê

t g 45 ° = \frac{h}{x} \Rightarrow 1 = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x

No △ ACD, teremos:

t g 30 ° = \frac{h}{600 + x} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{600 + h}

3 h = 600 \sqrt{3} + \sqrt{3} h \Rightarrow (3 - \sqrt{3}) h = 600 \sqrt{3}

h = \frac{600 \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3})} \cdot \frac{(3 + \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})} \Rightarrow h = \frac{600 \cdot 3 \sqrt{3} + 600 \cdot 3}{9 - 3}

h = \frac{600}{6} \cdot (3 + 3 \sqrt{3}) \Rightarrow h = 300 (1 + \sqrt{3})

Logo, h mede

300 (1 + \sqrt{3}) m

Atividades – página 198

30. Observando a tabela trigonométrica, temos:

a) 0,292

b) 0,999

c) 0,488

d) 0,682

e) 0,788

f) 1,192

g) 0,970

h) 28,636

31. Observando a tabela trigonométrica, temos:

a) a = 7graus

b) a = 70graus

c) a = 35graus

d) a = 56graus

e) a = 10graus

f) a = 81graus

g) a = 39graus

h) a = 60graus

32. a)

s e n 25 ° = \frac{5}{x} \Rightarrow x = \frac{5}{0,423} \Rightarrow x ≃ 11,82

t g 25 ° = \frac{5}{y} \Rightarrow y = \frac{5}{0,466} \Rightarrow y ≃ 10,73

s e n 40 ° = \frac{x}{2} \Rightarrow 0,643 = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 1,286

cos 40 ° = \frac{y}{2} \Rightarrow 0,766 = \frac{y}{2} \Rightarrow y = 1,532

Atividades – páginas 200 e 201

33. Se chamarmos de x a medida aproximada da altura do mastro, em métros, teremos:

t g 38 ° = \frac{x - 1, 70}{80} \Rightarrow 0, 781 = \frac{x - 1, 70}{80} \Rightarrow

\Rightarrow x = 80 \cdot 0, 781 + 1, 70 \Rightarrow x = 64, 18

Logo, a medida aproximada do comprimento da altura do mastro é 64,18 métros.

34. Indicando por x a medida da distância da torre a praia, temos:

t g 45° = \frac{50}{x} \Rightarrow 1 = \frac{50}{x} \Rightarrow x = 50

Portanto, a distância da torre à praia mede 50 metros.

35. Seguindo o esquema, teremos:

t g 30 ° = \frac{5}{x} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5}{x} \Rightarrow x = \frac{5 \cdot 3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = 5 \sqrt{3}

Portanto, a distância deve medir

5 \sqrt{3} m

36. Se considerarmos que a altura, em quilômetros, mede x, teremos:

s e n 30 ° = \frac{x}{8} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{x}{8} \Rightarrow x = 4

Portanto, o foguete estará a 4 quilômetros de medida de altura.

37. Seguindo o esquema, teremos:

tangente de 60graus

= \frac{40 \sqrt{3}}{x} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{40 \sqrt{3}}{x} \Rightarrow x = \frac{40 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = 40

Portanto, o comprimento da sombra projetada mede 40 métros

38. Observando a tabela trigonométrica, concluímos que a medida da inclinação máxima é 3graus.

Atividades – páginas 204 e 205

39. a) AB = 3 ‒ (‒ 1) ⇒ AB = 4 unidades de medida de comprimento.

b) AB = 0 ‒ (‒ 2) ⇒ AB = 2 unidades de medida de comprimento.

c) (AB)2 = [2 ‒ (‒ 1)]2 + [1 ‒ (‒ 2)]2 ⇒

⇒ (AB)2 = 9 + 9 = 18

Como AB > 0, temos:

A B = 3 \sqrt{2}

unidades de medida de comprimento.

40. a)

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x, com intervalo de menos 1 a 3. Eixo y com intervalo de menos 1 a 4. Retângulo ABCD azul cujos vértices são formados pelos pontos: A (menos 1, menos 1), B (menos 1, 3), C(2, 3), D (2, menos 1).

b) a bê cê dê é um retângulo.

c) AB = CD = 3 ‒ (‒ 1) = 4

BC = AD = 2 ‒ (‒ 1) = 3

Medida de perímetro: 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 = 14 unidades de medida de comprimento.

41. (AB)2 = (AC)2 + (BC)2

(AB)2 = (5 ‒ 1)2 + (5 ‒ 1)2 = 16 + 16

Como AB > 0, temos:

A B = \sqrt{32} \Rightarrow A B = 4 \sqrt{2}

unidades de medida de comprimento.

42. a) A(0,3); B(2,4); C(3,2); D(1,1)

b) Seja u a unidade de medida de comprimento, temos:

{(A B)}^{2} = {(2 - 0)}^{2} + {(4 - 3)}^{2} \overset{A B > 0}{\Rightarrow} A B = \sqrt{5} u

{(B C)}^{2} = {(3 - 2)}^{2} + {(4 - 2)}^{2} \overset{B C > 0}{\Rightarrow} B C = \sqrt{5}

{(C D)}^{2} = {(3 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} \overset{C D > 0}{\Rightarrow} C D = \sqrt{5}

{(A D)}^{2} = {(3 - 1)}^{2} + {(1 - 0)}^{2} \overset{A D > 0}{\Rightarrow} A D = \sqrt{5}

Medida de perímetro:

\sqrt{5} u + \sqrt{5} u + \sqrt{5} u + \sqrt{5} u = 4 \sqrt{5} u

Medida da área:

{(\sqrt{5 u})}^{2} = {5 u}^{2}

, em que u2 é a unidade de medida de área.

Página oitenta e nove

43. Exemplo de construção:

Gráfico. Malha quadriculada com plano cartesiano. Eixo x com intervalo de menos 5 a 5. Eixo y com intervalo de 0 a 6. Trapézio ABCD verde cujos vértices são formados pelos pontos: A (menos 2, 5), B (menos 5, 3), C(5, 3), D (2, 5).

a) Exemplos de resposta: (5,5) ou (‒1,5).

b) Exemplos de resposta: (5,9) ou (5,‒3).

c) Exemplo de resposta: A(‒2,5) e B (‒5,3).

44. a) (PO)2 = 52 + 22 = 25 + 4

Como PO > 0, temos:

P O = \sqrt{29}

unidades de medida de comprimento.

b) Observando as coordenadas, temos a medida de distância de duas unidades de medida de comprimento.

c) Observando as coordenadas, temos a medida de distância de 5 unidades de medida de comprimento.

45. De acôrdo com as informações, temos os seguintes pontos:

C(1,–2), D(4,–2), E(–2,3), F(–2,–1)

As coordenadas do ponto médio de

\bar{C D}

são (x,y). Logo, teremos:

Como

\bar{C D}

// eixo x, então:

y = ‒ 2

4 ‒ 1 = 2(x ‒ 1)

3 = 2x ‒ 2

x = 2,5

Portanto, o ponto médio de

\bar{C D}

é (2,5; ‒ 2).

As coordenadas do ponto médio de

\bar{E F}

são (x, y). Logo, teremos:

Como

\bar{E F}

// eixo y, então:

x = ‒ 2

3 ‒ ( ‒1) = 2[y ‒ (‒ 1)]

4 = 2y + 2

y = 1

Portanto, o ponto médio de

\bar{E F}

é (‒ 2, 1).

46. a) Infinitos quadrados.

b) Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes verifiquem as possibilidades de construção do enunciado, apresentando restrições para satisfazer as condições dadas.

c) Espera-se que os estudantes percebam que existe mais de uma maneira de fazer alterações no enunciado para satisfazer as condições do item b.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – páginas 206 e 207

1. Utilizando as relações métricas, temos:

6^{2} = 8 \cdot y \Rightarrow y = \frac{36}{8} \Rightarrow y = 4,5

; então, y = 4,5 centímetros

y^{2} = 9 \cdot (25 - 9) \Rightarrow y^{2} = 144 \overset{y > 0}{\Rightarrow} y = 12

; então, y = 12 centímetros.

c) 122 = 9 ⋅ x ⇒ x = 16; então, x = 16 centímetros.

2. a) Como um dos catetos mede 7 centímetros, podemos determinar sua projeção ortogonal sobre a hipotenusa:

7^{2} = m \cdot 25 \Rightarrow m = \frac{49}{25} = 1,96

Assim, o comprimento de uma das projeções ortogonais mede 1,96 centímetros e o da outra, 25 centímetros – 1,96 centímetros = 23,04 centímetros.

b) 252 = x2 + 72 ⇒ x2 = 576

Como x > 0, temos: x = 24 centímetros.

c) h2 = m · n ⇒ h2 = 1,96 · 23,04 = 45,1584

Como h > 0, temos:

h = \pm \sqrt{45, 1584}

; portanto, h = 6,72 centímetros.

3. a)

x^{2} = 8^{2} + 15^{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{289} = 289

Como x > 0, temos: x = 17 centímetros.

b) 82 = y2 + 42 ⇒ y2 = 48

Como y > 0, temos:

y = 4 \sqrt{3}

, pois deve ser um valor positivo.

4. Indicando por x a medida da altura que a escada atinge, temos:

(2,5)2 = (1,5)2 + x2 ⇒ x = 4

Como x > 0, temos: x = 2 métros.

5. a) Indicando por d a medida do comprimento da diagonal do retângulo, temos:

d2 = 82 + 152 = 289

Como d > 0, temos: d = 17 centímetros.

b) Indicando por d a medida do comprimento da diagonal do quadrado, temos:

d = 20 \sqrt{2} m

c) Indicando por h a medida do comprimento da altura do triângulo equilátero, temos:

h = \frac{8 \sqrt{3}}{2}

Portanto,

h = 4 \sqrt{3} c m .

6. a)

cos 30 ° = \frac{2 \sqrt{3}}{x} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{x} \Rightarrow x = 4

t g 45 ° = \frac{x}{3,5} \Rightarrow 1 = \frac{x}{3,5} \Rightarrow x = 3,5

s e n 60 ° = \frac{x}{8} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{8} \Rightarrow x = \frac{8 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = 4 \sqrt{3}

cos 60 ° = \frac{7}{x + 3} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{7}{x + 3} \Rightarrow x + 3 = 14 \Rightarrow x = 11

7. Indicando por h a medida da altura da pipa em relação ao solo, temos:

s e n 45 ° = \frac{h}{8,5} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{8,5} \Rightarrow h = \frac{8,5 \sqrt{2}}{2} \Rightarrow

\Rightarrow h = \frac{8,5 \cdot 1,4}{2} \Rightarrow h = 5,95

, assim, a medida h procurada é 5,95 métros

8. Indicando por d a medida da distância procurada:

s e n 30 ° = \frac{1300}{d} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1300}{d} \Rightarrow d = 2600

, ou seja, d = .2600 métros

9. a) A(3,5) B(3,1), C(12,1)

b) AB = 5 ‒ 1 = 4 u

BC = 12 ‒ 3 = 9 u

(AC)2 = (4 u)2 + (9 u)2 = 97 u2

Como AC > 0, temos

A C = \sqrt{97} u

c) Como a abscissa x de D, ponto médio de

\bar{A C}

, é a mesma abscissa de P, e a abscissa de a é a mesma abscissa de B, temos:

BC = 2BP

9 = 2(x ‒ 3)

2x = 15

x = 7,5

Página noventa

Capítulo 8 – Circunferência, arcos e ângulos

Trocando ideias – página 208

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes tragam como respostas para a discussão seus conhecimentos prévios a respeito da circunferência e seus componentes (arcos, cordas, diâmetros etcétera).

• Espera-se que os estudantes utilizem diferentes meios de pesquisa para procurar e localizar obras de artes que possuam como elementos constituintes os aspectos geométricos citados. Pode-se indicar o uso de sites de pesquisa de imagens ou até mesmo propor visitas a museus virtuais que possuam obras como as indicadas. Deixamos como indicação o tour virtual da Pinacoteca do Estado de São Paulo, na exposição “OSGEMEOS: Segredos”, onde as obras de artes possuem construções geométricas abordadas neste capítulo. Disponível em: https://oeds.link/eK11W5. Acesso em: 22 julho 2022.

Atividades – página 211

1. a) Como o diâmetro tem medida de comprimento igual a 40 centímetros e o raio possui metade dessa medida, então o raio tem medida de comprimento 20 centímetros.

b) Encontramos as cordas

\bar{A B}

\bar{C D}

c) A corda

\bar{A B}

passa pelo centro O da circunferência; assim,

\bar{A B}

é diâmetro.

d) Exemplo de resposta:

\bar{O E}

2. Temos que 2r = D; assim:

2 r = 1,44 m \Rightarrow r = \frac{1,44 m}{2} = 0,72 m

Portanto, o raio tem medida de comprimento igual a 0,72 métros.

3. a) Raio é o segmento de reta que une o centro a qualquer ponto da circunferência.

b) Em uma circunferência, podemos traçar infinitos diâmetros (ou raios). Todos eles são congruentes entre si.

c) Duas circunferências são congruentes quando os raios têm a mesma medida de comprimento.

d) A maior corda da circunferência é o diâmetro.

4. Verificando as indicações na figura, temos:

a) OP = 2 centímetros

b) AP = 2OP = 4 centímetros, que corresponde à medida de comprimento do diâmetro da circunferência.

c) Menor, pois

\bar{C M}

não é diâmetro da circunferência; logo tem medida de comprimento menor que 4 centímetros.

5. Como 2r = D, temos:

a) D = 2 · 4,5 centímetros ⇒ D = 9 centímetros

2 r = 17 c m \Rightarrow r = \frac{17}{2} c m \Rightarrow r = 8, 5 c m

6. Verificando a figura, temos:

\bar{O A}

\bar{O B}

\bar{O D}

\bar{O F}

\bar{O P}

\bar{E C}

\bar{E D}

\bar{A C}

\bar{A D}

\bar{B F}

\bar{A D}

\bar{B F}

7. Como

\bar{O B}

\bar{O A}

são raios da circunferência, podemos afirmar que o triângulo á ó bê é isósceles e, portanto, os ângulos

O \hat{A} B

O \hat{B} A

são congruentes.

Além disso, em todo triângulo, sabemos que a soma das medidas de abertura de seus ângulos internos é igual a 180graus. Portanto, como

m e d (A \hat{O} B) = 110 °

, teremos:

m e d (O \hat{A} B) = m e d (O \hat{B} A) = \frac{180 ° - 110 °}{2} = \frac{70 °}{2} = 35 °

8. Podemos fazer:

\bar{O C} ≅ \bar{O D}

(raio)

\bar{O A} ≅ \bar{O B}

(raio)

A \hat{O} C ≅ B \hat{O} D

(ângulo dado)

∆ AOC ≅ ∆ BOD (caso éle á éle)

Logo,

\bar{A C} ≅ \bar{B D}

Lendo e aprendendo – página 212

1. Com base na leitura e interpretação do texto, temos:

a) Falsa

b) Falsa

c) Verdadeira

d) Verdadeira

2. Dadas as medidas de comprimento dos diâmetros da Terra e de Marte no texto, temos:

\frac{12 755,66 k m}{2} = 63 77,83 k m

\frac{6 791,43 k m}{2} = 3 395,715 k m

3. Resposta pessoal.

Atividades – página 213

9. Observando a figura, temos:

a) C, E, G

b) D, F, I, J

c) A, B, H, O

10. Um exemplo de figura:

Figura geométrica. Circunferência com ponto O no centro com raio cujo comprimento mede 2 centímetros. Dentro dela, pontos: J, H na parte superior e I, G na parte inferior. Os pontos A, B e C pertencem a circunferência. Do lado de fora, à esquerda, pontos E, F. Do lado de fora, à direita, ponto D.

11. Um exemplo de figura:

Figura geométrica. Circunferência C1 interna à circunferência C2. Circunferência C1 com ponto O no centro com raio cujo comprimento mede r1. Dentro da circunferência C1, pontos: I, H e G. Circunferência C2 com raio cujo comprimento mede r2. Dentro, pontos: D, E, F. Do lado de fora das circunferências, ponto C à esquerda, B à direita e A acima.

a) Sim, já que a própria circunferência centésimo₁ é interna a centésimo₂.

b) Não, pois a circunferência centésimo₂ é externa à centésimo₁.

Página noventa e um

Atividades – página 216

12. Um exemplo de figura:

Figura geométrica. Circunferência de centro O, com reta tangente r e reta secante s. As retas r e s se cruzam no Ponto P externo à circunferência, por onde também passa a reta t.

13. a) Externa, pois d > r.

b) Secante, pois d < r.

c) Tangente, pois d = r

14. Não, por exemplo, a reta r a seguir:

Figura geométrica. Circunferência com ponto no centro. À direita, na horizontal, segmento de reta indicando o raio. Reta vertical r cortando perpendicularmente o segmento de reta que indica o raio da circunferência.

15. Não, por exemplo, a reta s a seguir:

Figura geométrica. Circunferência com ponto no centro. Reta tangente à circunferência que cruza a reta s (que não passa pela circunferência) de modo perpendicular.

16. A medida da distância de uma das retas ao centro deve ser igual a 10 centímetros e a medida da distância da outra reta ao centro deve ser maior que 10 centímetros. Veja figura que justifica:

Figura geométrica. Circunferência com ponto no centro. Reta tangente à circunferência e reta paralela à reta tangente.

Atividades – página 218

17. Comparando a medida da distância d entre os centros das circunferências com as medidas dos comprimentos dos raios érre minúsculo₁ e érre minúsculo₂ em cada caso, temos:

a) 10 > 2 + 5; portanto, centésimo₁ e centésimo₂ são externas.

b) 2 = 4 ‒ 2; portanto, centésimo₁ e centésimo₂ são tangentes interiores.

c) 10 = 7 + 3; portanto, centésimo₁ e centésimo₂ são tangentes exteriores.

d) 4 < (10 ‒ 3); portanto, centésimo₁ e centésimo₂ são internas.

e) (5 ‒ 5) < 8 < (5 + 5); portanto, centésimo₁ e centésimo₂ são secantes.

f) (6 ‒ 4) < 9 < (6 + 4); portanto, centésimo₁ e centésimo₂ são secantes.

18. a) d = r1 + r2

b) r1 ‒ r2 < d < r1 + r2

c) d > r1 + r2

d) d = 0

19. Nesse caso, devemos ter:

d = r1 ‒ r2 ⇒ d = 13 ‒ 7 ⇒ d = 6

Logo, d deve medir 6 centímetros.

20. a) Verdadeira.

b) Verdadeira.

c) Falsa, elas são secantes.

d) Verdadeira.

21. a) 2 centímetros e 2 centímetros, pois são medidas de comprimento dos raios.

b) 2 centímetros, pois esse triângulo é equilátero, ou seja, os três lados têm a mesma medida de comprimento que é a dos raios das circunferências (2 centímetros).

c) Como o triângulo O1A O2 é equilátero, então

m e d (O_{1} \hat{A} O_{2}) = 60 °

d) É um losango, pois tem todos os lados com a mesma medida de comprimento.

Atividades – página 222

22. Em todos os itens, temos PA = PB, por serem segmentos de reta tangentes às circunferências, traçados sempre de um mesmo ponto.

a) x = 20

\frac{2 x}{3} - 1 = \frac{x}{4} + 12 \Rightarrow \frac{2 x}{3} - \frac{x}{4} = 12 + 1 \Rightarrow \frac{8 x - 3 x}{12} = 13 \Rightarrow

\Rightarrow x = \frac{13 \cdot 12}{5} \Rightarrow x = 31,2

c) 2x + 2 = 10 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4

d) 3x ‒ 2 = 10 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4

23. a) x = 10 + 8 ⇒ x = 18

b) x = 5 + 3 ⇒ x = 8

c) x = 6 + 4 ⇒ x = 10

d) 7 = x + 4 ⇒ x = 3

24. a) x + 2x = 8 + 10 ⇒ 3x = 18 ⇒ x = 6

b) x + x + 8 = x + 2 + 8 ⇒ x = 2

c) 8 + 10 = x + 12 ⇒ x = 18 ‒ 12 ⇒ x = 6

25. Considerando BD = x

, podemos dizer que:

Figura geométrica. Triângulo ABC circunscrito à circunferência. O segmento de reta do lado do triângulo que vai de C até o ponto em que a circunferência toca o lado triângulo mede 89 menos x. O segmento de reta do lado do triângulo que vai do ponto em que a circunferência toca o lado triângulo até B mede x. O segmento de reta do lado do triângulo que vai de A até o ponto em que a circunferência toca o lado triângulo, mede 80 menos x. O segmento de reta do lado do triângulo que vai do ponto em que a circunferência toca o lado do triângulo até B, mede x. O segmento de reta do lado do triângulo que vai de A até o ponto em que a circunferência toca o lado triângulo, mede 80 menos x. O segmento de reta do lado do triângulo que vai do ponto em que a circunferência toca o lado triângulo até C, mede 89 menos x.

Como AC = 39, então:

89 ‒ x + 80 ‒ x = 39 ⇒ ‒ 2x = ‒ 130 ⇒ x = 65

Portanto, BD = 65 centímetros.

Página noventa e dois

26. Segundo as informações, indicando PD por x e PE por y, temos:

Figura geométrica. Circunferência de centro O tangente, no ponto C, ao triângulo roxo DEP. O comprimento do lado DP do triângulo mede x. O comprimento do lado EP do triângulo mede y. Há uma reta que passa pelos pontos P e D do triângulo e tangencia a circunferência no ponto A. O comprimento do segmento DA mede 8 menos x. Há uma reta que passa pelos pontos P e F do triângulo e tangencia a circunferência no ponto B. O comprimento do segmento EB mede 8 menos y.

PA = PB = 8

DA = DC = 8 ‒ x

EB = EC = 8 ‒ y

Então, a medida do perímetro do triângulo pê dê é pode ser calculada desta fórma:

x + 8 ‒ x + y + 8 ‒ y, ou seja, é igual a 16

Portanto, a medida do perímetro do triângulo pê dê é é 16 centímetros.

Atividades – página 225

27. a) 60°, 82graus e 142graus, pois são as mesmas medidas das aberturas dos ângulos centrais correspondentes.

b) 75°, 15graus e 90graus, pois são as mesmas medidas das aberturas dos ângulos centrais correspondentes.

28. 6x + 10graus + 3x + 5graus + 5x – 5graus = 360graus ⇒ 14x = 360graus – 10graus ⇒

\Rightarrow x = \frac{350 °}{14} \Rightarrow x = 25 °

m e d (\overset{⏜}{A M B}) = 3 x + 5 ° + 5 x - 5 ° \Rightarrow m e d (\overset{⏜}{A M B}) = 8 x \Rightarrow

\Rightarrow m e d (\overset{⏜}{A M B}) = 8 \cdot 25 ° \Rightarrow m e d (\overset{⏜}{A M B}) = 200 °

29. a) 3x + x + 30° = 360° ⇒ 4x = 330° ⇒ x = 82° 30’

b) x + 120° + x = 360° ⇒ 2x = 240° ⇒ x = 120°

2 x + 80 ° + \frac{3 x}{2} = 360 ° \Rightarrow \frac{4 x + 3 x}{2} = 280 ° \Rightarrow

⇒ 7x = 560graus ⇒ x = 80graus

30. a) α = 85graus, pois é a mesma medida do arco correspondente.

b) α = 180graus ‒ 150graus ⇒ α = 30graus

c) α = 180graus ‒ 70graus ⇒ α = 110graus

31. Como o triângulo á bê cê é equilátero,

m e d (B \hat{C} A) = 60 °

; então,

m e d (\overset{⏜}{A B}) = 60 °

32.

A \hat{O} B ≅ C \hat{O} D

(dado)

\bar{O A} ≅ \bar{O B} ≅ \bar{O C} ≅ \bar{O D}

( raios )

Logo, ∆ AOB ≅ ∆ COD, pelo caso éle á éle.

Assim,

\bar{A B} ≅ \bar{C D}

Tecnologias digitais em foco – página 227

a) Espera-se que os estudantes percebam que a medida da abertura do ângulo inscrito à circunferência é igual à metade da medida da abertura do ângulo central correspondente.

b) Essa propriedade é válida independentemente da configuração apresentada.

Atividades – página 229

33. a)

α = \frac{60 °}{2} \Rightarrow α = 30 °

α = \frac{39 °}{2} \Rightarrow α = 19 ° 30 ’

α = 2 \cdot 80 ° \Rightarrow α = 160 °

α + 50 ° = \frac{180 °}{2} \Rightarrow α = 40 °

34.

m e d (\overset{⏜}{A B}) = 2 \cdot 60 ° \Rightarrow m e d (\overset{⏜}{A B}) = 120 °

m e d (\overset{⏜}{B C}) = 360 ° ‒ (100 ° + 120) \Rightarrow m e d (\overset{⏜}{B C}) 140

m e d (C \hat{A} B) = \frac{m e d (\overset{⏜}{B C})}{2} \Rightarrow m e d (C \hat{A} B) = \frac{140 °}{2} \Rightarrow

\Rightarrow m e d (C \hat{A} B) = 70 °

35.

\frac{6 x + 30 °}{2} = 4 x \Rightarrow 6 x + 30 ° = 8 x \Rightarrow 30 ° = 2 x \Rightarrow x = 15 °

Calculando a medida de abertura dos ângulos assinalados:

4 · 15graus = 60graus e 6 · 15graus + 30graus = 120graus

36. Como

M \hat{P} N

está inscrito em uma semicircunferência, podemos afirmar que

M \hat{P} N

é reto. E como ême êne pê é um triângulo, temos que a soma das medidas das aberturas de seus ângulos internos é igual a 180graus:

a + b + 90graus = 180graus ⇒ a = 90graus – b um

Temos também a informação de que a + 2b + 127graus, ou seja,

a = 127graus – 2b dois

Com um e dois, temos:

90graus – b = 127graus – 2b ⇒ b = 37graus

E, assim,

a = 90graus – 37graus ⇒ a = 53graus

37.

m e d (A \hat{B} C) = 180 ° - (57 ° + 55 °) \Rightarrow m e d (A \hat{B} C) = 68 °

Logo, como

\vec{B E}

é bissetriz de

(A \hat{B} C)

, teremos:

m e d (A \hat{B} E) = m e d (E \hat{B} C) = \frac{68 °}{2} = 34 °

m e d (\overset{⏜}{E C}) = 2 \cdot 34 ° = 68 °

m e d (\overset{⏜}{C B}) = 2 \cdot 55 ° = 110 °

m e d (\overset{⏜}{E C B}) = 68 ° + 110 ° = 178 °

38. Exemplo de construção:

Figura geométrica. Circunferência C1 com centro no ponto A. Sobre o ponto A, passa a circunferência C2 com centro no ponto B. Há uma reta passando pelo ponto A, pelo ponto C, onde as duas circunferências se cruzam, e pelo ponto D, pertencente à circunferência C1. Há uma semirreta que sai de D e passa pelo ponto B. Há uma semirreta que sai de A e passa pelo ponto B. A abertura do ângulo CAB mede 60 graus. A abertura do ângulo CDB mede 30 graus.

Sendo

\overset{⏜}{C B}

o arco correspondente ao ângulo central

C \hat{A} B

e o arco correspondente ao ângulo inscrito

C \hat{D} B

, podemos afirmar que a medida da abertura do ângulo inscrito

C \hat{D} B

mede metade da medida da abertura do ângulo central

C \hat{A} B

Resolvendo em equipe – página 230

Interpretação e identificação dos dados

• Resposta pessoal.

• r = 1 centímetro

• Um triângulo equilátero, pois a medida do comprimento dos três lados é 2 centímetros.

Plano e resolução

• Como se trata de um triângulo equilátero, a medida da abertura de cada ângulo interno é 60graus, uma vez que 180graus : 3 = 60graus.

Página noventa e três

Resolução

a) Pela figura, sendo érre a medida de comprimento do raio das circunferências pequenas e érre a medida de comprimento do raio da circunferência grande, temos érre = 3érre; assim, érre = 1 centímetro.

Figura geométrica. Hexágono regular dividido em 6 triângulos equiláteros. O encontro dos 6 vértices dos triângulos coincide com o centro de uma circunferência. Fora dessa circunferência há 6 circunferências iguais a ela e tangentes à ela e umas às outras. Os vértices do hexágono coincide com o centro de cada uma dessas circunferências. Todas essas circunferências estão circunscritas à uma outra circunferência maior.

b) 6 circunferências, conforme a figura.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – páginas 231 a 233

1. a)

\bar{E F}

\bar{E H}

\bar{E I}

\bar{E J}

, conforme indicado na figura.

\bar{F G}

\bar{F I}

\bar{F J}

, conforme indicado na figura.

\bar{F J}

, conforme indicado na figura.

2. a) d = r ⇒ tangente

b) d > r ⇒ exterior

c) d < r ⇒ secante

d) d = r ⇒ tangente

3. Se elas são tangentes interiores, vale que d = r1 ‒ r2, em que r1 > r2; logo, devemos ter:

7 = 2x ‒ 3 ‒ (x + 1) ⇒ 7 = 2x ‒ 3 ‒ x ‒ 1 ⇒ x = 11

Assim, podemos calcular:

r1 = 2 ⋅ 11 ‒ 3 ⇒ r1 = 19

r2 = 11 + 1 ⇒ r2 = 12

Portanto, as medidas de comprimento dos raios das circunferências são 19 centímetros e 12 centímetros.

4. Se as circunferências são tangentes exteriores, vale d = r1 + r2; logo, devemos ter:

55 = 3x + 1 + 5x ‒ 2 ⇒ 56 = 8x ⇒ x = 7

Assim, podemos calcular:

r1 = 3 ⋅ 7 + 1 ⇒ r1 = 22

r2 = 5 ⋅ 7 ‒ 2 ⇒ r2 = 33

Portanto, as medidas de comprimento dos raios das circunferências são 22 centímetros e 33 centímetros.

5. Como (7 ‒ 4 ) < 10 < (7 + 4), podemos afirmar que as circunferências são secantes.

6. a) 3x + 5 = 7x ‒ 15 ⇒ ‒ 4x = ‒ 20 ⇒ x = 5

\frac{3 x}{2} - 5 = \frac{4 x}{3} + 4 \Rightarrow \frac{3 x}{2} - \frac{4 x}{3} = 4 + 5 \Rightarrow

\Rightarrow \frac{x}{6} = 9 \Rightarrow x = 54

7. a) De acôrdo com a figura, podemos escrever: x ‒ 7 = 22 ⇒ x = 22 + 7 ⇒ x = 29; então, x = 29 centímetros.

b) De acôrdo com a figura, podemos escrever: 25 ‒ x = 16 ⇒ 25 = x + 16 ⇒ x = 9; então, x = 9 centímetros.

8. De acôrdo com a figura, podemos calcular a medida de perímetro: 1,5 + 1,5 + 1,5 + 2,5 + 5 + 2,5 + 1,5 = 16

Portanto, o perímetro mede 16 centímetros.

9. a)

3 x = 360 - 291 \Rightarrow x = \frac{69}{3} \Rightarrow x = 23

med (ângulo central) = 3 ⋅ 23graus = 69graus

b) Temos: x2 = 5x + 24graus; então precisamos resolver a equação:

x2 ‒ 5x ‒ 24 = 0

x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}

Utilizando apenas o valor positivo para x:

x = \frac{5 + 11}{2} \Rightarrow x = 8

Logo, teremos:

x = 8graus

med (ângulo central) = (82)graus = 64graus

10. a) y = 118graus (medida da abertura do ângulo central cujo arco de circunferência correspondente mede 118graus)

x = \frac{118^{o}}{2} = 59^{o}

(medida da abertura do ângulo inscrito cujo arco correspondente mede 118graus)

b) x = 38graus, pois há um outro ângulo inscrito de medida de abertura de 38graus, cujo arco de circunferência correspondente é o mesmo.

11. Nesse caso, teremos:

5x + 8graus = 2 ⋅ 84graus ⇒ 5x = 160graus ⇒ x = 32graus

12. Temos:

5 x = \frac{170^{o}}{2} \Rightarrow 10 x = 170^{o} \Rightarrow x = 17^{o}

CAPÍTULO 9 – Polígonos regulares

Trocando ideias — página 234

• Sim, porque a medida da abertura de cada um dos ângulos internos de um quadrado é 90graus e dos ângulos internos de um triângulo equilátero é 60graus e esses números são divisores de 360.

• Não, porque a medida da abertura de cada um dos ângulos internos de um pentágono regular é 108graus e 108 não é divisor de 360.

Atividades – página 237

1. Itens b, d, pois nos itens a e c nem todos os vértices dos polígonos pertencem à circunferência.

2. Itens a, b, pois nos itens c e d nem todos os lados dos polígonos são tangentes à circunferência.

3. a) Como ∆ ABC é retângulo em a e o ∆ AOB é isósceles, temos:

x + 38graus = 90graus ⇒ x = 52graus

b) Como ∆ ABC é retângulo em a, então pode-se aplicar o teorema de Pitágoras:

{(4 \sqrt{34})}^{2} = x^{2} + 6^{2}

x2 = 544 ‒ 36

Com x > 0, temos:

x = 2 \sqrt{127}

4. Utilizando a propriedade relacionada aos ângulos opostos de um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência, temos:

a) x + 140graus = 180graus ⇒ x = 40graus

y + 100graus = 180graus ⇒ y = 80graus

b) x + 110graus = 180graus ⇒ x = 70graus

y + 70graus = 180graus ⇒ y = 110graus

5. a) AB = x + y

BC = y + z

CD = z + w

DA = w + x