Página noventa e quatro

Parte 7

b) AB + CD = x + y + z + w

c) BC + DA = y + z + w + x

d) As somas das medidas de comprimento dos lados opostos são iguais.

6. Podemos afirmar que:

2p + p = p + 1 + p + 3 ⇒ p = 4. Portanto, p = 4 centímetros.

Logo, podemos calcular o perímetro desta fórma:

(2 ⋅ 4) + (4 + 1) + (4) + (4 + 3) = 24; então, o perímetro do quadrilátero é igual a 24 centímetros.

Atividades – página 243

7. a) Verdadeira. Todo polígono regular e inscritível e circunscritível a uma circunferência.

b) Verdadeira. Denomina-se equiângulo um polígono que tem todos os ângulos congruentes.

c) Falsa. O retângulo não pode ser considerado um polígono regular, uma vez que não podemos afirmar que seus lados sejam congruentes.

d) Verdadeira. Denomina-se equilátero um polígono que tem todos os lados congruentes.

8. Exemplo de construção:

Ilustração. Pentágono regular inscrito em uma circunferência de centro O e raio r. Estão indicadas a medida da abertura de um dos ângulos internos do pentágono que é alfa igual a 108 graus, a medida da abertura de um dos ângulos externos que é beta igual a 72 graus e a medida da abertura do ângulo formado por um raio e por um apótema que é gama igual a 36 graus. O apótema está representado por uma linha tracejada e a medida do seu comprimento está indicada pela letra a.

9. n = 10

a_{c} = \frac{360 °}{10} \Rightarrow a_{c} = 36 °

a_{i} = \frac{8 \cdot 360 °}{10} \Rightarrow a_{i} = 144 °

a_{e} = \frac{360 °}{10} \Rightarrow a_{e} = 36 °

10. a) n = 3

a_{c} = \frac{360 °}{3} \Rightarrow a_{c} = 120 °

a_{i} = \frac{1 \cdot 180 °}{3} \Rightarrow a_{i} = 60

graus

a_{e} = \frac{360 °}{3} \Rightarrow a_{e} = 120 °

b) n = 4

a_{c} = \frac{360 °}{4} \Rightarrow a_{c} = 90 °

a_{i} = \frac{2 \cdot 180 °}{4} \Rightarrow a_{i} = 90 °

a_{e} = \frac{360 °}{4} \Rightarrow a_{e} = 90 °

c) n = 6

a_{c} = \frac{360 °}{6} \Rightarrow a_{c} = 60 °

a_{i} = \frac{4 \cdot 180 °}{6} \Rightarrow a_{i} = 120 °

a_{e} = \frac{360 °}{6} \Rightarrow a_{e} = 60 °

11. a)

\frac{360 °}{n} = 36 ° \Rightarrow n = 10 \Rightarrow

é um decágono

\frac{360 °}{n} = 40 ° \Rightarrow n = 9 \Rightarrow

é um eneágono

\frac{360 °}{n} = 60 ° \Rightarrow n = 6 \Rightarrow

é um hexágono

\frac{360 °}{n} = 90 ° \Rightarrow n = 4 \Rightarrow

é um quadrado

\frac{360 °}{n} = 120 ° \Rightarrow n = 3 \Rightarrow

é um triângulo equilátero

12. Como

a_{e} = \frac{360 °}{n}

Então:

24 ° = \frac{360 °}{n} \Rightarrow n = 15 °

Esse polígono tem 15 lados.

13. Como

a_{i} = \frac{(n - 2) \cdot 180 °}{n}

Então:

\frac{(n - 2) \cdot 180 °}{n} = 135 ° \Rightarrow n = 8

É um octógono; logo:

a_{e} = \frac{360 °}{8} \Rightarrow a_{e} = 45 °

14. Temos:

(n − 2) ⋅ 180° = .1440° ⇒ n − 2 = 8 ⇒ n = 10

a_{e} = \frac{360 °}{10} \Rightarrow a_{e} = 36 °

15. Exemplo de construção:

Figura geométrica. Triângulo ABC equilátero cujos comprimentos de cada lado mede 3 centímetros. Um arco traçado de cada lado do triângulo passando pelo ponto C.

O triângulo á bê cê equilátero com lado medindo 3 centímetros foi construído seguindo estes passos:

• segmento

\bar{A B}

de medida de comprimento 3 centímetros foi traçado;

• com a ponta-seca do compasso em a, abertura de 3 centímetros, traçamos um arco;

• com a ponta-seca do compasso em B, abertura de 3 centímetros, traçamos um arco;

• na intersecção dos dois arcos está o vértice C do triângulo equilátero.

16. a) Um octógono regular, pois:

45 ° = \frac{360 °}{n} \Rightarrow n = 8

b) O ângulo externo.

c) Para construir o tetracoságono precisamos descobrir a medida de abertura dos seus ângulos externos. Assim:

\frac{360 °}{24} = 15 °

Assim, podemos construir a seguinte linha de comandos:

Ilustração. Comandos. Cor verde: repita 24 vezes. Passos. Cor laranja: voar 3 unidades de distância. Abaixo, cor vermelha: virar no sentido horário 15 graus.

Atividades – páginas 246 e 247

17. Considerando a medida de comprimento do lado do quadrado q e a medida do comprimento do apótema p, temos:

202 = q2 + q2 ⇒ Portanto,

q = 10 \sqrt{2} c m

p = \frac{10 \sqrt{2}}{2} c m \Rightarrow p = 5 \sqrt{2} c m

18. Se a medida do perímetro do quadrado mede 20 centímetros, temos:

q = \frac{40}{4} c m \Rightarrow q = 10 c m

E, então:

10 = r \sqrt{2} \Rightarrow r = \frac{10}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \Rightarrow

\Rightarrow r = 5 \sqrt{2}

O comprimento do raio mede

5 \sqrt{2} c m

19. a)

12 = r \sqrt{2} \Rightarrow r = \frac{12}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \Rightarrow

\Rightarrow r = 6 \sqrt{2}

O comprimento do raio mede

6 \sqrt{2} c m

q = \frac{12}{2} c m \Rightarrow q = 6 c m

20. Teremos:

6 \sqrt{2} = r \sqrt{2} \Rightarrow r = 2

; assim, o comprimento do raio mede 6 centímetros.

Logo,

q = \frac{6 \sqrt{2}}{2} c m \Rightarrow q = 3 \sqrt{2} c m

Assim, o comprimento do apótema mede

3 \sqrt{2} cm

21. a)

q = 4 \sqrt{2} c m

Medida do perímetro = 4 \cdot 4 \sqrt{2} ≃

≃ 16 \cdot 1, 41 = 22, 56

O perímetro mede, aproximadamente, 22,56 centímetros.

Á r e a = {(4 \sqrt{2})}^{2} = 32

A medida da área é igual a 32 centímetros quadrados.

22.

t = 8 \sqrt{3} c m

p = \frac{8}{2} c m \Rightarrow p = 4 c m

23.

20 = r \sqrt{3} \Rightarrow r = \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \Rightarrow

\Rightarrow r = \frac{20 \sqrt{3}}{3}

Página noventa e cinco

p = \frac{20 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow p = \frac{10 \sqrt{3}}{3}

Portanto, o comprimento do raio mede

\frac{20 \sqrt{3}}{3} c m

e o comprimento do apótema mede

\frac{10 \sqrt{3}}{3} c m

24.

\frac{r}{2} = 6 \Rightarrow r = 12

t = 12 \sqrt{3}

Portanto, o comprimento do raio mede 12 centímetros e o do lado mede

12 \sqrt{3} c m

25.

t = 10 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \Rightarrow t = 30

Perímetro = 3 ⋅ 30 = 90

Logo, o perímetro mede 90 centímetros.

26. Temos

h = r = 12 centímetros

p = \frac{12 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow p = 6 \sqrt{3}

Assim, o comprimento do lado mede 12 centímetros e o do apótema mede

6 \sqrt{3} c m

27. Temos:

5 \sqrt{3} = \frac{r \sqrt{3}}{2} \Rightarrow 5 = \frac{r}{2} \Rightarrow r = 10

h = r = 10

Medida do perímetro = 6 ⋅ 10 = 60

Assim, o perímetro mede 60 centímetros.

28. Temos:

h = r = 8 centímetros

p = \frac{8 \sqrt{3}}{2} c m \Rightarrow p = 4 \sqrt{3} c m

29. A maior diagonal coincide com o diâmetro; logo, teremos:

r = \frac{12 \sqrt{3}}{2} c m \Rightarrow r = 6 \sqrt{3} c m

p = \frac{6 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} c m \Rightarrow p = 9 c m

30. a)

A B = 10 \sqrt{3} c m

O M = \frac{10}{2} c m \Rightarrow O M = 5 c m

m e d (A \hat{O} B) = a_{c} = \frac{360 °}{3} \Rightarrow

\Rightarrow m e d (A \hat{O} B) = 120 °

d) AM = (10 + 5) centímetros ⇒ AM = 15 centímetros

31. Temos:

6 \sqrt{3} = \frac{r \sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{r}{2} = 6 \Rightarrow r = 12

h = r = 12 centímetros

O comprimento do lado desse hexágono regular mede 12 centímetros.

32. A partir das informações, temos:

8 \sqrt{3} = r \sqrt{2} \Rightarrow r = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \Rightarrow

\Rightarrow r = 4 \sqrt{6}

p = \frac{4 \sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{2} \Rightarrow p = 2 \sqrt{18} \Rightarrow

\Rightarrow p = 6 \sqrt{2}

Logo, o comprimento do apótema do hexágono regular mede

6 \sqrt{2} cm

33. Temos:

\frac{h}{q} = \frac{r}{r \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

34. Teremos:

\frac{r \sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3} \Rightarrow \frac{r}{2} = 12 \Rightarrow r = 24

a) d = 2 ⋅ 24 ⇒ d = 48

O comprimento da diagonal do quadrado mede 48 métros.

p = \frac{24}{2} = 12

A medida do comprimento do apótema mede 12 métros.

Atividades – página 248

35. Temos um triângulo equilátero e

r = 2 \sqrt{3}

cm.

Inscrito:

l = 2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \Rightarrow l = 6

a = \frac{2 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \sqrt{3}

Circunscrito:

\frac{6}{L} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} \Rightarrow L = 12

O comprimento do lado desse triângulo equilátero medirá 12 centímetros.

36. Temos um quadrado e r = 8 centímetros.

Inscrito:

l = 8 \sqrt{2}

a = \frac{8 \sqrt{2}}{2} \Rightarrow a = 4 \sqrt{2}

Circunscrito:

\frac{8 \sqrt{2}}{L} = \frac{4 \sqrt{2}}{8} \Rightarrow L = 16

O comprimento do lado desse quadrado medirá 16 centímetros.

37. Temos um hexágono regular e

r = 4 \sqrt{3} c m

Inscrito:

l = 4 \sqrt{3} c m

a = \frac{4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = 6

Circunscrito:

\frac{4 \sqrt{3}}{L} = \frac{6}{4 \sqrt{3}} \Rightarrow L = 8

O comprimento do lado desse hexágono regular medirá 8 centímetros.

38. Se a medida do perímetro do hexágono regular mede

24 \sqrt{3} c m

, o comprimento do seu lado medirá

4 \sqrt{3} c m

Em um hexágono regular inscrito, teremos

r = l = 4 \sqrt{3} c m

Assim, considerando esse raio, faremos os cálculos para o triângulo equilátero.

Inscrito:

l = 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \Rightarrow l = 12

a = \frac{4 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = 2 \sqrt{3}

Circunscrito:

\frac{12}{L} = \frac{2 \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}} \Rightarrow L = 24

Assim, a medida do perímetro desse triângulo equilátero medirá 72 centímetros, pois 3 · 24 centímetros = 72 centímetros.

39. Espera-se que os estudantes consigam observar, por meio da construção, que a proporção apresentada na página 247 é válida, variando o raio da circunferência que define os polígonos que estão inscritos e circunscritos a ela.

a) Espera-se que os estudantes identifiquem que a relação é válida.

b) Espera-se que os estudantes identifiquem que a relação continua válida.

40. Resposta pessoal. Espera-se que os alunos tomem a imagem como referência para elaborar questões sobre polígonos regulares circunscritos.

Resolvendo em equipe – página 249

Resposta da questão: alternativa e.

INTERPRETAÇÃO E IDENTIFICAÇÃO DOS DADOS

• Resposta pessoal.

• Todos os ângulos internos dos hexágonos são congruentes e suas aberturas medem 120graus.

Figura geométrica. Hexágono ABCDEF regular com ângulos internos cujas medidas de abertura são iguais a 120 graus cada. Dentro, hexágono ABNMGH irregular com ângulo internos cujas medidas de aberturas são iguais a 120 graus cada.
O vértice M do hexágono de dentro está posicionado no ponto médio do lado AF do hexágono de fora.
O vértice N do hexágono de dentro está posicionado no ponto médio do lado BC do hexágono de fora.
Os lados AM, MH, GN e NB do hexágono de dentro tem a metade da medida de comprimento dos lados HG e AB.
Os lados HG e AB do hexágono de dentro tem medidas de comprimento iguais às do hexágono de fora.

• Não, pois as medidas de comprimento dos lados correspondentes não são proporcionais.

PLANO E RESOLUÇÃO

• Sim. Nesse item é importante ressaltar que o hexágono menor pode ser decomposto em triângulos equiláteros em disposição diferente do hexágono maior. Um exemplo de decomposição é indicado a seguir:

Figura geométrica. Malha triangular com um hexágono irregular composto por 10 triângulos.

• A medida de comprimento do lado do triângulo equilátero é metade da medida de comprimento do lado do hexágono maior.

• Utilizando como base os triângulos indicados na figura anterior, temos no total 10 triângulos para o hexágono pequeno e 24 para o hexágono maior.

Página noventa e seis

RESOLUÇÃO

Um exemplo de resolução é dado por observar a quantidade de triângulos que compõe o hexágono maior e o hexágono menor, utilizando-os como unidade de medida de área. Assim, denominando como ám a medida da área do hexágono maior, e án a do menor, temos:

\frac{A_{n}}{A_{m}} = \frac{n^{o} d e t r i â n g u l o s e m A B N G H M}{n^{o} d e t r i â n g u l o s e m A B C D E F} =

= \frac{10}{24} = \frac{5}{12}

Assim, temos como resposta a alternativa ê.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – páginas 250 a 252

1. Usando a 1ª propriedade:

a) x = y = 90graus

b) x = y = z = 90graus

2. Usando a 2ª propriedade:

2x – 35graus + x + 5graus = 180graus

3x – 30graus = 180graus

3x = 210graus

x = 70graus

3. Sabendo que

A_{c} = \frac{360 °}{n}

, teremos:

A_{c} = \frac{360 °}{5} = 72 °

A_{c} = \frac{360 °}{8} = 45 °

A_{c} = \frac{360 °}{12} = 30 °

A_{c} = \frac{360 °}{24} = 15 °

4. a)

a_{i} = \frac{(15 - 2) \cdot 180 °}{15} \Rightarrow

{\Rightarrow a}_{i} = \frac{2340 °}{15} \Rightarrow a_{i} = 156 °

a_{e} = \frac{360 °}{15} = 24 °

a_{c} = \frac{360 °}{15} = 24 °

5. Como Si = (n − 2) ⋅ 180graus, teremos:

(n − 2) ⋅ 180graus = .2880graus ⇒

⇒ n − 2 = 16 ⇒ n = 18

Portanto, o polígono regular tem 18 lados.

6. Como:

a_{e}

\frac{360 °}{n}

Teremos:

\frac{360 °}{n} = 18 ° \Rightarrow n = 20

Ou seja, esse polígono regular tem 20 lados.

7. a)

40 ° = \frac{360 °}{n} \Rightarrow n = 9

a_{i} = \frac{(9 - 2) \cdot 180 °}{9} \Rightarrow

{\Rightarrow a}_{i} = \frac{1.260 °}{9} \Rightarrow a_{i} = 140 °

a_{e} = \frac{360 °}{9} \Rightarrow a_{e} = 40 °

8. a) Como ai + ae = 180°, teremos:

3x + 36graus + x − 8graus = 180graus ⇒ x = 38graus

b) Como

a_{e} = \frac{360 °}{n}

, teremos:

38 ° - 8 ° = \frac{360 °}{n} \Rightarrow n = 12

9. No pentágono regular, temos:

a_{i} = \frac{(5 - 2) \cdot 180 °}{5} \Rightarrow a_{i} = 108 °

Assim, teremos:

3x + 12° = 108° ⇒ x = 32°

10. No decágono regular, temos:

a_{i} = \frac{(10 - 2) \cdot 180 °}{10} \Rightarrow a_{i} = 144 °

Prolongando-se os lados do decágono regular, observando-se a simetria presente na figura e o paralelismo entre o lado do decágono e o segmento traçado, podemos concluir que o ângulo y tem a mesma medida de abertura do ângulo externo do decágono regular:

a_{e} = \frac{360 °}{10} \Rightarrow a_{e} = 36 °

Logo, x = 144graus e y = 36graus

11. No hexágono regular inscrito, temos h = r, então:

Medida do perímetro

= 6 \cdot 2 \sqrt{3} ≃

≃ 6 ⋅ 2 ⋅ 1,7 = 20,4

O perímetro do hexágono regular mede aproximadamente 20,4 métros.

12. a)

q = 8 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} c m \Rightarrow q = 16 c m

p = \frac{8 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} c m}{2} \Rightarrow p = 8 c m

13. Como r = 15 métros, teremos:

q = 15 \sqrt{2} \Rightarrow q ≃ 15 \cdot 1, 4 = 21

Assim:

Medida do perímetro = 4 ⋅ 21 = 84

Medida da área = 21 ⋅ 21 = 441

O perímetro mede 84 métros e a área mede 441 métros quadrados.

14. a)

10 = r \sqrt{3} \Rightarrow r = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \Rightarrow

\Rightarrow r = \frac{10 \sqrt{3}}{3}

p = \frac{10 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow p = \frac{5 \sqrt{3}}{3}

O comprimento do raio da circunferência mede

\frac{10 \sqrt{3}}{3}

centímetros e o comprimento do apótema do triângulo mede

\frac{5 \sqrt{3}}{3}

centímetros.

15. Sabemos que p = 22 centímetros; então, precisamos calcular as medidas de comprimento do lado desse quadrado (x) e do raio dessa circunferência (y):

22 = \frac{y \sqrt{2}}{2} \Rightarrow y = (\frac{44}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) \Rightarrow y = 22 \sqrt{2}

x = 22 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \Rightarrow x = 44

O comprimento do lado do quadrado mede 44 centímetros e o raio da circunferência mede

22 \sqrt{2}

centímetros.

16. Temos um triângulo equilátero e

r = 4 \sqrt{3} c m

Inscrito:

l = 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \Rightarrow l = 12

a = \frac{4 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = 2 \sqrt{3}

Circunscrito:

\frac{12}{L} = \frac{2 \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}} \Rightarrow L = 24

O comprimento do lado desse triângulo mede 24 centímetros.

17. Temos um quadrado e r = 16 métros.

Inscrito:

l = 16 \sqrt{2}

a = \frac{16 \sqrt{2}}{2} \Rightarrow a = 8 \sqrt{2}

Circunscrito:

\frac{16 \sqrt{2}}{L} = \frac{8 \sqrt{2}}{16} \Rightarrow L = 32

O comprimento do lado desse quadrado mede 32 métros.

18. Temos um hexágono regular e

r = \sqrt{3} c m

Inscrito:

l = \sqrt{3} c m

a = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = \frac{3}{2}

Circunscrito:

\frac{\sqrt{3}}{L} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} \Rightarrow L = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{2}{3} = 2

O lado desse hexágono regular mede 2 centímetros.

É hora de extrapolar – páginas 253 e 254

1. a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes tragam como resposta ideias relacionadas à organização do trânsito, visando um melhor fluxo entre carros e pedestres nas vias.

b) Uma resposta possível:

São placas vermelhas que impõem uma ordem (obrigação) ao motorista.

Exemplos de placas: “Proibido virar à esquerda”, “Proibido estacionar”, “Largura máxima permitida”, “Circulação exclusiva de ônibus” e “Siga em frente ou à direita”.

c) Uma resposta possível:

São placas amarelas de alerta ao motorista sobre o que ele encontrará mais à frente.

Por exemplo: “Rua sem Saída”, “Semáforo à frente”, “Saliência ou lombada”, “Pista escorregadia” e “Pista sinuosa à direita.”

Página noventa e sete

2. Uma resposta possível:

a) Essas placas têm formatos diferentes das demais para que possamos visualizá-las tanto frontalmente quanto posteriormente, mesmo que estejam danificadas ou mal pintadas.

b) A placa tem o formato de um octógono e seria preciso verificar se todos os lados têm mesma medida de comprimento e se todos os ângulos internos são congruentes, ou seja, se é equilátero e equiângulo.

c) Podemos calcular a medida de comprimento da altura desse triângulo (h), em centímetros:

90^{2} = 45^{2} + h^{2} \Rightarrow h = \sqrt{6 075} \Rightarrow h ≃ 78

, ou seja, 78 centímetros ou 0,78 métro.

Logo, o comprimento da altura total da sinalização será de aproximadamente 2,78 métros, que correspondem a 2 métros mais 0,78 métro.

3. a) É uma placa de advertência.

b) Alertar a existência de uma escola nas proximidades, com a possibilidade de circulação de crianças e adolescentes.

4. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes desenvolvam ideias relacionadas a atitudes que podem ser prejudiciais no trânsito, refletindo sobre as possíveis atitudes para uma melhor convivência em sociedade no trânsito.

5. a) Alertar sobre o uso de celulares ao andar nas ruas.

b) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes reflitam sobre o uso do celular ao andar nas ruas e como evitar acidentes, verificando a efetividade do uso de uma placa para alertar.

Etapa 3:

Espera-se que os estudantes pesquisem no Código de Trânsito Brasileiro, disponível em: https://oeds.link/CPovVV. Acesso em: 22 julho 2022.

Etapas 4 e 5: Os estudantes conduzirão, com a ajuda do professor, as discussões, a construção das placas e a promoção da campanha pelo trânsito seguro na comunidade escolar.

CAPÍTULO 10 – Vistas ortogonais e volumes

Trocando ideias — página 256

• Representando as projeções nos planos indicados, temos:

Figura geométrica. Quadrado laranja. Figura geométrica. Retângulo laranja. Figura geométrica. Retângulo laranja.

• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes tragam como resposta o uso da modelagem para a produção de peças na Engenharia ou até mesmo no campo da Medicina para a criação de próteses para pessoas com deficiência.

Atividades – página 258

1. Ponto C, pois é a intersecção da reta perpendicular a α que contém P.

2. Um círculo.

3. Não, ao posicionar, por exemplo, a base paralela ao plano, obtém-se um quadrado como projeção da pirâmide.

4. Considerando que uma das faces laterais do prisma é paralelo a α, temos a seguinte representação da projeção:

Figura geométrica. Prisma de base hexagonal deitado, azul, sendo projetado sobre um plano alfa roxo claro. Sua projeção forma um retângulo roxo escuro no plano alfa.

a) Não, a projeção ortogonal depende da inclinação e do posicionamento do prisma.

b) Um retângulo.

Atividades – página 260

5. Item a, pois representa um desnível que não existe em nenhuma vista.

6. Temos as seguintes representações.

Esquema. Representação das vistas ortogonais do sólido geométrico da atividade 6, item a, do livro do estudante. Uma figura formada por um triângulo azul e ao lado direito, justaposto a ele, um retângulo verde. Essa figura se repete mais três vezes abaixo. Do lado direito um quadrado azul dividido em 4 triângulos iguais e outro verde dividido em 4 triângulos por linhas pontilhadas.

Esquema. Representação das vistas ortogonais do tronco de pirâmide da atividade 6, item b. Quadrado alaranjada com outro quadrado centralizado feito com linhas pontilhadas. Os vértices do quadrado de dentro estão ligados aos de fora com linhas pontilhadas. Ao lado a mesma figura, porém as linhas pontilhadas representadas antes são contínuas. Entre eles, quatro trapézios alaranjados.

7. a) Vista ortogonal lateral, esquerda ou direita:

Figura geométrica. Retângulo cinza com linha horizontal dividindo-o ao meio.

b) Espera-se que os estudantes percebam que, como a lateral da peça não foi representada, há diferentes modos de desenhar uma possível vista lateral dessa peça; por exemplo, não há como saber se a lateral apresenta furos, rebaixos, dentes etcétera.

Figura geométrica. Polígono irregular de 10 lados. Legenda: vista ortogonal frontal. Figura geométrica. Retângulo cinza com duas linhas verticais tracejadas dividindo-o em 3 partes (as duas menores iguais e a maior e central, diferente. Legenda: vista ortogonal superior. Figura geométrica. Retângulo cinza com duas linhas horizontais dividindo-o em 3 partes iguais.
Legenda: vista ortogonal lateral esquerda.

a) As figuras que as representam são congruentes.

b) Espera-se que os estudantes observem que obter as 6 vistas ortogonais permite a visualização completa da peça, como demonstrado no exemplo fornecido em Observações, na página 259, onde cada projeção é diferente.

Atividades – página 262

9. Construindo cada caso em malhas triangulares, temos:

Figura geométrica. Malha triangular com a representação de um paralelepípedo verde.

Figura geométrica. Malha triangular com a representação de um sólido alaranjado: prisma, cuja a base é um polígono não convexo semelhante a letra L.

Figura geométrica. Malha triangular com a representação de um sólido roxo semelhante a uma escada de 3 degraus.

10. A partir das visões ortogonais, temos: um-D; dois-C; dois-A, quatro-B.

11. Resposta pessoal.

12. Respostas pessoais.

Página noventa e oito

Veja que interessante – página 263

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes pesquisem diferentes obras que possam tratar a ideia de ponto de fuga. Em especial, o professor pode dedicar esse momento a visitas a museus virtuais utilizando uma sala de informática presente na escola ou pelo uso de celulares com conexão com a internet.

Atividades – página 268

13. Calculando a medida dos volumes:

a) V = (6,5 · 4 · 5,3) centímetros cúbicos = 137,8 centímetros cúbicos

b) V = (10,25 · 2 · 2) centímetros cúbicos = 41 centímetros cúbicos

c) V = (9,75 · 4 · 2,8) centímetros cúbicos = 109,2 centímetros cúbicos

14. Calculando a medida dos volumes:

V = (\frac{4 \cdot 3 \cdot 12}{2}) {c m}^{3} = 72 {c m}^{3}

V = (\frac{6 \cdot 5,2 \cdot 8}{2}) {c m}^{3} = 124,8 {c m}^{3}

15. a) V = 32 ⋅ 5 centímetros cúbicos = 160 centímetros cúbicos

V = \frac{160 {c m}^{3}}{8} = 20 {c m}^{3}

16. a) Uma possível resposta: o cilindro um tem menor medida de volume, já que tem raio da base e altura com menores medidas de comprimento em relação aos três, e o cilindro três tem a maior medida de volume, com as maiores medidas de raio da base e altura.

b) Considerando os cilindros da esquerda para a direita:

VI = (3,14 ⋅ 22 ⋅ 3) centímetros cúbicos = 37,68 centímetros cúbicos

VII = (3,14 ⋅ 22 ⋅ 5) centímetros cúbicos = 62,8 centímetros cúbicos

VIII = (3,14 ⋅ 32 ⋅ 5) centímetros cúbicos = 141,3 centímetros cúbicos

17. Devemos calcular a medida da área da base desse prisma.

O pentágono é formado por 5 triângulos com lado medindo 3 centímetros e altura medindo 2,1 centímetros. Ou seja:

A_{t r i â n g u l o} = (\frac{3 \cdot 2,1}{2} c m^{2}) \Rightarrow A_{t r i â n g u l o} = 3,15 {c m}^{2}

Apentagóno = 5 ⋅ Atriângulo ⇒ 15,75 centímetros quadrados

Assim, poderemos calcular o volume desse prisma:

Vprisma = (5 ⋅ 15,75) centímetros cúbicos = 78,75 centímetros cúbicos

18. a) Podemos calcular a medida do volume total desse recipiente:

V = (36 ⋅ 20 ⋅ 20) centímetros cúbicos = 1.4400 centímetros cúbicos

Como colocou-se água até

\frac{2}{3}

da medida de sua altura, podemos calcular a medida do volume de água colocada fazendo:

\frac{2}{3} d e 14 400 {c m}^{3} = \frac{2 \cdot 14400}{3} {c m}^{3} = 9600 {c m}^{3}

b) Como o recipiente está com

\frac{2}{3}

de sua capacidade, então ainda falta completar

\frac{1}{3}

de sua capacidade:

\frac{1}{3} d e 14400 c m^{3} = \frac{14400}{3} {c m}^{3} = 4800 {c m}^{3}

Logo, ainda podem ser colocados .4800 mililitros de água.

19. a) Calculando a medida do volume de cada caixa:

V1 = 5 centímetros ⋅ 10 centímetros ⋅ 20 centímetros = .1000 centímetros cúbicos

V2 = 10 centímetros ⋅ 10 centímetros ⋅ 10 centímetros = .1000 centímetros cúbicos

Portanto, como as duas caixas têm medida de volume igual ou maior que 900 centímetros cúbicos, Márcia pode utilizar ambas.

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: como os bombons ficam distribuídos na caixa, eles precisarão ser empilhados para ficar mais fácil de serem transportados sem serem danificados.

c) Resposta pessoal. Exemplo de informação que poderia ser acrescentada no enunciado: trocar 900 centímetros cúbicos por .1050 centímetros cúbicos.

20. Resposta pessoal.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – página 269

Quadro. 4 colunas e 3 linhas. Primeira coluna: Item; a; b; Segunda coluna: Vista ortogonal lateral esquerda; três quadrados vermelhos na horizontal e um acima do segundo quadrado; três quadrados vermelhos na vertical e um à direita do último quadrado. Terceira coluna: Vista ortogonal frontal: dois quadrados azuis na vertical; três quadrados azuis na vertical. Quarta coluna: Vista ortogonal superior; três quadrados vermelhos na horizontal; dois quadrados vermelhos na horizontal.

Quadro. 3 colunas e 2 linhas. Primeira coluna: Vista ortogonal lateral esquerda; triângulo verde em uma malha quadriculada 2 por 4; Segunda coluna: Vista ortogonal frontal; triângulo verde em uma malha quadriculada 2 por 4. Terceira coluna: Vista ortogonal superior; quadrado formado em uma malha quadriculada 2 por 2 com duas diagonais cruzadas no centro.

3. A partir das vistas ortogonal superior e ortogonal frontal, podemos identificar cada um dos poliedros.

a) Prisma de base pentagonal.

b) Pirâmide de base hexagonal.

4. a) V = 15 centímetros ⋅ 2,5 centímetros ⋅ 2,5 centímetros = 93,75 centímetros cúbicos

b) V = 3,14 ⋅ (4 centímetros)2 ⋅ 12 centímetros = 602,88 centímetros cúbicos

5. V = (25 métros ⋅ 10 métros ⋅ 1,8 métro) = 450 métros cúbicos

Portanto, são necessários 450 métros cúbicos de água para encher essa piscina.

6. a)

V = \frac{50 c m \cdot 40 c m \cdot 20 c m}{2} = 20000 c m^{3}

b) Como .1000 centímetros cúbicos = 1 litro, então 2.0000 centímetros cúbicos = 20 litros

Portanto, cabem 20 litros de água nesse aquário.

7. a. V = 3 ⋅ (1,2 métro)2 ⋅ 1 métro = 4,32 métros cúbicos

b) Como 1 métro cúbico = .1000 litros, então 4,32 métros cúbicos = .4320 litros.

Portanto, cabem .4320 litros de água nessa caixa.

8. Como o hexágono é regular e a medida de comprimento do lado é 3 centímetros, podemos considerar que ele é formado por 6 triângulos equiláteros de lado medindo 3 centímetros; a medida da altura (h) coincide com o apótema desse hexágono e é dada por:

h = \frac{3 \sqrt{3}}{2} c m

Logo,

A_{t r i â n g u l o} = \frac{3 c m \cdot \frac{3 \sqrt{3} c m}{2}}{2} \Rightarrow A_{t r i â n g u l o} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} {c m}^{2}

A_{h e x á g o n o}

= 6 ⋅

A_{t r i â n g u l o}

⇒

A_{h e x á g o n o}

\frac{27 \sqrt{3}}{2}

{c m}^{2}

V_{p r i s m a} = \frac{27 \sqrt{3}}{2} {c m}^{3} \cdot 8 {c m}^{3} \Rightarrow V_{p r i s m a} = 108 \sqrt{3} c m^{3}

Portanto, a medida de volume do prisma de base hexagonal é

108 \sqrt{3} c m^{3}

Página noventa e nove

CAPÍTULO 11 – Construção de gráficos estatísticos

Trocando ideias – página 270

• Fluxograma da esquerda: procedimento para a construção de gráficos de barras simples.

• Fluxograma da direita: procedimento para construção de gráficos de setores.

• Uma resposta possível:

Fluxograma. Início. Seta para baixo. Com uma régua, trace uma linha horizontal e outra vertical. Seta para baixo. Escolha uma escala para a linha horizontal e faça marcações. Seta para baixo. Desenhe os retângulos correspondentes apoiados na linha vertical. Seta para baixo. Insira o título e a fonte do gráfico. Seta para baixo. Fim.

Atividades – páginas 278 a 280

1. Espera-se que os estudantes respondam que um observador pode interpretar a arrecadação do 9º ano a como maior que a arrecadação do 9º ano B. Para corrigir isso, as barras devem ter a mesma medida de comprimento da base.

2. Espera-se que os estudantes não concordem com a afirmação de Ricardo. Observamos que as escalas utilizadas em cada gráfico são diferentes, então fazer uma comparação direta pode levar a equívocos como esse. A nota do 1º bimestre dos dois foi 6,0. E a nota do 4º bimestre de Rafael foi 9,0, enquanto a de Ricardo foi 8,0. Rafael foi quem teve maior evolução.

3. a) Observando ambos os gráficos, podemos perceber que suas amplitudes aparentes podem diferir devido à escala utilizada para representar os dados. Assim, verificando o gráfico com escala menor, temos uma diferença de aproximadamente R$ 14,00quatorze reais. É importante ressaltar que não podemos afirmar que a amplitude é aproximadamente R$ 15,00quinze reais, já que o ponto máximo do gráfico tem ordenada menor do que R$ 1.245,00mil duzentos e quarenta e cinco reais.

b) Considerando a amplitude de aproximadamente R$ 14,00quatorze reais, temos:

1244 = 1230 \cdot P \Rightarrow P = \frac{1244}{1230} ≃ 1,011 = 101,1 %

Assim, a porcentagem de aumento é de, aproximadamente, 1,1%.

c) Espera-se que os estudantes percebam que a impressão é de que os gráficos representam situações diferentes.

d) No gráfico da esquerda, a sensação é de que os gastos com o lanche da tarde aumentaram muito na última semana. No gráfico da direita, a sensação é de que os gastos foram praticamente constantes durante a semana.

4. a)

Gráfico em barras horizontais. Título do gráfico: NÚMERO ESTIMADO DE MUNICÍPIOS COM LOCALIDADES QUILOMBAS NO BRASIL EM 2019. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical estão indicadas as regiões do Brasil. No eixo horizontal estão indicados o número de municípios. Os dados são: Norte: 122. Nordeste: 810. Centro-Oeste: 90. Sudeste: 514. Sul: 136. — Dados obtidos em: BASE de Informações Geográficas e Estatísticas sobre os indígenas e quilombolas para enfrentamento à Covid-19. Notas Técnicas. Rio de Janeiro: IBGE, 2020. Volume especial

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: As comunidades quilombolas resgatam a história afro-brasileira, valorizando a preservação de costumes, organizações, saberes e tradições desse segmento social.

5. Exemplo de resposta:

MEDIDA DA MASSA DOS PACOTES DE FEIJÃO
Medida da massa (em grama) (classe)	Quantidade de pacotes (frequência)
940 ⟝ 960	3
960 ⟝ 980	6
980 ⟝ 1000	6
1000 ⟝ 1020	3
1020 ⟝ 1040	2

Dados obtidos pelo laboratório em janeiro de 2024.

Gráfico em barras verticais. Título do gráfico: MEDIDA DA MASSA DOS PACOTES DE FEIJÃO. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical estão indicadas as quantidades de pacotes. No eixo horizontal estão indicadas as medidas da massa em grama. Os dados são: 940 a 960: 3. 960 a 980: 6. 980 a 1000: 6. 1000 a 1020: 3. 1020 a 1040: 2. — Dados obtidos pelo laboratório em janeiro de 2024.

6. a) É um gráfico de segmentos.

b) Foram produzidos 84 milhões de toneladas.

c) Em 2023: 110 milhões de toneladas

Em 2016: 75 milhões de toneladas

Logo, teremos um aumento percentual de:

\frac{110 - 75}{75} = \frac{35}{75} ≃ 0, 4666

Assim, a safra de 2023 foi, aproximadamente, 46,66% superior à safra de 2016.

Página cem

7. Exemplo de resposta:

Gráfico de setores. Título do gráfico: ATIVIDADES ESPORTIVAS PREFERIDAS PELOS ESTUDANTES DA ESCOLA EM 2023. Os dados são: Futebol: 400 com ângulo de 180 graus no gráfico. Tênis: 40 com ângulo de 18 graus no gráfico. Vôlei: 120 com ângulo de 54 graus no gráfico. Natação: 160 com ângulo de 72 graus no gráfico. Basquete: 80 com ângulo de 36 graus no gráfico. — Dados obtidos pelos professores em 2023.

Lendo e aprendendo – página 282

1. a) O Níger fica no continente africano.

b) É um índice que mede o desempenho dos países em relação à saúde, à educação e à renda.

c) Condição geográfica (clima desértico e o fato de não ser banhado por nenhum mar), população vivendo em pobreza extrema e educação precária associada ao trabalho infantil.

d) É uma escola de futebol para meninas nigerinas em que são aceitas apenas aquelas que estão matriculadas em escola.

e) Porque muitas delas se casam antes de completar 18 anos de idade por falta de perspectivas de estudo e de emprego, ficando “presas” a tarefas domésticas.

2. Exemplos de resposta:

Gráfico de setores. Título do gráfico: SITUAÇÃO DE POBREZA DA POPULAÇÃO DO NÍGER EM MARÇO DE 2021. Os dados são: Viviam em situação de pobreza extrema: 40%. Não viviam em situação de pobreza extrema: 60%. — Fonte: Relatório de Desenvolvimento Humano da Organização das Nações Unidas (ONU).

Gráfico de setores. Título do gráfico: ANALFABETOS E NÃO ANALFABETOS NO NÍGER EM MARÇO DE 2021. Os dados são: Analfabetos: 70%. Não analfabetos: 30%. — Fonte: Organização das Nações Unidas (ONU).

3. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes pesquisem informações a respeito do í dê agá de dois países e comparem suas situações, indicando possíveis razões para as diferenças entre os valores dos í dê agás desses países.

Construção de gráfico de barras em software de planilha eletrônica – página 284

• Sim, porque o número de cabeças de gado, em 2020, em Mato Grosso, superou .30000 cabeças; em Rondônia, esse número ficou abaixo de .15000 cabeças e .30000 é o dôbro de .15000.

• Não, porque os gráficos de segmentos são utilizados para representar a variação de certo dado no decorrer do tempo, o que não ocorre com os dados da tabela presente na planilha.

• Oriente os estudantes a pesquisarem em diferentes meios de comunicação (como internet ou jornais) diferentes gráficos que possam levar a conclusões equivocadas. Eles devem observar o tipo de gráfico construído, a manchete associada e a escala utilizada, a fim de verificar se diferentes tipos de gráfico podem levar a diferentes conclusões.

Atividades – página 285

8. Exemplos de resposta:

Gráfico em barras verticais. Título do gráfico: PREFERÊNCIA DOS ESTUDANTES POR FRUTAS EM 2024. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical estão indicadas as quantidades de estudantes. No eixo horizontal estão indicadas as frutas. Os dados são: banana: 12. Maçã: 6. Pera: 8. Uva: 4. — Dados obtidos pela professora em 2024.

Gráfico de setores. Título do gráfico: PREFERÊNCIA DOS ESTUDANTES POR FRUTAS EM 2024. Os dados são: banana: 40%. Maçã: 20%. Pera: 27%. Uva: 13%. — Dados obtidos pela professora em 2024.

Gráfico de linha. Título do gráfico: VARIAÇÃO DO PREÇO DE UM JOGO APÓS O LANÇAMENTO EM DEZEMBRO DE 2023. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical está indicado o preço em reais. No eixo horizontal estão indicadas as as semanas. Os dados são: 1ª semana: 200. 2ª semana: 195. 3ª semana: 190. 4ª semana: 159. — Dados obtidos por Luíza em dezembro de 2023.

Página cento e um

Gráfico em barras verticais. Eixo x, Medida de massa (em quilogramas). Eixo y, frequência. Os dados são: De 45 a 55: 12. De 55 a 65: 13. De 65 a 75: 7. De 75 a 85: 2. — Dados obtidos pelo professor em janeiro de 2024.

9. Resposta pessoal.

Revisão dos conteúdos deste capítulo – páginas 286 e 287

1. a)

MEDIDA DA ALTURA DAS ATLETAS BRASILEIRAS DE VOLEIBOL
Medida da altura (em metro) (classe)	Quantidade de atletas
1,6 ⟝ 1,66	1
1,67 ⟝ 1,73	0
1,74 ⟝ 1,80	4
1,81 ⟝ 1,87	9
1,88 ⟝ 1,94	4

Dados obtidos em: https://oeds.link/bzfy3X. Acesso em: 19 ago. 2022.

Gráfico em barras verticais. Título do gráfico: ESTATURA DAS ATLETAS DA SELEÇÃO BRASILEIRA DE VOLEIBOL. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical estão indicadas a quantidade de atletas. No eixo horizontal estão indicadas as medidas da altura. Os dados são: de 1,0 metro a 1,67 metros: 1,5. De 1,74 metro a 1,81 metros: 4. De 1,81 metros a 1,88 metros: 9. De 1,88 metros a 1,95 metros: 4. — Dados obtidos em: https://oeds.link/bzfy3X. Acesso em: 19 agosto 2022.

2. a) Como temos um total de 60 estudantes, as porcentagens correspondentes serão:

Inglês:

\frac{15}{60} = 25 %

Natação:

\frac{12}{60} = 20 %

Judô:

\frac{9}{60} = 15 %

Futebol:

\frac{18}{60} = 30 %

Ginástica:

\frac{6}{60} = 10 %

c) Exemplo de resposta: a atividade extra mais realizada pelos estudantes do 9º B é o futebol, enquanto a menos praticada é a ginástica. Os estudantes que praticam ginástica representam um terço dos que praticam futebol.

3. a) A região Nordeste.

b) As regiões Sudeste, Sul e Centro-Oeste.

c) Exemplo de resposta: gráfico de setores, porque possibilita comparar a taxa de analfabetismo entre as regiões e a taxa de analfabetismo de cada região com a taxa de analfabetismo nacional.

4. a)

Gráfico em linha. Título do gráfico: SALÁRIO MÉDIO DOS FUNCIONÁRIOS DE UMA EMPRESA (de 2000 a 2020). Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical está indicado o salário médio em reais. No eixo horizontal estão indicados os anos. Os dados são: 2000: 150. 2005: 300. 2010: 510. 2015: 780. 2020: 1140. — Dados obtidos pelo departamento de Recursos Humanos da empresa entre 2000 e 2020.

b) Entre 2010 e 2015.

c) Respostas pessoais. Os estudantes podem verificar que, embora o valor bruto de aumento salarial seja maior a cada ano, a taxa de aumento do salário é menor; assim, caso a tendência se mantenha, o aumento de salário proporcional nos próximos anos será cada vez menor.

5. a) Considerando que o total vendido foi de .2400 peças, teremos:

roupa feminina:

\frac{50}{100} \cdot 2400 = 1200

roupa masculina:

\frac{10}{100} \cdot 2400 = 240

roupa infantil:

\frac{15}{100} \cdot 2400 = 360

cama, mesa e banho:

\frac{25}{100} \cdot 2400 = 600

Assim, construindo a tabela:

VENDAS EM DEZEMBRO DE 2023
Tipo de produto	Quantidade de produtos vendidos
Roupa feminina	1.200
Roupa masculina	240
Roupa infantil	360
Cama, mesa e banho	600
Total	2.400

Dados obtidos pelo departamento de vendas da loja em dezembro de 2023.

Página cento e dois

Gráfico em barras horizontais. Título do gráfico: VENDAS EM DEZEMBRO DE 2023. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical estão indicadas os produtos. No eixo horizontal estão indicadas as quantidades de produtos vendidos. Os dados são: Cama, mesa e banho: 600. Roupa infantil: 360. Roupa masculina: 240. Roupa feminina: mil e 200. — Dados obtidos pelo departamento de vendas da loja em dezembro de 2023.

c) Exemplo de resposta:

um. Os produtos mais vendidos foram as roupas femininas;

dois. Os produtos menos vendidos foram as roupas masculinas;

três. As roupas femininas vendidas correspondem ao dôbro dos itens de cama mesa e banho vendidas em dezembro de 2023.

6. Exemplo de resposta: espera-se que os estudantes percebam que a escala utilizada no gráfico não começa no zero, o que dá a falsa impressão de uma diferença de intenção de votos entre os candidatos maior do que é na realidade.

CAPÍTULO 12 – Probabilidade e estatística

Trocando ideias – página 288

• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes percebam que, para entrevistar todos os idosos do país, seriam necessários muitos recursos e pessoal; assim, é realizada uma pesquisa por amostragem.

• Respostas pessoais. A proposta da questão abre espaço para discutir com os estudantes dificuldades e problemas que um indivíduo pode enfrentar ao envelhecer e como as situações podem ser amenizadas.

Atividades – página 291

1. Número de elementos do espaço amostral: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6 elementos)

Número de elementos favoráveis ao evento: 1, 2, 3, 4 (4 elementos)

Logo, teremos:

P (n ú m e r o m e n o r q u e 5) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

2. Número de elementos do espaço amostral: 200 elementos

Número de elementos favoráveis ao evento: 6 elementos (quantidade de cartelas recebidas por Ana)

P (u m a c a r t e l a d a A n a s e r s o r t e a d a) = \frac{6}{200} = \frac{3}{100}

3. a. Número de elementos do espaço amostral: 20 elementos

Número de elementos favoráveis ao evento: 4 elementos

P (c a r t ã o s e r a m a r e l o) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}

b) Verde, pois há mais cartões dessa cor.

c) Sair um cartão vermelho, pois:

P (c a r t ã o s e r v e r m e l h o) = \frac{5}{20} = 25 %

4. Respostas pessoais.

Atividades – página 295

5. a) Eventos independentes, pois a ocorrência de um evento não interfere na ocorrência do outro.

b) Eventos dependentes, pois a ocorrência do primeiro evento interfere na ocorrência do segundo evento.

6. São eventos dependentes, já que a ficha não será devolvida. Então, fazemos:

P(A): probabilidade de a primeira ficha ser o número 5.

P(B): probabilidade de a segunda ficha ser o número 48.

P (A) = \frac{1}{100}

P (B) = \frac{1}{99}

Assim, a probabilidade P de a primeira ficha ser 5 e a segunda ser 48 será:

P = \frac{1}{100} \cdot \frac{1}{99} = \frac{1}{9 9 00}

7. a)

P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

P = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Em ambos os casos os eventos são independentes, então não há diferença.

8. a) Suponha que o primeiro sorteado seja azul; vejamos os arranjos possíveis a partir deste sorteio:

Esquema. Diagrama de possibilidades. Primeira coluna: Azul. Da palavra Azul saem 3 linhas, formando uma segunda coluna. Aa primeira linha vai para a palavra Verde, a segunda vai para a palavra Amarela e a terceira vai para a palavra Vermelha. Duas linhas saem de cada cor da segunda coluna. Da palavra Verde, a primeira linha vai para Amarela traço Vermelha. A segunda linha vai para Vermelha traço Amarela. Da palavra Amarela, a primeira linha vai para Vermelha traço Verde. A segunda linha vai para Verde traço Vermelha. Da palavra Vermelha, a primeira linha vai para Amarela traço Verde. A segunda linha vai para Verde traço Amarela.

Ou seja, são 6 possíveis arranjos se a equipe azul for a primeira sorteada. Assim, como são 4 equipes, as possibilidades de arranjo para a ordem de apresentação são 4 ⋅ 6 = 24, ou seja, 24 possibilidades.

Logo,

P = \frac{1}{24}

Portanto, a probabilidade de a ordem de apresentação ser: equipe amarela, equipe verde, equipe azul e equipe vermelha é

\frac{1}{24}

b) Vejamos a probabilidade de dois eventos:

P (sortear e q u i p e a z u l) = \frac{1}{4}

P (s o r t e a r R a f a e l a) = \frac{1}{15}

Assim, a probabilidade P procurada será:

P = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{60}

Portanto, a probabilidade de ela ser a primeira sorteada é

\frac{1}{60}

9. Nesse caso, teremos:

P = P (1ª peça ter defeito) ⋅ P (2ª peça ter defeito)

Então:

P = \frac{50}{100} \cdot \frac{49}{99} = \frac{49}{198}

Portanto, a probabilidade de essas peças estarem com defeito é

\frac{49}{198}

Página cento e três

10. a. Vejamos a probabilidade de cada evento, lembrando que foram sorteados por grupo de estudo do instrumento:

P (mulher que pratica guitarra) =

\frac{14}{34} = \frac{7}{17}

P (homem que pratica violão) =

\frac{15}{27} = \frac{5}{9}

P (mulher que pratica bateria) =

\frac{15}{25} = \frac{3}{5}

Assim, a probabilidade do evento solicitado será:

P = \frac{7}{17} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{7}{51}

b) Vejamos a probabilidade de cada evento, lembrando que os estudantes não foram separados por instrumento de estudo:

P (mulher que pratica guitarra) =

\frac{14}{86} = \frac{7}{43}

P (homem que pratica violão) =

\frac{15}{85} = \frac{3}{17}

P (mulher que pratica bateria) =

\frac{15}{84} = \frac{5}{28}

Assim, a probabilidade do evento solicitado será:

P = \frac{7}{43} \cdot \frac{3}{17} \cdot \frac{5}{28} = \frac{15}{2.9 24}

11. Resposta pessoal.

Atividades – página 297

12. Resposta pessoal.

13. Resposta pessoal.

Atividades – página 299

14. a) Público: adulto.

b) Resposta pessoal.

c) Sim, devem ser considerados.

d) Resposta pessoal.

15. Resposta pessoal.

16. Resposta pessoal.

Atividades – página 301

17. a)

M é d i a s a l a r i a l = \frac{R $ 3.000, 00 + R $ 1.700, 00 + R $ 3.750, 00 + R $ 4.000, 00 + R $ 2.500, 00}{5} =

= \frac{R $ 14.950, 00}{5} = R $ 2.990, 00

Portanto, o salário médio é R$ 2.990,00dois mil novecentos e noventa reais.

b) Pode ser aplicada a moda.

c) Espera-se que os estudantes respondam que a média da medida do tempo de serviço é de 2,5 anos e que o funcionário com mais tempo de serviço trabalha há 4 anos na lanchonete e o que tem menos tempo trabalha há 1 ano e meio.

m é d i a d o t e m p o = \frac{2 + 1, 5 + 3 + 4 + 2}{5} = \frac{12, 5}{5} = 2, 5

18. a) Resposta pessoal. Um critério possível seria estipular que as notas de [0; 2,5[ correspondem a ruim; de [2,5; 5[ correspondem a regular; de [5; 7,5[ correspondem a bom e [7,5 a 10] correspondem a muito bom.

b) Resposta pessoal. Os dados podem ser organizados em uma tabela como a da referência.

AVALIAÇÃO DO NOVO PRODUTO PELOS CLIENTES
Notas	Conceito	Frequência
0 ⟝ 2,5	Ruim	5
2,5 ⟝ 5	Regular	13
5 ⟝ 7,5	Bom	22
7,5 ⟝⟞ 10	Muito bom	20

c) Para facilitar os cálculos, os estudantes podem organizar os valores em ordem crescente.

Moda: 5 (aparece 10 vezes)

M é d i a = \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 4 + 10 \cdot 5 + 5 \cdot 6 + 7 \cdot 7 + 9 \cdot 8 + 6 \cdot 9 + 5 \cdot 10}{60} = \frac{358}{60} ≃ 5, 97

Mediana: 6

Espera-se que os estudantes concluam que o produto não agradou muito aos clientes.

19. Resposta pessoal.

20. Resposta pessoal. Para haver adesão da comunidade à pesquisa, os temas escolhidos devem ser sensíveis à comunidade e podem estar ligados à vida comunitária: instalação ou manutenção de equipamentos urbanos, horários de transporte público, abertura e fechamento de postos de saúde, fluxo na porta da escola etcétera.

Do mesmo modo, a escolha das perguntas para o questionário deve objetivar unicamente a informação desejada, devendo-se evitar a coleta de dados pessoais desnecessários à pesquisa.

Página cento e quatro

Revisão dos conteúdos deste capítulo – páginas 302 e 303

1. a)

P (s e r v e r m e l h a) = \frac{9}{25}

P (s e r a z u l) = \frac{16}{25}

P (s e r azul, com uma azul a menos) = \frac{15}{24} = \frac{3}{8}

2. Número de elementos do espaço amostral: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6 elementos)

P (n ú m e r o p a r) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

P (n ú m e r o m e n o r q u e 5) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

c) P(número maior que 6) = 0

3. a)

P (n ú m e r o m ú l t i p l o d e 4) = \frac{12}{50} = \frac{6}{25}

P (n ú m e r o d i v i s o r d e 5) = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}

P (n ú m e r o m a i o r q u e 30) = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}

4. O espaço amostral é: (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa).

P (s a i r d u a s f a c e s d i f e r e n t e s) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

P (s a i r p e l o m e n o s u m a c a r a) = \frac{3}{4}

5. Pesquisa amostral, pois a censitária demandaria um gasto muito alto e seria muito trabalhosa para entrevistar todos os adolescentes brasileiros.

6. a)

Medida de massa (em kg)	Quantidade de jogadores
61	3
62	1
63	4
65	2
68	2
70	1
71	2

Dados obtidos por Jorge em 2023.

Gráfico em barras verticais. Título do gráfico: MEDIDAS DE MASSA DOS JOGADORES DE UM TIME DE FUTEBOL. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical está indicada a quantidade de jogadores. No eixo horizontal estão indicadas as medidas de massa em quilogramas. Os dados são: 61: 3. 62: 1. 63: 4. 65: 2. 68: 2. 70: 1. 71: 2. — Dados obtidos por Jorge em 2023.

c) Média =

= \frac{3 \cdot 61 + 62 + 4 \cdot 63 + 2 \cdot 65 + 2 \cdot 68 + 70 + 2 \cdot 71}{15} = \frac{975}{15} = 65

Moda: 63

Mediana é 8º termo: 63

7. a) Cinema.

Gráfico em barras horizontais. Título do gráfico: ATIVIDADE CULTURAL PREFERIDA DOS ESTUDANTES. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical está indicada a atividade cultural. No eixo horizontal está indicada a quantidade de estudantes. Os dados são: Visita a museu: 90. Contação de histórias: 74. Show: 122. Cinema: 158. Teatro: 116. — Dados obtidos pela direção da escola em janeiro de 2024.

c) Exemplo de resposta:

Com base nos dados apresentados podemos analisar que:

• a atividade mais escolhida pelos estudantes foi cinema;

• atividade menos escolhida pelos estudantes foi contação de histórias;

• a segunda atividade mais escolhida foi shows.

8. a)

M é d i a = \frac{1320}{160} = 8,25

Logo, média ≃ 8 anos.

Moda: 8 anos

9. a)

M é d i a = \frac{5200 + 3780 + 2 \cdot 2370 + 2 \cdot 1180}{8} =

= \frac{18440}{8} = 2305

M e d i a n a = \frac{1180 + 2370}{2} = 1775

Moda: .1180

b) Não alteraria a moda.

M é d i a = \frac{18440 + 7480}{9} = 2880

Mediana = .2370

10. a) Uma possibilidade de resposta:

Gráfico em linha. Título do gráfico: MEDIDAS DE TEMPERATURA MÍNIMA DURANTE A SEMANA. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical está indicada a medida de temperatura mínima em graus Celsius. No eixo horizontal estão indicados os dias da semana. Os dados são: domingo: 17. Segunda-feira: 18. Terça-feira: 17. Quarta-feira: 21. Quinta-feira: 19. Sexta-feira: 16. Sábado: 15. — Dados obtidos por Fábio na primeira semana de 2024.

M é d i a = \frac{18 + 17 + 21 + 19 + 16 + 15 + 17}{7} ≃ 17,6

Média ≃ 17,6grauscélsius

Mediana = 17grauscélsius

Moda = 17grauscélsius

Página cento e cinco

11. a) Pesquisa censitária, considerando que todos os estudantes, ou seja, toda a população fez a prova.

b) São 20 estudantes, pois 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20.

M é d i a = \frac{109, 9}{20} = 5, 495

c) Moda: 5,3

d) Exemplo de resposta: podemos afirmar que os estudantes não se saíram bem nesta avaliação, visto que ela valia 10 e a média foi menor que 6; a moda foi 5,3 e a maior nota foi 6,9.

É hora de extrapolar – páginas 304 a 306

1. a) Resposta pessoal.

b) Porcentagens aproximadas:

branca:

\frac{92029}{212808} ≃ 42,25 %

preta:

\frac{20030}{212808} ≃ 9,41 %

parda:

\frac{98425}{212808} ≃ 46,25 %

amarela/indígena/sem declaração:

\frac{2 324}{212 808} ≃ 1,09 %

c) Uma resposta possível:

Gráfico de setores. Título do gráfico: POPULAÇÃO RESIDENTE NO BRASIL SEGUNDO COR OU RAÇA EM PORCENTAGEM NO 3º TRIMESTRE DE 2021. Os dados são: Branca: 43%. Preta: 10%. Parda: 46%. Amarela/indígena/sem declaração: 1%. — Dados obtidos em: https://oeds.link/hCjvGt. Acesso em: 19 agosto 2022

2. a) População brasileira (em %) que se autodeclarou negra de 2014 a 2019:

2014	2015	2016	2017	2018	2019
53,1	53,8	54,8	55,4	55,8	56,2

b) Resposta pessoal. Uma possibilidade: gráfico de barras verticais.

c) Resposta depende do gráfico escolhido anteriormente. Uma possibilidade:

Gráfico em barras verticais. Título do gráfico: POPULAÇÃO BRASILEIRA (EM PORCENTAGEM) QUE SE AUTODECLAROU NEGRA DE 2014 A 2019. Eixo horizontal perpendicular a um eixo vertical. No eixo vertical está a porcentagem da população brasileira. No eixo horizontal estão indicados os anos. Os dados são: 2014: 53,1. 2015: 52,8. 2016: 54,8. 2017: 55,4. 2018: 55,8. 2019: 56,2. — Dados obtidos em: https://oeds.link/hCjvGt. Acesso em: 17 jun. 2022

3. Resposta pessoal.

4. Itens á e b). Espera-se que os estudantes pesquisem as informações relacionadas a capoeira em fontes confiáveis. O professor pode indicar nesta atividade a consulta a professores de outros componentes curriculares, como História.

5. a) Pernambuco.

b) Espera-se que os estudantes identifiquem que bastaria multiplicar a medida da área da base pela medida da altura da alfaia. Lembrando que a base é um círculo e a medida de sua área é π r2, em que r é a medida do raio desse círculo.

Comentários referentes às atividades 6 a 15.

Respostas e elaborações pessoais. Referem-se à produção de histórias em quadrinhos e gibis sobre as personalidades negras importantes para a história do Brasil. Pode-se orientar os estudantes a também incluir na produção da atividade conteúdos de Língua Portuguesa e História. Na atividade 9, oriente os estudantes a pesquisarem ou retomarem o conteúdo caso já conheçam as características das histórias em quadrinhos, como o uso de sequências de desenhos para representar a passagem de tempo e ações. Pode ser útil para a produção da atividade introduzir o conceito de esboço sequencial, projetando as histórias e selecionando que elementos podem chamar a atenção do leitor, como as cores, o tipo de história produzida, a maneira que os quadros são dispostos na página, entre outros.

Teste seus conhecimentos

Atividades — páginas 307 a 310

1. Para determinar o valor dessa medida em quilômetro, como 1 quilômetro = .1000 métros, podemos fazer:

...62000000000 métros = (...62000000000 : .1000) quilômetros = ..62000000 quilômetros

Representando esse número em notação científica, temos:

..62000000 = 6,2 ⋅

107

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

2. Calculando o valor da expressão

\frac{\sqrt{a} \cdot a^{2}}{a^{- 2}}

, temos:

\frac{\sqrt{a} \cdot a^{2}}{a^{- 2}} = \frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{2}}{a^{- 2}} = \frac{a^{\frac{1}{2} + 2}}{a^{- 2}} = \frac{a^{\frac{5}{2}}}{a^{- 2}} a^{\frac{5}{2} + 2} = a^{\frac{9}{2}} = \sqrt{a^{9}}

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

Página cento e seis

3. Para determinar o preço desse produto depois do aumento em fevereiro, primeiro vamos calcular o desconto dado em janeiro e, em seguida, o acréscimo em fevereiro.

Desconto de 5% aplicado em janeiro, em real:

86,50 ⋅ 0,95 = 82,175

Acréscimo de 5% aplicado em fevereiro, em real:

82,175 ⋅ 1,05 ≃ 86,28

Logo, o produto passou a custar R$ 86,28oitenta e seis reais e vinte e oito centavos após o acréscimo em fevereiro.

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

4. Vamos determinar os montantes que podem ser obtidos em cada uma das aplicações.

Opção a: 5% ao mês de juro simples durante dois anos.

Seja MA o montante obtido na aplicação a.

MA = .1000 ⋅ 0,05 ⋅ 24 + .1000 = .2200

Logo, na aplicação A, o montante obtido será R$ 2.200,00dois mil duzentos reais.

Opção B: 30% ao ano de juro composto durante um ano.

Seja MB o montante obtido na aplicação B.

MB = .1000 ⋅ 0,30 ⋅ 1 + .1000 = .1300

Logo, na aplicação B, o montante obtido será de R$ 1.300,00mil trezentos reais.

Opção C: 20% ao ano de juro composto durante dois anos.

Seja MC o montante obtido na aplicação C.

Primeiro ano:

MC = .1000 ⋅ 0,20 + .1000 = .1200

Segundo ano:

MC = .1200 ⋅ 0,20 + .1200 = .1440

Logo, na aplicação C, o montante obtido será de R$ 1.440,00mil quatrocentos e quarenta reais.

Organizando os montantes obtidos em ordem decrescente, temos:

MB < MC < MA

Logo, a alternativa correta é a letra a.

5. O triângulo á bê cê e o triângulo á dê é são semelhantes, assim, podemos fazer:

\frac{A C}{A D} = \frac{B C}{D E}

\frac{3}{2} = \frac{5}{D E}

3 \cdot D E = 10 \Rightarrow D E = \frac{10}{3}

Logo, o segmento

\bar{D E}

mede

\frac{10}{3} c m

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

6. O triângulo á bê cê e o triângulo BDE são semelhantes; assim, podemos escrever as relações a seguir.

\frac{y}{8} = \frac{27}{9}

\frac{x}{7} = \frac{27}{9}

Assim, temos:

\frac{y}{8} = \frac{27}{9}

9 ⋅ y = 216 ⇒ y = 24

\frac{x}{7} = \frac{27}{9}

9 ⋅ x = 189 ⇒ x = 21

Logo, x = 21 e y = 24.

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

7. Desenvolvendo a expressão (a − b)2 + 2(a +b)2 − (a − b), temos:

(a − b)2 + 2(a + b)2 − (a − b) =

= a2 − 2ab + b2 + 2(a2 − 2ab + b2) − a + b =

= a2 − 2ab + b2 + 2a2 + 4ab + 2b2 − a + b =

= 3a2 + 2ab + 3b2 − a + b

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

8. Para determinar a medida de volume da caixa, vamos multiplicar a medida de comprimento, a medida da largura e a medida da largura da caixa montada.

Medida de comprimento da caixa: 20 − 2x

Medida de largura da caixa: 20 − 2x

Medida da altura da caixa: x

Vcaixa = 20 − 2x ⋅ 20 − 2x ⋅ x = (20 − 2x)² ⋅ x

Logo, a expressão algébrica que representa a medida de volume da caixa é (20 − 2x)² ⋅ x.

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

9. Seja V o valor da conta, em reais, x a quantidade de quilowatts-hora consumidos e 95,40 (em real) a tarifa fixa, podemos escrever a seguinte função:

V = 95,40 + 0,38x

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

10. Sabendo que as coordenadas

(1, \frac{10}{3})

pertencem ao gráfico da função

f (x) = 4 x - \frac{k}{3}

, vamos substituir os valores de x e f(x) para determinar o valor de k.

Para x = 1 e

f (x) = \frac{10}{3}

, temos:

\frac{10}{3} = 4 \cdot 1 - \frac{k}{3}

10 = 12 − k ⇒ k = 2

Logo, o valor de k é 2.

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

11. Seja x a medida da distância percorrida e considerando um tempo fixo de 5 horas,

y = \frac{1}{5} x

representa a função da velocidade média do carro.

Para verificar qual curva do gráfico corresponde a essa função, vamos determinar alguns pontos que pertencem ao gráfico. Observe o quadro a seguir.

x	y = $1 quinto$ x
0	$1 quinto$ · 0 = 0
5	$1 quinto$ · 5 = 1
10	$1 quinto$ · 10 = 2

Logo, a curva do gráfico referente à função g representa a medida da velocidade média em função da medida da distância percorrida.

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

12. Seja c a medida de comprimento do retângulo e h a medida de altura. Pelo enunciado, temos a seguinte relação:

c + h = 12 ⇒ h = 12 − c

Para calcular a medida da área de um retângulo, devemos multiplicar a medida de altura pela medida de comprimento.

A = (12 − c) ⋅ c

A = 12c − c2 = − c2 + 12c

Portanto, a alternativa correta é a letra a.

13. Para verificar qual gráfico corresponde à função quadrática f(x) = −x² + 4x, vamos determinar alguns pontos que pertencem ao gráfico. Observe o quadro a seguir.

x	f(x) = −x² + 4x
−4	−(−4)² + 4 ⋅(−4) = −16 −16 = −32
−2	−(−2)² + 4 ⋅(−2) = −4 −8 = −12
0	−0² + 4 ⋅0 = 0
2	−(2)² + 4 ⋅(2) = −4 + 8 = 4
4	−(4)² + 4 ⋅(4) = −16 +16 = 0

Página cento e sete

Logo, de acôrdo com as alternativas, o gráfico do item c corresponde à função quadrática f.

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

14. O valor de máximo de uma função é obtido para

x ﻿_{v} = \frac{- b}{2 a}

. Para a função f(x) = −2x² − 18x + 20, temos:

a = − 2; b = − 18; c = 20

x_{﻿ v} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- (- 18)}{2 \cdot (- 2)} = \frac{18}{- 4} = - 4,5

Substituindo x = −4,5 na função f(x) = −2x² − 18x + 20.

f(xv) = −2(−4,5)² − 18(−4,5) + 20 = −40,5 + 81 + 20 = 60,5

Logo, o valor máximo da função real f(x) = −2x² − 18x + 20 é 60,5.

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

15. Como os triângulos têm a mesma tangente em relação a um ângulo agudo correspondente, temos:

\frac{15}{x + 20} = \frac{10}{2 x}

30x = 10x + 200

20x = 200 ⇒ x = 10

Seja y a medida de comprimento da hipotenusa do triângulo maior, aplicando o teorema de Pitágoras nesse triângulo, temos:

y2 = (20 + 10)2 + 152

y2 = 302 + 152

y2 = 900 + 225

y =

\sqrt{1 125}

Portanto, a alternativa correta é a letra a.

16. Atribuindo os pontos A(−6, 3) e B(−2, −2) ao plano cartesiano, temos:

Plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 7 a 2. Eixo y, pontos de menos 2 a 5. Pares ordenados: A (menos 6, 3), B (menos 2, menos 2). Segmento de reta diagonal indo de A até B.

Podemos traçar segmentos perpendiculares aos eixos para formar um triângulo retângulo:

Plano cartesiano. Eixo x, pontos de menos 7 a 2. Eixo y, pontos de menos 2 a 5. Pares ordenados: A (menos 6, 3), B (menos 2, menos 2), C (menos 6, menos 2). Triângulo ABC é formado com a união dos pares por segmentos de retas.

Agora, vamos considerar M, o ponto médio de

\bar{A B}

, e o ponto D, pertencente a

\bar{A C}

, de modo que á ême dê também seja um triângulo retângulo.

Pelo caso á á, com o ângulo reto e o ângulo

\hat{A}

em comum, os triângulos bê ême dê e BCA são semelhantes.

Logo, as medidas de comprimento de seus lados são proporcionais. Desse modo, podemos escrever:

\frac{B A}{B M} = \frac{B C}{B D}

Como M é ponto médio de

\bar{A B}

, então:

\frac{B A}{2} = B M \Rightarrow B A = 2 B M

umum

Substituindo umum em um, obtemos:

\frac{2 B M}{B M} = \frac{B C}{B D} \Rightarrow B C = 2 B D

Sabemos que: BC = −6 − (−2) e BD = x − (−2). Logo:

−6 − (−2) = 2 (x − (−2))

− 4 = 2x + 4

x = − 4

Para determinar y, podemos escrever:

\frac{B A}{B M} = \frac{A C}{M D} \Rightarrow \frac{2 B M}{B M} = \frac{A C}{M D} \Rightarrow A C = 2 M D

Como AC = 3 − (−2) e MD = y − (−2), então:

3 − (−2) = 2(y − (−2))

3 + 2 = 2(y + 2)

5 = 2y + 4

y = 0,5

Assim, concluímos que as coordenadas do ponto médio M são (− 4; 0,5).

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

17. A medida da abertura de um ângulo inscrito é igual à metade da medida da abertura do ângulo central correspondente. De acôrdo com os dados do enunciado, podemos fazer a seguinte relação:

3 x - 115 ° = 2 (\frac{2}{3} x - 20 °)

3 x - 115 ° = \frac{4}{3} x - 40 °

9x − 345° = 4x − 120°

5x = 225° ⇒ x = 45°

Para determinar a medida da abertura do ângulo central, vamos substituir x = 45graus na expressão 3x − 115°:

3 · 45graus − 115graus = 135graus − 115graus = 20graus

Logo, a medida de abertura do ângulo central é 20graus.

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

18. Seja l a medida do comprimento do lado de um triângulo inscrito em uma circunferência. Para determinar esse valor, podemos utilizar a seguinte relação:

l = r \sqrt{3}

, em que r é a medida do raio da circunferência

l = 2 m \sqrt{3}

l = 2 ⋅ 1,7 métro ⇒ l = 3,4 métros

A quantidade de fita necessária corresponde ao perímetro desse triângulo equilátero.

3,4 métros · 3 = 10,2 métros

Logo, serão necessários 10,2 metros de fita para delimitar o espaço.

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

Página cento e oito

19. Seja l a medida do comprimento do lado de um quadrado inscrito em uma circunferência. Para determinar esse valor, podemos utilizar a seguinte relação:

l = r \sqrt{2}

, em que r é a medida do raio da circunferência

l = 20 c m \sqrt{2} = 20 \sqrt{2} c m

Para determinar a medida de área desse quadrado, podemos calcular o produto da medida de comprimento dos lados.

20 \sqrt{2} cm \cdot 20 \sqrt{2} cm = 400 \cdot 2 {cm}^{2} = 800 {cm}^{2}

Logo, a medida de área desse quadrado é 800 centímetros quadrados.

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

20. Seja a a medida do comprimento do apótema de um quadrado inscrito em uma circunferência. Para determinar esse valor, podemos utilizar a seguinte relação:

a = \frac{r \sqrt{2}}{2}

, em que r é a medida do raio da circunferência

a = \frac{\frac{9 \sqrt{2} c m}{2} \sqrt{2}}{2}

a = \frac{9}{2} c m

Logo, a medida do comprimento do apótema é

\frac{9}{2} c m

Portanto, a alternativa correta é a letra a.

21. Um prisma reto de base hexagonal regular tem as faces laterais com formato retangular e suas bases com formato de hexágono regular. Analisando as alternativas, podemos concluir que a única figura que não pode ser a projeção ortogonal que Laís desenhou é um triângulo.

Portanto, a alternativa correta é a letra c.

22. Observando as peças sobre a mesa retangular, podemos reproduzir as vistas ortogonais de cada sólido para determinar qual esboço representa a fotografia.

Ilustração. Quadrado amarelo com um quadrado azul no canto inferior direito, nesse quadrado azul há um quadrado verde dentro. Seta para direita. A mesma figura anterior, porém agora com um triângulo laranja com 3 segmentos de reta que saem dos vértices e se encontram no interior do triângulo à esquerda do quadrado azul. Seta para direita. A mesma figura anterior, porém agora com um círculo roxo na parte superior direita, acima do quadrado azul. Seta para direita. A mesma figura anterior, porém agora com um quadrado rosa à esquerda do círculo roxo.

A figura da alternativa b corresponde à reprodução obtida. Vamos verificar as outras alternativas, posicionando o sólido composto de dois cubos nas posições indicadas nos esboços representados em cada uma delas para verificar se podem ser fotografias de outros ângulos de visão.

Alternativa a:

Ilustração. Quadrado amarelo com quadrado azul no canto superior esquerdo, dentro deste quadrado azul há um quadrado verde ao centro. Na parte superior direita dentro do quadrado maior amarelo, há triângulo laranja com 3 segmentos de reta que saem dos vértices e se encontram no interior do triângulo. Há um círculo roxo na parte inferior esquerda e um quadrado rosa à direita.

Obtemos uma representação diferente do que a mostrada na alternativa a.

Alternativa c:

Ilustração. Quadrado amarelo com quadrado azul no canto inferior esquerdo, dentro deste quadrado azul há um quadrado verde ao centro. Na parte superior esquerda, dentro do quadrado maior amarelo, há triângulo laranja com 3 segmentos de reta que saem dos vértices e se encontram no interior do triângulo. Ainda dentro desse quadrado amarelo, há um círculo roxo na parte inferior direita e um quadrado rosa no canto superior direito.

Obtemos uma representação diferente do que a mostrada na alternativa c.

Alternativa d:

Ilustração. Quadrado amarelo com quadrado azul no canto superior direito, dentro deste quadrado azul há um quadrado verde ao centro. Na parte inferior direita, dentro do quadrado maior amarelo, há triângulo laranja com 3 segmentos de reta que saem dos vértices e se encontram no interior do triângulo. Ainda dentro desse quadrado amarelo, há um círculo roxo na parte superior esquerda e um quadrado rosa no canto inferior esquerdo.

Obtemos uma representação diferente do que a mostrada na alternativa d.

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

23. Para determinar qual recipiente Evandro pode utilizar, vamos calcular a medida de volume de cada um deles.

Cálculo da medida do volume do recipiente com formato de paralelepípedo:

quintoA = 2 centímetros ⋅ 2 centímetros ⋅ 10 centímetros ⇒ quintoA = 40 centímetros cúbicos

Cálculo da medida do volume do recipiente com formato de prisma de base triangular:

V_{B} = \frac{2 c m \cdot 2 c m}{2} \cdot 10 c m \Rightarrow V_{B} = 20 c m ³

Cálculo da medida do volume do recipiente com formato de cilindro:

V_{C} = 3,14 \cdot (2 c m) ² \cdot 10 c m \Rightarrow V_{C} = 125, 6 c m ³

Como 1 centímetro cúbico = 1 mililitro, então, 35 centímetros cúbicos = 35 mililitros.

Logo, Evandro pode utilizar os recipientes A ou C.

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

24. Sabendo o total de entrevistados, com base no gráfico de setores é possível determinar o número de pessoas para cada preferência de votos. Obtendo esses dados, para fazer uma comparação visual e representar esses dados de maneira prática, o gráfico de barras é o mais adequado de acôrdo com as alternativas apresentadas.

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

25. Analisando as alternativas, é possível observar que o histograma é o tipo de gráfico mais adequado para representar os dados coletados por Gabriela, pois é possível representar uma distribuição de frequências em classes de mesma amplitude, o que facilita a leitura dos dados.

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

26. Se a probabilidade de retirar uma bola preta dessa urna é 0,6, a probabilidade de retirar uma bola branca é 1 − 0,6, ou seja, 0,4. Como há 10 bolas nessa urna, podemos concluir que há 6 bolas pretas e 4 bolas brancas.

A probabilidade de retirar uma bola branca e, em seguida, uma bola preta é dada por:

\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}

Portanto, a alternativa correta é a letra a.

27. Vamos calcular cada uma dessas medidas de tendência central para os dados anotados por Ismael.

Cálculo da média aritmética:

\frac{4 + 1 + 0 + 8 + 5 + 8}{6} = \frac{26}{6} ≃ 4, 33

A moda corresponde ao valor de maior frequência.

Logo, nesse caso, 8 é a moda desse conjunto de dados.

Para determinar a mediana, vamos organizar os dados em ordem crescente:

0, 1, 4, 5, 8, 8

Como temos um número par de dados, vamos calcular a média aritmética dos valores centrais.

\frac{4 + 5}{2} = 4, 5

Logo, a média, a mediana e a moda desse conjunto de dados podem ser relacionadas por:

média < mediana < moda

Portanto, a alternativa correta é a letra c.