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Revisão dos conteúdos de anos anteriores

Faça as atividades no caderno.

Para o capítulo 1: Potenciação e radiciação com números reais

Números racionais

Os números racionais (conjunto representado por

) podem ser escritos na fórma de fração, com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero.

Os números naturais (conjunto representado por

Símbolo representado pela letra N, do conjunto dos números naturais.

) e os números inteiros (conjunto representado por

Símbolo representado pela letra Z, do conjunto dos números inteiros.

) são também números racionais.

Números irracionais

Os números irracionais têm infinitas casas decimais e não são periódicos. Os números

\sqrt{2}

2 \sqrt{3}

‒ \sqrt{5}

e π são exemplos de números irracionais.

Números reais

Se juntarmos em um só conjunto os números racionais e os números irracionais, obteremos o conjunto dos números reais, cujo símbolo é

Ilustração. Conjunto R. Dentro do conjunto R, à esquerda, conjunto Q. Dentro do conjunto Q, conjunto Z e dentro do conjunto Z, conjunto N. À direita, conjunto dos números irracionais.

1. Em seu caderno, indique as sentenças verdadeiras e as falsas.

a) 7,3 é um número irracional.

\sqrt{12}

é um número real.

‒ \frac{3}{4}

é um número irracional.

d) 0,333reticências é um número racional.

2. Escreva, em seu caderno, os números que não são racionais.

\sqrt{16}

b) 1,29

‒ \sqrt{3}

d) menos7,777reticências

‒ \sqrt{81}

\frac{2}{\sqrt{2}}

\frac{8}{21}

4 \sqrt{2}

Propriedades da potenciação

Considerando que a é um número real não nulo e que m e n são números inteiros, temos:

Produto de potências de mesma base:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Quociente de potências de mesma base:

a^{m} : a^{n} = a^{m ‒ n}

Potência de uma potência:

{(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}

Potência de um produto:

{(a \cdot b)}^{m} = a^{m} \cdot b^{m}

Potência de um quociente:

{(a : b)}^{m} = a^{m} : b^{m}

3. Escreva, em seu caderno, em fórma de uma única potência:

a) 117 ⋅ 1112

{(‒ \frac{1}{2})}^{10} \cdot {(‒ \frac{1}{2})}^{15}

c) 3115 : 3114

{(\frac{3}{5})}^{20} : {(\frac{3}{5})}^{12}

4. Quais sentenças estão corretas? Anote-as em seu caderno.

3^{10} = 3^{8} + 3^{2}

5^{9} : 5^{3} = 5^{3}

7^{5} \cdot 7^{6} = 7^{11}

d) 100¹² : 100¹¹ = 100

Raiz quadrada

A raiz quadrada de um número real positivo x é um número não negativo que, elevado ao quadrado, resulta em x.

Raiz quadrada exata

Os números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 e 144 foram obtidos de um produto de dois fatores iguais. Chamados quadrados perfeitos, esses números têm como raiz quadrada o fator que os originou.

Raiz quadrada aproximada

Quando um número real não negativo não é um quadrado perfeito, sua raiz quadrada não é exata, mas podemos obter um valor aproximado para ela. Vamos considerar como exemplo

\sqrt{150}

Para começar, procuramos entre quais quadrados perfeitos está o 150: entre 144 e 169.

Respostas e comentários

1. a) Falsa

1. b) Verdadeira

1. c) Falsa

1. d) Verdadeira

2. itens c, f, h

3. a) 1119

3. b)

{(‒ \frac{1}{2})}^{25}

3. c) 311

3. d)

{(\frac{3}{5})}^{8}

4. itens c, d

Revisão dos conteúdos de anos anteriores

Números racionais

Nesta revisão, descrevemos o conjunto dos números racionais, em que estão os números naturais e os números inteiros, e o conjunto dos números irracionais para, depois, definir o conjunto dos números reais pela união desses conjuntos.

• Na atividade 1, os estudantes devem identificar se os números dados são racionais, irracionais ou reais. Caso tenham dificuldades, retome a definição desses conjuntos numéricos com base nas palavras da turma.

• Na atividade 2, destaque aos estudantes que devem identificar os números que não são racionais. Além disso, dê especial atenção aos itens a e ê, pois alguns estudantes podem considerar erroneamente que toda raiz quadrada é um número irracional. Se isso ocorrer, relembre com a turma que existem raízes quadradas exatas e que elas são números racionais.

Propriedades da potenciação

As principais propriedades da potenciação são revisadas neste momento. Caso considere necessário, apresente exemplos numéricos para cada uma das propriedades.

• Na atividade 3, os estudantes devem observar que é solicitada uma resposta em uma única potência. Assim, é preciso apenas aplicar as propriedades do produto ou do quociente de potências de mesma base para obter a potência que responde cada item.

• Ao resolver a atividade 4, os estudantes deverão observar se as propriedades estão sendo utilizadas adequadamente. Vale destacar o item a, em que se faz, de fórma incorreta, uma soma das potências; nesse caso, é importante que os estudantes observem a diferença entre a propriedade e o que foi feito aqui.

Raiz quadrada

Ao revisar raiz quadrada, definimos raiz quadrada exata, números quadrados perfeitos e raiz quadrada aproximada, inclusive usando quadrados perfeitos para realizar aproximações. Se achar necessário, apresente algumas raízes para que a turma calcule o valor exato ou aproximado.

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Como

\sqrt{144} = 12

\sqrt{169} = 13

\sqrt{150}

está entre 12 e 13.

Calculamos os quadrados de alguns números situados entre 12 e 13, com uma casa decimal:

12,1² = 146,41

12,22 = 148,84 (<150)

12,32 = 151,29 (>150)

Assim, 12,2 corresponde a uma aproximação de

\sqrt{150}

com uma casa decimal.

5. Decomponha estes números em fatores primos e, se possível, determine a raiz quadrada exata de cada um deles.

a) 2 116

b) 625

c) 972

d) 784

6. Escreva entre quais quadrados perfeitos estão os seguintes números.

a) 51

b) 93

c) 190

d) 388

7. Agora, calcule a raiz aproximada dos números da atividade anterior com uma casa decimal.

a) 51

b) 93

c) 190

d) 388

Para o capítulo 2: Matemática financeira

Porcentagem

Uma porcentagem indica a parte de um todo que contém 100 partes iguais. Por exemplo, 27% representa 27 partes de 100 ao todo.

Uma porcentagem póde ser escrita na fórma de fração ou na fórma decimal:

27 % = \frac{27}{100} = 0,27

Para calcular o valor referente à porcentagem de um total, multiplicamos a porcentagem (ou sua fração equivalente) pelo valor total.

8. Em seu caderno, calcule:

a) 42% de 50;

b) 16% de 160;

c) 60% de 32;

d) 95% de 8;

e) 120% de 68.

9. Um produto custa R$ 900,00novecentos reais. Calcule o novo valor caso esse produto tenha um:

a) aumento de 15%;

b) aumento de 10%;

c) desconto de 20%;

d) desconto de 1%.

Para o capítulo 3: Segmentos proporcionais e semelhança

Razão e proporção

A razão entre dois números, a e b, com b ≠ 0, nessa ordem, é dada por

\frac{a}{b}

Proporção é uma igualdade entre duas razões. Por exemplo,

\frac{15}{2} = \frac{30}{4}

Propriedade fundamental das proporções

Em toda proporção, dados a, b, c e d não nulos, com

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, temos a ⋅ d = b ⋅ c.

10. Aplicando a propriedade fundamental das proporções, identifique quais pares de razões são proporções.

\frac{5}{4} = \frac{10}{8}

\frac{1}{3} = \frac{2}{4}

\frac{18}{3} = \frac{6}{1}

\frac{7}{5} = \frac{10}{14}

Para o capítulo 4: Fatoração e equações do 2º grau

Expressões algébricas

Uma expressão matemática formada por números e letras ou somente por letras é chamada de expressão algébrica.

Em expressões algébricas, as letras são chamadas de variáveis.

Valor numérico é o resultado das operações efetuadas em uma expressão algébrica após a substituição das variáveis por números.

Adição e multiplicação de termos algébricos

Cada parcela de uma expressão algébrica é um termo algébrico, que é formado por duas partes: a parte numérica, denominada coeficiente, e a parte com letras, denominada parte literal.

Respostas e comentários

5. a) 46

5. b) 25

5. c) não tem raiz exata

5. d) 28

6. a) 49 e 64

6. b) 81 e 100

6. c) 169 e 196

6. d) 361 e 400

7. a) 7,1

7. b) 9,6

7. c) 13,8

7. d) 19,7

8. a) 21

8. b) 25,6

8. c) 19,2

8. d) 7,6

8. e) 81,6

9. a) R$ 1.035,00 mil trinta e cinco reais

9. b) R$ 990,00 novecentos e noventa reais

9. c) R$ 720,00 setecentos e vinte reais

9. d) R$ 891,00 oitocentos e noventa e um reais

10. itens a, c

• Para resolver a atividade 5, os estudantes devem fazer a decomposição de cada número em fatores primos e, assim, verificar se o número é ou não um quadrado perfeito para determinar sua raiz exata. Se necessário, escolha um número menor (por exemplo, 16) e faça a decomposição dele apenas para exemplificar.

• Na atividade 6, sugira aos estudantes que façam uma lista de alguns quadrados perfeitos em ordem crescente para que fique mais fácil identificar entre quais se encontra o número de cada item. Em continuidade, na atividade 7, os estudantes devem calcular a raiz quadrada aproximada de cada número com uma casa decimal. Se necessário, destaque a eles que precisam fazer tentativas para encontrar esse valor.

Porcentagem

Ao rever porcentagem, é apresentada sua definição e a relação entre essa fórma de representação e as fórmas fracionária e decimal.

• Aproveite a atividade 8 para instigar os estudantes a estimarem resultados antes dos cálculos. Por exemplo, ao estimar 95% de 8, espera-se que eles notem que o resultado será um número bem próximo a 8, uma vez que 95% é bem próximo de 100%. Nesse sentido, desenvolve-se um senso numérico importante para atividades fóra da escola, assim como auxilia na correção de eventuais erros de cálculo.

• Na atividade 9, é interessante que os estudantes avaliem o resultado obtido em cada item. Por exemplo, nos itens a e b, os resultados serão maiores que 900, enquanto, nos itens c e d, os resultados serão menores que 900. Se tiverem dúvidas, leve-os a perceber que devem calcular a porcentagem de 900 e adicionar o valor obtido a 900 se for aumento ou subtrair o valor obtido de 900 se for desconto.

Razão e proporção

Neste momento, retomamos as definições de razão e proporção e a propriedade fundamental da proporção. Se achar conveniente, forneça algumas proporções como exemplo para que a turma possa recordar a propriedade fundamental das proporções.

• Na atividade 10, os estudantes devem usar a propriedade fundamental das proporções para identificar os itens em que há proporções. Se achar conveniente, com base nos itens b e d, leve-os a concluir que, para obter uma proporção, não basta igualar duas razões quaisquer.

Expressões algébricas

Ao revisar este tema, primeiro retomamos o conceito de expressão algébrica e, em seguida, tratamos das ideias de valor numérico e adição e subtração de termos algébricos. Se possível, apresente exemplos de expressões algébricas para que os estudantes calculem o valor numérico ou efetuem adições e multiplicações de termos algébricos.

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Para adicionar termos algébricos que têm a mesma parte literal, devemos adicionar os coeficientes e conservar a parte literal.

Para multiplicar dois termos algébricos, devemos:

• multiplicar os coeficientes numéricos entre si;

• multiplicar as partes literais entre si.

11. Determine o valor numérico de cada expressão algébrica considerando x = menos 1.

a) 45 + 43x

\frac{12 x ‒ 1}{10 x}

2 x^{2} ‒ x

12. Calcule as adições algébricas.

a) 6a menos 9b + 12b menos a

\frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{6}

c) 2y menos 9 + 8y + 9

13. Determine os produtos algébricos.

22 \cdot (9 + 3 x ‒ 2 y)

a \cdot b \cdot (‒ 3 b)

\frac{b}{4} \cdot (‒ \frac{a}{3})

Equação do 2º grau com uma incógnita

Equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade que apresenta pelo menos um valor desconhecido representado por uma letra denominada incógnita.

Uma equação do 2º grau na incógnita x pode ser reduzida a uma equação do tipo

a x^{2} + b x + c = 0

, em que a, b e c são números reais, com a ≠ 0; chamamos a, b e c de coeficientes da equação do 2º grau.

Uma equação do 2º grau com uma incógnita, na fórma

a x^{2} + b x + c = 0

, é considerada completa quando tem todos os coeficientes (a, b, c) diferentes de zero; quando b ou c ou os dois coeficientes são iguais a zero, dizemos que a equação do 2º grau

a x^{2} + b x + c = 0

, na incógnita x, é incompleta.

14. Entre os itens a seguir, quais são equações do 2º grau? Nos casos afirmativos, escreva se a equação é completa ou incompleta.

5 x^{2} + x = 0

‒ {5 x}^{2} + 25 = 0

c) 2x + 13 = 0

{\frac{x}{2}}^{2} + x + 1 = 0

15. Escreva, em seu caderno, uma equação do 2º grau seguindo as orientações de cada item:

a) completa com todos os coeficientes iguais a 5;

b) incompleta com a = 9 e b = menos1;

c) incompleta com a = 9 e c = menos1.

Raiz de uma equação do 2º grau

Raiz de uma equação é um número que, ao substituir a incógnita, torna a sentença verdadeira.

Por exemplo, vamos verificar se 0 e menos8 são raízes da equação

{2 x}^{2} ‒ 128 = 0

Para x = 0:

2 \cdot 0^{2} ‒ 128 = 0

menos 128 = 0

sentença falsa

Para x = menos8:

2 ⋅ 64 menos 128 = 0

sentença verdadeira

Logo, 0 não é raiz dessa equação e menos8 é raiz dessa equação.

16. Identifique as sentenças verdadeiras e as falsas.

a) 0 não é raiz da equação

{2 x}^{2} ‒ 5 x = 0

b) 0 é raiz da equação

x^{2} + \frac{x}{2} = 0

c) 1 é raiz da equação

x^{2} ‒ x + 5 = 0

d) 2 não é raiz da equação

x^{2} ‒ 2 x + 1 = 0

17. Qual dos números é raiz da equação

x^{2} + 2 x ‒ 3 = 0

a) menos3

b) 0

c) 1

d) 2

Para o capítulo 5: Função afim

Representação da relação entre grandezas no plano cartesiano

É possível relacionar os valores de duas grandezas por meio de quadros e sentenças algébricas, mas também por meio de gráficos no plano cartesiano.

Para grandezas diretamente proporcionais, se os valores da grandeza do eixo das abscissas podem ser somente números naturais, o gráfico da relação entre os valores não é uma linha contínua, mas pontos alinhados; se os valores dessa grandeza podem ser qualquer número real, o gráfico é uma linha contínua.

Respostas e comentários

11. a) 2

11. b) 1,3

11. c) 3

12. a) 5a + 3b

12. b) x

12. c) 10y

13. a) 198 + 66x menos 44y

13. b) menos3ab2

13. c)

‒ \frac{a b}{12}

14. a) incompleta

14. b) incompleta

14. c) não é equação do 2º grau

14. d) completa

15. a)

{5 x}^{2} + 5 x + 5 = 0

15. b)

{9 x}^{2} ‒ x = 0

15. c)

{9 x}^{2} ‒ 1 = 0

16. a) Falsa

16. b) Verdadeira

16. c) Falsa

16. d) Verdadeira

17. itens a, c

• Na atividade 11, os estudantes devem substituir x por –1 em cada expressão algébrica para calcular seu valor numérico. Acompanhe as resoluções para observar se estão fazendo a substituição e as operações adequadamente. Caso seja necessário, relembre a ordem em que devem ser efetuadas as operações.

• As atividades 12 e 13 trabalham, respectivamente, adições e multiplicações de termos algébricos. Se os estudantes tiverem dificuldades, na lousa, destaque com a turma os coeficientes e as partes literais de cada item. No item a da atividade 13, se for preciso, relembre a propriedade distributiva.

Equação do 2º grau com uma incógnita

Ao trabalhar esta retomada, busca-se focar o conceito de equação e, depois, de equação do 2º grau completa e incompleta.

• Na atividade 14, os estudantes precisam identificar equações de 2º grau e se são completas ou incompletas. É interessante pedir aos estudantes que justifiquem o motivo do item c não ser uma equação de 2º grau; espera-se que expliquem que é uma equação de 1º grau, uma vez que o maior grau da incógnita é 1.

• Após a resolução da atividade 15, peça aos estudantes que comparem os resultados obtidos e questione-os se a atividade permite respostas diferentes. Espera-se que observem que, em cada item, há apenas uma equação como resposta, mas o modo de representar pode ser diferente. Por exemplo, no item c, podemos escrever

{9 x}^{2} ‒ 1 = 0 o u ‒ 1 + 9 x^{2} = 0

; apesar de ser mais usual a primeira, ambas estão corretas e são equivalentes.

Raiz de uma equação do 2º grau

Neste momento, o foco da revisão é a ideia de raiz de uma equação, ou seja, o número que torna a sentença verdadeira quando é colocado no lugar da incógnita.

• Para resolver as atividades 16 e 17, os estudantes podem fazer as substituições em cada item para identificar quando é ou não verdadeira a sentença encontrada. Ao terminar a atividade 17, é interessante retomar com eles que, no caso de equação do 2º grau, é possível encontrar duas raízes distintas.

Representação da relação entre grandezas no plano cartesiano

Nesta revisão, como o assunto do capítulo é função afim, o foco é a representação gráfica da relação entre duas grandezas diretamente proporcionais. Se possível, apresente outros exemplos, inclusive de situações em que o valor da grandeza do eixo das abscissas possa ser qualquer número real.

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Confira essa situação.

Para relacionar o número de ingressos e o valor total a pagar por esses ingressos, foi feito este quadro.

Número de ingressos (n)	1	4	6	10
Total a pagar em R$ (t)	20	80	120	200

Como as grandezas são diretamente proporcionais e o número de ingressos só póde ser um número natural, os valores das grandezas são representados como pontos alinhados no plano cartesiano.

Gráfico. Eixo horizontal n, traços de 0 a 12. Eixo vertical t, traços em 0, 50, 100, 150, 200 e 250. Em n igual a 1, t igual a 20. Em n igual a 4, t igual a 80. Em n igual a 6, t igual a 120. Em n igual a 10, t igual a 200.

18. Considerando que os valores das grandezas são quaisquer números reais positivos ou nulos, relacione cada quadro com o respectivo gráfico.

x	0	5	10	15
y	0	15	30	45

x	5	10	15	20
y	2,5	5	7,5	10

x	2	3	4	5
y	9	13,5	18	22,5

um)

Gráfico. Eixo horizontal x, traço em 0, 5, 10, 15 e 20. Eixo vertical y, traço em 0, 2, 4, 6, 8, 10 e 12. Reta passa por (0, 0) e (20, 10).

dois)

Gráfico. Eixo horizontal x, traço em 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Eixo vertical y, traço em 0, 5, 10, 15, 20 e 25. Reta passa por (0, 0) e (4, 18).

três)

Gráfico. Eixo horizontal x, traço em 0, 5, 10 e 15. Eixo vertical y, traço em 0, 10, 20, 30, 40 e 50. Reta passa por (0, 0) e (10, 30).

Para o capítulo 6: Função quadrática

Grandezas não proporcionais

Muitas situações no cotidiano envolvem grandezas que não têm proporcionalidade direta nem inversa entre elas.

Confira um exemplo dessas grandezas na situação a seguir.

Em um lançamento de 10 métros feito por um jogador de futebol, foram registradas as medidas da distância entre a bola e o jogador (representada por d) e da altura da bola (representada por h), em metro, no quadro a seguir.

d (m)	0	2	5	10
h (m)	0	1,6	2,5	0

Nessa situação, a relação entre as grandezas não é direta nem inversamente proporcional, mas é possível relacionar as medidas pela sentença algébrica

h = ‒ \frac{d^{2}}{10} + d

, em que d é um número real tal que 0 ⩽ dê ⩽ 10.

19. Este quadro apresenta as medidas de comprimento do lado de um quadrado (representadas por a), em centímetro, e as respectivas medidas de área da figura (representadas por y), em centímetro quadrado. Analise-o e, depois, faça o que se pede.

Respostas e comentários

18. a-três; B-um; C-dois

• Para responder à atividade 18, os estudantes precisam comparar os valores das grandezas de cada quadro com cada gráfico para encontrar as correspondências. Caso algumas respostas não estejam adequadas, proponha a eles que analisem se todos os pontos do quadro estão adequadamente representados no gráfico escolhido.

Grandezas não proporcionais

• Na atividade 19, caso os estudantes apresentem dificuldades, relembre com eles como é feito o cálculo da medida de área de um quadrado com base em sua medida de comprimento do lado. Assim, espera-se que consigam escrever uma sentença algébrica relacionando essas medidas (item a), calcular a medida de área de um quadrado a partir da medida de comprimento do lado dado (item b) e calcular a medida de comprimento do lado de um quadrado a partir da medida de área dada (item c).

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a (cm)	1	2	3	4
y (cm2)	1	4	9	16

a) Relacione essas medidas por meio de uma sentença algébrica.

b) Calcule a medida de área do quadrado cujo comprimento do lado mede 3,5 centímetros.

c) Calcule a medida de comprimento do lado do quadrado cuja área mede 64 centímetros quadrados.

Para o capítulo 7: Relações métricas no triângulo retângulo

Triângulo retângulo

Um triângulo retângulo é um polígono de três lados que tem um ângulo interno reto, ou seja, com medida de abertura de 90graus.

20. No caderno, represente a figura indicada em cada item ê, depois, decomponha-a em triângulos retângulos.

a) Um triângulo isósceles.

b) Um quadrado.

Para o capítulo 8: Circunferência, arcos e ângulos

Circunferência

Circunferência é a figura formada por todos os pontos de um plano que estão à mesma medida da distância de um ponto fixo desse plano. O ponto fixo é chamado centro da circunferência.

Nesta circunferência representada, o ponto O é o centro da circunferência.

Figura geométrica. Circunferência com centro O. Os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência. Segmento de reta AB indicado, passando por O. Segmento OC indicado.

a, B, C e D são alguns pontos da circunferência.

O raio é um segmento de reta que une o centro óh a um ponto qualquer da circunferência, como

\overline{O A}

\overline{O B}

\overline{O C}

O diâmetro é um segmento de reta que tem duas extremidades na circunferência e que passa pelo centro da circunferência, como

\overline{A B}

21. Analise esta circunferência de centro C e, no caderno, indique quais afirmações são verdadeiras.

Figura geométrica. Circunferência com centro C. Os pontos A e B pertencem à circunferência. Os segmentos CA e CB estão indicados, e cada um tem medida de comprimento 4 centímetros.

a) Os pontos a e B equidistam de C.

b) C é o centro dessa circunferência.

c) O segmento de reta

\overline{B C}

é raio da circunferência e sua medida de comprimento é 4 centímetros.

d) O segmento de reta

\overline{A C}

é diâmetro da circunferência e sua medida de comprimento é 8 centímetros.

Para o capítulo 9: Polígonos regulares

Um polígono regular tem todos os lados com a mesma medida de comprimento e todos os ângulos com a mesma medida de abertura.

Medidas das aberturas do ângulo interno e do ângulo externo de um polígono regular

Em um polígono regular de n lados, indicando a medida da abertura do ângulo interno por ái , a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos por ésse minúsculoi , a medida da abertura do ângulo externo por áe e a soma das medidas das aberturas dos ângulos externos por ésse minúsculoe , temos:

a_{i} = \frac{S_{i}}{n}

a_{i} = (n ‒ 2) \cdot {\frac{180^{o}}{n}}^{}

a_{e} = \frac{S_{e}}{n}

a_{e} = {\frac{360^{o}}{n}}^{}

22. Em seu caderno, determine a medida da abertura do:

a) ângulo interno de um pentágono regular;

b) ângulo interno de um octógono regular;

c) ângulo externo de um decágono regular;

d) ângulo externo de um hexágono regular.

Ângulo central de um polígono regular

Todo polígono regular póde ser inscrito em uma circunferência. Ângulo central de um polígono regular é aquele cujo vértice é o centro da circunferência e cujos lados passam por dois vértices consecutivos do polígono.

Respostas e comentários

19. a) y = a2, em que a é um número real maior que 0.

19. b) 12,25 centímetros quadrados

19. c) 8 centímetros

20. Exemplo de resposta em Orientações.

21. a) Verdadeira

21. b) Verdadeira

21. c) Verdadeira

21. d) Falsa

22. a) 108graus

22. b) 135graus

22. c) 36graus

22. d) 60graus

Triângulo retângulo

• Exemplo de resposta da atividade 20:

Figura geométrica. Triângulo isósceles, com sua altura indicada por um segmento de reta pontilhado e o Ângulo reto demarcado.

Figura geométrica. Quadrado com 2 ângulos retos opostos demarcado e uma diagonal indicada por um segmento de reta pontilhado.

Circunferência

Esta revisão define circunferência e alguns de seus elementos: centro, raio e diâmetro.

• Para resolver a atividade 21, os estudantes devem analisar afirmações envolvendo elementos de uma circunferência. Ao final, peça que expliquem por que a afirmação do item d é falsa; espera-se que identifiquem que

\overline{A C}

é raio da circunferência com 4 centímetros de medida de comprimento.

Medidas das aberturas do ângulo interno e do ângulo externo de um polígono regular

Neste momento, é feita uma revisão acerca dos polígonos regulares, principalmente em relação ao que se conhece sobre as medidas das aberturas de seus ângulos internos e externos.

• Na atividade 22, os estudantes devem calcular as medidas das aberturas de ângulos internos ou externos de alguns polígonos regulares. Caso eles não associem adequadamente o nome do polígono ao seu número de lados, relembre com a turma.

Ângulo central de um polígono regular

Dando continuidade à revisão de polígonos regulares, o foco agora será o ângulo central desse polígono. Para reforçar essa ideia, é fundamental que os estudantes analisem o exemplo dado (pentágono regular) para entender o que é ângulo central e como é calculada sua medida de abertura.

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Neste pentágono regular á bê cê dê é, ác é um dos ângulos centrais.

Figura geométrica. Circunferência com centro O. Pentágono regular laranja ABCDE inscrito na circunferência. Ângulos centrais indicados com destaque para o o ângulo DOC, com medida de abertura indicada por a c subscrito.

Sendo óh o centro de um polígono regular, a soma das medidas das aberturas de todos os ângulos centrais é 360graus (uma volta completa).

Em um polígono de n lados, a medida da abertura do ângulo central, indicada por ác , é:

a_{c} = {\frac{360 º}{n}}^{}

23. Calcule, em seu caderno, a medida da abertura do ângulo central de um triângulo equilátero.

24. Em seu caderno, escreva a medida da abertura do ângulo

G \hat{O} H

do polígono regular inscrito na circunferência de centro óh a seguir.

Figura geométrica. Circunferência com centro O. Octógono regular azul ABCDEFGH inscrito. Diâmetro vertical AE e diâmetro horizontal GC.

25. Qual destes polígonos é um polígono regular que tem a medida da abertura do ângulo central igual a 60graus?

Figura geométrica. Triângulo verde inscrito em uma circunferência.

Figura geométrica. Quadrado verde inscrito em uma circunferência.

Figura geométrica. Pentágono roxo inscrito em uma circunferência.

Figura geométrica. Hexágono roxo inscrito em uma circunferência.

Para o capítulo 10: Vistas ortogonais e volume

Medida de volume

A medida de volume de um paralelepípedo é obtida multiplicando-se as medidas de comprimento (a), largura (b) e altura (h).

Vparalelepípedo = a ⋅ b ⋅ h

26. Em seu caderno, copie este quadro e complete com as medidas que faltam. Considere as medidas de comprimento, altura e largura em centímetro e a medida de volume em centímetro cúbico.

Medida do comprimento	Medida da altura	Medida da largura	Medida do volume
	2	6	120
0,5		0,2	0,3
1	5		30
2	2	2

Para o capítulo 11: Construção de gráficos estatísticos

Gráficos estatísticos

Gráfico de barras

Esse tipo de gráfico é utilizado principalmente para comparar informações. Podemos ter gráficos de barras verticais ou barras horizontais.

Gráfico de setores

Esse tipo de gráfico é usado quando queremos representar partes de um total.

Gráfico de segmentos

Esse tipo de gráfico é usado quando queremos analisar a variação de algum fato ao longo do tempo.

27. Na tabela a seguir, Brenda registrou as vendas de sua loja em 2023.

Vendas da loja de Brenda em 2023
Produto	Unidades vendidas
A	150
B	200
C	620
D	400

Dados obtidos por Brenda em 2023.

Respostas e comentários

23. 120graus

24. 45graus

25. item d

26. Resposta em Orientações.

• Nas atividades 23 e 24, os estudantes devem calcular as medidas das aberturas dos ângulos centrais de um triângulo equilátero e de um octógono regular, respectivamente. Caso seja necessário, na atividade 24, mostre a eles que o ângulo

G \hat{O} H

é um ângulo central do polígono regular ABCDEFGH.

• Ao trabalhar a atividade 25, ressalte que a medida da abertura do ângulo central já é dada e que o que se pede é o polígono regular que tenha essa medida. Permita que os estudantes utilizem estratégias pessoais e, ao final, oriente-os a compartilhá-las com a turma. Se necessário, mostre que uma opção é calcular a medida da abertura do ângulo central de cada item para conferir qual é igual a 60graus.

Medida de volume

O tema desta revisão é a medida do volume de um paralelepípedo. Para complementar a teoria, é possível ilustrar alguns paralelepípedos com as medidas de suas dimensões para que os estudantes calculem a medida do volume.

• Para resolver a atividade 26, é preciso conhecer a relação entre as medidas apresentadas no quadro para calcular a medida faltante. Acompanhe os estudantes durante a resolução e deixe que expliquem suas estratégias aos colegas. Faça interferências, com novos questionamentos, caso estejam em dúvida de como encontrar algumas medidas.

• Resposta da atividade 26:

Medida do comprimento	Medida da altura	Medida da largura	Medida do volume
10	2	6	120
0,5	3	0,2	0,3
1	5	6	30
2	2	2	8

Gráficos estatísticos

Neste momento, é feita uma breve revisão de três tipos de gráficos estatísticos: de barras, setores e segmentos. Se possível, complemente a teoria apresentando ocorrências desses gráficos em situações reais.

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Esses dados foram representados em dois gráficos diferentes:

Gráfico de setores. Título: VENDAS DA LOJA DE BRENDA EM 2023. Os dados são: Setor vermelho A: 11 por cento. Setor amarelo B: 15 por cento. Setor verde C: 45 por cento. Setor azul D: 29 por cento.

Dados obtidos por Brenda em 2023.

Gráfico de barras verticais. Título: VENDAS DA LOJA DE BRENDA EM 2023. Eixo x, produto. Eixo y, unidades vendidas. Os dados são: A: 150. B: 200. C: 620. D: 400.

Dados obtidos por Brenda em 2023.

Em seu caderno, responda

a) Qual é o tipo de cada gráfico?

b) Qual desses gráficos é mais adequado a essa situação?

28. Em dezembro de 2023, Camila organizou as informações sobre uma exposição de arte e fez um gráfico para representar o número de visitantes por mês.

Gráfico de barras horizontais. Título: NÚMERO DE VISITANTES. Eixo x, número de visitantes. Eixo y, mês. Os dados são: janeiro: 254. Fevereiro: 124. Março: 301. Abril: 306.

Dados obtidos por Camila em dezembro de 2023.

Em seu caderno, represente as informações desse gráfico em um gráfico de segmentos.

Para o capítulo 12: Probabilidade e estatística

Possibilidades

Um experimento aleatório é uma situação em que conhecemos os resultados possíveis, mas em que não podemos assegurar o resultado final.

O espaço amostral de um experimento aleatório é composto de todos os resultados possíveis no experimento.

Princípio multiplicativo

Considere que um acontecimento ocorra em duas etapas sucessivas, a e B. Se a ocorrer de m maneiras e se, para cada uma delas, B póde ocorrer de n maneiras, o número de maneiras em que o acontecimento póde ocorrer é

m \cdot n

Probabilidade

Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.

A probabilidade P da ocorrência de um evento é uma medida que pode assumir um valor de 0 a 1 e é dada pela razão:

P (e v e n t o) = \frac{n ú m e r o d e c a s o s f a v o r á v e i s d o e v e n t o}{n ú m e r o d e e l e m e n t o s d o e s p a ç o a m o s t r a l}

29. Para abrir um cadeado, usa-se uma senha de 4 dígitos.

a) Quantas possibilidades de senha existem?

b) Se a senha começar com 34, quantas possibilidades de senha existem?

c) Se a senha tiver apenas algarismos ímpares, quantas possibilidades de senha existem?

30. Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas, 5 roxas e as restantes, brancas.

Uma bola dessa urna é retirada ao acaso. Calcule, em seu caderno, a probabilidade de essa bola ser:

a) vermelha;

b) roxa;

c) branca.

Respostas e comentários

27. a) de setores e de barras

27. b) Resposta pessoal.

28. Exemplo de resposta em Orientações.

29. a) 10 000 possibilidades

29. b) 100 possibilidades

29. c) 625 possibilidades

30. a)

\frac{1}{3}

30. b)

\frac{1}{6}

30. c)

\frac{1}{2}

• Na atividade 27, os estudantes devem estabelecer uma relação entre os dados de uma tabela e dois gráficos. No item b, permita que eles comentem com colegas sobre o gráfico que consideram mais adequado e faça as interferências que julgar relevantes.

• Na atividade 28, os estudantes devem transpor as informações de um gráfico de barras horizontais para um gráfico de segmentos. Se possível, peça a eles que troquem suas respostas a fim de verificar se a correspondência feita pelo colega está correta. Em caso de equívocos, questione-os sobre a escala escolhida.

• Exemplo de reta da atividade 28:

Gráfico de linha. Título: NÚMERO DE VISITANTES. Eixo x, mês. Eixo y, número de visitantes. Os dados são: janeiro: 254. Fevereiro: 124. Março: 301. Abril: 306.

Dados obtidos por Camila em dezembro de 2023.

Possibilidades

Nesta retomada, define-se o princípio multiplicativo, importante para o estudo de possibilidades. O tema probabilidade também é foco desta revisão tanto no que diz respeito à ideia quanto ao cálculo.

• Na atividade 29, os estudantes devem calcular o número de possibilidades em relação a uma senha. Confira as estratégias utilizadas por eles, verificando se utilizaram o princípio multiplicativo ou algum método pessoal. Se possível, incentive-os a compartilhar com a turma as estratégias usadas.

• Na atividade 30, os estudantes devem calcular probabilidades a partir de uma situação de sorteio de bolas coloridas. Se considerar necessário, amplie a situação para um número diferente de bolas ou peça que eles elaborem outras situações e troquem-nas com um colega para que cada um calcule as probabilidades na situação do outro.

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Unidade 1

Capítulo 1 Potenciação e radiciação com números reais

Capítulo 2 Matemática financeira

Capítulo 3 Segmentos proporcionais e semelhança

Ilustração. Mulher de cabelo escuro e cacheado, camiseta amarela e saia azul de bolinhas. Ela segura uma bandeja acima de sua cabeça com objetos como: caixas, tênis, abajur, sacolas, entre outros. No centro, o texto CONSUMO CONSCIENTE.

O que é consumo consciente? Será que você consome de fórma consciente? O que podemos fazer para praticar o consumo consciente? Ao final desta Unidade, você responderá a essas e outras questões.

Respostas e comentários

Abertura da Unidade

Bê êne cê cê:

• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).

• Competências específicas 7 e 8 (as descrições estão na página sete).

Objetivos:

• Motivar a turma a estudar os conteúdos da Unidade 1.

• Incentivar os estudantes a refletir sobre consumo consciente.

• Incentivar os estudantes a refletir sobre como a Matemática pode contribuir para que consumam de maneira consciente.

Tema contemporâneo transversal:

Proponha aos estudantes que observem a imagem e comentem o que, na opinião deles, ela está retratando. Depois, pergunte o que é consumo consciente. Após alguns deles se manifestarem, explique que o consumo consciente é aquele que leva em consideração os impactos ambientais, sociais e financeiros. Depois, convide-os a falar sobre seus hábitos de consumo e se consideram que consomem de maneira consciente. Por fim, convide-os a refletir sobre a questão de como a Matemática pode nos ajudar a praticar o consumo consciente. Espera-se que eles reconheçam que a Matemática está presente no planejamento das compras, na comparação de preços, na avaliação dos aspectos físicos dos produtos, na gestão das finanças etcétera. Enfatize com a turma que esses assuntos serão retomados na seção É hora de extrapolar proposta ao final desta Unidade.

As questões propostas conduzem os estudantes a discutir uma questão de urgência social com base em princípios sustentáveis e promovem, também, o diálogo e a interação entre os pares, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 9 e das competências específicas 7 e 8 da Bê êne cê cê.

No capítulo 1, o assunto a ser estudado será potenciação e radiciação no conjunto dos números reais. No capítulo 2, o foco será a Matemática financeira, com o estudo de juros simples e compostos. Por fim, o capítulo 3 abordará os conceitos de razão, proporção, semelhança e suas aplicações.

Na seção É hora de extrapolar, os estudantes vão refletir sobre critérios para realizar uma compra; pesquisar dicas para economizar e consumir de fórma consciente e produzir guias de bolso para ser distribuídos para a comunidade escolar.

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Parte 1

Capítulo 1 Potenciação e radiciação com números reais

Trocando ideias

Os fractais são figuras com autossimilaridade, ou seja, eles contêm, dentro de si, cópias menores deles mesmos; essas cópias, por sua vez, contêm cópias ainda menores e, assim, sucessivamente. Os fractais podem ser encontrados na natureza ou ser produzidos por equações matemáticas e programas de computador.

Fotografia. Fractal composto por linhas coloridas com peças iguais prateadas formando um espiral à direita. — Exemplo de fractal.

O triângulo de Sierpinski é um exemplo de fractal. Confira como ele póde ser construído.

Ilustração. Triângulo preto. Seta para: triângulo preto com triângulo branco dentro virado para baixo. Seta para: triângulo preto com triângulo branco dentro virado para baixo e três menores ao redor. Seta para: triângulo preto com triângulo branco dentro virado para baixo, três menores ao redor com três bem menores ao redor de cada. Seta para: triângulo preto com triângulo branco dentro virado para baixo, três menores ao redor com três bem menores ao redor de cada. Ao redor, mais três menores. Seta para: triângulo preto com triângulo branco dentro virado para baixo, três menores ao redor com três bem menores ao redor de cada. Ao redor, mais três menores com mais três menores.

▸

Qual é o número de triângulos com fundo preto presentes em cada uma das figuras anteriores? Como essas quantidades podem ser representadas na fórma de potência?

▸

Reúna-se com um colega e pesquisem em livros ou na internet outros exemplos de fractais. Depois, compartilhem com a turma o que encontraram.

Neste capítulo, vamos estudar a potenciação e a radiciação com números reais.

Respostas e comentários

Trocando ideias: primeiro item: 1 = 3elevado a 0, 3 = 3elevado a 1, 9 = 3elevado a 2, 27 = 3elevado a 3, 81 = 3elevado a 4 e 243 = 3elevado a 5; segundo item: Resposta pessoal.

CAPÍTULO 1 – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO COM NÚMEROS REAIS

Trocando ideias

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 2, 4 e 9 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 2, 3 e 8 (as descrições estão na página sete).

Objetivos:

• Levantar os conhecimentos previamente adquiridos pelos estudantes sobre potência de um número real com expoente inteiro.

• Introduzir a ideia de fractal.

Inicie a aula apresentando o conceito de fractal para a turma e pergunte se os estudantes conseguem perceber a presença da autossimilaridade no fractal da primeira imagem. Depois, se possível, mostre outros exemplos de fractais para que eles possam analisar e discutir sobre o que mais chamou a atenção em cada um deles. Momentos como esse exercitam a curiosidade intelectual dos estudantes, despertam diferentes sentimentos e fazem com que tenham de escutar os colegas com atenção e empatia, o que contribui para o desenvolvimento das competências gerais 2, 4 e 9 da Bê êne cê cê.

Em seguida, convide-os a observar o modo como é construído o triângulo de Sierpinski e peça a alguns estudantes que descrevam tal construção. Esse é um momento em que devem levantar hipóteses e por isso a competência específica 2 tem o seu desenvolvimento favorecido. A atividade envolve ainda reconhecimento de padrão (Álgebra) e conceitos de Geometria, o que contribui para o desenvolvimento da competência específica 3. A competência específica 8 também tem o seu desenvolvimento favorecido porque os estudantes interagem com os colegas de fórma cooperativa.

Explique que a construção é feita por meio de um processo iterativo que tem como ponto de partida um triângulo equilátero. Na primeira iteração, determinam-se os pontos médios de cada lado e unem-se esses pontos, gerando quatro novos triângulos equiláteros menores. Depois, remove-se o triângulo do meio. Na segunda iteração, esses passos são repetidos para cada um dos triângulos restantes. Depois, enfatize que esse processo pode ser repetido indefinidamente, dando origem ao triângulo de Sierpinski.

Aproveite e peça que respondam às questões do primeiro item. Caso tenham dificuldades, oriente-os a organizar as quantidades de triângulos pretos de cada figura em um quadro. Você pode aproveitar o momento e verificar o que já sabem sobre potências com expoente inteiro.

A pesquisa do segundo item pode ser feita em sala de aula ou em casa. Caso julgue necessário, reúna as imagens trazidas pelos estudantes e peça que montem um painel para expor em algum local da sala ou da escola.

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1 Números reais

O conjunto dos números reais é composto do conjunto dos números racionais e do conjunto dos números irracionais.

Um número racional póde ser escrito na fórma

\frac{a}{b}

, com a e b inteiros e b diferente de zero, e sua representação decimal póde ser um decimal exato ou uma dízima periódica. Um número irracional tem uma representação decimal infinita e não periódica.

Sugestão de leitura

GUELLI, Oscar. A invenção dos números. São Paulo: Ática, 1996. (Coleção Contando a história da Matemática).

O livro traz como surgiu a ideia de número, como os povos antigos contavam, como surgiram os números irracionais e muitas outras curiosidades sobre números.

Localização de um número real na reta numérica

Acompanhe esta situação.

A professora de Jean solicitou que a turma localizasse os pontos que representam os números

\sqrt{3}

\sqrt{4}

\sqrt{5}

em uma reta numérica.

Jean traçou a reta numérica e, admitindo que

\sqrt{4}

é igual a 2, já fez essa indicação como aparece a seguir.

Ilustração. Reta numérica com os pontos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Seta saindo de raiz quadrada de 4 e apontando para o ponto 2.

Para localizar os pontos correspondentes aos números

\sqrt{3}

\sqrt{5}

, percebeu que não poderia fazer isso com exatidão. Então, como somente um quadrado perfeito tem raiz quadrada exata (

\sqrt{1} = 1

\sqrt{4} = 2

\sqrt{9} = 3

etcétera), Jean resolveu encontrar aproximações para

\sqrt{3}

\sqrt{5}

partindo dos quadrados perfeitos e, depois, fazendo aproximações melhores.

Analise como ele fez as aproximações.

Ilustração. Folha de papel com as informações: Para raiz quadrada de 3. Como 1 elevado ao quadrado igual 1 e 2 elevado ao quadrado igual 4, raiz quadrada de 3 está entre raiz quadrada de 1 e raiz quadrada 4. Ou seja: 1 menor que raiz quadrada 3 menor que 2.
Como 1 vírgula 7 elevado ao quadrado igual 2 vírgula 89 e 1 vírgula 8 elevado ao quadrado igual 3 vírgula 24, raiz quadrada 3 está entre raiz quadrada 2 vírgula 89 e raiz quadrada 3 vírgula 24. Ou seja: 1 vírgula 7 menor que raiz quadrada 3 menor que 1 vírgula 8.
Como 1 vírgula 73 elevado ao quadrado igual 2 vírgula 9929 e 1 vírgula 74 elevado ao quadrado igual 3 vírgula 0276, raiz quadrada 3 está entre raiz quadrada 2 vírgula 9929 e raiz quadrada 3 vírgula 0276. Ou seja: 1 vírgula 73 menor que raiz quadrada 3 menor que 1 vírgula 74.
Para raiz quadrada 5.
Como 2 elevado ao quadrado igual 4 e 3 elevado ao quadrado igual 9, raiz quadrada 5 está entre raiz quadrada 4 e raiz quadrada 9. Ou seja: 2 menor que raiz quadrada 5 menor que 3.
Como 2 vírgula 2 elevado ao quadrado igual 4 vírgula 84 e 2 elevado a 3 igual 5 vírgula 29, raiz quadrada 5 está entre raiz quadrada 4 vírgula 84 e raiz quadrada 5 vírgula 29. Ou seja: 2 vírgula 2 menor que raiz quadrada 5 menor que 2 vírgula 3. Como 2 vírgula 23 elevado ao quadrado igual 4 vírgula 9729 e 2 vírgula 24 elevado ao quadrado igual 5 vírgula 0176, raiz quadrada 5 e raiz quadrada 5 vírgula 0176. Ou seja: 2 vírgula 23 menor que raiz quadrada 5 menor que 2 vírgula 24.

Com isso, ele fez a representação na reta numérica da seguinte fórma:

Ilustração. Reta numérica com os pontos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Seta saindo de raiz quadrada de 3 e apontando para o ponto aproximadamente 1 vírgula 73. Seta saindo de raiz quadrada de 4 e apontando para o ponto 2. Seta saindo de raiz quadrada de 5 e apontando para o ponto aproximadamente 2 vírgula 23.

Observações

1. Ao fazer uma aproximação por tentativa e erro, póde ser necessário tentar alguns valores que sejam descartados. Por exemplo, para encontrar uma aproximação com uma casa decimal para

\sqrt{3}

, é necessário calcular: 1,1elevado a 2 = 1,21; 1,2elevado a 2 = 1,44; 1,3elevado a 2 = 1,69; 1,4elevado a 2 = 1,96; 1,5elevado a 2 = 2,25; 1,6elevado a 2 = 2,56; 1,7elevado a 2 = 2,89; 1,8elevado a 2 = 3,24. Como 1,7elevado a 2 é o maior valor menor que 3 e 1,8elevado a 2 é o menor valor maior que 3, a aproximação mais exata para

\sqrt{3}

com uma casa decimal está nesse intervalo.

2. Na situação de Jean, foram feitas aproximações de até duas casas decimais, mas poderiam ser feitas aproximações para um número maior ainda de casas decimais, uma vez que os números são irracionais, ou seja, têm uma representação decimal infinita e não periódica.

Respostas e comentários

Números reais

Bê êne cê cê:

Habilidades ê éfe zero nove ême ah zero um e ê éfe zero nove ême ah zero dois (as descrições estão na página oito).

Objetivos:

• Compreender que o conjunto dos números reais é formado pelos números racionais e pelos números irracionais.

• Localizar números reais em uma reta numérica.

Justificativa

Compreender a ideia de conjunto dos números reais consolida os conhecimentos adquiridos anteriormente pela turma sobre os demais conjuntos numéricos e permite a eles entender como estes conjuntos se relacionam. Além disso, com os números reais é possível efetuarmos qualquer adição, subtração, multiplicação e divisão com números reais (exceto a divisão por zero), bem como extrairmos a raiz quadrada de qualquer número positivo e encontrarmos números reais.

A localização de números reais na reta numérica, por sua vez, leva os estudantes a perceber que é possível estabelecer uma correspondência entre cada número real e cada ponto da reta numérica, o que favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero dois.

Mapeando conhecimentos

Pergunte aos estudantes: “O que é um número racional? E um número irracional? Um número pode ser racional e irracional ao mesmo tempo? Por quê? Vocês já ouviram falar em conjunto dos números reais? Como podemos representar o número

\sqrt{2}

na reta numérica? E o

\sqrt{5}

?”. Deixe que levantem hipóteses e troquem ideias.

Para as aulas iniciais

Na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores são retomados os conceitos de número racional, irracional e real. Peça aos estudantes que façam a leitura coletiva dessa revisão e façam as atividades 1 e 2. Depois, corrija as atividades na lousa. Você pode ampliar a proposta dessas atividades e mostrar como representar os números de alguns itens na reta numérica.

Abra uma discussão com os estudantes para observar que as frações não são suficientes para medir todas as grandezas. Já na Antiguidade grega ficou comprovado que um quadrado de lado unitário, por exemplo, possui suas diagonais incomensuráveis, ou seja, não existe um segmento que possa servir de unidade de medida de comprimento comum ao lado e à diagonal de um mesmo quadrado de maneira que ambos sejam múltiplos inteiros dessa unidade. Tal constatação, no decorrer da história, acabou provocando a introdução dos números irracionais e a ampliação do conjunto dos números racionais para o conjunto dos números reais.

Reforce que o resultado que aparece no visor de uma calculadora quando calculamos

\sqrt{2}

\sqrt{3}

, por exemplo, é uma aproximação. É fundamental oferecer aos estudantes esse esclarecimento para que eles não confundam, por exemplo, o número

\sqrt{2}

, ou qualquer outro irracional, com uma de suas aproximações racionais: 1,414 ou 1,414214.

Página 20

Representação geométrica de um número irracional

É possível representar, geometricamente, alguns números irracionais na reta numérica. Acompanhe a representação geométrica de

\sqrt{2}

Considerando dois quadrados cujos lados medem 1 centímetro de comprimento, temos que a medida de área de cada um deles é 1 centímetro quadrado.

Recortando os dois quadrados por uma das diagonais, obtemos quatro triângulos. Com esses triângulos, podemos montar um novo quadrado com 2 centímetroselevado a 2 de medida de área.

Confira:

Ilustração. Dois quadrados com indicação no centro que a área mede 1 centímetro quadrado e cotas indicando que os comprimentos dos lados medem 1 centímetro. Seta para: os mesmos quadrados divididos na diagonal em quatro triângulos: 1, 2, 3 e 4. Seta para quadrado composto pelas 4 partes e indicação de medida de área no centro de 2 centímetros quadrados.

Um quadrado cujo comprimento do lado mede a tem medida de área aelevado a 2. Assim, um quadrado cuja área mede 2 centímetroselevado a 2 tem a medida de comprimento do lado que elevada ao quadrado tem como resultado 2 centímetros quadrados, ou seja,

\sqrt{2} c m

Agora, podemos transportar, com o auxílio de um compasso, a medida de comprimento do lado do quadrado para a reta numérica e determinar os pontos

\sqrt{2}

e seu simétrico,

‒ \sqrt{2}

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso.

Ilustração. Reta numérica com os pontos: menos 3, menos 2, menos raiz quadrada de 2, menos 1, 0, 1, raiz quadrada de 2, 2, 3. quadrado de lado 0 até raiz quadrada de 2. Compasso com ponta seca em 0 traçando arco de menos raiz quadrada de 2 até raiz quadrada de 2.

▸ Se posicionar a ponta-sêca sobre esses pontos determinados e mantiver a mesma abertura do compasso, que outros números você vai localizar na reta numérica? Esses números são irracionais?

Demonstração da irracionalidade de

\sqrt{2}

Vamos supor que

\sqrt{2}

seja um número racional. Assim, podemos representá-lo da seguinte maneira:

\sqrt{2} = \frac{p}{q}

, sendo p e q números inteiros, com q diferente de zero, e sendo

\frac{p}{q}

uma fração irredutível.

Elevando ao quadrado os dois lados da igualdade, temos:

{(\sqrt{2})}^{2} = {(\frac{p}{q})}^{2} \Rightarrow 2 = \frac{p^{2}}{q^{2}} \Rightarrow 2 q^{2} = p^{2}

• Como q é inteiro, então qelevado a 2 também é inteiro e 2qelevado a 2 é um número par, pois, multiplicando 2 por um número inteiro, obtemos um número par. Assim, pelevado a 2 é par.

• p também é par, pois um número par multiplicado por um número par resulta em um número par (quando multiplicamos um número ímpar por um número ímpar, obtemos um número ímpar).

Se p é par, podemos escrevê-lo como 2k, sendo k um número inteiro, diferente de zero.

Assim, temos:

Esquema. Sentença matemática. 2q ao quadrado igual a, abre parênteses, 2k, fecha parênteses, ao quadrado. Sobre o 2k indicação: p igual a 2k. Tudo isso implica em, 2q ao quadrado igual a 4k ao quadrado implica em, q ao quadrado igual a, 2k ao quadrado.

Respostas e comentários

item:

‒ 2 \sqrt{2}

2 \sqrt[]{2}

. Comentários em Orientações.

A representação geométrica da

\sqrt{2}

contribui para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero um. Alerte a turma a ter cuidado com o manuseio do compasso para evitar acidentes.

Espera-se que os estudantes identifiquem que

‒ 2 \sqrt{2}

2 \sqrt{2}

são números irracionais, pois não podem ser escritos por uma fração em que o numerador é número inteiro e o denominador é número inteiro diferente de zero. Se achar necessário, explique a eles que o produto de um número racional por um número irracional é sempre um número irracional. Essa propriedade embora seja verdadeira não será demonstrada nesta coleção.

Comente com os estudantes que o método de demonstração utilizado neste tópico para mostrar a irracionalidade da

\sqrt{2}

é uma demonstração por absurdo (também denominada como demonstração por contradição ou demonstração da redução ao absurdo). Nesse método de demonstração, para provar que uma afirmação é verdadeira, mostramos, ao declarar a falsidade de uma afirmação, que ela vai produzir um absurdo.

Sugestão de leitura

O texto Demonstrações por absurdo, da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, explora o método de demonstração por absurdo. Disponível em: https://oeds.link/FEMXaj. Acesso em: 7 agosto 2022.

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2kelevado a 2 é um número par, então qelevado a 2 é par e, consequentemente, q é par.

Mas, se p e q são números pares, então

\frac{p}{q}

não é irredutível, o que contraria a suposição inicial. Assim, chegamos a um absurdo, ou seja,

\sqrt{2}

não póde ser chamado de racional. Logo,

\sqrt{2}

é irracional.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Localize os números a seguir em uma reta numérica. Se necessário, utilize aproximações.

Sentença matemática. Raiz quadrada de 9.
Sentença matemática. Raiz quadrada de 13.
Sentença matemática. Raiz quadrada de 17.
Sentença matemática. Raiz quadrada de 25.

2. Verifique quais números são irracionais e quais não são.

\sqrt{1}

\sqrt{2}

\sqrt{3}

\sqrt{4}

\sqrt{5}

3. Identifique quais afirmações são verdadeiras e quais são falsas.

a) Todo número em fórma de raiz é irracional.

b) A representação decimal de um número irracional é infinita e não periódica.

\sqrt{120}

é um número irracional.

2 Potência de um número real com expoente inteiro

Vamos determinar o valor da potência de um número real a quando o expoente inteiro for maior que 1, igual a 1, nulo ou negativo. Analise os casos a seguir.

• Expoente maior que 1

Esquema. a elevado a n igual a, a vezes a vezes a vezes, reticências, vezes a. Fio saindo do segundo membro indicando n fatores. com n inteiro tal que n maior que 1.

Confira alguns exemplos.

Esquema. Sentença matemática. 2 elevado a 4 igual a 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 igual a 16. Abaixo das multiplicações por 2 indicação: 4 fatores.

Esquema. Sentença matemática. Abre parênteses, menos fração 1 meio, fecha parênteses, ao quadrado, igual a, abre parênteses, menos fração 1 meio, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos fração 1 meio, fecha parênteses igual a i quarto. Abaixo das multiplicações das frações menos 1 meio indicação: 2 fatores.

Esquema. Sentença matemática. 3 elevado a 5 igual a 3 vezes 3 vezes 3 vezes 3, vezes 3, igual a 243. Abaixo das multiplicações por 3 indicação: 5 fatores.

Esquema. Sentença matemática. Abre parênteses, menos 0 vírgula 5, fecha parênteses, ao cubo, igual a, abre parênteses, menos 0 vírgula 5, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 0 vírgula 5, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos 0 vírgula 5, fecha parênteses, igual a, menos 0 vírgula 125. Abaixo das multiplicações por menos 0 vírgula 5 indicação: 3 fatores.

• Expoente 1

a elevado a 1 = a

Confira alguns exemplos.

a) 7elevado a 1 = 7

{(‒ \frac{3}{5})}^{1} = ‒ \frac{3}{5}

c) (1,3756)elevado a 1 = 1,3756

d) (menos0,01)elevado a 1 = menos0,01

Respostas e comentários

Ilustração. Reta numérica com os pontos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Seta saindo de raiz quadrada de 9 e apontando para o ponto 3.Seta saindo de raiz quadrada de 13 e apontando para o ponto aproximadamente 3 vírgula 6. Seta saindo de raiz quadrada de 17 e apontando para o ponto aproximadamente 4 vírgula 12. Seta saindo de raiz quadrada de 25 e apontando para o ponto 5.

2. a) Não é irracional, pois

\sqrt{1} = 1

2. b) irracional.

2. c) irracional.

2. d) Não é irracional, pois

\sqrt{4} = 2

2. e) irracional.

3. a) falsa

3. b) verdadeira

3. c) verdadeira

Potência de um número real com expoente inteiro

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 2, 4, 5, 7 e 9 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 2, 3, 4 e 8 (as descrições estão na página sete).

• Habilidade ê éfe zero nove ême ah um oito.

Objetivos:

• Calcular potências com número real na base e expoente inteiro.

• Compreender as propriedades das potências com expoentes inteiros.

• Reconhecer números escritos em notação científica.

Justificativa

Calcular potências com número real na base e expoente inteiro amplia os conhecimentos previamente adquiridos pelos estudantes no que diz respeito à potenciação com base racional e expoente natural, inteiro ou fracionário. A compreensão das propriedades permite simplificar cálculos e auxilia no desenvolvimento de estratégias de cálculo mental. Por fim, reconhecer números escritos em notação científica é importante, pois esse tipo de representação está presente em diferentes textos científicos para representar números excessivamente grandes ou extremamente pequenos.

Mapeando conhecimentos

Escreva na lousa algumas potências com número real na base e expoente inteiro e peça aos estudantes que calculem o valor delas utilizando a estratégia que acharem mais conveniente. Por exemplo:

a) 7elevado a 0

b) 8elevado a 3

{(‒ \frac{1}{3})}^{4}

d) (0,1)elevado a 5

{\sqrt{6}}^{2}

{(\frac{1}{5})}^{‒ 3}

{(\sqrt{3})}^{‒ 2}

Após calcularem, peça que comparem os resultados e expliquem como fizeram.

Após essa atividade, organize a turma em grupos e distribua um texto científico que apresente números representados em notação científica para que os grupos possam fazer a leitura compartilhada e discutir o tema. Em seguida, peça aos grupos que escrevam os números presentes com todos os algarismos.

Para as aulas iniciais

Proponha aos estudantes que recordem as propriedades da potenciação da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e façam as atividades 3 e 4. Depois, corrija as atividades na lousa.

Você pode retomar as atividades da dinâmica inicial e tirar as dúvidas remanescentes da turma. Escolha algumas potências para calcular com eles. Mostre também como expressar com todos os algarismos alguns números em notação científica.

(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

Página 22

• Expoente zero, com base não nula

a elevado a 0 = 1, com a ≠ 0

Confira alguns exemplos.

a) 5elevado a 0 = 1

{(‒ \frac{8}{9})}^{0} = 1

c) (101,54)elevado a 0 = 1

d) (menos0,0001)elevado a 0 = 1

• Expoente inteiro negativo, com base não nula

a^{‒ n} = \frac{1}{a^{n}} = {(\frac{1}{a})}^{n}

, com a ≠ 0 e menosn inteiro negativo

Confira alguns exemplos.

5^{‒ 1} = \frac{1}{5}

(‒ 7)^{‒ 2} = {(‒ \frac{1}{7})}^{2} = \frac{1}{49}

{(‒ \frac{3}{4})}^{‒ 1} = ‒ \frac{4}{3}

{(‒ \frac{2}{3})}^{‒ 3} = {(‒ \frac{3}{2})}^{3} = ‒ \frac{27}{8}

Observações

1. Quando a base é negativa, o sinal da potência é:

• positivo, se o expoente é par. Por exemplo:

(menos0,1)elevado a 2 = (menos0,1) ⋅ (menos0,1) = 0,01

• negativo, se o expoente é ímpar. Por exemplo:

{(‒ \frac{1}{2})}^{3} = (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) \cdot (‒ \frac{1}{2}) = ‒ \frac{1}{8}

Convenciona-se que menos 2 elevado a 4 representa menos, abre parênteses, menos 2 elevado a 4, fecha parênteses, igual a menos, abre parênteses, 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2, fecha parênteses. igual a menos 16, ao passo que, abre parênteses, menos 2, fecha parênteses, elevado a 4 (fio saindo dessa potência com indicação, menos 2 é a base) igual a, abre parênteses, menos dois, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos dois, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos dois, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, menos dois, fecha parênteses, igual a 16.

Logo: menos2elevado a 4 ≠ (menos2)elevado a 4

Ilustração. Rapaz de cabelo preto, camisa azul, segurando um giz, diz: Consideraremos que a potência zero elevado a zero não está definida.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

4. Calcule as potências a seguir.

a) 0elevado a 7

b) menos5elevado a 2

c) menos(1,2)elevado a 2

d) (menos5)elevado a 2

e) menos(0,3)elevado a 0

{(‒ \frac{2}{3})}^{3}

‒ {(\frac{2}{5})}^{3}

{(1 \frac{2}{3})}^{2}

5. Calcule as potências de expoente negativo.

a) 7elevado a menos um

{(\frac{1}{5})}^{‒ 2}

{(\frac{5}{9})}^{‒ 1}

{(‒ \frac{3}{8})}^{‒ 1}

e) (menos3)elevado a menos três

f) 10elevado a menos dois

g) (menos1)elevado a menos cinco

{(\frac{1}{100})}^{‒ 1}

Respostas e comentários

4. a) 0

4. b) menos25

4. c) menos1,44

4. d) 25

4. e) menos1

4. f)

‒ \frac{8}{27}

4. g)

‒ \frac{8}{125}

4. h)

\frac{25}{9}

5. a)

\frac{1}{7}

5. b) 25

5. c)

\frac{9}{5}

5. d)

‒ \frac{8}{3}

5. e)

‒ \frac{1}{27}

5. f)

\frac{1}{100}

5. g) ‒1

5. h) 100

É importante que os estudantes compreendam o significado do sinal de uma potência quando a base for negativa e o expoente for par ou ímpar. Se eles simplesmente decorarem uma regra para aplicar em uma atividade sem que percebam o seu significado, eles podem se confundir e fazer o uso de fórma equivocada. Para isso, resolva com os estudantes a potência (menos2)elevado a 2, depois (menos2)elevado a 3 e continue aumentando o expoente de 1 em 1, enfatizando o sinal da potência em cada resultado. Dessa fórma, leve-os a perceber que, quando a base é negativa, o expoente par leva a um resultado positivo e o expoente ímpar leva a um resultado negativo.

Se considerar necessário, escreva alguns exemplos de potências com expoente negativo e resolva com os estudantes, esclarecendo todas as dúvidas.

Página 23

6. No caderno, escreva cada item na fórma de potência com expoente inteiro negativo.

\frac{1}{10^{4}}

\frac{1}{5^{7}}

\frac{1}{2^{3}}

\frac{1}{7^{5}}

7. No caderno, escreva os números a seguir como potência de base 2.

a) 64

\frac{1}{32}

c) 256

\frac{1}{64}

8. Calcule o valor das expressões a seguir.

a) abre parêntesesmenos3fecha parênteseselevado a 2 + abre parêntesesmenos3fecha parênteseselevado a 3

b) menosabre parêntesesmenos2fecha parênteseselevado a 4 + abre parêntesesmenos2fecha parênteseselevado a 5 ⋅ 4elevado a menos três

c) abre parênteses4elevado a 0 : 4elevado a menos umfecha parênteses dividido por abre parênteses4elevado a menos um dividido por 4elevado a menos doisfecha parênteses

\frac{{(‒ 1)}^{5}}{{(‒ 2)}^{‒ 2} + {(0, 1)}^{‒ 2}}

{(‒ \frac{1}{3})}^{2} ‒ {(‒ \frac{1}{3})}^{‒ 2}

Propriedades das potências com expoentes inteiros

Vamos estudar as propriedades do cálculo com potências de expoente inteiro e base real não nula.

• Produto de potências de mesma base

aelevado a ême ⋅ aelevado a n = a elevado a m mais n

Analise alguns exemplos.

a) 2elevado a 2 ⋅ 2elevado a 3 = abre parênteses2 ⋅ 2fecha parênteses ⋅ abre parênteses2 ⋅ 2 ⋅ 2fecha parênteses = 2elevado a 5 ou 2elevado a 2 ⋅ 2elevado a 3 = 2elevado a 2 mais 3 = 2elevado a 5

{(\frac{1}{2})}^{‒ 3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{‒ 2} = {(\frac{1}{2})}^{‒ 3 + (‒ 2)} = {(\frac{1}{2})}^{‒ 5}

c) 5elevado a m menos 1 ⋅ 5² ⁺ ᵐ = 5elevado a m menos 1 mais 2 mais m = 5elevado a 2m mais 1

• Quociente de potências de mesma base

aelevado a ême : aelevado a n = aelevado a m menos n

Observe alguns exemplos.

a) 2elevado a 3 dividido por 2elevado a 2 =

\frac{(2 \cdot 2 \cdot 2)}{(2 \cdot 2)}

= 2 ou 2elevado a 3 dividido por 2elevado a 2 = 2elevado a 3 menos 2 = 2elevado a 1 = 2

\frac{{(0, 3)}^{5}}{{(0, 3)}^{2}} = (0, 3)^{5 ‒ 2} = (0, 3)^{3}

c) 5elevado a menos dois dividido por 5elevado a menos quatro = 5elevado a menos 2 menos, abre parênteses, menos 4, fecha parênteses = 5elevado a menos 2 mais quatro = 5elevado a 2

d) 3elevado a 2m menos 1 dividido por 3elevado a 1 menos m = 3²ᵐ ⁻ ¹ ⁻ ⁽¹ ⁻ elevado a ême⁾ = 3elevado a 2m menos 1 menos 1 mais m = 3elevado a 3m menos 2

• Potência de potência

abre parêntesesa elevado a êmefecha parênteseselevado a n = a elevado a ême ⋅ elevado a n

Analise alguns exemplos.

a) abre parênteses2²)³ = abre parênteses2 ⋅ 2)³ = abre parênteses2 ⋅ 2fecha parênteses ⋅ abre parênteses2 ⋅ 2fecha parênteses ⋅ abre parênteses2 ⋅ 2fecha parênteses = 2elevado a 6 ou abre parênteses2²)³ = 2elevado a 2 ⋅ ³ = 2elevado a 6

b) abre parênteses10elevado a 5fecha parênteseselevado a menos dois = 10elevado a 5 ⋅ ⁽⁻²⁾ = 10 elevado a menos dez

c) abre parênteses2elevado a xisfecha parênteseselevado a xis ⁻ ¹ = 2elevado a xis ⋅ ⁽elevado a xis ⁻ ¹⁾ =

2^{x^{2} ‒ x}

• Potência de um produto ou de um quociente

abre parêntesesa ⋅ bfecha parênteseselevado a ême = a elevado a ême ⋅ b elevado a ême

abre parêntesesa dividido por bfecha parênteseselevado a ême = a elevado a ême dividido por b elevado a ême

Analise alguns exemplos.

a) abre parênteses3 ⋅ 5fecha parênteseselevado a menos dois = 3elevado a menos dois ⋅ 5elevado a menos dois

{(\frac{3}{5})}^{‒ 2} = \frac{3^{‒ 2}}{5^{‒ 2}}

Observação

Atenção para as desigualdades a seguir, com bases reais não nulas e expoentes inteiros.

• aelevado a ême + aelevado a n ≠ aelevado a ême ⁺ ⁿ

• aelevado a ême menos aelevado a n ≠ aelevado a ême ⁻ ⁿ

•

(a^{m})^{n} \neq a^{m^{n}}

, com a, m e n ≠ 1

• abre parêntesesa + bfecha parênteseselevado a n ≠ aelevado a n + belevado a n, com a ≠ menosb; a, b e n ≠ 1

• abre parêntesesa menos bfecha parênteseselevado a n ≠ aelevado a n menos belevado a n, com a ≠ b

Respostas e comentários

6. a) 10⁻⁴

6. b) 5elevado a menos sete

6. c) 2elevado a menos três

6. d) 7elevado a menos cinco

7. a) 2elevado a 6

7. b) 2elevado a menos cinco

7. c) 2elevado a 8

7. d) 2elevado a menos seis

8. a) menos18

8. b)

‒ \frac{33}{2}

8. c) 1

8. d)

‒ \frac{4}{401}

8. e)

‒ \frac{80}{9}

Propriedades das potências com expoentes inteiros

É preciso que os estudantes compreendam o significado das propriedades de potências para aplicá-las de fórma que elas façam sentido. É importante que se faça uma comparação entre uma resolução com e sem a aplicação das propriedades para que eles percebam que sua utilização pode facilitar cálculos.

Página 24

Veja que interessante

Faça as atividades no caderno.

Calculadora científica

A calculadora científica possibilita a resolução de cálculos básicos, fracionários, de porcentagem, científicos e estatísticos. Nos smartphones, como o da imagem, você póde usar uma calculadora científica escolhendo um aplicativo de calculadora que inclua essa funcionalidade.

Confira agora alguns exemplos de cálculos que utilizam as teclas

Ilustração. Tecla de calculadora: x elevado a y.

Ilustração. Tecla de calculador: x elevado ao quadrado

a) 2elevado a 3

Ilustração. Sequência de teclas de calculadora: 2, x elevado a y, 3, igual

b) 2elevado a menos três

Ilustração. Sequência de teclas de calculadora: 2, x elevado a y, 3, mais ou menos, igual

c) abre parêntesesmenos2fecha parênteseselevado a menos três

Ilustração. Sequência de teclas de calculadora: 2, mais ou menos, x elevado a y, 3, mais ou menos, igual

d) 9elevado a 2

Ilustração. Sequência de teclas de calculadora: 9, x elevado a 2

e) abre parêntesesmenos9fecha parênteseselevado a 2

Ilustração. Sequência de teclas de calculadora: 9, mais ou menos, x elevado a 2

Atividade

Analise as sequências de teclas de cada exemplo anterior e identifique os resultados que aparecem no visor de uma calculadora científica. Em seguida, se possível, utilize uma calculadora científica para conferir os resultados.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

9. Aplique as propriedades e expresse os resultados na fórma de uma única potência.

a) 3elevado a 5 ⋅ 3elevado a menos dois

b) melevado a 5 ⋅ melevado a menos seis, com m ≠ 0

c) abre parênteses0,1fecha parênteseselevado a menos três ⋅ abre parênteses0,1fecha parênteseselevado a 3

10. Transforme as expressões em uma única potência.

a) abre parênteses5elevado a 2fecha parênteseselevado a menos quatro

b) abre parêntesesnelevado a menos cincofecha parênteseselevado a 4, com n ≠ 0

c) abre parênteses5elevado a 2fecha parênteseselevado a n

\frac{x^{3}}{x^{‒ 2}}

, com x ≠ 0

11. Aplique as propriedades das potências de um produto ou de um quociente.

a) abre parênteses3 ⋅ 7fecha parênteseselevado a 4

b) abre parênteses2elevado a 4 ⋅ aelevado a menos trêsfecha parênteseselevado a menos um, com a ≠ 0

c) abre parêntesesaelevado a 3elevado a xis dividido por belevado a xis fecha parênteseselevado a menos quatro , com a ≠ 0 e b ≠ 0

12. Determine o valor das potências

2^{3^{2}}

e (2elevado a 3)elevado a 2.

13. Escreva, na fórma fracionária, a expressão (3elevado a menos quatro)elevado a 5.

14. Sendo a = 10elevado a menos quatro, b = 10elevado a menos cinco e c = 10elevado a 3, determine:

a) a dividido por belevado a 2

b) a dividido por abre parêntesesb ⋅ cfecha parênteses

15. Simplifique cada expressão a seguir.

\frac{x^{10} \cdot {(x^{2})}^{4}}{x^{23} : x^{2}}

, com x ≠ 0

\frac{5^{3 x ‒ 2} \cdot 5^{x ‒ 1}}{5^{x ‒ 5}}

Respostas e comentários

Veja que interessante:

a) 8

b) 0,125

c) menos 0,125

d) 81

e) 81

9. a) 3elevado a 3

9. b) m elevado a menos um

9. c) (0,1)elevado a 0

10. a) 5⁻elevado a 8

10. b) n ⁻elevado a 20

10. c) 5elevado a 2elevado a n

10. d) x elevado a 5

11. a) 3elevado a 4 ⋅ 7elevado a 4

11. b) 2⁻elevado a 4 ⋅ aelevado a 3

11. c) a elevado a menos dozeelevado a xis dividido por b ⁻ elevado a 4elevado a xis

12. 512 e 64

13.

\frac{1}{3^{20}}

14. a) 10elevado a 6

14. b) 10elevado a menos dois

15. a) x elevado a menos três

15. b) 5elevado a 3elevado a xis⁺²

Este boxe Veja que interessante apresenta aos estudantes uma calculadora científica. Pode-se chamar a atenção deles para o fato de esse tipo de calculadora oferecer a possibilidade de efetuar cálculos que uma calculadora simples não efetua, como o de potências de base real e expoente inteiro, por exemplo. Muitas das funções desse tipo de calculadora poderão ser mais exploradas no Ensino Médio, mas ainda assim é importante que os estudantes conheçam esse tipo de equipamento e que tenham a oportunidade de utilizá-lo para realizar cálculos compatíveis com os conceitos estudados até o momento.

Verifique a conveniência de lembrar aos estudantes que calculadoras diferentes, por vezes, requerem procedimentos diferentes para os cálculos.

Sugestão de atividade extra

Peça aos estudantes que utilizem uma calculadora científica para calcular as seguintes potências:

• 23elevado a 12

• 52elevado a 2

• 12elevado a 4

• 126elevado a 2

Ao final, peça a eles que avaliem a utilização da calculadora nessas atividades, comparando com a resolução feita sem a utilização da calculadora.

Respostas:

• .....21914624432020321

• .2704

• .20736

• .15876

Página 25

Veja que interessante

Faça as atividades no caderno.

Os prefixos mais conhecidos

Confira estas afirmações.

• A medida do comprimento do armário é 80 centímetros.

• Quero comprar 5 quilogramas de carne.

• A usina termoelétrica produzia 17 megawatts de energia.

As partes destacadas das palavras – centi, quilo e mega – são denominadas prefixos. Cada prefixo corresponde a uma potência de base 10.

Neste quadro estão os prefixo mais conhecidos.

Nome do prefixo	Símbolo do prefixo	Potência de base 10 correspondente ao prefixo	Significado do prefixo na forma decimal
tera	T	10 elevado a 12	1.000.000.000.000 (trilhão)
giga	G	10 elevado a 9	1.000.000.000 (bilhão)
mega	M	10 elevado a 6	1.000.000 (milhão)
quilo	k	10 elevado a 3	1.000 (mil)
hecto	h	10 elevado a 2	100 (cem)
deca	da	10 elevado a 1	10 (dez)
deci	d	10 elevado a -1	0,1 (décimo)
centi	c	10 elevado a -2	0,01 (centésimo)
mili	m	10 elevado a -3	0,001 (milésimo)
micro	μ	10 elevado a -6	0,000001 (milionésimo)
nano	n	10 elevado a -9	0,000000001 (bilionésimo)
pico	p	10 elevado a -12	0,000000000001 (trilionésimo)

Quando falamos sobre medida de armazenamento de dados, geralmente usamos o termo byte com as devidas variações de prefixo. No entanto, o bit é a menor unidade de medida de informação que póde ser armazenada ou transmitida; um conjunto de 8 bits corresponde a 1 byte (1 báite), que é a unidade-padrão de medida de armazenamento de dados.

Como a quantidade de informação armazenada utiliza o sistema binário (base 2), os fatores de multiplicação para a obtenção das unidades de medida são potências de 2. Analise alguns exemplos:

a) 1 quilobyte (cá bê) é igual a 2elevado a 10 báites ou 1 024 báites;

b) 1 megabyte (ême bê) é igual a 2elevado a 20 báites ou 1 048 576 báites;

c) 1 gigabyte (gê bê) é igual a 2elevado a 30 báites ou 1 073 741 824 báites.

Podemos utilizar potências de base 10 para expressar valores aproximados para os múltiplos do byte. Assim:

a) 1 quilobyte (cá bê) é aproximadamente igual a 1 000 báites ou 10elevado a 3 báites;

b) 1 megabyte (ême bê) é aproximadamente igual a 1 000 000 báites ou 10elevado a 6 báites;

c) 1 gigabyte (gê bê) é aproximadamente igual a 1 000 000 000 báites ou 10elevado a 9 báites.

Atividade

Compare os resultados de 2elevado a 10 e 10elevado a 3; 2elevado a 20 e 10elevado a 6; e 2elevado a 30 e 10elevado a 9. Verifique quão próximos estão.

Respostas e comentários

Veja que interessante: Resposta em Orientações.

Este Bócsi Veja que interessante explora o significado dos prefixos mais conhecidos. É importante que os estudantes percebam que cada um desses prefixos está associado a uma potência de base 10. Converse com eles a respeito do uso de palavras que utilizam esses mesmos prefixos no dia a dia.

Medidas que usam os prefixos tera, giga e mega são usadas para expressar medidas muito grandes e as que usam micro, nano e pico são usadas para expressar medidas muito pequenas.

Na atividade do boxe, os números a serem comparados são:

2elevado a 10 = .1024 e 10elevado a 3 = .1000

2elevado a 20 = ..1048576 e 10elevado a 6 = ..1000000

2elevado a 30 = ...1073741824 e 10elevado a 9 = ..1000000 000

Espera-se que os estudantes identifiquem que os resultados desses números são bem próximos.

Página 26

Lendo e aprendendo

Ícone do tema Ciência e tecnologia. Ícone do tema Formação cidadã. Ícone do tema Saúde.

cinco gê no Brasil

Governo anuncia chegada da tecnologia para o ano que vem. Veja perguntas e respostas sobre a nova geração de internet móvel

O governo brasileiro anunciou para o ano que vem a chegada ao país do cinco gê. A nova geração de internet móvel, que já é utilizada em algumas partes do mundo, promete revolucionar diversos setores. Algumas pessoas, no entanto, criticam o fato de tanto dinheiro ser investido na nova tecnologia enquanto parte dos brasileiros não tem nenhum tipo de acesso à rede.

Há outras críticas? Quais os desafios para a implementação? O que vai mudar na prática? Quais são as vantagens tecnológicas? Verifique as respostas a essas e outras dúvidas:

O quatro gê vai acabar?

Não. Todas as outras gerações de internet vão continuar funcionando.

O que é o cinco gê?

É a nova tecnologia de rede de internet móvel, mais potente e veloz, com menor tempo de resposta dos comandos. É uma evolução do quatro gê. A letra “gê” significa geração, ou seja, mostra a evolução dessas tecnologias.

O que vai mudar na prática?

O engenheiro e mestre em tecnologia Eduardo Tude explica que a velocidade maior e a latênciaglossário menor vão permitir uma série de aplicações não suportadas pelo quatro gê. “Abre um leque grande de possibilidades”, diz.

Ele cita como exemplo a internet das coisas, não só com os celulares conectados, mas geladeiras, máquinas de lavar, televisores e uma infinidade de aparelhos eletrônicos. Cidades e casas inteligentes também poderão ser uma realidade. Testes com automóveis totalmente autônomos, inclusive, já estão avançados em várias partes do mundo. Outro setor que deve se beneficiar é o da saúde, com telemedicina e diagnósticos muito mais avançados, além de cirurgias feitas remotamente.

Ah, e claro, a vida de quem joga no celular também deve mudar bastante para melhor, por causa da velocidade do cinco gê.

Ilustração. Esquema de alguns elementos de uma cidade como se estivesse saindo de forma tridimensional da tela de um smartphone. Ao fundo 5G escrito grande um chip grande de celular. Um fio sai de um carro e aponta a para o texto TRANSPORTE: veículos autônomos. Outro fio sai da tela de um celular e aponta para o texto STREAMING: retransmissões de Full HD em qualquer local. Um fio sai da tela de um notebook e ponta para o texto JOGOS: novas experiências mobile. Um fio sai de um relógio inteligente e leva ao texto SAÚDE: envio de exames de alta resolução e procedimentos cirúrgicos remotos, entre outras inovações. Um fio sai de uma das ruas e aponta para o texto SMART CITIES: semáforos e transportes públicos interligados. Um fio sai de um ícone grande de localização e aponta para o texto NOVAS TECNOLOGIAS. Realidade virtual e realidade aumentada. Em uma nuvem mais acima o texto DADOS: armazenamento em meganuvem.

Respostas e comentários

Lendo e aprendendo

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 7 e 9 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 3 e 8 (as descrições estão na página sete).

• Habilidades ê éfe zero nove ême ah zero quatro e ê éfe zero nove ême ah um oito.

Objetivos:

• Desenvolver a competência leitora.

• Reconhecer números escritos em notação científica.

• Reconhecer o byte como unidade de medida de armazenamento.

• Refletir sobre o enfrentamento do problema das fake news.

Temas contemporâneos transversais:

Para fazer a leitura do texto da seção, os estudantes podem se organizar em duplas ou pequenos grupos. Depois, peça a alguns deles que relatem as principais ideias do texto aos colegas e proponha um debate a respeito do assunto. É importante que eles expressem suas opiniões e apresentem argumentos para validá-las, o que favorece o desenvolvimento das competências gerais 7 e 9 da Bê êne cê cê.

É importante enfatizar para a turma que a matéria foi publicada em novembro de 2021 e que, portanto, o cinco gê já pode estar implementado de maneira sólida em várias regiões do país. Caso julgue oportuno, converse com os estudantes sobre a situação atual da internet na região onde vivem e realize uma pesquisa para saber quais deles têm acesso ao cinco gê. Os dados coletados podem ser representados em tabela ou gráfico de barras simples, o que favorece o desenvolvimento das competências específicas 3 e 8 da Bê êne cê cê.

(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

Página 27

Lendo e aprendendo

[reticências]

A polêmica da desigualdade

A principal delas diz respeito à desigualdade de acesso à internet no país. Apesar de crescente, pesquisa do í bê gê É mostrou que um em cada quatro brasileiros ainda não está conectado. De um lado, alguns acham que a proposta do governo para o cinco gê vai piorar esse cenário. Do outro, dizem que o modelo proposto para a implementação da nova tecnologia vai ajudar a diminuir essa diferença de conectividade. Verifique dois argumentos:

Ilustração. À esquerda: Contrário à proposta do governo. Para Flávia Lefèvre, o início da discussão sobre
o 5G não levou em conta a desigualdade de acesso da maneira adequada. Segundo ela, poucas pessoas vão ser beneficiadas, principalmente as de alta renda. “Do ponto de vista do equipamento, também há um risco da exclusão de um grande número de pessoas com condições de adquirir novos aparelhos. Depois, temos uma realidade com relação ao acesso de internet móvel muito desigual, o que deve aumentar ainda mais”, ressalta. Versus. À direita, Favorável. O engenheiro Eduardo Tude argumenta que a implementação da nova geração da internet deve, necessariamente, caminhar com a instalação do 4G em lugares que ainda não contam com essa tecnologia. Ele lembra que o governo exige que as empresas que forem instalar o 5G ampliem o alcance de redes como um todo, principalmente para a parcela menos atingida hoje. “Ou seja, vai beneficiar todo mundo”, acredita.

Qualquer celular terá acesso?

Não. Será preciso ter um aparelho compatível com a tecnologia cinco gê. Essa, inclusive, é outra crítica ao modelo, pois hoje o aparelho mais barato à venda que suporta a nova geração de internet custa por volta de três mil reais. Para Tude, no entanto, a tendência é que os preços diminuam com o tempo.

[reticências]

Como funciona?

Por meio de antenas que transmitem ondas (ou frequências) de rádio, assim como as outras redes móveis. A ideia é que as da nova rede sejam acopladas às já existentes. Claro, novas antenas também devem ser instaladas para alcançar distâncias maiores.

Qual é a diferença em relação ao quatro gê?

A velocidade da rede cinco gê póde chegar a 10 gigabytes por segundo, que póde ser até 100 vezes mais rápida do que a quatro gê. Isso significa, por exemplo, que um filme de alta definição poderá ser baixado em uma fração de segundos, o que leva cérca de uma hora com as redes quatro gê atuais.

Já a latência da tecnologia cinco gê deve ser entre 1 e 2 milissegundosglossário . No caso do quatro gê, esse intervalo é de 35 a 52 milissegundos. Outra diferença é que, com o cinco gê, será possível conectar mais dispositivos simultaneamente. Além disso, espera-se que a nova geração de internet seja mais sustentável, com uma redução de cérca de 90% do consumo de energia.

É fake!

Pouco depois do início da pandemia, uma mensagem circulou nas redes sociais dizendo que as ondas de transmissão do cinco gê poderiam “carregar” o vírus da côvid dezenóve, aumentando assim a transmissão da doença. Porém, não há uma evidência científica sobre isso. A Organização Mundial da Saúde (ó ême ésse), inclusive, já negou que os vírus possam viajar em ondas de rádio e redes móveis.

Respostas e comentários

O texto traz uma polêmica sobre a desigualdade de acesso à internet no país. É importante que eles tenham ciência de que essa desigualdade já existia antes da implementação do cinco gê e que a polêmica está relacionada à piora ou melhora desse cenário com a chegada desta nova tecnologia. Este pode ser o momento oportuno para antecipar a realização da atividade 3. Em um primeiro momento, solicite aos estudantes que escrevam os textos individualmente, depois separe a turma em dois grupos: um que concorda com a visão de Flávia Lefèvre e outro que concorda com a visão de Eduardo Tude. Em seguida, peça a alguns estudantes que leiam os textos que produziram e promova um debate entre os grupos.

Dinâmicas como essa demandam que os estudantes escutem os colegas com atenção e empatia e respeitem o modo de pensar deles. Além disso, eles exercitam o diálogo. Dessa fórma, a competência geral 9 e a competência específica 8 da Bê êne cê cê têm o seu desenvolvimento favorecido.

Página 28

Lendo e aprendendo

Há risco para a saúde?

Algumas pessoas alertaram sobre a possibilidade de as ondas de frequência fazerem mal à saúde. De acôrdo com a ó ême ésse, a classificação de toda radiação de radiofrequência (da qual os sinais de celular fazem parte) é de “possivelmente cancerígenas”. Na prática, isso quer dizer que não há evidências concretas sobre o assunto. Para se ter uma ideia, comer legumes em conserva ou usar talco em pó, por exemplo, são classificados com o mesmo nível de risco. Já a ingestão de bebidas alcoólicas e o consumo de carne processada são classificados com riscos maiores.

A evolução da tecnologia

Fazer uma videochamada, mandar mensagem de texto, ouvir música, trabalhar... Hoje, podemos realizar inúmeras tarefas com nossos celulares. Mas nem sempre foi assim. Observe como tudo começou.

Linha do tempo. 1990. Ilustração de um telefone fixo. 1 G. Início da primeira geração de conexão sem fio, a 1 G. Qualidade de chamada muito ruim, com bastante interferência. Aparelhos pesavam 1 quilograma e tinham baterias com pouca duração. 1990. Ilustração de um celular retangular com antena à esquerda. 2 G. Além de melhorar a qualidade das ligações, a tecnologia 2 G permitiu o envio de SMS. Começou a possibilitar que imagens e sons fossem baixados nos aparelhos (ainda com limites grandes de tamanho). Celulares começam a ficar menores. 2000. Ilustração de um smartphone. 3 G. O 3 G revolucionou os celulares, que passaram a ser chamados de smartphones. Possibilitou o acesso rápido à internet, com transmissão de vídeos em tempo real e acesso a serviços de streaming. Uso de TVs pelo celular e chamadas de vídeo. Android e Iphone foram lançados na segunda metade dessa década. 2010. Ilustração de uma nuvem. 4 G. Início do 4 G, aumentando ainda mais as possibilidades. Jogos muito mais complexos e serviços em nuvem. 2020. Ilustração de um globo interligado. 5 G. Chegada do 5 G em alguns países. Mudanças ainda estão sendo implementadas. O que será que vem por aí?

CABRAL, M. C. cinco gê no Brasil. Qualé, São Paulo, edição 38, p. 6-9, 1º a 15 de novembro de 2021.

Atividades

1. Responda às questões no caderno.

a) Em que mês e ano a matéria anterior foi publicada?

b) De acôrdo com o í bê gê É, qual era a porcentagem de brasileiros, em 2021, que não estava conectada à internet?

2. Qual é, aproximadamente, a medida de velocidade a que a rede cinco gê póde chegar?

Dica: bê é o símbolo utilizado para representar a unidade de medida báite.

a) 10elevado a 10 báites por segundo

b) 10elevado a 9 báites por segundo

c) 10elevado a 6 báites por segundo

d) 10elevado a onze báites por segundo

3. Em relação à polêmica que diz respeito à desigualdade de acesso à internet no país, você concorda com a opinião de Flávia Lefèvre ou com a de Eduardo Tude? Escreva um pequeno texto para justificar sua resposta.

Vivemos em um mundo em que há muitas informações circulando. São tantas fontes e pessoas produzindo e compartilhando informação que fica difícil realmente saber o que é e o que não é verdade. Por isso se fala muito em fake news: publicações com informações comprovadamente falsas que costumam viralizar nas redes sociais. O texto apresenta um exemplo de fake news relacionado à chegada do cinco gê. Alguma vez você desconfiou de uma publicação divulgada na tê vê ou na internet? Você checou essa publicação? Como você fez para saber se era verdadeira ou falsa? Converse com os colegas sobre o assunto.

Respostas e comentários

1. a) Em novembro de 2021.

1. b) 25%

2. alternativa a

3. Respostas pessoais.

4. Respostas pessoais.

• Na atividade 1, os estudantes vão responder a algumas questões sobre o texto. Após responderem, você pode propor outras questões, como: “O que é o cinco gê? Outras gerações de internet vão continuar existindo, após a implementação do cinco gê? Qual é a medida de velocidade que a rede cinco gê pode chegar? As ondas de frequência do cinco gê fazem mal à saúde? Quais foram os benefícios trazidos por cada geração de internet?”. Você também pode propor aos estudantes que elaborem suas próprias questões para que outro colega as responda.

• Antes de realizarem a atividade 2, recorde com os estudantes que o bit é a menor unidade de medida de informação que pode ser armazenada ou transmitida e que um conjunto de 8 bits corresponde a 1 byte (1 báite), que é a unidade-padrão de medida de armazenamento de dados. Comente também que assim como outras unidades de medida de outras grandezas, o byte também tem múltiplos. Como a quantidade de informação armazenada utiliza o sistema binário (base 2), os fatores de multiplicação para a obtenção das unidades de medida são potências de 2. Observe alguns exemplos:

• 1 quilobyte (cá bê) é igual a 2elevado a 10 báites ou .1024 báites;

• 1 megabyte (ême bê) é igual a 2elevado a 20 báites ou ..1048576 báites;

• 1 gigabyte (gê bê) é igual a 2elevado a 30 báites ou ...1073741824 báites.

Enfatize com eles que, no entanto, podemos utilizar potências de base 10 para expressar valores aproximados para os múltiplos do byte. Assim:

• 1 quilobyte (cá bê) é aproximadamente igual a .1000 bytes ou 10elevado a 3 bytes;

• 1 megabyte (ême bê) é aproximadamente igual a ..1000000 bytes ou 10elevado a 6 bytes;

• 1 gigabyte (gê bê) é aproximadamente igual a ...1000000000 bytes ou 10elevado a 9 bytes.

Para realizar a atividade, primeiro eles devem identificar no texto que a medida de velocidade da rede cinco gê pode chegar a 10 gigabytes por segundo. Como 10 gigabáites ≃ 10 ⋅ 10elevado a 9 báites = 1 ⋅ 10elevado a 10 báites, então a medida de velocidade da rede cinco gê pode chegar a aproximadamente 1 ⋅10elevado a 10 B por segundo (alternativa a).

• A atividade 4 envolve o tema das fake news. Promova uma roda de conversa com a turma e deixe os estudantes à vontade para contar as experiências que tiveram com publicações falsas divulgadas na mídia. Em seguida, aborde como checar se uma publicação é verdadeira ou não. Comente com eles que, para verificar se uma publicação é confiável, é necessário:

• identificar se a publicação possui data e fonte confiável;

• ler toda a publicação, e não apenas a manchete ou o título;

• pesquisar sobre o autor da publicação;

• pesquisar sobre a publicação em outras fontes.

Página 29

Notação científica

Números muito grandes ou muito próximos de zero podem ser escritos por meio de uma multiplicação da forma x ⋅ 10elevado a bê, em que:

• x pertence ao intervalo 1 < x < 10;

• b é um número inteiro.

Chamamos essa representação de notação científica. Confira alguns exemplos.

•

Esquema. Sentença matemática. 5760 igual a 5,76 vezes 10 elevado a 3. Indicação saindo de 760: 3 casas, indicação saindo do expoente 3: expoente 3.

•

Esquema. Sentença matemática. 36480 igual a 3 vírgula 648 vezes 10 elevado a 4. Indicação saindo de 6480: 4 casas, indicação saindo do expoente 4: expoente 4.

•

Esquema. Sentença matemática. 520000 igual a 5 vírgula 2 vezes 10 elevado a 5. Indicação saindo de 20000: 5 casas, indicação saindo do expoente 5: expoente 5.

•

Esquema. Sentença matemática. 0 vírgula 00075 igual a 7 vírgula 5 vezes 10 elevado a menos 4. Indicação saindo de 0007: 4 casas, indicação saindo do expoente menos 4: expoente menos 4.

•

Esquema. Sentença matemática. 0,000008 igual a 8 vezes 10 elevado a menos 6. Indicação saindo de 000008: 6 casas, indicação saindo do expoente menos 6: expoente menos 6.

•

Esquema. Sentença matemática. 0 vírgula 000000457 igual a 4 vírgula 57 vezes 10 elevado a menos 7. Indicação saindo de 0000004: 7 casas, indicação saindo do expoente menos 7: expoente menos 7.

Analise, agora, alguns valores que usualmente representamos com notação científica.

a) Medida da distância aproximada da Terra ao Sol: ..150000000 quilômetros = 1,5 ⋅ 10elevado a 8 quilômetros;

b) Medida da velocidade da luz: .300000 quilômetros por segundo = 3 ⋅ 10elevado a 5 quilômetros por segundo

c) Medida aproximada de 1 ano-luz: ....9460000000000 quilômetros = 9,46 ⋅ 10elevado a 12 quilômetros;

Fotografia. Vista parcial da Terra com o Sol do lado inferior direito. — Representação artística da Terra no espaço.

d) Medida de comprimento do diâmetro da molécula da água: 280 picômetros = 0,000000000280 métro = 2,8 ⋅ 10elevado a menos dez métro;

e) Medida de comprimento do diâmetro de um elétron: 0,000000000000000001 métro = 1 ⋅ 10elevado a menos dezoito métro;

f) Femtossegundoglossário : 0,000000000000001 segundo = 1 ⋅ 10elevado a menos quinze segundo.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

16. No caderno, escreva os números em notação científica.

a) .85700

b) ...945000000000

c) 0,0000002

d) ..13000000

e) ...1080000000

f) 0,00000000013

17. Uma pessoa adulta tem cérca de 5 litros de sangue. Em uma pessoa saudável, 1 milímetro cúbico de sangue possui, aproximadamente:

• 5 milhões de glóbulos vermelhos ou hemácias;

• 8 mil glóbulos brancos ou leucócitos.

Escreva, em notação científica, quantas hemácias e quantos leucócitos possui, aproximadamente, um adulto.

Respostas e comentários

16. a) 8,57 ⋅ 10elevado a 5

16. b) 9,45 ⋅ 10elevado a onze

16. c) 2 ⋅ 10elevado a menos sete

16. d) 1,3 ⋅ 10elevado a 7

16. e) 1,08 ⋅ 10elevado a 9

16. f) 1,3 ⋅ 10elevado a menos dez

17. glóbulos vermelhos: 2,5 ⋅ 10elevado a treze

glóbulos brancos: 4 ⋅ 10elevado a 10

Notação científica

É importante que os estudantes compreendam o conceito de notação científica e percebam a conveniência de expressar números muito grandes ou muito pequenos utilizando um produto em que um dos fatores é uma potência de base 10.

Sugestão de trabalho interdisciplinar

Após explorar o texto e os exemplos com os estudantes, você pode organizá-los em duplas ou trios e distribuir para eles textos relacionados à Astronomia ou à Química em que estejam presentes números representados em notação científica. Em seguida, peça que façam a leitura compartilhada, um resumo do que entenderam e, por fim, uma breve apresentação do que acharam mais importante para o restante da turma. A atividade pode ser realizada em parceria com os professores de Ciências e Língua Portuguesa. Atividades como essa favorecem o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 5, 7 e 9, uma vez que esse tipo de atividade exercita a curiosidade intelectual dos estudantes, mobiliza conhecimentos das linguagens matemática e científica, incentiva a argumentação com base em dados e informações confiáveis e, também, a empatia e o diálogo. Além disso, favorece também o desenvolvimento das competências específicas 2, 3, 4 e 8 da Bê êne cê cê, pois desenvolve a capacidade de produzir argumentos convincentes, relaciona diferentes áreas do conhecimento, envolve a observação de aspectos quantitativos e a interação dos estudantes com seus pares.

Sugestão de atividade extra

Se julgar conveniente, solicite aos estudantes que realizem uma pesquisa sobre como se desenvolveram historicamente o conceito de notação científica, as razões para esse desenvolvimento e suas principais aplicações. É possível também avançar para um trabalho interdisciplinar com Geografia e Ciências, explorando as medidas muito grandes ou muito pequenas. Essa atividade pode contribuir para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um oito.

• Para a atividade 17, se julgar necessário, relembre aos estudantes que 1 decímetro cúbico = 1 litro.

Página 30

18. O físico italiano Avogadro (1776-1856) mostrou que, em 18 gramas de água, há cérca de 6,02 ⋅ 10elevado a 23 moléculas. No caderno, escreva em notação científica o número aproximado de moléculas contidas em 1 miligrama de água.

19.

Junte-se a um colega e escreva dois números conforme as indicações a seguir para que ele os reescreva em notação científica.

• O primeiro número deve ser da ordem do trilhão. Seu colega deverá arredondá-lo de fórma que, em notação científica, fique com duas casas decimais.

• O segundo número deve estar entre 0 e 1 e ter mais de cinco casas decimais após a vírgula. Seu colega deverá arredondá-lo de fórma que, em notação científica, fique com duas casas decimais.

3 Raiz enésima de um número real

Podemos escrever a raiz quadrada de um número real positivo como potência de expoente fracionário.

\sqrt[2]{a^{m}} = a^{\frac{m}{2}}

, em que m é inteiro

Confira alguns exemplos a seguir.

\sqrt{64} = \sqrt[2]{64^{1}} = 64^{\frac{1}{2}}

\sqrt{77} = \sqrt[2]{77^{1}} = 77^{\frac{1}{2}}

\sqrt{7^{3}} = \sqrt[2]{7^{3}} = 7^{\frac{3}{2}}

16^{‒ \frac{1}{2}} = \sqrt[2]{16^{‒ 1}} = \sqrt[]{\frac{1}{16}}

A raiz enésima de um número real a, sendo n um número natural e n ⩾ 2, póde ser representada assim:

Esquema. Sentença matemática. Raiz enésima de a, seta saindo de índice até o n e seta saindo de radicando até o a.

Analise os dois exemplos a seguir.

Esquema. Raiz cúbica de 64 igual a 4. Fio com indicação raiz cúbica de 64 é o radical. 3 é o índice do radical. 64 é o radicando. 4 é a raiz. Lemos: raiz cúbica de sessenta e quatro.

Esquema. Raiz quinta de menos 243 igual a menos 3. Fio com indicação raiz quinta de menos 243 é o radical. 5 é o índice do radical. Menos 243 é o radicando. Menos 3 é a raiz. Lemos: raiz quinta de menos duzentos e quarenta e três.

Sugestão de leitura

RAMOS, Luzia Faraco. Uma raiz diferente. São Paulo: Ática, 2001. (Coleção A descoberta da Matemática).

O livro une as questões das raízes familiares do jovem personagem à raiz diferente citada no título: raiz quadrada e raiz cúbica. Há também desafios e atividades para prender a atenção do leitor.

Observações

1. Podemos omitir o índice 2 da raiz quadrada. Assim:

•

\sqrt[2]{16} = \sqrt{16}

•

\sqrt[2]{25} = \sqrt{25}

•

\sqrt[2]{\frac{49}{169}} = \sqrt{\frac{49}{169}}

2. Sendo n um número natural, com n ⩾ 2, temos:

\sqrt[n]{0} = 0

3. O termo radical é também nome do símbolo

\sqrt{0}

Respostas e comentários

18. 3,34 ⋅ 10elevado a dezenove moléculas

19. Respostas pessoais.

Raiz enésima de um número real

Bê êne cê cê:

Habilidade ê éfe zero nove ême ah zero três.

Objetivos:

• Compreender como se calcula a raiz enésima de um número real.

• Compreender a noção de radical e suas propriedades.

Justificativa

Calcular a raiz enésima de um número real amplia o estudo da radiciação para outros índices e permite relacionar esse cálculo a potências com expoentes fracionários, o que favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero três. A compreensão da noção de radical e suas propriedades oferece aos estudantes a oportunidade de construir procedimentos próprios para efetuar cálculos que envolvem números reais na fórma de raiz a ampliar o repertório de estratégias de resolução de problemas em que esses números estejam presentes.

Mapeando conhecimentos

Questione os estudantes: “O que é determinar a raiz quadrada de um número real? E a raiz cúbica? E a raiz enésima? Podemos calcular a raiz enésima de índice ímpar de qualquer número real? E a raiz enésima de índice par? Qual é a relação entre a raiz enésima e a potência de expoente fracionário?”. Deixe-os à vontade para conjecturar e expor suas ideias.

Para as aulas iniciais

Relembre o cálculo da raiz quadrada exata e aproximada por meio do texto presente na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores. Depois, explore com a turma as atividades de 5 a 7. Após essa retomada, você pode explorar as questões propostas na dinâmica inicial. Incentive os estudantes a escrever com vocabulário próprio uma definição para raiz enésima e depois os ajude a perceber, por meio de exemplos, que as raízes de índice par de um número real negativo não são números reais.

Ao iniciar a abordagem de raiz enésima de um número real, discuta as especificidades a serem consideradas ao se trabalhar com raízes de números reais com índices diferentes de 2, como a raiz cúbica, a raiz quarta etcétera. Os conhecimentos já construídos a respeito de potências de um número real também precisarão ser mobilizados pelos estudantes; nesse momento, relacione ao conteúdo que está sendo introduzido.

A escrita de um radical como uma potência de expoente fracionário pode contribuir para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero três, além de facilitar algumas operações.

(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

Página 31

Atividades

Faça as atividades no caderno.

20. Como se leem os radicais a seguir?

\sqrt{7}

\sqrt[3]{13}

\sqrt[4]{17}

\sqrt[6]{42}

21. Na expressão

\sqrt[3]{343} = 7

, identifique:

a) a raiz;

b) o radicando;

c) o radical;

d) o índice do radical.

22.

Escreva quatro radicais (dois racionais e dois irracionais). Em seguida, peça a um colega que identifique quais são racionais e quais são irracionais.

Determinação da raiz enésima de um número real

Na determinação da raiz enésima de um número real a, ou seja,

\sqrt[n]{a}

, podem ocorrer os casos a seguir.

• 1º caso: a ⩾ 0 e n um número natural maior ou igual a 2.

Analise os exemplos a seguir.

\sqrt{16} = 4 \Leftrightarrow 4^{2} = 16

\sqrt[4]{81} = 3 \Leftrightarrow 3^{4} = 81

\sqrt[3]{125} = 5 \Leftrightarrow 5^{3} = 125

\sqrt[5]{32} = 2 \Leftrightarrow 2^{5} = 32

Sendo a um número real, a ⩾ 0 e n um número natural maior ou igual a 2, temos que

\sqrt[n]{a}

corresponde ao número real não negativo b, tal que belevado a n = a. Assim:

\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^{n} = a

• 2º caso: a < 0 e n um número natural ímpar maior que 2.

Analise os exemplos a seguir.

\sqrt[3]{‒ 1.000} = ‒ 10

\sqrt[5]{‒ 1 . 024} = ‒ 4

\sqrt[3]{‒ 27} = ‒ 3

Sendo a um número real, a < 0 e n um número natural ímpar maior que 2, temos que

\sqrt[n]{a}

corresponde ao número real negativo b, tal que b elevado a n = a. Assim:

\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^{n} = a

• 3º caso: a < 0 e n um número natural par diferente de zero.

Como determinar

\sqrt{‒ 4}

no conjunto dos números reais?

\sqrt{‒ 4}

não é um número real, pois nenhum número real elevado ao quadrado é igual a menos4.

Sendo a um número real, a < 0 e n um número natural par diferente de zero, temos que

\sqrt[n]{a}

não representa um número real.

Respostas e comentários

20. a) raiz quadrada de sete

20. b) raiz cúbica de treze

20. c) raiz quarta de dezessete

20. d) raiz sexta de quarenta e dois

21. a) 7

21. b) 343

21. c)

\sqrt[3]{343}

21. d) 3

22. Resposta pessoal.

Determinação da raiz enésima de um número real

Comente com os estudantes que uma maneira de encontrar as raízes descritas no 1º e 2º caso é decompor o radicando em fatores primos.

Página 32

Atividades

Faça as atividades no caderno.

23. Determine o valor de:

\sqrt{100}

\sqrt[4]{256}

\pm \sqrt{25}

‒ \sqrt{144}

\sqrt[3]{‒ 8}

3 \sqrt{16}

24. Determine o valor das expressões a seguir.

‒ \sqrt{81} ‒ \sqrt[3]{‒ 27}

\sqrt[3]{0} + \sqrt[3]{‒ 1} + \sqrt{0,25}

25. Em cada caso, determine o valor de a.

\sqrt{a} = 100

\sqrt[3]{a} = ‒ 6

\sqrt[4]{a} = 5

26. Identifique os radicais que representam números reais.

\sqrt{0}

\sqrt{‒ 1}

\sqrt{1}

\sqrt[3]{‒ 1}

\sqrt[6]{‒ 1}

\sqrt[16]{‒ 1}

27. Em cada caso, determine o valor de x.

\sqrt{2 x} = 6

, para x ⩾ 0

\sqrt[3]{x + 1} = 2

, para x ⩾ menos1

\sqrt{x + 2} = 5

, para x ⩾ menos2

28. Sendo a = 64 e b = 36, determine:

\sqrt{a} + \sqrt{b} ‒ (\sqrt{a + b})

29. Determine o valor de x.

x = \sqrt{21 + \sqrt{13 + \sqrt{7 + \sqrt{4}}}}

Propriedades dos radicais

As propriedades dos radicais podem ser usadas na simplificação dos cálculos.

1ª propriedade

Analise as igualdades:

Sentença matemática. 64 igual a 4 elevado a 3.

Substituindo dois em um, temos:

\sqrt[3]{4^{3}} = 4

Dados

a

um número real e n um número natural, temos:

• se n é ímpar e maior que 2,

\sqrt[n]{a^{n}} = a

;

• se n é par, não nulo,

\sqrt[n]{a^{n}} = |a|

Confira mais alguns exemplos.

\sqrt{13^{2}} = |13| = 13

\sqrt{{(‒ 2)}^{2}} = |‒ 2| = 2

\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2

\sqrt[3]{{(‒ 3)}^{3}} = ‒ 3

2ª propriedade

Analise as igualdades:

Sentença matemática. Raiz quadrada de 4 vezes 9 igual a, raiz quadrada de 36, igual a 6.

Sentença matemática. Raiz quadrada de 4 vezes a raiz quadrada de 9 igual a, 2 vezes 3, igual a 6.

Igualando um a dois, temos:

\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9}

Respostas e comentários

23. a) 10

23. b) 4

23. c) ±5

23. d) menos12

23. e) menos2

23. f) 12

24. a) menos6

24. b) menos0,5

25. a) .10000

25. b) menos216

25. c) 625

26. alternativas a, c, d

27. a) 18

27. b) 7

27. c) 23

28. 4

29. 5

Propriedades dos radicais

Se julgar conveniente, mostre algebricamente para os estudantes a 2ª propriedade:

\begin{array}{l} \sqrt[n]{a \cdot b} = {(a \cdot b)}^{\frac{1}{n}} = \\ = a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} = \\ = \sqrt[n]{a^{1}} \cdot \sqrt[n]{b^{1}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \end{array}

Página 33

Dados a e b números reais não negativos e n um número natural maior ou igual a 2, temos:

\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}

Confira mais alguns exemplos.

\sqrt{3 \cdot 7} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}

\sqrt[4]{2 \cdot 3 \cdot 7} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{7}

\sqrt[3]{5 \cdot 17} = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{17}

\sqrt[5]{2^{3} \cdot x \cdot {y^{}}^{3}} = \sqrt[5]{2^{3}} \cdot \sqrt[5]{x} \cdot \sqrt[5]{y^{3}}

, com x ⩾ 0 e y ⩾ 0

3ª propriedade

Analise as igualdades:

Sentença matemática. Raiz quadrada de 4 sobre 9 igual a 2 terços.

Sentença matemática. Raiz quadrada de 4 sobre raiz quadrada de 9 igual a 2 terços.

Igualando um a dois, temos:

\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}

Dados a e b números reais não negativos, com b diferente de 0, e n um número natural maior ou igual a 2, temos:

\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

Confira mais alguns exemplos.

\sqrt{\frac{3}{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}

\sqrt[3]{\frac{a^{5}}{b^{3}}} = \frac{\sqrt[3]{a^{5}}}{\sqrt[3]{b^{3}}} = \frac{\sqrt[3]{a^{5}}}{b}

, com a ⩾ 0 e b > 0

\sqrt[3]{\frac{5}{17}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{17}}

\sqrt[5]{\frac{a^{3}}{7 b}} = \frac{\sqrt[5]{a^{3}}}{\sqrt[5]{7 b}}

, com a ⩾ 0 e b > 0

4 ª propriedade

Analise a igualdade:

Sentença matemática. Raiz cúbica de 5 elevado a 3 igual a 5.

Multiplicando o índice do radical e o expoente do radicando por 2, obtemos:

Sentença matemática. Raiz 3 vezes 2 de 5 elevado a 3 vezes 2 igual a, raiz sexta de 5 elevado a 6, igual a 5.

Igualando um a dois, temos:

\sqrt[3]{5^{3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^{3 \cdot 2}}

Respostas e comentários

Continue mostrando as propriedades dos radicais.

• 3ª propriedade:

\begin{array}{l} \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = {(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}} = \frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}} = \\ = \frac{\sqrt[n]{a^{1}}}{\sqrt[n]{b^{1}}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \end{array}

• 4ª propriedade:

\begin{array}{l} \sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m \cdot p}{n \cdot p}} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}} \\ \sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m : p}{n : p}} = \sqrt[n : p]{a^{m : p}} \end{array}

Glossário

latência: : tempo que demora para a transferência de informações dentro da rede. Por isso, quanto menor for essa medida, mais rápido vai chegar o pacote de dados de um ponto a outro.; Voltar para o texto

milissegundo: : milésima parte do segundo.; Voltar para o texto

femtossegundo: : unidade de medida de tempo que corresponde a 10elevado a menos quinze segundos.; Voltar para o texto