Capítulo 2 Matemática financeira
Trocando ideias
De acôrdo com o Serviço Brasileiro de apôio às Micro e Pequenas Empresas (Sebrae), uma istartápi é um grupo de pessoas à procura de um modelo de negóciosglossário repetívelglossário e escalávelglossário , trabalhando em condições de extrema incertezaglossário .
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Imagine que você vai abrir uma istartápi. Qual seria o modelo de negócio dela? Por quê? Que cuidados você tomaria para obter lucro? Converse com os colegas.
Neste capítulo, vamos resolver problemas envolvendo cálculos de lucro, prejuízo, desconto e acréscimo. Em seguida, vamos estudar juro simples e juro composto em diversas situações do dia a dia.
Respostas e comentários
Trocando ideias: Respostas pessoais.
CAPÍTULO 2 – MATEMÁTICA FINANCEIRA
Trocando ideias
Bê êne cê cê:
• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).
• Competência específica 8 (a descrição está na página sete).
Objetivos:
• Levantar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre as ideias de lucro e prejuízo.
• Introduzir o conceito de startup.
Tema contemporâneo transversal:
Forme uma roda de conversa com os estudantes e pergunte se eles já ouviram falar no termo “startup” e se sabem o que significa. Após dar um tempo para que alguns estudantes se manifestem, discuta com eles a definição do Sebrae. Comente com os estudantes que a maior parte das startups são empresas de internet porque a web torna a expansão do negócio mais fácil, rápida e barata, além da venda ser repetível. Pergunte a eles se conhecem alguma startup e, em caso afirmativo, o que sabem sobre ela: modelo de negócio, resultados etcétera. Momentos como esse contribuem para o desenvolvimento da competência geral 9 e da competência específica 8 da Bê êne cê cê, pois incentivam os estudantes a dialogar e exercitar a empatia.
As questões propostas têm por objetivo despertar nos estudantes o espírito empreendedor. Se achar conveniente, você pode pedir que façam um planejamento da startup por escrito em seus cadernos. Oriente-os a pensar em um modelo de negócios, parceiros, de onde tirariam investimento e como pretendem lucrar. Depois, reserve uma aula para que todos possam compartilhar suas ideias. Aproveite o momento para abordar as noções de lucro e prejuízo com eles.
1 Operações comerciais
As operações comerciais podem gerar lucro ou prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda do produto.
Acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
Pedro comprou um relógio por R$ 370,00trezentos e setenta reais e quer vendê-lo em sua loja obtendo lucro de 25% sobre o preço de compra. Por quanto Pedro deve vender esse relógio para obter o lucro desejado?
O preço de venda (PV ) do relógio deve ser igual ao preço de compra mais o lucro desejado na venda do relógio. Ou seja:
PV = 370 + 92,50
PV = 462,50
Portanto, Pedro deve vender o relógio por R$ 462,50.quatrocentos e sessenta e dois reais e cinquenta centavos
Situação 2
Jurandir comprou um carro elétrico por R$ 63.000,00sessenta e três mil reais e 14 meses depois teve que vendê-lo por um valor 10% menor, em função da taxa de depreciação do veículo. Qual foi o valor que Jurandir obteve com a venda desse veículo?
O preço de venda (PV ) desse carro elétrico deve ser igual ao preço de compra menos a taxa de depreciação (prejuízo obtido na venda). Ou seja:
PV = .63000 menos .6300
PV = .56700
Portanto, Jurandir vendeu o carro por R$ 56.700,00cinquenta e seis mil setecentos reais.
Situação 3
Um notebook foi vendido com um desconto de 20%. Se esse notebook custava R$ 3.000,00três mil reais, qual foi o preço de venda com o desconto?
O preço de venda (PV) desse notebook deve ser igual ao preço do produto menos o valor correspondente ao desconto. Ou seja:
PV = .3000 menos 600
PV = .2400
Portanto, o preço de venda do notebook foi R$ 2.400,00dois mil quatrocentos reais.
Respostas e comentários
Operações comerciais
Bê êne cê cê:
Habilidade ê éfe zero nove ême ah zero cinco.
Objetivo:
Entender as ideias de lucro e prejuízo.
Tema contemporâneo transversal:
Justificativa
As ideias de lucro e prejuízo estão presentes nas operações comerciais e, consequentemente, no cotidiano dos estudantes. O entendimento dessas ideias contribui não apenas para que os estudantes calculem o preço de venda de produtos, como também para que reflitam sobre atitudes responsáveis e conscientes no planejamento e no uso de recursos financeiros no dia a dia.
Mapeando conhecimentos
Selecione alguns panfletos ou recortes de revistas ou jornais em que haja anúncios ou situações relacionados a valores monetários, mais especificamente a lucro e a prejuízo. É importante que as situações possam ser compreendidas pelos estudantes. Depois, organize a turma em grupos e entregue um panfleto ou recorte para que cada grupo analise e discuta. Incentive-os a falar sobre o teor das informações e também sobre os dados presentes. Durante as discussões, proponha as seguintes questões: “O que é lucro? Como calcular o lucro de uma venda? O que é prejuízo? Como calcular o prejuízo de algo que comprei e desvalorizou após um tempo?”.
Para as aulas iniciais
Organize novamente a turma em grupos (os mesmos da dinâmica inicial) e peça que um grupo por vez exponha seu panfleto ou recorte e explique, para os demais grupos, as principais conclusões obtidas. A proposta é que as ideias de lucro e prejuízo amadureçam aos poucos conforme os grupos apresentem suas conclusões. Ao final, você pode solicitar aos grupos que elaborem problemas que envolvam as ideias de lucro ou prejuízo e, depois, troquem entre eles, para que um resolva o problema elaborado pelo outro. Reserve um tempo para discutir e resolver coletivamente alguns desses problemas.
Ao iniciar o estudo deste tópico, proponha aos estudantes que pesquisem a respeito do significado dos termos lucro e prejuízo.
Explique aos estudantes o conceito de “depreciação”, usado na situação 2. Depreciação está relacionada à perda de valor de um bem decorrente de seu uso, do desgaste natural ou de sua obsolescência.
(ê éfe zero nove ême ah zero cinco) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.
Situação 4
Rita faz enfeites de cerâmica para vender. Quando algum fica com defeito, ela vende por R$ 40,00 quarenta reais(20% mais barato que aqueles em perfeito estado). Qual é o valor dos enfeites em perfeito estado?
O preço de venda (PV) menos o desconto de 20% sobre esse valor é equivalente a R$ 40,00quarenta reais. Ou seja:
Sentença matemática. PV menos, abre parênteses, fração 20 centésimos vezes PV, fecha parênteses, igual a 40.
Fração 80 centésimos
⋅ PV = 40
Multiplicando os dois membros da igualdade anterior por 100, temos:
Sentença matemática. Fração 80 centésimos vezes PV vezes 100 igual a 40 vezes 100. Destaque nas duas ocorrências de: vezes 100.
80 ∙ PV = .4000
Multiplicando os dois membros da igualdade anterior por
Sentença matemática. Com destaque, fração 1 sobre 80., temos:
Sentença matemática. 80 vezes PV vezes fração 1 sobre 80 igual a 4 mil vezes fração 1 sobre 80. Destaque nas duas ocorrências de: vezes fração 1 sobre 80.
Sentença matemática. PV igual, fração 4 mil sobre 80.
PV = 50
Portanto, o preço do enfeite em perfeito estado é R$ 50,00cinquenta reais.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
1. Determine por quanto deve ser vendido um objeto comprado por R$ 700,00setecentos reais para que se obtenha um lucro equivalente a 2,5% do preço de custo.
2. Um produto cujo custo foi R$ 272,00duzentos e setenta e dois reais deve ser vendido com lucro de 15%. Qual deve ser o preço de venda?
3. Um aparelho de Blue-Rayglossário estava à venda por R$ 500,00quinhentos reais e foi vendido com desconto de 15%. Por quanto ele foi vendido?
4. Certa mercadoria sofreu avarias e foi vendida por R$ 1.584,00mil quinhentos e oitenta e quatro reais, com prejuízo de 12% sobre o seu preço de custo. Qual era o preço de custo dessa mercadoria?
5. Valdênio vendeu um ar-condicionado usado com desconto de 6% sobre o preço de compra. Admitindo que ele tenha comprado o produto por R$ 1.113,00mil cento e treze reais, qual foi o preço de venda?
6. Calcule o prejuízo de um comerciante que vendeu suas mercadorias por R$ 72.788,80setenta e dois mil setecentos e oitenta e oito reais e oitenta centavos, perdendo nessa transação uma quantia equivalente a 3% do preço de custo.
Respostas e comentários
1. R$ 717,50 setecentos e dezessete reais e cinquenta centavos
2. R$ 312,80 trezentos e doze reais e oitenta centavos
3. R$ 425,00 quatrocentos e vinte e cinco reais
4. R$ 1.800,00 mil oitocentos reais
5. R$ 1.046,22 mil quarenta e seis reais e vinte e dois centavos
6. R$ 2.251,20dois mil duzentos e cinquenta e um reais e vinte centavos
• Na atividade 1, espera-se que os estudantes concluam que, para determinar o valor pelo qual deve ser vendido o objeto, é preciso calcular:
R$ 700,00setecentos reais + 0,025 ⋅ R$ 700, 00setecentos reais
Alguns estudantes podem concluir erroneamente que o valor da venda do objeto é R$ 2.450, 00dois mil quatrocentos e cinquenta reais. Caso isso ocorra, é porque não escreveram a porcentagem 2,5% na fórma de fração ou na fórma decimal, ao realizar o cálculo. Antes de discutir o erro, incentive-os a refletir sobre a razoabilidade desse valor.
• A atividade 3 envolve a ideia de desconto. Para determinar o valor de venda do aparelho de Blue-Ray, os estudantes devem realizar o seguinte cálculo:
R$ 500, 00quinhentos reais ‒ 0,15 ⋅ R$ 500, 00quinhentos reais
Caso alguns estudantes concluam que o valor de venda é superior a R$ 500, 00quinhentos reais, incentive-os a perceber que tal valor não satisfaz as condições da situação-problema.
• Na atividade 5, incentive os estudantes a escreverem uma sentença que traduza o problema antes de calcular qualquer resultado. Espera-se que eles façam o seguinte cálculo:
Sentença matemática. 1113 reais menos fração 6 centésimos vezes 1113 reais.
7. Orçamento é a distinção e o cálculo das receitas e das despesas.
Para compor um orçamento familiar é importante conhecer com exatidão a receita disponível e controlar as despesas. O contrôle poderá ser realizado mensalmente, por exemplo.
O quadro a seguir é uma sugestão para o contrôle mensal de gastos de uma família.
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Controle de gastos |
Mês/ano: |
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|---|---|---|
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Receitas |
Salários |
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Total de receitas (A) |
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Controle de gastos |
Mês/ano: |
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Gastos fixos |
Aluguel/Prestação/Condomínio |
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Gastos variáveis |
Alimentação |
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Gastos arbitrários (nem sempre são feitos) |
Cinema/Teatro |
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Total de despesas (B) |
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Saldo total |
A - B |
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Reúna-se com um colega e, com a ajuda do professor, conversem sobre as informações apresentadas no quadro. Em seguida, vocês deverão definir as características de uma família qualquer: perfil, idade de cada membro, local onde reside, de quantas pessoas, com quanto cada um contribui com a receita etcétera. Copiem e preencham o quadro no caderno com os valores que considerarem adequados. Depois do preenchimento, apresentem o quadro aos demais colegas. Conversem sobre os valores indicados, se estão de acôrdo com os valores praticados e se os gastos correspondem aos gastos da maioria das famílias brasileiras.
Respostas e comentários
8. Comentários em Orientações.
• Comente com os estudantes que a atividade 7 apresenta um recurso muito útil para a organização e o contrôle das finanças pessoais ou familiares. Se achar conveniente, sugira a eles que apresentem ou compartilhem esse modelo de contrôle com os familiares.
2 Juro simples
Quando se aplica ou se pede emprestado um valor em dinheiro (capital), geralmente se recorre a uma instituição financeira. Para emprestar a um cliente determinada quantia, que só será paga no futuro, essa instituição cobra um valor adicional. Esse valor adicional é denominado juro. Do mesmo modo, se o cliente aplicar uma determinada quantia, após um período receberá um valor adicional, referente ao juro da aplicação.
Dizemos que:
Juro é a remuneração que se recebe no caso de uma aplicação ou a quantia que deve ser paga no caso de um empréstimo.
Acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
Mariana solicitou um empréstimo de R$ 5.000,00cinco mil reais a um banco. Ela terá de pagar essa quantia ao término de 8 meses, com taxa de juro simples de 4% ao mês. Que quantia de juro Mariana deverá pagar ao banco ao término dessa operação?
A quantia solicitada por Mariana, a ser paga no prazo de 8 meses, é chamada de capital (C ).
C = R$ 5.000,00cinco mil reais
A taxa de juro (i) é a taxa percentual que representa o valor do juro em relação ao capital, a ser pago ao término de 8 meses.
i = 4% (taxa mensal)
Para obter o juro ( j ) dessa operação, calculamos 4% de R$ 5.000,00cinco mil reais durante o intervalo de tempo (t) de 8 meses.
• juro mensal
4% de R$ 5.000,00cinco mil reais
j = R$ 200,00duzentos reais
• juro em 8 meses
j = R$ 1.600,00mil seiscentos reais
Portanto, Mariana deverá pagar R$ 1.600,00mil seiscentos reais de juro ao banco ao término da operação.
Quando o valor do juro a ser realizado em uma operação financeira ao final de cada período é calculado apenas sobre o capital inicial, mantendo-se constante durante todo o tempo da transação, dizemos que essa transação foi realizada com juro simples.
Respostas e comentários
Juro simples
Bê êne cê cê:
Habilidade ê éfe zero nove ême ah zero cinco.
Objetivo:
Compreender a ideia de juro simples.
Justificativa
Compreender a ideia de juro simples, possibilita aos estudantes entender a diferença entre comprar à vista e a prazo, situações de empréstimo, aplicações financeiras, entre outras. Além disso, favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero cinco, pois nesse contexto os estudantes resolvem e elaboram problemas envolvendo porcentagens.
Mapeando conhecimentos
Organize a turma em grupos e distribua panfletos ou recortes de jornais em que haja anúncios envolvendo juros, para que eles possam calcular e examinar cada um deles. Caso não consiga providenciar panfletos e/ou recortes, você pode trabalhar com situações fictícias, expondo-as na lousa. Incentive o uso de calculadoras para que possam conferir os valores divulgados e tirar outras conclusões que podem ser importantes para quem deseja adquirir aquele bem ou serviço publicado ali. Durante a atividade, observe como lidam com o conceito de juro. Para encaminhar as investigações que serão feitas por eles, você pode propor as seguintes questões: “Qual é a diferença de preço entre o valor à vista e o valor pago em parcelas? Qual seria o valor da parcela caso não houvesse juro? Qual é a porcentagem de juro?”.
Para as aulas iniciais
Proponha aos estudantes que revisem o conceito de porcentagem presente na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e façam as atividades 8 e 9. Após concluírem as atividades, peça que comparem as respostas com um colega. Verifique se tiveram alguma dificuldade e, em caso positivo, busque saná-la.
Retome algumas situações da dinâmica inicial e explore-as com a turma.
Comente com os estudantes sobre a importância de estarem atentos ao juro cobrado em diferentes transações comerciais, como em um parcelamento da compra de um item. Por esse motivo, é importante que comparem os juros oferecidos pelas modalidades de crédito para evitar endividamentos.
Aproveite a primeira situação e pergunte aos estudantes: No total, quanto Mariana pagará ao banco? (Resposta: R$ 6.600,00seis mil seiscentos reais).
(ê éfe zero nove ême ah zero cinco) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.
Situação 2
Luana comprou uma televisão por R$ 2.000,00dois mil reais; como ela não tinha o valor para pagar à vista, resolveu parcelar em 1 ano com uma taxa de juro simples de 1% ao mês.
Nessa situação, temos que:
C = R$ 2.000,00dois mil reais
Então:
Ao final do período, Luana terá pago R$ 240,00duzentos e quarenta reais de juro e, ao todo, R$ 2.240,00dois mil duzentos e quarenta reais.
Assim, um capital C, aplicado a uma taxa mensal i, durante um intervalo de tempo t, gera um total de juro simples j, que póde ser assim expresso:
j = C ⋅ i ⋅ t
O total a ser pago ao final da operação é denominado montante (M ) e corresponde ao capital mais o total de juro. Ou seja:
M = C + j
Respostas e comentários
Ao trabalhar com juro simples, é importante que os estudantes, com base na análise de regularidades presentes em situações-problema, possam chegar às expressões para o cálculo do juro e do montante.
Sugestão de atividade extra
Proponha a seguinte atividade aos estudantes: Marcelo aplicou R$ 500,00quinhentos reais por dois anos a uma taxa de juro simples de 2% ao mês
Monte um quadro explicitando o valor correspondente ao juro obtido mês a mês, ao longo desses dois anos, por meio dessa aplicação.
Qual foi o valor correspondente ao juro total obtido por Marcelo por meio desse investimento? (Resposta: R$ 240,00duzentos e quarenta reais).
Construa um quadro explicitando, mês a mês, o valor do montante obtido por meio dessa aplicação financeira no período de dois anos.
Ainda considerando esse problema, expresse, em função de n, o juro e o montante obtidos após terem se passado n meses a partir do início da aplicação. (Resposta: j = 10n e M = 10n + 500).
Situação 3
Ademir usou uma planilha eletrônica para realizar o cálculo automático do juro total e do montante durante um período. Para isso, bastou que ele inserisse o valor do capital, a taxa de juro e o período de tempo da operação nos campos determinados. Observe a seguir como a planilha foi criada.
1º) Na célula B5, Ademir escreveu a fórmula para calcular o juro, multiplicando os valores contidos nas células referentes ao capital, à taxa de juro e ao tempo.
2º) Na célula E2, Ademir escreveu um comando para copiar o valor do capital, já inserido na célula bê 2.
3º) Para a célula E3, Ademir fez o mesmo para copiar o valor do juro, calculado na célula B5.
Respostas e comentários
Sugestão de atividade extra
Se possível, organize os estudantes em duplas e peça que reproduzam a situação 3 apresentada em uma planilha eletrônica. Após a construção da planilha, forneça outros valores para o capital e para a taxa de juro, de modo que, ao atribuí-los na planilha, eles possam verificar a atualização dos valores correspondentes ao juro e ao montante.
4º) Então, Ademir inseriu na célula E4 a fórmula para adicionar o capital ao juro, determinando o montante.
No exemplo a seguir, Ademir calculou o juro e o montante de uma operação após inserir em uma planilha eletrônica o valor R$ 3.600,00três mil seiscentos reais para o capital (célula bê 2), 0,02 para a taxa de juro (célula B3) e 6 para o período de tempo (bê quatro).
Assim, o total de juro dessa operação foi de R$ 432,00quatrocentos e trinta e dois reais e o montante acumulado foi de R$ 4.032,00quatro mil trinta e dois reais.
Observações
Clique no play e acompanhe a reprodução do Áudio.
1. Sobre a taxa de juro, é comum o uso das expressões:
• taxa de juro de 10% ao ano – significa que o valor do juro é igual a 10% do capital ao ano.
• taxa de juro de 0,5% ao mês – significa que o valor do juro é igual a 0,5% do capital ao mês.
2. Por convenção, o mês comercial tem 30 dias, e o ano comercial, 360 dias.
Transcrição do áudio
Agricultura familiar Duração: 4:06min. Página: 52.
>> [LOCUTORA] Agricultura familiar
>> [Locutora] Diferentemente da economia formal, mais comum nas áreas urbanas, em que os trabalhadores recebem um salário mensal fixo, a agricultura familiar costuma funcionar por ciclo. Por isso, pode ser importante para esses agricultores multiplicar a fonte de capital com empréstimos e investimentos.
>> [Locutora] Conversamos com Antônio Everardo Magalhães, bancário especializado em crédito voltado à agricultura familiar, sobre esse modo de produção e suas características.
Vinheta.
>> [Antônio Everardo Magalhães] Meu nome é Antônio Everardo de Paula Magalhães, sou bancário, trabalho no Banco do Nordeste do Brasil há 34 anos e há oito anos estou na função de gerente de microfinança rural.
>> [Locutora] Como se dá o ciclo econômico da agricultura familiar? Ele é muito diferente do funcionamento da economia formal urbana, em que as pessoas geralmente recebem um salário mensal fixo?
>> [Antônio Everardo Magalhães] O ciclo econômico ocorre de acordo com as atividades desenvolvidas, cujas rendas são geradas conforme as safras de cada cultura. No caso do milho, por exemplo, o agricultor pode ter até três safras por ano. Então, ele só terá renda a partir do momento em [sic] que comercializa a sua produção. Dessa forma, deverá trabalhar com outras atividades que possam gerar receitas mensais, a exemplo da bovinocultura de leite.
>> [Locutora] Como funciona a operação de crédito bancário para a agricultura familiar?
>> [Antônio Everardo Magalhães] O agricultor familiar de posse da DAP, que é a Declaração de Aptidão do Pronaf, procura um técnico credenciado junto ao banco para elaborar uma proposta de crédito, que deverá estar vinculada a uma atividade desenvolvida pela família. Em alguns casos, o crédito é extremamente desburocratizado, não chegando sequer a exigir garantia. Ou seja, pode ser realizada uma operação de financiamento sem mesmo se exigir a prestação de aval.
>> [Locutora] Qual é a origem do dinheiro emprestado pelos bancos ou por outras instituições financeiras?
>> [Antônio Everardo Magalhães] Os recursos são oriundos do BNDES, Secretaria do Tesouro Nacional e dos Fundos Constitucionais, o FNE, que é direcionado para a Região Nordeste, o FNO, que está direcionado para o Norte, e o FCO que atende a Região Centro-Oeste. São créditos subsidiados, ou seja, os juros são muito baixos, em especial para os agricultores pronafianos com enquadramento no grupo B, cuja taxa anual de juros é de apenas 0,5 por cento ao ano.
>> [Locutora] Quem costuma contratar esse crédito? Por quê?
>> [Antônio Everardo Magalhães] Quem contrata as operações são as famílias que desenvolvem atividades produtivas voltadas para a agropecuária, para a prestação de serviços na zona rural, para a produção de artesanato e ainda para o turismo rural. Por quê? Pelo fato de necessitarem investir na produção de alimentos [tom enfático] ou no desenvolvimento das suas atividades produtivas. Os recursos devem ser utilizados para aquisição de insumos, matéria-prima, aquisição de animais, construção de cercas, perfuração de poços ou implantação de culturas diversas, dentre outros itens que estejam vinculados às atividades produtivas da família.
Vinheta.
Créditos Studio Spectrum
Atividades
Faça as atividades no caderno.
8. Calcule o juro e o montante de uma aplicação de R$ 20.000,00vinte mil reais durante 8 meses, à taxa de juro simples de 0,8% ao mês
9. Calcule o montante de um capital de R$ 4.000,00quatro mil reais empregado durante 2 anos e 6 meses à taxa de 1,5% ao mês
10. Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de R$ 2.000,00dois mil reais à taxa de 2% ao mês para se obter R$ 800,00oitocentos reais de juro simples?
11. Um capital de R$ 10.000,00dez mil reais, aplicado durante 3 meses a juro simples, rende R$ 300,00trezentos reais. Determine a taxa de juro cobrada.
Respostas e comentários
8. R$ 1.280,00mil duzentos e oitenta reais e R$ 21.280,00 vinte e um mil duzentos e oitenta reais
9. R$ 5.800,00 cinco mil oitocentos reais
10. 20 meses, ou 1 ano e 8 meses
11. 1% ao mês
Sugestão de leitura
“Reflexões sobre a educação financeira e suas interfaces com a educação matemática e a educação crítica”, de Celso Ribeiro Campos, James Teixeira, Cileda de Queiroz e Silva Coutinho. Neste artigo, os autores mostram a importância da educação para a cidadania, destacando, assim, a educação financeira como um campo para desenvolver conhecimentos e informações sobre finanças pessoais que podem contribuir para melhorar a qualidade de vida das pessoas e de suas comunidades. Disponível em: https://oeds.link/SSEnlg. Acesso em: 7 agosto 2022.
12. Qual é o capital que, investido hoje a juro simples de 12% ao ano, totalizará R$ 1.296,00 mil duzentos e noventa e seis reaisno fim de 8 meses?
13. Aplicar um capital à taxa de juro simples de 0,5% ao mês, durante 10 meses, é equivalente a investir o mesmo capital, por 25 meses, a que taxa?
14. O capital de R$ 3.000,00três mil reais, aplicado à taxa de 12% ao ano (juro simples), produzirá, no final de 200 dias, um montante de que valor? (Considere que o ano tem 360 dias.)
15.
Utilize uma planilha eletrônica e resolva os problemas de cada item.
a) Uma agência de investimentos promete taxas de juro simples de 1,5% ao mês se o investidor deixar seu capital aplicado durante 10 meses. Qual deve ser o juro de um capital de R$ 12.000,00doze mil reais?
b) Maria Eduarda fez um empréstimo de R$ 15.000,00quinze mil reais que pretende pagar em 20 meses. Ela conseguiu uma taxa de juro simples de 1,8% ao mês. Qual será o total de juro que Maria Eduarda terá que pagar?
3 Juro composto
Calcula-se o juro composto sempre sobre o resultado da operação anterior, o que chamamos de "juro sobre juro". Desse modo, o juro obtido ao final de cada período é incorporado ao capital inicial, dando origem ao montante.
Essa é a modalidade mais empregada pelas instituições financeiras.
Acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
Acácia fez um depósito inicial de R$ 30.000,00trinta mil reais em uma aplicação. Vamos calcular o montante e o juro ao final dos 3 primeiros meses, sabendo que os rendimentos mensais da aplicação foram de 0,6%, 1% e 0,7%, nessa ordem.
• No 1º mês, a aplicação rendeu 0,6% (i = 0,006).
M = R$ 30.000,00trinta mil reais + R$ 180,00cento e oitenta reais = R$ 30.80,00três mil oitenta reais
Logo, no final do 1º mês, Acácia passou a ter um montante de R$ 30.180,00trinta mil cento e oitenta reais.
• No 2º mês, a aplicação rendeu 1% (i = 0,01).
M = R$ 30.180,00trinta mil cento e oitenta reais + R$ 301,80trezentos e um reais e oitenta centavos = R$ 30.481,80trinta mil quatrocentos e oitenta e um reais e oitenta centavos
Então, no final do 2º mês, Acácia passou a ter um montante de R$ 30.481,80trinta mil quatrocentos e oitenta e um reais e oitenta centavos.
• No 3º mês, a aplicação rendeu 0,7% (i = 0,007).
M ≃ R$ 30.481,80trinta mil quatrocentos e oitenta e um reais e oitenta centavos + R$ 213,37duzentos e treze reais e trinta e sete centavos = R$ 30.695,17trinta mil seiscentos e noventa e cinco reais e dezessete centavos
Respostas e comentários
12. R$ 1.200,00 mil duzentos reais
13. 0,2%
14. R$ 3.200,00 três mil duzentos reais
15. a) R$ 1.800,00 mil oitocentos reais
15. b) R$ 5.400,00cinco mil quatrocentos reais
Juro composto
Bê êne cê cê:
Habilidade ê éfe zero nove ême ah zero cinco.
Objetivo:
Compreender a ideia de juro composto.
Justificativa
Compreender a ideia de juro composto amplia os conhecimentos previamente adquiridos pelos estudantes sobre o conceito de juro simples e possibilita a eles lidar com diferentes situações cotidianas envolvendo sistema monetário, uma vez que, essa modalidade de juro é a mais praticada nas compras em prestações, em investimentos ou em empréstimos de dinheiro no banco. Além disso, favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero cinco, pois envolve, entre outras coisas, a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação de taxas percentuais.
Mapeando conhecimentos
Peça aos estudantes que imaginem uma situação em que uma pessoa, aplicou R$ 100.000,00cem mil reais em um banco a 10% ao ano e pergunte: “Quanto essa pessoa vai receber após 4 anos?”. Você pode reuni-los em duplas ou trios para que possam trocar ideias. Observe as estratégias empregadas por eles.
Para as aulas iniciais
Retome o problema proposto na dinâmica inicial e verifique qual dupla ou trio conseguiu resolvê-lo e peça que expliquem como fizeram. Após esse momento de socialização, oriente-os a resolver o problema, completando um quadro como o da referência a seguir. Ajude-os a preencher as duas primeiras linhas do quadro e deixe que completem as demais com o auxílio de uma calculadora.
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Montante no início de cada ano (em real) |
Juro a 10% a.a. |
Montante ao fim de cada ano (em real) |
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|---|---|---|---|
|
1º ano |
100.000 |
R$ 100.000,00 ⋅ 0,1 ⋅ 1 = R$ 10.000,00 |
110.000 |
|
2º ano |
110.000 |
R$ 110.000,00 ⋅ 0,1 ⋅ 1 = R$ 11.000,00 |
121.000 |
|
3º ano |
121.000 |
R$ 121.000,00 ⋅ 0,1 ⋅ 1 = R$ 12.100,00 |
133.100 |
|
4º ano |
133.100 |
R$ 133.100,00 ⋅ 0,1 ⋅ 1 = R$ 13.310,00 |
146.410 |
Espera-se que, após completarem o quadro, eles concluam que, após 4 anos, a pessoa vai receber R$ 146.410,00cento e quarenta e seis mil quatrocentos e dez reais.
(ê éfe zero nove ême ah zero cinco) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.
Assim:
Portanto, ao final de 3 meses, Acácia recebeu R$ 695,17seiscentos e noventa e cinco reais e dezessete centavos de juro e passou a ter um montante de aproximadamente R$ 30.695,17trinta mil seiscentos e noventa e cinco reais e dezessete centavos.
Situação 2
Um investidor fez uma aplicação de R$ 80.000,00oitenta mil reais, com juro composto, a uma taxa de 20% ao ano Qual foi o montante disponível após 4 anos? Qual foi o total do juro da aplicação?
Acompanhe os cálculos no quadro a seguir.
|
Aplicação inicial (em reais) |
Montante anterior (em reais) |
Juro a 20% a.a. (em reais) |
Montante |
|
|---|---|---|---|---|
|
1º ano |
80.000 |
— |
80.000 ⋅ 0,20 ⋅ 1 = 16.000 |
80.000 + 16.000 = 96.000 |
|
2º ano |
— |
96.000 |
96.000 ⋅ 0,20 ⋅ 1 = 19.200 |
96.000 + 19.200 = 115.200 |
|
3º ano |
— |
115.200 |
115.200 ⋅ 0,20 ⋅ 1 = 23.040 |
115.200 + 23.040 = 138.240 |
|
4º ano |
— |
138.240 |
138.240 ⋅ 0,20 ⋅ 1 = 27.648 |
138.240 + 27.648 = 165.888 |
O montante após 4 anos foi R$ 165.888,00cento e sessenta e cinco mil oitocentos e oitenta e oito reais, e o juro da aplicação corresponde a R$ 85.888,00 oitenta e cinco mil oitocentos e oitenta e oito reais(R$ 165.888,00cento e sessenta e cinco mil oitocentos e oitenta e oito reais menos R$ 80.000,00oitenta mil reais = R$ 85.888,00oitenta e cinco mil oitocentos e oitenta e oito reais).
Situação 3
Letícia usou uma planilha eletrônica para calcular o montante, após 6 meses, de uma aplicação que rende juro composto à taxa de 4,5% ao mês a partir de um capital inicial de R$ 320,00trezentos e vinte reais. Acompanhe a seguir os procedimentos de Letícia.
1º) Ela organizou os dados que tinha e, depois, inseriu a fórmula para calcular o juro referente ao 1º mês.
Respostas e comentários
É interessante conversar com os estudantes sobre a importância de se compreender o conceito de juro composto, pois essa é a base do atual Sistema Financeiro, já que é utilizado pelas instituições bancárias e financeiras na cobrança e no recebimento de juro nas opções de empréstimos, pagamentos, aplicações, financiamentos, entre outros serviços do ramo.
Se considerar adequado, aproveite esse momento para conscientizá-los sobre os riscos que uma pessoa corre ao gastar mais do que recebe e também sobre a compra de produtos que podem não ser necessários.
Na situação 3 é explorado o trabalho com planilhas eletrônicas para o cálculo de juro composto. Se tiver oportunidade, leve os estudantes a uma sala de informática para que possam reproduzir o procedimento de Letícia.
2º) Em seguida, inseriu a fórmula, na célula cê cinco, para calcular o montante no 1º mês.
3º) Então, Letícia inseriu as fórmulas para o cálculo do juro e do montante referentes ao 2º mês, considerando que no regime de juro composto o juro é aplicado ao montante do mês anterior e que o juro calculado é adicionado a esse montante.
4º) Após inserir as fórmulas para os demais meses, ela obteve os valores a seguir.
Respostas e comentários
Sugestão de atividade extra
Peça aos estudantes que realizem a seguinte atividade: Um capital de R$ 1.000,00mil reais foi aplicado à taxa de juro composto de 5% ao mês
a) Qual será o montante disponível para o investidor sacar depois de um mês de aplicação? Quanto de juro o capital terá rendido nesse período? (Respostas: R$ 1.050,00mil cinquenta reais; R$ 50,00cinquenta reais).
b) Qual será o montante disponível para o investidor sacar depois de dois meses de aplicação? Quanto de juro o capital terá rendido nesse período? (Respostas: R$ 1.102,50mil cento e dois reais e cinquenta centavos; R$ 102,50cento e dois reais e cinquenta centavos).
c) Qual será o montante disponível para o investidor sacar depois de três meses de aplicação? Quanto de juro o capital terá rendido nesse período? (Respostas: Aproximadamente R$ 1.157,63mil cento e cinquenta e sete reais e sessenta e três centavos; R$ 157,63cento e cinquenta e sete reais e sessenta e três centavos).
Se julgar conveniente, proponha aos estudantes que, utilizando as resoluções dos itens anteriores, obtenham uma sentença algébrica que lhes permita determinar o montante disponível para o investidor sacar após n meses de aplicação, sendo n um número inteiro qualquer maior do que 1. (Resposta: M = .1000 ⋅ (1,05)n). A partir do início deste trabalho, é possível generalizar e enunciar que um capital C, aplicado a uma taxa de juro composto i, durante um intervalo de tempo t, é expresso por: M = C(1 + i )t.
5º) Após os cálculos, Letícia arredondou todos os valores para duas casas decimais.
Então, após 6 meses, Letícia terá um montante de R$ 416,72quatrocentos e dezesseis reais e setenta e dois centavos, e o rendimento da aplicação (juro) será de R$ 96,72noventa e seis reais e setenta e dois centavos.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
16.
Uma aplicação de R$ 25.000,00vinte e cinco mil reais à taxa de juro composto de 0,69% ao mês gera, após 3 meses, que montante? Utilize uma planilha eletrônica para fazer os cálculos.
17. Bruna depositou R$ 20.000,00vinte mil reais em um banco, a juro composto de 20% ao ano, capitalizado anualmente, isto é, juntado ao capital após cada ano de depósito. Ao final de 2 anos, quanto Bruna obteve de juro?
18. Um capital de R$ 30.000,00trinta mil reais foi aplicado à taxa mensal de juro composto de 1% ao mês Determine o valor do juro dessa aplicação após 3 meses.
19. Um investidor aplicou R$ 100.000,00cem mil reais a uma taxa de 0,8% ao mês durante 4 meses. Responda:
a) Qual foi o valor total do juro dessa aplicação em regime de juro simples?
b) Qual foi o valor total do juro dessa aplicação em regime de juro composto?
20.
Com o auxílio de uma calculadora, determine o valor, após 3 meses, de uma aplicação de R$ 100.000,00cem mil reais submetida aos índices do quadro a seguir.
|
Mês |
Janeiro |
Fevereiro |
Março |
|---|---|---|---|
|
Taxa (%) |
0,99 |
0,91 |
0,88 |
21.
Felipe deseja obter um montante igual ou maior que R$ 700,00setecentos reais, após manter seu investimento inicial aplicado durante 3 meses à taxa de juro composto de 3% ao mês Qual deve ser o menor valor a ser investido por Felipe?
22.
Cristina solicitou um empréstimo a uma instituição financeira no valor de R$ 950,00novecentos e cinquenta reais. Ela estabeleceu que pagaria a dívida após 36 meses, no regime de juro composto à taxa de 10,5% ao ano Qual quantia deverá ser paga por Cristina após o período combinado? Utilize uma planilha eletrônica para fazer os cálculos.
Respostas e comentários
16. R$ 25.521,08 vinte e cinco mil quinhentos e vinte e um reais e oito centavos
17. R$ 8.800,00 oito mil oitocentos reais
18. R$ 909,03novecentos e nove reais e três centavos
19. a) R$ 3.200,00 três mil duzentos reais
19. b) R$ 3.238,61 três mil duzentos e trinta e oito reais e sessenta e um centavos
20. R$ 102.805,81 cento e dois mil oitocentos e cinco reais e oitenta e um centavos
21. R$ 640,60 seiscentos e quarenta reais e sessenta centavos
22. R$ 1.281,77mil duzentos e oitenta e um reais e setenta e sete centavos
No site do Banco Central do Brasil pode-se encontrar a calculadora do cidadão, que permite calcular taxas de juro, montante e valor de prestações, conforme variáveis definidas. Disponível em: https://oeds.link/SkFQee. Acesso em: 7 agosto 2022.
• Você pode ampliar a proposta das atividades 21 e 22 e sugerir variações de valores e de medida de tempo para que possam construir novas planilhas.
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Operações comerciais
O preço de venda (PV) póde ser determinado de maneiras diferentes, de acôrdo com cada situação:
• adicionando o preço de custo de um produto com o lucro;
• adicionando o preço de compra de um produto com o lucro;
• subtraindo do preço de compra a taxa de depreciação do produto (prejuízo obtido na venda);
• subtraindo do preço do produto o valor correspondente ao desconto do produto.
1. Camila tem uma loja de roupas femininas. Ela compra as roupas de uma confecção e as revende na sua loja, com lucro de 32% sobre o preço de compra. Copie o quadro no caderno e complete-o para determinar o preço de venda de cada peça.
|
Peça |
Preço de compra |
Preço de venda |
|---|---|---|
|
Vestido florido |
R$ 97,00 |
|
|
Saia lisa preta |
R$ 74,00 |
|
|
Short listrado |
R$ 49,00 |
|
|
Blusa lisa azul |
R$ 36,00 |
2. Guilherme comprou um celular por R$ 3.278,00três mil duzentos e setenta e oito reais, utilizou-o por 2 anos e resolveu trocá-lo. Ele vendeu seu antigo celular com uma taxa de depreciação de 62% sobre o valor de compra. Por qual valor Guilherme vendeu seu celular?
3. Bruna faz trufas artesanais, e o custo para produzir 100 gramas de trufas é R$ 15,00quinze reais. Bruna calcula o lucro dos bombons com uma taxa de 40% sobre o preço de custo. Qual deve ser o valor de venda das caixas de trufas de 100 gramas e 250 gramas?
4. Roberto revende laranjas na feira. Ele compra um saco de 12 quilogramas por R$ 18,00dezoito reais e o revende com lucro de 50% sobre o preço de custo. Qual é o preço de venda de 1 quilograma de laranja?
5. No dia do lançamento do condomínio “Morar bem”, os lotes comprados terão um desconto de 12% sobre o valor de venda. Se Mateus, que está interessado em um dos terrenos, fechar negócio, quanto pagará por um lote de R$ 220.000,00duzentos e vinte mil reais?
6. Um revendedor de eletrônicos vendeu notebooks comprados a R$ 4.000,00quatro mil reais por R$ 5.000,00cinco mil reais. De quantos por cento foi seu lucro sobre o preço de compra?
Juro simples
Juro é a remuneração que se recebe no caso de uma aplicação ou a quantia que deve ser paga no caso de um empréstimo.
j = C · i · t
j → juro
i → taxa mensal
t → tempo em meses
C → capital
M = C + j
M → montante
7. Fabricio fez uma aplicação a juro simples de um capital de R$ 89.200,00oitenta e nove mil duzentos reais, à taxa de 1,3% ao mês, durante 3 meses. Qual será o montante ao final desse período?
8. Samuel fez um empréstimo de R$ 5.600,00cinco mil seiscentos reais, à taxa de juro simples de 12% ao mês, durante 5 meses. Qual será o valor de juro que Samuel pagará nesse empréstimo?
9. Qual é o tempo pelo qual Antônio Carlos deve aplicar seu capital no investimento “AAC” do banco “Investir Bem” à taxa de juro simples de 8% ao mês para que ele triplique de valor?
Respostas e comentários
1. Resposta em Orientações.
2. R$ 1.245,64 mil duzentos e quarenta e cinco reais e sessenta e quatro centavos
3. R$ 21,00vinte e um reais e R$ 52,50 cinquenta e dois reais e cinquenta centavos
4. R$ 2,25 dois reais e vinte e cinco centavos
5. R$ 193.600,00 cento e noventa e três mil seiscentos reais
6. 25%
7. R$ 92.678,80 noventa e dois mil seiscentos e setenta e oito reais e oitenta centavos
8. R$ 3.360,00 três mil trezentos e sessenta reais
9. 25 meses
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Operações comerciais
• Resposta da atividade 1:
|
Peça |
Preço de compra |
Preço de venda |
|---|---|---|
|
Vestido florido |
R$ 97,00 |
R$ 128,04 |
|
Saia lisa preta |
R$ 74,00 |
R$ 97,68 |
|
Short listrado |
R$ 49,00 |
R$ 64,68 |
|
Blusa lisa azul |
R$ 36,00 |
R$ 47,52 |
• Na atividade 2, verifique se todos os estudantes sabem o que é depreciação. Caso seja necessário, explique que a depreciação é a perda de valor de um bem decorrente de seu uso, do desgaste natural ou de sua obsolescência.
• Na atividade 3, para calcular o valor de venda das caixas de trufas de 250 gramas, os estudantes podem utilizar a ideia de proporcionalidade da multiplicação e concluir que o preço de custo dessa caixa é de R$ 37,50trinta e sete reais e cinquenta centavos. Logo, para obter o valor de venda, eles devem calcular: R$ 37,50trinta e sete reais e cinquenta centavos + 0,4 ⋅ R$37,50trinta e sete reais e cinquenta centavos. Outra possibilidade é multiplicar o preço de venda das caixas de trufas de 100 gramas por 2,5. Discuta essas diferentes possibilidades de resolução com a turma para que possam ampliar o seu repertório de resolução de problemas.
• Na atividade 4, é possível que alguns estudantes concluam que R$ 27,00vinte e sete reais seja a resposta para o problema. Caso isso ocorra, significa que desconsideraram que o enunciado pedia para determinar o preço de venda de 1 quilograma de laranja, em vez do preço de venda de um saco de 12 quilogramas.
• Na atividade 5, espera-se que os estudantes percebam que devem calcular R$ 220.000,00duzentos e vinte mil reais ‒ 0,12 ⋅ R$ 220.000,00duzentos e vinte mil reais para resolver o problema. Caso alguns estudantes obtenham valores superiores a R$ 220.000,00duzentos e vinte mil reais, incentive-os a concluir que o valor encontrado não satisfaz as condições do enunciado.
Juro simples
• Nas atividades 7, 8 e 9, em que os estudantes terão de utilizar as expressões revisadas, ressalte que as taxas devem estar na representação decimal ou fracionária. Discuta cada uma das atividades coletivamente, após concluírem.
Juro composto
O juro composto é calculado sempre sobre o resultado da operação anterior (juro sobre juro).
Para uma aplicação de R$ 100,00cem reais à taxa de juro composto de 2% ao mês durante 3 meses, teremos:
|
Mês |
Montante anterior |
Juro do período |
Montante (em reais) |
|---|---|---|---|
|
1º |
‒ |
100 ⋅ 0,02 ⋅ 1 = 2 |
100 + 2 = 102 |
|
2º |
102 |
102 ⋅ 0,02 ⋅ 1 = 2,04 |
102 + 2,04 = 104,04 |
|
3º |
104,04 |
104,04 ⋅ 0,02 ⋅ 1 = 2,08 |
104,04 + 2,08 = 106,12 |
Logo, o montante será R$ 106,12cento e seis reais e doze centavos, dos quais R$ 6,12seis reais e doze centavos são juros da aplicação correspondente.
10.
Karina fez um depósito de R$ 80.000,00oitenta mil reais em uma aplicação a juro composto no banco. A taxa da aplicação é de 2,5% ao mês. Ela pretende deixar esse valor investido durante 3 meses e, com os juros, fazer uma viagem. A viagem de Karina tem orçamento de R$ 5.000,00cinco mil reais. Responda.
a) Qual será o juro dessa aplicação ao final do período de 3 meses?
b) Karina conseguirá fazer a viagem com folga?
11.
Fernando está montando uma loja de acessórios para carros e precisou fazer um empréstimo de R$ 100.000,00cem mil reais. A operação financeira será a juro composto com taxa de 6% ao mês. Fernando se organizou para pagar o empréstimo em 6 meses, quando já terá obtido retorno da loja. Calcule o valor total da dívida que Fernando terá que pagar nessa operação. Se julgar necessário, crie uma planilha eletrônica.
12.
Uma agência de investimento oferece aplicação de juro composto com taxa de 7% ao mês. Pedro fez uma dessas aplicações, depositando R$ 250.000,00duzentos e cinquenta mil reais. Deixou aplicado durante 4 meses, quando precisou fazer o resgate para a compra de uma casa. Responda.
a) Qual é o valor do juro no período da aplicação?
b) Pedro comprará um imóvel utilizando apenas o montante da aplicação. Qual é o valor máximo do imóvel?
13.
Paulo tem um capital de R$ 10.000,00dez mil reais e pretende investir esse valor para ter um rendimento de R$ 2.600,00dois mil seiscentos reais. Ele optou por uma aplicação em regime de juro composto com taxa de 8% ao mês. Quanto tempo Paulo deverá deixar esse capital investido para conseguir o juro de que precisa?
14.
Marcela pretende ter um valor maior ou igual a R$ 1.500,00mil quinhentos reais, após manter seu capital inicial aplicado a juro composto durante 3 meses, à taxa de 4% ao mês. Responda.
a) Qual deve ser o menor valor a ser investido por Marcela?
b) Por mais quanto tempo, no mínimo, ela deve deixar o dinheiro aplicado para obter um montante superior a R$ 1.700mil setecentos reais?
15.
Um investidor depositou um capital de R$ 40.000,00quarenta mil reais num fundo de investimento de juro composto durante 2 meses. No primeiro mês, teve rendimento de 1,5%. No segundo mês, o rendimento foi de 1,2%. Calcule.
a) O valor do rendimento de cada mês.
b) O montante ao final do período.
Respostas e comentários
10. a) R$ 6.151,25 seis mil cento e cinquenta e um reais e vinte e cinco centavos
10. b) Sim, pois sobrarão R$ 1.151,25. mil cento e cinquenta e um reais e vinte e cinco centavos
11. R$ 141.851,91 cento e quarenta e um mil oitocentos e cinquenta e um reais e noventa e um centavos
12. a) R$ 77.699,00 setenta e sete mil seiscentos e noventa e nove reais
12. b) R$ 327.699,00 trezentos e vinte e sete mil seiscentos e noventa e nove reais
13. 4 meses
14. a) R$ 1.333,50 mil trezentos e trinta e três reais e cinquenta centavos
14. b) Mais 4 meses.
15. a) R$ 600,00 seiscentos reaise R$ 487,20 quatrocentos e oitenta e sete reais e vinte centavos
15. b) R$ 41.087,20quarenta e um mil oitenta e sete reais e vinte centavos
Juro composto
• Nas atividades de 10 a 13, oriente os estudantes a organizar os dados das situações-problema e os cálculos em um quadro.
• Na atividade 14, espera-se que os estudantes percebam que, diferentemente das atividades anteriores, nesta não foi fornecido o valor do montante inicial. Caso tenham dificuldades, oriente-os a indicar esse montante por uma letra e proceder como nas demais atividades. Com isso, eles vão obter uma expressão algébrica, e depois, vão resolver uma inequação do 1º grau.
Glossário
- modelo de negócios
- : é como o trabalho é transformado em dinheiro.
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- repetível
- : ser capaz de entregar o mesmo produto novamente em escala potencialmente ilimitada, sem muitas customizações ou adaptações para cada cliente.
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- escalável
- : significa crescer cada vez mais em receita, mas com custos crescendo bem mais lentamente.
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- incerteza
- : corresponde ao cenário no qual não há como afirmar se uma ideia ou projeto irá realmente dar certo.
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- blue-ray
- : tipo de dêvedê com grande capacidade para armazenamento de áudios e vídeos de alta definição. Seu nome se origina da cor azul do raio laser utilizado para ler o disco.
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