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Capítulo 3 Segmentos proporcionais e semelhança

Trocando ideias

Durante a pandemia de coronavírus, o uso de máscaras de proteção era obrigatório, pois contribuía para que as pessoas pudessem se proteger e evitar a disseminação do sárs cóv dois, vírus que causa a côvid dezenóve.

Fotografia. Painel composto por cinco linhas e 9 colunas de quadrados coloridos com imagens de pessoas de cores, cabelos e idades variadas entre homens e mulheres. Todas usam máscara de proteção cobrindo o nariz e a boca.

▸

Além do uso de máscaras, que outras medidas de proteção foram adotadas para que as pessoas pudessem se proteger e evitar a disseminação do vírus da côvid dezenóve?

Analise os moldes de máscaras de proteção a seguir.

Ilustração. À esquerda, molde para máscara de adulto. Vista lateral de máscara com 12 centímetros de largura e 8 centímetros de altura . Ao lado, molde para máscara infantil. Vista lateral de máscara com 9 centímetros de largura e 6 centímetros altura.

As figuras correspondentes a esses moldes são semelhantes porque as medidas das aberturas dos ângulos correspondentes são iguais, e as medidas de comprimento de quaisquer segmentos correspondentes são proporcionais.

▸ Qual é a taxa de redução do molde da máscara infantil em relação ao molde da máscara de adulto?

Neste capítulo vamos estudar o teorema de Tales e a semelhança entre figuras.

Respostas e comentários

Trocando ideias: primeiro item: Exemplos de resposta: vacinação, distanciamento social, lavagem das mãos, cobrir nariz e boca com o antebraço ao tossir ou espirrar, manutenção de ambientes limpos e ventilados etcétera; segundo item: 25%

CAPÍTULO 3 – SEGMENTOS PROPORCIONAIS E SEMELHANÇA

Trocando ideias

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 6, 7 e 9 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 2, 3 e 8 (as descrições estão na página sete).

Objetivos:

• Introduzir o conceito de semelhança de figuras.

• Conscientizar os estudantes sobre a importância das medidas de proteção que foram adotadas para evitar a disseminação do vírus da côvid dezenóve.

Temas contemporâneos transversais:

Comece a exploração desta seção Trocando ideias comentando com a turma que a covid-19, doença causada pelo coronavírus sárs cóv dois, é transmitida principalmente por meio do contato com pequenas gotículas que contêm o vírus e são expelidas por pessoas infectadas. Diga que essas gotículas entram em contato com as nossas vias aéreas fazendo com que o novo coronavírus se multiplique em nosso corpo. Portanto, o uso de máscaras é necessário como medida de proteção individual e coletiva. Nesse âmbito o seu uso é importante não só para a saúde como também é um ato de cidadania.

Convide os estudantes a responder à questão do primeiro item. Dê um tempo para que levantem todas as medidas de proteção que recordarem e registre-as na lousa. Essa dinâmica permite a eles valorizarem a diversidade de saberes e a fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania. Além disso, ela possibilita a argumentação com base em fatos e promove o diálogo, criando o cenário favorável para que as competências gerais 6, 7 e 9 da Bê êne cê cê sejam desenvolvidas. A competência específica 8 também tem o seu desenvolvimento favorecido, uma vez que há interação e discussão de uma questão comum.

Proponha aos estudantes que comparem os moldes e descrevam o que observam. Espera-se que eles percebam que os moldes têm a mesma forma, mas tamanhos diferentes, ou, em outras palavras, que o molde para máscara infantil é uma redução do molde para máscara de adulto ou que o molde para máscara de adulto é uma ampliação do molde para máscara infantil. Depois, introduza o conceito de semelhança e peça que respondam à última questão. Caso tenham dificuldade, oriente-os a calcular a razão entre as medidas de comprimento correspondentes que estão explícitas. Eles devem perceber que esta razão é 0,75, o que indica que o molde para máscara infantil corresponde a 75% do tamanho do molde para máscara de adulto, ou seja, a taxa de redução foi de 25%.

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1 Razão e proporção nos segmentos de reta

Modelismo é a arte de construir automóveis, aviões, trens, motos, navios etcétera. em miniatura.

Os modelos são semelhantes aos objetos reais, mas foram reduzidos obedecendo a uma razão.

Verifique as miniaturas a seguir.

Fotografia. avião prateado de porte médio, equipado com duas turbinas de hélice em cada asa. — Miniatura do B-17 Flying Fortress (Fortaleza Voadora), um avião bombardeiro quadrimotor construído pela Boeing durante a Segunda Guerra Mundial.

Fotografia. Carro de corrida de Fórmula 1 amarelo, com o número 28 na frente. O piloto usa um capacete nas cores preto e vermelho. — Miniatura do carro da primeira, e até hoje única, equipe de Fórmula 1 brasileira.

O exemplo de uma razão utilizada pelos profissionais de modelismo é 1 dividido por 12, que corresponde à razão entre as medidas das dimensões do modelo construído e do objeto real. Essa razão indica que, se um comprimento do modelo mede a, então, no objeto real, o comprimento correspondente mede 12a.

A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, nessa ordem, é dada por ádividido porbit ou

\frac{a}{b}

. Lemos: “a está para b ”.

Se duas razões são iguais, temos uma proporção.

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Confira um exemplo.

As razões

\frac{18}{10} e \frac{27}{15}

formam uma proporção:

Esquema. 18 sobre 10 igual a 9 sobre 5. De 18 para 9, há uma seta, indicando divisão por 2. De 10 para 5, há uma seta, indicando divisão por 2. Esquema. 27 sobre 15 igual a 9 sobre 5. De 27 para 9, há uma seta, indicando divisão por 3. De 15 para 5, há uma seta, indicando divisão por 3. Sentença matemática. 18 sobre 10 igual a 27 sobre 15.

Podemos ler a proporção anterior da seguinte fórma:

“Dezoito está para dez assim como vinte e sete está para quinze”.

Respostas e comentários

Razão e proporção nos segmentos de reta

Objetivo:

Compreender o conceito de segmentos de reta proporcionais.

Justificativa

Compreender o conceito de segmentos de reta proporcionais é importante, dentre outras coisas, para entender e aplicar o teorema de Tales, que será estudado mais adiante neste mesmo capítulo.

Mapeando conhecimentos

Reproduza os segmentos de reta a seguir na lousa:

Figuras geométricas. Quatro segmentos de retas horizontais, um embaixo do outro. De cima para baixo, segmento AB medindo 2 centímetros, segmento CD medindo 3 centímetros, segmento EF medindo 4 centímetros, segmento GH medindo 6 centímetros

Depois, peça aos estudantes que determinem as razões

\frac{A B}{C D}

\frac{E F}{G H}

e verifique se percebem que as medidas desses segmentos de reta formam uma proporção, ou seja, que

\frac{A B}{C D}

\frac{E F}{G H}

\frac{2}{3}

. Você pode ampliar essa proposta e solicitar que representem segmentos de reta proporcionais no caderno e compartilhem com os colegas.

Para as aulas iniciais

Na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores são retomados os conceitos de razão e proporção. Faça a leitura coletiva desta revisão com a turma e explore com eles a atividade 10.

Você pode também explorar os segmentos de reta proporcionais feitos pelos estudantes na dinâmica inicial. Reproduza os segmentos de reta feitos por alguns deles na lousa e peça aos demais estudantes da turma que verifiquem se as medidas formam uma proporção.

Enfatize aos estudantes que, para o cálculo da razão, eles devem seguir a ordem em que os dados foram fornecidos. Assim:

• a razão entre os números 2 e 3 é

\frac{2}{3}

;

• a razão entre os números 3 e 2 é

\frac{3}{2}

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Na proporção

\frac{18}{10} = \frac{27}{15}

, os números 18 e 15 são denominados extremos e os números 10 e 27 são denominados meios.

Note que:

Esquema. Cálculo na horizontal. 18 vezes 15, igual, 10 vezes 27, igual, 270. Fio indicando que 18 e 15 são extremos e fio indicando que 10 e 27 são meios.

Essa propriedade é conhecida como propriedade fundamental das proporções.

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produtos dos meios, ou seja, dados a, b, c e d não nulos, com

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, temos a ⋅ d = b ⋅ c.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Determine, no caderno, a razão entre os números a seguir na ordem em que aparecem.

a) 8 e 10

b) menos2 e 3

\frac{1}{2}

\frac{3}{4}

d) 10 e 2

2. Aplicando a propriedade fundamental das proporções, verifique quais dos pares de razões a seguir formam uma proporção.

\frac{5}{6}

\frac{6}{5}

- \frac{10}{3}

\frac{20}{6}

\frac{12}{15}

\frac{4}{5}

\frac{\frac{1}{2}}{5}

\frac{3}{30}

Razão entre segmentos de reta

Seja r a reta que passa pelos pontos distintos a e B.

Figura geométrica. Reta r. Estão representados na reta os pontos A e B.

Os pontos a e B e todos os demais entre eles formam um segmento de reta que é indicado por

\overline{A B}

. A medida de comprimento de um segmento de reta

\overline{A B}

é indicada por A bê ou med

(\overline{A B})

A razão entre dois segmentos de reta corresponde à razão entre suas medidas de comprimento, considerando a mesma unidade de medida de comprimento.

Considere, por exemplo, os segmentos de reta

\overline{A B}

\overline{C D}

Figura geométrica. Segmento de reta com extremidades nos pontos A e B e que tem comprimento medindo 30 milímetros. Figura geométrica. Segmento de reta com extremidades nos pontos C e D e que tem comprimento medindo 5 centímetros.

Como A bê = 30 milímetros e CD = 5 centímetros = 50 milímetros, temos a razão entre os segmentos de reta

\overline{A B}

\overline{C D}

Esquema. AB sobre CD é igual a 30 milímetros sobre 50 milímetros que é igual a 30 sobre 50 que é igual a 3 quintos. De 30 para 3, há uma seta, indicando divisão por 10. De 50 para 5, há uma seta, indicando divisão por 10.

Logo, a razão entre esses segmentos de reta é

\frac{3}{5}

Respostas e comentários

1. a)

\frac{4}{5}

1. b)

- \frac{2}{3}

1. c)

\frac{2}{3}

1. d) 5

2. alternativas c, d

Razão entre segmentos de reta

Comente que, no exemplo, também se pode calcular a razão entre os segmentos

\overline{A B}

\overline{C D}

, usando a unidade de medida centímetro. Assim:

\frac{A B}{C D} = \frac{3 c m}{5 c m} = \frac{3}{5}

Ao medir o comprimento de um segmento de reta

\overline{A B}

, comparamos quantas vezes uma unidade de medida de comprimento (1 milímetro, 1 centímetro, 1 métro, etcétera) cabe nessa medida.

Por exemplo, se usarmos 1 cm como unidade de medida, o comprimento desse segmento de reta mede a razão

\frac{A B}{1} c m

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Segmentos de reta proporcionais

Vamos considerar os segmentos de reta

\overline{A B}

\overline{C D}

\overline{E F}

\overline{G H}

e suas medidas de comprimento:

Esquema. À esquerda, representação dos segmentos de reta AB e CD. AB com 4 centímetros de comprimento e CD com 5 centímetros de comprimento. À direita, a seguinte sentença matemática: razão AB sobre CD igual a 4 centímetros sobre 5 centímetros igual a 4 quintos. Esquema. À esquerda, representação dos segmentos de reta EF e GH. EF com 8 centímetros de comprimento e GH com 10 centímetros de comprimento. À direita, a seguinte sentença matemática: razão EF sobre GH igual a 8 centímetros sobre 10 centímetros igual a 4 quintos.

Como as razões obtidas são iguais, os segmentos de reta

\overline{A B}

\overline{C D}

\overline{E F}

\overline{G H}

formam, nessa ordem, uma proporção:

\frac{A B}{C D} = \frac{E F}{G H}

Atividades

Faça as atividades no caderno.

3. Determine a medida de comprimento x do segmento de reta

\overline{A B}

, sabendo que

\frac{A B}{B C} = \frac{2}{5}

e BC = 20 centímetros.

Figura geométrica. Segmento de reta AC. Há um ponto B entre A e C que determina um segmento de reta AB cuja medida do comprimento é indicada pela letra x.

4. Dada a figura, determine as medidas de comprimento x e y, sabendo que

\frac{A B}{A C} = \frac{3}{7}

e BC = 16 centímetros.

5. Os segmentos de reta

\overline{A B}

\overline{C D}

\overline{E F}

\overline{G H}

formam, nessa ordem, uma proporção. Considerando que ê éfe = 3 centímetros, GH = 5 centímetros e AB + CD = 40 centímetros, determine A bê e CD.

6. A fotografia tem dimensões de 30 milímetros× 40 milímetros.

Fotografia. Beija-flor voando, com o bico posicionado no centro de uma flor vermelha. Ao fundo, uma paisagem verde desfocada. — Os beija-flores são aves de pequeno porte, que têm, em média, 6 a 12 centímetros de medida de comprimento e 2 a 6 gramas de medida de massa.

Queremos, com base nessa fotografia, reproduzir duas outras: uma com ampliação de 100% e outra com redução de 50%. Quais serão as medidas das dimensões das novas fotografias?

2 Teorema de Tales

Um feixe de retas paralelas é formado por duas ou mais retas de um mesmo plano que, consideradas duas a duas, são sempre paralelas.

Figura geométrica. Feixe de 4 retas paralelas r, s, t e u representado em um plano alfa. — notação: érre⫽ésse⫽tê⫽u

Respostas e comentários

3. x = 8 centímetros

4. x = 28 centímetros; y = 12 centímetros

5. AB = 15 centímetros; CD = 25 centímetros

6. ampliação: 60 milímetros× 80 milímetros; redução: 15 milímetros× 20 milímetros

Segmentos de reta proporcionais

Se os estudantes estiverem com dificuldade na resolução das atividades, pergunte se a propriedade fundamental das proporções pode ser aplicada.

• A proporção obtida na atividade 5 é

\frac{A B}{C D} = \frac{E F}{G H}

. Substituindo as medidas de comprimento temos:

\frac{A B}{C D} = \frac{3 c m}{5 c m} .

Assim, aplicando a propriedade fundamental das proporções, obtemos (5 centímetros) ⋅ AB = (3 centímetros) ⋅ CD um. Como AB + CD = 40 centímetros dois, podemos isolar AB em dois e substituir em um:

(5 centímetros) ⋅ (40 centímetros ‒ CD) = (3 centímetros) ⋅ CD três.

Ao resolver três, obtemos CD = 25 centímetros e, substituindo em um, temos AB = 15 centímetros.

Teorema de Tales

Bê êne cê cê:

• Competência geral 1 (a descrição está na página seis).

• Competências específicas 1 e 2 (as descrições estão na página sete).

• Habilidades ê éfe zero nove ême ah um zero e ê éfe zero nove ême ah um quatro.

Objetivo:

Compreender o teorema de Tales.

Justificativa

Compreender o teorema de Tales é importante devido às diferentes aplicações na Geometria como, por exemplo, para dividir um segmento de reta em partes iguais e para demonstrar o teorema da bissetriz de um ângulo interno em um triângulo. Além disso, podemos aplicá-lo na resolução de diversos problemas.

Mapeando conhecimentos

Peça aos estudantes que, individualmente, representem três retas paralelas cortadas por duas transversais quaisquer e que meçam os segmentos de retas determinados por estas retas com o auxílio de uma régua. Depois, proponha que verifiquem se as medidas dos comprimentos dos segmentos de reta determinados sobre a primeira transversal são proporcionais às medidas de comprimento dos segmentos correspondentes determinados sobre a segunda transversal.

Para as aulas iniciais

Peça aos estudantes que compartilhem as conclusões a que chegaram na dinâmica inicial com toda a turma. Espera-se que eles percebam que um feixe de paralelas determina em duas transversais segmentos proporcionais.

• Antes de iniciar o conteúdo sobre o teorema de Tales, aproveite para retomar a ideia da Matemática como criação humana. Mencione que Tales foi um matemático grego. Nas próximas páginas, eles verão um pouco do trabalho que foi atribuído a ele. Explique que Tales é anterior a Euclides, mas este último recebe grande crédito por ter organizado os conhecimentos de Geometria na obra Os elementos. Esse tipo de conversa contribui para o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1.

(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

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Uma reta que intercepta duas ou mais retas de um feixe de retas paralelas recebe o nome de transversal.

Na figura a seguir, a reta m é transversal ao feixe de retas paralelas formado pelas retas r, s e t.

Figura geométrica. Três retas paralelas horizontais, r, s e t. Uma reta m transversal as retas r, s e t

Tecnologias digitais em foco

Teorema de Tales

Nesta seção, utilizamos o GeoGebra ou outro software de geometria dinâmica que seu professor indicar para construirmos um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais. Vamos verificar se os segmentos de reta determinados sobre uma transversal são proporcionais aos segmentos de reta determinados sobre a outra transversal.

Construa

Siga os passos a seguir para construir as retas paralelas e as retas transversais.

1º) Construa uma reta r.

2º) Construa as retas s e t, paralelas à reta r.

3º) Construa duas retas, u e v, transversais ao feixe de retas paralelas construído nos passos anteriores.

4º) Marque os pontos a, B e C nas intersecções das retas r, s e t com a reta transversal u e os pontos P, Q e R nas intersecções das retas r, s e t com a reta transversal v.

Print.Tela do software GeoGebra. Na parte superior, há uma barra com diversos botões. Da esquerda para a direita, os botões correspondem às ferramentas: mover, ponto, reta, reta perpendicular, polígono, circunferência, elipse, ângulo, reflexão, controle deslizante e mover janela. O botão ponto aparece selecionado e abaixo deste botão aparecem, de cima para baixo, os botões que correspondem às seguintes ferramentas: ponto, ponto em objeto, vincular/desvincular ponto, intersecção de dois objetos, ponto médio ou centro, número complexo, otimização, raízes. No canto superior direito aparecem os botões minimizar, maximizar e fechar.
Na tela está representada três retas paralelas: r, s e t,, cortadas por duas retas transversais u à esquerda e v à direita. A reta u intercepta as retas r, s e t nos pontos A, B e C, respectivamente, e a reta v intercepta as retas r, s e t nos pontos P, Q e R, respectivamente.

Explore

a) Meça o comprimento dos segmentos

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{A C}

\overline{P Q}

\overline{Q R}

\overline{P R}

e, usando uma calculadora, determine as razões

\frac{A B}{B C}

\frac{P Q}{Q R}

\frac{A C}{A B}

\frac{P R}{P Q}

b) Comparando as razões

\frac{A B}{B C}

com

\frac{P Q}{Q R}

\frac{A C}{A B}

com

\frac{P R}{P Q}

, o que é possível verificar?

c) Movimente os pontos móveis, modificando a configuração inicial, e calcule novamente as razões. A relação que você percebeu continua sendo válida para diferentes configurações?

Respostas e comentários

Explore: a) Respostas pessoais.

b) Comparando as razões

\frac{A B}{B C}

com

\frac{P Q}{Q R}

\frac{A C}{A B}

com

\frac{P R}{P Q}

, verificamos que elas são iguais, o que leva a conjecturar que, em um feixe de retas paralelas cortado por duas retas transversais, os segmentos de reta determinados sobre a primeira transversal são proporcionais a seus correspondentes determinados sobre a segunda transversal.

c) A relação verificada continua válida, independentemente da configuração apresentada.

Tecnologias digitais em foco

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 2 e 5 (as descrições estão na página seis).

• Competência específica 2 (a descrição está na página sete).

• Habilidade ê éfe zero nove ême ah um quatro.

Objetivo:

Verificar experimentalmente o teorema de Tales.

Teorema de Tales

Nesta seção, os estudantes vão utilizar o GeoGebra ou um software de geometria dinâmica qualquer para construir um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais e verificar, experimentalmente, que as medidas dos comprimentos dos segmentos determinados sobre a primeira transversal são proporcionais às medidas dos comprimentos dos segmentos correspondentes determinados sobre a segunda transversal (teorema de Tales).

Oriente-os a realizar todos os passos do Construa. Ao final, peça que comparem a construção feita com a dos demais colegas.

O encaminhamento do Explore tem por objetivo levar os estudantes a verificar experimentalmente a validade do teorema de Tales. Deixe-os livres para trocar ideias e conjecturar sobre o assunto.

A proposta desta seção possibilita aos estudantes assumirem o papel de protagonistas do seu processo de aprendizagem na medida em que utilizam uma tecnologia digital para investigar e produzir conhecimento. Eles também argumentam e tem o raciocínio lógico estimulado. Por essas razões, as competências gerais 2 e 5 e a competência específica 2 têm o seu desenvolvimento favorecido.

(ê éfe zero nove ême ah um quatro) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

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Agora, considere as retas paralelas r, s e t e as retas transversais m e n, no mesmo plano.

Sobre a reta m, temos os segmentos de reta

\overline{A B}

\overline{B C}

, congruentes entre si, e sobre a reta n, temos os segmentos de reta

\overline{A ’ B ’}

\overline{B ’ C ’}

, conforme indicado a seguir.

Figura geométrica. Três retas paralelas r, s e t e duas retas transversais m e n. A reta m intercepta as retas r, s e t nos pontos, A, B e C respectivamente. A reta n intercepta as retas r, s e t nos pontos, A linha, B linha e C linha, respectivamente. A medida do comprimento do segmento de reta AB é igual a medida do comprimento do segmento de reta BC. Abaixo, a indicação de o segmento de reta AB é congruente ao segmento de reta BC.

Vamos mostrar que, se

\overline{A B} ≅ \overline{B C}

, então

\overline{A' B'} ≅ \overline{B' C'}

Ilustração. Garoto negro em uma cadeira de rodas, com cabelos cacheados castanhos, vestindo uma camiseta vermelha, calça azul e tênis azul escuro. Ao lado esquerdo, há um balão de fala contendo a seguinte frase: "Lembre-se que o símbolo de igual com um til em cima é usado para indicar congruência."

Por á linha e bê linha, traçamos retas paralelas à reta transversal m, determinando os segmentos de reta

\overline{A ’ M}

\overline{B ’ N}

. Confira:

Figura geométrica. Mesma figura anterior. No ponto A linha foi traçada uma reta paralela à reta m. Essa reta intercepta a reta s no ponto M, formando o contorno de um triângulo A linha, B linha M. No ponto B linha foi traçada uma reta paralela à reta m. Essa reta intercepta a reta t no ponto N, formando o contorno de um triângulo B linha, C linha N.

Como

\overline{A ’ M} ⫽ \overline{A B}

\overline{A A ’} ⫽ \overline{B M}

, AA'MB é um paralelogramo.

Como

\overline{B ’ N} ⫽ \overline{B C}

\overline{B B ’} ⫽ \overline{C N}

, BB’NC também é um paralelogramo.

Os lados opostos de um paralelogramo têm a mesma medida de comprimento, então:

\overline{A B} ≅ \overline{A ’ M} e \overline{B C} ≅ \overline{B ’ N}

Como

\overline{A B} ≅ \overline{A ’ M}

\overline{B C} ≅ \overline{B ’ N}

\overline{A B} ≅ \overline{B C}

, temos:

\overline{A ’ M} ≅ \overline{B ’ N}

E, considerando os triângulos á linha bê linhaM e bê linha cê linhaN, temos:

Figura geométrica. Mesma figura anterior. No triângulo A linha, B linha M. foi indicado com as letras gregas alfa e gama as medidas das aberturas dos ângulos internos com vértice em A linha e B linha, respectivamente. No triângulo, B linha, C linha, N foi indicado com as letras gregas beta e teta as medidas das aberturas dos ângulos internos com vértice em B linha e C linha, respectivamente.

•

\overline{A ’ M} ≅ \overline{B ’ N}

• Alfa = Beta

medidas de abertura dos ângulos correspondentes

• gama = teta

medidas de abertura dos ângulos correspondentes

Logo, △á linha bê linhaM ≅ △bê linha cê linhaN pelo caso LAá₀ (lado – ângulo – ângulo oposto).

Portanto,

\overline{A ’ B ’} ≅ \overline{B ’ C ’}

, pois são lados correspondentes em triângulos congruentes.

Se um feixe de retas paralelas determinar segmentos de reta congruentes sobre uma transversal, esse feixe determinará segmentos de reta congruentes sobre qualquer outra transversal.

Respostas e comentários

Sugestão de leitura

Caso haja interesse em conhecer um pouco mais sobre os trabalhos de Tales de Mileto e a organização do conhecimento de Geometria por Euclides, sugerimos a leitura do artigo “Euclides, Geometria e fundamentos”, de Geraldo Ávila, a partir da página 199.

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Observações

Vamos relembrar as relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

1. Ângulos correspondentes são congruentes.

Sendo rparalelo s e t uma transversal, temos:

\hat{a} e \hat{b}

são ângulos congruentes, e indicamos

\hat{a} ≅ \hat{b}

Figura geométrica. Duas retas paralelas r e s, cortadas por uma transversal t, que intercepta r no ponto A e s no ponto B. Na figura, estão representados os ângulos correspondentes a e b. O ângulo a tem vértice em A e o ângulo B tem vértice em B. Os ângulos a e b estão do mesmo lado da reta t.

É possível demonstrar essa relação e, também, que para duas retas r e s cortadas por uma terceira reta t, se

\hat{a} ≅ \hat{b}

, então rparalelo s, mas não faremos essas demonstrações aqui.

2. Ângulos alternos são congruentes.

Sendo rparalelo s e t uma transversal, temos:

•

\hat{a} ≅ \hat{b},

pois são ângulos correspondentes;

•

\hat{d} ≅ \hat{a}

, pois são ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.).

Logo,

\hat{b} ≅ \hat{d}

(ângulos alternos internos).

Figura geométrica. Duas retas paralelas r e s, cortadas por uma transversal t. Na figura, estão representados os ângulos
alternos b e d e o ângulo a que é oposto pelo vértice ao ângulo d. Os ângulos a e b são correspondentes.

De maneira análoga, podemos verificar a congruência dos outros pares de ângulos alternos internos e dos pares de ângulos alternos externos.

3. Ângulos colaterais são suplementares.

Sendo rparalelo s e t uma transversal, temos:

•

\hat{c} ≅ \hat{e}

, pois são ângulos alternos internos;

•

\hat{e} e \hat{b}

são ângulos adjacentes suplementares.

Logo,

\hat{b} e \hat{c}

são suplementares (ângulos colaterais internos).

Figura geométrica. Duas retas paralelas r e s, cortadas por uma transversal t. Na figura, estão representados os ângulos colaterais b e c e o ângulo e que é adjacente suplementar ao ângulo b.

De maneira análoga, podemos verificar que os outros pares de ângulos colaterais internos e os pares de ângulos colaterais externos também são suplementares.

Agora, analise a figura a seguir em que rparalelo sparalelo t , m e n são retas transversais e A bê ≠ BC.

Vamos verificar a relação entre os segmentos de reta

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{A ’ B ’}

\overline{B ’ C ’}

Vamos supor que possamos dividir

\overline{A B}

\overline{B C}

em segmentos de reta de medida de comprimento 2u e 3u, respectivamente; a partir das retas r, s e t, traçamos retas auxiliares que dividem os segmentos de reta e, assim, temos A bê = 2u e BC = 3u.

Figura geométrica. Mesma figura anterior. Foram acrescentadas 3 retas paralelas tracejadas. A primeira está entre as retas r e s. Essa reta divide o segmento de reta AB em outros 2 segmentos com medida de comprimento u e que divide o segmento de reta A linha, B linha em outros 2 segmentos com medida de comprimento v. As outras duas retas foram acrescentadas entre as retas s e t. Essas retas dividem o segmento de reta BC em outros 3 segmentos com medida de comprimento u e dividem o segmento de reta B linha, C linha em outros 3 segmentos de reta com medida de comprimento v.

Respostas e comentários

Verifique se os estudantes se recordam que dadas duas retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos correspondentes são congruentes. Depois, questione-os se a recíproca desta afirmação é verdadeira. Dê um tempo para que levantem hipóteses. Depois, se julgar pertinente e perceber que os estudantes têm maturidade, demonstre que, dadas as retas r e s, cortadas por uma transversal t, se os ângulos de medidas Alfa e Beta forem congruentes, então as retas são paralelas.

Figura geométrica. Duas retas paralelas r e s, cortadas por uma transversal t,. Na figura, estão representados os ângulos correspondentes alfa e beta. Os ângulos alfa e beta estão do mesmo lado da reta t.

Vamos utilizar a demonstração por absurdo. Suponha que α e β são medidas de abertura de ângulos congruentes, mas, por absurdo, r e s não são retas paralelas. Então, na realidade, r e s se cruzam em algum ponto. Vamos indicar o ponto de intersecção de t com r por A, de t com s por B e de r com s por C.

Ilustração. Seja três retas t, s, r, coplanares e concorrente duas a duas. Seja o ponto da intersecção entre as retas t e r chamado de A, o ponto formado pela interseção das retas s e t chamado de C e o ponto formado pelo encontra das retas s e t é chamado de B. As medidas dos ângulos tAC, ABC e BCA

Temos um triângulo á bê cê, em que

\hat{A}

mede 180graus ‒ Alfa ,

\hat{B}

mede β e

\hat{C}

mede teta. A soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um triângulo é 180graus, portanto,

med (\hat{A}) + med (\hat{B}) + med (\hat{C})

é igual a 180graus. Assim, (180graus ‒ Alfa ) + Beta + teta = 180graus, mas Alfa = Beta (por hipótese), portanto (180graus ‒ Alfa ) + Alfa + teta = 180graus, o que resulta em θ = 0grau. Isso é um absurdo, pois se á bê cê é um triângulo,

\hat{C}

deve ter medida diferente de 0grau. O que nos permite concluir que, se as medidas das aberturas dos ângulos são iguais (Alfa = Beta), então as retas r e s são, necessariamente, paralelas.

Verifique se os estudantes conseguem deduzir as demonstrações das aberturas dos ângulos alternos e colaterais. Peça a eles que não consultem o livro e tentem argumentar de fórma convincente para mostrar a igualdade entre as medidas das aberturas desses ângulos.

Incentive os estudantes a deduzir as demonstrações e, dessa fórma, contribuir para o desenvolvimento da competência específica 2, além de favorecer o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um zero.

A demonstração foi particularizada para facilitar o entendimento dos estudantes. Avalie a conveniência de afirmar aos estudantes que os matemáticos demonstraram que o teorema é válido para medidas dos segmentos expressas por quaisquer números reais positivos.

Página 66

Como o feixe de retas paralelas determina segmentos de reta congruentes sobre a transversal m, então também determinará segmentos de reta congruentes sobre a transversal n, assim:

\overline{A ’ B ’}

\overline{B ’ C ’}

são divididos em segmentos de reta de medida de comprimento v, sendo á linha bê linha = 2v e B'C' = 3v.

Então:

Esquema. A esquerda duas linhas. Acima, estabelecendo a razão, AB sobre BC, temos: AB sobre BC igual a 2u sobre 3u igual a 2 terços. Abaixo, estabelecendo a razão,A linha B linha sobre B linha C linha
, temos: A linha B linha sobre B linha C linha igual a 2v sobre 3v igual a 2 terços.
Fio ligando as duas linhas indicando a direita: Comparando a primeira linha com a segunda linha, temos: AB sobre BC igual a A linha B linha sobre B linha C linha.

Logo,

\overline{A B}

\overline{B C}

são proporcionais a

\overline{A ’ B ’}

\overline{B ’ C ’}

Segundo o teorema de Tales:

Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas retas transversais quaisquer, m e n, os segmentos de reta determinados sobre m são proporcionais aos segmentos de reta correspondentes determinados sobre n.

Agora, confira este exemplo.

Um feixe de retas paralelas (r, s, t e u) determina sobre as transversais m e n os pontos a, B, C e D e os pontos á linha, bê linha, cê linha e dê linha. Sabendo que AB = 4 centímetros, BC = 5 centímetros, CD = 9 centímetros e A’D’ = 36 centímetros, vamos determinar á linha bê linha, bê linha cê linhae cê linha dê linha em centímetro.

Figura geométrica. Quatro retas paralelas r, s, t e u e duas retas transversais m e n. A reta m intercepta as retas r, s, t e u nos pontos, A, B, C e D respectivamente. A reta n intercepta as retas r, s, t e u nos pontos, A linha, B linha, C linha e D linha respectivamente. A medida do comprimento do segmento de reta AB é 4 centímetros. A medida do comprimento do segmento de reta BC é 5 centímetros. A medida do comprimento do segmento de reta CD é 9 centímetros. A medida do comprimento do segmento de reta A linha D linha é 36 centímetros. A medida do comprimento do segmento de reta A linha B linha é indicada pela letra x. A medida do comprimento do segmento de reta B linha C linha é indicada pela letra y. A medida do comprimento do segmento de reta C linha D linha é indicada pela letra z.

á dê = A bê + bê cê + cedê ⇒ á dê = 4 centímetros + 5 centímetros + 9 centímetros ⇒ á dê = 18 centímetros

Pelo teorema de Tales, temos:

\frac{A B}{A D} = \frac{A ’ B ’}{A ’ D ’} \Rightarrow \frac{4 c m}{18 c m} = \frac{x}{36 c m} \Rightarrow x = \frac{4 c m \cdot 36 c m}{18 c m} \Rightarrow x = 8 c m

\frac{B C}{A D} = \frac{B ’ C ’}{A ’ D ’} \Rightarrow \frac{5 c m}{18 c m} = \frac{y}{36 c m} \Rightarrow y = \frac{5 c m \cdot 36 c m}{18 c m} \Rightarrow y = 10 c m

\frac{C D}{A D} = \frac{C ’ D ’}{A ’ D ’} \Rightarrow \frac{9 c m}{18 c m} = \frac{z}{36 c m} \Rightarrow z = \frac{9 c m \cdot 36 c m}{18 c m} \Rightarrow z = 18 c m

Portanto, á linha bê linha = 8 centímetros, bê linha cê linha = 10 centímetros e cêlinhadêlinha = 18 centímetros.

Observação

Se não forem indicadas as unidades das medidas de comprimento de uma figura, consideramos todas as medidas dessa figura na mesma unidade.

Respostas e comentários

No estudo da divisão de segmentos de reta em partes proporcionais, será necessário retomar a construção de retas paralelas. Acompanhe a seguir a construção de uma reta paralela a uma reta s.

Centramos o compasso em O e traçamos um arco que intercepta s em A e B.

Esquema. Reta s e ponto O sobre s. Está representado um compasso traçando um arco com centro em O e que intercepta s nos pontos A e B.

Com centros em A e B e a mesma medida de comprimento de raio, determinamos M e N.

Esquema. Mesma reta s, arco e pontos A, O e B da figura anterior. Agora, está representado um arco com centro em A que intercepta o arco inicial no ponto M. Também está representando um compasso fazendo um arco com centro em B que intercepta o arco inicial no ponto N. Os dois últimos arcos têm a mesma medida de comprimento de raio.

Traçamos t paralelo s, passando por M e N.

Esquema. Mesma figura anterior, porém sem o compasso. Agora, foi representada a reta t que passa pelos pontos M e N e é paralela à reta s.

Alerte os estudantes sobre os riscos relacionados ao uso do compasso e oriente-os a tomar cuidado quanto ao uso deste instrumento.

Página 67

Divisão de um segmento de reta em partes proporcionais

Uma das aplicações do teorema de Tales é a divisão de um segmento de reta em partes proporcionais.

Acompanhe o exemplo: dado o segmento de reta

\overline{A B}

, vamos determinar um ponto N em

\overline{A B}

, tal que

\frac{A N}{A B} = \frac{2}{3}

1º) Dado um segmento de reta

\overline{A B}

, traçamos, com o auxílio de uma régua, uma semirreta

\vec{A M}

qualquer.

Figura geométrica. Segmento de reta AB horizontal. Na extremidade A, uma semirreta com origem no ponto A e que passa pelo ponto M. — 2º) Sobre a semirreta

2º) Sobre a semirreta

\vec{A M}

, marcamos três pontos (C, D e ê) de modo que á cê = CD = dê ê.

Figura geométrica. Mesma figura anterior. Está representada a mão de uma pessoa segurando um compasso, marcando os pontos C, D e E na semirreta AM, de modo que AC é igual a CD que é igual a DE. — 3º) Traçamos

3º) Traçamos

\overset{\leftrightarrow}{E B}

A seguir, traçamos uma paralela a

\overset{\leftrightarrow}{E B}

, passando por D, que corta

\overline{A B}

em N.

Confira que:

\frac{A D}{A E} = \frac{2}{3}

\overline{N D} ⫽ \overline{B E}

Assim, pelo teorema de Tales:

\frac{A D}{A E} = \frac{A N}{A B} = \frac{2}{3}

Dividimos, então,

\overline{A B}

em partes proporcionais.

Figura geométrica. Mesma figura anterior, porém sem o a mão com o compasso. Foram acrescentadas duas retas paralelas uma passando pelo ponto D e que intercepta o segmento AB no ponto N e outra que passa pelo ponto E e que passa pela extremidade B do segmento AB.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

7. Sendo rparalelo sparalelo t, determine o valor de x.

Figura geométrica. Três retas paralelas r, s e t e duas retas transversais m e n. A reta m determina segmentos de reta com medidas de comprimento 3 e x e a reta n determina segmentos de reta com medidas de comprimento 6 e 12.

Figura geométrica. Três retas paralelas r, s e t e duas retas transversais m e n. A reta m determina segmentos de reta com medidas de comprimento 2x mais 2 e 8 e a reta n determina segmentos de reta com medidas de comprimento 4x menos 12 e 12.

Figura geométrica. Três retas paralelas r, s e t e duas retas transversais m e n. A reta m determina segmentos de reta com medidas de comprimento 3 e 6 e a reta n determina segmentos de reta com medidas de comprimento x e 8.

8. Sendo aparalelo bparalelo cparalelo d, determine x, y e z.

Figura geométrica. Quatro retas paralelas a, b, c e d e duas retas transversais r e t. A reta r determina segmentos de reta com medidas de comprimento x, y e 3 vírgula 3 e a reta t determina segmentos de reta com medidas de comprimento 3 vírgula 2, z e 4 vírgula 8.

Respostas e comentários

7. a) x = 6

7. b) x = 15

7. c) x = 4

8. x = 2,2; y = 1,1; z = 1,6

Ao final da construção, converse com os estudantes que essa mesma ideia permite a divisão de um segmento de reta em n partes iguais. Se nessa construção, em particular, traçássemos uma reta paralela a

\overline{E B},

passando por C, e marcássemos o ponto O, intersecção de

\overline{A B}

com essa paralela, obteríamos

\overline{A O} ≅ \overline{O N} ≅ \overline{N B}

, dividindo o segmento

\overline{A B}

em três partes com a mesma medida de comprimento.

Página 68

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso na atividade 11.

9. Considere rparalelo sparalelo tparalelo u. Calcule x e y.

Figura geométrica. Quatro retas paralelas r, s, t e u e duas retas transversais m e n. A reta m determina segmentos de reta com medidas de comprimento 7, 1, x e 3 e a reta n determina segmentos de reta com medidas de comprimento 7, y, 2 e 3.

10. Sendo aparalelo bparalelo c, determine x e y.

Figura geométrica. Três retas paralelas a, b e c e duas retas transversais r e s. A reta r determina segmentos de reta com medidas de comprimento x e y e a reta s determina segmentos de reta com medidas de comprimento 4 e 5. Há uma cota na figura indicando que x mais y é igual a 27.

Figura geométrica. Três retas paralelas a, b e c e duas retas transversais. Uma das retas transversais determina segmentos de reta com medidas de comprimento 4, entre as retas a e b, e 6, entre as retas b e c. A outra reta transversal determina segmentos de reta com medidas de comprimento 8, entre as retas a e b, e x + y, entre as retas b e c.

11. Utilizando régua e compasso, reproduza, no caderno, o segmento de reta

\overline{A B}

a seguir. Em seguida, localize o ponto C nesse segmento de reta tal que

\frac{A C}{A B} = \frac{3}{4}

12. A figura apresenta três terrenos que ocupam uma quadra. Determine as medidas de comprimento a, b e c, em metro, sabendo que cada terreno tem um par de lados paralelos.

Ilustração. Vista de cima de terrenos. No centro, um terreno em formato de trapézio retângulo dividido em três terrenos menores com mesmo formato. Não se sabe as dimensões da base dos trapézios, mas a medida do lado esquerdo de cada terreno é: 16 metros, 28 metros e 36 metros. Já as medidas do lado direito de cada terreno é: a, b e c, respectivamente. Já a medida total do lado direito do terreno é de 100 metros. — Representação esquemática, fóra de escala.

13. Considere que na figura:

• as retas

\overset{\leftrightarrow}{A A'}

\overset{\leftrightarrow}{B B'}

são paralelas entre si;

• as retas

\overset{\leftrightarrow}{B A'}

\overset{\leftrightarrow}{C B'}

são paralelas entre si;

Ilustração. Triângulo OCB'. Com os pontos A e B pertencente ao segmento OC e o ponto A' pertencente ao segmento B'O, de tal forma que o segmento AA' paralelo ao segmento BB', e o segmento BA' paralelo ao segmento CB'.

a) Aplicando o teorema de Tales para os triângulos ó áá linha e ó bêbê linha, escreva as relações entre as medidas dos comprimentos dos lados.

b) Aplicando o teorema de Tales para os triângulos ó bêá linha e ó cêbê linha, escreva as relações entre as medidas dos comprimentos dos lados.

c) Prove que

\frac{O B}{O A} = \frac{O C}{O B}

Respostas e comentários

9. x = 2; y = 1

10. a) x = 12; y = 15

10. b) x = 8; y = 4

11. Resposta em Orientações.

12. a = 20 métros; b = 35 métros; c = 45 métros

13. a)

\frac{O A}{O B} = \frac{O A ’}{O B ’}

13. b)

\frac{O B}{O C} = \frac{O A ’}{O B ’}

13. c) Aplicando a propriedade transitiva da igualdade nos resultados dos itens a e b, temos:

\frac{O A}{O B} = \frac{O B}{O C}

Invertendo essas razões, temos:

\frac{O B}{O A} = \frac{O C}{O B}

• A atividade 10 favorece o desenvolvimento de parte da habilidade ê éfe zero nove ême ah um quatro. Se os estudantes tiverem dificuldade, ajude-os a escrever as proporções para obter as medidas corretas.

• Na atividade 11, podemos iniciar traçando, com auxílio de uma régua, uma semirreta

\vec{A M}

qualquer. Sobre a semirreta

\vec{A M}

, com auxílio do compasso, marcamos quatro pontos (N, O, P e Q), de modo que NA = NO = OP = PQ.

Então, traçamos

\overset{\leftrightarrow}{Q B}

e, em seguida, uma paralela a

\overset{\leftrightarrow}{Q B}

, passando por P, determinando o ponto C em

\overline{A B}

de modo que

\frac{A Q}{A P} = \frac{3}{4}

, com

\overline{Q B} ⫽ \overline{P C}

Por fim, pelo teorema de Tales, temos:

\frac{A P}{A Q} = \frac{A C}{A B} = \frac{3}{4}

Página 69

Teorema de Tales nos triângulos

Analise o triângulo á bê cê, a reta s, paralela a t (reta suporte de

\overline{B C}

) que corta os lados

\overline{A B}

\overline{A C}

, respectivamente, nos pontos M e N, e a reta r, paralela a s pelo ponto a.

Figura geométrica. Triângulo ABC. Reta t passando por B e C. Reta s paralela a t que intercepta o lado AB no ponto M e o lado AC no ponto N. Reta r paralela às retas s e t e que passa pelo ponto A. A reta r a e reta t são tracejadas.

As retas r, s e t formam um feixe de paralelas.

Então, aplicando o teorema de Tales, temos:

\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}

Toda reta paralela a um lado de um triângulo determina, sobre os outros dois lados, segmentos de reta proporcionais.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

14. Na figura,

\overset{\leftrightarrow}{P Q} ⫽ \overset{\leftrightarrow}{B C}

. Determine AQ.

Figura geométrica. Triângulo ABC. Reta passando por B e C. Reta paralela à reta que passa por B e C e que intercepta o lado AB no ponto P e o lado AC no ponto Q. A medida do comprimento de segmento de reta AP é 3. A medida do comprimento de segmento de reta PB é 2. A medida do comprimento de segmento de reta QC é 5.

15. Uma reta paralela ao lado

\overline{B C}

de um triângulo á bê cê determina os pontos D em

\overline{A B}

e ê em

\overline{A C}

. Sabendo que á dê = k, DB = k + 4, A Ê = 4 e ê cê = 6, determine a medida de comprimento do lado

\overline{A B}

do triângulo.

16. Determine o valor de x, sabendo que as medidas α e β das aberturas dos ângulos correspondentes são iguais.

Figura geométrica. Triângulo. Duas retas estão representadas: uma forma um ângulo de medida de abertura alfa e outra um ângulo de medida de abertura beta com um lado do triângulo. A primeira reta é suporte de um dos lados. Essas retas determinam sobre um lado segmentos de reta de medidas 2 e x e no outro lado segmentos de reta de medidas 2 vírgula 8 e 7 vírgula 76.

Respostas e comentários

14. AQ = 7,5

15. A bê = 20

16. x = 3,4

• A atividade 14 envolve a aplicação do teorema de Tales nos triângulos. Este é o momento oportuno para verificar se os estudantes compreenderam a propriedade. Espera-se que para determinar AQ, eles escrevam a seguinte proporção:

\frac{3}{2} = \frac{A Q}{5}

• Caso tenham dificuldades para compreender o enunciado da atividade 15, oriente-os a fazer um esboço da situação.

• Na atividade 16, espera-se que os estudantes concluam que como α = β, então as retas representadas na figura são paralelas. Com base nisso, eles podem aplicar o teorema de Tales no triângulo e determinar x.

Página 70

3 Semelhança

Figuras semelhantes

Confira os mapas que trazem as localizações dos pontos extremos do Brasil (norte – C, sul – D, leste – B, oeste – a) e das cidades de São Luís (Maranhão) e Salvador (Bahia).

Esquema. Três mapas, dois a esquerda e um a direita. O mapa I mostra o Brasil com destaque para São Luís (ponto F) e Salvador (ponto G). Reta vertical CD indicando os extremos norte e sul do Brasil e reta horizontal AB indicando extremos leste e oeste do Brasil. No encontro entre estes segmentos o ângulo indicando como alfa. Na parte inferior esquerda, rosa dos ventos e escala de 0 a 1080 quilômetros Mapa II. Mapa igual ao mapa I, com diferença no ângulo formado pelo encontro entre os segmentos AB e CD, indicado como beta. Na parte inferior esquerda, rosa dos ventos e escala de 0 a 925 quilômetros. Mapa III. Mapa igual ao mapa I, com diferença no ângulo formado pelo encontro entre os segmentos AB e CD, indicado como gama. Na parte inferior esquerda, rosa dos ventos e escala de 0 a 685 quilômetros. — mapa um

Elaborados com base em: í bê gê É. Atlas geográfico escolar. oitava edição Rio de Janeiro: í bê gê É, 2018. página 91.

As três imagens representam o mapa do Brasil; entretanto, note que os mapas têm a mesma fórma, mas tamanhos diferentes.

De acôrdo com os pontos apresentados, podemos identificar:

• A bê: medida da distância do ponto extremo oeste ao ponto extremo leste do Brasil;

• CD: medida da distância do ponto extremo norte ao ponto extremo sul do Brasil;

• FG: medida da distância entre os pontos que representam as cidades de São Luís e Salvador;

• Alfa , Beta e gama: medidas das aberturas dos ângulos formados pelos segmentos de reta

\overline{A B} e \overline{C D}

, respectivamente, no mapa um, no mapa dois e no mapa três.

Com o auxílio de uma régua e de um transferidor, podemos obter, em cada mapa, as medidas de comprimento dos segmentos de reta

\overline{A B} e \overline{F G}

e as medidas Alfa , Beta e gama das aberturas dos ângulos, obtendo os dados a seguir.

Mapa	AB	FG	Medida da abertura do ângulo
I	4,2 cm	1,2 cm	α = 80°
II	4,9 cm	1,4 cm	β = 80°
III	6,3 cm	1,8 cm	γ = 80°

Respostas e comentários

Semelhança

Objetivo:

Compreender o conceito de semelhança entre figuras.

Justificativa

Compreender o conceito de semelhança de figuras amplia os conhecimentos previamente adquiridos pelos estudantes sobre congruência de figuras e mobiliza o que estudaram sobre segmentos de reta proporcionais. Além disso, este conceito é importante para demonstrar o teorema de Pitágoras, que será estudado mais adiante.

Mapeando conhecimentos

Organize os estudantes em duplas e distribua para eles uma folha de papel quadriculado com as seguintes figuras representadas nela:

Figura geométrica. Malha quadriculada com duas figuras, uma embaixo da outra. De cima para baixo um polígono ABCDEF e abaixo um polígono A'B'C'D'E'F' com dobro de tamanho.

Em seguida, proponha as seguintes atividades:

1. Analise as medidas de abertura dos pares de ângulos internos

\hat{A}

\hat{A ’}

\hat{B}

\hat{B ’}

\hat{C}

\hat{C ’}

\hat{D}

\hat{D ’}

\hat{E}

\hat{E ’}

\hat{F}

\hat{F ’}

. O que você concluiu sobre elas, em cada par de ângulos correspondentes?

2. Observe agora os pares de lado

\overline{A ’ B ’}

\overline{A B}

\overline{B ’ C ’}

\overline{B C}

\overline{C ’ D ’}

\overline{C D}

\overline{D ’ E ’}

\overline{D E}

\overline{E ’ F ’}

\overline{E F}

\overline{F ’ A ’}

\overline{F A}

. Qual relação você encontrou entre as medidas de comprimento, em cada par de lados correspondentes?

Incentive a participação da turma.

Para as aulas iniciais

Retome a atividade da dinâmica inicial e discuta com a turma o modo como chegaram às respostas e faça as intervenções necessárias. Depois, pergunte aos estudantes o que são polígonos semelhantes e incentive-os a explicar utilizando vocabulário próprio. Aproveite a oportunidade para explorar polígonos que não são semelhantes. Incentive-os a justificar o porquê desses polígonos não serem semelhantes.

Oriente os estudantes a conferir as medidas do quadro utilizando régua e transferidor, alertando-os quanto a possíveis imprecisões dos instrumentos de medida.

Página 71

Confira que, nesse exemplo, as figuras apresentam estas características:

• os ângulos correspondentes têm medidas das aberturas iguais;

• as medidas de comprimento dos segmentos de reta correspondentes são proporcionais.

\frac{4, 2 c m}{1, 2 c m} = 3, 5; \frac{4, 9 c m}{1, 4 c m} = 3, 5; \frac{6, 3 c m}{1, 8 c m} = 3, 5; logo : \frac{A B}{F G} = 3, 5

Dizemos que duas figuras são semelhantes quando as medidas das aberturas dos ângulos correspondentes são iguais e as medidas de comprimento dos segmentos de reta correspondentes são proporcionais.

Logo, podemos dizer que os mapas são semelhantes.

Sugestão de leitura

IMENES, L. M.; JAKUBOVIC, J. (Jakubo); LELLIS, M. Semelhança. São Paulo: Atual, 2005. (Coleção Pra que serve Matemática?).

Esse livro apresenta usos de semelhança no cotidiano. Além disso, traz curiosidades, jogos e charadas sobre o assunto.

Polígonos semelhantes

Considere os polígonos a bê cê dê e PQRS abaixo.

Figuras geométricas. Quadriláteros de mesmo formato dispostos lado a lados. O quadrilátero da esquerda tem vértices nos pontos A, B, C e D. A medida do comprimento do lado AB é 3 vírgula 8 metros. A medida do comprimento do lado BC é 4 metros. A medida do comprimento do lado CD é 2 vírgula 4 metros. A medida do comprimento do lado DA é 2 metros. O quadrilátero da direita tem vértices nos pontos P, Q, R e S. A medida do comprimento do lado PQ é 5 vírgula 7 metros. A medida do comprimento do lado QR é 6 metros. A medida do comprimento do lado RS é 3 vírgula 6metros. A medida do comprimento do lado SP é 3 metros. Os ângulos correspondentes dos dois quadriláteros são congruentes.

Comparando os polígonos, podemos identificar que:

• os ângulos correspondentes são congruentes;

\hat{A} ≅ \hat{P}

;

\hat{B} ≅ \hat{Q}

;

\hat{C} ≅ \hat{R}

;

\hat{D} ≅ \hat{S}

• as medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais.

\frac{A B}{P Q} = \frac{B C}{Q R} = \frac{C D}{R S} = \frac{D A}{S P}

\frac{3, 8 m}{5, 7 m} = \frac{4 m}{6 m} = \frac{2, 4 m}{3, 6 m} = \frac{2 m}{3 m} = \frac{2}{3}

Podemos dizer que os polígonos ABCD e PQRS são semelhantes e indicar:

Esquema. Quadrilátero ABCD, símbolo similar ao sinal gráfico til, quadrilátero PQRS. Abaixo, fio alaranjado indicando: Lemos, o polígono ABCD é semelhante ao polígono PQRS.

Quando dois polígonos têm os ângulos correspondentes congruentes e as medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais, eles são denominados polígonos semelhantes.

A razão entre as medidas de comprimento dos lados correspondentes em polígonos semelhantes é denominada razão de semelhança ou coeficiente de proporcionalidade. Então, no exemplo da semelhança entre os polígonos a bê cê dê e PQRS, temos:

Esquema. AB sobre PQ igual a BC sobre QR igual a CD sobre RS igual a DA sobre SP igual a k. Seta para k, indicando: razão de semelhança.

A razão de semelhança (k) nesse caso é

\frac{2}{3}

Respostas e comentários

Explique aos estudantes que duas figuras semelhantes podem ter o mesmo tamanho ou tamanhos diferentes. Quando têm as mesmas medidas dos lados correspondentes, podemos dizer que são também congruentes; se forem medidas diferentes, são apenas semelhantes. O caso particular em que as figuras são congruentes nos dá razão de semelhança (ou coeficiente de proporcionalidade) igual a 1. Para figuras apenas semelhantes, a comparação promovida pela razão de semelhança pode ser dada e analisada a partir de dois sentidos: da figura maior para a menor ou da menor para a maior. Se a razão de semelhança for um número entre 0 e 1, significa que a primeira figura tem medidas de comprimento correspondentes menores do que a segunda; decorre que o caso contrário nos dá um número maior que 1.

Página 72

Agora, analise um exemplo em que precisamos determinar x, y e z, sabendo que os polígonos á bê cê dê é e éfe gê agá í jota são semelhantes.

Figuras geométricas. Pentágonos de mesmo formato dispostos lado a lados. O pentágono da esquerda tem vértices nos pontos A, B, C, D e E. A medida do comprimento do lado AB é 6 vírgula 4 metros. A medida do comprimento do lado BC é indicada pela letra y. A medida do comprimento do lado CD é 16 metros. A medida do comprimento do lado DE é 8 metros. A medida do comprimento do lado EA é 20 metros. O pentágono da direita tem vértices nos pontos F, G, H, I e J. A medida do comprimento do lado FG é indicada pela letra z. A medida do comprimento do lado GH é 38 vírgula 4 metros. A medida do comprimento do lado HI é indicada pela letra x. A medida do comprimento do lado IJ é 12 vírgula 8 metros. A medida do comprimento do lado JF é 32 metros. Os ângulos correspondentes dos dois quadriláteros são congruentes

Inicialmente, determinamos a razão de semelhança k entre os dois polígonos, do polígono á bê cê dê é para o éfe gê agá í jota.

Esquema. 16 metros sobre x é igual a y sobre 38 vírgula 4 metros que é igual a 6 vírgula 4 metros sobre z que é igual a 20 metros sobre 32 metros que é igual a 8 metros sobre 12 vírgula 8 metros que é igual a k o que implica que k é igual a 20 sobre 32 que é igual a 5 oitavos. Há uma seta saindo de 20 e chegando em 5, indicando uma divisão por 4. Há uma seta saindo de 32 e chegando em 8, indicando uma divisão por 4.

Em seguida, determinamos as medidas de comprimento x, y e z, em metro.

\frac{16 m}{x} = \frac{5}{8}

x = \frac{16 m \cdot 8}{5} = 25, 6 m

\frac{y}{38, 4 m} = \frac{5}{8}

y = \frac{5 \cdot 38, 4 m}{8} = 24 m

\frac{6, 4 m}{z} = \frac{5}{8}

z = \frac{8 \cdot 6, 4 m}{5} = 10, 24 m

Então, x = 25,6 métros, y = 24 métros e z = 10,24 métros.

Observação

Para se certificar de que dois polígonos são semelhantes, é preciso verificar as duas condições:

• os ângulos correspondentes devem ser congruentes;

• as medidas de comprimento dos lados correspondentes devem ser proporcionais.

Apenas uma das condições não é suficiente para garantir a semelhança entre polígonos. Por exemplo:

Figura geométrica. Pentágono regular ABCDE com lados medindo x e ângulos internos congruentes. Figura geométrica. Pentágono MNOPQ com lados medindo x. Os ângulos NOP e OPQ são retos. Os ângulos MNO e MQP são congruentes e obtusos. O ângulo QMN é agudo. — O pentágono á bê cê dê é tem lados de medidas de comprimento iguais às do pentágono MNOPQ (a razão entre as medidas de comprimento dos lados é 1), ou seja, as medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais, mas os ângulos correspondentes não são congruentes. Portanto, os polígonos á bê cê dê é e MNOPQ não são semelhantes.

Figura geométrica. Quadrado ABCD com lados medindo 2,7 centímetros de comprimento. Figura geométrica. Retângulo A'B'C'D'. O lado A'B' é congruente ao lado D'C' e medem 2,3 centímetros. O lado A'D' é congruente ao lado B'C' e medem 4,1 centímetros. — Os ângulos correspondentes dos quadriláteros são congruentes, mas as medidas de comprimento dos lados correspondentes não são proporcionais. Portanto, os quadriláteros a bê cê dê e a linha bê linha cê linhadivisores de ’ não são semelhantes.

Respostas e comentários

Represente alguns polígonos na lousa e indique a medida do comprimento dos seus lados e as medidas das aberturas dos seus ângulos. Em seguida, peça aos estudantes que indiquem quais são semelhantes.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso na atividade 19.

17. Os polígonos a seguir são semelhantes? Justifique sua resposta.

Figuras geométricas. 2 retângulos. O retângulo de cima tem vértices nos pontos A, B, C e D, tem lado AD medindo 15 e lado CD medindo 25. O retângulo de baixo tem vértices nos pontos A linha, B linha, C linha e D linha, tem lado A linha D linha medindo 6 e lado C linha D linha medindo 10.

Figuras geométricas. 2 paralelogramos O paralelogramo de cima tem vértices nos pontos A, B, C e D, tem lado AD medindo 2 centímetros e lado CD medindo 4 centímetros. Um dos seus ângulos internos agudo mede 60 graus de abertura. O paralelogramo de baixo tem vértices nos pontos A linha, B linha, C linha e D linha, tem lado A linha D linha medindo 1 centímetro e lado C linha D linha medindo 2 centímetros. Um dos seus ângulos internos agudo mede 50 graus de abertura.

18. Em cada item, os polígonos são semelhantes. Determine os valores de x e de y.

Figuras geométricas. 2 trapézios. O trapézio de cima tem vértices nos pontos A, B, C e D, A medida do comprimento do lado AB é indicada pela letra y, A medida do do comprimento do lado BC é 10, A medida do comprimento do lado CD é 25, A medida do comprimento do lado AD é 30.
O trapézio de baixo tem vértices nos pontos J, K, L e M. A medida do comprimento do lado JK é 8. A medida do comprimento do lado KL é 4, A medida do comprimento do lado LM é indicada pela letra x. A medida do comprimento do lado JM é 12.

Figuras geométricas. 2 triângulos. Um dos triângulos tem vértices nos pontos T, U e V, A medida do comprimento do lado TU é 18. A medida do comprimento do lado UV é 36. A medida do comprimento do lado VT é indicada pela letra y. O outro triângulo tem vértices nos pontos F, G e H, A medida do comprimento do lado FG é indicada pela letra x. A medida do comprimento do lado GH é 24. A medida do comprimento do lado FH é 18.

19. Represente um triângulo semelhante ao triângulo á bê cê com razão de semelhança igual a

\frac{2}{3}

Ícone. Modelo. Figuras geométrica. triângulo ABC

20. Em cada item, os triângulos á bê cê e STU são semelhantes. Determine os valores de x e de y.

Figura geométrica. triângulo ABC com lado AB medindo 90, lado BC medindo 100 e lado CA medidos y. Interno ao triângulo ABC temos o triângulo STU com lado ST paralelo ao lado AB, lado TU paralelo ao lado BC e lado US paralelo ao lado CA. A medida do lado ST é X, a medida do lado TU é 60 e a medida do lado US é 51

Figura geométrica. triângulo ABC com lado CA medindo 55, lado AB medindo 30 e o ângulo formado pelos lados AB e BC medindo 120 graus. Figura geométrica. triângulo STU com lado US medindo 33, lado ST medindo y e o ângulo formado pelos lados ST e TU medindo x graus.

Respostas e comentários

17. a) Sim, pois os ângulos correspondentes têm a mesma medida da abertura (90º) e a razão de semelhança é

\frac{5}{2}

17. b) Não, pois os ângulos correspondentes têm medidas das aberturas diferentes.

18. a) x = 10; y = 20

18. b) x = 12; y = 27

19. Resposta em Orientações.

20. a) x = 54; y = 85

20. b) x = 120º; y = 18

• Na atividade 19, lembre os estudantes da construção de segmento proporcional.

Para que seja feita a construção do triângulo Abit’centésimo’ semelhante ao triângulo ABC, tal que

\frac{A B'}{A B} = \frac{A C'}{A C} = \frac{B' C'}{B C} = \frac{2}{3}

, seguimos os seguintes passos:

• Traçamos, com o auxílio de uma régua, uma semirreta que passe por qualquer um dos lados do triângulo ABC. Neste caso, vamos escolher o lado

\overline{A B}

para traçar a semirreta

\vec{A B}

• Sobre a semirreta

\vec{A B}

, com auxílio do compasso, marcamos três pontos (N, O e P ), de modo que: NA = NO = OP.

• Traçamos uma reta

\overset{\leftrightarrow}{P C}

e uma nova reta paralela a

\overset{\leftrightarrow}{P C}

que passe pelo ponto O, determinando o ponto centésimo’ em

\overline{A C}

, de modo que

\frac{A O}{A P} = \frac{2}{3}

, com

\overline{P C} / / \overline{O C}

. E, dessa forma, aplicando o teorema de Tales, temos:

\frac{A O}{A P} = \frac{A C'}{A C} = \frac{2}{3}

• Para finalizar a construção, podemos traçar uma reta

\overset{\leftrightarrow}{B' C'}

, paralela à

\overset{\leftrightarrow}{B C}

. Segue do teorema de Tales que

\frac{A B'}{A B} = \frac{2}{3}

. Assim, obtemos o triângulo Abit’centésimo’.

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4 Triângulos semelhantes

Observe os triângulos á bê cê e FGH.

Figuras geométricas. Triângulos com ângulos correspondentes congruentes O triângulo da esquerda tem vértices nos pontos A, B e C. A medida do comprimento do lado AB é 2 vírgula 5 centímetros. A medida do comprimento do lado BC é 4 centímetros. A medida do comprimento do lado AC é 3 centímetros. O triângulo da esquerda tem vértices nos pontos F, G e H. A medida do comprimento do lado FG é 3 vírgula 5 centímetros. A medida do comprimento do lado GH é 5 vírgula 6 centímetros. A medida do comprimento do lado FH é 4 vírgula 2 centímetros.

• Os ângulos correspondentes são congruentes:

\hat{A} ≅ \hat{F}

\hat{B} ≅ \hat{G}

\hat{C} ≅ \hat{H}

• A razão entre as medidas de comprimento dos lados correspondentes é

\frac{5}{7}

, pois:

\frac{3 c m}{4, 2 c m} = \frac{2, 5 c m}{3, 5 c m} = \frac{4 c m}{5, 6 c m} = \frac{5}{7}

Podemos concluir que os triângulos ABC e FGH são semelhantes. Indicamos: △á bê cê ∼ △FGH

Dois triângulos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e as medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

21. Os triângulos de cada item são semelhantes. Determine os valores de x e de y em cada caso.

Figuras geométricas. 2 triângulos. O triângulo da esquerda tem vértices nos pontos A, B e C, A medida do comprimento do lado AB é indicada pela letra x. A medida do comprimento do lado BC é indicada pela letra y. A medida do comprimento do lado AC é 10. O triângulo da direita tem vértices nos pontos P, Q e R, A medida do comprimento do lado PR é 24. A medida do comprimento do lado RQ é 30. A medida do comprimento do lado QP é 20.

Figura geométrica. Dois triângulos, um maior a direita e um menor a esquerda. O maior é o triângulo MNO com lado MN medindo 18, lado NO medindo 15 e lado OM medindo y. O menor é o triângulo CAB com lado CA medindo 12, lado AB medindo x e lado BC medindo 20. Observa-se que são congruente os ângulos C e M e B e O.

22. Calcule os valores aproximados de x e de y na figura, sabendo que a agá bê e CHA são triângulos semelhantes.

Figura geométrica. Triângulo ABC com lado AB medindo 11,1, lado BC medindo 17,2 e lado CA medindo 13,1. Altura relativa ao lado BC mede 8,5, encontra o lado BC no ponto H dividido-o em dois segmentos BH e HC com medidas x e y respectivamente. São congruentes os ângulos ABC e CAH, BAH e ACH e eBHA e AHC.

23. Calcule a medida da altura x de um poste, em metro, sabendo que o comprimento de sua sombra sobre o solo mede 8 métros no momento em que o comprimento da sombra de uma vara vertical de 3 métros mede 2 métros.

Ilustração. Poste de luz a esquerda e vara a direita. O Poste de luz esta na vertical e tem altura x, linha pontilhada ligando o topo do poste com o extremo de sua sombra que é perpendicular ao poste, horizontal e mede 8 metros. A direita, a vara esta na vertical e tem altura de 3 metros, linha pontilhada ligando o topo da vara com o extremo de sua sombra que é perpendicular a vara, horizontal e mede 2 metros. — Representação esquemática, fóra de escala.

Respostas e comentários

21. a) x = 12; y = 15

21. b) x = 10; y = 30

22. x ≃ 7,2; y ≃

23. 12 métros

Triângulos semelhantes

Bê êne cê cê:

Habilidade ê éfe zero nove ême ah um dois.

Objetivos:

• Compreender o teorema fundamental da semelhança.

• Reconhecer triângulos semelhantes segundo cada um dos casos de semelhança.

Justificativa

O teorema fundamental da semelhança é imporante na resolução de diversos problemas envolvendo triângulos e, por esta razão, é importante compreendê-lo.

Reconhecer triângulos semelhantes, segundo cada um dos casos de semelhança, permite aos estudantes reconhecer que não é necessário conhecer a medida do comprimento de todos os lados nem a medida da abertura de todos os ângulos internos de dois triângulos para verificar se eles são semelhantes. Além disso, favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um dois.

Mapeando conhecimentos

Pergunte aos estudantes: “Para verificar se dois triângulos são semelhantes é preciso conhecer a medida do comprimento de todos os lados e a medida da abertura de todos os ângulos internos dos dois triângulos?”. Incentive os estudantes a fazerem investigações e compartilharem as conclusões.

Para as aulas iniciais

Verifique as conclusões a que os estudantes chegaram. Se possível, explore alguns exemplos concretos com a turma.

Assim como as outras figuras planas, os triângulos semelhantes devem ter lados correspondentes proporcionais e ângulos correspondentes congruentes.

(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

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Teorema fundamental da semelhança

Considere um △á bê cê e uma reta r, paralela a

\overline{B C}

, que corta os lados

\overline{A B}

\overline{A C}

nos pontos D e ê, respectivamente, conforme a figura a seguir.

Figura geométrica. Triângulo ABC. Reta r que intercepta AB no ponto D e intercepta AC no ponto E. A medida da abertura do ângulo ADE é alfa. A medida da abertura do ângulo ABC é beta. A medida da abertura do ângulo AED é gama. A medida da abertura do ângulo ACB é teta.

Vamos provar que os triângulos dê á é e bê á cê são semelhantes.

• Os ângulos internos correspondentes são congruentes, pois:

• o ângulo

B \hat{A} C

é comum aos dois triângulos;

• os ângulos

A \hat{B} C

A \hat{D} E

são correspondentes; logo, Alfa = Beta;

• os ângulos

A \hat{C} B

A \hat{E} D

são correspondentes; logo, gama = teta.

• As medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais.

Se, pelo ponto ê, traçarmos

\overset{\leftrightarrow}{E F}

paralela a

\overline{A B}

, temos:

Figura geométrica. Triângulo ABC. Reta r paralela ao lado BC que intercepta AB no ponto D e intercepta AC no ponto E. Os ângulos ADE e ABC são congruentes. Os ângulos AED e ACB são congruentes. Há uma reta tracejada que passa pelo ponto e é paralela ao lado AB. Essa reta intercepta o lado BC no ponto F.

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}

aplicação do teorema de Tales nos triângulos dê á é e bê á cê

\frac{A E}{A C} = \frac{B F}{B C}

aplicação do teorema de Tales nos triângulos cê ê éfe e CAB

\overline{D E} ≅ \overline{B F}

lados opostos do paralelogramo DEFB

Substituindo BF por dê ê de 3 em 2, temos:

\frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}

Comparando 1 e 4, temos:

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}

Portanto, os triângulos dê á é e bê á cê têm as medidas de comprimento dos lados correspondentes proporcionais. Assim, concluímos que os triângulos dê á é e bê á cê são semelhantes.

Segundo o teorema fundamental da semelhança:

Toda reta paralela a um lado de um triângulo que intercepta os outros dois lados em pontos distintos determina, com esses lados, um triângulo semelhante ao primeiro.

Respostas e comentários

Teorema fundamental da semelhança

Faça a leitura coletiva do texto com a turma. Se achar pertinente, desenvolva com eles a demonstração do teorema fundamental da semelhança. É importante que fique claro para a turma quais são as hipóteses e a tese.

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Um pouco de história

Faça a atividade no caderno.

Nascido em Mileto (região atualmente pertencente à Turquia), o filósofo grego Tales foi considerado um dos sábios da Grécia e, para muitos historiadores, a Geometria demonstrativa teve início com ele. Além do teorema que recebe seu nome, é atribuída a ele, também, a demonstração de que as medidas das aberturas dos ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais. Tales teria calculado a medida da altura das pirâmides, quando viveu no Egito, usando um método de triangulação, uma aplicação do teorema que recebeu seu nome. Um dos possíveis métodos usados por Tales teria sido aplicado da seguinte fórma:

Figura geométrica. Pirâmide de base quadrada. A altura da pirâmide é o segmento AB, onde o ponto B esta no centro do quadrado que contém a base. Linha tracejado paralela ao lado da base tocando no ponto médio das arestas da base e contendo o ponto B. A pirâmide faz uma sombra ao lado direito formando um triângulo IEH, com o segmento IE pertencendo a base da pirâmide. O segmento BH corta o segmento IE no ponto C. Temos assim o triângulo retângulo ABH e o triângulo retângulo GFH, semelhantes.

1º) Colocou uma estaca (representada por

\overline{G F}

) na sombra da pirâmide sobre a perpendicular que passa no ponto médio (C) de um dos lados da base da pirâmide

(\overline{E I})

, de fórma que sua sombra terminasse no mesmo ponto (H) onde acabava a sombra da pirâmide.

2º) Mediu o comprimento de

\overline{D E}

\overline{C H}

\overline{F H}

\overline{G F}

. Como dê ê = BC, obteve a medida de comprimento de

\overline{B H}

3º) Finalmente, calculou a medida da altura da pirâmide (representada por A bê), escrevendo a seguinte proporção:

\frac{B H}{F H} = \frac{A B}{G F}

(BH, FH e GF são medidas de comprimento conhecidas)

Atividade

Explique por que Tales pôde escrever essa proporção que o levou a obter a medida da altura da pirâmide.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

24. Determine x e y nas figuras, sabendo que

\overline{M N} ⫽ \overline{B C}

Figura geométrica. Triângulo ABC. Segmento MN paralelo a BC com M no lado AB e N no lado AC. AM é igual a 8, MB é igual a x, AN é igual a y, nc É IGUAL A 6, MN é igual a 16 e BC é igual a 24.

Figura geométrica. Triângulo ABC. Segmento MN paralelo a BC com M no lado AB e N no lado AC. AM é igual a 12, MB é igual a y, AN é igual a x, NC é igual a 12, MN é igual a 10 e BC é igual a 30.

25. O formato de um pátio é representado pelo quadrilátero a bê cê dê, com

\overline{A B} ⫽ \overline{D C}

. Sabendo que A bê = 5 métros, á dê = 12 métros, ó á = 13 métros e ó bê = 16 métros, determine BC e DC.

Figura geométrica. Quadrilátero ABCD com AB paralelo a DC, Os lados DA e CB foram prolongados até se encontrar em um ponto O. OA é igual a 13 metros, AD é igual a 12 metros, OB é igual a 16 metros e AB é igual a 5 metros.

Respostas e comentários

Um pouco de história: Resposta em Orientações.

24. a) x = 4; y = 12

24. b) x = 6; y = 24

25. BC =

\frac{192}{13}

métros; DC =

\frac{125}{13}

métros

Ao responder a questão proposta no boxe Um pouco de história, espera-se que os estudantes percebam que, pelo teorema fundamental da semelhança de triângulos, os triângulos ABH e GFH são semelhantes e, por isso, as medidas dos lados correspondentes são proporcionais. Assim, pode-se escrever:

\frac{A B}{G F} = \frac{B H}{F H} = \frac{A H}{G H}

Isso justifica por que Tales pôde escrever a proporção que o levou a obter a medida da altura da pirâmide.

• Na atividade 24, os estudantes vão aplicar o teorema fundamental da semelhança para determinar x e y nas figuras. Ajude-os a determinar as proporções caso tenham dificuldades. Reserve um momento para discutir os dois itens coletivamente.

• Na atividade 25, pergunte aos estudantes qual seria a medida do comprimento de

\overline{B C}

caso AD = 6 métros. Espera-se que os estudantes percebam que a medida do comprimento de

\overline{B C}

seria igual à metade da encontrada anteriormente, ou seja,

\frac{96}{13} m

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Casos de semelhança de triângulos

Vamos verificar se os triângulos á bê cê e a linha bê linha cê linha são semelhantes.

Figura geométrica. Triângulo com ângulo interno com abertura medindo 92 graus, 52 graus e 36 graus. Vértices nos pontos A, B e C. A medida do comprimento do lado AB é 6 centímetros. A medida do comprimento do lado BC é 7 vírgula 2 centímetros. A medida do comprimento do lado AC é 4 vírgula 2 centímetros.

Figura geométrica. Triângulo com ângulos internos com abertura medindo 92 graus, 52 graus e 36 graus. Vértices nos pontos A linha, B linha e C linha. A medida do comprimento do lado A linha B linha é 5 centímetros. A medida do comprimento do lado B linha C linha é 5 vírgula 6 centímetros. A medida do comprimento do lado A linha C linha é 3 vírgula 5 centímetros.

• Os ângulos internos correspondentes são congruentes.

m e d (B \hat{A} C) = m e d (B ’ \hat{A ’} C ’) = 92 °

m e d (A \hat{B} C) = m e d (A ’ \hat{B ’} C ’) = 36 °

m e d (A \hat{C} B) = m e d (A ’ \hat{C ’} B ’) = 52 °

• As medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais.

\frac{6 c m}{5 c m} = \frac{7, 2 c m}{6 c m} = \frac{4, 2 c m}{3, 5 c m} = \frac{6}{5}

Assim, concluímos que os triângulos á bê cê e á linha bê linha cê linha são semelhantes.

Existem três casos em que podemos verificar a semelhança entre triângulos conhecendo apenas alguns dos seus elementos.

1º caso: A A (Ângulo – Ângulo)

Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes, então esses triângulos são semelhantes.

Analise os triângulos á bê cê e á linha bê linha cê linha.

Figuras geométricas. Dois triângulos semelhantes: ABC e A linha, B linha, C linha. O ângulo BAC é congruente ao ângulo B linha, A linha, C linha.
O ângulo ABC é congruente ao ângulo A linha, B linha, C linha.

Como

B \hat{A} C ≅ B ’ \hat{A ’} C ’

A \hat{B} C ≅ A ’ \hat{B ’} C ’

, então: △á bê cê ∼ △á linha bê linha cê linha

2º caso: L A L (Lado – Ângulo – Lado)

Se dois triângulos têm as medidas de comprimento de dois pares de lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos por esses lados forem congruentes, então esses triângulos são semelhantes.

Analise os triângulos á bê cê e A'B'C'.

Figuras geométricas. Dois triângulos semelhantes: ABC e A linha, B linha, C linha. O ângulo BAC é congruente ao ângulo B linha, A linha, C linha.

\frac{A B}{A ’ B ’} = \frac{A C}{A ’ C ’}

e como

B \hat{A} C ≅ B ’ \hat{A ’} C ’

, então: △á bê cê ∼ △á linha bê linha cê linha

Respostas e comentários

Caso considere interessante e tenha a oportunidade, antes de iniciar os trabalhos com os casos de semelhança de triângulos, apresente aos estudantes o vídeo sugerido a seguir. Depois, mostre os casos de semelhança entre triângulos e pergunte a eles qual foi o caso de semelhança utilizado na situação apresentada no vídeo. Se julgar adequado, peça aos estudantes que, em grupos, realizem a medição de algum objeto ou da construção da escola seguindo a estratégia que aprenderam.

Sugestão de vídeo

O vídeo “Medindo prédios com prato”, do canal Manual do Mundo, mostra como medir a altura de um prédio utilizando um prato e uma trena.

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3º caso: L L L (Lado – Lado – Lado)

Se dois triângulos têm os três pares de lados correspondentes com medidas de comprimento proporcionais, esses triângulos são semelhantes.

Analise os triângulos á bê cê e á linha bê linha cê linha.

Figuras geométricas. Dois triângulos semelhantes: ABC e A linha, B linha, C linha.

Como

\frac{A B}{A ’ B ’} = \frac{A C}{A ’ C ’} = \frac{B C}{B ’ C ’}

, então: △á bê cê ∼ △a linha bê linha cê linha

Atividades

Faça as atividades no caderno.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

26. Identifique os pares de triângulos semelhantes, especificando o caso.

Figura geométrica. Triângulo DEF. Medida da abertura do ângulo EDF igual a 35 graus e medida da abertura do ângulo DFE igual a 60 graus. Figura geométrica. Triângulo ABC. Medida da abertura do ângulo BAC igual a 40 graus. Medida do comprimento do lado AB igual a 18. Medida do comprimento do lado AC igual a 28. Figura geométrica. Triângulo XYZ, Medida do comprimento do lado XY igual a 1 vírgula 8 centímetro. Medida do comprimento do lado YZ igual a 2 vírgula 4 centímetros. Medida do comprimento do lado XZ igual a 3 centímetros. Figura geométrica. Triângulo RST. Medida do comprimento do lado RS igual a 4. Medida do comprimento do lado ST igual a 3. Medida do comprimento do lado TR igual a 5. Figura geométrica. Triângulo GHI. Medida da abertura do ângulo GIH igual a 35 graus e medida da abertura do ângulo IHG igual a 60 graus. Figura geométrica. Triângulo MNO. Medida da abertura do ângulo MNO igual a 40 graus. Medida do comprimento do lado MN igual a 42. Medida do comprimento do lado OM igual a 27.

27. Sabendo que gê dê é éfe é um quadrado, responda: os triângulos ADG e GCF são semelhantes? Justifique sua resposta.

Figura geométrica . Triângulo ABC, retângulo em C. Quadrado DEFG interno ao quadrado com G pertencendo ao lado AC, F pertencendo ao lado CB, o segmento DE contido no segmento AB, com D entre A e E, e segmento GF paralelo ao segmento AB

28. Identifique o caso de semelhança nos pares de triângulos semelhantes.

Figuras geométricas. Um triângulo retângulo com catetos medindo 3 e 6. Outro triângulo com catetos medindo 1 e 2

Figura geométrica. Triângulo retângulo roxo. com catetos medindo 3 e 4, e hipotenusa medindo 5. Figura geométrica. Triângulo retângulo azul com catetos medindo 6 e 8, e hipotenusa medindo 10.

Figura geométrica. Triângulo. Um dos ângulos internos tem abertura medindo 50 graus e outro ângulo interno tem abertura medindo 70 graus. No interior do triângulo, está representado um outro triângulo com ângulos correspondentes de mesma medida. Os lados do triângulo de dentro são paralelos aos lados do triângulo de fora.

Respostas e comentários

26. △ á bê cê ∼ △ ême ó êne (L A L); △ xis ípsilon zê ∼ △TSR (éle éle éle); △ dê ê éfe ∼ △ IGH (A A)

27. Sim. Comentários em Orientações.

28. a) L A L

28. b) L A L ou L L L

28. c) A A

• A atividade 27 incentiva a argumentação. Ajude-os a identificar os lados e ângulos correspondentes dos triângulos ADG e GCF. Como GDEF é um quadrado, temos:

\overset{\leftrightarrow}{G F} / / \overset{\leftrightarrow}{A B}

A \hat{D} G

é um ângulo reto. Com base nisso, podemos concluir que

med (D \hat{A} G) = med (C \hat{G} F)

, pois são ângulos correspondentes;

med (G \hat{D} A) = med (F \hat{C} G)

, pois são ângulos retos. Portanto, pelo caso á á, △ADG ∼ △GCF.

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29. Na figura, identifique dois triângulos semelhantes e o caso de semelhança correspondente, sabendo que o quadrilátero DECF é um losango.

Figura geométrica. Triângulo Obtusângulo ACB. Seja o losango FCED interno ao triângulo tal que F pertence ao segmento AC, e o ponto E pertence ao segmento CB, e D pertence ao segmento AB

30. Considere a figura a seguir.

Ilustração. Uma escada de madeira esta encostada em uma parede de tijolos. A distância entre a base da escada e a parede é de 4 metros. Embaixo da escada foi colocado um suporte paralelo muro de 1,8 metros, formando um triângulo retângulo com catedos 2,4 metros e hipotenusa 3 metros. — Representação esquemática, fóra de escala.

a) Calcule a medida do comprimento da escada.

b) Os ângulos correspondentes são congruentes e os triângulos tem um lado com a mesma medida de comprimento?

c) Com base no item anterior, os triângulos são semelhantes?

31. Ronaldo notou que, em determinada hora do dia, o comprimento de sua sombra media 0,40 métro, enquanto o comprimento da sombra do prédio onde morava media 8 métros. Sabendo que Ronaldo mede 1,60 métro de altura, determine a medida da altura do prédio.

Esquema. À esquerda representação de um prédio. Há uma cota com a medida 8 metros indicando a medida do comprimento da sombra do prédio. à direita a representação de uma pessoa e uma cota com a medida 0 vírgula 4 metro, indicando a medida do comprimento da sombra dela. — Representação esquemática, fóra de escala.

32.

Analise os triângulos a seguir.

Figura geométrica. Triângulo retângulo BAC, retângulo em A. Medida da abertura do ângulo BCA igual a 35 graus. Medida do comprimento do lado AC igual a 4. Figura geométrica. Triângulo DEF. Medida da abertura do ângulo DFE igual a 120 graus. Medida do comprimento do lado DE igual a 12. Figura geométrica. Triângulo GHI, Medida do comprimento do lado GH igual a 11. Medida do comprimento do lado HI igual a 14. Medida do comprimento do lado GI igual 18. Figura geométrica. Triângulo retângulo JLK, retângulo em L. Medida da abertura do ângulo JKL igual a 35 graus. Medida do comprimento do lado JK igual a 10.

• No caderno, elabore um problema que possa ser resolvido a partir dos triângulos.

• Troque de caderno com um colega e resolva o problema elaborado por ele.

• Analise a resposta do colega e dê um retorno a ele, dizendo o que respondeu corretamente e em que pontos ele se equivocou.

33. Analise estes triângulos.

Figura geométrica. Triângulo ABC. Medida da abertura do ângulo ABC igual a 45 graus. Medida do comprimento do lado AB igual a 4. Medida do comprimento do lado BC igual a 3. Figura geométrica. Triângulo DEF. Medida da abertura do ângulo FDE igual a 45 graus. Medida do comprimento do lado DE igual a 8. Medida do comprimento do lado EF igual a 6.

a) As medidas de comprimento dos lados correspondentes dos triângulos são proporcionais?

b) Um dos ângulos de cada triângulo tem a mesma medida de abertura?

c) Com base no item anterior, os triângulos são semelhantes?

Respostas e comentários

29. Exemplo de resposta:

△DBE ∼ △á bê cê (A A)

30. a) 5 métros

30. b) Resposta em Orientações.

30. c) Resposta em Orientações.

31. 32 métros

32. Respostas pessoais.

33. a) sim

33. b) sim

33. c) Resposta em Orientações.

• Na atividade 30, oriente os estudantes a fazer um esboço da situação como o representado a seguir:

Figura geométrica. Triângulo APQ. Segmento CB paralelo ao lado PQ, com C e B pertencendo aos lados AQ e AP respectivamente. A medida do segmento AC é 3 metros, a medida do segmento PB é 1,6 metro, a medida do segmento BA é 2,4 metros, a medida do segmento BC é 1,8 metro.

Para realizar o item a, espera-se que apliquem o teorema de Tales:

\frac{2,4 m}{1,6 m} = \frac{3 m}{C Q}

Assim, CQ = 2 métros

A medida do comprimento da escada é 5 métros, pois 3 métros + 2 métros = 5 métros.

• Resposta do item b da atividade 30:

Com base no esboço feito, os estudantes podem concluir mais facilmente que os ângulos correspondentes dos triângulos são congruentes, pois:

A \hat{B} C ≅ A \hat{P} Q

(ângulos retos)

B \hat{A} C ≅ P \hat{A} Q

(ângulo comum aos dois triângulos)

B \hat{C} A ≅ P \hat{Q} A

(pois a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º e a medida das aberturas dos outros dois ângulos internos correspondentes dos dois triângulos são iguais).

Os triângulos não têm lados correspondentes com a mesma medida de comprimento.

AB = 2,4 métros, BC = 1, 8 métro, CA = 3 métros, AP = 4 métros, PQ > 1,8 métro e QA = 5 métros.

• Resposta do item c da atividade 30:

Com base no item anterior, os triângulos são semelhantes pelo caso á á.

• Resposta do item c da atividade 33:

Espera-se que os estudantes respondam que os triângulos não são semelhantes, pois os ângulos que têm a mesma medida de abertura nos dois triângulos não estão compreendidos entre os lados que têm medidas de comprimento proporcionais.

Página 80

Resolvendo em equipe

Faça a atividade no caderno.

(enêm) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 métros e 4 métros.

Ilustração. Segmentos verticais: AC com medida 4, BD com medida 6. Diagonal: de C até B e, de D até A. Seja E o ponto de encontro entre os segmentos CB e DA, e F um ponto pertencente ao segmento AB, tal que o segmento EF seja paralelo aos segmentos CA e BD.

A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos

\overline{A C}

\overline{B D}

e a haste é representada pelo segmento

\overline{E F}

, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta

\overline{A B}

. Os segmentos

\overline{A D}

\overline{B C}

representam cabos de aço que serão instalados.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste

\overline{E F}

a) 1 métro

b) 2 métros

c) 2,4 métros

d) 3 métros

2 \sqrt{6} m

Interpretação e identificação dos dados	• Analise as informações do enunciado e anote aquelas que você julgar relevantes para a resolução do problema. • Os triângulos ABC e FBE são semelhantes? Se sim, explique por quê. • Encontre outro par de triângulos semelhantes.


Plano de resolução	• Monte as proporções relativas aos dois pares de triângulos semelhantes. • Encontre uma relação entre AB e AF. • Resolva o sistema de equações obtido.


Resolução	• Reúna-se com dois ou três colegas. • Mostre a eles seu plano de resolução e analise atentamente o plano deles, verificando se há ideias comuns entre vocês. • Vocês deverão discutir quais são as diferenças e as semelhanças de cada plano e escolher um deles para a execução do processo de resolução. Observação Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual em seus cadernos.



Verificação	• O grupo deve reler o problema e verificar se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.
Apresentação	• Cada grupo deverá elaborar uma síntese sobre os casos de semelhança de triângulos. Essa síntese poderá ser apresentada na forma de texto ou em um cartaz. Para cada um dos casos, inserir um exemplo que ilustre a explicação dada.

Respostas e comentários

Resolvendo em equipe: alternativa c

Interpretação e identificação dos dados:

primeiro item: resposta pessoal

segundo item: Sim, os triângulos ABC e FBE são semelhantes pelo caso á á, pois ambos têm um ângulo reto e compartilham o ângulo

\hat{B}

terceiro item: ABD e AFE

Plano de resolução:

primeiro item:

\frac{F B}{A B} = \frac{E B}{B C} = \frac{F E}{A C}

;

\frac{A F}{A B} = \frac{A E}{A D} = \frac{F E}{B D}

segundo item:

A B = \frac{5}{2} A F

terceiro item: Resolvendo o sistema, obtemos 2,4 métros para a medida de comprimento de

\overline{E F}

Resolvendo em equipe

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 1, 2 e 9 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 1, 2 e 3 (as descrições estão na página sete).

A seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os estudantes. Além de favorecer o desenvolvimento das competências gerais 1, 2 e 9 e das competências específicas 1, 2 e 3, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações.

Página 81

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Teorema de Tales

Um feixe de retas paralelas é formado por duas ou mais retas de um mesmo plano que, consideradas duas a duas, são sempre paralelas.

Uma reta que intercepta duas ou mais retas de um feixe de retas paralelas recebe o nome de transversal.

Teorema de Tales nos triângulos

Toda reta paralela a um lado de um triângulo determina, sobre os outros dois lados, segmentos de reta proporcionais.

1. Determine os valores desconhecidos de x em cada caso, sabendo que a paralelo b paralelo c.

Figura geométrica. Três retas paralelas a, b e c e duas retas transversais. A primeira transversal determina segmentos de reta com medidas de comprimento 2 e 3 e a segunda transversal determina segmentos de reta com medidas de comprimento 1 vírgula 5 e x.

2. Determine o valor de x nos triângulos, sabendo que

\overline{A B} ⫽ \overline{C D}

Figura geométrica. Triângulo ABE. Segmento de reta CD paralelo ao lado AB, com C pertencente ao lado BE e D pertencente ao lado AE. A medida do comprimento de segmento de reta AD é 35. A medida do comprimento de segmento de reta DE é 10. A medida do comprimento de segmento de reta BC é x. A medida do comprimento de segmento de reta CE é 12.

3. A figura a seguir representa três terrenos do bairro Recanto dos pássaros que se parecem com trapézios.

Esquema. Vista de cima de terrenos que estão entre as ruas, rua dos Sabiás e rua Arapongas. Um terreno em formato de trapézio dividido em três lotes menores também com formato de trapézio. Da esquerda para a direita estão os lotes de números 5, 6 e 7. O lote de número 5 tem um dos lados medindo 13,3 metros. O lote de número 6 tem um dos lados medindo 12 metros e o lote de número 7 tem um lado medindo 9,5 metros e outro medindo 10 metros. Os lados de medidas 13,3 metros e 9,5 metros estão sobre um dos lados do grande terreno em forma de trapézio que contém os três lotes menores. E os lados de 12 metros e 10 metros estão sobre o outro lado do trapézio maior. Não se sabe as dimensões das bases dos trapézios.

a) Marcelo é proprietário do lote 6 e pretende levantar um muro no fundo do terreno, na rua dos Sabiás. Qual deve ser a medida do comprimento desse muro?

b) O vizinho de Marcelo, no lote 5, pretende colocar um portão em toda a extensão da frente do terreno, na rua Arapongas. Qual deve ser a medida do comprimento do portão?

Respostas e comentários

1. a) x = 2,25

1. b) x = 4,8

2. a) x = 42

2. b) x = 9,6

3. a) 11,4 métros

3. b) 14 métros

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Teorema de Tales

• A atividade 1 envolve a aplicação direta do teorema de Tales. Este é o momento oportuno para verificar se compreenderam e conseguem aplicar o teorema. Se achar necessário, apresente mais exemplos para a turma.

• A atividade 2 pode apresentar alguma dificuldade para os estudantes, uma vez que não está explícito o feixe de retas paralelas e as retas transversais. Oriente-os a reproduzir o triângulo de cada item no caderno e, depois, prolongar

\overline{A B}

\overline{C D}

\overline{A E}

\overline{B E}

• Na atividade 3, pergunte aos estudantes: “Qual informação fornecida no enunciado da atividade possibilita aplicar o teorema de Tales? Por quê?”. Espera-se que eles respondam que o fato dos terrenos serem parecidos com trapézios possibilita a aplicação do teorema de Tales, pois qualquer trapézio tem apenas um par de lados paralelo. Se achar conveniente, peça que reproduzam a figura no caderno, prolonguem os lados dos terrenos de modo a visualizar as retas e indiquem na figura onde será levantado o muro (item a) e onde o vizinho de Marcelo colocará o portão (item b).

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Semelhança

Figuras semelhantes

Duas figuras são semelhantes quando as medidas dos ângulos correspondentes são iguais e as medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais.

Polígonos semelhantes

Dois polígonos são semelhantes quando têm os ângulos correspondentes congruentes e as medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais.

\hat{A} ≅ \hat{P}

;

\hat{B} ≅ \hat{Q}

;

\hat{C} ≅ \hat{R}

;

\hat{D} ≅ \hat{S}

\frac{3,8 c m}{5,7 c m} = \frac{4 c m}{6 c m} = \frac{2,4 c m}{3,6 c m} = \frac{2 c m}{3 c m}

Esquema. Polígono ABCD é semelhante ao polígono PQRS. Fio amarelo indicando modo de leitura.

4. Uma fábrica de tapetes está diminuindo as medidas das peças. Sabendo que as dimensões dos tapetes mediam 4 métros por 3 métros e que agora medem

\frac{2}{5}

disso, determine as medidas das dimensões dos tapetes atuais.

5. Considerando que o trapézio maior é uma ampliação do trapézio menor, determine as medidas de comprimento x e y.

Figuras geométricas. Dois trapézios. O trapézio da esquerda tem base maior medindo 5 vírgula 1 metros de comprimento e base menor medindo 2 vírgula 4 metros de comprimento. A medida do comprimento de um dos lados não paralelos está indicada pela letra y. O trapézio da esquerda tem base menor medindo 1 vírgula 6 metro de comprimento. A medida do comprimento da base maior está indicada pela letra x A medida do comprimento de um dos lados não paralelos é 2 vírgula 6 centímetros

Triângulos semelhantes

Dois triângulos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e as medidas de comprimento dos lados correspondentes são proporcionais.

Teorema fundamental da semelhança

Toda reta paralela a um lado de um triângulo que intercepta os outros dois lados em pontos distintos determinam, com esses lados, um triângulo semelhante ao primeiro.

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}

Casos de semelhança de triângulos

1) á á (Ângulo – Ângulo):

Se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes, então esses triângulos são semelhantes.

2) éle á éle (Lado – Ângulo – Lado):

3) éle éle éle (Lado – Lado – Lado):

Se dois triângulos têm os três pares de lados correspondentes com medidas de comprimento proporcionais, esses triângulos são semelhantes.

6. Para descobrir a medida da altura do prédio em que mora, José utilizou a seguinte estratégia: mediu o comprimento da sombra do prédio e da sombra de sua filha no mesmo instante, obtendo, respectivamente, 8 métros e 60 centímetros. Como a filha de José mede 1,50 métro de altura, qual é a medida da altura do prédio?

7. Nestes triângulos, identifique o caso de semelhança. Em seguida, calcule as medidas de comprimento desconhecidas, em centímetro.

Figura geométrica. Dois triângulos retângulos com um vértice em comum. O triângulo da esquerda tem um dos catetos medindo 6 centímetros de comprimento e hipotenusa medindo 7 vírgula 5 centímetros de comprimento. A medida do comprimento do outro cateto está indicada pela letra y. O triângulo da direita tem um dos catetos medindo 3 centímetros de comprimento e hipotenusa medindo 5 centímetros de comprimento. A medida do comprimento do outro cateto está indicada pela letra x.

Figura geométrica, Triângulos com um vértice em comum e um ângulo interno com abertura medindo alfa. Os lados que formam o ângulo alfa do triângulo de baixo medem 6 vírgula 6 centímetros e 5 centímetros. A medida do comprimento do outro lado está indicada pela letra y. Um dos lados que formam o ângulo alfa do triângulo de cima mede 2 vírgula 5 centímetros de comprimento. A medida do comprimento do outro lado que forma alfa está indicada pela letra x. A medida do comprimento do outro lado é 3 vírgula 2 centímetros.

Respostas e comentários

4. 1,6 métro por 1,2 métro

5. x = 3,4 métros e y = 3,9 métros

6. 20 métros

7. a) á á; x = 4 centímetros e y = 4,5 centímetros

7. b) á á; x = 3,3 centímetros e y = 6,4 centímetros

Semelhança

• Na atividade 5, os estudantes devem perceber que os trapézios estão em posições diferentes. Isso é importante para que considerem as medidas dos lados correspondentes corretamente.

Triângulos semelhantes

• Caso os estudantes tenham dificuldade para compreender a situação-problema da atividade 6, ajude-os a fazer um esboço dela.

• Na atividade 7, espera-se que os estudantes lembrem que ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Para determinar as medidas de comprimento desconhecidas, verifique se identificam corretamente os lados correspondentes dos dois triângulos.

Página 83

É hora de extrapolar

Faça as atividades no caderno.

Ícone do tema EDUCAÇÃO FINANCEIRA. Ícone do tema MEIO AMBIENTE.

Será que você consome de fórma consciente?

O ato de consumir está presente na rotina de todos nós, que diariamente consumimos recursos, produtos ou serviços. Diante da ação corriqueira de consumir, será que as pessoas refletem sobre o quê, como e quando consumir? Qual é a importância dessa reflexão?

Objetivos: Refletir sobre critérios para realizar uma compra; analisar dados sobre consumo consciente; pesquisar dicas para economizar e consumir de fórma consciente e produzir guias de bolso para ser distribuídos para a comunidade escolar.

Etapa 1: Pesquisa sobre preços e reflexão sobre critérios que podem ser usados no momento de consumir.

1. Junto à turma e ao professor, vocês deverão montar uma personagem, indicando as características: idade, sexo, profissão, estado civil, se tem filhos, o que gosta de fazer no tempo livre, o que gosta de assistir na televisão etcétera.

2. Em grupos, considerem que a personagem da atividade 1 peça ajuda para comprar e escolher uma televisão. Façam uma pesquisa, discutam as opções no grupo e decidam qual é a melhor escolha de compra para a personagem.

3. Apresentem as características do produto escolhido pelo seu grupo para a turma. Tragam as seguintes informações: marca e modelo, preço e fórma de pagamento. Expliquem quais foram os critérios utilizados para considerarem esse produto como a melhor escolha.

Após as apresentações, respondam:

a) Todos os grupos escolheram exatamente o mesmo produto? Por que vocês acham que isso ocorreu?

b) Algum grupo apresentou um critério que não havia sido usado? Se sim, vocês consideram esse critério relevante?

c) Ao comprar algum produto, vocês sempre realizam pesquisas para decidir qual é a melhor opção?

4. Analisem o anúncio de uma loja de carros.

Ilustração. Anúncio. No alto, o texto: Novo duo por 36 mil reais Abaixo as opções de pagamento. Opção 1: Pague a vista e ganhe 15% de desconto. Opção 2: Dê 50% de entrada e pague o restante em 24 parcelas iguais sem juros. Opção 3: Pague em 48 parcelas de mil e 50 reais.

a) Se uma pessoa comprar esse carro à vista, quanto ela pagará?

b) Qual será o valor das parcelas na opção 2?

c) Quanto uma pessoa pagará no total se escolher a opção 3?

d) Qual é a diferença entre o valor do carro no anúncio e o valor obtido no item c? Qual é o nome que se dá a essa diferença?

e) Se uma pessoa for adquirir esse carro, qual fórma de pagamento vocês acham que ela escolherá?

Etapa 2: Análise de dados sobre produção de lixo e pesquisa sobre consumo consciente.

5. Leiam o texto e respondam às questões.

Segundo dados do Panorama dos Resíduos Sólidos no Brasil 2020, a geração saiu de 66.700.000 de toneladas em 2010 para ..79100000 em 2019, uma diferença de 12.400.000 de toneladas. O mesmo estudo diz ainda que cada brasileiro produz, em média, 379,2 quilogramas de lixo por ano, o que corresponde a mais de 1 quilograma por dia. As informações foram coletadas e publicadas pela Associação Brasileira das Empresas de Limpeza Pública e Resíduos Especiais (abrélpe).

Dados obtidos em: https://oeds.link/RNAplf. Acesso em: 10 julho 2022.

a) Escreva em notação científica as medidas de massa apresentadas no texto.

b) Vocês contribuem para diminuir a quantidade de lixo gerada e favorecem a reciclagem? Se sim, como?

Respostas e comentários

1. Resposta pessoal.

2. Resposta pessoal.

3. a) Respostas pessoais.

3. b) Respostas pessoais.

3. c) Resposta pessoal.

4. Comentários em Orientações.

4. a) R$ 30.600,00 trinta mil seiscentos reais

4. b) R$ 750,00 setecentos e cinquenta reais

4. c) R$ 50.400,00 cinquenta mil quatrocentos reais

4. d) R$ 14.400,00quatorze mil quatrocentos reais; juro

4. e) Resposta pessoal.

5. a) ..66700000 = 6,67 ⋅ 107; ..79100000 = 7,91 ⋅ 107; ..12400000 = 1,24 ⋅ 107; 379,2 = 3,792 ⋅ 102

5. b) Respostas pessoais.

É hora de extrapolar

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 2, 4, 7, 8, 9 e 10 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 2, 4, 5, 6, 7 e 8 (as descrições estão na página sete).

Temas contemporâneos transversais:

A seção propõe o fechamento da Unidade por meio de um trabalho colaborativo que explora a pesquisa, a comunicação e a elaboração de um produto final (um guia de bolso), que será compartilhado com a comunidade escolar.

Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem:

• Entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado.

• Pesquisa coletiva.

• Elaboração, em grupo, do produto proposto.

• Apresentação e exposição do produto.

• Reflexão e síntese do trabalho.

As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser realizadas extraclasse. Verifique o perfil dos estudantes e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspectos necessários à realização do trabalho.

A seção também favorece o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 7, 8, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 4, 5, 6, 7 e 8, procurando mobilizar conteúdos estudados nos capítulos que integram a unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção depois de estudar os capítulos, mas, se preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os capítulos forem estudados, atente para os conhecimentos prévios necessários.

Se achar conveniente, inicie uma discussão com a turma sobre o título da seção. É interessante verificar quais são as concepções dos estudantes sobre o que é consumir e o que é consumir de fórma consciente, questionando sobre o que e como eles (jovens) consomem.

Na etapa 1, caso não seja possível realizar a pesquisa em sites, peça aos estudantes que tragam folhetos de anúncios de lojas para que eles façam essa pesquisa.

• Na atividade 4, da etapa 1, os estudantes vão mobilizar o que aprenderam sobre porcentagem, juro e a ideia de desconto. No item a, espera-se que, os estudantes calculem R$ 36.000, 00trinta e seis mil reais ‒ 0,15 ⋅ R$ 36.000,00trinta e seis mil reais. No item b, verifique se os estudantes entendem o significado de “dar entrada” e, se for necessário, explique isso para a turma. Espera-se que eles concluam que nesta opção de pagamento, a pessoa paga R$ 18.000, 00dezoito mil reais no ato e precisa dividir a outra metade do valor em 24 parcelas. Assim, o valor de cada parcela dividindo R$ 18.000, 00dezoito mil reais por 24. No item c, os estudantes devem calcular 48 ⋅ R$ 1.050, 00mil cinquenta reais. Espera-se que eles percebam que a a diferença entre o valor obtido neste cálculo e o valor do carro no anúncio corresponde ao juro (item d). Converse com eles sobre por que essa opção de pagamento gera juros. Por fim, forme uma roda de conversa para discutir a questão proposta no item ê.

Página 84

6. A produção de lixo é um dos fatores que deve ser considerado quando se pratica um consumo consciente. Pesquisem o que é o consumo consciente e elenquem outros fatores que devem ser considerados e dicas para praticá-lo.

7. Nas prateleiras de supermercados, é possível encontrar diversos produtos de limpeza em versões concentradas. Essas versões apresentam vantagens para o fabricante, o consumidor e o meio ambiente.

a) Identifiquem pelo menos três vantagens das versões concentradas de produtos. Vocês podem pesquisar na internet se acharem necessário.

b) Uma fábrica fará uma versão concentrada de um amaciante. A imagem a seguir mostra as medidas das dimensões da embalagem original e da embalagem da versão concentrada.

Ilustração. Duas embalagens do mesmo amaciante em tamanhos diferentes. A imagem a esquerda tem 16 centímetros de largura e 30 centímetros de altura. A imagem a direita tem 10 centímetros de largura e altura h.

Considerando que a imagem da embalagem da versão concentrada é semelhante à imagem da embalagem original, determine a medida h da altura da embalagem da versão concentrada.

Etapa 3: Pesquisa sobre dicas para fazer boas compras e produção de guia de bolso sobre consumo.

8. É importante escolher cuidadosamente os produtos que consumimos e buscar fórmas de economizar. O Programa de Proteção e Defesa do Consumidor de São Paulo (procôn-ésse pê) disponibiliza diversos materiais com orientações para que os consumidores realizem boas compras e conheçam seus direitos. Escolham um dos temas a seguir e façam uma lista com as principais dicas para realizar boas compras ou com os direitos do consumidor. Complementem a pesquisa com informações de outras fontes, caso necessário.

• Tema 1: Brinquedo.

• Tema 2: Material escolar.

• Tema 3: Lazer, esporte e cultura.

• Tema 4: Supermercado.

• Tema 5: Eletroeletrônicos e eletrodomésticos.

• Tema 6: Direitos do consumidor.

9. A partir das informações coletadas, elaborem um guia de bolso com as principais informações obtidas sobre consumo consciente e as principais dicas sobre o tema escolhido. Os textos não devem ser extensos e o guia deve ser feito em formato digital ou em uma folha de tamanho a quatro, que será dobrada em duas ou três partes. Não esqueçam de planejar como os textos serão disponibilizados, pensando nas dobras e na facilidade de leitura por quem for utilizar o guia.

Etapa 4: Análise e distribuição dos guias elaborados.

10. Apresentem o guia elaborado pelo grupo para que a turma o analise e faça comentários em relação à clareza das informações e à diagramação dos textos.

11. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas.

12. Depois dos ajustes necessários, façam cópias do guia e o distribuam para a comunidade escolar.

Etapa 5: Síntese do trabalho realizado.

13. Algumas questões devem ser discutidas.

a) Por que é importante que as pessoas consumam de maneira sustentável?

b) Vocês pretendem mudar algo na fórma como consomem produtos, serviços ou recursos? Se sim, como? Se não, por quê?

14. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo nas etapas 3 e 4.

Respostas e comentários

6. Resposta em Orientações.

7. a) Algumas vantagens: redução do uso de materiais para a produção das embalagens; custos mais baixos para realizar o transporte; diminuição do uso de água e de produtos químicos na fabricação; facilidade de armazenamento nas casas; custo mais baixo para o consumidor.

7. b) 18,75 centímetros

8. Comentários em Orientações.

9. Comentários em Orientações.

Etapa 4: Comentários em Orientações.

13. a) Comentários em Orientações.

13. b) Respostas pessoais.

• A pesquisa proposta na atividade 6 da etapa 2 contribui para que os estudantes possam responder as questões propostas na abertura desta Unidade. Espera-se que eles concluam que consumo consciente é aquele que busca o equilíbrio entre a satisfação pessoal e a sustentabilidade global. Na sequência, forme uma roda de conversa com a turma e pergunte se eles consideram que consomem de fórma consciente e por quê. Depois, apresente para eles algumas ações que estão alinhadas ao consumo consciente, como: economizar papel, comprar somente o necessário, evitar adquirir mercadorias que têm muitas embalagens, levar a própria sacola no momento das compras, evitar o desperdício de alimentos, economizar água ao realizar as tarefas diárias, gastar menos combustível com o carro etcétera. Oriente-os a realizar a pesquisa em mídias, livros, revistas ou sites da internet.

• No item b da atividade 7, se achar oportuno, retome o conceito de semelhança e as estratégias para encontrar medidas em figuras semelhantes. Atribua outras medidas às embalagens (exemplos: largura e altura da tampa) e peça aos estudantes que encontrem a medida correspondente.

• Na atividade 8 da etapa 3, faça um levantamento para verificar qual tópico foi escolhido por cada grupo. Se houver repetições e algum tópico não for escolhido pelos grupos, converse com os estudantes para solicitar que troquem a temática, para que a pesquisa fique mais abrangente. Os temas 3, 4 e 6 favorecem o desenvolvimento da competência geral 8.

• Na atividade 9 da etapa 3, se for possível, disponibilize folhas de papel sulfite para que os estudantes possam fazer o planejamento, fazendo as dobras e anotando quais textos ficarão em cada parte da folha. Oriente-os a pensar em como será a capa do guia de bolso.

A etapa 4 apresenta-se como uma boa oportunidade para os estudantes interagirem e trocarem conhecimentos, o que favorece o desenvolvimento das competências gerais 8 e 9.

• No item a da atividade 13, espera-se que os estudantes citem, principalmente, a preservação do meio ambiente para a sociedade atual e para as gerações futuras.