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Unidade 2

Capítulo 4 Fatoração e equações do 2º grau

Capítulo 5 Função afim

Capítulo 6 Função quadrática

Fotografia. Vista parcial do monitor de um notebook aparecendo 9 janelas de conversa com pessoas, sendo uma no centro e 8 ao redor. — Como as tecnologias influenciam a vida das pessoas? De que fórma a Matemática está presente nos recursos tecnológicos que utilizamos no dia a dia? Ao final desta Unidade, você responderá a essas questões e produzirá modelos que expliquem o funcionamento de inventos tecnológicos.

Respostas e comentários

Abertura da Unidade

Bê êne cê cê:

• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).

• Competências específicas 1 e 8 (as descrições estão na página sete).

Objetivos:

• Motivar a turma a estudar os conteúdos da Unidade 2.

• Incentivar os estudantes a refletir sobre como as tecnologias influenciam a vida das pessoas.

• Incentivar os estudantes a refletir sobre como a Matemática pode nos ajudar a entender alguns inventos tecnológicos.

Tema contemporâneo transversal:

Convide os estudantes a responder as seguintes questões: “Como eram feitas as reuniões há alguns anos? Vocês já tiveram aulas on-line? Já compraram produtos ou serviços pela internet? O que mudou na sociedade com a presença das tecnologias? Essas mudanças foram positivas ou negativas? Por quê?”. À medida que respondem, eles vão perceber como as tecnologias influenciam a vida das pessoas.

Espera-se que eles reconheçam que a Matemática está presente nos recursos tecnológicos por meio, por exemplo, das medidas (medidas de tempo, de capacidade de armazenamento, voltagem etcétera), do formato dos aparelhos e também em seus softwares, já que muitos deles são desenvolvidos por meio de algoritmos escritos em determinada linguagem de programação e que levam em consideração as ideias de função e variável (assuntos que serão estudados nos capítulos 5 e 6).

O contexto e as questões possibilitam aos estudantes reconhecerem a Matemática como uma ciência humana, viva, que contribui para resolução de problemas científicos e tecnológicos, o que ajuda a desenvolver a competência específica 1 da Bê êne cê cê. Além disso, o diálogo e a interação favorecem o desenvolvimento da competência geral 9 e da competência específica 8.

No capítulo 4, serão estudadas as expressões algébricas e as equações do 2º grau. Nos capítulos 5 e 6 serão estudados os conceitos de função afim e função quadrática, respectivamente.

Na seção É hora de extrapolar, os estudantes vão refletir sobre a influência das tecnologias; analisar dados sobre tecnologia nas ciências; pesquisar o funcionamento de inventos tecnológicos e produzir modelos para explicar o funcionamento de tais tecnologias.

Sugestão de proposta para a promoção da saúde mental dos estudantes

O uso excessivo de redes sociais e jogos eletrônicos tem prejudicado a saúde mental dos jovens, tanto que a Organização Mundial da Saúde (ó ême ésse) incluiu o vício em jogos eletrônicos na classificação das doenças mentais. Algumas consequências desse uso excessivo são a solidão, a exposição ao cyberbullying e a redução da autoestima. Uma das maneiras de contornar o problema é por meio do diálogo e da conscientização. Promova uma roda de conversa com os estudantes para falar sobre os benefícios e malefícios do uso das tecnologias. Depois, montem coletivamente um mural com medidas que podem ser adotadas visando diminuir o uso das redes sociais e dos jogos eletrônicos, como definir horários e tempo limite de uso, praticar atividades físicas, sair com os amigos, fazer aula de algo de que goste etcétera.

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Capítulo 4 Fatoração e equações do 2º grau

Trocando ideias

A Influenza é uma infecção viral aguda, que afeta o sistema respiratório e é de alta transmissibilidade. A Campanha Nacional de Vacina contra a Influenza ocorrida em 2021 tinha por objetivo prevenir o surgimento de complicações decorrentes da doença, óbitos, internações e sobrecarga nos serviços de saúde.

Cartaz. Fundo verde com as informações: EU VOU! #VACINA GRIPE. 12 de abril a 10 de maio. À direita, 5 imagens com pessoas e legenda abaixo de cada imagem: mulher grávida com cabelo escuro e comprido, ela veste uma blusa branca, casaco bege e calça azul, com legenda gestantes; mulher com o cabelo amarrado, blusa azul e com bebê no colo, com legenda mães com até 45 dias após o parto; menina de cabelo cacheado e blusa vermelha, com legenda crianças de 6 meses a menores de 6 anos; mulher de cabelo comprido escuro, camiseta amarela e colar azul, com legenda povos indígenas; homem de cabelo curto e jaleco branco, com legenda profissionais da saúde. Todas as pessoas estão de máscara de proteção cobrindo o nariz e a boca. Abaixo, texto e logotipo do SUS, MOVIMENTO VACINA BRASIL. gov.br/saúde. — Reprodução do cartaz oficial da etapa 1 da Campanha Nacional de Vacina contra a Influenza em 2021.

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A medida da área do cartaz oficial da campanha é de .2944 centímetros quadrados e o comprimento dos lados medem x e x + 18. Em seu caderno, escreva uma equação que possibilite determinar a medida do comprimento dos lados do cartaz oficial. O que você pode dizer sobre esta equação?

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Você sabe resolver a equação que obteve no item anterior? Se sim, explique aos colegas.

Neste capítulo, vamos estudar monômios, polinômios, fatoração e como resolver equações completas do 2º grau por fatoração e outros métodos.

Respostas e comentários

Trocando ideias; primeiro item: exemplo de resposta: xelevado a 2 + 18x menos .2944 = 0; é uma equação do 2º grau; segundo item: resposta pessoal.

CAPÍTULO 4 ‒ FATORAÇÃO E EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Trocando ideias

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 2, 4 e 9 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 2, 3 e 8 (as descrições estão na página sete).

Objetivos:

• Verificar se os estudantes reconhecem equações do 2º grau.

• Verificar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre a resolução de equações do 2º grau completas.

• Conscientizar os estudantes sobre a importância de se vacinar contra a influenza.

Tema contemporâneo transversal:

Inicie o trabalho com este Trocando ideias perguntando aos estudantes se eles já se vacinaram ou conhecem alguém que se vacinou contra influenza. A competência geral 9 da Bê êne cê cê tem o seu desenvolvimento favorecido em situações como essa. Após alguns deles contarem suas experiências, comente um pouco mais sobre a doença. Você pode dizer que segundo a Organização Mundial da Saúde, os casos de influenza podem variar de quadros leves a graves ou até levar ao óbito e que a transmissão ocorre principalmente de pessoa para pessoa, por meio de gotículas respiratórias produzidas por tosse, espirros ou fala de uma pessoa infectada para uma pessoa suscetível.

As questões propostas permitem verificar se os estudantes reconhecem equações do 2º grau e os conhecimentos prévios deles em relação à resolução de equações do 2º grau completas. No primeiro item, espera-se que os estudantes recordem o cálculo da medida da área de retângulos e procedam da seguinte maneira:

x ⋅ (x + 18) = .2944

xelevado a 2 + 18x = .2944

xelevado a 2 + 18x menos .2944 = .2944 menos .2944

xelevado a 2 + 18x menos .2944 = 0

Após determinarem a equação, verifique se todos percebem que se trata de uma equação do 2º grau e convide-os a resolvê-la utilizando seus conhecimentos prévios ou estratégias pessoais.

A ideia é despertar o espírito de investigação e fazê-los interagir com seus pares de fórma cooperativa, contribuindo para o desenvolvimento das competências específicas 2 e 8. Após tentarem, comente que durante o capítulo eles vão estudar como resolver equações do 2º grau como essa que registraram. No momento oportuno, retome a situação deste Trocando ideias e peça aos estudantes que resolvam a equação e determinem as medidas dos comprimentos dos lados do cartaz oficial da campanha.

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1 Expressões algébricas, monômios e polinômios

Neste capítulo, retomaremos brevemente a ideia de expressões algébricas, a partir das quais estudaremos monômios e polinômios.

Expressões algébricas

Acompanhe a situação a seguir.

Uma fábrica produz embalagens de leite.

Ilustração. 3 caixas de leite em cores diferentes: azul e branco; verde e branco; vermelho e branco.

	Sem defeito	Com defeito
	Quantidade de embalagens produzidas nos três primeiros meses de 2023
Janeiro	90 mil	2,5 mil
Fevereiro	68 mil	3,2 mil
Março	75 mil	1,8 mil

Dados obtidos pelo gerente comercial da fábrica nos três primeiros meses de 2023.

Cada embalagem sem defeito gera um ganho de x reais, e cada uma das defeituosas, um prejuízo de y reais. Observe, na tabela, a produção da fábrica nos três primeiros meses de 2023.

O gerente comercial concluiu que o lucro da fábrica, no 1º trimestre de 2023, poderia ser expresso da seguinte maneira:

(.90000 + .68000 + .75000) ⋅ x menos (.2500 + .3200 + .1800) ⋅ y = .233000x menos .7500y

A expressão .233000x menos .7500y é um exemplo de expressão algébrica e representa o lucro da fábrica no 1º trimestre de 2023.

Expressões algébricas são aquelas que indicam operações matemáticas que contêm números e letras ou somente letras.

Se o ganho com cada embalagem sem defeito fosse de R$ 0,26zero reais e vinte e seis centavos e o prejuízo com cada embalagem com defeito fosse de R$ 0,15zero reais e quinze centavos, o lucro no 1º trimestre de 2023 da fábrica seria de R$ 59.455,00cinquenta e nove mil quatrocentos e cinquenta e cinco reais, pois:

.233000 ⋅ R$ 0,26zero reais e vinte e seis centavos menos .7500 ⋅ R$ 0,15zero reais e quinze centavos = R$ 59.455,00cinquenta e nove mil quatrocentos e cinquenta e cinco reais

Nessa situação, empregamos letras (x e y) para representar os valores referentes ao ganho e ao prejuízo. Essas letras são denominadas variáveis da expressão.

Acompanhe outra situação.

Vamos determinar a expressão algébrica correspondente à medida da área da parte verde da figura a seguir.

Figura geométrica. Retângulo verde de medida b por c. Dentro, quadrado amarelo de medida 10 por 10. Em ambas as figuras, os quatro ângulos retos estão indicados.

Aamarela = 10 ⋅ 10 = 10elevado a 2 = 100

Atotal = b ⋅ c

Averde = (Atotal) menos (Aamarela) = bc menos 100

Portanto, a medida da área da parte verde será representada pela expressão algébrica bc ‒ 100.

Respostas e comentários

Expressões algébricas, monômios e polinômios

Bê êne cê cê:

Competência específica 6 (a descrição está na página sete).

Objetivos:

• Produzir e interpretar diferentes expressões algébricas.

• Reconhecer monômios e polinômios.

Justificativa

As expressões algébricas podem ser utilizadas para representar sentenças, traduzir situações-problema ou fazer generalizações; por isso, é importante saber produzi-las e interpretá-las. Reconhecer monômios e polinômios, por sua vez, permite conhecer mais a fundo as expressões algébricas, desenvolvendo o pensamento algébrico dos estudantes.

Mapeando conhecimentos

Represente alguns polígonos na lousa, indicando as medidas de comprimento de seus lados por letras ou pela adição de letras com números. Em seguida, peça aos estudantes que escrevam as expressões algébricas correspondentes às medidas dos perímetros e das áreas desses polígonos. Proponha que comparem as expressões algébricas obtidas e verifique se percebem que algumas delas são formadas pela multiplicação de um número por uma ou mais letras (monômios) e que outras são formadas pela adição e/ou subtração de monômios (polinômios).

Para as aulas iniciais

Retome os polígonos da dinâmica inicial e tire as dúvidas remanescentes. Você pode ampliar a proposta e pedir que representem polígonos que tenham medida de perímetro ou medida de área representados por monômios ou polinômios previamente fornecidos por você.

Explore com a turma o conteúdo sobre expressões algébricas e adição e multiplicação de termos algébricos presente na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores. Em seguida, proponha aos estudantes que façam as atividades 11, 12 e 13. Reserve um momento para fazer a correção coletiva e tirar as dúvidas.

Expressões algébricas

Para que os estudantes compreendam como os valores, referentes ao ganho com as embalagens sem defeitos (xis) e ao prejuízo com as defeituosas (y), podem modificar o lucro da fábrica, altere-os da situação inicial e faça outras perguntas, como:

• Se a fábrica conseguisse adquirir a matéria-prima por um preço mais baixo, de fórma que o ganho com cada embalagem sem defeito fosse R$ 0,30zero reais e trinta centavos e o prejuízo por embalagem defeituosa fosse R$ 0,13zero reais e treze centavos, qual seria o lucro da fábrica? (Resposta: R$ 68.925,00sessenta e oito mil novecentos e vinte e cinco reais.)

• Se, por um defeito na matéria-prima, a quantidade de embalagens defeituosas aumentasse em 20% (sem que houvesse diminuição das embalagens sem defeito), qual seria o lucro da fábrica no trimestre? (Resposta: R$ 59.230,00cinquenta e nove mil duzentos e trinta reais.)

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Determine uma expressão algébrica que representa a medida do perímetro de cada figura.

Figura geométrica. Quadrado verde com medida a em cada lado e 4 ângulos retos indicados.

Figura geométrica. Figura semelhante a uma escada de três degraus. A base mede x, a altura mede y e todos os ângulos são retos e estão indicados.

Figura geométrica. Triângulo verde com medidas dos lados x, x mais 2 e x mais 1.

Figura geométrica. Retângulo verde com medidas dos lados b e h e 4 ângulos retos indicados.

2. Responda, com uma expressão algébrica, às perguntas a seguir.

a) Quantos meses há em x anos?

b) Quantos anos há em y dias? (Considere o ano não bissexto.)

3. Qual é a expressão algébrica que representa a medida da área de cada figura?

Figura geométrica. Quadrado vermelho com medida a em cada lado e 4 ângulos retos indicados.

Figura geométrica. Losango com medida D maiúsculo da maior diagonal e d minúsculo da menor diagonal.

4. Qual é a expressão algébrica que representa a medida do volume de cada paralelepípedo representado a seguir?

Figura geométrica. Cubo laranja com medidas das dimensões a por a por a.

Figura geométrica. Paralelepípedo amarelo com medidas das dimensões c por w por h.

Monômio

Analise as expressões algébricas utilizadas em cada situação a seguir.

• A medida do perímetro de um quadrado cujo comprimento de cada lado mede a.

Figura geométrica. Quadrado laranja com medida a em cada lado e 4 ângulos retos indicados.

4 ⋅ a ou 4a

• A medida da área de um quadrado cujo comprimento de cada lado mede x.

Figura geométrica. Quadrado vermelho com medida x em cada lado e 4 ângulos retos indicados.

x ⋅ x ou xelevado a 2

• A medida do volume de um paralelepípedo retângulo cujos comprimento, largura e altura medem, respectivamente, a, b e c.

Figura geométrica. Paralelepípedo rosa com medidas das dimensões a por b por c.

á bê cê

As expressões 4a, xelevado a 2 e á bê cê são exemplos de monômio.

Um monômio é um número ou uma expressão algébrica formada pela multiplicação de um número por uma ou mais letras. Essas letras devem sempre ser expressas na fórma de potência com expoentes naturais.

Respostas e comentários

1. a) 4a

1. b) 2x + 2y

1. c) 3x + 3

1. d) 2b + 2h

2. a) 12x

2. b)

\frac{y}{365}

3. a) a elevado a 2

3. b) b ⋅ h

3. c)

\frac{D \cdot d}{2}

4. a) aelevado a 3

4. b) c ⋅ w ⋅ h

Monômio

Comente com os estudantes que, como visto em anos anteriores, as medidas da área, do perímetro e do volume de figuras geométricas podem ser representada por expressões algébricas, possibilitando generalizações. Por exemplo, sabemos que a medida da área de um quadrado é dada pela expressão áquadrado = aelevado a 2 e que a medida do perímetro é dada por pêquadrado = 4a, em que a é a medida do de comprimento lado do quadrado. Para encontrar a medida da área e a medida do perímetro de qualquer quadrado, basta conhecer a medida de comprimento do lado do quadrado e aplicá-la nas expressões.

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Observe, a seguir, alguns exemplos de monômios.

a) 16

b) x

c) a elevado a 3b elevado a 2

\frac{1}{2} x^{3} y^{2}

e) menos5nelevado a 2

Em geral, podemos identificar duas partes nos monômios: o coeficiente e a parte literal.

• coeficiente: corresponde à parte numérica;

• parte literal: corresponde às variáveis, incluindo seus expoentes.

Observe os exemplos a seguir.

Esquema. Menos 13 x elevado ao quadrado, fim do expoente, y elevado ao quadrado. À direita, uma chave laranja. À direita da chave, coeficiente: menos 13 e parte literal: x elevado ao quadrado, fim do expoente, vezes y elevado ao quadrado

Esquema. Menos a elevado a 3, fim do expoente, b elevado a 5. À direita, uma chave laranja. À direita da chave, coeficiente: menos 1 e parte literal: a elevado a 3, fim do expoente, b elevado a 5.

Esquema. Fração 1 meio x elevado a 4, fim do expoente, y elevado a 3. À direita, uma chave laranja. À direita da chave, coeficiente: fração 1 meio e parte literal: x elevado a 4, fim do expoente, y elevado a 3.

Esquema. 2 vírgula 5 vezes m elevado ao quadrado, fim do expoente, n. À direita, uma chave laranja. À direita da chave, coeficiente: 2 vírgula 5 e parte literal: m elevado ao quadrado, fim do expoente, vezes n.

Observações

1. O monômio que tem coeficiente zero representa o número real zero e é chamado de monômio nulo. Analise os exemplos:

a) 0x ou 0

b) 0a elevado a 2b elevado a 3 ou 0

c) 0m elevado a 5n elevado a 4 ou 0

2. Todo número real é um monômio sem a parte literal. Observe os exemplos:

a) 12

b) menos5

\frac{3}{4}

d) menos0,6

3. Quando um monômio é formado apenas por uma variável ou por uma multiplicação de variáveis, o coeficiente é igual a 1. Por exemplo:

a) y ou 1y

b) x elevado a 3yz elevado a 2 ou 1x elevado a 3yz elevado a 2

c) xy ou 1xy

d) x elevado a 4z elevado a 3 ou 1x elevado a 4z elevado a 3

Atividades

Faça as atividades no caderno.

5. Escreva no caderno o coeficiente e a parte literal dos monômios.

\frac{1}{5} a^{3} b^{4}

b) menosa elevado a 2bc elevado a 3

\frac{3}{2} x^{3}

- 5 \sqrt{3} m n^{2}

\frac{a^{2} \cdot b^{3} \cdot c^{4}}{5}

f) xis ípsilon zê

g) menosxis ípsilon

\frac{4 π r^{3}}{3}

6. Identifique, entre as expressões algébricas a seguir, as que são monômios.

a) menos8

b) a + 2b

\frac{5}{b}

d) 16á bê cê

e) x elevado a 5

\frac{2 a}{3}

g) menosá ípsilon

h) menosa + a elevado a 2

i) x elevado a 2y

\frac{x + y}{2}

k) 1 000

l) menos0,06b

Converse com o professor e os colegas sobre o porquê de as outras expressões não serem classificadas como monômios.

Respostas e comentários

5. a)

\frac{1}{5}; a^{3} b^{4}

5. b) menos1; aelevado a 2bcelevado a 3

5. c)

\frac{3}{2}; x^{3}

5. d)

- 5 \sqrt{3}; m n^{2}

5. e)

\frac{1}{5}; a^{2} \cdot b^{3} \cdot c^{4}

5. f) 1; xyz

5. g) menos1; xy

5. h)

\frac{4 π}{3}; r^{3}

6. alternativas a, d, ê, f, g, i, k, l

6. item: Comentários em Orientações.

Comente com os estudantes que os números reais que não estão acompanhados da parte literal também são considerados monômios, pois a parte literal poderá ser elevada a zero e, dessa fórma, equivaleria a 1. Por exemplo: 16welevado a 0 = 16 ⋅ 1 = 16.

• Na atividade 6, caso os estudantes mostrem dificuldade, relembre-os de que os monômios são expressões algébricas formadas apenas por multiplicações e que os expoentes da parte literal só podem ser números naturais.

• Se possível, incentive-os a justificar os itens que não são monômios:

• itens b, h e j : não é composto apenas por multiplicações de números por letras;

• item c: o expoente da parte literal não é um número natural.

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7. Represente com um monômio o que se pede em cada item.

a) a medida da área do retângulo;

Figura geométrica. Retângulo roxo com lados de medidas a e b e 4 ângulos retos indicados.

b) a medida do perímetro do hexágono regular;

Figura geométrica. Hexágono com lado de medida y.

c) a medida da área da parte pintada de azul da figura;

Figura geométrica. Retângulo dividido em três fileiras e 5 colunas. Cada quadradinho mede a por a. Há oito quadradinhos pintados de azul.

d) a medida do volume do cubo.

Figura geométrica. Cubo com medidas das dimensões a por a por a.

Monômios semelhantes

Monômios que apresentam a mesma parte literal são chamados monômios semelhantes.

Assim, são exemplos de monômios semelhantes:

a) 5a elevado a 3b elevado a 2 e

- \frac{1}{2} a^{3} b^{2}

b) 12,

\sqrt{3}

- \frac{3}{4}

\sqrt{2} a^{5} b^{2}

- \frac{3}{7} a^{5} b^{2}

d) 3m elevado a 2n e

- \frac{4}{9} m^{2} n

Observação

Observe atentamente os monômios a seguir.

a) 2x elevado a 4,

\frac{3}{4} x^{5}

e ‒7x elevado a 6

b) 20a elevado a 2b elevado a 5 e

- \frac{1}{3} a^{3} b^{5}

Em ambos os casos, a parte literal parece a mesma, mas perceba que os expoentes são diferentes. Tanto em um caso quanto no outro, os monômios não são semelhantes.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

8. Identifique as alternativas que apresentam monômios semelhantes.

a) 6xelevado a 2 e menos5xelevado a 2

b) 15xy e 30x

c) menos8, 10 e menos15

d) 5belevado a 2 e menos7a

\frac{30 x^{2}}{41}

e menos2xelevado a 2

f) 8melevado a 2n e 6mnelevado a 2

\frac{x}{5}

e 6

h) xelevado a 2 e

\frac{1}{x^{2}}

9. Escreva, no caderno, um monômio semelhante a:

- \frac{2}{3} a^{5} b^{7} c^{9}

10. Escreva, no caderno, dois monômios semelhantes cujos coeficientes sejam números inversos.

Respostas e comentários

7. a) A bê

7. b) 6y

7. c) 8aelevado a 2

7. d) aelevado a 3

8. alternativas a, c, ê, g

9. Exemplo de resposta: 5a elevado a 5b elevado a 7c elevado a 9

10. Exemplo de resposta: 2A bê e

\frac{1}{2}

A bê

• Na atividade 8, solicite aos estudantes que justifiquem por que os itens b, d, f e h não representam monômios semelhantes. Espera-se que eles respondam que, em todos esses itens, as partes literais são diferentes. Por exemplo, no item b, falta o y no segundo monômio; no item f, os expoentes de m e de n são diferentes; e, no item h,

\frac{1}{x^{2}}

não é um monômio.

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Adição e subtração de monômios

Uma expressão algébrica em que todos os monômios são semelhantes pode ser simplificada adicionando ou subtraindo os coeficientes. Analise os dois exemplos a seguir.

a) Qual é a expressão algébrica que representa a medida da área do retângulo á cê dê éfe?

Figura geométrica. Retângulo ACDF composto por retângulo ABEF e retângulo BCDE. Retângulo ABEF com lados que medem 4b e a, e área mede 4ab. Retângulo BCDE com com lados que medem 3b e a, e área mede 3ab.

As expressões algébricas que representam as medidas das áreas dos retângulos á bê é éfe e BCDE são, respectivamente, 4A bê e 3A bê.

A medida da área do retângulo á cê dê éfe é obtida adicionando as medidas das áreas dos retângulos á bê é éfe e BCDE, ou seja, 4A bê + 3A bê. Acompanhe como podemos fazer esse cálculo:

4ab + 3ab = (4 + 3)ab = 7ab

Portanto, a medida da área do retângulo á cê dê éfe é representada pelo monômio 7A bê.

b) Sabendo que a medida da área do retângulo á cê dê éfe é representada pelo monômio 9xy, qual é a expressão algébrica que representa a medida da área do retângulo BCDE?

Figura geométrica. Retângulo ACDF composto por retângulo ABEF e retângulo BCDE. Retângulo ABEF com lados que medem 5y e x, e área mede 5xy.

A medida da área do retângulo BCDE é obtida subtraindo da medida da área de á cê dê éfe a medida da área do retângulo á bê é éfe, ou seja, calculando 9xis ípsilon menos 5xis ípsilon. Acompanhe como podemos fazer esse cálculo.

9xy menos 5xy = (9 menos 5)xy = 4xy

Portanto, a medida da área do retângulo BCDE é representada pelo monômio 4xy.

Se uma expressão tem monômios semelhantes e não semelhantes, efetuamos a adição ou a subtração dos semelhantes e conservamos os demais. Nesse caso, dizemos que foi efetuada uma redução de termos semelhantes. Acompanhe os exemplos:

Esquema. 6 a elevado a 3, fim do expoente, mais 5xy mais 5x mais 2 a elevado a 3, fim do expoente, menos 2xy mais a elevado a 3, fim do expoente, é igual a 6 a elevado a 3, fim do expoente, mais 2 a elevado a 3, fim do expoente, mais a elevado a 3, fim do expoente, mais 5xy menos 2xy mais 5x é igual a 9 a elevado a 3, fim do expoente, mais 3 xy mais 5x. Fio relacionando a sentença 6 a elevado a 3, fim do expoente, mais 2 a elevado a 3, fim do expoente, mais a elevado a 3, fim do expoente, à sentença 9 a elevado a 3, fim do expoente. Fio relacionando a sentença 5xy menos 2xy à sentença 3 xy.

Esquema. 6 a elevado ao quadrado, b mais 3 m elevado ao quadrado menos 3 a elevado ao quadrado, b mais a elevado ao quadrado, b menos 10 m elevado ao quadrado é igual a 6 a elevado ao quadrado, b menos 3 a elevado ao quadrado, b mais a elevado ao quadrado, b mais 3 m elevado ao quadrado menos 10 m elevado ao quadrado é igual a 4 a elevado ao quadrado, b menos 7 m elevado ao quadrado. Fio relacionando a sentença 6 a elevado ao quadrado, b menos 3 a elevado ao quadrado, b mais a elevado ao quadrado, b à sentença 4 a elevado ao quadrado, b. Fio relacionando a sentença 3 m elevado ao quadrado menos 10 m elevado ao quadrado à sentença menos 7 m elevado ao quadrado.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

11. Observe a figura e responda às questões.

Figura geométrica. Figura composta por retângulo 1 e retângulo 2. Retângulo 1 com lados que medem 3 a e b. Retângulo 2 com lados que medem 7 a e b.

a) Que monômio representa a medida da área do retângulo um? E do retângulo dois?

b) Que monômio representa a medida da área total da figura?

c) Sendo a = 0,85 centímetro e b = 0,75 centímetro, qual é a medida da área total da figura?

Respostas e comentários

11. a) 3A bê; 7A bê

11. b) 10A bê

11. c) 6,375 centímetroselevado a 2

Apresente aos estudantes algumas expressões para serem simplificadas que contenham termos semelhantes com suas partes em ordem diferente; por exemplo, 2xyzelevado a 3 + zelevado a 3yx menos zelevado a 2yx; após a redução de termos semelhantes, temos: 3xyz elevado a 3 menos zelevado a 2yx. Alerte-os sobre a necessidade de conferir cuidadosamente o expoente de cada variável, evitando possíveis equívocos.

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12. Simplifique as expressões:

a) 5xy + 15xy menos 12xy + 2xy

(- \frac{1}{3} x y) + (+ \frac{4}{9} x y) + (- \frac{1}{9} x y)

c) 9x elevado a 4y elevado a 3 menos 18x elevado a 4y elevado a 3 menos 10x elevado a 4y elevado a 3 + 2x elevado a 4y elevado a 3

13. Que monômio devemos adicionar à expressão menos3á bê cê para obter 5á bê cê?

14. Dada a expressão algébrica

\frac{4}{3} x^{2} y ‒ \frac{3}{8} x^{2} y + \frac{4}{9} x^{2} y ‒ \frac{1}{4} x^{2} y

, determine o seu valor numérico para x = menos1 e y = 2.

Multiplicação de monômios

Inicialmente, vamos recordar que: a elevado a m ⋅ a elevado a n = a elevado a m ⁺ⁿ, sendo a um número real não nulo e m e n números inteiros. Agora, observe os exemplos a seguir.

a) Qual é a expressão algébrica que representa a medida da área do retângulo a bê cê dê?

Figura geométrica. Retângulo ABCD com lados que medem 5x e 2y.

A medida da área do retângulo a bê cê dê é dada pela multiplicação dos monômios 5x e 2y:

5x ⋅ 2y = (5 ⋅ 2) ⋅ (x ⋅ y) = 10xy

Portanto, o monômio 10xy representa a medida da área desse retângulo.

b) Qual é a expressão algébrica que representaa medida do volume V do paralelepípedo reto-retângulo a seguir?

Figura geométrica. Bloco retangular com medidas das dimensões 2ab por 3b por c.

A medida do volume desse paralelepípedo reto-retângulo é determinada multiplicando-se os monômios 2ab, 3b e c:

2ab ⋅ 3b ⋅ c = (2 ⋅ 3 ⋅ 1) ⋅ (a ⋅ b ⋅ b ⋅ c) = 6abelevado a 2c

Portanto, o monômio 6abelevado a 2c representa a medida do volume desse paralelepípedo.

A multiplicação de monômios é efetuada multiplicando-se os coeficientes e as partes literais entre si. Observe mais alguns exemplos:

Esquema. 3 x elevado ao quadrado, y vezes 15xy é igual a, abre parênteses, 3 vezes 15, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, x ao quadrado, y vezes xy, fecha parênteses, é igual a 45 x elevado a 3, fim do expoente, y elevado ao quadrado. Fio relacionando o número 3 e o número 15 à sentença 3 vezes 15. Fio relacionando a sentença x elevado ao quadrado, y e a sentença xy à sentença x ao quadrado, y vezes xy.

Esquema. Menos 3 a elevado ao quadrado, b vezes 7c elevado a 4 é igual a, abre parênteses, menos 3 vezes 7, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a elevado ao quadrado, b vezes c elevado a 4, fecha parênteses, é igual a menos 21 a elevado ao quadrado, b, c elevado a 4. Fio relacionando o número menos 3 e o número 7 à sentença menos 3 vezes 7. Fio relacionando a sentença a elevado ao quadrado, b e a sentença c elevado a 4 à sentença a elevado ao quadrado, b vezes c elevado a 4.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

15. Determine os produtos.

a) x elevado a 7 ⋅ x elevado a 8

b) (+3x) ⋅ (menos8x)

c) (menos2x elevado a 2y) ⋅ (+7xy)

d) (+4ab elevado a 2) ⋅ (menos2abc)

16. Qual é o monômio que representa a medida da área de cada figura?

Figura geométrica. Quadrado com lados que medem 2 k.

Figura geométrica. Retângulo com lados que medem 6y e 3x.

17. Efetue as multiplicações.

a) x elevado a 2 ⋅ x elevado a 4 ⋅ x elevado a 13

(\frac{1}{10} y k) \cdot (\frac{10}{7} x) \cdot (14 z)

c) (menos0,4a elevado a 2b) ⋅ (+0,01b) ⋅ (menos0,02a elevado a 2b elevado a 3)

d) (menos3mnp) ⋅ (+mp) ⋅ (menos18mn)

18. Sabendo que a ⋅ B = C + D, determine o monômio D, sendo a = 2x elevado a 2y elevado a 3, B = menos4xy e C = menos14x elevado a 3y elevado a 4.

19. Dê um exemplo de dois monômios tais que o seu produto seja 6p elevado a 3q.

Respostas e comentários

12. a) 10xy

12. b) 0

12. c) menos17x elevado a 4y elevado a 3

13. 8á bê cê

14.

\frac{83}{36}

15. a) xelevado a 15

15. b) menos24x elevado a 2

15. c) menos14x elevado a 3y elevado a 2

15. d) menos8a elevado a 2b elevado a 3c

16. a) 4k elevado a 2

16. b) 18xy

17. a) xelevado a 19

17.b) 2ykxz

17.c) 0,00008aelevado a 4b elevado a 5

17.d) 54m elevado a 3n elevado a 2p elevado a 2

18. 6x elevado a 3y elevado a 4

19. Exemplo de resposta: 2pelevado a 2 e 3pq

• Após concluírem a atividade 12, peça aos estudantes que compartilhem como fizeram para simplificar as expressões.

• A atividade 13 envolve a ideia de operação inversa. Verifique qual foi a estratégia utilizada pelos estudantes. Uma possibilidade é o cálculo de 5abc + 3abc para determinar o monômio.

• Verifique se os estudantes percebem que convém simplificar a expressão algébrica da atividade 14 antes de calcular o valor numérico dela para x = menos1 e y = 2.

• Se achar conveniente, antes que realizem a atividade 15, recorde a propriedade do produto de potências de mesma base.

• Caso os estudantes tenham dificuldade para realizar a atividade 16, relembre que, para calcular a medida da área de retângulos, multiplicamos a medida do comprimento da base pela medida do comprimento da altura.

• É possível que alguns estudantes obtenham respostas erradas na atividade 17 por confundirem os sinais dos produtos. Após concluírem esta atividade, oriente-os a comparar os monômios obtidos com os de um colega e verificar se cometeram algum erro.

• A atividade 19 apresenta diversas possibilidades de resposta. Convide alguns estudantes para expô-las na lousa e valide-as com o restante da turma.

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20. Observe a figura e responda às questões.

Figura geométrica. Figura retangular dividida em três partes. Retângulo verde com lados que medem 5y e x. Retângulo branco com lados que medem 5y e x. Retângulo rosa com lados que medem 5y e 2x.

a) Qual é o monômio que representa a medida da área da parte verde da figura? E a medida da área da parte rosa?

b) Qual é o monômio que representa a medida da área total da figura?

Divisão de monômios

Inicialmente, vamos recordar que:

a elevado a m dividido por a elevado a n = a elevado a m ^‒ⁿ, sendo a um número real não nulo e m e n dois números inteiros.

Agora, acompanhe como podemos dividir monômios.

(20 x^{5}) : (4 x^{3}) = \frac{20 x^{5}}{4 x^{3}} = 5 x^{5 ‒ 3} = 5 x^{2}

(- \frac{1}{2} a^{5} b^{2}) : (3 a^{3} b) = \frac{- \frac{1}{2} a^{5} b^{2}}{3 a^{3} b} = (- \frac{1}{2} : 3) \cdot (\frac{a^{5} b^{2}}{a^{3} b}) = - \frac{1}{6} a^{5 - 3} {b^{2}}^{- 1} = - \frac{1}{6} a^{2} b

(‒ 30 x^{4} y^{3} z^{2}) : (‒ 6 x y^{3} z) = \frac{- 30 x^{4} y^{3} z^{2}}{- 6 x y^{3} z} = 5 x^{4 ‒ 1} y^{3 ‒ 3} z^{2 ‒ 1} = 5 x^{3} z

A divisão de monômios com divisor diferente de zero é efetuada dividindo coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

21. Qual é o monômio que representa o resultado de cada divisão?

a) (16x elevado a 7) dividido por (4x elevado a 3)

b) (menos60a elevado a 5b elevado a 3) dividido por (menos15a elevado a 2b)

c) (menos125a elevado a 5b elevado a 3c elevado a 7) dividido por (menos25a elevado a 4b elevado a 3c elevado a 2)

d) (18x elevado a 5y elevado a 4) dividido por (‒9x elevado a 5y elevado a 3)

(- \frac{3}{5} x y z^{2}) : (0, 2 y z)

f) (0,2x elevado a 2y elevado a 4) dividido por (0,25xy elevado a 2)

g) (b elevado a 2m elevado a 2) dividido por (‒5bm)

h) (menos250x elevado a 3) dividido por (50x elevado a 3)

i) (18x elevado a 4) dividido por (3x elevado a 2)

j) (menos10x elevado a 3) dividido por (menos2x elevado a 2)

22. Responda às questões.

a) Por qual monômio devemos dividir

\frac{2}{3} x^{2} y^{3}

para obter

- \frac{1}{5} x y

b) Qual é o monômio que, multiplicado por 10ab elevado a 3, tem como resultado 15a elevado a 2b elevado a 5?

c) Qual é o monômio que devemos multiplicar por menos2xy para obter

\frac{3}{4} x^{2} y^{3}

23. Efetue as divisões a seguir.

a) (menos30a elevado a 4b elevado a 6) dividido por (menos6ab elevado a 5)

b) (x elevado a 4y elevado a 4z elevado a 4) dividido por (x elevado a 2y elevado a 3z elevado a 4)

c) (6x elevado a 6) dividido por (menos3xelevado a 4)

Respostas e comentários

20. a) 5xis ípsilon; 10xis ípsilon

20. b) 20xis ípsilon

21. a) 4x elevado a 4

21. b) 4aelevado a 3belevado a 2

21. c) 5acelevado a 5

21. d) menos2y

21. e) menos3xz

21. f) +0,8xy elevado a 2

21. g)

- \frac{1}{5} b m

21. h) menos5

21. i) 6x elevado a 2

21. j) 5x

22. a)

- \frac{10}{3} x y^{2}

22. b)

\frac{3 a b^{2}}{2}

22. c)

- \frac{3}{8} x y^{2}

23. a) 5a elevado a 3b

23. b) x elevado a 2y

23. c) menos2xelevado a 2

• Em complemento à atividade 20, solicite aos estudantes que encontrem a expressão que representa a medida do perímetro de cada retângulo e de toda a figura e peça que indiquem quais expressões são monômios. Espera-se que eles encontrem as seguintes expressões para as medidas dos perímetros:

• retângulo verde: 2x + 10y;

• retângulo branco: 2x + 10y;

• retângulo rosa: 4x + 10y;

• figura toda: 8x + 10y.

Espera-se também que concluam que nenhuma dessas expressões são monômios.

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Polinômio

Acompanhe a situação.

Márcia faz salgados e doces, por encomenda, para vender.

Ilustração. Mulher de touca, camiseta azul e avental amarelo. À frente dela, mesa com caixas e doces ao lado.

Os salgados são vendidos a R$ 0,45zero reais e quarenta e cinco centavos a unidade, e os doces, a R$ 0,35zero reais e trinta e cinco centavos a unidade. Quanto Márcia cobrará por uma encomenda de x salgados e y doces?

Podemos representar o total, em reais, arrecadado com a venda dos salgados pelo monômio 0,45x e o total, em reais, arrecadado com a venda dos doces pelo monômio 0,35y. Assim, para representar o total, em reais, arrecadado pelas vendas de salgados e doces, devemos adicionar os monômios:

Esquema. 0 vírgula 45 x mais 0 vírgula 35 y. Abaixo da sentença matemática toda, uma chave laranja com a indicação: Expressão algébrica que representa o total, em reais, arrecadado por Márcia com a venda de salgados e doces.

Expressões algébricas formadas por um monômio ou pela adição e ou ou subtração de monômios denominam-se polinômios.

Considere os exemplos a seguir.

a) 5x + 8 é um polinômio de dois termos, também chamado de binômio.

b) y elevado a 2 menos 7y + 10 é um polinômio de três termos, também chamado de trinômio.

c) a elevado a 3 + 5a elevado a 2b + 6ab elevado a 2 + b elevado a 3 é um polinômio de quatro termos.

Observações

1. Um polinômio cujos coeficientes são todos iguais a zero é denominado polinômio nulo. Por exemplo:

0x elevado a 3 + 0x elevado a 2 + 0x

2. Um monômio é um polinômio de um termo.

3. O termo do polimônio que não apresenta variáveis (letras) é chamado de termo independente. Nos exemplos anteriores, o termo independente do primeiro polinômio é 8 e o do segundo é 10. No exemplo do item c, não há termo independente.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

24. Foram colocadas x caixas de laranjas e y caixas de maçãs em uma embarcação. Determine o polinômio que representa o total de frutas colocadas na embarcação, sabendo que cada caixa de laranjas contém 120 unidades e cada caixa de maçãs, 80 unidades.

Ilustração. À esquerda, caixa com laranjas. À direita, caixa com maçãs.

25. Na figura a seguir, os lotes a, B e C têm medidas de áreas iguais. Determine um polinômio que expresse a medida da área de cada lote.

Ilustração. Quadrado com lados que medem 100 metros. O quadrado está decomposto em um retângulo horizontal e três retângulos verticais. O retângulo horizontal tem a indicação rua e lados que medem 100 metros e x. Os retângulos verticais têm as indicações: lote A, lote B e lote C.

Respostas e comentários

24. 120x + 80y

25. Exemplo de resposta:

\frac{100 (100 - x)}{3}

• Em complemento à atividade 24, pergunte aos estudantes o total de frutas que foram colocadas na embarcação, considerando que havia 6 caixas de cada fruta. (Resposta: uma.duzentas frutas.)

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Grau de um polinômio

Considere o polinômio x elevado a 4y menos x elevado a 5y elevado a 3 + 3x elevado a 2yz e os termos que o compõe.

O grau de cada termo é dado pela soma dos expoentes da parte literal. Comprove:

Esquema. x elevado a 4, fim de expoente, y menos x elevado a 5, fim de expoente, y elevado a 3, fim de expoente, mais 3 x elevado ao quadrado, yz. Abaixo de x elevado a 4, fim de expoente, y, chave laranja com indicação: quinto grau (4 mais 1 é igual a 5). Abaixo de x elevado a 5, fim de expoente, y elevado a 3, fim de expoente, chave laranja com indicação dentro de um quadro: oitavo grau (5 mais 3 é igual a 8). Abaixo de 3 x elevado ao quadrado, yz, chave laranja com indicação: quarto grau (2 mais 1 mais 1 é igual a 4).

O grau de um polinômio é determinado pelo termo de maior grau.

Portanto, o polinômio x elevado a 4y menos x elevado a 5y elevado a 3 + 3x elevado a 2yz é do 8º grau, já que o termo de maior grau é xelevado a 5yelevado a 3.

Também é possível estabelecer o grau de um polinômio em relação a determinada variável. Nesse caso, o grau do polinômio corresponde ao maior expoente com que a variável figura em um dos termos não nulos do polinômio.

Observe alguns exemplos.

a) O polinômio x elevado a 4 menos 3x elevado a 2y elevado a 3 + 5x elevado a 3y é do 4º grau em relação a x e do 3º grau em relação a y.

b) O polinômio a elevado a 6b elevado a 4 + 10bc é do 6º grau em relação a a, do 4º grau em relação a b e do 1º grau em relação a c.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

26. Determine o grau dos polinômios.

a) 5a elevado a 2 + b elevado a 3

b) 4x elevado a 2 + 2x elevado a 2y elevado a 3 + 5y elevado a 4

c) 5m elevado a 2 + 6mn + 4n elevado a 3

d) 16ab elevado a 3 + 7a elevado a 2 + 5b elevado a 2

e) menos7x elevado a 4y + x elevado a 2y menos 2x elevado a 3y elevado a 4

f) x elevado a 4y elevado a 2 menos 2xy elevado a 3

g) 4a elevado a 2b elevado a 3 + 5a elevado a 5

27. Determine o grau de cada polinômio em relação à variável x e à variável y, respectivamente.

a) 2x elevado a 2 + 5xy elevado a 3

b) x elevado a 5y menos x elevado a 3y elevado a 4

c) 2x elevado a 2y elevado a 2 menos 5x elevado a 3y

d) ax elevado a 3 menos bx elevado a 2 + 2abxy elevado a 2

e) 3x elevado a 2y + 5xy elevado a 2 menos y elevado a 4

f) x elevado a 2 + 2xy + y elevado a 3

Adição de polinômios

Observe os polígonos a bê cê dê e ême êne ó.

Figura geométrica. Retângulo ABCD com lados que medem x elevado ao quadrado mais 3 e 5 x elevado ao quadrado mais 1.

Figura geométrica. Triângulo MNO com lados que medem 12x mais 10, 12 x mais 10 e 10 x mais 5.

Sabendo que a bê cê dê representa um retângulo e ême êne ó, um triângulo isósceles, como podemos determinar a medida do perímetro de cada polígono?

Respostas e comentários

26. a) 3º grau

26. b) 5º grau

26. c) 3º grau

26. d) 4º grau

26. e) 7º grau

26. f) 6º grau

26. g) 5º grau

27. a) 2º grau; 3º grau

27. b) 5º grau; 4º grau

27. c) 3º grau; 2º grau

27. d) 3º grau; 2º grau

27. e) 2º grau; 4º grau

27. f) 2º grau; 3º grau

Sugestão de atividade extra

Peça aos estudantes que, em duplas, escrevam cinco polinômios. Depois, devem pedir a outra dupla que identifique o grau de cada um dos polinômios.

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Temos que as medidas dos comprimentos dos lados do retângulo a bê cê dê são indicadas por x elevado a 2 + 3 e 5x elevado a 2 + 1. Desse modo, podemos representar a medida do perímetro da seguinte maneira:

(x elevado a 2 + 3) + (5x elevado a 2 + 1) + (x elevado a 2 + 3) + (5x elevado a 2 + 1)

Agrupando os termos semelhantes e reduzindo-os, obtemos:

x elevado a 2 + 5x elevado a 2 + x elevado a 2 + 5x elevado a 2 + 3 + 1 + 3 + 1 = 12xelevado a 2 + 8

Assim, 12x elevado a 2 + 8 representa a medida do perímetro do retângulo a bê cê dê.

Agora, para determinar a medida do perímetro do triângulo isósceles ême êne ó, cujas medidas dos comprimentos dos lados são indicadas por 12x + 10, 12x + 10 e 10x + 5, fazemos:

Esquema. Primeira linha: abre parênteses, 12x mais 10, fecha parênteses, mais, abre parenteses, 10x mais 5, fecha parênteses, mais, abre parênteses, 12x mais 10, fecha parênteses. Seta laranja da primeira para a segunda linha e a indicação: Agrupamos os termos semelhantes. Segunda linha: 12x mais 10x mais 12x mais 10 mais 10 mais 5. Seta laranja da segunda para a terceira linha e a indicação: Reduzimos os termos semelhantes. Terceira linha: 34x mais 25.

Logo, 34x + 25 representa a medida do perímetro do triângulo isósceles ême êne ó.

Observação

Quando adicionamos um polinômio a outro e obtemos como resultado um polinômio nulo, dizemos que eles são opostos. Por exemplo, o polinômio menosx elevado a 2 + 5x menos 4 é oposto ao polinômio x elevado a 2 menos 5x + 4, pois:

(menosx elevado a 2 + 5x menos 4) + (x elevado a 2 menos 5x + 4) = menosx elevado a 2 + x elevado a 2 + 5x menos 5x menos 4 + 4 = 0

Subtração de polinômios

Vamos determinar a diferença entre os polinômios 5x elevado a 3 menos 4x + 8 e 2x elevado a 3 + 6x elevado a 2 menos 2, ou seja:

(5xelevado a 3 menos 4x + 8) menos (2x elevado a 3 + 6x elevado a 2 menos 2)

Na subtração de polinômios, podemos adicionar o primeiro polinômio ao oposto do segundo. Assim:

Esquema. Abre parênteses, 5 x elevado a 3, fim do expoente, menos 4x, mais 8, fecha parênteses, mais, abre parênteses, menos 2 x elevado a 3, fim do expoente, menos 6 x elevado ao quadrado, mais 2, fecha parênteses, é igual a 5 x elevado a 3, fim do expoente, menos 4x mais 8 menos 2 x elevado a 3, fim do expoente, menos 6 x elevado ao quadrado, mais 2. Abaixo de menos 2 x elevado a 3, fim do expoente, menos 6 x elevado ao quadrado, mais 2, chave laranja com indicação: oposto do polinômio 2 x elevado a 3, fim do expoente, mais 6 x elevado ao quadrado, menos 2.

Agora, podemos agrupar os termos semelhantes e reduzi-los:

5x elevado a 3 menos 2x elevado a 3 menos 6x elevado a 2 menos 4x + 8 + 2 = 3x elevado a 3 menos 6x elevado a 2 menos 4x + 10

Portanto, 3x elevado a 3 menos 6x elevado a 2 menos 4x + 10 representa a diferença entre os polinômios 5x elevado a 3 menos 4x + 8 e 2x elevado a 3 + 6x elevado a 2 ‒ 2.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

28. Efetue as operações reduzindo os termos semelhantes.

a) (menos3x elevado a 2 + 5x menos 8) + (6x elevado a 2 menos 4x menos 3)

b) (8ab menos 7bc + 3ac) + (menos5bc + 3ab menos ac)

(- \frac{3 x}{2} - \frac{y}{3}) + (\frac{x}{5} - \frac{y}{4}) + (2 x + y)

(\frac{a}{2} + b - 6) + (\frac{2 a}{3} + 2 b - 5)

Respostas e comentários

28. a) 3x elevado a 2 + x menos 11

28. b) 11A bê menos 12bc + 2á cê

28. c)

\frac{7 x}{10} + \frac{5 y}{12}

28. d)

\frac{7 a}{6} + 3 b ‒ 11

Ao falar sobre polinômios opostos, relembre o significado de números opostos, representando-os na reta numérica.

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29. Escreva no caderno, na fórma reduzida, o polinômio que representa a medida doperímetro da figura a seguir.

Figura geométrica. Trapézio com lados que medem: 2x mais 1; 3x mais 3; fração 3x sobre 2, fim da fração, mais 1; x mais 2.

30. Em uma partida de tênis, Roberta deu x saques e acertou 45% deles. Luísa, sua adversária, deu y saques e acertou 60% menos 2. Nessas condições, determine o polinômio que representa a quantidade de saques que as duas acertaram juntas.

31. Dado o polinômio menosx elevado a 3 + 2x elevado a 2 menos 4x + 5, responda às questões.

a) Qual é o oposto desse polinômio?

b) Qual é o resultado da adição desse polinômio com seu oposto?

32. Efetue as operações reduzindo os termos semelhantes.

a) (6a elevado a 2 menos 7ab + 8b elevado a 2) menos (8ab + 5a elevado a 2 menos 7b elevado a 2)

b) (5x elevado a 3 menos 4x elevado a 2 + 6x + 8) menos (7x elevado a 3 + 8x elevado a 2 menos 10x)

c) (5m menos 2mn + 7n) menos (2m menos 8mn menos 10n)

(\frac{x}{3} + \frac{x y}{2} - \frac{y}{5}) - (\frac{3 y}{2} - \frac{2 x y}{5} + \frac{x}{4})

e) (5x elevado a 2 menos 4x + 9) menos (8x elevado a 2 menos 6x + 3)

33. Sendo a = 6x elevado a 2 menos 3x menos 8, B = 5x elevado a 2 + 4x menos 3 e C = x elevado a 2 menos 10x, determine:

a) a menos B

b) B menos a

c) a + B menos C

d) a menos (B + C )

34. Determine o polinômio que, adicionado a 6a elevado a 2 menos 7ab + 8b elevado a 2 menos 5a elevado a 2b elevado a 2, tem como resultado 2ab menos a elevado a 2 + 2b elevado a 2 + 3a elevado a 2b elevado a 2.

Multiplicação de polinômios

Acompanhe a situação.

Na casa de Pedro, o escritório fica ao lado do quarto, conforme o esquema.

Figura geométrica. Retângulo vertical correspondente ao quarto com lados que medem 2 a e 3 a. Ao lado, retângulo vertical correspondente ao escritório com lados que medem b e 3 a.

Que expressão algébrica representa a medida da área total desses dois cômodos?

Podemos determinar essa expressão algébrica de dois modos:

1º) Multiplicando a medida do comprimento pela medida da largura dos dois ambientes juntos.

Ilustração. Retângulo dividido em quarto e escritório. Os lados do retângulo medem 2 a mais b e 3 a. Abaixo da ilustração, 3a vezes, abre parênteses, 2a mais b, fecha parênteses. Abaixo de 3a, fio com indicação: medida da largura. Abaixo de 2a mais b, fio com indicação: medida do comprimento. À direita, indicação: expressão 1

2º) Adicionando a medida da área do quarto e do escritório.

Figura geométrica. Retângulo vertical correspondente ao quarto com lados que medem 2 a e 3 a. Figura geométrica. Retângulo vertical correspondente ao escritório com lados que medem b e 3 a. Esquema. 3a vezes 2a, mais 3a vezes b.
À direita, indicação: expressão 2.
Abaixo de 3a vezes 2a, fio com indicação: medida da área do quarto.
Abaixo de 3a vezes b, fio com indicação: medida da área do escritório.

Respostas e comentários

29.

\frac{15 x}{2} + 7

30. 0,45x + 0,6y menos 2

31. a) x elevado a 3 menos 2x elevado a 2 + 4x menos 5

31. b) zero

32. a) a elevado a 2 menos 15A bê + 15b elevado a 2

32. b) menos2x elevado a 3 menos 12x elevado a 2 + 16x + 8

32. c) 3m + 6mn + 17n

32. d)

\frac{1}{12} x + \frac{9}{10} x y - \frac{17}{10} y

32. e) menos3x elevado a 2 + 2x + 6

33. a) x elevado a 2 menos 7x menos 5

33. b) menosx elevado a 2 + 7x + 5

33. c) 10x elevado a 2 + 11x menos 11

33. d) 3x menos 5

34. menos7a elevado a 2 menos 6b elevado a 2 + 8a elevado a 2b elevado a 2 + 9ab

• Na atividade 33, os itens a e b resultam em polinômios opostos. Antes de os estudantes resolverem esses itens, pergunte se percebem alguma relação entre eles. Caso não percebam que as adições são opostas, reescreva o item b como menosA + B e continue a indagar. Se ainda assim os estudantes não perceberem a relação, aguarde eles efetuarem o cálculo e, caso ainda não tenham percebido, aponte a relação, ressaltando que já é possível verificar que os polinômios resultantes são opostos, quando verificamos que A menos B é o oposto de B menos A.

Página 98

De um e dois, verificamos que 3a ⋅ (2a + b) = 3a ⋅ 2a + 3a ⋅ b. Observe que, ao aplicarmos a propriedade distributiva em 3a ⋅ (2a + b), obtemos 3a ⋅ 2a + 3a ⋅ b:

Esquema. 3a vezes, abre parênteses, 2a mais b, fecha parênteses, é igual a 3a vezes 2a, mais 3a vezes b, é igual a 6 a elevado ao quadrado mais 3ab. Acima, duas setas saem de 3a: uma para 2a e outra para b.

Portanto, o polinômio 6a elevado a 2 + 3ab representa a medida da área total desses cômodos.

Na multiplicação de um monômio por um polinômio, usamos a propriedade distributiva, multiplicando o monômio por todos os termos do polinômio e adicionando, em seguida, os resultados.

Acompanhe outra situação.

O esquema a seguir mostra as dimensões do apartamento de Luís.

Ilustração. Rapaz de cabelo castanho, camisa vermelha e calça azul. Atrás dele, muro e prédio de três andares.

Figura geométrica. Os 4 cômodos da figura anterior foram separados. Os lados da cozinha medem x e a. Os lados do banheiro medem y e a. Os lados da sala medem x e b. Os lados do quarto medem y e b.

Considerando que todos os cômodos do apartamento são retangulares, que expressão algébrica póde representar a medida da área total do apartamento?

Podemos determinar a expressão algébrica da medida da área total de dois modos:

1º) Multiplicando as medidas da largura e do comprimento do apartamento.

Figura geométrica. Em relação à figura anterior, foram indicadas as medidas dos lados do retângulo maior: x mais y e a mais b. Esquema. Abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, x mais y, fecha parênteses.
À direita, indicação: expressão 1.
Abaixo de a mais b, fio com indicação: medida da largura.
Abaixo de x mais y, fio com indicação: medida do comprimento.

2º) Adicionando as medidas das áreas de cada um dos quatro cômodos.

Respostas e comentários

Desenvolva a situação da medida da área total do apartamento de Luís na lousa. Em um primeiro momento, você pode solicitar aos estudantes que tentem determinar a medida dessa área sozinhos. Observe como eles procedem. É possível que alguns deles multipliquem as medidas da largura e do comprimento do apartamento e que outros adicionem as medidas das áreas de cada um dos cômodos. Após conjecturarem e tirarem suas próprias conclusões, resolva a situação-problema na lousa.

Página 99

De um e dois, verificamos que (a + b) ⋅ (x + y) = ax + ay + bx + by. Observe que, aplicando a propriedade distributiva em (a + b) ⋅ (x + y), obtemos ax + ay + bx + by:

Esquema. Abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, x mais y, fecha parênteses, igual a a vezes x mais a vezes y mais b vezes x mais b vezes y igual a ax mais ay mais bx mais by. Acima, duas setas saem de a: uma para x e outra para y. Abaixo, duas setas saem de b: uma para x e outra para y.

Portanto, o polinômio ax + ay + bx + by representa a medida da área total do apartamento.

Na multiplicação de dois polinômios, utilizamos a propriedade distributiva, multiplicando cada termo de um polinômio por todos os termos do outro, e, em seguida, adicionamos os novos termos obtidos.

Considere alguns exemplos.

Esquema. 5x vezes, abre parênteses, 2x menos 3, fecha parênteses, igual a 5x vezes 2x mais 5x vezes, abre parênteses, menos 3, fecha parênteses, igual a 10 x elevado ao quadrado menos 15x. Acima, duas setas saem de 5x: uma para 2x e outra para menos 3.

Esquema. Menos x elevado ao quadrado, vezes, abre parênteses, x elevado a 3, fim do expoente, menos 2 x elevado ao quadrado, mais 1, fecha parênteses, é igual a, abre parênteses, menos x elevado ao quadrado, vezes x elevado a 3, fecha parênteses, menos x elevado ao quadrado, vezes, abre parênteses, menos 2 x elevado ao quadrado, fecha parênteses, menos x elevado ao quadrado vezes 1. é igual a menos x elevado a 5, fim do expoente, mais 2 x elevado a 4, fim do expoente, menos x elevado ao quadrado. Acima, 3 setas saem de menos x elevado ao quadrado: uma para x elevado a 3, outra para menos 2 x elevado ao quadrado e outra para 1.

Esquema. Abre parênteses, 5x mais 2, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, 3x menos 1, fecha parênteses, igual a 5x vezes 3x mais 5x vezes, abre parênteses, menos 1, fecha parênteses, mais 2 vezes 3x mais 2 vezes, abre parênteses, menos 1, fecha parênteses, igual a. Acima, duas setas saem de 5x: uma para 3x e outra para menos 1. Abaixo, duas setas saem de 2: uma para 3x e outra para menos 1. Sentença matemática. Igual a 15 x elevado ao quadrado, menos 5x, mais 6x, menos 2 igual a. Sentença matemática. Igual a 15 x elevado ao quadrado, mais x, menos 2.

Esquema. Abre parênteses, x elevado ao quadrado menos 3, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, x elevado ao quadrado menos 2x mais 1, fecha parênteses, é igual a x elevado ao quadrado vezes x elevado ao quadrado, mais x elevado ao quadrado vezes, abre parênteses, menos 2x, fecha parênteses, mais x elevado ao quadrado vezes 1 menos 3 vezes x elevado ao quadrado menos 3 vezes, abre parênteses, menos 2x, fecha parênteses, menos 3 vezes 1, é igual. Acima, 3 setas saem de x elevado ao quadrado: uma para x elevado ao quadrado, outra para menos 2x e outra para 1. Abaixo, 3 setas saem de menos 3: uma para x elevado ao quadrado, outra para menos 2x e outra para 1. Sentença matemática. É igual a x elevado a 4, fim de expoente, menos 2 x elevado a 3, fim de expoente, mais x elevado ao quadrado, menos 3 x elevado ao quadrado, mais 6x, menos 3, é igual. Sentença matemática. É igual a x elevado a 4, fim de expoente, menos 2 x elevado a 3, fim de expoente, menos 2 x elevado ao quadrado, mais 6x, menos 3.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

35. Efetue os produtos.

a) 5 ⋅ (6x menos 2)

b) m elevado a 2 ⋅ (m menos n)

c) (6a elevado a 2 + 10ab + b elevado a 2) ⋅

(- \frac{3}{4} a)

\frac{a^{2} b}{2} \cdot (\frac{b^{2}}{3} - \frac{a^{2}}{4})

36. Determine o polinômio que representa a medida da área do retângulo a seguir.

Figura geométrica. Retângulo roxo com medidas dos lados 3x mais 1 por 2x.

37. Qual é o polinômio que representa a medida da área da região azul da figura?

Figura geométrica. Retângulo com retângulo azul menor à esquerda, dividido em dois retângulos horizontais. A altura do retângulo superior mede x e do inferior mede 2y. A distância do retângulo azul até o retângulo externo mede y. A medida do lado maior do retângulo externo é 4x.

38. Efetue as operações reduzindo os termos semelhantes.

a) (3x + 2) ⋅ (x menos 3)

b) (3a elevado a 2 + 2a + 4) ⋅ (menosa menos 3)

c) (menos2x + 5) ⋅ (6x elevado a 2 + 4x + 3)

d) (5x elevado a 2 + 2x menos 1) ⋅ (x menos 3)

e) (a + b) ⋅ (a menos b)

Respostas e comentários

35. a) 30x menos 10

35. b) melevado a 3 menos melevado a 2n

35. c)

- \frac{9 a^{3}}{2} - \frac{15 a^{2} b}{2} - \frac{3 a b^{2}}{4}

35. d)

\frac{a^{2} b^{3}}{6} - \frac{a^{4} b}{8}

36. 6x elevado a 2 + 2x

37. 4x elevado a 2 + 7xy menos 2y elevado a 2

38. a) 3x elevado a 2 menos 7x menos 6

38. b) menos3aelevado a 3 menos 11aelevado a 2 menos 10a menos 12

38. c) menos12x elevado a 3 + 22x elevado a 2 + 14x + 15

38. d) 5x elevado a 3 menos 13x elevado a 2 menos 7x + 3

38. e) aelevado a 2 menos belevado a 2

Sugestão de atividade extra

Na figura a seguir, o retângulo hachurado representa um jardim e ao redor do jardim está a representação de uma calçada.

Figura geométrica. Retângulo com retângulo no centro. A diferença do lado do retângulo externo para o interno mede x. Os lados do retângulo interno medem 10 e 4.

Determine:

a) a medida da área ocupada pelo jardim, sabendo que as medidas de comprimento dos lados são dadas em metro;

b) um polinômio que expressa a medida da área ocupada pela calçada.

Respostas:

a) 40 métros quadrados

b) 4xelevado a 2 + 28x

Página 100

39. Sendo a = x + 5, B = x elevado a 2 + 2x + 1 e C = 2x elevado a 2 menos 4, determine:

a) a ⋅ B

b) bê ⋅ cê

c) a ⋅ B ⋅ cê

40. Determine o polinômio que representa a medida do volume de cada figura.

Figura geométrica. Cubo com medida de cada dimensão x menos a.

Figura geométrica. Bloco retangular com medidas das dimensões: x menos 1 por 4x mais 2 por 2x menos 3.

Divisão de polinômio por monômio

Considere o retângulo a bê cê dê e as expressões algébricas que representam a medida do comprimento da altura e a medida de sua área.

Figura geométrica. Retângulo ABCD com lado AD de medida 2x.

Medida da área do retângulo a bê cê dê: 12x elevado a 4 menos 8x elevado a 3 + 6x elevado a 2

Medida do comprimento da altura: 2x

Qual é a expressão algébrica que representa a medida do comprimento da base desse retângulo?

Para determinar a expressão que representa a medida do comprimento da base do retângulo a bê cê dê, temos que dividir o polinômio 12x elevado a 4 menos 8x elevado a 3 + 6x elevado a 2 (medida da área do retângulo) pelo monômio 2x (medida do comprimento da altura do retângulo).

(12 x^{4} ‒ 8 x^{3} + 6 x^{2}) : (2 x) = \frac{12 x^{4}}{2 x} - \frac{8 x^{3}}{2 x} + \frac{6 x^{2}}{2 x} = 6 x^{4 ‒ 1} ‒ 4 x^{3 ‒ 1} + 3 x^{2 ‒ 1} = 6 x^{3} ‒ 4 x^{2} + 3 x

Portanto, a medida do comprimento da base desse retângulo póde ser representada por 6x elevado a 3 menos 4x elevado a 2 + 3x.

O quociente de um polinômio por um monômio não nulo é obtido dividindo-se cada termo do polinômio pelo monômio e adicionando os novos termos obtidos.

Observe mais alguns exemplos de divisão de polinômios por monômios.

(6 x^{5} + 2 x^{3}) : x = \frac{6 x^{5}}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} = 6 x^{5 ‒ 1} + 2 x^{3 ‒ 1} = 6 x^{4} + 2 x^{2}

(24 a^{2} b^{3} ‒ 18 a^{3} b^{4} ‒ 6 a b^{5}) : 3 a b^{3} = \frac{24 a^{2} b^{3}}{3 a b^{3}} - \frac{18 a^{3} b^{4}}{3 a b^{3}} - \frac{6 a b^{5}}{3 a b^{3}} =

= 8a elevado a 2 ⁻ ¹b elevado a 3 ⁻ elevado a 3 menos 6a elevado a 3 ⁻ ¹b elevado a 4 ⁻ elevado a 3 menos 2a elevado a 1 ⁻ ¹b elevado a 5 ⁻ elevado a 3 = 8a menos 6a elevado a 2b menos 2b elevado a 2

(4 a^{2} b^{3} ‒ 2 a^{3} b^{4}) : 6 a b^{2} = \frac{4 a^{2} b^{3}}{6 a b^{2}} - \frac{2 a^{3} b^{4}}{6 a b^{2}} = \frac{2}{3} a^{2 ‒ 1} b^{3 ‒ 2} ‒ \frac{1}{3} a^{3 ‒ 1} b^{4 ‒ 2} = \frac{2}{3} a b ‒ \frac{1}{3} a^{2} b^{2}

Atividades

Faça as atividades no caderno.

41. Efetue as divisões.

a) (10x elevado a 6 + 12x elevado a 5) dividido por (2x elevado a 3)

b) (30a elevado a 2 + 60ab + 90b elevado a 2) dividido por (30)

c) (menos6ab + 9a elevado a 2b + 12ab elevado a 2) dividido por (3ab)

(\frac{5}{6} x^{2} - \frac{3}{4} x) : (- \frac{2}{3} x)

e) (m elevado a 5 + m elevado a 3) dividido por (menosm elevado a 2)

f) (m elevado a 2n elevado a 3 + mn elevado a 4 + m elevado a 5n elevado a 2) dividido por (menosmn)

Respostas e comentários

39. a) x elevado a 3 + 7x elevado a 2 + 11x + 5

39. b) 2x elevado a 4 + 4x elevado a 3 menos 2x elevado a 2 menos 8x menos 4

39. c) 2x elevado a 5 + 14x elevado a 4 + 18x elevado a 3 menos 18x elevado a 2 menos 44x menos 20

40. a) x elevado a 3 menos 3x elevado a 2a + 3xa elevado a 2 menos a elevado a 3

40. b) 8x elevado a 3 menos 16x elevado a 2 + 2x + 6

41. a) 5x elevado a 3 + 6x elevado a 2

41. b) aelevado a 2 + 2A bê + 3belevado a 2

41. c) menos2 + 3a + 4b

41. d)

- \frac{5}{4} x + \frac{9}{8}

41. e) menosm elevado a 3 menos m

41. f) menosmn elevado a 2 menos n elevado a 3 menos m elevado a 4n

• Na atividade 40, recorde como determinar a medida do volume de paralelepípedos reto-retângulos, se achar necessário.

• Antes de realizarem a atividade 41, recorde a propriedade do quociente de potências de mesma base.

• Para realizar a atividade 42 da página seguinte, sugira aos estudantes que nomeiem os polinômios; por exemplo, a para o monômio 5aelevado a 2belevado a 3, B para o polinômio que queremos conhecer, e C para o polinômio 20aelevado a 2belevado a 5 + 30aelevado a 3belevado a 7. Assim, teremos que A ⋅ B = C, ou seja, B =

\frac{C}{A}

Página 101

42. O produto de um monômio por um polinômio é 20a elevado a 2b elevado a 5 + 30a elevado a 3b elevado a 7. Sendo o monômio 5a elevado a 2b elevado a 3, determine o polinômio.

43. A medida da área de um retângulo é representada por b elevado a 2x elevado a 2 + 2bx. Sendo bx a medida do comprimento da altura, determine a expressão algébrica que representa a medida do comprimento da base do retângulo.

44. Determine o quociente de 10x elevado a 2y elevado a 3 menos 20x elevado a 3y elevado a 5 + 30x elevado a 4y elevado a 6 pelos monômios:

a) 10xy

b) menos20xy elevado a 3

c) 5x elevado a 2y elevado a 2

d) menos10x elevado a 2y

2 Produtos notáveis

Quadrado da soma de dois termos

O quadrado da soma de dois termos, a e b, é indicado por (a + b)elevado a 2. Desenvolvendo esse produto, obtemos:

Esquema Abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, elevado ao quadrado, é igual a, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, é igual a, a elevado ao quadrado mais ab, mais ba, mais b elevado ao quadrado. Acima, duas setas saem do a do primeiro, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade: uma para a e outra para b, ambos do segundo, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade. Abaixo, duas setas saem do b do primeiro, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade: uma para a e outra para b, ambos do segundo, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade. Sentença matemática. Abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, elevado ao quadrado, é igual a a elevado ao quadrado mais 2ab, mais b elevado ao quadrado.

Ou seja:

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto dos dois termos mais o quadrado do segundo termo.

Ilustração. Mulher de cabelo castanho, camisa vermelha, calça verde e óculos. Ao lado do quadro branco, ela fala: A expressão a elevado ao quadrado mais 2 a b mais b elevado ao quadrado apresenta três termos e é denominada trinômio quadrado perfeito. No quadro branco, a sentença: abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, elevado ao quadrado é igual a a elevado ao quadrado mais 2 a b mais b elevado ao quadrado.

Observe alguns exemplos.

a) (x + y) elevado a 2 = x elevado a 2 + 2xy + y elevado a 2

{(\frac{a}{5} + 3 b)}^{2} = {(\frac{a}{5})}^{2} + 2 \cdot \frac{a}{5} \cdot 3 b + {(3 b)}^{2} = \frac{a^{2}}{25} + \frac{6 a b}{5} + 9 b^{2}

Representação geométrica

Vamos representar geometricamente o quadrado da soma de dois termos, a e b, que indicamos por (a + b)elevado a 2, admitindo os números a e b positivos.

Considere o quadrado a bê cê dê cuja medida do comprimento do lado é representada por a + b.

Figura geométrica. Quadrado dividido em 4 figuras: quadrado a por a e área a elevado ao quadrado; retângulo horizontal a por b e área a b; retângulo vertical a por b e área ab; e quadrado b por b e área b elevado ao quadrado. Os lados do quadro maior medem a + b por a + b.

Respostas e comentários

42. 4belevado a 2 + 6abelevado a 4

43. bx + 2

44. a) xy elevado a 2 menos 2x elevado a 2y elevado a 4 + 3x elevado a 3y elevado a 5

44. b)

- \frac{x}{2} + x^{2} y^{2} ‒ \frac{3 x^{3} y^{3}}{2}

44. c) 2y menos 4xy elevado a 3 + 6x elevado a 2y elevado a 4

44. d) menosy elevado a 2 + 2xy elevado a 4 menos 3x elevado a 2y elevado a 5

Produtos notáveis

Bê êne cê cê:

• Competência geral 4 (a descrição está na página seis).

• Habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove.

Objetivo:

Compreender, geométrica e algebricamente, os principais casos de produtos notáveis.

Justificativa

Os produtos notáveis são utilizados na simplificação de cálculos e de expressões algébricas e, por isso, é importante estudá-los. A compreensão do ponto de vista algébrico e geométrico, por sua vez, permite entender os processos de fatoração de expressões algébricas, o que favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove.

Mapeando conhecimentos

Escreva na lousa as seguintes expressões algébricas e peça aos estudantes que as desenvolvam algebricamente:

• (x + 5)elevado a 2

• (y menos 6)elevado a 2

• (z menos 3) ⋅ (z + 3)

Observe como os estudantes procedem em cada caso. É possível que eles desenvolvam o quadrado de x + 5 e de y menos 6 aplicando a definição de potência e, depois, a propriedade distributiva. O produto (z menos 3) ⋅ (z + 3) eles podem desenvolver aplicando a propriedade distributiva. Caso alguns deles tenham conhecimentos anteriores sobre produtos notáveis, se valerão desse conhecimento para desenvolver as expressões. Se achar necessário, proponha que desenvolvam outros quadrados da soma, quadrados da diferença e produtos da soma pela diferença de dois termos.

Para as aulas iniciais

Peça que compartilhem como desenvolveram as expressões da dinâmica inicial. A ideia é que esses cálculos os façam suspeitar da validade das seguintes sentenças:

(a + b)elevado a 2 = aelevado a 2 + 2ab + belevado a 2

(a menos b)elevado a 2 = aelevado a 2 menos 2ab + belevado a 2

(a menos b) ⋅ (a + b) = aelevado a 2 menos belevado a 2

Você pode propor aos estudantes que, em cada caso, substituam a e b por números e verifiquem que as igualdades anteriores são verdadeiras. É importante enfatizar que eles apenas estão fazendo verificações e não uma demonstração matemática da validade dessas igualdades.

Antes da abordagem algébrica de cada um dos casos de produtos notáveis e de fatoração, promova experimentos com base na manipulação de figuras geométricas construídas com cartolina, por exemplo, para que os estudantes possam percebê-los. Assim, poderá incentivá-los a observar, por meio dessas manipulações, os padrões presentes para, então, obter uma regra geral escrita em linguagem algébrica. Uma abordagem com essa orientação tem mais chances de contribuir para a compreensão por parte dos estudantes do que a simples apresentação das demonstrações geométricas, além de favorecer o desenvolvimento da competência geral 4.

(ê éfe zero nove ême ah zero nove) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.

Página 102

Determinando a medida da área a do quadrado de duas maneiras, obtemos:

•

Esquema. Área, é igual a, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, é igual a, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, elevado ao quadrado.
Abaixo de, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, fio com indicação: Multiplicando as medidas dos comprimentos dos lados do quadrado ABCD.

•

Esquema. Área é igual a a elevado ao quadrado mais ab, mais ab, mais b elevado ao quadrado, é igual a a elevado ao quadrado mais 2ab, mais b elevado ao quadrado. Abaixo de a elevado ao quadrado mais ab, mais ab, mais b elevado ao quadrado, fio com indicação: Adicionando a medida das áreas das figuras em que o quadrado ABCD é dividido.

Portanto, as expressões (a + b)elevado a 2 e a elevado a 2 + 2ab + b elevado a 2 representam a mesma medida de área, ou seja:

(a + b) elevado a 2 = a elevado a 2 + 2ab + b elevado a 2

Um pouco de história

Faça a atividade no caderno.

A Álgebra na Antiguidade

A Álgebra geométrica grega é apresentada de fórma muito interessante na obra Os elementos, de Euclides. No livro dois dessa obra, encontramos o conceito de produtos notáveis e, na proposição 4, o seguinte texto:

Ilustração. Folha de papel marrom enrolado nas extremidades com a informação: Se uma reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda (1) é igual aos quadrados sobre as duas partes (2), junto com duas vezes o retângulo que as partes contêm (3).

Ilustração. Gravura em preto e branco. Homem de touca, barba volumosa e manto sobre os ombros. Ele segura um objeto semelhante a um compasso aberto sobre um papel. — Caricatura de Euclides, matemático grego, autor de Os elementos.

Nessa proposição, vemos como os problemas que envolviam Álgebra eram concebidos e apresentados na Antiguidade. O uso de figuras era extremamente importante para o melhor entendimento dos textos. Na figura a seguir estão representados os itens 1, 2 e 3 dessa proposição de Euclides, sendo:

(1) o quadrado a bê cê dê;

(2) os quadrados de medida de áreas a elevado a 2 e b elevado a 2;

(3) os retângulos de medida de áreas A bê.

Atividade

Represente geometricamente o quadrado cuja medida da área é representada por xelevado a 2 +10x + 25.

Respostas e comentários

Um pouco de história: Resposta em Orientações.

No boxe Um pouco de história, caso os estudantes tenham dificuldade de interpretar o texto do pergaminho, escreva, com a turma, parte a parte, na lousa, para que haja melhor compreensão.

Resposta da atividade do boxe Um pouco de história:

Figura geométrica. Quadrado dividido em 4 figuras: quadrado x por x e área x elevado ao quadrado; retângulo horizontal x por 5 e área 5x; retângulo vertical x por 5 e área 5x; e quadrado 5 por 5 e área 25. A medida do lado do quadrado maior é x mais 5.

Página 103

Atividades

Faça as atividades no caderno.

45. Desenvolva algebricamente cada quadrado da soma de dois termos.

a) (x + 1)elevado a 2

b) (2x + 10)elevado a 2

{(x y + \frac{1}{3})}^{2}

d) (x + 5)elevado a 2

e) (xelevado a 5 + 2xelevado a 3)elevado a 2

f) (6 + x)elevado a 2

g) (2x + xy)elevado a 2

h) (xelevado a 2 + 1)elevado a 2

i) (x + 2y) elevado a 2

{(x^{3} + \frac{1}{3})}^{2}

46. Simplifique as expressões.

a) x ⋅ (2x menos 1) + x ⋅ (1 menos 3x)

b) (a + 5) ⋅ (a + 5) menos (a + 5)elevado a 2

c) y ⋅ (y + 2)) menos 2y ⋅ (3 menos y)

d) (2 + x)elevado a 2 menos (x + 2)elevado a 2

47. Dados os polinômios a = 2xelevado a 2 + 3 e B = xelevado a 2 + 4, determine:

a) Aelevado a 2

b) B elevado a 2

c) (a + B)elevado a 2

48.

Observe como Pedro utilizou a ideia de produtos notáveis para calcular o quadrado de 41:

41elevado a 2 = (40 + 1)elevado a 2 = 40elevado a 2 + 2 ⋅ 40 ⋅ 1 + 1elevado a 2 = 1 600 + 80 + 1 = 1 681

Agora, calcule mentalmente os quadrados e registre o raciocínio no caderno.

a) 12elevado a 2

b) 61elevado a 2

c) 33elevado a 2

d) 92elevado a 2

49. Sabendo que a elevado a 2 + b elevado a 2 = 34 e (a + b) elevado a 2 = 64, calcule o valor de 6ab, sendo a > 0 e b > 0.

50. Desenvolva o produto (x + 3y) elevado a 2 e justifique geometricamente.

51. Sendo (x + y)elevado a 2 = 256 e x elevado a 2 + y elevado a 2 = 136, determine xy.

52. Observe a figura a seguir e responda às questões.

Figura geométrica. Quadrado dividido em 4 figuras: quadrado 1 medindo a por a; retângulo vertical 2 medindo a por 3; quadrado 3 medindo 3 por 3; retângulo horizontal 4 medindo a por 3.

a) Qual é a expressão algébrica que representa a medida da área do quadrado maior?

b) Quais são as expressões algébricas que representam as áreas das figuras um, dois, três e quatro?

Quadrado da diferença de dois termos

O quadrado da diferença de dois termos, a e b, é indicado por (a menos b) elevado a 2. Desenvolvendo esse produto, obtemos:

Esquema. Abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, elevado ao quadrado, é igual a, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, é igual a a elevado ao quadrado menos ab, menos ba, mais b elevado ao quadrado. Acima, duas setas saem do a do primeiro, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade: uma para a e outra para menos b, ambos do segundo, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade. Abaixo, duas setas saem do menos b do primeiro, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade: uma para a e outra para menos b, ambos do segundo, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, do segundo membro da igualdade. Sentença matemática. Abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, elevado ao quadrado, é igual a a elevado ao quadrado menos 2ab, mais b elevado ao quadrado.

Respostas e comentários

45. a) x elevado a 2 + 2x + 1

45. b) 4x elevado a 2 + 40x + 100

45. c)

x^{2} y^{2} + \frac{2}{3} x y + \frac{1}{9}

45. d) x elevado a 2 + 10x + 25

45. e) xelevado a 10 + 4xelevado a 8 + 4xelevado a 6

45. f) 36 + 12x + x elevado a 2

45. g) 4x elevado a 2 + 4x elevado a 2y + x elevado a 2y elevado a 2

45. h) x elevado a 4 + 2x elevado a 2 + 1

45. i) x elevado a 2 + 4xy + 4y elevado a 2

45. j)

x^{6} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{1}{9}

46. a) menosx elevado a 2

46. b) 0

46. c) 3y elevado a 2 menos 4y

46. d) 0

47. a) 4x elevado a 4 + 12x elevado a 2 + 9

47. b) x elevado a 4 + 8x elevado a 2 + 16

47. c) 9x elevado a 4 + 42x elevado a 2 + 49

48. a) (10 + 2) elevado a 2 = 10 elevado a 2 + 2 ⋅ 10 ⋅ 2 + 2 elevado a 2 = 144

48. b) (60 + 1) elevado a 2 = 60 elevado a 2 + 2 ⋅ 60 ⋅ 1 + 1 elevado a 2 = 3 721

48. c) (30 + 3) elevado a 2 = 30 elevado a 2 + 2 ⋅ 30 ⋅ 3 + 3 elevado a 2 = 1 089

48. d) (90 + 2) elevado a 2 = 90 elevado a 2 + 2 ⋅ 90 ⋅ 2 + 2 elevado a 2 = 8 464

49. 90

50. (x + 3y)elevado a 2 = x elevado a 2 + 6xy + 9y elevado a 2

Figura geométrica. Quadrado em cor resposta dividido em 4 figuras: quadrado x por x e área x elevado ao quadrado; retângulo horizontal x por 3y e área 3xy; retângulo vertical x por 3y e área 3xy; e quadrado 3y por 3y e área 9 y elevado ao quadrado.

51. 60

52. a) Exemplo de resposta: aelevado a 2 + 6a + 9

52. b) Exemplo de resposta: um: aelevado a 2; dois: 3a; três: 9; quatro: 3a

• Comente com os estudantes a estratégia utilizada para calcular as potências na atividade 48. Pergunte qual fórma de cálculo eles consideram mais fácil, sem o uso da calculadora.

Quadrado da diferença de dois termos

Solicite aos estudantes que calculem a medida de área de um quadrado de lado com medida de comprimento (a menos b), obtendo o quadrado da diferença entre dois termos, e que o desenvolvam pela propriedade distributiva e pela propriedade comutativa da multiplicação, concluindo que (a menos b)elevado a 2 = aelevado a 2 menos 2ab + belevado a 2.

Página 104

Ou seja:

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto dos dois termos mais o quadrado do segundo termo.

Observe dois exemplos.

a) (x menos y)elevado a 2 = x elevado a 2 menos 2xy + y elevado a 2

{(\frac{a}{3} - 2 b)}^{2} = (\frac{a}{3})^{2} - 2 \cdot \frac{a}{3} \cdot 2 b + {(2 b)}^{2} = \frac{a^{2}}{9} - \frac{4 a b}{3} + 4 b^{2}

Representação geométrica

Considere o quadrado a bê cê dê, cuja medida dos comprimentos dos lados é indicada por a (figura 1). Vamos diminuir a medida do comprimento do lado e determinar o quadrado á bê linha cê linha dê linha, cuja medida do comprimento dos lados mede (a menos b) (figura 2). Observe:

Esquema. Figura 1. Quadrado azul ABCD a por a e área a elevado ao quadrado. Seta da figura 1 para a figura 2. Figura 2. Quadrado ABCD dividido em 4 partes. Quadrado azul A, B linha, C linha, D linha de lados a menos b por a menos b e área medindo, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Retângulo 1 de lados b por a menos b e área medindo b, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses. Retângulo 2 de lados b por a menos b e área medindo b, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses. Quadrado 3 de lados b por b e área medindo b elevado ao quadrado.

Determinando a medida da área A do quadrado de duas maneiras, obtemos:

•

Esquema. Área é igual a, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, é igual a, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, elevado ao quadrado.
Abaixo de, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, fio com indicação: Multiplicando as medidas dos comprimentos dos lados do quadrado A B linha C linha D linha.

•

Esquema. Área é igual a, a elevado ao quadrado, menos b, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, menos b, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, menos b elevado ao quadrado, é igual a a elevado ao quadrado, menos 2ba mais 2 b elevado ao quadrado, menos b elevado ao quadrado, é igual a a elevado ao quadrado, menos 2ab, mais b elevado ao quadrado. Abaixo do a elevado ao quadrado no segundo membro da igualdade, fio com indicação: medida da área do quadrado ABCD. Abaixo de b, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, fio com indicação: medida da área do retângulo 1. Abaixo de b, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, fio com indicação: medida da área do retângulo 2. Abaixo do b elevado ao quadrado no segundo membro da igualdade, fio com indicação: medida da área do quadrado 3.

Portanto, as expressões (a menos b)elevado a 2 e a elevado a 2 menos 2ab + b elevado a 2 representam a mesma medida de área, ou seja:

(a menos b)elevado a 2 = a elevado a 2 menos 2ab + b elevado a 2

Ilustração. Mulher de cabelo castanho, óculos e camisa vermelha diz: A expressão a elevado ao quadrado menos 2 a b mais b elevado ao quadrado também é denominada trinômio quadrado perfeito.

Respostas e comentários

Chame a atenção dos estudantes para o fato de que (x menos y)elevado a 2 é um caso particular de quadrado da soma de dois termos, uma vez que (x menos y)elevado a 2 = [x + (menos y)]elevado a 2.

Se achar necessário, apresente mais alguns exemplos de quadrado da diferença de dois termos para que os estudantes os calculem.

Página 105

Atividades

Faça as atividades no caderno.

53. Desenvolva algebricamente cada quadrado da diferença de dois termos.

a) (x menos 3)elevado a 2

{(\frac{x}{3} - 2)}^{2}

c) (9x elevado a 2 menos 2)elevado a 2

d) (x elevado a 3 menos y elevado a 3)elevado a 2

e) (x elevado a 2 menos y elevado a 2)elevado a 2

f) (menosx menos y)elevado a 2

g) (xy menos z)elevado a 2

{(\frac{x}{2} - \frac{y}{3})}^{2}

54.

Ana utilizou a ideia de produtos notáveis para calcular o quadrado de 16, observe como ela registrou:

16elevado a 2 = (20 menos 4)elevado a 2 = 20elevado a 2 menos 2 ⋅ 20 ⋅ 4 + 4elevado a 2 = 256

Agora, calcule mentalmente os quadrados e registre o raciocínio no caderno.

a) 17elevado a 2

b) 19elevado a 2

c) 14elevado a 2

55. Qual é o polinômio que representa a medida da área do quadrado verde?

Figura geométrica. Figura composta por 4 figuras. Um retângulo roxo m por n. Dois quadrados laranjas medindo n cada lado. Um quadrado verde com medida m menos n cada lado.

56. Sabendo que (a menos b)elevado a 2 = 16 e a elevado a 2 + b elevado a 2 = 106, calcule o valor de

\frac{a b}{3}

, sendo a > 0 e b > 0.

57. Sabendo que a elevado a 2 + b elevado a 2 = 52 e A bê = 24, calcule o valor de (a menos b)elevado a 2.

58. A figura a seguir foi utilizada por um professor, em sala de aula, para mostrar a igualdade:

4ab + (a menos b)elevado a 2 = (a + b)elevado a 2 em que a e b são números positivos.

Figura geométrica. Quadrado dividido em um quadrado verde escuro e 4 retângulos congruentes em verde claro.

a) Copie a figura no caderno e indique os segmentos cuja medida do comprimento é indicada por a e b.

Reúna-se com um colega e, juntos, mostrem que essa igualdade é verdadeira usando as medidas das áreas dos retângulos e dos quadrados. Depois, expliquem para o professor e os demais colegas da classe como vocês resolveram a atividade.

Respostas e comentários

53. a) x elevado a 2 menos 6x + 9

53. b)

\frac{x^{2}}{9} - \frac{4 x}{3} + 4

53. c) 81x elevado a 4 menos 36x elevado a 2 + 4

53. d) x elevado a 6 menos 2x elevado a 3y elevado a 3 + y elevado a 6

53. e) x elevado a 4 menos 2x elevado a 2y elevado a 2 + y elevado a 4

53. f) x elevado a 2 + 2xy + y elevado a 2

53. g) x elevado a 2y elevado a 2 menos 2xyz + z elevado a 2

53. h)

\frac{x^{2}}{4} - \frac{x y}{3} + \frac{y^{2}}{9}

54. a) Exemplo de resposta: 17elevado a 2 = (20 menos 3)elevado a 2 = 400 menos 2 ⋅ 20 ⋅ 3 + 9 = 289

54. b) Exemplo de resposta: 19elevado a 2 = (20 menos 1)elevado a 2 = 400 menos 2 ⋅ 20 ⋅ 1 + 1 = 361

54. c) Exemplo de resposta: 14elevado a 2 = (20 menos 6)elevado a 2 = 400 menos 2 ⋅ 20 ⋅ 6 + 36 = 196

55. melevado a 2 menos 2mn + nelevado a 2

56. 15

57. 4

58. a)

Figura geométrica. Quadrado dividido em um quadrado verde escuro e 4 retângulos congruentes em verde claro. A medida de cada lado do quadrado verde escuro é a. As medidas dos lados de cada retângulo verde claro são b por a. A área de cada retângulo verde claro é indicada por A maiúsculo.

58. b) (a + b)elevado a 2 = 4A + (a menos b)elevado a 2

(a + b)elevado a 2 = 4ab + (a menos b)elevado a 2

Sugestão de atividade extra

Após a realização da atividade 54, proponha este jôgo entre os estudantes com o intuito de promover o cálculo mental.

Numere fichas de 0 a 20 e coloque-as sobre uma mesa com o número virado para baixo.

Selecione os estudantes, dois a dois, para que retirem uma ficha cada estudante e calculem mentalmente o quadrado daquele número o mais rápido possível.

O estudante que acertar primeiro, passa para a próxima etapa.

Repita esse processo até que todos tenham participado e tenha restado apenas um estudante.

• Se os estudantes sentirem dificuldade na atividade 56, peça que comecem resolvendo o produto notável (a menos b)elevado a 2 e voltem a analisar os dados fornecidos e a pergunta do enunciado. Espera-se que percebam que essa estratégia também auxilia na resolução da atividade 57.

Página 106

Produto da soma pela diferença de dois termos

O produto da soma pela diferença de dois termos, a e b, é indicado por (a + b) ⋅ (a menos b). Desenvolvendo esse produto, obtemos:

Esquema. Abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, é igual a a elevado ao quadrado, menos a b, mais b a, menos b elevado ao quadrado. Acima, duas setas saem do a de, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses: uma para a e outra para menos b, ambos de, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses. Abaixo, duas setas saem do b de, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses: uma para a e outra para menos b, ambos de, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses. Abaixo, esquema. Abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, vezes, abre parênteses, a menos b, fecha parênteses, é igual a a elevado ao quadrado, menos b elevado ao quadrado.

Ou seja:

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Observe alguns exemplos.

a) (x + y) ⋅ (x menos y) = x elevado a 2 menos y elevado a 2

b) (bx + 5) ⋅ (bx menos 5) = (bx)elevado a 2 menos (5)elevado a 2 = b elevado a 2x elevado a 2 menos 25

(\frac{k^{2}}{3} + 1) \cdot (\frac{k^{2}}{3} - 1) = {(\frac{k^{2}}{3})}^{2} - {(1)}^{2} = \frac{k^{4}}{9} - 1

Representação geométrica

Considere os quadrados a seguir.

Figura geométrica. Quadrado verde com área a elevado ao quadrado e com medida a cada lado. Figura geométrica. Quadrado laranja com área b elevado ao quadrado e com medida b cada lado.

Retirando do quadrado verde uma superfície igual à do quadrado laranja, obtemos uma figura com medida de área a igual a a elevado a 2 menos b elevado a 2.

Esquema. Figura composta por retângulo a por a menos b e retângulo b por a menos b. Seta para a direita com indicação: Podemos decompor essa figura e compor um retângulo. À direita, acima, retângulo a por a menos b e, abaixo, retângulo b por a menos b. Ao lado do retângulo superior, contorno de retângulo tracejado com seta para retângulo inferior.

No retângulo obtido, temos:

• medida do comprimento da base: a menos b

• medida do comprimento da altura: a + b

• A = (a menos b) ⋅ (a + b)

Como as duas figuras têm a mesma medida de área, verificamos que: a elevado a 2 menos b elevado a 2 = (a + b) ⋅ (a menos b).

Respostas e comentários

Produto da soma pela diferença de dois termos

Proponha aos estudantes que calculem a medida de área de um retângulo cujos lados têm medida de comprimento (a + b) e (a menos b), obtendo o produto da soma pela diferença dos mesmos dois termos, e que o desenvolvam pela propriedade distributiva e pela propriedade comutativa da multiplicação, concluindo que (a + b) ⋅ (a menos b) = aelevado a 2 menos belevado a 2.

Se achar necessário, apresente alguns exemplos de produto da soma pela diferença dos mesmos dois termos para que os estudantes os calculem.

Página 107

Atividades

Faça as atividades no caderno.

59. Desenvolva algebricamente os produtos.

a) (x + 1) ⋅ (x menos 1)

b) (3x + y) ⋅ (3x menos y)

c) (x + 5) ⋅ (x menos 5)

d) (2x + 5) ⋅ (2x menos 5)

60. Simplifique a expressão algébrica a seguir.

(x + 1)elevado a 2 + (x menos 1)elevado a 2 + 2(x + 1)(x menos 1)

61. Determine os produtos.

(x - \frac{1}{x}) \cdot (x + \frac{1}{x})

(x - \frac{y}{3}) \cdot (x + \frac{y}{3})

c) (x elevado a 2 + 1) ⋅ (x elevado a 2 menos 1)

d) (xy elevado a 2 menos z elevado a 2) ⋅ (xy elevado a 2 + z elevado a 2)

62.

Observe como Roberta calculou o produto de 41 por 39:

41 ⋅ 39 = (40 + 1) ⋅ (40 menos 1) = 40elevado a 2 menos 1elevado a 2 = 1 599

Agora, calcule mentalmente os produtos e registre o raciocínio no caderno.

a) 57 ⋅ 63

b) 52 ⋅ 48

c) 42 ⋅ 34

63.

Sabendo que a + b = 13 e aelevado a 2 menos belevado a 2 = 39, reúna-se com um colega e, juntos, determinem o valor de a. Depois, escrevam um texto explicando como vocês chegaram a esse valor. Apresentem o texto para o professor e os demais colegas da turma.

3 Fatoração

Podemos escrever o número 100 como o produto de dois ou mais números.

• 100 = 4 ⋅ 25

• 100 = 10 ⋅ 10

• 100 = 2 ⋅ 50

• 100 = 2 ⋅ 2 ⋅ 25

• 100 = 2 ⋅ 5 ⋅ 10

• 100 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5

Nesses casos, escrevemos o número 100 na fórma fatorada.

Fatorar um número é escrevê-lo como o produto de dois ou mais fatores.

Além de números, podemos fatorar polinômios, isto é, escrevê-los como o produto de dois ou mais polinômios. Acompanhe o exemplo.

Figura geométrica. Octógono com medidas: a, c, b, c, a, c, b, c.

As medidas dos comprimentos dos lados do polígono são indicadas por a, b e c.

A medida de seu perímetro póde ser representada por:

a + a + b + b + c + c + c + c = 2a + 2b + 4c

Podemos também escrever esse polinômio da seguinte fórma:

2(a + b + 2c)

O polinômio 2(a + b + 2c) é uma fórma fatorada de 2a + 2b + 4c.

Agora, vamos estudar alguns processos utilizados para fatorar uma expressão algébrica.

Respostas e comentários

59. a) x elevado a 2 menos 1

59. b) 9x elevado a 2 menos y elevado a 2

59. c) x elevado a 2 menos 25

59. d) 4x elevado a 2 menos 25

60. 4x elevado a 2

61. a)

x^{2} ‒ \frac{1}{x^{2}}

61. b)

x^{2} ‒ \frac{y^{2}}{9}

61. c) x elevado a 4 menos 1

61. d) x elevado a 2y elevado a 4 menos z elevado a 4

62. a) (60 menos 3) ⋅ (60 + 3) = 60elevado a 2 menos 3elevado a 2 = 3 591

62. b) (50 + 2) ⋅ (50 menos 2) = 50elevado a 2 menos 2elevado a 2 = 2 496

62. c) (38 + 4) ⋅ (38 menos 4) = 38elevado a 2 menos 4elevado a 2 = 1 428

63. 8

• Na atividade 63, os estudantes vão apresentar um texto explicando a fórma de resolução escolhida pela dupla. Assim, uma possibilidade de resposta é:

• Primeiro, escrevemos o produto da soma pela diferença de dois números e o seu desenvolvimento: (a + b) (a menos b) = (aelevado a 2 menos belevado a 2)

• Depois, substituímos a + b e aelevado a 2 menos belevado a 2 pelos valores fornecidos no enunciado, obtendo, assim:

13(a menos b) = 39 ou a menos b = 3

• Com essa equação e a fornecida no enunciado (a + b = 13), montamos um sistema de equações, obtendo a = 8.

Fatoração

Bê êne cê cê:

Habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove.

Objetivo:

Fatorar expressões algébricas.

Justificativa

Fatorar expressões algébricas amplia o que foi estudado sobre fatoração de números naturais e possibilita, dentre outras coisas, resolver diferentes equações do 2º grau com uma incógnita e resolver problemas. Além disso, favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove.

Mapeando conhecimentos

Pergunte aos estudantes: “O que é fatorar um número? E fatorar uma expressão algébrica?”. Ouça as respostas deles. É possível que alguns respondam, com vocabulário próprio, que fatorar é escrever como um produto de dois ou mais fatores. Depois, divida a lousa em duas partes: em uma delas escreva algumas expressões algébricas e na outra escreva a fórma fatorada dessas expressões. Em seguida, convide os estudantes a identificar a fórma fatorada de cada uma das expressões algébricas escritas na primeira parte da lousa. Deixe-os à vontade para conjecturar e conversar com os colegas.

Para as aulas iniciais

Retome as expressões da dinâmica inicial. Para verificar se uma fatoração está correta, basta efetuar a multiplicação e verificar se o resultado é igual à expressão inicial. Dê essa sugestão para que confiram se relacionaram corretamente as expressões.

Para iniciar o estudo deste tópico, relembre a decomposição em fatores primos, estudada no 6º ano, mostrando que 100 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5, ou seja, é uma decomposição em números primos ou, simplesmente, uma fatoração. Mostre que podemos escrever o número 100 com diferentes fatores, como mostrado nos exemplos do livro.

Página 108

Fatoração com um fator comum em evidência

A figura a seguir é formada por dois retângulos.

Figura geométrica. Retângulo composto de retângulo a por x com área a x, e retângulo x por b com área bx.

A medida da área total da figura póde ser obtida se adicionarmos as medidas das áreas dos retângulos que a compõem:

ax + bx

Também podemos determinar a medida da área dessa figura calculando a medida da área do retângulo cuja medida do comprimento da base é indicada por (a + b) e a medida do comprimento da altura é indicada por x:

x ⋅ (a + b)

Assim:

ax + bx = x(a + b)

O polinômio x(a + b) é uma fórma fatorada do polinômio ax + bx. Nesse caso, colocamos o fator comum (x) em evidência, obtendo uma fórma fatorada da expressão.

Observe alguns exemplos em que fatoramos alguns polinômios.

Sentença matemática. a elevado a 3, fim do expoente, mais 2a é igual a, a vezes, abre parênteses, a elevado ao quadrado mais 2, fecha parênteses. Seta laranja para a, lemos: fator comum. Seta laranja para a elevado ao quadrado, lemos: a elevado a 3, fim do expoente, dividido por a. Seta laranja para 2, lemos: 2a dividido por a.

Sentença matemática. km mais 2kn mais k elevado ao quadrado, é igual a k, vezes, abre parênteses, m mais, 2n, mais k, fecha parênteses. Seta laranja para k, lemos: fator comum. Seta laranja para m, lemos: km dividido por k. Seta laranja para 2n, lemos: 2kn dividido por k. Seta laranja para k, lemos: k elevado ao quadrado dividido por k.

Sentença matemática. 12 a elevado a 4, fim do expoente, b elevado a 6, fim do expoente, menos 20 a elevado a 5, fim do expoente, b elevado a 8, fim do expoente, mais 8 a elevado a 3, fim do expoente, b elevado ao quadrado, é igual a 4 a elevado a 3, fim do expoente, b elevado ao quadrado, vezes, abre parênteses, 3a, b elevado a 4, fim do expoente, menos 5 a elevado ao quadrado, b elevado a 6, fim do expoente, mais 2, fecha parênteses. Seta laranja para 4 a elevado a 3, fim do expoente, b elevado ao quadrado, lemos: fator comum. Seta laranja para 3a, b elevado a 4, fim do expoente, lemos: 12 a elevado a 4, fim do expoente, b elevado a 6, fim do expoente, dividido por 4 a elevado a 3, fim do expoente, b elevado ao quadrado. Seta laranja para 5 a elevado ao quadrado, b elevado a 6, fim do expoente, lemos: 20 a elevado a 5, fim do expoente, b elevado a 8, fim do expoente, dividido por 4 a elevado a 3, fim do expoente, b elevado ao quadrado. Seta laranja para 2, lemos: 8 a elevado a 3, fim do expoente, b elevado ao quadrado, dividido por 4 a elevado a 3, fim do expoente, b elevado ao quadrado.

Sentença matemática. Abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, mais, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, x, é igual a, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, menos, abre parênteses, 1 mais x, fecha parênteses. Seta laranja para, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, lemos: fator comum. Seta laranja para 1, lemos: abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, dividido por, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses. Seta laranja para x, lemos: abre parênteses, a mais b, fecha parênteses, x, dividido por, abre parênteses, a mais b, fecha parênteses.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

64. Escreva os números na fórma fatorada.

a) 36

b) 450

c) 120

d) 500

65. Colocando os fatores comuns em evidência, fatore:

a) ax + ay

b) 16x elevado a 2 + 20y elevado a 2

c) 5x + 15y menos 10z

d) menos5x elevado a 3y + 20x elevado a 2y elevado a 2

66. Fatore as expressões.

a) ax elevado a 3 + bx elevado a 2 menos cx

b) 12a elevado a 3x elevado a 2 + 6a elevado a 2x elevado a 3 menos 8ax elevado a 4

\frac{a b}{8} + \frac{a^{2} b}{4} - \frac{a b^{2}}{2}

67. Escreva os polinômios a seguir na fórma de um produto:

a) x elevado a 5 + x elevado a 4 menos 2x elevado a 2

b) 6x + 3xy + 12xyz

c) 6x elevado a 2y menos 18xy elevado a 3

d) 15x elevado a 7 menos 3yx elevado a 4

Respostas e comentários

64. a) Exemplo de resposta: 2elevado a 2 ⋅ 3elevado a 2

64. b) Exemplo de resposta: 2 ⋅ 3elevado a 2 ⋅ 5elevado a 2

64. c) Exemplo de resposta: 2elevado a 3 ⋅ 3 ⋅ 5

64. d) Exemplo de resposta: 2elevado a 2 ⋅ 5elevado a 3

65. a) a(x + y)

65. b) 4(4x elevado a 2 + 5y elevado a 2)

65. c) 5(x + 3y menos 2z)

65. d) 5x elevado a 2y(menosx + 4y)

66. a) x(ax elevado a 2 + bx menos c)

66. b) 2ax elevado a 2(6a elevado a 2 + 3ax menos 4x elevado a 2)

66. c)

\frac{a b}{2} (\frac{1}{4} + \frac{a}{2} - b)

67. a) x elevado a 2(x elevado a 3 + x elevado a 2 menos 2)

67. b) 3x(2 + y + 4yz)

67. c) 6xy(x menos 3y elevado a 2)

67. d) 3x elevado a 4(5x elevado a 3 menos y)

Fatoração com um fator comum em evidência

Explique aos estudantes que, para fatorar colocando um fator comum em evidência, é preciso encontrar um fator que esteja presente em todos os termos. No primeiro exemplo, o termo a está em aelevado a 3, pois aelevado a 3 = a ⋅ a ⋅ a, e em 2a, pois 2a = 2 ⋅ a; portanto, a é o fator comum do polinômio aelevado a 3 + 2a.

Página 109

Fatoração por agrupamento

Considere a figura a seguir.

Figura geométrica. Retângulo dividido em 4 figuras: retângulo a por x com área ax; retângulo x por b com área bx; retângulo a por y com área ay; e retângulo b por y com área by.

A medida da área total da figura póde ser obtida adicionando a medida das áreas dos retângulos menores:

ax + bx + ay + by

Ou póde ser obtida pelo cálculo da medida da área do retângulo cuja medida do comprimento da base é indicada por (a + b) e a medida do comprimento da altura é indicada por (x + y):

(a + b) ⋅ (x + y)

Assim:

ax + bx + ay + by = (a + b) ⋅ (x + y)

Podemos escrever ax + bx + ay + by na fórma (a + b) ⋅ (x + y), usando a fatoração:

(ax + bx) + (ay + by)

Agrupamos os termos com fatores comuns.

x(a + b) + y(a + b)

Colocamos o fator comum de cada grupo em evidência.

(a + b) ⋅ (x + y)

Colocamos o polinômio comum (a + b) em evidência.

Portanto, (a + b) ⋅ (x + y) é uma fórma fatorada do polinômio ax + bx + ay + by.

Observe alguns exemplos.

a) 3a menos 6y + ab menos 2by = 3a + ab menos 6y menos 2by =

= a(3 + b) ‒ 2y(3 + b) =

= (3 + b) ⋅ (a menos 2y)

b) x elevado a 4 + x elevado a 3 + x elevado a 2 + x = x elevado a 3(x + 1) + x(x + 1) =

= (x + 1) ⋅ (x elevado a 3 + x)

c) ax elevado a 2 menos abx + b elevado a 2 menos bx = ax(x ‒ b) + b(b menos x) =

= ax(x menos b) menos b(x menos b) =

= (x menos b) ⋅ (ax ‒ b)

d) mx elevado a 3 menos mx elevado a 2 + x elevado a 4 menos x elevado a 3 = mx elevado a 2(x menos 1) + x elevado a 3 (x menos1) =

= (x menos 1)(mx elevado a 2 + x elevado a 3) =

= (x menos 1)x elevado a 2(m + x) =

= x elevado a 2(x menos 1)(m + x)

Respostas e comentários

Fatoração por agrupamento

Mostre aos estudantes que é possível agrupar os termos com fatores comuns de modo diferente do apresentado. Por exemplo:

(ax + ay) + (bx + by) =

= a ⋅ (x + y) + b ⋅ (x + y) =

= (x + y) ⋅ (a + b)

No terceiro exemplo, chame a atenção dos estudantes para o fato de os sinais terem sido trocados na parcela +b(b menos x), que é o mesmo que menosb(menosb + x) ou menosb (x menos b).

Página 110

Atividades

Faça as atividades no caderno.

68. Fatore as expressões por agrupamento.

a) xy + x menos 2y menos 2

b) 6x + 6y + ax + ay

c) 2x menos 2 + yx menos y

d) 2a + 2b + ax + bx

69. Fatore as expressões.

a) 7x + 7y + bx + by

b) ax menos ay menos bx + by

c) 6x elevado a 2 + 15x menos 4xy menos 10y

d) 2ax menos 2ay menos 3bx + 3by

70. Transforme as expressões em produtos.

a) 3(x menos 1) + a(x ‒ 1) + a elevado a 2(x menos 1)

b) ax + bx + ay + by + az + bz

c) (x + y)elevado a 2 menos 2(x + y)

d) ax menos a +

\frac{m x}{3} - \frac{m}{3}

71. Agrupe os termos das expressões e fatore-as.

a) ax menos ay + x menos y

b) abx elevado a 2 + aby elevado a 2 + cx elevado a 2 + cy elevado a 2

c) x elevado a 4 + 9x elevado a 3 menos 6x menos 54

d) ax menos 2ay + 5bx menos 10by + 11cx menos 22cy

Fatoração da diferença de dois quadrados

De um quadrado cuja medida do comprimento do lado é indicada por a, retirou-se um quadrado cuja medida do comprimento do lado é indicada por b, com b < a, obtendo a figura a seguir:

Figura geométrica. Quadrado a por a do qual foi retirado um quadrado b por b. A figura obtida é composta de retângulo a por a menos b e, ao lado, retângulo b por a menos b. Trata-se da figura 1. Esquema. Área é igual a a elevado ao quadrado menos b elevado ao quadrado. Abaixo de a elevado ao quadrado, lemos: medida da área do quadrado cuja medida do comprimento do lado é indicada por a. Acima de b elevado ao quadrado, lemos: medida da área do quadrado cuja medida do comprimento do lado é indicada por b.

A medida da área da figura 1 é a elevado a 2 menos b elevado a 2, que corresponde a uma diferença de dois quadrados.

Podemos decompor a figura 1 conforme indicado a seguir (figura 2) e, depois, compor um retângulo (figura 3).

Esquema. Em relação à figura anterior, a figura 2 apresenta o retângulo b por a menos b está sendo deslocado para baixo do retângulo a por a menos b. Seta para a direita. À direita, na figura 3, o retângulo b por a menos b está abaixo do retângulo a por a menos b, formando um retângulo maior.

A medida da área da figura 1, representada por a elevado a 2 menos b elevado a 2, é igual à medida da área da figura 3, que póde ser representada por (a + b) ⋅ (a menos b).

Respostas e comentários

68. a) ( y + 1)(x menos 2)

68. b) (x + y)(6 + a)

68. c) (x menos 1)(2 + y)

68. d) (a + b)(2 + x)

69. a) (x + y)(7 + b)

69. b) (x menos y)(a menos b)

69. c) (2x + 5)(3x ‒ 2y)

69. d) (x menos y)(2a menos 3b)

70. a) (x menos 1)(3 + a + aelevado a 2)

70. b) (a + b)(x + y + z)

70. c) (x + y)[(x + y) menos 2]

70. d)

(x ‒ 1) (a + \frac{m}{3})

71. a) (x menos y)(a + 1)

71. b) (ab + c)(x elevado a 2 + y elevado a 2)

71. c) (x + 9)(xelevado a 3 menos 6)

71. d) (x menos 2y)(a + 5b + 11c)

Fatoração da diferença de dois quadrados

Verificando o entendimento da representação geométrica da fatoração da diferença de dois quadrados, relembre o produto da soma pela diferença e mostre aos estudantes a relação entre eles.

Página 111

Assim, justificamos geometricamente a igualdade:

a elevado a 2 menos b elevado a 2 = (a + b) ⋅ (a menos b)

Portanto, (a + b) ⋅ (a menos b) é uma fórma fatorada do polinômio aelevado a 2 menos b elevado a 2.

Observe alguns exemplos.

Esquema. a elevado ao quadrado menos 25, é igual a, abre parênteses, a mais 5, fecha parênteses, abre parênteses, a menos 5, fecha parênteses. Abaixo de a elevado ao quadrado, lemos: abre parênteses, a, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Abaixo de 25, lemos: abre parênteses, 5, fecha parênteses, elevado ao quadrado.

Esquema. Fração a elevado ao quadrado sobre 4, fim da fração, menos fração b elevado ao quadrado sobre 16, fim da fração, é igual a, abre parênteses, fração a sobre 2, fim da fração, mais fração b sobre 4, fim da fração, fecha parênteses, abre parênteses, fração a sobre 2, fim da fração, menos fração b sobre 4, fim da fração, fecha parênteses. Abaixo da fração a elevado ao quadrado sobre 4, lemos: abre parênteses, fração a sobre 2, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Abaixo da fração b elevado ao quadrado sobre 16, lemos: abre parênteses, fração b sobre 4, fecha parênteses, elevado ao quadrado.

Esquema. 9 a elevado ao quadrado, b elevado ao quadrado, menos 16 x elevado a 4, fim do expoente, y elevado a 6, é igual a, abre parênteses, 3ab, mais 4 x elevado ao quadrado, y elevado a 3, fecha parênteses, abre parênteses, 3ab, menos 4 elevado ao quadrado, y elevado a 3, fecha parênteses. Abaixo de 9 a elevado ao quadrado, b elevado ao quadrado, lemos: abre parênteses, 3ab, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Abaixo de 16 x elevado a 4, fim do expoente, y elevado a 6, lemos: abre parênteses, 4 x elevado ao quadrado, y elevado a 3, fecha parênteses, elevado ao quadrado.

Esquema. m elevado a 4, fim do expoente, menos 1, é igual a, abre parênteses, m elevado ao quadrado mais 1, fecha parênteses, abre parênteses, m elevado ao quadrado menos 1, fecha parênteses, é igual a, abre parênteses, m elevado ao quadrado mais 1, fecha parênteses, abre parênteses, m mais 1, fecha parênteses, abre parênteses, m menos 1, fecha parênteses. Abaixo de m elevado a 4, lemos: abre parênteses, m elevado ao quadrado, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Abaixo do 1 da expressão m elevado a 4, fim do expoente, menos 1, lemos: abre parênteses, 1, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Abaixo do m elevado ao quadrado da expressão, abre parênteses, m elevado ao quadrado menos 1, fecha parênteses, lemos: abre parênteses, m, fecha parênteses, elevado ao quadrado. Abaixo do 1 da expressão, abre parênteses, m elevado ao quadrado menos 1, fecha parênteses, lemos: abre parênteses, 1, fecha parênteses, elevado ao quadrado.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

72. Fatore as expressões.

a) x elevado a 2 menos 49

b) 9a elevado a 2 menos 4b elevado a 2

c) 1 menos x elevado a 2

d) 4x elevado a 2 menos 25y elevado a 2

e) 4x elevado a 2 menos 25

f) x elevado a 2y elevado a 2 menos 1

\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{9}

x^{2} - \frac{1}{x^{4}}

73. Decomponha as expressões em produtos de fatores.

a) (x + y)elevado a 2 menos 1

b) 1 menos 9a elevado a 2

c) 4x elevado a 2 menos y elevado a 2

d) x elevado a 2 menos (y + 1)elevado a 2

74.

Roberto registrou o cálculo do produto de 21 por 19:

21 ⋅ 19 = (20 + 1) ⋅ (20 menos 1) = 20elevado a 2 menos 1elevado a 2 = 400 menos 1 = 399

Agora, calcule mentalmente os produtos e registre o raciocínio no caderno.

a) 81 ⋅ 79

b) 42 ⋅ 38

c) 101 ⋅ 99

75. Agrupe convenientemente os termos e fatore as expressões.

a) aelevado a 3 + aelevado a 2 menos 4a menos 4

b) aelevado a 2belevado a 2 menos aelevado a 2 menos belevado a 2 + 1

76.

A seguir temos como Melissa calculou a diferença dos quadrados dos números 100 e 90:

Ilustração. Folha de caderno com as informações: 100 elevado ao quadrado menos 90 elevado ao quadrado igual a, abre parênteses, 100 mais 90, fecha parênteses, abre parênteses, 100 menos 90, fecha parênteses, igual a 190 vezes 10 igual a 1900.

Agora, calcule da mesma fórma que Melissa:

a) 500elevado a 2 menos 400elevado a 2

b) .1000elevado a 2 menos 900elevado a 2

77. Demonstre, no caderno, que a soma de dois números inteiros e consecutivos é igual à diferença dos seus quadrados.

Fatoração do trinômio quadrado perfeito

Observe o quadrado cuja medida do comprimento do lado é indicada por a + b.

A medida da área desse quadrado póde ser indicada por:

a elevado a 2 + ab + ab + b elevado a 2 = a elevado a 2 + 2ab + b elevado a 2

(a + b) ⋅ (a + b) = (a + b)elevado a 2

Figura geométrica. Quadrado decomposto em 4 figuras: quadrado a por a com área a elevado ao quadrado; retângulo vertical a por b com área ab; retângulo horizontal a por b com área ab; e quadrado b por b com área b elevado ao quadrado.

Respostas e comentários

72. a) (x + 7)(x menos 7)

72. b) (3a + 2b)(3a menos 2b)

72. c) (1 + x)(1 menos x)

72. d) (2x + 5y)(2x menos 5y)

72. e) (2x + 5)(2x menos 5)

72. f) (xy + 1)(xy menos 1)

72. g)

(\frac{x}{2} + \frac{1}{3}) \cdot (\frac{x}{2} - \frac{1}{3})

72. h)

(x + \frac{1}{x^{2}}) \cdot (x - \frac{1}{x^{2}})

73. a) (x + y + 1)(x + y menos 1)

73. b) (1 + 3a)(1 menos 3a)

73. c) (2x + y)(2x menos y)

73. d) (x + y + 1)(x menos y menos 1)

74. a) (80 + 1) ⋅ (80 menos 1) = 80elevado a 2 menos 1elevado a 2 = .6400 menos 1 = .6399

74. b) (40 + 2) ⋅ (40 ‒ 2) = 40elevado a 2 menos 2elevado a 2 = .1600 menos 4 = .1596

74. c) (100 + 1) ⋅ (100 menos 1) = 100elevado a 2 menos 1elevado a 2 = .10000 menos 1 = .9999

75. a) (a + 2)(a menos 2)(a + 1)

75. b) (a + 1)(a menos 1)(b + 1)(b menos 1)

76. a) (500 + 400)(500 menos 400) = 900 ⋅ 100 = 90 000

76. b) (.1000 + 900)(.1000 menos 900) = .1900 ⋅ 100 = .190000

77. n + n + 1 = 2n + 1 e (n + 1)elevado a 2 menos nelevado a 2 = 2n + 1 Exemplo: 4 + 5 = 9 e 5elevado a 2 menos 4elevado a 2 = 9

• Comente com os estudantes que, em alguns casos, a fatoração pode ser utilizada para simplificar cálculos numéricos, como as estratégias empregadas nas atividades 74 e 76.

Fatoração do trinômio quadrado perfeito

Relembre os estudantes de que nos tópicos Quadrado da soma de dois termos e Quadrado da diferença de dois termos, de fórma genérica, nomeamos aelevado a 2 + 2ab + belevado a 2 e aelevado a 2 menos 2ab + belevado a 2 como trinômios quadrados perfeitos. Assim, para esse caso de fatoração, também há uma relação com os produtos notáveis quadrado da soma e quadrado da diferença.

Essa associação dos casos de fatoração com os produtos notáveis, estudados anteriormente, é uma oportunidade de exercitar o raciocínio lógico-matemático de indução e de dedução.

Página 112

Verificamos, então, que:

a elevado a 2 + 2ab + b elevado a 2 = (a + b)elevado a 2

Portanto, a fórma fatorada de a elevado a 2 + 2ab + b elevado a 2 é (a + b)elevado a 2.

Vimos em produtos notáveis que:

(a ‒ b)elevado a 2 = a elevado a 2 ‒ 2ab + belevado a 2

Então:

a elevado a 2 menos 2ab + b elevado a 2 = (a menos b)elevado a 2

Portanto, a fórma fatorada de a elevado a 2 menos 2ab + b elevado a 2 é (a menos b)elevado a 2.

Observe os exemplos.

a) 4x elevado a 2 + 12x + 9 = (2x)elevado a 2 + 2 ⋅ (2x ⋅ 3) + 3elevado a 2 = (2x + 3)elevado a 2

b) 4melevado a 2nelevado a 2 menos 4mnc + c elevado a 2 = (2mn)elevado a 2 menos 2 ⋅ (2mn ⋅ c) + c elevado a 2 = (2mn menos c)elevado a 2

Atividades

Faça as atividades no caderno.

78. Fatore os polinômios.

a) x elevado a 2 + 6x + 9

b) x elevado a 2 menos 16x + 64

c) 9x elevado a 2 + 30xy + 25y elevado a 2

d) x elevado a 2 menos 2ax + a elevado a 2

e) 1 + 9m elevado a 2 menos 6m

\frac{1}{4}

a elevado a 2 menos 5ab + 25b elevado a 2

79. Quais dos polinômios a seguir são trinômios quadrados perfeitos?

a) a elevado a 2 + 6ab + 9b elevado a 2

b) a elevado a 2 + b +

\frac{1}{4}

c) 16x elevado a 2 menos 24xy + 9y elevado a 2

d) 4x elevado a 2 menos 4x + 1

80. Escreva a fórma fatorada dos polinômios.

a) x elevado a 2 menos 6x + 9

b) 1 menos 6x + 9xelevado a 2

c) x elevado a 2 menos 10x + 25

d) x elevado a 3 menos 2x elevado a 2 + x

e) x elevado a 4 + 2x elevado a 3 + x elevado a 2

\frac{1}{5}

x 2 ‒

\frac{4}{5}

x +

\frac{4}{5}

81. Escreva as expressões como um produto de polinômios.

a) a elevado a 2 + 2ab + b elevado a 2 menos c elevado a 2

b) (a elevado a 2 + b elevado a 2)elevado a 2 menos 4a elevado a 2b elevado a 2

c) (a elevado a 2 + b elevado a 2)elevado a 2 menos 2(a elevado a 2 + b elevado a 2) + 1

82. Considere um jardim com o formato de um quadrado de lado medindo x metros. Devem-se aumentar as dimensões em 2 metros, de acôrdo com a imagem.

Figura geométrica. Quadrado dividido em 4 figuras: quadrado x por x; retângulo x por 2; retângulo 2 por x; e quadrado 2 por 2.

a) Indique, na fórma de um trinômio e na fórma fatorada, a nova medida de área do jardim.

b) Escreva uma expressão algébrica simplificada que indique a diferença entre as medidas de área nova e área antiga.

c) Se a diferença entre as medidas de área é de 42 métroselevado a 2, qual era aqui inicialmente a medida do lado do jardim?

Respostas e comentários

78. a) (x + 3)elevado a 2

78. b) (x menos 8)elevado a 2

78. c) (3x + 5y)elevado a 2

78. d) (x menos a)elevado a 2

78. e) (3m menos 1)elevado a 2

78. f)

{(\frac{1}{2} a ‒ 5 b)}^{2}

79. alternativas a, c, d

80. a) (x menos 3)elevado a 2

80. b) (1 menos 3x)elevado a 2

80. c) (x menos 5)elevado a 2

80. d) x(x menos 1)elevado a 2

80. e) x elevado a 2(x + 1)elevado a 2

80. f)

\frac{1}{5} (x ‒ 2)^{2}

81. a) (a + b + c)(a + b menos c)

81. b) (a + b)elevado a 2 ⋅ (a menos b)elevado a 2

81. c) (a elevado a 2 + b elevado a 2 menos 1)elevado a 2

82. a)

x^{2} + 4 x + 4 = {(x + 2)}^{2}

82. b)

4 x + 4

82. c) 9,5 métros

Explique aos estudantes que, para fatorarmos um trinômio quadrado perfeito, devemos verificar se é possível extrair a raiz quadrada exata do primeiro e do último termo dele e, em caso afirmativo, devemos verificar se o termo do meio do trinômio corresponde ao dôbro do produto entre as raízes quadradas do primeiro e do último termo. Se as condições anteriores estiverem satisfeitas, basta escrever um binômio composto das raízes quadradas do primeiro e do último termo do trinômio quadrado perfeito, e a operação entre os termos do binômio corresponderá ao sinal apresentado pelo termo do meio do trinômio.

Página 113

4 Resolução de equações do 2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa encontrar as raízes dessa equação que pertencem ao conjunto universo dela.

Toda equação do 2º grau póde ser escrita na fórma axelevado a 2 + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.

• Quando todos os coeficientes (a, b e c) são diferentes de zero, dizemos que a equação é completa.

• Quando b ou c ou os dois coeficientes são iguais a zero, dizemos que a equação é incompleta.

Resolução de equações do 2º grau incompletas

Acompanhe a resolução de algumas equações de 2º grau incompletas.

a) Vamos resolver a equação 4xelevado a 2 menos 36 = 0, considerando U =

Símbolo. Conjunto dos números racionais.

4xelevado a 2 menos 36 = 0

4xelevado a 2 menos 36 + 36 = 0 + 36

Adicionamos 36 a ambos os membros da equação.

4xelevado a 2 = 36

4xelevado a 2 dividido por 4 = 36 dividido por 4

Dividimos os dois membros por 4.

xelevado a 2 = 9

x = \sqrt{9} = 3

x = - \sqrt{9} = - 3

Como menos3 e 3 são raízes da equação e pertencem ao conjunto universo, então

S = \{‒ 3, 3\}

b) Sendo U =

, vamos resolver a equação 2xelevado a 2 + 10 = 0.

2xelevado a 2 + 10 menos 10 = 0 menos 10

Subtraímos 10 de ambos os membros da equação.

2xelevado a 2 = menos10

2xelevado a 2 dividido por 2 = menos10 dividido por 2

Dividimos os dois membros por 2.

xelevado a 2 = menos5

Não existe número real que, elevado ao quadrado, seja igual a menos5. Portanto, S = ∅.

c) Agora, vamos resolver a equação

- 7 x^{2} = 0

, considerando U =

menos7xelevado a 2 dividido por menos7 = 0 dividido por menos7

Dividimos os dois membros por menos7.

xelevado a 2 = 0

x = menos0 = 0 ou x = +0 = 0

Como a equação tem duas raízes reais iguais a zero e 0 pertence ao conjunto universo, então

S = \{0\}

Sugestão de leitura

GUELLI, Oscar. História da equação do 2º grau. São Paulo: Ática, 1999. (Coleção Contando a história da Matemática).

O livro conta a história das equações do 2º grau desde seu primeiro registro e passa pela evolução das representações até chegar ao uso de símbolos. Além disso, o livro traz vários desafios intrigantes para resolver.

Respostas e comentários

Resolução de equações do 2º grau

Bê êne cê cê:

• Competência específica 1 (a descrição está na página sete).

• Habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove.

Objetivos:

• Resolver equações do 2º grau completas com uma incógnita utilizando diferentes estratégias.

• Mobilizar os conhecimentos construídos para a resolução de problemas.

Justificativa

Em anos anteriores os estudantes tiveram contato com equações do 1º grau com uma incógnita, equações do 1º grau com duas incógnitas e com equações do 2º grau com um incógnita, porém com foco maior nas equações do tipo axelevado a 2 + c = 0. A resolução de equações do 2º grau completas amplia os conhecimentos previamente adquiridos pelos estudantes sobre equações e amplia o repertório de estratégias de resolução de problemas, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero nove.

Mapeando conhecimentos

Reproduza na lousa as atividades 14, 15, 16 e 17 da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e peça aos estudantes que as realizem em duplas. Faça um levantamento das principais dificuldades enfrentadas.

Para as aulas iniciais

Faça a correção coletiva das atividades propostas na dinâmica inicial e explore com os estudantes as revisões trazidas na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores.

Resolução de equações do 2º grau incompletas

Comente com os estudantes que a equação 4xelevado a 2 menos 36 = 0 é do tipo axelevado a 2 + bx + c = 0, sendo a = 4, b = 0 e c = menos36. Como b = 0, essa equação de 2º grau é incompleta. Relembre que a, b e c são números reais chamados coeficientes.

(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.

Página 114

d) Sendo U =

, vamos resolver

2 x^{2} - 32 x = 0

Uma fórma de resolver essa equação é colocar o fator comum 2x em evidência:

2x (x menos 16) = 0

Como o produto dos fatores 2x e (x menos 16) é zero, então pelo menos um deles é zero. Assim:

• 2xis = 0

xis = 0

• (x menos 16) = 0

xis menos 16 = 0

xis = 16

Como 0 e 16 são raízes da equação e pertencem ao conjunto universo, então S = {0, 16}.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

83. Resolva as equações considerando U =

a) x elevado a 2 menos 81 = 0

b) x elevado a 2 menos 3 = 0

c) x elevado a 2 + 24 = 0

d) 16x elevado a 2 menos 25 = 0

e) 5x elevado a 2 = 0

f) x elevado a 2 menos 5x = 0

g) menos2x elevado a 2 menos 10x = 0

\frac{3 x^{2}}{4} ‒ 5 x = 0

i) 6x elevado a 2 = 5x

j) (x + 2)elevado a 2 = 4

84. Considerando U =

, resolva cada equação.

a) (2x menos 3)elevado a 2 + 12x = 9

b) x ⋅ (x + 2) = 4x

c) 3 ⋅ (x menos 2)elevado a 2 = 12

2 x^{2} ‒ \frac{3}{4} = x^{2} + \frac{1}{4}

85. Resolva as equações, considerando U =

a) 7m elevado a 2 + 3 = 8m elevado a 2 + 3

(\frac{x}{7} - 11) \cdot (\frac{x}{7} + 11) = 0

86. O retângulo e o quadrado a seguir têm a mesma medida de área. Observe atentamente as figuras e responda às questões.

Figura geométrica. Retângulo 5 por 1 vírgula 6 x. Figura geométrica. Quadrado x por x.

a) Qual é a medida do comprimento do lado do quadrado?

b) Qual é a medida do perímetro do quadrado? E o do retângulo?

c) Qual é a medida da área do retângulo e do quadrado?

87. Determine os possíveis valores de x em cada caso.

a) O quadrado de x é igual a 144.

b) O quadrado de x é igual a 169.

c) O dôbro do quadrado de x é igual ao triplo de x.

Respostas e comentários

83. a) S = {menos9, 9}

83. b)

S = \{- \sqrt{3}, x = \sqrt{3}\}

83. c) S = ∅

83. d)

S = \{- \frac{5}{4}, \frac{5}{4}\}

83. e) S = {0}

83. f) S = {0, 5}

83. g) S = {menos5, 0}

83. h)

S = \{0, \frac{20}{3}\}

83. i)

S = \{0, \frac{5}{6}\}

83. j) S = {menos 4, 0}

84. a) S = {0}

84. b) S = {0, 2}

84. c) S = {0, 4}

84. d) S = {1}

85. a) S = {0}

85. b) S = {menos77, 77}

86. a) 8

86. b) 32; 35,6

86. c) 64

87. a) x = menos12 ou x = 12

87. b) x = menos13 ou x = 13

87. c) x = 0 ou

x = \frac{3}{2}

Comente com os estudantes que, na equação 2xelevado a 2 menos 32x = 0, temos uma equação de 2º grau incompleta com o coeficiente c = 0. Em sua resolução, foi utilizado um dos casos de fatoração estudado neste capítulo: fator comum em evidência. Quando colocamos o fator comum em evidência, recaímos em um produto igual a zero. Esse é um bom momento para levar os estudantes a inferirem que, quando um produto é igual a zero, pelo menos um dos fatores é igual a zero.

• Enfatize aos estudantes que, ao resolver um problema que recai em uma equação do 2º grau, é preciso, depois de encontrar as raízes da equação, verificar se elas podem ser respostas do problema, como na atividade 86. Nessa atividade, as raízes são 0 e 8, mas 0 não pode ser resposta do problema, pois é a medida de comprimento do lado de um quadrado; assim, consideramos somente 8.

Página 115

Resolução de equações do 2º grau completas

Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi, matemático árabe do século nove, em seu livro Al-jabr Wa’l muqabalah, apresentou regras para encontrar as raízes positivas de equações do 2º grau. Em suas soluções, ele usava apenas palavras, sem empregar símbolos.

Uma das equações apresentadas e resolvidas por Al-Khowarizmi foi: x elevado a 2 + 10x = 39.

Como podemos encontrar as raízes dessa equação? A seguir, vamos estudar a resolução de equações do 2º grau completas, como a estudada por Al-Khowarizmi.

Fotografia. Vista frontal de escultura de um homem em pé entre quatro pilares. Acima, estrutura em meio círculo. Ao fundo, construção com diversos pilares enfileirados. — Monumento de Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi em frente ao edifício da administração da Câmara Municipal da cidade de Urgench, no Uzbequistão. Foto de 2021.

Resolução por fatoração

Vamos usar o que já foi estudado sobre fatoração e produtos notáveis para resolver algumas equações do 2º grau completas. Acompanhe alguns exemplos.

a) Vamos resolver a equação x elevado a 2 menos 10x + 25 = 0, considerando U =

Temos que xelevado a 2 menos 10x + 25 é um trinômio quadrado perfeito.

Ilustração. Menino negro de cabelo castanho, óculos, camisa verde. Ele diz: Lembre que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes os produtos dos termos mais o quadrado do segundo termo.

Assim:

Esquema. Primeira linha: x elevado ao quadrado, menos 10x, mais 25, é igual a 0. Segunda linha: x elevado ao quadrado, menos 2 vezes x vezes 5, mais 5 elevado ao quadrado, é igual a 0. Entre a primeira e a segunda linha, há 3 fios. Um fio ligando x elevado ao quadrado na primeira linha a x elevado ao quadrado na segunda linha. Um fio ligando 10x na primeira linha a 2 vezes x vezes 5 na segunda linha. Um fio ligando 25 na primeira linha a 5 elevado ao quadrado na segunda linha. Esquema. Abre parênteses, x menos 5, fecha parênteses, elevado ao quadrado é igual a 0. Seta laranja para a direita com a indicação: abre parênteses, x menos 5, fecha parênteses, elevado ao quadrado, é a forma fatorada do trinômio.

Como (x menos 5)elevado a 2 = (x menos 5) ⋅ (x menos 5), temos:

(x menos 5) ⋅ (x menos 5) = 0

Os dois fatores da multiplicação são iguais e o produto dos fatores é zero, portanto:

(x menos 5) = 0 ⇒ x = 5

Como a equação tem duas raízes reais iguais a 5 e 5 pertence ao conjunto universo, então S = {5}.

b) Vamos resolver a equação 16x elevado a 2 + 24x = menos9, considerando U =

Adicionando 9 a ambos os membros da equação, obtemos:

Esquema. 16 x elevado ao quadrado, mais 24x, mais 9, é igual a menos 9 mais 9, implica em 16 x elevado ao quadrado, mais 24x, mais 9 é igual a 0. Em ambos os membros da primeira equação, a expressão "mais 9" está em destaque. Abaixo de 16 x elevado ao quadrado, mais 24x, mais 9, fio com indicação: trinômio quadrado perfeito.

Esquema. Primeira linha: 16 x elevado ao quadrado, mais 24x, mais 9 é igual a 0. Segunda linha: abre parênteses, 4x, fecha parênteses, elevado ao quadrado, mais 2 vezes 4x vezes 3, mais 3 elevado ao quadrado, é igual a 0. Entre a primeira e a segunda linha, há 3 fios. Um fio ligando 16 x elevado ao quadrado na primeira linha a, abre parênteses, 4x, fecha parênteses, elevado ao quadrado na segunda linha. Um fio ligando 24x na primeira linha a 2 vezes 4x vezes 3 na segunda linha. Um fio ligando 9 na primeira linha a 3 elevado ao quadrado na segunda linha.

Esquema. Abre parênteses, 4x mais 3, fecha parênteses, elevado ao quadrado é igual a 0. Seta laranja para a direita com a indicação: abre parênteses, 4x mais 3, fecha parênteses, elevado ao quadrado, é a forma fatorada do trinômio.

(4x + 3) ⋅ (4x + 3) = 0

Ilustração. Menina branca de cabelo castanho e blusa rosa. Ela diz: Lembre que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes os produtos dos termos mais o quadrado do segundo termo.

Respostas e comentários

Resolução de equações do 2º grau completas

Os exemplos apresentados utilizam o caso de fatoração do trinômio quadrado perfeito. Ressalte que, ao utilizar fatoração nas resoluções de equações do 2º grau, vamos recair em um produto igual a zero e, como visto anteriormente, se o produto de dois fatores é zero, pelo menos um deles é zero.

Página 116

Como (4x + 3)elevado a 2 = (4x + 3) ⋅ (4x + 3), temos:

(4x + 3) ⋅ (4x + 3) = 0

Os dois fatores da multiplicação são iguais e o produto dos fatores é zero, portanto:

(4x + 3) = 0

x = - \frac{3}{4}

Como a equação tem duas raízes reais iguais a

‒ \frac{3}{4}

‒ \frac{3}{4}

pertence ao conjunto universo, então

S = \{‒ \frac{3}{4}\}

c) Agora, vamos determinar a raiz positiva da equação x elevado a 2 + 10x = 39, apresentada por Al-Khowarizmi.

Observe que o 1º membro da equação (x elevado a 2 + 10x) não é um trinômio quadrado perfeito. Para resolvê-la, devemos encontrar uma equação equivalente a ela, cujo 1º membro seja um trinômio quadrado perfeito.

Observe a explicação de Dênis sobre como ele determinou essa equação equivalente.

Ilustração. Menino de cabelo preto e blusa azul. Ele fala: Primeiro considerei x elevado ao quadrado a medida da área de um quadrado com lado de medida de comprimento x. À direita, quadrado x por x. Ilustração. Menino de cabelo preto e blusa azul diz: Depois, interpretei 10x como a medida da área de dois retângulos com medida de área igual a 5x. Juntei os retângulos ao quadrado e obtive uma figura com medida de área igual a x elevado ao quadrado mais 10x.
À esquerda, figura composta por quadrado x por x, retângulo vertical 5 por x e retângulo horizontal 5 por x.
Ilustração. Menino de cabelo preto e blusa azul conclui: Então, ao adicionar 25 a ambos os membros da equação x elevado ao quadrado mais 10x é igual a 39, obtive uma equação equivalente a esta, cujo primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito. Ilustração. Menino de cabelo preto e blusa azul continua: Por fim, completei a figura acrescentando um quadrado cuja medida do comprimento do lado é igual a 5. Obtive um quadrado com lado de medida de comprimento igual a x mais 5, em que a medida da área é representada pelo trinômio quadrado perfeito x elevado ao quadrado mais 10x mais 25. À direita, quadrado composto por quadrado x por x, retângulo vertical 5 por x, retângulo horizontal 5 por x e quadrado 5 por 5.

Respostas e comentários

Peça aos estudantes que observem atentamente o passo a passo da representação geométrica da resolução da equação xelevado a 2 + 10x = 39. A esse método de resolução chamamos de completar quadrado. Observe que, ao realizar as operações em cada termo, o objetivo é que, no primeiro membro da equação, esteja a expressão que representa a medida da área de um quadrado.

A resolução de equações de 2º grau pelo método de completar quadrados, bem como a justificativa do processo, favorece o desenvolvimento das práticas de argumentação.

Página 117

Agora, podemos resolver a equação inicial mais facilmente.

Esquema. Primeira linha: x elevado ao quadrado, mais 10x, mais 25, é igual a 39 mais 25. Em ambos os membros dessa equação, a expressão "mais 25" está em destaque. Segunda linha: x elevado ao quadrado, mais 2 vezes x vezes 5, mais 5 elevado ao quadrado, é igual a 64. Entre a primeira e a segunda linha, há 3 fios. Um fio ligando x elevado ao quadrado na primeira linha a x elevado ao quadrado na segunda linha. Um fio ligando 10x na primeira linha a 2 vezes x vezes 5 na segunda linha. Um fio ligando 25 na primeira linha a 5 elevado ao quadrado na segunda linha.

(x + 5)elevado a 2 = 64

(x + 5) = \sqrt{64} = 8

x = 3

Portanto, 3 é a raiz positiva da equação x elevado a 2 + 10x = 39.

Ilustração. Mulher de cabelo castanho e blusa roxa fala: Esta forma de resolução é conhecida como método de completar quadrados. Era esse o método que Al-Khowarizmi utilizava para resolver as equações de segundo grau.

▸ Qual é a outra raiz da equação x elevado a 2 + 10x = 39? Por que essa raiz não poderia ser determinada pelo método de Al-Khowarizmi?

Fórmula de resolução de uma equação do 2º grau

Considerando a equação do 2º grau ax elevado a 2 + bx + c = 0, em que a, b e c são coeficientes reais com a ≠ 0, vamos obter, por meio da generalização do método de completar quadrados, uma fórmula para calcular suas raízes. Acompanhe:

1º) Multiplicamos ambos os membros da equação por 4a:

4a ⋅ (ax elevado a 2 + bx + c) = 0 ⋅ 4a

4a elevado a 2x elevado a 2 + 4abx + 4ac = 0

2º) Subtraímos 4ac de ambos os membros da equação:

4a elevado a 2x elevado a 2 + 4abx + 4ac menos 4ac = 0 menos 4ac

4a elevado a 2x elevado a 2 + 4abx = menos4ac

3º) Adicionamos b elevado a 2 a ambos os membros da equação:

Esquema. 4 a elevado ao quadrado, x elevado ao quadrado, mais 4abx mais b elevado ao quadrado é igual a menos 4ac mais b elevado ao quadrado. Em ambos os membros da equação, a expressão "mais b elevado ao quadrado" está em destaque. Abaixo de 4 a elevado ao quadrado, x elevado ao quadrado, mais 4abx mais b elevado ao quadrado, fio com indicação: trinômio quadrado perfeito.

4a elevado a 2x elevado a 2 + 4abx + b² = ‒4ac + belevado a 2

4º) Fatoramos o 1º membro:

(2ax + b)elevado a 2 = b elevado a 2 ‒ 4ac

5º) Considerando b elevado a 2 ‒ 4ac ⩾ 0, extraímos a raiz quadrada dos dois membros:

Esquema. Primeira linha: 2ax mais b é igual a mais, início da raiz quadrada, b elevado ao quadrado menos 4 a c, fim da raiz. Segunda linha: ou Terceira linha: 2ax mais b é igual a menos, início da raiz quadrada, b elevado ao quadrado menos 4 a c, fim da raiz. À direita, uma chave entre a primeira e a terceira linha, com a indicação: 2ax mais b é igual a mais ou menos, início da raiz quadrada, b elevado ao quadrado menos 4 a c, fim da raiz.

6º) Isolamos x:

2 a x = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Ilustração. Mulher de cabelo preto, blusa azul e colete marrom. Ela fala: Você sabe por que consideramos b elevado ao quadrado menos 4 a c maior ou igual a 0?

Respostas e comentários

item: ‒13; porque Al-Khowarizmi considerou que x + 5 é positivo porque é a medida do comprimento do lado de um quadrado.

balão de fala: espera-se que os alunos respondam que belevado a 2 + 4ac é resultado do quadrado de 2ax + b; então, é positivo ou nulo.

Ressalte aos estudantes que, para construir a fórmula resolutiva de uma equação do 2º grau, foi aplicada a mesma estratégia de completar quadrados usada para a resolução da equação xelevado a 2 + 10x = 39.

Na pergunta feita pela personagem (“Você sabe por que consideramos belevado a 2 menos 4ac ⩾ 0?”), espera-se que os estudantes respondam que, pelo fato de ser igual a (2ax + b)elevado a 2 na sentença, belevado a 2 menos 4ac deve ser positivo ou nulo.

Página 118

Assim, encontramos a fórmula resolutiva de equações do 2º grau ax elevado a 2 + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais com a ≠ 0.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

A fórmula resolutiva de equações do 2º grau é conhecida como fórmula de báscara, que permite determinar as raízes de uma equação quando conhecemos os seus coeficientes.

Assim, concluímos que as raízes da equação do 2º grau ax elevado a 2 + bx + c = 0 são:

x_{1} = \frac{‒ b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Vamos resolver, por exemplo, a equação 7x elevado a 2 + 13x menos 2 = 0 considerando U =

Aplicando a fórmula resolutiva para a = 7, b = 13 e c = menos2, temos:

x = \frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 7}

x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 56}}{14}

x = \frac{- 13 \pm \sqrt{225}}{14}

Esquema. x é igual a fração de numerador menos 13 mais ou menos 15, e denominador 14. Fio à direita com indicação em duas linhas. Primeira linha: x1 é igual a fração de numerador menos 13 mais 15, e denominador 14, fim da fração, igual a fração 2 sobre 14, fim da fração, igual a fração 1 sobre 7. Segunda linha: x2 é igual a fração de numerador menos 13 menos 15, e denominador 14, fim da fração, igual a menos fração 28 sobre 14, fim da fração, igual a menos 2.

Como menos2 e

\frac{1}{7}

são raízes da equação e pertencem ao conjunto universo, então

S = \{‒ 2, \frac{1}{7}\}

Sugestão de leitura

ROSA, Ernesto. As mil e uma equações. São Paulo: Ática, 2008. (Coleção A descoberta da Matemática).

Kamal, améd e Najla descobrem um plano para assassinar o emir e desvendam os segredos das equações do 2º grau nessa história divertida e interessante que se passa nos reinos muçulmanos do século nove. No final do livro, há também um minialmanaque com desafios e enigmas para resolver.

Clique no play e acompanhe a reprodução do Áudio.

Transcrição do áudio

Fórmula de Bhaskara?

Duração: 4:17min. Página: 118.

>> [Locutora] Fórmula de Bhaskara?

Vinheta.

Fundo musical.

>> [Locutora] Hoje, vamos falar sobre um matemático de quem você provavelmente já ouviu falar: Bhaskara. Esse nome é familiar?

>> [Locutora] Caso não seja, só para você saber, quando alguém precisa resolver problemas com equações quadráticas, geralmente acaba usando uma fórmula que, popularmente aqui no Brasil, é conhecida como fórmula de Bhaskara.

>> [Locutora] Tá! Mas quem é esse moço? E por que damos o nome dele para tal fórmula?

>> [Locutora] Bhaskara nasceu na Índia e foi um dos mais importantes matemáticos do século XII. Também foi diretor do maior centro de pesquisas astronômicas e matemáticas da Índia, na época: o Observatório de Ujjain. Dentre os livros que escreveu, dois ficaram famosos: Lilavati e Bijaganita. O livro Bijaganita trata de álgebra e possui muitos problemas sobre equações lineares e quadráticas.

>> [Locutora] Diferente dos dias atuais, em que costumamos resolver equações por meio de letras e números, antigamente, os problemas, as regras e as soluções eram escritas com palavras. As fórmulas só apareceram muito tempo depois, por volta de 1 600 anos depois de Cristo.

>> [Locutora] Só como curiosidade, no livro Lilavati, do Bhaskara, existem problemas que foram enunciados de uma forma bem peculiar, com linguagem poética. [Tom animado] Isso mesmo! Veja um exemplo!

>> [Locutora] [Tom de narrativa] “Linda donzela de olhos resplandecentes, uma vez que entendeis o método de inversão correto, dizei-me: qual é o número que, multiplicado por 3, depois acrescido de três quartos do produto, depois dividido por 7, diminuído de um terço do quociente, multiplicado por si mesmo...” E por aí vai.

>> [Locutora] É importante destacar que, antes de Bhaskara, outros povos já conheciam, estudavam e resolviam equações quadráticas.

>> [Locutora] Mesopotâmicos, por volta de 1 700 anos antes de Cristo, já conheciam problemas com equações quadráticas. Os gregos, cerca de 300 anos antes de Cristo, também lidavam com essas equações, mas as resolviam de forma diferente, utilizando métodos geométricos. Os árabes, no século quatro [sic] depois de Cristo, também resolveram problemas que envolviam equações quadráticas, mas utilizavam um método chamado de completamento de quadrados.

Pausa com fundo musical.

>> [Locutora] Bhaskara, apesar de conhecer maneiras de resolver equações quadráticas, [tom enfático] não desenvolveu o método para a resolução da equação de segundo grau [tom enfático] e nem escreveu a fórmula como a conhecemos hoje! Mesmo porque as fórmulas surgiram mais de quatro séculos depois dele. Então, por que chamamos a fórmula para resolução da equação de segundo grau de fórmula de Bhaskara?

>> [Locutora] Pois é, o Brasil é o único país do mundo que relaciona essa fórmula ao nome desse importante matemático. A origem dessa associação é incerta, mas, a partir da década de 1960, o uso do termo “fórmula de Bhaskara” passou a ser comum no Brasil. Mas saiba que Bhaskara nada teve a ver com isso!

Fundo musical.

Vinheta.

Créditos

Todos os áudios inseridos neste conteúdo são da Free Sound.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

88. Resolva as equações, considerando U =

a) x elevado a 2 + 5x + 6 = 0

b) 6x elevado a 2 menos x menos 2 = 0

x^{2} ‒ 2 \sqrt{5} x + 4 = 0

d) x elevado a 2 menos 14x + 49 = 0

89. A soma de um número real com seu quadrado é 42. Determine esse número.

90. Subtraindo o inverso de um número real qualquer (diferente de zero) desse mesmo número, obtemos

\frac{3}{2}

. Determine esse número.

91.

Com base no retângulo a seguir, elabore um problema sobre medidas de área no qual seja necessário encontrar o valor da incógnita x. Troque de problema com um colega. Conversem a respeito da resolução e verifiquem se os procedimentos efetuados foram adequados para encontrar a resposta. Caso tenham dúvidas, conversem com o professor.

Figura geométrica. Retângulo com lados de medida x por x mais 3 e área de 270 metros quadrados.

92.

Elabore um problema envolvendo a idade de duas pessoas. A equação que resolve o problema deve ser uma equação do 2º grau que póde ser resolvida por algum método de fatoração. Troque de problema com um colega. Em seguida, conversem a respeito da resolução e verifiquem se os procedimentos efetuados estavam corretos.

Respostas e comentários

88. a) S = {menos3, menos2}

88. b)

S = \{‒ \frac{1}{2}, \frac{2}{3}\}

88. c)

S = \sqrt{5} ‒ 1

\sqrt{5} + 1

88. d) S = {7}

89. menos7 ou 6

90.

- \frac{1}{2}

ou 2

91. Resposta pessoal. As raízes da equação são x₁ = menos18 e x₂ = 15. Os estudantes devem perceber que apenas a raiz positiva convém para a resposta.

92. Resposta pessoal.

Comente com os estudantes que há uma discussão sobre o matemático báscara ter ou não descoberto a fórmula resolutiva da equação do 2º grau.

Sugestão de atividade extra

Organize os estudantes em grupos e peça que façam uma pesquisa sobre o matemático báscara, falando um pouco sobre suas contribuições para a Matemática, inclusive sobre a questão da descoberta da fórmula resolutiva da equação do 2º grau. Após a pesquisa, faça uma rodade conversa para discutir e compartilhar os resultados.

Página 119

Discriminante

A expressão b elevado a 2 menos 4ac é chamada de discriminante da equação do 2º grau ax elevado a 2 + bx + c = 0 e é representada pela letra grega Δ (delta).

Então, a fórmula de báscara póde ser escrita assim:

x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}

Analisando essa fórmula, podemos verificar se uma equação tem ou não raízes reais e obter uma relação entre os coeficientes e as raízes de uma equação do 2º grau.

• Quando Δ > 0,

\sqrt{Δ}

é um número real e a equação possui duas raízes reais diferentes.

x_{1} = \frac{‒ b + \sqrt{Δ}}{2 a}

x_{2} = \frac{‒ b ‒ \sqrt{Δ}}{2 a}

• Quando Δ = 0,

\sqrt{Δ}

é nulo e a equação tem duas raízes reais iguais.

x_{1} = x_{2} = ‒ \frac{b}{2 a}

• Quando Δ < 0,

\sqrt{Δ}

não é um número real, pois qualquer número real elevado ao quadrado é igual a um número positivo ou nulo. Dizemos, então, que a equação não tem raízes reais.

Para, por exemplo, determinar os valores de m em que a equação 3x elevado a 2 + 6x + m = 0 possui duas raízes reais, temos:

a = 3, b = 6 e c = m

Para que a equação tenha duas raízes reais diferentes, temos que ter Δ > 0. Portanto, como Δ = belevado a 2 ‒ 4ac, temos:

Sentença matemática. b elevado ao quadrado menos 4ac, é maior que 0. Sentença matemática. 6 elevado ao quadrado menos 4 vezes 3, vezes m é maior que 0. Sentença matemática. 36 menos 12m é maior que 0. Esquema. Primeira linha: Menos 12m é maior que menos 36. Segunda linha: 12m é menor que 36. Flecha à direita, da primeira para a segunda linha, com indicação: Multiplicamos ambos os membros por menos 1 e invertemos o sentido da desigualdade. O termo menos 1 está em destaque. Sentença matemática. m é menor que 3.

Assim, os valores de m devem ser menores que 3 para que a equação tenha duas raízes reais diferentes.

Observe que, se m = 3, a equação tem duas raízes reais iguais, e que, se m > 3, a equação não tem raízes reais.

Em outro exemplo, para determinar o valor de k para a equação xelevado a 2 menos2x + k = 0 sabendo que possui duas raízes reais e iguais. Nesse caso, sabemos que ∆ = 0.

a = 1, b = menos2 e c = k

(menos2)elevado a 2 menos 4 ⋅ 1 ⋅ k = 0

4 menos 4k = 0

4 = 4k

1 = k

Assim, k é igual a 1, para que a equação xelevado a 2 menos2x + k = 0 tenha duas raízes reais e iguais.

Respostas e comentários

Discriminante

Enfatize aos estudantes que conhecer o sinal do discriminante permite saber se, na equação do 2º grau, há ou não raízes reais e se elas são iguais ou diferentes.

Página 120

Atividades

Faça as atividades no caderno.

93. Calcule o discriminante e indique se a equação tem raízes reais.

a) x elevado a 2 menos 10x + 21 = 0

b) x elevado a 2 menos 2x + 1 = 0

c) 4x elevado a 2 menos 4x + 1 = 0

d) 3x elevado a 2 + 6x + 4 = 0

94. Determine o valor de p na equação x elevado a 2 menos 6x + p menos 5 = 0, de incógnita x, de modo que suas raízes:

a) sejam reais e iguais;

b) sejam reais e diferentes;

c) não sejam reais.

95. Determine o valor de k para que a equação 3x² ‒ 5x + 2k = 0 não tenha raízes reais.

96. Determine os valores de a em cada uma das equações a seguir, de modo que:

a) a equação x elevado a 2 menos 7x + a = 0 tenha duas raízes reais diferentes;

b) a equação x elevado a 2 menos ax + 9 = 0 tenha duas raízes reais iguais;

c) a equação x elevado a 2 menos 3x + a = 0 não tenha raízes reais.

fórma fatorada de uma equação do 2º grau

Considere a equação ax elevado a 2 + bx + c = 0, com a ≠ 0 e suas raízes:

x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

Adicionando e multiplicando as raízes da equação, obtemos:

•

x_{1} + x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- b - b + \sqrt{Δ} - \sqrt{Δ}}{2 a} = \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a}

Esquema. Sentença matemática. x1 vezes x2 é igual a fração de numerador menos b mais raiz quadrada de delta, fim da raiz, e denominador 2a, fim da fração vezes fração de numerador menos b menos raiz quadrada de delta, fim da raiz, e denominador 2a, fim da fração, é igual a fração de numerador, abre parênteses, menos b, fecha parênteses, elevado ao quadrado, menos, abre parênteses, raiz quadrada de delta, fecha parênteses, elevado ao quadrado, e denominador 4 a elevado ao quadrado, fim da fração, é igual a fração de numerador b elevado ao quadrado menos delta, e denominador 4 a elevado ao quadrado, fim da fração, é igual a fração de numerador b elevado ao quadrado, menos, abra parênteses, b elevado ao quadrado menos 4ac, fecha parênteses, e denominador 4 a elevado ao quadrado, fim da fração, é igual a fração c sobre a. Seta indo de fração de numerador menos b mais raiz quadrada de delta, fim da raiz, e denominador 2a, fim da fração vezes fração de numerador menos b menos raiz quadrada de delta, fim da raiz, e denominador 2a, fim da fração, para fração de numerador, abre parênteses, menos b, fecha parênteses, elevado ao quadrado, menos, abre parênteses, raiz quadrada de delta, fecha parênteses, elevado ao quadrado, e denominador 4 a elevado ao quadrado, fim da fração, com a indicação: produto da soma pela diferença.

Colocando a em evidência no 1º termo da equação axelevado a 2 + bx + c = 0, temos:

Esquema. a, abre parênteses, x elevado ao quadrado, mais fração b sobre a, fim da fração, x, mais fração c sobre a, fecha parênteses, é igual a 0. Abaixo da fração b sobre a, fio com indicação: menos, abre parênteses, x1 mais x2, fecha parênteses, é igual a menos, abre parênteses, menos fração b sobre a, fecha parênteses, é igual a fração b sobre a. Abaixo da fração c sobre a, fio com indicação: x1 vezes x2 é igual a fração c sobre a.

Assim:

Esquema. a, abre colchete, x elevado ao quadrado, menos x1 vezes x menos x2 vezes x mais, x1 vezes x2, fecha colchete, é igual a 0. Abaixo de x elevado do quadrado menos x1 vezes x, fio com indicação: x é fator comum. Abaixo de x2 vezes x, mais x1 vezes x2, fio com indicação: x2 é fator comum.

Esquema. a, abre colchete, x vezes, abre parênteses, x menos x1, fecha parênteses, menos x2 vezes, abre parênteses, x menos x1, fecha parênteses, fecha colchete, é igual a 0. Abaixo das duas ocorrências de x menos x1, fio com indicação: fator comum.

a ⋅ (x menos xis₁) ⋅ (x₁ menos xis₂) = 0

Portanto, a fórma fatorada da equação do 2º grau á xiselevado a 2 + bx + c = 0, cujas raízes são xis₁ e xis₂, é:

a ⋅ (x menos xis₁) ⋅ (x menos xis₂) = 0

Respostas e comentários

93. a) Δ = 16; sim

93. b) Δ = 0; sim

93. c) Δ = 0; sim

93. d) Δ = menos12; não

94. a) p = 14

94. b) p < 14

94. c) p > 14

95.

k > \frac{25}{24}

96. a)

a < \frac{49}{4}

96. b) a = menos6 ou a = 6

96. c)

a > \frac{9}{4}

fórma fatorada de uma equação do 2º grau

Comente com os estudantes que conhecer a fórma fatorada de uma equação de 2º grau (a(x menos xis₁) ⋅ (x menos xis₂) = 0) permite saber quais são suas raízes sem realizar cálculos. Por outro lado, é possível encontrar a equação do 2º grau correspondente conhecendo suas raízes.

Página 121

Observe alguns exemplos:

a) Vamos escrever, na fórma fatorada, a equação xiselevado a 2 menos 5x + 6 = 0.

Temos que as raízes xis₁ e xis₂ da equação xiselevado a 2 menos 5x + 6 = 0 são 2 e 3, respectivamente.

Sendo a = 1, xis₁ = 2 e xis₂ = 3, a fórma fatorada de xiselevado a 2 menos 5x + 6 = 0 póde ser escrita como:

(x menos 2) (x menos 3) = 0

b) Vamos determinar uma equação do 2º grau cujas raízes sejam 3 e 4.

Usando a fórma fatorada para a = 1, temos:

(x menos 3)(x menos 4) = 0

Agora, aplicamos a propriedade distributiva:

xiselevado a 2menos 4x menos 3x + 12 = 0

xiselevado a 2 menos 7x + 12 = 0

Logo, a equação procurada é xiselevado a 2 menos 7x + 12 = 0.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

97. Obtenha a fórma fatorada das equações.

a) xiselevado a 2 menos 64 = 0

b) 2xiselevado a 2 menos 7x + 3 = 0

c) 4xiselevado a 2 menos 12x + 9 = 0

d) xiselevado a 2 + 2mx menos 3êmeelevado a 2 = 0

e) 3xiselevado a 2 menos 2xp +

\frac{p^{2}}{3}

= 0

98. Fatore os trinômios.

a) 2xiselevado a 2 menos 4x + 2

b) 8xiselevado a 2 menos 6x + 1

c) 6xiselevado a 2 + x menos 1

d) xiselevado a 2 + 5x menos 24

\frac{x^{2}}{2} ‒ \frac{3}{2}

x menos 14

99. Determine uma equação do 2º grau que tenha:

a) duas raízes reais iguais a 7;

b) menos3 e 8 como raízes;

c) menos1 e menos5 como raízes e o coeficiente de xiselevado a 2 igual a 2;

d) nenhuma raiz real.

Resolução de problemas

Para resolver problemas que envolvam equações do 2º grau com uma incógnita, podemos:

um) encontrar a equação que representa matematicamente o problema;

dois) determinar as raízes da equação;

três) interpretar o valor das raízes, verificando a compatibilidade com os dados do problema, levando em consideração o universo em questão.

Podemos representar as etapas anteriores em um fluxograma:

Fluxograma. Início. Encontrar a equação que representa matematicamente o problema. Determinar as raízes da equação. Verificar se as raízes encontradas satisfazem as condições do problema. Fim.

Agora, acompanhe a resolução de alguns problemas utilizando uma equação do 2º grau.

Respostas e comentários

97. a) (x + 8)(x menos 8) = 0

97. b)

2 (x ‒ 3) (x - \frac{1}{2}) = 0

97. c)

4 {(x - \frac{3}{2})}^{2} = 0

97. d) (x ‒ m)(x + 3m) = 0

97. e)

3 {(x - \frac{p}{3})}^{2} = 0

98. a) 2(x menos 1)elevado a 2

98. b)

8 (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{4})

98. c)

6 (x - \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{2})

98. d) (x menos 3)(x + 8)

98. e)

\frac{1}{2} (x + 4) (x ‒ 7)

99. a) Exemplo de resposta: xiselevado a 2 menos 14x + 49 = 0

99. b) Exemplo de resposta: xiselevado a 2 menos 5x menos 24 = 0

99. c) Exemplo de resposta: 2xiselevado a 2 + 12x + 10 = 0

99. d) Exemplo de resposta: xiselevado a 2 + 1 = 0

• Após concluírem a atividade 97, peça que expliquem como fizeram para fatorar cada uma das equações. Esse é o momento oportuno para incentivá-los a mobilizar o que estudaram sobre os casos de fatoração.

• A atividade 99 apresenta diferentes respostas. Convide alguns estudantes a compartilhar as respostas a que chegaram e proponha aos demais colegas da turma que verifiquem se as respostas do colega atendem as exigências de cada item.

Página 122

Problema 1

Sebastião tem um terreno com as seguintes medidas: 26 métros de comprimento e 16 métros de largura.

Figura geométrica. Retângulo marrom. Dentro, retângulo verde com medidas dos lados 16 metros por 26 metros. A diferença das medidas de cada lado do retângulo maior para o retângulo menor é x.

Ele deseja aumentar a medida da área desse terreno para 816 métroselevado a 2, acrescentando faixas de mesma medida de comprimento de largura a um dos lados e ao fundo. Qual deve ser a medida do comprimento da largura dessas faixas?

Sabendo que a nova medida de área do terreno será 816 métroselevado a 2, escrevemos a seguinte equação:

(x + 16)(x + 26) = 816, com U =

Símbolo. Conjunto dos números reais positivos e não nulos.

Observação

Como x, da equação anterior, corresponde à medida do comprimento da largura, temos que o conjunto universo da equação é U =

Resolvemos a equação para determinar a medida x, em metro:

(x + 16)(x + 26) = 816

x elevado a 2 + 26x + 16x + 416 = 816

x elevado a 2 + 42x menos 400 = 0

Resolvendo a equação, obtemos: x₁ = menos50 e x₂ = 8.

Como menos50 e 8 são raízes da equação, mas só 8 pertence ao conjunto universo, então S = {8}.

Logo, a medida do comprimento da largura das faixas é 8 métros.

Problema 2

Uma empresa de loteamento vai cercar três terrenos próximos, retangulares e de mesmas dimensões. A medida do comprimento é 20 métros maior que a medida da largura do terreno. Os três lotes têm, juntos, .8775 métroselevado a 2 de medida de área. Quais são as dimensões de cada lote?

Figura geométrica. Três retângulos com lados medindo x por x mais 20 metros cada um.

A equação que representa essa situação é:

3(x)(x + 20) = .8775, com U =

Resolvendo a equação para determinar a medida x em metro, temos:

3(x elevado a 2 + 20x) = 8 775

3x elevado a 2 + 60x = 8 775

3x elevado a 2 + 60x menos 8 775 = 0

É possível obter, a partir da equação, as raízes:

x_{1} = 45

x_{2} = - 65

Como menos 65 e 45 são raízes da equação, mas só 45 pertence ao conjunto universo, então S = {45}.

Portanto, as dimensões de cada lote são 45 métros e 65 métros.

Respostas e comentários

Resolução de problemas

Ao trabalhar com situações contextualizadas, chame a atenção dos estudantes para os valores que a incógnita pode assumir. Nos problemas apresentados no livro como exemplo, x só pode assumir valores positivos, pois corresponde a uma medida de comprimento.

Página 123

Atividades

Faça as atividades no caderno.

100. A metade do quadrado de um número inteiro positivo é igual ao dôbro desse número mais 6. Calcule-o.

101. O quadrado de um número natural é igual a seu dôbro adicionado com 24. Determine esse número.

102. O dôbro do quadrado de um número é igual ao produto desse número por 7, menos 3. Qual é o número?

103. O quadrado da idade de Camila subtraído da metade dessa idade é igual a 14 anos. Calcule a idade de Camila.

104. A soma dos quadrados de dois números inteiros positivos e consecutivos é 25. Calcule-os.

105. Determine a medida do comprimento do lado do quadrado em que o número que representa a medida da área excede o número que representa a medida do perímetro em 5.

106. Determine três números inteiros, positivos e consecutivos, tais que o quadrado do menor seja igual à diferença dos outros dois.

107. A medida da área da parte roxa da figura é 94 métroselevado a 2. Calcule a medida x em metro.

Figura geométrica. Retângulo roxo com medidas dos lados x por x mais 10 metros. Dentro, retângulo com medidas dos lados 10 metros por 5 metros.

Veja que interessante

Faça as atividades no caderno.

Equações biquadradas

Perto do ano 2000 antes de Cristo, os babilônios não só resolviam as equações do 2º grau, como também discutiam a resolução de algumas equações de 3º grau e de um tipo especial de equação de 4º grau: as equações biquadradas.

De modo geral, uma equação na incógnita x é chamada de biquadrada quando póde ser escrita na fórma:

ax elevado a 4 + bx elevado a 2 + c = 0, com a ≠ 0

Um exemplo de equação biquadrada é x elevado a 4 menos 13x elevado a 2 + 36 = 0. Observe que podemos escrevê-la da seguinte fórma: (x elevado a 2)elevado a 2 menos 13x elevado a 2 + 36 = 0

Substituindo x elevado a 2 por uma incógnita auxiliar y, obtemos a equação: y elevado a 2 menos 13y + 36 = 0

Dessa fórma, reduzimos a equação biquadrada x elevado a 4 menos 13x elevado a 2 + 36 = 0 à equação do 2º grau y elevado a 2 menos 13y + 36 = 0 de incógnita y. Resolvendo essa equação, obtemos: y ₁ = 4 e y ₂ = 9. Como x elevado a 2 = y, temos:

• Para y = 4, temos x elevado a 2 = 4, ou seja, x = ±2

• Para y = 9, temos x elevado a 2 = 9, ou seja, x = ±3

Logo, as raízes da equação x elevado a 4 menos 13x elevado a 2 + 36 = 0 são menos3, menos2, 2 e 3.

Atividade

Resolva, no caderno, as seguintes equações biquadradas:

a) x elevado a 4 menos 5x elevado a 2 + 4 = 0

b) 2x elevado a 4 menos 16x elevado a 2 = 18

Respostas e comentários

100. 6

101. 6

102. 3 ou

\frac{1}{2}

103. 4 anos

104. 3 e 4

105. 5

106. 1, 2 e 3

107. x = 8 métros

Veja que interessante:

item: a) menos2, menos1, 1 e 2

item: b) menos3 e 3

• A atividade 100 pode ser resolvida de acôrdo com a descrição a seguir:

• escrevendo uma equação para representar o problema em que x é o número inteiro positivo desconhecido, obtemos:

\frac{x^{2}}{2} = 2 x + 6

;

• desenvolvendo essa equação, obtemos esta equação equivalente:

xelevado a 2 menos 4x menos 12 = 0;

• resolvendo a equação, encontramos as raízes menos2 e 6;

• interpretando as raízes encontradas, verificamos que o número desejado é um inteiro positivo; dessa fórma, descartamos a raiz menos2.

A exploração do boxe Veja que interessante visa contribuir para o desenvolvimento da competência específica 1.

Página 124

Resolvendo em equipe

Faça a atividade no caderno.

1. (ó bê ême) Qual é o valor da expressão ..20112011elevado a 2 + ..20112003elevado a 2 menos 16 × ..20112007?

a) 2 × 20112007elevado a 2

b) 2 × 20112003elevado a 2

c) 2 × 20112007

d) 2 × 20112003

e) 2 × 20112011elevado a 2

Interpretação e identificação dos dados	• Analise as informações do enunciado e anote no caderno as que você julgar relevantes para a resolução do problema. • Se chamarmos o número 20.112.007 de x, como poderemos representar os números 20.112.011 e 20.112.003?
Interpretação e identificação dos dados
Plano de resolução	• Reescreva a expressão numérica dada, considerando 20.112.007 igual a x. • Desenvolva os produtos notáveis.
Plano de resolução
Resolução	• Junte-se a três colegas. • Mostre a eles seu plano de resolução e observe o deles. • Discutam as diferenças e as semelhanças entre os planos e escolham um para a execução do processo de resolução. Observação Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual no caderno.



Verificação	• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.
Apresentação	• Organizem a apresentação da resolução, explicitando cada etapa e justificando a escolha do número 20.112.007 como x.

Respostas e comentários

Resolvendo em equipe: alternativa b

Interpretação e identificação dos dados:

primeiro item: resposta pessoal

segundo item: (x + 4) e (x menos 4), respectivamente.

Plano de resolução:

primeiro item: (x + 4)elevado a 2 + (x menos 4)elevado a 2 menos 16x

segundo item: x elevado a 2 + 8x + 16 + x elevado a 2 menos 8x + 16 ‒ 16x = 2x elevado a 2 menos 16x + 32 = 2 ⋅ (x menos 4)elevado a 2

Resolução: 2 ⋅ (x menos 4)elevado a 2 = 2 ⋅ (..20112007 menos 4)elevado a 2 = 2 ⋅ .2011elevado a 22 003elevado a 2

Apresentação: Espera-se que os estudantes percebam que a diferença entre ..20112007 e ..20112003 é 4, a mesma diferença observada entre ..20112011 e ..20112007.

Resolvendo em equipe

Bê êne cê cê:

• Competência geral 10 (a descrição está na página seis).

• Competências específicas 2 e 5 (as descrições estão na página sete).

A seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os estudantes. Além de favorecer o desenvolvimento da competência geral 10 e das competências específicas 2 e 5, a seção permite desenvolver habilidades de inferência, quando os estudantes transferem estratégias de resolução para outros contextos e situações.

Acompanhe as discussões das equipes durante a etapa de resolução, intercedendo quando necessário.

Página 125

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Produtos notáveis

Quadrado da soma de dois termos

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}

Quadrado da diferença de dois termos

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2}

Produto da soma pela diferença de dois termos

(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}

1. Desenvolva os produtos notáveis.

{(3 x + 1)}^{2}

{(2 m - 5)}^{2}

(6 a b + 1) \cdot (6 a b - 1)

{(5 a b - 7)}^{2}

(2 x + 5) \cdot (2 x - 5)

2. Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes.

{(x + 2 y)}^{2} + {(2 x - y)}^{2}

{2 (m - 2)}^{2} - 3 (m + 1) \cdot (m - 1)

{(a + b)}^{2} - {(a}^{2} + b^{2})

{(2 a - 3 b)}^{2} + (a - 5 b) (a + 5 b)

3. Sendo

x^{2} + y^{2} = 56

e x ⋅ y = 22, qual é o valor de x + y?

Utilize o quadrado da soma ou da diferença para calcular os quadrados a seguir.

a) 27elevado a 2

b) 43elevado a 2

c) 104elevado a 2

d) 297elevado a 2

Utilize o produto da soma e da diferença de dois termos para resolver os produtos a seguir.

a) 95 ⋅ 105

b) 202 ⋅ 198

c) 54 ⋅ 46

d) 1 001 ⋅ 999

6. Observe a figura e responda.

Figura geométrica. Quadrado composto por 4 figuras: quadrado x por x; retângulo x por 3; retângulo 3 por x; e quadrado 3 por 3.

a) Quais expressões algébricas representam as medidas de área e do perímetro da figura?

b) Se x = 2 centímetros, determine as medidas de área e de perímetro.

Fatoração

Fatoração com um fator comum em evidência

a x + b x = x (a + b)

Fatoração por agrupamento

a x + b x + a y + b y = (a + b) \cdot (x + y)

Fatoração por diferença de dois quadrados

a^{2} - b^{2} = (a + b) \cdot (a - b)

Fatoração do quadrado perfeito

a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

7. Fatore as expressões e escreva o caso de fatoração utilizado.

7 x^{2} + 7 y^{2}

x^{2} y^{2} - 169 z^{2}

c) 30 + 10x menos 12a menos 4ax

5 x^{2} - x^{3}

16 a^{2} - 8 a + 1

8. Fatore as expressões algébricas:

{(a + 3)}^{2} - 9

y x^{3} - x y^{3}

y^{3} - y^{2} - 9 y + 9

12 x^{2} - 48 y^{2}

6 x^{2} - 12 x + 6

Encontre os resultados das expressões numéricas a seguir, utilizando o caso de fatoração diferença de quadrados.

a) .2013elevado a 2 menos .2010elevado a 2

b) 475elevado a 2 menos 474elevado a 2

10. Complete as expressões algébricas, sabendo que elas representam quadrados perfeitos.

{4 y}^{2} + ▪ + 49

▪ - 2 m + 1

{9 n}^{2} + 6 n + ▪

Respostas e comentários

1. a) 9x elevado a 2 + 6x + 1

1. b) 4m elevado a 2 menos 20m + 25

1. c) 36a elevado a 2b elevado a 2 menos 1

1. d) 25a elevado a 2b elevado a 2 menos70ab + 49

1. e) 4x elevado a 2 menos 25

2. b) menosm elevado a 2 menos 8m + 11

2. a) 5x elevado a 2 + 5y elevado a 2

2. c) 2ab

2. d) 5a elevado a 2 menos 12ab menos 16b elevado a 2

3. 10

4. a) 729

4. b) 1 849

4. c) 10 816

4. d) 88 209

5. a) 9 975

5. b) 39 996

5. c) 2 484

5. d) 999 999

6. a) medida da área: A = x elevado a 2 + 6x + 9; medida do perímetro: 4x + 12

6. b) medida da área: A = 25 centímetroselevado a 2; medida do perímetro: 20 centímetros

7. a) 7(x elevado a 2 + y elevado a 2); fator comum

7. b) (xy + 13z)(xy menos 13z); diferença de quadrados

7. c) (10 - 4a)(3 + x); agrupamento

7. d) x elevado a 2(5 menos x); fator comum

7. e) (4a menos 1)elevado a 2; trinômio quadrado perfeito

8. a) (a + c) ⋅ a

8. b) yx(x + y)(x menos y)

8. c) (y + 3)(y menos 3)(y menos 1)

8. d) 12(x + 2y)(x menos 2y)

8. e) 6 ⋅ (x - 1)elevado a 2

9. a) 12 069

9. b) 949

10. a) 28y

10. b) melevado a 2

10. c) 1

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Produtos notáveis

• Na atividade 1, os estudantes vão desenvolver alguns produtos notáveis. Esse é o momento oportuno para verificar se apresentam alguma dificuldade.

• Se achar conveniente, convide alguns estudantes para que realizem os itens da atividade 2 na lousa. Incentive os demais estudantes da turma a validar os cálculos do colega. Estudantes com dificuldades podem se beneficiar dessa dinâmica.

• Na atividade 3, espera-se que os estudantes percebam que xelevado a 2 + yelevado a 2 e x ⋅ y são termos que aparecem quando desenvolvemos o quadrado de x + y.

• As atividades 4 e 5 exploram o uso dos produtos notáveis para a realização de cálculos mentais. Nos itens das duas atividades, os estudantes devem escrever convenientemente os números de modo a obter os produtos notáveis e a favorecer o cálculo mental. Ao final das atividades, é importante que eles tenham a oportunidade de compartilhar como fizeram.

Fatoração

• Aproveite as atividades 7 e 8 para verificar se os estudantes se apropriaram dos casos de fatoração. Se achar necessário, explore mais exemplos com a turma.

• A atividade 9 envolve a fatoração da diferença de quadrados para a realização de cálculos mentais. Após concluírem a atividade, você pode propor aos estudantes que calculem o valor das expressões numéricas sem fatorá-las. A intenção é que percebam, aos poucos, a importância de analisar os números e as operações entre eles para verificar se podem efetuar os cálculos mentalmente ou utilizar menos passagens.

Página 126

Resolução de equações do 2º grau

Resolução de equações do 2º grau incompletas

Observe como resolver algumas equações do 2º grau incompletas.

a) xelevado a 2 menos 4 = 0, considerando U =

xelevado a 2 = 4

x = \pm \sqrt{4}

x = 2 ou x = menos2

Como menos2 e 2 são raízes da equação e pertencem ao conjunto universo, então

S = \{‒ 2, 2\}

b) 2xelevado a 2 + 3 = 0, considerando U =

x ⋅ (2x + 3) = 0

x = 0 ou 2x + 3 = 0

2x = menos3

x = ‒ \frac{3}{2}

Como

\frac{‒ 3}{2}

e 0 são raízes da equação e pertencem ao conjunto universo, então

S = \{\frac{‒ 3}{2}, 0\}

Resolução de equações do 2º grau completas

A fórmula resolutiva de equações do 2º grau axelevado a 2 menos bx + c = 0, em que a, b e c são números reais com a ≠ 0, é dada por:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Discriminantes

A expressão belevado a 2 ‒ 4ac é chamada de discriminante e representada pela letra grega

∆

Analisando a fórmula resolutiva, podemos verificar se uma equação tem ou não raízes reais e obter uma relação entre os coeficientes e as raízes (x₁ e x₂) de uma equação do 2º grau.

•

∆ > 0 \to x_{1} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} e x_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}

•

∆ = 0 \to x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}

• ∆ < 0 → não existem raízes reais.

11. Resolva as equações considerando U =

x^{2} - 9 = 0

x^{2} + 8 x + 15 = 0

m^{2} - \sqrt{2} m = 0

x^{2} + 10 x + 25 = 0

x^{2} - 6 x - 7 = 0

16 y^{2} - 121 = 0

{3 x}^{2} + 2 x + 8 = 0

12. Resolva as equações considerando U =

{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 160

b) xelevado a 2 menos 11x = menos 28

4 x^{2} + 2 x + 2 = 1

x^{2} + 7 x = 35 - 5 x

13. A diferença entre o quadrado de um número e o seu triplo é igual a 10. Qual é esse número?

14. O quadrado de certo número diferente de zero é igual ao seu quádruplo. Que número é esse?

15. Uma empresa construirá um galpão em um terreno quadrado cuja medida, em metro, do comprimento do lado é indicada por y. Esse galpão será retangular com medidas de comprimento iguais a (y menos 30) métros e (y menos 40) métros. Sabe-se que a medida da área construída será de 1 200 métros quadrados. Qual deve ser a medida y em metro?

Figura geométrica. Quadrado com medidas dos lados y por y. Dentro, retângulo amarelo com área 1200 metros quadrados. As medidas dos lados do retângulo são: abre parênteses, y menos 30, fecha parêneses, metros por, abre parênteses, y menos 40, fecha parêneses, metros.

16. Determine o valor de p na equação xelevado a 2 + px + 4 = 0, para que ela tenha duas raízes reais e iguais.

17. Determine o valor de m na equação xelevado a 2 menos 6x + m = 0, para que a equação não apresente raízes reais.

18. Quais valores k póde assumir na equação x elevado a 2 menos 4x + k = 0, de fórma que a equação apresente duas raízes reais?

Respostas e comentários

11. a) S = {menos3, 3}

11. b) S = {menos5, menos3}

11. c) S =

\{0, \sqrt{2}\}

11. d) S = {menos5}

11. e) S = {menos1, 7}

11. f)

S = \{\frac{‒ 11}{4}, \frac{11}{4}\}

11. g) S = ∅

12. a) S = {menos8, 8}

12. b) S = {4, 7}

12. c) S = ∅

12. d)

S = \{‒ 6 - \sqrt[]{71}, - 6 + \sqrt[]{71}\}

13. x = 5 ou x = menos 2

14. x = 4

15. 70 métros

16. p = 4 ou p = menos 4

17. m > 9

18. k < 4

Resolução de equações do 2º grau

• A atividade 11 envolve a resolução de equações do 2º grau com uma incógnita. Incentive os estudantes a resolver algumas equações empregando mais de uma estratégia.

• Na atividade 12, os estudantes também vão resolver equações do 2º grau com uma incógnita. No entanto, eles precisam antes escrevê-las na fórma axelevado a 2 + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais com a ≠ 0. Após resolverem a atividade, proponha que determinem o conjunto solução de cada uma das equações considerando o conjunto dos números naturais como conjunto universo.

• Nas atividades 13 e 14, os estudantes precisam traduzir, por meio de uma equação do 2º grau com uma incógnita, enunciados em língua materna. No caso da atividade 13, espera-se que obtenham a equação xelevado a 2 menos 3x = 10. Já no caso da atividade 14, a equação esperada é xelevado a 2 = 4x, com x ≠ 0.

• Na atividade 16, espera-se que os estudantes se recordem de que, para uma equação do 2º grau com uma incógnita ter duas raízes reais e iguais, temos que Δ = 0. Assim: pelevado a 2 menos 16 = 0 e, portanto, p = menos4 ou p = 4.

• Na atividade 17, espera-se que os estudantes se recordem de que para uma equação do 2º grau com uma incógnita não apresentar raízes reais, temos que Δ < 0. Assim: 36 menos 4m < 0 e, portanto, m > 9.

• Na atividade 18, espera-se que os estudantes se recordem de que, para uma equação do 2º grau com uma incógnita apresentar duas raízes reais, temos que Δ > 0. Assim: 16 menos 4k > 0 e, portanto, k < 4.