Capítulo 6 Função quadrática
Trocando ideias
A Física é a ciência que estuda a natureza e seus fenômenos em seus aspectos mais gerais. Um dos propósitos da Física é estudar o movimento dos objetos: a trajetória, a rapidez com que se movem, a medida da distância percorrida em dado intervalo de tempo etcétera. Para isso são utilizadas funções matemáticas.
Alguns movimentos são retilíneos e uniformes e outros, como os movimentos balísticos, apresentam uma trajetória parabólica em que a medida de velocidade não é constante. Confira alguns exemplos de movimento balístico.
▸ A trajetória de uma pedra ao ser lançada no ar é dada pela função S = menost elevado a 2 + 10t, em que ésse indica a posição, em metros, da pedra no instante t em segundos.
a) Qual era a posição da pedra no instante t = 2 segundos? E no instante t = 4 segundos?
b)
Após quantos segundos a pedra atingirá o solo? Explique para a turma como você fez para chegar a essa conclusão.
Neste capítulo, vamos estudar o conceito de função quadrática, além de construir e analisar gráficos desse tipo de função.
Respostas e comentários
Trocando ideias:
a) 16 métros; 24 métros
b) 10 segundos
CAPÍTULO 6 ‒ FUNÇÃO QUADRÁTICA
Trocando ideias
Bê êne cê cê:
• Competências gerais 2, 7 e 9 (as descrições estão na página seis).
• Competências específicas 1, 2, 3, 6 e 8 (as descrições estão na página sete).
Objetivos:
• Verificar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre funções quadráticas.
• Introduzir a noção de movimento balístico.
Para explorar o conteúdo deste Trocando ideias, você pode convidar o professor ou a professora de Ciências. Comente que a Física utiliza modelos matemáticos para estudar diferentes situações cotidianas e que um exemplo disso são os movimentos dos objetos. Depois, peça aos estudantes que analisem o movimento da bala de canhão e o da bola de basquete e digam o que há em comum entre eles. Espera-se que eles percebam que, além de suas trajetórias serem parabólicas, os dois objetos (bala de canhão e bola) atingem uma altura máxima e se movimentam vertical e horizontalmente ao mesmo tempo. Você pode também pedir-lhes que deem outros exemplos de situações cotidianas em que objetos descrevem movimentos parabólicos. Esse tipo de discussão exercita a curiosidade intelectual e a argumentação com base em fatos, o que contribui para o desenvolvimento das competências gerais 2, 7 e 9 da Bê êne cê cê.
Solicite aos estudantes que façam a atividade proposta. Pergunte a eles se a função definida pela lei S = menos t elevado a 2 + 10t é uma função afim. Espera-se que respondam que não, porque é uma função que não pode ser escrita na fórma y = á xis + b, em que a e b são números reais e x pode ser qualquer número real. Se achar necessário, diga que essa é a lei de uma função quadrática. Você pode propor a eles que identifiquem as variáveis dependente e independente e que digam quais valores a variável t pode assumir e por quê.
No item a, eles vão calcular o valor numérico da função para t = 2 e t = 4. Já no item b, eles devem interpretar que a pedra atingirá o solo quando S = 0; assim, devem resolver a equação do 2º grau t elevado a 2 + 10t = 0. Ao fazer os cálculos, eles vão obter t = 0 segundo ou t = 10 segundos. Espera-se que percebam que t = 0 segundo corresponde ao momento em que a pedra foi lançada ao ar e que, portanto, após 10 segundos, a pedra atingiu o solo. Você pode ampliar a proposta dessa atividade e solicitar que esbocem o desenho da trajetória realizada pela pedra com base nos cálculos que fizeram nos itens a e b.
Esse tipo de atividade possibilita aos estudantes ter ciência de como a Matemática contribui para solucionar problemas e desperta o raciocínio lógico e a capacidade de produzir argumentos convincentes. Além disso, evidencia a relação entre a Matemática e a Física, incentiva a síntese de conclusões por meio de gráficos e da língua materna e promove a interação, pois permite que os estudantes compartilhem suas ideias. Nesse âmbito, é favorecido o desenvolvimento das competências específicas 1, 2, 3, 6 e 8 da Bê êne cê cê.
1 Função quadrática
As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.
Acompanhe a situação a seguir.
Os gafanhotos são insetos que se alimentam principalmente de folhas. Eles têm pernas posteriores muito fortes, com as quais são capazes de dar grandes saltos.
Um biólogo observou imagens dos movimentos de um gafanhoto e concluiu que, quando o inseto dava um pulo, a medida de sua altura agá, em metro, variava em função da medida do tempo tê, em segundo, pela lei:
h (t ) = menost elevado a 2 + 2t, em que t é um número real tal que 0 ⩽ t ⩽ 2
Essa função é um exemplo de função quadrática. Note que ela é do tipo y = ax elevado a 2 + bx + c, com a = menos1, b = 2 e c = 0.
Função quadrática é toda função f cuja lei pode ser escrita na fórma f (x ) = ax elevado a 2 + bx + c, em que a, b e c são números reais, com a ≠ 0, e x pode ser qualquer número real.
Considere alguns exemplos.
a) f (x ) = 2x elevado a 2 + 16x + 30, em que a = 2, b = 16 e c = 30.
b) f (x ) = x elevado a 2 menos 16, em que a = 1, b = 0 e c = menos16.
c) f (x ) = 6x elevado a 2, em que a = 6, b = 0 e c = 0.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
1. Considerando a função f, tal que f (x ) = ax elevado a 2 + bx + c, em que a ≠ 0, determine os valores dos coeficientes a, b e c nestas funções quadráticas.
a) f (x) = x elevado a 2 menos 25
b) f (x) = ‒3x elevado a 2 menos 6x + 9
c) f (x) = x elevado a 2 menos 18
d) f (x) = menos5x elevado a 2 + 13x
e) f (x) = x elevado a 2 menos 10x + 25
f) f (x) = 3x elevado a 2 menos 4x + 75
2. Sendo a função quadrática f definida por f (x) = 2x elevado a 2 menos 6, determine:
a) f (5)
b) f (0)
c) f (‒2)
d)
Sentença matemática. f, abre parênteses raiz quadrada de 11, fecha parênteses.3. Dada a função quadrática f definida por f (x ) = x elevado a 2 menos 5x + 6, para que valores de x tem-se f (x ) = 0?
4. Observe a figura a seguir. A medida da área (y) da figura é dada em função da medida de comprimento x indicada. Qual é a lei da função que relaciona x e y?
Respostas e comentários
1. a) a = 1, b = 0 e c = menos25
1. b) a = menos3, b = menos6 e c = 9
1. c) a = 1, b = 0 e c = menos18
1. d) a = menos5, b = 13 e c = 0
1. e) a = 1, b = menos10 e c = 25
1. f) a = 3, b = menos4 e c = 75
2. a) 44
2. b) menos6
2. c) 2
2. d) 16
3. x = 2 ou x = 3
4. y = x elevado a 2 + 8x + 15, em que x é um número real maior que zero.
Função quadrática
Bê êne cê cê:
Habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis.
Objetivos:
• Compreender o conceito de função quadrática.
• Reconhecer, construir e analisar o gráfico de uma função quadrática.
• Determinar algebricamente e graficamente os zeros de uma função quadrática, quando existirem.
Justificativa
Compreender o conceito de função quadrática amplia a ideia de função e os conhecimentos de função afim adquiridos anteriormente pelos estudantes. Além disso, as funções quadráticas modelam diferentes situações cotidianas, como os lançamentos de projéteis, e podem ser usadas para resolver diversos problemas, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah zero seis.
A determinação dos zeros de uma função quadrática é uma oportunidade de os estudantes mobilizarem os conhecimentos previamente adquiridos sobre resoluções de equações do 2º grau com uma incógnita.
Mapeando conhecimentos
Reproduza a atividade 19 da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores na lousa e peça aos estudantes que a realize. Após determinarem a sentença algébrica solicitada no item a, pergunte: “Essa sentença é uma função? Por quê? Qual é a variável independente? E a variável dependente? A variável a pode assumir qualquer valor? Por quê? Essa função é uma função afim? Por quê?”. Dê oportunidade para que os estudantes verbalizem suas respostas. Após concluírem os itens b e c, você pode ampliar a proposta da atividade e solicitar que representem graficamente a função y = a elevado a 2, em que a é um número real maior do que 0.
Para as aulas iniciais
Faça a correção coletiva da atividade 19 e auxilie os estudante a representar graficamente a função y = a elevado a 2, em que a é um número real maior do que 0. Depois, explore com eles o texto sobre grandezas não proporcionais da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores e enfatize que a medida da área de um quadrado não é proporcional à medida do comprimento do seu lado.
Peça aos estudantes que identifiquem os coeficientes a, b e c na lei da função que descreve a situação. Espera-se que eles respondam que os coeficientes são: a = menos1, b = 2 e c = 0.
( ê éfe zero nove ême ah zero seis) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
Gráfico da função quadrática
O gráfico de toda função quadrática é uma curva chamada parábola.
A parábola é uma curva geométrica que pode ser visualizada parcialmente quando um plano secciona a superfície de um cone (Figura 1) ou quando observamos a trajetória de uma bola lançada obliquamente (Figura 2).
Para construir o gráfico de uma função quadrática, procedemos de maneira similar à da construção dos gráficos de funções afim. Acompanhe os exemplos a seguir.
a) Construção do gráfico da função quadrática f dada pela lei f (x ) = menosx elevado a 2 + 4x.
Inicialmente, escolhemos valores arbitrários para x e calculamos os valores de f(x) correspondentes para obter alguns pares ordenados.
x |
f (x) = y |
(x, y) |
---|---|---|
−1 |
−5 |
(−1, −5) |
0 |
0 |
(0, 0) |
1 |
3 |
(1, 3) |
2 |
4 |
(2, 4) |
3 |
3 |
(3, 3) |
4 |
0 |
(4, 0) |
5 |
−5 |
(5, −5) |
Representamos no plano cartesiano os pontos correspondentes aos pares ordenados encontrados e unimos os pontos de modo a traçar a parábola que representa a função.
b) Construção do gráfico da função quadrática g dada pela lei g (x ) = x elevado a 2 + 2x menos 3.
x |
y |
(x, y) |
---|---|---|
−3 |
0 |
(−3, 0) |
−2 |
−3 |
(−2, −3) |
−1 |
−4 |
(−1, −4) |
0 |
−3 |
(0, −3) |
1 |
0 |
(1, 0) |
Respostas e comentários
Gráfico da função quadrática
Antes de explorar os exemplos de construção de gráfico, relembre aos estudantes como localizamos os pontos, representados por pares ordenados, no plano cartesiano.
Proponha que façam os cálculos e verifiquem se os valores encontrados para y correspondem aos que estão presentes em cada quadro.
É importante comentar com os estudantes que, no exemplo de construção de gráfico apresentado, os pontos só puderem ser unidos porque x pode assumir qualquer número real.
Concavidade da parábola
A parábola que representa o gráfico de uma função quadrática pode ter concavidade (abertura) voltada para cima ou para baixo.
Dada uma função quadrática de lei f (x ) = ax elevado a 2 + bx + c, quando:
• a > 0 , a parábola tem concavidade voltada para cima;
• a < 0 , a parábola tem concavidade voltada para baixo.
Analise alguns exemplos.
A parábola que representa f tem concavidade voltada para cima, pois 1 > 0.
A parábola que representa g tem concavidade voltada para baixo, pois ‒‒1 < 0.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
5. Considere estes dois gráficos.
Gráfico um
Gráfico dois
Sabendo que f(x) = x elevado a 2 menos 4x + 3 e g(x) = menosx elevado a 2 + 6x, qual função pode ser relacionada a cada um dos gráficos?
Respostas e comentários
5. f pode ser relacionada ao Gráfico dois e g pode ser relacionada ao Gráfico ih.
Concavidade da parábola
Peça aos estudantes que analisem o gráfico das funções f e g cujos gráficos foram construídos anteriormente. Temos que em g(x) = menosx elevado a 2 + 4x, a = menos1, e f(x) = x elevado a 2 + 2x menos 3, a = 1. Eles devem observar que, na lei da função g, a < 0 e a parábola tem concavidade voltada para baixo; e, na lei da função f, a > 0 e a parábola tem concavidade voltada para cima.
6. Das funções quadráticas a seguir, quais representam parábolas com concavidade voltada para cima?
a) y = ‒x elevado a 2 + x + 2
b) y = 2x elevado a 2
c) y = x elevado a 2 + 4x
d) y = x elevado a 2 + 2x + 5
e) y = menos3x elevado a 2 + 6
f) y = menos2x elevado a 2 + x + 3
g)
Sentença matemática. y igual a menos x elevado ao quadrado sobre 2, menos x.h)
Sentença matemática. y igual a, abre parênteses x sobre 7, mais 6, fecha parênteses, vezes abre parênteses -x mais 2, fecha parênteses.i)
Sentença matemática. y igual a, abre parênteses cinco nonos de x mais 3, fecha parênteses, elevado ao quadrado.7. Para que o gráfico da função f dada por f (x ) = (m menos 7)x elevado a 2 menos 3x menos 2 tenha a concavidade voltada para baixo, quais devem ser os valores de m?
8. Para que valores de p o gráfico da função
Sentença matemática. g, abre parênteses x, fecha parênteses, igual a abre parênteses p sobre 2 mais 3, fecha parênteses, vezes x elevado ao quadrado, menos raiz quadrada de 2 vezes x, mais 1.tem a concavidade voltada para baixo?
9. Após o lançamento de um projétil, verifica-se que a medida da altura (y ) alcançada por ele, em metro, é função da medida da distância percorrida na horizontal (x ), em metro, de acôrdo com a lei e o gráfico a seguir.
Sentença matemática. y igual ao oposto de x elevado ao quadrado sobre 900, mais dois terços de x.
, em que x é um número real tal que x ⩾ 0
a) Copie o quadro no caderno substituindo cada
pelos valores correspondentes.
Medida da distância percorrida (em metro) |
Medida da altura |
---|---|
100 |
|
200 |
|
100 |
|
400 |
|
600 |
0 |
b) Qual é a medida da altura máxima atingida pelo projétil?
c) Depois de quantos metros percorridos na horizontal o projétil atinge a medida da altura máxima?
d) Qual é a medida da distância total percorrida na horizontal pelo projétil após ser disparado?
Zeros de uma função quadrática
Para uma função f de lei f (x) = ax elevado a 2 + bx + c, com a ≠ 0, denominamos zeros da função quadrática os valores de x tais que f (x) = 0.
Assim, na função f dada pela lei f (x) = x elevado a 2 + 2x menos 3:
• o número menos3 é zero da função, pois, para x = menos3, temos:
f( menos3) = ( menos3) elevado a 2 + 2 ⋅ ( menos3) menos 3 = 9 menos 6 menos 3 = 0
• o número 1 é zero da função, pois, para x = 1, temos:
f(1) = (1) elevado a 2 + 2 ⋅ 1 menos 3 = 1 + 2 menos 3 = 0
• o número 0 não é zero da função, pois, para x = 0, temos:
f(0) = (0) elevado a 2 + 2 ⋅ 0 menos 3 = 0 + 0 menos 3 = menos3
Determinação dos zeros de uma função quadrática
Para determinar os zeros da função definida por f (x ) = ax elevado a 2 + bx + c, com a ≠ 0, basta igualar a função a zero e encontrar as raízes reais da equação do 2º grau ax elevado a 2 + bx + c = 0.
Graficamente, os zeros da função quadrática (quando existem) correspondem às abscissas dos pontos de intersecção da parábola com o eixo x.
Respostas e comentários
6. alternativas b, c, d, i
7. m < 7
8. p < ‒6
9. a) Resposta em Orientações.
9. b) 100 metros
9. c) 300 metros
9. d) 600 metros
• Na atividade 8, os estudantes precisam lembrar que, para a concavidade estar voltada para baixo, é necessário a < 0, ou seja,
Sentença matemática. Desigualdade: p sobre 2, mais 3, menor que 0.. Dessa fórma, temos:
Desigualdade: p sobre 2, mais 3 menos 3, menor que 0 menos 3 implica que p sobre 2, vezes 2, menor que menos 3 vezes 2, implica p menor que menos 6.
• Resposta do item a da atividade 9:
Medida da distância percorrida (em metro) |
Medida da altura (em metro) |
---|---|
100 |
|
200 |
|
300 |
100 |
400 |
|
600 |
0 |
Para facilitar os cálculos, oriente os estudantes a colocar o x em evidência na lei da função.
Zeros de uma função quadrática
Antes de iniciar o estudo dos zeros de uma função quadrática, verifique se os estudantes se lembram do conceito de zero de uma função afim.
É importante que eles percebam que, para determinar os zeros de uma função quadrática, precisam calcular as raízes de uma equação do 2º grau com uma incógnita. Se achar necessário, recorde como determinar as raízes de equações do 2º grau incompletas e completas.
Acompanhe alguns exemplos.
a) Vamos determinar os zeros da função f dada por f (x ) = x elevado a 2 menos 5x + 6:
x elevado a 2 menos 5x + 6 = 0
delta = b elevado a 2 menos 4ac
delta = (‒5) elevado a 2 menos 4 ⋅ 1 ⋅ 6
delta = 25 menos 24
delta = 1
Sentença matemática. x igual à fração menos b mais ou menos raiz quadrada de delta, sobre 2 vezes a.
A equação x elevado a 2 menos 5x + 6 = 0 tem duas raízes reais diferentes: x indice 1 = 2 e x indice 2 = 3.
Assim, os zeros da função f dada por f (x ) = x elevado a 2 menos 5x + 6 são 2 e 3. Isso significa que o gráfico da função f intercepta o eixo x em dois pontos: (2, 0) e (3, 0). Analise o esboço do gráfico.
b) Vamos determinar os zeros da função g dada por g (x ) = menosx elevado a 2 + 2x menos 1:
menosx elevado a 2 + 2x menos 1 = 0
delta = b elevado a 2 menos 4ac
delta = 2 elevado a 2 menos 4 ⋅ (‒1) ⋅ (‒1)
delta = 4 menos 4
delta = 0
Sentença matemática. x igual à fração menos b mais ou menos raiz quadrada de delta, sobre 2 vezes a.
A equação menosx elevado a 2 + 2x ‒ 1 = 0 tem duas raízes reais iguais: x indice 1 = x indice 2 = 1
Assim, a função g dada por g (x ) = menosx elevado a 2 + 2x menos 1 tem um único zero igual a 1. Isso significa que o gráfico da função g intercepta o eixo x em um único ponto: (1, 0). Analise o esboço do gráfico.
Respostas e comentários
Chame a atenção dos estudantes para a relação entre o sinal do discriminante e a quantidade de zeros da função quadrática.
Se achar oportuno, apresente e desenvolva com a turma outros exemplos.
c) Vamos determinar os zeros da função h dada por h (x ) = x elevado a 2 + 2x + 3:
x elevado a 2 + 2x + 3 = 0
delta = 2 elevado a 2 menos 4 ⋅ 1 ⋅ 3
delta = 4 menos 12
delta = menos8
Como delta < 0, a equação x elevado a 2 + 2x + 3 = 0 não tem raízes reais.
Assim, a função dada por h (x ) = x elevado a 2 + 2x + 3 não tem zeros reais.
Isso significa que o gráfico da função agá não intercepta o eixo x. Analise o esboço do gráfico.
De modo geral, temos que:
• se delta > 0, a parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos distintos;
• se delta = 0, a parábola tangencia o eixo das abscissas em um único ponto;
• se delta < 0, a parábola não intercepta o eixo das abscissas.
Respostas e comentários
Após explorar o exemplo da página com os estudantes, proponha que apresentem um exemplo de função quadrática que não tenha zeros reais e cujo gráfico mostre uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Depois, reserve um momento para que compartilhem os exemplos e para que os colegas possam validá-los.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
10. Determine no caderno, se houver, os zeros das funções quadráticas definidas pelas leis a seguir.
a) y = 6x elevado a 2
b) y = x elevado a 2 menos 4
c) y = menosx elevado a 2 + 1
d) y = 5x elevado a 2 + 10x
e) y = menosx elevado a 2 + 2x menos 5
f) y = 3x elevado a 2 menos 5x + 2
g) y = menos9x elevado a 2 menos 6x menos 1
h) y = x elevado a 2 + 5x + 8
i) y = menos3x elevado a 2 + 2x ‒ 1
11. Determine as coordenadas dos pontos em que a parábola correspondente a cada função quadrática a seguir intercepta o eixo x.
a) y = menos3x elevado a 2 + 12x
b) y = x elevado a 2 menos 4
c) y = x elevado a 2 menos 8x + 15
12. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras?
a) Uma função quadrática pode ter três zeros reais e distintos.
b) O gráfico de uma função quadrática dada por y = ax elevado a 2 + c não intercepta o eixo das abscissas quando 4ac > 0.
c) Os zeros da função g (x ) = ax elevado a 2 + bx, em que a ≠ 0, são 0 e
menos b sobre a..
d) O gráfico da função quadrática dada por p (x ) = ax elevado a 2 tangencia o eixo das abscissas no ponto (1, 0).
13. A trajetória de um projétil lançado é descrita pelo gráfico da função agá, tal que h (x ) = menosx elevado a 2 + 30x, no qual, em metro, h (x ) representa a medida da altura alcançada e x, a medida da distância percorrida na horizontal. Qual é a medida da distância percorrida pelo projétil ao atingir o solo?
14. Estes esboços são de gráficos de funções quadráticas do tipo f (x ) = ax elevado a 2 + bx + c, com a ≠ 0. Em cada caso, escreva no caderno se a é positivo ou negativo e se Δ é positivo, negativo ou nulo.
a)
b)
c)
d)
Cálculo das coordenadas do vértice da parábola
Observe nos exemplos a seguir que toda parábola tem um eixo de simetria e um vértice (V).
g(x ) = menosx elevado a 2 + 4x
h(x ) = x elevado a 2 menos 2x menos 3
O vértice é a intersecção da parábola com o eixo de simetria.
Observe que nos dois casos a abscissa do vértice ( décimoV) corresponde à metade da soma dos zeros da função
Abre parênteses, fração x1 mais x2 sobre 2, fecha parênteses.. E, para obter a ordenada do vértice (yV), basta substituir x por décimoV na lei da função e efetuar os cálculos.
Respostas e comentários
10. a) 0
10. b) menos2 e 2
10. c) menos1 e 1
10. d) 0 e menos2
10. e) não tem zero real
10. f) 1 e
Dois sobre três.10. g)
menos 1 sobre 3.10. h) não tem zero real
10. i) não tem zero real
11. a) (0, 0) e (4, 0)
11. b) ( menos2, 0) e (2, 0)
11. c) (3, 0) e (5, 0)
12. alternativas b, c
13. 30 metros
14. a) a > 0, Δ > 0
14. b) a < 0, Δ < 0
14. c) a > 0, Δ = 0
14. d) a < 0, Δ = 0
Cálculo das coordenadas do vértice da parábola
Represente uma parábola na lousa e trace o eixo de simetria dela. Em seguida, pergunte aos estudantes como eles poderiam calcular as coordenadas do vértice da parábola. Incentive-os a fazer algumas experimentações. A ideia é que eles percebam que a abscissa do vértice é igual à média aritmética das abscissas de pontos simétricos que pertencem à parábola. Além disso, eles devem concluir que a ordenada do vértice corresponde ao valor da função, quando substituímos a variável pela abcissa do vértice.
Acompanhe como podemos calcular as coordenadas do vértice das parábolas que representam as funções g e h.
• Coordenadas do vértice da parábola que representa a função g:
Sentença matemática. x subscrito v igual à fração x1, mais x 2 sobre 2, igual à fração 0 mais 4 sobre 2, igual a 2.
y índice V = g(x índice V) = g(2) = menos(2) elevado a 2 + 4 ⋅ (2) = 4
Portanto, V(2, 4).
• Coordenadas do vértice da parábola que representa a função h:
Sentença matemática. x subscrito v igual à fração x1, mais x2 sobre 2, igual à fração menos 1 mais 3 sobre 2, igual a 1.
y índice V = h(x índice V) = h(1) = (1) elevado a 2 menos 2 ⋅ (1) menos 3 = menos 4
Portanto, V(1, menos 4).
Como toda parábola tem um eixo de simetria e um vértice V, podemos relacionar a abscissa do vértice da parábola que representa a função quadrática dada por f (x ) = ax elevado a 2 + bx + c aos coeficientes a e b.
No gráfico da função quadrática f, as abscissas x índice V menos 1 e x índice V + 1 estão à mesma medida da distância de x índice V e que f (x índice V menos 1) = f (x índice V + 1) = y indice 1. Dessa maneira, temos:
a(x índice V menos 1) elevado a 2 + b(x índice V menos1) + c = a(x índice V + 1) elevado a 2 + b(x índice V + 1) + c
a(xᵥ² menos 2x índice V ⋅ 1 + 1) + b(x índice V menos 1) + c = a(xᵥ² + 2x índice V ⋅ 1 + 1) + b(x índice V + 1) + c
menos2ax índice V ‒ b = 2ax índice V + b
menos4ax índice V = 2b
Lembre-se de que, conhecendo a abscissa décimo índice V , a ordenada do vértice será y índice V = f (x índice V).
▸ Substitua décimo índice V na lei da função quadrática e conclua que
y com índice v igual a menos delta sobre 4, em que delta = b elevado a 2 menos 4ac.
Respostas e comentários
Balão: espera-se que os estudantes respondam que podem considerar quaisquer dois pontos da parábola que sejam simétricos em relação ao seu eixo de simetria.
Item: Resposta em Orientações.
Chame a atenção dos estudantes para o fato de que toda parábola possui um eixo de simetria e um vértice. Esse vértice é determinado pela intersecção da parábola com o eixo de simetria.
Comente com os estudantes que, na demonstração, foram tomados dois pontos simétricos quaisquer em relação ao eixo de simetria e que, por esse motivo, poderíamos considerar suas abscissas, por exemplo, x índice V menos 2 e x índice V + 2, ou x índice V menos 3 e x índice V + 3, ou x índice V menos 4 e x índice V + 4 etc.
No final da página, é proposto aos estudantes como concluir que a ordenada do vértice da parábola é y índice V =
menos delta sobre 4 a. Dê um tempo para que desenvolvam os cálculos. Depois, mostre a eles como podem chegar a essa conclusão:
Agora, acompanhe dois exemplos.
a) Vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola correspondente ao gráfico da função quadrática p dada por p(x) = x elevado a 2 menos 3x + 2:
Sentença matemática. x subscrito v igual a menos b sobre 2a, igual à fração menos 3 sobre 2 vezes 1, igual a 3 sobre 2.
yV = p(xV) =
Sentença matemática. p, abre parênteses, 3 sobre 2, fecha parênteses.Sentença matemática. p, abre parênteses, 3 sobre 2, fecha parênteses, igual a, abre parênteses, 3 sobre 2, fecha parênteses, elevado ao quadrado, menos 3 vezes, abre parênteses, 3 sobre 2, fecha parênteses, mais 2.
Sentença matemática. p, abre parênteses, 3 sobre 2, fecha parênteses, igual a 9 sobre 4, menos 9 sobre 2, mais 2, igual a menos 1 sobre 4.
Portanto:
Sentença matemática. Par ordenado, V de abcissa 3 sobre 2 e ordenada menos 1 quarto..
b) Vamos determinar os valores de m e n para que o gráfico da função q dada por
Sentença matemática. q, abre parênteses x, fecha parênteses, igual a x elevado ao quadrado, menos mx, mais n sobre 2.tenha vértice V (1, 1):
A abscissa do vértice é dada por:
Sentença matemática. x subscrito v igual a menos b sobre 2a.. Então, para que x índice V = 1, devemos ter:
Sentença matemática. sinal de menos para a fração, abre parênteses, menos m, fecha parênteses, sobre 2 vezes 1, igual a 1.
, ou seja: m = 2
Substituindo o valor de m na lei da função, obtemos:
Sentença matemática. q, abre parênteses x, fecha parênteses, igual a x elevado ao quadrado, menos 2x, mais n sobre 2.
Como x índice V = 1 e y índice V = 1, temos: q (1) = 1. Assim, podemos determinar o valor de n:
Sentença matemática. q, abre parênteses 1, fecha parênteses, igual a 1 elevado ao quadrado, menos 2 vezes 1, mais n sobre 2
Sentença matemática. 1 igual a 1 menos 2, mais n sobre 2, implica 2 igual a n sobre 2, implica n igual a 4.
Assim: m = 2 e n = 4.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
15. Determine o valor de k para que o vértice da parábola, que é gráfico da função f tal que f (x ) = x elevado a 2 menos 8x + k, pertença ao eixo x.
16. Determine as coordenadas do vértice da parábola que representa cada função quadrática a seguir.
a) f (x ) = x elevado a 2 menos 4x + 3
b) f (x ) = menosx elevado a 2 + 6x menos 9
c) f (x ) = menosx elevado a 2 + 2x
d) f (x ) = x elevado a 2 + 2x + 3
e) f (x ) = x elevado a 2 menos x menos 2
f) f (x ) = 3x elevado a 2 menos 4x
17. A lei da função quadrática f correspondente ao gráfico a seguir é f (x ) = ax elevado a 2 + bx + 2. Determine a e b.
Respostas e comentários
15. k = 16
16. a) V (2, menos1)
16. b) V (3, 0)
16. c) V (1, 1)
16. d) V ( menos1, 2)
16. e)
Sentença matemática. v, abre parênteses, 1 sobre 2 vírgula menos 9 sobre 4, fecha parênteses.16. f)
Sentença matemática. v, abre parênteses, 2 sobre 3, vírgula menos 4 sobre 3, fecha parênteses.17. a = 3, b = menos2
• Na atividade 15, espera-se que os estudantes percebam que, para o vértice da parábola pertencer ao eixo x, ela deve tangenciar esse eixo, e portanto, ( menos8) elevado a 2 menos 4 ⋅ 1 ⋅ k = 0. Por meio dessa equação, os estudantes podem concluir que k = 16.
• Amplie a proposta da atividade 16 e pedindo aos estudantes que construam o gráfico da função quadrática indicada em cada item. Oriente-os a iniciar a construção tomando como base o vértice e os zeros de cada função (se existirem).
• Na atividade 17, para determinar a e b, os estudantes devem resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas. Um exemplo de sistema é:
Sistema. Sistema de duas equações. Primeira equação: menos b sobre 2a, igual a 1 sobre 3. Segunda equação: a sobre 9, mais b sobre 3, mais 2, igual a 5 sobre 3.
Caso eles obtenham um valor negativo para a, incentive-os a perceber que podem ter cometido algum equívoco nos cálculos, uma vez que a > 0 (a parábola tem concavidade voltada para cima).
Construção do gráfico de uma função quadrática com base nas coordenadas do vértice
Analise como podemos construir o gráfico da função quadrática f dada por f (x ) = x elevado a 2 menos 4x + 5 com base nas coordenadas do vértice.
1º) Determinamos as coordenadas do vértice.
Sentença matemática. x subscrito v igual a menos b sobre 2a, igual a sinal de menos fração menos 4 sobre 2 vezes 1, igual a 2.
y índice V = f(x índice V) = (2) elevado a 2 menos 4 ⋅ (2) + 5 = 1
Assim, o vértice é o ponto V (2, 1).
2º) Determinamos valores para x que sejam simétricos em relação à abscissa do vértice e calculamos os valores de y correspondentes para obter alguns pares ordenados.
Nesse caso, vamos escolher valores para x que sejam simétricos em relação a x índice V = 2.
x |
y |
(x, y) |
|
---|---|---|---|
0 |
5 |
(0, 5) |
|
1 |
2 |
(1, 2) |
|
2 |
1 |
(2, 1) |
→ coordenadas do vértice |
3 |
2 |
(3, 2) |
|
4 |
5 |
(4, 5) |
3º) Marcamos no plano cartesiano os pontos correspondentes aos pares ordenados e traçamos a parábola que passa por esses pontos.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
18. Construa no caderno o gráfico de cada função quadrática.
a) f (x ) = menosx elevado a 2
b) g (x ) = x elevado a 2 menos 9
c) h (x) = menosx elevado a 2 + 4
d) s (x ) = x elevado a 2 menos 4x
e) t (x ) = x elevado a 2 menos 6x + 10
f) u (x ) = menosx elevado a 2 + 4x ‒ 5
19. Construa o gráfico das funções quadráticas f e g, dadas pelas leis f (x ) = x elevado a 2 e g (x ) = ‒x elevado a 2 em um mesmo plano cartesiano. O que você pode perceber?
20. Construa o gráfico de cada função: f (x ) = x elevado a 2, b (x ) = x elevado a 2 menos 2, t (x ) = x elevado a 2 menos 1, h (x ) = x elevado a 2 + 1 e m (x ) = x elevado a 2 + 2. Depois, compare-os e analise como o valor de cê influencia o gráfico da função definida pela lei y = ax elevado a 2+ c.
Respostas e comentários
18. Respostas em Orientações.
19. A resposta está na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do Professor.
20. A resposta está na seção Resoluções e comentários das atividades deste Manual do Professor.
Construção do gráfico de uma função quadrática com base nas coordenadas do vértice
Considere a função f, tal que f(x) = x elevado a 2 menos 4x + 5, explorada no exemplo, sendo a = 1, b = menos4 e c = 5. Altere o valor de c, a fim de que os estudantes percebam, de fórma mais clara, a influência do coeficiente c no gráfico da função. Para isso, pode ser usado um software que gere gráficos a partir da lei de uma função.
• Respostas da atividade 18:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
• Na atividade 19, espera-se que os estudantes percebam que os gráficos são simétricos em relação ao eixo das abscissas.
• Na atividade 20, espera-se que os estudantes percebam que o valor de c determina o deslocamento vertical da parábola.
Ponto de mínimo ou ponto de máximo de uma função quadrática
Acompanhe a situação a seguir.
Um goleiro chuta uma bola cuja trajetória pode ser representada pelo gráfico da função agá, dada pela lei h (x ) =
menos x ao quadrado sobre 20+ x, em que x indica a medida da distância horizontal percorrida, em metro, e h(x), a medida da altura que a bola alcançou, em metro. Qual é a medida da altura máxima atingida pela bola?
Perceba que o gráfico que representa a trajetória da bola é parte de uma parábola com a concavidade voltada para baixo e que a medida da altura máxima atingida pela bola corresponde à ordenada do vértice.
Vamos calcular x índice V e y índice V :
Sentença matemática. x subscrito v igual a menos b sobre 2a, igual a sinal de menos antes da fração 1 sobre 2 vezes o menos um sobre vinte.
, ou seja, x índice V = 10;
Sentença matemática. y subscrito v, igual a, h, abre parênteses, x subscrito v, fecha parênteses, igual a h, abre parênteses, 10, fecha parênteses, igual a menos 10 elevado ao quadrado sobre 20, mais 10.
, ou seja, y índice V = 5.
Portanto, a medida da altura máxima atingida pela bola é 5 metros.
Toda função quadrática tem um valor máximo ou um valor mínimo que corresponde à ordenada do vértice da parábola que a representa.
Para uma função quadrática f (x ) = ax elevado a 2 + bx + c, temos:
• se a > 0, a função tem valor mínimo, e o vértice é chamado ponto de mínimo;
• se a < 0, a função tem valor máximo, e o vértice é chamado ponto de máximo.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
21. Em cada item, calcule o valor de x para que a função tenha um valor máximo.
a) f (x ) = menos2x elevado a 2 + 5x menos 2
b) f (x ) = menosx elevado a 2 + 11x menos 8
22. Verifique se as funções quadráticas admitem valor máximo ou valor mínimo e calcule esse valor.
a) f (x ) = x elevado a 2 menos 64
b) f (x ) = menos4x elevado a 2 + 4x menos 1
c) f (x ) = menosx elevado a 2 + 3x
d) f (x ) = x elevado a 2 menos x menos 6
e) f (x ) = menosx elevado a 2 + 5x menos 7
f) f (x ) = 2x elevado a 2 + 5x
Respostas e comentários
21. a)
Sentença matemática. Fração de 5 sobre 4.21. b)
Sentença matemática. Fração de 11 sobre 2.22. a) valor mínimo: menos64
22. b) valor máximo: 0
22. c) valor máximo:
Sentença matemática. Fração de 9 sobre 4.22. d) valor mínimo:
Sentença matemática. Fração de menos 25 sobre 4.22. e) valor máximo:
Sentença matemática. Fração de menos 3 sobre 4.22. f) valor mínimo:
Sentença matemática. Fração de menos 25 sobre 8.Ponto de mínimo ou ponto de máximo de uma função quadrática
Comente com os estudantes que, diferente da função afim, a função quadrática apresenta um valor máximo ou um valor mínimo. Utilize a representação gráfica de diferentes funções quadráticas para explicar que, quando essa função tem concavidade para cima, ela possui ponto de mínimo (consequentemente, um valor mínimo) e, quando tem a concavidade para baixo, ela possui ponto de máximo (consequentemente, um valor máximo). Para compreender de fato essas ideias, eles precisam identificar corretamente o que está sendo representado em cada um dos eixos do plano cartesiano.
• Amplie a proposta da atividade 22 e peça aos estudantes que construam a parábola que representa a função quadrática de cada item. Essa construção não só permite a mobilização de diferentes registros de representação, como também pode auxiliá-los a verificar se determinaram corretamente o valor mínimo ou máximo em cada caso.
23. Determine o valor de k para que a função definida porf (x ) = menos4x elevado a 2 + (k + 1)x + 2 admita valor máximo para x = 2.
24. Determine o valor de p na função dada por f (x ) = 3x elevado a 2 menos 2x + p, para que o valor mínimo seja
Sentença matemática. Fração 5 sobre 3..
25. Após o lançamento de uma bala por um canhão, verifica-se que a medida da altura (y), alcançada pela bala, em metro, é função da medida da distância horizontal percorrida (x), em metro, de acôrdo com a lei y = 100x – 2x elevado a 2, sendo 0 ⩽ x ⩽ 50.
Determine, em metro:
a) o alcance do lançamento;
b) a medida da altura máxima atingida pela bala.
26. A função g dada pela lei g(t) = t elevado a 2 menos 4t + 3 relaciona a medida da temperatura g, em grau Celsius, de uma câmara frigorífica e a medida do tempo t, em hora, em que permaneceu ligada.
a) Em quais momentos a medida da temperatura é igual a 0 grau Célsius?
b) Qual é a medida de temperatura mínima atingida?
27. Em certo país, houve uma epidemia provocada por um vírus. As estatísticas apontaram que, inicialmente, foram comprovados 280 mil casos de pessoas infectadas pelo vírus. Essa epidemia pode ser representada pela lei N(t) = 280 + 120t menos 10t elevado a 2, em que N(t) é o número de pessoas infectadas (em milhares) dado em função do número t de semanas decorridas. Imediatamente após a comprovação dos primeiros casos, teve início a vacinação em massa da população, a fim de controlar essa epidemia. O gráfico esboçado a seguir representa a situação desde o aparecimento do vírus até o seu combate.
a) Qual foi a maior quantidade de pessoas infectadas nesse período?
b) Depois de quantas semanas essa epidemia foi controlada, isto é, o número de pessoas infectadas foi reduzido para zero?
28.
Elabore um problema em que haja um lançamento oblíquo de um objeto. Escolha o contexto que julgar mais interessante. A resolução do problema deve envolver uma função quadrática que determine a trajetória do objeto e a busca pela medida da altura máxima atingida na trajetória. Troque seu problema com um colega e resolva o que ele propôs. Discutam as estratégias e os procedimentos da resolução do problema. Se houver divergências, tentem esclarecer as dúvidas um do outro. Caso as dúvidas persistam, conversem com o professor.
29.
Em dupla, elaborem um problema no qual uma indústria produza determinado produto. Para isso, sigam as instruções a seguir. Depois, troquem o problema com outra dupla e resolvam.
• Considere x a quantidade do produto em milhares. O preço de custo é dado por uma função afim cê da fórma c(x) = ax + b, com a e bê reais positivos. E o preço de venda é dado por v(x) = kx elevado a 2 + mx + n, com cá, m e n reais e k ≠ 0.
• Uma das tarefas será determinar e esboçar o gráfico da função éle (lucro), em que L(x) = v (x) menos c (x). É importante que a parábola que representa a função éle tenha concavidade para baixo e uma das raízes seja zero.
• No gráfico, identifiquem o ponto que determina o lucro máximo em função da quantidade de produtos vendidos.
Respostas e comentários
23. k = 15
24. p = 2
25. a) 50 métros
25. b) .1250 métros
26. a) 1 hora e 3 horas depois que a câmara é ligada.
26. b) menos1 grau Célsius
27. a) .640000 pessoas
27. b) depois de 14 semanas
28. Resposta pessoal.
29. Respostas pessoais.
• Na atividade 23, verifique se os estudantes percebem que eles devem resolver a seguinte equação do 1º grau com uma incógnita:
Fração numerador k mais 1 denominador 8 igual a 2., com U =
.
• Para calcular o valor de p na atividade 24, os estudantes devem perceber que
f de 1 terço igual a 5 sobre 3.. Assim, eles devem resolver a seguinte equação do 1º grau com uma incógnita:
menos um terço, mais p igual a cinco terços., com U =
.
• Ao realizarem a atividade 25, verifique se percebem que, para responder ao item a, precisam determinar os zeros da função e, para responder ao item b, devem calcular a ordenada do vértice da parábola que representa a função.
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Função quadrática
Função quadrática é toda função f cuja lei pode ser escrita na fórma f(x) = ax elevado a 2 + bx + c, em que a, b e c são números reais, com a ≠ 0
, e x pode ser qualquer número real.
1. Sendo a função quadrática f definida por f(x) = x elevado a 2 menos 3x + 2, determine:
a) f( menos1)
b) f(3)
c) f(0) + f( menos2)
d)
Sentença matemática. Fração f, abre parênteses 1, fecha parênteses, mais f abre parênteses 2, fecha parênteses, sobre f, abre parênteses 0, fecha parênteses.2. Dada a função f(x) = x elevado a 2 menos 4x + 3, determine o número real x tal que f(x) = 3.
3. Uma empresa de embalagens utiliza modelos retangulares de papelão com dimensões que medem x + 4 e x menos 3 para construir caixas. Determine a lei da função que representa a medida da área A(x) desses modelos de papelão em função de x.
4. Considere a figura a seguir.
a) Determine a medida da área y do triângulo em função de x.
b) Calcule a medida da área em métros elevado a 2 para x = 7 métros.
Gráfico da função quadrática
O gráfico de toda função quadrática é uma curva chamada parábola.
Concavidade da parábola
A parábola que representa o gráfico de uma função quadrática pode ter concavidade (abertura) voltada para cima ou para baixo.
Dada uma função quadrática de lei f(x) = ax elevado a 2 + bx + c, quando:
• a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima;
• a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo.
Zeros de uma função quadrática
Para uma função f de lei f(x) = ax elevado a 2 + bx + c, com a ≠ 0, denominamos zeros da função quadrática os valores de x tais que f(x) = 0.
Seja delta = b elevado a 2 menos 4ac, quando:
• delta > 0, a função tem dois zeros reais diferentes e a parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos distintos;
• delta = 0, a função tem dois zeros reais iguais e a parábola tangencia o eixo das abscissas em um único ponto;
• delta < 0, a função não tem zeros reais e a parábola não intercepta o eixo das abscissas.
a > 0 |
a < 0 |
|
---|---|---|
Δ > 0 |
|
|
Δ = 0 |
|
|
Δ < 0 |
|
|
Cálculo das coordenadas do vértice da parábola
V = (x índice V, y índice V)
5. Determine os valores de p para que o gráfico da função dada por
Sentença matemática. f, abre parênteses x, fecha parênteses, igual a, abre parênteses, 2p mais 8, fecha parênteses, vezes x elevado ao quadrado, menos 5x, menos 13.tenha a concavidade voltada para cima.
Respostas e comentários
1. a) 6
1. b) 2
1. c) 14
2. x = 0 ou x = 4
3. A(x) = x elevado a 2 + x menos 12, em que x é um número real maior que 3.
4. a) y = x elevado a 2 menos 1, em que x é um número real maior que 1.
4. b) 48 métros²
5. p > − 4
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Função quadrática
• Na atividade 1, antes que os estudantes façam os cálculos solicitados em cada item, peça para que justifiquem o porquê da função f ser quadrática. Você também pode pedir para que apresentem os valores dos coeficientes a, b e c dessa função.
• Na atividade 2, os estudantes vão resolver uma equação do 2º grau com uma incógnita. Deixe-os a vontade para utilizar a estratégia que quiserem. Ao final, incentive-os a compartilhar como fizeram.
• Na atividade 3, os estudantes vão lidar com conceitos e procedimentos das unidades temáticas Álgebra e Grandezas e Medidas, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 3 de Matemática da Bê êne cê cê. É importante que eles percebam que x deve ser um número real maior que 3, pois, se x for menor ou igual a 3, a medida do comprimento de um dos lados do modelo será zero ou negativa, o que não convém.
• Verifique se todos os estudantes se recordam de como determinar a medida da área de um triângulo na atividade 4. Nesta atividade, como x menos 1 representa a medida da altura do triângulo, x deve ser um número real maior que 1. Chame a atenção dos estudantes para esse detalhe.
• Na atividade 5, espera-se que os estudantes considerem que, para o gráfico da função ter concavidade voltada para cima, 2p + 8 > 0. Verifique se apresentam dificuldades para resolver a inequação e, se necessário, retome os princípios aditivo e multiplicativo das desigualdades.
6. Determine os valores de q para que o gráfico da função dada por
Sentença matemática. f, abre parênteses y, fecha parênteses, igual a, abre parênteses 5 menos 3 vezes q, fecha parênteses vezes y elevado ao quadrado, menos y, mais 8.tenha a concavidade voltada para baixo.
7. Para as funções quadráticas a seguir, determine os zeros da função.
a) f(x) = x elevado a 2 menos 8x + 7
b) f(x) = x elevado a 2 menos 36
c) f(x) = x elevado a 2 menos 3x
d) f(x) = menosx elevado a 2 menos 8x menos 16
8. Verifique, para cada função quadrática, se a parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos, se tangencia o eixo x ou se não intercepta o eixo x.
a)
Sentença matemática. y igual a x elevado ao quadrado, menos 6x, mais 5.
b)
Sentença matemática. y igual a menos x elevado ao quadrado, mais 6x, menos 16.
c)
Sentença matemática. y igual a menos x elevado ao quadrado, menos 2x, menos 1.
d)
Sentença matemática. y igual a x elevado ao quadrado, mais 6x, mais 8.
9. Determine as coordenadas do vértice da parábola que representa cada função quadrática.
a)
Sentença matemática. f, abre parênteses x, fecha parênteses, igual a x elevado ao quadrado, mais 4x, mais 1.b)
Sentença matemática. f, abre parênteses x, fecha parênteses, igual a, x elevado ao quadrado, menos 25.c)
Sentença matemática. f, abre parênteses x, fecha parênteses, igual a x elevado ao quadrado, menos 3x, mais 2.d)
Sentença matemática. f, abre parênteses x, fecha parênteses, igual a menos x elevado ao quadrado, menos 4x, menos 4.10. Esta parábola representa a função
Sentença matemática. f, abre parênteses x, fecha parênteses, igual a, a vezes x elevado ao quadrado, mais bx, menos 3.. Determine a lei dessa função após calcular os coeficientes a e b.
11. Sabendo que o vértice da parábola é V
Sentença matemática. Par ordenado V de abcissa 7 sobre 2 e ordenada menos 1 sobre 4., determine os coeficientes a e b da função quadrática
Sentença matemática. y igual a, a vezes x elevado ao quadrado, mais bx, mais 12.12. Para cada função quadrática a seguir, determine:
um. os zeros da função;
dois. o vértice;
três. o ponto em que a parábola corta o eixo das ordenadas;
quatro. o gráfico.
a)
Sentença matemática. y igual a x elevado ao quadrado, menos 8x, mais 15.b)
Sentença matemática. y igual ao oposto de x elevado ao quadrado, mais 10x, menos 24.c)
Sentença matemática. y igual a x elevado ao quadrado, menos 2x.d)
Sentença matemática. y igual a menos x elevado ao quadrado, mais 4.Ponto de mínimo ou ponto de máximo de uma função quadrática
Toda função quadrática tem um valor máximo ou um valor mínimo que corresponde à ordenada do vértice da parábola que a representa.
Para uma função quadrática f(x) = ax elevado a 2 + bx + c, temos:
• se a > 0, a função tem valor mínimo, e o vértice é chamado ponto de mínimo;
• se a < 0, a função tem valor máximo, e o vértice é chamado ponto de máximo.
13. Verifique se as funções quadráticas admitem valor máximo ou valor mínimo e calcule esse valor.
a)
Sentença matemática. f, abre parênteses x, fecha parênteses, igual ao oposto de x elevado ao quadrado, menos 6x, mais 7.b)
Sentença matemática. f, abre parênteses x, fecha parênteses, igual a menos x elevado ao quadrado, mais 121.c)
Sentença matemática. f, abre parênteses x, fecha parênteses, igual a x elevado ao quadrado, menos 20x.d)
Sentença matemática. f, abre parênteses x, fecha parênteses, igual a x elevado ao quadrado, menos 12x, mais 36.14. Qual deve ser o valor de k para que a função definida por
Sentença matemática. f, abre parênteses x, fecha parênteses, igual a menos 3 vezes x elevado ao quadrado, mais abre parênteses 2k mais 7, fecha parênteses vezes x, mais 2.admita valor máximo para x = 4?
15. Em uma companhia de transporte de ônibus, a receita de determinada viagem é dada por
Sentença matemática. f, abre parênteses x, fecha parênteses, igual a menos x elevado ao quadrado, mais 104x, mais 120., em que f(x) é a receita, em reais, e x é o número de passageiros para essa viagem. Determine:
a) o número de passageiros para atingir a receita máxima;
b) a receita máxima.
Respostas e comentários
6.
Sentença matemática. Desigualdade: q estritamente maior que 5 sobre 3.7. a) 1 e 7
7. b) menos6 e 6
7. c) 0 e 3
7. d) menos4
8. a) ∆ = 16, corta o eixo x em dois pontos distintos.
8. b) ∆ = menos 28, não corta o eixo x.
8. c) ∆ = 0, tangencia o eixo x em um único ponto.
8. d) ∆ = 4, corta o eixo x em dois pontos distintos.
9. a) V( menos2, menos3)
9. b) V(0, menos25)
9. c) V(1,5; menos0,25)
9. d) V( menos2, 0)
10.
Sentença matemática. y igual a x elevado ao quadrado, menos 2 x menos 3.11.
Sentença matemática. y igual a x elevado ao quadrado, menos 7x, mais 12.12. Respostas em Orientações.
13. a) valor máximo: 16
13. b) valor máximo: 121
13. c) valor mínimo: menos 100
13. d) valor mínimo: 0
14. k = 8,5
15. a) 52 passageiros
15. b) R$ 2.824,00dois mil oitocentos e vinte e quatro reais
• Respostas da atividade 12:
a) Zeros da função: x indice 1 = 5 e x indice 2 = 3;
Vértice: V(4, menos1);
Intersecção com o eixo y: (0, 15)
Gráfico da função:
b) Zeros da função: x indice 1 = 4 e x indice 2 = 6;
Vértice: V(5, 1);
Intersecção com o eixo y: (0, menos24)
Gráfico da função:
c) Zeros da função: x indice 1 = 0 e x indice 2 = 2;
Vértice: V(1, menos1);
Intersecção com com o eixo y: (0, 0)
Gráfico da função:
d) Zeros da função: x indice 1 = 2 e x indice 2 = menos2;
Vértice: V(0, 4);
Intersecção com com o eixo y: (0, 4)
Gráfico da função:
• Na atividade 8, os estudantes podem analisar o sinal de Δ ou fazer um esboço do gráfico da função de cada item. Após realizarem a atividade, explore essas duas estratégias com eles.
• Após os estudantes determinarem as coordenadas do vértice da parábola que representa cada função da atividade 9, você pode propor que construam o gráfico dessas funções no GeoGebra, localizem o vértice com base nas coordenadas que calcularam e verifiquem, se de fato, o ponto que aparece na tela é o vértice da parábola correspondente.
• A atividade 10 pode ser feita tomando as coordenadas de dois pontos que pertencem ao gráfico da função e resolvendo um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas (a e b). Os estudantes podem escolher os pontos correspondentes a qualquer um destes pares ordenados: ( menos1, 0), (3, 0), (0, menos3), (2, menos3) ou (1, menos4). Após concluírem, incentive-os a compartilhar como fizeram.
É hora de extrapolar
Faça as atividades no caderno.
Como as tecnologias influenciam a vida das pessoas?
A palavra “tecnologia” tem a sua origem no grego antigo téchne, que significa técnica, arte, ofício, e lôgos, que significa estudo de algo. Atualmente, a presença das tecnologias da informação e da comunicação na vida das pessoas é inegável, mas que outras tecnologias estão presentes em nosso cotidiano? E que tecnologias foram importantes para a história da humanidade?
Objetivos: Refletir sobre a influência das tecnologias; analisar dados sobre tecnologia nas ciências; pesquisar o funcionamento de inventos tecnológicos e produzir modelos para explicar o funcionamento de tais tecnologias.
Etapa 1: Reflexão sobre a influência das tecnologias no cotidiano e na história.
1. Reúnam-se em grupos e respondam às questões em seus cadernos.
a) Analisem a sentença “as tecnologias influenciam a humanidade”. Vocês concordam com ela? Por quê?
b) Quais tecnologias estão presentes atualmente na vida das pessoas?
c) Essas tecnologias são importantes? Por quê?
2. Segundo o dicionário eletrônico Uáis, tecnologia pode ser definida como:
1 teoria geral e/ou estudo sistemático sobre técnicas, processos, métodos, meios e instrumentos de um ou mais ofícios ou domínios da atividade humana ( página exêmplo, indústria, ciência etcétera)
2 técnica ou conjunto de técnicas de um domínio particular
3 qualquer técnica moderna e complexa
a) Podemos dizer que a manufatura de ferramentas de pedra, a descoberta do fogo, a invenção da roda, as técnicas utilizadas na agricultura, os computadores e o mapeamento do dê êne á humano são exemplos de tecnologia?
b) Discutam e façam uma lista com 10 inventos tecnológicos que vocês consideram importantes para a história da humanidade.
c) Pesquisem na internet algumas informações sobre os inventos listados no item anterior e elaborem uma linha do tempo.
3. Apresentem a linha do tempo para a turma. Depois das apresentações, montem uma linha do tempo coletiva com todos os inventos tecnológicos escolhidos pelos grupos.
4. De que fórma a Matemática está presente nas tecnologias que utilizamos no dia a dia?
Etapa 2: Análise de dados sobre tecnologias nas ciências.
5. Leiam este texto e respondam à questão.
A ciência e a tecnologia alimentam-se uma à outra, impulsionando ambas para a frente. O conhecimento científico permite-nos desenvolver novas tecnologias, que muitas vezes nos permitem fazer novas observações sobre o mundo, que, por sua vez, nos permitem construir ainda mais conhecimento científico, que, em seguida, vai inspirar outra tecnologia reticências e assim por diante.
A ciência e a tecnologia em desenvolvimento acelerado. Saber Ciência: como a ciência realmente funciona, sem data Disponível em: https://oeds.link/O8rPrb. Acesso em: 22 julho 2022.
Vocês acham que o desenvolvimento de foguetes e satélites pode ser considerado exemplo de tecnologia que impulsiona a ciência? Por quê?
Respostas e comentários
1. a) Respostas pessoais.
1. b) Resposta pessoal.
1. c) Respostas pessoais.
2. a) sim
2. b) Resposta pessoal.
2. c) As informações e a linha do tempo dependem da lista de inventos feita no item b.
3. Comentário em Orientações.
4. Exemplo de resposta: Nas medidas (medidas de tempo, de capacidade, de voltagem etcétera), no formato dos aparelhos e em seus softwares, uma vez que muitos deles são desenvolvidos por meio de algoritmos escritos em determinada linguagem de programação e que levam em consideração as ideias de função e de variável.
5. Respostas pessoais.
É hora de extrapolar
Bê êne cê cê:
• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).
• Competências específicas 3, 5 e 8 (as descrições estão na página sete).
Esta seção propõe o fechamento da Unidade por meio de um trabalho colaborativo que explora a pesquisa, a comunicação e a elaboração de um podcast ou um seminário, que será compartilhado com a turma ou com a comunidade escolar.
Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem:
• entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado;
• pesquisa coletiva;
• elaboração, em grupo, do produto proposto;
• apresentação e exposição do produto;
• reflexão e síntese do trabalho.
As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser realizadas extraclasse.
A seção também favorece o desenvolvimento das competências gerais 5 e 6 e das competências específicas 5, 6 e 7, procurando mobilizar conteúdos estudados nos capítulos que integram a unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção depois de estudar os capítulos, mas, se preferir, desenvolva as etapas da seção à medida que os capítulos forem estudados, atentando aos conhecimentos prévios necessários.
Se achar oportuno, trabalhe esta seção em parceria com o professor ou a professora de História. Os estudantes podem aprofundar a pesquisa e o debate sobre quais foram as principais tecnologias de cada período histórico e como essas tecnologias influenciaram o modo de viver dos seres humanos em cada um desses períodos.
• Os itens b e c da atividade 1 da etapa 1 ajudam a responder uma das questões propostas na abertura desta Unidade (“Como as tecnologias influenciam a vida das pessoas?”). É importante que os estudantes tenham a oportunidade de compartilhar suas respostas. Se achar conveniente, anote na lousa as influências levantadas por eles.
• Para a atividade 3 da etapa 1, se possível, construa essa linha do tempo coletiva utilizando alguma ferramenta on-line.
• Na atividade 4 da etapa 1, os estudantes vão retomar outra questão proposta na abertura desta Unidade. Outras respostas além da sugerida podem surgir. Se achar necessário, forme uma roda de conversa para explorar esta questão.
• Amplie o assunto trabalhado na atividade 5 da etapa 2 sugerindo uma pesquisa, ou mesmo uma experiência com o auxílio do professor ou da professora de Ciências, sobre o funcionamento de um foguete.
6. Vocês sabem como os foguetes funcionam? Existem experiências que mostram de fórma análoga, por meio de reações químicas, a propulsão dos foguetes construídos com garrafas péti, por exemplo.
Ao ser lançados, os foguetes do experimento chegam a determinada medida da altura e, como não continuam recebendo propulsão para se movimentar, começam a cair em algum momento. Esse movimento pode ser descrito por uma função quadrática.
Considerem o lançamento de um foguete cuja medida da altura h(x), em metros, pode ser descrita pela função agá, tal que h(x) = menosx elevado a 2 + 3x, em que x representa a medida do tempo a partir do lançamento, em segundos.
a) Em que momentos a medida da altura alcançada por esse foguete é de 2 metros?
b) Construa o gráfico da função agá, que representa o movimento desse foguete.
c) Em que momento esse foguete atinge a medida da altura máxima? Qual é essa medida de altura máxima?
Etapa 3: Pesquisa sobre inventos tecnológicos importantes e planejamento e produção de modelo explicativo.
7. Escolham um dos inventos tecnológicos marcados na linha do tempo elaborada na atividade 2. Façam uma pesquisa complementando as informações sobre o invento: como funciona, quando e quem o inventou e quais são as utilidades desse invento.
8. Vocês deverão construir um modelo do invento escolhido que ajude a explicar como ele funciona. Discutam no grupo quais materiais serão necessários para construí-lo. Deem preferência para as sucatas ou materiais reutilizáveis. Elaborem um planejamento, listando os materiais que serão utilizados e as divisões das tarefas entre os membros do grupo.
9. Construam o modelo do invento escolhido e elaborem um texto com as informações obtidas na pesquisa.
Etapa 4: Apresentação, análise e divulgação do modelo explicativo.
10. Estabeleçam uma parceria com outro grupo, para que mostrem o texto informativo e o modelo do invento tecnológico escolhido e façam uma apresentação explicando-o um para o outro. Façam uma leitura cuidadosa do texto, observem o modelo construído e escutem a apresentação, analisando a clareza das informações no texto e na apresentação e a qualidade do modelo.
11. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas.
12. Depois dos ajustes necessários, exibam o modelo para a turma e façam uma apresentação explicando como o invento tecnológico funciona, quando e por quem foi inventado e quais são os seus usos.
13. Por fim, organizem uma exposição dos modelos e dos textos elaborados para a comunidade escolar.
Etapa 5: Síntese do trabalho realizado.
14. Algumas questões que devem ser discutidas:
a) Quais tecnologias vocês utilizaram para realizar as atividades das etapas anteriores?
b) Quais tecnologias vocês acreditam que existirão daqui a dez anos? E daqui a cem anos?
15. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo nas etapas 3 e 4.
Respostas e comentários
6. a) 1 segundo e 2 segundos
6. b) Resposta em Orientações.
6. c) 1,5 segundo; 2,25 metros
Etapa 3: Comentários em Orientações.
Etapa 4: Comentários em Orientações.
14. a) Resposta pessoal.
14. b) Respostas pessoais.
15. Comentário em Orientações.
• No item b da atividade 6 da etapa 2, peça aos grupos que comparem os gráficos construídos. Discuta com os estudantes se, nesse caso, faz sentido traçar o gráfico para pontos com coordenada y negativa.
• Na atividade 8 da etapa 3, discuta com os estudantes o que se espera desses modelos explicativos. Solicite que pensem em como seria um modelo para explicar o funcionamento dos foguetes, quais partes deveriam ser exibidas e quais materiais poderiam ser usados. Dessa fórma, eles terão critérios para pensar no modelo do invento tecnológico escolhido pelos seus grupos.
• Na atividade 9 da etapa 3, é importante alertar os estudantes que, mesmo com um planejamento detalhado, algum imprevisto pode surgir, fazendo com que alguma etapa seja alterada. Incentive-os a encarar as adversidades com resiliência e criatividade.
• Nas atividades de 10 a 13 da etapa 4, os estudantes vão apresentar o modelo explicativo e receber feedback do trabalho realizado. Na atividade 10 é importante que você incentive os grupos a analisar com critério o trabalho uns dos outros e a dar sugestões construtivas. O grupo que receber o feedback deve estar aberto a sugestões e escutar os colegas com atenção e empatia. A exibição dos modelos (atividade 13) pode ser feita na conversa, com o grupo que estiver apresentando posicionado no centro da roda.
• Na atividade 15 da etapa 5, os estudantes devem escrever um texto sobre o processo realizado pelo grupo nas etapas 3 e 4. Deixe-os à vontade para organizar o texto da maneira que julgarem adequada. Você pode utilizar o texto produzido por eles como instrumento de avaliação.
Sugestão de atividade para combater o bullying
Aproveite o tema desta seção para discutir e desenvolver um trabalho com a turma sobre o problema do cyberbullying. Explique que o cyberbullying é a prática do bullying quando se usa como meio de propagação as tecnologias de informação e comunicação digitais e que ele pode ser feito a qualquer hora, de qualquer lugar e compartilhado por muitas pessoas ao mesmo tempo ‒ inclusive de maneira anônima. Forme uma roda de conversa com a turma e pergunte: “Vocês já sofreram ou conhecem alguém que já sofreu cyberbullying? Na opinião de vocês, que medidas podem ser tomadas para combater o cyberbullying?”. Deixe-os à vontade para expor suas experiências e o que pensam do tema. Depois, organize a turma em grupos e proponha que elaborem um cartaz com recomendações voltadas para o combate ao cyberbullying. Ao final da atividade, exponha os cartazes no mural da escola.