Página 174

Unidade 3

Capítulo 7 Relações métricas no triângulo retângulo

Capítulo 8 Circunferência, arcos e ângulos

Capítulo 9 Polígonos regulares

Fotografia. À esquerda, carro prata parado em via pública, à direita, placa octogonal na cor vermelha com a palavra PARE em branco escrito no centro. Ao fundo moto vermelha estacionada e um carro cinza escuro estacionado. Ao redor há várias arvores e casas. — Veículos parados na cidade de Holambra (São Paulo). Observe que a placa "Pare" não é uma indicação de estacionamento. Foto de 2018.

O que você conhece sobre trânsito seguro? Você sabe o que significa a placa que aparece na imagem? Essa placa se parece com qual polígono? No fim desta Unidade, você responderá a essas e outras questões.

Respostas e comentários

Abertura da Unidade

Bê êne cê cê:

• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).

• Competências específicas 2 e 8 (as descrições estão na página sete).

Objetivos:

• Motivar a turma a estudar os conteúdos da Unidade 3.

• Verificar se eles reconhecem círculos e polígonos regulares em algumas placas de trânsito.

• Conscientizá-los sobre a importância de respeitar a sinalização de trânsito.

Tema contemporâneo transversal:

Pergunte para a turma se conhecem a placa presente na imagem e dê um tempo para que respondam. Espera-se que alguns deles reconheçam que essa placa indica que o condutor deve parar o automóvel antes de cruzar ou entrar em uma via. Você pode ampliar a discussão apresentando mais algumas placas e solicitando que expliquem o significado delas. Por fim, comente sobre a importância de respeitar as leis de trânsito e ter comportamento solidário, pois, ao adotar essa postura, diminuem-se as ocorrências de acidentes.

Peça aos estudantes que digam com qual figura geométrica plana se parece a placa de PARE. Espera-se que eles não tenham dificuldades em reconhecer que a placa se parece com um octógono. Depois, aprofunde um pouco mais a discussão, e pergunte se o octógono tem alguma característica especial. Dê um tempo para que levantem hipóteses ou estabeleçam conjecturas. É possível que alguns deles percebam que esse octógono tem todos os lados com mesma medida de comprimento e todos os ângulos internos com a mesma medida de abertura, ou seja, é um octógono regular.

A competência geral 9 e a competência específica 8 da Bê êne cê cê tem o seu desenvolvimento favorecido nesta abertura de Unidade, uma vez que o diálogo e a interação entre os estudantes são incentivados. O espírito de investigação também é estimulado e, por isso, a competência específica 2 também tem o seu desenvolvimento favorecido.

No capítulo 7, serão estudadas as relações métricas no triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras. Circunferências, arcos e ângulos serão abordados no capítulo 8. Por fim, no capítulo 9, serão estudados os polígonos regulares e suas propriedades.

Na seção É hora de extrapolar, os estudantes vão conhecer e entender o significado de algumas placas de trânsito, analisar estatísticas de acidentes de trânsito e práticas para aumentar a segurança no trânsito e produzir placas para uma campanha pelo trânsito seguro.

Página 175

Capítulo 7 Relações métricas no triângulo retângulo

Trocando ideias

O metalúrgico é o profissional responsável pelos projetos de tratamento e de produção de metais e ligas metálicasglossário . Em seu dia a dia, ele precisa ler e interpretar projetos de peças tanto para fabricá-las como para conferir suas medidas.

Ilustração. Homem negro de capacete, óculos e avental está olhando para um papel com figuras geométricas desenhadas, à frente um equipamento industrial com alavancas e manivelas e uma parede com um painel com um botão vermelho. Esquema. À esquerda, prisma triangular, fio indicando: Parte da frente da peça, correspondente a uma das bases triangulares. À direita, acima a descrição: vista frontal, abaixo, triângulo retângulo com o ângulo reto indicado. Cotas indicando as medidas de comprimentos dos lados: vertical, 3 centímetros, horizontal 4 centímetros, diagonal, 5 centímetros. À direita, acima a descrição: vista lateral, abaixo, retângulo com os ângulos retos indicados. Cotas indicando as medidas de comprimentos dos lados: horizontal, 2 centímetros; vertical, 3 centímetros. À direita, acima a descrição: vista superior, abaixo, retângulo com os ângulos retos indicados. Cotas indicando as medidas de comprimentos dos lados: horizontal, 2 centímetros; vertical, 4 centímetros.

▸

Em sua opinião, por que é importante que profissionais como os metalúrgicos utilizem equipamentos de proteção individual? Converse com os colegas.

▸

Como podemos classificar o triângulo correspondente à vista frontal da peça? Por quê?

▸

Como as medidas de comprimento 3 centímetros, 4 centímetros e 5 centímetros dos lados da parte frontal da peça podem ser relacionadas? Converse com os colegas.

Neste capítulo, vamos estudar as relações métricas e trigonométricas de triângulos retângulos.

Respostas e comentários

Trocando ideias: primeiro item: resposta pessoal; segundo item: triângulo retângulo, pois um dos seus ângulos internos é reto; terceiro item: espera-se que os estudantes identifiquem que (3 centímetros)elevado a 2 + (4 centímetros)elevado a 2 = (5 centímetros)elevado a 2.

CAPÍTULO 7 – RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Trocando ideias

Bê êne cê cê:

• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).

• Competências específicas 2, 3 e 8 (as descrições estão na página sete).

Objetivos:

• Verificar se os estudantes reconhecem triângulos retângulos.

• Explorar de maneira intuitiva o teorema de Pitágoras.

• Conhecer o que fazem os metalúrgicos.

Tema contemporâneo transversal:

Comece a aula perguntando para os estudantes se eles têm algum familiar ou se conhecem alguém que é metalúrgico e se sabem o que esse profissional faz. Depois, explique a eles que a metalurgia é a ciência que estuda e gerencia os metais desde sua extração do subsolo até sua transformação em produtos adequados ao uso. Já os metalúrgicos são uma categoria de profissionais que lida diretamente com o tratamento e a produção de um determinado tipo de metal e de suas ligas, passando pela sua extração e até pelo manuseio ou transformação, entre outras etapas. Enfatize com eles a importância do desenho técnico na rotina desses profissionais e, se possível, leve alguns exemplares para que eles possam manusear e analisar. Você pode comentar que, no capítulo 10 deste volume, eles estudarão as vistas ortogonais e terão a oportunidade de analisar outros desenhos como o mostrado no livro.

O primeiro item desta seção convida-os a responder sobre a importância dos EPIs (Equipamentos de Proteção Individual). Após emitirem suas opiniões, é importante enfatizar com eles que o uso desses equipamentos visa garantir a saúde e a proteção do trabalhador, evitando consequências negativas em casos de acidente de trabalho.

Solicite aos estudantes que observem a imagem da peça e das vistas frontal, lateral e superior. Verifique se todos compreenderam o projeto apresentado. Depois, convide-os a responder às questões do segundo e do terceiro item. Ao responder ao segundo item, é importante incentivá-los a justificar suas respostas.

Para responder ao terceiro item, eles terão que realizar investigações com o objetivo de encontrar uma relação que envolva as medidas dos comprimentos dos lados do triângulo retângulo. Após discutirem, revele que (3 centímetros)elevado a 2 + (4 centímetros)elevado a 2 = (5 centímetros)elevado a 2. Caso ache oportuno, diga que as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo retângulo estão relacionadas pelo teorema de Pitágoras e que essa será uma das relações métricas que será estudada no capítulo.

A proposta desta seção Trocando ideias mobiliza conceitos das Unidades temáticas Geometria e Grandezas e medidas, favorecendo, assim, o desenvolvimento da competência específica 3 da Bê êne cê cê. A última questão desperta o espírito investigativo e a capacidade de produzir argumentos convincentes e, além disso, promove a interação entre os pares de fórma cooperativa, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 9 e das competências específicas 2 e 8.

Página 176

1 Projeções ortogonais

Considere um ponto P e uma reta r. Se traçarmos por P uma reta s perpendicular a r, obteremos na intersecção de s e érre um ponto pê linha, denominado projeção ortogonal do ponto P sobre a reta r.

Figura geométrica. Retas perpendiculares, a reta r está inclinada horizontalmente e a reta tracejada s, está inclinada verticalmente. Na intersecção entre as duas retas há o ponto P linha e a indicação do ângulo reto. Sobre a reta s, há o ponto P.

Quando o ponto P pertence à reta r, ele coincide com sua projeção ortogonal sobre ela.

Agora, considere um segmento de reta

\overline{A B}

e a reta r. Denominamos projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{A B}

sobre a reta r o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos do segmento de reta

\overline{A B}

sobre r.

Figura geométrica. Segmento de reta AB levemente inclinado horizontalmente. Abaixo, reta r horizontal contendo o segmento de reta A linha B linha. Fio tracejado de A até A linha com o ângulo reto indicado. Fio tracejado de B a B linha, com o ângulo reto indicado.

Logo,

\overline{A ’ B ’}

é a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{A B}

sobre a reta r.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Copie as figuras no caderno e determine:

a) a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{E F}

sobre a reta r ;

Ilustração. Reta horizontal r e segmento de reta EF vertical acima. Ao lado, ícone com selo modelo.

b) a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{C D}

sobre a reta r .

Ilustração. Reta r com ponto C representado nela e segmento de reta CD com D não pertencente a r. Ao lado, ícone com selo modelo.

Versão adaptada acessível

1. Faça o que se pede em cada caso.

a) Represente uma reta r e um segmento de reta fora dela posicionado perpendicularmente a ela. Determine a projeção ortogonal desse segmento de reta sobre a reta r.

b) Represente uma reta r e um segmento de reta de modo que C pertença à essa reta e D esteja fora dela. Esse segmento não deve ser perpendicular à reta r. Determine a projeção ortogonal desse segmento de reta sobre a reta r.

Orientação para acessibilidade

Respostas

a) Espera-se que os estudantes percebam que a projeção ortogonal do segmento

\overline{E F}

é o ponto da reta r localizado no prolongamento do segmento

\overline{E F}

b) Espera-se que os estudantes percebam que a projeção ortogonal do segmento

\overline{C D}

é o segmento

\overline{C D'}

pertencente à reta r sendo D’ a projeção ortogonal do ponto D.

Caso o estudante tenha alguma dificuldade, oriente-o na realização da atividade.

Respostas e comentários

1. a) á linha

Ilustração. Reta horizontal r e segmento de reta EF vertical acima. Na reta r está representado um ponto A linha. Na figura também está representado um segmento de reta A linha F tracejado.

1. b)

\overline{C D'}

Ilustração. Reta r com ponto C representado nela e segmento de reta CD com D não pertencente a r. Na reta r está representado um ponto D linha. Na figura também está representado um segmento de reta D linha D tracejado que é perpendicular à reta r.

Projeções ortogonais

Objetivo:

Compreender o conceito de projeção ortogonal.

Justificativa

Compreender o conceito de projeção ortogonal é importante para que os estudantes identifiquem os elementos de um triângulo retângulo e entendam as relações métricas entre esses elementos. Além disso, esse é um conceito importante no estudo de vistas ortogonais realizado mais adiante.

Mapeando conhecimentos

Pergunte aos estudantes qual é o significado do termo “projeção ortogonal”. Se necessário, proponha a eles que pesquisem o significado da palavra “ortogonal” em algum dicionário. Depois, peça que representem a projeção ortogonal de:

• um ponto sobre uma reta;

• um segmento de reta sobre uma reta.

Observe como os estudantes procedem em cada caso.

Para as aulas iniciais

Peça a alguns deles que compartilhem as projeções ortogonais feitas e comentem como fizeram para representar cada uma.

Neste tópico, iniciamos o trabalho apresentando as noções de projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta e de um segmento de reta sobre uma reta, conceitos que serão utilizados para estabelecer as relações métricas em um triângulo retângulo.

Página 177

2. Observe as figuras e determine:

a) a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{B C}

sobre

\overset{\leftrightarrow}{A B}

;

Figura geométrica. Segmento de reta BC inclinado. Segmento de reta AB. ABC formam o triangulo ABC escaleno, com ângulo maior do que 90 graus em A. Uma reta passa por AB. Um segmento de reta tracejado vai de C ao ponto D, pertencente a reta que passa por AB. Este segmento é perpendicular reta

b) a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{A B}

sobre

\overset{\leftrightarrow}{B C}

e a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{A C}

sobre

\overset{\leftrightarrow}{B C}

;

Figura geométrica. Triângulo azul ABC acutângulo. Uma reta passa pelo lado BC. Um segmento tracejado vai de A ao ponto D, pertencente ao lado BC. AD é perpendicular é BC.

c) a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{A C}

sobre

\overset{\leftrightarrow}{C B}

;

Figura geométrica. Retângulo ABCD com os ângulos retos indicados. Uma reta passa pelo lado BC. Diagonal AC tracejada

d) a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{A D}

sobre

\overset{\leftrightarrow}{D C}

e a projeção ortogonal do segmento de reta

\overline{B D}

sobre

\overset{\leftrightarrow}{B C}

Figura geométrica. Retângulo roxo com os ângulos retos indicados. Uma reta passa pelo lado CD e outra pelo lado BC. A diagonal BD está representada

2 Triângulo retângulo

Em um triângulo retângulo, chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes a esse ângulo de catetos.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC. Fio indicado o lado BC como hipotenusa. Fio indicando o lado AB como cateto. Fio indicando o lado AC como cateto.

No triângulo retângulo á bê cê,

\overline{C B}

é a hipotenusa e

\overline{A C}

\overline{A B}

são os catetos.

Elementos de um triângulo retângulo

Considere os triângulos retângulos á bê cê e a linha bê linha cê linha.

Figura geométrica. Triângulo retângulo lilás ABC, reto no vértice A. Segmento de reta tracejado do vértice A ao ponto H maiúsculo, pertencente ao lado BC do triângulo, com o ângulo reto e a medida de comprimento h minúsculo indicados. A medida de comprimento de BH é n e a de HC é m. As medidas de comprimento dos lados são: de AB, c minúsculo; de AC, b minúsculo; e de BC, a minúsculo.

Figura geométrica. Triângulo retângulo amarelo A linha B linha C linha, reto no vértice A linha. Segmento de reta tracejado do vértice A linha ao ponto H maiúsculo linha, pertencente ao lado B linha C linha do triângulo, com o ângulo reto e a medida de comprimento h minúsculo linha indicados. A medida de comprimento de B linha H linha é n linha e a de H linha C linha é m linha. As medidas de comprimento dos lados são: de A linha B linha, c minúsculo linha; de A linha C linha, b minúsculo linha; e de B linha C linha, a minúsculo linha.

Representamos por letras minúsculas as medidas de comprimento dos segmentos de reta dos triângulos.

Respostas e comentários

2. a)

\overline{B D}

2. b)

\overline{B D}

;

\overline{C D}

2. c)

\overline{C B}

2. d) D;

\overline{B C}

Triângulo retângulo

Bê êne cê cê:

Habilidade ê éfe zero nove ême ah um três.

Objetivo:

Compreender e aplicar as relações métricas no triângulo retângulo.

Justificativa

Compreender e aplicar as relações métricas no triângulo retângulo é um pré-requisito importante para o estudo do teorema de Pitágoras e possibilita resolver diferentes problemas. A demonstração dessas relações métricas, etapa importante para que os estudantes possam atribuir significado a cada uma, mobiliza o que foi estudado sobre semelhança de triângulos e favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um três.

Mapeando conhecimentos

Inicialmente, reproduza a atividade 20 da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores na lousa e proponha aos estudantes que a realizem. Este é o momento oportuno para verificar se compreendem o conceito de triângulo retângulo. Após concluírem, reserve um momento para discutir o modo como fizeram e recorde a definição de triângulo retângulo.

Em um segundo momento, proponha que analisem uma figura como a apresentada a seguir e tentem encontrar relações entre as medidas de comprimento indicadas utilizando o que estudaram sobre semelhança de triângulos.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado ABC, reto no vértice A. Segmento de reta tracejado do vértice A ao ponto H maiúsculo, pertencente ao lado BC do triângulo, com o ângulo reto e a medida de comprimento h minúsculo indicados. A medida de comprimento de BH é n e a de HC é m. As medidas de comprimento dos lados são: de AB, c minúsculo; de AC, b minúsculo; e de BC, a minúsculo.

Deixe-os à vontade para experimentar, testar hipóteses e discutir suas estratégias com os demais colegas. Caso seja necessário, auxilie-os a organizar o raciocínio.

Para as aulas iniciais

Verifique quais relações métricas os estudantes conseguiram deduzir e convide alguns deles para que expliquem como fizeram. Ajude-os a deduzir outras relações métricas caso ache importante. Você também pode propor que construam um triângulo retângulo em um software de geometria dinâmica e verifiquem, utilizando as ferramentas do software, a validade das relações métricas no triângulo construído.

É importante que os estudantes saibam identificar cada elemento do triângulo retângulo, pois esses estão envolvidos nas relações métricas, conteúdo que será abordado mais adiante.

(ê éfe zero nove ême ah um três) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

Página 178

Assim:

• para o triânguloá bê cê, temos:

BC, igual, a, seta indicando, medida de comprimento da hipotenusa. Abaixo, sentença matemática, AC, igual, b. Abaixo, sentença matemática, AB, igual, c. Fio saindo dessas duas sentenças matemáticas, seta indicando medidas de comprimentos dos catetos. Abaixo, sentença matemática, AH, igual, h, seta indicando medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa. Abaixo, sentença matemática, HC, igual, m, seta indicando medida de comprimento da projeção ortogonal do segmento de reta AC sobre a hipotenusa. Abaixo, sentença matemática, HB, igual, n, seta indicando medida de comprimento da projeção ortogonal do segmento de reta AB sobre a hipotenusa.

• para o triânguloa linha bê linha cê linha, temos:

B linha C linha, igual, a linha, seta indicando, medida de comprimento da hipotenusa. Abaixo, sentença matemática, A linha C linha, igual, b linha. Abaixo, sentença matemática, A linha B linha, igual, c linha. Fio saindo dessas duas sentenças com seta indicando medidas de comprimentos dos catetos. Abaixo, sentença matemática, A linha H linha , igual, h linha, seta indicando medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa. Abaixo, sentença matemática, H linha C linha , igual, m linha, seta indicando medida de comprimento da projeção ortogonal do segmento de reta A linha C linha sobre a hipotenusa. Abaixo, sentença matemática, H linha B linha , igual, n linha, seta indicando medida de comprimento da projeção ortogonal do segmento de reta A linha B linha sobre a hipotenusa.

Relações métricas no triângulo retângulo

Considere o triângulo retângulo á bê cê.

Traçando a altura

(\overline{A H})

relativa à hipotenusa, podemos destacar três triângulos retângulos: triânguloá bê cê, triânguloagá bê á e triânguloagá á cê.

Vamos mostrar que esses triângulos são semelhantes entre si:

• triânguloá bê cê ∼ triânguloagá bê á

Ilustrações. À esquerda, o triângulo retângulo ABC com o ângulo reto em A. A medida do comprimento do cateto AB está representada por c. A medida do comprimento do cateto AC está representada por b. A medida do comprimento da hipotenusa BC está representada por a. O Ângulo ABC está marcado com um arco e dois traços. O ângulo ABC está marcado com um arco. À direita, triângulo retângulo HBA com reto em H. A medida do comprimento do cateto AH está representada por h. A medida do comprimento do cateto BH, está representada por n. A medida do comprimento da hipotenusa AB está representada por c. O ângulo HAB está marcado com um arco. O ângulo ABH está marcado com um arco e e dois traços.

Observe que

B \hat{A} C ≅ B \hat{H} A

, pois são ângulos retos, e

A \hat{B} C ≅ H \hat{B} A

, pois são ângulos comuns aos dois triângulos.

Então, pelo caso á á, temos: triânguloá bê cê ∼ triânguloagá bê á.

Respostas e comentários

Relações métricas no triângulo retângulo

As demonstrações das relações métricas são feitas a partir da semelhança entre triângulos. Se julgar necessário, retome os casos de semelhança de triângulos.

As atividades de demonstração favorecem o desenvolvimento dos diferentes tipos de raciocínio lógico-matemático (indução, dedução, abdução e raciocínio por analogia), de argumentação e de inferência. Após a primeira demonstração, explique aos estudantes que as demais podem ser obtidas por analogia, pois todas partem da proporcionalidade determinada pela semelhança dos triângulos.

Página 179

• triânguloá bê cê ∼ triânguloagá á cê

Esquema. À esquerda, o triângulo retângulo ABC com o ângulo reto em A. A medida do comprimento do cateto AB está representada por c. A medida do comprimento do cateto AC está representada por b. A medida do comprimento da hipotenusa BC está representada por a. O Ângulo ACB está marcado com um arco e um traço.
À direita, triângulo retângulo HAC, com o ângulo reto em H. A medida do comprimento do cateto AH está representada por h. A medida do comprimento do cateto CH, está representada por m. A medida do comprimento da hipotenusa AC está representada por b. O ângulo ACH está marcado com um arco e um traço.

Observe que

B \hat{A} C ≅ A \hat{H} C

, pois são ângulos retos, e

A \hat{C} B ≅ H \hat{C} A

, pois são ângulos comuns aos dois triângulos.

Então, pelo caso á á, temos: triânguloá bê cê ∼ triânguloagá á cê.

Como triânguloá bê cê ∼ triânguloagá bê á e triânguloá bê cê ∼ triânguloagá á cê, podemos afirmar que: triânguloagá bê á ∼ triânguloagá á cê.

Portanto, os triângulos á bê cê, agá bê á e agá á cê são semelhantes entre si.

Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa determina dois outros triângulos retângulos semelhantes entre si e também ao triângulo dado.

Em triângulos semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais. Assim, podemos escrever as seguintes proporções em relação aos pares de triângulos:

• triânguloá bê cê e triânguloagá bê á

Ilustração. Triângulo retângulo ABC com o ângulo reto em A. A medida do comprimento do cateto AB está representada por c. A medida do comprimento do cateto AC está representada por b. A medida do comprimento da hipotenusa BC está representada por a. O Ângulo ABC está marcado com um arco e dois traços. O ângulo ACB está marcado com um arco e um traço.

Ilustração. Triângulo retângulo HBA, com o ângulo reto em H. A medida do comprimento do cateto AH está representada por h. A medida do comprimento do cateto HB, está representada por n. A medida do comprimento da hipotenusa AB está representada por c. O ângulo HAB está marcado com um arco e um traço. O ângulo ABH está marcado com um arco e dois traços.

Como triânguloá bê cê ∼ triânguloagá bê á, então:

Esquema. a sobre c é igual a c sobre n, implica que c elevado a 2 é igual a a vezes n. Há um contorno em c elevado a 2 igual a a vezes n.

• triânguloá bê cê e triânguloagá á cê

Ilustração. Triângulo retângulo HAC com o ângulo H, de 90 graus indicado. A medida do comprimento do cateto AH está representada por h. A medida do comprimento do cateto HC, está representada por m. A medida do comprimento da hipotenusa AC está representada por b. O ângulo ACH está marcado com um arco e um traço. O ângulo HAC está marcado com um arco e dois traços.

Como triânguloá bê cê ∼ triânguloagá á cê, então:

Esquema. a sobre b é igual a b sobre m, implica que b elevado a 2 é igual a a vezes m. Há um contorno em b elevado a 2 é igual a a vezes m.

O quadrado das medidas de comprimento de cada um dos catetos é igual ao produto da medida de comprimento da hipotenusa pela medida de comprimento da projeção ortogonal do cateto considerado sobre a hipotenusa.

Respostas e comentários

Sugestão de atividade extra

Proponha aos estudantes a seguinte atividade de investigação, com a utilização de um software de geometria dinâmica:

Construa um triângulo á bê cê, retângulo em A, conforme a figura a seguir.

Figura geométrica. Triângulo retângulo cinza ABC, reto no vértice A. Segmento de reta do vértice A ao ponto H maiúsculo, pertencente ao lado BC do triângulo, com ângulos retos e a medida de comprimento h minúsculo indicados. A medida de comprimento de BH é m e a de HC é n. As medidas de comprimento dos lados são: de AB, c minúsculo; de AC, b minúsculo; e de BC, a minúsculo. As medidas de abertura dos ângulos BAC e AHB de 90 graus estão indicadas. Nos ângulos ACH e BAH há marcação de dois arcos. Nos ângulos CAH e ABC há marcação de um arco.

\overline{A H}

, de medida de comprimento h, é a altura do triângulo relativa ao lado

\overline{B C}

;

\overline{B H}

, de medida de comprimento m, é a projeção ortogonal do cateto

\overline{A B}

, de medida de comprimento c, sobre o lado

\overline{B C}

; e

\overline{H C}

, de medida de comprimento n, é a projeção ortogonal do cateto

\overline{A C}

, de medida de comprimento b, sobre o lado

\overline{B C}

Após a construção, verifique os triângulos semelhantes, justificando cada uma das semelhanças encontradas.

Agora, meça o comprimento dos segmentos de reta

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{A C}

\overline{A H}

\overline{H C}

\overline{B H}

Após obter as medidas, determine as seguintes razões com base nas semelhanças de triângulos:

△ A B C \sim △ H B A \Rightarrow \frac{A B}{H B} = \frac{B C}{B A} = \frac{A C}{H A}

△ A B C \sim △ H A C ﻿ \Rightarrow \frac{A B}{H A} = \frac{B C}{A C} = \frac{A C}{H C}

△ H B A \sim △ H A C ﻿ \Rightarrow \frac{H B}{H A} = \frac{B A}{A C} = \frac{H A}{H C}

Espera-se que os estudantes concluam que:

triânguloá bê cê ∼ triânguloagá bê á ∼ triânguloagá á cê

Movimente os pontos a, B e C de modo a obter outros triângulos retângulos e, a cada movimento, observe as razões explicitadas anteriormente para responder às seguintes questões: “O que você observou ao movimentar os pontos a, B e C?”; “O que você pode concluir com essa experiência?”.

Peça aos estudantes que aproveitem a construção feita com o software de geometria dinâmica para verificar a validade das relações métricas no triângulo retângulo.

Página 180

• triânguloagá bê á e triânguloagá á cê

Ilustração. Triângulo retângulo HAC com o ângulo reto em H. A medida do comprimento do cateto AH está representada por h. A medida do comprimento do cateto HC, está representada por m. A medida do comprimento da hipotenusa AC está representada por b. O ângulo HCA está marcado com um arco e um traço. O ângulo HAC está marcado com um arco e dois traços.

Como triânguloagá bê á ∼ triânguloagá á cê, então:

Esquema. n sobre h é igual a h sobre m, implica que h elevado a 2 é igual a m vezes n. Há um contorno na expressão h elevado a 2 é igual a m vezes n.

O quadrado da medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas de comprimento das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

• triânguloá bê cê e triânguloagá ahC

Como triânguloá bê cê ∼ triânguloagá ahC, então:

Esquema. a sobre b é igual a c sobre h, implica que b vezes c é igual a, a vezes h
Há um contorno na expressão 'b vezes c é igual a, a vezes h'.

O produto das medidas de comprimento dos catetos é igual ao produto da medida de comprimento da hipotenusa pela medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa.

Analise como podemos aplicar algumas relações métricas no triângulo retângulo.

a) O comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo á bê cê mede 52 centímetros, e o comprimento da projeção ortogonal do maior cateto sobre ela mede 37 centímetros. Vamos determinar a medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC com o ângulo A de 90 graus indicado. A medida do comprimento do cateto AB está representada por c. A medida do comprimento do cateto AC está representada por b. A medida do comprimento da hipotenusa BC está representada por a igual a 52. Segmento de reta tracejado do vértice A ao ponto H, pertencente à hipotenusa BC. O segmento é perpendicular à BC. A medida do comprimento de AH está representada por h. As medida do comprimento do segmento BH está representada por n e a do segmento HC por m igual a 37

m + n = a ⇒ n = a ‒ m

Substituindo os valores dados:

n = 52 ‒ 37 = 15

Pela relação métrica helevado a 2 = m ⋅ n, temos:

helevado a 2 = 37 ⋅ 15 = 555

Como h > 0, temos:

h = \sqrt{555} ≃ 23, 6

Portanto, o comprimento da altura relativa à hipotenusa mede aproximadamente 23,6 centímetros.

b) Vamos determinar a medida de comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo á bê cê em que o comprimento do cateto

\overline{A C}

mede 24 centímetros, e o comprimento da sua projeção ortogonal sobre a hipotenusa (

\overline{H C}

), 13 centímetros.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC com o ângulo A de 90 graus indicado. A medida do comprimento do cateto AC está representada por b, igual a 24. A medida do comprimento da hipotenusa BC está representada por a. Segmento de reta tracejado, do vértice A ao ponto H pertencente à hipotenusa BC. AH é perpendicular à BC. A medida do comprimento do segmento HC está representada por m, igual a 13.

Considerando os dados apresentados, temos:

belevado a 2 = a ⋅ m

576 = a ⋅ 13

a = \frac{576}{13} = 44, 3

Portanto, o comprimento da hipotenusa

\overline{B C}

mede aproximadamente 44,3 centímetros.

Respostas e comentários

Faça a demonstração das relações métricas na lousa com a participação da turma.

É importante que os estudantes atribuam significado a cada uma das relações métricas, em vez de simplesmente memorizá-las. Construir o triângulo retângulo com a altura relativa à hipotenusa e entender as demonstrações das relações auxiliam-nos a atribuir significado a elas.

Página 181

3 Teorema de Pitágoras e aplicações

Na figura a seguir, representamos o triângulo retângulo á bê cê, cujos lados medem 3 u, 4 u e 5 u de comprimento, sendo u a unidade de medida de comprimento, e três quadrados construídos sobre cada um dos lados do triângulo.

Figura geométrica. Triângulo retângulo lilás ABC. O lado AC mede 3 unidades de comprimento, o lado AB mede 4 unidades de comprimento e o lado BC mede 5 unidades de comprimento. Estão representados 3 quadrados, sendo que cada um deles tem um de seus lados comum a cada lado do triângulo. Assim, há um quadrado amarelo com lado AC e, portanto, medindo 3 unidades de comprimento; um quadrado verde com lado AB e, portanto, medindo 4 unidades de comprimento e um quadrado azul com lado CB e, portanto, medindo 5 unidades de comprimento. O quadrado amarelo é formado por 9 quadradinhos, o verde por 16 e o azul por 25. Estão indicadas cotas para a medida de uma unidade de comprimento.

Esses quadrados estão divididos em quadradinhos com lados de medida uma unidade de comprimento, ou seja, cada um desses quadradinhos tem área medindo uma u². Portanto:

• a área do quadrado amarelo mede 9 unidadeselevado a 2;

• a área do quadrado verde mede 16 unidadeselevado a 2;

• a área do quadrado azul mede 25 unidadeselevado a 2.

Observe que a medida da área do quadrado azul corresponde à soma das medidas de área dos outros dois quadrados, pois:

25 unidadeselevado a 2 = 16 unidadeselevado a 2 + 9 unidadeselevado a 2

Associando essa relação às medidas de comprimento dos lados do triângulo á bê cê, temos:

25 unidadeselevado a 2 = 16 unidadeselevado a 2 + 9 unidadeselevado a 2 ⇒ (5 unidades)elevado a 2 = (4 unidades)elevado a 2 + (3 unidades)elevado a 2

Observe que o quadrado da medida de comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas de comprimento dos catetos.

Será que essa relação é válida para todos os triângulos retângulos? Vamos verificar!

Considere um triângulo retângulo á bê cê qualquer.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado ABC com ângulo reto em A. Segmento de reta tracejado do vértice A ao ponto H, pertencente ao lado BC do triângulo com o ângulo reto indicado. A medida de comprimento de BH está representada por n. A medida de comprimento de HC está representada por m. A medida de comprimento do lado AB está representada por c, a medida de comprimento do lado AC está representada por b, a medida de comprimento do lado AC está representada por a.

Temos que:

bêelevado a 2 = a ⋅ m e cêelevado a 2 = a ⋅ n

Adicionando as sentenças membro a membro, obtemos:

belevado a 2 + celevado a 2 = am + an

Esquema. b ao quadrado mais c ao quadrado é igual a, a, abre parêntese, m mais n, fecha parêntese. Fio alaranjado abaixo de m mais n indicando ‘m mais n é igual a a’.

belevado a 2 + celevado a 2 = a ⋅ a

belevado a 2 + celevado a 2 = aelevado a 2

Esquema. Portanto, um quadro com a expressão matemática 'a ao quadrado igual a b ao quadrado mais c ao quadrado.'

Respostas e comentários

Teorema de Pitágoras e aplicações

Bê êne cê cê:

Habilidades ê éfe zero nove ême ah um três e ê éfe zero nove ême ah um quatro.

Objetivo:

Compreender e aplicar o teorema de Pitágoras na resolução de problemas.

Justificativa

O teorema de Pitágoras pode ser aplicado, por exemplo, no cálculo da medida do comprimento da diagonal de um retângulo, da medida do comprimento da altura de um triângulo isósceles, da medida da distância entre dois pontos no plano cartesiano e da medida do comprimento da diagonal de um paralelepípedo. Esse teorema é uma das relações métricas no triângulo retângulo, e uma das demonstrações apresentadas é feita com base em outras relações estudadas anteriormente, favorecendo o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um três. O teorema de Pitágoras também pode ser empregado na resolução de diferentes problemas, o que favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um quatro.

Mapeando conhecimentos

Na sala de informática (se houver) ou em casa, peça aos estudantes que construam um triângulo retângulo em um software de geometria dinâmica e meçam o comprimento dos catetos e da hipotenusa. Em seguida, peça que calculem o quadrado das medidas dos comprimentos dos catetos e o quadrado da medida do comprimento da hipotenusa dos triângulos construídos. Então, peça que modifiquem o triângulo construído inicialmente e refaçam os cálculos. Oriente-os a organizar as informações em um quadro, como o do exemplo a seguir:

Quadrado da medida do comprimento da hipotenusa	Quadrado da medida do comprimento de um cateto	Quadrado da medida do comprimento de outro cateto

O objetivo é que, a partir do preenchimento do quadro, os estudantes percebam que o quadrado da medida de comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas de comprimento dos catetos.

Para aqueles que, eventualmente, já conheçam o teorema de Pitágoras, desafie-os a demonstrá-lo com base nas relações métricas estudadas no tópico anterior.

Para as aulas iniciais

Verifique se os estudantes conseguiram identificar que o quadrado da medida de comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas de comprimento dos catetos. Caso tenham apresentado dificuldades, explore com eles as medidas de comprimento de alguns triângulos retângulos representados em folhas de papel avulsas. A turma pode estar organizada em grupos para facilitar a tarefa.

Neste tópico, demonstramos o teorema de Pitágoras utilizando as relações métricas que foram estudadas. Pode-se solicitar aos estudantes que, em grupos, pesquisem a respeito das diferentes demonstrações do teorema de Pitágoras dadas ao longo do tempo.

(ê éfe zero nove ême ah um três) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

(ê éfe zero nove ême ah um quatro) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

Página 182

Assim, concluímos que:

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida de comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas de comprimento dos catetos.

Essa é a relação métrica no triângulo retângulo mais conhecida, denominada teorema de Pitágoras.

Vamos realizar outra demonstração do teorema de Pitágoras. Podemos comparar as medidas de área de figuras geométricas. Para isso, considere o triângulo retângulo á bê cê a seguir.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado ABC. A medida de comprimento do lado AB está representada por c, a medida de comprimento do lado AC está representada por b, a medida de comprimento do lado BC está representada por a.

Precisamos demonstrar que aelevado a 2 = belevado a 2 + celevado a 2.

Isso será feito com base nas seguintes figuras.

Figura geométrica. Quadrado DEFG de lado a, interno ao quadrado HIJK de lado c mais b. Cada um dos vértices do quadrado interno pertence a um lado do quadrado externo. Quatro triângulos retângulos formados: DEH de lados a, b e c, EFI de lados a, b e c, FGJ de lados a, b e c, GDK de lados a, b e c.

Figura geométrica. Quadrado QRST de lado b mais c, formado pelo quadrado MQNU de lado b, o quadrado PUOS de lado c, o retângulo UNRO, de lados b e c, o retângulo MUPT de lados b e c. Os retângulos são formados por triângulos retângulos de de lados a, b e c.

Os quadrados agá í jóta cá e kê érre ésse tê têm a mesma medida de área, pois seus lados têm a mesma medida de comprimento (b + c):

• a medida de área do quadrado agá í jóta cá é igual à soma da medida de área do quadrado dê é éfe gê e das medidas de área dos quatro triângulos, ou seja:

Sentença matemática. a ao quadrado mais 4 vezes fração com numerador b vezes c e denominador 2. À direita, um em algarismo romano, em destaque.

• a medida de área do quadrado kê érre ésse tê é igual à soma da medida de área do quadrado kê êne ú ême, da medida de área do quadrado ú ó ésse pê e das medidas de área dos quatro triângulos, ou seja:

Sentença matemática. b ao quadrado mais c ao quadrado mais 4, vezes, fração com numerador b vezes c, e denominador 2. À direita, dois em algarismos romanos, em destaque.

Como as medidas de área dos quadrados agá í jóta cá e kê érre ésse tê são iguais, podemos igualar

Símbolo. Um, em algarismo romano, em destaque.

Símbolo. Dois, em algarismos romanos, em destaque.

a^{2} + 4 \cdot \frac{b \cdot c}{2} = b^{2} + c^{2} + 4 \cdot \frac{b \cdot c}{2}

Subtraindo

4 \cdot \frac{b \cdot c}{2}

dos dois membros, temos:

aelevado a 2 = belevado a 2 + celevado a 2

Assim, demonstramos o teorema de Pitágoras.

Respostas e comentários

Ao explorar a demonstração do teorema de Pitágoras utilizando medidas de área de figuras geométricas, comente com os estudantes que as medidas das áreas dos quadrados agá í jóta cá e kê érre ésse tê são iguais, pois correspondem a quadrados congruentes. Assim, após serem subtraídas de cada um deles a medida da área de quatro triângulos congruentes entre si, concluímos que as medidas das áreas restantes são iguais também.

Página 183

Agora, vamos analisar um exemplo da aplicação do teorema de Pitágoras para determinar as medidas de comprimento desconhecidas de um triângulo retângulo.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC, o ângulo B, de 90 graus está indicado. A medida de comprimento do cateto AB está representada por c. A medida de comprimento do cateto BC está representada por b. A medida de comprimento da hipotenusa AC é 20.

O comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo á bê cê mede 20 centímetros, e a razão entre as medidas de comprimento dos catetos é

\frac{3}{4}

. Vamos determinar as medidas de comprimento b e c, respectivamente, dos catetos

\overline{B C}

\overline{B A}

Pelo teorema de Pitágoras, temos: 20elevado a 2 = belevado a 2 + celevado a 2 ⇒ 400 = belevado a 2 + celevado a 2

De acôrdo com o enunciado, sabemos que:

\frac{b}{c} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{9}{16} \Rightarrow b^{2} = \frac{9}{16} c^{2}

Substituindo

, obtemos:

Esquema. 9 16 avos de c ao quadrado, mais, c ao quadrado é igual a 400, implica que, fração com numerador 9 c ao quadrado, mais 16 c ao quadrado, e denominador 16, é igual a 400, implica que, 25 16 avos de c ao quadrado, é igual a 400, implica que, c ao quadrado, é igual a 256, implica que c é igual a 16. Cota, c maior que 0, sobre o último sinal ‘implica’.

Como c = 16, então:

\frac{b}{c} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{b}{16} = \frac{3}{4} \Rightarrow b = 12

Portanto, os catetos medem 12 centímetros e 16 centímetros de comprimento.

Um pouco de história

Pitágoras

Pitágoras (aproximadamente 580 antes de Cristo-500 antes de Cristo) fundou a Escola Pitagórica, em Crotona (colônia grega situada ao sul da Itália), que constituía um centro de estudos de Matemática, Filosofia e Ciências Naturais. Como os ensinamentos eram orais e era costume atribuir todas as descobertas ao fundador da escola, várias delas foram atribuídas a Pitágoras, embora não se saiba ao certo se realmente foram realizadas por ele ou por outros membros do grupo.

Ilustração. Caricatura de um homem com barba e vestimentas que remetem à Grécia antiga, com um braço apoiado em uma coluna e tem na outra mão um papel com uma marcação de dobra — Caricatura do filósofo e matemático grego Pitágoras.

Pitágoras é lembrado até hoje, principalmente pelo teorema que leva seu nome e estabelece uma relação entre as medidas de comprimento dos lados de um triângulo retângulo. Sabe-se, atualmente, que os babilônios, mais de um milênio antes de Pitágoras, já tinham conhecimento de tal relação para casos particulares, porém sua primeira demonstração póde ter sido dada por Pitágoras. Hoje são conhecidas cêrca de 370 demonstrações desse teorema.

Fotografia. Imagem de uma descrição ao redor de um desenho com 3 quadrados conectados formando um triângulo retângulo. — O teorema de Pitágoras em uma tradução árabe da obra Os elementos, de Euclides.

Atividades

a) Identifique alguma superfície que se pareça com um triângulo retângulo em sua sala de aula ou em casa e verifique a validade do teorema de Pitágoras.

Em grupo, pesquise outro modo de verificar ou demonstrar o teorema de Pitágoras.

Respostas e comentários

Um pouco de história: a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal.

Sugestão de atividade extra

Se considerar adequado, sugira aos estudantes que, em grupo, façam as atividades propostas pelo professor Francisco Dutenhefner na oficina Quebra-cabeças pitagóricos, que apresentam algumas demonstrações do teorema de Pitágoras obtidas pela comparação de medidas de área, além de revisar conteúdos como semelhança e congruência de triângulos.

Disponível em: https://oeds.link/dyWToK. Acesso em 7 agosto 2022.

Página 184

Tecnologias digitais em foco

Verificando a validade do teorema de Pitágoras

Nesta seção, utilizaremos o GeoGebra, ou outro software de geometria dinâmica que seu professor indicar, para construir um triângulo e três quadrados sobre os lados desse triângulo e para comparar a medida de área do quadrado maior com a soma das medidas de área dos quadrados menores.

Construa

Siga os passos a seguir para construir um triângulo e três quadrados sobre os lados dele.

1º) Construa um triângulo á bê cê qualquer.

2º) Sobre o lado

\overline{A B}

, construa o quadrado á bê dê é externo ao triângulo.

3º) Da mesma maneira, construa o quadrado BCFG sobre o lado

\overline{B C}

e o quadrado á cê í agá sobre o lado

\overline{A C}

Captura de tela. Tela do software GeoGebra. À direita, a construção do triângulo ABC e a partir de cada lado do triângulo foi construído um quadrado. Nas opções na parte superior há um botão com ícone de botão selecionado e, entre as opções, a ferramenta Polígono regular selecionada.

Explore

a) Meça as aberturas dos três ângulos internos do triângulo á bê cê e, usando a ferramenta

Ilustração. Quadrado com ícone de polígono dentro e acima escrito "centímetro quadrado".

, determine as medidas de área dos quadrados á bê dê é, BCFG e á cê í agá. Movimente os vértices do triângulo construído de modo a obter um triângulo acutângulo. Compare a medida de área do quadrado maior com a soma das medidas de área dos quadrados menores. O que você observa?

b) Movimente, agora, os vértices do triângulo de modo a obter um triângulo obtusângulo. Compare a medida de área do quadrado maior com a soma das medidas de área dos quadrados menores. O que você observa?

c) Desta vez, movimente os vértices do triângulo de modo a obter um triângulo retângulo. Compare a medida de área do quadrado maior com a soma das medidas de área dos quadrados menores. O que você observa?

Respostas e comentários

Explore:

a) A medida de área do quadrado maior é menor que a soma das medidas de área dos quadrados menores.

b) A medida de área do quadrado maior é maior que a soma das medidas de área dos quadrados menores.

c) A medida de área do quadrado maior é igual à soma das medidas de área dos quadrados menores, ou seja, vale o teorema de Pitágoras.

Tecnologias digitais em foco

Objetivo:

Verificar experimentalmente, com o auxílio de um software de geometria dinâmica, a validade do teorema de Pitágoras.

Verificando a validade do teorema de Pitágoras

Nesta seção, os estudantes terão a oportunidade de construir quadrados sobre os lados de um triângulo retângulo e verificar que a medida da área do quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma das medidas das áreas dos quadrados sobre os catetos. Oriente-os quanto às ferramentas que devem utilizar na construção e, depois, na investigação que deverão realizar. Deixe-os livres para conjecturar e trocar ideias.

Relembre-os de que um triângulo é acutângulo quando a abertura de cada ângulo interno mede mais que 0grau e menos que 90graus; um triângulo é obtusângulo quando a abertura de um de seus ângulos mede mais que 90graus e menos que 180graus; e um triângulo é retângulo quando a abertura de um dos seus ângulos mede 90graus.

Nesta seção, foi usado o GeoGebra para fazer as construções, mas ela pode ser desenvolvida com a utilização de qualquer software de geometria dinâmica. Na falta de computador, a seção pode ser adaptada de modo que os estudantes utilizem papel e instrumentos de desenho e de medida.

Página 185

Atividades

Faça as atividades no caderno.

3. Determine o valor de x nos triângulos retângulos.

Figura geométrica. Triângulo retângulo roxo. A hipotenusa tem como medida de comprimento 15 mais 5. A altura em relação à hipotenusa tem como medida de comprimento x.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul cujos catetos tem como medidas de comprimento 30 e 40. A altura em relação à hipotenusa tem como medida de comprimento x.

Figura geométrica. Triângulo retângulo roxo. A hipotenusa tem como medida de comprimento 18. A altura traçada em relação à hipotenusa forma o triângulo retângulo de cateto 8 (pertencente à hipotenusa do triângulo maior) e hipotenusa x.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado. A medida de comprimento dos catetos são x e 6. A medida de comprimento da hipotenusa é raiz quadrada de 38.

4. Determine os valores de x, y e z.

Figura geométrica. Figura geométrica composta por 3 triângulos retângulos. No primeiro triângulo retângulo os catetos tem medidas de comprimento 8 e x e a hipotenusa tem medida de comprimento de 16. A partir do cateto de medida de comprimento x, o segundo triângulo retângulo cujos catetos tem medidas de comprimento x e 12 e a hipotenusa tem medida de comprimento y. A partir da hipotenusa do segundo triângulo, o terceiro triângulo retângulo, cujos catetos tem medidas de comprimento 4 e z e a hipotenusa tem como medida de comprimento z.

5. Em um triângulo retângulo, o comprimento da hipotenusa mede 40 métros, e o comprimento da altura relativa a ela, 19,2 métros. Calcule as medidas de comprimento dos catetos.

6. O comprimento de uma escada mede 4 métros e tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro. A outra extremidade dista 2,4 métros da base do muro. Determine a medida da altura do muro.

7. Em um trapézio retângulo, as bases medem 16 centímetros e 4 centímetros de comprimento, respectivamente. O comprimento do maior lado não paralelo mede 13 centímetros. Quanto mede o perímetro do trapézio?

8. Determine as medidas de comprimento dos catetos e da hipotenusa deste triângulo retângulo, em metro.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul. As medidas de comprimento dos catetos são x e x mais 7. A medida de comprimento da hipotenusa é x mais 14.

9. O comprimento da hipotenusa de um triângulo mede 40 centímetros, e a razão entre as medidas de comprimento dos catetos é

\frac{3}{4}

Calcule as medidas de comprimento dos catetos.

10. Neste triângulo retângulo, b é o dôbro de c. Determine

\frac{m}{n}

11. Qual é a razão entre as medidas de comprimento da hipotenusa e de um cateto de um triângulo retângulo isósceles?

12. Uma empresa foi encarregada de construir uma piscina em um terreno. Como o terreno tinha formato irregular, só foi possível construir uma piscina com formato parecido com um triângulo com as seguintes características:

m e d (\hat{A}) = 2 \cdot m e d (\hat{B}), a = 2 \sqrt{3} m

e b = 2 métros. Determine

m e d (\hat{A}), m e d (\hat{B})

e c.

Ilustração. Piscina no formato de um triângulo retângulo. Os ângulos agudos A e B estão indicados, assim como o ângulo reto. A medida de comprimento da hipotenusa está representada por c. A medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo A está representada por a minúsculo. A medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo B está representada por b minúsculo.

Respostas e comentários

3. a)

x = 5 \sqrt{3}

3. b) x = 24

3. c) x = 12

3. d)

x = \sqrt{2}

x = 8 \sqrt{3}

y = 4 \sqrt{21}

z = 8 \sqrt{5}

5. 24 métros e 32 métros

6. 3,2 métros

7. 38 centímetros

8. medidas de comprimento dos catetos: 21 métros e 28 métros; medida de comprimento da hipotenusa: 35 métros

9. 24 centímetros e 32 centímetros

10. 4

11.

\sqrt{2}

12.

m e d (\hat{A}) = 60 °

;

m e d (\hat{B}) = 30 °

; c = 4 métros

• Para auxiliar a resolução da atividade 5, sugira aos estudantes que representem um triângulo como o seguinte, identificando as medidas dadas.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC. A medida de comprimento da hipotenusa a, é 40. As medidas de comprimento dos catetos são b e c. A altura, h, traçada em relação à hipotenusa tem medida de comprimento 19 vírgula 2 e forma dois triângulos retângulos ABH de hipotenusa c e catetos h e n; e o triângulo retângulo ACH de hipotenusa b e catetos h e m.

Esse recurso os ajudará a perceber que deverão usar as relações:

a = m + n ⇒ m = 40 ‒ n

helevado a 2 = m ⋅ n ⇒ nelevado a 2 ‒ 40n + 368,64 = 0

Resolvendo a equação:

n = 25,6 ou n = 14,4

Como m = 40 ‒ n, temos:

m = 14,4 ou m = 25,6

Como c e b são números positivos por serem medidas, sabemos que:

celevado a 2 = a ⋅ n ⇒ c = 24

belevado a 2 = a ⋅ m ⇒ b = 32

Portanto, as medidas de comprimento dos catetos são 24 métros e 32 métros.

• Na atividade 8, os estudantes deverão estabelecer a seguinte relação:

(x + 14)elevado a 2 = (x + 7)elevado a 2 + xelevado a 2

xelevado a 2 ‒ 14x ‒ 147 = 0

Resolvendo essa equação do 2º grau, obtém-se:

x = 21 ou x = ‒7

Como x é medida, considera-se somente o valor positivo. Logo, as medidas de comprimento dos catetos são 21 métros e 28 métros (21 + 7) e a medida de comprimento da hipotenusa é 35 métros (21 + 14).

• Na atividade 10, os estudantes devem observar que b = 2c. Logo, podemos escrever:

belevado a 2 = a ⋅ m ⇒ 4celevado a 2 = a ⋅ m (um).

Substituindo celevado a 2 = a ⋅ n em um, temos:

4 ⋅ a ⋅ n = a ⋅ m

Dividindo ambos os membros por a ⋅ n, temos:

\frac{4 \cdot a \cdot n}{a \cdot n} = \frac{a \cdot m}{a \cdot n} \Rightarrow 4 = \frac{m}{n}

• Para a atividade 11, os estudantes deverão relembrar que um triângulo retângulo isósceles possui catetos de mesma medida de comprimento. Assim:

aelevado a 2 = belevado a 2 + celevado a 2 ⇒ aelevado a 2 = belevado a 2 + belevado a 2 ⇒ aelevado a 2 = 2belevado a 2

Logo, como a e b são números positivos,

\frac{a}{b} = \sqrt{2}

Página 186

Aplicações do teorema de Pitágoras

Agora, vamos estudar duas importantes aplicações do teorema de Pitágoras: uma no quadrado e outra no triângulo equilátero.

Diagonal de um quadrado

Considere este quadrado a bê cê dê, em que:

• a é a medida de comprimento do lado;

• d é a medida de comprimento da diagonal.

Figura geométrica. Quadrado ABCD de lado a e diagonal d.

Observe que a diagonal

\overline{B D}

divide o quadrado a bê cê dê em dois triângulos retângulos congruentes (triângulobê á dê ≅ triângulobê cê dê).

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo BCD, obtemos:

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC, cujos catetos tem como medida de comprimento a e a hipotenusa tem como medida de comprimento d.

(BD )elevado a 2 = (CD )elevado a 2 + (BC )elevado a 2

delevado a 2 = aelevado a 2 + aelevado a 2

delevado a 2 = 2aelevado a 2

Como d > 0 e a > 0, temos:

d = a

\sqrt{2}

Portanto, em um quadrado com lados de medida de comprimento x, a medida de comprimento da diagonal é x

\sqrt{2}

Altura de um triângulo equilátero

Considere este triângulo equilátero á bê cê, em que:

• a é a medida de comprimento do lado;

• h é a medida de comprimento da altura.

Figura geométrica. Triângulo equilátero ABC de lado a e altura h. Ponto H maiúsculo divide o lado BC em dois segmentos de reta com mesma medida de comprimento igual a a sobre 2.

Observe que a altura

\overline{A H}

divide o triângulo equilátero á bê cê em dois triângulos retângulos congruentes (triânguloá bê agá ≅ triânguloá cê agá).

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo á cê agá, obtemos:

Figura geométrica. Triângulo retângulo ACH. A medida de comprimento do cateto AH é h. A medida de comprimento do cateto HC é a sobre 2. A medida de comprimento da hipotenusa AC é a.

(AC )elevado a 2 = (AH )elevado a 2 + (CH )elevado a 2

a^{2} = h^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} \Rightarrow a^{2} = h^{2} + \frac{a^{2}}{4} \Rightarrow

\Rightarrow h^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} \Rightarrow h^{2} = \frac{3 a^{2}}{4} \overset{h > 0}{\Rightarrow}

\Rightarrow h = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4}} \overset{a > 0}{\Rightarrow}

h =

\frac{a \sqrt{3}}{2}

Portanto, em um triângulo equilátero com lados de medida de comprimento x, a medida de comprimento da altura é

\frac{x \sqrt{3}}{2}

Respostas e comentários

Aplicações do teorema de Pitágoras

Antes de trabalhar com as aplicações do teorema de Pitágoras, peça aos estudantes que, em duplas, descubram a relação entre a medida do comprimento da diagonal do quadrado e a medida do comprimento de seus lados e também que descubram a medida do comprimento da altura de um triângulo equilátero com base na medida do comprimento de seus lados.

Sugestão de atividade extra

Proponha aos estudantes como utilizar o teorema de Pitágoras para localizar na reta numérica alguns números irracionais, por exemplo,

‒ \sqrt{3}

‒ \sqrt{2}

\sqrt{2}

\sqrt{3}

etcétera. A imagem a seguir ilustra esse processo:

Ilustração. Reta numérica com os números menos 2, menos raiz quadrada de 3, menos raiz quadrada de 2, menos 1, zero, 1, raiz quadrada de 2, raiz quadrada de 3 e 2. Há um triângulo retângulo representado acima da reta. Um dos vértices está no zero, a hipotenusa tem medida de comprimento raiz quadrada de 3, um cateto tem medida de comprimento raiz quadrada de 2 e o outro cateto tem medida de comprimento 1. Na figura estão representados dois arcos tracejados com centro no zero: um deles com raio de medida raiz quadrada de 2 e outro com raio de medida raiz quadrada de 3.

Página 187

Atividades

Faça as atividades no caderno.

13. Determine a medida de comprimento da diagonal de um quadrado cujos lados medem 17 centímetros de comprimento.

14. Determine a medida de comprimento da diagonal de um quadrado com 400 centímetroselevado a 2 de medida de área.

15. O comprimento da diagonal de um quadrado mede 10 centímetros. Determine a medida de comprimento do lado desse quadrado.

16. Qual é a medida de comprimento da diagonal de um quadrado cujo perímetro mede 10

\sqrt{2}

centímetros?

17. Qual é a medida de comprimento da diagonal de um retângulo cuja medida de comprimento x da altura tem um terço da medida de comprimento da base?

18. Determine a medida de comprimento da altura de um triângulo equilátero cujo comprimento do lado mede 8 centímetros.

19. O perímetro de um triângulo equilátero mede 12 centímetros. Determine a medida de comprimento da altura desse triângulo.

20. Quanto mede o perímetro de um triângulo equilátero cujo comprimento da altura mede 4

\sqrt{5}

centímetros?

21. Mostre que a área do quadrado ê éfe gê agá mede (b ‒ c)elevado a 2.

Figura geométrica. Quadrado ABCD de lado a, interno ao quadrado ABCD, o quadrado HEFG formado pelos triângulos retângulos GAB, FBD, EDC e HCA, cujos catetos tem como medidas de comprimento b e c e a hipotenusa tem como medida de comprimento a.

22. Observe o paralelepípedo reto-retângulo representado e calcule a medida de comprimento dos segmentos de reta

\overline{E G} e \overline{E C}

Esquema. Paralelepípedo de vértices ABCDEFGH. As diagonais do paralelepípedo formam o triângulo retângulo ECG de catetos CG e EG e hipotenusa EC. Cota horizontal, 2 vírgula 4 metros. Cota vertical de 1 metro. Cota diagonal de 1 vírgula 8 metros.

23.

Cada aresta deste cubo mede 2 centímetros de comprimento. Observe-o e faça o que se pede.

Figura geométrica. Cubo verde de vértices ABCDEFGH.

• No caderno, elabore duas questões relacionadas com a figura, sendo que pelo menos uma possa ser respondida utilizando o teorema de Pitágoras.

• Troque de caderno com um colega e responda às questões elaboradas por ele.

• Analise a resposta do colega e dê um retorno a ele, dizendo o que respondeu corretamente e em que pontos ele se equivocou.

4 Razões trigonométricas no triângulo retângulo

A palavra trigonometria vem do grego trígono, que significa “triangular”, e metria, que significa “medida”.

Entre os povos antigos, a Trigonometria surgiu como elemento de apôio na solução de problemas práticos de astronomia, agrimensura e navegação.

Respostas e comentários

13.

17 \sqrt{2} c m

14.

20 \sqrt{2} c m

15.

5 \sqrt{2} c m

16. 5 centímetros

17.

\sqrt{10} x

18.

4 \sqrt{3} c m

19.

2 \sqrt{3} c m

20.

8 \sqrt{15} c m

21. Exemplo de resposta:

A = a^{2} ‒ 4 \cdot \frac{b c}{2}

A = (belevado a 2 + celevado a 2) ‒ 2bc

A = (b ‒ c)elevado a 2

22. é gê = 3 métros;

E C = \sqrt{10} m

23. Exemplo de resposta:

Quantas diagonais podemos traçar na superfície do cubo e em seu interior? (Resposta: 12 diagonais na superfície e 4 no interior.)

As medidas de comprimento das diagonais

\overline{A H}

\overline{A D}

são iguais? Calcule-as. (Resposta: Não são iguais; o comprimento da diagonal

\overline{A H}

mede

2 \sqrt{2} c m

, e o comprimento da diagonal

\overline{A D}

mede

2 \sqrt{3} c m

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Objetivo:

Reconhecer as razões trigonométricas em um triângulo retângulo (seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo).

Justificativa

As razões trigonométricas são aplicadas na resolução de diversos problemas, por exemplo, os problemas de determinação de medidas inacessíveis: medidas da altura de torres ou prédios ou medida de distância entre as margens de um rio. Além disso, é uma ferramenta importante para que se determine medidas de comprimento de lados ou de aberturas de ângulos desconhecidos em figuras. Reconhecer essas razões amplia o repertório de estratégias dos estudantes para que possam resolver problemas como os descritos. É ainda uma oportunidade para que apliquem o que foi estudado sobre semelhança de triângulos.

Mapeando conhecimentos

Organize a turma em grupos e distribua uma folha de papel com vários triângulos retângulos representados. As medidas de abertura das aberturas dos ângulos internos de todos os triângulos devem ser 30graus, 60graus e 90graus. Em cada triângulo, devem estar indicadas as medidas das aberturas dos ângulos agudos e as medidas dos comprimentos dos lados. Em seguida, proponha aos grupos que respondam as seguintes questões.

1. Qual é a razão, em cada triângulo, entre a medida do comprimento do cateto oposto ao ângulo cuja abertura mede 30graus e a medida do comprimento da hipotenusa? O que vocês podem observar?

2. Qual é a razão, em cada triângulo, entre a medida do comprimento do cateto adjacente ao ângulo cuja abertura mede 30graus e a medida do comprimento da hipotenusa? O que vocês podem observar?

3. Qual é a razão, em cada triângulo, entre a medida do comprimento do cateto oposto e a medida do comprimento do cateto adjacente ao ângulo cuja abertura mede 30graus? O que vocês podem observar?

Por fim, peça a eles que respondam às mesmas perguntas, tomando como referência o ângulo cuja abertura mede 60graus.

Para as aulas iniciais

Defina seno, cosseno e tangente e ajude os estudantes a organizar os valores encontrados na dinâmica inicial em um quadro como o da referência a seguir:

	Seno	Cosseno	Tangente
30°
60°

Algumas das células do quadro podem ser preenchidas com os valores aproximados encontrados pela turma. Se achar oportuno, calcule com os estudantes, utilizando triângulos retângulos isósceles, o seno, o cosseno e a tangente de 45graus.

Página 188

Hiparco (190 antes de Cristo-125 antes de Cristo) – astrônomo grego famoso por ter catalogado aproximadamente .1000 estrelas e calculado a medida da distância da Terra à Lua com erro inferior a 10% – teria sido o primeiro a utilizar as relações entre as medidas de comprimento dos lados e de abertura dos ângulos de um triângulo. É considerado o precursor da Trigonometria.

Atualmente, a Trigonometria tem vasta aplicação na topografia, na aviação e nos diversos ramos da engenharia.

Seno de um ângulo agudo

Considere os triângulos retângulos ABC, ABindice de 1Cindice de 1, ABindice de 2Cindice de 2 e ABindice de 3Cindice de 3.

Esquema. Triângulo retângulo ABC de catetos AB e BC, hipotenusa AC e ângulo agudo alfa. Triângulo retângulo AB1C1 de catetos AB1 e BC1, hipotenusa AC1 e ângulo agudo alfa. Triângulo retângulo AB2C2 de catetos AB2 e B2C2, hipotenusa AC2 e ângulo agudo alfa. Triângulo retângulo AB3C3 de catetos AB3 e B3C3, hipotenusa AC3 e ângulo agudo alfa. Todos os triângulos retângulos compartilham o mesmo vértice A. Seta indicando o texto ‘os pontos C1, C2 e C3 estão localizados no prolongamento de segmento de reta AC.’ Seta indicando o texto ‘os pontos B1, B2 e B3 estão localizados no prolongamento de segmento de reta AB.’

Os triângulos retângulos ABindice de 1Cindice de 1, ABindice de 2Cindice de 2 e ABindice de 3Cindice de 3 são semelhantes ao triângulo á bê cê, pois têm em comum o ângulo

\hat{A}

e o ângulo reto (caso á á). Assim, podemos escrever:

• triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 1Cindice de 1

\frac{A C}{A C_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C_{1}}

• triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 2Cindice de 2

\frac{A C}{A C_{2}} = \frac{B C}{B_{2} C_{2}}

• triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 3Cindice de 3

\frac{A C}{A C_{3}} = \frac{B C}{B_{3} C_{3}}

A partir disso, temos:

•

\frac{B_{1} C_{1}}{A C_{1}} = \frac{B C}{A C_{}}

•

\frac{B_{2} C_{2}}{A C_{2}} = \frac{B C}{A C}

•

\frac{B_{3} C_{3}}{A C_{3}} = \frac{B C}{A C}

Observe que:

\frac{B_{1} C_{1}}{A C_{1}} = \frac{B_{2} C_{2}}{A C_{2}} = \frac{B_{3} C_{3}}{A C_{3}} = \frac{B C}{A C} = \frac{m e d i d a d e c o m p r i m e n t o d o c a t e t o o p o s t o a o â n g u l o \hat{A}}{m e d i d a d e c o m p r i m e n t o d a h i p o t e n u s a}

Podemos traçar infinitos triângulos retângulos semelhantes ao triângulo á bê cê, com vértice a e lado oposto ao vértice A formado por segmento de reta paralelo a

\overline{B C}

com vértices situados nos prologamentos de

\overline{A B} e \overline{A C}

A razão que relaciona a medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo

\hat{A}

com a medida de comprimento da hipotenusa, em todos esses triângulos, é constante e recebe o nome de seno do ângulo de medida de abertura a. Assim:

Esquema. Seno de a, é igual a, fração com numerador 'medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo de medida de abertura a' e denominador 'medida de comprimento da hipotenusa.' Fio alaranjado saindo de seno de a, indicando o texto 'seno do ângulo de medida de abertura a; lemos: seno de a.

Em todo triângulo retângulo, denominamos seno de um ângulo agudo a razão entre a medida de comprimento do cateto oposto a esse ângulo e à medida de comprimento da hipotenusa.

Respostas e comentários

Seno de um ângulo agudo

A primeira razão trigonométrica apresentada é o seno de um ângulo agudo, que relaciona esse ângulo às medidas dos comprimentos do cateto adjacente e da hipotenusa. Essa razão é demonstrada com a aplicação da semelhança de triângulos.

Página 189

Confira mais um exemplo.

Vamos calcular o seno do ângulo

\hat{A}

no triângulo retângulo á bê cê.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC, de catetos BC com medida de comprimento 6 e BA com medida de comprimento 8 e hipotenusa CA com medida de comprimento 10.

Esquema. Seno de a, é igual a, BC, sobre AC, é igual a, 6 décimos, é igual a, 3 quintos. Seta alaranjada indicando BC com legenda "medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo A." Seta alaranjada indicando AC com legenda "medida de comprimento da hipotenusa."

Cosseno de um ângulo agudo

Considere os triângulos retângulos á bê cê, abitindice de 1centésimoindice de 1, abitindice de 2centésimoindice de 2 e abitindice de 3centésimoindice de 3, já apresentados.

Esquema. Triângulo retângulo ABC de catetos AB e BC, hipotenusa AC e ângulo agudo a. Triângulo retângulo AB1C1 de catetos AB1 e BC1, hipotenusa AC1 e ângulo agudo a. Triângulo retângulo AB2C2 de catetos AB2 e B2C2, hipotenusa AC2 e ângulo agudo a. Triângulo retângulo AB3C3 de catetos AB3 e B3C3, hipotenusa AC3 e ângulo agudo a. Todos os triângulos retângulos compartilham o mesmo vértice A.

triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 1Cindice de 1

triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 2Cindice de 2

triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 3Cindice de 3

Assim, podemos escrever:

•

\frac{A C}{A C_{1}} = \frac{A B}{A B_{1}}

•

\frac{A C}{A C_{2}} = \frac{A B}{A B_{2}}

•

\frac{A C}{A C_{3}} = \frac{A B}{A B_{3}}

A partir disso, temos:

•

\frac{A B_{1}}{A C_{1}} = \frac{A B}{A C}

•

\frac{A B_{2}}{A C_{2}} = \frac{A B}{A C}

•

\frac{A B_{3}}{A C_{3}} = \frac{A B}{A C}

Observe que:

\frac{A B_{1}}{A C_{1}} = \frac{A B_{2}}{A C_{2}} = \frac{A B_{3}}{A C_{3}} = \frac{A B}{A C} = \frac{medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo \hat{A}}{medida de comprimento da hipotenusa}

A razão que relaciona a medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo

\hat{A}

com a medida de comprimento da hipotenusa, em todos esses triângulos, é constante e recebe o nome de cosseno do ângulo de medida de abertura a. Assim:

Esquema. Cosseno de a, é igual a, medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo de medida de abertura a, sobre, medida de comprimento da hipotenusa. Fio alaranjado saindo de cosseno de a, indicando o texto ‘cosseno do ângulo de medida de abertura a; lemos: 'cosseno’ de a.

Em todo triângulo retângulo, denominamos cosseno de um ângulo agudo a razão entre a medida de comprimento do cateto adjacente a esse ângulo e à medida de comprimento da hipotenusa.

Respostas e comentários

Cosseno de um ângulo agudo

Com base no que foi estudado sobre o seno de um ângulo agudo, é possível que alguns estudantes tenham condições de desenvolver sozinhos o raciocínio apresentado neste tópico. Se achar conveniente, desafie-os a fazer isso. Reproduza a figura inicial na lousa e solicite que, utilizando a semelhança de triângulos, concluam que a medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo de medida de abertura a e a medida de comprimento da hipotenusa, em todos os triângulos, é constante.

Sugestão de leitura

Sobre o ensino de Trigonometria, sugerimos a leitura da dissertação de mestrado de Carlos Eduardo Moraes Pires, intitulada O ensino de Trigonometria por meio de aulas práticas.

Página 190

Analise mais alguns exemplos.

a) Vamos calcular o cosseno do ângulo

\hat{A}

no triângulo retângulo á bê cê.

Esquema. cosseno de a, é igual a, AB, sobre AC, é igual a, 8 décimos, é igual a, 4 quintos. Seta alaranjada indicando AB como medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo A. Seta alaranjada indicando AC como medida de comprimento da hipotenusa

b) Vamos determinar o cosseno do ângulo

\hat{M}

no triângulo retângulo ême êne ó.

Figura geométrica Triângulo retângulo MNO, de cateto MN com medida de comprimento 2 raiz quadrada de 2, hipotenusa MO com medida de comprimento 5 raiz quadrada de 2, sobre 2 e ângulo alfa no vértice M.

Esquema. cosseno de alfa, é igual a, 2 raiz quadrada de 2, sobre, início da fração 5 raiz quadrada de 2,sobre 2, fim da fração, é igual a, 4 quintos. Seta alaranjada indicando 2 raiz quadrada de 2 como medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo M. Seta alaranjada indicando 5 raiz quadrada de 2,sobre 2 como medida de comprimento da hipotenusa.

Tangente de um ângulo agudo

Considere, mais uma vez, os triângulos retângulos ABC, AB₁C₁, ABindice de 2Cindice de 2 e ABindice de 3Cindice de 3, já apresentados.

Esquema. Triângulo retângulo ABC de catetos AB e BC, hipotenusa AC e ângulo agudo a. Triângulo retângulo AB1C1 de catetos AB1 e B1C1, hipotenusa AC1 e ângulo agudo a. Triângulo retângulo AB2C2 de catetos AB2 e B2C2, hipotenusa AC2 e ângulo agudo a. Triângulo retângulo AB3C3 de catetos AB3 e B3C3, hipotenusa AC3 e ângulo agudo a. Todos os triângulos retângulos compartilham o mesmo vértice A.

triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 1Cindice de 1

triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 2Cindice de 2

triânguloá bê cê ∼ triânguloABindice de 3Cindice de 3

Assim, podemos escrever:

•

\frac{A B}{A B_{1}} = \frac{B C}{B_{1} C_{1}}

•

\frac{A B}{A B_{2}} = \frac{B C}{B_{2} C_{2}}

•

\frac{A B}{A B_{3}} = \frac{B C}{B_{3} C_{3}}

A partir disso, temos:

•

\frac{B_{1} C_{1}}{A B_{1}} = \frac{B C}{A B}

•

\frac{B_{2} C_{2}}{A B_{2}} = \frac{B C}{A B}

•

\frac{B_{3} C_{3}}{A B_{3}} = \frac{B C}{A B}

Observe que:

\frac{B_{1} C_{1}}{A B_{1}} = \frac{B_{2} C_{2}}{A B_{2}} = \frac{B_{3} C_{3}}{A B_{3}} = \frac{B C}{A B} = \frac{medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo \hat{A}}{medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo \hat{A}}

A razão que relaciona a medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo

\hat{A}

com a medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo

\hat{A}

, em todos esses triângulos, é constante e recebe o nome de tangente do ângulo de medida de abertura a. Assim:

Esquema. Tangente de a, é igual à, medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo de medida de abertura a, sobre, medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo de medida de abertura a.
Fio alaranjado saindo de tangente de a, indicando , tangente do ângulo de medida de abertura a, ponto e vírgula, lemos, dois pontos, tangente de a.

Respostas e comentários

Tangente de um ângulo agudo

Se julgar necessário, dê outros exemplos sobre o cálculo de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo. Certifique-se de que os estudantes reconhecem e identificam corretamente a hipotenusa, o cateto oposto e o cateto adjacente. Caso apresentem dificuldade, retome os elementos de um triângulo retângulo.

Página 191

Em todo triângulo retângulo, denominamos tangente de um ângulo agudo a razão entre a medida de comprimento do cateto oposto a esse ângulo e à medida de comprimento do cateto adjacente a esse ângulo.

Verifique mais alguns exemplos.

a) Vamos calcular a tangente do ângulo

\hat{A}

no triângulo retângulo á bê cê.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC, de catetos BC com medida de comprimento 6, BA com medida de comprimento 8 e hipotenusa CA com medida de comprimento 10.

Esquema. Tangente de a, é igual a, BC, sobre AB, é igual a, 6 oitavos, é igual a, 3 quartos.
Seta alaranjada indicando BC como medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo A.
Seta alaranjada indicando AB como medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo A.

b) Com base no triângulo retângulo á bê cê, vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos

\hat{B} e \hat{C}

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC de catetos BA de medida de comprimento 12 e AC de medida de comprimento 9 e hipotenusa BC de medida de comprimento 15 e ângulos b e c indicados.

•

s e n b = \frac{A C}{B C} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}

•

cos b = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}

•

t g b = \frac{A C}{A B} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}

•

s e n c = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}

•

cos c = \frac{A C}{B C} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}

•

t g c = \frac{A B}{A C} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}

A tangente de um ângulo agudo também póde ser obtida como a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo. Dado um triângulo á bê cê qualquer, temos:

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC, sendo A o ângulo reto e b o ângulo A B C.

• seno de b =

\frac{A C}{B C}

⇒ AC = BC ⋅ seno de b

• cosseno de b =

\frac{A B}{B C}

⇒ AB = BC ⋅ cosseno de b

Como

t g b = \frac{A C}{A B}

, temos:

Esquema. Tangente de b, é igual a, AC sobre AB, é igual a BC vezes seno de b, sobre, BC vezes cosseno de b. BC do numerador e do denominador estão cortados. Um fio alaranjado relaciona AC à BC vezes seno de b e outro fio alaranjado relacionando AB com BC vezes cosseno de b. Igual a Seno de b, sobre cosseno de b, implica que, tangente de b, é igual a, seno de b, sobre, cosseno de b, sendo esta última equação em destaque com contorno alaranjado.

Respostas e comentários

Peça aos estudantes que observem atentamente o segundo exemplo. Verifique se percebem que seno de bê = cosseno de cê, cosseno de bê = seno de cê e tangente de bê é o inverso de tangente de cê.

Página 192

Atividades

Faça as atividades no caderno.

24. Determine as razões trigonométricas solicitadas em cada item.

a) seno de c, cosseno de b, tangente de b;

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul, ABC com ângulo reto em A e outros ângulos com medidas de abertura de b e c. A medida de comprimento do cateto AC é 5 e do cateto AB é 12 e a medida de comprimento da hipotenusa BC é 13.

b) seno de b, cosseno de b, tangente de c;

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul ABC, com ângulo reto Em A e os outros ângulos com medida de abertura b e c. A medida de comprimento do cateto AB é 1, do cateto AC, raiz quadrada de 2, e da hipotenusa BC, raiz quadrada de 3.

c) seno de b, cosseno de b, tangente de b;

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul ABC com ângulo reto em A e os outros ângulos com medidas de abertura de b e c. A medida de comprimento do cateto AC e do cateto AB é 5 e a medida de comprimento da hipotenusa BC é 5 raiz quadrada de 2.

d) seno de x, cosseno de z, tangente de x;

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado, XYZ com ângulo reto em Y e os outros ângulo com medida de abertura de x e z. A medida de comprimento do cateto XY é 4 e do cateto YZ é 8 e a medida de comprimento da hipotenusa XZ é 4 raiz quadrada de 5.

e) seno de o, cosseno de p, tangente de p;

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado NOP com ângulo reto em N e os outros ângulo com medidas de abertura o e p. A medida de comprimento do cateto NO é 12 e do cateto NP é 16 e a medida de comprimento da hipotenusa OP é 20.

f) seno de r, cosseno de t, tangente de t.

Figura geométrica. Triângulo retângulo RST, com ângulo reto em S e os outros ângulos com medida de abertura r e t. A medida de comprimento do cateto RS é de 1 vírgula 2 e do cateto TS é 1 vírgula 6 e a medida de comprimento da hipotenusa RT é 2.

25. A medida da inclinação de uma rampa corresponde à tangente do ângulo adjacente à base e oposto à altura dessa rampa.

Figura geométrica. Triângulo retângulo marrom, com ângulo reto e um ângulo agudo com medida de abertura beta. As medidas de comprimento dos catetos são: a e h, sendo que h é oposto ao ângulo beta.
Fio alaranjado indicando que beta é a medida de abertura do ângulo de inclinação dessa rampa.

Assim, para calcular a medida da inclinação (tangente de β), devemos dividir a medida da altura da rampa (agá) pela medida do afastamento (a). Caso o resultado encontrado seja menor ou igual a 0,0833 (8,33%), a rampa é segura e segue os padrões de acessibilidade. Esse cálculo é necessário na construção de rampas de acesso para pessoas com deficiência de mobilidade.

Agora, com base nessa informação, responda:

a) Qual deve ser a medida da altura máxima de uma rampa que mede 2,5 métros de afastamento?

b) Qual deve ser a medida mínima de afastamento se uma rampa mede 25 centímetros de altura?

Respostas e comentários

24. a)

s e n c = \frac{12}{13}

;

cos b = \frac{12}{13}

;

t g b = \frac{5}{12}

24. b)

s e n b = \frac{\sqrt{6}}{3}

;

cos b = \frac{\sqrt{3}}{3}

;

t g c = \frac{\sqrt{2}}{2}

24. c)

s e n b = \frac{\sqrt{2}}{2}

;

cos b = \frac{\sqrt{2}}{2}

; tangente de b = 1

24. d) seno de

x = \frac{2 \sqrt{5}}{5}

; cosseno de

z = \frac{2 \sqrt{5}}{5}

; tangente de x = 2

24. e)

s e n o = \frac{4}{5}

;

cos p = \frac{4}{5}

;

t g p = \frac{3}{4}

24. f) seno de r = 0,8; cosseno de t = 0,8;

t g t = \frac{3}{4}

25. a) 0,20825 métro

25. b) 3,0012 métros

• Na atividade 24, os estudantes deverão determinar o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos internos de diferentes triângulos retângulos. Aproveite o momento para verificar a compreensão deles a respeito desse conteúdo. Sugira que façam a resolução desta atividade na lousa e, para que todos possam participar, podem-se construir outros triângulos retângulos. Essa estratégia permite a identificação de dúvidas, que poderão ser esclarecidas no processo de resolução.

• A situação da atividade 25 aborda uma aplicação prática das razões trigonométricas. Comente com os estudantes que, segundo as normas de acessibilidade da Associação Brasileira de Normas Técnicas (á bê eni tê), a medida da inclinação das rampas de acesso, salvo algumas exceções, não deve ser superior a 8,33%, o que significa que a tangente do ângulo deve ser menor ou igual a 0,0833, isto é, o ângulo deve ter menos que 5graus de medida de abertura. Comente que essa inclinação é indicada para facilitar a locomoção de pessoas com deficiência ou mobilidade reduzida.

Página 193

As razões trigonométricas dos ângulos de medidas de abertura de 30graus, 45graus e 60graus

Considere o quadrado a bê cê dê e o triângulo equilátero á bê cê a seguir.

Figura geométrica. Quadrado amarelo ABCD de lado a, e diagonal com medida de comprimento de a raiz quadrada de 2. A diagonal do quadrado forma dois triângulos retângulos ACD e ABC, cujos catetos tem medidas de comprimento a e as hipotenusas tem medidas de comprimento a raiz quadrada de 2. Os ângulos DAC, BAC, BCA e DCA têm medidas de abertura de 45 graus.

• medida de comprimento do lado do quadrado a bê cê dê: a

• medida de comprimento da diagonal do quadrado a bê cê dê:

a \sqrt{2}

Figura geométrica. Triângulo equilátero ABC, a medida de abertura dos ângulos internos é 60 graus e a medida de comprimento dos lados é a. A altura traçada do vértice C ao ponto H no lado AB tem medida de comprimento a raiz quadrada de 3, sobre 2, forma dois triângulos retângulos AHC e BHC, cujos catetos têm medidas de comprimento a sobre 2 e a raiz quadrada de 3, sobre 2, e medida de comprimento das hipotenusas, a. Os ângulos ACH e BCH têm medida de abertura de 30 graus. No triângulo AHC, o ângulo A tem medida de abertura de 60 graus. No triângulo BHC, o ângulo B tem medida de abertura de 60 graus.

• medida de comprimento do lado do triângulo equilátero á bê cê: a

• medida de comprimento da altura do triângulo equilátero á bê cê:

\frac{a \sqrt{3}}{2}

As medidas de comprimento das diagonais de um quadrado e das alturas de um triângulo equilátero podem ser determinadas pelo teorema de Pitágoras.

Agora, vamos usar essas figuras para determinar o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos de medidas de abertura de 30graus, 45graus e 60graus.

Seno, cosseno e tangente do ângulo de medida de abertura de 30graus

Observe o triânguloBHC e a aplicação das definições de seno, cosseno e tangente para o ângulo de medida de abertura de 30graus:

Figura geométrica. Triângulo equilátero ABC, a medida de abertura dos ângulos é 60 graus e a medida de comprimento dos lados é a.
A altura traçada do vértice C ao ponto H no lado AB com medida de comprimento a raiz quadrada de 3, fim da fração, sobre 2, forma dois triângulos retângulos AHC e BHC, cujos catetos tem medidas de comprimento a sobre 2 e a raiz quadrada de 3, sobre 2, e medida de comprimento das hipotenusas, a. Os ângulos ACH e BCH têm medida de abertura de 30 graus.
No triângulo AHC, o ângulo A tem medida de abertura de 60 graus.
No triângulo BHC, o ângulo B tem medida de abertura de 60 graus.

s e n 30 ° = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{2}

cos 30 ° = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}

t g 30 ° = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Respostas e comentários

As razões trigonométricas dos ângulos de medidas de abertura de 30graus, 45graus e 60graus

Para trabalhar as razões trigonométricas dos ângulos de medidas de abertura de 30graus, 45graus e 60graus, relembre com a turma que a diagonal do quadrado o divide em dois triângulos retângulos e isósceles (congruentes), que os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes, que todos os ângulos internos de um triângulo equilátero tem abertura medindo 60graus e que a altura, a bissetriz e a mediana que partem de um mesmo vértice de um triângulo equilátero coincidem e têm uma extremidade no ponto médio do lado oposto a esse vértice.

Página 194

Seno, cosseno e tangente do ângulo de medida de abertura de 45graus

Observe o triânguloá bê cê e a aplicação das definições de seno, cosseno e tangente para o ângulo de medida de abertura de 45graus:

s e n 45 ° = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{a \cdot 1}{a \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

cos 45 ° = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{a \cdot 1}{a \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

t g 45 ° = \frac{a}{a} = 1

Seno, cosseno e tangente do ângulo de medida de abertura de 60graus

Observe o triânguloBHC e a aplicação das definições de seno, cosseno e tangente para o ângulo de medida de abertura de 60graus:

s e n 60 ° = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}

cos 60 ° = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{2}

t g 60 ° = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{a} = \sqrt{3}

Ilustração. Mulher branca, cabelo comprido ruivo, vestindo camiseta amarela e calça azul, ela segura um livro nas mãos e diz: Confira os resultados obtidos organizados neste quadro.

x	30°	45°	60°
sen x	$divisão de 1 sobre 2$	$divisão de raiz de 2 fecha raiz sobre 2$	$divisão de raiz de 3 fecha raiz sobre 2$
cos x	$divisão de raiz de 3 fecha raiz sobre 2$	$divisão de raiz de 2 fecha raiz sobre 2$	$divisão de 1 sobre 2$
tg x	$divisão de raiz de 3 fecha raiz sobre 3$	1	$raiz de 3 fecha raiz$

Respostas e comentários

Se julgar necessário, reproduza na lousa o passo a passo de como foram obtidos os valores do seno, do cosseno e da tangente de 30graus, 45graus e 60graus e esclareça qualquer dúvida dos estudantes sobre as relações utilizadas.

Página 195

Analise mais alguns exemplos.

a) Vamos determinar o valor de x no triângulo retângulo á bê cê.

Figura geométrica. Triângulo retângulo verde ABC com ângulo reto em A e ângulo B com medida de abertura de 30 graus. A medida de comprimento do cateto AC é x e a medida de comprimento da hipotenusa CB é 26.

s e n 30 ° = \frac{A C}{C B}

s e n 30 ° = \frac{x}{26}

x = 26 ⋅ seno de 30graus

x = 26 \cdot \frac{1}{2} = 13

Portanto, o valor de x é 13.

b) Dado o triânguloá bê cê, vamos determinar o valor de y.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado ABC com ângulo reto em A e ângulo B com medida de abertura de 60 graus. A medida de comprimento do cateto AB é y, e a medida de comprimento da hipotenusa BC é 37.

cos 60 ° = \frac{A B}{B C}

cos 60 ° = \frac{y}{37}

y = 37 ⋅ cosseno de 60graus

y = 37 \cdot \frac{1}{2} = 18, 5

Portanto, o valor de y é 18,5.

c) Vamos determinar o valor de z para o triângulo retângulo á bê cê.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC verde, com ângulo reto em A e ângulo B com medida de abertura de 45 graus. As medidas de comprimento dos catetos são: AB, 12, e AC, z.

t g 45 ° = \frac{A C}{A B}

t g 45 ° = \frac{z}{12}

z = 12 ⋅ tangente de 45graus

z = 12 ⋅ 1 = 12

Portanto, o valor de z é 12.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

26. Calcule o valor de x e y nestes triângulos retângulos.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul com ângulo reto e ângulo com medida de abertura de 45 graus. As medidas de comprimento dos catetos são: x (cateto oposto ao ângulo de 45 graus) e 20 e a medida de comprimento da hipotenusa é y.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul com ângulo reto e ângulo com medida de abertura de 60 graus. As medidas de comprimento dos catetos são: x (cateto oposto ao ângulo de 60 graus) e y, e a medida de comprimento da hipotenusa, 100.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul com ângulo reto e ângulo com medida de abertura de 30 graus. As medidas de comprimento dos catetos são: 2 (cateto oposto ao ângulo de 30 graus) e y, e a medida de comprimento da hipotenusa é x.

Respostas e comentários

26. a) x = 20;

y = 20 \sqrt{2}

26. b)

x = 50 \sqrt{3}

; y = 50

26. c) x = 4;

y = 2 \sqrt{3}

Reproduza os exemplos na lousa e verifique se fazem o uso correto das informações do quadro apresentado com os valores de seno, cosseno e tangente de 30graus, 45graus e 60graus.

Página 196

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

27. Determine o valor de m, n, h e x no triângulo retângulo a seguir.

Figura geométrica. Triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em A. O lado BC tem medida de comprimento x, o lado AB tem medida de comprimento 80.
o ângulo C tem medida de abertura de 30 graus, o ângulo B tem medida de abertura de 60 graus.
Altura h do vértice A ao ponto D no lado BC. Os comprimentos dos segmentos de reta CD e DB são, respectivamente, m e n.

28. Calcule a medida de comprimento do lado

do quadrado a bê cê dê, em metro, e a medida de comprimento da altura

\overline{C H}

do triângulo á bê cê, em centímetro.

Figura geométrica. Quadrado ABCD. A diagonal AC tem medida de comprimento 6 raiz quadrada de 2. A diagonal AC divide o quadrado em dois triângulos retângulos, ABC e ADC, a medida de abertura do ângulo BAC do triângulo ABC é de 45 graus.

Figura geométrica. Triângulo ABC, o lado BC tem medida de comprimento 5 centímetros e o ângulo B têm medida de abertura de 60 graus. Altura do vértice C ao ponto H no lado AB, formando dois triângulos retângulos HBC e HAC. O ângulo HCB do triângulo HBC tem medida de abertura de 30 graus.

29. Determine a medida de comprimento h da altura deste triângulo retângulo.

Figura geométrica. Triângulo retângulo vermelho ACD com a medida de abertura do ângulo A de 30 graus e o ângulo reto em C. A medida de comprimento do lado CD é h. Linha diagonal do vértice D ao lado AC, formando o triângulo ABD e o triângulo retângulo BCD. A medida de comprimento do lado AB é 600 metros e o ângulo DBC do triângulo BCD tem abertura de 45 graus.

Tabela de razões trigonométricas

Na resolução de diversos problemas envolvendo razões trigonométricas, necessitamos dos valores do seno, do cosseno e da tangente de alguns ângulos com medidas de abertura diferentes de 30graus, 45graus e 60graus.

Por exemplo, o que você faria se precisasse do seno de 39graus para resolver um problema? Ou se precisasse do cosseno de 50graus? E da tangente de 81graus?

Por isso, há alguns séculos, matemáticos calcularam e organizaram os valores aproximados do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos agudos cujas medidas de abertura variam de 1grau a 89graus.

Observe a seguir os valores com aproximação de milésimos.

x	sen x	cos x	tg x
1°	0,017	1,000	0,017
2°	0,035	0,999	0,035
3°	0,052	0,999	0,052
4°	0,070	0,998	0,070
5°	0,087	0,996	0,087
6°	0,105	0,995	0,105
7°	0,122	0,993	0,123
8°	0,139	0,990	0,141
9°	0,156	0,988	0,158
10°	0,174	0,985	0,176
11°	0,191	0,982	0,194
12°	0,208	0,978	0,213
13°	0,225	0,974	0,231
14°	0,242	0,970	0,249
15°	0,259	0,966	0,268
16°	0,276	0,961	0,287
17°	0,292	0,956	0,306
18°	0,309	0,951	0,325
19°	0,326	0,946	0,344
20°	0,342	0,940	0,364
21°	0,358	0,934	0,384
22°	0,375	0,927	0,404
23°	0,391	0,921	0,424
24°	0,407	0,914	0,445

Respostas e comentários

27. m = 120; n = 40;

h = 40 \sqrt{3}

; x = 160

28. CB = 6 métros;

C H = \frac{5 \sqrt{3}}{2} c m

29.

h = 300 (1 + \sqrt{3}) m

• Na atividade 27, para determinar o valor de x, pode-se fazer:

sen 3 0^{o} = \frac{80}{x} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{80}{x} \Rightarrow x = 160

Do mesmo modo, o valor de n pode ser determinado considerando-se o triângulo ABD e o cosseno de 60graus:

cos 6 0^{o} = \frac{n}{80} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{n}{80} \Rightarrow n = 40

Como m + n = x, temos: m + 40 = 160 ⇒ m = 120

Considerando novamente o triângulo ABD e a tangente de 60graus, obtemos h:

tg 6 0^{o} = \frac{h}{40} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{40} \Rightarrow h = 40 \sqrt{3}

Tabela de razões trigonométricas

Ao trabalhar a tabela de razões trigonométricas com os valores aproximados de seno, cosseno e tangente de ângulos agudos, chame a atenção dos estudantes para o fato de que os valores de seno e cosseno estão entre 0 e 1.

Página 197

x	sen x	cos x	tg x
25°	0,423	0,906	0,466
26°	0,438	0,899	0,488
27°	0,454	0,891	0,510
28°	0,469	0,883	0,532
29°	0,485	0,875	0,554
30°	0,500	0,866	0,577
31°	0,515	0,857	0,601
32°	0,530	0,848	0,625
33°	0,545	0,839	0,649
34°	0,559	0,829	0,675
35°	0,574	0,819	0,700
36°	0,588	0,809	0,727
37°	0,602	0,799	0,754
38°	0,616	0,788	0,781
39°	0,629	0,777	0,810
40°	0,643	0,766	0,839
41°	0,656	0,755	0,869
42°	0,669	0,743	0,900
43°	0,682	0,731	0,933
44°	0,695	0,719	0,966
45°	0,707	0,707	1,000
46°	0,719	0,695	1,036
47°	0,731	0,682	1,072
48°	0,743	0,669	1,111
49°	0,755	0,656	1,150
50°	0,766	0,643	1,192
51°	0,777	0,629	1,235
52°	0,788	0,616	1,280
53°	0,799	0,602	1,327
54°	0,809	0,588	1,376
55°	0,819	0,574	1,428
56°	0,829	0,559	1,483
57°	0,839	0,545	1,540
58°	0,848	0,530	1,600
59°	0,857	0,515	1,664
60°	0,866	0,500	1,732
61°	0,875	0,485	1,804
62°	0,883	0,469	1,881
63°	0,891	0,454	1,963
64°	0,899	0,438	2,050
65°	0,906	0,423	2,145
66°	0,914	0,407	2,246
67°	0,921	0,391	2,356
68°	0,927	0,375	2,475
69°	0,934	0,358	2,605
70°	0,940	0,342	2,747
71°	0,946	0,326	2,904
72°	0,951	0,309	3,078
73°	0,956	0,292	3,271
74°	0,961	0,276	3,467
75°	0,966	0,259	3,732
76°	0,970	0,242	4,011
77°	0,974	0,225	4,332
78°	0,978	0,208	4,705
79°	0,982	0,191	5,145
80°	0,985	0,174	5,671
81°	0,988	0,156	6,314
82°	0,990	0,139	7,115
83°	0,993	0,122	8,144
84°	0,995	0,105	9,514
85°	0,996	0,087	11,430
86°	0,998	0,070	14,301
87°	0,999	0,052	19,081
88°	0,999	0,035	28,636
89°	1,000	0,017	57,290

Analise a seguir alguns exemplos do uso da tabela de razões trigonométricas.

x	sen x	cos x	tg x
31°	0,515	0,857	0,601
32°	0,530	0,848	0,625
33°	0,545	0,839	0,649
34°	0,559	0,829	0,675
35°	0,574	0,819	0,700

Ilustração. Homem amarelo de camiseta vermelha e verde e calça azul, ele está sentado em uma banqueta alta com os pés sobre o apoio e segura nas mãos uma calculadora.

a) Vamos localizar o valor aproximado do cosseno de 33graus.

Primeiro, localizamos 33graus e, então, na coluna “cosseno de x”, encontramos 0,839.

Esquema. Portanto: Cosseno de 33 graus é aproximadamente 0 vírgula 839. Fio alaranjado indicando o texto: O cosseno de 33 graus é aproximadamente 0 vírgula 839.

Respostas e comentários

Faça a leitura dos exemplos do livro com a turma. Em seguida, se achar necessário, apresente outros exemplos para que os estudantes localizem os valores aproximados de seno, cosseno e tangente na tabela de razões trigonométricas.

Página 198

b) Vamos determinar a medida de abertura do ângulo cuja tangente é aproximadamente igual a 1,6.

Localizamos, na coluna “tangente de x”, o valor 1,6 e encontramos a medida de abertura do ângulo correspondente a esse valor.

x	sen x	cos x	tg x
56°	0,829	0,559	1,483
57°	0,839	0,545	1,540
58°	0,848	0,530	1,600
59°	0,857	0,515	1,664
60°	0,866	0,500	1,732

Portanto, a medida de abertura do ângulo procurado é 58graus.

c) Qual é a medida de abertura do ângulo cujos seno e cosseno têm valores iguais?

Para responder a essa pergunta, localizamos, nas colunas “seno de x” e “cosseno de x”, valores iguais. Depois, encontramos a medida de abertura do ângulo correspondente a esses valores.

x	sen x	cos x	tg x
43°	0,682	0,731	0,933
44°	0,695	0,719	0,966
45°	0,707	0,707	1,000
46°	0,719	0,695	1,036
47°	0,731	0,682	1,072

Portanto, a medida de abertura do ângulo procurado é 45graus.

Observação

A calculadora científica é um recurso útil e poderá ajudar no cálculo das razões trigonométricas dos ângulos.

Fotografia. Calculadora científica com o visor apagado.

Para a realização dos cálculos, utilize as teclas

Ilustração. Tecla de calculadora com a abreviação S I N.

para seno,

Ilustração. Tecla de calculadora com a abreviação C O S.

para cosseno e

Ilustração. Tecla de calculadora com a abreviação T A N.

para tangente e verifique se a calculadora científica está no modo DEG (grau = degree).

Vamos fazer um teste? Digite a sequência de teclas a seguir e confirme o resultado no visor.

•

Esquema. Sequências de Teclas de calculadora.
Sequência de teclas da calculadora: 4, 0, S I N. Visor com o número 0,6428

•

Esquema. Sequências de Teclas de calculadora: 3, 6, C O S. Visor com o número 0,8090.

•

Abaixo, Sequência de teclas da calculadora: 7, 0, T A N. Visor com o número 2,7475

Lembre-se de que calculadoras diferentes, por vezes, requerem distintos procedimentos para os cálculos.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

30.

Utilizando uma calculadora científica ou a tabela de razões trigonométricas, determine, com aproximação de três casas decimais, os valores de:

a) seno de 17graus

b) cosseno de 2graus

c) tangente de 26graus

d) seno de 43graus

e) cosseno de 38graus

f) tangente de 50graus

g) cosseno de 14graus

h) tangente de 88graus

31. Utilizando a tabela de razões trigonométricas, determine a (em grau), sabendo que:

a) seno de a = 0,122

b) cosseno de a = 0,342

c) tangente de a = 0,7

d) seno de a = 0,829

e) tangente de a = 0,176

f) seno de a = 0,988

g) cosseno de a = 0,777

h) tangente de a = 1,732

32. Calcule o valor de x e y nestes triângulos retângulos.

Figura geométrica. Triângulo retângulo roxo.
A medida de comprimento da hipotenusa é x e as medidas de comprimento dos catetos são 5 e y.
O ângulo com medida de abertura de 25 graus é oposto ao cateto de medida de comprimento 5.

Figura geométrica. Triângulo retângulo verde.
A medida de comprimento da hipotenusa é 2 e as medidas de comprimento dos catetos são x e y.
O ângulo oposto ao lado com medida de comprimento x, tem medida de abertura de 40 graus.

Respostas e comentários

30. a) 0,292

30. b) 0,999

30. c) 0,488

30. d) 0,682

30. e) 0,788

30. f) 1,192

30. g) 0,970

30. h) 28,636

31. a) 7graus

31. b) 70graus

31. c) 35graus

31. d) 56graus

31. e) 10graus

31. f) 81graus

31. g) 39graus

31. h) 60graus

32. a) x ≃ 11,82; y ≃ 10,73

32. b) x = 1,286; y = 1,532

No Bócsi Observação, os estudantes entrarão em contato com a calculadora científica e aprenderão a utilizar as teclas de seno, cosseno e tangente. Se possível, oriente-os a usar a calculadora científica (presente também em muitos celulares) para calcular o seno, o cosseno e a tangente de alguns ângulos e comparar os valores obtidos com os apresentados na tabela de razões trigonométricas. Essa é uma fórma não só de familiarizá-los com a calculadora científica, como também de reforçar o fato de que a maior parte dos valores apresentados na tabela são aproximações, assim como os valores da calculadora, porém os valores da calculadora científica apresentam mais casas decimais.

Página 199

5 Resolução de problemas

Neste tópico, vamos estudar alguns problemas que envolvem aplicações das razões trigonométricas estudadas.

Problema 1

De um posto de observação situado a 100 métros de um prédio, vê-se o ponto mais alto desse prédio sob um ângulo de medida de abertura de 44graus. Determine a medida da altura do prédio, sabendo que o posto está a 1 métro do solo. (Utilize: seno de 44graus = 0,70; cosseno de 44graus = 0,72; tangente de 44graus = 0,97.)

Esquema. À direita, prédio com altura do chão ao topo com medida h. À esquerda, à 100 metros de distância, um ponto de observação. O ponto de observação está um metro acima do chão. Desse ponto de observação sai uma linha tracejada horizontal até o prédio e outra linha tracejada diagonal até a parte superior do prédio, com ângulo de medida de abertura 44 graus, e descrição "linha de visão". A altura do ponto de observação até o topo do prédio mede x. — Representação esquemática fora de escala.

Como x corresponde à medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo de medida de abertura de 44graus, podemos escrever:

t g 44 ° = \frac{x}{100 m}

x = 100 métros ⋅ tangente de 44graus

x = 100 métros ⋅ 0,97

x = 97 métros

Então:

h = x + 1 métro

h = 97 métros + 1 métro = 98 métros

Portanto, a medida da altura do prédio é 98 métros.

Problema 2

Um avião, a uma medida da altura de .2000 métros, é visto por dois observadores que estão nos pontos a e B, sob ângulos de medidas de abertura de 28graus e 40graus, respectivamente. Qual é a medida da distância aproximada entre esses dois observadores? (Utilize: seno de 28graus = 0,47; cosseno de 28graus = 0,88; tangente de 28graus = 0,53; seno de 40graus = 0,64; cosseno de 40graus = 0,77; tangente de 40graus = 0,84.)

De acôrdo com o esquema a seguir, temos os triângulos retângulos BVC e á vê cê, com um dos catetos comum (

\overline{V C}

). A medida da distância entre os dois observadores é representada por x, que corresponde a uma parte da medida de comprimento do cateto

\overline{A C}

do triângulo á vê cê.

Esquema. Avião com a cabine para a direita no ponto V.
Abaixo, uma reta horizontal, representando o chão, com os pontos A, B e C. O comprimento de AB mede x e o de BC mede y. À direita, reta vertical do ponto C ao avião, ponto V, com medida de comprimento 2 mil metros.
Do ponto A sai uma linha tracejada diagonal até o avião, ponto V, formando o ângulo de 28 graus.
Do ponto B sai uma linha tracejada diagonal até o avião, ponto V, formando o ângulo de 40 graus. — Representação esquemática fóra de escala.

Do triângulo BVC, temos:

t g 40 ° = \frac{2 000 m}{y}

y = \frac{2 000 m}{t g 40 °}

y = \frac{2 000 m}{0, 84}

y ≃ .2380,95 métros

E, do triângulo á vê cê, temos:

g 28 ° = \frac{2 000 m}{x + y}

x + y = \frac{2 000 m}{t g 28 °}

x + y = \frac{2 000 m}{0, 53}

x + y ≃ .3773,58 métros

x ≃ .3773,58 métros ‒ .2380,95 métros

x ≃ .1392,63 métros

Portanto, a medida da distância aproximada entre os dois observadores é .1392,63 métros.

Respostas e comentários

Resolução de problemas

Objetivo:

Aplicar as razões trigonométricas em um triângulo retângulo (seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo) na resolução de problemas.

Justificativa

As razões trigonométricas podem ser aplicadas para resolver problemas que envolvam a determinação de medidas inacessíveis, por exemplo, as medidas da altura de torres ou prédios ou a medida da distância entre as margens de um rio. Aplicar as razões trigonométricas para resolver problemas como esses amplia o repertório de estratégias dos estudantes e pode ajudá-los a atribuir mais significado a esse conteúdo.

Mapeando conhecimentos

Apresente para a turma a seguinte situação problema: “Paulo mede 1,5 métro de altura e deseja saber a medida da altura de uma torre para antena de celular. Ele está a 20 métros dela e a medida da abertura do ângulo com que ele enxerga parte da torre é igual a 51graus. Como Paulo poderá calcular a medida da altura dessa torre, sem subir na torre?”. Você pode pedir para que os estudantes se organizem em duplas. Deixe-os à vontade para utilizar suas estratégias pessoais. Você pode orientá-los a fazer um esquema, como o da referência a seguir, para representar a situação.

Esquema. À esquerda, torre BC. À direita o triângulo retângulo ABC. A medida de abertura do ângulo A é de 51 graus, o cateto adjacente ao ângulo A tem medida de comprimento de 20 metros. Seta roxa indicando que a medida de comprimento do lado AB, 20 metros corresponde à Medida da distância de Paulo à torre. Seta roxa indicando que o vértice A representa Paulo. Seta roxa indicando que a altura de Paulo mede 1,5 metro.

Proponha as seguintes questões para eles: “Quais são as informações fornecidas no enunciado do problema?”; “Qual das razões trigonométricas devemos calcular para determinar parte da medida da altura da torre?“; “Como podemos determinar a tangente de 51graus?“; ”A medida da altura de Paulo é um dado importante? Por quê?”.

Para as aulas iniciais

Resolva o problema proposto na dinâmica inicial coletivamente e tire as eventuais dúvidas. Depois, você pode propor outros problemas para os estudantes resolverem ou pedir que elaborem problemas que possam ser resolvidos utilizando razões trigonométricas.

Ao explorar os problemas deste tópico, certifique-se de que os estudantes identificam o triângulo retângulo, seus elementos e a razão trigonométrica a ser aplicada na resolução; se houver necessidade, leia os problemas com a turma, esclarecendo eventuais dúvidas.

Página 200

Problema 3

Há situações em que não podemos utilizar uma trena para medir determinado comprimento, como a largura de um rio. Nesses casos, é comum utilizar um instrumento ótico chamado teodolito, que mede a abertura de um ângulo. Então, por meio da Trigonometria, é possível descobrir a medida desejada.

Observe esta situação representada. Determine a medida r da largura do rio.

As imagens foram aplicadas sem respeitar a proporção real entre suas medidas.

Ilustração. Margens de um rio. Na margem superior há duas árvores e na margem inferior, há um homem. Um segmento de reta indica a distância entre as margens do rio e sua medida é r. Este segmento corresponde ao cateto de um um triângulo, sendo o outro cateto pertencente à margem, com medida de 20 metros de comprimento. O homem está posicionado em um dos vértices do triângulo não pertencente e r, e o ângulo interno nesse vértice é 55 graus. — Representação esquemática fóra de escala.

(Utilize: seno de 55graus = 0,82; cosseno de 55graus = 0,57; tangente de 55graus = 1,43.)

Do triângulo representado, temos:

t g 55 ° = \frac{r}{20 m}

r = 20 métros ⋅ tangente de 55graus

r = 20 métros ⋅ 1,43 = 28,6 métros

Logo, a largura do rio mede 28,6 métros.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

33. Um observador, distante 80 métros do mastro de uma bandeira, vê seu ponto mais alto sob o ângulo de medida de abertura de 38graus. A distância dos olhos dele ao chão mede 1,70 métro. Qual é a medida aproximada da altura do mastro?

Esquema. À esquerda, bandeira do Brasil hasteada. À direita, homem de 1,70 metros. Da bandeira até o homem tem a distância de 80 metros. Linha tracejada horizontal da cabeça do homem até a bandeira e linha tracejada diagonal até o topo formam ângulo de 38 graus. — Representação esquemática fóra de escala.

34. Do alto de uma torre que mede 50 métros de altura, localizada em uma ilha, avista-se a praia sob um ângulo de medida de abertura de 45graus em relação à horizontal. Quanto mede a distância da torre à praia?

35. Observe o esquema e calcule a medida da distância (x) a que o garoto deve estar da tela.

Esquema. À esquerda, segmento representando a tela de cinema com 5 metros a 1 metro e 20 centímetros do chão. À direita, pessoa sentada com altura de 1 metro e 20 centímetros. Da tela até a cadeira, medida x. Linha tracejada horizontal, da pessoa sentada até a parte inferior da tela e linha tracejada diagonal da pessoa sentada até o topo da tela, formando o ângulo de 30 graus. — Representação esquemática fóra de escala.

36. Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo, sob um ângulo de medida de abertura de 30graus. A que medida da altura estará o foguete após percorrer 8 quilômetros em linha reta?

Ilustração. Foguete lançado na diagonal em um ângulo de 30 graus.

Respostas e comentários

33. 64,18 ême

34. 50 métros

35.

5 \sqrt{3} m

36. 4 quilômetros

Sugestão de atividade extra

Após os estudantes compreenderem o problema 3, pergunte-lhes qual seria a medida da largura do rio caso a medida da abertura do ângulo obtido fosse 40graus em vez de 55graus.

Espera-se que eles percebam que basta substituir o valor da tangente de 55graus pelo o valor da tangente de 40graus, assim:

tg 4 0^{o} = \frac{r}{20 m}^{}

r = 20 métros · tangente de 40graus

r = 20 métros · 0,839

r = 16,78 métros

Portanto, a largura do rio mediria 16,78 métros.

Ao propor as atividades, incentive os estudantes a justificar suas resoluções e avaliar se a resposta encontrada atende às condições do problema. Identifique as dificuldades enfrentadas por eles e retome algum conceito se achar necessário.

• Na atividade 33, os estudantes devem estar atentos para não esquecer de considerar a medida da altura do observador ao determinar a medida aproximada da altura do mastro.

• Se considerar necessário, proponha a eles que façam um esquema para auxiliar a resolução da atividade 34.

• Para resolver a atividade 36, eles deverão considerar que a medida da altura corresponde à medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo de 30graus de medida de abertura e que a medida da distância percorrida corresponde à medida de comprimento da hipotenusa. Desse modo, temos:

sen 3 0^{o} = \frac{x}{8} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{x}{8} \Rightarrow x = 4

Portanto, a altura medirá 4 quilômetros.

Página 201

37. Determine a medida do comprimento da sombra projetada por uma torre que mede

40 \sqrt{3}

métros de altura, sob ângulo de elevação de medida de abertura de 60graus em relação ao Sol.

Esquema. Ilustração. À esquerda. torre com medida de altura 40, raiz quadrada de 3 metros. À direita, a projeção da sombra da torre com medida de comprimento x. Linha tracejada da extremidade da sombra até o topo da torre, com ângulo entre o chão e a linha de 60 graus. — Representação esquemática fóra de escala.

38.

Uma das preocupações dos engenheiros de uma cidade litorânea é verificar as medidas das inclinações α, em relação à vertical, dos prédios situados na orla marítima. Essas inclinações podem ocorrer em razão de problemas nas fundações construídas sobre o solo arenosoglossário . Os valores aceitos, segundo os engenheiros, devem satisfazer esta condição: tangente de α ⩽ 0,052.

Reúna-se com um colega e determinem a medida da inclinação máxima aceita pelos engenheiros em um prédio situado à beira-mar.

Fotografia. Prédio inclinado para a direita, ao redor há outros prédios e pessoas na areia da praia. — Construções tortuosas na orla da praia de Santos (SP) causadas por problemas de fundação. Foto de 2021.

6 Plano cartesiano

O plano cartesiano é composto de um eixo horizontal e um vertical, chamados de eixo das abscissas (eixo x) e eixo das ordenadas (eixo y), respectivamente, e podemos representar pontos ou polígonos em um plano.

Analise a representação dos pontos a, B, C e D, cujos pares ordenados são (2, 3), (‒1, 2), (‒2, ‒1) e (3, ‒1), respectivamente.

Em um plano cartesiano:

• os pontos (x, y) do 1º quadrante têm abscissas e ordenadas positivas (x > 0 e y > 0);

• os pontos (x, y) do 2º quadrante têm abscissas negativas e ordenadas positivas (x < 0 e y > 0);

• os pontos (x, y) do 3º quadrante têm abscissas e ordenadas negativas (x < 0 e y < 0);

• os pontos (x, y) do 4º quadrante têm abscissas positivas e ordenadas negativas (x > 0 e y < 0).

Esquema. Plano cartesiano, no primeiro quadrante há o ponto A representando o par ordenado (2, 3).
No segundo quadrante há o ponto B representando o par ordenado (menos 1, 2).
No terceiro quadrante, há o ponto C representando o par ordenado (menos 2, menos 1).
No quarto quadrante há o ponto D representando o par ordenado (3, menos 1).
Linha tracejada do eixo x ao ponto A, linha tracejada do eixo y ao ponto A.
Linha tracejada do eixo x ao ponto B, linha tracejada do eixo y ao ponto B.
Linha tracejada do eixo x ao ponto C, linha tracejada do eixo y ao ponto C.
Linha tracejada do eixo x ao ponto D, linha tracejada do eixo y ao ponto D.

Respostas e comentários

37. 40 métros

38. 3graus

• Na atividade 38, como a tangente de α deve ser menor ou igual a 0,052, α não pode ser maior que 3graus.

Plano cartesiano

Bê êne cê cê:

Habilidade ê éfe zero nove ême ah um seis.

Objetivos:

• Determinar a medida da distância entre dois pontos quaisquer no plano cartesiano.

• Determinar as coordenadas do ponto médio de um segmento de reta no plano cartesiano.

Justificativa

Determinar a medida da distância entre dois pontos quaisquer do plano cartesiano e as coordenadas do ponto médio de um segmento de reta é uma oportunidade para a aplicação do teorema de Pitágoras e favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um seis.

Mapeando conhecimentos

Peça aos estudantes que, em uma folha de papel quadriculado, representem um plano cartesiano e dois pontos quaisquer. Depois, proponha que conjecturem como podem determinar a medida da distância entre esses pontos com base no que já estudaram. Se achar pertinente, proponha que façam essa investigação com o apôio de um software de geometria dinâmica. Depois, pergunte como poderiam determinar as coordenadas do ponto médio do segmento de reta cujas extremidades sejam os pontos representados por eles.

Para as aulas iniciais

Peça a alguns estudantes que verbalizem como determinaram a medida da distância entre os pontos e as coordenadas do ponto médio na dinâmica inicial. Ajude aqueles que tiveram dificuldades. Depois, desafie-os a generalizar o cálculo da medida da distância entre dois pontos quaisquer P(xindice de 1, yindice de 1) e Q(xindice de 2, yindice de 2) do plano cartesiano. Espera-se que eles concluam que a medida da distância entre esses dois pontos é dada por:

\sqrt{{(x_{2} ‒ x_{1})}^{2} + {(y_{2} ‒ y_{1})}^{2}} .

Em seguida peça também que generalizem o cálculo das coordenadas do ponto médio M do segmento de reta

\overline{P Q}

. Espera-se, nesse caso, que concluam que

M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})

Iniciamos com uma revisão sobre a localização de pontos e de polígonos no plano cartesiano para, depois, prosseguir com o cálculo da medida da distância entre dois pontos no plano e a determinação das coordenadas do ponto médio. Aproveite esse momento para identificar as eventuais dúvidas dos estudantes em relação a esse assunto.

(ê éfe zero nove ême ah um seis) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

Página 202

Observe, agora, o quadrilátero a bê cê dê representado no plano cartesiano. Os pontos a(1, 3), B(2, 0), C(4, 1) e D(4, 3) correspondem aos vértices do polígono.

Conhecendo as coordenadas dos vértices de um polígono, além de localizá-lo no plano cartesiano, podemos calcular as medidas de comprimento de seus lados.

Plano cartesiano. O eixo x vai de 0 a 4 e o eixo y vai de 0 a 3.
No plano cartesiano há o quadrilátero ABCD cujo os vértices são os pares ordenados, A(1, 3), B(2, 0), C(4, 1) e D(4, 3).
Linhas tracejadas dos eixos até os pares ordenados C e A.

Medidas de comprimento dos lados de um polígono

Continuando com o exemplo do quadrilátero a bê cê dê, verifique que:

Plano cartesiano. O eixo x vai de 0 a 4 e o eixo y vai de 0 a 3.
No plano cartesiano há o quadrilátero ABCD cujos vértices são os pares ordenados, A(1, 3); B(2, 0); C(4, 1); e D(4, 3). O lado DA é igual a 3. O lado CD é igual a 2.
Linhas tracejadas dos eixos até os pontos C e A.

• as ordenadas dos pontos a e D têm o mesmo valor (3). Isso significa que o segmento de reta

\overline{D A}

é paralelo ao eixo x;

• as abscissas dos pontos C e D, que determinam o lado

\overline{C D}

, são iguais (4). Isso significa que

\overline{C D}

é paralelo ao eixo y.

Para determinar a medida de comprimento de

\overline{D A}

(paralelo ao eixo x), calculamos a diferença entre as abscissas dos pontos D e a:

Esquema. D A é igual a 4 menos 1 é igual a 3. Fio alaranjado indicando 4 como abscissa do ponto D. Fio alaranjado indicando 1 como abscissa do ponto A.

Assim, a medida de comprimento de

\overline{D A}

é 3 unidades de medida de comprimento.

Da mesma maneira, podemos determinar a medida de comprimento do lado

\overline{C D}

(paralelo ao eixo y), calculando a diferença entre as ordenadas dos pontos D e C:

Esquema. CD é igual a 3 menos 1 é igual a 2. Fio alaranjado indicando 3 como ordenada do ponto D. Fio alaranjado indicando 1 como ordenada do ponto C.

Assim, a medida de comprimento de

\overline{C D}

é duas unidades de medida de comprimento.

Como os outros dois lados do quadrilátero (

\overline{A B}

\overline{B C}

) não são paralelos aos eixos x e y, para determinar suas medidas de comprimento, podemos usar o teorema de Pitágoras.

Considere os pontos que determinam o lado

\overline{A B}

, A(1, 3) e B(2, 0), e o ponto ê de coordenadas (1, 0), obtendo, assim, o triângulo retângulo á bê é, como indicado a seguir.

Nesse caso, temos:

Plano cartesiano. O eixo x vai de 0 a 4 e o eixo y vai de 0 a 3.
No plano cartesiano há o quadrilátero verde ABCD cujos vértices são os pares ordenados, A(1, 3); B(2, 0); C(4, 1); e D(4, 3) e um triângulo vermelho cujos vértices são os pontos A e B, comuns ao do quadrilátero e E com coordenadas (1, 0).
Linhas tracejadas dos eixos até os pontos C e A.

EA = 3 ‒ 0 = 3

BE = 2 ‒ 1 = 1

Aplicando o teorema de Pitágoras no triânguloá bê é, determinamos a medida de comprimento de

\overline{A B}

ABelevado a 2 = EAelevado a 2 + BEelevado a 2

ABelevado a 2 = 3elevado a 2 + 1elevado a 2 = 9 + 1 = 10

A B = \sqrt{10}

Portanto, a medida de comprimento de

\overline{A B}

\sqrt{10}

unidades de medida de comprimento.

Respostas e comentários

Medidas de comprimento dos lados de um polígono

Reforce o fato de que a medida da distância entre dois pontos é dada em módulo, ou seja, mesmo que um ponto tenha uma ou mais coordenadas negativas, a medida da distância entre esses dois pontos será um valor positivo.

Página 203

De modo análogo, determinamos a medida de comprimento de

\overline{B C}

. Para isso, consideramos os pontos B e C, o ponto F de coordenadas (4, 0) e o triângulo retângulo BCF. Assim:

CF = 1 ‒ 0 = 1

FB = 4 ‒ 2 = 2

Plano cartesiano. O eixo x vai de 0 a 4 e o eixo y vai de 0 a 3.
No plano cartesiano há o quadrilátero verde ABCD cujos vértices tem coordenadas A(1, 3); B(2, 0); C(4, 1); e D(4, 3) e um triângulo vermelho cujos vértices são os pontos B e C, comuns ao do quadrilátero e F com coordenadas (4, 0).
Linhas tracejadas dos eixos até os pontos C e A.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triânguloBCF, determinamos a medida de comprimento de

\overline{B C}

BCelevado a 2 = CFelevado a 2 + FBelevado a 2

BCelevado a 2 = 1elevado a 2 + 2elevado a 2 = 1 + 4 = 5

B C = \sqrt{5}

Portanto, a medida de comprimento de

\overline{B C}

\sqrt{5}

unidades de medida de comprimento.

Observações

1. Calcular a medida de comprimento do segmento de reta

\overline{A B}

equivale a calcular a medida da distância entre os pontos a e B.

2. É importante lembrar que a medida da distância é dada em módulo; assim, para um segmento de reta

\overline{E F}

de coordenadas ê(‒8, ‒1) e éfe(‒3, ‒1), a medida da distância entre os pontos ê e F é |‒8 ‒ (‒3)|, que resulta em 5 unidades de medida de comprimento.

Esquema. Plano cartesiano. No terceiro quadrante há o segmento de reta EF, sendo que E tem coordenadas (menos 8, menos 1)e F tem coordenadas (menos 3, menos 1).
Cota horizontal abaixo do segmento, 5 unidades de medida de comprimento.

Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta

Acompanhe a situação a seguir.

Sejam os pontos a(1, 1) e B(5, 4) extremidades do segmento de reta de reta

\overline{A B}

. Vamos determinar as coordenadas (x, y) de M, o ponto médio de

\overline{A B}

Para auxiliar na resolução, vamos representar o segmento de reta

\overline{A B}

no plano cartesiano e considerar o ponto C de coordenadas (5, 1), de modo a obter o triângulo retângulo ABC.

Consideramos M o ponto médio de

\overline{A B}

, e o ponto D pertencente a

\overline{A C}

, de modo que á ême dê seja um triângulo retângulo.

Plano cartesiano. Eixo x vai de 0 a 5 e o eixo y vai de 0 a 4.
No plano cartesiano há um triângulo alaranjado ABC, cujos vértices têm coordenadas: A (1, 1); B(5, 4); C(5, 1). O ponto M pertence ao lado AB e tem coordenadas (x, y) e o ponto D pertence ao lado AC e tem coordenadas (x, 1).

\overline{D M} // \overline{C B}

\overline{C B}

é paralelo ao eixo y.

\overline{D M}

é paralelo ao eixo y.

Observe que, como o ponto D pertence a

\overline{A C}

, sua ordenada é 1, ao passo que sua abscissa é x, a mesma do ponto M, pois

\overline{D M}

é paralelo ao eixo y.

Respostas e comentários

Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta

Neste tópico, a semelhança de triângulos será usada para a determinação das coordenadas do ponto médio de um segmento de reta. Caso julgue necessário, reproduza o exemplo na lousa e tire as possíveis dúvidas dos estudantes.

Página 204

Pelo caso á á, com o ângulo reto e o ângulo

\hat{A}

em comum, os triângulos á ême dê e á bê cê são semelhantes. Logo, as medidas de comprimento de seus lados são proporcionais. Desse modo, podemos escrever:

Esquema. Razão. AB sobre AM é igual a AC sobre AD. À direita, um em algarismo romano em destaque.

Como M é ponto médio de

\overline{A B}

, então:

Esquema. AB sobre 2, é igual a AM, implica que, AB é igual a 2AM. À direita, dois em algarismos romanos em destaque.

Substituindo

, obtemos:

\frac{2 A M}{A M} = \frac{A C}{A D} \Rightarrow A C = 2 A D

Sabemos que: AC = 5 ‒ 1 e AD = x ‒ 1. Logo:

5 ‒ 1 = 2(x ‒ 1)

4 = 2x ‒ 2

x = 3

Para determinar y, podemos escrever:

\frac{A B}{A M} = \frac{B C}{M D} \Rightarrow \frac{2 A M}{A M} = \frac{B C}{M D} \Rightarrow B C = 2 M D

Como BC = 4 ‒ 1 e MD = y ‒ 1, então:

4 ‒ 1 = 2(y ‒ 1)

3 = 2y ‒ 2

y = 2,5

Assim, concluímos que as coordenadas do ponto médio M são (3; 2,5).

Atividades

Faça as atividades no caderno.

39. Em cada caso, calcule a medida da distância entre os pontos a e B.

Plano cartesiano. O eixo x vai de menos 1 a 4, o eixo y vai de 0 a 4.
No primeiro quadrante há o ponto B (3, 1).
No segundo quadrante há o ponto A (menos 1, 1).

Plano cartesiano. O eixo x vai de menos 1 a 3, o eixo y vai de menos 3 a 3.
No eixo x há ponto A (menos 1, zero). No terceiro quadrante há o ponto B(menos 1, menos 2).

Plano cartesiano. O eixo x vai de menos 1 a 2, o eixo y vai de menos 2 a 2.
No segundo quadrante há o ponto A (menos 1, 1).
No quarto quadrante há o ponto B(2, menos 2).

Respostas e comentários

39. a) 4 unidades de medida de comprimento

39. b) 2 unidades de medida de comprimento

39. c)

3 \sqrt{2}

unidades de medida de comprimento

Certifique-se de que os estudantes compreenderam os enunciados das atividades propostas e, se houver necessidade, leia os enunciados com a turma, esclarecendo eventuais dúvidas.

Página 205

40. As coordenadas dos vértices do quadrilátero a bê cê dê são a(‒1, ‒1), B(‒1, 3), C(2, 3) e D(2, ‒1).

a) Represente esse quadrilátero em um plano cartesiano.

b) Como podemos classificar esse quadrilátero?

c) Calcule a medida de perímetro desse quadrilátero.

41. Determine a medida de comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo a seguir.

Plano cartesiano. O eixo x vai de 0 a 6 e o eixo y vai de 0 a 6. No primeiro quadrante há os pontos A(1, 1); B(5, 5); e C(5, 1). Os pontos A B e C são vértices do triângulo retângulo roxo ABC.

42. Considere o quadrilátero a bê cê dê representado no plano cartesiano a seguir.

Plano cartesiano. O eixo x vai de 0 a 3 e o eixo y vai de 0 a 4.
No primeiro quadrante há os pontos A(0, 3); B (2, 4); C(3, 2); e D(1, 1).
Os pontos A B C e D são vértices do quadrilátero roxo ABCD.

a) Quais são as coordenadas dos vértices desse quadrilátero?

b) Determine as medidas de perímetro e de área desse quadrilátero.

43. Em um plano cartesiano, represente:

• um ponto a distante 5 unidades de medida de comprimento do eixo das abscissas;

• um ponto B distante 5 unidades de medida de comprimento do eixo das ordenadas;

• um ponto C de coordenadas (5, 3);

• um ponto D de coordenadas (2, 5).

a) Que coordenadas a póde assumir de modo que a medida de comprimento do segmento de reta

\overline{A D}

seja de 3 unidades de medida de comprimento?

b) Que coordenadas B póde assumir de modo que a medida de comprimento do segmento de reta

\overline{B C}

seja de 6 unidades de medida de comprimento?

c) Que coordenadas os pontos a e B podem assumir de modo a obter um trapézio isósceles a bê cê dê?

44. Determine a medida da distância do ponto P(5, ‒dois):

a) à origem;

b) ao eixo das abscissas;

c) ao eixo das ordenadas.

45. Quais são as coordenadas do ponto médio de cada um dos segmentos de reta representados a seguir?

Plano cartesiano sobre malha quadriculada. O eixo x vai de menos 2 a 5 e o eixo y vai de menos 2 a 4.
No plano cartesiano há o segmento de reta vertical EF e o segmento de reta horizontal CD. As coordenadas das extremidades dos segmentos de reta são: C(1, menos 2); D(4, menos 2); E(menos 2, 3); e F(menos 2, menos 1).

46.

Utilizando um software de geometria dinâmica, construa um quadrado a bê cê dê de modo que cada um de seus vértices esteja localizado em quadrantes diferentes de um plano cartesiano. Depois, responda:

a) Quantos quadrados podem ser construídos obedecendo essa indicação?

b) O que poderia ser acrescentado no enunciado do problema de modo que a construção do quadrado:

• tenha resposta única;

• tenha duas respostas possíveis;

• não tenha solução.

Converse com um colega e comparem as alterações propostas no item b. Verifiquem se há mais de uma maneira de fazer essas alterações no enunciado.

Respostas e comentários

40. a) Resposta em Orientações.

40. b) retângulo

40. c) 14 unidades de medida de comprimento

41.

4 \sqrt{2}

unidades de medida de comprimento

42. a) a(0, 3); B(2, 4); C(3, 2); D(1, 1)

42. b) medida de perímetro:

4 \sqrt{5}

u, sendo u a unidade de medida de comprimento; medida de área: 5 unidades de medida de área

43. a) Exemplos de resposta: (5, 5) ou (‒1, 5)

43. b) Exemplos de resposta: (5, 9) ou (5, ‒3)

43. c) Exemplo de resposta: a(‒2, 5) e B(‒5, 3)

44. a)

\sqrt{29}

unidades de medida de comprimento

44. b) duas unidades de medida de comprimento

44. c) 5 unidades de medida de comprimento

45.

coordenadas do ponto médio de

\overline{C D}

: (2,5; ‒2); coordenadas do ponto médio de

\overline{E F}

: (‒2, 1)

46. a) infinitos

46. b) Respostas pessoais.

46. c) Espera-se que os estudantes percebam que existe mais de uma maneira de fazer alterações no enunciado para satisfazer as condições do item b.

• Na atividade 40, os estudantes deverão perceber que os pontos indicados são vértices de um retângulo. Para auxiliar a construção, oriente-os a utilizar uma malha quadriculada.

• Resposta do item a da atividade 40:

Plano cartesiano sobre malha quadriculada. O eixo x vai de menos 1 a 3 e o eixo y vai de menos 1 a 4.
No plano cartesiano há o retângulo azul e seus vértices são os pontos A(menos 1, menos 1) , B(menos 1, 3), C(2, 3) e D(2, menos 1).

• Ao localizar os pontos a e B da atividade 43 no plano cartesiano, os estudantes devem perceber que as coordenadas do ponto A podem ser (x, 5) ou (x, ‒5), com x ∈

; e as do ponto B podem ser (5, y) ou (‒5, y) com y ∈

. Podemos ilustrar essas situações considerando as retas r e s, paralelas ao eixo y e as retas t e u paralelas ao eixo x, conforme representação a seguir:

Plano cartesiano sobre a malha quadriculada. O eixo x vai de menos 5 a 5 e o eixo y vai de menos 5 a 5.
No plano cartesiano há as retas r e s verticais. A reta r corta o eixo x em menos 5, e a reta s que corta o eixo x em 5.
No plano cartesiano há as retas horizontais t e u. A reta t corta o eixo y em 5 e a reta corta o eixo y em menos 5.

O ponto a pode ser associado a qualquer ponto da reta t ou da reta u, e o ponto B pode ser associado a qualquer ponto da reta r ou da reta s.

• Na atividade 44, se considerar adequado, oriente os estudantes a representar o ponto P em um plano cartesiano, antes de determinarem as medidas das distâncias pedidas.

Página 206

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Triângulo retângulo

a → medida de comprimento da hipotenusa

b, c → medidas de comprimento dos catetos

h → medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa

m, n → medidas de comprimento das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa

Relações métricas no triângulo retângulo

c^{2} = n \cdot a

h^{2} = m \cdot n

b^{2} = m \cdot a

a \cdot h = b \cdot c

1. Determine o valor desconhecido nos triângulos retângulos a seguir.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul.
A medida da hipotenusa é igual a 8 centímetros e a medida de um dos catetos é 6 centímetros.
Linha tracejada indicando a altura relativa à hipotenusa dividindo o triângulo em outros dois. O que tem o lado de 6 centímetros em comum tem um cateto medindo y de comprimento.

Figura geométrica. Triângulo retângulo lilás.
A medida da hipotenusa é igual a 25 centímetros.
A altura relativa à hipotenusa, indicada por uma linha tracejada, com medida de comprimento y. A altura divide o triângulo maior em outros dois triângulos retângulos, sendo o menor deles com catetos cujas medidas de comprimento são 9 centímetros e y.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado.
A medida da hipotenusa é igual a x e a medida de um dos catetos é 12 centímetros.
A altura relativa à hipotenusa é indicada por uma Linha tracejada que divide o triângulo maior em outros dois menores. Um deles tem hipotenusa com medida 12 centímetros e um dos catetos 9 centímetros.

2. Sabendo que, em um triângulo retângulo, o comprimento da hipotenusa mede 25 centímetros e o comprimento de um dos catetos mede 7 centímetros, determine:

a) as medidas de comprimento das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa;

b) a medida de comprimento do outro cateto;

c) a medida de comprimento da altura relativa à hipotenusa.

Teorema de Pitágoras e aplicações

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida de comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas de comprimento dos catetos. Assim, seja a a medida de comprimento da hipotenusa e b e c as medidas de comprimento dos catetos, temos:

aelevado a 2 = belevado a 2 + celevado a 2

Aplicações do teorema de Pitágoras

Diagonal de um quadrado

Em um quadrado com lados de medida de comprimento x, a medida de comprimento da diagonal é

x \sqrt{2}

Altura de um triângulo equilátero

Em um triângulo equilátero com lados de medida de comprimento x, a medida de comprimento da altura é

\frac{x \sqrt{3}}{2}

3. Calcule os valores de x e de y indicados nas figuras.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado.
A medida da hipotenusa é igual a x e a medida dos catetos são 15 e 8.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul
A medida da hipotenusa é igual a 8 e a medida dos catetos são 4 e y.

4. Uma escada de 2,5 métros de medida de comprimento é encostada em uma parede com o pé afastado 1,5 métro da parede. Quanto mede a altura que a escada atinge?

Respostas e comentários

1. a) y = 4,5 centímetros

1. b) y = 12 centímetros

1. c) x = 16 centímetros

2. a) 1,96 centímetro e 23,04 centímetros

2. b) 24 centímetros

2. c) 6,72 centímetros

3. a) x = 17

3. b)

y = 4 \sqrt{3}

4. 2 métros

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Triângulo retângulo

• Na atividade 1, os estudantes vão aplicar as relações métricas no triângulo retângulo para determinar as medidas de comprimento desconhecidas. Oriente-os a identificar os catetos e a hipotenusa de cada triângulo antes de aplicar alguma relação. Também é importante que avaliem se a medida obtida é plausível. Por exemplo, no item a, y não pode ser maior do que 8 centímetros; e no item c, x não pode ser menor do que 12 centímetros, pois corresponde à medida do comprimento da hipotenusa e 12 centímetros é a medida do comprimento de um dos catetos do triângulo. Ter esse hábito ajuda a verificar se a resposta obtida é correta e contribui para que encontrem possíveis equívocos nos cálculos ou na estratégia de resolução empregada.

• Solicite aos estudantes que realizem os itens da atividade 2 na ordem. Oriente-os a representar o triângulo no caderno e indicar as medidas de comprimento fornecidas e as que devem determinar nele.

Teorema de Pitágoras e aplicações

• Na atividade 3, para calcular os valores de x e de y, é importante que os estudantes identifiquem os catetos e a hipotenusa de cada triângulo para que apliquem corretamente o teorema de Pitágoras. Faça a correção coletiva da atividade após concluírem os cálculos.

• Na atividade 4, oriente os estudantes a fazer um esboço da situação. Dessa maneira, pode ficar mais claro para eles que medida devem determinar.

Página 207

5. Calcule:

a) a medida de comprimento da diagonal de um retângulo, cujos lados medem 8 centímetros e 15 centímetros de comprimento;

b) a medida de comprimento da diagonal de um quadrado cujo lado mede 20 métros de comprimento;

c) a medida de comprimento da altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 8 centímetros de comprimento.

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

s e n a = \frac{m e d i d a d e c o m p r i m e n t o d o c a t e t o o p o s t o a o â n g u l o d e m e d i d a d e a b e r t u r a a}{m e d i d a d e c o m p r i m e n t o d a h i p o t e n u s a}

cos a = \frac{m e d i d a d e c o m p r i m e n t o d o c a t e t o a d j a c e n t e a o â n g u l o d e m e d i d a d e a b e r t u r a a}{m e d i d a d e c o m p r i m e n t o d a h i p o t e n u s a}

t g a = \frac{medida de comprimento do cateto oposto ao ângulo de medida de abertura a}{medida de comprimento do cateto adjacente ao ângulo de medida de abertura a}

x	30°	45°	60°
sen x	$divisão de 1 sobre 2$	$divisão de raiz de 2 fecha raiz sobre 2$	$divisão de raiz de 3 fecha raiz sobre 2$
cos x	$divisão de raiz de 3 fecha raiz sobre 2$	$divisão de raiz de 2 fecha raiz sobre 2$	$divisão de 1 sobre 2$
tg x	$divisão de raiz de 3 fecha raiz sobre 3$	1	$raiz de 3 fecha raiz$

6. Determine o valor desconhecido nos triângulos retângulos a seguir:

Figura geométrica. Triângulo retângulo verde com o ângulo reto e o ângulo de 30 graus indicados.
A medida da hipotenusa é igual a x e a medida cateto adjacente ao ângulo de 30 graus é igual a 2 raiz quadrada de 3.

Figura geométrica. Triângulo retângulo roxo com o ângulo de 45 graus e o ângulo reto indicados.
A medida do cateto oposto ao ângulo de 45 graus é igual a x e a medida cateto adjacente ao ângulo de 45 graus é igual a 3 vírgula 5.

Figura geométrica. Triângulo retângulo azul com o ângulo reto e o ângulo de 60 graus indicados.
A medida da hipotenusa é igual a 8 e a medida cateto oposto ao ângulo de 60 graus é igual a x.

Figura geométrica. Triângulo retângulo alaranjado o ângulo de 60 graus e o ângulo reto indicados.
A medida da hipotenusa é igual a x menos 3 e a medida cateto adjacente ao ângulo de 60 graus é igual a 7.

7. A pipa de Joaquim ficou presa em uma árvore. A linha da pipa ficou esticada, formando com o chão um ângulo de medida de abertura de 45graus. O comprimento da linha da pipa mede 8,5 métros. Determine a medida da altura da pipa em relação ao solo. (Utilize:

\sqrt{2} = 1,4) .

8. Um avião está a .1300 métros de medida de altura quando começa um movimento de descida para a pista de aterrissagem, em uma linha imaginária que fórma um ângulo de medida de abertura de 30graus com o solo. Qual será a medida da distância percorrida pelo avião até tocar o solo?

9. Observe o triângulo a seguir e determine:

Plano cartesiano. O eixo x vai de 0 a 13 e o eixo y vai de 0 a 6.
No plano há o triângulo retângulo azul cujos vértices são os pontos A(3, 5), B(3, 1) e C(12, 1).
O ponto D de abscissa x e ordenada 3 é o ponto médio do lado AC e o ponto P de abscissa x e ordenada 1 é ponto médio do lado BC.

a) as coordenadas dos vértices;

b) as medidas de comprimento dos lados do triângulo em u, unidade de medida de comprimento;

c) a abcissa x do ponto médio D do lado

\overline{A C}

Respostas e comentários

5. a) 17 centímetros

5. b)

20 \sqrt{2} m

5. c)

4 \sqrt{3} c m

6. a) x = 4

6. b) x = 3,5

6. c)

x = 4 \sqrt{3}

6. d) x = 11

7. 5,95 métros

8. .2600 métros

9. a) a(3, 5), B(3, 1), C(12, 1)

9. b) AB = 4 unidades, BC = 9 unidades,

C D = \sqrt{97} u

9. c) x = 7,5

• Casos os estudantes tenham dificuldades para realizar a atividade 5, oriente-os a representar, no caderno, o polígono descrito em cada item. Chame a atenção da turma para a importância de apresentarem a resposta com a unidade de medida de comprimento correta.

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

• Na atividade 6, os estudantes devem aplicar as relações trigonométricas em cada triângulo retângulo para determinar os valores desconhecidos. Oriente-os a usar o quadro com os valores de seno, cosseno e tangente de 30graus, 45graus e 60graus ao realizar a atividade.

• Nas atividades 7 e 8, convém orientar os estudantes a fazer um esboço da situação para auxiliar na resolução.

• A atividade 9 envolve a representação de um triângulo no plano cartesiano. No item c, os estudantes podem determinar a abcissa do ponto D, utilizando o cosseno do ângulo com vértice em C dos triângulos á bê cê e DPC.

Glossário

Liga metálica: : Mistura formada por dois ou mais elementos, sendo pelo menos um deles um metal.; Voltar para o texto

Solo arenoso: : Tipo de solo com pouca umidade, com teor de areia superior a 70%.; Voltar para o texto