Capítulo 8 Circunferência, arcos e ângulos
Trocando ideias
Wassily Wassilyevich Kandinsky (1866-1944) foi um artista russo. No início de sua carreira, retratou a arte popular russa e paisagens. No entanto, suas obras ganharam destaque quando ele se dedicou à arte abstrataglossário . Observe a seguir a reprodução de uma de suas obras.
▸
Na obra Composição oito, é possível notar figuras que se parecem com circunferências e arcos de circunferência. O que você sabe sobre essas figuras geométricas planas? Converse com os colegas.
▸
Reúna-se com um colega e pesquisem obras de arte em que é possível identificar figuras que se parecem com circunferências e arcos de circunferência. Depois, compartilhem com a turma o que encontraram.
Conheça mais
No site da Galeria Lenbachhaus de Munique (Alemanha), podem ser vistas diversas obras de candinsqui.
Neste capítulo, vamos ampliar os conhecimentos sobre circunferência e estudar arcos e ângulos central e inscrito a uma circunferência.
Respostas e comentários
Trocando ideias: primeiro item: resposta pessoal; segundo item: resposta pessoal.
CAPÍTULO 8 – CIRCUNFERÊNCIA, ARCOS E ÂNGULOS
Trocando ideias
Bê êne cê cê:
• Competências gerais 2, 3, 6 e 9 (as descrições estão na página seis).
• Competência específica 8 (a descrição está na página sete).
Objetivos:
• Levantar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre circunferências e arcos de circunferência.
• Verificar se os estudantes identificam circunferências e arcos de circunferência em obras de arte.
Inicie a aula comentando com a turma que vaciíli candinsqui foi um importante pintor russo do século vinte e é considerado um dos principais artistas plásticos da arte abstrata de todos os tempos. Depois, proponha aos estudantes que observem a reprodução da obra Composição oito e convide-os a falar sobre o que mais lhes chamou a atenção nessa obra. Espera-se que eles façam observações em relação às cores, ao uso de figuras geométricas e à sensação de movimento que a obra transmite.
A primeira questão proposta permite verificar o que os estudantes sabem sobre circunferências e arcos de circunferência. Registre na lousa as respostas deles. Neste momento, é possível que utilizem vocabulário próprio para se expressarem, e isso deve ser valorizado.
No segundo item é solicitada uma pesquisa. Essa pesquisa pode ser realizada na escola (em classe com livros ou na sala de informática) ou em casa. Se julgar necessário, convide o professor ou a professora de Arte para participar da condução desse trabalho. Reserve um momento para que compartilhem o que pesquisaram.
Neste Trocando ideias, os estudantes são convidados a apreciar obras de arte, a valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e a exercitar a imaginação, o que favorece o desenvolvimento das competências gerais 2, 3 e 6 da Bê êne cê cê. Além disso, eles realizam uma pesquisa, colocando em jôgo o espírito coletivo e a empatia com o próximo, o que possibilita o desenvolvimento da competência geral 9 e da competência específica 8 da Bê êne cê cê.
1 Circunferência
Analisamos uma obra de arte em que é possível identificar figuras que lembram circunferências.
Em Geometria:
Circunferência é a figura formada por todos os pontos de um plano que estão à mesma medida da distância de um ponto fixo desse plano. O ponto fixo é chamado de centro da circunferência.
Considere esta figura.
• O ponto óh é o centro da circunferência (ponto fixo).
• Os pontos a, P e R estão a uma medida de distância r do centro da circunferência (ponto óh), ou seja, são pontos da circunferência.
• Os segmentos de reta
OA,
OPe
ORsão raios da circunferência e têm medida de comprimento r.
Raio de uma circunferência
Temos que:
• raio é o segmento de reta que tem uma extremidade no centro da circunferência e a outra em qualquer ponto pertencente à circunferência;
O: centro da circunferência
a, B, C, D, ê, F: pontos da circunferência
segmento de reta O A
,
segmento de reta O B,
segmento de reta O C,
segmento de reta O D,
segmento de reta O E,
segmento de reta O F: raios da circunferência
• em uma circunferência, podemos traçar infinitos raios e todos serão congruentes;
segmento OA é congruente ao segmento OB que é congruente ao segmento OC que é congruente ao segmento OD que é congruente ao segmento OE que é congruente ao segmento OF e assim por diante
OA = OB = OC = OD = OE = OF = ... = r
• quando duas circunferências têm raios com a mesma medida de comprimento, dizemos que as circunferências são congruentes.
Temos:
Como r = érre minúsculo₁, então a circunferência de centro O é congruente à circunferência de centro ó linha.
Respostas e comentários
Circunferência
Objetivos:
• Recordar o conceito de circunferência.
• Identificar os elementos de uma circunferência.
Justificativa
Neste capítulo, será aprofundado o que foi estudado sobre circunferências em anos anteriores, e, por isso, é importante que os estudantes recordem o conceito de circunferência e identifiquem os seus elementos: raio, corda e diâmetro.
Mapeando conhecimentos
Peça aos estudantes que, com o auxílio de um compasso, representem uma circunferência em uma folha de papel. Alerte-os para que tomem cuidado quanto ao manuseio do compasso e observe como manipulam esse instrumento para traçar a circunferência. Em seguida, peça que representem um raio, uma corda e um diâmetro dessa circunferência. Esse é o momento oportuno para diagnosticar se conhecem e fazem distinção entre esses elementos e, também, para verificar se alguns deles reconhecem que o diâmetro é também uma corda e tem o dôbro da medida do comprimento do raio.
Para as aulas iniciais
Explore com a turma a revisão sobre circunferência e seus elementos presente na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores. Em seguida, solicite aos estudantes que façam a atividade 21. Após concluírem, incentive-os a comparar as respostas. Reserve um momento para discutir cada uma das afirmações da atividade coletivamente.
Ao retomar os elementos de uma circunferência, verifique os conhecimentos prévios dos estudantes, sugerindo que eles definam cada elemento. Faça as correções necessárias.
Corda e diâmetro de uma circunferência
A corda e o diâmetro são dois importantes elementos relativos a uma circunferência.
Corda é o segmento de reta com extremidades em dois pontos distintos de uma circunferência.
Considere a seguinte figura.
,
segmento de reta C Fe
segmento de reta D Esão exemplos de cordas da circunferência.
Diâmetro é o segmento de reta com extremidades em dois pontos distintos de uma circunferência, passando sempre pelo centro.
Na figura a seguir, os segmentos de reta
ACe
BDsão diâmetros da circunferência de centro O.
Podemos observar que, em uma circunferência qualquer com centro O e diâmetro com extremidades em A e P, temos:
•
Segmento de reta AOé raio de medida de comprimento r;
•
Segmento de reta OPé raio de medida de comprimento r;
•
Segmento de reta APé diâmetro de medida de comprimento D.
Assim, verificamos que:
á pê = á ó + ó pê
D = r + r = 2r
Logo, a medida de comprimento do diâmetro (D) é igual ao dôbroda medida de comprimento do raio (r ).
Observações
1. O diâmetro é a maior corda da circunferência.
2. Em uma circunferência, podemos traçar infinitos diâmetros e todos serão congruentes. Nesta figura, temos:
AF = BG = CH = dê í = é jóta = ... = 2r
Respostas e comentários
Corda e diâmetro de uma circunferência
Após trabalhar os conceitos de corda, raio e diâmetro de circunferências, reproduza na lousa as seguintes afirmações, para que os estudantes julguem quais são verdadeiras e quais são falsas.
• O diâmetro é uma corda. (Verdadeira)
• A medida do comprimento do raio corresponde ao dôbro da medida do comprimento do diâmetro. (Falsa)
• O raio é uma corda. (Falsa)
• Não existe corda que passe pelo centro de uma circunferência. (Falsa)
Em seguida, peça aos estudantes que corrijam as afirmações falsas, por exemplo:
• A medida do comprimento do diâmetro corresponde ao dôbro da medida do comprimento do raio.
• O raio não é uma corda.
• A corda que passa pelo centro de uma circunferência é chamada de diâmetro.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
1. Na figura a seguir, o contorno do relógio se parece com uma circunferência. Considere que a medida de comprimento do diâmetro desse relógio é 40 . centímetros
a) Determine a medida de comprimento do raio desse relógio.
b) Identifique duas cordas na figura.
c) Identifique um diâmetro na figura.
d) Identifique um raio na figura.
2. Em uma circunferência, a medida de comprimento do diâmetro é 1,44 métro. Quanto mede o comprimento do raio dessa circunferência?
3. Copie os itens no caderno, substituindo cada
por uma palavra correspondente, tornando a sentença verdadeira.
a)
é o segmento de reta que une o centro a qualquer ponto da circunferência.
b) Em uma circunferência, podemos traçar infinitos
. Todos eles são
.
c) Duas circunferências são
quando os raios têm a mesma medida de comprimento.
d) A maior corda da circunferência é o
.
4. Observe a figura e responda às questões.
a) Qual é a medida de comprimento de
OP?
b) Qual é a medida de comprimento de
AP?
c) A medida de comprimento de
CMé maior que 4 centímetros ou menor? Justifique sua resposta.
5. Determine:
a) a medida de comprimento do diâmetro de uma circunferência cujo comprimento do raio mede 4,5 centímetros;
b) a medida de comprimento do raio de uma circunferência cujo comprimento do diâmetro mede 17 centímetros.
6. Observe a circunferência de centro O a seguir e responda às questões.
a) Quais são os segmentos de reta que representam os raios?
b) Quais são os segmentos de reta que representam as cordas?
c) Quais são os segmentos de reta que representam os diâmetros?
7. Considere a circunferência de centro óh e classifique o triângulo á ó bê quanto às medidas de comprimento dos lados. Depois, determine quanto medem as aberturas dos ângulos
ângulo OABe
ângulo OBA.
8. Considerando a circunferência de centro óh, mostre que as cordas
Segmento de reta ACe
Segmento de reta BDsão congruentes.
Respostas e comentários
1. a) 20 centímetros
1. b)
Segmento de reta ABe
segmento de reta C D1. c)
Segmento de reta AB1. d) Exemplo de resposta:
segmento de reta OE2. 0,72 métro
3. a) Raio
3. b) diâmetros ou raios; congruentes entre si
3. c) congruentes
3. d) diâmetro
4. a) 2 centímetros
4. b) 4 centímetros
4. c) Menor, pois
Segmento de reta CMnão é diâmetro da circunferência, que é a maior corda e mede 4 centímetros de comprimento.
5. a) 9 centímetros
5. b) 8,5 centímetros
6. a)
Segmento de reta OP,
Segmento de reta OA,
Segmento de reta OB,
Segmento de reta OD,
Segmento de reta OF
6. b)
Segmento de reta AC,
Segmento de reta CE,
Segmento de reta DE,
Segmento de reta AD,
Segmento de reta BF
6. c)
Segmento de reta AD,
Segmento de reta BF
7. isósceles;
8.
segmento OC é congruente a OD seta raio
→ ângulo dado
△ á ó cê ≅ △ bê ó dê → caso éle á éle
Logo
segmento AC é congruente ao segmento BD• Na atividade 6, verifique se os estudantes nomeiam corretamente os elementos da circunferência e se diferenciam, de maneira correta, raios e diâmetros. Para verificar essa diferença, faça questionamentos como: “Se o comprimento do raio de uma circunferência medir 3,5 centímetros, qual será a medida do comprimento do diâmetro?” (Resposta: 7 centímetros); “Se o comprimento do diâmetro de uma circunferência medir 16 centímetros, qual será a medida do comprimento de seu raio?” (Resposta: 8 centímetros).
• Na atividade 7, retome a classificação de um triângulo quanto às medidas de comprimento dos lados: equilátero (os três são congruentes); isósceles (pelo menos dois lados são congruentes); escaleno (não tem lados congruentes).
Lendo e aprendendo
Marte, o planeta vermelho
Em 2021, diversas missões espaciais pretendem estudar Marte. Veja o que já se sabe sobre o planeta vizinho da Terra e o que os cientistas ainda querem descobrir
Sondas enviadas para Marte
Agências espaciais dos Estados Unidos, Rússia, Índia, China, Europa e Emirados Árabes Unidos já enviaram sondas para analisar o planeta vizinho. Esses robôs tiram fotos, coletam amostras de solo e rochas, fazem medidas do território, entre outras funções. Além das sondas, cientistas estudam o planeta por meio da observação e de outras técnicas.
Os objetivos dos estudos são…
… reunir mais informações sobre a história, clima e formação de Marte. Acredita-se que o planeta vermelho possa nos ajudar a entender melhor como o Sistema Solar foi constituído e como os planetas passaram por transformações ao longo do tempo.
… descobrir se já existiram ou ainda existem seres vivos em Marte. Já se sabe que, no passado, o planeta tinha rios e lagos. Como a água é essencial para haver vida, isso póde ser uma pista de que Marte tenha abrigado fórmas de vida antigamente.
… estudar a possibilidade de, no futuro, enviar seres humanos para Marte. Até hoje, a humanidade só foi capaz de mandar sondas até o planeta vermelho.
Temperaturas médias
Terra: 14 graus Célsius
Marte: 63 graus Célsius
Diâmetro da Terra: .12755,66 quilômetros
Diâmetro de Marte: .6791,43 quilômetros
A Terra é o terceiro planeta mais próximo do Sol. Ela só fica atrás de Mercúrio e Vênus.
[ reticências]
Ficha técnica
Posição no sistema solar: quarto planeta mais próximo do Sol.
Duração de um ano (tempo que leva para dar uma volta ao redor do Sol): equivalente a 687 dias terrestres.
Temperatura média: 63 . graus Célsius
Luas: Fobos e Deimos.
Fontes: Náza e Nature.
Marte, o planeta vermelho. Jornal Joca, número 165, página 7, 1 a 15 de março de 2021.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
1. Copie as afirmações no caderno e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
a) (
) As sondas que foram enviadas para Marte já encontraram seres vivos.
b) (
) Seres humanos já foram enviados para Marte.
c) (
) Estudar Marte é importante para entender como o Sistema Solar foi constituído.
d) (
) A medida de comprimento do diâmetro da Terra é maior que a medida de comprimento do diâmetro de Marte.
2.
O diâmetro de uma esfera é o segmento de reta com extremidades em dois pontos distintos da esfera, passando sempre pelo centro. Supondo que os planetas Terra e Marte se parecem com uma esfera, use uma calculadora para determinar:
a) a medida de comprimento do raio da Terra;
b) a medida de comprimento do raio de Marte.
3.
Na sua opinião, qual é a importância de estudos como os que estão sendo realizados em Marte? Converse com os colegas.
Respostas e comentários
1. a) Falsa
1. b) Falsa
1. c) Verdadeira
1. d) Verdadeira
2. a) .6377,83 quilômetros
2. b) .3395,715 quilômetros
3. Resposta pessoal.
Lendo e aprendendo
Bê êne cê cê:
• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).
• Competências específicas 5 e 8 (as descrições estão na página sete).
Objetivos:
• Desenvolver a competência leitora.
• Comparar medidas de comprimento.
• Calcular a medida do comprimento do raio de planetas..
• Refletir sobre a importância de estudos como os que estão sendo realizados em Marte.
Tema contemporâneo transversal:
O texto desta seção fala sobre a finalidade das sondas enviadas a Marte e os objetivos dos estudos futuros. Proponha a leitura individual do texto. Depois, comente que Marte é o quarto planeta mais próximo do Sol e o segundo menor planeta do Sistema Solar. Diga também que esse planeta possui coloração avermelhada devido à presença de óxido de ferro em sua superfície e que ele pode ser visto a olho nu da Terra, ou seja, sem o auxílio de telescópio. Se achar conveniente, convide o professor ou a professora de Ciências da Natureza para falar um pouco mais sobre Marte com a turma.
• Na atividade 1, os estudantes vão avaliar algumas afirmações sobre o texto e identificar as verdadeiras e as falsas. Incentive-os a justificar suas respostas. As afirmações dos itens a e b são falsas, porque ainda não foram encontrados seres vivos em Marte e seres humanos ainda não haviam sido enviados para lá. A afirmação do item c é verdadeira, pois corresponde à consequência do primeiro objetivo descrito no texto. Já a afirmação do item d também é verdadeira, pois 12 755,66 quilômetros > 6 791, 43 quilômetros.
• A atividade 2 envolve os conceitos de diâmetro e raio de esferas. Se achar conveniente, recorde os conceitos de diâmetro e raio de uma circunferência. Espera-se que os estudantes dividam 12 755, 66 quilômetros por 2 para determinar a medida aproximada do comprimento do raio da Terra e que dividam 6 791,43 quilômetros por 2 para determinar a medida aproximada do comprimento do raio de Marte. O uso da calculadora, incentivado nesta atividade, favorece o desenvolvimento da competência específica 5 da Bê êne cê cê.
• Na atividade 3, os estudantes vão opinar sobre a importância de estudos como o que estão sendo realizados em Marte. Deixe-os à vontade para verbalizar suas opiniões. Momentos como esses contribuem para o desenvolvimento da competência geral 9 e da competência específica 8 da Bê êne cê cê.
2 Posições de um ponto em relação a uma circunferência
Observe a figura.
A circunferência está contida no plano α, e os pontos P, ê e ih desse plano são, respectivamente, pertencente, externo e interno à circunferência.
Dizemos que:
• considerando um ponto P e uma circunferência de centro óh, se a medida da distância entre O e P for igual à medida de comprimento do raio ( ó pê = r), o ponto P pertence à circunferência;
• considerando um ponto ê e uma circunferência de centro óh, se a medida da distância entre O e ê for maior que a medida de comprimento do raio ( ó é > r), o ponto ê é externo à circunferência;
• considerando um ponto ih e uma circunferência de centro óh, se a medida da distância entre O e ih for menor que a medida de comprimento do raio ( ó í < r), o ponto ih é interno à circunferência.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso nas atividades 10 e 11.
9. Observe os pontos desta figura e indique:
a) os pontos pertencentes à circunferência;
b) os pontos externos à circunferência;
c) os pontos internos à circunferência.
10. Desenhe, no caderno, uma circunferência com:
a) medida de comprimento do raio igual a 2 centímetros;
b) centro óh ;
c) pontos a, B e C pertencentes à circunferência;
d) pontos D, ê e F externos à circunferência;
e) pontos G, H, ih e J internos à circunferência.
11. Com uma régua, meça o comprimento dos raios érre minúsculo₁ e érre minúsculo₂ das circunferências C₁ e C₂, respectivamente. Em seguida, copie esta figura no caderno e desenhe:
• os pontos a, B e C, externos à C₂;
• os pontos D, ê e F, externos à C₁ e internos à C₂;
• os pontos G, H e ih, internos à C₁.
Agora, responda:
a) Todos os pontos de C₁ são internos à C₂?
b) Todos os pontos de C₂ são internos à C₁?
Versão adaptada acessível
9. Explique como podem ser identificados os pontos de uma circunferência, os pontos externos e os internos a ela. Você pode usar representações concretas, caso queira.
Orientação para acessibilidade
Resposta
Os estudantes podem usar sua própria linguagem, dizendo, por exemplo, que se a medida da distância entre um ponto e o centro da circunferência for igual à medida de comprimento do raio, esse ponto pertence à circunferência; se a medida da distância entre um ponto e o centro da circunferência for maior que a medida de comprimento do raio, esse ponto é externo à circunferência; se a medida da distância entre um ponto e o centro da circunferência for menor que a medida de comprimento do raio, esse ponto é interno à circunferência.
Respostas e comentários
9. a) G, C, ê
9. b) F, ih, D, J
9. c) B, A, H, O
10. Exemplo de resposta em Orientações.
11. Exemplo de resposta em Orientações.
11. a) sim
11. b) não
Posições de um ponto em relação a uma circunferência
Bê êne cê cê:
Competência específica 2 (a descrição está página sete).
Objetivo:
Identificar as posições relativas entre um ponto e uma circunferência.
Justificativa
Reconhecer as diferentes posições de um ponto em relação a uma circunferência é um pré-requisito para que se compreendam as posições de uma reta em relação a uma circunferência e, também, propriedades como a dos segmentos de reta tangentes traçados de um mesmo ponto exterior a uma circunferência e das medidas dos comprimentos dos lados de um quadrilátero circunscritível a uma circunferência.
Mapeando conhecimentos
Se possível, leve os estudantes para a sala de informática da escola (se houver uma) e peça que, em um software de geometria dinâmica, representem uma circunferência de centro O e três pontos: P, ê e ih. O ponto P deve pertencer à circunferência, o ponto ê deve ser externo a ela e o ponto ih deve ser interno a ela. Em seguida, proponha que investiguem as relações entre a medida do comprimento do raio da circunferência (r) e ó pê, ó é e ó í. Oriente-os a utilizar a ferramenta de medir comprimento do software e registrar as conclusões no caderno.
Para as aulas iniciais
Reproduza o quadro a seguir na lousa e proponha aos estudantes que preencham coletivamente:
Nome do estudante |
r |
OP |
OE |
OI |
---|---|---|---|---|
Após o preenchimento do quadro, espera-se que todos concluam que ó pê = r, ó é > r e ó í < r.
A atividade proposta na dinâmica inicial pode ser feita com instrumentos de desenho e com o auxílio da régua graduada, caso seja inviável o uso do computador.
• Nas atividades 10 e 11 alerte os estudantes quanto aos cuidados para evitar acidentes durante o manuseio do compasso.
• Exemplo de resposta da atividade 10:
• Na atividade 11, sugira aos estudantes que se reúnam em duplas após a realização da atividade para corrigi-la. Em seguida, faça a correção coletiva da atividade, verificando dúvidas ainda existentes. Essa atividade incentiva o desenvolvimento da competência específica 2. Confira este exemplo de resposta:
3 Posições de uma reta em relação a uma circunferência
Em relação à circunferência, uma reta póde ser: secante, tangente ou externa. A seguir, vamos estudar cada uma dessas possibilidades.
Reta secante
Uma reta é secante a uma circunferência quando corta a circunferência em dois pontos distintos.
A palavra secante vem de seccionar, que significa “cortar”.
Na figura a seguir, a reta s é secante à circunferência C de centro óh.
Observe que a medida da distância (d ) do centro ( óh) à reta s é menor que a medida de comprimento do raio (r ):
d < r
Propriedade em relação à reta secante
Toda reta que passa pelo centro de uma circunferência e é perpendicular a uma secante passa pelo ponto médio da corda determinada por essa secante.
Analise a figura.
Temos
reta ABperpendicular a
reta OMe o triângulo á ó bê é isósceles, pois
segmentos OAe
segmentos OBsão raios da circunferência.
Então, pelo caso éle á áo , temos: triângulo á ó ême ≅ triângulo bê ó ême
Assim: ême á = MB e, portanto, M é ponto médio de
segmento AB.
Respostas e comentários
Posições de uma reta em relação a uma circunferência
Bê êne cê cê:
Competência geral 2 (a descrição está na página seis).
Objetivo:
Identificar as posições relativas entre uma reta e uma circunferência.
Justificativa
Reconhecer as diferentes posições de uma reta em relação a uma circunferência contribui para que os estudantes entendam termos como “segmentos de reta tangentes” e “lados secantes” utilizados no estudo de propriedades como a das medidas dos comprimentos dos lados de um quadrilátero circunscritível a uma circunferência e do ângulo inscrito.
Mapeando conhecimentos
Se possível, leve os estudantes para a sala de informática da escola (se houver uma) e peça que, em um software de geometria dinâmica, representem uma circunferência de centro O e três retas: s, t e q. A reta s deve ser secante à circunferência, a reta q deve ser tangente e a reta r deve ser externa. Em seguida, proponha que investiguem as relações entre a medida do comprimento do raio da circunferência (r) e a medida da distância entre óh e as retas s, t e q. Oriente-os a utilizar a ferramenta de medir comprimento do software e registrar as conclusões no caderno.
Para as aulas iniciais
Reproduza o quadro a seguir na lousa e proponha aos estudantes que preencham coletivamente:
Nome do estudante |
r |
Medida da distância entre O e s (d1) |
Medida da distância entre O e t (d2) |
Medida da distância entre O e q (d3) |
---|---|---|---|---|
Após o preenchimento do quadro, espera-se que todos concluam que divisores de ₁ < r, divisores de ₂ = r e divisores de ₃ > r.
A atividade proposta na dinâmica inicial pode ser feita com instrumentos de desenho e com o auxílio da régua graduada, caso seja inviável o uso do computador.
Reta secante
Para verificar a propriedade da reta secante a uma circunferência, sugira aos estudantes que, utilizando régua e compasso, façam a construção de uma circunferência de centro óh e medida de comprimento de raio qualquer, tracem uma reta secante à circunferência, determinem os pontos a e B (intersecção entre a reta secante e a circunferência) e construam o triângulo á ó bê. Em seguida, auxilie-os na análise dos segmentos obtidos, tirando conclusões a respeito dos segmentos traçados.
Alerte os estudantes quanto aos cuidados para evitar acidentes durante o manuseio do compasso.
Reta tangente
Uma reta é tangente a uma circunferência quando tem apenas um ponto em comum com ela.
A palavra tangente vem de tanger, que significa “tocar”.
Na figura a seguir, a reta t é tangente à circunferência C₁, e a é denominado ponto de tangência (“ponto de contato”).
Observe que a medida da distância (d ) do centro ( óh) à reta t é igual à medida de comprimento do raio (r):
d = r
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular a um raio dessa circunferência no ponto de tangência.
s é tangente à circunferência C2 e é perpendicular a
segmento OBem B.
t é tangente à circunferência C2 e é perpendicular a
segmento OAem a.
Reta externa
Uma reta é externa a uma circunferência quando não tem nenhum ponto em comum com ela.
Observe na figura a seguir que a reta k é externa à circunferência C.
Note que a medida da distância (d ) do centro ( óh) à reta k é maior que a medida de comprimento do raio (r):
d > r
Respostas e comentários
Reta tangente
Antes de abordar o assunto, peça aos estudantes que tracem uma circunferência e uma reta tangente a ela. Depois, solicite que tracem o raio que contém o ponto de tangência e meçam, com o auxílio de um transferidor, a medida da abertura do ângulo determinado pelo raio e pela reta tangente. Espera-se que os estudantes concluam que a medida da abertura desse ângulo é igual a 90 graus.
Alerte os estudantes quanto aos cuidados para evitar acidentes durante o manuseio do compasso.
Reta externa
Antes de iniciar a abordagem deste conteúdo, proponha aos estudantes que, utilizando régua e compasso, façam a construção de uma circunferência de centro óh e medida de comprimento de raio qualquer, e tracem uma reta externa à circunferência. Depois, incentive-os a verificar, com o auxílio de uma régua, que a medida da distância do centro da circunferência à reta é maior que a medida do comprimento do raio.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso na atividade 12.
12. Represente, em seu caderno, um ponto P que dista 10 centímetros do centro óh de uma circunferência cujo comprimento do raio mede 5 centímetros. Depois, trace uma reta passando por P que seja:
a) tangente à circunferência;
b) secante à circunferência;
c) externa à circunferência.
13. Sendo d a medida da distância de uma reta t ao centro de uma circunferência, qual é a posição de t em relação a essa circunferência quando:
a) d = 8 e r = 7?
b) d = 6 e r = 9?
c) d = 10 e r = 10?
14. Em uma circunferência qualquer, toda reta perpendicular a um dos raios é tangente a essa circunferência? Justifique sua resposta.
15. Toda reta que fórma um ângulo reto com outra reta, que seja tangente a uma circunferência, passa pelo centro dessa circunferência? Justifique sua resposta.
16. Sabendo que o comprimento do raio de uma circunferência mede 10 centímetros, responda: A que medida da distância d do centro deveriam estar as retas r e s, paralelas, para que fossem, respectivamente, tangente e externa à circunferência?
4 Posições relativas de duas circunferências
De acôrdo com a posição relativa que apresentam, duas circunferências podem ser: tangentes exteriores, tangentes interiores, secantes, externas ou internas.
Para facilitar nosso estudo, vamos adotar as seguintes notações:
• O₁: centro da circunferência C₁;
• O₂: centro da circunferência C₂;
• d : medida da distância entre os centros O₁ e O₂;
• érre minúsculo₁: medida de comprimento do raio da circunferência C₁ ;
• érre minúsculo₂: medida de comprimento do raio da circunferência C₂;
• érre minúsculo₁ > érre minúsculo₂.
Circunferências tangentes exteriores
Duas circunferências são tangentes exteriores quando têm apenas um ponto comum e suas regiões internas não têm pontos comuns.
A medida da distância d entre os centros das duas circunferências tangentes exteriores é igual à soma das medidas de comprimento dos raios dessas circunferências.
d = érre minúsculo₁ + érre minúsculo₂
T : ponto de tangência
Respostas e comentários
12. Exemplo de resposta em Orientações.
13. a) externa
13. b) secante
13. c) tangente
14. não; exemplo de resposta em Orientações.
15. não; exemplo de resposta em Orientações.
16. A medida da distância de uma das retas ao centro deve ser igual a 10 centímetros e a medida da distância da outra reta ao centro deve ser maior que 10 centímetros.
• A seguir apresentamos um exemplo de resposta para a atividade 12:
• Na atividade 14, espera-se que os estudantes percebam que, por exemplo, na figura a seguir, a reta s é perpendicular ao raio
segmento OA, mas não é tangente à circunferência.
• Sugira aos estudantes que resolvam a atividade 15 fazendo uma ilustração como este exemplo.
Em seguida, peça a eles que formalizem a resposta por meio de uma justificativa escrita. Espera-se que os estudantes percebam que a reta s é perpendicular à reta t, tangente à circunferência, porém s não passa pelo centro óh da circunferência. Esse tipo de atividade é importante para que os estudantes desenvolvam a escrita em problemas de Matemática e consigam justificar suas conclusões com base em propriedades e teoremas consolidados anteriormente.
Posições relativas de duas circunferências
Objetivo:
Reconhecer as diferentes posições relativas entre duas circunferências.
Justificativa
Reconhecer as diferentes posições entre duas circunferências amplia os conhecimentos sobre circunferência adquiridos pelos estudantes. Em particular, o reconhecimento de circunferências secantes, é empregado na construção de polígonos regulares, assunto abordado no capítulo seguinte.
Circunferências tangentes exteriores
Mapeando conhecimentos
Represente na lousa, com a ajuda da turma, as diferentes posições entre duas circunferências de medidas de comprimento de raios érre minúsculo₁ e érre minúsculo₂, e peça aos estudantes que escrevam, para cada posição, uma relação entre d, érre minúsculo₁ e érre minúsculo₂, em que d é a medida da distância entre os centros das circunferências.
Para as aulas iniciais
Se possível, leve os estudantes para a sala de informática da escola (se houver uma) e peça que, em um software de geometria dinâmica, representem as diferentes posições entre duas circunferências de medidas de comprimento de raios érre minúsculo₁ e érre minúsculo₂. Depois, oriente-os a verificar as relações entre d, érre minúsculo₁ e érre minúsculo₂ obtidas na dinâmica inicial, em que d é a medida da distância entre os centros das circunferências.
Caso não tenha tido a oportunidade de trabalhar a proposta sugerida no Bócsi Mapeando conhecimentos, você pode pedir aos estudantes que tracem, com o auxílio do compasso, duas circunferências tangentes exteriores. Alerte-os para que tomem cuidado ao manusear o compasso. Em seguida, proponha que, com o auxílio de uma régua, meçam o comprimento dos raios das circunferências traçadas e a medida da distância entre os centros das circunferências. Espera-se que eles concluam que a medida da distância entre os centros é igual à soma das medidas dos comprimentos dos raios. Incentive-os a compartilhar os desenhos e a trocar ideias com os colegas.
Circunferências tangentes interiores
Duas circunferências são tangentes interiores quando têm apenas um ponto comum e uma é interna à outra.
A medida da distância d entre os centros das duas circunferências tangentes interiores é igual à diferença das medidas de comprimento dos raios dessas circunferências.
d = érre minúsculo₁ ‒ érre minúsculo₂
Circunferências secantes
Duas circunferências são secantes quando têm dois pontos em comum.
Os pontos a e B são intersecções entre as circunferências. A medida da distância d entre os centros das duas circunferências secantes é dada pela seguinte desigualdade:
érre minúsculo₁ ‒ érre minúsculo₂ < d < érre minúsculo₁ + érre minúsculo₂
Circunferências externas
Duas circunferências são externas quando não têm ponto comum e suas regiões internas não têm pontos comuns.
A medida da distância d entre os centros das duas circunferências externas é maior que a soma das medidas de comprimento dos raios dessas circunferências.
d > érre minúsculo₁ + érre minúsculo₂
Circunferências internas
Duas circunferências são internas quando não têm ponto comum e uma é interna à outra.
A medida da distância d entre os centros das duas circunferências internas é menor que a diferença das medidas de comprimento dos raios dessas circunferências.
d < érre minúsculo₁ ‒ érre minúsculo₂
Respostas e comentários
Circunferências tangentes interiores
Caso não tenha tido a oportunidade de trabalhar a proposta sugerida no Bócsi Mapeando conhecimentos, você pode pedir aos estudantes que tracem, com o auxílio do compasso, duas circunferências tangentes interiores. Alerte-os para que tomem cuidado ao manusear o compasso. Em seguida, proponha que, com o auxílio de uma régua, meçam o comprimento dos raios das circunferências traçadas e a medida da distância entre os centros das circunferências. Espera-se que eles concluam que a medida da distância entre os centros é igual à diferença entre as medidas dos comprimentos dos raios. Incentive-os a compartilhar os desenhos e a trocar ideias com os colegas.
Circunferências secantes
Proponha aos estudantes que tracem, com o auxílio do compasso, duas circunferências secantes. Alerte-os para que tomem cuidado ao manusear o compasso. Em seguida, proponha que, com o auxílio de uma régua, meçam o comprimento dos raios das circunferências traçadas e a medida da distância entre os centros das circunferências. Espera-se que eles concluam que a medida da distância entre os centros é maior que a diferença e menor que a soma das medidas dos comprimentos dos raios. Essa atividade pode ser feita caso a atividade sugerida do Bócsi Mapeando conhecimentos não tenha sido realizada.
Circunferências externas
Proponha aos estudantes que tracem, com o auxílio do compasso, duas circunferências externas. Depois, deixe-os à vontade para verificar que a medida da distância entre os centros dessas circunferências é maior que a soma das medidas dos comprimentos dos raios. Incentive-os a compartilhar os desenhos e a trocar ideias com os colegas.
Circunferências internas
Proponha aos estudantes que tracem, com o auxílio do compasso, duas circunferências internas. Depois, incentive-os a verificar que a medida da distância entre os centros dessas circunferências é menor que a diferença entre as medidas dos comprimentos dos raios. Incentive-os a compartilhar os desenhos e a trocar ideias com os colegas.
Observações
1. Quando duas ou mais circunferências têm o mesmo centro e uma é interna à outra, são denominadas circunferências concêntricas.
2. No caso das circunferências tangentes exteriores e das circunferências tangentes interiores, os centros O₁ e O₂ e o ponto de tangência T estão sempre alinhados.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
17. Sendo érre minúsculo₁ e érre minúsculo₂ as medidas de comprimento dos raios de duas circunferências C1 e C2, respectivamente, e d a medida da distância entre os centros, determine as posições relativas em cada caso.
a) érre minúsculo1 = 2 centímetros, érre minúsculo2 = 5 centímetros e d = 10 centímetros
b) érre minúsculo1 = 4 centímetros, érre minúsculo2 = 2 centímetros e d = 2 centímetros
c) érre minúsculo1 = 3 centímetros, érre minúsculo2 = 7 centímetros e d = 10 centímetros
d) érre minúsculo1 = 3 centímetros, érre minúsculo2 = 10 centímetros e d = 4 centímetros
e) érre minúsculo1 = 5 centímetros, érre minúsculo2 = 5 centímetros e d = 8 centímetros
f) érre minúsculo1 = 6 centímetros, érre minúsculo2 = 4 centímetros e d = 9 centímetros
18. Determine a relação entre a medida da distância entre os centros (d ) e as medidas de comprimento dos raios de duas circunferências ( érre minúsculo1 e érre minúsculo2, com érre minúsculo1 > érre minúsculo2) que são:
a) tangentes exteriores;
b) secantes;
c) externas;
d) concêntricas.
19. São dadas duas circunferências com medidas de comprimento dos raios érre minúsculo1 = 13 centímetros e érre minúsculo2 = 7 centímetros. Sendo d a medida da distância entre os centros dessas circunferências, quanto mede d para que essas circunferências sejam tangentes interiores?
20. Dadas duas circunferências, C1 e C2, com medidas de comprimento dos raios érre minúsculo1 e érre minúsculo2, identifique as afirmações verdadeiras a seguir, considerando d como a medida da distância entre os centros dessas circunferências.
a) As duas circunferências são concêntricas quando d = 0.
b) As duas circunferências, com érre minúsculo1 > érre minúsculo2, são secantes quando érre minúsculo1 ‒ érre minúsculo2 < d < érre minúsculo1 + érre minúsculo2.
c) As duas circunferências são tangentes quando têm dois pontos comuns.
d) As duas circunferências são externas quando d > érre minúsculo1 + érre minúsculo2.
21. As circunferências da figura a seguir, de centros O1 e O2, têm raios medindo 2 centímetros de comprimento. Responda:
a) Quais são as medidas de comprimento de
segmento AO1e
segmento BO2?
b) Quanto mede o comprimento de cada lado do triângulo AO1O2?
c) Qual é a medida da abertura do ângulo
ângulo O1AO2?
d) Qual é o nome do quadrilátero AO2BO1?
Respostas e comentários
17. a) externas
17. b) tangentes interiores
17. c) tangentes exteriores
17. d) internas
17. e) secantes
17. f) secantes
18. a) d = érre minúsculo1 + érre minúsculo2
18. b) érre minúsculo1 ‒ érre minúsculo2 < d < érre minúsculo1 + érre minúsculo2
18. c) d > érre minúsculo1 + érre minúsculo2
18. d) d = 0
19. 6 centímetros
20. alternativas a, b, d
21. a) 2 centímetros e 2 centímetros
21. b) 2 centímetros
21. c) 60 graus
21. d) losango
• Na atividade 17, caso os estudantes tenham dificuldades em determinar as posições relativas, sugira a eles que construam, com régua e compasso, as circunferências determinadas em cada item.
Alerte os estudantes quanto aos cuidados para evitar acidentes durante o manuseio do compasso.
Sugestão de atividade extra
Na abertura deste capítulo, tivemos a oportunidade de explorar a obra Composição oito, de Wassily Kandinsky. Sugira aos estudantes que se organizem em grupos e procurem outros artistas e obras que usaram elementos geométricos como fórma de expressão. Em seguida, peça que elaborem uma composição artística como releitura das obras consultadas e que também utilizem os elementos geométricos trabalhados neste capítulo. Por fim, organize uma exposição com as obras criadas por eles.
5 Segmentos de reta tangentes
Observe a figura.
O ponto P é externo à circunferência de centro óh e cujo comprimento do raio mede r, e os segmentos de reta
PA e PBsão tangentes à circunferência.
Analisando os triângulos retângulos ó á pê e OBP, temos:
•
Segmento de reta OA é congruente ao segmento de reta OB
raios da circunferência
•
Segmento de reta OP é congruente ao segmento de reta OPlado comum
•
medida do ângulo OAP é igual à medida do ângulo OBP que é igual a 90 grausPelo caso de congruência do triângulo retângulo, temos: △ ó á pê ≅ △OBP
Portanto,
Segmento de reta PA é congruente ao segmento de reta PB.
Os segmentos de reta tangentes traçados de um mesmo ponto exterior a uma circunferência são congruentes.
Observação
Dois triângulos retângulos que têm a hipotenusa e um cateto respectivamente congruentes são congruentes.
Analise estes exemplos.
Vamos determinar o valor de x, sabendo que
Segmento de reta PAe,
Segmento de reta PB,
Segmento de reta QBe
Segmento de reta QCsão tangentes às circunferências.
a)
Temos: PA = PB
Logo:
x = 3,5
b)
Temos: PA = PB
Logo:
4x ‒ 4 = 12
4x = 12 + 4
4x = 16
x = 4
Respostas e comentários
Segmentos de reta tangentes
Objetivo:
Compreender a propriedade de dois segmentos tangentes a uma circunferência traçados de um mesmo ponto exterior.
Justificativa
Compreender a propriedade de dois segmentos tangentes a uma circunferência traçados de um mesmo ponto exterior é importante porque permite resolver diferentes problemas e deduzir a propriedade que envolve as medidas de comprimento dos lados de um quadrilátero circunscritível a uma circunferência.
Mapeando conhecimentos
Se possível, leve os estudantes para a sala de informática da escola (se houver uma) e peça que, em um software de geometria dinâmica, sigam os seguintes passos:
1º) Trace uma circunferência e um ponto P externo a ela.
2º) Com uma das extremidades em P, construa dois segmentos de reta tangentes à circunferência e indiquem os pontos de tangência por Q e R.
3º) Meça o comprimento de
segmento de reta P Qe
segmento de reta P Re verifique se há relação entre essas medidas.
4º) Movimente o ponto P e verifique se a relação continua válida.
Para as aulas iniciais
Verifique se todos concluíram que
segmento de reta P Qe
segmento de reta P Rsão congruentes. Em seguida, solicite que apliquem essa propriedade na determinação de medidas de comprimento desconhecidas em figuras.
c)
Temos: PA = PB
Logo:
5x ‒ 14 = 2x + 10
5x ‒ 2x = 10 + 14
3x = 24
x = 8
d)
Como PA = PB, temos:
PB = x
Como QB = QC, temos: y = 5
Assim: PQ = PB + QB
12 = x + 5
x = 7
Polígonos circunscritos a uma circunferência
Um polígono está circunscrito a uma circunferência quando todos os seus lados são tangentes à circunferência.
Triângulo circunscrito
Confira esta figura.
O triângulo á bê cê está circunscrito à circunferência de centro óh, e os pontos M, N e P são os pontos de tangência.
Analise este exemplo.
Observe o triângulo á bê cê circunscrito à circunferência na figura a seguir. Vamos determinar o valor de x.
Como á êne = ei ém e MB = BP, temos:
á êne = a e BP = b
Então: a = 10 e b = 25
Sendo A bê = ei ém + MB, temos:
x = 10 + 25
x = 35
Respostas e comentários
Polígonos circunscritos a uma circunferência
Antes de iniciar este tópico, retome com os estudantes o que entendem por polígonos, como são nomeados e as características dos polígonos regulares, para, então, introduzir polígonos circunscritos a uma circunferência.
Reproduza o exemplo na lousa, verificando se a propriedade de segmentos tangentes foi compreendida pelos estudantes.
Quadrilátero circunscrito
Observe a figura a seguir.
O quadrilátero a bê cê dê está circunscrito à circunferência de centro óh, e os pontos M, N, P e Q são pontos de tangência.
A soma das medidas de comprimento de dois lados opostos de um quadrilátero circunscritível a uma circunferência é igual à soma das medidas de comprimento dos outros dois.
Considere as medidas de comprimento x, y, z e w indicadas no quadrilátero a bê cê dê circunscrito à circunferência.
M, N, P e Q são pontos de tangência.
Como á êne = á pê = x, BM = BN = y, CQ = CM = z e DP = DQ = w, temos:
A bê + CD = x + y + z + w
á dê + BC = x + w + y + z
Logo:
A bê + CD = á dê + BC
Observações
1. A recíproca é verdadeira: em um quadrilátero, se a soma das medidas de comprimento de dois lados opostos é igual à soma das medidas de comprimento dos outros dois, o quadrilátero é circunscritível a uma circunferência.
2. Podemos dizer que os polígonos estão circunscritos às circunferências ou que as circunferências estão inscritas nos polígonos.
Respostas e comentários
Para explorar o assunto sobre quadrilátero circunscrito, organize os estudantes em trios e apresente a eles um quadrilátero circunscrito a uma circunferência. Em seguida, sugira que mostrem a propriedade apresentada. Permita que os estudantes utilizem estratégias próprias, dando-lhes tempo para a discussão em grupo. Faça as intervenções necessárias. Depois, sugira a eles que apresentem suas estratégias. Por fim, formalize a propriedade, fazendo a demonstração conforme o que foi desenvolvido.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
22. Determine o valor de x, sabendo que os segmentos de reta são tangentes às circunferências.
a)
b)
c)
d)
23. Determine o valor de x nos casos a seguir.
a)
b)
c)
d)
24. Determine o valor de x em cada caso.
a)
b)
c)
25. O ponto D é o ponto de tangência da circunferência inscrita com o lado
segmento ABdo triângulo á bê cê. Sabendo que á cê = 39 centímetros, A bê = 80 centímetros e BC = 89 centímetros, determine BD.
26. Na figura,
Reta PA,
Reta PBe
Reta DEsão tangentes à circunferência. Calcule a medida de perímetro do triângulo pê dê é, sendo pê á = 8 centímetros.
Respostas e comentários
22. a) x = 20
22. b) x = 31,2
22. c) x = 4
22. d) x = 4
23. a) x = 18
23. b) x = 8
23. c) x = 10
23. d) x = 3
24. a) x = 6
24. b) x = 2
24. c) x = 6
25. BD = 65 centímetros
26. 16 centímetros
Estas atividades têm por objetivo observar a aplicação das propriedades apresentadas. Faça a correção esclarecendo as dúvidas remanescentes.
Sugestão de atividade extra
Determine a medida do perímetro do quadrilátero a seguir.
Resposta: 20 unidades de medida de comprimento
6 Arco de circunferência e ângulo central
Arco de circunferência
A parte da circunferência compreendida entre dois de seus pontos é denominada arco de circunferência.
Chamamos os pontos a e B de extremos do arco
A B.
Para distinguir o arco menor do arco maior, indicamos
arco ABpara o menor e utilizamos mais um ponto da circunferência para o maior. Observe as figuras.
Notação:
arco AMBNotação:
Arco A BQuando os extremos a e B do arco coincidem com as extremidades de um diâmetro, cada um dos arcos formados é denominado semicircunferência.
Respostas e comentários
Arco de circunferência e ângulo central
Bê êne cê cê:
• Competência geral 2 (a descrição está na página seis).
• Habilidade ê éfe zero nove ême ah um um.
Objetivo:
Relacionar arcos e ângulos centrais na circunferência.
Justificativa
Os arcos de circunferência são figuras presentes em diferentes construções geométricas e estão relacionados aos ângulos centrais da circunferência. Além disso, essas relações entre arcos e ângulos centrais na circunferência possibilitam resolver diferentes problemas, o que favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um um.
Mapeando conhecimentos
Pergunte aos estudantes: ”O que é um arco de circunferência?”. Em seguida, peça para que representem arcos de circunferência no caderno. Depois, defina ângulo central e peça para que representem um ângulo central de uma circunferência qualquer no caderno. Verifique se percebem que o ângulo central construído determina um arco na circunferência.
Por fim, solicite que, no caderno, construam circunferências e ângulos centrais de medidas de aberturas iguais a 30 graus, 45 graus, 60 graus, 90 graus, 120 graus, 180 graus etcétera. para construir e completar um quadro como o do exemplo a seguir:
Medida da abertura do ângulo central |
Razão entre as medidas de comprimento do arco e da circunferência |
---|---|
30° |
|
45° |
|
Os estudantes podem fazer as construções usando instrumentos de desenho e obter as medidas das aberturas dos ângulos centrais com um transferidor.
Para as aulas iniciais
Verifique se os estudantes compreenderam os conceitos de arco e ângulo central. Depois, verifique se todos concluíram que razão entre as medidas de comprimento do arco e da circunferência é diretamente proporcional à medida da abertura do ângulo central. Caso ache pertinente, proponha aos estudantes que reproduzam a atividade da dinâmica inicial no em um software de geometria dinâmica.
Inicie este tópico explicando aos estudantes que é possível dividir uma circunferência em partes que são denominadas arcos de circunferência. Em Matemática, arco é a parte da circunferência compreendida entre dois pontos, denominados extremos.
Dê ênfase para a notação do arco menor e do arco maior e verifique se os estudantes compreenderam a diferença de notação.
Explique que, na determinação de arcos de uma circunferência, há dois tipos de medição: linear (comprimento) e angular. Estudaremos a medida angular de arco, que chamaremos apenas de medida do arco, em seguida.
( ê éfe zero nove ême ah um um) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de software de geometria dinâmica.
Ângulo central
O ângulo cujo vértice é o centro de uma circunferência é denominado ângulo central.
Observe na figura que
ângulo AOBé um ângulo central e
A Bé o arco correspondente.
Um arco póde ter medida angular ou medida de comprimento. Aqui usaremos apenas a medida angular, que indicaremos por medida do arco.
: ângulo central
: arco correspondente ao ângulo
A O BA medida da abertura do ângulo central é igual à medida do arco correspondente.
Assim:
Confira estes exemplos.
a) Vamos determinar a medida de
arco AMB.
Como
medida do arco AB é igual à medida do Ângulo AOB, que é igual a 80 graus, temos:
medida do arco AMB é igual a 360 graus menos a medida do arco AB
medida do arco AMB é igual a 360 graus menos 80 graus
medida do arco AMB é igual a 280 graus
b) Observando a figura, vamos determinar as medidas de
arcos AB, AC, AD e AMD.
•
medida do arco AB é igual à medida do Ângulo AOB, que é igual a 60 graus•
medida do arco AC igual à medida do arco AB mais a medida do arco BCmedida do arco AC igual à medida do arco AB mais a medida do ângulo BOC
medida do arco AC igual a 60 graus mais 50 graus igual a 110 graus
•
medida do arco AD igual à medida do arco AC mais a medida do arco CDmedida do arco AD igual à medida do arco AC mais a medida do ângulo COD
medida do arco AD igual a 110 graus mais 70 graus igual a 180 graus
•
medida do arco AMB é igual a 360 graus menos a medida do arco ABmedida do arco AMD igual a 360 graus menos 180 graus igual a 180 graus
Respostas e comentários
Ângulo central
Ao trabalhar com as noções de arco de circunferência e ângulo central, chame a atenção dos estudantes para o fato de que, se um arco tem medida igual a x, em graus, o arco complementar terá medida igual a 360 graus ‒ x.
Sugestão de atividade extra
Determine a medida angular do arco de modo que sua medida de comprimento corresponda:
• à metade da medida do comprimento da circunferência (Resposta: 180 graus);
• a um quarto da medida do comprimento da circunferência (Resposta: 90 graus);
• a um terço da medida do comprimento da circunferência (Resposta: 120 graus).
É interessante mostrar aos estudantes que essa atividade também pode ser resolvida utilizando regra de três simples.
Atividades
Faça as atividades no caderno.
27. Dadas as figuras seguintes, determine as medidas dos arcos:
a)
arco MN,
arco NPe
arco MPb)
arco BC,
arco ABe
arco AC28. Quantos graus mede o arco
arco AMBda figura?
29. Em uma circunferência, os arcos
arco MNe
arco MANformam o giro de uma volta. Determine a medida de abertura x quando:
a)
medida do arco MAN igual a 3xe
medida do arco MN igual a x mais 30 grausb)
medida do arco MAN igual a x mais 120 grause
medida do arco MN igual a xc)
medida do arco MAN igual a 2x mais 80 grause
medida do arco MN igual a 3x sobre 230. Calcule a medida de abertura α de cada ângulo a seguir.
a)
b)
c)
31. Nesta figura, o ponto C é o centro da circunferência e o triângulo á bê cê é equilátero. Qual é a medida do arco
arco AB?
32. Prove que, em uma circunferência, ângulos centrais congruentes determinam cordas congruentes.
Respostas e comentários
27. a) 60 graus, 82 graus, 142 graus
27. b) 75 graus, 15 graus, 90 graus
28. 200 graus
29. a) 82 graus 30 minutos
29. b) 120 graus
29. c) 80 graus
30. a) 85 graus
30. b) 30 graus
30. c) 110 graus
31. 60 graus
32.
Ângulo AOB é congruente ao ângulo COD(raios)
Logo, △ á ó bê ≅ △ cê ó dê, pelo caso éle á éle.
Assim:
segmento AB é congruente ao segmento CD..
Esta sequência de atividades permite desenvolver parte da habilidade ê éfe zero nove ême ah um um na resolução de problemas que envolvem a relação entre arcos e ângulos centrais.
• Na atividade 32, explique aos estudantes que provar que uma afirmação é verdadeira significa obter relações válidas, com base em teoremas e propriedades verdadeiras. Atividades como esta mobilizam diferentes tipos de raciocínio lógico-matemático (indução, dedução, abdução e raciocínio por analogia), de argumentação e de inferência, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 2.
7 Ângulo inscrito
Ângulo inscrito a uma circunferência é todo ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados são secantes a essa circunferência.
Podemos estabelecer uma relação entre a medida da abertura do ângulo inscrito e a medida do arco da circunferência por ele determinado.
é um ângulo inscrito que determina o arco
A B na circunferência.
Tecnologias digitais em foco
Ângulos central e inscrito a uma circunferência
Nesta seção, utilizaremos o GeoGebra, ou outro software de geometria dinâmica que seu professor indicar, para construir um ângulo inscrito a uma circunferência e o ângulo central correspondente e para investigar a relação entre as medidas das aberturas desses ângulos.
Construa
Siga os passos a seguir para construir os ângulos.
1º) Construa uma circunferência C de centro óh.
2º) Marque três pontos distintos, a, B e V, na circunferência.
3º) Trace as semirretas
O A,
O B,
V Ae
V B.
O ângulo
ângulo AVBé um ângulo inscrito e
ângulo AOBé o ângulo central correspondente.
Respostas e comentários
Ângulo inscrito
Bê êne cê cê:
Habilidade ê éfe zero nove ême ah um um.
Objetivo:
Relacionar arcos e ângulos inscritos na circunferência.
Justificativa
Relacionar arcos e ângulos inscritos na circunferência mobiliza os conhecimentos abordados no tópico anterior e possibilita que os estudantes resolvam diversos problemas, o que favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um um.
Mapeando conhecimentos
Pergunte aos estudantes: ”O que é um ângulo inscrito?”. Deixe-os à vontade para que verbalizem suas respostas mesmo que não utilizem o vocabulário matemático adequado. Depois, peça que façam as atividades propostas na seção Tecnologias digitais em foco relativa a este tópico.
Para as aulas iniciais
Proponha aos estudantes que empreguem a relação entre a medida da abertura do ângulo inscrito em uma circunferência e a medida do arco que ele determina para calcular medidas de abertura de ângulos desconhecidos em figuras.
Tecnologias digitais em foco
Bê êne cê cê:
• Competência geral 5 (a descrição está na página seis).
• Competência específica 2 (a descrição está na página sete).
• Habilidade ê éfe zero nove ême ah um um.
Objetivo:
Investigar a relação entre as medidas das aberturas do ângulo inscrito na circunferência e do ângulo central correspondentes ao mesmo arco usando software de geometria dinâmica..
Nesta seção, os alunos deverão verificar experimentalmente, com o auxílio de um software de geometria dinâmica, que a medida da abertura do ângulo inscrito na circunferência é igual à metade da medida da abertura do ângulo central correspondente. A proposta dessa seção contribui para que os estudantes desenvolvam o espírito investigativo a fim de produzir conhecimento, e é nesse sentido que a competência geral 5 e a competência específica 2 da Bê êne cê cê têm o seu desenvolvimento favorecido.
Esta atividade foi apresentada no GeoGebra, mas pode ser desenvolvida em qualquer software de geometria dinâmica. Na falta de computador, a atividade proposta pode ser adaptada de modo que os estudantes utilizem papel e instrumentos de desenho e de medida.
( ê éfe zero nove ême ah um um) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Explore
a) Meça as aberturas dos ângulos
A V Be
A O B. É possível perceber alguma relação entre essas medidas?
b) Movimente os pontos móveis da construção, modificando a configuração inicial. A relação observada é válida em diferentes configurações?
Nesta figura,
ângulo AVBé um ângulo inscrito e
segmento VBé um diâmetro da circunferência, sendo a a medida da abertura do ângulo inscrito
ângulo AVBe b a medida da abertura do ângulo central
ângulo AOB.
Como
segmento OVe
segmento OAsão raios da circunferência, o triângulo AOV é isósceles. Assim, os ângulos da base do triângulo AOV são congruentes:
No triângulo AOV, temos
medida ao ângulo VOA igual a 180 graus menos 2a, pois a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus. Observe que
ângulo VOAe
ângulo BOAformam um ângulo raso (estão sobre
semirreta VB), assim:
Logo:
A medida da abertura do ângulo inscrito em uma circunferência é a metade da medida do arco que ele determina na circunferência.
Esse resultado vale também para outras configurações, mas não faremos a demonstração disso aqui.
Analise estes exemplos.
a) Vamos determinar a medida de abertura x do ângulo nesta figura.
Como
medida do Ângulo AVB igual à medida do arco AB sobre 2, temos:
medida ao Ângulo AVB igual a 100 graus sobre 2
medida do ângulo A V B é igual a 50 graus
Portanto:
x é igual à medida do ângulo A V B, que é igual a 50 grausRespostas e comentários
Explore:
a) Espera-se que os estudantes percebam que a medida da abertura do ângulo inscrito à circunferência é igual à metade da medida da abertura do ângulo central correspondente.
b) Essa propriedade é válida independentemente da configuração apresentada.
Destaque aos estudantes que, na seção Tecnologias digitais em foco, eles identificaram a relação existente entre as medidas das aberturas de um ângulo inscrito na circunferência e do ângulo central correspondente ao mesmo arco. Em seguida, faça a demonstração dessa relação junto com a turma na lousa com base na demonstração apresentada no livro.
b) Nesta figura, qual é a medida de
arco AB?
Como
medida do ângulo AVB igual à medida do arco AB, temos:
65 graus igual à medida ao arco AB sobre 2 implica que medida do arco AB igual a 65 graus vezes 2 implica que medida do arco AB é igual a 130 graus
c) Sabendo que a, B e C são pontos de uma circunferência e que a abertura do ângulo central
AOBmede 70 graus, quais são as medidas de
Arco ABe da abertura do ângulo inscrito
ACB?
Como
medida do arco AB igual à medida do ângulo AOB, temos:
medida do arco igual a 70 graus
Como
medida do ângulo ACB igual à medida do arco AB sobre 2, temos:
medida ao ângulo ACB igual a 70 graus sobre 2
medida ao ângulo ACB igual 35 graus
Observações
1. O ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto.
theta igual a medida do arco AB sobre 2 que é igual a 180 graus sobre 2 que é igual a 90 graus
2. Ângulos inscritos que determinam o mesmo arco são congruentes.
ângulo alfa igual ao ângulo beta igual à medida do arco AB sobre 2
Respostas e comentários
Sugestão de atividade extra
O fato de que ângulos inscritos que determinam o mesmo arco na circunferência serem congruentes também pode ser percebido por meio de investigações realizadas em um software de geometria dinâmica. Segue um exemplo de como conduzir a atividade:
• Trace uma circunferência e determine o arco de extremos a e B sobre ela.
• Nessa circunferência, construa dois ângulos inscritos distintos, com vértices ê e F, respectivamente, correspondentes ao arco
A B.
• Meça a abertura dos ângulos construídos. Altere o arco movimentando o ponto a ou o ponto B. Em seguida, movimente os pontos ê e F.
• Ao final, pergunte: “O que podemos observar?” (Resposta: Os ângulos
ângulo AEBe
ângulo AFBsão congruentes e se mantêm congruentes após as movimentações).
Atividades
Faça as atividades no caderno.
33. Encontre o valor de α, em grau, em cada figura.
a)
b)
c)
d)
34. Um triângulo á bê cê está inscrito em uma circunferência, e o arco
arco ACmede 100 graus. Calcule a medida da abertura do ângulo
ângulo CAB, sabendo que a abertura de
ângulo BCAmede 60 graus.
35. Calcule a medida da abertura, em grau, dos ângulos assinalados.
36. Determine a e b, em grau, na figura a seguir sabendo que a + 2b = 127 graus.
37. Sabendo que
semirreta BEé bissetriz de
ângulo ABC, determine a medida do arco
arco ECB.
38.
Utilizando um software de geometria dinâmica, faça uma construção geométrica de acôrdo com os passos a seguir.
1º) Construa uma circunferência C₁ de centro em a e raio
A B.
2º) Construa uma circunferência C₂ de centro em B e raio
A B.
3º) Marque C, uma das intersecções entre as circunferências C₁ e C₂.
4º) Trace a reta
Reta CA.
5º) Marque D, intersecção da circunferência C₁ com a reta
reta CA, D ≠ C.
6º) Trace a semirreta
semirreta AB.
7º) Trace a semirreta
Semirreta DB.
Agora faça o que se pede:
a) Utilizando as ferramentas do software, analise a construção realizada e indique a relação entre as medidas das aberturas dos ângulos
ângulo CABe
ângulo CDB.
b) No caderno, elabore uma questão sobre a construção realizada de maneira que um colega possa responder utilizando os recursos disponíveis no software de geometria dinâmica.
c)
Troque de caderno com um colega e responda à questão elaborada por ele. Em seguida, troquem as descobertas que fizeram com a construção e a investigação dos passos descritos.
Respostas e comentários
33. a) 30 graus
33. b) 19 graus 30 minutos
33. c) 160 graus
33. d) 40 graus
34. 70 graus
35. 60 graus e 120 graus
36. a = 53 graus; b = 37 graus
37. 178 graus
38. a) Exemplo de construção em Orientações.
38. b) Resposta pessoal.
38. c) Resposta pessoal.
• Na atividade 33, antes que realizem os cálculos, oriente os estudantes a indicar por letras os pontos de intersecção dos lados do ângulo inscrito com a circunferência e a identificar os ângulos inscrito e central em cada caso.
• Na atividade 34, é importante que façam uma figura para traduzir as informações fornecidas pelo enunciado.
• Na atividade 35, espera-se que os estudantes resolvam a seguinte equação para determinar as medidas das aberturas dos ângulos assinalados:
4x igual a 6x mais 30 sobre 2, em que x é um número real.
• Exemplo de construção do item a da atividade 38:
Sendo
arco CBo arco correspondente ao ângulo central CÂB e o arco correspondente ao ângulo inscrito
C D B, podemos afirmar que a medida da abertura do ângulo inscrito
C D Bmede metade da medida da abertura do ângulo central
ângulo CAB.
Resolvendo em equipe
Faça a atividade no caderno.
Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso.
( ó bê mépi) Desenhe duas circunferências de mesmo centro, uma de raio medindo 1 centímetro e a outra de raio medindo 3 centímetros. Na região exterior à circunferência de 1 centímetro de raio e interior à de 3 centímetros de raio, desenhe circunferências que sejam, simultaneamente, tangentes às duas circunferências, como mostrado na figura dada.
a) Qual deve ser o raio dessas circunferências?
b) Qual é o número máximo dessas circunferências que podem ser desenhadas, sem que elas se sobreponham?
Interpretação e identificação dos dados |
• Analise as informações do enunciado e anote no caderno as que você julgar relevantes para a resolução do problema. |
---|---|
Plano de resolução |
• Quais são as medidas das aberturas dos ângulos internos da figura encontrada no item anterior? |
Resolução |
• Junte-se a dois colegas. |
Verificação |
• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas. |
Apresentação |
• Apresentem a figura dada no problema e sua solução, construídas com régua e compasso, em uma folha de papel sulfite. |
Respostas e comentários
Resolvendo em equipe:
a) 1 cê ême
b) 6
Interpretação e identificação dos dados:
primeiro item: Resposta pessoal.
segundo item: r = 1 centímetro
terceiro item: Um triângulo equilátero, pois a medida de comprimento dos lados é 2 centímetros.
Plano de resolução: 60 graus
Resolvendo em equipe
Bê êne cê cê:
• Competência geral 9 (a descrição está na página seis).
• Competência específica 8 (a descrição está na página sete).
A seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os estudantes. Além de favorecer o desenvolvimento da competência geral 9 e da competência específica 8, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações.
Na etapa “Verificação”, os estudantes devem averiguar se todas as condições do enunciado foram satisfeitas e testar o plano de resolução formulado na etapa anterior.
Na etapa “Apresentação”, oriente os estudantes a tomarem cuidado ao manusear o compasso.
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Circunferência
Corda e diâmetro de uma circunferência
Sendo óh, centro da circunferência, temos:
•
Segmento de reta ABe
Segmento de reta CDsão cordas;
•
Segmento de reta CDé um diâmetro;
•
Segmento de reta ODe
Segmento de reta OCsão raios.
Posições de uma reta em relação a uma circunferência
Em cada circunferência C, considere d a medida da distância da reta ao centro óh da circunferência e r a medida de comprimento do raio da circunferência.
Reta secante
Uma reta é secante a uma circunferência quando corta a circunferência em dois pontos distintos.
Nesse caso, temos: d < r
Reta tangente
Uma reta é tangente a uma circunferência quando tem apenas um ponto em comum com ela.
Nesse caso, temos: d = r
Reta externa
Uma reta é externa a uma circunferência quando não tem nenhum ponto em comum com ela.
Nesse caso, temos: d > r
Posições relativas de duas circunferências
Nas circunferências C1 e C2, considere d a medida da distância entre O1 e O2 (respectivamente, centros das circunferências C1 e C2) e érre minúsculo1 e érre minúsculo2 as medidas de comprimento dos raios, respectivamente, das circunferências C1 e C2, tal que érre minúsculo1 > érre minúsculo2.
Circunferências tangentes exteriores
Duas circunferências são tangentes exteriores quando têm apenas um ponto comum e suas regiões internas não têm pontos comuns.
Nesse caso, temos:
d = érre minúsculo1 + érre minúsculo2
T: ponto de tangência
Circunferências tangentes interiores
Duas circunferências são tangentes interiores quando têm apenas um ponto comum e uma é interna à outra.
Nesse caso, temos:
d = érre minúsculo1 ‒ érre minúsculo2
T: ponto de tangência
Circunferências secantes
Duas circunferências são secantes quando têm dois pontos em comum.
Nesse caso, temos:
érre minúsculo1 ‒ érre minúsculo2 < d < érre minúsculo1 + érre minúsculo2
A e B: intersecções entre as circunferências.
Respostas e comentários
Revisão dos conteúdos deste capítulo
Circunferência
Ao retomar os elementos de uma circunferência com a turma, enfatize que todo diâmetro é também uma corda da circunferência.
Posições de uma reta em relação a uma circunferência
Ao retomar as posições de uma reta em relação a uma circunferência, você pode pedir aos estudantes que apresentem mais exemplos no caderno. Alerte-os para que tomem cuidado ao manusear o compasso.
Posições relativas de duas circunferências
Faça a leitura coletiva da revisão com os estudantes. Se julgar necessário, reproduza as figuras na lousa e explore com eles a relação entre as medidas de comprimento dos raios das circunferências e a medida da distância entre os centros dessas circunferências.
Circunferências externas
Duas circunferências são externas quando não têm ponto comum e suas regiões internas não têm pontos comuns.
Nesse caso, temos: d > érre minúsculo1 + érre minúsculo2
Circunferências internas
Duas circunferências são internas quando não têm ponto comum e uma é interna à outra.
Nesse caso, temos: d < érre minúsculo1 ‒ érre minúsculo2
1. Observe a figura e indique um segmento de reta que seja:
a) raio
b) corda
c) diâmetro
2. Considere uma circunferência de centro óh e raio de medida de comprimento r. Indicando por d a medida da distância entre uma reta e o centro da circunferência, determine a posição da reta em relação à circunferência para:
a) d = 4 centímetros e r = 4 centímetros;
b) d = 8 centímetros e r = 5 centímetros;
c) d = 11 centímetros e r = 16 centímetros;
d) d = 5 centímetros e r = 5 centímetros.
3. A medida da distância entre os centros de duas circunferências tangentes interiores é 7 centímetros. As medidas de comprimento dos raios são 2x ‒ 3 e x + 1. Qual é a medida de comprimento do raio de cada circunferência, considerando que o raio de maior medida de comprimento mede 2x ‒ 3?
4. Os centros de duas circunferências tangentes exteriores estão distantes 55 centímetros, e as medidas de comprimento dos raios são expressas por 3x + 1 e 5x ‒ 2. Qual é a medida de comprimento do raio de cada circunferência?
5. Qual é a posição relativa de duas circunferências cujos raios medem 7 centímetros e 4 centímetros de comprimento e a distância entre seus centros mede 10 centímetros?
Segmentos de reta tangentes
Os segmentos de reta tangentes traçados de um mesmo ponto exterior a uma circunferência são congruentes.
6. Determine o valor de x em cada caso sabendo que os segmentos de reta são tangentes às circunferências.
a)
b)
Respostas e comentários
1. a)
Segmento de reta EF,
Segmento de reta EJ,
Segmento de reta EH,
Segmento de reta EI1. b)
Segmento de reta FG,
Segmento de reta FI,
Segmento de reta FJ1. c)
Segmento de reta FJ2. a) tangente
2. b) exterior
2. c) secante
2. d) tangente
3. 19 centímetros e 12 centímetros
4. 22 centímetros e 33 centímetros
5. secantes
6. a) x = 5
6. b) x = 54
• Na atividade 1, espera-se que os estudantes percebam que há mais de uma possibilidade de resposta para cada item. Após concluírem a atividade, incentive-os a compartilhar as respostas obtidas.
• Caso os estudantes tenham dificuldades para realizar a atividade 2, oriente-os a representar a circunferência e a reta em cada item. Em atividades que envolvam o uso do compasso, sempre alerte para que tomem cuidado ao manusear esse instrumento, pois podem se machucar ou machucar um colega.
• Na atividade 3, espera-se que os estudantes percebam que, para determinar o valor x, precisam resolver a equação:
(2x ‒ 3) ‒ (x + 1) = 7
Espera-se que concluam que x = 11 centímetros. Depois, espera-se que, substituam x por 11 centímetros em 2x ‒ 3 e x + 1 para determinar a medida de comprimento do raio de cada circunferência.
• Na atividade 4, espera-se que os estudantes percebam que, para determinar o valor x, precisam resolver a equação:
(3x + 1) + (5x ‒ 2) = 55
Espera-se que concluam que x = 7 centímetros. Depois, espera-se que substituam x por 7 cm em 3x + 1 e 5x ‒ 2 para determinar a medida de comprimento do raio de cada circunferência.
• Na atividade 5, oriente os estudantes a representar as duas circunferências nas condições do enunciado caso tenham dificuldades para identificar a posição relativa entre elas.
Segmentos de reta tangentes
• Na atividade 6, os estudantes vão aplicar a propriedade dos segmentos de reta tangentes traçados de um mesmo ponto exterior a uma circunferência. No item a, espera-se que eles obtenham o valor de x resolvendo a equação 3x + 5 = 7x ‒ 15. Já no item b, a equação a ser resolvida para calcular o valor de x é
3x sobre 2 menos 5 igual a 4x sobre 3 mais 4. Em ambos os casos, enfatize com a turma que x é um número real maior do que zero por ser uma medida de comprimento.
7. Em cada figura a seguir, temos uma circunferência inscrita em um triângulo. Determine as medidas de comprimento x.
a)
b)
8. Calcule a medida de perímetro deste quadrilátero circunscrito à circunferência.
Arco de circunferência e ângulo central
Arco de circunferência
A parte da circunferência compreendida entre dois de seus pontos é denominada arco de circunferência.
Ângulo central
O ângulo cujo vértice é o centro de uma circunferência é denominado ângulo central.
A medida da abertura do ângulo central é igual à medida do arco correspondente.
Como
medida do arco AB igual à medida do ângulo AOB, temos:
medida do arco AB igual a 80 graus
medida do arco AMB igual a 280 graus
Ângulo inscrito
Ângulo inscrito a uma circunferência é todo ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados são secantes a essa circunferência.
A medida da abertura do ângulo inscrito em uma circunferência é a metade da medida do arco que ele determina na circunferência.
9. Determine a medida x, em graus, e a medida da abertura de cada ângulo central em destaque.
a)
b)
10. Determine as medidas x e y das aberturas dos ângulos nas circunferências a seguir.
a)
b)
11. Se a medida da abertura de um ângulo inscrito em uma circunferência é 84 graus e o arco da circunferência compreendido entre seus lados mede 5x + 8 graus, qual é a medida da abertura x?
12. Qual é a medida x, em grau, nesta figura?
Respostas e comentários
7. a) x = 29 centímetros
7. b) x = 9 centímetros
8. 16 centímetros
9. a) x = 23 graus; 69 graus
9. b) x = 8 graus; 64 graus
10. a) x = 59 graus e y = 118 graus
10. b) x = 38 graus
11. 32 graus
12. 17 graus
Arcos de circunferência e ângulo central
Represente algumas circunferências na lousa, marque alguns pontos sobre ela e convide alguns estudantes para que identifiquem arcos de circunferência e ângulos centrais. Este é o momento oportuno para verificar se consolidaram esses conceitos.
Ângulo inscrito
• Na atividade 9, os estudantes devem se lembrar de que a medida da abertura do ângulo central é igual à medida do arco correspondente. No caso do item a, espera-se que eles percebam que a medida do arco que corresponde a 3x é 69 graus, pois 360 graus ‒ 291 graus = 69 graus. No item b, eles vão resolver um equação do 2º grau com uma incógnita e obter dois valores para x (um positivo e outro negativo). Espera-se que eles percebam que o valor negativo não convém, pois x representa uma medida de abertura de ângulo.
• No item b da atividade 10, espera-se que os estudantes percebam que o ângulo cuja abertura mede 38 graus e o ângulo cuja abertura mede x determinam o mesmo arco, por isso x = 38 graus.
• Para determinar x na atividade 11, espera-se que os estudantes resolvam a seguinte equação:
84 graus igual a, abre parênteses, 3x mais 8 graus, fecha parênteses, sobre 2
Faça um esboço da situação na lousa caso perceba que alguns estudantes estão com dificuldades para interpretar o enunciado.
• Para determinar x na atividade 12, espera-se que os estudantes resolvam a seguinte equação:
5x igual a 170 graus sobre
Discuta a atividade com eles, após terminarem.
Glossário
- Arte abstrata
- : arte que não procura elaborar uma representação visual precisa da realidade.
- Voltar para o texto