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Capítulo 9 Polígonos regulares

Trocando ideias

Os mosaicos são composições feitas com peças que se encaixam lado a lado. Eles costumam apresentar um padrão e podem ser encontrados em pisos, calçadas ou paredes.

Fotografia. Mosaico composto por peças hexagonais de cores diferentes, intercaladas.

As peças do mosaico anterior se parecem com hexágonos regulares, ou seja, hexágonos em que todos os lados têm a mesma medida de comprimento e todos os ângulos internos são congruentes. Esse mosaico é um exemplo de mosaico regular, pois suas peças se parecem com um só tipo de polígono regular.

Para a construção de mosaicos com peças que se parecem apenas com um tipo de polígono regular, é preciso que o número que expressa a medida da abertura do ângulo interno desse polígono seja um divisor de 360.

▸

É possível formar um mosaico em que todas as peças sejam iguais e quadradas? E um mosaico em que todas as peças sejam iguais e o formato delas seja de um triângulo equilátero? Por quê?

▸

É possível formar um mosaico em que todas as peças sejam iguais e o formato delas seja de um pentágono regular? Por quê? Converse com os colegas.

Neste capítulo, vamos estudar os polígonos regulares.

Respostas e comentários

Trocando ideias: primeiro item: sim, porque as aberturas dos ângulos internos de um quadrado medem 90graus, as aberturas dos ângulos internos de um triângulo equilátero medem 60graus e 90 e 60 são divisores de 360; segundo item: não, porque as aberturas dos ângulos internos de um pentágono regular medem 108graus e 108 não é divisor de 360.

CAPÍTULO 9 – POLÍGONOS REGULARES

Trocando ideias

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 2 e 9 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 2, 3 e 8 (as descrições estão na página sete).

Objetivos:

• Introduzir o conceito de polígono regular.

• Introduzir os conceitos de mosaico e mosaico regular.

• Verificar os conhecimentos prévios dos estudantes para o cálculo da medida das aberturas dos ângulos internos de um polígono regular.

Apresente alguns exemplos de mosaicos não regulares para a turma e pergunte em que situações cotidianas eles já viram um. Depois, apresente os conceitos e peça que respondam às questões propostas no primeiro item. Espera-se que eles respondam de maneira afirmativa a ambas as questões e que justifiquem usando os conhecimentos prévios que têm sobre as medidas das aberturas dos ângulos internos de quadrados e triângulos equiláteros e sobre divisibilidade. Você pode ampliar a proposta deste item e pedir que representem mosaicos formados por quadrados e por triângulos equiláteros em uma folha de papel.

Figura geométrica. Retângulo verde dividido em 3 fileiras de 4 quadrados congruentes cada. Figura geométrica. Figura amarela composta por 3 fileiras de 7 triângulos equiláteros congruentes cada.

Para responder à questão do segundo item, eles devem determinar a medida das aberturas dos ângulos internos de um pentágono regular. Deixe-os à vontade para utilizar a estratégia que julgarem mais conveniente. Depois de um tempo, oriente-os a decompor o polígono em triângulos. Espera-se que eles consigam concluir que as medidas das aberturas dos ângulos internos de um pentágono regular é 108º. Como 108 não é divisor de 360, eles também devem concluir que não é possível construir um mosaico regular somente com pentágonos regulares. Para exemplificar esta impossibilidade, reproduza a seguinte figura para eles:

Figura geométrica. Três pentágonos unidos a partir do vértice O. Em cada pentágono, um ângulo interno correspondente ao vértice O está em destaque e mede 108 graus. Entre os pentágonos, há uma sobra que mede 36 graus.

As competências gerais 2 e 9 da Bê êne cê cê têm o seu desenvolvimento favorecido, pois as atividades propostas estimulam a curiosidade e o exercício da empatia. As competências específicas 2, 3 e 8 também se desenvolvem por meio das atividades propostas, porque despertam o espírito de investigação, mobilizam conceitos de unidades temáticas diferentes (Geometria e Números) e promovem a interação entre os pares.

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1 Polígonos

Um polígono é uma figura plana, definida por uma linha poligonal, fechada e simples com sua região interna.

Observe este polígono á bê cê dê é.

Figura geométrica. Pentágono ABCDE com as 5 diagonais traçadas. Ângulos internos destacados: A, B, C, D, E. Ângulos externos destacados: A1, B1, C1, D1, E1.

Podemos destacar os seguintes elementos desse polígono:

• lados: segmentos de reta que formam o contorno do polígono;

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D E}

\overline{E A}

• vértices: pontos de encontro de dois lados consecutivos;

A, B, C, D, E

• diagonais: segmentos de reta cujas extremidades são dois vértices não consecutivos;

\overline{A C}

\overline{A D}

\overline{B D}

\overline{B E}

\overline{C E}

• ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos;

\hat{a}

\hat{b}

\hat{c}

\hat{d}

\hat{e}

• ângulos externos: ângulos formados por um lado do polígono e pelo prolongamento do lado consecutivo a ele.

\hat{a_{1}}

\hat{b_{1}}

\hat{c_{1}}

\hat{d_{1}}

\hat{e_{1}}

Ilustração. Mulher de cabelo castanho, vestido amarelo florido. Ela fala: Um ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele são suplementares?

Polígonos inscritos e circunscritos a uma circunferência

Um polígono está inscrito em uma circunferência quando todos os vértices são pontos dessa circunferência. Observe os exemplos.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, quadrilátero ABCD com os vértices pertencentes à circunferência. Cota: quadrilátero inscrito em uma circunferência. Ao lado, figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, hexágono ABCDEF com os vértices pertencentes à circunferência. Cota: quadrilátero inscrito em uma circunferência. Ao lado, figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, triângulo ABC com os vértices pertencentes à circunferência. Ponto O pertence ao lado BC do triângulo. Cota: triângulo inscrito em uma circunferência.

Podemos dizer que os polígonos estão inscritos nas circunferências ou que as circunferências circunscrevem os polígonos.

Respostas e comentários

Balão de fala: sim

Polígonos

Objetivos:

• Recordar o conceito de polígono.

• Reconhecer polígonos inscritos e circunscritos a uma circunferência.

Justificativa

Recordar o conceito de polígono é importante para iniciar, no tópico seguinte, o estudo sobre polígonos regulares. Reconhecer polígonos inscritos e circunscritos a uma circunferência é pertinente, pois todo polígono regular é inscritível e circunscritível a uma circunferência; além disso, triângulos inscritos em uma circunferência que têm um lado coincidente com o diâmetro e quadriláteros inscritos apresentam propriedades específicas que podem auxiliar na resolução de diferentes problemas.

Mapeando conhecimentos

Pergunte aos estudantes: “O que é um polígono?”. Em seguida, peça que representem alguns polígonos no caderno. Depois, represente na lousa polígonos inscritos e circunscritos a uma circunferência e solicite que respondam às seguintes questões: “Como podemos definir polígono inscrito em uma circunferência? E polígono circunscrito?”. Registre as respostas dos estudantes na lousa.

Para as aulas iniciais

Analise com a turma todas as respostas registradas na dinâmica inicial e tentem chegar a um consenso de qual seria a definição mais adequada para polígonos inscritos e circunscritos a uma circunferência. Depois, se possível, leve-os para a sala de informática da escola (se houver uma) e oriente-os a realizar a seguinte tarefa investigativa no GeoGebra:

1º) construam circunferências com diferentes medidas de comprimento de raio;

2º) tracem um diâmetro de cada circunferência construída;

3º) construam um triângulo inscrito em cada uma dessas circunferências de modo que os vértices sejam um ponto qualquer da circunferência e as extremidades do diâmetro;

4º) utilizem as ferramentas do GeoGebra e classifiquem o triângulo construído quanto à medida das aberturas dos ângulos internos.

Espera-se que eles percebam que os triângulos inscritos construídos são triângulos retângulos.

Você também pode orientá-los a investigar a propriedade de que os ângulos opostos de um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência são suplementares.

Neste tópico, relembramos a definição de polígono e destacamos seus elementos. Se considerar adequado, desenhe diferentes polígonos na lousa e solicite a diferentes estudantes que identifiquem alguns elementos desses polígonos. Essa atividade permitirá a verificação de eventuais dificuldades e dúvidas que ainda possam surgir em relação a esse assunto.

Polígonos inscritos e circunscritos a uma circunferência

Após apresentar os conceitos, peça aos estudantes que representem, no caderno, polígonos inscritos e circunscritos a uma circunferência. Depois, peça que compartilhem suas representações com um colega. Caso seja possível, você também pode propor que estas representações sejam feitas no GeoGebra.

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Um polígono está circunscrito a uma circunferência quando todos os lados são tangentes à circunferência. Analise os exemplos.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Fora, quadrilátero ABCD com os lados tangentes à circunferência. Cota: quadrilátero circunscrito a uma circunferência. Ao lado, figura geométrica. Circunferência de centro O. Fora, hexágono ABCDEF com os lados tangentes à circunferência. Cota: hexágono circunscrito a uma circunferência. Ao lado, figura geométrica. Circunferência de centro O. Fora, triângulo ABC com os lados tangentes à circunferência. Cota: triângulo circunscrito a uma circunferência.

Nesse caso, podemos dizer que os polígonos estão circunscritos às circunferências ou que as circunferências estão inscritas nos polígonos.

Temos as seguintes propriedades para alguns polígonos inscritos em uma circunferência:

1ª propriedade

Todo triângulo inscrito em uma circunferência que tem um lado coincidente com o diâmetro da circunferência é retângulo.

Dado um triânguloá bê cê qualquer inscrito em uma circunferência, como o da figura, em que

\overline{B C}

é o lado do triânguloá bê cê que coincide com o diâmetro da circunferência, temos:

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, triângulo ABC inscrito à circunferência. Ponto O pertence ao lado BC do triângulo. Símbolo. Segmento de reta BC.

m e d (\hat{A}) = \frac{med (B \hat{O} C)}{2} = \frac{180 °}{2} = 90 °

Assim:

m e d (\hat{A}) = 90 °

Portanto, o triânguloá bê cê é retângulo.

2ª propriedade

Os ângulos opostos de um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência são suplementares.

Dado um quadrilátero convexo a bê cê dê qualquer inscrito em uma circunferência, conforme indicado na figura, temos:

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, quadrilátero convexo ABCD inscrito à circunferência. Os vértices B e D estão ligados ao ponto O, formando 2 quadriláteros: ABOD e BCDO. O arco BAD mede alfa. O arco BCD mede beta. Esquema. Ângulo A e ângulo C. Ângulo B e ângulo D. Chave nesses ângulos com a indicação: pares de ângulos opostos.

m e d (\hat{A}) = \frac{med (\overset{⏜}{B C D})}{2} = \frac{β}{2} e m e d (\hat{C}) = \frac{med (\overset{⏜}{B A D})}{2} = \frac{α}{2}

m e d (\hat{A}) + m e d (\hat{C}) = \frac{β}{2} + \frac{α}{2} = \frac{360 °}{2} = 180 °

Por analogia:

m e d (\hat{B}) + m e d (\hat{D}) = 180 °

Logo:

m e d (\hat{A}) + m e d (\hat{C}) = m e d (\hat{B}) + m e d (\hat{D}) = 180 °

Respostas e comentários

Sugestão de atividade extra

Proponha aos estudantes que obtenham um modelo de hexágono regular, por meio de dobraduras, a partir de uma folha de papel de formato circular, conforme indica a sequência de figuras seguintes.

Ilustração. Círculo. Ilustração. Círculo dividido horizontal e verticalmente passando pelo centro, formandos 4 setores circulares congruentes. Ilustração. A partir da figura anterior, os lados esquerdo e direito são dobrados para dentro encostando as pontas do círculo no centro. Ilustração. A partir da figura anterior, os lados de cima e de baixo são dobrados para dentro encostando as pontas do círculo com as partes dobradas na figura anterior. Ilustração. A partir da figura anterior, mantendo-se as pontas do círculo encostadas no centro, os lados esquerdo e direito dobrados para dentro são dobrados diagonalmente em 4 partes para fora. Ilustração. A partir da figura anterior, são desfeitas as dobras verticais e as dobras feitas para fora na figura anterior são desfeitas e feitas para dentro, obtendo uma figura com contorno de hexágono. Ilustração. Hexágono correspondente ao verso da folha.

As propriedades apresentadas nesta página favorecem o desenvolvimento de diferentes tipos de raciocínio lógico-matemático como a dedução e a analogia.

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Atividades

Faça as atividades no caderno.

1. Identifique os itens que apresentam um polígono inscrito em uma circunferência.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, pentágono com 4 vértices pertencentes à circunferência e 1 vértice interno a ela.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, quadrilátero com 4 vértices pertencentes à circunferência.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Quase totalmente dentro, quadrilátero com 3 vértices pertencentes à circunferência e 1 vértice externo a ela.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, triângulo com 3 vértices pertencentes à circunferência.

2. Identifique os itens que apresentam um polígono circunscrito à circunferência.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Fora, quadrado com 4 lados tangentes à circunferência.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Fora, trapézio com 4 lados tangentes à circunferência.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Quase totalmente fora, quadrilátero com 2 lados tangentes à circunferência.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Quase totalmente fora, pentágono com 3 lados tangentes à circunferência.

3. Sabendo que O é o centro das circunferências, determine o valor de x nas figuras.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, triângulo ABC inscrito à circunferência. Ponto O pertence ao lado BC do triângulo. O vértice A está ligado ao ponto O, formando 2 triângulos: ABO e AOC. O ângulo ABO mede 38 graus e o ângulo CAO mede X.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, triângulo ABC inscrito à circunferência. Ponto O pertence ao lado BC do triângulo. O lado AB mede 6, o lado AC mede X e a distância de C até O mede 2 raiz de 34.

4. Determine as medidas x e y das aberturas dos ângulos nas figuras.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, quadrilátero convexo inscrito à circunferência. As medidas dos 4 ângulos internos do quadrilátero são dadas: X, Y, 140 graus e 100 graus. O ângulo que mede X é oposto ao que mede 140 graus e o ângulo que mede Y é oposto ao que mede 100 graus.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, quadrilátero convexo inscrito à circunferência. As medidas de 2 ângulos internos do quadrilátero são dadas: 110 graus e X. Esses ângulos são opostos. É dado um ângulo externo ao quadrilátero correspondente ao ângulo interno que mede X. Esse ângulo externo mede Y.

Reúna-se com um colega, observem o quadrilátero a bê cê dê circunscrito a uma circunferência e façam no caderno o que se pede. Considere que x, y, z e w são as medidas de comprimento dos segmentos de reta com uma extremidade no vértice do quadrilátero e a outra extremidade no ponto de tangência do quadrilátero com a circunferência.

Considere que x, y, z e w são as medidas de comprimento dos segmentos de reta com uma extremidade no vértice do quadrilátero e a outra extremidade no ponto de tangência do quadrilátero com a circunferência.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Fora, quadrilátero ABCD circunscrito à circunferência. No lado AB, a distância de A até a intersecção desse lado com a circunferência mede X e a distância de B até essa intersecção mede Y. No lado BC, a distância de B até a intersecção desse lado com a circunferência mede Y e a distância de C até essa intersecção mede Z. No lado CD, a distância de C até a intersecção desse lado com a circunferência mede Z e a distância de D até essa intersecção mede W. No lado DA, a distância de D até a intersecção desse lado com a circunferência mede W e a distância de A até essa intersecção mede X.

a) Escrevam as medidas de comprimento de

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D A}

b) Escrevam a soma das medidas de comprimento de

\overline{A B}

\overline{C D}

c) Escrevam a soma das medidas de comprimento de

\overline{B C}

\overline{D A}

d) O que vocês podem concluir sobre as somas das medidas de comprimento dos lados opostos de um quadrilátero circunscritível?

6. O quadrilátero a bê cê dê está circunscrito a uma circunferência. Determine a medida de comprimento p e a medida de perímetro desse quadrilátero.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Fora, quadrilátero ABCD circunscrito à circunferência. O lado AB mede P mais 1 centímetro, o lado BC mede P, o lado CD mede P mais 3 centímetros e o lado AD mede 2P.

Respostas e comentários

1. itens b, d

2. itens a, b

3. a) x = 52graus

3. b)

x = 2 \sqrt{127}

4. a) x = 40graus; y = 80graus

4. b) x = 70graus; y = 110graus

5. a) respectivamente x + y, y + z, z + w, w + x

5. b) x + y + z + w

5. c) y + z + w + x

5. d) As somas das medidas de comprimento dos lados opostos são iguais.

6. p = 4 centímetros; medida de perímetro: 24 centímetros

• Na atividade 5, os estudantes devem relembrar a seguinte propriedade: a soma das medidas dos comprimentos de dois lados opostos de um quadrilátero circunscritível a uma circunferência é igual à soma das medidas dos comprimentos dos outros dois. Caso considere necessário, relembre com eles a demonstração que foi apresentada na página 221 deste volume.

• Para determinar a medida de comprimento p na atividade 6, os estudantes deverão considerar o que observaram na atividade 5. Desse modo, temos:

(p + 1 centímetro) + (p + 3 centímetros) = 2p + p

2p + 4 centímetros = 3p

p = 4 centímetros

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2 Polígonos regulares

Um polígono regular é o polígono em que todos os lados têm a mesma medida de comprimento e todos os ângulos internos são congruentes, ou seja, quando o polígono é equiângulo e equilátero.

Observe o hexágono á bê cê dê é éfe.

Figura geométrica. Hexágono ABCDEF de lados e ângulos congruentes.

Esse polígono é regular, pois tem todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes, ou seja:

\overline{A B} ≅ \overline{B C} ≅ \overline{C D} ≅ \overline{D E} ≅ \overline{E F} ≅ \overline{F A}

\hat{A} ≅ \hat{B} ≅ \hat{C} ≅ \hat{D} ≅ \hat{E} ≅ \hat{F}

Observações

1. Os ângulos de um retângulo são todos congruentes, mas não podemos afirmar que seus lados são sempre congruentes. Logo, o retângulo é um polígono regular quando também for um quadrado.

Figura geométrica. Retângulo ABCD de lados paralelos congruentes 2 a 2 e ângulos retos. Cota: retângulo. Ao lado, figura geométrica. Quadrado ABCD de lados congruentes e ângulos retos. Cota: quadrado (quadrilátero regular).

2. Os lados de um losango são todos congruentes, mas não podemos afirmar que seus ângulos são sempre congruentes. Logo, o losango é um polígono regular quando também for um quadrado.

Figura geométrica. Losango ABCD de lados congruentes. Cota: losango. Ao lado, figura geométrica. Quadrado ABCD de lados congruentes e ângulos retos. Cota: quadrado (quadrilátero regular).

Propriedades dos polígonos regulares

1ª propriedade

Todo polígono regular é inscritível em uma circunferência.

Para inscrever um polígono regular de n lados (n > 2) em uma circunferência, basta dividi‑la em n arcos congruentes e traçar todos os segmentos de reta que tenham como extremidades dois pontos consecutivos obtidos nessa divisão, determinando, assim, os lados do polígono.

Respostas e comentários

Polígonos regulares

Bê êne cê cê:

ê éfe zero nove ême ah um cinco.

Objetivos:

• Compreender o conceito de polígono regular.

• Construir polígonos regulares com régua e compasso.

Justificativa

A compreensão do conceito de polígono regular é importante, pois possibilita aos estudantes mobilizar o conceito de polígono e o reconhecimento de segmentos de reta e ângulos congruentes. Além disso, essa compreensão auxilia a interpretar, do ponto de vista matemático, alguns mosaicos presentes no cotidiano.

A construção de polígonos regulares com régua e compasso, por sua vez, permite aos estudantes colocar em prática o fato de que todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência, o reconhecimento de circunferência secantes e o conceito de mediatriz. Construir esses polígonos também favorece o desenvolvimento da habilidade ê éfe zero nove ême ah um cinco.

Mapeando conhecimentos

Pergunte aos estudantes: “O que é um polígono regular?”. Em seguida, peça que representem em uma folha de papel alguns polígonos regulares utilizando estratégias pessoais.

Depois, reproduza as atividades 22 a 25 da seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores na lousa e peça aos estudantes que façam em duplas. Essas atividades permitem mapear os conhecimentos previamente adquiridos sobre as medidas das aberturas dos ângulos internos, externos e central de polígonos regulares.

Para as aulas iniciais

Defina polígonos regulares para os estudantes e peça que verifiquem se os polígonos representados por um colega são ou não regulares. Depois, faça a leitura coletiva das revisões sobre medidas das aberturas do ângulo interno e do ângulo externo de um polígono regular e também sobre o ângulo central, presentes na seção Revisão dos conteúdos de anos anteriores. Por fim, explore as atividades 22 a 25 com a turma e esclareça as dúvidas remanescentes.

Relembre aos estudantes que, quando marcamos os ângulos ou os lados de um polígono com a mesma quantidade de tracinhos, queremos dizer que eles têm a mesma medida.

Propriedades dos polígonos regulares

Se possível, solicite aos estudantes que verifiquem as propriedades dos polígonos regulares utilizando o GeoGebra.

(ê éfe zero nove ême ah um cinco) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.

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Considere os exemplos.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, triângulo ABC com os vértices pertencentes à circunferência e os lados congruentes. Cota: triângulo regular inscrito em uma circunferência. Ao lado, figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, quadrilátero ABCD com os vértices pertencentes à circunferência e os lados congruentes. Cota: quadrilátero regular inscrito em uma circunferência. Ao lado, figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, hexágono ABCDEF com os vértices pertencentes à circunferência e os lados congruentes.

2ª propriedade

Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência.

Para circunscrever um polígono regular de n lados (n > 2) a uma circunferência, basta dividi‑la em n arcos congruentes e traçar as tangentes nos pontos de divisão.

Confira os exemplos.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Fora, triângulo ABC com os lados congruentes e tangentes à circunferência. Cota: triângulo regular circunscrito à circunferência. Ao lado, figura geométrica. Circunferência de centro O. Fora, quadrilátero ABCD com os lados congruentes e tangentes à circunferência. Cota: quadrilátero regular circunscrito à circunferência. Ao lado, figura geométrica. Circunferência de centro O. Fora, hexágono ABCDEF com os lados congruentes e tangentes à circunferência. Cota: hexágono regular circunscrito à circunferência.

Elementos de um polígono regular

Vamos identificar os elementos de um polígono regular. Analise a figura.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, hexágono ABCDEF inscrito à circunferência. No vértice A, ângulo interno AI e externo, AE. Os segmentos de reta OC, OD e OE medem R. Ângulo COD corresponde a um ângulo central AC. M é ponto médio do lado ED. Segmento de reta OM, perpendicular a ED, mede A.

• O ponto óh é o centro do polígono e corresponde ao centro da circunferência circunscrita ao polígono.

• O raio da circunferência circunscrita (de medida de comprimento r ) é o raio do polígono:

\overline{O C}

\overline{O D}

\overline{O E}

• O segmento de reta cujas extremidades são o centro e o ponto médio de qualquer lado do polígono é um apótema do polígono:

\overline{O M}

, sendo M o ponto médio de

\overline{D E}

e OM = a.

• O ângulo que tem o vértice no centro e cujos lados contêm vértices consecutivos do polígono é um ângulo central

({\hat{a_{c}}}_{})

C \hat{O} D

D \hat{O} E

B \hat{O} C

A \hat{O} B

A \hat{O} F

F \hat{O} E

• O ângulo formado por dois lados consecutivos do polígono é um ângulo interno

(\hat{a_{i}})

• O ângulo externo

(\hat{a_{e}})

é o suplemento do ângulo interno correspondente, ou seja: ai + ae = 180graus.

Respostas e comentários

Elementos de um polígono regular

Chame a atenção dos estudantes para o fato de que a medida do comprimento do apótema corresponde à medida do comprimento do raio da circunferência inscrita no polígono regular correspondente.

Ressalte aos estudantes que o centro de uma circunferência inscrita também coincide com o centro do polígono regular.

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Vamos relembrar como determinar as medidas das aberturas dos ângulos central, interno e externo de um polígono regular.

• Ângulo central

A soma das medidas das aberturas dos ângulos centrais de um polígono regular é 360graus, ou seja, corresponde a uma volta completa. Logo, em um polígono regular de n lados, a medida da abertura do ângulo central é:

a_{c} = \frac{360 °}{n}

Figura geométrica. Hexágono ABCDEF com centro O. Segmentos de reta ligando O a cada vértice do hexágono dividem o polígono em 6 triângulos. Ângulo COD destacado com indicação: AC igual a 60 graus.

No hexágono á bê cê dê é éfe, a abertura do ângulo central mede 60graus, pois:

a_{c} = \frac{360 °}{6} = 60 °

• Ângulo interno

A partir de um único vértice, podemos decompor um polígono em triângulos e verificar que o número de triângulos é duas unidades menor que o número de lados. Como a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um triângulo é 180graus, podemos afirmar que a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos (Si ) de um polígono de n lados corresponde a:

ésse minúsculoi = (n ‒ 2) · 180graus

Assim, em um polígono regular de n lados, a medida da abertura do ângulo interno é:

a_{i} = \frac{(n - 2) \cdot 180 °}{n}

Figura geométrica. Hexágono ABCDEF dividido em 4 triângulos numerados. 1: triângulo CDE. 2: triângulo CBE. 3: triângulo ABE. 4: triângulo AEF.

No hexágono á bê cê dê é éfe, a abertura do ângulo interno mede 120graus, pois:

a_{i} = \frac{(6 - 2) \cdot 180 °}{6} = 120 °

• Ângulo externo

Como em um polígono o ângulo externo e o ângulo interno são suplementares, temos:

• a + a 1 = 180graus

• b + b 1 = 180graus

• c + c 1 = 180graus

• d + d 1 = 180graus

• e + e 1 = 180graus

• f + f 1 = 180graus

Calculando a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos e externos, temos:

Esquema. A mais B mais C mais D mais E mais F mais A1 mais B1 mais C1 mais D1 mais E1 mais F1 igual a 6 vezes 180 graus. Fio em A mais B mais C mais D mais E mais F com a indicação: soma das medidas das aberturas dos ângulos internos (SI). Fio em A1 mais B1 mais C1 mais D1 mais E1 mais F1 com a indicação: soma das medidas das aberturas dos ângulos externos (SE). Fio em 6 com a indicação: número de lados do polígono regular (N).

Então, em um polígono regular de n lados:

Si + Se = n ⋅ 180graus ⇒ (n ‒ 2) ⋅ 180graus + Se = n ⋅ 180° ⇒

⇒ n ⋅ 180graus ‒ 360graus + Se = n ⋅ 180graus ⇒ Se = 360°

Assim, em um polígono regular de n lados, a medida da abertura do ângulo externo é:

a_{e} = \frac{360 °}{n}

Figura geométrica. Hexágono ABCDEF. Medidas dos ângulos internos: A, B, C, D, E, F. Medidas dos ângulos externos: A1, B1, C1, D1, E1, F1.

No hexágono á bê cê dê é éfe, a abertura do ângulo externo mede 60graus, pois:

a_{e} = \frac{360 °}{6} = 60 °

Respostas e comentários

Se tiver oportunidade, antes de trabalhar a determinação da medida da abertura do ângulo central e a dos ângulos internos e externos de um polígono regular a partir do número de lados, proponha aos estudantes que construam alguns polígonos regulares em um software de Geometria dinâmica, meçam as aberturas dos ângulos central, internos e externos e investiguem a relação existente entre essas medidas e o número de lados do polígono.

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Construção de polígonos regulares com régua e compasso

Podemos construir alguns polígonos regulares a partir do seu ângulo central, como a construção de um triângulo equilátero.

Construção de um triângulo equilátero

1º) Traçamos uma circunferência qualquer e construímos um ângulo central de medida de abertura de 120°, marcando, na circunferência, os pontos A e B.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Duas marcações de arcos nos pontos A e B da circunferência. Dois segmentos de reta AO e BO.

2º) Construímos outro ângulo central de mesma medida de abertura, adjacente ao primeiro, ao redor da circunferência, marcando o ponto C.

Figura geométrica. Figura anterior com marcação de arco no ponto C da circunferência e segmento de reta CO.

3º) Unimos os pontos a, B e C com segmentos de reta e obtemos o triânguloá bê cê.

Figura geométrica. Figura anterior com representação do triângulo ABC inscrito à circunferência.

Note que, nessa construção, o polígono obtido está inscrito em uma circunferência.

Podemos construir outros polígonos regulares a partir do ângulo central, mas também podemos construir polígonos regulares a partir de um de seus lados.

Acompanhe, a seguir, a construção de um quadrado a partir de um de seus lados.

Construção de um quadrado

A partir do segmento de reta

\overline{A B}

dado, vamos construir um quadrado considerando esse segmento de reta como um de seus lados.

1º) Construímos uma reta perpendicular ao segmento de reta

\overline{A B}

, passando por B, e, com o auxílio de um compasso, transportamos a medida de comprimento de

\overline{A B}

para a reta perpendicular, marcando o ponto C.

Figura geométrica. Segmento de reta AB. Reta BC perpendicular a AB. Marcação de arco no ponto C, de modo que BC igual a AB. — 2º) Construímos as mediatrizes de

2º) Construímos as mediatrizes de

\overline{A B}

\overline{B C}

e marcamos na intersecção das duas retas o ponto O.

Figura geométrica. Figura anterior com marcações de arcos e construção de mediatrizes do segmentos de reta AB e BC. Na intersecção das mediatrizes, ponto O.

Respostas e comentários

Construção de polígonos regulares com régua e compasso

Antes de iniciar as construções, alerte os estudantes a tomar os devidos cuidados com o manuseio do compasso a fim de evitar acidentes.

Para construir um ângulo cuja abertura mede 120graus, é possível seguir os passos seguintes:

• Trace uma reta r qualquer e determine um ponto a nessa reta.

Figura geométrica. Reta r com ponto A à esquerda.

• Com a ponta-seca do compasso centrada em a, trace um arco que intersecte a reta r. Vamos indicar por B o ponto de intersecção.

Figura geométrica. Figura anterior com ponto B à direita de A. Arco passando por B e indo para a esquerda, acima de A.

• Com a mesma abertura no compasso, centre a ponta-seca no ponto B e trace um novo arco que cruze o arco já representado. Vamos indicar por C esse ponto de intersecção. Traçamos a semirreta

\overline{A C}

. Dessa fórma, obtemos o ângulo

B \hat{A} C

de medida de abertura igual a 60graus.

Figura geométrica. Figura anterior com marcação de arco no ponto C do arco inicial. Semirreta AC que forma ângulo de 60 graus com semirreta AB.

• Mantendo a mesma abertura no compasso, centre a ponta-seca em C e trace um novo arco que cruze o arco inicial em um novo ponto que indicaremos por D.

Figura geométrica. Figura anterior com marcação de arco no ponto D do arco inicial, de modo que o arco CD tenha a mesma medida do arco BC.

• Por fim, trace uma reta que passe pelos pontos a e D, obtendo o ângulo

B \hat{A} D

cuja abertura mede 120graus.

Figura geométrica. Figura anterior com semirreta AD que forma ângulo de 60 graus com semirreta AC.

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3º) Construímos uma circunferência de centro em O e raio

\overline{A O}

e, a partir do ponto C, transportamos a medida de comprimento do lado do quadrado, marcando o ponto D.

Figura geométrica. Figura anterior com representação da circunferência de centro O e raio AO. Marcação de arco no ponto D da circunferência, de modo que DC igual a BC ou AB.

4º) Traçamos os segmentos de reta

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{A D}

determinando, assim, o quadrado ABCD.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, quadrado ABCD inscrito à circunferência.

Observe que o quadrado construído está inscrito em uma circunferência de centro óh, obtido a partir do encontro das mediatrizes de dois lados do polígono.

Observação

O encontro das mediatrizes dos lados de um polígono é o circuncentro do polígono, centro da circunferência circunscrita a ele.

Construção de um polígono regular de en lados

Analise os passos descritos no esquema para construir polígonos regulares a partir de um lado conhecido.

Fluxograma. Na vertical, o fluxograma começa com o quadro: Número de lados do polígono (N, com N maior que 2); Um lado do polígono. Seta para baixo indicando o quadro: Determinar a medida da abertura de um ângulo interno (ou externo) do polígono e construir esse ângulo em uma das extremidades do lado fornecido. Seta para baixo indicando o quadro: Transportar a medida de comprimento do lado fornecido para o lado do ângulo interno (ou externo) construído. Seta para baixo indicando o quadro: Determinar o circuncentro do polígono, construindo as mediatrizes dos dois lados já construídos. Seta para baixo indicando o quadro: Construir a circunferência circunscrita ao polígono. Seta para baixo indicando o quadro: Na circunferência circunscrita, marcar os outros vértices do polígono. Seta para baixo indicando o quadro: Polígono regular com N lados (N maior que 2). Ilustração. Menina de cabelo comprido, camiseta azul e saia amarela. Ela fala: Caso não consiga construir o ângulo interno (ou externo) com régua e compasso, use o transferidor para auxiliar a construção.

Respostas e comentários

Peça aos estudantes que construam, no caderno, um quadrado com o auxílio de régua e compasso. Aproveite esse momento para verificar se eles têm dificuldade no manuseio do compasso e auxilie-os quando necessário. Oriente-os a tomar os devidos cuidados ao manusear o compasso.

Após construírem o quadrado, peça que verifiquem com uma régua que as medidas dos comprimentos dos lados são iguais e, com um transferidor, que a medida de abertura de cada ângulo interno é igual a 90graus.

Peça que construam um polígono regular utilizando o algoritmo fornecido. Caso tenham dificuldade, relembre-os de como se constroem alguns ângulos utilizando apenas régua e compasso.

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Observação

Desenhar um polígono regular com régua e compasso significa obtê-lo com o auxílio de intersecções feitas por segmentos de reta e circunferências desenhados com esses instrumentos.

O matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) provou que nem todo polígono regular póde ser desenhado com régua e compasso, como é o caso do heptágono regular. O que podemos obter é uma boa aproximação para esse polígono, que póde ser utilizada dependendo do objetivo. Observe uma aproximação dessa construção.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, heptágono ABCDEFG inscrito à circunferência. Abaixo, circunferência de centro B que passa por A, C e X, de modo que a semirreta AX é horizontal e passa por B. Arco de circunferência de centro A que passa por X e Y, de modo que a semirreta BY é vertical e perpendicular à semirreta AX. Na semirreta BY, há um ponto Z tal que a semirreta AZ é bissetriz do ângulo XAY.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

Cuidado! Evite acidentes ao usar o compasso nas atividades 8 e 15.

7. Quais das afirmações são verdadeiras?

a) Todo polígono regular é inscritível e circunscritível a uma circunferência.

b) Denomina‑se equiângulo um polígono que tem todos os ângulos congruentes.

c) O retângulo é um polígono regular.

d) Denomina‑se equilátero um polígono que tem todos os lados congruentes.

8. Desenhe, em seu caderno, um polígono regular qualquer, identificando:

a) o centro do polígono;

b) um ângulo central;

c) um raio;

d) um ângulo interno;

e) um apótema;

f) um ângulo externo.

9. Calcule as medidas das aberturas do ângulo central, do ângulo interno e do ângulo externo do decágono regular.

Figura geométrica. Circunferência. Dentro, decágono inscrito à circunferência, ambos de mesmo centro. Com destaque, a medida AC de um ângulo central, a medida AI de um ângulo interno e a medida AE de um ângulo externo.

10. Calcule as medidas das aberturas do ângulo central, do ângulo interno e do ângulo externo do:

a) triângulo equilátero;

b) quadrado;

c) hexágono regular.

11. Determine o polígono regular cujas aberturas dos ângulos centrais medem:

a) 36graus;

b) 40graus;

c) 60graus;

d) 90graus;

e) 120graus.

12. Quantos lados tem um polígono regular cujas aberturas dos ângulos externos medem 24graus?

13. A abertura do ângulo interno de um polígono regular mede 135graus. Quanto mede a abertura do ângulo externo? Qual é esse polígono?

14. A soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um polígono regular é .1440graus. Quanto mede a abertura do ângulo externo desse polígono?

15. Trace um segmento de reta medindo 3 centímetros de comprimento e, a partir dele, desenhe um triângulo equilátero.

Respostas e comentários

7. alternativas a, b, d

8. Exemplo de resposta em Orientações.

9. ac = 36graus; ai = 144graus; ae = 36graus

10. a) ac = 120graus; ai = 60graus; ae = 120graus

10. b) ac = 90graus; ai = 90graus; ae = 90graus

10. c) ac = 60graus; ai = 120graus; ae = 60graus

11. a) decágono

11. b) eneágono

11. c) hexágono

11. d) quadrado

11. e) triângulo equilátero

12. 15 lados

13. ae = 45graus; octógono

14. 36graus

15. Exemplo de resposta em Orientações.

• Após a realização da atividade 8, solicite aos estudantes que compartilhem o polígono regular representado com um colega, para que ambos possam conferir se os elementos identificados estão corretos.

Exemplo de resposta da atividade 8:

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, pentágono inscrito à circunferência. Dois segmentos de reta de medida R ligam O a vértices consecutivos do pentágono. Um segmento de reta de medida A liga O ao ponto médio do lado formado pelos vértices consecutivos anteriores. Em um ângulo interno está a indicação: alfa igual a 108 graus. Em um ângulo externo está a indicação: beta igual a 72 graus. Em um ângulo central está a indicação: gama igual a 72 graus.

• Na atividade 15, verifique se os estudantes lembram da soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um triângulo e, também, que cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede 60graus de abertura. Se julgar necessário, retome a construção do ângulo de 120graus, pois ela foi feita com base na construção do ângulo de 60graus.

• Exemplo de resposta da atividade 15:

Figura geométrica. Triângulo ABC com lados que medem 3 centímetros. Dois arcos traçados que passam por C e o raio mede 3 centímetros: um com centro em A e outro com centro em B.

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16.

A figura mostra um bloco de comandos realizado no TucaProg (software de programação visual).

Ilustração. Comandos. Cor verde: repita 8 vezes. Passos. Cor laranja: voar 3 unidades de distância. Abaixo, cor vermelha: virar no sentido horário 45 graus.

Observe os comandos e responda às questões.

a) Esse bloco de comandos dá origem a qual polígono regular?

b) Em um polígono regular temos o ângulo central, o ângulo interno e o ângulo externo. Qual deles está representado no comando “Virar no sentido horário 45graus”?

c) Utilize o TucaProg para construir um tetracoságono regular (polígono com 24 lados).

3 Relações métricas nos polígonos regulares

Vamos estudar as relações entre as medidas de comprimento do lado, do apótema de um polígono regular e do raio da circunferência em que o polígono está inscrito.

Triângulo equilátero inscrito em uma circunferência

No triânguloá bê cê, temos:

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, triângulo equilátero ABC inscrito à circunferência. Lado AB mede T. Segmento de reta OB mede R. M é ponto médio do lado BC. Segmento de reta OM, perpendicular a BC, mede P. Ângulos BOM e COM medem 60 graus cada.

• t : medida de comprimento do lado do triângulo á bê cê;

• p : medida de comprimento do apótema do triângulo á bê cê (ó ême );

• r : medida de comprimento do raio da circunferência circunscrita ao triângulo á bê cê;

Esquema. AC igual a fração 360 graus sobre 3 igual a 120 graus. Fio em AC com a indicação: medida da abertura do angulo central BOC.

Agora, considerando o triângulo ô ême bê, determinamos as relações:

Figura geométrica. Triângulo OMB com ângulo reto em M. BOM mede 60 graus. Lado OB mede R, lado OM mede P e lado BM mede fração T sobre 2.

Sentença matemática. Seno de 60 graus igual a fração, numerador fração T sobre 2, denominador R, implica que fração raiz de 3 sobre 2 igual a fração T sobre 2R implica que, abre quadro, T igual a R raiz de 3, fecha quadro. Abaixo. Sentença matemática. Cosseno de 60 graus igual a fração P sobre R implica que fração 1 sobre 2 igual a fração P sobre R implica que, abre quadro, P igual a fração R sobre 2, fecha quadro.

Respostas e comentários

16. a) octógono regular

16. b) ângulo externo

16. c) Comentário em Orientações.

• No item c da atividade 16, caso os estudantes não tenham acesso ao software indicado, pergunte quais seriam os comandos necessários para a construção do polígono regular. Desse modo, eles devem indicar que o processo precisa ser repetido 24 vezes, e que a medida da distância pode variar, mas o giro deve ser de 15graus no sentido horário.

Relações métricas nos polígonos regulares

Objetivo:

Compreender as relações métricas nos polígonos regulares.

Justificativa

Compreender as relações métricas nos polígonos regulares é importante, uma vez que permite resolver diversos problemas e mobilizar conceitos como o de polígonos regulares inscritos e circunscritos a uma circunferência, semelhança de figuras e o de razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Mapeando conhecimentos

Crie um circuito de estações dentro da sala de aula. Cada uma das estações deve propor uma atividade diferente sobre relações métricas nos polígonos regulares.

Cada grupo vai começar em uma estação diferente e circular a partir dela. A ideia é que os grupos cumpram as tarefas isoladamente. Se a turma estiver organizada em 4 grupos, você poderá propor as seguintes estações:

Estação 1: Analisar a figura de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência.

Estação 2: Analisar a figura de um quadrado inscrito em uma circunferência.

Estação 3: Analisar a figura de um hexágono regular inscrito em uma circunferência.

Nas estações 1, 2 e 3 os grupos deverão encontrar a relação entre a medida do comprimento do lado do polígono inscrito e a medida do comprimento do raio e, também, a relação entre a medida do comprimento do apótema e a medida do comprimento do raio.

Estação 4: Analisar a figura de uma circunferência e um hexágono regular inscrito e outro circunscrito a ela. Depois, encontrar a relação entre as medidas dos comprimentos dos lados dos dois hexágonos e dos apótemas de cada um.

Em cada estação, incentive os grupos a trocar ideias, estabelecer conjecturas e argumentar com base no que já estudaram.

Para as aulas iniciais

Converse com a turma sobre como procederam para realizar as tarefas propostas em cada estação e as dificuldades apresentadas. Depois, faça um resumo no quadro das relações métricas que conseguiram deduzir. Caso ache pertinente, proponha que verifiquem a validade dessas relações utilizando o GeoGebra.

Triângulo equilátero inscrito em uma circunferência

Proponha aos estudantes que representem, em uma folha de papel, um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência e verifiquem a validade das relações métricas estudadas com o auxílio de uma régua. Oriente-os a tomar os devidos cuidados ao manusear o compasso.

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Quadrado inscrito em uma circunferência

No quadrado a bê cê dê, temos:

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, quadrado ABCD inscrito à circunferência. Lado BC mede q. Segmento de reta OC mede R. M é ponto médio do lado DC. Segmento de reta OM, perpendicular a DC, mede P. Ângulos COM e DOM medem 45 graus cada.

• q : medida de comprimento do lado do quadrado a bê cê dê;

• p : medida de comprimento do apótema do quadrado a bê cê dê (ó ême);

• r : medida de comprimento do raio da circunferência circunscrita ao quadrado a bê cê dê;

Esquema. AC igual a fração 360 graus sobre 4 igual a 90 graus. Fio em AC com a indicação: medida da abertura do angulo central COD.

Agora, considerando o triângulo ó ême cê , determinamos as relações:

Figura geométrica. Triângulo OMC com ângulo reto em M. COM mede 45 graus. Lado OC mede R, lado OM mede P e lado CM mede fração Q sobre 2.

Sentença matemática. Seno de 45 graus igual a fração, numerador fração Q sobre 2, denominador R, implica que fração raiz de 2 sobre 2 igual a fração Q sobre 2R implica que, abre quadro, Q igual a R raiz de 2, fecha quadro. Abaixo. Sentença matemática. Cosseno de 45 graus igual a fração P sobre R implica que fração raiz de 2 sobre 2 igual a fração P sobre R implica que, abre quadro, P igual a fração, numerador R raiz de 2, denominador 2, fecha quadro.

Ilustração. Mulher de cabelo castanho, regata verde e bermuda azul. Ela fala: Qual é a relação entre P e Q?

Hexágono regular inscrito em uma circunferência

No hexágono á bê cê dê é éfe, temos:

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, hexágono regular ABCDEF inscrito à circunferência. Lado CD mede H. Segmento de reta OD mede R. M é ponto médio do lado DE. Segmento de reta OM, perpendicular a DE, mede P. Ângulos DOM e EOM medem 30 graus cada.

• h : medida de comprimento do lado do hexágono;

• p : medida de comprimento do apótema do hexágono;

• r : medida de comprimento do raio da circunferência circunscrita ao hexágono;

Esquema. AC igual a fração 360 graus sobre 6 igual a 60 graus. Fio em AC com a indicação: medida da abertura do ângulo central DOE.

Considerando o triângulo ó ême dê, determinamos as relações:

Figura geométrica. Triângulo OMD com ângulo reto em M. DOM mede 30 graus. Lado OD mede R, lado OM mede P e lado DM mede fração H sobre 2.

Sentença matemática. Seno de 30 graus igual a fração, numerador fração H sobre 2, denominador R, implica que fração 1 sobre 2 igual a fração H sobre 2R implica que, abre quadro, H igual a R, fecha quadro. Abaixo. Sentença matemática. Cosseno de 30 graus igual a fração P sobre R implica que fração raiz de 3 sobre 2 igual a fração P sobre R implica que, abre quadro, P igual a fração, numerador R raiz de 3, denominador 2, fecha quadro.

Respostas e comentários

Balão de fala: p é metade de q.

Quadrado inscrito em uma circunferência

É comum que as razões trigonométricas representem um obstáculo ao processo de aprendizagem de alguns tópicos de Geometria para os estudantes. Verifique se eles, de fato, compreenderam cada uma das razões e, se julgar necessário, retome os valores dessas razões para os ângulos de 30graus, 45graus, 60graus e 90graus.

Hexágono regular inscrito em uma circunferência

Proponha aos estudantes que representem, em uma folha de papel, um hexágono regular inscrito em uma circunferência. Você pode orientá-los a fazer isso sem o uso do transferidor seguindo os seguintes passos:

1º) Peça para que tracem com o compasso uma circunferência com raio de medida de comprimento r.

Figura geométrica. Circunferência cujo raio mede R.

2º) Com a mesma abertura do compasso, solicite que dividam a circunferência em 6 arcos com a mesma medida.

Ilustração. Figura anterior com 6 marcações de arcos feitas com a mesma abertura do compasso.

Durante a realização do 1º e 2º passos, oriente os estudantes a tomar os devidos cuidados ao manusear o compasso.

3º) Peça que liguem os pontos obtidos e pintem o interior da figura, construindo um hexágono regular com lados de medida de comprimento r.

Ilustração. Figura anterior com as marcações de arcos ligadas, formando um hexágono regular, inscrito à circunferência, em que cada lado mede R.

Após finalizarem a representação, solicite que verifiquem a validade das relações métricas estudadas com o auxílio de uma régua.

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Confira estes exemplos.

a) Vamos determinar as medidas de comprimento do lado (q) e do apótema (p) de um quadrado inscrito em uma circunferência cujo comprimento do raio mede 10 centímetros.

q = r \sqrt{2} = 10 \sqrt{2}

p = \frac{r \sqrt{2}}{2} = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2}

Portanto, o comprimento do lado mede 10

\sqrt{2}

centímetros e o comprimento do apótema mede

5 \sqrt{2} c m

b) Vamos determinar as medidas de comprimento do lado (t) e do apótema (p) de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência cujo comprimento do raio mede 12 centímetros.

t = r \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}

p = \frac{r}{2} = \frac{12}{2} = 6

Portanto, o comprimento do lado mede

12 \sqrt{3} c m

e o comprimento do apótema mede 6 centímetros.

c) Agora, vamos determinar as medidas de comprimento do lado (h) e do apótema (p) de um hexágono regular inscrito em uma circunferência cujo comprimento do raio mede 8 centímetros.

h = r = 8

p = \frac{r \sqrt{3}}{2} = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}

Portanto, o comprimento do lado mede 8 cm e o comprimento do apótema mede

4 \sqrt{3} c m

Atividades

Faça as atividades no caderno.

17. Calcule as medidas de comprimento do lado e do apótema de um quadrado inscrito em uma circunferência cujo comprimento do raio mede 10 centímetros.

18. O perímetro de um quadrado inscrito em uma circunferência mede 40 centímetros. Determine a medida de comprimento do raio.

19. O comprimento do lado de um quadrado inscrito em uma circunferência mede 12 centímetros. Calcule a medida de comprimento:

a) do raio da circunferência que circunscreve o quadrado;

b) do apótema do quadrado.

20. O comprimento do lado de um quadrado inscrito em uma circunferência mede

6 \sqrt{2} c m

. Determine a medida de comprimento do apótema desse quadrado.

21. Um quadrado está inscrito em uma circunferência cujo comprimento do raio mede 4 centímetros. Determine a medida:

a) de perímetro aproximado desse quadrado, usando

\sqrt{2} = 1, 41

;

b) da área desse quadrado.

22. Calcule as medidas de comprimento do lado e do apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência cujo comprimento do raio mede 8 centímetros.

23. O comprimento do lado de um triângulo equilátero mede 20 centímetros. Determine as medidas de comprimento do raio da circunferência circunscrita e do apótema.

24. O comprimento do apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência mede 6 centímetros. Calcule a medida de comprimento do lado desse triângulo.

Respostas e comentários

17. medida de comprimento do lado:

10 \sqrt{2} c m

; medida de comprimento do apótema:

5 \sqrt{2} c m

18.

5 \sqrt{2} c m

19. a)

6 \sqrt{2} c m

19. b) 6 centímetros

20.

3 \sqrt{2} c m

21. a) 22,56 centímetros

21. b) 32 centímetros quadrados

22. medida de comprimento do lado:

8 \sqrt{3} c m

; medida de comprimento do apótema: 4 centímetros

23. medida de comprimento do raio:

\frac{20 \sqrt{3}}{3} c m

; medida de comprimento do apótema:

\frac{10 \sqrt{3}}{3} c m

24.

12 \sqrt{3} c m

Ao trabalhar os exemplos e as atividades deste tópico, chame a atenção dos estudantes para o fato de que, caso não se lembrem das fórmulas, eles poderão resolver os problemas utilizando métodos alternativos, como a aplicação do teorema de Pitágoras e das razões trigonométricas no triângulo retângulo.

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25. Calcule a medida de perímetro de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência cujo comprimento do raio mede

10 \sqrt{3}

centímetros.

26. Calcule as medidas de comprimento do lado e do apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência cujo comprimento do raio mede 12 centímetros.

27. O comprimento do apótema de um hexágono regular mede

5 \sqrt{3} c m

. Determine a medida de perímetro do hexágono.

28. O comprimento do lado de um hexágono regular inscrito em uma circunferência mede 8 centímetros. Calcule as medidas de comprimento do raio da circunferência e do apótema do hexágono.

29. O comprimento da maior diagonal de um hexágono regular mede

12 \sqrt{3} c m

. Calcule a medida de comprimento do apótema desse hexágono.

30. Com base no triângulo equilátero inscrito na circunferência, determine:

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, triângulo equilátero ABC inscrito à circunferência. M é ponto médio do lado BC. Segmento de reta OA mede 10 centímetros.

a) a medida de comprimento do segmento de reta

\overline{A B}

;

b) a medida de comprimento do segmento de reta

\overline{O M}

;

c) a medida da abertura do ângulo

A \hat{O} B

;

d) a medida de comprimento do segmento de reta

\overline{A M}

31. O comprimento do apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência mede

6 \sqrt{3} c m

. Determine a medida de comprimento do lado desse hexágono.

32. O comprimento do lado de um quadrado inscrito em uma circunferência mede

8 \sqrt{3} c m

. Determine a medida de comprimento do apótema do hexágono regular inscrito na mesma circunferência.

33. Qual é a razão entre as medidas de comprimento do lado de um hexágono regular e do lado de um quadrado, nessa ordem (os dois estão inscritos na mesma circunferência)?

34. O comprimento do apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência mede

12 \sqrt{3} m

. Determine a medida de comprimento:

a) da diagonal do quadrado inscrito nessa circunferência;

b) do apótema do triângulo equilátero inscrito nessa circunferência.

Polígonos regulares circunscritos

Considere os polígonos de n lados (na figura, n = 6), sendo um inscrito e outro circunscrito à circunferência cujo comprimento do raio mede r. Nessa figura, temos:

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, hexágono regular inscrito à circunferência. Fora da circunferência, hexágono regular circunscrito à circunferência. O lado do hexágono inscrito mede L minúsculo N. A e B são vértices consecutivos do hexágono inscrito. Segmento de reta OA mede R. A distância de O ao ponto médio do lado AB mede A minúsculo N. O lado do hexágono circunscrito mede L maiúsculo N. A distância de O ao ponto médio de um lado do hexágono circunscrito mede A maiúsculo N de modo que A maiúsculo N igual a R.

• quinquagésimon : medida de comprimento do lado do polígono regular inscrito;

• án : medida de comprimento do apótema do polígono regular inscrito;

• quinquagésimon : medida de comprimento do lado do polígono regular circunscrito;

• án : medida de comprimento do apótema do polígono regular circunscrito.

Como os polígonos inscrito e circunscrito à circunferência são semelhantes, podemos estabelecer a relação:

Sentença matemática. Fração L minúsculo N sobre L maiúsculo N igual a fração A minúsculo N sobre A maiúsculo N. Como A maiúsculo N igual a R, implica que, abre quadro, fração L minúsculo N sobre L maiúsculo N igual a fração A minúsculo N sobre R, fecha quadro.

Acompanhe alguns exemplos.

a) Vamos calcular a medida de comprimento do lado de um triângulo equilátero circunscrito a uma circunferência cujo comprimento do raio mede 6 centímetros.

Respostas e comentários

25. 90 centímetros

26. medida de comprimento do lado: 12 centímetros; medida de comprimento do apótema:

6 \sqrt{3} c m

27. 60 centímetros

28. medida de comprimento do raio: 8 centímetros; medida de comprimento do apótema:

4 \sqrt{3} c m

29. 9 centímetros

30. a)

10 \sqrt{3} c m

30. b) 5 centímetros

30. c) 120graus

30. d) 15 centímetros

31. 12 centímetros

32.

6 \sqrt{2} c m

33.

\frac{\sqrt{2}}{2}

34. a) 48 métros

34. b) 12 métros

• Na atividade 27, é dada a medida do comprimento do apótema:

5 \sqrt{3} c m

. Sabendo que a medida do comprimento do apótema (p) do hexágono regular pode ser determinado por

p = \frac{r \sqrt{3}}{2}

, temos:

5 \sqrt{3} c m = \frac{r \sqrt{3}}{2}

﻿ (5 \sqrt{3 ﻿} c m) \cdot 2 = \frac{r \sqrt{3}}{2} \cdot 2

﻿ (10 \sqrt{3 ﻿} c m) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = r \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}

10 centímetros = r

Como a medida do comprimento do lado do hexágono é igual à medida do comprimento do raio, a medida do perímetro do polígono é 60 centímetros.

Caso os estudantes tenham dificuldades de realizar as atividades propostas, comente sobre a possibilidade de fazerem um esboço de cada figura no caderno, indicando os dados fornecidos no enunciado. Esse recurso é um importante instrumento para a realização de atividades de Geometria.

Polígonos regulares circunscritos

Para estabelecer as relações, utiliza-se o fato de que o polígono regular inscrito é semelhante ao polígono regular circunscrito a uma mesma circunferência. Se achar conveniente, retome o conceito de semelhança de figuras.

Página 248

Precisamos das medidas de comprimento do apótema á₃ e do lado primeiro₃ do triângulo equilátero inscrito nessa mesma circunferência. Utilizando as relações estudadas

a_{3} = \frac{r}{2}

l_{3} = r \sqrt{3}

, obtemos estas medidas:

a_{3} = \frac{6}{2} = 3

l_{3} = 6 \sqrt{3}

Agora, substituindo os valores na proporção

\frac{l_{n}}{L_{n}} = \frac{a_{n}}{r}

, temos:

\frac{6 \sqrt{3}}{L_{3}} = \frac{3}{6} \Rightarrow L_{3} = 12 \sqrt{3}

Portanto, o comprimento do lado do triângulo circunscrito a essa circunferência mede

12 \sqrt{3} c m

b) Vamos calcular a medida de comprimento do lado de um quadrado circunscrito a uma circunferência cujo comprimento do raio mede 10 centímetros.

As medidas de comprimento do apótema á₄ e do lado I₄ do quadrado inscrito nessa mesma circunferência se relacionam com a medida de comprimento do raio:

a_{4} = \frac{r \sqrt{2}}{2} = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2}

l_{4} = r \sqrt{2} = 10 \sqrt{2}

Agora, substituindo os valores na proporção

\frac{l_{n}}{L_{n}} = \frac{a_{n}}{r}

, temos:

\frac{10 \sqrt{2}}{L_{4}} = \frac{5 \sqrt{2}}{10} \Rightarrow L_{4} = 20

Portanto, o comprimento do lado do quadrado circunscrito a essa circunferência mede 20 centímetros.

Atividades

Faça as atividades no caderno.

35. Calcule a medida de comprimento do lado de um triângulo equilátero circunscrito a uma circunferência cujo comprimento do raio mede

2 \sqrt{3} c m.

36. Calcule a medida de comprimento do lado de um quadrado circunscrito a uma circunferência cujo comprimento do raio mede 8 centímetros.

37. Calcule a medida de comprimento do lado de um hexágono regular circunscrito a uma circunferência cujo comprimento do raio mede

4 \sqrt{3} c m

38. O perímetro de um hexágono regular inscrito em uma circunferência mede

24 \sqrt{3} c m

. Calcule a medida de perímetro de um triângulo equilátero circunscrito a essa circunferência.

39.

Utilize um software de geometria dinâmica para realizar as construções a seguir:

• construa um pentágono regular á bê cê dê é;

• determine o centro óh do polígono;

• construa a circunferência de raio

\overline{O A}

;

• construa um pentágono regular éfe gê agá í jota circunscrito à circunferência;

• construa um apótema do pentágono menor.

a) Utilizando as ferramentas do software, meça o comprimento dos lados dos polígonos, o comprimento do apótema do polígono menor e o comprimento do raio da circunferência. Em seguida, com o auxílio de uma calculadora, verifique a validade da relação entre essas medidas.

b) Movimente os pontos do pentágono á bê cê dê é e observe o que acontece com a relação analisada no item a.

40.

Analise a construção.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, triângulo equilátero ABC inscrito à circunferência. Fora da circunferência, triângulo equilátero HIJ circunscrito à circunferência. O lado do hexágono inscrito mede 4 centímetros.

Considere que os triângulos agá é jota e á bê cê são equiláteros e BC = 4 centímetros.

• No caderno, elabore duas questões relacionadas com a figura.

• Troque de caderno com um colega e responda às questões elaboradas por ele. Em seguida, analise as respostas do colega e dê um retorno a ele, dizendo o que ele respondeu corretamente e em que pontos ele se equivocou.

Respostas e comentários

35. 12 centímetros

36. 16 centímetros

37. 8 centímetros

38. 72 centímetros

39. a) Espera-se que os estudantes identifiquem que a relação é válida.

39. b) Espera-se que os estudantes identifiquem que a relação continua válida.

40. Respostas pessoais.

• Na atividade 36, após os estudantes calcularem a medida do comprimento do ladodo quadrado, peça que representem um quadrado circunscrito a uma circunferência com raio de medida de comprimento 8 centímetros e verifiquem se a medida do comprimento do lado do quadrado representado coincide com a medida calculada.

• Caso os estudantes apresentem dificuldades para realizar a atividade 37, oriente-os a fazer uma figura que traduza as informações descritas no enunciado.

• A atividade 39 pode ser adaptada para que os estudantes utilizem papel e instrumentos de desenho (compasso e lápis) e de medida (régua e transferidor). Alerte-os sobre os cuidados necessários ao manusear o compasso a fim de evitar acidentes.

Página 249

Resolvendo em equipe

Faça a atividade no caderno.

(ó bê mépi) O polígono á bê cê dê é éfe é um hexágono regular. Os pontos M e N são pontos médios dos lados

\overline{A F}

\overline{B C}

, respectivamente. O hexágono ABNGHM é simétrico em relação à reta que passa por M e N.

Figura geométrica. Hexágono regular A B C D E F. Dentro, hexágono A B N G H M.

Qual é a razão entre as áreas dos hexágonos ABNGHM e á bê cê dê é éfe ?

\frac{3}{10}

\frac{4}{11}

\frac{3}{7}

\frac{7}{15}

\frac{5}{12}

Interpretação e identificação dos dados	• Analise as informações do enunciado e anote aquelas que você julgar relevantes para a resolução do problema. • Calcule a medida das aberturas dos ângulos internos dos hexágonos ABCDEF e ABNGHM. • Os hexágonos ABCDEF e ABNGHM são polígonos semelhantes?
Plano de resolução	• Os hexágonos ABCDEF e ABNGHM podem ser decompostos em triângulos equiláteros congruentes? • Qual é a relação entre a medida de comprimento do lado desses triângulos equiláteros e a medida de comprimento do lado do hexágono maior? • Quantos triângulos equiláteros congruentes recobrem o hexágono ABNGHM ? E quantos recobrem o hexágono ABCDEF ?
Resolução	• Junte‑se a um colega. • Compartilhem os planos de resolução. • Discutam as diferenças e as semelhanças entre os planos e escolham um para a execução do processo de resolução. Observação Resolvam o problema de maneira coletiva, mas façam o registro individualmente no caderno.
Verificação	• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.
Apresentação	• Construam diversos triângulos equiláteros de cartolina. Utilizando apenas esses triângulos, componham novos polígonos, regulares ou não, e apresentem para os colegas.

Respostas e comentários

Resolvendo em equipe: alternativa ê

Figura geométrica. Hexágono regular ABCDEF com medida de 120 graus em cada ângulo interno. Dentro, hexágono ABNGHM com medida de 120 graus em cada ângulo interno.

Interpretação e identificação dos dados:

primeiro item: Resposta pessoal.

segundo item: todos os ângulos internos dos hexágonos são congruentes e suas aberturas medem 120graus

terceiro item: não, pois as medidas de comprimento dos lados correspondentes não são proporcionais

Plano de resolução:

primeiro item: sim

segundo item: a medida de comprimento do lado do triângulo equilátero é metade da medida de comprimento do lado do hexágono maior

terceiro item: 10; 24

Resolvendo em equipe

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 2, 4, 9 e 10 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 2, 3 e 8 (as descrições estão na página sete).

Esta seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os estudantes. Além de favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 3 e 8, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações.

Uma fórma alternativa de resolução seria decompor o hexágono regular á bê cê dê é éfe em 24 pequenos triângulos equiláteros congruentes e verificar que o hexágono ABNGHM é composto de 10 desses triângulos equiláteros.

Figura geométrica. Hexágono regular ABCDEF dividido em 4 fileiras de triângulos equiláteros congruentes: primeira fileira com 5 triângulos; segunda fileira com 7 triângulos; terceira fileira com 7 triângulos; quarta fileira com 5 triângulos. Dentro, hexágono ABNGHM dividido em 2 fileiras de triângulos equiláteros congruentes com 5 triângulos em cada fileira.

Portanto, a razão entre as medidas das áreas dos hexágonos ABNGHM e á bê cê dê é éfe é

\frac{10}{24}

\frac{5}{12}

(alternativa ê).

Página 250

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Faça as atividades no caderno.

Polígonos

Um polígono é uma figura plana, definida por uma linha poligonal, fechada e simples com sua região interna.

Polígonos inscritos e circunscritos a uma circunferência

Um polígono está inscrito em uma circunferência quando todos os vértices são pontos dessa circunferência.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, quadrilátero ABCD com os vértices pertencentes à circunferência. — quadrilátero inscrito em uma circunferência

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, hexágono ABCDEF com os vértices pertencentes à circunferência. — hexágono inscrito em uma circunferência

Um polígono está circunscrito a uma circunferência quando todos os lados são tangentes a circunferência.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Fora, quadrilátero ABCD com os lados tangentes à circunferência. — quadrilátero circunscrito a uma circunferência

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Fora, hexágono ABCDEF com os lados tangentes à circunferência. — hexágono circunscrito uma circunferência

1ª propriedade: Todo triângulo inscrito em uma circunferência que tem um lado coincidente com o diâmetro da circunferência é retângulo.

2ª propriedade: Os ângulos opostos de um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência são suplementares.

1. Determine as medidas x, y e z das aberturas dos ângulos desconhecidos nas circunferências.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, 2 triângulos inscritos à circunferência de modo que a base de cada triângulo coincide entre si e com o diâmetro da circunferência. A medida do ângulo interno oposto à base de cada triângulo é dada: X em um triângulo e Y no outro triângulo.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, 3 triângulos inscritos à circunferência de modo que a base de cada triângulo coincide com o diâmetro da circunferência. A medida do ângulo interno oposto à base de cada triângulo é dada: X no triângulo verde, Y no triângulo laranja e Z no triângulo azul.

2. Sabendo que a bê cê dê é um quadrilátero inscrito na circunferência, determine a medida de abertura x.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, quadrilátero ABCD convexo inscrito à circunferência. As medidas de 2 ângulos internos do quadrilátero são dadas: 2X menos 35 graus e X mais 5 graus. Esses ângulos são opostos.

Polígonos regulares

Um polígono regular é o polígono em que todos os lados têm a mesma medida de comprimento e todos os ângulos internos são congruentes, ou seja, quando o polígono é equiângulo e equilátero.

Propriedades dos polígonos regulares

1ª propriedade: Todo polígono regular é inscritível em uma circunferência.

2ª propriedade: Todo polígono regular é circunscritível a uma circunferência.

Elementos de um polígono regular

• O: centro do polígono e da circunferência

• r: medida de comprimento do raio do polígono e da circunferência circunscrita

• a: medida de comprimento do apótema (segmento de reta cujas extremidades são o centro e o ponto médio de qualquer lado do polígono)

• n: número de lados

•

\hat{a_{c}}

: ângulo central (ângulo que tem o vértice no centro e cujos lados contêm vértices consecutivos do polígono)

a_{c} = \frac{360}{n}

Respostas e comentários

1. a) x = y = 90graus

1. b) x = y = z = 90graus

2. 70graus

Revisão dos conteúdos deste capítulo

Polígonos

• Na atividade 1, espera-se que os estudantes concluam que as medidas das aberturas de todos os ângulos solicitados são iguais a 90graus, uma vez que são ângulos que determinam uma semicircunferência, ou seja, um arco que mede 180graus.

• Para determinar x na atividade 2, espera-se que os estudantes considerem que os ângulos opostos de um quadrilátero convexo inscrito em uma circunferência são suplementares. Assim:

(2x ‒ 35graus) + (x + 5graus) = 180graus

Página 251

•

\hat{a_{i}}

: ângulo interno (ângulo formado por dois lados consecutivos do polígono)

a_{i} = \frac{(n ‒ 2) . 180 °}{n}

•

\hat{a_{e}}

: ângulo externo (suplemento do ângulo interno correspondente)

a_{i} + a_{e} = 180 º

a_{e} = \frac{360}{n}

3. Calcule a medida de abertura do ângulo central destes polígonos regulares:

a) pentágono;

b) octógono;

c) dodecágono (polígono de 12 lados);

d) polígono de 24 lados.

4. Sabendo que um pentadecágono regular tem 15 lados, determine:

a) a medida da abertura de cada ângulo interno;

b) a medida da abertura de cada ângulo externo;

c) a medida da abertura de cada ângulo central.

5. Sabendo que a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos de um polígono regular mede .2880graus, determine quantos lados tem o polígono.

6. Se a abertura do ângulo externo de um polígono regular mede 18graus, quantos lados tem esse polígono?

7. Em um polígono regular, a medida da abertura do ângulo central é 40graus. Responda:

a) Quantos lados tem esse polígono?

b) Qual é a medida da abertura do ângulo interno?

c) Qual é a medida da abertura do ângulo externo?

8. Em um polígono regular, (3x + 36graus) representa a medida da abertura de um dos ângulos internos e (x ‒ 8graus) representa a medida da abertura do ângulo externo adjacente a esse ângulo interno.

a) Qual é a medida de abertura x?

b) Quantos lados tem esse polígono?

9. Calcule a medida de abertura x, sabendo que a figura é um pentágono regular.

Figura geométrica. Pentágono ABCDE. Medida do ângulo interno em A: 3X mais 12 graus. Medida do ângulo externo em C: 2X mais 8 graus.

10. Este polígono regular é um decágono regular; determine as medidas x e y das aberturas dos ângulos.

Figura geométrica. Decágono com diagonal dividindo a figura em 2 polígonos: um quadrilátero e um octógono. As medidas de 2 ângulos internos do quadrilátero são dadas: X e Y. Esses ângulos são opostos.

Relações métricas nos polígonos regulares

Triângulo equilátero inscrito em uma circunferência

• t: medida de comprimento do lado do triângulo

• r: medida de comprimento do raio da circunferência circunscrita ao triângulo

• p: medida de comprimento do apótema do triângulo

t = r \sqrt{3}

p = \frac{r}{2}

Quadrado inscrito em uma circunferência

• q: medida de comprimento do lado do quadrado

• r: medida de comprimento do raio da circunferência circunscrita ao quadrado

• p: medida de comprimento do apótema do quadrado

q = r \sqrt{2}

p = \frac{r \sqrt{2}}{2}

Respostas e comentários

3. a) 72graus

3. b) 45graus

3. c) 30graus

3. d) 15graus

4. a) 156graus

4. b) 24graus

4. c) 24graus

5. 18 lados

6. 20 lados

7. a) 9 lados

7. b) 140graus

7. c) 40graus

8. a) 88graus

8. b) 12 lados

9. 32graus

10. x = 144graus e y = 36graus

Polígonos regulares

• Na atividade 3, os estudantes vão calcular a medida da abertura de um ângulo central de alguns polígonos regulares. Você pode ampliar a proposta desta atividade e pedir para que representem os polígonos regulares de cada item em um software de geometria dinâmica e, depois, que determinem a medida de um dos ângulos centrais utilizando as ferramentas do software. Depois, peça para que comparem as medidas obtidas por meio do sófitiuér com as que calcularam na atividade.

• Na atividade 5, espera-se que os estudantes escrevam a equação .2880graus = (n ‒ 2) ⋅ 180graus para encontrar o número de lados do polígono.

• Na atividade 10, se necessário, mostre aos estudantes que a figura formada na parte interna do decágono regular é um trapézio isósceles e, portanto, os ângulos da base são congruentes e a soma das medidas das aberturas dos ângulos internos é igual a 360graus.

Página 252

Hexágono regular inscrito em uma circunferência

• h: medida de comprimento do lado do hexágono

• r: medida de comprimento do raio da circunferência circunscrita ao hexágono

• p: medida de comprimento do apótema do hexágono

h = r

p = \frac{r \sqrt{3}}{2}

11. Uma mesa circular tem como detalhe em seu tampo o desenho de um hexágono regular inscrito. Se o comprimento do raio do tampo mede

2 \sqrt{3} m

, qual é a medida de perímetro do hexágono?

Dado:

\sqrt{3} = 1,7

12. Um quadrado a bê cê dê está inscrito em uma circunferência cujo comprimento do raio mede

8 \sqrt{2} c m

. Calcule:

a) a medida de comprimento do lado do quadrado;

b) a medida de comprimento do apótema do quadrado.

13. Determine a medida de perímetro e a medida da área do quadrado representado.

Use:

\sqrt{2} = 1,4

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, quadrado inscrito à circunferência. A distância de O a um vértice do quadrado corresponde ao raio da circunferência, que mede 15 metros.

14. O comprimento do lado de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência mede 10 centímetros. Determine:

a) a medida de comprimento do raio da circunferência;

b) a medida de comprimento do apótema do triângulo.

15. Determine as medidas de comprimento x e y na figura seguinte, sabendo que o quadrado está inscrito na circunferência.

Figura geométrica. Circunferência de centro O. Dentro, quadrado inscrito à circunferência. O lado do quadrado mede X. O apótema do quadrado mede 22 centímetros. A distância de O a um vértice do quadrado corresponde ao raio da circunferência, que mede Y.

Polígonos regulares circunscritos

• r: medida de comprimento do raio da circunferência

• n: número de lados

• ln: medida de comprimento do lado do polígono regular inscrito

• án: medida de comprimento do apótema do polígono regular inscrito

• Ln; medida de comprimento do lado do polígono regular circunscrito

• án: medida de comprimento do apótema do polígono regular circunscrito

\frac{l_{n}}{L_{n}} = \frac{a_{n}}{A_{n}} \overset{A_{n} = r}{\Rightarrow} \frac{l_{n}}{L_{n}} = \frac{a_{n}}{r}

16. Calcule a medida de comprimento do lado de um triângulo equilátero circunscrito a uma circunferência cujo comprimento do raio mede

4 \sqrt{3} c m

17. Calcule a medida de comprimento do lado de um quadrado circunscrito a uma circunferência cujo comprimento do raio mede 16 métros.

18. Calcule a medida de comprimento do lado de um hexágono regular circunscrito a uma circunferência cujo comprimento do raio mede

\sqrt{3} c m

Respostas e comentários

11. 20,4 métros

12. a) 16 centímetros

12. b) 8 centímetros

13. respectivamente, 84 métros e 441 métros quadrados

14. a)

\frac{10 \sqrt{3}}{3} c m

14. b)

\frac{5 \sqrt{3}}{3} c m

15. x = 44 centímetros e

y = 22 \sqrt{2} c m

16. 24 centímetros

17. 32 métros

18. 2 centímetros

Relações métricas nos polígonos regulares

• Caso os estudantes tenham dificuldades para interpretar a situação-problema da atividade 11, ajude-os a fazer um esboço.

• No item a da atividade 12, espera-se que calculem

(8 \sqrt{2} c m) \cdot \sqrt{2}

para determinar a medida do comprimento do lado do quadrado. Já no item b, espera-se que calculem

(\sqrt{2} c m) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

para determinar a medida do comprimento do apótema do quadrado.

• Na atividade 13, antes que realizem os cálculos, peça a alguns deles que verbalizem como planejam realizar a atividade.

Polígonos regulares circunscritos

• Após os estudantes concluírem as atividades 16, 17 e 18, solicite que comparem as respostas obtidas e compartilhem como fizeram. Esse momento de troca favorece o desenvolvimento da competência geral 9 da Bê êne cê cê.

Página 253

É hora de extrapolar

Faça as atividades no caderno.

O que você conhece sobre trânsito seguro?

Diariamente, a maior parte da população brasileira transita em vias, seja como pedestre, ciclista, motorista ou passageiro e, infelizmente, as estatísticas apontam que os acidentes de trânsito estão entre as principais causas de óbito no país. Para que esses números diminuam, é importante que os cidadãos respeitem a legislação vigente e coloquem em prática ações para construir um trânsito mais seguro para todos.

Objetivos: Conhecer e entender o significado das placas de trânsito, analisar estatísticas de acidentes de trânsito e práticas para aumentar a segurança no trânsito e produzir placas para uma campanha pelo trânsito seguro.

Etapa 1: Conhecer e entender o significado das placas de trânsito.

Reúna-se em grupo e respondam às questões em seus cadernos.

a) As placas de trânsito são importantes? Por quê?

b) O que são placas de regulamentação? Explique para que servem e dê cinco exemplos de placas desse tipo.

c) O que são placas de advertência? Explique para que servem e dê cinco exemplos de placas desse tipo.

2. As placas de regulamentação têm uma borda vermelha, preenchimento branco e formato circular, com exceção das placas:

Fotografia. Placa vermelha em formato octogonal. Dentro, indicação PARE. — placa A

Fotografia. Placa triangular vermelha com a base do triângulo virada para cima. — placa B

a) Qual é o significado dessas placas e por que elas têm o formato diferente das outras placas de regulamentação? Caso necessário, pesquisem em sites especializados.

b) A placa A se parece com qual polígono? O que seria preciso verificar para saber se esta placa se parece com um polígono regular?

c) A regulamentação do Conselho Nacional de Trânsito (contrâm) recomenda que, nas vias urbanas, a placa B tenha o formato de triângulo equilátero com lado medindo 90 centímetros de comprimento e, ao ser colocada em suporte vertical, seja disposta de modo que a borda inferior fique a pelo menos 2 métros do solo.

Fotografia. Placa triangular vermelha anterior sobre poste. O lado da placa mede 90 centímetros. A altura do poste mede 2 metros.

Analise esta imagem e determine, em metro, a medida da altura total desta sinalização.

3. Analisem a placa e respondam às questões. Caso seja necessário, pesquisem em sites especializados.

Fotografia. Placa em formato de losango amarelo. Dentro, representação de um adulto e uma criança sobre faixa de pedestres.

a) Essa placa é de regulamentação ou de advertência?

b) Essa placa recebe o nome “área escolar”. Qual é a importância dessa sinalização?

Etapa 2: Análise de dados sobre a estatística do trânsito (acidentes) no Brasil.

4. Leiam o texto e respondam às questões.

Acidentes de trânsito: Mais de 1,35 milhão de pessoas perdem a vida, aponta ó ême ésse

[reticências]

De acôrdo com o “Global status report on road safety 2018”, lançado em dezembro de 2018, as mortes nas estradas continuam aumentando em todo o mundo e mais de 1,35 milhão de pessoas perdem a vida todos os anos em decorrência de acidentes de trânsito, o que significa que, em média, morre uma pessoa a cada 24 segundos. O documento revela ainda que as lesões causadas pelo trânsito são hoje a principal causa de morte de crianças e jovens entre 5 e 29 anos.

[reticências]

No Brasil, no ano de 2016, os dados também são lamentáveis: 3,5 crianças morreram por dia, ou seja, são 105 vidas perdidas em um mês. Conforme números compilados pelo Observatório Nacional de Segurança Viária (ONSV), juntamente com a Universidade Federal do Paraná (ú éfe pê érre), com informações do Sistema Datasus, foram registradas .1292 mortes de crianças entre zero e 14 anos naquele ano. Esta faixa etária representa 23% da população brasileira.

Respostas e comentários

1. a) Resposta pessoal.

1. b) Resposta em Orientações.

1. c) Resposta em Orientações.

2. a) Resposta em Orientações.

2. b) Octógono; é preciso verificar se todos os lados têm mesma medida de comprimento e se todos os ângulos internos são congruentes, ou seja, se é equilátero e equiângulo.

2. c) 2,78 métros, aproximadamente

3. a) advertência

3. b) Alertar à existência de uma escola nas proximidades, com a possibilidade de circulação de crianças e adolescentes.

É hora de extrapolar

Bê êne cê cê:

• Competências gerais 2, 4, 7, 9 e 10 (as descrições estão na página seis).

• Competências específicas 2, 4, 5, 7 e 8 (as descrições estão na página sete).

A seção retoma as questões propostas na abertura da Unidade e propõe um trabalho colaborativo que explora a pesquisa, a comunicação e a elaboração de placas para a campanha de trânsito seguro, que serão compartilhadas com a comunidade escolar.

Com a finalidade de organizar o trabalho, esta seção é dividida em etapas que promovem:

• Entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado.

• Pesquisa coletiva.

• Elaboração, em grupo, do produto proposto.

• Apresentação e exposição do produto.

• Reflexão e síntese do trabalho.

As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser realizadas extraclasse. Verifique o perfil dos estudantes e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspectos necessários à realização desse trabalho.

A seção favorece o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 7, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 4, 5, 7 e 8, procurando mobilizar conteúdos estudados nos capítulos que integram a Unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção depois de estudar os capítulos, mas, se preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os capítulos forem estudados, atente para os conhecimentos prévios necessários.

• No item b da atividade 1, explique aos estudantes que as placas de regulamentação informam os condutores das proibições, obrigações, condições e restrições. Desobedecê-las é infração das regras. São exemplos de placas de regulamentação: parada obrigatória, sentido proibido, proibido estacionar, velocidade máxima permitida, altura máxima permitida etcétera. No item c, esclareça que as placas de advertência alertam os condutores sobre condições perigosas, restrições ou obstáculos nas vias e têm como função recomendar que o motorista fique alerta e tome os cuidados necessários. São exemplos de placas de advertência: semáforo à frente, saliência ou lombada, área escolar, declive acentuado, cuidado animais etcétera.

• Na atividade 2, retoma-se uma das questões propostas na abertura desta Unidade. Espera-se que eles respondam que a placa a representa “parada obrigatória” e indica que o condutor deve parar o automóvel antes de cruzar ou entrar em uma via. A placa B representa “dê a preferência” e indica que o condutor deve dar a preferência de passagem para o automóvel que estiver na via em que ele vai entrar ou cruzar, reduzindo a velocidade ou parando se necessário. Elas têm o formato diferente das outras placas para que os condutores possam identificá-las mesmo quando vistas por trás. Após responder ao item c, peça aos estudantes que compartilhem as estratégias usadas. Alerte-os para que adicionem a medida do comprimento da altura da placa à medida do comprimento do poste. Assim, devem chegar à conclusão de que a medida da altura total da sinalização é obtida por meio do seguinte cálculo:

2 m + 45 \sqrt{3} c m

Portanto, devem concluir que a medida da altura total da sinalização é igual a aproximadamente 2,78 métros.

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Observatório Nacional de Segurança Viária (ONSV), juntamente com a Universidade Federal do Paraná (UFPR), com informações do Sistema Datasus, foram registradas 1292 mortes de crianças entre zero e 14 anos naquele ano. Esta faixa etária representa 23% da população brasileira.

[reticências]

Em dezembro de 2018, audiência na Comissão de Viação e Transportes da Câmara dos Deputados destacou que a maioria dos acidentes de trânsito ocorre nos municípios, onde há excesso de motocicletas, pouca sinalização e, muitas vezes, falta um gestor específico de trânsito. A gestão do trânsito nos municípios foi apontada como o principal desafio para reduzir pela metade as mortes por acidentes no Brasil, por grupo de 100 mil habitantes, até 2028. A meta está prevista no Plano Nacional de Redução de Mortes e Lesões no Trânsito, que virou lei (Lei 13.614/18) em janeiro de 2018.[reticências]

Sociedade Brasileira de Medicina Tropical. Acidentes de trânsito: Mais de 1,35 milhão de pessoas perdem a vida, aponta OMS. Disponível em: https://oeds.link/BLPdTd. Acesso em: 29junho 2022.

a) Quais são as atitudes imprudentes que podem causar fatalidades no trânsito?

b) Que ações podem ser tomadas pelos cidadãos para diminuir as mortes no trânsito no Brasil?

c) Segundo a Organização Não Governamental Criança Segura, em 2018, 30% das mortes de crianças por acidente ocorreram no trânsito. Que medidas podem ser tomadas para diminuir esse percentual?

5. O governo da cidade de Seul, na Coreia do Sul, anunciou em 2016 a instalação da seguinte placa de trânsito em algumas vias da cidade.

Fotografia. Placa triangular vermelha com uma pessoa de celular na mão. À frente, um carro.

a) Qual é o objetivo da instalação dessa placa?

b) Seria interessante que a legislação brasileira adotasse uma placa semelhante no Brasil? Justifiquem.

Etapa 3: Pesquisar sobre direitos e deveres dos pedestres no trânsito e sobre dicas de como evitar acidentes.

6. O Código de Trânsito Brasileiro tem um capítulo destinado aos pedestres e condutores de veículos não motorizados. Pesquisem e façam uma lista dos direitos e dos deveres dos pedestres no trânsito.

7. Elaborem uma lista com dicas que motoristas, passageiros, ciclistas e pedestres podem utilizar para prevenir acidentes de trânsito.

Etapa 4: Confecção, análise das placas e realização de uma campanha pelo trânsito seguro.

8. Agora, cada grupo deverá confeccionar, utilizando ilustrações e textos:

• uma placa que transmite um direito ou um dever dos pedestres;

• uma placa contendo uma dica para prevenir acidentes de trânsito.

Essas placas deverão ter as características de uma placa de regulamentação ou de uma placa de advertência, dependendo do que vocês vão transmitir. Façam um esboço das placas para que os demais colegas da turma analisem a produção.

9. Disponibilizem os esboços das placas que serão elaboradas para que a turma analise a pertinência do desenho e o texto escolhido. Justifiquem a escolha do tipo de placa para cada caso: regulamentação ou advertência.

10. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas.

11. Determinem com a turma qual será o tamanho das placas, considerando que serão expostas para a comunidade escolar.

12. Depois dos ajustes necessários, confeccionem as placas e promovam uma campanha pelo trânsito seguro na comunidade escolar.

Etapa 5: Síntese do trabalho realizado.

13. Algumas questões que devem ser discutidas:

Vocês consideram importante que todos tenham uma educação para o trânsito mesmo não sendo motoristas? Por quê?

b) Vocês acham que o conhecimento das dicas elaboradas na atividade 7 póde ajudar a prevenir acidentes?

14. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo nas etapas 3 e 4.

Respostas e comentários

4. a) Resposta pessoal.

4. b) Resposta pessoal.

4. c) Resposta pessoal.

5. a) alertar para o uso de celulares (smartphones) ao andar nas ruas.

5. b) Respostas pessoais.

Etapa 3: Comentário em Orientações.

Etapa 4: Comentário em Orientações.

13. a) Respostas pessoais.

13. b) Resposta pessoal.

14. Comentário em Orientações.

• Se achar conveniente, permita que os estudantes compartilhem as respostas da atividade 4. Oriente-os a, no momento da conversa, focar nas causas e soluções. Pode ser que esse seja um assunto sensível para alguns estudantes. Dessa fórma, é importante refletir sobre maneiras de conduzir a conversa acolhendo os estudantes que precisarem.

• As atividades 6 e 7 da etapa 3 focam os direitos e deveres dos pedestres no trânsito. Ao realizarem a atividades 6, se possível, disponibilize o Código de Trânsito Brasileiro para que possam folheá-lo. Depois, ajude-os a encontrar o capítulo mencionado na atividade. Na lousa, escreva de um lado os deveres e do outro os direitos dos pedestres levantados pela turma. Antes que elaborem a lista solicitada na atividade 7, forme uma roda de conversa para falarem sobre atitudes que todos nós podemos tomar para prevenir acidentes no trânsito.

• As atividades de 8 a 12 da etapa 4 são dedicadas à confecção, análise das placas e realização de uma campanha de trânsito seguro. Na atividade 8, os estudantes vão usar a criatividade. Oriente-os a adotar um critério ao planejar os esboços. Na atividade 9, eles vão disponibilizar os esboços com o intuito de dar e receber feedback dos colegas. É o momento de saber respeitar a opinião do próximo e agir com flexibilidade e resiliência. Nas atividades 11 e 12, você pode convidar o professor de Arte para dar sua contribuição.

• Na atividade 14, a escrita do texto sobre as etapas 3 e 4 contribui para a aprendizagem dos estudantes ao possibilitar que eles reflitam sobre os processos realizados, identificando o que aprenderam nessas etapas e as principais dificuldades que encontraram ao realizá-las.