CAPÍTULO 2 Operações com números naturais
Observe, leia e responda no caderno.
a) No total, quantas medalhas foram conquistadas pela delegação brasileira em 2020?
b) E quantas foram as medalhas conquistadas pelo atletismo? E pela natação?
c) Você conhece algum atleta medalhista dessa competição? Faça uma pesquisa e apresente o resultado aos colegas e professor.
Os Jogos Paralímpicos de Tóquio 2020, que ocorreram no período de 24 de agosto de 2021 a 5 de setembro de 2021, apresentaram exemplos de superação e humanismo. A delegação do Brasil, além de bater seu recorde de medalhas de ouro, igualou seu melhor desempenho histórico conquistado nos Jogos Paralímpicos do Rio 2016. No total, a delegação brasileira conquistou vinte e duas medalhas de ouro, 20 de prata e 30 de bronze. As medalhas foram obtidas em 14 modalidades das 20 em que o Brasil teve atletas inscritos.
O atletismo foi a modalidade que mais garantiu medalhas ao Brasil em Tóquio. Foram 8 de ouro, 9 de prata e 11 de bronze.
1. Adição
Nos Jogos Paralímpicos de Tóquio 2020, a delegação brasileira conquistou 8 medalhas de ouro a mais do que nos Jogos Paralímpicos do Rio 2016, quando ficou com 14 dessas medalhas. A natação obteve seu melhor desempenho em toda a história dos jogos, com 8 medalhas de ouro, 5 de prata e 10 de bronze.
Em 2021, o nadador Daniel Dias foi eleito membro do Conselho dos Atletas do Comitê Paralímpico Internacional (IPC, na sigla em inglês). Nas quatro edições das Paralimpíadas em que competiu, conquistou 14 medalhas de ouro, 7 de prata e 6 de bronze.
Com base nas informações apresentadas, podemos descobrir, por exemplo, o total de medalhas conquistadas pelo nadador Daniel Dias nos Jogos Paralímpicos ao longo de sua carreira. Para isso, basta juntarmos as quantidades de medalhas de ouro, prata e bronze:
Portanto, Daniel manteve-se recordista com 27 medalhas nos Jogos Paralímpicos de Tóquio.
Na calculadora, fazemos essa adição da seguinte maneira:
Com os dados apresentados, podemos obter também outras informações. Se quisermos saber, por exemplo, a quantidade de medalhas de ouro conquistadas pelo Brasil nos Jogos Paralímpicos de Tóquio, devemos acrescentar à quantidade de medalhas de ouro conquistadas nos Jogos do Rio (14) a quantidade de medalhas conquistadas a mais em Tóquio (8):
Em uma calculadora, fazemos essa adição da seguinte maneira:
As ideias de juntar e acrescentar quantidades estão relacionadas à operação de adição.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Uma piscina está com .35750 litros de água. Colocando-se outros .12250 litros, ela ficará cheia. Quantos litros de água cabem nessa piscina?
2 Dados dois números naturais, em que um é menor que 3 e o outro é menor que 5, é possível a soma deles ser 6? Justifique sua resposta com um exemplo.
3 Segundo estimativa do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (í bê gê É), estimada em 2021, o estado do Maranhão, sem considerar a capital, São Luís, tinha ..6052794 habitantes. Quantos habitantes tinha todo o estado do Maranhão, se São Luís tinha ..1115932 habitantes?
4 Na ilustração a seguir, está representada a distância rodoviária, em quilômetro, entre as cidades a, B, C, D e ê.
Quantos quilômetros percorre um automóvel que vai de:
a) a até D passando por B e C?
b) a até D passando por ê?
c) a até D passando por B e voltando até C?
d) B até ê passando por D?
5 É possível que a soma de dois números naturais maiores que 3 seja 7? Justifique.
6 Patrícia vai de ônibus para a escola. A viagem de ônibus dura cêrca de 25 minutos e ela ainda caminha mais 11 minutos a pé. Se ela pegar o ônibus às 7 horas e 10 minutos, a que horas ela deve chegar à escola?
7
Durante a decisão de um campeonato de futebol, foram realizadas duas partidas. Na primeira, o público pagante foi de .54321 pessoas, e o público não pagante foi de .3895 pessoas. Na segunda partida, a quantidade de pessoas aumentou: os pagantes foram .63247 pessoas, e os não pagantes, .5894 pessoas. Use uma calculadora para responder às questões a seguir.
a) Quantas pessoas compareceram à primeira partida? E à segunda?
b) Qual é o total de pessoas que assistiram a esses jogos?
8
Escreva no caderno todos os números com três algarismos distintos usando os algarismos 2, 5 e 7. Use uma calculadora para determinar a soma desses números.
9 Quero adicionar um número de um algarismo a um número de dois algarismos.
a) Para obter a soma 100, que pares de números posso escolher?
b) E para obter a soma 108? E para obter a soma 109?
10
Descubra uma maneira de determinar a soma .1893 + .5794 usando a calculadora, sabendo que a tecla 8 está quebrada.
11
Hora de criar – Em duplas, cada integrante vai elaborar um problema sobre adição com números naturais. Troquem de caderno para um resolver o problema do outro. Depois, destroquem para corrigi-los.
PARA SABER MAIS
Arredondar para fazer estimativas
Conhecer o valor exato de uma contagem nem sempre é tão importante. Em relação à população de um país, por exemplo, se dissermos que ela é de ..169799170 ou de 170 milhões, não estaremos mudando a ideia da quantidade de habitantes que queremos passar.
Nesse caso, dizemos que o número ..169799170 foi arredondado para 170 milhões.
É importante saber arredondar números, pois, em muitas situações do dia a dia, isso nos ajuda a fazer uma estimativa do resultado que queremos.
Arredondar um número significa trocá-lo por outro mais próximo de uma ordem escolhida. Por exemplo, ao comprar três produtos que custam 41, 28 e 19 reais, podemos arredondar esses números para 40, 30 e 20. Assim, é possível saber mais facilmente que o total a pagar é um valor próximo de 90 reais.
A fim de arredondar um número para determinada ordem, deve-se observar o primeiro algarismo que está à direita do algarismo da ordem escolhida: se for 0, 1, 2, 3 ou 4, mantém-se a ordem; se for 5, 6, 7, 8 ou 9, soma-se 1 ao algarismo da ordem escolhida.
Acompanhe exemplos de arredondamentos.
a) Para a dezena mais próxima: 36 → 40 75 → 80 183 → 180 552 → 550
b) Para a centena mais próxima: 236 → 200 657 → 700 .5418 → .5400 .7873 → .7900
c) Para o milhar mais próximo: .5982 → .6000 .24157 → .24000 .37539 → .38000 .44499 → .44000
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Em um posto de saúde, a enfermeira pediu a uma auxiliar que contasse quantas vacinas contra a gripe ainda havia nas três caixas. A auxiliar contou as vacinas de cada caixa e anotou em um papel:
617 + .1578 + 736
Para ter uma ideia do total de vacinas, a enfermeira fez um cálculo mental, arredondando as parcelas para a centena mais próxima. Observe como ela fez isso.
Verifique se o cálculo dela está correto.
2 Em uma loja, Lúcio fez uma estimativa para saber quanto pagaria por suas compras.
a) O que Lúcio fez para perceber o engano do vendedor?
b) Qual foi o valor da compra dele?
c)
Quando você precisa comprar mais de um item, costuma fazer estimativa do valor total antes de pagar? Os adultos com quem você mora costumam fazer isso? Na sua opinião, esse procedimento é importante? Por quê?
Propriedades da adição
Para ir à escola, Carlos gasta, em média, 20 minutos andando e 25 minutos no ônibus. Para voltar da escola, ele gasta, em média, 25 minutos no ônibus e 20 minutos andando. Carlos leva mais tempo na ida ou na volta da escola?
Para saber, devemos adicionar os tempos gastos:
• Tempo gasto na ida: 20 + 25 = 45
• Tempo gasto na volta: 25 + 20 = 45
Em média, o tempo gasto é o mesmo, 45 minutos.
A ordem das parcelas não alterou a soma. Isso sempre ocorre quando adicionamos dois números naturais quaisquer. Trata-se da propriedade comutativa da adição, enunciada a seguir.
Em uma adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma.
Observe mais alguns exemplos.
a) 20 + 400 = 400 + 20
b) 130 + 500 = 500 + 130
Agora, observe dois modos de efetuar a adição 5 + 3 + 7.
1º) Efetua-se a adição das duas primeiras parcelas e adiciona-se ao resultado obtido a terceira parcela.
2º) Efetua-se a adição das duas últimas parcelas e adiciona-se ao resultado obtido a primeira parcela.
Ao associar as parcelas de modos diferentes, não houve alteração na soma. Isso sempre ocorre quando adicionamos três ou mais números naturais quaisquer. Trata-se da propriedade associativa da adição, enunciada a seguir.
Em uma adição de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar as parcelas de modos diferentes sem alterar a soma.
Observe mais alguns exemplos.
a)
b)
Agora, considere as seguintes adições:
• 5 + 0 = 0 + 5 = 5
• 0 + 7 = 7 + 0 = 7
• 53 + 0 = 0 + 53 = 53
Note que em todas essas adições há um número (o zero) que, em qualquer posição, não influi no resultado. Esse número é o elemento neutro da adição. A adição de um número natural qualquer com zero (ou vice-versa) é o próprio número. Trata-se de mais uma propriedade da adição: a existência do elemento neutro, enunciada a seguir.
O zero é o elemento neutro da adição.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
12
Efetue mentalmente estas adições. Para facilitar o cálculo, utilize as propriedades comutativa e associativa da adição. Registre no caderno como calculou.
a) 73 + 15 + 5
b) 20 + 13 + 7
c) 18 + 12 + 61
d) 28 + 17 + 12
e) 15 + 0 + 5 + 9
f) 43 + 51 + 27
13
Para calcular mentalmente, Mônica usa a decomposição dos números. Observe como ela faz:
Refaça os cálculos da atividade anterior aplicando a estratégia usada por Mônica.
14 Tatiana jogou dois dados, obtendo uma soma de 9 pontos. Quais são os possíveis pares de números para que ocorra essa soma?
15 Bruno mora em Uberlândia e vai viajar para Aracaju. Ele terá de percorrer .1837 quilômetros de carro. No painel do carro há um instrumento chamado hodômetro, que marca quantos quilômetros o veículo já percorreu. No início da viagem, o hodômetro marcava .18540 quilômetros.
a) Que número marcará o hodômetro quando Bruno chegar a Aracaju?
b) Durante a estadia em Aracaju, Bruno supõe que vai percorrer cêrca de .1400 quilômetros. Quanto deverá marcar o hodômetro quando ele iniciar a volta para casa?
16 Patrícia foi com seu pai comprar material escolar. Durante as compras, ela foi conferindo e anotando os preços dos produtos. Observe a lista de Patrícia:
O pai de Patrícia disse que não podia gastar mais de 60 reais. Ao ouvir isso, ela fez as contas mentalmente e disse que poderia comprar o apontador, que custava 3 reais, pois ainda restariam 7 reais.
O cálculo que Patrícia fez está correto? Explique por que ela pode fazer o cálculo dessa maneira.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Estude os vários caminhos possíveis para que, ao entrar pelo lugar indicado, você consiga chegar até a saída.
Você deve seguir pelas linhas azuis e pode andar em todas as direções, exceto voltar por onde veio. Ao passar por um número, você deve adicioná-lo ao total que já tem. Você só pode sair pelo lugar indicado quando a soma obtida for 37.
Descubra um caminho possível e indique-o pelos números que serão colocados na ordem de percurso.
PARA SABER MAIS
Quadrado mágico
Quadrado mágico é um quadrado dividido em 4, 9, 16, 25 etcétera quadradinhos ocupados por números diferentes cuja soma dos números de qualquer linha, coluna ou diagonal tem um mesmo valor, que se chama soma mágica.
Os chineses chamavam o quadrado de lo-shu; na Figura 1, temos a representação de um quadrado mágico datado de 2850 antes de Cristo Na Figura 2, você encontra a transcrição para algarismos indo-arábicos.
Esse é um quadrado mágico de ordem 3 (três linhas e três colunas), em que aparecem os números naturais de 1 a 9, cuja soma mágica é 15.
Com o passar do tempo, os quadrados mágicos ficaram conhecidos no Ocidente, tornando-se muito populares no século dezesseis. A presença do quadrado mágico nesse período mostrou-se tão significativa que o pintor alemão Albrechi Durrár (1471‑1528) o relatou em Melancolia um, gravura de 1514.
Alguns quadrados mágicos apresentam propriedades diferenciadas.
O quadrado hipermágico é aquele que pode ser decomposto em vários quadrados mágicos.
O quadrado ilustrado é hipermágico de ordem 9 e soma mágica 369. Ele pode ser decomposto em 9 quadrados mágicos de ordem 3.
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Determine a soma mágica de cada um dos quadrados mágicos de ordem 3 obtidos a partir do quadrado hipermágico citado.
2 Escolha um dos quadrados cuja soma você calculou no exercício 1. Adicione 12 a cada número dele e verifique se o quadrado obtido ainda é mágico. Quanto aumentou a soma mágica?
3 Sabendo que, ao adicionar um mesmo número x a cada número de um quadrado mágico, fazemos a soma mágica aumentar 3 unidades, qual é o número x adicionado?
4 Usando os números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, construa um quadrado mágico de soma 18.
2. Subtração
Acompanhe estas situações.
Situação 1
Em apenas 20 anos, a população de onças-pintadas [diminuiu] no Parque Nacional do Iguaçu (PARNA Iguaçu), em Foz do Iguaçu, no Paraná, área que protege uma riquíssima biodiversidade da fauna e flora brasileiras. Segundo o Instituto para a Conservação dos Carnívoros Neotropicais (Pró-carnívoros), que trabalha com o monitoramento da espécie no Parque, as onças-pintadas foram reduzidas de 100 indivíduos para 20 indivíduos. reticências
Entre as ameaças para garantir a espécie viva na reserva, o Instituto aponta a falta de investimentos em estrutura e fiscalização, a caça predatória e de retaliação e a possibilidade de reabertura da Estrada do Colono.
Na Mata Atlântica, a estimativa é de que existam apenas duzentas e cinquenta onças-pintadas, maior felino do continente americano e maior predador terrestre do Brasil. A perda do hábitat reticências da espécie em razão do desmatamento para dar lugar a atividades agropecuárias ou pastagens nativas é crítica para o animal.
Fonte: WWF-BRASIL apoia monitoramento de onças-pintadas no Parque Nacional de Iguaçu. WWF-Brasil. 6 janeiro 2015. Disponível em: https://oeds.link/niV0el. Acesso em: 23 janeiro 2022.
Com os dados obtidos nesse texto, é possível descobrir quanto diminuiu a população de onças-pintadas do Parque Nacional do Iguaçu em 20 anos. Para isso, devemos tirar do total de indivíduos que existiam há 20 anos o total de indivíduos que existem hoje.
Logo, foram reduzidas 80 onças-pintadas.
Em uma calculadora, fazemos essa subtração da seguinte maneira:
Situação 2
Os oceanos abrigam a maior biodiversidade da Terra. O Registro Mundial de Espécies Marinhas é um banco de dados com a listagem dos seres conhecidos nos oceanos. Por enquanto, a lista soma .232588 espécies catalogadas, de um total de .239782 conhecidas.
Com as informações extraídas do texto, é possível descobrir quantas espécies o Registro Mundial de Espécies Marinhas ainda tem de catalogar para completar seu banco de dados. Para isso, devemos subtrair do total de espécies conhecidas o número de espécies já catalogadas:
Portanto, o Registro Mundial de Espécies Marinhas ainda tem de catalogar .7194 espécies.
Em uma calculadora, fazemos essa subtração da seguinte maneira:
Situação 3
Quantos médicos tem no Brasil?
De acordo com o estudo Demografia Médica Brasileira 2020, são 500 mil médicos no país [reticências].
Trata-se do maior quantitativo de médicos já registrado. Os dados apurados em 2020 são revelados em meio à maior crise da saúde mundial com a pandemia do novo coronavírus, [na qual] o médico e os demais profissionais da saúde estão na linha de frente.
Há 100 anos, em 1920 o número de médicos registrados era .14031.
Fonte: REVISAMED. Brasil tem 500 mil médicos, revela demografia 2020. 26 janeiro 2021. Disponível em: https://oeds.link/ETdjVy. Acesso em: 22 dez. 2021.
Para calcular quanto aumentou o número de médicos registrados no Brasil em um século, devemos comparar a quantidade relativa a 2020 com a quantidade relativa a 1920.
Portanto, o número de médicos registrados no Brasil aumentou, em um século, .485969.
Em uma calculadora, fazemos essa subtração da seguinte maneira:
As ideias de tirar, completar ou comparar estão relacionadas à subtração.
3. Adição e subtração
Observe as operações a seguir.
Acompanhe mais alguns exemplos.
a) 60 ‒ 20 = 40 porque 40 + 20 = 60,
e 40 + 20 = 60 porque 60 ‒ 20 = 40 ou porque 60 ‒ 40 = 20.
b) 125 ‒ 32 = 93 porque 93 + 32 = 125,
e 93 + 32 = 125 porque 125 ‒ 32 = 93 ou porque 125 ‒ 93 = 32.
Portanto, as sentenças 60 ‒ 20 = 40 e 40 + 20 = 60 são equivalentes, assim como as sentenças 125 ‒ 32 = 93 e 93 + 32 = 125.
Considerando os termos de uma subtração, percebemos que, ao adicionar a diferença com o subtraendo, obtemos o minuendo. Podemos verificar se uma dessas operações está correta por meio da outra. Dizemos, então, que a adição e a subtração são operações inversas.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
17 Cristina saiu de casa com 5 cédulas de 10 reais, 3 moedas de 1 real e duas cédulas de 2 reais. Gastou 35 reais para pagar seu almoço.
a) Quanto dinheiro sobrou?
b) De que maneira Cristina pôde pagar a conta sem receber troco?
18
Use uma calculadora para determinar a diferença entre .67185 e .31846. Em seguida, verifique se você acertou, efetuando a operação inversa.
19 Efetue as subtrações e associe a cada uma delas a adição correspondente.
a) .5812 ‒ .4815
b) .72368 ‒ .25586
20 Efetue a adição 416 + 209 e associe a ela as duas subtrações correspondentes.
21
Considere a tabela a seguir.
|
Ano |
||
|---|---|---|
|
Regiões em desenvolvimento |
2005 |
2020 |
|
África |
195 |
282 |
|
Ásia |
554 |
418 |
|
América Latina e Caribe |
52 |
60 |
|
Oceania |
2 |
3 |
Dados obtidos em: THE STATE of Food Security and Nutrition in the World. fáo, Roma, 2021. Disponível em: https://oeds.link/Er8aSx. Acesso em: 18 mar. 2022.
Com o auxílio de uma calculadora, descubra a diferença, em milhões, entre as populações malnutridas, de 2005 e 2020, na Ásia e na América Latina e Caribe.
22 Nem sempre é possível efetuar uma subtração de dois números naturais. Nas subtrações indicadas a seguir, anote no caderno o resultado daquelas que podem ser realizadas.
a) 206 menos 48
b) 116 menos 116
c) 54 menos 75
d) 91 menos 91
e) 13 menos 23
f) 67 menos 49
23 Quando é possível efetuar uma subtração de dois números naturais?
24 Podemos dizer que para a subtração vale a propriedade comutativa? Dê um exemplo que justifique sua resposta.
25
Bruna conseguiu 27 figurinhas com um amigo. Ela já tinha 173 figurinhas em seu álbum e queria saber com quantas ficou. Para isso, ela fez a seguinte adição:
Converse com um colega sobre como Bruna resolveu o problema. Você conhece outra maneira de calcular o número de figurinhas? Explique como você resolveria.
26 Em uma subtração, a diferença é 26. Qual será o valor da nova diferença se aumentarmos 10 unidades no subtraendo? E se o minuendo aumentar em 4 unidades? E se o minuendo e o subtraendo aumentarem em 9 unidades?
27 Considere o texto de abertura deste capítulo. Se, nos Jogos Paralímpicos de Tóquio, em 2020, o Brasil conquistou 30 medalhas de bronze e 20 medalhas de prata, que operação matemática devemos fazer para obter o número de medalhas de bronze a mais que de prata que a delegação brasileira ganhou?
28 Ao fazer uma jarra de limonada, coloquei 100 gramas de açúcar. Depois, coloquei mais 50 gramas. Experimentei e não estava boa. Resolvi acrescentar 250 gramas de açúcar. A limonada ficou gostosa, mas muito doce. Cheguei à conclusão de que o último acréscimo de açúcar deveria ter sido de apenas 150 gramas.
a) Quantos gramas de açúcar coloquei no total?
b) Quantos gramas coloquei a mais que o ideal para meu paladar?
29 Lembrando que a adição e a subtração são operações inversas, descubra que número natural cada etiqueta (
) esconde.
a)
menos 12 = 20
b)
+ 36 = 75
c)
menos 15 = 25
d)
+ 98 = 231
30 De um número natural x de três algarismos, quero subtrair um número de dois algarismos e obter outro número natural de um algarismo.
a) Se x for 100, que números posso escolher?
b) E se x for 108?
c) E se x for 109?
31
Hora de criar ‒ Em duplas, cada integrante vai elaborar um problema que deve ser resolvido por meio da adição e da subtração com números naturais e que deve ter resultado final igual a 83. Depois, conversem sobre os problemas elaborados e verifiquem se atendem à proposta apresentada.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Descubra, em cada item, o valor de
,
e
, sabendo que representam, nessa ordem, números consecutivos formados por um algarismo.
a)
b)
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Construindo quadros e tabelas
A Medalha Internacional de Descobrimentos Proeminentes em Matemática, conhecida popularmente como Medalha Fields, é concedida a dois, três ou quatro matemáticos com idade máxima de 40 anos. É o prêmio mais importante dessa área, frequentemente comparado ao Prêmio Nobel.
Desde que foi instituída pelo matemático canadense John Charles Fields, em 1936, essa medalha tem sido entregue a cada quatro anos a jovens matemáticos que tenham grandes destaques em suas pesquisas.
Em 2018, os medalhistas foram Alessio Figalli (italiano), Ashkay Venkatesh (australiano de origem indiana), Caucher Birkar (britânico de origem curda) e Peter Scholze (alemão).
De maneira aleatória, as Medalhas Fields distribuídas até 2018 estão listadas a seguir, de acordo com os países de naturalidade dos condecorados.
|
EUA |
Reino Unido |
EUA |
EUA |
Reino Unido |
Irã |
|
Ucrânia |
França |
Japão |
Rússia |
França |
Nova Zelândia |
|
Japão |
Rússia |
Brasil |
EUA |
Reino Unido |
EUA |
|
Rússia |
EUA |
França |
Itália |
Alemanha |
Israel |
|
França |
França |
França |
EUA |
Austrália |
China |
|
Canadá |
Vietnã |
Rússia |
França |
França |
França |
|
EUA |
Noruega |
Japão |
Áustria |
Bélgica |
Itália |
|
Reino Unido |
EUA |
EUA |
Rússia |
Rússia |
Índia |
|
Bélgica |
Suécia |
França |
EUA |
EUA |
Irã |
|
Finlândia |
Rússia |
África do Sul |
Reino Unido |
Rússia |
Alemanha |
Observe que essa lista, com dados dispostos aleatoriamente, não oferece uma leitura prática para sabermos quantas Medalhas Fields foram concedidas a cada país. Organizando as informações em um quadro, a análise dos dados será mais fácil. Para isso, inicialmente, podemos percorrer a lista e atribuir um traço para cada vez que determinado país aparece.
|
País de naturalidade |
Quantidade de Medalhas Fields conquistadas |
|---|---|
|
EUA |
12 |
|
Bélgica |
2 |
|
França |
10 |
|
Japão |
3 |
|
Reino Unido |
5 |
|
Rússia |
8 |
|
Outros (17 países) |
22 |
Dados obtidos em: INTERNATIONAL Mathematical Union. Disponível em: https://oeds.link/Ecy8tk. Acesso em:21 fevereiro. 2022.
Esse quadro tem o título Distribuição de Medalhas Fields por país de naturalidade dos matemáticos premiados até 2018, além de duas colunas (divisões na vertical) e oito linhas (divisões na horizontal).
Na 1ª linha, são apresentados:
• na coluna da esquerda, o assunto pesquisado (no caso, o país de naturalidade dos ganhadores das Medalhas Fields);
• na coluna da direita, o tipo de dado que se relaciona ao assunto (no caso, a quantidade de Medalhas Fields conquistadas por país).
Da 2ª à 8ª linha são especificados:
• na coluna da esquerda, alguns países de naturalidade dos ganhadores e a categoria “Outros”;
• na coluna da direita, a quantidade de medalhas correspondentes a cada país e à categoria “Outros”.
Agora quem trabalha é você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Cada estudante da turma de Enrico escreveu na lousa o nome de sua fruta preferida.
Com base nas informações na lousa, construa uma tabela. Dê um título à tabela e identifique a categoria dos dados e os dados obtidos. Depois, responda:
a) Quantos estudantes têm seriguela como fruta preferida?
b) Que fruta é apontada como a preferida dos estudantes da turma de Enrico?
c) Quantos estudantes preferem caju a outras frutas?
d) Que fruta tem a maior preferência: jabuticaba ou morango?
2 Faça uma pesquisa com os colegas da turma sobre o animal de estimação preferido e organize os dados obtidos em uma tabela. Compare a tabela construída por você com a de outros colegas. Há diferenças entre as tabelas construídas? Justifique.
Adicionando e subtraindo mentalmente
Considere o número 25. Ele pode ser decomposto em parcelas de várias maneiras. Observe:
Outra maneira de decompor o número 25 é separando o maior número de dezenas das unidades. Observe.
Essa maneira de decompor um número ajuda no cálculo mental de algumas operações.
Acompanhe algumas estratégias para fazer o cálculo mentalmente.
a) Cálculo de 56 + 37, decompondo 37 em dezenas e unidades.
b) Para calcular 56 + 37, podemos também decompor os dois números em dezenas e unidades.
c) Cálculo de 45 ‒ 28, fazendo 45 menos 20 = 25 e 25 menos 8 = 17.
d) Para calcular 45 menos 28, também podemos usar a ideia de completar quantidades.
• 28 para 30 faltam 2.
• 30 para 45 faltam 15.
2 + 15 = 17
Assim, 45 menos 28 = 17.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
32
Calcule mentalmente as operações e, depois, registre como você fez o cálculo. Em seguida, junte-se a um colega e comparem os procedimentos usados.
a) 14 + 67
b) 74 + 28
c) 39 + 42
d) 77 + 23
e) 42 menos 14
f) 72 menos 56
g) 85 menos 26
h) 95 menos 36
33 Calcule: 12 + 25 + 18 + 15.
Agora, calcule: (12 + 18) + (25 + 15 ) .
Para você, qual das duas formas utilizadas é a mais simples? Por quê?
34
Resolva mentalmente as adições a seguir da maneira mais simples.
a) 11 + 37 + 9
b) 20 + 10 + 76
c) 54 + 23 + 7
d) 43 + 21 + 7 + 56 + 4
35
Podemos imaginar “saltos” em uma reta numérica para calcular mentalmente o resultado de adições. Observe.
• Para calcular 65 + 37:
Logo, 65 + 37 = 102.
• Para calcular 135 + 98:
Logo, 135 + 98 = 233.
(Representações esquemáticas sem proporção.)
Agora, calcule mentalmente o resultado das adições imaginando “saltos” em uma reta numérica.
Os “saltos” podem ser de 10 em 10, de 20 em 20, de 100 em 100 etcétera e apenas com as unidades.
Em seguida, registre no caderno e verifique o resultado.
a) 49 + 27
b) 86 + 76
c) 125 + 148
d) 225 + 143
36
Também podemos subtrair mentalmente imaginando “saltos” em uma reta numérica. Observe.
• Para calcular 84 menos 46:
Então, 84 menos 46 = 38.
• Para calcular 123 menos 45
Então, 123 ‒ 45 = 78.
(Representações esquemáticas sem proporção.)
Agora, calcule mentalmente o resultado das subtrações imaginando “saltos” em uma reta numérica. Em seguida, faça o registro no caderno e verifique o resultado.
a) 57 menos 18
b) 65 menos 37
c) 74 menos 68
d) 196 menos 103
e) 346 menos 150
f ) 550 menos 206
37
Escreva um texto explicando como você faria para calcular mentalmente a adição 158 + 372 e a subtração 878 menos 269. Compartilhe sua resposta com o professor e os colegas de turma.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Para adicionar dois números usando este quadro, basta fixar um número na primeira linha e outro na primeira coluna: na intersecção da linha com a coluna, obtemos a soma desses números.
Como exemplo, se adicionarmos o número 4, que está na primeira linha (horizontal), e o número 5, que está na primeira coluna (vertical), obteremos soma 9, que está no cruzamento das duas.
Agora, faça o que se pede.
1 Com base no quadro apresentado, construa um quadro em que seja possível calcular 9 + 8. No mínimo, quantas linhas e quantas colunas o novo quadro terá?
2 Se colocarmos mais 5 linhas e 5 colunas no quadro construído na atividade anterior, continuando a sequência, será possível encontrar o número 23 como resultado da soma de dois números? Explique.
Expressões numéricas com adições e subtrações
Enquanto serve os últimos fregueses, Alberto pensa em como administrar o estoque de pães de hambúrguer da lanchonete.
Alberto resolve o problema da seguinte maneira:
200 menos 85 menos 98 + 120
Essa sequência de operações é um exemplo de expressão numérica. Ela pode ser representada por um único número, obtido quando efetuamos as operações.
Vamos calcular o valor da expressão numérica da situação apresentada:
Portanto, Alberto iniciará o trabalho na quarta-feira com 137 pães.
Note que, para determinar o valor de uma expressão numérica que envolve adições e subtrações, efetuamos essas operações na ordem em que aparecem.
Em uma calculadora, fazemos esse cálculo da seguinte maneira:
Os sinais de associação em uma expressão numérica
Existem expressões numéricas que apresentam sinais de associação:
( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves
Para exemplificar, observe estas expressões:
a) (12 menos 5) + 3
b) 12 menos (5 + 3)
Note que a posição dos parênteses é diferente nas duas expressões. Vamos calculá-las.
a)
b)
Repare que, por causa da posição dos parênteses, os valores das duas expressões são diferentes. Por isso, a posição dos parênteses e dos outros sinais de associação é muito importante. A presença desses sinais indica que devemos resolver as operações neles contidas seguindo uma ordem: primeiro, efetuam-se as operações entre parênteses; depois, as operações entre colchetes; finalmente, aquelas que estão entre chaves.
Observe mais alguns exemplos.
a) 2 + 5 + [7 menos (3 menos 1)] = = 2 + 5 + [7 menos 2] = = 2 + 5 + 5 = = 7 + 5 = 12
b) [2 + (5 + 7) menos 3] menos 1 = = [2 + 12 menos 3] menos 1 = = [14 menos 3] menos 1 = = 11 menos 1 = 10
c) 2 + [5 + (7 menos 3) menos 1] = = 2 + [5 + 4 menos 1] = = 2 + [9 menos 1] = = 2 + 8 = 10
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
38 Calcule o valor das expressões numéricas.
a) 36 ‒ 5 + 12 + 10
b) 36 ‒ (5 + 12) ‒ 10
c) 36 ‒ (12 + 10 ‒ 15)
d) (36 ‒ 5) ‒ (12 + 10)
39 Se Carlos tivesse mais 8 reais, poderia comprar um sorvete por 1 real, um sanduíche por 8 reais e ainda lhe sobraria 1 real. Quantos reais Carlos tem?
40 Na caixa de entrada de seu e-mail, Pedro acumulou seiscentas e cinquenta mensagens em um mês e deletou duzentas e oitenta e oito delas. No mês seguinte, ele recebeu setecentas e quarenta novas mensagens e apagou .1000 mensagens.
a) Determine a expressão que corresponde a essa situação.
b) Quantas mensagens ficaram na caixa de entrada de Pedro?
41 Um alpinista, depois de subir 455 metros de uma montanha, subiu mais 325 metros, porém escorregou e desceu 18 metros. Depois, ele tornou a subir 406 metros.
a) Determine a expressão correspondente a essa situação.
b) Qual é o valor dessa expressão?
c) A que altura da base da montanha se encontra esse alpinista?
42
Hora de criar – Pense em um número de três algarismos e escreva esse número como a soma de quatro números. Substitua dois desses quatro números pela diferença de outros dois números. Troque com um colega essas expressões numéricas criadas por vocês. Depois de cada um calcular o valor da expressão do outro, destroquem para corrigi-las.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Giovana achou um velho caderno com exercícios em uma caixa guardada por seu pai. Mas repare no que as traças fizeram!
Descubra as contas que havia no caderno do pai de Giovana e escreva-as no caderno.
4. Multiplicação
Acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
Bruna comprou um sofá, que pretende pagar em 10 parcelas de 230 reais cada uma. Qual será o valor total que Bruna pagará pelo sofá?
Podemos resolver esse problema usando uma adição de 10 parcelas iguais. Observe:
Podemos usar também a multiplicação de 10 por 230.
Logo, Bruna pagará .2300 reais pelo sofá.
Em uma calculadora, fazemos esse cálculo da seguinte maneira:
Situação 2
Em 2021, com a cidade de Paris em festa por receber os Jogos Paralímpicos de 2024, ao som da orquestra da França, houve uma apresentação coreográfica de um grupo de pessoas em cadeiras de rodas. Observe a imagem.
Para saber quantas pessoas sentadas participaram da coreografia não é necessário contar uma a uma. Como elas estão dispostas em uma formação retangular de 7 fileiras com 18 pessoas cada uma, basta efetuar a seguinte operação:
Logo, há 126 pessoas sentadas participando da coreografia.
Em uma calculadora, fazemos esse cálculo da seguinte maneira:
Situação 3
Ana e suas amigas estavam estudando juntas e resolveram preparar lanches naturais e suco de laranja. Sabendo que para fazer 1 copo de suco são necessárias 3 laranjas, quantas laranjas serão usadas para fazer 4 copos de suco?
Se, para 1 copo, são necessárias 3 laranjas, para 4 copos temos:
Portanto, para fazer 4 copos de suco de laranja, serão usadas 12 laranjas.
Nesse exemplo, está presente a ideia de proporção.
Em uma calculadora, fazemos esse cálculo da seguinte maneira:
As ideias de adição de parcelas iguais, formação retangular e proporção estão relacionadas à multiplicação.
Observações
▶ Podemos indicar uma multiplicação substituindo o sinal de vezes (×) por um ponto ( ⋅ ).
Observe alguns exemplos.
a) 13 × 5 ou 13 ⋅ 5
b) 4 × 5 ou 4 ⋅ 5
▶ O resultado de duas vezes um número é chamado dobro.
▶ O resultado de 3 vezes um número é chamado triplo.
▶ O resultado de 4 vezes um número é chamado quádruplo.
Assim:
• O dobro de 9 é 2 ⋅ 9, isto é, 18.
• O triplo de 14 é 3 ⋅ 14, isto é, 42.
• O quádruplo de 18 é 4 ⋅ 18, isto é 72 .
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
43 Em uma plantação, existem 118 fileiras com 84 pés de abacaxi em cada uma.
a) Para obter o número de pés de abacaxi, podemos fazer uma operação. Que operação é essa?
b) Que nome damos aos números 118 e 84 nessa operação? E ao resultado?
c) Quantos pés de abacaxi há nessa plantação?
44 Represente cada adição com uma multiplicação.
a) 5 + 5 + 5 + 5
b) 2 + 2 + 2 + 2 + 2
c) 7 + 7 + 7
d) a + a
45 Observe a figura a seguir.
Considerando essa figura, escreva:
a) a adição de 4 parcelas iguais que fornece o número de quadradinhos;
b) a adição de 7 parcelas iguais que fornece o número de quadradinhos;
c) a multiplicação de dois fatores que também fornece o número de quadradinhos.
46 Larissa mora no 13º andar, e os dois elevadores do prédio quebraram. De um pavimento a outro, são 18 degraus de escada. Quantos degraus Larissa terá de subir para chegar em casa, vindo do apartamento de sua amiga, que mora no 4º andar do mesmo prédio?
47 Em uma multiplicação, um dos fatores é zero. Qual é o produto?
48
Calcule mentalmente:
a) 5 ⋅ 10
b) 32 ⋅ 100
c) 74 ⋅ .1000
d) 42 ⋅ .10000
49
Continue calculando mentalmente:
a) 25 ⋅ 2
b) 25 ⋅ 200
c) 5 ⋅ 60
d) 5 ⋅ 600
e) 8 ⋅ 9
f) 80 ⋅ 90
50 Nosso coração bate, em média, 70 vezes por minuto. Quantas batidas nosso coração dá em 1 dia? Lembre-se de que uma hora é o mesmo que 60 minutos.
51 Responda às questões.
a) Quantos
existem na figura a seguir?
b) Quantos
e
existem na figura?
c) Quantos
,
,
,
existem?
52 Leia as especificações que há no rótulo de uma embalagem de suco de uva. Depois, faça o que se pede.
|
Quantidade |
1 copo |
|---|---|
|
Água (mL) |
168 |
|
Quilocalorias |
155 |
|
Proteína (g) |
1 |
|
Gordura (g) |
Traços* |
|
Carboidrato (g) |
38 |
|
Cálcio (mg) |
23 |
|
Potássio (mg) |
334 |
|
Vitamina A (UI) |
20 |
* Nesse contexto, o termo traços significa quantidade mínima, algo que não se consegue quantificar.
a) Sabendo que essa embalagem contém 4 copos, copie o quadro acrescentando, à direita, uma coluna com os valores referentes ao total do conteúdo do recipiente.
b) Consta também no rótulo a informação de que, para cada porção de suco, devem ser acrescentadas 3 porções de água e açúcar a gôsto. Quantos copos de água devo usar para preparar todo o suco de uma embalagem? Quantas colheres de açúcar? Quantos copos de suco é possível preparar?
c)
Você já parou para observar as informações contidas nas embalagens de produtos que consome? Pesquise embalagens de produtos alimentícios e verifique se há informações que possibilitem identificar seus componentes, se há alertas para algum componente alergênico, entre outras informações. Reflita sobre a importância dessas informações e converse com o professor e os colegas.
53
Hora de criar – Em duplas, cada integrante vai elaborar um problema sobre multiplicação com números naturais. Troquem de caderno para um resolver o problema do outro. Depois, destroquem para corrigi-los.
Outra ideia associada à multiplicação
Considere as situações a seguir.
Situação 1
Bia tem duas calças de agasalho e quatro camisetas para treinar atletismo. De quantos modos diferentes ela pode se vestir para ir aos treinos?
Acompanhe como podemos combinar essas peças:
Observe que basta multiplicar 2 por 4 para encontrar o número de opções de vestimenta (2 ⋅ 4 = 8). O número 2 representa as duas possíveis escolhas de calças, e o número 4, as quatro possíveis escolhas de camisetas. Logo, existem 8 possibilidades diferentes para Bia se vestir.
Esse tipo de esquema, que leva à resposta de problemas envolvendo um raciocínio multiplicativo combinatório, é chamado árvore das possibilidades.
Situação 2
Na lanchonete da escola de Manoela são oferecidas três opções de sanduíche (natural, frango e queijo), duas opções de suco (laranja e uva) e três opções de doce (brigadeiro, cajuzinho e bicho de pé).
Quantas são as possibilidades de Manoela escolher seu lanche, sabendo que ela vai comprar um sanduíche, um suco e um doce?
Vamos representar as opções no esquema a seguir.
Nesse caso, basta fazer uma multiplicação para encontrar quantas possibilidades Manoela tem de escolher seu lanche. Observe.
Logo, Manoela tem 18 possibilidades de escolher seu lanche.
Um esquema como esse é um instrumento útil para descrever todas as possibilidades de um evento, porém é inadequado quando a quantidade de opções e de itens é grande.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
54 Em um cinema, é possível comprar pipoca doce ou salgada em pacote pequeno, médio ou grande. Quantas são as possibilidades para a compra de um pacote de pipoca nesse cinema?
55 Rafael lança um dado e uma moeda ao mesmo tempo e observa as faces voltadas para cima. De quantos modos diferentes essas faces podem aparecer?
56 Tenho três lápis de cor nas cores azul, amarela e verde. Desejo pintar três faixas em uma figura com essas três cores, usando uma cor para cada faixa, conforme mostra a figura a seguir.
De quantas maneiras poderei fazê-lo? Desenhe todas as possibilidades.
57 De quantas maneiras posso calçar meus pés tendo três pares de tênis e cinco pares de meias diferentes?
58 Para fazer o trajeto de sua casa até a escola, Luciana tem de tomar duas conduções. Nem sempre ela usa os mesmos meios de transporte. Na primeira parte do percurso, Luciana toma trem ou ônibus; na segunda parte, metrô, carona no carro de uma amiga ou ônibus. De quantos modos diferentes Luciana pode fazer o trajeto de sua casa até a escola? E, supondo dispor dos mesmos meios para a volta da escola, de quantos modos diferentes poderá fazê-la?
59 Em uma lanchonete há 3 tipos de sanduíche, 2 tipos de suco e 2 tipos de sobremesa.
a) De quantas maneiras diferentes pode-se fazer uma refeição nessa lanchonete escolhendo 1 sanduíche, 1 suco e 1 doce?
b) Qual é a possibilidade de refeição mais barata que tenha um item de cada categoria?
60 Lucas está brincando com duas moedas. Ele lança as moedas e observa a face que fica virada para cima: cara ou coroa. Ao lançar duas moedas ao mesmo tempo, que faces poderá obter?
61
Hora de criar – Em duplas, cada integrante vai elaborar um problema sobre multiplicação com raciocínio combinatório. Troquem de caderno para um resolver o problema do outro. Depois, destroquem para corrigi-los.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
De quantas maneiras diferentes posso pintar as faixas de uma bandeira de 4 listras, usando as cores verde, azul, vermelha e amarela, sem repeti-las?
Observe uma das possibilidades na bandeira ilustrada.
PARA SABER MAIS
Multiplicação hindu
Os hindus desenvolveram vários métodos práticos para resolver problemas.
Para multiplicar dois números, criaram um método conhecido por vários nomes: “multiplicação em gelosia”, “em célula”, “em grade” ou “quadrilateral”.
Vamos efetuar algumas multiplicações aplicando esse método.
• 9 ⋅ 23
Produtos parciais:
9 ⋅ 3 = 27
9 ⋅ 2 = 18
Observe que o fator 9 está localizado à esquerda e o fator 23, abaixo, com os produtos parciais 27 e 18 ocupando as células interiores.
Os dígitos das fileiras diagonais são adicionados da direita para a esquerda:
O produto 207, anterior, deve ser lido da esquerda para a direita.
Assim: 9 ⋅ 23 = 207
• 45 ⋅ 16
Procedendo da mesma maneira que no exemplo anterior, obtemos:
Assim: 45 ⋅ 16 = 720
O método utilizado pelos hindus funciona com multiplicações entre números com qualquer quantidade de algarismos. Observe:
76 ⋅ 317 = .24092
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Aplicando o método hindu de multiplicação, calcule:
a) 37 ⋅ 43
b) 18 ⋅ 532
c) 125 ⋅ .9046
2 Escreva dois números e faça a multiplicação entre eles usando o método hindu e o algoritmo tradicional. Depois, responda: qual deles você acha mais fácil? Explique.
Propriedades da multiplicação
Ana e Lúcio compraram o mesmo tipo de chocolate. Ela comprou duas caixas com 18 bombons em cada caixa, ele comprou 18 caixinhas com 2 bombons em cada uma. Quem comprou mais bombons?
Para saber, devemos multiplicar o número de caixas e o número de bombons em cada caixa:
A ordem dos fatores não alterou o produto. Isso sempre ocorre quando multiplicamos dois números naturais quaisquer. Trata-se da propriedade comutativa da multiplicação.
Em uma multiplicação de dois números naturais, a ordem dos fatores não altera o produto.
Observe outros exemplos.
a) 24 ⋅ 2 = 2 ⋅ 24 = 48
b) 20 ⋅ 98 = 98 ⋅ 20 = .1960
Agora, observe dois modos de efetuar o produto 2 ⋅ 5 ⋅ 3.
1º modo
Efetua-se a multiplicação dos dois primeiros fatores e, depois, multiplica-se esse resultado pelo terceiro fator.
2º modo
Efetua-se a multiplicação dos dois últimos fatores e multiplica-se o primeiro fator pelo resultado obtido.
Ao associar os fatores de modos diferentes, o produto não se alterou. Esse fato sempre ocorre quando multiplicamos três ou mais números naturais quaisquer. Trata-se da propriedade associativa da multiplicação.
Em uma multiplicação de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar os fatores de modos diferentes sem alterar o produto.
Observe mais alguns exemplos.
a)
b)
Agora, considere as seguintes multiplicações:
• 1 ⋅ 18 = 18 ⋅ 1 = 18
• 22 ⋅ 1 = 1 ⋅ 22 = 22
• 1 ⋅ 327 = 327 ⋅ 1 = 327
Note que em todas essas multiplicações há um número (1) que, em qualquer posição, não influi no resultado. Esse número é o elemento neutro da multiplicação. A multiplicação de um número natural qualquer por 1 (ou vice-versa) é o próprio número. Trata-se de mais uma propriedade da multiplicação: a existência do elemento neutro.
O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
62 O produto 12 ⋅ 15 ⋅ 2 fica mais fácil de ser resolvido assim:
12 ⋅ (15 ⋅ 2) = 12 ⋅ 30 = 360
No caderno, mostre o modo mais fácil de calcular os seguintes produtos e determine-os.
a) 36 ⋅ 25 ⋅ 4
b) 5 ⋅ 45 ⋅ 2
c) 9 ⋅ 8 ⋅ 5
63 Efetue os produtos aplicando as propriedades da multiplicação.
a) 2 ⋅ 17 ⋅ 5
b) 2 ⋅ 15 ⋅ 36
c) 18 ⋅ 5 ⋅ 4
d) 2 ⋅ 38 ⋅ 5
e) 25 ⋅ 137 ⋅ 4
f) 12 ⋅ 0 ⋅ 1
g) 14 ⋅ 20 ⋅ 10
h) 12 ⋅ 1 ⋅ 10
i) 8 ⋅ 21 ⋅ 5
j) 75 ⋅ 1 ⋅ 4
64 Uma impressora faz 12 cópias por minuto. Outra imprime o triplo de cópias dos mesmos impressos em um minuto. Quantas cópias a segunda impressora faz em 15 minutos?
65 Uma loja vendeu 84 peças de roupas em outubro. Em novembro, vendeu o dobro de peças e, em dezembro, o triplo das peças vendidas em novembro. Quantas peças de roupa foram vendidas nesse trimestre?
66 Fábio tem trínta e duas bolinhas de gude, Fernanda tem o dobro das bolinhas de gude de Fábio, Ivone tem o triplo das bolinhas de gude de Fernanda e Francisco tem o quádruplo das bolinhas de gude de Ivone. Quantas bolinhas de gude tem cada um?
67
A calculadora de Fernando está com as teclas 6 e 8 quebradas. Para calcular o resultado da operação 16 ⋅ .4802, ele apertou a seguinte sequência de teclas:
a) O cálculo de Fernando está correto?
b) Redija uma explicação de como Fernando pensou para resolver esse problema.
c) Existe uma fórma de calcular o resultado dessa operação apertando-se um número menor de teclas? Justifique sua resposta.
d) Há uma maneira de fazer esse cálculo trocando-se uma operação de multiplicação por uma adição? Dê um exemplo.
A propriedade distributiva
Para entender a propriedade distributiva da multiplicação, vamos considerar as situações a seguir.
Situação 1
Mário é florista. Ele prepara suas mudas de girassol em pequenos vasos. Para atender a uma encomenda, Mário organizou os vasos sobre duas placas retangulares, conforme mostra a figura.
Quantos vasos de girassol foram vendidos nessa encomenda?
Calculando o número de vasos sobre cada placa e adicionando os resultados, temos:
Contando como se fosse uma placa única, podemos escrever:
3 ⋅ (4 + 5) = 3 ⋅ 9 = 27
Observamos que 3 ⋅ (4 + 5) é o mesmo que 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5.
Portanto, foram vendidos 27 vasos de girassol.
Situação 2
A figura a seguir representa o piso de duas salas. Quantas lajotas foram usadas nesses pisos?
O número de lajotas da sala 1 é obtido calculando-se 6 ⋅ 8. O número de lajotas da sala 2, calculando-se 6 ⋅ 10.
Como o número total de lajotas é igual ao número de lajotas da sala 1 mais o número de lajotas da sala 2, temos:
Logo, foram usadas 108 lajotas.
Assim, a multiplicação foi distribuída pelas parcelas de uma adição e, depois, os resultados foram adicionados, isto é, foi aplicada a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
Essa propriedade também pode ser aplicada em relação à subtração, como nos exemplos a seguir.
a)
b)
c)
d)
Observe nos exemplos a seguir como a propriedade distributiva pode ajudar a realizar cálculos mais rápidos ou mentalmente.
a)
b)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
68 Calcule aplicando em cada caso a propriedade distributiva da multiplicação.
a) 8 ⋅ (9 + 4)
b) 10 ⋅ (7 ‒ 2)
c) (4 + 6) ⋅ 3
d) 4 ⋅ (6 ‒ 2)
e) (8 ‒ 3) ⋅ 8
f) (10 ‒ 4) ⋅ 8
69 Uma baleia-azul adulta pode pesar tanto quanto 26 elefantes africanos adultos, que têm aproximadamente .5000 quilogramas cada um. Calcule quantos quilogramas tem uma baleia-azul, aproximadamente.
70 Descubra e corrija as sentenças falsas, tornando-as verdadeiras.
a) 6 ⋅ 1 = 6
b) Se a é um número natural, então 5 ⋅ a = a ⋅ 5.
c) 6 ⋅ (7 + 4) = 6 ⋅ 4 + 6 ⋅ 7
d) 10 ⋅ (x + 1) = 10 ⋅ x
e) 5 ⋅ 0 = 5
71
Maria usa a decomposição para calcular mentalmente o resultado da multiplicação 6 ⋅ 35.
Observe.
Calcule mentalmente o resultado das multiplicações a seguir, imaginando que um dos fatores é decomposto em dezenas e unidades.
a) 5 ⋅ 15
b) 7 ⋅ 42
c) 3 ⋅ 25
d) 4 ⋅ 13
e) 7 ⋅ 93
f) 6 ⋅ 58
72
Hora de criar – Em duplas, cada integrante vai elaborar um problema em que se empregue(m) propriedade(s) de multiplicação. Troquem de caderno para um resolver o problema do outro. Depois, destroquem para corrigi-los.
73
Hora de criar – Escreva um número que seja o produto de três outros números naturais. Escreva esses três números multiplicados. Escreva-os novamente, agora substituindo-os por somas ou diferenças de três outros números. Troque com um colega essa última expressão numérica. Depois de cada um resolver a expressão elaborada pelo outro, destroquem para verificar se o colega chegou ao número inicialmente pensado.
Pense mais um poucoreticências
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Junte-se a um colega e façam o que se pede.
1
Pensem em números de dois algarismos. Usando uma calculadora, multipliquem esses números por 101. Registrem cada multiplicação com o resultado obtido.
Agora, observando o que aconteceu com os produtos, calculem mentalmente:
a) 98 ⋅ 101
b) 89 ⋅ 101
2
Pensem em números de três algarismos. Usando uma calculadora, multipliquem esses números por .1001. Registrem cada multiplicação com o resultado obtido.
Agora, observando o que aconteceu com os produtos, calculem mentalmente:
a) 356 ⋅ .1001
b) 499 ⋅ .1001
3 Escrevam o produto de:
a) um número ab por 101;
b) um número abc por .1001.
5. Divisão
Acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
Em uma gincana promovida pelo Colégio Aprender, os estudantes arrecadaram oitocentas e quarenta latas de leite em pó, que foram doadas a instituições assistenciais. Para a doação, as latas de leite foram embaladas em caixas contendo 30 latas cada uma.
Para saber quantas caixas foram necessárias para embalar todas as latas, devemos procurar o número que, multiplicado por 30, resulte em oitocentas e quarenta.
Ao fazer isso, estamos realizando uma operação chamada divisão.
O número procurado é 28, pois: 28 ⋅ 30 = 840.
Vamos montar a divisão que nos dá esse resultado:
840 dividido por 30 = 28
Logo, foram necessárias 28 caixas.
Em uma calculadora, fazemos essa divisão da seguinte maneira:
Nesse problema, ao dividir o total de latas de leite pela quantidade que cabe em cada caixa, fazemos uma repartição em partes iguais, uma distribuição equitativa do total dessas latas.
Situação 2
Os grilos são grandes saltadores. Um grilo chega a saltar uma distância de 90 centímetros, o que corresponde a 30 vezes o seu tamanho.
De acordo com as informações apresentadas, qual é o comprimento do grilo?
Para saber o comprimento do grilo, devemos fazer a seguinte divisão:
90 dividido por 30 = 3
Ao efetuar essa divisão, estamos calculando quantas vezes o número 30 cabe em 90. Essa é a ideia de medida, também associada a uma divisão.
Logo, de acordo com as informações apresentadas, o comprimento do grilo é 3 centímetros.
Em uma calculadora, fazemos essa divisão da seguinte maneira:
As ideias de distribuição equitativa (repartição em partes iguais) ou de medida (quantas vezes uma quantidade cabe em outra) estão relacionadas à divisão.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
74 Uma granja tem .1944 ovos de codorna que devem ser acondicionados em caixas contendo 36 ovos cada uma. Quantas caixas serão necessárias para acondicionar todos os ovos?
75 Qual é o valor de:
a) 7 ⋅ 39? E de 273 dividido por 7? E de 273 dividido por 39?
b) 12 ⋅ 26? E de 312 dividido por 26? E de 312 dividido por 12?
c) 22 ⋅ 31? E de 682 dividido por 22? E de 682 dividido por 31?
d) 15 ⋅ 123? E de .1845 dividido por 15? E de .1845 dividido por 123?
76 Na produção de 800 carros iguais, foram usados ..1003200 parafusos. Quantos parafusos tem cada carro desse modelo?
77 Um atleta percorreu .10000 metros dando voltas em uma pista circular de 400 metros de comprimento. Quantas voltas o atleta deu nessa pista?
78 Ao entrar em um elevador, Pedro leu uma placa que informava a capacidade do elevador.
Quantos quilogramas, em média, o engenheiro que projetou esse elevador estimou para cada uma das 13 pessoas?
79 Para percorrer 352 quilômetros, um carro consumiu 32 litros de gasolina. Viajando nas mesmas condições, quantos litros esse carro vai gastar para percorrer 451 quilômetros?
80 Em uma festa de aniversário, foram preparados 3 saquinhos de doce para cada uma das 45 crianças convidadas. Entretanto, 5 delas não compareceram.
a) Quantos saquinhos de doce haviam sido preparados?
b) Tendo em vista que 5 crianças não compareceram, quantos saquinhos de doce sobraram?
c) É possível dar um saquinho de doce a mais para cada uma das crianças presentes? Se não, quantos saquinhos a mais deveriam ter sido preparados para que fosse possível dar 4 saquinhos para cada criança?
81
Hora de criar – Em duplas, cada integrante vai elaborar um problema sobre divisão com números naturais. Troquem de caderno para um resolver o problema do outro. Depois, destroquem para corrigi-los.
Propriedade fundamental da divisão
Considere as seguintes situações.
Situação 1
Um centro esportivo municipal tinha duzentas e vinte e cinco bolas de basquete para distribuir igualmente entre as 27 escolas de basquete mantidas pela prefeitura. Feita a distribuição, o responsável percebeu que foram dadas 8 bolas a cada escola e ainda sobraram 9 bolas:
Observe a igualdade que podemos escrever com os termos da divisão.
Situação 2
Entre outros alimentos, uma creche recebeu 13 dúzias de maçãs para distribuir na merenda das 35 crianças matriculadas. É possível oferecer uma maçã para cada criança nos 5 dias da semana em que a creche funciona? Se não for possível, quantas maçãs faltarão?
Para responder a essa dúvida, devemos dividir o total de maçãs recebidas pelo total de crianças e verificar se dá 5, o número de dias úteis da semana.
Total de maçãs recebidas, 13 dúzias: 13 ⋅ 12 = 156 a serem divididas entre 35 crianças.
É possível dar uma maçã para cada estudante em apenas 4 dias e sobram 16 maçãs.
Observe que a relação entre esses números é: 156 = 4 ⋅ 35 + 16.
Isso significa que temos 4 grupos de 35 maçãs e 1 grupo de 16 maçãs, que é o que restou da divisão. Porém deveríamos ter 5 grupos de 35 maçãs, isto é, 5 ⋅ 35 = 175.
Para as 35 crianças receberem maçã no quinto dia, será necessário completar o que falta para o grupo de 16 chegar a 35, ou seja, 19 = 35 ‒ 16.
A divisão ficaria:
A relação entre esses números é 175 = 5 ⋅ 35 + 0, o que significa 5 grupos de 35 e resto 0.
Observe outros exemplos.
a)
b)
Essa é a propriedade fundamental da divisão, que podemos escrever assim:
dividendo = quociente ⋅ divisor + resto
Observações
▶ Não existe divisão por zero. Por exemplo, é impossível dividir 3 por zero, pois não existe um número que multiplicado por zero dê 3.
▶ Dizemos que uma divisão entre dois números naturais é exata quando o resto é zero.
Exemplo:
▶ Dizemos que uma divisão é não exata quando o resto é diferente de zero.
Exemplo:
▶ O resto de uma divisão entre dois números naturais sempre é menor que o divisor. Observe.
▶ Em uma divisão exata, como há resto zero, temos: dividendo = quociente ⋅ divisor.
Assim, dizemos que a divisão exata e a multiplicação são operações inversas.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
82 Multiplique 34 por 56. Depois, divida o produto obtido por 34. O que aconteceu?
83 Pense em um número natural diferente de zero. Dê, se existir, o quociente e o resto na divisão:
a) de 0 por esse número;
b) desse número por zero;
c) desse número por 1;
d) desse número por ele mesmo.
84 Determine o número que falta em cada sentença a seguir.
a) 52 ⋅ 43 +
= .2257
b)
⋅ 32 + 4 = 580
c) 75 ⋅ 28 + 15 =
d) 26 ⋅
+ 3 = 341
85 Dividindo 42 por 6, o quociente é 7 e o resto é zero. Adicionando 1 ao dividendo e tornando a dividir por 6, o quociente continua sendo 7 e o resto passa a ser 1. Qual é o maior número que podemos adicionar a 42 para que a divisão por 6 continue tendo quociente 7?
86 Qual é o número que, dividido por 32, tem por quociente 21 e o resto é o maior possível?
87 O resto de uma divisão é 8 e é o maior resto possível; o quociente é igual ao divisor. Determine o dividendo.
88
A tecla
da calculadora de Ivo quebrou. Para saber quantas dúzias há em uma caixa com 83 laranjas, ele teclou:
Ele contou 6 toques na tecla
até aparecer no visor um número menor que 12. Concluiu que na caixa havia 6 dúzias e ainda restavam 11 laranjas. Com o auxílio de uma calculadora, faça o mesmo para efetuar as divisões e registre os resultados parciais (após cada toque da tecla
), o quociente e o resto.
a) 43 dividido por 12
b) 270 dividido por 49
c) 720 dividido por 94
d) 161 dividido por 23
Dividindo mentalmente
Decompor um número separando no dividendo as centenas das dezenas ajuda no cálculo mental de divisões. Como exemplo, vamos efetuar 236 dividido por 4.
• Para facilitar, separamos 236 em duas parcelas:
236 = 200 + 36
• Dividimos as parcelas por 4 e adicionamos os resultados:
200 dividido por 4 = 50 e 36 dividido por 4 = 9
50 + 9 = 59
• Portanto: 236 dividido por 4 = 59
Podemos indicar esses cálculos da seguinte maneira:
Outro modo de calcular mentalmente o quociente é decompondo o divisor em fatores.
Por exemplo, para efetuar a divisão de 90 por 6, o número 6 pode ser decomposto da seguinte maneira: 6 = 2 ⋅ 3.
Para dividir 90 por 6, dividimos 90 por um desses fatores e, depois, dividimos o resultado obtido pelo outro fator: 90 dividido por 2 = 45 e 45 dividido por 3 = 15
Então: 90 dividido por 6 = 90 dividido por (2 ⋅ 3) = (90 dividido por 2) dividido por 3 = 45 dividido por 3 = 15
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
89
Calcule mentalmente estas divisões e registre como você fez os cálculos.
a) 108 dividido por 4
b) 309 dividido por 3
c) 312 dividido por 6
d) 448 dividido por 8
e) 530 dividido por 5
f) 981 dividido por 9
g) 350 dividido por 10
h) 350 dividido por 5
90
Reúna-se com um colega e escolham ao acaso seis números naturais que terminem em 0, 00 ou 000. Depois, dividam esses números por 10 e escrevam uma regra para efetuar mentalmente a divisão de números naturais, que terminem em zero, por 10.
91
Reúna-se com um colega e escolham ao acaso seis números naturais que terminem em 0 ou 5.
a) Dividam esses números por 5.
b) Multipliquem os números escolhidos por 2 e dividam os resultados por 10.
c) Comparem as respostas do item a com as do item b e escrevam uma regra para efetuar mentalmente a divisão por 5 de um número natural terminado em 0 ou 5.
92
Hora de criar – Elabore as operações solicitadas a seguir e registre o que você pensou. Depois, junte-se a um colega e, com uma calculadora, cada um confere o que o outro fez.
a) Uma adição cujo resultado seja .3240.
b) Uma multiplicação cujo resultado seja .5730.
c) Uma subtração cujo resultado seja .14270.
d) Uma divisão exata cujo resultado seja 450.
6. Expressões numéricas envolvendo as quatro operações
Em expressões numéricas que envolvem as quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão), devemos efetuar essas operações na seguinte ordem:
• primeiro, efetuamos as multiplicações e as divisões na ordem em que aparecem;
• depois, efetuamos as adições e as subtrações, também na ordem em que aparecem.
Nas expressões numéricas com sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves), resolvemos primeiro as operações neles contidas. Acompanhe alguns exemplos.
a)
b)
c)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
93 O quadro mostra uma correspondência entre letras e números.
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
K |
L |
M |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
N |
O |
P |
Q |
R |
S |
T |
U |
V |
W |
X |
Y |
Z |
|
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
Associando o valor de cada expressão a seguir à letra correspondente no quadro, você vai descobrir uma palavra. Que palavra é essa?
a) 21 ‒ (32 ‒ 25)
b) 44 ‒ (4 ⋅ 9 ‒ 25) ‒ 12
c) 61 ‒ (54 ‒ 24 dividido por 4)
d) 25 ‒ {20 + [18 ‒ (13 + 10 dividido por 2)]}
e) 69 ‒ [26 + (67 ‒ 42)]
f) 4 + [(55 ‒ 2 ⋅ 9) ‒ (40 dividido por 2 + 6)]
94 A expressão 64 dividido por 8 dividido por 4 dividido por 2 pode ter diferentes resultados, dependendo do lugar onde forem colocados os sinais de agrupamento. Coloque os sinais de agrupamento para que a expressão tenha estes resultados:
a) 4
b) 16
95 Daniel deseja comprar uma van para transporte escolar que custa, à vista, .120000 reais. No pagamento a prazo, o preço dela passa a ser .145200 reais, sendo .24000 reais de entrada mais 50 prestações mensais iguais. Sabendo que Daniel vai comprar a prazo, determine:
a) uma expressão numérica que dê o valor de cada prestação;
b) o valor de cada prestação;
c)
a diferença entre o preço à vista e o total a prazo. Na sua opinião, essa diferença é pequena ou é grande? Se Daniel tivesse dinheiro para o pagamento à vista, essa opção seria a mais adequada? Justifique.
96
Hora de criar – A professora foi anotando na lousa o que cada estudante da fileira da janela falava. Todos falavam o mesmo número, mas, à medida que cada um o substituía por uma expressão, aumentavam as operações.
Copie a expressão de Dea, substituindo os números 36 e 15 por expressões numéricas com valores 36 e 15, respectivamente. Depois, troque sua nova expressão com um colega para que cada um efetue todas as operações indicadas e chegue ao número que Ana falou.
7. Potenciação
Acompanhe a situação a seguir.
Um grupo de amigos participará de um passeio ecológico. Cada um deverá usar um crachá no qual consta seu nome. Caio se encarregou de preparar os crachás. Para isso, elaborou estas etapas: cortou, com um tesoura sem pontas, uma folha de papel reciclado ao meio; cortou cada uma das duas partes ao meio; cortou novamente cada uma das partes ao meio; e, mais uma vez, cortou cada uma das partes ao meio. Com isso, obteve exatamente o número necessário de crachás.
Quantos crachás Caio fez?
Para calcular o número de crachás, podemos efetuar a multiplicação 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2, na qual os quatro fatores são iguais a 2. Logo, são 16 crachás.
Ao efetuar uma multiplicação de fatores iguais, estamos realizando uma operação chamada potenciação.
Observe.
Considerando o exemplo dado, temos:
(Lemos 2elevado a 4 assim: “dois elevado à quarta potência” ou “dois elevado à quarta”.)
Em uma calculadora, efetuamos essa potência da seguinte maneira:
Observe outros exemplos.
a)
b)
c)
d)
Quadrado de um número
As potências de expoente 2 podem ser representadas geometricamente. Observe.
Pela associação com essas figuras, as potências de expoente 2 recebem nomes especiais:
• 1elevado a 2: “um ao quadrado”.
• 2elevado a 2: “dois ao quadrado”.
• 3elevado a 2: “três ao quadrado”.
• 4elevado a 2: “quatro ao quadrado”.
Cubo de um número
As potências de expoente 3 também podem ser representadas geometricamente. Observe.
Da mesma maneira, essas potências recebem nomes especiais:
• 1elevado a 3: “um ao cubo”.
• 2elevado a 3: “dois ao cubo”.
• 3elevado a 3: “três ao cubo”.
• 4elevado a 3: “quatro ao cubo”.
Quando o expoente é 4, 5, 6, …, lemos: “quarta potência”, “quinta potência”, “sexta potência”, e assim por diante. Por exemplo:
• 9elevado a 4: “nove elevado à quarta potência”.
• 6elevado a 5: “seis elevado à quinta potência”.
Potências de expoente zero, de expoente 1 e de base 10
Observe os esquemas a seguir.
Nas potências de base 2, quando o expoente diminui uma unidade, a potência fica dividida por 2. Note que: 2elevado a 1 = 2 e 2elevado a 0 = 1.
Nas potências de base 3, quando o expoente diminui uma unidade, a potência fica dividida por 3. Note que: 3elevado a 1 = 3 e 3elevado a 0 = 1.
Isso acontece sempre que a base for diferente de zero.
De modo geral, convencionamos que:
• Toda potência de expoente 1 é igual à base.
• Toda potência de expoente zero e base diferente de zero é igual a 1.
Agora, observe estas potências de base 10.
• 10elevado a 1 = 10
um zero
• 10elevado a 2 = 100
dois zeros
• 10elevado a 3 = .1000
três zeros
Toda potência de base 10 é igual ao número 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
97 Escreva no caderno as sentenças a seguir na fórma de potência.
a) 3 ⋅ 3
b) 7 ⋅ 7 ⋅ 7
c) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9
d) 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1
98 Indique as potências na fórma de produto.
a) 10elevado a 3
b) 9elevado a 2
c) 8elevado a 4
d) 6elevado a 5
99 Como se lê cada potência?
a) 4elevado a 8
b) 13elevado a 3
c) 220elevado a 7
100 Calcule o valor das potências a seguir.
a) 5elevado a 3
b) 2elevado a 5
c) 3elevado a 5
d) 4elevado a 5
e) 10elevado a 2
f) 10elevado a 6
101 Identifique a regularidade presente e escreva o sexto termo da sequência: 3, 9, 27, 81, reticências
102 Por uma estrada, viajava a van de uma veterinária com sete caixas; em cada caixa havia sete compartimentos; e cada compartimento tinha sete embalagens de ração. Quantas embalagens de ração havia nas caixas?
103 Calcule cada uma das potências a seguir.
a) 1elevado a 4
b) 12elevado a 1
c) 20elevado a 1
d) .1996elevado a 0
e) 15elevado a 0
f) 100elevado a 1
g) 100elevado a 0
h) 1elevado a 10
i) 0elevado a 9
104 Calcule o valor do número natural x.
a) 6elevado a x = 36
b) 6elevado a x = 6
c) 6elevado a x = 1
105 Qual é o número maior:
a) 2elevado a 3 ou 3elevado a 2 ?
b) 10elevado a 0 ou 1elevado a 10 ?
c) 5elevado a 2 ou 2elevado a 5 ?
d) 1⁶ ou 1⁸ ?
e) 3elevado a 4 ou 4elevado a 3 ?
f) 10elevado a 2 ou 210 ?
Pense mais um poucoreticências
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Com o auxílio de uma calculadora, determine as potências a seguir. a) 99elevado a 2 b) 999elevado a 2 c) .9999elevado a 2
Observando esses resultados, calcule mentalmente .99999elevado a 2.
Números quadrados perfeitos
Observe esta sequência de figuras.
Note que, conforme o número de quadradinhos, é possível construir quadrados, como no caso das figuras que têm 1, 4 e 9 quadradinhos. Nos demais casos, isso não é possível. Quando a quantidade de quadradinhos possibilita formar um quadrado, o número associado a ele é chamado número quadrado perfeito.
Um número natural é quadrado perfeito quando ele é quadrado de outro número natural.
Observe os números naturais que são quadrados perfeitos de 0 a 100:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
106 Descubra os números naturais quadrados perfeitos de 100 a 200.
107 Considere as centenas: 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800 e 900. Quais dessas centenas são quadrados perfeitos?
108 Escreva todos os números de três algarismos distintos formados por 1, 6 e 9. Em seguida, descubra quais desses números são quadrados perfeitos.
109
Hora de criar – Pense em um número natural e calcule o seu quadrado. A esse quadrado adicione o número pensado e mais o sucessor dele. Verifique se o número obtido é um quadrado perfeito. Em caso afirmativo, esse número obtido é quadrado de qual número? Verifique se um colega chegou à mesma conclusão.
8. Radiciação
Considere as questões propostas por Carla e Rodrigo.
Para responder a essas questões, usamos a operação inversa da potenciação, chamada radiciação, que indicamos pelo símbolo
.
Na questão proposta por Carla, devemos encontrar a raiz quadrada de 25, ou seja, encontrar o número natural que elevado ao quadrado resulte em 25.
A resposta para essa questão é o número 5, porque 5elevado a 2 = 25.
Indicamos que a raiz quadrada de 25 é 5 escrevendo:
(Lemos: “a raiz quadrada de vinte e cinco é igual a cinco”.)
Em uma calculadora, podemos calcular essa raiz quadrada da seguinte maneira:
Observações
▶ Na indicação da raiz quadrada, não é preciso escrever o índice 2. Assim:
•
Raiz quadrada de 25 igual à 5pode ser indicada por
Raiz quadrada de 25 igual à 5•
Raiz quadrada de 36 igual à 6pode ser indicada por
Raiz quadrada de 36 igual à 6▶ Apenas os números quadrados perfeitos têm como raiz quadrada um número natural.
Na questão proposta por Rodrigo, devemos encontrar a raiz cúbica de 216, ou seja, encontrar o número que elevado ao cubo resulte em 216.
A resposta para essa questão é o número 6, porque 6elevado a 3 = 216.
Indicamos a raiz cúbica de 216 por:
(Lemos: “a raiz cúbica de duzentos e dezesseis é igual a seis”.)
Observe outros exemplos.
a)
Raiz quarta de 625 é igual a 5.= 5, porque 5elevado a 4 = 625 (Lemos: “a raiz quarta de seiscentos e vinte e cinco é igual a cinco”.)
b)
Raiz quinta de 243 é igual a 3.= 3, porque 3elevado a 5
= 243 (Lemos: “a raiz quinta de duzentos e quarenta e três é igual a três”.)
c)
Raiz sexta de 64 é igual a 2.= 2, porque 2elevado a 6
= 64 (Lemos: “a raiz sexta de sessenta e quatro é igual a dois”.)
Observação
▶ Nas calculadoras simples, não há teclas que possibilitem calcular raízes cúbicas, quartas, quintas, e assim por diante.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
110 Na operação
Raiz quadrada de 64 igual à 8pede-se:
a) o radicando;
b) a raiz;
c) o índice.
111 Justifique as igualdades.
a)
Raiz quadrada de 100 igual à 10b)
raiz cúbica de 343 igual a 7c)
Raiz quinta de 32 igual à 2d)
Raiz quarta de 1 igual à 1112 Encontre a raiz quadrada dos seguintes números quadrados perfeitos:
a) 49
b) 81
c) 121
d) 225
113 Para cada valor atribuído à letra a, calcule 2 ⋅ a, aelevado a 2 e
Raiz quadrada de a.a) a = 9
b) a = 25
c) a = 36
d) a = 100
114
Reúna-se com um colega e, com o auxílio de uma calculadora, descubram, primeiro, a soma dos quadrados e, depois, a raiz quadrada da soma de cada item a seguir.
a) 3elevado a 2 + 4elevado a 2
b) 6elevado a 2 + 8elevado a 2
c) 9elevado a 2 + 12elevado a 2
d) 12elevado a 2 + 16elevado a 2
e) 5elevado a 2 + 12elevado a 2
f) 10elevado a 2 + 24elevado a 2
Pense mais um poucoreticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Observe o que acontece:
= 1
= 2
= 3
= 4
Agora, sem efetuar a operação, determine qual é a raiz quadrada de:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
Depois, confira sua resposta com uma calculadora.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Interpretando um gráfico de colunas
Os planetas e suas luas
Luas ou satélites naturais são corpos celestes que giram em torno de um planeta. A trajetória descrita pelos satélites, assim como a trajetória do planeta Terra em torno do Sol, é chamada órbita.
Dos planetas do Sistema Solar, apenas dois não possuem satélites naturais: Vênus e Mercúrio.
Note no gráfico a seguir a quantidade de satélites naturais, conhecida atualmente, dos demais planetas do Sistema Solar.
Essa figura é um exemplo de gráfico de colunas.
A primeira coluna, da esquerda para a direita, de altura 1, representa a quantidade de luas do planeta Terra: 1 lua. A segunda coluna, de altura 2, representa a quantidade de luas do planeta Marte: duas luas. E assim por diante.
Observe que as colunas referentes a Júpiter e Saturno têm alturas iguais, pois esses planetas têm o mesmo número de luas confirmadas, 53. Os asteriscos (*) chamam a atenção para uma informação. Nesse caso, assinalam que a quantidade de luas desses planetas ainda não é totalmente conhecida, uma vez que esses números representam o mínimo de luas confirmadas – é possível que haja mais. Além das 53 luas confirmadas, Saturno tem mais 29 luas provisórias, ainda não confirmadas, e Júpiter tem mais 26 luas provisórias que precisam de mais observações.
Então, em um gráfico desse tipo, a altura de cada coluna corresponde à quantidade de vezes que a informação pesquisada foi observada naquele evento (acontecimento).
Em um gráfico de colunas, pode-se perceber rapidamente as colunas mais altas e as mais baixas, ou seja, as que representam maior ou menor número de observações segundo os dados em estudo.
Para fazer uma interpretação adequada de um gráfico, precisamos estabelecer comparações entre os dados apresentados e, às vezes, realizar alguns cálculos.
Agora quem trabalha é você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Com base no gráfico de colunas da página anterior, faça mais algumas interpretações.
a) Quantas luas confirmadas o planeta Netuno tem a mais que Marte?
b) Quantas luas confirmadas os planetas do Sistema Solar, excluindo Vênus e Mercúrio, têm no total?
2 Observe o gráfico a seguir e responda às questões.
O gráfico apresenta a quantidade de focos ativos detectados por um satélite de referência, ou seja, os dados coletados diariamente por um mesmo satélite ao longo dos anos.
a) Em qual desses anos o número de focos ativos foi maior? Quantos focos?
b) Em que ano o número de focos ativos de queimadas foi menor? Quantos focos?
c) Qual foi a redução na quantidade de focos ativos de queimadas entre os anos 2013 e 2020?
d)
Em que ano ocorreu o maior aumento na quantidade de focos ativos de queimada em relação ao ano anterior? Arredonde para o milhar mais próximo e calcule mentalmente esse aumento.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1
Arredonde mentalmente os números e estime o valor das expressões a seguir.
a) 19 + 36 + 21
b) 26 + 38 + 84
c) 45 + 38 ‒ 15 + 22
d) 37 + 91 ‒ 63 ‒ 49
e) 55 ‒ 17 + 95 ‒ 33
2 No caixa do supermercado, dei uma nota de 50 reais para pagar uma compra de 37 reais. O caixa pediu 2 reais para facilitar o troco. Dando a ele os 2 reais, quanto recebo de troco?
3
De acordo com a estimativa do í bê gê É, em 2017 o estado do Amazonas tinha ..4063614 habitantes, dos quais ..1933350 não moravam na capital, Manaus. Com o auxílio de uma calculadora, descubra qual era a população de Manaus.
4 Que idade você terá no final de 2027? Em que ano você terá 33 anos?
5 A diferença entre dois números é 53. Determine a diferença entre seus sucessores. Justifique.
6 Substitua as figuras pelos algarismos 2, 3, 5 e 7 e encontre a diferença. (Dica: figuras iguais correspondem a algarismos iguais.)
7 Para pagar um livro de 32 reais e 50 centavos, Paulo usou uma nota de 50 reais. A atendente, porém, só tinha notas de 10 reais. Não tendo troco, ela pediu a Paulo que facilitasse o troco com moedas. Como ele pode ter feito isso?
8
O gráfico a seguir mostra a quantidade de matrículas feitas na Educação Profissional no Brasil.
Com base no gráfico, use uma calculadora para responder a estas questões.
a) Em que ano houve mais estudantes matriculados?
b) De quanto foi a diminuição no número de matrículas de 2015 para 2016?
c) Arredonde o número de matrículas para unidade de milhar e calcule a diminuição pedida no item b.
9 Um número natural é expresso por:
9 + (21 ‒ 15) ⋅ 2
Qual é o valor do sucessor desse número?
10 Em um restaurante, são gastos mensalmente 43 litros de óleo. Sabendo que o dono do restaurante quer comprar esse óleo em latas de 6 litros, quantas dessas latas ele deve comprar por mês? Considerando as compras mensais, quantas latas ele deve comprar em um ano?
11 Isabel adquiriu um televisor, pagando uma entrada de 580 reais e mais três parcelas de 360 reais. À vista, ela teria pago .1590 reais. Qual é a diferença entre o preço a prazo e o preço à vista?
12 Quais números naturais compreendidos entre 200 e 500 são quadrados perfeitos?
VERIFICANDO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Ao calcular o total de .1758 + .2439, considerando o arredondamento das parcelas para a centena mais próxima, obtêm-se
a) .4000.
b) .4100.
c) .4190.
d) .4200.
2 Considere a igualdade a seguir.
.1400 + 553 + 37 = .1400 +
+ 40
Nessa igualdade,
representa o número
a) 556.
b) 553.
c) 550.
d) 537.
3 Em determinado dia, o estoque do setor de informática de uma loja foi reposto com .5337 itens. Após a reposição, esse setor passou a ter .6473 itens. Quantos eram os itens do setor de informática dessa loja antes da reposição?
a) 136 itens.
b) .1136 itens.
c) .1144 itens.
d) .11810 itens.
4 A expressão 980 menos 75 + 36 equivale a
a) 905 + 36.
b) 980 + 39.
c) 980 + 111.
d) 905 + 111.
5 Um grupo de estudantes coletou quinhentas e dez latas de leite em pó para doar a uma instituição de caridade.
Sabendo que eles estão embalando essas latas em caixas com 15 unidades, a quantidade de caixas necessárias para embalar todas as latas será de:
a) 30 caixas.
b) trínta e duas caixas.
c) 34 caixas.
d) 36 caixas.
6 Considere a expressão numérica a seguir.
10 menos 10 + (10 menos 10 + 10) menos 10
O valor numérico dessa expressão é
a) 0.
b) 10.
c) 20.
d) 30.
7 Uma sorveteria oferece 36 sabores de sorvete de massa e 7 sabores para cobertura. Ao escolher apenas um sabor de sorvete e apenas um sabor de cobertura, é possível fazer
a) mais que 40 e menos que 45 combinações.
b) mais que 45 e menos que duzentas e cinquenta combinações.
c) mais que duzentas e cinquenta e menos que quatrocentas e cinquenta combinações.
d) mais que quatrocentas e cinquenta e menos que quinhentas combinações.
8 O número que deve ser multiplicado por 14 para obter 518 é
a) 27.
b) 32.
c) 36.
d) 37.
9 O número que elevado ao quadrado é igual a 144 é
a) 288.
b) 72.
c) 24.
d) 12.
10 Analise a igualdade a seguir.
(27 + 14) ⋅
= 369
Nessa igualdade, o valor de
é
a) 328.
b) 24.
c) 18.
d) 9.
11 Considere a seguinte expressão numérica.
Para que x seja igual a 23, o valor de a deve ser:
a) 9.
b) 8.
c) 4.
d) 3.
Organizando
Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.
a) Você estudou diferentes operações com números naturais. Que ideias podemos associar à adição, à subtração, à multiplicação e à divisão?
b) Como você explicaria as duas propriedades da adição estudadas?
c) Que estratégia você utilizaria para subtrair mentalmente 98 de 200?
d) O resultado da expressão numérica (2 + 3) ⋅ 10 é o mesmo que o de 2 + (3 ⋅ 10)? Por quê?
e) Como você explicaria a vantagem de escrever uma adição de parcelas iguais como uma multiplicação? Dê um exemplo.
f) Explique, com exemplos, como é possível relacionar a divisão com a multiplicação.
DIVERSIFICANDO
Relações algébricas no quadrado mágico
Vamos considerar o quadrado mágico que vimos no início deste capítulo.
Podemos observar que:
• 4 é uma parcela comum às adições da 1ª linha e da 1ª coluna. 4 + 9 + 2 = 4 + 3 + 8 Cancelando a parcela comum, isto é, aplicando o Princípio Aditivo da Igualdade, temos: 9 + 2 = 3 + 8 Vamos pintar de amarelo as quadrículas dos números do 1º membro da igualdade e de vermelho as do 2º membro.
• 7 é uma parcela comum às adições da 2ª linha e da 3ª coluna. 3 + 5 + 7 = 2 + 7 + 6 Aplicando o Princípio Aditivo da Igualdade, cancelamos a parcela comum: 3 + 5 = 2 + 6 Vamos pintar de amarelo as quadrículas dos números do 1º membro da igualdade e de vermelho as do 2º membro.
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Qual é a parcela comum às adições das diagonais desse quadrado mágico? Usando o mesmo critério das cores, reproduza o quadrado mágico do exemplo e pinte as quadrículas das diagonais.
2 A parcela comum às adições das diagonais também é comum a outras duas adições?
Em caso afirmativo, quais? Usando o mesmo critério das cores, reproduza novamente o quadrado mágico e pinte as quadrículas referentes a essas adições.
3 Cada quadrícula tem um número que é parcela comum a duas adições que têm a mesma soma? Aplicando o mesmo critério das cores, reproduza o quadrado mágico apresentado seis vezes em seu caderno. Para cada um, pinte as quadrículas referentes a duas adições que têm a mesma soma; excluindo a parcela comum. Cada um dos seis quadrados deve apresentar adições com somas diferentes um do outro.
4 Considere que o quadrado 4 × 4, a seguir, seja um quadrado mágico com números representados por letras. Qual das igualdades é verdadeira?
a) ê + F + G = C + K + óh
b) a + F + P = ih + J + éle
c) N + óh + P = M + ih + ê
d) a + F + K = H + K + N
