CAPÍTULO 6 Um pouco de Geometria plana
Observe a imagem e responda às questões no caderno.
a) Na obra de Kumi Yamashita, cada prego representa um ponto ou um segmento? E cada pedaço de linha esticada entre dois pregos?
b) Na imagem, partes como as sobrancelhas têm maior ou menor concentração de linhas (quantidade de linhas em áreas de mesma medida) do que o centro da testa?
c) Podemos considerar que os efeitos claro ou escuro em partes da imagem têm relação com a quantidade menor ou maior de linhas nessas áreas?
Uma obra de arte que surge de pregos e de linhas – pontos e segmentos de reta – sobre a madeira – plano.
A Geometria está no mundo e na imaginação, basta saber olhar para fóra ereticências para dentro de si.
1. Ponto, reta e plano
O ponto, a reta e o plano são noções aceitas sem definição na Geometria, por isso são chamadas noções primitivas. Elas podem ser associadas, de maneira intuitiva, a diferentes elementos que nos rodeiam. Você consegue associar o ponto, a reta ou o plano a algum dos elementos das fotografias a seguir?
Dizemos que a estrela, o raio de luz e o espelho de água do lago dão a ideia das noções primitivas da Geometria: ponto, reta e plano, respectivamente.
O ponto e a reta
Graficamente, um ponto pode ser representado como
e é indicado por letras maiúsculas do nosso alfabeto:
Quando há um ou mais pontos, temos uma figura. Por exemplo:
Uma reta também é uma figura com infinitos pontos. Graficamente, uma reta pode ser representada da seguinte maneira:
A reta é indicada por letras minúsculas do nosso alfabeto:
Uma reta não tem começo, nem fim, nem espessura. Observe uma reta e alguns de seus pontos.
Os pontos ê, G, C, M, Z e H pertencem à reta t. Nesse caso, dizemos que esses pontos são colineares.
Três ou mais pontos são colineares quando pertencem a uma mesma reta.
Agora, observe os pontos a, B e C representados na figura a seguir.
Esses pontos não são colineares, pois não existe uma reta que contenha todos eles.
O plano
O plano também tem infinitos pontos e não tem começo, nem fim. Graficamente, um plano pode ser representado da seguinte maneira:
Um plano é indicado por letras minúsculas do alfabeto grego: Alfa (alfa), Beta (beta), Gama (gama), Delta (delta), entre outras.
Observe um plano e alguns de seus pontos.
Os pontos J, S, P e B pertencem ao plano Gama. Por pertencerem ao mesmo plano, dizemos que esses pontos são coplanares.
Três ou mais pontos são coplanares quando pertencem a um mesmo plano.
Em um plano existem infinitas retas. Na figura, representamos um plano e algumas das retas que estão nele. Por estarem no mesmo plano, essas retas também são chamadas coplanares.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Que noção primitiva da Geometria poderia ser associada a cada item?
a) Um fio de linha bem esticado.
b) A marca deixada por uma ponta de lápis em um papel.
c) O tampo de uma mesa.
d) Uma corda de violão esticada.
e) Uma folha de papel sulfite grudada na parede.
2 Observe a seu redor e anote o que pode dar a ideia de um ponto, de uma reta e de um plano.
3 Considerando as retas e os pontos assinalados na figura a seguir, identifique os pontos que:
a) pertencem à reta r;
b) não pertencem à reta r;
c) pertencem à reta s;
d) não pertencem à reta s;
e) pertencem às duas retas, r e s.
4 Considere as retas e os pontos assinalados na figura.
Quais pontos são colineares com:
a) a e bê ?
b) M e N ?
5 Observe a pirâmide e responda: o ponto E está no mesmo plano de a, B e C ? E o ponto a está no mesmo plano de D, C e ê ?
6 Considerando a figura, copie no caderno as afirmações verdadeiras.
a) Os pontos a, B, C e D são coplanares.
b) Os pontos a, B, C e F não são coplanares.
c) Os pontos D, C, F e G são coplanares.
d) Os pontos B, C, F e G são coplanares.
7 Desenhe no caderno quatro pontos distintos e três a três não colineares. Quantas retas podemos traçar de fórma que cada uma passe por dois desses pontos?
2. Posições relativas de duas retas em um plano
Observe as fotografias a seguir. Como estão dispostas as retas que passam pelas cordas da harpa? E as retas que passam pelos cabos que sustentam a ponte? Elas se cruzam em algum ponto?
(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)
Na primeira fotografia, observe que as retas que passam pelas cordas da harpa não se cruzam. Já na segunda fotografia, é possível perceber que as retas que passam pelos cabos que sustentam a ponte, se prolongadas, se cruzariam em um único ponto.
No primeiro caso, dizemos que as cordas lembram linhas paralelas; no segundo caso, os cabos lembram linhas concorrentes.
Agora, vamos ver como essas ideias das posições relativas de duas retas são estudadas em Geometria.
Quando duas retas contidas em um mesmo plano não têm pontos em comum, elas são denominadas retas paralelas.
Observe o exemplo.
As retas r e s representadas na figura, contidas no plano β, são paralelas, pois elas não têm pontos em comum. Indicamos: r paralela a s.
Quando duas retas têm um único ponto em comum, elas são denominadas retas concorrentes.
Observe o exemplo.
As retas u e v representadas na figura, contidas no plano α, são concorrentes, pois o ponto P é o único ponto em comum entre elas. Indicamos: u × vê.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
8 Na figura a seguir, as ruas estão representadas por linhas que nos dão a ideia de retas.
a) Das ruas indicadas nessa figura, qual é paralela à rua Maranhão?
b) E quais são concorrentes com a rua Sergipe?
c) Se você seguisse pela rua Maranhão e um colega fosse pela rua Paraná, vocês se encontrariam? Por quê?
9 Observe a figura.
a) Quais retas são paralelas?
b) Dê dois pares de retas concorrentes.
10 Identifique dois pares de retas paralelas e dois pares de retas concorrentes na figura a seguir. Para verificar sua resposta, pegue uma caixa de sapatos vazia e alguns canudinhos de refresco para representar as retas.
11
Converse com um colega e registrem no caderno suas conclusões sobre as questões a seguir.
a) Se as cordas de uma harpa se cruzassem, o instrumento funcionaria?
b) Se os fios de uma raquete de tênis não se cruzassem, a raquete funcionaria?
3. Semirreta e segmento de reta
Semirreta
Na Matemática, consideramos, sem demonstrar, que por dois pontos distintos passa uma única reta. Essa explicação pode ser examinada na reta que a professora desenhou na lousa. Observe a figura.
A reta r desenhada também pode ser indicada por
QP com uma seta de duas pontas sobre elas ou PQ com uma seta de duas pontas sobre elas.(lemos: “reta QP” ou “reta PQ”).
Agora, considere uma reta s e um ponto a pertencente a ela.
Em relação ao ponto a, a reta s fica dividida em duas partes que têm o ponto a em comum. Cada uma dessas partes da reta (incluindo o ponto a) é chamada semirreta, e o ponto a é chamado origem de cada semirreta.
Observe a reta s. Nela estão assinalados os pontos a, B e C.
Vamos destacar a semirreta de origem a que passa pelo ponto B:
Essa semirreta é indicada por
AB com uma seta apontando para a direita sobre elas.Vamos destacar agora a semirreta de origem a que passa pelo ponto C:
Essa semirreta é indicada por
AC com uma seta apontando para a direita sobre elas.As semirretas
semirreta AB e semirreta ACsão chamadas semirretas opostas.
Segmento de reta
Você já viu um eletrocardiograma?
Eletrocardiograma (ê cê gê) é um exame, feito por um médico cardiologista, capaz de registrar a atividade elétrica do coração com a pessoa em repouso.
Observe a figura que lembra o registro de um eletrocardiograma.
A linha verde dessa figura é formada por vários segmentos de reta.
Considere uma reta t e dois pontos distintos pertencentes a ela: M e H.
Destacamos em azul a parte da reta que contém os pontos M, H e todos os pontos entre eles.
Chamamos segmento de reta a parte destacada. Esse segmento é indicado por
MH com uma linha em cima.ou
HM com uma linha em cima.(Lemos: “segmento MH ” ou “segmento HM ”.)
Um segmento de reta é uma parte da reta limitada por dois pontos distintos, chamados extremos.
Na reta t dada, os pontos M e H são os extremos do segmento
MHVamos conhecer agora o que são segmentos de reta consecutivos e segmentos de reta colineares.
Dois segmentos de reta são consecutivos quando têm um extremo comum.
Observe o exemplo.
Os segmentos
AB e BCtêm um extremo comum, que é o ponto B ; logo, são segmentos consecutivos.
Os segmentos
BC e CDtêm um extremo comum, o ponto C. Eles também são segmentos consecutivos.
Note que os segmentos
AB e CDnão são consecutivos, pois não têm extremo comum.
Dois segmentos de reta são colineares quando estão sobre a mesma reta.
Observe os exemplos.
Os segmentos
AB e CDestão sobre a mesma reta; logo, são segmentos colineares.
Os segmentos
MN e MPtambém são colineares, porque estão sobre a mesma reta.
Já os segmentos
AB e PQnão são colineares, pois não estão sobre a mesma reta.
Observação
▶ Os segmentos
MP e PNsão segmentos consecutivos e colineares.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
12 Identifique as semirretas a seguir e indique sua origem.
a)
b)
13 Considere a reta r a seguir.
a) Quais são as semirretas de origem no ponto B?
b) Quantas semirretas com origem em a, B ou C podemos obter?
14 Quais são os segmentos mostrados em cada uma das figuras a seguir? Identifique, se houver, três pares de segmentos consecutivos e três pares de segmentos colineares.
a)
b)
c)
15 Observe a figura.
Classifique em consecutivos, colineares ou consecutivos e colineares os pares de segmentos indicados nos itens a seguir.
a)
Segmento de reta AB e Segmento de reta EBb)
Segmento de reta AB e Segmento de reta CDc)
Segmento de reta EB e Segmento de reta BCd)
Segmento de reta BF e Segmento de reta FGe)
Segmento de reta EF e Segmento de reta FGf)
Segmento de reta FC e Segmento de reta FG16 Indique, com base na figura do exercício 15, outros dois pares de segmentos que sejam consecutivos e colineares.
17 Mariana fez o esboço de uma casa. Quantos segmentos de reta ela utilizou?
18 Considere a figura geométrica não plana a seguir e identifique três pares de segmentos consecutivos, dois segmentos colineares e dois segmentos que estejam em um mesmo plano.
19
Reúna-se com um colega e façam o que se pede. Desenhem no caderno o contorno de uma moeda e marquem nesse contorno cinco pontos: a, B, C, D e ê.
a) Quantos segmentos com extremos nesses pontos vocês podem traçar? Quais são esses segmentos?
b) Desses segmentos, indiquem cinco pares que sejam consecutivos.
c) Quais pares desses segmentos são colineares?
20
Hora de criar – Em duplas, cada integrante vai elaborar um problema sobre semirretas e segmentos de reta que satisfaça a condição de haver pelo menos dois segmentos consecutivos com uma extremidade na origem comum de duas semirretas distintas. Troquem de caderno para um resolver o problema do outro. Depois, destroquem para corrigi-los.
Medida de um segmento de reta
Considere os segmentos:
Tomando como unidade de medida a medida do comprimento do segmento
PQvamos determinar a medida dos segmentos
XY e CDChamamos u a unidade de medida utilizada.
Observe que o segmento
PQ“cabe” 5 vezes no segmento
Segmento de reta XYPor isso, a medida de
Segmento de reta XYna unidade u é 5 ou 5u.
Indicamos a medida desse segmento por
medida do segmento X Y igual 5uou, simplesmente, xis ípsilon = 5u.
A medida do segmento
Segmento de reta CDé 3u, pois o segmento
PQ“cabe” 3 vezes no segmento
Segmento de reta CDIndicamos a medida desse segmento por
medida do segmento C D= 3u ou cedê = 3u.
Considere agora os segmentos
AB, CD, EFVamos tomar como unidade de medida u o segmento
EF
Vamos calcular as medidas dos segmentos
Segmento de reta AB e Segmento de reta CD
Observe que os segmentos
Segmento de reta AB e Segmento de reta CDtêm medidas iguais a 2u; por esse motivo, chamamos os segmentos
Segmento de reta AB e Segmento de reta CDsegmentos congruentes.
Dois segmentos são congruentes quando têm medidas iguais segundo uma mesma unidade de medida.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
21 Vamos tomar como unidade de medida o segmento
e, depois, o segmento
. Determine a medida do segmento
Segmento de reta AB, nas unidades de medida u e vê.
a)
b)
22 A fotografia da abertura deste capítulo lembra um geoplano, que é um modelo usado para representar e estudar figuras geométricas, composto de uma placa retangular com pinos ou pregos igualmente espaçados. Observe a representação de um geoplano e descubra quais são os pares de segmentos congruentes.
23 Em uma folha quadriculada, que pode funcionar como um geoplano, reproduza o retângulo á bê dê cê, com lados de medidas 6u e 4u, e siga estes passos:
• Com uma régua, prolongue os segmentos
AB e ACtriplicando as respectivas medidas e obtendo
Segmento de reta AB linha e Segmento de reta AC linha• Obtenha o ponto Dʹ traçando os segmentos
C linha D linha e B linha D linharespectivamente paralelos a
Segmento de reta AB linha e Segmento de reta AC linha
a) Que medidas têm os lados
Segmento de reta AB linha e Segmento de reta AC linha?b) Você desenhou uma figura semelhante ao retângulo inicial? Ela é uma figura ampliada ou reduzida em relação ao retângulo á bê dê cê?
c) Na mesma folha, obtenha os pontos centésimopolegadas, bitpolegadas e divisores de polegadas de modo que desenhe outro retângulo com lados reduzidos à metade dos lados do retângulo dado.
24
Para esta atividade, junte-se a um colega.
Vocês vão precisar do seguinte material:
• tesoura com pontas arredondadas;
• cinco canudinhos feitos de papel reciclável, de mesmo tamanho, que deverão ser pintados nas cores branca, amarela, vermelha, verde e azul.
Sigam estes passos.
• Dobrem ao meio e cortem os canudinhos, exceto o branco.
• Separem uma metade de cada cor e descartem a outra metade.
• Peguem a metade do canudinho vermelho, dobrem-na pela metade, cortem e descartem a outra parte.
• Repitam esse procedimento com a metade restante: duas vezes para o verde e três vezes para o azul.
(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)
Considerando o pedaço que sobrou de cada cor, registrem no caderno:
a) as medidas do canudinho branco, usando como unidade de medida o pedaço amarelo, depois usando o pedaço vermelho como unidade de medida, depois usando o pedaço verde;
b) as medidas do canudinho amarelo, usando como unidade de medida o pedaço vermelho, depois o verde;
c) a medida estimada do canudinho branco na unidade de medida azul, sem manipular (pegar com a mão) o pedaço azul;
d) a medida estimada do canudinho branco na unidade azul, agora manipulando o pedaço azul.
e) Juntando dois pedaços de cores diferentes, é possível obter um pedaço do tamanho de outro de outra cor?
PARA SABER MAIS
Ilusão de óptica
A mera observação de uma figura pode levar a conclusões erradas, pois muitas vezes as aparências enganam.
Note, por exemplo, os segmentos
AB e CDapresentados. Eles têm o mesmo tamanho?
Ao observá-los, tem-se a impressão de que o segmento
Segmento de reta ABé menor que o segmento
Segmento de reta CDmas, com o auxílio de uma régua, verifica-se que os dois têm a mesma medida.
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Por meio de observação, procure estabelecer em cada figura uma comparação entre os segmentos indicados. Depois, usando uma régua, verifique se sua comparação se comprova.
a)
b)
c)
2
Observe as linhas de cada figura e converse com um colega se elas são ou não paralelas.
a) linhas horizontais
b) linhas inclinadas
c) linhas verticais
4. Ângulos
Observe um relógio analógico. Ao meio-dia, o ponteiro dos minutos e o das horas estão sobrepostos. Conforme o tempo passa, esses ponteiros se movimentam, formando-se certa abertura entre eles. Observe os exemplos.
A figura formada pelos dois ponteiros do relógio sugere a ideia de ângulo.
Ângulo é a figura geométrica formada por duas semirretas de mesma origem.
Os ângulos a seguir são representações de alguns dos ângulos formados pelos ponteiros do relógio das fotografias anteriores. A cada ponteiro foi associada uma semirreta.
(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)
No ângulo representado a seguir:
• o ponto óh é chamado vértice do ângulo;
• as semirretas
OA e OBsão chamadas lados do ângulo;
• indicamos o ângulo por
ângulo A O Bou
ângulo B O A(lemos: “ângulo á ó bê ou ângulo BOA ”);
• o arco que liga os lados indica qual é a abertura do ângulo que estamos considerando.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
25 Observe o ângulo e responda às questões.
a) Qual é o vértice desse ângulo?
b) Quais são seus lados?
c) Como indicamos esse ângulo?
26 Em cada figura a seguir, imagine dois ângulos e os pares de semirretas correspondentes a eles. Dê a indicação desses ângulos.
a)
b)
27 Dê a indicação de cada ângulo e dos lados que o formam.
a)
b)
c)
d)
Ângulo e giro
Em algumas modalidades do atletismo, o giro é um movimento fundamental. O giro dá ideia de ângulo.
Note nas ilustrações algumas posições que o atleta ocupa durante o giro.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
28 Observe o giro que Júlia fez da 1ª para a 2ª posição. Ela fez um giro para a direita dela. Represente o ângulo associado ao giro de Júlia.
29
Hora de criar – Junte-se a um colega e usem papel quadriculado para desenhar um percurso. A medida do lado do quadradinho deve ser considerada a unidade de medida de comprimento.
a) Sigam este algoritmo:
um) Marquem no encontro de duas linhas um ponto óh.
dois) A partir de O, sobre qualquer linha do quadriculado, tracem um segmento com 6 unidades.
três) Repitam três vezes os comandos:
• gire
Um quarto.de volta para a direita;
• trace um segmento com 6 unidades.
Que figura vocês desenharam?
b) Repitam a atividade do item a, mudando apenas o giro para a esquerda. E agora, que figura foi representada?
c) Cada um de vocês vai criar um roteiro parecido, mas não igual ao do item a. Troquem o roteiro com o colega e tracem o roteiro um do outro.
Medida de um ângulo
Para determinar a medida de um ângulo, devemos verificar a abertura que está sendo considerada entre seus lados. Observe a abertura do ângulo indicado na figura da porta.
Observação
▶ Dado um ângulo, sempre podemos assinalar duas aberturas.
Quando não houver indicação, consideraremos sempre a menor delas.
Para obter a medida de um ângulo, escolhemos um ângulo cuja abertura será a unidade de medida e verificamos quantas vezes ela “cabe” na abertura do ângulo que se deseja medir.
Observe o exemplo.
Uma das unidades de medida de ângulo é o grau (°). O transferidor é o instrumento usado para medir ângulos em grau. O transferidor da fotografia imediatamente a seguir é dividido em 180 partes iguais. Cada uma dessas partes determina um ângulo de 1 grau, representado por 1grau.
De acordo com a figura, temos:
• Medida de
ângulo AOB: 20 grausIndicamos:
m (ângulo AOB) igual a 20 graus• Medida de
ângulo AOC: 70 grausIndicamos:
m (ângulo AOC) igual a 70 graus• Medida de
ângulo AOD: 90 grausIndicamos:
m (ângulo AOD) igual a 90 graus• Medida de
ângulo AOE: 140 grausIndicamos:
m (ângulo AOE) igual a 140 grausPara ângulos com medida maior que 180graus, usamos um transferidor de 360graus, como o da fotografia. Observe a medida do ângulo assinalado.
Medida de
Ângulo AOF: 230 grausIndicamos:
m (ângulo AOF) igual a 230 graus
Acompanhe agora como devemos proceder para medir um ângulo usando o transferidor.
Considere como exemplo o ângulo
ângulo A O Brepresentado a seguir. Colocamos o centro do transferidor sobre o vértice O do ângulo, de modo que o 0 (zero) fique situado em um dos lados do ângulo
por exemplo: semirreta OAO outro lado
semirreta OBpassa pela marcação 20 do transferidor. Então, o ângulo
ângulo A O Bmede 20 graus, isto é,
medida do (ângulo AOB) igual a 20 graus
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
30 Usando um transferidor, determine a medida de cada um dos ângulos a seguir.
a)
b)
c)
d)
31
Hora de criar – Com um colega, leiam o texto e façam o que se pede, reproduzindo os desenhos em um papel quadriculado. Cada passo corresponde ao lado de um quadradinho.
O Logo é uma linguagem antiga de programação que possibilita fazer desenhos na tela do computador. O cursor aparece em fórma de tartaruga, que realiza movimentos conforme o comando. Por exemplo:
• pê éfe 5 (para a frente 5 passos)
• pê dê 90 (para a direita 90graus)
• pê ê 45 (para a esquerda 45graus)
Vamos considerar que a tartaruga está posicionada para cima no início do movimento.
a) Cristina executou os seguintes comandos: pê éfe 5 — pê dê 90 — pê éfe 2 — pê dê 90 — pê éfe 5 — pê dê 90 — pê éfe 2 Desenhem no papel quadriculado a figura que ela obteve.
b) Leonardo quis desenhar a letra L, inicial de seu nome, com um quadradinho de espessura. Descreva os comandos que ele pode ter dado.
c) Cada um de vocês deve criar um conjunto de comandos e trocar com o colega para que um desenhe a figura do outro.
Pense mais um pouco...
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Descreva o trajeto feito pelo carrinho para chegar até a garagem.
Construção de um ângulo com o transferidor
Para construir um ângulo de 40graus, por exemplo, traçamos uma semirreta
semirreta OAqualquer:
Em seguida, colocamos o centro do transferidor sobre a origem óh da semirreta e colocamos o número zero do transferidor sobre
Semirreta OAVerificamos, então, onde o transferidor indica a marca 40 e assinalamos o ponto B.
Traçando a semirreta
Semirreta OBconstruímos um ângulo de 40graus.
EXERCÍCIO PROPOSTO
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
32 Construa no caderno um ângulo de:
a) 35graus;
b) 90graus;
c) 45graus;
d) 72graus;
e) 150graus;
f) 139graus;
g) 220graus;
h) 310graus.
Tipos de ângulo
Ângulo reto
Observe na fotografia a posição dos ponteiros do relógio quando ele marca exatamente 3 horas. A figura formada pelos ponteiros sugere a ideia de um ângulo reto.
Na representação de um ângulo reto, usamos a notação
. O ângulo
ângulo A O Ba seguir é reto.
O ângulo cuja medida é 90graus é denominado ângulo reto.
Na figura 1, as retas r e s são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos.
Nesse caso, dizemos que r e s são retas perpendiculares.
Indicamos: r ⊥ s (lemos: “r é perpendicular a s”).
Duas retas são perpendiculares quando se interceptam formando ângulos retos.
Na figura 2, as retas u e v também são concorrentes, porém não formam ângulos rétos entre si. Nesse caso, dizemos que u e v são retas oblíquas.
Indicamos: u ⊥ v (lemos: “u é oblíqua a v ”).
Ângulos agudo e obtuso
O ângulo cuja medida é menor que a de um ângulo reto (ou seja, está entre 0grau e 90graus) é chamado ângulo agudo.
O ângulo
ângulo C O Dé um exemplo de ângulo agudo.
O ângulo cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que 180graus é chamado ângulo obtuso.
Os ângulos
ângulo EOF, a seguir, e
ângulo M O P, desenhado na fotografia da torre de Pisa, são exemplos de ângulos obtusos.
Construção de retas perpendiculares e de retas paralelas
Por um ponto fóra de uma reta érre, podemos traçar uma reta ésse, perpendicular a érre. E podemos traçar uma reta ésse paralela a érre. Acompanhe.
Retas perpendiculares traçadas com régua e esquadro
1º passo
2º passo
3º passo
Retas paralelas traçadas com régua e esquadro
1º passo
2º passo
3º passo
PARA SABER MAIS
Retas perpendiculares e retas paralelas traçadas com o uso de software
Podemos utilizar softwares matemáticos em uma série de situações. Acompanhe como é possível criar retas perpendiculares com o uso de um software.
1º passo
• Geralmente, as ferramentas ficam na parte superior da tela. Selecione a ferramenta “Reta” e clique em dois pontos quaisquer da tela para criar uma reta
Reta AB2º passo
• Selecione a ferramenta “Ponto” e clique em qualquer lugar fóra da reta para criar um novo ponto C.
3º passo
• Selecione a ferramenta “Reta perpendicular” e clique no ponto C criado por você no passo anterior e, em seguida, na reta
Reta ABSelecionando a ferramenta “Mover”, é possível movimentar os pontos a, B e C e manter as retas criadas perpendiculares entre si.
Agora, acompanhe como utilizar o software novamente para a construção de retas paralelas.
1º e 2º passos
• Repita os procedimentos feitos nos dois primeiros passos da primeira construção, criando uma reta
Reta ABe um ponto C, fóra da reta.
3º passo
• Selecione a ferramenta “Reta paralela” e clique no ponto cê criado por você e, em seguida, na reta
Reta ABSelecionando a ferramenta “Mover”, é possível movimentar os pontos a, B e C e manter as retas criadas paralelas entre si.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
33 Observando as figuras, classifique cada ângulo assinalado como reto, agudo ou obtuso.
a)
b)
c)
34 Classifique como reto, agudo ou obtuso o ângulo descrito pelo ponteiro dos minutos de um relógio quando ele passa das 9 horas 5 minutos para as:
a) 9 horas 25 minutos
b) 9 horas 15 minutos
c) 9 horas 20 minutos
35 Usando um transferidor, descubra retas perpendiculares e, usando régua e esquadro, descubra retas paralelas na figura a seguir.
36 Utilizando os passos a seguir, construa um molde de ângulo reto sem utilizar transferidor. Pegue um pedaço de papel de qualquer formato e faça uma dobra. Dobre novamente, unindo as duas pontas da primeira dobra. Ao abrir a folha, você perceberá que as dobras formam 4 ângulos retos.
Agora, faça as duas dobras novamente e utilize seu molde de ângulo reto para identificar os ângulos assinalados na ilustração a seguir como reto, agudo ou obtuso.
37 Com régua e esquadro, faça o que se pede:
• trace uma reta r e, nela, um ponto a;
• trace por a uma reta ésse, perpendicular a érre ;
• marque em s dois pontos, B e C, distantes 4 centímetros de a;
• trace duas retas t e u perpendiculares a s, uma por B e outra por C.
a) Responda: qual é a posição relativa das retas r, t e u ?
b) Quais seriam os passos para realizar essa construção com um software, como o apresentado no Para saber mais?
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Em seu caderno, copie as sentenças verdadeiras e corrija as falsas.
a) Duas retas de um mesmo plano sempre têm um ponto em comum.
b) Duas retas perpendiculares têm apenas um ponto em comum.
c) Duas retas oblíquas podem formar um ângulo reto.
2 Observe as indicações e classifique-as em reta, semirreta ou segmento de reta.
a)
Segmento de reta ABb)
Semirreta PQc)
Semirreta RSd)
Segmento de reta FGe)
Reta CDf)
Reta JKg)
Segmento de reta MNh)
Semirreta OP3 Desenhe dois segmentos não colineares, consecutivos e congruentes. Em seguida, meça o ângulo formado por eles.
4 Na figura, identifique os segmentos colineares, os segmentos consecutivos e os segmentos consecutivos e colineares.
5 Considere a reta a seguir.
Responda às questões.
a) Quantas semirretas ficam determinadas pelos pontos assinalados na reta?
b) Quantas semirretas de origem E ficam determinadas?
c) Quantas semirretas de origem M e que passam pelo ponto Z ficam determinadas?
6 Desenhe três semirretas de mesma origem, sendo duas semirretas opostas e a terceira formando um ângulo de 45graus com uma delas.
a) Você obteve um ângulo de meia-volta? E um ângulo reto? E um ângulo obtuso?
b) Quais são as medidas dos ângulos obtidos?
7 Determine, com o auxílio de uma régua, a medida de cada segmento de reta da figura e identifique os segmentos congruentes.
8 Classifique cada ângulo destacado na figura a seguir em reto, agudo ou obtuso, identificando-os pela cor.
9 Considere quatro pontos de um plano, sabendo que três desses pontos nunca estão na mesma reta.
Qual é o número de semirretas que podemos traçar com origem em um deles e que passa por outro deles?
10 Determine qual das sentenças a seguir é falsa. Em seguida, corrija-a no caderno.
a) O ângulo reto mede 90graus.
b) Os lados de um ângulo são segmentos de reta.
c) Determinar a medida de um ângulo é medir a abertura entre seus lados.
d) A medida de um ângulo obtuso é sempre maior que a medida de um ângulo agudo.
VERIFICANDO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Quando três ou mais pontos pertencem a uma mesma reta, eles são chamados:
a) coplanares.
b) colineares.
c) congruentes.
d) consecutivos.
2 Quando duas retas são denominadas concorrentes, elas:
a) têm dois pontos em comum.
b) têm um único ponto em comum.
c) têm três pontos em comum.
d) não têm pontos em comum.
3 Dois segmentos de reta são congruentes quando:
a) estão sobre a mesma reta.
b) têm um extremo comum.
c) têm medidas iguais.
d) se cruzam em um único ponto.
4 Na figura a seguir, qual é o par de retas paralelas?
a) Djí e éf.
b) h e j.
c) h e ai.
d) j e Djí.
5 Qual é a medida em grau do ângulo reto?
a) 100graus
b) 180graus
c) 45graus
d) 90graus
6 Um ângulo de medida igual a 180graus corresponde a um ângulo de:
a)
Um quarto.de volta.
b)
Meia.volta.
c)
Três quartos.de volta.
d) uma volta completa.
7 Quando duas retas são perpendiculares, elas se interceptam formando ângulos:
a) obtusos.
b) agudos.
c) retos.
d) rasos.
8 Um ângulo que tem medida entre 0grau e 90graus recebe o nome de:
a) ângulo reto.
b) ângulo raso.
c) ângulo obtuso.
d) ângulo agudo.
9 O ângulo destacado no relógio a seguir é classificado como um ângulo:
a) reto.
b) agudo.
c) obtuso.
d) raso.
10 Imagine um giro de 720graus no ar sem as mãos no skate. Essa é uma manobra chamada No Grab 720.
Quantas voltas o esqueitista deve dar no ar para completar essa manobra?
a) uma volta completa.
b) uma volta e meia.
c) duas voltas completas.
d) duas voltas e meia.
Organizando
Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões.
a) Qual é a diferença entre reta, semirreta e segmento de reta?
b) Como duas retas podem ser classificadas em relação às suas posições no plano?
c) Duas retas, em qualquer posição no plano, sempre formarão um par de ângulos? Justifique sua resposta.
d) Como os ângulos podem ser classificados em relação às suas medidas?
e) Você aprendeu que o transferidor é um dos instrumentos utilizados para medir ângulos. Desenhe um ângulo e identifique a sua medida utilizando o transferidor.