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Parte 1

CAPÍTULO 8 Operações com números racionais na fórma de fração

Vista do alto do mapa do Brasil destacando os biomas: Bioma Amazônica, Bioma Pantanal, Bioma Cerrado, Bioma Caatinga, Bioma Mata Atlântica, Bioma Pampa e Bioma ambientes marinhos. No canto inferior esquerdo, rosa dos ventos e escala de 0 a 390 quilômetros. — Elaborado a partir de: í bê gê É. Atlas Geográfico Escolar. oitava edição Rio de Janeiro: í bê gê É, 2018. página 103.

Observe, leia e responda no caderno.

a) A cidade e a região em que você vive fazem parte de qual bioma?

b) Além dos animais domésticos, que outros animais estão mais presentes na região onde você mora?

c) Na região onde você vive há espécies de animais ameaçadas de extinção?

d) Que fração da área ocupada pelo bioma Caatinga corresponde à área ocupada pelo bioma Pampa?Faça uma estimativa.

Nos estudos sobre o meio ambiente, chama-se bioma o conjunto de sistemas que formam uma comunidade (todos os organismos – animais e vegetais – que habitam um mesmo ambiente) estável e desenvolvida, adaptada às condições naturais de uma região, e geralmente caracterizada por um tipo principal de vegetação.

O mapa desta página representa os biomas brasileiros de modo simplificado, reunindo-os em sete grandes biomas.

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1. Adição e subtração com frações de mesmo denominador

Para preservar o patrimônio biológico existente no território brasileiro, foi criado, pela Lei número .9985, de 18 de julho de 2000, o Sistema Nacional das Unidades de Conservação da Natureza.

Unidade de Conservação (ou ú cê) é a denominação dada a espaços territoriais que passam a ter seus recursos ambientais protegidos por lei.

Leia as informações a seguir.

Esquema. No centro, gráfico de setores indicado por cores. Cada cor representa um bioma com uma espécie de animal acompanhada de uma fração representando a extinção de cada espécie. Cor verde: Amazônia, três vinte e cinco avos. Peixe-boi-da-Amazônia. Fotografia de um peixe boi dentro da água. Cor azul: Cerrado, sete trinta e quatro avos. Tamanduá-bandeira. Fotografia de um tamanduá-bandeira em meio a vegetação. Cor roxa: Caatinga, três trinta e quatro avos. Onça-parda. Fotografia de uma onça-parda deitada no solo. Cor amarela: Mata Atlântica, dois quintos. Papagaio-de-cara-roxa. Fotografia de um papagaio de penas verdes e cabeça em tom de roxo. Cor azul: Pampa, um vinte avos. Toninha. Fotografia de animal de focinho fino dentro do mar. Cor vermelha: Pantanal, três cento e vinte e cinco avos. Ariranha. Fotografia de uma ariranha caminhando no solo. Cor laranja: Ambientes marinhos., um nono. Tartaruga-de-pente. Fotografia de uma tartaruga de casco esverdeado no fundo do mar. — Dados obtidos em: INSTITUTO Chico Mendes de conservação da biodiversidade. Livro Vermelho da Fauna Brasileira Ameaçada de Extinção: Volume um Brasília, Distrito Federal: í cê ême bio/ême ême á, 2018. página 66-67

*Registros em UCs Federais: 1460 espécies, arredondadas para 1500, e frações aproximadas para facilitar os cálculos.

(As imagens não respeitam as proporções reais entre os animais.)

Depois de conhecer as espécies ameaçadas de extinção em unidades de conservação, note neste outro gráfico como elas se dividem em grupos.

Gráfico de setores. Distribuição por grupos biológicos das espécies da fauna ameaçada de extinção* (2018). Mamíferos: três cinquenta avos. Aves: quatro vinte e cinco avos, Répteis: três cinquenta avos, anfíbios: dois vinte e cinco avos. Peixes (continentais e marinhos): dezoito quarenta e cinco avos. Invertebrados (continentais e marinhos): sete vinte e cinco avos. — * Registros em unidades de conservação Federais. Frações aproximadas para facilitar os cálculos. Dados obtidos em: INSTITUTO Chico Mendes de conservação da biodiversidade. Livro Vermelho da Fauna Brasileira Ameaçada de Extinção: Volume um Brasília, Distrito Federal: í cê ême bio/ême ême á, 2018. página 55.

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No primeiro gráfico, para cada bioma há um setor com a indicação das respectivas espécies animais ameaçadas de extinção. Podemos obter muitas informações por meio da leitura do texto e dos gráficos. Por exemplo:

• No Pantanal, havia

\frac{3}{125}

de .1500 espécies animais ameaçadas de extinção.

• Mais de

\frac{1}{7}

das espécies animais ameaçadas de extinção eram constituídas de aves.

• Somente no Pantanal havia menos de 3% de espécies de animais ameaçadas de extinção.

•

\frac{1}{9}

é a fração que representa a quantidade de espécies de animais ameaçadas de extinção em ambientes marinhos, em 2018.

No entanto, para obter outras informações, é necessário fazer uma análise mais aprofundada dos gráficos; por exemplo:

• Que fração representa a quantidade de espécies de animais ameaçadas de extinção no Cerrado e na Caatinga em 2018?

Fotografia. Mico-leão-dourado. Macaco de pele marrom dourado está sobre um galho na árvore. — Mico-leão-dourado (leontopitécus rosália) nativo da Mata Atlântica. (Fotografia de 2017.)

Fotografia. Duas ararinhas-azuis em um galho. Aves de penas azuis semelhante a um papagaio. — Espécimes da ararinha-azul (cianopsíta spícsi) originárias da Caatinga. (Fotografia de 2015.)

(As imagens não respeitam as proporções reais entre os animais.)

• Do total de espécies animais ameaçadas de extinção em 2018, que fração representa os répteis e os mamíferos nessa situação?

Sabemos que as espécies de animais ameaçadas de extinção no Cerrado representam

\frac{7}{34},

e na Caatinga,

\frac{3}{34}

do total nacional. Observe como podemos representar essa situação por meio de uma figura:

Ilustração. Barra dividida em trinta e quatro partes iguais, sendo sete partes pintadas de laranja (Cerrado), três partes pintadas de azul (Caatinga) e o restante de verde.

Note que, de acordo com a figura, a fração procurada é

\frac{10}{34} .

Nesse caso, podemos também fazer a seguinte adição:

\frac{7}{34} + \frac{3}{34} = \frac{10}{34}

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Observe na figura a seguir que

\frac{24}{34}

é a fração que representa a quantidade de espécies de animais ameaçadas de extinção nos demais biomas.

Ilustração. Barra dividida em trinta e quatro partes iguais, sendo sete partes pintadas de laranja e três partes pintadas de azul (Cerrado e Caatinga) e o restante de verde (demais biomas)

Para obter esse dado, podemos efetuar uma subtração.

\frac{34}{34} ‒ \frac{10}{34} = \frac{24}{34}

Retomaremos a segunda pergunta mais adiante.

Acompanhe outro exemplo.

Na cantina em que Marina trabalha, um mesmo tipo e formato de bolo é vendido a cada semana (de segunda a sexta-feira). Marina anotou, no quadro a seguir, a quantidade de bolo vendida em determinada semana.

Dia da semana	Segunda-feira	Terça-feira	Quarta-feira	Quinta-feira	Sexta-feira
Parte de bolo vendida	$divisão de 1 sobre 8$	$divisão de 3 sobre 8$	$divisão de 1 sobre 8$	$divisão de 2 sobre 8$	$divisão de 4 sobre 8$

Quantas partes desse tipo de bolo foram vendidas nessa semana? Quantas partes sobraram?

• Juntando todas as partes de bolo vendidas em cada dia, podemos calcular a quantidade de bolo que foi vendida nessa semana. Isso pode ser registrado por meio de uma adição.

\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{4}{8} = \frac{11}{8}

Ilustração. Dois círculos divididos em oito partes. O círculo à esquerda está com todas as partes pintadas, o círculo à direita está com três partes pintadas. Abaixo, a informação: A parte pintada de amarelo representa a quantidade de bolo vendida nessa semana.

Nessa semana, a cantina vendeu

\frac{11}{8}

de bolo, o que significa mais de uma unidade de bolo.

\frac{11}{8} = \frac{8}{8} + \frac{3}{8}

, o que representa 1 bolo e

\frac{3}{8}

de bolo, ou seja,

1 \frac{3}{8}

de bolo.

• Subtraindo o total vendido do total fabricado desse tipo de bolo na semana (duas unidades), temos a quantidade que sobrou:

2 ‒ \frac{11}{8} = \frac{16}{8} ‒ \frac{11}{8} = \frac{5}{8}

Para adicionar ou subtrair números representados por frações de mesmo denominador, adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador comum.

Verifique os cálculos a seguir.

1 dezesseis avos mais onze dezesseis avos igual a doze dezesseis avos. O numerador 12 corresponde a um mais onze.

Um oitavo mais três oitavos mais um oitavo mais dois oitavos mais quatro oitavos igual a onze oitavos. O numerador 11 corresponde a 1 + 3 + 1 + 2 + 4

Quatro quartos menos três quartos igual a um quarto. O numerador 1 corresponde a quatro menos três.

Dezesseis oitavos menos onze oitavos igual a cinco oitavos. O numerador 5 corresponde a 16 menos 11.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Considere a figura e faça o que se pede.

Ilustração. Quadrado dividido em oito triângulos iguais. Há seis triângulos pintados, sendo quatro amarelos e dois verdes.

a) Determine as frações de denominador 8 que representam a parte pintada de amarelo, a parte pintada de verde e a figura toda.

b) Represente por meio de uma adição de frações a parte da figura pintada de verde ou de amarelo.

c) Represente por meio de uma subtração a parte da figura que não está pintada nem de verde nem de amarelo.

2 Efetue, no caderno, simplificando o resultado quando possível.

\frac{2}{9} + \frac{5}{9}

\frac{4}{10} + \frac{2}{10}

\frac{2}{15} + \frac{3}{15}

\frac{5}{12} + \frac{3}{12} + \frac{1}{12}

\frac{5}{4} + \frac{3}{4}

\frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6}

3 Efetue, simplificando o resultado quando possível.

\frac{8}{9} ‒ \frac{2}{9}

\frac{7}{5} ‒ \frac{1}{5}

\frac{15}{8} ‒ \frac{9}{8}

\frac{9}{5} ‒ \frac{4}{5}

\frac{3}{7} ‒ \frac{3}{7}

\frac{11}{12} ‒ \frac{3}{12}

Carlos imagina “saltos” em uma reta numérica para calcular mentalmente o resultado de adições e de subtrações de frações.

• Para calcular

\frac{2}{7} + \frac{3}{7} :

Ilustração. Rapaz negro de cabelo castanho, veste blusa listrada verde e lilás. Ele está com uma das mãos sobre o queixo e pensa: ilustração. Reta numérica com pontos 0, dois sétimos, cinco sétimos e 1. De 2 sétimos para cinco sétimos seta com indicação: mais três sétimos. Penso em uma unidade da reta numérica dividida em sete partes iguais. Na reta, localizo dois sétimos. Em seguida, dou um salto de três sétimos na reta no sentido crescente, chegando a cinco sétimos.

Então,

\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7} .

• Para calcular

\frac{4}{5} ‒ \frac{3}{5} :

Ilustração. Rapaz negro de cabelo castanho, veste blusa listrada verde e lilás. Ele está com uma das mãos sobre o queixo, um dos olhos fechados e pensa: ilustração. Reta numérica com pontos 0, um quinto, quatro quintos, 1. De um quinto para quatro quintos seta com indicação: menos três quintos. Penso em uma unidade da reta numérica dividida em cinco partes iguais. Na reta, localizo quatro quintos. Em seguida, dou um salto de três quintos na reta no sentido decrescente, chegando a um quinto.

Então,

\frac{4}{5} ‒ \frac{3}{5} = \frac{1}{5} .

Efetue mentalmente as operações com as frações a seguir, imaginando saltos crescentes e decrescentes em uma reta numérica. Depois, registre por escrito e verifique o resultado.

\frac{4}{7} + \frac{2}{7}

\frac{3}{5} + \frac{1}{5}

\frac{1}{8} + \frac{5}{8}

\frac{5}{6} ‒ \frac{2}{6}

\frac{6}{7} ‒ \frac{4}{7}

\frac{4}{9} ‒ \frac{1}{9}

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5 O senhor Roberto é muito querido no bairro onde mora. Por ter conhecimentos de paisagismo, ele coordenou os moradores na plantação de flores na maior praça do bairro. A praça foi dividida e em

\frac{1}{6}

dela foram plantadas margaridas, em

\frac{4}{6}

foram plantadas gérberas e o restante foi ocupado com acácias.

a) Represente essa situação por meio de uma figura.

b) Determine a fração da praça florida de acácias.

Ícone do Tema Contemporâneo Transversal: Cidadania e Civismo.

Fernanda gosta de criar suas próprias bijuterias. Para fazer um colar, ela comprou 2 pacotes de miçangas, um de cada cor. Cada pacote tinha 120 miçangas. Ela usou

\frac{3}{4}

das miçangas de um dos pacotes e

\frac{3}{5}

das miçangas do outro. Quantas miçangas sobraram de cada cor?

7 O Brasil é uma República Federativa presidencialista. A federação brasileira é composta de 26 estados e do Distrito Federal. O sistema político – atuando nas esferas federal, estadual e municipal – é dividido em três poderes: Executivo, Legislativo e Judiciário.

Partidos são grupos de pessoas com as mesmas propostas políticas. Observe a seguir o número de senadores de cada partido (em janeiro de 2022) que fazem parte do Poder Legislativo em sua esfera federal. No total, são 81 senadores.

CIDADANIA: 3

DÉEM (Democratas): 5

MDB (Movimento Democrático Brasileiro): 15

PDT (Partido Democrático Trabalhista): 3

pê éle (Partido Liberal): 6

PODEMOS: 9

pê pê (Partido Progressista): 7

PRÓS (Partido Republicano da Ordem Social): 3

PSC (Partido Social Cristão): 1

PSD (Partido Social Democrático): 12

PSDB (Partido da Social Democracia Brasileira): 6

pê ésse éle (Partido Social Liberal): 2

PT (Partido dos Trabalhadores): 7

REDE (Rede Sustentabilidade): 1

REPUBLICANOS: 1

Dados obtidos em: SENADO Federal. Disponível em: https://oeds.link/j76EQd. Acesso em: 22 janeiro. 2022.

Agora, responda às questões a seguir.

a) Escreva a fração do Senado que representava cada um desses partidos em janeiro de 2022.

b) Sabendo que cada estado tem três senadores, descubra qual é o partido de cada um deles em seu estado natal.

c) Qual era o partido majoritário na região geográfica onde você mora?

d) Qual é a fração do Senado que representava os estados da região geográfica onde você vive?

Ícone de Atividade em dupla ou em grupo.

Analise com um colega a situação seguinte:

Uma pesquisa feita com 100 pessoas a respeito da atividade preferida de lazer cultural trouxe estes dados:

• museu:

\frac{12}{100}

• show de música:

\frac{38}{100}

• cinema:

\frac{34}{100}

• teatro:

\frac{26}{100}

Agora, respondam: há algum erro nos dados dessa pesquisa? Justifiquem a resposta.

Hora de criar – Elabore um problema com adição ou subtração de frações. Troque com um colega e, depois, destroquem para corrigi-los.

Pense mais um pouco...

faça a atividade no caderno

Bernardo perguntou a seu avô:

— Que horas são?

O avô respondeu:

— As horas que passaram do meio-dia correspondem a

\frac{1}{3}

das que faltam para a meia-noite.

Ilustração. Homem branco calvo de óculos, veste blusa azul. Ele olha para o relógio em seu pulso. Ao lado, menino branco de cabelo castanho, veste camiseta vermelha de manga comprida cinza e olha para o homem. Ao redor da sua cabeça, pontos de interrogação.

Determine que horas são.

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TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Operando com porcentagens

O fotógrafo Luciano vai fazer uma exposição de suas 100 melhores fotografias. Para isso, organizou as fotografias por temas e marcou em uma malha quadriculada quantas há em cada categoria.

Ilustração. Malha quadriculada composta por cinco linhas e vinte colunas. Duas colunas representam pessoas e estão pintadas de azul. Cinco colunas representam animais e estão pintadas de vermelho. Sete colunas representam paisagens e estão pintadas de verde. Seis colunas representam flores e estão pintadas de laranja.

Luciano pintou:

• 10 quadradinhos de azul, que representam as fotografias de pessoas. Essas fotografias representam

\frac{10}{100}

do total.

• 25 quadradinhos de vermelho, que representam as fotografias de animais. Elas representam

\frac{25}{100}

do total.

• 35 quadradinhos de verde, que representam as fotografias de paisagens. Elas representam

\frac{35}{100}

do total.

• 30 quadradinhos de laranja, que representam as fotografias de flores. Elas representam

\frac{30}{100}

do total.

A malha toda representa

\frac{100}{100}

ou 1 inteiro.

Já vimos que uma fração de denominador 100 pode ser escrita na fórma percentual. Então, podemos montar um quadro com essas informações. Observe.

Malha	Fração	Porcentagem
Parte azul	$divisão de 10 sobre 100$	10%
Parte vermelha	$divisão de 25 sobre 100$	25%
Parte verde	$divisão de 35 sobre 100$	35%
Parte laranja	$divisão de 30 sobre 100$	30%
Inteiro	$divisão de 100 sobre 100$	100%

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Agora quem trabalha é você!

faça as atividades no caderno

1 Marília desenhou um vitral quadrado com 100 quadradinhos. Em seguida, pintou de azul a letra inicial do nome dela e de vermelho os quadradinhos restantes.

Ilustração. Quadrado dividido em 10 linhas e 10 colunas. Há quarenta quadradinhos pintados de vermelho e sessenta quadradinhos pintados de azul.

a) Represente na fórma de fração e na fórma percentual a parte vermelha, a parte azul e o vitral todo.

b) Construa um quadro com os resultados obtidos no item anterior.

c) Represente na fórma de fração e na fórma percentual, com a operação que considerar conveniente, as afirmações:

• Juntando a parte vermelha do vitral com a parte azul, temos o vitral todo.

• Se recortarmos o fundo do vitral, ficaremos apenas com a letra M.

2 Recorte de uma folha quadriculada uma região com 100 quadradinhos para fazer um vitral com três cores: amarelo, vermelho e azul. Use a sua criatividade para dar a fórma que quiser ao seu vitral.

a) Represente na fórma de fração e na fórma percentual as partes de cada cor e o vitral todo.

b) Construa um quadro com os resultados obtidos no item anterior.

(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)

2. Adição e subtração com frações de denominadores diferentes

Considere as situações a seguir.

Situação 1

Para fazer uma vitamina, Hugo encheu

\frac{1}{2}

copo com suco e

\frac{1}{3}

de outro copo, igual ao primeiro, com iogurte. Em um terceiro copo, igual aos demais, ele despejou o suco e o iogurte dos outros dois copos. Qual é a fração que representa o total de mistura que coube no terceiro copo?

Ilustração. Dois recipientes com líquidos. À esquerda, recipiente com líquido amarelo até a metade e a fração um meio. Ao lado, recipiente com menos da metade de líquido rosa e a fração um terço. Seta para um recipiente com líquido laranja. Uma parte dele é um terço e a outra,meio.

A parte do terceiro copo que foi preenchida com a mistura pode ser representada por

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} .

Página 183

Observe o que acontece se dividirmos o copo em 6 partes iguais, em que cada uma delas representará

\frac{1}{6}

do copo:

Ilustração. Recipiente cilíndrico dividido em 6 partes iguais. Cada parte corresponde a um sexto. Três partes correspondem a um meio e duas partes correspondem a um terço. Tem líquido laranja em 5 partes.

•

\frac{1}{6}

cabe 3 vezes em

\frac{1}{2};

então,

\frac{1}{2} = \frac{3}{6};

•

\frac{1}{6}

cabe duas vezes em

\frac{1}{3};

então,

\frac{1}{3} = \frac{2}{6} .

Repare que

\frac{1}{2} e \frac{3}{6}

são frações equivalentes, assim como

\frac{1}{3} e \frac{2}{6} .

Já sabemos que

\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} .

Logo:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

Assim,

\frac{5}{6}

do terceiro copo foram preenchidos com a mistura.

Situação 2

Mônica resolveu não usar os .4000 reais de sua poupança, mas sim seu 13º salário para comprar alguns presentes de Natal.

Ilustração. Mulher branca de cabelo castanho, veste blusa roxa e calça azul. Ela está com uma bolsa laranja no ombro e está em pé dentro de uma loja de roupas. Ao fundo uma pessoa atrás de um balcão. Dos lados, prateleiras com roupas.

Com

\frac{2}{5}

do 13º salário ela comprou uma televisão, com

\frac{1}{4}

dele comprou um celular e com

\frac{1}{5}

comprou roupas. Verificou, então, que ainda lhe restavam 450 reais. Nessas condições, qual é o valor do 13º salário de Mônica?

Fazendo uso do pensamento computacional, simplificamos a resolução do problema ao decompor em etapas menores.

Podemos calcular:

• quanto Mônica gastou;

• quanto sobrou do 13º salário.

Assim, identificamos o padrão de resolução:

• adicionando os números fracionários referentes às compras;

• subtraindo essa soma de 1 para obter a fração restante;

Para isso abstraímos, ou seja, selecionamos os dados que interessam na situação, que são as frações

\frac{2}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}

e o valor restante de 450 reais. Os .4000 reais da poupança não importam.

Finalmente, definimos o algoritmo a seguir, isto é, a sequência de cálculos necessária à resolução.

Vamos, então, calcular a fração do 13º salário que representa o total gasto por Mônica.

Dois quintos mais um quarto mais um quinto igual a oito vinte avos mais cinco vinte avos mais quatro vinte avos igual a dezessete vinte avos. Ao redor, as informações: gasto com a televisão: dois quintos. Gasto com o celular: um quarto. Gasto com roupas: um quinto. Gasto total: dezessete vinte avos.

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Agora, observe esta figura, que representa o 13º salário de Mônica.

Esquema. 13º salário. Figura composta por vinte frações representando um vinte avos cada uma. Há dezessete delas pintadas. Abaixo, as informações: oito frações de um vinte avos pintadas correspondem a gastos com a televisão. Cinco frações de um vinte avos pintadas correspondem a gastos com o celular e quatro frações de um vinte avos pintadas correspondem a gastos com roupas.

Os 450 reais correspondem à fração

\frac{3}{20},

que foi obtida pela subtração

\frac{20}{20} ‒ \frac{17}{20} .

Então:

•

\frac{3}{20}

do 13º salário

450 reais

•

\frac{1}{20}

do 13º salário

150 reais (450 dividido por 3)

•

\frac{20}{20}

do 13º salário

.3000 reais (150 ⋅ 20)

Portanto, Mônica recebeu .3000 reais de 13º salário.

Agora que já compreendemos como efetuar a adição com frações de denominadores diferentes, vamos voltar à segunda pergunta proposta na situação do início deste capítulo.

• Do total de espécies animais ameaçadas de extinção em 2018, que fração representa os répteis e os invertebrados nessa situação?

Ao analisar novamente o gráfico, obtemos as informações a seguir:

Gráfico de setores. Distribuição por grupos biológicos das espécies da fauna ameaçada de extinção* (2018). Répteis: três cinquenta avos. Invertebrados (continentais e marinhos): sete vinte e cinco avos. Outros grupos: correspondem a outras quatro partes do gráfico. — * Registros em unidades de conservação Federais. Dados obtidos em: INSTITUTO Chico Mendes de conservação da biodiversidade. Livro Vermelho da Fauna Brasileira Ameaçada de Extinção: Volume um Brasília, Distrito Federal: í cê ême bio/ême ême á, 2018. página 55.

• As espécies de répteis representam

\frac{3}{50}

do total.

• As espécies de invertebrados representam

\frac{7}{25}

do total.

Então, para responder à questão, efetuamos a adição:

\frac{3}{50} + \frac{7}{25} = \frac{3}{50} + \frac{14}{50} = \frac{17}{50}

Portanto, as espécies de répteis e de invertebrados ameaçadas de extinção representam

\frac{17}{50}

do total de espécies ameaçadas de extinção em 2018.

Para adicionar ou subtrair números representados por frações de denominadores diferentes, primeiro devemos substituí-las por frações equivalentes com denominadores iguais (múltiplo dos denominadores das frações dadas). Em seguida, adicionamos ou subtraímos essas frações equivalentes.

Página 185

Observe outros exemplos.

\frac{1}{5} + \frac{1}{2} = \frac{2}{10} + \frac{5}{10} = \frac{7}{10}

\frac{1}{8} + \frac{3}{2} = \frac{2}{16} + \frac{24}{16}

\frac{26}{16} = \frac{26 : 2}{16 : 2} = \frac{13}{8}

2 ‒ \frac{4}{5} = \frac{2}{1} ‒ \frac{4}{5}

\frac{10}{5} ‒ \frac{4}{5} = \frac{6}{5}

1 \frac{2}{3} ‒ \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{3} ‒ \frac{1}{2} + \frac{3}{4}

\frac{40}{24} ‒ \frac{12}{24} + \frac{18}{24}

\frac{46}{24} = \frac{46 : 2}{24 : 2} = \frac{23}{12}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

10 Considere a figura a seguir e faça o que se pede.

Ilustração. Retângulo dividido em 6 partes iguais. Há 3 partes pintadas de azul e duas de amarelo e uma em branco.

a) Determine a fração de denominador 2 que representa a parte pintada de azul.

b) Determine a fração de denominador 3 que representa a parte pintada de amarelo.

c) Qual é a fração que representa a parte colorida de azul ou amarelo da figura?

d) Determine a fração que representa a parte branca da figura.

e) É possível responder aos itens c e d por meio de operações com frações? Justifique.

11 Reduza as frações ao mesmo denominador, faça os cálculos e dê o resultado com a fração mais simples.

\frac{2}{5} + \frac{3}{10}

\frac{2}{3} + \frac{7}{6}

\frac{2}{9} + \frac{3}{4}

3 \frac{1}{2} + \frac{4}{5}

12 Determine as diferenças.

\frac{1}{3} - \frac{1}{5}

\frac{5}{4} - \frac{4}{5}

3 - \frac{2}{5}

3 \frac{1}{2} - 2 \frac{3}{4}

13 Calcule o valor das expressões.

\frac{3}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}

3 - 2 \frac{1}{2} + \frac{1}{4}

\frac{1}{2} + 1 \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{4}

\frac{11}{12} - \frac{5}{6} + \frac{2}{9}

14 Um ciclista saiu da cidade a em direção à cidade B, transitando pelo acostamento da estrada no mesmo sentido dos carros, conforme preceitua o Código de Trânsito para ciclistas. No primeiro dia, percorreu

\frac{1}{2}

da distância que separa as duas cidades e, no segundo dia,

\frac{1}{3}

dessa mesma distância.

Ilustração. Homem branco de capacete vermelho, usa óculos de proteção e veste blusa verde e calça roxa. Ele está sobre uma bicicleta.

Agora, responda:

a) Qual é a fração que representa a distância percorrida após os dois dias de viagem?

b) Qual é a fração que representa a distância que falta para chegar à cidade B?

c) Sabendo que a distância que falta para chegar à cidade B é de 60 quilômetros, qual é a distância entre essas duas cidades?

15 Em um sítio,

\frac{3}{8}

das terras são destinados ao plantio de milho, um alimento rico em nutrientes como fósforo, potássio, magnésio e vitaminas. Para a criação de carneiros são destinados

\frac{2}{5}

das terras, e a parte restante é arrendada para o plantio de cana-de-açúcar. Qual é a fração que corresponde à parte arrendada desse sítio?

Página 186

Para calcular mentalmente

\frac{2}{3} + \frac{1}{6}

1 ‒ \frac{2}{3},

Paula imagina “saltos” em uma reta numérica.

• Para calcular

\frac{2}{3} + \frac{1}{6} :

Ilustração. Menina de cabelo curto, blusa verde e rosa e saia de braços cruzados ela pensa: ilustração de reta numérica com pontos 0, quatro sextos, cinco sextos e 1. De quatro sextos até cinco sextos seta com indicação: mais um sexto. Sei que dois terços e quatro sextos são frações equivalentes. Assim, penso em uma unidade da reta numérica dividida em seis partes iguais. Na reta, localizo quatro sextos. Em seguida, dou um salto de um sexto na reta no sentido crescente, chegando a cinco sextos.

Então:

\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

• Para calcular

1 ‒ \frac{2}{3} :

Ilustração. Menina de cabelo curto, blusa verde e rosa e saia com as mãos na cintura pensa: ilustração de reta numérica com pontos 0, um terço e 1 (três terços). De um terço até 1 (três terços) seta com indicação: menos dois terços. Penso em uma unidade da reta numérica dividida em três partes iguais e observo
que 1 é equivalente a três terços. Na reta, localizo três terços. Em seguida, dou um salto de dois terços na reta no sentido decrescente, chegando a um terço.

Então:

1 ‒ \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

Calcule mentalmente as operações com as frações a seguir. Primeiro, pense em uma fração equivalente para a fração que você considerar mais conveniente. Em seguida, faça o cálculo como Paula fez.

1 + \frac{2}{3}

\frac{2}{5} + \frac{3}{10}

\frac{4}{5} ‒ \frac{3}{10}

\frac{2}{7} ‒ \frac{3}{14}

Daniel pensou em frações equivalentes para calcular mentalmente

1 \frac{2}{3} + \frac{1}{6}

2 \frac{2}{3} ‒ \frac{1}{6} .

Acompanhe como ele pensou.

Ilustração. Menino de óculos e cabelo escuro sentado com o braço apoiado na mesa e outro na cadeira. Ele pensa: Sei que um inteiro e dois terços e um inteiro e quatro sextos são frações equivalentes. Então, faço
Um inteiro e quatro sextos mais um sexto e obtenho um inteiro e cinco sextos. Sei que dois terços e dois inteiros e dois terços e dois inteiros e quatro sextos são frações equivalentes. Então, faço 2 inteiros e quatro sextos menos um sexto e
Obtenho 2 inteiros e três sextos ou 2 inteiros e um meio.

1 \frac{1}{3} + \frac{1}{6}

2 \frac{1}{2} + \frac{2}{6}

3 \frac{3}{4} ‒ \frac{1}{2}

3 \frac{3}{5} ‒ 2 \frac{1}{10}

18 Leia esta notícia de jornal.

Ilustração. Manchete de jornal: Acordo entre governos e empresários. Com o acordo, estrada de 36 quilômetros é asfaltada. Os governos do estado e do município arcam, respectivamente, com três oitavos e sete doze avos do valor da obra, enquanto empresários arcam com o restante, 60 mil reais.

Agora, responda:

a) Quanto custou toda a obra?

b) Qual é o preço do quilômetro asfaltado?

Hora de criar – Crie um problema de adição ou subtração considerando pizzas cortadas em fatias iguais. Você pode definir o número de fatias das suas pizzas. Troque com um colega para que ele resolva e, depois, destroquem para corrigi-los.

Página 187

3. Multiplicação

Vamos estudar a multiplicação que envolve números racionais na fórma de fração analisando situações distintas.

Quando um dos fatores é um número natural

Situação 1

Denise faz brigadeiros para vender.

Fotografia. Brigadeiros sobre granulado de chocolate.

Ela anotou, em uma tabela, a produção de brigadeiros encomendados na última semana. Observe como ficou.

Produção
	Segunda-feira	Terça-feira	Quarta-feira	Quinta-feira	Sexta-feira	Total
Número de brigadeiros	150	150	150	150	150	750
Fração da produção	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{5}{5}$

Dados obtidos por Denise.

De acordo com a tabela, em cada dia, Denise produziu

\frac{1}{5}

do total de brigadeiros.

Vamos representar a produção dos três primeiros dias da semana de dois modos:

• pelo número de brigadeiros: 150 + 150 + 150 ou 3 ⋅ 150 ou 450

• pela fração que representa a parte do total de brigadeiros:

\frac{1}{5}

de 750 +

\frac{1}{5}

de 750 +

\frac{1}{5}

de 750 ou 3 ⋅

\frac{1}{5}

de 750 ou

\frac{3}{5}

de 750

Como podemos representar 3 pela fração

\frac{3}{1},

então:

3 vezes um quinto igual a três sobre um vezes um quinto igual a três quintos. Três no numerador: 3 vezes 1; Cinco no denominador: 1 vezes 5.

Página 188

Da mesma maneira, podemos calcular a fração da produção total obtida por Denise na quinta-feira e na sexta-feira:

Um quinto mais um quinto igual a 2 vezes um quinto igual a dois sobre um vezes um quinto igual a dois quintos.
Dois no numerador: 2 vezes 1;
Cinco no denominador: 1 vezes 5.

Usamos os sinais de multiplicação (× ou ⋅ ) , por exemplo, para representar expressões como o dobro de cinco

(2 \cdot 5)

ou o triplo de um quinto

(3 \cdot \frac{1}{5}) .

Da mesma maneira, podemos representar por uma multiplicação uma expressão como esta:

dois quintos de quatro:

\frac{2}{5} \cdot 4

Observe como efetuar esse cálculo, acompanhando a situação a seguir.

Situação 2

Para sua festa de aniversário, Paula encomendou 4 bandejas de doces. Ela arrumou os doces de modo que

\frac{2}{5}

dos doces de cada bandeja fossem beijinhos e o restante, brigadeiros.

Ilustração. Quatro bandejas com brigadeiros e beijinhos. Há 6 fileiras de brigadeiros com cinco brigadeiros cada e quatro fileiras de beijinhos com 5 em cada fileira.

Observe que, de acordo com a ilustração, apenas

\frac{2}{5}

dos doces de uma bandeja são beijinhos.

Assim,

\frac{2}{5}

de 4 bandejas de doces equivalem a

\frac{8}{5}

de uma bandeja.

Como 4 pode ser representado pela fração

\frac{4}{1},

então:

Dois quintos vezes quatro igual a dois quintos vezes quatro sobre um igual a oito quintos.
Numerador oito: 2 vezes 4; Cinco no denominador: 5 vezes 1.

Se Paula resolvesse agrupar todos os beijinhos, ela usaria mais de uma bandeja, pois

\frac{8}{5} = 1 \frac{3}{5} .

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

20 Escreva as adições na fórma de multiplicação e, em seguida, dê o resultado.

\frac{3}{5} + \frac{3}{5}

\frac{2}{7} + \frac{2}{7} + \frac{2}{7}

\frac{4}{5} + \frac{4}{5} + \frac{4}{5} + \frac{4}{5}

21 Efetue, no caderno.

3 \cdot \frac{1}{4}

4 \cdot \frac{1}{8}

5 \cdot \frac{1}{10}

8 \cdot \frac{1}{20}

22 Diariamente Mariana consome

\frac{1}{3}

de suco contido em uma garrafa de 1 litro. Represente por meio de uma adição e de uma multiplicação a quantidade de suco que Mariana consome em uma semana.

23 Calcule.

\frac{1}{3}

de 5

\frac{2}{5}

de 9

\frac{4}{7}

de 8

\frac{6}{8}

de 4

\frac{1}{2}

de 90

\frac{1}{4}

de 100

24 Paulo fez uma pesquisa com 90 pessoas do bairro onde mora sobre a prática da coleta seletiva de lixo. Ele constatou que

\frac{2}{3}

dos entrevistados praticam esse tipo de coleta e

\frac{1}{10}

dos entrevistados não sabe o que isso significa. Calcule quantas dessas pessoas praticam a coleta seletiva de lixo e quantas a desconhecem.

Ilustração. Menino de cabelo curto, blusa verde e calça marrom. Ele está ao lado de recipientes de coleta seletiva: verde: vidro; azul: papel; vermelho: plástico; amarelo: alumínio e marrom: orgânico.

25 A biblioteca municipal realizou uma pesquisa com 500 adolescentes sobre a preferência por alguns gêneros literários. A opinião dos adolescentes foi registrada no gráfico.

Ilustração. Gráfico em barras horizontais. Gêneros literários preferidos. No eixo horizontal, porcentagem (%). No eixo vertical, gênero literário. Os dados são: poesia – 17; peça teatral – 23; Conto – 25; Romance – 35. — Dados obtidos pela biblioteca municipal.

a) De qual gênero literário os adolescentes mais gostam?

b) Qual é a fração que indica a preferência dos adolescentes por peça teatral?

c) Quantos adolescentes preferem peça teatral?

d) Construa uma tabela para indicar a preferência de gênero literário e a quantidade de adolescentes correspondente.

26 Ano terrestre, em Astronomia, é o intervalo de tempo que corresponde a uma revolução completa da Terra em torno do Sol. O ano corresponde aproximadamente a 365 dias e seis horas. No comércio, para facilitar cálculos contábeis, considera-se que o ano tenha 360 dias, ou 12 meses de 30 dias cada um.

Construa uma tabela com três colunas. Na primeira, escreva os períodos: bimestre, trimestre, quadrimestre e semestre; na segunda coluna, as respectivas frações do ano comercial, em meses, relativas a esses períodos; e, na terceira, as respectivas quantidades de dias.

Hora de criar – Junte-se a um colega e elaborem uma tabela com 5 atividades realizadas frequentemente por vocês, identificadas durante uma semana, e marquem a frequência com que elas ocorrem. Depois, respondam: Qual fração representa cada atividade realizada na semana?

Página 190

Quando os dois fatores são escritos na fórma de fração

Situação 1

Nesta situação, vamos aprender o que significa, por exemplo,

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5}

e como efetuar essa multiplicação.

Mariana reservou

\frac{3}{5}

do jardim para plantar rosas.

Ilustração. Jardim de Mariana. Retângulo dividido em 5 partes. Três partes estão pintadas de verde e a informação: três quintos do jardim (canteiro das rosas).

Fotografia. Vista parcial de diversas rosas brancas em um jardim

Ela resolveu que em

\frac{2}{3}

desse canteiro as rosas plantadas seriam brancas.

Ilustração. Retângulo dividido em cinco colunas com três partes pintadas. As três partes pintadas foram divididas em nove partes iguais das quais seis estão hachuradas. Ao lado, dois terços de três quintos do jardim (canteiro de rosas brancas)

Observe que a parte do jardim ocupada pelo canteiro de rosas brancas

(\frac{2}{3} de \frac{3}{5})

corresponde a

\frac{6}{15}

do jardim.

Então:

Dois terços de Três quintos igual a dois terços vezes três quintos igual a seis quinze avos.
Seis no numerador: 2 vezes 3;
15 no denominador: 3 vezes 5

Situação 2

Rita gastou

\frac{1}{4}

do dinheiro que tinha e, em seguida,

\frac{2}{3}

do que lhe restou, ficando com 350 reais. Quanto Rita tinha inicialmente?

Ilustração. Mulher de blusa roxa com a mãos abaixo do queixo pensa em um ponto de interrogação.

Como ela gastou

\frac{1}{4}

do que tinha, restaram-lhe

\frac{4}{4} ‒ \frac{1}{4},

ou seja,

\frac{3}{4} .

Página 191

Em seguida, Rita gastou

\frac{2}{3}

do que lhe restou, ou seja,

\frac{2}{3} de \frac{3}{4},

que podemos calcular da seguinte maneira:

\frac{2}{3} d e \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

Ilustração. Retângulo dividido em três linhas e quatro colunas. Seis partes estão hachuradas e três partes pintadas. Ao lado, dois terços de três quartos.

Agora, observe os gastos de Rita:

\frac{1}{4} e \frac{1}{2}

do que tinha no início

Então, ela gastou

(\frac{1}{4} + \frac{1}{2})

do que tinha inicialmente, ou seja,

\frac{3}{4}

do que tinha.

Dessa maneira, podemos concluir que os 350 reais que sobraram correspondem a

\frac{1}{4}

do dinheiro que Rita tinha inicialmente

(\frac{4}{4} ‒ \frac{3}{4} = \frac{1}{4}) .

Assim:

•

\frac{1}{4}

do que tinha

350 reais

•

\frac{4}{4}

do que tinha

.1400 reais (350 ⋅ 4)

Portanto, Rita tinha inicialmente 1 400 reais.

O produto de números racionais escritos na fórma de fração pode ser representado por uma fração em que o numerador é o produto dos numeradores, e o denominador é o produto dos denominadores.

Observe mais alguns exemplos.

Expressão. Seis vezes dois terços igual a seis sobre um vezes dois terços igual a doze terços igual a 4. Produto dos numeradores: 12. Produto dos denominadores: 3.

Expressão. Três quartos vezes cinco nonos igual a quinze trinte e seis avos igual a cinco doze avos. Produto dos numeradores: 15. Produto dos denominadores: 36.

Expressão. Três sétimos vezes dois quintos vezes um terço igual a seis, cento e cinco avos igual a dois trinta e cinco avos. Produto dos numeradores: 6. Produto dos denominadores: 105.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

28 No caderno, calcule cada produto, simplificando quando possível.

\frac{9}{20} \cdot \frac{5}{6}

\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{3}

3 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3}

2 \frac{1}{3} \cdot 3 \frac{2}{5}

\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{11} \cdot \frac{3}{7}

\frac{4}{5} \cdot 0 \cdot \frac{5}{4}

\frac{6}{15} \cdot \frac{5}{2}

\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}

Página 192

29 Para a festa de aniversário de seu filho, Cauê estimou que 60 copos de refrigerante seriam suficientes. Ele sabe que em cada copo cabe

\frac{1}{5}

do refrigerante de um litro. Quantos litros Cauê deve comprar?

30 Sabendo que, com um trator, Lúcio ara

\frac{3}{20}

de um terreno em um dia, responda:

a) De segunda-feira a sábado, que parte do terreno Lúcio consegue arar?

b) Considerando que no domingo ele descanse, quanto faltará arar na semana seguinte?

c) Ele conseguirá terminar na segunda-feira? Justifique sua resposta.

31 Em casa, a regra é dividir tudo em partes iguais para as 6 pessoas da família. De uma barra de chocolate, comi metade do que cabia a mim, e meus pais comeram cada um a sua parte.

Responda às perguntas com uma fração.

a) Quanto meus pais comeram juntos?

b) Quanto eu comi?

c) Quanto sobrou?

Reúna-se com um colega e façam o que se pede.

a) Calculem

\frac{2}{3} de \frac{4}{5} e \frac{2}{5} de \frac{4}{3} .

Entre os dois produtos, qual é o maior?

b) Calculem

\frac{3}{7} de \frac{2}{11} e \frac{2}{7} de \frac{3}{11} .

Entre os dois produtos, qual é o menor?

c) Escolham dois números racionais escritos na fórma de fração e multipliquem esses números. Em seguida, troquem entre si apenas os numeradores dessas frações e multipliquem os novos números racionais. Qual dos produtos obtidos é maior?

d) Dos números escolhidos no item c, troquem entre si apenas os denominadores das frações e multipliquem os novos números racionais. O produto destes é igual ao produto daqueles?

e) Escrevam uma conclusão a respeito dos resultados obtidos nos itens anteriores.

Ilustração. Uma garota de cabelo castanho, camiseta branca, calça rosa e tênis vermelho. Ela está sentada no chão ao lado de um menino de cabelo preto, óculos, blusa amarela e calça azul. Ela aponta para o caderno que ele segura. Ao lado deles, mochilas e cadernos.

Hora de criar – Elabore um exercício de divisão envolvendo frações. Troque o exercício com um colega, resolva o exercício elaborado por ele e depois destroquem para corrigir.

Pense mais um pouco...

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Junte-se a um colega e façam o que se pede.

1 Efetuem as multiplicações das fichas e comparem os resultados.

Ilustração. Fichas com frações. três terços vezes cinco quartos; um sobre um vezes cinco quartos; um quarto vezes cinco sobre 1.

Ilustração. Fichas com frações. Cinco terços vezes dois quintos vezes sete meios; cinco quintos vezes dois meios vezes sete terços; um sobre um vezes um sobre um vezes sete terços; um terço vezes um sobre um vezes sete sobre um.

Ilustração. Fichas com frações. Oito terços vezes cinco quartos; oito quarto vezes cinco terços; dois sobre um vezes cinco terços; dois terços vezes cinco sobre um.

2 A professora pediu aos estudantes que calculassem o valor da expressão

\frac{55}{3} \cdot \frac{13}{5} \cdot \frac{7}{26}

• Fábio multiplicou todos os numeradores e, depois, todos os denominadores. Em seguida, simplificou o resultado dividindo o numerador e o denominador por 5 e então por 13.

\frac{55}{3} \cdot \frac{13}{5} \cdot \frac{7}{26}

\frac{55 \cdot 13 \cdot 7}{3 \cdot 5 \cdot 26}

\frac{5 005}{390} = \frac{1 001}{78} = \frac{77}{6}

Página 193

• Débora, antes de multiplicar, dividiu por 5 o numerador 55 e o denominador 5, dividiu por 13 o numerador 13 e o denominador 26 (ela registrou esse procedimento com traços sobre os números divididos). Em seguida, multiplicou todos os novos numeradores e todos os novos denominadores:

cinquenta e cinco terços vezes treze quintos, vezes sete vinte e seis avos igual a
cinquenta e cinco (cortado e 11 acima) terços vezes treze (cortado e 1 acima) quintos (cortado e 1 ao lado), vezes sete vinte e seis avos (cortado e 2 ao lado) igual a onze terços vezes um sobre um vezes sete meios igual a setenta e sete sextos.

Discutam e respondam: qual é o procedimento mais prático, o de Fábio ou o de Débora?

3 Calculem, pelo procedimento de Débora, o valor da expressão:

\frac{4}{9} \cdot \frac{21}{15} \cdot \frac{10}{16}

4 Calculem, da maneira que acharem mais prática, os produtos a seguir.

\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}

\frac{1}{9} \cdot 9

\frac{7}{6} \cdot \frac{6}{7}

12 \cdot \frac{1}{12}

Quando os números racionais são inversos

Observe as frações a seguir.

•

\frac{2}{5} e \frac{5}{2}

•

\frac{1}{3} e 3

•

\frac{4}{7} e \frac{7}{4}

•

8 e \frac{1}{8}

O numerador de uma fração é igual ao denominador da outra, e vice-versa.

Quando o produto de dois números racionais é igual a 1, eles são chamados de números inversos.

Acompanhe nos exemplos a seguir que o produto dos inversos é igual a 1.

• o inverso de

\frac{2}{5} é \frac{5}{2};

• o inverso de

\frac{1}{3}

é 3;

• o inverso de

\frac{4}{7} é \frac{7}{4};

• o inverso de 8 é

\frac{1}{8} .

Observe mais um exemplo.

Para encontrar o inverso de

2 \frac{1}{3}

, representaremos esse número na fórma de fração:

2 \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}

Como

2 \frac{1}{3} e \frac{7}{3}

são representações do mesmo número, o inverso de

2 \frac{1}{3}

é igual ao inverso de

\frac{7}{3},

que é

\frac{3}{7} .

Portanto, o número

\frac{3}{7}

é o inverso de

2 \frac{1}{3} .

Note que o produto entre eles é 1.

2 \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{21}{21} = 1

Observação

▶ O número zero não tem inverso.

CAPÍTULO 8 Operações com números racionais na formafórma de fração

1. Adição e subtração com frações de mesmo denominador

CAPÍTULO 8 Operações com números racionais na fórma de fração