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Parte 2

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

34 Determine o inverso de:

\frac{3}{5}

\frac{1}{4}

\frac{6}{5}

d) 5

3 \frac{1}{5}

5 \frac{1}{3}

35 Responda às questões.

a) Qual é o inverso do número 1?

b) Que número se obtém quando se escreve o inverso do inverso de um número racional não nulo?

4. Divisão

Assim como na multiplicação, vamos estudar a divisão envolvendo números racionais na fórma de fração e analisar diferentes situações.

Quando o divisor é um número natural

Pedro preparou uma fórma de doce de goiaba caseiro e o dividiu em 8 partes iguais.

Ele deu a seu filho Artur uma dessas partes, isto é,

\frac{1}{8}

do doce. Artur, por sua vez, dividiu o que recebeu em 2 pedaços iguais e os embrulhou em papel-alumínio. Vamos determinar a fração que representa cada pedaço do doce embrulhado por Artur.

A parte clara da figura indica a quantidade do doce que Artur recebeu, isto é,

\frac{1}{8} .

Ilustração. Doce redondo dividido em oito partes. Destaque para uma parte e a informação: um oitavo do doce de goiaba.

Esta outra figura mostra cada uma das oito partes do doce de Pedro divididas em 2 pedaços iguais.

Ilustração. Doce redondo dividido em dezesseis partes. Destaque para duas partes e a informação: pedaços iguais.

Cada novo pedaço representa

\frac{1}{16}

do doce e foi obtido pela operação

\frac{1}{8} : 2 = \frac{1}{16}

Vamos considerar válidas as igualdades a seguir. Nelas, a expressão

\frac{\frac{1}{8}}{2}

é considerada uma fração:

\frac{\frac{1}{8}}{2} = \frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{2}{2}} = \frac{1}{16} : \frac{2}{2} = \frac{1}{16} : 1 = \frac{1}{16}

Na divisão de uma fração por um número natural, obtemos uma parte de outra parte:

\frac{1}{8} : 2 = \frac{1}{2} de \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16}

Note que esse quociente também pode ser obtido multiplicando-se

\frac{1}{8}

pelo inverso de 2:

\frac{1}{8} : 2 = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

36 Qual divisão poderia representar a parte hachurada do retângulo? E como representá-la com um número racional na forma de fração?

NELSON MATSUDA/ARQUIVO DA EDITORA

Ilustração. Retângulo dividido em uma faixa branca horizontal, seis quadrados verdes e dois quadrados hachurados.

37 Efetue cada divisão, fazendo uma figura correspondente.

\frac{1}{4} : 3

\frac{2}{5} : 5

\frac{1}{2} : 4

\frac{3}{8} : 2

38 Isabel dividiu sua horta retangular em 3 canteiros iguais. Em um desses canteiros, plantou couve em uma metade e, na outra, espinafre.

Agora, responda:

a) Que fração pode representar a parte da horta onde foram plantadas as verduras?

b) Represente por meio de uma figura e com uma fração a parte da horta onde foi plantado espinafre.

c) Represente por meio de uma divisão a parte da horta onde foi plantada couve.

Quando o dividendo é um número natural

André precisa encher com suco 4 vasilhames, de 1 litro cada um, usando garrafas em que cabem

\frac{2}{3}

de litro. Para isso, quantas garrafas ele usará?

Ilustração. Homem de cabelo curto e camisa roxa enche um vasilhame. Ao lado, outros três vasilhames idênticos e já completos com líquido.

Nesta situação vamos calcular quantas vezes uma parte cabe em mais de um inteiro. Para resolver o problema, vamos representar cada recipiente por uma figura retangular.

Cada

\frac{2}{3}

de litro representa o conteúdo de uma garrafa de suco, e cada

representa o conteúdo de

\frac{1}{3}

de garrafa. Logo, 4 litros equivalem a

\frac{12}{2}

de garrafa, isto é, a 6 garrafas.

Vemos nas figuras que

\frac{2}{3}

de litro cabem 6 vezes em 4 recipientes, ou seja,

4 : \frac{2}{3} = 6 .

Logo, André precisa despejar 6 garrafas cheias de suco para encher 4 recipientes vazios.

Esse quociente pode ser obtido multiplicando 4 pelo inverso de

\frac{2}{3} .

4 : \frac{2}{3} = 4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6

Em 3 litros cabem

\frac{9}{2}

de garrafa, isto é,

3 : \frac{2}{3} = \frac{9}{2} .

Esse quociente pode ser obtido por:

3 : \frac{2}{3} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

39 A figura a seguir sugere uma divisão.

Ilustração. Figura composta por quatro retângulos de um quarto cada.

Ilustração. Figura composta por quatro retângulos de um quarto cada.

Ilustração. Figura composta por quatro retângulos de um quarto cada.

a) Qual das seguintes divisões a figura pode representar: 3 dividido por 4, 4 dividido por

\frac{1}{3}

ou 3 dividido por

\frac{1}{4}

b) Qual é o resultado dessa divisão?

40 Efetue cada divisão, fazendo uma figura correspondente.

3 : \frac{3}{4}

4 : \frac{4}{5}

1 : \frac{1}{9}

1 : \frac{1}{3}

6 : \frac{3}{4}

8 : \frac{4}{5}

Quando a divisão envolve números racionais na fórma de fração

Agora, vamos estudar a divisão entre dois números escritos na fórma de fração.

Vamos dividir

\frac{2}{3}

por

\frac{1}{6}

com o auxílio de figuras. Vejamos quantas vezes

\frac{1}{6}

cabe em

\frac{2}{3} .

Ilustração. Retângulo dividido em três partes. Duas partes estão pintadas e a informação: Representa a fração dois terços.

Ilustração. Retângulo dividido em seis partes. Três partes estão pintadas e uma parte hachurada com a informação: Representa a fração um sexto.

As figuras mostram que

\frac{1}{6}

cabe 4 vezes em

\frac{2}{3},

ou seja,

\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = 4 .

Obtemos esse quociente multiplicando

\frac{2}{3}

pelo inverso de

\frac{1}{6}

\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{1} = \frac{12}{3} = 4

Agora, vamos dividir

\frac{3}{2}

por

\frac{3}{4},

isto é, vamos calcular quantas vezes

\frac{3}{4}

cabem em

\frac{3}{2} .

Ilustração. Dois Retângulos dividido em duas partes cada. Duas partes estão pintadas de um retângulo e uma parte do outro. Ao lado, a informação: A parte laranja representa a fração três meios.

Ilustração. Dois Retângulos dividido em cinco partes cada. Três partes estão hachuradas e uma pintada de um retângulo e duas partes pintadas do outro. Ao lado, a informação: A parte hachurada representa a fração três quartos. Abaixo, a fração três quartos representando a parte hachurada e três quartos representado a parte pintada.

As figuras mostram que

\frac{3}{4}

cabem 2 vezes em

\frac{3}{2},

ou seja,

\frac{3}{2} : \frac{3}{4} = 2 .

Multiplicando

\frac{3}{2}

pelo inverso de

\frac{3}{4},

obtemos

\frac{3}{2} : \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{6} = 2

O quociente de um número escrito na fórma de fração por outro diferente de zero é obtido multiplicando-se o primeiro pelo inverso do segundo.

Observe mais alguns exemplos.

\frac{4}{3} : \frac{2}{1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8}

1 \frac{2}{3} : \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5} = 1

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

41 Efetue as divisões indicadas, simplificando quando possível.

\frac{5}{8} : \frac{7}{6}

\frac{9}{5} : \frac{3}{2}

\frac{1}{8} : \frac{1}{2}

3 \frac{1}{2} : 7

2 : 3 \frac{1}{2}

0 : 3 \frac{1}{9}

42 Para fazer um trabalho, dividiu-se um fio de cobre em 3 partes iguais. Cada uma dessas partes foi dividida ao meio e, depois, cada uma dessas partes foi dividida em 4 partes iguais. Qual é a fração do fio que cada uma das partes menores representa?

43 Qual é o número que multiplicado por

\frac{7}{3}

dá

\frac{2}{5} ?

44 Osvaldo resolveu repartir um sítio. Ele ficou com

\frac{1}{3}

das terras e dividiu igualmente a outra parte entre seus quatro filhos. Represente com uma fração a parte do sítio que cada filho de Osvaldo recebeu.

45 Para comprar um tablet, dei de entrada

\frac{2}{5}

do valor e dividi o restante em 6 prestações iguais. Represente com uma fração a parte do valor do tablet que deverei pagar em cada prestação.

46 No preparo de um creme de baunilha para 4 pessoas, são necessários os seguintes ingredientes:

•

\frac{3}{4}

de litro de leite;

• 2 colheres de sopa de açúcar;

•

\frac{3}{2}

colheres de sopa de amido de milho;

• 2 gemas;

•

\frac{1}{3}

de colher de sopa de baunilha.

Faça a adaptação dessa receita para duas pessoas e indique a quantidade calculada no caderno.

Para calcular mentalmente

2 \cdot \frac{3}{4}

2 : \frac{1}{4},

Tom imagina “saltos” em uma reta numérica.

• Para calcular

2 \cdot \frac{3}{4} .

• Para

2 : \frac{1}{4} .

Ilustração. Menina de cabelo curto, blusa laranja e calça verde. Com a mão no queixo, ela pensa: ilustração de reta numérica com os pontos 0, 1 e 2. De 0 a 1 há quatro marcações e de 1 a 2 quatro marcações. Cada marcação indica um quarto. Penso em duas unidades da reta numérica dividida em quartos. Na reta, dou saltos de um quarto no sentido crescente, até chegar ao 2. Verifico que um quarto cabe 8 vezes em 2. Portanto, 2 dividido por um quarto igual a 8

Calcule mentalmente as operações.

3 \cdot \frac{2}{5}

2 \cdot \frac{2}{7}

5 \cdot \frac{1}{8}

3 : \frac{1}{5}

2 : \frac{1}{3}

\frac{2}{3} : 4

Ícone de Atividade em dupla ou em grupo.

Hora de criar – Elabore um problema considerando a compra parcelada de um videogame. Você pode dar o valor total e perguntar quanto é uma fração desse valor, por exemplo. Troque o problema com um colega e, depois, destroquem para corrigi-los.

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5. Potenciação

Já aprendemos a calcular potências de números naturais. Agora, vamos calcular potências de números racionais escritos na fórma de fração.

Acompanhe a experiência a seguir.

• Dobramos uma folha de papel sulfite, como mostra a sequência de figuras. Desdobramos e pintamos de amarelo a metade da folha

(\frac{1}{2}) .

Ilustração. Folha de papel. Seta para folha dobrada ao meio. Seta para folha desdobrada com marca no centro. Destaque para uma parte representando um meio.

• Dobramos novamente e, sobre a 1ª dobra, dobramos outra vez, na metade do maior comprimento. Desdobramos toda a folha e hachuramos de verde metade da metade da folha.

Ilustração. Folha de papel dobrada ao meio. Seta para folha de papel dobrada mais uma vez. Seta para folha desdobrada com marca no centro vertical e horizontal. Destaque para uma parte representando um quarto; um meio de um meio.

• Dobramos tudo novamente e, sobre a 2ª dobra, dobramos outra vez, na metade. Desdobramos e hachuramos de vermelho a metade da metade da metade da folha.

Ilustração. Folha de papel dobrada duas vezes. Seta para folha de papel dobrada mais uma vez. Seta para folha desdobrada marcando oito partes. Destaque para uma parte representando um oitavo; um meio de um meio de um meio.

Sabemos que:

•

\frac{1}{2} de \frac{1}{2}

da folha é

(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})

da folha, que corresponde a

\frac{1}{4}

da folha (hachurado de verde).

•

\frac{1}{2} de \frac{1}{2} de \frac{1}{2}

da folha é

(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})

da folha, que corresponde a

\frac{1}{8}

da folha (hachurado de vermelho).

Quando dobramos a folha 5 vezes, a parte pintada de roxo é

(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})

da folha, que corresponde a

\frac{1}{32}

da folha.

Ilustração. Folha de papel dobrada marcando trinta e duas partes. Destaque para uma parte representando um trinta e dois avos.

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Podemos abreviar a escrita dessas multiplicações indicando o número de fatores por meio de um expoente (de modo semelhante ao que estudamos com números naturais).

um meio vezes um meio igual a, abre parênteses, um meio fecha parênteses elevado ao quadrado igual a um quarto;
um meio vezes um meio: 2 fatores; índice 2: indica o número de fatores.

um meio vezes um meio vezes um meio igual a Abre parênteses, um meio fecha parênteses elevado ao cubo igual a um oitavo; um meio vezes um meio vezes um meio: 2 fatores; índice 3: indica o número de fatores.

Um meio vezes um meio vezes um meio vezes um meio vezes um meio fecha igual a Abre parênteses, um meio fecha parênteses elevado a quinta igual a um trinta e dois avos; um meio vezes um meio vezes um meio vezes um meio vezes um meio: 2 fatores; índice 5: indica o número de fatores.

Ao efetuar uma multiplicação de fatores iguais, estamos realizando uma potenciação.

Esquema. Abre parênteses, um meio fecha parênteses elevado a quinta igual a um trinta e dois avos. Um meio: base; 5: expoente; um trinta e dois avos: potência

Na prática, para obter o resultado de

{(\frac{1}{2})}^{5},

elevamos os dois termos da fração ao expoente 5.

{(\frac{1}{2})}^{5} = \frac{1^{5}}{2^{5}}

\frac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{32}

Observe outros exemplos.

{(\frac{2}{3})}^{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}

\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2^{4}}{3^{4}} = \frac{16}{81}

{(\frac{4}{5})}^{3} = \frac{4^{3}}{5^{3}} = \frac{64}{125}

Observação

▶ As definições adotadas para as potências de números naturais com expoente 1 e expoente 0 são válidas também para os números racionais representados na fórma de fração, ou seja:

• toda potência de expoente 1 é igual à própria base;

• toda potência de expoente 0 e base diferente de 0 é igual a 1.

Exemplos:

{(\frac{2}{9})}^{1} = \frac{2}{9}

{(\frac{3}{7})}^{1} = \frac{3}{7}

{(\frac{2}{9})}^{0} = 1

{(\frac{3}{7})}^{0} = 1

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

49 Calcule no caderno.

{(\frac{5}{3})}^{2}

{(\frac{7}{5})}^{3}

{(\frac{1}{5})}^{2}

{(\frac{3}{4})}^{3}

{(\frac{5}{2})}^{0}

{(3 \frac{1}{2})}^{1}

50 Escreva os números racionais como potência de número na fórma de fração.

\frac{4}{9}

\frac{1}{25}

\frac{25}{36}

\frac{49}{100}

\frac{81}{16}

\frac{64}{121}

Pense mais um pouco...

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Efetue os cálculos indicados e classifique cada sentença em verdadeira ou falsa.

Ilustração. Menino de camisa verde olha para cima com a mão no queixo. À frente dele, mesa com estojo, caderno e papel.

{[{(\frac{1}{2})}^{2}]}^{3} = {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}

\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{64}

{[{(\frac{1}{2})}^{3}]}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{64}

{[{(\frac{1}{2})}^{3}]}^{2} = {[{(\frac{1}{2})}^{2}]}^{3}

{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3} = {(\frac{1}{2})}^{2 + 3}

{[{(\frac{1}{2})}^{2}]}^{3} = {(\frac{1}{2})}^{2 \cdot 3}

6. Expressões numéricas

Acompanhe a situação a seguir.

Márcia é costureira e fará 3 vestidos iguais para uma apresentação.

Ilustração. Mulher de óculos cabelo enrolado, camiseta amarela e calça azul. Ela está ajoelhada no chão costurando a barra de uma saia rosa em uma mulher de cabelo escuro, tomara que caia azul. Atrás, uma máquina de costurar. Um sofá com tecidos sobre ele.

Em cada traje, Márcia utiliza

\frac{1}{4}

de um corte de seda para fazer a saia e

\frac{1}{8}

de um corte de veludo para fazer o corpete. Esses cortes têm todos o mesmo comprimento e o mesmo preço. Para saber quantos cortes de tecido vai usar para fazer os 3 trajes, Márcia escreveu:

quantos cortes vou gastar

3 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{8})

cortes

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Observe quantos cortes Márcia vai gastar.

3 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{8})

3 \cdot (\frac{2}{8} + \frac{1}{8})

3 \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{8} = 1 \frac{1}{8}

Ou seja, 1 corte e mais

\frac{1}{8}

de corte entre veludo e seda.

A expressão

3 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{8})

serve para descrever a quantidade de cortes, entre os de veludo e os de seda, que Márcia utilizará em seu trabalho. Cada termo dessa expressão tem um significado. Acompanhe.

Esquema. 3 vezes abre parênteses um quarto mais um oitavo fecha parênteses. 3: número de trajes. Um quarto: parte de um corte de seda utilizada na saia de um traje; um oitavo: parte de um corte de veludo utilizada no corpete de um traje. Os parênteses indicam que, inicialmente, Márcia vai adicionar as partes dos cortes de tecido.

Já vimos que as operações em uma expressão numérica são resolvidas na seguinte ordem:

• as potenciações e as radiciações na ordem em que aparecem;

• as multiplicações e as divisões na ordem em que aparecem;

• as adições e as subtrações, também na ordem em que aparecem.

Quando a expressão numérica tiver sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves), eles devem ser eliminados na seguinte ordem: resolvem-se primeiro as operações entre parênteses, depois as operações entre colchetes e, finalmente, as operações entre chaves.

Acompanhe o cálculo de algumas expressões.

Expressão: cinco sextos menos dois terços vezes um meio mais um terço dividido por quatro terços igual a cinco sextos menos dois terços (corta dois vira um terço) vezes um meio (corta 2 vira 1 sobre 1) mais um terço (corta 3 vira 1 sobre 1) vezes três quartos (corta 3 vira um quarto) igual a cinco sextos menos um terço mais um quarto igual a dez doze avos menos quatro doze avos mais três doze avos igual a nove doze avos igual a três quartos.

Expressão: Abre parênteses, três quartos mais um meio fecha parênteses dividido por abre parênteses dois menos um quarto fecha parênteses igual a abre parênteses três quartos mais dois quartos fecha parênteses dividido por abre parênteses oito quartos menos um quarto fecha parênteses igual a cinco quartos dividido por sete quartos igual a cinco quartos (corta 4 vira 5 sobre 1) vezes quatro sétimos (corta 4 vira um sétimo) igual a cinco sétimos.

Expressão: Abre colchetes dois quintos vezes abre parênteses, dois menos três quartos fecha parênteses, fecha colchetes dividido por abre parênteses, um meio fecha parênteses, elevado ao quadrado igual a abre colchetes dois quintos vezes abre parênteses, oito quartos menos três quartos, fecha parênteses, fecha colchetes dividido por abre parênteses um quarto fecha parênteses igual a, abre colchetes dois quintos vezes cinco quartos (corta as frações e vira onze doze avos) dividido por um quarto igual a um meio dividido por um quarto igual a um meio (corta 2 vira um meio) vezes quatro sobre um (corta 4 vira dois sobre um) igual a dois sobre um igual a dois.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

faça as atividades no caderno

51 Calcule o valor de cada expressão.

{(2 ‒ \frac{1}{2})}^{2} \cdot (1 ‒ \frac{2}{5})

(\frac{3}{4} + \frac{1}{2}) : (1 \frac{1}{2} ‒ \frac{3}{4})

{(1 + \frac{3}{7})}^{2} \cdot \frac{49}{80}

[(\frac{2}{5} + \frac{1}{2}) \cdot \frac{2}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}] : \frac{7}{5}

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52 Escreva uma expressão numérica que represente o número de litros procurado na situação a seguir.

Ilustração. À direita, homem de óculos e cabelo castanho espreme uma laranja em um espremedor. Ao lado, menino de cabelo castanho e blusa amarela segura uma jarra. Sobre a mesa, laranjas.

Quantos litros de laranjada posso obter se despejar 3 copos cheios de suco de laranja, com

\frac{1}{4}

de litro de cada copo, em uma jarra que já contém

\frac{1}{2}

litro de água?

53 Determine o valor de A no esquema.

Esquema. Fração cinco sétimos e fração sete quartos. Setas para? Multiplique, adicione, calcule o cubo. A. Fração dois terços: eleve ao expoente zero, adicione, calcule o cubo. A.

54 Determine quanto vale x em cada caso.

{(\frac{1}{6})}^{x} = \frac{1}{6}

{(\frac{3}{x})}^{3} = \frac{27}{216}

{(\frac{7}{5})}^{x} = 1

{(\frac{x}{5})}^{2} = \frac{9}{25}

55 A professora de Matemática distribuiu a cada estudante de sua classe uma ficha contendo uma expressão ou um problema com números racionais representados na fórma de fração. Depois de resolver a questão, cada estudante deveria procurar seu par, ou seja, encontrar um colega que tivesse uma resposta idêntica à dele.

Observe a seguir alguns modelos de ficha que a professora distribuiu. Resolva as questões e descubra quais fichas poderiam formar pares.

Ilustração. Modelo de ficha. Ficha 1. Resolva a expressão cinco oitavos menos um inteiro e um meio vezes um quinto.

Ilustração. Modelo de ficha. Ficha 2. Calcule dois terços de três quartos de cinco sextos.

Ilustração. Modelo de ficha. Ficha 3. Adriana depositou metade dos quatro quintos de seu salário em uma caderneta de poupança. Que fração de seu salário ela depositou?

Ilustração. Modelo de ficha. Ficha 4. Se a parte pintada da figura for dividida por 2, que fração representará o resultado dessa divisão? Ilustração de uma figura dividida em seis partes. Cinco partes estão pintadas.

Hora de criar ‒ Desenvolva um problema semelhante ao exercício 53, com 4 operações, e troque com um colega. Depois, destroquem para corrigi-los.

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TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Calculando probabilidades

Gabriela colocou em uma caixa toda a sua coleção com 100 bolinhas pula-pula de borracha: 30 amarelas, 25 azuis e 45 vermelhas.

Ilustração. Menina de cabelo castanho e blusa verde está com a mão dentro de um orifício em uma caixa rosa. Ao lado, bolinhas coloridas.

Ela vai retirar dessa caixa uma única bolinha por vez, sem olhar as que estão dentro da caixa.

Sabendo que todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas, qual cor tem maior probabilidade de sair na primeira retirada: amarela, azul ou vermelha?

Observe como podemos proceder para responder a essa questão.

Se a caixa contém 100 bolinhas, então há 100 possibilidades de uma bolinha de qualquer cor sair na primeira retirada.

Desse modo, dizemos que a probabilidade de cada bolinha ser retirada é de 1 em 100, ou seja, de

\frac{1}{100}

ou de 1%. Assim, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.

Ilustração. Garota de cabelo comprido escuro e blusa amarela. Ela está sentada de frente para uma mesa e com o dedo em riste diz: Probabilidade é a medida da chance de ocorrer determinado resultado.

• Como há 30 bolinhas amarelas entre as 100 na caixa, a probabilidade de sair uma amarela é de

\frac{30}{100}

ou de 30%.

• Como há 25 bolinhas azuis entre as 100 na caixa, a probabilidade de sair uma azul é de

\frac{25}{100}

ou de 25%.

• Da mesma maneira, a probabilidade de sair uma bolinha vermelha é de

\frac{45}{100}

ou de 45%, pois há 45 bolinhas vermelhas entre as 100 na caixa.

Desse modo, dizemos que há maior probabilidade de sair uma bolinha vermelha do que uma amarela, uma vez que

\frac{45}{100} > \frac{30}{100} .

A probabilidade geralmente é indicada por uma fração irredutível ou por um número na fórma percentual.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Com base nos dados apresentados sobre a retirada de bolinhas, responda: a bolinha de qual cor tem menor probabilidade de ser sorteada: azul ou amarela? Por quê? Represente isso na fórma de fração e na fórma percentual.

2 A direção da escola Felicidade vai sortear um estudante entre os cem que têm as melhores avaliações em História para representar a escola em um evento estadual. Sabendo que Hugo é um desses estudantes e que todos os outros têm a mesma probabilidade de serem sorteados, qual é a probabilidade de ele ser o escolhido?

3 Em uma caixa há três bolas brancas e duas bolas verdes. Qual é a probabilidade de tirarmos, sem olhar, uma bola verde dessa caixa?

Página 204

Exercícios Complementares

faça as atividades no caderno

1 Efetue as expressões, simplificando o resultado quando possível.

\frac{7}{2} + \frac{1}{2}

\frac{3}{5} + \frac{6}{5} + \frac{16}{5}

\frac{5}{3} + \frac{2}{5} + \frac{3}{5}

\frac{2}{3} + 3 + \frac{1}{4}

\frac{5}{3} ‒ \frac{1}{3}

\frac{18}{5} ‒ \frac{3}{5}

\frac{2}{5} ‒ \frac{1}{7}

12 ‒ \frac{5}{9}

2 Efetue as expressões indicadas, simplificando o resultado quando possível.

2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}

\frac{5}{7} \cdot 4 \cdot \frac{7}{5}

\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{35}{8} \cdot \frac{2}{7}

1 \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5}

\frac{2}{5} : \frac{4}{3}

\frac{2}{9} : \frac{6}{5}

5 : 4

1 \frac{1}{2} : \frac{2}{3}

3 Cássio iniciou uma viagem com o tanque do carro cheio. Na 1ª parada, havia gastado

\frac{1}{4}

do combustível. Ao parar pela segunda vez, verificou que, entre a 1ª e a 2ª parada, o carro havia gastado metade do combustível que tinha sobrado na 1ª parada. Colocou, então, 30 litros de combustível, e o tanque ficou cheio novamente.

Ilustração. Carro vermelho parado com um homem de cabelo castanho dentro dele. Ao lado, homem de boné, camisa e calça verdes abastece o carro.

a) Qual é a fração que corresponde à quantidade de litros que restou no tanque na 1ª parada? Represente por meio de um desenho.

b) Qual fração corresponde ao combustível gasto no percurso da 1ª até a 2ª parada? Represente por meio de um desenho.

c) Qual fração corresponde ao combustível gasto da saída até a 2ª parada? Represente por meio de um desenho.

d) Qual fração corresponde ao combustível que havia no tanque na 2ª parada?

e) Quantos litros cabem no tanque do carro de Cássio?

4 Determine:

\frac{1}{3}

do inverso de 7;

\frac{1}{2}

do inverso de

\frac{1}{2};

c) o inverso de

3 \frac{1}{7} .

5 (Unifor-Ceará) Se o triplo de um número é

\frac{18}{5},

então:

a) sua terça parte é

\frac{1}{5} .

b) sua metade é

\frac{2}{5} .

c) seu dobro é

\frac{12}{5} .

d) seu quádruplo é 4.

e) seu quíntuplo é 18.

6 A figura a seguir nos mostra a divisão de

\frac{3}{4}

por 2. Qual é o resultado dessa divisão?

Ilustração. Retângulo dividido em seis partes e uma parte maior que corresponde a duas partes. Três partes estão pintadas e três partes estão hachuradas.

Calcule mentalmente.

\frac{1}{2} : 2

2 : \frac{1}{2}

4 : \frac{1}{3}

\frac{1}{3} : 4

8 Uma merendeira serviu 18 litros de suco aos estudantes da escola. Cada estudante recebeu

\frac{1}{5}

de litro. Quantos estudantes foram servidos?

9 A capacidade do tanque do meu carro é de 50 litros. O combustível que uso é composto de

\frac{4}{5}

de gasolina e

\frac{1}{5}

de álcool. Vou abastecer o carro com 30 litros de combustível. Quantos litros de gasolina colocarei?

10 Quanto é preciso somar a

{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}

para obter

{(\frac{1}{2} + \frac{1}{3})}^{2} ?

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Seja

A = \frac{1}{5} e B = \frac{4}{7} .

Após efetuadas as operações indicadas em cada alternativa a seguir, em qual caso o resultado obtido será o de maior valor?

a) a ⋅ B

\frac{A}{B}

\frac{B}{A}

d) a + B

2 Fabrício está treinando para uma competição de triathlon, na qual, em um mesmo dia de prova, precisa nadar 4 quilômetros, pedalar 180 quilômetros e correr 42 quilômetros. Qual é a fração irredutível que representa, respectivamente, a distância percorrida na natação, no ciclismo e na corrida, em relação ao percurso total a ser percorrido na prova?

\frac{2}{180}, \frac{90}{180}, \frac{21}{180}

\frac{2}{113}, \frac{90}{113}, \frac{21}{113}

\frac{4}{226}, \frac{180}{226}, \frac{42}{226}

\frac{4}{360}, \frac{180}{360}, \frac{42}{260}

3 Em um campeonato de rendebol o time da turma a foi responsável por

\frac{2}{6}

dos gols do campeonato. Sabendo que os demais times, juntos, fizeram 60 gols, quantos gols fez a turma a?

a) 20

b) 30

c) 40

d) 50

4 Qual é a metade de

\frac{1}{10}

\frac{2}{10}

\frac{1}{20}

\frac{2}{20}

\frac{1}{5}

5 Em uma loja de roupas trabalham 4 vendedores. Em determinado mês, o primeiro realizou

\frac{1}{4}

de todas as vendas, o segundo

\frac{1}{5}

de todas as vendas e o terceiro

\frac{1}{3}

de todas as vendas. Que fração de todas as vendas o quarto vendedor realizou nesse mês?

\frac{13}{60}

\frac{25}{60}

\frac{6}{12}

\frac{5}{12}

6 Qual é o resultado de

\frac{3}{4} + \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}

\frac{35}{40}

\frac{5}{18}

\frac{11}{18}

\frac{31}{36}

7 Uma barra de chocolate é dividia em 3 fileiras de oito quadradinhos. Quantos quadradinhos preciso comer para consumir

\frac{5}{6}

da barra?

a) 15

b) 18

c) 20

d) 21

8 Qual é o inverso de 7?

\frac{7}{1}

\frac{1}{7}

\frac{2}{14}

d) 7 não possui inverso.

9 Que fração devemos somar a

\frac{1}{5}

para obter

\frac{1}{3}

como resultado?

\frac{1}{2}

\frac{2}{10}

\frac{2}{15}

\frac{3}{12}

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) Explique os passos que você seguiria para calcular a adição de dois números racionais escritos na fórma de fração que tenham denominadores diferentes.

b) Porque ao adicionarmos duas ou mais frações, não podemos adicionar os denominadores?

c) Explique os passos que você seguiria para calcular a multiplição entre dois números racionais escritos na fórma de fração.

d) Por que invertemos a segunda fração ao dividir duas frações?

e) Qual resultado é maior: elevar uma fração ao quadrado ou elevar a mesma fração ao cubo? Justifique sua resposta.