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CAPÍTULO 9 Números racionais na fórma decimal e operações

Ilustração. Uma grande vírgula em fundo preto com os dizeres: A vírgula. A vírgula pode ser pausa... ou não. Não, espere. Não espere. Ela pode sumir com seu dinheiro. 23,4. 2,34. [...] . Ao fundo um painel com fundo azul claro e números escritos em preto. — Trecho do texto da campanha publicitária da Academia Brasileira de Imprensa (a bê i) em comemoração ao seu centenário.

Fonte: 100 ANOS lutando para que ninguém mude uma vírgula da sua informação. a bê i, [sem local], 2016. Disponível em: https://oeds.link/z83yRs. Acesso em: 27 janeiro 2022.

Observe, leia e responda no caderno.

1. Converse com um colega sobre os significados das frases:

a) Quem canta, seus males espanta.

b) Quem canta seus males, espanta.

2. Na sua opinião, a vírgula pode mudar um ponto de vista?

3. Ainda com um colega, digam qual das igualdades vocês julgam ser falsa.

a) 3,1415 = 3,14150

b) 7,777 = 77,77

c) 8,2 milhões = ..8200000

Tão sutil, a vírgula, sinal gráfico de pontuação também usado na linguagem numérica, nem sempre tem a sua importância reconhecida.

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1. Números com vírgula

Ícone do Tema Contemporâneo Transversal: CIDADANIA E CIVISMO.

Ícone do Tema Contemporâneo Transversal: SAÚDE

Neste capítulo, continuaremos estudando os números racionais, mas agora representados com vírgula.

Você certamente já deve ter notado como os números escritos com vírgula são comuns no dia a dia. Observe o exemplo no infográfico sobre a quantidade de alimentos descartados no lixo.

Infográfico. ALIMENTOS NO LIXO. Ilustração de pessoas. 820 milhões de pessoas passam fome no mundo. Ilustração do mapa do Brasil. 41 mil toneladas são jogadas fora por dia no Brasil. Ilustração de uma mão na vertical e frutas. 127 milhões de toneladas são jogadas fora por ano na América Latina. Ilustração de um olho aberto e uma lata de lixo semiaberta. 50% se perdem no manuseio e no transporte. 30% nas centrais de abastecimento; 10% dos alimentos se perdem na colheita; 10% nos supermercados e casas dos consumidores. Fotografia de uma maçã vermelha. Ao lado, ilustração de um caminhão, uma casa, uma fábrica e um carrinho de supermercados. Abaixo, as perdas são maiores nos países em desenvolvimento. Ilustração de um mapa e círculos com a palavra SAARA escrito. 14% na África subsaariana; 20,7% no Sul da Ásia e na América Central. À direita, fotografia de uma colher na vertical. As principais perdas são em: ilustração de raízes. 25% tubérculos de raízes oleaginosas. Ilustração de frutas. 22% frutas e vegetais. Ilustração de carne e camarão. 12% carne e produtos animais. — Fonte: PINHEIRO, Lana. Fome no mundo e desperdício na mesa. Isto é Dinheiro, São Paulo, número 1193, outubro 2020.

Acompanhe outros exemplos em que usamos números escritos com vírgula.

• A esqueitista Rayssa Leal, apelidada de Fadinha, atingiu 14,64 pontos nos Jogos Olímpicos de Tóquio 2020 e conquistou a medalha de prata aos 13 anos!

• O Sistema Cantareira é responsável pelo abastecimento de água de 6,5 milhões de pessoas na Grande São Paulo. Em 16 de dezembro de 2021 o Sistema Cantareira atingiu o menor nível desde 2016, 24,30% de sua capacidade. Em razão das chuvas intensas, o sistema finalizou o mês de janeiro de 2022 com nível de 33,59% de capacidade útil.

•

Você já escreveu algum número com vírgula para representar alguma medida ou valor monetário?

Os números 20,7; 14,64; 24,30; 33,59 são exemplos de números racionais escritos na fórma decimal.

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2. As frações decimais e a representação na fórma decimal

Observe a figura.

Ilustração. Um quadrado de 10 cm por 10 cm dividido em quadrados de 1 cm de lado, cada quadradinho de 1 cm foi dividido em quatro quadradinhos de 0,5 cm de lado e cada quadrinho de 0,5 cm foi dividido em quadradinhos ainda menores de 0,1 cm de lado. Foi pintada uma faixa laranja de 10 quadradinhos de 1 cm de lado, 1 quadradinho verde de 1 cm de lado e 1 pequena faixa azul de dez quadradinhos de 0,1 cm de lado.

Note que:

• a parte pintada de laranja representa

\frac{1}{10}

(1 décimo) dessa figura;

• a parte pintada de verde representa

\frac{1}{100}

(1 centésimo) dessa figura;

• a parte pintada de azul representa

\frac{1}{1 000}

(1 milésimo) dessa figura.

Em cada uma dessas frações, o denominador é uma potência de 10:

Na fração um décimo o denominador equivale a 10 elevado a primeira potência.

Na fração um centésimo o denominador é 10 elevado a segunda potência.

Na fração um milésimo o denominador é 10 elevado a terceira potência.

Toda fração cujo denominador é uma potência de 10 é chamada de fração decimal.

Na figura, ainda podemos observar que:

• 10 partes lilases formam 1 inteiro; então:

10 \cdot \frac{1}{10} = 1

(10 décimos = 1 inteiro);

• 10 partes verdes formam uma parte lilás; então:

10 \cdot \frac{1}{100} = \frac{1}{10}

(10 centésimos = 1 décimo);

• 10 partes azuis formam uma parte verde; então:

10 \cdot \frac{1}{1 000} = \frac{1}{100}

(10 milésimos = 1 centésimo).

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Esses números, representados por frações decimais, podem ser escritos na fórma decimal:

•

\frac{1}{10}

pode ser representado por 0,1 (lemos: “um décimo”);

•

\frac{1}{100}

pode ser representado por 0,01 (lemos: “um centésimo”);

•

\frac{1}{1 000}

pode ser representado por 0,001 (lemos: “um milésimo”);

•

\frac{1}{10 000}

pode ser representado por 0,0001 (lemos: “um décimo de milésimo”);

e assim por diante. 

Assim como fazemos com os números naturais, podemos dispor esses números em um quadro de ordens. Observe.

Parte inteira						Parte decimal
...	Unidade de milhar UM	Centena C	Dezena D	Unidade U		Décimo d	Centésimo c	Milésimo m	Décimo de milésimo dm	...
	1	0	0	0
		1	0	0
			1	0
				1
				0	,	1
				0	,	0	1
				0	,	0	0	1
				0	,	0	0	0	1

Para separar a parte inteira da parte decimal, usamos a vírgula.

Nesse quadro, a relação entre as ordens estudadas para os números naturais continua valendo: 10 unidades de uma ordem formam uma unidade de ordem imediatamente superior.

• 10 ⋅ uma centena = 1 milhar

• 10 ⋅ uma dezena = uma centena

• 10 ⋅ uma unidade = uma dezena

• 10 ⋅ 1 décimo = uma unidade

• 10 ⋅ 1 centésimo = 1 décimo

• 10 ⋅ 1 milésimo = 1 centésimo

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Copie apenas as frações decimais.

\frac{2}{3}

\frac{35}{10}

\frac{8}{100}

\frac{3}{1 000}

\frac{18}{10 000}

\frac{1 000}{3}

\frac{100}{9}

\frac{10 000}{18}

\frac{104}{1 000}

2 Represente com uma fração decimal a parte pintada de azul da figura.

Ilustração. Um pentágono dividido em 10 partes iguais onde foram pintadas 2 partes

3 Represente

\frac{1}{1 000 000}

na forma decimal.

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3. Números na fórma decimal

Já estudamos que:

\frac{1}{10} = 0, 1

\frac{1}{100} = 0, 01

\frac{1}{1 000} = 0, 001

Observemos outros exemplos.

a) Denominador 10

•

\frac{2}{10} = 0, 2

•

\frac{8}{10} = 0, 8

•

\frac{32}{10}

\frac{30}{10} + \frac{2}{10}

3 + \frac{2}{10}

= 3,2

Podemos representar graficamente esses números pela parte pintada de uma região retangular.

Considerando

Ilustração. Retângulo dividido em dez partes iguais.

como 1 inteiro, temos:

Ilustração. 0,2 equivale a um retângulo divido em dez partes iguais onde somente duas são pintadas.

Ilustração. 0,8 equivale a um retângulo divido em dez partes iguais onde oito partes são pintadas.

Ilustração. 3,2 equivale a três retângulos divididos em dez partes cada um onde todas são pintadas e mais um retângulo também dividido em dez partes iguais e somente duas estão pintadas.

b) Denominador 100

•

\frac{35}{100} = 0, 35

•

\frac{145}{100} = \frac{100}{100} + \frac{45}{100}

= 1 + 0,45 = 1,45

Agora, para representar graficamente esses números, consideramos uma região quadrada como 1 inteiro:

Ilustração. Um quadrado dividido em 10 fileiras de 10 quadradinhos cada onde foram pintados três colunas de dez quadradinhos completas e mais cinco quadradinhos da quarta fileira. Abaixo, o número que indica a parte pintada: 0,35.

Ilustração. Dois quadrado dividido em 10 fileiras de 10 quadradinhos cada. Um foi pintado inteiro e no outro foram pintados quatro colunas de dez quadradinhos completas e mais cinco quadradinhos da quinta fileira. Abaixo, o número que indica a parte pintada: 1,45.

c) Denominador .1000

•

\frac{451}{1 000} = 0, 451

•

\frac{1 934}{1 000} = \frac{1 000}{1 000} + \frac{934}{1 000}

= 1 + 0,934 = 1,934

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Observe uma representação gráfica desses números, considerando um cubo como 1 inteiro:

Ilustração. Um cubo grande do material dourado transparente. Foi preenchido de baixo pra cima 4 fileiras de cubinhos completas e mais 51 cubinhos da quinta fileira. O número que representa essa figura é 0,451 ou 451 milésimos.

Ilustração. Um cubo do material dourado todo preenchido e mais um cubo onde foram preenchidas 9 fileiras de cubinhos e mais 34 cubinhos da última fileira. O número que representa essa figura é 1,934 ou 1 inteiro e 934 milésimos.

Como se leem os números escritos na fórma decimal

Ilustração. Mulher branca de cabelos escuros presos e franjinha. Ela usa óculos e veste camiseta amarela e um casaco azul claro por cima. Ela diz: A leitura de um número na forma decimal é feita assim: primeiro, lemos a parte inteira; depois, a parte decimal acompanhada das palavras:
décimo(s) – se houver uma casa decimal;
centésimo(s) – se houver duas casas decimais;
milésimo(s) – se houver três casas decimais; e assim por diante.

Observe alguns exemplos.

a) 2,3

dois inteiros e três décimos

b) 3,20

três inteiros e vinte centésimos

c) 20,001

vinte inteiros e um milésimo

d) 1,003

um inteiro e três milésimos

Quando a parte inteira é zero, podemos ler apenas a parte decimal. Observe.

a) 0,5

cinco décimos

b) 0,15

quinze centésimos

c) 0,008

oito milésimos

d) 0,621

seiscentos e vinte e um milésimos

Em várias situações, como a apresentada na ilustração, não lemos os números na fórma decimal ressaltando suas ordens, mas simplesmente informamos onde fica a vírgula.

Ilustração. Uma mulher negra e cabelos castanhos de óculos, veste um jaleco branco e está sentada à frente de um computador. Ela conversa com outra mulher branca de cabelos ruivos compridos presos que também veste um jaleco branco e tem em suas mãos uma prancheta com algumas folhas com anotações, ela diz: O bebê com cinquenta e um vírgula seis centímetros. Dois vírgula nove quilogramas.

Observe.

a) 3,2

três vírgula dois

b) 0,35

zero vírgula trinta e cinco

c) 1,032

um vírgula zero trinta e dois

Em geral, esse tipo de leitura é utilizado na linguagem oral e nos meios de comunicação.

Observação

▶ Como

0, 5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

(um meio), é comum lermos 0,5 (cinco décimos) como meio. Dessa fórma, também lemos 1,5 como um e meio, 2,5 como dois e meio, e assim por diante.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

4 Registre, na fórma decimal, o número que representa a parte colorida de laranja em cada uma das figuras.

Ilustração. Retângulo dividido em dez partes. Cinco partes estão pintadas.

Ilustração. Dois retângulos divididos em dez partes cada. Um deles está com todas as partes pintadas e o outro com oito partes estão pintadas.

5 Imagine uma barra de chocolate dividida em 10 partes iguais. Registre, na fórma decimal, o número que corresponde a 3 das 10 partes dessa barra.

6 Considerando a figura 1 como 1 inteiro, escreva, na forma decimal, o número que representa a parte pintada de azul do grupo de figuras a seguir.

Ilustração. Quadrado azul que representa 1 inteiro.

Ilustração. Três quadrados azul inteiros e o quarto quadrado está divido em 10 fileiras de 10 quadradinhos cada e nele está pintado duas fileiras inteiras e mais 5 quadradinhos da terceira fileira. Uma chave na horizontal está abaixo dos quatro quadrados.

7 Qual é o valor numérico que representa as pilhas de moedas de cada item?

Fotografia. Uma pilha de três moedas de um real, uma outra pilha de quatro moedas de 10 centavos e uma outra pilha com uma moeda de 5 centavos.

Fotografia. Pilha com cinco moedas de 25 centavos.

8 Responda às questões, considerando a malha como 1 inteiro.

Ilustração. Malha quadriculada com 20 fileiras de 50 quadradinhos cada, formando nesta malha 1000 quadradinhos. Nela estão pintados de azul 4 faixas de 20 fileiras de 5 quadradinhos em cada. e mais 3 fileiras com 5 quadradinhos cada.

a) Quantos quadradinhos há nessa malha?

b) Que número, na fórma decimal, corresponde à parte pintada de azul?

c) E à parte não pintada de azul?

9 Registre cada fração na fórma decimal.

\frac{7}{10}

\frac{3}{10}

\frac{18}{100}

\frac{4}{100}

\frac{13}{1 000}

\frac{325}{1 000}

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10 Escreva como lemos cada número e represente-o por uma fração decimal.

a) 30,06

b) 3,006

c) 0,036

d) 0,306

e) 300,6

f) 0,36

11 Escreva como lemos os números destacados nas informações.

Ilustração. Papel amassado que traz uma manchete. Segundo a Agência Nacional do Petróleo, Gás natural e Biocombustíveis, em janeiro de 2022, o preço médio da gasolina em Rio Branco, no Acre, era R$ 6,947.

Ilustração. Papel amassado que traz uma manchete. Rebeca Andrade conquistou medalha de prata na ginástica feminina das Olimpíadas de Tóquio em 2021 com 57,298 pontos.

12 Escreva cada um dos números utilizando algarismos.

a) Dez vírgula quarenta e cinco.

b) Setenta e cinco centésimos.

c) Dois inteiros e vinte e cinco milésimos.

d) Setenta e dois décimos de milésimos.

Ícone de Atividade em dupla ou em grupo.

Hora de criar – Pesquise um texto que tenha números racionais e troque-o com o de um colega. Escrevam como se leem os números que estiverem na fórma de fração ou decimal. Escrevam na fórma de fração ou na fórma decimal os que estiverem por extenso. Depois, destroquem os textos para corrigi-los.

Pense mais um pouco...

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Junte-se a um colega para fazer estas atividades.

(Nas calculadoras, a vírgula é indicada por um ponto.)

Fotografia. Calculadora com teclado na parte inferior. Acima, no visor 4.1.

1 Em uma calculadora, foram digitados os números:

•

Ilustração. Tecla de uma calculadora com o algarismo 4, outra com o símbolo do ponto e outra com o algarismo 1.

•

Ilustração. Tecla de uma calculadora com o algarismo 0, outra com o símbolo do ponto e outra com o algarismo 4.

•

Ilustração. Tecla de uma calculadora com o símbolo do ponto e outras três com os algarismos 0, 3 e 2.

•

Ilustração. Tecla de uma calculadora com o algarismo 3, outra com o símbolo do ponto e outras duas com os algarismos 1 e 4.

Escrevam como lemos cada um desses números.

Registrem as teclas a serem digitadas em uma calculadora para que apareça no visor cada número a seguir.

a) cem inteiros e quatro centésimos

b) vinte e um milésimos

c) cento e um centésimos

d) dois mil e três milésimos

Lembrando que uma das ideias de fração é representar o quociente entre o numerador e o denominador, façam o que se pede.

a) Usem a tecla

Ilustração. Tecla de calculadora. Sinal de divisão.

de uma calculadora e obtenham a fórma decimal de:

\frac{5}{10}

\frac{5}{100}

\frac{23}{100}

\frac{4}{1 000}

\frac{48}{10}

\frac{607}{10 000}

\frac{2 901}{1 000}

\frac{5}{1 000 000}

\frac{23}{10}

\frac{23}{10 000}

b) Comparem a quantidade de zeros dos denominadores das frações decimais do item a com a quantidade de casas decimais dos resultados escritos na fórma decimal. Em seguida, descrevam um procedimento prático para representar uma fração decimal como um número na fórma decimal.

4 Agora, sem usar a calculadora e sem efetuar a divisão ou a multiplicação, façam o que se pede.

a) Escrevam cada fração na fórma decimal.

\frac{127}{10}

\frac{123}{100}

\frac{254}{1 000}

\frac{3 254}{1 000}

\frac{2 045}{100}

\frac{814}{10 000}

b) Representem na fórma de fração decimal.

0,5 0,035 4,45 0,04 13,2 0,5424

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4. Representações decimais equivalentes

Ilustração. Homem negro e cabelo escuro e faixa verde na cabeça, veste uma camiseta amarela e com o dedo indicador levantado ele diz: Considere as figuras 1 e 2, em que os quadrados maiores têm medidas iguais, e acompanhe o texto.

Ilustração. Figura 1. Quadrado dividido em 10 fileiras iguais. Seis fileiras estão pintadas. Figura 2. Quadrado dividido 10 fileiras com 10 quadradinhos cada. Sessenta quadradinhos estão pintados.

Na figura 1, o interior do quadrado foi dividido em 10 partes iguais. A parte pintada de azul pode ser representada por

\frac{6}{10}

ou 0,6.

Na figura 2, o interior do quadrado foi dividido em 100 partes iguais. A parte pintada de azul pode ser representada por

\frac{60}{100}

ou 0,60.

As frações

\frac{6}{10} e \frac{60}{100}

são equivalentes, pois correspondem à mesma parte do inteiro.

Da mesma maneira, os registros 0,6 e 0,60 são equivalentes.

Quando dividimos cada quadradinho da figura 2 em 10 pedacinhos iguais, encontramos outra fração decimal, ou o número 0,600, correspondente à mesma parte pintada de azul.

Continuando com esse processo, encontramos:

• frações decimais equivalentes:

\frac{6}{10}

\frac{60}{100}

\frac{600}{1 000}

\frac{6 000}{10 000}

= pontopontoponto

• representações decimais equivalentes:

0,6 = 0,60 = 0,600 = 0,6000 = reticências

Os zeros colocados à direita de 0,6 não alteraram o número. De modo geral, um número não se altera quando, em sua representação decimal, acrescentam-se ou suprimem-se um ou mais zeros à direita de sua parte decimal.

Observe outros exemplos.

a) 0,5 = 0,50 = 0,500, pois:

\frac{5}{10}

\frac{50}{100}

\frac{500}{1 000}

b) 2,8 = 2,80 = 2,800, pois:

\frac{28}{10}

\frac{280}{100}

\frac{2 800}{1 000}

c) 0,6300 = 0,630 = 0,63, pois:

\frac{6 300}{10 000}

\frac{630}{1 000}

\frac{63}{100}

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

14 Verifique em cada caso quais são as representações decimais equivalentes.

a) 4,2; 4,02; 4,20

b) 6,12; 6,120; 6,012

c) 2,03; 2,030; 2,003

15 Observe os rótulos dos dois garrafões cheios de água.

Ilustração. Dois galões de mesma capacidade 2,5 litros, mas com formatos diferentes. Um no formato mais parecido com um cilindro e o outro com um formato mais próximo de um paralelepípedo.

É correto afirmar que a quantidade de água é a mesma nos dois garrafões? Justifique sua resposta.

16 O quadro contém a medida da altura, em metro, de algumas pessoas.

Nome	Daniel	Laura	Marcos	Carlos	Luana
Medida da altura	1,80	1,08	1,8	1,080	1,008

Quais dessas pessoas têm a mesma medida de altura?

5. Comparação de números racionais na fórma decimal

Uma vantagem dos números racionais representados na fórma decimal sobre os representados na fórma de fração é a facilidade com que podemos comparar esses números.

Ilustração. Uma mulher de cabelos loiros e curtos, veste uma blusa azul e saia roxa, segura um folheto em uma das mãos enquanto gesticula com a outra. Ela está conversando com um casal, a mulher de cabelos escuros compridos, veste uma camiseta azul e calça vermelha e por cima um blusa amarela e ele, um rapaz de pele negra e cabelos castanhos curtos, veste uma camiseta verde listrada e uma calça também verde. Na frente deles duas camas do estilo box. A mulher de cabelos loiros fala: A cama box de casal tem 1,38m por 1,88 m por 0,64 m e a cama King Size tem 1,93 m por 2,03 m por 0,47 m.

Ilustração. A mesma mulher de cabelos loiros em um outro quadro fala: A cama Box tem a medida da profundidade menor do que a cama King Size 1,88 m < 2,03 m. A cama Box é menos larga 1,38 m < 1,93 m, mas é mais alta: 0,64 m > 0,47 m.

Dados dois números na fórma decimal, será maior aquele que tiver a maior parte inteira; será menor o que tiver a menor parte inteira.

Observe os exemplos.

Esquema. 5,2 é maior que 2,75 pois 5 é maior que 2

Esquema. 7,354 é menor que 12,56, pois 7 é menor que 12.

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Se dois números tiverem a mesma parte inteira, para saber qual deles é maior, devemos observar as casas decimais.

Acompanhe um exemplo.

Vamos considerar os retângulos, de medidas iguais, representados a seguir. As regiões interiores estão divididas em 10 partes iguais.

Ilustração. Retângulo dividido em 10 partes iguais. Seis partes estão pintadas, isso equivale a 0,6.

Ilustração. Retângulo dividido em 10 partes iguais. Duas partes estão pintadas, isso equivale a 0,2.

As figuras mostram que 0,6 > 0,2.

Sempre que as partes inteiras forem iguais, devemos comparar as partes decimais.

Observe alguns exemplos.

a) 3,5 > 3,4, pois: 5 décimos > 4 décimos

b) 2,54 > 2,51, pois: 54 centésimos > 51 centésimos

c) 45,764 > 45,762, pois: 764 milésimos > 762 milésimos

Esquema. 3,18 é maior que 3,174, pois: 180 milésimos é maior que 174 milésimos. Uma seta azul indica que, no algarismo 0 do número 180, igualamos as casas decimais.

Ilustração. Mulher branca de cabelos escuros compridos presos, usa franjinha e óculos, veste camiseta amarela e um casaco azul claro por cima, fala: Também podemos dizer que 2,51 é menor que 2,54, pois: 51 centésimos é menor que 54 centésimos.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

17 A caçamba do caminhão a leva em torno de sete vírgula duas toneladas, e a caçamba do caminhão B leva 7,5 toneladas. Em qual dos dois caminhões a medida da massa transportada pode ser maior ?

18 Quem tem maior medida de massa: Maria, que tem 58,6 quilogramas, ou Isabela, que tem 58,570 quilogramas?

19 Escreva todos os números naturais compreendidos entre 12,3 e 17,1.

20 Qual é o menor número natural maior que 97,25? E o maior número natural menor que 0,01?

21 Os dois recipientes ilustrados estão com a medida de capacidade indicada.

Ilustração. Caixa de suco de abacaxi estilo longa vida com capacidade para 1250 litros. Ao lado, garrafa de suco também de abacaxi com capacidade 1,5 litros.

Qual dessas embalagens é mais vantajosa para o comprador, sabendo que elas estão sendo vendidas pelo mesmo preço? Por quê?

22 (Saresp) Das comparações a seguir, qual é a verdadeira?

0, 4 > \frac{4}{10}

1 < \frac{1}{2}

c) 0,40 < 0,31

d) 2 > 1,9

Mário digitou em sua calculadora:

Ilustração. Teclas da calculadora com os algarismos 6, 0, 0, tecla com o sinal de divisão, teclas com os algarismos 1, 0, 0, 0 tecla com o ponto, tecla com o algarismo 0 tecla com o sinal de igual.

e Maísa apertou a sequência de teclas:

Ilustração. Teclas da calculadora com os algarismos 6, 0, 0 tecla com o sinal de divisão, tecla com os algarismos 1, 0, 0, 0, 0 e tecla com o sinal de igual.">

a) Que número apareceu no visor de cada um?

b) Entre esses números, qual é o maior ?

Hora de criar – Pesquise preços diferentes de um mesmo produto, com as mesmas condições (qualidade, quantidade, validade etcétera), expressos com números racionais na fórma decimal. Elabore um problema em que haja a comparação desses preços. Troque-o com o de um colega. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

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6. Reta numérica

Ilustração. Mulher de pele negra, cabelo curto preto vestindo blusa rosa diz: Já aprendemos como representar os números naturais em uma reta, que chamamos de reta numérica. Agora, vamos associar aos pontos dessa reta outros números
racionais. Acompanhe o texto.

Observe como procedemos para representar

\frac{1}{2}

na reta numérica.

Como

\frac{1}{2}

é maior que zero e menor que 1, dizemos que ele está entre 0 e 1. Para localizar o ponto que o representa na reta numérica, marcamos sobre ela os pontos óh e a, correspondentes aos números naturais 0 e 1, respectivamente. Em seguida, dividimos o segmento de reta

\overline{O A}

em duas partes iguais, determinando o ponto M, que representa o número

\frac{1}{2} .

Ilustração. Reta numérica com ponto 0 (O); M (um meio) e 1 (A).

De modo análogo, podemos representar os números

\frac{1}{4}, \frac{1}{3} e \frac{2}{3} .

Para obter o ponto N, correspondente a

\frac{1}{4},

dividimos o segmento

\overline{O A}

em quatro partes iguais e, a partir de óh, tomamos uma parte. Se quisermos, podemos utilizar a reta anterior, em que já determinamos o ponto M, e dividimos o segmento

\overline{O M}

em duas partes iguais. Para obter os pontos P e Q, correspondentes a

\frac{1}{3} e \frac{2}{3}

, respectivamente, dividimos o segmento

\overline{O A}

em três partes iguais e, a partir de óh, tomamos uma parte para

\frac{1}{3}

e duas partes para

\frac{2}{3} .

Ilustração. Reta numérica com pontos O (0); N (um quarto), P (um terço), M (um meio), Q (dois terços) A (1).

Também podemos representar números racionais que estão na fórma decimal na reta numérica. Por exemplo, vamos determinar os pontos R e S, correspondentes a 0,3 e 2,6, respectivamente. Como 0,3 está entre 0 e 1 e 2,6 está entre 2 e 3, marcamos sobre a reta os pontos óh, a, B e C correspondentes aos números naturais 0, 1, 2 e 3, respectivamente. Dividimos o segmento

\overline{O A}

em dez partes iguais. Cada uma dessas partes corresponde a 0,1. Assim, para representar o número 0,3, tomamos três dessas partes a partir do zero.

Ilustração. Reta numérica com pontos O (0); R (0,3); A (1), B (2), C (3)

Para obter a representação de 2,6, dividimos o segmento

\overline{B C}

em dez partes iguais e, a partir de 2, tomamos seis dessas partes.

Ilustração. Reta numérica com pontos O (0); R (0,3); A (1), B (2), S (2,6) e C (3)

Página 218

Agora, observe a representação dos números 5,2; 5,34; 5,56 e 5,8. Note que todos estão entre 5 e 6. Como precisamos representar centésimos, dividimos o intervalo entre 5 e 6 em cem partes iguais, e cada uma corresponde a 0,01.

Ilustração. Reta numérica com os pontos 5; 5,2; 5,34; 5,56; 5,8 e 6 marcados.

•

Se tivesse que representar o número 5,716, em uma reta numérica, entre os números 5,7 e 5,8, explique como faria essa representação.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

25 Determine o número correspondente a cada um dos pontos indicados nas retas numéricas.

Ilustração. Reta numérica com do 0 até o 1 divididos em dez partes e a letra Z na quinta marca, e do 1 até o 2 também divididos em dez partes e a letra X na 2ª marca após o 1.

Ilustração. Reta numérica com ponto 0 até o 0,1 divididos em dez partes. A letra R está primeira marca após o zero e a letra Q na quinta marca após o zero.

26 Estime o número correspondente a cada um dos pontos indicados na reta numérica.

Ilustração. Reta numérica com ponto 10, 10,05 (H), 10,1 (G), I na metade da marca, J na oitava marca e k na 12ª marca.

27 Observe a sua régua de traçar segmentos de reta. Ela lembra uma reta numerada. A régua é graduada em centímetros (indicados pelos números) e em milímetros. Por exemplo, entre os números 11 e 16, pode-se ler as medidas 12, 13, 14 e 15 centímetros. Entre os números 13 e 14, pode-se ler as medidas 13,1; 13,2; 13,3; reticências 13,9 centímetros.

Ilustração. Régua de 30 centímetros com um furinho abaixo do 3 cm.

Usando uma régua, dê as medidas em centímetro:

a) de seu palmo;

b) do comprimento da sua caneta;

c) da largura e da espessura do seu caderno.

7. Adição e subtração

O problema a seguir foi proposto a Ana, Luiz e Carlos.

Ilustração. Lousa verde, escrito com giz branco as informações: Laércio fez um esquema do percurso entre a casa onde mora e o sítio dele. Observe esse esquema. Nele, as medidas das distâncias são indicadas em quilômetro. Ilustração de um trajeto. Começando à esquerda, da casa até o primeiro ponto do trajeto representado com um segmento de reta está anotado 1,365 quilômetros. Desse primeiro ponto até o segundo ponto no trajeto representado com um outro segmento de reta na diagonal está anotado 6,5 quilômetros. E desse ponto até um terceiro e último ponto chegando assim no sítio também representado com um segmento de reta dessa vez na diagonal subindo está anotado 0,75 quilômetros. Calcule, em quilômetro, a medida da distância da casa de Laércio até a entrada do sítio dele.Ilustração. Mulher branca de cabelos escuros presos, ela usa franjinha e óculos, veste camiseta amarela e um casaco azul claro por cima. Ela está, com os braços cruzados, ao lado da lousa verde com a situação problema.

Página 219

Acompanhe a resolução de cada um.

• Ana

• Luiz

Ilustração. Folha de caderno com as informações: Então, a medida da distância da casa de Laércio até a entrada do sítio dele é de 8,615 quilômetros.

• Carlos

•

Você faria esse cálculo de modo diferente? Explique como faria.

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Analise outros exemplos de adição com números na fórma decimal.

a) 3,28 + 2,1 + 0,023

Ilustração. Conta de adição de números decimais montada na vertical. Primeiro o número 3,280, abaixo dele tem o número 2,100 e abaixo dele o número 0,023, abaixo um traço para separar o resultado que é 5,403. O sinal de mais está à esquerda da conta.

b) 5 + 0,5 + 24,365

Ilustração. Conta de adição de números decimais montada na vertical. Primeiro o número 5,000, abaixo dele tem o número 0,500 e abaixo dele o número 24,365, abaixo um traço para separar o resultado que é 29,865. O sinal de mais está à esquerda da conta.

c) 0,04 + 7

Ilustração. Conta de adição de números decimais montada na vertical. Primeiro o número 0,04, abaixo dele tem o número 7,00 abaixo um traço para separar o resultado que é 7,04. O sinal de mais está à esquerda da conta.

Observe agora algumas subtrações.

a) 12,5 ‒ 4,825

Ilustração. Conta de subtração de números decimais montada na vertical. Primeiro o número 12,500 abaixo dele o número 4,825, abaixo um traço para separar o resultado que é 7,675. O sinal de menos está à esquerda da conta.

b) 4 ‒ 2,351

Ilustração. Conta de subtração de números decimais montada na vertical. Primeiro o número 4,000 abaixo dele o número 2,351, abaixo um traço para separar o resultado que é 1,649. O sinal de menos está à esquerda da conta.

c) 8,4215 ‒ 3

Ilustração. Conta de subtração de números decimais montada na vertical. Primeiro o número 8,4215 abaixo dele o número 3,000, abaixo um traço para separar o resultado que é 5,4215. O sinal de menos está à esquerda da conta.

Efetuar operações com números na fórma decimal nos auxilia a resolver problemas que enfrentamos no dia a dia.

A situação a seguir é um exemplo.

Ilustração. Homem de pele branca e cabelos curtos e preto, veste uma blusa branca está sentado em um caixa de supermercado. À esquerda, visor da máquina registradora mostra com R$ 18,75. À direita, em cima da bancada duas sacolas de compras. À frente do caixa, uma mulher de pele negra e cabelos castanhos curto veste blusa vermelha, calça verde e bolsa amarela nos ombros diz ao caixa: Vou pagar com uma nota de R$ 20,00. Marcos, pegue o troco pra você. Ao lado dela, um menino de pele negra e cabelos castanhos curtos veste camiseta rosa com um raio na frente fala: Oba! Vou juntar esse troco com os 20 reais e 50 centavos que já tenho.

Por meio de uma expressão numérica, é possível representar com quantos reais Marcos ficou após ganhar o troco da mãe.

Esquema. 20,50 quantia que Marcos tinha mais, abre parenteses, 20,00 menos 18,75 fecha parentes troco que Marcos vai juntar ao que tinha.

Sabemos que os parênteses indicam a operação a ser feita em primeiro lugar.

Então, calculamos o valor dessa expressão da seguinte maneira:

Cálculos

Esquema. Continhas armadas na vertical. Primeira: 20,00 menos 18,75 igual a 1,25.
Segunda: 20,50 mais 1,25 igual a 21,75

Página 221

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

28 (Saresp) A temperatura normal de Carlos é 37 graus. Ele ficou com gripe e observou que estava com 37,8 graus de temperatura. Tomando um analgésico, sua temperatura baixou 0,5 grau, chegando ao valor de:

a) 37,3 graus.

b) 37,4 graus.

c) 37,5 graus.

d) 37,6 graus.

Ilustração. Homem pele branca e cabelos castanhos curto, veste um pijama listrado e está sentado na beirada da cama olhando um termômetro, seu nariz está muito vermelho. À direita, criado-mudo com abajur.

29 Determine as diferenças.

a) 0,4 ‒ 0,325

b) 1 ‒ 0,275

c) 5,6 ‒ 4

d) 12,36 ‒ 8,634

30 Calcule:

a) 0,075 + 0,325

b) 0,725 + 0,275

c) 1,6 + 4

d) 3,726 + 8,634

e) 0,4 ‒ 0,075

f) 1 ‒ 0,725

g) 5,6 ‒ 1,6

h) 12,36 ‒ 3,726

31 Compare os quatro primeiros itens do exercício 30 com os quatro itens do 29. Depois, considere os quatro últimos itens do exercício 30 para escrever uma conclusão sobre as suas observações.

32 Ganhei da minha avó R$ 100,00cem reais na sexta‑feira. No sábado, comprei uma camiseta de R$ 37,50trinta e sete reais e cinquenta centavos e uma bermuda de R$ 36,25trinta e seis reais e vinte e cinco centavos. Além disso, tomei um lanche de R$ 7,75sete reais e setenta e cinco centavos.

a) Quanto sobrou da quantia que ganhei?

b) Como seria uma expressão numérica que representasse essa situação?

33 Verifique se as somas em cada linha, cada coluna e cada diagonal são iguais.

Ilustração. Quadrado mágico. Quadrado dividido em três linhas e três colunas com um número em cada quadrado. Primeira linha: 0,6; 1,4; 1,6. Segunda linha: 2,2; 1,2; 0,2. Terceira linha: 0,8; 1; 1,8.

34 Ana comprou o conjunto de malas do anúncio. Quanto ela pagou?

Ilustração. Conjunto de três malas de viagem vermelhas com tamanhos decrescentes. Ao lado, placa escrita: Malas Boa Viagem pequena R$ 154,60; média R$ 214,90; grande R$ 283,15.

35 Entre as expressões, qual tem o maior valor? E o menor?

a) 2,4 ‒ (1,3 + 0,2)

b) 2,4 ‒ 1,3 + 0,2

c) 2,4 + (1,3 ‒ 0,2)

d) 2,4 + 1,3 + 0,2

Débora quer calcular mentalmente o valor aproximado de 42,13 + 17,89. Para isso, ela arredondou cada parcela para a casa das unidades mais próxima e, em seguida, efetuou o cálculo. Observe.

Ilustração. Garota com traços japoneses e cabelos compridos castanhos, veste camiseta branca e gola verde, está sentada em um cadeira com o braço direito apoiado na mesa e a mão esquerda estendida. Ela pensa: 42,13 mais 17,89 é equivalente à 42 mais 18, que é igual a 60.

Calcule mentalmente o resultado aproximado de cada item. Faça o registro e, com uma calculadora, verifique se os resultados arredondados são próximos aos exatos.

a) 2,86 + 4,95

b) 11,24 + 5,67

c) 9,11 + 31,74

d) 12,12 ‒ 6,43

e) 32,77 ‒ 9,64

f) 53,42 ‒ 10,38

Página 222

37 Com o avanço da tecnologia no setor de telecomunicação, o número de linhas ativas de telefones celulares no Brasil aumentou bastante entre os anos 2020 e 2021. Observe o gráfico e responda.

Gráfico em barras horizontais. Total de linhas ativas de telefones celulares no Brasil. No eixo horizontal, ano. No eixo vertical, linhas ativas (em milhões). Os dados são: 2015: 257,8. 2016: 244,1. 2017: 236,5. 2018: 229,2. 2019: 226,7. 2020: 234,1. 2021: 246,8. — Dados obtidos em: ANATEL. [Brasília-Distrito Federal]: Ministério das Comunicações. Disponível em: https://oeds.link/jBLL0G. Acesso em: 3 fevereiro 2022.

a) Em 2015, existiam quantos milhões de linhas ativas de telefones celulares?

b) De 2016 a 2020 houve diminuição de quantos milhões de linhas ativas de telefones celulares?

c) De acordo com o gráfico, em que ano o número de linhas ativas de telefones celulares foi maior? E em que ano foi menor?

Hora de criar – Utilize uma situação cotidiana na qual você usa números racionais para elaborar um problema e troque-o com um colega. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

8. Multiplicação por potências de 10

Ao observar este anúncio, Plínio e Marta imediatamente calcularam o total a ser pago pela bicicleta.

Ilustração. Bicicleta verde. Ao lado, a informação: 10 vezes sem acréscimo. (1 + 9) parcelas de R$ 75,99.

Observe como cada um fez.

• Plínio

75,99 + 75,99 + 75,99 + 75,99 + 75,99 + 75,99 + 75,99 + 75,99 + 75,99 + 75,99 = 759,90

• Marta 10 ⋅ 75,99 =

10 \cdot \frac{7 599}{100}

\frac{75 990}{100}

= 759,90

Note que, embora os dois modos sejam equivalentes, Marta realizou menos cálculos para encontrar esse valor fazendo uma multiplicação.

Página 223

Usando uma calculadora, esse cálculo poderia ser feito da seguinte maneira:

Ilustração. Teclas de uma calculadora com os algarismos 1 e 0, tecla com o sinal de vezes, tecla com os algarismos 7 e 5 tecla com o ponto e teclas com os algarismos 99, tecla com o sinal de igual e visor com o resultado 759,90.

Observe outros exemplos, nos quais multiplicamos um número na fórma decimal por 10, 100 ou .1000.

a) 5,32 ⋅ 10 =

\frac{532}{100}

⋅ 10 =

\frac{5 320}{100}

= 53,20

b) 4,3 ⋅ 100 =

\frac{43}{10}

⋅ 100 =

\frac{4 300}{10}

= 430 ou 430,0

c) 10,5912 ⋅ .1000 =

\frac{105 912}{10000}

⋅ .1000 =

\frac{105 912 000}{10 000}

= .10591,2

d) 0,0451 ⋅ 100 =

\frac{451}{10 000}

⋅ 100 =

\frac{45 100}{10 000}

= 4,5100 ou 4,51

e) 9,06 ⋅ .1000 =

\frac{906}{100}

⋅ .1000 =

\frac{906 000}{100}

= .9060,00 ou .9060

Ilustração. Rapaz, pele clara cabelos castanhos compridos presos num rabo, ele usa óculos e barba e veste camiseta verde escuro. Tem uma mão na cintura e a outra está com o indicador levantado como quem está explicando. Ele diz: Em cada item, compare o número que está multiplicando 10, 100 ou 1000 com o resultado e verifique quantas casas decimais a vírgula andou para a direita.

Na prática, para multiplicar um número na fórma decimal por 10, 100, .1000, .10000, e assim por diante, deslocamos a vírgula para a direita, respectivamente, uma, duas, três, quatro, reticências casas decimais.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Resolva mentalmente.

a) 3,18 ⋅ 10

b) 3,18 ⋅ 100

c) 3,18 ⋅ .1000

d) 10 ⋅ 9,5

e) 100 ⋅ 0,0075

f) .10000 ⋅ 0,0456

Resolva.

Ilustração. Homem de pele branca e cabelos castanhos claros e curtos, veste blusa azul e usa uma viseira. Ele está sentado atrás de uma mesa onde se encontram uma luminária articulável, uma lente de aumento fixa na mesa e alguns instrumentos. Ele observa um pequeno objeto que segura entre os dedos e diz: Fabriquei 10 brincos, cada um com 12,56 gramas de ouro. Quantos gramas de ouro usei nesses brincos?

41 Em um supermercado, cada garrafa com 0,5 litro de água custa R$ 1,97um reais e noventa e sete centavos.

a) Miranda comprou 10 dessas garrafas de água. Quantos litros de água ela comprou?

b) Para pagar as garrafas de água, Miranda usou esta cédula:

Que quantia ela recebeu de troco?

c) Um comerciante comprou 1.000 dessas garrafas de água. Quanto ele gastou?

Página 224

9. Multiplicação

Laura quer comprar uma fita para fazer um laço para seu vestido.

Ilustração. Mulher de pele clara e cabelos castanhos claros e compridos, veste blusa verde. Ela está atrás do balcão de uma loja de armarinhos. Ela diz: Bom dia! Em que posso ajudar? A sua frente uma outra mulher de cabelo preto comprido, vestindo uma blusa lilás e tem uma bolsa marrom em seu ombro, lhe entrega uma nota de 10 reais e diz: Quero 2,2 metros de fita, por favor. No balcão há uma placa escrita: fita 3,75 reais cada metro e também alguns carretéis de fitas coloridas. Ao fundo, rolos coloridos em prateleiras.

Laura tinha de saber o preço a ser pago por essa fita. Para isso, multiplicou 2,2 por 3,75. Observe como ela fez.

2,2 ⋅ 3,75 =

\frac{22}{10}

⋅

\frac{375}{100}

\frac{8 250}{1 000}

= 8,250 = 8,25

Então, o valor a ser pago por Laura em 2,2 metros de fita é de R$ 8,25oito reais e vinte e cinco centavos.

Repare que transformamos os números dados em frações. Com isso, o cálculo da multiplicação foi feito apenas entre números naturais (22 ⋅ 375 e 10 ⋅ 100). Entretanto, o produto dos denominadores (1.000) indica que no resultado devem ser consideradas as casas decimais até milésimos.

Ilustração. Mulher branca de cabelos escuros compridos presos, usa franjinha e óculos, veste camiseta amarela e um casaco azul claro por cima. Com a mão esquerda nas hastes dos óculos ela fala: Na prática, você não precisa recorrer às frações. Observe.

Para multiplicar números na fórma decimal, procedemos como se eles fossem números naturais e damos ao produto um número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores.

Com o auxílio de uma calculadora, fazemos esse cálculo do seguinte modo:

Ilustração. Teclas de uma calculadora com o algarismo 3, tecla com o ponto, teclas com os algarismos 7 e 5, tecla com o sinal de vezes, teclas com o algarismo 2, tecla com o ponto, tecla com o algarismo 2, tecla com sinal de igual e visor com o resultado 8,25.

Página 225

Acompanhe mais alguns exemplos.

a) 0,75 ⋅ 4

Conta de multiplicação na vertical. Acima, 0,75 (duas casas decimais). Abaixo, sinal de vezes e 4. Abaixo o traço e o resultado 3,00 (duas casas decimais).

b) 4,5 ⋅ 7,6

Conta de multiplicação na vertical. primeira linha 4,5 (uma casa decimal). Segunda linha, sinal de vezes e 7,6 (uma casa decimal). Abaixo um traço separando a 2ª da 3ª linha. Terceira linha, parcela 270 e na quarta linha parcela 315 sempre deslocada uma casa para a esquerda. Abaixo um traço separando 4ª da 5ª linha e na quinta linha o resultado 34,20 (duas casas decimais).

c) 7,32 ⋅ 0,23

Conta de multiplicação na vertical. primeira linha 7,32 (duas casas decimais). Segunda linha, sinal de vezes e 0,23 (duas casas decimais). Abaixo um traço separando a 2ª da 3ª linha. Terceira linha, parcela 2196 e na quarta linha parcela 1464 sempre deslocada uma casa para a esquerda. Abaixo um traço separando 4ª da 5ª linha e na quinta linha o resultado 1,6836 (quatro casas decimais).

d) 0,3 ⋅ 0,02

Conta de multiplicação na vertical. Acima, 0,3 (uma casa decimal). Abaixo, sinal de vezes e 0,02. Abaixo o traço e o resultado 0,006 (três casas decimais).

Na situação apresentada anteriormente, sabendo que Laura pagou a fita com uma nota de R$ 10,00dez reais, quanto de troco a vendedora, Ana, lhe devolverá?

Para saber, Ana deverá calcular o valor da expressão 10 menos 3,75 ⋅ 2,2.

Esquema. 10 menos 3,75 vezes 2,2 é igual a 10 menos 8,25 (valor do produto 3,75 vezes 2,2), que é igual a 1,75

Ana também poderá calcular o troco de Laura usando teclas de memória de uma calculadora.

Fotografia. Calculadora com teclado na parte inferior. Destaque para tecla AC: tecla para limpar memória. Tecla MR: tecla para chamar a memória. Tecla M mais: memória aditiva. Tecla M menos: memória subtrativa.

Observe as teclas que ela apertou após “limpar” a memória da calculadora.

Portanto, Laura receberá R$ 1,75um reais e setenta e cinco centavos de troco.

Observação

▶ Há calculadoras com recursos nos quais esse cálculo pode ser feito de maneira diferente. Por exemplo, incluindo a tecla “=” antes da “M+” e a tecla “á cê aspas após a “M+”.

Observe agora outros exemplos de expressões numéricas.

Esquema. 10,5 menos 7,3 vezes 0,5 igual. Multiplicando 7,3 por 0,5 obtemos 3,65. Na linha de baixo 10,5 menos 3,65 igual a 6,85.

Esquema. 4,3 vezes, abre parenteses, 6 menos 4,75, fecha parenteses, igual.
Subtraindo 4,75 de 6 obtemos 1,25. Na linha de baixo, 4,3 vezes 1,25 igual a 5,375

Usando a calculadora para esses exemplos, temos:

Ilustração. Teclas de uma calculadora com os algarismos 1 e 0 , tecla com o ponto, tecla com o algarismo 5, tecla M+, tecla com o algarismo 7, tecla com o ponto, tecla com o algarismo 3, tecla com o sinal de vezes, tecla com o ponto, tecla com o algarismo 5, tecla M-, tecla Mrc e visor com o resultado 6,85.

Ilustração. Teclas de uma calculadora com o algarismo 4 , tecla com o ponto, tecla com o algarismo 3, tecla M+, tecla com o algarismo 6, tecla com o sinal de menos, tecla com o algarismo 4, tecla com o ponto, tecla com os algarismos 7 e 5, tecla Mrc, tecla com o sinal de igual e visor com o resultado 5,375.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

42 Efetue cada uma das multiplicações.

a) 2,7 ⋅ 3,9

b) 5,75 ⋅ 7

c) 0,45 ⋅ 0,82

d) 24 ⋅ 3,14

e) 4,5 ⋅ 7,6

f) 0,125 ⋅ 48

43 Calcule o dobro de:

a) 7,5;

b) 1,25;

c) 0,5.

44 Calcule o triplo de:

a) 15,20;

b) 17,8;

c) 10,5.

Pedro quer calcular mentalmente o valor aproximado de 5,32 ⋅ 4,74. Para isso, ele arredondou cada fator para a casa das unidades mais próxima e, em seguida, efetuou o cálculo.

Ilustração. Menino de pele clara e cabelos castanhos, veste camiseta verde com uma carinha estampada. Ele coça a cabeça e pensa: 5,32 vezes 4,74. 5,32 ele aproxima para 5 e 4,74 ele também aproxima para 5 e faz 5 vezes 5 = 25.

Calcule mentalmente o resultado aproximado de cada item. Faça o registro e, com uma calculadora, verifique se os resultados arredondados são próximos aos exatos.

a) 6,89 ⋅ 7,10

b) 2,12 ⋅ 8,09

c) 4,67 ⋅ 9,89

d) 6,79 ⋅ 12,12

e) 32,77 ⋅ 6,32

f) 42,78 ⋅ 8,21

46 Determine o valor das expressões.

a) 6,9 ⋅ 8,7 ‒ 0,03

b) 14 ‒ 15,6 ⋅ 0,84

c) 2,4 ⋅ (5 ‒ 3,75)

d) 4,6 ⋅ 5 ‒ 12,36

e) 3,4 ⋅ 0,5 ‒ 0,8 ⋅ 1,6

f) 12,78 ‒ 4,3 ⋅ 2,6

Confira os resultados do exercício 46 refazendo os cálculos com uma calculadora.

48 De acordo com a Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis, o preço médio do etanol em São Luís, no Maranhão, em fevereiro de 2022, era de R$ 5,670cinco reais e sessenta e sete centavos.

a) Que quantia em real seria necessária para encher o tanque de um carro que comporta 45 litros?

Calcule mentalmente. João colocou 10 litros de etanol no tanque do carro. Que quantia em real ele gastou?

Calcule mentalmente.

Sandra comprou em uma loja 10 metros de fita dourada e pagou R$ 0,85zero reais e oitenta e cinco centavos cada metro. Em outra loja, ela comprou 8 metros de fita prateada por R$ 0,90zero reais e noventa centavos cada metro.

Estime em qual dessas compras Sandra gastou menos de 8 reais.

50 No comércio, muitas vezes enfrentamos o problema da falta de troco. Observe as situações e responda às questões.

a) Mário comprou três livros que custaram R$ 20,10vinte reais e dez centavos cada um. Para pagar, deu uma nota de R$ 100,00cem reais. Quanto a mais ele poderia dar para facilitar o troco? Com isso, quanto receberia de troco?

b) No mercado, Maria gastou R$ 169,30cento e sessenta e nove reais e trinta centavos. Deu quatro notas de 50 reais para o caixa. Qual é a menor quantia que ela poderia dar a mais para facilitar o troco, uma vez que o caixa só tinha notas de 10 e de 5 reais? E qual seria seu troco?

51 Os valores das moedas que circulam hoje no Brasil são:

Fotografia. Uma moeda de 5 centavos, uma moeda de 10 centavos, uma moeda de 25 centavos, uma moeda de 50 centavos e uma moeda de 1 real.

a) Quantas moedas de 5 centavos são necessárias para obter 1 real? E de 10 centavos?

b) Usando apenas três moedas, de quantos modos diferentes posso ter R$ 1,50um reais e cinquenta centavos?

c) De quantas moedas de 25 centavos preciso para ter 1 real?

d) Descreva pelo menos seis modos diferentes pelos quais, reunindo moedas, conseguimos obter R$ 1,00um reais.

52 No final de um mês, Jonas tinha 58 moedas.

a) Calcule quanto Jonas possuía sabendo que ele tinha 4 moedas de 25 centavos, 12 moedas de 5 centavos, 9 moedas de 50 centavos, vinte e duas moedas de 1 real e 11 moedas de 10 centavos.

b) Com esse dinheiro, Jonas foi ao cinema e comprou um pacote de pipoca por R$ 5,50cinco reais e cinquenta centavos. Quanto sobrou se o ingresso do cinema foi R$ 22,00vinte e dois reais?

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Hora de criar – Em dupla, criem um problema semelhante ao apresentado no exercício 52 atualizando os valores do local de divertimento (cinema, teatro etcétera) e do acompanhamento (alimento etcétera) cobrados na cidade onde moram. Troquem de exercício com outra dupla para resolverem o problema elaborado por ela. Depois destroquem para corrigir.

Pense mais um pouco...

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Junte-se a um colega e considerem os resultados destas multiplicações:

38,2 ⋅ 4 = 152,8 e 38,2 ⋅ 7 = 267,4

Calculem mentalmente os produtos de:

a) 38,2 ⋅ 40 e 38,2 ⋅ 70

b) 38,2 ⋅ 400 e 38,2 ⋅ 700

c) 38,2 ⋅ .4000 e 38,2 ⋅ .7000

2 Calculem os produtos efetuando uma adição ou uma subtração.

a) 38,2 ⋅ 11

b) 38,2 ⋅ 3

c) 38,2 ⋅ 14

d) 38,2 ⋅ 8

e) 38,2 ⋅ 47

f) 38,2 ⋅ 74

10. Divisão por uma potência de 10

Uma mesa de pingue-pongue é vendida em 10 prestações iguais. O preço total a prazo é de R$ 829,90oitocentos e vinte e nove reais e noventa centavos.

Ilustração. Rapaz de cabelos castanhos curtos, veste uma camiseta vermelha com uma faixa amarela na altura da barriga, bermuda azul clara. Olha pensativo para uma mesa de pingue-pongue a sua frente.

Para saber o valor de cada prestação, podemos efetuar:

829,90 dividido por 10 =

\frac{82 990}{100}

dividido por 10 =

\frac{82 990}{100}

⋅  

\frac{1}{10}

\frac{82 990}{1000}

= 82,990 = 82,99

Então, o valor de cada prestação é de R$ 82,99oitenta e dois reais e noventa e nove centavos.

Usando a calculadora, podemos fazer esses cálculos da seguinte maneira:

Ilustração. Teclas de uma calculadora com os algarismos 8, 2 e 9, tecla com o ponto, tecla com o algarismo 9, tecla com o sinal de dividir, tecla com os algarismos 1 e 0, tecla com o sinal de igual e visor com o resultado 82,29

Acompanhe estas divisões:

a) 12,5 dividido por 10 =

\frac{125}{10}

dividido por

\frac{10}{1}

\frac{125}{10}

⋅

\frac{1}{10}

\frac{125}{100}

= 1,25

b) 54,62 dividido por 100 =

\frac{5 462}{100}

dividido por

\frac{100}{1}

\frac{5 462}{100}

⋅

\frac{1}{100}

\frac{5 462}{10 000}

= 0,5462

c) .6354 dividido por .1000 = .6354 ⋅

\frac{1}{1 000}

\frac{6 354}{1 000}

= 6,354

d) 419,2 dividido por 100 =

\frac{4 192}{10}

dividido por

\frac{100}{1}

\frac{4 192}{10}

⋅

\frac{1}{100}

\frac{4 192}{1 000}

= 4,192

e) 809,05 dividido por .1000 =

\frac{80 905}{100}

dividido por

\frac{1 000}{1}

\frac{80 905}{100}

⋅

\frac{1}{1 000}

\frac{80 905}{100 000}

= 0,80905

Ilustração. Mulher negra com cabelos escuros presos, veste camiseta amarela e por cima um casaco azul claro. Ele fala: Em cada item, compare o número que está sendo dividido por 10, 100 ou 1.000 com o resultado e verifique quantas casas decimais a vírgula “andou” para a esquerda. Lembre-se de que 6354 é igual a 6354,0.

Na prática, para dividir um número na fórma decimal por 10, 100, .1000, .10000, e assim por diante, deslocamos a vírgula para a esquerda, respectivamente, uma, duas, três, quatro, reticências casas decimais.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

54 Em uma confeitaria, o quilograma do bolo de chocolate custa R$ 55,00cinquenta e cinco reais. Comprei um bolo com 2 quilogramas e o dividi em 10 partes iguais. Quanto custa cada pedaço desse bolo?

Efetue mentalmente as divisões.

a) 54,6 dividido por 10

b) 54,6 dividido por 100

c) 214,3 dividido por 100

d) 214,3 dividido por 1.000

e) 35 dividido por 10

f) 35 dividido por 100

56 Sabendo que .1000 quilogramas equivalem a uma tonelada, quantas toneladas correspondem a .12560 quilogramas? E quantos quilogramas correspondem a 4,3 toneladas?

11. Divisão

Agora, vamos estudar em várias etapas a divisão que envolve números na fórma decimal.

Divisão de números naturais com quociente na fórma decimal

Considere as situações.

Situação 1

Bárbara pagou 26 reais pela compra de 8 canetas coloridas, de mesmo valor.

Ilustração. Oito canetas esferográficas coloridas presas por um elástico.

Para saber o preço de cada caneta, devemos dividir 26 por 8. Sabemos que o quociente dessa divisão é

\frac{26}{8} .

Observe como podemos encontrar a fórma decimal desse quociente.

Dividimos 26 por 8 para encontrar sua parte inteira:

Conta de divisão na chave. À esquerda da chave, número 26. Dentro da chave, número 8. Abaixo de 26, resto: 2. Quociente: 3. Ao lado, o texto: quociente: 3 inteiros ou 3 unidades. Resto: 2 unidades ou 20 décimos.

Dividimos 20 décimos por 8 para encontrar os décimos do quociente:

Conta de divisão na chave. À esquerda da chave, 20 décimos. Dentro da chave, número 8. Abaixo de 20 décimos, resto: 4 décimos. Quociente: 2 décimos. Ao lado, o texto: quociente: 2 décimos. Resto: 4 décimos ou 40 centésimos.

Dividimos 40 centésimos por 8 para encontrar os centésimos do quociente:

Conta de divisão na chave. À esquerda da chave, 40 centésimos. Dentro da chave, número 8. Abaixo de 40 centésimos, resto: 0. Quociente: 5 centésimos.

Desse modo, obtemos o quociente de 26 por 8 na fórma decimal: 3,25. Portanto, o preço de cada caneta é de R$ 3,25três reais e vinte e cinco centavos.

Página 229

As três etapas da divisão anterior podem ser reunidas em uma só. Acompanhe.

Conta de divisão na chave. 26 reais dividido por 8 é igual a 3 reais e, de 26 reais menos 24 reais, sobram 2 reais. Seta à direita, indica que 2 reais equivale à 20 décimos de real. Então 20 décimos de real dividido por 8 é igual a 2 décimos de real e, de 20 décimos de real menos 16 décimos de real, sobram 4 décimos de real. Seta à direita, indica que 4 décimos de real equivale à 40 centésimos de real. Então 40 centésimos de real dividido por 8 é igual a 5 centésimos de real e, de 40 centésimos de real menos 40 centésimos de real, não sobra nada, ou seja resto 0. Portanto, 26 reais dividido por 8 tem quociente: 3 reais, 2 décimos de real e 5 centésimos de real, que equivale à 3 reais e 25 centavos.

Na prática, procedemos assim:

Conta de divisão na chave. 26 inteiros dividido por 8 resulta em 3inteiros e sobra 2inteiros que são trocados por 20 décimos. Lá no quociente colocamos uma vírgula para separar a parte inteira da parte decimal. Agora dividimos 20 décimos por 8 que resulta em 2 décimos e sobra 4 décimos, que são trocados por 40 centésimos. agora dividimos os 40 centésimos por 8 que resulta em 5 e não sobra nada.

Para fazer esse cálculo usando a calculadora, apertamos as seguintes teclas:

Ilustração. Teclas de uma calculadora com os algarismos 2 e 6, tecla com o sinal de dividir, tecla com os algarismos 8, tecla com o sinal de igual e visor com o resultado 3,25.

Situação 2

Vamos calcular o quociente decimal da divisão de 9 por 16.

Ao dividir 9 inteiros em 16 partes iguais, não obtemos nenhum inteiro em cada parte; dessa fórma, a parte inteira no quociente é zero.

Conta de divisão na chave. 9 inteiros dividido por 16, resulta em 0 e sobram 9 inteiros de resto.

Depois, transformamos os 9 inteiros em 90 décimos e dividimos por 16. Sobram 10 décimos.

Conta de divisão na chave. Os 9 inteiros que sobraram de resto da conta anterior são trocados por 90 décimos que divididos por 16, resulta em 5, então no quociente agora temos 0,5 e sobram 10 décimos de resto.

Transformamos os 10 décimos em 100 centésimos e dividimos por 16. Sobram 4 centésimos.

Conta de divisão na chave. Os 10 décimos que sobraram de resto da conta anterior são trocados por 100 centésimos que divididos por 16, resulta em 6, então no quociente agora temos 0,56 e sobram 4 centésimos de resto.

Transformamos os 4 centésimos em 40 milésimos e dividimos por 16. Sobram 8 milésimos.

Conta de divisão na chave. Os 4 centésimos que sobraram de resto da conta anterior são trocados por 40 milésimos que divididos por 16, resulta em 2, então no quociente agora temos 0,562 e sobram 8 milésimos de resto.

Transformamos os 8 milésimos em 80 décimos de milésimos e dividimos por 16. Não sobra nada.

Conta de divisão na chave. Os 8 milésimos que sobraram de resto da conta anterior são trocados por 80 décimos de milésimos que divididos por 16, resulta em 5, então no quociente agora temos 0,5625 e não sobra nada

Logo, o quociente da divisão de 9 por 16 na sua fórma decimal é 0,5625.

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Agora, observe alguns exemplos de expressões numéricas que envolvem divisões de números naturais com quociente na fórma decimal.

a) 10 dividido por 25 + 125 dividido por 100 = 0,4 + 1,25 = 1,65

b) 4 + 5 dividido por 2 ‒ 8 dividido por 10 = 4 + 2,5 ‒ 0,8 = 5,7

Calculamos o valor numérico dessas expressões na calculadora, apertando as seguintes teclas:

Ilustração. Teclas de uma calculadora com os algarismos 1 e 0 , tecla com o sinal de dividir, teclas com os algarismos 2 e 5, tecla M+, teclas com os algarismos 1, 2 e 5, tecla com o sinal de dividir, tecla com os algarismos 1, 0 e 0, tecla M+, tecla Mrc e visor com o resultado 1,65.

Ilustração. Tecla de uma calculadora com o algarismo 4, tecla M+, tecla com o algarismo 5, tecla com o sinal de dividir, tecla com o algarismo 2, tecla M+, tecla com o algarismo 8, tecla com o sinal de dividir, tecla com os algarismos 1 e 0, tecla M-, tecla Mrc e visor com o resultado 5,7.

Observação

▶ Há calculadoras com outros recursos com os quais esse cálculo pode ser feito de maneira diferente.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

57 Qual é o número que, multiplicado por 4, resulta 25? E o número que, multiplicado por 25, resulta 4?

58 Resolva.

Ilustração. Garota de pele branca, cabelos loiros presos no alto da cabeça e olhos verdes e veste camiseta amarela. Ela está de frente para uma caixa com morangos com o dedo indicador no canto direito da boca e pensa: Hum! A caixa com 20 morangos grandes custou 15 reais. Quanto custou cada morango?

Usando uma calculadora, encontre o valor de cada expressão.

a) 10 dividido por 16 + 16 dividido por 10

b) 100 dividido por 25 + 25 dividido por 10

c) 10 dividido por 8 ‒ 2 dividido por 5 + 4

60 Paula encheu o tanque de combustível do carro e anotou o número .12349, que correspondia, no hodômetro (marcador de quilometragem) do painel do carro, aos quilômetros rodados. Após alguns dias, ela retornou ao posto e voltou a encher o tanque do carro. Verificou que a bomba de etanol indicava 48 litros e que o número mostrado no hodômetro de seu carro era .12805.

a) Quanto Paula pagou pelos 48 litros de combustível, sabendo que, nesse dia, o litro do etanol custava Cinco reais e seiscentos e cinco milésimos de real naquele posto?

b) Quantos quilômetros o carro de Paula roda com 1 litro de etanol?

Para a compra de uma tê vê, com preço à vista de R$ 1.774,40mil setecentos e setenta e quatro reais e quarenta centavos, uma loja oferece dois planos de pagamento:

Ilustração. Cartaz com dois planos de pagamento. Plano 1.
1 + 3 sem acréscimo. Plano 2.
1 + 5 de R$ 326,80.

Usando uma calculadora, responda:

a) Se uma pessoa optar pelo plano 1, qual será o valor de cada prestação?

b) Se optar pelo plano 2, quanto ela pagará a mais em relação ao preço à vista?

62 Faça uma estimativa. Subi os 8 degraus iguais de uma escada. Quando pisei no último degrau, estava a 2,15 metros do chão. A altura de cada degrau é maior ou menor que 25 centímetros?

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Divisão de números naturais com quociente aproximado

Juliana e cinco amigas foram a uma sorveteria e gastaram R$ 53,00cinquenta e três reais. No momento de pagar a conta, fizeram os cálculos para dividi-la em partes iguais.

Ilustração. Garota de cabelos castanhos presos no alto da cabeça, veste blusa verde e usa uma pulseira azul. Ela segura um papel com alguns dizeres e o valor de R$53,00. Na sua frente sobre a mesa tem um taça com uma colherzinha dentro.

Conta de divisão na chave. 53 dividido 6 resulta em 8 e sobra resto 5.

Conta de divisão na chave. Os 5 inteiros que sobraram de resto da conta anterior são trocados por 50 décimos que divididos por 6, resulta em 8, então no quociente agora temos 8,8 e sobram 2 décimos de resto.

Cada uma deveria pagar mais que R$ 8,80oito reais e oitenta centavos e menos que R$ 8,90oito reais e noventa centavos. Isso ocorre porque o quociente dessa divisão é maior que 8,8 e menor que 8,9.

Continuando a divisão, Juliana e suas amigas notaram que deveriam pagar mais que R$ 8,83oito reais e oitenta e três centavos e menos que R$ 8,84oito reais e oitenta e quatro centavos.

Conta de divisão na chave. Os 2 décimos que sobraram de resto da conta anterior são trocados por 20 centésimos que divididos por 6, resulta em 3, então no quociente agora temos 8,83 e sobram 2 centésimos de resto.

Então, resolveram arredondar o valor para R$ 9,00nove reais. Assim, pagariam a despesa de R$ 53,00cinquenta e três reais e sobraria R$ 1,00um reais, que seria usado para complementar uma gorjeta de R$ 7,00sete reais que deixariam para o atendente.

Para fazer arredondamentos com números representados na fórma decimal, usamos as mesmas regras válidas para os números naturais:

Esquema. Primeira linha: 8,8; destaque para o algarismo final 8; seta para a direita indica: 9,0 ou 9. Segunda linha: 8,86; destaque para o algarismo final 6; seta para a direita indica: 8,90 ou 8,9. Terceira linha: 15,785; destaque para o algarismo final 5; seta para a direita indica: 15,790 ou 15,79. — Arredondamos “para cima” se o algarismo à direita do da ordem que vai ser arredondada é 5, 6, 7, 8 ou 9.

Esquema. Primeira linha: 8,83; destaque para o algarismo final 3; seta para a direita indica: 8,80 ou 8,8. Segunda linha: 8,833; destaque para o algarismo final 3; seta para a direita indica: 8,830 ou 8,83. Terceira linha: 23,4; destaque para o algarismo final 4; seta para a direita indica: 23,0 ou 23. — Arredondamos “para baixo” se o algarismo à direita do da ordem que vai ser arredondada é 0, 1, 2, 3 ou 4.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

63 Pelos critérios matemáticos de arredondamento já estudados, Juliana e suas amigas deveriam arrendondar o resultado 8,83 para 8,80. Em uma situação real como a delas, isso seria possível?

64 Calcule, com uma casa decimal, o quociente de cada divisão.

a) 8 dividido por 3

b) 142 dividido por 21

c) 158 dividido por 6

d) 53 dividido por 9

65 Calcule, com duas casas decimais, o quociente de cada divisão.

a) 76 dividido por 3

b) 58 dividido por 6

c) 45 dividido por 8

d) 243 dividido por 17

66 Duas clientes entraram em uma loja. A primeira fez uma compra no valor de R$ 135,00cento e trinta e cinco reais, e a segunda, no valor de R$ 200,00duzentos reais.

Sabendo que as duas clientes optaram pelo pagamento de 3 parcelas sem acréscimo, responda:

a) Qual foi o valor de cada parcela paga pela primeira cliente?

b) Calcule o valor de cada parcela paga pela segunda cliente, sabendo que nenhum deles apresentava centavos e que não tinham valores iguais.

Hora de criar – Troque com um colega um problema sobre divisão com números racionais criado por vocês. Depois de cada um resolver o problema elaborado pelo outro, destroquem para corrigi-los.

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Pense mais um poucoreticências

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Reúna-se

com um colega, usem uma calculadora e façam o que se pede.

1 Efetuem as divisões:

a) 85 dividido por 4

b) 850 dividido por 40

c) .8500 dividido por 400

d) 170 dividido por 8

e) 255 dividido por 12

f) 340 dividido por 16

g) (5 ⋅ 85) dividido por (5 ⋅ 4)

h) (11 ⋅ 85) dividido por (11 ⋅ 4)

i) (19 ⋅ 85) dividido por (19 ⋅ 4)

2 Escolham dois números racionais, a e bê, não nulos, isto é, diferentes de zero, na fórma decimal, e dividam a por b. Em seguida, efetuem as divisões entre:

a) o dobro de a e o dobro de b;

b) o triplo de a e o triplo de b;

c) o quíntuplo de a e o quíntuplo de b;

d) o sêxtuplo de a e o sêxtuplo de b.

3 Discutam e escrevam uma conclusão sobre esta questão:

“Multiplicando-se o dividendo e o divisor por um mesmo número, diferente de zero, o quociente se altera?”

Divisão de dois números na fórma decimal

Para encher um aquário, Eduardo está usando um copo com medida de capacidade de 0,25 litro. Nesse aquário, cabem 12,5 litros. Para determinar quantos copos cheios de água Eduardo precisará despejar no aquário, vamos dividir 12,5 por 0,25.

Ilustração. Menino com cabelo preto curto, veste camiseta vermelha com mangas verdes. Tem um copo em suas mãos que ele está usando para encher um aquário de vidro que se encontra num balcão a sua frente.

125 dividido por 0,25 igual a 125 décimos dividido por 25 centésimos que é igual a 125 décimos vezes 100, 25 avos é igual a 12500, 250 avos que é igual a 1250, 25 avos é igual a 1250 dividido por 25. Portanto 125 dividido por 0,25 é equivalente a 1250 divido por 25.

Então, 12,5 dividido por 25 = .1250 dividido por 25 = 50.

Portanto, Eduardo precisará despejar 50 copos de água no aquário para enchê-lo.

Usando uma calculadora, fazemos esse cálculo assim:

Ilustração. Teclas de uma calculadora com os algarismos 1 e 2, tecla com o ponto, tecla o algarismo 5, tecla com o sinal de dividir, tecla com o algarismo 0, tecla com o ponto, tecla com os algarismos 2 e 5, tecla com o sinal de igual e visor com o resultado 50.

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No cálculo da divisão de números na fórma decimal, vamos aplicar o seguinte:

Multiplicando-se o dividendo e o divisor por um mesmo número, diferente de zero, o quociente não se altera.

Acompanhe o cálculo de 15,2 dividido por 0,38.

Multiplicando 15,2 e 0,38 por 100, obtemos os números naturais .1520 e 38. O quociente de 15,2 por 0,38 é igual ao quociente de .1520 por 38. Observe.

Conta de divisão na chave.
1538 dividido por 38 é igual a 40 e o resto é 0.

15,2 dividido por 0,38 = .1520 dividido por 38 = 40

Portanto, o quociente de 15,2 por 0,38 é 40.

Observe outros exemplos.

a) 5,4 dividido por 0,12 = 45

Conta de divisão na chave. 540 dividido por 12 é igual a 45 e resto 0.

b) 12 dividido por 0,3 = 40

Conta de divisão na chave. 120 dividido por 3 é igual a 40 e resto 0.

c) 22,016 dividido por 4,3 = 5,12

Conta de divisão na chave. 22016 dividido por 4300 é igual a 5,12 e resto 0.

Estudamos que, em uma divisão, o quociente não se altera quando o dividendo e o divisor são multiplicados por um mesmo número diferente de zero.

Observe mais um exemplo.

Esquema. Conta de divisão na chave. 3 dividido por 2, o quociente é 1 e o resto é 1.
Se multiplicarmos o dividendo e o divisor por 10 teremos:
30 dividido por 20, quociente 1 e resto 10.
Se multiplicarmos o dividendo e o divisor por 100, teremos:
300 dividido por 200, quociente 1 e resto 100.

Nessas divisões, o quociente se mantém igual, mas o resto não permanece o mesmo.

Esquema. Conta de divisão na chave.
Na divisão de 3 por 2, o quociente é 1 e o resto é 1. quando multiplicamos o dividendo e o divisor por 10 obtemos o mesmo quociente mas o resto fica multiplicado por 10.

Esquema. Conta de divisão na chave.
Na divisão de 3 por 2, o quociente é 1 e o resto é 1. Quando multiplicamos o dividendo e o divisor por 100 obtemos o mesmo quociente mas o resto fica multiplicado por 100.

Multiplicando-se o dividendo e o divisor por um mesmo número, diferente de zero, o resto também fica multiplicado por esse número.

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Observe outro exemplo.

Esquema. Conta de divisão na chave.
Na divisão de 5,2 por 1,2, o quociente é 4 e o resto é 4 décimos. Ao multiplicarmos o dividendo e o divisor por 10 para que se tornem números inteiros temos:
52 dividido por 12, tem quociente 4 (mesmo quociente), e resto igual a 4 unidades (resto multiplicado por 10).

Considere agora a situação a seguir, que mostra uma aplicação dessa importante propriedade da divisão.

Uma peça de tecido com 12,2 metros de medida de comprimento é dividida em retalhos iguais de 1,3 metro de medida de comprimento. Quantos retalhos são obtidos e quanto tecido sobra nessa divisão?

Para resolver esse problema, basta dividir 12,2 por 1,3 e verificar o quociente e o resto obtidos.

Esquema. Conta de divisão na chave.
Para dividirmos 12,2 por 1,3 podemos multiplicar os dividendo e o divisor por 10 para que os números se tornem inteiros, então dividiremos 122 por 13, quociente 9 e resto 5 unidades. Voltando para a divisão real temos 12,2 dividido por 1,3, o quociente é o mesmo, 9 e o resto é, 5 divido por 10, que é igual a 0,5.

Para saber o resto, em metro, basta dividir 5 por 10, ou seja, 5 dividido por 10 = 0,5. Assim, obtêm-se 9 retalhos e ainda sobra 0,5 metro de tecido.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

68 Uma costureira usou 2 metros e 75 centímetros de cetim em cada túnica dos participantes de um coral.

Ilustração. Mulher de cabelo pretos comprido, óculos, blusa amarela e calça vermelha e um avental branco. Ela segura um tecido rosa nos braços e fala: Ainda bem que comprei 50 metros de tecido. Do lado esquerdo da mulher tem um puf verde com uma fita métrica e um suporte para alfinete. A sua frente está uma menina de cabelo castanho comprido de vestido rosa que diz: Um participante a mais, e faltaria tecido!

Quantos participantes há nesse coral? Quanto sobrou de tecido?

69 Calcule os quocientes.

a) 25,46 dividido por 6,7

b) 1,6632 dividido por 0,924

c) 124,976 dividido por 8,56

d) 0,09 dividido por 0,36

e) 203,82 dividido por 15,8

f) 93,4656 dividido por 9,736

70 Determine os quocientes aproximados com uma casa decimal.

a) 7,4 dividido por 6

b) 12,5 dividido por 0,3

c) 9,4 dividido por 2,1

d) 85,6 dividido por 9,6

71 Calcule os quocientes aproximados com duas casas decimais.

a) 0,58 dividido por 7

b) 10 dividido por 0,9

c) 0,25 dividido por 0,7

d) 45,6 dividido por 9,2

72 Calcule:

a) 10 ⋅ 0,1

b) 10 dividido por 0,1

c) 20 ⋅ 0,5

d) 20 dividido por 0,5

e) 0,2 ⋅ 0,001

f) 0,2 dividido por 0,001

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73 Observe as divisões e faça o que se pede.

Conta de divisão na chave. 43 dividido por 9, quociente 4 e resto 7.

Conta de divisão na chave. 430 dividido por 90, quociente 4 e resto 70.

Conta de divisão na chave. 4300 dividido por 900, quociente 4 e resto 700.

a) Identifique o que muda e o que não muda de uma divisão para a outra.

Calcule mentalmente o quociente e o resto da divisão de .43000 por .9000.

Sabendo que 43 dividido por 8 = 5,375 e que 25 dividido por 4 = 6,25, calcule mentalmente e escreva os quocientes na fórma decimal.

a) 430 dividido por 80

b) 4,3 dividido por 0,8

c) .4300 dividido por 800

d) 0,43 dividido por 0,08

e) 250 dividido por 40

f) 2,5 dividido por 0,4

g) .2500 dividido por 400

h) 0,25 dividido por 0,04

75 Um garrafão tem 30 litros de água mineral.

Fotografia. Destaque para a mãos de uma pessoa enchendo uma garrafinha de água em um bebedouro.

Quantas garrafas de 0,5 litro poderão ser enchidas com a água desse garrafão?

76 Uma agência de turismo está oferecendo um plano de hospedagem em um hotel do Pantanal Mato-Grossense ao preço de R$ 1.021,00mil vinte e um reais à vista ou em 3 prestações de R$ 346,00trezentos e quarenta e seis reais. Paula e Renata vão fazer essa viagem. Paula pagou à vista, e Renata, a prazo.

Responda:

a) Quanto Renata pagou a mais que Paula?

b) Como Renata ficará hospedada durante 7 dias, qual é o valor aproximado que ela pagará por dia?

Fotografia. Um lago com uma vegetação rasteira ao seu redor onde estão muitas aves brancas pousadas e algumas voando. Na água, o reflexo da luz do sol no céu. Ao fundo uma mata fechada. . — Paisagem do Pantanal, em Poconé (Mato Grosso). (Fotografia de 2019.)

Pense mais um pouco...

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

No quadro a seguir, as figuras iguais representam o mesmo número. As flechas apontam para a soma dos números de cada linha ou coluna. Descubra o valor que cada figura representa.

Ilustração. Retângulo dividido em 6 partes, cada parte tem uma figura. Primeira linha: triângulo, triângulo, triângulo. Seta à direita da linha: 8,4. Segunda linha: triângulo, quadrado, pentágono. Seta à direita da linha, hexágono. Seta abaixo da primeira coluna: trapézio. Seta abaixo da segunda coluna: 6,8. Seta abaixo da terceira coluna: 9,7.

Página 236

TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Trabalhando com média

Antônio resolveu premiar os vendedores de sua loja de calçados pagando um adicional de R$ 500,00quinhentos reais àqueles que vendessem acima da média no mês de julho. Ele organizou um quadro que mostra as vendas de cada um dos vendedores.

Faturamento do vendedor
Vendedor	Valor total de vendas
Carlos	R$ 23.000,00
Fernanda	R$ 33.500,00
Fábia	R$ 13.500,00
Geraldo	R$ 21.000,00
Marcela	R$ 18.810,00
Pedro	R$ 28.400,00

Dados obtidos por Antônio.

Para saber quais vendedores têm direito ao prêmio, Antônio precisa calcular a média de vendas de todos eles. Para isso, ele adicionou o valor das vendas de cada vendedor e, em seguida, dividiu o total obtido por 6, pois foram considerados 6 vendedores:

(.23000 + .33500 + .13500 + .21000 + .18810 + .28400) dividido por 6 = .138210 dividido por 6 = .23035

Ao adicionar o valor das vendas de cada vendedor e dividir o total obtido pela quantidade de vendedores, Antônio obteve o valor médio de vendas do mês de julho, ou seja, ele calculou a média aritmética dos valores de vendas do mês.

Observe que, nesse caso, o valor médio de vendas obtido (R$ 23.035,00vinte e três mil trinta e cinco reais) é diferente dos valores das vendas de todos os vendedores.

Assim, Antônio percebeu que deve pagar um adicional de R$ 500,00quinhentos reais aos vendedores Fernanda e Pedro.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Reúna-se em grupo de 4 a 6 integrantes e façam o que se pede.

1 Com relação aos dados coletados por Antônio, se Carlos tivesse vendido um total de R$ 23.040,00vinte e três mil quarenta reais, e os outros vendedores permanecessem com os mesmos valores de vendas, ele passaria a receber o adicional de R$ 500,00quinhentos reais em seu salário?

2 Joana, mãe de Tiago e de Clara, ficou assustada ao ver a conta de celular do filho referente ao mês de abril. Ele gastou o dobro da conta de Clara.

Muito esperto, Tiago provou à mãe que Clara havia gasto, em média, mais do que ele, considerando as contas desde o início do ano.

Ilustração. Folha de papel com as informações: Tiago: janeiro: R$ 42,00. Fevereiro: R$ 43,00. Março: R$ 22,00. Abril: R$ 80,00. Clara. janeiro: R$ 53,00. Fevereiro: R$ 52,00. Março: R$ 50,00. Abril: R$ 40,00.

Calculem o gasto médio das contas de Tiago e de Clara, referentes aos 4 meses considerados, para verificar se ele tinha razão.

3 Em determinado jogo de basquete entre as equipes A e B, os jogadores que estavam na quadra tinham como medidas de altura os valores registrados no quadro, em metro.

Equipe A	2,04; 2,01; 2,08; 1,90 e 1,82
Equipe B	2,02; 2,01; 1,98; 1,96 e 1,93

a) Qual é a média da medida da altura dos jogadores de cada equipe?

b) Na equipe a, quantos jogadores têm medida de altura acima da média?

c) Na equipe B, quantos jogadores têm medida de altura abaixo da média?

4 Elaborem uma tabela com a medida da altura (em metro), da massa (em quilograma) e a idade (em mês) de cada estudante do grupo que formaram e, em seguida, calculem a média do grupo para cada um desses itens.

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12. Potenciação

Ao trabalhar com números naturais, aprendemos que potenciação é a multiplicação de fatores iguais.

Também podemos efetuar potenciação com números racionais na fórma decimal. Observe.

a) (0,2)elevado a 2 = 0,2 ⋅ 0,2 = 0,04

b) (0,3)elevado a 3 = 0,3 ⋅ 0,3 ⋅ 0,3 = 0,027

c) (1,35)elevado a 5 = 1,35 ⋅ 1,35 ⋅ 1,35 ⋅ 1,35 ⋅ 1,35 = 4,48403

d) (1,04)elevado a 2 = 1,04 ⋅ 1,04 = 1,0816

Para obter o valor de (5,2)elevado a 4, por exemplo, usando a calculadora, devemos apertar as seguintes teclas:

Ilustração. Tecla de uma calculadora com o algarismo 5, tecla com o ponto, tecla com o algarismo 2, tecla com o sinal de vezes, tecla de igual, tecla de igual, tecla de igual e o visor 731.1616.

Observe outros exemplos.

Esquema. Item a, 48,6 elevado ao quadrado. Teclas de uma calculadora com os algarismos 4 e 8, tecla com o ponto, tecla com o algarismo 6, tecla com o sinal de vezes, tecla com o sinal de igual e o visor com 2361.96.

Esquema. Item b. 3,3 elevado ao cubo. Tecla de uma calculadora com o algarismo 3, tecla com o ponto, tecla com o algarismo 3, tecla com sinal de vezes e tecla com o sinal de igual, tecla com o sinal de igual, visor com 35.937

Observações

▶ As definições adotadas para as potências de números naturais com expoente 1 e expoente 0 também são válidas para os números representados na fórma decimal, ou seja:

• toda potência de expoente 1 é igual à própria base;

• toda potência de expoente 0 e base diferente de 0 é igual a 1.

Observe os exemplos:

a) (0,6)elevado a 1 = 0,6

b) (1,4)elevado a 1 = 1,4

c) (2,4)elevado a 0 = 1

d) (7,35)elevado a 0 = 1

▶ Quando o expoente é um número natural maior que 1, usando uma calculadora, obtemos a potência apertando as teclas dos algarismos da parte inteira, a tecla

, as teclas dos algarismos da parte decimal, a tecla

Ilustração. Tecla de calculadora. Sinal de vezes.

e a tecla

Ilustração. Tecla de calculadora. Sinal de igual.

tantas vezes, menos uma, quantas indicar o expoente.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

77 Calcule o valor de cada uma das potências.

a) (0,5)elevado a 2

b) (1,2)elevado a 3

c) (2,5)elevado a 2

d) (12,5)elevado a 1

e) (19,6)elevado a 0

f) (0,01)elevado a 1

Com uma calculadora, obtenha cada uma das potências.

a) (0,4)elevado a 4

b) (3,1)elevado a 2

c) (0,3)elevado a 4

d) (1,8)elevado a 3

e) (0,03)elevado a 2

f) (1,5)elevado a 4

Página 238

13. Expressões numéricas e problemas

As expressões numéricas são úteis para solucionar problemas. Para resolvê-las, há certa ordem a ser seguida nas operações:

• efetuam-se primeiro potenciações, depois multiplicações e divisões e, em seguida, adições e subtrações;

• onde houver sinais de associação, efetuam-se primeiro as operações indicadas entre parênteses, em seguida as indicadas entre colchetes e, finalmente, as indicadas entre chaves.

Observe um exemplo.

Problema	Expressão
Depois de ter comprado 2 embalagens de 1,2 quilograma cada uma de seu chocolate preferido, Júlia ganhou de uma amiga 3 embalagens pequenas do mesmo chocolate, com 0,4 quilograma cada uma, e de sua mãe, outras 3 embalagens grandes, com 2,1 quilogramas desse chocolate. Com quantos quilogramas de chocolate Júlia ficou?	2 ⋅ 1,2 + 3 ⋅ 0,4 + 3 ⋅ 2,1 ou (2 ⋅ 1,2) + 3 ⋅ (0,4 + 2,1) ou

Resolvendo a expressão, temos:

Esquema. 2 vezes 1,2 que é igual a 2,4 , mais 3 vezes 0,4 que é igual a 1,2, mais 3 vezes 2,1 que é igual a 6,3. 2,4 mais 1,2 é igual a 3,6. 3,6 mais 6,3 igual a 9,9.

Cálculos

Contas armadas de multiplicação. Primeira conta. Primeiro fator: 1,2; abaixo, sinal de vezes à esquerda e segundo fator: 2; abaixo, traço, e o resultado: 2,4.
Segunda conta. Primeiro fator: 0,4; abaixo, sinal de vezes à esquerda e segundo fator: 3; abaixo, traço, e o resultado: 1,2. Há um algarismo 1 em cima do algarismo 0 de 0,4.
Terceira conta. Primeiro fator: 2,1; abaixo, sinal de vezes à esquerda e segundo fator: 3; abaixo, traço, e o resultado: 6,3.
Contas armadas de adição.
Primeira conta. Primeira parcela: 2,4; abaixo, sinal de mais à esquerda e segunda parcela: 1,2; abaixo, traço, e o resultado: 3,6.
Segunda conta. Primeira parcela: 3,6; abaixo, sinal de mais à esquerda e segunda parcela: 6,3; abaixo, traço, e o resultado: 9,9.

Portanto, Júlia ficou com 9,9 quilogramas de chocolate.

Agora, observemos exemplos de expressões numéricas que envolvem potenciação.

a) (5,1)elevado a 2 ‒ (3,4)elevado a 2 = = 26, 01 ‒ 11,56 = = 14,45

b) (1 ‒ 0,5)elevado a 2 dividido por (3,5 ‒ 2,3)elevado a 0 = = (0,5)elevado a 2 dividido por 1 = = 0,25 dividido por 1 = 0,25

Usando uma calculadora, nesses exemplos, temos:

Ilustração. Tecla de uma calculadora com o algarismo 5, tecla com o ponto, tecla com o algarismo 1, tecla com o sinal de vezes, tecla com o sinal de igual, tecla M+, tecla com o algarismo 3, tecla com o ponto, tecla com o algarismo 4 tecla com o sinal de vezes tecla com o sinal de igual, tecla M-, tela Mrc e o visor com o resultado 14,45.

Ilustração. Tecla de uma calculadora com o algarismo 1, tecla com o sinal de menos, tecla com o algarismos 0, tecla com o ponto, tecla com o algarismo 5, tecla com o sinal de igual, tecla com o sinal de vezes, tecla de igual, tecla com o sinal de igual, tecla com o sinal de dividir, tecla com o algarismo 1 tecla com o sinal de igual e o visor com o resultado 0,25.

Observação

▶ Há calculadoras com outros recursos em que esse cálculo pode ser feito de maneira diferente.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

79 Calcule o valor das expressões.

a) (3,5)elevado a 2 ‒ (2,1)elevado a 3

b) (14,4)elevado a 2 dividido por 1,8

c) (5,2 ‒ 3,73)elevado a 2

d) (2 ‒ 1,2)elevado a 3 dividido por 0,32

Com uma calculadora, obtenha o valor das expressões.

a) (2 ‒ 0,6)elevado a 2 + (0,1 + 0,7)elevado a 2

b) (6,2 + 2,3)elevado a 3 ‒ (0,5)elevado a 3

81 Mário completou o quadro, mas, por acidente, derrubou tinta em cima dele. Recupere os resultados e refaça o quadro, seguindo a orientação da primeira linha.

Ilustração. Quadro com 4 linhas e 6 colunas. Na primeira linha, os termos: a. b. c. a mais b vezes c. a mais b, entre parênteses, vezes c. a ao quadrado vezes abre parêntese b menos c fecha parêntese.
Na primeira coluna, abaixo do termo a, os números: 2,1; 3,5 e 4.
Na segunda coluna, abaixo do termo b, os números: 2, 3 e 2,3.
Na terceira coluna coluna, abaixo do termo c, os números: 1,3; 1,7 e 0,2.
Abaixo das quarta, quinta e sexta colunas, há uma mancha de tinta que sai de um pote derrubado ao lado do quadro.

82 Represente a resolução do problema com uma expressão numérica e, depois, resolva-a.

Ilustração. Um homem, de cabelos castanhos curtos, de óculos, vestindo camisa verde. Está sentado à frente de um máquina de costura onde faz camisetas. Atrás dele, camisetas penduradas.

Um alfaiate recebeu um pedido de 120 uniformes. Para fazer cada uniforme, ele usou 0,20 metro de um tecido e 2,5 metros de outro. No total, quantos metros de tecido o alfaiate usou?

83 Resolva cada uma das expressões.

a) 6,4 ⋅ 0,25 + 12,6 ⋅ 0,15

b) 1,5 ⋅ (3,4 ‒ 1,8)

c) (18,13 + 7,6) dividido por (5,6 ‒ 2,5)

d) 32 ⋅ 0,8 ‒ 0,2 ⋅ 0,12

84 Para comemorar seu aniversário, Bruno resolveu chamar alguns amigos para uma festa em sua casa.

Ilustração. Menino de pele claro e cabelos castanhos curtos. Ele veste camiseta verde com uma estrela, em verde mais escuro, estampada na frente. Ele está com os braços erguidos para cima e diz: Para a comemoração de hoje, vou comprar 7 refrigerantes, 4 sucos e 5 lanches de metro. Abaixo, placa com as informações: OFERTAS. Lanche de metro: R$ 47,75 cada um; Refrigerante: R$ 6,25 cada um; Suco: R$ 8,12 cada um

Faça o que se pede.

a) Escreva uma expressão numérica que represente quanto Bruno irá gastar.

b) Calcule o valor da expressão numérica que você escreveu, indicando quanto Bruno irá gastar.

85 Hora de criar – Escreva um problema que possa ser resolvido pela expressão:

3 ⋅ 1,75 + 2 ⋅ 2,40

Página 240

14. Representação decimal de frações

Sabemos que toda fração pode indicar o quociente de uma divisão; por exemplo:

\frac{9}{4} = 9 : 4

Assim, é possível representar qualquer fração na fórma decimal. Para isso, basta efetuar os seguintes cálculos:

Ilustração. Conta de divisão na chave. 9 dividido por 4, quociente 2,25 e resto 0.

Portanto, a representação na fórma decimal de

\frac{9}{4}

é 2,25.

Acompanhe outros exemplos.

a) Vamos representar na fórma decimal a fração

\frac{7}{3}

Ilustração. Conta de divisão na chave. 7 dividido por 3, quociente 2,333 reticências e resto sempre 1.

Observe que, na representação na fórma decimal de

\frac{7}{3}

, usamos reticências. Com isso, queremos dizer que o número 2,333reticências tem infinitas casas decimais.

Portanto, a representação na fórma decimal de

\frac{7}{3}

é 2,333reticências

Nela, o algarismo 3, chamado de período, se repete indefinidamente. O número 2,333reticências é um exemplo de dízima periódica.

Uma dízima periódica pode ser indicada de maneira abreviada, colocando-se um traço sobre o período. Assim:

• o número 2,333reticências pode ser indicado por

2, \overline{3}

;

• o número 0,787878reticências pode ser indicado por

0, \overline{78}

;

• o número 3,2555reticências pode ser indicado por

3,2 \overline{5}

b) Vamos representar na fórma decimal a fração

\frac{4}{15}

Conta de divisão na chave. 40 dividido por 15 é igual a 0,2666 reticências e resto sempre 1.

Portanto, a representação na fórma decimal de

\frac{4}{15}

é 0,2666reticências ou

0,2 \overline{6}

Página 241

Observe que

\frac{4}{15}

não é uma fração decimal nem pode ser transformada em uma fração decimal equivalente.

quatro, quinze avos é igual a oito, trinta avos que é igual a doze, quinze avos que é igual a dezesseis, sessenta avos, é igual a vinte, setenta e cinco avos, é igual a vinte quatro, noventa avos, é igual a vinte e oito, cento e cinco avos é igual a ... Essas não são frações decimais.

No entanto, o número 0,2666reticências é um número racional, pois pode ser representado pela fração

\frac{4}{15}

, por exemplo.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Junte-se a um colega e façam o que se pede.

Considerem as frações:

\frac{5}{9}

\frac{6}{9}

\frac{7}{9}

\frac{8}{9}

\frac{10}{9}

\frac{11}{9}

\frac{12}{9}

a) Realizem divisões para obter a representação decimal desses números.

b) Agora, observando os resultados do item a e sem efetuar cálculos, deem a representação decimal de

\frac{4}{9}

\frac{3}{9}

\frac{13}{9}

\frac{14}{9}

\frac{15}{9}

c) Com o auxílio dos resultados obtidos nos itens a e b, deem a representação na fórma de fração dos números

0, \overline{2}

;

0, \overline{1}

;

1, \overline{7}

1, \overline{8}

87 Escreva a fórma abreviada das dízimas periódicas.

a) 0,222reticências

b) 0,531531531reticências

c) 2,353535reticências

d) 0,0222reticências

e) 0,56444reticências

f) 2,7212121reticências

88 Identifique o período de cada dízima periódica.

a) 0,744reticências

b) 2,45666reticências

c) 0,2343434reticências

d) 1,7525252reticências

89 (Fatec-São Paulo) Efetuando as operações indicadas e simplificando a expressão

\{[(1,25) \times \frac{4}{25}] : 0,08\} : (\frac{16}{25} ‒ 0,04)

, temos:

\frac{25}{6} .

\frac{3}{2} .

\frac{6}{5} .

\frac{16}{9} .

e) 1.

90 O preço pago por uma corrida de táxi, em determinado município, inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Nesse município, a bandeirada custa R$ 5,00cinco reais, e cada quilômetro rodado custa R$ 2,75dois reais e setenta e cinco centavos.

Qual é a distância percorrida, em quilômetro, por um passageiro que pagou R$ 43,50quarenta e três reais e cinquenta centavos pela corrida?

Página 242

15. Porcentagem

Já aprendemos que as frações de denominador 100 podem ser representadas na fórma percentual; por exemplo,

\frac{3}{100} = 3 % .

Agora, vamos aprender a resolver alguns problemas usando a porcentagem. Para isso, considere a notícia a seguir.

Ilustração. Notícia em folha de papel amarelado. Título: Produção de petróleo pode aumentar no Brasil. Texto da notícia: A Empresa de Pesquisa Energética (EPE) divulgou um plano de expansão de energia, em novembro de 2021, estimando um crescimento de 65% na produção brasileira de petróleo até 2031. Quando o estudo foi realizado, a produção era de 3,13 milhões de barris por dia. Fonte da notícia: Fonte: SUPERINTENDÊNCIA de Petróleo e Gás Natural. Estudos do Plano Decenal de Expansão de Energia 2031: Previsão da Produção de Petróleo e Gás Natural. [Brasília] Ministério de Minas e Energia. nov. 2021. Disponível em: https://www.gov.br/mme/pt-br/assuntos/noticias/copy_of_CadernodePrevisod aProduodePetrleoeGsNaturalPDE20311.pdf. Acesso em: 24 maio 2022. Abaixo, há uma fotografia de uma Plataforma de Petróleo no mar, com base retangular sustentada por 4 pilares um em cada ponta da base. Ela possui uma torre alta no centro. Céu azul com poucas nuvens e ao fundo, e construções e morros. Uma legenda diz: Plataforma de petróleo na baía de Guanabara, Niterói (Rio de Janeiro). (Fotografia de 2021.)

Para determinar o acréscimo citado, devemos calcular 65% de 3,13 milhões de barris.

Vamos fazer esse cálculo de dois modos:

• Usando números na fórma de fração.

Sabemos que

65 % = \frac{65}{100} .

Então, fazemos:

65% de 3,13 =

\frac{65}{100} d e 3, 13

\frac{65}{100} \cdot \frac{313}{100}

\frac{20 345}{10 000}

= 2,0345

Com uma calculadora, fazemos:

Ilustração. Teclas de calculadora com os algarismos 6 e 5, tecla com o sinal de vezes, tecla com o algarismo 2, tecla com o ponto, tecla com os algarismos 1 e 3, tecla com o sinal de porcentagem, tecla com o sinal de igual e no visor 2,0345.

Página 243

• Usando números na fórma decimal.

Sabemos que 65% =

\frac{65}{100}

e que

\frac{65}{100}

= 0,65.

Então, fazemos:

65% de 3,13 = 0,65 de 3,13 = 0,65 ⋅ 3,13 = 2,0345

Com uma calculadora, fazemos:

Ilustração. Tecla de calculadora com o ponto, teclas com os algarismos 6 e 5, tecla com o algarismo 3, tecla com o ponto, teclas com os algarismos 1 e 3, tecla com o sinal de igual e no visor 2,0345.

Portanto, 2,0345 milhões de barris correspondem ao acréscimo estimado na produção de gás e petróleo no Brasil para 2031.

Acompanhe mais um exemplo de cálculo envolvendo porcentagem.

Marcelo e seus pais foram a um rodízio de pizzas que cobra R$ 39,90trinta e nove reais e noventa centavos por pessoa. Eles pediram três sucos, a R$ 6,00seis reais cada um, e três sobremesas, a R$ 8,50oito reais e cinquenta centavos cada uma. Ao receber a conta, Marcelo observou que havia um acréscimo de 10% sobre o valor total consumido como taxa de serviços dos garçons. Qual foi o valor dessa taxa de serviços?

Para resolver esse problema, precisamos calcular 10% do valor total consumido.

Primeiro, calculamos o valor total consumido:

3 ⋅ 39,90 + 3 ⋅ 6,00 + 3 ⋅ 8,50 = 3 ⋅ (39,90 + 6,00 + 8,50) = 3 ⋅ (54,40) = 163,20

Assim, o valor total consumido foi de R$ 163,20cento e sessenta e três reais e vinte centavos.

Sabemos que 10% =

\frac{10}{100}

e que

\frac{10}{100}

= 0,1. Logo:

10% de 163,20 = 0,1 de 163,20 = 0,1 ⋅ 163,20 = 16,32

Com uma calculadora, fazemos:

Ilustração. Tecla de calculadora com o ponto, teclas com os algarismos 1 e 0, tecla com o sinal de vezes, teclas com os algarismos 1, 6 e 3, tecla com o ponto, teclas com os algarismos 2 e 0, tecla com o sinal de igual e no visor 16,32.

Portanto, o valor da taxa de serviços dos garçons foi de R$ 16,32dezesseis reais e trinta e dois centavos.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

91 Leia o texto e, em seguida, responda às questões.

Em tempos de incertezas política e econômica no Brasil, uma alternativa é a busca de trabalho e moradia no exterior, e Portugal tem recebido a cada ano mais pedidos de cidadania por brasileiros.

Fotografia. Uma praça retangular com uma escultura ao centro e rodeada por construções antigas de mesmo estilo com arcos em suas bases. Muitas pessoas cruzando a praça. Ao fundo outras construções e e o mar. — Vista aérea da Praça do Comércio, em Lisboa, Portugal. (Fotografia de 2022.)

O Ministério da Justiça recebe os pedidos e o Serviço de Estrangeiros e Fronteiras (ésse ê éfe) emite o parecer positivo. Em 2010, o ésse ê éfe recebeu 24 mil pedidos de cidadania, em 2020 houve aumento de 141% em relação a 2010.

a) Quantos brasileiros solicitaram cidadania a Portugal em 2020?

b) Quantas cidadanias foram solicitadas a mais em 2020 do que em 2010?

c) Na sua família há alguém com cidadania diferente da brasileira? Em caso afirmativo, qual?

Página 244

92 A população brasileira segue os passos das populações europeias quanto à distribuição em faixas etárias.

Dizemos que ela está envelhecendo, pois a quantidade de pessoas das faixas com maior idade tem aumentado em relação à quantidade de pessoas mais jovens.

O estudo desse fenômeno é importante para que os governos federal, estaduais e municipais planejarem políticas que atendam às necessidades desse novo perfil de população.

Gráfico em barras verticais triplas. População do Brasil por faixa etária. No eixo horizontal, faixa etária (em anos) de 0 a mais de 60 anos. No eixo vertical, população (em milhões). Os dados são: de 0 a 19 anos: em 2010, 65,3; em 2020, 60; em 2030 (projeção), 57,2. de 20 a 39 anos: em 2010, 64,8; em 2020, 68,5; em 2030 (projeção), 64. de 40 a 59 anos: em 2010, 43,8; em 2020, 53,1; em 2030 (projeção), 61,5. mais de anos: em 2010, 20,9; em 2020, 30,2; em 2030 (projeção), 42,1. — Dados obtidos em: AGÊNCIA de notícias í bê gê É. Disponível em: https://oeds.link/2ZWAWu. Acesso em: 4 fevereiro 2022.

Observe o gráfico e responda às questões.

a) Qual é o aumento previsto, em porcentagem, da população brasileira com mais de 60 anos entre 2020 e 2030?

b) É possível que haja diminuição da população, entre 2020 e 2030, em alguma faixa etária? Em quais faixas e qual seria a diminuição em porcentagem?

c) Qual era, em milhão, a população brasileira em 2010 e em 2020? Qual é a estimada para 2030? E qual é o aumento percentual entre elas?

d) Na sua opinião, que tipos de ação os governos deveriam planejar para atender o novo perfil dos brasileiros em 2030?

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Indique a medida da temperatura registrada, em grau Celsius, pelo termômetro nos casos a seguir.

Ilustração. Termômetro com graduação de 35 a 42 graus Celsius. Há uma linha que vai de 35 a 37,5.

Ilustração. Termômetro com graduação de 35 a 42 graus Celsius. Há uma linha que vai de 35 a 38,2.

Ilustração. Termômetro com graduação de 35 a 42 graus Celsius. Há uma linha que vai de 35 a 36,8.

2 Escreva como lemos:

a) os números 3,79; 1,102; e 0,003;

b) o número

\frac{1 251}{100}

, quando escrito na fórma decimal;

c) o maior número na fórma decimal menor do que 1, formado pelos algarismos 8, 0 e 1, sem repetição;

d) o maior número na fórma decimal entre 6 e 7, formado pelos algarismos 5, 6 e 8, sem repetição.

3 Escreva com algarismos os números:

a) quatro inteiros e cinco décimos

b) trinta e nove centésimos

c) quatro inteiros e oitenta e dois centésimos

d) seis inteiros e quarenta e cinco milésimos

e) dois inteiros e dois milésimos

f) cento e vinte e cinco décimos de milésimos

4 Escreva cada fração na fórma decimal.

\frac{32}{10}

\frac{475}{100}

\frac{21}{1 000}

\frac{135}{10}

\frac{28}{100}

\frac{5}{1 000}

Página 245

5 Registre na fórma de fração decimal cada número a seguir.

a) 2,5

b) 0,15

c) 2,37

d) 4,125

e) 27,5

f) 0,3628

g) 31,2

h) 0,02

6 Copie as sentenças verdadeiras.

a) 4,2 = 4,20

b) 5,0 = 5

c) 5,4 = 5,40 = 5,400

d) 3,05 = 3,50

e) 0,4 = 4,0

f) 10,00 = 10,0

7 Qual é o menor número natural maior que 11,7? E o maior número natural menor que 9,02?

8 Coloque em ordem crescente os números 0,61; 1,3; 1,45; 0,2; 3,0; e 0,99. Em seguida, represente-os de fórma aproximada na reta numérica.

9 O tanque de combustível de um automóvel comporta 75 litros. A figura mostra quantos litros restam nele. Quantos litros há nesse tanque?

Ilustração. Marcador de um tanque de combustível com as marcações de 0, um quarto, um meio, três quartos e 1. O ponteiro está marcando três quartos.

10 Calcule:

a) 12,5 dividido por 4,5, com uma casa decimal;

b) 15 dividido por 7, com duas casas decimais;

c) 45,6 dividido por 13, com uma casa decimal;

d) 18 dividido por 2,3, com três casas decimais.

11 Observe o anúncio e determine o valor de cada unidade de chocolate.

Ilustração. Caixa de chocolates, na embalagem mostra que contém 30 unidades de chocolate. Ao lado, placa escrita: CHOCOLATE AO LEITE. Caixa com 30 unidades R$ 22,50

12 Observe este anúncio:

Ilustração. Anúncio para a venda de um fogão de 4 bocas. O cartaz traz as informações: à vista 609,00 ou 6 vezes 101,65 sem juros ou 16 vezes 55,23.

Agora, responda às questões:

a) Qual é o preço do fogão em 6 vezes?

b) Qual é o preço do fogão em 16 vezes?

c) Qual é a diferença entre os preços pagos em 16 vezes e em 6 vezes?

d) Qual é a diferença entre os preços pagos em 16 vezes e à vista?

13 De acordo com as indicações, determine os valores de X, Y e Z em cada caso.

Esquema. 5,6 (vezes 10) seta para X (vezes 10) seta para Y (vezes 10) seta para Z.

Esquema. 0,075 (vezes 100) seta para X (vezes 10) seta para Y (vezes 10) seta para Z.

Esquema. 538,5 (dividido por 10) seta para X (dividido por 10) seta para Y (vezes 1.000) seta para Z

Esquema. 17289 (dividido por 1000) seta para X (vezes 100) seta para Y (vezes 10) seta para Z.

14 Efetue:

a) 3,91 + 6,03 + 0,58

b) 5,2 ‒ 3,216

c) 6,3 ⋅ 4,8

d) 10 ‒ 4,36

e) 0,025 ⋅ 4

f) 25,44 dividido por 5,3

15 Resolva cada expressão.

a) 3 ⋅ 1,36 + 12,22

b) (12 ‒ 9,2) ⋅ (6 ‒ 4,5 dividido por 6)

c) (3,1 ‒ 2,8)elevado a 3 ⋅ (4,5 ‒ 2) dividido por (4,25 ‒ 3)

16 Qual é a representação na fórma decimal de

\frac{23}{9} ?

Esse número é uma dízima periódica?

Com o auxílio de uma calculadora, represente as frações na fórma decimal.

\frac{20}{9}

\frac{2}{3}

2 \frac{1}{6}

1 \frac{1}{4}

\frac{82}{45}

\frac{17}{8}

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Em qual alternativa os números decimais estão escritos em ordem crescente?

a) 1,01; 1,0010; 1,1001

b) 23,1; 2,31; 0,231

c) 0,07; 0,7; 0,007

d) 5,048; 5,408; 5,48

2 Em um posto de combustível, o preço do litro da gasolina é Sete reais e quatrocentos e cinquenta e nove milésimos de real. Quanto custa para encher com gasolina, nesse posto, o tanque de um carro cuja capacidade é 45 litros?

a) Três mil, trezentos e cinquenta e seis reais e quinhentos e cinquenta milésimos de real

b) Trezentos e trinta e sete reais e quatrocentos e quatorze milésimos de real

c) Trezentos e cinquenta e dois reais e quinhentos e cinquenta e cinco milésimos de real

d) Trezentos e trinta e cinco reais e seiscentos e cinquenta e cinco milésimos de real

3 Qual é o valor da expressão 2,01 + 8,1 ⋅ 0,4 ‒ (1,2)elevado a 2?

a) 2,604

b) 3,81

c) 2,85

d) 9,07

4 Qual dos números não está entre 9,01 e 9,201?

a) 9,2

b) 9,101

c) 9,001

d) 9,199

5 Um vendedor recebeu 10% de comissão após uma venda mensal de R$ 8.589,00oito mil quinhentos e oitenta e nove reais. O valor recebido por esse vendedor é:

a) R$ 85,89oitenta e cinco reais e oitenta e nove centavos.

b) R$ 858,00oitocentos e cinquenta e oito reais.

c) R$ 858,89oitocentos e cinquenta e oito reais e oitenta e nove centavos.

d) R$ 858,90oitocentos e cinquenta e oito reais e noventa centavos.

6 As notas bimestrais de uma estudante foram: 7,2 no primeiro bimestre, 7,7 no segundo, 4,2 no terceiro e 5,3 no quarto. Qual foi a média final dela?

a) 6,1

b) 5,05

c) 6,6

d) 5,85

7 O índice de massa corpórea (í ême cê) é um indicador utilizado para avaliação física, relacionando peso e altura de uma pessoa. Para calculá-lo, basta dividir a medida da massa da pessoa pelo quadrado da medida da altura dela. Qual é o í ême cê de quem tem 1,60 métro (altura) e 60 quilogramas (massa)?

a) 23,325

b) 23,6105

c) 23,5255

d) 23,4375

8 Um modo de calcular a medida aproximada da diagonal de um quadrado é multiplicar a medida do seu lado por 1,4142. Qual é o valor aproximado da medida da diagonal de um quadrado de lado medindo 5,5 centímetros?

a) 7,7781

b) 7,8081

c) 7,7001

d) 7,7795

9 Qual dos números está mais próximo de 4,001?

a) 3,999

b) 3,009

c) 4,0009

d) 4,02

10 O número 2,666reticências pode ser indicado por:

\frac{7}{3}

\frac{8}{3}

\frac{11}{5}

\frac{12}{5}

11 Em fevereiro de 2022, o índice oficial que mede a inflação anual no Brasil foi igual a 10,38%. Para repor o poder de compra, os salários devem ter tido um reajuste de 10,38%. De quantos reais deve ter sido o reajuste de um salário de .2500 reais?

a) .2759,50

b) 259,50

c) .2500,00

d) .2240,50

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, faça o que se pede e responda às questões à seguir:

a) Explique qual é a função da vírgula na representação de números na fórma decimal.

b) Toda fração pode ser expressa como número na fórma decimal?

c) Explique como podemos fazer a leitura de um número com 3 casas decimais.

d) Escreva 5 números decimais entre 2 e 3, dos quais o primeiro tenha somente uma casa decimal, o segundo duas, o terceiro três e o quarto quatro casas decimais.

e) Explique, com suas palavras, por que 3,2 = 3,20.

f) Explique como você pode multiplicar, na prática, um número na fórma decimal por 10, 100, .1000, e assim por diante.

g) É possível pagar uma conta de R$ 12,40doze reais e quarenta centavos apenas com moedas de R$ 0,25zero reais e vinte e cinco centavos, sem que haja troco?

h) Para o cálculo da divisão de números naturais, podemos multiplicar o dividendo e o divisor por um mesmo número? O que acontece com o quociente neste caso? E com o resto?

CAPÍTULO 9 Números racionais na formafórma decimal e operações

CAPÍTULO 9 Números racionais na fórma decimal e operações