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CAPÍTULO 10 Polígonos e poliedros

Fotografia. Painel composto por quadrados coloridos e dentro deles, círculos, quadrados e triângulos. — VASARELY, V. Folklore. 1963. Acrílica sobre madeira em relevo. 110,49 por 110,49 por 19,99 centímetrosponto

Observe, leia e responda no caderno.

a) Que figuras geométricas você identifica na obra de Victor Vasarely?

b) A obra foi produzida, em relevo, sobre madeira. Que efeitos, da imagem da obra, indicam sua tridimensionalidade? Explique.

c) Faça uma pesquisa sobre um artista que utilizou a Geometria em obras de arte. Apresente o resultado de sua pesquisa ao professor e aos colegas de turma.

Victor Vasarely se destacou na arte contemporânea ao criar uma nova tendência: a arte óptica. O artista nasceu em Pécs, Hungria, em 1906, e faleceu em Paris, França, em 1997.

A arte óptica ou op art, como é mais conhecida, tem como principal característica o uso de diferentes figuras geométricas, como polígonos, e em repetição exaustiva, passando a sensação de movimento, que resulta em um efeito ilusório para quem vê, dando a ideia de volume e de movimento.

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1. Linhas poligonais

Observe agora a obra Curva dominante, do artista vaciíli candinsqui.

Para compor essa obra, que foi uma das mais representativas de sua fase parisiense, o artista usou diversas linhas.

•

Você identifica alguma figura geométrica representada nesta obra de arte?

Pintura. Diversas linhas coloridas curvadas sobrepostas. À direita, figura semelhante a degraus. Acima, círculos. No canto superior direito, retângulo com linhas. — candinsqui, dáblio. Curva dominante. 1936. Óleo sobre tela, 129,3 por 194,3 centímetros.

Vamos destacar algumas das linhas utilizadas pelo artista em sua obra.

Ilustração. Sete figuras formadas por linhas.
Figura 1: linha reta lembrando o contorno da letra I maiúscula. Figura 2: linha reta lembrando o contorno da letra L maiúscula e inclinada. Figura 3: linha sinuosa. Figura 4: uma circunferência dentro da outra. Figura 5: linha reta unida com lado oposto que está em zigue-zague. Figura 6: contorno de um triângulo pequeno. Figura 7: contorno de um quadrilátero.

Quando uma linha é formada apenas por segmentos de reta consecutivos e não colineares, ela é chamada de linha poligonal.

Observe alguns exemplos.

Ilustração; Duas linhas diagonais, de mesmo tamanho, que se cruzam, as duas extremidades do lado direito estão unidas por uma linha vertical.

Ilustração. Figura que lembra o contorno da letra t maiúscula na horizontal.

Ilustração. Figura formada por linhas que se cruzam. Um quadrilátero unido com um triângulo pelo vértice do lado esquerdo e por outro triângulo pelo vértice do lado direito.

Ilustração. Figura formada por 6 linhas que não se cruzam e a extremidade da primeira linha não se encontra com a extremidade da última linha.

As linhas poligonais podem ser abertas ou fechadas:

Ilustração. Linhas poligonais abertas.
Figura 1: cinco linhas retas consecutivas, sendo a primeira vertical, a segunda horizontal para esquerda, a terceira vertical para cima, a quarta horizontal para direita e a quinta vertical para baixo.
Figura 2: formada por 6 linhas retas que não se cruzam e a extremidade da primeira linha não se encontra com a extremidade da última linha.
Figura 3: duas linhas diagonais, de mesmo tamanho, que se cruzam, as duas extremidades superiores estão unidas por uma linha horizontal.

Ilustração. Linhas poligonais fechadas.
Figura 1: contorno de um hexágono.
Figura 2: contorno de uma figura de quatro lados que lembra uma seta apontada para cima.
Figura 3: duas linhas diagonais de mesmo tamanho, que se cruzam, formando um triângulo na parte superior e outro triângulo na parte inferior.

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Entre as linhas poligonais fechadas, há as linhas poligonais simples e as não simples:

Ilustração. Linhas poligonais simples. Figura 1: contorno de um triângulo com lados iguais. Figura 2: contorno de uma figura que lembra o sinal de mais. Ela é composta de 12 linhas retas consecutivas. Figura 3: pentágono com 2 ângulos internos retos. O lado à direita e os consecutivos a ele, formam os ângulos retos. Os outros 2 lados são inclinados em direção ao lado da direita.

Ilustração. Linhas poligonais não simples. Figura 1: formada por linhas que se cruzam. Lembra um losango unido com um triângulo pelo vértice do lado esquerdo e outro pelo vértice do lado direito. Figura 2: formada por linhas que se cruzam lembra uma estrela de 5 pontas com o contorno de um pentágono no meio. Figura 3: duas linhas diagonais, de mesmo tamanho, que se cruzam, as duas extremidades do lado esquerdo estão unidas por uma linha vertical, e do lado direito em cada extremidade tem uma linha horizontal de mesmo tamanho unida por uma linha vertical.

Interior, exterior e convequicidade

O plano

α

representado a seguir é dividido pela linha poligonal fechada simples em duas regiões sem pontos comuns. Tais regiões são chamadas de região interior e região exterior.

Ilustração. Paralelogramo representando o plano alfa.
Dentro do paralelogramo há um triângulo e dentro do triângulo está escrito região interior.
Na parte do plano fora do triângulo está escrito região exterior.

As regiões interiores, determinadas por uma linha poligonal fechada simples, podem ser classificadas em convexas ou não convexas.

Ilustração. Homem de cabelo castanho, camisa e calça ao lado do quadro de giz. Ele diz: Uma região do plano é chamada de convexa quando o segmento com extremos em quaisquer dois pontos da região está contido nessa região, isto é, tem todos os pontos nessa região.

Ilustração. Triângulo com segmento de reta AB dentro dele.

Ilustração. Quadrado com segmento de reta CD dentro dele.

Ilustração. Homem de cabelo castanho, camisa e calça ao lado do quadro de giz. Ele fala: Por outro lado, uma região do plano é chamada de não convexa se existem dois pontos pertencentes a ela que são extremos de um segmento que não está contido nessa região.

Ilustração. Figura de quatro lados que lembra uma seta apontada para cima. Segmento de reta ST tem extremidades dentro da figura, mas parte desse segmento esta fora da região interna da figura.

lustração. A figura é um pentágono; os lados que se encontram com o lado que é a base da figura têm o mesmo comprimento e formam um ângulo reto com a base; os outros 2 lados têm o mesmo comprimento e se encontram inclinados para dentro da figura em direção à base.
Segmento de reta XT tem extremidades dentro da figura, mas parte desse segmento está fora da região interna da figura.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Das figuras a seguir, verifique quais são linhas poligonais.

Ilustração. Linha curva que se cruza lembrando o traçado da letra cursiva L para baixo se repetindo 3 vezes.

Ilustração. Figura composta por nove linhas consecutivas. A primeira e a última linha se cruzam e suas extremidades não se encontram.

Ilustração. Duas linhas curvas, de mesmo comprimento, que se cruzam, uma para cima e outra para baixo. Uma linha vertical une as extremidades à esquerda e outra linha vertical une as extremidades à direita.

2 Classifique as linhas poligonais em aberta ou fechada. Entre as linhas poligonais fechadas, identifique a simples e a não simples.

Ilustração. Figura composta por 5 linhas que se cruzam e as extremidades se encontram formando três triângulos.

Ilustração. Duas linhas diagonais, de mesmo tamanho, que se cruzam, as duas extremidades inferiores estão unidas por uma linha horizontal.

Ilustração. Figura composta por 5 linhas consecutivas, a terceira linha cruza com a primeira e a quinta linha e a extremidade da primeira e da última linha não se encontram. A figura, lembra duas setas parecidas apontadas para direita.

3 Classifique a região interior das linhas poligonais em convéquica ou não convéquica.

Ícone de Atividade em dupla ou em grupo.

Hora de criar – Elabore um texto caracterizando as linhas poligonais abertas, fechadas, simples e não simples. Em seguida, compare seu texto com o de um colega e conversem sobre as diferenças entre eles.

2. Polígonos

Observe estas figuras.

Ilustração. Figura de 4 lados fechada.

Ilustração.
A figura é um pentágono; os lados que se encontram com o lado que é a base da figura têm o mesmo comprimento e formam um ângulo agudo com a base, os outros 2 lados têm o mesmo comprimento e se encontram inclinados para dentro da figura em direção à base.

Ilustração. A figura é um pentágono.

Ilustração. Mulher de cabelo vermelho curto, casaco bege e calça azul. Ela fala: Continuando as apresentações, estas figuras são exemplos de polígonos.

Toda linha poligonal fechada simples é denominada polígono.

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Os polígonos podem ser convéquiços ou não convéquiços.

Ilustração. Mulher de cabelo vermelho curto, casaco bege e calça azul. Ela fala: Um polígono é convexo quando a região interior determinada por ele é convexa.

Ilustração.
A figura é um pentágono com um lado sendo a base e dois pares de lados de mesma medida.

Ilustração. Triângulo.

Ilustração. Trapézio

Ilustração. Retângulo.

Ilustração. Mulher de cabelo vermelho curto, casaco bege e calça azul. Ela diz: Um polígono é não convexo quando a região interior determinada por ele é não convexa.

Ilustração.
Quadrilátero com um lado inclinado para cima e para esquerda, outro lado de mesma medida inclinado para baixo e para direita. O terceiro lado é inclinado para cima e para a esquerda; o quarto lado é inclinado para baixo e para a esquerda.

Ilustração.
Figura de 8 lados. O primeiro lado é vertical para baixo; o seguinte é horizontal para direita. O terceiro é vertical para cima e de mesma medida que o primeiro. O quarto lado é horizontal para esquerda, o quinto lado é vertical para baixo. O sexto lado é horizontal para a esquerda. O sétimo é vertical para cima. O último lado é horizontal para esquerda.

Ilustração.
Hexágono composto de 6 linhas verticais e horizontais sendo uma linha vertical para baixo, a seguinte horizontal para a direita, a terceira vertical para cima, a quarta horizontal para esquerda, a quinta vertical para cima e a última horizontal para esquerda.

Ilustração.
Figura de 9 lados sendo 1 na horizontal para direita, o segundo na vertical para cima, o terceiro na horizontal para esquerda, o quarto na vertical para cima, o quinto na horizontal para direita, o sexto na vertical para cima, o sétimo na horizontal para esquerda, o oitavo inclinado para esquerda e para baixo, nono na vertical para baixo.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

5 Entre as figuras representadas, verifique quais são polígonos.

Ilustração. Cinco linhas retas fechada que não se cruzam.

Ilustração.
Figura com cinco linhas retas fechada.

Ilustração. 9 linhas retas fechada. Algumas linhas formam um zigue-zague.

Ilustração. Figura composta por 5 linhas que se cruzam e as extremidades se encontram.

6 Classifique os polígonos a seguir em convéquiço ou não convéquiço.

Ilustração. A figura é um pentágono; o lado esquerdo forma um ângulo agudo com o lado que é a base da figura. O lado direito forma um ângulo obtuso com o lado que é a base da figura, os outros 2 lados têm comprimentos diferentes e se encontram inclinados para dentro da figura e apontando á esquerda.

Ilustração. Figura formada por 13 lados. Dois pares de lados inclinados para dentro da figura e quatro ângulos retos.

Ilustração. A figura é um pentágono; os lados que se encontram com o lado que é a base da figura têm o mesmo comprimento e formam um ângulo reto com a base, os outros 2 lados têm comprimentos diferentes e se encontram inclinados para dentro da figura em direção à base.

Ilustração. Hexágono com todos ângulos internos maiores que 90 graus.

Ilustração. Trapézio com base menor para baixo.

Ilustração. Figura formada por oito lados com cinco ângulos retos e dois dos lados inclinados para dentro da figura.

7 Logotipo é um símbolo que serve para identificar uma empresa, uma instituição, um produto, uma marca etcétera. Observe um exemplo.

Ilustração. Palavra LOGOTIPO estilizada.

a) Pesquise em jornais, revistas ou na internet logotipos em que seja possível identificar formas que lembram polígonos e reproduza seis deles.

b) Crie um logotipo para um brinquedo em que apareça uma figura que lembre um polígono.

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8 Cada sequência a seguir obedece a uma regra quanto ao número de canudinhos que formam um polígono. Descubra essa regra e, supondo que ela continue valendo, desenhe em seu caderno o próximo polígono, escrevendo o número de canudinhos que o formaram.

Ilustração. Sequência de três polígonos. Triângulo composto por três canudinhos, sendo um canudinho em cada lado. Quadrado composto por quatro canudinhos, sendo um canudinho em cada lado e pentágono composto por cinco canudinhos, sendo um canudinho em cada lado.

Ilustração. Sequência de três triângulos. Triângulo composto por três canudinhos, sendo um canudinho em cada lado. Triângulo composto por seis canudinhos, sendo dois canudinhos em cada lado e triângulo composto por nove canudinhos, sendo três canudinhos em cada lado.

Ilustração. Sequência de três retângulos.
Retângulo composto por seis canudinhos, sendo dois lados com um canudinho e outros lados com dois.
Retângulo composto por dez canudinhos, sendo dois lados com dois canudinhos e os outros lados com três.
Retângulo composto por quatorze canudinhos, sendo dois lados com três canudinhos e outros lados com com quatro .

Elementos de um polígono

Em um polígono qualquer, os segmentos que formam a linha poligonal são chamados de lados.

O ponto de encontro de dois lados consecutivos é chamado de vértice desse polígono.

Acompanhe um exemplo.

Ilustração. A figura é um pentágono; os lados que se encontram com o lado que é a base da figura têm comprimentos diferentes e formam um ângulo reto com a base, os outros 2 lados também têm comprimentos diferentes e se encontram inclinados para fora da figura em direção oposta à base. Na extremidade de cada lado tem um ponto nomeado por J, K, L, M, e N, dispostos no sentido horário.

• Os vértices desse polígono são os pontos J, K, éle, M e N.

• Os lados do polígono são os segmentos

\overline{J K}

\overline{K L}

\overline{L M}

\overline{M N}

\overline{N J}

• Indicamos assim: polígono JKLMN.

• Os vértices J e K, K e éle, éle e M, M e N, N e J são consecutivos.

• Os vértices J e éle, J e M, K e M, K e N, éle e N são não consecutivos.

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Para indicar os lados de mesma medida (lados congruentes) em um polígono, marcamos esses lados com o mesmo número de tracinhos.

Ilustração. Pentágono. O lado que é a base do pentágono, tem nas extremidades os pontos A, B e um tracinho no meio do segmento, o lado com as extremidades nos pontos B, C tem um tracinho no meio do segmento, o lado com extremidades nos pontos C, D tem dois tracinhos no meio do segmento, o lado com extremidades nos pontos D, E, tem dois tracinhos no meio do segmento, e o lado com extremidades nos pontos E, A, tem um tracinho no meio do segmento.

No polígono á bê cê dê é, os lados

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{A E}

são congruentes entre si. Os lados

\overline{C D}

\overline{D E}

também são congruentes entre si, mas têm medida diferente dos outros três lados.

Dois lados consecutivos de um polígono determinam um ângulo interno desse polígono.

Ilustração. Hexágono irregular.
Na extremidade de cada lado tem um ponto.
Os pontos estão nomeado por Z, Y, X, V, U, T, no sentido horário.
Entre os lados consecutivos da figura tem um arco indicando o ângulo interno.

No polígono ZYXVUT, estão assinalados os ângulos internos, que indicamos por

\hat{Z}

\hat{Y}

\hat{X}

\hat{V}

\hat{U}

\hat{T}

Os segmentos com extremos em dois vértices não consecutivos são chamados de diagonais do polígono.

Ilustração. Pentágono.
Na extremidade de cada lado tem um ponto.
Os pontos estão nomeados por F, G, H, I, J, no sentido anti-horário.
Dentro da figura tem 5 segmentos unindo os pontos na sequência F, H, J, G, I, F.

Os segmentos

\overline{F I}

\overline{F H}

\overline{J G}

\overline{J H}

\overline{I G}

são as diagonais do polígono éfe gê agá í jota.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

9 Desenhe um polígono de 7 lados, nomeie seus vértices e trace suas diagonais.

a) Quantos vértices tem esse polígono?

b) Identifique os lados desse polígono.

c) Quantos ângulos internos tem esse polígono? Identifique-os.

d) Quantas diagonais tem esse polígono? Identifique-as.

10 Desenhe um polígono que tenha 4 ângulos internos e nomeie seus vértices.

a) Quantos vértices tem esse polígono?

b) Identifique seus ângulos internos.

c) Quantos lados tem esse polígono? Identifique-os.

11 Desenhe um polígono de 3 lados e trace todas as suas diagonais. Quantas diagonais tem esse polígono?

12 Quantos vértices tem um polígono de 12 lados? E quantos ângulos internos?

Pense mais um pouco...

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Copie o quadro e termine de preenchê-lo usando polígonos com a mesma fórma dos polígonos a seguir.

Mas atenção: não pode haver repetição de polígono em uma mesma linha nem em uma mesma coluna.

Ilustração. Hexágono, triângulo, quadrado e pentágono.

Ilustração. Quadro formado 16 quadradinhos dispostos em 4 linhas e 4 colunas.
Na primeira linha e primeira coluna um triangulo.
Na primeira linha e quarta coluna um hexágono.
Na terceira linha e terceira coluna um quadrado.
Na quarta linha e segunda coluna um triângulo.
Na quarta linha e quarta coluna um pentágono.
Nos demais quadradinhos espaços a serem preenchidos.

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Classificação dos polígonos

Em um polígono, o número de lados é igual ao número de ângulos internos. Alguns polígonos recebem nomes especiais, de acordo com o número de lados ou de ângulos internos. Observe.

Número de lados	Número de ângulos	Nome do polígono
3	3	triângulo
4	4	quadrilátero
5	5	pentágono
6	6	hexágono
7	7	heptágono
8	8	octógono
9	9	eneágono
10	10	decágono
11	11	undecágono
12	12	dodecágono
15	15	pentadecágono
20	20	icoságono

Ilustração. Mulher de cabelo preto e blusa rosa diz: A palavra polígono é uma composição de poli (muitos) e gono (ângulo).

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

13 Escreva o nome de cada polígono.

14 Responda às questões.

a) Quantos ângulos internos tem um hexágono?

b) Qual é o polígono que tem 12 vértices?

c) Quantos vértices, lados e ângulos internos tem o icoságono?

15 Em um colégio, foi disputado um torneio de tênis de mesa entre classes. Foram formadas 5 equipes e cada equipe jogou contra todas as outras uma única vez.

Ilustração. Crianças ao redor de uma mesa de pingue-pongue. Há duas meninas jogando.

a) Quantas partidas foram disputadas ao todo?

b) Represente essa situação por meio de um polígono, dispondo cada equipe em um vértice do polígono. Que polígono você formou?

c) Que elementos desse polígono podem representar os jogos entre as equipes?

d) O que você precisa fazer para obter o total de partidas por meio do seu desenho?

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3. Triângulos

Diariamente nos deparamos com diversos objetos que nos dão a ideia de triângulo. Observe alguns objetos que podem ser relacionados a esse polígono de três lados.

Fotografia. Bolas coloridas numeradas, dispostas de modo a lembrar um triângulo e ao lado um objeto triangular.

Fotografia. Carros trafegando em uma via pública. À esquerda, placa em formato triangular.

(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)

Elementos de um triângulo

Ilustração. Triângulo A, B, C entre cada lado consecutivo um arco indicando ângulo interno.

No triângulo á bê cê, destacamos seus elementos:

• a, B e C são os vértices.

•

\overline{A B}

\overline{B C}

, e

\overline{C A}

são os lados.

•

\hat{A}

\hat{B}

\hat{C}

são os ângulos internos.

Classificação dos triângulos

Os triângulos podem ser classificados quanto às medidas de seus lados e quanto às medidas de seus ângulos internos. Observe a seguir os dois tipos de classificação.

Classificação quanto às medidas dos lados

Triângulo isósceles	Triângulo equilátero	Triângulo escaleno
É aquele que tem pelo menos dois lados congruentes.	É aquele que tem os três lados congruentes.	É aquele que tem os três lados de medidas diferentes.

Observe que, para ser classificado como isósceles, o triângulo deve ter pelo menos dois lados congruentes. Como os triângulos equiláteros têm três lados congruentes, eles também são classificados como triângulos isósceles.

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Classificação quanto às medidas dos ângulos internos

Triângulo acutângulo	Triângulo retângulo	Triângulo obtusângulo
É aquele que tem os três ângulos agudos.	É aquele que tem um ângulo reto e dois agudos.	É aquele que tem um ângulo obtuso e dois agudos.

Um triângulo muito especial

Todo triângulo equilátero (que tem três lados congruentes) também é um triângulo equiângulo (com três ângulos congruentes, ou seja, de mesma medida). Um polígono com essas características, lados congruentes e ângulos congruentes, é um polígono regular; neste caso, temos um triângulo regular.

Caso um lado tenha medida diferente dos outros ou um ângulo tenha medida diferente dos outros ângulos, o triângulo é não regular.

Ilustração. Triângulo regular.
Cada lado com um tracinho e entre cada lado consecutivo um arco indicando os ângulos internos.

Ilustração. Triângulo não regular.
O lado da base com dois tracinhos, e os outros lados com um tracinho.
Entre os lados consecutivos à base um arco entre os outros lados um arco duplo. indicando os ângulos internos.

Construção de triângulos

Já aprendemos a construir ângulos usando o transferidor. Agora, vamos aprender a construir triângulos usando régua, compasso e transferidor.

Conhecendo a medida dos três lados de um triângulo, é possível construí-lo usando régua e compasso. Acompanhe o exemplo a seguir.

• Vamos construir o triângulo á bê cê, sabendo que as medidas de seus lados, em centímetro, são:

m (\overline{A C})

= 4,

m (\overline{B C})

= 4 e

m (\overline{A B})

= 3.

1º) Com o auxílio da régua, traçamos um segmento

\overline{A C} .

Ilustração. Régua de 10 centímetros. Uma linha vermelha, na parte superior da régua, vai do ponto A, que está na direção do zero, até o ponto C que está na direção do quatro.

2º) Abrimos o compasso com a medida do segmento

\overline{B C}

(4 centímetros) e traçamos um arco com a ponta-seca do compasso centrada em C.

Ilustração. Segmento de reta A C.
Compasso aberto com a ponta seca no ponto C e a outra ponta traçando um arco na direção do ponto A.

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3º) Repetimos o passo anterior para traçar outro arco, porém agora com a medida do segmento

\overline{A B}

(3 centímetros) e a ponta-seca do compasso centrada em a. No encontro dos arcos, marcamos o ponto B.

Ilustração. Segmento de reta A C.
Compasso aberto com a ponta seca no ponto A e a outra ponta traçando um arco na direção do ponto C.
Este arco cruza com outro arco que esta na direção do ponto A e determina o ponto B.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca!)

4º) Com o auxílio da régua, traçamos os segmentos

\overline{B C} e \overline{A B} .

Ilustração. Triângulo com vértices A, C, B.

Também podemos construir um triângulo com régua, transferidor e compasso. Para isso, basta ter as medidas de dois lados e de um ângulo interno. Acompanhe o exemplo a seguir.

• Vamos construir o triângulo á bê cê, conhecendo as medidas de dois lados (em centímetro) e de um ângulo:

m (\overline{A C}) = 6,

m (\overline{A B}) = 5

m (\hat{A}) = 60 ° .

1º) Com o auxílio da régua, traçamos um segmento

\overline{A C}

de 6 centímetros.

Ilustração. Régua de 10 centímetros. Uma linha roxa na parte superior da régua, vai do ponto A, que está na direção do zero, até o ponto C que está na direção do oito.

2º) Construímos um ângulo de 60graus, com lado

\vec{A B} .

Ilustração. Transferidor graduado de zero até 180 graus. Semirreta com origem no ponto A e na direção de 60 graus considerando a graduação da direita para esquerda.
Segmento de reta A C, o ponto A, está situado no centro do transferidor na direção de 90 graus, e o ponto C está na linha horizontal, que passa por zero á direita.
Arco entre ao segmento de reta A C e a semirreta de origem em A determina o ângulo de 60 graus.

3º) Abrimos o compasso com a medida do segmento

\overline{A B}

(5 centímetros) e, com a ponta‑seca em a, traçamos o arco para determinar o segmento

\overline{A B} .

Ilustração.
Segmento de reta AC, forma um ângulo de 60 graus com a semirreta AB.
Compasso com ponta seca no ponto A e abertura AB traça um arco que passa por B.

4º) Com o auxílio da régua, traçamos o segmento

\overline{B C} .

Ilustração. Triângulo com vértices ABC.
Entre os lados AC e AB um arco marcando o um ângulo de 60 graus.

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PARA SABER MAIS

Uma propriedade importante dos triângulos

Estudamos que, em um polígono, o número de lados é igual ao número de ângulos.

Também é fato que as medidas dos lados, ou a soma das medidas dos lados, de um polígono não tem relação com o número de lados dele.

Ilustração. Menino de cabelo curto e blusa verde listrada. Ele olha para um arame, em suas mãos, no formato que lembra um polígono e diz: A soma das medidas dos lados de um polígono é a medida do perímetro.

Com um mesmo pedaço de arame de um tamanho qualquer, podemos moldar um triângulo, ou um quadrilátero, ou um heptágono etcétera. A única relação que podemos estabelecer é que, quanto maior for o número de lados, menor será, em média, o tamanho dos lados.

Com esse arame, também podemos moldar vários tipos de triângulo. Neles, as medidas dos lados podem mudar, mas a soma das medidas não. Você saberia dizer por quê?

E a soma das medidas dos ângulos desses triângulos, será sempre a mesma?

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Pegue um pedaço de arame ou fio de cobre e experimente formar um triângulo com ele. Depois desmanche e forme outro, e outro, e outroreticências

a) Com uma régua, meça os lados de cada triângulo que você construiu com o fio e adicione essas medidas. As medidas dos perímetros deles são iguais?

b) Com um transferidor, meça também os ângulos desses triângulos e adicione essas medidas. As somas obtidas são iguais? Quantos graus?

(Faça a atividade com o auxílio de um adulto.)

Reúnam-se em dupla e façam o que se pede.

a) Em uma folha de papel sulfite, cada um deverá desenhar quatro triângulos quaisquer. Em seguida, trocarão as folhas para que meçam os ângulos internos e calculem, para cada triângulo, a soma dessas medidas. Mesmo sem ver os triângulos que seu colega desenhou, você pode prever a soma das medidas dos ângulos internos que ele obteve? Qual é essa soma?

b) Agora, desenhem outro triângulo, recortem-no e denominem as medidas dos ângulos internos de a, b e c. Depois, recortem o triângulo em três partes, de modo que cada parte fique com um dos vértices. Em seguida, juntem as partes, fazendo os três vértices coincidirem e os lados de um dos ângulos encostarem nos lados dos outros ângulos. Observem o esquema.

Ilustração. Triângulo separado em três partes.
Cada parte tem um vértice indicado o ângulo correspondente.
O arco laranja marca ângulo a
O arco rosa marca o ângulo b.
O arco azul marca o ângulo c.
Ao lado uma seta apontando a figura que mostra um ângulo construído pela junção dos ângulos c, a, b.

Vocês acham que a soma dos três ângulos assim obtida resulta em um ângulo de 180graus? Façam uma estimativa para o valor de a + b + c.

(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

16 Com um compasso, compare as medidas dos lados e, com um transferidor, verifique se os ângulos internos são agudos, retos ou obtusos. Em seguida, classifique cada triângulo quanto aos lados e quanto aos ângulos.

Ilustração. Triângulo com dois lados de mesma medida e três ângulos menores que 90 graus.

Ilustração. Triângulo com três lados de medidas diferentes e três ângulos menores que 90 graus.

Ilustração. Triângulo com três lados de medidas iguais e 3 ângulos de mesma medida.

Ilustração. Triângulo com um ângulo de 90 graus e dois lados com a mesma medida.

Ilustração. Triângulo com dois lados de mesma medida e um ângulo maior que 90 graus.

Ilustração. Triângulo com três lados de medidas diferentes e um ângulo de 90 graus.

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca!)

17 Com três palitos iguais de sorvete, você pode construir um triângulo. Ele será um triângulo escaleno, isósceles ou equilátero? Justifique sua resposta.

18 Com 33 centímetros de um fio de arame, Renato construiu um triângulo equilátero. Com quantos centímetros ficou cada lado?

19 Construa triângulos (á bê cê ) em seu caderno usando régua e compasso. (As medidas dos lados são dadas em centímetro.)

m (\overline{A B})

= 8,

m (\overline{A C})

= 6,

m (\overline{C B})

= 10

m (\overline{A B})

= 8,

m (\overline{A C})

= 6,

m (\overline{C B})

= 6

m (\overline{A B})

= 8,

m (\overline{A C})

= 5,

m (\overline{C B})

= 5

20 Classifique os triângulos dos itens a, b e c da atividade 19 quanto aos lados e, também, quanto aos ângulos internos.

21 Usando régua, transferidor e compasso, faça o que se pede. (As medidas dos lados são dadas em centímetro.)

a) Construa um triângulo ABC em que:

m (\overline{A B})

= 12,

m (\overline{A C})

= 6,

m (B \hat{A} C)

= 60graus.

b) No triângulo obtido no item a, construa o ângulo

B \hat{A} D

de 30graus, sendo D um ponto pertencente ao segmento

\overline{B C} .

c) A medida do lado

\overline{C D}

é metade da medida do lado

\overline{A D} ?

E a do lado

\overline{A C}

é metade da medida do lado

\overline{A B}

d) Meça os ângulos

A \hat{C} B

A \hat{B} C

C \hat{A} D

C \hat{D} A

A \hat{D} B .

e) Classifique os triângulos á bê cê, á cê dê e á bê dê quanto aos lados e quanto aos ângulos internos.

22 Construa triângulos (á bê cê ) usando régua, transferidor e compasso. Se alguma das construções for impossível, explique o porquê. (As medidas dos lados são dadas em centímetro.)

m (\overline{A B})

= 7,

m (B \hat{A} C)

= 40graus,

m (A \hat{B} C)

= 80graus.

m (\overline{A B})

= 7,

m (B \hat{A} C)

= 40graus,

m (A \hat{B} C)

= 120graus.

m (\overline{A B})

= 7,

m (B \hat{A} C)

= 40graus, =

m (A \hat{B} C)

= 140graus.

Hora de criar – Crie um fluxograma com os passos que devem ser seguidos para a construção de um triângulo usando régua e compasso.

Compare seu fluxograma com o de um colega. É possível simplificar ou complementar seu fluxograma?

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Pense mais um pouco...

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Desenhe duas retas paralelas, marque sobre uma delas dois pontos e, sobre a outra, três pontos.

Ilustração. Menina de cabelo castanho e blusa amarela sentada em uma cadeira de frente para uma mesa. Ela desenha em um caderno.

a) É possível construir quantos triângulos tendo como vértices três desses pontos?

b) Explique o procedimento que você utilizou para contar os triângulos.

Compare sua resposta com a de um colega. Vocês encontraram a mesma quantidade de triângulos? Comparem os procedimentos adotados.

4. Quadriláteros

Ilustração. Mulher de cabelo preto, blusa rosa e casaco azul diz: Vimos que os polígonos de 4 lados são chamados de quadriláteros. Observe nas imagens a seguir, objetos que dão a ideia de quadrilátero. Que outros objetos dão ideia de quadriláteros? Cite dois exemplos.

Fotografia. Televisão de tela plana sobre um móvel.

Fotografia. Janela composta por retângulos verticais paralelos. Ao fundo, casas e árvores.

Classificação dos quadriláteros

Os quadriláteros podem ser classificados quanto ao paralelismo de seus lados: podem não apresentar lados paralelos, podem apresentar apenas um par de lados paralelos ou, ainda, dois pares de lados paralelos.

Nenhum par de lados paralelos	Somente um par de lados paralelos	Dois pares de lados paralelos
Quadriláteros como esse não recebem nome especial.	Quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos são chamados de trapézios.	Quadriláteros que têm dois pares de lados paralelos são chamados de paralelogramos.

Página 261

Entre os paralelogramos, vamos destacar o retângulo, o losango e o quadrado.

• Retângulo é um paralelogramo que tem os 4 ângulos internos retos.

• Losango é um paralelogramo que tem os 4 lados congruentes.

• Quadrado é um paralelogramo que tem os 4 ângulos internos retos e os 4 lados congruentes. Portanto, o quadrado é um polígono regular.

Ilustração. Retângulo. Quadrilátero com dois lados paralelos maiores de mesmo comprimento, outros dois lados paralelos menores com mesmo comprimento e quatro ângulos retos. Ilustração. Losango. Quadrilátero com quatro lados de mesmo comprimento , dois ângulos opostos agudos congruentes e outros dois ângulos opostos obtusos congruentes. Um tracinho em cada lado do quadrilátero. Ilustração. Quadrado. Quadrilátero com quatro lados de mesmo comprimento e quatro ângulos retos. Um tracinho em cada lado do quadrilátero. Um quadrinho com um ponto dentro em cada canto da figura.

Observação

▶ O quadrado é ao mesmo tempo um retângulo e um losango, visto que tem os 4 ângulos internos retos e os 4 lados congruentes.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

24 Classifique os quadriláteros em trapézio ou paralelogramo.

Ilustração. Malha quadriculada com um quadrado.

Ilustração. Malha quadriculada com um quadrilátero.
Quadrilátero com dois segmentos de retas horizontais paralelos, O segmento de reta inferior com comprimento maior.
Os outros dois segmentos de retas inclinados unidos aos segmentos de reta superior e inferior.

Ilustração. Malha quadriculada com um retângulo.

25 Desenhe em uma folha de papel quadriculado:

a) um losango que não seja quadrado;

b) um losango que seja quadrado;

c) um retângulo que não seja quadrado;

d) um retângulo que seja quadrado.

e) um paralelogramo que tenha diagonais de mesma medida;

f) um paralelogramo que não tenha diagonais de mesma medida.

26 Indique as afirmações verdadeiras. Depois, diga por que as demais são falsas.

a) Todo losango é um retângulo.

b) Todas as diagonais de um paralelogramo têm medidas iguais.

c) Todo quadrado é um losango.

d) Existem paralelogramos que têm todas as diagonais congruentes.

Reúna-se com um colega e construam um ângulo de 75graus e vértice B. Marquem um ponto a que diste 7 centímetros de B em um de seus lados e um ponto C que esteja a 4 centímetros de B no outro lado. Depois, tracem com o compasso dois arcos: um com a ponta-seca em a e 4 centímetros de abertura, outro com a ponta-seca em C e 7 centímetros de abertura, cortando o primeiro arco em um só ponto (D), de modo que

\overline{C D}

\overline{A B}

não tenham ponto comum.

a) Que polígono vocês obtiveram?

b) Que polígono obteriam se substituísem as medidas 4 e 7 centímetros por 6 centímetros?

c) E se substituíssem a medida 75graus por 90graus?

d) E se substituíssem as medidas 4 e 7 centímetros por 6 centímetros e 75graus por 90graus?

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca!)

Hora de criar – Escolha um quadrilátero e elabore uma afirmação verdadeira e uma falsa sobre ele. Depois, troque suas afirmações com um colega para que cada um possa identificar uma afirmação como verdadeira.

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5. O conceito de par ordenado

Considere as situações a seguir.

Situação 1

A figura a seguir representa um condomínio residencial formado por cinco prédios de apartamentos, cada um com cinco andares, sendo um apartamento por andar.

Esquema. Ilustração de cinco prédios, um ao lado do outro com cinco andares cada. Linhas tracejadas passam sobre os prédios formando pontos.
À esquerda do primeiro prédio está escrito andar 1, andar 2, andar 3, andar 4 e andar 5.
Prédio 1: ponto A, encontro da linha horizontal que passa pelo terceiro andar e da linha vertical que passa pela entrada do prédio 1.

Prédio 2: ponto B no encontro da linha horizontal que passa primeiro andar e a linha vertical que passa pela entrada do prédio 2; ponto H encontro da linha horizontal que passa segundo andar e a linha vertical que passa pela entrada do prédio 2; ponto G encontro da linha horizontal que passa quinto andar e a linha vertical que passa pela entrada do prédio 2.

Prédio 3: ponto D encontro da linha horizontal que passa primeiro andar e a linha vertical que passa pela entrada do prédio 3; ponto C encontro da linha horizontal que passa quinto andar e a linha vertical que passa pela entrada do prédio 3.

Prédio 4: ponto E encontro da linha horizontal que passa quarto andar e a linha vertical que passa pela entrada do prédio 4.

Prédio 5: ponto F encontro da linha horizontal que passa segundo andar e a linha vertical que passa pela entrada do prédio 5.

Podemos usar pares de números para identificar ou localizar cada apartamento do condomínio representado. Um dos números do par indicará o prédio, e o outro, o andar. Observe alguns exemplos no quadro.

Apartamento	Prédio/Andar	Par de números
A	prédio 1/andar 3	(1, 3)
B	prédio 2/andar 1	(2, 1)
C	prédio 3/andar 5	(3, 5)
D	prédio 3/andar 1	(3, 1)
H	prédio 2/andar 2	(2, 2)

Observe que:

• os pares (1, 3) e (3, 1) indicam apartamentos diferentes: o primeiro par corresponde ao apartamento ei, enquanto o outro par corresponde ao apartamento D, o que nos faz perceber a importância da ordem nesses pares de números;

• os apartamentos B e H, que pertencem a um mesmo prédio, estão associados a pares de números em que o primeiro número é o mesmo (no caso, o número 2);

• os apartamentos B e D, situados no mesmo andar, estão associados a pares de números em que o segundo número é o mesmo (no caso, o número 1).

Os pares de números associados a situações em que a ordem dos elementos deve ser respeitada são chamados de pares ordenados.

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Situação 2

Cruzando palavras

Ilustração. Menino de cabelo curto, blusa azul clara e calça azul escura. Com a mão no queixo ele pensa: O par de números (3, 3) corresponde a qual letra neste quadro?

Quadro de 5 colunas e 6 linhas de quadrinhos com uma letra em cada

Coluna 1 está escrito GRAU e os 2 últimos quadrinhos vazios.

Coluna 2 está escrito RE, 1 quadrinho vazio, e escrito MIL.

Coluna 3 está escrito a sequência de letras A T S E R A.

Coluna 4 está escrito a sequência de letras M A O R, 1 QUADRINHO vazio, letra M.

Coluna 5 está escrito a a letra A, 1 quadrinho vazio, a sequência de letras S O L A.

Horizontais

1. Unidade de medida de massa

2. Por dois pontos passa uma só

3. Socorro

4. Osso do esqueleto humano

5. Caminhar

6. Lodo

Verticais

1. Unidade de medida de ângulo

2. Nota musical/Dez centenas

3. Todo cubo tem (palavra invertida)

4. Faltou o ih para ser maior

5. Parte do sapato em contato com o solo

Considerando o quadro completo, podemos fazer algumas associações:

(2, 3)

Ilustração. Seta horizontal apontando para direita.

T (4, 1)

U (5, 5)

Observações

▶ Dado o par ordenado (a, b), dizemos que a é o primeiro elemento do par e b, o segundo elemento. Exemplos:

• No par ordenado (4, 3), o primeiro elemento é 4 e o segundo é 3.

• No par ordenado (3, 4), o primeiro elemento é 3 e o segundo é 4.

▶ Dois pares ordenados (a, b) e (c, d ) são iguais se a = c e b = d. Exemplos:

• Se (a, b) = (4, 5), temos a = 4 e b = 5.

• Se (x, y) = (0, 3), temos x = 0 e y = 3.

▶ Dois pares ordenados (a, b) e (c, d ) são diferentes se a ≠ c ou b ≠ d. Exemplos:

• O par ordenado (7, 1) é diferente do par ordenado (1, 7).

• O par ordenado (2, 6) é diferente do par ordenado (6, 2).

Representação geométrica de pares ordenados

Para fazer a representação geométrica de pares ordenados, traçamos, em um plano, duas retas numéricas perpendiculares. Ao ponto de intersecção entre elas atribuímos o par ordenado (0, 0) e damos o nome de origem.

Chamamos a reta horizontal de eixo x e a reta vertical de eixo y.

Página 264

Nessa representação, os pares ordenados são associados a pontos; por isso, esses pares são chamados de coordenadas dos pontos, e a representação recebe o nome de sistema de coordenadas no plano cartesiano.

Observe a representação do ponto a(3, 4).

Plano cartesiano na malha quadriculada.
No eixo x (horizontal) pontos de 0 (origem) a 5. No eixo y (vertical), pontos de 0 a 5.
Abaixo do eixo x uma seta para direita indicado sentido crescente.
À esquerda do eixo y uma seta para cima indicando sentido crescente.
Uma seta apontando para o ponto (0,0) que está no cruzamento dos dois eixos indica a origem.
Encontro da linha vertical tracejada que parte do 3 com a linha horizontal tracejada que parte do 4 determina o ponto A (3, 4).

O primeiro elemento do par ordenado indica a posição em relação ao eixo horizontal, e o segundo elemento indica a posição em relação ao eixo vertical.

Acompanhe como podemos associar os pares ordenados a(1, 8), B(7, 6), C(9, 2) e D(3, 1) com os vértices de um polígono.

Traçando os segmentos

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{D A}

, obtemos o quadrilátero a bê cê dê.

Plano cartesiano na malha quadriculada.
No eixo x (horizontal) pontos de 0 a 10. No eixo y (vertical), pontos de 0 a 9.
Está representado um quadrilátero com vértices nos pontos A 1 8; B 7 6; C 9 2; D 3 1.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

29 Volte a observar a ilustração do condomínio residencial representado na situação 1. Usando um par de números em que o primeiro número indica o prédio e o segundo, o andar, dê a posição dos apartamentos:

a) E;

b) F;

c) G.

30 Observe o sistema de coordenadas com alguns pontos indicados.

Plano cartesiano na malha quadriculada. Pontos O, E, L, M, F e H indicados.

Agora, determine as coordenadas desses pontos.

31 Indique o valor de a e de b nos pares ordenados.

a) (3, 7) = (a, 7)

b) (a, b) = (0, 1)

c) (a, 2) = (3, b)

d) (a + 3, 8) = (5, b)

e) (3a, b + 4) = (9, 6)

32 Construa um sistema de coordenadas em uma folha de papel quadriculado e represente os seguintes pontos:

• a(0, 3)

• B (3, 0)

• C (6, 3)

• D (3, 6)

Se unirmos os pontos a, B, C, D e a, nessa ordem, por segmentos, obteremos um polígono. Que polígono é esse?

33 Em uma folha de papel quadriculado, construa um sistema de coordenadas e marque nele pontos que sejam vértices de um:

a) retângulo;

b) trapézio;

c) losango;

d) pentágono;

e) hexágono.

• Após a escolha dos pontos, construa para cada item o respectivo polígono.

34 Construa um sistema de coordenadas em uma folha de papel quadriculado e represente em um plano cartesiano três quadriláteros:

um) a bê cê dê, com vértices de coordenadas a(2, 4), B(4, 4), C(4, 2) e D(2, 2).

dois) ê éfe gê agá, que deve corresponder a uma redução do quadrilátero a bê cê dê, com lados medindo a metade das respectivas medidas dos lados de a bê cê dê.

três) í jota cá éle, que deve corresponder a uma ampliação do quadrilátero a bê cê dê, com lados medindo o dobro das respectivas medidas dos lados de a bê cê dê.

Depois, responda às questões:

a) Quais são as coordenadas dos vértices dos quadriláteros ê éfe gê agá e í jota cá éle?

b) O quadrilátero de vértices de coordenadas a(2, 4), bê linha(3, 4), cê linha(3, 3) e dê linha(2, 3) corresponde a uma ampliação ou a uma redução do quadrilátero a bê cê dê?

c) Como podemos classificar os quadriláteros representados quanto às medidas de seus lados e de seus ângulos? Justifique sua resposta.

35 Usando um programa de computador, Renato desenhou um retângulo em um plano cartesiano, conforme demonstrado na figura a seguir:

Plano Cartesiano na malha quadriculada.
No eixo x, pontos de 0 a 10. No eixo y, pontos de 0 a 9.
Retângulo ABCD com vértices nos pontos: A(5, 5); B(9, 5); C (9, 3); D(5, 3).

Renato queria ampliar esse retângulo e, então, deslocou o vértice B para bê linha(10, 5).

Para que Renato obtenha uma ampliação do retângulo a bê cê dê, de modo que as medidas dos segmentos

\overline{A' B'}

\overline{B' C'}

\overline{C' D'}

\overline{A' D'}

sejam, respectivamente, o dobro das medidas dos segmentos

\overline{A B}

\overline{B C}

\overline{C D}

\overline{A D}

, quais podem ser as coordenadas dos vértices á linha, cê linha e dê linha?

Página 266

6. Planificação da superfície dos poliedros

Você já estudou que cada região plana da superfície de um poliedro é uma face do poliedro. Também viu que o encontro de duas faces determina um segmento de reta chamado aresta do poliedro e que o ponto de encontro de três ou mais arestas é denominado vértice do poliedro.

Classificação dos poliedros

Enquanto os polígonos podem ser nomeados de acordo com o número de lados, os poliedros recebem um nome de acordo com o número de faces. Observe o quadro a seguir.

Número de faces	Nome do poliedro
4	tetraedro
5	pentaedro
6	hexaedro
7	heptaedro
8	octaedro
9	eneaedro
10	decaedro
12	dodecaedro
15	pentadecaedro
20	icosaedro

Ilustração. Poliedro formado por 4 triângulos. Abaixo, a cota tetraedro, 4 faces. Ilustração. Poliedro formado por 12 pentágonos. Abaixo, a cota dodecaedro, 12 faces. Ilustração. Poliedro formado por 6 quadriláteros. Abaixo, a cota hexaedro, 6 faces. Ilustração. poliedro formado por 20 triângulos. Abaixo, a cota icosaedro, 20 faces. Ilustração. Poliedro formado por um hexágono e seis triângulos. Abaixo, a cota heptaedro, 7 faces.

Planificações

Considere a situação.

Antônio pegou um objeto com o formato de um poliedro e, apoiando-o sobre uma folha de papel em uma mesa, desenhou o contorno de todas as suas faces.

Depois, pintou a região interior desses contornos, obtendo 6 figuras.

Ilustração. Menino de cabelo castanho claro está sentado de frente para uma mesa com objetos como papel, cola, tesoura.

Ilustração. Dois quadrados e quatro retângulos.

As figuras obtidas por Antônio são regiões planas que representam as faces do poliedro, também denominadas regiões poligonais. Uma região poligonal é formada pelo polígono que a delimita e pela região interior desse polígono.

Nesse caso, Antônio obteve 6 regiões poligonais retangulares.

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Antônio recortou, com o auxílio de uma tesoura de pontas arredondadas, as figuras e uniu-as por um dos lados com fita adesiva, formando uma nova figura.

Ilustração. Vista de cima de menino de cabelo castanho claro sentado de frente para uma mesa com objetos como papel, cola, tesoura.

A figura obtida é chamada de planificação da superfície do poliedro ou, simplesmente, planificação do poliedro.

Com a planificação, é mais fácil visualizar quantas faces o poliedro tem. Observe alguns exemplos.

Ilustração. Poliedro formado por um cubo e uma pirâmide de base quadrada. A base quadrada coincide com a fase superior do cubo. À direita uma seta apontando para direita. À direita da seta uma figura formada por 5 quadrados e 4 triângulos . Dois quadrados adjacentes em fileira vertical. De cima para baixo, do lado direito do lado do segundo quadrado mais três quadrados adjacentes. Na parte inferior de cada desses quatro quadrados, tem um triângulo equilátero. Abaixo, a informação planificação de um eneaedro. Ilustração. Pirâmide de base hexagonal. À direita uma seta apontando para a direita. A direita da seta uma figura formada por um hexágono e seis triângulos isósceles iguais. Um triângulo isósceles em cada lado do hexágono. Abaixo, a informação planificação de um heptaedro. lustração. Cubo. À direita um seta apontando para direita. À direita da seta uma figura formado por 6 quadrados. Dois quadrados adjacentes em fileira vertical. De cima para baixo, à direita do segundo quadrado uma coluna com três quadrados adjacentes. De cima para baixo, á direita do segundo quadrado mais um quadrado adjacente. Abaixo, a informação planificação de um hexaedro.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Observe as planificações de alguns poliedros. Em cada uma delas há um erro: há face a menos ou face a mais, ou então uma face errada ou fóra de lugar que não possibilita montar o poliedro com ela. Copie as planificações, corrigindo-as. Há só uma maneira de corrigi-las?

Compare sua resolução com a dos colegas.

Ilustração. Planificação formada por 4 triângulos isósceles e um pentágono.
Os quatros triângulos estão unidos pelo vértice oposto a base e na base de um dos triângulos está o pentágono.

Ilustração. Sete quadrados iguais.
5 dos quadrados adjacentes, colocados em fileira na horizontal.
Da esquerda para direita, acima do segundo quadrado tem um outro quadrado e abaixo do terceiro quadrado há um quadrado.

Ilustração. Planificação formada por seis triângulos isósceles iguais.
Os triângulos estão unidos pelo vértice oposto a base de cada um.

Ilustração.
3 triângulos equiláteros iguais e 5 quadrados iguais.
Um triângulo unido com outro triângulo. A este há três quadrados adjacentes em fileira na horizontal. Acima do segundo quadrado tem um quadrado.
Abaixo do segundo quadrado tem um quadrado e abaixo dele um triângulo.

Ilustração. Planificação formada por seis retângulos, um pentágono e um hexágono.
Os seis retângulos adjacentes, colocados em fileira na horizontal.
Da esquerda para direita, acima do quarto retângulo, há um pentágono e abaixo um hexágono.

37 Considere os poliedros das planificações corrigidas na atividade anterior.

a) Quantas faces, arestas e vértices há em cada um deles?

b) Compare a soma dos números de vértices e faces com o número de arestas. O que você conclui?

Página 268

PARA SABER MAIS

Ladrilhamento

Quando revestimos uma superfície plana com regiões poligonais sem deixar falhas ou sobrepô-las, dizemos que houve um ladrilhamento dessa superfície. Podemos ladrilhar uma superfície com um ou mais tipos de região poligonal.

Fotografia. Piso quadriculado preto, branco e cinza. — Piso quadriculado em preto, branco e cinza.

Fotografia. Ladrilhos compostos por triângulos formando um hexágono. Há uma pétala de flor em cada triângulo. — Parede revestida com ladrilhos triangulares.

Ilustração. Figura com três hexágonos acima e três abaixo. E há 2 losangos entre os hexágonos. — Superfície ladrilhada por dois tipos de região poligonal: em fórma de hexágono e em fórma de losango.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Reproduza esta superfície poligonal na fórma de triângulo

e ladrilhe uma superfície retangular de 5 centímetros por 6 centímetrosponto

2 Ladrilhe uma superfície retangular de 7 centímetros por 4 centímetros, utilizando apenas superfícies quadrangulares iguais às apresentadas como figuras 1 e 2.

Ilustração.
Imagem 1. Quadrado grande lilás.
Imagem 2. Quadrado pequeno verde.

3 Copie em papel quadriculado o padrão a seguir e descubra quantas figuras quadradas verdes e quantas figuras alaranjadas faltam para completar uma superfície quadrada.

Ilustração. Malha quadriculada composta por dez linhas e dez colunas. Na primeira linha e na primeira coluna, os quadradinhos estão pintados intercalados na sequência de cores verde, laranja e branco. Da segunda para a última fileira, há quadradinhos pintados e quadradinhos para serem completados respeitando a sequência. Sobre a parte a ser completada há pontos de interrogação.

4 Utilizando uma superfície poligonal qualquer e uma única região poligonal por vez, descubra se é possível fazer um ladrilhamento utilizando regiões poligonais com a fórma de:

• triângulos equiláteros;

• octógonos;

• hexágonos;

• quadrados;

• pentágonos.

Página 269

TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

A probabilidade das cores

As irmãs Neusa e Júlia fizeram uma experiência de jogar um dado cúbico e anotar a cor que ficava na face superior. Cada face é de uma cor diferente e elas sabem que a probabilidade de cada uma das cores estar na face superior é sempre a mesma, isto é,

\frac{1}{6} .

Enquanto uma delas jogava o dado, a outra anotava a cor da face superior, que podia ser azul, amarela, verde, laranja, preta ou vermelha, e colocava em um saquinho uma ficha colorida correspondente a cada jogada.

Ilustração. Duas meninas sentadas próximas a uma mesa. A menina à esquerda, joga o dado colorido. A menina da direita, observa. Ao lado dela, papeis, um lápis e um saquinho.

Depois de Júlia jogar o dado 30 vezes, Neusa verificou a frequência de cada cor, ou seja, quantas vezes cada cor ficou na face voltada para cima e organizou essas informações em uma tabela.

Observe as anotações e a tabela de frequência que ela fez:

Esquema. Quadrinhos coloridos e quantidades indicadas por tracinhos.

Azul: 4 tracinhos
Amarelo: 7 tracinhos
Verde: 5 tracinhos.
Laranja: 6 tracinhos.
Preto: 3 tracinhos.
Vermelho: 5 tracinhos

Tabela de frequência das cores do dado
Cor	azul	amarela	verde	laranja	preta	vermelha
Frequência	4	7	5	6	3	5

Dados obtidos por Neusa.

Neusa pediu à irmã que calculasse a probabilidade de retirar do saquinho uma ficha:

a) verde;

b) amarela;

c) preta.

Lembrando que a probabilidade é dada pela razão entre a frequência da cor e o total de jogadas do dado, Júlia calculou:

a) Probabilidade

= \frac{5}{30} = \frac{1}{6}

b) Probabilidade

= \frac{7}{30}

c) Probabilidade

= \frac{3}{30} = \frac{1}{10}

Concluíram, então, que a probabilidade esperada, que seria

\frac{1}{6},

se confirmou para a cor verde, mas não para a cor amarela nem para a preta.

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Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Calcule as probabilidades das outras cores no experimento das irmãs Neusa e Júlia.

Junte-se a um colega, construam um dado a partir da planificação de um hexaedro e pintem as faces com as mesmas cores do dado das irmãs. Depois, façam 60 lançamentos do dado e construam uma tabela de frequência. Para finalizar, calculem a probabilidade de cada cor ficar na face superior.

Discutam entre si se o aumento da quantidade de lançamentos favorece a possibilidade de as probabilidades das cores serem iguais.

4 Se as faces opostas do dado de Neusa e Júlia tivessem a mesma cor, a probabilidade de sair uma das cores continuaria igual a

\frac{1}{6}

? Justifique sua resposta.

5 Ao lançar uma moeda, qual é a probabilidade de sair cara? E de sair coroa? Com base no experimento de Júlia e Neusa e no resultado obtido por você na atividade 2, é correto afirmar que em dois lançamentos de uma moeda sairá cara em uma das vezes e coroa na outra vez? Justifique sua resposta.

7. Prismas

Nós já estudamos alguns poliedros. Agora, vamos conhecer melhor um grupo deles, fazendo novas apresentações.

Nos poliedros a seguir, estão destacadas duas faces. Essas duas faces são opostas, paralelas e idênticas. As demais têm fórma de paralelogramo.

Ilustração. Poliedro formado por duas bases na forma de pentágono e cinco quadriláteros nas faces laterais.
As arestas laterais estão inclinadas e não formam ângulo reto com as bases.

Ilustração. Poliedro formado por duas bases na forma de triângulo e três retângulos nas faces laterais.
As arestas laterais formam ângulo reto com as bases.

Ilustração. Poliedro formado por duas bases quadradas e quatro retângulos nas faces laterais.
As arestas laterais formam ângulo reto com as bases.

Esses poliedros são classificados como prismas. As duas faces opostas idênticas são chamadas de bases, e as outras, em fórma de paralelogramo, são as faces laterais.

Classificação dos prismas

Os prismas podem ser nomeados de acordo com as bases e com a inclinação das arestas laterais em relação às bases.

Ilustração. Prisma triangular reto. Poliedro formado por duas bases na forma de triângulo e três retângulos nas faces laterais. As arestas laterais formam ângulo reto com as bases. Ilustração. Prisma hexagonal reto. Poliedro formado por duas bases na forma de hexágono regular e seis retângulos nas faces laterais. As arestas laterais formam ângulo reto com as bases. Ilustração. Prisma triangular oblíquo. Poliedro formado por duas bases na forma de triângulo e três quadriláteros nas faces laterais. As arestas laterais não formam ângulo reto com as bases. Ilustração. Prisma quadrangular reto. Poliedro formado por duas bases quadradas e quatro retângulos nas faces laterais. As arestas laterais formam ângulo reto com as bases.

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Observações

▶ Em um prisma reto, todas as faces laterais têm fórma de retângulo.

▶ Em um prisma oblíquo, nem todas as faces laterais têm fórma de retângulo.

▶ Quando um prisma tem todas as faces em fórma de paralelogramos, ele é denominado paralelepípedo. Observe alguns exemplos de paralelepípedos:

Ilustração. Paralelepípedo oblíquo. Poliedro formado por duas bases quadradas e quatro quadriláteros nas faces laterais. As arestas laterais não formam ângulo reto com as bases. Ilustração. paralelepípedo reto-retângulo. Poliedro formado por duas bases quadradas e quatro retângulos nas faces laterais. As arestas laterais formam ângulo reto com as bases. Ilustração. Cubo. Poliedro formado seis quadrados. As arestas laterais formam ângulo reto com as bases.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

38 Classifique os prismas a seguir em relação às bases.

Ilustração. Poliedro formado por duas bases no formato de trapézio e quatro retângulos nas faces laterais.
As arestas laterais formam ângulo reto com as bases.

Ilustração. Poliedro formado por duas bases na forma de pentágono e cinco retângulos nas faces laterais.
As arestas laterais formam ângulo reto com as bases.

Ilustração. Poliedro formado por duas bases na forma de triângulo e três quadriláteros nas faces laterais.
As arestas laterais não formam ângulo reto com as bases.

39 Classifique os prismas a seguir como prisma oblíquo ou prisma reto.

Ilustração. Poliedro formado por duas bases na forma de hexágono e seis quadriláteros nas faces laterais.
As arestas laterais não formam ângulo reto com as bases.

Ilustração. Poliedro formado por duas bases na forma de hexágono regular e seis retângulos nas faces laterais.
As arestas laterais formam ângulo reto com as bases.

Ilustração. Poliedro formado seis quadrados.
As arestas laterais formam ângulo reto com as bases.

40 Quantas faces tem um prisma com 15 arestas? E um prisma com vinte e uma arestas?

41 Existe prisma com 39 arestas? E prisma com vinte e duas arestas? Justifique a sua resposta.

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Paralelepípedo reto-retângulo: um sólido especial

No dia a dia, é possível observar objetos que possuem a fórma de prisma, com todas as faces retangulares, como é o caso de muitas embalagens, de muitos edifícios e de alguns objetos pessoais e utensílios, por exemplo.

Fotografias.
1. Caixa de suco que lembra um bloco retangular.
2. Barra de sabão amarela.
3. Caixa retangular de creme dental.
4. Dois dados.
5. Vista frontal do Congresso Nacional, composto por um prédio retangular e dois prédios que se parecem com metade de esfera, sendo uma virada para cima e outra para baixo. — Congresso Nacional. Brasília, Distrito Federal, Brasil. (Fotografia de 2020.)

(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)

Quando um prisma tem todas as faces retangulares, ele é denominado paralelepípedo reto-retângulo ou bloco retangular.

Observe os exemplos.

Ilustração. Bloco retangular na horizontal, bloco retangular na vertical, cubo, bloco retangular inclinado e bloco retangular vertical.

Em todos eles, podemos contar: 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.

Nos paralelepípedos da figura 1, observe que todas as faces são idênticas e têm a fórma de um quadrado.

Ilustração. Dois cubos, sendo o da esquerda inclinado. Abaixo, a cota figura 1.

Um paralelepípedo reto-retângulo é denominado cubo quando tem todas as faces na fórma de quadrado.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

42 Observe como uma parede pode ser construída com o empilhamento de tijolos:

Fotografia. Destaque para a mão de uma pessoa sobre um muro feito de tijolos vermelhos retangulares.

Muitos objetos que usamos diariamente têm a fórma de paralelepípedo reto-retângulo. A que você atribui esse fato?

43 Grande parte das embalagens utilizadas atualmente tem a fórma de bloco retangular. Na sua opinião, por que isso ocorre?

Ilustração. Embalagens: caixa de sapato, caixa de leite, caixa de bombom, caixa de bolachas, caixa de fósforo, caixa de flocos de milho e caixa de sabão.

44 Uma editora vai distribuir sua nova coleção de Matemática, composta de 4 volumes. Cada coleção foi amarrada conforme demonstrado na figura.

Ilustração. Quatro livros de matemática amarrados, formando um bloco.

Quantas coleções há em cada um dos itens a seguir?

Ilustração. Três pilhas de livros de matemática.
A primeira pilha tem 3 blocos de livros de matemática.
A segunda pilha tem dois blocos de livros de matemática.
A terceira pilha tem um bloco de livros de matemática.

Ilustração. Três fileiras.
Cada fileira tem três pilhas.
Cada pilha tem três blocos de livros de matemática.

45 Tiago construiu vários cubos de cartolina com arestas de 1 centímetro.

Ilustração. Um cubo com a indicação de: comprimento 1 centímetro, profundidade de 1 centímetro e altura de 1 centímetro.

a) Quantos cubos iguais a esse Tiago precisa construir para formar um cubo com arestas de 2 centímetros?

b) Quantos desses cubos Tiago precisa construir para formar um cubo com arestas de 3 centímetros?

Reúna-se com um colega para copiar as planificações em uma cartolina. Após recortá-las e dobrá-las, com quais delas vocês conseguem montar um cubo?

Ilustração. Composição de seis quadrados de mesmo tamanho.
Três quadrados adjacentes em fileira na vertical.
De baixo para cima, à esquerda do primeiro tem um quadrado e à direita do segundo tem dois quadrados.

Ilustração. Composição de seis quadrados de mesmo tamanho.
Três quadrados adjacentes em fileira na vertical.
De baixo para cima, à direita do primeiro quadrado tem dois quadrados e à esquerda do segundo tem um quadrado.

Ilustração. Composição de seis quadrados de mesmo tamanho.
Dois quadrados adjacentes em fileira na horizontal.
Abaixo do segundo quadrado, dois quadrados adjacentes em fileira horizontal.
Novamente, abaixo do segundo quadrado, dois quadrados adjacentes em fileira horizontal.

(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)

Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

As figuras mostram o mesmo dado em três posições diferentes.

Ilustração. Três dados cúbicos com 3 de suas faces visíveis.

O primeiro tem desenhado: um quadrado verde na face superior, um triângulo azul na face da direita e um círculo vermelho na face frontal.

O segundo dado tem desenhado: um círculo vermelho na face superior, um triângulo azul na face da direita, uma estrela amarela na face frontal.

O terceiro dado tem, desenhado: uma estrela amarela na face superior, um círculo vermelho na face da direita à direita e um triângulo azul na face frontal.

Qual é o símbolo que está na face oposta da

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8. Pirâmides

Ilustração. Mulher de cabelo preto e blusa rosa fala: Além dos prismas, apresentamos as pirâmides, que formam outro grupo importante de poliedros. Para começar nosso estudo sobre elas, considere os poliedros a seguir.

Ilustração. Poliedro formado por uma base na forma de pentágono e cinco triângulos.
Os triângulos formam as faces laterais e tem em comum um vértice, formando uma ponta que é oposta à base.
As arestas laterais não são congruente.

Ilustração. Poliedro formado por uma base na forma de quadrado e quatro triângulos de mesma medida.
Os triângulos formam as faces laterais e tem em comum um vértice, formando uma ponta que é oposta à base.

Ilustração. Poliedro formado por uma base na forma de hexágono e seis triângulos de mesma medida.
Os triângulos formam as faces laterais e tem em comum um vértice, formando uma ponta que é oposta à base.

Todos são exemplos de pirâmides, possuem uma face que é uma região poligonal qualquer, chamada de base, e as demais faces são triangulares com um vértice comum, chamadas de faces laterais.

As arestas das faces laterais de uma pirâmide são chamadas de arestas laterais.

Classificação das pirâmides

As pirâmides podem ser nomeadas de acordo com a base. Observe.

Ilustração. Pirâmide triangular. Poliedro formado por uma base triangular e mais três triângulos. Os triângulos que formam as faces laterais tem em comum um vértice. As arestas laterais não são congruente. Ilustração. Pirâmide quadrangular. Poliedro formado por uma base na forma de quadrado e quatro triângulos de mesma medida. Os triângulos formam as faces laterais e tem em comum um vértice, formando uma ponta que é oposta à base. Ilustração. Pirâmide hexagonal. Poliedro formado por uma base na forma de hexágono e seis triângulos de mesma medida . Os triângulos que formam as faces laterais tem em comum um vértice , formando uma ponta que é oposta à base.

As pirâmides também podem ser classificadas como reta ou oblíqua:

• pirâmide reta – quando todas as arestas laterais são congruentes;

Ilustração. Pirâmide reta. Poliedro formado por uma base na forma de quadrado e quatro triângulos de mesma medida .
Os triângulos formam as faces laterais e tem em comum um vértice, formando uma ponta que é oposta à base.

• pirâmide oblíqua – quando não é uma pirâmide reta.

Ilustração. Pirâmide oblíqua. Poliedro formado por uma base na forma de quadrado e quatro triângulos laterais. As arestas laterais têm medidas diferentes.
Os triângulos formam as faces laterais e tem em comum um vértice, formando uma ponta que é oposta à base.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

47 Classifique as pirâmides a seguir em relação à base e como pirâmide oblíqua ou pirâmide reta.

Ilustração. Pirâmide formada por quatro triângulos. Todas as arestas laterias são congruentes.

Ilustração. Pirâmide formada por um quadrado e quatro triângulos iguais.
Todas as arestas laterais são congruentes.

Ilustração. Pirâmide formada por um hexágono e seis triângulos. A arestas laterais têm medidas diferentes.

Ilustração. Pirâmide formada por um pentágono e cinco triângulos. A arestas laterais tem medidas diferentes.

Ilustração. Pirâmide formada por um hexágono e seis triângulos iguais. Todas as arestas laterais são congruentes..

48 Quantos vértices tem uma pirâmide octogonal? E quantas arestas?

49 Quantas arestas e faces tem uma pirâmide de 10 vértices?

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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Observe esta figura e responda às questões a seguir.

Ilustração. Plano cartesiano com pontos Q, N, R, P, A, D, C e B, e linha poligonal fechada.

a) Dos pontos assinalados, quais pertencem à linha poligonal? E quais pertencem à sua região interior?

b) A região interior determinada pela linha poligonal é convéquica ou não convéquica? Justifique sua resposta.

2 Desenhe um polígono convéquiço com 4 lados e nomeie seus vértices.

a) Quantos ângulos internos tem esse polígono? Quais são?

b) Dê nome ao polígono que você desenhou.

3 Corrija as afirmações a seguir.

a) Quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos são chamados paralelogramos.

b) Um triângulo escaleno tem os três lados de mesma medida.

4 Copie a figura a seguir em uma folha de papel à parte e recorte-a. Em seguida, dobre-a no segmento

\overline{A M},

fazendo o vértice C coincidir com o vértice B.

Ilustração. Triângulo isósceles com vértices A, B, C .
Ponto M divide ao meio a base BC do triângulo.
Segmento de reta une o vértice A ao ponto M.

(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)

a) O que se verifica em relação aos lados

\overline{A B}

\overline{A C} ?

b) E em relação aos ângulos

\hat{B} e \hat{C} ?

c) Como é classificado o triângulo á bê cê ?

d) O que se verifica em relação aos segmentos

\overline{B M}

\overline{M C} ?

e) E em relação aos ângulos

B \hat{M} A

C \hat{M} A ?

5 Responda:

a) Quantas arestas tem um prisma cuja base tem 9 lados? E se a base tiver 10 lados? E 11 lados? E se a base tiver um número n de lados?

b) Quantas arestas tem uma pirâmide cuja base tem 9 lados? E se a base tiver 10 lados? E 11 lados? E se a base tiver um número n de lados?

6 Represente em seu caderno um plano cartesiano e identifique os pontos:

a(3, 7) B(9, 7) C(11, 3)

D(1, 3) ê(6, 5) F(6, 1)

a) Ao traçar segmentos unindo os pontos a, B, C e D forma-se o quadrilátero a bê cê dê. Identifique esse quadrilátero e responda: Quais são suas características?

b) Considerando que três desses pontos correspondem aos vértices de um triângulo isósceles, quais são esses possíveis pontos?

c) Que pontos correspondem aos vértices de um losango?

7 Considere o trapézio representado no plano cartesiano a seguir.

Ilustração. Plano cartesiano.
No eixo horizontal os pontos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
No eixo vertical os pontos 0, 1, 2, 3.
Trapézio com vértices A, B, C, D.
Coordenadas do ponto A (2, 3);
Coordenadas do ponto B (4, 3);
Coordenadas do ponto C (5, 1);
Coordenadas do ponto D (1, 1).

Otávio vai representar uma ampliação desse trapézio. Se ele pretende dobrar o tamanho dos lados desse polígono, quais devem ser as coordenadas de B′, sabendo que A′(3, 5).

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 O ponto de encontro de dois lados consecutivos de um polígono é chamado de:

a) vértice.

b) lado.

c) diagonal.

d) ângulo interno.

2 Um polígono de 6 lados é denominado:

a) pentágono.

b) hexágono.

c) heptágono.

d) octógono.

3 Como é denominado um triângulo que tem os três lados de mesma medida?

a) escaleno

b) equilátero

c) isósceles

d) retângulo

4 Um trapézio é todo quadrilátero que tem:

a) dois pares de lados paralelos.

b) dois lados de mesma medida.

c) só um par de lados paralelos.

d) quatro ângulos retos.

5 Quantas diagonais tem um quadrilátero?

a) uma diagonal.

b) duas diagonais.

c) 3 diagonais.

d) 4 diagonais.

6 Em relação ao par ordenado (2, 6), podemos afirmar que:

a) é igual ao par ordenado (6, 2).

b) o 2 indica a posição em relação ao eixo horizontal.

c) o 2 indica a posição em relação ao eixo vertical.

d) corresponde à origem.

7 Um decaedro tem quantas faces?

a) 8 faces

b) 9 faces

c) 10 faces

d) 12 faces

8 Um dado com o formato de dodecaedro tem suas faces numeradas. Qual é a probabilidade de sair a face 2 no lançamento desse dado?

\frac{1}{2}

\frac{1}{6}

\frac{1}{10}

\frac{1}{12}

9 O prisma da imagem a seguir é denominado:

Ilustração. Sólido formado por duas bases com formato de hexágono regular. As seis fases laterais são iguais e têm formato de retângulo.

a) prisma pentagonal reto.

b) prisma pentagonal oblíquo.

c) prisma hexagonal reto.

d) prisma hexagonal oblíquo.

10 Uma pirâmide de base quadrangular tem quantas faces formadas por regiões triangulares?

a) 3 faces

b) 4 faces

c) 5 faces

d) 6 faces

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) O que é uma linha poligonal?

b) Qual é a definição de polígono?

c) Todo polígono é convexo? Justifique sua resposta.

d) Desenhe um polígono de 7 lados e identifique seus elementos.

e) Como os polígonos podem ser classificados? Dê dois exemplos.

f) Como os triângulos podem ser classificados em relação às medidas dos lados e em relação às medidas dos ângulos?

g) Com o auxílio de régua, compasso e esquadro, é possível desenhar um triângulo retângulo? Em caso afirmativo, descreva os passos para a construção.

h) Como os quadriláteros podem ser classificados em relação ao paralelismo de seus lados?

i) Quais são as características dos retângulos, quadrados e losangos?

j) Quais são as características dos prismas e das pirâmides?

(Ao usar o compasso, atenção para não se machucar com a ponta-seca!)

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DIVERSIFICANDO

Poliedros com massinha

Giovanna e Gabriela gostam de fazer modelos de poliedros usando massa de modelar.

Ilustração. Duas meninas à frente de uma mesa. A menina à esquerda mexe uma tigela com uma colher de pau. A outra menina segura uma xícara. Sobre a mesa além da tigela tem três potes.

Receita de massa de modelar

Ingredientes:

• 4 xícaras de farinha de trigo

• 1 xícara de sal

• 1 colher de sopa de óleo

• 1 xícara e meia de água

• Anilina suficiente para colorir

Misture tudo em uma vasilha.

Observe o modelo de tetraedro que uma fez e o de hexaedro (cubo) feito pela outra.

Ilustração. Sólido feito com massa de modelar que lembra uma pirâmide de base triangular.

Ilustração. Sólido feito com massa de modelar que lembra um cubo.

Depois de terminado seu tetraedro, Giovanna construiu um tetraedro truncado, cortando com planos seus quatro “bicos”. Ela obteve um poliedro com quatro faces triangulares e quatro faces hexagonais.

Observe o tetraedro truncado e sua planificação.

Ilustração. Sequência de 3 imagens representando figuras tridimensionais e sua planificação.

A primeira imagem é uma pirâmide de base triangular com todas as faces iguais chamada tetraedo.

A segunda imagem é equivalente a cortes feitos abaixo dos vértices da primeira figura, obtendo 3 tetraedos menores e uma figura tridimensional restante.

A terceira imagem é a figura tridimensional restante chamada tetraedro truncado.

A planificação é composta de 4 hexágonos regulares iguais e 4 triângulos equiláteros iguais.

No dicionário Uáis da língua portuguesa, encontramos alguns significados para o verbo truncar:

1. separar do tronco, cortar;

2. retirar uma parte de, mutilar;

3. (rubrica: geometria) cortar (sólido geométrico) com um plano secante.

Agora é com você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Em uma folha de papel sulfite, copie a planificação do tetraedro truncado apresentado anteriormente e monte um modelo desse poliedro.

2 Se Gabriela truncar o modelo de seu hexaedro do mesmo modo que Giovanna fez, quantas faces e que tipo ela obterá no novo modelo de poliedro? (Se quiser, antes de responder, você pode fazer sua própria massinha, construir um modelo de cubo e truncá-lo.)

3 Com massa de modelar, construa um modelo de pirâmide quadrangular reta e trunque-o com um só plano, de modo que obtenha um modelo de poliedro que contenha o vértice e outro que contenha a base da pirâmide.

a) O poliedro que contém o vértice é uma pirâmide? Em caso afirmativo, de que tipo?

b) Quantas faces terá o poliedro que contém o vértice? E o outro poliedro? Classifique essas faces.

(Faça a atividade com o auxílio de um adulto.)