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ORIENTAÇÕES ESPECÍFICAS

Parte 1

O livro do 6º ano é composto de doze capítulos em que se desenvolvem as cinco Unidades Temáticas propostas pela BNCCBê êne cê cê: Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística, intercaladas e, sempre que possível, integradas, exploradas no corpo do texto explicativo e nas atividades.

A seguir, apresentamos sugestões de cronogramas para trabalhar com esses conteúdos em bimestre, trimestre e semestre com base nas organizações dos capítulos.

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Considerações iniciais

Cada capítulo aborda objetos de conhecimento, entendidos como conteúdos, conceitos, processos, com a intenção de desenvolver as habilidades relacionadas a eles. Esses conhecimentos são articulados, retomados e ampliados a fim de proporcionar sua apropriação pelos estudantes, considerando a aprendizagem um processo contínuo e integrado.

Os conteúdos matemáticos são desenvolvidos de modo que as habilidades, as Unidades Temáticas, as competências e outras áreas do conhecimento se articulem e se relacionem, e são tratados na perspectiva das aprendizagens dos anos anteriores e posteriores. Assim, no livro do 6º ano do Ensino Fundamental, levamos em conta os objetivos de aprendizagem para o 5º ano, conforme proposto na BNCCBê êne cê cê, visando preparar os estudantes para se apropriar dos conhecimentos previstos para o 7º ano.

A seguir, são feitas orientações didáticas sobre cada capítulo e o que se pretende que os estudantes desenvolvam neles.

Capítulo 1 — Números

• Objetivos do capítulo e justificativas

• Reconhecer os significados dos números naturais em diferentes contextos.

• Conhecer outros sistemas de numeração (egípcio e romano).

• Conhecer a origem do sistema de numeração indo-arábico.

• Compreender o sistema de numeração decimal, identificando o conjunto de regras e símbolos que o caracterizam.

• Praticar a leitura e a escrita dos números naturais.

• Comparar números naturais, assim como reconhecer sucessor e antecessor de qualquer um deles.

• Trabalhar com informações de embalagens.

Ao apresentar aos estudantes alguns dos sistemas de numeração desenvolvidos por diferentes civilizações, em diferentes períodos históricos, além das características desses sistemas, contribui-se para que os estudantes percebam a Matemática como uma ciência humana, fruto das necessidades de diferentes culturas, competência que deve ser trabalhada como explicitado na competência geral 1 e na competência específica 1.

Ao explorar o sistema de numeração indo-arábico como um conjunto de regras que permitem a escrita de qualquer número e compreender sua escrita e leitura, contribui-se para o desenvolvimento do letramento matemático e para que os estudantes adquiram ferramentas que os auxiliem na compreensão de mundo, uma vez que o uso de números está presente em diferentes contextos. Desse modo, contribuímos para o desenvolvimento das competências gerais 2 e 4 e da competência específica 4.

O trabalho proposto na seção Trabalhando a Informação proporciona aos estudantes um momento de reflexão sobre os tipos de informação contidos em embalagens e suas funções, o que propicia um trabalho com a competência geral 7 e o Tema Contemporâneo Transversal educação para o consumo.

A competência geral 7 e a competência específica 7 são trabalhadas na Abertura do capítulo que apresenta o projeto Mangues e o explora com questões que propiciam uma discussão de urgência social (preservação do meio ambiente). Já o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 é favorecido com as diferentes propostas de atividades a serem realizadas em grupos, pois permitem aos estudantes que exercitem diferentes habilidades socioemocionais ao trabalharem com colegas que podem ou não ter dificuldades ou facilidades em relação às atividades propostas.

As diferentes atividades propostas contribuem para o desenvolvimento da competência específica 6, assim como as atividades em grupo contribuem para o desenvolvimento da competência específica 8.

• Habilidades trabalhadas no capítulo

(EF06MA01ê éfe zero seis ême ah zero um) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.

(EF06MA02ê éfe zero seis ême ah zero dois) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

Neste capítulo, são desenvolvidos objetos de conhecimento da Unidade Temática Números. Nos conteúdos e atividades propostos, foram consideradas as aprendizagens dos anos iniciais do Ensino Fundamental, especialmente as do 5º ano, como a habilidade (EF05MA01ê éfe zero cinco ême ah zero um), relativa aos sistemas de numeração e aos números naturais.

Esse é o momento de ampliação dos conhecimentos desenvolvidos, na perspectiva de que a continuidade desse processo conduza o estudante a se apropriar das características do sistema de numeração decimal e da sequência dos números naturais, o que contribui para o desenvolvimento das habilidades (EF06MA01ê éfe zero seis ême ah zero um) e (EF06MA02ê éfe zero seis ême ah zero dois). Para isso, apresentam-se conceitos e atividades que conduzam os estudantes a reconhecer os principais aspectos dos números naturais: leitura, escrita e comparação.

Nessa exploração, espera-se que os estudantes mobilizem seus conhecimentos acerca das operações com números naturais, desenvolvidos nos anos anteriores, para a compreensão dos conteúdos estudados.

Além disso, ao ampliar os conhecimentos que os estudantes já têm sobre os números naturais, espera-se prepará-los para a apropriação de outros tipos de número e a ampliação dos conjuntos numéricos que serão estudados posteriormente, caso dos números inteiros, abordados no 7º ano do Ensino Fundamental, (EF07MA03ê éfe zero sete ême ah zero três).

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• Comentários e resoluções

Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompanham as reproduções das páginas do livro do estudante.

Exercícios propostos

5. c) Seguindo os comandos da cartela, obtemos:

6. a) 1ª ordem corresponde às unidades, então o valor posicional é 7; 3ª ordem corresponde às centenas, então o valor posicional é 700.

6. b) 2ª ordem corresponde às dezenas, então o valor posicional é 50; 4ª ordem corresponde à unidade de milhar, então o valor posicional é 5.0005000

7. a) Em 3.7653765, o valor posicional do algarismo 3 é 3.0003000.

7. b) Em 32.000.00032000000, o valor posicional do algarismo 3 é 30.000.00030000000.

8. Para escrever o menor número, as maiores ordens são preenchidas com os algarismos de menor valor. Como 056 = 56 tem apenas dois algarismos, 506 é o menor número possível. O maior número deve ser formado pelos algarismos de maior valor nas maiores ordens, portanto 986.

9. Os algarismos de menor valor são 0, 1 e 2; então, 102 é o menor número formado por 3 algarismos distintos.

14. Informe aos estudantes que alguns recibos ou cheques podem apresentar, além do valor referente ao dinheiro, números como número do recibo, data, número do banco, número da conta, número do CPF etc.etcétera

O valor é de trinta e sete mil, trezentos e oitenta e cinco reais.

15. Aqui, usa-se a relação 1 milhão = 1.000.0001000000; dessa maneira:

15. a) 48 milhões = 48.000.00048000000

15. b) 110 milhões = 110.000.000110000000

16. a) O primeiro ponteiro está entre os algarismos 4 e 5, o segundo entre os algarismos 1 e 2, o terceiro entre os algarismos 7 e 8 e o quarto entre os algarismos 5 e 6. Logo, o número indicado é: 4.1754175.

16. b) O primeiro ponteiro está entre os algarismos 8 e 9, o segundo entre os algarismos 9 e 0, o terceiro entre os algarismos 2 e 3 e o quarto entre os algarismos 1 e 2. Logo, o número indicado é: 8.9218921.

17. Oriente os estudantes na representação dos medidores. Verifique se todos os algarismos foram representados corretamente.

19. Como os temas dos textos pesquisados podem ser variados, sugira que escolham temas que possam trazer curiosidades a serem compartilhadas entre os colegas. Escolha alguns desses textos para serem lidos na classe. Aproveite para avaliar a leitura em relação ao texto e aos números representados.

22. a) Nesse caso, ao considerar a expressão “maior que 5”, o estudante deve perceber que o número 5 não podepóde ser considerado. Assim, obtêm-se: 6, 7, 8, 9, 11 ...reticências

22. b) Ao indicar “menores ou iguais”, deve-se considerar o número 5: 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

22. c) Como pede os números maiores que 5 e menores que 10, deve-se desconsiderar o 5 e o 10: 6, 7, 8 e 9.

22. d) Ao pedir números naturais entre 5 e 10, deve-se desconsiderar o 5 e o 10: 6, 7, 8 e 9.

22. e) Ao pedir os números de 5 a 10, devem-se considerar esses extremos; logo: 5, 6, 7, 8, 9 e 10.

24. O menor número natural de 3 algarismos é 100, e seu antecessor é 100 −menos 1 = 99. O maior número natural de 4 algarismos é 9.9999999, e seu sucessor é 9.9999999 + 1 = 10.00010000.

25. a) Na ilustração, Paulo está segurando placas com os algarismos 5, 7 e 9. Então, sua casa podepóde ter qualquer número formado por esses algarismos, ou seja: 579, 597, 759, 795, 957 ou 975.

25. b) Considerando que casas de menor numeração estão mais próximas do início da rua, a casa teria o número 579, que é o menor deles.

25. c) Considerando que casas de maior numeração estão mais próximas do fim da rua, a casa teria o número 975, que é o maior deles.

25. d) e) Para responder a essas questões, os estudantes deverão considerar o número de sua residência. Caso o local onde moram não tenha número de identificação, incentive-os a escolher outro número que tenha significado para eles, como o ano de nascimento ou de algum acontecimento que recordem.

26. Oriente os estudantes a definir uma escala adequada para a representação desses números.

27. Oriente os estudantes na elaboração das dicas e na troca de problemas para responder aos itens aa e b. Esse tipo de atividade contribui para que eles possam trocar ideias e dúvidas sobre o conteúdo estudado.

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Pense mais um pouco

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1. O capítulo vai da página 38 até 53, então são 53 −menos 38 + 1 = 16 (16 páginas).

2. De 1 a 150, incluindo os extremos, obtemos:

• Números de 1 algarismo: de 1 a 9 → são 9 números → 9 algarismos

• Números de 2 algarismos: de 10 a 99 → são 90 números → 180 algarismos

• Números de 3 algarismos: de 100 a 150 → são 51 números → 153 algarismos

No total: 9 + 180 + 153 = 342 (342 algarismos).

3. a) Ao efetuar a subtração e, depois, não levar em conta a página inicial, Juliana cometeu um erro.

3. b) Da mesma maneira que Juliana, Alberto errou ao desconsiderar os números iniciais 10 e 100 dos dois últimos intervalos.

4. Ela imprimirá as páginas de 37 a 75, ou seja 75 −menos 37 + 1 = 39 (39 páginas). Como são todos números de 2 algarismos, são necessários 78 algarismos para numerá-las (39 × 2 = 78).

Exercícios complementares

1. a) Seis mil, novecentos e trinta e sete: 6.9376937

1. b) Dois milhões, quinhentos e trinta mil, setecentos e um: 2.530.7012530701

2. a) Os números são 167, 176, 617, 671, 716 e 761; portanto, o maior deles é 761.

2. b) O menor deles é 167.

2. c) O menor iniciando com 7 é 716.

2. d) O maior iniciando com 6 é 671.

3. a) Os números possíveis com essas restrições são 21, 42, 63 e 84. Logo, o número que é menor que 40 é o 21.

3. b) O número que é maior que 70 é o 84.

4. a) Para usar todos os algarismos, o número não podepóde iniciar com 0; dessa maneira, o menor número formado é 1.000.2231000223.

4. b) O maior número formado é 3.221.0003221000.

5. a) Arlete numerou com todos os números de 1 a 256. Nesse intervalo, existem:

• Números de 1 algarismo: 1 a 9 → 9 números → 9 algarismos

• Números de 2 algarismos: 10 a 99 → 90 números → 180 algarismos

• Números de 3 algarismos: 100 a 256 → 157 números → 471 algarismos

No total: 660 algarismos (9 + 180 + 471 = 660).

5. b) Nesse intervalo, os números com algarismo 2 são:

• Números de 1 algarismo: 2 → 1 vez

• Números de 2 algarismos:

Na unidade: 12, 22, 32, 42, ...reticências, 92 → 9 vezes

Na dezena: 20 a 29 → 10 vezes

• Números de 3 algarismos:

Na unidade: 102, 112, 122, 132, ...reticências, 212, 222, 232, 242, 252 → 16 vezes

Na dezena: 120 a 129, 220 a 229 → 20 vezes

Na centena: 200 a 256 → 57 vezes

No total: 113 vezes (1 + 9 + 10 + 16 + 20 + 57 = 113).

6. Lúcia – números de 2 algarismos: de 10 a 99 → 90 números.

Paula – números de 2 algarismos distintos: os 90 números anteriores, menos 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 e 99, equivale à 81 números (90 −menos 9 = 81).

Rogério – pares de dois algarismos são metade dos números de Lúcia → 90 :dividido por 2 = 45 (45 números).

Renato – pares de dois algarismos distintos são os 45 de Rogério, menos 22, 44, 66 e 88 → 45 – 4 = 41 (41 números).

7. a) No texto, há o trecho “Um salário de 4.750.0004750000 cruzeiros [...]reticências passou para 4.7504750 cruzeiros reais”. Dessa maneira, o valor posicional do 7 era 700.000700000 e passa a ser 700.

7. b) O valor posicional do 4 passa a ser 4.0004000 e era 4.000.0004000000.

Verificando

1. Para representar o número 1.4931493 no sistema de numeração romano, fazemos:

1.0001000 = Même   90 = XCxis cê

400 = CDcedê    3 = IIIí í í

1.4931493 = MCDXCIIIême cê dê xís cê í í í

No sistema de numeração egípcio, a flor de lótus representa 1.0001000, uma corda enrolada representa 100, um calcanhar representa 10 e uma haste equivale a 1uma unidade, de formafórma que a representação final será:

Alternativa d.

2. No número 1.085.7501085750, o valor posicional do algarismo 8 é 80.00080000.

Alternativa c.

3. No número 95.79695796, o algarismo 7 vale 700, ou seja, setecentas unidades.

Alternativa c.

4. Para escrever 1.050.650.0011050650001 por extenso, deve-se separar os números por classes: um bilhão, cinquenta milhões, seiscentos e cinquenta mil e um.

Alternativa c.

5. Vamos analisar cada uma das alternativas:

a) Falso, pois os algarismos de 0 a 9 são os 10 símbolos que compõem o sistema de numeração indo-arábico.

b) Falso, pois é um sistema de base 10.

c) Falso, pois o valor do número depende da posição dos algarismos, em um número.

d) Verdadeiro, há um símbolo para representar o zero: 0.

Alternativa d.

6. O sucessor será: 1.099.0991099099 + 1 = 1.099.1001099100.

Alternativa b.

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7. O menor número formado terá os maiores algarismos nas primeiras ordens, e não podepóde iniciar por 0; portanto, será 2.0592059.

Alternativa b.

8. Os valores maiores que 10 não incluem o próprio 10, mas a partir de seu sucessor:

{11, 12, 13, 14, 15, ...reticências}

Alternativa d.

9. O ponto A podepóde ser indicado como o ponto médio entre 20 e 100; logo, A = 60. Já a medida da distância de B a 100 corresponde a aproximadamente um terço da medida da distância de 100 a 130. Logo, B = 110.

Alternativa c.

Capítulo 2 — Operações com números naturais

• Objetivos do capítulo e justificativas

• Resolver situações-problema compreendendo diferentes significados das operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação que envolvem números naturais.

• Realizar cálculos relativos a operações com números naturais por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos nelas envolvidos.

• Reconhecer e usar as propriedades das operações de adição e multiplicação com números naturais.

• Resolver expressões numéricas que contenham operações com números naturais.

• Relacionar a potência com expoente natural a um produto reiterado de fatores iguais.

• Compreender e calcular a raiz quadrada exata, a raiz cúbica exata (e de outros índices) de um número natural.

• Arredondar números naturais para diferentes ordens.

• Perceber a utilidade dos arredondamentos para fazer estimativas.

• Iniciar a construção de tabelas como maneira de organizar, representar e interpretar dados.

• Ler, identificar e interpretar dados expressos em gráficos de colunas.

O trabalho com as quatro operações fundamentais, além da potenciação e da radiciação, por meio do estudo de suas propriedades, pelo uso de diferentes estratégias e por meio da resolução de problemas, favorece o desenvolvimento do letramento matemático. Desse modo, os objetivos explicitados contribuem para que os estudantes desenvolvam diferentes habilidades, como o uso de linguagem simbólica (formal e técnica), a compreensão leitora, a interpretação de informações e o desenvolvimento de um repertório para a resolução de diferentes situações-problema. Desse modo, contribuímos para o desenvolvimento das competências gerais 2 e 4 e da competência específica 2.

Os arredondamentos e as estimativas são ferramentas que favorecem o trabalho com a competência específica 2, que trata do desenvolvimento do raciocínio lógico, do espírito de investigação e da capacidade de produzir argumentos convincentes.

Na seção Para saber mais, ao trabalhar a multiplicação hindu, favorecemos o desenvolvimento da competência específica 1, da competência geral 1 e do Tema Contemporâneo Transversal diversidade cultural.

Situações-problema como a que trabalha a ideia retangular da multiplicação por meio da apresentação coreográfica com pessoas em cadeiras de roda na festa de recepção aos Jogos Paralímpicos de 2024, em Paris, despertam nos estudantes a reflexão sobre a importância da inclusão social e favorecem o desenvolvimento da competência específica 7.

Nas duas seções Trabalhando a informação, ao tratar de tabelas e gráficos, contribui-se para o desenvolvimento das competências específicas 4 e 6.

Ao contextualizar uma situação-problema com uma temática, que relata a queda da população de onças-pintadas em um parque nacional, orientamos a discussão sobre o Tema Transversal Contemporâneo educação ambiental e propiciamos o desenvolvimento da competência geral 7. Em outro momento, abordamos, por meio de matéria especializada do Conselho Federal de Medicina, a evolução do número de médicos no Brasil nos últimos cem anos, contribuindo para o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal saúde. Além dessa situação com a temática saúde, no exercício 52, da seção Exercícios propostos, solicitamos aos estudantes que pesquisem as informações contidas nas embalagens de produtos que consomem, fazendo-os refletir sobre essas informações e contribuir para o desenvolvimento da competência geral 8. Esse tema também é focado no exercício 21 com tabela de dados da FAO sobre a população mundial mal-nutrida. O desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 é favorecido com as diferentes propostas de atividades a serem realizadas em grupos, pois permitem aos estudantes que exercitem diferentes habilidades socioemocionais ao trabalharem com colegas que podem ou não ter dificuldades ou facilidades em relação às atividades propostas.

As diferentes atividades propostas contribuem para o desenvolvimento da competência específica 6, assim como as atividades em grupo contribuem para o desenvolvimento da competência específica 8. Já a proposta de Abertura propicia uma discussão de urgência social (preservação do meio ambiente), o que contribui para o desenvolvimento da competência específica 6.

• Habilidades trabalhadas no capítulo

(EF06MA03ê éfe zero seis ême ah zero três) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

(EF06MA31ê éfe zero seis ême ah três um) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

(EF06MA32ê éfe zero seis ême ah três dois) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

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(EF06MA33ê éfe zero seis ême ah três três) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

Neste capítulo serão aprofundados os conhecimentos acerca dos números naturais. Serão exploradas as operações entre eles, considerando a Unidade Temática Números, ampliando o que foi abordado no capítulo anterior e contribuindo para o desenvolvimento da habilidade (EF07MA03ê éfe zero sete ême ah zero três).

O estudo das quatro operações fundamentais toma por base os conhecimentos consolidados até o 5º ano do Ensino Fundamental e tem como foco aqueles que serão explorados no 7º ano, entre eles a resolução de problemas envolvendo operações com números inteiros (EF07MA04ê éfe zero sete ême ah zero quatro).

Ainda nessa Unidade Temática, são apresentadas as operações potenciação e radiciação com números naturais, conhecimentos que se articulam com aqueles a serem desenvolvidos no ano seguinte com relação aos números inteiros.

A Unidade Temática Álgebra articula-se com a Unidade Temática Números na seção Diversificando, na qual se aplica a propriedade aditiva da igualdade, considerando o cenário das aprendizagens do 5º ano (EF05MA10ê éfe zero cinco ême ah um zero).

A Unidade Temática Geometria é abordada na construção de algoritmo para resolver situações passo a passo, o que ocorre na seção Para saber mais, ao apresentar o procedimento da multiplicação hindu.

Interpretar gráficos de colunas e de barras e a abordagem proposta neste capítulo para a Unidade Temática Probabilidade e estatística contribuem para o desenvolvimento das habilidades (EF06MA31ê éfe zero seis ême ah três um) e (EF06MA32ê éfe zero seis ême ah três dois). Cabe observar que tais conhecimentos foram tratados no 5º ano (EF05MA24ê éfe zero cinco ême ah dois quatro), sendo agora ampliados e aprofundados na perspectiva de preparar os estudantes para, no ano seguinte, utilizarem gráficos para comunicar informações obtidas na realização de pesquisa (EF07MA36ê éfe zero sete ême ah três seis). A atividade proposta para que os estudantes realizem uma pesquisa contribui para o desenvolvimento da habilidade (EF06MA33ê éfe zero seis ême ah três três).

• Comentários e resoluções

Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompanham as reproduções das páginas do livro do estudante.

Exercícios propostos

1. A capacidade é dada pela adição do seu conteúdo com o que ainda se podepóde colocar até ficar cheia:

35.75035750 + 12.25012250 = 48.00048000. Na piscina cabem 48.00048000 litros.

2. Os maiores números naturais menores que 3 e 5 são, respectivamente, 2 e 4, e como 2 + 4 = 6, encontramos o exemplo pedido.

3. A população do estado forafóra da capital é de 6.052.7946052794, e a população da capital é de 1.115.9321115932; portanto, a população total do estado é de 7.168.7267168726, pois 6.052.7946052794 + 1.115.9321115932 = 7.168.7267168726.

4. Pela ilustração, observamos as seguintes distâncias (em quilômetro): A até B: 90; B até C: 153; C até D: 121; D até E: 239; E até A: 117, então:

4. a) 90 + 153 + 121 = 364; portanto, 364 kmquilômetros.

4. b) 117 + 239 = 356; portanto, 356 kmquilômetros.

4. c) 364 + 121 = 485; portanto, 485 kmquilômetros.

4. d) 153 + 121 + 239 = 513; portanto, 513 kmquilômetros.

5. O menor número natural maior do que 3 é o 4. Como 4 + 4 = 8 e 8 > 7, não é possível.

6. Ela pega o ônibus às 7 hhoras 10 minminutos, demora 25 minutos no transporte e 11 minutos a pé, chegando à escola 7 hhoras 46 minminutos (10 + 25 + 11 = 46).

7. Do texto: “Na primeira, o público pagante foi de 54.32154321 pessoas, e o público não pagante foi de 3.8953895 pessoas. Na segunda partida, a quantidade de pessoas aumentou: os pagantes foram 63.24763247 pessoas, e os não pagantes, 5.8945894 pessoas”.

7. a) Desse modo, na primeira partida compareceram 58.21658216 torcedores (54.32154321 + 3.8953895 = 58.21658216) e, na segunda, 69.14169141 espectadores (63.24763247 + 5.8945894 = 69.14169141).

7. b) O total de pessoas que assistiram aos jogos é de 127.357127357 (69.14169141 + 58.21658216 = 127.357127357).

8. Todos os números com algarismos 2, 5 e 7 distintos são: 257, 275, 527, 572, 725, 752, e sua soma é 3.1083108.

12. As propriedades mencionadas indicam que a ordem das parcelas não altera a soma (propriedade comutativa) e que podemos associar as parcelas de modos diferentes sem alterar a soma (propriedade associativa). Nos casos a seguir, a ideia é associar valores mais facilmente calculáveis, como os pares 5 + 5 = 6 + 4 = 7 + 3 = 10.

12. a) 73 + (15 + 5) = 73 + 20 = 93

12. b) 20 + (13 + 7) = 20 + 20 = 40

12. c) (18 + 12) + 61 = 30 + 61 = 91

12. d) 28 + 12 + 17 = (28 + 12) + 17 = 40 + 17 = 57

12. e) (15 + 5) + 9 = 20 + 9 = 29

12. f) (43 + 27) + 51 = 70 + 51 = 121

13. Mônica decompõe os números e depois os reagrupa para adicioná-los; observe:

13. a) (70 + 3) + (10 + 5) + 5 = (70 + 10) + (3 + 5 + 5) = 80 + 13 = 93

13. b) 20 + (10 + 3) + 7 = (20 + 10) + (3 + 7) = 30 + 10 = 40

13. c) (10 + 8) + (10 + 2) + (60 + 1) = (10 + 10 + 60) + (8 + 2 + 1) = 80 + 11 = 91

13. d) (20 + 8) + (10 + 7) + (10 + 2) = (20 + 10 + 10) + (8 + 7 + 2) = 40 + 17 = 57

13. e) (10 + 5) + 5 + 9 = 10 + (5 + 5 + 9) = 10 + 19 = 29

13. f) (40 + 3) + (50 + 1) + (20 + 7) = (40 + 50 + 20) + (3 + 1 + 7) = 110 + 11 = (100 + 10) + (10 + 1) = 100 + (10 + 10) + 1 = 121

Página XXXVIItrinta e sete

14. Dados têm valores de 1 a 6, por isso as opções com soma 9 são duas: 3 e 6, 4 e 5.

15. a) No início da viagem, o hodômetro marcava 18.54018540 kmquilômetros; depois de percorrer 1.8371837 kmquilômetros na viagem, passará a marcar 20.37720377 kmquilômetros (18.54018540 + 1.8371837 = 20.37720377).

15. b) Após percorrer 1.4001400 kmquilômetros, passará a marcar 21.77721777 kmquilômetros (20.37720377 + 1.4001400 = 21.77721777).

17. Cristina saiu de casa com 57 reais (5 × 10 + 3 × 1 + 2 × 2 = 50 + 3 + 4 = 57).

17. a) Ao todo, Cristina tem 57 reais (5 × 10 + 3 × 1 + 2 × 2 = 57). Pagando 35 reais no almoço, sobram 22 reais (57 – 35 = 22).

17. b) Ela precisa pagar exatamente 35 reais para não receber troco; podepóde fazer isso das seguintes maneiras: usando 3 cédulas de 10 reais, 1uma cédula de 2 reais e 3 moedas de 1 real ou 3 cédulas de 10 reais, 2duas cédulas de 2 reais e 1uma moeda de 1 real.

18. Usando a calculadora, obtém-se 67.18567185 – 31.84631846 = 35.33935339; para conferir usando a operação inversa, deve-se efetuar 35.33935339 + 31.84631846 e observar que será igual a 67.18567185.

19. A adição correspondente é a operação inversa:

19. a) 5.8125812 – 4.8154815 = 997 ⇒ 997 + 4.8154815 = 5.8125812

19. b) 72.36872368 – 25.58625586 = 46.78246782 ⇒ 46.78246782 + 25.58625586 = 72.36872368

20. 416 + 209 = 625, e duas subtrações que se podepóde associar são as operações inversas, ou seja, 625 – 209 = 416 e 625 – 416 = 209.

21. Podemos observar os valores na tabela, sempre em milhões.

• Ásia: em 2005, 554; em 2020, 418.

A diferença é de 136 milhões (554 – 418 = 136) a menos.

• América Latina e Caribe: em 2005, 52; em 2020, 60.

A diferença é de 8 milhões (60 – 52 = 8) a mais.

22. Não é possível efetuar a subtração nos números naturais se o minuendo for menor que o subtraendo. Assim:

22. a) 206 – 48 = 158

22. b) São valores iguais:

116 – 116 = 0

22. c) Impossível, pois 54 < 75.

22. d) São valores iguais:

91 – 91 = 0

22. e) Impossível, pois 13 < 23.

22. f) 67 – 49 = 18

23. Só é possível quando o minuendo for maior ou igual ao subtraendo.

24. Não podemos dizer isso. Observando o exemplo 10 – 5 ≠ 5 – 10 fica evidente que a subtração não é comutativa, pois a ordem da operação importa no resultado (e na possibilidade de efetuar a operação).

25. Resposta pessoal. Existem outras maneiras de fazer o cálculo proposto, por exemplo:

173 + 27 = (170 + 3) + (20 + 7) = (170 + 20) + (3 + 7) = 190 + 10 = 200

27. Deseja-se obter a diferença entre as quantidades de medalha, então a operação a ser efetuada é a subtração 30 – 20.

28. a) Do texto, “ao fazer uma jarra de limonada, coloquei 100 gramas de açúcar. Depois, coloquei mais 50 gramas. Experimentei e não estava boa. Resolvi acrescentar 250 gramas de açúcar”. Portanto, a quantidade total de açúcar é de 400 ggramas (100 + 50 + 250 = 400).

28. b) Do texto, “o último acréscimo de açúcar deveria ter sido de apenas 150 gramas”. Como o acréscimo havia sido de 250 ggramas, a quantidade a mais é de 100 ggramas (250 – 150 = 100).

29. As operações são chamadas inversas quando indicam o processo contrário da operação de referência.

31. Resposta pessoal; elaboração de problema.

33. Como 2 + 8 = 10 e 5 + 5 = 10, podepóde ser mais fácil operar agrupando números cuja soma forme dezenas inteiras.

12 + 25 + 18 + 15 = 37 + 18 + 15 = 55 + 15 = 70

(12 + 18) + (25 + 15) = 30 + 40 = 70

34. A adição mental podepóde ser facilitada agrupando as ordens e procurando formar dezenas inteiras.

34. a) 11 + 37 + 9 = (11 + 9) + 37 = 20 + 37 = 57

34. b) (20 + 10) + (70 + 6) = (30 + 70) + 6 = 100 + 6 = 106

34. c) 54 + (20 + 3) + 7 = (54 + 20) + (3 + 7) = 74 + 10 = 84

Página XXXVIIItrinta e oito

34. d) (40 + 3) + 21 + 7 + (50 + 6) + 4 = = 40 + (3 + 7) + 50 + (6 + 4) + 21 = = 40 + 10 + 50 + 10 + 21 = 100 + 31 = 131

40. Nessa situação, receber um e-mail significa adicionar 1 à caixa de entrada, e apagar um e-mail significa subtrair 1.

40. a) Do texto, “acumulou 650 mensagens em um mês e deletou 288 delas. No mês seguinte, ele recebeu 740 novas mensagens e apagou 1.0001000 mensagens”. Então a expressão será:

650 – 288 + 740 – 1.0001000

40. b) Resolvendo a expressão do item aa:

650 – 288 + 740 – 1.0001000 = 362 + 740 – 1.0001000 = = 1 102 – 1.0001000 = 102

Portanto, 102cento e duas mensagens.

41. Nessa situação, subir indica adição e descer indica subtração na formulação da expressão.

41. a) Do texto, “depois de subir 455 metros de uma montanha, subiu mais 325 metros, porém escorregou e desceu 18 metros. Depois, ele tornou a subir 406 metros.”. Então a expressão será:

455 + 325 – 18 + 406

41. b) Resolvendo a expressão:

455 + 325 – 18 + 406 = 780 – 18 + 406 = = 762 + 406 = 1.1681168

41. c) A alpinista está a 1.1681168 mmétros da base da montanha.

42. Resposta pessoal.

43. a) A multiplicação nos permite descobrir o valor total de organizações retangulares, como é o caso da plantação de abacaxis enfileirados, efetuando 118 ⋅ 84.

43. b) Os números 118 e 84 são os fatores. O resultado se chama produto.

43. c) 118 ⋅ 84 = 9.9129912; logo, 9.9129912 pés de abacaxi.

44. Nesse caso, a multiplicação é a adição de parcelas iguais.

44. a) 4 parcelas 5 são equivalentes a 4 ⋅ 5.

44. b) 5 parcelas 2 são equivalentes a 5 ⋅ 2.

44. c) 3 parcelas 7 são equivalentes a 3 ⋅ 7.

44. d) 2duas parcelas a são equivalentes a 2 ⋅ a.

45. A figura é formada por um retângulo de 4 por 7 quadradinhos.

45. a) Será a soma das 4 linhas de quadradinhos:

7 + 7 + 7 + 7

45. b) Será a soma das 7 colunas de quadradinhos:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4

45. c) A multiplicação equivalente ao item aa é 4 ⋅ 7 e ao item b é 7 ⋅ 4.

46. Larissa mora no 13º andar e está vindo do 4º andar, então precisa subir 9 lances de escada (13 – 4 = 9), cada um com 18 degraus; portanto, são 162 degraus (9 ⋅ 18 = 162).

47. Se qualquer um dos dois fatores de uma multiplicação for zero, o resultado (produto) também será zero.

48. Para efetuar uma multiplicação em que um dos fatores é potência de 10, pois basta acrescentar os “zeros” da potência em um dos outros fatores.

48. a) 5 ⋅ 10 = 50

48. b) 32 ⋅ 100 = 3.2003200

48. c) 74 ⋅ 1.0001000 = 74.00074000

48. d) 42 ⋅ 10.00010000 = 420.000420000

49. a) 25 ⋅ 2 = 50

49. b) 25 ⋅ 200 = 5.0005000

49. c) 5 ⋅ 60 = 300

49. d) 5 ⋅ 600 = 3.0003000

49. e) 8 ⋅ 9 = 72

49. f) 80 ⋅ 90 = 7.2007200

55. Um dado tem 6 opções de resultado, e uma moeda tem 2duas opções; por isso, o total de modos possíveis será de 12, pois 6 ⋅ 2 = 12.

56. Para a primeira faixa há 3 opções de cores. Tendo escolhido uma, para a segunda faixa haverá 2duas opções de cores e, escolhendo uma para essa faixa, para a terceira restará 1uma opção de cor. Assim, o total de maneiras possíveis é 6, pois 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6.

57. Tendo 3 pares de tênis e 5 pares de meias, tenho 15 opções (3 ⋅ 5 = 15).

58. Primeira parte do trajeto tem 2duas opções (trem e ônibus) e a segunda parte tem 3 opções (metrô, carona, ônibus), totalizando 6 opções (2 ⋅ 3 = 6) de trajetos de ida e a mesma quantidade e opções para a volta. As opções são: trem-metrô, trem-carona, trem-ônibus, ônibus-metrô, ônibus-carona, ônibus-ônibus.

59. a) Nesse restaurante, há 3 tipos de sanduíche, 2 tipos de suco e 2 tipos de sobremesa, totalizando 12 opções de refeição (3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 12).

59. b) Identificando as opções mais baratas em cada categoria, obtemos: cachorro-quente (R$ 5,00cinco reais), suco de limão (R$ 5,00cinco reais) e sorvete (R$ 5,00cinco reais).

60. Cada moeda tem as faces cara e coroa, obtidas sem dependência entre si, de modo que as opções ao lançar duas moedas são: cara e cara, cara e coroa, coroa e cara, coroa e coroa.

61. Resposta pessoal; elaboração e resolução de problemas.

62. O modo mais fácil de resolução depende das habilidades individuais; uma opção seria:

62. a) 36 ⋅ (25 ⋅ 4) = 36 ⋅ 100 = 3.6003600

62. b) 5 ⋅ 45 ⋅ 2 = (5 ⋅ 2) ⋅ 45 = 10 ⋅ 45 = 450

Página XXXIXtrinta e nove

62. c) 9 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 5 = 9 ⋅ 4 ⋅ (2 ⋅ 5) = 36 ⋅ 10 = 360

63. As propriedades da multiplicação são a comutatividade (a ordem dos fatores não altera o produto), a associatividade (podemos associar os fatores de modos diferentes sem alterar o produto) e a existência do elemento neutro (o número 1 é o elemento neutro da multiplicação); dessa maneira:

63. a) 2 ⋅ 17 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5) ⋅ 17 = 10 ⋅ 17 = 170

63. b) 2 ⋅ 15 ⋅ 36 = (2 ⋅ 5) ⋅ (3 ⋅ 36) = 10 ⋅ 108 = 1.0801080

63. c) 18 ⋅ 5 ⋅ 4 = (18 ⋅ 2) ⋅ (5 ⋅ 2) = 36 ⋅ 10 = 360

63. d) 2 ⋅ 38 ⋅ 5 = 38 ⋅ (2 ⋅ 5) = 38 ⋅ 10 = 380

63. e) 25 ⋅ 137 ⋅ 4 = (25 ⋅ 4) ⋅ 137 = 100 ⋅ 137 = 13.70013700

63. f) 12 ⋅ 0 ⋅ 1 = 0

63. g) 14 ⋅ 20 ⋅ 10 = (14 ⋅ 2) ⋅ (10 ⋅ 10) = 28 ⋅ 100 = 2.8002800

63. h) 12 ⋅ 1 ⋅ 10 = 12 ⋅ 10 = 120

63. i) 8 ⋅ 21 ⋅ 5 = (4 ⋅ 2) ⋅ (7 ⋅ 3) ⋅ 5 = (4 ⋅ 3 ⋅ 7) ⋅ (2 ⋅ 5) = 12 ⋅ 7 ⋅ 10 = 84 ⋅ 10 = 840

63. j) 75 ⋅ 1 ⋅ 4 = (25 ⋅ 3) ⋅ 4 = (25 ⋅ 4) ⋅ 3 = 100 ⋅ 3 = 300

64. A primeira impressora faz 12 cópias por minuto, a segunda imprime o triplo, ou seja, 36 cópias/minuto (12 ⋅ 3 = 36) e, portanto, 540 cópias em 15 minutos (36 ⋅ 15 = 540).

65. As roupas vendidas na loja foram as seguintes: em outubro, 84; em novembro, 168, pois 84 ⋅ 2 = 168; em dezembro, 504, pois 168 ⋅ 3 = 504. Portanto, no total do trimestre foram 756 peças de roupa (84 + 168 + 504 = 756).

70. Analisando cada caso:

70. a) verdadeira; como 1 é o elemento neutro da multiplicação, 6 ⋅ 1 = 6.

70. b) verdadeira; pela propriedade comutativa, a ordem dos fatores não altera o resultado da multiplicação.

70. c) verdadeira; pela propriedade distributiva, 6 ⋅ (7 + 4) é equivalente a 6 ⋅ 4 + 6 ⋅ 7.

70. d) falsa; pela propriedade distributiva, 10 ⋅ (x + 1) = 10 ⋅ x + 10 ⋅ 1 ≠ 10 ⋅ x.

70. e) falsa; qualquer multiplicação em que zero seja um dos fatores resulta em zero, 5 ⋅ 0 = 0.

71. A decomposição de um dos fatores em suas ordens e a propriedade distributiva são necessárias nessa resolução.

71. a) 5 ⋅ 15 = 5 ⋅ (10 + 5) = 5 ⋅ 10 + 5 ⋅ 5 = 50 + 25 = 75

71. b) 7 ⋅ 42 = 7 ⋅ (40 + 2) = 7 ⋅ 40 + 7 ⋅ 2 = 280 + 14 = 294

71. c) 3 ⋅ 25 = 3 ⋅ (20 + 5) = 3 ⋅ 20 + 3 ⋅ 5 = 60 + 15 = 75

71. d) 4 ⋅ 13 = 4 ⋅ (10 + 3) = 4 ⋅ 10 + 4 ⋅ 3 = 40 + 12 = 52

71. e) 7 ⋅ 93 = 7 ⋅ (90 + 3) = 7 ⋅ 90 + 7 ⋅ 3 = 630 + 21 = 651

71. f) 6 ⋅ 58 = 6 ⋅ (50 + 8) = 6 ⋅ 50 + 6 ⋅ 8 = 300 + 40 = 348

72. Resposta pessoal; elaboração e resolução de problemas.

73. Nessa elaboração, ao substituir os números por adições ou subtrações, estas precisam estar entre parênteses para que a resolução seja corretamente efetuada pelo colega.

85. Analisando as informações do enunciado, utilizando a propriedade, pode-sepóde-se escrever:

dividendo = quociente ⋅ divisor + resto

Então:

• 42 = 7 ⋅ 6 + 0

• (42 + 1) = 7 ⋅ 6 + 1

O divisor é 6, e sabe-se que o resto de uma divisão entre dois números naturais sempre é menor que o divisor; portanto, o resto máximo será 5. Então, o valor máximo adicionado ao 42 é 5, pois: (42 + 5) = 7 ⋅ 6 + 5

86. Como o divisor é 32, o maior resto possível será 31, pois 32 – 1 = 31. Como: dividendo = quociente ⋅ divisor + resto, concluímos que 703 é o número procurado, pois 21 ⋅ 32 + 31 = 703.

87. O resto 8 é o maior possível; portanto, o divisor será 9, pois 8 + 1 = 9 e, assim, o quociente também é 9. Como dividendo = quociente ⋅ divisor + resto, 9 ⋅ 9 + 8 = 89.

88. Sem utilizar a tecla de divisão, pode-sepóde-se efetuar a divisão com uma série de subtrações em que, inicialmente, o minuendo é o dividendo e o subtraendo é o divisor, que é então subtraído do resultado da operação anterior até não ser mais possível obter um número natural. Então, o quociente será a quantidade de subtrações efetuadas (a quantidade de vezes que apertou a tecla “igual”), e o resto será o último resultado parcial (que deve ser menor do que o divisor). Em uma sequência de operações iguais na calculadora, é possível apenas apertar a tecla “igual” para que se repita a última operação efetuada com o número que aparece no visor. Assim:

---

93. Considerando a hierarquia das operações, efetuam-se primeiro multiplicações e divisões, e depois adições e subtrações, sempre na ordem em que aparecem. Quando há sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves), resolvemos primeiro as operações neles contidas. Dessa maneira, obtemos:

Página XLquarenta

93. a) 21 −menos (32 −menos 25) = 21 −menos 7 = 14

93. b) 44 −menos (4 ⋅ 9 −menos 25) −menos 12 = 44 −menos (36 −menos 25) −menos 12 = 44 −menos 11 −menos 12 = 33 −menos 12 = 21

93. c) 61 −menos (54 −menos 24 :dividido por 4) = 61 −menos (54 −menos 6) = 61 −menos 48 = 13

93. d) 25 −menos {20 + [18 −menos (13 + 10 :dividido por 2)]} = 25 −menos {20 + [18 −menos (13 + 5)]} = 25 −menos {20 + [18 −menos 18]} = 25 −menos {20 + 0} = 25 −menos 20 = 5

93. e) 69 −menos [26 + (67 −menos 42)] = 69 −menos [26 + 25] = 69 −menos 51 = 18

93. f) 4 + [(55 −menos 2 ⋅ 9) −menos (40 :dividido por 2 + 6)] = = 4 + [(55 −menos 18) −menos (20 + 6)] = = 4 + [37 −menos 26] = 4 + 11 = 15 Associando os valores 14, 21, 13, 5, 18, 15 às letras do quadro N, U, M, E, R, O, forma-se a palavra número.

96. Substituindo os valores solicitados, por exemplo, 36 = 6 ⋅ 6 e 15 = 12 + 3 na expressão: 2 ⋅ 3 + 36 :dividido por 6 + 3 ⋅ (15 −menos 13) , obtemos: 2 ⋅ 3 + (6 ⋅ 6) :dividido por 6 + 3 ⋅ [(12 + 3) −menos 13]

Resolvendo a expressão, obtemos: 2 ⋅ 3 + (6 ⋅ 6) :dividido por 6 + 3 ⋅ [(12 + 3) −menos 13] = = 2 ⋅ 3 + 36 :dividido por 6 + 3 ⋅ [15 −menos 13] = = 2 ⋅ 3 + 36 :dividido por 6 + 3 ⋅ 2 = 6 + 6 + 6 = 18

18 é o número de Ana.

97. A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais, em que a base é o fator que se repete, e o expoente é o número de vezes que ele se repete.

97. a) 2duas repetições do 3 → 3²elevado a 2

97. b) 3 repetições do 7 → 7³elevado a 3

97. c) 4 repetições do 9 → 9⁴elevado a 4

97. d) 6 repetições do 1 → 1⁶elevado a 6

98. Análogo ao exercício anterior:

98. a) 10³elevado a 3 são 3 fatores 10 → 10 ⋅ 10 ⋅ 10

98. b) 9²elevado a 2 são 2 fatores 9 → 9 ⋅ 9

98. c) 8⁴elevado a 4 são 4 fatores 8 → 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8

98. d) 6⁵elevado a 5 são 5 fatores 6 → 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6

99. As potências de expoente 2 (ao quadrado) e as de expoente 3 (ao cubo) recebem nomes especiais. As potências com expoentes de outros valores são lidas com o número ordinal: quarta potência, quinta potência etc.etcétera Dessa maneira:

99. a) quatro elevado à oitava potência.

99. b) treze elevado ao cubo.

99. c) duzentos e vinte elevado à sétima potência.

100. A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais, em que a base é o fator que se repete, e o expoente é o número de vezes que ele se repete. Assim:

100. a) 5³elevado a 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 25 ⋅ 5 = 125

100. b) 2⁵elevado a 5 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32

100. c) 3⁵elevado a 5 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 9 ⋅ 9 ⋅ 3 = 81 ⋅ 3 = 243

100. d) 4⁵elevado a 5 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 16 ⋅ 16 ⋅ 4 = 16 ⋅ 64 = 1.0241024

100. e) 10²elevado a 2 = 10 ⋅ 10 = 100

100. f) 10⁶elevado a 6 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 100 ⋅ 100 ⋅ 100 = 10.00010000 ⋅ 100 = 1.000.0001000000

101. É possível identificar que a sequência 3, 9, 27, 81 é 3¹elevado a 1, 3²elevado a 2, 3³elevado a 3, 3⁴elevado a 4; portanto, o sexto termo da sequência seria 3⁶elevado a 6 = 729.

102. Há sete caixas, cada caixa com sete compartimentos, e cada compartimento com sete embalagens. Então há 343 embalagens de ração, pois: 7³elevado a 3 = 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 343

107. São quadrados perfeitos 100 = 10²elevado a 2, 400 = 20²elevado a 2 e 900 = 30²elevado a 2.

108. Os números são: 169, 196, 619, 691, 916 e 961; desses, são quadrados perfeitos: 169 = 13²elevado a 2, 196 = 14²elevado a 2 e 961 = 31²elevado a 2.

109. Testar com o número 7. Seu quadrado é 7²elevado a 2 = 7 ⋅ 7 = 49 e o sucessor é 7 + 1 = 8. Adicionando 49 + 7 + 8 = 64. Como 64 = 8²elevado a 2, é quadrado perfeito. É quadrado do sucessor do número escolhido.

110. a) O radicando é 64.

110. b) A raiz é 8.

110. c) O índice é 2 (na indicação da raiz quadrada, não é preciso escrever o índice 2).

111. O que justifica a igualdade na operação de raiz é a igualdade de potência inversa a ela; dessa maneira:

113. Substituir o valor de a em cada expressão e calcular.

Página XLIquarenta e um

Para saber mais

Página 49

1. a)

1. b)

2. Escolhendo como exemplo 49 ⋅ 13, é possível efetuar das seguintes maneiras:

As duas maneiras de operar têm suas vantagens, podendo ser qualquer uma das duas considerada mais fácil.

Pense mais um pouco

Página 53

1. Escolhendo números de dois algarismos (números quaisquer): 19, 48, 75. Multiplicando por 101, obtemos: 19 ⋅ 101 = 1.9191919; 48 ⋅ 101 = 4.8484848; 75 ⋅ 101 = 7.5757575. Pode-sepóde-se observar um padrão nas respostas, de repetição dos algarismos dos números escolhidos. Por isso:

1. a) 98 ⋅ 101 = 9.8989898

1. b) 89 ⋅ 101 = 8.9898989

2. Escolhendo números de três algarismos (números quaisquer): 197, 458, 765. Multiplicando por 1.0011001, obtemos:

197 ⋅ 1.0011001 = 197.197197197

458 ⋅ 1.0011001 = 458.458458458

765 ⋅ 1.0011001 = 765.765765765

Pode-se observar um padrão nas respostas, de repetição dos algarismos dos números escolhidos. Por isso:

2. a) 356 ⋅ 1.0011001 = 356.356356356

2. b) 499 ⋅ 1.0011001 = 499.499499499

3. Usando as constatações feitas nos itens anteriores, é possível generalizar os resultados.

O valor da multiplicação dos números de dois algarismos por 101 tem sempre uma repetição desses algarismos nas suas ordens 3 e 4, sendo possível concluir abA bê ⋅ 101 = ababa bê a bê.

O valor da multiplicação dos números de três algarismos por 1.0011001 tem sempre uma repetição desses algarismos nas suas ordens 4, 5 e 6 (2ª classe, dos milhares), sendo possível concluir abcá bê cê ⋅ 1.0011001 = abcabc.

Exercícios complementares

1. Arredondando para a dezena mais próxima:

1. a) 20 + 40 + 20 = 80

1. b) 30 + 40 + 80 = 150

1. c) 50 + 40 −menos 20 + 20 = 90

1. d) 40 + 90 −menos 60 −menos 50 = 20

1. e) 60 −menos 20 + 100 −menos 30 = 110

2. Para elaborar a expressão que resolve esse problema, observe que uma compra significa subtração no saldo, e o pagamento de valores significa adição; dessa maneira: 50 −menos 37 + 2 = 15

Logo, 15 reais.

3. A população total do estado é de 4.063.6144063614 habitantes, dos quais 1.933.3501933350 não moram na capital; então, a população da capital é de 2.130.2642130264 habitantes (4.063.6144063614 −menos 1.933.3501933350 = 2.130.2642130264).

4. Para descobrir a idade no fim de 2027, é necessário descobrir quantos anos faltam até lá, efetuando uma subtração 2027 – [ano], e adicionar essa diferença na idade que a pessoa terá no fim do ano atual. Para saber em qual ano terá 33 anos, basta adicionar 33 ao seu ano de nascimento.

5. Há dois números, de modo que a −menos b = 53; observar, por exemplo:

100 −menos 47 = 53 ⇒ (100 + 1) −menos (47 + 1) = 101 −menos 48 = 53

Testando alguns pares de valores, é possível concluir que a diferença entre os sucessores é a mesma diferença entre os números. Nos outros volumes desta coleção será abordada a linguagem algébrica, ferramenta com a qual será possível justificar que a diferença entre os sucessores quaisquer é:

(a + 1) −menos (b + 1) = a −menos b

8. Observando o gráfico, concluímos:

8. a) O ano com mais matrículas é o com a barra mais alta, 2014.

8. b) Em 2015 havia 1uma.916novecentas e dezesseis.112 matrículas, e em 2016 foram 1uma.859oitocentas e cinquenta e nove.004, uma diminuição de 57.10857108, pois 1.916.1121916112 −menos 1.859.0041859004 = 57.10857108.

8. c) Arredondando os valores para a unidade de milhar mais próxima, em 2015 havia 1uma.916novecentas e dezesseis.000 e em 2016, 1uma.859oitocentas e cinquenta e nove.000, uma diferença de 57.00057000, pois 1.916.0001916000 −menos 1.859.0001859000 = 57.00057000.

Página XLIIquarenta e dois

9. O número natural é 21, pois 9 + (21 −menos 15) ⋅ 2 = 9 + 6 ⋅ 2 = 9 + 12 = 21, e seu sucessor é 22, pois 21 + 1 = 22.

11. As informações do enunciado são: preço à vista 1.5901590 reais, entrada 580 reais, parcela 360 reais, quantidade de parcelas 3. Portanto, o valor total do pagamento parcelado foi de 1.6601660, pois 580 + 360 ⋅ 3 = 580 + 1.0801080 = 1.6601660. Dessa maneira, a diferença entre os preços é de 70 reais, pois 1.6601660 −menos 1.5901590 = 70.

12. Entre 200 e 500, os quadrados perfeitos são 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441 e 484, pois:

15²elevado a 2 = 225

16²elevado a 2 = 256

17²elevado a 2 = 289

18²elevado a 2 = 324

19²elevado a 2 = 361

20²elevado a 2 = 400

21²elevado a 2 = 441

22²elevado a 2 = 484

Verificando

1. Arredondando para a centena mais próxima,

1.7581758 + 2.4392439 ⇒ 1.8001800 + 2.4002400 = 4.2004200

Alternativa d.

Alternativa c.

3. Foram colocados 5.3375337 itens, totalizando 6.4736473 no estoque; então, a quantidade inicial em estoque era de 1.1361136, pois 6.4736473 −menos 5.3375337 = 1.1361136.

Alternativa b.

4. Iniciando a simplificação da expressão, obtemos:

(980 −menos 75) + 36 = 905 + 36.

Alternativa aa.

5. Um conjunto de 510 latas precisará de 34 caixas, pois 510 :dividido por 15 = 34.

Alternativa c.

6. Simplificando a expressão, obtemos: 10 −menos 10 + (10 −menos 10 + 10) −menos 10 = 10 −menos 10 + 10 −menos 10 = 0

Alternativa aa.

7. Escolhendo um sabor de sorvete entre 36 e um sabor de cobertura entre 7, consigo fazer 252duzentas e cinquenta e duas combinações (36 ⋅ 7 = 252) e 250 < 252 < 450.

Alternativa c.

Alternativa d.

Alternativa d.

10. Simplificando a igualdade e usando a propriedade da operação inversa, obtemos:

Alternativa d.

11. Encontrar aa tal que:

Testando os valores das alternativas, obtemos:

Alternativa c.

Capítulo 3 – Estudando figuras geométricas

• Objetivos do capítulo e justificativas

• Distinguir figuras planas de não planas, descrevendo algumas de suas características e estabelecendo relações entre elas.

• Classificar figuras não planas como corpos redondos e poliedros.

• Identificar e quantificar elementos de um poliedro: faces, vértices e arestas.

• Reconhecer prismas e pirâmides como poliedros e identificar suas bases.

• Associar o estudo de Geometria à Arquitetura e à História.

• Interpretar gráficos de barras.

• Explorar ampliação e redução de figuras com o uso de malhas quadriculadas.

Nós vivemos em um mundo tridimensional e, por esse motivo, nosso primeiro contato com a Geometria, ainda nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, acontece na análise de objetos tridimensionais, relacionando-os com representações planas de figuras observadas. Nesse sentido, nos Anos Finais vamos aprofundar esse estudo, verificando as características específicas dos corpos geométricos estudados.

Para classificar corpos geométricos em três dimensões como proposto, faz-se necessário construir uma argumentação plausível que distingua os objetos. Assim, este é um objeto muito próximo da competência específica 2 de Matemática, privilegiando a capacidade de construir argumentos convincentes para tal distinção.

Definidos os objetos geométricos de estudo e suas características, é importante que os estudantes consigam diferenciar cada elemento para que, no cotidiano, quando identificados, tais elementos possam servir de recursos para resoluções de problemas.

Os poliedros podem ser identificados em situações cotidianas, bem como suas bases, auxiliando os estudantes na resolução de problemas, sejam eles necessariamente matemáticos, sejam de implicação social.

A contextualização da Geometria no campo da História e da Arquitetura proporciona aos estudantes relações que favorecem a compreensão dos elementos geométricos estudados, tornando o estudo mais interessante e significativo para a turma. A Abertura do capítulo apresenta o grafismo e o artesanato africano que, passados de geração em geração, preservam a cultura e os conhecimentos historicamente construídos contemplando as competências gerais 1 e 3 e a competência específica 1.

Página XLIIIquarenta e três

As transformações geométricas fazem parte de estratégias de resolução de problemas pertinentes não só para a área de Matemática, mas onde se fizer necessária a ampliação ou a redução de figuras. Na Geografia, por exemplo, as escalas determinam o grau de ampliação/redução dos mapas a serem estudados. Assim, ao possibilitar o uso de processos e ferramentas matemáticas para modelar e resolver problemas em outras áreas de conhecimento, favorecemos o desenvolvimento da competência específica 5.

A seção Trabalhando a informação, que explora a evolução do acesso dos lares brasileiros à internet por meio da linguagem textual e gráfica, propicia o desenvolvimento da competência geral 4. Já o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 é favorecido com as diferentes propostas de atividades a serem realizadas em grupos, pois permitem aos estudantes que exercitem diferentes habilidades socioemocionais ao trabalharem com colegas que podem ou não ter dificuldades ou facilidades em relação às atividades propostas.

As diferentes atividades propostas contribuem para o desenvolvimento da competência específica 6, assim como as atividades em grupo contribuem para o desenvolvimento da competência específica 8.

• Habilidades trabalhadas no capítulo

(EF06MA03ê éfe zero seis ême ah zero três) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

(EF06MA17ê éfe zero seis ême ah um sete) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

(EF06MA21ê éfe zero seis ême ah dois um) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

(EF06MA24ê éfe zero seis ême ah dois quatro) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

(EF06MA31ê éfe zero seis ême ah três um) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

(EF06MA32ê éfe zero seis ême ah três dois) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

Os conceitos e as atividades relacionados ao estudo de figuras geométricas planas e figuras geométricas não planas são o foco neste capítulo, desenvolvendo a Unidade Temática Geometria, envolvendo também os tópicos de características de sólidos e elementos de um poliedro, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade (EF06MA17ê éfe zero seis ême ah um sete). Vale ressaltar que atividades relacionadas a figuras geométricas foram desenvolvidas no 5º ano com (EF05MA16ê éfe zero cinco ême ah um seis) e (EF05MA17ê éfe zero cinco ême ah um sete), e sua retomada e ampliação pretendem consolidar esse conhecimento. Ainda na Unidade Temática Geometria, este capítulo traz, na seção Diversificando, a construção de figuras planas semelhantes em situações de ampliação e redução, aprofundando os conhecimentos abordados sobre esse tema no 5º ano com (EF05MA18ê éfe zero cinco ême ah um oito) e (EF05MA24ê éfe zero cinco ême ah dois quatro), contribuindo para o desenvolvimento das habilidades (EF06MA21ê éfe zero seis ême ah dois um) e (EF06MA24ê éfe zero seis ême ah dois quatro). Os conhecimentos desenvolvidos sobre leitura de dados expressos em tabela e gráficos, realizados no capítulo anterior, serão suporte para a articulação com a Unidade Temática Probabilidade e estatística neste capítulo, contribuindo para o desenvolvimento das habilidades (EF06MA31ê éfe zero seis ême ah três um) e (EF06MA32ê éfe zero seis ême ah três dois).

• Comentários e resoluções

Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompanham as reproduções das páginas do livro do estudante.

Trabalhando a informação

Página 79

1. É necessário observar as informações do gráfico: o comprimento da barra e o valor associado a ele a cada ano, considerando a informação do título de que os valores estão “em milhões”.

1. b) As diferenças de um ano para o outro, em milhões, são:

ium) 2017 a 2018: 47 −menos 42 = 5;

iidois) 2018 a 2019: 51 −menos 47 = 4;

iiitrês) 2019 a 2020: 62 −menos 51 = 11. Portanto, a maior diferença ocorre de 2019 a 2020.

1. c) Conforme calculamos no item b, o crescimento de domicílios foi de 62 milhões −menos 51 milhões = 11 milhões.

1. d) Em 2020 havia 62 milhões de domicílios com acesso à internet; considerando 2,8 moradores por domicílio, podemos estimar o total de pessoas com acesso à internet em 2,8 · 62 milhões = 174 milhões.

2. Uma barra mais comprida e de mesma largura que as demais, pois é o comprimento que determina, no eixo horizontal, o total de número de domicílios com acesso à internet.

Exercícios complementares

7. Para realizar esse exercício, perceba que sempre há o mesmo número de faces laterais e de arestas e vértices da base do sólido. Além disso, um prisma apresenta 2duas bases, e uma pirâmide sempre tem apenas 1uma base.

7. a) As bases do prisma têm 7 vértices cada; portanto, 7 arestas cada, além das 7 arestas unindo as bases, totalizando 21vinte e uma arestas (7 + 7 + 7 = 21). O prisma tem 1uma face lateral apoiada em cada aresta da base; portanto, são 7 faces laterais (7 · 1 = 7).

Página XLIVquarenta e quatro

7. b) Uma pirâmide sempre tem 1 vértice forafóra da base, e os demais vértices na base; então, havendo 12 vértices, são 12 −menos 1 = 11 deles na base. Da mesma maneira, essa face tem 11 arestas, 11 faces laterais e 11 lados na figura plana que representa sua base. Além das arestas da base, há outras 11 unindo a base até o vértice forafóra dela, totalizando 22vinte e duas arestas no sólido (11 + 11 = 22).

7. c) Uma pirâmide de 20 faces tem 1uma base e 19 faces laterais (20 −menos 1 = 19), e, portanto, 19 vértices na base e 20 vértices no total (19 + 1 = 20). O prisma, então, tem os mesmos 20 vértices, sendo 20 :dividido por 2 = 10 em cada base. Dessa maneira, o prisma tem 10 faces laterais e as duas bases, totalizando 12 faces (10 + 2 = 12).

8. A base (figura verde) tem 6 lados; portanto, são necessárias 6 faces laterais (figura rosa) para formar a pirâmide de base hexagonal.

9. A base (figura azul) tem 5 lados; portanto, são necessárias 5 faces laterais (figura laranja) e mais uma base para formar o prisma de base pentagonal.

Verificando

5. Um prisma de base triangular tem 9 arestas (3 + 3 + 3 = 9), 6 vértices (3 + 3 = 6) e 5 faces (3 + 2 = 5).

Alternativa b.

6. Uma pirâmide com 5 arestas na base tem 5 vértices na base e 1uma forafóra dela, totalizando 6 vértices (5 + 1 = 6).

Alternativa b.

7. A base de um cone é um círculo e sua sombra também pode ter esse formato, mas não o formato de retângulo, pentágono ou hexágono.

Alternativa c.

8. O tambor de duas bases iguais pode ser associado a um corpo redondo chamado cilindro.

Alternativa c.

Capítulo 4 — Divisibilidade

• Objetivos do capítulo e justificativas

• Estabelecer entre os números naturais relações como “ser múltiplo de” e “ser divisor de”.

• Explorar sequências numéricas.

• Compreender e aplicar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10.

• Compreender fluxogramas.

• Reconhecer e distinguir números primos de números compostos.

• Expressar números compostos por meio de sua decomposição de fatores primos.

• Interpretar e resolver problemas que envolvam as ideias de múltiplo e divisor.

• Desenvolver a noção de máximo divisor comum (mdcême dê cê) e a de mínimo múltiplo comum (mmcême ême cê).

• Construir gráficos de barras.

Além do processo operatório envolvido, estabelecer relações entre múltiplos e divisores está relacionado ao fato de que a multiplicação e a divisão são operações inversas. Esse é um importante aporte para que, a partir do 7º ano, sejam estabelecidas relações entre as operações ao resolver problemas envolvendo equações.

As sequências numéricas possibilitam o trabalho com cálculo mental para verificação destas e desenvolvem uma agilidade de raciocínio importante na busca de padrões e para a resolução de problemas. Fazendo a ponte entre a Aritmética e a Álgebra, a generalização de elementos de sequências, por meio de expressões algébricas, impõe para o estudante uma crescente habilidade de raciocínio e de uso da lógica, além de favorecer a aquisição da competência específica 2. Papel semelhante desempenham a construção com compreensão de algoritmos (entre outros, os critérios de divisibilidade) e de fluxogramas sobre relações matemáticas e destas sobre outras áreas. Esse rol de práticas e de conhecimentos subsidia o desenvolvimento da competência específica 6 e da competência geral 4.

Identificar números primos usando um quadro de números naturais, assim como o trabalho com arredondamentos e o uso de estimativas, possibilitam aos estudantes estabelecer relações entre os números naturais compostos, despertando o espírito de investigação, fortalecendo o cálculo mental e favorecendo a construção de estratégias operatórias com maior agilidade ao resolver problemas, o que é bem próximo da competência geral 2 e da competência específica 3.

As ideias operatórias devem ser exploradas tanto quanto os cálculos aritméticos, visto que a compreensão e a resolução de problemas que envolvam múltiplos e divisores podem ir além das operações inversas multiplicação e divisão, com os seus significados diversos.

O trabalho com frações equivalentes podepóde se tornar mais produtivo e ágil no uso das operações de adição e de subtração com frações ao calcularmos o mínimo múltiplo comum entre os denominadores das frações presentes na operação. Além disso, existem situações-problema que são resolvidas facilmente quando conceituamos máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum, ampliando o leque de estratégias de resoluções que o estudante carrega consigo ao longo da Educação Básica, como apontado na competência geral 2.

Conforme indica a competência geral 4, o uso de recursos matemáticos para expressar e sintetizar ideias de diferentes áreas do conhecimento, incluindo a própria Matemática, torna a construção de gráficos de barras um fator importante para a recepção e a transmissão de informações pesquisadas ou apresentadas pela mídia e por outros meios digitais de informação.

Enfim, o empenho para alcançar os objetivos explicitados contribui para que os estudantes desenvolvam diferentes habilidades, como o uso de linguagem simbólica (formal e técnica), a compreensão leitora, a interpretação de informações e o desenvolvimento de um repertório para a resolução de diferentes situações-problema. Desse modo, contribuímos para o desenvolvimento das competências gerais 2 e 4 e da competência específica 2.

O trabalho proposto no exercício 14, da seção Exercícios propostos, que utiliza a calculadora como suporte para processo investigativo, contribui para o desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 5.

Página XLVquarenta e cinco

As atividades a serem realizadas em grupos permitem aos estudantes exercitar diferentes habilidades socioemocionais ao trabalhar com colegas que podem ou não ter dificuldades ou facilidades em relação às atividades propostas. Dessa maneira, favorece-se o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e da competência específica 8.

• Habilidades trabalhadas no capítulo

(EF06MA03ê éfe zero seis ême ah zero três) Resolver e elaborar pro­blemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

(EF06MA04ê éfe zero seis ême ah zero quatro) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).

(EF06MA05ê éfe zero seis ême ah zero cinco) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000.

(EF06MA06ê éfe zero seis ême ah zero seis) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

(EF06MA31ê éfe zero seis ême ah três um) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

(EF06MA32ê éfe zero seis ême ah três dois) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

(EF06MA33ê éfe zero seis ême ah três três) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

Neste capítulo, articulam-se todos os conhecimentos trabalhados nos capítulos anteriores que dizem respeito a Números. Assim, retomam-se atividades que envolvem as operações com números naturais na resolução de problemas, que compreendem as noções de múltiplos, divisores e critérios de divisibilidade. Além desses conteúdos, são abordados números primos, números compostos e decomposição de um número natural em fatores primos. Todos esses conhecimentos articulados constituem subsídios para os estudos sobre a Unidade Temática Números a serem desenvolvidos no 7º ano do Ensino Fundamental, dentre os quais destacamos múltiplos e divisores de um número natural (EF07MA01ê éfe zero sete ême ah zero um), e contribuem para o desenvolvimento das habilidades (EF06MA03ê éfe zero seis ême ah zero três), (EF06MA05ê éfe zero seis ême ah zero cinco) e (EF06MA06ê éfe zero seis ême ah zero seis). As Unidades Temáticas Números e Probabilidade e estatística articulam-se nas atividades apresentadas na seção Trabalhando a informação, com o objetivo de reconhecer elementos e interpretar informações expressas em tabelas e em gráficos de barras. Esse trabalho foi iniciado nos capítulos anteriores e é ampliado agora com a construção de gráficos de barras, contribuindo para o desenvolvimento das habilidades (EF06MA31ê éfe zero seis ême ah três um) e (EF06MA32ê éfe zero seis ême ah três dois). Já a proposta de pesquisa da atividade 3 contribui para o desenvolvimento da habilidade (EF06MA33ê éfe zero seis ême ah três três).

No capítulo apresentamos fluxogramas relacionados aos critérios de divisibilidade, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade (EF06MA04ê éfe zero seis ême ah zero quatro).

• Comentários e resoluções

Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam nesta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompanham as reproduções das páginas do livro do estudante.

Exercícios propostos

6. Os múltiplos de um número são os valores resultantes da multiplicação desse número por um número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são 3 ⋅ k, com k um número natural.

6. d) Os primeiros múltiplos da idade são 0, a própria idade, e a sua multiplicação por 2, 3 e 4.

7. a) Os múltiplos de 9 menores que 50 são 0, 9, 18, 27, 36 e 45. O próximo seria 9 ⋅ 6 = 54 > 50, mas é maior do que o limite estipulado.

7. b) O primeiro múltiplo de 6 maior do que 20 é 6 ⋅ 4 = 24. Em sequência, são múltiplos também os valores 30, 36, 42 e 48. O próximo múltiplo seria 6 ⋅ 9 = 54 > 50, mas já ultrapassa o máximo estipulado.

7. c) Os múltiplos de 14 entre 40 e 90 são 42, 56, 70, 84. O múltiplo anterior ao 42 é 14 ⋅ 2 = 28 < 40, enquanto depois do 84 é o valor 14 ⋅ 7 = 98 > 90.

7. d) Os múltiplos de 10 que estão no intervalo solicitado são 20, 30, 40, pois o intervalo “entre 12 e 50” não inclui os valores das extremidades, como o 50.

7. e) Os múltiplos de 11 entre 66 e 111 são 77, 88, 99 e 110, pois o intervalo não inclui as extremidades.

10. Observando os múltiplos de 8 entre 30 e 40, só há uma opção, 8 ⋅ 4 = 32.

Logo, 32 estudantes.

11. Queremos esse número x de modo que 90 + x seja múltiplo de 35, ou seja, algum desses: 0, 35, 70, 105, 140,...reticências Como x deve ser o menor possível, 90 + x = 105 ⇒ x = 105 −menos 90 = 15.

12. Análogo ao exercício 11, como quero 90 – x múltiplo de 35, 90 −menos x = 70 ⇒ x = 20.

13. Seguindo as informações do texto, o cometa passou em 1 759, e isso se repete a cada 76 anos; portanto, ele passa nos anos 1 759 + 76 = 1835, 1835 + 76 = 1911, 1911 + 76 = 1987, 1987 + 76 = 2063. Como o século XXIvinte e um começa no ano 2001, a resposta é ano 2063.

Página XLVIquarenta e seis

14. a) Resposta possível: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 e 28; não; 0, 2, 4, 6 ou 8.

14. b) Justificando para um dos valores, análogo para os outros. Um número natural que termina em 4 (algarismo 4 na unidade e qualquer quantidade de dezenas) podepóde ser escrito como “aa4” = 10a + 4 = 2 ⋅ (5aa + 2), é múltiplo de 2 para qualquer a. Da mesma maneira é divisível por 2, pois sua divisão é exata. Isso é válido para qualquer número com algarismo par na unidade.

14. c) Resposta possível: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 e 45; 0 ou 5.

14. d) Um número que termina em 5 e tem uma quantidade qualquer de dezenas é “b5” = 10b + 5 = 5 ⋅ (2b + 1), ou seja, é sempre múltiplo de 5, e é divisível pois [5⋅ (2b + 1)] : 5 tem resto zero (e quociente 2b +1). Análogo para número terminado em zero, pois 5 ⋅ 2b é múltiplo e divisível por 5 (com quociente 2b).

14. e) Resposta possível: 10, 20, 30, 40, 50 e 60; 0.

14. f) Um número natural que termina em 0 é “aspasccê0” = 10 ⋅ c, que é múltiplo de 10 pela definição e também é divisível pois (10 ⋅ c) : 10 = c tem resto zero.

15. Respostas pessoais. Verifique se as condições dos problemas elaborados contemplam os conceitos abordados, e, se possível, sugira como poderiam ser enriquecidos.

16. a) Como o 1 é elemento neutro da divisão, qualquer número dividido por 1 é igual ao próprio número, de formafórma que sempre há resto zero; o 1 é divisor de qualquer número natural.

16. b) Não é possível dividir nenhum número por zero; então, o zero nunca é divisor de um número.

17. a) Divisores de 11: 1, 11.

17. b) Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

17. c) Divisores de 25: 1, 5, 25.

17. d) Divisores de 90: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 45, 90.

18. Os divisores de 36 são 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36. Os divisores de 42 são 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Em comum, eles têm os divisores 1, 2, 3 e 6, e o maior deles é 6.

Observe que esta atividade antecipa, sem exigir conhecimento prévio do estudante, o conceito de máximo divisor comum, a ser trabalhado ainda neste capítulo.

19. A facilidade é um fator importante para a adesão ao tratamento com remédios contínuos; um componente disso é a possibilidade de administrar o tratamento no mesmo horário todos os dias. Como um dia tem 24 horas, para que isso ocorra, é necessário que sua posologia seja um divisor de 24 (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ou 24), de modo que uma dose a cada 5 horas resultaria em dificuldade de acompanhamento do tratamento.

22. a) Como 42 é divisível por 7 (pois 42 = 6 ⋅ 7), então 42 : 7 = 6 tem resto zero. Fazendo de formafórma análoga, como 28 = 7 ⋅ 4, então 28 : 7 = 4 com resto zero; logo, 28 é divisível por 7.

Do enunciado do item b, depreende-se que 7 é um fator de (42 + 28); logo, (42 + 28) é divisível por 7.

22. d) No item b, na última igualdade é utilizada a propriedade distributiva, que afirma que a expressão formada pela multiplicação, em que há um fator formado por uma soma ou diferença, como (6 + 4) ⋅ 7, é igual à multiplicação de cada uma das parcelas dessa soma, ou seja, nesse caso, 6 ⋅ 7 + 4 ⋅ 7.

22. e) Escolhendo os números 13 e 26 (pois 13 : 13 = 1, resto zero, e 26 : 13 = 2, resto zero), que são ambos divisíveis por 13. A soma 13 + 26 = 39 também é divisível por 13, pois 39 : 13 = 3, resto zero.

25. Como não é interessante efetuar a divisão inteira, vale procurar os divisores de 2, 5 e 10 mais próximos e menores do número 98.54398543. Analisando: um número natural é divisível por 2 somente quando é par; portanto, 98.54298542 é divisível por 2, então o resto da divisão 98.54398543 : 2 será 98.54398543 – 98.54298542 = 1. Um número natural é divisível por 5 somente quando termina em zero ou em 5; portanto, 98.54098540 é divisível por 5, e o resto de 98.54398543 : 5 será 98.54398543 – 98.54098540 = 3. Um número natural é divisível por 10 somente quando termina em zero; da mesma formafórma, 98.54098540 é divisível por 10, e o resto de 98.54398543 : 10 será 98.54398543 – 98.54098540 = 3.

27. a) Como 130 = 65 ⋅ 2 = 5 ⋅ (13 ⋅ 2); portanto, 130 é divisível por 5.

27. c) Sim, é divisível, pois 130 = 13 ⋅ (5 ⋅ 2), ou seja, (5 ⋅2) é um dos fatores de 130.

27. d) Não, pois ter um fator 2 não implica ter um fator 5 na fatoração do valor.

27. e) O número 40 é divisível por 2 e por 5 ao mesmo tempo, pois 40 = 2 ⋅ 20 e 40 = 5 ⋅ 8. Ele também é divisível por 10, pois 40 = (2 ⋅ 5) ⋅ 4 = 10 ⋅ 4, isso acontece para qualquer número escolhido que seja divisível tanto por 2 como por 5.

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28. O maior número de 3 algarismos é 999, porém para ser divisível por 5 deve ter os algarismos 0 ou 5 na ordem das unidades; portanto, o maior número de três algarismos que é divisível por 5 é 995. Já para ser divisível por 2, deve terminar em número par; portanto, o maior número de três algarismos divisível por 2 é 998. Para ser divisível por 10 deve terminar em 0; portanto, será 990.

29. a) Se um número é divisível por 10, então ele termina em 0. Assim, ele é par; portanto, divisível por 2. Além disso, pelo critério de divisibilidade por 5, podemos saber que ele também é divisível por 5.

29. b) Se um número natural termina em 2 zeros, ele é da formafórma Xxis00, em que Xxis representa uma sequência de algarismos quaisquer. Assim, é possível dividir Xxis00 por 100 e obter o número natural definido pela sequência de algarismos dada por Xxis. Analogamente, se ele termina em 3 zeros, ele é da formafórma Xxis000; é possível dividi-lo por 1.0001000 e obtemos um número natural dado por Xxis.

30. Exemplo de resposta: Marcos anotou no caderno um número divisível por 2, Ana anotou outro número divisível por 5 e Emanuele anotou um terceiro número divisível por 10. Então, o produto entre os números que eles anotaram será divisível por 100? Resposta: Sim, será possível dividir o produto obtido por 2, depois por 5 e, ainda, por 10; assim, é possível dividi-lo por 2 ∙ 5 ∙ 10, isto é, por 100.

Para ser divisível por 2 deve terminar em algarismo par; portanto, 0, 2, 4, 6 e 8.

31. c) Um número natural é divisível por 6 somente quando é divisível por 2 e por 3. Dessa maneira, são opções as respostas em comum dos itens aa e b, ou seja, 2 e 8.

31. d) São as respostas do item aa que não são respostas do item b. Então, 0, 4 e 6.

31. e) Se é divisível por 3, mas não por 6, então não é por 2. São as respostas do item b que não são respostas do item aa, ou seja, apenas o 5.

32. a) Não é possível, pois termina em 8, ou seja, não termina em 0 nem em 5.

33. Um número natural é divisível por 3 somente quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3, e será divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5; dessa maneira, são divisíveis por 15 os números 135, 510, 480 (itens aa, d, e).