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Parte 2

Capítulo 5 – Um pouco de Álgebra

• Objetivos do capítulo e justificativas

• Compreender o que é uma variável e saber reconhecê-la em expressões ou sentenças matemáticas.

• Reconhecer a linguagem algébrica.

• Justificar alguns critérios de divisibilidade de números naturais.

• Conhecer e aplicar as propriedades de uma igualdade: princípio aditivo e princípio multiplicativo.

• Explorar sequências numéricas e figurais e observar seus padrões.

• Ler um algoritmo representado por fluxograma.

• Interpretar e construir gráficos de colunas.

Ao apresentar a história de Al-Khwārizmī, a Abertura deste capítulo resgata o significado das palavras-chaves da Álgebra, incluindo o desta palavra. Ao explorar uma parte da História da Matemática e seu desenvolvimento por diferentes culturas, contribuímos para o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1.

Os pilares para uma abordagem elementar da Unidade Temática Álgebra encontram-se fundamentados na apresentação para a compreensão do conceito de variável e da leitura de expressões algébricas, na generalização de conclusões, na validação de afirmações e no tratamento dado às justificativas de alguns critérios de divisibilidade e ao estudo das propriedades da igualdade de maneira acessível aos estudantes do 6º ano, contemplando a habilidade (ê éfe zero seis ême ah um quatro) e contribuindo para o desenvolvimento das competências específicas 2 e 3 e das competências gerais 2 e 4.

A diversidade de linguagens também se faz presente ao longo deste capítulo incluindo sequências numéricas e figurais, gráficos de colunas e fluxograma, abrangendo conteúdos relacionados com as habilidades (ê éfe zero seis ême ah três quatro) e (ê éfe zero seis ême ah dois três).

O trabalho com os gráficos na seção Trabalhando a informação contribui para o desenvolvimento das competências específicas 4 e 6.

O capítulo finaliza com a seção Diversificando, em que estimula o exercício da curiosidade intelectual, da investigação, da reflexão, da análise crítica, da criatividade e da formulação de hipóteses, com base nas informações de um desafio circulante nas redes sociais. Assim, a atividade contribui para o desenvolvimento das competências gerais 2 e 4 e da competência específica 6.

O desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e da competência específica 8 é favorecido com as diferentes propostas de atividades a serem realizadas em grupos, pois permitem aos estudantes que exercitem diferentes habilidades socioemocionais ao trabalharem com colegas que podem ou não ter dificuldades ou facilidades em relação às atividades propostas.

• Habilidades trabalhadas no capítulo

(ê éfe zero seis ême ah zero três) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

(ê éfe zero seis ême ah zero quatro) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).

(ê éfe zero seis ême ah um quatro) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

(ê éfe zero seis ême ah dois três) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etcétera).

(ê éfe zero seis ême ah três um) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

(ê éfe zero seis ême ah três dois) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

(ê éfe zero seis ême ah três quatro) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etcétera).

Situações que desenvolvem o pensamento algébrico são o foco deste capítulo, que trata da Unidade Temática Álgebra. Essas situações tomam por base tópicos tratados nos anos iniciais do Ensino Fundamental, em especial no 5º ano, (ê éfe zero cinco ême ah um zero e ê éfe zero cinco ême ah um um), aprofundando o conceito de variável e as propriedades da igualdade, levando em conta os conhecimentos abordados no capítulo anterior sobre múltiplos e divisores. Assim, possibilitamos aos estudantes o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah um quatro). As Unidades Temáticas Álgebra e Números articulam-se com a presença das operações com números naturais no processo de investigação de propriedades algébricas e em algumas demonstrações. Além disso, esses conteúdos se associam com a Unidade Temática Geometria na construção de algoritmos para resolver situações de generalização do padrão de sequências geométricas, contribuindo para o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero seis ême ah zero três) e (ê éfe zero seis ême ah dois três).

Por fim, a Unidade Temática Álgebra articula-se com as Unidades Temáticas Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística nas atividades das seções Para saber mais (“A temperatura e a Álgebra”) e Trabalhando a informação (“Construindo um gráfico de colunas”), respectivamente, favorecendo o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero seis ême ah três um) e (ê éfe zero seis ême ah três dois). Os conhecimentos tratados neste capítulo constituem-se como subsídios para a compreensão dos estudos sobre a Unidade Temática Álgebra a serem desenvolvidos no 7º ano do Ensino Fundamental com (ê éfe zero sete ême ah um três) e (ê éfe zero sete ême ah um cinco).

Ao explorar o fluxograma da divisibilidade por 6, contribuímos para o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero seis ême ah zero quatro) e (ê éfe zero seis ême ah três quatro).

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• Comentários e resoluções

Apresentaremos a seguir as resoluções de alguns exercícios e atividades propostos neste capítulo. As resoluções que não constam desta parte específica estão nas Orientações didáticas que acompanham as reproduções das páginas do livro do estudante.

Abertura

a) São duas palavras que, embora com sonoridades parecidas, têm significados bastante distintos. Algarismo é um símbolo usado para representar um número no sistema de numeração indo-arábico, e algoritmo é uma sequência de passos para execução de uma tarefa.

b) Espera-se que o estudante crie um símbolo para o número, por exemplo *, então a adição desse número com 2 pode ser representada por * + 2 ou por 2 + *.

c) Testar alguns valores por substituição de x e verificar a igualdade x + 3 = 5.

x = 0 ⇒ 0 + 3 = 5 (Falso)

x = 1 ⇒ 1 + 3 = 5 (Falso)

x = 2 ⇒ 2 + 3 = 5 (Verdadeiro)

O valor de x é 2.

d) Resposta pessoal; espera-se que o estudante responda afirmativamente.

Exercícios propostos

2. a) Observando as figuras dadas: uma, 3, 6, 10 e 15 bolinhas.

2. b) Considerando que cada figura, a partir da segunda, tem o número de bolinhas da figura anterior mais o número que a representa, a figura 6 tem vinte e uma bolinhas (15 + 6); a figura 10 terá 55 bolinhas, pois: 21 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

2. c) Calculando as somas das bolinhas das figuras, 1 e 2: 1 + 3 = 4; 2 e 3: 3 + 6 = 9; 3 e 4: 6 + 10 = 16; 4 e 5: 10 + 15 = 25. É a sequência dos números quadrados perfeitos.

2. d) A soma das bolinhas das figuras 9 e 10 é 102 = 100; das bolinhas das figuras 19 e 20 é 202 = 400.

4. A linguagem algébrica é aquela utilizada na Matematica, que emprega números, letras e símbolos para representar ideias e relações.

4. a) Seja a um número natural qualquer. Se 0 é o elemento neutro da adição, ele não altera o valor na adição: a + 0 = 0 + a = a.

4. b) Fatores são os elementos da multiplicação, e a associação entre eles pode ser feita pelo uso de parênteses, sendo a, b e c números naturais quaisquer, (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c).

4. c) Como a potência é igual à base elevada ao expoente, a propriedade citada pode ser escrita: sendo a um número natural qualquer, a1 = a.

5. Escolhendo, por exemplo, a = 5 e b = 2, e efetuando os cálculos, obtemos:

5. a) (a + b)2 = (5 + 2)2 = 72 = 49

a2 + 2 ⋅ a ⋅ b + b2 = 52 + 2 ⋅ 5 ⋅ 2 + 22 = 25 + 20 + 4 = 49

Expressões com o mesmo valor.

5. b) (a – b)2 = (5 – 2)2 = 32 = 9

a2 – 2 ⋅ a ⋅ b + b2 = 52 – 2 ⋅ 5 ⋅ 2 + 22 = 25 – 20 + 4 = 9

Expressões com o mesmo valor.

5. c) (a + b) ⋅ (a – b) = (5 + 2) ⋅ (5 – 2) = 7 ⋅ 3 = 21

a2 – b2 = 52 – 22 = 25 – 4 = 21

Expressões com o mesmo valor.

Calculando corretamente, independentemente dos valores escolhidos para a e b, as expressões devem apresentar o mesmo valor.

6. Resposta pessoal; devem ser elaborados uma sentença algébrica e um problema relacionado com ela.

7. Dizer que um número x é divisível por outro significa dizer que esse outro número é um dos fatores de x e vice-versa.

7. a) Se x é divisível por 9, e 9 = 3 ⋅ 3, então x é divisível por 3 ⋅ 3, ou seja, x é divisível por 3.

7. b) Se x é divisível por 8, e 8 = 4 ⋅ 2, então x é divisível por 4 ⋅ 2, ou seja, x é divisível por 4 e por 2.

7. c) Um número x é divisível por 2 se for da fórma x = 2 ⋅ y

Por exemplo, 6 = 2 ⋅ 3; logo, 6 é divisível por 2. Porém, 4 não está na decomposição de fatores de 6; portanto, 6 não é divisível por 4.

10. Para verificar se um número é divisível por 20, é suficiente verificar se ele é divisível por 10 e se o resultado de sua divisão por 10 é divisível por 2, isso porque 20 = 10 ⋅ 2, então x  : 20 = (x  : 10) : 2. Dessa maneira, pode-se utilizar o seguinte fluxograma:

Fluxograma.
A figura é um fluxograma com 6 caixas legendadas ligadas por setas.
Em cada etapa, as setas apontam para a frente.
Aqui, o fluxograma é descrito como listas nas quais os próximos passos possíveis são listados abaixo de cada legenda da caixa.

1. Verificar se o número é divisível por 20.
a. Avança para O número é divisível por 10, isto é, o algorismo da unidade é zero?

2. O número é divisível por 10, isto é, o algorismo da unidade é zero?
a. Se não, avança para Não é divisível por 10 e, portanto, também não é por 20.
b. Se sim, avança para O algorismo da dezena do número é divisível por 2, isto é, é par?

3. O algorismo da dezena do número é divisível por 2, isto é, é par?
a. Se sim, avança para É divisível por 10 e é divisível por 20.
b. Se não, avança para É divisível por 10, mas não é divisível por 20.

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Trabalhando a informação

1. a) Os tipos de voz apresentados na tabela são classificações de altura de tom de voz, sendo elas tenor: voz masculina mais aguda; barítono: voz masculina mais grave que a do tenor; baixo: voz masculina mais grave que a do barítono; soprano: voz feminina mais aguda; contralto: voz feminina mais grave.

1. b)

Gráfico de barras verticais. Título: Participantes do coral. No eixo horizontal, tipos de voz. No eixo vertical, quantidade de estudantes. Os dados são: Tenor: 4. Barítono: 6. Baixo: 12. Soprano: 9. Contralto: 5.

Dados obtidos pela professora Célia.

1. c) A voz masculina que mais aparece é o baixo, com 12 ocorrências. A voz feminina que aparece mais é a soprano, com 9 ocorrências.

1. d) Barítono tem 6 ocorrências enquanto baixo tem 12 ocorrências, sendo este então o dobro do primeiro.

1. e) São 4 tenores e 12 baixistas, então o número de baixos é o triplo do número de tenores.

Para saber mais

1. O intervalo ideal é de 38 graus Célsius a 39 graus Célsius, e considerando a relação

T_{k}

T_{c}

+ 273, é o equivalente a 38 + 273 = 311 (311 Kélvins) e 39 + 273 = 312 (312 Kélvins).

2. Utilizando a relação

T_{k}

T_{c}

+ 273, uma temperatura de 333 Kélvins é equivalente à

T_{c}

quando:

333 =

T_{c}

+ 273

333 – 273 =

T_{c}

+ 273 – 273

60 =

T_{c}

O processador trabalha bem quando

T_{c}

= 60 graus Célsius.

3. Utilizando a relação

T_{k} = T_{c}

+ 273, é possível concluir que o intervalo de 24 graus Célsius a 27 graus Célsius é equivalente ao intervalo 24 + 273 = 297 Kélvins a 27 + 273 = 300 (300 Kélvins).

Exercícios complementares

1. O número de bolinhas azuis em cada figura é o número triangular na posição correspondente, e o número de bolinhas amarelas é o número triangular da posição seguinte; dessa maneira:

1. b) Na figura 5, há vinte e uma bolinhas amarelas (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21), e na figura 7 há 36 bolinhas amarelas (21 + 7 + 8 = 36).

1. c) Considerando os itens anteriores, na figura 5 o número quadrado será 15 + 21 = 36; na figura 7 o número será 28 + 36 = 64; analogamente, a figura n terá o número quadrado (n +1)2.

1. d) Uma figura de número n tem no total (n +1)2 bolinhas; portanto, é preciso encontrar o valor da incógnita em (n + 1)2 = 100 = 102.

n + 1 = 10 ⇒ n = 9, é a figura de número 9. Nessa posição, há 45 bolinhas azuis (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45) e 55 bolinhas amarelas (45 + 10 = 55).

2. Cada sabiá tem medida de massa 90 gramas. Os valores desconhecidos do problema são as medidas de massa do vaso com flor, vê, e da jarra, j. Na primeira imagem, 5 sabiás se equilibram com 2 vasos de planta, ou seja, é possível representar por 5 ⋅ 90 = 2 ⋅ vê. Resolvendo, temos: 5 ⋅ 90 = 2 ⋅ vê = 450 ⇒ (2 ⋅ vê) : 2 = 450 : 2 ⇒ 225 = vê. Na segunda imagem, 1 jarro e 1 vaso se equilibram com 4 vasos; então, j + vê = 4 ⋅ vê ⇒ j + vê – vê = 4 ⋅ vê – vê ⇒ j = 3vê, e como vê = 225 ⇒ j = 3 ⋅ 225 = 675. Então, o vaso com flor tem medida de massa 225 gramas, e a jarra tem medida de massa 675 gramas.

Verificando

3. Um número divisível por 15 deve ser divisível por todos os seus fatores. Como 15 = 3 ⋅ 5, significa ser divisível por 3 e por 5.

Alternativa a.

4. As propriedades que indicam ser possível manter os valores iguais ao efetuar a mesma operação nos dois membros da igualdade referem-se aos princípios da igualdade.

Alternativa d.

5. Operando como indicado:

2x + 12 = 24 + x ⇒ 2x + 12 – 12 = 24 + x – 12 ⇒ 2x = 12 + x

Alternativa a.

6. Operando como indicado:

x +

\frac{1}{3}

= 6 ⇒ 3 ⋅

(x + \frac{1}{3})

= 6 ⋅ 3 ⇒ 3 ⋅

x + \frac{3 \cdot 1}{3}

= 18 ⇒ 3x + 1 = 18

Alternativa b.

7. A diferença entre um número x e 7 é x – 7. O triplo dessa diferença é 3 ⋅ (x – 7).

Alternativa d.

8. Chamando de y o valor desconhecido da medida da massa do cachorro de pelúcia. Do lado esquerdo da balança, há 4 caixas de 10 quilogramas mais um cachorro. Do lado direito, há 3 caixas de 10 quilogramas mais 3 cachorros. Como há o equilíbrio, pode-se escrever a equação:

4 ⋅ 10 + y = 3 ⋅ 10 + 3 ⋅ y ⇒ 40 + y = 30 + 3y

Alternativa b.

9. Seguindo o esquema, R = B : A, enquanto B = 48 + 32 e A = 13 + 3. Dessa maneira:

R = (48 + 32) : (13 + 3) = 80 : 16 = 5

Alternativa a.

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Organizando

a) Uma expressão algébrica é uma representação matemática com números, letras e símbolos, por exemplo 3 ⋅ (x + 2). A variável é um valor indefinido, que varia, e geralmente é representado por uma letra. Nessa expressão, a variável é x. Quando atribuímos valores para a variável, é possível calcular o valor numérico da expressão, ou seja, o resultado da expressão numérica que aparece quando a variável é substituída por um valor numérico. Por exemplo, quando x = 5 ⇒ 3 ⋅ (x + 2) = 3 ⋅ (5 + 2) = 3 ⋅ 7 = 21, que é o valor numérico da expressão.

b) Na linguagem verbal e na algébrica podem ser escritas expressões com o mesmo sentido; por exemplo, 2 ⋅ x é a fórma algébrica de dizer “o dobro de um número x”.

c) Seguindo o princípio aditivo da igualdade, adicionando ou subtraindo o mesmo número nos dois membros de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade. Por exemplo: x + 3 = 5 e x + 3 + 2 = 5 + 2 ⇒ x + 5 = 7 são equivalentes.

d) Seguindo o princípio multiplicativo da igualdade, multiplicando os dois membros de uma igualdade pelo mesmo número, ou dividindo-os pelo mesmo número diferente de zero, obtemos uma nova igualdade. Por exemplo, x + 3 = 5 e 2 ⋅ (x + 3) = 5 ⋅ 2 ⇒ 2x + 6 = 10 são equivalentes.

Diversificando

1. Nilza observou o seguinte padrão:

[a + b] = a + a ⋅ b

Então:

[13 + 16] = 13 + 13 ⋅ 16 = 13 + 208 = 221

2. Considerando que, calculando pelo método de Carlos, apresentam-se em sequência:

[8 + 11] = 96

[9 + 12] = 96 + 9 + 12 = 117

[10 + 16] = 117 + 10 + 16 = 140

3. Resposta pessoal; elaboração e resolução de problemas.

Capítulo 6 – Um pouco de Geometria plana

• Objetivos do capítulo e justificativas

• Reconhecer as noções primitivas da Geometria: ponto, reta e plano, e suas relações.

• Identificar posições relativas de duas retas em um plano (paralelas ou concorrentes).

• Distinguir, identificar e representar semirretas e segmentos de reta.

• Identificar segmentos de reta consecutivos, segmentos de reta colineares e segmentos de reta congruentes.

• Associar ângulo à ideia de mudança de direção e de giro.

• Reconhecer ângulos em figuras planas.

• Medir e construir ângulos usando transferidor.

• Classificar um ângulo de acordo com sua medida como reto, agudo ou obtuso.

• Identificar retas perpendiculares.

• Construir retas paralelas e retas perpendiculares usando régua e esquadro e com o uso de softwares.

O trabalho com as noções básicas de Geometria desenvolvido neste capítulo amplia e aprofunda o que foi estudado em anos anteriores e é pré-requisito para o que será estudado posteriormente.

O uso de ferramentas para as construções geométricas, como régua, transferidor e software geométrico, contribui para um estudo mais aprofundado dos elementos geométricos estudados e para o desenvolvimento das competências específicas 2 e 5 e das competências gerais 2, 4 e 5.

Entender o conceito de ângulo, seus elementos e reconhecer a abertura de ângulos como uma grandeza associada às figuras geométricas é fundamental para o estudo de polígonos que será desenvolvido no capítulo 10. O transferidor deve ser interpretado como uma ferramenta para obter medidas aproximadas de ângulos em grau, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada. Ao trabalhar com esses conceitos, contribuímos para o desenvolvimento das competências específicas 2 e 6 e das competências gerais 2, 4 e 5.

O trabalho desenvolvido na Abertura do capítulo, associando o conceito de pontos e segmentos de reta a elementos de uma obra de arte, contribui para o desenvolvimento da competência geral 3 e da competência específica 6.

O desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e da competência específica 8 é favorecido com as diferentes atividades a serem realizadas em grupos, pois permitem que os estudantes exercitem diferentes habilidades socioemocionais ao trabalharem com a diversidade de aprendizagem entre os colegas, interagindo de fórma cooperativa.

• Habilidades trabalhadas no capítulo

(ê éfe zero seis ême ah dois um) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

(ê éfe zero seis ême ah dois dois) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.

(ê éfe zero seis ême ah dois quatro) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

(ê éfe zero seis ême ah dois cinco) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.

(ê éfe zero seis ême ah dois seis) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão.

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(ê éfe zero seis ême ah dois sete) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

Este capítulo amplia e aprofunda os conhecimentos acerca das figuras geométricas planas explorados no 5º ano do Ensino Fundamental, (ê éfe zero cinco ême ah um sete), integrantes da Unidade Temática Geometria, e auxilia na apropriação de conhecimentos que serão abordados no 7º ano, cujos conteúdos relacionam-se a transformações geométricas, (ê éfe zero sete ême ah um nove).

O trabalho desenvolvido com as posições relativas de duas retas em um plano permite aos estudantes compreender os conceitos de paralelismo e perpendicularismo e fazer diferentes construções com diferentes instrumentos, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois dois). O fluxograma apresentado junto a um conjunto de passos, que constitui um algoritmo para tais construções, contribui para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois três).

A noção de ângulos em diferentes contextos e o reconhecimento da abertura de ângulos como uma grandeza associada às figuras geométricas, com diferentes propostas de atividades para obtenção de diferentes medidas com o uso de transferidor, são elementos que contribuem para o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero seis ême ah dois quatro), (ê éfe zero seis ême ah dois cinco), (ê éfe zero seis ême ah dois seis) e (ê éfe zero seis ême ah dois sete).

No exercício 23 da seção Exercícios complementares propomos um trabalho com a construção de figuras planas semelhantes, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois um).

O reconhecimento dessas ideias por meio de representações concretas dá o suporte necessário para definições elaboradas de segmento de reta (conceito, colinearidade, medida, representação no geoplano), de semirreta, das posições relativas entre duas retas e de ângulos (conceito da reunião de duas semirretas de origem comum e a ideia de giro, medida e classificação quanto à sua medida). Dessa maneira, a etapa seguinte é chegar às construções passo a passo de retas perpendiculares e de retas paralelas utilizando instrumentos como régua, esquadro, transferidor, além das tecnologias digitais com softwares de geometria dinâmica, o que favorece a assimilação da competência geral 5 e da competência específica 5.

A apresentação de uma obra de arte, valorizando manifestações artísticas e culturais, para introduzir os conceitos elementares da Geometria plana, favorece o desenvolvimento da competência geral 3 da Bê êne cê cê.

• Comentários e resoluções

Abertura

a) A obra de Kumi Yamashita é composta de pregos, que representam pontos, e de linhas esticadas entre dois pregos, que representam segmentos de reta.

b) A concentração das linhas é diferente nas diversas partes da imagem.

c) A concentração menor ou maior das linhas determina, respectivamente, a relação claro ou escuro e define a imagem.

Exercícios propostos

7. Dados 4 pontos a, B, C e D, três a três não colineares, por um deles, a, por exemplo, passam 3 retas distintas que contêm, B, C e D, respectivamente. Idem para cada um dos outros 3, totalizando 12 retas (4 · 3). Porém, assim as retas foram contadas em dobro (reta por a e B, e reta por B e a, por exemplo). Logo, podemos traçar 6 retas.

8. Quando duas retas contidas no mesmo plano não têm pontos em comum, elas são denominadas retas paralelas. Quando duas retas têm um único ponto em comum, elas são denominadas retas concorrentes. Assim:

8. a) a rua Paraná é paralela à rua Maranhão.

8. b) a rua Sergipe tem ponto em comum com todas as ruas apresentadas na imagem (rua Amazonas, rua Maranhão e rua Paraná).

8. c) como as duas ruas mencionadas são paralelas, as pessoas não se encontrariam, visto que as ruas não têm ponto em comum.

9. Usando as mesmas definições do exercício anterior, concluímos:

9. a) as retas paralelas são r e u, pois não têm ponto em comum.

9. b) as retas concorrentes têm ponto em comum, são os pares possíveis: s e r, s e u, s e t, t e r, t e u.

18. A seguir, alguns exemplos de resposta. Pares de segmentos consecutivos (têm um extremo comum) na figura:

\bar{A F} e \bar{E F}, \bar{E F} e \bar{E G}, \bar{E F} e \bar{B E}, \bar{C D} e \bar{B C}, \bar{B C} e \bar{C G}, \bar{C D} e \bar{C G}

; dois segmentos colineares (estão na mesma reta): não há nessa figura; dois segmentos que estão no mesmo plano (são coplanares, estão apoiados na mesma face do poliedro):

\bar{A B} e \bar{E F}, \bar{B E} e \bar{C G}

19. O contorno da moeda traça uma circunferência.

19. a) Com extremos em dois dos pontos A, B, C, D e ê, é possível traçar 10 segmentos:

\bar{A B}, \bar{A C}, \bar{A D}, \bar{A E}, \bar{B C}, \bar{B D}, \bar{B E}, \bar{C D}, \bar{C E} e \bar{D E} .

19. b) São consecutivos os segmentos com extremo em comum; cinco exemplos do exercício:

\bar{A B} e \bar{B C}, \bar{A B}

\bar{B D}, \bar{A B} e \bar{B E}, \bar{B C} e \bar{C D}, \bar{C D} e \bar{D E}

19. c) Não há par de segmentos colineares nesse caso.

20. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes elaborem problemas sobre semirretas e segmentos de reta, permitindo avaliar como expressam suas ideias e seus conhecimentos.

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24. Fazendo os recortes nos canudos conforme solicitado no enunciado, observa-se que cada novo recorte feito no canudo o deixa com metade do tamanho anterior.

Situação inicial dos canudos	Situação final dos canudos

24. a) Comparando a medida do canudo branco usando como unidade cada um dos pedaços, é possível observar que o branco mede duas unidades amarelas, 4 vermelhas ou 8 verdes.

24. b) O canudo amarelo mede duas unidades vermelhas ou 4 verdes.

24. c) É possível estimar que, como o verde tem o dobro de medida de tamanho do que o azul, e o branco mede 8 unidades verdes, ele também mede 16 unidades azuis (8 · 2 = 16).

24. d) Confirmando o item anterior, espera-se encontrar a medida de 16 unidades azuis.

24. e) Não é possível obter o tamanho de uma cor juntando outras duas, pois um tamanho é sempre o dobro do seguinte; apenas juntando dois amarelos se obteria um branco, e assim por diante.

31. b) Considerando o cursor voltado para cima, para desenhar a letra “L”, inicial de seu nome, Leonardo pode ter dado os seguintes comandos: pf 5 – pê dê 90 – pf 1 – pê dê 90 – pf 4 – pê ê 90 – pf 2 – pê dê 90 – pf 1 – pd 90 – pf 3.

33. O ângulo cuja medida é 90graus é denominado ângulo reto. O ângulo cuja medida é menor que a de um ângulo reto (ou seja, está entre 0pequeno círculo sobrescrito e 90graus) é chamado ângulo agudo. O ângulo cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que 180graus é chamado ângulo obtuso. Observando as figuras:

33. a) É menor que um ângulo reto, então é agudo.

33. b) É um ângulo reto, então mede 90graus.

33. c) É um ângulo maior do que um ângulo reto, então é obtuso.

34. Os ângulos percorridos pelo ponteiro dos minutos são tais que na volta toda há 360graus e 12 intervalos; portanto, 30graus entre cada número (pois 360graus : 12 = 30graus, e no caso do ponteiro dos minutos, cada número equivale a 5 minutos).

34. a) Passaram-se 20 minutos (25 – 5 = 20), ou seja, o ponteiro dos minutos percorreu 4 intervalos (20 : 5 = 4), o equivalente a 120graus (4 ⋅ 30 = 120); trata-se, portanto, de um ângulo obtuso.

34. b) Passaram-se 10 minutos (15 – 5 = 10), ou seja, o ponteiro dos minutos percorreu 60graus, pois (10 : 5) ⋅ 30 = 60; um ângulo agudo.

34. c) Como se passaram 15 minutos (20 – 5 = 15), o ponteiro percorreu 90graus, pois (15 : 5) ⋅ 30 = 90; um ângulo reto.

35. Usando transferidor, é possível medir o ângulo formado entre duas retas para verificar se têm medida de abertura 90graus. É o caso das retas y e u, y e v.

Ajustando um lado do ângulo reto do esquadro na reta vê, encostando a régua no outro lado do ângulo reto do esquadro, escorregando a régua no esquadro até a reta u, verificamos que esta é paralela à reta vê.

37. b) 1º) Selecione a ferramenta “Reta” e clique em dois pontos quaisquer da tela para criar uma reta r e marcar os pontos a e B.

2º) Selecione a ferramenta “Ponto” e clique em qualquer lugar fóra da reta para criar um ponto C.

3º) Selecione a ferramenta “Reta perpendicular” e clique no ponto C criado por você no passo anterior e, em seguida, na reta r para criar uma reta s perpendicular a r.

4º) Selecione a ferramenta “Ponto” e clique em dois pontos de s, D e E, distantes 4 centímetros da reta r.

5º) Selecione a ferramenta “Reta perpendicular” e clique no ponto D criado por você no passo anterior e, em seguida, na reta s para criar uma reta t perpendicular a s. Repita o mesmo comando clicando no ponto ê e na reta s.

Exercícios complementares

6. Desenhando as semirretas descritas, todas com origem O de fórma que   

\vec{O A}

\vec{O B}

são opostas (ou seja, unindo as duas semirretas, formam a reta

\overset{\leftrightarrow}{A B}

) e

\vec{O C}

fórma ângulo de 45graus com

\vec{O B}

Ilustração. Reta horizontal vermelha. No centro da reta, ponto O. Para esquerda do ponto O, ponto A. Para direita do ponto O, ponto B. A partir do ponto O, na diagonal, semirreta vermelha. Nesta reta há o ponto C. Indicação de 45 graus entre a reta e a semirreta, formando o ângulo B O C.

6. a) O ângulo

A \hat{O} B

é de “meia-volta” porque os pontos a, O e B estão alinhados (são colineares). Não há a formação de um ângulo reto. O ângulo

A \hat{O} C

é obtuso, pois é a diferença entre 180graus e 45graus.

6. b) Como argumentado no item a, medida do(

A \hat{O} B

) = 180graus e medida do(

A \hat{O} C

) = 180graus – 45graus = 135graus; e pelo enunciado medida do(

B \hat{O} C

) = 45graus.

7. Medindo a ilustração do exercício, é possível obter:

medida de (

\bar{A B}

) = medida de (

\bar{C D}

) = 6 centímetros;

medida de (

\bar{B C}

) = medida de (

\bar{A D}

) = 3 centímetros;

medida de (

\bar{X Y}

) = medida de (

\bar{Y Z}

) = medida de (

\bar{Z V}

) = medida de (

\bar{V X}

) = 2,5 centímetros;

medida de (

\bar{V Y}

) = 4,5 centímetros;

medida de (

\bar{X Z}

) = 2 centímetros.

São congruentes os segmentos de medida igual:

\bar{A B} e \bar{C D}; \bar{B C} e \bar{A D}; \bar{X Y}, \bar{Y Z}, \bar{Z V} e \bar{V X}

Página cinquenta e oito

8. O ângulo verde é agudo, pois tem medida menor do que 90graus. Os ângulos azul e laranja são obtusos pois são maiores do que o ângulo reto. E o ângulo lilás é reto pois mede 90graus.

9. São quatro pontos no plano, de fórma que três desses pontos nunca estão alinhados. Por dois pontos sempre passa uma reta; então, escolhendo um dos pontos desse plano como origem, é sempre possível traçar uma semirreta passando em cada um dos outros pontos; são, portanto, 3 semirretas com mesma origem e 12 semirretas no total (3 ⋅ 4 = 12) que têm origem em algum dos pontos do plano e que passam por outro.

10. Analisando as sentenças:

10. a) Verdadeira: o ângulo que tem medida 90graus é chamado de reto.

10. b) Falsa: os lados do ângulo são semirretas.

10. c) Verdadeira: é possível associar um número como medida a cada tamanho de abertura de ângulo.

10. d) Verdadeira: a abertura de um ângulo agudo é sempre menor do que a abertura de um ângulo reto, que por sua vez é sempre menor do que a abertura de um ângulo obtuso.

Verificando

1. Três ou mais pontos na mesma reta estão alinhados e são chamados colineares.

Alternativa b.

2. Duas retas concorrentes são aquelas que se encontram em um ponto, formando quatro ângulos e dividindo o plano em quatro regiões.

Alternativa b.

3. Dois segmentos de reta são congruentes quando têm a mesma medida de comprimento.

Alternativa c.

4. Pela ilustração, é possível supor que as retas h e i são paralelas, pois, mesmo prolongando-as infinitamente, elas não se encontrariam em nenhum ponto.

Alternativa c.

5. Um ângulo reto mede exatamente 90graus.

Alternativa d.

6. Uma volta completa é o equivalente a 360graus; como 180graus = 360graus : 2, 180graus corresponde a

\frac{1}{2}

de volta, ou meia volta.

Alternativa b.

7. Duas retas perpendiculares se encontram formando ângulo de 90graus, o ângulo reto.

Alternativa c.

8. Entre as classificações por tamanho dos ângulos, os ângulos agudos são os que têm medida de abertura entre 0 e 90graus.

Alternativa d.

9. O ângulo entre os ponteiros que indicam 12 (dos minutos) e 4 (das horas) é um ângulo obtuso, pois tem medida de (360graus : 12) ⋅ 4 = 120graus > 90graus.

Alternativa c.

10. Um giro de 360graus é equivalente a dar uma volta completa. Como 720graus = 360graus ⋅ 2, na manobra No Grab 720, o esqueitistadeve dar duas voltas completas no ar.

Alternativa c.

Capítulo 7 – Números racionais na fórma de fração

• Objetivos do capítulo e justificativas

• Reconhecer números racionais em diferentes contextos: cotidianos e históricos.

• Ler, escrever e representar números racionais na fórma de fração.

• Resolver problemas envolvendo números racionais na fórma de fração com seus diferentes significados: como operadores, relação entre parte e todo, quociente e razão.

• Identificar frações equivalentes.

• Simplificar e comparar números racionais escritos na fórma de fração.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagem com base na ideia de proporcionalidade.

• Interpretar dados representados em tabelas, gráficos de colunas e gráficos de setores.

Ao longo deste capítulo são apresentadas situações diversas nas quais os números racionais, na fórma de fração, são usados em diferentes contextos. Como exemplo, na página de Abertura em que apresentamos informações sobre a poluição ambiental. Dessa maneira, os estudantes têm oportunidade de desenvolver as competências gerais 7 e 10 e as competências específicas 6 e 7.

O trabalho com números na fórma de fração se justifica como ampliação dos conhecimentos relacionados ao estudo do campo numérico e por sua aplicação em relação à resolução de diferentes problemas dos campos numéricos da Matemática ou de situações práticas. Desse modo, ao saber ler, escrever, representar na reta numérica e compreender as relações entre frações equivalentes, contribui-se para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah zero sete), das competências gerais 2 e 4 e das competências específicas 3 e 4.

Na Abertura do capítulo, apresentamos alguns questionamentos aos estudantes com o objetivo de levá-los a reflexões sobre temáticas relacionadas aos Temas Contemporâneos Transversais educação ambiental e educação para o consumo, contribuindo para o desenvolvimento da competência geral 7 e da competência específica 6.

Ainda, não podemos omitir o papel que o conjunto dos números racionais cumpre na estrutura algébrica da Unidade Temática Números e na Unidade Temática Probabilidade e estatística. Essa relação é explorada na seção Trabalhando a informação, ao abordar a leitura e a interpretação de gráficos de setores.

O desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e da competência específica 8 é favorecido com as diferentes atividades a serem realizadas em grupos, pois permitem aos estudantes exercitar diferentes habilidades socioemocionais ao trabalharem com a diversidade de aprendizagem entre os colegas, interagindo de fórma cooperativa.

Página cinquenta e nove

• Habilidades trabalhadas no capítulo

(ê éfe zero seis ême ah zero seis) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

(ê éfe zero seis ême ah zero sete) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

(ê éfe zero seis ême ah um três) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

(ê éfe zero seis ême ah um cinco) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

(ê éfe zero seis ême ah três um) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

Este capítulo trata de objetos de conhecimento da Unidade Temática Números e amplifica e detalha os conhecimentos tratados no 5º ano do Ensino Fundamental sobre números racionais na fórma de fração com (ê éfe zero cinco ême ah zero três), (ê éfe zero cinco ême ah zero quatro) e (ê éfe zero cinco ême ah zero cinco), visando preparar o estudante para a continuidade desse estudo no 7º ano com (ê éfe zero sete ême ah zero oito) e (ê éfe zero sete ême ah um zero).

Os conteúdos e as atividades propostos exploram, inicialmente, o conceito de número racional na fórma de fração por meio da ideia de medida e abordam situações diversas que apresentam o uso de frações em variados contextos, de modo a consolidar e ampliar os conhecimentos construídos anteriormente e desenvolver as habilidades (ê éfe zero seis ême ah zero sete) e (ê éfe zero seis ême ah um cinco).

Nas situações que apresentam a fração como razão, retoma-se a fórma porcentual, aprofundando o cálculo com porcentagens e estimativas em diferentes circunstâncias. Essas situações também abordam de fórma mais aguda os conceitos de equivalência e comparação de frações. As Unidades Temáticas Números e Probabilidade e estatística articulam-se em situações que envolvem análise de informações e interpretação de gráficos de colunas simples e de setores, com dados expressos em porcentagens, contribuindo para o desenvolvimento das habilidades.

• Comentários e resoluções

Abertura

a) Os números e o que indicam são: 2021; 2030 (anos); 70% (parcela da superfície do planeta coberta por água); 8 milhões (quantidade de lixo);

\frac{1}{3}

(parcela da população prejudicada pelo lixo mundial); 1,6 milhão; 80 mil; 150 milhões (quantidades de lixo);

\frac{7}{10}

(parcela da poluição que é causada pelo plástico); 80% (parcela do lixo que tem origem terrestre). De maneira geral, os números indicam contagens e medidas. Nem todos esses números são naturais, como as frações e as quantidades escritas em fórma de porcentagem.

b) Resposta pessoal; depende dos hábitos e da percepção de si mesmo.

c) Resposta pessoal; argumentação e defesa de ideias.

d) Resposta pessoal; depende de conhecimentos e crenças. Espera-se que os estudantes citem ações pessoais e coletivas para o contrôle do consumo e para a reciclagem do que é produzido pela humanidade.

Exercícios propostos

1. a) O inteiro dividido em 4 partes, com 3 delas pintadas de laranja:

\frac{3}{4}

1. b) O inteiro está dividido em 9 partes; 7 partes são laranja:

\frac{7}{9}

1. c) 8 partes no total; duas partes são laranja:

\frac{2}{8}

1. d) 10 cubos no total; 3 deles são laranja:

\frac{3}{10}

2. a)

Ilustração.
Paralelogramo, dividido em 4 partes triângulos iguais.
2 triângulos estão pintados de vermelho.

2. b)

Ilustração.
Figura composta de 6 triângulos iguais inclinados com o mesmo ponto de origem.
4 deles estão pintados de amarelo.

2. c)

Ilustração.
Pentágono dividido em 5 partes iguais.
4 partes estão pintadas de verde.

2. d)

Ilustração.
Losango dividido em duas partes iguais. 1 parte está pintada de azul.

Página sessenta

2. e)

Ilustração.
Figura tridimensional, com 5 cubos em formato que lembra a letra T. 2 cubos estão pintados de rosa.

2. f)

Ilustração.
Figura formada por 10 triângulos iguais.
7 estão pintados de roxo.

3. a)

\frac{1}{5}

lê-se “um quinto”.

3. b)

\frac{45}{100}

lê-se “quarenta e cinco centésimos”.

4. a) Indica que o inteiro foi dividido em 9 partes iguais.

4. b) Indica que, dessas partes iguais, foram consideradas 5.

5. A figura foi dividida em 6 partes iguais, sendo 3 partes para a chapa Cobra, uma parte para a chapa Caracol e duas partes para a chapa Jacaré.

5. a) A fração de votos de cada chapa é: Cobra

\frac{3}{6}

; Caracol

\frac{1}{6}

; Jacaré

\frac{2}{6}

5. b) A chapa que teve mais votos foi a chapa Cobra; por isso, ela ganhou a eleição.

5. c) Há 900 estudantes no total; então, cada parte do inteiro corresponde a 150 estudantes (900 : 6 = 150). Por isso a chapa Cobra recebeu 450 votos (3 ⋅ 150 = 450), a chapa Caracol recebeu 150 votos (1 ⋅ 150 = 150) e a chapa Jacaré recebeu 300 votos (2 ⋅ 150 = 300).

11. a) A figura a está dividida em 10 partes iguais e uma delas é colorida; portanto,

\frac{1}{10}

da figura está pintado.

11. b) A figura B está dividida em 100 partes e 10 delas são coloridas; assim:

\frac{10}{100} = 10 %

12. Considerando a fórma de escrever fração como parte pelo todo.

12. a) Como o todo é 100%, metade do círculo representa 50% (figura dois), a metade de 50% é 25% (figura um) e 3 vezes essa parte de 25% são 75% (figura três). A figura quatro representa uma parte entre 5, ou seja, 20% (100 : 5 = 20).

12. b) É preciso observar a quantidade total de pedaços em que a figura foi dividida (denominador) e a quantidade deles que está pintada de verde (numerador).

um) 1 pedaço verde dentre 4:

\frac{1}{4}

dois) 1 pedaço verde dentre 2:

\frac{1}{2}

três) 3 pedaços verdes dentre 4:

\frac{3}{4}

quatro) 1 pedaço verde dentre 5:

\frac{1}{5}

16. Um inteiro é composto de 4 quadrados; então, todas as frações terão denominador 4.

16. a) Na figura há 11 quadradinhos coloridos; portanto, a fração é

\frac{11}{4}

16. b) Na fórma mista, observe que há 2 inteiros coloridos, e mais 3 pedaços de outro inteiro (3 pedaços dentre 4 no total); então, o número procurado é

2 \frac{3}{4}

19. Considerando financiamentos de 30, 40 ou 50 meses.

19. a) Um ano corresponde a 12 meses; então, podemos reescrever as três opções de prazo da seguinte maneira:

30 meses = 12 meses + 12 meses + 6 meses = 2 anos e 6 meses =

2 \frac{1}{2}

anos

40 meses = 12 meses + 12 meses + 12 meses + 4 meses = 3 anos e 4 meses =

3 \frac{1}{3}

anos

50 meses = 12 meses + 12 meses + 12 meses + 12 meses + 2 meses = 4 anos e 2 meses =

4 \frac{1}{6}

anos

19. b) Em financiamentos em que são aplicados juros, o valor que ainda não foi pago aumenta em uma certa taxa, que no caso do problema é de 12%. Em financiamentos mais longos (maior quantidade de parcelas), como essa taxa é aplicada mais vezes sobre a dívida, o montante a pagar é maior. Então, o total a ser pago é menor no financiamento com prazo de 30 meses. Para decidir no lugar de Letícia, algumas questões devem ser levantadas, como a necessidade de usar o dinheiro das parcelas futuras em algo mais urgente, e o total do pagamento ser diferente para cada situação de financiamento.

20. Em cada copo de leite cabem 200 mililitros; portanto, em

\frac{1}{4}

do copo cabem 50 mililitros (200 : 4 = 50). Então, o total de leite necessário será

(3 + \frac{3}{4})

de 200 mililitros, ou seja, 750 mililitros(3 ⋅ 200 + 3 ⋅ 50 = 600 + 150 = 750).

21. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes escrevam frações associadas a situações cotidianas, permitindo avaliar como expressam ideias e conhecimentos.

22. Na ilustração, o pacote sem desconto tem 200 gramas, enquanto o promocional tem 40 gramas a mais, indicados como gratuitos.

22. a) A razão pedida é:

\frac{quantidade gr á tis}{quantidade do pacote sem desconto} = \frac{40}{200}

Esse número representa uma relação entre as quantidades utilizadas nos dois pacotes.

Página sessenta e um

22. b)

\frac{40}{200} = \frac{20}{100} = 20 %

23. Procura-se distribuir 18 meninos e 24 meninas em grupos com a mesma quantidade de estudantes de cada gênero.

23. a) A quantidade de rodas que serão formadas deve ser um número divisível tanto por 18 como por 24. Os divisores de 18 são 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Os divisores de 24 são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Então, os divisores em comum desses dois números são 1, 2, 3 e 6, de modo que são as opções de formação:

um) uma roda com 18 meninos (18 : 1 = 18) e 24 meninas (24 : 1 = 24);

dois) duas rodas com 9 meninos (18 : 2 = 9) e 12 meninas (24 : 2 = 12);

três) 3 rodas com 6 meninos (18 : 3 = 6) e 8 meninas (24 : 3 = 8);

quatro) 6 rodas com 3 meninos (18 : 6 = 3) e 4 meninas (24 : 6 = 4).

23. b) A relação entre o total de meninos e o total de meninas é:

\frac{quantidade de meninos}{quantidade de meninas} = \frac{18}{24}

Essa fração também pode ser escrita como

\frac{9}{12}

\frac{6}{8}

\frac{3}{4}

, as quantidades de cada grupo presentes em cada uma das rodas iguais.

24. a) A cada 5 que estudam espanhol, 2 estudam italiano. Então, a fração pedida é:

\frac{estudam italiano}{estudam espanhol} = \frac{2}{5}

24. b) Caso 60 deles estudem italiano, haveria 150 estudantes [(60 : 2) ⋅ 5 = 30 ⋅ 5 = 150] dessa escola que estudam espanhol; portanto, não seria possível.

25. De acordo com as informações do enunciado, 82 correspondem a

\frac{3}{204}

da altitude desejada; como

\frac{3}{204} = \frac{1}{68}

, então a altitude procurada é de .5576 métros (82 ⋅ 68 = .5576).

30. As frações equivalentes a

\frac{5}{8}

são as que podemos obter multiplicando seus dois termos por um mesmo número. Portanto,

\frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{10}{16}

(item a);

\frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}

(item b);

\frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 4} = \frac{20}{32}

;

\frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40}

(item d);

\frac{5 \cdot 6}{8 \cdot 6} = \frac{30}{48}

31. Seguindo as instruções do enunciado:

31. a) Comparando cada dupla formada entre as frações equivalentes

\frac{4}{9}

\frac{12}{27}

\frac{16}{36}

\frac{28}{63}

\frac{4}{9}

\frac{12}{27}

⇒ 4 ⋅ 27 = 108 e 9 ⋅ 12 = 108 ⇒ 4 ⋅ 27 = 9 ⋅ 12

\frac{4}{9}

\frac{16}{36}

⇒ 4 ⋅ 36 = 144 e 9 ⋅ 16 = 144 ⇒ 4 ⋅ 36 = 9 ⋅ 16

\frac{4}{9}

\frac{28}{63}

⇒ 4 ⋅ 63 = 252 e 9 ⋅ 28 = 252 ⇒ 4 ⋅ 63 = 9 ⋅ 28

\frac{12}{27}

\frac{16}{36}

⇒ 12 ⋅ 36 = 432 e 27 ⋅ 16 = 432 ⇒

⇒ 12 ⋅ 36 = 27 ⋅ 16

\frac{12}{27}

\frac{28}{63}

⇒ 12 ⋅ 63 = 756 e 27 ⋅ 28 = 756 ⇒

⇒ 12 ⋅ 63 = 27 ⋅ 28

\frac{16}{36}

\frac{28}{63}

⇒ 16 ⋅ 63 = 1 008 e 36 ⋅ 28 = .1008 ⇒

⇒ 16 ⋅ 63 = 36 ⋅ 28

Em todos os casos, os produtos são iguais.

31. b) São equivalentes as frações

\frac{2}{5}

\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10}

. Testando da mesma maneira que o item anterior, obtemos: 2 ⋅ 10 = 20 e 5 ⋅ 4 = 20; portanto, 2 ⋅ 10 = 5 ⋅ 4. Os produtos são iguais.

31. c) Observando o padrão testado nos itens anteriores, pode-se supor que o mesmo ocorra para qualquer par de frações equivalentes: a multiplicação do numerador de uma pelo denominador de outra é um valor constante para todo par de frações equivalentes.

31. d) Pela conclusão do item c, temos: o produto de 8 por

Ilustração. Contorno de um quadrado com uma interrogação no centro.

é igual ao produto de 5 por 48, ou seja, 240. Queremos saber qual é o número que, multiplicado por 8, resulta 240. Como a divisão é a operação inversa da multiplicação, temos:

= 240 : 8 = 30.

Outra maneira de resolver é procurar um fator que leve a fração

\frac{5}{8}

à sua equivalente que tenha denominador 48. Esse fator é 6, dado pelo quociente de 48 : 8. Assim:

= 5 · 6 = 30.

34. Fazendo de fórma semelhante à da atividade 31.

34. a) Nesse caso, o fator procurado para obter a fração equivalente é 5, dado por 15 : 3. Assim:

= 5 · 4 = 20.

Página sessenta e dois

34. b) Nesse caso, não há um valor inteiro que permita encontrar diretamente a equivalente da fração

\frac{6}{9}

com denominador 15, pois 15 : 9 não é uma divisão exata. Porém, é possível encontrar uma fração intermediária que também seja equivalente, nesse caso

\frac{6}{9} = \frac{6 : 3}{9 : 3} = \frac{2}{3}

, e como 15 : 3 = 5 é exata,

\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}

; portanto,

= 10.

34. c) Nesse item, como 35 : 5 = 7, então a fração equivalente será

\frac{35 : 7}{21 : 7} = \frac{5}{3}

; portanto,

= 3.

34. d) Nesse caso, como 18 : 2 = 9, a fração equivalente será

\frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{27}{18}

; portanto,

= 27.

35. Calculando a fração equivalente a

\frac{2}{3}

Como 12 : 3 = 4 , temos

\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}

Calculando a fração equivalente a

\frac{3}{4}

Como 12 : 4 = 3, temos

\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}

36. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes elaborem problemas sobre frações equivalentes, permitindo avaliar como expressam ideias e conhecimentos.

37. a)

\frac{4}{10} = \frac{4 : 2}{10 : 2} = \frac{2}{5}

37. b)

\frac{18}{24} = \frac{18 : 2}{24 : 2} = \frac{9}{12} =

= \frac{9 : 3}{12 : 3} = \frac{3}{4}

37. c)

\frac{25}{50} = \frac{25 : 5}{50 : 5} = \frac{5}{10} =

= \frac{5 : 5}{10 : 5} = \frac{1}{2}

37. d)

\frac{14}{15}

já é irredutível (14 e 15 não têm divisor comum).

38. a) Como 48 : 6 = 8, obtemos:

\frac{72}{48} = \frac{72 : 8}{48 : 8} = \frac{9}{6}

38. b) Como 42 : 6 = 7, obtemos:

\frac{14}{42} = \frac{14 : 7}{42 : 7} = \frac{2}{6}

38. c) Como a divisão 38 : 6 não é exata, não é possível obter.

38. d) Como 30 : 6 = 5, obtemos:

\frac{20}{30} = \frac{20 : 5}{30 : 5} = \frac{4}{6}

39. a) Como 5 : 1 = 5, obtemos:

\frac{5}{20} = \frac{5 : 5}{20 : 5} = \frac{1}{4}

39. b) Como 6 : 1 = 6, obtemos:

\frac{6}{18} = \frac{6 : 6}{18 : 6} = \frac{1}{3}

39. c)

\frac{3}{12} = \frac{3 : 3}{12 : 3} = \frac{1}{4}

39. d) Como a divisão 30 : 4 não é exata, não é possível encontrar uma fração unitária que seja equivalente.

40. Depois de escrever como fração, simplificamos conforme atividades anteriores.

40. a) O símbolo de porcentagem indica que aquele número é uma fração com denominador 100:

36 % = \frac{36}{100} = \frac{36 : 4}{100 : 4} = \frac{9}{25}

40. b) Um número misto é formado pela adição de uma parte inteira a uma parte fracionária.

3 \frac{2}{8} = 3 + \frac{2}{8} = \frac{24}{8} + \frac{2}{8}

\frac{26}{8} = \frac{26 : 2}{8 : 2} = \frac{13}{4}

40. c)

50 % = \frac{50}{100} = \frac{50 : 50}{100 : 50} = \frac{1}{2}

40. d)

1 \frac{3}{6} = 1 + \frac{3}{6} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} =

= \frac{9}{6} = \frac{9 : 3}{6 : 3} = \frac{3}{2}

42. Para comparar frações de mesmo denominador, basta comparar os numeradores; então, como 4 < 5 ⇒

\frac{4}{9} < \frac{5}{9}

; logo, há mais meninas nessa classe.

43. Para comparar frações de denominadores diferentes, é preciso fazer a redução de ambas a um denominador comum, utilizando frações equivalentes. Esse denominador comum será um múltiplo dos denominadores das frações que se deseja comparar, sendo então a menor opção possível o mmc. Caso os denominadores já sejam iguais, basta comparar os numeradores.

43. a) Como 2 < 4 ⇒

\frac{2}{6} < \frac{4}{6}

43. b) Como 1 < 5 ⇒

\frac{1}{7} < \frac{5}{7}

43. c) Como 5 > 2 ⇒

\frac{5}{9} > \frac{2}{9}

Página sessenta e três

43. d) Encontrando a fração equivalente a

\frac{1}{2}

com denominador 4, obtemos:

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}

; como 2 < 3 ⇒

\frac{2}{4} < \frac{3}{4}

⇒

\frac{1}{2} < \frac{3}{4}

43. e) Encontrando a fração equivalente a

\frac{3}{10}

com denominador 30, obtemos:

\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}

Encontrando a fração equivalente a

\frac{4}{15}

com denominador 30, obtemos:

\frac{4}{15}

\frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2}

\frac{8}{30}

; como 9 > 8 ⇒

\frac{9}{30} > \frac{8}{30}

⇒

\frac{3}{10} > \frac{4}{15}

43. f) Encontrando a fração equivalente a

\frac{7}{6}

por denominador 18, obtemos:

\frac{7}{6} = \frac{7 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{21}{18}

; portanto,

\frac{7}{6} = \frac{21}{18}

46. A metade da trilha pode ser representada com

\frac{1}{2}

. Para comparar com o percorrido por Lúcia, encontrar uma fração equivalente de denominador 12, ou seja,

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6}

\frac{6}{12}

. Como ela percorreu

\frac{7}{12}

, e 7 > 6, obtemos

\frac{7}{12} > \frac{6}{12}

\frac{7}{12} > \frac{1}{2}

; então ela percorreu mais da metade da trilha.

47. Para comparar os valores de lajotas azuis, amarelas e vermelhas, é possível simplificar todas as frações para então reduzi-las ao denominador comum 6; assim, são azuis

\frac{2}{6}

delas, as amarelas são

\frac{2}{4}

\frac{2 : 2}{4 : 2} = \frac{1}{2} = \frac{13}{23} = \frac{3}{6}

e as vermelhas são

\frac{2}{12} = \frac{2 : 2}{12 : 2} = \frac{1}{6}

do total de lajotas.

47. a) Comparando os valores obtidos, como 3 > 2 > 1 ⇒

\frac{3}{6} > \frac{2}{6} > \frac{1}{6}

⇒

\frac{2}{4} > \frac{2}{6} > \frac{2}{12}

, então a lajota mais usada foi a amarela, com

\frac{2}{4}

delas.

47. b) Considerando o resultado obtido no item anterior, como

\frac{2}{4} > \frac{2}{6} > \frac{2}{12}

, a lajota menos utilizada foi a vermelha, com

\frac{2}{12}

delas.

48. Reduzindo, ou seja, escrevendo frações equivalentes com denominadores iguais, obtemos:

48. a)

\frac{3}{5}

\frac{5}{4}

→ o denominador comum é ême ême cê (5, 4) = 5 ⋅ 4 = 20, então multiplicar os termos da primeira fração (um) por 20 : 5 = 4 e os termos da segunda fração (dois) por 20 : 4 = 5.

um)

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20}

dois)

\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{25}{20}

48. b)

\frac{2}{6}

\frac{7}{4}

→ o denominador comum é ême ême cê (6, 4) = 12. Em (um) multiplicam-se os termos por 12 : 6 = 2 e em (dois) por 12 : 4 = 3.

um)

\frac{2}{6} = \frac{2 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{4}{12}

dois)

\frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{21}{12}

48. c)

3 = \frac{3}{1}, \frac{2}{5}

\frac{1}{3}

→ o denominador comum é ême ême cê (1, 5, 3) = 5 ⋅ 3 = 15. Em (um) multiplicam-se os termos por 15 : 1 = 15, em (dois) por 15 : 5 = 3 e na terceira fração (três) por 15 : 3 = 5.

um)

3 = \frac{3}{1} = \frac{3 \cdot 15}{1 \cdot 15} = \frac{45}{15}

dois)

\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}

três)

\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}

48. d)

3 \frac{1}{2}

1 \frac{5}{6}

→ como 6 é múltiplo de 2, o denominador comum é 6. Assim, em (um) o fator é 6 : 2 = 3 e em (dois) basta transformar o número misto em fração.

um)

3 \frac{1}{2} = 3 \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = 3 \frac{3}{6} =

= \frac{6 \cdot 3}{6} + \frac{3}{6} = \frac{21}{6}

dois)

1 \frac{5}{6} = \frac{6 \cdot 1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{11}{6}

48. e)

3 \frac{1}{5}, 2 \frac{3}{4} e \frac{1}{2}

→ como 4 é múltiplo de 2, o denominador comum é ême ême cê (5, 4) = 5 ⋅ 4 = 20. Então, em (um), o fator é 20 : 5 = 4, em (dois) é 20 : 4 = 5 e em (três) o fator é 20 : 2 = 10.

Página sessenta e quatro

3 \frac{1}{5} = 3 \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = 3 \frac{4}{20} =

= \frac{3 \cdot 20 + 4}{20} = \frac{64}{20}

dois

2 \frac{3}{4} = 2 \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = 2 \frac{15}{20} =

= \frac{2 \cdot 20 + 15}{20} = \frac{55}{20}

três

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20}

48. f)

1 = \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}

→ nesse caso, ocorre que 8 é múltiplo de todos os outros denominadores (1, 2 e 4); portanto, ême ême cê (1, 2, 4, 8) = 8 é o denominador buscado. Dessa maneira: (um) 8 : 1 = 8, (dois) 8 : 2 = 4, (três) 8 : 4 = 2 e (quatro) 8 : 8 = 1.

1 = \frac{1}{1} = \frac{1 \cdot 8}{1 \cdot 8} = \frac{8}{8}

dois

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}

três

\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}

quatro

\frac{1}{8}

49. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes elaborem problemas sobre comparação de frações, permitindo avaliar como expressam ideias e conhecimentos.

Trabalhando a informação

Páginas 160 e 161

2. Analisando as informações da tabela, obtemos:

2. a) Oriente os estudantes na construção do gráfico e na escolha da escala para sua representação. Eles podem considerar, por exemplo, que 1 centímetro de medida de altura de cada coluna represente 2%. Assim, a coluna que corresponde aos estudantes que ouvem rádio, em formato digital, em um único dia da semana terá 2 centímetros de medida de altura.

2. b) O maior dado da tabela é 41%, indicando a porcentagem de estudantes que ouve rádio digital 7 dias da semana, e o menor dado é 0%, que indica a quantidade de estudantes que não soube responder à pesquisa.

2. c)

4 % = \frac{4}{100}

;

5 % = \frac{5}{100}

;

6 % = \frac{6}{100}

;

9 % = \frac{9}{100}

;

7 % = \frac{7}{100}

;

26 % = \frac{26}{100}

;

41 % = \frac{41}{100}

;

2 % = \frac{2}{100}

;

0 % = \frac{0}{100} = 0

2. d) As porcentagens na pesquisa para essas categorias foram: nunca ouvem 2%; ouve todo dia 41%; então, a razão é

\frac{2 %}{41 %} = \frac{2}{41} .

Esse número indica que, para cada 2 pessoas que não ouvem rádio digital, existem 41 pessoas que ouvem todos os dias. Como

\frac{2}{41}

≃

\frac{2}{40}

\frac{1}{20}

, para cada uma pessoa que não ouve rádio digital, existem aproximadamente 20 pessoas que ouvem todos os dias.

2. e) 5% indica a quantidade de estudantes que ouve rádio digital, duas vezes por semana; isso significa que, a cada 100 pessoas entrevistadas pelo professor, 5 disseram ouvir rádio digital na frequência de 2 dias na semana. Como

\frac{5}{100} = \frac{1}{20}

, é o mesmo que dizer que uma a cada 20 pessoas entrevistadas respondeu dessa maneira.

Páginas 167 e 168

d) Considerando os arredondamentos feitos no item c, podemos refazer o gráfico dado.

Gráfico de setores. Título: Distribuição de recursos hídricos no continente africano. Países mais ricos: 50 centésimos. Países mais pobres: 10 centésimos. Países intermediários: 40 centésimos.

Dados obtidos em: UNESCO; FAO; REDE Brasil do Pacto Global. Relatório Mundial das Nações Unidas sobre o Desenvolvimento dos Recursos Hídricos 2021: o valor da água. Disponível em: https://oeds.link/MQa4fW. Acesso em: 22 maio 2022.

Exercícios complementares

1. Considerando as informações do enunciado, obtemos:

1. a) A fração

\frac{4}{4}

representa um inteiro; portanto, as 12 prestações.

1. b) A fração

\frac{1}{4}

representa 3 prestações (12 : 4 = 3).

1. c) Foram pagos

\frac{3}{4}

das prestações; portanto, foram pagas 9 delas (3 ⋅ 3 = 9).

2. Considerando os valores da tabela, temos:

2. a) O total de estudantes é a soma do valor em cada linha, 30 + 10 + 10 = 50.

2. b) A fração desejada é:

\frac{preferem v ô lei}{total de estudantes} = \frac{10}{50}

2. c) Preferem futebol 30 a cada 50 estudantes, ou:

\frac{30}{50} = \frac{60}{100} = 60 %

3. Na imagem há blocos divididos em quantidades iguais de cubos.

3. a) Há 3 blocos representados na imagem; portanto, 3 inteiros.

Página sessenta e cinco

3. b) Em um inteiro, os pequenos cubos formam 3 linhas e duas colunas; portanto, são 3 ⋅ 2 = 6 cubos em cada inteiro. Dessa maneira, cada cubo representa

\frac{1}{6}

do inteiro

(\frac{1 cubo}{total de cubos} = \frac{1}{6})

3. c) Na figura toda há 18 sextos (6 ⋅ 3 = 18).

4. Como a moto é parcelada em 5 vezes sem juros, então:

4. a) Cada parcela representa

\frac{1}{5}

da compra

(\frac{1 p a r c e l a}{t o t a l d e p a r c e l a s} = \frac{1}{5})

4. b) O valor total da moto é de .9000 reais; portanto, cada prestação será de .1800 reais (.9000 : 5 = .1800).

4. c)

\frac{2}{5}

da moto são o equivalente a duas parcelas, ou seja, .3600 reais (.1800 ⋅ 2 = .3600).

5. Como Renato pagou

\frac{3}{5}

da dívida, falta pagar os outros

\frac{2}{5}

(\frac{5 ‒ 3}{5} = \frac{2}{5})

, que equivalem a 70 reais. Por isso,

\frac{1}{5}

da dívida equivale a 35 reais (70 : 2 = 35), e o total são

\frac{5}{5}

dela, ou seja, 175 reais (35 ⋅ 5 = 175).

6. Em cada inteiro da figura há 6 pedaços, e no total há 9 pedaços pintados (6 + 3 = 9). Desse modo:

6. a) A fração procurada é dada por:

\frac{peda ç os pintados}{peda ç os em um inteiro} = \frac{9}{6}

6. b) Na fórma mista, as quantidades inteiras são escritas separadamente; portanto,

1 \frac{3}{6}

é o número procurado

(\frac{9}{6} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} = 1 + \frac{3}{6} = 1 \frac{3}{6})

7. A divisão 7 : 3 representa a partilha feita pela professora. Na fórma de fração, 7 : 3 =

\frac{7}{3}

; como número misto, é dado por:

\frac{7}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = 2 \frac{1}{3}

8. Considerando todas as bolas, a cada 7 delas há duas verdes e 5 vermelhas. A primeira fração procurada é

\frac{bolas verdes}{bolas vermelhas} = \frac{2}{5}

, e a outra é

\frac{bolas verdes}{todas as bolas de gude} = \frac{10}{35}

Outras frações equivalentes a cada uma também são respostas válidas.

9. Se uma empresa vai construir

\frac{2}{5}

da estrada, a outra construirá

\frac{3}{5}

da estrada

(\frac{5 ‒ 2}{5} = \frac{3}{5})

, o que corresponde a 81 quilômetros. Dessa maneira,

\frac{1}{5}

corresponde a 81 quilômetros : 3 = 27 quilômetros e

\frac{5}{5}

da estrada correspondem à sua extensão de 27 quilômetros ⋅ 5 = 135 quilômetros.

Alternativa b.

13. Uma maneira de resolver esse exercício é encontrar as primeiras frações equivalentes e ir testando a soma dos termos de cada uma delas, até encontrar uma cuja soma é 32. Outro modo de resolver, utilizando linguagem algébrica, é: a fração

\frac{3}{5}

tem soma de seus termos 3 + 5 = 8, e uma fração equivalente a ela será obtida ao multiplicar (ou dividir) os dois termos por algum número natural; por exemplo, se esse número natural for a, a fração equivalente será

\frac{3 \cdot a}{5 \cdot a}

. A soma dos termos da fração equivalente é 3 ⋅ a + 5 ⋅ a = 8 ⋅ a; portanto, 8 ⋅ a = 32. Perceba que 8 ⋅ 4 = 32; logo, a = 4, e a fração equivalente é

\frac{12}{20} (p o i s \frac{3 \cdot a}{5 \cdot a} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20})

14. Para comparar as frações do enunciado, é necessário reduzir todas à mesma base. O ême ême cê (3, 9, 18) = 18, pois 18 é múltiplo de 3 e múltiplo de 9, então os fatores pelos quais serão multiplicados cada termo e as frações equivalentes em cada caso são:

18 : 9 = 2 →

\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18}

;

18 : 3 = 6 →

\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{6}{18}

. Como 8 > 6 > 4 , temos:

\frac{8}{18} > \frac{6}{18} > \frac{4}{18}

Portanto, nessa escola há mais estudantes no Ensino Fundamental, seguidos dos estudantes do Ensino Médio e, por último, com menos estudantes, está o Ensino Infantil; por isso, no gráfico o setor relativo ao Ensino Fundamental é o maior, da cor verde, e o do Ensino Médio é a fatia intermediária, a vermelha.

15. Algumas das frações equivalentes a

\frac{1}{2}

são

\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}

\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{3}{6}

\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}

\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}

\frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12}

, e a única alternativa que apresenta apenas elementos que seguem esse padrão de formação é a alternativa c.

16. Então a fração é de fato irredutível, ou seja, não poderia ser simplificada, pois os seus termos não têm divisor comum. Dois números pares sempre têm pelo menos um divisor comum (o 2); por isso, Paulo está mentindo nessa situação. Como Mariana disse a verdade, a fração é equivalente a

\frac{3}{9}

; reduzindo essa fração,

\frac{3 : 3}{9 : 3} = \frac{1}{3}

é uma possível resposta. Caso seja, Camila disse a verdade, o que é coerente com as hipóteses, pois o numerador é de fato 1. Portanto, a fração é

\frac{1}{3}