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CAPÍTULO 1 Números

Fotografia. Diversas mudas de plantas agrupadas em uma área com vegetação. Ao fundo, pessoas reunidas embaixo de uma cabana de palha e ao redor, árvores. — Mudas, do projeto Mangues, para replante da vegetação nos manguezais do estado do Pará. (Fotografia de 2021.)

Observe, leia e responda no caderno.

a) Você sabia que o mangue é tão importante para a natureza e para as comunidades próximas?

b) Por que projetos como o Mangues da Amazônia é importante para pequenas comunidades?

c) No total, a quantos hectares corresponde a atuação desse projeto no Pará?

d) Que números você identifica no texto? O que esses números indicam?

Os manguezais são fundamentais para a reprodução das espécies, para a subsistência das populações costeiras e para suavizar mudanças do clima.

Além da importância ambiental, os manguezais são fonte de renda para milhares de famílias na zona costeira brasileira, que dependem deles também para sua segurança alimentar. Um dos exemplos é a extração do caranguejo uçá (Ucides cordatus), feita de fórma artesanal em praticamente toda a costa brasileira.

Um projeto que atuou na conservação de manguezais é o Mangues da Amazônia, no Pará, na maior área de manguezal do país. Por 2 anos, o Mangues trabalhou para a conservação de 30 hectares de mangues e para a recuperação de outros 12 hectares com o plantio de 60 mil mudas. O trabalho incluiu assistência técnica e participação das comunidades dos municípios de Bragança Augusto Corrêa e Tracuateua. Mais de 7.seiscentas pessoas foram beneficiadas direta e indiretamente.

Respostas e comentários

a) Resposta pessoal.

b) Além de ter participado ativamente na preservação ambiental da região, o projeto contribuiu para a manutenção da renda e segurança alimentar das famílias que viviam em regiões próximas aos mangues.

c) 42 hectares, sendo 30 hectares de conservação e 12 hectares de recuperação.

d) 2: medida de tempo; 30 e 12: medida de área; .60000 e .7600: quantidade.

Capítulo 1 - Números

Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas da Matemática (Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.

Nesse momento, é importante trabalhar com os estudantes a presença e importância dos números em situações cotidianas.

Os estudantes deverão ter uma noção clara dos diferentes empregos da numeração, nas situações de quantificação (contagem), medição, codificação e ordenação.

O texto da abertura sugere alguns elementos para iniciar uma discussão sobre esse conteúdo. Destaque com os estudantes os números do texto, registrando-os na lousa, e converse com eles sobre o uso desses números. Por exemplo:

• 60 mil e .7600 indicam a quantidade (contagem) de mudas e a quantidade de pessoas beneficiadas pelo projeto, respectivamente.

• 30 hectares e 12 hectares referem-se a medidas de área.

Converse com os estudantes sobre a importância de projetos como este, que foi apresentado no texto de abertura. Chame a atenção para o fato de este projeto auxiliar a recuperação dos manguezais que são fonte de renda e alimentação para a população ribeirinha da região atendida.

Pergunte aos estudantes se conhecem outros projetos que atuam no município e que tipo de trabalho é desenvolvido. Peça a eles que compartilhem as informações e que conversem com os colegas sobre essas ações.

Ao trabalhar com a importância da preservação ambiental e seu impacto na sociedade, contribui-se para o desenvolvimento da competência geral 7 e para uma reflexão sobre os Temas Contemporâneos Transversais educação ambiental e vida familiar e social.

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1. Para que servem os números?

Ao observar o mundo que nos cérca, percebemos que é difícil encontrar uma situação que não esteja direta ou indiretamente relacionada com números.

Na situação apresentada na página anterior, você identificou alguns números e refletiu sobre a sua utilização. Perceba se conseguiu identificar as diferentes funções dos números apresentados:

• contar, por exemplo, quantas mudas serão plantadas ou quantas pessoas receberão apoio;

• medir, por exemplo, o tamanho da área a ser protegida ou o tempo total de duração do projeto;

Há outras situações em que usamos números com outras funções:

• codificar, por exemplo, o número de um telefone;

• ordenar, por exemplo, indicar uma equipe que ficou em primeiro, em segundo ou em nono lugar.

Hoje, contamos e registramos quaisquer quantidades com símbolos e regras estabelecidos; mas isso nem sempre foi assim. Na Antiguidade, os seres humanos utilizavam diferentes formas para contar e registrar quantidades.

Com a ajuda da Arqueologia, ciência que estuda os costumes e a cultura de povos antigos por meio de vestígios (artefatos, monumentos, fósseis), foram encontradas, em muitas escavações, marcas em paredes de cavernas, em ossos de animais e em gravetos que sugerem formas primitivas de contagem.

Podemos dizer, com base nesses achados arqueológicos, que a ideia de número acompanha os seres humanos desde a Antiguidade.

Fotografia. Dois ossos na horizontal de cor marrom. À esquerda, extremidade mais estreita com parte de cor clara. À direita, extremidade mais larga. Há traços verticais por toda extensão dos ossos. — O osso de Ixango é uma ferramenta que data do Paleolítico Superior, aproximadamente entre 20000 e 18000 antes de Cristo Esse objeto consiste em um longo osso castanho (a fíbula de um babuíno) que tem um pedaço pontiagudo de quartzo incrustado em uma de suas extremidades, possivelmente utilizado para gravar ou escrever.

2. Sistemas de numeração

Demorou muito para chegarmos à escrita numérica empregada atualmente. Os povos substituíram as antigas formas de registro por símbolos e regras que pudessem representar os números. Esse conjunto de símbolos e regras é chamado sistema de numeração.

Algumas civilizações antigas criaram seus próprios sistemas de numeração. No quadro a seguir, é apresentada a escrita de 1 a 10 em diferentes sistemas de numeração.

Respostas e comentários

1. Para que servem os números?

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero dois.

Neste tópico iniciamos o trabalho com a habilidade (ê éfe zero seis ême ah zero dois) ao apresentar que a ideia de número esteve presente desde a Antiguidade.

É importante recorrer ao máximo às situações cotidianas em que os números estejam presentes. Uma maneira simples e eficiente de discutir isso é sugerir aos estudantes que relatem a rotina de um dia comum, tentando detectar todas as ações em que os números, de maneira direta ou indireta, são relevantes: o horário de acordar; a quantidade de creme dental que se coloca na escova de dentes ou a quantidade de água que se usa na higiene pessoal; o tempo de que dispomos para nos vestir, tomar café da manhã e nos preparar para as ações fóra de casa etcétera

Outro recurso de fácil acesso é a pesquisa de números em mídias diversas, como livros, jornais, revistas, televisão ou internet.

Ilustração. Um ícones com uma tela de computador. Um ícone com dois livros.

Sugestões de leitura

Para ampliar seu trabalho com esse tema, sugerimos:

PAIVA, A. B. A história da Matemática no ensino e na aprendizagem do sistema de numeração decimal. Boletim Cearense de Educação e História da Matemática, [Sulpontoleste.], verdadeiro. 5, número 14, página 85-97, 2018. Identificador de Objeto Digital: 10.30938/bocehm.v5i14.224. Disponível em: https://oeds.link/z8CiTm. Acesso em: 6 abril 2022.

A partir de uma pesquisa de natureza bibliográfica, a autora do artigo destaca alguns aspectos de diferentes sistemas de numeração, visando estruturar e planejar ações educativas que, fazendo uso da História da Matemática, possibilitem a compreensão dos conteúdos matemáticos por parte dos estudantes.

STEWART, Ian. O fantástico mundo dos números: a matemática do zero ao infinito. Tradução de George Schlesinger. Revisão técnica Samuel Jurkiewicz. Rio de Janeiro: zarrár, 2016.

Cada capítulo deste livro explora um número, seguindo a ordem cronológica de sua aparição na história da humanidade, e destaca suas principais características e aplicações.

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Sistema egípcio
Sistema babilônico
Sistema romano	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
Sistema chinês
Sistema maia
Nosso sistema	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Vamos conhecer um pouco mais alguns desses sistemas de numeração.

Sistema de numeração egípcio

Observe mais alguns símbolos do sistema egípcio e os valores que eles representam.

haste	calcanhar	corda enrolada	flor de lótus	dedo indicador	peixe ou girino	homem ajoelhado

1	10	100	1.000	10.000	100.000	1.000.000

Segundo esse sistema, deviam ser obedecidas as seguintes regras:

• cada símbolo podia ser repetido até nove vezes;

• a ordem de escrita dos símbolos não era importante, pois seus valores eram somados.

Observe alguns exemplos.


23	110	432	1.666	3.210

Sistema de numeração romano

A representação de números adotada pelos romanos foi, durante muitos séculos, a mais utilizada na Europa. Essa representação era feita por meio de letras maiúsculas do próprio alfabeto romano.

O quadro a seguir mostra os símbolos empregados no sistema romano e seus respectivos valores no nosso sistema de numeração.

I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1.000

Respostas e comentários

2. Sistemas de numeração

Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero um e ê éfe zero seis ême ah zero dois.

Ampliando o trabalho da ideia de número ao apresentar o desenvolvimento de sistemas de numeração por diferentes civilizações, desenvolve-se a habilidade (ê éfe zero seis ême ah zero dois). Ao trabalhar com o sistema de numeração indo-arábico e suas características contribui-se para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah zero um).

Na apresentação desses sistemas de numeração, pode-se aproveitar a oportunidade para discutir a importância do conhecimento dos fatos históricos essenciais que nortearam o desenvolvimento das ciências e das civilizações, introduzindo reflexões sobre os percursos que conduziram ao atual estágio do conhecimento e incentivando os estudantes a fazer comparações significativas.

Ao trabalhar com o desenvolvimento histórico dos sistemas de numeração apresentando que esse movimento ocorreu com diferentes civilizações, contribui-se para o desenvolvimento da competência geral 1.

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Para representar um número, uma letra é escrita ao lado da outra, obedecendo às regras:

• Quando uma letra é escrita à direita de outra, de valor igual ou maior, os valores são adicionados. Acompanhe os exemplos a seguir.

a) vê í í = 5 + 2 = 7

b) xis vê = 10 + 5 = 15

c) Xis xis = 10 + 10 = 20

d) cê éle xís xís í = 100 + 50 + 10 + 10 + 1 = 171

• Somente as letras I, X, C e M podem ser repetidas, seguidamente, até três vezes. Observe.

a) í í í = 3

b) xis xis xis = 30

c) xis xis í = 21

d) cê cê = 200

e) cê cê cê xís xís í í í = 323

f) ême ême = .2000

A repetição das letras V, L e D não ocorre, pois vê vê, éle éle, dê dê e vê vê vê, por exemplo, têm como representação X, C, M e xis vê, respectivamente.

• Quando uma das letras I, X ou C é escrita à esquerda de outra letra de maior valor, subtrai-se o respectivo valor (de I, X ou C) nas seguintes condições:

• I só pode aparecer antes de V ou de X;

• X só pode aparecer antes de L ou de C;

• C só pode aparecer antes de D ou de M.

Observe alguns exemplos.

a) í vê = 5 ‒ 1 = 4

b) í xis = 10 ‒ 1 = 9

c) xis éle = 50 ‒ 10 = 40

d) xis cê = 100 ‒ 10 = 90

e) cedê = 500 ‒ 100 = 400

f) cê ême = .1000 ‒ 100 = 900

• Um traço colocado sobre uma letra significa que o valor dessa letra deve ser multiplicado por .1000; dois traços indicam que o valor dela deve ser multiplicado por ..1000000. Exemplos:

\overline{V}

= 5 × .1000 = .5000

\overline{I X}

= 9 × .1000 = .9000

\overline{L X}

= 60 × .1000 = .60000

\overline{\overline{X X I}}

= 21 × ..1000000 = ..21000000

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Escreva no caderno os números das frases a seguir no nosso sistema de numeração.

a) A altura do Coliseu é de, aproximadamente,

metros.

Fotografia. Vista frontal das ruínas de um anfiteatro circular com muitas portas em formato de arco. — Localizado no centro arqueológico da cidade de Roma, o Coliseu é um dos maiores anfiteatros do mundo. (Fotografia de 2021.)

b) Na construção da pirâmide de Quéops, foram utilizados

Ilustração. Uma flor de lótus, um dedo indicador, três peixes ou girinos e dois homens ajoelhados.

blocos de pedra.

Fotografia. Vista frontal de uma construção em forma de pirâmide, na cor marrom escuro e topo mais claro. — A grande pirâmide de Quéops é a maior e a mais antiga das pirâmides de Gizé, no Egito. (Fotografia de 2021.)

2 Escreva no sistema de numeração romano:

a) a data de seu nascimento (dia/mês/ano);

b) a data de hoje (dia/mês/ano);

c) a data da proclamação da República no Brasil (dia/mês/ano).

Respostas e comentários

1. a) 50

1. b) ..2311000

2. a) A resposta depende da data de aniversário dos estudantes.

2. b) A resposta depende do dia em que o exercício for realizado.

2. c) xis vê, barra, xis í, barra, ême dê cê cê cê éle xis xis xis í xis

Sistema de numeração romano

Inicialmente, explore o sistema romano de numeração com indagações para verificar o que os estudantes já conhecem dele, por exemplo:

• Vocês sabem quais são os símbolos usados no sistema de numeração romano?

• Há símbolos que podem se repetir? Quais?

• Vocês sabem como escrever os números 4, 6, 9, 40, 60, 90, 400, 600 e 900 no sistema de numeração romano?

Reúna os estudantes em trios e peça a eles que destaquem as principais diferenças entre os sistemas de numeração egípcio e romano. Depois, os grupos podem apresentar suas conclusões uns para os outros. Pode-se fazer um fechamento registrando na lousa a conclusão da turma.

Exercícios propostos

No exercício 1, a leitura dos símbolos egípcios permite retomar as ideias básicas do sistema de numeração decimal. Pode-se, por exemplo, solicitar aos estudantes que, em grupo, elaborem uma situação de adição ou de subtração usando os símbolos da numeração egípcia e troquem-na com os colegas. Será possível observar como os grupos efetuaram as operações.

Se perceber que há na turma a necessidade de discutir os fatos fundamentais da adição para retomar as “trocas” de unidades, dezenas e centenas, proponha situações de jogos que envolvam trocas para os estudantes superarem tais dificuldades.

Ao resolver o item a, devem perceber que, como um calcanhar (

) equivale a 10 unidades, então o número

equivale a vale 50 unidades (5 × 10).

No item b, os símbolos utilizados para compor o número

são: 1 flor de lótus, que equivale a .1000; 1 dedo indicador, que equivale a .10000; 3 girinos, que representam .100000 cada; e 2 homens ajoelhados, que representam ..1000000 cada. Dessa maneira, esse número equivale a:

..2311000 (1 × .1000 + 1 × .10000 + 3 × .100000 + 2 × ..1000000).

No exercício 2, caso os estudantes não se lembrem da data da proclamação da República, devem ser orientados a fazer uma pesquisa e concluir que a data solicitada é 15/11/1889. Assim, deverão escrever: 15 = xis vê; 11 = xís í; 1889 = ême dê cê cê cê éle xís xís xís í xís.

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3 No texto a seguir, o jornalista faz uma brincadeira. Escrevendo como se a faixa do presidente da República pudesse falar, ele cita o decreto que a instituiu, com a escrita da época. Leia o texto e escreva os números que aparecem nele usando o sistema de numeração romano.

Com a palavra, a Faixa

reticências Antes que alguém cometa a deselegância de perguntar, vou logo dizendo: tenho 100 anos, recém-completados essa semana. Qual o problema? Sou mais jovem que o Niemeyer. Está na minha certidão de nascimento: Decreto norteº 2.299, de 21 de dezembro de 1910. Faço saber que o Congresso Nacional decretou e eu sancciono a resolução seguinte: Artigo 1º. Como distinctivo de seu cargo o Presidente da Republica usará, a tiracollo, da direita para a esquerda, uma faixa de seda com as cores nacionaes, ostentando o escudo da Republica bordado a ouro. A faixa, cuja largura será de 15 centimetros, terminará em franjas de ouro de 10 centimetros de largo e supportará, pendente do porto de cruzamento das suas extremidades, uma medalha, de ouro, mostrando no verso o mesmo escudo de que falla o artigo anterior e no anversoglossário o dísticoglossário – Presidencia da Republica do Brazil.

Assina o marechal Hermes Rodrigues da Fonseca, na data do 88º ano da Independência e 21º da proclamação da República. Já que esticamos a prosa, vou falar um pouco mais de mim. A medalha que eu tenho é de ouro 18 quilates, cravejada com vinte e uma brilhantes – o número de toques de canhão disparados em honra aos chefes de Estado. reticências

Fonte: MARSIGLIA, Ivan. Com a palavra, a faixa. O Estado de São Paulo São Paulo, ano 131, número 42803, 26 dezembro 2010. Aliás, página J12.

Agora, responda:

a) Que números usados no texto expressam medidas? E que números indicam ordem?

b) No texto, você deve ter percebido que algumas palavras foram escritas de modo diferente do que escrevemos hoje, isso porque elas fazem parte de uma lei que foi escrita em 1910. Com o auxílio do professor e dos colegas, identifique as palavras e reescreva-as utilizando a escrita atual.

Versão adaptada acessível

Agora, responda:

a) Que números usados no texto expressam medidas? E que números indicam ordem?

b) No texto, algumas palavras foram escritas de modo diferente do que escrevemos hoje, isso porque elas fazem parte de uma lei que foi escrita em 1910. A seguir destacamos algumas palavras deste texto:

sancciono, escrita com as letras: s a n c c i o n o

chefes, escrita com as letras: c h e f e s

distinctivo, escrita com as letras: d i s t i n c t i v o

franjas, escrita com as letras: f r a n j a s

extremidades, escrita com as letras: e x t r e m i d a d e s

tiracollo, escrita com as letras: t i r a c o l l o

nacionaes, escrita com as letras: n a c i o n a e s

escudo, escrita com as letras: e s c u d o

falla, escrita com as letras: f a l l a

brilhantes, escrita com as letras: b r i l h a n t e s

Brazil, escrita com as letras: b r a z i l

Com o auxílio do professor e dos colegas, identifique as palavras que foram escritas de modo diferente do que escrevemos hoje e reescreva-as utilizando a escrita atual.

Orientação para acessibilidade

Respostas:

3. a) Medidas: 100; 21; 1910; 15; 10 e 18; ordem: 1º; 88º e 21º.

3. b) sancciono: sanciono; distinctivo: distintivo; tiracollo: tiracolo; nacionaes: nacionais; falla: fala; e Brazil: Brasil.

Destacamos algumas das palavras do texto de grafia diferente. Se considerar adequado, destaque quais são as outras.

Hora de criar – Reúna-se com outros três colegas e façam uma pesquisa sobre um dos sistemas de numeração que aparece no quadro da página 11. Pesquisem algumas das características desse sistema e elaborem um texto para apresentar aos colegas.

Sistema de numeração indo-arábico

Na região ocupada hoje pelo Paquistão, onde se encontra o vale do Rio Indo, vive, há milhares de anos, o povo indiano. Foi esse povo que criou o sistema de numeração que adotamos atualmente.

Região do Rio Indo

Esse sistema passou a ser conhecido como sistema de numeração indo-arábico (indo, em reconhecimento ao povo que criou o sistema, e arábico, em homenagem ao povo árabe, que o aperfeiçoou e o expandiu pela Europa).

Com o passar do tempo, os símbolos criados pelos indianos para a escrita de números sofreram várias modificações até chegar à representação atual – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 –, composta de dez símbolos denominados algarismos indo‑arábicos.

Respostas e comentários

3. cê, ême ême cê cê xis cê í xis, xis xis í, ême cê ême xís, ih, xis vê, xis, éle xís xís xís vê í í í, xis xis í, xís vê í í í, xis xis í.

Com a palavra, a Faixa

sancciono

distinctivo

Republica

tiracollo

nacionaes

Republica

centimetros

largo

supportará

falla

Presidencia

Republica

Brazil

3. a) Medidas: 100; 21; 1910; 15; 10 e 18; ordem: 1º; 88º e 21º.

3. b) sancciono: sanciono; distinctivo: distintivo; Republica: República; tiracollo: tiracolo; nacionaes: nacionais; centimetros: centímetros; largo: largura; supportará: suportará; falla: fala; Presidencia: Presidência; e Brazil: Brasil.

4. Resposta pessoal. Ao final da apresentação de todos os grupos, oriente os estudantes a fazer uma comparação sobre as características comuns e diferenças que encontraram em cada sistema de numeração pesquisado.

Orientações: Faça a leitura das informações do mapa com os estudantes. Pergunte se conhecem os países destacados e se conseguem identificar a localização desses países e do Brasil no globo terrestre presente no mapa. Comente que os países identificados no mapa são os países atuais dessa região e que a parte hachurada representa o vale do Rio Indo, onde esse povo habitava.

Exercícios propostos

Na época em que o texto de Ivan Marsiglia, apresentado no exercício 3, foi elaborado, Oscar Niemáier era vivo e tinha 103 anos. Esse famoso arquiteto faleceu em 15 de dezembro de 2012.

Esse exercício pode ser feito em grupos, como uma tarefa colaborativa na qual um colega ajuda o outro na escrita da numeração romana e com o uso de dicionário ou pesquisa na internet para a escrita correta das palavras destacadas no texto.

No texto Com a palavra, a Faixa aparecem os seguintes números: 100 = cê; .2299 = ême ême cê cê xis cê í xis; 21 = xis xis í; 1910 = ême cê ême xís; 1 = ih; 15 = xis vê; 10 = xis; 88 = éle xís xís xís vê í í í; 21 = xis xis í; 18 = xís vê í í í; 21 = xis xis í.

Para responder ao item a, devem indicar os números que expressam medidas e ordem. Medidas: 10, 21 e 1910 que indicam medidas de tempo; 15 e 10 medidas de comprimento; e 18 medida de massa. Ordem: 1º, 88º e 21º.

No item b, oriente os estudantes na identificação das palavras no texto e na grafia correta. Pode-se aproveitar esse momento e propor um trabalho com o professor de Língua Portuguesa explorando as mudanças na língua falada e escrita ao longo do tempo. É importante que os estudantes saibam que a língua é viva, mudando e reinventando-se com as pessoas ao longo do tempo e do espaço geográfico.

No exercício 4 foi proposto aos estudantes que façam uma pesquisa sobre um dos sistemas de numeração: egípcio, babilônico, romano, chinês, maia ou o sistema usado atualmente, que é o indo-arábico. Oriente-os nesta pesquisa; uma opção é organizar os estudantes em grupos de modo que cada um pesquise um desses sistemas. Assim, poderão comparar as características comuns e diferenças de cada sistema. Neste momento, o objetivo é de que os estudantes iniciem o processo de coleta e organização das informações. Aproveite para comentar sobre fontes confiáveis em que os dados devem ser obtidos, evitando informações incorretas que podem estar disponíveis em diferentes meios, mas principalmente na internet.

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Observe, no quadro a seguir, como alguns sinais, que já foram usados para escrever os algarismos indo-arábicos, foram se modificando.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Século XII
Século XIII
Século XIV
Século XV
Por volta de 1524

Elaborado a partir de: IFRAH, G. Os números: a história de uma grande invenção. décima edição São Paulo: Globo, 2001. página 310.

Essas modificações podem ser explicadas pelo fato de, naquela época, os livros serem escritos manualmente e, portanto, dependerem da caligrafia de quem os copiava. Com a invenção da imprensa moderna na Europa, por volta de 1450, os algarismos começaram a ser finalmente padronizados. Vamos estudar algumas características do sistema indo-arábico de numeração.

É um sistema posicional, pois um mesmo algarismo tem valores diferentes para cada posição que ocupa no número.

Considere, por exemplo, os números 52 e 25.

• No número 52, o algarismo 5 vale 5 dezenas ou 50 unidades (5 × 10); no número 25, ele vale 5 unidades (5 × 1).

• No número 25, o algarismo 2 vale nota de rodapé 2 dezenas ou 20 unidades (2 × 10); no número 52, ele vale nota de rodapé 2 unidades (2 × 1).

No número .2378:

• o valor posicional do algarismo 8 é 8;

• o valor posicional do algarismo 7 é 70;

• o valor posicional do algarismo 3 é 300;

• o valor posicional do algarismo 2 é .2000.

Lendo da direita para a esquerda, o primeiro algarismo de um número é chamado algarismo de 1ª ordem; o segundo, algarismo de 2ª ordem; o terceiro, algarismo de 3ª ordem; e assim por diante. Isso ocorre porque:

• cada unidade de 2ª ordem vale dez vezes uma unidade de 1ª ordem;

• cada unidade de 3ª ordem vale dez vezes uma unidade de 2ª ordem;

• cada unidade de 4ª ordem vale dez vezes uma unidade de 3ª ordem; e assim por diante.

No número .4527, por exemplo, temos:

Esquema. Número quatro mil, quinhentos e vinte e sete.
Seta saindo do algarismo sete indica: algarismo de primeira ordem: sete.
Seta saindo do algarismo dois indica: algarismo de segunda ordem: dois vezes dez é igual a vinte.
Seta saindo do algarismo cinco indica: algarismo de terceira ordem: cinco vezes dez vezes dez é igual a quinhentos.
Seta saindo do algarismo quatro indica: algarismo de quarta ordem: quatro vezes dez vezes dez vezes dez é igual a quatro mil.

ou seja: .4527 = 7 + 20 + 500 + .4000

Respostas e comentários

Sistema de numeração indo-arábico

Ao explorar o sistema de numeração indo-arábico, proponha novos questionamentos para averiguar o que os estudantes já conhecem sobre este sistema de numeração.

Retome com os estudantes a noção de “ordem numérica”. Proponha novos números para que eles possam identificar a ordem de cada algarismo que os compõe e determinar o valor posicional desses algarismos.

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Como cada dez unidades de uma ordem forma uma unidade da ordem imediatamente superior, o sistema de numeração indo-arábico tem base dez. Por isso, esse sistema também é chamado sistema de numeração decimal.

Assim, o sistema de numeração usado em quase todo o mundo atual é uma combinação de quatro características fundamentais:

• Tem base dez, ou seja, cada dez unidades de uma ordem forma uma unidade da ordem imediatamente superior.

• Utiliza apenas dez símbolos, chamados algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

• É um sistema posicional, isto é, um mesmo símbolo representa quantidades diferentes, dependendo da posição em que se encontra no número.

• Possui um símbolo para representar o zero, ou seja, para representar a ausência de valores.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Reúna-se com um colega e observem o brinquedo que Débora ganhou.

Ilustração. Quadro composto por dez fichas numeradas, quadradas, dispostas em três linhas e quatro colunas. Na primeira linha, as fichas: 0, 1, 2 e 3. Na segunda linha, as fichas: 7, 6, 5 e 4. Na terceira linha, as fichas: 8, 9 e asterisco, contendo um espaço vazio sem ficha.

• Que número vocês leem em cada linha?

Nesse brinquedo, as dez fichas numeradas e a ficha

só podem ser deslocadas para ocupar a casa que estiver vazia, sem pular ficha, e andar só uma posição por vez, de acordo com os comandos:

direita (

), esquerda (

), baixo (

) e cima (

Além do tabuleiro, o brinquedo tem cartelas com diferentes sequências de comandos.

Débora escolheu a cartela

Ilustração. Retângulo dividido em cinco quadrados com uma seta direcional em cada. Da esquerda para direita: seta para baixo, seta para direita, seta para cima, seta para esquerda, seta para baixo.

e aplicou esses comandos a partir da disposição inicial, fazendo o tabuleiro ficar assim:

Ilustração indicando sequência de quadros. Primeiro quadro composto por três linhas e quatro colunas de quadrados. Na primeira linha, fichas: 0, 1, 2 e 3. Segunda linha: 7, 6, 5 e 4. Terceira linha: 8, 9, asterisco e espaço vazio. Seta direcional para o próximo quadro.

Segundo quadro composto por três linhas e quatro colunas de quadrados. Na primeira linha, fichas: 0, 1, 2 e 3. Segunda linha: 7, 6, 5 e espaço vazio. Terceira linha: 8, 9, asterisco e 4.
Seta direcional para o próximo quadro.

Terceiro quadro composto por três linhas e quatro colunas de quadrados. Na primeira linha, fichas: 0, 1, 2 e 3. Segunda linha: 7, 6, espaço vazio e 5. Terceira linha: 8, 9, asterisco e 4. Seta direcional para o próximo quadro.

Quarto quadro composto por três linhas e quatro colunas de quadrados. Na primeira linha, fichas: 0, 1, 2 e 3. Segunda linha: 7, 6, asterisco e 5. Terceira linha: 8, 9, espaço vazio e 4. Seta direcional para o próximo quadro.

Quinto quadro composto por três linhas e quatro colunas de quadrados. Na primeira linha, fichas: 0, 1, 2 e 3. Segunda linha: 7, 6, asterisco e 5. Terceira linha: 8, 9, 4 e espaço vazio. Seta direcional para o último quadro.

Sexto quadro composto por três linhas e quatro colunas de quadrados. Na primeira linha, fichas: 0, 1, 2 e 3. Segunda linha: 7, 6, asterisco e espaço vazio. Terceira linha: 8, 9, 4 e 5.

Após essas mudanças no tabuleiro, temos a representação dos números 123, 76 e .8945.

a) Considerando os números das linhas do tabuleiro, qual é o valor posicional do 5 e do 4 na disposição inicial? E na final?

b) Qual é o valor posicional do 7, do 6, do 8, do 9 e do 1 na disposição inicial? E na final?

c) Partindo da disposição inicial, apliquem os comandos da cartela

Ilustração. Retângulo dividido em sete quadrados com uma seta direcional em cada. Da esquerda para direita: seta para baixo, seta para baixo, seta para direita, seta para direita, seta para direita, seta para cima, seta para cima.

e descubram quais são os números representados em cada linha.

Respostas e comentários

5. 123; .7654; 89

5. a) 50, 4; 5, 40

5. b) .7000, 600, 80, 9, 100; 70, 6, .8000, 900, 100

5. c) .7012; .8653; 9* 4

Exercícios propostos

Este bloco de exercícios explora as principais características do sistema de numeração indo-arábico. Espera-se que também seja um norteador das dificuldades que os estudantes ainda possam ter sobre a identificação das ordens de um número nesse sistema de numeração e sobre o valor posicional dos algarismos.

No exercício 5, é importante notar que o brinquedo apresentado não tem por finalidade fazer o jogador observar ou compreender o valor posicional dos algarismos em um número. Entretanto, com as intervenções e os questionamentos propostos, o estudante poderá analisar o que acontece com um mesmo algarismo conforme a posição que ele ocupa em um número. Para resolver o item a, os estudantes precisam considerar que, inicialmente, estavam registrados os números 123, .7654 e 89. Assim, em .7654 o 4 representa 4 unidades e o 5, 5 dezenas, ou seja, têm 4 e 50 como valor posicional, respectivamente. Na posição final, esses algarismos compõem o número .8945; logo, o valor posicional deles é 40 e 5, respectivamente.

No item b, inicialmente, os algarismos 7 e 6 são utilizados no número .7654, portanto o valor posicional deles é .7000 e 600, respetivamente. Os algarismos 8 e 9 compõem o número 89, portanto valem 80 e 9, respectivamente. O algarismo 1 aparece em 123 e, portanto, equivale a uma centena, 100. Analogamente, obtêm-se os seguintes números na posição final: 123, 76 e .8945; portanto, 7 tem valor posicional 70, 6 equivale a 6 unidades, 8 equivale a .8000, 9 equivale a 900 e 1 equivale a 100.

A resolução do item c está disponível no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 1.

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6 Considere o número .5757 e determine:

a) o valor posicional do algarismo 7 de 1ª ordem e o valor posicional do algarismo 7 de 3ª ordem;

b) o valor posicional do algarismo 5 de 2ª ordem e o valor posicional do algarismo 5 de 4ª ordem.

7 Identifique o valor posicional do algarismo 3 nos seguintes números:

a) .3765

b) ..32000000

8 Determine o menor e o maior número de três algarismos diferentes que se pode escrever com os algarismos 0, 5, 6, 8 e 9.

9 Escreva o menor número formado por 3 algarismos distintos.

Hora de criar – Desenhe um tabuleiro igual ao do exercício 5 e invente uma disposição para as fichas. Depois, elabore uma cartela com seis comandos e passe para um colega descobrir que números ficaram nas linhas após aplicar os comandos da sua cartela.

Leitura e escrita de um número no sistema de numeração indo-arábico

Na escrita de um número no sistema indo-arábico, os algarismos são separados em classes e cada classe é dividida em três ordens. Com isso, facilitam-se a leitura e a escrita do número.

Observe as quatro primeiras classes e suas ordens.

4ª classe (bilhões)			3ª classe (milhões)			2ª classe (milhares)			1ª classe (unidades simples)
12ª ordem	11ª ordem	10ª ordem	9ª ordem	8ª ordem	7ª ordem	6ª ordem	5ª ordem	4ª ordem	3ª ordem	2ª ordem	1ª ordem
centenas de bilhão	dezenas de bilhão	unidades de bilhão	centenas de milhão	dezenas de milhão	unidades de milhão	centenas de milhar	dezenas de milhar	unidades de milhar	centenas	dezenas	unidades

Acompanhe, nos exemplos, como são lidos os números destacados. Observe também como é a decomposição (a separação em classes e ordens) de cada um deles.

a) Segundo o Censo Escolar 2020, o número de estudantes matriculados na Educação Básica foi de ..47295294.

Milhões			Milhares			Unidades simples
C	D	U	C	D	U	C	D	U
	4	7	2	9	5	2	9	4

..47295294 (Lemos: “quarenta e sete milhões, duzentos e noventa e cinco mil, duzentos e noventa e quatro”.)

..47295294 = 4 × ..10000000 + 7 × ..1000000 + 2 × .100000 + 9 × .10000 + 5 × .1000 + 2 × 100 + 9 × 10 + 4

b) Segundo um estudo publicado em 2020 na revista científica The Lancet, a população mundial pode chegar a ...8800000000 de pessoas em 2100.

Bilhões			Milhões			Milhares			Unidades simples
C	D	U	C	D	U	C	D	U	C	D	U
		8	8	0	0	0	0	0	0	0	0

...8800000000 (Lemos: “oito bilhões e oitocentos milhões”.)

...8800000000 = 8 × ...1000000000 + 8 × ..100000000

Respostas e comentários

6. a) 7; 700

6. b) 50; .5000

7. a) .3000

7. b) ..30000000

8. 506 e 986

9. 102

10. Resposta pessoal.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 6 a 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 1.

Aproveite o contexto do exercício 10 e promova uma atividade em que os estudantes brinquem com os algarismos para compor novos números de acordo com as regras indicadas anteriormente, no exercício 5. Incentive-os a compor o maior número possível, o menor, um número cujo valor posicional do algarismo 3 seja 300 etcétera.

Leitura e escrita de um número no sistema de numeração indo‑arábico

Explore a leitura e a escrita de números grandes tendo como suporte as ordens e as classes no sistema de numeração indo-arábico. Espera-se que os estudantes percebam a relação entre a decomposição do número e sua leitura.

Para enriquecer, leve notícias ou imagens que contenham “números grandes” e discuta com os estudantes as diferentes maneiras de escritas que aparecem em notícias. Nestes casos, é comum aparecerem números acompanhados dos nomes das classes, como 8 milhões, 10 mil, 6,5 bilhões etcétera.

Após ler as notícias, proponha que escrevam os números que aparecem em cada notícia utilizando apenas algarismos. Por exemplo, se na notícia apareceu escrito 8 milhões, os estudantes registram ..8000000 no caderno.

Ressalte que essa forma de escrita, no contexto de notícias veiculadas em mídias, torna a leitura prática.

Situações desse tipo, que ampliam o trabalho com as ordens e classes no sistema decimal, extrapolam o simples contato com dados numéricos, pois introduzem informações sobre a realidade. Se considerar adequado, solicite aos estudantes pesquisas adicionais nas quais os números naturais estejam relacionados a situações cotidianas.

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PARA SABER MAIS

Utilizando outros agrupamentos

Tique-taque, tique-taque. Relógios de parede, de pulso, de bolso, de pilha etcétera Nos dias de hoje, somando os modelos novos e os antigos, caros e baratos, simples e complexos, são produzidos cêrca de um bilhão de relógios por ano, em todo o mundo! reticências Olhando para um modelo tradicional, vemos que o movimento dos ponteiros tem uma direção (sempre para direita) e que esse movimento obedece a ritmos bem definidos (os segundos, os minutos e as horas). Você já deve ter estudado que precisamos de 60 segundos para formar um minuto (o ritmo do ponteiro maior), da mesma forma como precisamos de 60 minutos para formar uma hora (o ritmo do ponteiro menor). Para completar um dia inteiro, isto é, 24 horas, é preciso que o ponteiro menor percorra duas vezes (12 + 12) a sequência das horas.

Como os ponteiros de um relógio, todos os fenômenos que começam num ponto e a eles retornam, repetindo o seu movimento, formam o que chamamos ciclos: a sucessão do dia e da noite, as fases da Lua (crescente, cheia, minguante, nova), as estações do ano (primavera, verão, outono, inverno). reticências esses ciclos, observados na natureza, ajudaram os homens a contar a duração do tempo, criando medidas como o dia de 24 horas, o mês de 30 dias e o ano de 365 dias. Eles também fizeram com que muitas pessoas, em diferentes épocas e lugares, acreditassem que os acontecimentos de suas vidas e os acontecimentos da história dos povos também pudessem se repetir, exatamente como os fenômenos observados na natureza.

Fonte: TURAZZI, M. I.; GABRIEL, C. T. Tempo e história. São Paulo: Moderna, 2000.

Enquanto no sistema de numeração decimal os agrupamentos são feitos sempre de 10 em 10, existem certas medidas, como as de tempo, em que são usados outros agrupamentos, como é o caso dos minutos e dos segundos.

Agora é com você!

faça a atividade no caderno

Em um relógio analógico (de ponteiros), cada vez que o ponteiro dos segundos dá uma volta completa, 60 segundos se passaram; o ponteiro dos minutos se movimenta de um risquinho para outro. Cada vez que o ponteiro dos minutos dá uma volta completa, 60 minutos se passaram; o ponteiro das horas se movimenta de um número para outro, indicando que mais uma hora se passou.

Ao acordar, Lucas lembrou que seu relógio de pulso estava atrasado em relação ao relógio digital do despertador. Note o que marcava cada relógio e descubra em quantos minutos o relógio de pulso de Lucas estava atrasado.

Ilustração. Lucas está sentado na cama e olha para o relógio em seu pulso. Destaque para o relógio com o ponteiro das horas entre os números 5 e 6, o ponteiro dos minutos no número 10 e o ponteiro dos segundos entre 12 e 1. À esquerda, mesa lateral com relógio digital sobre ela marcando 06 e 15.

Respostas e comentários

Resposta: 25 minutos.

Para saber mais

Esta seção mostra que podemos fazer agrupamentos de outras maneiras, além dos agrupamentos de 10 em 10 característicos do sistema de numeração decimal, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah zero dois).

Na atividade do Agora é com você!, os estudantes podem perceber que, enquanto o relógio de pulso de Lucas está marcando 5 horas 50 minutos, o relógio digital do despertador marca 6 horas 15 minutos. Assim, o relógio de pulso está atrasado em 25 minutos. Para chegar a esta conclusão, os estudantes devem transformar 1 hora de 6 horas 15 minutos em minutos, obtendo: 5 horas 75 minutos. Subtraindo deste valor 5 horas 50 minutos, obtêm-se os 25 minutos.

Para enriquecer a discussão, podem-se fazer outras perguntas aos estudantes, como: “Quando o ponteiro dos minutos se desloca 10 risquinhos, isso equivale a quantos segundos?”. (Resposta: 600 segundos.)

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

11 Observe algumas estimativas sobre a população brasileira segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (í bê gê É) publicadas no dia 29 de novembro de 2021. Leia as informações e escreva por extenso os números destacados.

a) A estimativa da população brasileira era de ..213913655 habitantes.

b) O estado menos populoso do Brasil era Roraima, com estimativa de .649229 habitantes.

c) O número de municípios brasileiros era de .5570.

12 Decomponha os números:

a) ..859564102

b) .963080

c) ...7000852456

d) ...25900000000

e) ...50789050020

f) ..60987630

Utilize uma calculadora para resolver as atividades propostas.

a) Indique a sequência de teclas que devem ser apertadas para que o número .589741 apareça no visor da calculadora.

b) Supondo que as teclas 7, 8 e 9 estejam quebradas, como você faria para obter o número .589741 no visor?

14 Quantias em documentos (cheques, recibos de compra e venda etcétera) também devem ser escritas por extenso, pois assim não podem ser alteradas. Escreva por extenso a quantia indicada no recibo a seguir.

Ilustração. Recibo. Revenda de veículos. Ao lado, ilustração de um carro na cor laranja. Em seguida, as informações: RECIBO R$, três, sete, três, oito, cinco, vírgula, zero, zero. Recebemos do Sr. João Antônio a quantia de R$ três, sete, três, oito, cinco, vírgula, zero, zero, abre parênteses, espaço por extenso, fecha parênteses, referente à venda por nós efetuada de um automóvel Flecha, placa B O Y 0 B 0 7, Nº: WBBYNX778334422D852CFDYW, ano 2023. Uberaba, 2 de março de 2023. Abaixo, assinatura.

15 Represente os números em destaque escrevendo-os apenas com algarismos.

a) Em 2015, o diamante chamado “Blue Moon” foi leiloado para um comprador de Hong Kong por aproximadamente US$ 48 milhões.

b) Na chapada do Araripe, Ceará, foram encontrados fósseis de répteis voadores que viveram cêrca de 110 milhões de anos atrás.

Fotografia. Fóssil de um réptil voador, animal semelhante a um pássaro. Ele tem cabeça pontiaguda, asas e está pendurado por fios no teto. — Fóssil do réptil voador Thalassodromeus sethi, com 4,5 métros de envergadura, encontrado em 1983 na região do Araripe (Ceará).

16 A figura a seguir representa um medidor de consumo de energia elétrica. Quando o ponteiro está entre 0 e 9 (ou entre 9 e 0), ele indica o 9. Entre outros dois algarismos, sempre indica o de menor valor.

Ilustração. Medidor de consumo de energia elétrica, composto por quatro círculos com algarismos de 0 a 9 em cada um. Eles estão dispostos um ao lado do outro. O primeiro círculo está com o ponteiro entre 1 e 2 (milhar 1) e, acima do círculo, uma seta indicando sentido anti horário. O segundo círculo está com o ponteiro entre 7 e 8 (centena 7) e, acima do círculo, uma seta indicando sentido horário. O terceiro círculo está com o ponteiro entre 3 e 4 (dezena 3) e, acima do círculo, uma seta indicando sentido anti horário. O quarto círculo está com o ponteiro entre 9 e 0 (unidade 9) e, acima do círculo, uma seta indicando sentido horário.

Esse medidor mostra o número .1739.

Determine o número indicado em cada medidor.

Respostas e comentários

11. a) Duzentos e treze milhões, novecentos e treze mil, seiscentos e cinquenta e cinco.

11. b) Seiscentos e quarenta e nove mil, duzentos e vinte e nove.

11. c) Cinco mil, quinhentos e setenta.

12. As respostas deste exercício estão neste Manual.

13. a)

Ilustração. Teclas 5, 8, 9, 7, 4 e 1 nessa ordem.

13. b) Resposta possível: Digitando, nesta sequência, as teclas

Ilustração. Teclas 5, 6, 6, 6, 4 e 1 nessa ordem.

e, depois, adicionando o número .23100.

14. Trinta e sete mil, trezentos e oitenta e cinco reais.

15. a) ..48000000

15. b) ..110000000

16. a) .4175

16. b) .8921

Exercícios propostos

Neste bloco de exercícios, os estudantes perceberão a leitura, a escrita e a representação com algarismos de números em variados contextos.

O exercício 11, contribui para a ampliação do conhecimento sobre os números.

Esse exercício também pode se relacionar com Geografia, oferecendo a oportunidade para discutirem, por exemplo, noções de: estimativas populacionais; diferenças regionais no Brasil quanto à ocupação do espaço, assim como o fenômeno da urbanização e sua contraposição ao mundo rural; ou ainda as diferentes esferas administrativas (municipal, estadual, federal).

No exercício 12, deve-se considerar o valor posicional dos algarismos para decompor os números. Assim:

a) 8 × ..100000000 + + 5 × ..10000000 + + 9 × ..1000000 + + 5 × .100000 + + 6 × .10000 + 4 × .1000 + + 1 × 100 + 2 × 1

b) 9 × .100000 + 6 × .10000 + + 3 × .1000 + 8 × 10

c) 7 × ...1000000000 + + 8 × .100000 + 5 × .10000 + + 2 × .1000 + 4 × 100 + + 5 × 10 + 6 × 1

d) 2 × ...10000000000 + + 5 × ...1000000000 + + 9 × ..100000000

e) 5 × ...10000000000 + + 7 × ..100000000 + + 8 × ..10000000 + + 9 × ..1000000 + + 5 × .10000 + 2 × 10

f) 6 × ..10000000 + + 9 × .100000 + + 8 × .10000 + 7 × .1000 + + 6 × 100 + 3 × 10

O exercício 13 faz o estudante ter compreensão de um dos processos que envolvem o uso da calculadora: como digitar corretamente o número solicitado e elaborar uma estratégia para resolver o item b. Caso os estudantes tenham dificuldades, sugerimos a resolução em duplas.

O item b admite mais de uma resposta, por exemplo:

• digitar, nesta sequência, as teclas

Ilustração. Teclas da calculadora: 5 5 6 6 4 1

e depois adicionar o número .23100;

• digitar as teclas

Ilustração. Teclas da calculadora: 6 0 0 0 4 1

e subtrair o número .10300.

As resoluções dos exercícios 14 a 16 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 1.

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17 Reproduza no caderno o registro de um medidor de energia elétrica e escreva esse número por extenso.

18 Você já conhece as quatro primeiras classes numéricas (unidades simples, milhares, milhões e bilhões) e suas ordens. A 5ª, a 6ª, a 7ª classe, e assim por diante, também recebem nomes, que são, respectivamente, trilhões, quatrilhões, quintilhões ê tê cê ponto

Escreva no caderno como se leem os números destacados no texto a seguir.

As distâncias entre as estrelas, os planetas ê tê cê pontosão muito grandes. Para medir essas distâncias astronômicas, foi criada a medida ano-luz (distância que a luz percorre, no vácuo, em um ano). A luz percorre, no vácuo, .300000 quilômetros em um segundo e, em um ano, aproximadamente ....9500000000000 de quilômetros.

A Via Láctea é uma galáxia espiral, em cuja periferia está localizado o sistema solar em que vivemos. A distância de uma ponta a outra dessa galáxia é de .100000 anos-luz, ou seja, aproximadamente .....950000000000000000 de quilômetros.

Versão adaptada acessível

18. Você já conhece as quatro primeiras classes numéricas (unidades simples, milhares, milhões e bilhões) e suas ordens. A 5ª, a 6ª, a 7ª classe, e assim por diante, também recebem nomes, que são, respectivamente, trilhões, quatrilhões, quintilhões etc.

Em cada item a seguir, os algarismos indicados formam um número. Considere que o último algarismo pertence à ordem das unidades. Escreva no caderno como se leem esses números.

a) Número formado pelos algarismos: 9 0 0 8 0 0

b) Número formado pelos algarismos: 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0

c) Número formado pelos algarismos: 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

d) Número formado pelos algarismos: 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Orientação para acessibilidade

Respostas:

a) Novecentos mil e oitocentos.

b) Três bilhões e quinhentos milhões.

c) Oitocentos bilhões.

d) Um quatrilhão.

Hora de criar – Pesquise um texto que tenha números. Troque-o com o texto de um colega para escreverem por extenso os números que estejam escritos com algarismos e escreverem com algarismos aqueles que estejam escritos por extenso. Depois destroquem para corrigir.

Pense mais um pouco...

faça a atividade no caderno

Qual é o menor número de flechas que devem ser atiradas no alvo ilustrado para marcar .2523 pontos? E para marcar .5223 pontos?

Ilustração. À esquerda, mulher em pé segurando um arco com uma flecha apontada para direita, onde há um alvo circular com os números: 1.000, ao centro; 100, ao redor de 1.000; número 10, ao redor de 100; e número 1, ao redor de 10.

3. Números naturais

Quando desejamos saber quantos objetos ou pessoas há em um grupo, estamos diante de uma situação de contagem.

Ilustração. À esquerda, quatro meninas uniformizadas de camiseta laranja e bermuda azul estão em um campo de futebol, jogando bola em direção ao gol. À direita, na área do gol, está uma menina de camisa roxa, bermuda amarela e luvas. Acima dela, há um balão de pensamento escrito: 1, 2, 3, 4, reticências.

•

Quantas jogadoras formam um time titular de futebol de campo? Quantas torcedoras você identifica na imagem?

Respostas e comentários

17. Resposta pessoal.

18. Trezentos mil; nove trilhões e quinhentos bilhões; cem mil; novecentos e cinquenta quatrilhões.

19. Resposta pessoal.

Pense mais um poucoreticências: 12 flechas; 12 flechas.

Orientações: Sugira aos estudantes que respondam oralmente às questões. Para a primeira pergunta, devem considerar que cada time de futebol de campo tem 11 jogadoras titulares, mas nem todas aparecem na imagem. Também não é possível identificar torcedores na imagem, o que nos remete à necessidade de um símbolo para representar a ausência de quantidades; no caso, o zero.

Exercícios propostos

No exercício 18, destacamos que os “números astronômicos” não fazem parte do cotidiano dos estudantes, mas aparecem como curiosidade para aqueles dispostos a buscar informações em jornais, revistas ou livros. É possível ainda aprofundar o assunto com os professores de Geografia e Ciências, que podem sugerir exemplos de “números grandes” e como são usados em suas áreas de conhecimento.

As resoluções dos exercícios 17 e 19 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 1.

Pense mais um poucoreticências

Espera-se que os estudantes percebam que o número de flechas é 12 nos dois casos, assim distribuídas:

• duas flechas no .1000, cinco no 100, duas no 10 e três no 1, para o .2523;

• cinco flechas no .1000, duas no 100, duas no 10 e três no 1, para o .5223.

Após a resolução, vale solicitar aos estudantes que expliquem como chegaram às respostas, refletindo sobre:

• a necessidade da palavra “menor” no enunciado. Caso contrário, existiriam diversas possibilidades de respostas, sendo .2523 a maior delas, no caso de todas as flechas acertarem a faixa do alvo correspondente ao número “1”;

• por que existem duas respostas “12”. Eles devem observar que não foi coincidência ser necessário um mínimo de 12 flechas para marcar .2523 ou .5223 pontos. O mesmo resultado seria válido para qualquer número de quatro algarismos cuja soma dos algarismos fosse igual a 12.

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Para representar as quantidades solicitadas, você deve ter utilizado alguns números. No caso, são 11 jogadoras titulares em um time de futebol de campo e 0 torcedoras na imagem.

Números como esses, que expressam o resultado de uma contagem, são chamados números naturais. Em ordem crescente, os números naturais formam esta sequência:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, reticências

Essa sequência constitui o conjunto dos números naturais, cuja indicação é:

= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, reticências}

Em relação à sequência dos números naturais, podemos dizer que:

• Todo número natural tem um sucessor. O sucessor de um número natural é obtido somando-se 1 a esse número. Observe alguns exemplos.

a) O sucessor de 4 é 5, pois 4 + 1 = 5.

b) O sucessor de 10 é 11, pois 10 + 1 = 11.

• A sequência dos números naturais é infinita. Portanto, não existe o maior número natural, pois, qualquer que seja ele, sempre haverá um número sucessor.

• Todo número natural, com exceção do zero, tem um antecessor. O antecessor de um número natural é obtido subtraindo-se 1 desse número. Acompanhe alguns exemplos.

a) O antecessor de 8 é 7, pois 8 ‒ 1 = 7.

b) O antecessor de 1 é zero, pois 1 ‒ 1 = 0.

• O zero é o menor número natural.

• Dois ou mais números naturais em que um é sucessor ou antecessor do outro são chamados números consecutivos. Observe alguns exemplos.

a) 5 e 6

b) 2, 3 e 4

c) 20, 21 e 22

d) 59, 60, 61 e 62

Comparando números naturais

O quadro a seguir mostra o número de estudantes das quatro turmas do 6º ano da Escola Jotabê.

Turma	A	B	C	D
Número de estudantes	42	38	40	38

Em que turma há mais estudantes? E em que turma há menos estudantes?

Para responder a essas perguntas, vamos estabelecer algumas relações entre o número de estudantes de cada turma.

• O número de estudantes da turma a é maior que o número de estudantes da B.

Escreve-se: 42 > 38.

• O número de estudantes da turma D é menor que o número de estudantes da C.

Escreve-se: 38 < 40.

• O número de estudantes da turma a é diferente do número de estudantes da D.

Escreve-se: 42 ≠ 38.

• O número de estudantes da turma B é igual ao número de estudantes da D.

Escreve-se: 38 = 38.

Respostas e comentários

3. Números naturais

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero um.

Os estudantes têm trabalhado com os números naturais ao longo de todos os anos iniciais do Ensino Fundamental, mas aqui se apresenta uma sistematização do tema, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah zero um). O intuito não é tratar de conjuntos, apenas apresentar a sequência dos números naturais, já conhecida deles, nesse novo formato.

Nessa etapa, esperamos resgatar os conhecimentos que os estudantes trazem acerca da sequência dos números naturais – como saber que eles servem para indicar uma contagem – e ampliar esses conceitos – como observar que o sucessor de um número natural tem 1 unidade a mais do que o número considerado, assim como o antecessor de um número natural não nulo tem 1 unidade a menos que esse número.

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Reta numérica

Podemos representar a sequência dos números naturais associando-os a pontos de uma reta.

Para isso, tomamos a reta r e, sobre ela, marcamos um ponto que chamamos de óh, fazendo-o corresponder ao número zero.

Ilustração. Reta r com uma seta em cada extremidade e o ponto (O), no número zero, à esquerda da reta.

A partir de óh e à sua direita, marcamos pontos que se distanciam um do outro sempre com a mesma medida, por exemplo, 1 centímetro.

Ao ponto a fazemos corresponder o número 1; ao ponto B, o número 2; ao ponto C, o número 3; e assim por diante.

Ilustração. Reta numérica com r com uma seta em cada extremidade e os pontos (da esquerda para direita): O(0), A(1), B(2), C(3), D(4), E(5), F(6). Mantendo a mesma distância entre cada ponto.

Para cada número natural podemos associar um ponto da reta r. Essa reta é chamada reta numérica.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Converse em grupo e responda às questões.

a) Que número natural não é sucessor de nenhum outro número natural?

b) O sucessor de um número natural é maior ou menor que esse número? E o antecessor de um número natural?

c) Na sequência dos números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, reticências, o sucessor de um número fica à esquerda ou à direita desse número? E onde fica o antecessor de um número?

21 Determine:

a) o antecessor e o sucessor de 49;

b) o sucessor do sucessor de 100;

c) o antecessor do antecessor de .1201.

22 Determine a sequência de números indicada em cada caso.

a) Números naturais maiores que 5.

b) Números naturais menores ou iguais a 5.

c) Números naturais maiores que 5 e menores que 10.

d) Números naturais entre 5 e 10.

e) Números naturais de 5 a 10.

23 Na recepção de um laboratório, os pacientes preferenciais recebem senha com dois algarismos; os pacientes agendados recebem senha com três algarismos; e os demais recebem senha com quatro algarismos.

Ilustração. Balcão de recepção com uma atendente. Sobre o balcão, um monitor. Ao lado, um painel de senhas indica o número 1210. Na frente do balcão, à esquerda, Dirceu está em pé segurando uma senha com número 131. À direita, Mariana está sentada em uma cadeira de rodas, segurando a senha 59.

a) Mariana acabou de pegar a senha. Qual será a senha do próximo paciente preferencial? Qual foi a senha anterior?

b) Dirceu agendou seu exame. Qual foi a senha do agendamento que o antecedeu? E a senha que o sucedeu?

c) Que senha de quatro algarismos sucederá a do painel? Que senha a antecedeu?

Respostas e comentários

20. a) Zero.

20. b) Maior; menor.

20. c) À direita; à esquerda.

21. a) 48, 50

21. b) 102

21. c) .1199

22. a) 6, 7, 8, reticências

22. b) 0, 1, 2, 3, 4, 5

22. c) 6, 7, 8, 9

22. d) 6, 7, 8, 9

22. e) 5, 6, 7, 8, 9, 10

23. a) 60; 58

23. b) 130; 132

23. c) .1211; .1209

Reta numérica

Retome com os estudantes o conceito de reta numérica para averiguar o que eles já conhecem. Se necessário, comente com eles sobre essa representação. Peça-lhes que registrem os elementos de algumas sequências numéricas crescentes em uma reta numérica. Eles podem trocar ideias com os colegas para fazer essas representações. Depois, valide cada uma delas com os estudantes.

Exercícios propostos

Esse bloco de exercícios explora a sequência dos números naturais e a representação na reta numérica.

Ao responder ao item a do exercício 20, os estudantes devem ter compreendido que: sucessor é o número que vem depois de outro. Como o zero é o menor de todos os números naturais, então não é sucessor de nenhum número natural.

No item b devem considerar que o sucessor de um número natural é sempre maior que esse número e o antecessor, é sempre menor.

Considerando o mesmo raciocínio do item anterior, no item c, deverão concluir que, na sequência dos números naturais o antecessor está sempre à esquerda do número, e o sucessor à direita.

Para responder ao exercício 21 o conceito de sucessor e antecessor deve ser aplicado.

a) O antecessor de 49 é: 49 ‒ 1 = 48; e o sucessor de 49 é: 49 + 1 = 50

b) O sucessor de 100 é 101. Logo, o sucessor do sucessor de 100 é o sucessor de 101, ou seja, 102. Assim, obtém-se: (100 + 1) + 1 = 102

c) O antecessor de .1201 é .1200. Logo, o antecessor do antecessor de .1201 é o antecessor de .1200, ou seja, .1199. Assim, obtém-se: (.1201 ‒ 1) ‒ 1 = .1199

A resolução do exercício 22 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 1.

No exercício 23, pode-se conversar com os estudantes sobre cidadania, como o respeito às filas e aos processos que procuram agilizar o atendimento ao público, contribuindo para o desenvolvimento da competência geral 9.

Para responder às questões propostas, os estudantes deverão analisar a ilustração. Mariana recebeu a senha preferencial 59. Dirceu é um paciente agendado pois sua senha é 131, com três algarismos. No painel, observa-se indicado .1210, última senha chamada.

a) O próximo paciente preferencial terá senha dada por 59 + 1 = 60, enquanto o anterior à Mariana foi o 59 ‒ 1 = 58.

b) A senha dada por 131 ‒ 1 = 130 antecedeu Dirceu, enquanto a senha que o sucedeu é dada por 131 + 1 = 132.

c) A senha sucessora àquela no painel é dada por .1210 + 1 = .1211, enquanto a senha que a antecedeu foi .1210 ‒ 1 = .1209.

Página 22

24 Qual é o número natural que antecede o menor número de três algarismos? E qual número sucede o maior número natural de quatro algarismos?

25 Paulo comprou as três plaquinhas que formam o número da casa onde ele mora.

Ilustração. Paulo segura três placas, cada uma com um algarismo: 5, 7, e 9.
À frente dele, está o muro de uma casa.

a) Que número pode ter a casa de Paulo?

b) Para qual desses números a casa onde Paulo mora estaria mais próxima do início da rua?

c) Para qual número a casa onde Paulo mora estaria mais próxima do final da rua?

d) Qual é o sucessor do número do local onde você mora? Esse número coincide com o da residência de seu vizinho?

e) O número da sua residência é sucessor ou antecessor do número da residência de algum colega de sua classe?

26 Em uma folha de papel à parte, desenhe uma reta numérica e represente os números correspondentes ao dia e ao mês de seu aniversário. Depois, explique como você pensou para representar esses números.

Hora de criar – Pense em um número e elabore três dicas para que um colega descubra o número em que pensou. Depois, conversem sobre as indicações elaboradas e respondam:

a) De quantas dicas o colega precisou para adivinhar o número?

b) Se ele precisou de apenas uma dica para adivinhar o número pensado, modifique as dicas para que seja necessário mais de uma.

Pense mais um pouco...

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Reúna-se com um colega e considerem os problemas.

1 Em um livro de História, o capítulo sobre expansões marítimas começa na página 38 e termina na página 53. Quantas páginas tem esse capítulo?

2 Quantos algarismos são usados para escrever os números naturais de 1 a 150?

3 Analisem as resoluções de Juliana e Alberto para os problemas 1 e 2.

a) Para resolver o problema 1, Juliana subtraiu 38 de 53, encontrando 15 como resposta. A resposta de Juliana está correta? Expliquem.

b) Alberto resolveu o problema 2 da seguinte maneira:

Esquema de algarismos.

1, 2, 3, reticências, 9. Abaixo, uma chave indica: números de um algarismo.

10, 11, 12, reticências, 99. Abaixo, uma chave indica: números de dois algarismos.

100, 101, 102, reticências, 150. Abaixo, uma chave indica: números de três algarismos.

Esquema em três linhas de quantidade de algarismos para escrever os números de 1 a 150.

Primeira linha: De 1 a 9 são 9 números de um algarismo. Seta indica a conta: 9 vezes 1 igual a 9.

Segunda linha: De 10 a 99 são 89 números de dois algarismos. Seta indica a conta: 89 vezes 2 igual a 178.

Terceira linha: De 100 a 150 são 50 números de três algarismos. Seta indica a conta: 50 vezes 3 igual a 150.

Por fim, uma conta de adição na vertical. Ao topo, parcela 9; depois, parcela 178. Sinal de mais, à direita. Abaixo, parcela 150. Traço abaixo e o resultado 337.

Logo, para escrever os números de 1 a 150, utilizam-se 337 algarismos.

Ao resolver o problema dessa maneira, Alberto cometeu alguns erros. Que erros foram esses?

4 Agora, resolvam o problema a seguir explicando os procedimentos empregados.

Ao fazer uma pesquisa na internet, Ana precisa imprimir algumas páginas de um documento. Sabendo que o assunto de interesse de Ana começa na página 37 e termina na página 75, descubram quantas páginas ela precisa imprimir. Em seguida, calculem quantos algarismos são necessários para numerar essas páginas.

Respostas e comentários

24. 99; .10000

25. a) 579, 597, 759, 795, 957, 975

25. b) 579

25. c) 975

25. d) Respostas pessoais.

25. e) Resposta pessoal.

26. A resposta depende da data de aniversário do estudante.

27. a) Resposta pessoal.

27. b) Resposta pessoal.

Pense mais um poucoreticências:

1. 16 páginas.

2. 342 algarismos.

3. a) Não. Ao fazer esse cálculo, Juliana desconsiderou a página 38.

3. b) São 90 números de dois algarismos, e não 89. São 51 números de três algarismos, e não 50.

4. 39 páginas; 78 algarismos.

Exercícios propostos

Para enriquecer o trabalho, a partir do exercício 25, pode-se perguntar por que os estudantes acham que as placas de numeração de casas são vendidas em algarismos separados, não em números já compostos.

Espera-se que concluam que as placas com algarismos isolados possibilitam diferentes combinações, em relação tanto à quantidade de algarismos quanto à posição que eles ocupam no número.

Outro ponto a destacar é que, quando a numeração das casas de uma rua não é aleatória, está relacionada com a distância da casa em relação ao início da rua, o que justifica o fato de casas vizinhas não terem números necessariamente sucessores ou antecessores.

As resoluções dos exercícios 24 a 27 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 1.

Pense mais um poucoreticências

As resoluções das atividades 1 a 4 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 1.

A atividade 3 da seção solicita a reflexão sobre os procedimentos de resolução das atividades anteriores. No item a, os estudantes são instigados a encontrar o erro de resolução na situação apresentada. No item b, devem justificar os procedimentos empregados para a resolução. Essa é uma maneira significativa de conhecer e compreender processos de resolução, trocar ideias com os colegas e refinar estratégias.

Caso alguns estudantes ainda estejam registrando todas as possibilidades para então contá-las, é preciso incentivá-los a observar regularidades e a fazer generalizações.

Aproveite a atividade 4 para orientar os estudantes quanto à utilização da internet para pesquisas, enfatizando a necessidade de consultarem sites que contenham informações fidedignas (como aquelas que pertençam a universidades, órgãos governamentais, bibliotecas, museus etcétera.).

Explique-lhes que os materiais selecionados por eles vão auxiliá-los na elaboração de seus trabalhos. Ressalte, porém, que qualquer material de consulta (enciclopédias, sites, revistas etcétera.) não deve ser simplesmente reproduzido, pois é importante produzirem textos com suas próprias palavras, com base nas informações obtidas na pesquisa. Além disso, esclareça que o uso desses materiais geralmente é regulamentado por leis de direitos autorais, que protegem a propriedade intelectual.

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TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Lendo embalagens

Você já reparou que quase todos os produtos industrializados que usamos no dia a dia estão em uma embalagem que contém informações ou um rótulo?

Ilustração. Embalagem de café em formato de caixa. Na frente da embalagem, as seguintes informações: CAFÉ CONFETE, O MELHOR DO BRASIL. Abaixo, ilustração de uma xícara branca com café sobre um pires. Em seguida, as informações: CAFÉ TORRADO E MOÍDO. QUINHENTOS GRAMAS. EMBALADO A VÁCUO. Abaixo, ilustração de grãos de café e o símbolo de reciclagem. Na parte superior da embalagem, validade: 20/10/27. Lote: 43 7H. Na lateral da embalagem, MODO DE PREPARO: ilustração de uma colher com café em pó, e no canto superior direito o número 4. Depois um bule saindo fumaça, com a informação 1 litro. Por último, o bule despejando café líquido na xícara. Abaixo, código de barras: 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5.

Na embalagem, você pode identificar o produto e o código de barras dele. Pode saber a data de validade, o lote, o tipo de embalagem, a medida da massa etcétera

Pode também ter orientações de uso ou de preparo e informações sobre o destino a ser dado à embalagem, quando ela é reciclável.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Que informações é possível identificar nessa embalagem?

2 Além das informações que você identificou, que outras podem estar nas faces não visíveis na imagem da embalagem?

Você costuma prestar atenção nas informações contidas em embalagens? Entre as informações apresentadas, a falta de alguma pode impedir a aquisição de um produto? Em caso afirmativo, qual?

4 Camila gosta de chá de camomila. Observe o rótulo da caixinha deste chá.

Ilustração. Embalagem de chá em formato de caixa. Na frente da embalagem, as seguintes informações: Chá de Camomila. Contém 10 saquinhos. Peso líquido: 10 gramas. Produzido por Chákara. SAC 0800-17270079. Validade: 12/11/2028. Lote: 54.08.153. À direita, ilustração de xícara transparente, sobre um pires branco, com chá e o saquinho de chá dentro dela. Abaixo, símbolo de reciclagem e código de barras: 7 8 9 4 0 9 8 1 2 3 4 6 3.

Nos rótulos dos produtos há muitas informações dadas por números.

a) Quantos saquinhos há na caixa de chá?

b) Esse produto já está vencido? Por quê?

c) “Peso líquido” quer dizer o peso do líquido?

d) Qual é o número do código de barras?

e) SAC significa Serviço de Atendimento ao Consumidor. Se alguém precisar falar com o fabricante, para qual número de telefone deve ligar?

f) O que significa o desenho ao lado do código de barras? Reproduza-o no caderno.

Respostas e comentários

1. Nome: Café Confete; Café torrado e moído; embalado a vácuo; medida da massa 500 gramas; Lote 43 7H; Validade 20/10/27; código de barras 7891234567895; Modo de preparo: 4 colheres (sopa) com o pó de café para 1 litro de água quente; a embalagem é reciclável.

2. Resposta pessoal.

3. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes indiquem que a ausência da informação relacionada à validade de um produto alimentício deve ser um impeditivo para a aquisição dele.

4. a) 10 saquinhos.

4. b) Depende da data em que o exercício for realizado.

4. c) Não. Significa a medida da massa apenas do produto, sem a embalagem.

4. d) 7894098123463

4. e) 080017270079

4. f) Significa que a caixinha pode ser reciclada.

Trabalhando a informação

Nesta seção, o estudante deve ser instruído a ler e assimilar o conteúdo de rótulos de embalagens de produtos do seu cotidiano. Pode-se pedir aos estudantes que tragam embalagens de sua casa, que não possibilitem algum risco no transporte tais como vidro ou objetos cortantes, para uma primeira explanação. Essa explanação permitirá que desenvolvam com confiança as próximas atividades.

Inicialmente sugerimos conhecer os dados disponíveis. Os estudantes poderão citar quais informações estão disponíveis na sua embalagem, e a que se referem: quantidade de produto, informações nutricionais, dosagens de preparo, código de barras etcétera.

Posteriormente, podem-se levantar questões como: para que servem essas informações? Por que essas informações são disponibilizadas na embalagem e qual é a importância delas?

Espera-se que os estudantes deem como respostas que, se a embalagem é reciclável, eles podem destiná-la para o local de reciclagem, ou que as informações nutricionais podem influenciar os estudantes à compra desse produto.

Agora quem trabalha é você!

As sugestões dadas ao professor para trabalhar com embalagens trazidas pelos estudantes darão embasamento ao estudante para responder à atividade 2.

Ao trabalhar com a atividade 3 e refletir sôbre as informações que devem estar contidas em embalagens, em especial o prazo de validade, contribui-se para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal educação para o consumo.

Na atividade 4, alguns estudantes podem ter dificuldades em responder ao item c. Neste caso, solicite-lhes que façam uma pesquisa sobre o termo na internet ou com algum familiar para que compreendam o significado de “Peso líquido”.

Ao identificarem o significado do símbolo de reciclagem pedido no item f, pergunte a eles se já tinham reparado neste símbolo em embalagens de produtos que costumam comprar e sobre qual o benefício de embalagens recicláveis para o meio ambiente.

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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Usando os algarismos indo-arábicos, escreva os números que aparecem por extenso nas informações.

a) O rio Amazonas mede seis mil, novecentos e trinta e sete quilômetros de comprimento.

Fotografia. Vista do alto do rio Amazonas. À frente, vegetação e, ao fundo, o rio e o céu com nuvens e pôr do sol alaranjado. — Vista aérea do rio Amazonas, em Parintins (Amazonas). (Fotografia de 2019.)

b) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (í bê gê É), a população estimada da cidade de Belo Horizonte (Minas Gerais), em 2021, era de dois milhões, quinhentos e trinta mil, setecentos e um habitantes.

2 Considere os seguintes cartões:

Ilustrações. 3 cartões coloridos. Cada um tem um número. Azul: 1. Amarelo: 6. Verde: 7.

Colocando os três cartões um ao lado do outro, de todos os modos possíveis, obtemos a representação de seis números naturais. Determine:

a) o maior número encontrado;

b) o menor número encontrado;

c) o menor número que começa com o algarismo 7;

d) o maior número que começa com o algarismo 6.

3 Um número tem dois algarismos. O algarismo das dezenas é o dobro do algarismo das unidades.

a) Qual será o número se ele for menor que 40?

b) Qual será o número se ele for maior que 70?

4 Considerando os algarismos 0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, responda:

a) Qual é o menor número que pode ser formado?

b) Qual é o maior número que pode ser formado?

5 Arlete fez um trabalho com 256 páginas. Numerou as páginas começando pelo 1.

a) Quantos algarismos ela escreveu?

b) Quantas vezes ela escreveu o algarismo 2?

6 Lúcia escreveu todos os números de dois algarismos; Paula escreveu todos os números de dois algarismos distintos (diferentes); Rogério escreveu todos os números pares de dois algarismos; e Renato escreveu todos os números pares de dois algarismos distintos. Nos cartões coloridos a seguir, aparecem as quantidades de números que cada um escreveu.

Ilustrações. 6 cartões coloridos. Cada um tem um número. Verde: 41. Azul: 45. Amarelo: 81. Roxo: 85. Laranja: 90. Vermelho: 95.

Descubra qual é o cartão de cada um.

7 No Brasil, o dinheiro já teve vários nomes. Em julho de 1993, chamava-se cruzeiro. Nesse mês, o presidente Itamar Franco editou uma medida provisória criando o cruzeiro real: a quantia de .1000 cruzeiros passou a valer 1 cruzeiro real. Assim, um salário de ..4750000 cruzeiros, que era pouco mais de um salário mínimo, passou para .4750 cruzeiros reais, ou seja, foram tirados três zeros do número anterior.

Fotografia. Cédula de dinheiro, em tons de vermelho, de 500 mil cruzeiros. À direita, o escritor Mario de Andrade, usando óculos redondos e chapéu. No canto superior esquerdo, Banco Central do Brasil. No canto superior direito, o número 500.000. No canto inferior esquerdo, o número 5 0 0 0 0 0 com a escrita por extenso: quinhentos mil cruzeiros. No canto inferior direito, a numeração da cédula, A 8 2 9 2 0 0 0 0 0 1 A. No centro, carimbo circular escrito 500 – cruzeiros – reais, e um trecho do poema 'Eu sou trezentos...' de Mario de Andrade, que diz: 'E então minha alma servirá de abrigo.' — Nota de 500.000 cruzeiros.

a) Nesse salário, qual é o valor posicional do algarismo 7 antes da medida provisória? E depois?

b) Nesse salário, qual é o valor posicional do algarismo 4 depois da medida provisória? E antes?

Pesquise, com algum adulto da família que tenha vivido nessa época (pais, tios, avós ou vizinhos), essas mudanças. Pergunte que estratégias usavam para fazer cálculos cotidianos com números grandes, como o representado na cédula, e se essa mudança, a diminuição de três zeros, trouxe benefícios para as pessoas.

Respostas e comentários

1. a) .6937

1. b) ..2530701

2. a) 761

2. b) 167

2. c) 716

2. d) 671

3. a) 21

3. b) 84

4. a) ..1000223

4. b) ..3221000

5. a) 660 algarismos.

5. b) 113 vezes.

6. Lúcia – 90; Paula – 81; Rogério – 45; Renato – 41.

7. a) .700000; 700

7. b) .4000; ..4000000

7. c) Resposta pessoal.

Exercícios complementares

Nesta seção, são oferecidas novas oportunidades para os estudantes retomarem e aplicarem os principais conceitos tratados no capítulo.

O exercício 3 pode ser enriquecido solicitando aos estudantes que formulem novas perguntas, com mais de uma solução ou sem solução, com base no mesmo enunciado, por exemplo:

• Qual será o número se ele for par? (Poderá ser 42 ou 84.)

• Qual será o número se ele for maior que 10? (Poderá ser 21, 42, 63 ou 84.)

• Qual será o número se ele terminar em 5? (Impossível, porque, nesse caso, o algarismo das dezenas seria “10”.)

• Qual será o número se ele for maior que 90? (Impossível, já que o algarismo das dezenas será necessariamente o 9, e a metade de 9 não é um número natural.)

Como os estudantes já foram desafiados com problemas sobre numeração de páginas, o exercício 5 é um momento oportuno para verificar se ainda há dificuldades na generalização de regularidades, isto é, se alguns deles ainda precisam registrar cada um dos números e contá-los para chegar à resposta final. Uma possibilidade de trabalho, nesse caso, é formar grupos misturando os que apresentaram facilidade nas generalizações com aqueles que ainda têm dificuldade nesse raciocínio.

Ao trabalhar com o item c do exercício 7, você poderá discutir com a classe a razão pela qual, em 1993, houve corte de três zeros na moeda nacional, destacando aspectos como a dificuldade na comunicação pelo uso de números muito grandes até para representar preços de produtos básicos, como café e feijão. Outras informações devem ser coletadas pelos estudantes ao fazerem a pesquisa com um adulto conhecido. Solicite a eles que compartilhem com a classe o resultado coletado promovendo reflexões sobre a mudança ocorrida. Assim, ao fazerem essa pesquisa e compartilhar com os colegas, contribui-se para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal vida familiar e social.

As resoluções dos exercícios 1 a 7 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 1.

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 O número .1493 pode ser representado nos sistemas de numeração romano e egípcio, respectivamente, por:

a) ême cê cê cê cê xís cê í í í e

Ilustração. Um homem ajoelhado, quatro cordas enroladas, um calcanhar, uma corda enrolada e três hastes.

b) ême dê cê xís cê í í í e

Ilustração. Um peixe ou girino, quatro cordas enroladas, nove calcanhares e três hastes.

c) ême cê dê cê xís í í í e

Ilustração. Um dedo indicador, quatro cordas enroladas, nove calcanhares e três hastes.

d) ême cê dê xís cê í í í e

Ilustração. Uma flor de lótus, quatro cordas enroladas, nove calcanhares e três hastes.

2 O valor posicional do algarismo 8 no número ..1085750 é:

a) 800.

b) .8000.

c) .80000.

d) .800000.

3 No número .95796, o algarismo 7 vale

a) sete unidades.

b) setenta unidades.

c) setecentas unidades.

d) sete mil unidades.

4 A escrita por extenso do número ...1050650001 é:

a) um milhão, cinquenta mil, seiscentos e cinquenta e um.

b) um bilhão, cinquenta milhões, seiscentos e cinquenta e um.

c) um bilhão, cinquenta milhões, seiscentos e cinquenta mil e um.

d) cento e cinquenta milhões, seiscentos e cinquenta e um.

5 Identifique uma das características do sistema de numeração indo-arábico.

a) É composto de mais de 10 símbolos.

b) É um sistema de base um.

c) Não é um sistema posicional.

d) Possui um símbolo para representar o zero.

6 O sucessor de ..1099099 é:

a) ..1099010.

b) ..1099100.

c) ..1100000.

d) ..1100100.

7 O menor número formado com todos os algarismos das fichas, sem repeti-los, é:

Ilustração. Quatro fichas, cada uma com um número: 0, 2, 9 e 5.

a) 295.

b) .2059.

c) .2095.

d) .2590.

8 A sequência dos números naturais maiores que 10 pode ser indicada por:

a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

b) {10, 11, 12, 13, 14, reticências}

c) {10, 20, 30, 40, 50, reticências}

d) {11, 12, 13, 14, 15, reticências}

9 Considere a reta numérica representada a seguir.

Ilustração. Reta numérica com seta em ambas as extremidades e com os seguintes pontos: (próximo à extremidade esquerda) 0. À direita, 20. (No centro da reta), A. À direita, 100. À direita, B. (Próximo à extremidade direita) 130.

Podemos associar aos pontos a e bê, respectivamente, os números:

a) 40 e 110.

b) 50 e 120.

c) 60 e 110.

d) 70 e 120.

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões.

a) Que características você pode destacar de cada sistema de numeração estudado?

b) O sistema de numeração que usamos atualmente é denominado sistema de numeração decimal. Essa nomenclatura foi atribuída a ele devido a uma de suas características. Que característica é essa? Que outras características você aprendeu sobre esse sistema de numeração?

c) Em que situações você usa os números naturais? Cite dois exemplos.

d) Como você explicaria a um colega o significado de sucessor e antecessor de um número natural?

e) Que símbolos você usa para comparar números?

f) Ao representar números em uma reta numérica, eles precisam obedecer a alguma regra em relação à medida da distância?

g) Você aprendeu que as embalagens dos produtos processados trazem informações sobre ele. Justifique a necessidade de haver essas informações.

Respostas e comentários

1. Alternativa d.

2. Alternativa c.

3. Alternativa c.

4. Alternativa c.

5. Alternativa d.

6. Alternativa b.

7. Alternativa b.

8. Alternativa d.

9. Alternativa c.

Organizando: as respostas a estas questões estão neste Manual.

Verificando

Esses exercícios são mais uma oportunidade para o estudante validar o entendimento do conteúdo estudado neste capítulo.

As resoluções dos testes 1 a 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 1.

Organizando

Incentive os estudantes a organizarem seu aprendizado no caderno, fazendo resumos, mapas conceituais ou aplicando destaques em conceitos importantes.

As questões propostas têm como objetivo fazer com que os estudantes retomem os conteúdos aprendidos no capítulo e que reflitam sobre algumas temáticas.

a) Resposta pessoal. Sugestões: egípcio: cada símbolo pode ser repetido até nove vezes e não é posicional; romano: é posicional, pois a ordem de representação dos símbolos deve ser respeitada; indo-arábico: sistema de base 10, é posicional, há um símbolo para representar o zero.

b) O sistema de numeração indo-arábico tem base dez. É, também, um sistema posicional e tem símbolo para representar o zero.

c) Resposta pessoal. Exemplos de resposta: para identificar o dia do mês, para saber a pontuação em um jogo, para contar o total de acertos em uma prova, para identificar o número do telefone de um colega etcétera.

d) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes tenham compreendido que o antecessor de um número natural é o número natural que vem imediatamente antes, e o sucessor, o que vem imediatamente depois.

e) >, < e =.

f) A partir do 0, a medida da distância entre um número x e seu sucessor deve ser igual à medida da distância entre esse número x e seu antecessor.

g) Espera-se que os estudantes comentem que é um direito do consumidor conhecer os ingredientes e nutrientes presentes nos produtos processados.

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DIVERSIFICANDO

Quando a base é outra

Você já aprendeu que o sistema de numeração que usamos atualmente tem base decimal, ou seja, tem base dez.

Vamos ver agora como funciona um sistema de numeração um pouco diferente do nosso, um sistema de base dois – o sistema binário. Em vez de usar dez símbolos diferentes, esse sistema usa apenas dois símbolos: 0 e 1.

O sistema binário de numeração é amplamente utilizado por hardware de computadores, pois opera em níveis lógicos de tensão, associados aos números zero e 1.

Observe no quadro e nas ilustrações a seguir como escrevemos alguns números nesse sistema.

Números na base 10	Números na base 2
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1.000
9	1.001
10	1.010
11	1.011
12	1.100
⋮	⋮

• Número 3:

Ilustração. Uma linha e duas colunas. Na primeira linha, um retângulo com 2 pontos dentro. Abaixo, uma chave indica o número 1. Na segunda coluna, um ponto. Abaixo, uma chave indica o número 1. Em seguida, uma chave abaixo dos números 1 e 1 indica o número 11.

O número 3, na base dez, é escrito como 11 na base dois.

• Número 7:

Ilustração. Uma linha e duas colunas. Na primeira coluna, três retângulos, com 2 pontos dentro de cada um. Abaixo, uma chave indica o número 3. Abaixo, uma chave indica o número 11. Na segunda coluna, um ponto. Abaixo, uma chave indica o número 1. Em seguida, abaixo dos números 11 e 1, uma chave indica o número 111.

O número 7, na base dez, é escrito como 111 na base dois.

• Número 25:

Ilustração. Uma linha e duas colunas. Na primeira coluna, doze retângulos, com 2 pontos dentro de cada um. Abaixo, uma chave indica o número 12. Abaixo, uma chave indica o número 1100. Na segunda coluna, um ponto. Abaixo, uma chave indica o número 1. Em seguida, abaixo dos números 1100 e 1, uma chave indica o número 11001.

O número 25, na base dez, é escrito como 11001 na base dois.

Agora é com você!

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Escreva os números 20 e 33, que estão na base dez, na base binária.

Respostas e comentários

Resposta: 20 → 10100; 33 → 100001

Diversificando

A seção apresenta o sistema binário. Uma das maneiras de fazer a atividade do Agora é com você! é por meio de figuras, distribuindo os agrupamentos. Observe como isso pode ser feito para o caso do número 20:

Ilustração. Esquema de agrupamentos do sistema binário.

Ilustração. Duas linhas e cinco colunas de retângulos com 2 pontos dentro de cada um, sendo um ao lado do outro. Abaixo, uma chave indica: 10 agrupamentos. Ao lado: nenhum agrupamento (resto), e uma chave indica: 0

Abaixo:
Ilustração. Uma linha com duas colunas e, abaixo, uma linha com três colunas de retângulos com 2 pontos dentro, sendo um ao lado do outro. Abaixo, uma chave indica: 5 agrupamentos. Ao lado: nenhum agrupamento (resto), e uma chave indica: 0. Ao lado, seta vertical aponta de nenhum agrupamento (resto), 0, para 0

Abaixo:
Ilustração. Uma linha com duas colunas de retângulos com 2 pontos dentro, sendo um ao lado do outro, e uma chave indica: 2 agrupamentos. Ao lado, um ponto, e uma chave indica: 1. Ao lado, uma seta vertical aponta de nenhum agrupamento (resto), 0, para 0. Ao lado, seta vertical aponta de 0 para 0

Abaixo:
Ilustração. Um retângulo com 2 pontos dentro, sendo um ao lado do outro, e uma chave indica: 1 agrupamento. Ao lado: nenhum agrupamento (resto), e uma chave indica: 0. Ao lado, seta vertical aponta de 1 para 1. Ao lado, seta vertical aponta de 0 para 0. Ao lado, seta vertical aponta de 0 para 0

Na última linha: setas verticais apontam para o numeral formado pelos algarismos 1 0 1 0 0

Outra maneira de fazer a atividade é por meio de divisões sucessivas por 2, o que consiste em: dividir o número escrito na base decimal e os seus quocientes por 2, até que o quociente em uma das divisões seja zero. O número binário procurado é o obtido pelos restos na ordem inversa dessas divisões. Veja esse procedimento para os números 20 e 33:

Esquema. Divisão na chave do número 20 sucessivas vezes por 2.
20 dividido por 2: resto 0, quociente 10. Abaixo, 10 dividido por 2: resto 0, quociente 5. Abaixo, 5 dividido por 2: resto 1, quociente 2. Abaixo, 2 dividido por 2: resto 0, quociente 1. Abaixo, 1 dividido por 2: resto 1, quociente 0.
Seta diagonal considera os restos das divisões, de baixo para cima, formando o número: 10100

Esquema. Divisão na chave do número 33 sucessivas vezes por 2.
33 dividido por 2: resto 1, quociente 16. Abaixo, 16 dividido por 2: resto 0, quociente 8. Abaixo, 8 dividido por 2: resto 0, quociente 4. Abaixo, 4 dividido por 2: resto 0, quociente 2. Abaixo, 2 dividido por 2: resto 0, quociente 1. Abaixo, 1 dividido por 2: resto 1, quociente 0.
Seta diagonal considera os restos das divisões, de baixo para cima, formando o número: 100001

Ao explorar o conceito de sistema binário, que é utilizado por computadores, contribui-se para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal ciência e tecnologia e da habilidade (ê éfe zero seis ême ah zero dois).

Glossário

Anverso: : parte frontal de um objeto.; Voltar para o texto

Dístico: : estrofe composta de dois versos.; Voltar para o texto