CAPÍTULO 3 Estudando figuras geométricas
Observe a imagem e responda às questões no caderno.
a) Que figuras geométricas você identifica no grafismo da residência da fotografia?
b) Essas figuras são planas ou não planas?
c) O que mais chamou sua atenção nesses grafismos? Converse com o professor e os colegas.
Na fotografia, vemos a residência de Esther Mahlangu, artista nascida em 1935 e pertencente ao grupo étnico indebele, em Mpumalanga, África do Sul. Sua arte vem da herança artística dos indebele, que é passada de mãe para filha ao longo dos séculos; na cultura indebele, apenas as mulheres se dedicam aos grafismos e artesanatos.
Os grafismos são realizados a mão livre, sem medições ou esboços, baseados em um complexo sistema de sinais e símbolos.
Respostas e comentários
a) Alguns polígonos, como triângulos e quadriláteros.
b) As figuras são planas.
c) Resposta pessoal.
Capítulo 3 - Estudando figuras geométricas
Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas da Matemática (Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.
Ao abordar o assunto deste capítulo, é importante trabalhar com a manipulação de objetos, modelos dos sólidos tratados, para que as características das figuras geométricas não planas estudadas sejam percebidas e verificadas. Também se faz necessário promover discussões sobre os modelos de figuras geométricas utilizados.
Essa abordagem leva em conta que a Geometria é um dos campos da Matemática com aplicações que podem ser observadas em objetos do dia a dia e experimentadas em situações diversas.
Além disso, artesanatos, obras de arte, de engenharia e de arquitetura podem ser bons pontos de partida para o estudo da Geometria.
Na engenharia, por exemplo, a Geometria é aplicada nos estudos da estabilidade das edificações.
Em diversas fórmas de expressão artística e cultural, como as pinturas das fachadas tradicionais da cultura indebele, conceitos de Geometria podem ser identificados.
Os grafismos nas paredes da casa da artista estérMahlangu podem ser utilizados para uma investigação dos conhecimentos prévios dos estudantes. Converse com eles sobre as figuras geométricas que eles identificam nos grafismos (triângulos, quadriláteros), para saber se identificam essas figuras como polígonos. Para explorar o conceito de figuras planas e não planas, pode ser interessante comparar as figuras pintadas nas paredes (figuras planas) com a própria parede (que dá ideia de figura não plana), com um pilar do pórtico de entrada, ou com um bloco de concreto.
Converse com os estudantes também sobre suas impressões a respeito dos grafismos, sobre o que chamou sua atenção (as cores, a técnica, as fórmas). Converse sobre a importância de manter as tradições artísticas e culturais de um povo, sobre como essas tradições estão conectadas com a identidade desse povo, com seus costumes e com a fórma com que ele se integra à sociedade. Pergunte a eles se em suas famílias ou comunidades existe alguma tradição que é passada de geração em geração e pergunte se eles conhecem outros povos com tradições e culturas diferentes das deles. Essas discussões sobre a importância de diversas manifestações artísticas e culturais contribuem para o desenvolvimento da competência geral 3 e do Tema Contemporâneo Transversal diversidade cultural.
1. Um pouco de história
Originalmente, Geometria foi o nome que os gregos deram à parte da Matemática que estudava a medida (metria) da terra (geo). Trata-se do ramo da Matemática em que são estudadas as figuras e suas características.
A origem da Geometria não é precisa porque não há registros escritos de épocas anteriores a 6000 anos antes de Cristo.
O historiador grego Heródoto (século cinco antes de Cristo) atribuiu aos egípcios a origem da Geometria, pois acreditava que ela tinha sido desenvolvida com a necessidade de fazer novas medições de terras depois de cada inundação provocada pelas cheias do rio Nilo.
Quando o rio Nilo transbordava, as demarcações de algumas propriedades desapareciam; assim que o rio voltava a seu leito normal, era preciso demarcar novamente os limites dessas terras. Esse trabalho era realizado pelos “estiradores de cordas” (agrimensores), que utilizavam os registros feitos antes das inundações e os conhecimentos que tinham de Geometria.
Alguns historiadores, porém, acreditam ser mais provável que os estudos geométricos tenham sido desenvolvidos pela classe sacerdotal egípcia, que, por ser privilegiada, dispunha de tempo para reflexões como essas.
A ideia mais aceita atualmente é a de que a Geometria tenha nascido tanto da necessidade de resolver problemas práticos como da observação e da reflexão sobre números, grandezas e formas.
Por volta de 300 antes de Cristo, o estudioso grego Euclides organizou todo o conhecimento geométrico desenvolvido até então em um texto didático chamado Os elementos. Por mais de dois milênios, foi o fundamento que orientou o ensino desse importante campo de estudo.
Respostas e comentários
1. Um pouco de história
Neste início de capítulo, o tratamento da história da Matemática pode promover uma reflexão entre os estudantes para que percebam que os conhecimentos matemáticos não estão desvinculados da realidade e que eles foram desenvolvidos, e continuam sendo desenvolvidos, ao longo dos anos, por diferentes pessoas, em diferentes lugares.
Essa reflexão abre espaço para o desenvolvimento da competência geral 1; para isso, comente com os estudantes que muitos conceitos matemáticos foram desenvolvidos para nos ajudar a entender o mundo que nos cérca e que são importantes para o desenvolvimento da sociedade, com aplicações nas mais diversas áreas, da Agricultura à Medicina.
Sugestões de leitura
Para ampliar seu trabalho com esse tema, sugerimos:
BICUDO, I. A história da geometria euclidiana do antigo Egito às salas de aula. [Entrevista cedida ao] Globo Ciência. Rede globo, dezembro 2011. Disponível em: https://oeds.link/th1oBp. Acesso em: 12 maio 2022.
O professor de Matemática da Universidade de São Paulo (úspi), Irineu Bicudo, autor da primeira tradução completa do grego para o português da obra Os elementos, de Euclides (Editora Unésp), conta sobre o desenvolvimento da Geometria do antigo Egito ao século dezenove.
Loné, M. A fascinante história da Matemática. Tradução de Clóvis Marques. Rio de Janeiro: Bêrtrãn Brasil, 2019.
Esse livro conta um pouco da história da Matemática e discute sua utilidade da Pré-história até os dias de hoje. No capítulo 4 é apresentada a primeira descrição completa dos poliedros regulares, do século quatro antes de Cristo na Grécia antiga, atribuída a Teeteto de Atenas. O autor também discute uma aplicação dos poliedros na arquitetura, a cúpula geodésica, e mostra como a estrutura de uma bola de futebol se relaciona com poliedros.
2. Figuras planas e não planas
Ao observar os objetos à nossa volta, percebemos que eles apresentam os mais variados formatos. Que formatos você reconhece nos brinquedos mostrados a seguir?
Os brinquedos mostrados são exemplos de objetos que têm características distintas. A cada um desses objetos, podemos associar diferentes figuras geométricas.
(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)
Nos objetos representados, as superfícies do tabuleiro e das peças do jogo de damas dão a ideia de figuras geométricas plaanas, enquanto a raquete e a bola de tênis de mesa lembram figuras geométricas não plaanas. Acompanhe a explicação a seguir sobre figuras geométricas plaanas e não plaanas.
Respostas e comentários
2. Figuras planas e não plaanas
A planicidade é um dos atributos de figuras geométricas que nos permitem classificá-las em dois grandes grupos: figuras geométricas plaanas e figuras geométricas não plaanas.
Fundamentando-se nos conhecimentos que os estudantes trazem de seu estudo nos anos iniciais do Ensino Fundamental acerca de figuras geométricas, é possível ampliar e consolidar esses conhecimentos neste capítulo.
Sugerimos que sejam apresentados modelos de figuras de cada um desses dois grupos, de modo que os estudantes possam manipular tais modelos e verificar esse atributo (planicidade) concretamente, por exemplo colocando os modelos sobre o tampo da mesa do professor. Peça aos estudantes que classifiquem os modelos de figuras apresentados em cada um desses dois grupos, contribuindo para que eles desenvolvam a habilidade de identificar padrões em diferentes contextos.
3. Os sólidos geométricos
Algumas figuras geométricas não planas são chamadas sólidos geométricos.
Observe, nas fotografias a seguir, como as diferentes formas presentes nas obras de arte dão a ideia de sólidos geométricos.
(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)
Respostas e comentários
3. Os sólidos geométricos
A associação entre elementos geométricos e projetos arquitetônicos é uma das maneiras de os estudantes verificarem a presença da Geometria ao seu redor.
Antes desta aula, pode-se propor a eles uma atividade em que devem observar e anotar as figuras que eles reconhecem nas construções por onde passam no caminho de casa para a escola. Essa atividade pode ser a base para uma discussão em sala sobre os sólidos geométricos e serve também para um levantamento dos conhecimentos prévios dos estudantes acerca deles: que sólidos já conhecem, quais nomearam, como fizeram o registro etcétera.
Discuta com os estudantes cada estrutura apresentada nas fotografias e os sólidos que elas lembram. Peça a eles que citem outras edificações de que tenham conhecimento que lembram sólidos geométricos, por exemplo, as pirâmides do Egito, a torre de Pisa, um edifício ou uma obra de arte conhecidos na cidade ou no bairro em que moram.
Se considerar adequado, em parceria com o professor de Arte, proponha aos estudantes uma pesquisa sobre o uso de fórmas geométricas em esculturas e em outras obras de arte. Depois, podem-se solicitar aos estudantes alguns trabalhos manuais. Para isso, sugerimos o seguinte texto como apoio:
NUNES, K. R. a. Tecendo Matemática com Arte. ANPMat. sine loco. Disponível em: https://oeds.link/GqnXGR. Acesso em: 3 junho 2022.
Corpos redondos e poliedros
Os sólidos podem ser organizados em grupos, como corpos redondos e poliedros. Essa organização considera a presença ou não de formas arredondadas.
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Objetos com a forma de corpos redondos |
Objetos com a forma de poliedros |
|---|---|
|
|
|
(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)
Os corpos redondos são sólidos geométricos que têm pelo menos uma parte com fórma arredondada. Observe alguns exemplos.
Os poliedros são sólidos geométricos que não têm fórma arredondada. Observe alguns exemplos.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Para cada poliedro, desenhe uma figura plana que represente a parte da sua superfície vista de cima.
a)
b)
c)
d)
Respostas e comentários
1. Construção de figuras.
Corpos redondos e poliedros
Se possível, traga modelos que representem os dois grupos de sólidos (corpos redondos e poliedros) para os estudantes vivenciarem essa classificação, de modo que consigam compor esses dois grupos com tais modelos. Pode ser uma atividade coletiva na sala de aula. Nesse momento é importante ressaltar a característica principal que diferencia os sólidos de cada grupo: ter ou não a fórma arredondada.
Espera-se que os estudantes percebam que sólidos que não têm partes arredondadas em sua superfície são os chamados poliedros, enquanto os que apresentam pelo menos uma parte com fórma arredondada são os corpos redondos. Peça a eles que exemplifiquem com objetos de seu cotidiano: por exemplo, podem identificar e associar um dado, uma caixa de suco de fruta, um monitor de computador, entre outros, com poliedros; uma bola, um chapéu de aniversário, uma laranja, entre outros, com corpos redondos.
Se julgar necessário, antes de propor o exercício 1, peça aos estudantes que escolham alguns dos modelos de poliedros que têm em mãos e apoiem esses objetos sobre o tampo da carteira (ou mesa) para desenhar a figura plana que observam quando olham de cima para cada modêlo.
Exercícios propostos
Com a análise das figuras apresentadas no exercício 1, são retomados os conceitos de figura plana, figura não plana e poliedro. Essa análise também ajuda no desenvolvimento da percepção espacial dos estudantes.
As figuras desenhadas devem ser:
a)
b)
c)
d)
2 Quais dos objetos a seguir dão ideia de um sólido? Quais dão ideia de um poliedro?
(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)
3 Cada sólido representado a seguir é identificado por um número. Use essa identificação para classificar esses sólidos como corpo redondo ou poliedro. No caderno, construa um quadro para organizar as informações.
4 Observe o que Paulo e Pedro fizeram com copos descartáveis:
Paulo contornou com lápis a boca do copo sobre uma folha de papel. Pedro pintou toda a parte externa do copo com tinta guache.
a) Qual deles representou uma figura plana?
b) Pedro pintou a superfície de um poliedro?
5 Observe as imagens de um caranguejo e de sua sombra. Qual delas representa uma figura plana?
Respostas e comentários
2. Objetos que dão ideia de sólido: vela, dado, bolas de gude e caixa de presente. Objetos que dão ideia de poliedro: dado e caixa de presente.
3. Construção de quadro.
4. a) Paulo.
4. b) Não, pois o copo tem a fórma de um corpo redondo.
5. A sombra.
Exercícios propostos
No exercício 2, peça aos estudantes que justifiquem por que cada objeto lembra ou não um sólido e, depois, por que ele lembra ou não um poliedro. Observe se eles percebem que, para ser um poliedro, o objeto já deve ter sido classificado como sólido, ou seja, se eles já descartam os objetos que não consideraram modelos de sólidos, como a bandeirinha, ao procurar modelos de poliedros. Ressalte esse aspecto durante a correção do exercício, antes de confirmar que a vela, o dado, as bolas de gude e a caixa de presente são objetos que dão ideia de sólido, e que o dado e a caixa de presente são objetos que dão ideia de poliedro.
No exercício 3, pergunte aos estudantes se eles se lembram da principal característica que distingue os corpos redondos dos poliedros; sua fórma arredondada. Relembrando que os corpos redondos são sólidos geométricos que têm pelo menos uma parte com fórma arredondada e os poliedros são sólidos geométricos que não têm fórma arredondada.
As informações sobre a classificação dos sólidos podem ser organizadas em um quadro como o seguinte.
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Classificação |
Sólidos |
|---|---|
|
corpos redondos |
2, 6, 7 |
|
poliedros |
1, 3, 4, 5, 8 |
O exercício 4 incentiva o estudo prático. Com o uso de materiais muito comuns no cotidiano (papel, lápis e copo descartável) os estudantes podem perceber, de imediato, relações importantes entre o que estão estudando e situações do dia a dia. Ao contornar a boca do copo descartável, Paulo desenhou uma circunferência. Seu desenho lembra uma figura plana (item a). Ao pintar a parte externa do copo, Pedro pintou a superfície de um corpo redondo. O copo dá ideia de um sólido, mas não de um poliedro, pois ele tem a fórma arredondada (item b).
Se julgar conveniente, aproveite o exercício 5 para introduzir noções de projeção ortogonal de uma figura e comentar com os estudantes que a sombra de um objeto quando o Sol está no seu ponto mais alto no céu pode ser comparada à projeção ortogonal de uma figura geométrica sobre o plano.
A sombra dá a ideia de figura geométrica plana, bidimensional.
4. Conhecendo um pouco mais os poliedros
A palavra poliedro é uma composição de poli (muitas) com edro (faces). Portanto, poliedro significa “muitas faces”.
Elementos de um poliedro
Mariana usou um objeto com a fórma de um poliedro e carimbou todos os lados desse objeto em uma folha de papel esticada sobre a mesa, como representado na figura a seguir. Nessa folha, ficaram impressas figuras planas que representam as cinco faces do poliedro.
No objeto é possível observar uma linha comum entre duas faces. Essa linha é denominada aresta. O ponto de encontro de três ou mais arestas chama-se vértice.
No poliedro representado a seguir, as faces estão destacadas em azul; as arestas, em verde; e os vértices, em vermelho.
Esse poliedro tem:
• 5 faces;
• 8 arestas;
• 5 vértices.
Nomeando poliedros
Os poliedros podem ser nomeados de acordo com o número de suas faces. Observe alguns exemplos.
Respostas e comentários
4. Conhecendo um pouco mais os poliedros
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah um sete.
Neste tópico iniciamos o trabalho com a habilidade (ê éfe zero seis ême ah um sete), ao apresentar os principais elementos de um poliedro (faces, arestas e vértices) e como ele pode ser nomeado de acordo com o número de faces.
Nesse momento também é importante o manuseio de modelos de poliedros pelos estudantes, para que percebam cada um dos seus elementos com as próprias mãos, identificando assim as faces (que formam sua superfície), os vértices (“bicos”) e as arestas (“quinas”).
Também na contagem desses elementos é preferível que eles iniciem por meio da manipulação de modelos. Manuseando um dado cúbico, por exemplo, é possível verificar que ele é um poliedro (pois é um sólido que não tem partes arredondadas) com 6 faces (hexaedro), 8 vértices e 12 arestas; já uma pirâmide com uma das faces quadradas (que é a sua base) tem 5 faces, 5 vértices e 8 arestas (como pode ser verificado também pela figura representada no livro do estudante).
Considerando os poliedros apresentados ao final da página, peça aos estudantes que comprovem a quantidade de faces indicada e determinem o número de vértices e de arestas que cada um deles tem: o tetraedro tem 4 vértices e 6 arestas; o pentaedro, 6 vértices e 9 arestas; o hexaedro, 6 vértices e 10 arestas; o heptaedro, 10 vértices e 15 arestas; e o octaedro, 6 vértices e 12 arestas.
Muitos poliedros apresentam o mesmo número de faces, mas não possuem a mesma forma. Os poliedros representados a seguir, por exemplo, apresentam o mesmo número de faces, porém têm formas diferentes.
Observe que todos eles têm 6 faces, portanto são hexaedros, mas cada um possui uma fórma diferente. Alguns deles recebem nomes especiais:
• o poliedro um é uma pirâmide;
• o poliedro dois é um prisma;
• o poliedro três não é pirâmide nem prisma.
Prismas
Os poliedros representados a seguir são denominados prismas.
Nesses prismas, estão destacadas as faces chamadas de base; as demais são as faces laterais (que sempre são paralelogramos).
Observação
▶ No segundo prisma da esquerda para a direita, quaisquer duas faces opostas podem ser consideradas bases, e as demais são as faces laterais.
Pirâmides
Considere os poliedros a seguir, denominados pirâmides.
Nessas pirâmides, as faces coloridas de laranja são chamadas base; note que elas podem ter formas variadas. As faces coloridas de azul são as faces laterais, que são sempre triangulares.
Observação
▶ Na primeira pirâmide à esquerda, como todas as faces são triangulares, qualquer face pode ser considerada base, e as demais são as faces laterais.
Respostas e comentários
Prismas e pirâmides
Dentre os poliedros, dois grupos são definidos por suas características e propriedades: os prismas e as pirâmides. Também é importante os estudantes identificarem poliedros que não são nem prismas nem pirâmides, o que contribui na aprendizagem das características próprias de um prisma e de uma pirâmide, consolidando o conhecimento acerca dessas figuras.
Utilizando alguns modelos de prismas e pirâmides, mostre para os estudantes que eles também podem identificar como prismas os poliedros que, ao serem apoiados por uma de suas faces sobre uma superfície plana, como o tampo de uma mesa, têm exatamente metade dos vértices contida no tampo da mesa (e metade fique fóra dele) e que têm a face apoiada paralela a outra face congruente. Nesse caso, essa face de apoio é uma de suas bases. Mostre-lhes também que as pirâmides são aqueles poliedros que, ao ficarem apoiados sobre uma de suas faces (a base da pirâmide) em uma mesa, ficam com apenas um de seus vértices fóra do tampo da mesa.
Outra comparação que pode ser feita entre os prismas e as pirâmides é que as faces laterais de uma pirâmide são triangulares, enquanto as faces laterais de um prisma são retangulares, ou ainda, que as pirâmides têm uma base enquanto os prismas têm duas bases paralelas.
Se possível, leve para a sala de aula diferentes modelos de poliedros (entre eles diferentes prismas e pirâmides), possibilitando que os estudantes façam essas experimentações, o que contribuirá para seu aprendizado.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
6 Em cada linha do quadro a seguir, descubra qual dos poliedros teve suas faces desenhadas.
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Poliedros |
Faces |
|---|---|
|
|
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|
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7 Construa no caderno um quadro como o modelo a seguir e complete-o contando o número de faces, de vértices e de arestas dos poliedros um, dois, três, quatro e cinco.
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Poliedro |
Número de faces |
Número de vértices |
Número de arestas |
|---|---|---|---|
Versão adaptada acessível
7. Separe embalagens ou objetos que tenham a forma de poliedros, por exemplo, caixa de pasta de dentes, caixas de presente, embalagens de alimentos etc. Manipule essas embalagens de modo a identificar suas partes, como bicos, faces e contornos laterais. Com o auxílio do professor, identifique o que poderia ser associado a vértices, faces e arestas.
Conte o número desses elementos e faça um quadro indicando o nome do poliedro associado a cada objeto, e o número de faces, vértices e de arestas do poliedro.
Orientação para acessibilidade
Respostas dependem dos modelos manipulados.
8 Hora de criar – Pesquise e recolha embalagens de diferentes produtos (caixinhas poliédricas ou piramidais, tubos, cones, esferas etcétera). Com elas, construa uma maquete (prédio, trem, escada, pirâmide etcétera). Para cada embalagem usada, identifique o sólido geométrico que ela lembra. Para os poliedros usados, registre em um quadro quantos vértices, arestas e faces eles têm.
Respostas e comentários
6. Na primeira linha: o poliedro 2; na segunda linha: o poliedro 6.
7. Construção de quadro.
8. Resposta pessoal. Construção de maquete.
Exercícios propostos
O exercício 6 poderá ser realizado em duplas ou trios. Pode-se sugerir aos estudantes que recortem, em cartolina ou em outro papel de maior gramatura, figuras iguais às que correspondem às faces desenhadas e, usando fita adesiva, tentem montar um poliedro com essas faces. (Oriente-os a usar tesoura com ponta arredondada e a manuseá-la com cuidado.) Assim, para as faces desenhadas na primeira e na segunda linha do quadro, os estudantes podem identificar os poliedros correspondentes, indicados, respectivamente por (2) e (6). Essa construção pode ajudar os estudantes a associarem as faces do poliedro a figuras planas, além de possibilitar que eles desenvolvam a visão espacial, pois terão de orientar sua montagem pelos sólidos dados, buscando identificar suas faces. Na primeira linha, o poliedro montado com as faces desenhadas tem 3 faces retangulares, que podem ser identificadas como as faces laterais do poliedro (2), um prisma. Na segunda linha, o poliedro montado com as faces desenhadas tem 4 faces triangulares iguais, que podem ser identificadas como as faces do poliedro (6), uma pirâmide.
No exercício 7, os estudantes devem ser capazes de reconhecer que face é uma figura plana que representa parte da superfície de um poliedro, que uma linha comum entre duas faces representa uma aresta, e que o ponto de encontro de três ou mais arestas é o vértice de um poliedro. Para a resolução desse exercício, vale destacar que a organização das respostas em um quadro facilita a observação da regularidade (ou relação) verificada entre os números ali registrados. Certamente os estudantes não conseguirão, apenas com essa atividade, desenvolver todo um raciocínio de generalizações, porque há dados de prismas e pirâmides no mesmo quadro. Porém, eles poderão recorrer ao quadro em um momento futuro, quando for necessário levantar hipóteses do tipo:
• há poliedros em que o número de faces coincide com o número de vértices (caso das pirâmides);
• há poliedros em que o número de vértices é maior que o número de faces (caso dos prismas).
|
Poliedro |
Número de faces |
Número de vértices |
Número de arestas |
|---|---|---|---|
|
I |
8 |
6 |
12 |
|
II |
6 |
8 |
12 |
|
III |
7 |
10 |
15 |
|
IV |
8 |
8 |
14 |
|
V |
12 |
8 |
18 |
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Interpretando um gráfico de barras
Para saber o número de domicílios com acesso à internet no Brasil, são feitos estudos anuais. O Centro Regional de Estudos para o Desenvolvimento da Sociedade da Informação (Cetic.br) realiza pesquisas anuais desde 2005, mapeando o acesso às tecnologias de informação e comunicação (internet, computadores, telefones celulares, televisão, entre outras) nos domicílios urbanos e rurais do país.
O gráfico de barras da imagem mostra os resultados obtidos em pesquisas como essa.
Observe que, nesse gráfico, o comprimento das barras corresponde à quantidade aproximada, em milhões, de domicílios com acesso à internet em cada ano.
A primeira barra, de baixo para cima, representa o número de domicílios em 2017 e registra o valor 42. Isso significa que, em 2017, 42 milhões de domicílios no Brasil tinham acesso à internet. As demais barras correspondem a dados de outros anos. Desse modo, fazemos a leitura de um gráfico de barras. O comprimento da barra representa a quantidade de vezes que cada informação foi observada na pesquisa.
Podemos fazer algumas interpretações analisando os dados desse gráfico. Por exemplo:
• 2017 foi o ano que apresentou o menor número de domicílios com acesso à internet.
• O período de 2018 a 2019 apresentou um aumento de 4 milhões de novos domicílios com acesso à internet (51 milhões ‒ 47 milhões = 4 milhões).
Pesquisas como essa são importantes para entender melhor algumas características da sociedade brasileira e ajudam os governos a desenvolver políticas públicas para atender às necessidades da população.
Assim, é possível identificar, por exemplo, se os domicílios rurais de determinado município não têm acesso à internet, ou em que regiões do país o acesso à internet precisa ser ampliado.
Agora quem trabalha é você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Com base no gráfico apresentado anteriormente, responda às questões a seguir.
a) Quantos domicílios tinham acesso à internet em 2020?
b) Considerando o aumento de domicílios com acesso à internet que ocorreu de um ano para o ano seguinte, qual é o período que apresenta o maior crescimento absoluto?
c) De quanto foi esse crescimento?
d) Considerando uma média de 2,8 moradores por domicílio, que estimativa se poderia fazer para a quantidade de pessoas com acesso à internet, no domicílio, em 2020?
2 Suponha que, em 2021, o número de domicílios com acesso à internet no Brasil tenha chegado a 71 milhões. Para representar essa informação no gráfico dado, devemos construir uma barra mais larga ou mais comprida do que as outras?
Respostas e comentários
1. a) 62 milhões de domicílios.
1. b) De 2019 a 2020.
1. c) 11 milhões de domicílios.
1. d) Aproximadamente 174 milhões de pessoas.
2. Uma barra mais comprida.
Trabalhando a informação
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero três, ê éfe zero seis ême ah três um e ê éfe zero seis ême ah três dois.
A interpretação de dados representados em fórma de gráfico (de barras ou de qualquer outro tipo) envolve compreender cada elemento de tal gráfico, como eixos, títulos, legendas e fontes de dados.
É importante destacar para os estudantes que é preciso ter uma atenção especial às informações e grandezas que estão sendo apresentadas nos eixos do gráfico – no nosso exemplo, o gráfico informa o número de domicílios (eixo horizontal), em milhões, e o ano (eixo vertical) – assim o estudante fará a leitura e interpretação correta das informações.
Aproveite o contexto da pesquisa apresentada para conversar a respeito do uso da internet no Brasil e no mundo, desenvolvendo o Tema Contemporâneo Transversal ciência e tecnologia e a competência geral 5. Pergunte aos estudantes se eles acessam a internet com frequência e como eles e seus familiares utilizam a internet no dia a dia (para diversão, para estudar, para se informar, para fazer compras, para trabalhar). Converse também sobre os cuidados que devem ser tomados com as informações obtidas e compartilhadas na internet, sobre a importância de procurar sempre fontes confiáveis e de não postar ou compartilhar informações pessoais, evitando expor sua privacidade.
As atividades do Agora quem trabalha é você! possibilitam o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero seis ême ah zero três) e (ê éfe zero seis ême ah três dois). Para a resolução da atividade 1 é necessário observar as informações apresentadas no gráfico, o comprimento da barra e o valor associado a ele a cada ano, lembrando que o número de domicílios (no eixo horizontal) é dado em milhões. Para o item a, o gráfico indica que 62 milhões de domicílios tinham acesso à internet em 2020.
Para o item b, de acordo com o gráfico, o período de 2019 a 2020 apresentou o maior crescimento absoluto no número de domicílios com acesso à internet. Esse crescimento foi de 11 milhões de domicílios (62 milhões ‒ 51 milhões = 11 milhões) (item c). De 2017 a 2018 o crescimento foi de 5 milhões (47 milhões ‒ 42 milhões = 5 milhões). De 2018 a 2019 o crescimento foi de 4 milhões (51 milhões ‒ 47 milhões = 4 milhões).
As resoluções dos itens b, c e d e da atividade 2 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1
Desenhe diferentes figuras geométricas planas e escreva os nomes das que você souber. Converse com um colega para confrontar as respostas. Juntos, completem os nomes que faltarem. Se for necessário, peçam ajuda ao professor.
2
Com massa de modelar, construa algumas figuras geométricas não planas. Junte-se a um colega e conversem sobre as características dessas figuras. Registrem suas conclusões.
3 A figura a seguir mostra uma folha de zinco que, depois de ser curvada, soldada e fechada com tampa e fundo, deu origem a um recipiente.
Esse recipiente tem a fórma de um corpo redondo ou de um poliedro?
4 Com massa de modelar, construa alguns modelos de poliedros, separando-os em três grupos: só prismas, só pirâmides e nem prismas nem pirâmides. Caso algum grupo fique sem elementos, construa o que faltar.
5
É possível uma pirâmide ter apenas 3 vértices? Por quê? Converse com um colega e comparem suas respostas.
6 Determine o número de faces (F ), de vértices (V) e de arestas (A) destes poliedros:
a)
b)
7
Junte-se a um colega e respondam às seguintes questões:
a) Se as bases de um prisma têm 7 vértices cada uma, quantas arestas tem esse prisma? E quantas faces laterais?
b) Se uma pirâmide tem 12 vértices, quantos lados tem sua base? Quantas faces laterais tem essa pirâmide? E quantas arestas?
c) Se uma pirâmide de 20 faces e um prisma têm o mesmo número de vértices, quantas faces tem o prisma?
8 Utilizando papelão ou outro papel de maior gramatura, copie e recorte a figura verde a seguir e tantas figuras rosa quantas forem necessárias para montar um modelo de pirâmide. Usando fita adesiva para colar as partes, construa esse modelo.
(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)
9 Do mesmo modo, utilizando papelão ou outro papel de maior gramatura, copie e recorte tantas figuras azuis e amarelas quantas forem necessárias para montar o modelo de um prisma. Usando fita adesiva para colar as partes, faça a construção solicitada.
(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)
Respostas e comentários
1. Resposta pessoal.
2. Resposta pessoal.
3. Corpo redondo.
4. Resposta pessoal.
5. Não. Como um dos vértices fica fóra da face considerada base, sobram 2 vértices para o polígono da base. Isso é impossível, pois não existe polígono com 2 vértices.
6. a) F = 6
cinco = 6
ampéres = 10
6. b) F = 9
cinco = 9
ampéres = 16
7. a) vinte e uma arestas; 7 faces laterais.
7. b) 11 lados; 11 faces laterais; vinte e duas arestas.
7. c) 12 faces.
8. Construção de um modelo de pirâmide.
9. Construção de um modelo de prisma.
Exercícios complementares
Nesta seção, são oferecidas novas oportunidades para os estudantes retomarem e aplicarem os principais conceitos tratados no capítulo.
Ao propor aos estudantes o trabalho em grupo e conversas com os colegas para que confrontem suas respostas e cheguem a conclusões comuns, os exercícios 1, 2, 5 e 7 são uma ótima oportunidade para o desenvolvimento da competência geral 9.
No exercício 1, relembre os estudantes das características de figuras planas. Estimule a cooperação e o diálogo entre os estudantes, e ajude-os a resolverem possíveis conflitos que possam surgir quando estiverem confrontando suas respostas, destacando a importância do respeito mútuo.
No exercício 2, relembre os estudantes de que corpos redondos e poliedros são exemplos de figuras não planas. Mostre a eles que registrar em um quadro as informações sobre as figuras geométricas não planas e suas características pode ajudar na organização dessas informações e na distinção de um corpo redondo de um poliedro.
A resposta ao exercício 3 pode ser verificada pelos estudantes com uma simples folha retangular de papel. Peça a eles que repitam o procedimento descrito no enunciado com uma folha de papel para verificarem que o recipiente tem a fórma que lembra um corpo redondo. Eles não precisam colocar tampa ou fundo; apenas a ação de curvar a folha, unindo duas das extremidades, pode ajudar na visualização.
No exercício 4, lembre os estudantes de que os poliedros não podem ter partes com fórma arredondada e que há poliedros que não são classificados como prisma ou como pirâmide. Incentive-os a descrever as características de prismas e de pirâmides.
No exercício 5, pergunte aos estudantes se eles se lembram qual é a figura plana com menor número de vértices (o triângulo, com 3 vértices). Como uma pirâmide tem faces laterais sempre triangulares, a pirâmide com menor número de vértices será a pirâmide com base também triangular. Assim, se construirmos essa pirâmide, ela terá 4 vértices, que é a menor quantidade de vértices possível para uma pirâmide.
Para o exercício 6, relembre os estudantes dos conceitos de face, vértice e aresta de um poliedro; assim, eles poderão identificar esses elementos nos poliedros apresentados e contá-los. O poliedro do item a tem 6 faces, 6 vértices e 10 arestas, e o poliedro do item b tem 9 faces, 9 vértices e 16 arestas.
As resoluções dos exercícios 7, 8 e 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.
VERIFICANDO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Que objeto dá ideia de uma figura geométrica plana?
a) Bola de gude.
b) Caixa de sapato.
c) Cartão de visita.
d) Copo de plástico.
(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)
2 Que objeto tem a fórma de corpo redondo?
a) Dado de 6 faces.
b) Livro com duzentas páginas.
c) Pilha.
d) Folha de papel sulfite.
3 Um tetraedro tem:
a) 5 faces.
b) 6 arestas.
c) 8 vértices.
d) 5 arestas.
4 Qual das figuras é uma pirâmide?
a)
b)
c)
d)
5 Um prisma de base triangular tem:
a) 3 faces.
b) 5 faces.
c) 6 faces.
d) 10 faces.
6 Se uma pirâmide possui 5 arestas na base, o número de vértices dela será:
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
7 Qual figura pode ser relacionada à sombra de um cone?
a)
b)
c)
d)
8 Analise a imagem do tambor a seguir.
Pode-se associar a fórma desse tambor a um:
a) poliedro.
b) prisma.
c) cilindro.
d) cone.
Organizando
Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões.
a) Você estudou diferentes figuras geométricas. Como explicaria o que são figuras planas e não planas?
b) Que tipo de figura são os sólidos geométricos?
c) Dê exemplos de sólidos geométricos que têm pelo menos uma parte arredondada.
d) Que objetos do dia a dia têm a fórma de um poliedro? Cite três exemplos.
e) Quais são os elementos de um poliedro?
f) Dois poliedros que possuam 6 faces terão a mesma fórma? Justifique com dois exemplos.
g) Cite uma diferença entre um prisma de base quadrada e uma pirâmide de base quadrada.
Respostas e comentários
1. Alternativa c.
2. Alternativa c.
3. Alternativa b.
4. Alternativa a.
5. Alternativa b.
6. Alternativa b.
7. Alternativa c.
8. Alternativa c.
Organizando:
a) Espera-se que os estudantes expliquem que figuras planas são bidimensionais e que figuras não planas são tridimensionais. Deve-se considerar adequado caso eles expliquem apenas citando exemplos.
b) Figuras não planas.
c) Esfera, cone e cilindro.
d) Resposta pessoal.
e) Vértices, faces e arestas.
f) Não, pois eles podem ser, por exemplo, uma pirâmide de base pentagonal e um prisma de base retangular.
g) Resposta possível: a pirâmide tem uma única face quadrada, e o prisma tem pelo menos duas faces quadradas.
Verificando
Esses exercícios são mais uma oportunidade para o estudante validar o entendimento do conteúdo estudado neste capítulo.
Instrua-os a retornarem às páginas anteriores caso alguma dúvida persista.
No teste 1, os estudantes devem identificar o cartão de visita como o objeto que dá ideia de figura plana; logo, a alternativa correta é a c. Caso algum estudante escolha outra alternativa, provavelmente não compreendeu o conceito de figuras geométricas planas e não planas.
Para o teste 2, os estudantes deverão utilizar conhecimentos que têm em relação aos objetos citados. No caso, o dado tem a fórma de um cubo; o livro de um paralelepípedo e a folha sulfite dá ideia de uma figura plana. Logo, a pilha, que dá ideia de um cilindro, tem a fórma de um corpo redondo; portanto, alternativa c.
Ao resolver o teste 3 deverão saber a fórma de um tetraedro, conceito que foi apresentado ao longo deste capítulo. Como o tetraedro é o poliedro que tem 4 faces, 6 arestas e 4 vértices, a alternativa correta é a b.
A compreensão das características de uma pirâmide deve ser mobilizada para responder ao teste 4. Entre as alternativas, a figura que tem faces triangulares com exceção da base é a figura da alternativa a. Na alternativa b há um cone, e nas alternativas c e d, prismas.
As resoluções dos testes 5 a 8 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 3.
Organizando
Incentive os estudantes a organizarem seus aprendizados no caderno, fazendo resumos, mapas conceituais ou aplicando destaques em conceitos importantes.
As questões propostas têm como objetivo fazer com que os estudantes retomem os conteúdos estudados no capítulo e que reflitam sobre algumas temáticas. Após sua correção é importante pedir-lhes que compartilhem suas respostas. Essa estratégia permitirá o compartilhamento de dúvidas e percepções sobre o conteúdo, contribuindo para o aprendizado de todos.
DIVERSIFICANDO
Ampliar e reduzir
Existem algumas técnicas para ampliar e reduzir proporcionalmente um desenho ou uma figura. Um modo simples é dividir o desenho em quadradinhos, como se o tivéssemos colocado em uma malha quadriculada. Depois, basta copiar em outra malha quadriculada o mesmo número de quadradinhos – em tamanho maior, no caso de ampliação, e em tamanho menor, no caso de redução. Acompanhe um exemplo.
Observe que, para ampliar o desenho em duas vezes, o quadradinho cujo lado media 1 centímetro passou a ter lado medindo 2 centímetros no desenho novo. Para reduzir o desenho em duas vezes, o quadradinho passou a ter lado medindo
Fração. Um meio.centímetro no desenho novo, ou seja, a metade da medida do lado do quadradinho no desenho original. O número de quadradinhos é o mesmo; o que muda é o tamanho deles. Observe que os olhos da tartaruga, que no desenho original estavam na linha 2, coluna D, continuam nessa posição nos novos desenhos.
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Mariana quer fazer os enfeites da própria festa com o tema folclore brasileiro. Ela pretende ampliar um desenho do curupira, depois colá-lo atrás da mesa do bolo em uma parede que mede 3 métros por 2 métros. Considerando as medidas indicadas no desenho original, qual será o tamanho máximo que o desenho ampliado de Mariana deverá ter ?
2 Mariana também quer reduzir o desenho para colocar nos pratinhos de doces, que medem 10 centímetros por 10 centímetros. No mínimo, em quantas vezes deve ser a redução?
3 Se Mariana usar a técnica de ampliação/redução descrita, qual poderá ser a medida do lado dos quadradinhos, em centímetro (com número natural), que ficarão sobre o desenho original?
Respostas e comentários
1. O desenho ampliado de Mariana pode ter até 10 vezes o tamanho do desenho original. Desse modo, ele teria as seguintes medidas: 2 métrospor 2 métros.
2. Duas vezes.
3. Resposta possível: os quadradinhos podem ter lados com as medidas 1 centímetro, 2 centímetros, 4 centímetros, 5 centímetros ou 10 centímetros, pois são divisores de 20.
Diversificando
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah dois um e ê éfe zero seis ême ah dois quatro.
Esta seção propõe uma atividade envolvendo ampliação e redução de figuras com o auxílio de malhas quadriculadas, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois um). Espera-se que os estudantes compreendam que, por meio de ampliação ou de redução, a figura obtida não pode ficar deformada; deve ser uma réplica da figura original ampliada ou reduzida, ou seja, mantendo as proporções. Com isso pode ser desenvolvida a noção de figuras semelhantes.
Apresentam-se a figura original desenhada em uma malha quadriculada e as figuras ampliada e reduzida, que são reproduzidas aumentando ou diminuindo, respectivamente, a medida do comprimento do lado do quadradinho da malha, mantendo-se a quantidade de quadradinhos. Desse modo, os elementos das duas figuras (original e ampliação ou original e redução) encontram-se na mesma posição da malha, como é exemplificado com os olhos da tartaruga.
Antes de os estudantes fazerem as atividades do Agora é com você!, pode ser interessante providenciar malhas quadriculadas convenientes para que eles possam desenhar uma figura qualquer (simples) e, depois, reproduzi-la por meio de uma redução e de uma ampliação. Verifique se eles percebem quais malhas devem utilizar em cada caso. Isso pode auxiliar os estudantes a perceberem que, na atividade 1, como o desenho do Curupira é um quadrado medindo 20 centímetros de lado, o desenho ampliado pode medir no máximo 2 métros por 2 métros, já que a parede mede 3 métros por 2 métros; portanto, a ampliação, nesse caso, é de no máximo 10 vezes
Duzentos centímetros sobre vinte centímetros é igual a dez.Na atividade 2, como os pratinhos de doces medem 10 centímetros por 10 centímetros e o desenho original mede 20 centímetros de lado, o desenho deve ser reduzido em no mínimo 2 vezes, já que o desenho reduzido pode medir no máximo 10 centímetros de lado
Vinte centímetros sobre dez centímetros é igual a dois.. Para resolver a atividade 3, espera-se que os estudantes percebam que as medidas dos lados dos quadradinhos devem ser divisores das medidas dos lados do desenho original (20 centímetros), para garantir que caiba um número inteiro de quadradinhos sobre o desenho original. Assim, os lados dos quadradinhos podem ter as seguintes medidas: 1 centímetro, 2 centímetros, 4 centímetros, 5 centímetros ou 10 centímetros.
Ao determinar as medidas do comprimento dos lados do desenho ampliado que será colado atrás da mesa do bolo, e ao determinar as medidas do comprimento dos lados dos quadradinhos na ampliação e na redução do desenho original, pode ser desenvolvido o trabalho com a habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois quatro).