CAPÍTULO 4 Divisibilidade
Observe, leia e responda no caderno.
a) Qual operação devemos efetuar para verificar que o calendário Tzolkin compreende 260 dias?
b) No calendário Haab, de quantos dias era composto o Tun? E o Haab?
c) O total de dias do Haab é próximo do total anual de dias do calendário (gregoriano) que usamos?
d) Diferentes civilizações da Antiguidade desenvolveram meios para a contagem do tempo. Que necessidades cotidianas podem ter influenciado esse desenvolvimento? Converse com os professores e os colegas.
A mesoamericana civilização maia possuía conhecimentos avançados em astronomia e matemática. Os maias usavam um sistema matemático de base vigesimal (a contagem numérica era feita por múltiplos da sequência de zero a dezenove), no qual os números eram representados por símbolos.
Essa civilização também desenvolveu, por volta do século quatro antes de Cristo, seus medidores de tempo considerando a contagem vigesimal. Entre os vários calendários definidos estava o calendário Tzolkin, baseado no movimento de Vênus e na religiosidade maia e composto de 260 dias, sendo 13 períodos de 20 dias cada um.
Outro calendário, chamado Haab, era composto de um Tun e um Wayeb. O Tun continha 18 períodos (winal) de 20 dias (dia = k’in), e o Wayeb era um período de 5 dias de sacrifício em preparação para o novo Haab.
O uso simultâneo dos calendários Tzolkin e Haab contabilizava um ciclo completo, de 52 anos.
Respostas e comentários
a) 13 ⋅ 20 = 260
b) 360 (18 ⋅ 20); 365 (360 + 5)
c) Sim (365 dias).
d) Resposta pessoal.
Capítulo 4 - Divisibilidade
Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas da Matemática ( Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.
Neste capítulo, trabalhamos múltiplos e divisores de um número natural utilizando sequências numéricas.
Os conceitos sobre divisibilidade desenvolvidos servem de ferramenta para a resolução de uma grande variedade de problemas. Apresentamos ainda exemplos de fluxogramas representativos de alguns critérios de divisibilidade, visando propiciar aos estudantes mais um tipo de linguagem.
Além disso, ampliamos o trabalho com a construção e a interpretação de gráficos de barras, iniciado no capítulo anterior.
Na abertura, apresentam-se curiosidades do calendário maia, exemplificando ciclos com a noção de múltiplos, e referência ao ano bissexto, de modo que os estudantes percebam a articulação desse conceito com o mundo real.
Sugestão de leitura
Para ampliar seu trabalho com esse tema, sugerimos:
BERGAMINI, C. Para conseguir contar o tempo, foi uma questão de tempo, ComCiência. [ sem local]: SBPC, 6 setembro 2018.
Disponível em: https://oeds.link/EQObZ5. Acesso em: 12 maio 2022.
Um breve artigo sobre a contagem do tempo, os recursos utilizados e seu desenvolvimento.
Ao propor aos estudantes a resolução do item d, converse com eles sobre a importância da contagem do tempo para as diferentes civilizações antigas. Comente que a percepção da passagem de tempo era importante para a caça, agricultura, religiosidade e vida social. A movimentação dos astros, o ciclo lunar e as mudanças climáticas serviam como referência para essa contagem. Se considerar adequado, proponha um trabalho de pesquisa, com o professor de História, sobre a contagem do tempo de diferentes civilizações em diferentes períodos históricos.
Pergunte aos estudantes como a contagem do tempo tem influência sobre suas atividades cotidianas. Peça a eles que conversem com os colegas sobre esse tema.
Ao trabalhar com a construção histórica do conhecimento em uma civilização antiga, contribui-se para o desenvolvimento da competência geral 1.
1. Múltiplos e divisores
Ana é artesã e o que mais gosta de fazer são pulseiras. Duas vezes por semana, Roberta vai ao ateliê da mãe para organizar as pulseiras em embalagens e colocá-las no mostruário.
•
Se Ana produzir 25 pulseiras, Roberta conseguiria organizá-las em embalagens com 5 unidades, sem sobrar nenhuma pulseira?
Para fazer essa organização, Roberta pode colocar 5 pulseiras em cada embalagem. Observe a notação que relaciona a quantidade de pulseiras e a quantidade de embalagens.
O número de pulseiras que Roberta anotou no caderno é o resultado da multiplicação do número de embalagens que ela já arrumou por 5 (quantidade de pulseiras em cada embalagem). Observe.
uma embalagem
1 ⋅ 5 = 5
duas embalagens
2 ⋅ 5 = 10
3 embalagens
3 ⋅ 5 = 15
4 embalagens
4 ⋅ 5 = 20
5 embalagens
5 ⋅ 5 = 25
e assim por diante.
Ao fazer essas multiplicações, Roberta verificou a quantidade de pulseiras que já colocou no mostruário.
Os números obtidos — 5, 10, 15, 20, 25, reticências — são denominados múltiplos de 5.
Um número natural é múltiplo de outro se for o resultado da multiplicação desse número por algum número natural.
Quando dividimos esses múltiplos por 5, obtemos resto zero, ou seja, a divisão é exata. Observe.
Respostas e comentários
Orientações: Antes de apresentar a resolução do livro, solicite aos estudantes que respondam oralmente à questão proposta no início do texto, refletindo sobre as estratégias usadas para a resolução.
1. Múltiplos e divisores
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero cinco e ê éfe zero seis ême ah zero seis.
Neste tópico iniciamos o trabalho com as habilidades ( ê éfe zero seis ême ah zero cinco) e ( ê éfe zero seis ême ah zero seis) ao apresentar o conceito de múltiplos e divisores.
Analise com os estudantes a situação apresentada. Eles devem perceber a relação da noção de múltiplo com a multiplicação (associada ao significado de adição de parcelas iguais). Verifique se eles percebem que o resultado da multiplicação é múltiplo de todos os fatores envolvidos nessa multiplicação. Por exemplo, 50 é múltiplo de 5, pois 10 ⋅ 5 = 50. No entanto, 50 também é múltiplo de 10, já que 5 ⋅ 10 = 50.
Outra relação importante a ser evidenciada na noção de múltiplo está ligada à divisão exata, isto é, se 50 é múltiplo de 5, então 50 dividido por 5 é uma divisão exata (tem resto zero). É importante que notem que a divisão de 50 por 10 também é exata, já que 50 também é múltiplo de 10. Essa relação associa a noção de múltiplo aos conceitos de ser divisível por e de divisor de um número natural.
Considerando, por exemplo, a divisão 15 dividido por 5 = 3, dizemos que 15 é divisível por 5. Também podemos dizer que 5 é divisor ou fator de 15, pois a divisão de 15 por 5 é exata (tem resto zero).
Um número natural é divisível por outro quando a divisão do primeiro número pelo segundo é exata.
Em determinado dia, depois de organizar todo o material, Ana perguntou a Roberta quantas pulseiras havia no mostruário.
Ana tinha razão. Observe:
De fato, a divisão não é exata, pois tem resto 4. Nesse caso, dizemos que 34 não é divisível por 5 ou, ainda, que 5 não é divisor de 34. Por isso, 34 não é múltiplo de 5.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Identifique as sentenças verdadeiras, justificando sua resposta.
a) 35 é múltiplo de 7.
b) 180 é divisível por 40.
c) 7 é divisor de 42.
d) 24 é múltiplo de 144.
e) 252 é divisível por 12.
f) 10 é divisor de 5.
g) 69 é múltiplo de 31.
h) 510 é divisível por 34.
i) 17 é divisor de 34.
2 Dê pelo menos quatro exemplos de um número natural em cada item.
a) Múltiplo de 18.
b) Divisor de 18.
3 O número 724 é divisível por 8? Por quê?
4 O pai de Cauê cortou uma cenoura para dar a seu cãozinho. Começou com cortes do talo, desconsiderando a ponta, e finalizou cortando várias fatias, obtendo sempre a mesma quantidade de pedacinhos. Observe quantos pedacinhos ele obteve no primeiro corte.
a) O número de pedacinhos de cada fatia é múltiplo de quais números?
b) Quantos pedacinhos serão obtidos em 12 fatias?
Respostas e comentários
1. Respostas com justificativas possíveis:
1. a) Verdadeira, pois 5 ⋅ 7 = 35.
1. b) Falsa, pois a divisão de 180 por 40 é igual a 4, com resto 20.
1. c) Verdadeira, pois 42 dividido por 7 = 6.
1. d) Falsa, pois não há um número inteiro que multiplique 144 e obtenha 24.
1. e) Verdadeira, pois 252 dividido por 12 = 21.
1. f) Falsa, pois 5 é divisor de 10, logo 10 é múltiplo de 5.
1. g) Falsa, pois 2 ⋅ 31 = 62 e 3 ⋅ 31 = 93; logo, não há um número natural que multiplique 31 e resulte em 69.
1. h) Verdadeira, pois 510 dividido por 34 = 15.
1. i) Verdadeira, pois 34 dividido por 17 = 2.
2. Respostas possíveis:
2. a) 18, 36, 54 e 72
2. b) 1, 2, 3, 6 e 18
3. 724 não é divisível por 8, pois a divisão de 724 por 8 não é exata.
4. a) 1, 3, 9
4. b) 108 pedacinhos.
Exercícios propostos
No bloco de exercícios desta página, exploram-se os três conceitos apresentados: múltiplo, divisor e ser divisível por. Incentive os estudantes a, sempre que possível, utilizarem o cálculo mental, por meio de multiplicações já assimiladas por eles, o que contribuirá para o desenvolvimento da habilidade ( ê éfe zero seis ême ah zero três).
Tão importante quanto responder se os números envolvidos são ou não múltiplos ou divisores de certo número considerado é justificar as respostas obtidas. Vale lembrar que efetuar a divisão proposta não é a única estratégia válida, uma vez que os estudantes também podem, entre outras possibilidades, fazer multiplicações e depois algumas adições (ou subtrações, se for o caso). Por exemplo, no exercício 1, para verificar se 510 é divisível por 34, os estudantes podem fazer:
• 2 ⋅ 34 = 68
• 4 ⋅ 34 = 68 + 68 = 136
• 8 ⋅ 34 = 136 + 136 = 272
• 16 ⋅ 34 = 272 + 272 = 544 (já ultrapassou 510, então devemos ter menos de 16 parcelas)
• 15 ⋅ 34 = 544 ‒ 34 = 510
Logo, pode-se concluir que 510 é múltiplo de 34 e, portanto, 510 é divisível por 34.
As justificativas apresentadas para cada item são exemplos, logo os estudantes poderão apresentar justificativas diferentes. Estimule-os a compartilhar as justificativas e promova uma análise sobre as que forem apresentadas, solicitando uma validação para elas. Em atividades como essas é importante que os estudantes percebam a possibilidade de apresentar justificativas diferentes, desde que sejam válidas.
O exercício 2 admite infinitas respostas para o item a, uma vez que há infinitos números que são múltiplos de 18. Caso os estudantes apresentem somente os 4 primeiros múltiplos de 18, incentive-os a apresentarem outros de modo a perceberem que podem ser infinitos. Já a resposta do item b é finita, pois há somente 5 divisores de 18.
Pode-se ampliar o exercício 3 solicitando aos estudantes que modifiquem os números da pergunta e avaliem as possíveis respostas dadas aos novos exercícios elaborados.
No exercício 4, espera-se que os estudantes percebam que a fatia inicial foi cortada em 9 pedacinhos. Como 9 é múltiplo de 9 e de seus fatores, que são 3 e 1 (pois 9 = 3 ⋅ 3 e 9 = 9 ⋅ 1), responde ao item a. Para o item b, os estudantes devem considerar que as 12 fatias foram cortadas em 9 pedacinhos cada uma, ou seja, estão buscando um múltiplo de 9 dado por 12 grupos de 9, que são 108 pedaços (12 ⋅ 9 = 108).
Os múltiplos de um número
Para encontrar um múltiplo de um número, basta multiplicá-lo por um número natural qualquer. Por exemplo, calculando 5 vezes 7, obtemos 35, que é múltiplo de 7. Com a sequência dos números naturais, podemos obter tantos múltiplos de 7 quantos quisermos:
0 ⋅ 7 = 0
1 ⋅ 7 = 7
2 ⋅ 7 = 14
3 ⋅ 7 = 21
4 ⋅ 7 = 28
5 ⋅ 7 = 35
e assim por diante.
Observe mais alguns exemplos.
a) Múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, 32, reticências
b) Múltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, 60, reticências
c) Múltiplos de 22: 0, 22, 44, 66, 88, reticências
Observações
▶ Se n é um número natural diferente de zero, então:
• esse número tem infinitos múltiplos;
• zero é múltiplo desse número;
• esse número é múltiplo de si mesmo.
▶ O número zero constitui um caso especial. O zero é o único múltiplo de zero, pois qualquer número natural multiplicado por zero resulta em zero. No entanto, não podemos dizer que um número é divisível por zero, porque não existe divisão por zero.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
5 Quais são os números naturais múltiplos do número 1?
6 Determine os cinco primeiros múltiplos de:
a) 3;
b) 6;
c) 21;
d) sua idade.
7 Determine:
a) os múltiplos de 9 menores que 50;
b) os múltiplos de 6 maiores que 20 e menores que 50;
c) os múltiplos de 14 entre 40 e 90;
d) os múltiplos de 10 entre 12 e 50;
e) os múltiplos de 11 maiores que 66 e menores que 111.
8 A professora Mara pediu a um estudante que dissesse o menor múltiplo de 4 e que cada estudante seguinte dissesse um múltiplo de 4 em ordem crescente.
Assim, sem pular nenhum número, cada um dos 35 estudantes da turma teve sua vez de falar. Qual foi a resposta do décimo estudante? E a do vigésimo? E a do último?
Respostas e comentários
Resposta: zero.
5. Todos os números naturais.
6. a) 0, 3, 6, 9, 12
6. b) 0, 6, 12, 18, 24
6. c) 0, 21, 42, 63, 84
6. d) Resposta pessoal.
7. a) 0, 9, 18, 27, 36, 45
7. b) 24, 30, 36, 42, 48
7. c) 42, 56, 70, 84
7. d) 20, 30, 40
7. e) 77, 88, 99, 110
8. 36; 76; 136
Os múltiplos de um número
Abordamos agora a sequência dos múltiplos de um número natural, destacando propriedades importantes que devem ser ressaltadas para que os estudantes ampliem seu conhecimento acerca da sequência dos números naturais:
• O zero é múltiplo de qualquer número natural, já que 0 ⋅ 0 = 0, 0 ⋅ 1 = 0, 0 ⋅ 2 = 0, 0 ⋅ 3 = 0, e assim por diante.
• Todo número natural diferente de zero tem infinitos múltiplos, pois a sequência dos números naturais é infinita.
• Todo número natural é múltiplo de si mesmo, pois 1 ⋅ 0 = 0, 1 ⋅ 1 = 1, 1 ⋅ 2 = 2, 1 ⋅ 3 = 3, e assim por diante.
Desse modo, esses conceitos são explorados no bloco de Exercícios propostos.
Exercícios propostos
No exercício 5, os estudantes deverão refletir sobre os múltiplos de 1. Para isso, é importante que percebam que qualquer número da sequência dos números naturais, ao ser multiplicado por 1, terá como resultado o próprio número. Logo, todos os números naturais são múltiplos de 1.
O raciocínio para responder aos exercícios 6 e 7 é de avaliar as restrições para a determinação dos números pedidos. Pode-se ampliar essa atividade apresentando uma sequência de números e solicitar aos estudantes que escrevam uma regra para os números apresentados.
Na resolução do exercício 8, se alguns estudantes encontrarem as respostas 40 e 80 no lugar de 36 e 76, é importante perceberem que o primeiro estudante não disse 4 (que corresponderia a 1 ⋅ 4 = 4), mas zero. Portanto, para encontrar o número dito pelo décimo estudante, não se deve fazer 10 ⋅ 4, mas 9 ⋅ 4 (ou fazer 10 ⋅ 4 ‒ 4); de maneira similar, para encontrar o número dito pelo vigésimo estudante, deve-se fazer 19 ⋅ 4, e não 20 ⋅ 4.
9 Duas amigas estão disputando um jogo de desafios matemáticos. Para avançar as casas, é necessário acertar o enigma que está na carta sorteada.
Observe como Beatriz foi desafiada por Sofia.
Descubra você também quantas são as bolinhas da urna.
10 Em uma sala de aula, o número de estudantes presentes é múltiplo de 8. Esse número é maior que 30 e menor que 40. Quantos estudantes estão na sala?
11 Descubra o menor número que devemos adicionar a 90 para obter um múltiplo de 35.
12 Qual é o menor número que devemos subtrair de 90 para obter um múltiplo de 35?
13 Em 1705, Edmond Halley (1656-1742) previu que o cometa visto em 1531, 1607 e 1683 poderia ser visto novamente em 1759. Esse fato se comprovou e, anos depois, o cometa ganhou o nome do cientista. Admitindo que o período da órbita do cometa Halley é de 76 anos, qual será o primeiro ano do século vinte e um em que esse cometa voltará a ser visto?
14
Para obter múltiplos consecutivos de um número natural, precisamos multiplicar esse número por números naturais consecutivos.
Reúna-se com um colega e, usando uma calculadora, respondam às questões a seguir. Não se esqueçam de registrar os cálculos e as conclusões no caderno.
a) Obtenham dez múltiplos consecutivos de 2. Algum desses múltiplos termina em 1, 3, 5, 7 ou 9? Com quais algarismos esses múltiplos terminam?
b) Qualquer número natural que termina em 0, 2, 4, 6 ou 8 é múltiplo de 2? É divisível por 2?
c) Obtenham oito múltiplos consecutivos de 5. Com quais algarismos eles terminam?
d) Qualquer número natural que termina em 0 ou 5 é múltiplo de 5? É divisível por 5?
e) Obtenham seis múltiplos consecutivos de 10. Com que algarismo eles terminam?
f) Qualquer número natural que termina em 0 é múltiplo de 10? É divisível por 10?
15
Hora de criar – Em duplas, cada integrante vai elaborar um problema sobre múltiplos e divisores. Troquem de caderno para um resolver o problema do outro. Depois, destroquem para corrigi-los.
Respostas e comentários
9. vinte e uma bolinhas.
10. 32 estudantes.
11. 15
12. 20
13. 2063
14. a) Resposta possível: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 e 28; não; 0, 2, 4, 6 ou 8.
14. b) Sim; sim.
14. c) Resposta possível: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 e 45; 0 ou 5.
14. d) Sim; sim.
14. e) Resposta possível: 10, 20, 30, 40, 50 e 60; 0.
14. f) Sim; sim.
15. Resposta pessoal.
Exercícios propostos
O exercício 9 estimula os estudantes a levantarem hipóteses com base nas afirmações e chegarem ao resultado final:
• A afirmação do primeiro balão revela que se trata de um número da sequência: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56 (pois 56 + 7 = 63 > 60).
• A afirmação do segundo balão revela que o número não é múltiplo de 6, mas é de 3.
Considerando as duas afirmações, deve-se encontrar na sequência montada o número que é múltiplo de 3 (temos 21 e 42), mas não é de 6 (42 é múltiplo de 6). O único número que reúne as duas características é 21. Após encontrar um valor, estimule os estudantes a conferirem a resposta retomando o enunciado e, se necessário, fazerem correções.
As resoluções dos exercícios 10 a 13 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 4.
O exercício 14 permite falar sobre maneiras de usar a calculadora, especialmente em cálculos que podem aproveitar resultados anteriores. Na maioria das calculadoras, digitamos a tecla
para repetir a última operação. Na busca por múltiplos consecutivos de um número natural, talvez alguns estudantes tentem fazer (para os múltiplos de 2):
2 × 2 = = = = (o que resultará em 4, 8, 16, 32, reticências)
É importante perceberem que, nesse caso, o que se repete é a multiplicação por 2 do número anterior, ou seja, do resultado anterior, o que não representa a sequência de múltiplos consecutivos de 2.
De outro modo, pode-se usar a adição pressionando repetidamente a tecla
para obter os múltiplos consecutivos de um número:
0 + 2 = = = = = = (obtemos 2, 4, 6, 8, 10, 12, reticências)
Espera-se ainda que os estudantes por meio de experimentações, observações e busca de regularidades, concluam algumas regras de divisibilidade. No entanto, é preciso que organizem os resultados obtidos com o auxílio da calculadora para estabelecerem as comparações necessárias às conclusões.
Ao responderem aos itens, espera-se que percebam as regularidades presentes em cada caso: que os múltiplos de 2 terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8; que os múltiplos de 5 terminam em 0 ou 5 e que os múltiplos de 10 terminam em 0. Caso tenham dificuldades em perceberem tais regularidades, incentive-os a determinarem outros múltiplos, além da quantidade solicitada e que depois, compartilhem as respostas e conclusões a que chegaram.
As resoluções dos exercícios 14 e 15 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 4.
Os divisores de um número
Se você pensou no 12, por exemplo, já sabe que 12 é múltiplo de 12, porque 1 ⋅ 12 = 12. E deve ter obtido as divisões:
Como as divisões de 12 por 1 e de 12 por 12 são exatas, você deve ter concluído que 1 e 12 são divisores de 12. Isso ocorre com todos os números naturais diferentes de zero, ou seja:
Todo número natural diferente de zero tem como divisores o número 1 e ele mesmo.
Observe agora como Ivan e Natália fizeram para encontrar os outros divisores de 12.
Resolução de Ivan:
Resolução de Natália:
De acordo com as duas resoluções, concluímos que os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
Observações
▶ O zero não é divisor de nenhum número natural n, não nulo, pois não há número natural que multiplicado por zero resulte em n.
▶ O maior divisor de um número natural diferente de zero é o próprio número.
Respostas e comentários
Os divisores de um número
Antes de iniciar a apresentação do conceito de divisores de um número, proponha aos estudantes o problema apresentado pelo personagem. Deixe que compartilhem os números pensados e as conclusões a que chegaram para depois formalizar o conceito apresentando o conteúdo proposto.
Nesta página abordamos a sequência dos divisores de um número natural, destacando propriedades importantes que também devem ser ressaltadas, como no caso dos múltiplos, ampliando ainda mais o aprendizado dos estudantes sobre a sequência dos números naturais:
• O zero não é divisor de nenhum número natural não nulo.
• O 1 é divisor de qualquer número natural.
• Todo número natural diferente de zero tem o 1 e ele próprio como divisores.
• O maior divisor de um número natural não nulo é ele próprio, ou seja, a sequência dos divisores de um número natural diferente de zero é finita.
Desse modo, destaque que a sequência dos divisores naturais de um número natural não nulo sempre inicia no 1 e termina no próprio número, e os demais divisores é que devem ser determinados, caso existam. Por exemplo: os divisores de 4 são 1, 2 e 4; os divisores de 10 são 1, 2, 5 e 10; os divisores de 11 são 1 e 11 apenas (nesse caso, não há outros números naturais entre 1 e 11 que sejam divisores de 11).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
16 Responda às questões.
a) Que número é divisor de qualquer número natural?
b) Que número nunca é divisor de um número natural não nulo?
17 Determine os divisores de:
a) 11;
b) 18;
c) 25;
d) 90.
18 Quais são os divisores de 36 que também são divisores de 42? E qual é o maior dos divisores comuns a 36 e 42?
19 Você já reparou que os remédios são preparados para serem tomados a cada 6, 8 ou 12 horas? Por que não são sugeridas doses de 5 em 5 horas, por exemplo?
20 Lucas e Francisco confeccionaram fichas de cartolina contendo números naturais. Enquanto Lucas fez fichas usando os dez primeiros múltiplos de 15, Francisco escreveu todos os divisores de 120. As fichas foram embaralhadas com os números voltados para baixo. Beatriz pegou aleatoriamente, isto é, ao acaso, nove fichas com os números 8, 24, 30, 30, 40, 60, 75, 90 e 120.
a) Quantas fichas foram confeccionadas?
b) Alguma ficha que ficou em cima da mesa contém o mesmo número de alguma ficha que Beatriz pegou?
21 Míriam tem 90 fotografias para colar em seu álbum. Sabendo que cada página deve conter a mesma quantidade de fotografias, responda às questões.
a) Se o álbum tiver 15 páginas, quantas fotografias ela poderá colar em cada página?
b) Ela poderá colar 4 fotografias em cada página? Justifique sua resposta.
c) Quais serão as possíveis quantidades de fotografias de cada página se o álbum tiver mais de 10 e menos de 50 páginas?
22
Reúna-se com um colega, acompanhem o raciocínio e não se esqueçam de registrar as respostas e as conclusões.
a) 42 é um número divisível por 7 porque 42 = 6 ⋅ 7. E o número 28, é divisível por 7? Por quê?
b) Copiem a sentença a seguir substituindo o
pelo número que torna as igualdades verdadeiras.
(42 + 28) = (6 ⋅ 7 +
⋅ 7) = (6 +
) ⋅ 7
c) (42 + 28) é divisível por 7? Por quê?
d) Que propriedade da multiplicação foi usada na última igualdade do item b?
e) Escolham dois números divisíveis por 13. A soma desses números é divisível por 13? Por quê?
23
Hora de criar – Em duplas, cada integrante vai elaborar um problema que envolva os múltiplos e divisores, cuja resposta seja 8. Troquem de caderno para um avaliar o problema do outro. Depois, destroquem para corrigi-los, se necessário.
Respostas e comentários
16. a) 1
16. b) Zero.
17. a) 1, 11
17. b) 1, 2, 3, 6, 9, 18
17. c) 1, 5, 25
17. d) 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
18. 1, 2, 3, 6; 6
19. Porque, para os horários de tomada serem os mesmos todos os dias, o período deve ser um divisor de 24, e 5 não é divisor de 24 (1 dia tem 24 horas). Note que 6, 8 e 12 são divisores de 24.
20. a) 26 fichas.
20. b) Sim, as fichas com números 60 e 120.
21. a) 6 fotografias (90 dividido por 15 = 6).
21. b) Não, porque a divisão de 90 por 4 não é exata.
21. c) 2, 3, 5 e 6
22. a) Sim, porque 28 = 4 ⋅ 7.
22. b) 4; 4
22. c) Sim, porque (42 + 28) = 10 ⋅ 7.
22. d) Distributiva.
22. e) Sim, porque, dividindo por 13 a soma dos números escolhidos, o resto será zero.
23. Resposta pessoal.
Exercícios propostos
Este bloco de exercícios explora as propriedades estudadas sobre os divisores de um número natural.
As resoluções dos exercícios 16 a 19 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 4.
Para a resolução do exercício 20, com base nas informações do enunciado é preciso que os estudantes organizem os possíveis números:
• dez primeiros múltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135;
• todos os divisores de 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.
Portanto, no item a foram confeccionadas, ao todo, 26 fichas (10 + 16 = 26). No item b, como os números 15, 30, 60 e 120 são, simultaneamente, múltiplos de 15 e divisores de 120, há duas fichas de cada um deles. Como entre as fichas que Beatriz pegou estão as fichas com os números 30, 30, 60 e 120, entre as fichas que sobraram na mesa há uma ficha com número 60 e uma ficha com número 120.
Para responder ao item c do exercício 21, os estudantes devem considerar os divisores de 90 que estão entre 10 e 50, que são: 15, 18, 30 e 45. Assim, ao calcularem as divisões de 90 por 45, 30, 18 e 15, encontrarão a quantidade de páginas, que são, respectivamente: 2, 3, 5 e 6.
No exercício 22 chame a atenção dos estudantes para o fato de que os números 42 e 28 podem ser escritos como um produto em que um dos fatores é 7 e, por esse motivo, são divisíveis por 7. Do mesmo modo, a adição entre esses números, póde ser escrita como um produto em que um dos fatores seja 7, logo também será divisível por 7. O item ê tem o objetivo de fazer com que os estudantes percebam que essa regularidade permanecerá para números divisíveis por 13. póde-se ampliar essa percepção propondo a eles que trabalhem com outros números além do 13.
O exercício 23 apresenta uma proposta de elaboração de problemas, oportunidade para valorizar a expressão escrita. A escrita na aula de Matemática tem um papel importante na aprendizagem, pois dá aos estudantes a oportunidade de repensar e aprofundar os textos que produziram, registrar suas reflexões, percepções e o que descobriram sobre um conceito ou mesmo sobre uma situação vivida. Para o professor, a produção escrita dá não apenas uma boa noção do que o grupo aprendeu sobre o que foi desenvolvido nas aulas, mas também permite avaliar como os estudantes expressam suas ideias.
Pense mais um pouco...
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Agora é sua vez!
Verifique se o número 28 também é perfeito. Justifique sua resposta.
PARA SABER MAIS
Sequências numéricas
Mateus organizou sua coleção de latas de alumínio. Observe como ele fez.
Contando de cima para baixo, obtemos, por meio da quantidade de latas de cada fileira, a seguinte sequência numérica:
1, 3, 5, 7, 9, 11
Cada termo (número) dessa sequência, a partir do segundo, é o anterior mais 2, ou seja:
3 = 1 + 2, 5 = 3 + 2, 7 = 5 + 2,
9 = 7 +2, 11 = 9 + 2
Quando podemos obter os termos de uma sequência usando os termos anteriores, temos uma sequência numérica recursiva.
Acompanhe mais alguns exemplos de sequências numéricas.
• 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, reticências Essa é a sequência dos números pares. Ela é infinita. Como 0 = 0 ⋅ 2, 2 = 1 ⋅ 2, 4 = 2 ⋅ 2, 6 = 3 ⋅ 2, e assim por diante, dizemos que cada termo dessa sequência é múltiplo de 2. Portanto, essa sequência também é conhecida como sequência dos múltiplos de 2. Ela é uma sequência crescente, pois cada número, a partir do segundo, é maior que o anterior. Note que, do segundo número em diante, cada termo pode ser obtido do anterior acrescentando 2. Essa é também uma sequência recursiva.
• Contando as latas de Matheus, das fileiras de baixo para cima, temos 11, 9, 7, 5, 3, 1. Essa sequência é decrescente e finita.
Respostas e comentários
Pense mais um pouco...: Sim, pois 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Pense mais um pouco reticências
Nesta seção, apresentamos o conceito de número perfeito, que designa os números obtidos pela soma de seus divisores, exceto o próprio número.
Os divisores de 28 são: 1, 2, 4, 7, 14 e 28. A soma desses divisores, exceto o próprio 28, é:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Logo, 28 é um número perfeito.
Para saber mais
Nesta seção, os estudantes entrarão em contato com algumas sequências numéricas recursivas.
Este estudo é importante para que desenvolvam o raciocínio recursivo, presente em diferentes atividades, que contribui para o desenvolvimento do pensamento computacional.
Devem perceber que cada sequência recursiva tem regra própria que permite calcular um de seus termos em função do termo imediatamente anterior.
Note que, do segundo número em diante, cada termo pode ser obtido do anterior decrescendo 2. Essa é também uma sequência recursiva.
• 1, 24, 2, 12, 3, 8, 4, 6 Essa é a sequência dos divisores de 24. Ela é finita e, nessa ordem, não é crescente, nem decrescente, nem recursiva. Então, podemos notar que:
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Determine a sequência:
a) dos números pares menores que 10;
b) dos divisores de 36;
c) dos múltiplos de 4.
2 Qual é a sequência dos números ímpares? Nessa sequência, qual é o termo anterior ao 91? E o posterior ?
3 Os termos de cada uma das sequências a seguir obedecem a certa ordem. Considerando essa ordem, determine o próximo termo.
a) 6, 11, 16, 21
b) 26, 22, 18, 14, 10
c) 3, 6, 12, 24, 48
4 Uma das atividades do famoso matemático Pitágoras era fazer cálculos usando pedrinhas. Um deles consistia em formar sequências numéricas como estas:
Como ele formava o 7 elevado a 2 com as pedrinhas? E com a adição de números naturais?
5 Como você relaciona a sequência das latinhas de Mateus com a sequência das pedrinhas de Pitágoras para formar o 6 elevado a 2?
2. Critérios de divisibilidade
Respostas e comentários
1. a) 0, 2, 4, 6, 8
1. b) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
1. c) 0, 4, 8, 12, 16, 20, reticências
2. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, reticências; o 89; o 93
3. Respostas possíveis:
3. a) 26
3. b) 6
3. c) 96
4.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 7 elevado a 2
5. Cada enésima linha de latinhas de Mateus contém o mesmo número de pedrinhas da soma das enésimas linha e coluna.
Agora é com você!
Nas atividades 1 e 2 os estudantes devem determinar algumas sequências a partir de uma regra estabelecida. Pode-se ampliar essas atividades solicitando que os estudantes apresentem outras regras para que a turma, em comum acordo, determine os termos das sequências.
Para a atividade 3, alguns estudantes podem apresentar respostas diferentes da sugerida. Desde que fundamentadas, as respostas apresentadas devem ser validadas.
No item a, se os estudantes considerarem a sequência como recursiva e que cada termo seguinte corresponde ao anterior adicionado de 5, o próximo termo será 26.
Nos itens b e c:
b) subtrair 4 do termo anterior: 10 menos 4 = 6
c) multiplicar o termo anterior por 2: 48 ⋅ 2 = 96
Para trabalhar com a atividade 3, solicite aos estudantes a complementação das respostas com a “regra” de cada uma das sequências, inclusive por se tratar de uma questão em que eles podem apresentar diversas possibilidades de sequências.
Essa descrição é interessante para os estudantes desenvolverem a linguagem matemática, além de esclarecerem as possíveis dúvidas ou hipóteses incorretas.
Na atividade 4, incentive a observação de regularidades, a análise dos resultados obtidos, a verificação das conclusões. Isso pode ser feito também com os critérios de divisibilidade, permitindo aos estudantes investigarem antes de concluir cada critério.
Na atividade 5, espera-se que os estudantes percebam que as duas sequências são iguais.
Divisibilidade por 2
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Transcrição do áudio
É verdade ou mentira na Internet?
[Filha]
Olha, pai, nosso ônibus chegou!
[Pai]
O que você tanto digita nesse celular, filha?
[Filha]
Só estou compartilhando algumas notícias com meus amigos, pai!
[Pai]
Não é melhor verificar primeiro se as notícias são verdadeiras?
[Filha]
Como eu faço isso?
[Pai]
Você pode seguir uma sequência de passos, usando um algoritmo!
[Filha]
O que é um algoritmo?
[Pai]
Como eu disse antes, é uma sequência de passos, de regras, para a resolução de um problema ou a realização de uma tarefa. Por exemplo, como você faz para saber se um número é par?
[Filha]
Ah, essa é fácil! Primeiro, eu divido esse número por 2. Então, se o resto for zero, significa que ele é divisível por 2 e, portanto, um número par. Se a divisão tiver resto diferente de 0, então o número não é divisível por 2 e, portanto, não é par.
[Pai]
Isso mesmo! Você acabou de descrever um algoritmo.
[Filha]
Sério?
[Pai]
E, se eu quiser saber se um número é múltiplo de 6, como eu faço?
[Filha]
Olha só, pai, vou fazer um desenho para te explicar.
Pelos critérios de divisibilidade que eu aprendi na escola, para um número ser múltiplo de 6, ou seja, divisível por 6, ele precisa ser par e divisível por 3 ao mesmo tempo.
O primeiro passo é verificar se ele é par. Se não for par, então não será múltiplo de 6. Mas, se for par, o próximo passo é verificar se é divisível por 3. Se ele não for divisível por 3, o número também não será múltiplo de 6; mas, se for divisível por 3, então, com certeza será múltiplo de 6.
Entendeu, pai?
[Pai]
Perfeitamente! Com seu desenho ficou bem fácil de entender! Aliás, o nome desse esquema que você desenhou é fluxograma!
[Filha]
Fluxograma?
[Pai]
Sim, essa representação gráfica que você desenhou no caderno, com a sequência de passos que devem ser seguidos para determinar se um número é múltiplo de 6,é chamada de fluxograma. Nesse caso, você usou setinhas para separar os passos e indicar sua sequência.
[Filha]
Que legal, pai! Mas… o que isso tem a ver com as notícias?
[Pai]
Quando recebemos uma notícia compartilhada ou fazemos uma busca na Internet, podemos seguir uma série de passos, usar um algoritmo, para saber se aquela notícia é verdadeira ou falsa.
Primeiro, é preciso prestar atenção à data da publicação, para evitar que uma notícia antiga seja compartilhada como atual.
Em seguida, podemos analisar se o texto foi criado para informar um acontecimento ou para influenciar e convencer as pessoas sobre determinado assunto. Uma notícia deve ser um texto informativo e imparcial, que não expressa opinião.
Depois, podemos analisar a linguagem, a forma como o texto é escrito. Notícias falsas costumam ter muitos erros gramaticais e de ortografia, além de usar adjetivos em excesso. Quando isso acontece, é melhor não compartilhar.
Seguimos para o próximo passo: devemos verificar a fonte. O texto, o vídeo ou a fotografia têm fonte? O autor é confiável e tem conhecimento para falar do assunto? Se não tiver fonte ou se não for confiável, então é melhor não compartilhar. Se for de fonte confiável, então podemos compartilhar com mais segurança.
[Filha]
Olha só, pai! Acabei de encontrar no site de uma universidade uma ferramenta desenvolvida por pesquisadores brasileiros para identificar fêique níus com 96% de precisão!
[Pai]
Que maravilha!
[Filha]
A ferramenta foi programada com um algoritmo para realizar a tarefa de identificar notícias falsas. Com essa sequência de passos, a plataforma identifica se um texto tem muitos adjetivos e erros gramaticais e de ortografia, que são comuns nas . fêique níus
Você só precisa copiar e colar o texto da notícia na ferramenta, que ela vai usar esse algoritmo para checar se o texto é falso ou não!
[Pai]
Que interessante! Ferramentas como essa são muito úteis e ajudam bastante! Agora você já sabe o que fazer quando ler uma notícia e quiser compartilhá-la com seus amigos, não é?
[Filha]
Sempre checar a fonte antes, questionando e buscando mais informações!
[Pai]
Isso mesmo! É preciso considerar também os fatos, não só as opiniões. Chegamos à escola! Boa aula, filha!
[Filha]
Obrigada, pai!
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Considere as divisões.
Observe que, quando dividimos números pares por 2, o resto é zero; quando dividimos números ímpares por 2, o resto é 1. Apresentamos apenas alguns exemplos, mas isso acontece sempre que dividimos um número natural por 2.
Observe outros exemplos.
a) .1798 é divisível por 2 e, portanto, é par.
b) .2005 não é divisível por 2 e, portanto, não é par.
c) 147 não é divisível por 2 e, portanto, não é par.
Uma maneira prática de representar um procedimento que apresenta etapas bem definidas é por meio de um esquema chamado fluxograma. O fluxograma ilustrado representa a divisibilidade por 2.
Um número natural é divisível por 2 somente quando é par.
Divisibilidade por 5
Considere as divisões.
Observe que 130, 75, 560 e .4015, que terminam em 5 ou em zero, são divisíveis por 5, enquanto os números 134 e .5107 não são. Esses são apenas alguns exemplos, mas isso acontece sempre.
Observe mais exemplos.
a) 110 é divisível por 5, pois termina em 0.
b) .1345 é divisível por 5, pois termina em 5.
c) 111 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.
Um número natural é divisível por 5 somente quando termina em zero ou em 5.
Respostas e comentários
2. Critérios de divisibilidade
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero quatro e ê éfe zero seis ême ah zero cinco.
Na abordagem dos critérios de divisibilidade, os estudantes entram em contato com a construção de algoritmos expressos em linguagem natural.
Esse é um bom momento para conversar com os estudantes, apresentando a eles a representação de alguns algoritmos por meio de fluxogramas que indiquem a resolução de problemas simples, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade ( ê éfe zero seis ême ah zero quatro). Dê alguns minutos para os estudantes tentarem ler e entender a lógica dos fluxogramas, depois explique a eles como fazer essa leitura adequadamente.
Iniciamos com os critérios de divisibilidade por 2 e por 5, que são os mais simples e depois, ampliaremos o trabalho apresentando os critérios de divisibilidade por 10, 3, 6, 9 e 4, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade ( ê éfe zero seis ême ah zero cinco). Esse assunto será retomado no capítulo 5 deste livro, no qual discutimos a demonstração de alguns dos critérios de divisibilidade tratados neste capítulo.
Comente com os estudantes que a verificação de alguns exemplos não é suficiente para provar o critério de divisibilidade. Esclareça que para cada um desses critérios há uma demonstração. Se considerar conveniente, peça a eles que revejam a resolução do exercício 14 deste capítulo.
Divisibilidade por 10
Considere as divisões.
Observe que 820, .4800 e .1230 são divisíveis por 10, mas os números 504 e 145 não são. Nessas divisões, somente os números que terminam em zero são divisíveis por 10. Apresentamos apenas alguns exemplos, mas isso acontece sempre.
Observe mais alguns exemplos.
a) 250 é divisível por 10, pois termina em zero.
b) .1370 é divisível por 10, pois termina em zero.
c) 827 não é divisível por 10, pois não termina em zero.
Um número natural é divisível por 10 somente quando termina em zero.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
24 Um número par pode ser divisível por 5? E um número ímpar pode ser divisível por 10? Justifique sua resposta.
25 Qual é o resto da divisão do número .98543 por 2? E por 5? E por 10?
26 Um edifício de 20 andares tem dois elevadores com defeito. Um deles só para nos andares pares; outro, só para nos andares cujo número é múltiplo de 5. Considerando o térreo o andar zero, em quais andares se pode pegar qualquer um desses dois elevadores?
27
Reúna-se com um colega, acompanhem o raciocínio e registrem as resoluções e as respostas no caderno.
a) 130 é divisível por 2 porque 130 = 65 ⋅ 2. E 130 é divisível por 5? Por quê?
b) Substituam os
pelos números que tornam as igualdades verdadeiras.
130 = 13 ⋅ (5 ⋅
) = 13 ⋅ (
⋅ 2) = 13 ⋅
c) 130 é divisível por (5 ⋅ 2 )? Por quê?
d) Todo número divisível por 2 também é divisível por 5? Explique.
e) Escolham um número que seja divisível por 2 e por 5. Ele é divisível por 10? Por quê?
28 Qual é o maior número de três algarismos que é divisível por 5? E qual é o maior deles divisível por 2? E por 10?
29
A escola de Elis realizou uma feira cultural.
a) Em um estande de Matemática, Elis propunha aos visitantes o seguinte desafio:
b) Em outro estande, um colega de Elis fazia outro desafio:
Junte-se a um colega e respondam a essas questões.
30
Hora de criar – Em duplas, cada integrante vai elaborar um problema sobre divisibilidade por 2, 5 ou 10. Troquem de caderno para um resolver o problema do outro. Depois, destroquem para corrigi-los.
Respostas e comentários
24. Sim, quando ele termina em zero. Não, pois um número ímpar nunca termina em zero.
25. 1; 3; 3
26. No térreo, no 10º e no 20º andar.
27. a) Sim, porque 130 = 26 ⋅ 5.
27. b) 2; 5; 10
27. c) Sim, porque 130 = 13 ⋅ 10.
27. d) Não; isso só ocorre com os números divisíveis por 2 que terminam em zero.
27. e) Sim, porque, se um número é divisível por 2, ele termina em 0, 2, 4, 6 ou 8; se é divisível por 5, termina em 0 ou 5. Logo, esse número termina em 0, ou seja, é divisível por 10.
28. 995; 998; 990
29. a) Sim, pois como esse número é divisível por 10, termina em zero; então, ele é par (divisível por 2) e é divisível por 5.
29. b) Sim, pois números que terminam em 00 são múltiplos de 100. E os que terminam em 000 são múltiplos de .1000.
30. Resposta pessoal.
Divisibilidade por 10
Nesta página, tratamos do critério de divisibilidade por 10. É importante incentivar os estudantes a observarem que todo número divisível por 10 também é divisível por 5, já que, nesse caso, o número termina em zero e, por ser par, também é divisível por 2.
Exercícios propostos
O bloco de exercícios que se inicia nesta página explora os três critérios de divisibilidade vistos até agora: por 2, por 5 e por 10.
No exercício 24, os estudantes podem concluir que os números pares divisíveis por 5 (ou os números divisíveis por 5 que são pares) são, necessariamente, divisíveis por 10, pois são aqueles que têm o zero como algarismo das unidades. Também devem perceber que nenhum número ímpar pode ser divisível por 10, pois nenhum número ímpar termina em zero.
Após resolver o exercício 25, pergunte aos estudantes que procedimentos utilizaram para resolvê-lo. Alguns estudantes podem ter realizado operações de divisão e outros já podem ter percebido que o número não é divisível por 2, 5 e 10 e que o menor número mais próximo de .98543, divisível por 2 é .98542, portanto o resto da divisão será 1. Do mesmo modo, para 5 e 10 o número divisível seria .98540, resultando em resto 3 para ambos os casos.
No exercício 26, os estudantes deverão perceber que o elevador que para nos andares pares, para em: térreo, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 e 20. Já o outro elevador para em: térreo, 5, 10, 15 e 20. Portanto, os andares comuns seriam o térreo, o 10º e o 20º andar.
Após a resolução desse exercício, comente com os estudantes que o enunciado esclarece que os elevadores estão com defeito, mas que em alguns edifícios, sobretudo nos grandes edifícios comerciais, há elevadores que atendem somente a determinados andares, facilitando a organização do acesso e evitando o desperdício de energia. Essa pode ser a ponte para uma discussão sobre maneiras de evitar o uso desnecessário de eletricidade, preocupação cada vez mais premente no mundo atual.
Desse modo, aproveite para ampliar o exercício perguntando aos estudantes: Se esses elevadores fossem programados com o propósito de atender andares diferentes, como a programação deveria ser feita de modo que todos os andares fossem atendidos por pelo menos um elevador?
As resoluções e comentários sobre os exercícios 27 a 30 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 4.
Divisibilidade por 3
Vamos pesquisar. Na calculadora, escreva alguns números cuja soma dos valores absolutos dos algarismos é divisível por 3. Depois, escreva outros números cuja soma dos valores absolutos dos algarismos não é divisível por 3.
• 258 é divisível por 3;
• a soma dos valores absolutos dos algarismos do número 258 é 2 + 5 + 8 = 15, que é divisível por 3.
• 531 é divisível por 3;
• a soma dos valores absolutos dos algarismos do número 531 é 5 + 3 + 1 = 9, que é divisível por 3.
• 625 não é divisível por 3;
• a soma dos valores absolutos dos algarismos do número 625 é 6 + 2 + 5 = 13, que não é divisível por 3.
Observe outros exemplos.
a) 156 é divisível por 3
(1 + 5 + 6 = 12, que é divisível por 3).
b) .1370 não é divisível por 3
(1 + 3 + 7 + 0 = 11, que não é divisível por 3).
Além desses exemplos, sempre é verdade que:
Um número natural é divisível por 3 somente quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos é divisível por 3.
Divisibilidade por 6
Observe os exemplos a seguir.
a) Já sabemos que o número 42 é divisível por 2 e por 3. Ele também é divisível por 6, pois 7 ⋅ 6 = 42.
b) O número 64 é divisível por 2, mas não é divisível por 3. Além disso, ele também não é divisível por 6, pois a divisão de 64 por 6 não é exata.
c) O número 75 é divisível por 3, mas não é divisível por 2. Ele também não é divisível por 6.
Além desses exemplos, sempre é verdade que:
Um número natural é divisível por 6 somente quando é divisível por 2 e por 3.
Respostas e comentários
Divisibilidade por 3
Após a explicação do critério de divisibilidade, peça para um estudante ler em voz alta o fluxograma para que todos se familiarizem com a linguagem lógica. Exemplo: A soma dos valores absolutos dos algarismos é divisível por 3?
SE for, ENTÃO o número é divisível por 3.
SE não for, ENTÃO o número não é divisível por 3.
Divisibilidade por 6
Após a explicação, convide outro estudante para fazer a leitura em voz alta do fluxograma.
Analise com os estudantes o fluxograma apresentado sobre o critério de divisibilidade por 3. Depois, se necessário, relembre o critério de divisibilidade por 2. Em seguida, apresente-lhes o critério de divisibilidade por 6 e analise o fluxograma que o representa. Eles devem perceber que, nesse caso, o fluxograma tem uma etapa a mais do que os anteriores. Incentive-os a dizer por que isso ocorre. Espera-se que eles percebam que há a necessidade de verificar dois critérios: o da divisibilidade por 2 e o da divisibilidade por 3.
A divisibilidade por 6 será retomada no capítulo 5.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
31 Dado o número 43
, determine quais algarismos podem ser colocados no lugar de
para que o número formado seja divisível:
a) por 2;
b) por 3;
c) por 6;
d) por 2 e não por 3;
e) por 3 e não por 6.
32 Determine para que valores de
o número 30.6
8 é:
a) divisível por 5;
b) divisível por 3.
Justifique suas respostas.
33 Um número é divisível por 15 quando ele é divisível por 3 e por 5. Quais dos números a seguir são divisíveis por 15?
• 135
• 320
• 363
• 510
• 480
34 Responda e justifique.
a) Se um número é múltiplo de 2, então ele é múltiplo de 6?
b) Se um número é múltiplo de 6, então ele é múltiplo de 2?
35 Em um show de prêmios foi apresentado a um dos candidatos o seguinte desafio:
Que resposta dá o prêmio à candidata?
Divisibilidade por 9
Considere as divisões.
• 846 é divisível por 9;
• a soma dos valores absolutos dos algarismos do número 846 é 8 + 4 + 6 = 18, que é divisível por 9.
• .2511 é divisível por 9;
• a soma dos valores absolutos dos algarismos do número .2511 é 2 + 5 + 1 + 1 = 9, que é divisível por 9.
• .83625 não é divisível por 9;
• a soma dos valores absolutos dos algarismos do número .83625 é 8 + 3 + 6 + 2 + 5 = 24, que não é divisível por 9.
Observe outros exemplos.
a) .1566 é divisível por 9 (1 + 5 + 6 + 6 = 18, que é divisível por 9).
b) .2002 não é divisível por 9 (2 + 0 + 0 + 2 = 4, que não é divisível por 9).
Apresentamos apenas alguns exemplos, mas sempre é verdade que:
Um número natural é divisível por 9 somente quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos é divisível por 9.
Respostas e comentários
31. a) 0, 2, 4, 6 e 8
31. b) 2, 5 e 8
31. c) 2 e 8
31. d) 0, 4 e 6
31. e) 5
32. a) Para nenhum, pois o número não termina em zero nem em 5.
32. b) 1, 4 e 7, pois a soma dos valores absolutos dos algarismos é divisível por 3.
33. 135, 510 e 480
34. a) Não, pois um múltiplo de 2 não necessariamente possui o 3 como fator. O próprio número 2 é um exempo disso.
34. b) Sim, pois todo múltiplo de 6 tem o fator 2 e, portanto, também é múltiplo de 2.
35. 762
Exercícios propostos
O bloco de exercícios explora todos os critérios de divisibilidade estudados até o momento.
As resoluções e comentários sobre os exercícios 31 a 33 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 4.
Antes de propor aos estudantes a resolução do exercício 34, explique-lhes o papel de um contraexemplo, que é um exemplo que pode ser usado para justificar a falsidade de uma afirmação. No caso de uma afirmação verdadeira, mostrar um exemplo não comprova esse fato (nesse caso, não há contraexemplos).
Assim, para responder à pergunta do item a, os estudantes poderão apresentar o contraexemplo: 4 é múltiplo de 2, mas não é múltiplo de 6, o que justifica a resposta “não”. Já na pergunta do item b, como ela é verdadeira, não basta mostrar um exemplo (como 12 é múltiplo de 6 e também é de 2) para justificar sua veracidade. A justificativa deve conter uma argumentação válida para todos os números nessa condição, por exemplo: todo número natural que é múltiplo de 6 tem o fator 2 (pois 6 = 2 ⋅ 3); portanto, é também múltiplo de 2.
No exercício 35, os estudantes deverão considerar duas premissas:
1ª) Maior número de três algarismos formados por 2, 3, 6 ou 7, sem repeti-los.
2ª) Ser divisível por 3.
Assim, podem considerar de início os números 763 e 762. Depois, devem avaliar se a soma desses algarismos é ou não divisível de 3:
• 7 + 6 + 3 = 16 (não é divisível por 3)
• 7 + 6 + 2 = 15 (é divisível por 3)
Logo, a resposta é o número 762.
Aproveite para ampliar o exercício perguntando aos estudantes se a resposta seria diferente ao considerar que os algarismos poderiam ser repetidos. Nesse caso, encontrariam o número 777 como resposta, pois:
7 + 7 + 7 = 21 (divisível por 3)
Divisibilidade por 9
Para tratar do critério de divisibilidade por 9, pode-se apresentar o critério na lousa, que é similar ao da divisibilidade por 3, e propor aos estudantes que façam um fluxograma para representá-lo. Essa proposta exigirá que mobilizem os conhecimentos construídos até agora e pode revelar possíveis dificuldades que ainda tenham. A divisibilidade por 9 será retomada no capítulo 5.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
36 Em uma gincana, a equipe vencedora seria aquela que apresentasse primeiro cinco números de três algarismos divisíveis por 9. A equipe amarela saiu na frente com o número 135, mas foi a azul que ganhou. Observe como a equipe azul aproveitou a pista da equipe amarela.
Descubra a estratégia da equipe azul e escreva os dois números que faltam.
37
Discuta as questões com um colega e respondam às perguntas a seguir. O número 567 é divisível por 9, pois 5 + 6 + 7 = 18, que é divisível por 9.
a) De quantas maneiras podemos escrever (5 + 6 + 7) apenas mudando a ordem dos algarismos? A soma continua sendo 18? Que propriedade da adição garante que a soma seja a mesma?
b) Quantos e quais números naturais de três algarismos diferentes, múltiplos de 9, podemos escrever com os algarismos 5, 6 e 7? Eles também são múltiplos de 3?
c) O número .3456 é divisível por 9? Quantos e quais são os números naturais de quatro algarismos diferentes, múltiplos de 9, formados por 3, 4, 5 e 6? Eles também são múltiplos de 3?
d) Se um número natural é divisível por 9, então também é divisível por 3?
Pense mais um pouco...
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Vamos pesquisar curiosidades sobre a divisibilidade por 9.
1 Atribua a x e a y três pares de números com um algarismo, sendo x > y. Por exemplo, x = 7 e y = 2.
Para cada par de números, calcule a diferença dos números formados por xy e yx (exemplo: 72 e 27). A seguir, divida essa diferença por 9 e compare o resultado com x ‒ y. O que você pode concluir?
Compare a sua conclusão com a de um colega.
2 Atribua a x, a y e a z três ternos de números com um algarismo, sendo x > z (exemplo: x = 7, y = 8 e z = 2).
Para cada terno de números, calcule a diferença dos números formados por xis ípsilon zê e zê ípsilon xis. A seguir, divida essa diferença por 99 e compare o resultado com o número formado por algarismos dados por (x ‒ z) . O que você pode concluir? Compare a sua conclusão com a de um colega.
Divisibilidade por 4
Considere as divisões.
Respostas e comentários
36. O número 1, o 3 e o 5 somam 9; logo, formam números divisíveis por 9. Assim, a equipe azul apenas alterou a ordem dos algarismos para obter os outros números divisíveis por 9; 513 e 531.
37. a) 6; sim; comutativa.
37. b) 6; 567, 576, 657, 675, 756 e 765; sim.
37. c) sim; 24; .3456, .3465, .3546, .3564, .3645, .3654, .4356, .4365, .4536, .4563, .4635, .4653, .5346, .5364, .5436, .5463, .5634, .5643, .6345, 6.354, .6456, .6465, .6534, .6543; sim
37. d) Sim.
Pense mais um pouco reticências:
1. O estudante deve concluir que (xy ‒ yx) dividido por 9 = x ‒ y.
2. (xyz ‒ zyx) dividido por 99 é igual a (x ‒ z ).
Exercícios propostos
A divisibilidade por 9 será explorada neste bloco de exercícios, articulando-se com os conhecimentos que os estudantes construíram sobre os números naturais e as propriedades da adição.
Para ampliar o exercício 36, reúna os estudantes em grupos e proponha a eles situações similares à questão, variando a quantidade de algarismos dos números ou variando o critério de divisibilidade, usando as divisibilidades por 2, 3, 5, 6 e 10.
A resolução do exercício 37 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 4.
Pense mais um pouco reticências
Esta seção apresenta curiosidades acerca da divisibilidade por 9 e pode ser resolvida com os estudantes reunidos em duplas. Dê um tempo para as duplas discutirem a situação proposta na atividade 1. Depois, peça a uma dupla que explique aos colegas o que entendeu e para que um estudante vá escrever um exemplo na lousa. Converse com a turma sobre a proposta, garantindo que todas as duplas tenham entendido. Então, peça a cada estudante que registre suas conclusões e, em seguida, compare-as com as anotações do colega da dupla.
Na atividade 1, considerando o exemplo dado, os estudantes devem efetuar:
(72 ‒ 27) dividido por 9 = 5
7 ‒ 2 = 5
Com base em outros exemplos, devem concluir que:
(xy ‒ yx) dividido por 9 = x ‒ y
Neste momento, os estudantes ainda não têm familiaridade com a Álgebra, mas essa igualdade pode ser demonstrada da seguinte maneira.
Considerando o valor posicional dos algarismos x e y, no primeiro número temos 10x + y e no segundo número, 10y + x. Então, podemos escrever:
(10x + y ‒ 10y ‒ x) dividido por 99 = x ‒ y
(9x ‒ 9y) dividido por 9 = x ‒ y
9(x ‒ y) dividido por 9 = x ‒ y
x ‒ y = x ‒ y
Na atividade 2, os estudantes devem concluir que: (xyz ‒ zyx) dividido por 99 = x ‒ z
Essa igualdade pode ser demonstrada da seguinte maneira.
Considerando o valor posicional dos algarismos x, y e z, no primeiro número temos 100x + 10y + z e no segundo número, 100z + 10y + x. Então, podemos escrever:
(100x + 10y + z ‒ 100z ‒ 10y ‒ x) dividido por 99 = x ‒ z
(99x ‒ 99z) dividido por 99 = x ‒ z
99(x ‒ z) dividido por 99 = x ‒ z
x ‒ z = x ‒ z
As divisões anteriores nos levam a concluir que:
• .7416, .4524 e 216 são divisíveis por 4. Verifique que 16 e 24 também são.
• .7689 não é divisível por 4. Verifique que 89 também não é.
• 200 e .45200 são divisíveis por 4 e terminam em 00.
Apresentamos apenas alguns exemplos, mas sempre é verdade que:
Um número natural é divisível por 4 somente quando termina em 00 ou quando o número formado por seus dois últimos algarismos à direita é divisível por 4.
Pense mais um pouco reticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Os rapazes 1, 2, 3 e 4 namoram uma das garotas a, B, C e D.
Observe atentamente os textos e as placas com o final dos números dos telefones e diga qual é o nome das quatro garotas e quem são seus respectivos namorados.
Respostas e comentários
Pense mais um pouco reticências:
4 e a (Marilda) 2 e B (Joana)
3 e C (Sofia) 1 e D (Cristina)
Divisibilidade por 4
No estudo do critério de divisibilidade por 4, se julgar conveniente, apresente aos estudantes esta outra fórma de enunciar esse critério: Se um número pode ser decomposto em múltiplos de 4, então o número inicial é divisível por 4.
Veja os exemplos.
• Considere o número 536.
Logo, como 536 é a soma de dois múltiplos de 4, então 536 é múltiplo de 4.
• Considere agora o número .7622. Observe a seguinte decomposição:
.7622 = .7000 + 600 + 22
Como 22 não é múltiplo de 4, então .7622 não é múltiplo de 4.
Pense mais um pouco reticências
Esta seção desafia os estudantes a organizarem as conclusões extraídas de cada informação e, principalmente, as conclusões estabelecidas pela combinação dessas informações. Eles podem se reunir em duplas a fim de buscar uma maneira mais adequada de organizar os dados para levantar hipóteses e tirar conclusões. É de extrema importância que eles retomem as informações iniciais para verificar se as respostas obtidas estão realmente de acordo, uma vez que conclusões erradas levarão a respostas erradas.
Para determinar os casais, os estudantes devem considerar, inicialmente a pista do rapaz 4 e da garota D.
O rapaz 4 afirma namorar uma garota loira, logo poderia ser a ou D. Como a garota D afirma que o número formado pelos 4 últimos dígitos do celular de seu namorado deve ser divisível por 4, seu namorado só pode ser 1 ou 3. Portanto, 4 só pode fazer par com a. Assim, a primeira dupla é 4 e a (Marilda).
A próxima dica a ser considerada é a da garota C, que fala em Cristina e Joana em terceira pessoa. Desse modo, C é a Sofia, pois a Marilda é a. Logo, a próxima dupla é 3 e C (Sofia).
Como a garota D só poderia fazer par com 1 e 3 (que já tem par) e a garota B não é a Cristina, os demais casais seriam: 1 e D (Cristina) e 2 e B (Joana).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
38
Verifique mentalmente quais dos números a seguir são divisíveis por 4.
a) 932
b) .1040
c) 842
39 Em um restaurante, todas as mesas têm 4 lugares. É possível que a capacidade desse restaurante seja de 314 lugares? E de 308?
Justifique suas respostas.
40 Determine o menor número que somado a .5314 resulta em um número:
a) divisível por 2;
b) divisível por 3;
c) divisível por 4;
d) divisível por 5;
e) divisível por 6;
f) divisível por 9.
41 Qual é o menor número natural diferente de 1 que dividido por 3, 4 ou 5 dá resto 1?
42
Vimos que um número natural é divisível por 2 quando termina em 0 ou quando o número formado pelo último algarismo é divisível por 2. Também vimos que um número natural é divisível por 4, que é 2 ⋅ 2, quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos é divisível por 4. Com um colega, escrevam vários números que terminam em 000 ou que o número formado pelos três últimos algarismos seja divisível por 8, que é 2 ⋅ 2 ⋅ 2.
a) Verifiquem que esses números são divisíveis por 8.
b) Elaborem o fluxograma da divisibilidade de um número natural por 8.
43
Hora de criar – Em duplas, cada integrante vai elaborar um problema sobre divisibilidade. Troquem de caderno para um resolver o problema do outro. Depois, destroquem para corrigi-los.
3. Números primos
Existem números que têm somente dois divisores distintos (diferentes). O número 5 é um deles. Seus divisores são apenas o 1 e o 5.
Número primo é todo número que tem apenas dois divisores naturais distintos: o número 1 e o próprio número.
Por exemplo, os números 2, 3, 5, 7, 11, 13, reticências são números primos.
Existem também números naturais que têm mais de dois divisores distintos. O número 12 é um deles. Seus divisores são 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
Todo número natural que tem mais de dois divisores distintos é chamado de número composto.
Por exemplo, os números 4, 9, 10, 15, 94 e 105 são números compostos.
O número 1 não é primo nem composto, pois tem um único divisor natural, que é ele mesmo.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
44 Classifique os números a seguir em primo ou composto.
a) 14
b) 11
c) 17
d) 21
e) 296
f) 37
45 Existe um número que é par e é primo ao mesmo tempo. Que número é esse? Existem outros números nessas condições?
Respostas e comentários
38. 932, .1040
39. Não, pois 314 não é divisível por 4; sim, pois 308 é divisível por 4.
40. a) Zero.
40. b) 2
40. c) 2
40. d) 1
40. e) 2
40. f) 5
41. 61
42. A resolução desta atividade está neste Manual.
43. Resposta pessoal.
44. a) Composto.
44. b) Primo.
44. c) Primo.
44. d) Composto.
44. e) Composto.
44. f) Primo.
45. 2; não.
Exercícios propostos
As atividades propostas nesta página exploram a divisibilidade por 4 e retomam as demais.
As resoluções e comentários dos exercícios 38, 39, 41, 42 e 43 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 4.
Para expandir o trabalho com o exercício 40, solicite aos estudantes a explicação da resolução de cada item. Vejamos algumas possibilidades.
a) Como o número .5314 é par, basta adicioná-lo a zero.
b) A soma dos algarismos do número .5314 é igual a 13. Como depois do 13 o próximo múltiplo de 3 é o número 15, essa deve ser a soma dos algarismos do número divisível por 3, o que significa adicionar 2 ao número original.
c) 14 não é divisível por 4, mas o múltiplo seguinte mais próximo é 16, ou seja, basta adicionar 2 a .5314.
d) .5314 termina em 4, então basta adicionar 1 para que termine em 5.
e) Considerando as respostas de a e b, concluímos que basta adicionar 2 a .5314.
f) Já vimos que a soma dos algarismos do número .5314 é igual a 13, ou seja, o próximo múltiplo de 9 é 18, o que significa adicionar 5 ao número original.
3. Números primos
Depois de apresentar os conceitos de números primos e números compostos, peça aos estudantes que descubram todos os números primos de 1 a 50. Isso pode ser feito em uma roda de conversa na qual todos, organizadamente, expressam suas opiniões e justificativas. Quando algum estudante indicar um desses números como composto, peça a ele que mostre na lousa uma maneira de registrar tal número por meio de uma multiplicação não envolvendo o número 1 como fator. Isso contribuirá para a apreensão do conceito de número composto pelos estudantes.
Exercícios propostos
No exercício 44 pode-se pedir aos estudantes que apresentem uma justificativa para os números identificados como compostos, como por exemplo:
14 é divisível por 2, pois 14 dividido por 2 = 7
21 é divisível por 7, pois 21 dividido por 7 = 3
296 é divisível por 2, pois 296 dividido por 2 = 148
No exercício 45 devem perceber que o único número primo que é par é o 2, que só é divisível por 1 e por ele mesmo; já os demais não seriam, pois todos os números pares são divisíveis por 2.
46 Observe o calendário do mês de março de determinado ano.
a) Há algum domingo representado por um número primo? Em caso afirmativo, qual?
b) Quantos fins de semana (sábado e domingo, simultaneamente) existem nesse mês cujos dois dias são representados por números primos?
c) Qual dia da semana desse mês é representado por uma quantidade maior de números primos?
47 Existe algum múltiplo de 3 que seja primo? Em caso afirmativo, qual?
48 Existe algum múltiplo de 3, diferente de 3, que seja primo? Justifique sua resposta.
49 A soma dos algarismos de um número é 27. Esse número é primo? Por quê?
50 Qual é o menor número de dois algarismos que é primo? E qual é o maior?
51 Considere os números 7, 10, 35, 41, 75 e 77.
a) Determine todos os divisores de cada um desses números.
b) Construa uma tabela com duas colunas e sete linhas, registrando os números e as suas quantidades de divisores.
c) Construa um gráfico de colunas correspondente a essa tabela.
d) Qual desses números apresenta maior quantidade de divisores?
e) Entre os números apresentados, existem números primos? Em caso afirmativo, quais? Justifique.
52
Reúna‑se com um colega, leiam o texto a seguir e façam, no caderno, o que se pede.
Em 1742, da troca de cartas entre dois matemáticos, Christian Goldbach e Leonard Euler, surgiu a conjectura de Goldbach: “Todo número par, maior que dois, é a soma de dois primos”.
Observem alguns exemplos:
138 = 37 + 101; 974 = 313 + 661
a) Pesquisem em um dicionário e escrevam o significado da palavra conjectura.
b) Essa conjectura vale para os dez primeiros números pares maiores do que 2?
c) Mostrem que essa conjectura vale para o número 200. Agora respondam: Há mais de uma maneira de escrever o número 200 como soma de dois números primos?
d) Agora, cada um deve escolher um número par de três algarismos para o outro verificar essa conjectura.
Pense mais um pouco reticências
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Sabendo que Pedro tem mais de 20 anos e menos de 50 anos, descubra a idade dele hoje.
Respostas e comentários
46. a) Sim; dia 11.
46. b) Nenhum, pois um dos dois dias sempre será um número par maior que 2.
46. c) Sábado (dias 3, 17 e 31).
47. Sim; o 3.
48. Não, pois todo múltiplo de 3, diferente de 3, é divisível por 3.
49. Não, pois ele tem mais de dois divisores (por exemplo, o 3).
50. 11; 97
51. a) Divisores de 7: 1, 7; divisores de 10: 1, 2, 5, 10; divisores de 35: 1, 5, 7, 35; Divisores de 41: 1, 41; divisores de 75: 1, 3, 5, 15, 25, 75; Divisores de 77: 1, 7, 11, 77.
51. b) Construção da tabela.
51. c) Construção do gráfico.
51. d) 75
51. e) Sim; o 7 e o 41; ambos têm apenas dois divisores distintos.
52. a) Resposta possível: afirmação provavelmente verdadeira.
52. b) Respostas possíveis: sim; 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 16 = 5 + 11, 18 = 7 + 11, 20 = 3 + 17, 22 = 3 + 19
52. c) Respostas possíveis: 200 = 103 + 97, 200 = 127 + 73; sim.
52. d) Resposta pessoal.
Pense mais um pouco reticências:
31 anos.
Exercícios propostos
Usando o mesmo contexto do exercício 46, é possível fazer outras perguntas aos estudantes e solicitar-lhes que relatem situações cotidianas em que o uso do calendário é significativo. É comum, por exemplo, sem ter todos os meses no calendário, desejar saber em que dia de uma semana posterior será determinada data.
As resoluções e comentários dos exercícios 47 a 51 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 4.
Introduzindo um fato da história da Matemática, o exercício 52 oferece uma oportunidade prática para a compreensão do termo “conjectura”, sem exigir demonstrações formais. Isso não diminui o mérito das experimentações solicitadas, que, ao contrário, incitam a curiosidade dos estudantes em comprovar a validade da conjectura. Caso questionem a eficácia do método experimental, pode-se argumentar que não é possível fazer experimentações com todos os números naturais, pois são infinitos. Vale lembrar que algumas demonstrações exigem apenas encontrar um contraexemplo – recurso mais natural para a faixa etária.
Pense mais um pouco reticências
Nesta seção, os estudantes podem trabalhar em duplas ou trios para testarem diferentes hipóteses e refinarem suas estratégias. Tão importante quanto chegar à resposta é explicar o caminho da resolução. Assim, sorteie algumas duplas para expor suas resoluções aos colegas.
Ao resolver a atividade proposta, os estudantes devem considerar que os números ímpares que são quadrados perfeitos, maiores que 20 e menores que 50, são: 25 e 49
Considerando que essa idade seria de 6 anos atrás, a idade atual seria: 31 ou 55
Pedro afirma que a idade atual é primo, logo 55 deve ser descartado, pois 55 é divisível por 5.
Portanto, Pedro tem 31 anos.
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Transcrição do áudio
Eratóstenes e os números primos
Duração: 5:38min. Página: 100.
>> [Locutor] Eratóstenes e os números primos
>> [Narrador] Antes de a ciência, tal como a conhecemos hoje, estar separada por áreas, os cientistas eram filósofos, astrônomos, físicos, matemáticos... [tom enfático] tudo ao mesmo tempo! Um desses pensadores foi Eratóstenes.
>> [Narrador] Eratóstenes nasceu no ano 276 antes de Cristo, na cidade de Cirene, na atual Líbia, e completou seus estudos em Atenas, na Grécia antiga. Era matemático, poeta, gramático, geógrafo, bibliotecário e astrônomo.
>> [Narrador] Ele foi o bibliotecário-chefe da [tom enfático] famosa Biblioteca de Alexandria e tornou-se conhecido por ser a primeira pessoa a calcular [tom enfático] corretamente a medida do comprimento da circunferência da Terra. É conhecido pelo Crivo de Eratóstenes, o primeiro método desenvolvido para encontrar números primos.
>> [Narrador] De acordo com esse método, para encontrar todos os números primos até 100, por exemplo, basicamente devemos escrever todos os números inteiros de 2 a 100 em um papel. O número 2 é o primeiro número primo da lista, então, o pintamos de verde.
>> [Narrador] Como próximo passo, pintamos de vermelho todos os múltiplos do número 2: o 4, o 6, o 8, o 10, o 12, e assim por diante.
>> [Narrador] Como todos esses números são divisíveis, também por 2, eles não são primos.
>> [Narrador] Seguimos o processo com o 3. Ele é primo, logo, o pintamos de verde e, depois, pintamos todos os seus múltiplos de vermelho.
>> [Narrador] Alguns já estarão pintados, como o 6, mas outros não, como o 9. Pintamos, então, o 9, o 15, e os demais múltiplos de 3.
>> [Narrador] O próximo número seria o 4, que já está pintado. Continuamos, então, com o 5, que é primo. E assim por diante...
>> [Narrador] Quando terminarmos, os números pintados de verde serão os primos.
>> [Narrador] Se antigamente os números primos já fascinavam o mundo com a sua estrutura particular, hoje eles são cruciais para os sistemas de segurança informática. A proteção dos nossos dados pessoais e de nossas contas bancárias [tom enfático] depende deles!
>> [Narrador] Mesmo atualmente, não existem técnicas computacionalmente eficientes para encontrar todos os números primos. Elas são variações daquele primeiro método elaborado por Eratóstenes.
>> [Narrador] Euclides demonstrou que existem infinitos números primos, e esse procedimento é eficiente para encontrar todos os primos menores do que um certo número.
>> [Narrador] Nosso problema hoje em dia é que, mesmo conhecendo muitos números primos, queremos sempre saber qual será o seguinte.
>> [Narrador] Aqui, a técnica é falha, pois não existe uma fórmula para encontrar números primos muito grandes.
>> [Narrador] O que fazemos, então, é procurar, número por número, todos os possíveis divisores de cada um.
>> [Narrador] Se, após testar um determinado número, o computador não encontrar nenhum divisor que não seja 1 e ele próprio, então, esse número pode ser considerado primo!
>> [Narrador] A isto se chama aplicar [tom enfático] força bruta computacional.
>> [Narrador] A dificuldade para encontrar novos números primos é [tom enfático] tão grande que essas descobertas tornaram-se muito raras e costumam até ser [tom enfático] noticiadas!
>> [Narrador] Um dos mais recentes números primos descobertos — e o [tom enfático] maior até então — foi encontrado em dezembro de 2018 e tem aproximadamente 25 milhões de dígitos. [Tom enfático] Dígitos!
>> [Narrador] Ele foi encontrado pelo projeto GIMPS, uma iniciativa aberta para qualquer um que deseje participar da busca por números primos.
>> [Narrador] Por conta dessa dificuldade, os números primos se tornaram tão importantes para os sistemas de segurança da informação.
>> [Narrador] Se eu tenho dois números primos grandes, é fácil calcular o produto deles. Mas se conheço apenas esse produto, é difícil encontrar os dois números primos que o geraram.
>> [Narrador] Esta é a base teórica do sistema de criptografia RSA, assim chamado graças às iniciais dos sobrenomes dos seus criadores: Rivest, Shamir e Adleman.
>> [Narrador] Esse sistema é um dos mais utilizados no mundo. Por meio dele, uma pessoa oferece abertamente a chave pública dela, composta pelo produto de dois números primos.
>> [Narrador] Isso pode acontecer por meio de um aplicativo de [tom enfático] conversa, por exemplo! Quem quiser enviar uma mensagem a ela usa esse número para criptografar seu recado.
>> [Narrador] Como só o dono da chave conhece os dois números primos originais em que ela se baseia, só ele pode utilizá-los para descriptografar e ler a mensagem que recebeu.
>> [Narrador] Se alguém mais quiser acessar essa mensagem, precisará primeiro encontrar os números primos que compõem a chave.
>> [Narrador] A ideia é que essa operação levaria tanto tempo que o conteúdo da mensagem já terá perdido a relevância quando ela for [tom enfático] finalmente decifrada!
Créditos
Studio Núcleo de Criação
Decomposição em fatores primos
Todo número natural composto pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores diferentes de 1. Observe, por exemplo, algumas decomposições do número 36:
Vamos prosseguir, decompondo os fatores que são números compostos também em um produto de dois fatores, até que fiquem somente fatores primos:
Quando um número está decomposto em um produto em que todos os fatores são números primos, dizemos que esse número está decomposto em fatores primos.
Portanto, o produto 2 elevado a 2 ⋅ 3 elevado a 2 é a decomposição em fatores primos do número 36.
Observe que pode haver diferentes maneiras de decompor um número natural em um produto de dois ou mais fatores, mas a decomposição em fatores primos é única.
Para efetuar a decomposição, pode‑se dividir o número dado pelo seu menor divisor primo. Depois, procede‑se da mesma maneira com o quociente obtido, até encontrar o quociente 1.
Acompanhe alguns exemplos de como decompor o número 60 em fatores primos:
Podemos escrever: 60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ou 60 = 2 elevado a 2 ⋅ 3 ⋅ 5
Também podemos efetuar a decomposição do número 60 dos seguintes modos.
Respostas e comentários
Decomposição em fatores primos
Antes de iniciar o estudo da decomposição em fatores primos, apresente alguns números naturais na lousa para os estudantes representá-los por meio de multiplicações, registrando-as no caderno. Espera-se que percebam que, se o número é composto, há maneiras diferentes de decompô-lo usando multiplicação; se o número for primo, haverá só uma maneira: o produto de 1 pelo próprio número. Em seguida, proponha a decomposição dos números compostos apresentados na lousa usando apenas fatores que são números primos e proceda do mesmo modo. Nesse caso, espera-se que percebam que todos encontraram a mesma decomposição. Essa discussão inicial promoverá uma compreensão maior do assunto.
A apresentação do processo da decomposição em fatores primos pode ser feita em um trabalho em duplas, em que cada dupla acompanhará o procedimento mostrado no livro e analisará os exemplos da página. Depois, proponha um novo número para a dupla decompor em fatores primos, aplicando o processo que estudaram. Percorra a sala para perceber as dificuldades e fazer intervenções que auxiliem os estudantes a resolvê-las. Em seguida, um estudante de alguma dupla vai à lousa mostrar a decomposição que fizeram, explicando aos demais colegas como pensaram.
Se julgar conveniente, proponha aos estudantes novos números para serem decompostos e proceda de maneira similar com cada um deles. Ao final, discuta com eles as dúvidas que surgiram para perceberem se há ainda alguma dificuldade na compreensão do processo.
Agora, observe a decomposição em fatores primos dos números 180, 98 e 297.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
53 Determine o menor divisor primo de:
a) 64;
b) 75;
c) 85;
d) 49.
54 Decomponha os números a seguir em fatores primos.
a) 120
b) 144
c) 168
d) 225
e) 117
f) 125
55 Um número natural decomposto em fatores primos é representado assim: 2 elevado a 3 ⋅ 3 elevado a 2 ⋅ 7.
Que número é esse?
56 a = 2 ⋅ 3 ⋅ 11 e B = 2 elevado a 2 ⋅ 3 elevado a 2 ⋅ 5 são as decomposições de dois números naturais. Calcule A + B.
PARA SABER MAIS
ême dê cê e ême ême cê
Em uma escola, as turmas de 6º ano planejaram um evento que contou com a participação de todos os estudantes. O 6º ano a tem 42 estudantes, o 6º ano B, 36, e o 6º ano C tem 30. Cada turma formou suas equipes com o seguinte critério: todas as equipes tinham o mesmo número de estudantes e o maior número possível deles.
Para descobrir o número êne de estudantes de cada equipe, os organizadores pensaram assim:
êne tem de ser um divisor de 42, de 36 e de 30.
• divisores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42;
• divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36;
• divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30.
Os divisores comuns a 42, 36 e 30 são 1, 2, 3 e 6. Assim, para terem o mesmo número de participantes, as equipes deveriam ter 1, 2, 3 ou 6 estudantes. Como o critério era o maior número possível, cada equipe deveria ter 6 estudantes, que é o maior divisor comum ( ême dê cê) de 42, de 36 e de 30.
Respostas e comentários
53. a) 2
53. b) 3
53. c) 5
53. d) 7
54. a) 120 = 2 elevado a 3 ⋅ 3 ⋅ 5
54. b) 144 = 2 elevado a 4 ⋅ 3 elevado a 2
54. c) 168 = 2 elevado a 3 ⋅ 3 ⋅ 7
54. d) 225 = 3 elevado a 2 ⋅ 5 elevado a 2
54. e) 117 = 3 elevado a 2 ⋅ 13
54. f) 125 = 5 elevado a 3
55. 504
56. 246
Exercícios propostos
Para responder ao exercício 53, os estudantes devem perceber que:
a) 64 é um número par; logo, o menor divisor primo é o 2.
b) A soma dos algarismos de 75 é 7 + 5 = 12; portanto, o menor divisor primo de 75 é o 3.
c) Como 85 termina em 5 e não é divisível por 3, seu menor divisor é o 5.
d) Como 49 é divisível por 7, mas não é por 2, 3 ou 5, o menor divisor desse número é o 7.
Verifique se algum estudante apresentou dificuldades para responder ao exercício 54 e retome com eles o significado de fatoração e de números primos.
No exercício 55 alguns estudantes podem ter dificuldades em trabalhar com potências. Neste momento é importante retomar o conceito de potência como um produto entre fatores de mesma base.
Assim, deverão perceber que:
2 elevado a 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8
3 elevado a 2 = 3 ⋅ 3 = 9
Logo, 8 ⋅ 9 ⋅ 7 = 504
Para ampliar o trabalho com o exercício 56, proponha aos estudantes questões como:
• Que base e que expoente você precisa mudar em B para que a + B resulte em 291? (É preciso mudar a base 2 para 1 e o expoente do fator 5 deve mudar de 1 para 2, ou seja, B = 1 elevado a 2 ⋅ 3 elevado a 2 ⋅ 5 elevado a 2.)
• Qual expoente você deve mudar em a para que a + B resulte em 378? (É preciso mudar o expoente do fator 3 de 1 para 2, ou seja, A = 2 ⋅ 3 elevado a 2 ⋅ 11.)
Para saber mais
A seção introduz os conceitos de máximo divisor comum ( ême dê cê) e mínimo múltiplo comum ( ême ême cê), que serão tratados também no próximo ano mais profundamente. Se julgar conveniente, proponha aos estudantes alguns problemas que envolvam esses conceitos.
As irmãs Edi, Eni e Eti programaram os seus celulares para despertar às 7 horas, com repetição a cada 4, 6 e 8 minutos, respectivamente. Depois das 7 horas, quanto tempo se passou para os celulares voltarem a tocar juntos novamente?
Resolvemos essa questão considerando os múltiplos das repetições de cada uma delas.
• Edi: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, reticências
• Eni: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, reticências
• Eti: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, reticências
Os tempos de repetição comuns aos três celulares são: 24, 48, 72, reticências
Depois das 7 horas, os três celulares despertarão primeiro após 24 minutos, o menor múltiplo comum ( ême ême cê) com exceção do zero.
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Liz comprou duas pizzas, uma cortada em seis pedaços iguais que lembram ângulos de 60°, a outra em pedaços iguais que lembram ângulos de 90°. Liz quer repartir as duas pizzas em pedaços de igual tamanho, o maior possível. Quantos graus deverá ter o ângulo que cada novo pedaço de pizza lembra?
2 As rodas a e bê fazem um “ploc” e partem em trilhos paralelos. A roda a faz um “ploc” a cada 6 centímetros, e a roda B, a cada 10 centímetros. Depois da partida, quantos centímetros elas andam até fazerem um “ploc” juntas novamente?
Respostas e comentários
1. 30°
2. 30 centímetros
Agora é com você!
Discuta cada questão com os estudantes para se certificar de que compreenderam os enunciados.
Na atividade 1, espera-se que eles percebam que a medida do ângulo procurado deve ser expressa por um número que é o maior divisor de 60° e 90°, simultaneamente (o ême dê cê entre eles), neste caso, 30°.
Já na atividade 2, os estudantes deverão perceber que a distância procurada, que determina o próximo “ploc” juntos, é dada pelo menor múltiplo comum não nulo das distâncias a que cada roda faz “ploc” (o ême ême cê entre essas distâncias), logo, 30 centímetros.
Compartilhe com a turma os diferentes procedimentos que surgirem, validando-os com os estudantes.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Construindo um gráfico de barras
O Sistema Nacional de Bibliotecas Públicas ( ésse êne bê pê) divulgou, em 2021, que em todo o Brasil havia .6057 bibliotecas. Note no quadro a seguir os seis estados que possuem o maior número de bibliotecas públicas com cadastro atualizado no sistema.
Estado |
Bibliotecas |
---|---|
Minas Gerais |
727 |
Rio Grande do Sul |
534 |
Paraná |
527 |
Bahia |
443 |
São Paulo |
300 |
Santa Catarina |
233 |
Dados obtidos em: SISTEMA Nacional de Bibliotecas Públicas ( ésse êne bê pê). Disponível em: https://oeds.link/IDONpH. Acesso em: 9 maio 2022.
Também é possível organizar e apresentar essas informações em um gráfico de barras. Para facilitar a construção do gráfico, vamos arredondar a quantidade de bibliotecas públicas de cada estado para a dezena mais próxima.
Para construir esse gráfico, com o auxílio de uma régua, adotamos os seguintes procedimentos:
• Traçamos uma linha horizontal, em que será registrada a quantidade de bibliotecas, e uma linha vertical, na qual serão indicados os estados.
• Escolhemos uma unidade de medida adequada de modo que caibam, na linha horizontal, os valores indicados na tabela, e outra unidade de medida de modo que caibam, na linha vertical, as larguras das barras. Para facilitar a leitura, convém que essas larguras sejam iguais.
Respostas e comentários
Trabalhando a informação
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah três um, ê éfe zero seis ême ah três dois e ê éfe zero seis ême ah três três.
Se sua escola tem uma biblioteca, leve os estudantes até lá para trabalhar o conteúdo desta seção. A mudança de cenário desperta mais interesse pelo conteúdo e essa pode ser uma fórma de incentivar os estudantes a frequentar a biblioteca.
O objetivo principal desta seção é a construção de gráficos de barras a partir de um quadro ou uma tabela. Essa atividade permite explorar:
• duas fórmas de representação: quadro e gráfico de barras;
• o conceito de escala, pois podem ser construídos gráficos em diferentes escalas e discutir a escolha da escala;
• a construção das barras do gráfico – podem-se apresentar alguns gráficos de barras nos quais a distância entre as barras varie e promover uma discussão a fim de que os estudantes percebam que, para garantir a clareza na interpretação das informações, é conveniente que a distância entre as barras seja igual;
• a leitura e a interpretação de quadros e gráficos de barras;
• a realização de uma pesquisa com coleta e organização dos dados.
Desse modo, as atividades propostas nesta seção contribuem para o desenvolvimento das habilidades ( ê éfe zero seis ême ah três um), ( ê éfe zero seis ême ah três dois) e ( ê éfe zero seis ême ah três três).
• Traçamos as barras. A barra relativa a Minas Gerais deve ter comprimento de medida igual a 73 milímetros, pois esse estado possuía, aproximadamente, setecentas e trinta bibliotecas com cadastro atualizado em 2021. Da mesma fórma, a barra relativa ao estado de São Paulo deve ter comprimento medindo 30 milímetros, pois em 2021 havia trezentas bibliotecas em São Paulo. Assim, as barras relativas aos estados do Rio Grande do Sul, Paraná, Bahia e Santa Catarina devem ser construídas com 54 milímetros, 53 milímetros, 44 milímetros e 23 milímetros de medida de comprimento, respectivamente.
• Completamos o gráfico nomeando as linhas vertical e horizontal, chamadas de eixos, dando um título ao gráfico e indicando a fonte dos dados. Há gráficos de barras em que o eixo horizontal é omitido. Nesses casos, necessariamente, os valores são colocados à direita ou acima das respectivas barras.
Algumas interpretações podem ser feitas pela análise do gráfico:
• Em 2021, a Bahia tinha quase o dobro da quantidade de bibliotecas de Santa Catarina. Podemos afirmar isso porque o comprimento da barra referente ao estado da Bahia (44 milímetros) tem quase o dobro do comprimento da barra de Santa Catarina (23 milímetros).
• Entre os estados apresentados, o que tinha a menor quantidade de bibliotecas em 2021 era Santa Catarina.
Agora quem trabalha é você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Faça mais algumas interpretações do gráfico de barras apresentado anteriormente.
a) Quantas bibliotecas existiam no estado de São Paulo em 2021?
b) Em 2021, aproximadamente, quantas bibliotecas os estados de Santa Catarina e do Rio Grande do Sul tinham juntos?
c) E hoje, quantas bibliotecas existem no estado e no município em que você vive? Faça uma pesquisa na internet para responder.
2 O bibliotecário é o profissional que mantém organizados os dados relativos a empréstimos de livros. Observe no quadro quantos livros foram emprestados em uma biblioteca ao longo da semana.
Dia da semana |
Quantidade |
---|---|
Segunda-feira |
12 |
Terça-feira |
15 |
Quarta-feira |
9 |
Quinta-feira |
18 |
Sexta-feira |
20 |
Dados obtidos das anotações do bibliotecário.
a) Em um gráfico de barras que represente os dados desse quadro, qual dia da semana deve ter a barra de maior comprimento? E qual dia deve ter a barra de menor comprimento?
b) Há alguma barra desse gráfico que deva ter o dobro do comprimento de outra barra? Em caso afirmativo, quais barras? Por quê?
c) Construa um gráfico de barras para representar os dados desse quadro.
3 Você tem o hábito de ler livros? E seus colegas? Faça uma pesquisa para obter essa informação.
a) Pergunte aos colegas quantos livros eles leram no ano passado e organize as informações coletadas em uma tabela.
b) Construa um gráfico de barras com os dados por quantidade de colegas e quantidade de livros lidos.
c) Compartilhe o resultado de sua pesquisa com o professor e os colegas da turma.
Respostas e comentários
1. a) trezentas bibliotecas.
1. b) setecentas e sessenta bibliotecas (230 + 530 = 760).
1. c) A resposta depende do local pesquisado.
2. a) Sexta‑feira; quarta‑feira.
2. b) Sim; a barra da quinta‑feira deve ter o dobro do comprimento da barra da quarta‑feira, pois na quinta‑feira houve o dobro de empréstimos da quarta‑feira.
2. c) Construção do gráfico.
3. Respostas pessoais.
Agora quem trabalha é você!
Para responder à atividade 1, os estudantes podem consultar o Sistema Nacional de Bibliotecas Públicas ou os sites das secretarias de educação do estado e do município. Caso não tenha uma biblioteca pública no município, mas exista na escola, leve-os para conhecerem, deixe que escolham um livro e que levem para casa para fazerem uma leitura e depois compartilhar a história com os demais colegas. Outra proposta sugerida para os estudantes é de que façam uma campanha de arrecadação de livros e compartilhem os livros arrecadados com outros colegas da escola ou da comunidade.
A resolução e comentários sobre a atividade 2 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 4.
Ao propor aos estudantes a atividade 3 oriente-os na seleção de sua amostra, que pode ser entre os colegas de classe ou entre colegas da região em que moram. Oriente-os também na elaboração do questionário para coletarem os dados da pesquisa.
Comente com os estudantes que a coleta pode ser realizada de diferentes maneiras, seja perguntando pessoalmente aos colegas ou utilizando meios eletrônicos, como e-mails, redes sociais, mensagens de aplicativos ou formulários eletrônicos.
Neste momento, é importante que o gráfico de barras seja construído com o apoio de uma régua para que os estudantes exercitem o conceito de escala.
Incentive os estudantes a apresentar seus resultados, pois a comunicação será uma importante habilidade a ser desenvolvida.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Na fila da bilheteria de um teatro, há menos de 50 pessoas. Contando essas pessoas de 6 em 6, sobram 3. Contando‑as de 7 em 7, também sobram 3. Quantas pessoas estão na fila?
2 Ana tem de 100 a 150 livros. Organizando‑os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta um. Quantos livros Ana tem?
3
Verifique mentalmente se o número .34524 é divisível por 6. Justifique sua resposta.
4 Dê o menor número de três algarismos distintos:
a) divisível por 2;
b) divisível por 3;
c) divisível por 5;
d) divisível por 6.
5 Corrija as sentenças que são falsas.
a) O número 260 é divisível por 2, por 3 e por 5.
b) .2040 é divisível por 2, mas não é por 3.
c) .3065 é divisível por 5, mas não é por 3.
d) .18980 é divisível por 4, mas não é por 9.
6 Uma pessoa deseja efetuar, com o auxílio de uma calculadora, a divisão de um número por 36, mas a tecla 6 está com defeito. Como ela poderia fazer essa divisão?
7 Dividindo‑se um número por 10, restou 5.
a) Esse número é divisível por 2? Por quê?
b) Esse número é divisível por 5? Por quê?
8 Ari lê o número das placas antigas de automóveis: RIA‑8000, IRA‑5670, AIR‑4004 e RAI‑2600. Em qual dessas placas o número é divisível por:
a) .1000
b) 100
c) 10
9 Na abertura deste capítulo, falamos um pouco sobre os calendários maias. Para cada um dos 365 dias do Tzolkin, os maias contavam um período de 260 dias do Haab.
a) Após quantos dias haveria um Haab e um Tzolkin iniciando juntos?
b) Você consegue explicar por que o uso simultâneo dos calendários Tzolkin e Haab contabilizava um ciclo de 52 anos?
10 Usando uma calculadora em que a tecla 1 não funciona, como é possível efetuar a multiplicação de um número por 12?
11 Que algarismo deve ser colocado à esquerda de 283 para que se obtenha um número divisível por 9?
12
Alfredo pensou no número 518, trocou a ordem dos algarismos e obteve 815. Subtraindo o menor do maior, obteve 297.
a) Esse número é múltiplo de 9?
b) Agora, pense em um número e realize os mesmos passos do cálculo de Alfredo. O resultado da subtração em seu cálculo é divisível por 9?
13 Uma florista tem 100 rosas brancas e 60 rosas vermelhas. Ela pretende montar o maior número de ramalhetes que contenha, cada um, o mesmo número de rosas brancas e o mesmo número de rosas vermelhas.
a) Dessa fórma, qual é o maior número de ramalhetes que a florista poderá montar?
b) Quantas rosas brancas e quantas rosas vermelhas terá cada um desses ramalhetes?
14 Quando um número termina em 5, ele:
a) é divisível apenas por 5.
b) pode ser divisível por 2.
c) pode ser divisível por 3.
d) pode ser divisível por 10.
15 Para participar do campeonato estudantil de basquete foram inscritos menos de 50 estudantes. Formando‑se equipes de 7 estudantes, sobram 6. Formando‑se equipes de 9 estudantes, sobram 3. Nessas condições, se forem formadas equipes de 8 estudantes, quantas equipes seriam formadas?
16 ( ú éfe ême gê) O número de três algarismos divisível ao mesmo tempo por 2, 3, 5, 6, 9, 11 é:
a) 330.
b) 66.
c) 676.
d) 990.
e) 996.
17 O ême dê cê de três números primos é:
a) o menor deles.
b) o maior deles.
c) o número 1.
d) o produto deles.
18 Determine o menor número que dividido por 12, por 15 e por 36 tem sempre resto igual a 2.
Respostas e comentários
1. 45 pessoas.
2. 121 livros.
3. O número .34524 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3.
4. a) 102
4. b) 102
4. c) 105
4. d) 102
5. a) O número 260 é divisível por 2 e por 5, mas não por 3.
5. b) O número .2040 é divisível por 2 e por 3.
6. Dividiria por 2 e, depois, por 18; ou por 3 e, depois, por 12; ou por 4 e, depois, por 9.
7. a) Não, pois ele não é par.
7. b) Sim, pois ele termina em 5.
8. a) 1ª
8. b) 1ª e 4ª
8. c) 1ª, 2ª e 4ª
9. a) .18980 dias
9. b) O acompanhamento dos dias pelos dois calendários reflete uma combinação única, pois, quando acaba o primeiro Haab e começa o próximo, não zera a contagem no Tzolkin. mmc (260; 365) = .18980. .18980 dividido por 365 = 52. Esse número de .18980 dias equivale a 52 anos de 365 cada um.
10. Multiplicando o número por 3 e, depois, por 4; ou por 2 e, depois, por 6.
11. 5
12. a) Sim, 297 é múltiplo de 9.
12. b) Sim.
13. a) 20 ramalhetes.
13. b) 5 rosas brancas e 3 rosas vermelhas.
14. Alternativa c.
15. 6 equipes.
16. Alternativa d.
17. Alternativa c.
18. 182
Exercícios complementares
Este bloco de exercícios amplia as oportunidades de retomada e aplicação dos conceitos do capítulo. Após a resolução do exercício 1, pode-se apresentar aos estudantes esta resolução. Primeiro, faça um quadro com os números possíveis (considerando a informação “há menos de 50 pessoas”).
Depois, marque os números de acordo com as informações do enunciado:
• de 6 em 6 sobram 3 → 1º: eliminam-se todos os múltiplos de 6 (risque esses múltiplos); 2º: marcam-se os números que têm 3 unidades a mais que cada múltiplo de 6 (com negrito);
• de 7 em 7 sobram 3 → 1º: eliminam-se todos os múltiplos de 7 (risque esses múltiplos); 2º: marcam-se os números que têm 3 unidades a mais que cada múltiplo de 7 (sublinhado).
Como resposta, só são válidos os números marcados em negrito e sublinhados (simultaneamente), mas que não foram eliminados. Nessas condições, apenas o número 45: é menor que 50; quando a contagem se dá de 6 em 6, sobram 3 (45 dividido por 6 resulta 7 com resto 3); quando a contagem se dá de 7 em 7, sobram 3 (45 dividido por 7 resulta 6 com resto 3).
É interessante que os estudantes comparem essa resolução com a deles, buscando semelhanças e diferenças.
No exercício 15, é importante que organizem os números possíveis para eliminarem com confiança os que não têm as características descritas. Fique atento aos estudantes que fazem tentativas aleatórias, pois as dicas dadas são fundamentais para levantar hipóteses e elaborar conjecturas.
As resoluções dos exercícios 2 a 18 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 4.
VERIFICANDO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Em uma rodoviária há duas linhas de ônibus que se encaminham para destinos diferentes. Em uma dessas linhas, os veículos partem a cada 84 minutos e, na outra, a cada 165 minutos. Supondo que a primeira viagem dos veículos dessas linhas ocorra ao mesmo tempo, após quantos minutos haverá uma nova partida juntos?
a) .3350 minutos.
b) .4620 minutos.
c) .9900 minutos.
d) .13300 minutos.
2 O conjunto dos divisores comuns de 16 e 36 é representado por:
a) {0; 2; 4}.
b) {1; 2; 4}.
c) {2; 4; 8}.
d) {0; 2; 4; 8; 16}.
3 Qual é o menor número natural que devemos adicionar a 110 para obter um número que seja múltiplo de 13?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
4 Uma sequência numérica é formada pelos divisores de 600. Pertencem a essa sequência os números:
a) 6 e 66.
b) 12 e .1200.
c) 25 e 125.
d) 40 e 150.
5 O conjunto dos múltiplos comuns de 8 e 12 pode ser representado por:
a) {0; 24; 48; 60; reticências}
b) {1; 2; 4; 8}
c) {0; 12; 24; 36; 48; reticências}
d) {8; 16; 24; 32; 40; reticências}
6 Todo número que termina em 0 ou em 5 é divisível por:
a) 2.
b) 4.
c) 5.
d) 10.
7 Uma fábrica precisa distribuir .16800 unidades de um produto. Para facilitar o transporte, elas são armazenadas em caixas com 10 unidades, que são transportadas em grupos de quatrocentas a quatrocentas e cinquenta unidades. Para fazer esse transporte, pretende-se usar a menor quantidade possível de veículos. Quantos veículos deverão ser usados?
a) 38 veículos.
b) 40 veículos.
c) 42 veículos.
d) 44 veículos.
8 Isa quebrou seu cofre de moedas de 1 real para comprar um presente de R$ 139,00cento e trinta e nove reais. Ao empilhá-las em montes de 16 ou 18 moedas, sobram sempre 9 moedas. Sabendo que Isa tem menos de R$ 200,00duzentos reais, podemos dizer que ela:
a) comprará o presente e ficará com 14 reais.
b) comprará o presente e ficará com 9 reais.
c) não comprará o presente, pois faltam 9 reais.
d) não comprará o presente, pois faltam 14 reais.
9 Qual é o maior número múltiplo dos números 6 e 9 que seja menor que 100?
a) 99
b) 90
c) 81
d) 72
Organizando
Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.
a) Existe algum número que é múltiplo de todos os números naturais? Justifique sua resposta.
b) Um número natural pode ter infinitos múltiplos; porém não podemos dizer o mesmo sobre seu número de divisores. Qual é o menor número de elementos que o conjunto de divisores de um número natural diferente de 1 pode ter?
c) Pense em um número entre 1 e 10. Multiplique o resultado por 9. Some os algarismos desse número. O resultado final foi 9, correto? Como você explica esse resultado? Funcionaria com números maiores que 10?
d) Quais são os critérios de divisibilidade que você aprendeu? Escreva um texto organizando essas informações.
e) Explique, com suas palavras, por que o algarismo 2 é o único número primo par.
Respostas e comentários
1. Alternativa b.
2. Alternativa b.
3. Alternativa a.
4. Alternativa d.
5. Alternativa a.
6. Alternativa c.
7. Alternativa b.
8. Alternativa a.
9. Alternativa b.
Organizando: As respostas a estas questões estão neste Manual.
Verificando
Esses exercícios são mais uma oportunidade para os estudantes validarem o entendimento do conteúdo estudado neste capítulo. Oriente-os a reverem os conteúdos estudados caso alguma dúvida persista.
As resoluções dos testes 1 a 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 4.
Organizando
Ao retomarem os estudos para responder às questões propostas, incentive os estudantes a organizarem o aprendizado, fazendo resumos, quadros de destaque ou mapas conceituais para os conceitos que considerarem importantes.
As respostas esperadas são:
a) Sim, pois o número zero é múltiplo de todos os números naturais, incluindo ele mesmo.
b) O menor número seria 2: o número 1 e o próprio número. Isso acontece quando o número é primo.
c) Resposta possível: Isso acontece porque, ao multiplicar um número por 9, a soma dos algarismos é divisível por 9. Evidencie que para números maiores que 10, a soma ainda seria um múltiplo de 9, mas com um valor maior que 9.
d) Resposta possível: Um número natural é divisível por 2 somente quando é par. Um número natural é divisível por 3 somente quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos é divisível por 3. Um número natural é divisível por 4 somente quando termina em 00 ou quando o número formado por seus dois últimos algarismos à direita é divisível por 4. Um número natural é divisível por 5 somente quando termina em zero ou em 5. Um número natural é divisível por 6 somente quando é divisível por 2 e por 3. Um número natural é divisível por 9 somente quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos é divisível por 9. Um número natural é divisível por 10 somente quando termina em zero.
e) Resposta pessoal. Sugestão de resposta: porque todos os outros números pares têm o 2 como divisor, além do 1 e do próprio número.