CAPÍTULO 6 Um pouco de Geometria plana
Observe a imagem e responda às questões no caderno.
a) Na obra de Kumi Yamashita, cada prego representa um ponto ou um segmento? E cada pedaço de linha esticada entre dois pregos?
b) Na imagem, partes como as sobrancelhas têm maior ou menor concentração de linhas (quantidade de linhas em áreas de mesma medida) do que o centro da testa?
c) Podemos considerar que os efeitos claro ou escuro em partes da imagem têm relação com a quantidade menor ou maior de linhas nessas áreas?
Uma obra de arte que surge de pregos e de linhas – pontos e segmentos de reta – sobre a madeira – plano.
A Geometria está no mundo e na imaginação, basta saber olhar para fóra ereticências para dentro de si.
Respostas e comentários
a) Cada prego representa um ponto e cada pedaço de linha esticada entre dois pregos representa um segmento.
b) Maior concentração de linhas.
c) Sim.
Capítulo 6 - Um pouco de Geometria plana
Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas da Matemática (Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.
Ao introduzir elementos da Geometria plana e tratar de retas e ângulos, este capítulo ajuda no desenvolvimentos das capacidades de abstração e generalização dos estudantes.
De acordo com a Base Nacional Comum Curricular (Bê êne cê cê), é importante a permanente associação entre o conhecimento sistematizado teoricamente e os fatos da realidade. No caso da Geometria, essa abordagem é quase natural, pois, desde cedo, a criança tem em seu convívio inúmeros exemplos das aplicações desse conhecimento.
Aproveitando a imagem e o texto da abertura, discuta com os estudantes sobre a presença de elementos geométricos nas mais diversas fórmas de expressão artística, como pintura, escultura, cinema, dança. Na obra de Kumi Yamashita, por exemplo, cada prego pode ser associado a um ponto, e cada pedaço de linha esticada entre dois pregos pode ser associado a um segmento de reta. O painel de madeira em que a obra é criada pode ser associado a um plano. Comente como a concentração de linhas em determinadas regiões é o que determinada a composição da figura, criando efeitos de claro e escuro, ou de luz e sombra.
Proponha aos estudantes uma pesquisa sobre artistas, em especial brasileiros, que utilizam representações de figuras planas em suas obras e converse com eles sobre a importância de manifestações artísticas na comunicação de diferentes pontos de vista e sentimentos, e para retratar diferentes realidades sociais, estimulando o desenvolvimento da competência geral 3.
Sugestão de leitura
Para enriquecer essa discussão, sugerimos a leitura da dissertação:
ALBUQUERQUE, E. S. C. Geometria e arte: uma proposta metodológica para o ensino de geometria no sexto ano. 2017. Dissertação (Mestrado profissional em Matemática) – Instituto de Matemática, Universidade Federal de Alagoas, Maceió, 2017.
A dissertação discute a presença da Matemática na arte, na arquitetura e no artesanato de diferentes culturas, com destaque para a Geometria. Com o objetivo de favorecer e facilitar o aprendizado da Geometria, é apresentada uma sequência didática desenvolvida em uma escola do estado de Alagoas, com foco na relação entre a Geometria e as artes plásticas.
1. Ponto, reta e plano
O ponto, a reta e o plano são noções aceitas sem definição na Geometria, por isso são chamadas noções primitivas. Elas podem ser associadas, de maneira intuitiva, a diferentes elementos que nos rodeiam. Você consegue associar o ponto, a reta ou o plano a algum dos elementos das fotografias a seguir?
Dizemos que a estrela, o raio de luz e o espelho de água do lago dão a ideia das noções primitivas da Geometria: ponto, reta e plano, respectivamente.
Respostas e comentários
1. Ponto, reta e plano
As noções primitivas da Geometria plana são os elementos que não têm definição (ponto, reta, plano), mas que dão base para a definição de outros entes geométricos. Espera-se aqui que os estudantes compreendam a noção de ponto, reta e plano. Pedir a eles que associem elementos de seu cotidiano às noções primitivas pode auxiliá-los nessa compreensão.
Como enriquecimento, sugerimos apresentar aos estudantes algumas obras de arte com traços retos que possam sugerir a noção de retas, como a obra Composição oito, de Wassily Kandinsky, que foi reproduzida no capítulo 3.
O ponto e a reta
Graficamente, um ponto pode ser representado como
e é indicado por letras maiúsculas do nosso alfabeto:
Quando há um ou mais pontos, temos uma figura. Por exemplo:
Uma reta também é uma figura com infinitos pontos. Graficamente, uma reta pode ser representada da seguinte maneira:
A reta é indicada por letras minúsculas do nosso alfabeto:
Uma reta não tem começo, nem fim, nem espessura. Observe uma reta e alguns de seus pontos.
Os pontos ê, G, C, M, Z e H pertencem à reta t. Nesse caso, dizemos que esses pontos são colineares.
Três ou mais pontos são colineares quando pertencem a uma mesma reta.
Agora, observe os pontos a, B e C representados na figura a seguir.
Esses pontos não são colineares, pois não existe uma reta que contenha todos eles.
Respostas e comentários
O ponto e a reta
Nesta página são apresentadas as relações entre ponto e reta e a noção de pontos colineares. O recurso de apresentar representações de pontos e retas em conjunto com alguns sólidos pode ajudar os estudantes a correlacionar essas figuras e ampliar os conceitos estudados.
Além disso, verificar as relações entre elementos geométricos (como pontos e retas), a partir de um sólido (figura não plana), pode facilitar a compreensão dessas relações pelos estudantes. Pode ser interessante apresentar-lhes modelos manipuláveis de sólidos para que identifiquem essas representações concretamente.
O plano
O plano também tem infinitos pontos e não tem começo, nem fim. Graficamente, um plano pode ser representado da seguinte maneira:
Um plano é indicado por letras minúsculas do alfabeto grego: Alfa (alfa), Beta (beta), Gama (gama), Delta (delta), entre outras.
Observe um plano e alguns de seus pontos.
Os pontos J, S, P e B pertencem ao plano Gama. Por pertencerem ao mesmo plano, dizemos que esses pontos são coplanares.
Três ou mais pontos são coplanares quando pertencem a um mesmo plano.
Em um plano existem infinitas retas. Na figura, representamos um plano e algumas das retas que estão nele. Por estarem no mesmo plano, essas retas também são chamadas coplanares.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Que noção primitiva da Geometria poderia ser associada a cada item?
a) Um fio de linha bem esticado.
b) A marca deixada por uma ponta de lápis em um papel.
c) O tampo de uma mesa.
d) Uma corda de violão esticada.
e) Uma folha de papel sulfite grudada na parede.
2 Observe a seu redor e anote o que pode dar a ideia de um ponto, de uma reta e de um plano.
Respostas e comentários
1. a) A noção de reta.
1. b) A noção de ponto.
1. c) A noção de plano.
1. d) A noção de reta.
1. e) A noção de plano.
2. Resposta pessoal.
O plano
Peça aos estudantes que elenquem elementos da sala de aula que dão a ideia de um plano e, portanto, podem representá-lo. Possíveis respostas são: a superfície da lousa ou da parede, o tampo da mesa do professor ou da carteira, a capa do caderno.
póde-se propor também aos estudantes que colem uma folha de papel sulfite em faces opostas de uma caixa (ou considerem as duas capas de um caderno). Em seguida, eles devem marcar com canetinhas coloridas pontos em cada uma dessas folhas (usando uma mesma cor para cada folha). Considerando cada folha como um plano, pergunte aos estudantes que pontos pertencem a cada plano. Depois, peça a eles que tracem retas passando por alguns desses pontos e pergunte se há alguma reta que passa por um ponto de cada plano. Espera-se que eles percebam que tal reta existe, mas ela deverá furar a caixa e passar de um lado para o outro.
Exercícios propostos
O bloco de exercícios que se inicia nesta página explora as noções de ponto, reta e plano, com o objetivo de solidificar o conhecimento dos estudantes.
A análise dos itens apresentados no exercício 1 retoma as noções de ponto, reta e plano, com a associação de objetos reais a essas noções primitivas da geometria. Um fio de linha bem esticado dá a ideia de uma reta (item a). A marca deixada por uma ponta de lápis num papel dá a ideia de um ponto (item b). O tampo de uma mesa dá a ideia de um plano (item c). Uma corda de violão esticada dá a ideia de uma reta (item d). Uma folha de papel sulfite grudada na parede dá a ideia de um plano (item ê).
No exercício 2, propõe-se que os estudantes façam a associação de objetos reais com as noções primitivas ponto, reta e plano. Eles podem responder, por exemplo, que um grão de poeira, um farelo de biscoito ou uma mancha bem pequena na parede dão a ideia de ponto. Um fio de cabelo esticado, um risco feito com lápis e régua em uma folha de papel e uma corda de varal esticada dão a ideia de reta. Uma toalha esticada no varal, a superfície do chão de uma quadra de futebol e uma porta dão a ideia de plano. Pergunte aos estudantes o porquê da escolha desses objetos para as associações, certificando-se de que essas noções primitivas estão evidentes para eles.
3 Considerando as retas e os pontos assinalados na figura a seguir, identifique os pontos que:
a) pertencem à reta r;
b) não pertencem à reta r;
c) pertencem à reta s;
d) não pertencem à reta s;
e) pertencem às duas retas, r e s.
4 Considere as retas e os pontos assinalados na figura.
Quais pontos são colineares com:
a) a e bê ?
b) M e N ?
5 Observe a pirâmide e responda: o ponto E está no mesmo plano de a, B e C ? E o ponto a está no mesmo plano de D, C e ê ?
6 Considerando a figura, copie no caderno as afirmações verdadeiras.
a) Os pontos a, B, C e D são coplanares.
b) Os pontos a, B, C e F não são coplanares.
c) Os pontos D, C, F e G são coplanares.
d) Os pontos B, C, F e G são coplanares.
7 Desenhe no caderno quatro pontos distintos e três a três não colineares. Quantas retas podemos traçar de fórma que cada uma passe por dois desses pontos?
2. Posições relativas de duas retas em um plano
Observe as fotografias a seguir. Como estão dispostas as retas que passam pelas cordas da harpa? E as retas que passam pelos cabos que sustentam a ponte? Elas se cruzam em algum ponto?
(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)
Na primeira fotografia, observe que as retas que passam pelas cordas da harpa não se cruzam. Já na segunda fotografia, é possível perceber que as retas que passam pelos cabos que sustentam a ponte, se prolongadas, se cruzariam em um único ponto.
No primeiro caso, dizemos que as cordas lembram linhas paralelas; no segundo caso, os cabos lembram linhas concorrentes.
Agora, vamos ver como essas ideias das posições relativas de duas retas são estudadas em Geometria.
Respostas e comentários
3. a) Os pontos a e bê.
3. b) Os pontos C e D.
3. c) Os pontos a e cê.
3. d) Os pontos B e D.
3. e) Apenas o ponto a.
4. a) Os pontos C e P.
4. b) Os pontos D e P.
5. O ponto ê não está no mesmo plano de a, B e C. O ponto a não está no mesmo plano de D, C e ê.
6. a) Os pontos a, B, C e D são coplanares.
6. b) Os pontos a, B, C e F não são coplanares.
6. c) Falsa. Os pontos D, C, F e G não são coplanares.
6. d) Os pontos B, C, F e G são coplanares.
7. 6 retas.
Exercícios propostos
No exercício 3, os pontos a e B pertencem à reta r (item a), e os pontos C e D não pertencem a essa reta (item b). À reta s pertencem os pontos A e C (item c); os pontos B e D não pertencem a essa reta (item d). O ponto que pertence às retas r e s é aquele que está no encontro das duas, o ponto a (item ê).
No exercício 4, lembre os estudantes de que por dois pontos sempre é possível traçar uma única reta e de que três ou mais pontos são colineares quando pertencem a uma mesma reta. Assim, é possível concluir que os pontos C e P são colineares com os pontos a e B pois todos pertencem à mesma reta (item a). Os pontos M e N são colineares com os pontos D e P pois pertencem à mesma reta (item b).
Antes de propor aos estudantes os exercícios 5 e 6, peça-lhes que manuseiem modelos de poliedros, coletados previamente, e que reconheçam neles pontos, retas e planos, respectivamente, associados a vértices, arestas e faces dos poliedros.
Ressalte que cada aresta está contida em uma reta (que passa por ela) e cada face está contida em um plano, que passa por ela. Esse trabalho facilitará a análise das figuras apresentadas nos exercícios. Amplie essas relações reproduzindo figuras como estas ou construindo seus modelos:
No exercício 5, o ponto ê não está no mesmo plano de a, B e C. O ponto a não está no mesmo plano de D, C e ê. Já no exercício 6, com exceção da afirmação do item c, todas as outras são verdadeiras. Os pontos D, C, F e G não são coplanares. Mostre aos estudantes que nenhuma das faces do poliedro contém todos esses pontos (D, C, F e G).
A resolução do exercício 7 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 6.
2. Posições relativas de duas retas em um plano
Ainda nesta página iniciamos o estudo de retas paralelas e de retas concorrentes, posições relativas de duas retas em um plano. Proponha aos estudantes que sugiram outros exemplos de situações que dão a ideia ou usam a noção de retas paralelas ou de retas concorrentes. Eles podem lembrar das faixas de segurança, do cruzamento de duas ruas, entre outros.
Quando duas retas contidas em um mesmo plano não têm pontos em comum, elas são denominadas retas paralelas.
Observe o exemplo.
As retas r e s representadas na figura, contidas no plano β, são paralelas, pois elas não têm pontos em comum. Indicamos: r paralela a s.
Quando duas retas têm um único ponto em comum, elas são denominadas retas concorrentes.
Observe o exemplo.
As retas u e v representadas na figura, contidas no plano α, são concorrentes, pois o ponto P é o único ponto em comum entre elas. Indicamos: u × vê.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
8 Na figura a seguir, as ruas estão representadas por linhas que nos dão a ideia de retas.
a) Das ruas indicadas nessa figura, qual é paralela à rua Maranhão?
b) E quais são concorrentes com a rua Sergipe?
c) Se você seguisse pela rua Maranhão e um colega fosse pela rua Paraná, vocês se encontrariam? Por quê?
9 Observe a figura.
a) Quais retas são paralelas?
b) Dê dois pares de retas concorrentes.
10 Identifique dois pares de retas paralelas e dois pares de retas concorrentes na figura a seguir. Para verificar sua resposta, pegue uma caixa de sapatos vazia e alguns canudinhos de refresco para representar as retas.
11
Converse com um colega e registrem no caderno suas conclusões sobre as questões a seguir.
a) Se as cordas de uma harpa se cruzassem, o instrumento funcionaria?
b) Se os fios de uma raquete de tênis não se cruzassem, a raquete funcionaria?
Respostas e comentários
8. a) A rua Paraná.
8. b) Rua Amazonas, rua Maranhão e rua Paraná.
8. c) Não, porque essas ruas são paralelas.
9. a) As retas r e u.
9. b) Resposta possível: s e t, u e t.
10. Resposta possível: os pares de retas paralelas podem ser r e u, érre e v, u e v ; os pares de retas concorrentes podem ser érre e s, u e t, ésse e v, vê e t .
11. a) Não.
11. b) Não.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 8 e 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 6.
Na resolução do exercício 10, é de extrema importância que, após identificar os pares de retas paralelas e os pares de retas concorrentes, os estudantes façam a verificação dos conceitos matemáticos por meio da manipulação do material sugerido (caixa de sapatos vazia e canudinhos de refrêsco). Essa é uma maneira prática de relacionar o estudo com o mundo real.
Se julgar oportuno, amplie o assunto tratando de retas coincidentes. Quando duas retas contidas em um mesmo plano têm todos os pontos em comum, elas são denominadas retas coincidentes. Por exemplo, as retas m e t da figura a seguir são retas coincidentes (m ≡ t).
Outro conceito interessante que auxilia os estudantes na construção de seus conhecimentos sobre retas paralelas é o de retas reversas. Conhecer duas retas que não têm pontos em comum e não são paralelas reforçará a importância da coplanaridade no caso das retas paralelas.
Assim, discuta com eles o fato de que duas retas podem não estar em um mesmo plano. Comente que, nesse caso, elas são chamadas de retas reversas. Exemplifique com figuras como a ilustrada a seguir ou construindo modelos desse tipo. Nesta figura, as retas a e b são reversas, pois estão em planos diferentes, não são paralelas.
É importante reforçar que só faz sentido falar de retas paralelas e de retas concorrentes quando as retas estão contidas em um mesmo plano.
No exercício 11, se as cordas da harpa se cruzassem (item a), ao serem tocadas, elas não vibrariam como deveriam, pois encostariam umas nas outras, por isso o instrumento não funcionaria como o esperado. No caso da raquete de tênis (item b), se os fios não se cruzassem, a trama que serve de apoio e impulsiona a bola não seria formada, a superfície de contato com a bola não teria rigidez suficiente para impulsioná-la, portanto a raquete não funcionaria como o esperado. A bola poderia até atravessar a raquete, por entre os fios.
3. Semirreta e segmento de reta
Semirreta
Na Matemática, consideramos, sem demonstrar, que por dois pontos distintos passa uma única reta. Essa explicação pode ser examinada na reta que a professora desenhou na lousa. Observe a figura.
A reta r desenhada também pode ser indicada por
QP com uma seta de duas pontas sobre elas ou PQ com uma seta de duas pontas sobre elas.(lemos: “reta QP” ou “reta PQ”).
Agora, considere uma reta s e um ponto a pertencente a ela.
Em relação ao ponto a, a reta s fica dividida em duas partes que têm o ponto a em comum. Cada uma dessas partes da reta (incluindo o ponto a) é chamada semirreta, e o ponto a é chamado origem de cada semirreta.
Observe a reta s. Nela estão assinalados os pontos a, B e C.
Vamos destacar a semirreta de origem a que passa pelo ponto B:
Essa semirreta é indicada por
AB com uma seta apontando para a direita sobre elas.Vamos destacar agora a semirreta de origem a que passa pelo ponto C:
Essa semirreta é indicada por
AC com uma seta apontando para a direita sobre elas.As semirretas
semirreta AB e semirreta ACsão chamadas semirretas opostas.
Respostas e comentários
3. Semirreta e segmento de reta
Se julgar conveniente, comente com os estudantes que, na Matemática, há algumas proposições que são aceitas sem demonstrações, chamadas de axiomas. Esse é o caso da proposição: dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém. Por isso dizemos que dois pontos distintos são sempre colineares.
Com base nessa ideia, apresentamos a noção de semirreta como cada uma das partes de uma reta determinada por um ponto dessa reta, que será chamado de origem de cada uma dessas partes. Cada parte obtida dessa maneira é uma semirreta.
Verifique se os estudantes compreendem que, mesmo sendo uma parte da reta e tendo um ponto de origem, toda semirreta tem infinitos pontos e é ilimitada a partir de sua origem.
Segmento de reta
Você já viu um eletrocardiograma?
Eletrocardiograma (ê cê gê) é um exame, feito por um médico cardiologista, capaz de registrar a atividade elétrica do coração com a pessoa em repouso.
Observe a figura que lembra o registro de um eletrocardiograma.
A linha verde dessa figura é formada por vários segmentos de reta.
Considere uma reta t e dois pontos distintos pertencentes a ela: M e H.
Destacamos em azul a parte da reta que contém os pontos M, H e todos os pontos entre eles.
Chamamos segmento de reta a parte destacada. Esse segmento é indicado por
MH com uma linha em cima.ou
HM com uma linha em cima.(Lemos: “segmento MH ” ou “segmento HM ”.)
Um segmento de reta é uma parte da reta limitada por dois pontos distintos, chamados extremos.
Na reta t dada, os pontos M e H são os extremos do segmento
MHVamos conhecer agora o que são segmentos de reta consecutivos e segmentos de reta colineares.
Dois segmentos de reta são consecutivos quando têm um extremo comum.
Observe o exemplo.
Os segmentos
AB e BCtêm um extremo comum, que é o ponto B ; logo, são segmentos consecutivos.
Os segmentos
BC e CDtêm um extremo comum, o ponto C. Eles também são segmentos consecutivos.
Note que os segmentos
AB e CDnão são consecutivos, pois não têm extremo comum.
Respostas e comentários
Segmento de reta
Ao apresentar o conceito de segmento de reta, compare-o com o de semirreta para que os estudantes possam ampliar a construção do conceito dessas duas figuras geométricas: tanto a semirreta quanto o segmento de reta são partes de uma reta e têm infinitos pontos. No entanto, o segmento de reta é limitado por suas extremidades (“tem começo e fim”), o que não ocorre na semirreta, pois ela é ilimitada a partir de sua origem (“tem começo e não tem fim”).
Enfatize o fato de que dois segmentos consecutivos devem ter um extremo comum, o que não é necessário para o caso de dois segmentos colineares.
Se julgar conveniente, para contribuir com o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal saúde, comente com os estudantes que o Eletrocardiograma (ê cê gê) é um exame simples, não invasivo, feito para avaliar a saúde cardiovascular e pode detectar algumas anormalidades cardíacas em estágios iniciais, o que é importante para evitar problemas mais graves em longo prazo e para garantir melhor qualidade de vida.
Dois segmentos de reta são colineares quando estão sobre a mesma reta.
Observe os exemplos.
Os segmentos
AB e CDestão sobre a mesma reta; logo, são segmentos colineares.
Os segmentos
MN e MPtambém são colineares, porque estão sobre a mesma reta.
Já os segmentos
AB e PQnão são colineares, pois não estão sobre a mesma reta.
Observação
▶ Os segmentos
MP e PNsão segmentos consecutivos e colineares.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
12 Identifique as semirretas a seguir e indique sua origem.
a)
b)
13 Considere a reta r a seguir.
a) Quais são as semirretas de origem no ponto B?
b) Quantas semirretas com origem em a, B ou C podemos obter?
14 Quais são os segmentos mostrados em cada uma das figuras a seguir? Identifique, se houver, três pares de segmentos consecutivos e três pares de segmentos colineares.
a)
b)
c)
Respostas e comentários
12. a) Semirreta
Semirreta ABcom origem em a.
12. b) Semirreta
Semirreta EFcom origem em ê.
13. a) Elas são
Semirreta BC e Semirreta BA.
13. b) 6 semirretas.
14. A resposta desta atividade está neste Manual.
Exercícios propostos
No exercício 12, relembre os estudantes de que uma semirreta é uma das duas partes em que uma reta pode ser dividida ao se identificar um ponto nela, a origem das semirretas. Lembre também que para indicar uma semirreta são utilizados dois pontos (um deles a origem). No item a, a semirreta tem origem em A e passa pelo ponto B; ela é indicada por
Semirreta ABNo item b, a semirreta tem origem em E e passa pelo ponto F; ela é indicada por
Semirreta EFNo exercício 13, o ponto B divide a reta r em duas semirretas de origem em B,
Segmento de reta BCe
Semirreta BA(item a). Como cada ponto da reta a divide em duas semirretas, é possível obter seis semirretas com origem em a, B ou C (item b).
O exercício 14 pode ser complementado com a discussão sobre outros segmentos que poderiam ser traçados em cada item se considerássemos os pontos existentes. Espera-se que os estudantes concluam que:
a) Além dos segmentos já mostrados
Segmento de reta AB,
Segmento de reta BC,
Segmento de reta CD Segmento de reta DE Segmento de reta EApodem-se traçar
Semirreta AC Semirreta AD Segmento de reta BD Segmento de reta BEe
CE, que correspondem às diagonais do pentágono.
Segmento de reta BCe
Segmento de reta CD Segmento de reta CDe
Segmento de reta DESegmento de reta EA
e
Segmento de reta ABsão alguns dos pares de segmentos consecutivos. Não há segmentos colineares.
b) Além dos segmentos
Segmento de reta BD Segmento de reta DF Segmento de reta FY Segmento de reta DY Segmento de reta YEainda podem ser traçados os seguintes segmentos com os pontos existentes:
Segmento de reta BF Segmento de reta BY Segmento de reta BE Segmento de reta DEe
Segmento de reta FEAlguns dos pares de segmentos consecutivos são:
Segmento de reta BDe
Segmento de reta DF Segmento de reta DYe
Segmento de reta FY Segmento de reta EYe
Segmento de reta FYAlguns dos pares de segmentos colineares são:
Segmento de reta DFe
Segmento de reta FY Segmento de reta DYe
Segmento de reta FYSegmento de reta DY
e
Segmento de reta DFc) Com os pontos V, X, Y e Z, todos os segmentos possíveis já foram traçados
Segmento de reta VX Segmento de reta VY Segmento de reta VZ Segmento de reta XY Segmento de reta YZ Segmento de reta XZ Segmento de reta VXe
Segmento de reta VY Segmento de reta VYe
Segmento de reta VZ;
Segmento de reta XZe
Segmento de reta VZsão alguns dos pares de segmentos consecutivos. Não há segmentos colineares.
15 Observe a figura.
Classifique em consecutivos, colineares ou consecutivos e colineares os pares de segmentos indicados nos itens a seguir.
a)
Segmento de reta AB e Segmento de reta EBb)
Segmento de reta AB e Segmento de reta CDc)
Segmento de reta EB e Segmento de reta BCd)
Segmento de reta BF e Segmento de reta FGe)
Segmento de reta EF e Segmento de reta FGf)
Segmento de reta FC e Segmento de reta FG16 Indique, com base na figura do exercício 15, outros dois pares de segmentos que sejam consecutivos e colineares.
17 Mariana fez o esboço de uma casa. Quantos segmentos de reta ela utilizou?
18 Considere a figura geométrica não plana a seguir e identifique três pares de segmentos consecutivos, dois segmentos colineares e dois segmentos que estejam em um mesmo plano.
19
Reúna-se com um colega e façam o que se pede. Desenhem no caderno o contorno de uma moeda e marquem nesse contorno cinco pontos: a, B, C, D e ê.
a) Quantos segmentos com extremos nesses pontos vocês podem traçar? Quais são esses segmentos?
b) Desses segmentos, indiquem cinco pares que sejam consecutivos.
c) Quais pares desses segmentos são colineares?
20
Hora de criar – Em duplas, cada integrante vai elaborar um problema sobre semirretas e segmentos de reta que satisfaça a condição de haver pelo menos dois segmentos consecutivos com uma extremidade na origem comum de duas semirretas distintas. Troquem de caderno para um resolver o problema do outro. Depois, destroquem para corrigi-los.
Medida de um segmento de reta
Considere os segmentos:
Respostas e comentários
15. a) Consecutivos.
15. b) Colineares.
15. c) Consecutivos.
15. d) Consecutivos.
15. e) Consecutivos.
15. f) Consecutivos e colineares.
16. Resposta possível:
Segmento de reta ABe
Segmento de reta BC,
Segmento de reta EBe
Segmento de reta BF.
17. 10 segmentos de reta.
18. Resposta possível: os pares de segmentos consecutivos podem ser
Segmento de reta AFe
Segmento de reta FE Segmento de reta DCe
Segmento de reta CG Segmento de reta ABe
Segmento de reta BCnão há segmentos colineares; os segmentos
FEe
Segmento de reta ABestão no mesmo plano, os segmentos
Segmento de reta BEe
CGestão no mesmo plano.
19. a) 10 segmentos:
Segmento de reta AB,
Segmento de reta AC,
Segmento de reta AD,
AE,
Segmento de reta BC,
BD,
BE,
Segmento de reta CD,
CE,
Segmento de reta DE.
19. b) Marcando os pontos a, B, C, D e ê em seguida, temos esta resposta possível:
Segmento de reta ABe
Segmento de reta BC;
Segmento de reta ABe
Segmento de reta BD;
Segmento de reta ABe
Segmento de reta BE;
Segmento de reta BCe
Segmento de reta CD;
Segmento de reta CDe
DE.
19. c) Não há pares de segmentos colineares.
20. Resposta pessoal.
Exercícios propostos
No exercício 15:
a) Os segmentos são consecutivos pois têm o extremo B em comum; eles não são colineares pois
Segmento de reta ABestá sobre a reta horizontal e
Segmento de reta EBestá sobre uma das retas diagonais da figura.
b) Os segmentos não são consecutivos pois não têm um extremo em comum. São colineares pois ambos estão sobre a reta horizontal.
c) Os segmentos são consecutivos pois têm o extremo B em comum. Não são colineares pois
Segmento de reta BCestá sobre a reta horizontal e
Segmento de reta EBestá sobre uma das retas diagonais da figura.
d) Os segmentos são consecutivos pois têm o extremo F em comum. Não são colineares pois cada um deles está sobre uma das retas diagonais diferentes da figura.
e) Os segmentos são consecutivos pois têm o extremo F em comum. Não são colineares pois cada um deles está sobre uma das retas diagonais diferentes da figura.
f) Os segmentos são consecutivos pois têm o extremo F em comum. São colineares pois ambos estão sobre a mesma reta diagonal da figura.
Após a resolução do exercício 15, solicite aos estudantes que, em duplas, tracem outros exemplos de pares de segmentos de reta que sejam simultaneamente consecutivos e colineares. Em seguida, eles podem elaborar, por escrito, uma explicação de como devem ser os segmentos para formarem um par com essa característica.
A elaboração da explicação faz os estudantes desenvolverem a habilidade da comunicação matemática, buscando generalizar observações e experiências. É possível explorar aqui a relação da linguagem matemática com a língua materna.
No exercício 16, os pares de segmentos que são consecutivos e colineares na figura do exercício anterior são:
Segmento de reta ABe
Segmento de reta BC,
Segmento de reta ABe
Segmento de reta AC, Segmento de reta ABe
Segmento de reta AD,
Segmento de reta BCe
Segmento de reta CD,
Segmento de reta CDe
Segmento de reta BD,
Segmento de reta CDe
Segmento de reta AD,
Segmento de reta ACe
Segmento de reta CD,
Segmento de reta ABe
Segmento de reta BD,
Segmento de reta EBe
Segmento de reta BF,
Segmento de reta EFe
Segmento de reta EB,
Segmento de reta EFe
Segmento de reta BF,
Segmento de reta FCe
Segmento de reta CG,
Segmento de reta CGe
Segmento de reta FG.
Para a resolução do exercício 17, proponha que os estudantes tentem imaginar como Mariana poderia ter feito o desenho. Por exemplo, ela desenhou a parte da frente da casa desenhando um pentágono, com 5 segmentos de reta, depois terminou de desenhar o telhado com mais 3 segmentos, e finalizou as paredes da casa com mais 2 segmentos. No total foram 5 + 3 + 2 = 10 segmentos de reta utilizados no desenho. Comente com os estudantes que o total de segmentos será sempre o mesmo, não importa a ordem em que eles sejam desenhados.
As resoluções dos exercícios 18 a 20 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 6.
Tomando como unidade de medida a medida do comprimento do segmento
PQvamos determinar a medida dos segmentos
XY e CDChamamos u a unidade de medida utilizada.
Observe que o segmento
PQ“cabe” 5 vezes no segmento
Segmento de reta XYPor isso, a medida de
Segmento de reta XYna unidade u é 5 ou 5u.
Indicamos a medida desse segmento por
medida do segmento X Y igual 5uou, simplesmente, xis ípsilon = 5u.
A medida do segmento
Segmento de reta CDé 3u, pois o segmento
PQ“cabe” 3 vezes no segmento
Segmento de reta CDIndicamos a medida desse segmento por
medida do segmento C D= 3u ou cedê = 3u.
Considere agora os segmentos
AB, CD, EFVamos tomar como unidade de medida u o segmento
EF
Vamos calcular as medidas dos segmentos
Segmento de reta AB e Segmento de reta CD
Observe que os segmentos
Segmento de reta AB e Segmento de reta CDtêm medidas iguais a 2u; por esse motivo, chamamos os segmentos
Segmento de reta AB e Segmento de reta CDsegmentos congruentes.
Dois segmentos são congruentes quando têm medidas iguais segundo uma mesma unidade de medida.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
21 Vamos tomar como unidade de medida o segmento
e, depois, o segmento
. Determine a medida do segmento
Segmento de reta AB, nas unidades de medida u e vê.
a)
b)
Respostas e comentários
21. a)
medida do segmento AB igual 3u; medida do segmento AB igual 2v.
21. b)
medida do segmento AB igual 6u; medida do segmento AB igual 4v.
Medida de um segmento de reta
Ressalte para os estudantes que o fato de um segmento de reta ser limitado é o que possibilita determinar a medida do seu comprimento. No caso de reta ou de semirreta, não há sentido em falar de suas medidas, pois são ilimitadas.
Converse com eles sobre cada etapa do desenvolvimento exposto no livro. Peça-lhes que desenhem no caderno segmentos de reta com determinadas medidas de comprimento e verifique como procederam.
Após a apresentação do conceito de segmentos congruentes, proponha aos estudantes que desenhem no caderno pares de segmentos congruentes em diferentes posições.
Exercícios propostos
Esse bloco de exercícios faz com que os estudantes mobilizem os conhecimentos construídos sobre medida de um segmento de reta.
Para resolver o exercício 21, pode ser interessante fazer uma cópia móvel das unidades de medida v e u, facilitando a resolução. Para isso podem ser utilizados barbante ou papel. Os estudantes podem cortar um pedaço de barbante ou uma tira de papel com medida de comprimento igual à do segmento u, e outro pedaço com medida de comprimento igual à do segmento v. Oriente-os no uso da tesoura para fazer os recortes. Com essas cópias móveis (ou um compasso) é possível determinar a medida do comprimento do segmento
Segmento de reta ABnas unidades de medida u e v.
a) Como é necessário utilizar 3 vezes o segmento u para obter a medida equivalente à de
Segmento de reta AB,
medida do segmento AB igual 3u. Como é necessário utilizar 2 vezes o segmento v,
medida do segmento AB igual 2v.
b) Analogamente,
medida do segmento AB= 6u e
medida do segmento AB= 4v.
22 A fotografia da abertura deste capítulo lembra um geoplano, que é um modelo usado para representar e estudar figuras geométricas, composto de uma placa retangular com pinos ou pregos igualmente espaçados. Observe a representação de um geoplano e descubra quais são os pares de segmentos congruentes.
23 Em uma folha quadriculada, que pode funcionar como um geoplano, reproduza o retângulo á bê dê cê, com lados de medidas 6u e 4u, e siga estes passos:
• Com uma régua, prolongue os segmentos
AB e ACtriplicando as respectivas medidas e obtendo
Segmento de reta AB linha e Segmento de reta AC linha• Obtenha o ponto Dʹ traçando os segmentos
C linha D linha e B linha D linharespectivamente paralelos a
Segmento de reta AB linha e Segmento de reta AC linha
a) Que medidas têm os lados
Segmento de reta AB linha e Segmento de reta AC linha?b) Você desenhou uma figura semelhante ao retângulo inicial? Ela é uma figura ampliada ou reduzida em relação ao retângulo á bê dê cê?
c) Na mesma folha, obtenha os pontos centésimopolegadas, bitpolegadas e divisores de polegadas de modo que desenhe outro retângulo com lados reduzidos à metade dos lados do retângulo dado.
24
Para esta atividade, junte-se a um colega.
Vocês vão precisar do seguinte material:
• tesoura com pontas arredondadas;
• cinco canudinhos feitos de papel reciclável, de mesmo tamanho, que deverão ser pintados nas cores branca, amarela, vermelha, verde e azul.
Sigam estes passos.
• Dobrem ao meio e cortem os canudinhos, exceto o branco.
• Separem uma metade de cada cor e descartem a outra metade.
• Peguem a metade do canudinho vermelho, dobrem-na pela metade, cortem e descartem a outra parte.
• Repitam esse procedimento com a metade restante: duas vezes para o verde e três vezes para o azul.
(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)
Considerando o pedaço que sobrou de cada cor, registrem no caderno:
a) as medidas do canudinho branco, usando como unidade de medida o pedaço amarelo, depois usando o pedaço vermelho como unidade de medida, depois usando o pedaço verde;
b) as medidas do canudinho amarelo, usando como unidade de medida o pedaço vermelho, depois o verde;
c) a medida estimada do canudinho branco na unidade de medida azul, sem manipular (pegar com a mão) o pedaço azul;
d) a medida estimada do canudinho branco na unidade azul, agora manipulando o pedaço azul.
e) Juntando dois pedaços de cores diferentes, é possível obter um pedaço do tamanho de outro de outra cor?
Respostas e comentários
22. Os pares de segmentos congruentes são:
Segmento de reta AJe
Segmento de reta JD,
BCe
DK,
Segmento de reta EIe
Segmento de reta HL,
Segmento de reta FGe
Segmento de reta LM.
23. a) 18u e 12u.
23. b) Sim; ampliada.
23. c) Construção de figura.
24. a) Com o pedaço amarelo como unidade de medida: duas unidades; com o pedaço vermelho: 4 unidades; com o pedaço verde: 8 unidades.
24. b) Com o pedaço vermelho como unidade de medida: duas unidades; com o pedaço verde: 4 unidades.
24. c) 16 unidades.
24. d) 16 unidades.
24. e) Não.
Exercícios propostos
Antes de os estudantes usarem a régua para estabelecer os pares entre os segmentos apresentados no exercício 22, sugira-lhes que procurem identificar as congruências sem o uso da régua e que, em seguida, confiram essas medidas com a régua. A estimativa e a comparação de medidas de comprimento são procedimentos muito usuais em situações nas quais não dispomos de instrumentos de medida adequados.
Lembre os estudantes de que dois segmentos de reta são congruentes quando têm medidas iguais segundo uma mesma unidade de medida. No geoplano, o espaçamento horizontal e vertical entre cada ponto (pino ou prego) é sempre o mesmo, enquanto na diagonal o espaçamento é diferente desses outros, mas também é sempre o mesmo entre si (é a medida da diagonal do quadrado formado). Então, por exemplo, tanto os pontos B e C como os pontos D e K estão a 4 quadrados de distância um do outro, os segmentos
Segmento de reta BCe
Segmento de reta DKtêm a mesma medida, portanto são congruentes. Dessa fórma, podemos determinar todos os pares de segmentos congruentes e suas medidas, seja considerando como unidade de medida a diagonal ou o lado dos quadrados formados no geoplano. Eles são:
Segmento de reta AJe
Segmento de reta JD(4 diagonais);
Segmento de reta BCe
Segmento de reta DK(4 lados);
Segmento de reta EIe
Segmento de reta HL(duas diagonais);
Segmento de reta FGe
Segmento de reta LM(diagonal de um retângulo com 3 lados de um quadrado na horizontal e 1 na vertical).
No exercício 23, o retângulo original tem lados medindo 6u e 4u.
a) Ao triplicar os lados, obtemos:
medida do lado AB linha igual 3 vezes 6 igual 18u medida do lado AC linha igual 3 vezes 4 igual a 12ub) A figura desenhada é semelhante ao retângulo inicial, ele foi apenas ampliado. Como as medidas dos lados foram triplicadas, isto é, multiplicadas por 3, a figura desenhada é um retângulo ampliado em relação ao retângulo a bê cê dê. Ao propor a análise da figura desenhada com relação à sua possível ampliação ou redução, este exercício possibilita o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois um).
c) Como as medidas dos lados do novo retângulo devem ter a metade das medidas dos lados do retângulo original, elas serão 6 : 2 = 3u e 4 : 2 = 2u.
Durante a execução do exercício 23, pergunte aos estudantes se percebem alguma relação entre os pontos; por exemplo, que os pontos B, bit' e bitpolegadas são colineares, assim como C, centésimo' e centésimopolegadas.
Oriente os estudantes no uso da tesoura para os recortes solicitado no exercício 24. A resolução deste exercício está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 6.
PARA SABER MAIS
Ilusão de óptica
A mera observação de uma figura pode levar a conclusões erradas, pois muitas vezes as aparências enganam.
Note, por exemplo, os segmentos
AB e CDapresentados. Eles têm o mesmo tamanho?
Ao observá-los, tem-se a impressão de que o segmento
Segmento de reta ABé menor que o segmento
Segmento de reta CDmas, com o auxílio de uma régua, verifica-se que os dois têm a mesma medida.
Agora é com você!
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Por meio de observação, procure estabelecer em cada figura uma comparação entre os segmentos indicados. Depois, usando uma régua, verifique se sua comparação se comprova.
a)
b)
c)
2
Observe as linhas de cada figura e converse com um colega se elas são ou não paralelas.
a) linhas horizontais
b) linhas inclinadas
c) linhas verticais
4. Ângulos
Observe um relógio analógico. Ao meio-dia, o ponteiro dos minutos e o das horas estão sobrepostos. Conforme o tempo passa, esses ponteiros se movimentam, formando-se certa abertura entre eles. Observe os exemplos.
A figura formada pelos dois ponteiros do relógio sugere a ideia de ângulo.
Respostas e comentários
1. a)
medida do segmento AB igual medida do segmento CD1. b)
medida do segmento AB igual medida do segmento CD1. c)
medida do segmento AM diferente medida do segmento MB2. a) As linhas são paralelas.
2. b) As linhas são paralelas; as linhas verticais são paralelas entre si, e as pequenas linhas inclinadas em cada linha vertical também são paralelas entre si.
2. c) As linhas são paralelas.
Para saber mais
Incentive os estudantes a decidirem, sem medir, se os segmentos
Segmento de reta ABe
Segmento de reta CDrepresentados são congruentes ou não. Depois, usando uma régua e com base na abertura de um compasso, oriente-os a medir o comprimento dos segmentos
Segmento de reta ABe
Segmento de reta CDpara verificar que ambos têm a mesma medida de comprimento. Oriente-os a usar o compasso com cuidado para não se machucarem com a ponta-seca.
Agora é com você!
Na atividade 1, incentive os estudantes a compartilharem o que acham sobre a medida de comprimento dos segmentos destacados em cada item. Depois, eles podem utilizar estratégias para comparar essas medidas de comprimento e verificar as respostas.
Na atividade 2, proporcione a eles um momento para compartilharem as respostas e justificativas.
4. Ângulos
Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah dois cinco.
Os estudantes já trazem dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental a noção de ângulo, que será ampliada e aprofundada neste capítulo e em outros momentos ao longo deste ciclo. Pergunte a eles se conhecem algum dos ângulos formados pelos ponteiros dos relógios. Espera-se que eles reconheçam pelo menos o ângulo reto.
Ângulo é a figura geométrica formada por duas semirretas de mesma origem.
Os ângulos a seguir são representações de alguns dos ângulos formados pelos ponteiros do relógio das fotografias anteriores. A cada ponteiro foi associada uma semirreta.
(As imagens não respeitam as proporções reais entre os objetos.)
No ângulo representado a seguir:
• o ponto óh é chamado vértice do ângulo;
• as semirretas
OA e OBsão chamadas lados do ângulo;
• indicamos o ângulo por
ângulo A O Bou
ângulo B O A(lemos: “ângulo á ó bê ou ângulo BOA ”);
• o arco que liga os lados indica qual é a abertura do ângulo que estamos considerando.
Respostas e comentários
Ângulos
Converse com os estudantes sobre a presença e a utilização de ângulos em diversas situações do cotidiano, em objetos feitos pelo ser humano, na natureza, entre outras.
Se possível, proponha a eles uma atividade de exploração pela escola em que devem observar diferentes espaços à procura de “ângulos”. Conforme fizerem as observações, os estudantes devem registrar no caderno onde e como verificaram a presença de ângulos, com textos descritivos ou com desenhos, reproduzindo o que viram. Ao voltar para a sala de aula, promova uma roda de conversa de modo que eles possam expor o que viram e registraram.
Amplie a discussão apresentando à turma o conceito de abertura e perguntando aos estudantes como se comparam as aberturas dos ângulos que observaram, favorecendo o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois cinco).
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
25 Observe o ângulo e responda às questões.
a) Qual é o vértice desse ângulo?
b) Quais são seus lados?
c) Como indicamos esse ângulo?
26 Em cada figura a seguir, imagine dois ângulos e os pares de semirretas correspondentes a eles. Dê a indicação desses ângulos.
a)
b)
27 Dê a indicação de cada ângulo e dos lados que o formam.
a)
b)
c)
d)
Ângulo e giro
Em algumas modalidades do atletismo, o giro é um movimento fundamental. O giro dá ideia de ângulo.
Note nas ilustrações algumas posições que o atleta ocupa durante o giro.
Respostas e comentários
25. a) Vértice M.
25. b) Lados
Semirreta MB e Semirreta MC.
25. c) Indicamos por
ângulo B M Cou
ângulo C M B.
26. a) Resposta possível:
ângulo B E D e ângulo A D C.
26. b) Resposta possível:
ângulo G H I e J K L.
27. a) Ângulo
ângulo C O D; lados
Semirreta OC e Semirreta OD.
27. b) Ângulo
ângulo M N P; lados
Semirreta NM e Semirreta NP.
27. c) Ângulo
ângulo E V F; lados
Semirreta VE e Semirreta VF.
27. d) Ângulo
ângulo R Q P; lados
Semirreta QR e Semirreta QP.
Exercícios propostos
Ao propor a resolução de problemas que envolvem a noção de ângulo em diferentes contextos, os exercícios desta página contribuem para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois seis).
Para a resolução do exercício 25, relembre os estudantes de que ângulo é a figura geométrica formada por duas semirretas de mesma origem. Essas duas semirretas são chamadas de lado do ângulo, e a origem comum delas é o vértice desse ângulo. Para nomear um ângulo, usam-se, em geral, três pontos, dois pertencentes a cada um dos lados e o ponto que determina o vértice. No ângulo representado na imagem, o vértice é o ponto M (item a). Os lados do ângulo são as semirretas
MCe
MB(item b). O ângulo pode ser indicado como
ângulo B M Cou
ângulo C M B(item c).
O exercício 26 pode ser resolvido em duplas, o que aumentará o repertório dos estudantes na busca dos ângulos presentes nas figuras.
Com as mesmas considerações do exercício anterior, em todos os ângulos o vértice é a origem comum das semirretas que o formam.
a) Dois dos ângulos dessa figura podem ser
ângulo A D C(semirretas
DAe
DC) e
ângulo B E D(semirretas
EDe
EB).
b) Dois dos ângulos dessa figura podem ser
ângulo G H I(semirretas
HGe
HI) e
ângulo J K L(semirretas
KJe
KL).
No exercício 27, de modo semelhante aos exercícios anteriores, cada ângulo e os lados que o formam podem ser indicados por:
a)
ângulo C O D; formado pelas semirretas
ODe
OC.
b)
ângulo M N P; formado pelas semirretas
Semirreta NMe
Semirreta NP.
c)
ângulo E V F; formado pelas semirretas
Semirreta VFe
Semirreta VE.
d)
ângulo R Q P; formado pelas semirretas
Semirreta QRe
Semirreta QP.
Ângulo e giro
A associação da noção de ângulo a giros amplia a construção dos conhecimentos acerca desse importante conceito. Relacionar o giro com a ideia de ângulo é um modo de apresentar esse conceito de fórma dinâmica, relacionando a ideia de ângulo com mudança de direção.
Proponha aos estudantes que trabalhem em duplas: enquanto um deles realiza alguns giros, o outro representa esses giros no caderno. Desse modo, eles têm a oportunidade de representar, interpretar, descrever e verbalizar o que pensaram e fizeram, habilidades importantes para o desenvolvimento de ideias e a assimilação de conceitos.
Informe-os, nesse momento, de que o giro de um quarto de volta é associado a um ângulo denominado ângulo reto. Eles podem representar em papel quadriculado esse giro em diferentes posições.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
28 Observe o giro que Júlia fez da 1ª para a 2ª posição. Ela fez um giro para a direita dela. Represente o ângulo associado ao giro de Júlia.
29
Hora de criar – Junte-se a um colega e usem papel quadriculado para desenhar um percurso. A medida do lado do quadradinho deve ser considerada a unidade de medida de comprimento.
a) Sigam este algoritmo:
um) Marquem no encontro de duas linhas um ponto óh.
dois) A partir de O, sobre qualquer linha do quadriculado, tracem um segmento com 6 unidades.
três) Repitam três vezes os comandos:
• gire
Um quarto.de volta para a direita;
• trace um segmento com 6 unidades.
Que figura vocês desenharam?
b) Repitam a atividade do item a, mudando apenas o giro para a esquerda. E agora, que figura foi representada?
c) Cada um de vocês vai criar um roteiro parecido, mas não igual ao do item a. Troquem o roteiro com o colega e tracem o roteiro um do outro.
Medida de um ângulo
Para determinar a medida de um ângulo, devemos verificar a abertura que está sendo considerada entre seus lados. Observe a abertura do ângulo indicado na figura da porta.
Observação
▶ Dado um ângulo, sempre podemos assinalar duas aberturas.
Quando não houver indicação, consideraremos sempre a menor delas.
Para obter a medida de um ângulo, escolhemos um ângulo cuja abertura será a unidade de medida e verificamos quantas vezes ela “cabe” na abertura do ângulo que se deseja medir.
Observe o exemplo.
Respostas e comentários
28.
29. a) Um quadrado.
29. b) Um quadrado.
29. c) Resposta pessoal.
Exercícios propostos
Para resolver o exercício 28, faça em sala de aula uma simulação com a turma. Escolha um estudante para assumir o papel de Júlia, dê os comandos e vá questionando sobre o ângulo de giro. Escolha outro estudante e indique outros ângulos de giro, usando como referência pontos marcados na sala de aula. Por exemplo, com o estudante de frente para a lousa, oriente-o a girar para a esquerda na direção do colega que estiver a aproximadamente 45graus. Repita a atividade algumas vezes, usando ângulos de 45graus, 90graus, 180graus, 360graus.
Depois, proponha aos estudantes que desenhem no caderno esses ângulos de giro. Se possível, entregue a eles folhas de papel quadriculado. Questione-os sobre a possibilidade de girar seguindo outras medidas, por exemplo, 30graus ou 60graus. Caso se interessem pela tarefa, procure fazê-la desenhando um “transferidor” no chão. Essa atividade contribui para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois seis).
Ângulo associado ao giro de Júlia:
Para resolver o exercício 29, os estudantes precisam observar que, embora o ponto O possa ser marcado em qualquer local do papel quadriculado, é mais conveniente que ele seja um ponto de intersecção de dois segmentos do quadriculado, pois, pela orientação do quadriculado, será mais simples realizar o movimento.
Os caminhos percorridos nos itens a e b permitem traçar quadrados de lados medindo 6 unidades.
Caso perceba que os estudantes estão com dificuldade para resolver o item c, no qual cada estudante cria um roteiro para o colega, sugira que façam um desenho e depois tentem explicar o processo de construção, é como se fizessem de trás para a frente o que foi pedido, a fim de descrever como se faz para chegar ao desenho.
Uma das unidades de medida de ângulo é o grau (°). O transferidor é o instrumento usado para medir ângulos em grau. O transferidor da fotografia imediatamente a seguir é dividido em 180 partes iguais. Cada uma dessas partes determina um ângulo de 1 grau, representado por 1grau.
De acordo com a figura, temos:
• Medida de
ângulo AOB: 20 grausIndicamos:
m (ângulo AOB) igual a 20 graus• Medida de
ângulo AOC: 70 grausIndicamos:
m (ângulo AOC) igual a 70 graus• Medida de
ângulo AOD: 90 grausIndicamos:
m (ângulo AOD) igual a 90 graus• Medida de
ângulo AOE: 140 grausIndicamos:
m (ângulo AOE) igual a 140 grausPara ângulos com medida maior que 180graus, usamos um transferidor de 360graus, como o da fotografia. Observe a medida do ângulo assinalado.
Medida de
Ângulo AOF: 230 grausIndicamos:
m (ângulo AOF) igual a 230 graus
Acompanhe agora como devemos proceder para medir um ângulo usando o transferidor.
Considere como exemplo o ângulo
ângulo A O Brepresentado a seguir. Colocamos o centro do transferidor sobre o vértice O do ângulo, de modo que o 0 (zero) fique situado em um dos lados do ângulo
por exemplo: semirreta OAO outro lado
semirreta OBpassa pela marcação 20 do transferidor. Então, o ângulo
ângulo A O Bmede 20 graus, isto é,
medida do (ângulo AOB) igual a 20 graus
Respostas e comentários
Orientações: se julgar conveniente, mostre aos estudantes as duas escalas do transferidor, que possibilitam que os ângulos sejam medidos no sentido horário ou no sentido anti-horário, sempre partindo do 0. É importante destacar que, ao realizar um conjunto de medições, deve ser utilizada sempre a mesma escala e é preciso escolher a escala mais conveniente para a situação.
Medida de um ângulo
É importante os estudantes perceberem que medir um ângulo é medir a sua abertura (a que está sendo considerada). Com base no que já viram com a medida de um segmento de reta, eles podem compreender a comparação com a abertura de um ângulo tomado como unidade de medida.
O uso do transferidor é mais complexo do que o da régua. Por isso, proponha aos estudantes que meçam alguns ângulos com o transferidor e acompanhe-os no uso do instrumento, fazendo as intervenções necessárias para auxiliá-los. Faça construções na lousa, mostrando-lhes que não importa quanto prolongamos os lados de um ângulo, sua medida não se modifica.
A medição, com o transferidor, de um ângulo dado pode ser uma tarefa desafiadora. Apresente aos estudantes alguns ângulos em uma folha de papel para determinarem a medida de cada um deles usando o transferidor, desenvolvendo a habilidade (ê éfe zero seis ême ah dois sete). Ao final, eles podem comparar com a medida encontrada por um colega e discutir como fizeram caso surjam medidas diferentes.
Para desenvolver essa tarefa, incentive os estudantes a usarem o ângulo reto (o giro de um quarto de volta que já desenharam) como referência (apenas mental, sem necessariamente manipular algum material). Eles podem, antes de usar o transferidor, estimar quais dos ângulos dados têm medidas menores que um ângulo reto. Depois, com o transferidor, devem fazer as medições necessárias e conferir as estimativas iniciais. Esse movimento é interessante, pois, além de desenvolver a habilidade de estimar medidas de ângulos, diminui os erros no momento de fazer a leitura da medida no transferidor.
Muitas vezes, os estudantes ficam em dúvida entre duas medidas (dois números) que aparecem no transferidor; a comparação inicial com o ângulo reto permite a eles selecionar a medida com mais segurança.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
30 Usando um transferidor, determine a medida de cada um dos ângulos a seguir.
a)
b)
c)
d)
31
Hora de criar – Com um colega, leiam o texto e façam o que se pede, reproduzindo os desenhos em um papel quadriculado. Cada passo corresponde ao lado de um quadradinho.
O Logo é uma linguagem antiga de programação que possibilita fazer desenhos na tela do computador. O cursor aparece em fórma de tartaruga, que realiza movimentos conforme o comando. Por exemplo:
• pê éfe 5 (para a frente 5 passos)
• pê dê 90 (para a direita 90graus)
• pê ê 45 (para a esquerda 45graus)
Vamos considerar que a tartaruga está posicionada para cima no início do movimento.
a) Cristina executou os seguintes comandos: pê éfe 5 — pê dê 90 — pê éfe 2 — pê dê 90 — pê éfe 5 — pê dê 90 — pê éfe 2 Desenhem no papel quadriculado a figura que ela obteve.
b) Leonardo quis desenhar a letra L, inicial de seu nome, com um quadradinho de espessura. Descreva os comandos que ele pode ter dado.
c) Cada um de vocês deve criar um conjunto de comandos e trocar com o colega para que um desenhe a figura do outro.
Pense mais um pouco...
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
Descreva o trajeto feito pelo carrinho para chegar até a garagem.
Respostas e comentários
30. a) 30graus
30. b) 120graus
30. c) 75graus
30. d) 90graus
31. a) Construção de figura.
31. b) Resposta possível: pê éfe 5 — pê dê 90 — pê éfe 1 — pê dê 90 — pê éfe 4 — pê ê 90 — pê éfe 2 — pê dê 90 — pê éfe 1 — pê dê 90 — pê éfe 3
31. c) Resposta pessoal.
Pense mais um pouco...:
O carrinho andou 1 métro para a frente, girou 45graus para a direita, andou 2 métros para a frente, girou 105graus para a esquerda, andou 3 métros para a frente, girou 90graus para a esquerda e andou 2 métros para a frente.
Exercícios propostos
O exercício 30 propõe aos estudantes que determinem a medida de alguns ângulos com um transferidor. Essas medidas são:
a) 30graus;
b) 120graus;
c) 75graus;
d) 90graus
No exercício 31, dê um tempo para os estudantes lerem as informações do enunciado. Em seguida, antes que façam as tarefas propostas, discuta com a turma sobre o que entenderam da leitura que fizeram.
Expor esse entendimento propicia revisitarem as ideias principais do texto e fazerem a releitura, caso percebam que há alguma parte ainda não assimilada. Durante a realização das tarefas propostas, percorra a sala e verifique a necessidade de fazer intervenções para auxiliar as duplas. Comente com os estudantes que o Logo, uma linguagem de programação, utiliza comandos para descrever uma sequência de passos (um algoritmo) que resultarão em um desenho na tela do computador. Comente com os estudantes que a ordem dessa sequência é importante para que a tarefa seja realizada corretamente, chegando ao resultado final esperado.
A apresentação da linguagem de programação Logo e as atividades relacionadas também contribuem para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal ciência e tecnologia e da competência geral 5.
a) Cristina obteve a seguinte figura:
Pense mais um poucoreticências
Pode-se reproduzir na lousa o desenho do trajeto do carrinho para discutir a situação com a turma. Após os estudantes (de preferência em duplas ou trios) descreverem o trajeto, peça a um de cada vez que vá à lousa e explique um “pedaço” do trajeto, primeiro oralmente, mostrando a movimentação sobre a ilustração e, depois, escrevendo na lousa a descrição. Em seguida, peça a outro estudante que faça o mesmo com o próximo trecho do trajeto. Quando o trajeto estiver finalizado, solicite aos estudantes que não foram à lousa que comparem as respostas obtidas por eles com as expostas na lousa e identifiquem se há diferenças.
Construção de um ângulo com o transferidor
Para construir um ângulo de 40graus, por exemplo, traçamos uma semirreta
semirreta OAqualquer:
Em seguida, colocamos o centro do transferidor sobre a origem óh da semirreta e colocamos o número zero do transferidor sobre
Semirreta OAVerificamos, então, onde o transferidor indica a marca 40 e assinalamos o ponto B.
Traçando a semirreta
Semirreta OBconstruímos um ângulo de 40graus.
EXERCÍCIO PROPOSTO
FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO
32 Construa no caderno um ângulo de:
a) 35graus;
b) 90graus;
c) 45graus;
d) 72graus;
e) 150graus;
f) 139graus;
g) 220graus;
h) 310graus.
Tipos de ângulo
Ângulo reto
Observe na fotografia a posição dos ponteiros do relógio quando ele marca exatamente 3 horas. A figura formada pelos ponteiros sugere a ideia de um ângulo reto.
Na representação de um ângulo reto, usamos a notação
. O ângulo
ângulo A O Ba seguir é reto.
O ângulo cuja medida é 90graus é denominado ângulo reto.
Respostas e comentários
32. Construção de figuras.
Construção de um ângulo com o transferidor
Mostre cada passo dessa construção na lousa, mais de uma vez, mudando a medida do ângulo a ser construído. Na primeira vez, peça aos estudantes que observem com atenção. Nas outras vezes, peça-lhes que reproduzam no caderno cada passo.
Exercício proposto
No exercício 32, os estudantes devem usar régua e transferidor, seguindo as orientações apresentadas na página. Essas construções contribuem para o desenvolvimento de habilidades referentes ao desenho geométrico. Promova uma discussão sobre acuidade visual e uso dos artefatos para medida e construção, o que leva à reflexão sobre estimativas e aproximações, auxiliando nas leituras de ângulos e utilização de régua e transferidor.
No item a, traçamos uma semirreta
semirreta OAqualquer. Colocamos o centro do transferidor sobre a origem óh da semirreta, com o número 0 (zero) sobre
semirreta OANo local onde o transferidor indica 35 assinalamos o ponto B.
Traçando a semirreta
semirreta OBconstruímos um ângulo de 35graus. O mesmo procedimento pode ser seguido para a construção dos ângulos indicados nos itens b, c, d, e, f.
No item g, os estudantes podem utilizar um transferidor de 360graus ou, caso tenham somente o transferidor de 180graus, devem traçar uma reta e, nela, marcar os pontos óh e a.
No sentido anti-horário a partir da semirreta
semirreta OAcom o transferidor alinhado nela e centro em óh, marcamos o ângulo correspondente à diferença entre a medida do ângulo pedido e 180graus (220graus ‒ 180graus = 40graus).
O mesmo procedimento pode ser seguido para a construção do ângulo indicado no item h. Posicionando o transferidor como no item g, mas agora considerando sua escala externa no sentido horário, assinalamos o ponto B na indicação do transferidor correspondente à diferença entre a medida do ângulo pedido e 360graus (360graus ‒ 310graus = 50graus). Então traçamos a semirreta
Semirreta OBe construímos um ângulo de 310graus no sentido anti-horário a partir da semirreta
semirreta OA.
Na figura 1, as retas r e s são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos.
Nesse caso, dizemos que r e s são retas perpendiculares.
Indicamos: r ⊥ s (lemos: “r é perpendicular a s”).
Duas retas são perpendiculares quando se interceptam formando ângulos retos.
Na figura 2, as retas u e v também são concorrentes, porém não formam ângulos rétos entre si. Nesse caso, dizemos que u e v são retas oblíquas.
Indicamos: u ⊥ v (lemos: “u é oblíqua a v ”).
Ângulos agudo e obtuso
O ângulo cuja medida é menor que a de um ângulo reto (ou seja, está entre 0grau e 90graus) é chamado ângulo agudo.
O ângulo
ângulo C O Dé um exemplo de ângulo agudo.
O ângulo cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que 180graus é chamado ângulo obtuso.
Os ângulos
ângulo EOF, a seguir, e
ângulo M O P, desenhado na fotografia da torre de Pisa, são exemplos de ângulos obtusos.
Respostas e comentários
Tipos de ângulo
Aqui iniciamos o estudo dos tipos de ângulo. Ressalte a importância do ângulo reto, cuja medida é 90graus, e retome o giro de um quarto de volta, que corresponde a esse tipo de ângulo.
Com o estudo do ângulo reto, é possível definir retas perpendiculares. Retome a situação de retas concorrentes na lousa e demarque os quatro ângulos formados por essas retas, destacando o ponto em que elas se interceptam, o vértice comum desses quatro ângulos.
Para ilustrar a diferença entre retas perpendiculares e retas oblíquas, a seguinte atividade pode ser interessante. Entregue a cada estudante uma folha com representações de retas concorrentes em posições variadas, colocando entre elas retas que formam entre si ângulos de 90graus. Peça a eles que meçam os ângulos entre as retas, identificando suas medidas. Verifique se eles percebem que, dois a dois, nesse caso, os ângulos opostos têm mesma medida. Em seguida, comente que as retas concorrentes que se interceptam formando quatro ângulos de 90graus (ângulos retos) são denominadas retas perpendiculares. As demais retas concorrentes (que não formam ângulos rétos entre si) são retas oblíquas. Com essas atividades os estudantes são estimulados a reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas e a realizar medições com o uso do transferidor, para determinar medidas da abertura de ângulos.
Na sequência, apresente o conceito de ângulos agudos e de ângulos obtusos, tomando como base a comparação com o ângulo reto.
Construção de retas perpendiculares e de retas paralelas
Por um ponto fóra de uma reta érre, podemos traçar uma reta ésse, perpendicular a érre. E podemos traçar uma reta ésse paralela a érre. Acompanhe.
Retas perpendiculares traçadas com régua e esquadro
1º passo
2º passo
3º passo
Retas paralelas traçadas com régua e esquadro
1º passo
2º passo
3º passo
Respostas e comentários
Orientação: Se julgar conveniente, mostre aos estudantes um fluxograma possível para o traçado das retas paralelas s e r.
Construção de retas perpendiculares e de retas paralelas
Avise previamente os estudantes que eles deverão trazer o material necessário para as construções de retas perpendiculares e de retas paralelas propostas nesta página: lápis, régua e esquadro. É importante que cada estudante tenha o seu próprio material para que participe efetivamente e realize cada construção. Se possível, traga algumas réguas e esquadros para distribuir a estudantes que porventura não tenham o material, recolhendo ao final da aula, para usar em outros momentos.
Proceda de maneira similar ao que foi feito na construção de ângulos com o transferidor. Mostre-lhes na lousa os passos de cada construção, mais de uma vez, mudando a posição da reta com que se inicia. Na primeira vez, peça aos estudantes que apenas observem com atenção o que é feito. Nas outras vezes, peça a eles que reproduzam no caderno cada passo que for feito na lousa.
Para a construção de retas perpendiculares e de retas paralelas, a construção de algoritmos representados por fluxogramas pode ser útil, descrevendo o passo a passo de cada uma das construções e servindo de referência para construções e análises futuras. Desse modo, os conceitos estudados neste tópico contribuem para o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero seis ême ah dois dois) e (ê éfe zero seis ême ah dois três).
PARA SABER MAIS
Retas perpendiculares e retas paralelas traçadas com o uso de software
Podemos utilizar softwares matemáticos em uma série de situações. Acompanhe como é possível criar retas perpendiculares com o uso de um software.
1º passo
• Geralmente, as ferramentas ficam na parte superior da tela. Selecione a ferramenta “Reta” e clique em dois pontos quaisquer da tela para criar uma reta
Reta AB2º passo
• Selecione a ferramenta “Ponto” e clique em qualquer lugar fóra da reta para criar um novo ponto C.
3º passo
• Selecione a ferramenta “Reta perpendicular” e clique no ponto C criado por você no passo anterior e, em seguida, na reta
Reta ABSelecionando a ferramenta “Mover”, é possível movimentar os pontos a, B e C e manter as retas criadas perpendiculares entre si.
Agora, acompanhe como utilizar o software novamente para a construção de retas paralelas.
1º e 2º passos
• Repita os procedimentos feitos nos dois primeiros passos da primeira construção, criando uma reta
Reta ABe um ponto C, fóra da reta.
3º passo
• Selecione a ferramenta “Reta paralela” e clique no ponto cê criado por você e, em seguida, na reta
Reta ABSelecionando a ferramenta “Mover”, é possível movimentar os pontos a, B e C e manter as retas criadas paralelas entre si.
Respostas e comentários
Para saber mais
Nas construções de retas perpendiculares e de retas paralelas com o uso do software gratuito Geogebra (disponível em: https://oeds.link/t5IKzF; acesso em: 14 maio 2022), se possível, leve os estudantes à sala de informática para eles observarem a utilização do software e efetivamente construírem por meio dele retas perpendiculares e retas paralelas, seguindo o procedimento mostrado nesta página, contribuindo assim para o letramento tecnológico dos estudantes e para o desenvolvimento da competência geral 5 e do Tema Contemporâneo Transversal ciência e tecnologia.
Outra possibilidade é montar uma apresentação a que os estudantes assistam e observem o uso desse software nessas construções.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
33 Observando as figuras, classifique cada ângulo assinalado como reto, agudo ou obtuso.
a)
b)
c)
34 Classifique como reto, agudo ou obtuso o ângulo descrito pelo ponteiro dos minutos de um relógio quando ele passa das 9 horas 5 minutos para as:
a) 9 horas 25 minutos
b) 9 horas 15 minutos
c) 9 horas 20 minutos
35 Usando um transferidor, descubra retas perpendiculares e, usando régua e esquadro, descubra retas paralelas na figura a seguir.
36 Utilizando os passos a seguir, construa um molde de ângulo reto sem utilizar transferidor. Pegue um pedaço de papel de qualquer formato e faça uma dobra. Dobre novamente, unindo as duas pontas da primeira dobra. Ao abrir a folha, você perceberá que as dobras formam 4 ângulos retos.
Agora, faça as duas dobras novamente e utilize seu molde de ângulo reto para identificar os ângulos assinalados na ilustração a seguir como reto, agudo ou obtuso.
37 Com régua e esquadro, faça o que se pede:
• trace uma reta r e, nela, um ponto a;
• trace por a uma reta ésse, perpendicular a érre ;
• marque em s dois pontos, B e C, distantes 4 centímetros de a;
• trace duas retas t e u perpendiculares a s, uma por B e outra por C.
a) Responda: qual é a posição relativa das retas r, t e u ?
b) Quais seriam os passos para realizar essa construção com um software, como o apresentado no Para saber mais?
Respostas e comentários
33. a) Ângulo agudo.
33. b) Ângulo reto.
33. c) Ângulo obtuso.
34. a) Ângulo obtuso.
34. b) Ângulo agudo.
34. c) Ângulo reto.
35. Retas perpendiculares: y e u, y e vê; retas paralelas: u e vê.
36. Ângulo assinalado no canto do tampo da mesa: reto; ângulo assinalado no livro: agudo; ângulo assinalado na haste da luminária: obtuso.
37. a) As retas r, t e u são paralelas.
37. b) A resposta desta atividade está neste Manual do Professor.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 33 a 35 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 6.
Aproveite o exercício 36 para mostrar aos estudantes que não importa o tamanho do papel, mas a maneira como ele foi dobrado. Não há indicação da medida do papel, pois, desde que todos façam a dobradura corretamente, chegarão ao ângulo reto. É interessante que cada estudante conserve seu “ângulo reto” para ser usado em outros exercícios como auxiliar tanto de construção como de medição de ângulos. O ângulo assinalado no canto do tampo da mesa é um ângulo reto; o ângulo assinalado no livro é um ângulo agudo e o ângulo assinalado na haste da luminária é um ângulo obtuso.
No exercício 37 é preciso que todos tenham lápis, régua e compasso. É fundamental ter em sala de aula os materiais apropriados para desenhar na lousa, pois são ferramentas indispensáveis para os estudantes acompanharem e compreenderem os passos das construções geométricas solicitadas.
Para essa construção, eles devem seguir as orientações apresentadas na página 141.
A distância do ponto a ao ponto B é igual à distância do ponto a ao ponto C, que é 4 centímetros.
Observando o desenho e seu processo de construção, os estudantes devem concluir que as retas r, t e u são paralelas (item a). Se for possível, essa construção também pode ser feita no computador com o uso de um software.
A resolução do item b está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 6.
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Em seu caderno, copie as sentenças verdadeiras e corrija as falsas.
a) Duas retas de um mesmo plano sempre têm um ponto em comum.
b) Duas retas perpendiculares têm apenas um ponto em comum.
c) Duas retas oblíquas podem formar um ângulo reto.
2 Observe as indicações e classifique-as em reta, semirreta ou segmento de reta.
a)
Segmento de reta ABb)
Semirreta PQc)
Semirreta RSd)
Segmento de reta FGe)
Reta CDf)
Reta JKg)
Segmento de reta MNh)
Semirreta OP3 Desenhe dois segmentos não colineares, consecutivos e congruentes. Em seguida, meça o ângulo formado por eles.
4 Na figura, identifique os segmentos colineares, os segmentos consecutivos e os segmentos consecutivos e colineares.
5 Considere a reta a seguir.
Responda às questões.
a) Quantas semirretas ficam determinadas pelos pontos assinalados na reta?
b) Quantas semirretas de origem E ficam determinadas?
c) Quantas semirretas de origem M e que passam pelo ponto Z ficam determinadas?
6 Desenhe três semirretas de mesma origem, sendo duas semirretas opostas e a terceira formando um ângulo de 45graus com uma delas.
a) Você obteve um ângulo de meia-volta? E um ângulo reto? E um ângulo obtuso?
b) Quais são as medidas dos ângulos obtidos?
7 Determine, com o auxílio de uma régua, a medida de cada segmento de reta da figura e identifique os segmentos congruentes.
8 Classifique cada ângulo destacado na figura a seguir em reto, agudo ou obtuso, identificando-os pela cor.
9 Considere quatro pontos de um plano, sabendo que três desses pontos nunca estão na mesma reta.
Qual é o número de semirretas que podemos traçar com origem em um deles e que passa por outro deles?
10 Determine qual das sentenças a seguir é falsa. Em seguida, corrija-a no caderno.
a) O ângulo reto mede 90graus.
b) Os lados de um ângulo são segmentos de reta.
c) Determinar a medida de um ângulo é medir a abertura entre seus lados.
d) A medida de um ângulo obtuso é sempre maior que a medida de um ângulo agudo.
Respostas e comentários
1. a) Resposta possível: duas retas de um mesmo plano nem sempre têm um ponto em comum.
1. b) Duas retas perpendiculares têm apenas um ponto em comum.
1. c) Resposta possível: duas retas oblíquas não podem formar um ângulo reto.
2. a) Segmento de reta.
2. b) Semirreta.
2. c) Semirreta.
2. d) Segmento de reta.
2. e) Reta.
2. f) Reta.
2. g) Segmento de reta.
2. h) Semirreta.
3. Resposta pessoal.
4. Segmentos colineares:
Segmento de reta ACe
Segmento de reta HF;
Segmento de reta EGe
Segmento de reta DB; segmentos consecutivos:
Segmento de reta ACe
Segmento de reta CE;
Segmento de reta CEe
Segmento de reta EG;
Segmento de reta EGe
Segmento de reta GH;
Segmento de reta GHe
Segmento de reta HF;
Segmento de reta HFe
Segmento de reta FD;
Segmento de reta FDe
Segmento de reta DB; segmentos consecutivos e colineares: nenhum.
5. a) 8 semirretas.
5. b) duas semirretas.
5. c) uma semirreta.
6. a) Sim; não; sim.
6. b) As medidas são: 180graus, 45graus e 135graus.
7. As medidas dos segmentos de reta são:
A bê = CD = 6 centímetros; bê cê = á dê = 3 centímetros; xis ípsilon = ípsilon zê = zê vê = vê xis = 2,5 centímetros; vê ípsilon = 4,5 centímetros e xis zê = 2 centímetros.
São congruentes:
Segmento de reta ABe
Segmento de reta CD;
Segmento de reta BCe
Segmento de reta AD;
Segmento de reta XY,
Segmento de reta YZ,
Segmento de reta ZVe
Segmento de reta VX.
8. Ângulo agudo: verde;
ângulo reto: lilás;
ângulos obtusos: azul e laranja.
9. 12 semirretas.
10. Alternativa b. Os lados de um ângulo são semirretas.
Exercícios complementares
Nesta seção, são oferecidas novas oportunidades para os estudantes retomarem e aplicarem os principais conceitos tratados no capítulo.
No exercício 1, relembre os estudantes do conteúdo sobre retas paralelas, perpendiculares e oblíquas. Duas retas de um mesmo plano nem sempre têm um ponto em comum, como é o caso de retas paralelas; portanto a sentença do item a é falsa. Duas retas oblíquas não podem formar um ângulo reto. Retas oblíquas são concorrentes, mas não são perpendiculares; portanto a sentença do item c é falsa.
No exercício 2, lembre-os de que uma reta não tem início nem fim, por isso é representada com uma seta dupla acima das letras, como nos itens ê e f. Uma semirreta tem início (sua origem), mas não tem fim, sendo representada com uma seta simples que aponta apenas para um lado, como nos itens b, c e h. Um segmento de reta tem início e fim, por isso é representado com um traço sobre as letras, como nos itens a, d e g.
A seguir, apresentamos um exemplo de resposta para o exercício 3:
Utilizando um transferidor é possível constatar que a medida do ângulo formado por esses segmentos é de 120graus.
É importante os estudantes justificarem seus desenhos. Neste caso, por exemplo, os segmentos
ABe
Segmento de reta BCnão estão em uma mesma reta, por isso não são colineares. Eles têm um extremo em comum, o ponto B; logo, são consecutivos. Também têm a mesma medida; portanto, são congruentes. Esse exercício é uma ótima oportunidade para o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero seis ême ah dois cinco), (EF06MA26) e (EF06MA27).
Após a resolução do exercício 4, peça aos estudantes que retomem o exercício 15, da página 130, e comparem o que concluíram anteriormente com o desenho deste exercício, para entenderem por que, no último, não encontraram nenhum par de segmentos consecutivos e colineares.
Os segmentos colineares são:
Segmento de reta ACe
Segmento de reta HF Segmento de reta EGe
Segmento de reta DBOs segmentos consecutivos são:
e
Segmento de reta CE Segmento de reta CEe
Segmento de reta EG Segmento de reta EGe
Segmento de reta GH Segmento de reta GHe
Segmento de reta HF Segmento de reta HFe
Segmento de reta FD Segmento de reta FDe
Segmento de reta DBNo exercício 5, como a reta contém quatro pontos, a, M, E e Z, e cada ponto divide a reta em duas semirretas, então estão determinadas 8 semirretas (item a).
O ponto ê determina duas semirretas com origem nele, na reta original (item b).
Entre as semirretas com origem em M, uma delas passa por A e outra passa por ê e por Z, portanto apenas uma semirreta de origem M e que passa pelo ponto zê fica determinada (item c).
As resoluções e comentários dos exercícios 6 a 10 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 6.
VERIFICANDO
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Quando três ou mais pontos pertencem a uma mesma reta, eles são chamados:
a) coplanares.
b) colineares.
c) congruentes.
d) consecutivos.
2 Quando duas retas são denominadas concorrentes, elas:
a) têm dois pontos em comum.
b) têm um único ponto em comum.
c) têm três pontos em comum.
d) não têm pontos em comum.
3 Dois segmentos de reta são congruentes quando:
a) estão sobre a mesma reta.
b) têm um extremo comum.
c) têm medidas iguais.
d) se cruzam em um único ponto.
4 Na figura a seguir, qual é o par de retas paralelas?
a) Djí e éf.
b) h e j.
c) h e ai.
d) j e Djí.
5 Qual é a medida em grau do ângulo reto?
a) 100graus
b) 180graus
c) 45graus
d) 90graus
6 Um ângulo de medida igual a 180graus corresponde a um ângulo de:
a)
Um quarto.de volta.
b)
Meia.volta.
c)
Três quartos.de volta.
d) uma volta completa.
7 Quando duas retas são perpendiculares, elas se interceptam formando ângulos:
a) obtusos.
b) agudos.
c) retos.
d) rasos.
8 Um ângulo que tem medida entre 0grau e 90graus recebe o nome de:
a) ângulo reto.
b) ângulo raso.
c) ângulo obtuso.
d) ângulo agudo.
9 O ângulo destacado no relógio a seguir é classificado como um ângulo:
a) reto.
b) agudo.
c) obtuso.
d) raso.
10 Imagine um giro de 720graus no ar sem as mãos no skate. Essa é uma manobra chamada No Grab 720.
Quantas voltas o esqueitista deve dar no ar para completar essa manobra?
a) uma volta completa.
b) uma volta e meia.
c) duas voltas completas.
d) duas voltas e meia.
Organizando
Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões.
a) Qual é a diferença entre reta, semirreta e segmento de reta?
b) Como duas retas podem ser classificadas em relação às suas posições no plano?
c) Duas retas, em qualquer posição no plano, sempre formarão um par de ângulos? Justifique sua resposta.
d) Como os ângulos podem ser classificados em relação às suas medidas?
e) Você aprendeu que o transferidor é um dos instrumentos utilizados para medir ângulos. Desenhe um ângulo e identifique a sua medida utilizando o transferidor.
Respostas e comentários
1. Alternativa b.
2. Alternativa b.
3. Alternativa c.
4. Alternativa c.
5. Alternativa d.
6. Alternativa b.
7. Alternativa c.
8. Alternativa d.
9. Alternativa c.
10. Alternativa c.
Organizando:
a) Reta: não tem começo nem fim; semirreta: tem uma origem, mas não tem fim; segmento de reta: tem dois extremos.
b) Retas paralelas: não têm pontos em comum; retas concorrentes: têm um único ponto em comum.
c) Não, elas só formarão pares de ângulos quando forem concorrentes.
d) Agudo: quando tem medida entre 0grau e 90graus; obtuso: quando tem medida entre 90graus e 180graus; reto: quando tem medida igual a 90graus.
e) Resposta pessoal.
Verificando
Esses exercícios são mais uma oportunidade para o estudante validar o entendimento do conteúdo estudado neste capítulo.
Instrua-os a retornarem às páginas anteriores caso alguma dúvida persista.
As resoluções dos testes 1 a 10 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 6.
Organizando
Incentive os estudantes a organizarem seus aprendizados no caderno, fazendo resumos, mapas conceituais, fluxogramas ou aplicando destaques em conceitos importantes.
As questões propostas têm como objetivo fazer com que os estudantes retomem os conteúdos estudados no capítulo e que reflitam sobre algumas temáticas. Após sua correção é importante pedir aos estudantes que compartilhem suas respostas. Essa estratégia permitirá o compartilhamento de dúvidas e percepções sobre o conteúdo, contribuindo para o aprendizado de todos.