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CAPÍTULO 7 Números racionais na fórma de fração

Titulo do Infografico

Texto do Infografico

Legenda da imagem

Gire o seu dispositivo para a posição vertical

Fotografia. Vista aérea de uma área do mar e ao centro lixo plástico. A esquerda do lixo está um dispositivo desenvolvido para coleta de lixo plástico.

Fotografia. Vista aérea de uma região do mar em que aparece um dispositivo de coleta de lixo plástico sendo puxado nas suas duas extremidades por barcos. — Dispositivo desenvolvido pelo projeto Ocean Cleanup (Limpeza do Oceano) para a coleta de lixo plástico dos oceanos, sendo testado no Oceano Pacífico. (Fotografias de 2019.)

Observe, leia e responda no caderno.

a) Identifique os diferentes números que apresentam os dados do texto e suas diferentes representações. O que esses números indicam? Todos eles são números naturais?

b) Você consegue estimar quantos produtos em embalagens plásticas você consome em um dia?

c) Como o consumo consciente pode ajudar na solução do problema da poluição dos oceanos?

d) Qual é a importância da preservação dos oceanos? O que você poderia fazer para contribuir para a preservação dos oceanos?

O período de 2021 a 2030 foi declarado pela Organização das Nações Unidas (ONU) como a Década do Oceano, um movimento global para a preservação dos oceanos, que cobrem cérca de 70% da superfície do planeta Terra. A cada ano, aproximadamente 8 milhões de toneladas de lixo plástico chegam aos oceanos, prejudicando diretamente a vida marinha e pelo menos

\frac{1}{3}

da população mundial, que busca neles sua fonte de alimento e sustento. Gigantescas aglomerações de material descartado já formam ilhas de lixo flutuante em todos os oceanos. Esses aglomerados podem chegar a 1,6 milhão de metros quadrados e podem conter aproximadamente 80 mil toneladas de plástico. Nos últimos anos, diversas iniciativas empreendedoras foram desenvolvidas para solucionar o problema da poluição dos oceanos em pequena escala, como o projeto holandês Ocean Cleanup.

Você sabia que existem cêrca de 150 milhões de toneladas de lixo nos oceanos e que o plástico é responsável por cérca de

\frac{7}{10}

de toda essa poluição? Estima-se que 80% do lixo dos oceanos tenha origem terrestre.

Respostas e comentários

a) 2021; 2030; 70%; 8 milhões;

\frac{1}{3};

1,6 milhão; 80 mil; 150 milhões;

\frac{7}{10};

80%. Os números indicam contagens e medidas. Não,

\frac{1}{3};

1,6;

\frac{7}{10};

70% e 80% não são números naturais.

b) Resposta pessoal.

c) Resposta pessoal.

d) Espera-se que os estudantes respondam que a preservação dos oceanos é importante para a nossa sobrevivência no planeta, como fonte de alimento e renda, na manutenção do clima e da biodiversidade, entre outros. Resposta pessoal.

Capítulo 7 - Números racionais na fórma de fração

Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas da Matemática (Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.

Este capítulo trata dos números racionais não negativos em fórma de fração, seus significados, equivalência, simplificação, comparação de frações e a fórma percentual. Trata também da interpretação e organização de informações por meio de tabelas e gráficos de colunas e de setores.

A abertura do capítulo proporciona uma ótima oportunidade de trabalhar com uma abordagem interdisciplinar, associando Matemática a Ciências da Natureza e Geografia. Os números em foco, números racionais, são apresentados ao estudante em um conjunto de informações sobre lixo plástico nos oceanos, possibilitando variadas comparações de medidas e proporcionalidade. É interessante discutir com os estudantes que, a exemplo desse contexto, a compreensão geral dos números, em suas múltiplas representações e aplicações, é fundamental para conhecer e melhor entender o mundo em que vivemos. Os números na fórma de fração representam a comparação de partes com o todo.

Ao apresentar aos estudantes informações sobre o acúmulo de lixo plástico nos oceanos e suas consequências para a vida humana e para o meio ambiente, a abertura deste capítulo abre espaço para o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos Transversais educação ambiental e educação para o consumo e para o desenvolvimento da competência geral 7, estimulando discussões sobre o consumo consciente de embalagens plásticas e sobre o papel de todo cidadão na conservação do meio ambiente. Durante a discussão sobre a quantidade de embalagens plásticas utilizadas pelos estudantes em um dia, pode ser interessante questionar sobre a possibilidade de reduzir a utilização dessas embalagens. Peça a eles que pensem em possíveis fórmas para essa redução e que citem alternativas para as embalagens plásticas.

Com base nos dados apresentados no texto, discuta com eles como a redução no consumo de embalagens plásticas pode ajudar significativamente na solução do problema da poluição dos oceanos.

Sugestão de leitura

Para ampliar seu trabalho com esse tema, sugerimos:

UNITED NATIONS ENVIRONMENT PROGRAMME (UNEP). Da poluição à solução: uma análise global sobre lixo marinho e poluição plástica. Nairobi, 2021. Disponível em: https://oeds.link/ZN0JUg. Acesso em: 10 maio 2022.

A página interativa do relatório sobre poluição plástica e o lixo marinho, publicado pelo programa para o meio ambiente da Organização das Nações Unidas (ONU), mostra o impacto do lixo plástico na saúde humana, nos ecossistemas e na vida selvagem, além de apresentar atitudes que podem ser tomadas para a redução do lixo plástico e para a preservação do meio ambiente.

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1. Os números com os quais convivemos

Até aqui, estudamos os números naturais. Contudo, repare que no cotidiano costumamos encontrar outros números que não são naturais para expressar o resultado de uma medida. Para exemplificar, observe o texto a seguir, que trata do desmatamento de um importante bioma brasileiro, o Cerrado.

O CERRADO PODE DESAPARECER EM POUCAS DÉCADAS

O Cerrado é um dos biomas mais ricos em biodiversidade do mundo e o segundo maior bioma natural do Brasil, depois da Amazônia, ocupando quase

\frac{1}{4}

da área territorial do país. No entanto, assim como vem ocorrendo com os demais biomas brasileiros, as queimadas e a agropecuária, principalmente as atividades relacionadas ao cultivo da soja, do milho e do algodão e à criação de gado bovino, reduzem ano a ano a vegetação nativa, comprometendo bacias hidrográficas, a vida animal e a vida humana. O mapa a seguir ilustra a situação atual do Cerrado e mostra que apenas cêrca de 20% da cobertura original ainda não foram desmatados.

Mapa. Cerrado com os demais biomas. O mapa mostra o Brasil e destaca a Amazônia, Caatinga, Mata Atlântica, Pampa e Pantanal. Uma legenda destaca a área de vegetação original e área desmatada. Área de vegetação original: abrange parte do Centro-Oeste. Área desmatada: abrange parte do centro-oeste e do estado de Minas Gerais. Ao lado, gráfico de setores e as informações: Somente 8,21% do Cerrado está protegido em reservas ambientais. O Cerrado tinha 2,036 milhões de quilômetros quadrados de vegetação original. Hoje, apenas 20% ainda não foram desmatados. No canto inferior direito, rosa dos ventos e escala de 0 a 470 quilômetros. — Dados obtidos em: TERRABRASILIS – Prodes (Desmatamento). Disponível em: https://oeds.link/jPhp2l e https://oeds.link/Mghp8P. INSTITUTO Chico Mendes de Conservação da Biodiversidade: Cerrado. Disponível em: https://oeds.link/WLjX8t. Acessos em: 6 fevereiro 2022. Mapa elaborado com base em: FERREIRA, Graça Maria Lemos. Atlas geográfico: espaço mundial. quinta edição revisada e atualizada São Paulo: Moderna, 2019.

São conhecidas nesse bioma aproximadamente duzentas espécies de mamíferos, oitocentas espécies de aves, 180 de répteis, 150 de anfíbios e .1200 espécies de peixes, além de .90000 espécies de insetos. O desmatamento coloca muitos desses seres vivos em risco de extinção. Para a manutenção da biodiversidade, além da qualidade e da quantidade de água do bioma, que alimenta

\frac{8}{12}

das principais bacias hidrográficas do Brasil, é importante a recuperação da vegetação nativa.

Note que, além dos números naturais, como 800, 180 e .1200, por exemplo, o texto traz números não naturais, como:

\frac{1}{4}; \frac{8}{12}

; 8,21%; e 20%. Todos esses números, incluindo os números naturais, são chamados de números racionais. Como podemos notar, eles podem ser representados de formas diferentes.

Neste capítulo, vamos estudar os números racionais representados na fórma de fração, como

\frac{8}{12} e \frac{1}{4} .

Respostas e comentários

1. Os números com os quais convivemos

Analise as informações apresentadas com os estudantes, destacando os números racionais em fórma de fração que aparecem. Verifique quais registros os estudantes já conhecem. Podem ser exploradas a fórma de fração, a fórma percentual e a fórma decimal, o que propicia um levantamento dos conhecimentos que eles já têm construídos acerca dos números racionais.

Aproveite para explorar o conhecimento dos estudantes em relação às palavras mais usadas em Ciências da Natureza ou Geografia, como bioma, Cerrado, bacia hidrográfica, biodiversidade, vegetação nativa e outras em que eles apresentem dúvida.

Essa também é uma ótima oportunidade para o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal educação ambiental. Converse com os estudantes sobre o desmatamento, seu impacto na vida humana e na biodiversidade, e sobre a importância da conservação do meio ambiente, ampliando o trabalho com a competência geral 7. Pergunte a eles se já ouviram falar em desmatamento na região ou na comunidade em que vivem.

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2. Número racional e a fração que o representa

Em muitas situações é comum utilizarmos partes do corpo, como os pés e as mãos, para fazer uma medição.

Observe como Renata usou a medida de seu passo para determinar o comprimento aproximado de uma calçada (figura 1).

Ao perceber que não obteve um número exato de passos, ela usou o comprimento do pé para medir o pedaço que faltava (figura 2).

Ilustração. Figura 1. Menina branca de cabelo castanho, veste camiseta rosa, short azul e tênis vermelho. Ela caminha na calçada. Atrás dela, duas linhas curvas diagonais indicam o passo. Ela diz: 63 passos e um pedaço... Ilustração. Figura 2. Menina branca de cabelo castanho, veste camiseta rosa, short azul e tênis vermelho. Ela caminha na calçada. Atrás dela, três linhas curvas diagonais indicam o passo. Ela para perto do fim da calçada com um pé na frente do outro e diz: ... isto é, 63 passos e 2 pés!

Note que Renata obteve 63 passos e 2 pés como medida aproximada para o comprimento da calçada.

Acompanhe a relação que podemos estabelecer entre as medidas do comprimento do passo e do comprimento do pé de Renata.

Ilustração. Destaque para as pernas afastadas de uma menina branca que veste shorts azul e tênis vermelho, com a informação: comprimento do passo. Abaixo, ilustração de três pés da menina com tênis vermelho, um na frente do outro, com a indicação: comprimento do pé apontado para o comprimento de um pé.

Ilustração. Menina branca de cabelo castanho, veste camiseta rosa, short azul e tênis vermelho. Ela está em pé e diz: Meu pé cabe três vezes em cada passo que dou.

Isso significa que a medida do comprimento do pé de Renata é a terça parte da medida do comprimento de seu passo, ou seja, se dividirmos a medida do comprimento do passo dela em 3 partes iguais, a medida do comprimento do pé representará uma dessas partes.

Cada uma dessas partes pode ser representada pela fração

\frac{1}{3} .

Nesse exemplo, o passo de Renata representa o todo ou 1 inteiro, e cada pé representa uma parte do inteiro: cada pé mede

\frac{1}{3}

do passo; 2 pés equivalem a

\frac{2}{3}

do passo; 3 pés equivalem a

\frac{3}{3}

do passo, ou seja, 1 passo inteiro.

Conhecendo essa relação entre as medidas do comprimento do pé e do comprimento do passo de Renata, podemos dizer, então, que a medida do comprimento da calçada é de 63 passos e

\frac{2}{3}

do passo de Renata. A medida do pedaço que faltava não é um número natural, mas é um exemplo de número racional.

Respostas e comentários

2. Número racional e a fração que o representa

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero sete.

Situações que tratam da noção de medida são muito interessantes para desenvolver a noção de números racionais na fórma de fração, pois existe uma articulação natural entre esses dois temas das Unidades Temáticas Números e Grandezas e medidas.

O intuito aqui é ampliar, aprofundar e consolidar os conhecimentos dos estudantes sobre os números racionais na fórma de fração para que possam aplicá-los na resolução de problemas.

Ao comparar, ordenar frações e associá-las às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, este tópico possibilita o início do trabalho com a habilidade (ê éfe zero seis ême ah zero sete).

Se julgar conveniente, proponha aos estudantes atividades nas quais eles vivenciem situações similares à apresentada, envolvendo medidas de comprimento e frações, na sala de aula ou na quadra esportiva da escola.

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Todo número que pode ser representado na fórma de fração

\frac{a}{b},

em que a e b são números naturais, com b ≠ 0, é um número racional.

Observe como indicamos uma fração:

Esquema. Fração, dois sobre três. Dois: numerador - indica o número de partes consideradas do inteiro. Três: denominador - Indica o número de partes iguais em que o inteiro foi dividido

O termo que fica abaixo do traço é o denominador. Ele indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido.

O termo acima do traço é o numerador. Ele indica quantas partes do inteiro foram tomadas.

Como se leem as frações

A leitura das frações é feita assim: primeiro, lemos o numerador; depois, o denominador. Para o denominador, são adotados alguns nomes especiais. Observe.

Se o denominador for:	2	3	4	5	6	7	8	9
Lemos:	meio	terço	quarto	quinto	sexto	sétimo	oitavo	nono

Observe alguns exemplos.

\frac{1}{2}

um meio

\frac{2}{3}

dois terços

\frac{3}{4}

três quartos

\frac{4}{9}

quatro nonos

Ilustração. Mulher negra de óculos, cabelo castanho, veste jaleco branco e camiseta amarela.
Ela diz: O numerador numera, isto é, dá a quantidade de partes tomadas do inteiro. O denominador denomina, isto é, dá o nome da parte.

Se o denominador for:	10	100	1.000	...
Lemos:	décimo	centésimo	milésimo	...

Observe alguns exemplos.

\frac{3}{10}

três décimos

\frac{8}{100}

oito centésimos

Quando o denominador não for nenhum dos números indicados aqui, lemos o denominador acompanhado da palavra avos. Observe alguns exemplos.

\frac{1}{12}

um doze avos

\frac{3}{20}

três vinte avos

Respostas e comentários

Como se leem as frações

Para ampliar o trabalho com a identificação e a leitura das frações, monte um jogo da memória em que os pares de cartas sejam formados por uma fração e seu modo de leitura. Os estudantes podem ajudar na elaboração das cartas.

Esse jogo pode ser utilizado em momentos variados durante o estudo deste capítulo.

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Algumas situações que envolvem números racionais na fórma de fração

A medição de Renata mostra que os números naturais não são suficientes para resolver o problema de determinar o comprimento da calçada em passos, por isso são empregados os números racionais na fórma de fração.

Acompanhe algumas situações em que usamos frações.

Situação 1

Cada figura geométrica representada foi dividida em 6 partes iguais. Para cada uma das figuras, as partes pintadas de azul podem ser associadas a uma fração. Observe.

Ilustração. Seis hexágonos são apresentados em duas colunas e três linhas. Na primeira coluna temos, de cima para baixo, hexágono dividido em seis partes iguais sendo que uma parte está pintada. Ao lado da figura está a fração 1 sobre 6, abre parênteses lemos um sexto fecha parênteses; em seguida, hexágono dividido em seis partes iguais sendo que duas partes estão pintadas. Ao lado da figura está a fração 2 sobre 6, abre parênteses lemos dois sextos fecha parênteses; em seguida, hexágono dividido em seis partes iguais sendo que três partes estão pintadas. Ao lado da figura está a fração 3 sobre 6, abre parênteses lemos três sextos fecha parênteses. Na segunda coluna temos, de cima para baixo, hexágono dividido em seis partes iguais sendo que duas partes estão pintadas. Ao lado da figura está a fração 2 sobre 6, abre parênteses lemos dois sextos fecha parênteses; hexágono dividido em seis partes iguais sendo que quatro partes estão pintadas. Ao lado da figura está a fração 4 sobre 6, abre parênteses lemos quatro sextos fecha parênteses; em seguida, hexágono dividido em seis partes iguais sendo que cinco partes estão pintadas. Ao lado da figura está a fração 5 sobre 6, abre parênteses lemos cinco sextos fecha parênteses; por fim, hexágono dividido em seis partes iguais sendo que seis partes estão pintadas. Ao lado da figura está a fração 6 sobre 6, abre parênteses lemos seis sextos fecha parênteses.

Cada figura foi associada a uma fração na qual o denominador indica a quantidade de partes iguais em que a figura foi dividida, e o numerador indica a quantidade de partes pintadas de azul.

Situação 2

Vítor tem uma coleção de 24 carrinhos. Desses 24, uma parte é vermelha, e os demais são de outras cores.

Ilustração. Menino branco, de cabelo preto, usa boné laranja e veste camiseta branca com mangas vermelhas. Ele aponta para 6 carrinhos vermelhos, 6 carrinhos verdes, 6 carrinhos azuis e 6 carrinhos amarelos.

Considere a coleção de Vítor um inteiro.

Observe que é possível separar os carrinhos da coleção em quatro grupos com cores diferentes, cada um com 6 carrinhos. Os carrinhos vermelhos formam um desses quatro grupos. Por isso, eles representam

\frac{1}{4}

(lemos: “um quarto”) de todos os carrinhos dessa coleção.

Respostas e comentários

Algumas situações que envolvem números racionais na fórma de fração

Analise as situações propostas nesta página, que tratam da noção de fração envolvendo inteiros contínuos (situação 1) e inteiros discretos (situação 2). Esse tipo de nomenclatura não precisa ser tratada com os estudantes; o importante é terem contato com esses dois tipos de situações para que o significado de fração seja completo.

Desenhe na lousa outras figuras planas, tomadas como inteiro, e peça aos estudantes que as representem no caderno, pintando as partes correspondentes a frações, como metade da figura, dois quartos, cinco oitavos, entre outras. É importante verificar se eles percebem em quantas partes precisam repartir cada inteiro para pintar a parte solicitada. Por exemplo, para representar metade, devem perceber que o inteiro está repartido em duas partes iguais; para representar dois quartos, o inteiro deve estar repartido em quatro partes iguais, e no caso de cinco oitavos, em oito partes iguais.

Outra atividade interessante pode ser reunir os estudantes em grupos e entregar a cada grupo certa quantidade de botões coloridos, de modo que possam identificar que parte do total de botões corresponde a cada cor. Entregue quantidades diferentes e convenientes a cada grupo para que possam expor suas conclusões aos demais grupos. Proponha aos estudantes ainda outras questões:

• Quantos botões correspondem à metade de botões que vocês têm?

• Um terço do total de botões corresponde a quantos botões?

• Dez botões correspondem a que fração do total de botões?

Atividades como essas são uma ótima oportunidade para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah zero sete), ao propor aos estudantes a comparação de frações e a associação dessas frações às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão.

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Situação 3

Amanda queria fazer uma vitamina de morango e encontrou na internet esta receita:

Ilustração. Tela de computador com as informações: 5 morangos (ilustração de um morango); 3 quartos de xícara de leite (ilustração de uma xícara e uma caixa de leite); 1 colher de mel (ilustração de uma colher e um pote de mel). 1 colher de aveia (ilustração de uma colher e uma caixa de aveia); 1 pitada de canela em pó (ilustração de um pote de canela em pó); 3 cubos de gelo (ilustração de 3 cubos de gelo).
Depois dessas informações entra o seguinte texto: Bata todos os ingredientes em um liquidificador até obter uma mistura cremosa. Sirva em copos altos.

Observe que a receita pede

\frac{3}{4}

(lemos: “três quartos”) de uma xícara de chá de leite. Isso significa que, ao fazer a vitamina, Amanda deverá dividir a quantidade de leite que cabe em uma xícara em 4 partes iguais e usar 3 dessas partes.

Situação 4

Dalva encomendou duas pizzas para sua família, que vêm divididas em 8 pedaços iguais cada uma. Das 6 pessoas da família, cada uma comeu 2 pedaços.

As figuras representam as pizzas que Dalva pediu, e as partes pintadas de cinza representam a quantidade de pizza que as pessoas comeram.

Ilustração. Fôrma redonda dividida em 8 partes iguais. Ao lado, fôrma redonda dividida em 8 partes iguais com 4 pedaços de pizza. As fôrmas tem o mesmo tamanho.

Nesse caso, cada pizza é 1 inteiro, e cada pedaço representa

\frac{1}{8}

de pizza.

Assim, as partes pintadas de cinza nas figuras correspondem a

\frac{12}{8}

de pizza.

A fração

\frac{12}{8}

representa uma quantidade maior que 1 inteiro, ou

\frac{8}{8}

, isto é, o número

\frac{12}{8}

é maior do que o número 1.

Considere agora, uma nova situação: se cada uma das 6 pessoas da família de Dalva quiser comer 4 pedaços de pizza, ela precisará encomendar 3 pizzas, pois precisará de 24 pedaços de pizza (4 ⋅ 6), e cada pizza tem 8 pedaços.

As figuras a seguir representam as 3 pizzas. As partes pintadas de amarelo representam a quantidade de pizza que eles comeriam.

Ilustração. Três pizzas divididas em oito pedaços iguais cada uma.

\frac{24}{8} = 3 inteiros

Ilustração. Mulher negra de cabelo castanho, usa óculos e veste jaleco branco e camiseta amarela.
Ela diz: Note que uma fração pode representar um número natural.

Respostas e comentários

Algumas situações que envolvem números racionais na fórma de fração

Na situação 3, você pode comentar com os estudantes que existem copos medidores com as marcações de

\frac{1}{4}

de xícara,

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{3}{4}

e uma xícara. Comente também que, com uma xícara, é possível fazer uma estimativa visual para determinar a medida dos

\frac{3}{4}

de xícara de leite pedidos na receita.

A situação 4 apresenta a necessidade de ter mais de um inteiro para representar a fração pedida (sempre tomada em relação ao mesmo tipo de inteiro).

Proceda de maneira similar ao trabalho com as situações anteriores. Se possível, forneça aos estudantes círculos idênticos feitos de papel, previamente preparados, para vivenciarem essas representações concretamente, o que os levará a perceber, por exemplo, que a representação de

\frac{3}{2}

de um círculo corresponde a 1 círculo e meio; a representação de

\frac{6}{2}

de um círculo corresponde a 3 círculos (inteiros).

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Determine a fração que representa a parte colorida de laranja de cada figura.

Ilustração. Losango dividido em quatro partes iguais. Há três partes pintadas.

Ilustração. Quadrado dividido em nove partes iguais. Há sete partes pintadas.

Ilustração. Quadrado dividido em oito partes iguais. Há duas partes pintadas.

Ilustração. Figura composta por 10 cubinhos iguais. Há três deles pintados.

2 Reproduza as figuras em seu caderno, sem o fundo cinza, e pinte a parte que se pede em cada uma delas.

Ilustração. Paralelogramo dividido em quatro partes triangulares iguais.
Pinte dois quartos

Ilustração. Figura que parece um leque dividida em seis partes iguais.
Pinte 4 sextos

Ilustração. Pentágono dividido em cinco partes triangulares iguais.
Pinte 4 quintos

Ilustração. Paralelogramo dividido em duas partes triangulares iguais.
Pinte 1 meio

Ilustração. Figura em formato da letra T composta por cinco cubinhos iguais.
Pinte 2 quintos

Ilustração. Figura dividida em dez partes triangulares iguais.
Pinte 7 décimos

3 Escreva como se leem as frações que aparecem nas informações a seguir.

Ilustração. Pedaço de um papel com as seguintes informações: Seca provoca racionamento de água. O racionamento é necessário porque a represa que abastece a cidade está com apenas um sobre 5 de sua capacidade normal.

Ilustração. Pedaço de papel com as seguintes informações: O índice de analfabetismo de uma região é 45 sobre 100.

4 Em relação à fração

\frac{5}{9},

responda:

a) O que indica o denominador 9?

b) O que indica o numerador 5?

5 Uma escola tem 900 estudantes no total. O resultado das eleições do grêmio estudantil dessa escola foi apresentado conforme a figura a seguir.

Gráfico de setores. O gráfico está dividido em seis partes iguais. Chapa Cobra tem três partes pintadas de verde. Chapa Jacaré tem duas partes pintadas de azul. Chapa Caracol tem uma parte pintada de amarelo.

a) Qual é a fração que corresponde aos votos de cada chapa?

b) Quem ganhou a eleição?

c) Supondo que todos os estudantes votaram, quantos votos obteve a chapa Caracol? E a chapa Jacaré? E a chapa Cobra?

6 A figura representa um recipiente no qual foram colocados 180 mililitros de líquido. Essa quantidade de líquido ocupou

\frac{3}{5}

do recipiente.

Ilustração. Recipiente cilíndrico dividido em cinco partes iguais. Há três partes preenchidas com líquido.

a) Quantos mililitros de líquido cabem em

\frac{1}{5}

desse recipiente?

b) Quantos mililitros cabem nesse recipiente?

7 A figura está dividida em 4 partes. A parte colorida representa

\frac{1}{4}

da figura? Por quê?

Ilustração. Figura retangular dividida em 4 partes triangulares de tamanhos diferentes. Uma parte está pintada.

8 Em cada item, você vê apenas uma parte da figura. Conforme a fração indicada, desenhe a figura inteira em seu caderno.

\frac{1}{3}

da figura

Ilustração. Retângulo dividido em três partes iguais.

\frac{3}{5}

da figura

Ícone de Atividade em dupla ou em grupo.

Hora de criar – Em duplas, cada integrante vai elaborar um problema sobre fração. Vocês podem analisar, por exemplo, o número de estudantes da turma que vão a pé para a escola, de ônibus, de bicicleta, e depois tentar determinar a fração dos estudantes que utilizam cada um dos meios de locomoção. Troquem de caderno para um resolver o problema do outro. Depois, destroquem para corrigi-los.

Respostas e comentários

1. a)

\frac{3}{4}

1. b)

\frac{7}{9}

1. c)

\frac{2}{8}

1. d)

\frac{3}{10}

2. Construção de figura.

3. Um quinto; quarenta e cinco centésimos.

4. a) Indica que o inteiro foi dividido em 9 partes iguais.

4. b) Indica que foram consideradas 5 partes do inteiro.

5. a) Cobra:

\frac{3}{6},

Jacaré:

\frac{2}{6}

e Caracol:

\frac{1}{6}

5. b) A chapa Cobra.

5. c) Caracol: 150; Jacaré: 300; Cobra: 450.

6. a) 60 mililitros.

6. b) 300 mililitros.

7. Não, pois a figura não está dividida em partes iguais.

8. Construção de figuras.

9. Resposta pessoal.

Exercícios propostos

Este bloco de exercícios explora a noção de fração e sua representação em variadas situações.

As resoluções dos exercícios 1 a 5 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

O exercício 6 requer que os estudantes primeiro interpretem corretamente a afirmação de que 180 mililitros correspondem a

\frac{3}{5}

do recipiente, pois ela será a base para a resolução. Para estimular a turma, questione:

• No recipiente cabe mais ou menos de 180 mililitros? (Espera-se que eles respondam, sem cálculos, que cabe mais, já que 180 mililitros ocuparam

\frac{3}{5}

do recipiente.)

• Após ocupar 180 mililitros desse recipiente, é possível adicionar 180 mililitros? (Espera-se que eles respondam, sem cálculos, que não, pois

\frac{3}{5}

correspondem a mais da metade do recipiente.)

Esse exercício articula conteúdos das Unidades Temáticas Números e Grandezas e medida e é interessante para mostrar o uso dos números racionais em contextos de medição.

a) Em

\frac{1}{5}

do recipiente cabem 60 mililitros (180 dividido por 3 = 60).

b) O recipiente inteiro pode ser representado pela fração

\frac{5}{5}

; portanto, nele cabem 300 mililitros (5 ⋅ 60 = 300).

No exercício 7, discuta com os estudantes por que a parte colorida nesse caso não corresponde a um quarto da figura. Espera-se que eles reconheçam que a figura não foi repartida em partes iguais, o que contribui para consolidar o significado de fração como relação parte/todo.

Para o exercício 8, são exemplos de desenhos das figuras inteiras:

Ilustração. Três triângulos intercalados lado a lado.

A figura inteira pode ser representada pela fração

\frac{3}{3}

Ilustração. Retângulo dividido em 5 partes iguais.

A figura inteira pode ser representada pela fração

\frac{5}{5}

O exercício 9 é uma ótima oportunidade para o desenvolvimento da competência geral 9. Para isso, é importante estimular o diálogo e a cooperação durante o trabalho em grupo.

Se julgar conveniente, organize uma pesquisa com os estudantes para que eles determinem a fração de colegas da turma que utilizam diferentes meios de locomoção para se deslocar de casa para a escola.

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A fórma percentual

As frações de denominador 100 podem ser representadas somente pelo numerador acompanhado do símbolo % (lemos: “por cento”), que representa o denominador 100. Por exemplo:

Ilustração. Figura em formato de cruz dividida em 100 partes iguais. No centro da figura há 20 partes pintadas de azul e nos extremos da figura há 8 partes pintadas de laranja.

•

\frac{8}{100}

ou 8% da figura foi pintada de laranja.

•

\frac{20}{100}

ou 20% da figura foi pintada de azul.

Os números 8% e 20% estão registrados na fórma percentual.

Os números racionais que, na fórma de fração, têm denominador 100 podem ser representados na fórma percentual: grafamos o numerador da fração acompanhado do símbolo %, que representa o denominador 100.

Do mesmo modo, os números racionais representados na fórma percentual também podem ser representados na fórma de fração.

Observe alguns exemplos.

a) 86% ou

\frac{86}{100}

b) 54% ou

\frac{54}{100}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

10 Represente cada número na fórma de fração.

a) 31%

b) 78%

c) 95%

11 Duas figuras geométricas iguais são divididas de dois modos diferentes; porém partes iguais das duas figuras são pintadas.

Ilustração. Quadrado dividido em dez partes iguais horizontais. Uma das partes está pintada.

Ilustração. Quadrado dividido em cem partes iguais. Há dez partes pintadas.

a) Represente a parte pintada na figura a em fórma de fração.

b) Represente a parte pintada na figura B em fórma de fração e em fórma percentual.

12 Observe as figuras e responda às perguntas.

Ilustração. Quatro círculos de mesmo tamanho, cada um dividido e pintado de uma maneira. Círculo 1 está dividido em 4 partes iguais com uma parte pintada. Círculo 2 está dividido em 2 partes iguais com uma parte pintada. Círculo 3 está dividido em 4 partes iguais com três parte pintada. Círculo 4 está dividido em 5 partes iguais com uma parte pintada.

Em cada figura:

a) Que porcentagem do círculo está pintada de verde?

b) Que fração do círculo está pintada de verde?

Respostas e comentários

10. a)

\frac{31}{100}

10. b)

\frac{78}{100}

10. c)

\frac{95}{100}

11. a)

\frac{1}{10}

11. b)

\frac{10}{100}

e 10%

12. a) (um) 25%, (dois) 50%, (três) 75%, (quatro) 20%.

12. b) (um)

\frac{1}{4},

(dois)

\frac{1}{2},

(três)

\frac{3}{4},

(quatro)

\frac{1}{5}

A fórma percentual

Números registrados na fórma percentual são comuns em nosso dia a dia, nas mais variadas situações: relações comerciais, parcelamento de compras, cálculo do valor líquido do salário, pagamento de impostos, partilha de bens e em diferentes dados de pesquisas apresentadas nas mais variadas mídias, como o censo demográfico, pesquisas eleitorais, pesquisas de satisfação e pesquisas epidemiológicas. Por isso, é importante que os estudantes se familiarizem com a fórma percentual e compreendam o significado de sua representação, o que póde contribuir para a sua formação cidadã, para uma análise mais crítica das informações que recebem das diferentes mídias e uma atuação mais consciente na sociedade.

Ao apresentar a fórma percentual é possível aprofundar os conhecimentos que os estudantes já construíram em estudos anteriores sobre porcentagem, para que eles apliquem na própria vida e na continuidade de seus estudos.

Exercícios propostos

Nesta sequência de exercícios, explora-se a resolução de problemas envolvendo porcentagem, o que contribui para o trabalho com a habilidade (ê éfe zero seis ême ah um três).

Para enriquecer o trabalho com esse bloco de exercícios, utilize materiais manipuláveis, como as peças do material dourado, malhas quadriculadas a serem pintadas ou já pintadas, círculos de papel, entre outros, de modo que os estudantes vivenciem situações similares às propostas nos exercícios.

No exercício 10, lembre os estudantes de que os números 31%, 78% e 95% estão registrados na fórma percentual. Para representar cada número na fórma de fração, é importante lembrar que o símbolo % representa o número 100, o denominador da fração. O numerador da fração é o número que acompanha o símbolo %.

Então:

a) 31% =

\frac{31}{100}

b) 78% =

\frac{78}{100}

c) 95% =

\frac{95}{100}

As resoluções dos exercícios 11 e 12 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

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Pense mais um poucoreticências

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Reúna-se com alguns colegas, e façam o que se pede.

Cada um de vocês vai reproduzir a figura 1 em uma folha de papel quadriculado sem o fundo cinza. Em seguida, pintem de vermelho 30% dessa figura e, de azul, 20%. Comparem as figuras obtidas e respondam:

Ilustração. Quadrado dividido em cem partes iguais.

a) A parte azul tem a mesma quantidade de quadradinhos nas figuras de todos? E a parte vermelha? Por quê?

b) A parte pintada de vermelho tem, necessariamente, a mesma fórma nas figuras de todos? E a parte azul? Por quê?

c) Quantos por cento da figura inicial não foram pintados? Por quê?

3. A fração também pode representar um quociente

Acompanhe as situações a seguir.

Situação 1

Uma professora deu 5 folhas de papel sulfite a um grupo de 3 estudantes para que construíssem pequenos blocos de anotações. Qual foi a quantidade de papel que cada estudante recebeu, sabendo que o papel foi distribuído igualmente entre eles?

Para resolver esse problema, primeiro distribuiremos uma folha inteira para cada estudante. Entretanto, sobrarão duas folhas, que poderão ser distribuídas para os 3 estudantes, dividindo cada uma delas em 3 partes iguais, como mostram as figuras.

Ilustração. Retângulo dividido em três partes horizontais iguais. Cada parte equivale a 1 terço do retângulo.

Ilustração. Retângulo dividido em três partes horizontais iguais. Cada parte equivale a 1 terço do retângulo.

Cada estudante ficará, então, com 1 folha inteira e mais

\frac{2}{3}

de folha, que pode ser escrito como

1 \frac{2}{3}

de folha (lemos: “um inteiro e dois terços de folha”).

Ilustração. Conjunto com um retângulo grande na vertical e dois retângulos menores de mesmo tamanho na horizontal. Há três conjuntos como esse e embaixo de cada conjunto há a legenda Estudante 1, Estudante 2 e Estudante 3.

Respostas e comentários

Pense mais um poucoreticências:

a) Tanto a parte azul quanto a parte vermelha devem apresentar a mesma quantidade de quadradinhos em todas as figuras: 20 quadradinhos azuis e 30 vermelhos, determinados pelos percentuais 20% e 30%, que são os mesmos para todos.

b) As partes vermelha e azul não terão necessariamente a mesma fórma, uma vez que cada um escolhe a posição de cada quadradinho a ser pintado de acordo com sua preferência.

c) Não foram pintados 50% da figura inicial, visto que, dos 100 quadradinhos, 50 ficaram em branco (100 ‒ 30 ‒ 20 = 50) .

Pense mais um poucoreticências

Nesta atividade, os estudantes devem mobilizar seus conhecimentos sobre porcentagem considerando o fato de que ela está associada a uma fração de denominador 100. É importante destacar que o uso dessas diferentes representações e que a compreensão de suas relações são essenciais para a interpretação e a resolução de inúmeros problemas que envolvem porcentagens e cálculos afins. Nesse caso, o papel quadriculado é um valioso aliado para tornar essa relação mais concreta e significativa.

Deve ficar evidente para os estudantes que nem todos precisam pintar da mesma maneira os quadradinhos para resolver as atividades, mas que todos devem pintar 30 quadradinhos de vermelho e 20 quadradinhos de azul.

a) A parte azul deve ter a mesma quantidade de quadradinhos, 20, nas figuras de todos; a parte vermelha deve ter a mesma quantidade de quadradinhos, 30, nas figuras de todos.

Ilustração. Quadrado dividido em cem partes iguais. Há 30 partes pintadas de vermelho e 20 partes pintadas de azul.

Como a figura 1 tem 100 quadradinhos, 30% da figura equivalem a 30 quadradinhos (pintados de vermelho) e 20% da figura equivalem a 20 quadradinhos (pintados de azul).

b) As partes pintadas de vermelho e de azul não têm, necessariamente, a mesma fórma nas figuras de todos. Como a figura 1 tem 100 quadradinhos, os estudantes podem pintar quaisquer 30 desses quadradinhos de vermelho e quaisquer outros 20 desses quadradinhos de azul. Como a disposição dos quadradinhos pintados pode variar, a fórma de cada parte pintada não será a mesma para todos os estudantes.

c) Como 30% da figura são pintados de vermelho e 20% da figura são pintados de azul, é possível concluir que 20% + 30% = 50% da figura inicial foram pintados, isso significa que 100% ‒ 50% = 50% da figura inicial não foram pintados.

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O resultado

1 \frac{2}{3}

representa a quantidade de papel que cada estudante recebeu. Dizemos que esse número está escrito na fórma mista, pois é composto de um número natural (1) e de um número na fórma de fração

(\frac{2}{3}) .

Essa ação de dividir 5 folhas de papel sulfite com 3 estudantes também pode ser indicada pela divisão 5 dividido por 3.

Agora, observe a figura a seguir. Ela nos mostra que

1 \frac{2}{3} = \frac{5}{3} .

Ilustração. Retângulo dividido em três retângulos menores iguais. Cada retângulo menor corresponde a um terço do retângulo maior. Ao lado há mais dois retângulos menores que correspondem também a um terço do retângulo maior. Acima das imagens abre uma chave com a informação 1 inteiro e 2 terços. Abaixo das imagens abre uma chave com a informação cinco terços e uma seta apontando para a fração com a informação: Quantidade de papel que cada estudante recebeu.

Portanto, podemos escrever

5 : 3 = 1 \frac{2}{3} = \frac{5}{3},

isto é,

5 : 3 = \frac{5}{3} .

Observe que

\frac{5}{3}

é um número maior que 1.

Situação 2

Se distribuirmos 3 barras de chocolate igualmente para 4 pessoas, cada pessoa receberá

\frac{3}{4}

de uma barra.

Então, podemos escrever:

Esquema. Três dividido por quatro é igual a três quartos. Três indica o total de barras de chocolate; quatro indica o número de pessoas; três quartos indica a quantidade de barras de chocolate por pessoa.

Caso fossem distribuídas 20 dessas barras de chocolate igualmente para 4 pessoas, cada uma receberia 5 barras:

20 : 4 = \frac{20}{4} = 5

Observando as situações 1 e 2, podemos concluir que:

Uma fração pode representar o quociente de seu numerador pelo seu denominador.

Respostas e comentários

3. A fração também pode representar um quociente

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero sete.

Neste tópico, iniciamos o estudo da fração como um quociente, ampliando e aprofundando os conhecimentos relacionados à habilidade (ê éfe zero seis ême ah zero sete).

Analise com os estudantes as situações 1 e 2 apresentadas. Reproduza na lousa os passos na montagem das figuras e a distribuição equitativa que foi feita, de modo que os estudantes compreendam quanto cada um recebeu.

Se julgar adequado, reúna-os em trios e reproduza a repartição das 5 folhas de papel sulfite, como introdução do tema ou como verificação do que foi feito.

Nas duas situações, destaque as representações na fórma mista. Dê outras frações maiores que 1 inteiro para os estudantes representarem na fórma mista. Se julgar conveniente, sugira-lhes que inicialmente representem essas frações por meio de figuras.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

13 Determine, em seu caderno, a fração que representa cada divisão.

a) 12 dividido por 3

b) 20 dividido por 4

c) 5 dividido por 2

d) 7 dividido por 3

e) 35 dividido por 10

14 João comprou uma motocicleta por .18000 reais e pagou em 12 prestações iguais.

a) Escreva a fração que representa o valor de cada prestação.

b) Qual é o valor de cada prestação?

15 Expresse na fórma mista o número que representa a parte da figura pintada de laranja.

Ilustração. Três quadrados divididos em nove quadradinhos iguais cada um. O primeiro e o segundo quadrado estão com todos os quadradinhos pintados. No terceiro há quatro quadradinhos pintados. Uma chave abrange os quadrados e indica figura.

16 Na figura, cada inteiro é composto de 4 quadradinhos. Represente a parte pintada de verde:

Ilustração. Três retângulos divididos em quatro quadradinhos iguais cada. O primeiro e o segundo retângulo estão com todos os quadradinhos pintados. No terceiro há três quadradinhos pintados. Uma chave abrange os retângulos e indica figura.

a) como uma fração;

b) na fórma mista.

Como trabalhar com a divisão e a fórma mista

Dada uma fração, nem sempre é conveniente empregar figuras para obter um número escrito na fórma mista. Imagine quantos inteiros teríamos de desenhar para obter a fórma mista de

\frac{43}{5}

Na prática, dividimos o numerador pelo denominador. Por exemplo, vimos que

\frac{43}{5}

representa 43 dividido por 5; por isso, aplicamos o seguinte procedimento:

Conta de divisão na chave. À esquerda da chave, número 43. Dentro da chave, número 5. Abaixo do 43, resto 3. Abaixo da chave, quociente 8.

O quociente (8) corresponde à parte inteira, pois 5 cabe 8 “vezes inteiras” no 43. O resto (3) deve ser dividido em 5 partes iguais, ou seja, 3 dividido por 5, que pode ser representado pela fração

\frac{3}{5}

Então, podemos escrever:

\frac{43}{5} = 8 \frac{3}{5}

Observe como identificar nesse procedimento os termos do número expresso na fórma mista:

Esquema. Conta de divisão na chave. À esquerda da chave, número 43. Dentro da chave, número 5 (denominador). Abaixo do 43, resto 3 (numerador). Abaixo da chave, quociente 8 (parte inteira).

Respostas e comentários

13. a)

\frac{12}{3}

13. b)

\frac{20}{4}

13. c)

\frac{5}{2}

13. d)

\frac{7}{3}

13. e)

\frac{35}{10}

14. a)

\frac{18 000}{12}

14. b) .1500 reais.

15. a) 2

\frac{4}{9}

16. a)

\frac{11}{4}

16. b) 2

\frac{3}{4}

Exercícios propostos

No exercício 13, relembre os estudantes de que uma fração pode representar o quociente de seu numerador pelo seu denominador, desenvolvendo assim a habilidade (ê éfe zero seis ême ah zero sete).

a) 12 dividido por 3 =

\frac{12}{3}

b) 20 dividido por 4 =

\frac{20}{4}

c) 5 dividido por 2 =

\frac{5}{2}

d) 7 dividido por 3 =

\frac{7}{3}

e) 35 dividido por 10 =

\frac{35}{10}

No exercício 14, o valor de cada prestação da compra feita por João pode ser determinado pela divisão .18000 dividido por 12.

Portanto, no item a, a fração que representa o valor de cada prestação é

\frac{18 000}{12}

Para a resolução do item b, é necessário efetuar a divisão .18000 dividido por 12 = .1500. Portanto, o valor de cada prestação é .1500 reais.

Uma maneira interessante de ampliar a reflexão proposta com o exercício 14 é solicitar aos estudantes, após a resolução e a correção, que formem duplas e respondam às questões seguintes, sem fazer cálculos escritos, mas escrevendo (ou descrevendo oralmente) uma justificativa:

• Se João tivesse comprado um automóvel de .17000 reais, o valor de cada prestação seria maior ou menor que .1500 reais? (Espera-se que eles percebam que seria menor, porque o valor a ser repartido nas mesmas 12 prestações é menor.)

• Se ele tivesse comprado um automóvel de .18000 reais, mas pagasse em 10 prestações, cada prestação seria maior ou menor que .1500 reais? (Espera-se que eles reconheçam que o valor das prestações seria maior, já que estão dividindo a mesma quantia em menos partes.)

• Como usar os dados desse problema para explicar que

\frac{18 000}{12}

é menor que

\frac{17 000}{10}

? E que

\frac{18 000}{12}

é menor que

\frac{18 000}{10}

? (As justificativas anteriores podem mostrar esses fatos.)

No exercício 15, relembre os estudantes de que um número misto é composto de um número natural e de um número na fórma de fração. O número que representa a parte da figura pintada de laranja, na fórma mista, é

2 \frac{4}{9}

. O número natural 2 representa as duas partes inteiras pintadas de laranja, e a fração

\frac{4}{9}

representa a parte restante pintada (4 quadradinhos pintados de um total de 9 quadradinhos).

A resolução do exercício 16 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

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Também podemos fazer o caminho inverso: passar da fórma mista para a fórma de fração. Acompanhe dois exemplos.

a) Para representar

3 \frac{2}{4}

na fórma de fração, verificamos quantos quartos temos em

3 \frac{2}{4} .

Esquema. Na primeira linha: 3, fração dois quartos. Na segunda linha: 3 inteiros mais 2 quartos. Na terceira linha: 3 vezes 4 quartos mais 2 quartos. Na quarta linha: 12 quartos mais 2 quartos. Na quinta linha: 14 quartos é igual a fração 14 quartos.

Assim,

3 \frac{2}{4} = \frac{14}{4}

b) Para representar

5 \frac{2}{3}

na fórma de fração, verificamos quantos terços temos em

5 \frac{2}{3} .

Esquema. Na primeira linha: 5, fração dois terços. Na segunda linha: 5 inteiros mais 2 terços. Na terceira linha: 5 vezes 3 terços mais 2 terços. Na quarta linha: 15 terços mais 2 terços. Na quinta linha: 17 terços é igual a fração 17 terços.

Assim,

5 \frac{2}{3} = \frac{17}{3}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

17 Represente os números na fórma de fração.

4 \frac{3}{5}

2 \frac{3}{7}

1 \frac{1}{2}

3 \frac{1}{4}

8 \frac{2}{3}

18 Represente os números na fórma mista.

\frac{10}{3}

\frac{18}{7}

\frac{3}{2}

\frac{10}{9}

\frac{16}{5}

Uma revendedora de carros oferece financiamentos com até três opções de prazos para pagamento: 30 meses, 40 meses ou 50 meses. Letícia quer saber a quantos anos cada um desses prazos equivale.

a) Ajude-a a escrever esses prazos na fórma mista, considerando o ano como unidade de medida de tempo.

b) Se a revendedora de carros cobra uma taxa anual que faz o preço do carro aumentar 12% ao ano, em qual dos prazos o valor total a ser pago seria menor? Financiamentos mais longos fazem com que o preço final dos produtos aumente? O que você faria no lugar de Letícia?

20 Em uma receita de vitamina de morango são necessários

3 \frac{3}{4}

copos de leite. Sabendo que em um copo cabem 200 mililitros, determine quantos mililitros de leite serão necessários para essa receita.

Ilustração. Mulher branca, de cabelo liso preso, veste uma regata rosa. Ela está com as mãos em um liquidificador. Ao lado do liquidificador, há um pote com morangos. Ao lado dela, um menino branco, de cabelo castanho, veste uma regata azul. Ele segura uma caixa de leite em uma das mãos e na outra uma xícara.

Hora de criar – Com um colega, pense em alguns números do dia a dia de vocês que podem ser representados na fórma de fração. Escrevam essas frações em seus cadernos e representem-nas na fórma mista. Depois, troque o seu caderno com o do colega e verifiquem se os dois chegaram aos mesmos resultados. Toda fração pode ser representada na fórma mista?

Respostas e comentários

17. a)

\frac{23}{5}

17. b)

\frac{17}{7}

17. c)

\frac{3}{2}

17. d)

\frac{13}{4}

17. e)

\frac{26}{3}

18. a)

3 \frac{1}{3}

18. b)

2 \frac{4}{7}

18. c)

1 \frac{1}{2}

18. d)

1 \frac{1}{9}

18. e)

3 \frac{1}{5}

19. Orientações: Comente com os estudantes que financiar a compra de um objeto significa fazer duas compras: a do objeto e a do prazo para o pagamento.

19. a)

2 \frac{6}{12}

anos,

3 \frac{4}{12}

anos,

4 \frac{2}{12}

anos.

19. b) O total a ser pago pelo financiamento de 30 meses seria menor. Sim, o valor total é a soma do preço do carro (fixo) com o acréscimo refente à taxa (variável); quanto maior é o prazo, maior é o valor desse acréscimo, maior é essa soma. Resposta pessoal.

20. 750 mililitros.

21. Resposta pessoal.

Como trabalhar com a divisão e a fórma mista

Entender a fração como um quociente, ou seja, como o resultado de uma divisão entre o numerador e o denominador, relaciona o algoritmo usual da divisão com a fórma mista. Verifique se os estudantes identificam os elementos da fórma mista (parte inteira e parte fracionária) na situação de divisão.

Essa é uma ótima oportunidade para o desenvolvimento da habilidade (ê éfe zero seis ême ah zero sete), ao propor à turma a comparação de frações e a associação dessas frações às ideias de partes de inteiros e resultado da divisão.

Exercícios propostos

Para a resolução do exercício 17, relembre os estudantes de que para representar um número misto na fórma de fração é necessário escrever a parte inteira desse número como uma fração com mesmo denominador da parte fracionária. Assim:

4 \frac{3}{5} = 4 + \frac{3}{5}

= \frac{20}{5} + \frac{3}{5} = \frac{23}{5}

2 \frac{3}{7} = 2 + \frac{3}{7}

= \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}

1 \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2}

= \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

3 \frac{1}{4} = 3 + \frac{1}{4}

= \frac{12}{4} + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}

8 \frac{2}{3} = 8 + \frac{2}{3}

= \frac{24}{3} + \frac{2}{3} = \frac{26}{3}

No exercício 18, é feito o caminho inverso para passar da fórma de fração para a fórma mista. Lembre os estudantes de que o numerador da fração inicial é dividido pelo denominador. O quociente dessa operação corresponde à parte inteira do número que deve ser expresso na fórma mista, e o resto deve ser dividido pelo denominador da fração original.

\frac{10}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = 3 + \frac{1}{3} = 3 \frac{1}{3}

\frac{18}{7} = \frac{14}{7} + \frac{4}{7} = 2 + \frac{4}{7} = 2 \frac{4}{7}

\frac{3}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{2}

\frac{10}{9} = \frac{9}{9} + \frac{1}{9} = 1 + \frac{1}{9} = 1 \frac{1}{9}

\frac{16}{5} = \frac{15}{5} + \frac{1}{5} = 3 + \frac{1}{5} = 3 \frac{1}{5}

As resoluções dos exercícios 19 a 21 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

Página 158

4. A fração como razão

Até agora estudamos frações que representam o resultado de uma comparação entre o inteiro e suas partes e frações que podem representar o resultado de uma divisão.

Além disso, podemos empregar frações para descrever o resultado de comparações entre diferentes elementos. Nesses casos, a fração representa a razão entre as quantidades desses elementos.

Vamos considerar duas situações.

Situação 1

Na perfumaria de Paula, há vários expositores com produtos de higiene.

Em um dos expositores, figura 1, há desodorantes de embalagem azul e de embalagem vermelha.

Ilustração. Expositor de produtos com cinco prateleiras e em cada prateleira há 13 desodorantes sendo 3 de embalagem azul e 10 de embalagem vermelha.

Nesse expositor, existem 65 desodorantes, 15 de embalagem azul e 50 de embalagem vermelha. Então, podemos dizer que 15 em 65 desodorantes têm embalagem azul, ou seja,

\frac{15}{65} .

A fração

\frac{15}{65}

representa a comparação ou a relação do número de desodorantes azuis com o número total de desodorantes no expositor, ou seja, a razão dessas duas quantidades.

Esquema. Quinze sobre sessenta e cinco. 15 indica o número de desodorantes azuis. 65 indica o número total de desodorantes.

Da mesma fórma, podemos comparar o número de desodorantes azuis com o número de desodorantes vermelhos no expositor e representar a relação entre essas duas quantidades na fórma de fração.

Esquema. Quinze sobre cinquenta. 15 indica o número de desodorantes azuis. 50 indica o número de desodorantes vermelhos.

Agora, considere que, nas prateleiras desse expositor, para cada 3 desodorantes de embalagem azul, encontramos 10 desodorantes de embalagem vermelha; isto é, a quantidade de desodorantes de embalagem azul representa

\frac{3}{10}

da quantidade de desodorantes de embalagem vermelha.

Considerando outro expositor igual a esse, figura 2,

\frac{3}{10} ou \frac{15}{50}

são razões que ainda representam o resultado da comparação entre a quantidade de desodorantes de embalagem azul e a quantidade de desodorantes de embalagem vermelha, pois no novo expositor ainda temos 3 desodorantes de embalagem azul para cada 10 desodorantes de embalagem vermelha (ou 15 para 50), não importa sua organização.

Respostas e comentários

4. A fração como razão

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah um cinco.

O tratamento da fração como razão possibilita o entendimento de situações de partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade (EF06MA15). A noção de razão não se esgota neste ano; ela será ampliada e aprofundada nos anos seguintes do Ensino Fundamental.

Analise a situação 1 com os estudantes.

Pergunte a eles o que quer dizer a afirmação “15 em 65 desodorantes têm embalagem azul”. É esperado que eles exponham que se trata de uma razão de parte pelo todo.

A seguir, peça a eles que expliquem o significado de “para cada 3 desodorantes de embalagem azul encontramos 10 desodorantes de embalagem vermelha”. Essa relação é mais elaborada que as demais relações estudadas até agora, mas, acompanhando a ilustração e observando cada prateleira, os estudantes podem verificar o que ocorre: 3 para 10 equivale a 6 para 20 ou 9 para 30 ou ainda 12 para 40 ou 15 para 50. Nesse caso, há uma comparação entre as partes (desodorantes de embalagem azul e de embalagem vermelha) do todo, dada pela fração

\frac{3}{10}

, ou qualquer uma das outras frações descritas

(\frac{6}{20}, \frac{9}{30}, \frac{12}{40}, \frac{15}{50})

. Desse modo, os estudantes podem compreender a conclusão na qual a quantidade de desodorantes de embalagem azul é

\frac{3}{10}

da quantidade de desodorantes de embalagem vermelha.

Página 159

Note também que é possível comparar o total de 30 desodorantes de embalagem azul com os 100 desodorantes de embalagem vermelha dos dois expositores e registrar o resultado dessa comparação como a razão

\frac{30}{100} .

Sabemos que

\frac{30}{100}

também pode ser registrado como 30% (lemos: “trinta por cento”). O número 30 é o numerador da fração, e % é o símbolo que representa o denominador 100.

Assim, nessa situação, podemos dizer que a quantidade de desodorantes de embalagem azul nos dois expositores é 30% da quantidade de desodorantes de embalagem vermelha.

Se tivéssemos 4 expositores iguais, teríamos 60 desodorantes de embalagem azul e 200 desodorantes de embalagem vermelha, ou seja, para cada grupo de 100 desodorantes de embalagem vermelha, ainda teríamos 30 desodorantes de embalagem azul, isto é, a quantidade de desodorantes de embalagem azul permaneceria 30% da quantidade de desodorantes de embalagem vermelha.

Situação 2

A medida do comprimento da estrada da Fazenda é

\frac{3}{8}

da medida do comprimento da estrada do Mar. Sabendo que a estrada da Fazenda tem 72 quilômetros, qual é a medida do comprimento da estrada do Mar?

Você pode fazer esquemas e operações para resolver esse problema.

Ilustração. Segmento de reta dividido em 8 partes iguais representado a estrada do Mar. Cada parte representa um oitavo. Cada três partes representam 3 oitavos da medida do comprimento da estrada do Mar correspondente ao segmento de reta dividido em três partes – estrada da fazenda.

Nesse caso, a estrada do Mar é 1 inteiro =

\frac{8}{8}

, e cada pedaço representa

\frac{1}{8}

dessa estrada.

A fração

\frac{3}{8}

é a razão entre as medidas dos comprimentos da estrada da Fazenda e da estrada do Mar.

Assim, para saber quantos quilômetros equivalem a

\frac{1}{8}

da medida do comprimento da estrada do Mar, basta dividir o valor em quilômetro que representa

\frac{3}{8}

dessa medida por 3. E, depois, para obter a medida do comprimento total da estrada do Mar, basta multiplicar o valor em quilômetro que representa

\frac{1}{8}

por 8.

Acompanhe:

Esquema. três oitavos da medida do comprimento da estrada do Mar corresponde a 72 quilômetros. Dividido por 3: um oitavo da medida do comprimento da estrada do Mar corresponde a 24 quilômetros. Multiplicado por 8: oito oitavos da medida do comprimento da estrada do Mar corresponde a 192 quilômetros.

Na calculadora, fazemos:

Ilustração. Teclas de calculadora na seguinte ordem: 7, 2, divisão, 3, multiplicação, 8 e sinal de igual.
Visor da calculadora com o número 192.

Portanto, a estrada do Mar tem 192 quilômetros de medida de comprimento.

Respostas e comentários

A fração como razão

Na situação 2, os estudantes podem verificar que a relação estabelecida entre duas partes de um todo, ou cada parte e o todo, possibilita obter dados de um desses elementos, conhecendo-se valores ligados ao outro elemento.

Nessa situação, como as medidas dos comprimentos das duas estradas estão relacionadas, sabendo-se a medida do comprimento de uma dessas estradas, por meio da relação estabelecida, determina-se a medida do comprimento da outra estrada.

A montagem de esquemas e a noção de proporcionalidade formam uma boa estratégia de resolução de problemas em situações desse tipo.

Página 160

TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Porcentagem nas ondas do rádio

O rádio continua conquistando e inovando! Leia o texto.

reticências Ao contrário do que muitos imaginam, o consumo de conteúdo via rádio aumentou no último ano, mesmo com tantas opções. É o que aponta o estudo Inside Radio 2021, reticências realizado em treze regiões metropolitanas do Brasil.

O levantamento mostra que 80% da população dessas regiões ouvem rádio. E que, mesmo aumentando a audiência das rádios pelo celular, as pessoas preferem é escutar no aparelho de rádio tradicional. Além disso, os dados revelam ainda que 71% escutam em casa. reticências

Fonte: 80% da população ainda ouve rádio, diz pesquisa. RadioagênciaNacional, Brasília, DF, 25 setembro 2021. Disponível em: https://oeds.link/7Tq9O2. Acesso em: 6 fevereiro 2022.

Como estamos cada vez mais conectados, o rádio vem inovando e utilizando novos formatos digitais para manter seu público entretido, como emissoras on-line, podcasts e serviços de streaming.

Ícone do Tema Contemporâneo Transversal: Ciência e Tecnologia.

Para saber o formato que mais agrada seus ouvintes, o proprietário de uma rádio fez uma pesquisa para saber quais são os formatos digitais mais consumidos pelo público. Para a coleta de dados, os pesquisadores definiram sua amostra, composta de .15000 pessoas de diferentes regiões, sexo e classe social, com idades entre 15 e 65 anos. Depois, eles fizeram a seguinte pergunta: “Quais dos novos formatos digitais você mais ouve?”. Observe os dados coletados nessa pesquisa no gráfico a seguir.

Gráfico em barras horizontais. Novos formatos do rádio digital. No eixo horizontal, porcentagem. No eixo vertical, formatos. Os dados são: Rádio on-line ao vivo exclusivas na internet: 4%;
Programas de rádio AM/FM gravados disponíveis on-line: 3%;
Listas de músicas em sites de emissoras de rádio AM/FM: 5%;
Rádios on-line ao vivo em sites de emissoras de rádio AM/FM: 16%;
Podcasts: 27%.
Música em aplicativos de streaming: 45%. — Dados obtidos pela Agência de Pesquisa.

Esse gráfico apresenta alguns dados na fórma percentual. Por exemplo:

• 5% dos entrevistados declararam ouvir listas de músicas on-line selecionadas por rádios frequência de rádio á ême ou frequência de rádio éfe ême. Isso equivale a

\frac{5}{100},

o que significa que 5 de cada 100 pessoas entrevistadas ouvem esse novo formato;

• a barra referente às pessoas que responderam preferir ouvir música em aplicativos de streaming registra 45%, que equivalem a

\frac{45}{100},

o que significa que a cada 100 pessoas entrevistadas, 45 preferem o formato de aplicativos de streaming.

Respostas e comentários

Trabalhando a informação

Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah um três, ê éfe zero seis ême ah três um e ê éfe zero seis ême ah três dois.

Ao explorar a interpretação e a construção de gráficos de barras com os dados e de colunas com porcentagens, esta seção contribui para o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero seis ême ah um três), (ê éfe zero seis ême ah três um) e (ê éfe zero seis ême ah três dois).

No gráfico, são destacadas algumas informações relacionadas aos novos formatos do rádio digital e seus significados de acordo com os números apresentados na fórma percentual. Peça aos estudantes que descrevam mais algumas informações que podem ser obtidas por meio da análise desse gráfico, por exemplo, respondendo quantas das pessoas pesquisadas costumam ouvir podcasts.

O uso de plataformas digitais para acesso a informações e lazer faz parte da cultura juvenil. Aproveite esse momento para conversar com os estudantes se utilizam desses meios, com que frequência e com qual finalidade. Comente os cuidados que devem ter ao navegar nesses ambientes e os cuidados que devem ter com notícias falsas que costumam circular em plataformas digitais, contribuindo para o desenvolvimento da competência geral 5.

Como ampliação dessa temática, pode-se propor um trabalho com o professor de Língua Portuguesa para a produção de um podcast a partir de uma temática escolhida pelos estudantes. Oriente-os para que o trabalho seja desenvolvido em grupo respeitando a diversidade entre os integrantes, contribuindo para o desenvolvimento das competências gerais 4, 5, 9 e 10.

Página 161

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Com base no gráfico da página anterior, responda:

a) Que percentual dos entrevistados disse ouvir programas de rádio frequência de rádio á ême/frequência de rádio éfe ême gravados disponíveis on-line?

b) Qual é a fração das pessoas entrevistadas que prefere ouvir rádios on-line ao vivo?

c) E você, costuma ouvir rádio? Qual dos novos formatos citados na pesquisa você mais ouve?

2 Uma professora de Matemática apurou a frequência com que os estudantes da sua classe ouvem rádio em qualquer um dos novos formatos digitais. Para a coleta de dados, perguntou: “Quantos dias da semana, de segunda a domingo, você ouve rádio em qualquer um dos novos formatos digitais?”. Após a coleta dos dados, ela os registrou em uma tabela. Observe.

Estudantes que ouvem rádio em novos formatos digitais em número de dias da semana
Número de dias	1	2	3	4	5	6	7	Nunca	Não sabe
Porcentagem	4%	5%	6%	9%	7%	26%	41%	2%	0%

Dados obtidos pela professora de Matemática.

Com base nessa tabela, faça o que se pede.

a) Construa um gráfico de colunas para representar a situação.

b) Qual é o significado do maior e do menor dado registrados na tabela?

c) Expresse em fórma de fração cada dado registrado na tabela.

d) Determine a razão, em fórma de fração, do número de pessoas que nunca ouvem rádio digital para o número de pessoas que ouvem todos os dias da semana. O que esse número indica?

e) Dê o significado de 5% registrado na tabela.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

22 Algumas vezes encontramos no supermercado embalagens que indicam que uma parte do produto é gratuita.

Ilustração. Duas embalagens rosa de bolacha recheada. No pacote à esquerda tem o seguinte texto: Tuti 200 gramas. No pacote à direita tem o seguinte texto: Tuti 200 gramas, grátis 40 gramas.

a) Qual é a razão da parte grátis do produto para o pacote sem a oferta? O que essa razão representa?

b) Represente, na fórma percentual, a resposta do item a.

23 Uma classe tem 18 meninos e 24 meninas: todos vão ensaiar uma dança folclórica. Para isso, esses estudantes devem formar rodas mistas de modo que todas tenham a mesma quantidade de meninos e a mesma quantidade de meninas.

Fotografia. Vista frontal de pessoas com traje da dança Siriri em um palco iluminado.
Os homens vestem
camisa branca, calça verde, sapato preto, fitas coloridas no pescoço e seguram um chapéu na altura do peito. As mulheres vestem blusa verde, saia branca com detalhes coloridos e laços coloridos no pescoço. Elas estão com os braços abertos segurando as saias para os lados. — Grupo de dança de Siriri. Associação Cultural Flor Ribeirinha, em Museu do Rio Bairro Porto, Cuiabá. (Fotografia de 2008.)

a) De quantos modos essas rodas podem ser formadas?

b) Determine quatro frações que podem representar o resultado da comparação entre o número de meninos e o de meninas dessa classe, ou seja, a razão do número de meninos para o número de meninas.

Respostas e comentários

1. a) 3%

1. b)

\frac{1}{5}

1. c) Respostas pessoais.

2. a) Construção de gráfico.

2. b) Maior dado: 41% dos estudantes ouvem rádio todos os dias da semana; menor dado: 0% não sabe.

2. c)

\frac{4}{100}

\frac{5}{100}

\frac{6}{100}

\frac{9}{100}

\frac{7}{100}

\frac{26}{100}

\frac{41}{100}

\frac{2}{100}

\frac{0}{100}

2. d)

\frac{2}{41}

. Esse número indica que, para cada duas pessoas que não ouvem rádio digital, existem quarenta e uma pessoas que ouvem todos os dias, ou seja, para cada uma pessoa que não ouve rádio digital, existem aproximadamente 20 pessoas que ouvem todos os dias.

2. e) De cada 100 pessoas entrevistadas, 5 ouvem rádio em novos formatos digitais 2 dias por semana.

22. a)

\frac{40}{200};

representa a comparação da quantidade grátis do produto com a quantidade do pacote sem a oferta.

22. b) 20%

23. a) 4 modos: 6 rodas com 3 meninos e 4 meninas, ou 3 rodas com 6 meninos e 8 meninas, ou duas rodas com 9 meninos e 12 meninas, ou uma roda com 18 meninos e 24 meninas

23. b)

\frac{3}{4}, \frac{6}{8}, \frac{9}{12} e \frac{18}{24}

Agora quem trabalha é você!

Na atividade 1, serão analisadas as informações do gráfico de barras.

a) 3% dos entrevistados disseram ouvir programas de rádio frequência de rádio á ême/frequência de rádio éfe ême gravados disponíveis on-line.

b) Considerando as categorias rádio on-line ao vivo exclusivas na internet e rádios on-line ao vivo em sites de emissoras de rádio frequência de rádio á ême/frequência de rádio éfe ême, é possível concluir que 20% das pessoas entrevistadas (4% + 16% = 20%) preferem ouvir rádios on-line ao vivo. Na fórma de fração, esse número pode ser representado por

\frac{20}{100} = \frac{1}{5}

c) Converse com os estudantes sobre os novos formatos citados na pesquisa e se eles conhecem e têm acesso a todos esses formatos. Essa é uma ótima oportunidade para conhecer e explorar os diferentes interesses deles e trocar informações sobre suas diferentes vivências.

As resoluções e comentários dos itens da atividade 2 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

Exercícios propostos

Esse bloco de exercícios explora a fração como razão e a fórma percentual.

Sugerimos que os exercícios sejam feitos em duplas, o que permite aos estudantes perceberem possíveis equívocos nas interpretações das situações ao expor o que pensaram para o colega.

As resoluções dos exercícios 22 e 23 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

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24 Uma pesquisa mostrou que, a cada 5 estudantes da escola Cata-vento que estudam espanhol, apenas 2 estudantes estudam italiano.

a) Que fração pode representar o resultado da comparação entre a quantidade de estudantes que estudam italiano e a quantidade dos que estudam espanhol?

b) É possível que nessa escola 60 estudantes estudem italiano enquanto 200 estudam espanhol? Por quê?

25 A medida da altitude do rio Amazonas em terras brasileiras é igual a 82 métros, que corresponde a cêrca de

\frac{3}{204}

da altitude de sua nascente em terras peruanas.

Fotografia. Vista do alto de parte da orla do Rio Amazonas e do porto do município de Parintins, com muitas embarcações. — Vista de drone da orla do Rio Amazonas e do porto, no município de Parintins, Amazonas. (Fotografia de 2019.)

Aproximadamente, a quantos metros do nível do mar se encontra a nascente do rio Amazonas?

26 Acompanhe no gráfico a produção da empresa Só Parafusos em uma semana.

Gráfico em barras verticais. Quantidade de parafusos produzidos. No eixo horizontal, dias da semana. No eixo vertical, quantidade de parafusos (em milhares). Os dados são: Segunda-feira: 10. Terça-feira: 20. Quarta-feira: 30. Quinta-feira: 40. Sexta-feira: 100. — Dados obtidos pela Só Parafusos.

Leia as afirmações a seguir e corrija as falsas.

a) A produção total nessa semana foi de 200 parafusos.

b) A produção de segunda-feira foi de

\frac{1}{10}

da produção de sexta-feira.

c) Na terça-feira, a produção foi 20% da produção de sexta-feira.

d) A produção de terça-feira foi

\frac{3}{4}

da produção de quarta-feira.

e) A produção dos quatro primeiros dias da semana foi menor do que a metade da produção de sexta-feira.

f) A produção dos quatro primeiros dias da semana foi 50% da produção de toda a semana.

g) Na quinta-feira, a Só Parafusos produziu 20% da produção total da semana.

Pense mais um pouco...

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Mara comprou um skate para Marcos com as seguintes condições de pagamento: entrada de 84 reais, correspondente a 40%, ou seja,

\frac{2}{5}

do preço total do skate, e mais 3 prestações mensais iguais.

Ilustração. Mulher branca de cabelo curto, veste blusa estampada e calça lilás. Ela está de mãos dadas com um menino branco de cabelo castanho. Ele veste uma blusa verde e uma bermuda marrom e aponta para uma prateleira com dois skates, um vermelho e outro verde. Abaixo dos skates há dois capacetes de segurança, um verde e outro vermelho.
Acima dos skates aparece o texto: promoção. Ao fundo, há uma caixa de papelão com o texto: frágil. Acima da caixa há um skate verde pendurado na parede e dois capacetes de segurança, um vermelho e outro amarelo.

Quanto Mara pagará em cada prestação?

A loja oferece um desconto de 20% no preço total do skate, ou seja, de

\frac{1}{5}

do preço total, se o pagamento for feito à vista, isto é, em apenas uma prestação. Quanto Mara poderia economizar se ela comprasse o skate à vista? Nessas condições, você compraria o skate à vista ou em prestações? Registre em seu caderno todos os procedimentos que você usou para chegar aos resultados.

Respostas e comentários

24. a)

\frac{2}{5}

24. b) Não, pois, separando os 200 em 5 partes iguais, cada parte terá 40 estudantes. Assim, tomando duas dessas partes, obtêm-se 80, que não é a quantidade proposta de estudantes que estudam italiano: 60.

25. .5576 métros

26. a) A produção total nessa semana foi de .200000 parafusos.

26. d) A produção de terça-feira foi

\frac{2}{3}

da produção de quarta-feira.

26. e) A produção dos quatro primeiros dias da semana foi igual à produção de sexta-feira.

Pense mais um poucoreticências: 42 reais; Respostas pessoais.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 24 e 25 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

O exercício 26 permite avaliar como os estudantes identificam e interpretam dados representados em um gráfico, possibilitando o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero seis ême ah três um) e (ê éfe zero seis ême ah três dois). Se julgar conveniente, agrupe os estudantes em duplas e peça a eles que discutam suas respostas e escrevam justificativas para elas.

a) O erro está em não considerar que a quantidade de parafusos é indicada em milhares. Sem fazer cálculos, a alteração para “200 mil parafusos” corrige a afirmação.

b) A produção da segunda-feira foi de .10000 parafusos, e a da sexta-feira foi de .100000, portanto:

\frac{10 000}{100 000}

\frac{1}{10}

c) Na terça-feira, a produção foi de .20000 parafusos, e na sexta‑feira, de .100000. Como 20% de 100 é igual a 20 (usando o conceito de porcentagem), 20% de .100000 é igual a .20000.

d) A produção foi de .30000 parafusos, e

\frac{3}{4}

de .30000 é igual a .22500. Corrigimos a afirmação trocando

\frac{3}{4}

por

\frac{2}{3}

, já que

\frac{2}{3}

de .30000 é igual a .20000.

e) A produção dos quatro primeiros dias da semana foi de .100000 parafusos, o que corresponde à produção da sexta-feira.

f) Se a produção total nessa semana foi de .200000 parafusos (item a), que corresponde a 100%, e a produção dos quatro primeiros dias da semana foi de .100000 parafusos (item e), que corresponde à metade da produção total, é possível concluir que a produção dos quatro primeiros dias da semana foi 50% da produção de toda a semana.

g) A produção total da semana foi de .200000 parafusos, e 20% de .200000 é igual a .40000, o que corresponde à produção da quinta-feira.

Pense mais um poucoreticências

Devemos considerar que:

\frac{2}{5}

do preço total corresponde a 84 reais (entrada). O preço do skate é dado pela adição do valor da entrada com os valores das 3 prestações iguais. Se a entrada de 84 reais corresponde a

\frac{2}{5}

do preço total,

\frac{1}{5}

do preço total corresponde a 42 reais. Assim, o preço total, representado pela fração

\frac{5}{5}

, corresponde a 210 reais (5 ⋅ 42 = 210). Como a entrada foi de 84 reais, o valor das 3 prestações juntas é 126 reais (210 ‒ 84 = 126). Logo, cada prestação é de 42 reais (126 dividido por 3 = 42).

Página 163

5. Frações equivalentes

Considere esta figura.

Ilustração. Homem amarelo de cabelo preto, usa óculos e veste camiseta roxa e jaleco. Ele diz: O radical latino equi significa igual.

Vamos construir quatro figuras iguais a ela e pintar a parte correspondente às frações

\frac{1}{2},

\frac{2}{4},

\frac{3}{6}

\frac{4}{8}

. Para isso, a primeira figura será dividida igualmente em duas partes; a segunda figura, em 4 partes; a terceira figura, em 6; e a última, em 8.

Ilustração. Retângulo dividido em duas partes iguais. Uma parte está pintada de amarelo e representa a fração um meio. Ilustração. Retângulo dividido em quatro partes iguais. Duas partes estão pintadas de amarelo e representam a fração dois quartos. Ilustração. Retângulo dividido em seis partes iguais. Três partes estão pintadas de amarelo e representam a fração três sextos. Ilustração. Retângulo dividido em oito partes iguais. Quatro partes estão pintadas de amarelo e representam a fração quatro oitavos.

As frações

\frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{6} e \frac{4}{8},

embora escritas de modo diferente, representam a mesma parte da figura. Elas são chamadas de frações equivalentes.

Acompanhe a situação a seguir.

A coreografia da abertura dos jogos esportivos da escola onde Vítor estuda é feita por um grupo com 36 estudantes, dos quais 12 utilizam uma sombrinha vermelha e amarela.

Em determinados momentos dessa coreografia, os estudantes com sombrinha vermelha e amarela se movimentam, formando grupos diferentes em cada caso. Observe os grupos formados:

• 1º grupo:

\frac{1}{3}

dos 36 estudantes está com sombrinha vermelha e amarela.

Ilustração. Vista superior de sombrinhas alinhadas em três grupos de duas colunas cada com seis sombrinhas em cada coluna. As duas colunas mais a esquerda estão com as sombrinhas pintadas de amarelo e vermelho.

• 2º grupo:

\frac{2}{6}

dos 36 estudantes estão com sombrinha vermelha e amarela.

Ilustração. Vista superior de sombrinhas alinhadas em seis grupos de três colunas cada com três sombrinhas em cada coluna. O grupo mais acima e mais a esquerda está com as sombrinhas pintadas de amarelo e vermelho assim como o grupo mais abaixo e mais a direita.

• 3º grupo:

\frac{3}{9}

dos 36 estudantes estão com sombrinha vermelha e amarela.

Ilustração. Vista superior de sombrinhas alinhadas em nove grupos de duas colunas cada com duas sombrinhas em cada coluna. O grupo mais acima e mais a esquerda está com as sombrinhas pintadas de amarelo e vermelho assim como o grupo mais abaixo e mais a direita e o grupo que está no centro.

As frações

\frac{1}{3}, \frac{2}{6} e \frac{3}{9}

são frações equivalentes, pois representam a mesma parte (12 estudantes) do inteiro (36 estudantes).

Respostas e comentários

5. Frações equivalentes

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero sete.

O conceito de equivalência de frações já deve ser conhecido dos estudantes. Neste momento, buscamos ampliar e aprofundar os conhecimentos que eles já construíram sobre esse assunto, contribuindo para o trabalho com a habilidade (ê éfe zero seis ême ah zero sete).

O primeiro exemplo apresentado trata de inteiros contínuos, nos quais a equivalência se revela ao comparar as regiões pintadas na figura às frações correspondentes consideradas e verificar que representam a mesma parte de um mesmo inteiro.

No segundo exemplo, exploramos o conceito de frações equivalentes considerando inteiros discretos, como é o caso da quantidade de estudantes com sombrinhas usadas na coreografia. De acordo com a disposição das sombrinhas, é possível verificar que, no 1º grupo, o inteiro (36 estudantes) foi repartido em 3 partes iguais (cada uma com 12 estudantes), em que apenas 1 dessas partes é composta de estudantes com sombrinha vermelha e amarela. Desse modo,

\frac{1}{3}

do total corresponde a 12 estudantes.

No 2º grupo, pela disposição mostrada, verifica-se que o inteiro (36 estudantes) foi repartido em 6 partes iguais (cada uma com 6 estudantes), em que duas dessas partes (2 ⋅ 6 = 12) correspondem aos estudantes com sombrinha vermelha e amarela, ou seja,

\frac{2}{6}

do total correspondem a 12 estudantes.

Como o inteiro é o mesmo (36 estudantes), essas frações são equivalentes, pois representam a mesma parte (12 estudantes) do inteiro. De modo análogo, analisamos o 3º grupo, repartido em 9 partes iguais, com 4 estudantes cada uma, sendo que 3 dessas partes correspondem aos estudantes com sombrinha vermelha e amarela. Ou seja,

\frac{3}{9}

do total correspondem a 12 estudantes.

Página 164

Como obter frações equivalentes

Para indicar que duas ou mais frações são equivalentes, colocamos entre elas o sinal de igualdade (=).

Como as frações

\frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{6} e \frac{4}{8}

são equivalentes, podemos escrever:

\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{4}{8}

Para obter frações equivalentes a determinada fração, podemos multiplicar seus dois termos por um mesmo número natural diferente de zero.

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}

Observe, agora, algumas frações que representam uma mesma parte pintada de um mesmo inteiro.

Ilustração. Círculo dividido em dezesseis partes iguais. Há doze partes pintadas. Ao lado, fração, doze sextos.

Ilustração. Círculo dividido em oito partes iguais. Há seis partes pintadas. Ao lado, fração: seis oitavos.

Ilustração. Círculo dividido em quatro partes iguais. Há três partes pintadas. Ao lado, fração, três quartos.

As frações

\frac{12}{16}, \frac{6}{8} e \frac{3}{4}

são equivalentes. Então, podemos escrever:

Esquema. Fração 12 sobre 16 é igual a 6 sobre 8, pois abre chave, 6 é igual a 12 dividido por 2 e 8 é igual a 16 dividido por 2.

Esquema. Fração 12 sobre 16 é igual a 3 sobre 4, pois abre chave, 3 é igual a 12 dividido por 4 e 4 é igual a 16 dividido por 4.

Esquema. Fração 6 sobre 8 é igual a 3 sobre 4, pois abre chave, 3 é igual a 6 dividido por 2 e 4 é igual a 8 dividido por 2.

Isso significa que também podemos obter frações equivalentes a determinada fração dividindo seus termos por um mesmo número natural diferente de zero.

\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

27 Observe as figuras, que representam o mesmo inteiro, e verifique se as frações são equivalentes. Justifique sua resposta.

Ilustração. Retângulo dividido em três partes iguais. Duas partes estão pintadas. Ao lado, fração, dois terços.

Ilustração. Retângulo dividido em seis partes iguais. Quatro partes estão pintadas. Ao lado, fração, quatro sextos.

28 Se de um rolo de barbante com 45 metros de fio eu cortar

\frac{2}{5}

\frac{6}{15}

desse barbante, obterei um fio de mesmo comprimento? Por quê?

29 Nas duas figuras (a e bê), considere o “quadradão” como um mesmo inteiro.

Ilustração. Quadrado dividido em quatro partes iguais. Das quatro partes, duas estão divididas em outras quatro partes triangulares com duas delas em cada pintadas e as outras duas partes estão divididas em quatro partes quadradas.

Ilustração. Quadrado dividido em quatro partes iguais. Uma das partes está pintada.

a) Que fração representa a parte pintada de verde em cada figura?

b) As frações obtidas para a e bê são equivalentes? Por quê?

Respostas e comentários

27. As frações

\frac{2}{3} e \frac{4}{6}

são equivalentes, pois representam a mesma parte do inteiro.

28. Sim, pois

\frac{2}{5} e \frac{6}{15}

são frações equivalentes.

29. a) a:

\frac{4}{16}

e B:

\frac{1}{4}

29. b) Sim, pois representam a mesma parte do inteiro, embora com formas diferentes.

Como obter frações equivalentes

Se julgar conveniente, providencie material manipulável para que os estudantes concretizem os exemplos do livro e comprovem a equivalência dessas frações.

Exercícios propostos

Para os exercícios 27 e 29, se possível, entregue folhas de papel para os estudantes recortarem, com tesoura de pontas arredondadas e sob a sua supervisão, as figuras e cada uma de suas partes. Esse manuseio auxilia no entendimento da fração como parte do todo e de frações equivalentes.

Para a resolução do exercício 27, lembre os estudantes de que duas frações são equivalentes quando representam a mesma parte do inteiro. As duas figuras apresentadas no exercício, apesar de serem repartidas de maneiras diferentes, têm a mesma parte do todo pintada de laranja. Outra fórma de verificar que as partes pintadas nas duas figuras são representadas por frações equivalentes é multiplicar os termos da fração da primeira figura por um mesmo número natural diferente de zero.

\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}

No exercício 28, analisando as frações dadas, é possível observar que

\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15} .

Como as frações do rolo de barbante são equivalentes, elas representam a mesma quantidade; portanto, o fio obtido terá a mesma medida de comprimento para qualquer uma das duas frações consideradas.

No exercício 29, mostre aos estudantes que, na figura A, cada pedaço tem a mesma área, apesar de terem formatos diferentes, por isso representam a mesma fração do inteiro. Os quatro quadrados maiores estão divididos em partes iguais; note que cada um dos quatro quadradinhos menores foi dividido em duas partes iguais para formar cada um dos quatro triângulos.

a) A fração que representa a parte pintada de verde é dada pela relação entre a quantidade de partes pintadas e a quantidade total de partes da figura

(\frac{quantidade de partes pintadas}{quantidade total de partes})

. Na figura a, essa fração é

\frac{4}{16}

. Na figura B, essa fração é

\frac{1}{4}

b) As frações obtidas são equivalentes, pois

\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{4}{16}

Página 165

30 Quais das seguintes frações são equivalentes à fração

\frac{5}{8} ?

\frac{10}{16}

\frac{15}{24}

\frac{20}{16}

\frac{25}{40}

\frac{30}{56}

Reúna-se com um colega e façam o que se pede.

a) Dadas as frações equivalentes

\frac{4}{9},

\frac{12}{27},

\frac{16}{36}

\frac{28}{63},

para cada par calculem os produtos do numerador de uma com o denominador da outra. Em seguida, comparem esses dois produtos.

b) Escrevam duas frações equivalentes, diferentes das do item a. Calculem os produtos do numerador de uma com o denominador da outra e, em seguida, comparem esses produtos.

c) Dadas duas frações equivalentes, o que se pode concluir sobre os produtos do numerador de uma com o denominador da outra?

d) Sabendo que as frações

\frac{5}{8}

\frac{?}{48}

são frações equivalentes, calculem o produto de 8 por “?” e, em seguida, o valor de “?”.

32 Encontre uma fração equivalente a

\frac{2}{5}

que tenha denominador 15. Você pode encontrar essa fração multiplicando os dois termos da fração dada por um mesmo número.

33 Determine uma fração de numerador 42 equivalente à fração

\frac{7}{10} .

34 Nas seguintes equivalências falta um termo de uma das frações, representado por “?”. Calcule quanto vale “?” em cada caso.

\frac{3}{4} = \frac{15}{?}

\frac{6}{9} = \frac{?}{15}

\frac{5}{?} = \frac{35}{21}

\frac{?}{18} = \frac{3}{2}

35 Determine as frações equivalentes a

\frac{2}{3}

e a

\frac{3}{4}

com denominador 12.

Hora de criar – Elabore um problema em que o resultado possa ser representado por 3 frações equivalentes. Peça para um colega que resolva o seu problema e desenhe 3 figuras que representam o mesmo inteiro e com partes pintadas de acordo com as frações equivalentes obtidas. Depois, conversem e confiram as respostas um do outro.

6. Simplificação de frações

Quando a divisão dos termos de uma fração por um número natural diferente de 0 e de 1 é exata, obtemos uma fração equivalente cujos termos são números menores que os da outra fração. Chamamos isso de simplificação de fração.

Acompanhe, por exemplo, como podemos simplificar a fração

\frac{24}{36} .

Se dividimos 24 e 36 por 4, obtemos uma fração equivalente:

\frac{24}{36} = \frac{24 : 4}{36 : 4} = \frac{6}{9}

Como 6 e 9 são números menores que 24 e 36, respectivamente, dizemos que simplificamos a fração

\frac{24}{36} .

Se quisermos, podemos continuar a simplificar a fração até obtermos uma fração em que não é mais possível encontrar um mesmo número, diferente de 0 e de 1, que divida o numerador e, também, o denominador. Dizemos, nesse caso, que a fração é irredutível. Observe.

\frac{24}{36} = \frac{24 : 4}{36 : 4} = \frac{6 : 3}{9 : 3} = \frac{2}{3}

Note que a fração

\frac{2}{3}

é irredutível e é equivalente a

\frac{24}{36} .

Podemos escrever, então, que:

\frac{24}{36} = \frac{2}{3}

Ilustração. Mulher negra de cabelo castanho, usa óculos e veste uma camiseta amarela e um jaleco branco.
Ela diz: É mais simples calcular dois sétimos de 189 do que 18, 63 avos de 189. Quanto a isso, sou irredutível!

Respostas e comentários

30.

\frac{10}{16}, \frac{15}{24}, \frac{25}{40}

31. a) 4 · 27 = 9 · 12; 4 · 36 = 9 · 16; 4 · 63 = 9 · 28; 12 · 36 = 27 · 16; 12 · 63 = 27 · 28; 16 · 63 = 36 · 28

31. b) Os produtos são iguais.

31. c) Esses produtos são iguais.

31. d) 240; 30

32.

\frac{6}{15}

33.

\frac{42}{60}

34. a) 20

34. b) 10

34. c) 3

34. d) 27

35.

\frac{8}{12} e \frac{9}{12}

36. Resposta pessoal.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 30 e 31 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

Discuta com os estudantes o procedimento indicado no exercício 32. Eles devem perceber que podem obter diferentes frações equivalentes à fração dada, mas apenas uma com denominador 15:

•

\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10}

\frac{2}{5} e \frac{4}{10}

são equivalentes, mas o denominador não é 15.

•

\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}

\frac{2}{5} e \frac{6}{15}

são equivalentes e a segunda fração tem denominador 15. Logo, a fração

\frac{6}{15}

é a fração procurada.

Incentive os estudantes a analisarem a fração dada para perceberem que o número pelo qual se devem multiplicar ambos os termos para obter denominador 15 é o número 3.

No exercício 33, a fração dada é

\frac{7}{10}

, com numerador 7. Como a fração equivalente deve ter numerador 42, é preciso descobrir por que número se deve multiplicar 7 para obter 42. Para isso é possível efetuar a operação inversa, 42 dividido por 7 = 6. Assim, multiplicando os dois termos da fração dada por 6, encontramos a fração equivalente desejada.

\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 6}{10 \cdot 6} = \frac{42}{60}

As resoluções dos exercícios 34 a 36 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

6. Simplificação de frações

Para a simplificação de frações faremos a determinação de frações equivalentes mais simples ao dividir numerador e denominador por um mesmo número natural não nulo e diferente de 1. Comente com os estudantes que, se esse número não existir, ou seja, se a fração não puder ser simplificada, diz-se que ela é uma fração irredutível.

Página 166

Também é possível simplificar a fração

\frac{24}{36}

escolhendo outros números para dividir. Observe o exemplo.

Esquema. Fração, 24 sobre 36. O numerado dividido por 2 dá 12 e o denominador dividido por 2 dá 18. Fração, 12 sobre 18. O numerador dividido por 2 dá 6 e o denominador dividido por 2 dá 9. Fração, 6 sobre 9. O numerador dividido por 3 dá 2 e o denominador dividido por 3 dá . Fração, 2 sobre 3.

Perceba que, quanto maior for o número escolhido para dividir o numerador e o denominador, mais curto será o processo de simplificação. Observe.

Esquema. Fração, 24 sobre 36. O numerador dividido por 12 dá 2 e o denominador dividido por 12 dá 3.

Nesse caso, com apenas uma simplificação calculamos a fração irredutível, pois 12 é o maior divisor comum de 24 e 36.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

37 Simplifique as frações, tornando-as irredutíveis.

\frac{4}{10}

\frac{18}{24}

\frac{25}{50}

\frac{14}{15}

38 Simplifique as frações, quando possível, para obter denominadores iguais a 6.

\frac{72}{48}

\frac{14}{42}

\frac{12}{38}

\frac{20}{30}

39 As frações de numeradores iguais a 1 são chamadas de frações unitárias. Determine, quando possível, as frações unitárias equivalentes às seguintes frações.

\frac{5}{20}

\frac{6}{18}

\frac{3}{12}

\frac{4}{30}

40 Represente cada número por uma fração e, depois, encontre a fração equivalente irredutível.

a) 36%

3 \frac{2}{8}

c) 50%

1 \frac{3}{6}

41 Sabendo que 1 centímetro corresponde à centésima parte de 1 metro, faça o que se pede.

a) Qual parte do metro 50 centímetros representam? Expresse essa parte como fração irredutível.

b) Faça o mesmo para 25 centímetros e para 125 centímetros.

Pense mais um pouco...

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Observe a figura 1 e responda às questões em seu caderno.

Ilustração. Triângulo grande dividido em sete triângulos.
Três triângulos médios e 4 triângulos pequenos. O triângulo pequeno ao centro está pintado de azul.

a) Quantos triângulos há na figura?

b) Quantos

preciso ter para cobrir o triângulo grande?

c) O menor triângulo corresponde a que fração do maior triângulo?

Respostas e comentários

37. a)

\frac{2}{5}

37. b)

\frac{3}{4}

37. c)

\frac{1}{2}

37. d) Já é irredutível.

38. a)

\frac{9}{6}

38. b)

\frac{2}{6}

38. c) Impossível.

38. d)

\frac{4}{6}

39. a)

\frac{1}{4}

39. b)

\frac{1}{3}

39. c)

\frac{1}{4}

39. d) Impossível.

40. a)

\frac{36}{100}

\frac{9}{25}

40. b)

\frac{26}{8}

\frac{13}{4}

40. c)

\frac{50}{100}

\frac{1}{2}

40. d)

\frac{9}{6}

\frac{3}{2}

41. a)

\frac{50}{100}

\frac{1}{2}

41. b)

\frac{25}{100}

\frac{1}{4}

\frac{125}{100}

, 1

\frac{1}{4}

\frac{5}{4}

Pense mais um pouco...:

a) 9 triângulos.

b) 16 triângulos.

\frac{1}{16}

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 37 a 40 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

Aproveite o contexto do exercício 41 para discutir com os estudantes as relações entre duas unidades de medida de comprimento muito úteis no dia a dia: o metro e o centímetro.

Sabemos que apenas memorizar procedimentos operacionais, como “multiplicamos por 100 para converter de metro para centímetro” ou “dividimos por 100 para converter de centímetro para metro”, não dá aos estudantes a noção real das relações entre essas unidades de medida de comprimento, ou seja, a noção de como elas se comparam, o que certamente prejudica a compreensão e a resolução de muitos outros problemas e de situações cotidianas.

No exercício 41, se 1 centímetro corresponde à centésima parte de 1 metro, na fórma de fração podemos escrever:

1 centímetro =

\frac{1}{100}

metro

a) Portanto 50 centímetros correspondem a

\frac{50}{100}

metro. Simplificando:

\frac{50}{100} = \frac{50 : 50}{100 : 50} = \frac{1}{2}

b) 25 centímetros correspondem a

\frac{25}{100}

metro. Simplificando:

\frac{25}{100} = \frac{25 : 25}{100 : 25} = \frac{1}{4}

125 centímetros correspondem a

\frac{125}{100}

metro. Simplificando:

\frac{125}{100} = \frac{125 : 5}{100 : 5} = \frac{25}{20} =

\frac{25 : 5}{20 : 5} = \frac{5}{4}

Pense mais um poucoreticências

Essa atividade auxilia no desenvolvimento de habilidades de percepção espacial.

Ilustração. Três triângulos de mesmo tamanho. O primeiro triângulo dividido em sete triângulos, sendo três triângulos médios pintados e numerados como: rosa 1, verde 2, e vermelho 3. E quatro triângulos menores pintados e numerados como: amarelo 4, marrom 5, roxo 6 e azul 7. O segundo triângulo dividido em quatro triângulos médios sendo que o triângulo central está pintado de laranja e numerado como 8, os outros triângulos são brancos e não numerados. O último triângulo é um triângulo azul numerado como 9.

a) Considerando os triângulos maiores e menores, há 9 triângulos no total na figura.

b) Para cobrir cada um dos 4 triângulos médios que compõem o triângulo grande são necessários 4 triângulos pequenos como o triângulo pintado de azul. Assim, para cobrir o triângulo grande são necessários 16 dos triângulos pintados de azul (4 ⋅ 4 = 16).

c) Dessa fórma, o menor triângulo corresponde à fração

\frac{1}{16}

do maior triângulo.

Página 167

TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Interpretando um gráfico de setores

Leia o texto sobre o uso global de água doce.

reticências O uso global de água doce aumentou seis vezes nos últimos cem anos e, desde a década de 1980, continua a crescer. reticências Muito desse crescimento pode ser atribuído a uma combinação de crescimento populacional, desenvolvimento econômico e mudanças nos padrões de consumo.

Atualmente, a agricultura é responsável por 69% das retiradas de água em âmbito mundial. reticências A indústria – incluindo o uso e a geração de energia – é responsável por 19% do uso, enquanto os municípios são responsáveis pelos 12% restantes. reticências

A Organização das Nações Unidas para Agricultura e Alimentação (éfi á ó) estima reticências que o mundo vai precisar de cêrca de 60% mais alimentos até 2050. reticências A quantidade de água necessária para esses empreendimentos não está disponível. reticências Mudanças em direção a dietas mais sustentáveis também podem reduzir o uso de água para a produção de alimentos em cérca de 20%, em comparação com as dietas atuais. reticências

Fonte: UNESCO; éfi á ó; REDE Brasil do Pacto Global. Relatório Mundial das Nações Unidas sobre o Desenvolvimento dos Recursos Hídricos 2021: o valor da água. Disponível em: https://oeds.link/MQa4fW. Acesso em: 22 maio 2022.

O gráfico a seguir, feito com base no Relatório Mundial das Nações Unidas sobre o Desenvolvimento dos Recursos Hídricos 2021, representa uma aproximação do uso de água doce no planeta Terra.

Gráfico de setores. Uso global de água doce. Agricultura: 70%. Indústria e energia: 20%. Municípios: 10%. — Dados obtidos em: UNESCO; éfi á ó; REDE Brasil do Pacto Global. Relatório Mundial das Nações Unidas sobre o Desenvolvimento dos Recursos Hídricos 2021: o valor da água. Disponível em: https://oeds.link/MQa4fW. Acesso em: 22 maio 2022.

Esse é um exemplo de gráfico de setores. Nesse tipo de gráfico, a divisão da figura é feita de acordo com a fração do todo correspondente a cada um dos dados representados. Note, por exemplo, que a parte laranja do gráfico é a menor, por isso corresponde à menor porcentagem (10%), e que a parte cinza é a maior porque corresponde à maior porcentagem (70%).

Respostas e comentários

Trabalhando a informação

Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah três um, ê éfe zero seis ême ah três dois.

Esta seção apresenta ao estudante o gráfico de setores em um contexto muito relevante: o uso global de água doce. Essa temática propicia a discussão de questões importantes relacionadas ao consumo de água na produção agrícola, industrial e o quanto sobra para o consumo direto da população, nos dias atuais. As informações apresentadas também servem de alerta e podem levar os estudantes a refletir sobre a distribuição de recursos naturais como a água e a repensar o uso desse recurso cada vez mais escasso. Essa é uma ótima oportunidade para o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos Transversais educação para o consumo e educação ambiental, destacando a importância do consumo consciente e da conservação dos recursos naturais.

Outro aspecto importante que pode ser discutido com os estudantes é a distribuição da água e de outros recursos naturais entre populações ricas e pobres. Abra espaço para os estudantes dizerem como acham que ocorre essa distribuição e por que ela ocorre dessa fórma.

Ao explorar a leitura e interpretação de gráficos de setores, contribui-se para o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero seis ême ah três um) e (EF06MA32).

Página 168

Os dados apresentados em um gráfico de setores também podem ser escritos na fórma de fração. Observe.

Gráfico de setores. Uso global de água doce. Agricultura: sete décimos. Indústria e energia: dois décimos. Municípios: um décimo. — Dados obtidos em: UNESCO; éfi á ó; REDE Brasil do Pacto Global. Relatório Mundial das Nações Unidas sobre o Desenvolvimento dos Recursos Hídricos 2021: o valor da água. Disponível em: https://oeds.link/MQa4fW. Acesso em: 22 maio 2022.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

Leia e responda às questões.

O consumo de água em cada região do planeta depende da infraestrutura hídrica. O continente africano, por exemplo, dispõe de 9% dos recursos hídricos do total mundial; entretanto, cêrca de 54% desses recursos atendem aos 6 países mais ricos do continente, enquanto somente cêrca de 7% atendem aos 27 países mais pobres.

Gráfico de setores. Distribuição de recursos hídricos no continente africano. Países mais ricos: 54%. Países mais pobres: 7%. Países intermediários: 39%. — Dados obtidos em: UNESCO; éfi á ó; REDE Brasil do Pacto Global. Relatório Mundial das Nações Unidas sobre o Desenvolvimento dos Recursos Hídricos 2021: o valor da água. Disponível em: https://oeds.link/MQa4fW. Acesso em: 22 maio 2022.

a) Com relação aos países do continente africano, em qual setor a distribuição dos recursos hídricos foi maior? Analisando o gráfico, você considera a distribuição de água entre esses países proporcional?

b) Pesquise qual é a população de sua cidade. Supondo que a média de consumo diário doméstico de água por pessoa, em sua cidade, seja igual a 110 litros por dia, calcule quantos litros são consumidos por essa população diariamente.

c) Já estudamos que um giro de uma volta completa corresponde a 360°. Arredondando os percentuais do gráfico para 10%, 40% e 50%, calcule a quantos graus corresponde cada setor.

d) Com o auxílio de um transferidor, copie o gráfico em seu caderno, aplicando as respostas ao item c e indicando os recursos hídricos correspondentes a cada grupo de países na fórma de frações.

Respostas e comentários

a) Nos 6 países mais ricos do continente. A distribuição é desproporcional.

b) A resposta depende da população da cidade.

c) Setor dos países mais ricos: 180º, setor dos países mais pobres: 36º, setor dos países intermediários: 144º.

d) Construção de gráfico.

Agora quem trabalha é você!

Uma alternativa de encaminhamento para o item c é solicitar aos estudantes que, em um primeiro momento, não façam cálculos escritos para chegar às soluções e procurem estimar as respostas. Em seguida, devem realizar os cálculos necessários e testar os valores encontrados mentalmente. O processo de estimativa permite estabelecer relações e cultivar a habilidade com outras maneiras de calcular.

É importante ressaltar para os estudantes que, em um gráfico de setores, cuja base é um círculo, a soma de todos os valores associados a cada setor deve corresponder a 100%, se os dados forem apresentados em porcentagem, ou 1, se os dados forem apresentados na fórmade fração.

a) Observando o gráfico é possível concluir que a maior parte dos recursos hídricos está distribuída nos países mais ricos do continente africano. Os dados mostram que a distribuição não é proporcional, pois 54% dos recursos hídricos são destinados aos 6 países mais ricos, enquanto apenas 7% são destinados aos 27 países mais pobres. Isso é evidência de uma possível má distribuição de recursos, já que um número pequeno de países mais ricos concentra a maioria dos recursos, enquanto a maioria dos países, mais pobres, recebe poucos recursos.

b) A resposta para essa pergunta depende da população da cidade. Comente com os estudantes que a quantidade de habitantes de sua cidade de origem ou residência pode ser encontrada por meio de uma pesquisa na biblioteca da escola ou do município, ou por meio de uma pesquisa on-line. O site do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (í bê gê É) apresenta dados confiáveis e atualizados sobre a população das cidades brasileiras. Uma busca no site da prefeitura do município também pode ser interessante. Se a média de consumo diário por pessoa é de 110 litros, o consumo diário da população inteira pode ser calculado pela multiplicação de 110 pelo número de pessoas daquela cidade.

c) Uma volta completa corresponde a 360°, ou 100% dos recursos hídricos. Como 100% dividido por 10 = 10% e 360° dividido por 10 = 36°, 10% dos recursos hídricos correspondem a um setor de 36°. Portanto 40% correspondem a um setor de 144° (4 ⋅ 36° = 144°) e 50% correspondem a um setor de 180° (5 ⋅ 36° = 180°).

A resolução do item d está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

Página 169

7. Comparação de números escritos na fórma de fração

Considere as situações a seguir.

Situação 1

Vanessa e Adriano compraram duas bicicletas de mesmo preço no mesmo dia. Vanessa financiou

\frac{2}{5}

do valor total a ser pago, e Adriano financiou

\frac{4}{5} .

Quem financiou o maior valor?

Ilustração. Um homem e uma mulher com uma caixa com uma bicicleta ao lado de cada um, estão em frente a um balcão com duas pessoas atrás do balcão. Acima de todos eles há uma placa com uma pessoa andando de bicicleta e a informação: sinta a liberdade.

Vamos utilizar algumas figuras para representar a situação.

Cada figura a seguir representa o valor total de cada bicicleta, e as partes pintadas representam o valor que cada comprador financiou.

Ilustração. Dois retângulos de mesmo tamanho alinhados. O retângulo de cima representa o valor total da bicicleta de Vanessa. Este retângulo está dividido em 5 partes iguais. Duas delas estão pintadas que indicam dois quintos. O outro retângulo representa o valor total da bicicleta de Adriano. o retângulo está dividido em 5 partes iguais. Quatro delas estão pintadas que indicam quatro quintos.

Note que

\frac{4}{5}

do preço total é maior do que

\frac{2}{5}

do preço total.

Logo, Adriano financiou mais do que Vanessa.

Situação 2

Paulo pintou de azul

\frac{3}{8}

de um painel, e Carla pintou de laranja

\frac{5}{16}

de outro painel igual ao de Paulo. Quem pintou mais?

Ilustração. Figura dividida em oito losangos iguais. Três deles estão pintados de azul.
Cota ao lado: A parte azul equivale a fração 3 oitavos da figura toda.

Ilustração. Figura dividida em dezesseis triângulos iguais. Cinco deles estão pintados de laranja.
Cota ao lado: A parte laranja equivale a fração 5 sobre 16 da figura toda.

Observe que os painéis foram divididos e pintados (azul e laranja) de modos diferentes.

Para comparar

\frac{3}{8}

com

\frac{5}{16}

utilizando os painéis, é preciso dividi-los em uma mesma quantidade de partes iguais. Vamos dividir o painel de Paulo como o de Carla, usando os triângulos menores:

Ilustração. Figura dividida em dezesseis triângulos iguais. Seis deles estão pintados de azul. Ao lado, o texto: A parte azul equivale a 3 oitavos ou 6, 16 avos da figura toda.

Ilustração. Figura dividida em dezesseis triângulos iguais. Cinco deles estão pintados de laranja. Ao lado, o texto: A parte laranja equivale a 5, 16 avos da figura toda.

Respostas e comentários

7. Comparação de números escritos na fórma de fração

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero sete.

Aqui se inicia o estudo da comparação de números racionais na fórma de fração, ampliando e aprofundando os conhecimentos que os estudantes já construíram sobre esse assunto e sobre a habilidade (ê éfe zero seis ême ah zero sete).

As duas situações apresentadas inicialmente exploram a comparação por meio de figuras, o que facilita a compreensão.

Página 170

Cada triângulo pequeno representa

\frac{1}{16}

de um painel inteiro. Note que a parte azul tem

\frac{1}{16}

a mais do que a parte laranja. Assim:

\frac{6}{16} > \frac{5}{16}

\frac{3}{8} > \frac{5}{16}

Portanto, Paulo pintou mais do que Carla.

Podemos perceber também que, na situação 1, foi muito simples comparar os números

\frac{2}{5}

\frac{4}{5},

porque, como as frações que representam os valores financiados por Vanessa e Adriano têm o mesmo denominador, bastou comparar os numeradores.

Como 4 > 2, temos

\frac{4}{5} > \frac{2}{5} .

Já na situação 2, inicialmente foi necessário dividir o painel em 16 triângulos menores e iguais para encontrar uma fração equivalente a

\frac{3}{8}

com o mesmo denominador de

\frac{5}{16}

e só depois comparar os numeradores.

Como

\frac{3}{8} = \frac{6}{16}

\frac{6}{16} > \frac{5}{16},

podemos concluir que

\frac{3}{8} > \frac{5}{16} .

Entretanto, podemos comparar números escritos na fórma de fração usando uma propriedade das frações e a noção de equivalência. Por exemplo:

Qual destes números é menor:

\frac{4}{6}

\frac{3}{5} ?

Vamos encontrar frações equivalentes a

\frac{4}{6} e \frac{3}{5}

usando a propriedade que possibilita multiplicar (ou dividir) o numerador e o denominador das frações por um mesmo número até encontrarmos frações com mesmo denominador.

Esquema. Fração 4 sobre 6. Ao multiplicar o numerador e o denominador dessa fração por 2, obtêm-se a fração 8 sobre 12. Ao multiplicar o numerador e o denominador da fração 4 sobre 6 por 3, obtêm-se a fração 12 sobre 18. Ao multiplicar o numerador e o denominador da fração 4 sobre 6 por 4, obtêm-se a fração 16 sobre 24. Ao multiplicar o numerador e o denominador da fração 4 sobre 6 por 5, obtêm-se a fração 20 sobre 30. As frações 4 sobre 6, 8 sobre 12, 12 sobre 18, 16 sobre 24 e 20 sobre 30 são equivalentes. Destaque para a fração 20 sobre 30.
Fração 3 sobre 5. Ao multiplicar o numerador e o denominador dessa fração por 2, obtêm-se a fração 6 sobre 10. Ao multiplicar o numerador e o denominador da fração 3 sobre 5 por 3, obtêm-se a fração 9 sobre 15. Ao multiplicar o numerador e o denominador da fração 3 sobre 5 por 4, obtêm-se a fração 12 sobre 20. Ao multiplicar o numerador e o denominador da fração 3 sobre 5 por 5, obtêm-se a fração 15 sobre 25. Ao multiplicar o numerador e o denominador da fração 3 sobre 5 por 6, obtêm-se a fração 18 sobre 30. Destaque para a fração 18 sobre 30.
Como 18 é menor que 20, temos: 18 sobre 30 é menor que 20 sobre 30 então 3 sobre 5 é menor que 4 sobre 6.

Ilustração. Homem amarelo de cabelo preto, usa óculos e veste camiseta roxa e jaleco branco. Ele diz: Note que 30 é múltiplo comum dos denominadores 6 e 5.

Acompanhe mais um exemplo.

Qual destes números é maior:

\frac{2}{5} ou \frac{3}{4} ?

Nesse caso, podemos utilizar as figuras a seguir para obter a resposta.

Ilustração. Retângulo dividido em 5 partes iguais. Duas delas estão pintadas e representam a fração dois quintos. Abaixo, retângulo dividido em 4 partes iguais. Três delas estão pintadas e representam a fração três quartos. Ao lado, está indicado: dois quintos é menor do que três quartos.

Respostas e comentários

Comparação de números escritos na fórma de fração

Discuta com os estudantes os procedimentos indicados para comparar duas (ou mais) frações de denominadores diferentes. Eles devem perceber que a equivalência é a base do processo.

Página 171

Ou, então, podemos escrever frações equivalentes a

\frac{2}{5} e \frac{3}{4}

e procurar entre elas as que têm mesmo denominador.

\frac{2}{5} = \frac{4}{10} = \frac{6}{15} = \frac{8}{20}

\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{9}{12} = \frac{12}{16} = \frac{15}{20}

Observe que o denominador 20 das frações

\frac{8}{20} e \frac{15}{20}

é múltiplo dos denominadores 5 e 4 das frações

\frac{2}{5} e \frac{3}{4} .

Ele pode ser obtido pela multiplicação dos denominadores: 4 · 5 = 20

Esquema. Fração, dois quintos, multiplica o denominador por 4, fração com numerador ponto de interrogação e denominador 20. Fração, 3 sobre 4, multiplica o denominador por 5, fração com numerador ponto de interrogação e denominador 20.

Para obter os novos numeradores, multiplicamos os numeradores pelos mesmos números que multiplicamos os denominadores.

Esquema. Fração, dois quintos, multiplica o numerador por 4, fração 8 sobre 20. Fração, 3 sobre 4, multiplica numerador por 5, fração 15 sobre 20.

Assim, encontramos

\frac{8}{20} e \frac{15}{20},

frações de mesmo denominador e equivalentes a

\frac{2}{5} e \frac{3}{4},

respectivamente.

Esse processo é chamado de redução de frações a um mesmo denominador (ou a um denominador comum).

Esquema. Como 8 vinte avos é menor que 15 vinte avos, obtemos: 2 quintos é menor que 3 quartos. Seta saindo de 8 vinte avos e chegando em 2 quintos para indicar a equivalência entre as frações; Seta saindo de 15 vinte avos e chegando em 3 quartos para indicar a equivalência entre as frações.

Observações

▶ Podemos encontrar um denominador comum entre duas ou mais frações, considerando um múltiplo qualquer não nulo de todos os denominadores. Por exemplo:

Esquema. Fração 3 sobre 10. Ao multiplicar o numerador e o denominador dessa fração por 30, obtêm-se a fração equivalente 90 sobre 300. Fração 4 sobre 15. Ao multiplicar o numerador e o denominador dessa fração por 20, obtêm-se a fração equivalente 80 sobre 300. Fração 5 sobre 6. Ao multiplicar o numerador e o denominador dessa fração por 50, obtêm-se a fração equivalente 250 sobre 300.

▶ Para obter frações equivalentes mais simples, podemos utilizar o mínimo múltiplo comum (mmc) entre os denominadores das frações dadas.

Assim, temos: ême ême cê(10, 15, 6) = 30

Esquema. Fração 3 sobre 10. Ao multiplicar o numerador e o denominador dessa fração por 3, obtêm-se a fração equivalente 9 sobre 30. Fração 4 sobre 15. Ao multiplicar o numerador e o denominador dessa fração por 2, obtêm-se a fração equivalente 8 sobre 30. Fração 5 sobre 6. Ao multiplicar o numerador e o denominador dessa fração por 50, obtêm-se a fração equivalente 25 sobre 30.

Respostas e comentários

Comparação de números escritos na fórma de fração

Se julgar necessário, retome com os estudantes os conceitos de múltiplo e de mínimo múltiplo comum (ême ême cê).

A redução ao mesmo denominador pode ser feita independentemente do ême ême cê, apenas com a noção de equivalência.

Promova atividades nas quais os estudantes utilizem variados procedimentos.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

42 Em uma classe,

\frac{4}{9}

dos estudantes são meninos e

\frac{5}{9}

são meninas. Nessa classe há mais meninos ou meninas?

43 Compare os números e escreva, em seu caderno, sentenças usando os sinais >, = ou <.

\frac{2}{6} e \frac{4}{6}

\frac{1}{7} e \frac{5}{7}

\frac{5}{9} e \frac{2}{9}

\frac{1}{2} e \frac{3}{4}

\frac{3}{10} e \frac{4}{15}

\frac{7}{6} e \frac{21}{18}

44 Na pintura de uma parede foram misturados

\frac{3}{5}

de um galão de tinta azul com

\frac{5}{8}

de um galão de tinta branca. Qual foi a cor da tinta mais usada nessa mistura?

45 Em uma mesma semana, Felipe fez provas de Matemática, História e Inglês. Ele acertou 12 das 20 questões de Matemática, 6 das 10 questões de História e 4 das 7 questões de Inglês. Em qual das provas ele se saiu melhor?

46 Se Lúcia caminhou

\frac{7}{12}

de uma trilha para pedestres, ela percorreu mais ou menos da metade dessa trilha?

47 Um painel decorativo foi montado com lajotas de mesmo tamanho. Do total de lajotas,

\frac{2}{6}

têm cor azul,

\frac{2}{4}

têm cor amarela e

\frac{2}{12}

têm cor vermelha.

a) Qual é a cor de lajota mais usada nesse painel?

b) Qual é a cor de lajota menos usada nesse painel?

48 Reduza as frações a um mesmo denominador.

\frac{3}{5}, \frac{5}{4}

\frac{2}{6}, \frac{7}{4}

3, \frac{2}{5}, \frac{1}{3}

3 \frac{1}{2}, 1 \frac{5}{6}

3 \frac{1}{5}, 2 \frac{3}{4}, \frac{1}{2}

1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}

Hora de criar – Em duplas, cada integrante vai elaborar um problema para a comparação de frações. Troquem de caderno para um resolver o problema do outro. Depois, destroquem para corrigi-los.

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Uma agência de turismo vende pacotes de viagens em 12 prestações iguais. Janaína comprou um desses pacotes. Ela já pagou

\frac{3}{4}

das prestações.

a) A fração

\frac{4}{4}

representa quantas prestações?

b) A fração

\frac{1}{4}

representa quantas prestações?

c) Quantas prestações foram pagas?

2 O quadro a seguir mostra o resultado de uma pesquisa realizada com os estudantes do 6º ano.

Esportes preferidos pelos estudantes do 6º ano
Esporte	Quantidade de estudantes
Futebol	30
Vôlei	10
Basquete	10

Dados obtidos pela escola Cata-vento.

a) Qual é o total de estudantes pesquisados?

b) Qual é a fração que representa o número de estudantes que preferem vôlei em relação ao total de estudantes pesquisados?

c) Na fórma percentual, quantos estudantes preferem futebol?

3 Na figura a seguir, cada bloco representa um inteiro e é formado por pequenos cubos iguais.

Ilustração. Três blocos retangulares compostos por 6 cubos iguais cada.

a) Quantos inteiros há na figura?

b) Que parte de um inteiro (bloco) cada cubinho representa?

c) Quantos sextos de bloco há na figura?

Respostas e comentários

42. Meninas.

43. a)

\frac{2}{6}

\frac{4}{6}

43. b)

\frac{1}{7}

\frac{5}{7}

43. c)

\frac{5}{9}

\frac{2}{9}

43. d)

\frac{1}{2}

\frac{3}{4}

43. e)

\frac{3}{10}

\frac{4}{15}

43. f)

\frac{7}{16}

\frac{21}{18}

44. Branca.

45. Felipe se saiu melhor nas provas de Matemática e História, porque

\frac{12}{20}

\frac{6}{10}

\frac{12}{20}

\frac{4}{7}

\frac{6}{10}

\frac{4}{7}

46. Mais da metade.

47. a) Amarela.

47. b) Vermelha.

48. a)

\frac{12}{20}

\frac{25}{20}

48. b)

\frac{4}{12}

\frac{21}{12}

48. c)

\frac{45}{15}

\frac{6}{15}

\frac{5}{15}

48. d)

\frac{21}{6}

\frac{11}{6}

48. e)

\frac{64}{20}

\frac{55}{20}

\frac{10}{20}

48. f)

\frac{8}{8}

\frac{4}{8}

\frac{2}{8}

\frac{1}{8}

49. Resposta pessoal.

1. a) 12 prestações.

1. b) 3 prestações.

1. c) 9 prestações.

2. a) 50 estudantes.

2. b)

\frac{10}{50}

2. c) 60%

3. a) 3 inteiros.

3. b)

\frac{1}{6}

3. c) 18 sextos.

Exercícios propostos

Neste bloco de exercícios, incentive os estudantes a utilizarem estratégias diversas para as resoluções, revisitando os conhecimentos já construídos.

As resoluções dos exercícios 42 e 43 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

No exercício 44, peça aos estudantes que justifiquem suas respostas. Com o confronto das diversas explicações, eles podem chegar à conclusão de que

\frac{3}{5}

é menor que

\frac{5}{8}

; portanto, a tinta de cor branca foi a mais usada na mistura.

Para comparar as frações

\frac{3}{5}

\frac{5}{8}

é preciso reduzi-las a um denominador comum, que será o múltiplo 5 ⋅ 8 = 40. Dessa fórma,

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{24}{40}

\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{25}{40}

são as frações equivalentes. Como 24 < 25,

\frac{24}{40} < \frac{25}{40}

\frac{3}{5} < \frac{5}{8}

Apresentamos, a seguir, uma possível resolução para o exercício 45. Na prova de Matemática, a fração de acertos de Felipe foi

\frac{12}{20}

; na prova de História, foi

\frac{6}{10}

, e na prova de Inglês,

\frac{4}{7}

. Como

\frac{12}{20}

\frac{6}{10}

\frac{3}{5}

, podemos concluir que Felipe teve o mesmo número de acertos nas provas de Matemática e de História. Para comparar com o número de acertos da prova de Inglês, vamos tomar frações equivalentes que tenham o mesmo denominador.

As frações

\frac{4}{7}

\frac{3}{5}

são, respectivamente, equivalentes a

\frac{20}{35}

\frac{21}{35}

. Como

\frac{20}{35} < \frac{21}{35}

, concluímos que

\frac{4}{7} < \frac{3}{5}

, ou seja, Felipe saiu-se melhor nas provas de Matemática e de História.

As resoluções dos exercícios 46 a 49 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

Exercícios complementares

Com esses exercícios os estudantes revisitarão os principais conceitos estudados no capítulo. Esse é um bom momento para verificar se eles ainda têm alguma dificuldade em fazer as intervenções necessárias.

As resoluções dos exercícios 1 a 3 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

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4 Ao passar por uma loja de motos, Cristiano aproveitou a promoção e comprou uma moto igual à representada na ilustração.

Ilustração. Placa azul com o texto: super promoção, 9 mil reais, 5 vezes sem juros. Ao lado, uma moto vermelha.

a) Qual é a fração que representa o valor de cada prestação em relação ao preço da moto?

b) Qual é o valor de cada prestação?

c) Qual é o valor de

\frac{2}{5}

do preço da moto?

5 Renato pagou

\frac{3}{5}

de uma dívida e ainda ficou devendo 70 reais. Qual era o valor da dívida?

6 Na figura há 2 inteiros. Represente a parte pintada com um número escrito:

a) na fórma de fração;

b) na fórma mista.

Ilustração. Figura composta por dois retângulos divididos em seis partes iguais cada. O primeiro retângulo está com todos as partes pintadas. O segundo retângulo tem três partes pintadas.

7 A professora de Arte distribuiu igualmente 7 cartolinas para 3 grupos de estudantes. Determine a quantidade de cartolina que cada grupo recebeu na fórma de fração e na fórma mista.

8 Diana tem 35 bolas de gude. Dessas 35, para cada duas bolas verdes há 5 vermelhas. Determine um número na fórma de fração que represente a razão da quantidade de bolas verdes para a quantidade de bolas vermelhas e um número na fórma de fração que represente a razão da quantidade de bolas verdes para o número total de bolas de gude.

9 (Vunesp) Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas pavimentar

\frac{2}{5}

da estrada e a outra os 81 quilômetros restantes, a extensão dessa estrada será de:

a) 125 quilômetros.

b) 135 quilômetros.

c) 142 quilômetros.

d) 145 quilômetros.

e) 160 quilômetros.

10 (ú é cê é) Uma peça de tecido, após a lavagem, perdeu

\frac{1}{10}

de seu comprimento e este ficou medindo 36 metros. Nestas condições, o comprimento, em metros, da peça antes da lavagem era igual a:

a) 44.

b) 42.

c) 40.

d) 38.

11 Quando multiplicamos ou dividimos os dois termos de uma fração por um número natural diferente de zero, obtemos uma fração equivalente ou não equivalente à fração dada?

12 Represente duas barras de chocolate: uma branca e outra escura, de mesmo tamanho. Divida a barra branca em 4 pedaços iguais e a barra escura em 8. Se você pegar um dos pedaços da barra branca, quantos pedaços da barra escura serão necessários para obter a mesma quantidade? E se você pegar dois pedaços da barra branca? Indique duas frações equivalentes que representam um pedaço de chocolate da barra branca.

13 Uma fração equivalente a

\frac{3}{5}

tem 32 como soma de seus termos. Determine essa fração.

14 Os estudantes de uma escola estão distribuídos da seguinte maneira:

• Educação Infantil

\frac{2}{9}

• Ensino Fundamental

\frac{8}{18}

• Ensino Médio

\frac{1}{3}

Gráfico de setores. Dividido em três partes não iguais. Sendo um setor pintado de verde, outro de vermelho e o terceiro de azul.

Representando essa distribuição em um gráfico de setores (como na figura), qual é a cor que corresponde ao Ensino Fundamental? E ao Ensino Médio?

15 (Saresp) Quais são as três frações equivalentes a

\frac{1}{2} ?

\frac{2}{4}, \frac{3}{5}, \frac{4}{6}

\frac{2}{4}, \frac{5}{10}, \frac{8}{12}

\frac{3}{6}, \frac{5}{10}, \frac{6}{12}

\frac{3}{7}, \frac{5}{8}, \frac{2}{4}

16 Acompanhe as afirmações feitas por quatro amigos.

Paulo: O numerador e o denominador da fração são números pares.

Mariana: A fração é equivalente à fração

\frac{3}{9} .

Ricardo: A fração é irredutível.

Camila: O numerador da fração é 1.

Sabendo que Ricardo disse a verdade e que um deles mentiu, descubra qual é a fração.

Respostas e comentários

4. a)

\frac{1}{5}

4. b) .1800 reais.

4. c) .3600 reais.

5. 175 reais.

6. a)

\frac{9}{6}

6. b)

1 \frac{3}{6}

\frac{7}{3}

2 \frac{1}{3}

\frac{2}{5}

;

\frac{10}{35}

9. Alternativa b.

10. Alternativa c.

11. Obtemos uma fração equivalente à fração dada.

12. 2 pedaços; 4 pedaços;

\frac{1}{4}

\frac{2}{8}

13.

\frac{12}{20}

14. Verde; vermelho.

15. Alternativa c.

16.

\frac{1}{3}

Exercícios complementares

As resoluções dos exercícios 4 a 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

No exercício 10, a interpretação incorreta do enunciado pode levar o estudante a pensar que

\frac{1}{10}

do comprimento do tecido é igual à medida de 36 metros, induzindo-o a concluir que a peça original media 360 metros de comprimento. Entretanto, ao observar cada uma das alternativas, é possível verificar que esse valor é absurdo, o que deverá levar os estudantes a retomarem a leitura e a reavaliarem a interpretação do enunciado.

Após perder

\frac{1}{10}

do comprimento, a peça de tecido ficou com

\frac{9}{10}

do comprimento inicial, o que corresponde à medida de 36 metros. Assim,

\frac{1}{10}

do comprimento inicial corresponde à medida de 4 metros (36 : 9 = 4) e o comprimento total corresponde a

\frac{10}{10}

ou 40 metros (4 ⋅ 10 = 40).

Para a resolução do exercício 11, lembre os estudantes de que o procedimento descrito gera frações equivalentes à fração dada.

No exercício 12, cada pedaço da barra de chocolate branco corresponde a

\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}

. Cada pedaço da barra de chocolate escuro corresponde a

\frac{1}{8}

Portanto, 2 pedaços da barra de chocolate escuro equivalem a 1 pedaço da barra de chocolate branco.

2 pedaços da barra de chocolate branco equivalem a 4 pedaços da barra de chocolate escuro.

Ilustração. Barra de chocolate branco dividida em 4 partes iguais. Abaixo dela, barra de chocolate escuro do mesmo tamanho dividida em 8 partes iguais.

As resoluções dos exercícios 13 a 16 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

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VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Como lemos a fração

\frac{3}{5} ?

a) cinco terços

b) cinco vírgula três

c) três vírgula cinco

d) três quintos

2 Qual fração da figura está colorida de azul?

Ilustração. Retângulo dividido em 4 linhas e 7 colunas. As duas primeiras linhas os quadrados estão pintados de azul e amarelo intercalados. Nas terceira linha, todos os quadrados estão pintados de verde e na última todos estão pintados de roxo.

\frac{1}{4}

\frac{7}{4}

\frac{7}{14}

\frac{28}{7}

3 Marta comprou uma blusa e, ao pagar à vista, teve um desconto de 20%. Esse desconto corresponde a que fração do valor total da blusa?

\frac{1}{5}

\frac{1}{20}

\frac{2}{100}

\frac{100}{20}

4 Uma empresa tem .1500 funcionários que trabalham em dois turnos diferentes. Sabendo que

\frac{2}{3}

desses funcionários trabalham no primeiro turno, quantos são esses funcionários?

a) 500 funcionários

b) 750 funcionários

c) .1000 funcionários

d) .1500 funcionários

5 César, Fábio e Olívia acabaram de saber o resultado de uma prova de Matemática. César acertou

\frac{3}{4}

das questões, Fábio

\frac{15}{20}

e Olívia acertou 75% das questões. Quem acertou o maior número de questões?

a) César

b) Fábio

c) Olívia

d) Todos acertaram a mesma quantidade.

6 Fabiana destina

\frac{2}{7}

de seu salário para o pagamento de aluguel e

\frac{3}{10}

para o pagamento das demais contas. Considerando um salário de R$ 3.500,00três mil quinhentos reais, o valor gasto com as demais contas é:

a) 50 reais a mais que o gasto com aluguel.

b) 50 reais a menos que o gasto com aluguel.

c) 100 reais a mais que o gasto com aluguel.

d) 100 reais a menos que o gasto com aluguel.

7 A fração irredutível equivalente a

\frac{48}{150}

é:

\frac{4}{15}

\frac{24}{75}

\frac{8}{25}

\frac{24}{25}

8 No gráfico foram organizadas as informações sobre a população residente no Brasil segundo as grandes regiões.

Gráfico de setores. Distribuição da população residente no Brasil. Norte: 8,7%. Nordeste: 27,1%.
Sudeste: 42,1%. Sul: 14,3%. Centro-Oeste: 7,8%. — Fonte: í bê gê É. Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento. Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua 2020. Disponível em: https://oeds.link/MFUTCH. Acesso em: 20 abril 2022.

De acordo com esses dados, de cada .1000 brasileiros:

a) 272 moram na Região Sul.

b) 86 moram na Região Centro-Oeste.

c) 280 moram na Região Nordeste.

d) 422 moram na Região Sudeste.

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) Escreva a relação entre o numerador e o denominador de uma fração com o inteiro.

b) Elabore duas situações envolvendo números racionais na fórma de fração.

c) Em que circunstância duas frações são equivalentes?

d) Como podemos obter uma fração irredutível?

e) Explique como você faz para comparar duas frações de mesmo denominador. E se fossem duas frações de denominadores diferentes?

Respostas e comentários

1. Alternativa d.

2. Alternativa a.

3. Alternativa a.

4. Alternativa c.

5. Alternativa d.

6. Alternativa a.

7. Alternativa c.

8. Alternativa d.

Organizando:

a) O termo que fica abaixo do traço é o denominador, que indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido. O termo localizado acima do traço é o numerador, que indica quantas partes do inteiro foram tomadas.

b) Resposta pessoal.

c) Quando representam a mesma parte de um inteiro.

d) Simplificando a fração até obtermos uma fração em que não é mais possível encontrar um mesmo número, diferente de 0 e de 1, que divida o numerador e, também, o denominador.

e) Quando duas frações têm mesmo denominador, basta comparar os numeradores. Quando duas frações têm denominadores diferentes, é preciso encontrar frações equivalentes de mesmo denominador para fazer a comparação.

Verificando

Esses exercícios são mais uma oportunidade para o estudante validar o entendimento do conteúdo estudado neste capítulo.

Instrua-os a retornarem às páginas anteriores, caso alguma dúvida persista.

As resoluções dos testes 1 a 8 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 7.

Organizando

Incentive os estudantes a organizarem seus aprendizados no caderno, fazendo resumos, mapas conceituais ou aplicando destaques em conceitos importantes.

As questões propostas têm como objetivo fazer com que eles retomem os conteúdos estudados no capítulo e que reflitam sobre algumas temáticas. Após sua correção é importante pedir aos estudantes que compartilhem suas respostas. Essa estratégia permitirá o compartilhamento de dúvidas e percepções sobre o conteúdo, contribuindo para o aprendizado de todos.

a) Espera-se que os estudantes compreendam que, em uma fração, o termo que fica abaixo do traço é o denominador, que indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido, e o termo localizado acima do traço é o numerador, que indica quantas partes do inteiro foram tomadas.

b) Espera-se que os estudantes dominem a representação de números racionais na fórma de fração e que usem situações cotidianas como referência.

c) Os estudantes podem citar que duas frações são equivalentes quando representam a mesma parte de um inteiro.

d) Espera-se que os estudantes compreendam que uma fração irredutível pode ser obtida com a simplificação de uma fração até obter uma fração em que não seja mais possível encontrar um mesmo número, diferente de 0 e de 1, que divida o numerador e também o denominador.

e) Os estudantes devem explicar com suas próprias palavras o processo usado em cada caso. Avalie as respostas apresentadas, reorientando-os se necessário.

CAPÍTULO 7 Números racionais na formafórma de fração

CAPÍTULO 7 Números racionais na fórma de fração