Parte 1
CAPÍTULO 8 Operações com números racionais na fórma de fração
Observe, leia e responda no caderno.
a) A cidade e a região em que você vive fazem parte de qual bioma?
b) Além dos animais domésticos, que outros animais estão mais presentes na região onde você mora?
c) Na região onde você vive há espécies de animais ameaçadas de extinção?
d) Que fração da área ocupada pelo bioma Caatinga corresponde à área ocupada pelo bioma Pampa?Faça uma estimativa.
Nos estudos sobre o meio ambiente, chama-se bioma o conjunto de sistemas que formam uma comunidade (todos os organismos – animais e vegetais – que habitam um mesmo ambiente) estável e desenvolvida, adaptada às condições naturais de uma região, e geralmente caracterizada por um tipo principal de vegetação.
O mapa desta página representa os biomas brasileiros de modo simplificado, reunindo-os em sete grandes biomas.
Respostas e comentários
a) Resposta pessoal.
b) Resposta pessoal.
c) Resposta pessoal.
d) Aproximadamente
um quarto.
Capítulo 8 - Operações com números racionais na fórma de fração
Os objetivos deste capítulo e suas justificativas, as indicações das habilidades e competências específicas da Matemática ( Bê êne cê cê), além de outras informações, estão no início deste Manual, nas orientações específicas.
Este capítulo trata das operações com números racionais na fórma de fração, complementando, ampliando e aprofundando estudos anteriores dos estudantes.
Apresenta-se o mapa do Brasil dividido por biomas, oferecendo um contexto para possível interdisciplinaridade com Geografia. póde-se aproveitar para explorar a conscientização acerca de questões ambientais, comparar modificações de paisagens nos lugares de vivências e os usos desses lugares em diferentes tempos, verificando e, se for o caso, associando com o fato de algumas espécies animais estarem ameaçadas de extinção, contribuindo para o desenvolvimento da competência geral 7 e do Tema Contemporâneo Transversal educação ambiental. Para este trabalho interdisciplinar, sugerimos que os estudantes sejam organizados em grupos e que cada grupo pesquise um dos biomas presentes no Brasil. O trabalho em grupo favorece o desenvolvimento da competência geral 9, pois os estudantes podem exercitar a cooperação e o diálogo, a fim de organizarem as tarefas para realizar a pesquisa.
Explore o mapa propondo aos estudantes a leitura das informações contidas e solicitando a eles que localizem a região aproximada, de seu município ou estado, identificando assim, o bioma correspondente.
As resoluções das atividades propostas nesta abertura dependem da região onde cada estudante reside. Elas podem ter como base a análise do mapa e os conhecimentos prévios sobre o bioma. Se necessário, os estudantes podem pesquisar sobre as características da região, em relação ao bioma, e listá-las no caderno, indicando alguns animais da fauna local e pesquisando quais espécies de animais estão ameaçadas de extinção.
Sugestões de leitura
Para ampliar o assunto sobre biomas brasileiros terrestres, sugerimos os materiais:
REDE brasileira de reservas da biosfera. Biomas do Brasil. Disponível em: https://oeds.link/UpXjth. Acesso em: 6 junho ponto 2022.
É possível encontrar textos com as principais características dos biomas brasileiros.
í bê gê É Educa. Biomas brasileiros. Disponível em: https://oeds.link/0QOW4a. Acesso em: 28 maio 2022.
Neste site, disponibilizam-se informações textuais e gráficas sobre os biomas brasileiros.
1. Adição e subtração com frações de mesmo denominador
Para preservar o patrimônio biológico existente no território brasileiro, foi criado, pela Lei número .9985, de 18 de julho de 2000, o Sistema Nacional das Unidades de Conservação da Natureza.
Unidade de Conservação (ou ) ú cê é a denominação dada a espaços territoriais que passam a ter seus recursos ambientais protegidos por lei.
Leia as informações a seguir.
*Registros em UCs Federais: 1460 espécies, arredondadas para 1500, e frações aproximadas para facilitar os cálculos.
(As imagens não respeitam as proporções reais entre os animais.)
Depois de conhecer as espécies ameaçadas de extinção em , unidades de conservação note neste outro gráfico como elas se dividem em grupos.
Respostas e comentários
1. Adição e subtração com frações de mesmo denominador
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero sete, ê éfe zero seis ême ah zero oito, ê éfe zero seis ême ah um zero e ê éfe zero seis ême ah três dois.
Neste tópico ampliamos o trabalho com números racionais na fórma de fração explorando as operações de adição e subtração, o que contribui para o desenvolvimento das habilidades ( ê éfe zero seis ême ah zero sete), ( ê éfe zero seis ême ah zero oito) e ( ê éfe zero seis ême ah um zero). Ampliando o tema da abertura do capítulo – biomas brasileiros –, analise com os estudantes o gráfico de setores relativo à distribuição por bioma e o relativo à distribuição por grupos biológicos das espécies da fauna ameaçadas de extinção.
Para retomar alguns conceitos, proponha à turma questionamentos com base nos dados apresentados nos gráficos:
• Há mais espécies da fauna ameaçadas de extinção na Caatinga ou na Amazônia? Resposta: na Amazônia, pois
Três, vinte e cinco avos é maior que três, trinta e quatro avos.
• Há menos espécies da fauna ameaçadas de extinção no Cerrado ou em Ambientes marinhos?
Resposta: em Ambientes marinhos, pois
um nono é menor que sete, trinta e quatro avos.
• Em qual grupo biológico há mais espécies da fauna ameaçadas de extinção? Resposta: Peixes.
• Quais são os grupos com menor número de espécies da fauna ameaçadas de extinção?
Resposta: Répteis e Mamíferos.
Ao trabalhar com a leitura e interpretação dos dados apresentados nos gráficos, contribui-se para o desenvolvimento da habilidade ( ê éfe zero seis ême ah três dois). Além disso, os estudantes poderão utilizar as informações apresentadas nesta página e as que obtiveram na pesquisa proposta na abertura deste capítulo, a fim de discutir e de argumentar sobre os impactos das mudanças da paisagem sobre as espécies animais da fauna. Para desenvolverem a capacidade de argumentar e analisar criticamente a situação, podem-se formar dois grupos de estudantes para que debatam sobre as mudanças da paisagem, de maneira que um deles defenda tais mudanças e o outro, as critique. Ao final, podem compor um texto coletivo apresentando os aspectos positivos e negativos de tais mudanças e os impactos sociais e no meio ambiente que elas ocasionam, contribuindo para o desenvolvimento das competências gerais 4 e 7 e do Tema Contemporâneo Transversal educação ambiental.
No primeiro gráfico, para cada bioma há um setor com a indicação das respectivas espécies animais ameaçadas de extinção. Podemos obter muitas informações por meio da leitura do texto e dos gráficos. Por exemplo:
• No Pantanal, havia
Três, cento e vinte e cinco avos.de .1500 espécies animais ameaçadas de extinção.
• Mais de
Um sétimodas espécies animais ameaçadas de extinção eram constituídas de aves.
• Somente no Pantanal havia menos de 3% de espécies de animais ameaçadas de extinção.
•
Um nonoé a fração que representa a quantidade de espécies de animais ameaçadas de extinção em ambientes marinhos, em 2018.
No entanto, para obter outras informações, é necessário fazer uma análise mais aprofundada dos gráficos; por exemplo:
• Que fração representa a quantidade de espécies de animais ameaçadas de extinção no Cerrado e na Caatinga em 2018?
(As imagens não respeitam as proporções reais entre os animais.)
• Do total de espécies animais ameaçadas de extinção em 2018, que fração representa os répteis e os mamíferos nessa situação?
Sabemos que as espécies de animais ameaçadas de extinção no Cerrado representam
Sete, trinta e quatro avos.e na Caatinga,
três, trinta e quatro avosdo total nacional. Observe como podemos representar essa situação por meio de uma figura:
Note que, de acordo com a figura, a fração procurada é
Dez, trinta e quatro avos.Nesse caso, podemos também fazer a seguinte adição:
Respostas e comentários
Adição e subtração com frações de mesmo denominador
Ainda com base nas informações dos gráficos, analise com os estudantes as comparações apresentadas nesta página. Verifique se eles compreendem a representação feita por meio da figura, na qual é possível verificar qual é a fração de espécies animais ameaçadas de extinção na Caatinga e no Cerrado. Explore com eles a ideia de adição de frações efetuando a adição das duas frações indicadas.
Neste contexto, pode-se trabalhar também a ideia de diferença entre duas frações. Incentive os estudantes a determinarem a diferença entre a fração de espécies animais ameaçadas de extinção do Cerrado e da Caatinga em relação ao total de espécies animais ameaças de extinção no Brasil.
Nos dois casos, precisamos obter frações com um mesmo denominador para efetuar as operações.
Observe na figura a seguir que
Vinte e quatro, trinta e quatro avos.é a fração que representa a quantidade de espécies de animais ameaçadas de extinção nos demais biomas.
Para obter esse dado, podemos efetuar uma subtração.
Retomaremos a segunda pergunta mais adiante.
Acompanhe outro exemplo.
Na cantina em que Marina trabalha, um mesmo tipo e formato de bolo é vendido a cada semana (de segunda a sexta-feira). Marina anotou, no quadro a seguir, a quantidade de bolo vendida em determinada semana.
Dia da semana |
Segunda-feira |
Terça-feira |
Quarta-feira |
Quinta-feira |
Sexta-feira |
---|---|---|---|---|---|
Parte de bolo vendida |
|
|
|
|
|
Quantas partes desse tipo de bolo foram vendidas nessa semana? Quantas partes sobraram?
• Juntando todas as partes de bolo vendidas em cada dia, podemos calcular a quantidade de bolo que foi vendida nessa semana. Isso pode ser registrado por meio de uma adição.
Nessa semana, a cantina vendeu
11 oitavosde bolo, o que significa mais de uma unidade de bolo.
, o que representa 1 bolo e
Três oitavosde bolo, ou seja,
Um inteiro e três oitavosde bolo.
• Subtraindo o total vendido do total fabricado desse tipo de bolo na semana ( duas unidades), temos a quantidade que sobrou:
Para adicionar ou subtrair números representados por frações de mesmo denominador, adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador comum.
Verifique os cálculos a seguir.
Respostas e comentários
Adição e subtração com frações de mesmo denominador
Analise com os estudantes a situação de venda de pedaços de bolo. Ressalte que, neste exemplo, considera-se que cada pedaço de bolo tem o mesmo formato e tamanho, a fim de que associem a divisão do bolo em partes iguais. Se julgar adequado, prepare previamente círculos de papel para os estudantes manipularem e representarem essa situação e outras similares, representando adições e subtrações de frações de mesmo denominador. Para efetuarem a divisão do círculo de papel em partes iguais, os estudantes podem fazer dobras no papel, a partir do diâmetro do círculo: primeiro para determinar duas partes iguais, depois 4 partes e, por fim, 8 partes iguais.
Para auxiliá-los, caso apresentem dificuldades, podem-se utilizar tiras de papel em formato retangular, divididas em partes iguais, por exemplo, em 34 partes iguais. Em seguida, proponha aos estudantes que efetuem diferentes adições e subtrações representando e efetuando essas operações utilizando as tiras de papel.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
1 Considere a figura e faça o que se pede.
a) Determine as frações de denominador 8 que representam a parte pintada de amarelo, a parte pintada de verde e a figura toda.
b) Represente por meio de uma adição de frações a parte da figura pintada de verde ou de amarelo.
c) Represente por meio de uma subtração a parte da figura que não está pintada nem de verde nem de amarelo.
2 Efetue, no caderno, simplificando o resultado quando possível.
a)
Dois nonos mais cinco nonos
b)
Quatro décimos mais dois décimos
c)
Dois quinze avos mais três quinze avos
d)
Cinco doze avos mais três doze avos mais um doze avose)
Cinco quartos mais três quartosf)
um sexto mais dois sextos mais três sextos3 Efetue, simplificando o resultado quando possível.
a)
Oito nonos menos dois nonos Dois terços
b)
Sete quintos menos um quinto Seis quintos
c)
Quinze oitavos menos nove oitavos Três quartos
d)
Nove quintos menos quatro quintos
e)
Três sétimos menos três sétimos
f)
Onze doze avos menos três doze avos.
4
Carlos imagina “saltos” em uma reta numérica para calcular mentalmente o resultado de adições e de subtrações de frações.
• Para calcular
Dois sétimos mais três sétimos.Então,
Dois sétimos mais três sétimos é igual a cinco sétimos.• Para calcular
Quatro quintos menos três quintos.Então,
Quatro quintos menos três quintos igual a um quinto.Efetue mentalmente as operações com as frações a seguir, imaginando saltos crescentes e decrescentes em uma reta numérica. Depois, registre por escrito e verifique o resultado.
a)
Quatro sétimos mais dois sétimos
b)
Três quintos mais um quinto
c)
Um oitavo mais cinco oitavos
d)
Cinco sextos menos dois sextos
e)
Seis sétimos menos quatro sétimos
f)
Quatro nonos menos um nono
Respostas e comentários
1. a)
Quatro oitavos, dois oitavos e oito oitavos., respectivamente
1. b)
Dois oitavos mais quatro oitavos é igual a seis oitavos1. c)
oito oitavos menos seis oitavos é igual a dois oitavos
2. a)
Sete nonos
2. b)
Três quintos
2. c)
Um terço
2. d)
Três quartos
2. e) 2
2. f) 1
3. a)
dois terços
3. b)
seis quintos
3. c)
três quartos
3. d) 1
3. e) 0
3. f)
dois terços
4. a)
Seis sétimos
4. b)
Quatro quintos
4. c)
Três quartos
4. d)
Um meio
4. e)
Dois sétimos
4. f)
Um terçoExercícios propostos
Neste bloco de exercícios, exploramos procedimentos de adição e de subtração de frações de mesmo denominador.
A resolução do exercício 1 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 8.
No exercício 2, para adicionar frações de mesmo denominador, adicionamos os numeradores e conservamos o denominador comum. Então:
a)
Dois nonos mais cinco nonos igual a fração de numerador: 2 + 5, e de denominador: 9, igual a sete nonosb)
Quatro décimos mais dois décimos igual a fração de numerador: 4 mais 2, e de denominador: 10, igual ac)
Dois quinze avos mais três quinze avos igual a fração de numerador: 2 mais 3, e de denominador: 15, igual ad)
Cinco doze avos mais três doze avos mais um doze avos igual ae)
Cinco quartos mais três quartos igual a fração de numerador: 5 mais 3, e de denominador 4, igual a oito quartosf)
Um sexto mais dois sextos mais três sextosAnalogamente, no exercício 3, para efetuar as subtrações envolvendo frações de mesmo denominador, subtraem-se os numeradores mantendo-se o denominador.
a)
Oito nonos menos dois nonos igual a fração de numerador: 8 menos 2, e de denominador: 9, igual a seis nonos igual ab)
Sete quintos menos um quinto igual a fração, de numerador: 7 menos 1, e de denominador: 5, igual a seis quintos.c)
Quinze oitavos menos nove oitavos igual a fração de numerador: 15 menos 9, e de denominador: 8, igual ad)
Nove quintos menos quatro quintos igual a fração de numerador: 9 menos 4, e de denominador: 5, igual a cinco quintos igual a 1 inteiro.e)
Três sétimos menos três sétimos igual a fração de numerador três menos três, e de denominador sete, igual a 0 sobre sete, igual a zero.f)
Onze doze avos menos três doze avos igual a fração de numerador: 11 menos 3, e de denominador: 12, igual a oito doze avos igual a fração de numerador: 8 dividido por 4, e de denominador: 12 dividido por 4, igual a dois terços.Aproveite o exercício 4 e retome a adição e a subtração com o recurso da reta numérica, envolvendo agora números racionais na fórma de fração. Após os estudantes resolverem esse exercício mentalmente, se necessário, proponha a eles que efetuem as operações para conferir as respostas. Como em cada operação as frações consideradas têm o mesmo denominador, eles devem considerar que o resultado será uma fração em que se mantém esse denominador, e o numerador é dado pela adição (ou subtração) dos numeradores dados.
5 O senhor Roberto é muito querido no bairro onde mora. Por ter conhecimentos de paisagismo, ele coordenou os moradores na plantação de flores na maior praça do bairro. A praça foi dividida e em
Um sextodela foram plantadas margaridas, em
Quatro sextosforam plantadas gérberas e o restante foi ocupado com acácias.
a) Represente essa situação por meio de uma figura.
b) Determine a fração da praça florida de acácias.
6
Fernanda gosta de criar suas próprias bijuterias. Para fazer um colar, ela comprou 2 pacotes de miçangas, um de cada cor. Cada pacote tinha 120 miçangas. Ela usou
Três quartosdas miçangas de um dos pacotes e
Três quintosdas miçangas do outro. Quantas miçangas sobraram de cada cor?
7 O Brasil é uma República Federativa presidencialista. A federação brasileira é composta de 26 estados e do Distrito Federal. O sistema político – atuando nas esferas federal, estadual e municipal – é dividido em três poderes: Executivo, Legislativo e Judiciário.
Partidos são grupos de pessoas com as mesmas propostas políticas. Observe a seguir o número de senadores de cada partido (em janeiro de 2022) que fazem parte do Poder Legislativo em sua esfera federal. No total, são 81 senadores.
CIDADANIA: 3
DÉEM (Democratas): 5
MDB (Movimento Democrático Brasileiro): 15
PDT (Partido Democrático Trabalhista): 3
pê éle (Partido Liberal): 6
PODEMOS: 9
pê pê (Partido Progressista): 7
PRÓS (Partido Republicano da Ordem Social): 3
PSC (Partido Social Cristão): 1
PSD (Partido Social Democrático): 12
PSDB (Partido da Social Democracia Brasileira): 6
pê ésse éle (Partido Social Liberal): 2
PT (Partido dos Trabalhadores): 7
REDE (Rede Sustentabilidade): 1
REPUBLICANOS: 1
Dados obtidos em: SENADO Federal. Disponível em: https://oeds.link/j76EQd. Acesso em: 22 . 2022. janeiro
Agora, responda às questões a seguir.
a) Escreva a fração do Senado que representava cada um desses partidos em janeiro de 2022.
b) Sabendo que cada estado tem três senadores, descubra qual é o partido de cada um deles em seu estado natal.
c) Qual era o partido majoritário na região geográfica onde você mora?
d) Qual é a fração do Senado que representava os estados da região geográfica onde você vive?
8
Analise com um colega a situação seguinte:
Uma pesquisa feita com 100 pessoas a respeito da atividade preferida de lazer cultural trouxe estes dados:
• museu:
Doze centésimos• show de música:
trinta e oito centésimos• cinema:
trinta e quatro centésimos• teatro:
vinte e seis centésimosAgora, respondam: há algum erro nos dados dessa pesquisa? Justifiquem a resposta.
9
Hora de criar – Elabore um problema com adição ou subtração de frações. Troque com um colega e, depois, destroquem para corrigi-los.
Pense mais um pouco...
faça a atividade no caderno
Bernardo perguntou a seu avô:
— Que horas são?
O avô respondeu:
— As horas que passaram do meio-dia correspondem a
um terçodas que faltam para a meia-noite.
Determine que horas são.
Respostas e comentários
5. a) Construção de figura.
5. b)
Um sexto
6. Sobraram 30 miçangas de uma cor e 48 da outra.
7. a)
três, oitenta e um avos; cinco, oitenta e um avos; quinze, oitenta e um avos; três, oitenta e um avos; seis, oitenta e um avos;;
nove, oitenta e um avos; sete, oitenta e um avos; três, oitenta e um avos; um, oitenta e um avos; doze, oitenta e um avos;;
seis, oitenta e um avos; dois, oitenta e um avos; sete, oitenta e um avos; um, oitenta e um avos; um, oitenta e um avos..
7. b) A resposta depende do estado natal do estudante.
7. c) A resposta depende da região onde o estudante mora.
7. d) A resposta depende da região onde o estudante mora.
8. Sim, há erro, pois
Doze centésimos mais trinta e oito centésimos mais trinta e quatro centésimos mais vinte e seis centésimos igual a cento e dez centésimos e cento e dez centésimos é maior que 1.
9. Resposta pessoal.
Pense mais um pouco reticências:
São 3 horas da tarde ou 15 horas.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 6 a 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 8.
Uma possível figura para o item a do exercício 5 está indicada a seguir. Nela, o hexágono representa a praça, o triângulo azul escuro representa a parte destinada às margaridas, os 4 triângulos em tom mais claro de azul representam a parte destinada às gérberas, e o triângulo amarelo, a parte destinada às acácias. Observando essa figura, pode-se verificar a resposta do item b.
Depois que os estudantes resolverem esse exercício, pergunte a eles como poderiam proceder sem o recurso da figura. Espera-se que identifiquem a sequência de operações:
•
Um sexto mais quatro sextos igual a cinco sextos•
Seis sextos menos cinco sextos igual a um sexto
No exercício 7, podem-se trabalhar noções acerca das esferas de poder no Brasil. Saliente a importância de conhecer os aspectos administrativos e políticos do país para garantir uma participação como cidadão ativo e consciente de direitos e deveres, contribuindo para o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal vida familiar e social. Depois de uma breve discussão sobre o tema, em grupos, os estudantes podem determinar as frações correspondentes a cada item.
Uma ampliação possível do exercício 8 é pedir a eles que expressem os dados na fórma percentual.
Pense mais um pouco reticências
Esta seção pode ser realizada com os estudantes organizados em duplas. Ao final, solicite a cada dupla que exponha a estratégia utilizada, que deve ser validada com os estudantes. Ressalte que a resposta do avô equivale a dizer “as horas que faltam para a meia-noite equivalem ao triplo das horas que passaram do meio-dia”. Se necessário, oriente os estudantes a representar a situação por meio de uma figura, como no exemplo a seguir.
TRABALHANDO A INFORMAÇÃO
Operando com porcentagens
O fotógrafo Luciano vai fazer uma exposição de suas 100 melhores fotografias. Para isso, organizou as fotografias por temas e marcou em uma malha quadriculada quantas há em cada categoria.
Luciano pintou:
• 10 quadradinhos de azul, que representam as fotografias de pessoas. Essas fotografias representam
Dez centésimosdo total.
• 25 quadradinhos de vermelho, que representam as fotografias de animais. Elas representam
Vinte e cinco centésimosdo total.
• 35 quadradinhos de verde, que representam as fotografias de paisagens. Elas representam
Trinta e cinco centésimosdo total.
• 30 quadradinhos de laranja, que representam as fotografias de flores. Elas representam
Trinta centésimosdo total.
A malha toda representa
Cem centésimosou 1 inteiro.
Já vimos que uma fração de denominador 100 pode ser escrita na fórma percentual. Então, podemos montar um quadro com essas informações. Observe.
Malha |
Fração |
Porcentagem |
---|---|---|
Parte azul |
|
10% |
Parte vermelha |
|
25% |
Parte verde |
|
35% |
Parte laranja |
|
30% |
Inteiro |
|
100% |
Respostas e comentários
Trabalhando a informação
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah um zero.
Esta seção permite trabalhar porcentagens relacionando-as com frações de denominador 100, discutir o significado de porcentagem e explorá-la na malha quadriculada, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade ( ê éfe zero seis ême ah um zero).
Sugerimos a atividade a seguir para ampliar o trabalho desenvolvido. Ela pode ser feita em grupos de quatro estudantes e tem como objetivo explorar a construção e a interpretação de tabelas e gráficos com base em dados significativos para os estudantes.
• Entrevistar 20 pessoas quanto ao esporte preferido, entre futebol, basquete, vôlei e natação.
• Organizar os dados em uma tabela, representando a quantidade de pessoas que preferem cada um dos esportes citados.
• Construir um gráfico de barras para representar a situação pesquisada.
Após a construção da tabela e do gráfico, incentive os grupos a compartilharem os dados obtidos e se expressarem por meio de frações. Para isso, pode-se orientá-los com base em comparações como as apresentadas a seguir.
• Representar com uma fração o total de pessoas que preferem futebol em relação ao total de entrevistados.
• Representar com uma fração o total de pessoas que preferem basquete em relação ao total de pessoas que preferem basquete ou futebol.
• Representar com uma fração o total de pessoas que preferem outros esportes que não sejam o futebol, em relação ao total de entrevistados.
O tema da pesquisa que sugerimos como ampliação pode ser alterado ou ajustado, a fim de se adequar mais às culturas juvenis que possam ser identificadas em cada turma. Além disso, alternativamente, para valorizar a diversidade dessas culturas, os estudantes podem ser organizados em grupos e cada grupo pesquisar um tema que achar mais relevante. Desta maneira, valoriza-se também a autonomia dos estudantes no processo de aprendizagem e contribui-se para o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10.
Agora quem trabalha é você!
faça as atividades no caderno
1 Marília desenhou um vitral quadrado com 100 quadradinhos. Em seguida, pintou de azul a letra inicial do nome dela e de vermelho os quadradinhos restantes.
a) Represente na fórma de fração e na fórma percentual a parte vermelha, a parte azul e o vitral todo.
b) Construa um quadro com os resultados obtidos no item anterior.
c) Represente na fórma de fração e na fórma percentual, com a operação que considerar conveniente, as afirmações:
• Juntando a parte vermelha do vitral com a parte azul, temos o vitral todo.
• Se recortarmos o fundo do vitral, ficaremos apenas com a letra M.
2 Recorte de uma folha quadriculada uma região com 100 quadradinhos para fazer um vitral com três cores: amarelo, vermelho e azul. Use a sua criatividade para dar a fórma que quiser ao seu vitral.
a) Represente na fórma de fração e na fórma percentual as partes de cada cor e o vitral todo.
b) Construa um quadro com os resultados obtidos no item anterior.
(Use tesoura com ponta arredondada e a manuseie com cuidado!)
2. Adição e subtração com frações de denominadores diferentes
Considere as situações a seguir.
Situação 1
Para fazer uma vitamina, Hugo encheu
Um meiocopo com suco e
Um terçode outro copo, igual ao primeiro, com iogurte. Em um terceiro copo, igual aos demais, ele despejou o suco e o iogurte dos outros dois copos. Qual é a fração que representa o total de mistura que coube no terceiro copo?
A parte do terceiro copo que foi preenchida com a mistura pode ser representada por
Um meio mais um terçoRespostas e comentários
1. a) Parte vermelha:
Quarenta centésimos40%; parte azul:
Sessenta centésimos60%; vitral todo:
Cem centésimos100%.
1. b) Construção do quadro.
1. c) Resposta possível:
Cem centésimos menos quarenta centésimos igual a sessenta centésimosou 100% ‒ 40% = 60%.
1. c) Resposta possível:
Quarenta centésimos mais sessenta centésimos igual a cem centésimosou 40% + 60% = 100%.
2. a) Resposta pessoal.
2. b) Construção do quadro.
Agora quem trabalha é você!
Incentive os estudantes a reproduzirem em uma folha de papel quadriculado a letra M, como indicado na figura da atividade 1. Em seguida, proponha a eles que façam a representação de outras letras utilizando, para cada letra, uma malha quadriculada de 10 quadrinhos por 10 quadrinhos. Possibilite a eles que compartilhem as representações e comparem, por meio de frações, o total de quadrinhos que utilizaram para representar determinada letra.
Apresentamos a seguir um exemplo de quadro para o item b da atividade 1.
Parte do inteiro |
Fração do vitral |
Forma percentual |
---|---|---|
parte vermelha |
|
40% |
parte azul |
|
60% |
vitral todo |
|
100% |
A resolução da atividade 2 depende da letra que os estudantes considerarem na confecção do vitral. Oriente os estudantes no manuseio da tesoura de ponta arredondada para obtenção dos recortes.
2. Adição e subtração com frações de denominadores diferentes
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero seis, ê éfe zero seis ême ah um zero e ê éfe zero seis ême ah um cinco.
Este tópico possibilita ampliar a compreensão dos estudantes quanto às operações de adição e subtração com números racionais na fórma de fração desenvolvendo, assim, as habilidades ( ê éfe zero seis ême ah zero seis), ( ê éfe zero seis ême ah um zero) e ( ê éfe zero seis ême ah um cinco).
Para incentivar a autonomia dos estudantes, proponha a eles que façam a leitura da situação 1 antes de explorá-la coletivamente. Incentive-os também, por meio de situações similares, a explicarem a resolução aos colegas, de maneira que possam argumentar e justificar o procedimento utilizado para resolvê-las e, assim, possam desenvolver a competência geral 9.
Observe o que acontece se dividirmos o copo em 6 partes iguais, em que cada uma delas representará
Um sextodo copo:
•
Um sextocabe 3 vezes em
Um meioentão,
Um meio igual a três sextos•
Um sextocabe duas vezes em
Um terçoentão,
Um terço igual a dois sextosRepare que
Um meio e três sextossão frações equivalentes, assim como
um terço e dois sextosJá sabemos que
três sextos mais dois sextos igual a cinco sextosLogo:
Assim,
Cinco sextosdo terceiro copo foram preenchidos com a mistura.
Situação 2
Mônica resolveu não usar os .4000 reais de sua poupança, mas sim seu 13º salário para comprar alguns presentes de Natal.
Com
Um quintodo 13º salário ela comprou uma televisão, com
Um quartodele comprou um celular e com
Um quintocomprou roupas. Verificou, então, que ainda lhe restavam 450 reais. Nessas condições, qual é o valor do 13º salário de Mônica?
Fazendo uso do pensamento computacional, simplificamos a resolução do problema ao decompor em etapas menores.
Podemos calcular:
• quanto Mônica gastou;
• quanto sobrou do 13º salário.
Assim, identificamos o padrão de resolução:
• adicionando os números fracionários referentes às compras;
• subtraindo essa soma de 1 para obter a fração restante;
Para isso abstraímos, ou seja, selecionamos os dados que interessam na situação, que são as frações
Dois quintos, um quarto, um quintoe o valor restante de 450 reais. Os .4000 reais da poupança não importam.
Finalmente, definimos o algoritmo a seguir, isto é, a sequência de cálculos necessária à resolução.
Vamos, então, calcular a fração do 13º salário que representa o total gasto por Mônica.
Respostas e comentários
Adição e subtração com frações de denominadores diferentes
Na situação 1, podem-se utilizar retângulos de papel idênticos divididos em partes, sendo 1 retângulo dividido em 6 partes iguais, 1 retângulo dividido em 3 partes iguais e 1 retângulo dividido em duas partes iguais. Comparando pedaços que representam um sexto, por sobreposição, os estudantes podem verificar que 3 pedaços de um sexto cobrem uma metade, ou seja,
Três sextos igual a um meio. Do mesmo modo, podem verificar que 2 pedaços de um sexto cobrem um terço, ou seja,
Dois sextos igual a um terço.
Já na situação 2, os estudantes devem mobilizar conhecimentos construídos anteriormente e determinar frações de mesmo denominador equivalentes às frações do 13º salário de Mônica.
Converse com os estudantes sobre os termos: poupança e 13º salário. Explique que poupança se refere a um tipo de aplicação financeira de renda fixa, disponível em instituições financeiras para todas as pessoas. Destaque que a rentabilidade da poupança é a mesma em qualquer instituição. Já o 13º salário é um direito trabalhista, instituído em 1962. Devido a empregados com carteira assinada, aposentados, pensionistas e servidores, o benefício, também conhecido como gratificação natalina, deve ser pago pelo empregador em duas parcelas: a primeira entre 1º de fevereiro e 30 de novembro; e a segunda até 20 de dezembro. Explique que o cálculo do 13º salário se dá pela divisão da remuneração integral por 12 e a multiplicação do resultado pelo número de meses trabalhados. Outras parcelas de natureza salarial, como horas extras, adicionais (noturno, de insalubridade e de periculosidade) e comissões também entram nesse cálculo.
Desse modo, contribui-se para o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos Transversais educação financeira e trabalho.
Agora, observe esta figura, que representa o 13º salário de Mônica.
Os 450 reais correspondem à fração
Três vinte avosque foi obtida pela subtração
Vinte, vinte avos menos dezessete vinte avos.Então:
•
Três vinte avosdo 13º salário
450 reais
•
Um vinte avosdo 13º salário
150 reais (450 dividido por 3)
•
Vinte, vinte avosdo 13º salário
.3000 reais (150 ⋅ 20)
Portanto, Mônica recebeu .3000 reais de 13º salário.
Agora que já compreendemos como efetuar a adição com frações de denominadores diferentes, vamos voltar à segunda pergunta proposta na situação do início deste capítulo.
• Do total de espécies animais ameaçadas de extinção em 2018, que fração representa os répteis e os invertebrados nessa situação?
Ao analisar novamente o gráfico, obtemos as informações a seguir:
• As espécies de répteis representam
Três cinquenta avosdo total.
• As espécies de invertebrados representam
Sete vinte e cinco avosdo total.
Então, para responder à questão, efetuamos a adição:
Portanto, as espécies de répteis e de invertebrados ameaçadas de extinção representam
Dezessete cinquenta avosdo total de espécies ameaçadas de extinção em 2018.
Para adicionar ou subtrair números representados por frações de denominadores diferentes, primeiro devemos substituí-las por frações equivalentes com denominadores iguais (múltiplo dos denominadores das frações dadas). Em seguida, adicionamos ou subtraímos essas frações equivalentes.
Respostas e comentários
Adição e subtração com frações de denominadores diferentes
Para ampliar a atividade, póde-se propor aos estudantes que construam o gráfico de setores utilizando recursos digitais, como planilhas eletrônicas.
É importante retomar os dados apresentados nos gráficos do início deste capítulo, referentes às espécies animais ameaçadas de extinção. Para contribuir com o desenvolvimento da habilidade (EF06MA32), proponha aos estudantes que escrevam um pequeno texto explicando as informações apresentadas em tais gráficos e, ainda, que os representem utilizando, por exemplo, gráficos de barras ou de colunas. Se possível, eles podem apresentar oralmente aos colegas as conclusões. Dessa maneira, poderão mobilizar o desenvolvimento da competência geral 4, ao explorar diferentes linguagens (escrita, oral, gráfica) para comunicar determinada informação.
Observe outros exemplos.
a)
Um quinto mais um meio igual a dois décimos mais cinco décimos igual a sete décimos.b)
Um oitavo mais três meios igual a dois dezesseis avos mais vinte e quatro dezesseis avos igual a=
vinte e seis dezesseis avos igual a fração de numerador 26 dividido por 2 e de denominador 16 dividido por 2, igual a treze oitavos.c)
2 menos quatro quintos igual a dois sobre 1 menos quatro quintos igual a=
dez quintos menos quatro quintos igual a seis quintos.d)
1 inteiro e dois terços menos um meio mais três quartos igual a cinco terços menos um e meio mais três quartos igual a=
quarenta vinte e quatro avos menos doze vinte e quatro avos mais dezoito vinte e quatro avos igual a=
quarenta e seis vinte e quatro avos igual a fração de numerador 46 dividido por 2 e de denominador 24 dividido por 2, igual a vinte e três doze avos.EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
10 Considere a figura a seguir e faça o que se pede.
a) Determine a fração de denominador 2 que representa a parte pintada de azul.
b) Determine a fração de denominador 3 que representa a parte pintada de amarelo.
c) Qual é a fração que representa a parte colorida de azul ou amarelo da figura?
d) Determine a fração que representa a parte branca da figura.
e) É possível responder aos itens c e d por meio de operações com frações? Justifique.
11 Reduza as frações ao mesmo denominador, faça os cálculos e dê o resultado com a fração mais simples.
a)
Dois quintos mais três décimos
b)
Dois terços mais sete sextos
c)
Dois nonos mais três quartos
d)
3 inteiros e um meio mais quatro quintos
12 Determine as diferenças.
a)
Um terço menos um quinto
b)
Cinco quartos menos quatro quintos
c)
3 menos dois quintos
d)
3 inteiros um meio menos dois inteiros e três quartos
13 Calcule o valor das expressões.
a)
Três quartos mais um terço menos um sexto
b)
Três menos 2 inteiros um meio um quarto
c)
Um meio mais 1 inteiro e um terço menos um inteiro e um quarto
d)
Onze doze avos menos cinco sextos mais dois nonos
14 Um ciclista saiu da cidade a em direção à cidade B, transitando pelo acostamento da estrada no mesmo sentido dos carros, conforme preceitua o Código de Trânsito para ciclistas. No primeiro dia, percorreu
Um meioda distância que separa as duas cidades e, no segundo dia,
Um terçodessa mesma distância.
Agora, responda:
a) Qual é a fração que representa a distância percorrida após os dois dias de viagem?
b) Qual é a fração que representa a distância que falta para chegar à cidade B?
c) Sabendo que a distância que falta para chegar à cidade B é de 60 quilômetros, qual é a distância entre essas duas cidades?
15 Em um sítio,
Três oitavosdas terras são destinados ao plantio de milho, um alimento rico em nutrientes como fósforo, potássio, magnésio e vitaminas. Para a criação de carneiros são destinados
Dois quintosdas terras, e a parte restante é arrendada para o plantio de cana-de-açúcar. Qual é a fração que corresponde à parte arrendada desse sítio?
Respostas e comentários
10. a)
Um meio
10. b)
Um terço
10. c)
Cinco sextos
10. d)
Um sexto
10. e) Sim; resposta possível:
Um meio mais um terço; seis sextos menos cinco sextos.
11. a)
Sete décimos
11. b)
Onze sextos
11. c)
trinta e cinco sobre trinta e seis avos
11. d)
quarenta e três décimos.
12. a)
Dois quinze avos
12. b)
Nove vinte avos
12. c)
Treze quintos
12. d)
Três quartos
13. a)
Onze doze avos
13. b)
Três quartos
13. c)
Sete doze avos
13. d)
Onze trinta e seis avos
14. a)
Cinco sextos
14. b)
Um sexto
14. c) 360 quilômetros.
15.
Nove quarenta avosExercícios propostos
No bloco de exercícios que se inicia nesta página, são trabalhadas situações variadas envolvendo adição e subtração de frações com denominadores diferentes. Tais situações possibilitam desenvolver as habilidades ( ê éfe zero seis ême ah zero nove) e (EF06MA10).
No exercício 10, a figura representa um inteiro que está dividido em 6 partes iguais, sendo 3 delas azuis, duas amarelas e uma branca.
a) Como 3 partes estão coloridas em azul, a fração da figura colorida em azul é dada por
Três sextos igual a um meio.
b) Como são duas partes coloridas em amarelo, a fração da figura nesta cor é dada por
Dois sextos igual a um terço.
c) No total, são 5 partes coloridas em azul ou amarelo; logo, a fração da figura colorida nessas cores é
cinco sextos.
d) Há apenas uma parte da figura em branco, que corresponde, portanto, a
um sextoda figura.
e) Sim, pois para responder ao item c, basta efetuar
três sextos mais dois sextose, para responder ao item d, pode‑se efetuar
um inteiro menos cinco sextos.
Para resolver o exercício 11, é necessário considerar um denominador comum aos denominadores de cada operação. Assim, temos:
a)
Fração dois quintos mais três décimos igual a numerador: dois vezes dois, denominador: cinco vezes dois mais três décimos igual ab)
dois terços mais sete sextos igual a fração com numerador sendo 2 multiplicado por 2 e denominar 3 multiplicado por dois, mais sete sextos, igual ac)
Fração dois nonos mais três quartos igual a numerador: 2 vezes 4, denominador: 9 vezes 4 + numerador: 3 vezes 9, denominador: 4 vezes 9 igual ad)
três inteiros e um meios mais 4 quintos igual a 3 inteiros e fração, numerador um multiplicado por cinco, denominador um multiplicado por cinco, mais fração, numerador 4 multiplicado por 2, denominador 5 multiplicado por 2, igual aAnalogamente ao exercício anterior, no exercício 12 é necessário reduzir os denominadores a um denominador comum antes de efetuar a subtração.
a)
Fração um terço menos um quinto igual a numerador: 1 vezes 5, denominador: 3 vezes 5 menos numerador: 1 vezes 3, denominador: 5 vezes 3 igual a cinco quinze avos menos fração, numerador: 5 menos 3, denominador: 15 igual a dois quinze avosb)
cinco quartos menos 4 quintos igual a fração com numerador sendo 5 multiplicado por 5 e denominador 4 multiplicado por 5, menos fração com numerador sendo 4 multiplicado por 4 e denominador 5 multiplicado por quatro, igual a 25, vinte avos menos 16, vinte avos, igual a fração com numerador sendo 25 menos 16 e denominador 20, igual a 9, vinte avos.As resoluções dos itens c e d do exercício 12 e dos exercícios 13 a 15 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 8.
16
Para calcular mentalmente
Dois terços mais um sextoe
um inteiro menos dois terçosPaula imagina “saltos” em uma reta numérica.
• Para calcular
Dois terços mais um sextoEntão:
Dois terços mais um sexto igual a quatro sextos mais um sexto igual a cinco sextos• Para calcular
um menos dois terçosEntão:
Um inteiro menos dois terços igual a um terçoCalcule mentalmente as operações com as frações a seguir. Primeiro, pense em uma fração equivalente para a fração que você considerar mais conveniente. Em seguida, faça o cálculo como Paula fez.
a)
Um inteiro mais dois terços
b)
Dois quintos mais três décimos
c)
Quatro quintos menos três décimos
d)
Dois sétimos menos três quatorze avos
17
Daniel pensou em frações equivalentes para calcular mentalmente
Um inteiro e dois terços mais um sextoe
Dois inteiros e dois terços menos um sextoAcompanhe como ele pensou.
Calcule mentalmente as operações com as frações a seguir. Primeiro, pense em uma fração equivalente para a fração que você considerar mais conveniente. Em seguida, faça o cálculo como Daniel fez.
a)
Um inteiro e um terço mais um sexto
b)
Dois inteiro e um meio mais dois sexto
c)
3 inteiros e três quartos menos um meio
d)
3 inteiros e três quintos menos 2 inteiros e um décimo.
18 Leia esta notícia de jornal.
Agora, responda:
a) Quanto custou toda a obra?
b) Qual é o preço do quilômetro asfaltado?
19
Hora de criar – Crie um problema de adição ou subtração considerando pizzas cortadas em fatias iguais. Você pode definir o número de fatias das suas pizzas. Troque com um colega para que ele resolva e, depois, destroquem para corrigi-los.
Respostas e comentários
16. a)
Cinco terços
16. b)
Sete décimos
16. c)
Um meio
16. d)
Um quatorze avos
17. a)
um inteiro e um meio
17. b)
dois inteiros e 5 sextos
17. c)
três inteiros e um quarto
17. d)
1 inteiro e 1 meio
18. a) ..1440000 reais.
18. b) .40000 reais.
19. Resposta pessoal.
Exercícios propostos
As resoluções dos exercícios 16, 18 e 19 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 8.
No exercício 17, incentive os estudantes a utilizar o mesmo procedimento que Daniel fez com os números mistos. Assim,
a)
Um inteiro e um terço e um inteiro e dois sextossão equivalentes, então:
b)
Dois inteiros e um meio e dois inteiros e três sextossão equivalentes, então:
Dois inteiros e um meio mais dois sextos igual a dois inteiros três sextos mais dois sextos igual a dois inteiros e cinco sextos. igual a dois inteiros três sextos mais dois sextos igual a dois inteiros e cinco sextos.c) Como
Um meio igual a dois quartos, então:
d) Como
Três inteiros e três quintos igual a três inteiros e seis décimos, então:
O exercício 18 aborda o tema das esferas governamentais no Brasil, tendo como foco a divisão de responsabilidades financeiras sobre investimentos públicos.
Antes de efetuar os cálculos necessários à resolução, os estudantes devem ser incentivados a estimar as respostas para as seguintes questões:
• Quem participou com o maior financiamento da obra:
✓ o estado ou o município?
Resposta: o município, pois
Sete doze avos maior que três oitavos.
✓ o estado ou os empresários?
Resposta: o estado, pois a fração correspondente ao investimento arcado por empresários é
✓ o município ou os empresários?
Resposta: o município, pois
Sete doze avos maior que três oitavos maior que um vinte e quatro avos.
• Faça os cálculos que considerar adequados para conferir suas estimativas.
Com essa discussão inicial, os estudantes terão mais condições de responder às questões propostas. É também um momento interessante para terem conhecimento de que muitas obras no país – concluídas, em andamento ou em planejamento – são realizadas graças às parcerias estabelecidas entre o setor público e o setor privado. Em muitos casos, a comunidade também constitui um parceiro, tendo como responsabilidade o monitoramento da obra e sua posterior manutenção e preservação.
Nesse sentido, pode-se propor aos estudantes uma pesquisa a respeito de obras que já foram (ou poderiam ser) realizadas na comunidade local e sobre quais parceiros estiveram (ou estariam) comprometidos com o projeto, contribuindo para o desenvolvimento da competência geral 6.
3. Multiplicação
Vamos estudar a multiplicação que envolve números racionais na fórma de fração analisando situações distintas.
Quando um dos fatores é um número natural
Situação 1
Denise faz brigadeiros para vender.
Ela anotou, em uma tabela, a produção de brigadeiros encomendados na última semana. Observe como ficou.
Segunda-feira |
Terça-feira |
Quarta-feira |
Quinta-feira |
Sexta-feira |
Total |
|
---|---|---|---|---|---|---|
Número de brigadeiros |
150 |
150 |
150 |
150 |
150 |
750 |
Fração da produção |
|
|
|
|
|
|
Dados obtidos por Denise.
De acordo com a tabela, em cada dia, Denise produziu
um quintodo total de brigadeiros.
Vamos representar a produção dos três primeiros dias da semana de dois modos:
• pelo número de brigadeiros: 150 + 150 + 150 ou 3 ⋅ 150 ou 450
• pela fração que representa a parte do total de brigadeiros:
de 750 +
um quintode 750 +
um quintode 750 ou 3 ⋅
um quintode 750 ou
3 quintosde 750
Como podemos representar 3 pela fração
três sobre umentão:
Respostas e comentários
3. Multiplicação
Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero seis, ê éfe zero seis ême ah zero nove e ê éfe zero seis ême ah um zero.
Neste tópico, são desenvolvidas as habilidades ( ê éfe zero seis ême ah zero seis), ( ê éfe zero seis ême ah zero nove) e ( ê éfe zero seis ême ah um zero) dando início ao estudo da multiplicação envolvendo frações, que será feito em dois casos:
• quando um dos fatores é um número natural;
• quando os dois fatores são escritos na fórma de fração.
Analise com os estudantes a situação 1, em que aparece a multiplicação de um número natural por uma fração. Incentive os estudantes a associarem essa multiplicação à adição de parcelas iguais. Por exemplo:
Assim, é possível verificar que:
Sugerimos propor aos estudantes diferentes adições de parcelas iguais, que sejam dadas na fórma de fração, de maneira a incentivá-los a observarem como multiplicar um número natural por fração. Primeiro, eles podem efetuar a adição para, em seguida, analisar as somas e observar o fato de, nestas adições, a soma ter o mesmo denominador das parcelas e de o numerador ser o produto do numerador das parcelas pela quantidade de parcelas. Ao explorar atividades investigativas, em que os estudantes chegam aos resultados e propriedades, observando regularidades, além de incentivar a autonomia deles, também se desenvolve a competência geral 2, pois eles podem exercitar a curiosidade intelectual e elaborar e testar hipóteses a fim de resolver problemas.
Da mesma maneira, podemos calcular a fração da produção total obtida por Denise na quinta-feira e na sexta-feira:
Usamos os sinais de multiplicação (× ou ⋅ ) , por exemplo, para representar expressões como o dobro de cinco
dois vezes cincoou o triplo de um quinto
três vezes um quintoDa mesma maneira, podemos representar por uma multiplicação uma expressão como esta:
dois quintos de quatro:
Dois quintos vezes quatroObserve como efetuar esse cálculo, acompanhando a situação a seguir.
Situação 2
Para sua festa de aniversário, Paula encomendou 4 bandejas de doces. Ela arrumou os doces de modo que
Dois quintosdos doces de cada bandeja fossem beijinhos e o restante, brigadeiros.
Observe que, de acordo com a ilustração, apenas
Dois quintosdos doces de uma bandeja são beijinhos.
Assim,
Dois quintosde 4 bandejas de doces equivalem a
Oito quintosde uma bandeja.
Como 4 pode ser representado pela fração
Quatro sobre umentão:
Se Paula resolvesse agrupar todos os beijinhos, ela usaria mais de uma bandeja, pois
Oito quintos igual a um inteiro e três quintosRespostas e comentários
Quando um dos fatores é um número natural
Agora, analise com os estudantes a situação 2. Ressalte que o cálculo de
Dois quintosde 4 envolve a mesma ideia de o dobro de 4, que é dado por 2 ⋅ 4, ou o triplo de 4, que é 3 ⋅ 4. Assim,
Dois quintosde 4 é igual a
Dois quintos⋅ 4. Considerando que 4 =
quatro sobre um, efetuamos:
Nesse caso, verificamos que essa fração corresponde a um número racional maior do que 1, ou seja, pode-se expressá-la na fórma mista:
Assim, obtemos:
Dois quintosde 4 =
Dois quintos⋅ 4 =
8 quintos igual a 1 inteiro e 3 quintosExplore com os estudantes o significado deste número no contexto da situação 2, ou seja, que o total de beijinhos equivale ao total de doces disponibilizados em uma bandeja com o de doces dispostos em
Três quintosde bandeja.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
20 Escreva as adições na fórma de multiplicação e, em seguida, dê o resultado.
a)
Adição de frações. três quintos mais três quintos
b)
Adição de frações. Dois sétimos mais dois sétimos mais dois sétimos
c)
Adição de frações. Quatro quintos mais quatro quintos mais quatro quintos mais quatro quintos mais quatro quintos
21 Efetue, no caderno.
a)
três vezes um quarto
b)
quatro vezes um oitavo
c)
cinco vezes um décimo
d)
oito vezes um vinte avos
22 Diariamente Mariana consome
Um terçode suco contido em uma garrafa de 1 litro. Represente por meio de uma adição e de uma multiplicação a quantidade de suco que Mariana consome em uma semana.
23 Calcule.
a)
um terçode 5
b)
dois quintosde 9
c)
quatro sétimosde 8
d)
seis oitavosde 4
e)
um meiode 90
f)
um quartode 100
24 Paulo fez uma pesquisa com 90 pessoas do bairro onde mora sobre a prática da coleta seletiva de lixo. Ele constatou que
dois terçosdos entrevistados praticam esse tipo de coleta e
um décimodos entrevistados não sabe o que isso significa. Calcule quantas dessas pessoas praticam a coleta seletiva de lixo e quantas a desconhecem.
25 A biblioteca municipal realizou uma pesquisa com 500 adolescentes sobre a preferência por alguns gêneros literários. A opinião dos adolescentes foi registrada no gráfico.
a) De qual gênero literário os adolescentes mais gostam?
b) Qual é a fração que indica a preferência dos adolescentes por peça teatral?
c) Quantos adolescentes preferem peça teatral?
d) Construa uma tabela para indicar a preferência de gênero literário e a quantidade de adolescentes correspondente.
26 Ano terrestre, em Astronomia, é o intervalo de tempo que corresponde a uma revolução completa da Terra em torno do Sol. O ano corresponde aproximadamente a 365 dias e seis horas. No comércio, para facilitar cálculos contábeis, considera-se que o ano tenha 360 dias, ou 12 meses de 30 dias cada um.
Construa uma tabela com três colunas. Na primeira, escreva os períodos: bimestre, trimestre, quadrimestre e semestre; na segunda coluna, as respectivas frações do ano comercial, em meses, relativas a esses períodos; e, na terceira, as respectivas quantidades de dias.
27
Hora de criar – Junte-se a um colega e elaborem uma tabela com 5 atividades realizadas frequentemente por vocês, identificadas durante uma semana, e marquem a frequência com que elas ocorrem. Depois, respondam: Qual fração representa cada atividade realizada na semana?
Respostas e comentários
20. a)
dois vezes três quintos; seis quintos
20. b)
três vezes dois sétimos; seis sétimos
20. c)
quatro vezes quatro quintos; 16 quintos
21. a)
três quartos
21. b)
quatro oitavos (ou um meio)
21. c)
cinco décimos (ou um meio)
21. d)
oito vinte avos (ou dois quintos)
22. resposta possível:
Um terço mais um terço mais um terço mais um terço mais um terço mais um terço mais um terço igual a=
sete terços; 7 vezes um terço igual a sete terços. dois inteiros e um terço23. a)
5 terços
23. b)
18 sobre 5
23. c)
32 sobre 7
23. d)
24 sobre 8(ou 3)
23. e) 45
23. f) 25
24. 60 pessoas praticam e 9 a desconhecem.
25. a) Romance.
25. b)
Vinte e três centésimos.
25. c) 115 adolescentes.
25. d) Construção de tabela.
26. Construção de tabela.
27. Resposta pessoal.
Exercícios propostos
Esta seção de exercícios possibilita mobilizar as habilidades (EF06MA06), ( ê éfe zero seis ême ah zero nove), (EF06MA10) e ( ê éfe zero seis ême ah três dois).
As resoluções dos exercícios 20 a 27 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 8.
No exercício 23, os estudantes podem, em duplas ou trios, comparar suas respostas. A ideia é identificarem os erros, fazendo comparações com o referencial
um meio(ou metade).
Supondo que, no item a, surjam as respostas
Um quinze avos ou cinco terços; os questionamentos podem ser:
•
Um terçode 5 deve ser maior ou menor que
um meiode 5? (Espera-se que recordem que
Um terçoé menor que
um meio; portanto,
Um terçode 5 é menor que
um meiode 5.)
• Quanto é a metade de 5? (Espera‑se que respondam ser um número entre 2 e 3.)
• Diante dessas relações, qual resposta é mais adequada:
Um quinze avosou
Cinco terços? (Espera-se que percebam que a fração
Um quinze avosé um número menor que 1, quando o previsto é encontrar um valor entre 2 e 3.)
No exercício 25, incentive os estudantes a interpretarem todos os dados do gráfico para responder às atividades.
A seguir, apresentamos um exemplo de tabela que pode ser dada como resposta para o item d. Comente que, adicionando os números referentes a cada gênero literário, devemos obter o total de adolescentes entrevistados (500), e adicionando as porcentagens referentes a cada barra devemos obter 100%.
Gênero literário |
Quantidade de adolescentes |
---|---|
Poesia |
85 |
Peça teatral |
115 |
Conto |
125 |
Romance |
175 |
Dados obtidos pela biblioteca municipal.
Quando os dois fatores são escritos na fórma de fração
Situação 1
Nesta situação, vamos aprender o que significa, por exemplo,
Dois terços vezes três quintose como efetuar essa multiplicação.
Mariana reservou
Três quintosdo jardim para plantar rosas.
Ela resolveu que em
Dois terçosdesse canteiro as rosas plantadas seriam brancas.
Observe que a parte do jardim ocupada pelo canteiro de rosas brancas
Dois terços de três quintoscorresponde a
Seis quinze avosdo jardim.
Então:
Situação 2
Rita gastou
Um quartodo dinheiro que tinha e, em seguida,
Dois terçosdo que lhe restou, ficando com 350 reais. Quanto Rita tinha inicialmente?
Como ela gastou
Um quartodo que tinha, restaram-lhe
Quatro quartos menos um quartoou seja,
três quartosRespostas e comentários
Quando os dois fatores são escritos na fórma de fração
Neste tópico, as habilidades ( ê éfe zero seis ême ah zero seis), ( ê éfe zero seis ême ah zero nove) e (EF06MA10), continuarão a ser exploradas. Analise a situação 1 com os estudantes, reproduzindo na lousa a construção da figura, passo a passo. Espera-se que eles percebam que neste caso também multiplicamos os numeradores entre si para obter o numerador da fração que representa o produto, assim como multiplicamos os denominadores entre si para obter o denominador dessa fração.
Para consolidar, proponha a eles que determinem a fração correspondente a
Três quintos vezes dois terços. Espera-se que obtenham
seis quinze avose observem que é o mesmo produto obtido antes (a multiplicação proposta apenas inverteu a ordem dos fatores).
Incentive-os a utilizar uma folha de papel retangular para realizar dobraduras que representem outras multiplicações de frações. Oriente-os a registrar no caderno as multiplicações e os retângulos que as representam bem como a efetuar a multiplicação. Depois, eles devem comparar a representação geométrica com a aritmética, a fim de aprofundar a compreensão entre a relação dessas representações.
Em seguida, Rita gastou
Dois terçosdo que lhe restou, ou seja,
Dois terços de três quartosque podemos calcular da seguinte maneira:
Agora, observe os gastos de Rita:
do que tinha no início
Então, ela gastou
Abre parênteses um quarto mais um meio fecha parênteses.do que tinha inicialmente, ou seja,
Três quartosdo que tinha.
Dessa maneira, podemos concluir que os 350 reais que sobraram correspondem a
Um quartodo dinheiro que Rita tinha inicialmente
Abre parênteses quatro quartos menos três quartos igual a um quarto fecha parênteses.Assim:
•
Um quartodo que tinha
350 reais
•
Quatro quartosdo que tinha
.1400 reais (350 ⋅ 4)
Portanto, Rita tinha inicialmente 1 400 reais.
O produto de números racionais escritos na fórma de fração pode ser representado por uma fração em que o numerador é o produto dos numeradores, e o denominador é o produto dos denominadores.
Observe mais alguns exemplos.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
28 No caderno, calcule cada produto, simplificando quando possível.
a)
numerador: 9 vezes 5, denominador: 20 vezes 6 igual a
b)
Multiplicação de frações. Três oitavos vezes cinco terços.
c)
Multiplicação de frações. Três vezes dois quintos vezes um terço.
d)
Multiplicação de frações. Dois inteiros e um terço vezes 3 inteiros e dois quintos
e)
Multiplicação de frações. Um meio vezes dois onze avos vezes três sétimos
f)
Multiplicação de frações. Quatro quintos vezes zero vezes cinco quartos
g)
Multiplicação de frações. Seis quinze avos vezes cinco meios
h)
Multiplicação de frações. Sete terços vezes três sétimos
Respostas e comentários
28. a)
três oitavos
28. b)
cinco oitavos
28. c)
dois quintos
28. d)
119, quinze avos
28. e)
três, 77 avos
28. f) 0
28. g) 1
28. h) 1
Quando os dois fatores são escritos na forma de fração
Na situação 2, além de efetuar a multiplicação, percebe-se que estão envolvidas outras operações de frações, no caso adição, subtração, e o cálculo de fração de um valor.
Se julgar necessário, proponha aos estudantes outras situações que envolvam esse tipo de multiplicação para eles representarem o cálculo por meio de figuras.
Ao trabalhar os outros exemplos apresentados nesta página, verifique se os estudantes compreendem que o processo é o mesmo para multiplicações de mais de dois fatores.
Exercícios propostos
Neste bloco de exercícios, são desenvolvidas as habilidades ( ê éfe zero seis ême ah zero seis), ( ê éfe zero seis ême ah zero nove) e ( ê éfe zero seis ême ah um zero), pois os estudantes podem aplicar e ampliar seus conhecimentos sobre multiplicação de números racionais na fórma de fração.
No exercício 28, verifique como os estudantes procedem, em especial no item d, que envolve números na fórma mista. Espera-se que eles percebam que podem expressar cada número na fórma de fração para depois efetuarem o produto. Se necessário, intervenha com questionamentos que os levem a refletir sobre suas escolhas e possam modificá-las, optando por estratégias mais adequadas. Assim:
a)
9, 20 avos vezes 5 sextos, igual, fração, numerador: 9 vezes 5, denominador: 20 vezes 6, igual.
b)
Três oitavos vezes cinco terços igual a fração com numerador 3 vezes 5, denominador 8 vezes 3 igual a quinze vinte e quatro avos igual a
c)
Três vezes dois quintos vezes um terço igual a fração com numerador 3 vezes 2 vezes 1 e denominador 5 vezes 3 igual ad)
Dois inteiros e um terço vezes três inteiros e dois quintos igual ae)
um meio vezes dois onze avos vezes três sétimos igual a fração com numerador: 1 vezes 2 vezes 3, denominador: 2 vezes 11 vezes 7 igual af)
quatro quintos vezes zero vezes cinco quartos igual a zerog)
seis quinze avos vezes cinco meios igual a fração com numerador: 6 vezes 5, denominador quinze vezes dois igual a trinta trinta avos igual a umh)
sete terços vezes três sétimos igual a fração com numerador: 7 vezes 3, denominador: 3 vezes 7, igual a vinte e um, vinte e uma avos igual a 129 Para a festa de aniversário de seu filho, Cauê estimou que 60 copos de refrigerante seriam suficientes. Ele sabe que em cada copo cabe
Um quintodo refrigerante de um litro. Quantos litros Cauê deve comprar?
30 Sabendo que, com um trator, Lúcio ara
Três vinte avosde um terreno em um dia, responda:
a) De segunda-feira a sábado, que parte do terreno Lúcio consegue arar?
b) Considerando que no domingo ele descanse, quanto faltará arar na semana seguinte?
c) Ele conseguirá terminar na segunda-feira? Justifique sua resposta.
31 Em casa, a regra é dividir tudo em partes iguais para as 6 pessoas da família. De uma barra de chocolate, comi metade do que cabia a mim, e meus pais comeram cada um a sua parte.
Responda às perguntas com uma fração.
a) Quanto meus pais comeram juntos?
b) Quanto eu comi?
c) Quanto sobrou?
32
Reúna-se com um colega e façam o que se pede.
a) Calculem
Dois terços de quatro quintos e dois quintos de quatro terçosEntre os dois produtos, qual é o maior?
b) Calculem
Três sétimos de dois onze avos e dois sétimos de três onze avosEntre os dois produtos, qual é o menor?
c) Escolham dois números racionais escritos na fórma de fração e multipliquem esses números. Em seguida, troquem entre si apenas os numeradores dessas frações e multipliquem os novos números racionais. Qual dos produtos obtidos é maior?
d) Dos números escolhidos no item c, troquem entre si apenas os denominadores das frações e multipliquem os novos números racionais. O produto destes é igual ao produto daqueles?
e) Escrevam uma conclusão a respeito dos resultados obtidos nos itens anteriores.
33
Hora de criar – Elabore um exercício de divisão envolvendo frações. Troque o exercício com um colega, resolva o exercício elaborado por ele e depois destroquem para corrigir.
Pense mais um pouco...
FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO
Junte-se a um colega e façam o que se pede.
1 Efetuem as multiplicações das fichas e comparem os resultados.
a)
b)
c)
2 A professora pediu aos estudantes que calculassem o valor da expressão
cinquenta e cinco terços vezes treze quintos vezes sete vinte e seis avos.
• Fábio multiplicou todos os numeradores e, depois, todos os denominadores. Em seguida, simplificou o resultado dividindo o numerador e o denominador por 5 e então por 13.
=
fração com numerador: 55 vezes 13 vezes 7, denominador: 3 vezes cinco vezes 26,=
cinco mil e cinco, trezentos e noventa avos igual a mil e um, setenta e oito avos igual a setenta e sete sextosRespostas e comentários
29. 12 litros.
30. a)
Nove décimos
30. b)
Um décimo
30. c) Sim, pois:
Um décimo igual a dois vinte avos e dois vinte avos menor que três trinta avos
31. a)
Um terço
31. b)
Um doze avos
31. c)
Sete doze avos
32. a)
Oito quinze avos; oito quinze avos. São iguais.
32. b)
Seis setenta e sete avos; seis setenta e sete avos.São iguais.
32. c) São iguais.
32. d) Sim.
32. e) Espera-se que os estudantes concluam que, na multiplicação de dois números racionais escritos na fórma de fração, o produto se mantém quando trocamos entre esses números os numeradores ou os denominadores.
33. Resposta pessoal.
Pense mais um pouco...:
1. a) São iguais a
Cinco quartos.
1. b) São iguais a
Sete terços.
1. c) São iguais a
Dez terços.
2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que o mais prático é o procedimento de Débora.
Exercícios propostos
No exercício 29, deve-se considerar que serão utilizados 60 copos de
um quintolitro cada, ou seja:
Assim, devem ser comprados 12 litros de refrigerante.
No exercício 30, se necessário, explique aos estudantes o que é arar um terreno. Considerando que, em cada dia, Lúcio ara
Três vinte avosdo terreno, tem-se:
a) De segunda-feira a sábado há 6 dias; portanto, serão arados
nove décimosdo terreno, pois
Três vinte avos vezes seis igual a fração com numerador: 3 vezes 6, denominador: 20 igual a dezoito vinte avos igual a nove décimosb) Arando
nove décimosem uma semana de trabalho, faltará
um décimos, pois
um menos nove décimos igual a dez décimos menos nove décimos igual a um décimoc) Para terminar na segunda-feira,
um décimosdeve ser menor do que o máximo arado em um dia, que é
três vinte avos. Para comparar, pode-se reduzir ao mesmo denominador:
um décimo igual a dois vinte avos, e como 3 > 2 ⇒ ⇒
três vinte avos maior que dois vinte avos implica que três vinte avos maior que um décimoPor isso, ele conseguirá terminar na segunda-feira.
No exercício 31, espera-se que os estudantes percebam que, como a regra é dividir igualmente entre 6 pessoas, cada um receberá
um sextode tudo.
As resoluções dos exercícios 31 a 33 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 8.
Pense mais um pouco reticências
Nesta seção, é adequado recomendar aos estudantes que usem uma calculadora. Dessa maneira, eles poderão investigar outras possibilidades de simplificação das frações.
Proponha a eles que, em duplas, criem outras expressões envolvendo frações que possam ser simplificadas, troquem as expressões entre si e, usando a calculadora, efetuem a simplificação.
Esse tipo de tarefa é importante, pois, ao criar uma expressão passível de simplificação, os estudantes demonstram ter compreendido a ideia. As resoluções das atividades 1 e 4 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 8.
• Débora, antes de multiplicar, dividiu por 5 o numerador 55 e o denominador 5, dividiu por 13 o numerador 13 e o denominador 26 (ela registrou esse procedimento com traços sobre os números divididos). Em seguida, multiplicou todos os novos numeradores e todos os novos denominadores:
Discutam e respondam: qual é o procedimento mais prático, o de Fábio ou o de Débora?
3 Calculem, pelo procedimento de Débora, o valor da expressão:
4 Calculem, da maneira que acharem mais prática, os produtos a seguir.
a)
Três oitavos vezes oito terços
b)
Um nono vezes nove
c)
Sete sextos vezes seis sétimos
d)
doze vezes um doze avos
Quando os números racionais são inversos
Observe as frações a seguir.
•
Dois quintos e cinco meios•
Um terço e três•
Quatro sétimos e sete quartos•
oito e um oitavoO numerador de uma fração é igual ao denominador da outra, e vice-versa.
Quando o produto de dois números racionais é igual a 1, eles são chamados de números inversos.
Acompanhe nos exemplos a seguir que o produto dos inversos é igual a 1.
• o inverso de
Dois quintos é cinco meios• o inverso de
Um terçoé 3;
• o inverso de
Quatro sétimos é sete quartos• o inverso de 8 é
Um oitavoObserve mais um exemplo.
Para encontrar o inverso de
2 inteiros e um terço, representaremos esse número na fórma de fração:
Como
dois inteiros e um terço e sete terçossão representações do mesmo número, o inverso de
2 inteiros e um terçoé igual ao inverso de
7 terçosque é
três sétimosPortanto, o número
três sétimosé o inverso de
2 inteiros e um terçoNote que o produto entre eles é 1.
Observação
▶ O número zero não tem inverso.
Respostas e comentários
3.
sete dezoito avos
4. a) 1
4. b) 1
4. c) 1
4. d) 1
Quando os números racionais são inversos
O trabalho com números racionais inversos prepara os estudantes para compreenderem as operações de divisão envolvendo números racionais na fórma de fração.
Para favorecer o desenvolvimento da competência geral 2 e da competência geral 9, organize os estudantes em duplas e proponha-lhes alguns pares de números racionais inversos. Oriente as duplas a realizar a multiplicação entre os números de cada par indicado e a observar o resultado. Após perceberem que os produtos obtidos são sempre 1, peça-lhes que compartilhem a regularidade observada e que argumentem ou justifiquem por que isso ocorre. Eles podem justificar, por exemplo, dizendo que o produto entre dois números racionais inversos resulta sempre em uma fração cujo numerador é igual ao denominador, que equivale a frações que representam o número racional 1.
Proponha aos estudantes um ditado de inversos, no qual devem registrar o inverso do número falado, ou um jogo da memória, em que os pares de cartas são feitos com números inversos.