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Parte 2

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

34 Determine o inverso de:

\frac{3}{5}

\frac{1}{4}

\frac{6}{5}

d) 5

3 \frac{1}{5}

5 \frac{1}{3}

35 Responda às questões.

a) Qual é o inverso do número 1?

b) Que número se obtém quando se escreve o inverso do inverso de um número racional não nulo?

4. Divisão

Assim como na multiplicação, vamos estudar a divisão envolvendo números racionais na fórma de fração e analisar diferentes situações.

Quando o divisor é um número natural

Pedro preparou uma fórma de doce de goiaba caseiro e o dividiu em 8 partes iguais.

Ele deu a seu filho Artur uma dessas partes, isto é,

\frac{1}{8}

do doce. Artur, por sua vez, dividiu o que recebeu em 2 pedaços iguais e os embrulhou em papel-alumínio. Vamos determinar a fração que representa cada pedaço do doce embrulhado por Artur.

A parte clara da figura indica a quantidade do doce que Artur recebeu, isto é,

\frac{1}{8} .

Ilustração. Doce redondo dividido em oito partes. Destaque para uma parte e a informação: um oitavo do doce de goiaba.

Esta outra figura mostra cada uma das oito partes do doce de Pedro divididas em 2 pedaços iguais.

Ilustração. Doce redondo dividido em dezesseis partes. Destaque para duas partes e a informação: pedaços iguais.

Cada novo pedaço representa

\frac{1}{16}

do doce e foi obtido pela operação

\frac{1}{8} : 2 = \frac{1}{16}

Vamos considerar válidas as igualdades a seguir. Nelas, a expressão

\frac{\frac{1}{8}}{2}

é considerada uma fração:

\frac{\frac{1}{8}}{2} = \frac{\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{2}{2}} = \frac{1}{16} : \frac{2}{2} = \frac{1}{16} : 1 = \frac{1}{16}

Na divisão de uma fração por um número natural, obtemos uma parte de outra parte:

\frac{1}{8} : 2 = \frac{1}{2} de \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16}

Note que esse quociente também pode ser obtido multiplicando-se

\frac{1}{8}

pelo inverso de 2:

\frac{1}{8} : 2 = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}

Respostas e comentários

34. a)

\frac{5}{3}

34. b) 4

34. c)

\frac{5}{6}

34. d)

\frac{1}{5}

34. e)

\frac{5}{16}

34. f)

\frac{3}{16}

35. a) 1

35. b) Obtém-se o próprio número.

Exercícios propostos

No exercício 34, nos itens a a d é suficiente considerar que, para determinar o inverso das frações dadas, basta inverter o numerador com o denominador, pois, para quaisquer números naturais x e y, diferentes de 0 (zero), temos:

\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} = 1

Os números racionais indicados nos itens e e f, são, respectivamente,

\frac{16}{5} e \frac{16}{3}

; assim, pode-se determinar o inverso desses números pela mesma regra dos demais itens.

No exercício 35, incentive os estudantes a justificarem as respostas. No item a, espera-se que eles percebam que como 1 ⋅ 1 = 1, o inverso de 1 é 1. Já no item b, oriente‑os que façam alguns exemplos numéricos, por exemplo, para determinar o inverso do inverso de

\frac{2}{3}

, poderão considerar que

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1

, portanto, o inverso de

\frac{2}{3} é \frac{3}{2}

e, como

\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1

, o inverso de

\frac{3}{2} é \frac{2}{3}

4. Divisão

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah um um.

Este tópico desenvolve a habilidade (ê éfe zero seis ême ah um um). O estudo da divisão envolvendo números expressos na fórma de fração será organizado em três casos:

• quando o divisor é um número natural (não nulo);

• quando o dividendo é um número natural;

• quando a divisão envolve números racionais na fórma de fração.

Analise com os estudantes a situação do doce de goiaba. Espera‑se que compreendam o significado de “obter uma parte de outra” e o uso do número inverso.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

36 Qual divisão poderia representar a parte hachurada do retângulo? E como representá-la com um número racional na forma de fração?

NELSON MATSUDA/ARQUIVO DA EDITORA

Ilustração. Retângulo dividido em uma faixa branca horizontal, seis quadrados verdes e dois quadrados hachurados.

37 Efetue cada divisão, fazendo uma figura correspondente.

\frac{1}{4} : 3

\frac{2}{5} : 5

\frac{1}{2} : 4

\frac{3}{8} : 2

38 Isabel dividiu sua horta retangular em 3 canteiros iguais. Em um desses canteiros, plantou couve em uma metade e, na outra, espinafre.

Agora, responda:

a) Que fração pode representar a parte da horta onde foram plantadas as verduras?

b) Represente por meio de uma figura e com uma fração a parte da horta onde foi plantado espinafre.

c) Represente por meio de uma divisão a parte da horta onde foi plantada couve.

Quando o dividendo é um número natural

André precisa encher com suco 4 vasilhames, de 1 litro cada um, usando garrafas em que cabem

\frac{2}{3}

de litro. Para isso, quantas garrafas ele usará?

Ilustração. Homem de cabelo curto e camisa roxa enche um vasilhame. Ao lado, outros três vasilhames idênticos e já completos com líquido.

Nesta situação vamos calcular quantas vezes uma parte cabe em mais de um inteiro. Para resolver o problema, vamos representar cada recipiente por uma figura retangular.

Cada

\frac{2}{3}

de litro representa o conteúdo de uma garrafa de suco, e cada

representa o conteúdo de

\frac{1}{3}

de garrafa. Logo, 4 litros equivalem a

\frac{12}{2}

de garrafa, isto é, a 6 garrafas.

Vemos nas figuras que

\frac{2}{3}

de litro cabem 6 vezes em 4 recipientes, ou seja,

4 : \frac{2}{3} = 6 .

Logo, André precisa despejar 6 garrafas cheias de suco para encher 4 recipientes vazios.

Esse quociente pode ser obtido multiplicando 4 pelo inverso de

\frac{2}{3} .

4 : \frac{2}{3} = 4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6

Em 3 litros cabem

\frac{9}{2}

de garrafa, isto é,

3 : \frac{2}{3} = \frac{9}{2} .

Esse quociente pode ser obtido por:

3 : \frac{2}{3} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}

Respostas e comentários

36.

\frac{2}{3} : 4; \frac{2}{12} (o u \frac{1}{6})

37. Construção de figura.

37. a)

\frac{1}{12}

37. b)

\frac{2}{25}

37. c)

\frac{1}{8}

37. d)

\frac{3}{16}

38. a)

\frac{1}{3}

38. b)

Resposta: Ilustração. Retângulo dividido em seis partes. Uma parte está pintada.

\frac{1}{6}

38. c)

\frac{1}{3} : 2 = \frac{1}{6}

Exercícios propostos

Essas atividades podem ser realizadas em duplas para que os estudantes exponham como pensam e comparem procedimentos.

No exercício 36, pode-se perceber que um retângulo foi dividido em 3 partes iguais (idênticas à parte em branco da figura). Dessas partes, foram consideradas duas (indicadas em verde na figura), que foram divididas em 4 partes (idênticas à região hachurada da figura). Assim, concluímos que

\frac{2}{3}

do retângulo foram divididos em 4 partes.

Para o exercício 37, apresentamos uma possível resolução.

Ilustração. Barra dividida em 12 partes iguais. 3 partes estão destacadas com um colchete e uma parte está pintada. Acima está indicado: fração 1 quarto.

Abaixo:
1 quarto dividido por 3 igual 1 doze avos

Ilustração. Barra dividida em 25 partes iguais. 10 partes estão indicadas com um colchete e duas partes estão pintadas. Acima está indicado: fração 2 quintos.

Abaixo:
2 quintos divididos por 5 igual 2 vinte e cinco avos

Ilustração. Barra dividida em 8 partes iguais. 4 partes estão destacadas com um colchete e uma parte está pintada. Acima está indicado: fração 1 meio

Abaixo:
1 meio dividido por 4 igual a 1 oitavo

Ilustração. Barra dividida em 16 partes iguais. 8 partes estão destacadas com um colchete e três partes estão pintadas. Acima está indicado: fração 3 oitavos.

Abaixo:
3 oitavos divididos por 2 igual 3 dezesseis avos

Aproveite o exercício 38 para avaliar se os estudantes compreendem a ideia de divisão envolvendo números racionais na fórma de fração.

A resolução do exercício 38 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 8.

Quando o dividendo é um número natural

A situação proposta envolve a divisão de um número natural por um número racional (não nulo) na fórma de fração. A ideia trabalhada é determinar quantas vezes o divisor cabe no dividendo (significado de medida da divisão).

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

39 A figura a seguir sugere uma divisão.

Ilustração. Figura composta por quatro retângulos de um quarto cada.

Ilustração. Figura composta por quatro retângulos de um quarto cada.

Ilustração. Figura composta por quatro retângulos de um quarto cada.

a) Qual das seguintes divisões a figura pode representar: 3 dividido por 4, 4 dividido por

\frac{1}{3}

ou 3 dividido por

\frac{1}{4}

b) Qual é o resultado dessa divisão?

40 Efetue cada divisão, fazendo uma figura correspondente.

3 : \frac{3}{4}

4 : \frac{4}{5}

1 : \frac{1}{9}

1 : \frac{1}{3}

6 : \frac{3}{4}

8 : \frac{4}{5}

Quando a divisão envolve números racionais na fórma de fração

Agora, vamos estudar a divisão entre dois números escritos na fórma de fração.

Vamos dividir

\frac{2}{3}

por

\frac{1}{6}

com o auxílio de figuras. Vejamos quantas vezes

\frac{1}{6}

cabe em

\frac{2}{3} .

Ilustração. Retângulo dividido em três partes. Duas partes estão pintadas e a informação: Representa a fração dois terços.

Ilustração. Retângulo dividido em seis partes. Três partes estão pintadas e uma parte hachurada com a informação: Representa a fração um sexto.

As figuras mostram que

\frac{1}{6}

cabe 4 vezes em

\frac{2}{3},

ou seja,

\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = 4 .

Obtemos esse quociente multiplicando

\frac{2}{3}

pelo inverso de

\frac{1}{6}

\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{1} = \frac{12}{3} = 4

Agora, vamos dividir

\frac{3}{2}

por

\frac{3}{4},

isto é, vamos calcular quantas vezes

\frac{3}{4}

cabem em

\frac{3}{2} .

Ilustração. Dois Retângulos dividido em duas partes cada. Duas partes estão pintadas de um retângulo e uma parte do outro. Ao lado, a informação: A parte laranja representa a fração três meios.

Ilustração. Dois Retângulos dividido em cinco partes cada. Três partes estão hachuradas e uma pintada de um retângulo e duas partes pintadas do outro. Ao lado, a informação: A parte hachurada representa a fração três quartos. Abaixo, a fração três quartos representando a parte hachurada e três quartos representado a parte pintada.

As figuras mostram que

\frac{3}{4}

cabem 2 vezes em

\frac{3}{2},

ou seja,

\frac{3}{2} : \frac{3}{4} = 2 .

Multiplicando

\frac{3}{2}

pelo inverso de

\frac{3}{4},

obtemos

\frac{3}{2} : \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{6} = 2

O quociente de um número escrito na fórma de fração por outro diferente de zero é obtido multiplicando-se o primeiro pelo inverso do segundo.

Observe mais alguns exemplos.

\frac{4}{3} : \frac{2}{1} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8}

1 \frac{2}{3} : \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5} = 1

Respostas e comentários

39. a) 3 dividido por

\frac{1}{4}

39. b) 12

40. Construção de figura.

40. a) 4

40. b) 5

40. c) 9

40. d) 3

40. e) 8

40. f) 10

Exercícios propostos

No exercício 39, há 3 retângulos idênticos, cada um dividido em 4 partes. Considerando os 3 retângulos o inteiro, cada parte corresponde a

\frac{1}{12}

do inteiro. Assim, a divisão é dada por

3 : \frac{1}{4} = 12 .

No exercício 40, explore com os estudantes diferentes estratégias de resolução, por exemplo, também por meio de representações utilizando figuras retangulares. Uma possível resolução para o exercício 40 é apresentada a seguir.

Ilustração. Três barras divididas em 4 partes cada. Cada 3 partes correspondem a fração três quartos

três dividido por três quartos igual à quatro

Ilustração. Quatro barras divididas em 5 partes cada. Cada 4 partes correspondem a fração quatro quintos

quatro dividido por quatro quintos igaul à cinco

Ilustração. Barra dividida em 9 partes. Cada parte corresponde a um nono.

um dividido por um nono igual à nove

Ilustração. Barra dividida em 3 partes. Cada parte corresponde a um terço

um dividido por um terço iguak à três

Ilustração. Três barras divididas em 4 partes cada. Cada 3 partes correspondem a fração três quartos.

Ilustração. Três barras divididas em 4 partes cada. Cada 3 partes correspondem a fração três quartos

seis dividido por três quartos igual à oito

Ilustração. Quatro barras divididas em 5 partes cada. Cada 4 partes correspondem a fração quatro quintos

Ilustração. Quatro barras divididas em 5 partes cada. Cada 4 partes correspondem a fração quatro quintos

oito dividido por quatro quintos igual à dez

Quando a divisão envolve números racionais na fórma de fração

Analise com os estudantes a divisão envolvendo dois números racionais na fórma de fração.

O uso de figuras representando o processo favorece a atribuição de significado para a operação que é efetuada. Reproduza os desenhos na lousa, mostrando a eles as frações envolvidas em cada etapa. A ideia é que eles concluam que esse cálculo equivale a descobrir quantas vezes uma fração “cabe” na outra.

Se julgar necessário, proponha aos estudantes outros exemplos na lousa para eles representarem com figuras ou efetuarem diretamente a divisão.

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

41 Efetue as divisões indicadas, simplificando quando possível.

\frac{5}{8} : \frac{7}{6}

\frac{9}{5} : \frac{3}{2}

\frac{1}{8} : \frac{1}{2}

3 \frac{1}{2} : 7

2 : 3 \frac{1}{2}

0 : 3 \frac{1}{9}

42 Para fazer um trabalho, dividiu-se um fio de cobre em 3 partes iguais. Cada uma dessas partes foi dividida ao meio e, depois, cada uma dessas partes foi dividida em 4 partes iguais. Qual é a fração do fio que cada uma das partes menores representa?

43 Qual é o número que multiplicado por

\frac{7}{3}

dá

\frac{2}{5} ?

44 Osvaldo resolveu repartir um sítio. Ele ficou com

\frac{1}{3}

das terras e dividiu igualmente a outra parte entre seus quatro filhos. Represente com uma fração a parte do sítio que cada filho de Osvaldo recebeu.

45 Para comprar um tablet, dei de entrada

\frac{2}{5}

do valor e dividi o restante em 6 prestações iguais. Represente com uma fração a parte do valor do tablet que deverei pagar em cada prestação.

46 No preparo de um creme de baunilha para 4 pessoas, são necessários os seguintes ingredientes:

•

\frac{3}{4}

de litro de leite;

• 2 colheres de sopa de açúcar;

•

\frac{3}{2}

colheres de sopa de amido de milho;

• 2 gemas;

•

\frac{1}{3}

de colher de sopa de baunilha.

Faça a adaptação dessa receita para duas pessoas e indique a quantidade calculada no caderno.

Para calcular mentalmente

2 \cdot \frac{3}{4}

2 : \frac{1}{4},

Tom imagina “saltos” em uma reta numérica.

• Para calcular

2 \cdot \frac{3}{4} .

• Para

2 : \frac{1}{4} .

Ilustração. Menina de cabelo curto, blusa laranja e calça verde. Com a mão no queixo, ela pensa: ilustração de reta numérica com os pontos 0, 1 e 2. De 0 a 1 há quatro marcações e de 1 a 2 quatro marcações. Cada marcação indica um quarto. Penso em duas unidades da reta numérica dividida em quartos. Na reta, dou saltos de um quarto no sentido crescente, até chegar ao 2. Verifico que um quarto cabe 8 vezes em 2. Portanto, 2 dividido por um quarto igual a 8

Calcule mentalmente as operações.

3 \cdot \frac{2}{5}

2 \cdot \frac{2}{7}

5 \cdot \frac{1}{8}

3 : \frac{1}{5}

2 : \frac{1}{3}

\frac{2}{3} : 4

Ícone de Atividade em dupla ou em grupo.

Hora de criar – Elabore um problema considerando a compra parcelada de um videogame. Você pode dar o valor total e perguntar quanto é uma fração desse valor, por exemplo. Troque o problema com um colega e, depois, destroquem para corrigi-los.

Respostas e comentários

41. a)

\frac{15}{28}

41. b)

\frac{6}{5}

41. c)

\frac{1}{4}

41. d)

\frac{1}{2}

41. e)

\frac{4}{7}

41. f) 0

42.

\frac{1}{24}

43.

\frac{6}{35}

44.

\frac{1}{6}

45.

\frac{1}{10}

46.

\frac{3}{8}

de litro de leite; uma colher de sopa de açúcar;

\frac{3}{4}

de colher de sopa de amido de milho; uma gema;

\frac{1}{6}

de colher de sopa de baunilha

47. a)

\frac{6}{5}

47. b)

\frac{4}{7}

47. c)

\frac{5}{8}

47. d) 15

47. e) 6

47. f)

\frac{1}{6}

48. Resposta pessoal.

Exercícios propostos

As resoluções dos exercícios 41, 43, 44 e 46 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 8.

No exercício 42, verifique se os estudantes associam corretamente as divisões, considerando que o fio foi dividido em 3 partes iguais, cada

\frac{1}{3}

do fio foi dividido em duas partes iguais, resultando em partes que representam

\frac{1}{6}

do fio original, e cada

\frac{1}{6}

do fio foi dividido em 4 partes iguais; portanto, o fio original foi dividido em 24 partes iguais, ou seja, cada parte equivale a

\frac{1}{24}

do fio original. Se necessário, solicite a eles que utilizem figuras de retângulos para representar a situação e que compartilhem com os colegas as produções.

No exercício 45, segue uma possível resolução.

Como a entrada foi de

\frac{2}{5}

do valor do tablet, falta pagar

\frac{3}{5}

desse valor, que será parcelado em 6 prestações iguais. Desse modo, o valor de cada prestação é dado por:

\frac{3}{5} : 6 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{10}

Logo, cada prestação equivale a

\frac{1}{10}

do valor do tablet.

O exercício 47 pode ser feito em duplas, de modo que os estudantes discutam os procedimentos apresentados para efetuar as operações com o uso da reta numérica. Acompanhe as discussões das duplas e faça as intervenções necessárias para facilitar a compreensão do procedimento. Antes de os estudantes efetuarem os itens propostos nessa questão, peça a alguns deles, de duplas diferentes, que expliquem cada procedimento mostrado por Tom, certificando-se de que houve compreensão pela turma.

Segue um exemplo de resposta para o exercício 48: Paulo comprou um videogame que custou R$ 762,00setecentos e sessenta e dois reais. Ele deu de entrada

\frac{1}{3}

do valor e parcelou o restante em 4 prestações. Qual foi o valor que Paulo deu de entrada? E o valor de cada prestação? (Respostas:

\frac{1}{3}

de 762 = 254, portanto, deu de entrada R$ 254,00duzentos e cinquenta e quatro reais; como 762 ‒ 254 = 508 e 508 dividido por 4 = 127, R$ 127,00cento e vinte e sete reais é o valor de cada prestação.)

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5. Potenciação

Já aprendemos a calcular potências de números naturais. Agora, vamos calcular potências de números racionais escritos na fórma de fração.

Acompanhe a experiência a seguir.

• Dobramos uma folha de papel sulfite, como mostra a sequência de figuras. Desdobramos e pintamos de amarelo a metade da folha

(\frac{1}{2}) .

Ilustração. Folha de papel. Seta para folha dobrada ao meio. Seta para folha desdobrada com marca no centro. Destaque para uma parte representando um meio.

• Dobramos novamente e, sobre a 1ª dobra, dobramos outra vez, na metade do maior comprimento. Desdobramos toda a folha e hachuramos de verde metade da metade da folha.

Ilustração. Folha de papel dobrada ao meio. Seta para folha de papel dobrada mais uma vez. Seta para folha desdobrada com marca no centro vertical e horizontal. Destaque para uma parte representando um quarto; um meio de um meio.

• Dobramos tudo novamente e, sobre a 2ª dobra, dobramos outra vez, na metade. Desdobramos e hachuramos de vermelho a metade da metade da metade da folha.

Ilustração. Folha de papel dobrada duas vezes. Seta para folha de papel dobrada mais uma vez. Seta para folha desdobrada marcando oito partes. Destaque para uma parte representando um oitavo; um meio de um meio de um meio.

Sabemos que:

•

\frac{1}{2} de \frac{1}{2}

da folha é

(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})

da folha, que corresponde a

\frac{1}{4}

da folha (hachurado de verde).

•

\frac{1}{2} de \frac{1}{2} de \frac{1}{2}

da folha é

(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})

da folha, que corresponde a

\frac{1}{8}

da folha (hachurado de vermelho).

Quando dobramos a folha 5 vezes, a parte pintada de roxo é

(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})

da folha, que corresponde a

\frac{1}{32}

da folha.

Ilustração. Folha de papel dobrada marcando trinta e duas partes. Destaque para uma parte representando um trinta e dois avos.

Respostas e comentários

5. Potenciação

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah um um.

Este tópico desenvolve a habilidade (ê éfe zero seis ême ah um um). Para o desenvolvimento do trabalho, providencie antecipadamente o material necessário para os estudantes realizarem o experimento proposto neste estudo da potenciação, em que a base é um número racional na fórma de fração e o expoente é um número natural. A cada etapa desse experimento, reproduza na lousa a figura representativa.

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Podemos abreviar a escrita dessas multiplicações indicando o número de fatores por meio de um expoente (de modo semelhante ao que estudamos com números naturais).

um meio vezes um meio igual a, abre parênteses, um meio fecha parênteses elevado ao quadrado igual a um quarto;
um meio vezes um meio: 2 fatores; índice 2: indica o número de fatores.

um meio vezes um meio vezes um meio igual a Abre parênteses, um meio fecha parênteses elevado ao cubo igual a um oitavo; um meio vezes um meio vezes um meio: 2 fatores; índice 3: indica o número de fatores.

Um meio vezes um meio vezes um meio vezes um meio vezes um meio fecha igual a Abre parênteses, um meio fecha parênteses elevado a quinta igual a um trinta e dois avos; um meio vezes um meio vezes um meio vezes um meio vezes um meio: 2 fatores; índice 5: indica o número de fatores.

Ao efetuar uma multiplicação de fatores iguais, estamos realizando uma potenciação.

Esquema. Abre parênteses, um meio fecha parênteses elevado a quinta igual a um trinta e dois avos. Um meio: base; 5: expoente; um trinta e dois avos: potência

Na prática, para obter o resultado de

{(\frac{1}{2})}^{5},

elevamos os dois termos da fração ao expoente 5.

{(\frac{1}{2})}^{5} = \frac{1^{5}}{2^{5}}

\frac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{32}

Observe outros exemplos.

{(\frac{2}{3})}^{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}

\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2^{4}}{3^{4}} = \frac{16}{81}

{(\frac{4}{5})}^{3} = \frac{4^{3}}{5^{3}} = \frac{64}{125}

Observação

▶ As definições adotadas para as potências de números naturais com expoente 1 e expoente 0 são válidas também para os números racionais representados na fórma de fração, ou seja:

• toda potência de expoente 1 é igual à própria base;

• toda potência de expoente 0 e base diferente de 0 é igual a 1.

Exemplos:

{(\frac{2}{9})}^{1} = \frac{2}{9}

{(\frac{3}{7})}^{1} = \frac{3}{7}

{(\frac{2}{9})}^{0} = 1

{(\frac{3}{7})}^{0} = 1

Respostas e comentários

Potenciação

Procedendo de maneira similar à que foi feita para as potências de base natural, identifique os termos envolvidos na potenciação. Solicite aos estudantes que leiam as potências de acordo com a multiplicação que elas representam, por exemplo:

•

{(\frac{1}{10})}^{2}

indica 2 fatores iguais a

\frac{1}{10}

;

•

{(\frac{1}{10})}^{5}

indica 5 fatores iguais a

\frac{1}{10}

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

49 Calcule no caderno.

{(\frac{5}{3})}^{2}

{(\frac{7}{5})}^{3}

{(\frac{1}{5})}^{2}

{(\frac{3}{4})}^{3}

{(\frac{5}{2})}^{0}

{(3 \frac{1}{2})}^{1}

50 Escreva os números racionais como potência de número na fórma de fração.

\frac{4}{9}

\frac{1}{25}

\frac{25}{36}

\frac{49}{100}

\frac{81}{16}

\frac{64}{121}

Pense mais um pouco...

FAÇA A ATIVIDADE NO CADERNO

Efetue os cálculos indicados e classifique cada sentença em verdadeira ou falsa.

Ilustração. Menino de camisa verde olha para cima com a mão no queixo. À frente dele, mesa com estojo, caderno e papel.

{[{(\frac{1}{2})}^{2}]}^{3} = {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}

\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{64}

{[{(\frac{1}{2})}^{3}]}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{64}

{[{(\frac{1}{2})}^{3}]}^{2} = {[{(\frac{1}{2})}^{2}]}^{3}

{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3} = {(\frac{1}{2})}^{2 + 3}

{[{(\frac{1}{2})}^{2}]}^{3} = {(\frac{1}{2})}^{2 \cdot 3}

6. Expressões numéricas

Acompanhe a situação a seguir.

Márcia é costureira e fará 3 vestidos iguais para uma apresentação.

Ilustração. Mulher de óculos cabelo enrolado, camiseta amarela e calça azul. Ela está ajoelhada no chão costurando a barra de uma saia rosa em uma mulher de cabelo escuro, tomara que caia azul. Atrás, uma máquina de costurar. Um sofá com tecidos sobre ele.

Em cada traje, Márcia utiliza

\frac{1}{4}

de um corte de seda para fazer a saia e

\frac{1}{8}

de um corte de veludo para fazer o corpete. Esses cortes têm todos o mesmo comprimento e o mesmo preço. Para saber quantos cortes de tecido vai usar para fazer os 3 trajes, Márcia escreveu:

quantos cortes vou gastar

3 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{8})

cortes

Respostas e comentários

49. a)

\frac{25}{9}

49. b)

\frac{343}{125}

49. c)

\frac{1}{25}

49. d)

\frac{27}{64}

49. e) 1

49. f)

3 \frac{1}{2}

50. a)

{(\frac{2}{3})}^{2}

50. b)

{(\frac{1}{5})}^{2}

50. c)

{(\frac{5}{6})}^{2}

50. d)

{(\frac{7}{10})}^{2}

50. e)

{(\frac{9}{4})}^{2} o u {(\frac{3}{2})}^{4}

50. f)

{(\frac{8}{11})}^{2}

Pense mais um pouco...:

a) Verdadeira.

b) Verdadeira.

c) Verdadeira.

d) Falsa.

e) Verdadeira.

Exercícios propostos

Para facilitar as resoluções dos exercícios 49 e 50, sugira aos estudantes a construção de um quadro com os vinte primeiros quadrados perfeitos, escritos em fórma de potência e com o respectivo resultado, para consultarem sempre que necessário. O quadro seria similar a este:

Quadro. dois elevado ao quadrado igual a 4, cinco elevado ao quadrado igual a vinte e cinco... quinze elevado ao quadrado igual a duzentos e vinte e cinco
três ao quadrado igual a nove, seis elevado ao quadrado igual a trinta e seis... dezesseis ao quadrado igual a duzentos e cinquenta e seis

Assim, no exercício 49, obtemos:

{(\frac{5}{3})}^{2} = \frac{5^{2}}{3^{2}} = \frac{25}{9}

{(\frac{7}{5})}^{3} = \frac{7^{3}}{5^{3}} = \frac{343}{125}

{(\frac{1}{5})}^{2} = \frac{1^{2}}{5^{2}} = \frac{1}{25}

{(\frac{3}{4})}^{3} = \frac{3^{3}}{4^{3}} = \frac{27}{64}

e) Toda potência de expoente 0 e base diferente de 0 é igual a 1,

{(\frac{5}{2})}^{0} = 1

f) Toda potência de expoente 1 é igual à própria base;

{(3 \frac{1}{2})}^{1} = 3 \frac{1}{2}

E, ao resolver o exercício 50, obtemos:

\frac{4}{9} = \frac{2^{2}}{3^{2}} = {(\frac{2}{3})}^{2}

\frac{1}{25} = \frac{1^{2}}{5^{2}} = {(\frac{1}{5})}^{2}

\frac{25}{36} = \frac{5^{2}}{6^{2}} = {(\frac{5}{6})}^{2}

\frac{49}{100} = \frac{7^{2}}{10^{2}} = {(\frac{7}{10})}^{2}

\frac{81}{16} = \frac{9^{2}}{4^{2}} = {(\frac{9}{4})}^{2}

\frac{64}{121} = \frac{8^{2}}{11^{2}} = {(\frac{8}{11})}^{2}

Pense mais um poucoreticências

Nesta seção, verifique se, para avaliar o item c, os estudantes utilizam os resultados anteriores ou se efetuam o cálculo novamente. Ressalte esse fato na correção.

Discuta com eles a afirmação do item d, incentivando-os a explicarem por que ela é falsa. Proponha aos estudantes que efetuem as operações de ambos os membros da igualdade e comparem os resultados.

a) Verdadeira:

{[{(\frac{1}{2})}^{2}]}^{3} = {[\frac{1^{2}}{2^{2}}]}^{3} = {[\frac{1}{4}]}^{3} = \frac{1^{3}}{4^{3}} = \frac{1}{64}

b) Verdadeira:

{[{(\frac{1}{2})}^{3}]}^{2} = {[\frac{1^{2}}{2^{2}}]}^{3} = {[\frac{1}{4}]}^{3} = \frac{1^{3}}{4^{3}} = \frac{1}{64}

c) Verdadeira: conforme verificado nos itens anteriores,

{[{(\frac{1}{2})}^{2}]}^{3} = \frac{1}{2^{6}} = {[{(\frac{1}{2})}^{3}]}^{2}

A resolução dos itens d e ê estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 8.

Página 201

Observe quantos cortes Márcia vai gastar.

3 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{8})

3 \cdot (\frac{2}{8} + \frac{1}{8})

3 \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{8} = 1 \frac{1}{8}

Ou seja, 1 corte e mais

\frac{1}{8}

de corte entre veludo e seda.

A expressão

3 \cdot (\frac{1}{4} + \frac{1}{8})

serve para descrever a quantidade de cortes, entre os de veludo e os de seda, que Márcia utilizará em seu trabalho. Cada termo dessa expressão tem um significado. Acompanhe.

Esquema. 3 vezes abre parênteses um quarto mais um oitavo fecha parênteses. 3: número de trajes. Um quarto: parte de um corte de seda utilizada na saia de um traje; um oitavo: parte de um corte de veludo utilizada no corpete de um traje. Os parênteses indicam que, inicialmente, Márcia vai adicionar as partes dos cortes de tecido.

Já vimos que as operações em uma expressão numérica são resolvidas na seguinte ordem:

• as potenciações e as radiciações na ordem em que aparecem;

• as multiplicações e as divisões na ordem em que aparecem;

• as adições e as subtrações, também na ordem em que aparecem.

Quando a expressão numérica tiver sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves), eles devem ser eliminados na seguinte ordem: resolvem-se primeiro as operações entre parênteses, depois as operações entre colchetes e, finalmente, as operações entre chaves.

Acompanhe o cálculo de algumas expressões.

Expressão: cinco sextos menos dois terços vezes um meio mais um terço dividido por quatro terços igual a cinco sextos menos dois terços (corta dois vira um terço) vezes um meio (corta 2 vira 1 sobre 1) mais um terço (corta 3 vira 1 sobre 1) vezes três quartos (corta 3 vira um quarto) igual a cinco sextos menos um terço mais um quarto igual a dez doze avos menos quatro doze avos mais três doze avos igual a nove doze avos igual a três quartos.

Expressão: Abre parênteses, três quartos mais um meio fecha parênteses dividido por abre parênteses dois menos um quarto fecha parênteses igual a abre parênteses três quartos mais dois quartos fecha parênteses dividido por abre parênteses oito quartos menos um quarto fecha parênteses igual a cinco quartos dividido por sete quartos igual a cinco quartos (corta 4 vira 5 sobre 1) vezes quatro sétimos (corta 4 vira um sétimo) igual a cinco sétimos.

Expressão: Abre colchetes dois quintos vezes abre parênteses, dois menos três quartos fecha parênteses, fecha colchetes dividido por abre parênteses, um meio fecha parênteses, elevado ao quadrado igual a abre colchetes dois quintos vezes abre parênteses, oito quartos menos três quartos, fecha parênteses, fecha colchetes dividido por abre parênteses um quarto fecha parênteses igual a, abre colchetes dois quintos vezes cinco quartos (corta as frações e vira onze doze avos) dividido por um quarto igual a um meio dividido por um quarto igual a um meio (corta 2 vira um meio) vezes quatro sobre um (corta 4 vira dois sobre um) igual a dois sobre um igual a dois.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

faça as atividades no caderno

51 Calcule o valor de cada expressão.

{(2 ‒ \frac{1}{2})}^{2} \cdot (1 ‒ \frac{2}{5})

(\frac{3}{4} + \frac{1}{2}) : (1 \frac{1}{2} ‒ \frac{3}{4})

{(1 + \frac{3}{7})}^{2} \cdot \frac{49}{80}

[(\frac{2}{5} + \frac{1}{2}) \cdot \frac{2}{9} + {(\frac{1}{3})}^{2}] : \frac{7}{5}

Respostas e comentários

51. a)

\frac{27}{20}

51. b)

\frac{5}{3}

51. c)

\frac{5}{4}

51. d)

\frac{2}{9}

6. Expressões numéricas

Habilidade da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah um um.

Este tópico desenvolve a habilidade (ê éfe zero seis ême ah um um), pois a ampliação de expressões numéricas envolvendo números racionais na fórma de fração possibilita que os estudantes revisitem os conhecimentos já construídos com as operações de números racionais na fórma de fração.

Este é um bom momento para verificar se eles compreendem a ordem na qual as operações devem ser realizadas e o uso dos sinais de associação. Analise com eles a situação proposta e os exemplos de cálculo de expressões numéricas. Proponha a eles que expliquem os procedimentos adotados em cada exemplo e que falem sobre a ordem das operações em expressões numéricas. Relembre-os sobre a simplificação de frações, se necessário.

Exercícios propostos

No exercício 51, possibilite aos estudantes calcular as expressões numéricas em duplas e, depois, incentive-os a justificarem as etapas de cálculo utilizadas, explicando-as aos demais colegas da tuma.

{(2 ‒ \frac{1}{2})}^{2} \cdot (1 ‒ \frac{2}{5}) =

= {(\frac{4}{2} ‒ \frac{1}{2})}^{2} \cdot (\frac{5}{5} ‒ \frac{2}{5}) =

= {(\frac{3}{2})}^{2} \cdot (\frac{3}{5}) =

= \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{27}{20}

(\frac{3}{4} + \frac{1}{2}) : (1 \frac{1}{2} ‒ \frac{3}{4}) =

= (\frac{3}{4} + \frac{2}{4}) : (\frac{3}{2} ‒ \frac{3}{4}) =

= (\frac{5}{4}) : (\frac{6 ‒ 3}{4}) =

= \frac{5}{4} : \frac{3}{4} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}

{(1 + \frac{3}{7})}^{2} \cdot \frac{49}{80} =

= {(\frac{10}{7})}^{2} \cdot \frac{49}{80} = \frac{100}{49} \cdot \frac{49}{80} =

= \frac{100}{80} = \frac{5}{4}

abre colchetes, abre parênteses, dois quintos mais um meio, fecha parênteses vezes dois nonos mais, abre parênteses um terço, fecha parênteses elevado ao quadrado, fecha colchetes, dividido por sete quintos igual a, abre colchetes, abre parênteses quatro décimos mais cinco décimos, fecha parênteses, vezes dois nonos mais um nono, fecha colchetes dividido por sete quintos igual a, abre colchetes, nove décimo vezes dois nonos mais um nono dividido por sete quintos igual a, abre colchetes, um quinto mais um nono, fecha colchetes, dividido por sete quintos igual, abre colchetes, nove quarenta e cinco avos mais cinco quarenta e cinco avos, fecha colchetes dividido por sete quintos igual a catorze quarenta e cinco avos dividido por sete quintos igual a catorze (corta o 14 com 7 e o 5 com 45, ficando dois nonos), igual a dois nonos

Página 202

52 Escreva uma expressão numérica que represente o número de litros procurado na situação a seguir.

Ilustração. À direita, homem de óculos e cabelo castanho espreme uma laranja em um espremedor. Ao lado, menino de cabelo castanho e blusa amarela segura uma jarra. Sobre a mesa, laranjas.

Quantos litros de laranjada posso obter se despejar 3 copos cheios de suco de laranja, com

\frac{1}{4}

de litro de cada copo, em uma jarra que já contém

\frac{1}{2}

litro de água?

53 Determine o valor de A no esquema.

Esquema. Fração cinco sétimos e fração sete quartos. Setas para? Multiplique, adicione, calcule o cubo. A. Fração dois terços: eleve ao expoente zero, adicione, calcule o cubo. A.

54 Determine quanto vale x em cada caso.

{(\frac{1}{6})}^{x} = \frac{1}{6}

{(\frac{3}{x})}^{3} = \frac{27}{216}

{(\frac{7}{5})}^{x} = 1

{(\frac{x}{5})}^{2} = \frac{9}{25}

55 A professora de Matemática distribuiu a cada estudante de sua classe uma ficha contendo uma expressão ou um problema com números racionais representados na fórma de fração. Depois de resolver a questão, cada estudante deveria procurar seu par, ou seja, encontrar um colega que tivesse uma resposta idêntica à dele.

Observe a seguir alguns modelos de ficha que a professora distribuiu. Resolva as questões e descubra quais fichas poderiam formar pares.

Ilustração. Modelo de ficha. Ficha 1. Resolva a expressão cinco oitavos menos um inteiro e um meio vezes um quinto.

Ilustração. Modelo de ficha. Ficha 2. Calcule dois terços de três quartos de cinco sextos.

Ilustração. Modelo de ficha. Ficha 3. Adriana depositou metade dos quatro quintos de seu salário em uma caderneta de poupança. Que fração de seu salário ela depositou?

Ilustração. Modelo de ficha. Ficha 4. Se a parte pintada da figura for dividida por 2, que fração representará o resultado dessa divisão? Ilustração de uma figura dividida em seis partes. Cinco partes estão pintadas.

Hora de criar ‒ Desenvolva um problema semelhante ao exercício 53, com 4 operações, e troque com um colega. Depois, destroquem para corrigi-los.

Respostas e comentários

52. 3 ⋅

\frac{1}{4} + \frac{1}{2}

53.

A = \frac{729}{64}

54. a) 1

54. b) 6

54. c) 0

54. d) 3

55. Formaram um par as fichas 2 e 4.

Ficha 1:

\frac{13}{40}

Ficha 2:

\frac{5}{12}

Ficha 3:

\frac{2}{5}

Ficha 4:

\frac{5}{12}

56. Resposta pessoal.

Exercícios propostos

No exercício 52, os estudantes deverão empregar as operações aritméticas e as propriedades já estudadas ao longo do capítulo. Dessa maneira, perceberão quais operações e em que ordem resolverão o problema.

No exercício 53, verifique se os estudantes compreendem o esquema e o que precisam fazer em cada etapa. Pode-se propor a eles que representem o esquema por meio de uma expressão numérica e compartilhem-na com os colegas, a fim de validar as respostas. Caso observe que alguns estudantes estão encontrando resultados incorretos, peça a eles que se juntem a um colega e troquem ideias para identificar o ponto de divergência. A resolução do exercício 53 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 8.

No exercício 54, retome com os estudantes as propriedades de potências já estudadas para os números naturais e explique-lhes que elas também valem para potências envolvendo números racionais. No item a, pode-se perceber que a base equivale à potência; logo, x deve valer 1. O item b pode ser resolvido por tentativa e erro, estimando um valor inicial para calcular o cubo desse valor e comparar com o denominador do resultado da potenciação, que deve ser 216. Assim, ao estimar 4 para o valor de x, por exemplo, obterão 4elevado a 3 = 64 e, portanto, x > 4. Se estimarem 7 para o valor de x, obterão 7elevado a 3 = 343; logo, x > 7. Fazendo estimativas como essa, pode-se obter x = 6. Caso necessário, oriente os estudantes a utilizarem a calculadora para verificar os resultados das estimativas.

No item c, pode ser aplicada a propriedade de potências de expoente 0 para obter a resposta. O item d pode ser resolvido de maneira análoga à resolução do item b indicada anteriormente.

Para responder ao exercício 55, é necessário resolver as situações apresentadas em cada uma das fichas:

Ficha 1

\frac{5}{8} ‒ 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{5}{8} ‒ \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5} =

= \frac{5}{8} ‒ \frac{3}{10} = \frac{25}{40} ‒ \frac{12}{40} = \frac{13}{40}

Ficha 2

\frac{2^{1}}{3_{1}} \cdot \frac{3^{1}}{4_{2}} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{12}

Ficçha 3

\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

Ficha 4

\frac{5}{6} : 2 = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{12}

Assim, as fichas 2 e 4 podem formar um par.

A resolução do exercício 56 está no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 8.

Página 203

TRABALHANDO A INFORMAÇÃO

Calculando probabilidades

Gabriela colocou em uma caixa toda a sua coleção com 100 bolinhas pula-pula de borracha: 30 amarelas, 25 azuis e 45 vermelhas.

Ilustração. Menina de cabelo castanho e blusa verde está com a mão dentro de um orifício em uma caixa rosa. Ao lado, bolinhas coloridas.

Ela vai retirar dessa caixa uma única bolinha por vez, sem olhar as que estão dentro da caixa.

Sabendo que todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas, qual cor tem maior probabilidade de sair na primeira retirada: amarela, azul ou vermelha?

Observe como podemos proceder para responder a essa questão.

Se a caixa contém 100 bolinhas, então há 100 possibilidades de uma bolinha de qualquer cor sair na primeira retirada.

Desse modo, dizemos que a probabilidade de cada bolinha ser retirada é de 1 em 100, ou seja, de

\frac{1}{100}

ou de 1%. Assim, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.

Ilustração. Garota de cabelo comprido escuro e blusa amarela. Ela está sentada de frente para uma mesa e com o dedo em riste diz: Probabilidade é a medida da chance de ocorrer determinado resultado.

• Como há 30 bolinhas amarelas entre as 100 na caixa, a probabilidade de sair uma amarela é de

\frac{30}{100}

ou de 30%.

• Como há 25 bolinhas azuis entre as 100 na caixa, a probabilidade de sair uma azul é de

\frac{25}{100}

ou de 25%.

• Da mesma maneira, a probabilidade de sair uma bolinha vermelha é de

\frac{45}{100}

ou de 45%, pois há 45 bolinhas vermelhas entre as 100 na caixa.

Desse modo, dizemos que há maior probabilidade de sair uma bolinha vermelha do que uma amarela, uma vez que

\frac{45}{100} > \frac{30}{100} .

A probabilidade geralmente é indicada por uma fração irredutível ou por um número na fórma percentual.

Agora quem trabalha é você!

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Com base nos dados apresentados sobre a retirada de bolinhas, responda: a bolinha de qual cor tem menor probabilidade de ser sorteada: azul ou amarela? Por quê? Represente isso na fórma de fração e na fórma percentual.

2 A direção da escola Felicidade vai sortear um estudante entre os cem que têm as melhores avaliações em História para representar a escola em um evento estadual. Sabendo que Hugo é um desses estudantes e que todos os outros têm a mesma probabilidade de serem sorteados, qual é a probabilidade de ele ser o escolhido?

3 Em uma caixa há três bolas brancas e duas bolas verdes. Qual é a probabilidade de tirarmos, sem olhar, uma bola verde dessa caixa?

Respostas e comentários

1. Azul, pois:

\frac{25}{100} < \frac{30}{100}

; 25% < 30%.

\frac{1}{100}

ou 1%

\frac{2}{5}

ou 40%

Trabalhando a informação

Habilidades da Bê êne cê cê: ê éfe zero seis ême ah zero sete, ê éfe zero seis ême ah um três e ê éfe zero seis ême ah três zero.

O contexto desta seção favorece o desenvolvimento das habilidades (ê éfe zero seis ême ah zero sete), (ê éfe zero seis ême ah um três) e (ê éfe zero seis ême ah três zero). Para tanto, pode-se explorar a situação propondo aos estudantes a realização de sorteios na sala de aula. Por exemplo, providencie objetos que se distingam apenas pela cor (como tampinhas, recortes de papel de mesmo tamanho e formato etcétera). Disponibilize os objetos sobre uma mesa, organizados por cor, de maneira que todos os estudantes possam observá-los. Coloque os objetos em uma caixa de papelão e proponha a eles que decidam qual cor tem a maior chance (probabilidade) de ser sorteada. Realize alguns sorteios, com reposição, a fim de explorar a ideia de probabilidade.

Agora quem trabalha é você!

Nessas atividades, é importante verificar se os estudantes compreenderam como associar a probabilidade a um número racional escrito na fórma de fração, isto é, ao número de eventos favoráveis em relação ao número de eventos possíveis.

A atividade 1 possibilita verificar se os estudantes comparam números racionais de maneira correta, pois, para resolvê-la é necessário perceber que

\frac{25}{100}

é menor que

\frac{30}{100}

. Além disso, é preciso compreender que esses números na fórma percentual são respectivamente 25% e 30%. Se necessário, retome o significado do símbolo % e o fato de ele indicar uma divisão por 100. Assim, 47% corresponde ao número racional

\frac{47}{100},

por exemplo.

Na atividade 2, como são 100 estudantes e Hugo está entre eles, e como todos os estudantes têm a mesma probabilidade de ser sorteados, então essa probabilidade é dada por uma em 100, isto é,

\frac{1}{100}

que, na fórma percentual, é 1%.

A atividade 3 permite avaliar a compreensão dos estudantes em relação ao tema, solicitando a eles que, antes de efetuar o cálculo, respondam:

• Essa probabilidade está mais próxima de qual das seguintes porcentagens: 30%, 40%, 50% ou 60%?

Espera-se que eles excluam as porcentagens 50% e 60%, pois é possível saber, pelo enunciado, que menos da metade do total das bolinhas é verde.

É possível associar o conteúdo dessa seção a temas do interesse dos estudantes e que valorizem as culturas juvenis. Pode-se, por exemplo, incentivá-los a relacionar a probabilidade nos contextos de jogos e brincadeiras do dia a dia deles.

Página 204

Exercícios Complementares

faça as atividades no caderno

1 Efetue as expressões, simplificando o resultado quando possível.

\frac{7}{2} + \frac{1}{2}

\frac{3}{5} + \frac{6}{5} + \frac{16}{5}

\frac{5}{3} + \frac{2}{5} + \frac{3}{5}

\frac{2}{3} + 3 + \frac{1}{4}

\frac{5}{3} ‒ \frac{1}{3}

\frac{18}{5} ‒ \frac{3}{5}

\frac{2}{5} ‒ \frac{1}{7}

12 ‒ \frac{5}{9}

2 Efetue as expressões indicadas, simplificando o resultado quando possível.

2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}

\frac{5}{7} \cdot 4 \cdot \frac{7}{5}

\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{35}{8} \cdot \frac{2}{7}

1 \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5}

\frac{2}{5} : \frac{4}{3}

\frac{2}{9} : \frac{6}{5}

5 : 4

1 \frac{1}{2} : \frac{2}{3}

3 Cássio iniciou uma viagem com o tanque do carro cheio. Na 1ª parada, havia gastado

\frac{1}{4}

do combustível. Ao parar pela segunda vez, verificou que, entre a 1ª e a 2ª parada, o carro havia gastado metade do combustível que tinha sobrado na 1ª parada. Colocou, então, 30 litros de combustível, e o tanque ficou cheio novamente.

Ilustração. Carro vermelho parado com um homem de cabelo castanho dentro dele. Ao lado, homem de boné, camisa e calça verdes abastece o carro.

a) Qual é a fração que corresponde à quantidade de litros que restou no tanque na 1ª parada? Represente por meio de um desenho.

b) Qual fração corresponde ao combustível gasto no percurso da 1ª até a 2ª parada? Represente por meio de um desenho.

c) Qual fração corresponde ao combustível gasto da saída até a 2ª parada? Represente por meio de um desenho.

d) Qual fração corresponde ao combustível que havia no tanque na 2ª parada?

e) Quantos litros cabem no tanque do carro de Cássio?

4 Determine:

\frac{1}{3}

do inverso de 7;

\frac{1}{2}

do inverso de

\frac{1}{2};

c) o inverso de

3 \frac{1}{7} .

5 (Unifor-Ceará) Se o triplo de um número é

\frac{18}{5},

então:

a) sua terça parte é

\frac{1}{5} .

b) sua metade é

\frac{2}{5} .

c) seu dobro é

\frac{12}{5} .

d) seu quádruplo é 4.

e) seu quíntuplo é 18.

6 A figura a seguir nos mostra a divisão de

\frac{3}{4}

por 2. Qual é o resultado dessa divisão?

Ilustração. Retângulo dividido em seis partes e uma parte maior que corresponde a duas partes. Três partes estão pintadas e três partes estão hachuradas.

Calcule mentalmente.

\frac{1}{2} : 2

2 : \frac{1}{2}

4 : \frac{1}{3}

\frac{1}{3} : 4

8 Uma merendeira serviu 18 litros de suco aos estudantes da escola. Cada estudante recebeu

\frac{1}{5}

de litro. Quantos estudantes foram servidos?

9 A capacidade do tanque do meu carro é de 50 litros. O combustível que uso é composto de

\frac{4}{5}

de gasolina e

\frac{1}{5}

de álcool. Vou abastecer o carro com 30 litros de combustível. Quantos litros de gasolina colocarei?

10 Quanto é preciso somar a

{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}

para obter

{(\frac{1}{2} + \frac{1}{3})}^{2} ?

Respostas e comentários

1. a) 4

1. b) 5

1. c)

\frac{8}{3}

1. d)

\frac{47}{12}

1. e)

\frac{4}{3}

1. f) 3

1. g)

\frac{9}{35}

1. h)

\frac{103}{9}

2. a)

\frac{3}{4}

2. b) 4

2. c) 1

2. d)

\frac{3}{4}

2. e)

\frac{3}{10}

2. f)

\frac{5}{27}

2. g)

\frac{5}{4}

2. h)

\frac{9}{4}

3. a)

\frac{3}{4}

3. b)

\frac{3}{8}

3. c)

\frac{5}{8}

3. d)

\frac{3}{8}

3. e) 48 litros.

4. a)

\frac{1}{21}

4. b) 1

4. c)

\frac{7}{22}

5. Alternativa c.

\frac{3}{8}

7. a)

\frac{1}{4}

7. b) 4

7. c) 12

7. d)

\frac{1}{12}

8. 90 estudantes.

9. 24 litros.

10.

\frac{1}{3}

Exercícios complementares

O bloco de exercícios propicia aos estudantes mobilizar os conhecimentos e aplicar as habilidades trabalhadas neste capítulo.

As resoluções dos exercícios 1, 2 e 4 a 10 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 8.

No exercício 3, uma possível resolução:

a) 1ª parada: significa o consumo de metade da metade do combustível total. Assim, restaram no tanque metade e mais metade da metade do combustível total, o que pode ser representado por:

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} .

b) 2ª parada: gastou metade de

\frac{3}{4}

. Assim,

\frac{1}{2} de \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

c) O gasto entre a saída e a 2ª parada foi de

\frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}

d) Se o gasto foi de

\frac{5}{8}

, o que restou após a 2ª parada pode ser calculado por:

1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}

e) Com apenas

\frac{3}{8}

da capacidade do tanque, Cássio colocou 30 litros de gasolina, e o tanque ficou cheio:

\frac{5}{8}

do tanque correspondem a 30 litros. Esquematizando, verificamos que todas as partes de cor cinza totalizam 30 litros. Como todas elas são iguais, basta dividir 30 por 5, deduzindo que cada uma corresponde a 6 litros:

Ilustração. Barra dividida em 8 partes. Cinco partes estão destacadas com o número 6.

Então, o tanque completo é equivalente a 8 partes dessas; logo, a capacidade do tanque é dada por 8 ⋅ 6, isto é, 48 litros.

Para o exercício 10, uma possível resolução é calcular inicialmente o valor de cada expressão:

\frac{13}{36} e \frac{25}{36} .

Para encontrar a parcela que resulte em

\frac{25}{36}

, devemos efetuar:

\frac{25}{36} - \frac{13}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}

. Logo, é preciso adicionar

\frac{1}{3}

{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}

para obter

{(\frac{1}{2} + \frac{1}{3})}^{2}

Página 205

VERIFICANDO

FAÇA AS ATIVIDADES NO CADERNO

1 Seja

A = \frac{1}{5} e B = \frac{4}{7} .

Após efetuadas as operações indicadas em cada alternativa a seguir, em qual caso o resultado obtido será o de maior valor?

a) a ⋅ B

\frac{A}{B}

\frac{B}{A}

d) a + B

2 Fabrício está treinando para uma competição de triathlon, na qual, em um mesmo dia de prova, precisa nadar 4 quilômetros, pedalar 180 quilômetros e correr 42 quilômetros. Qual é a fração irredutível que representa, respectivamente, a distância percorrida na natação, no ciclismo e na corrida, em relação ao percurso total a ser percorrido na prova?

\frac{2}{180}, \frac{90}{180}, \frac{21}{180}

\frac{2}{113}, \frac{90}{113}, \frac{21}{113}

\frac{4}{226}, \frac{180}{226}, \frac{42}{226}

\frac{4}{360}, \frac{180}{360}, \frac{42}{260}

3 Em um campeonato de rendebol o time da turma a foi responsável por

\frac{2}{6}

dos gols do campeonato. Sabendo que os demais times, juntos, fizeram 60 gols, quantos gols fez a turma a?

a) 20

b) 30

c) 40

d) 50

4 Qual é a metade de

\frac{1}{10}

\frac{2}{10}

\frac{1}{20}

\frac{2}{20}

\frac{1}{5}

5 Em uma loja de roupas trabalham 4 vendedores. Em determinado mês, o primeiro realizou

\frac{1}{4}

de todas as vendas, o segundo

\frac{1}{5}

de todas as vendas e o terceiro

\frac{1}{3}

de todas as vendas. Que fração de todas as vendas o quarto vendedor realizou nesse mês?

\frac{13}{60}

\frac{25}{60}

\frac{6}{12}

\frac{5}{12}

6 Qual é o resultado de

\frac{3}{4} + \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}

\frac{35}{40}

\frac{5}{18}

\frac{11}{18}

\frac{31}{36}

7 Uma barra de chocolate é dividia em 3 fileiras de oito quadradinhos. Quantos quadradinhos preciso comer para consumir

\frac{5}{6}

da barra?

a) 15

b) 18

c) 20

d) 21

8 Qual é o inverso de 7?

\frac{7}{1}

\frac{1}{7}

\frac{2}{14}

d) 7 não possui inverso.

9 Que fração devemos somar a

\frac{1}{5}

para obter

\frac{1}{3}

como resultado?

\frac{1}{2}

\frac{2}{10}

\frac{2}{15}

\frac{3}{12}

Organizando

Vamos organizar o que você aprendeu neste capítulo? Para isso, responda às questões a seguir.

a) Explique os passos que você seguiria para calcular a adição de dois números racionais escritos na fórma de fração que tenham denominadores diferentes.

b) Porque ao adicionarmos duas ou mais frações, não podemos adicionar os denominadores?

c) Explique os passos que você seguiria para calcular a multiplição entre dois números racionais escritos na fórma de fração.

d) Por que invertemos a segunda fração ao dividir duas frações?

e) Qual resultado é maior: elevar uma fração ao quadrado ou elevar a mesma fração ao cubo? Justifique sua resposta.

Respostas e comentários

1. Alternativa c.

2. Alternativa b.

3. Alternativa b.

4. Alternativa b.

5. Alternativa a.

6. Alternativa d.

7. Alternativa c.

8. Alternativa b.

9. Alternativa c.

Organizando: a) Resposta possível: Para adicionar ou subtrair números representados por frações de denominadores diferentes, primeiro devemos substituí-las por frações equivalentes com denominadores iguais (múltiplo dos denominadores das frações dadas). Em seguida, adicionamos ou subtraímos essas frações equivalentes.

b) O denominador da fração representa uma divisão e, por prioridade, devemos fazer a divisão antes da adição.

c) Resposta possível: O produto de números racionais escritos na fórma de fração pode ser representado por uma fração em que o numerador é o produto dos numeradores, e o denominador é o produto dos denominadores.

d) Por definição, dividir significa multiplicar pelo inverso, ou seja, multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.

e) Depende da fração: Uma fração própria elevada ao cubo é menor que ela mesma elevada ao quadrado. Nas frações impróprias o resultado é ao contrário.

Verificando

Nessa seção, os estudantes poderão verificar o seu grau de entendimento sobre os conteúdos trabalhados no capítulo.

As resoluções dos testes 1 a 9 estão no início deste Manual, nas orientações específicas do capítulo 8.

Organizando

Nessa seção, os estudantes poderão retomar os principais conteúdos trabalhados neste capítulo e mobilizar os conhecimentos adquiridos. Se julgar oportuno, proponha a eles que se reúnam em duplas ou trios a fim de conversarem sobre as questões propostas.

Na questão a, verifique se os estudantes compreendem como efetuar a adição entre dois números racionais quaisquer, escritos na fórma de fração. Para facilitar, pode-se propor a eles que elaborem alguns exemplos numéricos e expliquem os procedimentos adotados para resolvê-los e, depois, incentivá-los a descrever um procedimento genérico, válido para a adição de dois números racionais na fórma de fração.

Na questão b, espera-se que os estudantes expliquem que os denominadores diferentes indicam que o inteiro foi dividido em partes distintas e, por isso, na adição, devem-se considerar partes iguais de um inteiro para poder adicioná-las. Para auxiliá-los, incentive os estudantes a representar algumas figuras divididas em partes iguais, como um retângulo dividido em duas partes iguais e outro retângulo, congruente ao anterior, dividido em 5 partes iguais. Faça perguntas aos estudantes que os conduzam a perceber que não faz sentido dizer, por exemplo, que

\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1}{8}

, representando

\frac{1}{8}

por um retângulo, congruente aos dois anteriores, divididos em 8 partes iguais.